Вероятность сложного события

Вероятность сложного события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Примеры совместных событий: человек ест и человек читает, число целое и четное.
Примеры несовместных событий: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.
Утверждение. Для несовместных событий A и B имеет место теорема сложения вероятностей р(A
· B) = p(A) + p(B), т. е. вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Например, пусть А – «идет дождь», а В – «идет снег», тогда А
· В – «идет дождь или идет снег, или идет дождь со снегом».
Формулу для вероятности объединения двух несовместных событий можно обобщить на любое число попарно несовместных событий.
Установим теперь полезную для приложений связь между вероятностями исходного и противоположного события, т. е. между событием А и его дополнением 13 QUOTE 1415 = U \ A, где А
· 13 QUOTE 1415 = U.
Утверждение. Для любых событий A и B справедлива формула для вероятности объединения (суммы) событий вида
p(A
· B) = p(A) + p(B) – p(A
· B).
Мы определили ранее вероятность события как некоторую числовую характеристику возможности его наступления. Такую вероятность называют безусловной вероятностью, подчеркивая этим, что она не зависит ни от каких дополнительных условий испытания. В ряде случаев приходится рассматривать вероятность некоторого события A, которая зависит от того, произошло или не произошло другое случайное событие B. В таком случае говорят, что событие A зависит от события B, а вероятность появления событие A называют условной вероятностью. Условная вероятность событие A при условии, что произошло событие B, обозначается p(A
·B).

Пример . Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?
Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов: 13 QUOTE 1415 , из которых событию 13 QUOTE 1415 благоприятствуют ровно два13 QUOTE 1415: . Поэтому 13 QUOTE 1415.
Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек 13 QUOTE 1415: . Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие 13 QUOTE 1415 . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и A. Вероятность события A, вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие B произошло), мы будем обозначать через 13 QUOTE 1415.
Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие A внутри B (т.е. одновременно A и B), среди исходов, благоприятствующих B.
13 QUOTE 1415.
Определение условной вероятности. Если вероятность события В, р(В) > 0, то условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют число
p(A
·B) = 13 QUOTE 1415
Исходя из формулы условной вероятности, можно получить способ вычисления вероятности пересечения двух событий, т. е. вероятность пересечения (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р(A
· B) = р(A) p(B
·A) или р(A
· B) = р(B) p(A
·B).
Определение независимых событий. Событие A называется
независимым от события В, если условная вероятность p(А
·В) равна безусловной вероятности p(A), т. е. выполняется равенство
p(А
·В) = p(A).
Утверждение. Для независимых событий A и B имеет место теорема умножения вероятностей p(A
· B) = p(A) p(B).

Пример. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху – грань с четным номером» и «наверху – грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми.
Разбор примера. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху – грань с 1», «наверху – грань с 2»,, «наверху – грань с 6». Событие «наверху – грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий – когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий – когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1событие «наверху – грань с четным номером» имеет вероятность Ѕ, а событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» - вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху – грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = Ѕ х 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости.
Задача 1. В группе студентов–филологов после отчисления из оставшихся 15 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3-х человек в новый оргкомитет «Дней филолога». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?
Решение: Число всех равновозможных исходов этого испытания (обозначим его через n) заключается в выборе 3 студентов из 18 – это число равно 13 QUOTE 1415 816 возможностям. Поэтому n = 816.
Число благоприятных исходов (обозначим его через m) – это выбор 2-х девушек из 15, т. е. это 13 QUOTE 1415= 105 возможностей, и выбор 1-го юноши из 3, т. е. это 13 QUOTE 1415 = 3 возможности. Двух девушек и одного юношу, согласно комбинаторному принципу умножения, можно выбрать 13 QUOTE 1415= 10513 QUOTE 14153= 315 способами. Поэтому m = 315. Следовательно, вероятность события А = {среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша} по формуле классической вероятности равна P(A)=13 QUOTE 1415
· 0,39.
Задача 2. В магазин "Академкнига" поступило 20 новых книг по филологии, из них 10 книг российских авторов, 6 книг
западноевропейских авторов и 4 книги татарстанских авторов. Покупатель случайно выбирает одну из новых книг по филологии. Найти вероятность, что наудачу купленная книга по филологии окажется российского или западноевропейского автора.
Решение. Событие А = {куплена книга по филологии российского автора}, событие В = {куплена книга по филологии западноевропейского автора}, тогда событие А
· В = {куплена книга по филологии российского или западноевропейского автора}. Соответственно, по формуле классической вероятности имеем р(А) = 0,5 и р(В) = 0,3. События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме о сложении вероятностей р(А
· В) = р(А) + р(В) = 0,5 + 0,3 = 0,8.

Задача 3. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы 13 EMBED Equation.3 1415, где события 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна13 EMBED Equation.3 1415, а вероятность вытащить две синие пуговицы 13 EMBED Equation.3 1415. Так как события13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415 не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 4. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.
Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:
а) P(A(B)=P(A)+P(B) (P(AB)=0,28+0,3(0,08=0,5;
б) P(A(B(C)=P(A)+P(B)+P(C)((P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0,3+0,42(
((0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
в) 1(P(A(B(C)=0,2.
Задача 5. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: 13 EMBED Equation.3 1415. В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 6. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?
Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415={ первая деталь оказалась нестандартной } и 13 EMBED Equation.3 1415={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность события А1 равна 13 EMBED Equation.3 1415кроме того, 13 EMBED Equation.3 1415, так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 7. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы 13 EMBED Equation.3 1415, где события 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна13 EMBED Equation.3 1415, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика 13 EMBED Equation.3 1415. Кроме того, в силу независимости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеем: 13 EMBED Equation.3 1415. По теореме сложения получаем: 13 EMBED Equation.3 1415

Задачи для самостоятельного решения
Студент Института филологии и искусств КФУ выучил 40 тестовых вопросов из 60 по курсу «Основы математической обработки информации». Каждый зачетный билет состоит из двух тестовых вопросов, распределенных случайным образом. Найдите вероятность того, что студент: а) знает оба тестовых вопроса из вытащенного наугад зачетного билета; б) знает хотя бы один тестовый вопрос из вытащенного наугад зачетного билета.
На полке 10 книг по английскому языку и 5 по лингвистике. Из них берут наугад 2 книги подряд. а) Найти вероятность появления книги по лингвистике при втором испытании, если при первом тоже взяли книгу по лингвистике. б) Найти вероятность того, что обе книги оказались по английскому языку.
Тридцать экзаменационных билетов по курсу «Философия древнего мира» пронумерованы числами от 1 до 30. Билеты тщательно перемешаны. Какова вероятность вытянуть наудачу студенту билет с номером, кратным 2 или 3 ?
В числе студентов – активистов – 12 девушек и 4 юношей. Из них выбирают по жребию 5-х человек в оргкомитет «Дней университета». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется три девушки и двое юношей?
На книжной полке 15 книг по филологии, 9 книг по математике для нематематиков и 6 книг по разговорному английскому языку. Наудачу выбирают 6 книг. Какова вероятность того, что выбраны: 1) книга по разговорному английскому языку, 2) книги по математике для нематематиков и 3 книги по филологии?
В художественной лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыш падает на 10 билетов. Студент – любитель современного искусства – покупает 4 билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?
Студент знает ответы на 20 тестовых вопросов из 25. Пусть они для него будут «счастливые». Предположим, что три вопроса задаются лектором последовательно один за другим. Найти вероятность того, что три подряд заданных вопроса – «счастливые».
Имя одного из первых философов–математиков ФАЛЕС составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешаны. Три карточки наудачу извлекаются и раскладываются по очереди в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово ЛЕС?
В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наугад извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: 1) нет бракованных; 2) две бракованных; 3) хотя бы одна годная.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и , помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Какова вероятность того, что на трехцветном флаге будут цвета в последовательности: красный, белый, зеленый, если для выбора цветов имеются еще два: синий и желтый.
Из колоды в 36 карт извлекаются наугад три карты. Найти вероятность того, что это будут десятка, восьмерка и дама.
Из урны, содержащей 20 белых и 30 черных шаров, наугад извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров: 1) нет белых; 2)два белых шара; 3) хотя бы один белый шар.
Студент знает 20 вопросов из 25. Преподаватель последовательно задает три (четыре, пять, ) вопросов. Какова вероятность, что студент правильно ответит на все 3 (4, 5, ) вопроса?
Мишень состоит из трех зон. Для данного стрелка вероятность попасть в первую зону равна 0,18, во вторую зону – 0,24, в третью зону – 0, 33. Определить вероятность поражения мишени при одном выстреле.
Определить вероятность того, что при бросании одной игральной кости выпадет либо цифра 3, либо цифра, кратная 2.
Брошены две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 6, а разность – 2.
Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение очков на выпавших гранях равно 3.
В ящике 50 одинаковых жетонов, помеченных номерами от 1 до 50. Определить вероятность того, наугад вынутый жетон окажется с номером, сумма цифр которого либо 7, либо 9, либо 11.
Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того. Что сумма выпавших очков равна 4.
33 буквы разрезной азбуки смешаны между собой: вынимается одна карточка, изображенная на ней буква записывается, после чего вынутая карточка возвращается обратно, и карточки перемешиваются. Такой опыт производится 23 раза. Какова вероятность записать афоризм Козьмы Пруткова «Лучше скажем мало, но хорошо»?
Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных определенными буквами. Замок открывается только в том случае, когда буквы образуют определенную комбинацию Определить вероятность открывания замка, установив произвольную комбинацию букв.
В сказке о Василисе Премудрой Иван-царевич должен был три раза подряд угадать Василису среди ее 12 совершенно одинаковых сестер. Как известно, Василиса подавала царевичу условные знаки, и поэтому он выдержал испытание. Насколько опасно ему было решиться на честное угадывание?

Root EntryEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 15390026
    Размер файла: 179 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий