Metod_momentov_Bilet_7 (1)


Метод моментов (ММ)
Введём сначала следующие определения:
Определение 9. Начальный момент порядка k случайной величины  определяется равенством: k = M(k).
В частности, 1 = M() – обычное мат. ожидание,  2 = M(2).
Определение 10. Центральный момент порядка k случайной величины  определяется равенством: k = M((–M)k).
В частности,  2 = D() – дисперсия случайной величины.
Эти моменты называют теоретическими. По данным наблюдений можно вычислить соответствующие эмпирические моменты:
Определение 11. Начальный эмпирический момент порядка k случайной величины  определяется равенством     
В частности,  – выборочное среднее.
Определение 12. Центральный эмпирический момент порядка k случайной величины  определяется равенством:  
В частности, – выборочная дисперсия.
Метод моментов построения точечных оценок неизвестных параметров состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же распределения.
Пусть даны: случайная величина ξ, выборка объема n x1, x2,…, xn. Необходимо построить оценки неизвестных параметров *1,*2,…,*k. Описание метода моментов (ММ) разобьём на этапы:
1.  Выписываем первые к моментов μ1, μ2, … μn
2. Вычисляем по выборке соответствующие им эмпирические ( выборочные) моменты .
3. Составляем систему уравнений  μi = mi и решаем ее относительно неизвестных параметров.
 
Замечание 1.  Иногда вместо начальных моментов μi, mi  удобно использовать центральные моменты αi, ai.
Замечание 2. Если на третьем этапе получилась неразрешимая  система, то на первом шаге надо добавить новые моменты.
Найдем методом моментов оценки параметров нескольких важнейших распределений.
 
2.2.1 Экспоненциальное распределение
Т.к. здесь один неизвестный параметр  (к = 1), требуется всего одно уравнение
1. Теоретический момент μ1 = Mξ = 1 / 
2. Выборочный момент m1 = 
3. Приравниваем 1/ =  =>  
В данном случае  ММП и ММ дают одну и ту же оценку, это бывает часто.
 
2.2.2 Биномиальное распределение
У этого распределения два параметра: n (количество испытаний) и  p (вероятность успеха в одном испытании), =>к=2.
1. Мы знаем, что для биномиального распределения μ1 = Mξ = np;
В соответствии с Замечанием 2 мы для второго уравнения используем второй центральный момент: α2 = Dξ = npq= np(1–p)
2. Соответствующие эмпирические моменты
m1 =,  
3. Составляем систему уравнений
np= и S2=np(1–p)  =>  (17)
 

Приложенные файлы

  • docx 18356885
    Размер файла: 21 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий