Voprosy_Dlya_Biletov_Po_Mopr_1__1


TOC \o "1-3" \h \z \u 1.Кинематика манипулятора и основные задачи кинематики. PAGEREF _Toc390246631 \h 32.Матрицы элементарных поворотов. PAGEREF _Toc390246632 \h 43.Матрицы сложных поворотов. PAGEREF _Toc390246633 \h 54.Матрица поворота вокруг произвольной оси. PAGEREF _Toc390246634 \h 75.Представление матриц поворота через углы Эйлера. PAGEREF _Toc390246635 \h 86.Геометрический смысл и свойства матриц поворота. PAGEREF _Toc390246636 \h 117.Однородные координаты и матрицы преобразования. PAGEREF _Toc390246637 \h 128.Звенья, сочленения и их параметры. PAGEREF _Toc390246638 \h 149.Элементарные сочленения. PAGEREF _Toc390246639 \h 1510.Представление Денавита-Хартенберга. PAGEREF _Toc390246640 \h 1611.Уравнения кинематики манипулятора Пума. PAGEREF _Toc390246641 \h 1712.Классификация манипуляторов. PAGEREF _Toc390246642 \h 2013.Обратная задача кинематики PAGEREF _Toc390246643 \h 2114.Метод обратных преобразований. PAGEREF _Toc390246644 \h 2215.Геометрический подход к решению обратной задачи манипулятора Пума. PAGEREF _Toc390246645 \h 2516.Определение различных конфигураций манипулятора Пума. PAGEREF _Toc390246646 \h 2617.Решение обратной задачи кинематики для первого сочленения манипулятора Пума. PAGEREF _Toc390246647 \h 2718.Решение обратной задачи кинематики для второго сочленения манипулятора Пума PAGEREF _Toc390246648 \h 2919.Решение обратной задачи кинематики для третьего сочленения манипулятора Пума PAGEREF _Toc390246649 \h 3120.Решение обратной задачи кинематики для последних трех сочленений манипулятора Пума (общие положения). PAGEREF _Toc390246650 \h 3321.Решение обратной задачи кинематики для четвертого сочленения манипулятора Пума PAGEREF _Toc390246651 \h 3422.Решение обратной задачи кинематики для пятого сочленения манипулятора Пума PAGEREF _Toc390246652 \h 3623.Решение обратной задачи кинематики для шестого сочленения манипулятора Пума PAGEREF _Toc390246653 \h 3724.Уравнения вида конфигурации для определения индикаторов конфигурации манипулятора. PAGEREF _Toc390246654 \h 3825.Динамика манипулятора (общие положения, основные задачи и методы решения) PAGEREF _Toc390246655 \h 4026.Метод Лагранжа-Эйлера. PAGEREF _Toc390246656 \h 4127.Определение скорости произвольной точки звена манипулятора методом Лагранжа-Эйлера PAGEREF _Toc390246657 \h 4228.Кинетическая и потенциальная энергия в соответствии с методом Лагранжа-Эйлера. PAGEREF _Toc390246658 \h 4629.Уравнения движения манипулятора в соответствии с методом Лагранжа-Эйлера. PAGEREF _Toc390246659 \h 4830.Уравнения движения манипулятора с вращательными сочленениями в соответствии с методом Лагранжа-Эйлера. PAGEREF _Toc390246660 \h 5031.Уравнения Ньютона-Эйлера для вращающейся системы координат. PAGEREF _Toc390246661 \h 5332.Уравнения Ньютона-Эйлера для подвижной системы координат PAGEREF _Toc390246662 \h 57

Кинематика манипулятора и основные задачи кинематики.Предметом кинематики манипулятора является аналитическое описание геометрии движения манипулятора относительно некоторой заданной абсолютной системы координат без учёта сил и моментов, порождающих это движение. Таким образом, задачей кинематики является аналитическое описание пространственного расположения манипулятора в зависимости от времени и, в частности, установление связи между значениями присоединённых координат манипулятора и положением и ориентацией его схвата в декартовом пространстве.
Механический манипулятор можно рассматривать как разомкнутую цепь, которая состоит из нескольких твёрдых звеньев, последовательно соединенных вращательными или поступательными сочленениями, приводимых в движение силовыми приводами.
Основные задачи кинематики манипулятора:
Для конкретного манипулятора по известному вектору присоединённых углов (обобщённых координат q(t)=(q1(t),q2(t),...,qn(t))) и заданным геометрическим параметром звеньев (n – число степеней свободы) определить положение и ориентацию схвата манипулятора относительно абсолютной системы координат.
При известных геометрических параметрах звеньев найти все возможные векторы присоединённых переменных манипулятора, обеспечивающие заданное положение и ориентацию схвата относительно абсолютной систем координат.
Первую из этих задач принято называть прямой, а вторую – обратной задачей кинематики манипулятора.
REF SHAPE \* MERGEFORMAT Прямая задача кинематики
Параметры звеньев
Присоединённые углы (обобщённые координаты) q1(t),q2(t),...,qn(t)
Положение и ориентация схватаПараметры звеньев
Обратная задача кинематики
Присоединённые углы (обобщённые координаты) q1(t),q2(t),...,qn(t)

Рисунок 2.1. Схема взаимосвязи прямой и обратной задач кинематики
Для описания взаимного пространственного положения двух смежных звеньев используют однородную матрицу преобразования размерностью 44.

Матрицы элементарных поворотов.Особый интерес представляет матрица поворота системы OUVW относительно каждой из трёх основных системы OXYZ. Если положение системы OUVW в пространстве изменяется за счёт поворота этой системы на угол вокруг оси OX, то в системе отсчёта OXYZ изменяются и координаты (px, py, pz)T точки (pu, pv, pw). Соответствующая матрица преобразования Rx, называется матрицей поворота вокруг оси OX на угол . Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы Rx, имеем:
pxyz = R x, puvw, (2-11)
причём ix iu, и
. (2-12)

Рисунок 2.3. Вращающаяся система координат
Аналогично, трёхмерные (размерностью 33) матрицы поворота вокруг оси OY на угол и вокруг оси OZ на угол имеют соответственно вид (рис.2.3).
, . (2-13)
Матрицы Rx,, Ry, и Rz, называют матрицами элементарных поворотов.

Матрицы сложных поворотов.Описание последовательности конечных поворотов относительно основных осей системы OXYZ можно получить путём перемножения матриц элементарных поворотов. Поскольку операция перемножения матриц некоммутативна, здесь существенна последовательность выполнения поворотов.
Например, матрица поворота, представляющего собой результат последовательного выполнения поворотов сначала на угол вокруг оси OX, затем на угол вокруг оси OZ, затем на угол вокруг оси OY имеет вид:
R = R y, R z, R x, = =
=, (2-14)
где С = cos ; S = sin ; C = cos ; S = sin ; C = cos ; S = sin.
Она отличается от матрицы, описывающей результат поворота сначала на угол вокруг оси OY, затем вокруг оси OZ и, наконец, на угол относительно оси OX. В этом случае результирующая матрица поворота имеет вид:
R = R x, R z, R y, = =
=. (2-15)
Наряду с вращением относительно осей абсолютной системы координат OXYZ подвижная система отсчёта OUVW может совершать поворот вокруг собственных осей. В этом случае результирующая матрица поворота может быть получена с использованием следующих правил:
Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, матрица поворота представляет собой единичную матрицу размерностью 33.
Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из основных осей системы OXYZ, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота.
Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из своих основных осей, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить справа на соответствующую матрицу элементарного поворота.

Матрица поворота вокруг произвольной оси.В ряде случаев подвижная система координат OUVW может совершать поворот на угол относительно произвольной оси r, представляющей собой единичный вектор с компонентами rx, ry и rz, выходящие из начала координат О. Это применяется тогда, когда нужно упростить последовательность поворотов относительно основных осей систем координат OXYZ и/или OUVW. Их можно заменить одним поворотом системы OUVW вокруг оси r (рис. 3.1).
Чтобы получить матрицу поворота R r, , можно сначала произвести ряд поворотов относительно осей системы OXYZ, чтобы совместить ось r с осью OZ. Затем произвести требуемый поворот вокруг оси r на угол и опять ряд поворотов относительно системы OXYZ, возвращающих ось OZ в исходное положение.

Рисунок 3.1. Вращение вокруг произвольной оси
Из рис. 3.1 видно, что совмещение осей OZ и r может быть реализовано с помощью поворота на угол относительно оси OX, тогда ось r в результате окажется в плоскости XZ, а затем на угол -, вокруг оси OY, тогда в результате оси OZ и r совпадут. После поворота на угол относительно OZ или r проведём прежнюю операцию в обратном порядке с обратными знаками. Результирующая матрица поворота равна:
R r, = R x,- R y, R z, R y,- R x, =

Из этого легко определить, что:
sin = ; cos =; sin = rx; cos =.
Подстановка этих равенств в предыдущее выражение дает:
, (3-1)
где V = vers = 1– cos.
Это очень полезная матрица поворота.

Представление матриц поворота через углы Эйлера.Матричное описание вращения твёрдого тела упрощает многие операции; однако, для того, чтобы полностью описать ориентацию вращающегося твёрдого тела, необходимо использовать все девять элементов матрицы поворота. Непосредственно эти элементы не составляют полной системы обобщённых координат, с помощью которых можно описать ориентацию вращающегося твёрдого тела относительно абсолютной системы координат.
В качестве обобщённых координат можно использовать углы Эйлера , и .
Таблица 3.1. Три системы углов Эйлера
1 2 3
Последова-тельность поворотов На вокруг оси OZ На вокруг оси OZ На вокруг оси OX
На вокруг оси OU На вокруг оси OV На вокруг оси OY
На вокруг оси OW На вокруг оси OW На вокруг оси OZ
Первая из систем углов Эйлера обычно используется при описании движения гироскопов и соответствует следующей последовательности поворотов (рис. 3.2):
Поворот на угол вокруг оси OZ (Rz,).
Поворот на угол вокруг повёрнутой оси OU (Ru,).
Поворот на угол вокруг повёрнутой оси OW (Rw,).

Рисунок 3.2. Первая система углов Эйлера
Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:
R,, = R z, R u, R w, = =
=. (3-2)
Поворот, описываемый матрицей R,, , может быть также получен в результате выполнения последовательности следующих поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол вокруг оси OZ , затем на угол вокруг оси OX, затем на угол вокруг оси OZ.
На рисунке 3.3 показана вторая система углов Эйлера, определяемая следующей последовательностью поворотов:
Поворот на угол вокруг оси OZ (Rz,).
Поворот на угол вокруг оси OV (Rv,).
Поворот на угол вокруг повёрнутой оси OW (Rw,).
Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:
R,, = R z, R v, R w, = =
=. (3-3)
Поворот, описываемый матрицей R,, для этой системы углов Эйлера, может быть получен также в результате выполнения последовательных поворотов: на угол вокруг оси OZ, на угол вокруг оси OY, на угол вокруг оси OZ.

Рисунок 3.3. Вторая система углов Эйлера
Ещё одну систему углов Эйлера составляют так называемые углы крена, тангажа и рыскания. Эти углы обычно применяются в авиации для описания движения самолётов.
Они соответствуют следующей последовательности поворотов:
Поворот на угол вокруг оси OX (R x, ) – рыскание.
Поворот на угол вокруг оси OY (R y, ) – тангаж.
Поворот на угол вокруг оси OZ (R z, ) – крен.
Результирующая матрица поворота имеет вид:
R,, = R z, R y, R x, ==
= . (3-4)
Поворот, описываемый матрицей R,, в переменных «крен, тангаж, рыскание» может быть также получен в результате выполнения следующей последовательности поворотов вокруг осей абсолютной и подвижной систем координат: на угол вокруг оси OZ, затем на угол вокруг повёрнутой оси OV, на угол вокруг повёрнутой оси OU (продольная ось аппарата – Z) (рис. 3.4).

Рисунок 3.4. Крен, тангаж, рысканье (третья система углов Эйлера)

Геометрический смысл и свойства матриц поворота.Геометрический смысл матриц поворота
Пусть точка p в системе отсчёта OUVW имеет координаты (1, 0, 0), т. е. puvw = iu. Тогда первый столбец матрицы поворота представляет собой координаты этой точки относительно системы отсчёта OXYZ. Аналогично, выбирая в качестве p векторы (0, 1, 0)Т и (0, 0, 1)Т, легко видеть, что второй и третий столбцы матрицы поворота представляют собой координаты единичных векторов в направлении осей OV и OW системы OUVW относительно системы отсчёта OXYZ.
Таким образом, если заданы абсолютная система отсчёта OXYZ и матрица поворота, то векторы-столбцы этой матрицы задают в системе OXYZ координаты единичных векторов в направлении основных осей системы OUVW. Это позволяет определить положение осей системы координат OUVW относительно абсолютной системы координат. Таким образом, матрица поворота определяет положение основных осей повёрнутой системы координат относительно абсолютной системы координат.
Поскольку операция обращения матрицы поворота совпадает с операцией транспонирования, то векторы – строки матрицы поворота задают направление основных осей абсолютной системы координат OXYZ в повёрнутой системе координат OUVW.
Такая геометрическая интерпретация матрицы поворота даёт ключ к решению многих задач кинематики манипулятора.
Свойства матриц поворота
Каждый столбец матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси повёрнутой системы отсчёта, заданной своими координатами относительно абсолютной системы координат.
Каждая строка матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси абсолютной системы координат, заданной своими координатами относительно повёрнутой системы отсчёта OUVW.
Поскольку каждый столбец и строка представляет собой координаты единичного вектора, длина векторов, определяемых строками и столбцами матрицы поворота, равна 1. Детерминант матрицы поворота равен +1 для правосторонней системы отсчёта и -1 – для левосторонней.
Поскольку столбцы (строки) матрицы поворота являются векторами, составляющими ортонормированный базис, скалярное произведение векторов, определяемых двумя различными столбцами (строками), равно нулю.
Операция обращения матрицы поворота совпадают с операцией транспонирования: R-1 =RT и RRT = I3, где I3 – единичная матрица размерностью 33.
Свойства 3 и 4 особенно полезны для проверки результатов умножения двух матриц поворота и при поиске строки или столбца матрицы поворота, в котором сделана ошибка.

Однородные координаты и матрицы преобразования.Поскольку трёхмерная матрица поворота не несёт информации о поступательном перемещении и используемом масштабе, вектор координат р= (рx, рy, рz)T в трёхмерном пространстве дополняют четвёртой координатой (или компонентой) так, что он принимает вид: = (рx, рy, рz, )T. Тогда вектор выражен в однородных координатах.
Описание точек трёхмерного пространства однородными координатами позволяет ввести в рассмотрение матричные преобразования, содержащие одновременно поворот, параллельный перенос, изменение масштаба и преобразование перспективы.
В общем случае изображение N-мерного вектора размерностью N+1 называется представлением в однородных координатах. При таком представлении преобразование N-мерного вектора производится в (N+1)-мерном пространстве, а физический N-мерный вектор получается делением однородных координат на (N+1)-ю компоненту .
Так, вектор р = (рx, рy, рz)T положения в трёхмерном пространстве в однородных координатах представляется расширенным вектором (рx, рy, рz, )T.
Физические координаты связанны с однородными следующим образом:
рx = , рy= , рz= ,
где – четвёртая компонента вектора однородных координат (масштабирующий множитель).
Если = 1, то однородные координаты вектора положения совпадают с его физическими координатами.
Однородная матрица преобразования представляет собой матрицу размерностью 44, которая преобразует вектор, выраженный в однородных координатах, из одной системы отсчёта в другую.
Однородная матрица преобразования может быть разбита на четыре подматрицы:
Т = =. (4-1)
Верхняя левая подматриа размерностью 3×3 представляет собой матрицу поворота; верхняя правая подматрица размерностью 3×1 представляет собой вектор положения начала координат повернутой системы отсчета относительно абсолютной; Нижняя левая подматрица размерностью 1×3 задает преобразование перспективы; четвертый диагональный элемент является глобальным масштабирующим множителем. Однородная матрица преобразования позволяет выявить геометрическую связь между связанной системой отсчёта OUVW и абсолютной системой OXYZ.
Если вектор р трехмерного пространства выражен в однородных координатах, т.е. , то, используя понятие матрицы преобразования можно сформировать однородную матрицу преобразования Тпов, задающую преобразование поворота и имеющую размерность 4×4. Однородная матрица поворота получается соответствующим расширением обычной матрицы поворота, имеющей размерность 3×3. Так, однородное представление для матриц (2-12) и (2-13) имеет следующий вид:
, ,
. (4-2)
Эти матрицы размерностью 4×4 называются однородными матрицами элементарных поворотов. Однородная матрица преобразования переводит вектор, заданый однородными координатами в системе отсчета OUVW, в абсолютную систему координат OXYZ, т.е. при : (4-3)
и . (4-4)

Звенья, сочленения и их параметры. Механический манипулятор состоит из звеньев, соединенных вращательными или поступательными сочленениями (рис. 3.1). Каждая пара, состоящая из звена и сочленения, обеспечивает одну степень свободы. Следовательно, манипулятор с N степенями свободы содержит N пар «звено-шарнир». Звено 0 соединено с основанием, где обычно размещается инерциальная система координат динамической системы, а последнее звено снабжено рабочим инструментом.
Звенья и сочленения нумеруются по возрастанию от стойки к схвату манипулятора. Каждое звено соединено не более чем с двумя другими так, чтобы не образовывалось замкнутых цепей.
В общем случае два звена соединяются элементарным сочленением, имеющим две соприкасающиеся поверхности, скользящие друг относительно друга.

Рисунок 5.1. Звенья и сочленения манипулятора Пума


Элементарные сочленения.Известно всего шесть различных элементарных сочленений: вращательное, поступательное (призматическое), цилиндрическое, сферическое, винтовоеи плоское (рис. 5.2.).
Из перечисленных типов сочленений в манипуляторах обычно используются только вращательные и поступательные. В месте соединения двух звеньев определяется ось i-го сочленения (рис. 5.3). Эта ось имеет две пересекающие ее нормали, каждая из которых соответствует одному из звеньев (звена i-1 и звена i), определяется величиной di – расстоянием между этими нормалями, отсчитываемым вдоль оси сочленения.
-698510985500Рисунок 5.2. Элементарные сочленения
Присоединенный угол i между нормалями измеряется в плоскости, перпендикулярной оси сочленения. Таким образом, di и i можно назвать расстоянием и углом между смежными звеньями. Они определяют относительное положение соседних звеньев.
Рисунок 5.3. Система координат и ее параметры
-319151034099500Звено i (i=1, 2, 3, …., 6) соединено не более чем с двумя звеньями (i-1-м и i+1-м звеньями). Таким образом, в точках соединения i-го звена с двумя соседними определены две оси сочленения. Важное свойство звеньев с точки зрения кинематики состоит в том, что они сохраняют неизменной конфигурацию относительного расположения соседних сочленений, характеризуемую параметрами ai и i. В качестве параметра ai выбрано кратчайшее расстояние между осями zi-1 и zi i-го и i+1-го сочленений соответственно, измеряемое вдоль их общей нормали. Угол i – угол между осями сочленений, измеряемый в плоскости, перпендикулярной их общей нормали. Таким образом, ai и можно рассматривать соответственно как длину и угол скрутки i–го звена. Эти параметры характеризуют конструктивные особенности i–го звена.
Итак, с каждым звеном манипулятора связаны четыре параметра: ai , αi di, i. Если для этих параметров установить правило выбора знаков , то они составят набор, достаточный для описания кинематической схемы каждого звена манипулятора. Эти параметры можно разделить на две пары: параметры звена (ai, αi), которые характеризуют конструкцию звена, и параметры сочленения (di, i), характеризующие относительное положение соседних звеньев.
Представление Денавита-Хартенберга.Для описания вращательных и поступательных связей между соседними звеньями Денавит и Хартенберг предложили матричный метод последовательного построения систем координат, связанных с каждым звеном кинематической цепи. Смысл представления Денавита–Хартенберга (ДХ-представление) состоит в формировании однородной матрицы преобразования, имеющей размерность 4×4 и описывающей положение системы координат каждого звена относительно системы координат предыдущего звена. Это дает возможность последовательно преобразовать координаты схвата манипулятора из системы отсчета, связанной с последним звеном, в базовую систему отсчета, являющейся инерциальной системой координат для рассматриваемой динамической системы.
Каждая система координат формируется на основе следующих трех правил:
1) ось zi-1направлена вдоль оси i–го сочленения;
2) ось xi перпендикулярна оси zi-1 и направлена от нее;
3) ось yi дополняет оси xi, zi до правой декартовой системы координат.
ДХ–представление твердых звеньев зависит от четырех геометрических параметров, соответствующих каждому звену. Эти четыре параметра полностью описывают любое вращательное или поступательное движение и определяются в соответствии с рис. 5.4 следующим образом:
i – присоединенный угол, на который надо повернуть ось xi-1вокруг оси zi-1, чтобы она стала сонаправлена с осью xi (знак определяется в соответствии с правилом правой руки);
di - расстояние между пересечением оси zi-1 с осью xi и началом (i-1)-й системы координат, отсчитываемое вдоль оси zi-1 ;
ai - линейное смещение – расстояние между пересечением оси zi-1 с осью xi и началом i-й системы координат, отсчитываемое вдоль оси xi, т. е. кратчайшее расстояние между осями zi-1 и zi;
αi - угловое смещение - угол, на который надо повернуть ось zi-1 вокруг оси xi, чтобы она стала сонаправленной с осью zi (знак определяется в соответствии с правилом правой руки).
Для вращательных сочленений параметры di, ai и αi являются характеристикамисочленения, постоянными для данного типа робота. В то же время i является переменной величиной, изменяющейся при движении (вращении) i-го звена относительно (i-1)-го.

Уравнения кинематики манипулятора Пума.
Рисунок 6.1. Система координат схватa
Однородная матрица , определяющая положение i-й системы координат относительно базовой системы координат, представляет собой произведение последовательности однородных матриц преобразования i-1Ai и имеет вид:
0Ti= 0Ai 1Ai …i-1Ai===для i=1, 2, …, n,
где - матрица, определяющая ориентацию i-й системы координат, связанной с i-м звеном, по отношению к базовой системе координат. Это верхняя левая подматрица , имеющая размерность 3×3.
рi- вектор, соединяющий начало базовой системы координат с началом i-й системы координат. Это верхняя правая подматрица матрицы , имеющая размерность 3×1. В частности, при i=6 мы получаем матрицу , которая задает положение и ориентацию схвата манипулятора относительно базовой системы координат. Эта матрица часто используется при описании кинематики манипулятора. Ее называют «матрицей манипулятора».
Положим, что матрица Т имеет следующий вид:
T====,
где n – вектор нормали к схвату. В случае плоскопараллельного движения пальцев этот вектор перпендикулярен пальцам манипулятора;
s – касательный вектор схвата. Он лежит в плоскости движения пальцев и указывает направление движения пальцев во время открытия или закрытия схвата;
a - вектор подхода схвата. Он направлен по нормали к ладони схвата, (т.е. перпендикулярно плоскости крепления инструмента в схвате);
p - вектор положения схвата. Этот вектор направлен из начала базовой системы координат к началу системы координат схвата, которое, как правило, расположено в точке, являющейся геометрическим центром полностью сжатых пальцев.
Если положение манипулятора в абсолютном пространстве определяется матрицей B, а в схвате манипулятора зафиксирован инструмент, положение которого в системе координат схвата определяется матрицей H, то положение рабочего узла инструмента относительно абсолютной системы координат дается произведением матриц В, 0Т0 и Н, т.е.:
. (6-1)
При этом H ≡ , B ≡ .
Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного манипулятора является вычислением T=0A6 с помощью последовательного перемножения шести матриц i-1Ai. Решение этой задачи приводит к единственной матрице Т при заданных и фиксированных системах координат, где для вращательного сочленения и для поступательного сочленения. Ограничения определяются только физическими пределами изменения для каждого сочленения манипулятора.
Матрица T манипулятора Пума имеет вид:
T = 0A11A22A33A44A55A6=, (6-2)
где ;; ; (6-3) ;
;
; (6-4)
;
;
; (6-5)
;
;
. (6-6)
Например, при имеем
T=,
что согласуется с выбором системы координат на рис. 5.4.
Из равенств (6-3) – (6-6) видно, что вычисление матрицы манипулятора Т требует обращения к программам вычисления 12 трансцендентных функций, выполнения 40 умножений и 20 сложений в том случае, если производится только вычисление правой подматрицы Т, имеющей размерность 3×3, а вектор n определяется как векторное произведение векторов s и a(n=s×a). Если объединить d6 с длиной рабочего инструмента, то d6=0, а длина инструмента увеличивается на d6 единиц. Это сокращает объем вычислений до 12 бращений и программ вычисления трансцендентных функций, 35 операций умножения и 16 операций сложения.

Классификация манипуляторов.Манипулятор состоит из последовательности твердых тел (или звеньев), первое из которых соединено с опорной стойкой, а последнее снабжено рабочим инструментом. Каждое звено соединено не более чем с двумя другими так, чтобы не образовывалось замкнутых цепей. Соединение двух звеньев – сочленение – имеет только одну степень свободы. С учетом этого ограничения интерес представляет два типа сочленений: вращательное и поступательное. Вращательное сочленение допускает только вращение вокруг некоторой оси; поступательное сочленение обеспечивает поступательное движение вдоль некоторой оси при отсутствии вращения (поступательное движение с вращением имеет место в винтовых сочленениях). Звенья манипулятора участвуют в относительном движении, в результате которого достигается определенное положение и ориентация схвата или инструмента.
Следовательно, рассматривая манипуляторы как некоторые последовательности сочленений и звеньев, их можно классифицировать по типу используемых сочленений и последовательности их расположения в направлении от опорной стойки к схвату. При таком подходе манипулятор Пума следует отнести к классу 6В, а манипулятор «Электроника» - к классу 2П-В-П-В. Здесь «В» обозначает вращательное, а «П» – поступательное сочленение.

Обратная задача кинематики В этом разделе рассматривается обратная задача кинематики шестизвенного манипулятора. Необходимо по заданной матрице 0T6 положения и ориентации схвата шестизвенного манипулятора и известным параметрам его звеньев и сочленений определить присоединенные параметры манипулятора, обеспечивающие заданное положение схвата.
Для того, чтобы решение обратной задачи кинематики было получено в явном виде, необходимо, чтобы конструкция робота удовлетворяла одному из двух условий:
Оси трех смежных сочленений пересекаются в одной точке.
Оси трех смежных сочленений параллельны между собой.
Из равенства (4-2) следует вид матрицы манипулятора T:
T6==0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6. (6-7)
Из равенства (4-7) видно, что матрица T является функцией синусов и косинусов углов Приравнивая элементы матриц в левой и правой частях матричного уравнения (4-7), получаем, например, для манипулятора Пума двенадцать уравнений (4-3) – (4-6) относительно шести неизвестных (присоединенных углов). Поскольку число уравнений превышает число переменных, можно сразу сделать вывод о том, что решение обратной задачи кинематики для манипулятора Пума не единственно. Мы рассмотрим два метода решения обратной задачи кинематики: метод обратных преобразований в эйлеровых координатах и геометрический подход, выгодно отличающийся наглядностью.

Метод обратных преобразований.Задача состоит в том, чтобы, зная трехмерную матрицу поворота и учитывая равенство (2-2), представляющее собой выражение этой матрицы через углы Эйлера:
=
, (6-8)
где и ,определить соответствующие значения углов Записывая это матричное уравнение в форме уравнений для отдельных элементов, получим:
; (6-9а)
; (6-9б)
; (6-9в)
; (6-9г)
; (6-9д)
; (6-9е)
; (6-9ж)
; (6-9з)
. (6-9и)
Из уравнений (6-9и), (6-9е) и (6-9з) получаем, что решение всей системы уравнений (6-9а) – (6-9и) имеет следующий вид:
, (6-10)
, (6-11)
. (6-12)
Полученное решение неустойчиво и плохо обусловлено по следующим причинам:
Функция arccos неудобна тем, что точность вычисления ее значения зависит от этого значения.
В точках, где sin () принимает близкие к нулю значения, т.е. при 0 или при 180, равенства (6-11) и (6-12) либо не определены, либо дают низкую точность вычислений.
Более устойчивый способ определения углов Эйлера для вычисления угла , значения которого лежат в пределах -, использует функции арктангенса ATAN2(y,x), вычисляющий значение arctg(y/x) с учетом принадлежности аргумента соответствующему квадранту:
(6-13)
Применяя такую обратную тригонометрическую функцию двух аргументов, рассмотрим общее решение.
Элементы матрицы в левой части матричного уравнения (6-8) заданы, а элементы матриц, стоящих в правой части этого уравнения, неизвестны и зависят от Умножая слева матричное уравнение (6-8) на , переносим неизвестную в левую часть, оставляя в правой неизвестные и , и тем самым получаем:
,
или
.
(6-14)
Из равенства элементов (1, 3) (элементов, находящихся на пересечении 1-й строки и 3-го столбца матрицы) в правой и левой частях уравнения (6-14) имеем:
, (6-15)
что в свою очередь дает
. (6-16)
Из равенства элементов (1, 1), (1, 2) в правой и левой частях следует:
, (6-17а)
, (6-17б)
что позволяет найти : (6-18)
Приравнивая элементы (2, 3), (3, 3) матриц в левой и правой частях уравнения, получаем:
,
, (6-19)
что позволяет найти :. (6-20)
Таким образом, рассмотренный способ состоит в умножении исходного уравнения слева и справа на неизвестную матрицу обратного преобразования. Этот способ дает общий подход к решению обратной задачи кинематики. Но не дает точного ответа, каким образом выбрать из нескольких существующих решений одно, соответствующее требуемой конфигурации манипулятора. В этом вопросе приходится полагаться на интуицию исследователя. Для нахождения решения обратной задачи кинематики по заданной матрице манипулятора более пригодным является геометрический подход, дающий также и способ выбора единственного решения для конкретной конфигурации манипулятора.

Геометрический подход к решению обратной задачи манипулятора Пума. В этом разделе излагается геометрический подход к решению обратной задачи кинематики шестизвенного манипулятора с вращательными сочленениями типа Пума.
По аналогии с геометрией человеческой руки и в соответствии с расположением систем координат звеньев различные конфигурации манипулятора Пума определяются с помощью трех индикаторов конфигурации (РУКА, ЛОКОТЬ, ЗАПЯСТЬЕ). Два индикатора характеризуют взаимное расположение первых трех сочленений, а третий – расположение последних трех. Для шестиосных манипуляторов типа Пума существуют четыре различных решения обратной задачи кинематики первых трех сочленений и каждому из этих четырех решений соответствует по два допустимых решения для последних трех сочленений.
Решение производится в два этапа.
I этап. Cначала вычисляется вектор, направленный от плеча к запястью. Проекции этого вектора на плоскость xi-1yi-1 используются при нахождении присоединенного угла i-го сочленения (i=1, 2, 3) для первых трех сочленений.
II этап. Использование предыдущего решения для решения последних трех сочленений, подматрицы поворота матриц 0Т и i-1Ai (i=4, 5, 6) и проекции систем координат звеньев на плоскость xi-1yi-1.
Если задана матрица , то, умножив эту матрицу слева и справа на и соответственно, можно вычислить и затем, воспользовавшись указанным способом, получить:
=. (7-1)

Определение различных конфигураций манипулятора Пума.Для манипуляторов типа Пума и других манипуляторов с вращательными сочленениями возможны различные типы конфигурации, которые определяются по аналогии с геометрией руки человека. Типы конфигурации манипулятора устанавливаются следующим образом (рис. 4.2):
24765444500Рисунок 7.1. Определение различных конфигураций манипулятора
ПРАВАЯ РУКА: При неподвижном 3-м сочленении увеличение угла приводит к увеличению координаты запястья по оси z0.
ЛЕВАЯ РУКА: При неподвижном 3-м сочленении увеличение угла приводит к уменьшению координаты запястья по оси z0.
ВЕРХНЯЯ (локоть выше запястья) РУКА: Положение запястья {ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ} руки по отношению к системе координат плеча характеризуется {отрицательным/положительным} значением координаты по оси y2.
НИЖНЯЯ (локоть ниже запястья) РУКА: Положение запястья {ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ} руки по отношению к системе координат плеча характеризуется {положительным/отрицательным} значением координаты по оси y2.
КИСТЬ ВНИЗ: Скалярное произведение единичного вектора s системы координат схвата и единичного вектора y5 системы координат (х5, у5, z5) положительно.
КИСТЬ ВЕРХ: Скалярное произведение единичного вектора s системы координат схвата и единичного вектора y5 системы координат (х5, у5, z5) отрицательно.
Каждый из трех индикаторов конфигурации звеньев может быть определен следующим образом:
РУКА= (7-2)
ЛОКОТЬ= (7-3)
ЗАПЯСТЬЕ= (7-4)
В дополнение к этим индикаторам существует ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ:
ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ=
Решение обратной задачи кинематики для первого сочленения манипулятора Пума.Решение обратной задачи кинематики для первых трех сочленений
Вектор p, выходящий из начала системы координат плеча (x0, y0, z0) и заканчивающийся на пересечении в точке пересечения осей трех последних сочленений, определяется выражением:
, (7-6)
что соответствует вектору положения матрицы : =. (7-7)
Решение для первого сочленения
Проецируя, как показано на рис. 7.1, вектор р на плоскость x0, y0, получаем следующие уравнения для определения угла :
, , (7-8)
, , (7-9)
, , (7-10)
, , (7-11)
где индексы L и R означают ЛЕВУЮ и ПРАВУЮ конфигурацию манипулятора.
-381031750

Рисунок 7.1. Решение для 1-го сочленения
Из уравнений (7-8) – (7-11) получаем значения функций синуса и косинуса угла для ЛЕВОЙ/ПРАВОЙ конфигурации манипулятора:
, (7-12)
, (7-13)
, (7-14)
. (7-15)
Объединив равенства (7-12) – (7-15) и используя индикатор РУКА для учета ЛЕВОЙ/ПРАВОЙ конфигурации манипулятора, получаем значения функций синуса и косинуса угла в следующем виде:
, (7-16)
. (7-17)
В этих равенствах используется положительное значение квадратного корня, а индикатор РУКА определен равенством (7-2). Для вычисления , лежащего в пределах , воспользуемся функцией арктангенса, определенной равенством (6-13). Из равенств (7-16) и (7-17) с учетом равенства (6-13) получаем следующую формулу для определения : . (7-18)

Решение обратной задачи кинематики для второго сочленения манипулятора ПумаЧтобы найти , спроектируем вектор p на плоскость x1, y1, как показано на рис. 7.2.

Рисунок 7.2. Решение для 2-го сочленения
В соответствии с этим рисунком возможны четыре различных конфигурации манипулятора. Каждой конфигурации соответствует свое значение угла при и (табл. 7.1):
Таблица 7.1. Угол при различных конфигурациях манипулятора
Конфигурация
манипулятора РУКА ЛОКОТЬ РУКА·
ЛОКОТЬ
ЛЕВАЯ ВЕРХНЯЯ рука -1 +1 -1
ЛЕВАЯ НИЖНЯЯ рука -1 -1 +1
ПРАВАЯ ВЕРХНЯЯ рука +1 +1 +1
ПРАВАЯ НИЖНЯЯ рука +1 -1 -1
Как следует из табл. 7.1, используя индикаторы конфигурации РУКА и ЛОКОТЬ, для можно записать единое для всех возможных конфигураций манипулятора выражение:
, (7-18)
где составной индикатор конфигурации определяет соответствующий знак угла , а точкой обозначена операция умножения индикаторов. Геометрия манипулятора, отраженная в схеме 7.2, позволяет записать следующие соотношения::
, , (7-19)
, (7-20)
, (7-21)
,
(7-22)
. (7-23)
Из равенств (7-18) – (7-23) можно определить значение функций синуса и косинуса угла :
, (7-24)
. (7-25)
Равенства (7-24) и (7-25) позволяют найти значение : . (7-26)

Решение обратной задачи кинематики для третьего сочленения манипулятора Пума Для определения спроецируем вектор p на плоскость x2, y2 (рис.8.1).
Таблица 8.1. Угол при различных конфигурациях манипулятора
Конфигурация
манипулятора РУКА ЛОКОТЬ РУКА∙
ЛОКОТЬ
ЛЕВАЯ ВЕРХНЯЯ рука -1 +1 -1
ЛЕВАЯ НИЖНЯЯ рука -1 -1 +1
ПРАВАЯ ВЕРХНЯЯ рука +1 +1 +1
ПРАВАЯ НИЖНЯЯ рука +1 -1 -1
В соответствии с рис. 8.1, как и в предыдущем случае, возможны четыре различные конфигурации манипулятора. Как показано в табл. 8.1, каждой конфигурации соответствует свое выражение .9486901905
Рисунок 8.1. Решение для 3-го сочленения
Параметр представляет собой y-ю компоненту вектора, выходящего из начала системы координат (x2, y2, z2) и заканчивающегося в точке пересечения осей последних трех сочленений.
Из рис. 8.1 получаем следующие равенства, позволяющие определить : , (8-1)
, (8-2)
,
, . (8-3)
В соответствии с табл. 8.1 значение можно представить формулой, единой для всех конфигураций манипулятора:
. (8-4)
Из равенства (8-4) получаем следующие выражения для функций синуса и косинуса угла . , (8-5)
. (8-6)
Из равенств (8-5) и (8-6) с использованием равенств (8-1) – (8-3) находим решение для : . (8-7)

Решение обратной задачи кинематики для последних трех сочленений манипулятора Пума (общие положения).Зная первые три присоединенных угла, можно сфомировать матрицу 0Т3, часто используемую при решении обратной задачи кинематики для последних трех сочленений.. Для манипулятора Пума это решение можно получить, приводя сочленения в соответствие со следующими требованиями:
1. Сочленение 4 должно быть установлено так, чтобы вращением в сочленении 5 можно было совместить ось вращения сочленения 6 с заданным вектором подхода (вектором a матрицы T).
2. Сочленение 5 должно быть установлено так, чтобы ось вращения сочленения 6 совпадала с вектором подхода.
3. Сочленение 6 должно быть установлено так, чтобы ось у6 совпала с заданным касательным вектором схвата, определяющим его ориентацию.
Перечисленные условия соответственно записываются в следующем виде:
при заданном , (8-8)
при заданном , (8-9)
при заданных и . (8-10)
В равенстве (8-8) векторное произведение может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому возможны два решения для . При равенстве векторного произведения нулю (т.е. ось параллельна a) имеет место вырожденный случай. Это происходит, когда оси вращения 4-го и 6-го сочленений параллельны, и означает, что при данной конкретной конфигурации был бы достаточен пятиосный, а не шестиосный манипулятор.

Решение обратной задачи кинематики для четвертого сочленения манипулятора ПумаОбе возможные ориентации запястья (ВВЕРХ и ВНИЗ) определяются ориентацией системы координат схвата (n, s, a) относительно системы координат (x5, y5, z5). Знак векторного произведения в равенстве (8-8) должен быть определен с учетом ориентации n или s по отношению к единичным векторам или соответственно, которые в свою очередь ориентированы определенным образом относительно единичного вектора в соответствии с правилами выбора систем координат.
Предположим, что векторное произведение в равенстве (5-30) имеет положительный знак. Признаком этого может служить индикатор ориентации , определяемый следующим образом:
(8-11)
В соответствии с рис. 5.4 y5=z4, и используя равенство (8-8) можно представить индикатор ориентации в следующем виде:
(8-12)
Таблица 8.2 устанавливает соответствие между ориентацией запястья и различными комбинациями значений индикатора ЗАПЯСТЬЕ и индикатора ориентации, между ориентацией запястья и различными комбинациями значений индикатора ЗАПЯСТЬЕ и индикатора ориентации.
Таблица 8.2. Различные ориентации запястья
Ориентация
запястья
или
М-ЗАПЯСТЬЕ∙sign()
КИСТЬ ВНИЗ +1 +1
КИСТЬ ВНИЗ +1 -1
КИСТЬ ВВЕРХ -1 -1
КИСТЬ ВВЕРХ -1 +1
Проецируя систему координат (x4, y4, z4) на плоскость x3y3 (рис. 8.2) и используя таблицу 8.2, получаем следующие соотношения:
, , (8-13) где и - соответственно первый и второй столбцы матрицы, M=ЗАПЯСТЬЕ ∙sign(), а функция sign определяется выражением:
sign (x)= (8-14)

Рисунок 8.2. Решение для 4-го сочленения
Таким образом, с помощью индикатора ЗАПЯСТЬЕ и индикатора ориентации решение для может быть представлено в виде:
,
(8-15)
В вырожденном случае переменной может быть присвоено любое значение, согласующееся с ориентацией запястья (КИСТЬ ВВЕРХ/ВНИЗ). Это условие всегда удовлетворяется, если положить равным текущему значению . Кроме того, сменив значение ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЯ, можно получить другое решение для : =+180◦

Решение обратной задачи кинематики для пятого сочленения манипулятора ПумаДля определения принимаем, что ось шестого сочленения совпадает с заданным вектором подхода (a=z5). Проецируем систему координат (x5, y5, z5) на плоскость x4y4 (рис. 8.3). Тогда:
, , (8-16)
где и - соответственно первый и второй столбцы матрицы ,
a –вектор подхода.

Рисунок 8.3. Решение для 5-го сочленения
Таким образом, получено решение для :
=
=,
. (8-17)
Если , имеет место вырожденный случай.

Решение обратной задачи кинематики для шестого сочленения манипулятора ПумаНеобходимо получить такую ориентацию схвата, чтобы поднять объект манипулирования. Для этого надо так расположить схват, чтобы s=y6. Проецируя систему координат схвата (n, s, a) на плоскость x5y5, получаем (рис. 8.4):
, , (8-18)
где - второй столбцы матрицы , a n и s– соответственно нормальный и касательный векторы матрицы .
Таким образом, для имеем:
=
=,
. (8-19)

Рисунок 8.4. Решение для 6-го сочленения
Итак, для шестизвенного манипулятора «Пума» существует восемь решений обратной задачи кинематики. Решения для первых трёх присоединённых углов обеспечивают требуемое расположение руки (первых трёх звеньев), а углы обеспечивают заданную ориентацию схвата. Для первых трёх присоединённых углов существует 4 решения: два - для манипулятора с левосторонней конфигурацией и два – с правосторонней. Для каждой конкретной конфигурации манипулятора равенства (7-18), (7-26),
(8-7), (8-15), (8-17), (8-19) дают решение обратной задачи кинематики, причем также является решением этой задачи (если ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ «включен»).
Уравнения вида конфигурации для определения индикаторов конфигурации манипулятора. Полученное решение обратной задачи кинематики для манипулятора типа Пума не единственно и зависит от индикаторов конфигурации, задаваемых исследователем. Эти индикаторы можно определить, зная присоединяемые углы.
Для индикатора РУКА, следуя определению ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ руки, уравнение конфигурации можно записать в виде:
,
(9-1)
где - проекция вектора p (равенство (7-7)) на плоскость -третий столбец матрицы и .
Возможны следующие варианты:
Если , реализована конфигурация ПРАВОЙ руки.
Если , реализована конфигурация ЛЕВОЙ руки.
Если , конфигурация манипулятора одновременно соответсвует определению как ПРАВОЙ, так и ЛЕВОЙ руки: манипулятор находится внутри цилиндра радиусом d2 (рис. 7.1). В этом случае принимается для определённости, что реализована конфигурация правой руки (РУКА=+1).
Поскольку знаменатель выражения (9-1) всегда положителен, определение ЛЕВОЙ/ПРАВОЙ конфигурации сводится к определению знака числителя : РУКА=, (9-2)
где функция sign определена равенством (8-14). Подстановкой первой и второй компонент вектора р из равенства (7-7) в равенство (9-2) получаем:
РУКА=, (9-3)
Следовательно, из уравнения (9-3) значение индикатора РУКА для ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ конфигурации манипулятора устанавливается выражением:
РУКА= (9-4)
При выводе уравнения конфигурации для индикатора ЛОКОТЬ используем определение ВЕРХНЕЙ/НИЖНЕЙ руки. Взяв и индикатор РУКА из табл. 7.1, получим уравнение конфигурации для индикатора ЛОКОТЬ, использующее знак второй компоненты вектора положения матрицы и индикатор РУКА:
(9-5)
Для индикатора ЗАПЯСТЬЕ, следуя определению возможных конфигураций запястья (КИСТЬ ВВЕРХ/ВНИЗ), сформируем скалярное произведение единичных векторов s и у5 (или z4).
(9-6)
Если , значение индикатора ЗАПЯСТЬЕ можно определить из выражения:
. (9-7)
Объединив равенства (9-6) и (9-7), получим:
(9-8)
Полученные уравнения конфигурации позволяют проверить решения обратной задачи кинематики. С их помощью при решении прямой задачи кинематики вычисляются значения индикаторов конфигурации, которые затем используются для решения обратной задачи кинематики (рис. 9.1).

Динамика манипулятора (общие положения, основные задачи и методы решения)Предметом динамики манипулятора как раздела робототехники является математическое описание действующих на манипулятор сил и моментов в форме уравнений динамики движения. Также уравнения необходимы для моделирования движения манипулятора с помощью ЭВМ, при выборе законов уравнения и при оценке качества кинематической схемы и конструкции манипулятора.
Задача управления включает задачу формирования динамической модели реального манипулятора и задачу выбора законов или стратегий управления, обеспечивающих выполнение поставленных целей.
Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновой или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов является уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев.
Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены методами Лагранжа-Эйлера или Ньютона-Эйлера. Уравнения Лагранжа-Эйлера обеспечивают строгое описание динамики манипулятора. Их можно использовать для решения прямой и обратной задачи динамики.
Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщённые ускорения, интегрирование которых позволит получить значения обобщённых координат и скоростей.
Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщённым координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.
Для решения обеих задач, как правило, необходимо вычислить динамические коэффициенты и . Вычисление этих коэффициентов требует выполнения очень большого числа арифметических операций. В связи с этим уравнения Лагранжа-Эйлера без дополнительных упрощений практически неприменимы для управления манипулятором в реальном времени.
С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов расчёта обобщённых сил и моментов используют уравнения Ньютона-Эйлера, которые просты по содержанию, но весьма трудоёмки. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. Это позволяет реализовать простые законы управлением манипулятора в реальном времени.

Метод Лагранжа-Эйлера.Полное описание движения манипулятора можно получить, применяя метод Лагранжа-Эйлера для неконсервативных систем. Описав кинематику манипулятора с помощью матричного представления Денавита-Хартенберга, можно получить уравнение динамики. Такое совместное использование Д-Х-представления и метода Лагранжа приводит к компактной векторно-математической форме уравнений движения, удобной для аналитического исследования и допускающей реализацию на ЭВМ.
Вывод уравнений динамики движения манипулятора основан на следующем:
На описании взаимного пространственного расположения систем координат i-го и (i-1)-го звеньев с помощью матрицы преобразования однородных координат . Эта матрица преобразует координаты произвольной точки относительно i-й системы координаты этой же точки относительно (i-1)-й системы координат.
2. На использовании уравнения Лагранжа-Эйлера:
; , (9-9)
где L-функция Лагранжа (L=K-P);
K-полная кинетическая энергии манипулятора;
P-полная потенциальна энергия манипулятора
-обобщённые координаты манипулятора;
-первая производная по времени обобщённых координат;
-обобщённые силы (или моменты), создаваемые в i-м сочленении для реализации заданного движения i-го звена.
Для того, чтобы воспользоваться уравнением Лагранжа-Эйлера, необходимо выбрать систему обобщённых координат. Обобщённые координаты представляют собой набор координат, обеспечивающий, полное описание положения рассматриваемой физической системы в абсолютной системе координат. Существуют различные системы обобщенных координат, пригодные для описания простого манипулятора с вращательными и поступательными сочленениями. Однако, поскольку углы поворотов в сочленениях непосредственно доступны измерению с помощью потенциометров или других датчиков, то они составляют наиболее естественную систему обобщенных координат. В этом случае обобщённые координаты совпадают с присоединенными переменными манипулятора. В частности, если i-е сочленение вращательное, то , если же i-е сочленение поступательное, то .

Определение скорости произвольной точки звена манипулятора методом Лагранжа-Эйлера Для того, чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа-Эйлера, необходимо знать кинетическую энергию рассматриваемой физической системы, а следовательно, и скорости всех её точек.
Рассмотрим произвольную точку, неподвижную относительно i-го звена и заданную в системе координат i-го звена однородными координатами (рис. 9.2):
. (9-10)
Обозначим через координаты этой же точки относительно базовой системы координат. Матрица обозначает матрицу преобразования однородных координат, определяющую пространственное положение системы координат i-го звена относительно системы координат (i-1)-го звена, а -матрицу, определяющую связь между системой координат i-го звена и базовой системой координат.

Рисунок 9.2. Точка i-го звена
Тогда связь между и определяется соотношением:
, (9-11)
где . (9-12)
Если i-е сочленение – вращательное, то матрица имеет вид:
, (9-13)
Если i-ое сочленение – поступательное, то матрица имеет вид:
. (9-14)
В общем все ненулевые элементы матрицы являются функциями величин и , причём в зависимости от типа j-го сочленения или представляет собой присоединенную переменную этого сочленения, а остальные величины – известны (задаются конструкцией манипулятора). В выводах уравнений движения, как вращательных, так и поступательных, используется обобщённые координаты , , если i-е сочленение – вращательное и , если i-е сочленение – поступательное).
Скорость точки относительно базовой системы координат (при ):
. (9-15)
Частные произведение матрицы по переменным легко вычисляется с помощью матрицы , которая для вращательного сочленения имеет вид:
, (9-16а)
а для поступательного сочленения:
. (9-16б)
Используя эту матрицу, можно написать:
. (9-17)
Например, для манипулятора с вращательными сочленениями . Используя равенство (9-13), имеем:

Таким образом, для
(9-18)
По смыслу равенство (9-18) описывает изменение положения точек i-го звена, вызванное движением в j-м сочленении манипулятора. Для упрощения формул введём обозначение , с учетом которого равенство (9-18) можно представить для :
(9-19)
Используя введённое обозначение, формулу для можно записать в форме:
. (9-20)
Определяем величину, характеризующую эффект взаимодействия сочленений:
(9-21)
Например, для манипулятора вращательными сочленениями при и имеем:
.

Кинетическая и потенциальная энергия в соответствии с методом Лагранжа-Эйлера.Зная скорость произвольной точки каждого звена манипулятора, найдём кинетическую энергию i-го звена.
Обозначим через кинетическую энергию i-го звена (i=1, 2, …, n). Пусть кинетическую энергию элемента массы dm i-го звена. Тогда:
. (10-1)
Здесь вместо скалярного произведения используется оператор (след матрицы ), что в дальнейшем позволит перейти к матрице инерции i-го звена.
Подставляя в выражение (10-1) значение из равенства (9-20), получим выражение для кинетической энергии элемента массой dm:
(10-2)
Матрица характеризует положение точки i-го звена относительно базовой системы координат, обусловленное изменением координаты .
Данная матрица одинакова для всех точек i-го звена и не зависит от распределения массы в этом звене, также как и . Таким образом:
. (10-3)
Интегральный член в скобках представляет собой матрицу инерции i-го звена:
. (10-4)
Преобразуя выражения, получим:
, (10-5)
где однородные координаты центра масс i-го звена в i-й системе координат;
- тензор инерции, где i, j, k принимают значения xi, yi, zi (оси i-ой системы координат), а - символ Кроникера.
Формулу (6-26) можно также записать в виде:
. (10-6)
Здесь и j, k=1, 2, 3, а - радиус вектор центра масс i-го звена в системе координат i-го звена. Таким образом, полная кинетическая энергия манипулятора равна:
. (10-7)
Отметим, что величина Ji (i=1, 2,…, n) зависит только от распределения массы i-го звена в i-й системе координат и не зависит ни от положения, ни от скорости звеньев. Это позволяет однажды вычислив матрицу Ji, использовать полученное значение в дальнейшем для вычисления кинетической энергии манипулятора.
Потенциальная энергия манипулятора
Обозначим полную потенциальную энергию манипулятора через Р, а потенциальную энергию i-го звена – через . Тогда:
. (10-8)
Суммируя потенциальные энергии всех звеньев, получаем:
. (10-9)
Здесь - вектор-строка, описывающая гравитационное ускорение в базовой системе координат. В земной системе координат , а g – ускорение свободного падения на поверхности Земли (g=9,8062 м/с2).
Уравнения движения манипулятора в соответствии с методом Лагранжа-Эйлера.Используя равенства (10-7) и (10-9), запишем выражение для функции Лагранжа:
. (10-10)
Подставив это выражение в уравнение Лагранжа, получим выражение для обобщённой силы , которую должен развить силовой привод i-го сочленения, чтобы реализовать задание движение i-го звена манипулятора:
(10-11)
.
Выражение (10-11) можно представить в более простой форме:
, , (10-12)
или в матричном виде:
, (10-13)
где - вектор (размерностью n×1) обобщённых сил, создаваемых силовыми приводами в сочленениях манипулятора:
; (10-14)
- вектор (размерностью n×1) присоединенных переменных манипулятора:
; (10-15)
- вектор (размерностью n×1) обобщённых скоростей:
; (10-16)
- вектор (размерностью n×1) обобщённых ускорений:
; (10-17)
D(q) – симметричная матрица размерностью n×n, элементы которой даются выражением:
, ; (10-18)
- вектор (размерностью n×1) кориолисовых и центробежных сил:
,
, , (10-19)
, ; (10-20)
- вектор (размерностью n×1) гравитационных сил:
,
. (10-21)

Уравнения движения манипулятора с вращательными сочленениями в соответствии с методом Лагранжа-Эйлера. Конкретизация равенств (10-13) – (10-21) для шестизвенного манипулятора с вращательными сочленениями приводит к следующему виду членов уравнения, определяющих динамику движения манипулятора:
Матрица . Исходя из равенства (10-18), имеем:
, (10-22)
где
,,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Вектор . Коэффициенты при обобщённых скоростях в выражениях (10-18), (10-19) для центробежных и кариолисовых сил можно сгруппировать в матрицы вида:
, . (10-23)
Пусть скорости изменения всех шести присоединенных переменных манипулятора характеризуются вектором : . (10-24)
С учетом (10-23) и (10-24) равенство (10-19) можно представить в виде следующего произведения матриц и векторов:
. (10-25)
Здесь индекс i указывает номер сочленения (), в котором измеряются моменты и силы центробежного и кориолисового типа.
. (10-26)
Вектор гравитационных сил . Из равенства (10-21) имеем:
, (10-27)
где
,
,
,
,
,
.
Коэффициенты в выражениях (10-18) – (10-21) являются функциями как присоединенных переменных, так и динамических параметров манипулятора. Их называют динамическими коэффициентами манипулятора. Физический смысл динамических коэффициентов легко понять из уравнений (10-18) – (10-21), описывающих динамику движения манипулятора.
Коэффициенты , определяемые равенством (10-21), учитывают силу тяжести, действующую на каждое из звеньев манипулятора.
Коэффициенты , определяемые равенством (10-18), устанавливают связь действующих в сочленениях сил и моментов с ускорением присоединенных переменных. В частности, при i=k коэффициент связывает момент , действующий в i-м сочленении, с ускорением i-й присоединенный переменной. Если , то определяет момент (или силу), возникающий в i-м сочленении под действием ускорения в k-м сочленении. Поскольку матрица инерции симметрична и то .
Коэффициенты , определяемые равенствами (10-19) и (10-20), устанавливают связь действующих в сочленениях сил и моментов со скоростями изменения присоединенных переменных. Коэффициент определяет связь момента, возникающего в i-м сочленении в результате движения в k-м и m-м сочленениях, со скоростями изменения k-й и m-й присоединенных переменных. В соответствии с физическим смыслом . При вычислении рассмотренных коэффициентов полезно знать, что некоторые из этих коэффициентов могут иметь нулевые значения по одной из следующих причин:
Конкретная кинематическая схема манипулятора может исключить динамическое взаимовлияние движений в некоторых парах сочленений (коэффициенты).
Некоторые из коэффициентов присутствуют в формулах (9-20) и (10-19) чисто фиктивно, будучи нулевыми в соответствии с физическим смыслом. Например, коэффициент всегда равен нулю, так как центробежная сила, порожденная движением в i-м сочленении, на само i-е сочленение влияния не оказывает, хотя и влияет на другие сочленения, т.е. при .Некоторые из динамических коэффициентов могут принимать нулевые значения в отдельные моменты времени при реализации определённых конфигураций манипулятора

Уравнения Ньютона-Эйлера для вращающейся системы координат. В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора. С вычислительной точки зрения применение этих уравнений представляет большие трудности при решении задачи в реальном времени. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана модель динамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. При быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кариолисовых сил, не удается компенсировать за счёт управления с обратной связью из-за слишком больших величин требуемых для этого корректирующих моментов.
Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.
Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.
Вращающиеся системы координат

Рисунок 11.1. Вращающаяся система координат
Рассмотрим две системы координат (рис. 11.1): - неподвижная инерционная система координат, - вращающаяся система координат. Начала этих координат совпадают и расположены в точке О, а оси , , вращаются относительно осей , , .
Пусть и - тройки единичных векторов, направленных вдоль основных осей систем и соответственно. Положение точки r, неподвижной относительно системы координат , можно описать следующими двумя способами:
, (11-1)
. (11-2)
Найдём скорость точки r. Поскольку обе системы координат взаимно вращаются, скорость точки r(t) будут различны в этих системах. Примем, что - скорость в неподвижной системе координат ; (11-3)
- скорость в подвижной вращающейся системе
координат . (11-4)
Тогда из выражения (11-1) получаем скорость точки r(t) в системе координат :
. (11-5)
Дифференцируя равенство (11-2), получаем скорость точки r(t) в системе координат :.
(11-6)
С учетом равенств (11-2) и (11-6) получим следующее выражение для скорости точки r(t) в системе координат :.
(11-7)
Здесь трудно вычислить производные , в связи с тем что векторы вращаются относительно векторов .
596902794000 Чтобы найти соотношения между скоростями точки r в неподвижной и вращающейся системах координат, предположим, что система вращается вокруг некоторой оси OQ, проходящей через точку О с угловой скоростью (рис. 11.2).
Угловая скорость вращения системы представляет собой по определению вектор длины , направленный вдоль оси OQ в соответствии с правилом правой руки.
Рисунок 11.2. Скорость во вращающейся системе координат
Скорость точки, положение которой задаётся вектором s в системе координат равна:
. (11-8)
Поскольку производная вектора определяется равенством:
, (11-9)
справедливость выражения (7-8) можно доказать, убедившись, что:
. (11-10)
Поскольку равенство векторов обеспечивается совпадением их длин и направлений, векторы в левой и правой частях равенства (11-10) одинаковы по величине и их направления совпадают. Длина вектора равна:
. (11-11)
Если величина достаточно мала, то из рис. 11.2 очевидно, что:
. (11-12)
Следовательно, длина векторов в левой и правой частях равенства (11-10) равны. В соответствии с определением векторного произведения вектор перпендикулярен вектору s и лежит в плоскости окружности (рис. 11.2).
Применив формулу (11-8) к единичным векторам из равенства (11-7), получаем:
. (11-13)
Это основное соотношение, определяющие связь между скоростями одной и той же точки во вращающейся и неподвижной системах координат. Продифференцировав левую и правую части равенства (11-13), получим:
(11-14)
Равенство (11-14) представляет собой теорему Кориолиса. Первое слагаемое в правой части – ускорение точки в системе . Второе слагаемое описывает кориолисово ускорение. Третье слагаемое – центростремительное ускорение, направленное к оси вращения и перпендикулярное ей. Четвёртое слагаемое исчезает при постоянной угловой скорости.
Уравнения Ньютона-Эйлера для подвижной системы координат Подвижные системы координат могут участвовать как во вращательном, так и в поступательном движениях относительно некоторой неподвижной инерциальной системы координат. На рис. 12.1 изображена подвижная система координат , которая совершает вращательное и поступательное движения относительно инерциальной системы координат . Положение материальной точки р, обладающей масcой m, относительно систем координат и задается векторами r и r* соответственно. Положение точки О* в системе координат определяется вектором h.
8763014224000
Рисунок 12.1. Подвижная система координат
Соотношения между векторами r и r* даётся выражением (см. рис. 12.1):
. (12-1)
Если система координат движется относительно системы , то:
, (12-2)
где и - скорости точки р в системах координат и соответственно, а - скорость точки 0* в системе координат .
С учетом равенства (11-13) выражение (12-2) представим:
. (12-3)
Аналогично ускорение точки р в системе координат : , (12-4)
где и - ускорения точки р в системах координат и соответственно, а - ускорение системы координат в инерциальной системе координат .
С учетом (11-14) равенство (12-4) можно представить в виде:
. (12-5)
Полученные соотношения для подвижных систем координат применима к системам координат звеньев манипулятора.

Приложенные файлы

  • docx 18150092
    Размер файла: 835 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий