Kriterii_MA11_22092016_zapad


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Матем
атика. 11 класс. Вариант МА10112
(профильный уровень)
№ задания
Ответ
0,35
0,48
120
Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
5cos3
5sin4
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
0;2

Решение.
а)
Имеем
5cos3
5sin4
cos,
sin,
=−
откуда
arccos2
xn

=−−+


или
Корни, принадлежащие отрезку
0;2
, отберём с помощью единичной
окружности.
arccos
Получаем
πarccosπarccos

−−=+


Ответ
: а)
πarccos2π
; б)
πarccos

Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
или в пунк
те
ИЛИ
Получен неверный ответ из
за вычислительной ошибки, но при этом
имеется верная последовательность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше
Максимальный балл


Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатн
ых изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
На ребре
AA
прямоугольного параллелепипеда
1111
ABCDABCD
взята точка
так, что
:2:5
AEEA
, на ребре
BB
точка
так, что
:1:6
BFFB
точка
середина ребр
а
. Известно, что
AB
AD
AA
а)
Докажите, что плоскость
EFT
проходит через вершину
Найдите угол между
плоскостью
EFT
и плоскостью
AAB


Решение.
а)
Плоскость
EFT
пересекает грани
BBCC
AADD
по параллельным отрезкам. Имеем
TB
142
=⋅=
144
=⋅=
AD
. Значит, треугольники
DAE
TBF
подобны, причём прямые
пар
аллельны, прямые
тоже
параллельны. Значит, прямая
ED
лежит в
плоскости
EFT
Так как прямая
перпендикулярна
плоскости
AAB
, опустим перпендикуляр
из точки
на прямую
EF
пересечения
этих плоскостей. Угол
AHD
будет искомым.
Найдём
. Д
ля этого проведём в
трапеции
EABF
высоту
FL
(
середина
EA
). Вычисляя двумя способами площадь треугольника
EFA
найдём
AHEFAEFL
⋅=⋅
, то есть
5420
FLAE
FE
⋅⋅
===
. Тогда
тангенс искомого угла равен
20629329
6:
2010
==
Ответ:
б)
329
arctg

Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта
, и обосно
ванно получен верный
ответ в пункте
Верно доказан пункт
ИЛИ
Верно решён пункт
при отсутствии обоснований в пункте
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл


T
C
D
F
H
L
A
E
A
D
C
B
1
1
1
Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатн
ых изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Решите неравенство
43232
221
xxxxxx
−+++−
−≤


Решение.
Преобразуем неравенство:
43232
221
xxxxxx
−+++−
−≤

2232
(1)221
(2)(1)2
xxxxx
xxx
−+++
+−+






221
xxx
−−−−
(1)(1)
xxx
+++
(;2)
∈−∞−
1;1
Ответ:
(;2)
∈−∞−
1;1
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит вычислительную ошибку, возможно, приведшую
к неверному ответу, но при этом имеется верная последова
тельность
всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше
Максимальный балл
Точки
делят стороны выпуклого четырёхугольника
ABCD
в отно
шении
:::1:4
APPBCQQBCWWD
===
, радиус окружности, описанной
около треугольника
PQW
равен 10,
16,12
PQQW
==
а) Докажите, что треугольник
PQW
прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника
ABCD


Решение.
а)
Треугольн
ики
АВС
PBQ
подобны с
коэффициентом подобия
::5:4
kABPBCBQB
===


Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатн
ых изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Q
D
P
C
W
B
Отсюда следует, что
PQ
AC
параллельны и
1620
ACkPQ
=⋅=⋅=
Аналогично
BD
параллельны и
BD
. Угол между прямыми
AC

BD
равен углу между прямыми
PQ
. По
тео
реме синусов
треугольнике
PQW
имеем
sinsin
PQQW
QWPQPW
==
, следовательно,
1612
sinsin
QWPQPW
==
Отсюда
256144
sinsin
400400
QWPQPW
∠+∠=+=
Следовательно,
sincos
QPWQWP
∠=∠
, откуда, учитывая, что угол
острый, находим, что
sincos
QPWQWP
∠=∠
, и, значит,
QPWQWP
∠+∠=
то есть
PQW
. Отсюда следует, что треугольник
PQW
прямоугольный.
Угол между диагоналями четырёхугольника
ABCD
прямой. Поэтому его
площадь равна
2060600
ABCD
SACBD
=⋅=⋅⋅=
Ответ:
600.
Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатн
ых изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта
, и
обоснованно получен верный ответ в пункте
Получен обоснованный ответ в п
ункте
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта
, и при
обоснованном решении пункта
получен неверный ответ из
за
арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта
ИЛИ
При обоснованном решении пункта
получен не
верный ответ из
за вычислительной ошибки
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте
с использованием
утверждения пункта
, при этом пункт
не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечис
ленных выше
Максимальный балл
По вкладу А банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10
%
сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу Б
увеличивать
эту сумму на 8
% в первый год и на одинаковое целое число
процентов и
за второ
й, и за третий годы. Найдите наименьшее значение
, при котором за
три года хранения вклад Б окажется выгоднее вклада А при одинаковых
суммах первоначальных взносов.
Решение.
Пусть на каждый тип вклада была внесена одинаков
ая сумма
. На вкладе
А каждый год сумма увеличивается на 10%, т.
е. увеличивается в 1,1 раза.
Поэтому через три года сумма на вкладе А будет равна
1,11,331
Аналогично сумма на вкладе Б будет равна
1,081
где
некоторое натуральное число процентов.
По условию требуется найти наименьшее натуральное решение неравенства
1,0811,331,
⋅+>
Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатн
ых изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
1,2324...
1001080
+>=
При
n
неравенс
тво
1,121,2324...
1,25441,2324...
верно, а при
n
неравенство
1,111,2324...
1,23211,2324...
неверно, как и при всех меньших
Ответ:
12.
Содержание крит
ерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено
исследованию этой модели, получен неверный ответ из
за
вычислительной ошибки
Верно построена математическая модель и решение сведено
исследованию
этой модели, при этом решение не завершено или
имеется верный ответ без обоснования
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
Найдите все значения параметра
, при каж
дом из которых система
xayxyaa
−++++=
имеет единственное решение.
Решение.
Уравнение
xayxyaa
−++++=
означает, что сумма расстояний от точки
xy
до точек
a
a
равна
a
, но эта сумма расстояний всегда больше, чем
a
, если только
точка
xy
не лежит на отрезке с концами
a
a
. Значит,
множе
ство решений при
a
это отрезок с концами
a
a
. При
a
множество решений
это
x
y
Множество решений нер
авенства
xy
круг на плоскости с коорди
натами
xy
с центром в начале координат и радиусом
. Отсюда
получаем необходимое условие существования единственного решения
отрезок с конца
ми
a
a
должен пересекаться с данным кругом по
Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатн
ых изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
единственной точке. Это возможно при
a
(когда отрезок превращается
точку), а также когда отрезок касается границы круга. Из симметр
ии точка
касания лежит в середине этого отрезка. Расстояние от середины отрезка до
начала координат равно
. В случае касания это расстояние должно
совпадать с радиусом круга, откуда получаем уравнение
22
a

. Таким образом, система имеет единственное решение при
a
a
=−
Ответ:
a
a

=−
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помо
щью верного рассуждения получено
множество значений
но не включена точка
a
С помощью верного рассуждения получено одно значение
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения
отрезка и круга (аналитически или графически)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше
Максимальный балл
Будем называть четырёхзначное число
очен
ь счастливым
, если все цифры
его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна
сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число
3140.
а)
Существуют ли одиннадцать последовательных четырёхзначных чисел,
среди кот
орых ровно два очень счастливых?
Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел
равняться 2017?
Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного
ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Решение.
а)
Примером
таких чисел являются 5023, 5024, , 5033. Очень счастливыми
среди них являются числа 5023 и 5032.
Предположим, что это возможно. Пусть
abcd
десятичная запись
меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а
klmn
десятичная запись
большего из них. Из условия следует, что либо
101710
cdmn
++=+
, либо
101710010
cd
++=++
. Отсюда получаем, что либо
()()9(1)8
mncdcm
+−+=−++
, либо
()()9(10)7
mncdcm
+−+=−−+
Значит, число
()()
mncd
+−+
даёт при делении на 9 или остаток 8, или
остаток 7.
Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатн
ых изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Также из условия следует, что либо
100010020001000100
abkl
++=+
, либо
100010021001000100
abkl
++=+
. Отсюда получаем, что либо
()()9(2)2
klabak
+−+=−++
, либо
()()9(2)3
klabak
+−+=−++
. Значит,
число
()()
klab
+−+
даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3.
Приходим к пр
отиворечию, так как по условию
()()()()
klabmncd
+−+=+−+
Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём пример
очень счастлив
ого четырёхзначног
чис
кратн
ого
2, 3, 5 и 7
. Ч
исло 1890
кратно
2, 5,
3 и 7.
Пусть
abcd
десятичная запись какого
либо очень счастливого числа,
кратного 11. Тогда
10001001011(919)()
abcdabcdabcbadc
=+++=+++−+−
Получаем, что число
badc
−+−
кратно 11.
Поскольку
цифры, отсюда следует, что либо
badc
−+−=
, либо
badc
−+−=
, либо
badc
−+−=−
В пер
вом случае имеем
abcd
+=+
acbd
+=+
. Вычитая эти равенства,
получаем
bccb
−=−
, т.
е.
bc
противоречие. Во втором случае имеем
abcd
+=+
acbd
++=+
. Вычитая эти равенства, получаем
bccb
−−=−
, т.
е.
2()11,
−=
тоже противоречие, так как 11 не
кратно
2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит,
не существует очень счастливых четырёхзначных ч
исел, кратных 11.
Ответ:
а)
Да, например, 5023, 5024, , 5033; б)
нет; в)
11.
Содержание критерия
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл)
результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл)
результатов
рно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл)
результатов
Верно получен один из следующих результатов:
пример в п.
обоснованное решение в п.
искомая оценка в п.
пример в п.
, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Ре
шение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше
Максимальный балл

Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
5sin3
5cos4
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
0;.


Решение.
а)
Имеем
5sin3
sin,
cos,
откуда
πarcsin2πarccos2π
xnn

=−+=−+


0;
2
, отберём с помощью единичной
окружности.
Получаем
πarcsinarccos

=−=−


Ответ
: а)
πarcsin2π
xn
=−+

πarcsin

Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих п
унктах
или в пункте
ИЛИ
Получен неверный ответ из
за вычислительной ошибки, но при этом
имеется верная последовательность всех шагов решения
выше
Максимальный балл


Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
На ребре
AA
прямоугольного параллелепипеда
1111
ABCDABCD
взята точка
так, что
:1:2
AEEA
, на ребре
BB
точка
так, что
:1:5
BFFB
точка
середина реб
ра
. Известно, что
AB
AD
AA
а)
Докажите, что плоскость
EFT
проходит через вершину
Найдите угол межд
у плоскостью
EFT
и плоскостью
AAB


Решение.
а)
Плоскость
EFT
пересекает грани
BBCC
AADD
по параллельным отрезкам. Имеем
TB
61
6
=⋅=
=⋅=
AD
. Значит, треугольники
DAE
TBF
подобны, причём прямые
параллельны, прямые
тоже
параллельны. Значит, точка
лежит в
плоскости
EFT
Так как прямая
перпендикулярна
плоскости
AAB
, опустим перпендикуляр
из точки
на прямую
EF
пересечения
этих плоскостей. Угол
AHD
будет искомым.
Найдём
. Для этого проведём в
трапеции
EABF
высоту
FL
(
середина
EA
). Вычисляя двумя способами площадь треугольника
EFA
найдём
AHEFAEFL
⋅=⋅
, то есть
224
21
FLAE
FE
===
. Тогда
тангенс иско
мого угла равен
46535
==
Ответ:
б)
35
arctg

Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта
, и
обоснованно получен верный ответ в пункте
Верно доказан пункт
ИЛИ
Верно решён пункт
при отсутствии обоснований в пункте
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечис
ленных выше
Максимальный балл


T
C
D
F
H
L
A
E
A
D
C
B
1
1
1
Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Решите неравенство
43232
442751
252
xxxxxx
−+−++
+≤
−+−

Решение.
Преобразуем неравенство:
43232
442751
252
xxxxxx
−+−++
+≤
−+−

2232
(21)2751
(21)(2)
xxxxx
xxx
−−++
−−−






651
−++
(61)(1)


;1
Ответ:


;1

Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит вычислительную ошибку, возможно, п
риведшую
к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность
всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше
Максимальный балл
Точки
делят стороны выпуклого четырёхугольника
ABCD
в отно
шении
:::3:4
APPBCQQBCWWD
===
, радиус окружности, описанной
около треугольника
PQW
равен 10,
16,12
PQQW
==
а) Докажите, что треугольник
PQW
прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника
ABCD


Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Решение.
а)
Треугольники
АВС
PBQ
одобны с
коэффициентом подобия
::7:4
kABPBCBQB
===

Q
D
P
C
W
B
Отсюда следует, что
PQ
AC
параллельны и
1628
ACkPQ
=⋅=⋅=
Аналогично
BD
параллельн
ы, и
BD
. Угол между прямыми
AC

BD
равен углу между прямыми
PQ
. По
теореме синусов
треугольнике
PQW
имеем
sinsin
PQQW
QWPQPW
==
, следовательно,
1612
sinsin
QWPQPW
==
Отсюда
256144
sinsin
400400
QWPQPW
∠+∠=+=
Следовательно,
sincos
QPWQWP
∠=∠
откуда, учитывая, что угол
острый, находим, что
sincos
QPWQWP
∠=∠

Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
и, значит,
QPWQWP
∠+∠=
, то есть
PQW
. Отсюда следует, что
треугольник
PQW
прямоугольный.
Угол между диагоналями четырёхугольника
ABCD
прямой. Поэтому его
площадь равн
а
2828392
ABCD
SACBD
=⋅=⋅⋅=
Ответ: 392.
Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта
, и
обоснованно получен верный ответ в пункте
Получен обоснованный ответ в пункте
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждени
я пункта
, и при
обоснованном решении пункта
получен неверный ответ из
за
арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта
ИЛИ
При обоснованном решении пункта
получен неверный ответ из
за вычислительной ошибки
ИЛИ
Обоснован
но получен верный ответ в пункте
с использованием
утверждения пункта
, при этом пункт
не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл

Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
По вкладу А банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10
%
сумму, имеющуюся на вкладе в начале год
а, а по вкладу Б
увеличивать
эту сумму на 9
% в первый год и на одинаковое целое число
процентов и
за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение
, при котором за
три года хранения вклад Б окажется выгоднее вклада А при одинаковых
суммах первоначальных взносов.
Решение.
Пусть на каждый тип вклада была внесена одинаковая сумма
. На вкладе
А каждый год сумма увеличивается на 10%, т.
е. увеличивается в 1,1 раза.
Поэтому через три
года сумма на вкладе А будет равна
1,11,331
Аналогично сумма на вкладе Б будет равна
1,091
где
некоторое натуральное число процентов.
По условию требуется найти наименьшее натуральн
ое решение неравенства
1,0911,331,
⋅+>
1,22...
1001090
+>=
При
n
неравенство
1,111,22...
1,23211,22...
верно, а при
n
неравенство
1,11,22...

1,211,22...
неверно, как и при всех меньших
Ответ:
11.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено
исследованию этой модели, получен н
еверный ответ из
за
вычислительной ошибки
Верно построена математическая модель, и решение сведено
исследованию этой модели, при этом решение не завершено или
имеется верный ответ без обоснования
Решение не соответствует ни одному из критериев,
пер
ечисленных выше
Максимальный балл


Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Найдите все
значения параметра
, при каждом из которых система
xayxyaa
−+++−=
имеет единственное решение.
Решение.
Уравнение
xayxyaa
−+++−=
означает, что сумма расстояний от точки
xy
до точек
a
a
равн
а
a
, но эта сумма расстояний всегда больше, чем
a
, если только точка
xy
не лежит на отрезке с концами
a
a
. Значит, множество
решен
ий при
a
это отрезок с концами
a
a
. При
a
множество решений
это
x
y
Множество решений неравенства
xy
круг на плоскости с коор
динатами
xy
с центром в начале координат и радиусом
. Отсюда
получаем необходимое условие существования единственного решения
отрезок с концами
a
a
должен пересекаться с данным кругом по
единственной точке. Это возможно при
a
(когда отрезок превращается
точку), а также когда отрезок касается границы круга. Из симметрии точка
касания лежит в середине этого отрезка. Расстояние от середины отрезка до
начала координат равно
. В случае касания это расстояние должно
совпадать с радиусом круга, откуда получаем уравнение
32
2
a
a

. Таким образом, система имеет единственное решение при
a
a
=−
Ответ:
a
a
=−
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получено множество значений
но не включена точка
a
С помощью верного рассуждения получено одно значение
Зад
ача верно сведена к исследованию взаимного расположения
отрезка и круга (аналитически или графически)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше
Максимальный балл

Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Будем называть четырёхзначное число
очень счастливым
, если все цифры
его десятичной записи различны, а сумма
первых двух из этих цифр равна
сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число
3140.
а)
Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди
которых нет ни одного очень счастливого числа?
Может ли разность двух очен
ь счастливых четырёхзначных чисел
равняться 2016?
Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует
кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Решение.
а)
Примером таких чисел являются 1235, 1236, , 1254.
Предположим, что это возможно. Пусть
abcd
десятичная запис
меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а
klmn
десятичная запись
большего из них. Из условия следует, что либо
101610
cdmn
++=+
, либо
101610010
cd
++=++
Отсюда получаем, что либо
()()9(1)7
mncdcm
+−+=−++
, либо
()()9(10)6
mncdcm
+−+=−−+
Значит, число
()()
mncd
+−+
даёт при делении на 9 или остаток 7, или
остаток 6.
Также из условия следует, что либо
100010020001000100
abkl
++=+
, либо
100010021001000100
abkl
++=+
. Отсюда получаем, что либо
()()9(2)2
klabak
+−+=−++
, либо
()()9(2)3
klabak
+−+=−++
. Значит,
число
()()
klab
+−+
даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3.
Приходим к пр
отиворечию, так как по условию
()()()()
klabmncd
+−+=+−+
Покажем, что искомое число равно
11. Для этого сначала приведём
примеры очень счастливых четырёхзначных чисел
кратных 3, 5, 7 и 9: число
1890 кратно 3, 5, 7 и 9.
Пусть
abcd
десятичная запись какого
либо очень счастливого числа,
кратного 11.
Тогда
10001001011(919)()
abcdabcdabcbadc
=+++=+++−+−
Получаем, что число
badc
−+−
кратно 11. Поскольку
цифры, отсюда следует, что либо
badc
−+−=
, л
ибо
badc
−+−=
, либо
badc
−+−=−


Математика. 11 класс. Вариант МА10112 (профильный уровень)
��© СтатГрад 2016−2017 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
В первом случае имеем
abcd
+=+
acbd
+=+
. Вычитая эти равенства,
получаем
bccb
−=−
, т.
е.
bc
противоречие. В
о втором случае имеем
abcd
+=+
acbd
++=+
. Вычитая эти равенства, получаем
bccb
−−=−
, т.
е.
2()11,
−=
тоже противоречие, так как 11 не
кратно
2. Аналогичное противоречие получается и в
третьем случае. Значит,
не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.
Ответ:
а)
Да, например, 1235, 1236, , 1254; б)
нет; в)
11.
Содержание критерия
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл)
результаты
Верно п
олучены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл)
результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл)
результатов
Верно получен один из следующих результатов:
пример в п.
обоснованное решение в п.
искомая оценка в
п.
пример в п.
, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
выше
Максимальный балл

Матем
атика. 11 класс. Вариант МА10111
(профильный уровень)
№ задания
Ответ
0,09
0,25
0,8

Приложенные файлы

  • pdf 18261521
    Размер файла: 462 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий