Shpory_pechat_vyshka (1)


1.1.Параметрич. задание ф-ции. Произ-ная ф-ции
Пусть xty ==ϕφ(),()- две функции одной независимой переменной. Если tT∈x=ϕ() монотонна на Т, то существует обратная к ней функция. Поэтому функцию t=−ϕ1() yt=φ(), можно рассматривать как сложную функцию, переводящую элемент х в элемент y посредством промежуточной переменной: t=−ϕ1() t
()xttxyttTytFx=⇒==⎧⎨⎩∈⇔==−ϕϕφφϕ()()(),()1 Переменную называют t параметром. В этом случае говорят, что сложная функция задана параметрически.
Замечание: всякую функцию можно задать параметрически.
Рассмотрим произвольную внутреннюю точку x0 области определения функции y = f(x).
Разность, где x - также внутренняя точка области определения, называется приращением аргумента в точке x0. Разность называется приращением функции в точке x0, соответствующим приращению и обозначается
Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, т.е.

1.2.Нормал. закон распределения
Непрерывная случ. величина распред. по нормальному з-ну, если плотность распределения или



2.1.Произ-ная неявной ф-ции
Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически запишем так:F(x, y) = 0.(1)
Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).
Из определения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением (1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всех x Î D.
Заметим, что каждая явная функция y=f(x) может быть представлена и как неявная y–f(x) = 0.
Таким образом, неявная функция – это определенный способ задания зависимости между переменными x и y.
Чтобы найти производную у' неявной функции F(x, y)=0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y'. Чтобы найти y'', нужно уравнение F(x, y)=0 дважды продифференцировать по x и выразить y'' и т.д.
2.2.ф-ция распр-ния непрер.случ.величины и её матем.хар-ка
Ф-ция распределения СВ.
Ф-цией распределения или интегральной ф-цией наз. F(X)=P(X<x). Вер.того вер.Х меньше чем х:
xi X1 X2 … xn
pi P1 P2 … pn

Свойства:1.
2.F(X)-функция неубывающая


X1 X2 X
Рассмотрим событие
;

;
-большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
3.

Замечание: если случ. Величина X непрерывна то вероятность того что СВХ примет значение х равна 0.
ж
3.1.диф-ал
Дифференциа́л— линейная часть приращения функции. Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x0 + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:
Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть. Поэтому пишут:
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: . Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
Дифференциал функции
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.
3.2.вер-сть попадания в заданный интервал непрер.случ.вел-ны
Вероятность того, что значение случайной величины Fx (x) попадает в интервал (a, b), равная P(a < x < b) = Fx (b) -Fx (a), вычисляется по формулам:
- для непрерывной случайной величины и
- для дискретной случайной величины.
Если a= - , то если b= , то
4.1.применение диф-ла в приближённых вычис-ях
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.
Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04. y = x2 – 2x.
Пример:Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.
Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.
4.2.непрер.случ.вел-на.ф-ция плотности вер-сти
СВ наз. величины к-рые могут принимать те или иные значения заранее до опыта неизвестно какие именно. Различают дискретные и непрерывные СВ.
Дискретные СВ.
Значения обознач х1,х2,…,хn,…
Всякое описание значений, к-рые может принимать СВ и соответствующие этим значениям вероятности наз. законом распределения СВ.
Для дискретной СВ:
xi X1 X2 … xn
pi P1 P2 … pn
;
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами
и . Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .
5.1.правила нах-ния диф-ла
1. Дифференциал постоянной величины dc=0.
2. Дифференциал сумм d(u+v)=du+dv.
3. Дифференциал произведения d(d·u)=du·v+dv·u.
4. Дифференциал частного d = .
5. Дифференциал сложной функции y=f (u); u=f(x);dy=f ΄(u)·dxu
5.2.закон пуассона
Событие называются редкими, когда вероятность события р или противоположного ему q близка к нулю. При большом числе испытаний (n), но небольшой величине произведения числа испытаний на вероятность (np), , где ; .
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, произведение np = λ, то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях события А наступит m раз, приближенно равна , т.е.
6.1.диф-ал сложной ф-ции. Инвариантность
Пусть дана сложная функция y=f(x) , у=у (u), где u= u(x)fx=y (ux)dy=f'xdx (1)
dy=y'xdx (2)
По правилам нахождения производной сложной функции
y'x=y'uux'dy=y'uux'dxdy=y'udu (3)
Сравнивая выражения (2) и (3) видим, что дифференциал имеет одинаковую форму в случае, когда аргументом функции является независимая переменная и когда аргумент является зависимой переменной. Такое свойство дифференциала называется инвариантностью дифференциала. Инвариантность означает неизменность форм.
37.дисперсия и среднее квадр.отклонение
Дисперсия случайной величины:
Дисперсия характ. Разброс значений СВ около своего среднего значения (показатель рассеивания)

Дисперсия – мат. ожидание от квадрата отклонения СВ от своего мат. ожидания
;где
Среднее квадратичное отклонение:
Пример:и т.д.
29.геом.смысл диф-ла
Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть эта функция дифференцируема f'xd'x=tg α dy= f'x∆x dy≠∆yДифференциал функции y=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции проведенной в точке (х, f(x)) на отрезке [ x , x+∆x] dy≠∆y36.матем.ожидание дискретной случ.вел-ны
Рассмотрим дискретн случ величину подчинен след закону:
Xk x1 x2 …..xn
Pk=p(xk) p1 p2……pn
Матем ожидание дискретной случайной величины наз сумма всех возможных значений величины на их вероятности
M(x)=k=1nxk*pkМожно показать что среднее арифметич. наблюдаемых значений случайной величины при неогранич. возрастании числа испытаний стремиться к ее матем ожиданию.
8.1.произ-ная высших порядков
Рассмотрим функцию у=f(x) , определен. на некот. промежутке (a,b) . Вычислим производную y’ , которая также явл. фун-ей на (a,b). Произ-ой 2-ого порядка от функции y =f(x) называется пр-ая от ее производной: y”=(y’)’ . Аналогич. опред. производную любого порядка: .
32.схема Бернулли.Биномиал.распр-ние
Пусть производится из n испытаний,пусть в каждом событии А мот происходить с вероятностью р,либо не происходить.Такие испытания ,каждое из кот имеет только 2 взаимоисключающих исхода наз испытание Бернулли.Рассм случайную величину х кот равна относительной частоте появления события А в серии из n испытаний.Эта случайн.величина будет принимать значения
0/n,1/n,2/n,…n/n
Теорема:Вероятность p(x=k/n),того что случ величина х примит значение = k/n.т.е того,что в серии из n испытаний событие A произойдет k раз и соответственно не произойдет (n-k)раз мот быть найдено по формуле
P(x=k/n)=Ckn*pk(1-p)n-k (3)
Где р-вероятность события А в каждом испытании.
Ckn=n!/k!*(n-k)!-это число сочетаний из n элементов по K
Док-во.Событие А может произойти K раз в серии из n испытаний.Вероятность такой последовательности чередования событий бут равна произведению вероятности эитих событий.Событие А мот произойти к раз в серии из n испытаний в рез-тате других последствий чередования событий.Всего кол-во таких последствий бут равно числу различн. Сочетаний из n элементов по .Вероятность последствий бут равна р кqn-k Вероятно,что реализ. Хотя бы 1 из этих последовательностей по теореме слож вероятности будет= сумме вероятности последовательности.Эта сумма бут равна Cnk* р кqn-k Что и требов доказать.Формула (3)носит название Биномеального закона распределения
9.1.Правила нах-ния произ-ной высшего порядка
Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

33.Дискретная случ.вел-на.Закон её распр-ния
Перемен.величина x,кот принимается в результате испытаний между конечной и бесконечной последовательности значений x1,x2,…,хn,…наз . дискретной случайной величиной. отношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответств. им вероятностями, наз. законом распред. дискретн. случайной величины.
Дискрет.случайная величина мот быть задана различн.способами
1)табличн
Значение х х1 х2 … хn
Вероятность р Р1 Р2 … рn
2)графический

3)аналитический
Pk=(xk)
Т.к случайная величина принимает одно из своих возм значений, то k=1npk=1.
Значение величины имеющая наиб вероятность называется модой
10.1.диф-лы высших порядков
Рассм. дифференциал функции y=f(x) в произвольной точке промеж. (a,b):dy = f’(x)dx. Здесь dx - приращ. независимой переменной, кот. явл. числом и не зависит от x. Сам же дифференциал есть функция от x, и можно вычисл, дифференциал от этой функции: При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом 2-ого порядка и вычисл. по формуле Аналогично вычисл. дифференциал любого порядка .
10.2.формула Байеса.Вер-сть гипотез
Пусть событие А может происходить только с одним из событий В1,В2,…Вn,образуемых полную группу событий В1,В2,…Вn будем наз гипотезами.Вероятность события А может быть построена по формуле полной вероятности
P(A)=P(B1)*P(A/B1)+ P(B2)*P(A/B2)+ P(Bn)*P(A/Bn)(1)
A-нужно найти вероятность того,что оно произошло вместе с гипотезой P(Bk/A)
Вероятность событий A и Вк по правилу сложения вероятностей может быть представлено 2-мя способами:
P(AnBk)= P(Bk)*P(A/Bk)
P(AnBk)= P(A)*P(Bk/A)
Прировняли две части.После этого получили
P(Bk/A)= P(Bk)*P(A/Bk)/ P(A)
Знаменатель может быть найден по формуле полн вероятности(1)
Тогда формула Байесa принимает вид
P(Bk/A)= P(Bk)*P(A/Bk)/i=1nP(Bi)*P(A/Bi)
11.1.теорема Роля
Если вещественная функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Если непрерывная функция обращается в ноль в n различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в n − 1 различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
31.формула полной вер-сти
Пусть имеется группа событий B1, B2,..., Bn, обладающая следующими свойствами:
1) все события попарно несовместны
2) их объединение образует пространство элементарных исходов
В этом случае будем говорить, что B1, B2,...,Bn образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.
формула полной вероятности:
P(A)=P(B1)*P(A/B1)+ P(B2)*P(A/B2)+ P(Bn)*P(A/Bn)
12.1.теорема Лагранжа
Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что
f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f(x) - k(x - a),
где - угловой коэффициент хорды AB (смотри рисунок 2).
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
В самом деле, при x = a имеем F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = b имеем
Кроме того, так как функция f(x) и k(x - a) непрерывны на [a, b] и диференцируемы в (a, b), то и функция F(x) = f(x) - k(x - a) непрерывна на [a, b] и диференцируема в (a, b).
12.2.завис.события.Усл. вер-сть.Вер-сть совмещения завис. Событий
Событие А называется зависимым от события В,если вероятность события А зависит от ттго произошло событие В или не произошло. Вероятность события А при условии ,что событие В произошло называется условной вероятностью события А при условии P(A/B).Теорема: вероятность совмещения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии что 1ое произошло.
P(A и B)=P(B)*P(A/B)
P(B и A)=P(A)*P(B/A)
13.1.правила Лопиталя-Бернули.Раскрытие неопр-сти.
Будем говорить, что отношение f(x)/g(x) представляет собой неопред-ть вида 0/0 при xа, если limxаf(x)= limxаg(x)=0. Раскрыть эту неопред-ть – это значит найти limxаf(x)/g(x), если он сущ-т.
Т. об. коротко правило Лопиталя можно сформулировать: предел отношен. двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношен. их производных. что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.
Для раскрытия неопределен. 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмир. данную ф-ию и найти предел ее логарифма.
Правило Бернулли
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .При этом очевидно, что - дифференцирование по частям. Подстав. в исходное уравнение, получ:


13.2.умножение вер-стей независ.событий
Событие А называется независимым от события В или вероятность события А не зависит от ого произошло событие В или нет. Теорема: Если события А и В не зависимы, то вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей. P(A и B)=P(A)*P(B); P(A- B)=P(A)-P(B)
13-14.формулы Тейлора и Маклорена
1) Пусть ф-ия f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:


Следует отмет, что при разложен. ф-ии в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение ф-лы Тейлора, т.к. вычислен. значен.производных в 0 проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные сущ-т.
14.2.Сложение вер-стей совместных событий
События А и В наз совместными, если они оба могут произойти вместе в одном испытании. Теорема: Вероятность суммы совместных событий может быть найдена по формуле: Р(А/B)=P(A)+P(B)-P(A и B).Док-во: для док-ва воспользуемся понятием геометрической вероятности.на плоскости имеем какую-то область S1.Пусть точка случ. Наход. В области S, тогда вероятность в ее поподание в обл S1 будет равна p=S1/S2.
14.Разложение по формуле Маклорена.Ф-ции ех,sinx,cosx
1) f(x) = e в степени х
2) f’(x) = e в ст-ни х
и т.д
3) f(o) = e ст-ни х =1
4)f’(o) = -1
5) f’(o) = 1
6) f”(o) = 1
Е в ст-ни х =1+х/1!+х2/2!+х3/3!+…
Пусть f(x)= sinx, тогда
F’(x)=cosx
F”(x)=-sinx
F”’(x)=-cosx
F(0)=0
F’(0)=1
F”(0)0
F”’(0)=-1
15.2.Сложение вер-стей.Противоположное случ.событие
Суммой событий А и В наз. событие С ,состоящ. В появлении события А или В. Теорема: Пусть при дан. испытании может произойти событие А1 или А2, может быть найдена по формуле: Р(А1 + А2)= Р(А1)+Р(А2).Вероят. сумма несовмес-х событий=сумме их вероятности.Док-во: пусть р(А1)=m1/n,Р(А2)=m2/n, где n-число случаев образующих полную группу равновозможных несовмест событий;m1-случаи благоприятствующ появлению А1,m2-число случаев благоприятствующ. появлению А2.Т.к. эти события несовместны, то число случаев благориятсвующих появлению сумме этих событий, т.е. появл. или события А1 или А2 очевидно будет = m1+m2.Тогда вероят сумма этих событий Р(А1+А2)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n=P(A1)+P(A2).Что и требовалось доказать.Эта теорема справедлива не только для событий подчиняющихся классич. схеме.т.к. ее можно доказать аналогично для относит. Частот, а затем перейти к пределу при неогранич возрастании числа испытаний.
2 события А И А̅ наз противоположными, если они не совместны, то они бразуют полную группу.Событие наз достоверным, если оно происход. В каждом испытании.Событие наз. невозможным, если оно не происход. ни в каком испытании.
m=0, P= m/n=0/n=0. Если А и А̅ противополдож события.то их сумма явл достоверным событием,т.е. р(А+А̅)=1. По теореме сложения вероятности Р(А) +Р(А̅)=1.Сумма вероят. Противополож. Случайному событию =1.
16.1.возрастание и убывание ф-ции
Теорема: 1. Если функция f(x) имеющая производную на отрезке [а;b] возрастает (убывает) на этом отрезке, то f’(x) >= 0 ( f(x) <=0)
2. Если функция f(x) не прерывна на отрезке [a,b] и диф-ма на интервале (a,b) и если f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ия f(x) возрастает (убывает) на отрезке [a;b].
Доказательство:
1.Пусть ф-ия f(x) возрастает на отрезке [a;b]. Дадим перемен х приращение ∆х. Тогда ф-ия f(x) получит приращение ∆y = f(x+∆x)-f(x). Рассмотрим отношение:
∆y∆x=fx+∆x-f(x)∆xЕсли ∆x>0, то ∆y>0 – ф-ия возрастает.
Если ∆х<0 , то ∆y<0- ф-ия убывает.
В любом случае ∆y∆x=0И тогда в последнем неравенстве, переходя к пределу при ∆х→0 имеем:
lim∆х→0∆y∆x≥0, т. е. f’(x)>=0 и т. д.
Аналогично можно показать, что если f(x) убывает, то f’(x)<=0.
2. Пусть f’(x)>0. Поскольку ф-ия f(x) дифференцируема, то к ней применима теорема Лоранжа.
f(x2) –f(x1) = f’(ξ) (x2-x1) ξ – кси
Поэтому, если f’(ξ)>0, то при x2 > x1 – f(x2 –x1), а при x2 < x1 – f(x2) < f(x1), т.е. f(x) возрастает.
Аналогично можно показать, что если f’(x) < 0, то f(x) убывает.
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл:

Для возрастающей функции касательная к его графику образует острый угол α с положительным направлением оси Ох. Тогда f’(x) = tg α >0. Либо в некоторых точках касательная параллельна оси Ох α=0 f’(x) = tg 0 = 0 f’(x)>0.

Если ф-ия f(x) убывает, то касательная к ее графику образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, либо к некот точкам оси Ох, тогда α=0.
В обоих случаях f’(x)= tg α = 0.
28.классич.опр-ние вер-стей.Непосред.подсчёт вер-стей
Иногда вероятность события можно оценить не проводя испытаний, исходя из условий проведения испытаний.
Пример:рассм. Игральную кость. Пусть наилуч. событие выпадение граней с числами L. Выпадение люб. грани
одинаково возможно,в силу симметрии этой кости. Такие события, как выпадение различ. костей наз. равновозможными. При большом числе бросаний выпадение любого числа L (L=5) будет происходить приблиз. В 1/6 от числа всех испытаний. Относ. частота p=1/6, поэт. Вероятность появл. грани можно считать = 1/6.
Случайные события наз. несовмест. в дан. испыт. ,если никакие из 2 из них не могут появится вместе в одном из испытаний. Будем говорить, что случ. события образ. полную группу может появится люб. событие из данной группы и не может появится никакое другое событие несовместное с ними в данных испытаниях.События,кот образуют полную группу равновозможных не совместных событий наз случаями или шансами. Выпадение грани образ. полную группу из 6 равновоз-ых несовмест. событий.События из этой группы наз. благоприятствующими появлению некот. события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.ПРИМЕР:
Рассм. урну . в кот мах 10 шаров.Пустиь все шары пронумер. От 1 до 10.Пусть 1,2,3,4-белые,остальные-черные.Мы наугад достаем 1 из шаров.тогда пустьнаше событие А-появл. белого,тогда появление шара с №1,так же кА и шаров с №2,3,4 явл событиями благоприятствующ. Появлению белого шара. Вероятностью р события А наз. отношение m числа случаев благоприятствующих появл. события А к числу n всех случаев.образующих полную группу равновозможных не совмест. событий.
17.1.Экстремумы.Необ-мое условие экст-мов.
Говорят, что ф-ия y=f(x) имеет в точке х1 макс знач, если f(x1 + ∆x) < f(x1) для любых дост малых ∆x. f(x)<f(x1) для всех значений х € нек интервалу, содерж. т. x1.

Аналогично определяем для минимума. Говорят, что ф-ия y=f(x) имеет в точке х1 минимум, если f(x1+∆x) >f(x1) для любых дост малых ∆x. f(x) < f(x1) для всех значений х € нек интервалу, содерж. т. x1.

Максимальные и минимальные значения функции называются экстремумами ф-ии. Максимум и минимум следует отличать от наибольшего и наименьшего значения ф-ии на отрезке.

Максимумов и минимумов на отрезке может быть несколько.
Теорема: Необходимое условие экстремума. Если диф-мая ф-ия y=f(x) имеет в точке x1 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в 0, f’(x1) = 0.
Доказательство:
Пусть для опрделения ф-ия f(x) в т. x1 имеет максимум, тогда f(x1+Δx)<f(x1) для любых достаточно малых знаений Δx. Но тогда
∆y∆x=fx1+∆x-f(x1)∆x<0 при ∆x>0∆y∆x=fx1+∆x-f(x1)∆x>0 при ∆x<0Переходя в каждый из 2 последних неравенств к пределу при Δx→0. Тогда из 1-го нравенства имеем lim∆x→0∆y∆x≤0 , а из 2-го lim∆x→0∆y∆x≥0. Оба неравенства можно выполнять вместе только если lim∆x→0∆y∆x=0. Аналогично эту теорему можно доказать для минимума.
Геометрический смысл данной теоремы:

f’(x)=0 , т. к. tg α=0
17.2.Случ.событие.Его относ. Частота и вер-сть
Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).
Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n
Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью
18.1.достаточное условие экст-мов.Ис-ние ф-ции на экст-м при помощи 2-й про-ной.
Пусть ф-ия y=f(x) непрерывна на нек. Интервале содерж. т. х1 и диф-ема во всех точках этого интервала, за искл. Быть может самой т. х1 . Если т. х1 критич. Точ. Ф-ии y=f(x) и если при перех. через х1 слева на право изм. Знак с «+» на «-», то т х1 явл. т. максимума, а если при перех. через т. х1 f(x) меняет знак с «-» на «+», то т. х1 явл. точкой минимума.
Геометрический смысл теоремы:

Для того, чтобы иссл. ф-ию на экстремум на некотором отрезке, поступают след. образом: нах. производную ф-ии f’(x), затем нах. критич. т. ф-ии т.е. точки где произв = 0, либо не сущ. Для каждой крит. т. иссл. знак произв. при переходе через неё.
19. Исследование функции на max min с помощью 2-ой производной.
Теорема: Пусть при х=х1 производн. f’(x) функции f(x) обращ. в 0. Пусть кроме того, вторая произв. f’’(x) сущ. и непрерывна в нек. окрестности т. х1. Тогда если f’’(x)>0, то т. х1 явл. точкой миним. если же f’’(x)<0, то явл. т. мах.
Док-во: Рассм. второй случай. Пусть f’(x1)=0, f’’(x1)<0. Т. к. перв. произв. непрерывна в нек. окрестности т. х1, на кот. f’’(x)<0 => т.к. f’’(x)=(f’(x))’, то f’(x) на этом отрезке убывает. Если f’(x) убывает, то проходя через т. х1 слева на право, где она обращ. в нуль, она будет менять свой знак с «+» на «-»=> на доказ. ранее достат призн. т. х1 будет т. мах.
Аналог. доказ. первая часть теоремы. Пример: у=х2; у’=2x; y’’=2, при х=0, y’=0, y’’=2>0 => min
18.2.Эл-ты комбинаторики
Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.
Основная формула комбинаторики
Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из ni элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n1*n2*n3*...*nk.
В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n1=n2=...nk=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно nk.Такой способ выбора носит название выборки с возвращением.
Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.
19.1.выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
Кривая обращена выпуклостью вверх или просто выпукла на некотором отрезке.
Теорема. Если на некотором отрезке 2-я производная функции f(x), f’’ (x) < 0, то график этой функции на данном отрезке является выпуклым. Если же f’’(x) > 0 на этом отрезке, то на данном отрезке график функции y=f(x) является вогнутым.
Точка отделяющая интервал выпуклости кривой от интервала вогнутости называется точка перегиба.
Теорема. Пусть для функции y = f(x), f’’(x1) = 0 или в точке х1, f’’(x1) не существует и при переходе через точку х1 , f’’(x) изменяется знак , то точка х1 является точкой перегиба для графика функции y = f(x).
19.2.статист.моменты,центр тяжести неоднородных тел.
ПОД СТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ относительно некоторой оси ПОНИМАЕТСЯ СУММА ПРОИЗВЕДЕНИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПЛОЩАДОК, из которых состоит фигура, НА РАССТОЯНИЯ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ЭТИХ ПЛОЩАДОК ДО ЭТОЙ ОСИ.
Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где
— радиус-вектор центра масс,
— радиус-вектор i-й точки системы,
— масса i-й точки.
Для случая непрерывного распределения масс:

где:
— суммарная масса системы,
— объём,
— плотность.
Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.
20.1.асимптоты
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до данной прямой, при удалении этой точки на бесконечность стремится к нулю.
Существует 2 вида асимптот:
1) Вертикальная асимптота
Если существует число а, то limх→аfx=∞, либо limх→а-0fx=∞, либо limх→а+0fx=∞, то график функции y=f(x) имеет вертикальную асимптоту.
2) Наклонные асимптоты.
Если существуют пределы k = limх→∞f(x)x и b = limх→∞(fx-kx), то график функции y=f(x) имеет наклонную асимптоту с уравнением y=kx + b. Если же хотя бы один из данных пределов (k и b)не существуют, то график функции y=f(x) не имеет наклонных асимптот при х →∞.
20.2.цилиндрич. и сферич. Координаты
Цилиндрические координаты (рис. 4.6)
Главные значения , , :
Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:
Сферические координаты (рис. 4.7)
Главные значени :
Иногда вместо рассматривают :

Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами
или
21.1.комплексные числа.Геометр. изобр-ние
Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где x,y – действительные числа, i – мнимая единица, i2 = -1, i= -1Числа z=x+iy и z=x-iy отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными.
Комплексное число z=x+iy считается равным нулю z=0 , тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю x = 0, y = 0.
Два комплексных числа z1=x1+iy1 , z2=x2+iy2 считаются равными тогда, когда равны их действительные и мнимые части: x1 = x2, y1 = y2.
21.2.Замена перем-х в тройном интеграле
Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:
Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;

Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.
22.1.тригонометрич.форма записи комплексного числа.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
z= ρ(cosφ+ isin y)22.2.вычисление тройного интеграла в декартовых коор-тах
Рассмотрим трёхмерную область V обладающую. Свойствами.
любая прямая проходящая через точку принадлежащую этой области пораллельно оси оси Oz пересекает границу этой области не более чем в 2-х точках.
Проекцию этой области на плоскость xOy явл. Правильной двумерной областью.
Тогда справедливы след. Формула для вычисления тройного интеграла декартовых координат .

23.1.Осн.действия над компл.числами в алгебраич.форме
Алгебраическая форма комплексного числа: z=x + iy
Рассмотрим два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2
Правила:
1) Сумма: z1+z2= (x1+x2)+i(y1+y2)
2) Разность: z1-z2= (x1-x2)+i(y1-y2)
3)Правило умножения комплексных чисел: z1*z2= (x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)
4) Частное:z1z2=x1x2-y1y2+ix2y1+x1y2x22+y22Заметим, что если мнимые части y1, y2 комплексных чисел равны нулю, то из правила 1, 2, 3, 4 получаются обычные правила действие с действительными числами
23.2.Св-ва тройного интеграла
1)множитель нужно выносить за знак интеграла

K-const
2)интеграл от суммы функции равен сумме интегралов

3)Если в области v выполняются неравенства то тройной интеграл

4)Если область v состоит из нескольких областей V1,V2,V3……Vk,то тройной интеграл области V равен:

5)Теорема о среднем значении.
Если функция f(x,y,z) непрерывна f ограниченной замкнутой трехмерной области V, то в этой области находиться точка (Xo,Yo,Zo) такая что тройной интеграл
Здесь значение f(Xo,Yo,Zo) называется среднее занчение фун-ий f(x,y,z) в области V.
24.1.умножение,деление и возведение в степень компл.числа в тригоном.форме
1) Умножение
Даны два комплексных числа:
z1=ρ1(cosφ1+isinφ1)z2=ρ2(cosφ2+isinφ2)z1*z2=ρ1 ρ2cos(φ1+φ2+isin(φ1+φ2))При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
2) Деление
z1z2=ρ1ρ2cos(φ1-φ2+isin(φ1-φ2))При делении комплексных чисел их модели делятся, а аргументы вычитаются.
24.2.задача о массе неоднор.тела.Опр-ние тройного интеграла
Пусть дана трёх мерная область V на которой задача функция F(x,y,z).
Разобьем область V на n более мелких областей ,Внутри каждой из них выберем точку.
Сумма (Xi,Yi,Zi) называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по трехмерной области v
Если существует придел этой интегральной суммы. При неограниченном возрастании числа. n , n , так что каждый из этих участков смещается в точку , max .И этот придел не зависит от способа разделения области v на участки и от выбора точек (Xi .Yi. Zi) на этих участках ,то этот придел называется тройным интегралом .от фун-ии F(x,y,z,) по области V обозначается этот интеграл :

dv-элемент объема по области М
т.о. по определению тройной интеграл


25.1.Извлечение корня из компл.числа
В26.Чтобы возвести z=ρ(cosφ+isinφ) в целую степень n необходимо умножить его на самого себя n раз: zn=ρ*ρ*…*ρ(cosφ+φ+...+φ+isinφ+φ+…+φ). Zn=ρncosnφ+isinnφ-формула Муавра(9). При возведении комплексного числа в целую степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается.
Определение: Корнем nой степени из комплексного числа z=ρ(cosφ+isinφ) называется комплексное число ω=r(cosφ+isinφ) после возведения которого в степень n получается число z: ω=nz. r(cosφ+isinφ)=nρ(cosφ+isinφ)(10)
При определении z=ωn, т.е. ρ(cosφ+isinφ)=(r(cosφ+isinφ))n или согласно формуле 9: ρ(cosφ+isinφ)= rncosnφ+isinnφ.
Два комплексных числа совпадают, если совпадают их модули, а аргумент отличается слагаемым кратным 2π:ρ=rπ, ρ=hφ-2πR, k=0,1,2…, r=nφ, φ=φ+2πkn, т.о. согласно формуле 10 nρ(cosφ+isinφ)=nρ*cosφ+2πkn+isinφ+2πkn(11), где k=1,2,3…n-1.
При k>n-1 в правой части будут получаться комплексные числа = тем, что при k=0,1,2…n-1 будет: k=n φ+2πkn=φ+2πnn=φn+2πПри k=n+1: φ+2πkn=φ+2π(n+1)n=φ+2π+2πnn=φ+2πn+2π, т.о. другое комплексное число имеет =n различных корней в nой степени.
25.2.интеграл Пуассона
Интегра́л Пуассо́на позволяет найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u0: u(R, φ) = u0(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: , где ∂D — граница шара D, а — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:
где ωn — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.
26.1.Формула Эйлера и показ-ная форма компл.числа
Пусть x и y – действительные переменные, тогда z=x+iy называется комплексной переменной величиной. Если каждому значению одной переменной величины z соответствует значение другой переменной величины w, то w называется функцией от z, а z – аргумент или независимая переменная: w=f(z) w=w(z).
Пример комплексной функции: w=ez или w=ex+iy. Определяется эта функция следующим образом: w=ex(еcosy+isiny). Комплексная экспонента обладает следующими свойствами:
1)ez1+z2=ez1*ez22) ez1-z2=ez1ez23)(ez)n=enz, где n– действительное
4)ez+2πi=ez
Пусть даны 2 функции от действительной переменной x: U=U(x), w(x)=U(x)+iv(x), v=v(x)
Если существует limx→x0U(x)=a и limx→x0v(x)=b, то число a+ib называется пределом комплексной функции при xx0: limx→x0W(x)=a+ib
Если функции U(x) и V(x) непрерывны при xx0, то и комплексная функция w(x)=U(x)=iv(x) считается непрерывной при xx0: w´(x)=U´(x)=iv´(x).
Можно показать, что (ekx)´=kekx, где k – комплексное число. Мы определяем комплексную экспоненту как функцию ex+iy=ex(cosy+isiny). Отсюда при х=0: eiy=cosy+isiny– формула Эйлера. Заменяя y на –y получим e-iy=cosy+isiny: cosy=eiy+e-iy2 siny=eiy-e-iy2i26.2.Вычисление площади поверхности
Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой вокруг оси , где .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую вокруг оси , где
В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

27.1.первообр-ная и неопр-ный интеграл
В30.Функция F(x) называется первообразной для f(x), если F´(x)= f(x). Например, f(x)=x2, то F(x)=x33. В отличии от производной первообразная находится неоднозначно: F1(x)= x33+2 тоже является первообразной для f(x)=x2.
Если F1(x) и F2(x) – две первообразные одной и той же функции f(x), то их разность F1(x)-F2(x) равна постоянному числу С=const, т.е. две первообразные одной и той же функции отличаются постоянным слагаемым.
Неопределенным интегралом для f(x) называется множество всех первообразной этой функции. Обозначается fxdx= F(x)+C, где С- произвольная постоянная.
38.Статич.моменты.Центр тяжести плоской фигуры
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины Dx1, Dx2, . . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна

(i = 1, 2, . ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).
28.1.Св-ва неопр-ного интеграла
1) f(xdx)`=f(x) По опред. 1 имеем:
(fxdx)`=Fx+C`=F`x+C`=f(x) f(x) 0
2) d(fxdx)=fxdx ,имеем
d(fxdx)`=(fxdx)`dx=f(x)×dx f(x)
3) dFx=F(x)+C ,в справедливости этого св-ва можно убедиться,найдя диф-л от левой и правой частей:
d(dF(x))=dF(x) ,согласно св-ву 2,
dFx+C=dF(x)4) f1(x)+f2(x)dx=f1xdx+f2xdx ,
находим произв-ю от левой части:
(f1x+f2xdx)`=f1(x)+f2(x) ,согласно св-ву 1.
Находим произв=ю от правой части:
(f1xdx+f2xdx)`=(f1xdx`+(f2xdx)`=f1(x)+f2(x), производные левой и правой частей совпадают,след-но это рав-во верно
5) afxdx=afxdx ,где а-постоянная,т.е.пост-ю можно выносить за знак интеграла.
Произв-я от левой части:(1 св-во)
(afxdx)`=af(x) Произв-я от правой части:
(afxdx)`=a(fxdx)`=afx. Произв-е от левой и правой частей совпадают,след-но равны интегралы,стоящие слева и справа.
17.Двойной интеграл в полярных коор-тах
Часный случай

I==p
P=I
pdpd
Выражение pdpd являеться-элементом площади.
29.1.Таблица интегралов
1) xn dx=xn+1n+1+C, n≠-12) dxx=lnx+C3) dxx2+a2=1aarctgxa+C4) dxx2-a2=12alnx-ax+a+C5) dxx2+a=lnx+x2+a+C6) dxa2-x2=arcsinxa+C7) axdx=axlna+C8) exdx=ex+C9) sinxdx=-cosx+C10) cosxdx=sinx+C11) dxsin`x=-ctgx+C12) dxcos`x=tgx+C13) dxcos x=lntgx2+C14) dxsin x=lntgx2+П4+C15) shxdx=chx+C16) chxdx=shx+C17) dxch2x=thx+C18) dxsh2x=cth+C29.2.Замена перем-ных в двойном интеграле
Рассмотрим
x=(u,v), y=(u,v)-однозначные переменные ф-ии имеющие непрерывные производные
Пусть также эта замена переменных переносит область плоскости Xoy в некатор область плоскости UoV.
Тогда справедлива след формула замена переменных интегрирован в двойном интеграле.

Где I-- определитель Якоби или якобеан перехода от x,y к u,v
30.1.Интегрирование методом замены прем-х
Дано fxdx,сделаем замену. dx=φ`tdx x=φtПодставляем это вертикально в данный интеграл. Имеем:
fxdx=fφtφ`tdt
Докажем. Для этого найдём произв-ю от левой части: (fxdx)`=f(x)От правой части: (fφtφ`tdx)`x=(φtφ`tdx)`t×t`x=t`x=1x`t=1φ`(t),
f(φt×φ`t×1φ`t=f(φt=f(x),т.е.произв-е левой и правой частей совпадают,зн-т и интегралы справа и слева совпадают.
dxxlnx→ сделаем замену переменных
x=et, dx=(et)`dt=etdt, t=lnx
dxxlnx→etdtetlnet=dtt=lnt+C=lnlnx+C, dxxlnx введем замену t=lnx, dt=dxx=dtt=lnt+C=lnlnx+C30.2.Вычисление двойного инт-ла в декартовых коор-тах
Рассмотр.область σ в плоскости хОу огран.отрезками прям.линий х=а,х=в и граф.ф-й у=φ1(х),у=φ2(х), так что φ2≥φ1на отрезке а,в
Очевидно что люб.прям.∥ оси ОУ ∩ границу области σ не более чем в 2-х т.Область,облад.таким св-вом наз.правильной в направлен. оУ. Т. с1будем наз.т.входа.,с2-выхода.
Ординаты этих т. увх.,увых.. Из рис.видно,что увх.=φ1(х), увых.=φ2(х).Необход.найти fx,ydσ (1); f(x,y) ≥0Тогдаfx,ydσ=V→объем цилиндр.тела построен.на области σ.

Это же объем можно вычисл.след.образом:
V=abS(x)dx,где S(x)-площадь сечен.тела и представл.собой криволин.трап.,площад.кот.-ой=yвхyвыхfx,ydy=φ1(x)φ2(x)fx,ydyПодставл.это в предыд.ф-у:V=∫ab(φ1(x)φ2(x)fx,ydy)dx(2)
Сравн.(1) (2): fx,ydσ=∫ab(φ1(x)φ2(x)fx,ydy)dxИнтеграл стоящ.в пр.части принято изобр.иначе: fx,ydσ=∫abdxφ1(x)φ2(x)fx,ydy(3)
Интеграл стоящ.справа наз.повторным.В нем ф-я f(x,y) снач.интегрир.по у при постоян. Х в пределах от φ1хдо φ2х.рез-т интегрир.явл.ф-ей от х интегрир.по х в пределах от а до в.31.1.Интегр-ние по частям
Пусть даны 2 ф-ии:
U=U(x) и V=V(x)
D(U*V)=UdV+VdU
Проинтегрируем левую и правую части UdV=UV-VdUКруговые интегралы: excosxdx U dV
U=ex dU=exdV=cosxdx U=sinx
Применяем:
=exsinx-sinxexdx=→U=ex dU=exdxdV=sinxdx U= - cosx
→=exsinx-(-excosx++cosxexdx=exsinx+excosx-excosexdxВведем обозначения:
J=excosxdxI=exsinx+excosx-IПолучаем ур-е относительно исходного интеграла
2J=ex(sinx+cosx)I=12ex(sinx+cosx)+C excosxdx=12ex(sinx+cosx)+C31.2.Св-ва двойного интеграла
Опред.дв.интеграла аналоги.опред.-му интегралу.
Поэтому и св-ва тоже совпад.
1) cf(x,y)dσ=cf(x,y)dσC=const
2) f1x,y+f2x,ydσ=f1x,ydσ+f2(x,y)dσ3)если f1(x,y)≥f2(x,y) области σ, то f1x,ydσ≥f2(x,y)dσ4)теорема о среднем значении
Пусть f(x,y)непрер.в огран. замкн.области σ, тогда в этой области найдется т.(х0,у0) такая что дв.интеграл: f(x,y)dσ=f(х0,у0)*σ.
Геометр.смысл теоремы:

Геометр.теорема о ср.означает,что в области σ, можно подобр.такую т. (х0,у0),что объем цилинд.тела с основанием σ будет= объему цилиндрас тем же основ. и с высотой =знач.подинтегральной ф-и в этой т.Знач. f(х0,у0)наз. сред. знач.ф-и f(x,y) в области σ.
32.1.Интегр-ние рацион. Дробей
Рациональной ф-ей наз-ся ф-я вида Qxfx, где Q(x) и f(x)-нек-е многочлены. Ее иногда наз-т рациональной дробью.
Рацион-я дробь наз-ся правильной,если степень многочленов ее числителя < степени многочлена в знаменателе. В противном случае,рац-я дробь наз-ся неправильной. Любую неправильную дробь можно представить виде суммы многочлена и правильной рац-й дроби.
Пусть F(x)f(x)-правильная рац-я дробь,где F(x) и f(x) –многочлены с действит-ми коэф-ми.
Для знаменателей справедливо разложение: fx=x-a1α×…×x-bβx2+px+qμ×…×(x2+ex+s)ϑВ этом случае данная правильная,рац-я дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей след-м образом:
F(x)f(x)=A(x-a)α+A1(x-a)α-1+…+Ad1(x-a)+…+B(x-b)β+B1(x-b)β-1+…+Mx+N(x2+px+q)+M1x+N1(x2+px+q)μ-1+…+Mμ-1x+Mμ-1x2+px+q+…+Rx+T(x2+lx+s)ϑ+R1x+T1(x2+lx+s)ϑ-1+…+Rϑ-1x+Tϑ-1x2+lx+sПоследнее выражение можно исп-ть для разложения прав-й дроби на простейшие дроби методом неопред-го коэф-та.
Т.о.интегрирование любой рац-й дроби к интегрированию многочленов,что выполнить при помощи табличн формы и интегрированию простейших дробей.
32.2.Опр-ние двойного интеграла.Теорема о его сущ-нии
Пусть в области σ в плоскости хОу задана ф-я z=f(x,y).разобьем область σ на nмелких уч. ∆σi.на каждой из этой площадок выбер.т. xi,yi.сумма i=1nfxi,yi*∆σiназ. интегральной суммой.
Если сущ.предел последов.таких интегральн.сумм при n→∞, max∆σi→0,то этот предел наз. двойным интегралом от ф-и f(x,y) по области σ. Обознач.f(x,y)dσТ.о.по опред.дв.интегр.по области σ: f(x,y)dσ=limn→∞i=1nρxi,yi*∆σi max∆σi→0.
33.1.Интег-ние некот. иррац.ф-ций








33.2.Задачи,приводящие к понятию дв.инт-ла
1)пусть необх.найти объем цилиндр.тела,опирающ.на область σ в плоскости хОу

Для приближ.вычесл.объема цилиндр.тела разобьем.область σ на n-площадок ∆σi
V=i=1n∆Vi≈i=1nf(xi,yi)∆σi
В кач-ве точного знач.объема цилиндр.тела в полке естественно счит.предел этой суммы при неогран.возраст.числа участков-n деления и при неогран.уменьш.площади каждого из них
V=limn→∞i=1nf(xi,yi)∆σi
max∆σi→02)масса неоднород.плоск.пластинок
Пусть в плоск. хОу располож.плоская пластинка,заним.область σ.
Пусть на этой пластинкераспределена масса с поверх.плотностью ρ=ρx,yТребуется найти массу пластинкию.

Разобьем область σ на n-уч. ∆σi, на каждом уч.выберем т.с корд. (xi,yi).тогда масса этого уч.≈∆mi≈ρxi,yi*∆σiМасса всей пластинки =суммевсех уч.:n
m=i=1n∆mi≈i=1nρxi,yi*∆σiТочное знач.массы пластин.опред.как предел:
m=limn→∞i=1nρxi,yi*∆σi max∆σi→0.
34.1.Интег-ние тригоном.выр-ний.Универс.тригоном. подстановка

При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения и , как функции отношения к и к соответственно, для эффективной замены переменных.
Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.
Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

Для избавления от произведения используются следующие формулы:


Также нужно помнить формулы двойных углов:

34.2.Вычисление опр-ных интегралов с пом.рядов
Для вычисления определенных интегралов
Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование

35.1.Интеграл вида ∫R(sin²x¸cos²x)dx
1. Интегралы вида , где рациональная функция от u и v.
Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью
подстановки , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии .
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.
2. Подынтегральная функция удовлетворяет условию
(1)
или условию
. (2)
Тогда можно использовать подстановку , или , соответственно.
3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию . Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени и В этом случае часто применяют замену переменной , где или , где .При этом, так как или ,то . Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул и .
35.2.Разложение в ряд ф-ции y=arcsinx и y=lg(1+x)
для всех
1);
;
;



при X=1 ряд тоже сходится
36.1.Интеграл ∫sinmxcosnxdx
4. Вычисление интегралов вида , где m и n ? целые числа.
В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:
А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1.
Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: , и
В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или
Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества.
Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.
36.2.Биномиальный ряд
степенной ряд вида

Биномиальный ряд, бесконечный ряд, являющийся обобщением формулы Ньютона бинома (1 + х) n на случай дробных и отрицательных показателей n:

Биномиальный ряд сходится: при —1 < x <1, если n < —1; при —1< x £ 1, если —1 < n < 0; при —1 £ x £ 1, если n > 0.
37.1.Опр-ный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть дана функция y = f(x), определенная на промежутке [а,b]. Разделим промежуток [а,b] на n частей точками {xn} такими, что
a = x0 < x1 <x2<<xn= b. На каждом промежутке [xi-1 , xi ] i=1,2 n выберем произвольным образом точку и составим сумму , где xi = xi ?xi-1 . Такую сумму будем называть интегральной суммой.
Обозначим через , который мы будем называть диаметром разбиения. Тогда определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b] будем называть , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек .
Если такой предел существует, то функция называется интегрируемой на промежутке [a,b]. Нетрудно доказать, что если функция интегрируема, то она ограничена на этом промежутке.
Ясно, что условие стремится к 0 может быть выполнено только, если n стремитсЯ к бесконечности,но эти условия не равносильны, так как можно увеличивать число точек деления n, оставляя один или даже несколько промежутков неизменными.

Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Для этого допустим, что . Очевидно, что каждое слагаемое этой суммы равно площади прямоугольника с высотой и основанием Δxi , а вся интегральная сумма
равна площади ступенчатой фигуры, составленной из этих прямоугольников. Также очевидно, что площадь каждого прямоугольника близка к площади полосы, вырезанной из криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции, осью OX и прямыми x = a и x = b, поэтому площадь ступенчатой фигуры близка к площади всей трапеции, причем, чем меньше диаметр разбиения (длина максимального основания прямоугольника), тем ближе эти площади. Таким образом, предел интегральной суммы, то есть интеграл, равен площади указанной криволинейной трапеции.
равна площади ступенчатой фигуры, составленной из этих прямоугольников. Также очевидно, что площадь каждого прямоугольника близка к площади полосы, вырезанной из криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции, осью OX и прямыми x = a и x = b, поэтому площадь ступенчатой фигуры близка к площади всей трапеции, причем, чем меньше диаметр разбиения (длина максимального основания прямоугольника), тем ближе эти площади. Таким образом, предел интегральной суммы, то есть интеграл, равен площади указанной криволинейной трапеции.
37.2.Формула Эйлера
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

где e — основание натурального логарифма,
i — мнимая единица.
Доказательство формулы Эйлера основано на разложении вышеуказанных функций в ряд Тейлора: (2)
(3)
(4)
Преобразуем формулу (2), выполнив подстановку :

Перегруппируем слагаемые, выделив вещественную и мнимую части:
(6)
В соответствии с формулами(3) и (4) вещественная часть функции exp(iφ) равна cos φ, а мнимая часть этой функции равна sin φ. Следовательно,
(7)
что и устанавливает формула Эйлера.
Формула Эйлера позволяет обобщить понятие показательной функции вещественного аргумента на случай его комплексных значений:

38.1.Св-ва опр-ного интеграла
Если и b > a, то .. Если и b > a, то при любом расположении точек a, b и c. , если - нечетная. , если - четная. , если периодическая.

.
38.2.Ряды Тейлора и Маклорена
Если все производные ограничены одной и той же константой, то ряд Тейлора сходится к ф – и по x.

- сходится по признаку Даламбера.
У сходящегося общий член ряда
, отсюда следует, что
Пусть f(x) бесконечно дифференцируема и
Является ли этот ряд рядом Тейлора?

………………………………………………………….
.
Пусть x=x0, тогда ,
или
f(x) – ряд Тейлора.
39.1.Произ-ная от опр-ного интеграла по перем-му верхнему пределу
Заметим аbfxdx= abfxdtВеличина опред.интеграла зависит от вида
подинтегральной ф-ции и величины предела
от интегрирования.
Если один из пределов например верхний
Определенный интеграл можно
рассм. как функцию Ф(x)=axftdtf(x)≥0,то геометрически
это площадь криволинейной
трапеции.Теорема:
производная от опред. интеграла по
переменному верхнему пределу равна
подинтегральной ф-ции,кот. вместо
переменной интегр-ования подставлено
значение верхнего предела.
ddx axftdt=f(x).
Всякая функция непрерывна на отрезке
имеет первообразную на этом отрезке.
Доказательство: если ф-ция f(x)
непрерывна на отрезке [a,b]
то опред. интеграл Ф(x) = axftdt –существует,т.к.
по док-ой теореме
Фl (x) =f(x), то Ф(x) явл.первообразной для ф-ции f(x) и т.д.
39.2.Интервал сх-сти степенного ряда.Радиус сх-сти.Ряды расположенные по степени (х-а)
Интервалом сходимости степенного ряда является такой интервал от –R до R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.
40.1.Формула Ньютона-Лейбница
Теорема: bafxdx=Fb-Fa (1), где F(x)
любая первообразная для функции f(x)
Доказательство: пусть F(x) некоторая
первообразная для ф-ции f(x). Мы знаем
что axf(t)dt -тоже явл. первооб-ой от
f(x). axfxdt=Fx+c (2)
Формула Ньютона-Лейбница: аbfxdx=Fx|ba (3)
12.Степенные ряды.Теорема Абеля
Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Теорема Абеля.
Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком х, для которого .
Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого .
Доказательство: Так как по предположению числовой ряд сходится, то его общий член при , а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд в виде и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:
Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда
При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.
Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию . Действительно, если бы в какой-либо точке х-, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке , так как . Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. Теорема полностью доказана.
41.1.Замена перем-х и интегрирование по частям для опр-ного интеграла.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b].
Рассм. интеграл bafxdx . введем новую
переменную t в соотношении x=µ(t).тогда,если µ(α)=a, µ(β)=b
µ(t),µl (t) на отрезке [α,β], а также f(µ(t)), то
справедливо след. Формула замены переменной в
неопр. интеграле: abfxdx=αβf(µ'(t))µ'(t)dt (1)
доказательство: abfxdx=Fb-F(f) (2), где F(x)
некоторая первообр. ф-ции f(x).
Согласно формуле замены переменной
abfxdx=αβf(µ'(t))µ'(t)dt=µ(t)+c.
интегрирование по частям для опред.интеграла
U(x), V(x)
D(U,V)=UdV+VdU
Проинтегрируем обе части этого равенства в пределах от a до b.
abdUV=abUdV+abVdUabdUV=UV|baUV|ba=abUdV+abVdUabUdV=UV|ba-abVdU (1)
41.2.Мажорируемые ряды
, где – мажорируемы.Тогда – мажоранжа (если ряд сходится), при .Теорема. О непрерывности суммы ряда.Пусть .
– сходится и , – непрерывна на .
Тогда – непрерывна на .
Доказательство:(из определения непрерывности) где .При и .Отсюда
42.1.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых коор-тах
f(x)≥0,abfxdx = площади криволинейной трапеции:

Пусть требуется найти S области огранич.
слева и справа отрез.прямых x=a,x=b, снизу
граф.функции y=f1(x) и сверху y=f2(x), f2(x)≥ f1(x)
Эта S равна разности
площадей и графиками ф-ций y=f1(x), y=f2(x),т.е.разность
соотв. опред. интегралов.
S=abf2xdx-abf1(x)dx или
S=ab[f2xdx- f1(x)]dx.
42.2.Функц-ные ряды.Основные опр-ния
(1)
Каждым членом которого является функция от x.
Добавим аргументу x различные значения из (1) будем получать различные числовые ряды некоторые из которых сходятся, а некот. расходятся.
Множество значений х, при которых функциональный ряд сходится называется областью сходимости функционального ряда. Очевидно, что область сходимости, тоже является функцией от х.
43.1.Площадь криволинейного сектора в полярных коор-тах
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).

6..Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница
Теорема Лейбница:
Если в знакочередующемся ряду , где положительны, члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Доказательство: Рассмотрим сумму первых членов ряда. По условию 1 выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, сумма положительна и возрастает с возрастанием m. Запишем теперь эту же сумму так:
По условию 1 каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из мы получим число, меньшее . Таким образом, мы установили, что при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел S
, причем . Однако сходимость еще не доказана. Мы доказали только, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число S. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу S. Рассмотрим для этого сумму первых членов исходного ряда. . Так как по условию 2 теоремы , то следовательно Тем самым мы доказали, что как при четном n, так и при нечетном. Следовательно, исходный ряд сходится.
! Теорема Лейбница справедлива, если условия выполняются с некоторого N.
44.1.Вычисление длины дуги кривой
Под длиной дугикривойпонимается предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломанной, если длина самого большого ее звена стемится к нулю.Допустим, что криваяопределена уравнением, при этомпредставлена в качестве непрерывно дифференцируемой функции на. Разделим ее начастей посредством точек с абсциссамии проведем через данные точки хорды (рис. 18.9, а). В результате имеем вписанную ломанную с длиной ее-го звена 
здесь, составляетИз определения длины дуги следует Поскольку правая часть представляет собой интегральную сумму для функции, то (18.1)
 
44.2.Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сх-сть
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Теорема1. Если знакопеременный ряд таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом.
45.1.Вычисление объёмов тел по площадям параллельных сечений
Теорема. Объем тела с допустимыми параллельными сечениями вычисляется по формуле      (1)
Отрезок  [а; b] точками

разобьем на п отрезков [хi—1 ; хi] длины

Пусть тi  и Mi — наименьшее и наибольшее значения функции S(x) на отрезке  [хi—1 ; хi] .Плоскостями х = хi,  где i = 1, 2, ..., п — 1, тело D разобьем на n слоев. Выделим i-й слой, соответствующий отрезку [хi—1 ; хi], и построим два цилиндра высрты Δ хi : один с основанием площади Mi  , содержащий i-й слой, а другой с основанием площади тi  ,  содержащийся в i-м слое (рис. 248).

Объемы этих цилиндров равны Mi Δ хi  и тi Δ хi.
Произведя указанные построения для каждого слоя, получим два ступенчатых тела D'n и D"n таких, что D'n < D < D''n. Их объемы равны

Так как функция S(x) непрерывна, то V'n и V"n  при  п —>  ∞ имеют один и тот же предел, равный .Следовательно, объем тела D вычисляется по формуле (1).
45.2.Интегральный признак сх-сти ряда.Ряд Дирихле.
80. Рядом Дирихле называется , где p – некоторые действительные числа.
Исследуем на сходимость этот ряд при помощи интегрального признака. Для этого рассмотрим несобственный интеграл.

при p<1 – сходится
при p>1 – расходится
p=1
ряд расходится.
Т.о. ряд Дирихле - сходится при p>1 и расходится при p<1
при - гармонический ряд расходится.
46.1.Приближённые вычисления опр-ных интегралов
1. Формулы (методы) прямоугольников.
Пусть на отрезке [a,b] задана неопределённая ф-ция y=f(x). Пусть необходимо найти интеграл: abfxdx
Разабьём отрезок [a,b] на х равных частей точками х0=a, x1, x2, …, xn=b. Длина каждого из отрезков [x0,x1]: ∆x=xi-xi-1=b-an; y0=fx0; y1=fx1. Составим 2 суммы: y0∆x+y1∆x+…+yn-1∆x; y1∆x+…+yn-1∆x+yn∆x. Обе эти суммы явл.интегральными суммамиabfxdx. abf(x)dx≈b-any0+y1+…+yn-1(1), abf(x)dx≈b-any1+…+yn-1+yn(2). Формулы 1 и 2 наз.формулами прямоугольников. Они дают приблизительное значение определённого интеграла.
2. Формула трапеции.
При одном и том же числе n-отрезков разбиения, точность вычисления можно увеличить, если прямоугольник заменяется трапецией.

abf(x)dx=b-any0+y12dx+y1+y22dx+…+yn-1+yn2dx.abf(x)dx=b-any0+yn2dx+y1+y2+…+yn-1(3). Заметим, что правая часть формулы 3 предст.соб.среднее арифметическое правых частей формул 1 и 2.
46.2.несобственые интегралы с бесконечными пределами.
Путь функция определена и непрерывна в пределах от . Рассмотрим определенный интеграл


Если существует конечный предел
, то этот предел называется несобственным интегралом от функции на промежутке от [а;∞).
Обозначается: .
Т.о. по определению:
- несобственный интеграл.
Если предел, стоящий в правой части существует, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если он не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует (расходится).
79. Пусть для ряда с положительными членами
существует функция такая, что , n=1,2,3… при чем функция - непрерывна и не возрастает.
Тогда, если несобственный интеграл - сходится, то и ряд тоже сходится.
Если этот несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
47.1.Ф-ции нескольких перем-х.Основные опр-ния.
Опр. Если в каждой паре значение переменной величины х и у соответствует единственное значение z, то переменную z наз.ф-цией от переменных х и у. При этом переменные х и у наз.независимыми переменными или аргументами ф-ции. Обозначение ф-ций 2-ух переменных: z=f(x,y) или z=z(x,y).
Опр.Множ-во значений переменных х и у, при кот.ф-ция z=f(x,y) определена, наз.областью определения этой ф-ции: z=ln(x+y), x+y>0.
Опр.Переменная z наз.ф-цией от переменных х1,х2,…,хn, если в каждой совокупности значений переменных х1,х2,…,хn соответствует единственное значение переменной z: z=f(x1,x2,…,xn).
Опр.Число а наз.пределом ф-ции z=f(x,y) при х→х0, у→у0, если для любого малого числа ε>0 можно указать число δ>0 такое, что для всех значений х и у удовлетворяющих неравенство: (х-х0)2+(у-у0)2<δ; fx,y-a<ε. 3-5Признаки Даламбера и Коши
Если в ряде с положительными членами предел отношений последующего члена к предыдущему
существует,
то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
Признак Коши
Если для ряда с положительными членами существует конечный предел
,
то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
48.1.Предел и непрерывность ф-ции двух переем-х
Опр.Число а наз.пределом ф-ции z=f(x,y) при х→х0, у→у0, если для любого малого числа ε>0 можно указать число δ>0 такое, что для всех значений х и у удовлетворяющих неравенство: (х-х0)2+(у-у0)2<δ; fx,y-a<ε.
Множ-во точек х и у, удовлетворяющих неравенству (х-х0)2+(у-у0)2<δ наз.дельтаокрестностью точек х0 и у0.
Опр. Ф-ция 2-ух переменных z=f(x,y) наз.непрерывной в точке (х0,у0) принадлежащая области определения ф-ции, если limх→0,у→0fx,y=fx0,y0. Если обозначить ∆z=fx,y=fx0,y0, то для непрерывной ф-ции получим: logх→0,у→0∆z=0, где ∆х=х-х0, ∆у=у-у0, т.е.малым значением приращения аргументов соответствует малое значение приращения непрерывной ф-ции. Ф-ция непрерывна в каждой точке области наз.непрерывной в этой области.
Опр.Если в некоторой точке (х1,у1) не выполняется условие непрерывности(она не определена или лимит не сущ.), то эта точка наз.точкой разрыва.
48.2.Сравнение рядов с положит.членом.
Пусть даны 2 ряда
a1 + a2 + …+an +… (1)
b1 + b2 + …+bn +… (2)
an ≥ 0
bn ≥ 0
Теорема 1: если все члены ряда (1) не больше соответств. членов ряда (2), то an ≤ bn , n = 1, 2, 3…. (3)
Пусть ряд (2) сходится, тогда и ряд (1) тоже сходится.
Док-во: пусть Sn = ∑nK=1 an , σn = ∑nK=1 bn – частное суммы рядов (1) и (2), т.к. ряд (2) сходится: Lim σn = σ
В след неравенстве (3) Sn ≤ σn , тогда Sn ≤ σ, т.о. последовательность частичных сумм возрастающ. и ограничена, т.о. она имеет предел Limn→∞ Sn – S, т.е. ряд (1) сходится.
Пример: 1+1/22 + 1/32 + … +1/n +…
Сравним этот ряд геометрич прогрессий
1 + 1/22 + 1/23 + …+ 1/2n +… - бесконечно убывающая прогрессия
1/2 ‹ 1 поэтому сходится
1/nn ≤ 1/2n , поэтому по доказанной теории рассматриваемый ряд сходится.
Теорема 2: если члены ряда (1) не меньше соотв. членов ряда (2) an ≥ bn и ряд (2) расходится, то ряд (1) тоже расходится.
Док-во: т.к. члены ряда (2) – положительные, то Limn→∞ σn = ∞, т.к. Sn ≥ σn , то Lim n→∞ Sn = ∞ n = ∞ и следовательно ряд (1) тоже расходится.
Пример: ∑∞n=2 1/lnn = 1/ln2 + 1/ln3 + … + 1/lnn +.. сравним: ∑∞n=2 1/n = 1/2 + 1/3 + … + 1/n +…
Последний ряд расходится (он гармонический ряд), т.к. lnn ‹ n, при n = 2, 3, …
1/lnn > 1/n, поэтому по доказанной теории ряд расходится.
Теорема 3:члены ряда ∑∞n=1 1/ (2n + 3).
Сравним этот ряд с гармоническим.
∑∞n→∞ 1/n
Limn→∞ 1/n / 1/(2n+3) = Limn→∞ (2n+3)/n = Limn→∞ (2 + 3/n) = 2 ≠ 0 , т.к. гармонический ряд расходится, то и данный ряд тоже расход
49.1.Частные и полное приращение ф-ции
Пусть дана ф-ция z=f(x,y). Дадим переменной х приращение ∆х, тогда ф-ция z получает приращение, кот.наз.частным приращением от переменной х.
Дано определённое частное приращение этой ф-ции по переменной у, то: ∆yz=fx,y+∆y-f(x,y). Если обе независимые переменные получают приращение ∆х и ∆у соответственно, то ф-ция z получает приращение: ∆z=fx+∆x,y+∆y+f(x,y), кот.наз.полным приращением ф-ции.
49.2.Необх-мый признак сх-сти ряда.Следствие.
Теорема: если числовой ряд а1+ а2+…+аn+… (1) сходится, то предел его общ. члена при неогранич. Возрастании номера n-0
Limn→∞ an =0
Док-во: если ряд 1 сходится, то сущ-т предел Limn→∞ Sn(6), что тогда сущ-т также и предел Lim Sn-1=S(7) (т.к. если n→∞,то и n→1 тоже =>8
Вытикая из (6) и (7) имеем:
Limn→∞ Sn - Limn→0 = 0
Limn→∞ (Sn – Sn-1) = 0 ((Sn –Sn-1)=0)=an
(Sn= SN-1 + an)
Limn→∞ an = 0
Знаем, что это признак явл-ся необходимым, но сущ. недостаток, если Limn→∞ an =0 то это не означает, что ряд 1 сходится
50.1.Частные производные
Опр.Частной производной от ф-ции z=f(x,y) по переменной х, наз.предел отношения частного приращения ∆хz этой ф-ции к приращению ∆х, когда ∆х→0. Обозначим ∂z∂x или ∂f(x,y)∂x или z'x или f'z(x,y). ∂z∂x=lim∆x→0∆xz∆x; ∂z∂x=lim∆x→0fx+∆x1y-f(x,y)∆x. Определяем частную производную от переменной у: ∂z∂y=lim∆y→0∆yz∆y; ∂z∂y=lim∆y→0fx,y+∆y-f(x,y)∆y. Частной производной ф-ции z=f(x,y) по переменной х наз.обычная производная от ф-ции одной переменной х в кот.приращена ф-ция f(x,y), если предположить, что 2-ая переменная у постоянная. Производная этой ф-ции по у находится в предположении, что х постоянная.
50.2.Теоремы о сх-сти рядов
Теорема1: Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.
Теорема2: Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где с – какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна сS.
Теорема3: Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны Sa и Sb, то ряды и тоже сходятся и их суммы соответственно равны Sa+Sb и Sa-Sb.
51.1.Полный диф-ал
Пусть дана ф-ция z-х перем-ых z=f(x,y).Ее полное приращ-е по опр-ю Δz= f(x+Δx,y)- f(x,y).Можно показ.,что это приращ-е можно предст. в виде ∆z=dzdx∆x+dzdy∆y+γ1∆x+γ2∆y , гдеγ1,γ2- бесконечно малые при х→0,у→0 (1) lim∆x→0∆y→0γ1=0 lim∆x→0∆y→0γ2=0 Гл.часть полн.приращ-я Δz, линейная относ-но Δx, Δу,полным дифф-лом ф-ии z(x,y).Обозн. dz.∆z=dzdx∆x+dzdy∆y.Диф-лы независ.перем-ых х и у по опред-ю равны их приращ-ям dx=Δx, dy=Δy. Поэтому dz=dzdxdx+dzdydy.При достаточно малых зн-ях Δx,Δy 2-мя послед.слагаемыми в ф-ле(1). Можно принебречь.Тогда ∆z≈dz .
51.2.Числовые ряды.Сх-сть.Сумма ряда
Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, +.., аn+ Выражение вида а1 + а2 + а3 +++ аn (1) - наз-ся числовым рядом Числа а1, а2, +, аn - наз-ся членами ряда. Числовой ряд (1) считается заданным, если извесен общий член ряда как функция an=f (n)
52.1.Произ-ная сложной ф-ции 2 перем-х.
Пусть дана ф-ия z= z (u,v),где перем-ые u и v не явл. независ., а тоже явл.ф-ми от 2-х перем-ых х и у: U= U(x,y) V=V(x,y).Т.е. мы имеем сложн. ф-цию: Z=ZUx,y,V(x,y).Найдем произв-ую этой ф-ии по перем-ной х.Дадим перем-ой х приращ-е Δх.Тогда перем-ные U и V получ. приращ-е ∆хU,∆хV.При этом получ. приращ-е полное,опр-мое формулой∆z=dzdx∆x+dzdy∆y+γ1∆x+γ2∆y : ∆хZ=dzdu∆хU+dzdv∆хV+γ1∆хU+γ2∆хV .Разделим обе части фор-лы на Δx.Перейдем к пределу при х→0.lim∆х→0∆хZ∆х=dzdulim∆х→0∆хU∆х+dzdvlim∆х→0∆хV∆х+lim∆х→0γ1*lim∆х→0∆хU∆х+lim∆х→0γ2*lim∆х→0∆хV∆х . Если счит.,что ф-ии U(x,y) и V(x,y) равны, то при Δх→0, ΔU→0 и ΔV→0. Поэтому lim∆х→0γ1=lim∆u→0γ1=0,lim∆х→0γ2=lim∆v→0γ2=0 dzdx=dzdu*dudx+dzdv*dvdx (2).Аналогично можно найти:dzdу=dzdu*dudу+dzdv*dvdу.(3)
52.2.Линейный однородные ур-ния 2 порядка с постоянными коэф-тами
Дифференц. ур-я n-го порядка наз-ся линейными, если неизвестная функция у и все её производные у/, у//,+. У(n) в ходе этого ур-я линейны, т.е. это ур-я вида a(x)*y(n) + U1(x)*y(n-1) + U2(x)*y(n-1) + an (x)*y = b(x) без ограничения общности можно полагать an (x) = 1 действительно a0 (x) получим ур-е, у к-го коэффициент y(n) сократится, т.е. ур-я вида y(n) + a1 (x)*y(n-1) + a2 (x)*y(n-1) + an (x)*y = f (x) (1) Это общий вид n-го порядка. Если обе части не равны 0, то они неоднородны. Если первая часть f(x)=0 то это ур-е принимает вид: y(n) + a1 (x)*y(n-1) + a2 (x)*y(n-1) + an(x)*y=0 (2) наз-ся однородным
53.1.Полный диф-ал сложной ф-ции
Пусть дана ф-ия z= z (u,v),где U= U(x,y) ,V=V(x,y).Тогда полн.дифф-л ф-ии z может быть записан в виде:dz=dzdх*dх+dzdу*dу(4)Подставляя выраж-я dzdx=dzdu*dudx+dzdv*dvdx (2) и :dzdу=dzdu*dudу+dzdv*dvdу.(3) имеем dz=dzdu*dudx+dzdv*dvdx *dх+dzdu*dudу+dzdv*dvdу*dу ;dz=dzdududxdх+dudydу +dzdvdvdxdх+dvdуdу.dz=dzdudu+dzdvdv(5).Сравнивая фор-лы (4) и (5), видим что выраж-е для полн. диф-ла по форме одинаково, когда аргументы ф-ии z явл. незав. перем-ми и когда они явл.ф-ми.Такое cв-во наз. св-вом инвариантности дифф-ла.
53.2.Линейные однородные ДУ 2-го порядка.
Диф. ур-е n-ого порядка наз. линейным, еси неизвестная ф-ияy и все ее произв-ыеy’, y’’ … y(n)входят в это ур-е линейно, т.е. в первой степени, то этур-е вида a0(x)y(n) + a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+…+an(x)y = f(x). Без ограничения общности можно полагать, что a0(x)=1. Действительно, еси это не так, то разделив обе части этого ур-я на a0(x), получим ур-е, у кот.коэф-т при y(n)равен 1, т.е. ур-е вида y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+…+an(x)y = f(x)-общ.вид лин. ур-я n-ого порядка.Еси правая часть этого ур-я не равна 0, то этоур-е наз. неоднородным, еси его правая часть f(x)=0, то это ур-е принимает вид y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+…+an(x)y =0-называется однородным.Св-валин. однор. ур-ий 2ого порядка y''+a1(x)y'+a2(x)y=0 :Теорема 1:Есиy1(x)и y2(x) – 2 частных решения ур-я, то их сумма тожявл. реш-ем этого ур-я. Т.2:Еси y1(x) – частное реш-е ур-я, тоС*y1(x)тоже явл. реш-ем этого ур-я, где С - константа. Т.3.: Еси 2 ф-ииявл. лин. Зависымыми, то их определитель Вронского равен 0.Т.4.:Еси y1и y2- 2 лин. независ. ф-ии, то у=С1у1+С2у2 , где С – произвольные постоянные, явл. общим реш-ем этого ур-я.
54.1.Частная произ-ная ф-ции двух перем-х,заданной неявно.
Пусть дана ф-ия z= z (u,v),где U= U(x,y) ,V=V(x,y).Тогда полн.дифф-л ф-ии z может быть записан в виде:dz=dzdх*dх+dzdу*dу(4)Подставляя выраж-я dzdx=dzdu*dudx+dzdv*dvdx (2) и :dzdу=dzdu*dudу+dzdv*dvdу.(3) имеем dz=dzdu*dudx+dzdv*dvdx *dх+dzdu*dudу+dzdv*dvdу*dу ;dz=dzdududxdх+dudydу +dzdvdvdxdх+dvdуdу.dz=dzdudu+dzdvdv(5).Сравнивая фор-лы (4) и (5), видим что выраж-е для полн. диф-ла по форме одинаково, когда аргументы ф-ии z явл. незав. перем-ми и когда они явл.ф-ми.Такое cв-во наз. св-вом инвариантности дифф-ла.
54.2.ДУ вида d²y/dx²=f(y,dy/dx)
Чтоб получить порядок этого ур-я, сделаем замену dydx=U(y) (1),тогда d2ydx2=dU(x) dx=dU dy×dydx=U×dU dy. Подставляем это рав-во и рав-во(1) в ур-е d2ydx2=f(y, dydx), имеем U×dU dy=fy,U – ур-е 1ого порядка для ф-ийU=U(y). Интегрируя это ур-е получим U=U(y, С1), тогда имеем dydx=U(y, С1). В этом ур-е переменные разделяются dyU(y, C1) = dx, отсюда интегрируя обе части, получаемx=ʃdyU(y, C1)+ C2.
55.1.Частные произ-ные высших порядков
Част.произвн.ф-ии неск. перем-ых тоже явл. ф-ми неск. перем-ных,поэтомуот этих ф-ций тоже можно наход-ть част.производные.Част.производные от част.прооизводных наз. част.производными 2-го порядка.Част.производные от частн.поизводных 2-го порядка наз.частн.производными 3-го порядка и т.д.Пусть мы имеем z=f(x,y).Пусть ее частн.производные:dzdх=fx'(x,y) , dzdy=fy'(x,y).Дифф-уя эти част.производные получ. 4 частн.производные 2-го порядка.d2zdx2=fxx''x,y=ddx(dzdx) ,d2zdxdy=fxy''x,y=ddy(dzdx),d2zdydx=fyx''x,y=ddx(dzdy),d2zdy=fyy'x,y=ddy(dzdy).Теорема:если ф-ия z=f(x,y) и ее частн. производные dzdy,dzdx,d2zdxdy,d2zdydx непрерывны в точке (x,y) ,а также в некотор.окруж-ти этой точки, то справедливо рав-во:d2zdxdy=d2zdydx55.2.ДУ вида d²y/dx²=f(х,dy/dx).Вида dny/dxn=f(x,dn-1y/dxn-1)
.d2ydx2=f(x, dydx).Порядок этого уравнения можно получить, сделав заменуdydx=U(x), тогда d2ydx2=dU dx, и уравн-е принимает вид dU dx=fx,U.Проинтегрировав это ур-е получ. U=U(x,C1), ч/з Uобознач. произв., тогда имеем dydx= U(x,C1), отсюда y= ʃ U(x,C1)+C2 – общее решение ур-ий.
56.1.Экстр-мы ф-ции нескольких перем-х
Будем говорить, что ф-ция z=f(x,y) имеет в т.(x0,y0) max-ум и min-ум, если для всех точек(x,y) достаточно близких к т. (x0,y0) вып-ся нерав-во f(x,y)< f(x0,y0)-max, f(x,y)> f(x0,y0)-min
Теорема(необходимые условия экстремума)
Если точка М0(х0,у0) явл. т. экстремума ф-ции f(x,y), то f1х(х0,у0)= f1у(х0,у0)=0 или хотя бы одна из этих производных не сущ-т.
Тчка, для к-рой эти условия выполнены– критические
Теорема(достаточные условия экстремума)
Для того чтобы сформулировать достаточные условия экстремума ф-ции двух переменных, введем след. Обозначения: А=f"xx(x0,y0), B= f"xy(x0,y0), C= f"yy(x0,y0), ∆=AC-B2
Пусть ф-ция z=f(x,y) имеет нерперывные частные производные до третьего порядка включительно в нек-ой области, сод-щей критическую точку М0(х0,у0).
Тогда:
1)∆>0, то т.М0(х0,у0) явл. т экстремуму для дан. Ф-ции, причем М0 будет т max при А<0(C<0) и т. min при А>0(C>0)
2)если ∆<0, то в т. М0(х0,у0) экстремума нет
3)если ∆ =0 , то экстремум может быть,а может и ен быть
56.2.ДУ вида y(n)=f(x)(y n-штрихов)
y(n)=fx.Чтоб найти общ.реш-е такого ур-я дост-но проинтегр. по х обе части этого ур-я n раз.y(n-1)=ʃf(x)dx+C1; y(n-2)=ʃ(ʃ f(x)dx)dxC1x+C257.1.ДУ.Основные опр-ния
ДУ–ур-е, связ-щее незав-ую переменную, неизвтную ф-цию и произв-ую от неизвестной ф-ции Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
Пр. F(x, у, у', у",...,у(n))=0
Порядок ДУ–наибольший порядок произв-ой от неизвестной функции, входящей в это уравнение.
Решение ДУ- любая ф-ция, после подстановки к-рой в ДУ вместо неизвестной ф-ции это ур-ие превращается в верное равенство.
57.2.ДУ высших порядков.Общие и частные решения.
Общий вид диф. уравнения порядка n: F(x,y,y’, y”, … , y(n) )=0. Иногда из этого уравнения можно выразить производную y(n) , тогда получается уравнение: y(n) = f(x,y,y’, y”, … , y(n-1) ) (1). Такое уравнение называется разрешенным относительно старшей производной. Теорема. Если в уравнении (1) ф-ция y(n) = f(x,y,y’, y”, … , y(n-1) ) и ее частная производная по переменным y,y’, … , y(n-1) непрерывны в некот. бласти, содержащей точку х=х0 , у=у 0 , y’= y’0 , y(n-1) = y(n-1) 0 , то существует единственное решение этого уравнения (1), удовлетворяющее условию:
у(х0)= у 0 ,
y’(х0)= y’0
y(n-1) (х0)= y(n-1) 0 , где х0, у 0, y’0 ,y(n-1) 0 - заданные числа
Условие (2) называется начальным условием для диф. уравнения (1). Например, диф. уравнение 2-ого порядка разрешенного относительно старшей производной имеет вид y”= f(x,y,y’). Начальным условием для него будет 2:
у(х0)= у 0 ,
y’(х0)= y’0
Определение Общим решением диф. уравнения n-ого порядка называется ф-ция (3), кот зависит от x и n – произвольных постоянных , и удовлетворяет след условиям: 1) Ф-ия явл. решением уравнения (1) при разных значениях произвольных постоянных. 2) Какого бы ни были начальные условия вида (2) путем выбора произвольных постоянных можно добиться, чтобы эти условия выполнялись. Предполаг., что точка (х0, у 0, y’0 ,y(n-1) 0) принадлежит области существования решения.. Определение Решить или проинтегрировать диф. уравнение – это значит 1) найти общее решение этого диф. уравнения, если начальные условия не заданы, 2) найти частное решение этого уравнения, удовлетв. Начальным условиям, если эти условия заданы.
58.1.ДУ 1-го порядка.Общие и частные решения
Для нахождения общего решения неоднородного уравнения (1) воспользуемся методом вариации постоянной. Этот метод состоит в том, что решение уравнения (1) ищут в форме (3), где постоянную С считают не постоянной, а новой неизвестной ф-цией у = С(х)е (4). Подставляем (4 в (1), получаем диф. уравнение для ф-ии С(х) . Интегрируем обе части по х, получим: , подставляем это выражение в (4), получаем общее решение неоднородного диф. уравнения(1): . Мы видим, что общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответств. Однородного уравнения (1-ое слагаемое) и частного решения неоднородного ур-ния, кот получается при нулевом значении произвольной постоянной.
58.2.Интегрирующий множитель
Иногда, когда уравнение вида не явл. ур-нием в полных диф-лах, можно подобрать функцию М(х,у) после умножения обеих частей этого уравнения, на кот это уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Такая функция М(х,у) называется интегрирующим множителем. Полученное в рез-те умножения уравнения М(х,у)М(х,у)dx+M(x,y)N(x,y)=0 (1) имеет те же самые решения, что и в уравнении (1). Задача нахождения интегрирующего множителя М(х,у) в общем случае явл. довольно сложным. Но в некот. Частных случаях она довольна проста и легко применяется на практике. 1) не зависит от у, то уравнение (1) имеет интегральн. множитель: , 2) если выражение не зависит от х , то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель:
59.1.ДУ с разделяющимися переем-ми
N(x)R(y)dx+M(x)K(y)dy=0 (1)
Это ур-ие наз. Ур-ем с разделяющимися переменными. Метод его решения: разделив (1) на произведение M(x)K(y)
получим
N(x)/M(x)*dx+K(y)/R(y)*dy=0 (2)
Уравнение (2) наз. Ур-ем с разделенными переменными. Операция деления уравнения (1) на произведение М(х)R(y)
Наз. разделением переменных. Интегрируя (2), получим общий интеграл
∫(N(x)/M(x)*dx)+ ∫(K(y)/R(y)*dy)=0 исходного уравнения. При делении (1) на произведение М(х)R(y), можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения
М(х)R(y)=0
Определяя из этого уравнения решения y=ϕ(x), следует проверить, является ли оно решением уравнения (1). Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл.
Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.
Пример. Решить уравнение y(x+1)dx+(y-1)xdy=0.
Решение. Разделим уравнение на произведение xy, получим:
(x+1)/x*dx+(y+1)/y*dy=0;
dx+(dx/x)+dy+ (dy/y)=0
Интегрируя получим общий интеграл
x+ln|x|+y+ln|y|=c;
ln|xy|+x+y=c.
В этом уравнении М(х)R(y) имеет вид xy=0. Его решения x=0, y=0
является решениями исходного уравнения, но не входит в общий интеграл.
Следовательно, решения x=0, y=0 является особыми.
59.2.ДУ полных диф-лов
Рассмотрим диф. уравнение вида: (1). Если левая часть этого уравнения явл. полным дифференциалом некоторые ф-ции 2-х переменных U(x,y), т е M(x,y)dx+N(x,y)=du (2), то это уравнение называется уравнением в полных диф. Тогда ур-ние (1) принимает вид du(x,y)=0. Общим интегралом этого ур-ния будет равенство U(x,y)=C=const. Втесним условие, при кот ур-ние (1) явл. ур-нием в полных диф. Выражение для полного диф. ф-ции 2-х переменных имеем вид (3). Сравнивая (2) и (3), имеем: , . Дифференцируем первое из этих равенств по у , а второе – по х, имеем: , отсюда, предполагая непрерывность вторых произвольных, получаем (4) – условие, когда данное уравнение явл. уравнением полных диф.
60.1.ДУ вида dy/dx=f(ax+by+c)
Имеем ф-цию z=ax+by+c.(2)Продиф-м обе части по х:dz/dx=a+b*dy/dx.Подставляем dy/dx из исх-го ур-ия (1).Имеем dz/dy=a+bf(ax+by+c) или с учетом (2) имеем dz/dx=a+bf(z).Это ур-ие явл. ур-ем с разд-ся переменными.
dx=dz/(a+bf(z))
x=(∫dz//(a+bf(z)))+c-общее решение ДУ
60.2.Уравнения Бернулли
62. Уравнение Бернулли
Это ур-ние имеет вид: (7). Это ур-ние сводится к лин. уравнению (7а). Сделаем замену переменной: (8), . Подставляем это в (7а), получаем: - получение лин. уравнения, кот можно решать, например, методом вариации постоянной.
61.1.ДУ вида dy/dx=f(y/x)
Такое ур-ие приводится к ур-ию с разделяющимися переменными при помощи замены
u=y/x(1)
y=u*x(2)
y,=u,x+u(3)
Подст.(3) и (2) в (1), имеем u,x+u=f(u) (4)
du/dx*x=f(u)-u разделяем на dx получаем остаток x(f(u)-u)
du/( f(u)-u)=dx/x
Интегрируем обе части ∫( du/( f(u)-u))=lnIxI+c
61.2.Линейные ДУ 1-го порядка
Общий вид лин. уравнения 1-ого порядка (1) Если правая часть уравнения равна 0 =0, то соответственно уравнение называется линейным однородным уравнением. (2). Если же правая часть не равна 0, то уравнение назыв. неоднородным. Решим сначала неоднородное уравнение (2). В этом урав-ии переменные разделяются: = - р(х)у , = - р(х)dx. Интегрируем обе части, имеем: ,
ln =, y = C*e (3) – это общее решение однородного уравнения (2).

Приложенные файлы

  • docx 18205493
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий