Reshenia_pervogo_varianta


Случайная величина ξ принимает значение номера Вашего варианта с вероятностью 1. Составьте закон распределения этой случайной величины, найдите значения , где N – номер варианта, и изобразите график функции распределения.
Решение. Эта задача исключительно на определения. НИЧЕГО сложного в ней нет. Прежде всего, вспомним, что называется законом распределения СВДТ. Это функция, заданная таблицей. В первой строке пишут те значения, которые СВ принимает, во второй – соответствующие вероятности. Так что в нашем случае это будет таблица из одного столбца.
1
1
Найдем значения функции распределения. Заметим, что .
, ,
Построим график функции распределения. Не забудьте ПРАВИЛЬНО подписать оси.
xFξ (x)
1
1
xFξ (x)
1
1

Игрок в казино 2 раза ставил на чёт, первая ставка была 1 у.е., вторая – 2 у.е. При выпадении чётного числа игрок получает удвоенную ставку, в противном случае ставка уходит в доход казино. Составьте закон распределения случайной величины – выигрыш игрока. Найдите .
Решение. Будем считать, что выпадение чётного или нечетного числа равновероятными, то есть если событие Ч – выпало чётное число очков, а Н – выпало нечётное число, то . Найдем все возможные значения случайной величины (учтите, что проигрыш – это отрицательный выигрыш), а случайная величина – числовая функция, заданная на элементарных исходах эксперимента. Таким образом, если игрок 2 раза делал ставку, то пространство элементарных исходов эксперимента .
/здесь с минусом стоят его ставки, а с плюсом – получаемый выигрыш/



То есть случайная величина принимает 4 возможных значения. Легко заметить, что , так как, например, . Составим закон распределения (см. выше, что это такое). – 3 – 1 1 3
1/4 1/4 1/4 1/4
Осталось найти числовые характеристики - математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
,

Выведите формулу для вычисления математического ожидания случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону с параметрами , .
Решение. Это мы делали на лекции в общем случае. Если хотите получить максимально возможное число баллов за этот номер, то нужно сразу рассматривать частный случай, а не писать «по памяти» общий вывод, после чего подставлять нужные числа. Нужен именно вывод, а не ответ, пусть даже правильный.
Дана плотность распределения случайной величины . Найдите параметр γ, .
Решение. Это мы тоже делали на лекции. Главная суть задания заключается в том, что надо помнить формулу для плотности нормального распределения. Брать неберущиеся интегралы в этом задании не предполагается. Так вот, вспомним, что нормальное распределение (распределение Гаусса) имеет плотность , причем параметры распределения и суть математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Так что задача сводится к рассмотрению дроби в показателе степени и выделению полного квадрата. Ответы будут получаться в обратном порядке, то есть сначала дисперсия, потом мат. ожидание и уже следом за ними – параметр γ.

, из чего заключаем, что , , а поскольку , получаем .
Дана плотность распределения случайной величины ξ : Найдите параметр .
Решение. В этом задании у Вас будет 2 варианта решения – или честно вычислять интегралы и подбирать сначала допустимое значение для параметров и числовых характеристик, или использовать известные распределения (равномерное или показательное – как повезет). Нужные интегралы я запишу, конечно, но брать не буду, потому что хочу пойти вторым путем, то есть схитрить.
Для вычисления λ нужно воспользоваться условием нормировки плотности, то есть .
В нашем случае, учитывая специфику плотности, . Из этого условия Вы найдете λ, если не поленитесь.
Осталось взять еще 2 интеграла: , . Оба интеграла берутся по частям.
Решим эту задачу по-другому, используя те факты, которые были получены на лекции для показательного распределения, потому что данное распределение лишь чуть-чуть от него отличается. Легко заметить, что в этом случае. .
Случайная величина распределена по закону . Найти .
388620024574500Решение. Здесь речь идет о нормальном распределении с параметрами , плотность распределения которого . Используем формулу: .

Таблицу постарайтесь найти и принести с собой. Если что, то несколько штук я возьму, конечно :)).Поезд движется равномерно со скоростью 80 км/час. Случайная величина ξ – показания спидометра в некоторый произвольный момент времени. Эта случайная величина может иметь:
А) распределение Пуассона;
В) биномиальное распределение;
С) геометрическое распределение;
D) равномерное распределение;
Е) показательное распределение;
F) нормальное распределение.
Что можно сказать о параметрах и числовых характеристиках этого распределения?
Решение. Учитывая тот факт, что приборы (в данном случае спидометр) всегда показывают с некоторой степенью точности, а также то, что при стуке колес, возможно, стрелка не является неподвижной, речь идет о нормальном распределении (F). По данным задачи мы можем определить только параметр . Он же равен математическому ожиданию.


На рисунке изображены плотности распределений двух случайных величин ξ и η, подчиняющихся нормальному закону с целыми параметрами. Справедливо утверждение:;
;
;
;
нет правильного ответа.
Решение. Сначала по графикам плотностей распределений найдем те самые целые параметры распределений. Для случайной величины ξ (красная линия) . Чтобы определить второй параметр σ можно или воспользоваться тем, что плотность имеет максимум при и равен он , но это не очень удобно. Лучше вспомнить правило «трех сигм», по которому с вероятностью 0,997 случайная величина принимает значение в промежутке . По графику видно, что для случайной величины ξ этот промежуток , а поскольку , то . Так что случайная величина ξ имеет распределение . Аналогично, случайная величина η распределена по закону . Значит, , . То есть утверждения А) и С) справедливы, а D) – нет. Проверим утверждение В). По свойству мат. ожидания . Правильный ответ: А), С).
423164064135ξ
η
–1
0
0
1
1/6
0
0
1/2
1
0
1/3
00ξ
η
–1
0
0
1
1/6
0
0
1/2
1
0
1/3
Распределение двумерного случайного вектора задано таблицей. Найдите коэффициент корреляции случайных величин и . Сделайте вывод о степени зависимости этих случайных величин.
Решение. Составим законы распределений случайных величин ξ и η, а также найдем их числовые характеристики.
ξ – 1 0 1
1/6 1/3 1/2


η 0 1
1/3 1/6+1/2=2/3
,
Чтобы вычислить коэффициент корреляции, нужно еще составить закон распределения произведения случайных величин. По исходной таблице видим, что возможные значения для произведения – это 0, – 1 и 1.

ξη– 1 0 1
1/6 1/3 1/2

Осталось вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о степени зависимости случайных величин.
.
Поскольку коэффициент корреляции отличен от нуля, случайные величины наверняка являются зависимыми, но т.к. коэффициент отличается от единицы (по модулю), эта зависимость не сильно напоминает линейную. /Заметим, что если коэффициент корреляции равен нулю, то это еще не значит, что случайные величины независимые/.
Дан статистический ряд: .
Найдите объем выборки
Постройте полигон частот
Найдите моду
Найдите медиану
Найдите межквартильный размах
Постройте график эмпирической функции распределения
Вычислите выборочное среднее
Найдите выборочную дисперсию
Найдите исправленную выборочную дисперсию
Решение. Статистический ряд – это множество пар чисел, в которых первое число равно значению выборки, а второе – его частота. То есть, например, число 0 в выборке встречается 10 раз.
Объем выборки – число значений в ней (число измерений соответствующей случайной величины. В нашем случае .
Полигон частот – многоугольник, вершинами которого являются точки, координаты которых заданы статистическим рядом. Постройте, пожалуйста, сами…
Мода – то значение, которое встречается чаще всего. Здесь .
Так как у нас 40 значений случайной величины, то медиана – среднее арифметическое 20-го и 21-го значений вариационного ряда (последовательности из всех 40 значений случайной величины, записанных в порядке возрастания). .
Межквартильный размах – разность между третьей и первой квартилью. .
График эмпирической функции распределения совпадает с графиком функции распределения СВДТ, закон которой задан таблицей (см. ниже). Постройте его, пожалуйста, сами.
– 1 0 3 4
5/40 10/40 15/40 10/40
Выборочное среднее
Выборочная дисперсия (являющаяся смещенной состоятельной оценкой дисперсии)
Исправленная выборочная дисперсия хороша тем, что кроме состоятельности является также несмещенной оценкой дисперсии. Вычисляется она очень просто: , а при больших объемах выборки мало отличается от обычной выборочной дисперсии.

На этом все – остальное скажу на консультации. Удачи!

Приложенные файлы

  • docx 18175084
    Размер файла: 431 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий