LEKCIJA_10

ЛЕКЦИЯ 10
Изучение взаимосвязей по временным рядам

План

Специфика статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов
Методы исключения тенденции
Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
4. Оценивание параметров регрессии при наличии автокорреляции в остатках
5. Коинтеграция временных рядов

1. Специфика статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов

Одной из самых сложных задач эконометрического моделирования является изучение причинно-следственных зависимостей переменных во временных рядах. Применение традиционных методов регрессионно-корреляционного анализа может привести к ряду проблем, как на этапе построения, так и на этапе анализа экономического явления.
В выявлении структуры временных рядов заключается предварительный этап такого анализа. Если был установлено, что временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением исследования взаимосвязи эти составляющие устраняют из уровней каждого ряда, т. к. наличие этих компонент искажает истинные показатели силы и тесноты связи.
Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей.
Предположим, что изучаемые временные ряды х и у не содержат периодических колебаний и необходимо установить зависимость между ними. Для этого используется линейный коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции будет высоким по абсолютной величине, если рассматриваемые временные ряды содержат тенденцию, однако это еще не говорит о том, что у зависит от х или наоборот. Высокий коэффициент корреляции свидетельствует о том, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. При этом следует иметь в виду, что совершенно не связанные друг с другом причинно-следственной зависимостью ряды могут иметь одинаковую или противоположную тенденцию
Только избавившись от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряду, можно получить коэффициент корреляции, действительно характеризующий причинно-следственную связь между временными рядами. Достичь этого можно с помощью одного из методов исключения тенденции.
Если построить уравнение парной линейной регрессии по двум временным рядам xt и yt , то
yt=a+b·xt+
·t.
Наличие тенденции в каждом из временных рядов означает, что на xt и yt оказывает воздействие фактор времени, который в модели не учтен. Его влияние будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков
·t.за текущие и предыдущие моменты времени. Это явление получило название автокорреляция в остатках.
Автокорреляция в остатках – нарушений одной из предпосылок МНК. Возможное решение этой проблемы применение обобщенного МНК.
При построении множественной регрессии по временным данным может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, входящих в уравнение регрессии, если эти факторы содержат тенденцию.

Методы исключения тенденции
Методы исключения тенденции заключаются в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда.. Эти методы можно разделить на две группы:
-методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на независимую и зависимую переменные. К этой группе можно отнести метод включения в регрессионную модель фактора времени;
-методы, в которых используется преобразование исходных уровней ряда на новые переменные, уже не содержащие тенденции. На устранение трендовой компоненты из каждого уровня ряда нацелены методы последовательных разностей и метод отклонений от трендов.
Включение в модель фактора времени
Исключить влияние фактора времени можно, если зафиксировать его воздействие на результат и другие факторы, включив фактор времени в модель в качестве независимой переменной:
yt=a+b1xt+b2t+
·t.
Число независимых переменных может быть достаточно большим и это могут быть лаговые значения как независимых, так и зависимой переменных.
Преимущество данной модели состоит в том, что она учитывает всю информацию по исходным данным, модель строится по всей совокупности за рассматриваемый период. Параметры a и b модели с включенным фактором времени определяют обычным МНК. Интерпретируются параметры для данной модели следующим образом:
Параметр b1 – характеризует изменение результата при изменении фактора x1 на единицу в условиях существования неизменной тенденции. Параметр b2 характеризует изменение результата под воздействием всех факторов, кроме фактора xt.
Метод отклонений от тренда
Этот метод предполагает, что имеется минимум два временных ряда yt и xt, каждый из которых содержит трендовую компоненту T и случайную компоненту
·. Аналитическое выравнивание по этим рядам позволяет найти параметры уравнений трендов и расчетные значения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Эти значения принимают за оценку трендовой компоненты T каждого ряда. Устранить влияние тенденции можно путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Это проделывают с каждым временным рядом модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда xt-13 EMBED Equation.3 1415 и yt-13 EMBED Equation.3 1415, если эти разности не содержат тенденции. Интерпретация параметров по этой модели затруднена.
Модели, построенные этим методом, используют для прогнозирования. С этой целью определяют трендовое значение факторного признака 13 EMBED Equation.3 1415 и оценивают величину предполагаемого отклонения фактического значения от трендового. По уравнению тренда для результативного признака определяют трендовое значение при 13 EMBED Equation.3 1415, а по уравнению регрессии по отклонениям от трендов находят величину отклонения yt-13 EMBED Equation.3 1415. точечный прогноз фактического значения yt находят по формуле
yt пр=13 EMBED Equation.3 1415+(yt-13 EMBED Equation.3 1415).
Метод последовательных разностей
В случаях, когда временной ряд содержит линейную тенденцию, ее устранение можно провести путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями).
Пусть yt=13 EMBED Equation.3 1415+
·t,
Где
·t- случайная ошибка;
13 EMBED Equation.3 1415=a+bt.
Из этого следует, что

·t= yt- yt-1=a+bt+
·t-(a+b
·(t-1)+
·t-1)=b+(
·t-
·t-1).
Коэффициент b – постоянная, которая не зависит от времени. При линейной тенденции составляющие
·t не велики и носят случайный характер. В связи с этим первые разности уровней ряда
·t не зависят от фактора времени и их используют при последующем анализе.
Если временной ряд содержит тенденцию параболы второго порядка, то для ее устранения исходные уровни ряда меняют на вторые разности.
Если уровень ряда описывается соотношением yt=13 EMBED Equation.3 1415+
·t, при этом 13 EMBED Equation.3 1415=a+b1t+b2t2,
то
·t= yt- yt-1=a+b1t+b2t2+
·t-(a+b1
·(t-1)+b2
·(t-1)2+
·t-1)=b1-b2+2b2t+(
·t-
·t-1).
Из этого соотношения видно, что первые разности
·t непосредственно зависят от времени, и следовательно содержат тенденцию. Поэтому определяют вторые разности.

·2t=
·t-
·t-1=b1-b2+2b2t+(
·t-
·t-1)-(b1-b2+2b2(t-1) + (
·t-1-
·t-2))=2b2+(
·t-2
·t-1+
·t-2).
Вторые разности не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда параболы второго порядка их можно использовать для анализа.. Если временной ряд содержит тенденцию степенного или экспоненциального тренда, метод последовательных разностей применяется не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.
Следует отметить, что метод последовательных разностей имеет два недостатка:
Использование вместо исходных данных их приростов или ускорений приводит к потере информации, содержащейся в исходных данных;
его применение связано с сокращением пар наблюдений, по которым строятся уравнения регрессии, и соответственно, с потерей числа степеней свободы.

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
Значения случайной составляющей
·t определяется как:

·t=yt-13 EMBED Equation.3 1415
Если рассматривать последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Но при моделировании временных рядов часто случается, что остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это значит, что в остатках присутствует автокорреляция, т.е. текущие значения зависят от предыдущих.
Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами:
ошибками измерения в значениях результативного признака;
в модели может отсутствовать фактор, оказывающий существенное влияние на результат. Его влияние отражается в остатках. Иногда в качестве такого фактора выступает время. В некоторых случаях необходимо рассматривать лаговые значения переменных, включенных в модель. Либо модель не включает несколько второстепенных факторов, совокупное влияние которых на результат также существенно.
От истинной автокорреляции следует отличать автокорреляцию вызванную неправильным выбором функциональной связи. В таких случаях следует изменить функцию, применяемую в расчетах, специальные методы для расчета параметров применять излишне.
Наиболее часто используются два метода определения автокорреляции остатков. Это построение графика зависимости остатков от времени и последующее визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции и использование критерия Дарбина-Уотсона.
Критерий Дарбина-Уотсона есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений отклонений к остаточной сумме квадратов по модели. Формула для расчета:
13 EMBED Equation.3 1415.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
В соответствии с предпосылками МНК сумма и среднее значение остатков равны нулю:
13 EMBED Equation.3 1415.
Далее предполагают, что
13 EMBED Equation.3 1415, и 13 EMBED Equation.3 1415.
После преобразований получают соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r
·1=1, то d=0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r
·1=-1, то d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует то r
·1=0, то d=2.
Коэффициент Дарбина-Уотсона изменяется в пределах
0
·d
·4.
Автокорреляция остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона выявляется в соответствии со следующим алгоритмом. Выдвигается гипотеза H0 об отсутствии автокорреляции остатков. Две альтернативные гипотезы состоят в наличии положительной автокорреляции (H1) или отрицательной автокорреляции (H1*). Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k и уровня значимости
· (Приложение 5). По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков.
Основанием для принятия или отклонения каждой из гипотез с вероятностью (1-
·) является следующая шкала.
Положительная автокорреляция остатков. H0отклоняется. Принимается H1 с вероятностью Р=1-
·
Зона неопределенности
Автокорреляция остатков отсутствует. Принимается H0.
Зона неопределенности
Отрицательная автокорреляция остатков. H0отклоняется. Принимается H1* с вероятностью Р=1-
·

0

dL

dU

2

4-dU

4-dL

4

Рис. – Шкала проверки гипотез о наличии автокорреляции остатков.
Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то предполагают, существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

Оценивание параметров регрессии при наличии автокорреляции в остатках
В уравнении yt=a+bxt+
·t текущий уровень ряда yt зависит не только от факторной переменной xt, но и от остатков предшествующего периода
·t-1. Если параметры a и b в этом уравнении определять обычным МНК, то полученные оценки будут неэффективны ( не будут иметь наименьшую дисперсию). В этом случае получают большие стандартные ошибки, снижаются фактические значения t-критерия, границы доверительных интервалов расширяются. В результате можно сделать неправильный вывод о незначимом влиянии исследуемого фактора на результат, тогда как фактически его влияние статистически значимо.
При соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция не влияет на свойства несмещенности и состоятельности, за исключением моделей авторегрессии. Если обычный МНК применяется к моделям авторегрессии, то получаю смещенные, несостоятельные и неэффективные оценки.
В случаях когда имеет место автокорреляция остатков, основной подход к оценке параметров заключается в следующем. Модель yt=a+bxt+
·t в момент времени t-1 примет вид:
yt-1=a+bxt-1+
·t-1.
Умножим обе части уравнения на r
·1:
r
·1
·yt-1= r
·1
·a+r
·1
·bxt-1+r
·1
·
·t-1
Уравнение r
·1
·yt-1= r
·1
·a+r
·1
·bxt-1+r
·1
·
·t-1 почленно вычитаем из уравнения yt=a+bxt+
·t в результате чего имеем:
yt-r
·1
·yt-1=a-r
·1
·a+bxt-r
·1
·bxt-1+
·t-r
·1
·
·t-1
Проводим тождественные преобразования
yt-r
·1
·yt-1=a
·(1- r
·1)+b
·( xt-r
·1xt-1)+
·t-r
·1
·
·t-1
Проводим замену переменных:
yt’= yt-r
·1
·yt-1;
xt’= xt-r
·1xt-1;
ut=
·t-r
·1
·
·t-1
a’= a
·(1- r
·1)
В результате имеем:
y’t=a’+bx’t+ut
ut- случайная ошибка,
Для оценки параметров уравнения y’t=a’+bx’t+ut можно применить обычный МНК.
Т.о. если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров должен быть применен обобщенный МНК. ОМНК похож на метод последовательных разностей. Однако из переменных (yt, xt) вычитается не все значение предыдущего уровня, а некоторая его часть (r
·1). Если r
·1=1, то по сути это метод первых разностей и в этом случае значение критерия Дарбина-Уотсона близко к нулю. Если r
·1=-1, и в остатках полная отрицательная автокорреляция, то
yt’=yt-(-1)yt-1=yt+yt-1; xt’= xt-(-1)xt-1= xt+xt-1; a’= a
·(1-(1))=2а,
и получаем
yt+yt-1=2а+b
·( xt+xt-1)+ ut или (yt+yt-1)/2=а+b
·( xt+xt-1)/2+ ut/2.
Последнее уравнение называется моделью регрессии по скользящим средним.
Основной проблемой при использовании данного метода, получение r
·1. Основными способами его получения являются:
оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам;
получение его приближенного значения из соотношения по критерию Дарбина-Уотсона: r
·1=1-d/2.

Коинтеграция временных рядов
Недостатком методов исключения тенденции есть то, что они предполагают модификацию модели через замену переменных или добавления фактора времени. Однако большая часть экономических законов сформулирована в терминах уровней временных рядов, а не отклонений от трендов и предполагает вычисление взаимосвязи переменных без включения в модель дополнительных факторов (например, времени).
В некоторых случаях наличие в одном из временных рядов тенденции может быть вызвано тем, что другой ряд также содержит тенденцию, а не является результатом прочих случайных причин. Одинаковая или противоположная направленность тенденций может наблюдаться в течение длительного периода и уметь устойчивый характер. Коэффициент корреляции, рассчитанный по временным рядам, может характеризовать истинную причинно-следственную связь между переменными.
В 70-х годах ХХ в. эти предположения были положены в основу теории о коинтенграции временных рядов. Под коинтеграцией понимается причинно-следственная зависимость в уровнях двух (и более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.
Между двумя временными рядами существует коинтеграция в случае, если линейная комбинация этих временных рядов есть стационарный временной ряд (ряд содержащий только случайную компоненту и имеющий постоянную дисперсию на длительном промежутке времени).
В уравнении регрессии вида yt=a+bxt+
·t остатки представляют собой:

·t=yt-a-bxt.
Для тестирования гипотезы о коинтеграции может использоваться критерий Энгеля-Грангера. Алгоритм его применения следующий.
Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии коинтеграции между рядами yt и xt.
Рассчитывают параметры уравнения
·
·t=a+b·
·t-1,
где
·
·t- первые разности остатков, полученных из соотношения
·t=yt-a-bxt.
Определяют фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии a в уравнении
·
·t=a+b·
·t-1.
Сравнивают полученное значение с критическим значением
·. Рассчитанные Энгелем и Грангером критические значения для уровня значимости 1% составляют 2,5899; для 5% - 1,9439; для 10% 1,6177. Если фактическое значение t больше критического значения
· (тильда) для данного уровня значимости
·, нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отклоняют с вероятностью (1-
·) и принимают альтернативную о наличии коинтеграции. Если t<
·13 EMBED Equation.3 1415гипотеза об отсутствии коинтеграции между исследуемыми рядами не отклоняется.
Другой метод тестирования основан на вычислении критерия Дарбина-Уотсона, полученного для уравнения yt=a+bxt+
·t. Но в данном случае проводят проверку гипотезы о том, что полученное фактическое значение критерия в генеральной совокупности равно нулю.
Критическими значениями Дарбина-Уотсона по методу Монте-Карло являются при 1% ом уровне – 0,511; 5% - 0,386; 10% - 0,322. Если в результате тестирования установили, что d нельзя признать равным нулю (превышает критическое значение для заданного уровня значимости), то H0 об отсутствии коинтеграции отклоняют.
Если фактическое d меньше критического значения для соответствующего уровня значимости, то H0 об отсутствии коинтеграции принимают.
Коинтеграция значительно упрощает методы и процедуры анализа, т.к. можно строить уравнение регрессии и определять коэффициент корреляции, используя в качестве данных уровни рядов, т.е. используя в полном объеме исходную информацию. Концепция коинтеграции временных рядов применима только к временным рядам, охватывающим достаточно длительные промежутки времени. Если же используются короткие временные ряды и были получены показатели, свидетельствующие о наличии коинтеграции, моделирование взаимосвязей по уровням этих рядов может привести к неверным результатам.








13PAGE 14115


13PAGE 149315




Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 18318593
    Размер файла: 100 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий