Dinamika_2


Лекция 2. Работа. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Работа силы.
2. Консервативные силы.
2. Мощность.
3. Примеры вычисления работы.
4. Потенциальная энергия
5. Кинетическая энергия
6. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
7. Теорема моментов.
Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».
Работа силы. Мощность.
Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы.

Рис.1
При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.
Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы F (рис.1) называется скалярная величина:dA=Fτds,
где Fτ - проекция силы F на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а ds- бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.
Данное определение соответствует понятию о работе, как о характеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу F на составляющие Fτ и Fn, то изменять модуль скорости точки будет только составляющая Fτ, сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же Fn или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном движение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляющая Fn влиять не будет, т.е., как говорят, сила Fn «не будет производить работу».
Замечая, что Fτ=Fcosα, получаем:
dA=Fdscosα. (1)
Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение ds или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.
Если угол α острый, то работа положительна. В частности, при α=0 элементарная работа dA=Fds.
Если угол α тупой, то работа отрицательна. В частности, при α=1800 элементарная работа dA=-Fds.
Если угол α=900, т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.
Положительную силу F (α> 90°) называют движущей, а отрицательную (α> 90°) – силой сопротивления.
Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу F на составляющие Fx, Fy, Fz по направлениям координатных осей (рис.2; сама сила F на чертеже не показана).

Рис.2
Элементарное перемещение MM'=ds слагается из перемещений dx, dy, dz вдоль координатных осей, где x, y, z - координаты точки М. Тогда работу силы F на перемещении ds можно вычислить как сумму работ её составляющих Fx, Fy, Fz на перемещениях dx, dy, dz.
Но на перемещении dx совершает работу только составляющая Fx, причем её работа равна Fxdx. Работа на перемещениях dy и dz вычисляется аналогично.
Окончательно находим: dA=Fxdx+Fydy+Fzdz.
Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.
Работа силы на любом конечном перемещении М0М1 вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:
AM0M1=M0M1Fτds или AM0M1=M0M1(Fxdx+Fydy+Fzdz).Следовательно, работа силы на любом перемещении М0М1 равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М0 и М1. Графически площадь под всей кривой М0 и М1 и будет искомой работой.

Рис.3
Если величина Fτ постоянна (Fτ=const), то и обозначая перемещение М0М1 через s1 получим: A(M0M1)=Fτs1.
Такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению (F= const), а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис.3). В этом случае Fτ=Fcosα=const и работа силы A(M0M1)=Fs1cosα .
Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= 1 Н∙м). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на 1 м пути.
Консервативные силы.
Силы, действующие на тело, могут быть консервативными и неконсервативными. Сила называется консервативной или потенциальной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении материальной точки из одного положения в другое, не зависит от вида траектории (формы пути) и определяется только начальным и конечным положениями тела (рис.3.1): А1В2 = А1С2 = А12.

Рис.3.1
В случае, если тело движется в обратном направлении А12= –А21, т.е. изменение направления движения по траектории на противоположное вызывает изменение знака работы. Следовательно, при движении материальной точки по замкнутой траектории работа консервативной силы равна нулю (например, поднятие и опускание груза):
LFl∙dl=A1B2+A2C1=0. (1)Консервативными силами являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, электростатические силы. Силы, не удовлетворяющие условию (1), называются неконсервативными. К неконсервативным силам относят силы трения и сопротивления. Поле, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным.
Мощность.
Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность
W=At,где t - время, в течение которого произведена работа A. В общем случае
W=dAdt=Fτdsdt=FτV.Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения.
Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт=1 дж/сек). В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила, равная 75 кГм/сек или 736 вт.
Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 квт-ч = 3,6∙106 дж ≈367100 кГм).
Из равенства W=FτV видно, что у двигателя, имеющего данную мощность W, сила тяги Fτ будет тем больше, чем меньше скорость движения V. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.
Примеры вычисления работы.
Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.
1) Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести P, перемещается из положения М0 (x0, у0, z0) в положение M1 (х1, у1, z1). Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис.4).

Рис.4

Тогда Рx=0, Рy=0, Pz= -Р. Подставляя эти значения и учитывая переменную интегрирования z:
AM0M1=M0M1(-P)dz=-Pz0z1dz=P(z0-z1).Если точка M0 выше М1, то z0-z1=h, где h-величина вертикального перемещения точки;
Если же точка M0 ниже точки M1 то z0-z1=-z1-z0=-h.
Окончательно получаем: AM0M1=±Ph.
Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.
Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.
2) Работа силы упругости. Рассмотрим груз М, лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис.5,а). Отметим на плоскости точкой О положение, занимаемое концом пружины, когда она не напряжена (AO=l0 - длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О, удлинив пружину до величины l, то на груз будет действовать сила упругости пружины F, направленная к точке О.


Рис.5
По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины ∆l=l-l1. Так как в нашем случае ∆l=x, то по модулю F=c∆l=cx.Коэффициент с называется коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в H/см, полагая коэффициент с численно равным силе, которую надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 1 см.
Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения M0(x0) в положение M1x1. Так как в данном случае Fx=-F=-cx, Fy=Fz=0, то получим:
AM0M1=M0M1-cxdx=-cx0x1xdx=c2(x02-x12).(Этот же результат можно получить по графику зависимости F от х (рис.20, б), вычисляя площадь σ заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле x0 представляет собою начальное удлинение пружины ∆lнач, а x1 конечное удлинение пружины ∆lкон. Следовательно,
AM0M1=c2[(∆lнач)2-(∆lкон)2],т.е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа будет положительной, когда ∆lнач>|∆lкон|, т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда ∆lнач<|∆lкон|, т.е. конец пружины удаляется от равновесия положения. Можно доказать, что формула остается справедливой и в случае, когда перемещение точки М не является прямолинейным.
Таким образом, оказывается, что работа силы F зависит только от значений ∆lнач и ∆lкон и не зависит от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости также является потенциальной.

Рис.6
3) Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис.6) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN, где f - коэффициент трения, а N-нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, Fтр=-fN и по формуле
AM0M1=-M0M1Fmpds=-M0M1fNdx.Если величина силы трения постоянна, то AM0M1=-Fmps, где s-длина дуги кривой М0М1 по которой перемещается точка.
Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги М0М1 . Следовательно, сила трения является силой непотенциальной.
4) Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
В этом случае (рис.7) точка приложения силы F движется по окружности радиуса r. Элементарная работа, по (1), dA=Fds∙cosα, где ds=r∙dφ.

Рис.7
Поэтому dA=Fr∙dφ∙cosα.
Но F∙r∙cosα=Fτ∙r=Mz(F).Это нетрудно установить, разложив силу на три составляющие (рис. 7). (Моменты сил Fb и Fn равны нулю). Значит,
dA=Mz(F)∙dφ (2)
В частности, если момент силы относительно оси MzF=const, работа силы при повороте тела на угол φ равна
A=±Mz(F)∙φ.(3)
Знак работы определяется знаками момента силы и угла поворота. Если они одинаковы, работа положительная.
Из формулы (3) следует и правило определения работы пары сил. Если пара с моментом m расположена в плоскости перпендикулярной оси вращения тела, то ее работа при повороте тела на угол φA=±mφ. (4)
Если же пара сил действует в плоскости не перпендикулярной оси вращения, то ее надо заменить двумя парами. Одну расположить в плоскости перпендикулярной оси, другую – в плоскости параллельной оси. Моменты их определяются разложением вектора момента m по соответствующим направлениям: m=m1+m2. Конечно работу будет совершать только первая пара с моментом m1=m∙cosγ, где γ – угол между вектором m и осью вращения z,
A=±mφ∙cosγ. (5)
Энергия.
Мерой поступательного движения является импульс тела, но эта характеристика не универсальная. Универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи является энергия. Формы энергии: механическая, тепловая, электрическая, ядерная, внутренняя и др. Энергия из одной формы может переходить в другую. Энергия механической системы количественно характеризует ее с точки зрения возможных количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы между собой и с внешними телами. Таким образом, движение и энергия неразрывно связаны между собой, а т.к. движение является неотъемлемой частью материи, то всякое тело обладает какой-либо энергией.
Кинетической энергией тела называют энергию, являющуюся мерой его механического движения и определяемую работой, которую надо совершить, чтобы вызвать это движение.
Если под действием силы F тело из состояния покоя приходит в движение со скоростью V, то будет совершаться работа, и энергия тела возрастает на величину затраченной работы:dA=F∙dr,где dr - перемещение; dA – элементарная работа.
С учетом скалярной записи второго закона Ньютона:
F=ma=mdVdt,Получим
dA=mV∙dV.А так как совершаемая работа равна приращению энергии, то
dA=dWK=mV∙dV.Полная энергия находится путем интегрирования, при изменении скорости от 0 до некоторого значения V:
WK=0VmV∙dV=mV22.Кинетическая энергия всегда положительна. Кинетическая энергия системы материальных точек равна алгебраической сумме кинетических энергий всех материальных точек системы.
Кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
Кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета, т.к. в различных инерциальных системах отсчета скорость неодинакова.
Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел, действующих друг на друга.
Часть пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, зависящая от места положения точки, называется силовым полем.
Причем, эта сила определяется с помощью силовой функции u = u(x, y, z). Если она не зависит от времени, то такое поле называется стационарным. Если во всех точках она одинакова, то поле – однородное.
Если же проекции силы на декартовы оси есть частные производные от силовой функции по соответствующим координатам
X=∂u∂x, Y=∂u∂y, Z=∂u∂z, (6)то такое поле называется потенциальным.
Если работа зависит от траектории, то силы называются диссипативными (сила трения).
Вычислим работу силы потенциального поля при перемещении точки из положения М1 в положение М2. (рис. 8).

Рис.8
Элементарная работа, dA=Xdx+Ydy+Zdz=∂u∂x∙dx+∂u∂y∙dy+∂u∂z∙dz=du
Это есть полный дифференциал силовой функции.
Работа на конечном перемещении
A=u1u2du=u2-u1 (7)где u2 и u1 – значения силовой функции в точках М2 и М1.
Следовательно, работа силы потенциального поля не зависит от траектории движения точки, а определяется лишь значениями силовой функции в начальном и конечном положениях точки.
Естественно, если точка вернется в начальное положение, работа силы F будет равна нулю. Работа окажется равной нулю и при переходе в другую точку М3, если там значение силовой функции будет такое же, как и в начальном положении.
Нетрудно догадаться, что точки с одинаковыми значениями силовой функции будут образовывать целую поверхность. И что силовое поле – это слоеное пространство, состоящее из таких поверхностей (рис. 8). Эти поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями. Уравнения их: u(x, y, z)=C (C – постоянная, равная значению u в точках этой поверхности). А силовую функцию называют, соответственно, потенциалом поля.
Конечно, эквипотенциальные поверхности не пересекаются. Иначе существовали бы точки поля с неопределенным потенциалом.
Поскольку, при перемещении точки по эквипотенциальной поверхности работа силы F равна нулю, то вектор силы перпендикулярен поверхности.
Выберем среди этих поверхностей какую-нибудь одну и назовем ее нулевой поверхностью (положим у нее u=u0).
Работа, которую совершит сила F при переходе точки из определенного места М на нулевую поверхность, называют потенциальной энергией точки в этом определенном месте М:
WП=A=u0-u. (8)Если тело находится в потенциальном поле сил, то оно будет обладать потенциальной энергией. Потенциальную энергию тела, связанного с нулевым уровнем системы отсчета, принимают нулевой, а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.
По (8) силовая функция u=u0-WП. Поэтому проекции силы на декартовы оси, по (6), так как u0=const,
X=∂WП∂x, Y=∂WП∂y, Z=∂WП∂z (9)и вектор силы F=-∂WП∂x∙i+∂WП∂y∙j+∂WП∂z∙k=-grad WП.
Рассмотрим несколько потенциальных полей.
1) Поле силы тяжести.
Вблизи поверхности Земли сила тяжести во всех точках одинакова F=P, равна весу тела. Значит, это силовое поле однородное. Так как при перемещении точки в горизонтальной плоскости работа силы равна нулю, то эквипотенциальными поверхностями будут горизонтальные плоскости (рис. 9), а уравнения их: u = z = C.

Рис.9
Если нулевой поверхностью назначить плоскость xOy, то потенциальная энергия точки в положении М будет равна работе силы тяжести:
WП=A=Ph=mgh.
это энергия тела, поднятого над Землей на высоту h.
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то WП может в общем случае принимать и отрицательные значения (например, WП на дне шахты).
2) Поле упругой силы.
При деформации упругого тела, например пружины, появляется сила. То есть около этого тела возникает силовое поле, силы которого пропорциональны деформации тела и направлены в сторону недеформированного состояния. У пружины – в точку М0, где находится конец недеформированной пружины (рис. 10).

Рис.10
Если перемещать конец пружины так, чтобы длина ее не изменялась, то работа упругой силы F будет равна нулю. Значит эквипотенциальными поверхностями являются сферические поверхности с центром в точке О.
Назначим нулевой поверхностью сферу, проходящую через точку М0, через конец недеформированной пружины. Тогда потенциальная энергия пружины в положении М: WП=A=0,5kx2.
При таком выборе нулевой поверхности потенциальная энергия всегда будет положительной (WП>0), и в растянутом, и в сжатом состоянии.
Полная механическая энергия системы равна энергии механического движения и энергия взаимодействия:
Wпол=WК+WП=const. (10)Полная механическая энергия тела при его перемещении вдоль любой траектории в потенциальном поле остается постоянной.
Пример 1. Рассмотрим свободное падение камня массой m, брошенного в поле гравитации Земли из точки 1 в точку 2 (рис. 11).

Рис.11
Элементарная работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня, равна:
dA=Fгр∙dr=Fгрds∙cosα=Fгр∙dh.Полная работа на участке 1–2 находится как
A=12dA=h1h2Fгр∙dh=Fгр∙(h2-h1),где Fгр = mg – сила тяжести; тогда получаем:
A=mgh2-mgh1=mg(h2-h1)=-mg∆h. (11)Из последнего выражения видно, что работа определяется только положением начальной и конечной точек траектории тела.
Пример 2. Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружины). Известно, что сила упругости пропорциональна деформации x:
Fупр=-kx,где k – коэффициент упругости; x – значение деформации; знак (–) указывает, что Fупр направлена в сторону, противоположную деформации.
Для преодоления силы упругости необходимо приложить силу:
F=-Fупр=kx.Элементарная работа – работа, совершаемая при бесконечно малой деформации:
dA=Fdx=kx∙dx.Полная работа найдется как
A=0xkxdx=kx22.Работа в данном примере идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Если при x = 0 Won = 0, то с = 0. Потенциальная энергия упругодеформированного тела равна
WП=kx22.Пример 3. Материальная точка массой m движется по оси Ох в потенциальном силовом поле с энергией, зависящей от координаты x по закону: Wр= -αx4, где α - положительная постоянная. Найти зависимость ускорения точки от координаты x.
Решение. Используя связь между силой и потенциальной энергией:
Fx=-∂Wp∂x,найдем зависимость силы от координаты x:
Fx=4αx3, Fy=0, Fz=0.По второму закону Ньютона получим выражение для ускорения:
a=Fm=4αx3m.Если аналитически или графически задана зависимость потенциальной энергии от угла поворота при вращательном движении, то, применяя соотношение M=-∂Wp∂φ, можно выразить момент силы, а также найти угловое ускорение ε=MJ.Пример 4. Вагон массой m = 20 т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью v0 = 54 км/ч, под действием силы трения Fmp = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу A сил трения и расстояние S, которое вагон пройдет до остановки.
Решение.
1) Работа А, совершаемая результирующей силой, может быть определена как мера изменения кинетической энергии материальной точки:
A=∆Wk=Wk-Wk0;где Wk=mv2/2=0.
Отсюда A=-Wk0;
Wk0=m0v022=20000∙1522=225∙104Дж=2,25 МДж.A=-2,25 МДж
2) Расстояние S=TF=225∙1046∙103=375 м;
Ответ: Работа сил трения равна -2,25 МДж, расстояние которое вагон пройдет до остановки 375 м.
Пример 5. На рисунке изображена зависимость проекции Fx силы, действующей на материальную точку, от координаты х. Определить работу, совершенную при перемещении точки на расстояние 5 м.
-1
x, м
Fx, H
2
4
-0,51
0
0,51
3
5
-1
x, м
Fx, H
2
4
-0,51
0
0,51
3
5

Рис.12
Решение. Согласно условию сила зависит от координаты x. Работа переменной силы на участке от x1 до x2 равна
A12=x1x2Fxdx.Геометрически интеграл можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной соответствующим участком графика, отрезком оси x и перпендикулярами, опущенными из конечных точек графика на ось абсцисс. На первом участке графика проекция силы Fx отрицательна и работа тоже отрицательна. Численно она равна площади треугольника. На втором и третьем участках Fx >0, работы на этих участках положительны и вычисляются как соответствующие площади прямоугольника и треугольника. В результате имеем:
А = -(1∙2)/2 + 1∙2 + (1∙1)∙2 = 1,5 Дж.
Если задана зависимость момента силы от угловой координаты φ, то расчет работы производится по аналогичной формуле A=0φMφdφ либо аналитически, либо графически.
Пример 6. К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию Wк будет иметь диск через время t = 5 c после начала действия силы?
Решение.
1) Wk=Jω22 - кинетическая энергия диска;
2) ω=εt - угловая скорость;
3) ε=MJ=FmmR22=2FmR - угловое ускорение4) Момент инерции для диска J=mR22;
5) Wk=mR22∙2FmR∙t22=mR2∙4F2t22m2R22=mR2∙4F2t24m2R2=F2t2m6) Подставив данные, получим:
F2t2m=19,62∙525=19,62∙5=1920,8 Дж≈1,9 кДж.Ответ: Кинетическая энергия, через 5 с. после начала действия силы будет равна 1,9 кДж.
Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения M0 , где она имеет скорость v0, в положение М1 , где ее скорость равна v1.
Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению ma=Fk выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную Mτ к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим:
ma=FkxСтоящую слева величину касательного ускорения можно представить в виде
aτ=dVdt=dVdsdsdt=dVdsV.В результате будем иметь:
mVdVds=Fkx.Умножив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что Fkxds=dAk где dAk - элементарная работа силы Fk получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
dmV22=dAk.Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M0 и M1, найдем окончательно:
mV122-mV022=AM0M1.Уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Пример 7. По графику зависимости скорости от времени v(t) определить, является ли работа силы, действующей на материальную точку в интервале времени от 0 до τ положительной, отрицательной, равной нулю (рис.13). Учесть, что АО = ОВ.
vtО

A
B
vtО

A
B

Рис.13
Решение. Работа силы, действующей на частицу, равна приращению кинетической энергии частицы.A=WkII-WkI.Кинетическая энергия материальной точки связана со скоростью соотношением Wk=mv22. Поскольку скорости частицы в моменты времени t=0 и t=τ согласно условию задачи равны по величине (на графике АО = ОВ), то и кинетические энергии в этих состояниях одинаковы, т.е. WkI=WkII. Следовательно, работа приложенной силы за указанный промежуток времени равна нулю.
Пример 8. Точка движется по оси Ox под действием силы, направленной вдоль оси x (рис.14). Сравните значения кинетической энергии точки в начальном и конечном состояниях для случаев, когда проекция силы на ось координат изменяется согласно графикам “а” и “б” ?Fх

а
б


а
б

Рис.14
Решение. Согласно теореме приращение кинетической энергии частицы равно работе силы, действующей на частицу.A=WkII-WkI.Работа переменной силы определяется соотношением A=Fxdx. Учитывая геометрический смысл интеграла (площадь криволинейной трапеции), нетрудно видеть, что в случае “а” работа равна нулю и кинетические энергии начального и конечного состояний совпадают. В случае “б” работа положительна и кинетическая энергия конечного состояния больше, чем начального.
Пример 9. Два диска с равными массами, на разных размеров (RA = 2RB) раскручивают до одинаковых угловых скоростей. Найти отношения произведенных работ.
Решение. Работа по раскручиванию диска равна приращению кинетической энергии, т.е. A=∆Wk. Начальная кинетическая энергия каждого диска равна нулю, конечная связана с угловой скоростью формулой
Wk=Jω22. Учитывая, что момент инерции сплошного однородного диска равен J=mR22, получим искомое отношение произведенных работ:
AAAB=WkAWkB=JAω22JBω22=JAJB=mRA22mRB22=RARB2=4Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов).
4654550178371500Из двух основных динамических характеристик, величина mv является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора mv оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора mv относительно данного центра О или оси z обозначается m0(mv) или mz(mv) и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора mv так же, как и момент силы. При этом вектор mv считается приложенным к движущейся точке. По модулю m0mv=mvh, где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора mv (рис.15).
Теорема моментов относительно центра. Найдем для материальной точки, движущейся под действием силы F (рис.15), зависимость между моментами векторов mv и Fотносительно какой-нибудь неподвижного центра О. В конце было показано, что ,m0F=r×F.
Аналогично m0mv=r×mV.584644517526000При этом вектор m0F направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор F, а вектор m0mv - перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор mv.

Рис.15
Дифференцируя выражение m0mv по времени, получаем:
ddtr×mV=drdt×mV+r×mdVdt=V×mV+(r×ma).НоV×mV=0, как векторное произведение двух параллельных векторов, a ma=F. Следовательно,
ddtr×mV=r×F или ddt[m0mV]=m0(F).В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Аналогичная теорема имеет место для моментов вектора силы относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства ddt[m0mV]=m0(F) на эту ось. Математическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой ddt[mzmV]=mz(F). Вопросы для самопроверки
- Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?
- Какие силы называют движущими?
- Какие силы называют силами сопротивления?
- Запишите формулы для определения работы при поступательном и вращательном движениях?
- Какую силу называют окружной? Что такое вращающий момент?
- Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.
- Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?
- Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?
- Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?
- Чему равна работа равнодействующей силы.
- Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?
- Каково векторное выражение элементарной работы?
- Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?
- Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.
- В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?
- Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?
- На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю.
- В каком случае работа силы упругости положительна и в каком – отрицательна?
- Какая сила называется: а) консервативной; б) неконсервативной; в) диссипативной?
- Что называется потенциалом консервативных сил?
- Какое поле называется потенциальным?
- Что называется силовой функцией?
- Что называется силовым полем? Приведите примеры силовых полей.
- Какими математическими зависимостями связаны потенциал поля и силовая функция?
- Как определить элементарную работу сил потенциального поля и работу этих сил на конечном перемещении системы, если известна силовая функция поля?
- Какова работа сил, действующих на точки системы в потенциальном поле, на замкнутом перемещении?
- Чему равна потенциальная энергия системы в любом ее положении?
- Чему равно изменение потенциальной энергии механической системы при перемещении ее из одного положения в другое?
- Какая зависимость существует между силовой функцией потенциального поля и потенциальной энергией системы, находящейся в этом поле?
- Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ее скорость увеличилась с 10 до 20 м/с?
- Как определяются проекции на координатные оси силы, действующей в потенциальном поле на любую точку системы?
- Какие поверхности называются эквипотенциальными и каковы их уравнения?
- Как направлена сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, по отношению к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку?
- Чему равна потенциальная энергия материальной точки и механической системы, находящихся под действием сил тяжести?
- Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля силы тяжести и ньютоновой силы тяготения?
- В чем заключается закон сохранения и превращения механической энергии?
- Почему под действием центральной силы материальная точка описывает плоскую кривую?
- Что называют секторной скоростью и как выразить ее модуль в полярных координатах?
- В чем заключается закон площадей?
- Какой вид имеет дифференциальное уравнение в форме Бине, определяющее траекторию точки, движущейся под действием центральной силы?
- По какой формуле определяется модуль ньютоновой силы тяготения?
- Каков канонический вид уравнения конического сечения и при каких значениях эксцентриситета траектория тела, движущегося в поле ньютоновой силы тяготения, представляет собой окружность, эллипс, параболу, гиперболу?
- Сформулируйте законы движения планет, открытые Кеплером.
- При каких начальных условиях тело становится спутником Земли и при каких оно способно преодолеть земное притяжение?
- Каковы первая и вторая космические скорости?
- Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях?
- Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести?
- Запишите формулы для расчета мощности при поступательном и вращательном движениях?
- Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин?
- Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг, если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?
- Определите общий КПД механизма, если при мощности двигателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН скорость движения 5 м/с.
- Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то он уменьшает скорость движения. Почему?
- Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении W=10 Дж. Какой угол составляет направление силы с направлением перемещения?
1) острый угол;
2) прямой угол;
3) тупой угол.
- Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость увеличится в два раза?
1) увеличится в два раза;
2) увеличится в четыре раза.
- Чему равна работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела?
1) произведению силы тяжести на перемещение;
2) работа силы тяжести равна нулю.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня 0,2 кг.
Задача 2. Камень бросили под углом 60° к горизонту со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 3. Автомобиль массой в 1 тонну движется под гору при выключенном моторе с постоянной скоростью 54 км/ч. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность должен развивать двигатель этого автомобиля, чтобы автомобиль двигался с той же скоростью в гору с тем же уклоном?
Задача 4. Танк, масса которого 15 т и мощность 368 кВт, поднимается в гору с уклоном 30°. Какую максимальную скорость может развивать танк?
Задача 5. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась, если известно, что разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?
Задача 6. Ветер, дующий со скоростью v0=20 м/с, действует на парус площадью s=25 м2 с силой F=asρ(v0-v)2/2, где а - безразмерный коэффициент, ρ - плотность воздуха, v - скорость судна. Определите условия, при которых мощность ветра максимальна. Найти работу силы ветра.
Задача 7. Автомобиль массой в 1 тонну движется под гору при выключенном моторе с постоянной скоростью 54 км/ч. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность должен развивать двигатель этого автомобиля, чтобы автомобиль двигался с той же скоростью в гору с тем же уклоном?
Задача 8. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне и деформирует болванку. Масса наковальни вместе с болванкой равна 20 т. Определить КПД при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной.
Задача 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой 500 кг падает на сваю массой 100 кг со скоростью 4 м/с. Определить: а) кинетическую энергию бойка в момент удара; б) энергию, затраченную на углубление сваи в грунт, в) энергию, затраченную на деформацию сваи, г) КПД удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.
Задача 10. Снаряд вылетает из орудия под углом α к горизонту со скоростью v0. В верхней части траектории снаряд разрывается на две равные части, причем скорости частей непосредственно после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Одна половина упала на расстоянии s от орудия по направлению выстрела. Определить место падения второй половины, если известно, что она упала дальше первой. Считать, что полет снаряда происходит в безвоздушном пространстве.
Задача 11. Снаряд летит в безвоздушном пространстве по параболе и разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна половина снаряда упала вертикально вниз, вторая на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Определить скорость снаряда перед разрывом, если известно, что взрыв произошел на высоте Н и упавшая по вертикали вниз половина снаряда падала время τ.

Приложенные файлы

  • docx 18241757
    Размер файла: 654 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий