Mnozhestvo_1modul

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АВТОНОМНОЙ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ
РВУЗ «КРЫМСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (Г. ЯЛТА)





ГЛУЗМАН Н.А.



НАЧАЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

Модуль 1. Множества
Модуль 2. Математические утверждения и их структура
Модуль 3. Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел
Модуль 4. Геометрические фигуры и величины










Ялта, 2008
УДК
ББК


Печатается по решению ученого совета Крымского гуманитарного университета от ___ 2008 (протокол №___)





Глузман Н.А. Начальный курс математики: Учебное пособие по изучению курса „Математика” – Ялта: Редакционно-издательский центр КГУ, 2008. - 311 с.


Рецензенты:
Яковец В.П. – доктор физико-математических наук, профессор, зав.кафедрой высшей математики Нежинского государственного университета им.Н.В.Гоголя
Игнатенко Н.Я. –доктор педагогических наук, профессор, заслуженный работник образования Украины, первый проректор РВУЗ „Крымский гуманитарный университет (г. Ялта)




В учебном пособии изложены теоретические основы начального курса математики. Профессионально–педагогическая направленность учебного пособия обеспечивается за счет отбора теоретического материала и методических подходов к его изложению.
Учебное пособие адресовано преподавателям математики педагогических факультетов по специальности: «Начальное обучение» университетов, институтов и колледжей, аспирантам и студентам, учителям начальной школы.

СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА...........................................................................
5

СТРУКТУРА КУРСА.............................................................................................
10

МОДУЛЬ 1. МНОЖЕСТВО

Тема 1. Множества и операции над ними......................................................
12

Практическая работа. Понятие множества...................................................
17

Тема 2. Операции над множествами..............................................................
19

Практическая работа. Операции над множествами....................................
26

Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы...................................
29

Практическая работа. Разбиение множества на классы............................
31

Тема 2.2. Декартово произведение множеств..............................................
33

Практическая работа. Декартово произведение........................................
37

Тема 3. Понятие соответствия ......................................................................
39

Практическая работа. Соответствия между двумя множествами......................................................................................................
44

Тема 4. Числовые функции.............................................................................
46

Практическая работа. Функция и ее свойства.............................................
53

Тема 5. Отношения на множестве..................................................................
57

Практическая работа. Отношения на множестве.........................................
66

Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство.............................................
70

Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной...........................................
79

Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.........................................................................................................
82

Контрольная (зачетная) работа......................................................................
86

МОДУЛЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ИХ СТРУКТУРА

Тема 7. Математические понятия...................................................................
88

Практическая работа. Математические понятия.........................................
95

Тема 8. Высказывания и высказывательные формы...............................
98

Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы..................................................................................................................
104

Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм................................................................................
107

Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм................................................
114

Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями..................................................................................................
117

Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями.....................................................................................
121

Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем.................................................
123

Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем..........................
126

Тема 9. Математическое доказательство......................................................
127

Практическая работа. Математическое доказательство............................
139

Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения.......................................
142

Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения................................................................................................................
145

Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение...........................................
159

Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение................................................................................................................
166

Вопросы для коллоквиума..............................................................................
169

МОДУЛЬ 3. ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел.
171

Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа..
177

Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий
178

Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше».
189

Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
193

Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел..
198

Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
200

Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий...
211

Тема 16. Отношение делимости и его свойства...........................................
216

Практическая работа. Делимость натуральных чисел...............................
227

Тема 17. О расширении множества натуральных чисел............................
229

Практическая работа. Действия над положительными действительными числами..............................................................................
243

Вопросы для коллоквиума..............................................................................
248

МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ

Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин..
250

Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины...
259

Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе.............................................................
262

Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства................
265

Практическая работа. Решение геометрических задач...............................
283

Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости...
284

Тема 20. Изображения пространственных фигур........................................
286

Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости.............................................................................................................
292

Тема 21. Геометрические величины...............................................................
293

Практическая работа. Геометрические величины...
302

Список литературы............................................................................................
305


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Центральным, ключевым вопросом деятельности высшей школы был и остается вопрос обеспечения качества подготовки специалистов. В связи с этим учебный процесс в вузе, как система организационных и дидактических мер, должен быть направлен не только на реализацию содержания образования на определенном образовательном уровне, но и на организацию с учетом возможностей современных технологий обучения и ориентирован на высокий конечный результат – формирование образованной, гармонично развитой личности, способной к постоянному обновлению научных знаний, профессиональной мобильности и быстрой адаптации к переменам и развитии в социально-культурной сфере, системах управления и организации труда в условиях рыночной экономики.
Сегодня в университетах осуществлен комплекс организационно-педагогических мер по обеспечению внедрения кредитно-модульной системы организации учебно-воспитательного процесса с использованием системы ЕСТS.
Модульно-рейтинговое обучение - это такая система организации учебного процесса, которая базируется на индивидуализации и дифференциации обучения, обеспечивает стимулирующую и развивающую функцию получения знаний, их самостоятельность и мобильность в процессе личностно-ориентированного обучения.
Основным средством модульного обучения является модульная программа, которая состоит из отдельных модулей (частей, разделов). Модуль включает в себя отдельные учебные элементы, которые могут быть представлены: теоретическими и практическими занятиями; упражнениями и тренингами; ролевыми и деловыми играми и т.д.
В соответствии с положением университета о рейтинговой системе обучения, учитывая особенности учебного предмета математики, в частности, количество отведенных на него аудиторных часов, цели и задачи курса разработана модульная программа по математике для студентов специальности: «Начальное обучение». Содержание данной программы реализовано в данном учебном пособиии.
Цель курса математики на педагогическом факультете по специальности «Начальное обучение» – сформировать у студентов математические знания, умения и навыки, необходимые учителю начальных классов для:
обучения младших школьников математики по альтернативным программам;
ориентирования в содержании математики средней и старшей школы;
дальнейшей самостоятельной работы по углублению и расширению математических знаний;
понимания использования математических методов в других науках.
Задачи курса
раскрыть значение математики в общем и профессиональном образовании человека;
раскрыть психолого-педагогический аспект усвоения предмета;
раскрыть взаимосвязь школьного курса математики с математикой начальных классов;
воспитывать у будущих учителей начальных классов творческий подход к решению проблем преподавания математики;
сформировать умения и навыки самостоятельного анализа процесса обучения;
создать благоприятные условия для реализации самообразования.
Исходя из этих требований к математической подготовке учителя начальных классов в вузе, содержание материала по математике при модульной организации обучения, можно распределить по следующим отдельным учебным единицам (модулям):
Модуль 1. Множества.
Модуль 2. Математические утверждения и их структура;
Модуль 3. Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел;
Модуль 4. Геометрические фигуры и величины.
Выделение модулей «Множества» и «Математические утверждения и их структура» связано с необходимостью обеспечить логическую грамотность учителя. Такая подготовка нужна ему не только для усвоения арифметического, алгебраического и геометрического материала курса, но и, ее высокий уровень, является залогом успешной работы учителя по развитию умственной деятельности младших школьников, методологической основой его методической деятельности, осуществляемой учителем как в процессе ознакомления учащихся с новыми понятиями и их свойствами, так и в процессе освоения ими этого материала. Чтобы формировать у детей умение логически рассуждать, развивать их мышление, учителю необходимы знания об особенностях математических понятий, предложений, доказательств; учитель должен знать операционный состав основных приемов умственной деятельности, возможность применения их в учебном процессе. Естественно и сам учитель должен владеть соответствующими логическими умения и обобщенными приемами умственной деятельности. Так как основной задачей современной начальной школы является умственной развитие младших школьников. Данные модули можно рассматривать и как необходимый для понимания трактовки курса начальной математики. В модуль «Множество» включен и алгебраический материал, чтобы систематизировать содержащийся в стандарте алгебраический материал, что позволит углубить алгебраическую подготовку учителя за счет освоения этого материала на более высоком теоретическом уровне.
Изучение модулей «Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел», «Геометрические фигуры и величины» позволит подготовить будущего учителя к грамотному и осознанному изучению арифметического и геометрического материала учащимися в начальной школе. Осваивая материал этих двух модулей, студенты должны также уточнить и расширить свои представления о величине и ее измерении.
Исходя из этого, после изучения курса «Математика» студент должен уметь:
изображать при помощи кругов Эйлера отношения между множествами и выполнять над ними операции;
производить разбиение множества на классы с помощью свойств и отношений; оценивать правильность выполненной классификации;
анализировать логическую структуру определений понятий, находить логические ошибки в определениях знакомых понятий;
пользоваться определениями при решении задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия;
анализировать логическую структуру высказываний (высказывательных форм) и находить значение истинности составных высказываний (в том числе высказываний с кванторами);
строить отрицание высказываний различной структуры;
устанавливать наличие (отсутствие) отношения логического следования (равносильности) между высказывательными формами;
строить дедуктивные рассуждения, используя правила заключения, отрицания, силлогизма; устанавливать правильность умозаключений при помощи кругов Эйлера;
строить умозаключения, используя обобщенные процессуальные и содержательные приемы умственной деятельности (в частности, аналогию, индукцию и дедукцию);
распознавать прямую и обратную пропорциональность при различных способах задания функции;
формулировать свойства знаковых бинарных отношений на множестве и определять их вид;
решать текстовые задачи различными методами и способами; обосновывать выбор действия при арифметическом методе решения, используя соответствующую математическую теорию;
иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы различные подходы к определению натурального числа и действий над числами;
рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с натуральными и положительными рациональными числами;
записывать числа в различных позиционных системах счисления и производить над ними арифметические действия;
решать элементарные задачи на построение с помощью циркуля и линейки в объеме, определенном содержанием обучения;
решать несложные задачи на доказательство и вычисление числовых значений геометрических фигур;
изображать на плоскости призму, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, используя правила проектирования.
При модульном контроле ведущей формой сообщения новой информации является лекция, в ходе которой, преподаватель ориентирует студентов на самостоятельное творческое овладение материалом, дает установки и рекомендации для следующей самостоятельной работы над учебниками и пособиями. На лекции, которая выполняет информативную функцию, предлагаются обобщенные, узловые вопросы определенной темы учебной дисциплины, выясняются методы и алгоритмы решения основных задач темы. В лекционном курсе раскрываются цели и задачи изучения определенной темы, структура, идеи и методы начального курса математики, ознакомление будущих учителей начальных классов с основыми вопросами методологии математики.
Цель практических занятий – научить решать задачи по математике различных типов, решать уравнения и неравенства с одной переменной, строить графики различных видов функции, упращать выражения с переменной и десятичными дробями, решать геометрические задачи на построение, вычисление и доказательство и т.д.
На практических и семинарских занятиях, кроме строгого выполнения плана занятия, необходимо организовать проверку самостоятельной работы студентов по подготовке теоретического материала, который будет актуализироваться на занятии. Преподаватель специально отводит несколько минут в начале занятия для проверки готовности студентов к работе на практическом занятии, проверки состояния выполнения домашних задач, которые предлагались студентам на занятиях, выставляет оценки.
Практическая работа состоит из заданий различной сложности. Они делятся - на обязательные и творческие (по желанию студента) задания. Каждая обязательная задача сдается преподавателю студентом индивидуально. Оценивается задача соответствующей оценкой (или определенным баллом при 10-балльной системе). Если студент сдает преподавателю задания не своевременно (без уважительных причин), то оценка снижается (или студент получает лишь 0,5 балла). В случае, если студент обязательные задачи не выполнил, то он получает оценку "неудовлетворительно" (или от рейтинга студента отнимается 1 балл за каждую задачу). За каждую творческую задачу студенту выставляется дополнительная оценка (или дополнительно 2 балла).
Самостоятельная учебная работа студентов завершает решение задач всех других форм обучения в высшей школе. Самостоятельная работа не только формирует навыки и умения самостоятельного поиска знаний, которые важны для осуществления непрерывного образования на протяжении всей будущей профессиональной деятельности, а и имеет важное воспитательное значение, поскольку формирует самостоятельность как положительную черту характера, которое играет существенную роль в структуре личности современного специалиста высшей квалификации.
Самостоятельная работа включает в себя задачи для студентов, которые выполняются во вне учебное время. Они делятся - на теоретические и практические. Теоретические вопросы выносятся на коллоквиум или проверяются в форме экспресс-опроса на практических занятиях, который проводится в форме 10-15 минутной контрольной работы, тестового машинного (компьютерного), или без машинного контроля или устного опрашивания, практические задания сдаются индивидуально.
Оценка знаний студента за каждый модуль осуществляется с учетом всего объема учебного модуля и выставляется в зачетке по результатам контроля, который проводится в виде: письменной контрольной работы; тестирования; методом накопления оценок; коллоквиума
Проведение контрольной работы осуществляется двумя преподавателями по принятой для данного модуля методике. Контрольная работа включает в себя, как правило, два теоретических и два практических вопроса (или расчетные задачи). К каждой задаче преподаватель предлагает литературу из перечня, который предлагался на лекции. Преподавателем к каждому модулю разрабатывается не меньше 15 вариантов контрольных работ. Контрольная работа оценивается четырех балльной оценкой (а при 10-балльной системе - каждая задача оценивается баллами, при этом за оригинальность ответа преподаватель может прибавить еще и поощрительный балл).
При тестировании большого количества вопросов оценку осуществляет ЭВМ с помощью заданной программы. Если тестирование осуществляется без использования ЭВМ, оценка устанавливается пропорционально количеству верных ответов.
Одним из средств контроля за изучением теоретического материала являются коллоквиумы, которые проводятся не чаще как 1-2 раза на семестр. Коллоквиум ставит цель выяснить уровень понимания прочитанного теоретического материала и того, что выносится на самостоятельную работу, обнаружить проблемы и вопросы, которые возникли у студентов во время самостоятельной работы.
Модульная оценка это итог оценок (или баллов), полученных студентом в результате выполнения контрольного задания во время модульного контроля, а также при текущих формах контроля на коллоквиумах, практических, лабораторных, семинарских занятиях и за выполнение индивидуальных задач, предусмотренных учебным планом.
Знания студентов оцениваются по 10-ти балльной шкале целыми числами от 2 до 10. Неявка студентов в определенное время на модульный контроль (контрольную работу, защиту) отражается в ведомости проставлением цифры "0" - нуль.
СТРУКТУРА КУРСА
Тема
Количество часов, отведенных на:


Лекции
Практические занятия
Самостоятельную работу

Модуль 1. МНОЖЕСТВА

Тема 1. Понятие множества и элемента множества
2
2
4

Тема 2. Операции над множествами
4
4
4

Тема 3. Соответствия между двумя множествами
2
2
4

Тема 4. Числовые функции
2
2
4

Тема 5. Отношения на множестве
2
2
4

Тема 6. Выражение. Равенство. Неравенство.
2
4
4

Всего за модуль
14
16
24

Модуль 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ИХ СТРУКТУРА

Тема 7. Математические понятия
2
2
6

Тема 8. Математические предложения. Высказывание и высказывательные формы
4
2
6

Тема 9. Математическое доказательство
2
2
6

Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
4
2
6

Тема 11. Комбинаторные задачи. Решение комбинаторных задач
2
2
6

Коллоквиум




Всего за модуль
14
10
30

Модуль 3. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
2

4

Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий
4
2
6

Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
2
2
4

Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
2
2
6

Тема 16. Отношение делимости и его свойства
2
2
6

Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
2
2
4

Коллоквиум




Всего за модуль
14
10
30

Модуль 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ

Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
2
2
6

Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
4
4
6

Тема 20. Изображения пространственных фигур
2
2
10

Тема 21. Геометрические величины
4
4
8

Экзамен




Всего за модуль
12
12
30

Всего за год
54
48
114

МОДУЛЬ 1. МНОЖЕСТВА

В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность. Для этого нужно было строго определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию математических идей, поэтому в конце XIX – начале XX столетия происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математики Георг Кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом математической науки.
Этот модуль знакомит с некоторыми основными понятиями теории множеств. Знания в этой области нужны учителю начальных классов, во–первых, для понимания содержания начального курса математики, независимо от того, явно или неявно в нем используются теоретико–множественные понятия: во–вторых, для освоения таких важных с профессиональной точки зрения понятий, как взаимно однозначное соответствие, отношение, число, геометрическая фигура.
Студент должен уметь:
изображать при помощи кругов Эйлера отношения между множествами и выполнять над ними операции;
производить разбиение множества на классы с помощью свойств и отношений; оценивать правильность выполненной классификации;
формулировать свойства знаковых бинарных отношений на множестве и определять их вид.


ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Содержание
Понятие множества и элемента множества.
Способы задания множества.
Отношения между множествами. Подмножества.
Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.
Основная литература (7, 10, 11, 16, 23, 33, 34(;
Дополнительная литература( 2, 31, 82, 87, 92(
Введение
Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и факторов. Дело не только в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий, как «число» и «величина», происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Все это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальных классов. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числами, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письменные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности для формирования у них основ научного мировоззрения.
Математика, как и другие науки изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще, любые математические объекты – это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел и т.д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека.
Более того, при образовании математических объектов происходит не только абстрагирование от многих свойств предметов, но и приписывание им таких свойств, которыми никакие реальные предметы не обладают. Например, свойство неограниченной протяженности в обоих направлениях – прямой не обладает ни какой реальный предмет.
Эта лекция будет посвящена одному из таких математических объектов - понятию множества.

1. Понятие множества и элемента множества
Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.
Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам. Каждый вид является некоторой совокупность живых существ, рассматриваемой как единое целое.
Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845–1918), «множество есть многое, мыслимое нами как целое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такового определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве чисел от 1 до 10, натуральных числах, множестве треугольников и квадратов на плоскости.
Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел.
Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.
В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, , Z, L.
Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком (.
Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.
Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, , z.
В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 натуральное. Другими словами, число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Или, например, число 0,45 не является натуральным числом. Это означает, что число 0,45 не принадлежит множеству натуральных чисел.
Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: а(А. Прочитать его можно по-разному:
Объект а принадлежит множеству А.
Объект а – элемент множества А.
Множество А содержит элемент а.
Предложение “ Объект а не принадлежит множеству А” можно записать так: а ( А. Его читают:
Объект а не принадлежит множеству А.
Объект а не является элементом множества А.
Множество А не содержит элемента а.
Пример
Пусть А – множество однозначных чисел. Тогда предложение “7(А” можно прочитать: “Число 7 однозначное”, а запись “ 14( А” означает: “Число 14 не является однозначным”.
Множества бывают конечными и бесконечными. Так, множество дней недели конечно, а множество точек прямой бесконечно. Бесконечными множествами являются и такие множества, как множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z), множество рациональных чисел (Q), множество действительных чисел (R).

2.Способы задания множества
Множество можно задать, перечислив все его элементы.
Например, множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6. Поскольку все его элементы окажутся перечисленными, то это множество задано. При этом возможна запись А = (3, 4, 5, 6(, в которой перечисленные элементы заключаются в фигурные скобки.
Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно, таким образом, и задать конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: указывают характеристическое свойство его элементов.
Определение. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Пример
Множество А – двузначных чисел. Свойство, которым обладает любой элемент данного множества, - “ быть двузначным числом”. Это характеристическое свойство дает возможность решить вопрос о том, принадлежит ли какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 21 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит – оно не является двузначным.
Иногда одно и тоже множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными сторонами и как множество ромбов с прямыми углами.
Вывод: чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать характеристическое свойство его элементов. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные и бесконечные множества в отличие от первого способа, который, как правило, можно использовать для задания конечных множеств с небольшим количеством элементов. Хотя первый способ используется иногда и для задания бесконечных множеств. Например, множество натуральных чисел может быть задано в виде ( = (1, 2, 3, (. Однако такой способ записи возможен лишь тогда, когда по записанной части множества ясно, что означает многоточие.
Одно и тоже множество может быть задано и первым и вторым способом.
Пример
Множество В натуральных чисел, меньших 7, заданное посредством указания характеристического свойства его элементов, можно задать и так: В=(1, 2, 3, 4, 5, 6(, т.е. перечислив все его элементы.

3. Отношения между множествами. Подмножество
Даны два множества:
А = (a, b, c, d, e( и B = (b, d, k, e(. Видим, что элементы b и d принадлежат одновременно множеству А и множеству В. Говорят, что b и d – общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекаются.
Замечание. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.
Рассмотрим теперь множества А = (a, b, c, d, e( и В = (c, d, e(. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включено в А или что множество В является подмножеством множества А.
Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
Если В – подмножество множества А, то пишут: В ( А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».
Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, т. е. ( ( А, и что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. А ( А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.
Примеры
Выпишем все подмножества множества А = (2, 3, 4(.
Среди них будут одноэлементные подмножества: (2(, (3(, (4(, двухэлементные: (2, 3(, (3, 4(, (2, 4(, а также само множество А: (2, 3, 4( и (. Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.
Обратимся теперь к множествам А = (a, b, c, d, e( и В = (c, a, b, e, d(. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А ( В, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В ( А. В этом случае говорят, что множества А и В равны.
Определение. Множества А и В называются равными, если А ( В и В ( А.
Если множества А и В равны, то пишут: А = В.
4. Круги Эйлера-Венна
Из определения вытекает, что равные множества и отношения с множествами удобно иллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур и предполагается, что в этих геометрических фигурах заключены все элементы данного множества. Такие геометрические фигуры называются кругами Эйлера, по имени немецкого математика Леонарда Эйлера, который в 1762 году приспособил эту геометрическую фигуру для логических целей.
Например, отношение включения между множествами А = (a, b, c, d, e( и В = (c, e, d( можно изобразить при помощи кругов Эйлера так:
Множества А = (a, b, c, d, e( и B = (b, d, k, e( Пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого, поэтому при помощи кругов Эйлера они изображаются так:
Непересекающиеся множества изображают при помощи двух кругов, не имеющих общих точек.
Установить отношения между множествами – важное умение для учителя. Дело в том, что математика и другие науки изучают не только определенные объекты и явления, но и взаимосвязи, в том числе и отношения между множествами.
Выясним, например, как связаны между собой множества А четных чисел и множество В чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунках, отношения между данными множествами изображены верно?
Из рисунка следует, что все четные числа делятся на 4, что не верно: можно назвать числа, которые не делятся на 4, например 14. Этот контрпример сразу делает невозможным равенство данных множеств, т.е. случай представленный на следующем рисунке:
Следующий рисунок говорит о том, что среди чисел, кратных 4, есть четные, но есть и такие, которые не делятся на 2, что не верно: нетрудно доказать, что любое число, кратное 4, четно.
Следовательно, множество чисел, кратных 4, является подмножеством множества четных чисел. Эта связь изображена на последнем рисунке.
Так же как и понятие множества, понятие подмножества в начальной школе в явном виде не изучается, но задач, связанных с выделением части некоторой совокупности, учащиеся решают много.
Например
«Среди данных четырехугольников укажи прямоугольники».
«Назови среди данных чисел четные» и т. д.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
Цель. Усвоить связанную с понятиями множество, элемент множества, характеристическое свойство элементов множества, подмножество, равные множества соответствующую математическую символику. Уметь задавать отношения пересечения, объединения, равенства над множествами.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Понятие множества и элемента множества.
Пустое множество. Способы задания множеств.
Отношения между множествами: включение, равенство, пересечение. Подмножество.
Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.
Основные понятия
множество;
элемент множества;
характеристическое свойство элементов множества;
подмножество;
равные множества.
Обозначения
а ( А – «а принадлежит множеству А»;
b ( А - «b не принадлежит множеству А»;
А = (1, 2, 3, 4( - запись множества А путем перечисления всех его элементов;
А = ( х ( х ( ( и х ( 5( - запись множества А путем указания характеристического свойства его элементов;
А ( ( - « А – подмножество В»;
А = В – «Множества А и В равны».
Практическая часть
Обязательные задания
Назовите три элемента множества: а) учебных предметов, изучаемых в начальной школе; б) четных натуральных чисел; в) четырехугольников.
В – множество четных чисел. Зная это, запишите с помощью символов следующие предложения: 1) число 20 четное; 2) число 17 не является четным.
Запишите, используя символы: а) Число 14 – натуральное; б) Число – 7 не является натуральным; в) Число 0 – рациональное; г) 13 EMBED Equation.3 1415 - число действительное.
Даны числа: 325, 0, - 17, -3,8, 7. Установите, какие из них принадлежат множеству: 1) натуральных чисел; 2) целых чисел; 3) рациональных чисел; 4) действительных чисел.
Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные: 100 ( (; 2) –8 ( (; 3) –8 ( (; 4) 5,36 ( Q; 5) 102 ( R; 6) (Q; 7) –7 ( R; 8)((; 9) 0 ( (.
Р – множество натуральных чисел, больших 7 и меньше 14. Выясните, какие из чисел 13, 10, 5, 7, 14 ему принадлежат, а какие не принадлежат. Ответ запишите, используя знаки ( и (.
А – множество решений уравнения х2 + 1 = 0. Верно ли, что А – пустое множество? Приведите примеры уравнения, множество решений которого состоит из: а) одного элемента; б) двух элементов; в) трех элементов.
Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения: 1) Х – множество чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5; 2) У- множество букв в слове «математика».
Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?
Перечислите элементы следующих множеств: А – множество нечетных однозначных чисел; В - множество натуральных чисел, не меньших 5; С – множество двузначных чисел, делящихся на 10.
Укажите характеристическое свойство элементов множества: а) (а, е, е, и, о, у, э, ю, я, ы(; б) (23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15 (; в) (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99(.
Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства ( х- действительное число): х ( 5,3; 2) х ( -3,8; 3) – 4,5( х ( 4; 4) 2,7 ( х ( 9.
Найдите множество действительных корней уравнения: 1)3х=х+8; 2) 3х+5=3(х+1); 3) 3(5х+10)=30+15х; 4) х (х+16)=0.
А - множество двузначных чисел, запись которых оканчивается цифрой 1. Принадлежит ли этому множеству числа 28, 31, 321, 61?
Дано множество А = (5, 10, 15, 25(. Укажите два подмножества, равные множеству А.
Известно, что элемент а содержится в множестве А и в множестве В. Следует ли отсюда, что: 1) А ( В; 2) В ( А; 3) А = В?
Известно, что каждый элемент множества А содержится в множестве В. Верно ли, что тогда: 1) А ( В; 2) А = В?
Из множества К = (216, 546, 153, 171, 234( выпишите числа, которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4; 4) не делятся на 5. Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К?
Установите, в каком отношении находятся множества решений неравенств и сами неравенства: 1) х ( 12 и х ( 10; 2) х ( 12 и х ( 15; 3) х ( 12 и х ( 10; 4) х ( 12 и –3х ( -36.
Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если: 1) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 3; 2) А - множество квадратов, B- множество прямоугольников; 3) А – множество квадратов, В – множество прямоугольных треугольников; 4) А – множество квадратов, B – множество прямоугольников с равными сторонами.
Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если известно, что: 1) А ( В и В ( А; 2) А ( В, С пересекается с В, но не пересекается с А; 3) А, В и С пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого.
Творческие задания
Запишите множество, состоящее из скаута и отряда, командиром которого он является.
Покажите, что, выполняя задание: «Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза», учащиеся встречаются с двумя способами задания множества.
Покажите, что, выполняя задание: «Какое число лишнее в ряду: 470, 720, 330, 400, 510, 640», учащиеся, по существу, пользуются понятиями характеристического свойства элементов множества и принадлежности элемента множеству.
Приведите примеры трех заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых осуществляется переход от одного способа задания множества к другому.
О каких теоретико–множественных понятиях идет речь в следующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов: а) Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа; б) Из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся на 5; в) Запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.
Изобразите на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества: множество всех отличников 3–Б класса школы № 5, множество мальчиков этого же класса, множество девочек этого же класса. Покажите на диаграмме фигуру, изображающую множество всех учеников 3-Б класса, фигуру, изображающую множество мальчиков-отличников.

ТЕМА 2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Содержание
Пересечение множеств.
Объединение множеств.
Законы пересечения и объединения множеств.
Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.
Понятие разбиения множества на классы.
Декартово произведение множеств.
Основная литература (7, 10, 11, 16, 23, 33, 34(;
Дополнительная литература(82, 87, 92(

1. Пересечение множеств
Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатом операций над множествами.
Пример
Пусть даны два множества: А = (2, 4, 6, 8 ( и В = (5, 6, 7, 8, 9(.
Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С = (6, 8 (. Так, полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают А ( В. Тогда определение можно представить в символической записи:
х ( ( ( ( ( х ( ( и х ( (.
Если изображать множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной частью.
В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А ( В = (.
Замечание. Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением

Нахождение пересечения множеств в конкретных случаях
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А(В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.
Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А ( В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Пример
Найдем пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел.
Характеристическое свойство элементов множества А – «быть четным натуральным числом», характеристическое свойство элементов множества В – «быть двузначным натуральным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натуральным числом». Таким образом, множество А ( В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 ( А(В, поскольку число 24 четное и двузначное.
Пример
Найти пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В – подмножество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству В, будут элементы множества В. Следовательно, А ( В = В.

2. Объединение множеств
Для того, чтобы объяснить школьнику, что 2 + 3 = 5, учитель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит перечислить эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие (т.е. объединить эти две совокупности, два множества) и пересчитать все кружки совокупности. Устанавливается, что их 5, т.е. 2 +3 = 5. Таким образом, сложение чисел опирается на операцию объединения двух множеств.
В рассмотренном примере объединялись множества, не имеющие общих элементов. В математике приходится выполнять объединение и пересекающихся множеств.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают ( ( (. В символической записи: х ( ( ( ( ( х (( или х ( (.
Если изобразить пересекающиеся множества при помощи кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной областью (рис. 1). Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изображают так (рис. 2).




Рис 1. Рис. 2.
Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называют также объединением.
Нахождение объединения в конкретных случаях:
Если все элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти (( (, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А или В, т.е. хотя одному из множеств.
Пример
Так, если А = (2, 4, 6, 8(, В = (5, 6, 7, 8, 9(, то А ( В = (2, 4, 5, 6, 7, 8, 9(.
Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А ( В составляется из характеристических свойств множеств А и В с помощью союза «или».
Пример
Найти объединение множества А четных чисел и множества В двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А – «быть четным числом», а свойство элементов В – «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых - «быть четным или двузначным числом».
Например, в А ( В есть числа: 8, поскольку оно четное; 17, поскольку оно двузначное; 36, поскольку оно четное и двузначное.
Пример
Найти объединение множеств А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4.
Ранее было установлено, что В ( А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А ( (, будут элементы множества А.
Следовательно, в данном случае ((( = А.

3. Законы пересечения и объединения множеств
Переместительный (коммутативный) закон пересечения и объединения множеств.
Из определений пересечения и объединения множеств вытекает:
Определение. Для любых множеств А и В справедливо равенство: А ( ( ( ( ( ( и ( ( ( ( ( ( (.
Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств.
Определение. Для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
( А ( ( ( ( С ( ( ( ( В( С(, ( ( ( ( ( ( С ( ( ( ( ( ( С(.
Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3)
Рис. 3
3. Закон пересечения множеств: ( А ( ( ( ( С ( ( ( ( В( С(
В выражении ( А ( ( ( ( С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество ( А ( ( ( ( С.
Представим теперь наглядно множество ( ( ( В( С(. (См. рис.4) В соответствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересечение множеств В и С – на рисунке оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество ( ( ( В( С(. Видим, что области, представляющие на рисунке множества ( А ( ( ( ( С и ( ( ( В ( С ), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств. Рис. 4.
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.
Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем:
можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух;
на основании этого свойства в выражениях ( А ( ( ( ( С, ( ( ( В( С(,( ( ( ( ( ( С , ( ( ( ( ( С( можно опускать скобки и писать А ( ( ( С или ( ( ( ( С, что облегчает запись.
Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство ( ( ( ( ( ( С ( ( ( ( ( ( С(.
Доказательство. Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедится в том, что каждый элемент множества ( ( ( ( ( ( С содержится в множестве ( ( ( ( ( С(, и наоборот.
Пусть х – любой элемент множества ( ( ( ( ( ( С. Тогда, по определению объединения, х ( ( ( ( или х(С.
Если х ( ( ( (, то, по определению объединения, х ( А или х ( В. В том случае, когда х (А, то, также по определению объединения, х ( ( ( ( ( ( С(.
Если х ( В, то имеем, что х ( ( ( С, а значит, х ( ( ( ( ( ( С(. Случай, когда х ( А и х ( В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х ( ( ( (, следует, что х ( ( ( ( ( ( С(.
Если х ( С, то, по определению объединения, х ( В ( С, и следовательно, х ( ( ( ( ( ( С(.
Случай, когда х ( ( ( ( и х ( С, сводится к рассмотренным выше.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества ( ( ( ( ( ( С содержится и в множестве ( ( ( ( ( С(, т.е. ( ( ( ( ( ( С ( ( ( ( ( ( С(.
2. Пусть у - любой элемент множества ( ( ( ( ( С(. Тогда, по определению объединения, у(А или у( ( ( С.
Если у ( А, то, по определению объединения, у (( ( ( ( ( С(.
Если у ( ( ( С, то у ( ( или у( С. В том случае, когда у ( (, то у( ((( и, значит, у( ( ( ( ( ( ( С. Когда же у ( С, то у ( ( ( ( ( ( ( С. Случай, когда у ( В и у ( С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества ( ( (( ( С) содержится и в множестве (( ( () ( С, т.е. ( ( (( ( С) ( (( ( () ( С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что ( ( ( ( ( ( С ( ( ( ( ( ( С(, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.
Замечание. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А ( ( ( ( С = (А ( С) ( ( В( С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А ( ( ( ( С = (А ( С) ( ( В ( С ).
Замечание. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.

4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
Чтобы объяснить учащимся, что 5-3=2, часто используют такой прием. Берут 5 предметов, например, 5 кружков. После того как учащиеся убедятся при помощи счета, что кружков действительно 5, им предлагают 3 кружка убрать и сосчитать, сколько кружков осталось. Осталось 2, значит, 5-3=2.
В чем суть приема? Из данного множества, в котором а элементов, удаляют подмножество, содержащее b элементов. Тогда в оставшейся части множества а – b элементов.
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определению, имеем:
А \ В ={ х | х ( ( и х ( ( }.
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А \ В изобразиться заштрихованной областью.
В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \ В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом ВА.
При помощи кругов Эйлера данная ситуация представляется на рисунке, где заштрихована та часть, которая осталась после удаления из множества А подмножества В. Эту часть называют дополнением множества В до множества А.
Определение. Пусть В ( А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
ВА ={ х| х ( ( и х ( ( }.
Дополнение множества В до множества А ( при условии, что В ( А) обозначают ВА = А \ В.
Операция при помощи которой находят дополнение подмножества, называется вычитанием.
Нахождение подмножества в конкретных случаях:
Если элементы множества А и В пересечены, то, чтобы найти А \ В, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А и не принадлежащие В.
Пример. А = (1, 2, 3, 5(, а (((1, 5(, то А \ В = (2,3(.
Если указаны характеристические свойства элементов множеств А и В (В(А), характеристическое свойство множества А \ В имеет вид «х (( и х ((».
Пример. А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4. Найти дополнение множества В до множества А. Определить, содержатся ли в этом дополнении числа 20 и 26.
Так как, все числа кратные 4, четные, то В ( А. Если из множества А удалить все числа, кратные 4, то в нем останутся четные числа, не кратные 4. Значит, А \ В – множество четных чисел, не кратных 4. Характеристическое свойство элементов этого множества – «быть четным числом и не кратным 4».
Нетрудно видеть, что 20 ( А \ В, поскольку 20 – четное число и кратно 4, а что 26 ( А \ В, т.к. 26 – четное число и не кратно 4.
Пример. Выясним теперь, из каких чисел состоит множество А \ В ( С, если А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4, С – множество чисел, кратных 6.
В записи А \ В ( С нет скобок. Возникает вопрос: какое действие выполнять первым? Условились считать, что операция пересечения множеств является более «сильной», чем вычитание.
Пересечением множеств В и С состоит из чисел, кратных 4 и 6. Если удалить это пересечение из множества А, то в нем останутся четные числа, не кратные 4 и 6 (одновременно). При помощи кругов Эйлера данные множества А, В, и С можно изобразить так:
Замечание. Вычитание – это третья операция над множествами. Условимся считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий будет такой: сначала находят пересечение множеств, а затем вычитание.
Что касается объединения и вычитание множеств, то их считают равноправными.
Замечание. Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:
(А \ В) \С= (А \ С) \ В; (А \ В) ( С= (А ( С) \ ( В ( С );
А \ (В ( С ) = (А \ В) ( ( А \ С); А \ (В ( С) = (А \ В) ( ( А \ С).
(А ( В) \С = (А \ С) ((В \ С);

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Цель. Уточнить смысл основных понятий: пересечение множеств, объединение множеств, вычитание множеств, дополнение подмножеств. Уметь решать практические задания, связанные с этими понятиями и операциями над ними. Раскрыть связь новых понятий и операций с начальным курсом математики.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Пересечение множеств.
Объединение множеств.
Законы пересечения и объединения множеств.
Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.
Основные понятия
пересечение множеств;
объединение множеств;
вычитание множеств;
дополнение подмножества.
Обозначения
( ( ( = (х ( х (А и х ( В( - запись определения пересечения множеств А и В;
А ( В = (х ( х (А или х ( В( - запись определения объединения множеств А и В;
А \ В ={ х| х ( ( и х ( (} – запись определения разности множеств А и В;
ВА ={ х| х ( ( и х ( (} – определение дополнения множества В до множества А.
Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание.
Свойства этих операций:
коммутативность пересечения и объединения - для любых множеств А и В справедливо равенство: А ( ( ( ( ( ( и ( ( ( ( ( ( (;
ассоциативность пересечения и объединения множеств - для любых множеств А, В и С выполняются равенства: ( А ( ( ( ( С ( ( ( ( В ( С(, ( ( ( ( ( ( С ( ( ( ( ( ( С(.
дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А ( ( ( ( С = (А ( С) ( ( В( С ).
дистрибутивность объединения относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А ( ( ( ( С = (А ( С) ( ( В ( С ).
Практическая часть
Обязательные задания
Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: 1) 5 ( А ( В; 2) 7( А ( В.
Известно, что х ( А. Следует ли из этого, что х ( А (В?
Известно, что х ( А (В. Следует ли из этого, что х ( А?
Изобразите при помощи кругов Эйлера пересечение множеств А и В, если: 1) А ( В; 2) В ( А; 3) А ( В = (.
Найдите пересечение множеств А и В, если: 1) А = (a, b, c, d, e, f(; ( = (b, e, f, k, l(; 2) А = (26, 39, 5, 58, 17, 81(; В = (17, 26, 58(; 3) А = (26, 39, 5, 58, 17, 81(; В = (2, 6, 3, 9, 1, 7(.
М – множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит пересечение данных множеств? Содержатся ли в нем числа – 7 и 9?
А – множество точек окружности, B – множество точек прямой а. Из скольких элементов может состоять пересечение данных множеств? Может ли оно быть пустым?
Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением: а) был треугольник; б) был отрезок; в) была точка.
Используя координатную прямую, найдите пересечение множеств решений неравенств, в которых переменная х – действительное число: 1) х (-2 и х ( 0; 2) х (- 3,7 и х ( 4; 3) х ( 5 и х (- 7,5; 4) – 2( х( 4 и х ( -1; 5) –7(х ( 5 и - 6 ( х (2.
Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению множеств С и D, если: а) С – множество ромбов, D – множество прямоугольников; б) С - множество равнобедренных треугольников, D – множество прямоугольных треугольников
Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: 1) 5((((; 2) 7( А ( В.
Известно, что х ( А. Следует ли из этого, что х ( А ( В?
Известно, что х ( А (В. Следует ли из этого, что х ( А?
Изобразите при помощи кругов Эйлера объединение множеств А и В, если: 1) А ( (; 2) ( ( (.
Найдите объединение множеств А и В, если: 1) А = (a, b, c, d, e, f(; ( = (b, e, f, k, l(; 2) А = (26,39,5,58,17,81(; ( = (17,26,58(; 3) А = (26,39,5,58,17,81(; ( = (2,6,3,9,1,7(.
М – множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных множеств? Содержатся ли в нем числа – 7 и 9?
Используя координатную прямую, найдите объединение множеств решений неравенств, в которых переменная х – действительное число: 1) х (-2 и х ( 0; 2) х ( - 3,7 и х ( 4; 3) х ( 5 и х ( - 7,5; 4) – 2 ( х ( 4 и х ( - 1; 5) – 7 ( х ( 5 и - 6 ( х ( 2.
Известно, что х ( А (В. Следует ли из этого, что а) х ( В ( А; б) х ( А ( В; в) х ( В ( А ?
Принадлежит ли элемент х объединению множеств (, ( и С, если: 1) х((; 2( х (А и х ((; 3) х (А, х (В и х (С; 4) х ((, но х (С; 5) х ((, но х (С и х ((?
Определите порядок выполнения действий в следующих выражениях: а) А ( В ( С; б) А ( В ( С ( D; в) А ( В ( С; г) А ( В ( С ( D.
Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся множества А, В и С, и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) А ( В ( С; б) (А ( В) ( С; в) А ( В ( С; г) А ( В ( С; д) (А ( В) ( С; е) (А ( С) ( (В ( С). Для каждого случая сделайте отдельный рисунок.
Х – множество двузначных чисел, Y ( множество четных чисел, Р- множество чисел, кратных 4. Каковы характеристические свойства элементов множеств А = ( (((( и ( ( (((((((( Изобразите множества (, (, (, А и В при помощи кругов Эйлера. Назовите три числа, принадлежащие множеству А, и три числа, принадлежащие множеству В.
А – множество ромбов, В – множество треугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60(. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству Х = ((С(((С.
Проиллюстрируйте, используя круги Эйлера, следующие свойства: а) ассоциативности пересечения множеств; б) дистрибутивности пересечения относительно объединения множеств; в) дистрибутивности объединения относительно пересечения множеств.
Среди следующих выражений найдите такие, которые представляют собой равные множества: а) Р ( М ( К; б) Р ( (М ( К); в) Р ( М ( Р ( К; г) (Р ( М) ( К; д) Р ( (М ( К); д) (М ( Р ) ( (Р ( К).
Найдите разность множеств А и В, если: а) А = (1, 2, 3, 4, 5, 6(, В = ( 2, 4, 6, 8, 10(; б) А = (1, 2, 3, 4, 5, 6(, В = (; в) А = (1, 2, 3, 4, 5, 6(, А = (1, 2, 3, 4, 5, 6(; г) А = (1, 2, 3, 4, 5, 6(, В = (6, 2, 3, 4, 5, 1(.
В какие случаях, выполняя предыдущее упражнение, вы находите дополнение множества В до множества А?
Найдите дополнение множества С до множества D, если: 1) С = (а, б, в, г, д, е(; D = (а, б, в, г, д, е, ж, и(; 2) С = (41, 42(; D = (40, 41, 42, 43, 44(; 3). С = (9, 10, 11, 12(; D = (11, 9, 12, 10(.
Даны множества: А – натуральных чисел, кратных 3, В – натуральных чисел, кратных 9. а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества В’А ; б) Верно ли, что 123 ( В’А, а 333 ( В’А ?
Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых множеств А, В и С верны равенства: а) А \ (В ( С) = (А \ В) ( (А \ С); б) А \ (В ( С) = (А \ В) ( (А \ С); в) (А ( В) \ С= (А \ С) ( (В \ С); г) (А \ В) ( С = (А ( С) \ (В ( С).
Х – множество равнобедренных треугольников, У – множество равносторонних треугольников. Начертите два треугольника, принадлежащие множеству Х \ У.
Из каких чисел состоит дополнение: 1) множества натуральных до множества целых; 2) множества целых чисел до множества рациональных; 3) множества рациональных чисел до множества действительных?

Творческие задания
Сформулировать определение пересечения трех множеств и любого конечного числа множеств.
Переформулируйте утверждение х(((( в терминах принадлежности А и В.
Найти пересечение множеств А, В, С, если А=В, В(С
Расположите на плоскости два треугольника так, чтобы в пересечении получился: а) треугольник, б) четырехугольник, в) шестиугольник; г) пятиугольник.
Докажите справедливость свойств А((((((=А, А((((((=А
О какой операции и над какими множествами идет речь в следующих задачах: а) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Коли? б) В зале было 100 стульев. После того как вынесли несколько стульев, в зале осталось 86 стульев. Сколько стульев вынесли из зала?
В классе 36 учеников. Известно, что мальчиков – 21 человек, занимающихся в кружках – 20 человек, хорошистов – 22 человека, причем каждый ученик в классе входит в какую-либо из перечисленных групп. Мальчиков и занимающихся в кружках – 11 человек, занимающихся в кружках и хорошистов – 13 человек. Сколько мальчиков в классе занимаются в кружках и учатся без троек?


ТЕМА 2.1. ПОНЯТИЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ
Содержание
Понятие разбиения множества на классы.
Некоторые задачи, связанные с операциями над конечными множествами.
Основная литература (7, 10, 11, 16, 23, 33, 34(;
Дополнительная литература (17, 18, 50, 82, 86, 87(

1. Понятие разбиения множества на классы
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.
Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.
Как правило, целью классификации является систематизация наших знаний. Например, в биологии имеется классификация животных, охватывающая до 1,5 млн. различных видов животных, в ботанике – классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть это многообразие в определенной системе, выделить интересующие нас виды растений и животных.
Широко применяется классификация в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше развернутого) бывают острые, прямые и тупые.
Выясним условия, которым должны удовлетворять правильно выполненная классификация?
Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.
Определение. Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2,,Хп, если:
подмножества Х1, Х2,,Хп попарно не пересекаются;
объединение подмножеств Х1, Х2,,Хп совпадает с множеством Х.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают не правильной.
Так, множество Х треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются (среди остроугольных нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных – тупоугольных) и их объединение совпадает с множеством Х.
Однако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонний, то разбиения множества Х на классы не мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными).
Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.
Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5 и т.д. Предположим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.
Таким образом, задание одного свойства элементов множества натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два класса: класс чисел, кратных 3 и класс чисел, не кратных 3.
Рассмотрим разбиение множества на классы, если для его элементов указать два свойства, т.е. выделить из множества два различных подмножества.
Рассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5».При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А- подмножество чисел, кратных 3, и В – подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.
Проанализируем получившуюся картину. Круг, изображающий множество N натуральных чисел, разбился на 4 непересекающиеся области – они пронумерованы римскими цифрами. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N . Определим, какие числа оказались в каждом из этих непересекающихся подмножеств. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II – из чисел, кратных 3 и не кратным 5; подмножество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IY – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.
Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества приводит к разбиению этого множества именно на 4 класса. Так бывает не всегда. Например, при помощи двух свойств «быть прямоугольным» и «быть тупоугольным» множество треугольников разбивается на три класса:
А - класс прямоугольных треугольников;
В - класс тупоугольных треугольников;
С - класс треугольников, не являющихся ни прямоугольными, ни тупоугольными треугольниками.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ
Цель. Рассмотреть правила разбиения множества на классы, уметь решать задачи на классификацию, освоить математическую символику связанную с этими понятиями.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Понятие разбиения множества на классы.
Некоторые задачи, связанные с операциями над конечными множествами.
Основные понятия
класс;
классификация;
дихотомическая классификация.
Обозначения
n (A) - число элементов конечного множества А.
Правила
Разбиения множества на классы;
Нахождения числа элементов в объединении конечных множеств:
n (А (В) = n (А) + n (В) – n (((((;
n (А (В) = n (А) + n (В), если (А ( ( ( = (.

Практическая часть
Обязательные задания
Выделите из множества К=(0, 2, 6, 8, 9, 12, 15( два подмножества. В одно включите числа, кратные 2, а в другое – кратные 3. Произошло ли разбиение множества К на класс чисел, кратных 2, и класс чисел, кратных 3? Можно ли разбить данное множество К на три класса: К1= (0,2,6(, К2= (8,9(, К3= (12,15(?
Определите классы разбиения множества Х четырехугольников, если оно осуществляется при помощи: 1) свойства «быть прямоугольником»; 2) свойств «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; 3) свойств «быть прямоугольником» и «быть квадратом»; 4) свойств «быть прямоугольником» и «быть трапецией».
Из множества натуральных чисел выделите подмножество чисел, кратных 8. На сколько классов при этом произошло разбиение множества натуральных чисел? Изобразите полученные классы при помощи кругов Эйлера и назовите по два представителя из каждого класса.
На какие классы разбивается множество точек плоскости при помощи: а) окружности; б) круга; в) прямой?
На множестве натуральных чисел рассматривается свойство «быть кратным 7». Сколько классов разбиения множества N оно определяет? Назовите по два элемента из каждого класса.
Из множества четырехугольников выделили подмножество фигур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивается множество четырехугольников с помощью свойства «иметь попарно параллельные стороны»? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.
Изобразите при помощи кругов Эйлера множество N натуральных чисел и его подмножества: четных чисел и чисел кратных 7. Можно ли утверждать, что множество N разбито: а) на два класса: четных чисел и чисел, кратных 7; б) на четыре класса: четных чисел, кратных 7; в) нечетных чисел, не кратных 7; г) четных чисел не кратных 7; д) нечетных чисел, кратных 7.
На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников при помощи этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.
Изменится ли ответ в предыдущем упражнении, если на множестве четырехугольников рассмотреть свойства: а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»?
Можно ли узнать, сколько человек в классе, если в нем: 1) 17 мальчиков и 15 девочек; 2) 17 мальчиков и 23 спортсмена?
Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17- немецкий. Сколько человек изучают оба языка?
Творческие задания
Придумайте три примера известных вам классификаций из нематематических наук
Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции?
В делегации 6 человек, знающих французский или немецкий язык. Трое из них говорят только на французском, двое – только на немецком. Сколько человек говорят на двух языках – французском и немецком?
Из 100 студентов английский язык изучают 28 человека, немецкий – 30 человек, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 15. Все три языка изучают 3 учащихся. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?
В школе 70 учеников. Из них 27 ходит в драмкружок, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок?
Докажите, что если п – число свойств, с помощью которых множество разбивается на максимальное число классов, то число этих классов равно 2п

ТЕМА 2.2. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Содержание
Декартово произведение множеств.
Свойства операции декартова произведения.
Кортеж. Длина кортежа.
Основная литература (7, 10, 11, 16, 23, 33, 34(;
Дополнительная литература (17, 18, 27, 50, 81, 84, 82, 86, 87(

1. Декартово произведение множеств
Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а и в, принято записывать, используя круглые скобки: (а; в). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент в – второй координатой (компонентой) пары.
Пары (а; в) и (с; d) равны в том и только том случае, когда а = с и в = d.
В упорядоченной паре (а; в) может быть, что а = в. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).
Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств.
Пример
Даны множества А=(1,2,3(, В = (3,5(. Образовать упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В.
Перечислив все такие пары, получим множество: ((1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3;3), (3;5)(.
Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А((. Используя это обозначение, определение произведения можно записать так: ((((((х; у) ( х (( и у ( ((.
Пример
Найти декартово произведение множеств А и В, если:
а) А = (m, p(, (((e, f, k(; b) A = B=(3, 5(.
Решение. а) Действуем согласно определению – образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая – из В: А ( ( ( ((m; p); (m; f); (m; k); (p; e); (p; f);(p; k)(.
b) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества: А ( А = ((3; 3); (3; 5); (5; 3); (5; 5)(.

2. Свойства операции нахождения декартова произведения
Так как декартовы произведения А(( и В(А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.
Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.
Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
((((( ( С ( (( ( С( ( (( ( С(, (( \ (( ( С ( (( ( С( \ (( ( С(.
Пример
Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = (3; 4; 5(, В = (5; 7(, С = (7; 8(.
Решение. Найдем объединение множеств А и В: ((( = (3; 4; 5;7(. Далее перечислим элементы множества ((((( ( С, используя определение декартова произведения: ((((( ( С = ((3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)(.
Чтобы найти элементы множества (( ( С( ( (( ( С(, перечислим сначала элементы множеств А ( С и В ( С:
А ( С = ((3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)(
В ( С = ((5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)(.
Найдем объединение полученных декартовых произведений:
(( ( С( ( (( ( С( = ((3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)(.
Видим, что множества ((((( ( С и (( ( С( ( (( ( С( состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство ((((( ( С ( (( ( С( ( (( ( С(.
Выясним теперь, как можно наглядно представить декартово произведение множеств.
Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы.
Пример
Декартово произведение множеств А = (1; 2; 3( и В = (3; 5( можно представить так, как показано на рисунке 1 и 2
.
13 EMBED Equation.3 1415
3
5

1
(1,3)
(1,5)

2
(2,3)
(2,3)

3
(3,3)
(3,3)


Рис. 2
Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.
Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.
Пример. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение ( ( В, если: а) А = (1; 2; 3( и В = (3; 5(; б) А = (1; 3(, В = (3; 5(; в) А = R, В = (3; 5(; г) А = R, В = R.
Решение. а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение ( ( В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка (3; 5(. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.

5

3



1 2 3 х
Рис. 4
б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка (1; 3(, и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.
у
5

3


1 2
в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества ( ( В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка (3; 5(. Множество таких точек образует полосу.
y
5



3

х
г) Декартово произведение R(R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R(R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

3. Кортеж. Длина кортежа
В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» – это упорядоченный набор из 10 элементов.
Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.
Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.
Определение. Декартовым произведением множеств А1, А2, , Аn называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, , n – я – множеству Аn.
Декартово произведение множеств А1, А2, , Аn обозначают так: А1( А2( ( Аn.
Пример. Даны множества: А1= (2, 3(, А2= (3, 4, 5(, А3 = (6, 7(. Найти А1( А2 (А3.
Решение. Элементами множества А1( А2 (А3 будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, третья – множеству А3.
А1( А2 (А3 =((2, 3, 6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7)(.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Цель. Уметь решать практические задачи на понятие декартова произведения и его свойств.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Декартово произведение множеств.
Свойства операции декартова произведения.
Кортеж. Длина кортежа.
Основные понятия
декартово произведение множеств;
кортеж; длина кортежа
Обозначения
А ( В = ((х, у) ( х ( А и х ( В( - запись определения декартова произведения множеств А и В.
Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание, декартово произведение.
Свойства этих операций:
дистрибутивность декартова произведения относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства: ((((( ( С ( (( ( С( ( (( ( С(, (( \ (( ( С ( (( ( С( \ (( ( С(.
Правила
Нахождения числа элементов в декартовом произведении конечных множеств: n (А ( В) = n (А) ( n (В).
Практическая часть
Обязательные задания
Элементами множеств А и В являются пары чисел: А = ((1,12), (2, 9), (3, 6), (4, 3), (5, 0)(, В = ((1,9), (2,7),(3,6), (4,7), (5,0)(. Найдите пересечение и объединение данных множеств.
Запишите различные двузначные числа, используя цифры 3, 4 и 5. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Как связано решение данной задачи с понятием декартова произведения множеств?
Перечислите элементы декартова произведения ( ( В, если: а) А = (a, b, c, d(, B = ( b, k, l(; б) А = В = (a, b, c(; в) А = (a, b, c(, В = (.
Даны множества А = (1, 3, 5( и В = (2, 4(. Перечислите элементы множеств ( ( В и В ( А. Верно ли, что: а) Множества ( ( В и В ( А содержат одинаковое число элементов; б) Множества ( ( В и В ( А равны?
Проверьте справедливость равенства ((((( ( С ( (( ( С( ( (( ( С( для множеств А = (3, 5, 7(, В = (7, 9(, С = (0, 1(. Выполняется ли для них равенство (( \ (( ( С ( (( ( С( \ (( ( С) ?
Сколько букв в слове «барабан»? Сколько различных букв в этом слове? Сформулируйте эту задачу, используя понятия множества и кортежа.
Чем отличается множество цифр в записи числа 56576 от кортежа цифр в его записи?
Изобразите в прямоугольной системе координат множество ( ( В, если: а) А = (-2; 2(. В = (2, 3, 4(; б) А = (-2; 2(. В = (2, 4); в) А = R, В = (2; 4(.
Творческие задания
Изобразите на декартовой плоскости множество ( 0; 1) ( (0,1); (0; 1( ( ( 0; 1); ( 0; 1) ( R; N ( R; N ( (1;2(;(1;2( ( N; (5;6;9(( R.
В звене 7 мальчиков и 6 девочек. Сколькими способами можно выбрать пару учеников, состоящую из мальчика и девочки, для дежурства по классу?
В каких случаях А(В = В(А?
Составьте таблицу результатов однокругового шахматного турнира трех: Иванова, Петрова, Сидорова (результаты возьмите произвольно).
Фабрика верхнего трикотажа изготовляет мужские пуловеры, женские костюмы, кофты и платья следующих расцветок: бордовая, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая. Составьте таблицу, иллюстрирующую декартово произведение множества изделий и множества цветов, и заполните ее.
Решите следующие задачи, построив дерево возможных вариантов: А) у продавца имеется три варианта мороженного: клубничное, сливочное и ореховое. Наташа и Катя решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки? Б) Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ТЕМА 3. ПОНЯТИЕ СООТВЕТСТВИЯ
Содержание
Понятие соответствия между множествами.
Способы задания соответствий.
Соответствие обратное данному.
Взаимно однозначное соответствие.
Равномощные множества. Счетные множества.
Основная литература (7, 10, 11, 16, 23, 33, 34(;
Дополнительная литература (1, 10, 14, 74(

1. Понятие соответствия между множествами
Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями.
Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения.
В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.
Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 2(7 + 6.
Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.
В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.
Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.
Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов.
N 1 N 2




Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.
Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др. Если F - соответствие между элементами множеств Х и У, то, согласно определению, F( ((У.
2. Способы задания соответствий
Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.
Пример. Соответствие между множествами Х = (1, 2, 4, 6( и У = (3, 5( можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а ( в при условии, что а ( Х, в ( У; 2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х(У: ((1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,5)(. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа и графика.
у
Х У
5 ( ( (


·
·
·
·
·
·х

3. Соответствие обратное данному
Нередко, изучая соответствие между множествами Х и У, приходится рассматривать и соответствие ему обратное.
Пример.
Пусть S – соответствие «больше на 2» между множествами Х = (4, 5, 8, 10( и У = (2, 3, 6(. Тогда S = ((4,2), (5,3), (8,6)( и его граф будет как на рисунке.
Соответствие обратное данному, - это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами У и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (См. рисунок).




Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: х S у.
Определение. Пусть S – соответствие между множествами Х и У. Соответствие S-1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S-1х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S-1 называют взаимно обратными.
Выясним особенности их графиков.
Построим график соответствия S = ((4,2), (5,3), (8,6)(
у



·
·
·
·
·
·
·
·
·
·х
у

8 (


5 (
4 (



2 3 6 х
При построении графика соответствия S-1 = ((2,4), (3,5), (6,8)( мы должны первую компоненту выбирать из множества У = (2,3,6(, а вторую – из множества Х = (4, 5, 8, 10(. В результате график соответствия S-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S-1, условились первую компоненту пары соответствия S-1 считать абсциссой, а вторую – ординатой. Например, если (5,3) ( S, то (3,5) ( S-1. Точки с координатами (5,3) и (3,5), а в общем случае (х,у) и (у,х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Чтобы построить график соответствия S-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

4. Взаимно однозначные соответствия
В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.
Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами Х и У называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества У и каждый элемент множества У соответствует только одному элементу множества Х.
Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.
Пусть Х – множество кругов, У – множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок.




Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества Х сопоставляется единственный квадрат из множества У и каждый квадрат из У соответствует только одному кружку из множества Х.
Пример
Пусть Х – множество действительных чисел, У – множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.
В математике взаимно однозначное соответствие между множествами Х и У часто называют взаимно однозначным отображением множества Х на множество У.


5. Равномощные множества
Определение. Множества Х и У называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Если множества Х и У равномощны, то пишут Х ( У.
Нетрудно видеть, что множества рассмотренные в предыдущих примерах равномощны.
Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов.
Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на » и «меньше на» . Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством Х, в котором 4 элемента, и подмножеством У1 другого множества У, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.
Х






У1
У
Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества.
Пример
Пусть Х – множество точек отрезка АВ, У – множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества точек АВ и СD равномощны.
N


A M B

С M’ D

Пример
Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество У – четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие:
N: 1 2 3 п

У: 2 4 6 2п
Замечание. На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.
Определение. Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его считают счетным.
Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастание и нумеровать один за другим. Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.
Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ
Цель. Показать практическую значимость в начальной математике понятий соответствия, способов задания соответствий; познакомится с новыми понятиями: соответствие, обратное данному, взаимно однозначное соответствие, равномощные множества, счетное множество.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Понятие соответствия между множествами.
Способы задания соответствий.
Соответствие обратное данному. Взаимно однозначное соответствие.
Равномощные множества. Счетные множества.
Основные понятия темы
соответствие, обратное данному;
взаимно однозначное соответствие;
равномощные множества;
счетное множество.

Определения, замечания, выводы
Любое соответствие S между множествами Х и Y есть подмножество декартова произведения этих множеств, т.е. S ( Х ( Y.
Задают соответствия так же, как и множества вообще.
Графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1– о и 3–го координатных углов.
Практическая часть
Обязательные задания
Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ = 7см, СD = 12 см, KL = 15cм, XY= 12см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.
Даны множества: Х = (2,5(, Y = (3,6(. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?
Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами Х и Y . Каким будет его график, если: а) Х = (2,4,6,8(, Y = N; б) Х = (2,8(, Y = R; в) Х = Y = R.
Множества Х = (1,3,4,6( и Y = (0,1( находятся в соответствии S = ((1,1), (3,0), (3,1), (4,0), (4,1), (6,1)(. Задайте соответствие S-1, обратное соответствию S, и постройте на одном чертеже их графики.
Между множествам Х – углов треугольника АВС и множеством Y – его сторон задано соответствие Т – «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.
Задайте при помощи графа соответствия между множествами Х = (а, б, с( и Y = (2, 4, 6( так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.
Даны множества: А= (1,2,5(, В = (3,7(. Найдите А(( и В(А. Верно ли, что найденные множества равномощны?
Докажите, что множество А счетно, если: а) А = (9, 10, 11, 12,(; б) А = (а (а = 3п, п (((; в) А = (а (а = п2, п (((.
Покажите, что выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств: а) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Ско
·лько марок было у Коли? б) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты? в) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям? г) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям? д) Нарисуй на другой фигуре столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).
е) Нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько на рисунке треугольников.
Творческие задания
Сколько взаиМно однозначных соответствий можно установить между двумя множествами. Состоящими из двух элементов? Из трех элементов?
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством ( и множеством ( \ (; где Р – множество натуральных чисел от 1 до п.
Является ли множество всех целых чисел счетным?

ТЕМА 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Содержание
Понятие «функция». Способы задания функций.
Прямая и обратные пропорциональности.
Основная литература (1, 2, 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34(;
Дополнительная литература (10, 13, 14, 17, 18, 20, 50, 82, 86, 87(

1. Понятие функции. Способы задания функций
Выполним два задания для младших школьников.
1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.
2) Заполни таблицу.
Уменьшаемое
5
5
5
5
5
5

Вычитаемое
0
1
2
3
4
5

Разность







С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?
Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, между которыми устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором -это множество значений вычитаемого {0, 1, 2, 3, 4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1,0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В математике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:
Определение. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R.
Множество Х называют областью определения функции.
Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f (х) и пишут у = f (х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f (х) для всех х из множества Х называют областью значений функции f.
В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве Х = {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2, 6, 10, 14}.
Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества Х соответствует единственное действительное число.
Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.
Например, формулы у = 2х - 3, у = х2, у = 3х, где х - действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение у.
Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения.
Например, функция у = 2х - 3, где х ( R, отлична от функции у = 2х - 3, где х ( N. Действительно, при х = -5 значение первой функции равно -13, а значение второй при х = -5 не определено.
Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения f (х).
Например, если функция задана формулой у = 2х - 3, то ее областью определения считают множество R действительных чисел.
Если функция задана формулой 13 EMBED Equation.3 1415, то ее область определения - есть множество R действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).
Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости.
Пусть у = f (х) функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f (х) для всех х из множества X.
Так, графиком функции у = 2х - 3, заданной на множестве R, является прямая (рис.1), а графиком функции у = х2, заданной также на множестве R, - парабола (рис. 2).






Р
Рис. 1 Рис.2
Функции можно задавать при помощи графика.
Например, графики, приведенные на рисунке 3, задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, З], а вторая - конечное множество {-1, 0, 1, 2, 3}.
у



(
( ( ( (
-1 3 х
б)
Рис. 3
Не каждое множество точек на координатной плоскости представит собой график некоторой функции. Так как при каждом значении аргумента из области определения функция должна иметь лишь одно значение, то любая прямая, параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график функции, или пересекает его лишь в одной точке. Если же это условие не выполняется, то множество точек координатной плоскости график функции не задает.

Рис. 4
Например, кривая на рисунке 4 не является графиком функции - прямая АВ, параллельная оси ординат, пересекает ее в двух точках.
Функции можно задавать при помощи таблицы.
Например, таблица, приведенная ниже, описывает зависимость температуры воздуха от времени суток. Эта зависимость - функция, так как каждому значению времени f соответствует единственное значение температуры воздуха p?:
T (в часах)
0
3
6
9
12
15
18
21
24

P ( в градусах Цельсия)










Числовые функции обладают многими свойствами. Мы рассмотрим одно из них - свойство монотонности, так как понимание этого свойства учителем важно при обучении математике младших школьников.
Определение. Функция f называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.
Определение. Функция f называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х1 , х2 из множества А выполняется условие: х1 (х2 ( f (х1) ( f ( х2).
График функции, возрастающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 5).
Определение. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х1 , х2 из множества А выполняется условие: х1 (х2 ( f (х1) ( f ( х2).
График функции, убывающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 6).

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 5 Рис.6

2. Прямая и обратная пропорциональности
Если t - время движения пешехода (в часах), s - пройденный путь ( километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t Так как каждому значению t соответствует единственное значение, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задан функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяю следующим образом.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функции которая может быть задана при помощи формулы у = kx, где k не равное нулю действительное число.
Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415.
Это число называют коэффициентом пропорциональности.
Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше.
Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т. е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.
Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.
1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел.
2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функции у = kх, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7).
3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения, при k < 0 убывает на всей области определения.
4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) -пары соответственных значений переменных х и у, причем х2 ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 7
Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у1 = kх1, у2 = kх2 . Так как х2 ( 0 и k ( 0, то у2( 0. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 и значит13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные целые числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.
Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?
Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы - величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначит буквой у, время работы х, а производительность – k, то получим, что 13 EMBED Equation.3 1415 или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.
Решить задачу можно двумя арифметическими способами:
1 способ: 2 способ:
1) 16:8 =2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)
2) 48:2=24(ч) 2) 8(3=24(ч)
Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48.
При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.
Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.
Если t - время движения пешехода (в часах), v- его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v ( t = 20 или v =13 EMBED Equation.3 1415. Так как каждому значению t (t(0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =13 EMBED Equation.3 1415. задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.
Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы 13 EMBED Equation.3 1415 где k - не равное нулю действительное число.
Название данной функции связано с тем, что в 13 EMBED Equation.3 1415есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k (k ( 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415является математической моделью многих реальных ситуации, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.
Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности.
Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х(у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k = 12. Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.
1. Областью определения функции 13 EMBED Equation.3 1415областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.
2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.
3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция 13 EMBED Equation.3 1415является убывающей на всей области определения х (рис.8). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четверти функция 13 EMBED Equation.3 1415является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).
у у
k > 0 k < 0

х х


Рис.8 Рис.9

4. Если функция f – обратная пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) – пары соответствующих значений переменных х и у, то 13 EMBED Equation.3 1415
Действительно, если функция f - обратная пропорциональность, она может быть задана формулой 13 EMBED Equation.3 1415и тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Так как х1 ( 0, х2( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.
Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?
Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ - k, то получим, что ху = k или 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность.
Решить задачу можно двумя способами:
1 способ: 2 способ:
1) 10(6 =60 (км) 1) 20:10=2 (раза)
2) 60:20=3(ч) 2) 6:2=3(ч)
Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что 13 EMBED Equation.3 1415нашли значение у при условии, что х = 20.
При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.
Замечание. При решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.
Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х(5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?
Решение. Катя купила у=2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х - обозначает количество карандашей и х(5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Цель. Раскрыть теоретические основы формирования функциональной зависимости в курсе начальной математики.
Теоретическая часть
Исторические сведения о возникновении понятия функции.
Понятие функции. Способы задания функции.
Прямая пропорциональность.
Обратная пропорциональность.
Основные понятия темы
числовая функция;
область определения функции;
область значений функции;
график функции;
прямая пропорциональность;
обратная пропорциональность.
Основные выводы, замечания
Числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы.
Функции могут обладать свойством монотонности, т.е. возрастать или убывать на некотором промежутке.
Свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности можно использовать при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами.
Практическая часть
Обязательные задания
Понятие функции является фундаментальным математическим понятием. В процессе эволюции математики оно определенным образом изменилось. Раскройте основные этапы возникновения определения функции в историческом аспекте. Приведите примеры пропедевтических учений Н. Орема (1323-1382), Г.В. Лейбница (1646-1716), И. Бернулли (1718г.), Л.Эйлера (1707-1783) о функции. Дайте определение функции М.И. Лобачевским (19 в.) и определения функции в современных учебниках алгебры и математики.
Каждому целому неотрицательному числу поставлен в соответствие его остаток от деления на 5. Изобразите схематично это соответствие, взяв в качестве множества X первые 20 натуральных чисел. Будет ли это соответствие функцией? Каким числам соответствует нуль?
Соответствие f задано следующим образом: «Каждому двузначному числу соответствует сумма его цифр». Убедитесь, что это соответствие является функцией. Укажите область определения и множество значений функции. Вычислите значения функции f (41); f (56); f (83). При каких значениях аргумента значение функции равно 2 ?
Представьте различными способами число 5 как сумму двух натуральных чисел. Запишите аналитически связь между слагаемыми. Сколькими способами можно представить 5 как сумму двух натуральных чисел?
Какие из следующих формул задают на множестве R действительных чисел функцию: а) у = 4х; б) 13 EMBED Equation.3 1415у = ; в) х2 + у2 = 4?
Связь между переменными х и у задана формулой х2 + у2 = 25. Задайте эту связь словесно и геометрически. Выразите каждую из переменных через другую. Являются ли эти зависимости функциями? Если нет, то измените соответствующие формулы так, чтобы они задавали функции.
Постройте график функции у = 5 - х, если ее область определения такова: а) Х = {0,1, 2, 3,4, 5}; б) Х = [0;5(; в) Х = R.
Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на множестве R действительных чисел: а) у = х; б) у = 3; в) х = 5; г) у = 0.
Функция f задана при помощи таблицы:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

y
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

а) Укажите ее область определения и область значений.
б) Задайте функцию f при помощи формулы.
в) Постройте график функции f на координатной плоскости.
г) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения.
Докажите, что соответствие между значениями переменных х и у, рассматриваемое в задаче, является функцией; укажите область ее значений при условии, что х < 5; постройте график данной функции: а) Катя купила 3 тетради, а Лена на х тетрадей больше. Сколько тетрадей (у) купили Лена и Катя вместе? б) Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два туриста. При встрече оказалось, что один прошел 3 км, а второй на х км больше. Каково расстояние (у км) между пунктами А и В?
Сравните функции, о которых идет речь в предыдущем упражнении. Чем они похожи? В чем их различие? Какими будут графики данных функций?
У одного ученика было 2 тетради. В течение 6 дней он каждый день покупал по 3 новых тетради. Сколько тетрадей (у) у него будет через х дней? Выразите у через х и покажите, что установленное соответствие - функция. Укажите ее область определения и область значений. Постройте график.
Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?»
Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве Х = {1,2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, равном 5, значение функции f равно 6.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?»
Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх. Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев?
Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. пред. упр.), спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8. О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь?
Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматривается в задании: а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10. б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 10. Установите, являются ли эти соответствия функциями.
Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая - х см. Какова площадь (у см2) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х ( 6. Докажите, что это соответствие - функция.
Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см2. Какова высота (у см) этого прямоугольника? Покажите, что соответствие между значениями переменных х и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 ( х ( 12.
Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами: а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч? б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы? в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго - 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м.
Творческие задания
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х. Является ли данное уравнение моделью этой задачи?
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 60х.
Найдите учебника математики для начальной школы текстовые задачи на зависимость вида у = кх.
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х + 2.
Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 15х + 20.
Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/6.
Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/4.
Приведите примеры текстовых задач начального курса математики, между величинами которых прямая пропорциональная зависимость.



ТЕМА 5. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ
Содержание
Понятие отношения между элементами одного множества.
Способы задания отношений.
Свойства бинарных отношений.
Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Основная литература (7, 10, 11, 16, 23, 33, 34(;
Дополнительная литература (1, 10, 14, 74(

1. Понятие отношения между элементами одного множества
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.
Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на», «следует» и др.
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.
Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = (2, 4, 6, 8( задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2( 4, 2 ( 6, 2 ( 8, 4 ( 6, 4 ( 8, 6 ( 8. Но все эти пары есть элементы декартова произведения Х(Х, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества Х(Х.
Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х(Х.
Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то определимся, на множестве Х мы их будем определять следующим образом:
Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х(Х.
Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.
Если R – отношения на множестве Х, то, согласно определению, R( Х(Х. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества Х(Х , то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R.
Замечание. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записать так: (х,у) ( R или х R у. Последняя запись читается : “Элемент х находится в отношении R с элементом у”.

2. Способы задания отношений
По определению отношения R между элементами множества Х есть всякое подмножество декартова произведения Х ( Х, т.е. множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы задания отношений, по существу, такие же, как и способы задания множеств.
Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множества Х и связанных этим отношением.
Формы записи при этом могут быть различными. Например, некоторое отношение R на множестве Х = (4, 5, 6, 7, 9(можно задать, записав множество пар: ((5,4),(6,4),(6,5),(7,4),(7,5),(7,6),(9, 4),(9,5),(9,6),(9,7)(.То же отношение можно задать при помощи графа.
Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно, при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называют графами.
Построим граф отношения «меньше», заданного на множестве Х = (2, 4, 6, 8(. Для этого элементы множества Х изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» – стрелкой.

2 4



8 ( ( 6
Пример
На том же множестве Х можно рассмотреть другое отношение – «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе.
2 ( ( 4




8 ( ( 6

Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство задается при помощи предложения с двумя переменными.
Пример. Пусть заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений«число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записать используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было записать в таком виде: «х ( у», «х13EMBED Equation.31415у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3). Отношение между прямыми плоскости задают, используя символы: х // у, х ( у.
Для отношения R, заданного на множестве Х, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное. Например, если R – отношение “х меньше у”, то обратным ему будет отношение “ у меньше х”.
Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» – ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?». Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

3. Свойства бинарных отношений
Мы установили, что бинарное отношение на множестве Х представляет собой множество упорядоченных пар элементов, принадлежащих декартову произведению Х((. Это математическая сущность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отношения обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые.
Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисунке, отношения перпендикулярности, равенства и «длиннее».
а


е b d

с

Построим графы этих отношений и будем их сравнивать.
a (

d ( ( c



e ( ( b



a
(
d ( ( b


c ( (e

Граф отношения «длиннее»
( a


(b
e (


d ( ( c

Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R рефлексивно на Х ( х R х для любого х (Х.
Замечание: Если отношение R рефлексивно на множестве Х, то в каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности.
Примеры рефлексивных отношений:
отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе);
отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе).
Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают.
Примеры отношений, которые свойством рефлексивности не обладают:
отношение перпендикулярности на множестве отрезков (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе);
отношение «длиннее» для отрезков.
Обратим внимание на графы отношений перпендикулярности и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обладают отношения параллельности и равенства отрезков:
если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому;
если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому.
Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков говорят, что они обладают свойством симметричности или просто симметричны.
Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R симметрично на Х (( х R х (у Rх).
Замечание. Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.
Примеры симметричных отношений:
отношение параллельности на множестве прямых (если прямая х параллельна прямой у, то прямая у параллельна прямой х);
отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F).
отношение перпендикулярности на множестве отрезков (если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому);
отношение «длиннее» для отрезков (если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому).
Пример
Рассмотрим отношение «длиннее» на множестве отрезков, которое свойством симметричности не обладает. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или просто антисимметрично.
Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что элемент отношении R с элементом х не находится.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R антисимметрично на Х (( х R у13EMBED Equation.31415 х(у (13EMBED Equation.31415).
Замечание. Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения.
Примеры антисимметричных отношений:
отношение «длиннее» на множестве отрезков;
отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х);
отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х).
Пример
Рассмотрим отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи, которое не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша, и Толя. Тогда граф отношения» быть сестрой» будет таким:

К ( ( М



(
Т
Он показывает, что данное отношение не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Обратим внимание еще на одну особенность графа отношения «длиннее». На нем можно заметить: если стрелки проведены от е к а и от а к с, то есть стрелка от е к с; если стрелки проведены от е к в и от в к с, то есть стрелка и от е к с и т.д. Эта особенность графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый отрезок длиннее второго, а второй – длиннее третьего, то первый – длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством транзитивности или просто транзитивно.
Определение. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у находится в отношении R с элементом z, следует, что и элемент х в отношении R с элементом z.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R транзитивно на Х (( х R у13EMBED Equation.31415у R z (х R z).
Замечание. Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и у к z, содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение..
Примеры транзитивных отношений:
отношение «длиннее» на множестве отрезков;
отношение равенства (если отрезок х равен отрезку у и отрезок у равен отрезку z, то отрезок х равен отрезку z.
Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d, а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны.
Рассмотрим еще одно свойство отношений, которое называют свойством связности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Определение. Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в отношении R с элементом х.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R связано на множестве Х (( х(у ( х R у( у R х).
Свойством связности обладают отношения «больше» для натуральных чисел: для различных чисел х и у можно утверждать, что х (у, либо у ( х.
Замечание. На графе связного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые свойством связности не обладают. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и у, что ни число х не является делителем числа у, ни число у не является делителем числа х.
Выделенные свойства позволяют анализировать различные отношения с общих позиций – наличия (или отсутствия) у них тех или иных свойств.
Так, если суммировать все сказанное об отношении равенства, заданного на множестве отрезков, то получится, что оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение «длиннее» на том же множестве отрезков антисимметрично и транзитивно, а отношение перпендикулярности – симметрично, но оно не обладает свойствами рефлексивности и транзитивности. Все эти отношения на заданном множестве отрезков связанными не являются.
Пример
Сформулировать свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.
Решение. «Больше в 2 раза» - это краткая запись отношения «число х больше числа у в 2 раза». Это отношение антисимметрично, так как выполняется условие: из того, что число х больше числа у в 2 раза, следует, что число у не больше числа х в 2 раза.
Данное отношение не обладает свойством рефлексивности, потому что ни про одно число нельзя сказать, что оно больше самого себя в 2 раза.
Заданное отношение не транзитивно, так как из того, что число х больше числа у в 2 раза, а число у больше числа z в 2 раза, следует, что число х не может быть больше числа z в 2 раза.
Это отношение на множестве натуральных чисел свойством связности не обладает, так как существуют пары таких чисел х и у, что ни число х не больше числа у в два раза, ни число у не больше х в 2 раза. Например, это числа 7 и 3, 5 и 8 и др.


Отношение эквивалентности и порядка
Рассмотрим на множестве дробей Х = 13EMBED Equation.31415отношение равенства. Это отношение:
рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе;
симметрично, так как из того, что дробь 13EMBED Equation.31415равна дроби 13EMBED Equation.31415и дробь 13EMBED Equation.31415равна дроби 13EMBED Equation.31415, следует, что дробь 13EMBED Equation.31415 равна дроби13EMBED Equation.31415.
Про отношение равенства дробей говорят, что оно является отношением эквивалентности.
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношение эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Примерами отношений эквивалентности могут служить отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).
Почему в математике выделили этот вид отношений? Рассмотрим отношение равенства дробей, заданное на множестве Х= 13EMBED Equation.31415

13 EMBED Equation.3 1415 ( ( 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (
( 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (

Видим, что множество разбилось на три подмножества: 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеет разбиение множества Х на классы. Это не случайно.
Замечание. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно не непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве дробей13EMBED Equation.31415соответствует разбиению этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.
Замечание. Верно и обратное утверждение: если какое – либо отношение, заданное на множестве Х, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.
Пример
Рассмотрим на множестве Х = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10( отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1(это числа 1, 4, 7, 10), и в третий – все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности. Утверждения о взаимосвязи отношения эквивалентности и разбиения на классы мы принимаем без доказательства.
Если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задать отношение равенства (оно является отношением эквивалентности), то множество отрезков разобьется на классы равных отрезков. Множество треугольников отношением подобия разбивается на классы подобных треугольников.
Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики.
Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемые. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности 13EMBED Equation.31415, неразличимы с точки зрения отношения равносильности, и дробь 13EMBED Equation.31415может быть заменена другой, например 13EMBED Equation.31415. И эта замена не изменит результата вычислений.
Во–вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. Свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.
В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее. Что имеют параллельные между собой прямые.
Вообще любое понятие, которым оперирует человек, представляет собой некоторый класс эквивалентности. «Стол», «дом», «книга» – все эти понятия являются обобщенными представлениями о множестве конкретных предметов, имеющих одинаковое назначение.
Другим важным видом отношений являются отношения порядка.
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношение порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.
Примеры отношений порядка:
отношение «меньше» на множестве натуральных чисел;
отношение «короче» на множестве отрезков.
Если отношение порядка обладает еще свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.
Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением линейного порядка, так как обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и связности.
Определение. Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.
Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если задать на нем отношение «меньше».
Если отношение порядка, заданное на множестве Х, обладает свойством связности, то говорят, что оно линейно упорядочивает множество Х.
Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с помощью отношения «меньше», и помощью отношения «кратно» – оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натуральных чисел линейно.
Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное количество отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ
Цель. Выяснить на практике свойства, которыми могут обладать отношения: рефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, связности. Раскрыть взаимосвязь между отношением эквивалентности на множестве и разбиением этого множества на классы.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Понятие отношения между элементами одного множества.
Способы задания отношений.
Свойства бинарных отношений.
Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Основные понятия темы
бинарное отношение на множестве;
отношение эквивалентности;
отношение порядка
Свойства отношений
рефлексивность;
симметричность;
антисимметричность;
транзитивность;
связность
Определения, замечания, выводы
В зависимости от свойств отношения делятся на отношения эквивалентности, отношения порядка и отношения, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Существует взаимосвязь между отношением эквивалентности на множестве Х и разбиением этого множества ни классы.
Практическая часть
Обязательные задания
Приведите примеры отношений, существующих между: а) натуральными числами; б) прямыми на плоскости; в) треугольниками; г) множествами.
На множестве Х=(0, 3, 6, 9, 12, 15, 18( задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением и постройте его граф, если: а) R – « х больше у в 3 раза»; б) R – « х больше у на 3».
На множестве Х = (2, 4, 6, 8( рассматриваются отношения «х = у», «х13EMBED Equation.31415у» и «х больше у на 2». Какое из приведенных ниже подмножеств множества Х ( Х задает данные отношения: а) ((4,2),(6,2),(8, 4),(8,6),(2,2),(4,4),(6,6),(8,8)(; б) ((4,2),(6,4),(8, 6)(; в) ((2,2),(4,4),(6,6),(8,8)(.
Отношение « х ( у» рассматривается на множестве Х. Каким будет его график на координатной плоскости, если: а) Х = (2,4,6,8(; б) Х – множество натуральных чисел; в) Х – множество действительных чисел?
На множестве отрезков задано отношение «короче». Верно ли, что оно антисимметрично и транзитивно? Рефлексивно ли оно?
Какими свойствами обладают следующие отношения, заданные на множестве натуральных чисел: а) «меньше»; б) «меньше на 2»; в) «меньше в 2 раза» ?
На множестве отрезков задано отношение Р: «отрезок х длиннее отрезка у». Постройте граф этого отношения и задайте различными способами отношение, обратное данному.
a
b
c
d

Докажите, что отношение R, заданное при помощи графа рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
a
( ( b


( c

Докажите, что отношение Т, заданное при помощи графа симметрично и транзитивно.
a ( ( b

( с
Сформулируйте условия, при которых отношение свойством рефлексивности не обладает, и докажите, что отношение Т (см. упр. 7) не рефлексивно.
Докажите, что отношение Р, граф которого изображен на рисунке, не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности, ни свойством транзитивности.
а (

b ( ( c
Какими свойствами обладает отношение, граф которого изображен на рисунке? Является ли оно рефлексивным? Транзитивным?

а
(

b ( ( c
Какие из следующих утверждений истинны: а) Отношение «х больше у на 3» антисимметрично на множестве N, так как из того, что х больше у на 3, не следует, что у больше х на 3; б) Отношение “х больше у на 3” антисимметрично, так как из того, что х больше у на 3, следует. Что у не больше х на 3; в) Отношение “х больше у на 3” антисимметрично, так как из того, что х больше у на 3, следует, что у меньше х на 3.
На множестве Х=(a, b, c( задано отношение R = ( (a,b), (a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (c,b)(. Какими свойствами оно обладает?
На множестве Х= (2, 4, 6, 8, 12(заданы отношения «больше» и «кратно». В чем их сходство и различие?
Установите, какое отношение рассматривается в задаче; какие приемы анализа задачи можно использовать:
а) Школьники сделали к карнавалу 15 шапочек для мальчиков, а для девочек в 2 раза больше. Сколько всего карнавальных шапочек они сделали?
б) Второклассники вырезали для елки 26 звездочек, это в 2 раза меньше. Чем снежинок. Сколько всего звездочек и снежинок вырезали второклассники?
Объясните, почему отношение равенства отрезков является отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.
Х – множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: а) «х параллельна у»; б) «х перпендикулярна у»; в) «х пересекает у»?
На множестве Х = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10( задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Является ли оно отношением эквивалентности?
Можно ли разбить множество Х = (7-3; 22; 5(2; 60: 6; 1+ 3; 0: 4; 0(10; 4:10-10)( на классы при помощи отношения «иметь равные значения»?
На множестве Х = (213, 37, 21, 87, 82( задано отношение Р – «иметь в записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением эквивалентности?
На множестве целых чисел от 0 до 999 задано отношение К – «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что К – отношение эквивалентности. На сколько классов эквивалентности разбивается данное множество при помощи отношения К? Назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса.
Сколько классов эквивалентности порождает на множестве натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же цифрой». Назовите по одному представителю каждого класса.
Х – множество отрезков. Какие из следующих отношений являются отношениями порядка на этом множестве: а) «х равно у»; б) «х длиннее у»; в) «х длиннее у в 3 раза»?
Упорядочивают ли множество натуральных чисел отношения: а) «больше в 2 раза»; б) «больше на 2»; в) «непосредственно следовать за»; г) «х – делитель у»?
Отношение Т – «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве Х = (1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11(. Является ли Т отношением эквивалентности? Отношением порядка?
Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны; свой ответ обоснуйте:
а) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел рефлексивно и симметрично.
б) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел антисимметрично и транзитивно.
в) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел является отношением порядка.
Между множествами существуют отношения равенства, равномощности, «быть подмножеством». Какие из них являются отношениями эквивалентности, а какие отношениями порядка?
Решите задачи для младших школьников и укажите свойства отношений, которые были при этом использованы: а) Мальчик составил пирамидку из трех колечек: желтого, красного и зеленого. В каком порядке он расположил колечки, если желтое больше зеленого, а красное меньше зеленого? б) Четверо учащихся получили разные оценки за контрольную работу. Игорь получил оценку выше, чем Петр, Петр ниже, чем Максим, но выше, чем Кирилл. Кто получил самую низкую оценку?
Творческие задания

Транзитивно ли отношение, граф которого
Показать, что отношение «иметь одинаковые остатки при делении на 3» – эквивалентность.
Доказать, что если отношение несимметрично, то оно не может порождать разбиение множества на классы.
Доказать, что если отношение нетранзитивно, то оно не может порождать разбиение множества на классы.
Множество натуральных чисел разбито на множество однозначных, двузначных, трехзначных и т.д. чисел. Сформулируйте отношение эквивалентности, которому подчинено данное разбиение.

ТЕМА 6. ВЫРАЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЕ. НЕРАВЕНСТВО
Содержание
Выражения и их тождественные преобразования.
Числовые равенства и неравенства.
Уравнения с одной переменной.
Неравенства с одной переменной.
Основная литература (1, 2, 3, 7, 10, 11, 16, 17, 19, 22, 23, 33, 34, 37, 38(;
Дополнительная литература (12, 28(

1. Выражения и их тождественные преобразования
Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, - это уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и числовых неравенствах, уравнениях и неравенствах.
Изучение данных понятий связано с использованием математического языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются, и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он буде представлен частично, в связи с необходимостью больше внимания уделить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:
1) цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;
2) знаки операций +, -, , :;
3) знаки отношений <, >, =, (;
4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обо значения чисел;
5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.
Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения - числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.
Как известно, записи 3 + 7, 24 : 8, 3 ( 2 - 4, (25 + 3) (2 -17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий, скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3 (2 - 4 равно 2.
Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла.
Например, выражение 8 : (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.
Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:
если а = 7, то 2(7 + 3;
если а = 0, то 2(0 + 3;
если а = - 4, то 2((- 4) + 3.
В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной.
Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например (. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2(( + 3.
Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.
Например, область определения выражения 5 : (х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х = 7 выражение 5 : (7 - 7) смысла не имеет.
В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных.
Например, 2а + 3 - это выражение с одной переменной, а (3х + 8у) (2 - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения.
Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения - это слова математического языка.
Но, используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - (12 или 3х – у : + )8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий. Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).
Определение. Если f и q - числовые выражения, то (f) + (q), (f) - (q), (f) ( (q), (f) (q)- числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.
Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6): (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо.
Например, пишут так: 37 – 12 + 62 - 17+13 или 120 :15-7:12.
Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12-4:3) + (5-8:2-7) записывают так: 12 – 4 : 3 + 5 – 8 : 2 - 7.
Задача. Найти значение выражения 3х (х - 2) + 4( х - 2) при х = 6.
Решение
1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3 ( 6-(6 - 2) + 4((6 - 2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия: 3(6( (6 - 2) + 4( (6-2)= 18( 4 + 4 ( 4 = 72 + 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения Зх (х- 2) + 4(х-2) равно 88.
2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: Зх (х - 2) + 4(х - 2) = (х - 2)(3х + 4). И затем, подставив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия: (6 - 2) ( (3(6 + 4) = 4( (18 + 4) = 4(22 = 88.
Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим.
Например, выражение 18(4 + 4(4 заменяли выражением 72+16, а выражение Зх (х - 2) + 4(х - 2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.
Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.
Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях х их значения равны.
Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.
Например, 5(х + 2) = 5х + 10 - тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (( х ( R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.
Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгебраических операций.
Задача. Разложить на множители выражение ах - bх + аb - b2.
Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ах - bх+ аb - b2 = (ах-bх)+(аb-b2). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.
Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ах - bх) + (аb - b2) = х(а -b) + b(а - b) - это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел.
В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: х(а - b) + b(а - b) = (а - b)(х -b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.
Итак, ах - bх + аb - b2 = (а - b)(х -b) .
В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др.
Например, чтобы найти произведение 35 ( 4, надо выполнить преобразования: 35 ( 4 = (30 + 5) ( 4 = 30 ( 4 + 5 ( 4 = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобразований лежат: свойство дистрибутивности умножения относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 = 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.

3. Уравнения с одной переменной
Возьмем два выражения с переменной: 4х и 5х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание.
Например, при х = -2 предложение 4х = 5х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4-1 = 5-1+2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.
В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:
Определение. Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) = q(х) называется уравнением с одной переменной.
Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.
Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.
Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х-1)(х+2)=0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,- 1}.
Уравнение (3х + 1) ( 2 = 6х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.
Уравнение (3х + 1)-2 = 6х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имеет корней и что множество его корней пусто.
Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.
Определение. Два уравнения f1(х) = q1(х) и f2(х) = q2(х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Например, уравнения х2 - 9 = 0 и (2х + 6)(х - 3) = 0 равносильны так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и уравнения (3х + 1)-2 = 6х + 1 и х2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.
Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.
Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения.
Теорема 1. Пусть уравнение f(х) = q(х) задано на множестве и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение f(х) = q(х) (1) и f(х) + h(х) = q(х) + h(х) (2) равносильны.
Доказательство. Обозначим через Т1, - множество решений уравнения (1), а через Т2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т2, является корнем уравнения (1).
Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда а ( Т1, и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(а) = q(а), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(а) имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(а) = q(а) числовое выражение h(а). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т1 ( Т2.
Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а ( Т2, и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение - h(а). Получим истинное числовое равенство f(а) = q(а), что число а - корень уравнения (1).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. Т2 ( Т1.
Так как Т1 ( Т2 и Т2 ( Т1, то по определению равных множеств Т1 = Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.
Данную теорему 1 можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = q(х), задано на множестве Х и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = q(х) и f(х) ( h(х) = q(х) ( h(х) равносильны.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, х ( R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Преобразования
Обоснование преобразований

1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: 13 EMBED Equation.3 1415
Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения.

2. Отбросим общий знаменатель: 6 – 2х = х.
Умножим на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному.

3. Выражение – 2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком: 6=х+2х.
Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному.

4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6=3х.
Выполнили тождественное преобразование выражения.

5. Разделим обе части уравнения на 3:х=2.
Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному.

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - корень этого уравнения.
Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, что они приводили к уравнению, равносильному данному.
Рассмотрим, например, уравнение х(х-1)=2х, х ( R. Разделим обе части на х, получим уравнение х-1=2, откуда х=3, т.е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0((0-1)=2(0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т. е. умножили выражение 13 EMBED Equation.3 1415, но при х=0 оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.
Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х(х-1)-2х= 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х–3)=0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому х или х-3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения – 0 и 3.
В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х(9):24=3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х( 9 =24(3, или х( 9=72.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х=72:9, или х=8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.
4. Неравенства с одной переменной
Предложения 2х+7>10-х, х2+7х<2, (х+2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.
В общем виде это понятие определяют так:
Определение. Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) ( q(х) или f(х) ( q(х) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.
Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
Так, решением неравенства 2х +7>10-х, х ( R является число х=5, так как 2(5+7>10-5- истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, (), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+7>10-х ( 3х> ( х>1.
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Например, неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток 13 EMBED Equation.3 1415
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используется свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 3. Пусть неравенство f(х) ( q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) ( q(х) и f(х)+ h(х) ( q(х)+ h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f(х) ( q(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d ( q(х)+ d, равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 4. Пусть неравенство f(х) ( q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х)( h(х) ( q(х)( h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) ( q(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х) ( d ( q(х) ( d , равносильное данному.
Теорема 5. Пусть неравенство f(х) ( q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) ( q(х) b f(х)( h(х) ( q(х)( h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) ( q(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)( d ( q(х) ( d, равносильное данному.
Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ( R , и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования
Обоснование преобразований

1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число – 5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х – 2х ( 16 + 5
Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному.

2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х ( 21.
Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства – они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.

3. Разделим обе части неравенства на 3: х ( 7.
Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному.

Решением неравенства х < 7 является промежуток (- (, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 1х + 16 является промежуток (- (, 7).

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Цель. Уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), о числовых неравенствах и равенствах.

Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Алфавит математического языка.
Выражения (числовые и с переменными), их тождественные преобразования.
Числовые равенства и неравенства, их свойства.
Основные понятия темы
числовое выражение;
значение числового выражения;
выражение, не имеющее смысла;
выражение с переменной (переменными);
область определения выражения;
тождественно равные выражения;
тождество;
тождественное преобразование выражения.
числовое равенство;
числовое неравенство

Практическая часть
Обязательные задания
Среди следующих записей укажите числовые выражения: а) 42: 5; б) 27; в) 32 + - ) : 14; г) 2 ( 7 = 7 ( 2; д) (17 + 130 : 10 – 15; е) 142 ( 71 ( 2.
Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматривать их на множестве натуральных чисел: а) (135+67) ( 12; б) (135 - 217):2; в) 362 : 4?
Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными: а) 8 + 0,3b; б) 21 – (4 + у); в) х + 2у ( 7; г) 32 : у + 3 = 5у?
Установите, какая область определения выражений, если рассматривать их на множестве действительных чисел: а) (3 – у) : 64; б) 64 : (3 – у); в) (5 + х) : ( х – 12).
Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:
Выражение
Название выражения

(12 ( 5 + 3 : (2 + 7 ) ) ( 18


(23 – 7 ( 6 – 4 + 15) : (17 – 6)


21 + (35 ( 3 : 8- 14 :5)


19 – 8 : 4 +5


Вычислите значение выражения: а) ((36 : 2 – 14) ( (42 ( 2 – 14) + 20) : 2; б) (72 : 12 – (18 – 15)) : (24 : 3 – 2 ( 4); в) (16,583 : 7,21 + 54,68 ( 853,2 + 28,82 ( 0,1) : 1, 6 – 1,02.
Выясните, являются ли выражения 3 (4 - х) и 12 – 3х тождественно равными на множестве: а) {1, 2, 3, 4}; б) действительных чисел.
Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел: а) 3р + 5а = 5а + 3р; в) 3р ( 5а = 5а ( 3р; б) 3р – 5а = 5 а -3р; г) 3р : 5а = 5а : 3р?
Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений: а) 324(5 =(300+20+4)(5= 300(5+20(5+4(5= 1500+100+20 = 1500+120 = 1620; б)97(12 =(100 - 3) (12= 100(12-3(12= 1200-36= 1100+(100-36)= 1164; в) 5 (1-2х)+ 10х = 5-10х+ 10х = 5.
Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?
Упростите выражение путем тождественных преобразований: а) 6 (2аb-3)+2а (6b-5); б) (12а-16b):4 - (10а-4b).
Сравните значения выражений, не выполняя действий: а) (30+56) ( 5 и 30(5+56(5; б) (19+4) ( 7 и 19(7+10(7; в) (14-7) ( 6 и 16 ( 6 - 7(6; г) (18 - 9) (7 и 18 ( 7 – 11 ( 7.
Решите задачу; решение запишите в виде выражения:
а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?
б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будут шить в день на 50 фартуков больше?
в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?
Установите, какие из следующих числовых равенств и неравенств истинны:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 1, 0905 : 0,025 – 6,84 ( 3,07 + 2,38 : 100 ( 4, 8 : (0,04 ( 0,006).
Проверьте, истинны ли числовые равенства: 13(93 = 31(39,14(82 = = 41(28, 23(64 = 32(46. Можно ли утверждать, что произведение любых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?
Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:
а) 2х ( 2у; в) 2х – 7 ( 2у – 7;
б) - 13 EMBED Equation.3 1415; г) – 2х – 7 ( - 2у – 7 ?
Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:
а) – 3,7 а * - 3,7 b; г) _ 13 EMBED Equation.3 1415 * - 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 0,12 а * 0,12 b; д)-2(а+5) * -2(b+5);
в) 13 EMBED Equation.3 1415 * 13 EMBED Equation.3 1415 ; е)13 EMBED Equation.3 1415(а-1) * 13 EMBED Equation.3 1415(b-1)
Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6; 13 EMBED Equation.3 1415.
Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство 5а > 3а истинно?
Выполните задания, которые предназначаются ученикам начальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в начальном курсе математики понятия числового равенства и числового неравенства:
а) Запиши два верных равенства и два верных неравенства, используя выражения: 9 ( 3, 30 - 6, 3 ( 9, 30 - 3. б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными: 4 + 2 ( 3 = 18; 31-10-3=24; 54-12+8=34. в) Поставь вместо * знаки действий так, чтобы получились верные равенства: 3*6*2=9; 9*3*6=18.
Творческие задания
Какие ответы учеников вы будете считать правильными при выполнении ими задания - сравнить выражения, не вычисляя их значения: а) 70 ( 32+9 ( 32...79(30+79(2; б)7 ( 4+3 ( 4...(7+8) ( 4; в) 8500:1700 ...8500:100:17; г) 24 ( 6080 ...(6000+80) ( 24?
Составьте текстовую задачу, решение которой можно оформить в виде числового выражения (12 + 9) ( 4. Сколькими арифметическими способами можно решить эту задачу? Какова теоретическая основа разных способов арифметического решения этой задачи?
Составьте текстовые задачи, математическая модель которых: а) 17 ( 3; б) (5 + 7 ) ( 8; в) (25 + 43) ( 3.
Составьте текстовые задачи, математическая модель которых: а) 35 : 7; б) (21 + 18) : 3; в) (1 + 14) : 3.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Цель. Углубить знания о числовых неравенствах и равенствах. Раскрыть трактовку понятий равенства и неравенства в начальном курсе математики.

Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Уравнения с одной переменной.
Теоремы о равносильности уравнений с одной переменной.
Неравенства с одной переменной.
Теоремы о равносильности неравенств с одной переменной.
Основные понятия темы
уравнение с одной переменной;
корень уравнения;
что значит решить уравнение;
равносильные уравнения;
неравенство с одной переменной;
решение неравенства;
что значит решить неравенство;
равносильные неравенства.
Замечания, выводы
рассмотрены теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.
Знание определений всех названных выше понятий и теорем о равносильности уравнений и неравенств - необходимое условие методически грамотного изучения с младшими школьниками алгебраического материала.

Практическая часть
Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:
а) (х-3) ( 5= 12х; г) 3+(12-7) ( 5 = 16;
б) (х-3) ( 5= 12; д) (х-3) ( у =12х;
в) (х-3) ( 17+ 12; е) х2 - 2х + 5 = 0.
Уравнение 2х4 + 4х2 -6=0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.
В уравнении (х + ...)(2х + 5) - (х - 3)(2х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.
Сформулируйте условия, при которых: а) число 5 является корнем уравнения f(х) = q(х); б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = q(х).
Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:
а) 3+7х= - 4 и 2(3+7х)= - 8; б) 3+7х = - 4 и 6+7х = - 1; в) 3+7х = - 4 и х + 2=0.
Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?
Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) х - 13 EMBED Equation.3 1415; в) (2 – х) 2 – х ( х – 1,5) = 4.
Учащийся решил уравнение 5х + 15 = 3х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, получил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на выражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415; х (R. Является ли число 2 корнем этого уравнения?
Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:
а) (х + 70) 4 = 328; в) (85х + 765): 170 = 98;
б) 560 : (х + 9) = 56; г) (х - 13581): 709 = 306.
Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:
а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?
б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Найдите скорость велосипедиста на первом участке пути.
Установите, какие из следующих записей являются неравенствами с одной переменной:
а) - 12 - 7х < 3х + 8; г) 12х + 3(х- 2);
б) 15(х + 2) > 4; д) 17-12 ( 8;
в) 17( (13+8)< 14 - 9; е) 2х2 + 3х – 4 > 0.
Является ли число 3 решением неравенства 6 (2х + 7) < 15(х + 2), х (R? А число 4,25?
Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:
а)-17х < -51 и х > 3; б) 13 EMBED Equation.3 1415 > 0 и 3х – 1 >0; в) 6 - 5х > - 4 и х < 2?
Какие из следующих высказываний истинны: а) -7х < -28 ( х > 4; б) х < 6 ( х < 5; в) х < 6 ( х < 20?
Решите неравенство 3(х - 2) - 4(х + 1) < 2 (х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.
Докажите, что решением неравенства 2 (х +1) + 5 > 3 - (1-2х) является любое действительное число.
Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х)-2 > 5- 3х.
Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника: а) меньше 22 см; б) больше 17 см?
Творческие задания
Решите задачу различными алгебраическими способами: «От деревни до совхоза 20 км, а от совхоза до станции 40 км. Из совхоза по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/час. Одновременно на станцию через совхоз по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?».
Решите задачу алгебраическим и арифметическим методом: «В двух пачках всего 30 тетрадей, Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?».
Решите задачу алгебраически и проверьте, решив арифметически: «Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от А на 20 км, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/час, а мотоциклист со скорость. 16 км/час. на каком расстоянии от пункта А догонит мотоциклист велосипедиста?».
Решите задачу арифметическим методом и проверьте, решив ее алгебраическим: «В двух кусках одинаковое количество тканей. После того как от одного куска отрезали 18 м, а от другого 25 м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске?».
Решите задачу алгебраическим методом. Что в условии задачи явилось обоснованием к составлению уравнения? Бригада рабочих должна была за определенный срок изготовить 400 деталей. В течение 5 дней бригада перевыполнила дневную норму на 20 %, а в последующие дни изготовляла ежедневно по 15 деталей сверх плана и уже за два дня до срока изготовила 405 деталей. Сколько деталей должна была изготовлять ежедневно бригада по плану?
Решите задачу. Какой метод решения задачи выбрали? Как выполнили проверку решения задачи? Группа туристов отправилась на экскурсию из города А в город В на пароходе, а возвратилась обратно по железной дороге. Расстояние от А до В по воде 96 км, а по железной дороге 72 км. Поезда по железной дороге продолжалась на 2 час. 40 мин. меньше, чем на пароходе. Средняя скорость парохода на 30 км/час меньше скорость поезда. Какова скорость движения парохода и поезда?
Составьте текстовые задачи по математической модели.
а) 13 EMBED Equation.2 1415; b) 13 EMBED Equation.2 1415 .
Составьте текстовые задачи, математической моделью которых являются неравенства: а) х + 5 ( 10; б) х + 5 ( 5. Составленные задачи решите арифметически, алгебраически и графически. Сколько решений имеют составленные задачи?
Составьте текстовые задачи, моделью которых являются системы уравнений:
а) 13 EMBED Equation.2 1415; b) 13 EMBED Equation.2 1415; c) 13 EMBED Equation.2 1415
Составленные задачи решите арифметически, алгебраически и графически. Какие величины рассматриваются в задачах?

КОНТРОЛЬНАЯ (ЗАЧЕТНАЯ) РАБОТА
Группа А
1. Выбери правильный из ответов:
а) множество – это набор объектов определенной природы;
б) под множеством понимают совокупность объектов, отвечающих определенным свойствам;
в) под множеством понимают совокупность элементов, которые можно пересчитать.
2. Среди следующих высказываний укажите истинные: а) 100 ( N; б) -8 ( Z; в) 5,36 ( Q; г) 13 EMBED Equation.3 1415( N; д) 0 ( Z; е) -3(N; ж) 13 EMBED Equation.3 1415( Q; з)102(R; и) 1,3( N.
3. Х – множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: а) «х параллельна у»; б) «х перпендикулярна у»; в) «х пересекает у»?
Группа Б
1. Найдите А((, А((, А \ В, если: А = ( х ( х(R, -5( х( 5(, В = ( х ( х(R, 1( х ( 4(.
Из множества К = (0, 2, 6, 8, 9, 12, 15(выделили два подмножества: К1 - числа, кратные 2; К2 -числа, кратные 3. Произошло ли разбиение множества К на классы? Почему?
3. На множестве Х=(0, 3, 6, 9, 12, 15, 18( задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением и постройте его граф, если: а) R – « х больше у в 3 раза»; б) R – « х больше у на 3».
Группа В
Даны два множества А =(4, 6, 8( и В =(3, 7(. Найдите множества А (( и (((. Можно ли установить взаимно однозначное соответствие между ними?
2. Проверьте справедливость равенства (( \ (((С((((С( \ (((С( для множеств А = (3, 5, 7(, В = (5, 7(, С = (1, 4(.
3. На множестве Х = ( 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21( задано отношение «иметь один и тот же остаток от деления на 4». Показать, что данное отношение есть отношение эквивалентности, записать все классы эквивалентности, на которые разбивается множество Х, построить граф этого отношения.

Критерии оценки: Задания группы А оцениваются 1 баллом, группы Б – 2 баллами, группы В – 3 баллами. Выполнение заданий группы А обязательно; за каждое не правильно выполненное задание этой группы от общего количества баллов вычитают 1 балл. За 7-10 баллов студент получает оценку «3» (зачет), за 11-14 – оценку «4», за 15 – 18 – оценку «5».




МОДУЛЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ИХ СТРУКТУРА
Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся начальных классов, важное место, в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их, определять необходимый и достаточный для решения поставленной задачи набор аргументов, т. е. способность правильно находить и доказывать высказанные предложения. Однако в курсе математики начальных классов специально этот вопрос не изучается, т. к. принято считать, что доказательств там просто нет. Одной из причин, не разработанности этой проблемы, также является то, что в начальной математике почти нет определений. Но это не означает, что при изучении математики в начальной школе ученики не устанавливают логических связей между математическими фактами, а только усваивают эти факты - в действительности это не так. Доказательства имеют место и при вычислении значений выражений, и при составлении таблиц вида ( + 1; ( - 1, и при усвоении принципа построения натурального ряда чисел и других математических операциях. Конечно, такие логические обоснования математических рассуждений в начальной школе нельзя считать доказательствами в строго логическом и математическом смысле, а правильнее было бы их назвать «преддоказательствами» (А.Е. Мерзон). Главная задача изучения которых, заключается в овладении школьниками умением логически рассуждать, правильно мыслить. Поэтому будущим учителям начальной нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства.
Изучение материала этого модуля связано с овладением теоретико–множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса.
Студент должен уметь:
анализировать логическую структуру определений понятий, находить логические ошибки в определениях знакомых понятий;
пользоваться определениями при решении задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия;
анализировать логическую структуру высказываний (высказывательных форм) и находить значение истинности составных высказываний (в том числе высказываний с кванторами);
строить отрицание высказываний различной структуры;
устанавливать наличие (отсутствие) отношения логического следования (равносильности) между высказывательными формами;
решать текстовые задачи различными методами и способами; обосновывать выбор действия при арифметическом методе решения, используя соответствующую математическую теорию.
ТЕМА 7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Содержание
Математические понятия. Объем и содержание понятия.
Отношения рода и вида между понятиями.
Определение понятий.
Требования к определению понятий.
Контекстуальные и остенсивные определения.
Основная литература (7, 14, 16, 24, 25, 30, 33, 34(;
Дополнительная литература (26, 44(

1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
Изучая математику в школе, колледже, вузу, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства.
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие свойства квадрата.
Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Так, например, названые свойства квадрата являются существенными, а свойство «сторона АВ квадрата является вертикальной» несущественное. Если квадрат повернуть, то сторона АВ окажется расположенной по – другому. (Рис. 1)

В
В С

А С

А D
D Рис. 1
Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.
Когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином, словом, названием. Так, когда говорят о квадрате, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Совокупность всех квадратов составляет объем понятия квадрата.








13PAGE 143015


13PAGE 148815



С

А




Граф отношения равенства

N

В


A A

В

А

В

А

А=В

А

В

В

А

А

В

А

В
(B

A



В

A



У

A



B


C

B

A

B


C


A

А \ В

В

ВА

B

Х

В



Числа не кратные 3

кратные 3

I

II



III



С

А

В

Рис. 1

(3


(5

1(

2(

3(

В




(2
(3
(6

4(
5(
8(
10(

Граф отношения перпендикулярности

(2
(3
(6

4(
5(
8(
10(

(3


(5

1(2(4(6((

(4

(11

1(
2(
3(

(4

(20

а(
б(
в(

13 EMBED Word.Picture.8 1415

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Х


У




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation Native15Times New Roman

Приложенные файлы

  • doc 18349182
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий