Функциональные ряды.DOC

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЮГО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики



Рейтинговая
Интенсивная
Технология
Модульного
Обучения






ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Методические указания и индивидуальные задания
к модулю 12



Курск 2001

Составитель Е.В.ЖУРАВЛЕВА

УДК 517.1
ББК 22.11




Рецензент
Кандидат технических наук, зав.кафедрой высшей математики,
доцент В.И.Дроздов




Функциональные ряды: Методические указания и индивидуальные задания к М-12 / Курск. гос. техн. ун-т; Сост. Е.В.Журавлева. Курск, 2001. 30 с.


Излагаются методические рекомендации по выполнению модулю 12, в том числе и с использованием программного продукта MATHCAD, приведены индивидуальные задания для студентов.
Работа предназначена для студентов технических специальностей.

Табл. 7. Библиогр.: 8 назв.






Текст печатается в авторской редакции




ИД №06430 от 10. 12. 2001. ПЛД № 50-25 от 01. 04.97.
Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. Л. 1,56. Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 100 экз. Заказ ...
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического
университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.


Содержание

Введение .. 4
Индивидуальные задания ...4
Теоретические упражнения . ... 4
Практические задания ...6
Задание 1 6
Задание 2 ....9
Задание 3 ..13
Задание 4 ..16
Задание 5 . ....17
Задание 6 . ....19
Задание 7 ......22
Примеры выполнения заданий . .26
Пример 1 ....26
Пример 2 . ......28
Пример 3 . ......29
Контрольные вопросы . ...30
Библиографический список . ...31

















Введение

Данная работа предназначена для студентов, изучающих высшую математику и работающих в системе РИТМО, содержит теоретические упражнения, контрольные вопросы, расчетные задания и примеры выполнения заданий к модулю 12 «Функциональные ряды».
Теоретический материал, необходимый для выполнения заданий, можно найти в книгах, указанных в библиографическом списке.
При выполнении модуля каждый студент получает свой номер варианта n у преподавателя. Кроме параметра n в задании 7 используется параметр N – порядковый номер группы в потоке, а также используется функция MOD(n, q) – остаток от деления номера варианта n на заданное число q.
При комплектации индивидуальных заданий для каждого варианта используется трехуровневая система. Каждый уровень предлагает студенту свой набор задач. Их решение требует удовлетворительного, хорошего и отличного знания материала соответственно. Каждый студент, в зависимости от степени своей подготовленности, должен:
выбрать определенный уровень;
выполнить задания этого уровня.
Что необходимо сделать? Выполнить теоретическое упражнение и следующие практические задания:
для первого уровня – решить задания 1,3,4,6;
для второго уровня – решить задания 1,2,3,5,6;
для третьего уровня – решить задания 1-7.


1. Индивидуальные задания

1.1. Теоретические упражнения

Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании функционального ряда.
Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании функционального ряда.
Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
Сформулируйте и докажите теорему об интервале сходимости степенного ряда.
Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Даламбера.
Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Коши.
Приведите формулу для ряда Тейлора. Сформулируйте и докажите условие, при котором этот ряд сходится и равен самой функции.
Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании степенного ряда.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = ex.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = sin x.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = cos x.
Вывести формулу разложения в ряд (1 + x)m.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = ln(1 + x).
Дайте определение тригонометрического ряда, ряда Фурье для функции f(x) на [-(, (], для функции f(x) на 13 EMBED Equation.3 1415.
Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на [-(, (].
Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на 13 EMBED Equation.3 1415.
Дайте определение кусочно монотонной функции. Сформулируйте теорему о разложимости кусочно монотонной функции в ряд Фурье.
Дайте определение тригонометрического ряда. Приведите коэффициенты Фурье для четной и нечетной функции.
Сформулируйте и докажите теорему о сходимости ряда Фурье в данной точке.
Сформулируйте и докажите достаточное условие сходимости ряда Фурье.


1.2. Практические задания

Задание 1

Найти область сходимости функционального ряда 13 EMBED Equation.3 1415.
Таблица 1.1
Индивидуальные задачи к заданию 1
n
fn(x)
n
fn(x)

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13 EMBED Equation.3 1415

97
13 EMBED Equation.3 1415
100
13 EMBED Equation.3 1415



1.2.2. Задание 2

Найти область сходимости функционального ряда 13 EMBED Equation.3 1415.
Таблица 2.1
Индивидуальные задачи к заданию 2
n
fn(x)
n
fn(x)

1
2
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1
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415

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13 EMBED Equation.3 1415
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13 EMBED Equation.3 1415

85
13 EMBED Equation.3 1415
100
13 EMBED Equation.3 1415


Задание 3

Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x – x0.

Таблица 1.3
Индивидуальные задачи к заданию 3
n
f(x)
x0
n
f(x)
x0

1
2
3

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Ln(2x2 + 3x +1)
0
61
e5x - 3
1

40
13 EMBED Equation.3 1415
1
62
(x – 1)Cos x
1

41
13 EMBED Equation.3 1415
0
63
13 EMBED Equation.3 1415
0

42
x Sh 2x
0
64
Ln(3x + 4)
-1

43
13 EMBED Equation.3 1415
4
65
13 EMBED Equatio
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2
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83
Ln(12x2 + 7x + 1)
0
92
e6x - 1
1

84
13 EMBED Equation.3 1415
0
93
13 EMBED Equation.3 1415
2

85
13 EMBED Equation.3 1415
1
94
13 EMBED Equation.3 1415
7

86
Ln(6x2 + 5x + 1)
0
95
13 EMBED Equation.3 11415
1

87
13 EMBED Equation.3 1415
1
96
13 EMBED Equation.3 1415
1

88
Cos(2x + 1)
0
97
Ln(10x2 + 7x + 1)
0

89
(1 + 2x)5
1
98
(2 + 3x)5
1

90
e2 – 5x
2
99
(Sh x – x)(6 - x3
0

91
x3 Ln x
1
100
Sin(2x + 1)
1


1.2.4. Задание 4

Вычислить значение функции f(x) в заданной точке x0 (f(x0)) с точностью до 0,001.
Таблица 1.4
Индивидуальные задачи к заданию 4
n
f(x0)
N
f(x0)
n
f(x0)
n
f(x0)

1
2
3
4
5
6
7
8

1
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
29
Sin 0,4
43
13 EMBED Equation.3 1415

2
Sin 0,21
16
13 EMBED Equation.3
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2
3
4
5
6
7
8

57
Ln 2,08
68
Ln 1,125
79
Ln 5,625
90
Ln 2,25

58
Ln 5,25
69
13 EMBED Equation.3 1415
80
13 EMBED Equation.3 1415
91
13 EMBED Equation.3 1415

59
Sin 12(
70
Ln 1,325
81
13 EMBED Equation.3 1415
92
Cos 0,32

60
Sin 0,3
71
e
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·1.2.5. Задание 5

Вычислить определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,001.
Таблица 1.5
Индивидуальные задачи к заданию 5
n
f(x)
b
n
f(x)
b

1
2
3
4
5
6

1
Cos x3
1
9
13 EMBED Equation.3 1415
0,5

2
13 EMBED Equation.3 1415
0,5
10
13 EMBED
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2
3
4
5
6

17
Cos (10x2)
0,1
35
13 EMBED Equation.3 1415
1

18
13 EMBED Equation.3 1415
0,5
36
13 EMBED Equation.3 1415
0,36

19
13 EMBED Equation.3 1415
0,1
37
13 EMBED Equation.3 1415
1

20
13 EMBED Equation.3 1415
0,2
38
13 EMBED Equatio
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2
3
4
5
6

53
13 EMBED Equation.3 1415
0,2
70
13 EMBED Equation.3 1415
0,2

54
13 EMBED Equation.3 1415
0,5
71
13 EMBED Equation.3 1415
0,2

55
13 EMBED Equation.3 1415
0,5
72
13 EMBED Equation.3 1415
0,25

56
Cos 9x2
13 EMBED Equation.3 14
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Продолжение табл.1.5
1
2
3
4
5
6

87
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
94
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

88
Sin 4x2
0,5
95
x3 ( Sin x
1

89
13 EMBED Equation.3 1415
1
96
13 EMBED Equation.3 1415
1

90
Cos 4x2
0,5
97
13 EMBED Equation.3 1415
1

91
13 EMBED Equation.3 1415
1
98
13 EMBED Equation.3 1415
1

92
13 EMBED Equation.3 1415
1
99
13 EMBED Equation.3 1415
0,1

93
13 EMBED Equation.3 1415
0,5
100
13 EMBED Equation.3 1415
1



1.2.6. Задание 6

Найти решение задачи Коши.

Таблица 1.6
Индивидуальные задачи к заданию 6
n
F(x, y, y/, y//) = 0
Нач. усл.
n
F(x, y, y/, y//) = 0
Нач. усл.

1
y/ = xy + x2 + y2
y(0) = 1
13
y/ = x2 + 0,2y2
y(0) = 0,1

2
y/ = e3x +2xy2
y(0) = 1
14
y/ = x2 – xy + 2y
y(0) = 1

3
y/ = x + ey
y(0) = 0
15
y/ = 2x
·+ xy - y2
y(0) = 1

4
y/ = x2 + y2
y(0) = 0,2
16
y/ = xy + x2
y(0) = 1

5
y/ = x2- xy + y2
y(0) = 0,5
17
y/ = -x3 - xy
y(0) = 3

6
y/ =yCosx+2Cosy
y(0) = 0
18
y/ = yCosx-Sin2x
y(0) = 3

7
y/ = eSin x + x
y(0) = 0
19
y/ = 4xy – 4x3
y(0)= -0,5

8
13 EMBED Equation.3 1415
y(1) = 0
20
y/= 0,2x – 0,1y2
y(0) = 1

9
y/ =(1+x)y2e - x-xy
y(0) = 1
21
y/= x2y2 – y Cos x
y(0) = 1

10
y/ = 4(x3+1) y2 e-x -4x3y
y(0) = 1
22
y/= e Sin x + xy
y(0) = 0

11
y/ = xy2 - y
y(0) = 1
23
y/= x2 - xy
13 EMBED Equation.3 1415

12
2(xy+y /)=(x-1)exy2
y(0) = 2
24
y// + xy = 0
y(0) = 1
y/(0) = 0

Продолжение табл.1.6
1
2
3
4
5
6

25
y/ = 4y2e4x (1- x3) - 4x3y
y(0)= -1
46
y//= x2y + y
y(0) = 1
y/(0) = 0

26
y/= y + 2xy2
13 EMBED Equation.3 1415
47
y// = x + y2
y(0) = 0
y/(0) = 1

27
y/ = 2x3y3 – 2xy
13 EMBED Equation.3 1415
48
y// = x2y – y/
y(0) = 1 y/(0) = 0

28
4y/=(x3+8)e-2xy2-x2y
y(0) = 1
49
y/ = ey + xy
y(0) = 0

29
2y/ = xy2 –2y
y(0) = 2
50
y/ = 2x - y
y(0) = 2

30
y/ +xy =(x-1)exy2
y(0) = 1
51
y/ = 2y2 + yex
13 EMBED Equation.3 1415

31
y/ =xy2 + y
y(0) = 1
52
y/ = y2 + x3
13 EMBED Equation.3 1415

32
y/ =xy + x2 + y2
13 EMBED Equation.3 1415
53
xy// + y = 0
y(1) = 0
y/(1) = 1

33
y/ =xy + y2
13 EMBED Equation.3 1415
54
13 EMBED Equation.3 1415
y(1) = 1
y/(1) = 0

34
y/ = 2x – xy - 0,1y2
y(0) = 1
55
y/ = arcsin y + x
13 EMBED Equation.3 1415

35
y/ = x + y + y2
13 EMBED Equation.3 1415
56
y/ = xy + Ln(x+y)
y(1) = 0

36
y/=x2 Sin x + y
y(0) = 1
57
y/ = x + y - 1
y(0) = 1

37
y/=x2 + Sin x + y2
13 EMBED Equation.3 1415
58
y/ = 2x + Cos y
y(0) = 0

38
y/=Cos y + 2x Cos x
y(0) = 0
59
13 EMBED Equation.3 1415
y(0) = 1

39
y/= y Sin x – 3Sin y
13 EMBED Equation.3 1415
60
y/+ y Cosx - 3exy2 –Sinx = 0
y(0) = 1

40
y/= e2x - 2x2y
y(0) = 1
61
2y/-(x+y)y-ex=0
y(0) = 2

41
y/= 2x2 + yex
13 EMBED Equation.3 1415
62
y/-4y+2xy2-e3x=0
y(0) = 2

42
y/-4y+2xy2-e3x=0
y(0) = 2
63
(1+x2) y// + 5xy/ + +3y = 0
y(0) = 0
y/(0) = 1


43

y// = y Cos y/ + x
y(0) = 1
13 EMBED Equation.3 1415

64

(1+x2)y//+y=0
y(1) = 1
y/(1) = 1


44

y// = x2 + y2
y(-1) = 2
13 EMBED Equation.3 1415
65
(x2 – x + 1)y// + (4x-2)y/ = -2
y(0) = 2
y/(0) =1

45
y// = ( y/ )2 + xy
y(0) = 4
y/(0) = -2
66
(1 - x)y// - y/ + ex( (x+1) = 0
y(0) = 0
y/(0) = 1

Продолжение табл.1.6.
1
2
3
4
5
6

67
13 EMBED Equation.3 1415
y(1) = 1
y/(1) = 0

84

(1 - x2)y// - 2xy/ + +2y = 0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

68
y// = xyy/
y(0) = 1
y/(0) = 1

85

y/// = y

y(0) = 1
y/(0) = 0
y//(0) = 0


69

y/// = yex – x(y/ )2
y(0) = 1
y/(0) = 1
y//(0) = 1

86

y/// = xy/ + y
y(1) = 1
y/(1) = 0
y//(1) =1


70

y/// = y//+(y/ )2+y3+x
y(0) = 1
y/(0) = 2
y//(0)=05

87

y///-x2y//-xy/-y=0
y(0) = 1
y/(0) = 1
y//(0) = 0

71
y// = y
y(0) = 0
y/(0) = 1
88
y/ = arctg y + x
y(0) = 1

72
y// + 2xy = 0
y(1) = 1
y/(1) = 0
89
y/ = eCos x + y
13 EMBED Equation.3 1415

73
y// - xy/ - 2y = 0
y(1) = 0
y/(1) = 1
90
y/ = Siny + 2Cosx
y(0) = 0

74
y// - x2y = 0
y(1) = 0
y/(1) = 1
91
y/=x+y+Ln(x+2y)
y(1) = 0

75
y// + xy/ + y = 0
y(0) = 1
y/(0) = -1
92
13 EMBED Equation.3 1415
y(0) = 1

76
(1-x2)y//-4xy/-2y=0
y(0) = 1
y/(0) = 1
93
y/ = x – arccosy
13 EMBED Equation.3 1415

77
(1-x)y//+xy/-y=0
y(-1) = 0
y/(-1) = 1
94
y/ = ey + Cosx
y(0) = 0

78
y// + xy/ = x
y(1) = 1
y/(1) = 0
95
y/+Ln(x+y)+x=0
y(0) = 1

79
y/+(y+tgx)Cosx=0
y(0) = 1
96
xy/ + x2y = Lnx
y(1) = 0

80
y// + xy/ + arctgx = y
y(0) = 1
y/(0) = 1
97
y// +x2y/ - ex = 0
y(0) = 1
y/(0) = 0

81
exy/ + yx2 = ex
y(0) = 1
98
(1 +x)y/ + xey = 1
y(0) = 0

82
y// + arctgx = y/
y(0) = 0
y/(0) = 1
99
y/ = x2y + y3
y(1) = 1

83
xy// + y/ + y = ex
y(1) = 0
y/(1) = e
100
(1 - x)y// + 4xy/ + +y2 = 0
y(0) = 1
y/(0) = 2


1.2.7. Задание 7


Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную значением параметров а, (, (, (, (, на промежутке 0 ( x ( . Требуется:
Выбрать тип функции: MOD(n, 6) + 1.
Составить аналитическое выражение функции на промежутке.
Написать формулу разложения функции в ряд Фурье для заданного периода и заданной четности (нечетности).
Вычислить коэффициенты Фурье, используя программный продукт MATHCAD.
Написать окончательное выражение заданной функции в виде ряда Фурье.
Индивидуальные задания взять из табл.1.7.


2.Примеры выполнения заданий

2.1. Пример 1

Вычислить значение функции y = Ln x в точке x0 = 5,5 с точностью до 0,001.

Известно разложение
13 EMBED Equation.3 1415
Точка x0 интервалу сходимости разложения не принадлежит. Поэтому преобразуем выражение Ln 5,5, используя свойства логарифма, так, чтобы x0/ принадлежала интервалу сходимости разложения.
13 EMBED Equation.3 1415.
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит интервалу (-1, 1), но близка к точке –1, поэтому сходимость ряда будет очень медленной, т.е. понадобится очень много слагаемых для достижения заданной точности. Представим 5,5 как 1,1 ( 5, и постараемся разложить 1/5 на два или больше сомножителей так, чтобы сходимость соответствующих рядов была как можно более быстрая. (Сходимость тем быстрее, чем ближе x0 к нулю).


Таблица 1.7
ТИПЫ ФУНКЦИЙ

Тип
График
Параметры, аналитическая зависимость
Способ продолжения

1
2
3
4




1



а



0
·
·
·
·
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Если 13 EMBED Equation.3 1415 то продолжаем четным образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то продолжаем нечетным образом.





2





а

0
·

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Если 13 EMBED Equation.3 1415 то продолжаем четным образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то продолжаем нечетным образом.

Продолжение табл.1.7
1
2
3
4


3







а




0

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415, функция продолжается четным образом.
13 EMBED Equation.3 1415, функция продолжается нечетным образом.
13 EMBED Equation.3 1415 период функции.



4




а


·


0
·

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 - период.
13 EMBED Equation.3 1415 функция продолжается четным образом.






Продолжение табл.1.7
1
2
3
4


5



а




0
·

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 функция продолжается четным образом.
13 EMBED Equation.3 1415 промежуток, 13 EMBED Equation.3 1415 является периодом.


6


а




·

0
·



13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 -
период
13 EMBED Equation.3 1415 функция продолжается четным образом.



13 EMBED Equation.3 1415
Разложим каждое слагаемое в ряд
13 EMBED Equation.3 1415, (2.1)
13 EMBED Equation.3 1415, (2.2)
13 EMBED Equation.3 1415, (2.3)
13 EMBED Equation.3 1415. (2.4)
Определим, сколько слагаемых надо взять в каждом разложении, чтобы достигнуть заданной точности.
Ряд (2.1) – знакочередующийся ряд лейбницевского типа, поэтому воспользуемся оценкой Лейбница для остатка ряда: |Rn| ( an+1. Первый отброшенный член не должен превосходить 0,001
n = 3 13 EMBED Equation.3 1415
Значит, нам достаточно взять первые два слагаемых.
Ln 1,1 ( 0,1 – 0,5(10-2 = 0,1 – 0,005 = 0,095.
Ряды (2.2) – (2.4) являются знакоотрицательными рядами, поэтому оценкой Лейбница воспользоваться нельзя. Оценим Ln(1 + x) сверху геометрической прогрессией
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.5)
Воспользуемся оценкой (2.5) для рядов (2.2) – (2.4).
Для ряда (2.2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Это верно для n = 10. Следовательно, надо в разложении взять 10 слагаемых для достижения заданной точности 0,001.
13 EMBED Equation.3 1415
Для ряда (2.3) 13 EMBED Equation.3 1415
Неравенство верно для n = 6. Значит, надо взять лишь 6 слагаемых разложения
13 EMBED Equation.3 1415
Для ряда (2.4) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Это верно для n = 8. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415.
Итак,
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом,
1,703 < Ln 5,5 < 1,705.


2.2. Пример 2

Вычислить значение определенного интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,001.
Интеграл J является несобственным. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то положим f(0) = -1.
Разложим подынтегральную функцию в ряд и почленно проинтегрируем
13 EMBED Equation.3 1415
Определим, сколько слагаемых надо взять, чтобы погрешность вычислений не превышала 0,001. Для этого применим метод мажорирования.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Для n = 5 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому берем 5 слагаемых в разложении
13 EMBED Equation.3 1415
-0,5817 < J < -0,5797.


2.3. Пример 3
Вычислить значение определенного интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,001.
Интеграл y является несобственным. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то положим F(0) = 2.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415. Разложим f(x) в степенной ряд
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 - n-ый остаток, допускающий оценку Лагранжа.
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и экспонента достигает максимального значения на правом конце отрезка, то 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Значит,
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415
Оценим 13 EMBED Equation.3 1415 сверху:
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь подберем n так, чтобы
13 EMBED Equation.3 1415
Для этого n будем иметь 13 EMBED Equation.3 1415 и требуемая точность
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Необходимо взять в сумме 9 слагаемых, и необходимая точность будет достигнута.
3. Контрольные вопросы

Что называется функциональным рядом?
Область сходимости функционального ряда.
Ряд Тейлора для функции f(x) по степеням х – а.
Что называется степенным рядом?
Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Оценка остатка функционального ряда.
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
Равномерная сходимость степенного ряда. Теорема Вейерштрасса.
Разложение в ряд основных функций: ex, Cos x, Sin x, Ln(1+x), (1+x)m.
Условия разложимости функций в ряд Тейлора.


Библиографический список

Пискунов Н.И. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. М.: Наука, 1970-1976.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1971.
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высш., шк., 1971.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1978.
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высш. шк., 1966.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы. / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981.
Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высш. шк., 1983.








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NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation 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NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

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