Modul_4_Velichiny

Например, если А = 5 кг, В = 3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.
3. Если величины А и В таковы, что В = х ( А, где х - положительное действительное число, и величина измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение величины В при единицы Е, достаточно число х умножить на число т (А): В = х ( А ( т (В) = х ( т(А).
Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то В = 3А =3( (2 ( кг) = (3( 2) ( кг = 6 кг.
Замечание. В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, т.е. х( А. Но разрешается писать и так: А( х. Тогда численное значение величины А умножают на х, если находят значение величины А ( х.
Рассмотренные понятия - объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 - численное значение массы яблок при единице массы - килограмм.
Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека - это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существует зависимость, выражаемая формулой s = vt.
Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. Так, например, длина и масса - это разнородные величины.

2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1, х2,..., хп, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.
В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х1, х2,..., хп и пишут х = х1 ( х2 (( хп
Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.
Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.
Пишут: Х = а ( Е или а = тЕ (Х).
Например, отрезок х (рис. 3) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е.
Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х - буквой X, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = mЕ (Х).
Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.
В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:
При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е (рис. 1), то мера длины отрезка будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3(Е1 или mЕ1 (Х) = 3.
Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у - из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.
Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.
3. Смысл суммы и разности
Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.
Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y) = а, m(Z) = b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, m(Х) = а + b = m(Y)+m(Z).
Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются числа а и b.
а + b = mЕ (Y) + mЕ (Z) = mЕ (Y + Z).
Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.
Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»
В задаче две величины - масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7+3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3 получим ответ на вопрос задачи.
Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей.
Из этой теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z , что z ( у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b.
а - в = тЕ (Y) - тЕ (Z) = тЕ (Y - Z).
Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.
Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?».
В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы капусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7-3. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.
При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах - массе моркови и массе картофеля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.
3кг
М.
2кг
К.
?
Рис. 4
Если построить вспомогательную модель задачи (рис. 4), то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс - слагаемых. Получаем выражение 3+2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

4. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел - мер величин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание - с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?».
В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы - килограмм при условии, что 1 пакет - это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при единице - килограмм, можно представить в таком виде: 3 пак. = 3·пак. = 3 · (2 кг) = 3 · 2 · кг = (3 · 2) кг.
Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.
Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е1, то мера длины отрезка х при единице длины Е1, равна а( b.
Доказательство. По условию отрезок х состоит из от отрезков равных е, а отрезок е - из b отрезков, равных е1 (рис. 5, а). Обозначим длину отрезка х буквой X, длину отрезка е - буквой Е, длину отрезка е1 - буквой Е1. Так как по условию 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, то Х = а ( Е, Е = b ( Е1 . Нетрудно видеть, что частей отрезка х, равных е1, будет а ( b, так как 13 EMBED Equation.3 1415. Это означает, что мера длины отрезка х при единице длины Е1 равна а( b. Можно записать, что Х = а(Е= а((в(Е1) = (а( b) ( Е1.






)


Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное
число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е при единице длины Е1, то произведение а( b - это мера длины отрезка х при единице длины Е1:а( в = тЕ (Х) ( тЕ1 (Е) = тЕ1 (Х).
Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей текстовых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину Х не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.
Задача 1. Объяснить смысл произведения 4(3, если 4 и 3 - числа, полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 4 = mЕ (Х), 3 = mЕ1 (Е), где Х - измеряемая величина, Е - первоначальная единица величины, а Е1 - новая единица величины. Тогда, согласно доказанной теореме, 4(3 = mЕ1 (X), т.е. 4(3 – это численное значение длины Х при единице длины Е1. Рассмотрим рисунок 5, б). Пусть Х - длина отрезка. Если Е- первоначальная единица длины, то = 4( Е. Если Е1 - новая единица длины, такая, что Е = 3Е1, то Х = 4 (Е= 4 ( (3(Е1) = (4( 3) Е1.
Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?» решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице - ручка, причем известно, что коробка - это 6 ручек. Тогда 3 кор. = 3( кор. = 3( (6 руч.) = 3 ( (6( руч.) = (3( 6) руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной единицы величины (коробка) к другой - ручка.
Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»
В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы - килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы - пакета, причем известно, что 1 пакет - это 2 кг.
Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице - пакет, можно представить в таком виде: 6кг = 6 ( кг = 6( (13 EMBED Equation.3 1415пак.) = (6 ( 13 EMBED Equation.3 1415) пак. = (6:2) пак.
Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.
Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е1 равна а: b.
Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше. Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число b - мера новой единицы длины Е1 при единице длины Е, то частное а: b - это мера длины отрезка х при единице длины Е1: а : b = mЕ (Х) : mЕ1 (Е1) = mЕ1 (Х).
Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.
Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.
Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.
«Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?»
Решение. В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины - метр, и известно численно значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей – платьем, причем известно, что платье - это 4 м, откуда метр - это 13 EMBED Equation.3 1415 платья.
Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице - платье, можно представить в таком виде: 12м = 12 ( м = 12 ( (13 EMBED Equation.3 1415пл.) = (12 ( 13 EMBED Equation.3 1415) ( пл. = (12 : 4) пл.
Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины (метр) к другой (платье), более крупной.
Итак, умножение и деление натуральных чисел - мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.
Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.
Напомним, что умножить величину А на натуральное число х – это значит получить такую величину В того же рода, что В = х ( А или В =А ( х, причем 13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х, т.е. если В = А ( х , то mЕ (В) = mЕ (А) ( х.
Рассмотрим, например, задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2 ( 3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.
Если В = А ( х, где х - натуральное число, В и А - величины одного рода, то с помощью деления решают две задачи:
зная А и В, находят число х (х = В: А), причем х = mЕ (В) : mЕ (А); это деление по содержанию;
зная В и х, находят А (А = В : х), причем mЕ (А ) = mЕ (В): х; это деление на равные части.
С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.
Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» и «меньше в».
Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.
«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»
Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.
Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи (рис. 6), то можно к. сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3-2, получим ответ на вопрос задачи.
3кг
М.

К.


ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ПОНЯТИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ СКАЛЯРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Цель. Уточнить на практике, что объекты (предметы, явления, процессы) могут обладать особыми свойствами, которые называются величинами. Основные положения, связанные с однородными величинами, использовать для решения задач по математике в начальной школе.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения.
Действия с положительными скалярными величинами.
Измерение величин в практической деятельности.
Стандартные единицы величин.
Основные понятия темы
положительная скалярная величина;
однородные величины;
разнородные величины.
Основные теоретические выводы
Объекты (предметы, явления, процессы) могут обладать особыми свойствами, которые называются величинами.
Свойство можно было считать величиной, если оно удовлетворяет ряду условий:
Для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А ( (, ( ( (, ( ( (.
Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А ( ( и В ( С, то А ( С.
Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода. Иными словами, для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С = А+В, которую называют суммой величин А и В.
Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.
Разностью величин А и В называется такая величина С=А - В, что А=В + С.
Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А ( В.
Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Более точно, для любой величины А и любого положительного действительного числа х существует единственная величина В= х ( А, которую называют произведением величины А на число х.
Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.
Частным величин А и В называется такое положительное действительное число х = А : В, что А= х ( В
Величины как свойства объектов проявляются при их сравнении, причем для каждой величины существует свой способ сравнения. Если выбрана единица величины, то величину можно измерить. В результате измерения получается число, которое называют численным значением величины или мерой величины при выбранной единице величины.
Введены записи Х= а(( и а = m( (Х), в которых Х – обозначает величину, ( - единицу величины, а – действительное число.
Практическая часть
О каких величинах идет речь в следующих предложениях:
а) Груши дороже яблок.
б) Книга тяжелее тетради.
в) Таня выше Светы.
Какие величины могут характеризовать следующие объекты:
а) карандаш; б) человек; в) озеро?
Имеются два куска проволоки. Каким образом можно сравнить их длины, не прибегая к измерению? Какими могут быть результаты сравнения?
Как можно сравнить массы двух предметов, не определяя массу каждого из них? Какими могут быть результаты сравнения?
На рисунке 1 изображены два прямоугольника, имеющие площади А и В.
А В



Постройте прямоугольник, площадь которого равна: а) А + В; б) 3 ( А; в)13 EMBED Equation.3 1415( В; г) В – А.
Разбейте на классы тремя способами следующие величины:
А - высота дерева; М - площадь доски;
В - 16кг; Н – 13с;
С - масса доски; К-26м;
Д - 25 см; L - длина веревки;
Е - возраст дерева; Р - толщина доски.
Назовите стандартные единицы, с помощью которых можно измерить величины, указанные в таблице. Запишите их.
Длина
Масса
Ширина
Объем
Время
Высота
Количество

О каких величинах идет речь в следующих предложениях:
а) В одной коробке 25 яблок, а в другой 30 яблок.
б) 15 яблок дороже, чем 8 груш.
в) В одном ящике 20 кг овощей, а в другом 12 кг овощей.
Какие из данных величин можно сравнить между собой:
1500м; 2,5 км; 18 штук; 8 десятков;
3ц; 1км 500м; 299 кг; 18 пар.
Сравните величины:
а) 56 мин и 13 EMBED Equation.3 1415ч; б) 13 EMBED Equation.3 1415м и 13 EMBED Equation.3 1415 дм;
в) 1,5 см и 13 EMBED Equation.3 1415дм; г) 13 EMBED Equation.3 1415кг и 1250 г.
Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины в каждом из следующих предложений:
а) В коробке 8 кг яблок.
б) Глубина оврага 2 м.
в) Площадь садового участка 6 соток.
г) В сервизе 6 тарелок.
д) Рост девочки 1 м 20 см.
Назовите величины и объекты, о которых говорится в задаче:
а) За тетради заплатили х р., а за карандаши на t р. меньше. Сколько стоили карандаши?
б) Мешок картофеля тяжелее ящика с луком на 2 кг. Какова масса мешка картофеля, если масса ящика с луком z кг?
в) На первой полке стояло х книг. На второй на у книг больше, а на третьей на y книг меньше, чем на первой полке. Сколько книг стояло на трех полках?
Назовите величины, о которых говорится в задаче, и действия с ними, которые будут выполнены в процессе решения:
а) В ящике было 24 кг апельсинов. Сначала из него взяли 5 кг, а потом в 3 раза больше, чем в первый раз. Сколько апельсинов осталось в ящике?
б) Для вышивания первого узора нужно 24 м ниток, для второго в 6 раз меньше, а для третьего - на 16м больше, чем для первого. Хватит ли 7 катушек для вышивания всех узоров, если в каждой катушке по 10 м ниток?
Решите задачи, предварительно установив, в чем их сходство и различие:
а) Со склада отправили в столовую и в магазин 8 машин с овощами. Магазин получил 24 т овощей, а столовая - в 3 раза меньше. Сколько машин с овощами отправили в магазин и сколько в столовую, если масса овощей в каждой машине была одинаковой?
б) Со склада отправили в столовую и в магазин несколько машин с овощами. Масса овощей в каждой машине была одинаковой. Магазин получил 24 т овощей, а столовая - в 3 раза меньше. Сколько машин с овощами отправили со склада, если в столовую отправили 2 машины?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Цель. Раскрыть смысл суммы, разности, произведения, частного, полученного в результате измерения величины. Обосновать на основе этого подхода выбор действий при решении текстовых задач в начальной школе.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.
Смысл суммы, разности, произведения и частного таких чисел.
Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе.
Определения, теоремы, выводы
Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1, х2,..., хп, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.
Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.
Пишут: Х = а ( Е или а = mЕ (Х).
натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.
При выбранной единице длины Е это число единственное.
Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.
Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.
Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е1, то мера длины отрезка х при единице длины Е, равна а( b.
Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е1 равна а: b.
Измерение величины позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.
Практическая часть
Какой смысл имеет натуральное число 7, если оно получено в результате измерения: а) длины отрезка; б) площади фигуры; в) массы тела?
Верно ли, что при увеличении единичного отрезка в k раз соответствующие численные значения длин отрезка уменьшаются во столько же раз?
Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи сложения:
а) Когда из ящика взяли 4 кг яблок, то в нем осталось 6 кг. Сколько килограммов яблок было в ящике первоначально?
б) На пошив кофты израсходовали 2 м ткани, а на платье на 3 м больше. Сколько метров ткани израсходовали на платье?
Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи вычитания:
а) От ленты длиной 5 м отрезали 2 м. Сколько метров ленты осталось?
б) С первого участка собрали 10 мешков картофеля, а со второго на 3 мешка меньше. Сколько мешков картофеля собрали со второго участка?
Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:
а) Мама купила 5 кг огурцов, 2 кг свеклы и помидоры. Сколько килограммов помидоров купила мама, если масса всех овощей 12 кг?
б) На одной полке 30 книг, на другой на 7 книг меньше. Сколько книг на двух полках?
в) От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, а потом еще 4дм. Сколько дециметров проволоки осталось?
г) За лето первоклассники собрали 8 кг лекарственных трав, второклассники на 4 кг больше первоклассников, а третьеклассники на 3кг меньше второклассников. Сколько килограммов лекарственных трав собрали третьеклассники?
Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи умножения:
а) В одной корзине 5 кг яблок. Сколько килограммов яблок в трех таких корзинах?
б) За один день Саша прочитывает 4 страницы книги. Сколько страниц в книге, если Саша прочитал ее за 6 дней.
Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи деления:
а) 8 кг варенья надо разложить в банки по 2 кг в каждую. Сколько получится банок?
б) На садовом участке посадили 15 кустов смородины по 5 кустов в каждом ряду. Сколько было рядов?
Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:
а) С трех овец настригли 18 кг шерсти. Сколько шерсти можно получить с 5 таких овец?
б) В пятиэтажном доме 80 квартир. На каждом этаже в подъезде и 4 квартиры. Сколько подъездов в этом доме?
Творческие задания
Решите задачи и выполните проверку решения. Какие величины рассматривались в задачах?
Экспедиция высадилась на Северном полюсе 21 мая 1937 года. Какого числа закончилась работа станции “Северный полюс-1”, если исторический дрейф продолжался 8 месяцев и 29 дней?
Первое кругосветное путешествие закончилось 6 сентября 1522 года и продолжалось 2 года 11 месяцев 17 дней. Определите дату отплытия Магеллана из Сен-Лукара (морской порт Севильи).
Старейшие российские университеты - Московский и Ленинградский были основаны 11 января 1755 года и 8 февраля 1819 года. Сколько времени прошло между основаниями Московского и Ленинградского университетов? Сколько времени существует каждый из этих университетов?
В хозяйстве под гречиху и овес отвели 700 га, причем площадь, отведенная под овес, была на 60 га больше площади, отведенной под гречиху. Сколько гектаров было отведено под овес и сколько под гречиху?
Прямоугольный участок с периметром 900 м и отношением длин сторон 1:8 занят под чайную плантацию. С 1 га снимали 50 кг чайного листа. Выход готового чая составляет четвертую часть массы чайного листа. Сколько 50-граммовых пачек чая и на какую сумму получится с чайного листа, собранного с этого участка, если пачка чая стоит 40 коп.?
Из 6 кг свекловицы получается 600 г сахара рафинада. Сколько сахара получится из 500 кг свекловицы?
Делая в среднем по 42 км/час., поезд прошел расстояние между городами за 30 часов. С какой скоростью должен идти поезд, чтобы пройти это же расстояние за 24 часа?
За 125 кВт/час. электроэнергии уплатили 25 грн. Сколько надо уплатить за 75 кВт/час. электроэнергии?
36 рабочих закончили работу за 20 дней, работая по 8 часов в день. За сколько дней 40 рабочих выполнят ту же работу, работая по 6 часов в день?

ТЕМА 19. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
Содержание
Понятие геометрической фигуры.
Углы.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Треугольники.
Четырехугольники.
Многоугольники.
Окружность и круг.
Построение геометрических фигур на плоскости.
9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
Основная литература (4, 5, 13, 14, 15, 28, 29, 34(;
Дополнительная литература (13, 49, 51, 65, 68, 75, 76, 78, 85(

1. Понятие геометрической фигуры
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Отрезок, прямая, круг, шар - геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.
Например, отрезок, прямоугольник - это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Например, объединением двух лучей АВ и МК (рис. 1) является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.
К А М В

Рис. 1
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры.
Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
Фигура F1, изображенная на рисунке 2, выпуклая, а фигура F2 - невыпуклая.

F2
X

Y


Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться в том, что выпуклой фигурой является круг (рис. 3). Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге и, значит, круг - выпуклая фигура.
Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.
Основываясь на этих понятиях, рассмотрим другие геометрические фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии. Рассмотрим их определения и основные свойства, принимая их без доказательства. Знание этого материала и умение применять к решению несложных геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику обучения младших школьников элементам геометрии.
2. Углы
Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - его вершиной.
Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла: ( А, ( (k, l), ( АВС.
Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.
Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.
Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.
Плоский угол - это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.
Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Сумма смежных углов равна 180°. Справедливость этого свойства вытекает из определения смежных углов.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Углы АОВ и СОВ, а также углы АОС и D0В - вертикальные (рис. 4).
Вертикальные углы равны.
Справедливость этого свойства вытекает из определения вертикальных углов и свойства смежных углов.

3. Параллельные и перпендикулярные прямые
Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Если прямая а параллельная прямой b, то пишут а || b.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, и прежде всего признаки параллельности.
Признаками называют теоремы, в которых устанавливается наличие какого-либо свойства объекта, находящегося в определенной ситуации. В частности, необходимость рассмотрения признаков параллельности прямых вызвана тем, что нередко в практике требуется решить вопрос о взаимном расположении двух прямых, но в то же время нельзя непосредственно воспользоваться определением.
Рассмотрим следующие признаки параллельности прямых:
Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Справедливо утверждение, обратное второму признаку параллельности прямых: если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°.
Важное свойство параллельных прямых раскрывается в теореме, носящей имя древнегреческого математика Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Если прямая а перпендикулярна прямой b, то пишут а ± b. Основные свойства перпендикулярных прямых нашли отражение в двух теоремах:
1. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую, и только одну.
2. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения. Конец этого отрезка называется основанием перпендикуляра.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой.

4. Треугольники
Треугольник - одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку - тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.
Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся в египетских папирусах. Например, в них предлагается находить площадь равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение площади.
Многие свойства треугольников были открыты и доказаны математиками Древней Греции. Среди них - знаменитая теорема Пифагора.
Рассмотрим основные понятия, связанные с треугольником.
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающими более быстрое решение вопроса об отношениях между ними. Таких признаков три.
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Отметим еще несколько важных свойств треугольников.
1. Сумма углов треугольника равна 180°. Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.
2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Для прямоугольного треугольника с углом 30° справедливо следующее свойство: катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

5. Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.
Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называют четырехугольником (или плоским четырехугольником).
Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСD (рис. 5) вершины А и В - соседние, а вершины А и С - противолежащие; стороны АВ и ВС - соседние, ВС и АD -противолежащие; отрезки АС и ВD -диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD (рис. 5) - выпуклый, а четырехугольник КРМТ (рис. 6) невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Пусть АВСD - параллелограмм. Из вершины В на прямую АD опустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD (рис. 7). Отрезок СМ - высота параллелограмма АВСD, соответствующая сторонам СD и АВ. Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник - параллелограмм.
Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:
1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции обладает следующим свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Исходя из этого определения, можно доказать, что диагонали прямоугольника равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом.
Следовательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

6. Многоугольники
Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.
Ломаной А1А2А3Аn называется фигура, которая состоит из точек А1,А2,А3,,Аn, и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3, ... Аn-1Аn.
Точки А1,А2,А3,,Аn называются вершинами ломаной, а отрезки А1А2, А2А3, ... Аn-1Аn - ее звеньями.
Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой.
Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке 8, можно сказать, что: А1,А2,А3,А4,А5,А6 -простая; А1,А2,А3 - простая замкнутая; А1,А2,А3,А4 - замкнутая ломаная, но она не является простой, так как имеет самопересечение. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.



Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья - его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).
Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником - квадрат.
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°-(n - 2).
В геометрии, кроме выпуклых и невыпуклых многоугольников, рассматривают еще многоугольные фигуры.
Многоугольной фигурой называется объединение конечного множества многоугольников (рис. 9).







Многоугольники, из которых состоит многоугольная фигура, могут не иметь общих внутренних точек (рис. 9, 1, 2); могут иметь общие внутренние точки (рис. 9, 3).
Говорят, что многоугольная фигура Р состоит из многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами фигуры не имеют общих внутренних точек. Например, о многоугольных фигурах, изображенных на рисунке 9 можно сказать, что они состоят из двух многоугольных фигур или что они разбиты (каждая) на две многоугольные фигуры.

7. Окружность и круг
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных отданной точки, называемой центром.
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
13 EMBED Word.Picture.8 1415


Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга.
Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.
Напомним некоторые свойства окружности и круга.
Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности - точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис.10). Справедливо и обратное утверждение.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. На рисунке 11, а штриховкой отмечен центральный угол, которому соответствует дуга АВ.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность. Угол ВАС на рисунке 11, б) вписан в окружность. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той дуге, которая не содержит точку А, называется центральным, соответствующим данному вписанному углу.
Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла.
Из этого утверждения следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В, принадлежащие окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 12).
В частности, углы, опирающиеся на диаметр, - прямые.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Правило нахождения центра такой окружности обосновывается следующей теоремой:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Из последних двух теорем следует, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности, а серединные перпендикуляры - в центре описанной.
Можно доказать, что медианы треугольника, так же как и его высоты, пересекаются в одной точке. Точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот - ортоцентром.
Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре точки, их называют замечательными: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр, - в которых пересекаются соответствующие элементы этого треугольника - медианы, биссектрисы, серединные перпендикуляры и высоты.
В связи с тем, что во всякий треугольник можно вписать окружность и около всякого треугольника можно описать окружность, возникает вопрос: обладают ли аналогичным свойством четырехугольники? Оказывается, для того чтобы в четырехугольник можно было вписать или около него описать окружность, необходимо, чтобы он был правильным.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

8. Построение геометрических фигур на плоскости.
Одной из важных задач геометрии является построение фигур с заданными свойствами при помощи чертежных инструментов. Мы будем рассматривать только такие построения, которые можно выполнить с помощью циркуля и линейки. Задачи на построение - это, пожалуй, самые древние математические задачи, они помогают лучше понять свойства геометрических фигур, способствуют развитию графических умений. Учителю начальных классов эти знания и умения необходимы, так как при изучении геометрического материала можно приобщать детей к построению фигур с помощью циркуля и линейки, но делать это надо грамотно, с учетом правил решения задач на построение в геометрии.
Существуют условия, которые надо соблюдать при построении фигур с помощью циркуля и линейки.
Циркуль - это инструмент, позволяющий построить:
а) окружность, если построены ее центр и отрезок, равный радиусу (или его концы);
б) любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены ее центр и концы этих дуг.
Линейка используется как инструмент, позволяющий построить:
а) отрезок, соединяющий две построенные точки;
б) прямую, проходящую через две построенные точки;
в) луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.
С помощью циркуля и линейки можно также изобразить:
а) любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют;
б) точку, заведомо не принадлежащую какой-либо построенной фигуре;
в) точку, принадлежащую какой-либо построенной фигуре.
С помощью основных построений решаются некоторые задачи, достаточно простые и часто встречающиеся при решении других, более сложных. Такие задачи считаются элементарными и описания их решения, если они встречаются при решении более сложных, не дается. Выбор элементарных задач является условным.
Задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.
1. Построить на данной прямой отрезок СО, равный данному отрезку АВ.
Возможность такого построения вытекает из аксиомы откладывания отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется следующим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность радиусом, равным отрезку АВ. Точку пересечения окружности с прямой а обозначаем В. Получаем отрезок СО, равный АВ.
2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Пусть даны угол А и полупрямая с начальной точкой О. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла (рис. 13, а). Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим В и С. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О (рис. 13, б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В'. Опишем окружность с центром В' и радиусом ВС. Точка С пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.
Построенный угол В'ОС' равен углу ВАС, так как это соответствующие углы равных треугольников АВС и В'ОС'.
3. Найти середину отрезка.
Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности одного радиуса с центрами А и В (рис. 14). Они пересекаются в точках С и С', лежащих в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Проведем прямую СС'. Она пересечет прямую АВ в точке О. Эта точка и есть середина отрезка А В.
Действительно, треугольники САС' и СВС' равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов АСО и ОСВ. Значит, отрезок СО - биссектриса равнобедренного треугольника АСВ и, следовательно, его медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.
4. Построить биссектрису данного угла.
Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 15). Пусть В и С - точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С описываем окружности одного радиуса. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А. Тогда полупрямая АD и есть биссектриса угла А. Докажем это. Для этого рассмотрим треугольники АВD и АСD. Они равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство соответствующих углов DАВ и DАС, т.е. луч АD делит угол ВАС пополам и, следовательно, является биссектрисой.
5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Пусть даны точка О и прямая а. Возможны два случая:
1) точка О лежит на прямой а;
2) точка О не лежит на прямой а.
В первом случае построение выполняется так же, как и в задаче 4, потому что перпендикуляр из точки О, лежащей на прямой, - это биссектриса развернутого угла (рис. 16).
Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а (рис. 17), а затем из точек А и В тем же радиусом проводим еще две окружности. Пусть О' - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая 00' и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО'. Треугольники АОВ и АО'В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О'АС и, значит, треугольники ОАС и О'АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы АСО и АСО' равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.

9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
Главной задачей геометрии является обоснование правил построения фигур с заданными свойствами. Но при построении используется понятие равенства фигур, определить которое можно через понятие преобразования.
Пусть задана некоторая фигура Р и каждой точке фигуры Р поставлена в соответствие единственная точка плоскости. Множество точек, сопоставленных точкам фигуры Р, является некоторой фигурой Р', вообще говоря, отличной от Р. Говорят, что фигура Р' получена преобразованием фигуры Р. Можно сказать также, что фигура Р' является образом фигуры Р для данного преобразования, а фигура Р - прообразом фигуры Р'.
Если А' - точка фигуры Р', соответствующая точке А фигуры Р, то говорят, что А' - образ точки А, а точка А - прообраз точки А'.
Преобразования, изучаемые в геометрии, как правило, являются взаимно однозначными, т.е. такими, при которых разным точкам фигуры соответствуют разные образы. Простейший случай взаимно однозначного преобразования - это преобразование, при котором каждой точке А фигуры вставится в соответствие эта же точка, т.е. образом фигуры Р является сама эта фигура. Такое преобразование называется тождественным преобразованием.
Рассмотрим примеры преобразований фигур.
1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
Пусть О - фиксированная точка и А - произвольная точка плоскости. Точка А' называется симметричной точке А относительно точки О, если точки А, О, А' лежат на одной прямой и ОА = ОА' (рис. 18). Точка, симметричная точке О, есть сама эта точка.
Пусть Р - данная фигура и О - фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры Р в фигуру Р', при котором каждая точка А фигуры Р переходит в точку А' фигуры Р', симметричную А относительно точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 19 выполнено преобразование треугольника АВС в симметричный ему относительно точки О треугольник А'В'С'.
Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру в себя, то фигура называется центрально симметричной, а точка О - ее центром симметрии.
Например, центрально симметричными являются параллелограмм (центром симметрии в нем является точка пересечения диагоналей), окружность с центром в точке О.
2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
Пусть р - фиксированная прямая. Тогда А' называется симметричной точке А относительно прямой р, если прямая АА' перпендикулярна прямой р и ОА' = ОА, где О - точка пересечения прямых АА' и р (рис. 20).
Если точка А лежит на прямой р, то симметричная ей точка есть сама точка А. Точка, симметричная точке А', есть точка А.
Пусть Р - данная фигура и р - фиксированная прямая. Преобразование фигуры Р в фигуру Р', при котором каждая точка А фигуры Р переходит в точку А' фигуры Р', симметрично относительно прямой р, называется преобразованием симметрии относительно прямой?. При этом фигуры Р и Р' называются симметричными относительно прямой р. На рисунке 20 изображены треугольники АВС и А'В'С', симметричные относительно прямой р.
Если преобразование симметрии относительно прямой р переводит фигуру Р в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой р, прямая р называется осью симметрии фигуры. Например, осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения его диагоналей параллельно сторонам.
3. Гомотетия.
Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 21). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный kОХ, где k - положительное число.
Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в такую точку X', что ОХ' = kОХ, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F' называются гомотетичными.
На рисунке 21 четырехугольник А'В'C'D' гомотетичен четырехугольнику ABCD. Центр гомотетии - точка О, а ее коэффициент равен 2.

10. Движения и равенство фигур
Из различных преобразований фигур самыми важными являются такие, при которых сохраняются все их свойства; расстояние между точками, углы, параллельность отрезков, площади и т.д. Оказывается, что для этого достаточно потребовать только сохранения расстояния между точками данной фигуры. Тогда у фигуры, которая получается при преобразовании, сохраняются и все остальные геометрические свойства, так как они зависят от расстояний.
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F', которое сохраняет расстояние между точками, называется движением фигуры F.
Движение сопоставляет любым точкам А и В фигуры Этакие точки А' и В' фигуры F', что АВ = А'В'. В геометрии доказано, что преобразования симметрии относительно точки и прямой, являются движениями. Кроме того, движениями являются параллельный перенос фигуры, поворот фигуры вокруг точки на данный угол.
Движения фигур обладают рядом свойств, некоторые из которых мы сформулируем, не доказывая.
1. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
2. Отрезок движением переводится в отрезок, луч переходит в луч, прямая - в прямую.
3. Треугольник движением переводится в треугольник.
4. Движение сохраняет величины углов.
5. Преобразование, обратное движению, также является движением. В геометрии движения играют важную роль. Изменяя расположение фигур на плоскости, они не меняют ни их размеры, ни их формы. С точки зрения геометра, фигуры, отличающиеся лишь своим положением на плоскости, совершенно одинаковы, именно поэтому они называются равными (или конгруэнтными). Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Например, равные треугольники имеют не только соответственно равные стороны и углы, но и соответственно равные медианы, высоты, площади и т.д.
Определение. Фигура F равна фигуре F', если фигуру F' можно получить некоторым движением фигуры F.
Используя понятие взаимно однозначного соответствия, это определение можно сформулировать так: фигуры F и F' называются равными, если между их точками существует такое взаимно однозначное соответствие, что отрезки, соединяющие соответственные точки, равны.
Устанавливая равенство отрезков, углов, треугольников и других фигур, нет необходимости преобразовывать одну фигуру в другую. Достаточно сравнить те размеры фигур, которые их однозначно определяют. Например, у треугольников сравнить расстояния между вершинами, т.е. длины сторон.
Когда же рассматривают произвольные фигуры, необходимо определение их равенства через движение.
Нетрудно убедиться в том, что равенство фигур рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Поэтому это отношение порождает на множестве геометрических фигур классы эквивалентности, содержащие равные между собой фигуры. С позиций геометрии такие фигуры неразличимы и их можно принять за одну и ту же фигуру. Именно поэтому можно сказать, что задача построения прямоугольника по двум сторонам а и b имеет только одно решение.
Сказанное позволяет уточнить наше понимание предмета геометрии - она изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Или, другими словами, геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Цель. Обобщить и систематизировать основные понятия планиметрии и их свойства. Уметь решать практические задачи на их применение.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
История возникновения и развития геометрии.
Свойства геометрических фигур на плоскости: углы.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Треугольники.
Четырехугольники.
Многоугольники.
Окружность и круг.
Основные понятия темы
отрезок, луч;
угол (прямой, острый, тупой), смежные углы, вертикальные углы;
параллельные прямые, перпендикулярные прямые;
треугольник (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний);
четырехугольник (выпуклый, невыпуклый), параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат;
многоугольник (выпуклый, невыпуклый), многоугольная фигура;
окружность, касательная к окружности, круг.
Практическая часть
Углы
Назовите свойства угла, которые включены в его определение. Можете ли вы назвать другие свойства понятия “угол”?
Вспомните определение биссектрисы угла. Как, не используя чертежных инструментов, найти биссектрису угла, вырезанного из бумаги?
Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой?
Как расположены центры окружностей одного и того же радиуса, проходящих через данную точку?
Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки?
Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.
Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности прямые.
Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.
Как найти центр окружности, если он неизвестен?
В данной окружности проведены два диаметра и концы их попарно соединены хордами. Докажите, что получившийся четырехугольник - прямоугольник.
В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены?
В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?
Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, располагая только рулеткой.
Острый угол между диагоналями прямоугольника 60°, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Угол при вершине равнобедренного треугольника 120°, боковая его сторона 4 дм. Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника.
Параллельные и перпендикулярные прямые
Какие свойства параллельных прямых включены в их определение и в аксиому параллельных?
Как построить параллельные прямые с помощью линейки и чертежного треугольника? На каком признаке параллельности основано это построение?
Верны ли следующие утверждения:
а) Если две прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны.
б) Если при пересечении двух параллельных прямых третьей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.
Как практически проверить, параллельны ли две данные прямые, начерченные на бумаге?
Докажите, что две прямые, лежащие в одной плоскости и перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, параллельны между собой.
Углы АВС и СВD - смежные, угол СВD равен 13 EMBED Equation.3 1415. Определите угол между перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой АD, и биссектрисой угла АВС.
Треугольники
Можно ли из палочек длиной 10 см, 6 см, 4 см сложить треугольник?
Как установить, равны два треугольника или нет?
Назовите свойства равнобедренного треугольника. Какие из них содержатся в определении, а какие надо доказывать?
Отвечают ли требованиям, предъявляемым к определениям понятий, следующие формулировки: а) Треугольник, у которого две стороны и два угла равны, называется равнобедренным. б) Средней линией треугольника называется прямая, проходящая через середины двух его сторон. в) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и параллельный основанию.
Могут ли равносторонние треугольники быть: а) прямоугольными; б) тупоугольными? Ответ обоснуйте.
Установите вид треугольника (по углам), если один из его внутренних углов: а) равен сумме двух других; б) больше суммы двух других; в) меньше суммы двух других.
Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два остроугольных?
Прямая р пересекает отрезок А В в точке О, являющейся его серединой. Докажите, что точки A и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой р.
Отрезки АВ и СО пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого. Докажите, что АС и ВО параллельны.
Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму: а) прямоугольного треугольника; б) равностороннего треугольника?
Четырехугольники
Постройте параллелограмм АВСD и его высоты, выходящие из вершины С.
Обоснуйте следующий способ построения параллелограмма, предложенный младшим школьникам: «Проведи две пересекающиеся прямые. При помощи циркуля отложи на одной прямой от точки пересечения равные отрезки. Затем на другой прямой таким же образом отложи равные отрезки (не обязательно такой же длины, что и на первой прямой). Получится параллелограмм».
Докажите, что всякий параллелограмм, у которого диагонали равны, есть прямоугольник.
Мастерская изготовила пластины четырехугольной формы. Как проверить, будет ли пластина иметь форму прямоугольника, располагая лишь линейкой с делениями.
Мастеру надо изготовить щит, который должен полностью закрыть нишу прямоугольной формы. Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить этот щит?
Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.
Докажите, что почтовый конверт склеивается из листа бумаги, имеющей форму ромба (припуски на склеивание не учитывать).
Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая проверка?
Столяру нужно изготовить подставку в форме четырехугольника. Какие размеры должен он иметь для выполнения заказа? Что должен измерить столяр, если подставка имеет форму: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) квадрата?
Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Докажите, что отрезки прямых, соединяющих середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.
Земельный участок, имеющий форму трапеции, отдан под спортивный городок. Какие размеры должен снять землемер, чтобы начертить план этого участка?
Многоугольники
Сформулируйте определение простой замкнутой ломаной и постройте такую фигуру.
Расстояние от пункта А до пункта В равно 3 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Каково наибольшее и наименьшее расстояние от пункта А до пункта С?
Могут ли все углы выпуклого четырехугольника быть: а) тупыми; б) острыми; в) прямыми?
Сколько прямых углов может иметь: а) параллелограмм; б) трапеция?
Дан квадрат, разрезанный по диагонали на два треугольника. Сколько выпуклых многоугольников, отличных от квадрата, можно составить из этих треугольников?
Квадрат разрезан по своим диагоналям. Сколько выпуклых многоугольников, отличных от квадрата, можно составить из четырех образовавшихся треугольников?
Разрежьте по диагонали произвольный прямоугольник и из полученных треугольников составьте всевозможные выпуклые многоугольники.
Назовите свойства правильного многоугольника. Можете ли вы привести пример многоугольника, не являющегося правильным, но имеющего: а) все равные между собой углы; б) все равные стороны?
Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов равна 40d?
Можно ли сложить паркет из правильных: а) треугольников, б) пятиугольников; в) восьмиугольников; г) восьмиугольников и квадратов?
Круг и окружность
Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой?
Как расположены центры окружностей одного и того же радиуса, проходящих через данную точку?
Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки?
Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.
Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности, прямые.
Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.
Как найти центр окружности, если он неизвестен?
В данной окружности проведены два диаметра и концы их попарно соединены хордами. Докажите, что получившийся четырехугольник - прямоугольник.
В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены?
В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?
Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, располагая только рулеткой.
Острый угол между диагоналями прямоугольника 60°, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Угол при вершине равнобедренного треугольника 120°, боковая его сторона 4 дм. Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ
Цель. Научится строить геометрические фигуры на плоскости с помощью циркуля и линейки по определенным правилам, которые используются в курсе начальной математики.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Роль геометрических построений в процессе изучения геометрии.
Элементарные задачи на построение.
Основные понятия темы
построение геометрических фигур с заданными свойствами при помощи циркуля и линейки осуществляется по определенным правилам. Прежде всего надо знать, какие построения можно выполнять с помощью линейки, не имеющей делений, и с помощью циркуля. Эти построения называют основными. Кроме того, надо уметь решать элементарные задачи на построение, т.е. уметь строить:
отрезок, равный данному;
угол, равный данному;
середину отрезка;
биссектрису данного угла;
прямую, перпендикулярную данной прямой, и проходящую через данную точку;
прямую, параллельную данной, и проходящую через данную точку.
Процесс решения более сложных задач на построение разбивается на 4 этапа и основывается на умении решать элементарные задачи.
Практическая часть
Постройте с помощью циркуля и линейки сумму и разность двух данных: а) отрезков; б) углов.
Разделите данный угол на 4 равные части.
Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему, треугольник АВС.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по известным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?
Даны отрезок р, два угла а и (. Всегда ли можно построить треугольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы равны а и (.
Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у которого известны его стороны а и b.
Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте: а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон; б) квадрат со стороной p; в) квадрат, диагональ которого задана.
Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?
Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.
Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.
С помощью циркуля и линейки постройте ромб по: а) известным диагоналям; б) известной стороне и одному из углов при его вершине; в) углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; г)стороне и диагонали.
Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
По каким данным можно построить равнобедренный треугольник? Во всех возможных случаях выполните построения.


ТЕМА 20. ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
Содержание
1. Свойства параллельного проектирования.
2. Многогранники и их изображение.
3. Шар, цилиндр, конус и их изображение.
Основная литература (4, 5, 13, 14, 15, 28, 29, 34(;
Дополнительная литература (13, 15, 49, 51, 65, 68, 75, 76, 78, 85(

Введение
При изучении элементов геометрии в начальной школе учащиеся часто знакомятся с пространственными фигурами: кубом, прямоугольным параллелепипедом, пирамидой, шаром, цилиндром, конусом. Эти фигуры являются важнейшими объектами геометрии в пространстве, называемой стереометрией. Чтобы облегчить изучение их свойств, пространственные тела изображают на плоскости, используя при этом правила параллельного проектирования. Поскольку ознакомление младших школьников с пространственными фигурами также связано с их изображением на плоскости, то учителю начальных классов надо знать эти правила и уметь правильно изображать на листе бумаги (на доске) куб, шар, пирамиду и другие геометрические тела.
1. Свойства параллельного проектирования
Пусть даны плоскость ( и пересекающая ее прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку X, не принадлежащую прямой а, и проведем черйз Х прямую а', параллельную прямой а (рис. 1). Прямая а' пересекает плоскость в некоторой точке X', которая называется параллельной проекцией точки Х на плоскость ( .
Если точка Х лежит на прямой а, то ее параллельной проекцией А' является точка, в которой прямая а пересекает плоскость (.
Если точка Х принадлежит плоскости (, то точка X' совпадает с точкой X.
Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а, то каждой точке Х пространства можно поставить в соответствие единственную точку Х' - параллельную проекцию точки Х на плоскость ( (при проектировании параллельно прямой а). Плоскость ( называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она задает направление проектирования - при замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задают одно и то же направление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.
Проекцией фигуры F называется множество F' проекцией всех ее точек. Отображение, сопоставляющее каждой точке Х фигуры F ее параллельную проекцию - точку X' фигуры F', называется параллельным проектированием фигуры F(рис.2).
Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность, при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.
Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, опустив их доказательство.
Теорема. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:
1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок.
2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.
При изображении геометрических тел на плоскости необходимо следить за тем, чтобы указанные свойства выполнялись. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непараллельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается произвольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то на проекции его медиана должна соединять вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
И еще одно требование необходимо соблюдать при изображении пространственных тел на плоскости - это способствовать созданию верного представления о них.

2. Многогранники и их изображение
Напомним определения многогранника и некоторых его видов.
Многогранник - это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждого из ограничивающих его многоугольников. Многоугольник на поверхности многогранника называется его гранью. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней - вершинами многогранника.
Простейшие многогранники - это призма и пирамида.
Призмой называется многогранник, у которого две грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основанию.
Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник.
Призма, у которой основание - параллелограмм, называется параллелепипедом.
Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.
Куб - это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого - квадраты.
Изобразим, например, наклонную призму, основанием которой являются квадраты.
Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования оно изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 3, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные прямые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА', ВВ', СС', DD', длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А', В', С', D', получим четырехугольник А'В'С'D', изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А'В'С'D' - параллелограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются равные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.
Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рисунке 3, б.
Кроме того, чертеж на рисунке 3 можно считать изображением правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным параллелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.
Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) - какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) - треугольники с общей вершиной.
Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пирамиды.
Простейшей пирамидой является треугольная пирамида - тетраэдр. У нее наименьшее возможное число граней - всего четыре. Любая ее грань может считаться основанием, что и отличает тетраэдр от других пирамид.
Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник и высота проходит через центр этого многоугольника.
Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят правильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок 0S, изображающий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка 0S обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.
Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием которой является правильный шестиугольник.
Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 4) и, значит, при параллельном проектировании он изобразится произвольным параллелограммом В'С'Е'F'. Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам ВС и ЕFи АО = ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным отрезом А'D', проходящим через точку О' параллельно В'С' и Е'F' и, кроме того, А'О' = О'D'.
Таким образом, последовательность построения основания шестиугольной пирамиды такова (рис. 5):
- изображают произвольный параллелограмм В'С'Е'F' и его диагонали; отмечают точку их пересечения О';
- через точку О' проводят прямую, параллельную В'С' (или Е'F');
- на построенной прямой выбирают произвольную точку А' и отмечают точку D' такую, что (О'D' = А'С', и соединяют точку А' с точками В' и F', а точку D' с точками С' и Е'.
Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикальный отрезок O'S (его длина выбирается произвольно) и соединяют точку S со всеми вершинами основания.
Завершая рассмотрение многогранников, отметим еще их одно интересное свойство, установленное Л. Эйлером.
Пусть дан выпуклый многогранник и b - число его вершин, р -число ребер, r - число граней. Тогда b - р + r = 2 для любого выпуклого многогранника. Например, правильная шестиугольная пирамида имеет 7 вершин (b = 7), 12 ребер (р = 12) и 7 граней (r = 7). Тогда b - р + r =7- 12+ 7 = 2. На основании теоремы Эйлера можно заключить, что существует пять и только пять видов правильных многогранников, т.е. таких выпуклых многогранников, у которых все грани - равные друг другу правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Это - тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр (рис. 6).














3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
Шар - одна из простейших фигур, обладающая разнообразными свойствами. Некоторые из них были известны еще древнегреческим математикам.
Поверхность шара называется сферой. Определяются сфера и шар аналогично тому, как определяются окружность и круг на плоскости.
Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - ее радиусом.
Шаром называется множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка - это центр шара, а данное расстояние - радиус шара.
Заметим, что радиусом шара и сферы называют не только расстояние, но также любой отрезок, соединяющий их центр с точкой на сфере.
Диаметр шара и сферы - это любой отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, а также длина этого отрезка.
Если шар пересечь плоскостью, проходящей через его центр, то пересечением будет круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Этот круг называют большим кругом, а его окружность - большой окружностью или экватором.
При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более наглядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 7). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикулярен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим прямую, перпендикулярную А В, и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касательную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстояние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОМ и 0S, равные СМ, получим полюсы N и S.
Рассмотрим один из приемов построения эллипса: строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 8). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эллипс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.
Этот прием можно использовать, изображая на плоскости круговой цилиндр и круговой конус. Мы будем рассматривать только прямой круговой цилиндр - геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований (рис. 9).
Радиусом цилиндра называется радиус окружности его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Его осью называется прямая, проходящая через центры окружностей оснований.
Конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку - его вершину - с точками некоторого круга -основания конуса.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются его образующими.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром окружности основания, перпендикулярна основанию.
Высотой конуса называется расстояние от его вершины до основания.
Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эллипс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает высоту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это делают на глаз, прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса (рис. 10).

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ
Цель. Уметь правильно изображать на листе бумаги куб, шар, пирамиду и другие геометрические тела, знать их основные свойства
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Свойства параллельного проектирования.
Многогранники их изображение.
Шар, цилиндр, конус и их изображение.
Основные понятия темы
многогранник (выпуклый многогранник);
призма (прямая призма, правильная призма);
параллелепипед (прямоугольный параллелепипед);
куб;
шар;
сфера;
прямой круговой цилиндр;
прямой круговой конус.
При изображении их на плоскости используются свойства параллельного проектирования и сформулировали эти свойства.
Л.Эйлером установлена зависимость между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, которая выражается формулой b - р + r = 2, где b - число вершин, р - число ребер, r-число граней.
Практическая часть
Верно ли, что при параллельном проектировании проекцией параллелограмма будет произвольный параллелограмм?
Каким будет при параллельном проектировании изображение прямоугольника? ромба? квадрата?
Как найти при параллельном проектировании проекцию точки пересечения высот равностороннего треугольника?
Изобразите на листе бумаги: а) прямую призму, основаниями которой являются правильные шестиугольники; б) параллелепипед; в) правильную пирамиду, основанием которой является квадрат.
Проверьте, выполняется ли теорема Эйлера для четырехугольной: а) призмы; б)пирамиды.
Выпуклый многогранник имеет 6 вершин и 8 граней. Найдите число ребер и изобразите этот многогранник.
Выпуклый многогранник имеет 8 вершин и 6 граней. Найдите число ребер и изобразите его.
Изобразите на листе бумаги шар и параллельную проекцию шара.
Изобразите на листе бумаги конус.
Изобразите на листе бумаги: а) прямую призму, основаниями которой являются правильные шестиугольники; б) параллелепипед; в) правильную пирамиду, основанием которой является квадрат.
Проверьте, выполняется ли теорема Эйлера для четырехугольной: а) призмы; б) пирамиды.
Выпуклый многогранник имеет 6 вершин и 8 граней. Найдите число ребер и изобразите этот многогранник.
Выпуклый многогранник имеет 8 вершин и 6 граней. Найдите число ребер и изобразите его.

ТЕМА 21. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Содержание
1. Длина отрезка и ее измерение.
2. Величина угла и ее измерение.
3. Понятие площади и ее измерение.
4. Площадь многоугольника.
5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение.
Основная литература (4, 5, 13, 14, 15, 26, 28, 29, 34(;
Дополнительная литература (13, 49, 51, 65, 68, 75, 76, 78, 85(

Введение. Геометрические величины - это свойства геометрических фигур, характеризующих их форму и размеры. К ним относятся: длина, площадь, объем и величина угла. Это скалярные величины, так как они определяются своими численными значениями.
В геометрии прежде всего изучают то число, которое получается в результате измерения величины, т.е. меру величины при выбранной единице величины. Поэтому часто это число называют длиной, площадью, объемом. Относительно этого числа решают различные теоретические задачи, в частности, каким требованиям оно должно удовлетворять как мера величины, существует ли оно, каким образом его можно определить. Вообще правила измерения геометрических величин и их обоснование - важнейшая задача геометрии.
Вопросы, связанные с измерением геометрических величин, достаточно трудны, поэтому рассмотрим их в небольшом объеме, особо выделив те, которые непосредственно связаны с изучением величин в начальной школе.

1. Длина отрезка и ее измерение
Понятие длины отрезка и ее измерения были уже использованы неоднократно, в частности, когда рассматривали натуральное число как меру величины. В этом пункте мы только обобщим представления о длине отрезка как геометрической величине.
В геометрии длина - это величина, характеризующая протяженность отрезка, а также других линий (ломаной, кривой). В нашем курсе будет рассмотрено только понятие длины отрезка. При его определении будем использовать введенное в теме 18 понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, обладающая следующими свойствами: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины. В геометрии такой единицей является длина произвольного отрезка.
Как показано в теме 18, результатом измерения длины отрезка является положительное действительное число - его называют численным значением длины отрезка при выбранной единице длины или мерой длины данного отрезка. Если обозначить длину отрезка буквой X, единицу длины - Е, а получаемое при измерении действительное число - буквой а, то можно записать: а=mЕ (Х) или Х = а
·Е.
Получаемое при измерении длины отрезка положительное действительное число должно удовлетворять ряду требований:
1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин тоже равны.
2. Если отрезок х состоит из отрезков х1 и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х1 и х2.
3. При замене единицы длины численное значение длины данного отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
4. Численное значение длины единичного отрезка равно единице.
Доказано, что положительное действительное число, являющееся мерой длины заданного отрезка, всегда существует и единственно. Доказано также, что для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Заметим, что часто, ради краткости речи, численное значение длины отрезка называют просто длиной. Например, в задании «Найдите длину данного отрезка» под словом «длина» подразумевается численное значение длины отрезка. Не менее часто допускают и другую вольность - говорят: «Измерь отрезок» вместо «Измерь длину отрезка».
Задача. Построить отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза ?
Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е (рис. 1).









Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 10 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = 13 EMBED Equation.3 1415. Если от точки В отложить отрезок, равный 13 EMBED Equation.3 1415 единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.
Чтобы выполнить второе требование задачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим:
3,2 : 3 == 313 EMBED Equation.3 1415: 3 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 113 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 113 EMBED Equation.3 1415.

2. Величина угла и ее измерение
Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в геометрии нет.
Определение. Величиной угла называется положительная величина, определенная для каждого угла так, что: 1) равные углы имеют равные величины; 2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
Эти свойства лежат в основе измерения величины угла. Оно аналогично измерению длины отрезка и состоит в сравнении измеряемой величины угла с величиной угла, принятой за единицу. Единичный угол, а если нужно и его доли, откладываются на угле, величина которого измеряется. В результате получается численное значение величины угла или мера величины угла при данной единице измерения.
Число, которое получается в результате измерения величины угла, должно удовлетворять ряду требований - они аналогичны требованиям, предъявляемым к числовому значению длины отрезка.
На практике за единицу величины угла принимают градус -13 EMBED Equation.3 1415 часть прямого угла. Один градус записывают так: 1°. Величина прямого угла равна 90°, величина развернутого - 180°.
Градус делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Одну минуту обозначают 1', одну секунду – 1''. Так, если мера величины угла равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут 5°3'12". Если нужна большая точность в измерении величин углов, используют и доли секунды. Заметим, что часто вместо «величина угла» говорят «угол». Например, вместо «величина угла равна 45 градусам» говорят, что «угол равен 45 градусам».
На практике величины углов измеряют с помощью транспортира. Для более точных измерений пользуются и другими приборами.

3. Понятие площади фигуры и ее измерение
Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений.
Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь произвольной плоской фигуры, площадь поверхности многогранника и др. В нашем курсе речь будет идти только о площади многоугольника и произвольной плоской фигуры.
Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, будем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом: фигура F состоит (составлена) из фигур F1 и F2, если она является их объединением и у них нет общих внутренних точек.









В этой же ситуации можно говорить, что фигура F разбита на фигуры F1 и F2. Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 2, а, можно сказать, что она состоит из фигур F1 и F2, поскольку они не имеют общих внутренних точек. Фигуры F1 и F2 на рисунке 2, b имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура F состоит из фигур F1 и F2. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то пишут: F=F1 ( F2.
Определение. Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате измерения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:
1. Число S(F) - положительное.
2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.
3. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F1 и F2.
4. При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F) = 1.
6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значение площади фигуры F1 не больше численного значения площади фигуры F2, т.е. F1 ( F2 ( S (F1)
· S (F2) .
В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.
Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

4. Площадь многоугольника
Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение площади называют площадью, а численное значение длины отрезка - длиной.
Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.
Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка.
Доказательство. Если F - данный прямоугольник, а числа a, b - длины его сторон, то S(F) = a
· b. Докажем это.
Пусть а и b - натуральные числа. Тогда прямоугольник F можно разбить на единичные квадраты (рис. 3): F = Е ( Е ( Е ( ... ( Е. Всего их а
·b, так как имеем b рядов, в каждом из которых а квадратов. Отсюда S(F) = S(E)(S(E)((S(E)= a
·b
·S(E) = a
·b
Пусть теперь a и b - положительные рациональные числа: а =13 EMBED Equation.3 1415, b = 13 EMBED Equation.3 1415, где m, n, p, q - натуральные числа.
Приведем данные дроби к общему знаменателю: а =13 EMBED Equation.3 1415, b =13 EMBED Equation.3 1415. Разобьем сторону единичного квадрата Е на nq равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат Е разделится на (пq)2 более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата Е1. Тогда S(Е) = (пq)2
· S(E1), а поскольку S(Е)=1, то S(E1) = 13 EMBED Equation.3 1415
Так как а = 13 EMBED Equation.3 1415 , b = 13 EMBED Equation.3 1415 , то отрезок длиной 13 EMBED Equation.3 1415 укладывается на стороне a точно mq раз, а на стороне b - точно пр раз. Поэтому данный прямоугольник F будет состоять из mq
· np квадратов Е1. Следовательно,
S(F) = mq
· np
· S(E1) = mq
· np
· 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= a
· b
Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами а и b, то площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S(Р) = а
· b.
Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются положительными действительными числами, мы опускаем.
Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Доказательство. Пусть АВСD - параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 4). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) =S(АВСD) + S(СDЕ).
Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S(ВСЕF) + S(АВF).
Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.
Отсюда следует, что S(АВСD) = S(ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна площади прямоугольника ВСЕF и равна ВС
·ВF, а так как ВС = АD, то S(АВСD) = АD
·ВF.
Из этой теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.
Заметим, что слова «сторона» и «высота» в данных утверждениях обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.
Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности - r, а площадь правильного многоугольника - S, то, согласно данной теореме, S = 13 EMBED Equation.3 1415Р
·r.
Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на п треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности (рис.5). Эти
треугольники равны. Площадь каждого из них равна 13 EMBED Equation.3 1415
·r, где аn - сторона правильного n-угольника. Тогда площадь многоугольника равна 13 EMBED Equation.3 1415
·r
·n, но an
· n = Р. Следовательно, S = 13 EMBED Equation.3 1415
Если F - произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли полученные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказано, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.
Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.
Многоугольники F1 и F2 называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.
Например, равносоставлены параллелограмм АВСD и прямоугольник FВСЕ (рис. 4), так как параллелограмм состоит из фигур F1 и F2, а прямоугольник - из фигур F2 и F3, причем F1 = F3.
Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равновелики.
Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем математики П.Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.
Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.
Доказательство теоремы Бойяи-Гервина достаточно сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.
Пусть дан треугольник АВС (рис. 6). Проведем в нем высоту BD и среднюю линию KL. Построим прямоугольник, одной стороной которого является АС, a другая лежит на прямой KL. Так как пары треугольников АРК и КВТ, а также СLМ и ТВL равны, то треугольник АВС и прямоугольник АРМС равносоставлены.

5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной плоской фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?
Пусть F - произвольная плоская фигура. В геометрии считают, что она имеет площадь S(F), если выполняются следующие условия; существуют многоугольные фигуры, которые содержат F (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в F (назовем их входящими); площади этих многоугольных фигур как угодно мало отличаются от S(F). Поясним эти положения. На рисунке 7 показано, что фигура Q содержит фигуру Р, т.е. Q, - объемлющая фигура, а фигура Р содержится в F, т.е. Р - входящая фигура. На теоретико-множественном языке это означает, что 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, можно записать, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 для любых многоугольных фигур P и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.
Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг F радиуса r вписывают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают правильный n-угольник Q. Если обозначить символами S(Q) и S(P) площади этих многоугольников, то будем иметь, что 13 EMBED Equation.3 1415, причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных многоугольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.
Площадь правильного n-угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрастании числа его сторон периметр стремится к длине окружности 13 EMBED Equation.3 1415, а площадь - к площади круга. Поэтому Sкр = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415r 2.
Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы в частности, палетку.
Палетка - это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.
Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Р; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Q (рис. 8). Площади S(Р) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей:
S(F) =13 EMBED Equation.3 1415.
В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.
Нетрудно обосновать эти действия. Пусть m - число квадратов, которые поместились внутри фигуры F, а n - число квадратов, через которые проходит контур фигуры F. Тогда S(Р) = m, а S(Q) = m + n.
И значит, S(F) =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Цель. Рассмотреть основные свойства геометрических фигур из курса начальной математики, характеризующих их форму и размеры.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
Длина отрезка и ее измерение.
Величина угла и ее измерение.
Понятие площади фигуры и ее измерение.
Площадь многоугольника.
Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение.
Основные понятия темы
длина отрезка; численное значение длины отрезка (мера длины отрезка);
величина угла; численное значение величины угла (мера величины угла);
площадь фигуры; численное значение площади фигуры (мера площади фигуры);
площадь многоугольника и произвольной плоской фигуры;
равновеликие и равносоставленные фигуры.
косвенные способы вычисления площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, произвольного многоугольника.
теоремы о взаимосвязи равновеликости и равносоставленности многоугольных фигур;
способ измерения площади фигуры при помощи палетки.
Правила, замечания
Длина, площадь, величина угла характеризуются одинаковыми свойствами, но заданы на разных классах фигур: длина - на множестве отрезков, площадь - на множестве многоугольных и криволинейных фигур, величина угла - на множестве углов.
Понятие объема определяется аналогично тому, как это сделано для площади, и все выводы, сделанные для площади, переносятся на объем. Исключение составляет теорема Бойяи-Гервина, - для многогранников она не выполняется.
Практическая часть
Отметьте на прямой три равных отрезка: АВ, ВС и СД. Чему будет равна длина каждого их этих отрезков, если за единицу длины будет выбрана длина отрезка: а) АВ; б) АС; в) АД?
Из одного куска проволоки, не разрезая его, надо сделать каркас: а) треугольной пирамиды; б) четырехугольной пирамиды; в) куба. Каждое ребро этих многогранников равно 1 см. Какова наименьшая длина такой проволоки?
Существуют ли на плоскости три точки А, В и С, такие, что:
а) АС= 15см, АВ=8см, ВС=7см;
б) АС = 8 см, АВ = 25 см, ВС = 40 см;
в) АС = 14 см, АВ = 30 см, ВС = 40 см?
Постройте отрезок, длина которого 4,6 Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е:
а) увеличить в два раза; б) уменьшить в 1,5 раза?
Длину стола измеряли сначала в сантиметрах, потом в дециметрах. В первом случае получили число на 108 больше, чем во втором. Чему равна длина стола?
Углы а и (- смежные. Чему равен каждый из них, если: а) один из них больше другого на 60°; б) один из них больше другого в 3 раза?
Внутри прямого угла провели луч. Вычислите градусную меру каждого из полученных при этом углов, если: а) один из них больше другого на 89°; б) один из них в 90 раз больше другого; в) половина одного из них равна трети другого.
Измерьте величину угла между указательным и средним пальцами руки при максимальном отклонении друг от друга.
Пусть а и (- смежные углы. Запишите формулу, которая связывает между собой величины этих углов. Какой функцией является зависимость одной из этих величин от другой? Какова область ее определения и область значения? Каким будет график этой зависимости?
Два угла величиной 40° и 50° имеют общую сторону. Какой угол могут образовывать другие их стороны? Ответьте на тот же вопрос, если даны углы 140° и 150°.
Углы ВАК и САМ - прямые. Угол САК равен 10°. Найдите величину угла ВАМ. Решите задачу в общем виде для произвольного по величине угла САК.
Площадь фигуры F равна сумме площадей фигур F1 и F2. Значит ли это, что фигура F составлена из фигур F1 и F2.
Два треугольника имеют равные площади. Следует ли из этого, что они равны?
Верно ли, что:
а) Численные значения площади одной и той же фигуры могут быть различными?
б) Численные значения неравных фигур могут быть равными?
в) Равновеликие фигуры равны?
Известно, что площадь фигуры 34,78 см2. Каким будет численное значение площади этой фигуры, если измерить ее в квадратных дециметрах?
Докажите, что площадь любого треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.
Площадь прямоугольника равна 12 см, длины его сторон выражаются натуральными числами. Сколько различных прямоугольников можно построить согласно этим условиям?
Прямые а и b параллельны. Точка В движется по прямой b, занимая положение B1,B2, B3 и т.д., а точки A и С остаются неподвижными. Равновелики ли треугольники АB1С, AB2С и т.д.?
Длины сторон параллелограмма 6 и 12 см, а высота его, проведенная к меньшей стороне, 10 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне параллелограмма.
Докажите, что всякая трапеция равносоставлена с прямоугольником, одна сторона которого равна средней линии трапеции, а другая ее высоте.
На фигуру F наложили палетку и подсчитали, что внутри фигура F содержится фигура, составленная из 28 единичных квадратов, а фигура F содержится внутри фигуры, состоящей из 35 единичных квадратов. Каково приближенное значение площади фигуры F?
Начертите круг радиуса 2 см на клетчатой бумаге и найдите его площадь, используя клетчатую бумагу как палетку, состоящую из квадратов со стороной, равной: а) 1 см; б) 0,5 см.
Вычислите площадь этого круга по формуле, приняв ( = 3,14. Сравните полученные результаты.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература
Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 кл.загальноосвіт.навч.закладів /М.І. Шкіль, З.І.Слепкань, О.С.Дубинчук. .- К.: Зодіак-ЕКО, 2003.- 272 с.
Алгебра і початки аналізу: Підручник для 11 кл. загальноосвіт.навч.закладів /М.І. Шкіль, З.І.Слепкань, О.С.Дубинчук. .- К.: Зодіак-ЕКО, 2003.- 400 с.
Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – М.: Наука, 1976. – 96 с.
Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владіміров В.М., Владіміров Н.Г. Геометрія: Підр. для 10–11кл. – К., 2000. – 239 с.
Беланько О.П. Геометрія: Розв’язання вправ і задач до підр.О.В.Погорєлова 10–11 кл. – Харків, 2001. – 240 с.
Бердлянд И.Е. Загадки числа: Воображаемые уроки в 1 классе школы диалога культур: (Пособие для учителя(. – М.: Academiа, 1996. – 381с.
Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навч.посібник. – К.: А.С.К., 1998.- 352 с.
Богданович М.В.Методика розв’язання задач у початковій школі: Навч. посібник.- К.: Вища школа, 1990.- 183 с.
Бурда М.І., Дубинчук О.С., Мальований Ю.І. Математика: Проб. навч. пос.для 10–11 кл. – К., 2001. – 224 с.
Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н., Рождественская В.Б., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике. - М.: Просвещение, 1977. - 206 с.
Виленкин Н.Я., Пышкало А.М., Рождественский В.Б., Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие для студентов пединститутов по специальности 2121 «Педагогика и методика начального обучения». - М.: Просвещение, 1977. - 352 с.
Воробьев Н.Н. Признаки делимости. – М.: Наука, 1988. – 96 с.
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике: Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики. – М., 1975. –414с.
Гальперин П. Я., Талызина Н. Ф. Формирование начальных геометрических понятий на основе организованного действия учащихся // Вопросы психологии. – 1957. - № 1. – C. 28 – 44.
Игнатенко Н.Я. Геометрия: Пособие для поступающих в вузы/МОН Украины, МОН АР Крым, РВУЗ «КГУ». – К.: Пед. пресса, 2005. – 212 с.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб.заведений. – М.: Академия, 1998. -288 с.
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1970. – Т.1. – 151с.; 1967. – Т.2. – 300 с.; 1972. – Т.3. – 495 с.
История отечественной математики. – Киев: Навук. Думка, 1968. – Т.1. – 492 с.; 1967.- Т.2. – 616 с.; 1968. – Т.3. – 726 с.; 1970. – Т. 4. – Кн.1. – 883 с.; Т.4. – Кн.2. – 668 с.
Ігнатенко М. Я. Раціональні алгебраїчні рівняння: Методи розвязування: Навч. – метод. посіб. У 2 ч. – Ялта: РВВ КДГЇ, 2002. – Ч. 1. – 32 с.Ч. 2. – 40 с
Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. – М.: Просвещение, 1977. – Ч.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. – 110 с.
Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. – М.: Просвещение, 1977. – Ч.2.
Коровкин П.П. Неравенства. – М.: Наука, 1974. – 72 с. - ( Популярные лекции по математике).
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М., 1990. – 416 с.
Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики: Уч. пос. –М., 1987. – 400 с.
Математика в понятиях, определениях и терминах: пос. для уч.Ч.1./ Под ред. Л.В. Сабинина. – М., 1987. – 320 с.
Овчинникова М. В. Методика изучения темы “Величины” на уроках математики в начальных классах: Методические рекомендации для студентов специальности “Начальное обучение. Дошкольное воспитание”. – Ялта: РИО КГГИ, 2001. – 56 с.
Овчинникова М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах: Учебно-методическое пособие - К.: Пед. пресса, 2002. – 128 с.
Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992. – 383 с.
Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія: Підр. для 10–11 кл.– К., 2001. –128 с.
Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. - К.: Радянська школа, 1983. - 192 с.
Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник для студ. мат. спец.пед. навч. закл. - К.: Зодіак - ЕКО, 2000. - 512 с.
Слєпкань З.І. Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей / В кн. Математика. Посібник для факультативних занять у 10 кл. За ред. проф. І.Є.Шиманского, - К. Рад. Школа, 1970.
Стойлова Л. П., Пышкало А. М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся пед. уч-щ по спец. № 2001 «Преподавание в нач. классах общеобразоват. шк.» – М.: Просвещение, 1988.– 320 с.: ил.
Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ.высш.пед.учеб.заведений.- М.: Издательский центр «Академия», 1999.- 424 с.
Фомин С.В. Системы счисления. – М.: Наука, 1980. – 48 с. – (Популярные лекции по математике).
Фридман Л.М. Учитесь учиться математике. - М.: Просвещение, 1985. - 112 с.
Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1989. - 191 с.
Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.

Дополнительная литература
Аммосова Н.В. Понятие функциональной зависимости в начальной школе //Начальная школа. – 2000. - № 5. – С.109.
Артемов А.К. Теоретико–методические особенности поиска способов решения математических задач // Начальная школа. – 1998. - № 11-12. - С.48
Ахметгалиев А.А. Свертывание процесса рассуждения // Начальная школа. – 2000. - № 7. – С. 83.
Бадма – Гаряева М. В. Развитие вычислительных навыков у учащихся 1 класса. // Начальная школа. – 1999. - № 11.- С. 21
Баринова О. Дифференцированное обучение решению математических задач // Начальная школа. – 1999.- № 2.- С. 41.
Богданович М. Задачи з єкономічним змістом// Початкова школа. – 2000.- № 9 –С. 41
Бурменская Г.В., Евдокимова Л.В. Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков. // Вопросы по психологии. – 2007. - № 2. – С. 30-43
Вайнтрауб М. Алгоритм побудови таблиці множення // Початкова школа. – 2000. - № 10. – С. 34
Воловичева Л.А. Развивающие возможности задач на движение // Начальная школа. – 2001. - № 3. – С. 106
Гребенникова Н. Л. Решение задач на зависимость величин разными способами. // Начальная школа. – 1999. - № 2. – С. 45
Демидова Т. Е., Тонких А. П. Подготовка учителей к обучению школьников выполнять проверку решения задач // Начальная школа. – 2000. - № 11. – С. 116.
Демидова Т. Е., Тонких А.П. Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения // Начальная школа. – 2001. - № 3. – С.100
Демидова Т. Е., Тонких А.П. Геометрический метод решения текстовых задач в курсе математики факультетов подготовки учителей начальных классов // Начальная школа. – 2000. - № 5. – С.100
Дудко Л., Московенко В. Розв’язання задач з пропорційними величинами . // Початкова школа. – 2007. - №10. – С.26-37
Ефимов В. Ф. Об изучении элементов стереометрии в начальном курсе математики // Начальная школа. – 2000. - № 12. – С. 53.
Жданов А.В. Сократ как педагог // Математика в школе. - 2001. - №2. – С. 2-8.
Жукова З.П. Развитие интеллектуальных способностей младших школьников в ходе игры // Начальная школа. – 2006. - № 5. – С. 30-52
Жукова С. Розвиток логічного мислення учнів початковіх класів шляхом вивчення формальної логіки // Початкова школа. – 2001. - № 2. – С. 47.
Заіка А. Учням про задачу і процесс її роз’язування // Початкова школа. – 1998. -№ 3- С. 22.
Зайцева С.А., Целищева И.И. Организация работы над текстовой задачей на основе модели. // Начальное образование. – 2007. - № 4. – С. 9-15
Зверкина Г. А. Евклид: жизнь и сочинения // Математика в школе. – 2001. - № 4. – С. 2.
Иванов С. А. Углубленное математическое образование в школе сегодня.(Математика в школе XXI века // Математика в школе. – 2001. - № 2. – С. 40.
Иванова Г.С. Средство для самостоятельной и взаимной проверки сформированности вычислительных навыков // Начальная школа. –2007. - №4. – С. 73
Иванова О. Валеологічні задачі на уроках математики //Початкова школа. –1999. -№ 2. –С. 10
Іванців М. Порівняння на уроках математики. // Початкова школа.- 1999.- № 1. – С. 19.
Киргуева Ф. Х. Работа над математическими понятиями. // Начальная школа. – 2001. - № 6. – С. 50.
Клецкина А.А. Формирование навыков табличного умножения // Начальная школа. – 2001. - № 9. – С. 78
Коростелева О. А. Методика работы над уравнениями в начальной школе //Начальная школа плюс – минус. – 2001. - № 2. – С. 36.
Кочина Л. Формування обчислювальних навичок першокласників // Поч. шк. – 2003. - № 3. – С. 24-27
Кривошея Т. Активизація образного мислення першокласників у процесі формування елементарних математичних понять. (Освіта вчителя) // Початкова школа. – 1999. - № 2, 3. – С. 52., С. 49
Ларин С.В. Целые числа и житейские представления о них // Математика в школе. - 2001. - №2. – С. 44 - 49.
Левитас Г.Г. Нестандартные задачи в курсе математики начальной школы // Начальная школа. – 2001. - № 5. – С. 61.
Левченко Л. А. Особенности изучения геометрического материала в программе РО по математике в начальной школе. //Відкритий урок. – 2001. - № 9 – 10. – С. 57
Лемшина Т. Организация усвоения деления на многозначное число //Начальная школа. Прилож. К газете. «Первое сентября». – 2001. -№1.-С.2-3
Лобок А. М. Вероятностное образование в вопросах и ответах // Лучшие страницы педагогической прессы. – 2001. - № 1. – С. 42.
Логачевська С. Методичні рекомендації до посібників “Вчимося роз’язувати задачі” // Поч. шк. – 2003. - № 3. – С. 27-31
Малахина В. В. и др. Схематический рисунок при решении задач. // Начальная школа. – 1998. - № 11-12.- С.56
Матвеева Н.А. Различные арифметические способы решения задач // Начальная школа. – 2001. - № 3. – С.29
Мельник Н. Развитие логического мышления при изучении математики.// Начальная школа. – 1997. № 5. – С. 63
Митрохина С.В. Методическая подготовка учителя начальных классов в контексте коммуникативных технологий. // Начальная школа. – 2007. - № 6. – С.20-24
Московченко В., Дудко Л. Розв’язування математичних задач на рух. // Початкова школа. – 2001. - № 6. – С. 25
Московченко В., Дудко Л. Розв’язування математичних задач на рух.// Початкова школа. – 2000. - № 11. – С. 37
Никитина Г. Н. О признаках делимости натуральных чисел // Начальная школа. – 1998.- № 1. –С. 108 –111
Никитина М.П. О сознательном усвоении математических понятий //Начальная школа. – 2000. - № 3. – С. 39.
Николау Л. Задачи повышенной трудности // Начальная школа. – 1998. - № 7.-С. 55
Николау Л.Л. Использование старинных задач для развития интереса к математике // Начальная школа. – 2002. - № 5. – С. 69
Николау Л.Л. Старинные задачи – для развития интереса к математике // Начальная школа. – 2001. - № 5. – С.67
Одиниці вимірювання часу: Урок з математики у 3 класі // Початкова школа. – 2001. - № 2. – С. 23.
Орел Л. Реалізація принципу наступності під час вивчення геометричного матеріалу// Початкова школа. – 2003. - № 3. – С. 31-34.
Останина Е.Е Обучение школьников приему классификации // Начальная школа. – 2000.- №4. – С. 52 – 56
Пазушко Ж.И. Развивающая геометрия в начальной школе. // Начальная школа. – 1999. - № 1. – С. 93
Пентегова Г. А. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. – 2000. - № 11. – С. 74.
Пестерева К.А. Система работы над задачей // Начальная школа. – 1998. - № 11-12.- С.54
Петіна Є. Нестандартні завдання на уроках математики // Початкова школа. Освіта. – 2000.- №5 – С.4
Петрова В.И. Загадки с числами // Начальная школа. – 2007. - № 1. – С.92
Пичугин С.С. К вопросу о развитии творческих способностей младших школьников на уроках математики // Начальная школа. – 2006. - № 5. – С.41-47
Пичугин С.С. Организация творческой работы с геометрическим материалом // Начальная школа. –2007. - № 4. – С. 47 – 52
Платон как искатель истины // Математика в школе. - 2001. - №3. – С. 2-6.
Понамарева Л. О профессиональном становлении будущего учителя // Начальная школа. - 2000. – № 10. – С. 6.
Попов Г. Н. Краткий очерк научной деятельности Архимеда // Математика в школе. – 2001. - № 5. – С. 2.
Прохорова С. Смелей, подумай! Найди ответ // Начальная школа. – 1997. - № 6. – С. 26 – 28
Радченко В. П. Способ подбора при решении задач // Начальная школа. – 1998. - № 11-12.- С.61
Развитие логичности мышления у младших школьников// Начальная школа. – 2000. - № 7. – С. 77.
Ренье А. Диалог о том, что такое математика // Математика в школе. - 2001. - №2. – с.8 - 12.
Романова Д. Геометрические построения на клетчатой бумаге //Начальная школа. – 2001. - № 2. – С. 74.
Рудакова Е.А. Языковая составляющая математической и методической подготовки учителя начальных классов. // Начальная школа. – 2007. - № 7. – С.69-75
Саввина О.А. Эстетический потенциал истории математики // Математика в школе. - 2001. - №3. – С. 69 - 73.
Савенков А. Задачи для развития объемно – пространственного мышления школьников // Начальная школа. – 1998. -№ 7 – С. 59
Савенков А. И.. Задачи для развития конвергентного мышления. // Начальная школа. – 1997. - № 6. – С. 19 – 24
Савина Л.П. Усвоение таблицы умножения // Начальная школа. – 2006. - № 1. – С. 46-48
Скворцова С. Формування умінь розв(язувати задачі на пропорційне ділення.// Початкова школа.- 1999.- №4- С. 16.
СмирноваС. И. Использование чертежа при решении простых задач.// Начальная школа. – 1998.- №5 – С. 53
Степанов М.Е. Математика и мифология // Математика в школе. - 2001. - №3. –С. 12 - 13.
Сурикова С.В., Анисимова М.В. Использование графовых моделей при решении задач // Начальная школа. – 2000. - № 4. – С. 56 – 63
Сутягина В.И. Организация подготовки студентов к обучению младших школьников элементам геометрии на основе идей гуманитаризации образования// Начальная школа. – 2006. - № 2. – С.11-15
Тарасова О.В. Роль наглядной геометрии в обеспечении преемственности при обучении математике // Начальная школа. – 2001. - № 5. – С.57
Тихоненко А. В. Изучение мер времени // Начальная школа. – 1998.- № 1. – С. 94 – 102
Тихоненко А. В. Интеллектуальное развитие учащихся в процессе формирования геометрических понятий и представлений // Начальная школа. – 2001. - № 2. – С. 71.
Тихоненко А.В. Изучение понятия величины по системе развивающего обучения В.В. Давыдова //Начальная школа. – 2000. - № 4. – С. 86.
Тихонова Н. Задачи в развивающем обучении математике // Начальная школа. – 1998. - №7 – С. 51
Туркина В. Н. Работа по составлению таблицы умножения // Начальная школа. – 1998. -№ 5. – С. 58
Хабибулина Н. Математика вокруг нас // Начальная школа. Прилож. К газете. «Первое сентября». – 2001. -№2.- С.2
Царева С. Е. Обучение решению задач // Начальная школа. – 1998. -№1- С. 102-108
Шадрина И. В. Различные подходы к раскрытию смысла умножения // Начальная школа. – 1998. - № 9. – С. 94
Шадрина И.В. Принципы построения системы обучения младших школьников элементам геометрии // Начальная школа. – 2001. - № 10. – С.37
Шапортова О. Установление логических связей.// Начальная школа. Прилож. К газете «Первое сентября». – 2001. – № 6.- С.3
Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и ее роль в общем образовании // Математика в школе. - 2001. - №3. –С. 6 - 12.
Шикова Р. Н. Использование задач с экономическим содержанием на уроках математики // Начальная школа. – 1998. №1- С. 85-89
Шикова Р. Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел // Начальная школа. – 2000.- №12. – С. 48.
Шикова Р. Н. Решение задач на движение в одном направлении // Начальная школа. – 2000.- №5. – С. 30
Шикова Р.Н. К вопросу об изучении величин в начальной школе // Начальная школа. – 2006. - № 5. – С.48-52
Штабова Л. Активизация навчально–пізнавальної діяльності першокласніків у доцифровой період навчання математики // Початкова школа. – 2001. № 9. – С. 36.











Учебное пособие



НАЧАЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ



Глузман Неля Анатольевна
кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования РВУЗ «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)




Под редакцией проф. Игнатенко Н.Я., проф. Яковец В.П.








Замовлено до друку 05.03.2008. Зам. № 167
Формат 84х108/32. Папір офс. Друк офс. Обл.-вид.арк.6.5
Наклад 50 прим. Віддруковоно з оригіналів

Відруковано Редакційно-видавничим центром КГУ
98635, Україна, Автономна Республіка Крим, м. Ялта, вул. Севастопольська, 2.
Тел./ факс 32-30-13









13PAGE 143015


13PAGE 1431215


13PAGE 15



C

O

D

А

Рис. 3



Y

Х

В

А

Рис. 2

F2

F1

13 EMBED Word.Picture.8 1415

К

Х
Y

Рис. 6

?

Рис. 5

б)

а)

Е1

е

е1

Е

Х

б)

а)

Рис. 11

Рис. 10


х

Рис. 3

е1

е

х






А

Рис. 17

Рис. 16

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 13

Рис.12


3

2

1

Рис. 9

Рис. 8

Рис.7

Рис.5

Рис.6

Т

М

Р

Рис.4

B

А'

О

Рис. 18

А

В

С

В'

О

А'

С'

Рис. 19

В

В'

А

А'

С

С'

р

Рис. 20

Рис .21

Рис. 1

Рис. 2

Рис.3

Рис.4

Тетраэдр

Октаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

Рис. 7

Рис.6

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 5


Куб

Рис. 2

а

б

Е

F

b

а

Рис. 3

С

А

В

Е

Е1

Рис. 1

F1

F2

F1

F2

C

B

A F

D E

F1

F2

F3

Рис. 4

Рис. 5

В

D

A

C

P K T L M

Рис. 6


Q

P

F

Рис. 7

Рис. 8

Q

F

Р



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15

Приложенные файлы

  • doc 18171958
    Размер файла: 751 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий