Gazovaya_dinamika_Metodichka

ВВЕДЕНИЕ

Газовая динамика изучает быстропротекающие процессы в сжимаемых средах. Для описания таких процессов очень часто используется математическая модель идеального (невязкого) газа, при условии, что решающую роль в исследуемых явлениях играет свойство сжимаемости, а диссипативными эффектами (вязкостью, теплопроводностью) можно пренебречь.
Круг явлений, поддающихся изучению методами газовой динамики достаточно широк. Перечислим некоторые из них:
- обтекание воздухом движущихся с большой скоростью тел: самолетов, снарядов, ракет;
- явления взрыва и сопровождающие их процессы распространения и взаимодействия ударных волн;
- высокоскоростные течения газов в технических устройствах – реактивных двигателях, газовых турбинах и компрессорах;
- различные процессы в атмосферах планет и звезд, а также в межзвездной среде.
Наиболее полно изучены в газовой динамике одномерные нестационарные и двумерные установившиеся движения. Для них известно много точных (аналитических) решений. Математический аппарат газовой динамики лучше всего развит применительно именно к таким течениям.
Аналитические, приближенные и численные методы газовой динамики находят продолжение и развитие в других разделах механики сплошных сред.





§ 1. Уравнения одномерных нестационарных движений
идеального газа. Характеристики. Переменные Римана.

Используя в качестве независимых переменных время 13 EMBED Equation.3 1415 и эйлерову координату 13 EMBED Equation.3 1415, являющуюся одной из координат прямоугольной декартовой системы в случае движения с плоскими волнами или равную расстоянию от центра или оси симметрии в случае движений со сферическими или цилиндрическими волнами, запишем дифференциальные уравнения одномерных нестационарных движений газа в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.1)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.4)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 – плотность, 13 EMBED Equation.3 1415 – скорость (точнее, ее единственная ненулевая составляющая – проекция на ось 13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415 – давление, 13 EMBED Equation.3 1415 – энтропия единицы массы газа,
· – параметр, характеризующий геометрию течения и принимающий значения 1, 2, 3 в случае движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соответственно. Уравнение (1.3) выражает условие адиабатичности изучаемых движений, а (1.4) – тот факт, что газ рассматривается как двухпараметрическая среда.
В частном случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями CV, CP энтропия может быть представлена в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - показатель адиабаты Пуассона. Тогда соотношения (1.3), (1.4) заменяются одним уравнением: 13 EMBED Equation.3 1415. Для реальных газов используют также эмпирические зависимости давления от плотности и энтропии вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - постоянная величина. В случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 процесс называется политропным, а показатель степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется показателем политропы.
Отметим также, что при изучении волн давления в жидкостях часто пользуются уравнением состояния в форме Тэта: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Например, для воды полагают 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 считают постоянной.
Заменяя в уравнении (1.2) производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выражением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , перепишем его в виде
13 EMBED Equation.3 1415 (1.5)
Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - это частные производные функции, стоящей в правой части равенства (1.4).
Систему уравнений (1.1), (1.3), (1.5) запишем в матричной форме:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.6)
где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Данная система представляет собой нормальную форму системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка относительно трех функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Собственные значения матрицы А определяются из характеристического уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.7)

Раскрывая определитель, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
откуда сразу находим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (1.8)
Умножим обе части равенства (1.6) на левый собственный вектор-строку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, отвечающий собственному значению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Поскольку, по определению левого собственного вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то из последнего равенства получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.9)
В рассматриваемом случае три собственных вектора отвечают различным собственным значениям, а потому образуют линейно независимую систему векторов. Это означает, что система уравнений (1.9) эквивалентна исходной системе (1.6).
Замечательной особенностью уравнений (1.9) является то, что в каждом из них участвуют производные только по одному направлению в плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . Действительно, при фиксированном значении индекса i , выражение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
представляет собой производную вектор-функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по переменной t в направлении
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.10)
Если система квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка относительно функций двух независимых переменных может быть приведена к такому виду, где каждое уравнение содержит производные только по какому-то одному направлению, то эта система называется гиперболической, а соответствующие направления – характеристическими. Интегральные кривые (векторные линии) поля характеристических направлений называются характеристиками рассматриваемой гиперболической системы уравнений.
Как показано выше, уравнения одномерных нестационарных движений идеального газа образуют гиперболическую систему.
Левые собственные векторы, отвечающие собственным значениям (1.8) матрицы A из (1.6), имеют вид

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.11)

Подставляя (1.11) в (1.9), получаем характеристическую форму дифференциальных уравнений (1.6) одномерных нестационарных движений газа:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.12)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Учитывая тождество
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
эту систему можно переписать также в виде
13 EMBED Equation.3 1415 (1.13)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Умножив правые и левые части равенств (1.13) на dt , представим их как уравнения в дифференциалaх:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.14)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом, через каждую точку плоскости (t; x) проходят три характеристики. Энтропийные (контактные) характеристики описываются уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и совпадают с траекториями частиц газа в плоскости (t; x); звуковые (акустические) характеристики описываются уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 либо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . В дальнейшем для краткости будем называть эти характеристики соответственно C0 - , C+ - и C- - характеристиками.
Отметим, что каждому решению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 уравнений газовой динамики (1.6) отвечает своя сетка характеристик в плоскости (t; x) , поскольку характеристические скорости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 зависят от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Рассмотрим частный случай – баротропное движение газа, когда давление представляется в виде функции только плотности: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Этот случай отвечает, например, изоэнтропическому течению, в котором 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Тогда уравнение для энтропии использовать не нужно, а второе и третье равенства из системы (1.14) можно представить в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.15)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.16)
В дальнейшем (предполагая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415) будем считать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функцией скорости звука 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 : 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Введя обозначения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для величин, называемых правой и левой переменными Римана, получаем характеристическую форму уравнений одномерных нестационарных движений газа в переменных Римана:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.17)
Роли «неизвестных» функций здесь играют 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , а скорость v частиц газа и скорость звука a через них выражаются:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.18)
Для изоэнтропического движения совершенного газа с постоянными теплоемкостями имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Выбирая аддитивную постоянную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1.19)
Если рассматриваются одномерные бaротропные течения газа с плоскими волнами ( 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ), то правые части уравнений (1.17) обращаются в нуль. Это означает, что в данном случае величины r и l постоянны на C+- и на C-- характеристиках соответственно. Поэтому их называют также инвариантами Римана.
Пусть имеется некоторое решение уравнений одномерных нестационарных движений газа с плоскими волнами, в котором значение энтропии s постоянно. Рассмотрим другое, «возмущенное» решение, отличающееся от заданного в начальный момент t0 на некотором конечном интервале оси x . Тогда, в соответствии с вышесказанным, возмущения инварианта r будут переноситься по частицам вдоль C+ - характеристик (т.е. со скоростью звука - вправо), а возмущения инварианта l будут переноситься вдоль C- - характеристик (т.е. со скоростью звука - влево). Это означает, что интервал оси x , на котором два рассматриваемых решения различаются, с течением времени расширяется одновременно влево и вправо со скоростью звука (относительно частиц газа).
Заметим, что данный вывод справедлив лишь для непрерывных движений. В разрывных решениях уравнений газовой динамики, содержащих ударные волны, т.е. скачкообразные возмущения параметров газа, эти возмущения распространяются по частицам со сверхзвуковой скоростью (см. §4).
§ 2. Слабые разрывы

Использование уравнений (1.1)-(1.4) для описания одномерных движений газа предполагает непрерывную дифференцируемость функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вместе с тем, большой интерес представляют обобщенные решения уравнений газовой динамики. Структура этих решений следующая.
Область пространства, занятая движущимся газом, разбита на изменяющиеся со временем (вообще говоря) подобласти, в каждой из которых функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными. В то же время на поверхностях раздела этих подобластей либо сами указанные функции, либо какие-то их производные терпят разрыв. В первом случае границы раздела называются поверхностями сильного разрыва, а во втором – слабого разрыва.
Рассмотрим одномерное нестационарное движение газа, содержащее поверхность слабого разрыва Г . Закон движения этой поверхности представим в виде x = X(t) . Поскольку в точках, не принадлежащих Г , частные производные функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 удовлетворяют условиям (1.1) - (1.3), то в предположении, что на Г эти производные имеют, возможно, разрывы первого рода, а сами функции – непрерывны, из (1.1) - (1.3) получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.1)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.3)
Здесь квадратные скобки означают скачок заключенной в них величины при переходе через Г :
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Воспользуемся характеристической формой (1.13) уравнений одномерных нестационарных движений. Тогда для скачков производных по времени и по координате от скорости v и давления p получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.4)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.5)
С другой стороны, поскольку функции v(t, x) , p(t, x) , s(t, x) непрерывны, то их производные по t в направлении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывны на Г (приращения этих функций за одинаковые промежутки времени одинаковы в точках, лежащих на Г по разные стороны от этой поверхности ). Это означает, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.6)
Выражая отсюда скачки производных по времени и подставляя их в (2.3)-(2.5), будем иметь
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.7)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.8)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.9)
Очевидно, что, если в левых частях этих равенств равны нулю одновременно все вторые сомножители, то никакого слабого разрыва нет: скачки всех производных равны нулю. Поэтому в одном и только в одном из равенств (так как a
· 0 ) должен обращаться в нуль первый сомножитель. В результате получим три возможных случая.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом скорость слабого разрыва 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 совпадает с одной из характеристических скоростей: v , (v+a) или (v-a). Поэтому в плоскости (t; x) траекторией поверхности слабого разрыва служит одна из характеристик
C0 , C+ или С- .
Слабые разрывы первого типа перемещаются вместе с частицами газа. Слабые разрывы второго и третьего типа движутся относительно газа со скоростью звука a в противоположных направлениях.
На графиках зависимости s, v , p ,
· от координаты x (в какой-нибудь фиксированный момент времени) слабым разрывам соответствуют точки излома: на слабых разрывах первого типа претерпевают скачок производные от s и
· , а на остальных – производные от v , p и
· .
Тот факт, что линия слабого разрыва в плоскости (t; x) совпадает с одной из характеристик уравнений газовой динамики, можно пояснить следующим образом.
Пусть известно решение в области по одну сторону от какой-либо характеристики C . Тогда по данным на этой характеристике невозможно однозначно восстановить значения производных от v , p ,
· в направлении нормали к линии C . Это означает, что продолжить решение в область, находящуюся по другую стороны от характеристики можно разными способами. В частности, для «продолженного» решения некоторые его производные могут иметь на линии C разрывы первого рода.

§ 3. Волны Римана. Градиентная катастрофа. Теорема о примыкании.

Рассмотрим баротропное ( p=p(
·) ) движение газа с плоскими волнами (
·=1 ), в котором один из инвариантов Римана, например l , постоянен во всем течении:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.1)
Тогда вдоль любой C+ - характеристики сохраняют постоянными свои значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то есть остаются постоянными скорость v и плотность
· . Это означает, что на такой характеристике 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Поэтому в рассматриваемом течении все характеристики семейства C+ прямолинейны и вдоль каждой из них параметры газа постоянны. Течение такого типа называется простой волной, или волной Римана.
Изучим его подробнее. Будем предполагать, что различным C+ - характеристикам отвечают разные значения плотности
· , а значит и разные v , a , r . Тогда рассматриваемое решение уравнений одномерного неустановившегося баротропного движения газа с плоскими волнами можно представить в неявном виде:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (3.2)
где f - произвольная, вообще говоря, функция.
Здесь в первом равенстве инвариант Римана l выражен в виде функции скорости v частиц и скорости звука a (для изоэнтропического движения совершенного газа с постоянными теплоемкостями соответствующее выражение приведено в (1.19)). Значение f1=f(v1) функции f(v) при любом v1 имеет смысл абсциссы точки пересечения с осью x той С+- характеристики, вдоль которой v
· v1 .
Задаваясь конкретным видом зависимости f(v) и разрешая (3.2) относительно v и a , можно получить явный вид решения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Например, в случае f(v)
· 0 из равенств (см. (1.19))
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
следует
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.3)
Одномерное изоэнтропическое течение совершенного газа, описываемое формулами (3.3), называется центрированной волной Римана, или центрированной простой волной (с центром в точке O(0;0) на плоскости независимых переменных (t; x) ). В этом решении все прямолинейные C+ - характеристики выходят из начала координат, причем моменту t = 0 отвечает особенность (неоднозначность) при x=0 .
Аналогично (если f(v)
· 0 ) можно построить решение в виде центрированной простой волны и в случае любой другой баротропной зависимости p(
·) .
Выше были рассмотрены простые волны, распространяющиеся по частицам газа слева направо (в сторону растущих значений координаты x ). Таким волнам отвечает условие (3.1). Если же принять условие
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.4)
то получим решение в виде волны Римана, распространяющейся по газу влево:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (3.5)
где g(v) - произвольная функция. Все определения и выводы, относящиеся к волнам Римана, бегущим вправо, переносятся также на волны, распространяющиеся влево.
При прохождении простой волны по частицам газа (а движется эта волна со скоростью звука) плотность и давление могут как увеличиваться, так и уменьшаться. В первом случае волна Римана называется волной сжатия, а во втором – волной разрежения.
Рассмотрим, например, волну сжатия, распространяющуюся по газу вправо. Ограничимся случаем совершенного газа с постоянными теплоемкостями. При переходе с одной C+ - характеристики на другую в сторону растущих значений x плотность
· должна уменьшаться:
·
·/
·x < 0 (слева находится более плотный газ). Поскольку давление и скорость звука пропорциональны соответственно
·
· и
·(
·-1)/2 (причем
· >1 ), то изменения давления и скорости звука имеют такой же знак, как и изменения плотности, т.е.
·p/
·x < 0 ,
·a/
·x < 0 . Далее, в силу равенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем
·v/
·x < 0 . Таким образом
·(v+a)/
·x < 0 , т.е. с ростом x (при фиксированном t ) угол между осью x и C+ - характеристиками растет. Это означает, что семейство прямолинейных C+ - характеристик образует сходящийся кверху веер (рис. ).
В случае волны разрежения, распространяющейся по газу вправо, знаки всех неравенств заменяются на противоположные. Получаем расходящийся кверху веер прямолинейных С+ - характеристик (рис. ).

Точно так же, если простая волна разрежения (сжатия) распространяется по газу влево, то прямолинейные С- - характеристики образуют расходящийся (сходящийся) кверху веер.
Отметим, что полученный для совершенного газа вывод переносится и на более общий случай нормального газа (определение нормального газа см., например, в /Черный, Овсянников/):
простая волна сжатия изображается в плоскости (x; t) веером сходящихся прямолинейных характеристик, а простая волна разрежения – расходящимся веером.
Поскольку в простой волне сжатия прямолинейные акустические характеристики, принадлежащие одному семейству, сближаются с ростом времени t , то неизбежно наступает момент пересечения этих характеристик. В таком случае говорят, что простая волна опрокидывается. Факт пересечения характеристик одного семейства означает, что в одной точке пространства одновременно наблюдаются, по меньшей мере, два различных значения плотности, давления и скорости. Действительно, в простой волне вдоль каждой прямолинейной характеристики эти параметры сохраняются, а при переходе с одной характеристики на другую их значения меняются. Если различные характеристики, принадлежащие одному семейству неограниченно сближаются, но градиенты плотности, давления и скорости газа возрастают до бесконечности (при этом сами значения
· , v , p остаются ограниченными). Такое явление называется градиентной катастрофой. Опрокидывание волны Римана наглядно представлено на рис. , где показанa эволюция во времени графика зависимости давления p от координаты x в волне, распространяющейся по газу вправо. Моменты времени t1 , t2 , t3 , t4 упорядочены в возрастающем порядке, причем t3 как раз отвечает градиентной катастрофе (у графика появляется вертикальная касательная).


На самом деле в реальном течении газа неоднозначности в распределении плотности, давления или скорости быть не может. Поэтому градиентная катастрофа свидетельствует о неудовлетворительности принятой математической модели. Выходом из этой ситуации является рассмотрение обобщенных решений уравнений газовой динамики, содержащих поверхности сильного разрыва (см. § 4).
В задачах об одномерных нестационарных движениях газа типичной является ситуация, когда по однородному (покоящемуся либо движущемуся) газу распространяются возмущения, вызванные некоторыми определенными причинами. Рассмотрим случай непрерывного движения (без сильных разрывов).
Теорема о примыкании. Изоэнтропическое движение газа с плоскими волнами, непрерывно граничащее с постоянным течением и не являющееся таковым, есть простая волна.
Сначала докажем следующее утверждение.
Теорема. Если в непрерывном течении газа с плоскими волнами имеется прямолинейная акустическая характеристика с постоянными значениями скорости, плотности и давления вдоль нее, то по любую сторону от этой характеристики вблизи нее течение либо постоянно, либо является простой волной.
Доказательство. Пусть AB - отрезок прямолинейной акустической характеристики с постоянными значениями v ,
· , p , принадлежащей, например, семейству C+ . Поскольку s=s(
·, p) , то на AB энтропия постоянна и в области
·s плоскости (x; t), через которую проходят C0 - характеристики, пересекающие отрезок AB , течение является изоэнтропическим. С другой стороны, C- - характеристики, пересекающие отрезок AB , переносят одно и то же значение инварианта l (вдоль AB: l=const). Обозначим
·l область, занятую такими характеристиками. Тогда в пересечении областей
·s и
·l движение газа представляет собой либо простую волну, распространяющуюся по газу вправо, либо однородный поток. Возможен случай, когда с одной стороны от AB находится однородный поток, а с другой – простая волна. В этом случае AB является линией слабого разрыва.
Если AB - прямолинейный отрезок C- - характеристики, рассмотрение проводится аналогично. Теорема доказана.
Доказательство теоремы о примыкании.
В плоскости переменных x , t при непрерывном движении газа линией, отделяющей однородный поток от неоднородного, может быть только характеристика одного из трех семейств ( C+ , C- или C0 )- слабый разрыв. Но в силу предположения об изоэнтропичности потока производная
·s/
·x всюду равна нулю, поэтому линией слабого разрыва является акустическая характеристика. Причем вдоль этой характеристики все параметры газа постоянны, так как с одной стороны к ней примыкает однородный поток. Значит, данная характеристика прямолинейна. Тогда по доказанной только что теореме с другой стороны к этой характеристике примыкает волна Римана. Утверждение доказано.
Приведенные выше теоремы объясняют ту важную роль, которую играют при рассмотрении одномерных нестационарных движений газа простые волны.

§ 4. Задача о поршне.
В газовой динамике подвижную непроницаемую для частиц среды поверхность принято называть поршнем.
Граничное условие, которому удовлетворяет скорость газа на поршне в случае одномерных течений, имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.1)
где xП - координата поршня.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть полупространство x>0 занято однородным покоящимся газом. Его параметры помечаем индексом 0: p0 ,
·0 , a0 , v0=0. Например, это может быть газ в полубесконечной цилиндрической трубе, ось которой направлена по координатной оси x, ограниченный непроницаемой плоской поверхностью (поршнем) x=0. Предположим, что, начиная с момента t=0 , поршень приходит в движение с нулевой начальной скоростью (случай 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 рассмотрим позже).
Тогда звуковая характеристика ОА : x=a0t будет отделять невозмущенный газ от возмущенного (рис. ). По теореме о примыкании, течение в окрестности этой характеристики слева от нее представляет собой простую волну. Вплоть до момента градиентной катастрофы (если таковая возникает) либо на всем полубесконечном интервале времени 0· (если движение остается непрерывным) удельная энтропия s и инвариант l сохраняют свои значения постоянными:
s(t;x)
·s0 , l(t;x)
·l0 . (4.2)
Действительно, изоэнтропичность рассматриваемого течения следует из его адиабатичности и непрерывности, а также из однородности распределения энтропии по частницам в начальный момент времени, а постоянство инварианта l во всем потоке – из равенства значений l на всех C-- характеристиках, которые приходят в область плоскости (x;t), “занятую” возмущенным газом, из области, отвечающей невозмущенному однородному состоянию.
Пусть скорость поршня во все время движения переменна. Тогда течением в виде простой волны, распространяющейся по газу вправо, будет занята вся часть OAB плоскости (x;t), находящаяся между траекторией поршня OB и передним фронтом возмущения OA (рис. ).


Заметим, что траектория OB поршня является C0 - характеристикой (в силу условия равенства скорости поршня и скорости частиц газа, контактирующих с поршнем). Именно поэтому характеристики семейства С+ уходят от поршня (с ростом времени t ), а характеристики семейства C- приходят к поршню.
Пусть закон движения поршня xП(t) задан, то есть известно уравнение линии OB . Для удобства ограничимся рассмотрением случая совершенного газа с показателем адиабаты
· .
Обозначим u скорость поршня (точнее, ее проекцию на ось x ). Из равенств 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно выразить t и xП в виде функций от u: t=t(u), xП=xП(t) . Подставляя эти выражения во второе равенство (3.2), выразив предварительно a через v из первого равенства (3.2), которое в данном случае имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.3)
В результате получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Знание зависимости f(u) (или, что то же самое, f(v) ) позволяет полностью описать течение возмущенного газа в виде волны Римана (см. §3).
Таким образом решается задача о поршне для случая, когда возникающее движение газа не содержит сильных разрывов (ударных волн). Если разрывы все же возникают, то полученное решение годится на интервале времени от начала движения поршня до момента наступления первой градиентной катастрофы.
Когда поршень выдвигается из газа достаточно быстро, возможным становится отрыв частиц газа от поршня. Нетрудно заметить, что модуль направленной влево скорости частиц не может превышать значения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.4)
поскольку в равенстве (4.3) скорость звука a не может быть отрицательной. Величина (4.4) называется скоростью нестационарного истечения газа в вакуум. На границе газ-вакуум давление, плотность и скорость звука (при адиабатическом движении) обращаются в нуль. Если поршень выдвигается со скоростью большей, чем vmax , то между ним и областью, занятой газом, образуется зона вакуума.
В предельном случае, когда поршень с самого начала движения имеет скорость, большую, чем vmax , направленную влево, газ будет двигаться точно так же, как если бы в момент t=0 мгновенно исчезла перегородка, отделяющая полупространство x>0 , занятое однородным покоящимся газом, от полупространства x<0 , в котором газ отсутствует. Возникающее течение представляет собой центрированную простую волну и описывается формулами (3.3), в которых следует положить l0=-2a0/(
·-1) . Такое течение естественно называть нестационарным истечением газа в вакуум. Область, занятая в момент t движущимся газом, определяется условием
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а зависимости скорости частиц и скорости звука от t , x имеют вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.5)
Формулами (4.5) описывается центрированная простая волна в задаче о поршне, выдвигающемся с постоянной скоростью из трубы с газом. Причем задний фронт центрированной волны Римана распространяется со скоростью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . В плоскости (x; t) ему отвечает C+-характеристика OE (рис. ).
Течение между этим фронтом и поршнем представляет собой однородный поток, скорость в котором равна скорости поршня (область BOE на рис. ).


Перейдем теперь к случаю движения поршня в сторону области, занятой покоящимся газом. Возникающая здесь простая волна является волной сжатия, поэтому в какой-то момент времени обязательно произойдет градиентная катастрофа. Эта катастрофа, сопровождающаяся появлением ударной волны, может наступить и в начальный момент t=0, если поршень приходит в движение с ненулевой начальной скоростью.
Начнем с рассмотрения последнего случая. Пусть скорость поршня постоянна: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при t>0 . Данная задача допускает решение, в котором невозмущенный газ отделен от движущегося ударной волной, интенсивность которой не зависит от времени и определяется скоростью поршня. (Доказательство единственности этого решения см., например, в [Овсянников, с. 206, § 18]). Весь газ, находящийся за фронтом ударной волны движется с одной и той же постоянной скоростью – скоростью поршня (рис.___).


Определим параметры возмущенного газа по заданным значениям
·0 , p0 ,
· и скорости поршня vП . Для этого воспользуемся условиями на ударной волне, выражающими непрерывность плотности потока массы, импульса и энергии через поверхность сильного разрыва [Седов I; Черный; Овсянников; Ландау, Лифшиц].
В подвижной системе отсчета, связанной с поверхностью разрыва, указанные условия записываются в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Здесь
·i , vi , pi ( i=1,2 ) – предельные значения плотности, скорости и давления газа при подходе к поверхности разрыва с одной и другой стороны.
В неподвижной системе отсчета, обозначая скорость фронта ударной волны D , будем иметь
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.6)
где
· , p и v=vП - плотность, давление и скорость газа, находящегося между поршнем и ударной волной.
Из первого равенства получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.7)
Второе равенство с учетом первого приводит к соотношению
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.8)
Тогда последнее условие (4.6) приобретает вид квадратного уравнения относительно D :
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решая его (учитывая, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ), получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.9)
Подставляя данное выражение D в (4.7), (4.8), найдем зависимости для плотности и давления сжатого ударной волной газа от скорости поршня.
В предельном случае vП >> a0 быстро выдвигающегося поршня скорость ударной волны оказывается прямо пропорциональной скорости поршня: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Тогда из (4.7) получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , что, как известно, соответствует максимально возможной степени сжатия газа в ударной волне.
В другом предельном случае vП << a0 скорость ударной волны приблизительно равна скорости звука: D
· a0 . Этот вывод вполне очевиден, если учесть, что слабые возмущения распространяются по сжимаемой среде как раз со скоростью звука. Менее очевидной представляется оценка для скачка давления в слабой ударной волне. Из (4.8) получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4.10)
Тогда, например, для воды, в которой при нормальных условиях скорость звука – около 1400 м/с, а плотность массы – 1000 кг/м3, при скорости поршня 1 м/с скачок давления составляет
·p
· 1,4
·106 Па, что примерно в 14 раз больше атмосферного давления. Такое явление носит название гидравлического удара и наблюдается при резком закрывании (или неисправности) запорных устройств в водопроводных сетях или в трубопроводах. Внезапно появляющаяся на пути потока жидкости в трубе преграда «превращается» во вдвигающийся поршень, если систему отсчета связать с движущейся жидкостью. В некоторых случаях гидравлический удар приводит к разрыву трубопроводов.

§ 5. Безударное сжатие газа. Движение с однородной деформацией.

Задача о поршне, несмотря на относительную простоту, находит применение во многих проблемах, связанных с быстропротекающими процессами в сжимаемых средах. Так, например, движение среды, возникающее при взрыве, можно приближенно описывать, моделируя границу области, занятой продуктами взрыва, расширяющимся поршнем. Изучение установившегося гиперзвукового обтекания летательных аппаратов и других тонких тел с использованием «закона плоских сечений» [Ильюшин, Черный] сводится к рассмотрению нестационарного течения газа, вызванного расширяющимся цилиндрическим поршнем.
Проблема осуществления быстрого и сильного сжатия некоторого материального объема также может рассматриваться с использованием решения газодинамической задачи о поршне. Подобные задачи актуальны, например, в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза. Для того, чтобы инициировать реакцию синтеза ядер, нужно сжать термоядерную «мишень» до очень высоких значений плотности при температуре в несколько миллионов градусов.
Конечно, в указанных проблемах следует рассматривать сферический, цилиндрический или, вообще, неодномерный поршень. Для простоты, мы ограничимся изучением лишь задачи о плоском поршне. Следует отметить, однако, что многие качественные выводы могут быть перенесены с этого простейшего частного случая на более общие.
Рассмотрим задачу о плоском поршне, который движется с нулевой начальной скоростью в сторону области, занятой однородным покоящимся газом. Исследуем случай, когда момент наступления градиентной катастрофы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отличен от начального t0=0 .
Как и для выдвигающегося из газа поршня, возникающее течение представляет собой простую волну (3.2). Однако теперь это будет волна сжатия (а не разрежения), в которой прямолинейные характеристики семейства C+ образуют сходящийся веер.
В случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями решение строится точно так же, как и в предыдущем параграфе: конкретный вид функции f(v) из (3.2) определяется законом движения поршня xП=xП(t) .
Если провести огибающую L семейства прямолинейных C+- характеристик в плоскости (x; t) , то момент 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 образования ударной волны (момент наступления градиентной катастрофы) можно определить как минимальное значение t-координаты точек на этой огибающей. Месту зарождения ударной волны отвечает координата 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки на линии L с минимальной t-координатой (рис. ) [Черный; Ландау, Лифшиц].


Начиная с момента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , течение газа становится разрывным. Отметим, что траектория фронта УВ в (x;t)-плоскости (на рисунке не показана) располагается правее огибающей L , а C+- характеристики, лежащие слева от этой траектории, уже не являются прямолинейными (течение за УВ уже не есть волна Римана).
Особый интерес представляет случай, когда точка (13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415) расположена непосредственно на характеристике OA , которая является передним фронтом волны Римана.

В этом случае имеем мгновенное "превращение" слабого разрыва (каким является фронт ВР) в сильный разрыв – ударную волну. Наглядно такой процесс иллюстрируется графиком зависимости давления p от координаты x в следующие друг за другом моменты времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(рис. ).

Подбирая нужным образом закон движения поршня xП(t) , можно добиться сколь угодно сильного сжатия газа в простой волне. Например, ситуации, показанной на рис. , отвечает сжатие в центрированной простой волне (с центром в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ) до бесконечного давления и бесконечной плотности газа, занимавшего первоначально область 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь мы имеет дело с безударным изоэнтропическим сжатием газа поршня [Овсянников].


Другой интересный пример безударного сжатия конечного объема газа до сколь угодно больших значений плотности и давления может быть описан в классе решений с однородной деформацией. [Седов "Методы подобия"].
В отличие от предыдущего рассмотрения, не будет предполагать постоянства плотности и давления в начальный момент времени.
Движением с однородной деформацией в газовой динамике называют такое течение газа, в котором скорость является в любой момент времени линейной однородной функцией прямоугольных декартовых координат
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.1)
Тогда тензор скоростей деформаций зависит только от времени и не зависит от координат частицы среды:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если связь между эйлеровыми и лагранжевыми координатами имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 i = 1, 2, 3, (5.2)
то компоненты скорости определяется из равенств
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – элементы матрицы, обратной к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда условие (5.1) выполняется, если положить
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рассмотрим частный случай – одномерное движение газа с однородной деформацией. Тогда матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 представима в одной из трех форм
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Первый вариант соответствует движению газа с плоскими волнами (
·=1 ), второй – движению с цилиндрическими волнами (
·=2 ), третий – движению со сферическими волнами (
·=3 ).
Закон движения сплошной среды имеет в этом случае вид (x - эйлерова,
· - лагранжева координата)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.3)
а скорость оказывается пропорциональной координате:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.4)
Запишем уравнение неразрывности в переменных Лагранжа [Седов]:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Учитывая, что в рассматриваемом случае
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.5)
При непрерывном адиабатическом движении совершенного газа с показателем адиабаты
· значение отношения p/
·
· в любой частице с течением времени не меняется.
Поэтому давление может быть выражено в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.6)
Воспользуемся теперь уравнением импульсов (1.2). Сначала преобразуем участвующие в нем слагаемые:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В силу (1.2), получаем равенство
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Разделяя переменные, приходим к системе
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.7)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.8)
Интегрируя первое уравнение, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.9)
Второе уравнение легко интегрируется, если обе его части умножить на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 :
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.10)
Извлекая квадратный корень и интегрируя еще раз, получаем в неявной форме зависимость R(t) :
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.11)
Найденное частное решение уравнений газовой динамики содержит одну произвольную функцию лагранжевой координаты
·0(
·) и произвольные постоянные: p0(
·0) , C , A , R0 .
Этим решением может быть описан, например, разлет газового облака в вакуум либо процесс сжатия некоторого объема газа изменяющимся во времени внешним давлением. Первому случаю отвечает условие C < 0, A > 0, а второму - C > 0 .
В частности, если положить
·0(
·)
·
·0=const , то согласно (5.9) зависимость давления от координаты будет квадратичной:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При C > 0 давление растет с удалением от центра, а при C < 0 - падает и обращается в нуль, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (этому значению лагранжевой координаты отвечает граница между газом и вакуумом).
Характер движения границы газового объема определяется уравнениями (5.3), (5.11), где нужно положить
·=
·гр. .
При разлете в вакуум скорость движения границы асимптотически (при t
·) стремится к постоянному значению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Это видно из (5.4), (5.10), поскольку
·(1-
·) < 0 и поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при R
· .
Если конечный газовый объем сжимается из состояния покоя растущим во времени внешним давлением ( C > 0 ), то за время
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где R0 - корень уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=0 , все частицы оказываются в центре x=0 , а плотность и давление обращаются в бесконечность: происходит коллапс газового облака. В момент схлопывания внешнее давление тоже становится бесконечно большим.
ЛИТЕРАТУРА
Черный Г.Г. Газовая динамика. – М.: Наука, 1988.
Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 т.). Т. VI. Гидродинамика. – М.: Наука, 1986.
Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. – М.: Наука, 1978.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. – М.: Наука, 1987.
Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А. и др. Механика сплошных сред в задачах. В 2-х томах (Под ред. Эглит М.Э.) – М.: «Московский Лицей», 1996.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977.
Колоколов И.В., Кузнецов Е.А., Мильштейн А.И. и др. Задачи по математическим методам физики. – М.: КомКнига, 2007.
Атанов Г.А. Газовая динамика. – К.: Выща шк., 1991.
Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны.-
М.: Изд-во иностранной литературы, 1950.








13PAGE 14215


13PAGE 143015




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeBEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18242086
    Размер файла: 619 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий