Dinamika_Gazizov


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Министерство образования и науки Российской Федерации Казанск государственн архитектурно строительн университет Е.Р.Газизов Краткий курс лекций по теоретической механик инамика) Учебное пособие Казань 20 УДК БКК 22.2 Г 137 Г 137 Газизов Е.Р. Краткий курс лекций по теоретической механик инамика) : Учебное пособие. Казань: Казанский государственный архитектурно строительный университет, 20 с. ISBN Печатается по решению РИС КГАСУ Учебное по собие предназначено для самостоятельной работы студентов различных форм обучения В настоящем пособии изложены вопросы динамики материальной точки, динамики системы материальных точек и элементы аналитической механики. Автор выражает глубокую благодарнос ть кандидату физико математических наук, профессор у Камалову А.З. за советы и рекомендации, которые были учтены при составлении учебного пособия. Рецензенты: доктор физико математических наук, профессор Маклаков Д.В. доктор физико математических наук, профессор © Казанский государственный архитектурно строительный университет, 20 © Газизов Е.Р. Глава . Динамика материальной точки §1. Общие понятия и определения. Первая задача динамики инамика это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движения материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих. В динамике объектами исследования являются движения материальной точки, системы материальных точек и твердых тел с учетом действующих сил Материальной точкой называется материальное тело, вращательным движением которого, по сравнению с поступательным, можно пренебречь. Таким образом, не обязательно понимать под материальной точкой тело очень малых размеров. Твердое тело, которое движется поступательно, рассматривается как материальная точка с массой равной массе всего тела Материальные точки образуют систему , если движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек. Материальная точка (с истема) называется свободной , если на её движение не наложены никакие ограничения. Несвободной называется материальная точка (система), на которую наложены связи, ограничивающие её движение. Связями называются физические условия, ограничивающие свободу дви жения точки (системы). В основе динамики лежат физические законы аксиомы, подтверждаемые многовековой практической деятельностью человека. Аксиомы динамики Закон инерции Изолированная материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения Рис. 1.1 Материальная точка называется изолированной тогда, когда действием на неё всех прочих материальных тел можно пренебречь. Свойство материальной точки оказывать сопротивление изменению скорости называется инерцией, поэтому первая а ксиома называется принципом инерции. 2. О сновной закон динамики Ускорение, сообщаемое свободной материальной точке, приложенной к ней силой, имеет направление силы и по величине пропорционально силе (рис. 1.1) m F Величина физическая величина, которая характеризует степень сопротивляемости материальной точки изменению её скорости, т.е. является мерой инертности материальной точки. Масса является одной из характеристик движущейся материи (в ряду с упругостью проницаемостью и т.д.). В классической механике масса считается величиной постоянной. Закон равенства действия и противодействия Сила, с которой материальная точка действует на материальную точку (дей ствие), равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой точка действует на точку (противодействие Обе силы направлены по одной линии действия. Силы, именуемые действием и противодействием , приложены к разным материальным точкам и поэтому не составляют систему уравновешенных сил . В случае несвободной материальной точки, к точке приложено действие, а к связи приложено противодействие. Эта аксиома предполагает также возможность действия мат ериальных точек друг на друга на расстоянии (рис.1.2). акон независимости действия сил При одновременном действии нескольких сил ускорение материальной точки равно векторной сумме ускорений, которые имела бы эта точка при действии каждой из сил отдельности. Рис. 1.2 Это значит, что при действии на материальную точку сил F F ,..., , 1 , каждая из которых сообщает точке соответственно ускорения a a ,..., , 1 , ускорение материальной точки будет a a a ... 1 На основании форм улы m F можно записать 1 m F 2 m F …, n m F . Складывая между собой эти равенства, получим ... ( ... 1 2 1 n n a a m F F F , или, на основании закона независимости действия сил, k k n F F F a m 2 1 . (1.1) Таким образом, движение материальной точки под действием сил F F ,..., , 1 будет таким же, как и при действии одной силы, равной их векторн ой сумме (равнодейств ующей). Законы динамики описывают механическое движение материальных тел в инерциальных системах отсчета. Тело отсчета и неизменно связанная с ним система координат называются системой отсчета . Системы отсчета, в которых справедлив закон инерции, называю тся инерциальными системами отсчета . К ним отно сятся так называемы неподвижны (абсолютны ») системы отсчета системы отсчета , которые движутся поступательно и равномерно по отношению к неподвижным. ри решении многих технических задач координатные оси, связанные с Землёй, можно считать неподвижными» , т.е. инерциальными При необходимости изучения движений внутри солнечной системы , за инерциальную систему отсчета можно принять гелиоцентрическ систем координат с началом центре Солнца, ями, направл енными на три отдалённые неподвижные» звезды. В природе, где материальные тела находятся во взаимодействии и движении, нет неподвижных осей координат. Однако в зависимости от требований, предъявляемых к результатам подсчетов, можно и многие дру гие системы отсчета считать инерциальными Дифференциальные уравнения движения материальной точки Используя равенство (1.1) можно составить дифференциальные уравнения движения материальной точки: n k k dt V d m или n k k dt r d m 2 2 Проецируя обе части этих равенств на декартовы координатные оси, получим уравнения: kx ky kz которые также называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Проецируя об е части тех же равенств на естественные (подвижные) координатные оси, получим естественные уравнения движения материальной точки: dt S d m 2 kn kb С помощью дифференциальных уравнений движения мат ериальной точки можно решать две основные задачи динамики точки. Первая (прямая) задача динамики : зная массу точки уравнения её движения ( ), ( ), ( 2 1 f z f y t f x , найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке (т.е. определить силы по заданному движению). Если даны уравнения движения материальной точки массы декартовых координатах: ( ), ( ), ( 2 1 f z f y t f x , то проекции y F F , , силы F j F i F F y x , вызывающей это движение, определяются по формулам: m F y m F x m F y x , , , откуда 2 2 z y x F F F cos( cos( cos( Таким образом, в основном первая задача динамики материальной точки ле гко решается посредством дифференцирования заданных уравнений движения точки. Примеры решения задач. №1. Даны уравнения движения точки x 3 cos 5 y 3 sin 5 . Масса точки m 3 . Определить равнодействующую с ил, приложенных к точке. Решение. Сначала найдем уравнение траектории точки. Для этого из уравнений движения исключим время . В итоге получим 2 y x (уравнение окружности). Определим проекции ускорения точки на ответствующие оси координат: x 3 cos y 3 sin 45 . Далее найдем проекции x R , равнодействующей сил R i R R x вызывающих это движение: x m R cos 135 y m R sin 135 При э том j y i x R 27 ) ( 27 Модуль силы и направляющие косинусы: R R R x 2 cos( cos( . Углы, составленные равнодействующей осями координат, равны соответственно 3 3 2 / №2. Груз массы 0,3 кг подвешен к концу нити длины 1,5 м. Посредством толчка ему сообщили начальную горизонтальную скорость 4 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка (рис.1.3) Решение. Воспользуемся естественными уравнениями движения материальной очки, а именно уравнением проекций на нормаль: T mV . Отсюда , 6 mg mV T №3. Тело массы 2кг совершает прямолинейное колебательное движение согласно закону sin 20 t x . Определить зависимость ( x F F где сила, действующая на тело. Решение. Найдем проекцию ускорения точки на ось sin 5 x . Используя то, что sin 20 t x m F F , получим окончательно F 93 , 4 m Рис. 1.3 2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения (вторая задача динамики) Второй (обратной) называется задача, в которой, зная силы, действующие на материальную точку, массу точки ( ), а также начальное положение точки и её начальную скорость, требуется получить уравнени движения точки (т.е. по заданным силам определ движение). Даны силы F F ,..., , 1 , приложенные к материальной точке массы . Для определения закона движения этой точки следует проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения, соответствующих избранной системе отсчета. Так, если задача решается в проекциях на оси инерциальной системы декартовых координат, то интегрированию подлежит система дифференциальных уравнений движения: kx ky kz . (2.1) Заметим, что при составлении дифф еренциальных уравнений движения материальную точку следует рассматривать в текущем положении. В результате интегрирования этой системы определяют закон движения точки в декартовых координатах, т.е. ( ), ( ), ( 2 1 f z f y t f x Так как система (2.1) состоит из трех дифференциальных уравнений второго порядка, то при её интегрировании появляются шесть произвольных постоянных 5 4 3 2 , , , , C C C C C . Для их определения в условии задачи должны присутствовать дополнительные данные, называемые начальными условиями д вижения. Начальные условия движения материальной точки определяют положение точки и её скорость в некоторый фиксированный момент времени. Положение точки определяется тремя координатами y x , , , а скорость точки тремя проекциями скор остей y x , , . Таким образом, начальные условия имеют вид: при t 0 0 , z z y y x x начальное положение точки, 0 0 , z z y y x x начальная скорость точки. Часто эти условия записываются для начального момента времени t . В результате по становки начальных условий в первые и вторые интегралы системы (2.1) образуется система шести уравнений для определения шести неизвестных 5 4 3 2 1 , , , , C C C C C C Решение обратных задач, связанных с интегрированием системы (2.1), представляет иногда значительные трудности. Тогда систему (2.1) приходится решать численно, применяя методы приближенного интегрирования. Силы, приложенные к материальной то чке , могут быть: 1. Постоянными силами (например, сила тяжести при движении материальной точки вблизи земной поверхности); 2. Силами, зависящими от времени (например, периодически изменяющиеся силы, вызывающие колебания материальной точки); 3. Силами, зав исящими от положения точки (например, силы притяжения и отталкивания, силы упругости пружин и т.д.); 4. Силами, зависящими от скорости точки (например, силы сопротивления движению точки). В общем случае силы являются функциями времени, положения скор ости точки. Тогда система уравнений (2.1) имеет вид: , , , , , ; ( y x y x t f x m , , , , , ; ( y x y x t f y m (2.2) , , , , , ; ( y x y x t f z m Примеры решения задач. . Самолет летит на высоте над землей с горизонтальной скоростью . С самолета без начальной относительной скорости сбрасывается груз. Определить уравнение траектории груза, дальность его полета и скорость в момент падения на землю. Силой сопро тивления движению и кривизной земли пренебречь. Решение. Изобразим груз во время движения в промежуточном положении . Выберем систему осей координат как показано на рис. 2.1. Запишем начальные условия движения: при t x y положение точки x y скорость точки. Составим дифференциальные уравнения движения: x m y m или x y . Имеем dt x d x , следовательно x . Так как при t x , то 1 C . Таким образом в любой момент времени проекция Рис. 2.1 вектора ск орости на ось V x . Теперь dt dx x или V dx Проинтегрировав, получим 0 t V x . Так как при t x , то C . Таким образом получено первое уравнение движения V x Далее имеем dt y d y . Разделив переменные ( y d ) и проинтегрировав полученное выражение, найдем gt y . Так как при t y , то C и проекция вектора скорости на ось V y . Теперь dt dy y или gtdt . Проинтегрировав полученное выражение, получим 2 C gt y . Так как при t y то C . Таким образом получено второе уравнение движения gt y 2 . Исключим из уравнений движения время и получим уравнение т раектории: x t V gx y 0 2 Для определения дальности полета груза подставим в последнее уравнение y x , получим h V L 2 Для нахождения скорости груза в моме нт падения на землю, воспользуемся уравнениями V x V y . Сначала учитывая, что в этот момент при t y , из уравнения gt y 2 найдем время полета h T 2 . Следовательно, проекции вектора скорости в точке на оси равны V V . Тогда модуль вектора скорости груза в момент падения имеет вид: V V V V Cx C 0 2 2 . Направляющие ко синусы вектора скорости имеют вид: cos( cos( §3. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра (оси). За коны сохранения Для решения многих задач динамики оказывается более удобным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики. Значение общих теорем состоит в том, что они устанавливают наглядные зависимости между основными динамическими характеристиками движения материальных тел (точек). Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения. Количеством движения материальной точки называется векторная величина m (рис.3.1) , равная произведению массы точки на вектор её скорости. Направлен вектор m так же, как и вектор скорости точки, т.е. по касательной к её траектории в сторону движения. Количество движения является векторной мерой механического движения материальных объектов. Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Элементарным импульсом силы называется векторная величина d , равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени F S d . Вектор d направлен по линии действия силы. Импульс любой силы за конечный промежуток времени вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов: t F S Т.е. импульс силы за любой промежуток времени равен определённому интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от до Проекции импульса силы на оси декартовых координат m Рис. 3.1 m m m m t x x F S y y F S t z z F S S j S i S S y x Так как масса точки постоянна, а её ускорение V d a , то основной закон динамики n k k a можно представить в виде k k dt V m d ( Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме : производная по времени от количества движения точки равна векторно й сумме действующих на точку сил. Проинтегрировав последнее уравнение, получим k k V m V m 0 1 Это уравнение выражает теорему об изменен ии количества движения точки в интегральной форме (в конечном виде): изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени. Геометрический смысл теоре мы показан на рисунке 3. Проектируя обе части равенства на оси координат, получим kx ky kz Рис. 3.2 m Рис. 3.3 Если проекции сил, действующих на материальную точку, на данную ось во все время движения равны нулю, то проекция скорости движущейся точки на эту ось остаётся постоянной ( закон сохранения С помощью теоремы можно решать задачи, в которых в число данных и неизвестных входят масса точки, скорость точки в начальный и конечный моменты времени, силы, приложенные к материальной точке, и промежуток времени их действия. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора m оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. веде м понятия момента вектора кол ичества движения относительно центра и момента вектора количества движения относительно оси. Моментом количества движения (кинетическим моментом) материальной точки относительно центра называется вектор, опр еделяемый формулой: m r V m m l ) ( l плечо (рис.3.3) Момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции на эту ось момента количества движения материальной точки относительно любого центра, лежащего на оси: l z . Разложение вектора по ортам имеет вид l j i l l y x Его модуль 2 2 0 z y x l l l , а соответствующие направляющие косинусы б удут: 0 , l l l x 0 , l l y 0 , l l l z . Проекци момента количества движения материальной точки относительно центра на оси декартовых координат даются формулами: z z y m l x x z m l y y x m l , где координаты материальной точки в системе осей, имеющей начало в центре проекции скорости точки на эти оси. При решении задач омент количества движения относительно оси проще определят как алгебраическ величин , абсолютное значение которой равно произведению модуля проекции векто ра количества движения m на плоскость , перпендикулярную к оси , на расстояние от точки пересечения оси с этой плоскостью до линии действия проекции вектора количества движения на плоскость m , т.е. p z mV V m m ) ( (рис.3.4) . Если с конца оси видно, что проекция вектора количества движения на плоскость m направлена против часовой стрелки, то момент положителен, если по часовой, то отрицателен. Момент вектора количества движения относительно оси равен нулю, если линия действия вектора количества движения пересекает ось или вектор количества движени я параллелен оси. Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра (теорема моментов) Производная по времени от вектора момента количества движения точки, взятого относительно какого нибудь неподвижного центра, равна екторной сумме моментов относительно того же центра всех сил, приложенных к материальной точке m m Рис. 3.4 k o o m dt l d ( где m r V m m l ) ( о определению. Доказательство: запишем о сновной закон динамики n k k a Умножим это уравне ние векторно слева на радиус вектор точки n k k r a m r . Учитывая, что V d a , преобразуем левую часть полученного равенства следующим образом: m dt r d V m r dt dt V d m r a m r ) ( . Но dt r d и векто рное произведение параллельных векторов m V равно нулю. Поэтому ( V m r dt d a m r и уравнение n k k r a m r можно переписать в виде n k k r V m r dt d ( . Так как m r l k o r F m ) ( , то k o o m dt l d ( , что и требовалось доказать. Теорема об изменении момента количества движения точки относительно оси. Производная по времени от вектора момента количества движения точки относительно какой нибудь оси, равна сумме моменто относительно той же оси всех сил, приложенных к материальной точке. k k z z m dt dl ( Рассмотрим случай сохранения момента количества движения материальной точки. Если векторная сумма моментов относительно неподвижного центра всех сил, приложенн ых к материальной точке, равна нулю, то момент количества движения материально точки относительно того же центра постоянен, т.е. если ) ( n k k o m , то постоянен. Аналогично, если сумма моментов всех сил, приложенных к материальной точке, относительно неподвижной оси равна нулю, то Рис. 3.5 Рис. 3.6 момент количества движения этой точки относительно той же оси постоянен. Например, если ) ( n k k z m , то постоянная величина. Этими частными случаями те оремы об изменении количества движения материально точки удобно пользоваться при изучении движения материальной точки под действием центральных сил. Примеры решения задач. №1. Материальная точка массы движется равномерно по окр ужности со скоростью под действием некоторой системы сил. Найти импульс равнодействующей этой системы сил при перемещении материальной точки по четверти дуги окружности (рис.3.5) Решение. Пусть в начальный момент времени движущаяся точка занимала положение . Тогда, после того как пройдет четверть дуги окружности, она займет положение (рис. 3.4). Применив теорему об изменении количества движения точки в проекци ях на оси декартовых координат, получим B mV и A mV . Так как движение равномерное то V V A . Таким образом S S S x 2 №2. Твердое тело массы начинает дв ижение из состояния покоя по шероховатой горизонтальной поверхности под действием силы расположенной под углом к горизонту. Какую скорость приобретет тело Рис. 3.7 через с после начала дви жения, если коэффициент трения скольжения равен (рис.3.6) Решение. Модуль силы трения скольжения определяется по формуле: sin ( mg f fN F Используя теорему об изменении количества движения точки, записанн в проекции н а ось , получим fmg . Таким образом, искомая скорость fmg №3. Точка движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру (рис.3.7) . Найти с корость в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении , а раз больше Реше ние. Для данной плоской задачи п рименим теорему об изменении момента количества движения точки относительно оси проходящей через точку перпендикулярно к плоскости рисунка. Так как к материальной точке прилож ена только сила , момент которой относительно выбранной оси равен нулю, то получим, что dt dl Следовательно const . В положении момент количества движения относительно оси равен 1 mV . В положении момент количества движения относительно оси равен 2 mV . Так как const , то 2 1 1 mV R mV V V R R V 1 2 1 2 §4. Теорема об изменении кинетической энергии. Дифференциальные уравнения относительного движения точки К числу основных динамических характеристик движения точки относится также кинетическая энергия. Кинетической энергией матери альной точки называется скалярная величина равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при его некотором перемещении, вводится понятие о работе силы. Пр и этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки. Элементарной работой силы называется скалярная величина равная F dA где проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, бесконечно малое перемещение, направленное вдоль касательной (рис. 4.1) Замечая, что F F получ аем Fds . (4.1) В правой части формулы (4.1) величины положительны и знак пределяется знаком Если угол острый, то работа положительна. Если тупой угол, то работа отрицательна. Если угол , то работа равна нулю Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда касательная составляющая силы направлена в сторону движения, т.е. когда сила ускоряет движение; работа отрицательна, когда касательная составляющая силы направлена противоположно движению, т.е. когда сила замедляет движение. Рис. 4.1 Из кинематики известно, что V r d , а V ds . Следовательно d ds . Тогда, если воспользоваться понятием о скалярном произведении двух векторов z y y x x a b a b a ab b a ), равенство (4.1) можно представить в виде d F dA В общем случае правая часть этой формулы не является полным дифференциалом некоторой функции координат движущейся точки. Поэтому здесь символ следует понимат ь только как символ бесконечно малой величины, а не полного дифференциала. Учитывая, что F j F i F F y x k dy j dx i r d , получим следующее аналитическое выражение элементарной работы силы: F dy F dx F dA y x Работа силы на любом ко нечном перемещении 0 M равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы: Теорема о работе равнодействующей силы абота равнодействующей сил, приложенных к точке, на некотором перемещени и равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении k k A R A ( ) ( , где k k R Док во: пусть к материальной точке приложены силы F F ,..., , 1 равнодействующая которых равна . Обозначим работы сил F F ,..., , 1 на перемещении через A A ,..., , 1 . Проектируя векторное равенство k k R на касательную к трае ктории, получим: k k R Умножая обе части этого равенства на бесконечно малое перемещение и интегрируя в пределах от до вдоль траектории точки , получим S n k S k F ds R 1 0 или k k A R A ( ) ( , что и требовалось доказать. Работа силы есть скалярная мера механического воздействия на материальную точку со стороны других материальных объектов на данном перемещении. Рис. 4.2 Примеры вычис ления работы 1. Работа силы тяжести . Пусть точка , на которую действует сила тяжести , перемещается из положения в положение (рис. 4.2) . Ось направлена вертикально вверх. Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки её приложения. Покажем это. Так как P , то ( ) ( 1 0 ) ( ) ( ) ( 0 1 0 1 0 1 ` 0 ( ) ( ) ( M z z z M M y x M M z P dz P dz P dz P P dx P A Если выше , то z z 0 , где величина вертикального перемещения точки, если ниже то z z 0 . Окончательно, A M ( ` 0 (4.2) Из формулы (4.2) следует, что работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка её приложения. Силы, обла дающие таким свойством, называются потенциальными. 2. Работа силы упругости . Рассмотрим груз , лежащий на горизонтальной плоскости и прикреплённый к свободному концу некоторой пружины (рис. 4.3) . Точкой отм етим положение, занимаемое концом пружины в ненапряжённом положении (длина OA ) и примем её за начало координат. Выведем груз из положения равновесия, удлинив пружину до величины . На груз начнет действовать сил а упругости пружины , направленная к точке . По закону Гука эта сила прямо пропорциональна удлинению пружины l x l и по модулю Рис. 4.3 c l c F Здесь коэффи циент упругости (жесткости), численно равный силе, которую надо приложить к пружине для того, чтобы изменить ее длину на единицу. В данном случае F y F поэтому работа, совершаемая силой упругости при перемещени и груза из положения ( 0 M в положение ( 1 M , вычисляется по формуле ( ) ( 2 0 2 1 ) ( 0 1 0 1 ` 0 ( 2 ) ( M x x M M x c xdx c dx cx A Т.е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жёсткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (сжатий) пружины. Работа силы упругости отрицательна, если точка движется в сторону возрастания модуля силы и положительна, если точка движется в сторону убывания модуля силы. Работа силы упругости не зависит от вида траектории точки, т.е. явля ется потенциальной силой 3. Работа силы трения . Рассмотрим точку, движущуюся по какой нибудь шероховатой поверхности или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю , где коэффициент трения, а нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, F и fNds . Если величина силы трения постоянна, то F A M M ( ` 0 где длина дуги кривой 0 M , по которой перемещается точка. Таким образом, работа силы трения скольжения всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги 0 M , следовательно, сила трения является силой непотенциальной. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то A N где время, в течение которого произведена р абота . В общем случае F V F dt ds F dt dA N (4.3) В случае действия нескольких сил мощность равна алгебраической сумме мощностей отдельных сил. Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы ко всей затраченной работе за тот же промежуток времени. Теорема об изменении кинетической энергии материаль ной точки Рассмотрим точку массы , перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения , где она имеет скорость , в положение , где её скорость рав на . Запишем основной закон динамики: k k a m . Проектируя обе части этого равенства на касательную к траектории точки , направленную в сторону движения, получим k k ma . Касательное ускорение можно представить в виде ds dV dt ds ds dV dt dV a . В результате будем иметь n k k ds dV mV . Умножив обе части этого равенства на , внесём под знак дифференциала . Так как k ds F , получим k k mV d 2 2 ( Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме дифференциал кинетической энергии материальной точки равен сумме элементарн ых работ сил, действующих на материальную точку. Проинтегрировав обе части последнего равенства в пределах соответствующих значениям переменных в точках и , найдем окончательно: Рис. 4.4 k k mV mV 2 0 2 1 2 (4.4) Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в конечном виде : изменение кинетической энергии материальной точки при некотором её перем ещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении. Дифференциальные уравнения относительного движения точки До сих пор рассматривалось движение материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета. И зучим теперь движение материальной точки относительно системы отсчета, движущейся произвольным образом (с ускорением) относительно инерциальной системы. Дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно такой неинерциальной системы отсчет а получаются из уравнений движения точки относительно инерциальной системы отсчета и теоремы Кориолиса о сложении ускорений. Пусть материальная точка массы движется по отношению к подвижной системе отсчета, связанной со средой, совершающей переносное движение (рис.4.4) Движение точки относительно системы Oxyz называется абсолютным, а движение этой точки относительно системы 1 1 1 y x O относительным. адача состоит в том, чтобы, зная силы, действующие на материальную точку , найти движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, т.е. найти относительное движение. Основное уравнение динамики материальной точки, отнесе нное к инерциальной системе отсчета Oxyz , имеет вид: k k a m (4.5) Здесь ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета (абсолютное ускорение), n k k векторная сумма приложенных к точке сил. Известно, что абсолютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорения: e r a a a Подставив это значение в уравнение (4.5), получим n k k c e r a m a m a m . Отсюда ( ) ( c e n k k r m a m F a m По определению си инерции равн по модулю произведени массы материальной точки на соответствующие ускорени и направлен сторон , противополо ускорени m F Таким образом, о тносительное движение материальной точки происходит по таким же законам, как движение абсолютное под действием всех сил , приложенных к точке, а также силы инерции в пер еносном движении и кориолисовой силы инерции: c e n k k r F F a m 1 (4.6) где e m F c c m a m F (по модулю sin( ). То есть, д ля применения уравнений динамики к материальной точке, движущейся в подвижной системе отсчета 1 1 1 y x O следует внести в них поправки в виде дополнительных слагаемых сил инерции, которые добавляются к силам , приложенным к материальной точке. Проектируя уравнение (4.4) на подвижные оси, получим дифференциальные уравнения относительного движения: Некоторые частные случаи относительного движения точки Если переносное движение подвижной среды является поступательным (т.е. ), то кориолисова сила инерции c равна нулю. Тогда относительное движение материальной точки изучается с помощью уравнения e n k k r a m 1 Если переносное движение подвижной среды является равномерным и прямолиней ным, то сила инерции в переносном движении e и кориолисова сила инерции c равны нулю. Тогда относительное движение материальной точки изучается с помощью уравнения, тождественного её уравнению абсолютного дви жения k k r a m . Таким образом, абсолютное движение материальной точки может рассматриваться не только по отношению к неподвижным осям координат, но и по отношению к любой системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно по отношению к неподвижным осям координат. Эти системы отсчета также являются инерциальными. Все механические явления в системе отсчета, имеющей относительно неподвижной системы равномерное и прямолинейное движение, происходят совершенно так же, как и в неподвижной си стеме. Никакими наблюдениями над этими явлениями такого движения системы обнаружить нельзя. Например, наблюдатель, стоящий в трюме корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, не сможет установить, движется ли корабль или стоит на месте. Этот результат выражает собой принцип относительности классической механики. Можно сформулировать так: никакие механические явления, происходящие в подвижной среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного движения. В случаи относительного покоя матери альной точки по отношению к подвижной среде, совершающей переносное движение, относительное ускорение , ускорение Кориолиса и кориолисова сила инерции c равны нулю. Уравнение относитель ного покоя материальной точки имеет вид: e n k k F Примеры решения задач. . Вычислить мощность машины, которая поднимает молот массы 200 кг 84 раза в минуту на высоту 0,75 м, если коэффициент полезного действия машины 0,7. Решение. Рабо та, затраченная машиной на преодоление силы тяжести, вычисляется по формуле mgh , т.е. A 150 75 , 0 200 Мощность машины определяется по формуле (4.3): Рис. 4.5 N 210 60 84 150 . Полезная мощность машины определяется на основании оп ределения коэффициента полезного действия N 7 . 0 210 . Учитывая то, что квт , получаем окончательное значение мощности машины равное 2,94квт. №2. Тяжелое тело начинает спускаться без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол . Какую скорость будет иметь тело, после того как оно пройдет 2м после начала движения, если коэффициент трения скольжения равен 0,1? Решение. На тело, движущееся по наклонной плоскости, действуют ла тяжести ( ), сила трения ( ) и нормальная реакция ( ) (рис. 4.5). Используя (4.2) и учитывая, что V , получим ( ) ( ) ( 2 1 A F A P A mV . Найдем правую часть в полученно выражении: mgl fmg ) ( N A , так как сила перпендикулярна перемещению. В итоге (sin №3. Тело массы спускается вниз по боковой гра ни призмы, расположенной под углом к горизонту. Призма движется по горизонтальной плоскости направо с ускорением . Найти ускорение тела по отношению к призме. Решение. Движение тела является сложным. Разлож им это движение на относительное движение по отношению к боковой грани призмы и на переносное движение вместе с призмой. На тело действуют сила тяжести ) и нормальная реакция боковой грани призмы ( ) (рис. 4. 6). К этим силам надо добавить силу инерции в переносном движении и кориолисову силу инерции. Переносное движение является поступательным и кориолисово ускорение равно нулю и, следовательно, кориолисова сила инерции также e Рис. 4.6 равна нулю. Сила инерции e в переносном движении направлена в сторону противоположную переносному ускорению , т.е. по горизонтали налево и равна по модулю F e Для определения ускорения тела относи тельно боковой грани призмы составим дифференциальное уравнение относительного движения тела в проекции на ось sin ma mg x m . Таким образом sin a g x a r Глава . Динамика системы материальных точек §5. О сновные понятия и определения. Центр масс (инерции) системы материальных точек Механической системой материальных точек, или просто системой, в механике называется совокупность конечного или бесконечного числа материальных точек, известным образом связа нных между собой, так что движение каждой точки не является независимым от движения остальных точек. Абсолютно т вёрдое тело рассматривается как неизменяемая материальная система с распределенной по объему массой. Система материальных точек называется неизм еняемой , если расстояние между двумя любыми её точками остается постоянным независимо от действующих сил; в противном случае система называется изменяемой При рассмотрении систем материальных точек применяется классификация сил на внутренние ( ) и внешние ( ). Индексы  » и »от начальных букв французских слов interieur внутренний и exterieur внешний. Внутренними называются силы взаимодействия между материальными точками, входящими в состав рассматриваемой системы. В соответствии с принципом равенства действия и противодействия, силы взаимодействия между двумя любыми материальными точками механической системы существуют попарно, равны по величине и направлены в п ротивоположные стороны по прямой, соединяющей в данный момент эти точки. Из этого следуют два свойства внутренних сил системы: 1. Векторная сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю: n k i k i R , где k равнодействующая внутренних сил, приложенных к k точке с истемы 2. Векторная сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точк пространства (главный момент внутренних сил) равна нулю: k n k i k k i k O i O r F m M 1 ) ( Следует иметь ввиду что, несмотря на выполнение этих условий, система внутренних сил, вообще говоря, не уравновешена, так как внутренние силы приложены к разным материальным точкам, которые в общем случае могут перемещаться друг относительно др уга. Внешними называются силы, приложенные к материальным точкам рассматриваемой системы со стороны точек и тел, не входящих в состав этой системы. Внешние силы могут переходить в разряд сил внутренних и, наоборот, внутренние силы могут переходить в сос тав внешних при изменении состава системы. В число внутренних и внешних сил могут входить как силы активные, так и реакции связей. Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Уравнение динамики для й точки материальной системы имеет вид: k e k k k F a m , где k и k равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к й материальной точке. Дифференциальные уравнения движения й материальной точки в проекции на оси декартовых координат имеют вид: система трёх уравнений kz e kz k k i ky e ky k k i ky e kx k k F z m F F y m F F x m Дифференциальные уравнения движения системы материальных точ ек в проекции на оси декартовых координат имеют вид: система 3 уравнений kz e kz k k i ky e ky k k i ky e kx k k F z m F F y m F F x m k ,..., 2 , 1 Для определения движения системы материальных точек, входящих в состав системы, следует решить систему 3 обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с 3 неизвестными функциями одной независимой переменной . Для нахождения 6 постоян ных интегрирования должны быть заданы 6 начальных условий движения. При этом следует иметь ввиду, что внешние и внутренние силы могут зависеть как от времени, та к и от положений и скоростей точек системы. Решение подобных систем дифф еренциальных уравнений оказывается трудным и громоздким. В теоретической механике разработаны методы, которые позволяют обойти трудности, возникающие при использовании дифференциальных уравнений движения материальной системы, путем применения так называ емых общих теорем динамики. Центр масс (инерции) системы материальных точек. Центром масс (инерции) системы материальных точек называется точка, положение которой определяется радиус вектором по формуле r m r k k k C (5.1) где k k M масса системы материальных точек. Декартовы координаты центра масс (инерции) системы материальных точек даются формулами: x m x k k k C m y k k k C z m z k k k C (5.2) В случае непрерывного распределения масс (твердого тела) суммы, стоящие в правых частях формул, переходят в соответствующие интегралы: r r C xdm x C y C zdm Положение центра масс (инерции) характеризует распределение масс в механической системе. Понятие центра масс (инерции) является обобщением понятия центра тяжести тве рдого тела. Заметим, что положение центра масс (инерции), т.е. центра тяжести твердого тела неизменно по отношению к точкам тела. Если же система состоит из перемещающихся друг относительно друга материальных точек, то положение центра масс (инерции) систе мы меняется относительно ее отдельных точек. Зависимость между скоростью центра масс (инерции) и скоростями точек материальной системы имеет вид V m V k k k C т.е. x m x k k k C y m y k k k C z m z k k k C Здесь z j y i x V C C C Зависимость между ускорением центра масс (инерции) и ускорениями точек материальной системы имеет вид a m a k k k C , т.е. x m x k k k C y m y k k k C z m z k k k C Здесь z j y i x a C C C Рис. 5.1 Примеры решения задач. . Найти координаты центра масс шарнирной конструкции, изображенной на рис. 5.1, если кривошип вращается с постоянной угловой скоростью . Звенья конструкции одно родные стержни, при этом AB B O OA 2 / Решение. Вычислим координаты центров тяжести каждого из элементов системы: a x 2 1 a y 2 1 t a x a y a a x 2 1 2 a y 2 1 . Предположим, что масса первого стержня , тогда масса второго и третьего стержней 2 соответственно. Теперь, согласно формулам (5.2), a a M x m x k k k C 4 3 a M y m y k k k C 4 3 §6. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек. Теорема о движении центра масс еорема Эйлера Главным вектором количеств движения (количеством движения) системы материальных точек называют в екторную величину равную векторн ой сумме количеств движения всех точек системы k k k m Q Известна формула n k k k M r m 1 см. ). Взяв от обеих частей этого равенства производную, получим r d M dt r d m n k k k 1 или n k k k M V m 1 Отсюда находим, что M Q т.е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Это равенство можно интерпретировать и так: количество движения матери альной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы. Проекции главного вектора количеств движения системы материальных точек на оси декартовых координат даются формулами: x M Q y M Q z M Q где Q j Q i Q Q y x Модуль 2 2 z y x Q Q Q направляющие косинусы Q Q x , Q Q y , Q Q z , Главны вектор количеств движения (количество движ ения) системы материальных точек характеризует только поступательное движение системы. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек. Уравнение динамики для й точки материальной системы имеет вид: k e k k k F a m , где и k равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к й материальной точке. Сложив почленно уравнения движения системы, сос тоящей из материальных точек, получим: k i k n k e k n k k k F a m 1 1 . Последняя сумма по первому свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того, Q d V m dt d a m k k k n k k k 1 1 . Окончательно k e k dt Q d . (6.1) Уравнение (6.1) выражает теорему об изменении количества движения системы материальных точек в дифференциальной форме производная по времени от главного вектора количеств движения систе мы материальных точек равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на неподвижные оси декартовых координат векторное равенство (6.1) эквивалентно трем скалярным: kx ky ky Пусть в момент времени t количество движения равно , а в момент t равно . Тогда умножая обе части равенства (6.1) на интегрируя в заданных пределах, получим k t e k F Q Q 0 0 1 или, пользуясь введенным ранее понятием импульса силы, ( 0 1 k e k S Q Q Последнее уравнение выражает теорему об изменении главного вектора количеств движения системы материальных то чек в интегральной форме : изменение главного вектора количеств движения системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени. Та же теорема в про екциях на оси декартовых координат имеет вид: ( 0 1 k e k x x x S Q Q ( 0 1 k e k y y y S Q Q ( 0 1 k e k z z z S Q Q Заметим, что сумма импульсов внутренних сил системы всегда равна нулю, т.е. внутренние силы непосредственно не влияют на изменение главного вектора количеств движения системы материальных точек. Закон сохранения главного вектора количеств движения системы материальных точек. Если векторная сумма импульсов внешних сил системы равна нулю, то главный вектор количеств движения системы материальных точек постоянен как по величине так и по направлению , т.е. если n k e k , то 1 Q Если сумма проекций импульсов внешних сил системы на некоторую ось равна нулю, то проекция на эту ось главного вектора количе ств движения системы материальных точек неизменна. Например, если ) ( n k e k x S , то x Q 1 . (6.2) Теорема о движении центра масс Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна массе материальной системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему: k e k C a M Док во: Воспользуемся уравнением k e k dt Q d , т.е. (6.1). Подставив в это уравнение вместо равное ему значение M , получим k e k C MV dt d ( или k e k C a M , что и требовалось доказать. Та же теорема, записанная в проекц иях на оси декартовых координат, имеет вид: kx ky kz . Эти уравнения называют дифференциальными уравнениями движения центра масс системы. Движение центра масс системы материальных точек завис ит от внешних сил, приложенных к данной системе. Внутренние силы непосредственно на движение центра масс не влияют. Это обстоятельство значительно облегчает решение задач, так как внутренние силы системы большей частью бывают неизвестны. Закон сохранения движения центра масс механической системы Предположим, что главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему равен нулю во все время движения системы. Рис. 6.1 Тогда V d M a M C , откуда V . Т аким бразом, если гл авный вектор внешних сил, действующих на механическую систему равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Аналогично если, например kx , то const , т.е. если проекция гл авного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, на какую нибудь координатную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы м атериальных точек приложении к сплошным средам (теорема Эйлера) Рассмотрим объем жидкости (газа), ограниченный боковой поверхностью трубы и двумя плоскими поперечными сечениями 1 и 2, перпендикулярными к стенкам трубы. Обозначим через площади поперечных сечений 1 и 2, скорости частиц жидкости в сечениях 1 и 2, и плотности жидкости в сечениях 1 и 2 . При стационарном течении секундная масса, т.е. масса жидкости (газа), протекающая в единицу времени через любое сечение трубы, постоянна: 2 2 1 1 1 V M . Векторы M M секундные количества движе ния жидкости в сечениях 1 и 2. Внешние силы, действующие на рассматриваемый объем жидкости, разделяются на объемные и поверхностные. Объемными называются силы, которые действуют на все частицы жидкости, расположенные как внутри, так и на поверхности расс матриваемого объема (например, силы тяжести частиц жидкости). Поверхностными называются силы, действующие на частицы жидкости, Рис. 6.2 лежащие на внешней поверхности объема (например, силы реакции стенок трубы, приложенные к частицам жидкости, соприкасающимися со стенками трубы). Теорема Эйлера : сумма главных векторов объемных и поверхностных сил, а также векторов секундных количеств движения жидкости, протекающей через два сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств движения направить внутрь выд еленного сечениями объема 1 V M V M R В проекциях на неподвижные оси декартовых координат это векторное равенство дает три уравнения 0 0 1 2 1 2 1 C z C y C y C x C x C M V M R R V M V M R R V M V M R R Примеры решения задач. . Материальная система состоит из платформы, движуще йся со скоростью , и тележки, перемещающейся по платформе с постоянной относительной скоростью . В некоторый момент времени тележка была заторможена. Найти общую скорость платформы с тележкой после ее остановки , если задана масса платформы и масса тележки Решение. Изобразим все внешние силы, действующие на систему. Это вес платформы , вес тележки и реакции связи . Все перечисленные силы перпендикулярны к оси , следовательно, имеет место закон сохранения проекци на эту ось главного вектора количеств движения системы материальных точек . Обозначим ис комую скорость платформы с тележкой через . На основании уравнения (6.2) имеем M m MV V u m ) ( ) ( 0 0 . Окончательно 0 m m V 2. Два груза массы соответственно соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок . Грузы скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, который опирается основанием на гладкую горизонт альную плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза на высоту h 10 . Масса клина 1 4 m m m . Массой нити и блока пренебречь. Решение. В нешни сил , действующи на механическую систему перпендикулярны к горизонтальной плоскости (рис.6.3). Таким образом, kx x V В начальный момент времени все точки системы находились в состоянии покоя, следовательно, имеет место закон хранения абсциссы центра масс всей системы материальных точек, т.е. const . Поместим начало координат в центре масс системы. Для того чтобы абсцисса центра масс оставалась неизменной при движении грузов влево, клин должен двигаться вправо . Обозначим перемещение клина через , тогда абсцисса первого груза изменится на hctg , а абсцисса второго груза изменится на sin 60 cos h x . Учитывая (5.1) и то, что const , получим hctg Окончательно, подставив числовые значения, получим x 77 , 3 Пример №3. Через изогнутую трубу диаметра = 300 мм течет вода со скоростью V с. Определить горизонтальную сост авляющую силы давления воды на трубу. Решение. Используем теорему Эйлера. На воду действуют объемные силы, которыми являются силы тяжести частиц воды, и поверхностные силы, которыми являются силы реакции стенок трубы. Векторы секундных количеств движения воды, протекающей через с. 6.3 Рис. 6.4 сечения 1 и 2, направим внутрь рассматриваемого объема. Направим ось по горизонтали направо и запишем теорему Эйлера в проекциях на эту ось: V M R . Учитывая, что g M , гд 1000 удельный вес воды, 2 , 0 2 r площадь поперечного сечения, модуль скорости движения воды по трубе, окончательно получим 28,6 Н. Искомая горизонтальная составл яющая силы давления воды на трубу будет равна проекции на ось главного вектора поверхностных сил по принципу равенства действия и противодействия. §7. Теоремы об изменении главного момента количеств движения и кинетич еской энергии системы. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Главный момент количеств движения системы (кинетический момент) материальных точек относительно центра равен векторной сумме моменто в количеств движения относительно того же центра материальных точек системы, т.е. kO (7.1) здесь радиус вектор материальной точки, масса и скорость этой точки. Главные моменты количеств движения системы материальных точек относительно осей декартовых координат определяются формулами: kx ky kz Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек Производная по времени от главного момента количеств движения системы материальных точек относительно неподвижного центра равна векторной сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра: k e k O O m dt L d ( Док во: рассмотрим материальную систему, состоящую из материальных точек. Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки (см. 3), будет сп раведлива для каждой из точек этой системы. Следовательно, если рассматривать ую точку системы с массой , имеющую скорость , то для нее будет справедливо равенство (при этом учитывае м, что все силы разбиваются уже на внешние и внутренние): ( ) ( )] ( [ k O e k O k k O m F m V m m d , где и k равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к й материальной точке. Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим: k i k O n k e k O n k k k O m F m V m m dt d 1 1 ( ) ( )] ( [ . Последняя сумма по второму свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда учитывая равенство (7.1), найдем окончательно k e k O O m dt L d ( , что и требовалось доказать. Та же теорема, записанная относительно осей декартовых координат, имеет вид: k e k x x m dt dL ( k e k y y m dt dL ( k e k z z m dt dL ( Закон сохранения главного момента количеств движения системы м атериальных точек Если векторная сумма моментов всех внешних сил системы относительно неподвижного центра равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно того же центра постоянен, т.е. если ) ( n k e k O m , то вектор постоянен. Аналогично, если сумма моментов всех внешних сил системы относительно неподвижной оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно той же оси постоянен. Например, если ) ( n k e k x m , то постоянная величина. Моменты инерции Понятие момента инерции было введено Л. Эйлером. Во вращательном движении роль, аналогичную массе при поступательном движении, играет момент инерции. Моментом инерции системы материальных точек (тела) относительно данной оси (осевым моментом) называется сумма произведений масс точек системы (тела) на квадраты их расстояний до оси, т.е. k k z m I . При непрерывном распределении масс материальных точек в твердом теле сумму следует заменить интегралом: z r I . Т.е. момент инерции твердого тела относительно оси определяется как предел суммы моментов инерции частиц тела, когда объемы и массы их стремятся к нулю, а число частиц неограниченно возрастает, например, ) ( 2 2 0 k k m n z r r m I , где расстояние от оси до частицы с массой . Момент инерции твердого Рис. 7.1 Рис. 7.2 Рис. 7.3 тела относительно оси характеризует распределение масс его материальных точек относительн о этой оси. Моменты инерции не которых однородных твердых тел 1. Тонкий однородный прямолинейный стержень: I 2. Кольцо: I . 3. Тонкий круглый диск: I I x , I Рис. 7.4 Рис. 7.5 4. Круглый цилиндр: 3 4 2 r M I I x I . 5. Шар: 2 Mr I I I y x Теорема Штейнера (Гюйгенса) Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен сумме его момента ин ерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести тела и произведения массы твердого тела на квадрат расстояния между эти ми осями, т.е. I I z В технике используется понятие радиуса инерции. Рад иусом инерции твердого тела относительно оси называется величина, равная расстоянию от оси до материальной точки с массой системы, осевой момент инерции которой равен осевому моменту инерции этого тела. Или р адиусом инерции твердого тела относительно оси называется величина, произведение квадрата которой на массу твердого тела равно моменту инерции твердого тела относительно этой оси, т.е. Если надо вычислить момент инерции матер иальной системы, состоящей из нескольких твердых тел, причем момент инерции каждого из порознь взятых твердых тел известен, то момент инерции системы относительно некоторой оси определяют как сумму моментов инерции всех твердых тел, входящих в систему, от носительно той же оси. При вычислении момента инерции однородной плоской фигуры относительно некоторой оси в плоской фигуре выделяют такую элементарную площадь, момент инерции которой относительно соответствующей оси известен, либо легко может быть подсчит ан. Затем искомый момент инерции однородной плоской фигуры определяется путем суммирования моментов инерции всех элементарных площадей. Разобьем данное твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, на элементарные материальные частицы. Обозначим массу одной из них через , расстояние до оси вращения через и ее скорость через Угловую скорость тела обозначим через . Составляя сумму моментов количеств движения в сех элементарных частиц тела относительно оси вращения , принимая во внимание, что V , получим: n k n k k k n k k k k k k n k k k z r m r m r V m V m m 1 1 2 1 2 1 ( . Таким образом, лавный момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподви жной оси , относительно оси вращения равен произведению момента инерции твердого тела относительной этой оси на углов скорост тела z L Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Это вращение обеспечивается специальными приспособлениями (подшипниками, подпятниками). Главный момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения z L . Внося это выражение в равенство k e k z z m dt dL ( получим k e k z z m dt d I ( или окончательно k e k z z m I ( . (7.2) Здесь угол поворота твердого тела, омент инерции твердого тела относительно оси вращения, ( k z m момент ой внешней силы относительно оси Если сравнить полученное уравнение с дифференциальным уравнением прямолинейного поступательного движения твердого тела kz , можно провести аналогию: линейной скорости поступательного движения тела соответствует его угловая скорость при вращении вокруг неподвижной оси; силам, вызывающим поступательное движение тела, соответствуют моменты сил, вызывающих его вращение; массе тела соответствует момент инерции. Так как масса тела представляет меру его инерции в поступательном движении, то из сделанного сопоставления следует, что момент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном движении. Теорема об изменении кинетической энергии системы матер иальных точек Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергий всех материальных точек системы: k k k n k k m T T 2 1 1 Кинетическая энергия положительна, за исключением случая, когда скорости всех точек одновременн о равны нулю. Часто материальная система представляет собой твердое тело или совокупность твердых тел. В связи с этим требуется определять кинетическую энергию твердого тела при различных видах его движения по формулам: а) при поступательном движении: 1 MV T , где масса твердого тела, скорость любой его точки; б) при вращении вокруг неподвижной оси 1 T , где омент инерции твердого тела от носительно оси вращения угловая скорость вращения; в) при плоском движении 2 1 2 1 C MV T , где масса твердого тела, скорость его центра мас с, омент инерции твердого тела относительно оси , проходящей через центр масс перпендикулярно к неподвижной плоскости, мгновенная угловая скорость вращения; г) при вращении вокруг неподвижной точки 1 T , где омент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения, величина мгновенной угловой скорости (так как мгновенная ось меняет свое положение при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, то является величиной переменной); д) в общем случае движения твердого тела: 2 1 2 1 C MV T , где масса твердого тела, скорость его центра масс, омент инерции твердого тела относительно мгновенной оси , проходящей через центр масс, мгновенная угловая скорость вращения; Также как вычисление кинетической э нергии, одним из этапов решения задач, в которых применяется теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек, является вычисление суммы работ сил, при этом элементарная работа сил, приложенных к твердому телу , находится по следующим формулам: а) при поступательном движении d R A , где главный вектор системы сил, d элементарное перемещение любой из точек твердого тела; б) при вращении вокруг неподвижной оси : m A , где главный момент системы сил относительно оси вращения элементарное угловое перемещение твердого тела; в) при плоском движении m r d R A O , г де главный вектор системы сил, d элементарное перемещение полюса главный момент системы сил относительно оси , проходящей через полюс , перпендикулярно к неподвижной плоскости, элементарное угловое перемещение вокруг этой оси (полюс выбирается произвольно). Рассмотрим произвольную точку системы массы . Обозначим через k k равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке системы. По теореме об изменении кинетической энергии для материальной точки в дифференциальной форме имеем k e k k k dA V m d ) 2 . Суммируя правые и левые части этих соотношений и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем k i k n k e k dA dT 1 Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии систе мы в дифференциальной форме : дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему. Если обе части последнего равенства проинтегрировать в пределах между начальным и конечным по ложениями системы, в которых кинетическая энергия соответственно , то, изменяя порядок суммирования и интегрирования, получим k i k n k e k A F A 1 1 2 ( ) ( Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме : изменение кинетической энергии системы материальных точек при ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил системы на том же перемещении. В случае неизменяемой системы материальных точек, например, абсолютно твердого тела, сумма работ внутренних сил равна нулю и теорема принимает вид: k e k A 1 2 ( Примеры решения задач. №1 Твердое тело , находившееся в покое, начинает вращаться под действием пары сил с моментом, равным . При этом возникает момент сил сопротивления, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела: 1 M , где постоянная. Найти угловую скорость вращения твердого тела, есл и момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен Решение. К твердому телу приложены следующие внешние силы: сила тяжести, силы опорных реакций и две пары сил с соответствующими моментами. Моменты силы тяжести и опорны х реакций относительно оси вращения равны нулю, тогда дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (7.2) примет вид: M I или ( k M I k Разделив переменные и проинтегри ровав полученное выражение, найдем t I k k M M k ln 2 1 . Так как при Рис. 7.6 t , то C . Решая уравнение относительно , окончательно получим I t kM I t z e k M 2 1 №2. Груз массы поднимается с помощью каната намотанного на барабан массы и радиуса . К барабану приложен вращающий момент m , где постоянная. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром. В начальный момент барабан и груз находились в покое. Решение. Для решения задачи применим теорему об изменении главного момен та количеств движения системы материальных точек относительно оси k e k z z m dt dL ( Направим ось через точку перпендикулярно к плоскости рисунка 7.6. Изобразим приложенные к стеме, состоящей из груза и барабана, внешние силы: силы тяжести, силы опорных реакций и пару сил с соответствующим моментом. Составим сумму моментов внешних сил относительно оси kt R P m F m n k k z 1 1 ( Система состоит из двух те л, поэтому главный момент количеств движения системы относительно оси находится по формуле: z L L . Груз движется поступательно. Его скорость V . Барабан вращается вокруг неподвижной оси. Таким образом, имеем 1 1 M VR M L L и, следовательно, 1 2 1 M I R M I L z z . Здесь 2 M I момент инерции барабана относительно его оси вращения . Окончательно имеем d d 2 d Рис. 7.7 M kt dt d R M I 1 2 1 . Отсюда после интегрирования получим gRt . При t , следовательно C Таким образом, угловая скорость вращения барабана равна 1 2 1 2 M M R t gR M kt №3. Груз массы , опускаясь вниз, при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок , поднимает вверх груз массы прикрепленный к оси подвижного блок . Определить скорость груза в момент, когда он поднимется на высоту . Блоки считать однородными сплошными дисками массы каждый. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое. Решение. Трос не деформируется и при движении системы находится в натянутом состоянии. Значит, система материальных точек неизменяема. Поэтому применим теорему о б изменении кинетической энергии системы в виде: k e k A 1 2 ( . Изобразим приложенные к системе, состоящей из двух грузов и двух блоков (рис. 7.7), внешние силы: силы тяжести всех элементов системы, составляющие силы реакции оси блока и силу реакции троса. Дадим элементарное перемещение центру масс блока по вертикали вверх. При этом блок получит также угловое перемещение по ча совой стрелке. Тогда блок получит угловое перемещение против часовой стрелки. Груз получит элементарное перемещение 2 по вертикали вниз. Груз получит элементарно е перемещение по вертикали вверх. Вычислим элементарную работу всех внешних сил системы: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A P A P A P A P A F A A C B A e k ( ) ( A R A . Находим: P P A A ) ( P P A B ) ( P P A C ) ( ) ( ) ( ) ( 1 R R A P A (точка приложения сил неподвижна), ) ( N A (сила всегда приложена в мгновенном центре скоростей). Таким образом, P P P F A A B A e k 2 ( ) ( . Теперь, после того как возьмем определенный интеграл в пределах от до будем иметь: M M M h P P P F A B A e k 2 ( ) 2 ( ) ( 2 1 Вычислим кинетическую энергию системы. В начальный момент система находилась в покое, поэтому . Далее C B A Обозначим скорость груза через . Груз совершает поступательное движение, поэтому 1 V M . Блок вращается вокруг неподвижной оси, поэтому 3 2 2 V M I z D . Блок совершает плоское движение, поэтому 3 2 1 2 1 3 2 2 3 1 M I V M T zC C C . Груз совершает поступательное движение, поэтому 2 M . Таким образом, кинетическая энергия системы ) 11 2 8 ( 3 2 1 2 M M M . В итоге получим уравнение: M M M V M M M ) 2 ( 4 ) 11 2 8 ( 2 1 2 3 2 1 , решая которое найдем 2 1 3 2 1 2 8 2 2 M M M M M M gh V §8. Потенциальное силовое поле. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии Для вычисления работы силы на каком нибудь перемещении в общем случае н еобходимо знать закон движения точки на этом перемещении. Однако существуют силы, работу которых можно подсчитать, не зная заранее закона происходящего движения. Важно установить, каков вообще класс сил, обладающих этим свойством. Силовым полем называе тся область пространства, в которой на материальную точку, помещенную в эту область, действует сила являющаяся функцией только координат точки и времени, т.е. , , , ( t z y F F . Силовое поле называется стационарным , если сил ы поля не зависят от времени. Если же силы зависят от времени, то силовое поле является нестационарным Стационарное силовое поле называется потенциальным , если в каждой его точке сила является градиентом некоторой скалярной нкции координат , , ( z y x U , т.е. gradU , где k y j x i дифференциальный оператор Гамильтона (символ читается как набла») . Функция , , ( z y x U называется силовой функцией отенциального поля потенциалом ). Через силовую функцию проекции силы определяются по формулам U F U F U F Из этих формул следует, что силовая функция определяется с то чностью до постоянной, так как для проекций силы на координатные оси требуются только частные производные по координатам от этой функции и добавление постоянной к функции не влияет на значения y x F F , , Если даны проекции силы y x F F , , на оси декартовых координат и надо определить, является ли сила F j F i F F y x силой действующей в потенциальном поле (потенциальной силой), то следует проверить, имеют ли место равенства F y F x F z F x F z F y . Если эти равенства тождественно удовлетворены, то сила потенциальна. В противном случае сила не потенциальна. Условия , которые позволяют по силам силового поля устанавливать будет ли силовое поле потенциальным, можно записать следующим образом: x F y F x x F z F x y F z F y . Если использовать вектор вихря rot от вектора силы rot , то эти условия можно выразить так: rot . Таким образом, для того чтобы силовое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым. Элементарная работа силы определяется по формуле dz z U dy y U dx x U dz F dy F dx F dA y x , т.е. dA Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции. Полная работа силы на участке от точки до точки 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 , , ( ) , , ( U z y x U z y x U dU dA A M M M 1 U A (8.1) Таким образом, полная работа потенциальной силы на каком либо перемещении точки рав на разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения. Следовательно, полная работа силы не зависит от формы траектории, по которой оно совершается, а зависит только от координат начального и конечного положения точки. Эквипоте нциальной поверхностью (поверхностью уровня, изоповерхностью) называется геометрическое место точек поля, в которых силовая функция имеет постоянное значение: z y x U ) , , ( Поверхности уровня обладают следующими свойствами: 1. Работа силы рав на нулю, если начальная и конечная точки перемещения лежат на одной поверхности уровня. 2. Сила в потенциальном силовом поле всегда перпендикулярна поверхности уровня или, точнее, касательной плоскости поверхности уровня. 3. Сила в потенциальном силовом по ле всегда направлена в сторону возрастающих значений силовой функции. 4. Если все силовое поле разбить поверхностями уровня на равных значений так, что для первой поверхности уровня C C / , для второй C C / 2 и последней n C / , то там, где соседние поверхности уровня ближе друг к другу, модуль силы больше, чем в местах, где поверхности уровня дальше отстоят друг от друга. Это свойство можно проверить, если з аметить, что работа между точками любых двух соседних поверхностей в этом случае одна и та же. Следовательно, там, где расстояние между поверхностями меньше, сила по числовому значению больше, и наоборот. Наряду с поверхностями уровня в силовом поле вводи тся понятие силовой линии, т.е. такой линии, в каждой точке которого сила направлена по касательной к этой линии. В случае потенциального силового поля наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке по ля потенциальную энергию материальной точки в рассматриваемой точке поля. Потенциальной энергией материальной точки в данном ее положении называется энергия, выражающаяся работой, которую совершили бы силы поля при перемещении этой точки из данного полож ения в любое положение на нулевой эквипотенциальной поверхности. Обозначив потенциальную энергию через , согласно определению и равенству (8.1) имеем , , ( ) , , ( z y x U z y x Потенциальными силами являются силы тяжести, линей ной силы упругости, силы притяжения по закону Ньютона. Непотенциальными силами являются силы сопротивления, зависящие от скорости, силы трения, направление которых зависит от скорости. Для силы тяжести m F эквипотенциальными поверх ностями являются горизонтальные плоскости const . Потенциальная энергия равна произведению веса точки на высоту точки над произвольным постоянным уровнем: mgz . Для линейной силы упругости c F повер хностями уровня являются сферы const . Потенциальная энергия равна ( 2 2 2 2 2 y x c cr . В частном случае растянутой пружины, удлинение которой равно , сила упругости F , а потенциальная энер гия Закон сохранения механической энергии Запишем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в виде: mV mV 2 2 0 2 1 . Если материальная точка движется в стационарном потенциальном силовом поле, то Следовательно, 2 0 2 1 2 mV mV , или 2 0 2 1 2 mV mV Обозначая через полную механическую энергию точки, состоящую из Рис. 8.1 ее кинетической и потенциальной энергий, получаем 2 . Т аким образом, при движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной закон сохранения механической энергии материальной точки ). По этой причине потенциальное силовое поле, для которого имеет место данный закон, называют еще консервативным (латинское слово conservare сохранять). По аналогии можно получить закон сохранения механической энергии системы материальных точек: полная механическая энергия при движении системы материальных точек в стационарном потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной. Так как в машинах и механизмах действуют силы сопротивления, которые не потенциальны, то происходит уменьшение механической энергии. Эта энергия ра сходуется на работу непотенциальных сил и переходит в другие виды энергии (например, в тепловую). Следовательно, закон сохранения механической энергии в этих случаях неприменим, и для поддержания установившегося режима работы машин и механизмов необходим п риток механической энергии извне. Примеры решения задач. . Груз веса , лежащий посередине упругой балки, совершает свободные колебания. Упругая сила балки пропорциональна ее прогибу и направлена по вертикали (при этом F ). Определить потенциальную энергию системы, пренебрегая массой балки. Решение. Начало отсчета оси возьмем в середине недеформированной балки (рис.8.1). Изобразим приложенные к системе силу тяжести груза и упругую силу балки. Обе силы потенциальны. Вычислим потенциальную энергию системы как сумму потенциальной энергии силы тяжести и силы упругости: 2 1 Px Глава III . Принцип Даламбера и элементы аналитической механики §9. Принцип Даламбера Принци п Даламбера является одним из основных принципов (начал) механики. Он заключается в том, что уравнениям движения можно придать форму уравнений статики, если к силам, приложенным к системе, присоединить силы инерции. Сила инерции авна произведению массы движущейся точки на ее ускорение и направлена в сторону прямо противоположную ускорению: m F Уравнение движения материальной точки массы относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет вид: F a m . Здесь равнодействующая активных сил, равнодействующая реакций связей. Если использовать понятие силы инерции и пере нести все слагаемые в правую часть, то получим R F . Это уравнение выражает принцип Даламбера для точки : при движении материальной точки в каждый данный момент времени активные силы, приложенные к материальной точке, реакции связей, огр аничивающих ее движение, и сила инерции взаимно уравновешиваются. Таким образом, выражение принципа Даламбера не отличается по содержанию от уравнения движения материальной точки, но для многих задач оно более удобно. Рассмотрим систему материальных точек. Представим равнодействующую силу, приложенную к каждой точке системы, разложенную не на активную силу и реакцию связей, а на внутреннюю и внешнюю силы по отношению ко всей системе: ( ) ( i k e k k k F R F . Тогда принцип Даламбера д ля системы можно представить в виде: ( ) ( k i k e k F F k ,..., 2 , 1 (9.1) Т.е. если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на неё внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии. Принцип Даламбера относится к движению, рассматриваемому по отношению к инерциальной системе отсчета. При этом на точки механической системы, движение которой изучается, действуют только внешние и внутренние силы, возникающие в результате взаимодействия точек системы друг с другом и с телами, не входящими в систему. Под действием этих сил точки системы движутся с соответствующими ускорениями . Силы инерции на движущиеся точки не действуют. Введение сил инерции это приём, позволяющий составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики. Разъясним термин сила инерции» на примере. Рабочий толкает вагоне тку массы и сообщает ей ускорение . К вагонетке в этом случае будет приложена сила m F , направленная в сторону движения вагонетки. В то же время рабочий испытывает инерциальное сопротивлени е вагонетки, равное по модулю , но направленное в противоположную сторону. Это и есть сила инерции вагонетки, приложенная в действительности не к самой вагонетке, а к рукам рабочего. То есть, в действительности сила инерции приложен а не к самой движущейся точке, а к тому телу, в результате взаимодействия с которым эта точка получает данное ускорение. Умножая векторно слева на радиус вектор точки , проведенный из произвольно выбранного полюса, каждое из урав нений (9.1), получим ( ) ( k k i k k e k k r F r F r k ,..., 2 , 1 . Сложив почленно все эти уравнений и уравнений (9.1) найдем n k n k k o e k o n k n k k e k m F m F F 1 1 1 ) ( ) ( 0 (9.2) Здесь мы учли, что главный вектор и главный момент внутренних сил системы равны нулю. Если спроецировать (9.2) на координатные оси, то получится шесть условий равновесия для сил, подобных уравнениям равновесия сил, приложенных к тверд ому телу, рассмотренных в статике. Условия, входящие в (9.2), представляют собой в действительности теорему об изменении главного вектора количеств движения и теорему об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек соответстве нно. Систему сил инерции твердого тела можно привести к одной силе, равной главному вектору и приложенной в центре , и паре сил с моментом равным главному моменту o лавным вектором лавным моментом сил инерции относительно центра являются величины n k R и n k k o o m M ( Главный вектор сил инерции тела , совершающего любое движение , равен произведению массы тела на ускорение его центр а масс и направлен противоположно этому ускорению: n k k k M a m R 1 Определим главный момент сил инерции для некоторых частных случаев При поступательном движении главный момент сил инерции Рис. 9.1 относительно центра масс тела равен нулю: C . При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела (при этом тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно ей), главный момент сил инерции определяется по формуле: z M . При плоском ижении, если тело имеет плоскость симметрии, проходящую через центр масс и параллельную плоскости движения тела, главный момент сил инерции определяется по формуле: C M . Знак минус в последних формулах показывает, что направление момен тов противоположно направлению углового ускорения тела. Эти направления указываются на чертеже, а при вычислениях используются модули соответствующих величин. Методы решения задач динамики с использованием сил инерции называют кинетостатическими Примеры решения задач. . Однородная прямоугольная пластина массы , ширины и длины 2 вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Определить силу, ст ремящуюся разорвать пластину. Решение. Искомая сила является внутренней. Разрежем пластину на две части и применим принцип Даламбера к одной из половин. Действие отброшенной половины заменим силой , численно равной искомой силе . Главный вектор сил инерции ( C C C a M a M R направлен вдоль оси вследствие равенства нулю касательной составляющей ускорения и 2 1 2 1 Mx R . Условие равновесия дает равенство F . Окончательно 1 F 2. Груз массы , опускаясь вниз, приводит в движение груз массы , находящийся на горизонтальной плоскости, с помощ ью нерастяжимой нити переброшенной через блок . Найти ускорение грузов и силу реакции правой ветви нити. Массами блока и нити и трением пренебречь. Решение. На систему, состоящую из двух грузов, действуют активные силы и реакция плоскости . Присоединим к этим силам силы инерции грузов . Составим уравнение моментов всех сил относительно оси вращения блока ) ( 2 1 r P r F F . Здесь радиус блока. Нить, соединяющая блоки, нерастяжима, поэтому модули ускорений грузов одинаковы. Таким образом 2 1 g m a m a m , откуда 1 3 m g m a Рассмотрим груз в отдельности. На него действуют: активная сила вес груза, реакция правой ветви нити . Присоединим к грузу силу инерции груза . Запишем уравнение равновесия груза в проекции на вертик альную ось: 2 P F T , следовательно m m m m m T ) ( 1 3 2 2 Рис. 9.2 §10. Элементы аналитической механики. Связи, возможные перемещения, обобщенные координаты, обобщенные силы Механической системой называется такое множество материальных то чек, в котором движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек системы. Связями называются физические условия, налагающие ограничения на движение (координаты, скорости и ускорения) точек материальной системы. Будем рассматривать толь ко простейшие связи, осуществляемые различными физическими телами. Аналитически связи выражаются уравнениями, которые называются уравнениями связей. Если связь со временем не меняется, то связь называется стационарной склерономной, неизменной ). Если же связь явно зависит от времени, то она называется нестационарной реономной, переменной ). Связь, которая налагает ограничение только на положения точек системы, и, следовательно, выражается уравнением, связывающим только координаты этих точек, называется геометрической конечной ) связью. Связь, налагающая ограничение не только на координаты точек системы, но и на их скорости, называется кинематической дифференциальной ) связью. После интегрирования дифференциальная связь может перестать быть таковой и стат ь геометрической (конечной) связью. Следовательно, связь будет дифференциальной только в том случае, если она неинтегрируемая. Голономными называются связи, выраженные в конечной (геометрической) форме. Механические системы, на которые наложены только го лономные связи, называются голономными. Механические системы, на которые наложены связи, в числе которых имеется хотя бы одна неголономная связь, называются неголономными Голономные связи, наложенные на механическую систему, состоящую из материальных точек, в общем случае выражаются уравнениями вида ;...; ( i ,..., 2 , 1 ), а неголономные связи уравнениями вида ;...; ( i ,..., 2 , 1 ), где число связей наложенных на систему 3 ( n r Связи также подразделяются на удерживающие неосвобождающие, двусторонние ) и неудерживающие освобождающие, односторонние ). Удерживающие связи определяются равенствами, а неудерживающие неравенствами, по казывающими в какую сторону может произойти освобождение от связи движущейся материальной точки или механической системы. Например, сфера, по внешней стороне которой движется материальная точка, является примером неудерживающей связи. Для формулировки пр инципа возможных перемещений, определяющего условия равновесия механической системы, требуется введение понятия возможного (виртуального) перемещения. Возможным перемещением материальной системы называется воображаемое бесконечно малое перемещение систе мы, допускаемое в данный момент наложенными на систему связями . В отличие от действительного элементарного перемещения, происходящего за бесконечно малый промежуток времени и обусловленного действующими силами и наложенного на систему связями, возможные пе ремещения системы характеризуются только связями, ограничивающими её положение в данный момент. Если материальная точка находится на поверхности или на кривой, то возможные перемещения лежат в касательной плоскости к поверхности или на касательной к криво й. Переведем понятия действительного и возможного перемещения на язык математики. Вариацией функции называется приращение функции, обусловленное изменением вида функции, при фиксированном значении аргумента. Так, при переходе от функции ( 1 f y к функции ( 2 f y вариацией функции будет ( ) ( 2 1 2 f x f y y y . В отличие от вариации функции , дифференциал функции является главной частью приращения функции, образуемого за счет приращения аргумента ( 1 f y ( 2 f y Рис. 10.1 Элементарное действительное перемещение системы характеризуется совокупностью дифференциалов радиус векторов точек системы d , которым соответствует дифференциал времени , т.е. совокупностью бесконечно малых изменений радиус векторов точек системы, вызванных бесконечно малыми изменением аргумента времени. Возможные же перемещения системы характеризу ются совокупностью элементарных изменений радиус векторов точек системы , которые происходят вследствие изменения вида функции ( t r . В отличие от символа , означающего операцию дифференциров ания, символ , относящийся к возможным перемещениям, называется вариацией функции, а соответствующая операция называется варьированием . Варьирование производится по тем же правилам, что и дифференцирование, но при фиксированном ар гументе времени. Число независимых вариаций координат, определяющих положение системы, называется числом степеней свободы Число степеней свободы определяется наименьшим количеством дополнительных связей, которые нужно наложить на все точки системы, я того, чтобы они оставались неподвижными по отношению к некоторой относительно неподвижной координатной системе. Идеальными называются связи, сумма работ сил реакций которых на любых возможных перемещениях точек системы равна нулю: i n i i R , или ) ( n i i iz i iy i ix R y R x R . К идеальным относятся связи в виде абсолютно гладких поверхностей и линий, гибких нерастяжимых нитей, идеальных стержней. Неидеальными связями являются, например, связи с трением. Реакцию связи обычно разлагают на две сост авляющие: одну, касательную к траектории, направленную в сторону, противоположную относительной скорости (силу трения); другую, перпендикулярную к первой (нормальную реакцию). При связях, осуществляемых посредством абсолютно гладких тел, трение отсутствует , и такие связи являются идеальными. Обобщенные координаты При решении многих задач механики бывает удобно наряду с декартовыми прямоугольными координатами ввести в рассмотрение так называемые обобщенные координаты. Обобщенными лагранжевыми координата ми называется совокупность независимых параметров однозначно определяющих положение точек материальной системы в пространстве. Рассмотрим материальную систему, состоящую из материальных точек. В инерциальной системе отсчета Oxyz положение каждой точки определяется тремя координатами k y x , , , а положение всех точек 3 декартовыми координатами. Будем считать, что движение системы ограничено голономными, идеальными и удерживающими связями: ;...; , ( i ,..., 2 , 1 Так как 3 координат k y x , , удовлетворяют уравнениям связей, то они не являются независимыми. Число независимых координат, определяющих положение системы, будет n s 3 . Таким образом, в качестве независимых координат, определяющих положение системы, можно выбрать из 3 декартовых координат, выразив остальные координаты с помощью уравнений связей. Однако такой выбор может привести к сложным зависимостям, поэтому удобнее ввести каких либо других независимых параметров q q ,..., , 1 (обобщенных координат). В общем случае обобщенные координаты могут иметь различный геометрический и механический смысл. В качестве обобщенных координат могут быть выбраны произвольные величины (расстояния, углы, площади и т.д.). Производн ые по времени от обобщенных координат системы q q ,..., , 1 ) называются обобщенными скоростями системы. Число степеней свободы системы материальных точек, подчиненной идеальным и голономным связям, равно числу независимых обобщенных координат. Обобщенные силы Пусть положение системы однозначно определяется обобщенными координатами q q ,..., , 1 . Тогда каждая точка системы определяется радиус вектором, выраженным через эти обобщенные координаты и время: , ,..., , ( 1 q q q r r k k ( k ,..., 2 , 1 (10.1) Эти векторных равенств эквивалентны 3 скалярным равенствам , ,..., , ( 1 q q q x x k k , ,..., , ( 1 q q q y y k k , ,..., , ( 1 q q q z z k k ( k ,..., 2 , 1 ). Заметим, что в случае стационарных связей время явно не входит в уравнения связей. Поэтому в последние уравнения оно войдет только неявно, через обобщенные координаты, если система движется. Для голон омных систем вектор возможного перемещения точки соответствии с (10.1) можно выразить в виде s i i k s s k k k q r q q r q q r r 1 1 1 (10.2) Работа силы, действующей на материальную точку, при любом возможном перемещении точки называется виртуальной работой и обозначается символом . Найдем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы: n k k F A 1 . (10.3) Подставляя сюда (10.2) и изменяя порядок суммирования, получим s i i i i s i n k i k k Q q q r F A 1 1 ( (10.4) Скалярная величина n k i k k i r F Q (10.5) называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате Таким образом, обобщенными силами ( i ,..., 2 , 1 ) называются коэффициенты, стоящие в выражении суммы работ задаваемых сил при соответствующих обобщенных возможных перемещениях. Обобщенная сила в общем случае не является силой в обычном понимании этого слова. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты и определяется равенством: i A Q . Если обобщенная координата измеряется линейными величинами, то размерность обобщенной силы совпадает с размерностью силы: сила длина длина сила . Если обобщенная координата представляет собой угол, то размерность обобщенной силы совпадает с размерностью момента. Если обобщенная координата объем, обобщенная сила имеет размерность напряжения и т.д.. Способы вычисления обобщенн ых сил 1. Обобщенные силы можно вычислить по формуле (10.5), которую удобнее представить, используя определение скалярного произведения двух векторов через их проекции: Рис. 10.2 n k i k kz i k ky i k i z F q y F q x F 2. Обобщенные силы можно вычислить как коэффициенты при соот ветствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (10.4): s s i i i Q q Q Q q Q 2 1 1 1 ля вычисления обобщенной силы, например , сообщить системе такое возможное перемещение, при котором все вариации обобщ енных координат, кроме , будут равны нулю. Далее вычислить сумму работ всех задаваемых сил, включая силы реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении . Тогда обобщенная сила будет равна коэффициенту при . Аналогично определить все остальные обобщенные силы. 3. Если все силы, действующие на систему, потенциальны, то после выбора обобщенных координат следует вычислить потенциальную энергию системы, выразив ее в зависимости от обобщенных координат. Обобщенные силы будут равны взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате: i Q i ,..., 2 , 1 Примеры решения задач. . Для плоского математического маятника веса определить обобщенную силу, соответствующую углу отклонения . Длину нити считать равной (Рис.10.2) Решение. 1способ. Для однозначного определения положения математического маятника достаточно задать один параметр угол отклонения . Таким образом, математический маятник является системой с одной степенью свободы. Задаваемой сил ой является вес маятника Нить является идеальной связью, так как нить нерастяжима и при движении маятника натянута. Дадим маятнику обобщенное возможное перемещение в сторону возрастания угла . Вычислим работу силы на обобщенном возможном перемещении как момент силы относительно оси вращения, проходящей через точку перпендикулярно плоскости рисунка: ϕδϕ . Обобщенной силой является коэффициент, стоящий в этой формуле при , т.е. Pl Q 2 способ. Сила тяжести потенциальная сила. В ычисли потенциальную энергию системы, выразив ее в зависимости от выбранной обобщенн координат ы угла отклонения . Для этого направим ось вертикально вниз и возьмем начало отсчета в точке Тогда, учитывая определение потенциальн энерги и, найдем, что Обобщенн сил буд т равн взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате: Pl Q №2. Груз веса движется по гладкой наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту. К грузу прикреплен математический маятник веса . Длина нити маятника равна . Выбрать обобщенные координаты и найти соответствующие им обобщенные силы. Решение. П оложение рассматриваемой материальной системы однозначно определяет два независимых парам етра. Один параметр Рис. 10.3 определяет положение груза на плоскости, другой положение математического маятника по отношению к грузу. Таким образом, система имеет две степени свободы. Направим ось по наклонной плоск ости вниз, взяв начало отсчета в точке . Выберем координату за первую обобщенную координату. Угол отклонения маятника от вертикали выберем за вторую обобщенную координату. Задаваемыми с илами являются вес груза и вес маятника . Связи, наложенные на систему, являются идеальными. Дадим системе два независимых обобщенных возможных перемещения Перемещение направим в сторону возрастания координаты , а в сторону возрастания угла . Эти возможные обобщенные перемещения независимы, поэтому для определения об общенной силы , дадим системе возможное перемещение , а будем считать равным нулю. При этом вся система движется поступательно. Сумма работ задаваемых сил на возможном перемещении будет равна: P P A ) ( 1 . Таким образом, обобщенная сила ) ( P Q . Аналогично, для определения обобщенной силы , дадим системе возможное перемещение , а будем считать равным нулю. При этом груз находится в покое на наклонной плоскости, а нить маятника отклоняется от вертикального положения. Сумма работ задаваемых сил на возможном перемещении будет равна: ϕδϕ . Таким образом, обобщенная сила P Q §11. Принцип возможных перемещений. Уравнения равновесия в обобщенных координатах Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа) Для равновесия системы материальных точек, подчи ненной идеальным стационарным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ задаваемых сил на любых возможных перемещениях точек системы равнялась нулю: n k k k F (11.1) Аналогично в проекциях на оси декартовых координат имеем: n k k kz k ky k kx F y F x F Док во: Докажем необходимость условия (11.1) для равновесия системы, т.е. докажем, что если система находится в равновесии, то активные силы удовлетворя ют условию (11.1). Действительно, если механическая система находится в равновесии, то для каждой её точки активная сила и сила реакции связей удовлетворяют условию равновесия статики для сил, приложенных в т очке: k F k ,..., 2 , 1 . Умножая обе части этого равенства скалярно на возможное перемещение точки и суммируя по всем точкам системы, получим 1 n k k k n k k k R r F . По условию идеальных связей i n i i R и для активных сил получаем условие (11.1), что и требовалось доказать. Докажем достаточность условия (11.1) для равновесия системы, т.е. докажем, что если это условие выполняется для активных сил, действующих на точки системы, то сист ема находится в равновесии при выполнении других условий ПВП. Доказательство проведем методом от противного. Пусть все условия теоремы выполняются, а система вышла из равновесия. При этом, по крайней мере для одной точки системы, не будет выполняться ус ловие равновесия для сил, т.е. k F (11.2). Дадим системе возможное перемещение. Так как связи стационарные, то элементарное действительное перемещение для каждой точки системы под действием не равной нулю равнодействующей силы принадле жит к числу возможных перемещений и их совокупность можно выбрать в качестве возможного перемещения системы. Скорости точек системы в рассматриваемый момент времени по условию равны нулю; следовательно, элементарные действительные перемещения будут напр авлены по ускорениям точек, т.е. по равнодействующим силам. Рис. 11.1 Умножая скалярно (11.2) на k d r , получим ) ( k k R F по крайней мере для одной точки системы, вышедшей из равновесия. Суммируя по всем точкам системы, будем иметь 1 n k k k n k k R r F Для идеальных связей i n i i R , следовательно n k k k F , что находится в противоречии с условием (11.1). Следовательно, при этом условии система не может прийти в движение, что и требовалось доказат ь. Принцип полностью доказан. Условия равновесия системы в обобщенных координатах Выразим принцип возможных перемещений в обобщенных координатах: для равновесия системы материальных точек, подчиненной идеальным стационарным связям, необходимо и достато чно, чтобы сумма работ обобщенных сил на соответствующих обобщенных возможных перемещениях системы равнялась нулю, т.е ., учитывая (10.3) ... 2 1 1 1 s s s i i i Q q Q q Q q Q Так как q q , 1 являются независимыми обобщенными возможными перемещениями, то последнее равенство будет справедливым только при условии ... 1 Q Q . Таким образом, в случае равновесия системы материальных точек все обобщенные силы равны нулю. Примеры решения задач. . Составная балка , лежащая на трех опорах, состоит из двух балок, которые соединены шарнирно в точке . На балку действуют силы . Определить опорную реакцию в точке , если CE BE BD AD 2 2 2 Решение. Для определения опорной реакции мысленно освободим систему балок от опоры , при этом, приложив ее реакцию . Дадим возможное перемещение в точк по вертикали вверх. Рис. 11.2 При этом балка примет положение, указанное пунктиром на рисунке, и точки приложения сил получат возможные перемещения . Используя подобие треугольников, найдем зависимость между линейными возможными перемещениями: D B r r 2 . Применив принцип возможных перемещений, получим: 1 D B B F r F r R откуда 1 F R №2. В механизме стержень может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости рисунка. Ползун может перемещаться вдоль стержня . Он шарнирно соединен со стержнем , который движется в вертикальных направляющих. К стержню приложена сила , направленная вдоль стержня вверх. Определить силу , приложенную к стержню под углом , в зависимости от угла при равновесии механизма, если OA OK Решение. Дадим системе возможное пер емещение , повернув мысленно стержень против хода часовой стрелки. Тогда точка приложения силы получит возможное перемещения . Так как стержень совершает поступательное движение, то C r Заметим что для установления связи между возможными перемещениями точек твердого тела можно использовать и другие положения о связи скоростей точек твердого тела и для других случаев д вижения. Рассматриваемый механизм обладает одной степенью свободы, поэтому зависят друг от друга. Сначала определим зависимость от y После операции варьирования, получим l r y B . Применив принцип возможных перемещений, получим: F LQ , откуда L Fl Q §12. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа го рода. Структура уравнений Лагранжа го рода. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Общее уравнение динамики Согласно принципу Даламбера в любой момент времени фактически действующие на каждую из точек системы активные силы, силы реакций связей и соответствующие силы инерции будут находиться в равновесии, т.е. k k R F ( k ,..., 2 , 1 ), где равнодействующая активных сил, приложенных к ой материальной точке, равнодейств ующая реакций связей, приложенных к ой материальной точке, k k m I сила инерции точки. Умножая скалярно каждое из этих слагаемых на возможное перемещение точки и суммируя по всем точкам с истемы, получим 1 1 n k k k n k k k n k k k I r R r F (12.1) Но если на систему наложены идеальные связи, то сумма работ сил реакций таких связей на любых возможных перемещениях точек системы равна нулю: k n k k R . Тогда (12.1) принимает вид n k k k k k a m F (12.2) или n k k k kz k k ky k k kx z m F y y m F x x F Это уравнение, вытекающее из двух основных принципов механики (принципа Даламбера и п ринципа возможных перемещений) и есть общее уравнение динамики (часто называют объединенным принципом Даламбера Лагранжа или общим уравнением механики). Таким образом, в любой момент времени движения системы, подчиненной идеальным связям, сумма элементар ных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы. Уравнения Лагранжа го рода В некоторых случаях при решении задач динамики бывает наиболее удобным использовать вытекающие из общего уравнения д инамики уравнения Лагранжа. Для получения уравнений Лагранжа используем три тождества: 1. Формулу дифференцирования скалярного произведения двух любых векторов b d a b dt a d b a dt d или b d a b a dt d b dt a d (12.3) А также два тождества Лагранжа: 2. k i k r q r (12.4) 3. k i k r q r dt d ) ( (12.5) Перепишем общее уравнение динамики в виде: n k k k k k V m F или n k k k k n k k k V m r F 1 , где согласно формулам (10. 3) и (10.4) s i i i k n k Q r F 1 . Выразим в обобщенных координатах правую часть равенства. Согласно (10.2) s i i k k q r r 1 , тогда n k i k k k s i i s i i i k n k k k n k k k k r V m q q q r V m r V m 1 1 1 1 . Далее, используя (12.3), получим k n k k k i k n k k k n k i k k k r dt d V m q r V m dt d q r V m 1 1 1 . На основании тождеств Лагранжа (12.4) и (12.5) i k n k k k i k n k k k n k i k k k V V m q V V m dt d q r V m 1 1 i i n k k k i n k k k T q T dt d q V m q V m dt d 2 1 2 1 2 1 , где кинетическая энергия системы. Таким образом, s i i i i s i i i T q T dt d q q Q 1 или i s i i i i Q q T q T dt d . Так как q q , 1 в случае системы, подчинен ной голономным связям, являются независимыми обобщенными возможными перемещениями, то общее уравнение динамики удовлетворяется лишь при условии, что коэффициенты, стоящие при возможных перемещениях, равны нулю, т.е. s s q T q T dt d Q q T q T dt d Q q q T dt d 2 2 1 1 1 (12.6) Уравнения (12.6) называются уравнениями Лагранжа второго рода. При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, т.е. числу степеней свободы. Система (12.6) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Если задаваемые силы системы потенциальны, то уравнения Лагранжа можно записать в виде: s s q T q T dt d q q T q T dt d q T q T dt d 2 1 1 1 Если ввести функцию Лагранжа лагранжиан ), равную разности кинетической и потенциальной энергий, т.е. T L , то уравнения (12.6) примут вид: 0 0 0 2 1 1 s s L q L dt d L q L dt d q L q L dt d Использование уравнений Лагранжа является универсальным методом соста вления систем дифференциальных уравнений движения систем материальных точек. Примеры решения задач. . Груз массы опускаясь вертикально вниз приводит в движение груз массы , движущейся по гладкой горизонтальной плоскости посредством нерастяжимой нити, переброшенной через подвижный блок массы . Пренебрегая массой нити, найти ускорения грузов. Блок считать однородным круглым диском. Решение. Изобразим задаваемые силы, приложенные к рассматриваемой системе: вес груза вес блока вес груза . На систему наложены идеальные связи. Добавим силы инерции материальных точек системы. Пусть груз опускается вниз с искомым ускорением . Груз движется поступательно. К нему приложим силу инерции , направленную по горизонтали налево. Груз также движется поступательно. К нему приложим силу инерции , направленную по вертикали вверх. Т.е. силы инерции направлены противоположно ускорениям соответствующих грузов. К блоку приложим момент сил инерции z , дуговая стрелка которого направлен а противоположно вращению. При этом m I 1 m I 3 2 2 2 m R a R m I m z , где радиус блока. Мысленно остановим систему и дадим линейное возможное перемещение грузу по вертикали вниз. Так как нить нерастяжима, то груз получит равное по модулю возможное перемещение, направленное по горизонтали направо, а блок получит угловое возможное перемещение , при этом r . Найдем сумму работ задаваемых сил и сил инерции на возможных перемещениях точек системы и приравняем ее нулю: 3 1 r P r I m r I z . Используя полученные ранее зависимости, получим ( 2 2 1 2 3 m m g m a №2. Механическая система состоит из груза массы и блока моментом инерции относительно оси вращения . Кинетическая энергия z Рис. 12.1 Рис. 12.2 системы k , где постоянная величина. К блоку приложена пара сил с моментом относительно оси вращения , при этом нить наматывается на обод блока и груз движется вверх по гладкой наклонной плоскости. Найти ускорение груза , если радиус блока равен Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы, так как положение груза на плоскости однозначно определяет положение блока . В качестве обобщенной координаты по условию задачи выбрана координата груза . Уравнение Лагранжа для о бобщенной координаты имеет вид: s s dt d . К системе приложены следующие задаваемые силы: вес груза вес блока , пара сил с моментом . Все связи, наложенные на систему, идеальные. Дадим блоку угловое возможное перемещение , тогда груз получит линейное возможное перемещение s . Вычислим сумму работ задаваемых сил на возможных перемещениях точек системы: s m s mg m A P A P A z sin ) ( ( ) ( 1 . Таким образом, m mg Q s . Вычислим частную производную от кинетической энергии системы по обобщен ной скорости k 2 . Возьмем производную от полученного результата: k s dt d 2 . Далее, s Подставив полученные выражения в уравнение Лагранжа, получим m mg s k 2 , отк уда mgR ЛИТЕРАТУРА 1. Бать М.И., Джанилидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах Том 1, М.: Изд во Наука», 1967. 512с. 2. Бать М.И., Джанилидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и з адачах Том 2, М.: Изд во Наука», 1964. 664с. . Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики М.: Изд во Выс шая школа», 2004. 416c. . Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической ме ки Том 2, М.: Изд во Наука», 1979 544c. . Воронков И .М. Курс теоретической механики М.: Изд во Наука», 1964. 596c. 6. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики М.: Изд во Высшая школа», 7. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике М.: Изд во Наука », 1986. 448с. Содержание Глава . Динамика материальной точки Общие понятия и определения. Первая задача динамики. ……………………...………………………..3 Интегрирование дифференциальных уравнений движения (вторая задача динамики)…...…... ……....8 Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра (оси). Законы сохранения. ......................11 Теорема об изменении кинетической э нергии. Дифференциальные уравнения относительного движения точки ………………………………... ………………… ….18 Глава . Динамика системы материальных точек Основные понятия и определения. Центр масс (инерции) системы материальных точек …………….....……………………………….. .28 Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек. Теорема о движении центра масс. Теорема Эйлера ………………………...…………... ……………….. Теоремы об изменении главного момента количеств движения и кинетической энергии системы. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси ……..…...…….... . Потенциальное силовое поле. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии. …......…………………... .... Глава Принцип Далам бера и элементы аналитической механики Принцип Даламбера ….……...…………………………….. ….54 Элементы аналитической механики. Связи, возможные перемещения, обобщенные координаты, обобщенные силы …..……………………... Принцип возможных перемещений. Уравне ния равновесия в обобщенных координатах ……………... ...66 Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа го рода. Структура уравнений Лагранжа го рода. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил ….……………………………………....70 Литература …………...………………. …………………………

Приложенные файлы

  • pdf 18241831
    Размер файла: 609 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий