mo


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.


























































ИССЛЕДОВАНИЕ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО
ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
академика
Конспект
советом
университета
качестве
учебного
Издательство
2007
681.3.07
32.973.26-018.2.75
218
Инновационная
образовательная
Развитие
центра
компетенции
подготовка
специалистов
мирового
уровня
области
аэрокосмических
геоинформационных
технологий
наук


канд
наук
Горелова
218
Есипов

Методы
оптимизации
исследование
Конспект
лекций
учеб
Есипов
Самара
Самар
. :
???ISBN 5-94774-0003-6
учебном
методов
операций
Материал
читаемых
автором
студентов
факультета
соответствует
курсов
Методы
», «
», «
решений
».
Настоящее
является
вспомогательным
прослушиваемому
курсу
поэтому
изложения
рисунки
поясняющие
суть
что
студентам
разрабатывать
программы
индивидуальных
урсовой
системы
Самарского
государственного
университета
681.3.07
32.973.26-018.2.75
?ISBN 5-94774-0003-6 ©
©
Самарский
государственный

аэрокосмический
университет

издание
Есипов
Алексеевич
ОПТИМИЗАЦИИ
ОПЕРАЦИЙ
Редактор
Доверстка
84 1/16.
Бумага
Печать
офсетная
печ
. ____.
отт
. ____ .
____
_______
аэрокосмический
ниверситет
Самара
Московское
шоссе
, 34.
Самарского
государственного
аэрокосмического
университета
Самара
Московское
шоссе
, 34.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО
ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ВЫСШЕГО
САМАРСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
имени
академика
КОРОЛЕВА
ЕСИПОВ
Конспект
Утверждено
Редакционно
издательским
университета
качестве
учебного
пособия
Издательство
СГАУ
2007
: 12
681.3.07
ББК
32.973.26-018.2.75
218
Инновационная
образовательная
программа
Развитие
центра
компетенции
подготовка
специалистов
мирового
уровня
области
аэрокосмических
геоинформационных
технологий
Рецензенты
докт
Коварцев
Шатских
218
Есипов
Методы
оптимизации
исследование
Конспект
лекций
пособие
Есипов
гос
аэрокосм
2007.
., 68
ISBN 5-94774-0003-6
учебном
пособии
краткое
изложение
основных
опти
мизации
исследования
операций
Материал
пособия
основан
лекциях
читаемых
автором
для
студентов
факультета
Информатика
раммам
курсов
Методы
оптимизации
Теория
исследо
операций
Теория
принятия
решений
Настоящее
пособие
явля
ется
вспомогательным
материалом
прослушиваемому
курсу
лекций
этому
применяется
конспективный
стиль
изложения
Приведены
алгорит
примеры
работы
также
рисунки
поясняющие
суть
методов
что
позволяет
студентам
разрабатывать
компьютерные
программы
ния
индивидуальных
заданий
курсовой
работы
Предназначено
студентов
специальностей
Прикладная
матема
тика
информатика
Автоматизированные
системы
обработки
инфор
мации
»,
также
аспирантов
специалистов
интересующих
методами
оптимизации
исследования
операций
Подготовлено
кафедре
системы
технологии
Самарского
государственного
аэрокосмического
университета
681.3.07
ББК
32.973.26-018.2.75
ISBN 5-94774-0003-6 ©
Есипов
Самарский
государственный
аэрокосмический
университет

Оглавление
Введение
..............................................................................................................6
1.
Методология
системного
анализа
исследование
операций
........................7
1.1.
Системный
анализ
система
оптимизация
..........................................7
1.2.
Схема
операционного
.............................................................8
1.3.
Особенности
математического
моделирования
операций
...............11
1.4.
Постановка
задачи
исследования
операций
детерминированном
случае
условиях
неопределенности
............................................12
1.5.
математического
моделирования
операции
задача
краске
)................................................................................................13
2.
Линейное
программирование
)...............................................................16
2.1.
Общая
основная
задачи
.............................................................17
2.2.
Геометрическая
интерпретация
задачи
.......................................19
2.3.
Идея
симплекс
метода
решения
задачи
......................................21
2.4.
Симплекс
таблица
стандартный
алгоритм
симплекс
преобразования
..................................................................................23
2.5.
Алгоритм
отыскания
опорного
решения
задачи
.........................25
2.6.
Алгоритм
отыскания
оптимального
решения
задачи
.................26
2.7.
Алгоритм
получения
базисного
решения
использованием
симплекс
процедуры
метод
искусственного
базиса
)................................................................................................29
2.8.
Вырожденная
задача
....................................................................31
2.9.
Двойственная
задача
....................................................................32
3.
Транспортные
задачи
).............................................................................35
3.1.
Математическая
модель
........................35
3.2.
Нахождение
опорного
транспортной
задачи
..........................36
3.3.
Оптимизация
распределительный
метод
..........................38
3.4.
Метод
потенциалов
решения
........................................................40
3.5.
Решение
неправильным
балансом
.............................................43
3.6.
критерию
времени
типы
критериев
........................................45
4.
Дискретное
программирование
....................................................................48
Особенности
задач
дискретного
программирования
...............................49
4.2.
Примеры
задач
дискретного
программирования
...............50
4.2.1.
покрытии
.....................................................................54
4.2.2.
коммивояжɺре
.............................................................54
4.2.3.
раскрое
.......................................................55
4.2.4.
ранце
............................................................................58
4.3.
Алгоритм
решения
задачи
ранце
....................................................58
4.4.
Решение
задач
ЛЦП
методом
отсечений
Гомори
.............................61
4.5.
Метод
ветвей
границ
)...........................................................66
4.6.
Алгоритм
для
задачи
ЛЦП
........................................................68
4.7.
Алгоритмы
решения
задач
булевского
программирования
.............72
Динамическое
программирование
).......................................................78
5.1
Принцип
оптимальности
Беллмана
.................................................79
5.2.
Решение
задач
основе
принципа
Беллмана
.................81
5.3.
Функциональное
уравнение
Беллмана
..............................................82
5.4.
Задачи
распределения
ресурсов
.........................................................84
5.4.1.
Классическая
задача
распределения
ресурсов
.........................84
5.4.2.
Неоднородные
этапы
распределение
ресурсов
отраслям
.....................................................................................85
5.4.3.
Распределение
ресурсов
резервированием
............................85
5.4.4.
Распределение
ресурсов
вложением
доходов
»....................87
5.5.
Расширение
задач
динамического
программирования
........89
5.6.
Пример
решения
задачи
распределения
ресурсов
............................91
5.7.
Эффективность
динамического
программирования
.........................94
Нелинейное
программирование
....................................................................95
6.1.
Особенности
задач
нелинейного
программирования
.......................95
6.2.
Прямые
методы
одномерной
оптимизации
функций
без
ограничений
................................................................................97
6.3.
многомерной
оптимизации
............................99
6.3.1.
Классический
градиентный
метод
..........................................100
6.3.2.
Покоординатный
метод
...........................................................101
6.3.3.
Метод
наискорейшего
спуска
его
модификации
................101
6.4.
Метод
деформируемого
многогранника
Нелдера
Мида
................101
6.5.
Задача
ограничениями
равенствами
....................................103
6.6.
Выпуклое
.................................................................................106
6.7.
Теорема
Таккера
для
выпуклого
НЛП
...................................108
6.8.
Квадратичное
программирование
....................................................109
6.9.
Методы
возможных
направлений
....................................................114
6.10.
Метод
проекции
............................................................118
6.11.
Методы
штрафных
барьерных
функций
....................................121
6.12.
Метод
скользящего
допуска
..........................................................127
Особенности
современной
теории
оптимальных
......130
7.1.
постановка
задачи
принятия
решения
.................................131
7.2.
Классификация
задач
принятия
........................................133
7.3.
Многокритериальная
оптимизация
.................................................135
7.4.
Определение
множества
Парето
......................................................138
7.5.
Методы
условной
многокритериальной
оптимизации
...................140
Игровые
модели
принятия
решений
...........................................................144
8.1.
Основные
понятия
теории
.........................................................144
8.2.
Платежная
матрица
антагонистической
принцип
минимакса
........................................................................................145
8.3.
Решение
смешанных
стратегиях
............................................147
8.4.
Упрощение
аналитическое
решение
2.........................148
8.5.
Геометрическое
решение
...........................................................150
8.6.
Решение
игр
многими
стратегиями
основе
метода
линейного
программирования
........................................................153
8.7.
Биматричные
игры
............................................................................155
Кооперативные
игры
.........................................................................156
9.
Элементы
теории
статистических
оптимальных
решений
.......................159
9.1.
Принятие
решений
известных
априорных
вероятностях
........160
9.2.
Методы
принятия
условиях
априорной
неопределенности
............................................................................162
9.3.
эксперимента
при
принятии
решений
....................163
9.4.
Многоэтапное
принятие
....................................................165
10.
Экспертные
процедуры
принятия
.......................................169
10.1.
схема
экспертизы
................................................................169
10.2.
Задача
оценивания
..........................................................................170
10.3.
Подготовка
экспертизы
..................................................................170
10.4.
Методы
обработки
экспертной
информации
................................171
10.5.
Метод
численной
оценки
.............................................173
10.6.
Строгое
ранжирование
...................................................................174
10.7.
Нестрогое
ранжирование
................................................................175
10.8.
Метод
попарных
сравнений
...........................................................176
Список
литературы
..........................................................................................178
главных
направлений
деятельности
специалиста
любой
сфере
является
совершенствование
существующих
создание
новых
изделий
или
технологий
создание
лучших
экономное
расходование
сурсов
сокращение
сроков
строительства
иная
быть
достигнута
всегда
важно
знать
наилучший
реальных
условиях
считаться
ограниченностью
ресурсов
времени
ходуемых
цели
Понятие
лучший
начинает
либо
озна
чать
тогда
когда
назван
количественный
критерий
качества
принимаемого
решения
Например
лучше
изделия
точки
зре
ния
затрат
материала
система
лучше
системы
показателю
надежно
..
Вот
почему
получение
наилучших
вариантов
только
количественном
предметной
области
основе
математиче

.
Методология
анализа
сложных
систем
математическое
моделирова
ние
нахождение
этой
основе
наилучших
оптимальных
решений
изучается
науке
исследование
операций
».
рамках
этого
обще
математические
оптимизации
следнее
название
применяют
для
методов
нахождения
экстремумов
функций
функционалов
когда
математическая
модель
задачи
уже
сформулирована
Большой
вклад
развитие
методологии
исследования
операций
мето
оптимизации
внесли
российские
зарубежные
Канторович
Понтрягин
Моисеев
Кун
Таккер
многие
другие
При
подготовке
рукописи
этой
книги
использован
опыт
преподавания
факультете
информатики
государственного
аэрокосмического
университета
предопределило
перечень
вопросов
которые
первую
очередь
должны
были
быть
освещены
При
изложении
автор
предельно
кратко
старался
излагать
сугубо
вопросы
оставляя
место
новным
методам
имеющим
универсальное
значение
Особый
акцент
сделан
практические
алгоритмы
решения
разнообразных
задач
которые
положить
основу
разрабатываемых
компьютерных
программ
МЕТОДОЛОГИЯ
СИСТЕМНОГО
АНАЛИЗА
ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЕРАЦИЙ
Системный
анализ
система
оптимизация
середине
двадцатого
многих
областях
деятельности
сформировалась
необходимость
изучения
совершенствования
сложных
систем
том
систем
организационного
типа
систем
обороны
водственных
отраслей
предприятий
Оказалось
сложных
системах
взаимосвязь
элементами
льшую
роль
чем
свойства
элементов
их
системах
элементы
могут
разнородны
оборудование
материалы
условия
сбыта
.).
системный
анализ
исследование
операций
возникли
были
образованы
группы
исследованию
армии
Англии
время
второй
мировой
войны
этому
времени
был
накоплен
применения
математи
ческих
методов
моделирования
решения
некоторых
задач
экономики
Леонтьев
Канторович
была
теоретически
возможность
решения
задач
мерности
ЭВМ
Позже
созданы
первые
образцы
машин
Совпали
необходимость
возможность
Возникли
идеи
совершенствования
организационных
систем
математи
теории
Моргенштерн
).
Методология
сформулирован
вобравшая
себя
все
научные
достижения
области
изучения
сложных
систем
оказалась
только
боевым
ациям
другим
сферам
операций
Системный
операционный
подход
для
изучения
совершенствования
слож
систем
Применительно
специалистам
инженерам
области
математики
информационных
технологий
промышленности
иссле
дование
операций
формирует
определенную
технологию
совершенствования
существующих
создания
новых
систем
технических
ганизаци
онных
множество
элементов
определенными
способами
взаимодей
ствия
которые
выполняют
цель
системы
все
происходит
системе
Система
работает
значит
происходит
процесс
Операция
часть
процесса
которая
наделена
свойствами
всей
системы
Операция
управляемое
выполняющее
определенную
цель
сопоставимую
всей
системы
операция
составле
ния
расписания
учебных
занятий
для
учебного
процесса
системе
верситет
».
При
исследовании
сложных
организационных
систем
экспериментальный
метод
исследования
описание
поведения
систем
только
основе
какой
естественнонаучной
теории
описании
таких
систем
количество
ходимо
учитывать
велико
Поэтому
очевидно
такие
системы
невозможно
моделировать
чать
совершенствовать
без
использования
компьютерных
средств
1.2.
Схема
операционного
проекта
комплекс
работ
изучению
совершенствованию
системы
проводит
операционная
группа
аналитиков
Этот
проводится
интересах
принимающего
решения
ЛПР
).
проект
принять
рис
изображена
примерная
схема
этапов
операционного
проекта
Фикса
ция
сим
птомов
проблемы
Опре
деление
тенден
ции
Формулировка
проблемы
Качественный
системный
анализ
Количест
венный
системный
анализ
Матема
тическое
моделирование
Решение
модели
Проверка
решения
корректность
Подготовка
документов
удовл
удовл

Методы
оптимизации

краткую
характеристику
этапов
операционного
исследования
1.
самом
общем
случае
для
изучения
совершенствования
системы
служат
зафиксированные
симптомы
обнаруживающие
проблемные
вопросы
работе
системы
Установленные
симптомы
образовывать
связанную
цепочку
фактов
тенденцию
),
которая
помогает
сформулировать
проблему
Важнейшим
исследования
системы
является
четкая
формули
ровка
проблемы
присутствует
данном
уровне
жизнедеятельности
системы
Качественный
системный
анализ
расщепление
целостной
систе
операции
отдельные
элементы
сущности
).
Для
нужно
выделить
изучаемую
систему
операцию
вышестоящей
системы
сформулировать
выполняемую
системой
операцией
);
перечислить
факторы
которые
влияют
достижение
цели
возможные
рамках
которых
можно
совер
шенствовать
систему
операцию
).
Количественный
системный
анализ
описать
все
ленные
факторы
которые
участвуют
количественном
уровне
основе
измеримых
параметров
этого
устанавливается
критерий
величина
количественно
измеряющая
степень
достижения
цели
системы
операции
);
вводятся
количественные
внутренние
параметры
системы
которые
факторы
участвующие
описании
системы
операции
множество
этих
параметров
необходимо
разбить
две
части
неуправляемые
параметры
константы
которые
данной
кретной
системе
операции
менять
производитель
ность
расхода
материалов
.),
обозначают
как
коэф
фициенты
, …,
);
управляемые
параметры
переменные
величины
менять
, …, x
6.
Суть
математического
моделирования
установление
связей
введенными
величинами
так
называемой
рационной
модели
Первая
часть
операционной
это
целевой
функции
устанавливает
функциональную
зависимость
критерия
неуправляемых
параметров
управляемых
величин
виде
K = f
быть
функция
заданная
аналитически
таблично
алгоритмом
ряде
практи
ческих
задач
качестве
элементов
выступают
функции
случае
функционал
Задачи
такого
рода
называются
вариационными
пособии
рассматриваются
функции
указывается
правление
улучшения
критерия
K = f(X, A)
min(max)
(1.1)
Этим
выражением
определяется
смысл
оптимизации
системы
операции
Вторая
часть
операционной
математическое
описание
выбор
переменных
Все
ограничения
общем
виде
можно
запи
сать
виде
неравенств
равенств
0,
(1.2)
функция
X, A
называется
функцией
ограничения
некото
задачах
имеются
требования
сам
переменных
(1.3)
Например
часто
возникает
требование
чтобы
были
некоторых
случаях
должны
принадлежать
некоторому
стандартному
множеству
значений
Модель
1.1, 1.2, 1.3 –
операционного
оптимиза
ционная
неоптимизационная
без
целевой
функции
Модель
1.1, 1.2, 1.3
позволяет
поставить
задачу
оптимизации
системы
операции
математическую
задачу
найти
управляемые
которые
удовлетворяли
системе
ограничений
1.2, 1.3
обеспечи
наилучшее
значение
Решение
поставленной
математической
задачи
требует
привлечения
оптимизации
включающих
классических
математических
тодов
также
специальные
методы
исследования
Реальные
задачи
приводят
большой
размерности
десятков
).
Поэтому
современные
нахождения
оптимальных
решений
ориентированы
компьютерных
средств
Сопоставляя
полученное
содержательной
постановкой
зада
можно
обнаружить
противоречия
или
какие
нибудь
некорректные
менты
решения
Причиной
некорректности
могут
быть
ошибки
математи
ческой
или
неучет
венных
ограничений
этом
этапе
принимать
участие
принимающее
решение
).
Если
полученное
решение
принимается
если
необходимо
вернуться
этап
математического
моделирования
или
даже
более
ранние
этапы
исследования
Найденное
оптимальное
решение
позволяет
подготовить
управ
ляющее
решение
документа
Таким
образом
операционное
исследование
итерационный
процесс
который
сходится
определенному
оптимальному
решению
Рассмотренная
схема
является
Она
позволяет
лучше
смысл
системного
анализа
исследования
операций
науки
Исследование
количественном
обосновании
оптимальных
решений
основе
строения
использования
математической
модели
сожалению
процесс
количественное
описание
сложных
систем
операций
является
тех
нологией
Математическая
модель
может
получиться
удачной
или
неудачной
получения
практических
решений
Вот
почему
знаменитый
операционист
иронично
определил
науку
Исследование
операций
как
искус
давать
советы
тех
практических
случаях
которых
другие
ки
ничего
посоветовать
».
1.3.
Особенности
математического
моделирования
операций
Математическое
моделирование
самый
сложный
этап
Математи
ческая
модель
это
описание
системы
которое
позволяет
специалисту
выполнить
исследования
оптимизации
системы
Для
системы
построить
различные
чтобы
различные
свойства
аэродинамическая
прочностная
Модель
должна
быть
адекватной
задаче
лученные
рамках
должны
обладать
свойствами
что
система
сожалению
существует
какого
либо
алгоритма
которому
необ
создать
руководствоваться
лишь
принципами
лирования
1.
Необходимо
вопрос
размерности
модели
Если
число
парамет
ров
увеличить
более
точно
отобразим
льное
событие
будет
трудно
выявить
основные
свойства
наиболее
).
Задача
ста
необозримой
может
Поэтому
перемен
возможности
стараются
уменьшать
оставляя
главные
существенные
уменьшая
переменных
можем
опустить
существенные
дель
становится
неадекватной
2.
Модель
зависит
точности
торой
нужно
получить
решение
3.
Модель
зависит
того
насколько
знаем
исходные
данные
4.
Подход
построению
модели
быть
двояким
4.1.
Создание
оригинальной
учитывая
предыдущей
модели
области
),
разработка
чистого
».
Это
дать
может
дать
хороший
результат
Преимущество
свежий
щи
ошибок
быть
дороже
потребует
времени
4.2.
Использование
типовых
моделей
для
конкретных
раций
настоящее
время
существует
большое
типовых
опи
сывающих
наиболее
распространенные
операций
систем
линейного
программирования
);
динамического
программирования
модели
модель
массового
модель
систем
управления
запасами
Такой
наиболее
для
обучения
специалистов
как
инструмент
моделирования
реальных
систем
предметной
области
1.4.
Постановка
задачи
исследования
операций
детерминированном
случае
условиях
неопределенности
Если
операционной
(,)min(max)
KfXA
(1.4)
(,)0,1,
Aim
(1.5)
неуправляемые
переменные
заранее
известные
величины
детерминированная
функция
такая
модель
называется
детер
минированной
задачах
выполняется
Среди
неуправляемых
такие
, …, z
которые
меняются
случайно
этом
случае
что
операция
проходит
условиях
неопределенности
K=f
X, A, Z
меняется
только
изменением
задача
максимум
становится
некорректной
этом
случае
ставится
задача
выбора
такой
критериальной
величины
которая
менялась
только
простейшем
случае
когда
функция
можно
искусственно
свести
задачу
детерминированной
заменив
Z], т.к. в этом
случае
K] = f(X, A, M[Z]). Это же можно сделать
если
слабо
меняется
случае
случае
усреднение
правилам
[]..(..)(,,)..
løòóê
KzzfXAZd
zd
³³³
max,
функция
плотность
распределения
вероятностей
величин
Вид
функции
после
такого
преобразования
существенно
услож
няется
Поэтому
усложняется
задача
отыскания
решения
1.5.
Пример
математического
моделирования
операции
задача
краске
демонстрации
существа
операционного
подхода
рассмотрим
простой
Содержательное
описание
задачи
окраски
помещения
необходимо
купить
15
краски
краску
можно
купить
банках
типов
1,5
стоимостью
10
рублей
каждая
банках
весом
0,9
стоимостью
8,5
рублей
Для
перевозки
используется
который
уместиться
банок
типа
или
банок
второ
типа
Необходимо
дать
математическую
формулировку
задачи
минимизации
стоимости
покупки
лько
целых
каждого
типа
надо
купить
Необходимо
дать
графическую
интерпретацию
решения
которое
получится
если
банка
краски
первого
типа
будет
стоить
17
рублей
Решение
Обозначим
количество
банок
первого
типа
количество
банок
второго
типа
количество
краски
должно
меньше
15
1,50,915
Каждая
банка
типа
занимает
1/8
объема
ящика
второго
1/25
часть
поэтому
ограничение
ящика
следующим
образом
825
Стоимость
покупки
обозначим
равна
108,5min
Lxx
Получаем
задачу
принадлежащую
задач
линейного
программи
(
):
108,5min;
1,50,915;
825
Lxx
=o
(1.6)
(1.7)
(1.8)
банки
вскрывать
нельзя
необходимо
добавить
ограничения
целые
Задача
1.6, 1.7, 1.8, 1.9 –
задача
линейного
програм
мирования
количество
переменных
задачах
большое
необ
решать
использованием
специальных
алгоритмов
которые
чим
компьютерных
нашем
случае
две
переменные
следо
использовать
простое
геометрическое
Рассмотрим
равенства
1,50,915
уравнение
прямой
линии
Делим
правую
левую
части
уравнения
1016,6
каноническое
уравнение
прямой
Построим
.2).
Уравнение
(1.8)
вид
825
Проверяя
допустимость
какой
для
например
точки
(0; 0),
определяем
область
допустимых
решений
творяющих
(1.8).
Изобразим
линию
постоянного
уровня
целевой
функции
=const.
возь
, L=170,
получим
уравнение
прямой
170108,5
Приведем
канонической
построим
1720
Убеждаемся
если
min,
эта
прямая
движется
параллельно
себе
началу
координат
Оптимальной
точкой
будет
выхода
допустимых
. .
10
допустимых
оптимальное
Оптимальное
решение
,
точка
является
оптимальной
для
случая
когда
банки
можно
вскрывать
могут
быть
нецелыми
),
точка
оптимальная
точка
для
целого
Найдем
координаты
точки
решив
совместно
уравнения
(1.7)
(1.8):
1,50,915;
1/81/251.
Получим
***
5,8;7,1;118,35.
xxL
===
Заметим
что
округленное
является
допустимым
Оптимальное
решение
является
последним
выходе
прямой
находим
допустимых
точка
координатами
=10;
=125.
стоимость
банки
краски
первого
типа
повысится
17
рублей
функция
будет
178,5min
Lxx
прямую
=170.
1020
оптимальная
точка
будет
точке
=16,6.
Целое
оптимальное
решение
будет
=0;
=17;
’=144,5.
Если
банки
можно
вскрывать
необходимо
банок
типа
банок
второго
типа
стоимость
=118,35.
Если
банки
вскрывать
необходимо
банки
первого
типа
банок
второго
типа
=125.
Если
банки
первого
станет
рублей
оптималь
изменится
=17;
’=144,5.
2.
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
наиболее
распространенный
хорошо
изученный
раздел
исследования
операций
Изучение
можно
проводить
направлениях
как
линейной
алгебры
чисто
математическое
изучение
конкретных
моделей
приводящих
Впервые
задача
была
сформулирована
Канторовичем
который
применил
математическую
задачи
для
экономики
(1939
.).
Впо
следствии
1947
американец
циг
разработал
алгоритм
решения
этой
задачи
этого
момента
стало
основным
методом
системном
первую
очередь
задачах
экономики
1975
Канторович
лучил
Нобелевскую
как
основоположник
Задача
такая
задача
исследования
когда
целевая
функция
функции
ограничений
линейны
ные
действительные
числа
max)(min
jj
xcL
mibxa
ijjij
,1,
=≤
njRx
,1,
=%∈
Пример
Задача
диете
Имеются
четыре
вида
продуктов
Известна
стоимость
каж
продукта
рационе
должно
быть
белков
жиров
углеводов
менее
Известно
содержание
каждого
единице
продукта
Необходимо
рассчитать
рацион
содержащий
количество
полезных
веществ
этом
чтобы
рациона
минимальной
Построим
математическую
продукта
вещества
удельное
количество
продукте
вещества
).
Введем
количество
продукта
рационе
управляемая
переменная
),
величины
неуправляемые
параметры
константы
берем
критерий
стоимость
рациона
Тогда
целевая
функция
ограничения
имеют
вид
min,
(2.1)
13
14
23
24
33
34
Математически
задачу
сформулировать
найти
такие
зна
чения
удовлетворяли
системе
линейных
неравенств
этом
линейная
функция
была
минимальной
компактном
можно
записать
min
Lcx
,1,(1,3)
ijjj
axbimi
≥==
буквально
означает
линейное
планирование
2.1.
Общая
основная
задачи
Моделируя
реальную
задачу
получить
задачу
некото
рыми
особенностями
случае
min ,
другом
max;
ограничениях
могут
быть
знаки



, = ,
� , ;
переменные
быть
положительными
тельными
Рассмотрим
стандартную
основную
форму
задачи
будем
сокра
называть
ОЗЛП
целевая
функция
минимизируется
min;
ограничения
только
равенства
все
переменные
неотрицательны
j
,0
Любую
задачу
общем
виде
можно
привести
ОЗЛП
для
чего
необ
выполнить
следующие
действия
Если
max,
ввести
max,
min,
при
этом
arg min
= arg max
Чтобы
привести
неравенство
равенству
необходимо
перенести
все
части
неравенства
одну
сторону
которая
0);
функцию
обозначить
дополнительной
перемен
ной
которая
Это
обозначение
является
равенством
эквивалентным
неравенству
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
Пример
123
123
xxx
xxx
Введем
дополнительные
переменные
0,0
≥≥
1123
2231
yxxx
yxxx
−−
=−
переход
равенству
приходится
платить
увеличением
числа
переменных
Пусть
переменная
любым
знаком
Представим
разностью
двух
положительных
переменных
Тогда
если
вместо
подставить
///
кк
ххх
−=
остаются
только
неотрицательные
переменные
Пример
123
123
3max,
23,
Lõõõ
õõõ
=−o
−≤
123
0;0,
xxëþáîå
≥≥−
123
'3m
LLõõõ
=−=−−o
1123
212
32,
=−−
345
Получили
ОЗЛП
1245
'3min
Lõõõõ
−−o
11245
212
32,
ххх
=−−−
0),,,,,(
215421
yy
хххх
Таким
образом
ОЗЛП
общем
можно
записать
min
, (2.6)
,1,
ijji
bim
, (2.7)
0,1,
≥%=
. (2.8)
матричном
min , AX=B, X�=0.
система
линейных
уравнений
) (2.7)
совместна
когда
ранг
матрицы
равен
рангу
; A = {
}, B = {
}.
допустимыми
задачи
являются
все
решения
должно
выпол
няться
Если
быть
только
если
m n
быть
бесчисленное
множество
таких
удовле
творяют
системе
(2.7).
Эти
точки
образуют
так
называемую
область
допус
тимых
решений
ОДР
).
2.2.
Геометрическая
интерпретация
задачи
частный
случай
n-m=2
Тогда
переменных
выбираются
базисными
n – m
свободными
Рассмотрим
систему
,,...,
ххсвободные
базисные
33113223
44114224
1122
nnnn
õõõ
õõõ
õõõ
=
=
=
11220
min
=o
(2.9).
Пусть
3232131
=
хх
�0
точки
лежат
одну
сторону
этой
Покажем
штриховкой
Аналогично
других
(2.9).
Очевидно
точки
все
штриховки
пересекаются
есть
ОДР
. 3).
Область
допустимых
решений
ОДР
содержит
точки
удовле
творяющие
задаче
целевую
функцию
Пусть
1112210
LCõõC
==−
уравнение
прямой
Точки
лучше
области
значение
целевой
функции
Оптимальное
решение
получается
точке
выхода
уровня
целевой
функции
точка
Отсюда
ясно
задаче
внутри
быть
оптимальной
точки
Выводы
геометрической
интерпретации
ОЗЛП
ОЗЛП
обязательно
. 4).
Нет
допустимого
решения
2)
всегда
выпуклый
много
угольник
. 5):
3)
есть
допустимое
обязательно
есть
быть
открытой
случае
оптималь
может
быть
если
функция
изменяется
как
движемся
открытую
если
открыта
это
значит
оптималь
II
решение
нахо
точке
. 6).
задаче
быть
бес
численное
множество
оптималь
решений
Оптимальное
реше
ние
будет
любой
точке
. 7).
. 7
оптимальное
решение
есть
необходимо
искать
вершине
многоугольника
Признаком
вершины
является
двух
равенство
нулю
двух
переменных
Если
n-m=2
свободные
переменные
Тогда
чтобы
пасть
вершину
можно
приравнять
нулю
свободные
переменные
Если
две
переменные
равными
нулю
рис
. 8),
попасть
недопустимую
точка
очка
3=0)
5=0)).
Чтобы
перейти
соседнюю
вер
2),
нужно
вместо
x5
x4=0,
x5
равно
нулю
Получаем
2 ((
4=0)).
Допустимую
вершину
зовем
опорной
случай
когда
n – m
44114224334
хххх
ααβ
=
хплоскость
полупространство
выпуклый
многогранник
0112233
x
JJJ
=
� – min -
целевая
функция
= const –
плос
кость
).
Допустимые
решения
находятся
внутренних
точках
многогранника
оптимальное
может
находиться
только
многогранника
точке
последнего
касания
плоскости
целевой
функции
многогранни
где
пересекаются
плоскости
переменных
равны
нулю
общем
случае
n – m = k
задачи
свободных
переменных
едовательно
нужно
искать
оптимальное
где
равны
вершине
особом
случае
может
пересекаться
большее
число
плоскостей
оптимальной
переменных
должны
быть
равны
нулю
является
оптимально
решения
для
задачи
Идея
симплекс
решения
задачи
ОЗЛП
где
базисные
переменные
k+1
разрешены
отно
сительно
свободных
,…,x
1123
2123
123
23...56min,
23...64,
...77,
223...2.
Lxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
=o
=−
=−−
=−
0) –
вершина
этом
базисные
переменные
k+2
2.
ОЗЛП
переменные
быть
0,
следовательно
эта
недопустима
Признаком
недопустимости
вершины
является
наличие
отри
цательных
свободных
членов
ограничениях
отрицатель
свободный
член
есть
перейти
другую
вершину
для
чего
базисную
переменную
сделать
свободной
приравнять
нулю
какую
свободную
зисную
Следовательно
переход
одной
верши
другую
осуществляется
путем
замены
базисной
свобод
ную
Это
называется
симплекс
преобразованием
Если
будем
переходить
вершины
вершину
сторону
ОДР
»,
конечное
число
таких
перехо
попадем
допустимую
вершину
Назовем
опорной
вершиной
ветствующее
опорным
решением
получено
опорное
решение
следующей
задачи
Проверим
оптимально
312
412
1234
32min,
0;2;4;3.
xxx
xxx
Lxx
xxxxL
=−
=−
=−o
====
Видно
если
все
коэффициенты
свободных
переменных
функции
положительны
никакие
увеличения
свободных
переменных
вверх
уменьшают
следовательно
это
является
оптимальным
чением
Если
есть
отрицательные
коэффициенты
свободных
нашем
примере
),
сделать
базисной
если
она
будет
положительной
будет
увеличиваться
бесконечно
так
ограничениях
есть
отрицательный
коэффициент
2.
Видно
противном
случае
будет
отрицательным
базисную
пере
менную
которую
надо
свободной
Поиск
этой
пары
для
симплекс
преобразования
является
основным
элементом
симплекс
метода
Таким
образом
симплекс
метод
метод
решения
задач
который
новывается
процедуре
перехода
одной
вершины
другой
пор
оптимальную
вершину
состоит
трех
алгоритмов
Алгоритм
перехода
одной
вершины
другую
известна
образования
пересчитывает
коэффициенты
системы
уравнений
базиса
Назовем
его
алгоритмом
симплекс
преобразования
Алгоритм
такой
пары
преобразования
чтобы
переходе
новую
вершину
приближались
алгоритм
отыскания
опорного
решения
Алгоритм
нахождения
такой
чтобы
опорная
вершина
давала
лучшее
значение
целевой
функ
Это
алгоритм
отыскания
оптимального
решения
симплекс
методе
начинают
стандартной
свобод
переменные
равны
нулю
точки
недопустимая
вершина
смотри
рисунок
9).
Дальше
последо
вательно
переходим
одной
шины
другую
(2,3)
попадаем
опорную
4.
Найдя
опорное
решение
движемся
вершинам
ОДР
чтобы
левая
функция
улучшалась
этом
эти
вершины
были
опорными
6 –
оптимальная
).
Эти
алгоритма
гарантируют
отыскание
либо
доказательство
отсутствия
решения
либо
доказательство
отсутствия
оптимального
решения
2.4.
Симплекс
таблица
стандартный
алгоритм
симплекс
преобразования
Существует
форм
симплекс
таблиц
рассмотрим
лее
компактную
форму
которой
строки
базисные
переменные
столбцы
свободные
переменные
Каждая
содержит
коэффициенты
модели
задачи
..
Для
записи
необходимо
представить
ОЗЛП
стандартной
01122
(...)
JJJ
=−
111111221
...)
a
=−
222112222
...)
a
=−
1122
.)
nnnnnkk
a
=−
первом
свободных
пере
менных
меняют
знак
Пример
Lxx
=−
1123
2123
31,
yxxx
yxxx
=
=−
312
yxx
=−−
Стандартная
123
4(201)
Lxxx
=−−
1123
2123
0(211)
1(311)
yxxx
yxxx
=−−−−
=−−−
23
2(210)
yxxx
=−−−−
этой
формы
левый
угол
соответст
вующей
клетки
ниж
части
будем
писать
межуточные
результаты
числений
. 1).
Каждое
решение
соот
ветствующее
свободные
= 0,
свободным
членам
4-20 1
00 0 0
0-2-1 -1
-13 -1 -1
-1 1
-13-1 -1
-2-21 0
1-3 1 1
123
123
0;1;2;
xxx
yyy
===
==−
=4.
Рассмотрим
порядок
вычислений
для
перехода
новую
вершину
Пусть
необходимо
выполнить
симплекс
преобразование
нужно
получить
симплекс
таблицу
этого
выполним
горитм
Алгоритм
Отыскиваем
объявляем
генеральным
Тогда
строка
столбец
Вычисляем
величину
обратную
генеральному
элементу
записываем
нижней
части
генеральной
клетки
Все
умножаем
Результат
записываем
нижней
части
соответствующих
клеток
Все
элементы
столбца
умножаем
Результат
записы
нижней
клеток
Отмечаем
верхние
генеральной
строки
нижние
элементы
генерального
столбца
клетке
принадлежащей
генеральному
столбцу
ральной
строке
нижнюю
часть
записываем
произведение
отмеченных
элементов
стоящих
том
столбце
той
строке
данная
Переписываем
заменяя
соответствии
табл
. 2:
Таблица
1 x
4 -2 0 1
-1 1 -1 -2
-1 3 -1 -1
-1 -5 1 1
обозначение
базисной
переменной
обозна
чением
свободной
переменной
наоборот
элементы
генеральной
строки
столбца
элементами
оставшиеся
элементы
суммой
нижнего
верхнего
числа
приведенных
показано
преобразование
Алгоритм
отыскания
опорного
решения
задачи
Этот
алгоритм
выполняется
сразу
симплекс
таблицы
Алгоритм
Просматриваем
столбец
свободных
членов
смотря
свободный
Если
все
свободные
члены
0,
данная
таблица
уже
ствует
опорному
решению
иначе
переходим
. 2.
столбце
свободных
выбираем
порядку
отрицатель
элемент
этой
строке
находим
еще
один
отрицательный
элемент
Если
такого
элемента
нет
задача
имеет
решения
если
есть
. 3.
Столбец
отрицательным
элементом
объявляем
генеральным
генеральном
столбце
фиксируем
имеющие
знак
знак
соответствующих
свободных
членов
среди
них
качестве
элемента
выбираем
тот
отношение
которому
соответст
вующего
свободного
члена
минимально
14,2
: 1
0
+
+

min,
знак
знак
выбранному
генеральному
элементу
выполняем
стандартное
плекс
преобразование
алгоритм
. 1.
Если
вычислениях
ошибок
количество
отрицательных
бодных
членов
должно
уменьшаться
или
должна
уменьшаться
абсолют
величина
Примечание
пункту
Задача
имеет
решения
когда
соответствующая
строка
имеет
например
4123
1(24)
yxxx
=−−
которая
удовлетворяется
каких
неотрицательных
переменных
2.6.
Алгоритм
отыскания
оптимального
решения
задачи
Этот
алгоритм
выполняется
найдено
опорное
решение
есть
симплекс
таблице
все
свободные
члены
0.
Алгоритм
Просматриваем
элементы
несмотря
свободный
член
).
Если
элементы
0,
данная
симплекс
таблица
соответствует
мальному
решению
иначе
. 2.
строке
выбираем
наибольший
положительный
элемент
соответст
вующий
столбец
объявляем
генеральным
генеральном
столбце
находим
положительные
элементы
таких
задача
оптимального
решения
иначе
. 4.
Среди
положительных
элементов
генерального
выбирается
отношение
которому
соответствующего
члена
минимально
min,
� 0.
выбранному
генеральному
элементу
осуществляем
симплекс
преобразование
алгоритм
переходим
. 1.
Примечание
пункту
Если
генеральном
столбце
положительных
элементов
задача
оптимального
решения
функция
уменьшается
неограничен
движется
открытую
область
).
Это
значит
исходной
модели
тено
какое
важное
ограничение
ема
алгоритмов
решения
задач
показана
рис
. 10:
. 10
:
Решить
задачу
max;
Решение
Приведем
задачу
ОЗЛП
min;
L’=

Симплекс
таблица
Алгоритм
отыскания
опорного
решения
Алгоритм
симплекс
преобразования
допустимого
решения
Получено
опо
ное
Алгоритм
отыскания
оптимального
решения
симплекс
преобразования
оптимального
решения
Получено
решение
Таблица
0 1 1
L’
-1 0 1
2 -1 1
-1 0 1
-1 0
-1
1 0 -1
4 1 0
0 0 0
Таблица
-1 1 1
-4 -1 0
1 -1 1
4 1 0
1 0 -1
0 0 0
1 0
4 1 0
2/1=2; -1/-1=1(min)
таблице
получено
опорное
решение
=1,
=1,
=4,
’= -1.
таблице
выполняем
алгоритм
отыскания
оптимального
решения
Таблица
-5 -1 1
L’
-5 -1 -1
5 1
5 1 1
1 0 -1
5 1 1
4 1 0
0 0 0
Таблица
-10 -2 -1

5 1 1

6 1 1

4 1 0

таблице
получено
оптимальное
решение
= 4, L’= -
, Lmax
= 10.
задаче
две
свободных
переменных
геометрически
плоскости
. 11).
=0,
=0,
решение
находится
точке
которой
полняются
равенства
+2=0
0.
11
показана
следовательность
перехода
вершины
вершине
соответст
работой
алгоритма
плекс
метода
Цифрами
обозначе
соответствующие
симплекс
2.7.
Алгоритм
получения
базисного
решения
использованием
симплекс
процедуры
искусственного
базиса
Выше
алгоритмы
симплекс
метода
требуют
чтобы
исходная
система
ограничений
равенств
была
приведена
базису
какие
нибудь
базисные
переменные
должны
быть
выражены
через
свободные
зывается
базис
можно
так
получить
используя
алгоритм
плекс
метода
для
равенства
вводится
искус
ственная
менная
=1,m).
Каждое
ограничение
равенство
+ ... + g
) = 0
+ ... + g
, i=1,m ,
переменные
тождественно
нулю
Последнее
равенство
опреде
ляет
так
называемый
искусственный
Вводим
рассмотрение
дополнительную
целевую
функцию
+ ... + z
min
для
суммируем
коэффициенты
переменных
равенств
лучаем
готовую
решения
симплекс
методом
эту
задачу
основе
вышеприведенных
алгоритмов
последова
выводим
базиса
искусственные
переменные
При
этом
как
переменная
становится
свободной
столбец
исключается
симплекс
таблицы
Пусть
исходную
задачу
привели
ОЗЛП
полу
чили
систему
равенств
= 2
Найдем
базис
базисные
переменные
2)
относительно
свободных
(n-m=3-2=1).
Для
этого
), (2.10)
min.
симплекс
таблицу
6 2 1 2
-4 -2 2 -4
4 1 2 0
-2 -1 1 -2
2 (1) -1 2
2 1 -1 2
таблице
находим
генеральный
элемент
алгоритму
нахождения
тимального
получаем
для
симплекс
преобразования
перехо
таблице
8,
которой
исключаем
столбец
2 3 -2
-2 -1 2
2 (3) -2
2/3 1/3 -2/3
2 -1 2
2/3 1/3 -2/3
таблице
элемент
пару
переходим
таблице
9.
Таблица
0 0

2/3 -2/3

8/3 4/3

соответствует
оптимальному
решению
вспомогательной
зада
(2.10)
дает
базисных
переменных
относительно
бодной
переменной
именно
2/3 + 2/3
8/3 - 4/3
можно
приступать
выполнению
симплекс
алгоритма
записав
вместо
строки
функцию
задачи
свободные
Чтобы
запись
получалась
автоматически
таблицу
кроме
строки
записать
строку
целевой
функции
ОЗЛП
полнять
выше
что
генеральный
элемент
быть
троке
o,
строке
Вырожденная
задача
использовании
симплекс
некоторые
свободные
члены
могут
быть
равны
нулю
Это
значит
вершине
которой
соответствует
равны
нулю
переменных
больше
равна
нулю
базисная
слу
выборе
генерального
элемента
отношение
будет
минимальным
что
соответствующую
свободную
перемен
ную
увеличить
целевая
функция
переходе
новую
меняется
остаемся
фактически
вершине
хотя
перешли
новую
Такая
задача
называется
задачей
отрица
сказывается
эффективности
вычисления
Признаком
сти
является
равенство
свободных
членов
этом
случае
может
произойти
отрицательных
Пробуксовка
Переходим
новую
равна
нулю
другая
вокупность
переменных
самом
деле
остаемся
точке
Зна
чение
меняется
Зацикливание
алгоритма
некоторое
операций
таблице
следовательно
если
алгоритм
менять
зацикливаемся
Существует
несколько
способов
зацикливанием
Использование
степени
свободы
алгоритма
если
алгоритме
сказано
берем
…» -
если
обнаруживается
зацик
ливание
взять
второй
порядку
».
Аналогично
если
сказано
любой
Зашумление
коэффициентов
задачи
Прибавляем
матрицу
случайных
величин
матрице
Получаем
где
матрица
коэф
фициентов
матрица
очень
случайных
величин
матрица
коэффициентов
будет
содержать
одинаковых
чисел
после
числений
появление
нулей
будет
маловероятным
Подробнее
этот
слож
вопрос
освещен
специальной
2.9.
задача
Важным
вопросом
анализа
полученного
решения
является
анализ
чувствительности
решения
параметрам
коэффициентам
целевой
функции
свободным
членам
ограничений
коэффициентам
Теория
вопроса
тесно
связана
называемой
двойственной
задачей
Двойст
задача
получается
физический
смысл
прямая
задача
задача
использовании
ресурсов
Имеются
ресурсы
типов
количестве
Для
изготовления
изделия
типа
расходуется
сырья
типа
Каждое
изделие
продается
цене
Ставится
задача
максимизации
стоимости
проданных
изделий
max,
Lcx
(2.11)
,1,
ijjj
axbim
, (2.12)
Можно
рассмотреть
проблему
другому
Пусть
некоторые
величи
стоимости
единицы
ресурса
Нужно
определить
эти
стоимости
чтобы
неравенства
выражающие
стоимость
затра
ченного
ресурса
j –
изделие
была
стоимости
этом
затраты
ресурсы
были
минимальны
=Δo
(2.13)
,1,...,
ijij
cjn
Δ≥=
(2.14)
Задача
(2.13), (2.14)
называется
отношению
задаче
(2.11), (2.12)
получается
(2.11), (2.12)
коэффициенты
левой
функции
двойственной
задачи
это
части
задачи
оборот
коэффициенты
суммируются
другому
индексу
матрица
эффициентов
двойственной
задачи
транспонированная
матрица
задачи
).
Направление
оптимизации
целевой
функции
меняется
противо
Основное
свойство
задачи
оптимальные
значения
целевой
функции
двойственной
задачи
совпадают
Δ==
ii
jj
bxcL
Оптимальное
задачи
находится
седловой
точке
max
= min
Существует
двойственный
симплекс
метод
решения
задачи
кото
рый
ряде
случаев
эффективнее
прямого
[1, 10].
Экономический
смысл
задачи
какова
единицы
дого
ресурса
чтобы
заданных
количествах
ресурсов
стоимости
единицы
продукции
обеспечить
минимум
общей
затрат
называется
оценкой
теневой
решение
задачи
стоящие
строке
следней
оптимальной
показывает
насколько
увеличивается
целе
функции
задачи
если
соответствующие
запасы
увеличиваются
единицу
Соответствующая
дополнительная
переменная
при
этом
равна
нулю
Это
означает
ограничение
выполняется
точно
равенство
весь
ресурс
тратится
полностью
малом
изменении
коэффи
циентов
модели
оптимальное
реше
задачи
меняется
такое
свойство
называется
устойчивостью
рисунке
показано
что
для
решением
является
точка
для
3 *(
изменении
эффициентов
также
точка
для
решением
уже
будет
. 12
Существуют
специальные
которые
позволяют
проанализи
ровать
пределы
изменения
коэффициентов
которых
оптимальное
изменяется
значение
целевой
функции
Аналогично
проводится
анализ
правым
частям
Современные
алгоритмы
способны
использованием
современных
компьютеров
задачи
очень
размерности
Многие
них
учитывают
архитектуру
компьютера
Наиболее
широко
известны
блочные
размер
ности
матрица
содержать
много
нулей
этом
случае
задачу
решать
блокам
Вот
почему
параметрами
сложности
решаемой
зада
число
переменных
ограничений
число
ненулевых
коэффициентов
ограничений
Число
итераций
симплекс
метода
которое
находится
решение
льшей
степени
зависит
числа
ограничений
временные
программы
имеют
удобный
интерфейс
позволяющий
лировать
решать
небольшие
задачи
удобной
математической
или
табличной
форме
Для
решения
задач
большой
размерности
использу
ются
работы
крупными
базами
исходных
ример
программа
LINDO,
также
приложение
Поиск
решения
» (SOLVER)
про
граммы
Microsoft EXCEL.
ТРАНСПОРТНЫЕ
ЗАДАЧИ
3.1.
Математическая
критерию
стоимости
Симплекс
метод
является
общим
любой
задачи
существуют
специальные
задачи
которые
имеют
более
простой
наглядный
способ
решения
Постановка
транспортной
задачи
пунктов
отправления
каждом
сосредо
точено
определенное
количество
груза
).
величина
называется
запасом
Имеются
пунктов
назначения
требуется
груза
величина
заявка
Известна
стоимость
пункта
пункт
так
перевезти
чтобы
запасы
были
превышены
заяв
выполнены
стоимость
перевозки
была
минимальной
Введем
дополнительное
требование
называемое
условие
правиль
баланса
¦¦
ba
Модель
количество
перевозимого
ijij
xcL
==
==
njbx
miax
,1,
,1,
jix
,,0
%>
¦¦
ba
Наличие
условия
баланса
(3.3)
приводит
тому
задача
всегда
решение
Просуммировав
левые
части
(3.2),
получим
(3.3),
следовательно
одно
урав
нение
(3.2)
линейно
зависимо
значит
системы
(3.2)
будет
– 1).
17,85
: 1

+
: 1
Коэффициенты
переменных
(3.2)
все
равны
единице
число
свободных
базисных
переменных
Всего
переменных
Базисных
-1).
Свободных
переменных
будет
m-n
, …
).
практически
переменные
свободные
ется
задачей
оптимальном
решении
свободные
переменные
быть
нулю
инство
маршрутов
будут
задейст
вованы
=100
=100,
маршрутов
переменных
) 10 000,
199
будут
задействованы
3.2.
Нахождение
опорного
транспортной
задачи
условия
транспортной
задачи
записать
так
называемой
транспортной
таблице
выполняются
необходимые
вычисления
Пример
10
B
B
a
1 3 11

2 5 2


3 7 4

8
2 4 5

4
5 16 9
перевозкой
Решение
также
этапов
Находится
опорный
план
допустимый
план
соответствующий
условию
».
отличных
перевозок
более
-1).
последовательного
перехода
одного
опорного
плана
другому
лучаем
оптимальный
план
Метод
северо
западного
угла
СЗУ
для
нахождения
заключается
заполнении
плана
перевозок
начиная
самих
верхних
северных
пунктов
отправления
счет
левых
западных
пунктов
значения
Величина
перевозки
определяется
выражением
},min{
ji
bax
′′
, (3.4)
Стоимость
Перевозка
единиц
маршруте
остатки
запаса
заявки
предыдущей
итерации
способ
обеспечивает
линейную
независимость
столбцов
Свойство
допусти
сумма
перевозок
строке
равна
запасу
столбцу
заявке
называется
невырожденным
если
отличных
нуля
перевозок
ровно
вышеприведенном
m + n
– 1 = 4 +4 – 1 = 7=7,
план
вырожденный
Выполненные
действия
показаны
таблице
Определим
стоимость
плана
1+5
2=76.
Часто
бывают
такие
транспортные
задачи
где
количество
ненулевых
ревозок
базисных
клеток
меньше
– 1.
11

1 1

2 2
3 4 3
Базисных
4,
должно
быть
5.
вырожденная
Будем
дополнять
невырожденного
опреде
местах
проставим
символиче
скую
бесконечно
малую
величину
(0),
чтобы
выполнялась
линейная
незави
Чтобы
автоматически
определять
место
дополнения
плана
будем
бавляться
вырожденности
процессе
заполнения
плана
соответствии
ажением
(3.4).
Вырожденность
появляется
тогда
когда
формуле
(3.4)
будет
этом
случае
будем
считать
строке
+ (0).
Метод
минимального
элемента
методе
СЗУ
использовали
перевозок
Существуют
методы
которые
позволяют
получить
первый
сразу
близким
мальному
достаточно
стоимостью
перевозок
).
Метод
минимального
элемента
состоит
порядок
заполнения
плана
соответствует
возрастанию
стоимости
запас
исчерпыва
ется
перевозка
тавится
соответствии
формулой
(3.4)
клетке
минимальной
стоимостью
строке
если
исчерпали
запас
или
столбце
выполнили
заявку
Метод
обязательно
гарантирует
лучшее
решение
метод
дает
лучшие
результаты
Способ
борьбы
вырождением
такой
как
предыдущем
Начинаем
самого
дешевого
маршрута
),
далее
столбце
ищем
самый
дешевый
),
затем
минимальная
маршруте
12
5 4 3 1

9
2 4 2 9
2
8 7 1 3
3
5
4 2 3 2

5
4 6 5 10 25
2+2
2+1
2=58.
плана
распределительный
Если
плане
есть
клетки
для
которых
стоимость
меньше
чем
базисных
клетках
передвинуть
какую
либо
перевозку
эту
бодную
клетку
чтобы
баланс
нарушался
нужно
строки
столбца
базисная
клетка
убрать
такое
количество
Будем
ста
(+)
там
перевозка
величивается
(-)
там
уменьшается
Пример
Таблица
13
10 1
5
3 5
Таблица
- 10 + 1
5
+ 3 - 5
необходим
перенос
циклу
Назовем
циклом
маршрут
который
показывает
перенос
некоторым
клеткам
цикле
всегда
четное
число
вершин
Назовем
ценой
цикла
алгебраическую
сумму
стоимостей
стоящих
вершинах
цикла
соответствующими
знаками
Цена
показывает
насколько
увеличится
стоимость
плане
данному
циклу
переносится
единица
груза
Если
0,
стоимость
уменьшается
При
циклу
величины
груза
стоимость
уменьшается
Будем
рассматривать
правильные
циклы
одна
вершина
сво
клетке
остальные
базисных
свободной
клетке
всегда
«+»,
остальных
вершинах
цикла
знаки
чередуются
невырожденной
транспортной
таблицы
независимыми
столбцами
справедлива
что
любой
свободной
клетки
существует
правильный
при
том
только
один
Таким
образом
любой
свободной
клетки
построить
цикл
вычислить
его
Если
больше
нуля
переходим
дру
свободной
клетке
ли
0,
строим
цикл
циклу
нужно
перенести
наибольшее
количество
Эта
величина
определяется
как
стоящих
вершинах
цикла
знаком
«-».
нижеприведенного
цикла
1-5+3-10 = -11.
Величина
Значит
перенеся
уменьшаем
стоимость
5(-11)= -55
единиц
15
- 10 + 1
5
+ 3 - 5
16
10 1
3 5
Перенос
груза
циклу
соответствует
симплекс
Метод
непосредственного
отрицательной
ценой
называется
распределительным
методом
Рассмотрим
этим
методом
17
4 2 1 1
1 +
5 4 3 2

2 +
1 2 1 4
+
6
2 4 3 5
18
- 4 2 1 1
2 +
5 4 3 2

3
+ 1 2 1 4
1
6
2 4 3 5
- 1 = 3 + 4 – 1 = 6;
1+5
4=49.
Строим
правильный
свободной
клетки
(3,1).
=1-4+2-4+3-1= -3;
=1;
L = -
3.
таблицы
18:
=4+4+8+9+1+20=46.
цикл
для
получа
таблицу
19,
далее
строим
цикл
клетки
(3,3)
таблице
4.
таблице
строим
цикл
для
клетки
=1;
L = -
Таблица
4 2 1 1

2 -
3
5 4 3 2

3 -
1 2 1 4
2 +
4 -
2 4 3 5
Дальнейшее
предлагается
проделать
самостоятельно
Очевидно
для
того
чтобы
процесс
остановился
необходимо
свободные
клетки
убедиться
что
цена
циклов
для
каждой
клетки
больше
нуля
или
нулю
учетом
того
количество
свободных
кле
ток
-1)(
-1),
процесс
очень
трудоемок
Таблица
20
4 2 1 1

3
5 4 - 3 2

1 +
1 2 + 1 4
2
6
2 4 3 5
Недостатком
распределитель
метода
является
необходи
мость
перебирать
циклы
встре
цикла
отрицательной
ценой
доказательства
оптимальности
нужно
перебрать
построить
вильные
циклы
для
свобод
клеток
Если
=100,
=100,
свободных
клеток
будет
9801.
Рассмотрим
метод
котором
автоматически
находятся
циклы
отрицательной
ценой
3.4.
Метод
потенциалов
решения
каждый
пункт
отправления
платит
вывоз
единицы
груза
пункт
назначения
платит
единицы
груза
Эти
платежи
передаются
Таким
образом
маршруте
получает
Назовем
величину
псевдостоимостью
сум
псевдостоимость
плана
перевозок
есть
величина
постоянная
няется
изменением
плана
заключается
теорема
платежах
доказательства
запишем
формулу
псевдостоимости
перегруппиру
слагаемые
1111
mnmn
ijijijij
ijij
Lcxx
====
=⋅=
¦¦¦¦
111111
mnnmmn
iijjijiijj
ijjiij
xabconst
αβαβ
======
===
¦¦¦¦¦¦
потенциальном
Пусть
базисных
клетках
перевозок
равна
псевдостоимости
ijij
0,
свободных
клетках
ijij
0.
Тогда
такой
является
оптимальным
быть
может
=≤
≥=
0,
0,
ijijij
ijijij
xcc
xcc
Доказательство
ijij
Lcx
Знак
означает
условие
необходимо
показать
стоимость
плана
является
нижней
ницей
определяется
исходными
данными
задачи
const
ijij
Lcx
базисной
ijij
пустой
равно
нулю
).
Перейдем
другому
произвольному
{}{}:
ijijijij
xLcx
′′′
плане
базисной
клетки
свободную
где
const.
ijij
ijij
ccLLcx
≥Ÿ≥==
любое
изменение
плана
}{
приводит
увеличению
стоимости
следовательно
является
оптимальным
Идея
потенциалов
основывается
этой
теореме
заключается
следующем
Составим
любой
опорный
если
необходимо
дополним
невырожденного
Потребуем
базисной
клетке
ijij
Запишем
левом
верхнем
углу
базисной
клетки
величины
псевдостоимостей
равные
стоимостям
стоящим
правом
верхнем
углу
Таких
m + n
– 1.
Находим
неизвестные
платежи
условий
что
сумма
известна
для
базисной
клетки
..1
ijij
èçâíåèçâmn
такой
системе
каждой
строке
неизвестных
m + n
равенств
m + n
решений
бесконечное
множество
Поэтому
будем
брать
произвольное
полагать
например
=0.
Тогда
чать
содержится
последовательно
переходя
строки
известным
платежом
найти
все
подсчитываем
ijij
свободных
клеток
Проверяем
условие
(*)
свободных
клеток
ijij
сво
бодная
клетка
дает
цикл
отрицательной
ценой
ijijij
Выбираем
цикл
наименьшим
наиболее
отрицательным
ставляем
цикл
циклу
переносим
единиц
груза
выполнения
ловия
(*).
Пример
Опорный
план
методу
минимального
элемента
вычисляем
псевдо
стоимости
свободных
клетках
таблица
21).
что
цикла
отрицательная
Стро
цикл
переходим
таб
22.
1;3.
=Δ=−
21
-24 3 2 -21 1 1

3
-15 4 4 -13 2 2

4 -
1 +
1 1 6 2 1 1 4 4
2 +
3
1 -
2
4 3 5
-2
3 -2 1
22
2 4 3 2 2 1 1 1

3 0
3 5 4 4 3 3 2 2

3
5 1
1 1 2 2 1 1 0 4
3
2 4 3 5
2 3 2 1
если
вычислении
минималь
ных
перевозок
более
переносе
циклу
появятся
дополнительные
свободные
клетки
план
вырождается
Поэто
этом
случае
считаем
одной
такой
клетке
других
+(0) ((0) –
поставить
дешевле
маршрут
).
Таблица
23
14 22 11 1 1

3
3 0
25 34 23 2 2

5 1
11 22 11 1 4
6 0
2 4 3 5
1 2 1 1
таблицы
23
оптимальный
выполняется
условие
(*).
3.5.
Решение
неправильным
балансом
сих
считали
выполняется
условие
правильного
ланса
есть
ji
ba
это
никогда
выполняется
можно
неправильным
балансом
привести
правильному
балансу
что
оптимальный
найденный
правильным
балансом
является
оптимальным
для
балансом
Рассмотрим
избытком
запаса
ji
ba
Будем
считать
излишки
запасов
якобы
перевозятся
некоторый
фиктивный
пункт
назначения
Чтобы
учесть
фиктивность
перевозки
достаточно
считать
что
стоимость
фиктивный
пункт
нулю
если
какие
ревозки
�0,
iôiô
Таким
образом
чтобы
решать
избытком
запаса
нужно
таблице
дополнительный
столбец
заявка
которого
ôij
bab
mi
,1
Тогда
для
новой
таблицы
будет
выполняться
условие
баланса
этого
задача
решается
любым
способом
избытком
заявок
ji
ba
Необходимо
ввести
пункт
отправления
котором
якобы
есть
недостающий
запас
ôji
aba
этом
=0,
После
этого
задача
решается
обычным
при
таком
подходе
итоговом
плане
заявки
будут
выполнены
Иногда
задача
решается
другому
Пусть
Тогда
вычислить
коэффициент
дефицита
1
i
i
n
k
b
После
этого
каждую
заявку
скорректировать
bbk
При
этом
можно
задачу
учетом
приоритетов
заявку
приоритетов
пункта
назначения
быть
1).
тем
приоритет
Δ=−
величина
bbd
Пример
Рассмотрим
запасов
(5868),
поэтому
введем
фиктивный
столбец
находим
методом
минимального
элемента
далее
цикл
отрицательной
(2,1).
24
6 5 1 0

35
4 3 2 0
+
21 -
21
7 3 4 0
8 -
4 +
12
8 36 14 10
цикл
отрицательной
ценой
видно
сразу
обязательно
метод
потенциалов
=8,
применим
метод
Таблица
25
6 6 5 51 1 0 0

11
14
10
4 43 3-1 2 -20
13
21 -2
4 7 3 3-1 4 -20

12
12 -2
8 36 14 10
6 5 1 0
что
всех
свободных
клетках
псевдостоимости
следова
цикла
отрицательной
ценой
оптимальный
3.6.
критерию
времени
критериев
Пусть
задано
время
которое
груз
перевезти
пункт
зависит
груза
Заданы
запасы
заявки
необходимо
составить
такой
план
перевозок
чтобы
время
окончания
минимальным
перевозки
осуществляются
параллельно
окончание
определяется
длительностью
маршрута
большой
величиной
среди
занятых
маршрутов
базисных
клеток
Таким
образом
нашей
задаче
(max)min
Ограничения
==
==
miax
njbx
,1,
,1,
. (3.7)
(3.5) – (3.7) –
математическая
критерию
Видно
целевая
функция
имеет
нелинейный
вид
При
изменении
плана
критерий
меняться
Критерии
такого
рода
называют
гаранти
рующими
максиминными
минимаксными
).
Они
требуют
оптимизации
называемому
узкому
месту
».
смысле
рассмотренный
дыдущих
параграфах
критерий
суммарной
стоимости
перевозок
ляется
интегральным
критерием
целевая
функция
имеет
нелинейный
вид
для
решения
нельзя
применить
теорию
линейного
программирова
ния
Для
решения
можно
построить
последовательность
нескольких
задач
линейного
программирования
рассмотрим
более
простой
эвристический
алгоритм
Эвристическими
алгоритмами
называют
такие
алгоритмы
которые
печивают
разумность
поиска
оптимального
решения
основываются
строгой
математической
гарантируют
зультат
доказана
сходимость
оптимальному
изучена
точ
ность
.).
Тем
эвристические
процедуры
чрезвычайно
странены
например
шахматы
составлении
компьютерных
Метод
клеток
Находим
любой
опорный
необязательно
невырожденный
).
Вычисляем
величину
критерия
полученного
плана
max
Запрещаем
все
маршруты
свободных
клетках
которых
время
Tt
4.
Зафиксируем
плане
клетку
максимальным
место
).
помощи
которого
разгрузить
эту
клетку
переносим
этому
циклу
перевозку
величиной
Циклы
обязательно
должны
правильными
Причем
быть
что
освободить
клетку
только
несколько
циклов
Получаем
значением
max
Запрещаем
свободные
клетки
для
которых
переходим
.4.
Повторяем
пока
будет
невозможно
составить
одного
цик
разгружающего
занятую
клетку
максимальным
временем
.
нижеприведенной
критерию
времени
составляем
опор
получаем
=3.
Запрещаем
свободные
клетки
Используем
неправильный
цикл
получаем
котором
=2 .
Таблица
26
1 B
- 3 1 0
19
1 +
20
2 1 2
+
10
40
3 2 1

15
19 11 45
= 3
26
3 1 0

19
2 1 2
19
10
11
3 2 1

15
19 11 45
= 2
Видно
перевозку
временем
=2
уже
нельзя
перенести
одну
один
столбец
поэтому
последняя
таблица
является
оптимальной
ДИСКРЕТНОЕ
При
моделировании
задач
требование
чтобы
кие
управляемые
принадлежали
специальному
множеству
Множество
число
людей
число
датчиков
число
летов
Множество
дискретных
стандартные
значения
произ
водственных
задачах
которые
заранее
зафиксированы
количество
деталей
мощность
электродвигателя
.)
ких
задачах
приходится
значения
переменных
которые
являются
действительными
числами
Искомые
переменные
должны
принадлежать
заранее
зафиксированному
значений
Такого
рода
задачи
принадлежат
классу
задач
дискретного
программиро
min),(
o=
axfk
(4.1)
miax
,1,0),(
=≤
(4.2)
Dx
(4.3)
связи
чрезвычайной
сложностью
решения
таких
задач
виде
рассмотрим
только
наиболее
важные
методы
Универсальные
методы
задач
линейного
целочисленного
программирования
основе
классических
алгоритмов
Специальные
дискретной
оптимизации
которые
особое
практическое
значение
Задачей
линейного
целочисленного
программирования
называют
задачу
вида
min
Lcx
, (4.4)
,1,
ijji
axbim
, (4.5)
,1,
Zjn
. (4.6)
Если
часть
переменных
должны
быть
целыми
задача
называ
ется
частично
целочисленной
Тогда
(4.6)
вместо
будет
многих
задачах
дискретность
проявляется
моделировании
задачи
относится
называемым
булевским
переменным
этом
случае
принадлежат
множеству
= {0,1}.
Ограничения
также
будут
иметь
логический
характер
при
действия
этими
переменными
деляемые
математической
подчиняются
правилам
ариф
метики
, 1+1=2,
как
булевой
алгебре
).
вместо
(4.6)
дополнение
нему
модели
может
присутствовать
требование
{0,1}
переменные
булевские
задача
задача
булевского
программирования
этим
задачам
сводят
задачи
целочисленного
дискретного
про
граммирования
для
ЛБП
разработаны
эффективные
быстродействующие
числе
аппаратной
поддержкой
»).
Чтобы
привести
задачу
достаточно
каждую
переменную
представить
виде
012
1231
222...2
jjjjk
xxxx
=
{0,1}
ограничено
найти
количество
двоичных
пере
менных
которыми
исходные
целочисленные
переменные
Задачу
дискретного
программирования
можно
привести
задаче
булев
ского
программирования
Пусть
jjjj
kkkkx
,...,,,
321
ввести
булевские
переменные
заменить
}1,0{,...
2211
=
rjnn
jjj
ykykykyx
Особенности
задач
дискретного
программирования
Рассмотрим
геометрический
образ
задачи
ЛЦП
для
переменных
. 13).
этой
задачи
представляет
собой
целочисленные
точки
внутри
ОДР
соответствующей
Решение
задачи
требова
ния
целочисленности
будет
нахо
диться
точке
Возникает
вопрос
шать
так
найти
задачи
непрерывным
нием
затем
округлить
жайшего
целого
Покажем
что
этот
вопрос
отрицательный
При
округлении
решения
ближайшего
быть
получено
недопустимое
округлении
решение
является
допустимым
может
заться
существует
другое
допустимое
целочисленное
решение
лучше
округленного
рисунка
видно
ближе
непрерывному
целочисленная
опустимая
точка
лучше
Оптимальное
решение
*=(3,3).
Иногда
целочисленности
переменной
требуется
чтобы
лой
Тогда
более
дает
правильного
результата
Пример
zxx
=o
−≤
3
5
xx
4
3
xx
Ответ
2,
==
xx
Округлив
1,3
это
удовлетворяет
решению
Ответ
целочисленный
):
4,2
Чтобы
было
целым
0,0
Таким
образом
для
нахождения
целочисленных
оптимальных
требуется
непосредственно
находить
множестве
чисел
4.2.
Примеры
моделей
задач
дискретного
программирования
коэффициентах
дает
целочис
решение
Рассмотрим
некоторые
наиболее
распространенные
задачи
дискретного
программирования
Задача
назначениях
выборе
).
Имеется
работ
кандидатов
работы
Известен
эффект
того
работа
будет
занята
работником
Необходимо
распределить
работникам
чтобы
суммарный
эффект
максимальным
переменные
, (4.8)
ijij
zcx
. (4.9)
работа
может
быть
занята
только
работником
дый
работник
может
занимать
работу
1,1,
1,1,
(4.10)
Это
частный
Любой
план
будет
сильно
вырожден
будет
только
базисных
переменных
быть
задачу
можно
свести
выбору
нулевых
элементов
одному
столбце
каждой
строке
правильному
выбору
»),
некоторой
рице
неотрицательными
элементами
каждой
строке
столбце
есть
будет
предварительно
перейти
данной
задачи
выбора
максимум
задаче
выбора
теми
условиями
минимум
перейти
матрице
искать
выбор
дающий
минималь
ную
сумму
элементов
перейдем
задачи
минимум
матрицей
задаче
мини
эквивалентной
матрицей
которая
только
неотрицатель
элементы
каждом
столбце
строке
которой
хотя
одному
нулевому
элементу
Для
этого
сначала
прибавим
каждому
столбцу
матрицы
наибольший
элементов
соответствующего
столбца
матрицы
или
вычтем
элементы
столбца
матрицы
наибольшего
элемента
этого
столбца
Получится
неотрицательная
матрица
каждом
столбце
которой
есть
хотя
нуль
Теперь
вычтем
матрицы
минимальный
элемент
этой
Полученная
матрица
будет
неотрицательной
матрицей
каждом
столбце
каждой
строке
которой
есть
хотя
один
нуль
проделываем
следующие
два
последовательных
преобразования
матрицы
(1)
(2)
()()(max)()(min)
ij
ijij
ijij
CcCcccDdcc
=
o==−o==−
2.17
преобразования
предварительными
преобразованиями
Если
каждой
строке
матрицы
),
полученной
после
первого
преобразования
матрицы
есть
хотя
один
нуль
второе
преобразование
изменит
матрицу
практически
производится
Наименьшее
возможное
значение
суммы
элементов
неотрицательной
матрицы
равно
очевидно
нулю
Таким
наша
задача
сводится
выбору
матрице
эквивалентной
матрице
неотрицатель
элементами
нулевых
элементов
одному
каждой
строке
столбце
Покажем
можно
сделать
Неформальный
смысл
приво
ниже
алгоритма
заключается
последовательных
переходах
одно
правильного
неполного
выбора
нулей
другому
содержащему
один
нуль
больше
предыдущий
пока
получится
полный
вильный
выбор
При
этом
отдельных
может
потребоваться
переход
рице
эквивалентной
предыдущей
Приведем
алгоритм
решения
задачи
назначениях
Пусть
проделаны
преобразования
матрицы
эффективностей
данной
задачи
получена
неотрицательная
матрица
содержащая
одному
левому
элементу
каждой
строке
столбце
Отмечаем
например
звездочкой
какой
нибудь
нуль
столб
матрицы
(0*);
звездочкой
нибудь
втором
столбце
лежащий
той
строке
которой
находится
0*
столб
если
нуль
втором
столбце
найдется
отмечаем
звездочкой
один
нулей
третьего
столбца
лежащий
строке
звездоч
кой
такой
нуль
столбце
прой
столбцы
матрицы
Если
число
отмеченных
звездочкой
нулей
равно
процесс
окончен
занимаемые
нулями
звездочкой
соответствуют
переменным
равным
1,
оптимальном
исходной
задачи
Если
нулей
звездочкой
меньше
.5.
знаком
сверху
столбцы
матрицы
кото
есть
0*,
считаем
эти
столбцы
занятыми
ходе
процесса
будут
появляться
занятые
строки
Элементы
стоящие
пересечении
незанятого
столбца
незанятой
строки
будем
считать
остальные
элементы
занятыми
Если
матрице
нет
нулей
переходим
. 5.
Если
есть
выбираем
них
просматривая
поочерɺдно
строки
матрицы
слева
).
Отмечаем
каким
нибудь
промежуточным
например
штрихом
о
нуля
звездочкой
переходим
. 4;
если
строке
0*
. 3.
Освобождаем
«+»
считаем
снова
незанятым
столбец
котором
находится
0*,
лежащий
той
строке
отмеченный
только
штрихом
нуль
Помечаем
знаком
справа
строку
о
рой
находится
считаем
занятой
Возвращаемся
второй
части
. 2 (
третий
абзац
Начиная
только
что
отмеченного
0',
строим
цепочку
нулей
этого
столбцу
0*,
него
строке
0',
.,
возможно
Цепочка
оборвется
возможно
первом
некотором
Снимаем
здочки
нулей
цепочки
заменяем
звездочками
штрихи
нулей
нулей
звездочками
содержит
один
чем
предыдущий
является
также
правильным
Снимаем
пометки
кроме
звездочек
возвращаемся
второй
части
. 1 (
второй
абзац
. 1).
5.
Отыскиваем
минимальный
среди
незанятых
элементов
рицы
равен
вычитаем
всех
незанятых
строк
затем
занятым
столбцам
Никакие
пометки
этом
маются
Получается
матрица
эквивалентная
предыдущей
содержащая
занятые
нули
Возвращаемся
третьей
части
. 2 (
абзац
. 2).
Рассмотрим
пример
использования
алгоритма
Найти
вариант
назначений
матрица
эффек
тивностей
такова
02010
53434
34222
26424
45332
Приводим
цепочку
матриц
получающихся
процессе
задачи
ответствующими
пометками
Снятие
значка
отмечено
включением
прямо
Над
стрелками
переходов
матрицы
указаны
пункты
торые
использовались
при
соответствующих
преобразованиях
окончен
получилось
нулей
звездочкой
Опти
вариант
остальные
назначается
пятую
второй
тре
первую
четвертый
третью
пятый
вторую
Изложенный
алгоритм
получил
литературе
название
венгерского
ритма
венгерского
метода
решения
задачи
назначениях
Если
задаче
матрица
квадратная
необходимо
дополнить
квадратной
нулевыми
элементами
4.2.1.
Задача
покрытии
Примером
такой
задачи
является
задача
определении
минимального
числа
спутников
которые
обеспечивали
устойчивую
связь
заданных
городов
Другой
это
задача
переводчиках
туристических
груп
группе
известны
которые
понимают
переводчиков
какие
языки
знают
Нужно
обеспечить
группы
минимальным
числом
реводчиков
Классическая
задача
крытии
формулируется
граф
ребрами
узлами
такое
ребер
кото
рое
инцидентно
вершине
этого
графа
этом
чтобы
количество
этом
называемым
покрытием
было
минималь
Тогда
если
номер
ребра
множество
ребер
Построим
математическую
Целевая
функция
имеет
вид
min
. (4.11)
матрица
инцидентности
исходного
элементы
которой
Каждая
инцидентна
ребру
покрытия
1,1,
ijj
axim
(4.12)
Таким
образом
получили
задачу
линейного
булевского
рования
(4.11), (4.12).
Решение
такой
задачи
рассмотрим
ниже
4.2.2.
Задача
коммивояжɺре
сеть
городов
расстояниями
между
Торговец
должен
обой
города
вернувшись
город
так
путь
Необходимо
найти
порядок
обхода
городов
Эта
ставшая
классиче
задача
находит
чрезвычайно
широкое
применение
при
оптимизации
выполнения
операций
станков
выполнения
заданий
операционной
системой
компьютера
огого
другого
математических
моделей
задачи
имеет
ji
ji
,0
,1
(4.13)
расстояние
между
городами
.min
ijij
xcz
(4.14)
каждого
торговец
должен
лишь
один
раз
поэтому
==
==
njx
nix
,1,1
,1,1
, (4.15)
1,(1),
ijij
uunxnijnuR
−≤−≤≠≤∈
произвольные
целые
неотрицательные
ограничение
это
цикличности
маршрута
именно
оно
приводит
тому
задача
принадлежит
классу
переборных
задач
некоторых
коэффициентах
решение
водит
перебору
вариантов
Ниже
рассмотрим
общий
решения
подобных
задач
[10]
можно
найти
алгоритм
пример
дачи
4.2.3.
Задача
материала
Эта
задача
впервые
была
поставлена
изучена
нобелевским
лауреатом
Канторовичем
Задачу
раскрое
материалов
рассматривать
для
производства
комплектов
продукции
Заданы
заготовки
некоторого
материала
нескольких
партий
личного
размера
количество
заготовок
партии
партия
имеет
свой
Под
размером
понимать
случае
различные
личины
простейшем
случае
стержневого
раскроя
» -
длина
стержня
заготовок
необходимо
выкроить
детали
. 14).
Всего
деталей
jn




jäåòàëè
деталей
делается
комплект
Известно
деталей
типа
дящих
комплект
Необходимо
раскроить
все
заготовки
чтобы
количество
комплектов
полученных
раскроенных
заготовок
было
максимальным
Существует
несколько
способов
моделирования
такой
задачи
индексная
индексная
индексная
модель
сначала
рассматриваем
личные
раскроя
при
этом
рассматривать
раскрой
деталей
сложной
Для
фиксированного
способа
подсчитать
количество
деталей
типа
для
заготовки
способе
раскрое
ijk
Например
111
=2,
121
=0.
112
=0,
122
=1.
Целесообразно
отбросить
способы
раскроя
которых
величины
ijk
одинаковы
чтобы
уменьшить
размерность
Интересно
что
предварительного
вычисления
величин
решать
только
стержневые
задачи
плоскостные
»,
это
достаточно
перечислить
различные
способы
раскроя
плоской
заготовки
типа
множество
плоских
деталей
Далее
сама
задача
опти
мального
раскроя
решается
способом
Рассмотрим
величину
заготовок
раскраивае
способом
это
управляемые
переменные
Обозначим
количество
деталей
типа
заготовок
всех
способах
раскроя
ijkikj
axz
] -
число
комплектов
которое
изготовить
деталей
[.]
обозначает
ближайшее
целое
недостатком
Выберем
детали
которых
меньше
входит
комплект
качест
основного
тогда
максимизировать
общее
количество
argmin
max
ki
zax
=⋅o
выполнении
условия
комплектности
количество
заготовок
ограничено
,1,
iki
aim
Вышеприведенная
модель
требует
строгой
пропорциональности
деталей
для
комплектов
это
может
оказаться
слишком
строгим
раничением
задача
может
иметь
решения
решение
самое
луч
Поэтому
можно
поставить
задачу
более
свободной
форме
Пусть
число
комплектов
, (4.16)
,1,
ijkik
zjn
(4.17)
,1,
iki
aim
. (4.18)
этой
модели
дополнительная
переменная
ограниче
ния
(4.17)
более
слабые
широкая
оптимальное
количество
комплектов
может
быть
большим
чем
модели
дели
задачи
раскроя
материалов
задачи
ЛЦП
которых
робно
рассмотрим
ниже
Задача
получения
величин
ijk
решается
отдельно
типа
заготовок
деталей
Для
простых
заготовок
деталей
стержень
прямоугольники
существую
простые
алгоритмы
для
изделий
сложной
формы
существуют
эвристические
алгоритмы
специализирован
программные
системы
4.2.4.
Задача
ранце
ранец
необходимо
упаковать
предметы
имеющегося
мно
жества
предметов
типа
так
чтобы
суммарный
ранца
макси
мальным
тип
предмета
который
занимает
объем
Введем
управляемые
переменные
количество
предметов
которые
будут
Общий
ранца
zcx
(4.19)
Ограничение
объему
axb
(4.20)
целое
(4.21)
задача
ЛЦП
единственном
ограничении
Алгоритм
решения
задачи
Рассмотрим
специальный
решения
задачи
ней
лишь
ограничение
При
этом
будут
введены
важнейшие
тия
необходимые
для
разработки
общего
метода
задач
ЛЦП
Любое
решение
задачи
вектор
например
(6,0,2,4)
Возь
предметы
большим
весом
качестве
приоритетных
Упоря
компоненты
удельному
12
j
n
aaaa
Старшая
компонента
большим
весом
Определим
лексикографический
порядок
таких
векторов
это
упорядоче
векторов
компоненте
если
равны
второй
Больший
вектор
тот
которого
старшая
Лексикографический
максимальный
для
задачи
ется
так
0000
(,,...,),
xxxx
bax
bax
максимального
лексикографическом
будет
получается
ненулевую
компоненту
уменьшают
следующую
увеличивают
максимально
возможную
величину
Несмотря
лексикографически
максимальный
вектор
дает
близ
оптимальному
значению
ранца
целевая
функция
векторов
жащих
ниже
быть
больше
функция
проявляется
специфика
целочисленности
если
ранца
убрать
один
тяжелый
предмет
сумме
два
более
легких
дать
больший
они
плотнее
упакуются
).
лексикографически
упорядоченные
векторы
можно
найти
лучшее
значение
Рассмотрим
позволяющий
отсеять
некоторое
риантов
Следует
отметить
что
все
дискретной
оптимизации
лены
сокращение
вариантов
решения
этого
быть
уверены
что
все
эти
отсеиваемые
варианты
каком
случае
дадут
значение
целевой
функции
лучше
уже
полученное
Для
этого
использу
ется
понятие
енки
множества
вариантов
Оценка
подмножества
вариантов
величина
имеющая
размерность
функции
такая
что
один
вариант
даст
значения
целевой
функции
лучше
чем
данная
оценка
Грубую
оценку
сделать
Вопрос
чтобы
получить
оценку
как
можно
ближе
истинным
значениям
Чем
точнее
оценка
больше
будем
отсеивать
вариантов
Рассмотрим
лексикографическом
стоящий
месте
Его
последняя
ненулевая
компонента
Рассмотрим
вектор
который
получается
вектора
так
последняя
ненулевая
компонента
уменьшается
единицу
дальнейшие
нули
Сравним
i+1
Пример
6,0,5,3,0,0
6,0,5,2,9,8
6,0,5,2,0,0
Дадим
оценку
всех
вариантов
находящихся
Для
этого
оценку
виде
11
1
ii
s
cybay
=−
Первая
упаковки
выражение
скобках
объем
тавшийся
после
упаковки
поэтому
оценка
дает
плотно
заполненного
при
целых
предметах
Теперь
векторов

некоторое
большее
рекордное
значение
функции
это
что
рассматривать
векторы

нужно
сразу
для
анализа
вектор
Если
ничего
сказать
нельзя
для
следующий
вектор
сохраненном
подмножестве
быть
лучшего
значения
целевой
функции
Пример
1234
274,5max
Zxxxx
′′′′
o
1234
63219
xxxx
′′′′
≤
Проверим
соотношения
переобозначим
переменные
74,512
3216
>>>
1234
1241
74,52max
32619
xxxx
xxxx
o
≤
0*
(6,0,1,0);671143;3;42(1918)42;
==⋅⋅====−=<
11
**
4,5
(6,0,0,0);(5,0,0,0);1;35(1915)35944;
(5,2,0,0);5724,544;
(5,1,0,0);2;39,51(1917)41,5;
(5,1,0,0);(5,0,0,0);2;351(1915)39;
(5,
yys
xzz
xyys
=====−==>
==⋅⋅==
===−=<
=====−=<
0,0,0);(4,0,0,0);1;
4,5
4,5733
28(1912)28281543;
224
=−===<
**
**
(4,0,0,0);(3,0,0,0);1;
4,59011
21(199)21212243;
2422
4,5
(3,0,0,0);(2,0,0,0);1;14(196)43;
4,5
(2,0,0,0);(1,0,0,0);1;7(193)38;
(1,
xyys
yys
xyys
====
=−===<
=====−=<
=====−=<
88*
4,53
0,0,0);(0,0,0,0);1;01942;
(0,0,0,0).
ysz
===⋅=<
: (5, 2, 0, 0),
переобозначения
’ = (0, 5 ,2, 0).
Примечание
Если
коэффициенты
функции
целые
истинное
значение
быть
поэтому
если
оценка
получилась
дроб
можно
усилить
приблизить
истинной
величине
max
уменьшить
ближайшего
целого
min
увеличить
ближайшего
4.4.
Решение
ЛЦП
методом
отсечений
Гомори
Алгоритмы
решения
задач
используют
качестве
подалгоритма
симплекс
решения
задач
Рассмотрим
идею
методов
отсечения
Пусть
дана
задача
Рис
. 15).
Отбросим
требование
целочисленности
решаем
обычную
задачу
решение
получается
целым
ется
оптимальным
удовлетворяет
требованиям
целочис
ленности
применяют
условие
правильного
отсечения
этого
руют
ограничение
которое
полученное
оптималь
решение
оставляя
допустимым
целочисленные
Точка
оптимальное
непре
рывное
решение
его
появится
следующем
Первое
отсечение
оставляет
лочисленные
решения
отсекает
точку
Точка
B –
оптимальное
лочисленное
решение
получить
отсечение
чтобы
получить
такое
Решая
задачу
получаем
симплекс
выражение
базис
переменных
ез
свободные
,1,
iiijj
bxim
=−=
. (4.22)
,1,
Zjn
множество
свободных
переменных
Коэффициенты
дробные
Обозначим
} –
дробная
часть
числа
[
] –
целая
часть
недостатком
a] � 0 –
[]{}[]{}[][]{}{}
iii
ijj
ijji
ijji
ijj
bbxxbxbx
αααα
∈∈∈∈
=−−=−−
¦¦¦¦
(4.23)
Покажем
если
решение
целое
{}[]0
jj
. (4.24)
(4.22)
представляет
собой
запись
симплекс
таблицы
для
оптимального
решения
решение
целое
Рассмотрим
строку
нецелым
1}{0,0}{
≤≠
{}0,0
>>Ÿ
величина
быть
тельным
целым
необходимый
целочисленности
условие
можно
счи
тать
правильным
отсечением
Неравенство
приведем
равенству
вве
дополнительную
переменную
{}{}
nii
jj
ybx
=−
. (4.25)
Первое
отсечение
Второе
отсечение
это
ограничение
добавить
предыдущим
ограничениям
оно
секает
полученное
непрерывное
решение
таблице
ется
отрицательный
свободный
член
искать
новое
опорное
оптимальное
решения
Алгоритм
1.
Решаем
задачу
Находим
оптимальное
решение
Если
оптималь
таблице
все
свободные
члены
получено
оптимальное
целочисленное
решение
Иначе
переходим
второ
пункту
2.
Находим
строку
наибольшей
дробной
частью
этой
строки
(4.25)
составляем
правильное
записываем
дополнительной
строкой
симплекс
таблицу
переходим
.1.
целых
коэффициентах
задача
сходится
конечное
шагов
точному
решению
исходной
задаче
коэффициенты
дробные
есть
ограничения
равенства
дополнительные
переменные
могут
быть
дробными
задача
является
целочисленной
этом
случае
получиться
что
если
потребовать
построить
отсечение
целых
быть
Тогда
ограничения
можно
ослабить
считая
{}{}{}
nii
jji
jl
ybxy
=−
. (4.26)
(4.26) –
ослабленное
условие
требуется
чтобы
значение
функции
было
целым
строим
условие
правильного
отсечения
строке
задачу
3min,
24,
432,
323,
Lxx
=−o
−≤
числа
данную
задачу
без
требования
целочисленности
плекс
методом
Для
этого
запишем
задачу
основной
задачи
линейного
программирования
ОЗЛП
стандартной
форме
112
212
312
0(3)min,
4(2),
2(43),
3(32).
Lxx
yxx
yxx
yxx
=−−o
=−
=−−
=−−
Далее
заполним
симплекс
таблицу
табл
. 27).
Таблица
0 1 -3

1


1


3

4 2 1
-1
1

3
4 -3

1

1

3
3 -3 2

3


-
9
Это
опорное
столбце
свобод
членов
при
базисных
переменных
коэффи
положительны
решение
оптималь
как
строке
функции
есть
коэффициент
свободной
оптимальное
решение
димые
преобразования
симплекс
таблице
для
мены
перехо
дим
табл
.28.
оптимальное
задачи
без
требования
целочисленности
как
столбце
свободных
членов
отрицательных
коэффициентов
зисных
переменных
строке
функции
положительных
коэффи
циентов
свободных
переменных
Таким
образом
;0;
−===
Lxx
решение
удовлетворяет
требованию
целочисленности
строения
правильного
отсечения
ввода
нового
ограничения
берется
нецелочисленная
переменная
данном
случае
Выпишем
табл
Таблица
28
1
1
9
3

1
5
1

1
3
9
3
1
−−=
xy
=−=
−=
=−=
−=
=−−−=
−−−=
Применяя
формулу
(4.25) ,
получим
422
111
244
yyx
=−
новое
ограничение
которое
определяет
правильное
отсечение
Перепишем
раничение
стандартном
виде
111
244
yyx
=−−−−
допишем
плекс
таблицу
Таблица
29
1

1

9


1


1

1

5

4
1

1


1

3


1


1
9

3

1


3


3
1

1

1



1
решения
расширенной
задачи
без
требования
целочисленности
найти
опорное
решение
так
столбце
свободных
членов
есть
отрицательные
элементы
базисных
переменных
Делаем
преобразования
. 29
нахождения
опорного
табл
. 30.
оптимально
целочисленно
0;0;0
îïòîïò
xxL
Геометрическая
интерпретация
примера
приведена
рисунке
16.
Таблица
0 -1 -2
4 -2 3
0 1 -1
3 3 -1
2 -4 1
4.5.
Метод
ветвей
границ
МВГ
Метод
ветвей
МВГ
наиболее
широко
тод
дискретного
программирования
относится
комбинаторным
мето
МВГ
последовательного
анализа
вариантов
(1960
. –
Лэнд
).
Широкое
распространение
получил
когда
помощью
метода
разработан
решения
задачи
коммивояжера
Название
МВГ
раскрывает
основное
содержание
состоит
процедур
ветвление
вариантов
решения
установление
границ
возможного
для
каждого
анализируемого
под
решений
любой
задаче
множество
решений
представляется
виде
дерева
вариантов
вводится
принцип
разбиения
множества
вариантов
множества
вариантов
задаче
быть
свой
принцип
разбиения
Для
МВГ
необхо
чтобы
первых
удобный
перехода
множества
ву
вторых
чтобы
варианты
повторялись
один
был
упущен
Переход
одного
варианта
другому
осуществляется
соответствии
некоторым
порядком
лексикографическом
порядке
Исходя
свойств
задачи
физического
смысла
функции
уста
навливаются
границы
возможного
иногда
называемого
обещанием
для
каждого
идумывается
формула
для
заданного
Оценкой
множества
вариантов
называется
такое
значение
которое
быть
улучшено
вариантов
оцениваемого
множества
Оценка
множества
всегда
хуже
оценки
входящего
него
подмножества
частности
некоторой
задаче
добавляется
ограничение
оценка
для
задачи
может
ухудшиться
неизменной
Оценка
должна
быть
точной
тинным
значениям
как
можно
Чем
точнее
оценка
отсеива
ются
варианты
Действительно
если
получено
некоторое
рекордное
значе
*,
наилучшая
оценок
оставшихся
для
проверки
подмножеств
хуже
*,
очевидно
процесс
дальнейшего
улучшения
прекратить
Чтобы
это
произошло
как
чтобы
первый
достаточно
хорошим
»,
вторых
оценки
были
как
можно
лее
точными
Рассмотрим
МВГ
применительно
любой
задаче
дискретного
програм
мирования
()min
zfx
, (4.27)
. (4.28)
некоторая
область
которая
определяется
системой
ограничений
равенств
также
типом
переменных
первом
вычисляют
нижнюю
границу
целевой
функции
Для
снимают
ограничение
тип
переменных
Целевая
функция
может
быть
этом
только
лучше
или
равной
поэтому
принять
оценку
для
задачи
min ()()
втором
этапе
производится
разбиение
ветвление
процессе
решения
зависит
результатов
полу
чены
результате
разбиения
непересекающиеся
подмножества
Рассмотрим
итерацию
Для
дальнейшего
разбиения
выбирают
так
называемое
перспективное
подмножество
которое
лучшую
оценку
).
Заметим
при
разбиении
следующем
уровне
полу
чаемые
оценки
могут
только
хуже
или
).
1010
,òî()()
GGGG
Как
каком
подмножестве
вариантов
получено
решение
удовлетворяющее
ограничениям
числе
специальному
требова
переменной
проверяется
условие
оптимальности
МВГ
МВГ
Если
каком
итерации
получено
некоторое
решение
такое
значение
функции
равно
оценке
этого
подмножества
*()()
()(),
xGxG
сама
оценка
является
наилучшей
среди
оценок
()min{}
этом
является
оптимальным
улучшено
быть
может
Рис
. 17).
Действительно
множестве
лучшего
решения
быть
может
оценки
дают
обещание
решений
хуже
практических
задачах
можно
ограничиться
приближɺнным
решением
точностью
получено
некоторое
решение
некоторая
абсолютная
точность
решения
()()
fxfx
где
неизвестное
точное
решение
Если
()min{()}
fxG
Δ=−
разница
точным
оптимальным
значением
при
более
меньше
Если

4.6.
Алгоритм
МВГ
задачи
ЛЦП
min
zcx
, (4.29)
,1,
jji
axbim
, (4.30)
целое
1,,
jnnn
. (4.31)
задачи
ЛЦП
(4.29), (4.30),
(4.31)
оценкой
множества
реше
ний
определяемых
(4.30), (4.31),
является
оптимальное
значение
задачи
(4.29), (4.30).
рисунке
точка
решение
дачи
точка
решение
дачи
Кроме
этого
ЛЦП
простое
вило
ветвления
вариантов
чаем
следующий
алгоритм
Рис
1.
Отбросим
(4.31)
решение
задачи
автома
тически
удовлетворяет
(4.31),
является
оптимальным
Иначе
перехо
второму
пункту
2.
Рассмотрим
какую
нибудь
нецелочисленную
переменную
полученного
решения
,{1,}
dln
этой
переменной
производится
ветвление
все
разбивается
два
(1)
:[]1
Gxd
(1)
:[]
Gxd
Снова
задачу
подмножестве
удовлетворяют
(4.31),
качестве
перспективного
выбирают
подмноже
ство
где
лучше
Сравнение
оценок
производится
среди
еще
разбитых
Как
каком
нибудь
получено
целочисленное
решение
условие
оптимальности
полняется
оптимальное
удовлетворяется
снова
выбирают
перспективное
подмножество
продолжают
поиск
решения
1.
решения
задачи
нет
соответствующее
пустое
Ему
приписать
оценку
для
min
).
2.
коэффициенты
целевой
функции
оценку
можно
заменить
более
сильную
Для
задачи
min –
величину
ближайшее
избытком
Для
max
:
min
zxx
=−−o
21138
455
, 4.33
. 4.34
Решим
задачу
(4.32, 4.33).
Получим
4023
(,);()()7
xGf
==−
(1)
(1)
{4},
{5}.
Решив
эти
задачи
получим
(1)
(1)
121
22
4;2;()66;;()
xxG
GOG
==−=
−==
(1)
перспективное
множество
Разбив
подмножества
получаем
)2(:
)1(
1,1
xG
& (1), (2) …
)3(:
)2(
2,1
xG
& (1), (2) …
Переобозначим
(1)(2)(1)(2)(1)(2)
1,111,2(2)2(3)
GGGGGG
===
Решим
задачу
(2)
Получим
(3;2);55
=−=−
(2)
получим
(2)2
(2)
:(2;3),()55
GxG
−=
(2)
==∞
Берем
оценку
первую
порядку
одинаковые
(2)
1,11
(2)
1,21
:(3),
:(4).
Переобозначим
получим
подмножества
задачу
(3)(3)
(3)
(3;2);()5
GxG
o==−
(3)
(3)
;()
GOG
=∞
(3)(3)
(3)
(3)
(3)
(2;3);()55,
;().
GxG
GOG
o==−=−
==∞
Получено
целочисленное
2,3
)3(
Применим
условие
опти
(3, 2) = -5 = min{-5, +
, -5, +
} = -5.
оптимальности
выполняется
Решение
(3)
(3;2)
является
тимальным
Изобразим
дерево
Рис
. 19).
)1(
)1(
)2(
)2(
)3(
)3(
∞=
−=
2
2;3
xx
4.7.
Алгоритмы
решения
булевского
программирования
Задача
булевского
программирования
является
наиболее
часто
встре
чающейся
проектировании
технических
средств
автоматизированных
систем
показано
выше
любую
задачу
дискретного
программирования
очередь
можно
привести
задаче
булевского
программирования
решения
задач
булевского
программирования
используется
большое
число
методов
прямого
поиска
ветвей
границ
дит
вариантов
анализ
подмножеств
целях
отсеивания
Большинство
алгоритмов
используют
частичный
вид
булевской
важности
этого
существуют
специализированные
процессоры
решения
таких
задач
Рассмотрим
задачу
линейного
булевского
программирования
max(1),
Lcx
(4.34)
,1,(2),
ijji
axbim
(4.35)
0,1(3).
(4.36)
Существует
вариантов
решения
часть
которых
допустима
При
большом
проверять
все
ограничений
ограничения
это
трудоемкая
операция
Рассмотрим
процедуру
бора
положенную
основу
аддитивного
алгоритма
Балаша
[8].
внутри
метода
всегда
будет
сравнение
рекордом
необходи
чтобы
первое
рекордное
значение
было
достаточно
большим
Поэтому
переменные
задачи
преобразовывают
соответствии
возраста
нием
для
задачи
мум
коэффициентов
целевой
функции
cccc
≤≤≤
321
перебирать
Пусть
существуют
которым
можно
ничения
порядке
сначала
самое
мягче
выбирают
первый
вектор
списка
проверяют
ограничения
какое
ограничений
выполняется
переходим
едующему
век
тору
для
какого
вектора
удовлетворяются
ограничения
подсчитывается
величина
целевой
функции
объявляется
рекордом
процедура
меняется
Балаш
добавить
некоторое
фильтрующее
ограничение
его
незачем
допустимость
если
превос
ходит
ijj
cxZ
(4.37)
ограничение
(4.37)
выполняется
следующему
вектору
противном
случае
ограничению
(4.35).
вектор
удовлетворяет
ограничениям
подставляя
его
(4.34),
получим
рекорд
формируем
фильтрующее
ограничение
заменяя
**.
пройден
список
последний
рекорд
даɺт
решение
При
экономим
проверке
ограничений
1234
32max
zxxxx
=−o
1234
2410
xxxx
−−≤
1234
3221
xxxx
−≥
123
424,
{0,1},
xxx
−−≤
2431
23max
zxxxx
=−o
2431
4210
xxxx
−−≤
2431
2231
xxxx
−≥
2431
0244
xxxx
−⋅−≤
Составим
таблицу
получим
первый
допустимый
вектор
(0010);
ставляем
фильтрующее
ограничение
2431
(0)232
xxxx
−>
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
Находим
рекордный
(0110);
=3,
фильтрующее
ничение
2431
(0)233
xxxx
>
Наконец
находим
значение
(1111);
=5.
список
черпан
последний
рекорд
оптимальное
решение
max
Эффективность
процесса
можно
оценить
количеством
значков
современных
алгоритмах
например
алгоритме
Лемке
Шпильберга
поря
док
одного
вектора
другому
меняется
соответствии
анализом
задачи
Критерий
недопустимости
запрещает
двигаться
некоторым
векто
которые
заведомо
недопустимы
Проверяются
целевые
функции
дается
подробнее
7,10,23]).
Таблица
1 2 3 (0) z
0 0 0 0 + -
0 0 0 1 + -
0 0 1 0 + ++
0 0 1 1 + - +
0 1 0 0 -
0 1 0 1 + - +
0 1 1 0 + +++
0 1 1 1 + - +
1 0 0 0 -
1 0 0 1 -
1 0 1 0 -
1 0 1 1 + - +
1 1 0 0 -
1 1 0 1 -
1 1 1 0 -
1 1 1 1 + +++
алгоритме
Балаша
исполь
зуются
другие
ограничения
зволяющие
отсечь
некоторые
. [7]).
Рассмотрим
неко
торые
Рассмотрим
кото
рому
можно
отсеивать
варианты
Пусть
индексов
двоичных
векторов
Под
множества
состоя
элементов
ждому
поставлено
ст
0,1
называется
частич
решением
дексов
обозначим
Переменные
кото
принадлежат
этому
называются
свобод
множество
индексов
бодных
переменных
обозначим
Пример
переменных
=(1, 2, 3, 4, 5),
, 0, 1,
) -
частичное
=(2, 3),

S = N/V,
= (1, 4, 5) -
номера
свободных
переменных
частичное
содержит
переменных
существует
личных
дополнений
частичного
решения
Пусть
каким
образом
частичное
решение
содержащее
ременных
тогда
проверка
дополнений
допустимость
условию
(4.35)
называется
зондированием
этого
получен
если
удаɺтся
установить
что
частичного
существует
допустимого
дополнения
водящего
лучшему
рекорду
говорят
частичное
решение
прозонди
ровано
что
это
отсеять
установил
если
определяет
переменные
зондированного
решения
ранее
достигнутый
зондируемое
решение
дополнения
улучшающего
если
выполняется
min(,0)
ijiijj
abax
любом
1,(5)
, (4.38)
пусть
задача
содержит
ограничения
12345
2640
xxxxx
−−≤
124
1,1,0
xxx
===
(1,3,4),(1,2,3,4,5),2,5
:==
Проверим
наличие
допустимых
дополнений
частичного
решения
111
min(,0)1;5;
5;15.
ij
jS
aaxbax
∈∈∈
=−=−=−−>−
¦¦¦
Рассмотрим
другое
правило
отсеивания
вариантов
Если
свободной
переменной
имеет
место
соотношение
min(,0)
,,1,
ijiki
jj
jv
aabaxim
>−%=


: 6
(
(

(
(
(
0.
åñëèa
åñëèa
(4.39)
Кроме
этих
двух
правил
можно
использовать
так
называемый
признак
составных
ограничений
позволяющий
установить
факт
наличия
отсут
ствия
допустимых
дополнений
некоторого
частичного
решения
путɺм
ана
составного
ограничения
случае
комбинация
ограничений
Например
используется
суммирование
левых
правых
частей
ограниче
ний
Пример
задача
состоит
такого
решения
которое
ничения
Максимизируется
функция
max.
некотором
частичном
решении
рекорд
составлял
=2.
частичное
допустимое
дополнение
улучшаю
достигнутый
рекорд
Прибавим
ограничениям
фильтрующее
ограничение
есть
получим
новую
систему
x
x
x
0,
-3.
Сформируем
составное
ограничение
– 2
+ 2
-4.






применим
нему
(4.38)
min(,0)4,,0,44
ijj
=−=−=−
Получаем
- 4= - 4,
следовательно
ограничение
выполняется
при
=0
существует
дополнения
улучшающего
рекорд
полученных
правил
запишем
алгоритм
Пуст
основной
список
задач
Если
»,
вычисления
окончены
переходим
.5.
Если
» -
присвоим
счетчику
задач
списка
вычеркиваем
одну
задачу
Счɺтчику
чис
итераций
начале
очевидно
= 1).
Существует
допустимое
дополнение
выбранном
частичном
улучшающее
значение
рекорда
*?
Проверим
условие
(4.38).
»,
определяем
эти
значения
формуле
(4.39)
переходим
Если
» -
+1)
.1.
Содержат
допустимое
частичного
зондируемое
решение
переменных
запоминаем
решение
значение
рекорда
переходим
.1.
нет
переходим
.4.
Выбираем
любую
свободную
переменную
входящую
число
пустимых
переменных
две
задачи
основной
список
=0,
другой
=1).
Положим
переходим
.1.
Печать
результата
решения
рекорд
значения
переменных
либо
задача
решения
имеет
».
Конец
17
: 1

+
: 0

17
: 1

+
: 0

17
: 1

+
: 0

ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
особый
метод
который
специально
для
динамических
задач
которых
операция
состоит
элементов
сильно
влияющих
друг
друга
связано
именем
Ричарда
Беллмана
который
сформулировал
принцип
оптимальности
Беллмана
существен
сократить
многоэтапных
нелинейных
задачах
Рассмотрим
экономическую
задачу
распределения
ресурсов
пусть
есть
начальный
капитал
потратить
несколько
предприятий
Рис
. 20).
количество
средств
вкладываемых
предприятие
результате
получается
эффект
WfX
общем
случае
это
нелинейная
Необходимо
распределит
альный
капитал
ресурс
чтобы
суммарный
эффект
всех
предпри
все
был
максимальным
max
WfX
как
функция
нелинейная
получаем
задачу
-
граммирования
очень
большом
числе
переменных
6).
Решать
сложно
дискретные
значения
Возникает
вопрос
решить
задачу
последовательно
найти
оптимальное
вложение
первого
года
второго
провести
последовательную
оптимиза
цию
большинстве
задач
делать
решение
принимаемое

УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
одном
шаге
оказывает
влияние
последующие
Рассмотрим
простой
Проанализируем
процесс
забега
стайеров
800
метров
рис
. 21
Каждый
бегун
имеет
запас
энергии
который
тратит
100
метров
величина
затрат
энергии
время
бега
стайера
отдельном
участке
общее
время
забега
min
уменьшать
каждое
время
стайера
будет
будет
продолжать
бег
Значит
нужно
бежать
так
чтобы
силы
всю
дистанцию
каждый
бегун
условии
Казалось
сумма
времен
минимальной
нужно
нимизировать
как
можно
первую
затем
можно
вторую
Читатель
вспомнив
бега
конечно
понял
оптимизации
верен
Ока
зывается
оптимальной
соответственно
будет
минимальное
общее
.
.
.
сформулировали
принцип
действуй
прицелом
будущее
Други
оптимальность
малом
необходимо
понимать
мальность
чрезвычайно
важный
принцип
системного
подхода
оптимизации
систем
5.1
Принцип
оптимальности
Беллмана
Метод
является
наиболее
общим
методом
задач
оптималь
управления
применим
как
для
задач
линейной
также
случае
управляемые
переменные
целые
сама
задана
таблицей
наиболее
распространено
практических
задачах
называют
динамическими
если
результаты
одном
процесса
влияют
другие
шаги
УдΣлеβγ
Рис
. 20¶
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
принцип
оптимального
управления
Беллмана
проблемой
оптимизации
системы
многих
элементов
Элементами
экономические
ницы
которые
входят
общую
сложной
технической
системы
производства
операций
Возникает
вопрос
как
нужно
управлять
отдельными
элементами
чтобы
эффективности
системы
максимальным
Выше
интуитивном
уровне
показали
что
для
оптимизации
недостаточно
каждый
элемент
это
приводит
верному
результату
Беллман
впервые
сформулировал
принцип
оптимальности
для
дачи
есть
оптимизируя
отдельный
обходимо
задумываться
последствиях
приводящих
общему
результату
Для
решения
подобных
разработан
основывающийся
уравнении
Беллмана
-
торое
математически
выражает
принцип
Назовем
состоянием
системы
несколько
параметров
систе
деньги
лицевом
счете
предприятия
Обозначим
управление
шаге
это
некоторое
воздействие
которое
испытывает
система
изменяет
свое
состояние
Если
шагом
состояние
системы
принимаем
управление
шаг
можем
получить
некоторый
выигрыш
который
обозна
чается
),
этом
состояние
переходит
S’=
S, U
.
Считается
функции
Беллман
ввел
понятие
условного
оптимального
выигрыша
S
)
.

функция
показывает
оптимальный
выигрыш
наилучший
результат
ченный
все
шаги
конца
если
начинается
состояния
Тогда
согласно
принципу
оптимальности
Беллмана
принимая
шаге
должны
выбрать
так
чтобы
выигрыш
максимальным
шага
конца
S

S
S
1
S’
)

S
+W
1
S’
)

eq,
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
Принцип
ставит
вопрос
том
что
такое
отдельного
системы
точки
зрения
оптимальности
всей
системы
Принимая
отдельном
этапе
должны
выбирать
управление
прицелом
будущее
нас
интересует
зультат
целом
шаги
Любой
процесс
где
окончание
говорят
что
ризонт
планирования
».
Тогда
последний
будущего
Вот
оптимизировать
только
условий
данного
После
оптимизации
-1)-
этапа
При
этом
задаɺм
стояние
которого
начинается
ловие
).
Поэтому
функцию
S
)
называют
условным
выигрышем
Таким
образом
про
оптимизации
методу
разворачивается
сначала
началу
затем
начала
концу
различных
задачах
известно
начальное
состояние
либо
конечное
либо
другое
Принцип
Беллмана
практическое
применение
называемом
методе
программно
планирования
любое
действие
планируется
элемент
некоторо
проекта
).
5.2.
Решение
графовых
задач
основе
принципа
Беллмана
Задача
наборе
высоты
летательного
аппарата
22
12
14
17
19
11
16
3
2
3

5
2
1
4
3
4
54
2
6
13
4
3
47
5
6
43
5
4
57
2
7
H
h

. 23
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
Летательный
аппарат
находится
высоте
летит
скоростью
Необходимо
перевести
его
высоту
скоростью
Причɺм
h
v
v
Разобьɺм
участок

h
частей
Известен
при
переводе
системы
=const


v
=const
Таким
образом
каждого
состояния
есть
лишь
два
управ
Начиная
помечаем
узлы
состояния
величинами
условных
узла
оптимальных
расходов
горючего
узла
конца
стрелками
условные
оптимальные
управления
Указанные
действия
рощенном
демонстрируют
рассмотренную
процедуру
решения
уравнения
Беллмана
Дойдя
конечного
состояния
начального
лучив
22,
получим
минимальную
величину
потерь
горючего
стрелкам
начального
состояния
конечного
получаем
безусловные
оптимальные
управления
линией
).
Видно
любая
задача
сводящаяся
минимального
пути
решается
методом
динамического
программирования
5.3.
Функциональное
уравнение
Беллмана
Назовɺм
системы
вектор
,,...,

-
которых
задачах
состояние
одна
величина
Тогда
работу
системы
можно
представить
как
движение
пространстве
пространстве
состояний
Назовɺм
шаговым
управлением
-
управление
Рассмотрим
управления
системой
шагов
Функция
ii
US
называется
шаге
Здесь
состояние
перед
шагом
управление
-

.
Величина
ii
US
должна
известна
начала
динамического
граммирования
Если
состояние
перед
было
приняли
какое
управление
система
новое
состояние
SSU

функция
должна
быть
так
известна
заданы
сформулировать
Введɺм
функцию
оптимальный
игрыш
Это
выигрыш
всех
этапах
если
начинается
состояния
Рассмотрим
Пусть
+1)-
шага
системой
управляем
тимально
тогда
величина
выигрыша
будет
i
Применим

УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
шаге
произвольное
управление
тогда
неоптимальный
выигрыш
шаге
применяем
неоптимальное
управление
Чтобы
шага
конца
получить
оптимальный
выигрыш
нужно
изменять
чтобы
max,
; ,
ii
WSSUWSSSU
==
343434
max,
íåèçâåñòíî
èçâåñòíî
íåèçâåñòíî
WSSUWSU
Это
функциональное
Беллмана
Для
использования
уравнения
Беллмана
конца
,
34^
max(,)
WSSU
i=m
11
max(,)(,)
WSSUWSU
−−

идя
конца
началу
получаем
последовательно
,,...,
WSWSWS
,,...,
USUSUS
Придя
начальное
состояние
),
можем
подставить
max
это
безусловный
выигрыш
необходимо
получить
безус
ловные
оптимальные
уравнения
начала
концу
цепочке
101
USU
o=o
011
SUS
212
USU
12
. 2

. 2

:

УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣле
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
Итак
результате
получаем
решение
***
12max
,,...,;
UUUW
5.4.
Задачи
распределения
ресурсов
5.4.1.
Классическая
задача
распределения
ресурсов
Распределение
ресурсов
едва
самая
распространɺнная
ция
Под
ресурсом
случае
понимают
физическую
или
абстрактную
величину
которую
система
использует
для
производства
полезного
продук
Например
деньги
время
объɺм
склада
Как
правило
ресурс
поэтому
встаɺт
задача
так
распределить
ресурс
между
отдельны
элементами
системы
чтобы
суммарный
эффект
максимальным
классическую
задачу
распределения
ресурсов
начальное
количество
ресурсов
которое
необходимо
распреде



отрасль
работает
лет
Если
первую
отрасль
год
вкладываются
средства
X
доход
если
вторую
вкладываются
тогда
доход
Средства
тратятся
доход
средств
поступает
полученный
Нас
интересует
суммарный
доход
3434
WfXgY

Суммарный
выигрыш
равен
сумме
выигрышей
каждом
шаге
Состоя
нием
системы
является
количество
средств
перед
шагом
средств
поступает
ресурсы
».
Управление
быть
записано
как
k
-
X
После
шага
отрасли
остаются
средства
второй
YkX
Эти
функ
ции
называются
функциями
траты
составить
уравнение
Беллма
задаче
шаге
одно
управление
состояние
3434343434
iii
ii
WkfXgkXWXkX
=−−
: max
è ò. ä.
mmm
imWkfXgkX
==−


УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
ления
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ

3434
***
1010m
x101
101
,,; ,
WkkkWkWXkXYkX
====−
функции
траты
получим
количество
средств
*****
111212
YkXkX
==

.
.
Задача
распределении
ресурсов
пускает
геометрическую
интерпретацию
110
Распределение
первом
шаге
указание
точки
гипотенузе
После
средства
тратятся
Распределение
средств
движение
внутрь
треугольни
Рассмотрим
частные
случаи
задач
распределении
ресурсов
Y



. 2

5.4.2.
этапы
распределение
ресурсов
отраслям
Распределение
этапам
считали
что
функции
одинаковы
многих
задачах
функции
меняются
этапа
iiii
XgY

Покажем
что
процедура
динамического
программирования
принципиально
меняется
Запишем
Беллмана
3434343434
ii
ii
WkfXgkXWXkX
=−−
что
решении
достаточно
каждом
этапе
лишь
ставлять
разные
функции
Распределение
ресурсов
между
тремя
более
отраслями
этом
случае
шаге
будет
управлений
одно
них
быть
выражено
этом
случае
правой
части
уравнения
Беллмана
будет
или
более
переменных
которым
ищется
максимум
задача
существенно
усложняется
5.4.3.
Распределение
ресурсов
резервированием
такой
если
средства
распределяются
двумя
отраслями
какое
количество
средств
оставить
последующего
распреде
ления
этом
случае
задача
смысл
даже
одной
отрасли
(
УдΣле
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
чество
сред
Начальное
количество
средств
разделяется
первом
этапе


-
X
резерв
втором
этапе
подлежат
распределению
оставшиеся
сред
резерва
представить
одной
реальной
раслью
другой
фиктивной
приносящей
доход
расходующей
средства
рисунке
27
показаны
графики
распределения
ресурсов
зервированием
дополнение
этому
нулевыми
функциями
тра
)

)
. 2
Решение
такой
задачи
сводится
классической
задав
функции
дохода
трат
виде
3434
fXgY
функции
дохода
XY
функции
трат
Задача
резервированием
одной
отрасли
нулевых
функциях
функции
траты
этом
случае
задача
сводится
более
простой
()max
Wfx
i
Рассмотрим
более
частный
случай
все
функции
одинаковые
всех
шагах
()(),
xfxi
функции
неубывающие
тогда
недоиспользование
средств
выгодно
ограничении
можно
поставить
равенство



УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣле
УдΣлеβ
()max
Wfx
(5.1)
i
(5.2)
Эта
задача
имеет
теоретическое
решение
функция
неубывающая
выпуклая
вверх
оптимальным
распределением
является
равномерное
распределение
функция
f (x)
неубывающая
выпуклая
вниз
оптимальным
распределением
является
такое
распределение
этап
элемент
ничего
другие
=0
для
всех
кроме
i=r
Покажем
это
графических
примерах
. 2

Пусть
выпуклая
вверх
пример
Wxx
=o
120
линии
постоянного
уровня
линий
симмет
относительно
Поэтому
последнее
ние
астроиды
гипотенузы
треуголь
ника
max
точке
/2.
Очевидно
шагов
m
.
. 29
Пусть
выпуклая
вниз
пример
max
Wxx
=o
121
рисунка
видно
этом
слу
будет
лежать
коор
динат
5.4.4.
Распределение
ресурсов
вложением
доходов
задаче
считается
полученный
доход
шаге
производство
вкладывается
отчисляется
подсчитывается
как
УдΣле
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
эффект
многих
задачах
полученный
эффект
можно
использовать
сурс
для
следующего
шага
объединяя
оставшимся
ресурсом
сурс
деньги
средства
привести
единому
эквиваленту
шимися
средствами
модель
является
развитием
классической
модели
Так
оставшиеся
средства
доход
объединяются
ввести
и
ную
интегральную
функцию
функцию
средств
) -
количест
оставшихся
средств
плюс
доход
после
если
вложили
GYGkX
количество
средств
шагом
Выигрыш
шаге
зависит
того
как
подсчитываем
доход
управления
всеми
ресурсами
Поставим
задачу
максимизировать
доход
конце
шага
всех
шагах
1,1
доход
= 0,
выигрыш
mmmmm
WFXGkX
=−
Подставив
эти
выражения
уравнение
Беллмана
программируем
задачу
концу
если
имеется
количество
средств
функция
траты
iiii
kFXGkX
=−
Рассмотрим
частный
случай
когда
неубывающие
функции
этом
случае
значение
доход
средства
получается
конце
шага
лучшим
условием
будет
для
проведения
+1)-
шага
Поэтому
заботиться
следующих
шагах
достаточно
обеспечить
максимум
каждом
шаге
Таким
образом
процедура
оптимизации
возможна
направлении
начала
задача
динамического
программирования
вырождает
задачу
последовательной
оптимизации
3434
11011
max
XGkXk
−=
222122
XGkXk
−=
УдΣлеβ
УдΣле
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣле
УдΣле
УдΣлеβ
УдΣле
УдΣле
УдΣлеβ
УдΣлеβ
mmmmmm
XGkXk
−=
max
Рассмотрим
задачу
распределения
ресурсов
вложением
доходов
про
изводство
отчислением
наиболее
общий
случай
Разделим
функции
дохода
3434

максимизируем
суммарный
отчисленный
доход
оставшиеся
средства
шага
Введɺм
функцию
отчисления
доход
Тогда
рыш
каждом
шаге
3434343434
343434343434
, 1,1
*
iii
mmm
mm
iiiiii
WrfXgkXim
WrfXgkXXkX
kXkXfXgkXirfXgkX
=−=−
=−−
=−−−−
Уравнение
Беллмана
для
будет
выглядеть
так
343434
iiii
WkrfXgkX
=−
kXfX
343434
iii
gkXrfXgkX
−−−
1,1
для
i=m
надо
учесть
(5.3).

r
получаем
классическую
задачу
5.5.
Расширение
динамического
программирования
Учɺт
предыстории
процесса
считали
функции
выигрыша
траты
зависят
стояния
перед
зависят
более
ранних
состояний
Такие
процессы
называются
процессами
иногда
рассмотрении
некоторых
процессов
требуется
помнить
историю
происходящего
задачах
ремонта
замены
оборудования
).
Такая
задача
более
Введɺм
расширенное
состояние
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣле
УдΣле
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
,,,,
iiiL
SSSSS
−−−
состояние
шагов
Тогда
считая
аргументы
векторами
функции
меняются
,,,
iiii
SUSU
задача
становится
сложней
вычислительном
Пусть
имеет
координат
предыстория
страняется
шагов
тогда
результате
число
переменных
будет
Вот
почему
подобные
задачи
практически
можно
решать
если

для
задач
многими
ограничениями
Пусть
задаче
распределения
ресурсов
есть
ограничения
ресурса
max,
WfX
aXb
aXb
Введем
параметра
функции
условных
мальных
выигрышей
оптимальных
управлений
два
аргумента
W(K
,
Уравнение
Беллмана
для
такой
задачи
1,2
11122
iii
iiii
WKKfXWKaXKaX
=−−
При
этом
величина
каждом
варьируется
пределах
нуля
величины
= min(
Видно
что
двух
ограничений
величин
1,
принимать
значений
функцию
приходится
табулировать
точках
Таким
образом
наиболее
серьезным
препятствием
практиче
применения
является
число
параметров
задачи
заставило
Беллмана
заявить
называемом
многомерности
».
способы
понижения
размерности
смотри
[10].
Задача
мультипликативным
критерием
считали
суммарный
выигрыш
сумме
полученных
есть
задачи
критерий
равен
произведению
критериальных
величин
каждом

УдΣле
УдΣле
УдΣле
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
m
i
i
случае
так
можно
применить
уравнение
Беллмана
вместо
функцию
Оптимальные
решения
будут
одина
ввиду
монотонности
логарифмической
функции
выводе
уравнения
Беллмана
учесть
что
WSWWS
12
,,,
WFWWWFWFWFW
==⊗⊗⊗
метод
применим
случае
аргументы
критериальной
функции
разделяются
смотри
вышеприведенное
выражение
устройство
состоит
узлов
Имеется
некоторый
ресурс
который
использоваться
повышения
надɺжности
каждого
Необходимо
распределить
ресурс
чтобы
суммарная
надɺжность
максимальной
Получаем
задачу
max
QqX

надɺжность
каждого
узла
i
Операции
связанные
временем
задачах
распределение
ресурсов
связано
временными
Ресурс
распределяется
объектам
Например
если
рассмотреть
рас
пределение
ресурсов
между
объектами
каждый
объект
задана
функция
выигрыша
такая
задача
эквивалентна
рассмотренной
зада
распределении
ресурсов
резервированием
шагам
Это
наиболее
распространенная
дача
распределения
ресурсов
поэтому
полное
решение
методом
5.6.
Пример
решения
задачи
распределения
ресурсов
Рассмотрим
пример
Завод
получил
станка
которые
необходимо
распределить
между
тремя
цехами
Известна
дополнительная
прибыль
кото
рая
получится
цехе
если
поставят
станков
).
Equation,
3

УдΣле
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣле
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
Состоянием
является
оставшееся
текущее
количество
станков
распределяем
оставшиеся
станков
Начинаем
третьего
послед
цеха
()max{()}
Wkfx
01234
01234
01234
. 30
Таблица
32
W
0 0 0 0
0
1
1
0
1
3
3
0
1
0
7
0
1
4
0
7
2
7
33
опт
1
0
0

1: 35,4
УдΣлеβ
ляется
количест
Пусть
трет

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
3
4
2
3
3
3
7
7
Переходим
второму
:
32
()max{()()}
WkfxWkx
34
W
0 0 0 0
3
3
3
4
4
2
3
7
4
6
7
10
Таблица
35
1
3
4
0
0
1
0
7
10
Переходим
первому
шагу
121
()max{()()}
WkfxWkx
36
W
10
10



-
стояние
известно
шага
нужно
перебирать
остав
шееся
число
станков
берем
Ответ
=0,
=4-0=4 (
подставляем
*

табл
.4),
=1,
=4-1=3 (
подставляем
*

табл
.2),
=3,
=4-3=1.
10


Equation,
42,55
10
42,55
УдΣле
УдΣле
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
УдΣлеβγ
5.7.
Эффективность
динамического
программирования
Сравним
числу
операций
динамическое
программиро
простым
перебором
вариантов
задачи
max)(
>−
xf
bxa
ii
упрощения
расчɺта
примем
При
простом
число
возможных
вариантов
целочисленности
переменных
числу
способов
которыми
разместить
одинаковых
шаров
внутри
урн
Оно
составляет
(1)!
!(1)!
При
=5,
=20
Оценим
число
требуемых
решени
этой
задачи
методом
динамического
программирования
вычисления
Wi(k)
при
фиксированном
необходимо
провести
+1
вычислений
Поэтому
для
заполнения
одной
таблицы
Wi(k)
необходимо
делать
(1)(2)
(1)
операций
Следовательно
для
вычисления
всех
функций
,…,
n-1
необхо

(1)(2)
(1)
операций
учɺтом
вычисления
функции
число
операций
(1)(1)(2)(1)[(1)(2)2]
(1)
2!
nbbbnn
−
При
=5,
=20
имеем
945,
11
меньше
чем
при
простом
.

320,35
,


УдΣлеβ
УдΣле
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
УдΣлеβ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.1.
Особенности
задач
нелинейного
программирования
Нелинейное
программирование
такая
задача
математическо
программирования
которой
целевая
функция
либо
функции
огра
ничений
либо
представляют
собой
нелинейные
функции
Термин
применяется
когда
переменные
действительные
числа
Решение
задач
сложнее
решения
задач
прочих
равных
условиях
Рассмотрим
особенности
задач
НЛП
именно
находиться
ое
решение
Для
этого
будем
рассматривать
целе
вую
функцию
переменных
используют
геометрический
образ
функции
как
некоторой
поверхности
определɺнной
управляемых
Вид
этой
можно
представить
бражая
области
переменных
называемые
уровня
рисунок
31)
задач
проиллюстрируем
графически
задачи
УдΣлеβγ
≤≤≤≤
≥
o−−=
3.x0;3x0
,bxx
,axx
,min1x1/2xF
21
21
Изобразим
графически
область
допустимых
решений
найдем
для
различных
значений
Очевидно
оптимальное
решение
будет
находиться
точке
уровня
имеет
самую
малую
величину
допустимых
решений
Это
представить
как
последнее
касание
линии
уровня
уменьшения
этого
уровня
Линии
уров
задаче
представляют
собой
концентрические
окружности
min
соответствует
уменьшению
радиуса
рис
=1/2,
рис
).
)
Решение
задачи
рис
находится
линия
наименьшего
уровня
функции
касается
прямой
Координаты
решения
x;
==
найти
геометрических
Решение
задачи
качественно
отличается
первого
случая
как
здесь
получаются
несвязанных
ОДР
дающих
экстремальные
точки
являющиеся
точками
пересечения
линий

xx
Точка
является
точкой
локаль
минимума
глобального
минимума
коорди
найдем
решив
систему
урав
12,
10,3,11,7
=−|=|
=2,
=1.
рис
. 33
находится
точке
являющейся
координатами
концентрических
окружностей
линий
уровня
целевой
функции
приведенных
задачи
НЛП
нахо
диться
как
внутри
ОДР
рис
. 33),
одной
произвольной
точке
. 32
),
так
вершинах
ОДР
являющихся
точками
пересечений
функ
чений
),
причем
может
получиться
несколько
экстре
точек
Графическое
изображение
ОДР
уровня
позволяет
решать
задачи
НЛП
двумя
переменными
6.2.
Прямые
одномерной
оптимизации
нелинейных
функций
без
ограничений
Пусть
определена
функция
F(X)
Под
минимизацией
функции
F(X)
множестве
будем
понимать
следующей
задачи
найти
хотя
одну
точку
минимума
минимум
F*=F(X*)
этой
функции
множестве
U.
приближенные
методы
минимизации
применимы
тогда
любой
локальный
минимум
F(X)
является
одновременно
классов
ций
удовлетворяющих
этому
условию
является
класс
унимодальных
функций
Функция
F(X)
называется
унимодальной
отрезке
a;b],
если
непре
рывна
a;b] и существуют
числа
≤β≤
такие
что
если
отрезке
a; Į] F(X) монотонно
убывает
если
отрезке
β;b] F(X)
монотонно
возрастает
Į;β] >])(min
)(
XFFXF
ba
==
: 1

… +
: 3
проверки
унимодальности
функции
F(X)
практике
обычно
следующие
критерии
функция
дифферен
цируема
отрезке
a;b] и производная
F(X)
убывает
этом
отрезке
F(X)
модальна
функция
дважды
дифференцируема
отрезке
a;b] и F(X
a;b], то F(X)) также
унимодальна
Большую
группу
приближенных
методов
минимизации
функций
прямые
методы
минимизации
основанные
вычислении
только
чений
минимизируемой
функции
некоторых
точках
использующие
значений
производных
Метод
перебора
пассивный
является
простейшим
тодов
минимизации
Пусть
F(X)
унимодальна
требуется
найти
какую
либо
точек
минимума
x*
функции
F(X)
отрезке
a;b] с абсолютной
погреш
ностью
�0.
Разобьем
a;b] на n равных
частей
точками
деления
=a+i
/n, i=
0, 1, 2, …,
n,
Вычислив
значения
точках
сравнения
найдем
точку
для
которой
)=min
). (6.1)
Далее
полагаем
x*=x
, F*=F(X
При
максимальная
погрешность
определения
точки
равна
/n.
Метод
деления
отрезка
пополам
метод
дихотомии
является
последовательным
методом
минимизации
любой
унимодальной
функции
F(X)
последовательность
вложенных
резков
a;b
a1;b1] … [
an;bn],
каждый
которых
содержит
хотя
одну
точек
минимума
функции
F(X).
�0 –
требуемая
точность
определения
точки
Выбрав
строим
последовательности
}, {
}, {
}, {
0, 1, … ,
рекуррентные
формулы
(n-1)
n-1
n-1
(n-1)
n-1
)/2; ( 6.2)
n-1
если
f(x
(n-1)
f(x
(n-1)
= x
(n-1)
= b
если
f(x
(n-1)
(n-1)
).
. 34
:
1 +
3, … +
,
)
Переход
an-1; bn-1] к отрезку
an; bn] методом
деления
отрезка
иллюстрируется
. 35
если
(n-1)
(n-1)
если
)/2
абсолютной
погрешностью
превосходящей
величины
=(b
)/2=(b-a-
n+1
/2.
методов
известны
другие
эффективные
методы
как
Фибоначчи
золотого
сечения
метод
поиска
дис
кретным
точкам
[12, 25].
6.3.
Градиентные
методы
многомерной
оптимизации
ограничения
задаче
НЛП
отсутствуют
применяют
все
методы
оптимизации
нелинейных
функций
Причɺм
если
задаче
ограничениями
решение
гарантированно
находится
внутри
области
его
можно
найти
методами
так
ограничения
являются
активными
отбросить
Рассмотрим
широко
применяемые
методы
функций
еременных
так
называемые

оптимальной
точки
начинают
начальной
точки
выбирают
некоторых
примерном
нахождения
).
Далее
соответствии
некоторым
разумным
правилом
переходят
вую
точку
лучшим
значением
выполнится
которое
заранее
заданное
правило
остановки
апример
выполнение
условия
точности
6.3.1.
Классический
градиентный
метод
этом
каждая
последующая
точка
получается
путем
рехода
вектору
градиента
нормали
уровня
шага
выбирается
двух
основных
условий
если
длина
шага
точку
экстремума
если
маленькая
количество
точки
оптимальной
будет
нь
велико
Поиск
начина
ется
начальной
точки
Точка
(k+1)
ищется
формуле
) ,
max
(-) –
F(X
min,
градиент
точке
)(
множитель
определяющий
длину
шага
координатах
kk
XX
)(
)()()1(
=
Величина
)(
простей
случае
изменяться
движения
Теоретически
чание
поиска
определя
ется
следующим
услови
)(
точка
если
)(
рисунке
показаны
траектории
движения
классического
ентного
метода
) –
покоординатного
наискорей
спуска
практических
вычислений
правила
остановки
могут
быть
различны
простоты
можно
считать
является
точкой
экстремума
если
)1(
)(max
где
заданная
величина
Ясно
этот
метод
можно
применять
том
случае
численно
градиент
функции
точке
гладкого
тимума
приближении
оптимальной
величина
градиента
автомати
чески
уменьшается
даже
постоянной
величине
длина
уменьшается
что
является
желательным
для
ого
поискового
метода
Рис
6.3.2.
Покоординатный
метод
этом
методе
движение
начальной
точки
производится
сначала
вдоль
первой
координаты
Знак
направления
совпадает
направлением
проекции
градиента
эту
координату
F(X)
max)
противоположен
ему
F(X)
min
шага
определяется
F
производится
второй
координате
затем
.,
наконец
Затем
повторяют
движение
Можно
использовать
следующее
правило
остановки
: max
)1(
)(
6.3.3.
Метод
наискорейшего
спуска
модификации
этом
методе
некоторой
начальной
точки
движение
осуществляется
вдоль
направления
градиента
производная
этому
лению
равна
Далее
этой
точки
определяем
новый
градиент
Отличие
здесь
том
что
шага
точки
определяется
ловия
чтобы
обеспечить
XgXF
вспомогательную
задачу
одномерной
оптимизации
можно
решать
основе
рассмотренных
методов
поиска
дихотомии
.)
Наискорейший
покоординатный
методы
называют
методами
длин
шагом
Кроме
этого
существуют
методы
использующие
вторую
водную
определения
длины
шага
например
Ньютона
XgXFXX
′′
=
F”(Xk)] -1 - обратная
матрица
вторых
производных
точке
6.4.
Метод
деформируемого
многогранника
Нелдера
Мида
Современные
поиска
минимума
максимума
нелинейной
функ
чрезвычайно
разнообразны
Одним
наиболее
эффективных
является
метод
Нелдера
Мида
Идея
метода
состоит
что
определения
правления
движения
вычисляются
значения
целевой
функции
вершинах
сначала
затем
деформируемого
многогранника
некоторое
тело
пространстве
Правильный
многогранник
называется
симплексом
задачах
двух
переменных
это
правильный
треугольник
Вычисленные
значения
целевой
функции
вершинах
симплекса
сравни
ваются
затем
выполняются
операции
(
отражение
поворот
симплекса
через
сторон
растяжение
идɺм
правильном
направлении
редукция
возврат
назад
если
перескочили
оптимум
сжатие
уменьшение
сторон
чтобы
движение
было
более
мелким
Рис
этом
использу
ется
понятие
производной
функции
расширяет
его
возможности
Поиск
оптималь
точки
ведется
путем
пово
рота
деформации
многогран
ника
симплекса
основе
ана
лиза
вершин
соответствии
следующими
вышеприведенны
операциями
Пусть
итерации
тогда
алгоритм
Нел
дера
Мида
заключается
ирается
начальный
симплекс
если
задаче
переменные
симплекс
правильный
треугольник
).
Его
вершины
,1,1
Обозна
чим
h
самая
точка
min
max();
FXFX

,
.
.
min();
FXFX
центр
тяжести
вершин
координаты
3434
; 1,
kkk
ijnj
XXjn
=−=
Осуществляют
отражение
проектирование
h
через
центр
тяжести
получается
так
34343434
kkkk
XXXX
=−
коэффициент
отражения
Обычно
=1.
FXFX
вектор
растягивается
лучаем
34343434
kkkk
XXXX
=−

Если
для
полученной
точки
FXFX
заменяется
переходим
пункту
2.
противном
случае
заменяем

a
переходим
пункту
2.
FXFX
для
вектор
434
сжимается
получаем
точку
34
3434
01
XXXX
−<<
Точка
заменяется
ñ
пункта
2.
FXFX
все
векторы
il
уменьшаются
раз
редукция
3434
; 1,1
ilil
XXXin
−=
Возвращаемся
пункту
Правила
остановки
быть
различными
()()
FXFX
для
простоты
использовать
правило
ijpj
jip

1,1
1,1
решением
будет
точка
1112
()6222min
FXXXXXX
=−−o
выберем
параметры
1,,2,2,0,1
αβJλε
=====
решение
видно
рисунка
38.
Подробнее
смотри
[16].
6.5.
Задача
НЛП
ограничениями
равенствами
особо
рассматриваются
задачи
ограничениями
равенствами
Это
называемые
задачи
условный
экстремум
Решение
такой
задачи
производится
использованием
Лагранжа
функция
позволяет
построить
новую
целевую
которая
штрафа
учитывала
343434
iii
ÔXFXXb
=−
, (6.3)
) -
целевая
функция
множители
Лагранжа
имеющие
смысл
эффициентов
чувствительности
ограничений
Таким
образом
задача
минимизации
нелинейной
целевой
функции
равенствами
сводится
минимизации
функции
Лагранжа
без
Для
решения
используется
классический
записыва
ются
необходимые
условия
существования
экстремума
0, 1,;
0, 1,.
jjj
XXX
bim
===
∂∂∂
=−==
(6.4)
После
выполнения
операций
дифференцирования
получаем
систему
случае
нелинейных
уравнений
относительно
неизвестных
множителей
Лагранжа
Решение
системы
(6.4)
дает
точки
подозрительные
экстремум
ещɺ
проверить
помощью
достаточных
признаков
экстремума
Рас
некоторые
этих
признаков
Пусть
подозрительная
экстремум
полученная
выражений
(6.4).
Рассмотрим
матрицу
матрицу
вторых
изводных
точке
H
. (6.5)
Если
матрица
определена
положительно
минимум
определена
отрицательно
максимум
матрица
знаконе
определена
этой
точке
экстремума
если
полуопределена
этот
признак
даɺт
Пусть
главный
определитель
матрицы
Гессе
если
123
0,0,0,
DDD
>>>
это
достаточный
признак
минимума
если
123
0,0,0,
DDD
<><
достаточный
признак
максимума
знаки
строгих
неравенств
чередуются
если
знаки
это
необходимый
дос
таточный
признак
вопрос
экстремуме
решается
Наиболее
достаточным
признаком
является
следующий
Составим
расширенную
Гессе
для
чего
используем
матрицу
производных
функций
ограничений
111
222
nnn
Q
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
LLLL
транспонированная
матрица
имеет
размерность
m+n
m+n
).
Признак
точка
соответствует
максимуму
начиная
главного
определителя
порядка
n-m
определителей
матрицы
образуют
знакопеременный
определителя
стоящего
совпадает
если
max;
если
(-1)
min.
=3,
=2,
n-m
=1,
проверяем
=7,
=4,
n-m
=3,
проверяем
21
o=
XXF
21
XX
Запишем
функцию
Лагранжа
121212
(,,)(1)max
XXXXXX
Φ=−o
Найдем
необходимые
условия
==
==
=−=
Получаем
системы
2
;
2
матрицу
QH
H
=
10
011
101
110
=2;
=1;
+1=2;
=1.
Начиная
второго
определителя
+1=2)
знаки
чередуются
,
причем
111
(1)(1)0
=−>
Проверяем
�0,
значит
точке
=1/2
находится
максимум
Геометрически
задача
экстремум
сводится
тому
что
находится
точке
линия
поверхность
определяющая
функ
цию
систему
ограничений
касается
какой
нибудь
линии
примера
).
6.6.
Выпуклое
НЛП
Теория
нелинейного
программирования
разработана
только
одного
частного
случая
выпуклых
целевых
функций
этот
раздел
соответственно
называется
выпуклым
программированием
Выпуклое
множество
свойством
что
отрезок
соеди
няющий
любые
точки
множества
также
принадлежит
этому
Таким
образом
выпукло
следует
что
+(1-
для
любого
1.
Важно
если
выпуклое
также
выпукло
каждое
ограничение
задаче
НЛП
образует
выпуклое
дают
выпуклое
множество
дифференцируемая
функция
является
выпуклой
том
случае
когда
¦¦ΔΔ≥
любых
выпуклое
множество
обращается
нуль
одновременно
Для
проверки
выпуклости
F(X
критерий
Сильвестра
Функция
F(X)-
если
неотрицательны
для
строго
выпуклой
ложительна
главные
миноры
матрицы
Гессе
1
1
...
k
kk
k
aa
ij
ij
=1, 2, …
все
�0,
) -
строго
выпукла
Функция
F(X)
переменных
,…,
|| =
называется
функцией
выпуклой
области
если
для
любых
двух
точек
выполняет
соотношение
(1)
(2)
(1)
(2)
{(1)}()(1)()
FXXFXFX
λλλλ
−≤−
где
1.
Когда
переменная
промежуточная
точка
пробегает
значения
(2)
Функция
выпукла
если
знак
можно
заменить
.
для
задачи
min
выпуклая
функция
принимать
значений
линейная
для
задачи
max
меньших
значений
).
Другим
важным
свойством
функций
выполнение
которого
позволяет
рантировать
решение
задачи
является
называемое
условие
Липши
.
функция
F(X
удовлетворяет
отрезке
a, b] условию
шица
если
существует
такое
число
�0 (
константа
Липшица
|||
()()
XFXLXX
−≤−
. (6.7)
условия
Липшица
практике
используют
следующий
Если
функция
отрезке
[a, b]
ограниченную
производную
она
удовлетворяет
условию
(6.7) ,
[,]
max|()|

6.7.
Теорема
Таккера
для
выпуклого
НЛП
Функция
Лагранжа
является
основным
инструментом
теоретического
обоснования
решения
задачи
НЛП
задача
такова
()min,
()0,1,,
(6.8)
функции
обладают
свойством
пуклости
справедлива
фундамен
тальная
Таккера
(6.8)
находится
седловой
точке
функции
Лагранжа
Функция
двух
векторных
переменных
(....)
(....)
точке
(,)
седловую
точку
если
выполняются
соотношения
),,(
***
ФХ

(,)
(,)
(,)
окрестности
(,)
простейшего
случая
переменной
одного
множителя
седловая
точка
геометрически
изображена
рисунке
41 (
будем



,

0

0
седловой
точке
максимум
функции
Лагранжа
совпадает
минимумом
Необходимыми
достаточными
условиями
существования
точки
функции
двух
переменных
являются
соотношения
()0,
0,1,,
Xjn

()0,
()0,
0,1,.
(6.9)
Эти
соотношения
связаны
фундаментальной
теоремой
нелинейного
программирования
Таккера
решение
задачи
НЛП
находится
седловой
функции
Лагранжа
Соотношения
являются
только
необходимыми
достаточны
если
кроме
условий
(6.9)
выполняются
условия
регулярности
Слейтера
области
допустимых
решений
существует
точка
которой
раничения
активны
(X)
для
всех
i=1,m (
области
есть
внутрен
точки
Куна
Таккера
Если
задаче
3434
343434
min; 0, 1,; ,
iii
XXimÔ
XF
XX
Mλλ
o≤==
функции
выпуклы
множество
допустимых
решений
определяемое
раничениями
удовлетворяет
условиям
регулярности
Слейтера
опти
точки
необходимо
достаточно
выполнение
условий
(6.9).
ограничения
линейные
условия
Слейтера
теореме
зательны
6.8.
Квадратичное
программирование
Задачей
квадратичного
программирования
называется
задача
когда
функция
представляет
собой
сумму
линейной
квадра
формы
переменные
старше
второй
степени
),
все
ограничения
линейные
решения
задач
используется
симплекс
Куна
Таккера
позволяет
записать
условие
Куна
Таккера
дачи
найти
седловую
точку
ассмотрим
задачу
виде
min
kjkj
FXpXCXX
=o
¦¦¦
0, 1,, 1,, 0
XaXbimjnX
=−≤==≥
матричном
пусть
PXB
векторы
столбцы
min, , 0
FpXXCXAXbX
o≤≥
матрица
квадратичной
формы
должна
быть
симметрична
положительно
полуопределена
это
гарантирует
выпуклость
Метод
Баранкина
Дорфмана
непосредственно
основан
применении
теоремы
Куна
Таккера
Запишем
функцию
матричной
форме
для
задачи
øòðàô
ÔXpXXCXAXb
=−
4244
1424
2;
VpCXAYAXb
==−==−
Тогда
условие
Куна
Таккера
записать
следующем
0; 0; 0; 0

0 (**)
AXVb
CXVAp
XYV
XVY
−=−
≥≥≥≥
Неизвестными
являются
).
(*) -
система
линейных
уравнений
относительно
неизвестных
решить
значит
найти
допустимые
решения
задачи
нелинейное
условие
Тогда
можно
переходить
одного
допустимого
решения
другому
проверять
условие
(**).
Введɺм
векторы
записать
2
VYZZ
Система
(*)
также
может
быть
представлена
через
векторы
тогда
чательно
условия
Таккера
иметь
следующий


, 0,
CEAp
⎛⎞⎛
×=≥
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
(6.10)
TZZZ
. (6.11)
Метод
Баранкина
Дорфмана
заключается
следующем
находится
пустимый
вектор
удовлетворяющий
(6.10),
проверяется
ловие
(6.11).
выбирается
новое
базисное
решение
причɺм
оно
выбира
ется
чтобы
величина
всɺ
уменьшалась
Для
этого
модифицированная
симплекс
таблица
которой
генеральный
ходится
условия
минимизации
выпуклой
функции
min
TZZZ
=×o
, (6.12)
решаем
задачи
(6.12),
(6.10)
(6.11).
симплекс
записываются
качестве
базисных
строку
базисных
переменных
, 1,2
gggh
ddtgN
=×=
свободные
переменные
строка
соответствует
свободным
переменным
строке
ница
остальные
нули
выбора
генерального
элемента
используются
дополнительные
которые
записываются
дополнительные
строки
,0,0
jiNiN
ji
dddd
=××
ijiNj
min, ïðè 0 argmin,
Θ=<=
jjj
=Θ
(
(
(
Можно
новое
значение
после
замены
свободной
будет
определению
�0,
поэтому
чтобы
уменьша
лось
должно
быть
нуля
Рассмотрим
величину
величина
вторая
производная
),
которая
выпукла
�0,
значит
может
быть
отрицательной
если
значит
качестве
выбрать
столбец
строку
надо
выбрать
для
которой
числяется
величина
Пример
11122
6222min
Fxxxxxx
=−−o
xx
,
x
,
x
матрицы
которые
нам
нужны
1,1; 2;
;
; 2; 1; 3.
ABC
pnmN
===
====
условие
Таккера
определяемое
выражением
3434
111000
420101
240011
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
Перемножим
матрицы
получим
систему
121
xxy
,











1211
426
xxV
−−=
1221
240
xxV
−−=
Чтобы
записать
симплекс
таблицу
выразить
базисные
переменные
свободные
Для
получения
первого
базисного
решения
используется
любой
метод
метод
Гаусса
использовать
метод
искусст
базиса
который
использует
симплекс
процедуру
Затем
нужно
получить
опорное
только
после
этого
записать
модифици
симплекс
таблицу
Для
простых
задач
подобрать
первое
базисное
так
чтобы
сразу
получить
опорное
решение
свободные
члены
� 0).
нашего
примера
112
YXX
=−−
1121
642
XXV
=−
2121
666
VXXV
=−
симплекс
таблицы
методу
Баранкина
Дорфмана
-1
-6
-4 2
6 1
24 -14 4 2
-20
Таблица
37
-2
1/6
2/3 -2 1/3
41 -6 1
1/2
-8
-1/6 1/6
-1/6
Таблица
38
(
Примечание
Алгоритм
симплекс
преобразования
аналогичен
рассмот
ренному
2,
только
генеральную
строку
столбец
отмечаем
строке
нижние
столбце
».
Порядок
строк
таблице
нельзя
первой
таблице
=24,
второй
4.
Чтобы
вычислять
всю
таблицу
для
следующей
таблицы
формуле
= 2*4+1/2
значит
следующая
оптимальная
Вычислим
необхо
элементы
свободные
члены
),
получим
=3/2;
Оптимальное
значение
= -11/2.
Недостаток
метода
иногда
встречаются
задачи
когда
все
�0.
Значит
переходить
новую
вершину
значение
будет
увеличиваться
этом
случае
временное
ухудшение
проходим
через
мɺртвую
»).
методе
Вульфа
это
учтено
[1,7,12,16].
6.9.
Методы
возможных
направлений
Наиболее
распространенным
классом
методов
решения
выпуклых
задач
НЛП
являются
градиентные
методы
которые
отличаются
способом
последующей
так
способом
обработки
ограничений
методах
возможных
направлений
переход
k+1
ществляется
направлению
вдоль
градиента
При
этом
движение
вдоль
должно
быть
таким
что
точка
принадлежала
допустимых
решений
Направление
удовлетворяющее
этому
ловию
называется
возможным
допустимым
kkk
XSD
=−∈
(6.13)
Таких
направлений
множество
среди
возможных
направлений
такое
для
которого
скалярное
произведение
градиентов
точке
этого
правления
больше
нуля
задачи
минимизации
нуля
Такое
называется
подходящим
Таких
направлений
общем
случае
множество
Зойтендейк
предложил
выбирать
которое
максимально
увеличивает
значение
целевой
функции
Рассмотрим
задачу
выпуклого
НЛП
, (6.14)
.
(6.15)
Обозначим
область
допустимых
решений
начальная
точка
единственное
решение
задачи
*.


УдΣлеβ
УдΣле
УдΣлеβ
Переход
точки
(k+
осуществляют
такому
направлению
(k)
чтобы

Обозначим
градиенты
функций
F(X)
точке
соот
ветственно
Обозначим
множество
индексов
таких
что
(X)=0; I(X)
указывает
ограничений
выполняющихся
точке
тивные
ограничения
).
Пусть
некоторый
вектор
выполня
ется
неравенство
Знак
(•)’
обозначает
транспортированный
вектор
матрицу
).
определить
сначала
ределим
уравнения
решения


уравнения
,S)=0 (
если
нет
Таким
образом
выбирается
условия
области
условия
попадания
точку
экстремума
Тогда
если

Направление
удовлетворяющее
условию
(6.15),
называют
возможным
допустимым
точке
возможных
для
которого
кроме
выполняется
условие
называется
подходящим
как
движении
этом
направлении
значения
целевой
функции
выходя
D (
для
задачи
минимум
находится
направление
подходящих
направлений
которое
обеспечивает
максимально
возможное
увеличение
целевой
функции
шаге
решается
вспомогательная
задача
, (6.16)
. (6.17)
нормализации
длины
вектора
используют
следующие
условия
Видно
условие
уже
содержится
Точка
является
как
только
тендейка
можно
применять
для
любых
функций
F(x
дать
решения
чис
шагов
задачи
квад
программирования
использованием
сопряженности
обес
печить
сходимость
конечное
число
шагов
Рассмотрим
этот
случай
Если
есть
внутренняя
искомое
должно
удовлетворять
помимо
ловия
нормировки
еще
одному
условию
сопряженности
положительно
полуопределенная
матрица
квад
ратичной
задачи
квадратичного
программирования
, (6.18)
(6.19)
Если
для
определения
(k-1)
такое
условие
уже
тается
условия
имеют
вид
Сопряженность
последующего
направления
предыдущему
обеспечива
конечность
шагов
поиске
для
задачи
квадратичного
граммирования
Это
условие
позволяет
совместить
траекторию
движения
поверхности
целевой
функции
Рассмотрим
нормирующими
условиями
для
задачи
квадра
тичного
программирования
(6.18), (6.19).
нее
Длина
очередного
шага
определяется
соотношения
Величина
определяется
условия
попадания
экстремум
Подставим
выражение
градиента
получим
Отсюда
получаем
Величина
всегда
равна
1.
рис
.42
изображена
иллюстрация
поиска
примера
решения
неквадратичных
задач
НЛП
принцип
сопряженности
уже
применим
построения
сходящегося
решению
приходится
менять
процедуру
изменения
Рассмотрим
такой
алгоритм
направлений
Зойтендейка
выборе
подходящего
направления
принимать
внимание
только
ограничения
данной
точке
выполняются
точно
ые
выполняются
почти
точно
».
противном
случае
может
измельчаться
вдали
точки
минимума
Для

ределим
теперь
активное
множество
i,
которых
также
i=0,
целевая
функция
).
точке
для
получения
следующей
точки
соответствии
методом
Зойтендейка
необходимо
выполнить
условия
невыхода
нормировки
вектора
условия
большего
возрастания
убывания
задачи
мини
мум
функции
алгоритме
излагаемом
ниже
последнее
требование
менятся
требованием
выбора
направления
имеющего
наибольший
угол
каса
тельным
ограничениями
вблизи
точки
(k)
дает
возможность
двигаться
шагом
выходя
этого
шага
выбирается
наибольшего
увеличения
уменьшения
).
качестве
нормировки
выберем
Тогда
для
задачи
минимизации
для
заданного
точке
ходимо
определить
величину
условия

-–
градиент
F(X).
Более
подробно
алгоритм
решение
примеры
можно
найти
[7, 16].
6.10.
Метод
проекции
градиента
каждой
итерации
этого
предусмотрена
процедура
возврата
очередного
приближения
градиентного
спуска
допустимое
множество
если
Такой
возврат
производится
посредством
замены
ближай
шую
точку
множества
Определение
Пусть
заданы
замкнутое
множество
точка
Точка
называется
проекцией
если

расстояние
между
точками
пространстве
Очевидно
для
проекция
совпадает
z.
Таким
образом
проекции
последовательные
прибли
жения
точке
минимума
целевой
функции
f(x)
множестве
ляются
формулам
(6.20)
. 43
зависимости
способа
вычисления
(6.20)
различают
несколько
вариантов
проекции
градиента
самыми
распространенными
кото
рых
являются
следующие
находится
как
методе
наискорейшего
спуска
безусловной
мини

предположении
градиент
функции
удовлетворяет
условию
Липшица
(6.21)
для
полагают
произвольное
число
интервала
0;2/L
).
Если
известна
минимальная
константа
Липшица
(6.21),
выбирают
как
=1/L
Вычисления
формуле
завершаются
выполнении
одного
неравенств

величина
ределяет
точность
решения
задачи
Окончательно
Отметим
определение
проекции
точки
является
самостоятельной
задачей
нелинейного
программирования
,
(6.22)
решение
которой
вызвать
затруднения
частном
случае
когда
множество
лишь
линейными
раничениями
задача
представляет
собой
задачу
квадратичного
про
граммирования
решение
может
быть
найдено
число
шагов
выше
(Z)
Особый
интерес
использовании
метода
проекции
градиента
пред
ставляют
такие
множества
для
которых
задача
проектирования
(6.22)
шается
явном
виде
шар
параллелепипед
Иногда
примере
шаром
нахождение
кратчайшего
расстояния
приводит
задаче
условный
экстремум
3434
−−=
jj
RX
ZX
0 ;0
;
случае
шаром
∉>
∈≤
UZRZ
ZR
UZRZZ
ZP
;
,
;
,
Если
область
допустимых
решений
параллелепипед
проекция
точки
определяется
очень
просто
Пусть
определяется
условиями
Если
только
координат
[,]
Xab
остальные
нет
екцией
параллелепипед
будет
точка
ребре
Если
две
координат
принадлежат
области
[,]
jjj
Xab
[,]
kkk
Xab
параллелепипед
будет
точка
грани
).
Если
координаты
111222333
[,],[,],[,]
XabXabXab
параллелепипед
будет
вершине
6.11.
Методы
штрафных
барьерных
функций
Идея
методов
штрафных
барьерных
функций
заключается
что
исходная
задача
ограничениями
заменяется
последовательностью
дач
безусловной
оптимизации
без
счет
функции
учитывающей
невыполнение
ограничений
штрафа
(X)=F(X)+ P(X),
F(X)
функция
P(X
функция
равная
идеале
F(X)
ласти
допустимых
решений
равная
бесконечности
этой
области
Практически
P(X)
подбирается
последовательность
функций
),
зависящих
чтобы
(X)=P(X
при
рис
b)
показано
решение
задачи
F(x)
min, axb.
методах
штрафных
функций
последовательность
стремится
решению
допустимой
области
функции
штрафа
изменяются
вне
области
поэтому
они
называют
методами
внешней
точкой
).
методах
барьерных
функций
функция
P(X)
аппроксимируется
барьерными
функциями
изнутри
области
для
них
являются
барьером
этому
методы
называются
внутренней
точкой
рис
Рассмотрим
метод
штрафных
функций
задачи
НЛП
F(X)
min, X
эту
задачу
последовательностью
задач
безус
ловной
(X)=F(X) + P
(X)
min,
1,2,3,…,
(6.23)
функции
которые
ростом
все
большей
степени
учиты
ограничения
определяемые
допустимым
множеством
дачи
методе
штрафных
функций
функции
подбираются
чтобы
больших
функция
отличалась
F(X)
быстро
возрастала
при
удалении
точки
допустимого
множества
Последова
тельностью
штрафных
функций
называется
последователь
ность
функций
(X)}
обладающих
свойством

. 46
0,,
lim()
если
еслиХ
∞∉
Рассмотрим
вариантов
штрафных
функций
задачи
нелинейного
программирования
F(X)
min
(6.24)
mliXg
liXg
,...,1,0)(
,...,1,0)(
=≤
==
считая
что
функции
F(X)
i=1,…,m
заданы
всем
пространстве
Положим
(X)= kp(X), k=1,2,3,…
(6.25)
(x)+
i+(x)]
i
1 i=l+1
),(
,0
)(
Xgi
Xg
.0)(
,0)(
Xg
Xg
Равенство
определяет
последовательность
штрафных
функций
пустимого
множества
исходной
задачи
!).
При
определенных
условиях
последовательность
решений
задач
безус
ловной
(6.23), (6.25)
сходится
решению
задачи
(6.24),
этому
достаточно
больших
полагают
x*=x
(k)
, F*=F(X
(k)
Критерием
достижения
точности
задачи
(6.24)
служить
неравенство
||X
(k)
(k/2)
�0 –
число
характеризующее
точность
четное
число
Если
задаче
(6.24)
F(X)
выпуклая
квадратичная
функция
(X),
=1,
функции
точное
решение
вспомогательной
задачи
(6.23)
можно
найти
системы
линейных
уравнений
=0,
j=1, … , n,
определяющих
стационарную
точку
функции
(X).
Пример
Минимизировать
21
xx
ограничениях
.0
,01
212
211
≤−−≡
≤−≡
xxg
xxg
качестве
функции
применим
следующее
,2/)()(
ii
ii
gggp
=
)(
)(
xgpXp
ii
)=k
).(
Xp
21
21
21
21
21
)1
)(
−−−−
−−
−=
xxxx
xxxx
kxxXC
будет
функцией
минимизируемой
методом
внешней
точки
Значение
)(
kx
для
примера
Таблица
39
)(
kx
)(
kx
1,0 0,89 0,64
2,0 0,77 0,62
3,0 0,73 0,61
10,0 0,67 0,58
оптимум
32
33
таблице
приведены
значения
)(
kx
для
четырɺх
различных
значений
рисунка
возрастании
приближаются
оптимуму
недопустимой
области
Методы
внешней
точки
существенно
отличаются
друг
друга
только
одном
них
движение
происходит
допусти
области
другом
недопустимой
Метод
барьерных
методе
барьерных
функций
задача
также
сводится
следовательности
задач
безусловной
минимизации
выбираются
таким
образом
чтобы
при
больших
функции
(X)
(6.23)
отличались
F(X)
внутренних
точках
допустимого
множества
время
приближении
точки
границе
множества
эти
функции
должны
неограниченно
возрастать
Определение
задано
Последовательность
функций
)}({
XP
определенных
внутренних
точках
множества
называется
последовательностью
барьерных
функций
этого
если
выполняются
условия
0)(lim
∞o
XP
kk
для
любой
фиксированной
внутренней
точки
мно
U.
2.
∞=
∞o
)(lim
)(
kr
XP
любой
последовательности
}{
)(
внутрен
точек
множества
сходящейся
какой
граничной
точке
множества
Рассмотрим
некоторые
варианты
барьерных
функций
следующей
задачи
нелинейного
программирования
F(X)
min
....,1,0)(
miXg
=≤
(6.26)
Положим
),(
)(
Xp
XP
k=1, 2…
, (6.27)
xi
gXp
)(
)(
�k 0
(6.28)
14,2
1 +
3, … +

−−=
xi
Xp
)(
ln)(
(6.29)
Выражения
(6.27) – (6.29)
последовательности
барьерных
функций
допустимого
множества
задачи
(6.26) (
проверяйте
Пусть
задачи
безусловной
минимизации
(6.23),
функ
определена
равенствами
(6.27), (6.28)
или
(6.29).
Полагая
)(
)(*
)(
XFF
для
достаточно
большого
находим
приближен
решение
задачи
нелинейного
программирования
(6.24)
методом
барьер
функций
Для
контроля
достигнутой
точности
решения
исполь
зовать
критерий
(6.4).
Минимизировать
21
XX
при
ограничениях
≤−=
XXg
Xg
качестве
функции
возьмɺм
логарифмическую
функцию
Обозна
чим
1/k=r
Тогда
(X))=rp(X),
))(ln(
−−=
Xg
Xp
21
ln)
),(
XrXXrXXrXC
−−−=
Этот
простой
аналитически
учитывая
что
дважды
дифференцируема
Необходимые
условия
первого
порядка
прини
вид
)2(
1
=−
−
XX
Xr
1
−
XX
систему
получаем
811
)(
rX
±−
Поскольку
значение
)(
rX
быть
положительно
будем
рассмат
ривать
лишь
корень
811
)(
rX
−
Тогда
rX
−
)811(
)(
.
значения
удовлетворяют
достаточным
условиям
этому
дают
локальный
минимум
задачи
таблице
приведены
вычисленные
значения
четырɺх
различных
Этот
рисунке
минимизирующие
точки
приближаются
(0,0).
Значения
40
)(
rX
)(
rX
1,000 0,500 1,250
0,500 0,309 0,595
0,250 0,183 0,283
0,100 0,085 0,107
этой
задаче
каждом
значении
существует
один
локальный
минимум
происходит
потому
исходная
задача
имела
единст
венное
решение
Оказывается
задачах
многими
локальными
мини
мумами
выполнении
вышеупомянутого
условия
регулярности
Слейте
существует
последовательность
безусловных
локальных
минимумов
сходящаяся
каждому
условных
локальных
минимумов
[24,1,12,22].
. 48
показан
решения
задачи
безусловной
гарифмической
функции
Допустимая
область
заштрихована
6.12.
Метод
скользящего
допуска
Метод
скользящего
допуска
применяется
постановке
задачи
нелинейного
программирования
Минимизировать
XF
ЕХ
ограничениях
0)(
0)(
Xg
Xh

pmi
mi
,...,1
,....,1
=
функции
XF
)(),(
XgXh
могут
быть
линейные
линейные
скользящего
допуска
позволяет
улучшить
значения
левой
функции
счет
информации
получаемой
допустимых
пространства
решения
так
счет
которую
удается
получить
прохождения
через
точки
вне
допустимой
близкие
допустимым
Интервалы
пределах
которых
чки
считать
почти
допустимыми
ходе
постепенно
сокращаются
так
что
пределе
приближения
искомому
решению
учитываются
только
допустимые
точки
качестве
получения
последовательности
улучшающих
значение
целевой
функции
используется
Нелдера
Мида
.6.4).
такой
стратегии
задачу
заменить
более
простой
имеющей
самое
задачей
минимизации
XF
ЕХ
ограничениях
0)(
)(
≥−
ХТФ
)(
значение
критерия
скользящего
допуска
)(
ХТ
мера
степени
нарушения
ограничений
рассматриваемой
задачи
качестве
выбирают
положительно
определенную
убывающую
функ
координат
вершин
деформируемого
многогранника
Мида
Функция
служит
критерием
допуска
для
нарушения
ограничений
зада
процедуры
оптимизации
Варианты
выбора
многочисленны
tm
XX
)1(2
,min
)0(
)(
)(
)1(
)(
=
размер
исходного
многогранника
например
высоты
число
ограничений
равенств
)(
вершины
многогранника
n-m
) -
число
степеней
свободы
целевой
функции
XF
)(
вектор
задающий
центр
тяжести
многогранника
приближения
оптимальной
точке
)(
устремляется
нулю
сверху
».
пределе
многогранник
деформируется
точку
0lim
)(
xx
Функционал
2/1
)(
)()(
¦¦
=
XgUXhXT
mi
ii
0)(
Xg
0)(
Xg
0)(
XT
EX
Если
0)(
)(
XT
)(
допустима
если
0)(
)(
XT
)(
допустима
)()(
)(
XT
)(
почти
допустима
)()(
)(0
XT
≤≤
условие
допустимости
Общая
схема
выглядит
при
заданном
)(
точке
)1(
быть
варианта
)()1(
ФХТ
перемещение
считается
разрешенным
)()1(
ФХТ
необходимо
найти
другую
точку
)1(
ближе
допустимой
области
чтобы
)(
)1(
ХТ
уменьшилась
Для
этого
горитме
Нелдера
считать
точку
или
возвращать
ближайшую
границу
влияет
сходимость
алгоритма
так
как
заключительных
поиска
)(
являются
внутренними
0)(
)(
ХТ
является
граничной
точкой
вдоль
границы
происхо
счет
улучшения
)(
XF
условии
0)(
)(
)(
≥−
ХТФ
Степень
нарушения
ограничений
приближения
уменьшается
моменту
прекращения
оптимизационного
выполняются
усло
.0)(
)()(
)(
)(
)(
≥−
±≤
XT
XFXF
ОСОБЕННОСТИ
СОВРЕМЕННОЙ
ПРИНЯТИЯ
ОПТИМАЛЬНЫХ
Методы
поиска
оптимальных
решений
рассматриваются
разделах
тематики
методах
оптимизации
),
исследования
операций
математическом
программировании
классическом
понимании
связаны
поиском
экстре
мумов
функций
функционалов
функциональных
ограничениях
Решение
здесь
математический
объект
Причɺм
здесь
вопросы
критериев
многих
изучение
того
почему
такой
критерий
итать
изучается
критериях
спорят
!).
практике
задача
выбора
решения
намного
сложнее
некоторых
задачах
сами
варианты
проведения
операций
представляют
собой
небольшое
число
отдельных
альтернатив
всегда
однородных
Например
вариант
строить
большой
завод
вариант
строить
большой
завод
потом
производство
Поэтому
теории
нятия
решений
ТПР
рассматривается
как
самостоятельный
вопрос
дания
множества
альтернатив
котором
ищется
оптимальное
решение
многих
задачах
множество
альтернатив
ясно
самого
начала
альтернативы
шахматы
Поэтому
ТПР
говорят
нерации
альтернатив
процессе
решения
задачи
При
игре
шахматы
приходится
генерировать
альтернативы
процессе
игры
оценивать
Оценка
ценности
альтернативы
случаях
сводится
простому
сравнению
количественного
параметра
сравнению
связи
этим
применяют
специальные
измерения
полезно
альтернатив
большом
числе
практических
задач
системы
или
могут
быть
оценены
единственным
показателем
эффективности
Сами
системы
являются
очень
часто
многоцелевыми
Вот
почему
критерий
быть
скалярной
величиной
является
вектором
Оказывается
что
когда
одному
показателю
один
вариант
лучше
другому
заться
хуже
поэтому
сравнения
Этот
раздел
современной
называют
многокритериальной
векторной
мизацией
5.
многих
задачах
особенно
задачах
автоматизации
управления
сутствуют
называемые
нечɺткие
переменные
нечеткие
критерии
Появляется
специальный
раздел
решений
расплывча
ситуациях
котором
рассматриваются
вопросы
человекоподобно
информации
для
принятия
решения
создаются
автома
тизированные
экспертные
системы
принятия
решений
Иногда
встречаются
задачи
которых
присутствуют
несколько
сторон
преследующих
разные
интересы
боевые
действия
дарств
конкурирующие
фирмы
),
которые
принимают
решения
1 +
3, … +
системе
Такие
ситуации
называются
конфликтными
Модель
принятия
принцип
оптимальности
этих
случаях
является
совершенно
иными
рассмотренных
задачах
математического
граммирования
Этими
вопросами
занимается
теория
игр
7.
практике
решения
приводят
принимать
сле
дующие
решения
изучать
многоэтапные
том
числе
условиях
случайных
возмущений
При
принятии
условиях
поставить
задачу
устранения
части
неопределенности
счет
проведения
эксперимента
».
Например
это
выражается
виде
военной
или
экономической
),
метеонаблюдений
радиолокации
многих
задачах
принимаются
так
называемые
групповые
при
этом
альтернативы
оцениваются
группой
экспертов
специалистов
данной
предметной
области
основе
такой
экспертизы
путем
обработки
экспертных
данных
принимать
решения
слу
чаях
когда
альтернативы
трудно
формализуемы
Такой
метод
получил
название
метода
экспертных
оценок
10.
Вот
почему
современная
принятия
решений
представляет
собой
всей
методологии
получения
решений
самых
общих
практически
случаях
критериев
неопределɺнность
принципа
оптимальности
нечɺткость
ценности
условия
неповторимость
ситуации
логика
предпочтений
между
альтер
нативами
другое
).
Сказанное
характерно
для
анализа
оптимальных
решений
построе
современных
автоматизированных
систем
управления
экспертных
сис
7.1.
Общая
постановка
задачи
принятия
решения
Задачей
принятия
назовɺм
пару
где
риантов
принцип
оптимальности
Решением
задачи
является
полученное
принципа
оптимальности
сутствие
хотя
элементов
лишает
смысла
задачи
Если
чего
выделять
нет
найти
невозможно
Матема
тическим
выражением
принципа
оптимальности
служит
функция
выбора
Она
сопоставляет
любому
подмножеству
Решени
исходной
задачи
является
).
Задачи
принятия
различаются
зависимости
имеющейся
информации
принципе
оптимальности
P.
задаче
принятия
решений
P
могут
быть
неизвестными
Информацию
необходимую
для
выделения
получают
Задачу
известными
называют
задачей
задачу
извест
общей
задачей
оптимизации
Таким
образом
задача
выбора
задача
оптимизации
являются
частными
случаями
общей
задачи
принятия
решений
случае
задачи
выбора
необязательно
необходимо
восстановление
принципа
оптимальности
можно
ограничиться
только
достаточной
выделения
Общая
задача
оптимизации
обязательно
требует
минимизации
одной
нескольких
числовых
функций
как
быть
что
другим
способом
выделяется
множество
луч
элементов
есть
выделяются
значения
заданных
скалярная
функция
множестве
получаем
обычную
оптимиза
ционную
задачу
Элементы
множества
называются
альтернативами
или
вариантами
Принцип
оптимальности
задаɺт
понятие
лучших
альтернатив
лучшими
считают
альтернативы
принадлежащие
).
практических
задачах
тернативы
обладают
многими
свойствами
оказывающими
влияние
реше
ние
некоторое
свойство
альтернатив
выражается
числом
есть
существует
отображение
Тогда
такое
свойство
называется
крите
число
альтернативы
критерию
Одновременный
учɺт
свойств
быть
затруднительным
При
можно
выделить
группы
свойств
которые
агрегируют
аспектов
Аспект
свойство
альтернатив
которое
одновременно
учитывает
все
свойства
дящих
группу
частном
случае
аспект
являться
критерием
свойства
, …, k
учитываемые
при
решении
задач
ляются
критериями
Критериальным
пространством
называют
пространство
координаты
которого
есть
оценки
соответствующих
критериев
Пример
определении
маршрута
перевозок
альтернативы
маршруты
Диспетчер
свойства
протяженность
загрузка
энергоɺмкость
безопасность
обслуживание
другое
Техническое
обслуживание
число
станций
сроки
монтных
работ
далее
Следовательно
техническое
обслуживание
аспект
маршрута
состоит
стоимости
топлива
обслуживания
аспект
стоимость
можно
вычислить
критерий
будет
всегда
Сформулируем
схему
процесса
принятия
решения
Формируется
множество
его
подготавливают
для
последующего
задачи
выбора
назначении
должность
сначала
готовят
список
кандидатов
затем
назначают
этого
списка
).
формирования
условия
возможности
допустимости
альтернатив
которые
конкретными
ограничениями
задачи
этом
считают
универсальное
множество
альтернатив
Таким
образом
задача
мирования
является
задачей
выбора
) ,
принцип
ности
выражающий
условия
допустимости
Множество
полученное
результате
называют
ходным
множеством
альтернатив
ИМА
специалисты
специалисты
удовлетворяющие
требованиям
).
Таким
образом
общая
задача
принятия
решения
сводится
решению
двух
последовательных
задач
выбора
процессе
решения
участвует
принимающее
решение
ЛПР
),
перты
консультанты
имеющий
служит
мотивом
постановки
задачи
полномочия
ответственность
Основная
функция
ЛПР
выде
лять
даɺт
информацию
принципе
оптимальности
P.
Эксперт
несɺт
ответственности
даɺт
оценки
альтернатив
необхо
димые
формирования
решения
задачи
выбора
Консультант
специалист
выбора
разрабатывает
процедуру
принятия
решений
организует
работу
экспертов
простейшем
случае
задачу
, P)
решает
непосредственно
ЛПР
результаты
еют
вид
алгоритмов
решения
задач
Часть
алгоритмов
быть
реализована
вручную
основная
часть
ентирована
работы
ЭВМ
или
применение
экс
пертных
системах
Классификация
задач
принятия
решений
классификации
задач
принятия
решений
представим
более
задачу
виде
семɺрки
= (
K, S , F , G , P
).
Описание
предметной
области
которой
принимается
решение
Множество
альтернатив
Множество
критериев
оценки
альтернатив
Множество
измерения
критериям
Отображение
множества
альтернатив
критериев
оценок
стема
предпочтений
Решающее
отображающее
систему
предпочтений
Любой
элементов
этой
семɺрки
классификационным
задач
Однако
основном
классификации
используются
тип
отображения
мощность
множества
системы
предпочтений
характеристики
области
допустимых
решений
Отображение
множество
критериальных
оценок
быть
детер
минированным
. 49),
вероятностным
. 50)
Поэтому
задачи
принятия
решений
можно
разделить
определɺнности
риска
неопределɺнности
условиях
определɺнно
предполагает
детерминиро
ванное
взаимно
ответствие
условиях
соответ
ствует
вероятностному
отображе
нию
условиях
неопределɺн
предполагает
соответст
Рис
Если
скаляр
это
однокритериальная
задача
вектор
это
задача
многокритериальной
векторной
оптимизации
Отметим
что
задача
скалярным
критерием
является
тривиальной
задачей
оптимизации
случае
детерминированного
отображения
только
решающий
элемент
имеет
дело
вероятностном
характере
отображения
априори
неизвестном
неопределɺнном
дача
скалярным
сразу
перестаɺт
быть
тривиальной
52):
выбор
одном
критерии
определɺнности
выбор
одном
критерии
условиях
риска
K
k=F(X)
k=F(x)
)
)
7.3.
Многокритериальная
оптимизация
главах
1-6
рассмотрели
задачи
которых
требуется
выбрать
доставляющее
максимум
минимум
единственного
показателя
фективности
критерия
практике
часто
возникает
случай
когда
эффек
тивность
операции
приходится
оценивать
одному
сразу
несколь
Примеры
Оценка
деятельности
завода
прибыль
средняя
зарплата
объем
водственных
Оценка
студента
оценки
предметам
Военная
операция
вероятность
выполнения
задачи
Одни
этих
показателей
необходимо
сделать
больше
другие
меньше
Как
эффективность
больших
объему
сложных
операций
также
сложных
многоцелевых
систем
быть
исчерпывающим
образом
охарактеризована
показателя
приходится
привлекать
другие
дополнительные
показатели
особенностью
яется
требования
реальных
системах
несовместимы
или
противоречивы
Как
правило
требование
max
обращает
максимум
минимум
другие
, …
Поэтому
широко
распространɺнная
формули
ровка
достижения
максимального
эффекта
минимальных
затратах
ляется
некорректной
Корректными
являются
следующие
формулировки
1.
Достижение
максимального
при
заданных
затратах
2.
Достижение
заданного
эффекта
минимальных
затратах
удобства
сравнения
значений
векторов
удобно
предварительно
привести
все
показатели
стандартному
все
минимизировались
чтобы
они
безразмер
масштаб
измерения
Векторный
критерий
считается
стандартным
если
удовлетворяет
условию

0,
меньше
тем
лучше
операция
сис
тема
).
Таким
образом
идеальной
является
система
которой
Нестан
дартный
показатель
привести
стандартному
Если
max,
max
- k
Если
max
=1
Стандартный
критерий
можно
задать
виде
отношения
=(1 –
),
идеальное
значение
критерия
значение
max
При
этом
мерном
пространстве
задаɺтся
компонен
изменяется
1.
Полностью
идеальной
системе
соответст
вует
=0.
Прежде
всего
анализ
векторов
соответствующих
альтернативам
допустимых
альтернатив
позволяет
заранее
отбросить
явно
нерацио
варианты
решений
уступающие
лучшим
вариантам
всем
показа
телям
векторной
тимизации
называется
безусловной
цией
анализируется
боевая
операция
оцениваемая
двум
показате
вероятность
выполнения
боевой
задачи
стоимость
израсходованных
средств
Очевидно
первый
показателей
обратить
максимум
второй
минимум
Пусть
предлагается
выбор
конечное
число
различных
вариантов
решения
обозначим
, ...,
Для
известны
чения
Изобразим
каждый
вариант
виде
точки
плоскости
координатами
Когда
пробегают
ОДР
точки
заполняют
пространство
. 53
если
некоторая
операция
несколькими
критериями
каждое
которых
число
такая
задача
называется
задачей
многокритери
векторной
оптимизации
Для
стандартных
k
эта
задача
имеет
(,)
min,
(,)0,1...
Aim
Существует
принципиальная
трудность
объективной
безусловной
оценке
альтернатив
при
двух
более
критериях
связана
сравнения
двух
векторов
Безусловным
критерием
предпочтения
называют
критерий
основанный
сравнении
компонент
вектора
Два
вектора
критериев
безусловно
сравнимы
если
для
любой
компоненты
выполняются
неравенст
� =
,
=1, 2, 3, …,
min,
альтернатива
безусловно
предпочтительнее
Это
означает
что
быть
оптимальной
поэтому
должна
отброшена
знаки
неравенств
различных
различны
такие
альтернативы
безусловно
несравнимы
смотрим
пример
Необходимо
выбрать
лучших
успеваемости
студентов
Критериями
служат
O, P.
M N O P
4 4 5 3
5 5 4 3
4 5 3 3
5 4 5 4
4 5 4 3
Проведем
безусловное
сравнение
векторов
оценок
Студент
срав
безусловно
хуже
отбросим
безусловно
хуже
безусловно
хуже
отбросим
альтернативы
которые
безусловно
несравнимы
Определение
Множество
безусловно
несравнимых
альтернатив
остав
шихся
после
отбрасывания
всех
безусловно
худших
ьтернатив
называется
Парето
Парето
оптимальное
множество
еще
называют
обла
стью
компромиссов
Ясно
множество
Парето
получить
анализа
критериального
пространства
Таким
образом
векторная
оптимизация
включает
Безусловная
оптимизация
анализируется
критериальное
странство
отсеиваются
безусловно
худшие
варианты
получают
множество
Парето
Условная
оптимизация
множество
Парето
правило
стоит
более
одной
точки
для
получения
единственного
решения
применить
дополнительные
принципы
оптимальности
условия
согласования
критериев
).
7.4.
Определение
множества
Парето
Если
целевая
функция
векторная
функция
векторного
аргумента
малому
изменению
переменных
соответствует
изменение
каж
критерия
пространство
область
внутренними
точками
границей
обязательно
замкнутая
Пусть
есть
только
два
терия
max;
max.
Рассмотрим
возмож
значений
критериев
. 54).
точки
лежащих
вертикали
одной
зонтали
всегда
безусловно
срав
нимы
точки
1, 2, 3).
Получается
все
внутренние
точки
можно
Дуга
состоит
критерию
стоянном
часть
точек
дуги
именно
точки
дуги
отбросить
как
хуже
точек
B.
Поэтому
множества
Парето
являться
точки
находящиеся
дуге
CB.
При
анализе
характерными
являются
точки
касания
вертикалей
горизонталей
области
критериев
точки
, D).
Существует
несколько
алгоритмов
нахождения
множества
Парето
Они
исят
того
каком
виде
задано
множество
вариантов
критериев
практических
задачах
сначала
приходится
получать
само
затем
получать
множество
Парето
критериальном
пространстве
только
затем
Парето
оптимальное
множество
области
допустимых
X.
Существуют
два
основных
нахождения
множества
Парето
обхода
Этот
метод
применяется
для
непрерывной
области
Назовем
пространственный
образуемый
лучами
идущими
общей
вершины
ограниченными
плоскости
углом
ограничивающих
лучей
соответствует
направлению
оптимизации
,
Пусть
критериев
max
min (
тогда
конус
имеет
изображенный
рисунке
получения
множества
Парето
установить
вершину
нуса
границы
критериев
пересекает
точке
Парето
min,
min
Множество
Парето
: [AB]
(CD]
Метод
прямоугольников
Этот
метод
применяют
критериальное
пространство
представляет
собой
отдельные
точки
или
табличные
значения
Сформулируем
алгоритм
для
случая
двух
критериев
когда
min
min,
критериальное
пространство
точки
плоскости
Фиксируем
самые
левые
точки
если
несколько
выбираем
самую
Эта
точка
является
точкой
Парето
фиксируем
Выберем
самую
нижнюю
точку
если
несколько
выбираем
левую
Это
точка
фиксируем
Через
полученные
точки
проводим
горизонталь
брасы
сами
точки
Парето
точки
лежащие
границе
полученного
угольника
точки
вне
прямоугольника
внутренним
точкам
полученного
прямоугольника
ритм
пункта
Алгоритм
заканчивается
когда
внутри
прямоугольника
останется
Множество
Парето
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Вышеизложенный
алгоритм
обобщается
случай
большего
числа
критериев
других
направлениях
оптимиза
ции
также
случай
задания
критериев
7.5.
Методы
условной
многокритериальной
оптимизации
После
нахождения
множества
Парето
если
количество
точек
нɺм
2,
встаɺт
вопрос
выборе
единственного
решения
точки
множестве
Парето
обладают
таким
свойством
них
лучше
одному
терию
другому
объективно
предпочесть
точки
Условная
оптимизация
предполагает
введение
условия
согласованности
компонентах
критерия
которое
является
хотя
разумным
субъек
тивным
Подобные
условия
еще
называют
схемой
компромиссов
Рассмот
несколько
простейших
Принцип
критериев
Рассматривают
множество
Парето
стандартных
критериев
Тогда
оптимальной
считается
точка
Парето
рисунок
58).
Принцип
влияния
Здесь
оптимальной
считается
точка
множест
Парето
являющаяся
точкой
касания
min
области
Парето
точка
рисунок
Принцип
минимакса
Оптимальной
считается
точка
множества
Парето
обеспечивается
minmax
5).
Кроме
указанных
простейших
приемов
применяются
более
сложные
Рис
Рис
Метод
Здесь
формируется
некоторая
скалярная
функ
переменных
012
,,,
fKKK
скалярная
величина
которая
обобщает
все
критерии
Наиболее
распространɺнной
разновидностью
функции
является
линейная
функция
min(max)
компоненты
критерия
величина
больше
большее
влияние
оказывает
этот
критерий
Для
нестандартных
критериев
могут
иметь
размерность
причем
если
max,
0,
когда
min,
0.
Подобная
комплексная
оценка
зачастую
затруднительна
часто
используют
другие
способы
искусственного
объединения
скольких
показателей
обобщɺнный
показатель
критерий
).
качестве
обобщɺнного
критерия
например
берут
m+1
... k
увеличиваются
m+1..
уменьшаются
Вольное
использование
подобных
критериев
чревато
опасностями
привести
неправильным
рекомендациям
Общим
недостатком
составных
критериев
является
что
недостаток
эффективности
одному
показателю
всегда
можно
скомпенсировать
другого
малую
вероятность
выполнения
боевой
задачи
счɺт
расхода
боеприпасов
.).
этот
счет
шутка
лстого
что
если
представить
оценку
виде
дроби
Достоинствочеловека
Мнениеосебе
получить
самую
высокую
случае
Малодостоинств
Нетмненияосебе
Метод
главного
критерия
этом
методе
сначала
выбирают
главный
критерий
объявляют
единственным
критерием
остальные
крите
рии
становятся
управляемыми
переменными
которые
накладываются
раничения
они
были
заданной
величины
Например
если
min
главный
получаем
однокритериальную
задачу
матема
тического
программирования
f ( X) –�
min
(X) 0, i = 1,2,3,…m,
(X)k
(X)k
, … , k
(X)k
Тогда
эти
ограничения
войдут
комплекс
заданных
условий
Например
промышленности
потребовать
прибыль
max,
ассортименту
выполнен
себестоимость
выше
заданной
При
бомбардировке
понесɺнный
противника
максимальный
тери
стоимость
операции
выходили
пределы
показатели
эффективности
переводятся
яд
Варианты
решения
укладывающиеся
границы
сразу
отбрасываются
недопустимые
Такой
чаще
используется
при
оптимизации
сложных
техни
ческих
систем
самолетов
автомобилей
бытовой
техники
.).
Метод
последовательных
уступок
Проранжируем
критерии
расположим
порядке
убывающей
важности
2 ….
Пусть
кри
терии
нужно
максимизировать
Сначала
отбросим
критерии
кроме
допустимое
решение
обращающее
максимум
Как
этом
другие
критерии
получают
своих
наилучших
значений
Поэтому
ходя
практических
соображений
точности
какой
данные
назначается
которую
согласны
допустить
для
чтобы
обратить
максимум
Наложим
ограничение
чтобы
был
меньше
максимально
возможное
значение
этом
ограничении
обращающее
максимум
снова
назначается
уступка
показателе
ценой
которой
максимум
1max111max
max,
kkkk
−Δ<<
втором
этапе
решаем
задачу
1max111max
2max222max
max,
kkkk
kkkk
−Δ<<
−Δ<≤
далее
Такой
способ
хорош
здесь
уступки
приобретается
выигрыш
другом
что
иногда
малом
«
свобода
выбора
позволяет
достичь
существенной
тимизации
зависит
вида
границы
критериального
пространства
рисунок
60).
успех
такого
метода
зависит
насколько
тупой
симум
Процедура
быть
повторена
других
4.
Метод
последовательной
оптимизации
некоторых
случаях
критерии
системы
слишком
связаны
друг
другом
улучшение
одного
критерия
мере
ограниченных
пределах
мешает
другому
Это
харак
для
сложных
систем
состоящих
отдельных
достаточно
автономных
подсистем
например
процессор
компьютера
система
электропитания
охлаждения
система
отображения
),
когда
критерии
относят
им
подсистемам
Расположим
убывания
ности
Сначала
оптимизируют
систему
важнейшему
отбросив
остальные
затем
второму
Следует
отметить
вышеприведенных
методах
используется
дура
упорядочения
критериев
важности
самостоятельная
является
достаточно
сложной
поэтому
решается
ве
методов
пертных
оценок
изложенных
10-
главе
1 max
k
'
2 max
max
ИГРОВЫЕ
МОДЕЛИ
Математические
модели
рассмотренные
выражают
стремление
получить
максимальный
результат
для
какой
одной
системы
страны
).
эта
система
состоит
каких
других
элементов
под
систем
),
считается
функции
совпадают
есть
системы
работают
многих
задачах
иходится
анализировать
ситуации
когда
присутствует
сторон
преследую
различные
интересы
боевые
действия
внешняя
эконо
мическая
деятельность
государств
многое
другое
переходе
рыноч
экономике
возникновении
конкуренции
как
основного
рычага
развития
экономики
постановка
задачи
отождествлением
целей
является
неполной
иногда
неправильной
Интересы
фирм
сталкиваются
одном
рыночном
пространстве
иногда
настолько
различны
конкуренция
обретает
форму
борьбы
поэтому
невозможно
оценить
результат
маемого
единообразно
Такого
рода
ситуации
называются
быть
описаны
моделями
которые
называются
Модели
конфликтных
ситуаций
присутствуют
несколько
сторон
следующих
различные
интересы
называются
игровыми
моделями
Игровая
представляет
собой
особый
для
принятия
Теория
описывающая
конфликтные
ситуации
количественной
стороны
называется
теорией
игр
8.1.
понятия
теории
Игра
математическая
ситуации
некоторая
упрощɺнная
схема
зафиксированы
участвующие
стороны
правила
развития
определɺнные
после
каждого
хода
правила
игры
этого
следует
что
основными
игровой
модели
являются
следую
элементы
могут
быть
более
стороны
называемые
игроками
кото
рые
преследуют
различные
интересы
игре
фиксируют
правила
возможные
игроков
ситуа
выигрыша
величина
остановки
игры
бывают
когда
есть
только
стороны
множествен
когда
участие
игре
принимают
три
более
сторон
бывают
коалиционные
когда
часть
игроков
соединяют
тересы
действуют
игрок
рассмотрим
только
парные
игры
моделиро
реальных
явлений
Результаты
анализа
таких
моделей
позволяют
мулировать
принципы
подходы
выработке
решений
конкуренции
:
:
5,65
парной
игре
игрока
: A –
это
B – «
противник
».
назы
ваются
антагонистическими
противоположными
интересами
если
рок
выигрывает
ровно
столько
сколько
проигрывает
B.
сумме
выигрыш
равен
0,
поэтому
такую
игру
называют
нулевой
сущест
вуют
также
парные
ненулевой
суммой
неантагонистические
).
Ходы
игре
могут
быть
личные
случайные
зависит
сознательного
стороны
случайный
результат
случайного
механизма
иногда
применяется
иногда
случайно
влекается
игру
проведения
игры
каждый
игрок
поведения
которые
называют
стратегиями
слу
стратегия
это
совокупность
правил
определяющих
выбор
антов
при
каждом
ходе
игрока
зависимости
сложив
ситуации
Применение
игре
стратегии
однозначно
определя
исход
Если
количество
стратегий
игра
конечная
про
случае
бесконечная
игра
игр
считается
повторя
ется
многократно
игроков
интересует
средний
выигрыш
теории
является
обоснование
оптимальных
стратегий
обоих
игроков
8.2.
Платежная
матрица
антагонистической
принцип
минимакса
считать
стратегий
B –
21
21
.B..........BB
A..........AA
41




. . .
применяет
стратегию
применяет
выигрыш
игре
составляет
старается
увеличивать
выигрыш
уменьшить
величину
образуют
матрицу
торая
называется
платежной
мат
Рассмотрим
пример
простейшей
прячется
двух
местах
II.
Игрок
местах
находит
платит
рубль
находит
платит
рубль
игроку
матрица
Таблица
42.
42
1 -1
Основой
анализа
является
матрицы
Поэтому
игры
для
которых
могут
быть
построены
платежные
матрицы
называются
матричными
полной
информацией
когда
один
игрок
знает
пил
второй
всегда
построить
платɺжную
матрицу
Основным
принципом
которым
необходимо
пользоваться
для
объектив
игровой
ситуации
является
следующий
противник
столько
разумен
делает
все
чтобы
использовать
свои
против
одействует
выборе
оптимального
решения
является
оптимальных
стратегий
обоих
Если
будет
любое
сколь
угодно
правило
II,
разгадает
этот
закон
чередования
выигрывать
Ниже
оптимальные
стратегии
игроков
смотрим
другие
примеры
игр
Игра
пальца
Таблица
43
2 -3 4
4 -5 6
Игрок
одновре
показывают
два
три
пальца
Выигрыш
равен
сум
причɺм
если
сумма
очков
четная
если
сумма
нечетная
Построим
тɺжную
матрицу
Игра
Конкуренты
Таблица
44
-2 -2 1
1 0 2
0 -1 1
Фирма
может
рынок
три
фирма
конкурирую
поставит
товар
фирма
результате
выигрыш
доходах
определяется
платежной
матрицей
Возникает
вопрос
основе
анализа
найти
оптимальное
понимать
оптимальным
решением
игры
Рассмотрим
так
называемый
принцип
минимакса
игроки
должны
действовать
разумной
осторожностью
чтобы
больше
всего
реагировали
для
ходы
стороны
противника
отношению
игроку
рассуждаем
так
что
если
применит
стратегию
зафиксировать
самый
плохой
для
него
выигрыш
= min
стратегии
= min
.,
далее
= min
естественно
игрок
выберет
стратегию
для
которой
чина
будет
максимальной
строкам
платежной
матрице
Величина
maxmin
называется
нижней
Она
показыва
меньше
какой
величины
будет
выигрыш
игрока
при
осторожном
игре
Аналогично
рассуждая
относительно
получаем
личины
максимальные
величины
столбцах
затем
maxmin
верхняя
Эта
величина
показывает
больше
какой
величины
рыш
Получим
значения
для
вышеприведенных
игр
Поиск
=1.
пальца
= -3;
Конкуренты
Эта
игра
обладает
седловой
как
максимин
совпадает
минимаксом
Принятие
стратегий
соответствующих
седловой
точке
взаи
моприемлемо
обоих
игроков
поэтому
принять
оптимальное
решение
Таким
образом
стратегий
является
оптималь
решением
Конкуренты
Оптимальный
выигрыш
этой
игре
зывается
ценой
равен
0.
игра
имеет
седловую
точку
что
игра
решается
чистых
стратегиях
соответствующее
седловой
обладает
свойством
устойчивости
игрок
примет
оптимальную
стратегию
другому
невыгодно
отклоняться
своей
оптимальной
стратегии
Проверьте
рассмотрев
строку
столбец
свойство
устойчивости
основу
понятия
оптимального
решения
игры
Решение
смешанных
стратегиях
верхняя
нижняя
цена
совпадают
равно
),
зна
чит
что
седловой
точки
нет
можно
улучшить
выигрыш
игроков
путем
смешивания
стратегий
значит
игрок
каждый
игру
чередует
свои
чистые
стратегии
21
A..........AA
Вопрос
состоит
какова
быть
доля
случаев
применения
стратегий
игроков
Назовем
смешанной
стратегией
игрока
вектор
21A
p,,p,pS
котором
показаны
вероятности
применения
соответствующих
стратегий
00,7;0,2;0,1;S
1p
1i
свойство
полноты
Аналогично
получаем
21B
q,,q,qS
чистая
стратегия
частный
случай
смешанной
страте
гии
0)1,0,(0,SA
A3
==
Справедлива
основная
теорема
любая
матричная
виде
смешанных
стратегий
игроков
S;S
дающих
оптимальное
значение
цены
игры
V*.
Это
оптимальное
решение
обладает
следующим
свойством
если
игрок
придерживается
своей
оптимальной
стратегии
другому
отклоняться
своей
оптимальной
страте
гии
8.4.
Упрощение
аналитическое
решение
Прежде
решать
необходимо
упростить
если
для
игры
построена
платежная
матрица
вычеркнуть
заведомо
невыгодные
стратегии
игроков
45
уступает
компонентам
уступает
метим
что
строки
лучше
если
элементы
больше
столбцы
лучше
если
элементы
меньше
Если
компоненте
стратегии
строка
хуже
другой
вычеркнуть
При
этом
решение
игры
упрощается
результате
остаются
такие
строки
столбцы
которые
нельзя
сравнить
Если
число
оставшихся
стратегий
хотя
одного
игрока
равно
м
игру
решить
аналитически
геометрически
Рассмотрим
игры
которых
каждого
игрока
лишь
стратегии
Если
седловой
точки
значит
что
все
стратегии
активны
какой
вероятностью
нулю
Справедлива
теорема
активных
стратегиях
если
один
игроков
держивается
своей
смешанной
стратегии
выигрыш
неизменным
равен
цене
независимо
того
делает
другой
рок
если
выходит
пределы
активных
стратегий
2
B
B
1
Пусть
применяем
оптималь
ную
смешанную
стратегию
S,
отклоняется
своей
стратегии
чистую
стратегию
46
свойству
игры
приведет
ухудшению
Пусть
S;S
величину
тогда
если
смешивает
одну
стратегию
выигрыш
который
получится
будет
математическому
ожиданию
=
>
>
,,S
21
222112
221111
pp
vpapa
vpapa
стратегии
основании
ремы
эту
систему
при
равенстве
первых
двух
строк
;)1(
;1
2221
222112111
211111
aaaaaap
vpapapp
−=−−
=−
−=
2221
11221221
aaaa
−−
1112
11221221
aaaa
−−
11221221
11221221
aaaa
aaaa
−−
Аналогично
составить
систему
решить
для
1111212
2211222
SAaqaqv
SAaqaqv
;
21122211
1222
aaaa
aa
−−
(8.6)
;
21122211
2111
aaaa
aa
−−
(8.7)
Например
для
платежной
матрицы
Таблица
47
0 3
2 1

3210
21
==
==
−−
8.5.
Геометрическое
Рассмотрим
игру
2x2 .
Отложим
оси
абсцисс
единичный
отрезок
конец
будет
соответствовать
чистой
стратегии
стратегии
A.
Любая
внутри
отрезка
обозначает
смешанную
стратегию
)p,S(p
21
ординат
будем
откладывать
выигрыши
вертикали
будут
выигрыши
полученные
применении
чистых
стратегий
11
BA
21
A,
12
22
A.
Если
применяет
смешанные
страте
гии
чистые
выигрыши
будут
ординатами
соответствующих
прямых
Решим
игрока
этого
найдем
сначала
самые
различных
смешанных
стратегиях
будет
линия
минимумов
линии
найдем
наивысшую
точку
Получим
максимин

. 61
минимумов
максимин




Аналогично
задача
решается
для
игрока
находим
максимумов
минимакс
принципу
игрок
сначала
фиксирует
минимальные
выигрыши
затем
выбирает
максимальный
выигрыш
получаются
чины
единичном
величина
игры
Примечания
обязательно
находится
пересечении
если
одного
игрока
стратегии
другого
более
страте
гий
также
может
быть
геометрически
48
элементы
меньше
элементов
поэтому
можно
отбросить
заведомо
невыгодную
Все
элементы
столбца
соответствующих
элементов
столбца
поэтому
стратегию
отбрасываем
невыгодную
49
0 -1 2
-2 4 -3
После
вычеркивания
столбца
упрощается
Тогда
останутся
Строим
решения
стороны
игрока
1
-2
-1
0
-3
минимакс
максимумов
eq,
: 1
18
+
+

Находим
линию
минимумов
рисунке
выделено
жирной
линией
ней
максимум
точку
Найдем
для
определим
координаты
точки
этой
зададим
уравнения
прямых
)(
pfv
Уравнение
прямой
построим
виде
уравнения
угловым
коэффициен
том
kx(y
bkpv
=
угла
прямой
смещение
ординат
если
прямая
возрастает
– k�0,
если
убывает
k0).
Построим
прямую
−=
−=
0.2pv:B
1;5pv:B
v;
p;
−===
Таблица
0 -1
-2 4
игру
стороны
игрока
графика
видно
что
стратегия
оптимальное
точку
является
активной
следовательно
отбрасываем
согласованном
решении
участвует
).
максимин
Линия
минимумов
-1
Находим
линию
максимумов
определяем
ней
минимум
. N.
Запишем
уравнения
q;
q;qv:A
2;6qv:A
33
=−=
−=
Игрок
должен
чередовать
стратегии
вероятностью
6/7
вероятностью
1/7.
Игрок
должен
чередовать
стратегии
вероят
ностью
5/7
вероятностью
2/7.
При
этом
цена
игры
v=-2/7.
8.6.
Решение
многими
стратегиями
основе
метода
линейного
программирования
Пусть
игре
стратегий
матрица
упрощается
Такую
можно
свести
задачам
линейного
программирования
Рас
смотрим
примере
матрицы
для
игры
полковника
Блотто
. 51).
изменится
если
матрицу
поднять
одну
величину
чтобы
все
элементы
были
больше
Получим
табл
. 52:
51
4 2 1 0
1 3 0 -1
-2 2 2 -2
-1 0 3 1
0 1 2 4
52
6 4 3 2
3 5 2 1
0 4 4 0
1 2 5 3
2 3 4 6
максимумов
Если
примем
оптимальную
смешанную
стратегию
свою
оптимальную
смешанную
стратегию
получим
).q,q,q,q,(qS
);p,p,p,p,(pS
54321
54321
Если
примет
оптимальную
стратегию
чистую
стратегию
отклонится
оптимальной
выигрыш
будет
21036
⋅⋅⋅
ppppp
будет
v.
ii
XP
математическое
ожидание
случайной
величины
).
=
≥
≥
≥
≥
1.ppppp
v;6p3p0p1p2p:B,S
v;4p5p4p2p3p:B,S
v;3p2p4p5p4p:B,S
v;2p1p0p3p6p:B,S
54321
543214
543213
543212
543211
(8.8)
Обозначим
;x
необходимо
чтобы
max,
xxxxxL
54321
o==
≥
≥
≥
≥
1.6x3x0xx2x
1;4x5x4x2x3x
1;3x2x4x5x4x
1;2xx0x3x6x
54321
54321
54321
54321
(8.9)
Получим
задачу
линейного
программирования
которую
можно
решить
симплекс
методом
главу
2) ,
числе
использованием
стандарт
компьютерных
программ
например
системе
LINDO
или
Аналогичную
задачу
получаем
стороны
;y
;A,S
При
выборе
игрок
стремится
уменьшить
min),
поэтому
yyyyL
4321
o==
(8.10)
≤
≤
≤
≤
≤
1.6y4y3y2y
1;3y5y2yy
1;0y4y4y0y
1;y2y5y3y
1;2y3y4y6y
4321
4321
4321
4321
4321
(8.11)
Таким
образом
игры
сводится
паре
задач
линейного
граммирования
Анализируя
задачи
(8.8), (8.9)
(8.10), (8.11),
можно
зать
всегда
имеют
Действительно
качестве
допустимого
решения
(8.8), (8.9)
всегда
будет
= 1/d ; x
=… = x
самый
маленький
коэффициент
среди
При
этом
оптимальное
также
линейная
форма
(8.8.)
нулем
слагаемые
положительны
Этим
доказывается
основная
теорема
теории
игр
8.7.
Биматричные
игры
ситуациях
чтобы
один
выигрывал
другой
столько
проигрывал
Такие
называются
неантагонистиче
скими
ненулевой
).
Для
двух
игроков
выигрыши
таких
играх
приходится
записывать
двумя
платежными
матрицами
поэтому
они
имеют
биматричные
игры
Интересы
игроков
здесь
являют
полностью
противоположными
поведение
может
быть
более
разно
образным
Различают
некооперативные
биматричные
кооперативные
зависимости
могут
договариваться
игроки
или
соглашение
возможно
правилам
игры
Рассмотрим
классическую
некооперативной
биматричной
игры
известной
Дилемма
Заключенного
Два
преступника
ожидают
суда
совершение
преступления
Адвокат
конфиденциально
предлага
каждому
преступников
освободить
его
если
сознается
даст
зания
против
которому
грозит
угодить
тюрьму
10
лет
Если
никто
сознается
обоим
угрожает
получить
незначительное
преступление
сознаются
оба
преступника
чистосердечно
ания
получат
платежные
матрицы
игроков
стратегиями
сознаться
», «
сознаться
- B
», «
сознаваться
– B
», «
сознаваться
– B
».
Первое
число
выигрыш
второе
выигрыш
игроки
договориться
могут
поэтому
руково
дствоваться
принципом
здравого
пессимизма
выбрать
максиминную
стра
тегию
Таблица
52
(5; 5) (0; 10)
(10; 0) (1; 1)
Если
выберет
случае
получит
лет
если
худшем
случае
чит
10
поэтому
двух
выберет
меньшее
- A
Игрок
выберет
худшем
случае
получит
лет
если
10
Поэтому
чтобы
рисковать
выберет
Получили
седловую
точку
» (A
).
Таким
образом
обоим
заключенным
вместе
сознаться
Здесь
одному
игроков
выгодно
отклоняться
своей
оптимальной
стратегии
одиночку
подход
кооперативных
биматричных
игр
принципу
для
ричных
называется
нахождением
точки
равновесия
Нэшу
Нэш
показал
матричная
игра
имеет
решение
чистых
шанных
стратегиях
Кооперативные
Кооперативной
называют
такую
ситуации
когда
выигры
игроков
нулевой
суммы
которой
игрокам
разрешается
суждать
свои
стратегии
договариваться
совместных
действиях
обра
коалиции
Основной
задачей
здесь
является
дележ
общего
между
членами
коалиции
случае
игроков
выигрыш
игре
это
пара
выигрышей
представ
ляющих
общие
Если
будут
перебирать
всевозможные
стратегии
чистые
смешанные
),
все
пространство
выигрышей
разует
некоторое
множество
ограниченных
некоторой
линией
нке
указать
точку
координатами
выигрышей
ков
которые
они
могут
гарантировать
себе
прибегая
договоренностям
).
Такая
точка
называется
точкой
угрозы
множестве
выигрышей
можно
найти
множество
Парето
оптимальных
шений
Парето
оптимальные
точки
безусловно
лучше
всех
других
точек
множе
как
они
являются
самыми
горизонтали
левыми
вертикали
Очевидно
что
Парето
оптимальные
точки
северно
восточная
граница
множества
Точки
Парето
оптимального
множества
находящиеся
одновременно
правее
точки
угрозы
образуют
переговорное
множество
Очевид
игрокам
выгодно
договариваться
будет
лучше
чем
тот
который
получается
точке
переговорном
выделяется
точка
решения
Нэша
равновесная
точка
которой
достигается
максимум
произведения
превышения
выигрышей
над
величинами
3434
1122
max
aTaT
=−−
Рассмотрим
пример
кооперативной
Семейный
Муж
жена
каждый
решают
развлечения
пойти
Фут
бол
пойти
Балет
любит
терпеть
Балета
Балет
любит
зрелищ
одиночку
дает
полного
удовлетворения
Поэтому
вместе
получают
удо
вольствие
единицы
любимом
зрелище
единицу
нелюбимом
если
поодиночке
единицы
любимом
Платежные
матрицы
имеют
такой
вид
левое
число
выигрыш
жены
правое
выигрыш
Таблица
53

Балет
Балет
(4; 1) (0; 0)
Муж

(2; 2) (1; 4)
Множество
возможных
выигрышей
треугольник
соответ
ствующими
чистым
стратегиям
гарантированный
выигрыш
супру
точка
угрозы
(2; 2).
Множество
Парето
точки
стороне
Перего
ворное
Решение
Нэша
точка
Здесь
супруги
договариваются
половину
вечеров
проводить
вместе
Футболе
половину
Балете
65
.
.
.
.
3
2
1
0
234
Точка
угрозы

D
N

max
точка
получается
точка
касания
постоянного
уровня
вели
чины
1122
aTaT
=−−
max.
Следовательно
такой
игры
дает
супругам
выигрыш
(2,5; 2,5).
ЭЛЕМЕНТЫ
СТАТИСТИЧЕСКИХ
ОПТИМАЛЬНЫХ
Это
чрезвычайно
область
экономике
военном
деле
обработки
информации
фоне
шумов
Рассмотрим
элементы
этой
как
теории
игр
Существуют
задачи
которых
бессознательный
игрок
»,
принимать
правильные
противодействует
действует
соответствии
родными
случайными
этому
ситуацию
называют
Например
связи
для
передачи
информации
шумы
записи
воспроизведе
звука
Ясно
бессознательное
воздействие
целом
вредит
меньше
сознательное
другой
стороны
эта
бессознательность
водит
непредсказуемому
операции
Можно
как
боремся
отивником
который
мешает
нам
погодные
условия
случайный
спрос
при
продаже
товара
Вот
почему
теории
статистических
решений
главной
проблемой
является
обоснование
принципов
оценки
различных
ситуаций
стороны
что
был
принцип
принцип
минимакса
Таблица
54
рассматривать
дискретные
альтернативы
стратегии
приро
Тогда
если
имеется
стратегий
природы
имеется
альтер
натив
быть
получена
матрица
выигрышей
применении
дой
пары
иногда
называются
гипотезами
платежная
матрица
строена
задача
состоит
анализе
целью
получить
стратегию
наиболее
выгодна
отношению
другим
простейшем
случае
если
какие
строки
матрицы
заведомо
отбросить
безусловно
лучшую
Столбцы
платɺжной
матрицы
отбрасывать
условия
природы
могут
нашу
пользу
При
анализе
платɺжной
матрицы
можно
сделать
вывод
качестве
решения
сравниваются
выигрыша
находящихся
разных
столбцах
вроде
строке
лучше
строке
так
сравнивать
если
выигрыш
соответ
ствует
одинаковым
условиям
Пример
Томской
области
приняв
определенные
управляющие
решения
получили
урожайность
пшеницы
20
центнеров
гектара
Крас
нодарском
крае
- 25.
значения
сравнивать
для
Томской
может
быть
рекордный
наилучший
результат
для
Краснодар
края
плохой
рекорд
50 .
Решение
нужно
потенци
возможностями
почему
необходимо
преобразовывать
платɺжную
матрицу
таким
разом
чтобы
каждый
выигрыш
соотносился
тем
максимумом
который
достигнуть
условиях
Для
каждого
найти
мальную
величину
вычислить
величину
называемую
max
i
риск
меньше
лучше
9.1.
Принятие
решений
известных
априорных
вероятностях
Будем
обозначать
вероятности
гипотез
),
), …,
Таким
образом
считаем
вероятности
известны
того
шили
принять
выбор
оптимальной
стратегии
Говорят
это
ситуация
идеального
наблюдателя
Естественно
качестве
критерия
выбирается
выигрыш
кото
получим
если
выберем
стратегию
iijj
aaQ
аналог
математического
Решение
принимается
крите
max
. (9.1)
максимального
выигрыша
задана
матрица
рисков
строки
вычислить
риск
iijj
rrQ
оптимальным
будет
являться
решение
которое
обеспечивает
величину
min
Покажем
оптимальное
решение
можно
искать
как
(9.1),
(9.2).
Сложим
средний
выигрыш
средний
получим
константу
11111
nnnn
iiijjijjijj
jijj
jj
ijjjj
araQrQaQaQQc
=====
==−==
¦¦¦¦¦
; maxmin; argmaxargmin.
iiiiii
arcacrarar
=Ÿ=−=
величина
зависящая
постоянная
данной
строки
результате
выбирается
чистая
стратегия
Есть
смысл
смешивать
стратегии
Пусть
смешиваем
наши
стратегии
вероятностями
тогда
результате
применения
смешанной
стратегии
получим
средний
выигрыш
таком
1122
aapapap
=
математическое
ожидание
).
знаем
меньше
максимального
значения
следовательно
природой
смысла
смешивать
стратегии
чистая
стратегия
обеспечи
вает
наилучший
результат
Слабым
местом
этом
подходе
является
что
знать
априорные
вероятности
Если
неизвестны
необходимо
изучить
делать
путɺм
экспериментов
которые
чают
условия
природы
».
Говорят
что
обучаем
нашу
систему
Такой
зывается
принципом
адаптации
условиям
априорные
вероятности
изучить
удаɺтся
прин
недостаточности
основания
если
знаем
вероятности
считаем
что
гипотезы
равновероятны
После
этого
применяем
критерий
идеального
наблюдателя
при
равных
вероятностях
энтропия
ределɺнность
максимальна
рассчитываем
худший
случай
применяем
принцип
пессимизма
значения
вероятности
неиз
вестны
информация
предпочтениях
гипотез
существуют
обработки
предпочтений
вероятностей
вероятности
гипотез
относятся
как
3434
:1:2::2:1:::; 1
nnn
QQQQ
−−=
саму
величину
вероятности
следующем
виде
; 1,
некоторых
случаях
учитывается
только
средний
выигрыш
также
дисперсия
величина
разброса
выигрыша
строке
max
;
iii
iaaa
−×=
9.2.
Методы
принятия
решений
условиях
априорной
неопределенности
Если
априорная
информация
неизвестна
ненадɺжна
применяются
другие
критерии
Критерий
максиминный
критерий
выбирается
стра
тегия
для
которой
maxmin
При
таком
критерии
подходим
этой
задаче
рассчитывая
самый
худший
случай
игре
разумным
противником
Критерий
Сэвиджа
S
)
критерий
минимаксного
риска
minmax
критерий
эквивалентен
критерию
Вальда
тратегия
опти
мальная
Сэвиджу
обязательно
будет
оптимальна
Вальду
Критерий
Гурвица
H
)
это
комбинированный
так
назы
критерием
пессимизма
оптимизма
maxmin1max
=−
коэффициент
который
выполняет
требования
критерия
быть
более
оптимистичным
H=W
получа
крайний
оптимизм
критерии
однозначный
выбор
одного
критерия
невоз
рассматривать
разным
критериям
получаются
одинаковые
решения
говорит
устойчивости
туации
однозначности
найденного
оптимального
решения
противном
ситуация
неустойчивая
необходимо
либо
изучать
априорную
цию
либо
доказывать
верность
критериев
9.3.
Планирование
эксперимента
при
принятии
решений
априорной
информации
или
путɺм
проведения
эксперимента
более
данные
вероятностях
Под
экспериментом
понимают
систему
мероприятий
позволяющих
уточ
нить
информацию
состоянии
природы
Например
метеонаблюдения
маркетинговые
экономике
радиолокация
военная
или
про
мышленная
разведка
Насколько
помочь
принятии
решения
эксперимент
как
сопоставить
стоимость
эксперимента
оптимальным
выигрышем
который
получим
Соответствующую
теорию
можно
исходя
ния
вероятно
стей
так
основе
критериев
при
неизвестной
априорной
рассмотрим
случай
есть
априорная
информация
ситуа
идеального
наблюдателя
Рассмотрим
вопрос
смысл
проводить
эксперимент
Рассмотрим
два
случая
Идеальный
эксперимент
Результат
этого
эксперимента
однозначно
определяет
каковы
условия
природы
Пусть
заданы
априор
вероятности
Стоимость
эксперимента
сопоставима
эти
величины
имеют
одинаковую
размерность
средний
без
проведения
эксперимента
средним
выигрышем
эксперимента
нет
эксперимента
обеспечим
себе
ijj
aQa
проведɺм
эксперимент
точно
узнаем
тогда
найдя
столбце
максимальный
найдɺм
наш
выигрыш
max
ijk
нам
нужно
оценить
эффективность
эксперимента
проведения
поэтому
ориентироваться
средний
ожидаемый
получим
если
будем
проводить
эксперимент
Таким
образом
ред
проведением
эксперимента
ожидать
n
Поэтому
чтобы
решить
проводить
эксперимент
что
больше
max
Получается
что
необходимо
проводить
эксперимент
если
max
QcQa
Преобразовав
неравенство
получим
идеальный
эксперимент
проводить
нужно
если
стоимость
меньше
минимального
среднего
риска
Неидеальный
эксперимент
результате
неидеального
эксперимента
находим
однозначно
лишь
изменяем
вероятности
Пусть
проводится
неидеальный
эксперимент
результате
появляются
некоторые
несовместные
события
,…B
Вероятности
этих
событий
висят
условий
которых
проводятся
Пусть
известны
).
Эти
вероятности
называются
После
эксперимента
давшего
пересмотреть
вероятности
вероятности
вероятности
Это
называемые
апостериорные
вероятности
jlj
jl
jlj
QPBP
QPPB
QPBP
формула
Байеса
эксперимента
могут
поэтому
только
ожидать
всякие
которые
получатся
результате
перимента
Причɺм
каждый
привɺл
некоторым
оптимальным
стратегиям
величина
выигрыша
которая
при
этом
получилась
maxmax
lil
lij
aaQa
==×
Эти
могут
произойти
вероятностью
события
вероятностью
которую
формуле
вероятно
сти
ljlj
PBQPBP
средний
ожидаемый
выигрыш
будет
max
max
jij
aaPBacQaaca
=Ÿ−>Ÿ−>
%%%
Планирование
экспериментов
рассмотреть
для
случаев
проводят
2, 3, 4, …
эксперимента
[8].
9.4.
Многоэтапное
принятие
решений
Сознательное
принятие
ешения
Случайная
шина
. 66
рассмотрели
различные
критерии
принятия
решений
условиях
определɺнности
практике
таких
задачах
как
проектирование
управление
процессами
создание
сложных
программных
комплексов
столкнуться
принятием
последовательных
Особое
значение
такие
многоэтапные
решения
создании
томатизированных
экспертных
систем
Рассмотрим
вопрос
оптимизации
многоэтапных
решений
ногоэтапность
приводит
тому
схема
приня
тия
быть
представлена
виде
каждой
вершине
торого
осуществляется
Сознательный
выбор
между
двумя
более
альтернативами
Либо
случайный
переход
одной
ветви
другую
воздействием
случайных
факторов
Рассмотрим
оптимизации
решений
примере
экономической
задачи
Пример
ирма
принять
решение
строительстве
крупного
предприятия
Строительство
крупного
предприятия
относительно
дешевле
случае
если
будет
высокий
производимые
кое
предприятие
расширить
Деятельность
фирмы
рассматривается
течение
десяти
лет
причɺм
случае
строительства
предприятия
расширении
будет
рассматриваться
через
прос
заранее
пное
0,75
0,25
0,25
0,75
0,75
0,25
0,75
0,25
асш

асш
Введɺм
градацию
случайного
высокий
�0,75)
низкий
0,25).
Затраты
доходы
строительство
крупного
предприятия
- 5
. $;
строительство
- 1
. $;
затраты
расширение
- 4,2
. $;
круп
предприятие
при
высоком
спросе
даɺт
доход
- 1
ежегодно
низком
- 300
. $;
мелкое
предприятие
высоком
спросе
- 250
тыс
. $
ежегодно
низком
- 200
тыс
. $;
расширенное
предприятие
случае
го
спроса
- 900
. $
низком
спросе
- 200
тыс
. $;
предприятие
без
расширения
при
высоком
спросе
произво
продукт
приносит
течение
лет
250
ежегодно
чение
следующих
восьми
200
тыс
. $.
Нарисуем
дерево
решений
Применим
решения
этой
задачи
метод
динамического
ограммиро
качестве
критерия
применим
средний
выигрыш
величина
критерия
равна
доходу
затрат
строительство
Начнɺм
последнего
четвɺртого
шага
подсчитаем
средний
0,9*0,750,2*0,25*84,21,6,
0,25*0,750,2*0,25*81,9,
1*0,750,3*0,25*105,03,25,
1,92*0,25*0,750,2*10*0,251,3.
расш
безрасш
круп
мелк
=−=
==
=−=
==
Исходя
полученного
результата
оптимальным
будет
сразу
Другим
примером
оптимизации
многоэтапных
операций
является
вестная
задача
секретарше
».
Директор
собирается
секретаршу
Прежний
опыт
лит
секретарш
категории
отличных
балла
),
хороших
посредственных
).
Анализ
учебных
заведений
подготовке
секре
даɺт
тистику
выпускниц
заведений
вероятность
взять
личную
секретаршу
- 0,2,
хорошую
- 0,5,
посредственную
- 0,3.
директор
испытать
претенденток
случае
директора
убывает
другую
работу
Построим
дерево
решений
=0,2
продолжить
=0,3
=0,5
a=1
a=3
a=2
=0,3
=0,2
=0,5
top
top
top
a=1
a=3
a=2
top
top
top
продолжить
продолжить
продолжить
=0,3
=0,2
=0,5
top
top
top
соответствии
процедурой
динамического
программирования
начнɺм
искать
оптимальное
решение
последнего
шага
Определим
математическое
ожидание
выигрыша
»,
если
испытываем
третьего
кандидата
3*0,22*0,51*0,31,9
==
средний
выигрыш
если
испытываем
второго
третьего
того
что
если
второй
будет
посредственный
про
должим
получим
среднем
1.9.
3*0,22*0,51,9*0,32,17
==
Поэтому
если
втором
испытании
попалась
хорошая
секретарша
остановиться
получим
если
продолжим
только
1.9.
При
первом
испытании
остановиться
если
третьем
испытании
берɺм
любую
Найдɺм
средний
оптимальный
игрыш
оптимальном
правиле
испытания
трех
кандидатов
3*0,22,17*0,52,17*0,32,336
=
Следовательно
счет
возможности
испытывать
трех
секретарш
лучаем
дополнительный
выигрыш
2,336 – 1,9 = 0,436.
ЭКСПЕРТНЫЕ
ПРОЦЕДУРЫ
ДЛЯ
практических
задачах
принятия
оптимального
альтернативы
являются
математическими
объектами
»,
чаще
представляют
собой
физические
системы
продукты
технологии
организация
техниче
ского
мероприятия
системы
описания
альтернатив
следствий
принятия
необходимо
решить
следующие
задачи
множество
возможных
допустимых
альтернатив
сформировать
пектов
существенных
для
оценки
альтернатив
определить
критериальное
пространство
упорядочить
альтернативы
аспектам
получить
альтернатив
критериям
есть
найти
отображение
критериальное
пространство
главу
Все
эти
задачи
являются
модификацией
общей
задачи
оценивания
поставление
числа
или
нескольких
чисел
рассматриваемой
альтернативе
Методы
решения
задачи
оценивания
основаны
ии
пертных
процедур
поэтому
методами
экспертных
оценок
10.1.
Общая
схема
экспертизы
общем
сложности
оценивания
систем
привлекаются
люди
специалисты
данной
предметной
области
эксперты
Решение
задач
нивания
экспертизой
Вопросы
связанные
экспертизой
рассмат
риваются
решаются
консультантом
определяет
иногда
вспомога
множество
для
экспертизы
организует
всю
процедуру
эксперти
Консультант
находит
множество
допустимых
оценок
которых
содержится
исходная
определяет
множество
допустимых
которого
осу
ществляют
выбор
эксперты
Каждый
эксперт
выбирает
оценку
i
=
При
эксперты
взаимодействовать
между
заранее
разработанному
алгоритму
формуле
консультант
произво
обработку
полученной
экспертов
информации
находит
результирующую
являющуюся
решением
исходной
задачи
оценивания
Если
полученное
устраивает
консультанта
экспертам
дополнительную
информацию
организует
обрат
ную
связь
вновь
решают
задачу
оценивания
: 1

… +
: 3
10.2.
оценивания
Смысл
оценивания
сопоставлении
альтернативе
вектора
Перечислим
типичные
варианты
этой
задачи
Пусть
альтернатива
задаче
решений
Имеются
m
Требуется
альтернативе
сопоставить
вектор
f1(x),f(x),…f
Пусть
критерии
учитывающиеся
выборе
упорядочить
важности
Тогда
системе
S=(
сопостав
ляется
перестановке
натуральных
чисел
где
критерия
упорядочивании
важности
Пусть
множество
подмножеств
мента
необходимо
указать
какому
подмножеств
относится
есть
сопоставляется
одно
чисел
l.
резок
длину
надо
измерить
есть
отрезку
надо
сопоставить
действительное
длина
отрезка
Задача
1 –
это
общая
задача
многокритериальной
оценки
Задача
2 –
это
задача
ранжирования
Задача
3 –
это
задача
классификации
Задача
4 –
это
обычная
задача
Обозначим
исходное
множество
допустимых
значений
).
для
экспертов
взаимодействие
экспертами
обратная
связь
обработка
отображение
:o:
Назовем
схемой
экспертизы
пятерку
параметров
(
L,Q,
Подготовка
экспертизы
это
предварительная
разработка
схем
экспер
тизы
подбор
экспертов
Реализация
экспертизы
получение
экспертов
информации
10.3.
Подготовка
экспертизы
Определение
МДО
множества
допустимых
оценок
Перечислим
типы
определяющие
задачи
оценивания
={0,1}.
Соответствующая
задача
попарного
сравнения
заключается
выявлении
лучшего
имеющихся
объектов
,

,

,

если
лучше
впротивномслучае
={(1,2,…,n)(1.3,…n)…(n, n-1,…1)}.
есть
состоит
перестановок
Соответствующая
задача
ранжирования
состоит
упорядочивании
объектов
)=(i
,…,i
={1…
Соответствующая
задача
классификации
)=i ,
если
Определение
экспертов
Типы
зависит
опроса
интервью
анке
тирование
метод
докладной
записки
эксперта
высказывание
мнения
бодной
форме
Взаимодействие
экспертов
L.
Свободный
обмен
информацией
между
экспертами
регламентирован
Эксперты
изолированы
(2)
может
иметь
Мозговой
атаки
течение
заданного
любое
мнение
может
быть
отвергнуто
подлежит
обсуждению
Обратная
связь
После
обработки
можно
экспертов
попросить
дать
повторную
Известен
метод
Делфи
экспертизы
проверяется
затем
недостаточная
сообщается
дополнительная
информация
гументация
экспертиза
Подбор
экспертов
Существуют
методы
компетентности
экспертов
могут
выставлять
компетентности
себе
другим
Затем
эта
информация
обобщается
используется
алгоритмах
оценки
Методы
обработки
экспертной
информации
Существуют
вида
методов
обработки
статистические
алгебраические
методы
методы
шкалирования
Рассмотрим
статистические
методы
экспертных
оценок
Результаты
оценок
каждого
эксперта
можно
рассматривать
как
реализа
некоторой
случайной
величины
применять
ним
методы
матической
статистики
Статистические
методы
позволяют
определить
гласованность
мнений
экспертов
значимость
полученных
есть
качество
экспертизы
,
: 1

+
: 1
,
: 1

+
: 1

… +
: 3
Численные
оценки
Экспертиза
Задача
состоит
сопоставлении
оцениваемой
альтернативе
системе
числа
эксперты
изолированы
обратная
связь
отсутствует
12
1
ii
i
N
N
i
i
xxa
, (10.1)
вес
коэффициент
компетентности
экспертов
числовые
экспертов
При
отсутствии
информации
компетентности
экспертов
=1.
Степенью
согласованности
мнений
экспертов
служит
дисперсия
. (10.2)
Другая
экспертиза
оценивания
111222
112233
123123123
123
,,,,,,,,,
iii
xxx
xxxxxxxxx
JJJ
JJJ
. (10.3)
123
iii
оптимистическая
наиболее
вероятная
пессимистическая
эксперта
определяются
эмпирически
например
одной
методике
=1,
=36,
другой
=3,
=0,
=2,
=25,
неуверенно
эксперта
ответе
человек
склонен
занижению
).
Степень
согласованности
экспертов
определяется
дисперсией
112233
123
iii
xxx
JJJ
σασ
JJJ
=⋅−⋅
, (10.4)
2
31
4
i
экспертизах
можно
определить
статистическую
значимость
полученных
результатов
укажем
интервал
который
ниваемая
величина
попадет
вероятностью
, (10.5)
распределена
нормально
центром
дисперсией
(10.2).
стандартная
ошибка
находящаяся
таблице
распределения
коэффи
Стьюдента
-1,
).
Десять
экспертов
одинаковыми
весами
оценивают
чину
них
результаты
=33
=35
=32,2 T
=34 T
=34 T
=37 T
=40 T
=36 T
=35.5
формуле
(10.1)
получаем
=35,5,
=2.2136.
Задав
=0,05,
определим
(9;0.005)=2,262.
формуле
=1,583.
Таким
образом
вероятностью
0,95
величина
находится
интер
вале
[33,917; 37,083].
10.5.
Метод
Делфи
численной
оценки
=1; Z
0};
L –
эксперты
изолированы
экспертам
предоставляется
медиана
)=0,5;
также
диапазон
квантилей
)=0,75;
)=0,25;
задается
следующим
образом
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
интервал
допустимых
оцениваемой
величи
разбивается
интервалов
эксперт
оценивает
вероятность
попадания
оцени
величины
каждый
интервалов
результатам
составляется
таблица
Таблица
55
Интервалы
Эксперты
11
12
13
21
22
23
… … … … …
n2
n3
оценка
вероятности
попадания
оцениваемой
величины
интер
данная
экспертом
основе
этой
таблицы
определяется
мнение
экспертов
попадании
оцени
величины
каждый
интервалов
tiji
. (10.6)
Результирующей
оценкой
является
медиана
распределения
)=0,5.
показывают
экспертам
также
показывают
диапазон
q=q
эксперты
пор
пока
диапазон
уменьшится
1,6
раза
сравнению
предварительным
10.6.
Строгое
ранжирование
множество
всех
перестановок
L –
эксперты
изолированы
друг
друга
обратная
связь
отсутствует
Отображение
так
результаты
опроса
сводятся
таблицу
данных
экспертом
объ
место
ставится
величиной
ljlk
строках
одинаковых
Таблица
56
Объекты
Эксперты
1 2 … N
11
12
21
22

N1

r
Степень
согласованности
мнений
экспертов
определяется
помощи
коэффициента
конкордации
12(1)
rNn
Nnn
экспертов
объектов
объектов
полученных
результате
экспертизы
дела
квадратов
отклонений
рангов
среднего
значения
(1)
jch
Проводится
экспертиза
оценке
технологического
процесса
выплавки
стали
конверторе
список
шести
признаков
влияющих
процесс
Десять
экспертов
признаки
важности
Таблица
57
Номера
экспертов
Признаки
1 23456789
Шум
6 16666456 6 52
Цвет
футеровки
4 54553564 5 46
Цвет
пламени
2 22332111 2 19
Цвет
1 43224333 3 28
Качество
дыма
3 31111222 1 17
Искры
5 65445645 4 48
=35;
=0.69;
При
четном
n+1
=0.
10.7.
Нестрогое
ранжирование
объекты
делят
места
(4)
(5),
каждый
4,5.
случае
233
12(1)
()()
ijij
rNn
nnNtt
−−−
число
групп
равных
рангов
введенных
экспертом
количество
дробных
рангов
группе
введенной
экспертом
Можно
учесть
компетентность
iji
10.8.
Метод
попарных
сравнений
методе
эксперт
предпочтение
объекта
над
объектом
виде
чисел
{1,0}.
если

превосходит
объект
противном
случае
Далее
результаты
записываются
матрицу
где
()(-);
противном

случае
d()d;
d()d;
множество
экспертов
считающих
доминирует
множество
экспертов
считающих
наоборот
= M- M
Окончательный
ранг
объекта
определяется
сумме
элементов
строки
j
. (10.10)
Пример
0011
1011
0000
0010
=(2, 3,0,1).
Следовательно
объекты
упорядочить
ценности
так
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
исследование
операций
издание
.:
Изд
Дом
Вильямс
», 2001. – 912
Исследование
операций
экономике
пособие
для
втузов
Кремер
Путко
Тришин
Фридман
под
ред
Кремера
. –
.:
ЮНИТИ
, 2006. – 407
Волков
.,
Загоруйко
Исследование
операций
Учебное
пособие
для
вузов
. 2-
Под
Крищенко
. –
Изд
МГТУ
Баумана
, 2002. – 436
Пантелеев
Методы
оптимизации
задачах
Учеб
Пантелеев
Летова
Высш
, 2002.—544
Математическое
программирование
примерах
задачах
Пособие
. –
.:
Высшая
школа
, 1986. – 319
Кузнецов
Кузнецов
Волощенко
Математическое
граммирование
пособие
. – 2-
., -
Высшая
школа
, 1980. –
300
Линейное
нелинейное
программирование
Ляшенко
.,
Карагодова
Черникова
.,
Шор
Учеб
пособие
Киев
.:
Вища
школа
1975. – 370
Исследование
операций
.,
Советское
радио
, 1972. – 550
Черноруцкий
Методы
оптимизации
принятия
Учеб
собие
СПб
.:
Лань
, 2001. – 384 .
10.
Зайченко
Исследование
операций
. –
Киев
Вища
школа
, 1986
. –
390
11.
Дегтярев
Исследование
операций
пособие
для
втузов
АСУ
. –
.:
Высшая
школа
, 1986. – 320
12.
Базара
Шетти
Нелинейное
программирование
алгорит
.:
Мир
, 1982 – 410
13.
Морозов
Сухарев
.,
Фɺдоров
Исследование
операций
дачах
упражнениях
.:
Высшая
школа
, 1986. – 287
14.
Кудрявцев
Исследование
операций
задачах
алгоритмах
. –
связь
, 1984. - 184
15.
Решение
задач
Исследование
операций
».
Дискретное
граммирование
Метод
пособие
Составитель
. –
Куйбышев
, 1984. – 26
16.
Решение
задач
курсу
Исследование
операций
».
Нелинейное
граммирование
Метод
пособие
Составитель
Есипов
. –
Куйбышев
, 1984. – 26
17.
Практические
занятия
исследованию
Метод
пособие
ставитель
Куйбышев
КуАИ
, 1982. – 32
18.
Пакет
программ
решения
задач
исследованию
опера
ций
Целочисленное
программирование
Метод
пособие
Соста
витель
Баландин
Гашников
. –
Куйбышев
1982. – 32
19.
Пакет
программ
решения
задач
исследованию
опера
ций
ЭВМ
Линейное
частично
целочисленное
нелинейное
програм
мирование
Метод
пособие
Составитель
Есипов
Баландин
Гашников
. –
Куйбышев
КуАИ
, 1982. – 32
20.
Математические
экономике
Метод
пособие
Соста
витель
Есипов
Самара
МИР
, 2003. – 40
21.
Аоки
Введение
методы
оптимизации
. –
.:
Наука
, 1977. – 344
22.
Зангвилл
Нелинейное
программирование
. –
.:
Сов
радио
, 1973.
23.
Саати
Целочисленные
методы
оптимизации
связанные
экс
тремальные
проблемы
. –
, 1973. – 302
24.
Фиакко
Нелинейное
программирование
Методы
следовательной
безусловной
минимизации
.:
Мир
, 1972. – 238
25.
Сборник
задач
математике
втузов
Часть
4.
Методы
оптимизации
Учеб
пособие
Ефимова
. – 2-
.; –
Наука
, 1990. –
304
26.
Орлов
Теория
принятия
решений
Орлов
. –
.:
Экзамен
», 2006. – 573
27.
.,
Мазаева
Математические
методы
модели
исследо
вания
Учебник
. -3-
Изд
Дашков
», 2006. -
28.
Шикин
.,
Шикина
Исследование
учеб
.:
Вел
»,
Изд
Проспект
», 2006. – 280
издание
ОПТИМИЗАЦИИ
ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЕРАЦИЙ
КОНСПЕКТ
Редактор
Компьютерная
верстка
Доверстка
Подписано
печать
_________
Формат
84 1/16.
Бумага
офсетная
печ
изд
____
_______
Арт
- ____/2007
Самарский
государственный
аэрокосмический
университет
443086
Московское
Изд
Самарского
государственного
аэрокосмического
университета
443086
Московское
. 79: [1]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 79: [1]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [1]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 79: [1]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [2]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 79: [2]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [2]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 79: [2]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [3]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [3]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [3]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [3]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [4]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [4]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [4]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [4]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [4]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [4]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [5]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [5]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [5]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [5]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [6]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [6]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [6]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [6]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 79: [7]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [8]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:54:00
разреженный
0,3
. 80: [9]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:08:00
Шрифт
курсив
. 80: [9]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:08:00
Шрифт
курсив
. 80: [10]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:08:00
Шрифт
курсив
. 80: [10]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:08:00
Шрифт
курсив
. 80: [11]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:08:00

. 80: [11]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
. 80: [12]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [12]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [13]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [13]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [14]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [14]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [14]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [15]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [15]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [15]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
: Times New Roman,
курсив
. 80: [15]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [15]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
: Times New Roman,
курсив
. 80: [15]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:09:00
Шрифт
курсив
. 80: [16]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [16]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
: Times New Roman,
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
: Times New Roman,
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
: Times New Roman,
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
: Times New Roman,
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
: Times New Roman
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [17]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:10:00
Шрифт
курсив
. 80: [18]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:36:00
. 80: [18]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:36:00
. 80: [19]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:11:00
Шрифт
. 80: [19]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:11:00
Шрифт
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:38:00
Шрифт
курсив
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:38:00
русский
Россия
подстрочные
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:40:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:40:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:40:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:40:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:40:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:41:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:40:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:40:00
русский
Россия
. 82: [20]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:39:00
Шрифт
курсив
. 82: [21]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:43:00
. 82: [21]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:44:00
. 82: [22]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:43:00
Шрифт
курсив
. 82: [22]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:44:00
Шрифт
курсив
. 82: [22]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:43:00
русский
Россия
. 82: [22]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:43:00
русский
Россия
. 82: [23]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:44:00
. 82: [23]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:44:00
. 82: [24]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:47:00
русский
Россия
. 82: [25]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:47:00
русский
Россия
. 82: [26]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:53:00
подчеркивания
. 82: [27]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:55:00
Шрифт
курсив
. 82: [28]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 82: [28]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 82: [29]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:48:00
Шрифт
курсив
. 82: [29]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:48:00
Шрифт
курсив
подстрочные
. 82: [29]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:48:00
русский
Россия
. 82: [29]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:53:00
Шрифт
курсив
. 82: [30]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:45:00
Шрифт
курсив
. 82: [31]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 82: [31]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:49:00
Шрифт
курсив
без
подчеркивания
. 82: [32]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
. 82: [32]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
. 82: [32]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:53:00
русский
Россия
. 82: [32]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:50:00
Шрифт
курсив
. 82: [32]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:48:00
Шрифт
курсив
. 82: [33]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 82: [34]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 82: [35]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:50:00
русский
Россия
. 82: [36]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 83: [37]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:52:00
русский
Россия
. 83: [37]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:49:00
русский
Россия
выше
ниже
. 83: [37]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 83: [38]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:46:00
Шрифт
курсив
. 83: [39]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:49:00
. 83: [39]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:49:00
. 83: [40]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:57:00
. 83: [41]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:55:00
13
. 83: [42]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
русский
Россия
. 83: [43]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:56:00
Шрифт
курсив
. 83: [44]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:56:00
нумерованный
: 1 +
Стиль
нумерации
: 1, 2, 3, … +
Начать
Выравнивание
слева
Выровнять
: 17
Табуляция
после
Отступ
висячих
Поз
табуляции
78,55
. 83: [45]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:56:00
Equation,
висячих
. 83: [46]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:57:00
Шрифт
. 83: [47]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:57:00
. 23
. 83: [48]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:56:00
английский
. 83: [49]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:08:00
Ширина
колонки
Промежуток
колонки
Различать
колонтитулы
страницы
. 83: [50]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:58:00
Отступ
: 17
висячих
строк
. 83: [51]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
интервал
Перед
После
: 6
. 83: [52]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:04:00
. 24
. 83: [53]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [53]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
Шрифт
курсив
уплотненный
0,1
. 83: [53]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [53]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
Шрифт
курсив
уплотненный
0,1
. 83: [53]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [53]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
Шрифт
курсив
уплотненный
0,1
. 83: [54]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [55]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
Шрифт
курсив
уплотненный
0,1
. 83: [55]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [55]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
Шрифт
курсив
уплотненный
0,1
. 83: [55]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [55]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
Шрифт
курсив
уплотненный
0,1
. 83: [55]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [56]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:59:00
. 83: [56]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 20:59:00
. 83: [57]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
Шрифт
курсив
уплотненный
0,1
. 83: [57]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:27:00
уплотненный
0,1
. 83: [58]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:07:00
. 84: [59]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:09:00
. 84: [59]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:09:00
. 84: [59]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:17:00
. 84: [59]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:14:00
распределения
. 84: [60]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
русский
Россия
разреженный
уплотненный
. 84: [60]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [60]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [60]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [60]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [60]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [61]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [61]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
Шрифт
курсив
разреженный
уплотненный
. 84: [61]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [62]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:14:00

. 84: [62]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00

. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
Шрифт
курсив
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
Шрифт
курсив
подстрочные
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
Шрифт
курсив
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
русский
Россия
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
русский
Россия
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
русский
Россия
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [63]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:16:00
разреженный
уплотненный
. 84: [64]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:17:00
русский
Россия
. 84: [64]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:18:00
Шрифт
курсив
. 84: [64]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:18:00
русский
Россия
. 84: [64]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:18:00
Шрифт
курсив
. 84: [65]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:20:00

. 84: [65]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:19:00

. 84: [65]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:21:00
. 84: [66]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:22:00
10
. 84: [66]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:22:00
русский
Россия
. 85: [67]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
Число
колонок
Ширина
1: 175,8
Промежуток
колонки
1: 12
Ширина
2: 152,4
Колонки
одинаковой
ширины
Различать
колонтитулы
первой
страницы
. 85: [68]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:26:00
Y
Исследуя
функции
траты
получим
количество
средств
после
шага
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:26:00
Шрифт
курсив
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [69]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:30:00
уплотненный
0,1
. 85: [70]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:26:00
. 85: [70]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:25:00
. 85: [71]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [71]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [71]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [72]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [72]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [72]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [72]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [72]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:32:00
уплотненный
0,1
. 85: [73]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:34:00
интервал
Перед
После
: 6
. 85: [74]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:45:00
. 85: [74]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:45:00
Начальное
количество
средств
разделяется
первом
Xk
резерв
),
подлежат
распределению
оставшиеся
средства
Такую
задачу
представить
отраслью
другой
фиктивной
приносящей
доход
расходующей
средства
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [75]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:49:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [76]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
разреженный
0,2
. 86: [77]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:48:00
.

. 86: [78]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:42:00
: 17
висячих
строк
. 86: [79]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:50:00
. 86: [79]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:51:00
. 86: [80]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:52:00
ii
xfW
max)(
kx
. 86: [81]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:52:00
уплотненный
0,1
. 86: [81]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:52:00
уплотненный
0,1
. 86: [81]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:52:00
уплотненный
0,1
. 87: [82]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:57:00
xfW
max)(
. 87: [83]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:57:00
Equation,
интервал
: 0
После
: 0
Поз
. 87: [84]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 11.10.2007 0:00:00
Ширина
колонки
Ширина
колонки
Различать
колонтитулы
первой
. 87: [85]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
Отступ
Первая
: 17
нумерованный
Уровень
нумерации
: 1, 2, 3, …
Начать
: 1 +
слева
Выровнять
: 0
Табуляция
Отступ
: 0
. 87: [86]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:58:00
Шрифт
курсив
. 87: [86]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:58:00
Шрифт
курсив
. 87: [86]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:58:00
Шрифт
курсив
. 87: [87]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:00:00
. 27
. 87: [87]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:59:00
. 87: [88]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:59:00
Шрифт
курсив
. 87: [88]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:59:00
Шрифт
курсив
. 87: [89]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 21:59:00
Шрифт
курсив
. 87: [90]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
русский
Россия
. 87: [91]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
Отступ
Слева
Первая
строка
нумерованный
Стиль
нумера
: 1, 2, 3, … +
Начать
Выравнивание
слева
Выровнять
Табуляция
после
Отступ
: 35
висячих
строк
Поз
табуляции
: 28
. 87: [92]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:02:00
Шрифт
курсив
. 87: [92]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:02:00
Шрифт
курсив
. 87: [93]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:07:00
русский
Россия
. 87: [93]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:07:00
русский
Россия
. 87: [93]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:05:00
русский
Россия
. 87: [94]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:05:00
xxf
)(
o=
xxW

021
kxx
. 87: [95]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:01:00
: 0
: 17
Запрет
висячих
строк
. 87: [96]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [97]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
Шрифт
курсив
разреженный
0,3
. 87: [98]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:08:00
разреженный
0,3
. 87: [99]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 10.10.2007 23:59:00
интервал
После
. 87: [100]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
Отступ
Слева
Первая
строка
нумерованный
Стиль
нумера
: 1, 2, 3, … +
Начать
Выравнивание
слева
Выровнять
Табуляция
после
Отступ
: 35
висячих
строк
Поз
табуляции
: 28
. 87: [101]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:09:00
русский
Россия
. 87: [101]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:09:00
русский
Россия
. 87: [101]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:09:00
русский
Россия
. 87: [101]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:09:00
русский
Россия
. 87: [102]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:10:00
)(
xxf
o=
xxW
121
kxx

. 87: [103]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:05:00
Отступ
: 0
: 17
висячих
строк
Поз
табуляции
78,55
. 87: [104]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:06:00
Шрифт
курсив
. 87: [104]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:06:00
Шрифт
курсив
. 87: [105]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
русский
Россия
. 87: [106]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:05:00
английский
. 87: [107]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:10:00
русский
Россия
. 87: [108]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:12:00
Шрифт
курсив
. 88: [109]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:17:00
Equation,
нумерованный
Уровень
нумерации
: I, II, III, … +
Начать
Выравнивание
справа
: 26
Табуляция
после
: 35
висячих
Поз
табуляции
69,55
+ 78,55
. 88: [110]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
Шрифт
курсив
. 88: [111]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:14:00
Шрифт
курсив
. 88: [112]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
Шрифт
курсив
. 88: [113]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:20:00
Шрифт
курсив
. 88: [114]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
Шрифт
курсив
. 88: [115]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
подстрочные
. 88: [116]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
Шрифт
курсив
. 88: [117]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
Шрифт
курсив
. 88: [118]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
Шрифт
курсив
. 88: [119]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 22:13:00
Шрифт
курсив
. 88: [120]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:34:00
. 89: [121]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:25:00
3434
12
22
101
mm
mm
kXkGXF
kXkGXF
kXkGXF
=−
=−
=−

kW
. 89: [122]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:25:00
Отступ
: 17
. 89: [123]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:26:00
. 89: [124]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:27:00
Шрифт
курсив
. 89: [125]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:26:00
6
. 89: [126]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:27:00
Шрифт
курсив
. 89: [127]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:30:00
40
. 89: [128]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:30:00

. 89: [129]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:30:00
Шрифт
курсив
. 89: [130]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 11.10.2007 0:00:00
. 89: [131]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:30:00
Шрифт
курсив
. 89: [132]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:31:00
Шрифт
курсив
. 89: [133]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:31:00
Шрифт
курсив
подстрочные
. 89: [134]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:31:00
русский
Россия
. 89: [135]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
русский
Россия
. 89: [136]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:34:00
3434
3434
3434
343434343434
ii
ii
−
−
−=−
max
1,
подчеркивание
. 89: [137]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:34:00
: 17
Разрешить
следующего
. 89: [138]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:31:00
Шрифт
курсив
. 90: [139]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:35:00
6
. 90: [139]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:35:00
русский
Россия
. 90: [140]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:36:00
Шрифт
курсив
. 90: [140]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:36:00
Шрифт
курсив
подстрочные
. 90: [140]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:36:00
Шрифт
курсив
русский
Россия
),
подстрочные
. 90: [140]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:36:00
Шрифт
курсив
подстрочные
. 90: [141]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:35:00
русский
Россия
. 90: [141]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:35:00
Шрифт
курсив
. 90: [141]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:36:00
Шрифт
курсив
. 90: [141]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:37:00
Шрифт
курсив
. 90: [141]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:37:00
Шрифт
курсив
. 90: [141]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:37:00
Шрифт
курсив
. 90: [142]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:38:00
: 17
. 90: [143]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:38:00
подчеркивание
. 90: [144]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:38:00
уплотненный
0,1
. 90: [145]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:39:00
Шрифт
. 90: [145]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:39:00
Шрифт
. 90: [146]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:39:00
. 90: [146]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:39:00
. 90: [147]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:39:00
10
. 90: [148]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
русский
Россия
. 90: [149]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:39:00
Шрифт
курсив
. 90: [149]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:39:00
Шрифт
курсив
. 90: [150]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
русский
Россия
. 90: [151]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
Шрифт
курсив
. 90: [151]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
Шрифт
курсив
. 90: [151]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
Шрифт
курсив
. 90: [151]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
Шрифт
курсив
. 90: [151]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
Шрифт
курсив
. 90: [151]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
итальянский
Италия
. 90: [152]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:40:00
Шрифт
курсив
. 90: [153]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:41:00
Шрифт
. 90: [153]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:41:00
Шрифт
. 90: [153]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:41:00
Шрифт
. 90: [154]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:41:00


. 90: [155]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:48:00
. 90: [155]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:48:00
. 90: [156]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:41:00
подчеркивание
. 90: [157]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:41:00
Шрифт
курсив
. 90: [157]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:42:00
русский
Россия
. 91: [158]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:42:00
12
. 91: [158]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:43:00
русский
Россия
. 91: [159]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:43:00
WW
. 91: [159]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:45:00
. 91: [160]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:45:00
английский
),
10
. 91: [161]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 11.10.2007 0:00:00
. 91: [162]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:45:00
6
. 91: [163]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:44:00
Шрифт
курсив
. 91: [163]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:44:00
Шрифт
курсив
. 91: [163]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:44:00
русский
Россия
подстрочные
. 91: [164]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
русский
Россия
. 91: [165]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:46:00
английский
),
12
. 91: [166]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
Tahtarov 02.10.2007 9:36:00
русский
Россия
. 91: [167]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 11.10.2007 0:01:00
. 91: [168]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:47:00
6
. 91: [168]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:47:00
выше
. 91: [169]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:47:00
Xq
. 91: [169]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:47:00
. 91: [169]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:46:00
ii
XqQ
kX
. 91: [170]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:47:00
6
. 91: [171]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:47:00


. 91: [172]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:48:00
Шрифт
курсив
. 91: [173]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:48:00
Шрифт
курсив
. 91: [173]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:48:00
Шрифт
курсив
. 91: [173]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:48:00
Шрифт
курсив
. 92: [174]
УдΣлеβγ
TAXTAPOB_HOME 11.10.2007 0:03:00
Состоянием
является
оставшееся
текущее
количество
станков
).
Пусть
распределяем
станков
третьего
последнего
цеха
01234
01234
01234
})({max)(
33
321
kx
xfkW
. 94: [175]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:53:00
Шрифт
: Times New Roman
. 94: [175]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:53:00
Шрифт
: Times New Roman
. 94: [175]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:53:00
Шрифт
: Times New Roman
. 94: [175]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:53:00
Шрифт
: Times New Roman
. 94: [176]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:59:00
Шрифт
курсив
. 94: [176]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:53:00
Шрифт
курсив
. 94: [177]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:59:00
Шрифт
курсив
. 94: [177]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 01.10.2007 23:59:00
Шрифт
курсив
. 94: [177]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:00:00
5
. 94: [178]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:01:00
Шрифт
курсив
. 94: [178]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:01:00
Шрифт
курсив
. 94: [179]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:02:00
12
. 94: [179]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:02:00
выше
. 94: [180]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
. 94: [180]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
. 94: [180]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
. 94: [180]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
. 94: [180]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
11
. 94: [181]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
. 94: [181]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
. 94: [181]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:04:00
11
. 94: [181]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:04:00
выше
. 94: [182]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
курсив
. 94: [182]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
курсив
. 94: [182]
ОтфγрмΣтирγвΣβγ
TAXTAPOB_HOME 02.10.2007 0:03:00
Шрифт
курсив

Приложенные файлы

  • pdf 18139559
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий