dinamika_T_1 (1)


1.Предмет динамики. Основные понятия и определения.
Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.
Движение по инерции — движение, происходящее без внешних воздействий.
Инерциальные системы отсчета — системы отсчета, в которых тело, не взаимодействующее с другими телами, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия тела с другими телами, в результате которого тело приобретает ускорение.
Инертность — физическое свойство тела в отсутствие трения оказывать сопротивление изменению его скорости.
Масса (инертная масса) — физическая величина, характеризующая меру инертности тела. Единица массы — килограмм (кг).
Принцип суперпозиции сил: результирующая сила, действующая на частицу со стороны других тел, равна векторной сумме сил, с которыми каждое из этих тел действует на частицу.
Закон всемирного тяготения
Все механические явления определяются электромагнитным и гравитационным взаимодействиями. Электромагнитными силами являются сила упругости и сила трения.
Упругое воздействие на тело — воздействие, в результате которого тело восстанавливает форму и размеры.
Закон Гука: сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна его удлинению и направлена про тивоположно направлению деформации:.
Сила реакции опоры — сила, действующая на тело со стороны опоры перпендикулярно ее поверхности.
Сила натяжения — сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пружины.
2.Основные законы динамики
Первый закон Ньютона (закон инерции). Любое материальное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не изменит это состояние.
Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе, обратно пропорционально массе тела и по направлению совпадает с направлением действия силы

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми материальные тела действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и направлены по прямой, проходящей через эти тела.F1 = - F2
Если на материальную точку действует несколько сил то ускорение точки складывается из тех ускорений которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности.
3.Первая и вторая задачи динамики. Общие пути решения этих задач.
Прямой называется задача, в которой по заданным движению и массы мат. Точки определяется равнодейтсвущая сил, приложенных к этой точке.- уравнения движения точки
 Решается методом дифференцирования.
Вторая задача динамики.
По заданным силам определить движение точки. Задача решается методом интегрирования.
Если сила зависит только от t или только от x или V, то можно пользоваться следующими указаниями:
1) составить диф.уравнение движения точки:
     а) начало координат совмещать с началом движения точки (или с её равновесным положением);
     б) если движение по прямой, то одну из осей направить в сторону движения точки;     в) точку изобразить с приложенными силами в произвольном положении;
     г) составить диф.уравнение в проекции на ось.
2) интегрирование диф.уравнения.
     Замена переменных.
если
если
Диф.уравнение решать методом разделения переменных(кроме задач на колебания).
3) интегралы брать неопределёнными, учитывая постоянные интегрирования, найденные из начальных условий.
4) анализ движения точки.
4.Дифференциальное уравнение движения материальной точки при векторном, координатном, естественном способах задания движения точки.
дифференциальные уравнения движения точки в координатной форме
   
дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме
      
76835-127127042545-628650
- Это равенство, выражающее основное уравнение динамики в дифференциальной форме, называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки.
6.Движение материальной точки в поле силы тяжести
между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m1 и m2) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r2):

7.Динамика относительного движения материальной точки. Переносная и кориолисова силы инерции. Принцип относительности классической механики.
Пусть матеpиальная точка массой  m движется по отношению к системе   отсчета , котоpая, в свою очередь, обладает некотоpым движением по отношению к инеpциальной  системе отсчета охуz. Обозначим чеpез   равно действующую пpиложенных к точке активных сил, чеpез   равнодействующую pеакций связей.  На основании 2-го закона Ньютона   
На основании теоpемы Коpиолиса , тогда 
Вектоpы (-m) и (-m ) называются соответственно пеpеносной  и   коpиолисовой  силами инеpции. Введя обозначение и ,  получаем
Полученное выражение представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.
8.Механическая система. Внешние и внутренние силы. Свойства внутренних сил.
Механической системой называется любая система материальных точек и тел.
Внешними силами механической системы называются силы, с которыми на точки и тела механической системы действуют точки и тела не входящие в рассматриваемую систему. Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы. Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:
Т. Главный вектор всех внутренних сил системы (векторная сумма) равен нулю при любом состоянии системы. .
Т. Главный момент всех внутренних сил системы (векторная сумма) относительно любой точки или оси равен нулю при любом состоянии системы. или .
9.Масса механической системы. Центр масс. Координаты центра масс системы.
Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа материальных точек с массами , а положение точек в пространстве задается радиус-векторами , то центром масс механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой определяется выражением где - масса системы.
Координаты центра масс имеют вид:
(диктуешь первое и говоришь ещё 2 с Y и Z)

10.Момент инерции материальной точки и твердого тела относительно оси. Радиус оси.
Момент инерции относительно оси
Скалярная величина называется моментом инерции относительно оси l.
r – расстояние от точки до оси.
В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции.
Величина называется радиусом инерции.
13. Работа силы. Мощность.
 Работой постоянной силы F, совершаемой при перемещении тела на величину s, называется величина   или
 
Работа измеряется в джоулях.
Совершается только тогда, когда тело движется. Если на тело действуют несколько сил, то полная работа, совершенная этими силами, равна сумме работ, совершенных каждой силой в отдельности. Мощность. Пусть сила F, действуя в течение промежутка времени Dt, совершает работу DA. Средняя мощность N определяется как отношение величины работы к промежутку времени, за который она была совершена: Мощность измеряется в ваттах. 12. Центробежные моменты инерции материальной точки и твердого тела относительно оси.
. Центробежный момент инерции  Jxy для матер.точки называется произведение ее координат  x  и  y  на ее массу  m.
Для тела центробежными моментами инерции называются величины, определяемые равенствами: В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль. 
Главной осью инерции тела назыв. ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Главной центральной осью инерции назыв. главная ось инерции, проходящая через центр масс тела.
11.Теорема гюйгенса-штейнера о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей.
момент инерции  тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела  относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния  между осями:

где
 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,
 — масса тела,
 — расстояние между указанными осями.
14. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы.
Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости. . Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.
Т. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.
Т. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.
Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна, очевидно, сумме кинетических энергий этих тел:
15. Теорема Кенига
Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

где  — полная кинетическая энергия системы,  — кинетическая энергия движения центра масс,  — относительная кинетическая энергия системы[2].
----------------------------------------------------- Доказательство: Рассмотрим движение механической системы относительно двух систем координат. Одна система неподвижна, другая, с началом в центре масс системы, перемещается относительно первой поступательно.
, - радиус-вектор и абсолютная скорость точки соответственно;
, - радиус-вектор и абсолютная скорость центра масс системы соответственно;
, - радиус-вектор точки относительно центра масс и относительная скорость этой точки соответственно.
, (так как переносное движение поступательное)
89598545085
Так как , то
или 16. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении, вращении вокруг неподвижной оси и плоском движении.
Кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс. 

В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс.
255326977404
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна:
  Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.
1581785-635

17.Теорема об изменении кинетической энергии механической системы. Следствие
Теорема. Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

Если движение начинается из состояния покоя, то T0 =0.(Формула: из предыдущего убрать T0 )Если движение имеет начальную скорость то
-Т0=
Теорема. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.
Доказательство: Теорема об изменении кинетической энергии для точки имеет вид:,
Сложим все уравнений и получим:или или
18.Количество движения материальной точки. Импульс силы.
Количеством движения материальной точки  называется вектор, равный произведению массы точки    на ее скорость .                 
Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.
Проекции количества движения точки на декартовы оси координат равны:,    ,   
СИ   
Импульс силы, мера действия силы за некоторый промежуток времени; равняется произведению среднего значения силы Fcp на время t1 её действия: S = Fcp t1. 
И. с. — величина векторная и направлен он так же, как Fcp. Точное значение импульса силы за промежуток времени t1 определяется интегралом: 
СИ –  
При движении материальной точки под действием силы F её количество движенияполучает за время t1 приращение, равное И. с.
(mv0 и mv1— соответственно количество движения точки в начале и в конце промежутка времени t1).
Элементарный и полный импульс силы.
Действие силы  на материальную точку в течении времени    можно охарактеризовать элементарным импульсом силы    .
Полный импульс силы     за время  , или  импульс силы   , определяется по формуле  .  (Полный интеграл за время  от элементарного импульса).
В частном случае, если сила    постоянна и по величине , и по направлению (),   .
Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:
                      
26. Дифференциальное уравнение вращения твердого вокруг неподвижной оси.
59690260985Дифференциальное уравнение имеет вид:                                       (2.6)где  – угловое ускорение тела.
Уравнение (2.6) получается из уравнения .  теоремы путём подстановки в него формулы , 
Интегрируя уравнение (2.6), можно определить закон вращения тела. Методика решения подобных задач:
– изображаем тело в произвольном положении; показываем внешние силы, действующие на тело; показываем ось , направленную по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки;
– находим сумму моментов внешних сил относительно оси ;
– вычисляем, если не задан, момент инерции тела ;
– составляем уравнение (2.6), интегрируя это уравнение, определяем закон вращения тела.
22. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси.
Момент количества движения mv точки М относительно центра О представляет собой вектор L0 , направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор mv и центр О в ту сторону, откуда вектор mv по отношению к центру О виден направленным против
движения часовой стрелки
Модуль вектора Lo равен произведению величины
mυ на плечо h вектора mυ относительно центра О:
Lо= mυ×h.
Момент количества движения Lo можно определить векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из центра О в точку М, на вектор количества движения mυ:
19. Главный вектор количеств движения механической системы, его определения.
Пусть V1…— скорости точек движущиеся механической системы. Произведение массы материальной точки mк на ее вектор Vк скорости  называется количеством движения материальной точки.
Для совокупности векторов количеств движения точек системы m1 V1…  можно определить главный вектор и главный момент.

20. Теорема об изменении главного вектора количеств движения механической системы. Следствия.
Теорема. Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему. 
.
 Следствия  
1. Внутренние силы не влияют на изменение количества движения механической системы.
2. Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения механической системы не изменяется (закон сохранения количества движения).
3. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо  ось  равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.
 
Теорема (в интегральной форме).
 Изменение количества движения механической системы за какой-либо промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени. 
Доказательство. В результате интегрирования дифференциального уравнения, которым записывается теорема об изменении количества движения механической системы, находим:
     .
Теорема об изменении количества движения может быть применена  для исследования движения тел переменной массы и сплошных сред, а также при изучении явления удара. 21. Теорема о движении центра масс механической системы. Следствия
Произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.  или      

Следствие 1. Если главный вектор внешних сил, приложенных к механической системе, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Так как ускорение центра масс равно нулю,  .
Следствие 2.  Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то центр масс системы или не изменяет своего положения относительно данной оси, или движется относительно нее равномерно.
В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела), достаточно знать закон движения ее центра масс. Например, если бросить камень в цель, совсем не нужно знать как он будет кувыркаться во время полета, важно установить попадет он в цель или нет. Для этого достаточно рассмотреть движение какой-нибудь точки этого тела.
Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:.
Преобразуем левую часть равенства. Из формулы для радиус-вектора центра масс имеем:.
Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме производных, найдем:
или      .
где - ускорение центра масс системы. Так как по свойству внутренних сил системы , то, подставляя все найденные значения, получим окончательно:
                       (4)
Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением движения материальной точки, получаем другое выражение теоремы: 
23.Главный момент количеств движения механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения.
Главным моментом количеств движения системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра.
относительно координатных осей:,,.
Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела
.вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. При этом, как обычно, определение вектора  сводится к определению его проекций .
Найдем сначала наиболее важную для приложений формулу, определяющую величину Кz,т.е. кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения.
Для любой точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии , скорость .Следовательно,для этой точки .Тогда для всего тела, вынося общий множитель  за скобку, получим

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Окончательно находим
24. Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра. Следствия.
80645-186055 Данное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Следстивия:
1) Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:
.
Тогда из уравнения  следует, что при этом . Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный, момент количеств движения системы относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен.
2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Оz равна нулю:
.
Тогда из уравнения  следует, что при этом Кz = const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.
25.Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно ее центра масс
71120-89535Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Проектируя обе части равенства на неподвижные оси Охуz , получим:
        
Уравнения выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.
В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае слагается из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная - с помощью теоремы моментов.
Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, позволяет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.
27. Метод кинетостатики. Сила инерции. Уравнения метода кинетостатики для материальной точки.
.
Метод кинетостатики состоит в том, что уравнение динамики по форме придаётся вид уравнений статики и задачи динамики сводятся к задачам статики.


28.Главный вектор и главный момент сил инерции механической системы. Уравнения метода кинетостатики для механической системы.

29. Формулы для определения главного вектора и главного момента сил инерции механической системы в общем случае ее движения
Главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение центра масс
Главный момент сил инерции механической системы относительно некоторого центра О или оси z равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра или той же оси.

5.Интегрирование дифференциального уравнения движения материальной точки. Постоянные интегрирования. Начальные условия.
Уточнить начальные условия движения точки, т. е. из условия задчи при  определить  – координаты точки в начале движения;  – проекции начальной скорости на оси координат.
Составить дифференциальные уравнения движения точки в форме:

– это  дифференциальные уравнения второго порядка.
Определить законы движения вдоль координатных осей; т. е. найти вторые интегралы уравнений:



Постоянные интегрирования  находятся с использованием начальных условий обычными для теории дифференциальных уравнений способами.

Приложенные файлы

  • docx 18241536
    Размер файла: 690 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий