lekcii-po-kursu-dinamiki

ДИНАМИКА
Лекция 1
Краткое содержание: Введение в динамику. Аксиомы классической механики. Системы единиц. Дифференциальные уравнения движения точки. Основные задачи динамики. Основные виды прямолинейного движения точки.

Введение
В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка.
Материальная точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.
Более сложные материальные объекты – механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.
Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.
Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

Аксиомы классической механики
Первая аксиома или закон инерции. Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.
Материальная точка, на которую действует равновесная система сил, называется изолированной материальной точкой.
Равномерное и прямолинейное движение точки называется движением по инерции.
Вторая аксиома или основной закон динамики. Ускорение материальной точки относительно инерционной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе.
13 EMBED Equation.3 1415
Положительный коэффициент пропорциональности m, характеризует инертные свойства материальной точки и называется массой точки.


Рис. 1-1
Масса не зависит от характеристик движения точки и от природы сил. Масса считается постоянной величиной и зависит только от самой материальной точки.
Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении с ней или на расстоянии через посредство силовых полей.
Третья аксиома или закон о равенстве сил действия и противодействия. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению. 13 EMBED Equation.3 1415


Рис. 1-2

Четвертая аксиома или закон независимого действия сил. При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Аксиомы классической механики хорошо согласуются с результатами опытов.
Системы единиц

СГС
Си
Техническая

[L]
см
м
м

[M]
г
кг
Т.е.м.

[T]
сек
сек
сек

[F]
дина
Н
кГ

[v]
см/сек
м/сек
м/сек

[a]
см/сек2
м/сек2
м/сек2

[L]





1 кГ = 9.8 Н, 36 км/час = 10 м/сек, 1 Т.е.м. = 9.8 кг
Дифференциальные уравнения движения точки.
Основное уравнение динамики 13 EMBED Equation.3 1415
можно записать так 13 EMBED Equation.3 1415 или так 13 EMBED Equation.3 1415
Проецируя уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 на оси координат получаем
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
так как 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Частные случаи:
А) Точка движется в плоскости. Выбираем в плоскости координаты xOy получаем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Б) Точка движется по прямой. Выбираем на прямой координату Ox получаем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Основное уравнение динамики 13 EMBED Equation.3 1415 можно спроецировать на естественные подвижные оси.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Эта форма уравнений удобна для исследования некоторых случаев полета снарядов и ракет.

Основные задачи динамики
Первая или прямая задача:
Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу.
m 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вычисляем вторые производные по времени от координат точки, умножаем их на массу и получаем проекции силы на оси координат
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Зная проекции силы на оси координат, определяем модуль силы и ее направляющие косинусы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1: Движение точки в плоскости xOy определяется уравнениями:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415время.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 - Уравнение траектории в координатной форме (эллипс).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2: Точка, имеющая массу 13 EMBED Equation.3 1415, движется из состояния покоя по окружности радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 с постоянным касательным ускорением 13 EMBED Equation.3 1415. Определить действующую на точку силу в момент, когда она пройдет по траектории расстояние 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Применяя дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; следовательно 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; следовательно
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вторая или обратная задача:
Известна масса точки и действующая на точку сила, необходимо определить закон движение этой точки.
Рассмотрим решение этой задачи в декартовой системе координат. Сила зависит от времени, координат точки, ее скорости и других причин.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных: 13 EMBED Equation.3 1415
Каждая из координат 13 EMBED Equation.3 1415 движущейся точки после интегрирования системы уравнений зависит от времени и всех шести произвольных постоянных, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
К этим уравнениям необходимо добавить начальные условия:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Используя эти начальные условия можно получить шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных 13 EMBED Equation.3 1415.

Основные виды прямолинейного движения точки
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Оx имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, Начальные условия 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Наиболее важные случаи.
1. Сила постоянна. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Имеем равнопеременное движение (движение с постоянным ускорением)
2. Сила зависит от времени. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. Сила зависит от координаты или скорости.
Силу, зависящую от координаты х 13 EMBED Equation.3 1415, создают упругие тела при их деформации (например, сжатая или растянутая пружина). 13 EMBED Equation.3 1415
Сила, зависящая от скорости движения 13 EMBED Equation.3 1415, это сила сопротивления (воздуха, воды и т.д.)
В этих случаях решение задачи упрощается.
Лекция 2
Краткое содержание: Свободные колебания без сопротивления. Понятие о фазовой плоскости. Свободные колебания в поле постоянной силы. Параллельное включение упругих элементов. Последовательное включение упругих элементов. Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс. Свободные колебания с вязким сопротивлением. Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.

Свободные колебания без сопротивления
Существуют устройства (упругие элементы), которые создают силу пропорциональную их удлинению. 13 EMBED Equation.3 1415, Эту силу называют восстанавливающей или центральной силой. Коэффициент пропорциональности называется жесткостью упругого элемента.

Дифференциальное уравнение движения точки с массой 13 EMBED Equation.3 1415, закрепленной на упругом элементе, имеет вид:

Рис. 2-1
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Начальные условия имеют вид: при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Это дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки без сопротивления.
Характеристическое уравнение имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Корни характеристического уравнения равны: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - амплитуда колебаний; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - круговая или циклическая частота колебаний (собственная частота). Измеряется в 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - фазовый угол (или просто фаза).
13 EMBED Equation.3 1415 - период колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415 - частота колебаний (1 кол./cек=1 Гц)

Рис. 2-2
Движение материальной точки – это свободные гармонические колебания с постоянной амплитудой. Амплитуда колебаний зависит от начальных условий и круговой частоты.

Понятие о фазовой плоскости
Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени 13 EMBED Equation.3 1415 не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.
Состояние системы в любой фиксированный момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 определяется парой соответствующих значений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, если откладывать по оси абсцисс координату 13 EMBED Equation.3 1415, а по оси ординат –скорость 13 EMBED Equation.3 1415. Такая плоскость называется фазовой.
В процессе движения рассматриваемой системы величины 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.
Для построения фазовой траектории при заданном законе движения 13 EMBED Equation.3 1415 нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости 13 EMBED Equation.3 1415, а затем исключить время из двух уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 и описывает фазовую траекторию данного движения.
Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости.
Совокупность фазовых траекторий , которая описывает все возможные движения данной системы, называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы.
Для свободных гармонических колебаний 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415. Исключая из этих выражений время 13 EMBED Equation.3 1415 получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение эллипса. Его полуоси зависят от амплитуды и круговой частоты.





Рис. 2-3
Свободные колебания в поле постоянной силы
На материальную точку кроме упругой силы, действует сила постоянная по величине и направлению.

Рис. 2-4
Обозначим ее 13 EMBED Equation.3 1415 , тогда дифференциальное уравнение движения точки примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Начальные условия имеют вид: при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение складывается из решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
Если начало отсчета координаты сдвинуть на 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда в новой системе отсчета решение будет иметь вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - амплитуда колебаний;

Рис. 2-5

Параллельное включение упругих элементов
Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных параллельно.

Рис. 2-6
Сместим массу на расстояние 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Результирующая жесткость упругих элементов расположенных параллельно равна сумме жесткостей этих элементов..

Последовательное включение упругих элементов
Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных последовательно.


Рис. 2-7

Рис. 2-8


Сместим массу на расстояние 13 EMBED Equation.3 1415. В упругих элементах возникает восстанавливающая (упругая) сила 13 EMBED Equation.3 1415, одинаковая для обоих элементов. Первый упругий элемент изменит длину на 13 EMBED Equation.3 1415, второй - на 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415
Обратная величина результирующей жесткости упругих элементов расположенных последовательно равна сумме обратных величин жесткостей этих элементов.
Обратная величина жесткости упругого элемента называется податливостью этого элемента.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Результирующая податливость упругих элементов расположенных последовательно равна сумме податливостей этих элементов..

Вынужденные колебания без сопротивления
Рассмотрим движение точки под действием двух сил: одна восстанавливающая, другая зависит от времени. 13 EMBED Equation.3 1415 - гармоническая возмущающая сила.
13 EMBED Equation.3 1415 - амплитуда возмущающей силы.
13 EMBED Equation.3 1415 - круговая частота возмущающей силы.

Рис. 2-9

Дифференциальное уравнение движения точки с массой 13 EMBED Equation.3 1415, закрепленной на упругом элементе, под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Задавая решение уравнения в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим его на массу и обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и окончательно
13 EMBED Equation.3 1415 - амплитуда вынужденных колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415 - частота собственных колебаний
Материальная точка колеблется с амплитудой 13 EMBED Equation.3 1415 и частотой возмущающей силы 13 EMBED Equation.3 1415.
Построим зависимость модуля амплитуды 13 EMBED Equation.3 1415от частоты возмущающей силы 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис. 2-10
Модуль амплитуды вынужденных колебаний возрастает от 13 EMBED Equation.3 1415 (при 13 EMBED Equation.3 1415) до бесконечности (при 13 EMBED Equation.3 1415) и убывает от бесконечности (при 13 EMBED Equation.3 1415) до нуля (при 13 EMBED Equation.3 1415).
Явление, когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы, называется резонансом.


Свободные колебания с вязким сопротивлением
Существуют устройства (демпферы), которые создают силу пропорциональную относительной скорости. 13 EMBED Equation.3 1415. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом вязкого сопротивления.
Дифференциальное уравнение движения точки с массой 13 EMBED Equation.3 1415, закрепленной на упругом элементе и демпфере имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415


Рис. 2-11
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Начальные условия имеют вид: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Характеристическое уравнение имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Корни характеристического уравнения равны: 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим возможные решения:
1-й случай 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 14,15 13 EMBED Equation.3 1415
Решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - условная амплитуда затухающих колебаний;


Рис. 2-12

13 EMBED Equation.3 1415 - круговая или циклическая частота затухающих колебаний Измеряется в 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - фазовый угол (или просто фаза). 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - период затухающих колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415 - частота колебаний (1 колеб/cек=1 Гц)
13 EMBED Equation.3 1415 - декремент колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415 - логарифмический декремент колебаний.
Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 13 EMBED Equation.3 1415 и амплитудой, величина которой все время убывает.
Движение изображающей точки на фазовой плоскости показано на Рис. 2-13 .





Рис. 2-13

2-й случай 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Материальная точка совершает затухающее неколебательное движение. Рис. 2-14.

Рис. 2-14
3-й случай 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (два одинаковых корня)
Решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Материальная точка так же совершает затухающее неколебательное движение. Рис. 2-14.

Вынужденные колебания с вязким сопротивлением
Рассмотрим движение точки под действием трех сил: одна восстанавливающая сила, вторая - сила демпфирования (сила вязкого сопротивления), а третья зависит от времени. 13 EMBED Equation.3 1415 - гармоническая возмущающая сила.
13 EMBED Equation.3 1415 - амплитуда возмущающей силы.
13 EMBED Equation.3 1415 - круговая частота возмущающей силы.
Дифференциальное уравнение движения точки с массой 13 EMBED Equation.3 1415, закрепленной на упругом элементе и демпфере, под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 2-15
Задавая решение уравнения в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим его на массу и обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и окончательно
13 EMBED Equation.3 1415 - амплитуда вынужденных колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415 - частота собственных колебаний
Материальная точка колеблется с амплитудой 13 EMBED Equation.3 1415 и частотой возмущающей силы 13 EMBED Equation.3 1415.
Построим зависимость модуля амплитуды 13 EMBED Equation.3 1415от частоты возмущающей силы 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис. 2-16
Модуль амплитуды вынужденных колебаний возрастает от 13 EMBED Equation.3 1415 (при 13 EMBED Equation.3 1415) до некоторой величины, а затем убывает до нуля (при 13 EMBED Equation.3 1415).
Лекция 3
Краткое содержание: Общие теоремы динамики точки. Количество движения точки. Элементарный и полный импульс силы. Теорема об изменении количества движения точки. Момент количества движения точки. Теорема об изменении момента количества движения точки. Работа силы. Мощность. Кинетическая энергия точки. Теорема об изменении кинетической энергии точки. Принцип Даламбера для материальной точки

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Для решения многих задач динамики вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.
Количество движения точки
Количеством движения материальной точки 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор, равный произведению массы точки 13 EMBED Equation.3 1415 на ее скорость 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.
Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Единицей измерения количества движения в СИ является – 13 EMBED Equation.3 1415

Элементарный и полный импульс силы.
Действие силы 13 EMBED Equation.3 1415 на материальную точку в течении времени 13 EMBED Equation.3 1415 можно охарактеризовать элементарным импульсом силы 13 EMBED Equation.3 1415.
Полный импульс силы 13 EMBED Equation.3 1415 за время 13 EMBED Equation.3 1415, или импульс силы 13 EMBED Equation.3 1415, определяется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. (Полный интеграл за время 13 EMBED Equation.3 1415 от элементарного импульса).
В частном случае, если сила 13 EMBED Equation.3 1415 постоянна и по величине , и по направлению (13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415.
Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Единицей измерения импульса в СИ является – 13 EMBED Equation.3 1415

Теорема об изменении количества движения точки.
Теорема. Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.
Запишем основной закон динамики 13 EMBED Equation.3 1415в виде 13 EMBED Equation.3 1415. Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, (*)
что и требовалось доказать.
В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема импульсов (в дифференциальной форме). Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.
Умножим левую и правую части уравнения (*) на 13 EMBED Equation.3 1415и получим
13 EMBED Equation.3 1415 (**)
В проекциях на координатные оси получаем:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема импульсов (в интегральной форме). Изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени.
Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до 13 EMBED Equation.3 1415 получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
В проекциях на координатные оси получаем:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Момент количества движения точки.
В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.
Моментом количеством движения материальной точки 13 EMBED Equation.3 1415относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый равенством 13 EMBED Equation.3 1415
Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом.
Момент количества движения относительно какой-либо оси 13 EMBED Equation.3 1415, проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения 13 EMBED Equation.3 1415 на эту ось 13 EMBED Equation.3 1415.
Если количество движения 13 EMBED Equation.3 1415 задано своими проекциями 13 EMBED Equation.3 1415 на оси координат и даны координаты 13 EMBED Equation.3 1415 точки 13 EMBED Equation.3 1415 в пространстве, то момент количества движения 13 EMBED Equation.3 1415 относительно начала координат вычисляется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415Проекции момента количества движения 13 EMBED Equation.3 1415на оси координат равны:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Единицей измерения количества движения в СИ является – 13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема об изменении момента количества движения точки.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство: Продифференцируем момент количества движения по времени 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, (*)
что и требовалось доказать.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.
Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (*) на эту ось. Для оси 13 EMBED Equation.3 1415это будет выглядеть так: 13 EMBED Equation.3 1415
Следствия из теорем:
1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Работа силы. Мощность.
Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.
Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415

Единицей измерения работы в СИ является – 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Частные случаи: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы.
Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы.
13 EMBED Equation.3 1415
Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.
13 EMBED Equation.3 1415
Если сила 13 EMBED Equation.3 1415 задана своими проекциями (13 EMBED Equation.3 1415) на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями (13 EMBED Equation.3 1415) на оси координат, то элементарная работа силы равна:
13 EMBED Equation.3 1415 (аналитическое выражение элементарной работы).
Работа силы на любом конечном перемещении 13 EMBED Equation.3 1415 равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.
13 EMBED Equation.3 1415
Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.
Единицей измерения мощности в СИ является – 13 EMBED Equation.3 1415
В технике за единицу силы принимается 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 1. Работа силы тяжести.
Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения 13 EMBED Equation.3 1415 в положение 13 EMBED Equation.3 1415. Выберем оси координат так, чтобы ось 13 EMBED Equation.3 1415 была направлена вертикально вверх.
Тогда, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

Пример 2. Работа силы упругости.
Рассмотрим материальную точку закрепленную на упругом элементе жесткости с, которая совершает колебания вдоль оси х. Сила упругости (или восстанавливающая сила) 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть точка М, на которую действует только сила упругости, перемещается из положения 13 EMBED Equation.3 1415 в положение 13 EMBED Equation.3 1415. (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415).
13 EMBED Equation.3 1415
Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого элемента на разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатия) упругого элемента.
Работа силы упругости равна площади фигуры (трапеции) расположенной под кривой 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 3. Работа и мощность пары сил.

Пусть пара сил приложена к вращающемуся вокруг неподвижной оси телу. Элементарная работа пары сил равна 13 EMBED Equation.3 1415. Полная работа пары сил равна 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- угол поворота тела, 13 EMBED Equation.3 1415- момент пары сил.
Мощность пары сил равна
13 EMBED Equation.3 1415


Кинетическая энергия точки
Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.
13 EMBED Equation.3 1415

Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.
13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство: Основной закон динамики 13 EMBED Equation.3 1415.
Умножим левую и правую части уравнения скалярно на 13 EMBED Equation.3 1415 справа, получаем 13 EMBED Equation.3 1415 . 13 EMBED Equation.3 1415 - элементарная работа.
13 EMBED Equation.3 1415 - дифференциал от кинетической энергии.
13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.
Теорема. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.
13 EMBED Equation.3 1415

Принцип Даламбера для материальной точки
Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 - равнодействующая активных сил, 13 EMBED Equation.3 1415 - равнодействующая сил реакции связей.
Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики принимает вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Принцип Даламбера. При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.
Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики.

Лекция 4
Краткое содержание: Динамика несвободной материальной точки. Относительное движение материальной точки. Частные случаи.



Динамика несвободной материальной точки
Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.
Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.
Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, которое называется уравнением связи.
13 EMBED Equation.3 1415
Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей.
Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие.
Связь называется двухсторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка.

Пример
Материальная точка подвешена на стержне длины 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение связи имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415



Связь называется односторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме неравенств. Односторонняя связь препятствует перемещению точки лишь в одном направлении и допускает ее перемещение в других направлениях.


Пример
Материальная точка подвешена на нити длины 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение связи имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415



Принцип освобождаемости от связей
Связь можно отбросить заменив действие связи силой реакции связи.
13 EMBED Equation.3 1415.
В проекциях на оси декартовой системы координат это будет выглядеть так:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Относительное движение материальной точки
Во многих задачах динамики движение материальной точки рассматривается относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы отсчета.
Получим дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно подвижной системы отсчета.
13 EMBED Equation.3 1415 - инерциальная система отсчета.
13 EMBED Equation.3 1415 - подвижная система отсчета.
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - сумма активных сил, 13 EMBED Equation.3 1415 - сумма сил реакции связи.
Согласно теореме Кориолиса 13 EMBED Equation.3 1415
Перепишем дифференциальное уравнение следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415
Введем обозначения
13 EMBED Equation.3 1415 - переносная сила инерции,
13 EMBED Equation.3 1415 - кориолисова сила инерции.
С учетом этих обозначений мы получаем динамическую теорему Кориолиса (уравнения относительного движения).
Материальная точка движется относительно неинерциальной системы отсчета так же как и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и силам реакции связей следует добавить кориолисову и переносную силу инерции.
13 EMBED Equation.3 1415
Силы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются поправками на неинерционность системы.
В проекциях на подвижные оси
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Частные случаи относительного движения
1. Относительное движение по инерции
Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называется относительным движением по инерции.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно
13 EMBED Equation.3 1415
2. Относительное равновесие
При покое материальной точки относительно подвижной системы отсчета ее относительные скорость и ускорение равны нулю, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно ускорение Кориолиса тоже равно нулю 13 EMBED Equation.3 1415
Условие относительного равновесия имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Инерциальные системы отсчета
Переносное ускорение в общем случае вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - ускорение точки, принятой за полюс (начало координат); 13 EMBED Equation.3 1415 - угловая скорость вращения подвижной системы координат вокруг выбранного полюса; 13 EMBED Equation.3 1415 - угловое ускорение этого вращения (13 EMBED Equation.3 1415); 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус-вектор движения точки относительно полюса.
Если подвижная система отсчета движется поступательно, прямолинейно и равномерно, то
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
и уравнения относительного движения имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Подвижная система отсчета тоже инерциальна.


Пример 1
Лифт движется вверх с ускорением 13 EMBED Equation.3 1415



Пример 2


Лекция 5
Краткое содержание: Внутренние и внешние силы. Центр масс. Моменты инерции относительно точки и осей. Теорема Штейнера.


Введение в динамику системы
Механической системой называется любая система материальных точек и тел.
Внешними силами механической системы называются силы, с которыми на точки и тела механической системы действуют точки и тела не входящие в рассматриваемую систему.
Равнодействующая всех внешних сил приложенных к 13 EMBED Equation.3 1415точке обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 (от латинского exterior - внешний).
Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.
Равнодействующая всех внутренних сил приложенных к 13 EMBED Equation.3 1415точке обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 (от латинского interior - внутренний).
Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается.
Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:
Теорема. Главный вектор всех внутренних сил системы (векторная сумма) равен нулю при любом состоянии системы. 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство: Согласно одной из аксиом динамики, любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Векторная сумма этих сил равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю.

Теорема. Главный момент всех внутренних сил системы (векторная сумма) относительно любой точки или оси равен нулю при любом состоянии системы. 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство: Любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Сумма моментов этих сил относительно любой точки или оси равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки или оси равна нулю.

Дифференциальные уравнения системы в векторной форме:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрия масс
Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа 13 EMBED Equation.3 1415 материальных точек с массами 13 EMBED Equation.3 1415, а положение точек в пространстве задается радиус-векторами 13 EMBED Equation.3 1415, то
Центром масс механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой 13 EMBED Equation.3 1415 определяется выражением
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 - масса системы.
Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами 13 EMBED Equation.3 1415. Суммы в пределе переходят в интегралы и центр масс определяется выражением 13 EMBED Equation.3 1415
Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Центр масс характеризует распределение масс в системе.
Координаты центра масс имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Для тел типа тонкого листа (поверхность) и тонкой проволоки (линия) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - поверхностная и линейная плотности соответственно. Интегралы вычисляются по поверхности и линии.

Моменты инерции
Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.
Момент инерции относительно точки
Скалярная величина
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
называется полярным моментом инерции относительно точки О. d – расстояние от текущей точки до точки О.
Момент инерции относительно оси
Скалярная величина 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
называется моментом инерции относительно оси l. r – расстояние от точки до оси.
Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции.
Величина 13 EMBED Equation.3 1415 называется радиусом инерции.
Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой же оси определяется выражением 13 EMBED Equation.3 1415.
Моменты инерции относительно осей координат
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Центробежные моменты инерции
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Установим зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс.
Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. (Теорема Штейнера)
Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями. 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство: Пусть имеется две декартовы системы координат 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, оси которых параллельны. Начало системы 13 EMBED Equation.3 1415 находится в центре масс системы. Докажем теорему для осей 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Координаты связаны между собой соотношениями:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.

Главными осями инерции называются оси, в которых центробежные моменты инерции равны нулю.
Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Тензор инерции и тензор инерции для главных осей:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Моменты инерции простейших тел

1. Однородный стержень



2. Прямоугольная пластина



3. Однородный круглый диск


Лекция 6
Краткое содержание: Общие теоремы динамики системы и твердого тела: Количество движения системы. Теорема об изменении количества движения системы. Законы сохранения количества движения. Теорема о движении центра масс. Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела. Момент количества движения системы. Теорема об изменении момента количества движения системы. Законы сохранения момента количества движения. Кинетическая энергия системы. Кинетическая энергия твердого тела. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Общие теоремы динамики системы и твердого тела
Количество движения системы.
Количеством движения системы материальных точек 13 EMBED Equation.3 1415 называется векторная сумма количеств движений отдельных точек системы.
13 EMBED Equation.3 1415
Единицей измерения количества движения в СИ является – 13 EMBED Equation.3 1415
Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс. 13 EMBED Equation.3 1415

Теорема об изменении количества движения системы.
Эта теорема существует в трех различных формах.
Теорема. Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.
13 EMBED Equation.3 1415, (6.1)
Доказательство: Теорема об изменении количества движения для 13 EMBED Equation.3 1415точки имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Сложим все 13 EMBED Equation.3 1415 уравнений и получим:
13 EMBED Equation.3 1415,
что и требовалось доказать.
В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема. (в дифференциальной форме). Дифференциал от количества движения системы равен сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.
Умножим левую и правую части уравнения (6.1) на 13 EMBED Equation.3 1415и получим
13 EMBED Equation.3 1415, (6.2)
В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема (в интегральной форме). Изменение количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.
Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до 13 EMBED Equation.3 1415 получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Законы сохранения количества движения.
1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю (13 EMBED Equation.3 1415), то количество движения системы постоянно по величине и направлению. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю (13 EMBED Equation.3 1415), то проекция количества движения системы на эту ось является постоянной величиной. 13 EMBED Equation.3 1415

Теорема о движении центра масс.
Теорема Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415

Момент количества движения системы.
Моментом количества движения системы материальных точек 13 EMBED Equation.3 1415 относительно некоторого центра 13 EMBED Equation.3 1415 называется векторная сумма моментов количества движения отдельных точек этой системы относительно того же центра 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Моментом количества движения системы материальных точек 13 EMBED Equation.3 1415 относительно какой-либо оси 13 EMBED Equation.3 1415, проходящей через центр 13 EMBED Equation.3 1415, называется проекция вектора количества движения 13 EMBED Equation.3 1415 на эту ось 13 EMBED Equation.3 1415.

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.
Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения. 13 EMBED Equation.3 1415

Теорема об изменении момента количества движения системы.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.
13 EMBED Equation.3 1415 (6.3)
Доказательство: Теорема об изменении момента количества движения для 13 EMBED Equation.3 1415точки имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Сложим все 13 EMBED Equation.3 1415 уравнений и получим:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415,
что и требовалось доказать.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-либо оси, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно той же оси.
Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (6.3) на эту ось. Для оси 13 EMBED Equation.3 1415это будет выглядеть так:.
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4)
Теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс. (без доказательства)
Для осей движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

Законы сохранения момента количества движения.
1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки 13 EMBED Equation.3 1415 равен нулю (13 EMBED Equation.3 1415), то момент количества движения системы относительно точки 13 EMBED Equation.3 1415 постоянен по величине и направлению. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю (13 EMBED Equation.3 1415), то момент количества движения системы относительно этой оси является постоянной величиной. 13 EMBED Equation.3 1415

Кинетическая энергия системы.
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема Кенига. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс.
13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство: Рассмотрим движение механической системы относительно двух систем координат. Одна система неподвижна, другая, с началом в центре масс системы, перемещается относительно первой поступательно.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус-вектор и абсолютная скорость 13 EMBED Equation.3 1415точки соответственно;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус-вектор и абсолютная скорость центра масс системы соответственно;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус-вектор 13 EMBED Equation.3 1415точки относительно центра масс и относительная скорость этой точки соответственно.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (так как переносное движение поступательное)
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

Кинетическая энергия твердого тела.
Поступательное движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - скорость любой точки твердого тела
Вращение тела вокруг неподвижной оси.
Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - угловая скорость вращения твердого тела.
Плоское движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения..

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - скорость центра масс твердого тела, 13 EMBED Equation.3 1415 - угловая скорость вращения твердого тела.

Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Эта теорема существует в двух формах.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.
13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство: Теорема об изменении кинетической энергии для 13 EMBED Equation.3 1415точки имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Сложим все 13 EMBED Equation.3 1415 уравнений и получим:
13 EMBED Equation.3 1415
или 13 EMBED Equation.3 1415
или 13 EMBED Equation.3 1415
что и требовалось доказать.
Теорема. Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы..
13 EMBED Equation.3 1415










Теоретическая механика (Динамика)

13PAGE 15


13PAGE 14215
Лекция 1
15.04.04


13 EMBED PBrush 1415

m

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415




Приложенные файлы

  • doc 18241960
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий