osnovi_vektornogo_i_tenzornogo_analizu


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

„ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ
, МОЛОДІ ТА СПОРТУ

УКРІЇНИ











Ю.
М. Стреля
є
в
, М.І. Клименко



ОСНОВИ ВЕКТОРНОГО І ТЕНЗОРНОГО АНАЛІЗУ


Навчальний

посібник для студентів фізичного фак
ультету

освітньо
-
кваліфікаційного рівня бакалавр напряму підготовки фізика






ЗАТВЕРДЖЕНО

вченою радою ЗНУ

Протокол №


від 0
12















Запоріжжя 0
12

УДК: 514.743.4 075.8

ББК: .151.5 я73



Основи векторного
і тензорного аналізу:

н
авчальни
й посібник для
студентів фізичного факультету
освітньо
-
кваліфікаційного рівня бакалавр
напряму підготовки фізика
 Стреляєв Ю.М
, Клименко М.І.



Запоріжжя:
ЗНУ,

20
12
.



6
9

с.




Навчальний

посібник містить основні поняття векторного і тензорн
ого
аналізу. Розглянуто
типові
приклад
и

розв'язання
практичних
задач. Для
самостійної
роботи студентів пропонуються варіанти індивідуального завдання,
як
і

охоплюють усі основні
розділи

курсу.

Призначається для студентів
освітньо
-
кваліфікаційного рівня бак
алавр
напряму підготовки фізика.





Рецензент









С.А. Левчук
, к.
ф
-
м.

н.,









доц
. каф. прикладної математики

Відповідальний за вип
уск



С.М.

Гребенюк
, к. т. н.,




доц. каф. математичного аналізу

3

ЗМІСТ


ВСТУП
.
.
.



.
..4

1

Елементи векторної і тензорної алгебри
.
..5

1.1

Вектори
і скаляри
.
.5

1.2

Лінійна залежність векторів. Векторний базис
.
...
....
..
.
...
6

1.3

Взаємні базиси
.
.
..
........
.....
..
7

1.4

Закон перетворення
компонент

вектора


...
.
.
9

1.5

Зв'язок

між коваріантними й контраваріантними

компонентами

вектор
а
..
.







.
.
.
9

2

Криволінійні

координати. Поняття тензора
.

Операції над тензорами
....
1
1

2.1

Ортогональні базиси
...



..
..
1
1

2.2

Криволінійні координати
...

.....
...
1
2

2.3

Поняття тензора

..
.
1
6

2.4

Дії над тензорами

...

..
...1
8

2.5

Фізичні

приклади тензорів
...
......
22

3

Векторний

і тензорний аналіз
...
.

..

2
5

3.1

Тензорне поле. Тензор
-
функція


.

5

3.2

Скалярні поля і їх характеристики
..
..

6

3.3

Векторні поля та їх характеристики

...
..

.
31

3.4

Інтегральні теореми у векторному вигляді

.
..
3
8

3.5

Сп
еціальні векторні поля..

.


.
44

Індивідуальне
завдання




...

.

.
4
8

Предметний
покажчик...

.
..63

РЕКОМЕНДОВАНА
ЛІТЕРАТУ
РА.





.


..
6
5


4

ВСТУП


Векторний і т
ензорний аналіз є математичним апаратом, що дозволяє
представити в найбільш загальній
і

компактній аналітичній формі основні
операції над багатокомпонентними величинами, які застосов
уються при
дослідженні різних проблем геометрії
й

фізики.

Важливе

значення
векторний і
тензорний аналіз має в механіці
суцільного

середовищ
а
, де за його допомогою основні рівняння
й

закони набувають
вигляд
,

незалежний від системи координат. Постановка осно
вних задач теорії
пружності, пластичності, в’язкопружності для тіл складної конфігурації
потребує введення криволінійних систем координат, де поверхні, що
обмежують тіло, описуються найбільш простим способом.
Отримання

рівнянь,
що описують рух таких об’єкт
ів, без застосування апарата тензорного числення
потребує багаторазового повторення складних і громіздких викладок у
кожному окремому випадку. Застосування тензорного апарату дозволяє
уникнути цих негативних явищ, і більш того, допомагає узагальнити

відомі

методи
розв’язання

на велике коло
прикладних
задач.

Найпростішими тензорними величинами є скаляри, вектори, а також
величини, що характеризують деформації, напру
ження
, пружні константи
матеріалів
тощо
.
У
сіх їх об’єднує не фізична природа, а сукупність пе
вних
математичних операцій, які складають основу тензорного числення, головною
характеристикою якого є інваріантність математичних записів по відношенню
до перетворення системи координат, у якій розглядається об’єкт

Основн
ою

мет
ою

даного посібника
є
допом
ог
а

студентам
у оволодіванні
основн
ими

поняття
ми

та

метод
ами

тензорного аналізу в найбільш простій для
сприймання формі, методом поступового узагальнення від окремих випадків до
загальних понять. Зміст посібника потребує від студента елементарних знань
і
з
векторної алгебри, аналітичної геометрії, математичного аналізу. Для
організації самостійної роботи студента в посібнику пропонуються варіанти
індивідуальн
ого

типового завдання
, які допоможуть засвоїти основний
теоретичний й практичний матеріал.

5

1
.

Е
лементи векторної
і тензорної
алгебри


1.1

Вектори і скаляри


Скаляром

називається величина яка повністю характеризується одним
числом своїм числовим значенням. Приклад
ами

скалярів у фізиці
є

маса,
щільність, температура
, робота сил
и. Порівнюватися можуть тільки скаляри
однакової розмірності.
Два скаляра однакової розмірності називаються
рівними
,

якщо рівні їх числові значення.



Рисунок 1.

Геометричне поняття вектора.

Вектор
и



це
спрямовані відріз
к
и, дл
я яких

визначені лінійні операції
додавання та множення на число скаляр,
що

задовольняють від
омим правилам
векторної алгебри рисунок 1.

Приклад
ам
и векторів у фізиці
є

переміщення, швидкість, прискорення,
сила,
імпульс,
момент сили, напруженість електри
чного поля, поляризація.


Види векторів

у просторі
.

Згідно з фізичним змістом розрізняють вектори вільні, ковзні

і

зв’язані.

Вільни
м

вектор
ом

називають вектор, який
можна переносити паралельно
собі у будь яку точку простору.
Прикладом вільного вектора є

в
ектор
швидк
о
ст
і

при
поступально
му

ру
сі

твердого
тіла.

Вільний вектор у просторі
повністю визначається трьома числами, наприклад, своїми проекціями на осі
декартової системи координат, або довжиною та двома незалежними кутами
сферична система координат.

Ковзни
м

вектор
ом

називають вектор, який
можна переносити уздовж
прямої, яка визначає напрям вект
ора.
П
риклад
ом ковзного вектора може
служити

вектор сили
прикладен
ої

до твердого тіла.
Ковзний вектор потребує
для
визначення

у просторі п’ять чисел
,

н
априклад,

координати точки, через яку
проходить пряма три числа, кут який утворює пряма з певною віссю
координат та довжина вектора.

Зв’язани
м

вектор
ом

називають вектор, який

відноситься до певної точки
простору.
Прикладами таких векторів є

швидкість
та прискорен
ня точки
твердого тіла, що рухається довільно.

Зв’язаний вектор потребує шість чисел
для
визначення

у просторі,
н
априклад, координати точок
початку

та кінця
вектора.

Вільні вектори є найбільш загальним випадком
визначення

векторних
величин, тому у

подальшо
му будуть розглядатися тільки вільні вектори,
що
задані у тривимірному просторі.

6

1.2

Лінійна залежність векторів. Векторний базис


Вектори

називаються
лінійно залежними
, якщо існують скаляри
, хоча б один
і
з
яких не
дорівнює

нулю, такі що


Вектори

називаються
лінійно незалежними
, якщо з рівності

ви
пливає
, що

.

Для векторів тривимірного простору справедливі наступні т
вердження:



колінеарні вектори є лінійно залежними;



два неколінеарних вектори є лінійно незалежними;



три некомпланарних вектори є лінійно незалежними;



будь які чотири вектори є лінійно залежними.

Розклад векторів
.


Якщо три вектор


тривимірного простору
лінійно

незалежні, то
будь
-
який вектор


може бути єдиним чином розкладений
за

ци
ми

вектора
ми




(1.1
)


Векторний базис
.

Система будь
-
я
ких трьох лінійно незалежних

упорядкованих

векторів

називається базисом тривимірного простору.

Якщо вектори базису

взаємно ортогональні і їх довжини
дорівнюють

одиниці, то вони називаються
ортами

прямокутн
ої декартової
системи координат і позначаються
.

Положення
точки


в просторі однозначно визначається її
радіус
-
вектором

, тобто вектором, проведеним і
з початку координат
у

точку

.

У

прямокутній декартовій системі координат

радіус
-
вектор має вигляд

рисунок 

.



(1.
2
)



Рисунок 
.

7

1.3

Взаємні базиси


Два базиси

і
називаються
взаємними
, якщо їх вектори
задовольняють співвідношенням




З
о
значення ви
пливає
, що кожний вектор
основного
базису
перпендикулярний двом векторам взаємного базису, а з третім складає гострий
кут. Якщо на
двох взаємних базисах побудувати паралелепіпеди з об'ємами

і
, то ребра одного з них будуть
перпендикулярні граням іншого і навпаки.

Вектори одного базису виражаються через вектори іншого
за

формула
ми



(1.
3
)


(1.
4
)


(1.
5
)

,
,
,

де


Угода про підсумовування

(
Правило

Ейнштейна.

Якщо в будь
-
якому
індексному виразі деякий індекс

зустрічається двічі:
один раз


як нижній і інший раз


як верхній, то по цьому індексу проводиться
підсумовування

за усіма значенн
ями цього індексу. Знак

при цьому
не
пишеться
. Якщо підсумовування по однойменному індексу не
відбувається
, то
цей факт

буде

спеціально
обумовлюватися
.


Приклад 1.
1

Згідно з правилом
Ейнштейна

вираз
,

означає наступну суму:


.


8

В
ластивості взаємних базисів
.

1)
Якщо



базис прямокутної декартової системи координат, то
взаємний базис

співпадає з основним, тобто
,
,

2)
Взаємні базиси
є

обидва праві, або обидва ліві

і

виконується рівність




Коваріантні і контраваріантні координати вектора.

Будь який
вектор

можна р
озкласти
за

вектора
ми

основного й

взаємного
базисів

. (1.
6
)


(1.
7
)

Числа


називаються
контравар
і
антн
и
ми
, а числа



к
овар
і
антн
и
ми

компонентами вектора
.

На
ведемо геометричну ілюстрацію

взаємних базисів у

випадку, коли
вектор

лежить
в

площині векторів
.

(
р
исунок 3.



Рисунок

3
.


Коваріантн
і

компонен
ти


можуть бути знайден
і

або
за

складови
ми


вектора


у

взаємно
му

базис
і
, або
за

проекція
ми


вектора

на осі основного базису.

9

1.
4

Закон пер
етворення
компонент

вектора


Нех
ай у

системі координат,

що

визначен
а

базисом
,
є
відом
ими

контравар
і
антн
і


й

ковар
і
антн
і


компоненти вектора

. Визначимо в іншій
си
стемі координат
і
з базисом


контравар
і
антн
і


й

ковар
і
антн
і


компоненти
того ж вектора

.
Для цього п
омножимо обидві частини
рівності

на векто
р

, отримаємо
, звідки

або

, де
. (1.
8
)


Аналогічно
отримаємо закон
:



, де
.


(1.
9
)


Справедливі також

і зворотні закони
:


,

(1.
10
)


Відзначимо, що закон
и

перетворення

(1.8
-
1.10)

леж
а
ть в основі
аналітичного визначення ве
ктора.

Аналітичне поняття вектора.

Вектором називають математичний об’єкт, який в деякій системі
координат визначається трьома числами

або
, які при переході до нової
системи координат змінюються за законом 1
.9 або 1.8.


1.
5

Зв'язок між ковар
і
антн
и
ми

й

контравар
і
антн
и
ми


компонентами

вектора


Для встановлення співвідношення між

ковар
і
антн
ими

і контраваріантними
компонент
ами

вектора


помножимо

на


і

на
. М
аємо


і

.

П
означимо
:


,

(1.
1
1)



(1.
1
2)


Тоді отримаємо формули

,

(1.
1
3)


10

які
і виражають шукану залежність.

Відзначимо, що дев'ять величин
,
,

утворюють
метричний
тензор
.

Розглянемо квадрат довжини дуги

між двома нескінченно близькими
точками

і

в системі координат з базисом
(
р
исунок

4)
.



Рисунок 4
.


Для довжини дуги

справедливе співвідношення
,
нехтуючи нескінченно малою більш високого порядку
,

для квадрата

отримаємо


,


або, враховуючи 1.11, 1.1



(1.14)


де



контраваріантні, а



коваріантні компоненти вектора
.

Формули 1.14 визначають к
вадрат елементарної дуги в обраній системі
координат

через компоненти метричного тензора. Кажуть, що величини

або
 визначають
метрику простору,
арифметичні властивості якого
встановлюються
обраною системою к
оординат.

Зв'язок між величинами


і


отримаємо
,
розв’язавши

систему рівнянь

відносно
,
звідки

, де
,



алгебраїчне
11

доповнення,
що
відповід
ає

елементу


детермінанта


,

і

-

складають циклічну перестановку чисел
.

Таким чином
, звідки





(1.
1
5
)


аналогічно



,

(1.1
6
)


де
,
.


З
іншого

боку


,


звідки
,
.


Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах основного базису

визначається формулою
, а на вектора
х

взаємного базису



.



Запитання для самоперевірки


1. Сформулюйте означення скаляра та вектора. Наведіть фізичні приклади
скалярних і векторних величин.

. Перерахуйте основні види

векторів у тривимірному просторі.

3. Скільки чисел потрібно для однозначного визначення вільного вектора на
площині? Відповідь обґрунтуйте.

4. Сформулюйте означення лінійно залежних і незалежних векторів.

5. Доведіть, що будь
-
які три вектори на площині є

лінійно залежними.

6. Сформулюйте означення векторного базису. Які вектори називають ортами?
Що таке радіус
-
вектор точки?

12

7. Сформулюйте означення взаємного базису та його основні властивості. Що
таке коваріантні й контраваріантні координати вектора?

8.
У

чому полягає правило Ейнштейна
?

9. За яким законом змінюються компоненти вектора при переході до нової
системи координат? Сформулюйте аналітичне означення вектора.

10. Запишіть формули, які зв’язують коваріантні й контраваріантні компоненти
вектора.

Що та
ке метричний тензор?



13

. Криволінійні координати. Поняття тензора. Операції над тензорами.


2.1

Ортогональні базиси


Векторний базис називають
ортогональним
, якщо його вектори взаємно
перпендикулярні.

Для ортогонального базису основний базис співпадає
з
а напрямами
з
взаємним, звідки ви
пливає
, що матриця метричного тензора

має
діагональний вигляд, тобто відмінні від нуля тільки
. З формул

(1.
1
3)
, що

зв'язую
ть

ковар
і
антн
і

й

контравар
і
антн
і

компоненти вектора
, ма
єм
о



і


звідки отримаємо
.

Враховуючи 1.14, для квадрата елементарної дуги отримаємо








(
2
.
1
)


або








(
2
.
2
)


Велич
ини

,
,

називаються
коефіцієнтами
Ламе
.

У

прямокутній декартовій системі координат

,

ковар
і
антн
і

й

контравар
і
антн
і

компоненти вектора співпадають.


2.2

Криволінійні координ
ати


Положення
точки


у

просторі однозначно
визначається її радіус
-
вектором


відносно

деякої
точки

. Цей вектор не залежить від вибраної
системи координат, і визначається в будь
-
якій си
стемі координат трьома
числами
, які вже залежать від прийнятої системи координат способи
їх визначення.

Наприклад, якщо числа

означають в
зяті з певним знаком відстані
до трьох взаємно перпендикулярних пло
щин, що проходять через
точку
, то
матимемо прямокутну декартову систему координат

ПДСК
.

Нех
ай тепер



довільні, зафіксуємо

і
будемо
не
перервн
им чином

змінювати

числа
,

отримаємо

поверхн
ю

у

просторі
,
надаючи константі

різні значення
,

матимемо сімейство поверхонь
,
аналогічно фіксуючи
,

отримаємо ще два сімейства. Припустимо тепер,
14

що ці поверхні такі, що через ко
жну
точку


простор
у

проходить одна і лише
одна поверхня кожного сімейства. Тоді положення
точки


однозначно
визначається перетином цих поверхонь, які наз
и
в
аються

координатни
ми
поверхнями
, а величини констант




криволінійни
ми

координат
ами

точки

.

Ліні
я

перетину пар
и

координатних поверхонь

,


назива
є
ться
координатн
ою

ліні
єю

.

Вздовж цієї лінії змінює
ться тільки
координата
, зростання координати

визначає додатний напрям на
координатній л
і
нії.

Вид координатних поверхонь і ліній залежить від способу визначення
.

У криволінійній системі

координат уводять
локальний базис

,
вектори якого дотичні до відповідних координатних ліній і направлені у бік
зростання координат. Базисні вектори довільної системи координат є
локальними, тобто залежать від положення точки

простору

вектори
локального базису


р
ізні для різних точок простору

(
р
исунок
5
).

Якщо вектори базису взаємно перпендикулярні, то система координат
називається
ортогональною
.



Рисунок 5
.


Основною характеристикою будь
-
якої системи к
оординат є
метрика
,
тобто
співвідношення
, що визначає квадрат

елементарної дуги







(
2
.
3
)


15

О
сновні елементи простору
і
з системою координат

.

1)

Е
лемент дуги уздовж коор
динатної лінії


немає суми по i


(
2
.
4
)


2)

Елемент площі в координатній поверхні





(
2
.
5
)


де

-

складають парну перестановку чисел 1,,3.

3)

Елемент об'єму







(
2
.6)


де
.

Ортогональні координати.

Коефіцієнти Ламе.






(
2
.
7
)


де

-

коефіцієнти Ламе
,
які можно
визначити як границю
:
, де


приріст довжини дуги
-
ої
координатної лінії
,

що

відповідає приросту координа
ти


Елементи простору в ортогональній системі координат.

1)


немає суми по i

2)

немає суми по

)

3)



Приведемо дві, найбільш поширені у фізичних з
астосуваннях,
ортогональні системи криволінійних координат.


Циліндрична система координат
ЦСК.

Визначимо у просторі початок відліку


точку
, проведемо через цю
точку пряму з визначеним додатним напрямом


вісь відліку
, деяку
площину, що проходить через вісь
,

будемо вважати площиною відліку кута.
Положення будь якої точки

визначається

т
рьома

величинами:




відстань
від точки

до осі
,



кут між площиною відліку і площиною, що
16

проходить через точку

та вісь
,



проекція радіус
-
вектора точки

на
вісь
.


Сферична система координат ССК.

Визначимо у просторі початок відліку


точку
, проведемо через цю
точку вісь відліку першого кута
, площину, що проходить через ві
сь
,
будемо вважати площиною відліку другого кута. Положення будь якої точки

визначається трьома величинами:



відстань від точки

до точки

довжина радіус
-
вектора точки
),



кут між радіус
-
вектором точки

і
віссю
,



кут між площиною відліку і площиною, що проходить через
точ
ку

та вісь
.


Метрика в ортогональних координатах.

Виразимо

квадрат елементарної дуги в прямокутній декартовій,
циліндричній

і сферичній системах координат.

,

,

.

Коефіцієнти Ламе

у

прямокутній декартовій системі координат
,
у

циліндричній



,

,

,
у

сферичній


,
,
.


Зв'язок криволінійних координат з

прямокутними

декартовими

координатами
.

Нехай

у

просторі крім системи координат

зада
но

прямокутну
декартову систему координат
, то
ді

можна

отримати співвідношення
які виражають

пряму та зворотну

залежність

одних координат від інших
.


,
,



,

,


Передб
ачається, що якоб
і
ан
.

Запишемо співвідношення

прямої та зворотної залежності

у явному
вигляді для циліндричних і сферичних координат.


Ц
иліндричн
і

координат
и.


,

,



17

,
,
, де
.


С
феричн
і

координат
и.


,

,



,
,
,

де
,
.

Вектори локального базису.

О
бчислимо повний диференціал радіус
-
вектора
в системі координат


.


Звід
с
и знайдемо
вираз для ме
трики




(
2
.
8
)


Для векторів локального базису
отримаємо вираз





(
2
.
9
)

і для метричного тензора



сума по
р
)

(
2
.
10
)


д
е

,
.


У разі ортогональних координат маємо формулу для коефіцієнтів Ламе





(
2
.1
1
)



18

2
.
3

Поняття тензора


Визначимо

окрем
і

випа
дк
и

тензорів
у

тривимірному просторі.

Тензор нульо
вого рангу скаляр



це об'єкт
,

який

повністю визнач
ається

в
де
якій системі координат одним числом або функцією, яке не міняється при
зміні системи координат,
.

Тензор першого ранг
у

вектор



це об'єкт
,

який

у

де
якій системі
координат
визначається

трьома числами

, які при зміні системи координат
перетворюються

згідно із законом







(
2
.
12
)


Прикла
д
2
.1

Нехай задано

два лінійно незалежних вектори

у

системі
координат
і
з базисом
. З
компонент

цих векторів

і

складемо
всілякі
добутки
, позначимо їх

, всього отримає
мо 9 чисел. Знайти
закон перетворення
цих
чисел при переході до іншої системи координат
і
з
базисом

.

Розв’яз
ання
:

Використовуючи закон перетворення
компонент

вектора

(
2
.
12
)
, отримаємо
:


,

.


Величини

представляють приклад якісно нового, в п
орівнянні з
вектором і скаляром, об'єкта, що має
називається

тензор
ом

другого рангу.


Тензор другого рангу



це об'єкт,
який визначається

в
де
якій системі
координат 9

числами, які при зміні системи координат
перетворюються

згідно
із законом






(
2
.
13
)


Прикладами тензорів другого рангу можуть служити тензор напру
жень

, тензор деформацій

,

тензор моментів інерції

, метричний тензор

.

Відзначимо, що вектор тензор
першого

рангу ми визначили трьома його
контравар
і
антн
и
ми компонентами, але
він
також однозначно визначається і
за
допомогою трьох його ковар
і
антн
и
х
компонент

, які
перетворюються

згідно
із законом
.

Аналогічно, для тензорів другого рангу і вище можна розглядати
компоненти різного роду

-

контравар
і
антн
і
,
-

коваріантні,



змішані, закони перетворення для них виглядатимуть таким чином






19





Нагадаємо, що



коефіцієнти прямого
й

зворотного перетворення
векторів базисів

і
, тобто

,
.

Тензором n
-
го рангу 
-
раз
ів

контравар
і
антн
им

і 
-
раз
ів

ковар
і
антн
им

(n
=
r+s)

називається об'єкт, який у

де
якій системі координат визначається

числами компонентами

, що перетворюються при зміні системи
координат згідно із законом



(
2
.
14
)

т
ензор такого вигляду називають тензором типу

і позначають
.


Приклад
2
.2

Нехай задано

ковар
і
антн
і компоненти

тензор
а

другого рангу

і
матриця переходу від старої системи координат до нової

.

Знайти



коваріантні компоненти того ж тензора в новій системі
координат.

Розв’яз
ання
:

За законом перетворення
компонент

тензора

(2.13)

отри
маємо
:

аналогічно

,

,

,

,

,

,

,



Зв'язок між різними компонентами тензора
.

Компоненти тензора 
-
г
о рангу, у системі координат із
базисом
,
пов
'язані між собою формулами
:


,

,

,

,


,

,

.


20

Крапка підкреслює порядок проходження індексів, так у
перший індекс
нижній коваріантний, а другий


верхній контраваріантний.

Правило одержання одних
компонент

тензора через інші за допомогою
метричного тензора на
зивають операцією підняття опускання індексів у
компонент
ів

тензора.

Це правило полягає в тім,

що індекс, який піднімається 
опускається
переходить у метричний тензор, а на те місце, куди він повинен бути піднятий
опущений, ставиться німий індекс п
ідсумовування; другим німим
індексом підсумовування є вільний індекс метричного тензора.

Наприклад,

для тензора третього рангу
будуть

справедливі співвідношення



2
.
4

Дії над тензорами


Додавання
тензорів
.

Додавання визначається тільк
и для тензорів
одного

рангу й
структури
.
Сумою двох тензорів


називається тензор

того ж рангу й
структури

що й
тензори
, компоненти якого в деякій системі координат
дорівнюють сумам від
повідних
компонент

тензорів





(
2
.
15
)


Множення тензора на скаляр
.

Добутком тензора

на скаляр

називаєть
ся тензор
, компоненти
якого в деякій системі координат дорівнюють добутк
у

компонент

тензора

на
число






(
2
.
16
)


Множення

тен
зорів
.

Ця операція визначається для двох тензорів, незалежно від їх рангу й
структури
. Добутком двох тензорів

і


рангу

і

з компонентами
в
деякій системі координа
т


і

називається тензор


рангу

з компонентами





(
2
.
17
)


Взагалі

, тобто добуток тензо
рів не комутативний.


Операція перестановки індексів, або утворення ізомеру.

21

Два тензори

и

одного рангу й
структури

називаються рівними, якщо
рівні відповідні
компоненти

цих тензорів у деякій системі координа
т


.


В
ідзначимо, що з рівності
компонент

тензорів у якій
-
небудь системі
координат випливає їх рівність у будь
-
якій іншій системі координат.

Ізомер

утворюється при зм
іні порядку проходження верхніх

або нижніх
індексів. Наприклад,




По суті, ця операція є формальною.

Її значення виявляється
тільки
тоді,
коли вона комбінується з
іншими

операціями.


Згортання змішаного тензора згортка
.

Згортання


це
операція,

що

застосовується тільки до змішаних
компонент

тенз
ора.

Згортанням називається підсумовування
компонент

тензора по двох
різнойменни
х

верхній, нижній індексах.


Властивості:

1)
Згортання можна проводити для тензорів рангу
;

2)
При згортанні тензора рангу

по двох індексах одержимо тензор рангу



;

3)
Операцію згортання можна проводити кілька разів.


Приклад
2
.
3

Знайти вектор,

який

утвор
юється

множенням тензора

на
вектор

з наступним зго
ртанням по першому другому індексу тензора й
індексу вектора, якщо

компоненти тензорів задані матрицями


,
.


Розв’яз
ання
: У результаті добутку тензора на вектор одержимо тензор 3
-
го
рангу


з компонентами

, щоб не шукати всі 7
компонент
,
проведемо згортку

тензора

по першому верхньому індексу й нижньому
індексу



22





Якщо
,

провести згортку по другому верхньому індексу тензора й індексу
нижньому вектора
,

одержимо інший результат







Множення з наступним згор
танням часто називають
скалярним добутком

тензорів.

Одиничний тензор
.

Відомий з алгебри символ Кронекера

є те
нзором
другого рангу з одиничною матрицею


.


Компоненти одиничного тензора однакові у всіх координа
тних системах.

Множення на

з наступним згортанням часто використовується в
алгебраїчних виразах.


Приклад
2
.
4

Спростити вираз
и
;
;


Розв’яз
ання
:

1)

-

тотожне перетворення перейменування індексу

2)

3)


Діадний добуток векторів
.

Якщо розглянути всілякі добутки
компонент

двох векторів
,
одержимо дев'ять
компонент
, що утвор
юють тензор другого рангу, який
називається діадним добутком векторів
.

23

Діадний добуток не комутативний
. Але матриця

є
транспонована матриця
.
Аналогічно до

запис
у

вектора

тензор
з
компонентами

можна записати так




Узагальнюючи цей спосіб на випадок тензора будь
-
якого рангу, одержимо




у виразі

ве
ктор
и

мають визначений порядок, підсумовування
проводиться
за

у
сі
ма

індекса
ми

.



.5 Фізичні приклади тензорів.


Розглянемо деякі фізичні приклади тензорів другого рангу.

Тензор напруження.

Механічним напруженням називається міра і
нтенсивності
внутрішніх сил
,
розподілених по перетинах, тобто зусилля, що припадають на одиницю площі
перетину
тіла. Напруження є векторною величиною.

Напружений стан
суцільного
середовища вважають відомим, якщо відоме
напруження на будь
-
якій
елементарній
площ
инц
і, що проходить через задану
точку. Вектор напруження

в даній точці можна визнач
ити як границю
відношення зусилля

до площі площинки
, коли остання стягується до
точки.

Вектор напруження
є функцією точки та орієнтації площ
ин
ки,

тобто

для
визначення напруженого стану в точці необхідно знати

нескінченну сукупність
векторів

на всіх площ
ин
ках, що проходять через

дану

точку. Для визначення
напруженого стану в точці потрібна величина, яка є однозначною функцією
точки, тобто не залежить від орієнтації площ
ин
ки і визначає на
пру
ження

на
будь якій площ
ин
ці з нормаллю
. Такою величиною є
тензор напруження
.

Розглянемо елементарний тетраедр, що вирізаний в середовищі навколо
точки
, три ребра якого напр
ям
лені уздовж осей декартової сис
теми
координат

(
р
исунок
6
)
. Нехай



площа грані ортогональн
ої

до осі
, а



площа грані з нормаллю
.


24

Рисунок 6
.


Сила, що діє на тетраедр виражається через на
пру
ження

, що
прикладені до внутрішніх сторін граней тетраедра. Нехай



прискорення
центру інерції тетраедра,



вектор масових сил,



маса тетраедра.
Запишемо за
кон руху центру інерції тетраедра


Перейдемо до границі
,

стягуючи тетраедр до точки
.
Відзнач
имо, що
члени з

пропорційні об’єму, тобто мають більш високий порядок малості
,

ніж члени з
, тому, відкидаючи їх, отримаємо співвідношення


далі врахуємо, що

звідки


сума по
),

а
бо в проекціях на осі координат
.

Тут




сукупність дев’яти компонент напружень, нормальних при

і дотичних при

на трьох взаємно ортогональних площадках в точці
(
р
исунок
7
)
. Ці дев’ять величин
не залежать від орієнтації площадки, а
тільки від точки

і
мають

назву
тензора напружень
.

Розглянемо закон перетворення компонент тензора напружень при зміні
системи координат. Нехай

та вісь нової системи коор
динат направлена по
нормалі
. Якщо



орти старої системи координат, а



орти
нової системи координат, тоді
. Знайдемо проекцію вектора

на

у
координатн
у вісь старої системи координат

.

Таким чином,
сума по
. Далі
розглянемо добуток
, або
.
З
останньої ф
ормули випливає, що

компоненти

змінюються за тензорним
законом.


Рисунок
7
.

25


Тензор моментів інерції.

Розглянемо систему матеріальних точок, яка довільно рухається у
просторі.
Вектор моменту імпуль
су


цієї системи
відносно початку деякої
системи координат є сумою усіх моментів імпульсу точок системи
, де


радіус
-
вектор
,



імпульс
-
ої
точки системи
.

Якщо в
процесі руху відстані між точками системи не змінюються і зберігаються
відстані від точок до початку координат, то система моделює
тверде тіло з
нерухомою точкою

у початку координат.
Вектор імпульсу

-
ої точки си
стеми
виражається за формулою

не
має суми по
)
, де


маса та
швидкість
-
ої точки. Причому у випадку
твердого тіла з нерухомою точкою
швидкість виражається за форму
лою Ейлера через миттєву кутову швидкість
системи
:
. Тоді для вектору

отримаємо:


За формулою для подвійного векторного добутку

отримаємо
.

Запишемо останню рівність в проекціях на
вісі декартової системи
координат
, де


координати
-
ої точки,


сума по
).

Заміняючи в останній формулі
, запишемо

,

де

.

Дев’ять величин

складають тензор другого рангу, що
називається

тензор
ом

моментів інерції

с
истеми матеріальних точок.

Осьові та центробіжні
моменти інерції системи виражаються через компоненти

наступним чином

,

26

,

,

,

,

.



Запитання для самоперевірки


1. Визначить поняття координатної поверхні та координатної лінії. Що таке
криволінійні координати точки у просторі.

. Які координатні поверхні і лінії має прямокутна декартова система
ко
ординат?

3. Чому векторний базис в криволінійній системі координат називають
локальним?

4. Яку систему координат називають ортогональною? Що таке коефіцієнти
Ламе?

5. Запишіть формули для основних елементів простору в довільній
криволінійній системі коорд
инат.

6. Як визначаються у просторі циліндричні та сферичні координати точки.
Побудуйте координатні поверхні та лінії сферичної та циліндричної системи
координат. Чому дорівнюють коефіцієнти Ламе для цих систем координат.

7. Запишіть формули зв’язку цилінд
ричних та сферичних координат з
прямокутними декартовими координатами.

8. Сформулюйте поняття тензору другого рангу. Які назви мають тензори
нульового і першого рангу? Визначте тензор довільного рангу.

9. Перерахуйте основні операції над тензорами. Як визн
ачається операція
згортання тензора.

10. Наведіть фізичні приклади тензорів другого рангу. Запишіть формули, за
якими осьові і центробіжні моменти інерції системи матеріальних точок
виражаються через компоненти тензора моментів інерції.

27

3

Векторний і тензо
рний аналіз


3
.1 Тензорне поле. Тензор
-
функція


Тензорне поле
.

Якщо кожній точці

деякої множини

тривимірного простору

однозначно
поставлено у відповідність

значення
деяк
ої

тензор
ної ве
личини

,
то кажуть, що задано поле цього тензора і пишуть
,
.

Прикладами о
крем
их

вид
ів

тензорних полів
є

скалярне поле
,
векторне поле
, пол
е тензора 
-
го рангу
.
Положення
т
очк
и


однозначно
визначає її радіус
-
вектор
, таким чином, ми можемо
розглядати дані поля як функції радіуса
-
вектора

:
,
,
,
.

Тензор
-
функція скалярного аргументу
.

Якщо кожному значенню скалярної величини

однозначно
зіставлене значення тензорної величини
, то кажуть
, що задана

тензор
-
функці
я

скалярного аргументу і пишуть
,
.

Похідною тензор
-
функції
за

скалярн
и
м аргумент
ом

називається
границя

.

Похідна тензор
-
функції
за

скалярн
и
м ар
гумент
ом

є тензором того ж рангу

що й
, і

обчислюється за звичайними правилами диференціювання
компонент

тензора.


Приклад
3
.1

Зад
ан
о

компоненти тензора другого рангу



знайти
.


Розв’яз
а
ння
:

.


Потік тензорного поля
.

28

Потоком тензорного поля

через двосторонню поверхню

називається поверхневий інтеграл
.

Для тензора друго
го рангу, в координатній формі, отримаємо
.

Потік тензора другого рангу
є

вектор
ом
.


Приклад
3
.
2

Знайти потік одиничного тензора

через довільну замкнену
поверхню
.

Розв’яз
аня
:

або
,

помножимо
скалярно
обидві частини
останньої рівності
на довільний сталий вектор
,
і застосуємо

теорем
у

Остроградського



Гауса

звідки, за
умови довільності вектора
, отримаємо
.

Розглянемо докладніше окремі випадки тензорних полів.


3
. Скалярні поля і їх характеристики


Нехай задан
о

скалярне поле
,
.

Фізичними прикладами скаля
рних полів можуть служити: поле
об’ємної

щільності речовини, що заповнює деяку просторову область

, поле
температури в нагрітому тілі
.


Види скалярних полів.


Якщо скалярне поле у всіх точках області визначення приймає стале
значення
,

то його називають
однорідним,
якщо скалярне поле змінюється від
точки до точки
,

його називають
неоднорідним.

На практиці часто зустрічаються приклади скалярних величин, які
залежать не тільки від точки простору, але й від часу, наприклад
,

температура
наг
рітого тіла змінюється з часом за рахунок теплообміну з оточуючим
середовищем
.

Якщо скалярне поле залеж
и
ть від часу, його називають
нестаціонарним
.

Якщо скалярне поле не
залежить

від часу, його називають
стаціонарним
скалярним полем.


В подальшому будуть р
озглядатися лише стаціонарні скалярні поля.


Геометричні властивості.

В загальному випадку скалярне поле
,

називають
тривимірним.


29

Скалярне поле називають
плоским
, я
кщо в деякій
прямокутній
системі
координат
в
оно

залежить

лише від двох координат
.

Наприклад, поле розподілу температури середовища навколо рівномірно
нагрітого циліндра нескінченної довжини є плоским
, тому що в будь якій
площині перпендикулярній осі симетрії циліндра розподіл температур буде
однаков
им.

Скалярне поле називають
одновимірним
, якщо в деякій прямокутній
системі координат воно
залежить

лише від однієї координати.

Наприклад, температурне поле стал
ої

вод
и

водойма

залежить

лише від
глибини.

Скалярне поле називають
осесиметричним
, якщо в деякі
й циліндричній
системі координат воно не
залежить

від кутової координати
.

Якщо скалярне
поле
залежить

лише від координати
, його називають
осевим.

Скалярне поле називають
центральним,
якщо в деякій сферичній с
истемі
координат воно залежить лише від координати
. Наприклад, гравітаційний
потенціал матеріальної точки


маси

дорівнює

, де

-

гравітацій
на стала
.

Визначимо основні характеристики

скалярних полів
.



Поверхн
і

рівня
.

Поверхнею рівня

скалярного поля

називають
сукупність точок
деякої множини
, у яких функція

приймає одне і т
еж
стале
значення.

Рівняння поверхні рівня має вигляд:



,

(3.1)


Надаючи константі


різні значення, отримаємо сімейство поверхонь,
щільність
розподілу яких може характеризувати швидкість зміни скалярного
поля в різних точках.


Похідна
за

напрям
ом
.


Нехай
у

скалярному полі

зафіксована точка

і деякий
напрям, який визначається одиничним вектором
. Виберемо іншу точку

таким чином, щоб вектор

був колінеарний до вектора

.

Позначимо

,
.

Похідною скалярного поля

в точці

за

напрям
ом


називають границю

.


30

Якщо у просторі обрано ПДСК
,

похідна за напрямом визначається
формулою:


,


де

-

напрямні косинуси вектора
.

Фізичний зміст.

Похідна
за

напрям
ом

характеризує швидкість зміни скалярного поля в
даній точці в даному напрямі.

Якщо напрям вектора

є дотичним до поверхні рівня, яка проходить

через
дану точку
,

то

на поверхні рівня
скалярне
поле
є
стал
им
).


Градієнт скалярного поля
.

Визначимо
в точці

вектор,
похідна
за

напрям
ом

якого набуває
найбільшого значення
.

Ц
ей вектор називають градієнтом с
калярного поля

в
точці
.

Нехай
у просторі

визначено


прямокутн
у

декартов
у

систем
у

координат

і задано

скалярне поле
, що
має неперерв
ні похідні першого
порядку.

Г
р
адієнтом скалярного поля

в точці

назива
ю
ть
вектор

,

який має координатами
частинні
похідні поля в даній
точці
.

Тобто в ПДСК, за означенням:






(
3
.
2
)


Властивості градієнта
.

1)
Градієнт
в точці
є
ортогональни
м

до поверхні рівня
, що проходить
через точку
.

2)
Похідна
за

напрям
ом в точці

дорівнює проекції градіє
нта на даний
напрям, тобто
.

3)
За

напрям
ом

градієнта скалярне поле

має найбільшу
швидкість зростання, і величина цієї швидкості дорівнює модулю градієнта
.

.


Оператор


набла.

Якщо ввести символічний оп
ератор
-
вектор:

31





(
3
.
3
)

то
формула 3.
прийма
є більш
простий вигляд


.

Запишемо за допомогою оператора

влас
тивості градієнта
,

пов’я
зані з
арифметичними операціями. Нехай



довільні диференційовні скалярні
поля,



стале скалярне поле.

1)

2)

3)

4)

Якщо у просторі задана ортогональна криволінійна система
,
з
локальним базисом
,
то

градієнт визначається
формулою:



(
3
.
4
)


де


коефіцієнти Ламе.

Прикл
ад
3
.
3

Для

скалярн
ого

пол
я


й

точ
ок

,
.

Знайти
:


а поверхні рівня, що проходять через точки
,
;

б похід
ну поля

в точці

за

напрям
ом

вектора
;

в напрям та швидкість най
швидшого

зростання поля

в точці
.

Розв’яз
ання
:

а знайдемо поверхню рівня,

що проходить через точку
, за рівнянням 3.1 отримаємо:

це

однопорожнинний гіперболоїд

(
р
исунок
8
)
.

32

.


Рисунок
8
.


Аналогічно для точки

отримаємо




конус 
р
исунок
9
)
.


Рисунок
9
.

На графіках координати

позначені

відповідно.

33

б знайдемо напр
я
мні

косинуси вектора
,

для цього нормуємо вектор
,

. П
означимо
.

З
найдемо частинні похідні
скалярного поля
в точці




тоді

і похідна
за

напрям
ом

вектора

дорівнює

проекції
градієнта на цей вектор
.

в
напрямом
найшвидшого

зростання скаля
рного поля в точці

буде
напрям градієнта поля в цій точці, тобто напрям вектора:


Максимальна ш
видкість
зростання поля
дорівнює модулю градієнта:


Приклад
3
.
4

Знайти
, де



скалярне поле
, що задане

в
сферичній системі координат.

Розв’язок:

В сферичній системі координат:

,
,
,

тоді
за формулою 3.4 отримаємо:

,
.


3
.
3

Векторні поля та їх характеристики


Нехай у просторі задан
о

прямокутн
у

декартов
у

систем
у

координат

і векторне поле
,
.

Види векторних полів.

Як
і скалярні поля, векторні поля можуть бути
стаціонарними

і
нестаціонарними
. У першому випадку вектор залежить тільки від точки
простору, у другому


від точки і часу.

34

Можна також виділити
однорідні

і
неоднорідні

векторні поля. Значенням
однорідного векторн
ого поля у всіх точках простору є один сталий вектор.

В подальшому векторним полем будемо вважати стаціонарне векторне
поле.

Векторне поле називають
двовимірним одновимірним,

якщо в деякій
прямокутній системі координат


воно не
зал
ежить

від координати

координат
).

Двовимірне векторне поле

називають
плоским
, якщо в тій системі координат, в якій воно не
залежить

від
координати

компонента ве
ктора
.

Двовимірне векторне поле, яке не є плоским, називають
плоскопаралельним.

Векторне поле називають
осесиметричним
, якщо в деякій циліндричній
системі координат


воно не
залежить

від кутової координати
, причому
в кожній точці вектор поля паралельний площині
, що проходить через точку і
вісь
.

Осесиметричне векторне поле називають

осевим
,
якщо його вектор у всіх
точках паралельний площині
,

перпендикулярній осі
.

Векторне поле

називають
центральним,
якщо

його вектор має
вигляд
, де


радіус
-
вектор точки
,




довільна скалярна
фу
нкція довжини радіус
-
вектора.

Приклад 3.
5

Тверде тіло, що обертається навколо осі
з сталою

кутовою
швидкістю

, замітає деяку осесиметричну
замкнену
область простору
.

В
ектори швидкості точок твердого тіла в обл
асті

утворюють
векторне поле

, яке можна визначити умовою
,

де



радіус
-
вектор точки
.

Переконатись, що це векторне поле є плоским.

Розв’яз
ання
:

Оберемо прямокутну декартову систему координат


таким чином щоб вісь обертання співпадала з віссю

і вектори

і

були
співнаправлені

(
р
исунок
10
)
. Тоді

, де



модуль вектора кутової
швидкості
.


Рисунок

10
.

35

Р
адіус
-
вектор матиме вигля
д


і для векторного добутку
отримаємо:

.

У введеній системі координат вектор

не
залежить

від координати
, причому
, тобто маємо приклад
плоского

векторного поля.

Якщо, тверде тіло б
уде поступово і рівномірно

рухатися

уздовж осі
обертання

з швидкіст
ю
, абсолютна величина якої дорівнює
, то
отримаємо
приклад
плоскопаралельного

векторного поля
з вектором


.


Визначимо основні характеристики

векторних полів
.


Векторні лінії
.


Гладка крива

називається
векторною лінією

векторного поля
,

якщо в кожній її точці

дотичний вектор є колінеарним вектору поля
.

Якщо поле


неперервно
-
диференційовне
,

то
дл
я визначення
векторних ліній
маєм
о систему
диференціальних

рівнянь





(
3
.
5
)



Якщо поле задано в криволінійних ортогональних координатах

то система матиме вигляд
:






(
3
.
6
)


де


коефіцієнти Ламе.


Приклад
3
.
6

Знайти векторні лінії поля
.

Розв’яз
ання
:

Із означення виходить, що векторними лініями поля

є інтегральні криві

системи
диференціальних
рівнянь
, яка може бути розв’язана або методом знаходження
інтегральних комбінацій, або зведена до
нормальної
системи та розв’язана в
параметричному вигляді.

Розглянемо обидва
способи
.

36

Перший спосіб.


Запишемо систему 3.5 для заданого векторного поля:


Використаємо таку властивість рівних відношень:

Якщо
, то

для будь
яких
.


звідки





це один інтеграл системи, другий
знайдемо з умови

звідки



очевидно,
що знайдені перші інтеграли незалежні, так що векторні лінії цього поля це
лінії

перетину поверхонь
, тобто кола у прсторі
.

Другий спосіб
.

Перейдемо
від 3.5
до системи
диференціальних

рівнянь у нормальному
вигляді:

,

де

будь
-
яка напе
ред вибрана
функція,

візьмемо, наприклад,
,

тоді


звідки
отримаємо
систему:



3
7

Диференціююч
и перше рівняння, отримаємо

, користуючись
другим та третім рівняннями, отримаємо лінійне диференціальне рівняння
другого порядку з сталими коефіцієнтами

загальний розв’язок
якого має вигляд
. Невідомі


та

знайдемо,
інтегруючи друге та трете рівняння системи
.

О
статочно отримаємо
параметричні рівняння векторних ліній поля:




Векторні поверхні
.

Гладка крива

називається
трансверсальною

векторному полю
,
якщо в кожній її точці

дотичний вектор не є колінеарним вектору поля
.

Множина усіх векторних ліній, що проходять через точки тра
нсверсальної
кривої
, утворює поверхню
, яка називається
векторною поверхнею

векторного поля
.

Якщо крива

замкнена, векторну поверхню

нази
вають векторною трубкою.


Потік векторного поля
.

Якщо у
певному векторному полі

задана двостороння поверхня


з
вектором нормалі
, то потоком векторного поля

чер
ез поверхню

за

напрям
ом

нормалі

називається поверхневий інтеграл



(
3
.
7
)


або

де


прое
кція вектора

на
вектор

нормалі
.

Якщо поверхня

є векторною поверхнею поля
, то
, тому що
в цьому випадку
.

38


Фізичний

зміст потоку векторного поля.

Якщо векторне поле


описує поле швидкостей при течії рідини в
області
, то потік векторного поля

через поверхню

виражає
об’єм рід
ини, що проходить за одиницю часу через поверхню
.

Розглянемо потік

векторного поля

через замкнену поверхню
,
що обмежує область
,

за напря
мом зовнішньої нормалі
. Можливі три
випадки
для значення потоку
.

1 Якщо
, то в області

існують джерела рідини.

 Якщо
, то в області

існують стоки рідини.

3 Якщо
, то виникає невизначеність, або в області

не має джерел
і стоків, або вони мають рівну інтенсивність.

Третій випадок показу
є
, що для визначення інтенсивнос
ті джерел та стоків
потік векторного поля не є задовільною характеристикою, потрібна нова
характеристика, яка визначатиме

їх

інтенсивність в кожній точці області
,
такою характеристикою є дивергенція векторного поля.


Дивергенція век
торного поля
.

Дивергенцією векторного поля

в точці

називається границя





(
3
.
8
)


де


замкнена поверхня, яка обмежує дея
кий окіл точки
,


об’єм, що
обмежує поверхня
,



вектор зовнішньої нормалі до поверхні
,

означає
, що поверхня стяг
ується в точку
.

Дивергенція векторного поля є скалярною величиною

утворює скалярне
поле, яка не
залежить

від системи координат, але формула для її обчислення
залежить

від обраної системи координат.

В

прямокутній декартовій системі

координат

у випадку
неперервно
-
диференційовного поля, дивергенцію в кожній точці можна знайти
за

формул
ою:








(
3
.
9
)


Якщо поле задано в криволінійних ортогональних коо
рдинатах
,
то





(
3
.
10
)

39


де


коефіцієнти Ламе.

За допомогою оператора

дивергенцію записується як скалярний добуток

векторів

.


Циркул
яція векторного поля
.

Циркуляцією векторного поля

вздовж замкненої кривої
, яка задана
параметричним рівнянням
, називається криволінійний інтеграл




(
3
.
11
)


Векторний елемент

можна записати у вигляді
, де

-

одиничний дотичний вектор кривої
,

-

еле
мент довжини дуги кривої
,
тоді
.

В

прямокутній декартовій системі координат

цей інтеграл має
вигляд







(3.12)


Ротор векторного поля
.

Ротором векторного поля

в точці

називається границя



(
3
.
1
3
)


де


замкнена поверхн
я, яка обмежує деякий окіл точки
,


об’єм, що
обмежує поверхня
,



вектор зовнішньої нормалі до поверхні
,


о
значає
, що поверхня стягується в точку
.

Ротор є

вектором
, напрям

якого
залежить

від орієнтації системи координат
.

Т
акі вектори називають
аксіальними
, або псевдовекторами
.

У

прямокутній декартовій системі координат



справедлива
формула

,

або







(
3
.1
4
)

40


Якщо поле задано в криволінійних ортогональних координатах
,
то




(
3
.1
5
)


де


коефіцієнти Ламе.


Основна властивість ротора векторного поля.

Проекція

на будь який напрям


в кожній точці поля
дорівнює
границі відношення циркуляції вздовж контуру,

що обмежує плоску
площинку
,
яку проведено через точку
перпендикулярно
, до площі цієї площ
ин
ки,
коли контур стягується в точку
.

Градієнт, дивергенцію
й

ротор можна розглядати як
д
ифере
нціальні
операції, які застосовуються до скалярних і векторних полів.

За допомогою
комбінацій цих операцій можна утворити диференціальні операції більш
високого порядку.



Диференціальні операції другого порядку
.

Якщо поле двічі неперервно
-
диференційовне,
то можна утворити такі
операції другого порядку:

1)
, де



оператор


Лапласа

в декартових координатах.

2)

3)

4)

5)
.

Запис

означає покоординатне застосування оператору Лапласа до
векторного поля
.


3.4
Інтегральні теореми у векторному вигляді


Теорема Остроградського
-
Гауса

у векторному вигляді коротко може бути
записана
так





(
3
.
16
)


41

де



замкнена поверхня, яка обмежує об’єм
,



вектор зовнішньої
нормалі до поверхні

ве
кторне поле



неперервно
-
диференційовне в
області

і на поверхні
.


Теорема Стокса

у векторному вигляді коротко може бути записана так






(
3
.1
7
)


де


замкнений
контур, який обмежує поверхню
,




вектор нормалі
до поверхні

напрям якого узгоджений з напрямом обходу контур
у
,
векторне
поле



неперервно
-
диференційовне на контурі

і на поверхні
.


Приклад
3
.
7

Знайти потік векторного поля



через зовнішню сторону
замкненої
поверхні

, що обмежена поверхнями

,
,
,

і

знаходиться у першому октанті.

Обчислення
провести

двома способами: безпосередньо

за означенням
потоку

та
за

теорем
ою

Остроградського

-

Гауса
.

Розв’яз
ання:

А

Перший спосіб безпосередньо
.

П
поверхн
я


є

кусково
-
гладк
ою

і складається з
гладких
поверхонь
:


:
,
:
,
:


площини,

:


параболоїд
,

Побудуємо
замкнену поверхню, яка
обмеж
ується

цими поверхнями

і

розташовується в першому октанті 
р
исунок 1
1
).



Рис
унок

1
1
.


42

За властивістю адитивності поверхневого інтеграл
а,

маємо


Розглянемо окремо кожний
інтреграл:

1)
:
,
,
,

розглянемо проекцію
поверх
ні

на площину



:
,
, тоді
для
елемент
а

площі
маємо


звідки отримуємо

.

2)
,
,

,
проекція



:
,
,

звідки


3)
:
,
,
,
проекція


:
,
,

звідки


4)
:
,
,
,

,
проекція


:
,
,
елемент площі



звідки отримуємо


Підсумовуючи результати 1


4
 отримаємо відповідь:
.

43

Б

Другий спосіб


за

теорем
ою

Остроградського
-
Гауса.

.

Знайдемо дивергенцію і елемент об’єму в прямокутній декартовій системі
координат

,
,

далі перейдемо в
потрійному
інтегралі до
циліндричних координат

, отримаємо

.


Приклад

3
.
8

Обчислити циркуляцію векторного поля

уздовж контуру

,
що є перетином д
вох поверхонь

,
, напрям обходу контру вибрати самостійно.
Обчислення
провести

двома способами: безпосередньо

за означенням циркуляції

та
за

теорем
ою

Стокса.

Розв’яз
ання
:

А

Перший спосіб


безпосередньо.

Конт
ур

є лінією перетину циліндра

та площини
,
тобто


це еліпс

(
р
исунок 1
2
)
.
Виберемо

на контурі додатний
напрям обходу, тоді

циркуляція визначається формулою 3.11
.



Рисунок 1
2
.


За
пишемо параметричні рівняння контуру


,
.


44

Підставляючи в 3.1 отримаємо




Б

Другий спосіб


за

формул
ою

Стокса.

В якості

поверхн
і

,
яку

обмежує контур

виберемо
площин
у

, тоді

циркуляцію можна обчислити за формулою Стокса 3.17.

Знайдемо нормаль
ний вектор


до
площини

:
,
напр
ям
як
ого

узгоджен
ий

з напрямом обходу контуру
,
з врахуванням нормування,
отримаємо
,

далі знайдемо

ротор векторного поля, його проекцію
на вектор нормалі та елемент площі поверхні

в про
екції на площину
.

,
,

.

Підставляючи в 3.17

і враховуючи, що проекцією поверхні

на площину

є круг
, остаточно отримаємо

.

Наведемо також приклади знаходження потоку та циркуляції для полів, які
задані у сферичних координатах.


Приклад 3.
9

Знайти потік векторного поля

через
поверхню сфери

за напрямом зовнішньої нормалі
.

Розв’яз
ання
:


А
Перший спосіб



з
а означенням
.

П
оверхня сфери

є координатною поверхнею сферичної системи
координат, тому
, де



елемент пл
ощі координатної поверхні

який
за формулою
(2.5)
дорівнює:
,
вектор нормалі до сфери

співпадає
за напрямом
з вектором локального
базису
, тобто

можна покласти

,

тому скалярний добуток

45

, замість

треба підставити рівняння поверхні



Б
Другий спосіб



з
а теоремою Остроградського
-
Гауса
.


Знайдемо диверг
енцію векторного поля
в сферичній системі координат:




.


Е
лемент об’єму в сферичній системі координат
має вигляд:
, звідки

за 3.16
для потоку

отримаємо


.


Приклад
3.
10

Обчислити циркуляцію векторного поля
, що

задане

в
сферичних координатах

, уздовж кола

,
.

46

Розв’яз
ання
:




сфера,



конус,



лінія перетину сфери та
конус
а
.

За формулою 3.11 циркуляція векторного поля уздовж контуру

дорівнює

, де
.

В

нашому випадку
:
,
,
,
.

Підставляючи в 3.11, отримаємо




.


3
.
5

Спеціальні векторні поля


Потенці
аль
ні векторні поля
.

Якщо векторне поле

є полем градієнта деякого скалярного поля
, то
векторне поле

називається
потенці
аль
ним
, а поле

його
скалярним
потенціалом.

Тобто за означенням
,


скалярній потенціал
.

Критерій потенці
аль
ності
.

Для того щоб диференційовне векторне поле

в
однозв'язн
і
й області

було потенці
аль
ним
,

необхідно і достатньо,
щоб
,
.

Наслідок
.

Циркуляція потенці
аль
ного поля

уздовж будь якого

замкнен
ого

контур
у

, що
знаходиться

усередині
,

дорівнює нулю.

Скалярний потенціал потенці
аль
ного
векторного
поля

можна знайти

розв’язуючи систему диференціальних рівнянь

або

за

формул
ою


47


(3
.18)


де



деяка фіксована точка поля,



довільна
точка поля.


Соленоїдальні векторні поля
.

Якщо поле

є полем ротора деякого векторного поля
, то
векторне
поле

називається
соленоїдальним
, а вектор

його
векторним потенціалом
,
т
обто
за означенням
,



векторний потенціал.

Критерій
соленоїдальності
.


Для того щоб диференційо
вне векторне поле

в
однозв'язн
і
й області

було соленоїдальним
,

необхідно
й

достатньо, щоб
,
.

Векторний потенціал соленоїдального поля в області

визначається
з

точністю до градієнта довільного скалярного поля, тобто якщо


векторний
потенціал поля
, то
вектор

також
є
векторни
м

потенціал
ом

векторного
поля
.

Таким чином
,

для знаходження векторного потенціал
а

достатньо знайти
деякий розв

язок

системи диференціальних рівнянь
,
наприклад,
можна вважати
, що

, тоді
отримаємо


(3.
19
)


Квазіпотенці
аль
не векторне поле
.


Якщо існує скалярне поле

таке, що

для
деякого

скалярного поля
,

то векторне поле

називається квазіпотенці
аль
ним.

Критерій квазі
потенці
аль
ності



.


Гармонічне векторне поле
.

Якщо векторне поле

є одночасно потенці
аль
ним і соленоїдальним, то
його називають гармонічним лапласовим
векторним
полем.

Потенціал
гармонічного векторного

поля
задовольняє

рівнянн
ю

Лапласа
, тобто є гармонічною функцією
.

Критерій гармонічності

векторного поля




Приклад
3
.
1
1

Переконатись, що векторне поле

потенці
аль
не, та знайти його
скалярний

потенціал.

Розв’яз
ання
: Перевіримо критерій потенці
аль
ності

48



.

Потенціал знайдемо
за

формул
ою

(
3
.
18
)
.

З
а

візьмемо
початок

координат, а за контур інтегрування ві
зьмемо л
а
ману, яка з’єднує точки

і

та
має
ланки паралельні осям координат
.

Т
оді
отримаємо


.


Приклад
3
.
1
2

Переконатись, що векторне поле

соленоїдальне та знайти

його векторний
потенціал.

Розв’яз
ання
:

Перевіримо критерій
соленої
дальності.


,


векторне поле



соленоїдальне.

Знайдемо векторний потенціал

з
векторного рівняння


,


нехай
,

тоді отримаємо систему

диференціальних рівнянь




нехай


49


таким чином

, у загальному
випадку

, де



довільне диференційовне скалярне поле
.


Основна
терема векторного аналізу
.

Довільне

неперервно
-
диференційовне векторне поле
, що задане у
будь
-
якій точці

тривимірного

простор
у

і

таке, що
,
,

,

може бути єдиним чи
ном
представлен
е

у вигляді суми потенці
аль
ного

й

соленоїдального

векторних полів, тобто
, де
,
.



Запитання для самоперевірки


1. Сформулю
йте поняття скалярного поля. Перерахуйте основні види
скалярних полів, наведіть фізичні приклади.

. Що таке поверхні рівня, які характеристики скалярного поля вони
визначають. Наведіть приклад скалярного поля, яке має поверхнями рівня
концентричні сфери.

3. Що називають градієнтом скалярного поля. Як визначається градієнт в
прямокутній декартовій системі координат? Які властивості має градієнт
скалярного поля?

4. Запишіть формулу для градієнта скалярного поля в ортогональній
криволінійній системі координа
т. Що таке оператор набла?

5. Сформулюйте поняття векторного поля. Перерахуйте основні види
векторних полів, наведіть фізичні приклади.

6. Що називають векторною лінією векторного поля? Запищіть систему
диференціальних рівнянь для визначення векторних ліні
й.

7. Сформулюйте поняття потоку векторного поля. В чому полягає фізичний
зміст потоку.

8. Яку характеристику векторного поля називають дивергенцією? Запишіть
формули для обчислення дивергенції в основних ортогональних системах
координат.

9. Що таке циркул
яція векторного поля? Визначте циркуляцію в прямокутній
декартовій системі координат.

10. Сформулюйте поняття ротора векторного поля. Запишіть формулу для
ротора в ортогональних координатах. Яким чином ротор пов'язаний з
циркуляцією векторного поля?

50

11. За
пишіть за допомогою оператора набла основні диференціальні операції
першого і другого порядку.

1. Запишіть теореми Острогадського
-
Гаусса і Стокса у векторному вигляді.
Сформулюйте умови цих теорем.

13. Яке векторне поле називають потенціальним? Що таке ск
алярний потенціал
векторного поля і як він знаходиться? Як переконатися, що задане векторне
поле є потенціальним? Доведіть рівність нулю циркуляції потенціального
векторного поля за будь
-
яким замкненим контуром.

14. Яке векторне поле називають соленоїдальн
им? Що таке векторний
потенціал векторного поля і як його знайти? Як переконатися, що задане
векторне поле є соленоїдальним? Доведіть рівність нулю потоку
соленоїдального векторного поля через будь
-
яку замкнену поверхню.

15. Які векторні поля називають гар
монічними? Запишіть критерій
гармонічності векторного поля. Наведіть приклад гармонічного поля.

16. Сформулюйте основну теорему векторного аналізу.

51

Індивідуальне

завдання


1.

Довести, що вектори


утворюють базис
, знайти
координати вектора

в цьому базисі
.

2.

Задано базис
, вектори якого виражені через орти
прямокутної декартової системи координат
.

Визначити:

а праву
чи

ліву систему координат утворює

базис
;

б вектори взаємного базису
;

в об'єми паралелепіпедів побудованих на векторах основного й


взаємного базисів
;

г ко


і контраваріантні компоненти вектора
;

д
ко


і контраваріантні компоненти метричного тензора
.

3.

Задано компоненти тензора другого рангу

в базисі

й
новий базис
. Знайти аналогічні
за

будов
ою

компоненти
тензора

в новій системі координат.

4.

Задано тензор


і

вектор

.

З
найти вектор, утворений
множенням тензора на вектор із подальшою згорткою
за

перш
и
м
індекс
ом

тензора й індекс
ом

вектора.

5.

Зада
но скалярне поле

й

точки
,
.

Знайти
:

а поверхні рівня, що проходять через точки

і
.

б похідну поля

в точці

в напрямку

вектора
.

в напрям і швидкість най
більшого

зростання поля

в точці
.

6.

Знайти потік векторного поля

через поверхню
.
Обчислення провести дво
ма способами: безпосередньо і
за

теорем
ою

Остроградського
-

Гауса.

7.

Знайти циркуляцію векторного поля

уздовж контуру
.
Обчислення провести двома способами: безпосередньо і
за

теорем
ою

Стокса.

8.

Переконатися, що в
екторне поле

є потенці
аль
ним і знайти
його скалярний потенціал.

9.

Переконатися, що векторне поле

є соленоїдальним і знайти
його векторний потенціал.

10.

Обчислити в криволінійній системі координат.

11.

Обчислити потік
векторного поля

через поверхню
, в
криволінійній системі координат.

12.

Обчислити циркуляцію векторного поля

уздовж контуру


в криволінійній системі координат.


52

Заува
ження:

В

задачах 1
-

6

використовуються нижні індекси для
позначення декартових координат, тому що в прямокутній декартовій
системі координат взаємний базис збігається з основним, коваріантні
компоненти вектора збігаються з контраваріантними компонентами
,
при
виконанні роботи допускається замінити декартові координати

на
.

В задачах 11
-
1
2

циліндричні координати позначені
, сферичні


.


Варіант 1


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,
,

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

, де
.

11.


через поверхню сфери
.

12.

, уздовж кола
,
.


Варіант 


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

53

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,
,


7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт циліндричної системи координат
.

11.


через поверхню сфери
.

12.

, уздовж кола
,
.



Варіант 3


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.

,

,
.

6.

,
,

,

,
.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.


в
сферичній

системі координат.

54

11.


через п
о
верхню
:
,
,
.

12.


уздовж кола
,
,
.



Варіант 4


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.

,

,
.

6.

,
,
,
,
.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт
циліндричної

системи коор
динат.

11.

, через поверхню
:
.

12.

, уздовж контуру
:
,
.


Варіант 5


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

55

4.

,
.

5.

,

,
.

6.

,
,
,
,

.

7.

,
,

.

8.

.

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт циліндричної системи координат.

11.

, че
рез поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.



Варіант 6


1.

,

,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.

,

,
.

6.

,
,
,


,
.

7.

,
,
.

8.

.

56

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт циліндричної системи координат.

11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.



Варіант 7


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.

,

,
.

6.

,
,

,

,
.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт сферичної системи координат.

11.

,
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.


Варіант 8


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

57

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,


,
.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт сферичної системи координат.

11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.


Варіант 9


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,

,

.

7.

,
,
.

8.

.

58

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт сферичної системи координат.

11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.


Варіант 10


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,

,

,
.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

, де

-

одиничний орт циліндричної системи

координат.

11.

, через по
верхню
:
,
,
.

12.

,

уздовж контуру
:
,
.


Варіант
1
1


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

59

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,
,

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

, де
.

11.


через поверхню сфери
.

12.


уздовж кола
,
.


Варіант
1
2


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,
,

.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

,
в

циліндричн
ій системі

координат.

60

11.


через поверхню сфери
.

12.

, уздовж кола
,
.



Варіант
1
3


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.

,
,
.

6.

,

,
,

,


.

7.

,

,
.

8.

.

9.

.

10.


в циліндричній системі координат.

11.


через п
о
верхню
:
,
,
.

12.


уздовж кола
:
,
,
.



Варіант
1
4


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,

.

61

4.

,
.

5.

,
,
.

6.

,
,
,
,
.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

.


11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.

, уздовж контуру
:
,
.


Варіант
1
5


1.

,
,
,

.

2.

,
,
,
.

3.

,
,
,
.

4.

,
.

5.

,
,
.

6.

,
,
,
,


7.

,
,

.

8.

.

9.

.

10.


62

11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.



Варіант
1
6


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
.

4.

,
.

5.

,
,
.

6.

,
,
,
,

.

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

.

11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.


Варіант
1
7


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
.

63

4.

,
.

5.

,
,
.

6.

,
,

,

,

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

.

11.

, через поверхню
:
,
,

.

12.


уздовж контуру
:
,
.


Варіант
1
8


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,


,

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

.

11.

,
:
,
,
.

64

12.

,

:
,
.


Варіант
1
9


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
.

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,
,

,

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

.

11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.


Варіант
2
0


1.

,
,
,
.

2.

,
,
,
.

3.

,
.

65

4.

,
.

5.


,
.

6.

,
,

,

,

7.

,
,
.

8.

.

9.

.

10.

.

11.

, через поверхню
:
,
,
.

12.


уздовж контуру
:
,
.


66

Предметний
покажчик


А

аксіальний вектор 37


В

вектор 5, 16

вектор вільний 5

вектор зв'язний 5

вектор імпульсу
24

вектор ковзний 5

вектор моменту імпульсу 3

векторна поверхня 35

векторне поле 31

векторний базис 6

векторний потенціал 45

векторні лінії 33

взаємний

базис 7


Г

гармонічне векторне поле 45

градієнт 8


Д

двовимірне векторне поле 3

дивергенція векторного поля 36

діадний добуток 1


З

закон перетворення компонент вектора 9

закон перетворення компонент тензора 17

згортання тензора 0


І

ізомер
19


К

к
вазіпотенціальне векторне поле 45

коваріантні координати 8, 17

коефіцієнти Ламе 1, 14, 16

контраваріантні координати 8, 17

координатна лінія 1

координатна поверхня 1

криволінійні

координати 1

критерій потенціальності 44

критерій соленої
дальності 45


Л

лінійна залежність 6

лінійна незалежність 6

локальний базис 1, 15, 16


М

метрика простору 10

метричний тензор 10


Н

нерухома точка 4

нестаціонарне векторне поле 31

нестаціонарне скалярне поле 7


О

одиничний тензор 1

одновимір
не векторне поле 3

одновимірне скалярне поле 7

оператор набла 9

оператор

Лапласа 38

орт 6

ортогональні координати 13, 14

осеве векторне поле 3

осе
симетричне

векторне поле 3

осесиметричне скалярне поле 7

ортогональний

базис 11


П

плоске вект
орне поле 3

плоске скалярне поле 7

плоско
паралельне

векторне поле 3

поверхня рівня 7

потенціальне векторне поле 44

потік векторного поля 35

потік
тензорного

поля 6

похідна за напрямом 8

правило Ейнштейна 7


Р

радіус
-
вектор 6

розклад векторі
в 6

ротор векторного поля 37


С

символ Кронекера 1

скаляр 5, 16

скалярне поле 6

скалярний добуток тензорів 0

скалярний потенціал 44

соленоїдальне векторне поле 45

стаціонарне векторне поле 31

стаціонарне скалярне поле 7

сферична система коорд
инат 14

сферичні координати 15


Т

тверде тіло 4

тензор 16, 17

67


тензор другого рангу 17

тензор моментів інерції 3, 4

тензор напруження 

тензор
нульового

рангу 16

тензор першого рангу 16

тензорне поле 5

тензор
-
функція 5

теорема Остроградськ
ого
-
Гауса 38

теорема Стокса 39

трансверсальн
а крива 35

тривимірне скалярне поле 7


У

угода про
підсумовування

7

центральне векторне поле 3


Ц

центральне скалярне поле 7

циліндрична система координат 14

циліндричні координати 15

циркуляція векто
рного поля 37

68


РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА


Основна:

1.

Борисенко А.
И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и основы
тензорного исчисления.


Х.: Вища шк. Изд
-
во при Харьк. Ун
-
те, 1986.


16 с.

2.

Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кр
атные и
криволинейные интегралы. Элементы теории поля.


М.: Изд
-
во МГТУ им.

Н.Э.

Баумана, 003.


496 с.

3.

Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.
Т

. Современная
геометрия.


М.: Наука. Глав. ред. физ
-
мат. лит., 1979.


760 с.

4.

Кудря В.І., Стреляєв Ю.
М. Осн
ови векторного і тензорного аналізу 
Методичні вказівки.


Запоріжжя: ЗДУ, 1999.


30 с.

5.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.


М.: Наука, 1973.

6.

Очан Ю.
С. Сборник задач по методам математической физики.


М.: Высш шк., 1973.


19 с.

7.

Смирнов В.
И. Курс в

ысшей математики. Т. .


М.: Гостехиздат,
1951.


68 с.

8.

Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу.


М.: Изд
-
во гос.ун.,
1974.


06 с.

9.

Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии.


М.:
Гостехиздат, 1956.

10.

Сокольников И. Тензорный анализ.


М.: Наука,

1971.

37
6

с.


Додаткова:

11.

Блох В.И. Теория упругости.


Харьков: Изд
-
во Харьк. гос.ун.,
1964.
-
483с

12.

Кеплер Х., Киричевский В.
В., Ковнеристов Г.
Б. Основы тензорного
исчисления и его применение в механике твердого тела.


К.: КИСИ, 199.


183 с.

13.

Кильчевский

Н.
А. Основы тензорного исчисления с применением в
механике.

К.: Наук. Думка, 197.


148 с.

14.

Киричевский В.В., Копылова Н.
А. Курс высшей математики.


К.:
Наук. думка,


1998.


57 с.

15.

Киричевский В.
В. Основи тензорного исчисления и его приложения
к задача
м механики  Методические указания.


Ворошиловград, 1989.


94 с.

16.

Лурье А.И. Теория упругости.


М.: Наука, 1970.

939 с.

17.

Погорелов А.
В. Дифференциальная геометрия.


М.: Наука, 1969.

18.

Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.


М.:
Наука, 1967
.

69


НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

українською мовою



Стреляєв Юрій Михайлович

Клименко Михайло Іванович



ОСНОВИ ВЕКТОРНОГО І ТЕНЗОРНОГО АНАЛІЗУ



Навчальний посібник для студентів фізичного факультету

освітньо
-
кваліфікаційного рівня бакалавр напряму підготовки 
фізика




Рецензент




Левчук

С.А.
, к. ф
-
м. н.,
доц
. каф. прикладної математики


Відповідальний

за випуск




Гребенюк С.М
., к.т.н., доцент, зав. кафедрою



Коректор





Стреляєв

Ю
.
М
.,
ст. викладач



Приложенные файлы

  • pdf 18123067
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий