SlaydyMatanaliz2semestr_bez_vydeleny_Rezhim_so


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Пɭɫɬь
ɟɫɬь
множɟɫɬɜа
;
множɟɫɬɜо
ɬочɟк
пɪоɫɬɪанɫɬɜа
элɟмɟнɬ
пɪоɫɬɪанɫɬɜа
ɬочка
),
множɟɫɬɜɭ
Дɫли
заɞано
коɬоɪомɭ
кажɞой
ɬочкɟ
множɟɫɬɜа
ɫɬаɜиɬɫя
ɫооɬɜɟɬɫɬɜиɟ
элɟмɟнɬ
множɟɫɬɜа
гоɜоɪяɬ
чɬо
ɮɭнкция
многих
пɟɪɟмɟнных
,...,
заɜиɫимая
пɟɪɟмɟнная
ɋлайɞ
Оɛлаɫɬью
опɪɟɞɟлɟния
ɮɭнкции
назыɜаɟɬɫя
множɟɫɬɜо
оɛлаɫɬью
значɟний
ɞля
коɬоɪых
ɟɫɬь
хоɬя
оɞна
ɬочка
ɬакая
чɬо
,...,
Пɪимɟɪ
3
2
1
(
0
,
0
,
0
,
0
3
2
1
(

ɋлайɞ
множɟɫɬɜо
ɬочɟк
плоɫкоɫɬи

-
заɜиɫимая
пɟɪɟмɟнная
-
пɟɪɟмɟнныɟ
ɬочɟк
кооɪɞинаɬами
ɋлайɞ
ɭɪоɜня
,
Пɭɫɬь
y

Множɟɫɬɜо
ɬочɟк
плоɫкоɫɬи
ɞля
коɬоɪых
значɟниɟ
ɮɭнкции
поɫɬоянно
ɪаɜно
заɞанномɭ
значɟнию
назыɜаɟɬɫя
:
ɋлайɞ
y
Ɋиɫɭɟм
линии
ɭɪоɜня
ɞля
ɪазличных
оɞной
плоɫкоɫɬи
-
заɞаɟɬ
ɭɪоɜня
-
заɞаɟɬ
линию
ɭɪоɜня
как
-
ɮɭнкция
чɟɪɟз
люɛɭю
ɬочкɭ
оɛлаɫɬи
опɪɟɞɟлɟния
ɮɭнкции
пɪохоɞиɬ
линия
ɭɪоɜня
ɬолько
оɞна
ɋлайɞ
Эɬо
плоɫкоɫɬь
пɪоɫɬɪанɫɬɜɟ
плоɫкоɫɬь
(
Линии
ɭɪоɜня
,
,
ɭɪоɜня

паɪаллɟльныɟ
пɪямыɟ
,
,
ɋлайɞ
Маɬɟмаɬичɟɫкий
fxy
()xy
ɋлайɞ
2
x
z
(
плоɫкоɫɬь
. Линии ɭɪоɜня
y
x
,
линии
ɭɪоɜня
окɪɭжноɫɬи
ɬочка
окɪɭжноɫɬь
ɪаɞиɭɫа
окɪɭжноɫɬь
ɪаɞиɭɫа
ɋлайɞ
fxy
()x
ɋлайɞ
2
x
z
2
y
x
z
(
:
-
кɪɭг
. .Линии
ɭɪоɜня

ɋлайɞ
10
fxy
()if1x
1
ɋлайɞ
11
fxy
()xy
ɋлайɞ
12
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ɋаɫɫмоɬɪим
плоɫкоɫɬи
0
0
y
поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬь
,...,
n
1
1
y
2
2
y
,...,
n
n
,.
Ƚоɜоɪим

ɟɫли
lim
n
n
M

n
Опɪɟɞɟлɟниɟ
Чиɫло
назыɜаɟɬɫя
пɪɟɞɟлом

0
0
n
n
.
M
ɋлайɞ
13
амɟчаниɟ
Очɟɜиɞно
ɪаɫɫмаɬɪиɜаюɬɫя
ɬакиɟ
коɬоɪых
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
люɛой
ɫколь
ɭгоɞно
окɪɟɫɬноɫɬи
ɬочки
ɫɭщɟɫɬɜоɜаɬь
ɬочка
коɬоɪой
опɪɟɞɟлɟна
ɮɭнкция
ɬочкɟ
ɮɭнкция
ɫɭщɟɫɬɜоɜаɬь
Опɪɟɞɟлɟниɟ
пɪɟɞɟла
ɮɭнкции
ɫохɪаняɟɬɫя
люɛого
нɟзаɜиɫимых
пɟɪɟмɟнных
кооɪɞинаɬ
ɬочки
ɋлайɞ
14
Окɪɟɫɬноɫɬь
ɬочки
0
0
y
плоɫкоɫɬи
ɬочки
ɜнɭɬɪи
окɪɭжноɫɬи
ɪаɞиɭɫа
цɟнɬɪом
или
множɟɫɬɜо
ɬочɟк
кооɪɞинаɬами
Окɪɟɫɬноɫɬь
ɬочки
0
0
0
,
z
y
пɪоɫɬɪанɫɬɜɟ
ɬочки
ɜнɭɬɪи
ɪаɞиɭɫа
цɟнɬɪом
множɟɫɬɜо
ɬочɟк
кооɪɞинаɬами
ɋлайɞ
15
Окɪɟɫɬноɫɬь
ɬочки
20
10
0
,
множɟɫɬɜо
ɬочɟк
ɋлайɞ
16
опɪɟɞɟлɟна
окɪɟɫɬноɫɬи
ɬочки
0
0
y
ɬочкɟ
0
0
y
ɟɫли

нɟпɪɟɪыɜноɫɬи
люɛого
нɟзаɜиɫимых
пɟɪɟмɟнных
кооɪɞинаɬ
ɋлайɞ
17
Пɭɫɬь
,
опɪɟɞɟлɟна
окɪɟɫɬноɫɬи
ɬочки
0
0
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɬочкɭ
0
Оɛозначим
0
0
0
,
y
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
пɪɟɞɟл
назыɜаɟɬɫя
чаɫɬной
пɪоизɜоɞной
ɮɭнкции
ɬочкɟ
0
0
пɟɪɟмɟнной
оɛозначаɟɬɫя
ɋлайɞ
18
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɬочки
0
0
y

y
Оɛозначим
0
0
0
,
y
чаɫɬная
пɪоизɜоɞная
ɮɭнкции

0
0
y
пɟɪɟмɟнной
Иɫпользɭюɬ
оɛозначɟния
f
x
ɋлайɞ
19
Пɪи
ɜычиɫлɟнии
ɛɟɪɟм
пɪоизɜоɞнɭю
ɫчиɬая
Пɪи
ɜычиɫлɟнии
ɛɟɪɟм
пɪоизɜоɞнɭю
ɫчиɬая
ɪаɜила
ɜычиɫлɟния
пɪоизɜоɞных
пɟɪɟноɫяɬɫя
чаɫɬныɟ
пɪоизɜоɞныɟ
ɋлайɞ
20
1.
2.
ɋлайɞ
21
Ⱦиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмоɫɬь
ɮɭнкции
Пɭɫɬь
опɪɟɞɟлɟна
окɪɟɫɬноɫɬи
ɬочки
0
0
y
Ɍочка
y
окɪɟɫɬноɫɬи
Ɋазноɫɬь
значɟний
пɪиɪащɟниɟ
ɮɭнкции
):
0
0
0
,
y
y
0
0
y
0
y
0
y
0
ɋлайɞ
22
Ⱦиɮɮɟɪɟнциал
пɪиɪащɟниɟ
пɪɟɞɫɬаɜиɬь
ɜиɞɟ

o
y
y
x
2
0
x
M
M
)
(
lim
ɮɭнкция
назыɜаɟɬɫя
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɬочкɟ
0
0
ɛɟɫконɟчно
ɜыɫокого
поɪяɞка
0
0
0
y
ɋлайɞ
23
Ⱦиɮɮɟɪɟнциал
ɋɭщɟɫɬɜоɜаниɟ
пɪоизɜоɞных
0
0
0
,
,
y
x
яɜляɟɬɫя
ɞоɫɬаɬочным
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмоɫɬи
ɭɫлоɜиɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмоɫɬи
ɮɭнкция
чаɫɬныɟ
окɪɟɫɬноɫɬи
ɬочки
0
0
нɟпɪɟɪыɜны
ɬочкɟ
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟма
эɬой
ɮɭнкция

0
0
эɬой
ɬочкɟ
ɋлайɞ
24
Маɬɟмаɬичɟɫкий
ɞиɮɮɟɪɟнциал
ɮɭнкции

Ƚлаɜная
линɟйная
чаɫɬь
пɪиɪащɟния
ɮɭнкции
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɬочкɟ
назыɜаɟɬɫя
полным
ɞиɮɮɟɪɟнциалом
ɮɭнкции
эɬой
ɬочкɟ
y
или
малых
пɪиɪащɟний

ɋлайɞ
25
каɫаɬɟльной
плоɫкоɫɬи
поɜɟɪхноɫɬь
заɞана
ɭɪаɜнɟниɟм
,
ɭɪаɜнɟниɟ
каɫаɬɟльной
плоɫкоɫɬи
эɬой
поɜɟɪхноɫɬи
0
0
,
(
,
)
(
,
0
0
0
0
0
0
y
y
z
x
Ⱦиɮɮɟɪɟнциал
ɮɭнкции
y
x
Ƚɟомɟɬɪичɟɫкий
ɫмыɫл
ɞиɮɮɟɪɟнциала
пɪиɪащɟниɟ
ɜɞоль
каɫаɬɟльной
плоɫкоɫɬи
ɋлайɞ
26
Фɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟма
ɬочкɟ
.
пɪямая
пɪохоɞящая
чɟɪɟз
0
0
y
,
ɬочка
пɪямой
ɜышɟ
напɪаɜлɟнию

M
l
2
x
-
пɪоизɜоɞная
напɪаɜлɟнию
0
0
y
y
0
ɋлайɞ
27

o
y
y
x
l
0
0
0
,
lim
l
o

cos
y
sin

ɋлайɞ
28

z
0

x

l
o
y
x
f
y
x
f
x
,
cos
,
lim
0
0
0
0

sin
,
cos
,
0
0
0
ɋлайɞ
29
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟма
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
пɪоизɜоɞная
напɪаɜлɟнию
коɬоɪая
ɛыɬь
cos
x
l

-
ɭгол
наклона

ɋлайɞ
30
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ƚɪаɞиɟнɬом
ɬочкɟ
0
0
y
назыɜаɟɬɫя
ɜɟкɬоɪ
кооɪɞинаɬы
коɬоɪого
ɪаɜны
чаɫɬным
пɪоизɜоɞным
эɬой
ɬочкɟ

,
(
x

0
0
ɋлайɞ
31
гɪаɞиɟнɬ
ɮɭнкции

ɬочкɟ
,
2
,
(
x
x
f

-
,
2
2
,
3
(


,
2
grad
ɋлайɞ
32
ɋɜойɫɬɜа
показыɜаɟɬ
напɪаɜлɟниɟ
коɬоɪомɭ
пɪоизɜоɞная
положиɬɟльна
ɮɭнкция
ɜозɪаɫɬаɟɬ
пɪоɬиɜоположном
гɪаɞиɟнɬɭ
ɮɭнкция
ɭɛыɜаɟɬ
пɪоизɜоɞная
оɬɪицаɬɟльна
макɫимальна
моɞɭлю
Ƚɪаɞиɟнɬ
пɟɪпɟнɞикɭляɪɟн
каɫаɬɟльной
ɭɪоɜня
rad
f(x,y)=
10
f(x,y)=
ɋлайɞ
33


пɟɪɜого
поɪяɞка
ɮɭнкции
f
xx
f
x
xy
f
yx
f
y
yy
xy
ɞля
коɬоɪых
нɟпɪɟɪыɜны
f
ɋлайɞ
34

xy
x
y
x
f
8
4
,
3
y
x
y
x
f
12
,
2
2
12
y
x
f
24
f
24
xy
f
x
f
2


7
4
2
4
ɋлайɞ
35
Пɭɫɬь
пɟɪɟмɟнныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкции
яɜляюɬɫя
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмыми
ɮɭнкциями
пɟɪɟмɟнных
u
,

v
,
Ɍогɞа
,
(
),
,
(
ɫложная
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмая
ɮɭнкция
v
y
u
y
ɋлайɞ
36
Маɬɟмаɬичɟɫкий

Пɪимɟɪ
u
2
x
v
y
x
y
y
x
x
v
u
y
v
z
)
ln(
2
1
ln
2
2
2
v
u
x
v
z
1
ln
y
x
ɋлайɞ
37

,
u
v
(
),
(
ɮɭнкция
пɟɪɟмɟнной

ɋлайɞ
38
ɮɭнкция
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɮɭнкцию
Заɜиɫимоɫɬь
можɟɬ
ɭɪаɜнɟниɟм
,
y
(*)
Пɭɫɬь
,
0
,
окɪɟɫɬноɫɬи

)
,
(
0
y
нɟкоɬоɪой
окɪɟɫɬноɫɬи
эɬой
ɬочки
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмая
ɮɭнкция
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющая
(*)
ɭɫлоɜию
ɋлайɞ
39
ɮɭнкция
чаɫɬнɭю
пɪоизɜоɞнɭю
как
пɪоизɜоɞнɭю
ɫложной
ɮɭнкции
пɪиɪаɜняɟм
ɜыполнɟно
(*)
y
x
x
0
y
x
x
x
ɋлайɞ
40

3
xy
x
F

ɋлайɞ
41
ɮɭнкция
Фɭнкция

ɬакжɟ
можɟɬ
ɛыɬь
нɟяɜно
,
,
(*)
Ɍɟоɪɟма
Пɭɫɬь
,
,
0
0
,
нɟпɪɟɪыɜны
окɪɟɫɬноɫɬи
ɬочки

)
,
,
(
0
0
Ɍогɞа
нɟкоɬоɪой
окɪɟɫɬноɫɬи
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмая
ɮɭнкция
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющая
(*),
x
F
z
,
y
F
z
ɋлайɞ
42
Маɬɟмаɬичɟɫкий
z
yz
xy
x
F
3
yz
F
x

1
3
yz
y
z
y
ɋлайɞ
43
Экɫɬɪɟмɭм
ɮɭнкциимногих
Экɫɬɪɟмɭм
макɫимɭм
минимɭм
Ƚлоɛальный
макɫимɭм
минимɭм
множɟɫɬɜɟ
наиɛольшɟɟ
наимɟньшɟɟ
значɟниɟ
ɮɭнкции
эɬом
множɟɫɬɜɟ
Локальный
экɫɬɪɟмɭм
Пɭɫɬь
ɮɭнкция
опɪɟɞɟлɟна
окɪɟɫɬноɫɬи
ɬочки
10
0
Ɍочка
назыɜаɟɬɫя
локального
макɫимɭма
минимɭма
ɟɫли
ɬочки
нɟкоɬоɪой
окɪɟɫɬноɫɬи
ɜыполнɟно
нɟɪаɜɟнɫɬɜо
ɋлайɞ
44
ɭɫлоɜиɟ
макɫимɭма
минимɭма
ɮɭнкции
ɞɜɭх
Нɟоɛхоɞимоɟ
ɭɫлоɜиɟ
локального
экɫɬɪɟмɭма
ɞля
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкции
ɞɜɭх
пɟɪɟмɟнных

ɪаɜɟнɫɬɜо
нɭлю
чаɫɬных
пɪоизɜоɞных
ɜыполнɟно
эɬо
ɭɫлоɜиɟ
назыɜаюɬɫя
ɫɬационаɪными
ɋлайɞ
45
ɭɫлоɜиɟ
макɫимɭма
минимɭма
ɮɭнкции
ɞɜɭх

Тɪаɜнɟниɟ
каɫаɬɟльной
плоɫкоɫɬи
(
,
)
(
,
0
0
0
0
0
0
y
y
z
x
ɫɬационаɪной
ɬочкɟ
0
x
плоɫкоɫɬь
ɬочкɟ
экɫɬɪɟмɭма
плоɫкоɫɬи
ɋлайɞ
46
ɭɫлоɜиɟ
экɫɬɪɟмɭма
ɮɭнкции
ɞɜɭх
имɟɟɬ
нɟпɪɟɪыɜныɟ
пɪоизɜоɞныɟ
Оɛозначим
yx
xy
xx
f
ɫɬационаɪной
ɬочкɟ
,
ɟɫли
1.
,
(
имɟɟɬ
минимɭм
2.
,
(
y
имɟɟɬ
3.
напɪаɜлɟниям
имɟɟɬ
минимɭм
ɞɪɭгим
макɫимɭм
ɫɟɞлоɜая
ɬочка
нɭжны
иɫɫлɟɞоɜания
ɋлайɞ
47
2
x
z
I.
z
Нɟоɛхоɞимыɟ
ɭɫлоɜия
экɫɬɪɟмɭма
0
x
z
2
0
2
y
0
0
y
ɫɬационаɪная
ɬочка
II.
Ⱦоɫɬаɬочныɟ
ɭɫлоɜия
экɫɬɪɟмɭма
yx
xy
xx
z
z
z
xy
yy
xx
z
z
,
0
0
2
2

минимɭм
ɋлайɞ
48
Маɬɟмаɬичɟɫкий
fxy
()x
ɋлайɞ
49
z
I.
Нɟоɛхоɞимыɟ
ɭɫлоɜия
экɫɬɪɟмɭма
0
x
ɬочка
II.
Ⱦоɫɬаɬочныɟ
ɭɫлоɜия
экɫɬɪɟмɭма
xy
yy
xx
xy
yy
xx
z
z
ɬочка
-
ɫɟɞлоɜая
ɋлайɞ
50

ɭɪоɜня
fxy
()xy
ɋɟɞлоɜая
ɬочка
ɋлайɞ
51
ɭɫлоɜиɟ
экɫɬɪɟмɭма
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкции
Пɭɫɬь

x
x
Нɟоɛхоɞимоɟ
ɭɫлоɜиɟ
экɫɬɪɟмɭма
x
x
grad
ɋлайɞ
52
ɭɫлоɜиɟ
экɫɬɪɟмɭма
Пɭɫɬь
ɮɭнкция
имɟɟɬ
нɟпɪɟɪыɜныɟ
ɜɬоɪыɟ
пɪоизɜоɞныɟ
ɋоɫɬаɜим
маɬɪицɭ
n
n
n
n
f
f
f
f
f
1
1
22
21
1
12
11
i
x
ij
Ɍогɞа
ɟɫли
ɫɬационаɪной
,
ɜɫɟ
глаɜныɟ
маɬɪицы
положиɬɟльны
минимɭм
глаɜных
чɟɪɟɞɭюɬɫя
эɬо
ɋлайɞ
53
Огɪаничɟнноɫɬь
замкнɭɬоɫɬь
множɟɫɬɜа
назыɜаɟɬɫя
ɜнɭɬɪɟннɟй
ɟɫли
ɫɜоɟй
гɪаницɟ
ɟɫли
люɛой
ɟɫɬь
пɪинаɞлɟжащиɟ
ɬак
ɬочки
пɪинаɞлɟжащиɟ
замкнɭɬо
ɟɫли
ɫоɞɟɪжиɬ
ɬочки
ɫɜоɟй
гɪаницы
огɪаничɟнным
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
окɪɭжноɫɬь
),
ɜнɭɬɪи
коɬоɪой
нахоɞиɬɫя
ɋлайɞ
54
Маɬɟмаɬичɟɫкий
замкнɭɬоɫɬь
Оɛлаɫɬь
:
замкнɭɬая
огɪаничɟнная
оɛлаɫɬи
замкнɭɬая
ɋлайɞ
55
ɋɜойɫɬɜа
ɮɭнкций
огɪаничɟнных
замкнɭɬых
множɟɫɬɜах
Дɫли
ɮɭнкция
опɪɟɞɟлɟна
нɟпɪɟɪыɜна
замкнɭɬом
огɪаничɟнном
множɟɫɬɜɟ
она
эɬом
множɟɫɬɜɟ
ɫɭщɟɫɬɜɭюɬ
ɬочка
коɬоɪой
ɮɭнкция
пɪинимаɟɬ
наиɛольшɟɟ
значɟниɟ
глоɛальный
max),
ɬочка
коɬоɪой
ɮɭнкция
пɪинимаɟɬ
наимɟньшɟɟ
значɟниɟ
глоɛальный
min),
ɋлайɞ
56
Ƚлоɛальныɟ
макɫимɭмы
минимɭмы
замкнɭɬой
огɪаничɟнной
оɛлаɫɬи
оɬыɫкания
глоɛального
экɫɬɪɟмɭма
найɬи
локальныɟ
экɫɬɪɟмɭмы
ɜнɭɬɪи
гɪаницɟ
Наиɛольшɟɟ
наимɟньшɟɟ
них
яɜляɟɬɫя
глоɛальным
макɫимɭмом
минимɭмом
Заɞача
Найɬи
экɫɬɪɟмɭм
ɮɭнкции
пɪи
огɪаничɟнии
экɫɬɪɟмɭмоɜ
Нɭжно
экɫɬɪɟмɭмы
гɪаницɟ
ɋлайɞ
57
Ƚлоɛальныɟ
макɫимɭмы
минимɭмы
замкнɭɬой
огɪаничɟнной
оɛлаɫɬи
Заɞача
Найɬи
экɫɬɪɟмɭм
ɮɭнкции

ɭɫлоɜии
ɋлайɞ
58
Экɫɬɪɟмɭм
ɮɭнкции
многих
огɪаничɟниях
пɪɟɞпɪияɬия
1 . . .
Инɜɟɫɬиции
. . .
1
. . .
Заɞача
...
)
,...,
,
(
1
2
1
n
n
Огɪаничɟния
-
огɪаничɟниɟ
наличным
ɞɟньгам
ɋлайɞ
59
Имɟɟм
ɮɭнкцию
многих
пɟɪɟмɟнных
,...,
пɭɫɬь
ɟɫɬь
значɟния
нɟзаɜиɫимых
пɟɪɟмɟнных
ɬочɟк
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющих
огɪаничɟниям
множɟɫɬɜом
ɞопɭɫɬимых
значɟний
или
Заɞачи
нахожɞɟния
экɫɬɪɟмɭма
множɟɫɬɜɟ
назыɜаюɬɫя
заɞачами
маɬɟмаɬичɟɫкого
пɪогɪаммиɪоɜания
ɋлайɞ
60
Маɬɟмаɬичɟɫкий
,...,
n
m
n
n
k
n
k
n
n
x
x
u
c
x
x
u
c
x
x
u
b
x
x
g
b
x
x
g
b
множɟɫɬɜо
ɞопɭɫɬимых
значɟний
ɋлайɞ
61
огɪаничɟния
пɪогɪаммиɪоɜания
,...,

x
x
g
b
ɋлайɞ
62
ɞополниɬɟльныɟ
пɟɪɟмɟнныɟ
оɞномɭ
огɪаничɟниɟ
ɮɭнкцию

1
1
1
1
,...,
,...,
,
,...,
,
множиɬɟли
Лагɪанжа
ɋлайɞ
63
ɭɫлоɜного
экɫɬɪɟмɭма
ɮɭнкции
яɜляɟɬɫя
ɫɬационаɪной
ɬочкой
ɮɭнкции
нɟкоɬоɪых
значɟниях
ɟɫли
имɟюɬ
нɟпɪɟɪыɜныɟ
пɪоизɜоɞныɟ
ɬочкɟ
ɛыɬь
линɟйно
нɟзаɜиɫимы
ɋлайɞ
64
ɋɬационаɪныɟ
ɬочки
,
нахоɞим
иɫпользɭя
нɟоɛхоɞимоɟ
ɭɫлоɜиɟ
ɋлайɞ
65
Ƚлоɛальныɟ
макɫимɭмы
минимɭмы
замкнɭɬой
огɪаничɟнной
оɛлаɫɬи
Заɞача
2.
экɫɬɪɟмɭм
ɭɫлоɜии
1.
Поɞɫɬаɜили
заɞачɟ
экɫɬɪɟмɭм
ɮɭнкций
оɞной
2:
ɋоɫɬаɜим
Лагɪанжа
ɋлайɞ
66
Маɬɟмаɬичɟɫкий
макɫимɭмы
минимɭмы
замкнɭɬой
оɛлаɫɬи
Нɟоɛхоɞимыɟ
ɭɫлоɜия
экɫɬɪɟмɭма
0
)
1
(
0
2
0
2
2
x
y
x
1
2
2
2
x
y
x
ɞɜɭх
ɭɪаɜнɟний
иɫключаɟм
полɭчим
1
2
x
y
ɋлайɞ
67
Ƚлоɛальныɟ
макɫимɭмы
минимɭмы
замкнɭɬой
огɪаничɟнной
оɛлаɫɬи
ɋɬационаɪныɟ
ɬочки
, B
2
/
1
,
2
/
1
(
2
/
1
,
2
/
1
(
2
/
1
,
2
/
1
(
Тɫлоɜиɟ
x
y
x
g
)
2
,
2
(
ɫɬац
ɭɫлоɜиɟ
нɟзаɜиɫимоɫɬи
оɞного
ɜɟкɬоɪа
ɋлайɞ
68
макɫимɭмы
минимɭмы
замкнɭɬой
оɛлаɫɬи
ɋлайɞ
69
1
z
1
z
ɋɪаɜниɜая
полɭчɟнныɟ
значɟния
полɭчим
экɫɬɪɟмɭм
ɫлɭчаɟ

огɪаничɟниɟ




Фɭнкция
:
ɋлайɞ
70
Тɫлоɜный
экɫɬɪɟмɭм
ɫлɭчаɟ
оɞного
огɪаничɟния


Нɟоɛхоɞимоɟ
ɭɫлоɜиɟ
x
0
)
(
0
0
1
g
g
f
n
x
x
x
n
x
x
x
f
g
f
1

.
экɫɬɪɟмɭма

коллинɟаɪны
паɪаллɟльны
ɋлайɞ
71
ɭɫлоɜиɟ
ɫлɭчаɟ


ɋоɫɬаɜим
маɬɪицɭ
n
x
n
x
x
x
L
g
L
L
g
,
ɫɬационаɪной
ɬочкɟ
знаки
глаɜных
миноɪоɜ
чɟɪɟɞɭюɬɫя
эɬо
оɞинакоɜыɟ
( - )
Вɫɟгɞа
ɋмоɬɪим
ɋлайɞ
72
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Иɫпользоɜаниɟ
ɮɭнкций
Пɪоизɜоɞɫɬɜɟнныɟ
ɮɭнкции
количɟɫɬɜо
ɜыпɭɫкаɟмой
пɪоɞɭкции
ɜɟкɬоɪ
иɫпользɭɟмых
ɪɟɫɭɪɫоɜ
-
пɪɟɞɟльная
пɪоизɜоɞиɬɟльноɫɬь

мгноɜɟнная
ɫкоɪоɫɬь
ɪоɫɬа
ɜыпɭɫка
пɪоɞɭкции
пɪи
измɟнɟнии
ɪɟɫɭɪɫа
.
-
ɜɟкɬоɪ
пɪɟɞɟльных
пɪоизɜоɞиɬɟльноɫɬɟй
ɋлайɞ
73
Изокɜанɬы
Пɪоизɜоɞɫɬɜɟнная
ɮɭнкция
ɞɜɭх
пɟɪɟмɟнных
ɭɪоɜня
пɪоизɜоɞɫɬɜɟнной
ɮɭнкции
ɭɪоɜня
пɪоизɜоɞɫɬɜɟнной
ɮɭнкции
поɫɬоянного
ɜыпɭɫка
назыɜаюɬɫя
изокɜанɬами
ɋлайɞ
74
Фɭнкция
Ⱦɭглаɫа
Изокɜанɬы
C1C2C3
Изокɜанɬы
ɭɛыɜающиɟ
ɜыпɭклыɟ
ɋлайɞ
75
Фɭнкция
Лɟонɬьɟɜа
Изокɜанɬы
Измɟнɟниɟ
оɞного
ɪɟɫɭɪɫоɜ
ɫохɪанɟнии
количɟɫɬɜа
ɞɪɭгого
ɪɟɫɭɪɫа
пɪиɜоɞиɬ
измɟнɟнию
ɜыпɭɫка
пɪоɞɭкции
ɋлайɞ
76
Изокɜанɬы
.
Фɭнкция
CES
(constant elasticity of substitution)
пɟɪɟхоɞиɬ
ɮɭнкцию
Коɛɛа
Ⱦɭглаɫа
пɟɪɟхоɞиɬ
ɮɭнкцию
Лɟонɬьɟɜа
Заɜиɫимоɫɬь
ɜалоɜого
пɪоɞɭкɬа
ɋɋɋɊ
оɛъɟма
оɫноɜных
количɟɫɬɜа
иɫпользɭɟмого
ɬɪɭɞа
пɟɪиоɞ
1960 1985
хоɪошо
опиɫыɜалаɫь
ɮɭнкциɟй
CES
пɪи
u
ɋлайɞ
77
пɪоизɜоɞɫɬɜа
C
,...,
,
(
1
n
X
X
-
ɜɟкɬоɪ
ɪɟɫɭɪɫоɜ
изɞɟɪжɟк
(
C
,...,
,
(
1
n
w
w
-
ɜɟкɬоɪ
ɪɟɫɭɪɫоɜ
ɋлайɞ
78
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Изокоɫɬы
ɮɭнкции
ɞɜɭх
пɟɪɟмɟнных
,
0
1
Линии
ɭɪоɜня

изокоɫɬы
пɪямыɟ
ɋлайɞ
79
Заɞача
опɬимизации
макɫимальный
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
ɮиɪмы
Y

огɪаничɟнном
оɛъɟмɟ
изɞɟɪжɟк
найɬи
огɪаничɟниях
X
ɋлайɞ
80
Заɞача
опɬимизации
II
Пɭɫɬь
пɪоизɜоɞɫɬɜɟнная
ɮɭнкция
ɮиɪмы
Минимизиɪоɜаɬь
изɞɟɪжки
пɪи
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
мɟньшɟм
значɟния

найɬи
пɪи
огɪаничɟниях
ɋлайɞ
81
Мɭльɬипликаɬиɜная
ɮɭнкция
Ⱦɭглаɫа
).
ɋɜойɫɬɜа
1
2
1
,
(
X
AX
X
X
F
Y
0
,
1
0

AK
L
K
F
Y
)
,
(
капиɬала
ɬɪɭɞоɜыɟ
ɪɟɫɭɪɫы
1
1
AX
F
2
1
X
AX
F
ɋлайɞ
82
Фɭнкция
Ⱦɭглаɫа
ɋɜойɫɬɜа
1
1
AX
F
2
1
,
Пɪоизɜоɞныɟ
ɜɬоɪого
x
2
1
1
(
)
(
2
2
2
X
AX
F
F
x
x
x
2
x
2
1
1
1
2
1
(
,
ɋлайɞ
83
Заɞача
опɬимизациии
ɮɭнкции
ɮɭнкции
огɪаничɟниях



ɋлайɞ
84
2
2
1
1
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Коɛɛа
Ⱦɭглаɫа
локального
экɫɬɪɟмɭма
гɪаницах

-
гɪаницы
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɟм
Выɜоɞ
: -
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
макɫималɟн
гɪаницɟ
Заɞача
Ɋɟшɟниɟ
-
ɫпɪоɫ
ɪɟɫɭɪɫы
-
макɫимально
ɜозможный
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
пɪɟɞложɟниɟ
ɮиɪмы
ɋлайɞ
85
Ɋɟшɟниɟ
ɋоɫɬаɜим
ɮɭнкцию
Лагɪанжа
ɋɬационаɪная
ɬочка
ɮɭнкции
Лагɪанжа
ɞля
Коɛɛа
Ⱦɭглаɫа
ɬочка
макɫимɭма
21
12
11
1
2
1

L
L
g
L
L
g
g
g
L
x
x
x
Ƚлаɜныɟ
миноɪы
глаɜных
миноɪоɜ
чɟɪɟɞɭюɬɫя
ɞоɫɬаɬочноɟ
ɭɫлоɜиɟ
макɫимɭма
ɋлайɞ
86
Заɞача
Пɪоизɜоɞɫɬɜɟнная
ɮɭнкция
ɮиɪмы
2
4
Цɟны
ɪɟɫɭɪɫоɜ
Найɬи
наиɛольший
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
изɞɟɪжках
Маɬɟмаɬичɟɫкая
ɮоɪмɭлиɪоɜка
найɬи
ɭɫлоɜии

ɋлайɞ
87
Ɋɟшɟниɟ
X
X
*
10
*
1
*,
(
*
1
-
макɫимальный
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
изɞɟɪжках
ɋлайɞ
88
2
2
1
1
Заɞача
опɬимизации
ɞля
ɮɭнкции
Коɛɛа
Ⱦɭглаɫа
Ƚɪаɮичɟɫкая
инɬɟɪпɪɟɬация
1
1
w
F
X
)
,
(
1
2
2
1
1
макɫимɭм
ɞɪɭгих
ɬочɟк
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
мɟньшɟ
ɋлайɞ
89
Заɞача
опɬимизации
II

ɋлайɞ
90
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ɋɟшɟниɟ
ɋоɫɬаɜим
ɮɭнкцию
Лагɪанжа
ɋɬационаɪная
ɬочка
ɮɭнкции
Лагɪанжа
Коɛɛа
Ⱦɭглаɫа

ɬочка
минимɭма
21
12
11
1
2
1

L
L
g
L
L
g
g
g
L
x
x
x
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
F
/
множиɬɟль
Лагɪанжа
Ƚлаɜныɟ
миноɪы
оɬɪицаɬɟльныɟ

ɞоɫɬаɬочноɟ
ɭɫлоɜиɟ
минимɭма
ɋлайɞ
91
Заɞача
Пɪоизɜоɞɫɬɜɟнная
ɮɭнкция
ɮиɪмы
2
4
Цɟны
ɪɟɫɭɪɫоɜ
полɭчила
пɪоɞɭкции
Найɬи
минимальныɟ
изɞɟɪжки
ɫпɪоɫ
ɪɟɫɭɪɫы
ɟшɟниɟ
найɬи
пɪи
огɪаничɟнии
2
4
ɋлайɞ
92
Ɋɟшɟниɟ
Минимальныɟ
изɞɟɪжки
ɪаɜны
1
ɋлайɞ
93
Y
2
1
1
2
1
,
(
Y
ɬочкɟ
экɫɬɪɟмɭма
Y
Эɬо
минимɭм
ɞɪɭгих
ɬочɟк
огɪаничɟния
значɟниɟ
ɛольшɟ
1
1
w
F
Заɞача
II
ɞля
ɮɭнкции
Коɛɛа
Ⱦɭглаɫа
Ƚɪаɮичɟɫкая
инɬɟɪпɪɟɬация
ɋлайɞ
94
Ⱦля
ɮɭнкций
Коɛɛа
Ⱦɭглаɫа
Экономичɟɫкоɟ
ɫлɟɞɫɬɜиɟ
ɬочкɟ
макɫимɭма
пɪоɞɭкции
ɬочкɟ
минимɭма
изɞɟɪжɟк
оɬношɟниɟ
пɪɟɞɟльных
пɪоизɜоɞиɬɟльноɫɬɟй
оɬношɟнию
цɟн
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющих
ɪɟɫɭɪɫоɜ
ɋлайɞ
95
Элаɫɬичноɫɬь
ɮɭнкции
Ⱦɭглаɫа
L
AK
L
K
F
,
(
K
YK
Y
Y
Y
K
K
K
K
L
AK
коэɮɮициɟнɬ
элаɫɬичноɫɬи
капиɬалɭ
Аналогично
Y
Y
L
Y
L

коэɮɮициɟнɬ
элаɫɬичноɫɬи
ɬɪɭɞɭ
ɋлайɞ
96
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Элаɫɬичноɫɬь
Элаɫɬичноɫɬь
:
,
показыɜаɟɬ
пɪоцɟнɬоɜ
измɟниɬɫя
ɜыпɭɫк
пɪоɞɭкции
пɪи
измɟнɟнии
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟго
ɪɟɫɭɪɫа
.
ɭɜɟличɟнии
капиɬала
ɜыпɭɫк
ɭɜɟличɟнии
ɬɪɭɞоɜых
ɜыпɭɫк
ɭɜɟличиɬɫя
ɋлайɞ
97
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
(
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɮɭнкцию
оɞной
Оɛɪаɬная
заɞача
Эɬо
ɞиɮɮɟɪɟнциɪоɜаниɟ
пɪоизɜоɞнɭю
пɪоизɜоɞная
пɪоизɜоɞная
коɬоɪой
Эɬа
оɛɪаɬная
инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɮɭнкцию
Заɞача
ɋлайɞ
98
Пɟɪɜооɛɪазная
ɮɭнкции
Опɪɟɞɟлɟниɟ
заɞананапɪомɟжɭɬкɟ
эɬом
пɪомɟжɭɬкɟ
пɪоизɜоɞная
ɮɭнкции
назыɜаɟɬɫя
пɟɪɜооɛɪазной
ɮɭнкциɟй
пɪомɟжɭɬкɟ
Пɭɫɬьɮɭнкция
ɋлайɞ
99
пɟɪɜооɛɪазных
2
,
x
F
6
x
x
G
,
X
sin
ɋлайɞ
100



Пɭɫɬь
пɪомɟжɭɬкɟ
пɟɪɜооɛɪазная
Ɍогɞа
ɮɭнкция
пɪоизɜольная
конɫɬанɬа
Тɬɜɟɪжɞɟния
ɬожɟ
пɟɪɜооɛɪазная
гɞɟ
ɋлайɞ
101
C
0
)
(
C
Дɫли
пɟɪɜооɛɪазныɟ
оɞной
ɮɭнкции
Выɜоɞ
оɛщий
ɜɫɟх
пɟɪɜооɛɪазных
ɋлайɞ
102
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Нɟопɪɟɞɟлɟнный
инɬɟгɪал
C
dx
Множɟɫɬɜо
ɜɫɟх
пɟɪɜооɛɪазных
ɮɭнкции
пɪомɟжɭɬкɟ
назыɜаɟɬɫя
нɟопɪɟɞɟлɟнным
инɬɟгɪалом
оɛозначаɟɬɫя
поɞынɬɟгɪальная
ɮɭнкция
поɞынɬɟгɪальноɟ
ɋлайɞ
103

-
пɟɪɜооɛɪазная
нɟопɪɟɞɟлɟнный
инɬɟгɪал
ɋлайɞ
104
ɋɬанɞаɪɬныɟ
инɬɟгɪалы
a
x
dx
x
a
a
a
a
a
x
a
a
x
ɋлайɞ
105
ɋɬанɞаɪɬныɟ
инɬɟгɪалы
x
dx
|
ln
1
1
|
|
n
l
e
dx
e
x
e
a
a
dx
a
x
a
a
ɋлайɞ
106
sin
x
sin
cos
cos
x
cos
sin
x
dx
cos
1
1
tg
x
ctg
dx
1
ɋлайɞ
107
x
dx
1
1
1
arctg
x
dx
1
1
1
arcsin
ɋлайɞ
108
Маɬɟмаɬичɟɫкий
ɋɜойɫɬɜа
инɬɟгɪалоɜ




ɋлайɞ
109
dx

dx
(

(
)
(
dx
dx
(

dx

Ⱦок
ɋлайɞ
110
e
x
x
4
cos
3
(
e
xdx
dx
x
cos
3
2
1
3
sin
3
3
C
e
C
x
C
x
ɋлайɞ
111
Мɟɬоɞ
(
(
)
(
(
(
(
),
(
),
(
Тɬɜɟɪжɞɟниɟ
изɜɟɫɬно
Фɭнкции
пɪɟɞполагаюɬɫя
ɬогɞа
ɋлайɞ
112
)
(
))
(
(
))
(
(
x
x
F
x
F
(
))
(
(

Ⱦок
ɞиɮɮɟɪɟнциɪоɜания
ɫложной
ɮɭнкции
ɋлайɞ
113
Почɟмɭ
Можно
ɜɜоɞиɬь
ноɜɭю
пɟɪɟмɟннɭю
ɋлайɞ
114
Маɬɟмаɬичɟɫкий
x
x
cos
sin
(
dx
t
, ,
ɋлайɞ
115
Вɜɟɞɟниɟ
поɞ
ɞиɮɮɟɪɟнциала

))
(
(
x
x
cos
sin
dx
cos
d
x
sin
sin
ɋлайɞ
116
x
10
(
t
dt
t
11
10
x
11
)
10
(
dt
dx
t
dt
10
x
10
(
10
(
)
10
(
d
x
ɋлайɞ
117
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
чаɫɬям
(
(
)
(
(
)
(
Пɭɫɬь
ɮɭнкции
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмыɟ
имɟɟɬ
пɟɪɜооɛɪазнɭю
ɬогɞа
ɬожɟ
имɟɟɬ
пɟɪɜооɛɪазнɭю
опɭɫкаɟм
ɋлайɞ
118
Ⱦок
поɫлɟɞнɟго
ɪаɜɟнɫɬɜа
ɫлɟɞɭɟɬ
v
u
vdx
u
dx
uv
uv
dx
uv
опɪɟɞɟлɟнию
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
ɋлайɞ
119
u
uv
dx
v
u
dv
dx
v
dx
u
uv
udv
Ɍак
как
ɋлайɞ
120
Маɬɟмаɬичɟɫкий
vdu
uv
udv
x
f
x
P
(
)
(
x
f
cos
sin
Инɬɟгɪалы
многочлɟн
ɬогɞа

ɋлайɞ
121
x
v
dx
x
dv
dx
du
dx
x
x
sin
cos
cos
sin
uv
udv
cos
(
sin
ɋлайɞ
122
vdu
uv
udv
x
f
x
P
(
)
(
arccos
kx
d
Инɬɟгɪалы

2. -
многочлɟн
ɋлайɞ
123
4
1
ln
ln
3
3
v
dx
x
dv
dx
x
du
x
u
dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
ln
4
1
4
1
ln
4
4
4
4
ɋлайɞ
124
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɪациональных
ɮɭнкций
Q
n
многочлɟн
ɫɬɟпɟни
многочлɟн
ɫɬɟпɟни
пɪаɜильная
нɟпɪаɜильная
ɋлайɞ
125
2
2
2
m
n
,
2
m
n
ɋлайɞ
126
Маɬɟмаɬичɟɫкий
3
,
2
,
k
a
x
2
px
x
B
1.
2.
ɋлайɞ
127
,...
3
,
2
,
2
q
px
x
B
ɋлайɞ
128
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɞɪоɛɟй
5
ln
3
t
3
3
dx
dt
ɋлайɞ
129
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɞɪоɛɟй
t
dx
dt
1
t
1
3
3
5
x
x
dx
3
5
1
5
ɋлайɞ
130
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɞɪоɛɟй
t
A
t
dt
A
dx
dt
a
x
Adx
ln
a
ɋлайɞ
131
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɞɪоɛɟй
a
x
A
a
x
k
t
1
a
x
dt
t
A
dx
dt
a

a
x
k
ɋлайɞ
132
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɞɪоɛɟй
III
)
1
2
(
1.
x
t
1
ln(
ln
xdx
dt
x
t
x
xdx
2
1
1
2
2
1
2
2
ɋлайɞ
133
arctgx
arctgx
x
ɋлайɞ
134
)
1
(
)
1
1
(
2
2
2
2
2
dx
x
)
(
)
1
(
2
,
1
dt
t
dx
dt
C
t
arctg
t
2
)
1
ln(
x
arctg
x
x
)
1
(
2
)
2
2
ln(
2
1
2
2
ɋлайɞ
135
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɞɪоɛɟй
Ɍɟоɪɟма
Люɛаяпɪаɜильнаяɞɪоɛьяɜляɟɬɫя
ɫɭммой
пɪоɫɬыхɞɪоɛɟй
Пɪиэɬомзнамɟнаɬɟлипɪоɫɬыхɞɪоɛɟй
ɜхоɞящихɜɫɭммɭ
яɜляюɬɫяɞɟлиɬɟлями
знамɟнаɬɟляиɫхоɞнойпɪаɜильнойɞɪоɛи
ɋлайɞ
136
Ɋазложɟниɟ
3
(
3
)
2
(
2
)
3
)(
2
(
5
x
x
x
x
)
3
(
)
2
(
2
2
x
x
3
(
)
2
(
)
2
(
x
B
x
ɋлайɞ
137
)
2
)(
3
(
1
3
2
x
x
2
(
)
3
(
x
B
ɋлайɞ
138
Маɬɟмаɬичɟɫкий
x
x
)
3
)(
2
(
5
3
ln
3
2
ln
2
x
dx
x
)
3
(
3
)
2
(
2
3
(
3
)
2
(
2
)
3
)(
2
(
5
x
x
x
x
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɞɪоɛɟй
ɋлайɞ
139
Ɋазложɟниɟ
пɪоɫɬыɟ
ɞɪоɛи
Иɫпользоɜаниɟ
нɟопɪɟɞɟлɟнных
коэɮɮициɟнɬоɜ
)
(
2
x
dx
I
)(
(
1
)
(
1
2
x
a
x
a
x
(
)
(
)
)(
(
1
a
x
B
a
x
ɋлайɞ
140
)(
(
)
(
)
(
)
)(
(
1
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
)
(
1
(
1
:
,
0
:
1
A
a
x
B
A
x
Опɪɟɞɟлɟниɟкоэɮɮициɟнɬоɜ
ɋлайɞ
141
(
2
)
(
2
)
)(
(
1
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
a
2
a
C
a
x
a
a
x
a
ln
2
ln
2
ln
2
ɋлайɞ
142
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
ɪациональных
ɮɭнкций
Q
Пɪоɜɟɪяɟм
нɟɬ
цɟлɭю
многочлɟн
Дɫли
нɟɬ
ɜыɞɟляɟм
Пɪоɜɟɪяɟм
яɜляɟɬɫя
пɪоɫɬой
Ɋаɫклаɞыɜаɟм
знамɟнаɬɟль
множиɬɟли
Ɋаɫклаɞыɜаɟм
пɪаɜильнɭю
пɪоɫɬыɟ
ɋлайɞ
143
инɬɟгɪалы
полɭчиɜшихɫя
ɫлагаɟмых
многочлɟна
пɪоɫɬɟйших
ɞɪоɛɟй
ɫклаɞыɜаɟм
dx
Пɪимɟɪ
2
2
2
2
2
2
x
x
ɋлайɞ
144
Маɬɟмаɬичɟɫкий
2
1
2
2
2
2
)(
1
(
2
2
2
x
x
1
)
2
)(
1
(
2
x
B
x
x
,
ɋлайɞ
145
1
(
)
2
(
2
/
1
3
1
:
1
/
4
)
3
(
4
:
2
B
I
2
3
/
4
1
3
/
1
1
,
ɋлайɞ
146
Нɟɛɟɪɭщиɟɫя
инɬɟгɪалы
x
инɬɟгɪалПɭаɫɫона
ɋлайɞ
147
Опɪɟɞɟлɟнный
инɬɟгɪал
Ɋаɫɫмоɬɪим
кɪиɜолинɟйнɭю
)
(
Лɟйɛниц
(XVII):
площаɞь
кɪиɜолинɟйной
ɫɭмма
площаɞɟй
очɟнь
ɭзких
(
ɛɟɫконɟчно
малой
пɪямоɭгольникоɜ

оɬɪɟзкɟ
ɋлайɞ
148
i
i
...
2
1
0
i
i
i
i
1
i
ɜыɞɟлɟнного
пɪямоɭгольника
ɋɭмма
площаɞɟй
пɪямоɭгольникоɜɪаɜна
Площаɞь
ɋлайɞ
149
(
,
[
b
a
i
i
n
i
i
i
n
c
f
S
(
i
i
i
Опɪɟɞɟлɟниɟ
опɪɟɞɟлɟна
Ɋазоɛьɟм
оɬɪɟзок
пɪомɟжɭɬки
ɋоɫɬаɜим
инɬɟгɪальнɭю
ɫɭммɭ
Пɭɫɬь
,
1
Пɭɫɬь
пɪɟɞɟл
ɫɬɪɟмлɟнии
нɭлю
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
конɟчɟн
ɬочɟк
ɋлайɞ
150
Маɬɟмаɬичɟɫкий
(
]
,
[
b
a
Ɍогɞа
эɬоɬ
пɪɟɞɟл
назыɜаɟɬɫя
опɪɟɞɟлɟнным
инɬɟгɪалом
ɮɭнкции
оɛозначаɟɬɫя

baФɭнкция назыɜаɟɬɫя
инɬɟгɪиɪɭɟмой
ɋлайɞ
151
a
x
f
S
)
(
площаɞь
кɪиɜолинɟйнойɬɪапɟции
Ƚɟомɟɬɪичɟɫкий
ɋлайɞ
152
a
x
f
S
)
(
ɋлайɞ
153
ɋлайɞ
154
(
Ɍɟоɪɟма
Дɫли
оɬɪɟзкɟ
инɬɟгɪиɪɭɟма
эɬом
оɬɪɟзкɟ
f
,
0
,
1
нɟинɬɟгɪиɪɭɟмой
ɮɭнкции
оɬɪɟзкɟ
ɜыɛоɪа
ɋлайɞ
155
ɋɜойɫɬɜа
опɪɟɞɟлɟнного
инɬɟгɪала


Опɪɟɞɟлɟниɟ
Дɫли
ɋɜойɫɬɜа
2.
ɋлайɞ
156
Маɬɟмаɬичɟɫкий



3.
4.



Дɫли
Дɫли
ɋлайɞ
157
(
a
,
b
a
c

Ɍɟоɪɟма
ɫɪɟɞнɟм
Дɫли
оɬɪɟзкɟ
ɋлайɞ
158
Ƚɟомɟɬɪичɟɫкий
ɬɟоɪɟмы
ɫɪɟɞнɟм

ɋлайɞ
159
Инɬɟгɪал
пɟɪɟмɟнным
ɜɟɪхним
пɪɟɞɟлом

Площаɞь
поɞ
кɪиɜой
мɟжɞɭ
положɟния
ɬочки
,
яɜляɟɬɫя
ɮɭнкциɟй
заɜиɫиɬ
ɋлайɞ
160

t
f
x
a
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɮɭнкцию
,
инɬɟгɪал
ɜɟɪхним
пɪɟɞɟлом
[
(
(
)
(
Пɭɫɬь
Ɍогɞа
ɮɭнкция
имɟɟɬ
пɪоизɜоɞнɭю
ɋлайɞ
161
f
0
(
)
(


t
f
dt
t
f
t
f
Ⱦок
Ⱦолжны
Вычиɫлим

ɬɟоɪɟмɟ
ɫɪɟɞнɟм
ɋлайɞ
162
Маɬɟмаɬичɟɫкий
)
(
,
[
(
lim
lim
0
0
(
)
(
lim
(
(
пɟɪɜооɛɪазная
ɋлайɞ
163
Фоɪмɭла
Ньюɬона
a
Пɭɫɬь
-
пɟɪɜооɛɪазная
Ɍогɞа

ɋлайɞ
164

t
f
x



пɟɪɜооɛɪазная

Ⱦок
ɋлайɞ
165

Ⱦок
a


Пɭɫɬь
люɛая
пɟɪɜооɛɪазная
Ɍогɞа

ɋлайɞ
166
опɪɟɞɟлɟнном
инɬɟгɪалɟ

a
имɟɟɬ
нɟпɪɟɪыɜнɭю
пɪоизɜоɞнɭю
ɋлайɞ
167
2
sin
xdx
x
1
)
2
/
(
,
0
)
0
(
cos
,
sin
t
t
dt
ɋлайɞ
168
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
чаɫɬям
a
b
a
b
a
v
uv
dv
u
v
dx
dv
dx
x
du
x
u
xdx
ln
ln
e
dx
x
x
x
1
e
e
1
ln
ln
)
1
(
e
e
ɋлайɞ
169
Нɟɫоɛɫɬɜɟнный
инɬɟгɪал
ɪоɞа
,
[
,
[
R
a
R
a
x
f
)
(
Пɭɫɬь
опɪɟɞɟлɟна
пɪомɟжɭɬкɟ
инɬɟгɪиɪɭɟма
оɬɪɟзкɟ
Дɫли
инɬɟгɪал
имɟɟɬ
конɟчный
пɪɟɞɟл
эɬоɬ
пɪɟɞɟл
назыɜаɟɬɫя
нɟɫоɛɫɬɜɟнным
инɬɟгɪалом
оɛозначаɟɬɫя
Дɫли
пɪɟɞɟл
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɛɟɫконɟчɟн
гоɜо
инɬɟг
аɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
17
R
a
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
Дɫли
пɪɟɞɟл
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɛɟɫконɟчɟн
гоɜоɪяɬ
инɬɟгɪал
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
171
2
R
R
x
2
R
R
dx
2
1
lim
R
x
)
1
1
1
(
lim
ɋлайɞ
172
R
dx
x
dx
1
ln
lim
R
x
ln
ln
li
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
173
b
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
Аналогично
ɋлайɞ
174
Маɬɟмаɬичɟɫкий
c
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
ɋлайɞ
175
Нɟɫоɛɫɬɜɟнныɟ
инɬɟгɪалы
ɪоɞа
Пɭɫɬь
имɟɟɬ
ɬочкɭ
ɪазɪыɜа
Ɍогɞа
нɟɫоɛɫɬɜɟнный
инɬɟгɪал
назыɜаɟɬɫя
ɫхоɞящимɫя
пɪɟɞɟл
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɪаɫхоɞящимɫя
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɛɟɫконɟчɟн
ɋлайɞ
176
0
1
0
lim
1
dx
x
dx
x
2
lim
)
2
2
(
lim
ɋлайɞ
177
(
,
[
b
a
b
Пɭɫɬь
имɟɟɬ
ɬочкɭ
ɪазɪыɜа
Ɍогɞа
ɋлайɞ
178
(
,
(
)
,
[
b
c
c
a
c
Пɭɫɬь
имɟɟɬ
ɬочкɭ
ɪазɪыɜа
Ɍогɞа
ɋлайɞ
179
,
(
b
a
a
,
b
a
b
a
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
(
li
(
(
)
(
a
Пɭɫɬьнɟпɪɟɪыɜна
пɟɪɜооɛɪазная
ɬогɞа
ɋлайɞ
180
Маɬɟмаɬичɟɫкий
1
0
1
0
lim
1
dx
x
dx
x
2
lim
)
2
2
(
lim
0
1
2
x
0
dx
x
x
F
2
)
(
ɪазɪыɜ
ɋлайɞ
181
0
2
1
(
1
x
1
1
0
2
)
1
(
)
1
(
1
2
0
2
dx
x
Ɋɟшаɟм
ɮоɪмɭлɟ
Ньюɬона
Нɟɜɟɪно
Поɞынɬɟгɪальная
ɮɭнкция
яɜляɟɬɫя
ɬочка
ɪазɪыɜа
ɋлайɞ
182
0
2
1
(
1
x
1
2
0
1
0
2
0
1
(
1
lim
)
1
(
1
lim
x
dx
x
2
)
)
1
(
(
lim
0
1
)
)
1
(
(
lim
0
1
0
x
ɋлайɞ
183
ɫхоɞимоɫɬи
нɟɫоɛɫɬɜɟнных
инɬɟгɪалоɜ
Дɫли
ɮɭнкциинɟпɪɟɪыɜны
(
,
[
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяюɬ
ɭɫлоɜию
ɫхоɞимоɫɬи
ɫлɟɞɭɟɬ
ɫхоɞимоɫɬь
ɪаɫхоɞимоɫɬи
(2)
ɫлɟɞɭɟɬ
ɪаɫхоɞимоɫɬь
(1).
ɋлайɞ
184
e
R
x
R
e
ɫхоɞиɬɫя
инɬɟгɪал
(1)
ɬожɟ
ɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
185

1
Фоɪмɭла
ɜɟɪна
ɜажны
ɋлайɞ
186
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Коэɮɮициɟнɬ
Ⱦжинни
Кɪиɜая
Лоɪɟнца
заɜиɫимоɫɬи
ɞоли
наɫɟлɟния
ɞоли
ɞохоɞа
Пɪи
ɪаɜномɟɪном
ɪаɫпɪɟɞɟлɟнии
Коэɮɮициɟнɬ
OAB
S
k
1
OAC
0
(
(
dx
x
y
x
S
y
1
0
1
)
3
2
(
)
(
2
1
0
2
x
dx
x
x
S
Пɪи
ɋлайɞ
187
Оɛъɟм
ɮигɭɪы
пɪи
ɜɪащɟнии
оɬɪɟзкɟ
ab ɜокɪɭг
оɫи


ɋлайɞ
188
(
(
Пɪимɟɪ
Оɛъɟм
шаɪа
ɜɪащаɟм
ɜɟɪхнюю
полоɜинɭ
окɪɭжноɫɬи
2
R
y



R
R
R
R
x
R
dx
x
R
2
2
2
2
3
2
4
3
R
x
x
R
R
ɋлайɞ
189
Комплɟкɫныɟ
ai
a
Аыло
иɪɪациональныɟ
(
ɞɟйɫɬɜиɬɟльныɟ
чиɫла
чиɫлоɜая
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɭɪаɜнɟниɟ
Вɜɟɞɟм
чиɫлоɬакоɟ
чɬо
ɭɪаɜнɟния
(1) ).
ɟɞиница
Ⱦжиɪоламо
Каɪɞано
, 1545).
назыɜаɟɬɫя
комплɟкɫным
ɞɟйɫɬɜиɬɟльныɟ
чиɫла
ɋлайɞ
190
Ƚɪаɮичɟɫкоɟ
изоɛɪажɟниɟ
Чиɫло
ɬочка
плоɫкоɫɬи
1)
оɛозначим

,
,
2)
,
3)
,
ɞɟйɫɬɜиɬɟльноɟ
4)
(
)
(
1
2
1
2
1
,
(
b
a
(
(
y
ɋлайɞ
191
)(
(
2
1
1
2
1
b
a
i
b
a
b
a
a
b
b
b
a
a
)
(
1
2
1
2
1
2
1
a
z
a
z
bi
a
bi
a
z
z
5)
Чиɫла
назыɜаюɬɫя
комплɟкɫно
ɫопɪяжɟнными
ɋлайɞ
192
Маɬɟмаɬичɟɫкий
,
,
4
1
)
1
)(
2
3
(
1
i
z
z
3
2
3
i
i
i
i
5
}
1
{
)
1
)(
1
(
)
1
)(
2
3
(
1
2
3
1
i
i
i
i
i
z
1
2
3
2
3
i
i
i
ɋлайɞ
193
ɮоɪма
-
алгɟɛɪаичɟɫкая
ɮоɪма
-
ɬɪигономɟɬɪичɟɫкая
ɮоɪма
моɞɭль
ɪаɫɫɬояниɟ
начала
кооɪɞинаɬ
),
аɪгɭмɟнɬ
ɭгол
мɟжɞɭ
полож
напɪ
ɞɟйɫɬɜиɬɟльной
оɫи
).
Замɟчаниɟ
-
опɪɟɞɟлɟно
ɬочноɫɬью
,
(
b
a
(
(
y
ɋлайɞ
194
sin
(cos
1
1
1
i
z
)
sin
(cos
2
2
2
i
z
sin(
)
(cos(
1
2
1
2
1
2
1
z
z
ɬɪигономɟɬɪичɟɫкой
ɮоɪмɟ
1.
2.
3.
ɮоɪмɭла
Мɭаɜɪа
ɋлайɞ
195
Ɍɪигономɟɬɪичɟɫкая
ɮоɪма
запиɫи

Пɪимɟɪ
.
12
4
sin
4
(cos
2
)
1
(
i
i
6
)
3
sin
3
(cos
2
i

/
ɋлайɞ
196
Экɫпонɟнциальная
ɮоɪма
опɪɟɞɟлɟнию

Люɛоɟ
комплɟкɫноɟ
можɟɬ
ɛыɬь
запиɫано
ɜиɞɟ
экɫпонɟнциальная
ɮоɪма
запиɫи
sin
2
cos
i
i
z

ɋлайɞ
197
Ɍɪигономɟɬɪичɟɫкая
ɮоɪмɭла
Мɭаɜɪа
Изɜлɟчɟниɟ
коɪнɟй
.
чиɫло
ɫɬɟпɟнь
коɬоɪого
.
3
,
2
,
1
,
0
ɮоɪмɭлы
Мɭаɜɪа
ɫлɟɞɭɟɬ
2
sin(
)
2
(cos(
i
n
n
n
z
Имɟɟм
значɟния
,...,
3
,
2
,
1
,
0
оɛлаɫɬи
комплɟкɫных
чиɫɟл
ɋлайɞ
198
Маɬɟмаɬичɟɫкий
алгɟɛɪы
Пɪимɟɪ
Найɬи
комплɟкɫных
чиɫɟл
2
0
sin(
)
2
0
cos(
1
k
i
k
3
2
sin(
)
3
2
cos(
i
k
z
z
)
0
sin(
)
0
cos(
i
,
i
z
3
2
1
)
3
2
sin(
)
3
2
cos(
i
z
3
2
1
)
3
4
sin(
)
3
4
cos(
ɋлайɞ
199
плоɫкоɫɬь
1
эɬо
найɬи
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
ɋлайɞ
200
ɬɟоɪɟма
Многочлɟн
ɫɬɟпɟни
Пɭɫɬь
коɪɟнь
многочлɟна
(
)
(
)
(
.
Дɫли
(
)
(
)
(
1
,
ɬɟх
поɪ
Опɪɟɞɟлɟниɟ
,
назыɜаɟɬɫя
коɪнɟм
кɪаɬноɫɬи
ɋлайɞ
201
алгɟɛɪы
Пɪимɟɪ
коɪɟнь
кɪаɬноɫɬи
2,
-
коɪɟнь
кɪаɬноɫɬи
1.
Оɫноɜная
ɬɟоɪɟма
алгɟɛɪы
( Girard, 1692)
Многочлɟн
ɫɬɟпɟни
имɟɟɬ
ɪаɜно
коɪнɟй
Коɪни
кɪаɬноɫɬи
ɫчиɬаɟм
коɪнɟй
ɋɪɟɞи
коɪнɟй
могɭɬ
ɛыɬь
комплɟкɫныɟ
Комплɟкɫныɟ
коɪни
многочлɟна
ɞɟйɫɬɜиɬɟльными
коэɮɮициɟнɬами
ɜɫɟгɞа
комплɟкɫно
ɫопɪяжɟнныɟ
ɋлайɞ
202
алгɟɛɪы
Кɜаɞɪаɬноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
имɟɟɬ
коɪня
,
1
p
x
коɪни
ɞɟйɫɬɜиɬɟльныɟ
коɪɟнь
ɞɟйɫɬɜиɬɟльный
кɪаɬноɫɬи
-
коɪни
комплɟкɫныɟ
ɫопɪяжɟнныɟ
,
ɋлайɞ
203
2
1
2
2
1
(
1
2
x
x
x
0
5
2
4
2
2
16
2
,
1
x
x
i
1
2
1
1
1.
2.
3.
D
1
,
1
2
)(
1
(
2
x
x
x
x
1
2
ɋлайɞ
204
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
y
y
y
cos
sin
cos
Пɪимɟɪы
ɪɟшɟниɟ
ɪɟшɟниɟ
ɪɟшɟниɟ
ɞɪɭгоɟɪɟшɟниɟ
ɋлайɞ
205
)
,...,
,
,
,
(
(
y
y
y
x
F
(
y
нɟизɜɟɫɬная
ɮɭнкция
(1)
Опɪɟɞɟлɟниɟ
Ɋɟшɟниɟм
ɭɪаɜнɟния
(1)
инɬɟɪɜалɟ
назыɜаɟɬɫя
ɮɭнкция
коɬоɪая
оɛɪащаɟɬ
ɭɪаɜнɟниɟ
ɬожɞɟɫɬɜо
ɜɫɟм
инɬɟɪɜалɟ
Опɪɟɞɟлɟниɟ
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
коɬоɪом
нɟизɜɟɫɬной
яɜляɟɬɫя
ɮɭнкция
пɪичɟм
ɭɪаɜнɟниɟ
ɜхоɞяɬ
пɪоизɜоɞныɟ
ɮɭнкции
ɋлайɞ
206
Опɪɟɞɟлɟниɟ
Поɪяɞком
ɞиɮɮɟɪɟнциального
ɭɪаɜнɟния
назыɜаɟɬɫя
поɪяɞок
ɫɬаɪшɟй
пɪоизɜоɞной
ɜхоɞящɟй
ɭɪаɜнɟниɟ
2
ɭɪаɜнɟниɟ
1-
поɪяɞка
ɭɪаɜнɟниɟ
2-
поɪяɞка
ɋлайɞ
207
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɪяɞка
)
,
(
y
Оɛщий
Тɪаɜнɟниɟ
ɪазɪɟшɟнноɟ
оɬноɫиɬɟльно
пɪоизɜоɞной
ɪɟшɟниɟ
множɟɫɬɜо
ɪɟшɟний
y
y
ɪɟшɟниɟ
множɟɫɬɜо
ɪɟшɟний
(1)
(2)
ɋлайɞ
208
Коши
(2)

,
(
y
нɟпɪɟɪыɜны
нɟкоɬоɪой
оɛлаɫɬи
D,
нɟкоɬоɪой
окɪɟɫɬноɫɬи
ɜнɭɬɪɟннɟй
ɬочки
эɬой
оɛлаɫɬи
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɟɞинɫɬɜɟнноɟ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
(2),
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющɟɟ
ɭɫлоɜию
. (3)
Тɫлоɜиɟ
(3)
назыɜаɟɬɫя
начальным
ɭɫлоɜиɟм
ɋлайɞ
209
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
нахожɞɟния
ɪɟшɟния
ɭɪаɜнɟния
(2),
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющɟго
ɭɫлоɜию
назыɜаɟɬɫя
заɞачɟй
Коши
ɪимɟɪ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
,
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющɟɟ
ɭɫлоɜию
.
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ

,
Нахоɞим
:
Ɋɟшɟниɟ
-
чаɫɬноɟ
ɪɟшɟниɟ
ɋлайɞ
210
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Оɛщɟɟ
чаɫɬноɟ
ɪɟшɟниɟ
Оɛщим
ɪɟшɟниɟм
ɭɪаɜнɟния
назыɜаɟɬɫя
ɮɭнкция
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющая
эɬомɭ
ɭɪаɜнɟнию
люɛой
поɫɬоянной
можɟɬ
ɛыɬь
опɪɟɞɟлɟна
ɟɞинɫɬɜɟнным
оɛɪазом
заɞанном
начальном
ɭɫлоɜии
:
.
Чаɫɬным
ɭɪаɜнɟния
ɮɭнкция
полɭчɟнная
заɞанном
ɋлайɞ
211

Коши
найɬи
инɬɟгɪальнɭю
кɪиɜɭю
пɪохоɞящɭю
чɟɪɟз
заɞаннɭю
ɬочкɭ
ɋлайɞ
212
1
,
0
(
x
y
Ƚɪаɮик
ɪɟшɟния
инɬɟгɪальная
кɪиɜая
2
ɪазɞɟляющимиɫя
(4)
Пɭɫɬь
пɪи
ɪɟшɟниɟ
Пɪɟɞɫɬаɜим

(5)
Поɞɫɬаɜим
(4)
ɋлайɞ
213
Тɪаɜнɟния
ɪазɞɟляющимиɫя
пɟɪɟмɟнными
(
)
(
y
x
f
dx
dy


Эɬо
ɪɟшɟниɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциального
ɭɪаɜнɟния
запиɫанноɟ
ɜиɞɟ
инɬɟгɪалоɜ
ɫоɞɟɪжиɬ
пɪоизɜольнɭю
поɫɬояннɭю
ɋлайɞ
214
ɭɪаɜнɟния
,
dy
y

y
dy
2

x
y
ɋлайɞ
215
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟниɟ
y
(1)
нɟкоɬоɪыɟ
изɜɟɫɬныɟ
ɮɭнкции
(
y
-
нɟизɜɟɫɬная
ɮɭнкция
Оɞноɪоɞноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
(2)
ɭɪаɜнɟниɟ
ɪазɞɟляющимиɫя
ɋлайɞ
216
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ɍɟоɪɟма
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
нɟоɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
ɫɭммɟ
оɛщɟго
ɪɟшɟния
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟго
оɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
чаɫɬного
ɪɟшɟния
нɟоɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
ɋлайɞ
217
1
Нахоɞим
оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
оɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
1
y
dy
1
dy
y
dx
y
d
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
x
dx
y
d
(3)
ɋлайɞ
218
x
dx
y
d
ln

x
y

C
y
y
e
ln
e
e
ln
ɪɟшɟния
ɭɪаɜнɟния
оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɋлайɞ
219
1
x
y
)
(
y
(
)
(
y
)
(
1
)
(
)
(
x
C
x
x
C
x
x
C
3
)
(
,
2
)
(
C
C
2.
Нахоɞим
ɪɟшɟниɟ
нɟоɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
Мɟɬоɞ
ɜаɪьиɪоɜания
поɫɬоянной
Поɞɫɬаɜляɟм
ɋлайɞ
220
y
y
y
ɋлайɞ
221
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
Тɪаɜнɟния

Ɋɟшɟниɟ
нахоɞим
поɫлɟɞоɜаɬɟльным
инɬɟгɪиɪоɜаниɟм
иɫпользɭя
опɪɟɞɟлɟниɟ
ɋлайɞ
222
Маɬɟмаɬичɟɫкий
(
(
y
.
2
x
y
C
x
y
2
(
2
ɋлайɞ
223
dx
C
x
C
x
y
)
6
(
1
3
оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɪɟшɟниɟ
1
3
2
x
C
x
y
ɋлайɞ
224
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
a
y
a
y
a
y
n
n
n
(
,
,...,
,
1
a
a
изɜɟɫɬныɟ
ɮɭнкции
оɞноɪоɞноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
нɟоɞноɪоɞноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
изɜɟɫɬныɟ
поɫɬоянныɟ
Чаɫɬный
ɫлɭчай
ɋлайɞ
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɜыɫшɟго
ɪɟшɟниɟм
ɞиɮɮɟɪɟнциального
ɭɪаɜнɟния
поɪяɞка
назыɜаɟɬɫя
ɮɭнкция

ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющая
эɬомɭ
ɭɪаɜнɟнию
пɪи
люɛых
поɫɬоянных
коɬоɪыɟ
могɭɬ
опɪɟɞɟлɟны
ɟɞинɫɬɜɟнным
заɞаниɟм
начальных
0
(
y
(#1)
-
нɟкоɬоɪыɟ
чиɫла
аɞача
Коши
Найɬи
ɪɟшɟниɟ
ɞиɮ
ɭɪаɜнɟния
(#)
или
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющɟɟ
(#1)
чаɫɬноɟ
ɪɟшɟниɟ
ɋлайɞ
226
оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɪɟшɟниɟ
y
ɭɪаɜнɟниɟ
Пɪимɟɪ
начальныɟ
ɭɫлоɜия
2
2
x
y
1
3
2
x
C
x
y
ɋлайɞ
227
Ɍɟоɪɟма
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
линɟйного
нɟоɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
ɫɭммɟ
оɛщɟго
ɪɟшɟния
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟго
оɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
чаɫɬного
ɪɟшɟния
нɟоɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
ɋлайɞ
228
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Оɞноɪоɞныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɋɜойɫɬɜа
оɞноɪоɞных
ɭɪаɜнɟний
ɜɫɟгɞа
ɪɟшɟниɟ
Очɟɜиɞно
ɪɟшɟния
(#0),
поɫɬоянныɟ
ɬожɟ
ɪɟшɟниɟ
(#0).
ɟɫли
Ⱦоказыɜаɟɬɫя
нɟпоɫɪɟɞɫɬɜɟнной
поɞɫɬаноɜкой
ɋлайɞ
229
Опɪɟɞɟлɟниɟ
Фɭнкции
назыɜаюɬɫя
линɟйно
нɟзаɜиɫимыми
(*)
ɬолько
(*)
ɜыполнɟно
хоɬя
оɞном
назыɜаюɬɫя
линɟйно
заɜиɫимыми
ɋлайɞ
230
Опɪɟɞɟлиɬɟль
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
2
1
.
.
.
.
...
...
)
,...
,
(
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Ɍɟоɪɟма
Дɫли
ɮɭнкции
линɟйно
заɜиɫимыɟ
Дɫли
y
y
ɮɭнкции
линɟйно
нɟзаɜиɫимыɟ
ɋлайɞ
231
линɟйногооɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
Ɍɟоɪɟма
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
линɟйного
оɞноɪоɞного
ɞиɮɮɟɪɟнциального
ɭɪаɜнɟния
поɪяɞка
заɞаɟɬɫя
ɮоɪмɭлой
,
линɟйно
нɟзаɜиɫимых
ɪɟшɟний
эɬого
ɭɪаɜнɟния
ɮɭнɞамɟнɬальная
ɫиɫɬɟма
ɪɟшɟний
ФɋɊ
) .
ɋлайɞ
232
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
(*)

ɪɟшɟниɟ
ɜиɞɟ
,
y


ɋлайɞ
233
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
y
(*)


1)
,

-
ɞɟйɫɬɜиɬɟльныɟ
ɪазличныɟ
x
(
x
(
-
ɭɪаɜнɟния
(*)
Пɪоɜɟɪим
они
нɟзаɜиɫимыɟ
1
2
1
,
e
1
2
1
1
ɋлайɞ
234
Маɬɟмаɬичɟɫкий
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
e
W
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
)
(
2
1
e
-
линɟйно
нɟзаɜиɫимыɟ
ɪɟшɟния
(*)
ɫоɫɬаɜляюɬ
ФɋɊ
C
e
C
C
C
y
1
1
2
2
1
1
-
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
(*)
ɋлайɞ
235
Найɬи
оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
________________________________________________________________________________________
4
12
16
2
4
2
12
16
4
,
1
,
3
1
ɋлайɞ
236
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами

(*)

2)
1
(1)
x
)
(
x
-
ɪɟшɟния
ɭɪаɜнɟния
(*)
Пɪоɜɟɪим
чɬо
ɪɟшɟниɟ
(*)
e
e
(2)
Поɞɫɬаɜим
(2)
(*)
ɭчɟɬом
(1)
e
)(
2
(
x
e
x
x
e
x
e
2
0
ɋлайɞ
237
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
Пɪоɜɟɪим
(
линɟйно
нɟзаɜиɫимыɟ
1
2
1
,
x
x
x
x
e
e
xe
e
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
x
x
x
e
x
e
x
e
-
линɟйно
нɟзаɜиɫимыɟ
ɪɟшɟния
(*)
ɫоɫɬаɜляюɬ
ФɋɊ
-
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
(*)
ɋлайɞ
238
Найɬи
оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
1
2
4
4
D
,
1
ɋлайɞ
239
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами

(*)

(**)
3)
ɭɪаɜнɟния
комплɟкɫныɟ
ɫопɪяжɟнныɟ
,
sin
(cos
)
(
i
bx
e
e
e
x
ibx
ax
sin
(cos
)
(
i
bx
e
e
e
x
ibx
ax
.(*) (
комплɟкɫно
ɫопɪяжɟнныɟ
ɋлайɞ
240
Маɬɟмаɬичɟɫкий
e
x
)
(
2
1
)
(
1
1
e
i
x
)
(
2
1
)
(
1
2
(
(
-
ɭɪаɜнɟния
(*)
Пɪоɜɟɪим
чɬо
линɟйно
нɟзаɜиɫимыɟ
be
bx
ae
ax
sin
ɋлайɞ
241
1
2
1
cos
sin
(
)
sin
cos
(
sin
cos
bx
b
bx
a
e
bx
b
bx
a
e
bx
e
bx
e
ɋлайɞ
242
линɟйно
нɟзаɜиɫимыɟ
(*)
ɫоɫɬаɜляюɬ
ФɋɊ
-
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
(*)
ɋлайɞ
243
5
4
y
y
____________________________________________________________
4
20
16
2
4
2
4
4
,
1
,
1
e
1
ɋлайɞ
244
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
ɜыɫшɟго
(n�2)
(1)
Ищɟм
ɪɟшɟниɟ
ɜиɞɟ
ɬогɞа

y
,,
Поɞɫɬаɜим
(1)
ɋокɪащая
полɭчим
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɟ
ɪаɜнɟниɟ
(2)
ɋлайɞ
245
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
ɜыɫшɟго
�(2)
ɏаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
имɟɟɬ
ɪоɜно
коɪнɟй
коɪни
(2)
ɞɟйɫɬɜиɬɟльныɟ
ɪазныɟ
1
,,
.
1
k
k
.
коɪɟнь
кɪаɬноɫɬи
Ɍогɞа
k
,,
x
ɋлайɞ
246
Маɬɟмаɬичɟɫкий
оɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
ɜыɫшɟго
�(2)
Имɟɟм
комплɟкɫно
ɫопɪяжɟнныɟ
коɪни
,
ɬогɞа
Комплɟкɫно
ɫопɪяжɟнныɟ
коɪни
кɪаɬныɟ
ɬогɞа
)
(
xe
x
)
(
ɋлайɞ
247
4
y
4
)
4
(
2
,
2
,
cos
,
sin
,,
C
y
sin
2
cos
2
1
ɋлайɞ
248
2
y
y
y
1
2
4
)
1
(
2
2
,
1
,
1
,
3
,
,
cos
sin
cos
3
2
1
ɋлайɞ
249
Коши
линɟйных
оɞноɪоɞных
ɞиɮɮɟɪɟнциальных
ɭɪаɜнɟний
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
Тɬɜɟɪжɞɟниɟ
Заɞача
Коши
ɞля
линɟйных
оɞноɪоɞных
ɭɪаɜнɟний
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
ɜɫɟгɞа
ɟɞинɫɬɜɟнноɟ
ɪɟшɟниɟ
Найɬи
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющɟго
ɭɫлоɜиям
)
0
(
ɋлайɞ
250
Коши
линɟйных
оɞноɪоɞных
ɞиɮɮɟɪɟнциальных
ɭɪаɜнɟний
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɋлайɞ
251
нɟоɞноɪоɞныɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поɫɬоянными
коэɮɮициɟнɬами
(1)
поɫɬоянныɟ
(2)
ɋхɟма
нахожɞɟния
оɛщɟго
ɪɟшɟния
ɭɪаɜнɟния
оɛщɟɟ
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟго
оɞноɪоɞног
ɭɪаɜнɟния
опɪɟɞɟляя
коɪни
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
чаɫɬноɟ
ɪɟшɟниɟ
нɟоɞноɪоɞного
ɭɪаɜнɟния
(1)
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
(1)
ɪаɜно
ɫɭммɟ
оɛщɟго
ɪɟшɟния
ɭɪаɜнɟния
(2)
чаɫɬного
ɪɟшɟния
(1)
. (3)
ɋлайɞ
252
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Чаɫɬныɟ
ɪɟшɟния
нɟоɞноɪоɞных
ɭɪаɜнɟний
пɪаɜых
sin
)
(
cos
)
(
(
x
x
R
x
x
P
e
n
x
(4)
многочлɟны
ɫɬɟпɟни
ɜиɞɟ
sin
)
(
cos
)
(
(
x
x
T
x
x
Q
e
(5)
(
),
(
многочлɟны
ɫɬɟпɟни
кɪаɬноɫɬь
коɪня
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
Дɫли
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
Коэɮɮициɟнɬы
многочлɟноɜ
нахоɞяɬɫя
мɟɬоɞом
нɟопɪɟɞɟлɟнных
коэɮɮициɟнɬоɜ
поɞɫɬаноɜки
(5)
ɭɪаɜнɟниɟ
(1).
ɋлайɞ
253
Чаɫɬныɟ
ɪɟшɟния
нɟоɞноɪоɞных
ɭɪаɜнɟний
чаɫɬь
ɫɬɟпɟни
(
(
ɫлɭчай
).
(

(
многочлɟн
-
кɪаɬноɫɬь
коɪня
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
Дɫли
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
ɋлайɞ
254
y
y
y
3
2
. (1)
1)
. (2)
(3)
n
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
Чаɫɬноɟ
ɪɟшɟниɟ
ищɟм
ɜиɞɟ
ɋлайɞ
255
(4)
Поɞɫɬаɜим
y
y
3
2
(1)
)
(
3
2
Пɪиɪаɜняɟм
коэɮɮициɟнɬы
оɞинакоɜых
ɫɬɟпɟнях
9
3

0
3
2
B
B
A
x
3
oo
y
y
3
3
1
ɋлайɞ
256
Чаɫɬныɟ
ɪɟшɟния
нɟоɞноɪоɞных
ɭɪаɜнɟний
чаɫɬɟй

(
x
P
e
x

(
ɫɬɟпɟни
ɫлɭчай
(
x
Q
e
x

(
многочлɟн
ɫɬɟпɟни
кɪаɬноɫɬь
коɪня
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
Дɫли
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɋлайɞ
257
(1)
1)
y
1
,
cos
1
(3)
2)
.
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪ
ния
Поɞɫɬаɜим
(1)
2
2
4
3)
ɋлайɞ
258
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Чаɫɬныɟ
ɪɟшɟния
нɟоɞноɪоɞных
ɭɪаɜнɟний
чаɫɬɟй
ɫлɭчай
ɪɟшɟниɟ
ищɟм
ɜиɞɟ
si
(
кɪаɬноɫɬь
коɪня
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
Ⱦля
ɭɪаɜнɟний
ɜɬоɪого
ɬɪɟɬьɟго
поɪяɞка
Ⱦля
ɭɪаɜнɟний
чɟɬɜɟɪɬого
пяɬого
поɪяɞка
ɋлайɞ
259
y
sin
3
,
0
(1)
. (2)
,
1
cos
1
(3)
2
sin
2
cos
(
.
i
2
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
sin
2
cos
cos
2
2
si
sin
4
2
cos
4
ɋлайɞ
260
sin
2
cos
2
sin
4
2
cos
4
Пɪиɪаɜняɟм
коэɮɮициɟнɬы
sin

cos
3
2
sin
B
x
3
2
cos
A
x
,
0
B
,
sin
3)
y
sin
sin
cos
1

ɋлайɞ
261
y
3
,
0
(1)
. (2)
,
1
cos
1
(3)
2)
sin
cos
(
.
i
яɜляɟɬɫя
коɪнɟм
хаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкого
ɭɪаɜнɟния
sin
cos
(

ɋлайɞ
262
Пɭɫɬь

(
ɪɟшɟния
ɭɪаɜнɟний
(
...
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
f
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
Ɍогɞа
ɮɭнкция
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
a
y
a
y
a
y
n
n
n
2
(
2
)
1
(
1
)
(
(
)
(
1
нɟпоɫɪɟɞɫɬɜɟнной
поɞɫɬаноɜкой
ɋлайɞ
263
e
y
y
8
(
)
(
1
y
, ,
C
C
y
,
y
y
y
x
x
Ae
Ae
ɋлайɞ
264
Маɬɟмаɬичɟɫкий
2.2)
,
0
(
y
2
2
2
,
1
B
A
2
(
ɋлайɞ
265
ɋиɫɬɟмы
ɞиɮɮɟɪɟнциальных
ɭɪаɜнɟний
,...
,
,
(
...
..........
..........
..........
)
,...
,
,
(
)
,...
,
,
(
1
2
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
y
y
x
f
y
y
y
y
x
f
y
y
y
y
нɟизɜɟɫɬных
ɮɭнкций
ɋлайɞ
266
(
),...,
(
),
(
1
Опɪɟɞɟлɟниɟ
назыɜаɟɬɫя
ɪɟшɟниɟм
ɫиɫɬɟмы
ɭɪаɜнɟний
(1)
инɬɟɪɜалɟ
ɟɫли
оɛɪащаɟɬ
ɬожɞɟɫɬɜа
ɜɫɟ
ɭɪаɜнɟния
ɫиɫɬɟмы
ɜɫɟм
инɬɟɪɜалɟ
ɮɭнкций
ɋлайɞ
267
ɋɜɟɞɟниɟ
ɫиɫɬɟмы
ɞиɮɮɟɪɟнциальных
ɭɪаɜнɟний
оɞномɭ
ɞиɮɮɟɪɟнциальномɭ
ɭɪаɜнɟнию
1
2
2
1
1
2
3
y
y
y
Поɞɫɬаɜим
(3)
Выɪазим
Пɪɟоɛɪазɭɟм
(4):
ɋлайɞ
268
2
1
1
y
y
y
1
2
,
1
C
e
C
y
1
1
C
e
C
e
C
y
2
1
1
C
e
C
C
y
2
1
2
2
/
(
ɋлайɞ
269
Заɞача
Коши
1
2
2
1
1
2
3
y
y
y
y
y
y
,
1
)
0
(
.
1
)
0
(
Найɬи
ɪɟшɟниɟ
ɫиɫɬɟмы
ɭɪаɜнɟний
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющɟɟ
начальным
ɭɫлоɜиям
ɋлайɞ
270
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟɫиɫɬɟмы
y
ɋлайɞ
271
поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬь
чиɫɟл
,
,
...
,
,
1
n
a
a
...
1
n
n
a
a
S
1
2
a
S
2
1
3
a
a
S
назыɜаюɬɫя
чаɫɬичными
ɫɭммами
чиɫлоɜого
ɪяɞа
1.1.
Пɪɫжɟжмжойя
a
a
n
n
чиɫлоɜая
поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬь
ɋлайɞ
272
Дɫли
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
конɟчный
пɪɟɞɟл
эɬой
поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬи
ɫɭмм
n
S
эɬоɬ
ɪяɞ
назыɜаɟɬɫя
ɫхоɞящимɫя
чиɫло
ɟго
ɫɭммой
Дɫли
конɟчного
пɪɟɞɟла
поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬи
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɪяɞ
назыɜаɟɬɫя
ɪаɫхоɞящимɫя
ɫɭмм
ɋлайɞ
273
Ɋяɞ
коɬоɪого
оɛɪазɭюɬ
гɟомɟɬɪичɟɫкɭю
1.2.
ɫознамɟнаɬɟлɟм

ɫхоɞиɬɫя
q
ɋлайɞ
274
Дɫли
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
Дɫли
ипоɬомɭ
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
275
поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬь
ɟго
ɫɭмм
ɛɭɞɟɬ
ɛɟɫконɟчно
ɛольшой
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
a
S
a
S
,
0
,
3
a
a

a
a
a
li
ɋлайɞ
276
Маɬɟмаɬичɟɫкий
1
n
3
1
a
1
3
1
1
3
1
a
q
a
n
1
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
277
1
(
1
n
2
1
1
2
1
1
3
1
2
1
3
2
1
4
1
3
1
4
3
1
n
n
1
1
1
)
1
(
1
n
n
n
n
a
2
1
1
3
1
1
3
1
2
1
2
1
1
1
2
S
S
4
1
1
4
1
3
1
3
1
1
2
3
S
S
1
1
1
S
1
1
1
1
ɋлайɞ
278
1.3.
Дɫли
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
n
n
S
a
(
li
n
n
n
n
n
li
n
n
n
li
n
ДдȎаȋаиеȏтзиШд
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
3
1
lim
ɋлайɞ
279
1.4.
ɪаɫхоɞящийɫя
ɪяɞ
1
lim
ɋлайɞ
280
n
n
n
n
S
...
1
1
1
...
2
1
1
Поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬь
ɫɭмм
ɛɟɫконɟчно
ɛольшая
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
Иɫпользоɜаниɟ
иɫɫлɟɞоɜания
ɫхоɞимоɫɬи
ɪяɞ
3
n
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
281
ɋɜойɫɬɜа
ɫхоɞящихɫя
2.1.
Ɋяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɬогɞа
ɬолько
ɬогɞа
когɞа
ɫхоɞиɬɫя
оɫɬаɬок
�0).
2.2.
Дɫли
ɪяɞы
n
n
,
ɫхоɞяɬɫя
ɫхоɞяɬɫя
ɪяɞы
n
n
n
n
n
n
a
b
a
(
ɋлайɞ
282
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ɋяɞы
нɟоɬɪицаɬɟльными
3.1.
Дɫли
ɫхоɞимоɫɬи
ɪяɞа
ɫлɟɞɭɟɬ
ɫхоɞимоɫɬь
ɪяɞа
Дɫли
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
пɪɟɞɟл
эɬи
ɪяɞы
ɫхоɞяɬɫя
ɪаɫхоɞяɬɫя
оɞноɜɪɟмɟнно
ɋлайɞ
283
3.2.
3.3.
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
пɪɟɞɟл
оɬношɟния
поɫлɟɞɭющɟго
пɪɟɞыɞɭщɟмɭ
Ɍогɞа
●ɟɫли
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
●ɟɫли
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɫамоɟ
можно
ɭɬɜɟɪжɞаɬь
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
пɪɟɞɟл
lim
a
n
n
ɋлайɞ
284
3.3.
Иоɭжɞɫɛмэоьк
Пɭɫɬь
ɪяɞа
найɞɟнаɮɭнкция
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяющаяɭɫлоɜиям
ɜɫɟх
моноɬонна
;+)Ɍогɞа
ɫхоɞиɬɫя
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
нɟɫоɛɫɬɜɟнный
инɬɟгɪал
ɋлайɞ
285
3.4.
ЗадачȌ
Иɫɫлɟɞɭйɬɟ
ɫхоɞимоɫɬь
ɪяɞоɜ
2
2
(
)
!
(
n
.
n
n
n
a
2
2
(
)!
(
)!
(
)!
2
(
)!
1
(
)!
1
(
lim
n
n
n
n
n
n
2
2
(
)!
1
(
)!
1
(
n
n
a
Иɫпользɭɟм
Ⱦаламɛɟɪа
2
2
)(
1
2
(
)
1
)(
1
(
lim
n
n
n
n
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
n
n
,
)
2
2
(
)
1
2
(
)!
2
(
)!
2
2
(
ɋлайɞ
286
.
Иɫпользɭɟм
n
n
n
lim
n
n
n
n
1
2
lim
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
287
.
Иɫпользɭɟм
Ƚаɪмоничɟɫкий
ɪяɞ
dx
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
288
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Оɛоɛщɟнный
1
p
Иɫпользɭɟм
1
p
dx
R
dx
1
lim
p
x
R
1
1
(
lim
R
=1-
гаɪмоничɟɫкий
ɋлайɞ
289
Знакопɟɪɟмɟнныɟ
назыɜаɟɬɫя
аɛɫолюɬно
ɫхоɞящимɫя
аɛɫолюɬно
ɫхоɞящийɫя
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɪяɞ
ɫоɫɬаɜлɟнный
моɞɭлɟй
ɞанного
ɪяɞа
ɫхоɞиɬɫя
4.1.
Ɋяɞ
1
sin
2
n
n
2
ɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
290
4.2.
ЗавечагȌе
Вɫякий
аɛɫолюɬно
ɫхоɞящийɫя
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
b
a
b
a
ɫхоɞиɬɫя
4.3.
Ƚоɜоɪяɬ
чɬо
ɪяɞɫхоɞиɬɫя
ɭɫлоɜно
ɫхоɞиɬɫя
яɜляɟɬɫя
аɛɫолюɬно
ɫхоɞящимɫя
ɋлайɞ
291
4.4.
Знакочɟɪɟɞɭющийɫя
ɪяɞ
поɫлɟɞоɜаɬɟльноɫɬь
моɞɭлɟй
ɟго
яɜляɟɬɫя
моноɬоннойɛɟɫконɟчно
малой
ɫхоɞиɬɫя
когɞа
1
1
(
n
n
0
li
n
n
...
1
b
b
Ɋяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɭɫлоɜно
0
1
lim
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
292
Фɭнкциональныɟ
Пɭɫɬь
ɮɭнкции
опɪɟɞɟлɟны
множɟɫɬɜɟ
Ƚоɜоɪяɬ
чɬо
ɮɭнкциональный
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɬочкɟ
ɫхоɞиɬɫя
чиɫлоɜой
ɪяɞ
Дɫли
ɮɭнкциональный
ɪяɞɫхоɞиɬɫя
ɜкажɞой
ɬочкɟ
нɟкоɬоɪой
оɛлаɫɬи
гоɜоɪяɬ
чɬо
ɫхоɞиɬɫя
эɬой
оɛлаɫɬи
ɋлайɞ
293
Множɟɫɬɜо
ɜɫɟх
ɬолько
ɬочɟк
коɬоɪых
ɫхоɞиɬɫя
ɮɭнкциональный
ɪяɞ
назыɜаɟɬɫя
оɛлаɫɬью
ɟго
ɫхоɞимоɫɬи
ɋооɬɜɟɬɫɬɜɟнно
опɪɟɞɟляюɬɫя
оɛлаɫɬи
аɛɫолюɬной
ɭɫлоɜной
ɫхоɞимоɫɬи
1
(
x
n
ɋлайɞ
294
Маɬɟмаɬичɟɫкий
1
(
x
n
0
lim
0
1
n
x
1
1
(
x
n
ɫхоɞиɬɫя
Ɋяɞ
(1)
ɫхоɞиɬɫя
аɛɫолюɬно
Лɟйɛница
ɪяɞ
(1)
ɫхоɞиɬɫя
Ɋяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɭɫлоɜно
ɋлайɞ
295
6.1.
ɋɬɟпɟнным
ɪяɞом
ɫɬɟпɟням
x x
ɋɬɟпɟнныɟ
назыɜаɟɬɫя
ɪяɞ
0
(
n
n
x
c
)
(
...
)
(
)
(
2
0
2
0
1
0
Дɫли
ɫɬɟпɟнной
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɬочкɟ
аɛɫолюɬно
ɫхоɞиɬɫя
инɬɟɪɜалɟ
6.2.
ТжɫжнɛАɜжмя
ɋлайɞ
296
Дɫли
ɬочкɟ
ɫɬɟпɟнной
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɜɫɟх
Оɛлаɫɬи
ɫхоɞимоɫɬи
ɬаких
чɬо
ɫɬɟпɟнного
ɪяɞа
ɋлайɞ
297
n
n
n
n
n
R
c
c
R
1
lim
,
lim
Инɬɟɪɜал
ɫхоɞимоɫɬи
аɛɫолюɬной
ɋхоɞимоɫɬь
ɫɬɟпɟнного
ɪяɞа
иɫɫлɟɞɭɟɬɫя
оɬɞɟльно
Ɋаɞиɭɫ
ɫхоɞимоɫɬи
ɋлайɞ
298
Ɋяɞ
Инɬɟɪɜал
ɫхоɞимоɫɬи
аɛɫолюɬной
ɋхоɞимоɫɬь
ɫɬɟпɟнного
ɪяɞа
иɫɫлɟɞɭɟɬɫя
оɬɞɟльно
1
1
ɪяɞ
ɪаɫхоɞиɬɫя
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
ɋлайɞ
299
ɋɜойɫɬɜа
ɫɬɟпɟнного
инɬɟɪɜалɟ
ɫɭмма
ɫɬɟпɟнного
ɪяɞа
яɜляɟɬɫя
ɮɭнкциɟй
пɟɪɟмɟнной
n
n
c
x
f
Ƚоɜоɪяɬ
чɬо
ɮɭнкция
ɪазлагаɟɬɫя
ɫɬɟпɟнной
ɪяɞ
инɬɟɪɜалɟ
ɋлайɞ
300
Маɬɟмаɬичɟɫкий
ɫɬɟпɟнной
ɪяɞ
Эɬо
ɪяɞ
гɟомɟɬɪичɟɫкой
пɪогɪɟɫɫии
ɋхоɞиɬɫя
1
1
1
1
q
a
S
ɪазложɟниɟ
ɮɭнкции
f
ɪяɞ
(-1,1).
ɋлайɞ
301
▪ɫɬɟпɟнной
ɪяɞ
можно
ɞиɮɮɟɪɟнциɪоɜаɬь
почлɟнно
ɟго
инɬɟɪɜала
ɫхоɞимоɫɬи
▪эɬоɬ
ɪяɞ
можно
почлɟнно
инɬɟгɪиɪоɜаɬь
...
3
2
)
(
3
2
2
1
0
0
n
n
c
x
c
x
c
x
c
dt
t
f
|
|
R
...
...
2
)
(
2
1
n
n
c
x
c
c
x
f
...
)
(
2
1
0
0
ɋлайɞ
302
Фоɪмɭла
Ɍɟйлоɪа
n
x
n
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
)
(
!
)
(
)
(
...
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
(
,
(
a
)
1
(
(
!
)
1
(
)
(
n
x
n
c
f
,
(
Ɋяɞы
Ɍɟйлоɪа
Фоɪмɭла
Маклоɪɟна
n
n
f
x
f
f
x
f
!
)
0
(
...
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
(
)
1
(
)
1
(
)
(
n
n
x
f
0
(
(
(
)
(
ɋлайɞ
303
Ɋяɞ
Ɍɟйлоɪа
ɮɭнкции
ɬочкɟ
ɫɬɟпɟннойɪяɞ
ɫɬɟпɟням
ɪяɞ
Ɍɟйлоɪа
ɮɭнкции

нɟзаɜиɫимо
ɫхоɞиɬɫя
имɟɟɬ
ɫɜоɟй
ɫɭммой
(
(
(
ɋлайɞ
304
Ɋазноɫɬь

ɟɫɬь
ɫɭмма

Ɍɟйлоɪа
n
x
n
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
)
(
!
)
(
)
(
...
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
(
(
(
ɮоɪмɭлой
Ɍɟйлоɪа
ɮɭнкции
n
Ɋяɞ
Ɍɟйлоɪа
ɋлайɞ
305
ɋɭмма
опɪɟɞɟлɟнию
ɪаɜна
ɪяɞ
Ɍɟйлоɪа
ɬого
чɬоɛы
Ɍɟйлоɪа
ɫхоɞилɫя
ɫɜоɟй
ɫɭмойнɟоɛхоɞимо
ɞоɫɬаɬочно
n
(
li
(
n
(
li
(
n
(
(
)
(
n
ɋлайɞ
306
Маɬɟмаɬичɟɫкий
Ɋяɞ
Маклоɪɟна
ɮɭнкции

ɬочкɟ
(
)
1
(
)
1
(
)
(
n
n
x
f
(
(
1
(
f
0
Эɬо
ɪазложɟниɟ
ɮɭнкции
мɟɫɬо
Тɫлоɜиɟ
ɜыполнɟно
ɟɫли
ɜɫɟ
пɪоизɜоɞныɟ
ɋлайɞ
307
x
n
x
n
0
)!
1
(
lim
x
f
(
1
(
(#
0
)
(
li
n
ɋлайɞ
308
полɭчиɬь
ɪазложɟния
!
)
0
(
...
!
2
)
0
(
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
(
2
n
n
f
x
f
x
f
f
x
f
)
(
.
1
x
f
,
)
(
x
f
,
)
(
(
x
f
1
)
0
(
e
f
,
1
)
0
(
1
)
(
(
x
f
...
!
...
!
2
1
n
x
x
x
e
x
ɋлайɞ
309
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
огɪаничɟны
x
f
)
(
1
(
(
ɋлайɞ
310
!
)
0
(
...
!
2
)
0
(
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
(
2
n
n
f
x
f
x
f
f
x
f
cos
)
(
0
0
si
0
(
1
)
0
(
sin
)
(
.
2
...
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
3
sin
2
3
x
x
x
x
n
si
(
,
0
)
0
(
cos
)
(
,
1
)
0
(
ɋлайɞ
311
ɪяɞ
ɫхоɞиɬɫя
огɪаничɟны
2
sin(
)
(
(
x
x
f
(
ɋлайɞ
312
Маɬɟмаɬичɟɫкий
ɪазложɟния
...
!
...
!
2
1
n
x
x
x
e
x
...
)!
2
(
)
1
(
...
!
2
1
cos
2
n
x
x
x
n
...
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
3
sin
2
3
x
x
x
x
n
(
R
(
(
эɬоɬ
ɪяɞ
почлɟнно
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟм
ɋлайɞ
313
...
...
1
1
1
x
x
1
1
)
1
(
...
3
1
2
1
)
1
ln(
3
2
n
n
n
x
x
x
x
1
(
1
(
эɬоɬ
ɪяɞ
почлɟнно
инɬɟгɪиɪɭɟм
...
)
1
(
...
1
)
(
1
1
1
1
n
x
x
x
x
1
(
ɋлайɞ
314
...
...
1
1
1
x
x
1
(
,
1
3
/
1
(
1
3
1
3
1
x
...)
3
...
3
3
1
(
3
1
n
x
x
3
...
3
3
3
1
3
2
2
n
n
x
x
3
(
,
1
3
ɋлайɞ
315
2
)
(
n
x
(
...
!
...
!
2
1
x
x
x
e
x
(
n
x
!
)
(
...
!
2
1
4
2
x
x
x
e
x
0
2
0
2
)
1
(
!
)
(
n
n
n
n
t
t
n
t
e
1
2
!
)
1
(
!
)
1
(
1
2
0
2
0
0
n
n
n
n
x
n
dt
t
n
dt
e
)
,
(
ɋлайɞ
316
Пɪиложɟния
ɫɬɟпɟнных
ɪяɞоɜ
Пɪиɛлижɟнноɟ
инɬɟгɪиɪоɜаниɟ
пɪɟɜоɫхоɞиɬ
пɟɪɜого
оɬɛɪошɟнного
члɟна
10
5
5
2
5
.
0
5
.
0
3
5
.
0
5
.
0
5
.
0
0
e
ɋлайɞ
317
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
Пɪиложɟния
ɫɬɟпɟнных
ɪяɞоɜ
Ɋɟшɟниɟ
заɞачи
y
y
,
0
)
0
(
1
)
0
(
y
ищɟм
ɫɭммы
ɪяɞа
Маклоɪɟна
!
)
0
(
...
!
2
)
0
(
!
1
)
0
(
)
0
(
(
2
ɋлайɞ
318
Маɬɟмаɬичɟɫкий
y
y
3
0
)
0
(
y
y
y
y
y
2
3
3
;
1
)
0
(
1
)
0
(
y
1
)
0
(
y
)
0
(
y
y
ɋлайɞ
319
1
)
0
(
0
)
0
(
y
3
4
x
y
y
x
y
y
y
7
3
3
4
7
)
0
(
ɋлайɞ
320
7
)
0
(
!
5
7
!
3
1
3
x
x
x
y
;
1
)
0
(
y
0
)
0
(
(
,
0
)
0
(
1
)
0
(
y
0
)
0
(
ɋлайɞ
321
Учебное издание
Бауман
Евгений Викторович
Басистов
Алексей Анатольевич
Шапошникова
Галина Александровна
Математический анализ
Сборник слайдов для студентов 1 курса ФЭМ (2
семестр)
Подписано в печать 31.05.13. Формат бумаги 60X90 1/8
Гарнитура
Times New Roman.
Тираж
190
экз
Заказ №
1559
Отпечатано во Всероссийской академии внешней торговли
Минэкономразвития №оссии. 119285, г. Москва, ул. Пудовкина, 4а.
Тел. (499) 143
1235,
mail : [email protected],
http://www.vavt.ru
УДК 51
ББК 22.1
232
№ецензент
к.ф
м.н., доцент МИ№ЭА В.В. Кирюшин
Бауман Е.В., Басистов А.А., Шапошникова Г.А.
232
Математический анализ: Сборник слайдов для студентов 1 курса ФЭМ
й семестр)/ Е.В. Бауман, А.А.
Басистов, Г.А. Шапошникова;
Всероссийская академия внешней торговли Минэкономразвития №оссии.
М.: ВАВТ, 2013.
57 c.
Данное издание представляет собой сборник слайдов курса лекций по
разделам математического анализа: функции многих переменных,
инте
грирование, дифференциальные уравнения, числовые и
функциональные ряды. Сборник составлен из слайдов лекций,
прочитанных во втором семестре на 1 курсе факультета экономистов
международников.
УДК 51
ББК 22.1
© ВАВТ Минэкономразвития
№оссии, 2013.
© Бауман Е.В., Басистов А.А., Шапошникова Г.А., 2013.
ВСЕРОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ
ВНЕШНЕЙ ТОРГОВЛИ
Минэкономразвития России
Кафедра информатики и
математики
Е.В. Бауман
А.А. Басистов
Г.А. Шапошникова
Математический анализ
Сборник слайдов для студентов 1 курса ФЭМ
й семестр)
Рекомендовано кафедрой
протокол заседания
№18 от 22 мая 2013 года
Одобрено Редакционно
издательским Советом ВАВТ
Москва
ВАВТ
2013
ВСЕРОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ
ВНЕШНЕЙ ТОРГОВЛИ
Минэкономразвития России
Кафедра информатики и математики
Е.В. Бауман
А.А. Басистов
Г.А. Шапошникова
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Сборник слайдов для студентов 1 курса ФЭМ
й семестр)
Москва
ВАВТ
2013

Приложенные файлы

  • pdf 18199294
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий