paket_zadaniy_dlya_studentov_2_kurs_axiomaticheskiy_podkhod

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦА ТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ТЕМА 1. ТЕОРЕТИКО-МН ОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ ДЕЙСТВИЙ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫ МИ ЧИСЛАМИ Решите задач у и обоснуйте выбор действия, используя терминологию: а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе матем атики. 1.1. Девочка принесла в одном пакете 15 морковок, а в другом — 21. Она раздала их поровну 9 кроликам. Поскольку морковок она д ала каждому кролику? 1.2. Для школьного сада п ривезли 24 саженца яблонь и 6 саженцев груш. Их посадили поровну в 6 рядов. Сколько саженцев посадили в каждом ряду? 1.3. В школе в трех аквариумах было в каждом по 16 рыбок. 20 рыбок школьники подарили детскому саду. Сколько рыбок осталось? 1.4. В первы й раз в лыжном походе участвовали 12 учеников, во второй — в 2 раза больше, чем в первый, а в третий — на 3 человека мень ше, чем во второй. Сколько учеников участвовали в походе в третий раз? 1.5. В мебел ьный магазин привезли 500 книжных полок. 30 покупателей купили по 4 полки и 20 покупателей по 8 полок. Сколько полок остал ось? 1.6. В среду в библиотеке побывало 75 человек, в четверг— на 25 человек меньше, а в пятницу — в 2 раза больше, чем в четверг. Скольк о человек побывало в библиотеке в эти три дн я? 1.7. Миша нашел 12 грибов, а Коля — на 4 меньше, чем Миша. Таня нашла в 2 раза больше грибов, чем Коля. Ско лько всего грибов нашли дети? 1.8. Миша нашел 8 грибов, а Коля— на 4 больше, чем Миша. Таня нашла в 2 раза меньше грибов, чем Коля. На сколько меньше грибов нашла Таня по сравнению с Колей? 1.9. Миша на шел 5 грибов, а Коля — в 2 раза больше, чем Миша. Таня нашла на 3 гриба меньше, чем Коля. Сколько всего грибов нашли дети? 1.10. Миша нашел 12 грибов, а Коля— в 3 раза меньше, чем Миша. Таня нашла на 2 гриба б ольше, чем Коля. Во сколько раз больше оказалось грибов у Миши, чем у Тани? Методические реко мендации Одно из наибол ее важных умений, которыми должен владеть учащийся начальных классов, - э то правильно выбирать арифметическое действие при решении задачи и обосновывать свой выбор. Поэтому учите лю необходимы знания теоретических основ вы бора действия, в частности с использованием теоретико-множественных по нятий. В контрольной ра боте выделены два типа задач, с помощью которых проверяется умение обосновывать выбор действия на тео ретико- множественной основе. К первому относ ятся задачи, при решении которых сначала выясняет ся, какие множества и операции над ними рассматриваются в условии, а зате м используются правила: — число элемент ов объединения непересекающихся множеств находят с помощью сложения, а если объед иняются равночисленные множества, то с помощ ью умножения; — число элементо в в дополнении подмножества до данного множества находят с помощью вычитания; — число элементо в в каждом из равночисленных подмножеств разбиения данного множества или число подмножеств такого разби ения находят с помощью деления. Ко второму тип у задач относятся те, в которых обоснование выбора действия требует знания теоретико-множественного смыс ла отношений "столько же", "больше (меньше) на", "бо льше (меньше) в". В этом случае, прежде чем обосн овать выбор действия, надо выяснить, о каких множествах идет речь в задаче и какие отношения между их численнос тями рассматриваются. Для решения зад ач данной темы необходимо знать: — теоретико-множественный смысл сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел; — теоретико-множественный смысл отношений "больше (меньше) на", "больше (меньше) в ". уметь: — обосновывать выбор действий при решении простых задач, пользуясь теорети ко- множественной терминологией; — излагать данное обоснование на языке школьной математики. Образец выполнения задания Задача 1. Для ш кольного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном участке дети посадили 6 саженцев, а на другом — все остальные, пор овну в 3 ряда. Сколько саженцев посадили в кажд ом ряду? Решение. Зада ча в два действия. Сначала узнаем, сколько саженцев посадили на другом участке (24— 6= 18), а затем — сколько их оказалось на это м участке в каждом ряду (18:3 =6). Обоснуем выбор этих действий. Теоретико- множестве нное обоснование В задаче рассматривается множество ( X ), в котором 24 элемента. Из этого множества выделены два подмножества , причем известно, что в Обоснование с использованием шк ольной терминологии Имеется 24 саженц а. Их посадили на двух участках, причем на одном — 6 саженцев, а на другом — остальные. Чтобы узнать, сколько саженцев на одном из них (А) содержится 6 элементов. Так как второе множество (В) является дополнением множества А до множества X , то число его элементов находят вычитанием: 24-6=18 Далее множест во В разбивается на 3 равночисленных подмножества. Число элем ентов в каждом таком подмножестве находят де лением: 18:3=6. втором участке, из их общего числа надо вычесть 6 саженцев первого уч астка: 24— 6== 18 (саженцев). Эти 18 саженцев посадили поровну в три ряда. Поэтому число саженцев в к аждом ряду можно найти, разделив 18 наЗ: 18:3=6 (саженцев). Задача 2. В первый раз в лыж ном походе участвовали 42 ученика, во второй — на 9 человек больше, а в трети й — в 2 раза больше, чем во второй. Сколько человек участвовали в походе в т ретий раз? Решение. Зада ча в два действия. Вначале узнаем, сколько человек участвовали в лыжном походе во второй раз (42-(-9 == 51), а затем — сколько в третий (51-2= 102). Обоснуем выбор этих действ ий. Теоретико- множествен ное обоснование В задаче ид ет речь о трех множествах учащихся, участвовавших в лыжных походах. Известно, что в первом множестве (А) 42 элемента; число э лементов второго множества (В) неизвестно, но сказано, что в нем на 9 элементов больше, чем в первом, т. е. столько же, сколько в первом, и еще 9. Таким образом, множество В является объединением д вух множеств, содержащих соответственно 42 и 9 элементов. Поэтому число элементов множества В ходят сложением: 42+9=51. Число элементов т ретьего множества (С) также неизвестно, но ска зано, что в нем в 2 раза больше элементов, чем во втор ом, т. е. оно является Обоснование с использованием шк ольной терминологии Было три похода . В первом принимали участие 42 учащихся, во втором — на 9 чел. больше, т. е. столько же, сколько в первый раз, и еще 9 чел. Значит, число участников второго похода находят сложением: 42+9=51 (че л.) В третий раз уча стников было в 2 раза больше, чем во втором похо де, т. е. 2 раза по 51. Но это число находят умножением: 51* 2 = 102 (чел) объединением двух множеств, к аждое из которых со держит столько же элементов, сколько их в множестве В. Поэтому число элементов в множестве С находят при помощи умножения: 51 * 2=102 ТЕМА 2. СМЫСЛ ДЕ ЙСТВИЙ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ вЂ” РЕЗУЛЬТАТАМ И ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИН Решите задачу и обоснуйте выбор действий. 2.1. В понед ельник со склада вывезли 63 т угля, во вторник— на 27 т меньше, чем в понедельник, а в среду — в 3 раза меньше, чем в понедельник. Сколько тонн угля вывезли со склад а за эти три дня? 2.2. Турист проплыл на пароходе 131 км, а на поезде проехал в 3 раза больше, чем на пароходе. Остальной путь он прошел пешк ом. Сколько километров прошел турист пешко м, если весь путь составляет 560 км? ': 2.3. В три ва гона погрузили 100 т угля. В первый погрузили 18 т, во второй — в 3 раза больше, чем в первый. Сколько тонн угля погрузили в третий вагон? 2.4. В детско м саду за неделю израсходовали 60 кг муки. 4 дня расходовали по 12 кг в день, а остальную муку поровну в следующие 3 дня. С колько килограммов муки расходовалось еже дневно в последние дни недели? 2.5. Из куска материи дли ной 24 м закройщица скроила 3 женских платья и 3 детских. На каждое детское платье пошло по 3 м материи. Сколько метров материи пошло на каждое женское платье? 2.6. Колхоз о тправил для продажи 100 кг яблок. Сначала упаковали 12 ящиков по 6 кг в каждом, а затем несколько ящиков по 4 кг ябл ок. Сколько ящиков меньшего размера потребо валось? 2.7. Для стол овой получили 24 кг муки в 8 одинаковых пакетах. За день израсходовали 5 таких пакетов. Сколько килограммов муки осталось в столовой? 2.8. Отрезок состоит из трех частей. Длина первой части отрезка 8 см, длина второй в 2 раза меньше, чем первой, а третьей — на 16 с м больше второй. Какова длина всего отрезка? 2.9. В куске было 32 м ткани. От него отрезали одному покупателю 6 м ткани, а другому — в 2 раза больше, чем первому. Сколько ме тров ткани осталось в куске? 2.10. Доярка надоила за день 174 л молока: 6 ко ров дали по 20 л, а остальные — по 18л. Сколько коров доила доярка? Методические рекомендации Чтобы обосно вать выбор действия при решении задачи, в которой рассматриваются различные величины и отношения между ними, не обходимо: знать: уметь: — смысл сложения, вычита ния, — обосновывать выбор действия при умножения и деления целых ре шении простых задач., в которых неотрицатель ных чисел, рассматриваются величины, являющихся з начениями величин; отношения между ними, а также — смысл отношений "равно", производятся различные операции., "больше (меньше) на", "больше (меньше) в" для чисел — значений величин Образец выполнен ия задания Задача. Железнодо рожный мост имеет три пролета. Длина первого — 50 м. Второй пролет на 23 м дли ннее первого, а третий — в 2 раза короче первого. Найдите длину моста. Решение. Задача в три действия. Сначала находят длину второго пролета: 50+23=73 (м), затем длину третьего: 50:2=25 (м) и, наконец, длину моста, состоящего из трех пролетов: 50+73+25== 148 (м). Обоснуем выбор этих действий. Здесь речь идет о длинах трех пролетов моста и о всей его длине. Известно, что длина перво го пролета — 50 м. Длина второго неизвестна, но сказано, что второй пролет на 23 м длиннее первого, т. е. он состоит из дв ух частей — одна -длиной 50 м, другая — 23 м, и, чтобы найти длину второго прол ета, достаточно сложить числовые значения длин эт их частей: 50+23 ==73 (м). Длина третьего пролета также неизвестна, но сказано, что он в 2 раза короче первого, т. е. составляет половину первого, и, чтобы найти длину третьего пролета, достаточно длину первого разделить на 2: 50:2=25 (м). Длину моста, со стоящего из трех пролетов, находят, сложив их числовые значения: 50+73+25== 148 (м). ТЕМА 3. СВОЙСТ ВА ДЕЙСТВИЙ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИ СЛАМИ 3.1. Запишите ассоциативный закон сложения целых неотрицательн ых чисел и объясните, какие преобразования вы ражений возможны на его основе. Укажите все слу чаи использования коммутативного и ассоциативного законов сложения при нахождении значения выражения: а) 209+66+91+34+72; б) (2751+3467)+749+1333. 3.2. Запишите ассоциативный закон у множения целых неотрицательных чисел и объ ясните, какие преобразования выражений возможны на его основе. Вычислите раци ональным способом значение выражения, применяя законы умножения: а) 4*747*25*6; б) (8 *379)* 125. Укажите все случаи ис пользования законов умножения. 3.3. Запишите дистрибутивный закон умножения целых неотрицательных чисел отн осительно сложения и объясните какие преобразования числовых выражений возможны на его основе. Вычислите рационал ьным способом значение выражения, применяя законы умножения: а)4*8*3*25*125; б) 349 *23+56* 349+349 * 21. Укажите все слу чаи использования законов умножения при вычислении значений данных вы ражений. 3.4. Укажите все случаи использова ния законов умножения целых неотрицательных ч исел при вычислении значения выражения: 25* 13 *8*4*250=25*8*13*250*4= (25 * 8) * 13 * (250 * 4)= 200*13 *10 0=(200*13) * 1000=2600*1000=2 600 000. 3.5. Укажите все случаи использован ия законов сложения и умножения целых неотр ицательных чисел при вычислении значения выражения: 569 * 371 + 170 * 569 + 569 * 459 = 569 * 371 + 569 * 170 +569*459=569* (371+170+459)=569* (371+459+170)=569 * ((371 + 459) + 170) = 569 * (830 + 170) = 569* 1000 = 569 000. 3.6. Значение выражения 28*15 может быт ь найдено различными способами: а) 28*15=28 * (3*5)=(28*3) *5=84*5=420; б) 28*15=28* (5*3)=(28*5) *3 =140*3=420; в) 28 • 15 =28 * (10+5)=28 * 10+28*5 =280+140 =420. Дайте обоснование этим с пособам вычислений и укажите среди них наиболее рациональный. 3.7. Значение выражения 37 * 12 может быть найдено различн ыми способами: а) 37*12=37* (3 * 4)=(37 * 3) * 4= 111 * 4=444; б) 37* 12=37* (4 * 3)=(37 * 4) *3=148*3=444; в) 37 *12=37*(10+2)=37* 10+37*2=370+74=444. Дайте обоснование этим способам выч ислений и укажите среди них рациональный. 3.8. Вычислите рациональным способ ом значение выражения и укажите все случаи испо льзования при этом законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел: а) 3269+59+891; б) 32*(13*125). 3.9. Вычислите рациональным способ ом значение выражения и при этом укажите все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел: а) 4523+(3788+1477); б)211* 8 * 9 * 125. 3.10. Вычислите рациональным спо собом значение выражения и при этом укажите все случ аи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел: а) 3456+1770+2544; б) 125 * 479 * 8 * 9. Методические реко мендации Среди различ ных задач этой темы можно выделить два основных типа. К первому относятся задания, в которых выполнены тождест венные преобразования выражений и требуется дать им обоснование. Их решение сводится к ан ализу каждого шага выполненных преобразований и указанию его теоретической основы. Ко второму типу заданий относятся те, в которых требуется отыскать рациональный способ нахождения значения данного выражения и дать ему обоснование. Для решения за дач данной темы необходимо знать: -законы сложения целых неотрицательны х чисел, их назначение в преобразованиях числ овых выражений уметь: - рациональн о выполнять и обосновывать вычисления с целыми неотрицательными ч ислами; - выбирать из различных преобразований выражений наиболее рациональное. Образец выполнения задания Задача 1. Укажите в се случаи использования законов сложения целых неотрицательных чисел при вычислении значения выражен ия: 399+ 138+473=399+473+138==399+(1+472)+138=(399+1)+(472+138)=400+610=1010. Решение. Перех од от выражения 399+138+473 к выражению 399+473+138 осуществлен на основании коммутатив ного закона сложения. Следующее тождественн ое преобразование — представление числа 473 в виде суммы 1 +472 — возможно в силу единственности суммы двух данных чи сел. Замена выражения 399+(1 +472)+138 выражением (399+1)+(472+138) осущес твлена на основе ассоциативного закона слож ения. Задача 2. Вычисли те значение выражения 125*15 * 6 * 8 рациональным способом и укажите все случаи и спользования законов сложения и умножения. Решение. На осно вании коммутативного закона умножения переставим местами множители 15 и 6: 125 * 15 * 6 * 8=125 * 6 * 15 * 8. На основании ассоциативного закона умнож ения выделим в полученном произведении груп пы по два множителя: 125 * 6 * 15 * 8 = (125 * 6) * (15 * 8). Произведем умножение чисел в скобках: (125 * 6) * (15*8) ==750 * 120. Чтобы найти произведение 750*120, представим 750 в виде суммы двух слагаемых 700 и 50: 750*120 = (700+50) * 120. Согласно дистриб утивному закону умножения относительно сложения умножим каждое слагаемое на 120: (700 + 50)* 120 = 700 * 120+50 * 120. Далее произведем вычисления и п олучим: 700 *120+50* 120 =84 000+6 000 =90 000. Значение выра жения 125 * 156 * 8 можно найти иначе: 125 * 15х6 * 8=125 * (15 * 6) * 8=125 *90* 8=125 * 8 * 90=(125 * 8) * 90=1000 * 90=90000. В данном случае при выполнении преобразований были использованы: — ассоциативный закон умножения (т. е. сначала выделен ы группы множителей 15*6, затем 125*8); — коммутативный з акон умножения (т. е. переставлены множители 90 и 8). Из приведенных способов нахождения значения выражени я 125 * 15 * 6 * 8, очевидно, наиболее ра циональным является второй (т. к. он короче и проще промежуточные вычисле ния). ТЕМА 4. СВОЙСТВА СЛО ЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТ ИКИ Задачи 4.1— 4.10 вз яты из учебников математики для начальных классов. Дайте обоснование приведенных в них преобразований, ис пользуя язык вузовского и начального курсов мате матики. 4.1. Объясните решение: 36+7==36+(4+3)==(36+4)+3=43. 4.2. Объясн ите, как выполнено сложение двузначных чисел: 3 2+46=(3 0+2)+(40+6)=(3 0+40)+(2+6)=70+8=78. 4.3. Объясните способ ре шения примера: 250 + 30 = (200 + 50) + 30 = 200 + (50 + 30) = 200 + 80 = 280. 4.4. Объясните решение: 27+18=27+(3+15)=(27+3)+15=45. Как иначе можно р ешить этот пример? 4.5. Объясните решение примера: 430 + 260 = 430 + (200 + 60) = (430 + 200) + 60 = 630 + 60 = 690. 4.6. Почему верно следующее равенство: 3+(9+27)=30+9? Объясните. 4.7. Объясн ите, как можно умножить двузначное число на однозначное: 23.4 = (20+3) * 4=20 * 4+3 * 4=80+12=92. 4.8. Объясн ите решение примера: 5*14=5* (10+4)=5 * 10+5 * 4=70. 4.9. Объясните прием выч исления: 426 * 3=(400+20+ 6) * 3=400 * 3+20 * 3+6 * 3 =1200+60+18=1278. 4.10. Объясните разные способы решения: а) 15* (4*3)=15*12=180; б) 15* (4*3)=(15*4) *3=180; в) 15* (4 *3)=(15* 3) * 4=45 * 4=180. Методические рек омендации В начальном к урсе математики свойства действий над целыми неотрицательными числами либо изучаются в явном виде (п ереместительные законы сложения и умножения ), либо неявно используются в различных правил ах (прибавление числа к сумме, суммы к числу, умножение числа на сумму и др.). В связи с этим учителю необходимо видеть разн ые уровни использования свойств действий на д числами, уметь устанавливать взаимосвязи м ежду школьным и вузовским курсами математики в области изучения (и использования) этих свойств. Для решения зад ач данной темы необходимо знать свойства действий над числами и уметь об основывать проводимые преобразования, используя язык вузовского и начального курсов математики. Образец выпо лнения задания Задача. Объясните ре шение примера: 35+21=(30+15)+(20+1)=(30+20)+(5+1)=56. Решение. Дадим обо снование приведенным преобразованиям на языке вузовского курса математики 1. Переход от выражения 35+21 к тождественно равному выражению (30+5)+(20+1) осуществлен на основе спос оба записи чисел в десятичной системе счисления. 2. Замена выражения (30+5)+(20 + 1) основе представления выражением (30 +20) +(5 + 1) осуществлена на осно ве коммутативного и ассоциативного з аконов сложения. Действительно, (30+5)+(20+1)= ассоц. 30+5+20 +1 = коммут. 30+20+5+1 ассц. (30+20) + (5+1) = 50+6=56 начального курса математик и Переход от выражен ия 35+21 к тождественно равному выражению (30+5)+(20+1) выполнен на основе представл ения чисел 35 и 21 в виде суммы разрядных слагаемых. 2. Замена выражения (30+5) + (20+1) выра жением (30+20) + (5+1) выполнена на основе правила прибавления суммы к сумме. ТЕМА 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВ ОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ Решите задач у различными арифметическими способами. Выбор действий обоснуйте. Установите, какое свойств о (правило) является обобщением приведенных с пособов решения данной задачи, и докажите его. 5.1. В куске было 32 м ткани. От него отрезали сначала 6 м, а затем еще 8 м ткани. Сколько метров ткани осталось в куске? 5.2. На това рную станцию прибыло 2 состава с мукой. В одном из них было 37 вагонов, а в другом— 41. Разгрузили 34 вагона. Сколько ваго нов с мукой осталось разгрузить? 5.3. Мешок с ахарного песка имеет массу 80 кг. До обеденного перерыва в магазине продали 3 мешка сахарного песка, а после переры ва — 5 таких мешков. Сколько килограммов сах арного песка продали за весь день? 5.4. В баке м ашины 96 л бензина. За каждый час работы расходуется 12 л. Сколько часов работала машина, если в баке осталось 36 л бензин а? 5.5. На скла де было 706 мешков муки. Сначала на хлебозавод отправили 138 мешков, а затем еще 354. Сколько мешков муки осталось на складе? 5.6. В одном куске было 24 м ткани, а в другом — на 8 м меньше. Из всей этой ткани сшили несколько одинаковых платьев, расходу я на каждое по 4 м. Сколько сшили платьев? 5.7. Учащиес я одного класса посадили 4 ряда яблонь по 3 в каждом, а учащиеся другого — 4 ряда по 5 в каждом. Сколько всего ябл онь посадили учащиеся двух классов? 5.8. В магаз ин привезли 12 ящиков с яблоками по 8 кг в каждом. До обеденного перерыва было продано 9 ящиков. Сколько килог раммов яблок осталось продать после обеден ного перерыва? 5.9. В бензобаке машины было 24 л бензи на. При заправке добавили еще 22 л. За день изра сходовали 18 л бензина. Сколько литров бензина осталось в баке? 5.10. В ящики, каждый из которых вмеща ет по 6 кг фруктов, разложили 36 кг яблок и 24 кг груш. С колько всего потребовалось ящиков? Методические реко мендации Для решения задач д анной темы необходимо знать: уметь: - дистрибутивные законы умножения относительно сложения и вычитания; - доказывать законы и правила, используя определения арифметических действий в аксиоматической теории - правила вычитания числа и з суммы и суммы из числа ; целого неотрицательного числа - правила деления суммы и разности на число.

Приложенные файлы

  • rtf 18413222
    Размер файла: 221 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий