Matematicheskie_osnovy_interpretatsii_geofiz_da..


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
УНИВЕРСИТЕТ
КОБРУНОВ
ТЕОРИИ
ГЕОФИЗИЧЕСКИХ
УЧЕБНОЕ
Кобрунов
Математические
теории
геофизических
Текст]:
учеб
Кобрунов
Ухта
УГТУ
Учебное
пособие
лубленное
изучение
целого
Оно
обеспечивает
изучение
дисциплин
основы
Теоретические
геофизической
углубленное
изучение
спецкурсов
всего
также
аппаратом
учебному
будут
изучении
математического
Учебное
студентов
специальностям
Геофизические
исследования
специализирующихся
данных
курсовых
геолого
Оно
Геофизика
нефтегазопромысловая
моделирование
учебном
модели
данных
уровни
условиях
учета
особенностей
специфики
подробно
методы
сложных
геологических
компьютерных
Губкина
доктор
Серкеров
доктор
наук
Никитин
государственный
технический
Кобрунов
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предγсловγе
.................................................................................................5
.....................................................12
Введенγе
......................................................................................................16
ИССЛЕДОВАНИЙ
...........................20
.............20
исследований
.......................................................21
исследований
...................................................26
Модели
...............................................................................................................31
....................................................................................34
2.
.....................................................39
.........................................................................................................39
..................................................................................39
Структурная
модель
.........................................................................................................42
Двухмерные
уравнений
.....................................................................................43
уравнения
Лапласа
Пуассона
.....................................44
...................................................................................................45
...............................................................................................................49
уравнения
........................................................................................................49
Лучевая
сейсмических
................................................................................56
томография
временных
...................................................58
...........................................................................59
.................................................................................................60
........................................................................................................63
3.
ЗАДАЧАХ
ГЕОФИЗИКИ
.......66
...................................................................66
.......................................................73
.................................................................................75
...........................................................85
Основные
...............................................................................................85
........................................................................................................................89
случай
...................................................................................................90
Бесконечномерный
случай
..............................................................................................92
регуляризации
......................................................................................93
......................................................................................................93
.................................................................................................97
Регуляризация
...............................................................................99
.......................................................................................................99
регуляризация
.................................................................................................100
Выводы
......101
5.
ОБРАℵНЫХ
ГЕОФИЗИКИ
..................................................................................103
проблема
................................................................103
Критерии
..................................................................................111
классы
для
критериев
.118
классы
.............121
решений
.................................................................125
.................................................................................................................127
экстремальных
...............................127
построения
решений
.......................130
критерии
...............................................................................135
6.
ЭВОЛЮЦИОННО
ДИНАМИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
..................................................142
рассмотрения
...............................................................................................................142
...............................................................................................150
структурных
...........................................................................................156
7.
.......................................159
свойства
.........159
классы
распределения
........................................................170
Конструирование
экстремальных
распределений
..........184
...............................................................185
........................................188
классы
структурной
.............................................189
Конструирование
экстремальных
............195
решения
структурной
экстремальных
............................................................................................................196
использованием
спектральной
структурной
..............................................197
структурной
экстремальных
............................................................................................................200
.......................................................202
.....................................................................................................202
Послесловγе
.............................................................................................204
Прγложенγе
пространства
...................206
..........................................................................................................................206
..205
.........206
..208
матриц
...............................................................................................................................210
.............................................................................................................................210
матриц
...........................................................................................................................210
.......................................................................211
Экстремальные
........................................................................213
................................................................................................................214
элементам
................................................................214
Прγложенγе
Экстремальные
..........................................218
.218
*...............................................................................................................................220
Элементы
функционального
....................................................................................224
.231
функциональных
..............................................................................235
............................................................................................................239
Библиографические
..............................................................................................247
Прγложенγе
................248
Прγложенγе
Варγацγонные
геометрγческγе
прγнцγпы
...................................262
наименьшего
действия
...........................................................................................262
...............................................................269
)...............................275
Конструирование
уравнений
нарушенной
симметрией
.............281
мужество
пользоваться
Предисловие
пособия
просвещения
Следуя
Иммануилу
XVIII
Несовершеннолетие
кого
недостаток
пример
умения
рекомендованным
выработка
мужества
собственным
конструировании
случае
методов
информации
данных
Учебное
пособие
студентов
методы
ископаемых
специализирующихся
научным
математических
моделей
геофизических
собранного
пособии
рассмотрение
недоопределенных
вычислительных
технологических
связанных
решением
уравнений
содержательных
смыслу
содержанию
изучаемом
Другой
пособия
служит
своего
самостоятельных
науч
вплотную
изученного
пособие
аспирантов
только
математика
математическое
общедоступных
любую
возникающих
уже
достигнутых
вычислительных
существенных
наращивание
обеспечения
будет
делать
более
рутинной
изучении
методов
глубоком
осмыс
процедур
анализа
том
изучаемых
учебное
пособие
указан
сегодня
учебной
литературе
рассматриваемого
требует
постоянного
математической
математических
методов
Следует
язык
математики
недвусмысленно
способа
чаще
трудность
математической
отсутствие
трудностям
Студенты
слушать
интегрированного
дело
доходит
уравнений
уравнений
еще
одна
Она
уже
боящихся
математической
студентов
доступные
числительные
купе
красивыми
визуализации
задачи
звучащую
адаптивную
получим
источников
худой
эффективных
результат
выводы
фундаментальные
результаты
характеризующие
доказы
простых
владение
компьютерными
фундаментальных
законов
сожалению
учебной
литера
туре
литература
уже
стала
учебное
пособие
эту
проблематику
том
следует
убедиться
приступить
случае
можно
главы
возможно
опуская
приведены
внутренний
нужны
других
утверждений
уже
используются
следует
вернуться
чтением
ознакомиться
приложением
используемый
сотрудничеству
моделей
служить
самостоятельных
научных
исследований
курсовых
диссертаций
группа
.....................................221
преобразование
.....................226
часть
конструкции
..................................................78
группы
................................250
........................................................222
.....................................................253
матриц
...........................................209
Даламбера
................................................279
функция
....................................85
..............33
.....75
......................31
.............................113
Атрибуты
поля
..............................................33
.....................................275
.........................................219
элементы
....................................207
Бесконечные
..................................237
операция
.....................................221
................111
уравнение
....................232
......................................49
........221
.........220
.............................97
уравнение
.......280
уравнение
.....................................52
................233
упорядоченное
...........218
Выпуклая
комбинация
...............................207
Выпуклая
множества
.................222
.........................196
.............182
..................................................250
группы
..............................250
группы
...............253
.............................................278
....................157
..................................23
.....................23
........................234
.......................................230
Группа
..........................................................247
Группа
....................................................249
Двухмерные
экстремальных
..............................198
Денудации
......................................63
..........................34
Деформационная
.151
.........................148
......151
преобразование
..................153
..............152
.....................................................50
вещества
..................149
структурных
..............155
.................................32
......................................33
.............................33
)...................................262
...........................206
............................69
............................................44
наилучшем
..........242
......34
детального
.......................37
.....................................37
Гука
....................................................49
..................................................61
....................................................276
......................265
энергии
.........266
лагранжиана
.........269
.......................................61
Замкнутые
...............................219
Замкнутый
..................................230
...................................................219
...............................225
редукция
....................................86
........................................119
экстремальный
.............125
экстремальный
распределений
..........................................................171
)(
VL
группы
.................................252
Импульсы
...................................................264
................37
.............141
Интерпретационная
модель
..................21, 26
Интерпретация
.......................................20, 28
Интерпретация
нарушение
)............................283
преобразование
......249
Информационная
модель
............................26
Информационная
модель
............................21
регуляризация
...................100
экстремальных
..............................199
................................77
.........................................................186
симметрии
...............271
.................................................272
уравнения
....................................................282
...............272
...........................................91
...............................................74
................................217
.............................218
................................261
единственности
..................................73
смежности
..........................................71
................................73
......................................232
Ковариантное
..........277
Ковариантные
..............................275
Коммутационное
.................251
..............................226
.........................226
.......................38
...................................33
Конструирование
экстремальных
..............................194
.......................275
уравнение
...........232
................................62
.......................................51
.........................255
Пуассона
...............................51
...........................................111
..............................111
оптимальности
..........................105
...............................239
уравнения
....................................................267
уравнения
......................................................266
................................................72
.......................................221
...........221
....................................................205
.......224
нормированное
..225
подпространство
...............221, 222
.........208
нарушение
............269
Лучевая
.............................................56
............................................264
.........................210
................................210
............................210
.....................................210
......................................210
...........................210
полуопределенная
......................................210
....................................................142
Маккварта
.......................................133
минимальных
...............141
последовательных
.216
...........................216
регуляризации
.................93
динамического
......................................144, 157
......................................92
динамического
..................................201
......................................................224
Метрический
..................................279
Метрическое
.......................224
..................................................217
...................219
выпуклое
................................222
....................219
выпуклое
...................222
...................219
.................................................33
среды
...............................................31
физических
полей
..........................25
..............32
............................................25
........143
..........................................................20
...............................62
.................25
....................................45
..............................................34
структурных
....................................................146
...................51
...............................68
...............................................51
Мультипликативная
..................222
...............................................25
Нарушение
уравнения
.......................................................283
..........................................................74
..................................168
нарушение
)..................................................268
Непрерывная
группа
..........................247, 249
Непрерывное
преобразование
...................220
гравиметрии
....................................159
................................206
треугольника
........................206
......................................237
выпуклости
.............162
...........................................................225
матриц
.............................................210
..................................242
.............................220
.......206
Нулевое
................................106
Нулевое
................................110
.................................220
.............28
.............28
......................................43, 66
...........................................29
............................................135
.................................................29
.................................................29
эквивалентный
нулю
..................................276
.....................................270
преобразование
..................227
уравнение
.........232
определение
)..................................................268
преобразование
.....................227
................................................220
................................................225
уравнения
)....................................282
проектирования
...........................74
редукции
......................................85
.................................273
эквивалентного
.....................................172
..............................210
порядку
.........................89
.....................................89
.......................230
...............................220
.....226
............................................88
регуляции
....................................92
................................125
.................187
...............200
..............................................55
уравнение
................232
Плотностная
...................................42
Плотностная
....................................39
..............................89
Подгруппа
O(4)..........................................248
Подгруппа
SO(4)........................................248
Подгруппа
(4)...........................................248
Подгруппа
...........250
.....225
класс
.............................................119
...........................92
Полугруппа
.................................................249
................................52
............................35
...............................184
..........................187
моделей
.......36
.............................119
..125
распределений
...............................171
)(
VL
.............................240, 241
суммирования
.............................209
суммирования
........248
.....................226
группы
..............................252
)................................................269
.......................253
..............................47
...................88
..........................218
наименьшего
..............261
.........................................96
...................96
...........................................57
........................103
................................52
..................................240
...........................249
.....................................................220
).............................................225
.......274

...................................235
выпуклые
........236
..................................214
....................................................214
....................................92
...............................................205
...............................230
.....................66
Регуляризатор
дифференцирования
.....................................99
Регуляризованные
................86
Регуляризующее
.........................88
Регуляризующий
..........................88
Реконструкции
распределения
.............................................109
......................228
..................181
),((
CKKE
.....................178
,,(
CFE
Сбалансированные
).....141
..............................153
.............151
...........................58
топология
.....................................228
......................................248
уравнений
)............................................263
........................................251
............................57
................................................................53
................................................................53
эквивалентность
............................68
.......................................228
......233
Слабозамкнутый
.........................233
...................233
выражения
...............................256
.....................................211
...........................63
модели
..............................32
Соответствие
...........................................................181
.......................227
.............................231
.........................................167
........135
...................................213
ОЗСГ
экстремальных
.............................195
Спектральный
радиус
................................212
гармонических
...167
функционал
.................94
Статистические
..................................34
Структурная
модель
........62
Структурная
....................................42
Структурно
...............42
Структурные
.......251
Существование
решения
.............................68
.............225
.........................................................275
.....................................50
.....................................50
......................278
................................................278
...........................229
Хаусдофа
............................225
двойственности
...........................244
.....................................166
гомеоморфизме
........................226
ядре
...........................................233
Рисса
выпуклости
....................236
Рисса
............................................227
Шура
............................................212
.......................................251
..................................................45
аддитивная
группа
.........221
..................219
теплопроводность
.......................60
..........................271
.......................218
..........................61
.........................52
......................................240
..........................................................265
Стокса
............................61
локально
нарушенной
симметрией
...........................274
...............................60
...................................56
..................................149
...........68
.................................66
........................85
квазирешений
......................74
................................70
...........................71, 232
......................................23
Лакшминараянана
.....................................48
эквивалентные
............33
Фундаментальная
последовательность
....225
Функция
Гамильтона
.................................264
Функция
.....................................129
Функция
правдоподобия
............................105
..........................................................190
(((),),,}
AsL
.........................191
((()),
˂)
упорядоченное
множество
.......218
................................183
обусловленности
.............................215
Эволюционирующие
уравнение
)..................................................147
анализ
..........38
динамическое
...............................................145
уравнения
.........................254
...........................255
..........................147
....................................34
..........172
...........................150
Экстремальные
................................190
(((),),,
AsL
Экстремальные
...............................238
Экстремальные
..............................110
Экстремальные
структурной
.........................188
Экстремальные
.....................................169
Экстремальные
.......................................................176
Экстремальные
Соболевских
.............................................174
Экстремальные
..................................173
Экстремальные
............................................................213
Экстремальный
........................112, 118
Экстремальный
определение
)..............................................107
Экстремальный
),,(
CFE
Экстремальный
................175
Эталонирующие
...............26
..................................32
параметры
неоднородности
..............................268
..........36
эквивалентности
.........................36
..........................................227
использованных
обозначений
используются
для
удобства
курсивом
математической
упругости

упругую
,
.
символом
функции
сами
переменные
индексами
буквой
Поскольку
предполагается
получать
литературы
упоминавшиеся
традиции
обозначениях
может
путаницы
всего
123
совокупности
используется
,
определяется
текущими
удобствами
используются

гравитационная
= 6,674•10
-11
множеств
существования
множества



);
KerA
KerA
xDAAx
yAxADxA
=\t
)(
\n



используется
последнем
случае
сумма
sup{()}
значений
выражения
множеству
sup()
vraifx
существенная
верхняя
нуль
);
inf{()}
грань
значений
всем


;
X
функционала
элементом








скалярное
xy



;
элемента
аннулятор
случае
гильбертова
ĺY] – множество
замкнутых
(,,,)sup
xxM
AxAx
AMXY
модуль
действующего

XM
(,,,)sup
xxM
AMXY
AxAx
модуль
функций
(v),(v

)

(v)(v)(v)v
fffd
==
функций
(v)sup(v)
функций
123
0()
(v)sup
(v),v={,,}
kkk
xyz

yz
)(
суммирование
)(
VC
дифференцируемых
функций
нулю
функций
(v)(v)(v)v
fffd
==
(v)(v)sup(v)
ff
vraif
()1
(v)(v)(v)
Varff
qp
оператора
действующего
фактор
подпространству
X] – классы смежности (элементы фактор-пространства); &#x/MCI; 86;&#x 000;&#x/MCI; 86;&#x 000;sign – функция
1:()0,
()0:()0,
1:()0;
signfxfx
A;
для

собственных
функций
превосходящим
ограниченный
()()
AfxdEx

kk
kkk
dVVf
zyx
)(
21
321

++





n

1
2
;
p
i
l
i
nn
Rl
=
=
множество
последовательностей
числа
элементов
(,)
PNy
проектирования
элемента

множество

(,)
PNy
(,)
PNy
(,)
PNM
множества
проектировании
множество

(,)
PNM
(,)
PNM
Pfx
функции
имеющей
функцию
мера
множества
полупространства
полупространство
(,,)
используется
(,,)
(*,,)
экстремальные
(*,,)
((()),
˂)
границ
функция
множества

)(
Mx
Mx
^,),,(
yx
zyxf
преобразование
Фурье
функции
(,,)
xyz
~,(,)
Фурье
функции

(,)
функция
координат
0123
(,,,)
xxx
используется
запись
прямоугольной
координат
22
2
2

=++

()()
xifxjfxkfxgradfx
xyz
=++=

физико
геологическая
модель
структурная
гравиметрия
структурной
Введение
Интерпретация
геофизических
насквозь
понятием
модели
столь
часто
поводу
используется
потеряло
свое
однозначное
опреде
ление
наше
представление
окружающем
мире
смысл
понятие
столь
окружающий
этом
лении
видимо
представление
либо
это
субъективная
этого
предмета
познание
невозможно
дения
моделей
количественных
определений
такая
Необходимо
рассматриваемым
сузить
понятие
его
конструктивные
важные
математической
теории
интерпретации
геофизических
данных
может
относиться
изучаемой
среде
геофизическому
помощью
эта
среда
изучается
наконец
между
геофизических
данных
тоже
особого
сорта
Она
пользуемый
извлекаемой
понятия
модели
объекту
описания
Описывается
описание
связи
между
моделями
поля
дается
процессу
извлечения
свойство
модели
это
более
простой
чем
реальность
характер
сама
реальность
тупная
размышлению
ней
, –
всего
лишь
модель
связи
каждой
моделей
могут
многочисленные
отображающие
лаемую
изучения
объекта
сторону
изучить
конкретные
свойства
изучены
следует
сожаления
свойства
Однако
методах
интерпретации
геофи
используемые
это
философские
носят
конкретный
конструктивный
характер
часто
интерпре
свойства
Более
процесс
инфор
геофизических
увязки
моделей
связей
основан
модели
является
моделью
извлечения
реконструкции
либо
иных
среды
имеющимся
связям
между
соответствуют
конкретные
модели
извлечения
геолого
геофизических
данных
этой
ситуации
различным
чам
геофизической
интерпретации
сопоставляются
преобразования
уровней
модели
геофизики
состоит
моделей
изучаемой
модели
между
следует
двум
моделям
конкретных
соотношений
типе
используемых
моделей
элементы
интерпретационной
математический

моделей
конкретизирующий
изучаемый

элементы

.


:
xus
Следует
реконструировать
реконструкции
содержательных
моделей
существенные
вводилась
подходящий
Будет
результате
реконструкции
»?
очевиден
существенных
реконструкции
условию
xus
задачей
числу
задач
обработки
интерпретационных
контролируемые
эффекты
литература
Главная
субъ
моделей
существовать
Далее
даже
обойти
трудности
случиться
слу
чаще
исходных
влекут
большие
результате
реконструкции
неустойчивостью
несуществование
неустойчивость
некорректностью
Что
существования
трудность
xus
мягкое
разность
между


наименьшего
возможного
уже
нельзя
служит
лучшее
сделать
устойчивости
моделями
фундамента
уравнения
исследование
исследование
устойчивой
соответствующих
уравнений
математической
случае
математической
неустойчивыми
геофизики
специфику
геофизики
служит
решения
дополнительная
другой
При
только
соответствующих
фундаментальных
уравнений
уравнений
математической
соотно
между
масштабами
изучаемых
допустимыми
наблюдений
даже
условии
соответствующие
фундаментальные
уравнения
вообще
уйти
числе
измери
установкой
изучения
минус
бесконечности
решаемой
физических
дополнительную
неопределенность
реконст
рукции
модели
еще
используемых
моделей
основу
реконструкции
возникающих
связи
служит
скрытой
учитывать
зультатов
уже
упоминалось
суть
получаемое
устойчивое




,


чему
эквивалентному
свойствам
произойти
лучше
Это
совершенно
эффектом
числе
случаев
контролируем
условиях
эквивалентности
эквивалентности
ситуации
менее
формирование
извлечения
обладающем
имеет
вынуждает
допустимых
соответствия
изучаемом
объекте
последняя
двух
видов
изучаемого
объекта
значения
выступать
между
изучае
эталонами
Другим
может
служить
следует
некоторую
заданную
известную
критерий
обобщается
случай
модели
допустимых
коррективах
критерия
отсутствие
эквивалентности
управляем
выражающий
, –
информация
совокупность
изучаемого
объекта
эволюционных
которым
модель
соответствующем
подборе
параметров
управляющих
последние
могут
наблюдаемых
физических
оказывается
сути
упоминавшаяся
предпочтений
реконструируемой
изучаемого
формулируемых
следует
учитывать
определенной
эволюционно
вплотную
используемых
параметры
содержательной
динамических
постановку
доопределении
контролирующих
условием
пошагового
уменьшения
между
моделируемым
эволюционирующей
эволюции
такой
оказывается
удовлетворяющая
состоянию
Показательной
задачей
демонстрирующей
описываемые
приемы
служит
реконструкции
плотностных
интересна
так
плотностная
среды
является
важной
геологической
причины
этой
Математически
постановке
обратных
гравиметрии
служат
задачи
напряженного
данным
наблюдаемых
деформаций
дневной
поверхности
приближении
Пуассона
задачи
возникают
сводятся
задачи
постоянных
токов
причиной
служит
приложениях
систем
эллиптическим
урав
уравнению
Пуассона
Решение
задач
гравиметрии
весьмараспространенная
доводилось
слушать
начи
достаточно
просто
расправляющихся
пользования
вычислительных
Однако
фундаментальные
проблемы
решением
получаемые
скороспелые
результаты
этих
проблем
научной
литературе
двадцати
тридцатилетней
давности
Именно
свойства
этой
были
всей
новательностью
выводы
недопустимо
как
следует
литература
скрытой
завесой
научных
Свойства
поменялись
публиковать
нет
смысла
учебной
литературе
направление
также
нашло
отражения
потому
математическим
проблемам
обратных
задач
геофизики
посвящено
учебной
литературы
этой
причине
. 7
кратко
теория
виметрии
приложения
теории
Отдельно
остановимся
Приложении
которое
сути
обоснование
нового
направления
приглашение
заинтересовавшихся
изыскани
Основной
исследований
служит
создание
построения
эффективных
трансформаций
полей
призваны
отражать
неко
торой
интегрированной
затруднено
однородности
инвариантность
дру
Нарушение
ассоциируется
присущими
среде
Изучение
параметры
наблюдаемым
аномальным
уравнения
нарушения
сконструированная
будет
параметризацией
построения
уравнений
описывающих
анствах
нарушенной
неоднородности
среды
выразить
овочные
компоненты
входящие
выражения
удлиненных
связанный
кривизны
Глава
Модель
геофизических
исследований
Интерпретация
данных
этап
направлен
изучаемого
геологического
предва
уточнение
осмысленных
глубины
углы
структурных
формирования
геологических
неопределенное
общих
изучаемого
получения
Говоря
следует
решается
данным
реконструкции
геологической
среды
идет
интерпретации
истолковании
данных
реконструкции
физическая
определению
этом
случае
следует
геофизической
другой
составляет
содержание
реконструкции
физико
модели
геофизической
возникающих
условий
Однако
могут
наглядную
схема
моделью
моделей
будь
физические
или
могут
изучаться
той
моделями
устанавливаются
модели
условие
обеспе
реконструкции
присущих
изучаемым
Параметры
используются
соот
между
внутри
моделей
других
изучения
рис
некоторая
сущность
представлена
входящими
тот
объект
описываться
моделями
модель
относиться
сути
условность
отношению
более
иной
модели
неполноту
других
дополняю
моделей
всеобъемлющее
опускаем
существует
следует
моделей
которых
другими
Интерпретационная
модель
представляющей
взаимоувязанных
используемых
между
описывает
извлечения
позволяет
одной
каждо
назначение
круг
классификация
уже
средствами
случаях
эти
близкими
подразделяются
число
уравнений
методы
целью
помехами
связанные
между
методы
уравнений
методы
математический
инструмент
создавался
решения
масштабов
регистрирующих
устано
изучаемого
подлежащих
геофизических
служит
аппаратура
чем
изучаемый
объект
объект
окружающей
образом
другой
Геофизи
фрагменту
взаимодействии
другими
частями
которое
неконтролируемо
следуют
условном
используемых
уравнений
между
интерпретируемым
реконструируемыми
реконструкции
должен
условий
области
реконструкции
должны
учитываться
геологической
следует
данных
иногда
законах
нову
ситуации
следует
результаты
использовать
получения
информации
других
результатов
геофизических
Информационная
геофизических
исследований
представляет
собой
зависимости
между
изучаемыми
объектами
Это
своего
рода
граф
рому
информация
изучаемом
объекте
трансформируясь
многоступенчато
фильтруясь
геофизик
исходный
приступая
струкции
изучаемого
объекта
взаимозависимости
устанавливаются
между
моделями
иерархического
уровня
Информационная
модель
складывается
объектов
двух
иерархически
структурированные
модели
структурированные
сверху
модели
состоят
геологической
физической
модели
модели
физических
наблю
даемых
Взаимозависимость
между
установлена
геофизическими
уравне
физики
эталонирующими
преобразованиями
изображена
Следует
условна
закономерности
модель
реального
Информационная
исследований
Геологический
объект
предмет
изучения
Это
исходное
наиболее
При
изучении
геологического
объекта
целом
необходимо
его
узкие
тектонические
литологические
геоморфологические
геодинамические
другие
взаимосвязанные
свойства
Именно
являясь
объектами
изучения
целом
взаимосвязями
образуют
определенное
называется
геологический
объект
говоря
компоненты
геологического
объекта
называться
фациальной
каждая
допускает
множественность
описания
выше
понимании
),
присущих
характеризующих
узком
понимании
параметрами
других
укрупненные
кон
кретные
характеристики
геологического
объекта
являясь
служат
следующего
более
низкого
этажа
информационной
компоненты
другие
недоступен
непосредственного
изучения
методами
Информация
поступает
той
физической
физических
лишь
восприимчивости
упру
различные
физическими
диапазона
геофизи
полями
следующим
служат
физические
геологической
геологической
непосредственно
изучаемых
физических
Также
осуществляется
предметные
физической
содержательных
Следует
свойство
например
физический
взаимоувязанные
используемые
этой
плотностную
модель
Плотностных
прочих
других
Они
используемым
другими
параметрами
может
выступать
функция
переменных
присущая
изучаемой
Другой
моделью
структурная
модель
используются
служат
глубин
плотностная
интегри
указана
обычном
характеризует
стную
модель
геофизические
моделей
присутствие
постановку
данных
связи
регрессионные
между
установленные
принадлежности
характеризующегося
заданными
классу
Объективно
должно
однозначно
ветствовали
конкретные
физические
возникающая
ситуация
{,,....)
Tttt
соответствуют

структура
горных
{,,...}
xxx
(,)0
приводит
объекту
обязательно
присущи
конкретные
физические
Однако
используемые
геолого
связей
расплывчатый
найти
упругие
пород
сталкива
разномасштабности
Суть
следующем
совокупность
гранул
зерен
однородных
пустоты
между
вообще
грануло
метрическому
куда
включаются
гранулы
могут
представлять
следующем
уровне
такую
гетерогенную
мератоподную
среду
следующего
рассмотрений
фракталоподобное
усредненные
будут
имеют
скрепляющего
целом
оказываются
имеют
элементов
влияющих
учитывать
физические
далее
дифференциальных
уравнений
относятся
рассмотрений
куб
наблюдаемых
сантиметровый
массивы
упругих
микроуровне
чем
соржнопостроенные
Другой
дают
уравнения
пород
выводимые
заданной
упаковкой
цемента
однофазный
очень
будут
чувствительны
условий
регрессионного
достаточно
конструктивный
забывать
условиях
следует
физических
доступны
для
сами
физического
сущность
пользуемого
геофизического
сейсморазведки
методу
случаях
горизонтальной
других
модели
физического
используемым
уравнением
математической
устанавливает
между
физики
это
условное
используются
физических
полей
моделям
используемых
уравнений
виде
физических
соответствующие
физические
геолого
уравнения
случаях
могут
неоднородных
уравнения
мутных
используют
упро
модели
уравнений
мера
упрощения
используя
корреляционную
глубиной
самым
поскольку
гравитационного
физического
уравнения
физики
моделирование
физического
физические
модели
уравнения
математической
образуют
совокупности
модель
решить
прямую
физического
это
физических
геологических
могут
весьма
существенно
физического
реально
измеряются
методом
соответствующих
моделей
физического
Природа
моделями
влияние
аппаратурные
происходит
сейсморазведки
возбуждения
измерений
всюду
заданного
моделями
физического
могут
включать
представлений
методику
расчета
аномалии
допускается
пусть
состоящая
даже
учета
отличающаяся
следуют
поправки
аномалии
между
наблюдаемой
поля
зашумление
данных
различной
мультипликативные
неузнаваемости
неопределенным
между
качестве
процедуры
последнем
примере
чем
процедуры
следует
претируемые
Совокупность
наблюдаемых
Эталонирующие
которые
следует
того
адекватным
результатам
для
моделей
уравнения
для
лонирующих
могут
сложны
даже
используют
упрощенные
уравнений
следующие
нову
модели
обозначить
физическую
точка
производится
измерение
следующую
эталонирующего
преобразования

мультипликативным
преобразованиям
функции
)(
su
)(
su
)(
su
():()()
susKs
результат
полученного
результата
функционалов
функционала
среднего

удаления
усред
усреднения
сказанное
эталонирующих
эталонирующим
редукция
учитывает
условия
влияние
результат
уравнения
учтены
зультатов
)()()(:)(
sNsKsusN
+
))()()((
sNsKsu
+\t
()()()
usKsNs
представляет
взаимосвязанных
физической
наблюдаемой
изучаемая
геологическая
модель
Реконструировать
наблюдаемым
параметры
физической
суть
Интерпретационная
модель
данных
уровня
между
разноуровенными
моделями
информационную
модель
yyy
последовательных
физическим
физическим
моделям
модели
процедурами
реконструкции
уровня
рис
модель
исследований
конце
другом
наблюдаемые
запись
точно
неизбежно
погрешностям
реконструкции
геологической
величин
подчеркнуть
дальней
возникающих
реконструкции
модели
,1,....
yiM
{,,....)
Tttt
связи
Формировние
физической
модели
GTX
Физическая
{,,...}
xxx
физики
Axu
преобразования
=
Yyyy
==+
{,,...}
Uuuu
Интерпретация
результатов
переходе

процедур
элементами
модели
содержательный
TyT
реконструкция
физических
);
реконструкция
физических
моделей
реконструкция
моделей
Элементарные
группируются
схемы
Процедурно
реализуются
установленным
процедур
модели
сопутст
вующие
предполагает
физическим
{,,...}:.
Uuuuyu
геофизических
реализуется
111
()()()
ByByBy

ŠŠŠ
оператор
Пер
эталонирующему

:
BYY

погрешности
реально
зуемых
процедур
расчета
аппаратурных
форме
последующего
физического
конструиро
компенсации
мультипликативных
последующих
использо
Процедурно
эталонирующего
реконструкция
анализу
символической
для
реконструкции
моделей
()()
()()
111
1111
()()
()()()().
iiiiiiiii
iiii
uuuByyByyByy
ByByByBy


ŠŠŠ
ŠŠŠŠ
=+=+=+++
=+++
Откуда
()()
111
()()()
iii
uByByBy

ŠŠŠ
=++
возникающая
результате
физических
полях
исходных
увеличивают
модели
физических
физическим
также
будут
реализуется
обратному

неумение
уравнениям
математической
()()()()
iii
iii
AuAuAu

==+
условно
поскольку

просто
невычисляемым
характерных
геофизической
ситуации
данных
купную
связанную
задачи
обеспечения
устойчивости
пользуемой
распределению
ситуациях

результат
()()()
iii
AxuAux
процедур
()
()()()()
()()()
111
()()
()/
iiiii
ii
iiii
iiii
iiii
iii
xxxAuuAuu
AuAuAuAu
xAuAuAu



ŠŠŠ
=+=+++
=+++=
=+++
()()()
iii
iii
AuAuAu

=++
процедур
обработки
интерпретации
служит
реконструкции
геологическим
Этот
физико
геологических
урав
относительно
TXT
TGX

(,)0
GTX
допущение
текущих
допустимо
Следуя
уже
получаем
XGT
()()()
iii
iii
tTxTxTx

=++
выражение

(1.2),
получим
состав
геологической
наблюдаемых
разрастается
геофизических
последовательность
обработку
геофизических
геофизики
интерпретационной
элементы
образуют
взаимосвязанное
последующие
используемые
процедуры
физические
точнее
интерпретируемые
компо
полученные
результате
определяют
последующие
постановки
Характер
допусти
реконструкции
складывается
реконструкции
первичную
результатах
аппаратурного
методического
аппаратурной
повышением
чувстви
кратности
методических
двухмерной
сейсморазведке
процедурам
могут
нерегулярных
погрешности
может
лишь
повышением
точности
процедур

процедурах
выборе
процедурах
недоучет
другое
чаще
осуществляется
работ
процедур
служит
соответствующих
последующей
нову
методов
процедур
будет
случае
согласовано
точностью
получения
физических
геологических
параметров
изучаемого

значимой
проявляется
гущих
получаемого
даже
вычислительных
погрешности
эффектами
эквивалентности
вивалентности
связаны
представлениях
основу
процедур
Описание
анализ
такого
соответствием
геофизической
ситуации
при
получены
которой
используются
вторых
закономерностью
увеличение
увели
числа
используемых
параметров
неучтенных
между
компонентами
Неучет
элементы
построении
процедур
полученных
физическим
приведут
объективной
свойства
выделяют
моделей
модели
поля
между
моделями
первому
физические
физического
уравнения
математической
физики
эталонирующие
Модель


-
-
-
-
тельные
рованого
Исходного
Атрибуты
-
Физико
ческая
валентная
Эффективного
Геометрическая
Комплексная
Модели
среды
назначению
динамические
Аппроксимационные
следует
среды
аппроксимирующих
элементов
выступают
элементарные
уступов
многоугольников
для
проксимации
плотностной
Каждый
аппроксимирую
параметры
глубину
ограни
накладываемые
значения
дополнительной
другими
моделями
согласованности
полями
образуют
связей
модели
служит
проксимации
Mm
Š=

min),(:
модели
распределению
плотности
функции
заранее
изучаемый
принадлежит
множеству
),(),(max
=

модели
процессов
изучаемой
моделей
служат
модели
палеореконструкций
следующих
рассмотрений
намические
определяются
уравнений
подчиняется
характеризующих
распределениями
механическими
динамической
модели
служит
характеризующего
Ньютоновой
частные
случаи
Буссинеска
служат
вязкости
плотность
однофазными
движениями
могут
уравнениям
следую
законов
имеют
либо
рассматриваемой
механики
удается
долей
фрагменты
среды
используемых
подразделяются
Содержательные
модели
выво
геологических
упругие
многое
другое
литологические
стратиграфические
),
используемых
характеризующие
взаиморасположение
всего
поскольку
существенен
между
параметрами
Эффективные
используются
построения
изучения
содержательных
моделей
эффективного
параметра
формально
эквивалентные
модели
результат
физическим
Резуль
такого
распределение
экспериментально
установлены
случаи
между
физико
геологической
модели
яркими
этих
служат
модели
Эффективный
рассчитанное
уравнений
математической
соответствует
Это
эффективных
Этот
диапазоне
излучения
видимом
аналогию
модели
эффективного
специального
реальной
моделей
уже
указывалось
обсуждении
характерной
фундаментальное
тому
соответствует
распределений
физического
между
эквивалентных
эквивалентные
случае
конкретная
параметра
решению
аппроксимирующей
приводящая
построению
решения
сопровождающаяся
геолого
увязкой
приводит
модели
Получаемая
обратной
эквивалентная
модель
случае
должна
трансформация
распределение
размерностью
физического
результат
визуально
истинную
Комплексные
моделей
правильно
модели
либо
Модели
основу
интерпретационной
модели
между
средой
формы
модель
либо

простейшая
модель
требующая
уточнения
куда
служат
элементарных
заменяется
числом
параметров
элементов
совокупность
аппроксимирует
заданной
достигается
числа
элементов
помощью
структуры
аппроксимирующих
элементарных
могут
для
физического
используется
уравнениях
последующих
реконструкции
атрибутов
Атрибуты
используемое
сейсморазведке
К атрибутам
параметры
Для
атрибуты
используемых
специали
атрибутов
анализа
анализа
оценка
части
используется
атрибут
последующим
атрибуты
Модель
конструируемого
обработки
реконструкции
могут
уравнений
между
физическими
моделями
моделями
физического
уравнения
матема
вычислительную
основу
реконструкции
физических
эквивалентных
связи
регрессионных
между
параметрами
атрибутами
связи
пользуются
моделей
условиях
результата
могут
использоваться
содержательных
моделей
конструирования
служит
метод
экспери
установленном
экстремумы
пространственно
приурочены
зонам
изучаемой
Другими
примерами
могут
служить
многочисленные
процедуры
постулируемом
геофизической
интерпретации
Процедуры
указывалось
обра
ботку
реконструкцию
модели
рамках
между
Реализуются
специализиро
процедур
решения
речь
этапов
обнаруживается
прослеживается
Грани
между
ними
ситуациях
требуют
изучаемой
особенностях
результатив
прослеживаются
ключевую
геолого
содержательных
решаемых
обнаружения
аномальных
Обнаружение
локализация
изучаемой
окружающей
регистрируемых
задача
состоит
расположения
характеризующих
глубины
залегания
формы
указанных
черкнуть
компоненты
зату
шумам
регулярным
нерегулярным



Обнаружение
локализация
Классификация
достижения
обработки
мыми
которые
рамках
принятых
предположений
свойствах
сигнала
изучаемой
аномалии
отличиях
всего
остального
обеспечивают
наиболее
рельефное
выделение
максимизируют
отношение
сигнал
хотя
это
обязательным
Надежное
принятие
решения
аномального
зательно
критерии
сигнал
Более
фективными
могут
оказаться
критерии
косвенных
оценок
основанные
решений
объекта
сопрово
ждаемой
оценкой
параметров
характерная
для
обна
руженного
аномального
объекта
решении
используется
достаточно
грубая
аппроксимационная
содержательная
модель
среды
примера
можно
гравиметрии
которых
этот
состоит
например
уподоблении
реального
объекта
некоторому
геометрической
формы
уступу
последующему
расчету
параметров
этого
идеализированного
объекта
процедурами
обработки
гравитационной
аномалии
сейсморазведке
параметры
отражающей
предварительно
ному
процедурами
обработки
волновом
годографу
подхода
извлечению
обнаружение


динамический
Интегриро
терпретация
Комплексная
интерпрета
условно
геофизическую
интроскопию
скую
геофизической
содержательных
характеризующих
физическую
геологического
содержательная
геологическая
упругих
интрометрии
рассматриваемые
далее
реконструировать
выбранной
модели
найти
близко
соответствующие
случаев
ограничена
требуемой
единст
значений
решения
сути
ведут
усугублению
ситуациях
желательно
уви
если
которых
реализуется
пускают
произвол
моделей
изучения
внутри
изучаемых
условиях
солянокупольной
структурах
изучение
ловушек
экранированных
реализуются
преобразования
геофизических
изучаемых
реконструкцию
моделей
том
которого
условный
характер
современных
условиях
характеризующихся
изуче
введение
среды
уточнения
геологических
содержательных
моделей
необходимостью
уточненных
переоценивать
результативность
реконструкции
геологической
модели
промежуточный
Построение
интерпретации
дробности
используемой
аппроксимационной
улучшить
ближе
реконструировать
физическую
модель
улучшенными
способностям
,(
определен
используемая
аппроксимационная
модель
физическому
реконструировать
называется

существуют
возникают
эквивалентности
конструкций
проявляются
возникли
эффекты
эквивалентности
том
реконструкции
будучи
заданном
реальность
рую
некоторую
эквивалентную
физическому
щую
содержательного
формальные
njM
Пусть
пространства





суть
уравнение
математической
реализующее
между
физической
среды
физическим
Пусть
модельный
который

проксимации

,
Mm

111
,


Mmm
2,1
21
AmAm
21
mm
физическое
Yu
uA
реконструкции
следующем
Mm
uAm

аппроксимационного
модели
модельном
результате
решения
будет
получен
служащий
проксимацией
:{)(
uAXA
==\t
элемента
12
)(
222


=Š

\t
Mm
эквивалентности
анализу
случаях
различиях
между
2121
,;,
mm
реконструкции
дробности
аппроксимации
эквивалентностью
изучаемого
объекта
небольшого
объек
изучае
слишком
числе
изучения
внутренних
более
нахож
распределения
внутри
изучение
сред
чертой
скрытой
служит
изучение
распределение
физического
внутри
изучаемого
эквивалентных
решаться
могут
геофизическому
подхода
реконструк
полю
соответствующей
использования
физическому
полю
соответствует
ситуации
реконструируется
содержательная
физическому
полю
изучаемой
используются
изучаемых
условий
решения
допустимого
эквивалентных
служит
содержательная
оптимальным
учитывающая
изучаемой
Другой
активной
суть
что
двух
сопоставить
содержательную
Что
изучаемых
моделей
между
реконструируемых
может
служить
менее
друг
друга
смысле
правильных
минимум
аналогов
нужно
того
Результатом
служит
содержательных
моделей
физическому
полю
своей
совокупности
зуют
моделей
Эволюционно
анализ
моделей
механической
устойчи
конструкций
конструкций
устойчивости
вующих
сбалансированных
полям
структура
формировании
структуры
множество
структур
внутренних
диктуемых
законами
структуры
между
собой
окружающи
считать
физическими
проанализирова
устойчивой
времени
породившая
соответствующая
динамика
рассматривается
динамической
продукт
составляют
динамического
анализа
геофизических
динамического
изучения
результате
нагрузок
механических
результате
добыча
модели
основаны
оценку
нагрузки
землетрясений
Литература
интерпретация
Геоинформарк
ГЛАВА
СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ
ЗАДАЧИ
рассматриваются
физической
модели
среды
соответствующее
физиче
конструкции
ситуаций
менее
допускает
при
некоторые
уравнения
служат
предшествующим
будущим
общим
общие
может
служить
учеб
соответствующим
разделам
рассмотрены
увеличен
охватить
ситуации
конструирования
гравиметрия
между
собой
информа
Плотность
функцией
про
координат
зависит
температуры
происходившими
участвовало
современными
условиями
изучаемых
изучать
решений
распределения
ископаемых
модель
среды
изучать
черны
геометрической
получить
разведку
ископаемых
Совокупность
условия
условия
выше
химические
остальным
температурного
опреде
связи
упругих
свойства
Плотность
горных
речисленными
многими
другими
физическими
взаимосвязь
между
экспериментальный
причине
плотностную
интерпретации
реконструкции
модели
Изучение
Локальные
распределения
вызывают
грави
аномалиями
Регистрируя
можно
плотностных
неоднородностей
Плотностная
физическая
функцию
Плотность
изучать
неудоб
поскольку
случае
всю
объема
фонового
только
представляющие
между
значениями
объема
изучаемая
прямоугольную
координат
XYZ,
плоскость
вниз
Пусть
лежащая
полупространстве
 E_(z0),
изучаемые
плотност
неоднородности
служит
между
значением
модели
функция
),,(
функции
рода
область
рассматривать
функцию
случае
область
бесконечную
зонтальную
ограниченную
значениями
глубин
надлежности
функциональному
пространству

соответствующие
условия
интегрируемости
физиче
следствий
служит
функций
функций
интегрируемых
заданной
введен
физической
модели
существенных
отсутствии
аномальных
рассмотрение
изолированного
физического
другими
расположены
полупространстве

pL
1,
21
zz

pL
1,
множество
других
вводимой
используя
Пусть
выступает
прямоугольную
числом
служит
сетки
Mm
KkLlNi
,...1;,...1;...1,
===
служат
Основываясь
дующим
),(
MP
произвольного
распределения
),,(
zyx
X


:
mMPm


Š=Š
:),
множество

соответствующие
зуют
подмножество
обозначается

)M(
пространства
служит
(,)
M()PM
определении
принадлежат
определении
какой
опускаем
физического
служит
гравитационного
находящейся
рассчитывается
,,(
000
zyxu
()()()
),,(
v))(,,(
000
zyxu
zzyyxx
dzzzyx
Š+Š+Š
гравитационная
успехом
Выраже
более
той
допущениях
ассоциируется
часто
используемой
ано
силы
Соотношение
сокращенно
записывать
},,{
000
zyx
),,(
000
zyxu
),,(
000
zyxg
uA
)(

модели
уравнение
uMPA
)),((
uA
)(
функция
удовлетворяет
уравнению
Лапласа
,,(
000
zyxu
.0),,(
,0),,(),,(),,(
000
000
000
000
zyxu
zyxu
zyxu
zyxu
Внутри
удовлетворяет
уравнению
).,,(4),,(
),,,(4),,(),,(),,(
000
000
000
000
zyx
zyxu
zyx
zyxu
zyxu
zyxu
Š=
Š=
области
),,(:
zyxV
уравнение
Пуассона
формируется
уравнение
Лапласа
Структурная
модель
случай
структурно
модель
служат
конфигурации
схематично

расположено
ограниченных
плотность
слоя
лежащего
равной
функции
границы
следующим
постоянна
луча
изучения
этой
служат
плотностные
Влияние
процедурами
редуцирования
поведение
моделируется
Будем
считать
плотностные
функциями
между
),(
21
zz
,(
yxfz
ii
),(
yx
связи
уровня
нулю
= 0.
условия
введением
дополнительной
определенной
уравнением
00,
zxy
элементов
структурной
модели
производной
гравитационного
модели
получается
пределов
),(
]))(()()[(
)}({
),(
),(
00
232
0,0
0,0
³³³
Š+Š+Š
yxf
yxf
yxu
yxzyyxx
dzdydxyxz
Интегрируя
получим
+Š+Š
yxyxfyyxx
dydx
212
0,0
])}(),({)()[(
),(
])}(),({)()[(
00
212
0,0
yxu
yxyxfyyxx
dydx
Š+Š+Š
Перегруппировав
суммирование
получим
Š+Š+Š
yxu
yxyxfyyxx
dydx
00
212
0,0
),(
])}(),({)()[(
..0
==Š=
iii

выражения
метрической
силу
usA
))((
модели
представляют
уравнения
между
среды
моделью
могут
получены
другие
уравнения
другими
могут
уравнения
существенные
имеют
уравнений
математической
распределений
соответствии
моделью
соответствует
эталонирующим
преобразованиям
учете
расположенных
ненулевых
значений
структурной
других
изучаемых
курсе
наблюдаемыми
соответствующие
(3),
можно
реконструкции
модели
суть
соответствующего
уравнения
математической
уравнению
реконструировать
условие
Mm
umA
)(
, .
Mm
чаще
эквивалентную
мальную
Прежде
всего
ниоткуда
чаще
существует
серией
модели
допускались
результат
облас
допустимого
легко
реальное
лежит
сконструированного
наблюдаемые
осложнены
строго
удовлетворяющего
Может
существует
наилучший
существует
другой
наилучший
вует
реальности
непростые
требующие
они
методов
методов
физического
актуальное
своеобразное
звучание
Двухмерные
аналоги
уравнений
зачастую
удобно
случае
физического
соответствующей
условия
).
случае
изучаемого
объекта
условие
двухмерности
область
распределены
цилиндрическую
область
служит

),(
)()(
),()(
)(
00
zxu
zzxx
dxdzzxzz
sA
Š+Š
структурных
аналогом
будет
),(
)))(()(ln
00
Š=
=Š+Š=
iii
oi
zxu
dxzxfxx
(x)A

называют
двумерными
двухмерно
случая
остаются
Задача
Дирихле
для
уравнения
Интеграл
Пуассона
Лапласа
уравнению
отсутствуют
другие
геофизические
электрического
установившегося
температурного
Лапласа
фундаментальное
функции
называется
нахождения
значений
функции
внутри
задачей
аналитического
продолжения
устоявшее
удачное
записывается
следую
,v
,0)v(
uu
=
однозначности
условий
случаях
является
полупространства
руется
следующим
Пусть
отсутствуют

функция
значениями

нулю



Пуассона
полупространства
0(
zE
)0(
zE
)0(
zE
,,(
zyxu
)0,,(:
yxuE
0,,(
yxu
zyxu
,,
)0,,(
yxu
()()
000
23
,,
0,,
zyxu
zyyxx
dxdyzyxu
+Š+Š

двухмерном
случае
интеграл
Пуассона
()
00
0,
zxu
zxx
dxzxu

может
также
ранее
yAu
Пуассона
двухмерного
для
трехмерного
случаев
уравнений
устойчиво
всех
степень
интуитивному
смысла
нахождения
известному

множестве
функций
(7)
соответствует
расчету
возникает
букет
того
будет
существовать
уже
совершенно
результата
катастрофически
гладкости
будет
неустойчиво
проявление
эффектов
предупреж
000
,,
zyxu
0,,
yxu
000
,,
zyxu
00
zxu
Вычислительная
томография
томография
τтптσ
состоит
изучении
физических
связанным
излучения
через
коэффициентом
,,(
zyx
задержками
пробега
физической
описываемую
,,(
zyx
излучения
излучение

излучения

модели
удовлетворяет
уравнению
,,(
zyx
},,{x
111
zyx
)x(
}{y
)y,x(
)y(
)()(
)(
lIl
ldI
Š=
текущая
распространяется
излучение
уравнения
Š=
)yx,(
})(exp{)x()yx,(
dll
II
фундаментальное
уравнение
среды
распределение
),,(
zyx
модель
излучения

)yx,(
}{y
)yx,(
)yx,()(
pdll
)yx,(
)x(
ln()yx,(
вдоль
луча
{,,}
возбуждается
излучение
{,,}
излучения
(,)
интегралов
),,(
zyx
(,)
того
взаимно
расположены
источники
приемники
излучения

возникает
либо
рентгеновской
параллельная
геофизики
она
всего
продиктована
внешними
контролируемыми
факторами
зачастую
определяется
требованиями
задачи
реконструкции
коэффициента
поглощения
обстоятельствами
Выписанное
уравнение
описывают
простейшую
процессов
происходящих
излучением
прохождении
веще
закон
поглощения
важное
поглощение
излучения
это
случаи
Пусть
изучения
плоскостью
пусть
(,)
{,}
{,}
следующая
образуя
параллельную
систему
(,)
покрытия
детектор
параллельного
повторяется
установки
&#x/MCI; 47;&#x 000;&#x/MCI; 47;&#x 000; &#x/MCI; 48;&#x 000;&#x/MCI; 48;&#x 000;Так продолжается до тех
пока
уровня
угол
параллельно
вращающуюся
координат
\f#\f
cossin
sincos
+=
Š=
\f\f#
cossin
sincos
yx
yx
+Š=
+=
функцией

),()cossin,sincos(
\f#\f#\f\f#\fµ
pd
Реконструкция
преобразования
силу
естественных
условия
сканирующей
аппаратуры
задана
имеющими
разнообразную
природу
этой
существования
себе
эту
следует
теоретическом
случае
соответствующие
результаты
&#x/MCI; 5 ;&#x/MCI; 5 ;От проекции )&#x/MCI; 6 ;&#x/MCI; 6 ;,(
следующему
,(
yxg
\f\f\f\f
),sincos(
),(
dyxpyxg
между
,(
yx
изображением
уста
,(
yxg


Š+Š
),(
)()(
),(
00
00
yxgdydx
yyxx
yx
заданной
служит
получаемое
обработки
измеренных
,(
yxg
,(
Требующая
реконструкции
модель
,(
yx
уравнением
между
сингулярной
процедуры
будут
сингулярностей
обращением
неразумно
результата
расчетов
иллюстрируются
другого
конструктивного
уравнения
методом
заданные
,(
yxg
,(
ядром

00
)(),(),(
\f\f
dhp
функция
),(
yx





:
\f\f\f\f
),sincos(
),(
dyxfyx
Терещенко
которой
следуем
),

de

)(
осуществлено

(sin2
)sin(
241)(




de
Функция
)(

)
(
)(
интервала
,[
00
.




,....2,1,0),,(
±±=
nnp
функция
ядра
)()(
=
nh
функция
ненулевой
,[

точно
))(sin(
)()(

"
$
$





=
±±=+=
±±==




=
,..).2,1,0;12(
,..).2,1;2(
)0(
(sin2
2)(
23
kkn
kkn
nh



Полученное
последующей
реконструкции
коэффициента
Фурье
Лакшминараянана
Другим
случаем
служит
ситуация
уравнении
)yx,(
)yx,()(
pdll

излучения
сигнала
)yx,(
),,(
zyx
функции
),,(
zyx
,,(
zyx
известны
)yx,(
Š=
)yx,(
)yx,(
)()yx,()(
dll
pdll
функция
(-x)()x(
=
ультразву
соответствующие
функции
Сейсмические
методы
упругой
изотропной
закона
сохранения
импульса
зывающими
уравнения
весьма
поскольку
учитывают
релаксационные
работает
Этих
допущений
получаемые
уравнения
носят
эффективных
восприниматься
эффективные
уравнений
напря
лучевая
возмущений
геометрию
Лучевая
конструируются
вычислительные
Волновые
уравнения
элементарного
куба
пространстве
элементарный
деформации
результате
далее
литературе
буквой
Причем
зна
используется
дважды
суммирование
его
значениям
},,{),,{
321
zyxxxx
следует
деформации
Ребра
элементарного
куба
были
.
между
iii
dudxdx
+=
23
22
21
)()()(
dxdxdxdl
++=
)('
+=
ij
dudxdl
поскольку
k
i
i
du


=

22
2'
dxx
dxdx
dldl
ik
+=
симметричном
kiki
dxdxedldl
2'
22
+=

ki

деформаций
случае
kj
скольку
будучи
малости
ki
смещения
Пусть
;;{};;{
32
wwwwwwW
]|[};;;{
321
urot
qqq
qdxedu
kkkii
+=

urot
123
312
231
dxwdxwq
dxwdxwq
dxwdxwq
Š=
Š=
Š=
описывает
деформаций

ii
называемо
характеризует
относительное
332211
),(
eeejiedivQ
ji
++=
==
Гука
устанавливает
между
компонентами
эту
получим
jk
llki
ji
ec
между
следует
эту
меняется
Коэффициентов
учи
симметрию
тензоров
компонентами
без
свойства
среды
могут
быть
двух
упругих
другая
Используют
упругих
,{};,{};,{



коэффициенты
модуль
коэффициент
Пуассона
модуль
устанавливающий
между
kQP
Š=
приведена
)21)(1(

Š+
2
Š
k

)1(2
µ'
)23(
1
3
k
k

)(2
µ'

)3(2
23
Š
k
k

µ'
213

k
упругой
среды
устанавливающий
компонентами
деформаций
следующий
;2
;2
;2
yzzz
xzyy
xyxx
eQ
eQ
eQ
µ%µ'%
µ%µ'%
µ%µ'%
+=
+=
+=
(11)
тензор
следующую
закона
Гука
xxyy
zzxx
zzyy
%%
%%
%%
(2.12)
физических
условий
упругих
5.00;0

упругие
как
так
разномодульности
упругие
измеренные
соответст
вующих
зернистого
модуль
меньше
модуля
упругости
чугуна
модуль
Юнга
Пусть
момент
сохранения
импульса
уравнению
,,,()(),,,(
321
txxx
tzyx
uxu
==
3,2,1
ji
действующие
элемент
плотность
уравнение
Гука
(11),
его
вектор
получим
()()
|2|
div
div
'µµ'
++++
++Ʌ-;猂Ω+=
uuu
(2.14)
(14)
представляет
записанную
уравнений
компонент
уравнение
волновым
уравнением
смещений
Следует
исключительную
уравнений
параметров
случае
функциях
бесконечность
уравнение
требует
уточнения
упругости
дело
пользуемых
моделях
сред
зуются
случае
упругих
уравнение
поля
смещений
divgrad
=++
guu

µ'
получим
rotrotdivgrad
=
rotrotdivgrad
=+Š
gu
µ'
смещений
потенциальную
вихревую
sp
uuu
+=
.;
fu
векторный
смещения
суперпозиции
которую
смещениями
смещениями
Расщепление
потенциальную
вихревую
части
ветствует
Покажем
условия
;;;
zpypxpp
uuu
следует
.0
;0
;0
zpxp
ypzp
xpyp
только
вдоль
распространения
возмущений
компоненты

соответствующий
смещениям
нулевые
при
сопровождаются
Следовательно
=
graddiv
gradrot
rotdiv
;0
получим
подстановки
rotgrad
rotrot
+
=+
Š
gf
µµ'
(2.17)
отсутствуют
распространяются
уравнение
(17)
распадается
rotrotrot
=
,µ'
уравнение

rotdiv
divgradrotrot
=
потенциалов
поля
смещений
получим
уравнения
22
;
(2.18)
tV
=
. (2.19)
µ'
волн
pV
уравнений
удовлетворяет
дилатация
Это
этого
уравнения
получим
для
уравнение
divQ
)(
rotdiv
tV
=
. (2.20)
распространяющееся
скоростью
деформации
второй
которых
отсутствуют
отсутствие
упругости
жидкости
случае
неоднородных
сред
существовании
анализа
уравнения
искусственное
уравнения
(18, 19)
зачастую
экспериментально
этой
введение
частности
рассматривается
получении
уравнений
импульса
уравнением

уравнение
(18)
описывает
процесс
распространения
скоростью
)(
некоторая
расстояние
координат
x,y,z,
RVRttR
/)/(),(
Š=
удовлетворяет
(18).
видеть
описывает
распространение
параметр

ско
рости
Функция
)(
описывает
профиль
волны
характер
исходного
возбуждения
начале
координат
деформаций
уравнение
можно
заме
помощью
можно
получить
уравнения
неоднородной
среде
случае
уравнения
будут
упругости
среды
уравнение
xx
gdiv

, (2.21-
yy
gdiv

, (2.21-b)
zz
gdiv

. (2.21-
},,{},,,{},,,{
zzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx
%%%%%%%%%%%%
при
нулевыми
дифференцируя
первое
уравнение
, ,
xyz
uuu
xzz


компоненты
получим
уравнения

xy
xEt
%%%%
=Š+
(2.22-a)
yx
yEt
%%%%
=Š+
(2.22-b)
zy
zEt
%%%%
=Š+
(2.22-c)
дифференцируя
результаты
Гука
(2.12)
получим
2
divdiv
yxt


(2.22-d)
получим
уравнения
divdiv
xzt


(2.22-e)
divdiv
zyt


(2.22-f)
уравнений
уравнения
группы
Первая
группа
уравнения
преимущественно
Вторая
– (22-d-f) –
характеризует
преимущественный
недиагональ
уравнениях
упругим
среды
уравнения
социируются
квадрату
Однако
эту
тензора
предель
случае
уравнения
продольной
волны
деформаций
волной
процесс
плоскую
распространяющуюся
уравнениях
уравнение
=+Š
=+Š

0)(
0)(
;)(
xxyy
zzxx
zzyy
%%%
%%%
%%%
(2.23)
последних
двух
уравнений
физические
получаем
),(
);(
xxyy
zzxx
%%%
%%%
+=
+=
zzxx
%%
уравнение
получим
xx
*Š
(1)(12)
,
+Š
*Š
упругих
получаем
222
xVt
µ'
уравнений
следующую
ную
распространения
волны
отличие
случая
неоднородной
каждой
которые
вызывая
возмущений
между
присутствует

свободном
ненапряженном
состоянии
После
про
распространения
среда
находиться
ненапряженном
состоянии
Расчленение
продольную
чисто
поперечную
происходит
нет
вторичных
Лучевая
теория
сейсмических
уравнению
3,2,1
ji
Используя
акустические
получим
jj
ukP
=
iitt
gPu
=
jkk

jkk
xxx

отсутствии
уравнение
акустических
=
PkP
iitt
давления
,)()(),(
rtrAtrP
Š=
Функция
)(
)(),(
ri
erArp
поверхности
tr
)(

-
)
(
r
Лучи
уменьшение
волны
Подставляя
уравнение
акустических
для
получим
,\f
,\f
,\f
ii
eA
AiiA
kAe


=Š

\f


,

:
==
(2.24)
уравнение
уравнением

Уравнения
определяют
кинематику
единичный
перпендикулярен
определению
лучу

Приведенная
форма
уравнения
удобнее
уравнение
геометрию
лучей
Пусть
лучу
длины


:


=
другой
cdsd
/1/
==
/(/)(
dsddsd
=
получаем
ференциальное
уравнение
для
лучей
11
dscds
численной
удобно
уравнений
.

получим

1
ds
dx
c
p
i
cxds
кинематику
акустический
случае
:))(()(),(
rrAru
Š=
tt
)(
)(),(
rAru
устремляя

получим
сокращения
членов
ijjji
θθ
)(
Š+Š=Š
µ',
векторных
)()(
=+++Š
.µ..µ',
уравнение
которых

уравнение
удовлетворить
том
случае
будет
случае
==
µ'
..
===
.
(2.27)
Полученные
уравнения
уравнения
друг
другу
уравнению
для
упругие
совпадение
уравнений
рантирует
упругой
универсальность
методик
лучей
Рассмотренные
модели
обычно
моделями
соответствующие
дифференциальных
уравне
методами
реальных
обычно
используются
численных
лучей


соответствующих
)(
)(
sT
наблюдения
алгоритмически

:
)())((
sTVA
модель
функции
лучевых
уравнений
уравнения
)(
математической
уравнением
Наблюдаемые
времена
заданную
приемников
возбуждения
поставлена
реконструкции
кинематическая
могут


полезен
построенных
уравнений
сейсмического
луча
утверждающий
сейсмического
лучевого
пути
между
двумя
).
луча
d
dt
.
возмущенной
лучевой

rr
d




сс
пробега
элементарного

++=
=+
cc
cc
dtdt
11

rr
rr
rrn
rr
rrr
dd
dd
dd
+=
+=+
:
rn
rn

+=

возмущение
лучу
двумя
sd
sd
nrnrn


+
=+
³³³
/1()/1(
=
-

.

=
r





:
cds
=
11



откуда
=
cds
cds
уравнением
луча
(25).
луча
отношению
возмущениям
лучевой
Сейсмическая
томография
пробега
луча
функция
лучевой
)(
задачу
реконструкции
множеству
)(

:
.,...,1
Ni
(2.28)
служит
неизвестная
функция
неявном
присутствует
лучевой
траектории
существенной
реконструкции
случаев
нулевое
закону
следует
уточнить
нулевому
рассчитанные
близки
друг
другу

модели
нулевого

,

,

)(
луча
задержки
)(
)(
)()(
cc
TTT
ii
³³³
Š/Š=Š=
rrrr
)(
Š=
)()(
rrr
ccc
Š=
(2.29)

сейсмической
модель
реконструировать
поправочные
уравнение
виде

функций


-

Tc
rA
уже
уравнения
для
ультразвуковой
акустической
Однако
служит
невозможность
получить
задержки
интегральных
уравнения
Основными
алгебраические
методы
суть
следующем
область
распространения
которые
пронумеруем
чтобы

функция
)(

,


длину
луча
нумерацию
проходящего

конечно
характеризуется
уравнений
},...1,{},,...1,{
Mi
Nj
==
==




-
распределения
медленности
большую
размерность
ленточную
структуру
обусловлена
его



требуют
специальных
Электрические
методы
постоянном
токе
между
проводимостью
которую
функцию
координат
},,{
zyx
,,(
000
zyxU
),,(
000
zyx
z )g ( x, y,
),,(
zyx
распределение
функции
среды
между
уравнением
gradUdiv
Š=
(2.31)
уравнение
получаем
.,,
zyxg
gradU
+
(2.32)
.,,
,,
zyxggradU
gradzyx
+
,,,
,,
,,
000
zyxggradU
zyx
zyxU
+

()()
,,,
,,
,,,,
000
000
000
zyxg
zyx
zyxzyxU
"
уравнение
относительно

модели
z )g ( x, y,
),,(
zyx
условно
.,
UgA
уравнения
второго
уравнения
функция
уравнение
присутствует
внеш
идущие
математические
последствия
дополнительных
неоднородностями
более
больше
градиенты
реконструкции
случае
трансформацией
распределения
внутри
000
,,
zyxU
самое
уравнение
установившегося
теплопроводность
),,(
zyx
температу
меняют
поступившего
температура
),,(
zyxq
),,(
zyxT
gradTdiv
Š=
деле
изучении
удельной
температуры
энергетические
внося
существенные
допустима
+
Теплопроводность
чаще
всего
несколько
результатов
реконструк
оценочных
будет
вещества
предшествующих
модели
физического
или
уравнения
прежде
Наблюдаемыми
служат
современное
физической
реконструкции
подлежат
модели
параметров
предыдущих
моделей
один
могут
быть
допустимые
модели
реконструкции
круг
эволюционно
динамическим
контролирующим
служит
уравнение
0))((
)(
=+
vx
t
.
(2.34)
)
(
x
v,v,v{
321
флюидов
близкую
говоря
функцией
координат
0)(
=+
следует

жидкости
между
собой
уравнения
уравнениями
физических
допущений
ную
)(
между
,,(
zyx
задается
условием
),,(
zyxPgradK
Š=
.
проницаемости
сжимаема
Это
между
(1[
PPC
Š+=
сжимаемости
00
давления
зависящие
текущее
сжимаемости
результате



учетом
закона
получаем
PgradKdiv
KC
между
случае
QP
Воспользуемся
получим
уравнение
0)
=Š
PgradPKdiv
отличие
рассмотренных
ранее
уравнений
уравнение
одна
геодинамических
случае
эволюционных
события
глубинных
диапазон
среды
получается
уравне

.)(
)(
,)(
)(
,)(
)(
zyxz
zyxy
zyxx
vx
vx
vx
%%%
%%%
%%%
Š=
+
Š=
+
Š=
+
тензора
вязкости


:
,2,2,2
21
%
%
%
%%%
поскольку
массовых
силы
уравнений
Стокса
получим
ijj
jji
xxxx
vv
уравнений
видно
вязкость
определяется
условий
сейсмических
распределение
определяемые
уравнений
определяется
сплошной
неструктурированной
рассмотрении
самостоятельно
этих
элементарных
закономерности
пред
узкие
модели
аналогии
рассмотренными
уравнения
)которым мы в основном следуем
геодинамической
собой
внутренних
через
отсутствует
частиц
нулю
последняя
границам
уравнению
членов
дену
разрушение
размыв
процессе
временной
служили
соответствующих
уравнениям
2+
Š=
)),(()),((),(),(
),(
tsFtsgradtsts
ts
VW
)(),(
sts
ff
)},(),...,,(),,({),(
tsftsftsfts
функция
времени
,(
tsf
управляющие
геодинамические
параметры
вертикальные
ответственный
денудации
[3, 4]
лапласиану
уравнения
называемым
структур
характерным
функция
дивергентную
поненту
особенностями
метаморфизма
включая
Попытка
реконструировать
определяющие
эту
компоненту
отсутствием
законов
управляющих
силу
дует
слагаемое
результатам
динамических
результатов
наблюдаемыми
физическими
,(
ts
),(
ts
)),((
tsF
структур
показывает
что любая произвольная по рельефу слоев
структура
получена
вертикальных
включе
дивергентного
члена
заданных
внутренних
вертикальных
денудации
включен
метаморфизма
(2.39)
объединен
вующих
нагрузок
случае
структур
2+
+=
Š=
)),((),(),(
)),((),(),(
),(
tsFtsts
tsgradtsts
ts
)(),(
sts
ff
геодинамика
написан
материалам
Кузьмина
Жукова
[8].
глобальными
процессами
происхо
тех
происходили и происходят современные
структур
изучаемых
методами
сложную
вызывающих
регистрируются
Государствен
),
интен
локальные
вертикальных
сейсмической
такого
[8]).
других
аномалии
приурочены
характеристики
асейсмичных
амплитуда
год
суперинтенсивные
Приуроченность
очевидно
механики
геологической
силу
прочностных
усилий
включений
зависит
упругих
относительных
упругих
модулей
kk
Пуассона
модуля
давления
коэффициент
)21(
Š
=4
следующее
компонент
])()()-[(
v)(),,(
),,(
2/32
Š+Š+
Š4
zyx
dzzyx
5
5
])()()-[(
v)(),,(
),,(
2/32
Š+Š+
Š4
zyx
dxzyx
5
5
Š+Š+
Š4
zyx
dyzyx
2/32
])()()-[(
v)(),,(
),,(
5
5
вертикальные
сейсмической
глубине
обозначения
: 1 –
местоположение
номера
пунктов
нивелирования
разломы
3 –
осадочный
; 5 –
базальтовый
поверхность
Мохоровичича
кривые
вертикальных
смещений
упругих
модели
витационного
реконструкции
результатам
уклонениям
},,{
zyx
UUU
деформациям
Единство
извлечения
геофизических
что
уже
подготовленная
процедурами
компонента

поля
атрибуты
отображающий
параметры
параметров
оператору
условно
быть
записа
уравнение
решение
могут
урав
{,,}
AMu
Литература
служит
требуемых
изучения
учебники
сейсморазведке
другим
методам
уже
изучены
список
особенностям
Литература
Методы
вычислительной
, 2004. – 320
3. Gerveny V, Molotkov I.A., Psenkik I. Ray me
thod in seismology. Praha: Univerzita Karlova,
Интерпретация
Неравенства
механике
Наука
Физика
Кузьмин
физических
Кузьмин
Жуков
учебник
ГЛАВА
НЕКОРРЕКТНОСТЬ
ОБРАТНЫХ
ЗАДАЧАХ
корректности
геофизических
задачах
виде
Axy
модель
изучаемой
заданное
физиче
результат
тривиальной
соответствующее
уравнение
математической
определяющее
отображение
записывались
рассмотренные
предыдущем
форме
(1)
элементы
Mx
рассматривались
функции
функциональных
туации
которых
характеризующиеся
числом
некоторые
некоторую
естественную
определения
которую
можно
соответствующее
функциональ
сужением
Отвлекаясь
существенного
выбора
действующим
функ
могут
произвольными
метрическими
AD
XM
XM
\r=
.Im,
YAXDA
yAx
расширением
Соответственно
сужение
),(
xMPx
(1)
может
физическим
смыслом
изуче
выделенному
аномальному
двумерный
случай
Пусть
вертикальными
совокупность
Пусть
Пусть
единичную
xu
. 3.1.


()

zxx
xu
Пусть
далее
xg
задана
реконструк
значений
()()
,,...,1
kj
xgxu
jj
=
(3.4)
вектор
изучаемым
пластом
реконструкции
форме
Пусть
xua
VV
функция
функций
образует

интегрируемых
функций
между
распределением

соответствующей
вертикальной
соотношением
):
VL
VL
VL

xu
zxx
zdxdzx
()()
VLXx
=
()()
VLx
()()
020
ELxu
можно
(5),
качестве
(3).
Формально
расширение
влекущее
конструктивных
результатов
Конструктивное
получено
следующим

VL

VL
интегрируемых
функций
расширением
(3))
задача
реконструкции
).(
VLXzx
xu
zxx
zdxdzzx
=

расширение
отличие
(5),
уже
есть
обратных
геофизики
допускают
расширение
расши
сужение
единственным
ассоциируется
искусственным
натянутым
важное
состоит
факт
существования
конструирования
суженных
(6) –
расширений
фундаментальные
как
случай
неравенства
Гельдера
Подробнее
прил
операторов
(2.2, 2.2-
).
аналогичных
сужений
случае
первоначально
присущие
присущие
незамет
упрощенной
слабоуправляемым
присущих
искусственно
суженных
вивалентностью
Это
содержательности
соответствии
ожиданиям
которые
зуемый
модельный
присущая
сужении
нарушить
получаемых
результатов
других
сужениях
максимально
изучить
расширенную
функциональных
изучить
следует
переходить
сужению
конечномерных
Здесь
ситуация
рассмотрении
сингулярных
интегральных
уравнений
преобразования
сразу
перевести
конечномерную
системы
уравнений
затруднительно
получить
формулы
рассмотрении
бесконечного
случая
необходимо
рассмотрению
максимально
анализа
бесконечномерной
(1)
определим
.,
YyXMx
yAx
\r
yAxMxYy
=\b
:,
существование
21
21
A
AxxMxx
21
xx

),,,(
21
21
21
YXMA
AxAx
xx
Mxx
следующим

Yy
Mx
yAx
пространств
множестве
исходного
оператора
действующего

,,,(
YXMA
XM

),,,(
21
21
21
YXMA
xx
AxAx
Mxx
условия
называются
условиями
Адамару
Характеризуя
аспекты
между
физической
точки
зрения
реально
существуют
упрощенное
существовании
решает
существовании
уравнения
Yy
существующее
изучаемого
предусмотрено
модели
соответствующего
обработки
ошибки
квантования
ввода
ЭВМ
включая
эффекты
зумно
условиях
неизвестно
ошибкой
бессмысленно
уравнения
относится
возможная
детерминированного
закона
расчета
эффекта
I
указанные
могут
этом
случае
уравнение
=
I

=
I
уравнение
заданной
обратных
Большинство
искусственным
сужением


.



-



,

для
. 1.3)
элементов
Это
универсальным
непредсказуемых
ситуа
лучше
аппроксимировать
искомым
распределение
другой
уровня
расширения
случиться
уже
это
неус
определения
параметров


увеличению
посредством
иной
утверждение
Пусть
единственности
уравнения

един
решения

21
MM
,,,(),,,(
YXMAYXMA
модельного
характери
зирующих
геологических
ситуаций
вынуждает
моделей
следует
единственности
последней
том
условия
множест
оно
доказательством
единственности
решает
иную
проблемы
существования
трансформируется
проблему
получаемого
теорем
упрощающих
предполо
гравиметрии
даже
нормальная
регулярной
охватывающей
мущающие
отсутствуют
учитывающие
погрешностей
это
формально
математическая
однозначная
разрешимость
уравнения
учитывающая
получаемого
реальности
поучение
конструировался
тре
характеризует
модулем
непрерывности

ассоциируется
,,,(
YXMA
действующего
сужен
устойчиво
физических
уравнения

приводит
существенный
может
полезным
оценки
yAx
Устойчивость
непрерывность
либо
иного
оператора
вводимой
при
решении
обратных
необходимо
ференцировать
наблюдаемую
процедура
интерпретации
сейс
когда
необходимо
вычислить
годографа
скоростью
кажущейся
распространения
сейсмических
Такая
ситуация
возникает
трансформации
гравитационных
Дифференцирование
непрерывно
является
таковым
Однако
этом
различать
две
стороны
математическую
содержательную
Если
модуль
непрерывности
обратного
оператора
равен
некоторому
конечному
100, 1000),
формально
точки
задача
устойчива
точки
случае
погреш
ностей
наблюдаемой
результат
решения
будет
столь
велико
что
решение
ока
непригодным
геологических
должно
как
неустойчивое
Другой
это
например
0,01, 0,001).
этом
только
помеха
компонента
уже
дут
сказываться
решении
Ясно
решение
оказаться
непригодным
интерпретации
характеристики
задачи
используется
обусловлен
ность
задачи
,,,(),,,(
YXMAYXMAD
Следует
геофизики
части
всех
условие
смысле
существует
условие
существует
Наконец
части
неустойчивы
развитыми
теория
методы
условие
они
неустойчивы
термин
условно
Тихонову
рассмотрении
устойчивости
ограниченности
сужениях
условно
усиленно
используются
математи
результаты
близкие
результаты
Основная
состоит
исходную
задачу
другую
приближенную
ограниченным
регуляризации
неустойчивых
изучении
требуется
уводили
зультат
слишком
предполагаемого
существование
существования
уравнения
устойчивости
между
собой
любого

множество
Yy




ограниченных
действующих
условия
устойчивость
результат
Пусть
однозначный

результат
преобразование
замкнутое
категории
условия
указанной
выполнены
Следующая
модификация
результата
Следствие
замкнутый
взаимно
оператор
внутреннюю
точку


Этот
результат
становится
очевидным
заметить
внутреннюю
точку
Прил
. 2).
формулировке
теоремы
присутствовало
единственности
решения
обратной
эти
условия
изначально
полной
формулировке
независимы
эффектов
неединственности
неустойчивости
возникновение
при
кото
неустойчивость
проявлением
при
вычислениях
происходят
неверного
сужения
Чтобы
показать
это
следующие
оператора
ядру
состоит
),
элементом
AKerXXA
/:
все
элементы
0(:
AAKer
Совокупность
Норму
элемента
)(



-
,

смежности
соответствующего
заданному
Axy
задачи
min,
Axy
под
условия
условием
независимыми
самостоятельными
сводимыми
сожалению
результат
академический
конструк
функциональных
результаты
точки
зрения
задачи
есть
существенная
проблема
состоит
что
неустойчивую
устойчивым
гарантированы
устойчивости
при
вариации
входных
может
быть
чревата
катастрофическими
напри
решения
которой
неустойчивы
опреде
оператором
Более
подробно
рассмотрены
Петров
Петров
Неожиданное
авариями
катастрофами
Петербург
, 2005. – 224
всего
конструктивных
полно
некорректных
для
случаев
оператора
многие
часть
средств
анализа
решения
последних
существенно
уже
служит
уже
сейсмической
структурных
моделей
Сущность
линеаризации
физических
уровня
рассматриваются
приращения
относительно
уровня
нулевого
уравнения
оказываются
членов
малости
уравнения
уравнения
рассматриваются
уточненного
заново
услови
неустойчивости
могут
большую
рекомендации
процедурам
могут
быть
рассмотрение
существованием
единственностью
устойчивостью
решения
задач
являются
другими
методов
получаемого
мнение
имеющие
выразиться
недоработанные
сначала
сужением
модельного
задачам
решением
эту
новую
полученную
должна
полученного
бесполезным
либо
результата
Несомненно
Однако
неустойчивое
случае
может
ущерб
будет
дальше
решение
грубее
аппроксимация
реального
изучается
Иными
тяжести
Точность
будет
модельный
Полученная
решения
существу
следует
ухудшению
поскольку
задача
неустойчивой
модельного
реальной
неустойчивым
вообще
говорить
неединственным
бессодержательным
точности
параметров
внутренняя
используемой
кажу
случае
эту
существу
реконструкции
модели
надлежащим
сужением
решения
забывать
случае
существу
Аппроксимационные
модели
реконструкции
физической
физическим
формулируются
которых
сужения
искус
получение
конструктивных
Сужение
задачи
узких
зачастую
результата

,,
YyXx
yAx
(3.8)
условий
Адамару
Следует
чтобы
существовало
части
устойчивым
Классом

Ay
yAxADxA
=\t
)(
множество

разбивается
непересекающиеся
эквивалентности
пространства
замкнутое
)(
AD
KerAX
условий

Mmm
21
AmAm
21
mm
Следующее
непосредственно
единственности
каждым
классов
содер
элемента
Пусть
условий
Mmm
21

AmAm
=

RYXMA
mm
),,,(lim
21
.
однозначный
суженному
каждое
ограниченное
),(;)),((
xMPmAmxMPA
==
AmAm
mm
21
тому
Mmm
21
),,,(
21
21
21
YXMA
AmAm
mm
AmAm

=6
требуемое
утверждение
сути
конструктивная
утверждения
ствующая
сужению
замкнутого
любое
замкнутое
устойчивое
устойчивость
как
уже
подчеркивалось
формальный

множестве
yAx


Mx
минимизирующий
невязку
Mx
yAx
yxA
Š=Š
. (3.9)
конструктивный
могут
Пусть
пусть
выпуклое
замкнутое
существует
)),((Im(
xMPAN
),(
yNPy


:
yy
Š=Š
заданном
представить
существует
принадлежит
проекции
уже
существует
поскольку
)),((Im
xMPAy
принадлежит
условия
обеспечивающие
взаимно
суженного
существование
Yy
)),((Im(
mMPAN
Адамару
Непрерывность
),(
yNPy
следующая
нормированном
деле
метрическим
переменной
результат
yyRyNPyNPYyy
21
21
),(),(:,
Š

очевиден
состоит
утверждении
между
двух
элементов
между
самими
Следует

будет
если
выпукло
Yy
результатов
обеспечивающих
условий
общих
решений
линейный
взаимно
выпукло
выпукла
для

Yy

единственно
yAx
выпуклый
таков
),(
yNPy

существует

Yy
квазирешений
случае
ограниченно
относительно
множество
замкнуто
грань
достигается
Обратим
внимание
что
опре
произвольные
пространства
Математическое
прил
. 2.
алгебраическая
сумма
+=
конечномерное
Пусть
+=
Пусть
выпукло
выпукла
существует
)),((Im(
mMPAN
Поскольку
также
будет
ограниченно
алгебраической
суммы
подпространства
случае
вует
единственная
элемента

достаточно

эквивалентно
нуле

Yy
()(
LKAKANN
+Š=Š
алгебраическая
компактов
требуемое
результаты
фрагментом
результаты
иллюстрируют
дух
теории
обеспечить
устойчивость
надлежащим
сужением
доказательство
соответствующей
устойчивости
модельных
содержательную
оказывается
преимущественно
вне
рассмотрений
Свойства
аппроксимационных
моделей
конструируются
обеспечить
высокую
своих
изучаемого
относительно
априорных
изучаемой
сконструи
изучаемую
конструировать
квазирешение
единственности
дальнейшее
содержательный
изучаемой
являющийся
классом
единственности
получаемое
изучаемой
путь
эффекты
рассмотренной
модельного
необходимая
содержательном
получаемого
осуществляться
решение
устойчивым
содержательном
физико
геологической
модели
геологической
модели
заранее
аппроксимационной
содержательности
служит
некоторым

что

обозначает
образ
при
отображении
Это
сокращенная
выражения
)(
KA
)),((Im
KPA
содержательных
геологических
моделей
распределения
параметра
геометрической
. 1.3.
искомого
физического
параметра
следующим
существует
элемент

Mm
11
min.
mxx
Š=Š
Пусть
одним
методов
минимизации
найдено
выбор
относится
чисто
технологиче
ским
Однако
ниоткуда
следует
служит
приближением
этом
состоит
ошибка
зачастую
допускаемая
которые
считая
выбранном
ими
моделей
решение
существует
аппроксимировать
реальную
геологическую
ситуацию
решений
приближение
искомого
параметра
самом
квазирешение

аппроксимацией
иному
зачастую
весьма
экзотическому
элементу

эквивалентности
содержащего
yAxADxA
=\t
уклонение

Пусть
банаховы
Пусть
=Š=
\t
)(
222
xm
ограничено
обратного
(,,,).
xxM
AMXY
AxAx
AYXMA
xx
++Š
),,,(1
2121
\f
(10).
)(),,,(
),,,(
22
21
11
21
21
22211121
mxAxxAxmAYXMA
AmAmYXMA
mm
xmmmmxxx
Š+Š+Š
Š

Š+Š+ŠŠ
21
AxAx

)(,
21
Axx
\t
21
2121

\f
++Š
AMA
xx
Полученный
результат
рую
аппроксимационный
модель
класса
которую
реально
аппроксимирует
получаемое
настораживает
можно
случаях
существование
анализу
ситуациях
иметь
результатов
ситуациях
такого
следует
Пусть

полную

классом
единственно
)(
VL
)(
VL
Mx
yAx

(3.11)
Пусть
)(Im
MAN
Nn
yn

(3.12)

, (11)



nmAm
Nn
требованием
.,0
Nnnyn

Š
достаточное
условие
Š
AmymA
Mm

проекции
элемента
пространстве

xP
ортогональный
являющийся
линейным
самосопряженным
операто
Проекцией
например
обозначим
))(Im(P
)(
Š
xAPyxAP
Lx

уравнение
xPm
.0
;0
**


yxAPAP
yxAPAP
(3.13)
(11)
необходимостью
уравнению
рассмотрим
градиентные
методы
уравнения
распро
силу
единственности
свойства
yAxAPxx
Mn
nn
+=
(3.14)
будет
существует

элемент
удовлетворяет
уравнению
самым
слу
других
предельных
существует
(14)
Пусть
задачи
существование
единственность
уже
xxg
Š=
получаем
Mn
yxAPAPgg
Š=
другой
)(Im
MAN
xAn
(9)
LY
что
линейное
подпространство
это
так
(14)
следует
yAxAxPx
+=

21
*2
*2
Š
+
Š
Š=
Š=
Mn
AgAAA
AgA
AgAg
gAgAPgg
33
(14)
будет
сходиться
последовательность
монотонно
*2*
AAAAg
133
=Š+
(3.15)
10

Нетрудно
убедиться
уравнения
(15)
1,0(
последовательность
существует
нулевого
множеству
получаем
01
yxAPAPxx
+=
(3.16)
пределу

gxx
+=
(3.17)
элемент
AP
квазирешения
будет
AP
нулевое
нулю
предельный
элемент
оказывается
ответствующий
множества
могут
опущены
любой

взят
оператору
множество
значений
расширению
Действительно
MX
MX
MX
силу
()()()
*****
ImImImIm
Im.
MiMiMiiMM
PAPAPAAPPA
====





'
`,(Im)Im((,Im)
PMAPMA
суть
элементы
могут
быть
получены
нулевому
решения
реализации
нулевое
даже
множеству
аппроксимируют
реальную
геологи
ческую
ситуацию
могут
получены
существует
недоступны
реализации
формально
необходимо
поскольку
рассматривается
предел
последовательности
лишь
строгости
поскольку
первых
используется
итераций
вторых
конечная
входных
делает
бессмысленным
достижение
точного
каким
является
ретически
предельный
элемент
представлено
APM
целом
элементы
конструкции
конструктивный
доказательства
Пусть
аппроксимационный
класс
операция
множества
однозначна
Тогда
(Im`
APM



.
случая
проектирования
используется
условия
)(
VL
)Im()(Im`
APAPM
)(
),
следовательно
поскольку
лу
KerAM
)Im(
суженного
множтво
ес


подпространством
рассмотрено
подмножество
другого
подпростраств
единственности
буемое
PL
ует
активности
расширение
многозначное
)(Im
AP
одинаково
ситуации
получение
элементов
)Im/(Im
AAP
могут
весьма
конструкциями
активной
вычислительно
достижимой
конструкции
служит
некоторое
)(Im
AP
выступать
регулярными
)(
GP
.;:Im
=
=
CAgAgG
$$
условия
аппроксимационной
конструкции
сути
жестки
пользуемой
есть
содержательном
элементы
получаемые
или
другими
заведомо
аналитическими
более
универ
аппроксимационный
используется
суть
характер
демонстрируются
будут
эквивалентности
используемой
конструкции
части
более
ситуаций
Пусть
замкнутое
выпуклое
нулевое
, .
обобщающую
задачу
)(
VL
DFA
LF
.1,


Mx
yAxF
(3.18)
отметить
этот
единственности
согласован
той
моделью
поля
например
дискретные
значе
которая
используется
операторе
линейность
самосопряженность
оператора
проектирования
это
частный
(9).
замкнутое
выпуклое
обобщение
минимизируемой
трансформирующего
функцию

минимизирующего
эту
Например
умножение
функции
весовую
имеющую
смысл
могут
другие
требующие
функции
невязки
построения
случаем
yAx
существует
выпуклости
замкнутости
выпуклости

доказательство
(Im(
MFA
Nn
Fyn

(3.19)


(18)

nFAm
11
ŠŠ
решения
воспользуемся
соответствии
111:
=+
qpL
.,0
;1)
Nnnnf
FynFynf

Š
Š
Fyn
FynsignFyn
условия
окажутся
Условие
можно
.,0
NnnnFynsignFyn

ŠŠ
Š
учтено
Š
Fyn
()
()
,,0
MmmmFAymAFsignymAF

Š
()
()
,,0
**
MmmmymAFsignymAFFA

ŠŠ
(3.20)
:
()
()
.,0
**
MmmmymAFsignymAFFAmm

ŠŠ

условие
условие
элемента
()
ymAFsignymAFFAm
**
Вводя
проектор
получим
()
**
ymAFsignymAFFAmPm
Š=
. (3.21)
(18)
уравнению
поскольку
условие
Введем

()
**
ymAFsignymAFFAmPm
Š=
. (3.22)
относительно
рассуждения
(16)),
существует
последовательность
использовать
расширение

LX
()(
**
ymPAFsignymPAFFAPmPm
Mn
Š=
Im;
iM
Mi
APAPAA
нулевое
методу
претерпевает
добавляется
результат
тируется
Полученный
нулевое
дующем
При
нулевом
могут
получены
случае
множество
AP
будет
используемой
конструкции
вида
yAxF
показано

линейном
условие
замкнутости
случай
учитывающие
LY
ADF
Условие
активности
аппроксимационно
содержательной
части
класса
исполь
зуемого
квазирешений
обратной
задачи
итерационными
типа
весьма
существенным
заранее
неизвестно
является
аппроксимационно
содержательной
именно
активная
полученный
результат
бессмысленным
геологическом
отношении
том
случае
конструкции
существуют
элементы
аппроксимирующие
реальную
элементы
могут
оказаться
тени
предела
активной
части
используемого
модельного
Проиллюстрируем
эффекты
могут
возникнуть
недоучета
свойства
активности
обратной
гравиметрии
чем
приводимый
ниже
своей
аналитической
равно
справедлив
задач
отражает
случаи
Пусть
полупространства
близкий
область
подобластей
совокупности
покрывающих
.
Эту
конструкцию
служат
Будем
условия
VVV
min
, (3.23)
интерпретируемый
вычисление
соответствующего
либо
(17)
.,
MxAxy
=
)(
VL
(23)
условие
)Im(,
APgg
+=

используемое
нулевое
конструкция
единственности
нулю
()()
0000

+Š+Š
zyyxx
dyzdxyx
Нетрудно
множество
полупространстве
функций
двухмерности


00
zxx
zdzx
случая
функции
гравитирующий
0,6 ,
расположенный
внутри
охватывающей
прямоугольной
области
качестве
аппроксимационной
модели
образующая
двух
мерном
случае
осуществлялся
сеток
3; 5
ожидать
концентрации
где
интуитивном
уровне
представляется
выбранная
конструкция
содержательна
класс
единственности
деле
содержит
одну
внутреннюю
ячейку
уже
случае
принятая
является
существенно
рукция
Более
содержательная
источников
Анализ

.
Предел
последовательности

квазирешений
Визуально
полученной
демонстрируется
сопоставлением
расширения
*),(
AVL
)(
)(
202
VLEL
)(
00
00
)(
02
)((
)()(
)()(
)()(
VL
EL
sAvdvdssvA
dssdvvA
svA
$
$
$
$

модель
Пунктиром
двух
случаях
функции
Пусть
)(
MP
VL

()()
()()
i
n

=Š=Š
vvvvv
. (3.24)
значения
Ni
...1
0,1,...,
dviN

⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
PMPp
)(,2
mesV
значение


.
Применяя
(24),
получим
существует
()()
()()()
()()
()()
,.
fLV
9
+=
Š&#x-240;•=Š
=
vvvv
vvv
()()
()()
()()

vvvv
):
sign
dc

Iccc
21
,...,,


0,1,...,.
diN
ŠŠ=
доказана
квазирешения
будет
получена
значение
функции
функции
максимальные
случае
внутренней
точки
максимума
модуля
для
функции
будет
значениях
откуда
максимальные
модулю
плотности
наблюдаться
для
расположенных
Если
внутренней
внутренних
вычислительно
требует
элементов
гармонических
функций
функций
описываемых


00
zxx
zdxx
рукции
недосягаемы
получения
конструкции
Следует
что
здесь
дуются
возникнут
особенностями
неуправляемы
рамках
ГЛАВА
КОНСТРУИРОВАНИЯ
АЛГОРИТМОВ
НЕУСТОЙЧИВЫХ
ЗАДАЧ
понятия
существует
формальная
AN
Axy
XyNY

(4.1)
оператор
действующий
заданного
функционального
функционального
элементу
требуется
оперировать
модуля
XDAx
\r
должны
метрическими
Банаховыми
методы
условно
Потребность
методов
существует
возникла
результатов
эксперимента
учета
редукции
физическим
целью
реконструкции
моделей
Используем
определению
помощью
аппаратуры
физиче
реализующий
мультипликативное
функции
записи
su
sK
()(
susK
аддитивной
рассматриваемой
результатов
эталонирующих
служит
sy
sN
()()(
sNsysy
+=
)()()()(
sNsysusK
+=
su
sy
соответственно
Конкретная
реализация
элементом
sN
сути
учета
необходимо
вводить
случайных
суть
относятся
либо
моментах
корреляци
функциях
случайного
обладающего
шума
Совокупность
служит
модель
обозначается
оператор
sN
sN
),(
чтобы
получить
наилучшее
наилучшего
требует
следует
множестве
)())()((:)(
susNsyRsu
=+


наилучшее
su
)(
su


редукцией
расчетная
невязка
укладываться
статистическую
гипотезу
сопровождаться
искомом
редукция
редукция
вует

yyRsKsN
Š=
)()()
())((
susuKR
=
вычислением
значений
неустойчивая
уже
говорилось
конструи
учитывая
согласованный
устойчивый
результат
нулю
регуляризованными
определения
Рассмотрим
качестве
функции
sK
(2.6-2.6-
преобразование
функций
число
функций
найти
функциями
(slit function).
функции
конструируются

информации
элементарный
входной
sK
sdy
()()(:)(
00
sdussKsdysdu
Š=
меру
которую
закона
выполняться
условие
IdssK
)(
22

s
;


2.
)(
)/sin(

3.
)(
)/(sin
22
)4/exp(
!"

exp(,,
,;
ssR

/1/2;
0/1/
2.
сглаживающими
интуитивно
реконструкция
присущих
результату
Какую
функций
субъективных
убедительных
аргументов
преимущественных
процессов
при
сопровождаемым
функции
(6)
соответствует
усредняется
диусом
sN
соответствует
реконструкции
усредненным
зашумленным
значениям
функции
увидеть
Пуассона

функции
параметра
нулю
функции
Дирака
преобразование
Поэтому
уровне
параметр
можно
уподобить
рую
распространяющейся
сигнал
данных
случае
этой
эффективной
ассоциируется
изучаемую
среду
распространялся
служат
сигнал
входной
реконструкция
функция
Новые
функции
соответствует
результате
весьма
Следует
функции
друг
друга
аргументы
введения
небольшими
возмущениями
одну
другой
условиях
для
устойчивых
редукций
результативно
друг
другу
устойчивого
присутствующие
другим

уже
ограничен
редукции
Следует
близость

элементы

друг
другу
могут
уравнений
рассматривается
).
условий
близость
условно
корректных
задач
квазиобращения
yAxyxA
==
Другая
что

будет
иметь
группе
методы
регуляризации
между
методами
внутри
случаев
они
другу
может
рассматриваться
зрения
усмотрению
субъективности
Возможным
становится
благодаря
часть
Следующие
рассуждения
MAN
Пусть
множество
,:
rxxM
\t=
функционал
функций
ограниченную
первую
производную
полную
ошибкой
чину
невязки
yAx
условии
дает
условный
минимум
такую
rx
\t
\t+Š
yAx
, (4.4)
число
называемое
множителем
как
величиной
Уравнение
для
стороны
уравнение
решения
рамках
идеи
было
получено
возмущением
уравнения
оператора
обратным
уравнение
непрерывно
решимо
рамках
статистике
(2)
реально
)(
sN
yyy
+=
точную
часть
аппаратную
функцию
упрощающие
аппаратная
функция
будет
интегралов
целую
которые
результирующие
используется
лучшее
можем
сказать
контролируется

используемый
окрестности

называется
задачи
условием
Ay
AAh
XDADA
==
Ошибкой
называется
=
соответствует
некоторое
гипотетическое
решение
задачи
прибли
женным
данным

некоторому
устойчивым
элемент

чтобы

требуемом
друг
другу
Правило
редукции
Ay
зависит
таким
данных
оператора
=
которые
семейства
операторов
редукции
теории
регуляризации
составляют
понятия
регуляризующего
алгоритма
оператора
гуляризующих
операторов
Приведем
соответствующие

замкнутых
YX

YXAA

Ay
Ay
действующий
YX
регуляризирующим
алгоритмом
(1)
Ay
×
определен
AyR
Ay
;,

AyR

;0,
0,
=
AyRx
(4.5)
регуляризирующий


регуляризирую

условиях
регуляризующим
AyR
Ay
YXYNN
\r:\r:×=
;;
AyR
AyR
регуляризирующих
алгоритмов
результат
стремя
точным
нулю
Пусть
множество
Параметрическое
регуляризирующим
точке
;:,
yAxAy

любых
Ay
hAAYXAyyYy

Š

регуляризую
алгоритмом
XR
существует
0)(lim


0)(


xAyR
3
. (4.6)
регуляризующих
семейство
будучи
сходящемуся
умень
аналогично
учитывает
параметризует
используе
регуляризующий
следует
регуляризующих
будучи
применены
разную
сходилась
для
семейства
сравнению
аналогичными
семействами
свойствам
порядку


:
;;),({sup)(
,,
hAAyAxMxxAyR
Ayx
ŠŠŠ
=
3
что
получается
между
точным
регуляризованным
различных
условиями
Метод
доставляемой
среди
других
трудно
поэтому
используется
слабое
условие
порядку
порядку
существует
yAx
))();(inf()(
YXYRR
×\r
=
33
()(

kR
Квазиобращение
Пусть
действующий
существенное
условие
могут
решаться
процедур
квазиобращения
неограничен
можно
умножить
уже
уравнение

выполнена
(1)
данных
yAx
yAAxA
**
Ay
случай
Пусть
положительная
полную

соответствующую
собственных
учетом
yAx
(4.7)
коэффициенты
умножая
результат

учитывая
ортогонально
получим
gy

gy

. (4.8)
(8)
Неустойчивость
соответствует
малой
собственных
малости
Существенное
зующие
подмножество
расчеты
делаются
данные
малости

gy
присутствующих
разных

gy
свою
при
некоторых




iii
ggy

нее
служит
iii
ggy

правой
будем
iii
ggygy
/)
+ፙ&#x+136;∉
малой
будет
соответствовать

gy
ii
gy
'

малости


gy
угодно
Тогда
ii
gy
'

будет
значительно
чем
ii
gy

уже
чересчур
индивидуально
приводит
неоправданно

набора
числами
затушевывает
все
ситуация
небольшими
неустойчивых
борьбы
конкретных
условий
Наилучшим
ситуации
сведений
(1),
части
устойчиво
состоит
рассматриваемых
неустойчивых
квазиобращением
матрицу
уже
исключим
суммы
ведичины


i
i
i
ij
. (4.9)
заменена
другой
jN

собственным
уклонения

21
,...,,
ggg
max
max
;0,(0,1,..,1).
hhi
AAAAxxAxxxgij
Š=Š̅-;ᒉ=&#x-645;=&#x-370;=Š

подпространстве
множест
уклоняется
определенном
превосходящую
максимального
регуляризации
восстановления
выражающихся
максимальной
устойчиво
определяемых
некорректным
требует
задачи
устойчивую
неустойчивую
случае
субъективный
трудная
рассматриваемого
другим
регуляризовать
следующем
знаменатель
сумм
положительное
N
i
i
i
i
. (4.11)
малость
малостью
существенно
суммы
участвуют
существенно
уменьшается
важно
собственные
оказаться
еще
может
требует
приведен
диагональному
эквивалентным
описанному
замена
IA
случае
можно
BA
специальными
необходимыми
трактуются
рамках
уже
заданном
называется
Бесконечномерный
случай
случаю
могут
Следующие
результаты
приводящиеся
доказательств
рактеризуют
неустойчивых
служат
условия
,0
xAx
приводится
&#x/MCI; 10;&#x 000;&#x/MCI; 10;&#x 000;Пусть
приближенные
Ay
Ay
=
Пусть

существует
взаимно
уравнение
yIxxA
=+
, (4.12)
любых
,






(7)


,

()()
0,
. (4.13)
()(
+=
IAyAR
выполняется
регуляризи
рующее
регуляризированное
семейство
регуляризации
регуляризации
(13)

:
3
+Š
hxx
xx
отсутствии
ошибок
условиях
порядку
ryByxxM
==
;:
действует
случае
используется
двухсторонние
процедуры
регуляризации
еву
[2, 141].
множество
ryByxxM
==
;:
оператор
коммутирует
двухсторонняя
модуль

условием
Ax
YX
Mx
Axx
MA
;sup),,(
),,(
),,(
rBMA
MA

+
\f3
бесконечномерный
случай
регуля
требует

положительного
hA,0
аналог
функций
образующих
xdExA
функция
определение
повторяет
стандартное
линейного
подчеркивает
что
рассматриваются
только
окрестности
норм
пространств

xdEgxAg
)()(
аналогом
регуляризо
служит
ydE
yR


3
0;
, (4.14)
нулю
нуле
функция
Qg
AgB
ryByxxM
==
;:
условию
(
3
+Š=
hAgrgr
регуляризующих
требуют
указанное
условие
выполнено
уравнению
путем
умножения
xByAxAA
hh
==

уже
требуемым
условиям
путь
недостаток
неустойчивой
ухудшению
устойчивости
умноже
умножаются
малое
умноже
умножении
свойства
устойчивости
ухудшаются
путь
пускают
регуляризации
hhh
AAB
Метод
регуляризации
Основы
общей
теории
регуляризации
большую
отличительной
особенностью
которых
стабилизирующего
функционала
наблюдаемой

делает
выбор
элементов
удовлетворяющих

yAx
. (4.15)
устойчивого
выделения
допустимых
следует
принцип
минимума
функционала
следующей
\t

.min
yAx
(4.16)
функционал

Лагранжа
(16)
получаем
\t+Š
yAx
, (4.17)


3

yAx
Функционал

стабилизирующим
поскольку
его
назначение
устойчивость
yAx
Пуассона
редукции
(3)),
допустимых
служить
случая
ELY
()
!!

+

+

dxxu
xx
dxxu
00
(4.18)
Неравенству
осциллирующие
функции
более
()()

=Š\t
+

xu
xu
служит
(16).
Постановка
как
способ
регуляризации
получена
других
Предположим
что
элементов
ищется
приближенное
решение
yAx
, (4.19)
CxXxM
\t=
случае
если
часть
силу
того
множеству
существует
переформулируем
yAx
Mx
min;
Axy
(4.20)
функционал

Лагранжа
(17)
стабилизирующего
функционала
уровне
стабилизирующего
функционала
рассуждениях

который
регуляризации
таком
функционала

yAR
YXY
×
AA



,
=
чтобы
регуляризирующим
(19).
yAR
Пусть
данные
действующий
Ay
Ay
()()
ADXLDx
II
LxxK
. (4.21)
регуляризации
,
yAR
Ay
,,
DAxLxyA

(4.22)
Следующий
результат
алгоритм
регуляризующий
, ,
замкнутые
выпукло
условие
экстремальных

yAx
AxLxx
++
()()
+

3
. (4.23)
алгоритм
определяет
регуляризующих

yAx
обеспечивающему
будут
выполнены
состоит
том
оператор
действующий
алгоритм
являет
регуляризирующим
выполнено
Wx
rLxxM
=
Действительно
необходимости
(4.24)
выпуклый
равномерно
выпукло

отображении
гомеоморфизме
будет
справедлив
результат
Пусть
соответственно
точные
приближенные
(1).
замкнутые
операторы
однозначные
рефлексивны
однозначный
что
Ay
Ay
rLxxM
=
(4.22)
разрешима
последовательность
решений
пространства
=
()()
+

3
. (4.25)
(23)
обеспечивают
регуляризующие
,
позволяют
однозначно
величину
регуляризации
результатов
позволяющих
состоит
следующем
yAR

выборе
условия
rhL
, (4.26)
порядку
множестве
yAR
rggLxxM
==
;:
существенно
регуляри
ситуациях
оптимальных
порядку
требует
множества
Однако
конструкция
большинстве
случаев
случаи
удается
имеет
математический
Отсюда
поскольку
гарантируют
формально
существу
конструкции
регуляризации
выступают
Простейший
выполнено
3

yAx
, (4.27)
задачи
(22).
увеличения
параметра
регуляризации
погрешность
получаемая
контролируемой
невязке
одновременно
бование
регулярности
стабилизирующем
функционале
Необходимо
Надо
наиболее
устойчивое
решение
выходящее
пустимой
условия
невязки
значений
меньшим
выбору
такого
когда
неравенство
3

yAx
. (4.28)
учитывается
задании
дополнительную
часть
суммарную
невязку
эту
часть
учитывать
случае
=ŠŠ+=Š
3
3
yxAAAyxA
33
+=+ŠŠŠŠ+=
xhyxAAyAxxAAA
случае



xh
регуляризации
перебором
получением
соответствующих
регуляризо
выполнено
3
+Š
xhyxA
(4.29)
оптимальное
параметр
регуляризации
требуется
уровень
=
регуляризации
(22)
при
регуляризации
отсутствии




00
xx


()
333
=++++
характеризует
линейную
отличия
решения
прибли
женного
Требуя
это
отличие
минимальным
правилу

min
. (4.30)
способом
регуляризации
параметра
регуляризации
выразиться
случаях
регуляризации
стабилизирующего
функ
могут
самой
Типичный
Винеровская
фильтрация
редукции
(2),
уравнения
()()()()
sydssussKsAu
Š=

000
, (4.31)
функций
(3).

будут
уточнены
представляет
типичную
некор
ректную
имеет
физическую
физическим
(31)
(22),
,(
sK
()()

sLusysAu
()()()
+

+

+

000
dssLu
dssydssussK
. (4.32)
()()
()(

sLuLsysAuA
. (4.33)
преобразование
Фурье

получим
sLuL
()()
wuwM
()()()()()()()
wuwMwywKwuwKwK
()()
wMwK
wywK
wu
. (4.34)
обычно
функций
сопряжения
данном
случае
уклонение
решения
(31) –
соответствующего
точной
полученного
приближенного

(34),
ответствующего
имеющейся
приближенной
правой
части
(31)
()()()
wuwywK
,,
()()()
susysK
,,
)(
su
sy
su
ssysy
+=
)()
()()
Kwyw
uwedw
KwMw
()()
iws
Kyww
uwedw
KwMw
оператор
свертки
ядром
)(
sL
)(,)()(
wLwLwM
спектр
)(
sL

()()()
iws
KwuwKww
uwedw
KwMw
()()
()()
iws
MwuwKww
edw
KwMwKwMw
(31)
su
между
. ,
соответствующие
будем
может
заменено
параметру
вычисления
черточкой
осредняемой
функцией
получим
wN
wS
()()

susu
()()()()
+

dwe
wMwK
wwKwuwM
()()()()
''
''''
dwe
wMwK
wwKwuwM
siw
+

. (4.35)
,0
()()
()()()()
()()
',
';',
wwwSwwwwwNwuwu

=
',
ww
дельта
функция
Она
нулю

ww
ww
ww
wM
wK
получаем
()()

susu
()()()()
()()()()
()()


''
''
''
**
wMwKwMwK
wwwKwKwuwuwMwM

=+Š×
''
dwdwwwi
()()()
()
wMwK
wSwKwNwM

22
Требуя
минимума
последнего
минимизируя
wM
()()
susu
получим
()
wN
wS
wM
()()
()
dwe
wN
wS
wK
wywK

. (4.36)
регуляризации
Параметр
регуляризации
стабилизирующего
функцио

()
dwewx
wN
wS
wLuL

получены
статистики

выраженной
wN
wS
)(
su
)(
()()
susu
Полученное
Регуляризация
дифференцирования
Процедура
анализа
относится
неустойчивых
процедур
поскольку
небольшие
амплитуде
могут
дать
мальную
регуляризацию
процедуры
&#x/MCI; 21;&#x 000;&#x/MCI; 21;&#x 000;(+Š
данные
xf
()()
Š
Cxf
функция
xf
()()

xfxf
регуляризатор
условием
()()
Š=
mxf
CxfM
регуляризатор
операции
функции
xf
()(
fxfx
Rfx
ŠŠ+
3
процедура
часто
Приве
произ
дифференцируемой
функции
Следует
существу
рассмотрения
осциллирующие
функции
предварительное
Построение
Эквивалентной
(16)
регуляризации
служит
yAx
множестве
rxxM
\t=
формулируются
уравнения

yAx

эквивалентность
строго
говоря
требует
выполнения
условий
применения
правила
множителей
условный
экстремум
прил
невыполнение
этих
условий
следует
экзотиче
100
min;
Axy
Mxr
\t
(4.37)
приводят
силу
безусловный
\t+Š
yAx
внутреннее
регуляризации
сейчас
, –
предположение
оператор
осложнен
hAA

заменится
min;
Axy
Mxr
\t
(4.38)
отсутствии

Следующий
результат
случая
[3, 65-69].
Пусть
замкнутые
операторы
выпук
множество
выпуклое
рефлексивное
алгоритм
является
регуляризирующим
последовательность
регуляризованных

(38) (
существуют

yAx
yA
0},{
=
Итерационная
регуляризация
уравнения

(4.39)
Axy
осуществлено
методом
ситуациях
служит
регуляризующим
nnn
xyAx
=+Š
(4.40)
при любом выборе , если: А – самосопряжен
существует
''
20

наибольшее
Если
полученный
силу
треугольника
NN
xxxxxx
Š+ŠŠ

силу
сходимости


xx
(40)
регуляризирующим

NN
xx
(40)
IAxy
IAx
=Š+
=Š+
будем
считать
получим
00
xx
101
kk
NN
AI
xx
AI
AI
xx
yyxx
''
''''''
'

Š+=Š+Š
Š=Š
21
21
22
11
(3.41)
=
lim;
''
kkk
AI
алгоритм
является

регуляризованной
xx
Нетрудно
kk
AInC
''
Š=
функция
заданном
увеличивать
уровня
обеспечивающего
невязки
улуч
ухудшению
удалению
число
должно
регламентировано
уравнения
функции
приводит
требуемых
(40)
достигнута
точно
операторе


yAx
принципу
регуляризации
номеру
случае
оператор
уже
случае
опера
умножая
правую
левую
части
уравнения
процедуре
nn
AxyAxx
Š+=
рассуждения
сходимости
для
дословно
повторяют
приведенные
NN
AAI
xx
''

результаты
ватывают
даже
направлении
вполне
усвоить
принци
пиальную
регуляризации
круга
понять
102
процедуры
углубленного
ознакомления
[1-4].
геофизических
неустойчивых
одну
В приведенной в ней библиографии
легко
рассмотрений
служит
введение
позволяет
круг
Следующее
при
рассмотрении
неустойчивых
Axy
(4.42)
некоторых
данных
имеет
одно
решение
конструирования
регуля
ризирующих
алгоритмов
состоят
приближенном
расчете
приближенным
торого
элемента
при
xxh
=
,0,
подчеркнем
решение
(42),
соответствующее
данным
(
отвлечемся
погрешностей
предположим
сконцентрированы
Существование
этого
элемента
пред
полагает
что
последнее
обстоятельство
принципиальным
самого
начала
конструкция
описания
искажаем
смысл
понятия
правой
Mx
Mx
(42).
(42)
неединственно
схема
регуляризации
вообще
нуждается
условие
существует
множество
уравнения
элементом
приобретают
ситуации
получив
результате
MX
точного
соответствующего
определенного
можем
сказать
близости
полученного
среде
повторяет
состоящей
регуляризации
для
учитывающие
Литература
Наука
математической
Наука
Иванов
Наука
квазиобращения
Мир
центральной
вычислительной
теории
геологической
электрических
Материалы
Международного
семинара
Успенского
103
ГЛАВА
КРИТЕРИАЛЬНЫЕ
ДООПРЕДЕЛЕНИЯ
ОБРАТНЫХ
ЗАДАЧ
ГЕОФИЗИКИ
критериев
содержательных
обсуждавшимися
предшествующих
разделах
Другой
существенной
служит
модели
модели
соответствующего
Суть
том
между
удачного
или
могут
связанные
между
условиями
наблюдения
конструкции
определена
конструкции
этапе
конструирования
соответствующее
уравнение
процесс
изучаемой
недостатками
учитывающим
важных
реконструкции
полям
однобокость
ситуации
которых
существенные
параметры
наблюдаемой
используются
отсутствии
соответствующей
затруднительно
процедур
реконструкции
ситуаций
реализуется
согласована
Альтернативный
использованию
путь
доопределения
элементов
основные
узловые
Пусть
реконструировать
струк
турную
плотностную
заданному
двухмерную
значениями
функций
том
множестве
функцией
xfz
)(
jz
xu
},{
jj
hx
)(
jj
xh

горизонтальными


наблюдения
условием
],[
ba
Структурная
jj
hx
,[
},{
jj
hx
104
101
(,)(,)
(,())ln()(()))
();
0;{(),0......};(),1,.......
zjjzjj
ijij
iiiN
jj
uxhuxh
A(x)x
xxfxhdx
ux
(x)fxiNhxjM

=Š+Š=
=
=Š====
==
случай
если
было
0)(:
xE
случае
записы
Реконструировать

функцию
недоопределенная
модели
уже
значения
обратимся
источнику
правило
служат
бурения
других
некоторые
общие
Бурением
достоверная
глубинах
сейсморазведка
других
качест
глубину
здесь
промежуточных
между
другими
результатами
изучаемыми
которые
определенной
характерных
углах
почерпнута
родную
разноплановую
изучаемой
может
служить
глубине

()(
xu(x)A
=
Nixf
......0),(
xu
глубины
указать
глубинах
глубинах
глубины
вполне
упорядоченное
каждых
двух
глубин
можно
указать
ранг
глубины
распределение
,(
zxP

глубине
утруждать
конструированием
будет
достаточно
унифицировано
речь
иллюстрации
сконструирована
глубинах
Для
вероятности
следует
вероятностный
,(
zxP
функцию
)(
описывающую
интегрированную
оптимальности
105
.))(,()(
dxxxPP
ii
имеются

глубинах
существует
функция
(,),{,,...}
Pxzzz

,[
ba
xz
ii
глубинах
xz
ii
глубине
глубине
глубине
вероятности
следует
),(
xP
результате
получиться
функцией
функцию
){,0....}
xiN
описывающую
положение
можно
интегрированную
.))(,()(
dxxxPP
˫˫
реконструкции
структурной
модели
(1)
.max))(,()(
dxxxPP
˫˫
эквивалентных
эффекту
единственную
априорной
Вероятностный
служит
априорной
(,())ln()(()))()
{(),0......};(),1,......
(,())max.
jijijz
A(x)x
xxfxhdxux
(x)fxiNhxjM
Pxxdx
=Š+Š=
====
Функционал
постановка
соответствует
полю
уравнений
(3)
решить
эту
другой
уравнений
условия
глубины
между
собой
имеются
могут
сконструированы
функции
упрощение
),(
zxP
Ni
,......1,0
ii
xfxPxxP
))(,())(,(
106
)(
)()(
)(2
),(
xfxf
ii
zxP
%"
оценка
среднеквадратичного
уклонения
)(
xf
()()
(,())(,())
2()
fxfx
PxxPxfx
Š
Š
глубин
нулевого
глубине
)(
xf
нулевого
Нетрудно
максимизация
xfxf
ii
)(
)()(
)(2
%"
эквивалентна
xfxf
ii
)(
)()(
(3)
частный
(,())ln()(()))()
{(),0......};(),1,.......
()()
min.
ijijz
A(x)x
xxfxhdxux
(x)fxiNhxjM
fxfx
=Š+Š=
====
условный
минимум
которой
условиями
служат
уравнений
требование
того
чтобы
сравниваемые
критерию
оптимальности
одному
эквивалентности
учетом
параметризации
наблюдаемых
компонент
гравитационного
воспользуемся
которым
найтись
jz
xu
экстремаль
условный
минимум
экстремалью
безус
минимум
.min
)))(()(ln
)(
)()(
Š+Š+
jij
ii
dxhxfxx
xfxf
'
Лагранжа
требует
дифференцируем
производная
регулярна
))(
,(
xf
(x)A
......0),({
Nixf(x)
==
(())()
`(,
˵())ζ()
()
()(()))
{(),0......};
ζ^()0......}.
iji
jij
fxhx
A(x)xx
dxux
xxfxh
(x)fxiN(x)xiN
=
Š+Š
====
107
,(
baL
функцию
......0),({
Nix(x)
значений
дифференцируемость
регулярности
обсуждаться
будем
регуляр
Варьируя
получим
уравнение
условие
минимума
.,....0
)))(()(
))((
)()()(
Ni
hxfxx
hxf
xfxf
jij
ji
ii
ii
Š+Š
+=
'%
числа
уравнений
уравнения
доопределяют
служат
чем
столько
точках
уравнений
слу
определить
сколько

неопределенную
задачу
класса
единственно
нулевые
оценки
единственности
служат
рулями
позволяющими
осуществлять
эквивалентности
получения
наилучшего
единственности
завершено
уравнения
представление
(9).
учетом
задача
уже
рассмотренных
сконструировав
решения
множестве
,...,0),({
**
Nixf(x)
},...0),({
Nix(x)
==
(())
()()()
()(()))
()()
0,.....
(,())()
iiniij
jij
jjz
fxh
fxfxx
xxfxh
fxfx
A(x)xux
3%$
=+
Š+Š
будет
регулярен
существует
последова
чисел
критерий
выражающий
унифицированным
родную
разноточную
изучаемом
(9),
параметризующий
наблюдаемой
Полученный
результат
конструктивен
указан
конкретной
экстремальном
классе
концентрирована
нулевое
оценку
менять
управляя
получаемого
результата
,...,0),({
**
Nixf(x)
},...0),({
Nix(x)
==
108
самым
уточнять
анализа
решения
недоопределенных
является
преимущественной
построения
требует
выражено
следующим
рули
должны
рулями
слу
критерий
конструкцию
нулевые
нетрудно
величины
убывают
},...,0),({
**
Nixf(x)
},...0),({
Nix(x)
==
()(
xfxf
ii
},...0,1)({:1
Nix
==
xf
˵())
(x)x
регулярен
,
предполагается
,
последовательности
,
*2
)))(()(
))((
)(
)))(()(
))((
)(
jij
ji
ii
jij
ji
ii
hxfxx
hxf
hxfxx
hxf
Š+Š
=
Š+Š

'%
'%
.,....0
)))(()(
))((
)()()(
*2
Ni
hxfxx
hxf
xfxf
jij
ji
ii
ii
Š+Š
+=
'%
увеличению
равной
нулевого
приближения
получаемых
нулевого
приближения
убывать
разноглубинные
модели
ведут
критерии
)(
xf
},...0,1)({:1
Nix
==
)(
)()(
xfxf
ii
ii
%

гармонической
функции
.,....0
))()(
)(
Ni
hzxx
hz
Š+Š
убывающей
.
проявление
внутренних
рассматриваемой
Интуитивно
согласования
должны
результат
критерия
вышеописанными
внутренними
эквивалентности
методах
использующих
модельные
существенным
эффекты
управляемы
дует
изучить
правила
получаемых
109
суть
другую
ную
реконструкции
распределения
используя
аналогичные

полупространства
),(
zx
предшествующем
случае
точках
описываемом
функцией
},{
jj
hx
)(
jj
xh
будет
иметь
)(
)()(
),()(
)(
jz
xu
hzxx
dxdzzxhz
sA
Š+Š
нулевое
значений
нулевого
нулевым
этой
величине
распределения
плотности
),
,(
zx
критерию
эквивалентному
максимуму
),(
)],(),([
2*
zx
zxzx

суть
условный
условиями
служат
уравнений
чтобы
распределения
одному
наблюдаемым
компонентам
витационного
решения
воспользуемся
jz
xu
(5-6)
условный
экстремалью
безусловный
.min
)()(
),()(
),(
)],(),([
2*
Š+Š
+
hzxx
dxdzzxhz
zx
zxzx

условием
распределение
,(
zx
служит
)()(
)(
),(),(),(
hzxx
hz
zxzxzx
Š+Š
+=
%
уравнение
уравнение
, (13) –
достаточные
оператора
входят
ровно
уравнений
Подстановка
модели
следующая
оптимальности
критерия
доопределяет
неопределенную
согласованной
автоматически
110
свойства
присущие
решению
(14).
нулевое
плотностной
области
,
),(
zx
.),(
constzx
уклонения
нулевого
приближения
гармонической
функцией
)()(
)(
),(),(
hzxx
hz
zxzx
Š+Š
=Š

специальное
эквивалентная
условиях
глубин
следует
глубинах
функции
демонстрирует
обстоятельст
предположении
нулю
нуле
распределения
уклоняющихся
нуля
грмонических
фукций
получение
некоторых
внутренних
локализаций
максимальной
соответствуют
получаемых
получении
нулевому
Причин
глубин
критерий
правдоподобия
доопределить
исходно
экстремальными
моделей
максимально
используют
значения
нулевое
критерий
требуемые
свойства
экстремальных
критериев
кажущаяся
аргументов
того
управляющих
соответствие
параметрам
критериях
получению
Управляющие
рули
должны
сказуемо
111
Критерии
оптимальности
типа
обобщающую
уравнения
характер
используемого
доопределения
Пусть
уравнение
замкнутым
yAx
Действующим
банахова
.
Пусть
Ay
yAxADxA
=\t
)(
min.
Axy
сильновыпуклый

функционал
искомом
уравнения

уравнения
уже
(17)
определены
функционала
.
параметризации
квазирешения
может
учтена
модельному
классу
пусть
моделей
котором
критерия
(17)
эквивалентной
иску
решения
учитывать
задания
собственно
состоит
модельного
минимизирующего
невязку
учитывающих
могут
(17).
закону
интересует
условия
некоторый
функционал
условие
дует
.
реалистичная
учитывающая
входных
(17)
yAx

uAxP
Ay
min,
min.
PAxu
оптимизируемые
Оптимальность
отражает
min

обозначаем
также

когда
это
приводит
недоразумениям
)(
112
качеству
требует

соответствующих
удовлетворяет
критерию
случае
согласовать
оптимальности
такую
конструк
Зафиксируем

получив
.
существует
единственно
силь
выпуклости

,
соответствующий
элемент
,
условиях
другой
единственный
.
Повторяя
получим

(17)
при
min

uAxP
xI

uAxP
Ay
Ay
Ay
Ay
соответствующего
функционалу
.
функционал

существует
полученное

взаимнооднозначном
соответствии
Ay
образует
уравнения
.
Принадлежность
yAx
множеству
эквивалентности

минимизирует
функционал
.
теперь
служит
Axy


uAxP
согласованы
реалистической
постановке
построив
Ay
параметризации
регуляризация
регуляризации
числу
относятся
квазирешений
условие
Это
решение
существует
между
результатами
регуляризации
(17)
уравнения
методах
регуляризации
AxuFx
(5.21)

Xx
uAxFx
:inf
. (5.22)
соответствующие
. 4.3).
свой
убедиться
элемент
экстремальному
классу
,
задачей
min,
Axy


A
I
Действительно
если
решение
задач
yxA
решение
min.
Axy
противном
случае
нижняя
достигалась
другом
элементе
обеспечить
113
устойчивости
конструкциях
решения
целенаправленно
обеспечения
эквивалентных
эквивалентных
требует
устойчиво
единственности
вариационной
единственность
минимума
функционала
функционал
конкретизирующие
JxFx
выбираться
свойствах
осуществить
назначение
экстремальный
.
построен
использовать
регуляризации
устойчивого
нахождения
соответствующего
является
преимущественным
поскольку
специфику
имеющих
устойчивости
позволяет
соответствующие
заданному
принципу
устойчивого
несущий
требуемых
устойчивости
результаты
изучением
квазирешений
линей
,
полученное
градиентными
определено
условием
yAx
APxx
=
нулевое
условие
условие

xx
yxAP
некотором
доказательство
ниже
Таким
линейном
подпространстве
эквивалентно
эквивалентности
соответствующего
элемента
принятому
нулевому
приближению
норме
пространства
Реализуется
построения
ближайшего
нулевому
приближению
ратичной
суть
функция
Следовательно
рассматривая
ратные
задачи
условиях
эквивалентности
имеющие
говоря
неединственное
решение
так
оптимальности
фигурируют
неявным
они
заложены
алгоритме
получения
решения
примере
задачи
гравиметрии
предыду
показаны
экзотические
условиях
эквивалентности
получения
содержательных
решений
более
оправданным
является
позво
ляющих
управлять
этими
используя
активной
Ay
Квадратичные
критерии
оптимальности
выражения
априорной
изучаемой
модели
среды
иллюстрации
определение
затруднительно
Лучше
Приводимые
обобщают
мере
повторяют
приведенные
обоснования
критериев
114
зуется
неопределенностью
позволяющей
параметры
случае
тривиальной
неопределенность
такова
допустимых
физического
установить
упорядочения
соответствия
двух
допустимых
указать
менее
априорной
соответствуют
отношению
функционал
множестве
значение
мере
соответствует
априорным
выделения
максимизирующего
функционал
случаев
минимум
будем
поступать
случай
выше
структурной
гравиметрии
Предположим
имеется
некоторое
нулевое
приближение

рас
параметра

среде
точку
изучается
элементов
эквивалентности
соответствующего
следует
норме
пространства
например
наименьших
квадратов
Это
приводит
функционалу
()()
vv
xx
соответствующим
нулевого
получим
()()
vv
VW
xx
сложный
Нулевое
,
априорной
различным
между
нулевого
.
составляющие
нулевое
его
объективную
дополнительную
чем
нулевого

уклонение
нулевого
распределения
одну
реализацию
распределенной
случайной
нулевым
функции
получаем
максимизации

()()
.minv
vv
xx
(5.25)
115
Проиллюстрируем
Пусть
модель
параметризирована
xxx
xxx
00
нулевое

%%%%
,...,,
21
нулевого

среднеквадратичную
погрешность
.
можно
распределенной
нулевыми
уклонением
,

ii
xx
()
ii
xx
получаем
вероятность

:
()
Ni
ii
xx
%"
. (5.25-a)
функция
функцией
функции
правдоподобия
либо
элементе
максимизировать
функцию
учет
вектора
Нетрудно
минимизации
функционала
Ni
ii
xx
. (5.26)
Нетрудно
выражения
записать
форме
()()
vvm
in
, (5.27)
F–
пространство
функционале
приложения
случаях
замкнутый
оператор
,
что
минимизация
минимизации
функционала
()()
vL
xxF
vv
сводится
предыдущему
оператор
дифферен
умножения
весовую
функцию
v1
умножение
,
.
VLX
IX
.
WX
()()()
vvv
xx
Š=
целью
единообразия
используем
запись
.
()()
()()()
vmin
AyAx
весьма
натянутое
предположение
зависимости
приведет
другим
принципам
аналогичным
рассмотренным
эволюционно
116
последующих
слу
рассматривается
ILX
22
эквивалентны
поскольку
сводятся
друг
другу
надлежащей
(28) (
случаев
=
)

:
*1*1
AFFxx
ŠŠ
+=
. (5.28
самосопряженный
FF
).
результат
или

.



xxF
, (5.28

xxF
(5.28
результату
силу
свойств
приведен
диагональному
виду
следовательно
(28)
Преобразование
параметров
диагональному
(26),


сконструирован
критерия
удобна
поскольку

:
нулевого
приближения
Действительно
функции
распределении
распределение
Гаусса
независимости

ii
xx
jj
xx
условие
может
допустить
случае
оценку

.
будет
полностью
матрицу
моментов
ii
xx
jj
xx
ковариационную
матрицу
cov;
iij
iij
xxxMxxxx
=ŠŠ=ŠŠ
знак
вычисления
ожидания
Функция
iii

:
()(
ŠŠAŠ
jjii
xxxx
'"
оператора
оператор
является
самосопряженным
самосопряженный
оператор
быть
рассмотрен
полученный
образом
Однако
одно
тому
оператору
может
соответствовать
различных
операторов
представляется
формулой
= F*F
Однозначность
достигнута
дополнительно
потребовать
положи
самосопряженным
называется
квадратным
корнем
оператора
про
умножением
117
матрица
.
функции
правдоподобия
формы
ŠŠA
ŠŠ
jii
xxxx
xxxx
00
00
поскольку
положительно
матрица
следует
),
существует
симметричный
21
00
xx
xxxx
ŠŠ
квадратичный
критерию
опти
21

xx
, (5.28
уже
рассуждения
критерия
квадратичному
1/2
нужно
поскольку
min.
21
21*0
xx
ŠŠ
+=
ˉˉ
следовательно
Axx
+=
Практически
распространенной
min.
Axy
случаях
поиску
нуля
решения
нуля
эквивалентности
функционального
следует
учесть
выше
специальных
критерии
продемонстрировано
примере
функции
нулевого
уклонения
нуля
1v
том
уклонение
нуля
что
1v
уклоняться
нуля

формально
математиче
интуитивно
смысле
время

1v
распределение
случаю
1v
соответствует
гармоническая
функ
максимальные
минимальные
требований
уклонения
интуитивно
118
уклонение
распределения
нулевого
эффекты
можно
Пусть
случаю
1v
соответствует
решение
,
случаю
()()
vv
22
Чтобы
функции
приводило
результатам
решении
соответствующем
смыслу
()()
v1212
vvv
xx


.



можно
()()()
v/vv
112
,

уклонения
нуля
получения
соответствующего
()()()
v/vv
112
рассмотрения
точный
осуществлено
приведенной
совокупности
принадлежать
распределение
следующие
()()()()
vvv:v
xxxxM

, (5.29)

функции
Например
полупространстве
выступает
множество
таких
значений
учета
функционал
()()
CxxM
vIm:v
CCCC
,...,,
21
0,v,

()()
vvvm
FxxJx
Š+
in.
(5.31)
физических
следует
нулевое
вводимым
,
замену
Mx
()()()
.vvv
xx
Š=
оптимальности
, (5.32)
()()
Mx
+
v)v(:'
Функционал
является
поскольку
структура
весьма
Экстремальные
единственности
интегральных
критериев
оптимальности
Пусть
действующие
FA
банахо
пространства

случае
пространства
ZY
могут
совпадать
классом
(,,)
совокупность
(5.33)
||||min,
Axy


A
I
119
Существование
решение
некоторых

Ay
(,,)
существовать
соответствующих
элементов
скольку
(33)
случае
между
,
),,(
FZA
множество
D(A)

существует
уравнения
Ay
yAx
единственности
уравнения
называется

Ay
существует
Axy
(5.35)
другой
идеальный
подмножество
Понятие
важны
точки
зрения
харак
теризуют
интерпретационные
возможности
решения
обратной
использующе
этот
класс
качестве
Если
неполон
решения
обратной
использует
всей

Идеальные
наиболее
использование
одновременно
возможность
реконструкции
единственным
образом
Для
решение
обратной
задачи
единственно
каждой
может
получено
теоретически
абсолютно
почти
точностью
Свойства
решения
или
почти
экстремальных
регулируются
параметрами
критерия
оптимальности
ражающего
экстремальный
Пусть
выпуклое
пространство
KerFKerA
Тогда
(,,)
AFZ
будет
,
сдвиг

замкнутое
Тогда
F(KerA
решение
min;
(),
существует
элементу
соответствует
множе
tF

существует
поскольку
yAx
tF
поскольку
Пусть
определения
совокупность
задач
, (5.36)
gFxsignFxF
)()(
Доказать
уравнения
Рассмотрим
)Im(
Ag
,,(
FLA
120
.min
,I
=
AyAx
(5.37)
существует
единственно
существует
:

),(
\t
(5.38)
Fx
следуют
условия
зующие
существует
элемент
;1

).(,0
KerAF
=

будут

Lf
||||

Действительно
если
.))|(|(||||
/1
qp
D
.||||||||
/1

.)(
/1

.||||
||||
||||
)||(
||
qp
D
==
условия
,,0|)()(
KerAxFxxFsignxF

*Im))()((
AxFsignxFF
приводимые
условия
являются
доказательство
важный
случай
Экстремальный
(,,)
AFL
,Im
AxFF
(5.39)
),Im(
1*1
AFFx
ŠŠ
его
конструктивный
пространстве
(,,)
AFL
(,,){:},
AFLxxFFA
==
(5.40)
121
плотное
подмножество
поэтому
экстремальным
классом
почти
идеальных
(,,)
AFL
замкнутый
ограничены
KerF
совокупность
удовлетворяющих
уравнений

*1*1
AFFx
ŠŠ
(5.42)
AFxF
(Im
1*1
ŠŠ
FFDA
),,(
FLA
(41)
Действительно
рассмотрим
уравнение

*1*1
ŠŠ
AFAF
следует
*1*1
KerAAFF
ŠŠ


:
1*1**
FAA
DA
$&#x$313;向•=
*1*1*
FAFA
DA
$&#x$374;✸=
силу

возможно
лишь
.0
Уравнение
AyAx
=
),,(
FLA
Действительно
рассмотрим
1*1*
AFFAy

уравнение
сопряженное
оператор
предыдущем
*1*1
AFAF
ŠŠ
Im;
min.
AFyAF
=
(5.45)
удовлетворяющий
уравнению
**1
$
AF
(45)
минимальную
величину

AFy
Fx
*1*1
AFFx
ŠŠ
||||
Экстремальные
интегральных
операторов
равномерной
метрике
следует
цепочки
.)(
**1*1
AFAF
1**1
FF
.|
|||
**1
*1*
5$
5$5$5$5$
FFFF
FF
122
исчерпывают
ситуации
которых
минимизируется
абсолютных
могут
функции
между
изучаемым
распределением
ней
Минимизация
соответствует
Этот
случай
нерефлексивных
соответствующая
единственного
самым
получить
конструктивное
экстремального
Сделать
некоторых
случаях
(,,)
охватывают
Пусть
полупространстве
Пусть
функция
следующим
;,:,,{
21
zzzyxzyxE

),()(
VCVL
,:,{);()(),,(],[
0001
21

C
yxyxEECELzyxKzzz
(,,)(,,)(,).
AxyzKxxyyzdzdxdyuxy
Š=
³³³
рассмотрим
,{
000
yxs
(v)();
sup(v)min.
Aus
силу
свойств
функции
VL
EL

qp
(:{
suA
==\t
замкнутого
C(V)
существует
силу
C(V)
выпукла
результат
(47)
замкнутое
выпуклое
Asu
Im)(
Замкнутость

поскольку
минимизируемый
функционал
C(V)
Следует
выпуклость
Пусть
решения
(47),
функционалу
Vv
v)(sup
выпуклая
,)1(
Š+
10

.
силу
=Š+Š+
||||)1(||||||)1(||
=Š+
||)1(||
поскольку
случае
)1(
Š+
функционалу
чем
значение
любая
выпуклая

Существование
том
экстремальный
идеальный
поскольку
Поставим
выделения
чем
ступить
дальнейшим
общую
,,(
,,(
(,,)
отличие
предыдущих
рассмотрений
правая
оператора
обозначена
Это
удобнее
поскольку
задействован
обозначения
одной
координат
123

(v)();
sup(v)min.
Aus
(5.48)
замкнутый
VC
=
)
(

:
(v)();
sup(v)min.
AFus

удовлетворяет
характери
зуя
v)(
(49),
охарактеризован
(v)(
)v(
решением
(32),
достаточно
пространстве
функционал
)()(
VLV

)
;1
)v()v(

; (5.50)
KerAggf
=
дальнейших
рассуждений
угадать
(48)
при

что
угаданного
могут
условия
служить
тому
угаданный
служит
(5.48).
выделенном
угаданных
элементов
уравнение
.Im
Au
uA
называем
классом
класса
.
условия
функции

надобности
резюмируем
),,(
),,(
zyxK
функция
)v(
)()v(

s = (x,y).
силу
ядре
устанавливающей
оператора
его
замкнутого
условие
)v(
)v(
)(
00
),
()
dydx
zyyxxKyxA
ŠŠ
()(
010
ELs
пределов
функций
v(
v(
()()
Пусть
последовательность
v(
.
:
,)s()(
)v()(v)(v)()()v(
dsfs
dzdsfsdsfsf
=
==
³³³³³
функция
полученная
s(
v(
Эту
операцию
обозначим
124
==
.)v()v()s(
dzf
Rff
Следует
v(
условия
v()s(
Rff
sf
)v(
1)(
)(
01
EL
sf
1)v(
)(
VL
множество
функций
(V),
зующих
C(E
C(V)
элементов
ядру
оператора

Действительно
это
элемент
g(s)
)()(
0)()(
01
ELs
dssRAsg

подстановки
выражения
получим
).()(
0)()(
01
ELs
dsssAg

Ag(s)
условию
силу
существует
AR
s(
sf
;1
)(
)()(
010
ELEC
sf
)(
)()s()(
EC
sf

dsfssf
)s()()()v(

гарантирует
Следует
Нетрудно
видеть
v(
sf
.)v(
)(
)(
)(
01
VL
EL
sf
Необходимо
выполнено
предположении
Действительно
множество
функций
отрицательных
функций
0),,(
zyxK
01
EL
)(
может
)()(
01
ELs
++
)()(
01
ELs
ŠŠ
(v)
(,)(,,)
000000
((,)(,))(,,)
00000000
yxyKxxyyzdxdydxdyd
=ŠŠ
ŠŠŠ
³³³
010
()()
((,)(,,)(,))(,,))
0000000000
((v)(v))().
CELE
yKxxyyzxyKxxyyzdxdydzdxdy
RfRfdsfs
ŠŠŠŠŠ
³³³
125
(v)(,)(,,);
000000
(v)(,)(,,).
000000
xyKxxyyzdxdy
xyKxxyyzdxdy
=ŠŠ
=ŠŠ
силу
положительности
функции
),,(
zyxK
Требуемое
)v(
вертикальной
характеризует
Резюмируем
Пусть
действует
C(V)
C(E
плотную
область
функций
C(V),
функций
),,(
zyxK
(,,)
множество
функций
уже
Условие
решения
уравнения
(,,)
)()v(
suA
Следует
уравнение
()v(
suA
(,,)
существует
sg
)()(
0)()(
ECs
sgsA

)()(
0)()(
ECs
sgAs

уравнение
)(
sg
()v(
suA
Построение
экстремальных
случаев
включают
случай
(v)sup(v)
образуют
конст
руктивного
заданной
задачу
*1*1
AFFx
ŠŠ
1*1*
Axy
FFA
условии
Для
решения
процесс
Ay
,...1,0
,0
,)((
*1*1
Š=
+=
ŠŠ
yxA
AFFxx
nn
nn
параметры
релаксации
выбираемые
так
чтобы
обеспечить
сходимость
итера
ционного
существования
параметров
итерационного
126
процесса
обеспечивающих
сходимость
позже
показано
что
такой
парамет
возможен
легко
получить
*1*1
*1*1
AFFaAFFxx
ŠŠ
ŠŠ
==
некоторый
определения
Таким
образом
приходим
выводу
что
(52),
условии
его
сходимости
необходимым
того
чтобы
найденный
решением
исходной
.min
,I
=
теперь
выбора
параметра
итерационного
Потребуем
выбор
обеспечивал
максимальную
убывания
невязки
yxA
nn
Š=
)((
)),)((
*1*1
yxAAFFAaAxAx
nn
+=
ŠŠ
гильбертово
пространство
Тогда
*-1
*-1
Последнее
равенство
виде
/)
21
2/1
22
*1*1*2
22
*1*
ŠŠ
nn
nn
AFFA
AFa
$$
$$
зависит
скорость
будет
минимизирует
функцию
Для
нахождения
минимума
экстремума
ференцируем
результат
приравниваем
нулю
соответствующее
уравнение
результате
получим
*1*1
*1*
AFFA
AF
ŠŠ
Š=
эквивалентной
форме
*1*1
*1*1
AFFA
AFFA
ŠŠ
ŠŠ
Š=
Необходимо
убедиться
параметра
релаксации
формуле
лежит
интервале
[0 – 1].
будет
убывание
невязки
самым
итерационного
невязке
(55),
получим
*1*1
*1*
Š=
ŠŠ
AFFA
AF
равенстве
перепишем
*1*1
AFAF
ŠŠ
127
Отсюда
учетом
хорошо
неравенства
Шварца
*1*1
24
*1*
nn
AFFA
AF
$$
ŠŠ
].1,0[
.1
(/
*1*1
24
*1*
ŠŠ
nn
AFFA
AF
$$
Требуемое
величина
вещественна
превосходит
монотонность
убывания
сходимость
итерационного
случаи
Если
при
некотором
значит
сошелся
точному
такое
положение
остается
нескомпенсированная
Рассмотрим
другой
случай
следует
*1*
AF
силу
условия
отсутствии
нулевого
операторов
*-1
вытекает
известной
теоремы
ядре
Прил
означает
ортогональность
невязки
возможному
оператора
геофизических
терминах
результат
означает
достигнутая
невязка
введенных
представ
введения
компонент
широких
используемые
)(Im,
ситуациях
погрешностями
количество
итера
необходимо
согласовывать
точностью
поля
практике
итерации
продолжаются
процесс
прекратил
сходимость
необходимость
смены
представлений
например
широкого
нута
требуемая
точность
приостановки
итерационного
невязки
быть
невязкой
включающей
оценку
оператора
проделано
4.3.
вопросы
конкретно
конкретных
Нелинейные
задачи
доопределения
два
круга
экстремальных
классов
оператора
выполнена
конструктивные
служат
экстремальных
нелинейных


аналогичную
(33):
(5.58)

min,||)(||
;)(
xxF
yxA


A
I
предполагая
замкнутый
xAKer
xA
)(
xA
128
регулярен
существование
легко
получить
случае
xA
LZ

1*1*
();
(()).
xFFAx
DAx
. (5.59)
уравнение
уравнению
характеризующему
экстремальный
ранее
оператору
получается
Прил
задаче
условием
получения
непре
(,,)
AFL
)(
xA
окрестности
трудности
входит
только
левую
правую
уравнений
затрудняет
функции
поскольку
должна
уравнения
.)))(
*11*1
uxFFFFxA
ŠŠŠ
(5.60)
уравнения
воспользуемся
несмотря
будем
нелинейную
Пусть
решить
уравнение
, (5.61)
(Im)(
xAyxA
=
заранее
уравнение
единственное
Пусть
нулевое
ную
производную
)(
xA

xxh
Š=
yhxA
)(
, (5.62)
уравнения
. (5.63)
yhxA
=+
)(
уравнения
следует
соответствующих
таких
как
функционала
.min
(5.64)
xA
;)(
yhxA
(5.65)
результаты
функционалу
xA
экстремальный
при
условий
идеальным
((),,)
AxFL

случай
когда
замкнут
ядро
нуля
,),((
20
FLxA
. (5.66)
)(
*1*1
xAFFh
ŠŠ
Относительно
129
функция
функцией
Лагранжа
принадлежать
достаточных
случаях
xA
LC
C
следует
решать
1*1*
();
Axy
xxFFAx
(5.67)
существовать
.min||))(
(||
*1*1

ŠŠ
yxAFFxA
действующий
ImA
уклонения
между
получим
(5.68)
min||)))(
((||
*1*1

+4
ŠŠ
yxAFFxA
.min|||||)))(
((2
)))(
((|)))(
((
*1*1
*1*1
*1*1
4+4
+4Š
Š
+4
+4
ŠŠ
ŠŠ
ŠŠ
yyxAFFxA
xAFFxAxAFFxA
минимума
подставим
+

,


продифференцируем
последнее
результат
нулю
,0|)(
))(
(2)(
)))(
(|)))(
((2
*1*1
*1*1
*1*1
*1*1
*1*1
yxAFF
xAFFxA
xAFF
xAFFxAxAFFxA

44Šᠨ፣
+44
ŠŠ
ŠŠ
ŠŠ
ŠŠ
ŠŠ
1*1*1*1,**
000
1*1,*
1*1*
1*1,**
()(
())((
()))|()(
()|0.
AxFFAxFFAxAx
FFAx
AxFFAx
FFAxy
+4
4
.2

(5.69)
.0)))(
(())(
)(
,*1*1
*1*1
*1*1

+44
ŠŠ
ŠŠ
ŠŠ
yxAFF
xA
xAFFxAFFxA
уравнения
*1*1
xAFF
ŠŠ
. (5.70)
yhxA
)(
уравнение
однозначно
множестве
уравнение
однозначно
множестве
((),,)
AxFL
1*1*
Im()((),,)
hFFAxhAxFL
)(Im
xA
)(Im)(Im
xAhxA
=+
. (5.71)
(69)
.0)))(
(())(
*1*1
*1*1
*1*1

+44
ŠŠ
ŠŠ
ŠŠ
yxAFF
xA
xAFFxAFF
учитывая
,)(
,*1*1
xAFFxx
ŠŠ
+=
130
(5.72)
0))((()(
**1*1
=Š44
ŠŠ
yxAxAFF
Итерационные
методы
построения
экстремальных
уравнения
построим
(5.73)
)(()((
**1*1
yxAxAFFaxx
nn
Š44
+=
ŠŠ

заданное
нулевое
Š=
xx
называемых
обеспечивающая
(73).
Предположим
удалось

\n
),(Im)(
xAx
ŠŠ
Š44
+=
nn
uxAxAaFFxx
**1*1
)),)(()((
предельного
gxx
+=
)).(Im(
*1*1
xAFFg
ŠŠ
определенный
классу
самым
требуемыми
другой
минимизирует
невязку
(5.74)
,||)((||
uxA
Š4
(73),
условии
сходимости
решает
минимизирующего
невязку
поступим
предыдущем
Потребуем
соответствующей

максимальная
убывания
.||)((||
uxA
Š4
))((
gyxA
Š4
))((
yxA
Š
))(()((
)()()(
**1*1
ŠŠ
Š+
+Š44
+=
nn
nn
xxr
yxAxAFFxAxAxA
малости
nn
xx
,)(
)(
***1*1
+=
ŠŠ
nn
xAFFxA
.)(
)(
**1*1
nn
nn
gxAFFxAagg
4+=
ŠŠ
.||)(
)(||
)(
)(|
2||||||||
2*
*1*1
**1*1
221
nn
nn
nn
gxAFFxAa
gxAFFxAgagg
4+
+4
4+=
ŠŠ
ŠŠ
||,||||||
nn
gqg
131
1/2
*1**2
**
12||()||/||||
||()()||/||||
nnn
nn
aFAxgg
aAxFFAxgg
+4+
=
\n\n
+4
4
. (5.75)
функция
обеспечить
максимальную
убывания
||,||
Продифференцируем
результат
нулю
Получим
||)(
)(||
||)(||
2**1*1
2**1*
nn
nn
gxAFFxA
gxAF
Š=
ŠŠ
(5.76)
эквивалентной
||)(
)(||
)(
)(|
2**1*1
**1*1
nn
nn
nn
gxAFFxA
gxAFFxAg
4
4
Š=
ŠŠ
ŠŠ

убывания
получим
*1**4
**
*1**4
1/2
1*1**2
1/2
*1**4
||()||
||||||()()||
||()||
||()()||||||2
||()||
||||||()()||
nnnn
nnn
FAxg
gAxFFAxg
FAxg
AxFFAxgg
FAxg
gAxFFAxg
.)(
)(|
2**1*1
4
4
ŠŠ
nn
nn
gxAFFxAg
Неравенство
.|||||||||
gg
.||)(
)(||||||||)(||
2**1*1
24**1*
nn
nnn
gxAFFxAggxAF
44
ŠŠ

значения
(0,1).
убывание
(74),
(76).
сошɺлся

0||)((||
=Š4
yxA
0)(
xA
случай
убывать
.0||)(||
,*1*
=4
gxAF
нулевое
служить
умножения
некоторую
неотрицательную
весовую
функцию
Другой
)(Im
1*
KerFxA
)(
**
=4
nn
gxA
=4
xKerAg
4
)(
gradI
+=4
учитывается
невязка

силу
=4
=4
.))((Im
4
xAg
используемая
достигнутой

множеству
xA
=4
ситуация
может
132

укладывается
модельных
может
учтена
этих
представлений
компонентов
(73),
обладало
постулированными
*1*1
xAFFh
ŠŠ
)(Im)(Im
xAxA

силу
условие
ограничительным
выполнение
условия
требуемые
()(
xAKerxAKer
*1*1
xAFFh
ŠŠ
(5.78)
)(()((
*1*1
yxAxAFFaxx
nn
Š44
+=
ŠŠ
нулевом
||))(()(
)(||
))(()(
)(|
*0*1*1
*1*1,
yxAxAFFxA
yxAxAFFxAg
nn
Š44
Š44
4
Š=
ŠŠ
ŠŠ
(5.79)
получена
дальнейшие
рассмотрения
Сходимость
будет
(),(
nn
xAxA
\n\n
(),(
0*0
xAxA
\n\n
).())((
xAKeryxA
Š44
противном
случае
процесс
прекращает
условия
)())((
xAKeryxA
Š44
несоответствие
частности
.min||)(||
);,,(
Š4

uAx
FLAx
случае
(5.80)
*1*1
gAFFaxx
ŠŠ
+=
).(
yAx
Š44=
контролирующего
особые
сходимости
.)(Im)(
Š44
AyAx
ограниченное
шагов
результате
достигается
обобщенной
уже
следующему
используется
оператор
его
||||

AA
133
||||sup||{()()}||,
||||1
AxAx
Š=4Š

,||)(||
Š4
yy
служить
.||||||)((||


+Š4
xuxA
Действительно
AAA
+/
yyy
+=
.||||||||||||||)(||
||)
(||||))((||


+=4+Š4=
=Š+Š4/Š4
xuxuAx
uAxyAx
uxA
следующее
для

вычислений
уже
релаксации
получаемое
принадлежать
либо
оптималь
уравнения
представленному
случаях
невязки
параметра
релаксации
полученного
дущих
yAx
(Im)(Im
0*
xAxA
другого
уравнений
метод
Его сущность состоит в следующем. &#x/MCI; 24;&#x 000;&#x/MCI; 24;&#x 000;Для заданного нулевого

уравнение
заменяется
yAx
);()(
xAyhxA
Š=
(5.81)
поправка
вектору
согласования
уравнения
сопряженную
матрицу
101
hxx
+=
xA
xA
)).()(()()(
*1
00
xAuxAhxAxA
\n\n
(5.82)
)()(
00
xAxA
\n\n
обусловленной
вводится
регуляризующий
уравнение
(5.83)
)),
()((])()([
*1
00
xAyxAhIxAxA
=+
\n\n

матрица
уравнений
получим
далее
получим
решения
101
hxx
+=
+=
nnn
hxx
;lim
xx

(5.84)
()(()])()([(
*1
*1
xAyxAIxAxAh
nn
\n\n
\n\n
асимптотически
редуцируется
методу
квад
аналогичен
спуска
трудности
134
универсальной
решения
частных
магнитотеллурического
разработаны мето-дические рекомендации
пошагово
Выбору
можно
идеологии
гуляризации
добавочное
слагаемое
регуляризующее
другой
следующим
.)(()()(
*1
nn
hxAxAyxAh
ŠŠ
следовательно
(Im
*1
xAh
.min||||
;)(
yhxA
решение
нуля

Иными
принадлежит
классу
нетрудно
модифицировать
схему
получаемое
обладало
экстремальными
классу
||||
IF
(,,)
AIL
(,,)
AFL

()((])()([
*1*
*1
nn
xAyxAFFxAxAh
+
\n\n
*1*
)()())()((
\n\n
ŠŠ
nnn
hxAxAxAyxAFhF
,)(
])(()()[(
*1*11
*1*11
nn
nn
xAFFhxAxAyxAFFh
ŠŠ
ŠŠ+
ŠŠ+
])(()([
ŠŠ=
nn
hxAxAy
Требуемое
достигнуто
Маккварта
требует
уравне
том
случае
осуществимо
искомых
правильном
преимущественным
необходимость
уравнений
при
сложности
искомых
такой
уравнений
трудоемкая
затрудняет
ситуацию
оказывается
осуществить
чем
уравнений
ситуация
многих
скольку
повысить
увеличению
||)(||
yxA
135
Составные
критерии
оптимальности
обратные
интерпретации
класс
критериального
принятого
yAxADxA
=\t
yAx
,||*||,
()||()||min.
JxFxx
=Š
рассматриваться
управлять
получаемого
получаемых
пространства
(,,)
AFX
(,,)
AFX
математические
используемых
влияние

тому
другой
разный
между
более
класс
имеется
сузить
необходимо
может
задания
множества
должно
критерий
осуществлено
уже
описан
(,,)
AFX
(,,)
AFX
)(
)(
.min)(||||
+


)(
Mx
Mx
случаев
выглядит
Суть
том
наблюдаемая

определяющая
выступать
другого

другой

для
двух
модели
Существует
включающих
несоот
первой
числе
существует
пусто

бессодержательной
случаях

таких
)(
AM
\tC
)(
(,)min;
Jxx
\t

функционал
меру

Например
(*,*)
(*,*)||()||
JFxx

)(
\t=
136
Пусть
элементу

наблюдаемой
),(
121
yxP
11
Ay
(5.88)
111
min((,))
Axy
Jxx
соответствие
элементам

эквивалентно
),(
212
yxP
(5.89)
222
min((,))
Axy
Jxx
21
xx
(5.90)
111
222
min((,)),
Axy
Axy
Jxx
условием
эта
).,(
);,(
2122
1211
yxPx
yxPx

некоторый
рассмотрим
(5.92)
).,(
);,(
12
yxPx
yxPx

(5.93)
1212
(;)(;
nnnn
JxxJxx
),
nnnn
JxxJxx
).
(5.94)
121
(;)(;)
получим
(5.95)
1212
(;)(;
nnnn
JxxJxx
равенства
,
),(
121
yxP
),(
212
yxP
NNNN
xxxx
21
).,(
);,(
yxPx
yxPx
(92)
является
(90),
уравнение
условием
доставляет
(90).
сходимость
последова
влечет
сходимости
самих
элементов

(;)
aJxx
xx
Соотношением
(95)
обеспечена
функционалу
конструкции


элементов

случаях
(92)
(*,*)
(*,*)
xx

137
фиксированного
основанные
процедуру
реализуют
процедуру
реализуемая
состоит
нахождении
удовлетворяет
друг
другу
элементов
комплексирования
служит
максимальной
близо
друг
другу
условии
своему
Совсем
удовлетворяло
обоим
конкрет
физическими
моделям
объекта
которые
близки
друг
другу
универсальный
противном
случае
выполняется
смысл
изучения
функционала
(*,*)
Пусть
функционал
(,)
Jxx
.min)(||)(||
21

xxF
(5.96)
)},v()v()v(;{

=
xXxM
)v(
))v(
элементы
пусть



,1),(

pVL
0)v(
.0)v(
),(
122
MxPx
, (5.97)
Mx
xxF
||)(||min
21
определенное
условием

).v()v()v(
);v()v()v(
)v()v()v()v(
))v(()v(
21
11
211
122
xPx
(5.98)
процедура
функции
множество
)v(
.
Пусть
замкну
выпукло

можно
MF
MF
.min||||


.);(
FxMF
соответствии
элемент
xF


)v(

;1
11
;1||)v(||
=+
qp

;|||||)v(
Š


0|)v(

).(
MF

условия
||)(||
)()(
)v(
pp
5
5
5

условие

)v(
138
учитывая
получим
0v))v()v(())v()v(((0))v()v(((
12
12
12
ŠŠ
dxxFxxFsign
xxF
pp
).(
Mx

(5.102)
Пусть
области

случаи
;)v(
Mx
);v()v(
11
).v()v(
21
подынтегральное
нулю
.0)v()v()v()v(
1112
Š=Š
xx
поскольку

функции
случае
Mx
)v(
0)v()v(
12

xx
,0)v()v(
12
Š
xx
скольку

0)v()v(
12
Š
xx
.)v(
Mx
случае
проектирования
выглядит
учет
результата
частный
случай
(90).

.min||)(||
21
222
111
xxF
yxA
yxA
(5.103)
замену
,;
2211
==
получаем
(5.104)

.min||||
21
22
11
yFA
yFA
55
случаем
Будем
).()(
22
11
FADFAD
(5.104

Š=Š

min,||||
)(
)(
12
2212
12
112
55
55
55
FAy
FA
yFA
FA
(5.104
.min||||
uFA
uFA
121
22212
11
555
Š=
Š=Š
FAyuyFAu
ограниченный

где
определенный
YY
,2,1,Im
iFAY
139
FA
FA
*1
*1
+ፙ&#x+136;∉
+ፙ&#x+136;∉
uAF
uAF
uFAuFA
Откуда
).,(
21
*1
*1
uu
AF
AF
результаты
экстремального

уравнением
),,(
ILB
1***
22112
(,,):().
BILLFAA
==+
(5.105)
уравнение
поскольку

(,,)
условие
для
12
Š=
).(
12
12
55
Š=Š
Fxx
Зафиксируем
11
xF

(5.106)
min,||||
21
22

55
uFA
,
.Im;
*1
1112
AFgg
+=
5
(5.107)
зафиксирован

(5.108)
min,||||
12
11

55
uFA
.Im;
*1
2221
AFgg
+=
55
(5.109)
*1
AF
*1
AF
суть
(109)
(107)
получаем
.Im
*1
*1
12
AFAF

55
(5.110)
случаи
21
BFABFA
F=C
ImIm
BB
получим
(5.111)
21
XKerB
условия
12

21
uu
XKerB
12
Предположим
21
F=
140
только
нуля
111
Im;
Im,
(5.112)
существует
единственно
надо
существование
решения
при



(112)
существует
это
эквивалентно
существует
решения
задачи
ImIm
BB
Bu
.Im
Bu
Bu
Bu
(5.113)
.Im
Bu

21
+=
11
22
силу
условия
XKerB
21

условию


ществует
элемент
.0
=C
),(
122
KerBBB
)(
12
KerBB
Bu

удовлетворяющий
уравнениям
Пусть
существует
21
XKerB
.0
21
21
следует
единствен
Пусть
элементами
является
.,
21
скольку
21
55
21
суть
элементы
ImIm
BB
ImIm
21
BB
Š
111
5
Š=
222
5
Š=

соответствуют
нулевые
),{
21
BB
2,1,Im
iB
.0
21
=Š
силу
21
11
Bu
21
==
11
5
22
5
Пусть
существует
=C
ii
Bu
XKerB
21
21
55
(5.114)
).,(
);,(
12
yxPx
yxPx
),,(
yxFP
11
;;;
AFyx

min,||)(||
12
111
xxF
yxA
),,(
yxFP
21
;;;
AFyx

min,||)(||
12
222
xxF
yxA
сходимость
которых
фиксированному
множеству
таких
друг
другу
элементы
соответствует
уклонения
элемента
сути
141
друг
другу
допустимых
Эта
анализу
Литература
1. D.W.Marguardt: An Algorothm for Least-Sqares Es
142
ГЛАВА
ЭВОЛЮЦИОННО
ДИНАМИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
ИНТЕГРИРОВАННОЙ
ИНТЕРПРЕТАЦИИ
Общие
рассмотрения
геофизическому
полю
математическую
постановки
выражены
критерия
реализует
сбалансированных
сбалансированных
достаточно
универсален
реконструируемые
сбалансированы
имеющихся
законов
реконструируемая
соответствующие
содержательные
физические
Моделируемые
физические
лируемое
поле
гравитационное
пределах
требуемой
плотностная
модель
содержательные
модели
между
собой
согласованы
друг
другу
следует
среди
другие
между
модели
должны
динамических
геодинамическую
структура
структуры
множество
тектонические
структур
более
катастрофические
внутренних
диктуемых
законами
элементов
структуры
между
собой
окружающими
впрочем
помимо
согласова
физическими
количественно
устойчивой
времени
породившая
соответствующая
динамика
состоит
сбалансиро
конкретная
реализация
поэтапную
пометодную
балансировку
реконструкции
корректировку
нулевого
несбалансированной
минимальных
следует
выполнить
нулевого
сбалансированного
определяет
балансировки
балансировки
модели
такую
выделения
оптимального
аппроксимационных
подходах
это
направление
явно
определено
нерегулируемо
что
влечет
собой
про
эффектов
скрытой
143
процедуры
случае
изучаемая
геологическая
должна
более
физическим
трансформации
модели
между
требуется
чтобы
различные
физические
близкими
между
получения
согласованной
моделей
наилуч
следующими
отсюда
реализуется
схемой
комплексных
иллюстрируется
рис
подчеркивается
модель
система
каждая
физическому
увязанная
между
собой
принципу
наилучшего
совместного
двух


;

i
модели
эквивалентных
);
эквивалентных
для
).
Движение
осуществляется
определенному
(*,*)
отличающихся
между
собой
моделей
Балансировочные
максимальную
взаимную
внесения
изменяется
процессе
результативность
балансировки
2
1
2
1
1
1
n
+

222
(,)min
Jxx
1()
(,)min
Jxx
144
чем
эквивалентность
Нуждается
уточнении
между
определено
критериями
балансировочных
характе
ризует
меру
разбалансированности
минимальных
модели
конечному
тому
наилучших
эволюционно
физической
модели
состоя
могут
законов
изучаемого
бассейна
реконструкции
моделировании
фрагментов
динамику
процесса
Геодинамические
могут
уточняться
случае
такое
уравнений
уравнений
Стокса
служит
генерализованной
объекта
задать
модель
служит
условий
этого
ненадежно
учету
неконтролируемых
условий
видна
материалов
. 6.2.
толщ
горных
интенсивности
напряжений
атмосферном
давлении
температуре
Гзовского
[3]).
солей
гипсов
тонкослоистых
пород
категория
тонкослоистые
известняково
мергелистые
толщи
III
слабослоистые
конгломератовые
прошлом
дислоцированные
метаморфизованные
толщи
граниты
другие
интрузивные
породы
кроме
ультраосновных
),
кристаллические
условно
мгновенного
разрушения
2 –
при
всестороннем
1000
действующих
горную
значений
порядки
145
существенное
изменение
Причем
характеризующие
усугубляет
неопределенность
ситуации
путь
. 3)
основан
уточнении
реконструируемой
сбалансирован
путь
сбалансированных
моделей
основе
моделирова
Структура
динамических
анализа
Сущность
динамического
реконструкции
модели
геологического
балансировоч
эволюции
регулируемой
текущему
состоянию
тем
самым
эволюционирующая
физическим
полям
соединить
реконструкции
модели
созданием
непротиворе
модели
процессом
характер
конструируются
изучаемой
распределения
физического
современному
смоделирован
ДИНАМИЧЕСКИЕ
Сбалансированных




динамического



146
уравнения
моделей
распределения
внутри
распределение
,,,(
tzyx
временной

подчиняется
уравнению
,,(
zyx
(,)v((,)(,))v((,)((,)))v
tdttdivdtdivtd
.....
=+=+
³³³
xxxvxx
,(,,
ttt


координат
,,,(
tzyx
vv
v=
ddxdydz
,,,(
tzyx
движения
0),(
dvt
(,)((,),)0
tdivtt
xxvx

),,(
zyx
),,,(
tzyx
),(
tq
),(
будет
иметь
(,)((,),)(,).
tdivttqt
+=
xxvx
уравнение
трактуется
отрица
обеспечивают
динамику
,(
tq
,(
,(
,(
уравнение
примет
),()),(),((
),(
tqttdiv
xxvx
ассоциирующиеся
седиментации
значения
условно
физический
эволюционирующей
компенсировать
массы
существующий
заданной
модели
),(
tq

)()0,(),(
xx
..
==
соответствующему
моменту
чтобы
модель
физическому
)()),((lim
sut
Tt
xA
)),((
xA
параметра
современное
менту
модель
распределения
(,)
)(
su
,(
интерпретируемому
сформулированные
условия
получим
задачу
динамического
(,)((,)(,))(,);
tdivttqt
+=
xxvx
)()0,(),(
xx
..
==
)()),((lim
sut
Tt
xA
(6.4)
147
,(
контролируется
),,(
поступления
контролируемым
функцией
для
считать
параметрами
переопределена
Условие
геоди
никогда
случае
грубые
допустимых
они
уточняться
условие
результате
непротиворечивой
),(
tq
структурных
распространенный
моделей
задачах
структурного
структурными
моделями
модель
либо
внутри
могут
структурные
задачи
реконструкции
выше
моделей
),(
функции
),(
уравнения
эволюционирующей
контролируемым
сбалансированным
результатам
Эволюционирующая
структурная
модель
первоначальное
фрагмента
бассейна
Рассчитанное
существенно
современного
погруже
фундамента
контролируя
фактору
148
рассчитанного
промежуточной
рисунок
среды
уравнений
глубин
границ
физического
(),...(),({)(
sfzsfzsfzsz
====
,{
yxs
плотности
между
ними
требующий
случае
конфигурации
случай
эффективного
служащего
эволюционирующего
рассматриваемого
(),{,}
последующего
геодинамических
физических
эволюционируют
внутренних
рассматриваемого
региона
эволюционный
нулевого
некоторой
su
())((
susA
)},(),...,(),,({),(
tsfztsfztsfztsz
===
),()(
tss
ff
Tt
,(
Ts
Структурные
уравнения
библиография
того
получить
уравнение
эволюционирующей
уравнения
определить
внутренних
форму
поднимается
либо
опускается
которую
отсутствует
поток
,(
нулю
,(),...,(),,({),(
tsfztsfztsfztsz
===
0)),,(,(
ttsfs
производных
Это
уравнению
)),((),(),(
),(
tsgradtsts
ts
VW
Š=
)(),(
ts
начинается
управляющие
соответственно
)},(),...,(),,({),(
10
tsWtsWtsWts
,(),...,(),,({),(
tsVtsVtsVts
материала
разрушение
материала
слагающего
изучаемые
массивы
денудацией
поступление
осадконакопления
149
денудацию
цитированную
. [2.7]),
уравнениям
2+
Š=
)),(()),((),(),(
),(
tsFtsgradtsts
ts
VW
)(),(
sts
ff
модель
денудации
функция
ответственная
компоненту
дополни
системы
определяемая
осадконакопления
зависит
числа
геологические
свойства
силу
многофак
эту
компоненту
рассматривать
слагаемое
динамических
движения
ветственной
)),((
tsF
структур
показывает
структура
получена
вертикальных
внутренних
вертикальных
том
бесконечным
денудации
включен
метаморфизма
рамках
(5)
действую
нагрузок
случае
может
введена
математическая
модель
структур
2+
+=
Š=
)),((),(),(
)),((),(),(
),(
tsFtsts
tsgradtsts
ts
)(),(
ts
аналогичен
эволюционном
уравнении
изучаемой
случае
получает
суммарных
модель
должна
условием
чтобы
заданным
,(
ts
),(
tq
)()),((lim
suts
Tt
fA
уточняет
эволюционно
формулируется
следующим
;)),((),(),(
;)),((),(),(
),(
2+
+=
Š=
tsFtsts
tsgradtsts
ts
;)(),(
ts
)()),((lim
suts
Tt
fA
служат
150
Динамика
движения
вещества
эволюционную
,,,(
tzyx
vv
,(
tq
);,()),((),(
tqtdivt
xvx
=
)()0,(),(
xx
..
==
весь
временной
промежуток

интервалы
соответствующих
)0(
},{
iii
tth
,...1,0
,,,(
tzyx
vv
,(
tq
xv
,()();,()(
ii
ii
tqqqt
xxvvxv
==
==
,...1,0
)()(
xx
..
);()),((),(
xvx
ii
qtdivt
=
);,(
ii
ttt
),()(
);(),(
tt
tt
xx
..
достаточно
трудоемко
и требует
математических
курса
для
вузов
приве
упрощенные
иллюстрируют
суть
методов
вполне
служить
конструктивных
результатов
Приводимое
рассматривать
вывод
функцию

многозначен
поскольку
одно
уравнение
((
gD
)((
vx
gdiv
))(()(
vx
=
gdivy
((
gDD
).()))((()()(
xvx
gdivDyDDgD
=
))((
xG
()(
xG
()()()
grotgrad
=+
условие
получаем
)(
()(
=
vx
определения
потенциала
получаем
уравнение
=
Пуассона
xx
Š=
)(
)(
)(
между
всех
самом
xx
xx
перечень
координат
зависит
вектор
скорости
151
уравнению
)()),((),(
xx
qtDt
Š=
силу
),(]
)([))(()),((
tgrad
gdivtD
ii
vxvvx
+
==
);(),(]
)([),(
xx
vxv
ii
qtgrad
divt
+
Š=
)(),(
tt
)(
);,(]
)([),(
tgrad
divt
ii
vxv
+
Š=
)(),(
tt
операторного
).(
)(),(
])([
vxv
igrad
divtitD
ii
et
+
).,()(
)(
),(
tD
itD
itD
xx
Š=
Š=
(8)
условии
)(
qD
))(),(())(),((
qDtDqDt
+Š=

коммутируют
самом
получаем
(9):
).(
)()(),(
itD
itD
qeDqD
et
ŠŠ
),(
)()(
),(
))((1
))((
igrad
igrad
ht
eDqD
et
ii
ii
+6ŠŠ
+6Š
vx
vx
).()(
xvx
=6
),(
)()(
)(
11
))((
))((
iii
ttt
eDqD
ii
ii
Š=
++
+6Š
+6Š
vx
vx
следующем
замкнутый
куда
частности
умножения
функции
).(
)(
)(



=
).()(
)(
)(
Š=
xx
152
нетрудно
).()(
vxx
Š=
Š
gradt
..
алгоритмическую
действий
входящим
(11),

упростить
)(
)(
gradt
Š
(9):
)),((),(
tDt
Š=
).(
)(
Dt

определяют
шаг
предшествующего
конечных
случае
)).((
)()(
xx
..
Š/
))((
)()(
ii
Dt
..
Š/

)()1

Š/
Dt
eD
уравнения
для
получим
),(
tq
))()1
()(
)(
))((
vx
Dt
eDq
eDqD
ii

Š=

+6Š
)(
)(
)(
))((
vx
qtq
eDqD
ii
=
+6Š
)(
)(
)(
))((
vx
qt
ii
+
+6Š
Вычислительную
компенсационного
члена
получить
уравнению
(10).
(10)
(13)
можно
интерпретируя
следующем
участвует
если
),(
tq
,(
tq
следующую
распределения


следующем
полученная
эволюционирует
осуществляется
распределения
)(
)(
ii
vx

qt

153
умножения
весовую
коммутируют
уточнении
нуждается
)(
)(
))(
))((
vx
ii
6+Š
+6Š
случае
)(
)(
)()((
)(
)(
Š6Š
6ŠŠ
результат
последующий
случаев
различием
выполняется
либо
условии
среды
условия
алгоритма
условии
.0)(
xv
учетом
высказанного
замечания
уравнение
содержит
компоненты
деформационную
),(
)(
)(
))(
ii
ti
vx


6+Š
регулируемую
величину
деформации
процессе
дивергентную
контролирующую
вещества
включаемый
деформационную
,,(
zyx
)(
qt

)(
))(
({
)(
)(
xvx
qt
6Š
+

уплотнения
разуплотнения
расширения
некоммутируемости
умножения
весовую
функцию

вполне
физический
состоит
последующим
уплотнением
соответствует
уплотненных
соответствует
другой
)(
6Š
)(
)(
))(
({
)(
))(
xvx
xvx
qt
Š6Š
+

уплотнения
только
рассматриваемой
модели
результате
модели
рассмотрение
функции
деформации
вне
коммутируемости
процесс
модели
трансформаций
дилатационные
преобразования
текущей
)(
)(
6Š
(),((
xx
ii
Строго
говоря
Несколько
первых
членов
разложения
имеют
\tŠ6ŠŠ
eee
)(
+66+6+6+6+=\t
]]),([),([
)]](,[,[
)](,[
)(
vxx
vvx
vx
Š=
],[
скобки
154
контролирующей
баланс
обозначим
определенной
последовательность
осуществляемых
Результат
Сдвиг
последующим
последующим
(:)(
xvxxv
ii

))(),((
xvx
ii
qt

(),((
xx
ii
Воспользуемся
условием
(3).
процессе
(14)
следующим
)())((lim
su

xA
необходимо
управляющие
(14)
», –
полей
убывания
чтобы
нулевой
, ,
нулю
наблюдаемого
поля
случае
величины
,,
соответственно
которую
следует
которую
компенсировать
сдвига
которую
компенсировать
могут
свертки
функций
характеризующих
пространственное
распределение
соответствующими
вопросы
лежат
существа
xv
())(()(
su
xA
)(
xv
)(
xv
)(
)()()()())(()(
ssssu
$$$
++=Š
xA
)(
))((
)(
=6
(()(
Vxv
(()(
Qx
учетом
Текущее
состояние
)(



Последовательность
155
притоку
или
оттоку
также
иллюстрируется
V(x)
(x
)(
)(
)(
gradt
eD
Š
)(
)()(
xx
ii
qt
+=
..
);,()),((),(
tqtdivt
xvxx
=+
..
)()0,(),(
xxx
==
)()(
)(
))((
vx
qt
ii
+
+6Š
)(
)(
Рис
. 6.6.
Разложениерешениянаэлементарные
действия
дилатацию
сдвиг
внешнийприток
tdiv
).()(
xvx
=6
дилатация
сдвиг
приток
дивергентная
моделируемом
))),((
))),(())),((),(((()(
DDD
$3$3$3.
Qx

уменьшение
соответствующих
компонент
суммарной
последовательности
может
могут
промежуточные
что
задачи
333
();();(
00
sss
$$$
)(
156
выбора
релаксации
,
принципом
рассмотренным
могут
зависят
конкретных
особенностей
333
)(
функция
убывала
увеличением
333
,,
))(,,,()())(()(
gsu
id
$333

xA
(16)
.min))(,,,(
,,
id
333
$333
Динамика
структурных
использования
динамических
структурных
моделей
)(),(
;)),((),(),(
),(
ts
tsgradtsts
ts
Š=
)()),((lim
suts
Tt
fA
представляет
существенных
затруднений
требуют
весь
что
0(
,{
iii
tth
,...1,0
),(
ts
VV
,(
ts
)},(),..,(),,({),()},,(),..,(),,({),(
10
10
tststststsftsftsfts
\t\t\t=
соответствующих
интерва
,(
ts
,(
ts
,(
˖˖
)(
);,()(
ii
ii
ts
sts
==
==
VVV
,(
iii
tth
,...1,0
),()(
;)(),(
);,(
;)),(()()(
),(
)(),(
=
Š=
tt
iii
tss
ts
ttht
tsgradss
ts
ts
ff
),(
ts
).)(
()(
),(
))((
stss
ets
ii
gradst
ff

Š=
157
)).(
(),(
),(
;,..1,0
,..;1,0
))((
sVtsftsf
etsf
Nj
ji
jij
gradsVt
ij
ji

Š=
непосредственным
ранее
Действительно
.),(()(
),(
()(
),(
))((
tsfgradsV
tsf
egradsV
tsdf
tt
ij
gradsVt
Š=

ненулевым
случая
распределения
,(
ts
).(
))(
(),(
),(
;,..1,0
,..;1,0
))((
stsVtsftsf
etsf
Nj
ji
jij
gradsVt
ij
ji
+
Š=

следует
(19)
записи
получим
)()),((lim
suts
Tt
fA
)())((lim
sus

fA
случае
распределения
обеспечить
чтобы
управляющие
геодинамические
вертикальной
смещения
зависели
убывания
чтобы
нулевой
нулю
наблюдаемого
поля
случае
)(
)(
)(
)()))(()(
sus
fA
достигнутая
-
компенсировать
которую
следует
могут
функций
характеризующих
распределение
горизонтальных
соответствующими
компонентами
)()()())(()(
sssus
$$
+=Š
fA
)(
(()(
VV
((
)(
(19)
учетом
этих
выражений
)).((
)))(((),(
;,..1,0
,..;1,0
sVsftsf
Nj
jij
$3
$3
+
Š=
158
быть
выполнен
распределения
релаксации
должны
Воспользуемся
меньше
соответствующей
предыдущем
33
)(
функция
убывать
увеличением
Это
33
))(,,()())(()(
gsus
is
$33

fA
(20)
.min))(,,(
is
33
$33
процессу
(20),
аналогичную
состоять
том
аналогичный
динамического
динамически
достигнутого
1*1
ŠŠ
FF
замечание
деформационные
распределения
выражены
через
соответствующие
субъективный
более
сложным
невязки
ограниченными
выводу
)(

vx
Š
qt

)(
.)(),())(()(
000
dssss
VV
000
)()())(()(
dssss
Š=
VV
функций
банк
моделей
изучаемого
региона
системы
деформационным
членам
эволюции
Литература
полулинейных
уравнений
Функциональный
полугруппы
)))(()((
**1*1
yxAxAFFaxx
ii
Š44
+=
ŠŠ
Вертикальная
аналогична
дивергентной
компоненте
распределения
параметра
159
ГЛАВА
ОБРАТНЫЕ
ЗАДАЧИ
ГРАВИМЕТРИИ
предыдущих
моделям
гравиметрии
математическое
процедур
данных
для
вводимых
будет
только
задача
будет
ранее
которого
получаются
активно
использует
приведенную
рассмотрений
геофизики
содержательном
гравиметрии
удачно
получаемых
результатов
теорию
исследований
распределений
структурных
оценкам
иллюстрируются
эффективно
конструиру
эволюционно
динамическим
моделям
методам
реконструкции
корректив
эволюционно
динамического
реконструкции
сводится
метода
случая
составной
мере
усилия
соответствующей
исследования
являются
эталоном
других
дополнительным
Наибольшую
значимость
реконструкции
уделяется
Аналитические
свойства
оператора
прямой
задачи
гравиметрии
плотности
Будем
рассматривать
заданной
полупространства
между
распределением
zyx
,,
лежащей
полупро
0:_
zE
160
()()
,,
00
23
yxu
zyyxx
zdxdyzyx
+Š+Š
(7.1)


витационного
:

полупространства
числе
функцией
YX
00
YX
zE
()(
0000
uxyuxy
,0
000
,,
zyxu
zE
,(
000
yxz
Пуассона
(2.6)),
полупространства
()()
+Š+Š
23
000
,,
zyyxx
dxdyzyxu
zyxu
. (7.2)
горизонтальную
полупространстве
ограниченную
,122,1

zzzz

собственным
(1),
соглашениями
будем
()()
suA
{}{}
.,;,,v
0000
EyxsVzyx
==
Следующий
результат
Пусть
ограниченная
целиком
Тогда


)(
VL
)(
EL

qpqp
,1,


)(
VL
)(
EL

qp
qp
действующего

ограниченной
)(
VL
)(
EL
()()
Vmes
qp
1"
12
12
==
qp
%1
случая

qp
qp

qp
1..
12
qpq
pq
qp
pq
qp
случае
когда
,1
/1
)(4
12
zz
Š

введенного
оператора
дует
функциональных
()()
23
zyyxx
+Š+Š
161
будем
v={,,}
координата
.v
00
su
Es
,vsupv
Vmes
su
()()
,vvsup
,v2
"
raiVmes
su
dzds
su


³³³³³
;2
1,
1,1
,1
Vmes
Vmes
Š

силу
выпуклости
1,0[,
:
log1
log1
log1
1,
,1
1,1
1,1

Š+
Š+
Š+

%1
%1
%1
1,
,11,1,
%11%%1%1
ŠŠ

ŠŠ
ŠŠ

qp
AAA
qp
получаем
()
%
%1

12
Vmes
qp
грубой
улучшена
случая
при
,,
VVAA
AA
qp
qp
162
()()
+Š+Š
³³³
zyyxx
zdxdyzyx
su
EL
EL
)(
23
,,
zs
EL
EL
условием
rqp
111
=+Š
условие

qp
qppqpqr
Š+=
EL
применим
выпуклости
r
:
log1
EL
+
Š
EL
EL
)(
01
.2
)(
)(
01
EL
EL
.2
EL
()
dzzs
su
EL
EL
12

163
следующем

pp
. (7.4)
следующую
цепочку
1,1
; (7.5)
,1
; (7.6)
pp
. (7.7)
выпуклости
сразу
следует
вывод
ограниченности
qp
случай

qp
==

v(sup
)v(
)(
³³³
Š
=

)(2)v(
12
)(
EL
zz
su
утверждений
доказано
далее
,1
пользуясь
выпуклости
10
,1
,1
,1
log1
aa
11
Š

aa
,1,0
===
получим
AAA
12
1,1
,1
,1

. (7.8)
используя
(7)
выпуклости
оценку
pc
pc

1:
aa
10
log1
11
Š

10
11
11
aa
+Š
1,
==
cp
=+
()(
ŠŠ=
pccp

pc
12
ppc
cp
pc
cp
pc
Пользуясь
обозначением
qp
получим
12
Š
qpq
pq
qp
pq
qp
()()
pqpq
pq
pqpq
qp

+Š
164

поскольку
Дифферен
цируя
уравнение
соответствующие
расчету
высших
рассуждения
полученные


интересует
главным
разрешимость
Следует
выявить
уравнение
разрешимо
решение
будет
устойчивым
дальнейших
случаем


000
,,
zyx
)(
VL
EW
)(
VL
)(
02
EL
Пусть
некоторый

02
EL
Воспользуемся

уравнения
поскольку
02
ELY
KerAA
условия
YKerA
YA

оператора
02
EL
)(
VL
()()
).(
;,,
020
00
ELs
zyxg
zyyxx
zdss
PsA
+Š+Š
проектор

следующей
цепочки
)(
EL
)(
VL
()()
()()
(v)
v(v)
(v)
xyzzdxdydz
sds
xxyyz
szds
xyz
dAs
xxyyz
PAs
Š+Š+
Š+Š+
³³³³³
³³³³³
функций
имеющих
нулю
функции
внутри
()()
0,,,lim

yxzyxg
уравнение
()()
00
+Š+Š

zyyxx
zdss
доказана
Напомним
что
это

может
угодно
точно
подобран
каким
элементом
)(
02
EL
165
результата
уравнение
угодно
правой
строгой
уравнение
.
следующая
02
EL
02
EL
Пусть
,

02
EL
Напомним
первой
категории
внутренних
определенную
0,'0,'
Š=
zzzz
силу
определения
поля


распределения
Su
()()
()()()
Š+Š+Š
zzyyxx
dzz
su
'v
силу
выше
020
ELsu
следовательно
()(
BDsu
Рисунок
выводам
определенный
Пуассона
()()
()()
zz
zyyxx
dszsu
susBu
Im)v(
00
=
+Š+Š
==
166
BA
ImIm
Пусть
замкнутый
02
EL
020
ELsu

su

EL
02
\t=
силу


замкнуто
замкнутого
выпуклого
силу
нутости
имеет
внутреннюю
замкнутый
внутреннюю
точку
оператору
Покажем
оператор





EL
EL
уравнение
()()
sfsBu
000
{,},{,}
sxysxy
()()
.0
00

+Š+Š

zsf
zyyxx
dszsu
(7.11)
убывающих
чисел
,
соответствующую
,
функций
222
hyx
sf
++
Рисса
выпуклости
()()
02
ELsf
LLsf
()()
.1,

pELsf
pn

sf
zhyx
zh
su
Š++
следует
(11):
sfsBu
su




EL

sf
sf
zyx
sf
++

222

существует
()()()()
sfsBusfsf
su

EL
ограниченности
действующего
.
приходим
что
02
EL
))
02
EL
ограничен
внутренней
Тогда
первой
категории
.
EL
167
замкнутости
всех

pL
1:
уравнения
предполагая
существует
силу
,
утверждению
существо
одного
уравнения
утверждение
существовании
нулевых
уравнения
0v
ядро


ненулевые
Действительно
AKer
удовлетворяют
одному
уравнению
()()
)(
su
()()
()()
vvv
Š=
удовлетворяет
уравнению
0v
=
эквивалентности
двух
двух
радиуса
ядро
одно

Новиков
Пусть
замкнутая
регулярная
область
распределение
создало
нулевой

области
функции
()()
0vvv
=
dg
. (7.12.)
сути


ортогонально
множеству
функций
AKer
случай

ступает
поскольку
замкнута
случая

существуют
функции
нулевой
Существенным
является
нулю
только
.
множества
,
,
существует
функция
для
.
легко
Действительно
ядре
функций
представимых
Пуассона
регулярной
функции
,
получаем
буемый
ядре
результат
уравнения
поточечно
заданного
Пусть
область
замкнута
распределение
нулевую
вертикальную
производную
функций
=
szyx
iiii
()()()
s-v
zz
zzyyxx
zz
Š+Š+Š
условие
()()
0vv
dvg
168
KerAA
оператору
()()
()()()
Š+Š+Š
zzyyxx
dzzv

образующих
пространст
)(
VL
iz
su
Евклидовой
оператору
RNi
==
},....1,{
$$
,


цепочку
()()
()()()
()()
()()()
)v(
)v(v
,,
vv
)v(
)(
)(
VL
AP
zzyyxx
zz
zyx
zzyyxx
dzz
$$
$
=
Š+Š+Š
=
Š+Š+Š
()()()
.;
s-v
iV
iVV
zz
zzyyxx
zz
PA
Š+Š+Š
$$
условия
любого
)v(

v-s
v0
тогда
Новикова
регулярной
замкнутой
Условие
ограниченности
было
условия
область
существуют
распределе
нулевым
значением
уравнению
()()
suA
преобразование
Фурье
Получим
00
yx
!
"
/,
,,2
wudzezw
zw
, (7.13)
()(
zwwu
,,,,
Фурье
функций

su
соответственно


YX
00
,0,
YX
22
+=
wW
Будем
искать
уравнения
()()
zw
ewzw
$
,,,
()()
,,,,
zw
ewzw

()(
,,,
ww
функции
получаем
,,
Š
zwzw
zw
ee
Wevwu
zvw
!"
(7.14)
169
12
,,
zz
evwu
zvw
zw
Š
. (7.15)
функцию
vwu
чтобы
функция
uwve
квадратично
тегрируемой
интегрируемо
Фурье
12
zzz
Š
силу

12
zz
zw
zwzw
eW
ee

определен
,
преобразование
гармоническая
Фурье
функции
функция
условий
vw
vwu
(15)
определена
функция
соответствует
полю
.
получа
)(
VL
vwu
Š
ŠŠ

12
,,
zz
zvw
zW
zW
zW
zW
(7.16)
функция
преобразование
Фурье
переменным
гармо
функция
vw
функции
соответствует
нуле
вертикальной
гравитационного
.
области
существуют
функции
принадлежащие
ядру
полем
.

,
нутое
.
можно
определить


оператора
.
содержащим
эквивалентные
всевозможные
VL
EL
VL
][
VL
VL
()VKerAvv
+=
,
рассматриваемый
уже
является
][
VL

условием
VL
()()
vminv
. (7.17)
этого
,
смежности
силу
доказанной
Эквива
утверждению
сужение

следующим
распределений

EL
замкнутым
.
VL
170
,
определенный
,
распределе
VL
словами
сужение

VL
обратная
доказательства
значений
1 p
область
доставляющего
полупространства
обратная
(11)
неустойчивой




полупространство
задача
аналитическому
полупространство
доставляемому
Пуассона
):
всегда
существует
неустойчиво
.
EL
EL
VL
su
EL
EL
EL
Нетрудно
имеет

функций
продемонстрировать
функций
.
множество
функций
нулю
условия
двухмерности
запишется
EC
EC
EC
00
0,
zxu
zx
dxxuz
Š=
+


функций
Выберем
0,
xu
00
zxu
0,,
00
yxu
000
,,
zyxu
()(
00
xn
zxu
=Š
того
функцию


нулю

противо
оператор
более
0,
xu
nxe


xn
nxe


Экстремальные
плотности
распределения
два
Š+Š+Š
yxu
szyyxx
dyxz
),(
])]([)()[(
v)],()[v(
00
2/32
00
, (7.18)
).()v(
suA
171
функция
,(
00
yx
ассоциируется
часть
определена
либо
).,(
00
yxu
00
Es
подчеркнуть
обстоятельство
учитывать
использовать
)()v(),(
su
. (7.19)
учтено
наблюдения
Неучтенными
требующее
уточнения
редуцирования
наблюдаемой
увидеть
),(
00
yx
,
)(
2/322
)(
2/32
00
]][)()[(
])]([)()[(
v)],([
EL
EL
zyyxx
szyyxx
dyxz
+Š+Š
Š+Š+Š
теоремы
следует
определенный
всех


будет
VL
EL
,1

qp

qp
Š+Š+Š
])](()()[(
)()]()[(
)(),(
2/32
00
szyyxx
sdszs
Ps
$µ
(7.20)
sd
области
задания
su
su
00
Es
,)(
000
dydxsd
трансформируется
аналогу
(9):
Š+Š+Š
2/32
000
])](()()[(
)]()[(
)(),(
szyyxx
dydxszs
Ps
$µ
. (7.20-a)

su
,,(,)
iiiii
yzxy
)(
sd




,
(20)

:

Š+Š+Š
ii
ii
iV
yxzyyxx
yxz
Ps
2/32
])),(()()[(
),(
)(),(
$µ
(7.20-b)
,(,,{
iiiii
yxzyx
su
небольшими
()()
()()
),()v(
),()v(v
)]([
)()]([
,,
)(
)]([
)]([,,
)v(),(
)(
)(
00
000
23
)(
02
VL
EL
sAP
sA
szyyxx
sdszs
zyx
dsssd
szyyxx
dxdyszzyx
$µ
$µ
µ

$µ
Š+Š+Š
Š
=
Š+Š+Š
³³³³³
³³³³³
участвуют
конструкции
идеальных
. 5),
согласованную
рукцию
существует
существует
осмысленно
172
уклонения
конструктивное
метода
(,)
(,)
получить
классов
оператор

линеен
(,)0
KerFKerA
экстремальный
распределений
плотности

)(
VL
)(
VL
)},(Im))v((
))v((:)v({),),,((
11
µ
µ
pp
Fsign
FF
LFA
ŠŠ
ядра
утверждение
распределение
плотности
таково
нулю

Пуассона
,
нулю
любом

,(
AKerAKer
,(
связаны
значениями
тут
получаем
(,)Im(,)
AKerAKerAA
=7=
означает


элементы
,(
µ
),),,((
LFA
рассматривать
одновременно
Изучения
экстремаль
позволяет
дальнейших
случаю
),,(
pV
LFA
)(
Будем
рассматривать
либо
,
.
черкнуть
учитывая
использовать
обозначение
подмножества
образующие
идеальный
распределений
плотности

su
),,(
LFE
),,(
LF
)(
VL
),,(
LFE
),,(
LF
()()
+Š+Š
ŠŠ
00
1*1
20
)v(:)v({),,(
zyyxx
zdss
PFF
LFE

; (7.22)
ŠŠ
+Š+Š
iV
zyyxx
PFF
LF
2/322
1*1
])()[(
)v(:)v({),,(

проектирования

опускать
связи
изучаемые
области
.
силу
конечномерном
исходным
(,,)(,,)
=
если

выражении
экстремального
другом
предложении
участвуют
множества

равной
случаю
множестве
173
перераспределением
распределения
v(
оператора
()v(),(
su
частности
)v(
(
00
Es
Операции
использовани
операторной
символики
Действительно
если
обозначить
соответствии
общими
))
,((
Vu
эквивалентности
()v(),(:)v(
su
()VKerA),(vv
+=
эквивалентного
условием
())v,v())v()),,(((
VuX
AP
распределение
процедурах
эквивалентного
перераспределения
важную
играет
между

эквивалентным
дополнительное
обозначение
Обозна
чим
,((
Vu
через
v((*),(
uX
оператор

либо
эквивалентного
эквивалентного
обозначение
эквивалентности
определению
эквивалентным
нормы
соответствующем
осуществляется
перераспределения
добавление
пределению
,(
Ядра
,


Другой
перераспределения
su
00
Es
оператора
перераспределения
получить
другое
распределение
выступать
условие
оптимальности
получае
распределения
случае
процедуру
обеспечивающую
принадлежность
распределения
заданному
экстремальному
классу
Пусть

.
оператор
)(
VL
)(
VL
. (7.24)
|)v()v((||min
||))v()v((:||)v())v()),,(*,(
)),(*,))v(
LFP
LF



эквивалентного
.
),,(
LF

Обозначим

замкнутое
,,(
LF

),,(
LF

)(
VL
)v()v(
Fg
0)v(|)v()v(
Š
gg
,,()v(
LF

).v()v(
Fg
0)v(|)v()v((
Š
).,,()v(
LF

:
1*1
(,,)Im(,).
FLFFA
=
Откуда
0)v(|)v()v(
Š
(v)Im(,).
174
силу
),,()v()v(

минимизирующая
),(||)(||
||,)(||)(lim
lim,||))(||
),,(
LF
Ln
Fdd



Š==




функция
0)0(
силу
),(
).(||),(||||))(,(||


соответствующий
последовательности

nm
.)(
Описанную
минимизации
как
процедуру
эквивалентного
Охарактеризуем
экстремальные
Лапласа

zyx
=
оператор
математической
физики
возникает
уравнения
0),,(),,(),,(),,(
=
zyxu
zyxu
zyxu
zyxu
которому
удовлетворяют
гармонические
функции
других
уравнениях
эволюционных
связанных
пространственным
Связано
это
особым
свойством
гармонических
функций
которое
ляется
виде
теоремы
суть
что
значение
окружности
кругу
соответствующей
размерности
сфере
гармонической
функции
центре
круга
равны
состоянии
равно
оператор
Лапласа
некоторой
функции
нуля
переве
значение
функции
наоборот
нуля
перевешивается
центре
Гармонические
функции
занимают
физике
Точно
также
формулировках
теорем
единственности
занимают
элементами
которых
служат
гармонические
),(*,
LI
Лапласа
гармонические
области

функции
уже
указывалось
ядру
замкнутый
.0
=C
(,,)(,,).
\r
функционал
||)v(||
минимум
0)v(
=
откуда
следует
v(
функция
функций
идеальным
классом
следует
имеется
(*,,)
Asu
Im)(
оператор
175
min,||)v(||
);()v(
suA
0)v(
=
(v)(,,).

(21)

.
пользуясь
получаем

),,(
LF

),,(
LF

).,,()))}v(((sin))v({(
LI
Fgn
FF

экстремальные
зрения
эквивалентны
критерий
уклонения
нулевого
нулем
Пусть
замкнутая
))(,,(
LI

,(

WI
следующий
результат

.
VCKerA
)(
VL

Кроме
.
что
утверждение

существует
элемент
одна

поскольку
сходящаяся
существует
последовательность
получили
последовательность
,
дящуюся
элементу
,
силу
)(
VL
,,(
LI

VC
)(
VL
v(
VCKerA
).v(
)(
VC
v(
)()(
VC
8
v(
)(
идеальное
),,(
LI

).,,(),,(
WILI
\r
(7.25)
=
.min||)v(||
;Im)()v(
AsuA
v(
необходимые
условия
прил
0)v(|)v(
=
)v(
VCKerA
C
обозначениях



kk
kk
zyxzyx
,0v
)v(
)v(
)1(
21
21
)(
)v(
VCKerA
C
соответствии
леммой
условие
v)(

участвующее
(v)
()
KerACV
C
что

обозначает
суммирование
всем
индексам
что
)(
321
,,
kkk
kkkk
=++
321
176
Интегрируя
частям
=

kk
zyx
22
0v)v(
)v(
)1(
21
)v(
VCKerA
C
\r=

22
).,,(),,(
)v(
)1(
21
kk
LILI
zyx
(7.27)
уравнение
характеризует
,,(
WI

),,,()v(
LI

этому
множеству
функ
гармонические
функции
распределений
задачи
(25).
Требуемое
),,(
LI

,,(),,(
WILI
\r
оптимальности
уклонения
решения
нулевого
условия
уклонения
решения
нуля

()(
10
VLE
C\t
,,(
20
LIE
одинаковую
.
)(
VL
v|)v(|
знака
равна
распределения
плотности
инвариант
покажем
знакопостоянный
элемент

меньшую
величину

чем
знакопеременный
Действительно
поскольку
,



равны
³³³³³³³³³
³³³³³³
Md
.v|)v(||)v(|v|)v(|
;v)v(v)v(
9
}.0)v(:v{
};0)v(:v{
=
=
VV
VV
доказана
единственности
,,(
10
LIE
(v)()Im;
sup|(v)min,
usA
(7.28)
существует
силу
замкнутости


).(
VC
177
Пусть
будучи
плотности
верти
кальную
производную
потенциала
su
v(
|)v(|sup||
Действительно
v(
00

.0v))v((

v(
существуют

,v
,0)v(
10
Š

,v
0)v(
20
Š
|)v(|sup
случаем
ситуации
(14)
результат

решений
замкнуто
выпукло
Замкнутость
выпуклость
линейности
существования
чем
(28),
это
следует
существования
распределений
угодно
малым
как
угодно
гравитационное
которых
нулю
примеры
частности
противоположной
угодно
малой
будут
построены
функция
координат
рассмотрений
постоянную
уклоняется
нуля

уклоняю
нуля

уже
использованную
горизонтальную
функцией
будут
уточняться
необходимости
,,(
CFE
:,,{
21
zzzzyx

,,(
zyxK
(7.29)
.min)v(|sup
);()v(
suA
существования
трансформирует
:
.min|)v(|sup|)v(|sup
);()v(
);v()v(

suFA
(7.30)
178
рассматривался
(v)(v)
операция
двух
функций

)v(
)v(
ŠŠ=
.);;();()v()v(
000000
dydxzyxzyyxxK
функцию
)v(
2/3222
zyx
++
)(
)v()v(
=
su
(7.31)
случае
выступает
любой
функции
:)()v(
VLK
).()()v()v(
VCVLKf
C
Пусть
существует
функция
v(
(7.32)
=
,)v()v()v(
)v(
dzG
FAB


)v(
функций
)(
VC
EC
содержит
значений
множество
полностью
эквивалентна
вместо
участвует
случае
(30)
приме
результаты
EC
v(
)v(
,,(
CFE
v(
(7.33)
),
()v(
sF
)(
функция
EC
случаев
Пусть
интервале
функция
если
функций

zK
],[
21
zz
)v(
),v()()v(
fzKG
=
удовлетворяет
требуемым
,
распределения
функцию
случае
функции
переменными
zK
,,(
CFE
),,(
CFE
).()()v(
szK
=
функции
)(
уравнение
=
)(
)v()()(
su
dzfszK
()(
01
ELs
последнему
равенству
преобразование

элементарных
получим
.},{
syx
(,)
(,)
(),
179
преобразование
Фурье
функции
221/2
||()
,(
yxf
(,)
Фурье
функции
)],([
yxf
(,)
используется
обозначение
(&#x/MCI; 12;&#x 000;&#x/MCI; 12;&#x 000;,(
yxf
,)].
решения

получаем
,,(
CFE
(v)
,,(
CFE
(,)()
(v)
2()
uvKz
Kzedz
. (7.34)
силу
результатов
доставляемое
(34),
уже
указывалось
критерия
()(Im
010
ELECA
C\r
.min|
)(
)v(
|sup
zK
(7.35)
заданием
функции
предопределен
плотности
пласта
такая
получается
(34).
случае
получаем
zK
zK
)(
zK
(,)||
(v)
2()
uvW
=
(7.36)
функции
получаемое
(21)
получить
рисунков
эквивалент
соответствующей
функции
рисунком
zK
zK
аналогии
функция

v(
ŠŠ==
.);;();;()v()v()v(
000000
dydxzyxzyyxxK
будем
(7.37)
ŠŠ=
.);();;()v(
000000
dydxyxzyyxxK
)(
)(*)v()v(
su
dzs
180
Рисунок
Фурье
откуда
(,)2(,,)(,)
vKvzedzu
\f"!\f
(,)(,,)
(v)
2(,,)
uvKvz
Kvzedz
"!\f

(7.38)
(38) (
если
принадлежало
экстремальному
соответствующему
оператору
,
функция
определенная
помощью

условием
удовлетворяла
,,(
CFE
v(
=
,)v()v()v(
)v(
dzG
FAB

)v(
функция
v)(
);;();;()v()v(
23
000000
zyyxx
dxdyzyxK
dydxzyxfzyyxxKfK
+Š+Š
ŠŠ=
определяла
,
элементов
зависящих
вертикальной
означает
))v((,0)v(
KKA
@;
181
;
0)()v(
dzsG
вертикальной
нулю
функ
Проверить
просто
,)v(
,)()v(
KerAsK
@
как
).,()]v([
),(
),,(2)()v(
||
9\f
9\f
9\f"
=

KA
dzezK
dzsG
zW

установить
связь
между
условия
Необходимость
рассмотрений
обеспечением
уравнения
)v(
,,(
CFE
,,(
20
LFE
,,(
20
LFE
)()v(
suA
множестве
()v(
sF
Пусть

условиям
),,(
zsK
()v(
VCK
(),(:
01
ELzsKz
нулю
0)v(
умножения
неотрицательную
весовую
функцию

непрерывную

буквой
),(
zK
].,[
21
zzz
v(
)v(*)v()v(
KK
Нетрудно
алгебраически
замкнутым
сумма
операторов


функцией
VL
])2/([
2/
)v(
2/32
22
2/1
zyx
++
+Š+Š
=::=:
])()()[(
),,(
2)v(
)v(
2/322
2/12/1
zyx
dzdz

"
действуя
функцию
двух
),,(




коммутирует
операторами
Пусть
ризуется
условием
2/11
:=
KF
,,(
20
LFE
1/2
*1/2*
1/2*1/2*
(v)
();(v)
().().
KKAsKKAsKKs
$
:=:=::=
экстремальный
поскольку
диктует
,,(
11*
CKKE
ŠŠ
()v(
11*
KK
$
ŠŠ
)(
)(
su
sKKA
Фурье
переменным
syx
},
)(
sKKA
получим
||/2||/2
(,,)
(,,)(,,)(,)
WzWz
vzeeKvzKvzev
\f\f$\f
Š
=
182
(,,)|(,,)|(,).
zKvzv
\f9\f$\f
(7.39)
(v)[|(,,)|(,)].
Kvzv
\f$\f
()(
01
ELs
()(
ECs
v(
будучи
рируемой
функция
0),(
zsK
,(
zsD
.),(
KerAzsD
,),(
KerAzsD
[(,,)]02(,,)2|(,,)|,
Wz
ADxyz
DvzedzKvzedz
"\f"\f
==
=
невозможно
силу
положительности
Непрерывность
каждом
фиксированном

очевидностью
следует
свойств
Следовательно
формулой
также
одно
решение
известными
различны
свойствами
относительно

так
относительно

вательно
обратную
выбирать
параметры
исходя
принципов
оптимальности

сформулируем
предложения
|(,,)|.
Kvz
)(
01
EL
],[
21
zzz
,(
zsD
,(
zsK
).,)(,(
1*
CKKE
,,(
20
LE

Пусть
),(
параметризирующий
принадлежность
,,(
20
LE

),,(,(
CKE
()(
01
ECEL
v(
экстре
классу
принадлежность
другому
sKK
CKKE
LKE
sKK
KKELKE
CELIE
CIELE
).()v();,)(((),,(
);()v(;),)(,(),,(
)()v(
;),,(),,(
;)()v(
).;,,(),(
1*
2/11
11*
20
2/1
$
$
H
:=
H
:=
:H
H:
ŠŠ
следует
распределение
плотности
)v(
вертикальной
условия
()v(
suA

(
s
зующий
экстремальные
условиях
численных
полученное
,,(
20
LE

,,(
CE

)()(
VLVC
v(
исходя
формула
,(
KE
),,
2/1
,)(((
1*
CKKE
Фурье
уравнению
³³³
+Š+Š

),(
])()()[(
),,(
2/322
zyx
dxdydzzz



получаем
(,)
2(,,)
vzedz
"\f
(39),
получаем
),((
CKKE
),,(
2/11
LKE
),((
CKKE
183
2||
,)|(,,)|
(v)
2|(,,)|
uvKvz
Kvzedz
"!\f

(7.42)
дает
решение
экстремальности
условие
(42),
сути
,((
CKKE
,(
KE
),
2/1
)(
плотна

функцией
положитель
квадратный
]|),,([
~2
zvK
sK
CKE
KE
sK
CKELKE
).()v();,((),)(,(
);()v(;),)(,(),)(,(
2/11
11
$
H
:=
H
ŠŠ
,,(),,(
20
20
IWEILE

Нетрудно
полученное
случай
Отсюда
следует
другой
соответствующие
функциям
полученные
(42),
полученные
обратной
()v(
zKK
()(
zKsKK
=
),()(
zKsKK
=
zK
||),(
)v(
||2||2
||

zWzW
ZW
ee
Wevu
!"
12
||
)(2
),(
)v(
Š
zz
evu
zW
!"
элементы
,,(
20
LIE
уже
указывалось
спектральной
области
между
распределением
плотности
вертикальной
производной
гравитационного
устанавливается
соотношением
su
),(
),,(2
||
vudzezv
ZW
\f
(42)
|),,(|
|),,(|),,(
)v(
||2
||

zW
zW
dzezvK
zvKdzezv
\f
(7.43)
184
полученного
установлена
процедура
v(
одна
реализа

устойчивого
вычисления
развитыми
методами
,)((
1*
CKKE
)(
VL
02
EL
могут
получаем
|),,(|
zvK
(2
||),(
)v(
||
||
Š
zW
ee
Wvu
(7.44)
получим
||
||2
ZW
eK
),(
)v(
||2||
||
zWzWz
ZW
ee
evu
(7.45)
),,(|
||2
zW
ezvK
)(2
),(
)v(
12
||
Š
zz
evu
zW
(7.46)
),,(|_;
||2
zW
ezvKEV
||),(
)v(
||

zW
eWvu
(7.47)
Рассматривая
решения
нетрудно
заметить
дают
выражения
хорошо
практике
интерпретации
гравиметрических
данных
(46)
продолжение
полупространство
горизонтальную
), (47) –
верхнее
полупространство
зеркальное
отражение
вертикальной
производной
гравитационного
образом
процедуры
просто
трансформации
процедуры
получения
частного
формаль
решения
обратной
взглянуть
процесс
трансформа
гравитационного
практическую
значимость
зрения
получения
формальных
решений
обратной
задачи
Конструирование
экстремальных
плотности
решений
сконструированных
следует
следует
искать
силу
между
выражая
необ
другие
рабочих
экстремальных
),)(((),)(,(
1*
2/11
CKKEL
KE
H
185
распределения
следует
развитыми
Несомненно
будем
поступать
ситуациях
применимыми
условия
формулы
что
()v(
sKK
аналитические
предшествующем
результата
Фурье
следует
суще
Построение
решений
спектральной
форме
соотношение
характеризующее
)()v(
suA
Выберем
функции
нулевое
среды
нулевого
Критерий
,)((
1*
CKKE
),,(
zyxK
|),,|
zvK
min)v(sup
содержательной
ŠŠ
.min
);;();;(sup)v()(sup
1*
ddzzyxD
KK

(7.48)
функция
соответствующая
соответствует
смысле
функцией
,,(
zyxD
1*
)(
KK
ŠŠ
.max
);;();;(sup)v()(sup
ddzzyxD
KK

(7.49)
силу
следующей
ассоциируется
функции
искомым
плотности
нулевым
функцией
).
следует
устойчивый
этого
оператора
поле
),,(
zyxD
|),,(|),,(
zvKzvD
).(
su
устойчивого
2||
,)|(,,)|
(v)
2|(,,)|
uvKvz
Kvzedz
"!\f

(7.42)
регуляризации
излагается
функций
заменяются
Фурье
вычисляемыми
),(
),(
21
ji
pk
jp
ik
eyxu
NN
vu


(7.50)
186
),(
),(
21
ji
pk
Ik
jp
eevu
NN
yxu
(7.51)
Š=
количество
узлов
направлении
количество
узлов
направлении
.10;10;
Š+=Š+===
NiNki
vk
Фурье
приводит
погрешностям
уменьшения
||
),,(2
zw
dzezvG
\f"
осуществляется
гравитационного
эффекта
соответствующего
нуля
коэффициентов
Фурье
функ
при
su
)v(
su
),(
su
,(
xG
),(
zyzsG
21
,,,
NiNkv
ik

нулю
будем
,,(
zvG
нулевыми
нуля
).(
su
Пусть
];[
1||
),,(
21
zzz
zvG
ik
ik

\t
;0
1||
),,(
\t
zvG
ik
ik

)1|(|),(
),,(),(
)(
++
Wavu
zvGvu
\f\f
9
(7.52)
)1|
(|),(
),,(),(
),,(
22
+++
ikik
ikikz
ika
vavu
zvGvu
zv
\f
(7.53)
функций
v(
равенствами
su
. (7.54)
ik
ik
ik
ik
vu
su
dzzv
|),(|||)(||
|),,(|||)v(||
\f
рассмотрим
отображение
su
)v(
(54).
доразумениям

ik

что
),,(|),,(|
zvGzvK
187
[,]
[,]
(,,)
||(v)||||()||.
(,)(||1)
(,,)
||||1
||()||
||()||.
(,)
min
||1
zzz
zzz
Gvz
uvaW
Gvz
++
=
(7.55)
ag
сколь
su
v()(
As
)1|(|),(
)1(
),(
)1|(|),(
),(
1),(),(),(),(
++
+
=
++
=Š=
Wavu
Wa
vu
Wavu
vu
vuvuvuv
\f\f
\f
1|(|
||),(||),(
=
vuv
\f\f
(7.56)
следовательно

условия
||)(||
)(
Su
. (7.57)
согласованность
(54)),
регуляризации
su
выборе

учитывать
противоречивых
увеличение

устойчивости
. (55)).

обеспечивая
заданную
невязки
может
обеспечивать
мую
устойчивость
регуляризующее
устойчивости
воспользуемся
1|(|
+
Wa
)1|(|),(
),,(),(),((
)v()v(
:0)v(
++
+=
wavu
zvGvuvu
\f\f\f

(7.58)
,(
vu
v(
Пусть
;1
=
am
Тогда
элементу
),)((
1*
CKKE
su
||;)(||
||)v()v(||
su
Š

(7.59)
.||)(||
||)()(||
su
susu
zz
Š
(7.60)
постулируемому
дует
доказать
188
.)()(
)1(
|)()(||)v()v(||
susu
mg
mm
ag
susu
zz
zz
Š
Š
ŠŠ

(7.61)
следует
||)(||
||)()(||
||)()(||
su
susu
susu
zz
zz
Š
. (7.62)
получаем
Результат
доказан
Построение
решений
итерационных
процессов
случае
выполнены
частым
Фурье
рассматривать
уравнение
)()v(),(
su
содержательной
Š+Š+Š
yxu
szyyxx
dyxz
),(
])]([)()[(
v)],()[v(
00
2/32
00
5.5.
экстремального
зуемся
двумя
оператора
,)((
1*
CKKE
,)((*(
1*
CKK
,(
определен
используя
),)((*,
2/11
),)(((),,(
1*
2/11
CKKE
LKE
H
случай
распределение
,)((*(),)((*,
1*
2/11
CKK
H
,)((*(
1*
CKK
()v(
sKK
функция
результате
среды
оказываются
,(
00
yxu
рассматриваемому
случаю
);(
)v()v(
sKK
$3
+=
.,......1,0
),(
])]([)()[(
v)],()[v(
)(
00
2/32
00
Š+Š+Š
yxu
szyyxx
dyxz

выбора
релаксации
удобнее
)(),(
)(),(
sKK
sKK
$µ
$µ$
Š=
скалярного
что
осуществляется
мере
sd
случае
³³³³³
Š+Š+Š
)(
])]([)()[(
v)],()[v(
)()(),(
2/32
00
sd
szyyxx
dyxz
sKK

$µ$
189
³³³³³
Š+Š+Š
)(
])]([)()[(
v)],()[v(
)(),(
2/32
00
sd
szyyxx
dyxz
sKK

$µ
соответствии
результатами
5.5
сходиться
решению
критерия
,)((*(),)((*,
1*
2/11
CKK
H
ŠŠ
.max
);;();;(sup)v()(sup
ddzzyxD
KK

Экстремальные
структурной
гравиметрии
структурных
имеет
Š+Š+Š
yxu
yxyxfyyxx
dydx
00
212
0,0
),(
])}(),({)()[(
, (7.66)
,0
==Š=
iii
usA
))((
функцией
горизонтальных
случаи
поверхности
образующей
подчеркнуть

будем
операторное
).()),((
susA
(7.67)

будем
случае
поле
usA
))((
00
dydxd

регулярна
последнем
случае
асимптоты
существенное
случая
следует
учитывать
поля
учтены
расположенные
постулированной

случая
выходящую
структурных
значение
нельзя
интерпретируемую
компоненту
кото
укладывается
рамки
модели
(67),
щуюся
продолжение
для
подчеркнуть
для
интерпретируемой
компо
прира
внутри
области
наблюдений
двухмерного
случая
структурных
случае
Погрешности
неучетом
su
,(
00
yxu
,(
00
yxu
190

функционального
высту
)}(),...(),({)(
sfzsfzsfzs
===
)()()(
SCSLSL
02
EL
учитывающей
),(
)(
00
yxu
su
случаем
наследует
результат
)),((Im))((Im
sAsA

pEL
1);(
Существует

)(sup
)(
sksu
si

следствия
результатов
уравнению
зуемся
результатами
частности
(5.58)
))()((
);()),((
ssF
susA
ff
(7.68)
линейный
замкнутый
отображающий

функциями
,.....,{
10
FFF
)()(
SLSL
)(
умножения
функции
Содержательная
(,)
[()(){(,)()}]
{[()()]}min
iii
dxdy
uxy
xxyyfxyxy
Ffsfs
Š+Š+Š
(7.69)
нулевые
изучаемым
схематично
изображены
(),...(),({)(
**
sfsfsfs
. 7.3.


191
экстремального
Экстремальные
(((),),,
AsL
(((),),,}
AsL
)),((
sA
Производная
),(
()),((
ssA
hf
действующий
мерную
функцию
компонентами
значений
включаемую
область
)),((
sA
0,0
,0
(,){(,)()}
((),)()
[()(){(,)()}]
hxyfxyxydxdy
Ass
xxyyfxyxy
Š+Š+Š
Š+Š+Š
³³³³
EL
EL
sd
yxyxfyyxx
dydxyxyxfyxh
sdssAssdsus
ssAs
sus
232
0,0
0,0
000
)(
)(
00
)(
])}(),({)()[(
)}(),(){,(
)(
)()())(()()()()(
)())((
)(
02
02

hf
hf
.)())((
),(
])}(),({)()[(
)()}(),({
)(
)(
232
0,0
0,0
SL
sssA
dydxyxh
yxyxfyyxx
sdyxyxf
Š+Š+Š
³³³³
µ
относительно
области
оператора
допущения
цепочке
равенств
(10)
определения
сопряженного
оператора
()),((Im
02
ELsA
получим
),((
sA
+1
])}(),({)()[(
)()}(),({
)()()),((
232
0,0
0,0
yxyxfyyxx
sdyxyxf
sssA
µ
$$
Š+Š+Š
следует
(((),),,
AsL
(((),),,
AsL
.,....1,0
])}(),({)()[(
)()}(),({
)(
),(),(
232
0,0
0,0
1*1
Ni
yxyxfyyxx
sdyxyxf
sFFyxfyxf
ii
Š+Š+Š
+=
ŠŠ
µ
случае

умножении
тельную
весовую
функцию
)(
имеющую
смысл
среднеквадратичной
нулевого
, (72)
])}(),({)()[(
)()}(),({
)()(),(),(
232
0,0
0,0
yxyxfyyxx
sdyxyxf
ssyxfyxf
µ
$%
Š+Š+Š
+=
.,....1,0
Ni

двухмерного
аналога
задачи
подробно
рассматривался
5.1.
192
случая
множестве
)(,},{}{
yxs
jjj
=
атомическая
мера
экстремального
другой
частный
.,....1,0
])}(),({)()[(
)()}(),({
)()(),(),(
232
Ni
yxyxfyyxx
sdyxyxf
ssyxfyxf
jj
ijj
Š+Š+Š
+=
µ
$%
распределений
плотности
простоты
используется
оператор
((()),
˂)
((()),
˂)
0)
0,

случае
будем
+Š+Š
yxu
yxfyyxx
dydx
00
212
),(
])},({)()[(
).()()(
min,),(),(),(
))((
)...0(
)(
sss
yxfyxfyxF
iii
Ni
yx
ffh
hF
Š=
*
доказать
условием
служит
,.....,{
10
FFF
,...0
),(),(),(),(
Ni
yxFyxyxfyxf
+=
(7.76)
),(
yx
функция
условие
служит
((()),
˂)
Пусть
существует
уравнение
уравне
представлением
(76).
если
что
,(
yx
),(
yx
функций
,(
yx

+Š+Š
yxfyyxx
dydxyxfyxF
232
,0
])},({)()[(
),()],([
(7.77)
только
нуля
функции
0000
00
232
00
),,,(),(
])},({)()[(
),()],([
dydxyxyyxxKyx
yxfyyxx
dydxyxfyx
ŠŠ
+Š+Š
,,,(
yxtK
непрерывная
абсолютно
руемая
,,,
функция
yxtK
0),,,(


193
нулю
уравнения
классе
реше
((()),
˂)
Пусть
существует
))(
ss
(f
(),...(),({)(
10
ssss
))}(())((:)()())(((
sAsAECssA
gf
{gf
=
Функционал
)(
)(
)((
+
ss
hF
)(
(((
sA
((
sA
(),...(),({
10
sss
+Š+Š
yxfyyxx
dydxyxfyx
ssA
232
.0
])},({)()[(
}),(){,(
)(
))((
(7. 79)
((
sAKer
(79)
).()](
)())[(()())((
susssAssA
=+
hfhf
(7.80)
поскольку

удовлетворяющих
функционал
)(
)(
)(
)(
)((
+
ss
hF
минимума

)(
).()())((
sussA
hf
(7.81)
).()()(
min,),(),(),(
))((
)...0(
)(
sss
yxfyxfyxF
iii
Ni
yx
ffh
hF
Š=
*
Функция
)(
su
функция
того
будут
найдены
условия
уравнения
))(()(
ss
hf
((
hF
задачи
(),...(),({)(
10
sgsgsgs
)(
).()(
))((
)(
11
ŠŠ
susFsA
обозначениях
.min),(sup
])},({)()[(
),()),((
)(
,,
232
+Š+Š
yxg
yxfyyxx
dydxyxfyxgF
yxi
ii
(7.83)
воспользуемся
решения

функционал
существует
)(
означает
ядро
определенного
соотношением
(78)
состоит
только
194
функционал
q

))((
; (7.84
)(
ggq
; (7.84
Bg
gq
,0
. (7.84
состоит
другу
условиях
утверждения
функционал
(),...(),({)(
10
sgsgsgs
,0(,)()(
Nisgsg
=
gq
ществует
(75)
имеет
).(),(
sgyx
что

)(
EL
)(Im)(
функций
0000
00
232
00
),(),(
])},({)()[(
),()],([
)(
dydxyyxxKyx
yxfyyxx
dydxyxfyx
Fsq
ii
ŠŠ
+Š+Š
Действительно
222
((,))(,)
()()
[()(){(,)}]
iii
Fgxyfxydxdy
xxyyfxy
Š+Š+
0000
222
((,))(,)
(,)
[()(){(,)}]
iii
Fgxyfxydxdy
ydxdy
xxyyfxy
Š+Š+
³³³³
00
222
[(,)](,)
(,)
[()(){(,)}]
xyfxydxdy
Fgxydxdy
xxyyfxy
Š+Š+
³³³³
00
222
[(,)](,)
(,)
[()(){(,)}]
xyfxydxdy
Fgxy
xxyyfxy
Š+Š+
00
222
[(,)](,)
(,)
[()(){(,)}]
xyfxydxdy
xxyyfxy
Š+Š+
00
222
[(,)](,)
(,).
[()(){(,)}]
xyfxydxdy
xxyyfxy
Š+Š+
+Š+Š
232
00
00
)(
),(
])},({)()[(
),()],([
dydxyxg
yxfyyxx
dydxyxfyx
gq
195

между
собой
трансформируется
соотношения
будут
очевидным
определению
),(
yxg
)(
xx
выражающего
значение
функционалов
сумм
функций
условия
нулевом
оператора
)()(
01
ECEL
+Š+Š
yxfyyxx
dydxyxfyx
232
00
00
])},({)()[(
),()],([
(7.87)
01
EL
Конструирование
экстремальных
плотностных
границ
конструирования
структурной
служат
уравнения
характеризующие
уравнения
уравнения
другом
случае
структур
функции
(((),),,
AsL
((()),
˂)
,(
yx
размерность
уравнением
является
задача
оператор
,(
00
yxu
()),((
susA
определенный
(66)
(((),),,
AsL
((
sA
+Š+Š
yxu
yxfyyxx
dydx
00
212
),(
])},({)()[(
, (7.88)
,)),(((
sA
yxFyx
yxfyxf
ii
...0
),(),(),(),(
+=
случае
оператора
()),((
susA
:
Š+Š+Š
yxu
yxyxfyyxx
dydx
00
212
0,0
),(
])}(),({)()[(
такой
выходит
рамки
рассматриваемых
рассмотрим
спектральную
ционную
схемы
196
Спектральная
обратной
структурной
метрии
экстремальных
случаю
нулевые
Будем
считать
случае
убывающая

функция
положим
Nizyxf
,...1,),(
==
iii
zsfsh
Š=
)()

суть
двухмерной
функцией
случае
представление
будет
иметь
,(
yxK
shzyxKzyxf
ii
iii
...0
).(),(*
),(
+=
+=
$
выражение
sh
.]
]}{)()[(
!1.))((
])}({)()[(
2122
212
ik
ii
yyxx
shc
shzyyxx
+Š+Š
=
+=
++Š+Š
(7.89)
член

нулю
функции
]}{)()[(
21222
++
yx
22212
[()(){}]
++
. (7.90)
учитывая
получим
)(
sh
2(,)(,)
(,)
(()*())]!iiNWziikNWzkziiixyikvKve
"$\f\f
$
+

(7.91)
Откуда
очевидных
(,)
(,)
[(()*())]
(,)
2(,)
iixy
sKs
Kve
"
$
׊
пространственно
функциям
обратное
преобразование
Фурье
]))(*)(([
)(
yx
zW
sKs
$
"


присутствующий
отвечает
учет
высших
возни
следствие
197
(,)
(,)]!ikNWzkziixyikWuvehxyk\f"!ŠŠ==Š
(7.93)
ограничиться
лишь
членом
получим
приближенную
(,)(,)
(,)
2(,)
iiz
Kvuv
Kve
\f\f
!"\f


, (7.94)
структурным
Вычислительная
спектральной
формы
обратной
задачи
структурной
экстремальных
определен
устойчивого
значения
теории
регуляризации
устой
(42).
близости
между
собой
решения
форме
(,)(,)
(,)
2(,)
KUv
Kve
\f\f
=
(7.95)
(,)
(,)
((,).
hxy
=Š
(7.96)
функций
входящих
будем
Фурье
),(
),(
21
ji
pk
jp
ik
eyxU
NN
vU


),(
),(
21
ji
pk
Ik
jp
eevU
NN
yxU
Используются
рассмотренной
Пусть
(,)2(,).
UvKve
\f"\f
=

ненулевых
Фурье
функций
(,)
(,)
(,)
];0[
1||
),(
Ni
vK
iki
ik

\t
;0
1||
),(
\t
vU
ik
ik
198
)1|(|
),(2
),(),(
),(
++
=

WaevK
vUvK
zW
iki
ikiki
\f"
\f
(7.97)
22
)()||
ik
будем
\t
\t
ik
ik
ik
iki
vU
sU
vhsh
),(
)(
;),(
)(
. (7.98)
.)(
1||
),(
1||
),(
)(
)1|(|),(
),(
sup)()(
=
=
++

\t
\t
sU
vU
vK
sU
WavU
vK
sUsh
ik
iki
ik
iki
ik
ik
ограничена
ag
уклонение
соответствующего
)(
sU
sU
,(
\f
]),(([
)(
2)(
yx
zW
yxh
sU
"

=
следующим
)1|(|),(
)1|(|
),(
)1|(|),(
),(
1),(),(),(),((
++
+
++
Š
WavU
Wa
vU
WavU
vU
vUvUvUv
ik
ik
ik
ikik
ikik
\f

=
sUs
)()

условия
||)(||
)(
Su
, (7.99)
регуляризации
sU
распределений
учитывать
противоречивых
увеличение

устойчивости

заданную
величину
обеспечивать
требуемую
устойчивость
Фактически
регуляризующее
лучшим
)1|(|
+
Wa
199
заданного
устойчивости
воспользуемся
итераци
;0),(
)0(
xh
)1|(|),(
),(),(
),(
),(),(
)(
)1(
++

WavU
vuvu
vK
vhv
ik
ik
zikz
ikii
ik
ik
\f
)(
]),([
)(
2),(
yx
zW
ik
yxh
vu
"!\f

=
регуляризованного
регуляризации
итерационного
Пусть
;1
=
am
Тогда
повторяя
рассуждения
приведенные
получении
получим
элементу
((()),
˂)
эффектом
su
||;)(||
||)),(),((||
)(
)1(
su
zxhzxh



(7.102)
.||)(||
||)()(||
su
susu
Š
(7.103)
двухмерные
структурной
двухмерные
случай
случае
между
полем
интегрируется
рассматриваются
плоскостью
уравнения
Следует
плоскости

модели
модели
ZX
между
собой
модели
конфигурацией
интерпретируемой
)(
))()(()(ln
Š=
Š+Š=
iii
xu
dxxxfxx
(x)A

)),((
xA
которую
также
будет
((
xA
).()()(
min,)()()(
))((
)...0(
)(
xxx
xfxfxF
iiii
Ni
ffh
hF
Š=

*
).()(
shzsf
iii
+=
200
будет
((()),
˂)
,...0
)(()()(
11
Ni
xxF
xfxf
ii
+=
ŠŠ
$
функция



Š

ii
ii
eK
xKx
)(2
]))(*)(([
)(
)(
)(
)(
\f"
$
"
\f
рассчитывается
]),(([
)(
)(
xh
"

=
решения
аналогичный
)1|(|)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)1(
++
×
\f
aU
zkz
kii
)(
]))(([
)(
2)(
xh
"!\f

=
Итерационные
методы
обратной
задачи
структурной
гравиметрии
экстремальных
ситуациях
нерегулярной
зующей
уже
множество
спектральных
Следует
методы
аналогии
распределении
целью
воспользуемся
(((),),,
AsL
.,....1,0
])}(),({)()[(
)()}(),({
)(
),(),(
232
0,0
0,0
1*1
Ni
yxyxfyyxx
sdyxyxf
sFFyxfyxf
ii
Š+Š+Š
+=
ŠŠ
µ
сокращенным
ssA
ss
))((
)()(
*1*1
fFFff
+=
ŠŠ
1*1
ŠŠ
FF
},....1,0,),({))((
*1*1
NisKyx
ssA
=
ŠŠ
$
fFF
положительно
этом
случае
эквивалентным
(()),((
sAsA
Будем
считать

меняющуюся
будет
)(
((
sA
)(
),((
sA
регулярен
201
случае
уравнения
Š+Š+Š
yxu
yxyxfyyxx
dydx
00
212
0,0
),(
])}(),({)()[(
можно
результатами
следующим
),(
)),(({
);,(),(
.,....1,0
,),(
),(),(
00
3
yxu
sAs
yxfyxf
Ni
sKyx
yxfyxf
in
44=
+=

трансформации
интерпретируемой
рельефной
компенсации
единичного
оператора
дифференцирования
порядка
случае
будет
компенсация
производных

умножение
весовую
функцию
будет
соответствовать
компенсации
учетом
сравнительную
меру
достоверности
обеспечивающего
||)())((
))((||
)())((
))((|)(
2*
*1*1
*1*1
ssA
sA
ssA
sAs
4
4
Š=
ŠŠ
ŠŠ
fFFf
fFFf

оператор
оптимального
для
.}
),(
),))((
)()(({
)(
00
*1*1
*1
$
$3
yxu
ssA
ssAs
nn
nn
+
44==
ŠŠ
fFFff
релаксации
3
значение
путем
аппроксимации
рассчитанным
ситуациях
итерационным
(108)
осуществляется
получаемого
осуществляться
глубины
точках
условий
дуры
3
уже
обусловленности
процессу
),(
)),(({
)),(,(),(
);,(),(
.,....1,0
),(
),(),(
00
3
yxu
sAs
yxMPyx
yxfyxf
Ni
sKyx
yxfyx
in
44=
+=
202
(,(
sMP






множество
)(
SLX
},....2,1),({)(
Niss
==
))(,(
sMP
выступать

процедура
.}
),(
),)))((
)(,()(({
)(
00
*1*1
*1
$
$3
yxu
ssA
sMPsAs
nn
+
44==
ŠŠ
fFFf
Алгоритм
продолжения
плотную
динамического
структур
)).((
)))(((),(
;,..1,0
,..;1,0
sVsftsf
Nj
jij
$3
$3
+
Š=
конкретные
),(
)),(({
));,(,(),(
));((
)))((
()(
;,..1,0
,..;1,0
00
$3
$3
yxu
sAs
yxMPyx
sVsfs
Ni
ni
+
Š=
интерпретируемого

преобразующих
соответствующие
уже
процедурой
,
минимизирующих
обобщенную
невязку
33
))(,,(
),(
)),(({)}({
00
yxu
sA
is
SY
$33
4=
Библиографические
обратная
работах
[1-5].
приведенную
при
решении
сейсмоло
изучении
глубинного
G. Backus, J Gilbert [6-8].
работы
кругах
прошли
появились
учебного
пособия
в котором дано подробное описа-ние этих работ. Однако параллель с указанными
исчерпывается
203
формальным
минимума
квадратичной
доопределения
недоопределенной
Квадратичный
получаемых
моделей
реальным
геологическим
оптимальности
Исследования
аналитический
&#x/MCI; 1 ;&#x/MCI; 1 ;Содержательная критериальная постановка обратной задачи гравиметрии
круг
увязанных
методических
реше
которых
осуществлялось
Кобрунова
литературы
&#x/MCI; 2 ;&#x/MCI; 2 ;В связи с эволюционно
конструировании
плотностных
следует
упомянуть
в которой также
зущее
заданным
коэффициентом
условии
стремления
конце
нулю
исполь
интерпретации
аналогий
Литература
Кобрунов
оптимальных
гравиметрии
ученой
наук
Кобрунов
Кобрунов
вариационном
разработка
нефтяных
газовых
месторождений
Кобрунов
Панасенко
– 1976. –
. 13. –
. 47-51.
Кобрунов
гравиразведки
Кобрунов
Кобрунов
гравиразведки
рунов
общих
магнитометрии
Вузов
6. Bacrus G., Gilbert F. Nimeri
cal applications of a formalist
for geophysical iverse problems.-
Geophysical Journal of the Royal Astronomi
204
Послесловие
математически
областей
научной
пособии
учебном
пособии
математические
моделей
между
средой
получили
существенное
математических
учебной
научной
литературе
Редкое
[1].
тираж
учебном
случае
равен
обстоит
другими
упоминавшаяся
имеет тираж 300 экз. &#x/MCI; 2 ;&#x/MCI; 2 ;Что касается эвристических связей
лежащих
геофизических
учебные
доступная
научная
литература
Весьма полезна в этом отношении документация
геофизической
доступной
получения
системе
КОСКАД
КОМПЛЕКС
СПЕКТРАЛЬНО
Авторы
доступна
205
ведущих
специалистов
математическим
Литература
Апатиты
Глазев
обработки
геофизической
Никитин
вузов
обработке
Гольцман
выводы
Корреляционная
гравитационных
геофизических
Пашкевич
Наукова
думка
структурной
Фурс
методы
аномалий
Никитин
интерпретации
Будущее
Успенского
гравиметрии
Страхов
Кобрунов
Учебное
Кобрунов
Кобрунов
Кобрунов
УИИ
206
Приложение
Конечномерные
линейные
пространства
Вводные
Множества
множество
случае
множества
правилу
,....,{
21
xxx
222111
NNN
yxzyxzyxz
+=
+=+===+
zyx
получая

умножать
число
},....,{
21
xxx
=
вновь
получая
элемент
Таким
образом
образует
-
линейное
про
любыми
своими
линейные
комбинации
Индексы
нумерующие
компоненты
объекта
могут
записано
либо
Различие
двумя
случаями
конечно
есть
появляется
просах
рассматриваемыми
книге
следует
также
называть
пространство
векторным
Евклидовым
понятия
наверняка
вектора
какой
объекты
представляются
своими
координатами
как
элементами
вектора
имеют
такую
как
векторное
умножение
которой
нет
самое
чувствительны
координат
определенным
образом
компоненты
координатных
оставаясь
вот
тут
различие
нижними
индексами
пространства
разных
объекта
суть
одного
того
вектора
координат
Иногда
таки
называют
векторами
основываясь
правило
сложения
выше
это
точности
параллелограмма
тех
случаях
когда
векторами
существу
правильнее
назвать
объекты
пространства
торного
пространства
},....,{
21
xxx
векторов
рассматривать
пространства
пространстве
векторов
случаем
векторных
служат

пространство
содержит


уже
существует
,1,...
,1,...

называется
могут
или
другого
Фурье
могут
координатами
конкретный
требует
Они
будут
207


линейным
для
элемента
определена
этого
представляющая
число
длины
элемента
удовлетворяющая
условиям

тогда
определенность
yxyx
++
треугольника
xx
=
33
служат
пространства
/1
увидеть
условия
введенной

11
=+
qp
, ,

qp
,1
ll
ii
xyx
yx
yx
=
=
/1
/1
¦¦
==

ii
ii
yxyx
11
случая
являются
случаи
:1
Ni
],1[
=
:2
2/1
случае
пространство

привычной
известному
кате
последующего
будем
xx

)(
ii
xc
/1
)(
=
последовательности

элементу
xx


xx
точки
эквивалентны
Точнее

208
элементу

другой
эквивалентность
эквивалентности
другим
близости
множеству
)(
Выпуклой
элементов

совокупность



=
jj
j

элементов
выпуклые
выпуклым
принадлежат
замкнутым

нормированном
эле
значения


индекса
ii
нулю
0.

0.
0.


сумма
суперпозиция
,....,{
exexex
=
=
ex
Скалярное
внутреннее
произведение
двух
yx
равенством
=
ii
yx
yx
случае
пространства
состоят
комплексных
=
ii
yx
yx
xxx
==
ji
ji
ee
ijji
;1
могут
другие
Условие
образуют
полную
eee
\n\n\n
,....,
21


,


можно
виде
ex
элемент
если
найдутся
eee
\n\n\n
,....,
21
NM
Более
209
так
+=
=
ey
будут
другим
=
ex
Гельдера
ll
yxyx

11
=+
qp
yxyx

),(cos
yxyxyx
=
косинус
угла
,(cos
yx
.


yx
yx
косинусом
угла
между
Операторы
ЛНП
каждому
элементу
двух

вещественных
комплексности
21
xx
21
xxxx
AA
+=+

Его

0.
элемент

служить
0.
1.
силу
=
ii
ex

будет
сумма

ii
ex
вектора

MN
210
NMN
MM
yy
aaa
aaa
aaa
,....,
...........
............
21
21
2221
1211
вещественные
случае
=
ijij
xay
пользуются
суммирования
которому
муся
суммирование
iji
ijij
xaxay
==
матриц
Матрицу
умножить
умножив
}{
aA
=
прямоугольные
сложить
jijiji
bacCBA
+==+
Пусть
NM
определено
MN
==
ilkikl
bacCBA
Результирующая


служат




-
NM
MN
столюуами

вещественных
ct
AA
)(

существовать
xx
=
AA
AAI
матрица
диагональные
элементы
нулю
100......0
010.......0
0010.....0
.000.....1
Следующее
сопряженной
матрица
NM
MN
RR

yx
211
xy
xy
матриц
AA
AA
AA
унитарной
*1
AA
унитарные
меняют
длину
других
определениях
xxxx
xxxx
AAAAAA
нормальной
AAAA
=
Следующие
утверждения
уравнение

jkikjkikji
aaaa
==
aa
называется
полуопределенной
xx
определенной
xx
xx
образует
пространство
поскольку
операции
умножения
операция
умножения
результате
которых
возника
норму
матрицы

AA
xx
=
AA
единичной
I
=

Матрица
может
прямоугольной
212
могут
определены
этом
случае
матрицы
случае
обозначении
опускаем
==
qp
случае
==


:
Nj
],1[


Nj
],1[

jjk
xa
Действительно
kjk
kjk
xa
xa
xa
=

22
22

jjk
xa
Собственные
числа
элементы
собственные
xx
=
этого
уравнения
существует
будем
соответствующие
собственными
или
это
допустимо
надо
уравнение
.0)






N,









A

.

ранга
AHHA
совпадают
Это
поскольку
().

числа


.
.

.







213
полуопределена
положительны
полуопределенную
эрмитову
матрицу
всегда
можно
превратить
определенную
исключив
рассмотрения
элементы
которых
остальных
элементов
форма
xx
будет
нулевой
исключением
случая
означает
положительную
определенность
элементы

образуют
подпространство
частности
нулевое
Всегда
рассматривать
матрицу
ортогональном
обозна
чим
множеством
значений
самой
эрмитовой
матрицы
следует
AKerA
RA
==
yyxyx
элемент

ортогональным
любому
элементу
представимому
ортогонален
ству

наибольшее
наименьшее
собственные
числа
эрмитовой
22
xx


полуопре

квадрату
матрицы
AA
AA
AA
ортогональная
комплексные
модулю
радиусом
матрицы

называется
модуля
могут
комплексными
следует
модуль
следует
радиус
унитарной
неособенное
преобразование
радиус
радиус
унитарно
эквивалентны
существует
унитарная
UBUA
Следующая
теоремой
существует
унитарная

уни
треугольной
==
ji
ji
tT
}{
==
NNN
tt
tt
tT
............
0.....
0......0
0......000
}{
21
33231
221
унитарно
может
представлена
ненулевые
числам
ненулевые
члены
определены
можно
матрица
нулевой
нулей
214
положительное
значение
AA
AA
)(
радиус
эрмитовых
случае
радиус
Экстремальные
свойства
Собственные
эрмитова
значение
максимум
xx
xx
условии
xx
xx
максимум
соответствующем
числу
числу
соответствует
ff
называем
число
соответствующих
собственному
числу
соответствующий
собственному
числу
+=+
.,...
),...
12
22
11112
22
11
fff
fff
333'
333
Сумма
положительно
определенной
собственное
уже
mN

ff
,0
xx
xx
mN
;
Пусть
имеет

ff



:
21
,0
xx
xx
mmN
ŠŠ
;
21
mmN
ŠŠ
..
ff
ff
21
mmN
ŠŠ
натянутому
расположив
числа
убывания
суммарная
которых
ff
ff
принадлежащие
собственным
числам
Действительно
пусть
111
fAf
222
fAf

2122121211
ffAfffAfff
21


.0
21
ff
215
для
унитарных
числа
модулю
единице
Пусть
111
fAf
222
fAf
,
21
2122112121
ff
ff
AfAfff
''''
==
21
;Š
''
.0
21
ff
Разложение
Совокупность
элементов
гональную
положительно
определенной
пространстве
подпространства
соответствующие
собственным

ортогональную
прямую
сумму
:

действие
умножению
21
HHR
=




(

суммами
соответствующими

этих
служат
соб

определенных
эрмитовых
определить
RR
)(lim
)(

)
(
jiEE
ji
)()(
jii
HHHR
=
()()(
ii
PEE

EE
)()0(
(
виде
))()((
ii
EE
просто
другая
вскрывает
Разложение
уравнений
yx
эрмитовым
Пусть
образующая
Nif
,....2,1,
Тогда

виде
Умножив
правую
левую
получаем
=
ii
¦¦
==
iii
ii
fAA
'3
jjjj
jiiij
ff
ff
fA
==
'3
'3
jjj
ff
fA
следовательно
jjj
ff
fA
собственное
число
последнее

216
определенной
есть
значения
числам
оказываются
мала
компоненты
числа
сильно
при
конструировании
уравнения
являются
интуитивно
плохизны
уравнений
меру
значения
модулю
отношения
максимальным
значениям
служит
число
обусловленности
)(
=
AAAk
введенную
спектральную
эрмитовой
AA
)(
обусловленности
)(
==
AAAk
обусловленности
унитарна
обусловленности
определяется
следующим
результатом

ограниченную
обратную
отсутствуют
нулевые

yx
ugg
yg
xg
yg


Ak
Ak
)(
)(
неравенство
позволяет
относительную
xg
никающую
gu
меньше
число
обусловленности
больше
),
тем
возникает
приближенных
данных
двухсторонняя
конструирования
уравнений
Приводимые
результаты
(
частности
Пусть
fB


Š



0
k
BfBf

NB
()
1
IB
N
Š
.







-




Š


результат
двойственный
Пусть
).(
kk
AA
xxxx
Š+=
Приношу
такие
обороты
более
подходящего
словосочетания
217
последовательных
используемый
уравнения
yx
=

=

AIA
следовательно



A
I
убедиться
том
функцию

Тейлора
единицы
обозначив
сопоставить
полученное
записан
получим
Подобные
выкладки
основе
обоснований
используемых
итерационных
решения
уравнений
218
Приложение
операторы
Экстремальные
задачи
вводный
конспект
служит
определенной
случай
бесконечномерных
случай
случай
числе
подготовительный
настоящему
самостоятельно
Множества
рассматриваемые
служат
обобщением
координатных
результат
случае
бесконечномер
Бесконечномерный
случай
новое
сути
которые
конеч
увидеть
сложности
возникающие
реконструкции
физических
моделей
Множества
представляют
конструкции
общих
можно
натуральных
множестве
структур
обозначаются
буквами
Элементы
соответствующими
малыми
… .
буквы
могут
некоторого
множества
натуральных
осуществляется
элементов
,0,1,...
пустое
Aa
подмножество
GB
сумма
AG
Š=
принадлежащих
GB
AG
Š=
используются
существования
.
(),
PaaA
219
справедливо
утверждение
выраже
любого
:,,
mNPamaA
=
которых

Pam
существования
\b
существует
найдется
mMPm
определяется
выполнено
записи
используются
предложений
Совокупность
элементами
служат
каждый

двумя
множествами
отображение
Будем
элементам

удобно
последовательность
SASA
дополнение
суммы
множеств
AS
дополнение
рисунки
результат
системе
множества
получаются
дополнениями
пересечениями
частично
установлено
отношение
удовлетворяет
условиям
при
узком
меньше
упорядочение
установлено
двух
элементов
упорядоченного
установлено
вещественных
упорядоченного
множество
вещественных
Другой
упорядоченного
множества
зуется
строении
структуры
самым
допускается
множество
структур
соответствует
большей
реально
данным
для
структур
указать
соответствует
Благодаря
220
структура
упорядочения
сравнение
двух
элементов
структура
упорядочения
упоря
Интуитивно
представляется
очевидным
структуры
упорядоченного
множества
соответствует
большей
изученности
Определенное
конструктивного
ими
множествах
друг
другу
должна
соответствующая
структура
структурой
служит
Топологическое
пространство
выделенным
свойствами
F
пересечение
элементов
топологическое
пространство
обозначается
путаница
используется
тоже
ситуация
(
обозначается


другое
сильная
подмножества
слабой
содержит
множест
эффекты
Пусть
выделенная
подмножество

совокупность
полученных
пространство
индуцированной
называется
подмножество
любые
могут
получены
пересечения
пересечению
элементов
элементам
Замечание
замкнутым
пустое
множество
замкнутым
замкнутое
пространстве
содержащее

топологии
пространства
называется
нигде
если
одном
полученное
объединением
чем
счетного
числа
множеству
полученное
результате
используемой
пространства
множеством
221
топологии
содержит
множества
топологии

содержащий
эту
Окрестностью
замкнутого
замкнутое
любые
точки
непересекающиеся
замкнутые
множества
Пересечение
сумма
замкнутых
замкнутое
определению
поскольку
замкнутые
открытым
объединения
получим
утверждение
называется
точкой
окрестность
лежащая
внутренние
внутренние
функции
отображение
значит
элементу
для
Совокупность
bfaB
D(f).
Совокупность
являющихся

DAA
Im:,
bBbfaaDfA
==\r
однозначным
элементу
законом

вводится
следующим
(())
faa
существует
называется
afb
соответствует
закону
элементам
при
топологии
определено
afb
было

NDf
()()
afN
использующее
существует

bfa
Следующие
необходимые
условия

эквивалентны
любого
любого
замкнутого
множества
замкнутое
222
Im()
GBf
()(());
GfG
()()
NfN
называется
непрерывности
уточнить
другой
функциональном
топологической
алгебраической
структурой
называется
двум
элементам
условимся
умножением
внутренним
умножением
Другие
этих
мультипли
умножение
двумя
получаются
структуры
уже
будем
Пусть
операция
«+».
выполняются
следующие
условия
имеет
единственный
zxyX
=+
существует
\b+=
существует
()0
+Š=
коммутативно
yyx
+=+
группа
аддитивной
тополо
двух
участвующих
элементов
группу
другая
операция
умножение
выступает
комплексных
будем
Коммутативная
группа
либо
умножения
числа
=
()
+=+
()
+=+
()()
=
Линейную
также
векторным
векторами
следует
путать
другой
называется
векторном
существует
наименьшее
подпространство
содержащее
223
скаляры
условий
что
выпуклая
(1)
+Š
содержится
(0,1)
существует
выпуклое
множество

;1;
iiii
суммой
множеств
множество
упорядоченных
,,...
),

операции
определены
21
XXX

12
1122
12
(,,...)(,,...)(,,...);
(,,...)(,,...).
xxyyyxyxyxy
xxxxxx
3333
+=++
=
Топологическое
топологической
группой
операция
умноже
скаляр
функцией
локально
если
базисом
выпуклых
выпуклости
если
выпукло
двух
точек
(1)
+Š
лежащую
(0,1)
замкнутое
замкнутое
подпространство
умножением
скаляр
быть
умножения
двух
мультипликативная
операция
рассматриваться
случае
группой
группоидом
эти
столь
далее
будут
поэтому
мультипликативная
вводится
дополнение
уже
пространстве
если
существует
мультипликативная
умножением
результат
удовлетворяет
произведение
()(
yzz
=
xy
yzxyxz
+=+
()()
y
=
существует
exxex
==
==






yyx
=
коммутативной
пространство
224
существует
окрестность
Nxy
()();
()()
NyNxy
NxNxy
\r
\r
эле
элементы
умножения
двух
пространстве
сомножителей
рисунке
позволяющая
понятий







группа
Элементы
функционального
абстрактные
выражение
случаях
пространств
метрических
рассмотрены
топологическими
понятиями
рассмотрений
функции
другие
общие
между
двумя
множества
определено
метрическое



Мультипли

Коммута
Некоммута
алгеб
225
метрическое
всякое
Иными
топология
случае
отображений
функций
функционалов
различие
существенно
конструктивные
понятие
есть
существенную
Действительно
лучше
рассчитанное
наблюдаемому
наилуч
рассчитанного
наблюдаемого
основных
уметь
уклонения
другого
можно
результатами
упорядочено
вектор
может
зависит
которые
функции

()()
,1;
dftftdtp
=Š
()()
()()
012
dftft
dftf
td
двух
элементов
приводят
различным
результа
том
функций
одного
имеющих
некоторую
естественную
осуществляется
максимума
называется
(,(,))
состоящая
множества
функции
(,)
определенной
удовлетворяющая
условиям
(,)


,
неотрицательные
(,)


,

(,)(,)
x
(,)(,)(,)
zxyy
метрикой
положим
условии
(0,)
характеризует
уклонение
нуля

определена
функция
Xx
удовлетворяющая
условиям
xP
xP
PxPx
=
()()(
yPxPyxP
++
226
условии
условии
(3),
отсутствует
метрики
будем
метрическое
пространство
будем
метрическое
Всякое
метрическим
(,)
условием
(,)()
yPxy
.




опуская
уточняющий
или
что
конкретно
определена
функция
будут
тем
более
нормированные
выступают
Qxxxx

называются
Xx

xQ
Qxxxx
=Š
Пусть
последовательность
эта


содержит
точки
,,...,....
xxx
Xx
последовательность
,,...,....
xxx
Xx
lim,0
pxx
условие
lim
пространства
любого

существует
,1,2,.....
nmnm
pxxxx
Š
nmN
фундаментальна
или
любая
фундаментальная
последовательность
фунда
введенное
топологическом
формулируется
мет
пространство
ABXX
\r\rŠ
плотно
линейному
пространству
пределов
фундаментальных
Отличие
метрическому
пространству
замыкания
банаховым
могут
получены
путем
Бэра
Хаусдофа
Всякое
непустое
пространство
227
множеств
приведенной
получено
счетного
числа
множеств
категории
многих
определение
топологических
пространств
таково
Топологическое
называется
любое
конечное
Если
рассматриваемое
хаусдорфово
определение
компактное
точку
компактен
Следующая
используется
гомеоморфизме
результата
гарантируется

Im()
однозначен
непрерывен
туда
преобразования
теоретическую
устойчивость
функции
поскольку
обеспечивается
существование
соответ
ствующей
задачи
результат
компактное
множество
непрерывная
чем
компактным
если
его
Эквивалентное
бесконечное
предельную
метрических
следствие
нормированных
литературе
употребляют
называется
компактным
пактную
отделимом
линейном
замкнутые
тогда
пространство
тогда
непрерывное

Im()
более
частные
случаи
Пусть



Y
.

()()(
121212
xXAxxAxAx
+=+
228
преобразование
нибудь
преобразование
()()
AxAx
=


.


,

-





.


действующих
действующего
sup.
AxAx

называются
случае
значным
используются
функционалы
будет
опущено
введенными
обозначениями

вводится
Im()
0:
==
AxDAxKerA
линейный
ограниченный
замкнутое
подпространство
аналогии
будет
уже
для
случая
Пусть
Совокупность



для
силу
значимости
специальное
которые
станут
дальнейшего
элементы
будем
.


,


-



sup.
(2.1)
sup.
рассматривать
сопряженном
функций
Важно
случаях
229
линейного
функционала
соответствии
каждый
элемент
()()
%%%
dxxxx
=
другому
функциональному
называе
двойственное
соответствии
такой
заданной
функцией
функционал
представляет




.

,
соответствии
Вместо

нормированно
обозначается
случае
рефлексивным
пространства
порожденную
сильных
замыкании
подчеркнуть
системы
функционалов
может
другая
функционалы
функционалы
Соответственно
замкнутости
сходимости
сведения
некоторых
свойствах
слабой
соотношениях
сильной
всякая
вательность
сходящейся
сходящаяся
последовательность
иметь
Отсюда
что
Пусть
функций
определенных
имеющих
конечную
fxfxdx

выше
смысле
говоря

служит

следовательно

слу
()()
()()
%%
=
()()
.,
""%
Š
Lx
()()
""""
Š=Š
230
последовательность
функций
является
сильно
теории
Фурье
функции
cos(),0,1,......
()()
limcos0.
$%%%
нулю

limcos0
⚇
сходимости
последовательности
ограничена
последовательность

:
sup.
слабо
замкнутое
обратное
замкнутое
выпук
множество
множеств



 0
множество
0,1
сильно
сильной
*
**
**
1
,
*

интерес
другая
топологий
непрерывны
функционалы





топология
место
рефлексивно
введение
Поскольку
случаях
слабая
числу
нерефлексивных
относятся
интегрируемых
функций
. * -
потребуется
рассмотрении
минимум
важен
***
XSxx
результат
рефлексивном
Sxx
справедливо
231
сфера
Sxx
компактна
топология
топологией
).
этого
чтобы
некоторое
подмножество
пространстве
купность
элементов
Mxxx

,0
аннулятором
подпространством
подпространство
замкнутое
Операторы
Пусть
топологическое
Пусть
определенный
сужение
xAAxXx
=
Пусть
действующий
Y).
D(A)
оператора
оператора
для

yxy
замкнутым
Иными
замкнут
условий
nnn
xyAxy
=
;Im;
DAyAyAx
=
замкнутость
сходимости
место
Замкнутость
следует
(,)
замкнут
имеет
обратный
замкнут
возникающие
замкнуты
определения
пространство
продолжения
область
плотную
предполагается
замкнутых
действующих
ХĺY]. &#x/MCI; 66;&#x 000;&#x/MCI; 66;&#x 000;Исключительно важным для дальнейшего является понятие сопряженного оператора. Это одно из центральных понятий, используемых
узком
рассмотрения
математической
Пусть
предполагаем

yyAx
232
функционал
функционалом
элементах
следовательно
существует
DAX

YX
Axxx
принятого






:
***
AxxxAyx
Оператор
используются
Пусть
правилу
()()
xxyyz
Š+Š+
(2.2)
замкнутая
область
000
v={,,}, {,}
yzExyV
Например
00000
{,:,,0},{,,0}
ExyxyzVxyz
=Š=
соответствует
оператору
(V)
учитывая
служит
получим
для
0020
(,)()
yLE
()()
()()
0000
(v)
v(v),
xyzzdxdydz
As
xydxdy
xxyyz
xyzdxdy
xyz
dAxy
xxyyz
Š+Š+
Š+Š+
³³³³³
³³³³³
оператор
элементу
0020
(,)()
yLE
()()
0000
(v)
xyzdxdy
xxyyz
Š+Š+
между
собой
укажем
следующие
линеен
банаховом
нут
AA
ограничен
тогда
замкнутыми
сформулируем
результаты
операторов
замкнутое
которого
категории
существует
yYxDA
\b
Axxmy
существует
обратное
преобразование
отожествляется
элемент
сопряженного
пространства
ему
соответствующим
теореме
элементом
двойственного
пространства
233
частности
, Im
взаимнооднозначен

есть

и А не ограничен, то DA не может совпадать со всеми Х, а в лучшем
случае
образует
плотное
AXY
замкнут
взаимнооднозначен
случае
содержит
внут
множество
категории
примера

. 7.1.
00000
{,:,,0},{,,0}
ExyxyzVxyz
=Š=
замкнутым
паре
банаховых
Axy
XyY
(2.3)
разрешимостью
(3)
называется
.),
KerA
.),
Im;
.)
.)

результатов
замкнутого
взаимно
однозначного
корректная
результаты
замкнутого
случай
KerA
соответствует
ситуации
однозначного
следую
все
классы
смежности
х], содержащие
где
gKerA
классов
inf.
xx
(2.4)
элементах
однозначным
соответствует
х] из . Пространство этих классов называется
множеству
оператору
результаты
соответствие
элементу
класса
х] с нормой (4). &#x/MCI; 76;&#x 000;&#x/MCI; 76;&#x 000;KerAX
оператор
замкнут
факторизованный
ограниченный
).
случаю
служить
двумерное
служит
линия
через
подпространству
первой
категории
(2),
результат
()()
xxyyz
Š+Š+
in.
оператор
этой
категории
).
разрешимости
уравнений
между
установлении
совокупность
результатов
результат
Пусть
KerA

:
***
AyxyAx
если
(Im)
(Im)
***
XYX
AyxyAxAyxxDA
====
KerA
равенство
(Im)
KerAA
. (2.5)
оператора
. (2.6)
результаты
(2.7)
KerAM

(Im)
(Im)
KerAA
, (2.8)
последнее
замыкание
результатов
составляющих
суть
упорядочить
уровней
замкнут
плотную
уравнений
.
.
.
.
.
.
.
.
замкнутый
непрерывен
промежуточные
слабозамкнутых
непре
повторяют
слабо
линейный
235
вполне
Пусть
линейный
ограниченный
оператор
действующий
где
банаховы
пространства
Если
рефлексивно
слабо
вполне
Пусть
замкнутое
выпуклое
замкнуто
выпукло
силу
реф
поскольку
слабо
()()
ASAM
()()
ASAM
Особую
результат
Пусть
AA
один
обратных
существует
другой
1**1
ŠŠ
AA
Примеры
функциональных
пространств
важным
между
различными
функций
интересующие
функций
функций
множеству
фундаментальных
Осуществляется
Получае
нормированное
банаховым
подмножеством
состав
элементов
получаемых
является
выражениях
различных
употребляемым
состоящее
всех
квадратично
интегрируемых
функций
2
V
v
d
своим
двух
функционал
(v), v
()()
соответствии
устанавливается
236
которое
отождествляем
служит
).
Другим
служит
непре
функций
vsup
v.
n.
описания
возникающих
физического
параметра
пересечения
vmi
желательно
чтобы
функционал
множе
часто
KerAa
области
существования
требуется
замкнутым
функ
означает
функционал
множество
вещественных
множестве
замкнутым
Iff
условии
функциональном
вынуждают
только
простейшие
элементов
непрерывных
дифференцируемых
функций
образующихся

VC
VC
LV
V
d

введенной
получим
уже
упоминавшееся
гильбертово
случая
limvsupvv.
LV
ff
грань
верхняя
нуль

образует
банахово
функций
функция

VC
функционал
()()
vv,1
ffp

()()
()()()()
vvvvv,v
fffdfL
=
237
()()
функционала
норме
функционал
теоремой
условно
элементу
()()
vv,1
ffp

()()

,
()()
supvvv
fff
=
отождествляются

приведенного
частности
следует
другой
;1,
ppp
=
*
1
x

,
:
()()
vsupv
vv

выпуклым
условий
yxyx
+=+
где
число
выпуклым
,,1,1,
nnnnnn
XXX
xXyXxyxy
+
выпуклые
сильно
выпуклы
выпуклыми
выпуклое
пространство
рефлексивно
существуют
выпуклыми
выпуклыми
рефлексивными
служит
).
функций
служит
Пространство
образует
рассматривать
потребуется
пространствами
лишь
Пусть

qp
Пусть

qp
= {0, 0;
ba
1,1
выпуклая
функция
ограниченности
промежу
ограниченность
Следующее
238
Пусть
(),(),
xLgxL
1,
1.
()()()
hxfxygydy
=Š
q
hxfg
.1
111
Š+=
prq

является
VC
123
vsup
v,v={,
kkk
,}
fxy
xyz


суммирование
индексов
функций
всеми
аргументов
увидеть
распространен
случай
123123123
,,;
;,,0.
kkkkkkkkkk
++=
vsup

выпуклым
функционала
()()
()()
vvvv
gfg
=
можно
изометрического
изоморфизма
(v)
gLV


VW
VC
123
kkk
xyz

строить
конструкция
требует
отрицательной
Лаксу
).
VW
приложении
служат
сходящихся
числовых
будем
.

определяются
пронумерованных
натуральным
;...,....
alaaa
aap
1,.
239




ограниченного
функционала



iip
abbl
рефлексивны
построим
оператору

аналогичный
практических
случаях
.



,

случай
случаю
числе
,1,....
yin
этих
()()
xxyyz
Š+Š+
Будем
считать
iip
ayxyl
Поскольку
=
,


:
()()
()()
(v)
(v)
xyzzdxdydz
xxyyz
dxdydz
xyz
xxyyz
Š+Š+
Š+Š+
случае
задания
()()
xxyyz
Š+Š+
Экстремальные
ведущее
или
минимум
случае
пронизывают
используемые
средством
реализуется
постановка
наблюдаемая
подлежащая
обработке
ошибка
данных
наилучшей
аппроксимации
подборе
элементов
образующих
Наилучший
между
наблюдаемой
искомым
-

240
удаления


функционалом
(,)
(,)min,
Jyy
min,
Рассмотрение
функция
(,)
двух
минимум
функционалу
()()()
,,,,,,,min
Lxyfxyfxyfxydxdy
(2.10)
(,),(,)
xyfxy
функции
(,)
функция
случае
Это
,,,,
yabc

()()(
,,,,,
xyfxyfxy
задачи
(10)
существует
(,)
функция
раз
дифференцируема
Пусть
(,,,,)
Lxyabc
(,)
дифференцируемая
функция
нулю
()(,,(,)(,);(,)(,);(,)(,)),
JtLxyfxytxyfxytxyfxytxydxdy

=+++
функция
экстремум
(,)
экстремум
достигается
нуль
()()()
,,,,
,,,,
,,,,
dxdyfffyxLdxdyfffyxLdxdyfffyxLI
yyx
xyx
yx
LLL
функции

(,,,,)
Lxyabc
.
xf

yf

Š=
dxdyL
dxdyL
LI
dyLdxL

обращается
нуль
поскольку
значения
(,,)
нулю
условию
краткости
это
ведет
недоразумениям
опускать
перечень
переменных
(,)
при
241
fff
LLLdxdy
ŠŠ
выполняется
другой
стороны
SC
SC
. (2.12)
Эйлера
условием
экстремаль
случае
искомую
экстремаль
наложены
дополнительные
ограничения
yx
adxdyfffyxG
,,,

минимизации
функционала
(10)
условии
(13)
безусловной
функционала
()()
,,,,
,,,,min.
xyiixy
LxyfffdSGxyfffdS
правило
условный
безусловный
находятся
условия
чтобы
экстремаль
(14)
удовлетворяла
уравне
(13).
дифференцируема
аргументам
,,,,
Gxyfff
столкнулись
обстоятельством
,,,,
xyfff
дифференцировать
функциям
LLL
соответствующее
определение
Пусть
DAX
дифференцируемым
цируемым
()
существует
():
xXY
()()()()
hrhxAxAhxA
++=+
lim
0.
оператор
дифференцируем
Фреше
DAX
Im()
AxY
Следует
суть
действующий
существует
Axh
\n



-
,

дифференцируемым
производной
следующими
другое
определение
производную
производную
используется
силь
зачастую
опускается
функции
переменной
вычисляются
242
()()()
21
+Š+Š
yxfyyxx
xfA
рассматривать
подмножества
функций
производную
продифференцируем
выражение
результате
получим
()()
()()
()()()
+Š+Š
Š=
yxfyyxx
dxdyyxfyxh
yxhyxfA
23
,,
,,
Пусть
()
AxAx
xhAh
уже
действует
Следует
вующий
Следующая
Пусть
функционал
дифферен
цируемы
():
AxXY
задачи
min
существование
предполагается
Пусть
()()
ImIm
найдутся
одновременно
нулю
элементы
,


JxAxy
+=
. (2.15)
дифференцируемо
регулярно
точке
уравнением
результата
. [4, 87-88].
уравнения
(12),
результату
Пусть
()0
(,)
htxthrt
=++
такую
((,))0
Axht
.0
tr
AxhtAxAxAxthr
==++=
малости
остальные
hKerAx
условиях
теоремы
замкнутости

xAx
имеет
место
утверждение
совокупность
KerAx
((,))0
Axht
.0
tr
(,)min
Jxht
243
условию
минимум
должен
= 0
изводную
= 0:
JxhhKerAx
=
функционал
Jxh
изометрического
последнего
условия
ядре
()Im
KerAxAx
получаем
Im,
JxAx
число
регулярном
случае
ImIm
откуда
следует
()()
ImIm
AxAx
суще


JxAxy
+=
регулярности


результат
замкну
разрешимость
факторизованного
уравнения
Axhu
корректную
уравнения
ядру
оператора
min.
Axhu
Зачастую
при
задач
результат
нельзя
()()
vmin.
uxy
xxyyz
Š+Š+
результат
Лагранжа
условия
доказать
ствующая
условия
Доказать
удается
предположениях
функционала

Оказывается
случаев
могут
соответствующие
результаты
других
используя
случаях
функционал

нормы
банаховом
пространстве
следующую
ваемую
задачей
введено
оператор
регулярен
Тогда
особенности
применением
ядре
Равенство
тривиальным
справедливым
случая
Впрочем
этом
последнем
тривиален
бессодержателен
конструктивной
зрения
равным
244
Пусть
пространство
элемент
приближением
множество
inf.
xxx
Š=Š

существовал
замкнуто
Следующая
результатов
условия
существования
Пусть
замкнутое
существует
дополнительно
выпукло
образует
замкнутое
выпуклое
множество
выпукло
выпуклое
задачи
(16)
выпуклые
выпуклыми
являются
следующие
min
Axy
(2.17)
min
(2.18)
моделей
наилучшего
замкнутое
выпуклое
множество
пукло
решение
существует
результата
используется
замкнуто
выпукло
Поскольку
переводит
является
замкнутым
силу
выпуклости
выпукло
замкнуто
замкнутое
выпуклое
замкнуто
min
SAM
(2.19)
существует
единственно
поскольку
минимум
выпуклого
функционала
замкнутом
выпуклом


-



существует
yAx
(17).
доказать
(17),
(16).
соответствие
элементу
PMx
Тогда
решение
суть
(,)
PSy
(,);
APSy
SAM
(2.20)
245
взаимнооднозначен
(20),
теоретическую
(18),
предполагая
:Im
DAXAxyA
\t=\r=
силу
замкнуто
замкнуто
выпукло
при
замкнутое
выпуклое
записывается
эквивалентной
min;
(2.21)
(18)
Fx
(18)
Следующий
результат
(16)
Пусть
выпуклое
множество
наилучшим
приближением

Mx
xx
(2.22)
существовал
функционал
такой
*

)
00
xxx
Š=Š
(2.23)
xxx
результате
нетрудно
эквивалентным

случае
условие
эквивалентное

Действительно
предположить
силу
другого
зультатов
используемых
линейный
ограниченный
где
xDAXAxy
=\r=
условие
.
KerAx

результат
Пусть
aXAay
KerAa
min
min
xKerA
xxx
Š=ŠŠ
246
(23)
axx
+=


min
xKerA
xxa
. (2.24)
случае
условие
условия
00
xxaxxxxx
ŠŠ=Š&#x-916;栐=Š
условие
условие
будет
,
KerAx

Следующий
результат
распространенным
случаем
Пусть
замкнутое
выпуклое


(23),

xxx
ŠŠ

подпространство

. (2.25)
функционала
участвующего
0
L
единичную
условие
поскольку
0
00
0
0
0
,
x
xxx
xx
ŠŠ==Š
выполнено
условие
уравнение

xxxx
ŠŠŠ

результатах
процедуры
рассмотрения
функционалов
участвующие
могут

множества
KerAx

GxBx

предположении
min
JxAxy
=Š
нулю
JxAxyAxyAxAxAxyy
=ŠŠ=Š+
247
****
JxhAAxhhAAxhAyAAxyh
=+Š=Š

yAxA
уравнение
условие
для
воспользуемся
(19),
Сохраним
предпо
(19)
имеем

учитывая

(17) –



Axy
AxyAx
.
Xx

условия
AAxyx
,
Xx

AAxy
получили
уравнение
Библиографические
части
значительно
выходят
курсов
математике
изучаемых
специальностях
специалиста
интерпретации
геофизических
увидеть
пути
анализировать
конструировать
конкретные
такого
исследований
учебника
современным
для
это
рекомендации
изучению
учебнике
[1],
мере
черпать
оттуда
необходимых
функционально
метрические
функционалы
стр. 13-64). По во-просам разрешимости операторных уравнений
книге
стр. 5-40). Для получения
следует
стр. 11-101) и книге Н.П. Корнейчука
стр. 11-43). &#x/MCI; 48;&#x 000;&#x/MCI; 48;&#x 000; &#x/MCI; 49;&#x 000;&#x/MCI; 49;&#x 000;Литература
Фомин
функций
функционального
Наука
Функциональный
полугруппы
Линейные
уравнения
Наука
Теория
.:
Наука
Наука
248
Приложение
группы
представления
изучить
обще
типов
Одна
другому
это
нечто
преобразованиях
полная
энергия
симметрична
Оказывается
дифференциаль
уравнений
означает
тех
преобразова
которым
уравнения
проще
моделировать
искать
уравнений
Результат
трудоемкости
подразуме
некоторым
это
лучший
параметра
формальный
Другая
рассмотрения
специфическая
неоднородных
Она
или
воспринимается
временного
постольку
поскольку
проявляются
нарушения
симметрии
временном
изучение
неоднородностей
нарушения
изучения
действующих
двух
элементов


умножения
результат

123
gggG
Существует
Ge
geeg
существует
принадлежащий
egggg
==
ŠŠ
11
элементы
функции
параметра

пространстве
минимум

метрику
лучше
любые

группы

соответствуют
параметра



21
gg
группы
предпо
содержательная
преобразования
являются
куда
относятся
Другой
преобразований
Действительно
бесконечном
обратный
элемент
существует
элементов
полугруппой
Например
квадратных
матриц
полугруппа
поскольку
существует
обратная
квадратных
равным
образует
группу
Например
эта
группа
пространством
249
большую
классификации
Подгруп
группы


группы

замкнутое
групповой
двух
элемен
принадлежат
Пусть
осуществлено
сохраняющее

координатам


µµ
xAax
+=
(3.1)
Используется
суммирования
соответствии
повторяющемуся
суммирование
греческий
суммирование
индекс
используя
верхние
удобства
получим
следовательно
µµµµ
xxxx
=
).,(
&
=
AA
),(
символ
дискретный
пульса
==
),(
&
&
&
xxxx
AA
ортогональна
Следовательно
осуществляемые
матрицей
разбиваются
детерминантом
совокупность
кото
единичным
обозначим
подгруппа
связанную
смещением
компонентами

(4).
подгруппа
группы
группа
подгруппой
группы
преобразований
Это
следует
какое
другое
сколь
угодно
нему
каждой
таких
групп
множества
бесконечно
близких
преобразований
бесконечно


бесконечно
близкое
µµµµµ
+=+=
xx
близкие
могут
суммы
матрицы

матрицы
малое
преобразование
вектора
формулах
входит
индексированный
параметр
суммирование
повторяющемуся
осу
ществляется
всем
его
зависимости
250
преобразование
условием
µµµ
xxx
+=
результирующего
µ
µ
µµµµµµ

xxxxxxxx
++=
членами
силу
получаем
условия
равенства
:

v
Действительно
следует


µµ

xxxx
=
µ
µ
µµ

xxxx
+
=+
µ
µµ
xxxx
характеризуют
SO(4),
кососимметричной
матрицей
определитель
нулю
поскольку
диагональные
кососимметричной
матрицы
число
характеризующих
преобразование
зуемых
шестью
кососимметричной
матрицы
Легко
убедиться
зуют
непрерывную
группу
Действительно
групповые
преобразований
умножения
двух
Произведение
последовательное
двух
преобразований
множества
существует
преобразование
умножение
которое
преобразования
существует
обратное
осуществлен
угодно
угол
любую
сколь
угодно
малую
способ
нахождения
заданной
группы
Пусть
преобразование
группы
группа
должна
того
непрерывности
...,{
,21
sss
функция
Бесконечно
инфинитезимальное
можно
)(
sR
)()(
ss
)(
Результатом
бесконечно
. (3.2)

=
xx
вектору
характеризует
собственно
малого
преобразования
группы
полугруп
251
характеризующих
преобразование
группы
вектор
двухиндексная
матрица
sx
µµ
=
малого
задаваемого



,

v
антисимметричны
Рассмотрим
выше
групп
подгруппы
получить
).,(
µ
µ
ii
==
подгруппу
вращений
ранее
углов
менную
компоненту
физически
движущейся
направлении
вующей
координат
через
подгруппа
венную
подгруппу
пространстве
подгруппу
движений
030201313221
;;;;;
XXXXXXXXXXXX
подгруппы
S0(3),
которую
пространственных
вокруг

угол
Š=
100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
)(
QQ
QQ
QR
убедиться
вычислением
генератора
010
100
000
.
для
вокруг
осей


001
000;
100
010
(3.4
случая
нулевую
строку
нулевой
группы
одну
групповую
операцию
сложение
групповых
группой
мультипликативная
полугруппой
условия
группы
любого
соответствующих
группе
алгебру
ствующей
группы
уже
указывалось
умножения
мультипликативной
сложный
252
группы
умножение
соответствующему
умножения
получаемый
результате
может
группы
Иными
умножение
двух
группы
соответствующим
генераторов
групп
группу
относительно
муль
операции
последней
который
Пуассона
умножением
ijijj
ГГГГ
мультипликативной
операции
группу
генераторов
гебру
умножения
поскольку
справедливо
следующее
ijij
C



.


-
k
сути
структурные
алгебраические
Возможно
существование
природе
алгебры
структурными
случае
говорят
представлениях
умножение
антисимметрично
;[
df
удовлетворяет
0]];;[[]];;[[]];;[[
fsddfssdf
.0]];;[[]];;[[]];;[[
];;[];[)](;[
];;[];[
+=+
Š=
fsddfssdf
sfdfsdf
fddf
(3.5)
умножение
случае
]];;[[]];[;[
sdfsdf


,



Действительно
производную
элементу

ffs
];[
].;[];[];[
dfdfdf
]];[;[]];;[[]];[;[
dsfdfsdfs
учетом
тождеству
структурные
антисимметричный
компонентами
случае
случае
нулю
kji
случаях
соответственно
kji
малый
угол
вокруг
оси


угол
можно
рассмотреть
результат
угол
пределу
генераторов
вокруг
соответствующих
получим
.1)(
+=
)exp(
1lim)(
QR
=
+=

. (3.5)
группы
обозначается
группа
буквы
группы
обозначается
множестве
координатных
функция
функции

функция
253
способами
Потребуем
образовывали
группу
изоморфную
более
группы
изоморфными
между
элементами
существует
устанавливаемое
групповые
между
при

группы
-

)()()(
2121
gggg

функции
-
которую
другую
функцию


группы


:
).()()(
xx
RB

(3.6)
Действительно
ставит
элементу
группы
действующий
пространстве
Это
физически
)(
RB
преобразованной
функции
физической
.




обеспечивает
выпол
групповых
обстоятельство
Пусть

действует
)(
RB
)(
RB
))(()()()()()()(
12
12
12
ŠŠ
RR
RRRRBRBRB

Соответствие
достигнуто
Совокупность
группу
)(
RB
ваемую
функций
Являясь
функций
группы
группой
параметра
случае
,




Группа
зависящих
эквивалентным
будет
Группой
самое
можно
группе
группа
элемент
путаница
здесь
Воспользуемся
(6)
элементы
алгебры
дифференцируемых
функций
соответствующей
,,{
321
xxx
())(()()(

Š=
xxxs
xs
)()()(

xs
нахож
определенных
нетрудно
получить
).(]
[)()()(
);(]
[)()()(
);(]
[)()()(
21120
13310
32230
xs
xs
xs



pxpx
pxpx
pxpx
Š=
Š=
Š=
(3.8)

i
=


254
полученные

удовле
тем
структурные
Следовательно
дифференцируемых
функций
получить
генераторов
группы
дифференцируемых
функций
пространстве
выше

коорди

.
конечных
вокруг
угол
:
)()exp()(
1lim
JQ
=







:
)()exp()(
1lim
3
=

группы
трансформаций
дилатации
домножении
нулевого
нулевого
угла
нулевой
группа
ренцируемых
функций
имеет
оператор
xxx
=
pxDD
=
)(:
).(
)()(

=
алгебра
пробегает
речь
заменить
греческий
0, 1, 2, 3,
получен
группа
подгруппа
груп
изоморфную
группа
имеет
exp()(
ss
=
)(

xs
терминах
осуществляемых
группы
виду
коммутирующие
случаях
должно
Сама
уста
Хаусдорфа
)exp()(
ss
=
)exp()exp()exp(
dfdf
+=
)exp()exp()exp(
sdf
=
Поучительно
формулу
получить
соображений
Справедливо
разложение
=
Подставив
чисто
формально
вместо

выражение
рассматривая
степень
производной
производную
получим
).(
)(
)(
)(
33
+=
=
=
i
k
k
i
x
x
k
x
e
255
математической
членов
......]];[;[
]];[;[
];[
))exp()ln(exp(
+++=
fdddffdfdfdf
таблицу
распространенных
соответствующих

yysxx
+=


=

=+
byax
sayysbxx
Š=
+=

=
),sin()cos(
),sin()cos(
sxsyy
sysxx
Š=
+=

=
Лоренца
),()(
),()(
sshxschyy
sshyschxx
+=
+=
+
=
Галилея
yyysxx
+=
=
eyyexx
=
=
+
=
sb
sa
eyyexx
=
=
yb
xa
+
=
является
конструктивной
для
некоторых
эволюционных
уравнений
позволяет
процедуры
процедуры
трансформации
начальных
краевых
условий
элементами
некоторой
группы
группа
находится
генераторам
алгебры
соответствующее
эволюционное
уравнение
может
проинтерпретирована
движений
Может
оказаться
оказывается
стности
структур
моделировать
эти
движения
проще
чем
сеточными
приемами
соответствующие
уравнения



.
физических
возникают
структуре
уравнения
эволюционные
уравнения
излучения
изотермического
процессов
теплообмена
уравнения
другие
уравнения
),(),(
),(
tgtuA
tu
xx
=+
, (3.9)
эволюционирующая
иметь
сложную
преобразованием
условием
{}{
zyxxxx
,,,,
321
),(
tu
,(
tg
)(),(
utu
рассмотрено
256
описывающих
энергии
другой
характеристики
излучения
процессе
случаи
Пусть
среде
распространяется
излучение
функцией
однозначно
характеризующий
линия


служит
прямой
Выбрав
элементарный

вдоль

при
относительное
энергии
который
()()
().
uttut
Aut
+Š
минус
указывает
уравнению
()().
utAut
(3.10)
уравнения
условия
()()
ututu
этого
уравнения
().
utue
(3.11)
случае
можно
параметра
уравнение
()()().
utAtut
(3.12)
модификация
уравнения
Š=
udA
tu
))(exp()(
##
. (3.13)
уравнения
форме
компьютерной
Действительно
изучается
распределение
каждой
точек
xA
'''
ii
xxL
(,)
()exp(())()
Lxx
Adux
\n\n\n
=Š
\n\n\n
\n\n
),(
).)(
)(
)(
xxL
dA
xu
xu
##
часть
уравнения
функция
двух
излучения
Решение
этого
уравнения
уви
число
распределения
'''
ii
xxL
257
следующее
усложнение
присутствующими
(,)
),(),(
),(
tgtuA
tu
xx
=+
(3.14)
)(),(
utu
имеет
dssgstA
utAtu
ŠŠ+Š=
),())(exp()()exp(),(
. (3.15)
тегрируя
(15),
получаем
,(
tg
)()exp(
)()()exp(),(
xx
gtA
AgAutAtu
ŠŠ+Š=
(3.16)
Действительно
последнее
уравнение
подстановкой
).(),()(),(
))()()()exp(
)()(exp(
))()exp(
)()(exp(
)()exp()()exp(
),(
xxx
gtAugAAtAu
gAgAgtA
AutAA
gtA
AutAA
gtA
utAAtu
+Š=
+Š=
=Š+ŠŠŠŠ=
=ŠŠŠŠ=
=Š+ŠŠ=
допустить
функция
параметра

)exp(
tA

dA
)(exp
%%
)()(exp)()()(exp),(
xx
gdA
AgAudA
tu
ŠŠ+
Š=
%%
%%
. (3.17)
Полученные
уравнений
типа
аналогич
решения
уравнений
(9),
играет
действующий
эволюционирующую
временную
функцию
дует
определить
что
случае
функций
оператора
ue
рассмотрением
семейство
параметра
действующих

функционального
Связь
между
свойствами

содержание
полугрупп
[2].
выражения
следовательно
определить
используя
степенное
функции

кратное
функции
случае
функций
функционального
,



258
()()()(), ()
tuxeuxuxux
(3.18)
дифференициируем
случае
условием
()(,0)
uxux
(,)()(,)()()()(,)
Ats
uxteuxegsdstuxtsgsds
=+=+Š
случае
стационарных
функцией
(,)()
()
()()()()().
uxteuxAgAeg
tuxAgAtg
ŠŠŠ
=ŠŠ
=+Š
(3.20)
легко
проверяется
уравнение
тщательный
условий
структуру
выполнены
определением
только
математическое
уравнений
(,)()();
()()()0;
lim()()().
uttu
tuAtu
tuu
(3.21)
некоторых
случаях
оператора

условия
приемлемую
форму
чем
образует
группу
следует
уравне
()()()()(,)(,)()()
stusututstsu
==+=+
xxx
AAA
группа
определенных
случаях
рассмотрена
представление
функций
группы
группы
вычислить

функции
группы
преобразований
представление
функций
группу
.
Пусть

группа
Определим
однопараметрическую
группу
траекторию
соответствующую
Bs)
1,...
JiN
()1,2,...
sstiN
()((),(),...,())
tBststst
следующие
условия
()0; (0).
преобразование
случае
tEJ
=+
определенный
удовлетво
наложенным
него
условиям
Действительно

()()(,)
tuut
()()()(,)()(,).
ttututtut
+==
xxx
AAA
()()()
ttuJu
=
259
группы
Пусть
группа
пространстве
преобразований
генераторами
двухиндексными
действующими

группы
Величину

длину
тываемую
служащую
подгруппой
группе
()1,2,...,
sstiN
()((),(),...,())
qtststst
преобразованию
однопараметрической
подгруппы
условием
()()
qtE
tE
stt
=+=+

группа
пространстве
функции
группы
()()(()
tuxux
Поскольку
двухиндексные
развернутой
()()(
().
tuxux
(3.22)
группы
()
i
t
t
tt
xt
tt
9

==

A
алгебру
группы
эквивалент
группы
удовлетворяющей
уравнению
i
A
X
tx
9
(3.23)
группа
g(t)
алгебры
группы
Действительно
группы
(),1,2,...,
sstiN
;()

();()
qsq0
(3.24)
Функции
(0)0:
()()
std

Строго
говоря
писать
()()(
()
tuxux
Однако
генераторов
260
функции

искомую
группу
группы
заданной
()()
gse
группы
будет
()exp()
5%%
. (3.25)
уравнения
(19)
или
если
функции
()()(())
tuxuqtx
соотношением
(25),
полученные
уравнения
(,)()()exp()
uttuu
5%%
. (3.26)
Группа
известным
непосредственно
теории
групп
Таковы
например
случае
непосредственным
удобно
exp()
5%%
воспользуемся
0
0
exp
!
t
i
i
t
i
i
n
d
t
s
d
tn
%%
=



=


i
t
более
пространстве
функций
(,)(,)(,)
{,};
(,)().
ututut
utu


(3.27)
уравнение
(,)
(,),
Jut
где
Jyx
получаем
генератора
соответствую
производится
суммирование
261
Š=
000
001
010
(,)()()()(,)
uttuu
tuxytyxt

==+=+Š
xxxx
группа
представление
пространстве
функций
010
(,)exp(100)(())
000
utut
uqt
=Š=
010
exp(100)
000
(3.28)
проинтерпретировано
соответствующим
поскольку
функцию
группа
генератора
обращения
подгруппы
функций
группы
вокруг
оси
xy
группа
группа
вокруг
cos()sin()0
()sin()cos()0
001
qttt
. (3.29)
будет
()()()()
cos()sin()0
(())(sin()cos()0)(cossin,cossin)
001
uqtuttuxtytytxt
=+
. (3.30)
убедится
решение
(27).
Литература
Наука
полулинейных
уравнений
Мир
Функциональный
полугруппы
., 1962. –
262
Приложение
подходы
геометрические
локально
неоднородных
которые
ключевую
критериальные
динамического
построении
устойчивых
методы
регуляризации
получения
собственно
уравнений
между
моделями
моделями
как
между
содержательными
моделями
среды
уравнениями
математиче
между
моделями
атрибутами
случае
могут
внутренне
прежде
технология
получения
уравнений
требует
новых
конструирования
характеризующие
неоднородности
служить
подготовки
курсовых
элемент
изучении
вопросов
действия
наименьшего
теории
осуществляемое
других
физически
реализуемых
сообщает
функционалу
прин
луч
пространстве
между
двумя
точками
осуществляется
наименьшее
силу
наименьшей
физический
нетривиальные
его
Пусть
точек
характеризуется
(),(),()
iii
tytzt
времени
нумерует
материальные
определится
()()()
222
iiii
Tmxtytz
=++

t
=
tyt
ztzt
собой
OX, OY,OZ
соответственно
263
осуществляется

стационарного
потенциалом
следующим
Uxyz
действием
dt
. (4.1)
функционала
(1),
уравнения
()()()
iii
tytzt
функционал
приобретает
удовлетворяют
уравнениям
суждения
чем
случае
Пусть
существует
()()()
iii
tttzt
функцию
рассмотрим
()()
функция
обращающаяся
условие
варьируемая
вариациях
заканчивалась
()()
1,212
tttt
()()()
iii
tytzt
()()()
,...,
SLxtt
dt
функция
значении
что
функция
своих
аргументов
условия
()()
,...|0
ttd
получаем
()()
()()
,,...
,,...
Lxtyt
tdt
Lxtyt
tdt
()()
()()
()()
,,...
,,...
,,...
Lxtyt
tdt
Lxtyt
Lxtyt
tdt
dtx
последнего
нулю
силу
наложенных
функцию

условий
получаем
()()
,,...
Lxtyt
()()
,,...
Lxtyt
tdt
dtx
264
выполнено
любой
функции
получаем
уравнение
()()
()()
,,...
,,...
LxtytLxtyt
xdtx
.
рассуждения
функций


получим
урав
()()
()()
,,...
,,...
LxtytLxtyt
ydty
, (4.2
()()
()()
,,...
,,...
LxtytLxtyt
zdtz
. (4.2
уравнений
уравнений
:
min
SLdt
полученные
уравнения
принятую
функцию
учи
равенства
()()
,,...
Lxtyt




()()
,,...
Lxtyt
mxt
получим
mxt
myt
mzt
(4.3)
поскольку
минус
получим
последняя
уравнений
Ньютона
получено

направлении
действующей
частицу
импульса
частицы
уравнение

:
i
xi
i
L
p

265








:
i
yi
i
L
p
(4
i
zi
i
L
p
z

(4
импульсы
будем
123
,,,,
iiiiiii
xxxyz
123
,,,,
ixiyiziiii
ppppp
коорди
импульсов
будем
буквой
равно
функция
переменных
Импульсы
уравнениями
:
i
j
i
p
=


относительно


ik
jj
ik
M

=

,
Последнее
определитель
нулю
случае
выразить
импульсы
iiii
xxxp
функцию
Гамильтона
(,)()
p,xxx,pp
функции
Вычислим
функции
Гамильтона
iiii
HLx

=+ŠŠ
pxxppxxp

i
j
i

=

ii
¦¦¦
результате
последний
получаем
iii

xppx
следует
11
jj
ii
jj
ij
ii
Hx
xp
=+

266
i
j
i
j
i
j
i
x
p
H

. (4.5)
уравнений
уравнений
Эти
уравнения
называются
формой
уравнений
Функция
между
потенциальной
выражение
значения
LTU
учитывая
(,,...)
Lxy
получим
()()
HpLmLTL
=Š=Š=Š=
pxx,
xxp
TU
функция
сумму
кинетической
полную
энергию
требует
ik
jj
ik
M

=

.
условие
выполнено
указанный







,




другую
функция
при
сдвига
функции
при
xxb
нулю
1111
NNNN
iii
iiii
iiii
LLLL
xyz

====

==++

¦¦¦¦

вектор
111
NNN
iii
LLL
xyz
===


¦¦¦
уравнение
111
NNN
iii
iii
dLdLdL
dtxdtydtz
===


¦¦¦




i
i
dt
однородности
импульса
утверждение
импульс

.
лагранжева
L
t

=

,
.
.

функции
dLL
Ld
dtx
xdt
¦¦¦¦
267
уравнения
LdL
dtx
равенство
333
NNN
ij
dLdL
LddL
dtdtx
xdtdtx
==
=+=
¦¦¦¦¦¦
11
j
i
j
ij
i
L
Lx
dt
x
Š=

d
H
dt
=
.
собой
утверждение
обратить
однородности





физических
материальных
замену
случая
бесконечномерным
заданной
области
случае
осуществлять
интегрирование
оказывается
функцией
плотностью
Проиллюстрируем
Пусть
скалярное
123
xxx
для

222
123
123
Sx
dxdxdx
xxx
⎧⎫⎧⎫⎧⎫
=++
⎨⎬⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭⎩⎭
(4.6)
является
функция
12
2
3
xxx
⎧⎫⎧⎫⎧⎫
=++
⎨⎬⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭⎩⎭
сформулированный
123
min
SxLxdxdxdx
Действительно
рассмотрим
()()()
3
,


распределении
()()
Sxx
3
268
получаем
()()
Sxx
3
111
112233
xxxxxx
dxdydz
xxxxxx


++

123
ddxdxdx
поскольку
()()
iii
xxx
xxxxx



=Š

получим
()()
()()
111
Sxx
Fxd
xxdxdydz
3

=Š
³³³³³
компонента
i
=

.

нулю
границе
нулю
поскольку
нулю
правой
получаем
стационарность
удовлетворяет
уравнению
222
222
123
уравнение
удовлетворяющее
уравнению
соответствует



0123
,,,
xxxx
потребуем


2222
0123
1230
xxxx
Sx
dxdxdxdx
xxxCx

⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫

=++Š
⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
³³³³
четырехмерная
многообразии
является
функция
123
xxxcx

⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫

=++Š
⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
легко
получить




уравнения
2222
22222
1230
xxxcx


++=Š

уравнение
поле
уравнению
269
Эффективные
параметры
неоднородности
среды
однородности
средой
меняются
преобразованиях
симметрия
нарушение
симметрии
несимметричность
ассоциируется
неоднородностями
присущими
достаточно
ясно
симметрией
преобразованиях
нарушение
соответственно
проявление
нарушения
симметрии
привыч
друг
друга
Пусть
группа
(s),
будем
мерный
Пусть
группы
группы
соответствующий
элементу
будем
лагранжиана
вызванная
{,1,...}
ssjN
()()
()()
,,,,
LLxxxLRxBxBx

, (4.10)
0123
{,,,}.
xxxx
координат
вариации
участвует
только
опера
группы
уже
дущем
уравнения
уравнения
группы
если
физических
смысле
неоднородными
изучать
помощью
нарушения
уже
входящих
уравнения
лагранжеву
группы
неоднородной
сдвигая
глобально
получим
Ситуация
аналогична
как
рассматривались
виде
Рисунок
прил
матрица
координатном
пространстве
270
реализующих
представление
группы
пространстве
полей
зависи
симметрией
трансформационные
ненарушенной
преобразования
)()()(')(;)('
xxBxxxxRxx
=
=
. (4.11)
для
нена
рушенной
симметрией
трансформируется
закону
)()(')(
xBxx
=
нарушенной
имеем
()()
()()()
()()
xxB
xxBxxBxx

=
)(')
. (4.12)
член
()()
нарушенной
()()
()()()()
()()
()()()()
()()
',,
,(),
,,
,(),
LLxxxLRxxBxxBxxLxxx
LRxxBxxBxxBxx



случай
некоммутирующих
операторов
ненарушенной
ненарушен
симметрией
влекут
собой
преобразования
закону
Rxxx
=
()()()
xBxx
=
,,,
xCx
µµµ

которая
подчеркнуть
образует
единый
Локальное
нарушение
симметрии
()()()()
xxBxx
=
уже
()()
,,,
xSxx
µµµ

нарушение
формационных
производных
Однако
общая
конкретизации
разделе
рассмотрим
случай
коммутирующих
операторов
пространствах
ненарушенной
симметрией
случай
приведенных
рассмотрениях
делается
очень
серьезное
предположение
Предполагается
оператор
зависит
координат
оператор
оператор
вычисления
производной
руют
Вообще
говоря
это
ниоткуда
Производная
поля
самостоятельным
объектом
преобразования
при
преобразовании
координат
операторами
обязан
совпадать
преобразования
поля
Производная
ненарушенной
самостоятельный
закон
преобразования
отличный
преобразования
поля
Поэтому
вообще
говоря
использовать
именно
постановку
Однако
фактически
обобщение
приводит
модифи
теории
одно
наиболее
пространств
афинной
приводится
данном
пособии
271
следующем
пространств
уже
симметрии
искривление
которой
соответствующий
процесс
регистрируемом
неоднородности
преобразования
характеристик
должны
самыми
случае
действуют
следует
трансформационных
нарушенной
ненарушенной
симметрией
будучи
между
нарушенной
ненарушенной
переопределения
производных
нарушения
симметрии
опреде
уже
аналитические
производной
()()()
DxxTx
µµµ

. (4.13)
действующие
будем
связности
()()
присутствующих
нарушенной
симметрией
одним
группы
значении
координат
координат
)).
j
xGss

Будем
считать
функция
регулярная
векторов
элементов
,1,....
HGsj
между
собой
могут
группы
(s).
группы
()()()
TBxWx
, (4.14)
272
генератор
группы
алгебру
группы
для
xW
()()()()()
0023
jjjjj
WxWxWxWxWx
равно
числу
генераторов
группы
группы
симмет
которая
предполагается
нарушенная
калибровочное
служит
Функции
следует
определяющие
новую
производную
xW
()()()()()()()
DxxTxxWx
µµµµµ

=Š=Š
. (4.15)
определенную
производную
называют
удлиненной
выполнение
пространствах
нарушенной
симметрией
трансформации
удлиненной
аналогичного
закону
если
()()()()
xxBxx
=
выполнено
()()()()()()()()()()
''''''''
DxDxxTxxWx
GxBxDx
µµµµµµ

=Š=Š=
. (4.16)
удлиненными
приводит
нарушенной
симметри
преобразуются
случае
лишь
функции
xW
трансформации
будет
выполнено
преобразуются
()()()()
TBxBxBxTB
. (4.17)
Действительно
()()()
()()
()()()()()()()()
'''''
DxxTx
xxTBxxBxxBxxTBxx
µµµ
µµµµ


=Š=
=Š=+Š
другой
стороны
()()()()()
xDxBxBxTx
()()()
xDxDxB
''
получаем
()()()()()()
TBxxBxxBxTx
получим
закону
(11).
xB
удлиненной
()()()()()()()
DxxTxxWx
µµµµµ

=+=+

выполняющие
членов
другие
объекты

Этот
уже
()()()
DxxT
µµµ

()()()
()()()()()()()()
BxxTBxxBxxBxxTBxx
µµµµ

=+=++
()()()()()
xDxBxBxTx

зависящие
пространственно
временных
координат
273
()()()
xDxDxB
''
()()()()
''()()'
TBxxBxTxBxx
искомый
()()
()()
TBxTBxBxBx
. (4.17-1)
они
преобразования
связанности
характеризующих
могут
()()
xBx
называются

между
(17),
непересекающихся
чисто
нулевой
член
надлежащим
могут
нулю
(17)
преобразования

Выберем
четырехмерном
пространстве
замкнутый
прямоугольный
контур
сторонами
полученных
другую
двум
разным
направлениям
. 4.2
стрелками
Получим
()()
()()()
()()()()
()()
()()()
()()()()
()()()()
xxxDxx
xxxxxDxxx
xDxxDxxDDxxx
xxxDxx
xxxxxDxxx
xDxxDxDxxx
DxxDxxDDxxx
9µ9

9µ9
9µµ
µ9
µ9µ
µ99






+=+
++=+++=
=++
+=+
++=+++=
=+++=
=+++
Контур
274
()()
xxxxxx

=++Š++
()()
Fxxx

, (4.18)

()()
()()
()()()()()()()()
()()
()()()()()
()()()()
()()
()()()
jiji
jiji
ji
ji
FDDDDDDTTTT
TTTTWx
GWx
GWx
GWx
GWx
WxWx
GWxWx
WxWx
WxWx
GWxWx
9µ9µ9µµ9
99µ
µ99µµ9
9µµ9
µ99µ

µ99µ

⎡⎤
==Š=Š+
⎣⎦
=Š+=
=Š+
=Š+
антикоммутатор
удлиненных

()()()()
xxBxx
=
()()
()()
xFxBxFxF
µ9
µ9
µ9
другой
стороны
()()()()
FxFxFBxx

9µ9µ
\n\n\n
(4.20)
()()
()()
FBxBxF
FBxFBx
объект
нулю
нулю
нулевого
нулю
другой
построить
уравнения
поля
нарушенной
симметрией
плотности
()()
Lxxx
удлиненными
xD
варьируя
()()
SLxxDxd
получаем
соответствии
уравнения
уравнениями
локально
рушенной
симметрией
характеризуются
,1,....
WxjN
получения
уравнений
нарушенной
симметрией
следующим
выписывается
группа
нарушение
описываемую
группы
функциях
Далее
калибровочных
275
плотности
получают
уравнение
уравнение
нарушенной
симметрией
()()
,1,...
xiM
уравнений
локально
нарушенной
симметрией
имеет
LLL
xxx


, (21)
()()
.,,
xDxxLL

среде
имеет
лагранжиан
()()
xxxL
ii

,,
Искривленные
многообразия
пространства
связностью
среды
аномальном
соответствующего
развитая
предыдущем
группы
операторов
действующих
координат
удлиненных
функциях
группы
преобразований
группы
могут
предыдущем
группы
требует
введения
группы
сути
может
для
используем
зачастую
используется
псевдонаучный
используют
говорят
параметров
полным
называть
вектора
преобразования
такой
компоненты
преобразуются
заданному
закону
именно
давать
основания
векторами
Пусть





преобразова
закону
3,2,1,0,
µ
{,0,1,...3}
3210
,,,''
xxxxxxx
=

VaV
, (4.22)
обратную
рассматриваемой

:

индексы
обозначения
векторов
меняются
276
0123
',,,
xxxx
(4.23)
индексами
преобразующиеся
закону
(1)
коэффициентами
числяемыми
Могут
также
преобразованиях
3210
,,,''
xxxxxx
закону
0123
,,,
xxxx
VVbV
µ9µ9
. (4.24)
ковариантными
преобразование
(15) –
преобразуются
контравариантному
закону
существу
следует
существенное
...
преобразуется
...
3
закону
...
...
'''
xxxx
xxxx
31
3
$


преобразования
образующих
группу
закону
нарушение
симметрии
удлиненной
()()()()()()()
DxxTxxWx
µµµµµ

=+=+
. (4.25)

()()()()()()
DxxTxxKx
99
µµµµµ

=+=+
коэффициентом
()()
xxK

()()()()
xTxG
xW


xK

случай
удлиненной
случае
квадратную
векторно
xK

преобразующейся
()()()()()
0123
',,,
xxxxx
xBxxax

===
, (4.26)
закону
следующему
()()()()
TBxBxBxTB
получен
()()()()
xxBxx
=
()()()()()()
'''''
DxDxxTxBxDx
µµµµµ

=+=

втором
знак
того
использовать
распространенные
инвариантного
дифференцирования
которым
является
производная
обозначения
Ровным
изменилось
знак
«-».
это
просто
277
Однако
случая
компонент
векторного
требо
вание
заменено
иным
что
для
векторного
удлиненная
производная
xD
является
двухиндексным
объектом
координатных
преобразованиях
преобразовываться
двухиндексный
объект
Потребуем
объект
разовывал
ковариантный
индексу
контравариантный
нумерующему
компоненту
контравариантный
Если
ковариантный
вектор
xD
собой
ковариантный
Тогда
преобразования
объектов
связности
получается
следующего
правила
преобразованная
производная
преобразованного
поля
быть
равна
преобразованной
закону
удлиненной
функции
DxDx
xxx
xxx
331
5!


()()
xKxx
xxxx
xxxxx
535
31
5!15!


(4.27)
x
xxx


получим
()()
'''
xxx
KxxKx
xxx
535
5
15
!


удобно
штрихованные
Тогда
учитывая
получить
преобразования
уравнение
выполнено
достаточно
чтобы
между
3210
,,,''
xxxxxxx
=
''''
xxxxx
xxxxxx
35153
5!!


(4.28)
калибровочных
(17)
учитывающий
специфику
преобразований
следующих
правил
калибровочными
преобразования
уже
случая
характеризующих
нулю
который
виде
'
''
Kx
3
!

278
связности
калибровочно
нулю
существует
координат
тождественный
()()()()()()
xxKxxTxxD


+=+=
. (4.29)
поля
преобразующегося
()()()()
xxKxxD

µ


Š=
. (4.30)
обеспечивает
трансформационные
поля
ковариантного
преобразовании
связности
уже
правилу
(30) «
выводятся
ковариантные
могут
образовывать
правилу
.
собой
которого
()()
xx

. (4.31)
()()

BDABADBAD
Нетрудно
поскольку
член
7
''
xx

двух
объектов
выпуклая
двух
объектов
другая
антисимметричной
5
5
5
5
5
KKKKK
Š++=
преобразованиях
рассмотрение
результатов
Антисимметричная
кручением
согласованно
связностью
вектора
будем
рассматриваемыми
кручение
нулю
Ковариантное
будем
дифференцируемой
соответствующего
случае
через
дифференцирования
запятую
удлиненную
производную
какое
ковариантного
индекса
удлиняющий
ковариантного
удлиняющий
Следующий
..;..;..
..
klklknllknnklnkl
qipqijnpqinpqipnpiqp
TTKTKTKTKT
=++ŠŠ
афинного
производную
ковариантной
происходит
оттого
дифференцирования
образованный
после
производной
объект
ковариантным
отсюда
трансформационные
свойства
объектов
связности
При
члене
(28)
появляется
множитель
2,
который
портит
закон
преобразования
объектов
связности
279
геометрические
оператору
нарушенной
симметрией
выражению
кривизны
лучим
()()
()
FxxxDDxx

==
(4.32)
выражения
вектор
компоненты

получим
3µ
,,,
ГГГГГГ
1
=Š++Š
(4.33)
что
нулю
тождественно
нулю
нулю
пути
результат
параллельного
точки
векторное
уравнению
AD
KA
x
. (4.34)
уравнение
нулю
калибровочную
эквивалентность
нулю
такую
называют
интегрируемой
силу
Кристоффеля
имеют
,,,
FFF
3'µ3µ'

3'µµ'33µ'
3'µ%3µ%'3%'µ
++=
++=
(4.35)
получим
. (4.36)
3
pp
KKKKKKR
+ŠŠ=
также
свернуть
получив
самым
скалярную
некоторую
кривую
вложенную
которых
геодезическими
Пусть
уравнение
геодезической
задано
параметрическими
уравнениями
получает
вектор

µ
dxuKdu
Š=
280
Откуда
uKu
µµ
(4.37)
уравнение
афинной
как
случай
связности
нарушенной
Однако
построена
введения
метрики
продемонстрируем
Пусть
задан

индексам
двух
произведение
gAB
=
вующим
gAA
метрическим
тензором
одновременно
При
друг
другу
Соответствующая
метрического
должна
метрического
другую
другой
точке
Эквивалентным
служит
вектора


,
.
метрический
J'
µ
µ
AAg
условием
J'
единственная
афинная
удовлетворяющая
условиям
2
gg
g
Kg
'J
'
J'
=+Š

. (4.38)
выражение
удается
всякое
может
метрический
(38)
этом
неоднородностей
кривизну
целью
римановых
просто
Достаточно
исходных
уравнениях
аналогом
метрическому
определяются
расчетом
первых
возникают
вторых
вычислении
аналогов

=++

соответственно
123
xxx

=++Š

можно


.
281
ij
случае
диагональная
элементами

минус
будет
,2,1
ig
убедиться
ij
gFgF
дело
;;;;
ijkikj
случай
служит
[1]:
ikl
, (4.39)
mmm
ki
ki
mjki
kimki
FKKK
xxxxx
=ŠŠŠŠ

:
2
3
mm
ki
S
Sjki
случае
нуля
случая
Лапласа
неоднородная
среда
физический
зависящего
метрического
тензора
(38)
уравнении
заменяются
метрического
физическим
полям
Конструирование
уравнений
пространствах
нарушенной
симметрией
технику
развитую
настоящего
уравнений
симметрией
рассмотрим
уравнение
однородной
случай
уравнение
продольных
имеет
22
. (4.40)
существенно
получения
уравнения
упругости
усложнение
уравнения
экспериментально
282
может
возникнуть
Ответ
дает
неодно
нарушения
симметрии
уравнению
распространить
локально
нарушенной
симметрией
соответствует
лагранжева
2
3
,
20
1
i
xVx
(4.41)
группы
нарушение
принимается
ваемую
группу
пространственно
группы
дифференцируемых
функций
служат
соответствующей
(41)
удлиненными
полей
µ

, (4.42)
получим
лагранжеву
для
волнового
уравнения
нарушенной
симметрией
()
()
Lx
xxVx
=ŠŠŠ

. (4.43)
лагранжевой
запишется
следующим
()
()
112
xxxx
WxWxWxWx
xxx
xx


⎛⎞⎛⎞
ŠŠŠŠ


⎝⎠⎝⎠
()
()
00
xxxx
WxWx
WxWx
xxVxx


⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
()
()
221
xxxx
WxWxWxWx
xxx
xx


⎛⎞⎛⎞
+ŠŠŠŠ


⎝⎠⎝⎠
()
()
00
xxxx
WxWx
WxWx
xxVxx


⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
()
()
331
xxxx
WxWx
WxWx
xxx
xx


⎛⎞⎛⎞
+ŠŠŠŠ


⎝⎠⎝⎠
()
()
()
()
001
020
xxxx
WxWx
WxWx
xxVxx
xxxx
WxWxWxWx
xVxx
xx



⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

⎛⎞⎛⎞
+ŠŠŠŠŠ
⎟⎜

⎝⎠⎝⎠
()
()
()
2233
xxxx
WxWxWxWx
xxxx


⎛⎞
⎜⎟

⎝⎠
283
представляет
уравнение
переменными
которых
неоднородностей
которой
дифферен
уравнениям
соответствующих
уравнения
порядка
уравнения
нарушение
соответствующей
xW
случай
уравнения
соответствующий
нарушении
относительно
симметрии
рассматриваемого
рассматриваемых
будут
ненулевыми
условием
случае
3,2,1,0,
используется
лагранжева
()
020
LxWx
xxV


=ŠŠ

, (4.45)
уравнение
()()
()
()
()()()
222
000
123
02
03
000
000
1,11,21,3
123
xWxWxWx
xxxxxx
WWWWWW
++Š

Š++++++=
(4.46)
векторнозначную
функцию
уравнение
,,
WWW
Wgrad
002
1||
VgradW
xgradWgradxdivgradW
xxV

Š
, (4.47)
002
1||
dxd
xxV
Š&#x-401;•Š=
. (4.48)
искомое
уравнений
случай
локальном
нарушении
симметрии
трансляциях
соответствующий
указанному
нарушению
следующий
01230123
123
,,,,
WxxxWxxx
Fxxx
. (4.49)
= 1,2,3.
следовательно
эквивалентные
нулю
существование
00
==
ii
FF
284
нарушению
нулевую
пространства
неоднородность

некоторого
характеризующего
Тогда
лагранжеву
определенной
уравнением
варьируем

Получим
результате
уравнения
0
i
0
Wx
= 1,2,3. (4.50)
Пользуясь
функции
выводу
если
существует
функция
32100
,,
xxxxx
constxxxxxxx
3213210
,,,,,
123
Wxxx
. (4.51)
смыслу
функция
возмущения
эту
функции
масштаба
времени
32100
,,
xxxxx
321
,,
xxxW
теперь
случай
когда
происходит
нарушение
симметрии
трансляциям
причем
только

Физически
искажение
только
временной
компоненте
соответствует
введению
лагранжевой
плотности
()
Wx
xVxx


⎛⎞⎛
=ŠŠ
⎜⎟⎜

⎝⎠⎝
(4.52)
уравнение
Wxx
. (4.53)
уравнение
неоднородностью
уравнения
Отсюда
уравнении
нарушения
масштаба
получить
уравнение
скоростью
переменная
результате
модулирующего
нарушения
временным
трансляциям
далее
уравнение
Лапласа
пространстве
222
222
123
. (4.54)
уравнению
12
2
3
xxx
⎫⎧⎫⎧⎫
=++
⎬⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭⎩⎭
. (4.55)
285
функцию
результате
будем
Лагранжева
симметрична
нарушение
симметрии
относительно
группы
123
(,) (,) (,) (,) (,) (,)
(-)(-)(-
WWW
xxxxxx
xxx
).


=++
уравнение
получим
222
(,) (,) (,)
(,)
(()
xxxx
divx
).
++=
()()()
123
(){,,}
ответственные
нарушения
симметрии
частный
случай
демонстрирующий
пути
результата
Пусть
характеризуется
нарушением
симметрии
удлиненной
123
(){,,}
отличную
нуля
компоненту
приводит
123
(,) (,) (,) (,)
()(-)(-
xxxx
xxx
).

=++
уравнению
222
222
(,) (,) (,)
(,)
(()
xxxx
).
++=
реконструкциях
нарушения
результатам
являющегося
значением
гармонической
функции
частности
(())()
xGx
=Š
, (4.57)
должна
соответствовать
нулевому
значению
уровне

функцию

,


x



0
3
x
x
условием
0
2
3
3
0
x
x


=


286
регуляризованное
распределению
функ
,
введенную
условии
()(,)
WxWxx
()(,)exp((,,))
WxWxxGxxd
=Š
Приве
могут
трансформаций
терминах
нарушения
свойств
изучаемой
процедуру
трансформанты
можно
уравнениями
рушенной
симметрией
калибровочного
уравнения
трансформанты
распределению
нарушению
симметрии
характеризующего
меру
неоднород
Литература
современной
. 2. –
. 246-249.
Учебное
Кобрунов
интерпретации
геофизических
Учебное
Компьютерный
Гарнитура
Times New Roman.
Бумага
изд
государственный
университет
Первомайская

Приложенные файлы

  • pdf 18341637
    Размер файла: 6 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий