Для студентів- інформація-вища мат. гео


Теоретичний зміст програми навчальної дисципліни
«Вища математика»
1 семестр
ЗМодуль 1. Елементи лінійної алгебри
Тема 1. Визначники. Означення визначників другого та третього порядків. Властивості визначників. Означення доповняльного мінора, алгебраїчного доповнення елемента визначника. Розклад визначника за елементами рядка. Поняття визначника п-го порядку.
Тема 2. Система лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь з n невідомими. Матриця системи рівнянь. Розв'язок системи. Сумісна, несумісна, означена, неозначена системи. Еквівалентні системи. Теорема Крамера. Дослідження системи лінійних рівнянь за допомогою теореми Крамера та метода Гауса.
Тема 3. Матриці. Поняття матриці. Додавання матриць, множення на число, множення матриць. Поняття рангу матриці. Алгоритм знаходження рангу матриці (окантовуючі мінори). Невироджена матриця. Алгоритм знаходження оберненої матриці та умови її існування.
ЗМодуль 2. Елементи векторної алгебри. Елементи аналітичної геометрії
Тема 1. Системи координат. Поняття декартової системи координат на прямій, площині та у просторі. Координати напрямленого відрізка. Координати точки. Координати вектора через координати його кінців. Поняття вектора, нульового вектора, рівних векторів. Довжина вектора. Означення колінеарних векторів. Поняття про лінійну комбінацію векторів. Лінійна залежність та незалежність системи п векторів.
Тема 2. Лінійні операції над векторами. Операції над векторами, їх властивості (множення вектора на число, додавання та віднімання векторів).
Тема 3. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів. Поняття скалярного добутку векторів, скалярного квадрату. Властивості скалярного добутку. Умова ортогональності двох векторів. Кут між векторами. Означення векторного добутку. Векторний добуток колінеарних векторів. Алгебраїчні властивості векторного добутку. Твердження про знаходження координат векторного добутку. Геометрична властивість векторного добутку. Мішаний добуток векторів, його властивості. Геометрична властивість мішаного добутку. Обчислення мішаного добутку. Компланарні вектори.
Тема 4. Пряма на площині. Канонічне та параметричне рівняння прямої на площині. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Віддаль від точки до прямої на площині. Взаємне розміщення прямих на площині. Кут між прямими.
Тема 5. Площина в просторі. Загальне рівняння площини у просторі. Рівняння площини, що проходить через три задані точки. Рівняння площини, що проходить через дві задані точки паралельно заданому вектору. Рівняння площини, що проходить через одну задану точку паралельно до двох не колінеарних векторів. Рівняння площини у відрізках. Взаємне розміщення площин. Кут між площинами. Відстань від точки до площини.
Тема 6. Пряма в просторі. Пряма лінія в просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі. Кут між прямими. Віддаль від точки до прямої. Пряма і площина в просторі, їх взаємне розміщення. Кут між прямою і площиною.
Тема 7. Канонічні рівняння ліній другого порядку. Полярна система координат на площині її застосування. Канонічні рівняння ліній другого порядку: кола, еліпса, гіперболи, параболи у ПДСК, їх означення.
Рівняння ліній другого порядку у полярній системі координат.
ЗМодуль 3. Функції однієї змінної. Неперервність
Тема 1. Функції однієї змінної: основні означення. Функції однієї змінної: основні означення. Поняття функції, область визначення та множина значень. Способи задання функцій. Графік функції. Монотонність, періодичність, парність та непарність функції. Обернені функції. Класифікація елементарних функцій.
Тема 2. Числові послідовності. Границя функції. Числова послідовність. Границя змінної величини та функції. Нескінченно малі величини та їх властивості. Основні теореми про границі. Перехід до границі у нерівностях. Число е. Чудові границі.
Тема 3. Неперервність функції однієї змінної. Неперервність функції. Класифікація точок розриву. Основні теореми про неперервність функції. Класифікація точок розриву.
2 семестр
ЗМодуль 1. Диференціальне числення функції однієї змінної. Функції багатьох змінних. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
Тема 1. Диференціальне числення функції однієї змінної.
Означення похідної. Похідні від найпростіших елементарних функцій.
Таблиця похідних. Правила диференціювання. Похідна складеної функції та оберненої функції. Похідні вищих порядків. Диференціал функції його геометричний зміст. Диференціали вищих порядків.
Тема 2. Застосування диференціального числення функції однієї змінної
Правило Лопіталя. Ознаки сталості, монотонності, опуклості та вгнутості функції. Формули Тейлора та Маклорена. Асимптоти функції та точки перегину. Загальна схема дослідження функції та побудови її графіка.
Тема 3. Функції багатьох змінних: границя та неперервність
Область визначення функції багатьох змінних, лінії та поверхні рівня. Границя функції декількох змінних. Неперервність. Основні властивості неперервних функцій.
Тема 4. Похідні та диференціали функцій багатьох змінних
Похідні та диференціали функцій багатьох змінних. Частинні диференціали, повний диференціал. Формула наближеного обчислення значення функції багатьох змінних у заданій точці. Похідні та диференціали вищих порядків.
ЗМодуль 2. Інтегральне числення
Тема 1. Невизначений інтеграл
Первісна та невизначений інтеграл Основні властивості. Таблиця основних невизначених інтегралів. Основні методи інтегрування (заміна змінної, інтегрування частинами). Інтегрування раціональних виразів. нтегрування найпростіших ірраціональностей. Інтегрування виразів, які містять тригонометричні та показникові функції
Тема 2. Визначений інтеграл
Означення та умови існування визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла з верхньою змінною межею. Обчислення визначеного інтеграла (формула Ньютона-Лейбніца, інтегрування частинами, заміна змінної.)
Тема 3. Застосування визначеного інтеграла
Обчислення площ плоских фігур. Обчислення довжини дуги кривої. Обчислення об’єму тіла за відомим поперечним перерізом. Деякі застосування визначеного інтеграла у прикладних задачах.
Тема 4. Невласні інтеграли
Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування. Невласні інтеграли від необмежених функцій.
Тема 5. Подвійні інтеграли
Означення подвійного інтеграла та його властивості. Зведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних у подвійному інтегралі.
Тема 6. Криволінійні інтеграли
Криволінійні інтеграли 1-го роду та їх властивості. Криволінійні інтеграли 2-го роду та їх властивості.
ЗМодуль 3. Ряди
Тема 1. Числові ряди. Ряди з додатними членами. Знакозмінні ряди
Основні означення. Геометрична прогресія. Гармонійний ряд. Найпростіші властивості числових рядів.Ряди з додатними членами. Достатні ознаки збіжності: ознаки порівняння; ознаки Даламбера, Коші; інтегральна ознака. Поняття знакозмінного ряду. Ознака Лейбніца.
Тема 2. Функціональні ряди
Поняття про функціональний ряд. Область збіжності функціонального ряду
Тема 3. Степеневі ряди. Ряди Фур’є
Поняття степеневого ряду. Розклад функції у степеневий ряд. Ряди Фур’є: основні поняття.
ЗМодуль 4. Диференціальні рівняння. Елементи теорії ймовірностей
Тема 1. Диференціальні рівняння 1-го порядку. Диференціальні рівняння 2-го порядку
Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Існування розв`язку диференціального рівняння першого порядку. Загальний розв`язок та загальний інтеграл. Найпростіші диференціальні рівняння 1-го порядку.
Диференціальні рівняння 2-го порядку. Загальний розв`язок лінійних однорідних рівнянь 2-го порядку. Лінійні однорідні рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Лінійні неоднорідні рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
Тема 2. Основні типи рівнянь математичної фізики. Елементи теорії ймовірностей
Поняття про рівняння з частинними похідними. Основні задачі математичної фізики.
Поняття ймовірності. Класичне означення ймовірності. Геометрична ймовірність. Формула повної ймовірності.
Розподіл балів, які отримують студенти
1 семестр
Поточне тестування та самостійна робота Підсумковий тест (залік) Сума
Змістовий модуль 1 Змістовий модуль
2 Змістовий модуль
3 40 100
Т1 Т2 Т3 Т1 Т2 Т3 Т4 Т5 Т6 Т7 Т1 Т2 Т3 5 10 5 2 3 5 5 5 5 5 2 3 5 Методичне забезпечення
Лавренчук В. П., Готинчан Т. І., Дронь В. С., Кондур О.С. Вища математика: Навчальний посібник. – Чернівці: Рута, 2000. – 208 с.
Лавренчук В.П., Мартинюк О.В., Настасієв П.П., Олійник Н.П. Вища математика. Загальний курс. Ч.1. Лінійна алгебра й аналітична геометрія: Навчальний посібник. – Чернівці: Рута, 2006. – 178 с.
Лавренчук В.П., Мартинюк О.В., Настасієв П.П. Вища математика. Загальний курс. Ч.2. Математичний аналіз і диференціальні рівняння: Навчальний посібник. – Чернівці: Рута, 2006. – 319 с.
Лавренчук В.П., Настасієв П.П., Мартинюк О.В., Кондур О.С. Вища математика. Загальний курс. Ч.1. Лінійна алгебра й аналітична геометрія: Навчальний посібник. – Чернівці: Книги - ХХІ, 2009. – 319 с.
С.Б. Боднарук, Р.С. Колісник, Н.М. Шевчук. Вища математика: Курс лекцій. Частина II. Аналітична геометрія. Чернівці: Рута, 2007.-72с
Лавренчук В.П., Настасієв П.П. Мартинюк О.В., Кондур О.С. Вища математика. Загальний курс. Ч.2. Математичний аналіз і диференціальні рівняння: Навчальний посібник. – Чернівці: ХХІ, 2009. – 556 с.
Рекомендована література
Базова
Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика. – К. А.С.К., 2001. – 648 с.
Лавренчук В. П., Готинчан Т. І., Дронь В. С., Кондур О.С. Вища математика: Навчальний посібник. – Чернівці: Рута, 2000. – 208 с.
Лавренчук В.П., Мартинюк О.В., Настасієв П.П., Олійник Н.П. Вища математика. Загальний курс. Ч.1. Лінійна алгебра й аналітична геометрія: Навчальний посібник. – Чернівці: Рута, 2006. – 178 с.
Лавренчук В.П., Мартинюк О.В., Настасієв П.П. Вища математика. Загальний курс. Ч.2. Математичний аналіз і диференціальні рівняння: Навчальний посібник. – Чернівці: Рута, 2006. – 319 с.
Лавренчук В.П., Настасієв П.П., Мартинюк О.В., Кондур О.С. Вища математика. Загальний курс. Ч.1. Лінійна алгебра й аналітична геометрія: Навчальний посібник. – Чернівці: Книги - ХХІ, 2009. – 319 с.
Лавренчук В.П., Настасієв П.П. Мартинюк О.В., Кондур О.С. Вища математика. Загальний курс. Ч.2. Математичний аналіз і диференціальні рівняння: Навчальний посібник. – Чернівці: ХХІ, 2009. – 556 с.
Гудименко, Борисенко Д. М. та інші. Збірник задач з вищої математики: Навчальний посібник – К.: видавництво Київського університету, 1967. – 327 с.
Дюженкова Л.І., Дюженков О.Ю., Михалін Г.О. Вища математика: Приклади і задачі/ Посібник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2003. – 624 с.
Допоміжна
Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие. – М.: Наука, 1978. – 623 с.
Барвин И. И. Высшая математика: Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.
Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Наука, 1987. – 349 с.
Інформаційні ресурси
Електронний курс «Вища математика», розміщений в університетській мережі www.e-learning.chnu.edu.uaОфіційний сайт факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича http://fpm.org.ua/Сайт наукової бібліотеки Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича http://www.library.chnu.edu.ua/Віртуальна математична бібліотека http://euclid.math.fsu.edu/Science/math.htmlФізико-математична бібліотека http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htmDjVu Library Математична бібліотека http://djvu-lib.narod.ru/index-all.html
Зміст завдань для самостійної роботи
З курсу «Вища математика»
1-ий семестр
Змістовий модуль 1.
Знайти матрицю , якщо
, , .
, , .
, , .
Знайти матрицю , якщо , .
Обчислити .
Знайти добуток матриць АВ і ВА, якщо:
1) , ;2) , ;
3) , ;4) , ;
5) , ;6) , ;
7) , ;8) , .
Обчислити:
1) ;2) ; 3) ;
4) 5) ;6) ;7) .
8) , якщо ; 9) , якщо .Обчислити визначники:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ; 9);10) ;
11) ;13) ;14) ;
Знайти обернену матрицю до матриць:
1);2);3);4);5); 6);
7);8);9); 10); 11).
Знайти матрицю Х з рівняння:
1);2);3);
4);5);6).
Обчислити ранг матриці:
1);2);3);4);5);
Розв’язати системи рівнянь за правилом Крамера або подавши її у вигляді матричного рівняння.
1)2)3)
4)5)6)
7)8)9)
10)11) 12)
Матричним методом розв’язати системи рівнянь:
1)2)3)
4)5)6)
7)8)
Розв’язати системи лінійних рівнянь методами Гаусса та Жордана-Гаусса
1)2)3)
4)5)6)
7)8)9)
10)11)12)
13)14)
Дослідити на сумісність і знайти розв’язок систем:
1)2)3) 4)
5)6) 7)
Змістовий модуль 2.
У трикутнику АВС вектор і вектор . Побудувати вектори:
, 2), 3), 4) .
Задано вектори і . Визначити координати векторів :
,2) ,3),4) ,5) ,6) .
При яких значеннях α і β вектори і колінеарні?
Довести, що точки А(3; -1; 2), В(1; 2; -1), С(-1; 1; -3), D(3; -5; 3) є вершинами трапеції.
Дано вектори і. Розкласти вектор по базису і.
Дано чотири вектори, , і. Розкласти кожний з цих векторів, приймаючи за базис три інші вектори.
Дано точки і. На прямій знайти точку M, яка ділить відрізок у відношенні λ=3.
Дано вершини трикутника: А(1; 1; 1), В(5; 1; -2), С(7; 9; 1). Знайти координати точки D перетину бісектриси кута А зі стороною СВ.
На осі Ox знайти точку, рівновіддалену від точок А(2; -4; 5) і В(-3; 2; 7).
В якому відношенні точка М, рівновіддалена від точок А(3; 1; 4) і В(-4; 5; 3), поділить відрізок осі Oy від початку координат до точки С(0; 6; 0).
Дано вершини чотирикутника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Довести, що його діагоналі АС і BD взаємно перпендикулярні.
Обчислити внутрішні кути трикутника АВС, якщо
1) А(1; 2; 1), В(3; -1; 7), С(7; 4; -2);2) А(2; -1; 3), В(1; 1; 1), С(0; 0; 5).
Дано точки А(-2; 3; -4), В(3; 2; 5), С(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Обчислити проекцію вектора на вектор.
Обчислити площу трикутника з вершинами:
1) А(7; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; -2);2) А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6).
Дано вершини трикутника: А(1; -2; 8), В(0; 0; 4), С(6; 2; 0). Обчислити його площу і висоту ВD.
Обчислити об’єм піраміди з вершинами у точках A, B, C, D та довжину висоти, опущеної на грань АВС, якщо:
1) А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) , D(0; 0; 0); 2) А(2; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 6) , D(2; 3; 8).
Довести, що точки A, B, C, D лежать в одній площині, якщо:
1) А(2; -1; -2), В(1; 2; 1), С(2; 3; 0) , D(5; 0; -6); 2) А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1) , D(2; 1; 3).
Об’єм тетраедра V=5, три його вершини знаходяться у точках А(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oy.
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(-2; 5) і паралельна прямій 3x+4y+2=0.
Задано вершини трикутника А(2; 2), В(-2;-8) і С(-6;-2). Скласти рівняння його медіан.
Задано вершини трикутника А(0; 1), В(6; 5) і С(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини С.
Задано вершини трикутника А(0; 0), В(–1; –3) і С(–5; –1). Скласти рівняння прямих, що проходять через вершини трикутника і паралельні до його сторін.
Визначити відстань від точки М(2; –1) до прямої, що відтинає на осях координат відрізки а=8, b=6.
Задано середини сторін трикутника А1(–1; –1), В1(1; 9) і С1(9; 1). Скласти рівняння серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 5) і С(13; –4). Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини В, і висоти, опущеної з вершини С. Обчислити площу трикутника.
Задано сторони трикутника x–y=0 (АВ), x+y–2=0 (ВС), y=0 (АС). Скласти рівняння медіани, яка проходить через вершину В, і висоти, що проходить через вершину А.
Скласти рівняння трьох сторін квадрата, якщо відомо, що четвертою стороною є відрізок прямої 4x+3y–12=0, кінці якого лежать на осях координат.
Знайти кутовий коефіцієнт, загальне рівняння прямої і відрізки, що відтинаються нею на осях, якщо пряма проходить через точки: 1) А(2; –8) і В(–1; 7), 2) А(–1; 1) і В(–1; 5).
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 3) і відтинає на координатних осях відрізки однакової довжини.
Дано пряму 2x+3y+5=0. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 1): 1) перпендикулярно до даної прямої; 2) паралельно до даної прямої.
Скласти рівняння прямих, проведених через вершини трикутника паралельно до протилежних сторін, якщо відомі рівняння сторін трикутника 5x–2y+6=0, 4x–y+3=0, x+3y–7=0.
Скласти рівняння висот трикутника, якщо задано рівняння його сторін:
1) 2x–y+3=0, x+5y–7=0, 3x–2y+6=0;2) x+2y–1=0, 5x+4y–17=0, x–4y+11=0.
Задано середини сторін трикутника А1(2; 1), В1(5; 3) і С1(3; –4). Скласти рівняння його сторін.
Задано сторони трикутника x+3y–7=0 (АВ), 4x–2y–2=0 (ВС), 6x+8y–35=0 (АС). Знайти довжину висоти, проведеної з вершини В.
Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 2) і С(3;-1). Скласти рівняння бісектриси кута A.
Скласти рівняння сторін трикутника, якщо дано одну з його вершин В(–4; –5) і рівняння двох висот 5x+3y–4=0 і 3x+8y+13=0.
Відомі протилежні вершини квадрата А(–1; 3), С(6; 2). Скласти рівняння сторін квадрата.
Знайти координати вершин ромба, якщо відомі рівняння двох сторін x+2y–4=0, і x+2y–10=0, та рівняння діагоналі x–y+2=0.
Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(1; 2), В(0; –1) і С(–3; 0).
Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(7; 7), В(–2; 4), якщо його центр лежить на прямій 2x–y–2=0.
Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки і.
Еліпс, віднесений до осей, проходить через точку M(1; 1) і має ексцентриситет ε=3/5. Скласти рівняння еліпса.
Ексцентриситет гіперболи дорівнює. Скласти канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку.
Скласти рівняння гіперболи, яка проходить через точку M(9; 8), якщо рівняння асимптот гіперболи мають вигляд.
Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої розташовані у відповідних фокусах і вершинах еліпса.
Через точку M(0; –1) і праву вершину гіперболи проведена пряма. Знайти другу точку перетину прямої з гіперболою.
Задано гіперболу. Знайти софокусний еліпс, який проходить через точку M(4; 6).
Задано еліпс. Записати рівняння софокусної рівнобічної гіперболи.
Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що її фокус знаходиться у точці перетину прямої 4x–3y–4=0 з віссю Ox.
Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, симетричною відносно осі Ox, і яка відтинає від прямої y=x хорду довжиною.
Парабола відтинає від прямої, яка проходить через початок координат, хорду, довжиною 3/4. Скласти рівняння цієї прямої.
Змістовий модуль 3.
Використовуючи означення границі послідовності, довести:
1) 2) .
Знайти границі послідовностей
1)
2) .
Довести, що послідовність:
1) – нескінченно велика;
2) – нескінченно мала.
Знайти границі послідовностей:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
5. Використовуючи означення границі функції, довести, що:
;
;
;
6. Знайти границі функцій:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; (–цілі числа)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; ;
;
;
;
;
;
.


Приложенные файлы

  • docx 14885376
    Размер файла: 447 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий