Контрольная работа для юристов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Тольяттинский государственный университет
Факультет математики и информатики
Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»







МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
для заочников

Учебно-методическое пособие









УДК 51
ББК 22.51
И 20
Утверждено Научно-методическим советом
факультета математики и информатики
Тольяттинского государственного университета

Научный редактор:
доктор технических наук, профессор П.Ф. Зибров.

Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор А.А.Викарчук;
доктор педагогических наук, профессор Ю.К. Чернова.



Учебно-методическое пособие содержит программу, необходимые теоретические сведения, методические указания, подробно решенные примеры, контрольные вопросы к каждому модулю и контрольные задания для студентов-заочников. Рекомендовано студентам заочной, очно-заочной и дистанционной форм обучения; может быть использовано преподавателями высшей математики при дополнительной работе над курсом.









ВВЕДЕНИЕ
Преподавание математики в высших учебных заведениях имеет целью:
- формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению;
- обучение основным математическим методам, необходимым для анализа, моделирования и поиска оптимальных решений в процессах, явлениях и устройствах из области будущей деятельности студентов как специалистов.
Задачи преподавания высшей математики состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам действие основных законов природы, общества и техники, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в осуществлении научно-технического прогресса. Необходимо научить студентов приёмам исследования и решения математически формализованных задач, выработать у студентов умение анализировать полученные результаты, привить им навыки самостоятельного изучения литературы по математике и её приложениям.
Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по курсам линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений.
Учебные планы университетов предусматривают выполнение ряда контрольных работ, объём и содержание которых определяются соответствующими программами. В случае необходимости все дополнительные сведения, связанные со спецификой учебных планов данной специальности, сообщаются студентам кафедрами высшей математики дополнительно к настоящему пособию.
1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Требования к выполнению и оформлению контрольных работ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по пособию и по предложенным источникам (см. список рекомендуемой литературы). В пособии даются некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационных пунктах.
Номера вариантов контрольных задач определяются с помощью табл. 1, причем номера контрольных задач 1, 4, 7, 10 и т. д. находятся по первой букве фамилии студента; номера контрольных задач 2, 5, 8, 11 и т. д. находятся по первой букве имени студента; номера контрольных задач 3, 6, 9, 12 и т. д. находятся по первой букве отчества студента.
Таблица I
Буква
А
Б
В
Г
Д
Е,Ё
Ж,З
И
К
Л

№ вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Буква
М
Н,Ю
О,Я
П
Р,Ч
С,Ш
Т,Щ
У
Ф,Э
Х,Ц

№ вар.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20


При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
I. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку синими или черными чернилами. Необходимо оставлять поля шириной 4 - 5 см для замечаний рецензента.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя и отчество студента, название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату её выполнения и подпись студента.
В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать её условие. Если условие задачи имеет общую формулировку, то, переписывая его, следует общие данные заменить конкретными, взятыми из своего варианта. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.
В прорецензированной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Рецензии позволяют студенту судить о степени усвоения соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем. Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.
Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала. В результате студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету или экзамену.
1.2. Чтение учебника
1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.
Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.
Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположения и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях.
4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.
5. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделились и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запоминать формулы, но и может служить постоянным справочником студента.

1.3. Решение задач
Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.
Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.
Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и, по возможности, в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляются числовые значения (если они даны).
Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретными физическим или геометрическим содержанием, то полезно, прежде всего, проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

1.4. Консультации
1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.
В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, в доказательстве теоремы или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.
За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки.


1. Основные теоретические сведения
1. При классическом определении вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415 определяется соотношением 13 EMBED Equation.3 1415. где 13 EMBED Equation.3 1415- число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415- общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы единственно возможны и равновозможны. Относительная частота события 13 EMBED Equation.3 1415 есть 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 число испытаний, в которых событие 13 EMBED Equation.3 1415 наступило, а 13 EMBED Equation.3 1415 общее число произведенных испытаний.
При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
2. Схема испытаний Бернулли (повторение опытов). Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна 13 EMBED Equation.3 1415, событие наступит ровно 13 EMBED Equation.3 1415 раз (безразлично, в какой последовательности), есть
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность того, что событие наступит:
а) менее 13 EMBED Equation.3 1415 раз: 13 EMBED Equation.3 1415,
б) более 13 EMBED Equation.3 1415 раз: 13 EMBED Equation.3 1415,
в) не менее 13 EMBED Equation.3 1415 раз: 13 EMBED Equation.3 1415,
г) не более 13 EMBED Equation.3 1415 раз: 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Если число испытаний 13 EMBED Equation.3 1415 велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в 13 EMBED Equation.3 1415 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна 13 EMBED Equation.3 1415, событие наступит ровно 13 EMBED Equation.3 1415 раз (безразлично, в какой последовательности), выражается приближенным равенством
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415- четная, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415можно считать, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в 13 EMBED Equation.3 1415 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна 13 EMBED Equation.3 1415, событие наступит не менее 13 EMBED Equation.3 1415 раз и не более 13 EMBED Equation.3 1415 раз, выражается приближенным равенством
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 функция Лапласа;13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 полагают что, 13 EMBED Equation.3 1415. Функция Лапласа - четная, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Нормальным распределением называют распределение вероятностей случайной непрерывной величины X, плотность распределения которого имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415- математическое ожидание, а 13 EMBED Equation.3 1415- среднее квадратичное отклонение величины 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность того, что13 EMBED Equation.3 1415 примет значение, принадлежащее интервалу 13 EMBED Equation.3 1415, составляет
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - функция Лапласа.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положи тельного числа 13 EMBED Equation.3 1415, выражается равенством
13 EMBED Equation.3 1415.
5. Если линия регрессии 13 EMBED Equation.3 1415на 13 EMBED Equation.3 1415 - прямая, то корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии 13 EMBED Equation.3 1415на 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
Если данные наблюдения над признаками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- ложный нуль вариант 13 EMBED Equation.3 1415 (в качестве его выгодно принять варианту, расположенную при мерно и центре вариационного ряда и имеющую наибольшую частоту); 13 EMBED Equation.3 1415- шаг, т. е. разность между соседними вариантами 13 EMBED Equation.3 1415. Величины 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 относятся к варианте 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае выборочный коэффициент корреляции
13 EMBED Equation.3 1415.
Величины 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 могут быть найдены либо методом произведений, либо непосредственно по формулам
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Зная эти величины, можно определить входящие в уравнение регрессии значения по формулам
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 5 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 3 мужчины.
Решение. Число всех способов выбора 5 человек из 25 равно 13 EMBED Equation.3 1415, а число способов выбора двух женщин из 5 равно 13 EMBED Equation.3 1415. Каждая такая двойка может сочетаться с каждой тройкой из 20 мужчин. Число таких троек равно 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность составляет
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Слово «лотос», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают одну за другой три буквы. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто»?
Решение. Вероятность появления буквы «с» равна 13 EMBED Equation.3 1415 вероятность появления вслед за ней буквы «т» равна 13 EMBED Equation.3 1415 и, наконец, вероятность появления буквы «o» равна 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,2 может оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 блондином, с вероятностью 0,4 шатеном и с вероятностью 0,1 рыжим. Каковая вероятность того, что среди пяти случайно встреченных лиц; а) не менее четырех блондинов; б) два блондина и три шатена; в) хотя бы один рыжий?
Решение. а) Искомая вероятность есть [см. формулу (1)]
13 EMBED Equation.3 1415.
б) Искомая вероятность есть
13 EMBED Equation.3 1415.
в) Искомая вероятность есть
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что шестерка при этом выпадет 50 раз?
Решение. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле (2) находим искомую вероятность:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей не более 100 потребуют обувь этого размера.
Решение. По условию, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно формуле (3), искомая вероятность есть
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 6. Случайная непрерывная величина 13 EMBED Equation.3 1415 распределена нормально. Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. По формуле (4) получим
13 EMBED Equation.3 1415.

Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем
13 EMBED Equation.3 1415
откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Окончательно находим
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7. Среднее квадратичное отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2; 13 EMBED Equation.3 1415. Найти границы, и которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значения случайной величины.
Решение. По формуле (5) имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем границы интервала:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 8. Найти выборочное уравнение прямой линии 13 EMBED Equation.3 1415 регрессии 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 по данным корреляционной таблицы 1.
Решение. Составим корреляционную таблицу (табл. 2) в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Таблица 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4
9
14
19
24
29
13 EMBED Equation.3 1415

10
20
30
40
50
13 EMBED Equation.3 1415
2
-7
-
-
-
2
3
7
-
-
-
10
-
3
2
1
-
6
-
-
50
10
4
64
-
-
2
6
7
15
-
-
-
-
3
3
5
10
54
17
14
13 EMBED Equation.3 1415=100


Таблица 2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-3
-2
-1
0
1
2
13 EMBED Equation.3 1415

-2
-1
0
1
2
13 EMBED Equation.3 1415
2
-
-
-
-
2
3
7
-
-
-
10
-
3
2
1
-
6
-
-
50
10
4
64
-
-
2
6
7
15
-
-
-
-
3
3
5
10
54
17
14
13 EMBED Equation.3 1415=100

Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 к 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415, для чего составим расчетную таблицу. Суммируя числа последнего столбца табл. 3, получим 13 EMBED Equation.3 1415. Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки: 13 EMBED Equation.3 1415.
Указания к составлению табл. 3. Произведения частоты 13 EMBED Equation.3 1415 на варианту 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, записывают в крайнем верхнем углу клетки, содержащей частоту. Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток данной строки, и их сумму помещают в клетку этой же строки «столбца 13 EMBED Equation.3 1415». Умножают варианту 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 и полученное произведение записывают в соответствующую клетку «столбца 13 EMBED Equation.3 1415». Сложив все числа «столбца 13 EMBED Equation.3 1415», получают сумму 13 EMBED Equation.3 1415, которая равна искомой сумме 13 EMBED Equation.3 1415. Для данной таблицы 13 EMBED Equation.3 1415. Для контроля расчета аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения 13 EMBED Equation.3 1415 записывают в левый нижний угол клетки, содержащей частоту; все числа, помещенные в левый нижних углах одного столбца, складывают и их сумму помещают в «строку 13 EMBED Equation.3 1415». Умножают каждую варианту 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 и результат записывают в клетках последней строки. Сложив все числа последней строки, получают сумму 13 EMBED Equation.3 1415, которая также равна искомой сумме 13 EMBED Equation.3 1415 (в данном случае 72). По формуле (7) найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Далее находим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставив найденные величины в формулу (6), получим
13 EMBED Equation.3 1415,
Или
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Контрольная работа
Задача № 1

Условие

1
Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго стрелка – 0,8; для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все три промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель; 4) хотя бы один стрелок попадет в цель.

2
В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных из каждого ящика вынимают по одному шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного цвета?

3
На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0,8; для второго – 0,9. производительность второго станка втрое больше, чем у первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

4
На пяти карточках написано по одной цифре из набора: 1,2,3,4,5. Наугад выбирают одну за другой две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой?

5
Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали без дефектов; 2) по крайней мере, одна деталь без дефектов?

6
Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово «ракета»?

7
Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.

8
Брошены два одинаковых игральных кубика. Найти вероятность того, что цифра 6 появится хотя бы на одной грани.

9
Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,3; а из второго – 0,4.

10
В урне лежат 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что: 1) три из них – красные; 2)красных шаров вынуто не более трех.

11
В урне 4 белых и 6 чёрных шаров. Из неё вынимают сразу 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

12
В урне 4 белых и 8 чёрных шаров. Из неё вынимаются один за другим два шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов.

13
Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно: 13 EMBED Equation.3 1415
1) Найти вероятность того, что будет ровно два попадания.
2) Найти вероятность хотя бы одного попадания.

14
Из колоды карт, содержащей 32 листа, вынимаются наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один туз.

15
В шкафу находятся 9 однотипных приборов. В начале опыта они все новые (ни разу не бывшие в эксплуатации). Для временной эксплуатации берут наугад три прибора; после эксплуатации и возвращают в шкаф. На вид прибор, бывший в эксплуатации, ничем не отличается от нового. Такого рода операция проводится три раза. Найти вероятность того, что в результате трехкратного выбора и эксплуатации в шкафу останется хотя бы один новый прибор.

16
Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415(независимо от других) является дефектным. Для контроля из продукции завода выбирается наугад 13 EMBED Equation.3 1415 изделий. При осмотре дефект, если он существует, обнаруживается с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность следующих событий:
13 EMBED Equation.3 1415Ни в одном из изделий не обнаружено дефектов13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Среди 10 изделий ровно в двух обнаружен дефект13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Среди 10 изделий не менее чем в двух обнаружен дефект13 EMBED Equation.3 1415

17
По каналу связи передаются 5 сообщений. Каждое из них (независимо от других) с вероятностью 0,1 искажается. Найти вероятности следующих событий:
13 EMBED Equation.3 1415Все сообщения будут переданы без искажения13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Все сообщения будут искажены13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Не менее двух сообщений будет искажено13 EMBED Equation.3 1415

18
Прибор, обладающий надежностью (вероятностью безотказной работы за время 13 EMBED Equation.3 1415 часов) равной 0,9 представляется недостаточно надежным. Для повышения надежности он дублируется еще одним точно таким же работающим прибором. Если первый прибор за время 13 EMBED Equation.3 1415 часов отказал, происходит автоматическое (и безотказное) переключение на дублирующий. Приборы отказывают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что система из двух приборов проработает безотказно время 13 EMBED Equation.3 1415 часов.

19
Сколько нужно поставить дублирующих приборов с той же надежностью 0,8, что и основной, чтобы надежность системы приборов была не ниже заданной величины 0,98?

20
Прибор состоит из 4 блоков, каждый из которых (независимо от других) за время 13 EMBED Equation.3 1415 часов эксплуатации прибора может отказать (выйти из строя). Надежность (вероятность безотказной работы за время 13 EMBED Equation.3 1415 часов) каждого блока равна 0,8. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы прибора в целом. Найти вероятность того, что в течении времени 13 EMBED Equation.3 1415 часов прибор будет работать безотказно.

Задача № 2


Условие

1
Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,1. Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях оно появится: 1) не менее двух раз; 2) хотя бы один раз.

2
Игральную кость подбрасывают три раза. Найти вероятность того, что дважды появится число очков кратное трем.

3
Событие В появится в случае, если событие А появится не менее четырех раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5.

4
Случайно встреченное лицо может оказаться, с вероятностью р=0,2, брюнетом; с р=0,3 – блондином; с р=0,4 – шатеном и с р=0,1 – рыжим. Какова вероятность того, что среди трех случайно встреченных лиц:
1) не менее 2-х брюнетов; 2) один блондин и два шатена; 3) хотя бы один рыжий.

5
Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.

6
В квартире четыре электролампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 13 EMBED Equation.3 1415. Какова вероятность того, что в течении года придется заменить не менее половины лампочек.

7
В ящике имеется по одинаковому числу деталей, изготовленных заводами №1 и №2. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу отобранных деталей, изготовленных заводом №1: 1) две детали; 2) менее двух деталей; 3) более двух деталей.

8
Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из трех телевизоров: 1) не более одного потребует ремонта; 2) хотя бы один не потребует ремонта.

9
В ящике лежат несколько тысяч одинаковых предохранителей. Половина из них изготовлена 1-м заводом, остальные 2-м заводом. Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что 1-м заводом из них изготовлены: 1) два предохранителя; 2) менее двух предохранителей; 3) более 2-х предохранителей.

10
ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равно 0,1. Найти вероятность того, что: 1) из трех проверенных изделий только одно нестандартное; 2) нестандартным будет только третье по порядку проверенное изделие.

11
32 буквы разрезной азбуки смешали между собой. Наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт проводится 25 раз. Событие А состоит в том, что после 25 вынимании мы запишем первую строчку «Евгения Онегина»: «Мой дядя самых честных правил » Найти вероятность данного события.

12
События может передаваться по одному из каналов связи находящихся в различных состояниях: из них 13 EMBED Equation.3 1415 каналов находятся в отличном состоянии, 13 EMBED Equation.3 1415- в хорошем, 13 EMBED Equation.3 1415в посредственном и 13 EMBED Equation.3 1415в плохом состоянии (где: n=13 EMBED Equation.3 1415=12+40+56+24=132). Вероятность правильной передачи сообщения для разного вида каналов равна соответственно: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Для повышения его достоверности сообщение передается по два раза по одному и тому же каналу, который выбирается наугад. Найти вероятность того, что хотя бы один раз оно будет передано правильно.

13
При одном цикле обзора радиолокационной станции (РЛС), объект-корабль – обнаруживается с вероятностью 0,7; при следующем цикле обзора он теряется с вероятностью 0,4. Если при следующем цикле обзора объект-корабль не потерян, то слежение за объектом продолжается, сколько потребуется циклов обзора для того, чтобы с вероятностью не менее 0,95 установить устойчивое слежение за объектом-кораблем?

14
Производится 100 независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,65. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415 гарантировать хотя бы одно появление события А?

15
Прибор состоит из элементов, надежность каждого из которых равна 0,9. Выход из строя любого каждого из элементов равносилен выходу из строя прибора в целом. Не больше какого числа n элементов должно быть в приборе, для того, чтобы надежность прибора не стала меньше 0,94.

16
Имеются три одинаковые на вид урны: в первой – 12 белых шаров и 18 черных шаров; во второй – 24 белых и 4 черных; в третьей – 6 белых шаров. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

17
Прибор может работать в трех режимах: 1) нормальном; 2) форсированном; 3) недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированном – 30% и недогруженном – 10%. Надежность прибора (вероятность безотказной работы в течение данного времени t=500 часов) для нормального режима равна 0,8; для форсированного 0,5; для недогруженного 0,9. Найти полную (с учетом случайности условий) надежность прибора.

18
Имеются две партии однородных деталей. Первая – состоит из N=200 изделий, среди которых n=24 дефектных; вторая – состоит из M=300 изделий, среди которых 34 дефектных. Из первой партии берут случайным образом 15 изделий, из второй – 25 изделий и их смешивают между собой. Из полученной партии изделий берут наугад одно. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие будет дефектным?

19
Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов и может работать в одном из двух режимов: нормальном и неблагоприятном. Нормальный режим наблюдается в 85% случаев эксплуатации прибора, а неблагоприятный – в 15%. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого из узлов в нормальном режиме равна 0,9; а в неблагоприятном 0,6. При выходе из строя (отказе) узла происходит автоматическое безотказное переключение на дублера. Найти полную вероятность безотказной работы прибора.

20
Завод производит изделия, каждое из которых независимо от других с вероятностью 0,1 имеет дефект. В цехе имеется три контролера: изделие осматривается только одним из них (с одинаковой вероятностью 1-м, 2-м, или 3-м). Вероятность обнаружения дефекта, если он имеется, для 1-го, 2-го и 3-го контролеров равна соответственно 0,9; 0,8; 0,7. При обнаружении дефекта изделие бракуется. Если изделие не было забраковано в цехе, то оно отправляется на ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью 0,55. Изделие, дефект которого обнаружен, бракуется. Найти вероятность того, что изделие будет забраковано.


Задача № 3


Условие

1
Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что цифра 1 при этом выпадет 50 раз?

2
Вероятность получения по лотерее безвыиграшного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее 50 и не более 60 безвыигрышных.

3
Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщин (предполагая, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?

4
Вероятность наступления события А в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится в этих испытаниях: 1) ровно 90 раз; 2) не менее 80 и не более 90 раз.

5
Вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75?

6
Игральную кость подбрасывают 320 раз. Какова вероятность того, что цифра 5 при этом выпадет не менее 70 и не более 83раз?

7
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 625 пассажиров и вероятность этого события.

8
При проведении эксперимента монету подбрасывали 4096 раз, причем герб выпал 2068 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?

9
Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и700. Вероятность того появления изделия высшего сорта в партии равна 0,8.

10
Игральный кубик подбросили 125 раз. Какова вероятность того, что цифра 6 появится не более 60 раз?

11
Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одна за другой 3 торпеды. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью 0,8. Каждая попавшая в корабль торпеда с одинаковой вероятностью 0,7 попадает в любой из 6 отсеков подводной части корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идет ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. Найти вероятность того, что корабль будет пущен ко дну.

12
В течение времени t эксплуатируются N=10 приборов. Каждый из приборов имеет надежность 0,8 и выходит из строя независимо от других. Найти вероятность P(A) того, что мастер, вызванный по окончанию времени t для ремонта неисправных приборов, не справиться со своей задачей за время 13 EMBED Equation.3 1415=8 часов, если на ремонт каждого из неисправных приборов ему требуется время 13 EMBED Equation.3 1415=2,5 часа.

13
Производится посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, пользуясь помимо приборов еще и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна 0,8. Если аэродром затянут низкой облачностью, то летчик сажает самолет, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность посадки 0,6. Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надежность (вероятность безотказной работы) 0,98. При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки, вероятность благополучной посадки равна 0,4. Статистика показывает, что в К=25% случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события А={благополучная посадка самолета}.

14
Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,85 для второго 0,6. После стрельбы в мишени обнаружена только одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

15
В партии смешаны изделия 3-х заводов: 13 EMBED Equation.3 1415изделий первого; 13 EMBED Equation.3 1415 изделий второго; 13 EMBED Equation.3 1415 изделий третьего завода. Известно, что вероятность дефекта для изделий 1-го, 2-го, 3-го заводов соответственно равна 0,8; 0,85; 0,9.Если изделие дефектно, то оно не проходит испытания. Взято наугад одно изделие из смешанной партии; оно не прошло испытания. Найти вероятность тог, что это изделие изготовлено 1-м, 2-м, 3-м заводами.

16
Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно статистике P(13 EMBED Equation.3 1415)=0,2; P(13 EMBED Equation.3 1415)=0,4; P(13 EMBED Equation.3 1415)=0,3; P(13 EMBED Equation.3 1415)=0,1; осмотр места катастрофы выявляет, что в ее ходе произошло событие А={воспламенение горючего}. Условные вероятности события А при гипотезах 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 согласно той же статистике, равны: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Найти апостериорные вероятности гипотез: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

17
Объект, за которым ведется наблюдение, может быть в одном из двух состояний: 13 EMBED Equation.3 1415={функционирует} и 13 EMBED Equation.3 1415={не функционирует}. Априорные вероятности этих состояний: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Имеется два источника информации, которые приносят разноречивые сведения о состоянии объекта. Первый источник сообщает, что объект не функционирует, второй – что функционирует. Первый источник вообще дает правильные сведения с вероятностью 0,9, а с вероятностью 0,3 – ошибочные. Второй источник менее надежен: он дает правильные сведения с вероятностью 0,7, а с вероятностью 0,3 – ошибочные. На основе анализа донесения найти новые вероятности гипотез.

18
Испытывается прибор, состоящий из двух узлов: 1 и 2. Надежности (вероятности безотказной работы за время 13 EMBED Equation.3 1415=500 часов) узлов 1 и 2 известны и равны: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени 13 EMBED Equation.3 1415 выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятности гипотез: 13 EMBED Equation.3 1415={неисправен только первый узел}; 13 EMBED Equation.3 1415={неисправен только второй узел}; 13 EMBED Equation.3 1415={неисправны оба узла}.

19
Цех завода производит определенного вида изделия: любое из них, независимо от других, с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415 имеет дефект. Каждое изделие осматривается контролером, который обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415; и не обнаруживает с вероятностью 0,25. Изделие с обнаруженным дефектом бракуется. Кроме того, иногда контролер допускает ошибку и бракует доброкачественное изделие: это происходит с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415. За смену контролер осматривает 400 изделий. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них будет квалифицированно им правильно: или, будучи дефектным, отнесено к доброкачественным, или наоборот (считается, что результаты осмотров отдельных изделии независимы).

20
Происходит воздушный бой между истребителем и бомбардировщиком. Начинает стрельбу истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью 0,2. Если бомбардировщик не сбит, он отвечает истребителю огнем и сбивает его с вероятностью 0,3. Если истребитель не сбит, он продолжает атаку, подходит к бомбардировщику ближе и сбивает его с вероятностью 0,4. Найти вероятности следующих исходов воздушного боя: А={сбит бомбардировщик}; В={сбит истребитель}; С={ни один из самолетов не сбит}.


Задача № 4
Заданы математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415 и среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415 нормально распределенной случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: 1) Вероятность того, что 13 EMBED Equation.3 1415 примет значения, принадлежащие интервалу 13 EMBED Equation.3 1415; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения 13 EMBED Equation.3 1415 окажется меньше 13 EMBED Equation.3 1415.


Исходные данные

1
13 EMBED Equation.3 1415=15
13 EMBED Equation.3 1415=2
13 EMBED Equation.3 1415=16
13 EMBED Equation.3 1415=25
13 EMBED Equation.3 1415=4

2
13 EMBED Equation.3 1415=14
13 EMBED Equation.3 1415=4
13 EMBED Equation.3 1415=18
13 EMBED Equation.3 1415=34
13 EMBED Equation.3 1415=8

3
13 EMBED Equation.3 1415=13
13 EMBED Equation.3 1415=4
13 EMBED Equation.3 1415=15
13 EMBED Equation.3 1415=17
13 EMBED Equation.3 1415=6

4
13 EMBED Equation.3 1415=12
13 EMBED Equation.3 1415=5
13 EMBED Equation.3 1415=17
13 EMBED Equation.3 1415=22
13 EMBED Equation.3 1415=15

5
13 EMBED Equation.3 1415=11
13 EMBED Equation.3 1415=3
13 EMBED Equation.3 1415=17
13 EMBED Equation.3 1415=26
13 EMBED Equation.3 1415=12

6
13 EMBED Equation.3 1415=10
13 EMBED Equation.3 1415=2
13 EMBED Equation.3 1415=11
13 EMBED Equation.3 1415=13
13 EMBED Equation.3 1415=5

7
13 EMBED Equation.3 1415=9
13 EMBED Equation.3 1415=4
13 EMBED Equation.3 1415=15
13 EMBED Equation.3 1415=15
13 EMBED Equation.3 1415=18

8
13 EMBED Equation.3 1415=8
13 EMBED Equation.3 1415=2
13 EMBED Equation.3 1415=6
13 EMBED Equation.3 1415=19
13 EMBED Equation.3 1415=8

9
13 EMBED Equation.3 1415=7
13 EMBED Equation.3 1415=5
13 EMBED Equation.3 1415=2
13 EMBED Equation.3 1415=22
13 EMBED Equation.3 1415=20

10
13 EMBED Equation.3 1415=6
13 EMBED Equation.3 1415=3
13 EMBED Equation.3 1415=0
13 EMBED Equation.3 1415=9
13 EMBED Equation.3 1415=9

11
13 EMBED Equation.3 1415=16
13 EMBED Equation.3 1415=4
13 EMBED Equation.3 1415=14
13 EMBED Equation.3 1415=26
13 EMBED Equation.3 1415=12

12
13 EMBED Equation.3 1415=17
13 EMBED Equation.3 1415=3
13 EMBED Equation.3 1415=12
13 EMBED Equation.3 1415=27
13 EMBED Equation.3 1415=5

13
13 EMBED Equation.3 1415=18
13 EMBED Equation.3 1415=6
13 EMBED Equation.3 1415=13
13 EMBED Equation.3 1415=37
13 EMBED Equation.3 1415=8

14
13 EMBED Equation.3 1415=19
13 EMBED Equation.3 1415=3
13 EMBED Equation.3 1415=9
13 EMBED Equation.3 1415=45
13 EMBED Equation.3 1415=18

15
13 EMBED Equation.3 1415=20
13 EMBED Equation.3 1415=4
13 EMBED Equation.3 1415=19
13 EMBED Equation.3 1415=43
13 EMBED Equation.3 1415=6

16
13 EMBED Equation.3 1415=21
13 EMBED Equation.3 1415=2
13 EMBED Equation.3 1415=20
13 EMBED Equation.3 1415=30
13 EMBED Equation.3 1415=2

17
13 EMBED Equation.3 1415=22
13 EMBED Equation.3 1415=2
13 EMBED Equation.3 1415=21
13 EMBED Equation.3 1415=31
13 EMBED Equation.3 1415=4

18
13 EMBED Equation.3 1415=23
13 EMBED Equation.3 1415=4
13 EMBED Equation.3 1415=22
13 EMBED Equation.3 1415=32
13 EMBED Equation.3 1415=5

19
13 EMBED Equation.3 1415=24
13 EMBED Equation.3 1415=4
13 EMBED Equation.3 1415=23
13 EMBED Equation.3 1415=33
13 EMBED Equation.3 1415=10

20
13 EMBED Equation.3 1415=25
13 EMBED Equation.3 1415=5
13 EMBED Equation.3 1415=24
13 EMBED Equation.3 1415=34
13 EMBED Equation.3 1415=10

Задача № 5
Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана функцией распределения 13 EMBED Equation.3 1415. Найти плотность распределения вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415, математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415, дисперсию 13 EMBED Equation.3 1415, вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

1
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Задача № 6
Найти доверительные интервалы, для оценки математического ожидания 13 EMBED Equation.3 1415 нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю 13 EMBED Equation.3 1415, объем выборки 13 EMBED Equation.3 1415 и среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415.


Исходные данные

1
13 EMBED Equation.3 1415=75,17
13 EMBED Equation.3 1415=6
13 EMBED Equation.3 1415=36

2
13 EMBED Equation.3 1415=75,16
13 EMBED Equation.3 1415=7
13 EMBED Equation.3 1415=49

3
13 EMBED Equation.3 1415=75,15
13 EMBED Equation.3 1415=8
13 EMBED Equation.3 1415=64

4
13 EMBED Equation.3 1415=75,14
13 EMBED Equation.3 1415=9
13 EMBED Equation.3 1415=81

5
13 EMBED Equation.3 1415=75,13
13 EMBED Equation.3 1415=10
13 EMBED Equation.3 1415=100

6
13 EMBED Equation.3 1415=75,12
13 EMBED Equation.3 1415=11
13 EMBED Equation.3 1415=121

7
13 EMBED Equation.3 1415=75,11
13 EMBED Equation.3 1415=12
13 EMBED Equation.3 1415=144

8
13 EMBED Equation.3 1415=75,10
13 EMBED Equation.3 1415=13
13 EMBED Equation.3 1415=169

9
13 EMBED Equation.3 1415=75,09
13 EMBED Equation.3 1415=14
13 EMBED Equation.3 1415=196

10
13 EMBED Equation.3 1415=75,08
13 EMBED Equation.3 1415=15
13 EMBED Equation.3 1415=225

11
13 EMBED Equation.3 1415=75,07
13 EMBED Equation.3 1415=16
13 EMBED Equation.3 1415=256

12
13 EMBED Equation.3 1415=75,06
13 EMBED Equation.3 1415=17
13 EMBED Equation.3 1415=289

13
13 EMBED Equation.3 1415=75,05
13 EMBED Equation.3 1415=18
13 EMBED Equation.3 1415=324

14
13 EMBED Equation.3 1415=75,04
13 EMBED Equation.3 1415=19
13 EMBED Equation.3 1415=361

15
13 EMBED Equation.3 1415=75,03
13 EMBED Equation.3 1415=20
13 EMBED Equation.3 1415=400

16
13 EMBED Equation.3 1415=75,02
13 EMBED Equation.3 1415=21
13 EMBED Equation.3 1415=441

17
13 EMBED Equation.3 1415=75,01
13 EMBED Equation.3 1415=22
13 EMBED Equation.3 1415=484

18
13 EMBED Equation.3 1415=75,00
13 EMBED Equation.3 1415=23
13 EMBED Equation.3 1415=529

19
13 EMBED Equation.3 1415=74,99
13 EMBED Equation.3 1415=24
13 EMBED Equation.3 1415=576

20
13 EMBED Equation.3 1415=74,98
13 EMBED Equation.3 1415=25
13 EMBED Equation.3 1415=625

Задача № 7
Найти выборочное уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415регрессии 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 по данной корреляционной таблице.

Вариант 1

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
5
10
15
20
25
30
13 EMBED Equation.3 1415

45
2
4
-
-
-
-
6

55
-
3
5
-
-
-
8

65
-
-
5
35
5
-
45

75
-
-
2
8
17
-
27

85
-
-
-
4
7
3
14

13 EMBED Equation.3 1415
2
7
12
47
29
3
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 2

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
10
15
20
25
30
35
13 EMBED Equation.3 1415

40
2
4
-
-
-
-
6

50
-
3
7
-
-
-
10

60
-
-
5
30
10
-
45

70
-
-
7
10
8
-
25

80
-
-
-
5
6
3
14

13 EMBED Equation.3 1415
2
7
19
45
24
3
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 3

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
15
20
25
30
35
40
13 EMBED Equation.3 1415

40
4
1
-
-
-
-
5

50
-
6
4
-
-
-
10

60
-
-
2
50
2
-
54

70
-
-
1
9
7
-
17

80
-
-
-
4
3
7
14

13 EMBED Equation.3 1415
4
7
7
63
12
7
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 4

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2
7
12
17
22
27
13 EMBED Equation.3 1415

40
1
5
-
-
-
-
6

50
-
5
3
-
-
-
8

60
-
-
3
40
12
-
55

70
-
-
2
10
5
-
17

80
-
-
-
3
4
7
14

13 EMBED Equation.3 1415
1
10
8
53
21
7
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 5

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
5
10
15
20
25
30
13 EMBED Equation.3 1415

10
3
5
-
-
-
-
8

20
-
4
4
-
-
-
8

30
-
-
7
35
8
-
50

40
-
-
2
10
8
-
20

50
-
-
-
5
6
3
14

13 EMBED Equation.3 1415
3
9
13
50
22
3
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 6

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
12
17
22
27
32
37
13 EMBED Equation.3 1415

25
2
4
-
-
-
-
6

35
-
6
3
-
-
-
9

45
-
-
6
35
4
-
45

55
-
-
2
8
6
-
16

65
-
-
-
14
7
3
24

13 EMBED Equation.3 1415
2
10
11
57
17
3
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 7

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
15
20
25
30
35
40
13 EMBED Equation.3 1415

25
3
4
-
-
-
-
7

35
-
6
3
-
-
-
9

45
-
-
6
35
2
-
43

55
-
-
12
8
6
-
26

65
-
-
-
4
7
4
15

13 EMBED Equation.3 1415
3
10
21
47
15
4
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 8

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4
9
14
19
24
29
13 EMBED Equation.3 1415

30
3
3
-
-
-
-
6

40
-
5
4
-
-
-
9

50
-
-
40
2
8
-
50

60
-
-
5
10
6
-
21

70
-
-
-
4
7
3
14

13 EMBED Equation.3 1415
3
8
49
16
21
3
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 9

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
10
15
20
25
30
35
13 EMBED Equation.3 1415

20
5
1
-
-
-
-
6

30
-
6
2
-
-
-
8

40
-
-
5
40
5
-
50

50
-
-
2
8
7
-
17

60
-
-
-
4
7
8
19

13 EMBED Equation.3 1415
5
7
9
52
19
8
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 10

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
5
10
15
20
25
30
13 EMBED Equation.3 1415

30
2
6
-
-
-
-
8

40
-
5
3
-
-
-
8

50
-
-
7
40
2
-
49

60
-
-
4
9
6
-
19

70
-
-
-
4
7
5
16

13 EMBED Equation.3 1415
2
11
14
53
15
5
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 11

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
5
10
15
20
25
30
13 EMBED Equation.3 1415

35
3
2
-
-
-
-
5

45
-
5
3
-
-
-
8

55
-
-
6
36
3
-
45

65
-
-
8
2
10
-
20

75
-
-
-
1
15
6
22

13 EMBED Equation.3 1415
3
7
17
39
28
6
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 12

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
10
15
20
25
30
35
13 EMBED Equation.3 1415

50
2
4
-
-
-
-
6

60
-
3
7
-
-
-
10

70
-
-
5
36
4
-
45

80
-
-
7
4
14
-
25

90
-
-
-
5
3
6
14

13 EMBED Equation.3 1415
2
7
19
45
21
6
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 13

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
15
20
25
30
35
40
13 EMBED Equation.3 1415

55
4
1
-
-
-
-
5

65
-
6
4
-
-
-
10

75
-
-
2
50
2
-
54

85
-
-
1
9
7
-
17

95
-
-
-
4
3
7
14

13 EMBED Equation.3 1415
4
7
7
63
12
7
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 14

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
7
12
17
22
27
32
13 EMBED Equation.3 1415

60
1
5
-
-
-
-
6

70
-
5
3
-
-
-
8

80
-
-
3
40
12
-
55

90
-
-
2
10
5
-
17

100
-
-
-
3
4
7
14

13 EMBED Equation.3 1415
1
10
8
53
21
7
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 15

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
10
15
20
25
30
35
13 EMBED Equation.3 1415

65
3
5
-
-
-
-
8

75
-
4
4
-
-
-
8

85
-
-
7
35
8
-
50

95
-
-
2
10
8
-
20

105
-
-
-
5
6
3
14

13 EMBED Equation.3 1415
3
9
13
50
22
3
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 16

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
17
22
27
32
37
42
13 EMBED Equation.3 1415

75
2
4
-
-
-
-
6

85
-
6
3
-
-
-
9

95
-
-
6
35
4
-
45

105
-
-
2
8
6
-
16

115
-
-
-
14
7
3
24

13 EMBED Equation.3 1415
2
10
11
57
17
3
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 17

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
20
25
30
35
40
45
13 EMBED Equation.3 1415

80
3
4
-
-
-
-
7

90
-
6
3
-
-
-
9

100
-
-
6
35
2
-
43

110
-
-
12
8
6
-
26

120
-
-
-
4
7
4
15

13 EMBED Equation.3 1415
3
10
21
47
15
4
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 18

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
9
14
19
24
29
34
13 EMBED Equation.3 1415

85
3
3
-
-
-
-
6

95
-
5
4
-
-
-
9

105
-
-
40
2
8
-
50

115
-
-
5
10
6
-
21

125
-
-
-
4
7
3
14

13 EMBED Equation.3 1415
3
8
49
16
21
3
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 19

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
10
15
20
25
30
35
13 EMBED Equation.3 1415

90
2
6
-
-
-
-
8

100
-
5
3
-
-
-
8

110
-
-
7
40
2
-
49

120
-
-
4
9
6
-
19

130
-
-
-
4
7
5
16

13 EMBED Equation.3 1415
2
11
14
53
15
5
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 20

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
15
20
25
30
35
40
13 EMBED Equation.3 1415

95
5
1
-
-
-
-
6

105
-
6
2
-
-
-
8

115
-
-
5
40
5
-
50

125
-
-
2
8
7
-
17

135
-
-
-
4
7
8
19

13 EMBED Equation.3 1415
5
7
9
52
19
8
13 EMBED Equation.3 1415


4. Вопросы к экзамену

Дайте классическое определение вероятности. В чём состоит различие между вероятностью и относительной частотой?
Дайте определение суммы событий. Докажите теорему о сложении вероятностей несовместных событий.
Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы об умножении для независимых и зависимых событий.
Докажите формулу Бернулли.
Сформулируйте локальную теорему Лапласа. Когда применяется эта теорема?
Докажите формулу полной вероятности.
Докажите формулу Бейеса.
Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины и перечислите его свойства.
Докажите теорему о математическом ожидании произведения дискретной случайной величины на постоянную.
Докажите теорему о произведении независимых дискретных случайных величин.
Дайте определение дисперсии дискретной случайной величины и перечислите её свойства.
Докажите теорему о дисперсии произведения дискретной случайной величины на постоянную.
Докажите теорему о дисперсии суммы независимых дискретных случайных величин.
Дайте определение среднего квадратического отклонения и укажите его преимущества по сравнению с дисперсией.
Дайте определение интегральной функции и докажите её свойства.
Дайте определение дифференциальной функции и докажите её свойства.
Напишите дифференциальную функцию нормального распределения. Какими параметрами определяется нормальное распределение, каков их вероятностный смысл?
Выведите формулу для вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал. Выведите правило трёх сигм.
Дайте определение интегральной и дифференциальной функции двумерной непрерывной случайной величины. Как найти вероятность попадания двумерной непрерывной случайной величины в заданную область?
Какие оценки называют точечными и какие интервальными? Как найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью 0,95?









13PAGE 15


13PAGE 143515


























































































































(5)

(7)

(6)

(4)













(3)

(2)






























































































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 15230547
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий