5711_Np_chm_safonik


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Міністерство освіти і науки України


Національний університет водного господарства та

природокорист
у
вання





А.П.

Сафоник






Числові методи



Навчальний посібник
















Рівне
-

2015


2

УДК 519.613

ББК 22.193

Б 31


Рекомендовано вченою радою Нац
іонального університету водного
господарства та природокористування.

Протокол № ХХ від ХХ лютого 2015

р.


Рецензенти:

Бомба А.Я.
,
доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри
інформатики та прикладної математики Рівненського державного
гуманітарног
о уніве
р
ситету;

Власюк А.П.
,

академік Академії наук вищої школи України, доктор
техн
і
чних наук, професор, завідувач кафедри інформаційних систем та
обчи
с
лювальних методів Міжнародного економіко
-
гуманітарного
університету і
м. Степана Дем'янчука, м. Рівне
.


Сафоник А.П.

Б 31
Числові методи.

Навчальний посібник.


Рівне: НУВГП, 2015.


1
43

с.



У посібнику систематично викладаються чисельні методи розв'язку
основних задач алгебри, математичного аналізу й диференціальних
рівнянь. Теоретичний матеріал широко ілю
струється таблицями,
рисунк
а
ми, прикладами
та

бібліографічними посиланнями. До кожної
глави даються вправи для самостійної роботи. Кожен розділ містить зразки
постановок
прикладних задач

із усього курсу чисельних методів та
приклади
їх
розв’язання аналітич
но і з використанням пакету Matab.

Для студентів інженерних спеціальностей вузів. Може бути корисн
им

широкому колу читачів, що цікавляться обчислювал
ь
ною математикою.




УДК 519.613

ББК 22.193



©
Сафоник А.П.
, 2015

© Національний університет водного

го
сподарства та природокористування, 2015


3

ЗМІСТ


ПЕРЕДМОВА 

.

5

РОЗДІЛ 1
. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК


7

РОЗДІЛ 2. РОЗВ'ЯЗОК НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
.

14

2.1. Постановка задачі
...

14

2.2.
Основні етапи знаходженн
я розв'язку
..

15

2.3. Метод половинного ділення
..

15

2.4. Метод простої ітерації

20

2.5. Метод Ньютона метод дотичних


28

2.6. Видозмінений метод Ньютона
..

32

2.7. Метод хорд

..

32

2.8. Комбінований метод
..

36

РОЗДІЛ 3. РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ

РІВНЯНЬ


39

3.1. Постановка задачі
..

39

3.2.Метод простої ітерації


40

3.3. Метод Зейделя



45

РОЗДІЛ 4. РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ


50

4.1. Постановка задачі
..

50

4.2. Метод Ньютона для системи нелінійних рівнянь
...

50

4.3. Метод ітерації для нелінійної системи рівнянь
..

56

4.4. Метод на
йшвидшого спуску розв'язку нелінійних систем


60

4.5. Метод найшвидшого спуску для випадку лінійної системи
..

66

РОЗДІЛ 5. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
..

73

5.1. Метод найменших квадратів
.

73

5.2. Побудова інтерполяційних многочленів

..

80

РОЗДІЛ
6. ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ
...

95

6.1. Попередні міркування


95

6.2. Формули прямокутників


96

6.3. Формула трапецій
..

98

6.4. Метод Сімпсона метод парабол
...

100

РОЗД
ІЛ 7. ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
РІВНЯНЬ
..

105

7.1. Постановка задачі Коші
...

105

7.2. Метод Ейлера


107

7.3. Модифіковані методи Ейлера
.

110

7.4. Метод Рунге

Кутта

..

116


4

7.5. Розв'язок крайової задачі для лінійного диференціального
рівняння другого порядку методом прогону


119

ТЕРМІНОЛОГІЧНИЙ СЛОВНИК ОСНОВНИХ ТЕРМІНІВ І
ПОНЯТЬ
...

125

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
.

12
6

ДОД
АТОКИ
.

12
8



5

ПЕРЕДМОВА

Досвід розв'язування науково
-
дослідних і прикладних задач
показує, що незалежно від їхньої складності кінцевої мети можна
досягти або постановкою експерименту, або методом
математичного моделювання. Кожен з цих
методів має свої
переваги і недоліки.

За допомогою експерименту можна розв'язувати навіть дуже
складні задачі, при цьому достовірність результатів тим вища, чим
ретельніше відпрацьована методика експерименту. Водночас
здобуті результати будуть стосуватися
тільки тих умов, за яких
проводився експеримент, внаслідок чого узагальнення результатів
на інші умови не коректне. Крім того, треба враховувати
економічний бік постановки складного експерименту. Щодо цього,
то більші можливості має метод математичного мод
елювання за
допомогою ЕОМ, коли аналізують не реальну задачу, а її модельне
представлення.

Дослідження різних явищ або процесів математичними
методами здійснюється за допомогою математичної моделі
.

Математична модель
являє собою формалізоване опис
досліджу
ваного об'єкта за допомогою систем лінійних, нелінійних
або диференціальних рівнянь, систем нерівностей, певного
інтеграла, багаточлена з невідомими коефіцієнтами і т.д.
Математична модель повинна охоплювати найважливіші
характеристики досліджуваного об'є
кта й від
ображати

зв'язки між
ними.

Після того, як математична модель складена, переходять до
постановки обчислювальної задачі
.

При цьому встановлюють, які
характеристики математичної моделі є вихідними вхідними

даними
,

які


параметрами моделі
,
а які


вихідними даними.
Проводиться аналіз отриманої задачі з погляду існування
та
єдиності

розв'язку.

На наступному етапі вибирається метод розв'язку задачі. У
багатьох конкретних випадках знайти розв'язок задачі в явному
ви
гляді

не
є

можливим, тому що
він

не
виражається через
елементарні функції. Такі задачі можна розв'язати лише
наближено
.
Під
чисельними
(
обчислювальними
 методами маються на увазі
наближені процедури, що дозволяють одержувати розв'язок у

6

вигляді конкретних числових значень. Обчислювальні мето
ди, як
правило, реалізуються на ЕОМ. Для розв'язку однієї й тієї ж задачі
можуть бути використані різні обчислювальні методи, тому
потрібно вміти оцінювати якість різних методів і ефективність їх
застосування для даної задачі.

Потім для реалізації обраног
о обчислювального методу
складається алгоритм і програма для ЕОМ
.

Сучасному інженерові
важливо вміти перетворити задачу до виду, зручного для реалізації
на ЕОМ і побудувати алгоритм розв'язку такої задачі.

На даний

час широк
о

використовуються як пакети, щ
о
реалізують найбільш загальні методи розв'язку широкого кола задач
наприклад, Math
C
ad,

Mat
LAB
, так і пакети, що реалізують методи
розв'язку спеціальних задач.

Результати розрахунків аналізуються й інтерпретуються. При
необхідності коректуються параметр
и методу, а іноді математична
модель, і починається новий цикл розв'язку задачі.


7

РОЗДІЛ 1

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК

Нехай

-

деяке наближене значення точного числа
.

Якщо
, то

наближає

з недостачею.

Якщо
, то

наближає

з надлишком.

Під абсолютною похибкою

наближеног
о числа

розуміють
абсолютне значення різниці точного і наближеного значень

.

Під відносною похибкою

наближеного числа

розуміють
відношення абсолю
тної похибки до модуля точного значення числа.
Часто відносна похибка вимірюється відсотками точного значення


Відомо, що будь
-
яке число може бути подане у вигляді
десяткового дробу, кінцевого або нескінченого.

Наближені десятков
і числа виражаються лише кінцевими
десятковими дробами.

Говорять, що

перших значущих цифр десяткового числа є
вірними
, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує
половину одиниці розряду, вираженого
-
ю значущою цифрою,
рахуючи зліва направо, тобто якщо


то

цифр вірні.

При проведенні розрахунків з наближеними числами слід
керуватися наступними
правилами
:

1.

При додаванні і відніманні наближених чис
ел у результаті
повинні зберігатися стільки вірних розрядів, скільки їх у
найменш точного із доданків.

2.

Правило 1 має місце у випадку операції множення і ділення.

3.

У випадку операції піднесення до степеня слід зберігати
стільки значущих цифр, скільки їх має
основа степеня.

4.

Правило 3 має місце для операції добування кореня.


8

5.

В усіх проміжних результатах розрахунків слід брати на одну


дві цифри більше. В остаточних результатах вони
відкидаються.

6.

Якщо дані можна брати з довільною точністю, то для
отримання резу
льтату з

вірними цифрами вихідні дані слід
брати з таким числом вірних цифр, щоб одержати

вірну
цифру в результаті.

Приклад 1.1.

Число 402,35 має абсолютну похибку
.

Очевидн
о,
. Усі цифри цього числа вірні.

Приклад

1.2.

Округлити наступні числа до чотирьох значущих
цифр, визначити абсолютну

і відносну

похибки отриманих
наближених чисел А
1
=625,5
1; А
2
=0,0039227.

Розв

язок

а
1
=625,5;

а
2
=0,003923;





Розв

язок

в Matab

��
A
1=625.51; /
*присвоюємо змінній

A
1

значення наближеного
числа А
1
*/

�� A2
=0.0038227;

�� a1=625.5;

�� A1=625.51;

�� A2=0.0039227;

�� a1=625.5;

�� a2=0.003923;

�� d1=abs(A1
-
a1)
/*abs


функція, що повертає модуль числа*/

d1 = 0.0100

�� d2=abs(A2
-
a2)

d2 = 3.0000e
-
007

�� s1=d1/abs(A1)*100


9

s1 = 0.0016

�� s2=d2/abs(A2)*100

s2 = 0.0076
.

Приклад

1.3.

Визначити абсолютну похибку наближеного числа
за його відносною похибкою а=20,725,
.

Розв

язок

;
;


Розв

язок

в Matab

�� a=20.725;


� s=1;

�� d=s*abs(a)/100

d =

0.2073

�� d1=round(100*d)/100

/*

round



функція, що повертає
значення заокруглене до найблшищого цілого
*/

d1 = 0.2100
.

Приклад

1.4.

Визначити кількість вірних знаків чисел а
1

і а
2
,
якщо відомі їхні абсолютні похибки

і
:



Розв
’язок

а
1

має три вірні значущі цифри


а
2

має дві вірні значущі цифри, оскільки



Приклад

1.5.

Визначити кількість вірних знаків числа а, якщо
відома його відносна похибка
:


Розв’язок

Знаходимо

Тому а має дві вірних цифри

.


10

Розв

язок

в Matab

�� a=9.6589;

�� s=0.1;

�� d=s*a/100

d = 0.0097

�� d1=round(100*d)/100

d1 = 0.0100

Приклад

1.6.

Дані числа

і

з абсолютними
похибками
. Оцінити в
ідносну похибку їх різниці
.

Розв’язок

а=1,137
-
1,073=0,064;

;

;

;


.

Розв

язок

в Matab

�� a=20.725;

�� a1=1.137;

�� a2=1
.073;

�� d1=0.011;

�� d2=0.011;

�� a=a1
-
a2

a =

0.0640

�� da=d1+d2

da = 0.0220

�� sa=da/a*100

sa =

34.3750

�� sa1=d1/a1*100

sa1 =

0.9675

�� sa2=d2/a2*100

sa2 =

1.0252

�� rsa=round(sa)

rsa = 34


11

�� rsa1=round(sa1)

rsa1 = 1

�� rsa2=round(sa2)

rsa2 = 1


Таким

чином, відносна похибка різниці в 3
4

раз
и

більше
відносних похибок вихідних даних. Результат не має жодної вірної
цифри.

Приклад

1.7.

Обчислити
, вважаючи, що всі числа
дані з вірними знаками:

а
1
=3,2; а
2
=356,7; а
3
=0,04811; а
4
=7,
1948; а
5
=34,56.

Розв’язок

Найбільшу відносну похибку має число а
1
=3,2:

.

Тому відносна похибка результату складе також приблизно
1,6%, тобто результат буде містити дві вірні цифри.

Збережемо у вихідних даних по три вірні цифри о
дин запасний
знак, одержимо

.

Абсолютну похибку результату обчислюємо за його відносною
похибкою

.

Округляємо результат, відкидаючи запасний знак, одержуємо
а=0,22 з абсолютною похибкою
.

Розв

язок

в Matab

�� a1=3.2;

�� a2=356.7;

�� a3=0.04811;

�� a4=7.1948;

�� a5=34.56;

�� sa=0.05/a1*100

sa = 1.5625

�� sa1=round(sa*10)/10


12

sa1 = 1.6000

��
a=(a1*round(a2)*round(a3*10000)/10000)/(round(a4*100)/100*round(a
5*10)/10)

a = 0.2209

/*

за допомогою функції
round

зберігаємо по три вірні
цифри*/

�� da=sa*a/100

da =


0.003
6

Приклад

1.8.

Знайти суму наближених чисел
:

а
1
=0,146; а
2
=321,5; а
3
=78,27; а
4
=39,1.

Усі дані знаки є вірними.

Розв’язок

Найбільшу абсолютну

похибку мають числа а
2
=321,5 і а
4
=39,1.
Тому можна вважати, що абсолютна похибка суми складає
.

Зао
кругл
ю
ємо доданки за зразком а
2

і а
4
, збережемо один
запасний розряд

а=0,15321,578,2739,1=439,02.

В остаточному результаті зап
асний знак відкидаємо, одержимо

а=439,0.

До абсолютної похибки

додаємо похибку округлення
. Тоді

.

Таким чином,
.

Розв

язок

в Matab

�� a1=0.146;


� a2=321.5;

�� a3=78.27;

�� a4=39.1;

�� d=2*0.05

d = 0.1000

�� a=round(a1*100)/100+a2+a3+a4

a = 439.0200

�� ra=round(a*10)/10

ra =


439


13

�� dokp=0.05;

�� dpra=d+dokp

dpra = 0.1500


Контрольні
за
питання:


1.

Що таке абсолютна похибка?

2.

Що таке відносна похибка?

3.

Як

вимірюється відносна похибка?

4.

У якому вигляді можна подати будь
-
яке число?

5.

Як
виражаються
н
аближені десяткові числа
?

6.

Коли

перших значущих цифр десяткового числа є
вірними
?

7.

С
кільки

зберіга
є
т
ь
ся
правильних

розрядів

у результаті

п
ри
додаванні і відніманні наближених чисел
?

8.

Для яких операцій має місце правило 1?

9.

С
кільки
потрібно

зберігати значущих цифр

у

випадку
операції піднесення до степеня
?

10.

Для яких операцій має місце правило 3?

11.

На скільки цифр більше
потрібно

брати

в

усіх пром
іжних
результатах розрахунків
?

12.

Що
робиться з цифрами в остаточному результаті, які
добавлялися в проміжних результатах
?

13.

Якщо дані можна брати з довільною точністю,

що потрібно
зробити

для отримання результату з

вірними цифрами
?

14.

За якої умови

наближає

з недостачею
?

15.

За якої умови

наближає

з н
адлишком
?


14

РОЗДІЛ 2

РОЗВ'ЯЗОК НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

2
.1. Постановка задачі

Нехай дан
а деяка функція

й потрібно знайти всі або деякі
значення
, для яких
.

Значення
, при якому
, називається
коренем
або
розв
'язком
 рівняння. Щодо функції

часто передбачається, що

двічі
неперервно

диференц
ійовна

в окол
і

кореня.

Корінь

рівняння називається
простим,

якщо перша похідна
функції

в
точці


не дорівнює нулю, тобто
. Якщо
ж
, то корінь

називається
кратним коренем.

Геометрично корінь рівняння є
точк
а перет
ин
у

графіка функції

з віссю абсцис. На
рис.

2.
1 зображений графік функції

, що має чотири корені: два прості

та

два кратні
.


Рис.
2.
1
. Графік фу
нкції


Більшість методів розв'язку рівняння орієнтований на
знаходження

простого кор
е
н
ю
.



15

2
.2.
Основні етапи
знаходження

розв'язку


У процесі наближеного
знаходження

кор
еню

рівняння звичайно
виділяють два етапи:
локалізація

або

відділення кореня

та

уточнення кореня
.

Локалізація кореня полягає у визначенні відрізка

,
який

містить один і тільки один корінь. Не існує універсального
алгоритму локалізації кореня. Іноді зручно буває локалізувати
корінь за д
опомогою побудови графіка або таблиці значень функції
. На наявність кореня на відрізку

вказує відмінність
знаків функції на кінцях відрізка. Підставою для цього
є

наступна
теорема.

Теорема

1
.
Якщо фун
кція

не
перервна на відрізку


та

набуває

на його кінцях значення різних знаків так
,

що

,
то відрізок

містить принаймні один корінь рівняння.

Однак

корінь парної кратності в такий спосіб локалізувати не
можна, тому що в окол
і

такого кореня функція

має постійний
знак. На етапі уточнення кореня обчислюють наближене значення
кореня із заданою точністю
. Наближене значення кореня
уточнюють за допомогою різних ітераційних методів. Суть цих
методів полягає в послідовному обчисленні значень

,
які є наближеннями до кореня

.


2.3.
Метод половинного діле
ння


Метод половинного
ділення
є найпростішим і надійним
способом розв'язку нелінійного рівняння. Нехай з попереднього
аналізу відомо, що корінь рівняння
знаходиться

на відрізку

,
тобто
, так, що
. Нехай функція

не
перервна
на відрізку

та

приймає

на кінцях відрізка значення різних
знаків, тобто
.

Розділимо відрізок

навпі
л. Одержимо
точк
у
.
Обчислимо значення функції в цій
точці
:
. Якщо
, то

16




шуканий корінь, і задача вирішена. Якщо
, то



число певного знак
у
:

або
. Тоді або на кінцях
відрізка

, або на кінцях відрізка

значення функції

мають різні знаки. Позначимо такий відрізок
.
Очевидно, що

й довжина відрізка

у два рази
менше, чим довжина відрізка
. Зробимо аналогічно з
відрізком
. У результаті одержимо або корінь
, або новий
відрізок

і т.д. 
рис.

2.
2).


Рис.
2.
2
. Метод половинного ділення

Середина
-
го відрізка
. Очевидно, що довжина
відрізка

буде рівна
, а
так як
, т
о

.





(
2.
1)


Критерій закінчення.

Зі співвідношення 
2.
1 випливає, що при
заданій точності наближення

обчислення закінчуються, коли
буде виконана нерівність

або нерівність
. Таким чином, кількість ітерацій можна
визначити зазда
легідь. За наближене значення кореня береться
величина
.


17

Приклад

2.1
.
Знайдемо приблизно

з точністю
.
Ця задача еквівалентна розв'язку рівняння

, а
бо
знаходженню нуля функції
. У якості початкового
відрізка

візьмемо

відрізок
. На кінцях цього відрізка
функція
набуває
значення з різними знаками:
.
Знайдемо число

поділів

відрізка

,
потрібних

для досягнення
необхідної точності. Маємо:

.

Отже, не пізніше 6
-
го ділення знайдемо

з необхідною
т
очністю,
. Результати обчислень представлено в
таблиці
2.1
.

Таблиця
2.
1
. Результати обчислень


0

1

2

3

4

5

6


1,0000

1,0000

1,0000

1,1250

1,1250

1,1406

1,1406


2,0000

1,5000

1,2500

1,2500

1,1875

1,1875

1,1562


1,5000

1,2500

1,1250

1,1875

1,1406

1,1562

1,1484

Зн


-

-

-

-

-

-

-

Зн

+

+

+

+

+

+

+


5,5938

1
,
0
5
18

-
0,
01
9
8

0,
3614

0,06
66

-
0,0
693

-
0,00
23



1,0000

0,5000

0,2500

0,1250

0,0625

0,0312

0,0156


Розв

язок

в Matab

�� a0=1;

�� b0=2;

�� fa0=a0^5
-
2

fa0 =
-
1

�� fb0=b0^5
-
2

fb0 = 30


18

�� x0=
(a0+b0)/2

x0 =

1.5000

�� fx0=x0^5
-
2

fx0 = 5.5938

�� r
0
=b
0
-
a
0

r
0

=
1

�� a1=a0
;

�� b1=x0
;

�� x1=(a1+b1)/2

x1 = 1.2500

�� fa1=a1^5
-
2

fa1 =
-
1

�� fb1=b1^5
-
2

fb1 = 5.5938

�� fx1=x1^5
-
2

fx1 = 1.0518

�� r
1
=b
1
-
a
1

r
1

=
0.5000

�� a2=a1;

�� b2=x1;

�� x2=(a2+b2)/2

x
2 = 1.1250

�� fa2=a2^5
-
2

fa2 =
-
1

�� fb2=b2^5
-
2

fb2 = 1.0518

�� fx2=x2^5
-
2

fx2 =
-
0.1980

�� r
2
=b
2
-
a
2

r
2

=
0.25

�� a3=a2;

�� b3=x2;

�� x3=(a3+b3)/2

x3 = 1.0625

�� fa3=a3^5
-
2

fa3 =
-
0.1980

�� fb3=b2^5
-
2

fb3 =

1.0518


19

�� fx3=x3^5
-
2

fx3 = 0.3614

�� a4=a3;

�� b
4=x3;

�� x4=(a4+b4)/2

x4 = 1.1563

�� fa4=a4^5
-
2

fa4 =
-
0.1980

�� fb4=b4^5
-
2

fb4 = 0.3614

�� fx4=x4^5
-
2

fx4 = 0.0666

�� r4=b4
-
a4

r4 = 0.0625

�� a5=a4;

�� b5=x4;

�� x5=(a5+b5)/2

x5 = 1.1406

�� fa5=a5^5
-
2

fa5 =
-
0.1980

�� fb5=b5^5
-
2

fb5 = 0.0666

�� fx5=x5^5
-
2

fx5 =
-
0.0693

�� r5=b5
-
a5

r5 = 0.0313

�� a6=x5;

�� b6=b5;

�� x6=(a6+b6)/2

x6 = 1.1484

�� fa6=a6^5
-
2

fa6 =
-
0.0693

�� fb6=b6^5
-
2

fb6 = 0.0666

�� fx6=x6^5
-
2

fx6 =
-
0.0023

�� r6=b6
-
a6

r6 = 0.0156


20

2
.4. Метод простої ітерації


Нехай рівняння

можна замінити еквівалентним йому
рівнянням


.





(
2.
2)

Виберемо яким
-
небудь
чином

початкове наближення
.
Обчислимо значення функц
ії

при

й знайдемо уточнене
значення
. Підставимо тепер

у рівняння 
2.
1 і
одержимо нове наближення

і т.д. Продовжуючи

цей
процес
нескінченно
, одержимо послідовність наближень до кореня:


.




(
2.
3)

Формула 
2.
3 є
розрахунковою формулою

методу простої
ітерації.

Якщо послідовність

збігається

при

, тобто існує










(
2.
4)

і функція

не
перервна, т
о
, переходячи до
границі

в 
2.
3 і
враховуючи 
2.
4, одержимо:

.

Таким чином,

, отже,



корінь рівняння 
2.
2).

Збіжність методу.

Збіжність методу простої ітерації встановлює
наступна теорема.

Теорема

2.1
.
Нехай функція

визначена
і

диференц
ійовна

на відрізку

, п
ричому всі її значення
. Тоді, якщо
виконується умова

при
:

1 процес ітерації

збігається

незалежно
від початкового значення
;

2 граничне значення

є єдиним коренем рівняння

на відрізку
.

Доведення
.
Так як


і
, т
о

можна записати



21

.

Згідно теореми

про середн
є

вона
с
тверджує, що якщо похідна
функції

не
перервна на деякому інтервалі

, то тангенс
кута нахилу хорди, проведеної між
точк
ам
и

і
, тобто

рівний похідній

функції в деякій проміжній
точці
, що
лежить між

і
 частка в останньому вира
зі

буде рівно
, де



деяка проміжна
точк
а в інтервалі пошуку кореня. Отже,
.

Якщо ввести позначення

для всього інтервалу
пошуку, то попередня рівність може бути

переписане у вигляді:

Аналогічно
. Тоді для

буде
с
правджуватися

нерівність:

і т.д.
Продовжуючи ці викладення далі, у результаті
одержуємо
, де



натуральне число. Таким
чином, щоб метод
збігався
, необхідне виконання нерівності:
.

Звідси випливає, що

повинне бути менше
одиниці. У свою чергу,

для всіх інших значень

менших
,
можна записати:
. Число

визначимо
із

співвідношення
. Тоді
справедлива

нерівність 
виве
дення

див. нижче:
. Якщо
накласти

умов
у
, що дійсне значення
кореня

повинне відрізнятися від наближеного значення на
величину
, тобто
, т
о
наближення


треба
обчислювати доти, поки не буде виконана нерівність


або

і

тоді
.



22

Вивід

нерівності.

Розглянемо два послідовні наближення:

і
. Звідси
.

Використовуючи теорему про середн
є
, одержимо:

,

тоді на підставі умови

можна записати:

.

З іншо
го боку, нехай
. Очевидно, що
. Звідси, враховуючи, що
, одержимо

,

де
.

Тоді

або
.

Використовуючи попередню формулу, можна одержати:

.



(
2.
5)

Перейдемо до
границі

в рівності 
2.
3, у силу
не
перервності
функції

одержимо

, тобто



корінь рівняння 2.
Інших кор
енів

на

н
емає
, тому що якщо

, то
, тоді

, де
.
Рівність нулю буде досяг
нуто, якщо
. Тобто



єдиний
корінь.

Теорема доведена.


Приведення рівняння

до ви
гляду


для
забезпечення виконання нерівності
.

У загальному випадку одержати підходящу ітераційну форму
можливо, провівши рівносильне перетворення вихідного рівняння,
наприклад, помноживши його на коефіцієнт
:
. Додавши
потім до обом частин
ам рівняння

й позначивши


23

можна
вимагати

виконання достатньої умови
. Звідси
визначається необхідне значення

.
Так як

у
мова

повинна виконуватися на всьому відрізку

, то для вибору

слід використовувати найбільше значення

на цьому відрізку,
тобто

.

Це співвідношення визначає діапазон значень коефіцієнта
, що
змінює величину

в межах
.

Зазвичай приймають

.

На
рис.

2.
3



2.
6 показано чо
тири випадки взаємного
розташування ліній

і

й відповідні ітераційні процеси.
Рис.
2.
3 і
2.
4 відповідають випадку

, і ітераційний процес
збігається
. При цьому, якщо

(
рис.

2.
3, збіжність носить
однобічний характер, а якщо

(
рис.

4, збіжність носить
дво
бічний
, коливальний характер. Рис.
2.
5 і
2.
6 відповідають
випадку



ітераційний процес розходи
ться. При цьому
може бути однобічна 
рис.

2.
5 і дво
бічна

(
рис.

2.
6)
розбіжність
.




Рис.
2.
3
. Однобічна збіжність


24


Рис.
2.
4
. Двобічна збіжність


Рис.
2.
5
. Однобічна розбіжність


Рис.
2.
6
. Двобічна розбіжність



25

Приклад 2
.2
.
Використовуємо метод простої

ітерації для
розв'язку рівняння

з точністю
.
Перетворимо рівняння до виду:

,
тобто
.

Неважко переконатися, що корінь рівняння перебуває на відрізк
у
. Обчисливши значення

на кінцях відрізка,
одержимо:
, а

, тобто функція на кінцях
відрізка має різні знаки, тому
по
середині відрізка є корінь.
Роз
ташування кореня наочно ілюструє
рис.

2.
7.


Рис.
2.
7
. Розташування кореня


Знайдемо

першу
та

другу похідні функції
:

.

Так як


на відрізку

, т
о

пох
ідна

монотонно зростає на цьому відрізку й
набуває

максимальне
значення на правому кінці відрізка, тобто в
точці

.

Тому
справедлива

оцінка:

.

Таким чином, умова виконана,

і можна скористатися
критерієм закінчення обчислень. У табл.
2.
2 наведені наближення,

26

отримані по розрахунковій формулі. У якості початкового
наближення обране значення
.


Таблиця
2.
2
. Таблиця обчислень


0

1

2

3

4

5


1

0,8415

0,8861

0,8712

0,8774

0,8765

Критерій закінчення виконується при

,
.

Збіжність дво
бічна
, якісний характер такої збіжності пре
дставлений
на
рис.

2.
4. Наближене значення кореня з необхідною точністю
.

Розв

язок

в Matab

�� x=0:0.1:4;

�� y1=x;

�� y2=sin(x)./x;


�� hold on;
/*hold

функція для побудови кількох графіків в 1
площині*/

�� plot(x,y1)

/*
plot



ф
ункція
для побудови графіка*/

�� plot(x,y2)

/*рисунок 2.8


Рис. 2.8. Результат виконання функції
plot(x,y2)


27

��
x
=
sym
('
sin
(
x
)/
x
');

/*
sym



функція
для створення символьної
змінної*/

��
f
1=
diff
(
x
)
/*
diff

-

знаходить

похідну функції*/


f
1 =
cos(x)/x
-

sin(x)/
x^2


�� f2=diff(f1)


f2 =

(
2*sin(x))/x^3
-

sin(x)/x
-

(2*cos(x))/x^2


�� x=pi/3;

�� f11=abs(cos(x)/x
-

sin(x)/x^2)

f11 = 0.3123

�� x0=1;

�� x1=sin(x0)/x0

x1 = 0.8415

�� abs(x1
-
x0)

ans = 0.1585

�� x2=sin(x1)/x1

x2 = 0.8861

�� abs(x2
-
x1)

ans = 0.0446

�� x3=s
in(x2)/x2

x3 = 0.8742

�� abs(x3
-
x2)

ans = 0.0119

�� x4=sin(x3)/x3

x4 = 0.8774

�� abs(x4
-
x3)

ans = 0.0032

�� x5=sin(x4)/x4

x5 = 0.8765

�� abs(x5
-
x4)

ans = 8.7315e
-
004


Приклад
2.
3
.

Розв'язати методом простої ітерації рівняння

на відрізку


з точністю 0,025. Для розв'язку
вихідне рівняння прив
едемо

до виду
. Для вибору
величини

використовуємо наведену вище формулу
. Тоді розрахункова формула має

28

вигляд
. У якості початкового наближення
можна вибрати верхню границю заданого відрізка
.


0

1

2


1

0,8

0,78

Так як
, т
о

.


Розв

язок

в Matab

�� x=sym('x^2
-
0.6');

�� f=diff(x)

f =

2*x


�� lamda=
-
1/(2*1)

lamda =
-
0.5000

�� x0=1;

�� x1=
-
0.
5*x0^2+x0+0.3

x1 = 0.8000

�� abs(x0
-
x1)

ans = 0.2000

�� x2=
-
0.5*x1^2+x1+0.3

x2 = 0.7800

�� abs(x1
-
x2)

ans = 0.0200


1.5.
Метод Ньютона метод дотичних


Метод Ньютона є найбільш ефективним методом розв'язку
нелінійних рівнянь. Нехай корінь

, тобто
.
Припускаємо, що функція

не
перервна на відрізку

і

двічі
неперервно

диф
е
ренц
ійовна

на інтервалі
. Покладемо
.
Проведемо дотичну до графіка функції

в
точці


(
рис.

2.
9
).


29


Рис.
2.
9
. Дотичну до графіка функції

Рівняння дотичної буде мати вигляд:
.

Перш
ий

перетин одержимо,
взя
вши абсцису
точк
и перетин
у

цієї
дотичн
ої

з віссю

, тобто поклавши
:


.

Аналогічно зробимо із
точк
ою

, потім із
точк
ою

і т.д., у результаті одержимо послідовність
наближень
, причому


.





(
2.
6)

Формула 
2.
6 є
розрахунковою формулою методу Ньютона
.

Метод Ньютона можна розглядати як окремий ви
падок методу
простих ітерацій, для якого
.

Збіжність методу
. Збіжність методу Ньютона встановлює
наступна теорема.

Теорема.

Нехай



простий корінь рівняння

та

у
деякому

окол
і

цього кореня функція

двічі
неперервно

диференц
ійовна
. Тоді
з
найдеться так
ий

мал
ий




ок
і
л кореня
,
що при довільному виборі початкового наближення

із ц
ього


30

окол
у

ітераційна послідовність,
визначена

по формулі 
2.
6 не
виходить за межі ц
ього

окол
у та

справедлива

оцінка:


,




(
2.
7)

де
.

Збіжність методу Ньютона залежить від того, наскільки близь
ко
до кореня обран
о

початкове наближення.

Вибір початкового наближення.

Нехай



відрізок, що
містить корінь. Якщо в якості початкового наближення

вибрати
той з кінців відрізка, для якого
, то ітерації 
2.
6)
збігаються
, причому монотонно. Рис.
2.
8 відповідає випадку, коли в
якості початкового наближення був обраний правий кінець відрізка:

Тут
).

Похибка

методу.

Оцінка 
2.
7 незручна для практичного
використання. Н
а практиці користуються наступною оцінкою

похибки
:



.






(
2.
8)

Критерій закінчення
.

Оцінка 
2.
8 дозволяє сформулювати
наступний критерій закінчення ітерацій методу Ньюто
на. При
заданій точності

обчислення потрібно
проводити

доти, поки не
буде виконана нерівність

.

Приклад

2.
4
. Обчислити методом Ньютона
від’ємний

корінь
рівняння

з точністю д
о 0,0001.
Провівши відділення кореня, можна переконатися, що корінь
локалізований на інтервалі

.
На

цьому інтервалі

і

.

Так як


і
, то

за початкове наближення можна прийняти
.





-
11

3
453

-
5183

0,6662


-
10,333
8

30
8
,
08

-
427
7
,
1

0,07
20


-
10,2618

3,
2935

-
4185,
8

0,0008

-
10,261

0,14
91

-

-

.
Тому
.


31

Розв

язок

в Matab

�� a0=
-
11;

�� b0=
-
10;

�� fa0=a0^4
-
3*a0^2+75*a0
-
10000

fa0 = 3453

�� fb0
=b0^4
-
3*b0^2+75*b0
-
10000

fb0 =
-
1050

�� x=sym('x^4
-
3*x^2+75*x
-
10000')

x =

x
^4
-

3*x^2 + 75*x
-

10000


�� f1=diff(x)


f1 =

4
*x^3
-

6*x + 75


�� x0=
-
11;

�� fx0=x0^4
-
3*x0^2+75*x0
-
10000

fx0 = 3453

�� f1x0=4*x0^3
-
6*x0+75

f1x0 =
-
5183

�� h1n=
-
fx0/f1x0

h1n = 0.66
62

�� x1=x0+h1n

x1 =

-
10.3338

�� h0n=
-
fx0/f1x0

h0n = 0.6662

�� x1=x0+h0n

x1 =

-
10.3338

�� fx1=x1^4
-
3*x1^2+75*x1
-
10000

fx1 =

308.0859

�� f1x1=4*x1^3
-
6*x1+75

f1x1 =

-
4.2771e+003

�� h1n=
-
fx1/f1x1

h1n = 0.0720

�� x2=x1+h1n

x2 =
-
10.2618

�� fx2=x2^4
-
3*x2^2+75*x
2
-
10000

fx2 = 3.2935

�� f1x2=4*x2^3
-
6*x2+75

f1x2 =

-
4.1858e+003

�� h2n=
-
fx2/f1x2

h2n = 7.8682e
-
004


32

�� x3=x2+h2n

x3 =
-
10.2610

�� fx3=x3^4
-
3*x3^2+75*x3
-
10000

fx3 =
0.1491


1.6. Видозмінений метод Ньютона


Якщо похідна

мало змінює
ться на відрізку

, то в
розрахунковій формулі методу можна покласти:
.
Звідси для кореня

рівняння

одержуємо послідовні
наближення

.

Геометрично цей спосіб означає, що дотичні заміняються
прямими, паралельними дотичній до кривої

, у її фіксованій
точці

. Цей спосіб рятує від необхідності
постійного
обчисл
ення

значення
по
хідної
, тому ця формула корисна, якщо

складна

функція
.


1.7. Метод хорд


Розглянемо ще одну модифікацію методу Ньютона. Нехай
відомо, що простий корінь

рівняння

знаходиться

на
відрізку

, тобто
. І припустимо, що

при

якщо це не так, то будемо розглядати рівняння
).
Замінимо криву

хордою
.


33


Рис.
2.
10
.
Випадок для

Можливі два випадки: 1

рис.
2.
10
); 2)

рис.

2.
11
).
У першому випадку кінець

нерухомий і послідовні наближення:


(
2.
9)

утворюють обмежену монотонно спадну послідовність, причому
.


Рис.
2.
1
1
.
Випадок для


34

У дру
гому випадку нерух
омий

кінець

, а послідовні
наближення:



(
2.
10)

утворюють обмежену монотонно
спадну

послідовність, причому

Отже, у результаті од
ержуємо наступне

Вибір початкової умови:

1. Розглядаємо тільки випадок

інакше
).

2. Початкове наближення x
0
вибираємо з умови


Нерухомий

той кіне
ць, для якого знак функції збігається зі
знаком її другої похідної.

Критерій закінчення.

Критерій закінчення ітерацій методу хорд
такий же, як і для методу Ньютона. При заданій точності

обчислення потрібно вести доти, поки не бу
де виконана нерівність
.

Приклад

2.
5
.

Знайти
додатній

корінь рівняння з точністю

. Відокремимо корінь.
Так як
,
, то

. Розділимо інтервал
навпіл:
, тоді
.

Знайдемо похідні:
,
.
Виходячи з того, що

, то


і

скориставшись

формулою
(10):

,
.

,
,
.

Так як

, то

.

Розв

язок

в Matab

�� x=sym('x^3
-
0.2*x^2
-
0.2*x
-
1.2')


x =

x^3
-

0.2*x^2
-

0.2*x
-

1.2


�� f1=diff(x)

f1 =3*x^2
-

0.4*x
-

0.2


�� f2=diff(f1)


35


f2 =6*x
-

0.4


�� a0=1;

�� b0=2;

�� fa0=a0^3
-

0.2*a0^2
-

0.2*a0
-

1.2

fa0 =
-
0.6000

�� fb0=b0^3
-

0.2*b0^2
-

0.2
*b0
-

1.2

fb0 =

5.6000

�� c=(a0+b0)/2

c =

1.5000

�� fc=c^3
-

0.2*c^2
-

0.2*c
-

1.2

fc =

1.4250

�� x0=a0;

�� x1=x0
-
fa0/(fc
-
fa0)*(c
-
x0)

x1 = 1.1481

�� fx1=x1^3
-

0.2*x1^2
-

0.2*x1
-

1.2

fx1 =
-
0.1797

�� x2=x1
-
fx1/(fc
-
fx1)*(c
-
x1)

x2 = 1.1876

�� fx2=x2^3
-

0.2
*x2^2
-

0.2*x2
-

1.2

fx2 =
-
0.0448

�� x3=x2
-
fx2/(fc
-
fx2)*(c
-
x2)

x3 = 1.1971

�� fx3=x3^3
-

0.2*x3^2
-

0.2*x3
-

1.2

fx3 =
-
0.0106

�� x4=x3
-
fx3/(fc
-
fx3)*(c
-
x3)

x4 =

1.1993

�� abs(x4
-
x3)

ans = 0.0022

�� fx4=x4^3
-

0.2*x4^2
-

0.2*x4
-

1.2

fx4 =
-
0.0025

�� x5=x
4
-
fx4/(fc
-
fx4)*(c
-
x4)

x5 = 1.1998

�� abs(x5
-
x4)

ans = 5.2473e
-
004






36

1.8. Комбінований метод


Нехай
, а

і


зберігають постійні знаки на
відрізку
.
З'єднуючи методи хорд і дотичних, одержуємо
метод
,

на кожному етапі якого знаходимо значення по недо
стачі

і

значення по надлишкові точного кореня

рівняння
. Нехай



послідов
ні наближення методу хорд,



послідовні
наближення методу дотичних. Покрокова ілюстрація представлена
на
рис.

2.
1
2
.

Можливі 4 випадк
и
:


1)
,


2)
,

3)
,


4)
,

які можна звести до першого випадку.


Рис.
2.
1
2
. Представлення комбінованого методу

.

.
.

Очевидно, що

й
.

По закінченню процесу за значення кореня

найкраще
взяти

середнє арифметичне отриманих значень:
.


37

Приклад

2.
6
.

Обчислити
додатній

корінь рівняння
.

Т
ак як
, то

.

,

на
, тому
.

.

.

;

.

Так як
, то


;
.

Так як
, то


.

Розв

язок

в Matab

�� x=sym('x^5
-
x
-
0.2
');

�� f1=diff(x)


f1 =

5*x^4
-

1.0


�� f2=diff(f1)


f2 =

20*x^3


�� x0=1;

�� x01=1.1;

�� fx0=x0^5
-
x0
-
0.2

fx0 =
-
0.2000

�� fx01=x01^5
-
x01
-
0.2

fx01 = 0.3105

�� f1x01=5*x01^4
-
1

f1x01 = 6.3205

�� x1=x0
-
fx0/(fx01
-
fx0)*(x01
-
x0)

x1 = 1.0392

�� x11=x01
-
fx01/f1x01

x11 = 1.0509

�� abs(x1
-
x11)

ans = 0.0117

�� fx1=x1^5
-
x1
-
0.2


38

fx1 =
-
0.0273

�� fx11=x11^5
-
x11
-
0.2

fx11 = 0.0307

�� f1x11=5*x11^4
-
1

f1x11 = 5.0978

�� x2=x1
-
fx1/(fx11
-
fx1)*(x11
-
x1)

x2 = 1.0447

�� x21=x11
-
fx11/f1x11

x21 = 1.0448

�� abs(x2
-
x21)

ans =

1.6297e
-
0
04

�� x=0.5*(x2+x21)

x = 1.0448


Контрольн
і
за
питання:

1.

Що таке корінь

рівняння
?

2.

Який корінь називається простим?

3.

Який корінь називається кратним?

4.

Що є геометричним коренем рівняння?

5.

Які етапи виділяють у

процесі наближеного знаходження
корен
я

рівняння
?

6.

В ч
ому полягає локалізація кореня?

7.

Якими методами розв'язують нелінійні рівняння
?

8.

Який вигляд має
розрахунков
а

формул
а

методу простої
ітерації
?

9.

Як
а

умова збіжності

методу простої ітерації
?

10.

Який критерій закінчення методу половинного ділення
?

11.

Який критерій зак
інчення методу простої ітерації
?

12.

Як
а

умова збіжності

методу
дотичних
?

13.

Який критерій закінчення
методу
хорд
?

14.

В чому перевага видозміненого методу Ньютона
?

15.

Як визначається похибка методу дотичних
?


39

РОЗДІЛ 3

РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

3.1.

Постановка задачі


Потрібно знайти розв'язок системи лінійних рівнянь:


або в матричній формі:
, де

.

За правилом Крамера система

лінійних рівнянь

має єдиний
розв'язок, якщо визначник системи відмінний від нуля

і

значення кожного з невідомих визначається
так
:

,
де



визначник матриці,
отриманий

заміною
-
го стовпця
матриці

стовпцем правих частин

.

Безпосередній розрахун
о
к визначників для більших

є дуже
трудомістким.

Відомі числ
ов
і наближені методи розв'язку сис
тем лінійних
алгебраїчних рівнянь
розділяються

на дві групи: прямі методи й
методи ітерацій.

Прямі методи завжди гарантують одержання розв'язку, якщо в
ін

існу
є
, однак, для більших

потрібн
а

велика кількість операцій, і
виникає н
ебезпека нагромадження
похибок
.

Цього недоліку позбавлені ітераційні м
етоди, але зате вони не
завжди збігаються

й можуть застосовуватися лише для систем
певних класів.


40

Норма матриці є деякою узагальненою оцінкою значень
елементів матриці. Для її обчислення

можна використовувати
наступні вира
зи
:

,

,


.


3.2.

Метод простої ітерації


Для того щоб застосувати метод простої ітерації, необхідно
систему рівнянь







(
3
.
1)

з
квадратно
ю

нев
и
род
ж
ено
ю

матрицею



квадратна матриця,
визначник якої не дорівнює нулю:

)

привести до в
иду


,





(
3
.
2)

де



квадратна нев
и
ро
дж
ена матриця з
елементами
,



вектор
-
стовпець невідомих
,




вектор
-
стовпець із елементами
,
. Існують різні способи
приведення системи 
3
.
1 до виду 
3
.
2. Розглянемо найпростіший.

Представимо систему в розгорнутому ви
гляді
:



(
3
.
3)

З першого рівняння системи 
3
.
3 виразимо невідому
:


із другого рівняння


невідому

:


і т.д. У результаті одержимо
систему:


41


(
3
.
4)

Матричний запис системи 
3
.
4 має вигляд 
3
.
2. На головній
діагоналі матриці

перебувають нульові елементи, а інші
елементи обчислюються по формулах:





(
3
.
5)

Очевидно, що діагонал
ьні елементи матриці

повинні бути
відмінні від нуля. Виберемо довільно початкове наближення.
Звичайно в якості першого наближення беруть

або
.
Підставимо початкове наближенн
я в праву частину 
2.
4).
Обчислюючи ліві частини, одержимо значення
.
Продовжуючи цей процес далі, одержимо послідовність наближень,
причому

наближення будується
таким чином
:


Остання система являє собою
розрахункові формули методу
простої ітерації.

Збіжність методу простої ітерації.
Відомо наступна
достатня

умова збіжності методу простої ітерації.

Якщо елементи матриці

задовольняють умові:


,





(
3
.
6)

то

ітераційна послідовність

збігається

до точного розв'язку
.

Умов
у

(
3
.
7 називають умовою переваги діагональних елементів
матриці

, тому

що воно означає, що модуль діагонального

42

елемента
-
о
го

рядка більше суми модулів інших елементів цього
рядка,
.

Необхідно пам'ятати, що умова збіжності 
3
.
6 є лише
достатн
ьою
.
Її

виконання гарантує зб
іжність методу простих
ітерацій, але його невиконання, загалом кажучи, не означає, що
метод розходиться.

Справедлива

наступна оцінка по
хибки
:


,



(
3
.
7)

де
.

Праву частину оцінки 
3
.
7 легко о
бчислити після знаходження
чергового наближення.

Інакше достатня умова 
3
.
6 для матриці

може бути
переформульована так: якщо
, т
0

ітераційний процес 
3
.
6)
сходиться до точного розв'язку системи.

Крите
рій закінчення.

Якщо потрібно знайти розв'язок з
точністю

, то в силу 
3
.
7 ітераційний процес слід закінчити, як
тільки на
-
ом
у

кроці виконається нерівність:

.

Тому в якості

критерію закінчення ітераційного процесу можна
використовувати нерівність

, де
.

Якщо виконується умова
, то можна користуватися більш
простим критерієм закінчення:


.


(
3
.
8)

В інших випадках використання останнього критерію 
3
.
8)
неправомірно й може привести до передчасного закінчення
ітераційного процесу.


Приклад
3
.1
.

Застосуємо метод простої ітерації для розв'язку системи рівнянь


43

.

Зауважимо
, що метод простої ітерації
збігається
, тому що
виконується умова переваги діагональних елементів:

,
,

,
.

Нехай необхідна то
чність
. Обчислення будемо проводити
із чотирма знаками після десяткової
точк
и.

Приведемо систему до виду:


Величина

рівна 0,1179, тобто
виконується умова

й можна користуватися критерієм
закінчення ітераційного процесу 
3
.
8. У якості початкового
наближення
виберемо

елементи стовпця вільних членів:
. Обчислення будемо
вести доти, поки всі величини

,
, а отже, і

не стануть менш
ими

.

Послідовно обчислюємо:


при

,
,
,
,


при

,


при

,


44


при

.

Обчислюємо модулі різниць значень

при

й
:

.
Так як

всі вони більш
і

заданої точності

, продовжуємо
ітерації.


При

.

Обчислюємо модулі різниць значень

при

й
:

.
Усі вони менш
і

заданої точності

, тому ітерації закінчуємо.
Наб
лиженим розв'язком системи є наступні значення:

.

Для порівняння приведемо точні значення змінних:

.

Розв

язок

в Matab

�� x10=1.0383;

�� x20=1.2953;

�� x30=1.4525;

�� x40=1.5489;

�� x11=
-
0.0574*x20
-
0.1
005*x30
-
0.0431*x40+1.0383

x11 = 0.7512

�� x21=
-
0.0566*x10
-
0.0708*x30
-
0.1179*x40+1.2953

x21 = 0.9511

�� x31=
-
0.1061*x10
-
0.0758*x20
-
0.0657*x40+1.4525

x31 = 1.1424

�� x41=
-
0.0280*x10
-
0.0779*x20
-
0.0405*x30+1.5489

x41 = 1.3601

�� x12=
-
0.0574*x21
-
0.1005*x31
-
0.04
31*x41+1.0383

x12 = 0.8103

�� x22=
-
0.0566*x11
-
0.0758*x31
-
0.1179*x41+1.2953

x22 = 1.0058

�� x32=
-
0.1061*x11
-
0.0758*x21
-
0.0657*x41+1.4525

x32 = 1.2113

�� x42=
-
0.0280*x11
-
0.0779*x21
-
0.0405*x31+1.5489

x42 = 1.4075


45

�� x13=
-
0.0574*x22
-
0.1005*x32
-
0.0431*x42+1.038
3

x13 = 0.7982

�� x23=
-
0.0566*x12
-
0.0758*x32
-
0.1179*x42+1.2953

x23 = 0.9917

�� x33=
-
0.1061*x12
-
0.0758*x22
-
0.0657*x42+1.4525

x33 = 1.1978

�� x43=
-
0.0280*x12
-
0.0779*x22
-
0.0405*x32+1.5489

x43 = 1.3988

�� x14=
-
0.0574*x23
-
0.1005*x33
-
0.0431*x43+1.0383

x14 = 0.80
07

�� x24=
-
0.0566*x13
-
0.0758*x33
-
0.1179*x43+1.2953

x24 = 0.9944

�� x34=
-
0.1061*x13
-
0.0758*x23
-
0.0657*x43+1.4525

x34 = 1.2007

�� x44=
-
0.0280*x13
-
0.0779*x23
-
0.0405*x33+1.5489

x44 = 1.4008

�� x15=
-
0.0574*x24
-
0.1005*x34
-
0.0431*x44+1.0383

x15 = 0.8002

�� x25=
-
0
.0566*x14
-
0.0758*x34
-
0.1179*x44+1.2953

x25 = 0.9938

�� x35=
-
0.1061*x14
-
0.0758*x24
-
0.0657*x44+1.4525

x35 = 1.2001

�� x45=
-
0.0280*x14
-
0.0779*x24
-
0.0405*x34+1.5489

x45 = 1.4004

�� abs(x15
-
x14)

ans = 5.3756e
-
004

�� abs(x25
-
x24)

ans = 6.0107e
-
004

�� abs(x35
-
x34)

ans = 6.0871e
-
004

�� abs(x45
-
x44)

ans = 4.0340e
-
004


3.3.
Метод Зейделя


Модифікацією методу простої ітерації можна вважати метод
Зейделя.


46

У методі простої ітерації на
-
ій

ітерації значення

,

обчислюються підстановкою в праву частин
у 
3
.
6)
обчислених на попередній ітерації значень
.
У методі Зейделя при
обчисленні

використовуються значення

,
,
, уже
знайдені на
-
ій

ітерації, а не
,
, ,
, як у методі простої
ітерації, тобто
-
е наближення будується в
таким чином
:



(
3
.
9)

Ці ф
ормули є
розрахунковими формулами методу Зейделя
.

В
ведемо нижню й верхню трикутні матриці:



і
.

Матричний запис розрахункових формул 
3
.
9 має вигляд:
.
Так як
, точний розв'язок

вихідної
системи задовольняє рівності:
.

Збіжність методу Зейделя.
Достатньою умовою збіжності
методу Зейделя є виконання нерівності:


.



(
3
.
10)

Нерівність 
3
.
10 означає, що для збіжності методу Зейделя
досить, щоб будь
-
яка норма матриці

бу
ла

менш
ою

одиниці.

Якщо виконана умова 
3
.
10, то
справедлива

наступна оцінка
похибки
:


,




(
3
.
11)

де



норма матриці

.


47

Критерій закінчення
.

Якщо потрібно знайти розв'язок з
точністю

, ітераційний процес слід закінчити, як тільки на
-
ом
у

кроці виконається нерівність:
.
Тому в якості критерію закінчення ітераційного процесу можна
використовувати нерівність

, де
. Якщо виконується умова

, т
о

можна
користуватися більш простим критерієм закінчення:

.

Метод Зейделя, як правило,
збігається

швидше, чим метод
простої ітерації. Однак можливі ситуації, коли метод простої
ітерації
збігається
, а метод Зейделя
збігаєт
ься

повільніше або
взагалі розходиться.

Приклад

3
.2
.

Застосуємо метод Зейделя для розв'язку системи
рівнянь із попереднього прикладу. Перші кроки повністю
збігаються із процедурою розв'язку по методу простих ітерацій.
Проведемо тепер ітерації методом Зейде
ля.

При

.

При обчисленні

використовуємо вже отримане значення
:

.

При обчисленні

використов
уємо вже отримані значення й
:

.

При обчисленні

використовуємо вже отримані значення
,
,
:

.

Аналогічним
чином

проведемо обчислення при

і

.

Одержимо:

при

.


при

.

Відомі точні значення змінних:


48

.

Порівняння з попереднім прикладом показує, що метод Зейделя
збігається

швидше
і

дає більш точний результат.

Розв

язок

в Matab

�� x10=1.0383;

�� x20=1.2953;

�� x30=1.4525;

�� x40=1.5489;

��

x11=
-
0.0574*x20
-
0.1005*x30
-
0.0431*x40+1.0383

x11 = 0.7512

�� x21=
-
0.0566*x11
-
0.0708*x30
-
0.1179*x40+1.2953

x21 = 0.9673

�� x31=
-
0.1061*x11
-
0.0758*x21
-
0.0657*x40+1.4525

x31 = 1.1977

�� x41=
-
0.0280*x11
-
0.0779*x21
-
0.045*x31+1.5489

x41 = 1.3986

�� x41=
-
0.0280*
x11
-
0.0779*x21
-
0.0405*x31+1.5489

x41 = 1.4040

�� x12=
-
0.0574*x21
-
0.1005*x31
-
0.0431*x41+1.0383

x12 = 0.8019

�� x22=
-
0.0566*x12
-
0.0708*x31
-
0.1179*x41+1.2953

x22 = 0.9996

�� x32=
-
0.1061*x12
-
0.0758*x22
-
0.0657*x41+1.4525

x32 = 1.1994

�� x42=
-
0.0280*x12
-
0.077
9*x22
-
0.0405*x32+1.5489

x42 = 1.4000

�� x13=
-
0.0574*x22
-
0.1005*x32
-
0.0431*x42+1.0383

x13 = 0.8000

�� x23=
-
0.0566*x13
-
0.0708*x32
-
0.1179*x42+1.2953

x23 = 1.0000

�� x33=
-
0.1061*x13
-
0.0758*x23
-
0.0657*x42+1.4525

x33 = 1.1998

�� x43=
-
0.0280*x13
-
0.0779*x23
-
0.040
5*x33+1.5489

x43 = 1.4000


Контрольн
і
за
питання:

1.

Яка умова
існування

кореня згідно правила Крамера
?

2.

Що таке визначник матриці?


49

3.

На які групи поділяються в
ідомі числові наближені методи
розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь
?

4.

Якими методами розв'язують
систем
и

лінійних алгебра
їчних
рівнянь
?

5.

Що таке норма матриці
?

6.

Які переваги прямих методів
?

7.

Які недоліки ітераційних методів
?

8.

Що таке квадратна невироджена матриця
?

9.

Яка розрахункова формула

методу простої ітерації

для
розв'язку СЛАР
?

10.

Яка умова збіжності

методу простої ітерації

для

розв'язку
СЛАР
?

11.

Який критерій закінчення методу простої ітерації

для
розв'язку СЛАР
?

12.

Як
а

різниця між методами Зейделя та простої ітерації для
розв'язку СЛАР
?

13.

Яка умова збіжності

методу
Зейделя для розв'язку СЛАР
?

14.

Яка розрахункова формула

методу
Зейделя дл
я розв'язку
СЛАР
?

15.

Який критерій закінчення методу Зейделя

для розв'язку
СЛАР
?



50

РОЗДІЛ 4
.

РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

4
.1. Постановка задачі


Багато практичних задач зводяться до розв'язку системи
нелінійних рівнянь. Нехай для обчислення невідомих

потрібно розв'язати систему

нелінійних рівнянь:

, інакше
.

На відміну від розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь
СЛА
Р
 не існує прямих м
етодів розв'язку систем нелінійних
рівнянь. Лише в окремих випадках цю систему можна розв'язати
безпосередньо. Наприклад, для випадку двох невідом
их

іноді
вдається виразити одне невідоме через інше
і таким чином

звести
задачу до розв'язку одного нелінійног
о рівняння
відносно

іншого.

У загальному випадку для розв'язку систем нелінійних рівнянь
звичайно використовуються ітераційні методи.


4
.2. Метод Ньютона для системи нелінійних рівнянь


В основі методу Ньютона для системи рівнянь лежить
використання розкла
дання функцій

у ряд Тейлора,
причому члени, що містять другі похідні і похідні більш високих
порядків, відкидаються. Нехай наближені значення невідомих
системи наприклад, отримані на попередній ітерації рівні
відповідно
.
Задача

полягає в знаходженні приростів
(
поправок
 до цих значень

, завдяки яким розв'язок
вихідної системи запишеться у вигляді:

. Проведемо розклад
лівих частин
рівнянь вихідної системи в ряд Т
е
йлора, обмежуючись лише
лінійними членами
відносно

приростів:


51


Оскільки ліві частини цих вира
зів

повинні
переходити в нуль, то

можна
прирівняти

до нуля й праві частини:


у матричному виді:

Значення

і їх похідні обчислюються при

.

Визначником останньої системи є
якоб
і
ан:

.

Для існування єдиного розв'язку системи якоб
і
ан повинен бути
відмінним від нуля на кожній ітерації.

Таким чином, ітераційний процес розв'язку системи нелінійних
рівнянь методом Ньютона полягає у визначенні приростів


до значень невідомих на кожній ітерації.

52

Розр
ахунок припиняється, якщо всі прирости стають малими по
абсолютній величині:

.

У методі Ньютона також важливий
в
далий вибір початкового
наближення для забезпечення гарн
ої збіжності. Збіжність
погіршується зі збільшенням числа рівнянь системи. Отже, за
розрахункову формулу

приймемо


або
.

Збіжність методу.

Теорема

4.1
.

Нехай у деяк
ому

окол
і

розв'язку

системи нелінійних рівнянь функції

двічі неперервно

диференц
ійовні

і

визначник матриці Якоб
і


не дорівнює нулю.
Тоді найдеться так
ий

мал
ий




ок
і
л розв'язку

, що при
довільному виборі початкового наближення

із ц
ього

окол
у
,
ітераційна послідовність методу Ньютона не виходить за межі
окол
у

і

справедлива

оцінка:

,



метод
з
бігається

із квадратичною швидкістю.

Як приклад можна розглянути використання методу Ньютона
для розв'яз
ання

системи двох рівнянь:

, де

й



неперервно

диференц
ій
овні

функції. Нехай початкові значення
невідомих рівні
. Після розкладання вихідної системи в ряд
Т
е
йлора можна одержати:


Припустимо, що якоб
і
ан системи при

й

відмінний від
нуля:

.


53

Тоді значення

й

можна знайти, використовуючи
матричний спосіб
таким чином
:

.


Обчис
ливши значення

й

можна знайти

й

таким
чином
:

.

Величини, що
стоять

у правій частині, обчислюються при

та

.

Критерій закінчення.

Будемо вважати, що задана точність
досягнута, якщо

або
.

Приклад

4
.1
.
Методом Ньютона розв'язати систему двох
рівнянь:


з точністю до 0,001.

Розв'язок.

1 Початкові наближення можна визначити графічним способом.
Для цього перепишемо систему у вигляді:

Перше з перетворених рівнянь визначає еліпс, а друге


гіперболу. Дана система має
два розв'язки. Для уточнення
вибирають одне з них, що належить області

й
.

За початкове наближення
приймемо


і
.


54


2 Зна
ходимо











0,5

-
0,1052

2

-
8,76

49,32

-
0,46

-
0,3848

5

2,76

0,5742

0,0114

2,2968

-
8,7306

51,2203

-
0,4551

0,0052

5,1484

2,7306

0,5727

0,00006

2,2908

-
8,7252

51,1375

-
0,4542

-
0,00011

5,1454

2,7252

0,5727





-
0,4542




Оскіл
ьки

, то

.

В
ідповідь:

і
.

Розв

язок

в Matab

�� x0=0.5;

�� y0=
-
0.46;

�� F1=2*x0^2+3*y0^2
-
6*y0
-
4

F1 =
-
0.1052

�� F2=x0^2+4*x0
-
3*y0^2
-
2

F2 =
-
0.3848

�� F1x=4*x0

F1x = 2

�� F2x=2*x0+4

F2x = 5

�� F1y=6*y0
-
6

F1y =
-
8.7600

�� F2y=
-
6*y0

F2y = 2.7600


55


J0 = 49.3200

�� d1=
-
inv([F1x F1y; F2x F2y])*[F1;F2]

d1 =


0.0742


0.0049

�� x1=x0+d1(1)

x1 = 0.5742

�� y1=y0+d1(2)

y1 =
-
0.4
551

�� F1=2*x1^2+3*y1^2
-
6*y1
-
4

F1 = 0.0111

�� F2=x1^2+4*x1
-
3*y1^2
-
2

F2 = 0.0054

�� F1x=4*x1

F1x = 2.2969

�� F2x=2*x1+4

F2x =


5.1485

�� F1y=6*y1
-
6

F1y =
-
8.7304

�� F2y=
-
6*y1

F2y = 2.7304


J1 = 51.2195

�� d2=
-
inv([F1x F1y; F2
x F2y])*[F1;F2]

d2 =


-
0.0015


0.0009

�� x2=x1+d2(1)

x2 = 0.5727

�� y2=y1+d1(2)

y2 =
-
0.4501

�� y2=y1+d2(2)

y2 =
-
0.4542

�� F1=2*x2^2+3*y2^2
-
6*y2
-
4

F1 = 6.8877e
-
006

�� F2=x2^2+4*x2
-
3*y2^2
-
2

F2 = 2.7274e
-
008


56

�� F1x=4*x2

F1x = 2.2909

�� F2x=2*x2+4

F2x
= 5.1454

�� F1y=6*y2
-
6

F1y =
-
8.7251

�� F2y=
-
6*y2

F2y = 2.7251


J2 = 51.1375

�� d3=
-
inv([F1x F1y; F2x F2y])*[F1;F2]

d3 =


1.0e
-
006 *


-
0.3717


0.6918

�� x3=x2+d3(1)

x3 = 0.5727

�� y3=y2+d3(2)

y3 =
-
0.4542

�� abs(x3
-
x2)

an
s = 3.7170e
-
007

�� abs(y3
-
y2)

ans = 6.9182e
-
007

�� x=x3

x = 0.5727

�� y=y3

y =
-
0.4542


4
.3. Метод ітерації для нелінійної системи рівнянь


Нехай потрібно знайти дійсні розв'язки системи двох рівнянь із
заданою точністю

.

Для цьо
го перепишемо вихідну систему в
при
веденому
ітераційному ви
гля
ді:
. Нехай

і




початкові

57

наближення корінь, отримані графічним або яким
-
небудь іншим
способом. Підставивши ц
і значення в праві частини
при
веденої
системи рівнянь, можна одержати
:


Аналогічно можна одержати друге наближення


У загальному випадку

Якщо функції

і


не
перервні
та

послідовності

і


збігаються
, то
границі

їх дають розв'язок
при
ведено
ї
, отже, і
вихідної системи.

Збіжність методу

Теорема

4.2
.
Нехай у деяк
ому

замкнен
ом
у

окол
і


є один і тільки один розв'язок

і

при
веденої системи.

Тоді якщо:

1 функції

і


визначені
та

неперервно

диферен
ц
ійовані

в
;

2 початкові наближення

,

і всі наступні наближення
,

належать
;

3 у

виконані нерівності

або

нерівності
,
то процес
послідовних наближень
збігається

до розв'язку
,
.

Оцінка
похибки

-
го наближення визначається нерівністю:

,

де



найбільше із чисел

і

, що входять у ці нерівності.


58

Збіжність методу вважається гарно
ю
, якщо

; при цьому
. Тому якщо у двох послідовних наближеннях
збігаються, наприклад, три десяткові знаки після коми, то помилка
останнього наближення не перевершує 0,001.

Приклад

4
.2
.
Методом ітерації розв'яз
ати систему з точністю до
.


Розв'язок.

1 Приведемо систему до форми:


2 Для знаходження початкового наближення відокремимо
кор
ені
. Побудувавши два графіка

і

і

знайшовши їх
точк
у перетин
у
, можна
побачити, що система має єдиний розв'язок

в області

і

.

3 Перевіримо наведену систему на збіжність ітераційного
процесу:


Отже,


і

тобто умови збіжності
виконуються.

4 Для пошуку послідовних наближень використовують
формули:


Виберемо наступні початкові значення:
.


59


0,15

0,1616

0,1508

0,1539

0,1510

0,1519

0,1510


-
2

-
2,035

-
2,0245

-
0,0342

-
2,0313

-
2,0341

-
2,0333

Оскільки

, т
о


і

.

Розв

язок

в Matab

�� x0=0.15;

y0=
-
2;

�� x1=cos(y0)/3+0.3

x1 = 0.1613

�� y1=sin(x0
-
0.6)
-
1.6

y1 =
-
2.0350

�� x2=cos(y1)/3+0.3

x2 = 0.1508

�� y2=sin(x1
-
0.6)
-
1.6

y2 =
-
2.0248

�� x3=cos(y2)/3+0.3

x3 = 0.1538

�� y3=sin(x2
-
0.6)
-
1.6

y3

=
-
2.0343

�� x4=cos(y3)/3+0.3

x4 = 0.1510

�� y4=sin(x3
-
0.6)
-
1.6

y4 =
-
2.0315

�� x5=cos(y4)/3+0.3

x5 = 0.1518

�� y5=sin(x4
-
0.6)
-
1.6

y5 =
-
2.0341

�� x6=cos(y5)/3+0.3

x6 = 0.1510

�� y6=sin(x5
-
0.6)
-
1.6

y6 =
-
2.0333

�� abs(x5
-
x6)

ans = 7.6310e
-
004

�� abs(y
5
-
y6)

ans = 7.3784e
-
004

�� x=x6

x = 0.1510

�� y=y6

y =
-
2.0333


60

4
.4. Метод найшвидшого спуск
у

розв'язку нелінійних систем


Зміст

методу найшвидшого спуск
у градієнтний метод

рис. 4.1
полягає в тому, що шуканий розв'язок системи

розглядається як мінімум деякої
функції

в
-
мірному просторі

, і цей мінімум шукається
в напрямку, протилежному напрямку градієнта функції

, тобто в
напрямку найшвидшого
спадання

цієї функції. Фун
к
ц
і
я

пов'язана
з функціями

вихідної системи співвідношеннями:

.


Рис.
4.1
. Геометричне представлення методу в
. Синім кольором показані
лінії рівня функції

Неха
й
точк
а

є початковим наближенням до
шуканого розв'язку. Через цю
точк
у проводиться поверхня рівня

, а також нормаль до даної поверхні, яка вказує
напрямок найшвидшого
спадання

функції
.
Точк
а, у якій нормаль
дотикається

нової поверхні рівня

, буде
наступним наближенням до вихідного розв'язку. Нормаль,
проведена до цієї поверхні через
точк
у

, дає
можливість дійти до
точк
и

, у якій нормаль
дотикається

до
якоїсь іншої поверхні
, і т.д.


61

Так як
, де

т
о

послідовність
точок
,

,
 приведе до мінімального значення функції

,
тобто до шуканого розв'язку вихідної системи.

Послідовні наближення визначаються з матричної рівності

, де через

позначений вектор в
-
мірному просторі, що вказує координати
точк
и

,
тобто значення
-
го наближення;



па
раметр, що характеризує
змін
у

функції

уздовж відповідної нормалі,



градієнт
функції

в
точці

.

У загальному випадку параметр

може бути знайдений з
рівняння:


,




(
4
.
1)

де



скалярна функція, що визначає
зміну функції
. При цьому береться найменший
додатній

корінь
рівняння 
4
.
1).

Якщо вважають

малою величиною
і

не враховують членів, що
містять

у другий і вищих ст
е
пенях, то приблизно шуканий
розв'язок можна знайти з матричних рівностей


,
,
,

д
е

,

,

.


62

Важливою
перевагою

методу найшвидшого спуск
у

є його
неминуча збіжність. Тому його рекомендується застосовувати для
уточне
ння розв'язку в тих випадках, коли інші ітераційні методи
розходяться.

Приклад

4
.3
.

Методом найшвидшого спуск
у

наближено

обчислити кор
ені

системи:

Розв'язок.
Нехай
.

Тут


і

.

Підставляючи нульове наближення, будемо мати

,
,
,
,
,


.

Обчислимо
.

Аналогічно знайдемо друге наближення


63

.

Тоді
.

Для контролю обчислимо нев'яз
ку
:

і так да
лі.

Одержуємо розв'язок системи:

Розв

язок

в Matab

�� x0=[0.5;
-
3];

�� f0=[
-
x0(1)^2
-
5*x0(1)*x0(2)
-
6;
-
2*x0(1)^2
-
x0(2)^2+9]

f0 =


1.2500


-
0.5000

�� W0=[
-
2*x0(1)
-
5*x0(2)
-
5*x0(1);
-
4*x0(1)
-
2*x0(2)]

W0 =


14.0000
-
2.5000



-
2.0000 6.0000

�� Wot=W0'

Wot =


14.0000
-
2.0000


-
2.5000 6.0000

�� z1=Wot*f0

z1 =


18.5000


-
6.1250

�� z2=W0*z1

z2 =


274.3125


-
73.7500

�� m0=(f0(1)*z2(1)+f0(2)*z2(2))/(z2(1)*z2(1)+z2(2)*z2(2))

m0 = 0.0047

�� x1=x0
-
m0*z1

x1 =


0.4
129


-
2.9712


64

�� f1=[
-
x1(1)^2
-
5*x1(1)*x1(2)
-
6;
-
2*x1(1)^2
-
x1(2)^2+9]

f1 =


-
0.0361


-
0.1689

�� W1=[
-
2*x1(1)
-
5*x1(2)
-
5*x1(1);
-
4*x1(1)
-
2*x1(2)]

W1 =


14.0300
-
2.0646


-
1.6517 5.9423

�� W1t=W1'

W1t =


14.0300
-
1.6517


-
2.0646 5.9423

��

z11=W1t*f1

z11 =


-
0.2280


-
0.9289

�� z21=W1*z11

z21 =


-
1.2813


-
5.1433

�� m1=(f1(1)*z21(1)+f1(2)*z21(2))/(z21(1)*z21(1)+z21(2)*z21(2))

m1 =


0.0326

�� x2=x1
-
m1*z11

x2 =


0.4204


-
2.9409

�� f2=[
-
x2(1)^2
-
5*x2(1)*x2(2)
-
6;
-
2*x2(1)^2
-
x2(2)^2+
9]

f2 =


0.0044


-
0.0024

�� W2=[
-
2*x2(1)
-
5*x2(2)
-
5*x2(1);
-
4*x2(1)
-
2*x2(2)]

W2 =


13.8639
-
2.1018


-
1.6814 5.8818

�� W2t=W2'

W2t =


13.8639
-
1.6814


65


-
2.1018 5.8818

�� z12=W2t*f2

z12 =


0.0652


-
0.0235

�� z22=W2*z12

z22 =


0.
9535


-
0.2478

�� m2=(f2(1)*z22(1)+f2(2)*z22(2))/(z22(1)*z22(1)+z22(2)*z22(2))

m2 =


0.0050

�� x3=x2
-
m2*z12

x3 =


0.4200


-
2.9408

�� f3=[
-
x3(1)^2
-
5*x3(1)*x3(2)
-
6;
-
2*x3(1)^2
-
x3(2)^2+9]

f3 =


-
0.0003


-
0.0012

�� W3=[
-
2*x3(1)
-
5*x3(2)
-
5*x3(1);
-
4*
x3(1)
-
2*x3(2)]

W3 =


13.8640
-
2.1001


-
1.6801 5.8816

�� W3t=W3'

W3t =


13.8640
-
1.6801


-
2.1001 5.8816

�� z13=W3t*f3

z13 =


-
0.0023


-
0.0064

�� z23=W3*z13

z23 =


-
0.0184


-
0.0335

�� m3=(f3(1)*z23(1)+f3(2)*z23(2))/(z23(1)*z23(1)+z
23(2)*z23(2))

m3 =


66


0.0312

�� x4=x3
-
m3*z13

x4 =


0.4201


-
2.9406

�� f4=[
-
x4(1)^2
-
5*x4(1)*x4(2)
-
6;
-
2*x4(1)^2
-
x4(2)^2+9]

f4 =


1.0e
-
003 *


0.2640


-
0.1448

�� x=x4(1)

x = 0.4201

�� y=y4(1)

y =
-
2.0315


4
.5. Метод найшвидшого спуск
у

для випадку

лінійної
системи


Розглянемо систему лінійних рівнянь:


з

дійсною матрицею

й стовпцем вільних членів
.
Тоді

і

. І вихі
дна система має
вигляд:
, де



нев'яз
ка

вектора

і

.

Відповідно, остаточно маємо:


67

.

Приклад

4
.4
.
Методом найшвидшого
спу
ску
розв'язати систему
рівнянь:



Розв'язок.
У якості початкового наближення виберемо
.

Тоді
,

,

.

Обчислюючи коефіцієн
т

, одержимо:
.

Звідси
,
причому нев'яз
ка

. Аналогічно
обчислюючи, одержимо:

;


68

;

;

.

Процес найшвидшого
спуску

для лінійних систем
збігається

повільно. Так, тут точний розв'язок:
;
;
;

.

Розв

язок

в Matab

�� A=[8
-
1
-
2 0; 0 10 1 2;
-
1 0 6 2; 3
-
1 2 12]

A =


8
-
1
-
2 0


0 10 1 2


-
1 0 6 2


3
-
1 2 12

�� b=[2.3;
-
0.5;
-
1.2; 3.7]

b =


2.3000


-
0.5000


-
1.2000


3.7000

�� x0=
[0.3;
-
0.05;
-
0.2;0.3]

x0 =


0.3000


-
0.0500


-
0.2000


0.3000

�� r0=A*x0
-
b

r0 =


0.5500


0.4000


0.3000


0.4500

�� z10=A'*r0

z10 =


5.4500


3.0000


2.0000


69


6.8000

�� z20=A*A'*r0

z20 =


36.6000


45.6000


20.1500


98.9
500

��
m0=(r0(1)*z20(1)+r0(2)*z20(2)+r0(3)*z20(3)+r0(4)*z20(4))/(z20(1)*z2
0(1)+z20(2)*z20(2)+z20(3)*z20(3)+z20(4)*z20(4))

m0 = 0.0065

�� x1=x0
-
m0*z10

x1 =


0.2644


-
0.0696


-
0.2131


0.2556

�� r1=A*x1
-
b

r1 =


0.3109


0.1021


0.1684


-
0
.1964

�� z11=A'*r1

z11 =


1.7299


0.9068


0.0978


-
1.8153

�� z21=A*A'*r1

z21 =


12.7370


5.5349


-
4.7735


-
17.3049

��
m1=(r1(1)*z21(1)+r1(2)*z21(2)+r1(3)*z21(3)+r1(4)*z21(4))/(z21(1)*z2
1(1)+z21(2)*z21(2)+z21(3)*z21(3)+z21(4)*z21(4))


70

m1 =

0.0138

�� x2=x1
-
m1*z11

x2 =


0.2405


-
0.0821


-
0.2144


0.2807

�� r2=A*x2
-
b

r2 =


0.1349


0.0256


0.2344


0.0428

�� z12=A'*r2

z12 =


0.9731


0.0786


1.2477


1.0339

�� z22=A*A'*r2

z22 =


5.2110


4.1015


8.5806


17.7424

��
m2=(r2(1)*z22(1)+r2(2)*z22(2)+r2(3)*z22(3)+r2(4)*z22(4))/(z22(1)*z2
2(1)+z22(2)*z22(2)+z22(3)*z22(3)+z22(4)*z22(4))


m2 = 0.0083

�� x3=x2
-
m2*z12

x3 =


0.2324


-
0.0828


-
0.2247


0.2721

�� r3=A*x3
-
b

r3 =


71


0.0917


-
0.0083


0.1633


-
0.1040

�� z13=A'*r3

z13 =


0.2586


-
0.0709


0.5802


-
0.9382

�� z23=A*A'*r3

z23 =


0.9791


-
2.0049


1.3462


-
9.2511

��
m3=(r3(1)*z23(1)+r3(2)*z23(2)+r3(3)*z23(3)+r3(4)*z23(4))/(z23(1)*z2
3(1)+z23(2)*z23(2)+z23(3)*z23(3)+z23(4)*z23(4))

m3 = 0.0140

�� x4=x3
-
m3*z13

x4 =


0.2288


-
0.0818


-
0.2328


0.2852

�� r4=A*x4
-
b

r4 =


0.0781


0.0197


0.1446


0.0250

�� z14=A'*r4

z14 =


0.5553


0.0934


0.7809


0.6289


72

�� z24=A*A'*r4

z24 =


2.7869


2.9730


5.388
1


10.6813

��
m4=(r4(1)*z24(1)+r4(2)*z24(2)+r4(3)*z24(3)+r4(4)*z24(4))/(z24(1)*z2
4(1)+z24(2)*z24(2)+z24(3)*z24(3)+z24(4)*z24(4))

m4 = 0.0083

�� x5=x4
-
m4*z14

x5 =


0.2242


-
0.0826


-
0.2393


0.2800

�� r5=A*x5
-
b

r5 =


0.0550


-
0.0050


0.0
999


-
0.0634


Контрольн
і
за
питання:

1.

Яка відмінність

в

методах

розв'язк
у систем лінійних
алгебраїчних
рівнянь СЛАР
та

розв'язку систем нелінійних
рівнянь
?

2.

Якими методами розв'язують
систем
и

нелінійних

рівнянь
?

3.

Що таке якобіан
?

4.

Яка розрахункова формула

м
етоду
Ньютона для розв'язку
систем нелінійних рівнянь?

5.

Яка умова збіжності

методу
Ньютона для розв'язку систем
нелінійних рівнянь?

6.

Який критерій закінчення
методу
Ньютона для розв'язку
систем нелінійних рівнянь
?

7.

Яка умова збіжності

методу
простої ітерації
для розв'язку
систем нелінійних рівнянь
?


73

8.

За якою формулою проводять оцінку похибки

методу
простої
ітерації для розв'язку систем нелінійних рівнянь
?

9.

Який зміст методу найшвидшого спуску розв'язку систем
нелінійних рівнянь
?

10.

Яка
перевага
методу
найшвидшого сп
уску розв'язку систем
нелінійних рівнянь
?

11.

Коли рекомендується застосовувати
метод
найшвидшого
спуску розв'язку систем нелінійних рівнянь
?

12.

Який недолік
метод
у

найшвидшого спуску розв'язку систем
лінійних рівнянь
?

13.

Що
гарантує збіжність методу простих ітераці
й
для розв'язку
систем нелінійних рівнянь
?

14.

Що говорить не
збіжність методу простих ітерацій
для
розв'язку систем нелінійних рівнянь
?

15.

У чому полягає
ітераційний процес розв'язку системи
нелінійних рівнянь методом Ньютона
?


74

РОЗДІЛ 5
.

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

5
.1. М
етод найменших квадратів


В інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у
вигляді функціональної залежності зв'язок між величинами,
заданими таблично або у вигляді набору
точок

з координатами

, де



загальна кількість
точок
. Як правило,
ці табличні дані отримані експериментально й мають
похибки
.


Рис.
5.1
.
Графічне представлення експериментальних даних


При апроксимації бажан
о

отримати

відносно просту
функціональну залежність наприклад,
м
ного
член, яка дозволила б
згладити експериментальні
похибки
, обчислити значення функції
в
точк
ах,
яких немає

у вихідній таблиці.

Ця функціональна залежність повинна з достатньою точністю
відповідати вихідній табличній залежності. У якості критерію
точно
сті найчастіше використовують критерій

найменших
квадратів,

тобто визначають таку функціональну залежність
,
при якій

повертається

в мінімум.
похибка


75

наближення оцінюється величиною
. У якості
функціональної залежності розглянемо
мног
очлен
. Формула м
і
н
і
м
і
з
у
ремо
ї

функції
прийме вид
. Умови мінімуму

можна записати,
прирівнюючи до

нул
я

част
инні

похі
дні

по всім змінним,
.

Одержимо систему рівнянь


або
,
.

Цю систему рівнянь перепишемо
у

наступному ви
гля
ді:

,
.

В
ведемо позначення:
. Остання система може
бути записана так:

,
.

Її можна переписати в розгорнутому ви
гля
ді:

.

Матричний запис системи має такий вигляд:
. Для
визначення коефіцієнтів

, і, отже, шуканого
мног
очлена, необхідно обчислити суми

і

розв'язати останню
систему р
івнянь. Матриця

цієї системи є симетричною
і

додатньо
визначеною
.

Похибка

наближення відповідно до вихідної формули складе

.

Розглянемо окремі випадки

і

.



76

Лінійна апроксимація

.

.

;

,
.

Звідси система для знаходження коефіцієнтів

має вигляд:

.

Її можна розв'язати методом Крамера.

Квадратична апроксимація

.

.

.

.

,
.

Або в розгорнутому ви
гля
ді


Розв'язок системи рівнянь

знаходиться

за правилом
Крамера.


77

Приклад

5
.1
.
Побудуємо по методу найменших квадратів
много
члени першо
го

та

друго
го

ст
е
пеня
і

оцінимо ст
е
пінь
наближення. Значення

в
точк
ах

,

наведені в
наступній таблиці.


1

2

3

4

5


1

2

3

4

5


-
1

1

2

4

6

Обчислимо коефіцієнти

по формулах
для лінійної й квадратичної апроксимація


;


.

Для лінійної апроксимації система рівнянь визначення
коефіцієнтів

і

много
члена першо
го

ст
епеня


має
вигляд:

.

Розв’язавши

цю систему, одержимо:

.

.

Для квадратичної апроксимації система рівнянь визначення
коефіцієнтів

і

мног
очлена

друго
го

ст
е
пеня

має вигляд:

.

І коефіцієнти рівні:

. Тоді

.

Порівняємо

значення, розраховані для функціональної
залежності, з вихідними даними. Ре
зультати наведені в табл.
5.1
.





78

Таблиця
5.1


0

1

2

3

4


1

2

3

4

5


-
1

1

2

4

6


-
1

0,7

2,4

4,1

5,8


-
1

0,62

2,24

4

6
,9

Похибка

наближення відповідно до вихідних формул складе:

.

.

Розв

язок

в Matab

�� x1=1;

�� x2=2;

�� x3=3;

�� x4=4;

�� x5=5;

�� y1=
-
1;

�� y2=1;

�� y3=2;

�� y4=4;

�� y5=6;

�� n=5;

�� lc0=n

lc0 = 5

��

lc1=x1+x2+x3+x4+x5

lc1 = 15

�� lc2=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+x5^2

lc2 = 55

�� lc3=x1^3+x2^3+x3^3+x4^3+x5^3

lc3 = 225

�� lc4=x1^4+x2^4+x3^4+x4^4+x5^4

lc4 = 979

�� lb0=y1+y2+y3+y4+y5

lb0 = 12


79

�� lb1=x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4+x5*y5

lb1 = 53

�� lb2=x1^2*y1+x2^2*y2+
x3^2*y3+x4^2*y4+x5^2*y5

lb2 = 235

�� la0=(lb0*lc2
-
lb1*lc1)/(lc0*lc2
-
lc1^2)

la0 =
-
2.7000

�� la1=(lb1*lc0
-
lb0*lc1)/(lc0*lc2
-
lc1^2)

la1 = 1.7000

�� c=[lc0 lc1 lc2; lc1 lc2 lc3; lc2 lc3 lc4]

c =


5 15 55


15 55 225


55 225 979

�� b=[l
b0 lb1 lb2]'

b =


12


53


235

�� a=inv(c)*b

a =


-
2.2000


1.2714


0.0714

�� P10=la0+la1*x1

P10 =
-
1.0000

�� P11=la0+la1*x2

P11 = 0.7000

�� P12=la0+la1*x3

P12 = 2.4000

�� P13=la0+la1*x4

P13 = 4.1000

�� P1
4
=la0+la1*x5

P1
4

= 5.8000

�� P20=a(1)
+a(2)*x1+a(3)*x1^2

P20 =
-
0.8571

�� P21=a(1)+a(2)*x2+a(3)*x2^2

P21 = 0.6286

�� P22=a(1)+a(2)*x3+a(3)*x3^2


80

P22 = 2.2571

�� P23=a(1)+a(2)*x4+a(3)*x4^2

P23 = 4.0286

�� P24=a(1)+a(2)*x5+a(3)*x5^2

P24 = 5.9429

�� d1=sqrt(1/5*((y1
-
P10)^2+(y2
-
P11)^2+(y3
-
P12)^2+(y
4
-
P13)^2+(y5
-
P1
4
)^2))

d1 = 0.2449

�� d2=sqrt(1/5*((y1
-
P20)^2+(y2
-
P21)^2+(y3
-
P22)^2+(y4
-
P23)^2+(y5
-
P24)^2))

d2 = 0.2138


5
.2. Побудова інтерполяційних
много
членів


Нехай на відрізку

в деякій послідовності

вузлів

задана функція

своїми значеннями

,
де
. Задача алгебраїчної інтерполяції полягає в побудові
много
члена

ст
е
пені

, що задовольняє
умові інтерполяції:
.

Відомо, що існує єдиний поліном ст
е
пеня не вище

, що
набуває

у вихідних точках задані значення. Коефіцієнти

полінома

можна визначити із системи рівнянь:


Визначник цієї системи є визначник Вандермонда, і, отже,
система має єдиний розв'язок.











81

-----------------------------------------------------
-----------------------------------------------

Визначником Вандермонда
n
-

го порядку називається визначник.


Доведемо, що


.

Доведення проведемо індукцією за порядком
n

визначника

При
n=2


Припустимо, що твердження виконується для визначника Вандкрмонда Δ
n
-
1

порядку
n
-
1 і знайдемо визначник Δ
n
. Як відомо, визначник не змінюється,
якщо від деякого рядка відняти інший рядок, домножений на число. Тому у
визначника Δ
n

спочатку в
ід останнього рядка віднімаємо рядок з номером

(
n
-
1, домножений на
a
1
. Потім від 
n
-
1)


го рядка віднімемо рядок з номером
n
-
2, домножений на

і т.д., нарешті, від другого рядка віднімемо перший
рядок, домножений на
a
1
. Ц
і операції не змінюють величин визначника.

Одержуємо


Роз
кладемо

визначник за елементами першого стовпчика. Оскільки у першому
стовпчику лише один ненульовий елемент, то


З кожного стовпчика можна вине
сти множник за знак визначника. Тому


82


Одержуємо визначник Вандермонда порядку

n
-
1. Враховуючи припущення
індукції

.

--------------------------------------------------------------------------------------
--

Приклад

5
.2
.

Побудувати інтерполяційний
мног
очлен

, що
збігається з функцією

в
точк
ах
.

Розв'язок.

Нехай
, тому маємо


.

Звідси
.

Тому

при
.

Розв

язок

в Matab

�� x0=
-
1;

�� x1=0;

�� x2=1;

�� c=[1
-
1 1; 1 0 0; 1 1 1]

c =


1
-
1 1


1 0 0


1 1 1

�� b=[1/3 1 3
]'

b =


0.3333


1.0000


3.0000

�� a=inv(c)*b

a =


1.0000


83


1.3333


0.6667

Мног
о
член Лагранжа


Будемо шукати
мног
очлен у вигляді лінійної комбінації множин
ст
е
пені
:
.

При цьому
покладем
о
, щоб кожний
мног
очлен


у всіх
вузлах інтерполяції, за винятком одного

, де він рівний 1.
Легко перевірити, що цим умовам відповідає
мног
очлен виду

.

Дійсно,
. При

чисельник вира
зу

дорівнює

0. За аналогією одержимо:

,

.

Підставивши ці формули у вихідний
мног
очлен, одержимо:

.

Ця формула називається інтерполяційним
мног
очленом
Лагранжа.

Приклад

5
.3
.

Побудувати інтерполяційний
мног
очлен Лагранжа

, що збігається з функцією

у

точк
ах
.

Розв'язок.

Складемо таблицю

х

-
2

-
4/3

0

4/3

2

у

0

1

2

1

0


Підставляючи ці значення у формулу Лагранжа, одержимо:


84



Якщо функція

неперервно

диференц
ій
овна

до
-
го
порядку включно, то залишковий член інтерполяційного
много
члена у формі Л
а
гранжа має вигляд
:

,

де



внутрішня
точк
а мінімального відрізка, що містить вузли
інтерп
оляції

і

точк
у
.

Розв

язок

в Matab

��
x
0=
-
2;

��
x
1=
-
4/3;

�� x2=0;

�� x3=4/3;

�� x4=2;

�� syms x;

�� y0=0;

�� y1=1;

�� y2=2;

�� y3=1;

�� y4=0;

�� l0=y0*(x
-
x1)*(x
-
x2)*(x
-
x3)*(x
-
x4)/((x0
-
x1)*(x0
-
x2)*(x0
-
x3)*(x0
-
x4))


l0 =0


85


�� l1=y1*(x
-
x0)*(x
-
x2)*(x
-
x3)*(x
-
x4)/((x1
-
x0)*(x1
-
x2)*(x1
-
x3)*(x1
-
x4))

l1 =
-
(81*x*(x
-

2)*(x + 2)*(x
-

4/3))/640


�� l2=y2*(x
-
x0)*(x
-
x1)*(x
-
x3)*(x
-
x4)/((x2
-
x0)*(x2
-
x1)*(x2
-
x3)*(x2
-
x4))

l2 =(9*(2*x + 4)*(x
-

2)*(x
-

4/3)*(x + 4/3))/64


�� l3=y3*(x
-
x0)*(x
-
x1)*(x
-
x2)*(x
-
x4)/((x3
-
x0)*(x3
-
x1)*(x3
-
x2)*(x3
-
x4))


l3 =
-
(81*x*(x
-

2)*(x + 2)*(x + 4/3))/640


�� l4=y4*(x
-
x0)*(x
-
x1)*(x
-
x2)*(x
-
x3)/((x4
-
x0)*(x4
-
x1)*(x4
-
x2)*(x4
-
x3))

l4 =0


�� L=l0+l1+l2+l3+l4


L =(9*(2*x + 4)*(x
-

2)*(x
-

4/3)*(x +
4/3))/64
-

(81*x*(x
-

2)*(x +
2)*(x
-

4/3))/640
-

(81*x*(x
-

2)*(x + 2)*(x + 4/3))/640


Мног
очлен Ньютона з
с
кін
ченними
різницями


Розглянемо випадок рівновіддалених вузлів інтерполяції, тобто



називається кроком.

В
ведемо понят
тя
скінченних

різниць. Нехай відомі значення
функції у вузлах
. Складемо різниці значень функції:


Ці різниці називаються різницями першого порядку.

Можна скласти різниці другого порядку:

.

Аналогічно складаються різниці k
-
го порядку:

.

Виразимо кінцеві різниці безпосередньо через значення функції:


86


Таким чином, для будь
-
якого k можна записати:


За
пишемо цю формулу для значень різниці у вузлі
:

.

Використовуючи кінцеві різниці, можна визначити

.

Перейдемо до побудови інтерполяційного
мног
очлена Ньютона.
Цей
мног
очлен бу
демо шукати у вигляді


Графік
мног
очлена повинен проходити через задані вузли, тобто
. Використовуємо ці умови для знаходження
коефіцієнтів
мног
очлена:


Знайдемо звідси коефіц
ієнти
:


Таким чином, для кожного
-
го коефіцієнта формула прийме
ви
гляд


87

.

Підставляючи ці формули у вира
зи

мног
очлена Ньютона,
одержимо його наступн
ий ви
гляд
:


Отриману формулу можна записати в іншому
вигляді
. Для цього
введемо змінну
.

У цьому випадку

З урахуванням цих співвідношень формулу
мног
очлена Ньютона
можна запи
сати у вигляді

.

Отриманий

вира
з

може апроксимувати дану функцію

на
всьому відрізку зміни аргументу
. Однак більш доцільно з
погляду підвищення точності розрахунків і зменше
ння числа
доданків у
отриманій

формулі обмежитися випадком

, тобто
використовувати цю формулу для всіх
. Для інших
випадків замість

прийняти

, якщ
о

при
. У
цьому випадку інтерполяційний
мног
очлен можна записати у
вигляді



88

Отримана формула називається першим інтерполяційним
мног
очленом Ньютона для інтерполяції вперед. Ц
ю інтерполяційну
формулу
зазвичай

використовують для обчислення значень функції
в
точк
ах лівої половини розглянутого відрізка. Це пояснюється
наступним: різниці

обчислюються через значення
функції
, при
чому
. Через це при більших
значеннях

ми не можемо обчислити вищих порядків
.

Для правої половини розглянутого відрізка різниці краще
обчислювати
з права

на
ліво. У цьому вип
адку

, тобто

, і інтерполяційний
мног
очлен Ньютона можна одержати у
вигляді:

.

Отримана формула називається другим інтерполяційним
мног
очленом назад.

Приклад

5
.4
.

Використовую
чи інтерполяційний поліном
Ньютона, обчислити

, де функція

задана таблицею


х

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

у

0

0,1002

0,2013

0,8045

0,4108

0,5211

Розв'язок.
Побудуємо

таблицю
с
кін
ченних

різниць.

х

у






0

0








0,1002





0,1

0,1002


0,0009






0,1011


0,0012



0,2

0,2013


0,0021


-
0,0002




0,1032


0,0010


0,0001

0,3

0,3045


0,0031


-
0,0001




0,1063


0,0009



0,4

0,4108


0,0040






0,1103





0,5

0,5211







89

Для обчислення

покладемо в інтерполяційному
мног
очлені Ньютона вперед

тоді

і


Розв

язок

в Matab

�� x0=0;

�� x1=0.1;

�� x2=0.2;

�� x3=0.3;

�� x4=0.4;

�� x5=0.5;

�� y0=0;

�� y1=0.1002;

�� y1=0.2013;

�� y1=0.1002;

�� y2=0.2013;

�� y3=0.8045;

�� y4=0.4108;

�� y5=0.5211;

�� xi=0.1;

�� h=0.1
;

�� q=(
0.14
-
0.1)/0.1

q = 0.4000

�� d1y1=0.1002;

�� d1y2=0.1011;

�� d1y3=0.1032;

�� d1y4=0.1063;

�� d1y5=0.1103;

�� d2y1=0.0009;

�� d2y2=0.0021;

�� d2y3=0.0031;

�� d2y4=0.0040;

�� d3y1=0.0012;

�� d3y2=0.0010;

�� d3y3=0.0009;


90

�� d4y1=
-
0.0002;

�� d4y2=
-
0.0001;

�� d
5y1=0.0001;

�� f=y1+d1y1*q+d2y2/2*q*(q
-
1)+d3y2/factorial(3)*q*(q
-
1)*(q
-
2)+d4y2/factorial(3)*q*(q
-
1)*(q
-
2)*(q
-
3)

f = 0.1401

Приклад

5
.5
.

Задана таблиця. Знайти
.


х






0,2588






0,0832




0,3420


-
0,026




0,0806


0,0006


0,4226


-
0,032




0,0774


0,0006


0,
5


0,038




0,0736




0,5736





При обчисленні

покладемо

.


При обчисленні

покладемо

.





91

Розв

язок

в Matab

�� x1=15;

�� x2=20;

�� x3=25;

�� x4=305;

�� x4=30;

�� x5=35;

�� y1=0.2588;

�� y2=0.3420;

�� y3=0.4226;

�� y4=0.5;

�� y5=0.5736;

�� d1y1=0.0832;

�� d1y2=0.0806;

�� d1y3=0.0774;

�� d1y4=0.0736;

�� d2y1=
-
0.026
;

�� d2y2=
-
0.032;

�� d2y3=
-
0.038;

�� d3y1=0.0006;

�� d3y2=0.0006;

�� x0=15;


�� x=14;

�� q=(x
-
x0)/5

q =
-
0.2000

�� sin14=y1+q*d1y1+q*(q
-
1)*d2y2/factorial(2)+q*(q
-
1)*(q
-
2)*d3y3/factorial(3)

sin14 = 0.2382

�� xn=35;

�� x=36;

�� q=(x
-
xn)/5

q = 0.2000

�� sin
36=y5+q*d1y4+q*(q
-
1)*d2y3/factorial(2)+q*(q
-
1)*(q
-
2)*d3y3/factorial(3)

sin36 = 0.5914

Оцінимо
похибки по

формул
ах

Ньютона вперед та назад:


92


де

і


де
.

Формули наближеного диференціювання засновані на першій
інтерполяційній формулі Ньютона. Інтерполяційний
мног
очлен
Ньютона має вигляд

,

де

П
еремнож
ивши

біном
и
, одержимо


так як
, то


Аналогічно можна обчислювати похідні функції будь
-
якого
порядку.

У деяких випадках потрібно знаходити похідні функцій

в
основних табличних
точк
ах
.
Так як

табличне значення можна
вважати

за початкове, то

поклавши
, маємо

,

Для похідн
ої

мног
очлена Ньютона першого порядку по
хибка

може бути обчислена по формулі

,

де



число
с
кін
ченних

різниць у
мног
очлені Ньютона.



93

Приклад

5
.6
.

Знайти

функції
, заданої таблично.

Розв'язок.

х

у




50

1,6990






0,0414



55

1,7404


-
0,0036




0,0378


0,0005

60

1,7782


-
0,0031




0,0347



65

1,8129





Тут
;
.

Обчислюючи
похибку
, одержимо:

.

Дійсно,
.

Таким чином, результати збігаються до четвертого знака.

Розв

язок

в Matab

�� x1=50;

�� x2=55;

�� x3=60;

�� x4=65;

�� y1=1.6990;

�� y2=1.7404;

�� y3=1.7782;

�� y4=1.8129;

�� d1y1=0.0414;

�� d1y2=0.0378;

�� d
1y3=0.0347;

�� d2y1=
-
0.0036;

�� d2y2=
-
0.0031;

�� d3y1=0.0005;

�� h=5;

�� y150=1/h*(d1y1
-
d2y2/2+d3y3/3)

y150 = 0.0087


94

�� R3=(
-
1)^3/h*d3y3/4

R3 =

-
4.5000e
-
005


Контрольн
і
за
питання:

1.

Для чого при апроксимації бажано отримати просту
функціональну залежність
?

2.

Як звучить критерій найменших квадратів
?

3.

Як визначається похибка наближення відповідно методу
найменших квадратів
?

4.

Як

знаходиться розв
'
язок при лінійній апроксимації
?

5.

Як знаходиться розв
'
язок при квадратній апроксимації
?

6.

В чому полягає з
адача алгебраїчної
інтерполяції
?

7.

Що таке визначник Вандремонда
?

8.

Який вигляд інтерполяційного многочлена Лагранжа
?

9.

Що таке крок
?

10.

Що таке скінченна різниця
?

11.

Як виражают
ьс
я кінцеві різниці через значення функції
?

12.

Який вигляд має

формула
, що

називається першим
інтерполяційним мн
огочленом Ньютона для інтерполяції
впере
д
?

13.

Коли зазвичай використовують
інтерполяційни
й

многочленом Ньютона для інтерполяції впере
д
?

14.

Який вигляд має

формула
, що

називається
друг
им
інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції
назад
?

15.

Який вигляд інте
рполяційного многочлена
Ньютона
?



95

РОЗДІЛ
6.

ОБЧИСЛЕННЯ
ВИЗНАЧЕНИХ

ІНТЕГРАЛІВ

6.
1. Попередні міркування


З курс вищої математики відомо, що існують невизначені
інтеграл, що не виражаються елементарними функціями


так звані
інтеграли, що не беруться. Так
им, наприклад, є інтеграл
. Тому у деяких випадках неможливе обчислення
визначеного інтеграла за допомогою формули Ньютона
-
Лейбніца

, так як не можна знайти первісну
підінтегральної функції
. У той же час існування такого
інтеграла обумовлене неперервністю функції

на відрізку
. У таких випадках використовують чисельні методи
інтегрування.

Зрозуміло, обчислити визначений інт
еграл можна, безпосередньо
користуючись його визначенням, як границя інтегральних сум:
, де
-

число відрізків розбивки часткових
відрізків,
-

деякі точки, довільно обрані на

кожному з відрізків,

-

довжина одного часткового відрізка. Однак такий спосіб, по
-
перше, досить громіздкий, по
-
друге, зазвичай дає результати
прийнятної точності тільки при більших значеннях
.

Найчаст
іше формули наближеного обчислення визначеного
інтеграла випливають із його геометричного змісту. Отже, задача
про наближене обчислення визначеного інтеграла заміняється
іншою, рівносильною їй


задачею про обчислення площі
криволінійної трапеції. При цьом
у крива

заміняється іншою
лінією, досить близькою до неї. У якості цієї нової лінії вибирається
така крива, для якої площа криволінійної трапеції підраховується
просто, тобто для якої можна легко знайти первісну. Залежно від
виб
ору цієї кривої й різняться формули чисельного інтегрування.


96

Припустимо спочатку для визначеності, що

для всіх
. Розіб'ємо відрізок

на

рівних ч
астин точками
. Довжина кожного відрізка рівна
.
Через точки поділу проведемо вертикальні прямі, які перетнуть
лінію

в точках
.


6.
2. Формули прямо
кутників


Замінимо криву

ламаною, розташованою вище її. Тоді
визначений інтеграл буде приблизно дорівнює площі ступінчатої
фігури, що складається із

прямокутників:

.


(
6.
1)

Тут

-

значення підінтегральної функції функції в правих
кінцях відрізків розбиття.

Якщо ж криву

замінити ламаною, розташованою нижче
її, то вийде формула:



(
6.
2)

Тут

-

значення підінтегральної функції в лівих кінцях
відрізків розбиття. Формули 
6.1
 і 
6.
2 називають
формулами
прямокутників
.

Оцінка похибки
. Оцінка похибки даного методу наближеного
обчислення визначеного інтеграла знаход
иться за формулою:





(
6.
3),

де

-

найбільше значення першої похідної
підінтегральної функції на відрізку інтегрування.

Приклад
6.
1.

Обчислити по одній на вибір із формул
п
рямокутників інтеграл
, розбивши відрізок інтегрування на
10 частин. Оцінити похибку обчислень і порівняти отримане
значення з точним значенням 1,718281.


97

Розв'язок.

Обчислимо значення підінтегральної функції

в точках
розбиття і відповідні значення занесемо в таблицю:


х

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

у

1,0

1,10517

1,2214

1,34986

1,49282

1,64872

1,82212

2,01375

2,22554

2,45960

2,71828


Скористаємося формулою 
6.
1):

.

Оцінимо похибку обчислення. Маємо:
. Підставляючи у формулу 
6.
3),
одержуємо
. Дійсно, порівнюючи
отримане значення з точним значенням, одержуємо
. Це досить значна
помилка.

Зауваження.

У багатьох випадках формули 
6.
1 і 
6.
2 дають
наближені значення певного інтеграла одна


з надлишком, а друга


з недостачою. Тому більш точне значення можна одержати,
знайшовши середнє арифметичне результатів застосування обох
форм
ул.

Розв

язок

в Matab

�� x0=0.0;

�� x1=0.1;

�� x2=0.2;

�� x3=0.3;

�� x4=0.4;

�� x5=0.5;

�� x6=0.6;

�� x7=0.7;

�� x8=0.8;

�� x9=0.9;

�� x10=1;

�� y0=1;

�� y1=1.10517;

�� y2=1.2214;

�� y3=1.34986;


98

�� y4=1.49282;

�� y5=1.64872;

�� y6=1.82212;

�� y7=2.01375;

�� y8=2.22554;

�� y9=2.45960;

�� y10=2.71828;

�� S=(x10
-
x0)/10*(y0+y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9)

S = 1.6339

�� exp(1)

ans = 2.7183

�� e=(x10
-
x0)/10*exp(1)*0.1^2

e = 0.0027

�� d=abs(1.718281
-
S)

d = 0.0844


6.3. Формула трапецій


З'єднавши відрізками кожні
дві сусідні точки
,
отримані способом, зазначеному наприкінці попереднього пункту,
замінимо криву

ламаною
. Вона зверху
обмежує фігуру, складену із прямокутних трапецій, кожна

з яких
опирається на один із часткових відрізків розбивки. Площа
елементарної криволінійної трапеції з основою

замінимо
площею прямокутної трапеції, обмеженою зверху відрізком
.
Тоді шукана площа крив
олінійної трапеції, обмежена
лінією
, буде приблизно дорівнює сумі площ даних
прямокутних трапецій. Площа кожної такої трапеції легко
підрахувати, використовуючи добре відому із шкільного курсу
геометрії формулу:
. Сума таких площ
рівна:

.


99

Після очевидних перетворень одержимо:
.
Таким чином, маємо наступну наближену формулу обчислення
визначеного інтеграла:



(
6.
4)

Формула 
4 називається
формулою трапецій
. Похибку для
методу трапецій можна оцінити по формулі:

,




(
6.
5)

де

-

найбільше значення другої похідної
підінтегральної функції на відрізку інтегрування.


Приклад
6.
2.

В умовах прикладу
6.
1 використати формулу
трапецій. Оцінити похибку обчислення; порівняти отримане
наближене значення

з точним.

Розв'язок.

Скористаємося таблицею значень, яку ми застосовували в
попередньому прикладі.


х

0,
0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

у

1,0

1,10517

1,2214

1,34986

1,49282

1,64872

1,82212

2,01375

2,22554

2,45960

2,71828


За формулою 
6.
4 одержуємо:

.

Оцінимо похибку обчислення. Маємо
. Підст
авляючи у формулу 
6.
5),
одержуємо:
. Дійсно, порівнюючи
отримане значення з точним, одержуємо
.

Зауважимо, що даний спосіб дав нам набагато більш точне
наближення, чим використовуваний у попередньому

прикладі.


100

Розв

язок

в Matab

�� x1=0.0;

�� x0=0.0;

�� x1=0.1;

�� x2=0.2;

�� x3=0.3;

�� x4=0.4;

�� x5=0.5;

�� x6=0.6;

�� x7=0.7;

�� x8=0.8;

�� x9=0.9;

�� x10=1;

�� y0=1;

�� y1=1.10517;

�� y2=1.2214;

�� y3=1.34986;

�� y4=1.49282;

�� y5=1.64872;

�� y6=1.8221
2;

�� y7=2.01375;

�� y8=2.22554;

�� y9=2.45960;

�� y10=2.71828;

�� Sn=(x10
-
x0)/10*((y0+y10)/2+y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9)

Sn = 1.7198

�� exp(1)

ans = 2.7183

�� e=(x10
-
x0)/10*exp(1)*0.1^2

e = 0.0027

�� d=abs(1.718281
-
Sn)

d = 0.0015


6.
4.
Метод Сімпсона 
метод парабол


Замінимо графік функції

на відрізку

,
,
, параболою, проведено
ю

через
точк
и


101

,
,
де



середина відрізка
. Ця парабола є інтерполяційний
мног
очлен другого ст
е
пеня

з вузлами
. Неважко переконатися, що рівняння цієї
параболи має в
игляд:

,

де
.

Про
інтегрувавши

цю функцію на відрізку

, одержимо

.

Додавши

отримані вира
зи

по

, одержимо
квадратурну форму
лу С
і
мпсона або формулу парабол:

.

Оцінка
похибки
.
Для оцінки
похибки

формули С
і
мпсона
скористаємося наступною теоремою.

Теорема

6.1
.
Нехай функція

має на відрізку

неперер
вну

похідну четвертого порядку

. Тоді для формули С
і
мпсона
справедлива

наступна оцінка п
охибки
:
,

де
.

Зауваження.

Якщо число елементарних відрізків, на які ділиться
відрізок
,
парне
, тобто
,
то параболи можна проводити
через вузли із цілими індексами, і замість елементарного відрізка

довжини

розглядати відрізок

довжини
.
Тоді формула С
і
мпсона прийме ви
гляд
:

, а замість останньої
оцінки буде
справедлива

наступна оцінка
похибки
:

.


102

Правило Рунге практичної оцінки по
хиб
ки
.

Оцінка по
хибки

залежить від довжини елементарного відрізка

,
і при досить малому

справедлив
а

наближен
а

рівність:

,
де

наближене значення інтег
рала. Якщо зменшити крок


у два
рази, то одержимо:
.

Віднімаючи одне
від

іншого, одержимо:

, або
.

Ця наближена рівність дає оцінку по
хибки
. Обчисле
ння цієї
оцінки називається
правилом Рунге
.

Правило Рунге


це
емпіричний спосіб оцінки по
хибки
, заснований на порівнянні
результатів обчислень, проведених з різними кроками
. Для
формули С
і
мпсона

, і о
цінка
набуває

ви
гляд
:
. Використовуючи правило Рунге, можна
побудувати процедуру наближеного обчислення інтеграла із
заданою точністю
.

Потрібно, почавши обчислення з деякого
значення кроку
, послідовно зменшувати це значення у два рази,
щораз
у

обчислюючи наближене значення
. Обчислення
припиняються тоді, коли результати двох наступних обчислень
будуть
відрізнятися

менше, чим на
.

Приклад

6.
3
.
Обчислити
.

Розв'язок.
Візьмемо
, тоді
.






0

0



1
0)

0,5
4)

1

0,125

0,984625



2

0,250


0,941176
1)


3

0,375

0,876712



4

0,5


0,8
2)


5

0,625

0,7191



6

0,750


0,64
3)


7

0,875

0,566389



8

1






3,45955

1,62818

1,5


103

.

.

.

Отже, значення інтеграла можна порахувати
.

Розв

язок

в Matab

�� x0=0;

�� x1=0.125;

�� x2=0.25;

�� x3=0.375;

�� x4=0.5;

�� x5=0.625;

�� x6=0.75;

�� x7=0.875;

�� x8=1;

�� n=8;

�� h=(x8
-
x0)/n

h = 0.1250

�� ynvp1=0.984625;

�� ynvp2=0.876712;

�� ynvp3=0.7191;

�� ynvp4=0.566389;

�� ynvp5=3.45955;

�� ypar1=0.941176;

�� ypar2=0.8;

�� ypar3=0.64;

�� ypar4=1.62818;

�� y0=1;

�� yn=0.5;

�� y0n=y0+yn

�� Ih=h/3*(y0n+4*ynvp5+2*ypar4)

Ih = 0.7748

�� I2h=2*
h/3*(y0n+4*(ypar1+ypar3)+2*ypar2)

I2h = 0.7854

�� IIc=1/15*(Ih
-
I2h)

IIc =
-
7.0791e
-
004


104

Контрольн
і
за
питання:

1.

Що
називають

невизначен
им

інтеграл
ом
?

2.

Чого
не завжди
можна знайти ін
т
еграл за
допомогою
формули Ньютона
-
Лейбніца
?

3.

У яких випадках використовують чи
сельні методи
інтегрування
?

4.

Який недолік
обчисл
ення

визначен
ого

інтеграл
у

користуючись його визначенням
?

5.

Із чого н
айчастіше випливають формули наближеного
обчислення визначеного інтеграла
?

6.

Якою задачею заміняється
задача про наближене обчислення
визначеног
о інтеграла
?

7.

Який вигляд має формула Сімпсона
?

8.

Залежно від
чого

різняться формули чисельного
інтегрування
?

9.

Який вигляд мають формули прямокутників
?

10.

За якою формулою проводять оцінку похибки методу
прямокутників
?

11.

Як можна одержати більш точне значення згідн
о методу
прямокутників
?

12.

Який вигляд має формула трапецій?

13.

За якою формулою проводять оцінку похибки методу
трапецій
?

14.

За якою формулою проводять оцінку похибки методу
Сімпсона
?

15.

Що
називають
правило
м

Рунге
?




105

РОЗДІЛ
7.

ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІ
ВНЯНЬ

7.1. Постановка задачі Коші


Відомо, що
звичайне диференціальне рівняння першого
порядку

має вигляд:
.


Розв'язком цього рівняння є диф
еренційовна

функція

, яка
при підстановці в рівняння обертає
його в тотожність. На
рис.

7.1

наведений графік розв'язку вихідного диференціального рівняння.
Графік розв'язку диференціального рівняння називається
інтегрально
ю

крив
ою
.


Рис.
7.1
. Графік розв'язку диференціального рівняння


Похідну

в кожній
точці


можна геометрично
інтерпретувати як тангенс кута

нахилу дотичній до графіка
розв'язку, що проходить через цю
точк
у,
тобто
:
.

Вихідне рівняння визначає
ціле сімейство розв'язків. Щоб
виділити один розв'язок, задають
початкову умову:

,
де



деяке задане значення аргументу
, а



початкове значення
фу
нкції.


106

Задача Коші

полягає у відшуканні функції

, що
задовольняє вихідному рівнянню й початковій умові.
Зазвичай

визначають розв'язок задачі Коші на відрізку, розташованому
праворуч від початкового значення

, тобто для
.
Можливість розв'язання задачі Коші визначає наступна теорема.

Теорема

7.1
.

Нехай функція

визначена й
не
перервна при

,

і задовол
ьняє умові Л
і
п
шица:

, де

деяка постійна, а



довільні значення. Тоді для кожного початкового значення

існує
єдиний розв'язок

задачі Коші для
.

Навіть для простих диференціальних рівнянь першого порядку
не завжди вдається одержати аналітичний розв'язок. Тому велике
значення мають чисельні методи розв'язку. Чисельні методи
дозволяють визначити на
ближені значення шуканого розв'язку

на деякій обраній сітці значень аргументу
.
Точк
и

називаються
вузлами сітки
, а величина



кроком сітки.
Часто

розглядають
рівномірні

сітки,

для яких крок

постійний,
. При цьому розв'язок виходить у вигляді таблиці, у
якій кожному вузлу сітки

відповідають наближені значення
функції

у вузлах сітки
.

Чисельні методи не дозволяють знайти розв'язок у загальному
ви
гляді
,
проте

вони застосовні до широкого класу диференціальних
рівнянь.

Збіжність чисельних методів розв'язку задачі Коші.

Нехай




розв'язок задачі Коші. Назвемо

по
хибкою

чисельного методу
функцію

, задану у вузлах сітки
. У якості абсолютної
по
хибки

приймемо величину
.

Чисельний метод розв'язку задачі Коші називається
збіжним
,
якщо для нього

при
. Говорять, що метод має
-
и
й
порядок точності, якщо для по
хибки

справедлива

оцінка

,



константа,
.


107

7.2. Метод
Е
йлера


Найпростішим методом розв'язку задачі Коші є метод
Е
йлера.
Будемо
розв’язувати

задачу Коші


на відрізку
. Виберемо крок

і побудуємо сітку із
системою вузлів
. У методі
Е
йлера
обчислюються наближені значення функції

у вузлах сітки:
. Замінив
ши похідну

скінченними

різницями на
відрізках

,
, одержимо наближену рівність:

,
, як
у

можна переписати так:

,
.

Ці формули й початкова умова є
розрахунковими формулами
методу
Е
йл
е
ра.

Геометрична інтерпретація одного кроку методу
Е
йлера полягає
в тому, що розв'язок на відрізку

заміняється
дотичн
ою
, проведено
ю

в
точ
ку


до інтегральної
кривої, що проходить через цю
точк
у. Після виконання

кроків
невідома інтегральна крива заміняється ламаною лінією
ламано
ю
Е
йлера.

О
цінка по
хибки
.
Для оцінки по
хибки

методу
Е
йлера
скористаємося наступною теоремою.

Теорема

7.2
.
Нехай функція

задовольняє умовам:

.

Тоді для методу
Е
йлера
справедлива

наступна оцінка по
хибки
:

, де



довжина відрізка
.
Ми бачимо, що метод
Е
йлера має перший порядок точності.


108

Оцінка по
хибки

методу
Е
йлера часто буває
складна
,
так як

вимагає обчислення похідних функції
. Грубу оцінку
по
хибки

дає
правило Рунге правило подвійного перераху
нку
),

яке використовується для різних однокрокових методів, що мають
-
и
й порядок точності. Правило Рунге полягає в наступному.
Нехай



наближення, отримані із кроком

, а



наближення, отримані із кроком
. Тоді справедливо наближена
рівність:

.

Таким чином, щоб
оцінити по
хибку

однокрокового методу із
кроком

, потрібно знайти т
ой

ж
е

розв'язок із кроком

і
обчислити величину, що
знаходиться

праворуч в останній формулі,
тобто
.
Так як

м
етод
Е
йлера має перший порядок
точності, тобто

, т
о

наближена рівність має вигляд:

.

Використовуючи правило Рунге, можна побудувати процедуру
наближеного обчислення розв'язку задачі Коші із заданою точ
ністю
.

Для цього потрібно, почавши обчислення з деякого значення
кроку

, послідовно зменшувати це значення у два рази, щораз
у

обчислюючи наближене значення

,
.
Обчислення
припиняються тоді, коли буде виконана умова:
. Для методу
Е
йлера ця умова
набуде вигляду
:
. Наближеним розв'язком будуть значення

,
.

Приклад
7.
1.
Знайдемо розв'язок на відрізку

наступної
задачі Коші:
,
.
Виберемо

крок
. Тоді
.

Розрахункова форм
ула методу
Е
йлера має вигляд:


109

,
.

Розв'язок представимо у вигляді таблиці
7.1
:


Таблиця
7.1


0

1

2

3

4

5


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0


1,0000

1,2000

1,3733

1,5294

1,6786

1,8237

Вихідне рівняння є рівняння Бернуллі. Його розв'язок можна
знайти в явному виді:
.

Для порівняння точного й наближеного розв'язків представимо
точний розв'язок у вигляді таблиц
і
7.2
:

Таблиця 7.2


0

1

2

3

4

5


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0


1,0000

1,1832

1,3416

1,4832

1,6124

1,7320


З таблиці видн
о
, що по
хибка

становить
.

Розв

я
зок

в Matab

�� h=0.2;

�� n=5;

�� t0=0;

�� t1=0.2;

�� t2=0.4;

�� t3=0.6;

�� t4=0.8;

�� t5=1;

�� y0=1;

�� y1=1.2;

�� y2=1.3733;

�� y3=1.5294;

�� y4=1.6786;

�� y5=1.8237;


110

�� ey0=1;

�� ey1=ey0+h*(ey0
-
2*t0/ey0)

ey1 = 1.2000

�� ey2=ey1+h*(ey1
-
2*t1/ey1)

ey2 =
1.3733

�� ey3=ey2+h*(ey2
-
2*t2/ey2)

ey3 = 1.5315

�� ey4=ey3+h*(ey3
-
2*t3/ey3)

ey4 = 1.6811

�� ey5=ey4+h*(ey4
-
2*t4/ey4)

ey5 = 1.8269


7.3. Модифіковані методи
Е
йлера


Перший модифікований метод
Е
йлера.

Зміст

цього методу
полягає в наступному. Спочатку обчи
слюються допоміжні значення
шуканої функції

в
точк
ах

за допомогою формули:

.

Потім
знаходиться

значення правої частини вихідного рівняння в
середній
точці


і

потім покладається

,
.

Ці формули є
розрахунковими формулами першого
модифікованого методу
Е
й
лера.

Перший модифікований метод Эйлера є однокроковим методом

із другим порядком точності.

Други
й модифікований метод
Е
йлера

Коші.
Зміст

цього
методу полягає в наступному. Спочатку обчислюються допоміжні
значення

.

Потім наближення шуканого розв'язку
знаходяться

по формулі:

.

Ці формули є
розраху
нковими формулами другого
модифікованого методу
Е
йлера

Коші.


111

Другий модифікований метод
Е
йлера

Коші так само, як і
перший, є однокроковим методом із другим порядком точності.

Оцінка по
хибки
.
Наближена оцінка по
хибки

модифікованих
методів
Е
йлера здійснюєтьс
я
так само
як і для простого методу
Е
йлера з використанням правила Рунге.
Так як

об
идва

модифікован
і

метод
и

Е
йлера мають другий порядок точності, тобто

, т
о

оцінка по
хибки

набуде вигляду
:
.

Використовую
чи правило Рунге, можна побудувати процедуру
наближеного обчислення розв'язку задачі Коші модифікованими
методами
Е
йлера із заданою точністю
.
Потрібно, почавши
обчислення з деякого значення кроку

, пос
лідовно зменшувати це
значення у два рази, щораз
у

обчислюючи наближене значення
.
Обчислення припиняються тоді, коли буде
виконана умова:
.

Наближеним розв'язком будуть значення
.

Приклад
7.2
.
Застосуємо перший модифікований метод
Е
йлера
для розв'язку задачі Коші
,

розглянутої
раніше в попередньому прикладі.
Виберемо

крок
. Тоді

, і розрахункова фо
рмула першого модифікованого
методу
Е
йлера має вигляд:

,

Д
е

,
,

,
.

Розв'язок представимо

у вигляді таблиці 7.3
.

Таблиця
7
.3








0

0

1

0,1

0,1

1,
0
1

0,1836

1

0,2

1,1836

0,0850

0,3

1,26
82

0,1590

2

0,4

1,3426

0,0747

0,5

1,4173

1,1424

3

0,6

1,4850

0,0677

0,7

1,5527

0,1302


112

4

0,8

1,6152

0,0625

0,9

1,6777

0,121

5

1

1,7362





Третій стовпець таблиці
7.
3 містить наближений розв'язок
. Порівнюючи отриманий наближ
ений розв'язок з
точним розв'язком, представленому в таблиці
7.
2, бачимо, що
по
хибка

становить

.

Розв

язок

в Matab

�� h=0.2;

�� n=5;

�� t0=0;

�� t1=0.2;

�� t2=0.4;

�� t3=0.6;

�� t4=0.8;

�� t5=1;

�� y0=1;

�� h2fty0=h/2*y0
-
2*t0/y
0

h2fty0 = 0.1000

�� ti0=t0+h/2

ti0 = 0.1000

�� yi0=y0+h/2*h2fty0

yi0 = 1.0100

�� hfi0=h*(yi0
-
2*ti0/yi0)

hfi0 = 0.1624

�� y1=y0+hfi0

y1 = 1.1624

�� h2fty1=h/2*y1
-
2*t1/y1

h2fty1 =
-
0.2279

�� ti1=t1+h/2

ti1 = 0.3000

�� yi1=y1+h/2*h2fty1

yi1 = 1.1396


� hfi1=h*(yi1
-
2*ti1/yi1)

hfi1 = 0.1226

�� y2=y1+hfi1

y2 = 1.2850


113

�� h2fty2=h/2*y2
-
2*t2/y2

h2fty2 =
-
0.4941

�� ti2=t2+h/2

ti2 = 0.5000

�� yi2=y2+h/2*h2fty2

yi2 = 1.2356

�� hfi2=h*(yi2
-
2*ti2/yi2)

hfi2 = 0.0853

�� y3=y2+hfi2

y3 = 1.3703

�� h2fty3=h/2*y3
-
2*
t3/y3

h2fty3 =
-
0.7387

�� ti3=t3+h/2

ti3 = 0.7000

�� yi3=y3+h/2*h2fty3

yi3 = 1.2964

�� hfi3=h*(yi3
-
2*ti3/yi3)

hfi3 = 0.0433

�� y4=y3+hfi3

y4 = 1.4136

�� h2fty4=h/2*y4
-
2*t4/y4

h2fty4 =
-
0.9905

�� ti4=t4+h/2

ti4 = 0.9000

�� yi4=y4+h/2*h2fty4

yi4 = 1.314
5

�� hfi4=h*(yi4
-
2*ti4/yi4)

hfi4 =
-
0.0110

�� y5=y4+hfi4

y5 = 1.4026

Приклад
7.
3.
Застосуємо другий модифікований метод
Е
йлера

Коші для розв'язку задачі Коші

, розглянутої
раніше в прикладах
7.
1 і
7.
2. Так само, як і раніше, з
адамо крок
. Тоді
.

Відповідно до даних формул одержимо розрахункову формулу
методу
Е
йлера

Коші:


114

,

де
,
,
,
,
.

Розв'язок представимо у вигляді таблиці
7.4
.

Таблиця
7.4








0

0

1

0,1

0,2

1,2

0,867

1

0,2

1,1867

0,0850

0,4

1,3566

0,767

2

0,4

1,3484

0,0755

0,6

1,4993

0,699

3

0,6

1,4938

0,0690

0,8

1,6180

0,651

4

0,8

1,6272

0,0645

1

1,7569

0,618

5

1

1,7542





Розв

язок

в Matab

�� h=0.2;

�� n=5;

�� y0=1;

�� t0=0;

�� t1=0.2;

�� t2=0.4;

�� t3=0.6;

�� t4=0.8;

�� t5=1;

�� z10=h/2*(y0
-
2*t0/y0)

z10 = 0.1000

�� yi0=y0+h*(y0
-
2*t0/y0)

yi0 = 1.2000

�� fi0=yi0
-
2*t1/yi0

fi0 = 0.8667

�� y1=y0+z10+h/2*fi0

y1 = 1.1867


� z20=h/2*(y1
-
2*t1/y1)

z20 = 0.0850

�� yi1=y1+h*(y1
-
2*t1/y1)


115

yi1 = 1.3566

�� fi1=yi1
-
2*t2/yi1

fi1 = 0.7669

�� y2=y1+z20+h/2*fi1

y2 = 1.3483

�� z3=h/2*(y2
-
2*t2/y2)

z3 = 0.0755

�� yi2=y2+h*(y2
-
2*t2/y2)

yi2 = 1.4993

�� fi2=yi2
-
2*t3/yi2

fi2 = 0.6989

�� y3=y2+z3+h/2*fi2

y3 = 1.4937

�� z4=h/2*(y3
-
2*t3/y3)

z4 = 0.0690

�� yi3=y3+h*(y3
-
2*t3/y3)

yi3 = 1.6318

�� fi3=yi3
-
2*t4/yi3

fi3 = 0.6512

�� y4=y3+z4+h/2*fi3

y4 = 1.6279

�� z5=h/2*(y4
-
2*t4/y4)

z5 = 0.0645

�� yi4=y4+h*(y4
-
2*t4/y4)

yi4 = 1.7569

�� fi
4=yi4
-
2*t5/yi4

fi4 = 0.6185

�� y5=y4+z5+h/2*fi4

y5 = 1.7542

Таблиця
7.4

заповнюється послідовно по рядках, спочатку
перший рядок, потім друг
ий

і т.д. Третій стовпець таблиці
7.4

містить наближений розв'язок
.

Порівняємо

отрима
ний наближений розв'язок з точним
розв'язком, представлен
ий

в таблиці 7
.2
. Бачимо, що по
хибка

становить
.




116

7.4. Метод Рунге

Кутта


Метод Рунге

Кутта є одним з найбільш уживаних методів
високої точності. Метод
Е
йлера можна розгля
дати як найпростіший
варіант методу Рунге

Кутта.

Розглянемо задачу Коші для диференціального рівняння

з початковою умовою
.

Як і в методі
Е
йлера, виберемо крок

і побудуємо с
ітку
із системою вузлів
.

Позначимо через

наближене значення шуканого розв'язку в
точці

.

Приведемо
розрахункові формули методу Рунге


Кутта
четвертого порядку точності:

,
,

,
,

,
.

Оцінка по
хибки
.
Оцінка по
хибки

методу Рунге

Кутта
складна
.
Грубу оцінку по
хибки

дає п
равило Рунге.
Так як

метод Ру
н
ге

Кутта
має четвертий порядок точності, тобто
, т
о

оцінка по
хибки

набуває вигляду
:
.

Використовуючи правило Рунге, можна побудувати процедуру
наближеного обчислення розв'яз
ку задачі Коші методом Рунге

Кутта четвертого порядку точності із заданою точністю
.

Потрібно, почавши обчислення з деякого значення кроку

,
послідовно зменшувати це значення у два рази, щораз
у

обчислюю
чи наближене значення
.
Обчислення
припиняються тоді, коли буде виконана умова:
.

Наближеним розв'язком будуть значення
.

Приклад
7.
4.
Методом Рунге
-
Кутта четвертого порядку т
очності
знайдемо розв'язок на відрізку

наступної задачі Коші
.


117

Виберемо

крок
. Тоді
.

Розрахункові формули мають вигляд:

,
,
,

,
,
.

Задача має точний розв'язок:

, тому по
хибка

визначається як абсолютна величина різни
ці між точними
і

наближеними значеннями
.

Знайдені наближені значення розв'язку

і їх по
хибки


представлено в таблиці
7.5
.

Таблиця
7.5







0

1


0,6

1,43333


0,1

1,01005

10
-
9

0,7

1,63232


0,2

1,04081


0,8

1,89648


0,3

1,09417


0,9

2,2479


0,4

1,17351


1

2,71827


0,5

1,28403





Розв

язок

в Matab


�� h=0.1;

�� n=10;

�� y0=1;

�� t
0
=0;

�� t1=0.1;

�� t2=0.2;

�� t3=0.3;

�� t4=0.4;

�� t5=0.5;

�� t6=0.6;


118

�� t7=0.7;

�� t8=0.8;

�� t9=0.9;

�� t10=1;

�� k10=2*t0*y0;

�� k20=2*(t0+h/2)*(y0+(h/2)*k10);

�� k30=2*(t0+h/2)*(y0+(h/2)*k20);


� k40=2*(t0+h)*(y0+h*k30);

�� y1=y0+1/6*h*(k10+k20+k30+k40)

y1 = 1.0067

�� k11=2*t1*y1;

�� k21=2*(t1+h/2)*(y1+(h/2)*k11);

�� k31=2*(t1+h/2)*(y1+(h/2)*k21);

�� k41=2*(t1+h)*(y1+h*k31);

�� y2=y1+1/6*h*(k11+k21+k31+k41)

y2 = 1.0272

�� k12=2*t2*y2;

�� k22
=2*(t2+h/2)*(y2+(h/2)*k12);

�� k32=2*(t2+h/2)*(y2+(h/2)*k22);

�� k42=2*(t2+h)*(y2+h*k32);

�� y3=y2+1/6*h*(k12+k22+k32+k42)

y3 = 1.0623

�� k14=2*t4*y4;

�� k13=2*t3*y3;

�� k23=2*(t3+h/2)*(y3+(h/2)*k13);

�� k33=2*(t3+h/2)*(y3+(h/2)*k23);

�� k43=2*(t3+h)*(y
3+h*k33);

�� y4=y3+1/6*h*(k13+k23+k33+k43)

y4 = 1.1138

�� k14=2*t4*y4;

�� k24=2*(t4+h/2)*(y4+(h/2)*k14);

�� k34=2*(t4+h/2)*(y4+(h/2)*k24);

�� k44=2*(t4+h)*(y4+h*k34);

�� y5=y4+1/6*h*(k14+k24+k34+k44)

y5 = 1.1838

�� k15=2*t5*y5;

�� k25=2*(t5+h/2)*(y5+
(h/2)*k15);

�� k35=2*(t5+h/2)*(y5+(h/2)*k25);


119

�� k45=2*(t5+h)*(y5+h*k35);

�� y6=y5+1/6*h*(k15+k25+k35+k45)

y6 = 1.2757

�� k16=2*t6*y6;

�� k26=2*(t6+h/2)*(y6+(h/2)*k16);

�� k36=2*(t6+h/2)*(y6+(h/2)*k26);

�� k46=2*(t6+h)*(y6+h*k36);

�� y7=y6+1/6*h*(k16+k2
6+k36+k46)

y7 = 1.3939

�� k17=2*t7*y7;

�� k27=2*(t7+h/2)*(y7+(h/2)*k17);

�� k37=2*(t7+h/2)*(y7+(h/2)*k27);

�� k47=2*(t7+h)*(y7+h*k37);

�� y8=y7+1/6*h*(k17+k27+k37+k47)

y8 = 1.5446

�� k18=2*t8*y8;

�� k28=2*(t8+h/2)*(y8+(h/2)*k18);

�� k38=2*(t8+h/2)*(y
8+(h/2)*k28);

�� k48=2*(t8+h)*(y8+h*k38);

�� y9=y8+1/6*h*(k18+k28+k38+k48)

y9 = 1.7358

�� k19=2*t9*y9;

�� k29=2*(t9+h/2)*(y9+(h/2)*k19);

�� k39=2*(t9+h/2)*(y9+(h/2)*k29);

�� k49=2*(t9+h)*(y9+h*k39);

�� y10=y9+1/6*h*(k19+k29+k39+k49)

y10 = 1.9784


7.5
.
Розв'язок крайової задачі для лінійного

диференціального рівняння другого порядку методом прогону


Нехай на відрізку

потрібно знайти розв'язок
диференціального рівняння:


,




(
7.
1)

що
задово
льня
є

наступним крайовим умовам:


(7.2)


120

Чисельний розв'язок задачі полягає в знаходженні наближених
значень

шуканого розв'язку

в
точк
ах
.
Для цьог
о розіб'ємо відрізок

на

рівних частин із кроком
.
Поклавши



і вводячи
позначення

,
,

для внутрішніх
точок


відрізка

, замість диференціального
рівняння 
7.
1)

(
7.
2 одержуємо систему
скінченнорізницевих

рівнянь:


Після відповідних перетворень будемо мати

,
,


(
7.
3)

д
е

.

Отримана система має

лінійних рівнянь із

невідомими
. Розв'яжемо цю систему методом прогону.

Розв’язуючи

рівняння 
7.
3 відносно
, будемо мати

.

Припустимо, що із цього рівняння виключена невідома
. Тоді
це рівняння
набуде вигля
ду


,






(
7.
4)

де



деякі коефіцієнти.

Звідси
. Підставляючи це
й

вира
з

у

(
7.
3),
одержимо

і
, отже,


.






(
7.
5)


121

Порівнюючи формули 
7.
4 і 
7.
5, одержимо для визначення

рекурентн
і

формули:

.

Визначимо
:

.

З формули 
7.
4 при

маємо


.





(
7.
6)

Тому


,

.




(
7.
7)

На підставі формул 
7.
6 і 
7.
7 послідовно визначаються
коефіцієнти

до

включно прям
и
й хід.
Зворотний хід починається з визначення
.
Розв’язуючи

систему

,

одержимо


і по формулі 
7.
4 послідовно знаходимо
.

Для

найпростіших крайових умов

формули для

спрощуються.
Поклавши


одержимо
.

Звідси
.

Приклад

7.5
.

Методом прогону розв'я
зати крайову задачу:

.

Розв'язок.

Нехай
.

;


;


122

;
;

.

Знайдені значення

записуємо в перших двох
рядках таблиці. Використовуючи відоме значення

,
обчислимо

і

запишемо в таблицю. Для значення в
останньому рядку дан
і значення точного розв'язку
.


Таблиця
7.6


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


0

-
0,498

-
0,662

-
0,878

-
0,890

-
0,900

-
0,908

-
0,915

-
0,921

-
0,926




0,001

0,0
02

0,004

0,008

0,012

0,16

0,022

0,028

0,035



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


0

-
0,025

-
0,049

-
0,072

-
0,078

-
0,081

-
0,078

-
0,070

-
0,055

-
0,032

0


0

-
0,015

-
0,029

-
0,041

-
0,050

-
0,057

-
0,058

-
0,054

-
0,044

-
0,026

0

Розв

язок

в Matab

�� h=0.1;

�� y0=0;

�� y10=0;

�� ni=1;

�� mi=
-
2
-
h^2;

�� c1=1/mi

c1 =
-
0.4975

�� d1=f1*h^2
-
1*y0

d1 = 1.0000e
-
003

�� c2=1/(
-
2
-
h^2
-
c1)

c2 =
-
0.6612

�� c3=1/(
-
2
-
h^2
-
c2)

c3 =
-
0.7414

�� c4=1/(
-
2
-
h^2
-
c3)

c4 =
-
0.7883

�� c5=1/(
-
2
-
h^2
-
c4)


123

c5 =
-
0.8185

�� c6=1/(
-
2
-
h^2
-
c5)

c6 =
-
0.8393

�� c7=1/(
-
2
-
h^2
-
c6)

c7 =
-
0.8542

�� c8=1/(
-
2
-
h^2
-
c7)

c8 =
-
0.8652

�� c9=1/(
-
2
-
h^2
-
c8)

c9 =
-
0.8735

�� d2=2*h^3
-
c1*d1

d2 = 0.0025

�� d3=3*h^3
-
c2*d2

d3 = 0.0047


� d4=4*h^3
-
c3*d3

d4 = 0.0074

�� d5=5*h^3
-
c4*d4

d5 = 0.0109

�� d6=6*h^3
-
c5*d5

d6 = 0.0149

�� d7=7*h^3
-
c6*d6

d7 = 0.0195

�� d8=8*h^3
-
c7*d7

d8 = 0.0247

�� d9=9*h^3
-
c8*d8

d9 = 0.0303

�� y9=c9*(d9
-
y10)

y9 =
-
0.0265

�� y8=c8*(d8
-
y9)

y8 =
-
0.0443

�� y7=c7
*(d7
-
y8)

y7 =
-
0.0545

�� y6=c6*(d6
-
y7)

y6 =
-
0.0582

�� y5=c5*(d5
-
y6)

y5 =
-
0.0565

�� y4=c4*(d4
-
y5)

y4 =
-
0.0504

�� y3=c3*(d3
-
y4)


124

y3 =
-
0.0408

�� y2=c2*(d2
-
y3)

y2 =
-
0.0287

�� y1=c1*(d1
-
y2)

y1 =
-
0.0148


Контрольн
і
за
питання:

1.

Який вигляд звичайного ди
ференційного рівняння першого
порядку?

2.


Що є розв'язком диференційного рівняння першого
порядку?

3.

Що називаються інтегральною кривою?

4.

Що таке початкова умова?

5.

Що таке початкове значення функції?

6.

В чому полягає задача Коші?

7.

Що таке вузли сітки?

8.

Які сітки наз
ивають рівномірними?

9.

Що називаються похибкою чисельного методу?

10.

Коли чисельний метод розв'язку задачі Коші називається
збіжним?

11.

Який вигляд мають розрахункові формули першого
модифікованого методу Ейлера

Коші
?

12.

Який вигляд мають розрахункові формули другого

модифікованого методу Ейлера

Коші
?

13.

За якою формулою проводять оцінку похибки методу
Ейлера

Коші
?

14.

Який вигляд мають розрахункові формули методу Рунге

Кутта
?

15.

За якою формулою проводять оцінку похибки методу Рунге

Кутта
?


125

ТЕРМІНОЛОГІЧНИЙ СЛОВНИК ОСНОВНИХ ТЕР
МІНІВ І
ПОНЯТЬ



-

модуль числа
;


-

абсолютна похибка
;

-

відносна похибка
;


-

функція
;


-

похідна n
-
го порядку функції
;


-

границя функції
;


-

визначник матриці
;


-

норма матриці
;


-

точність

обчислень
;

СЛАР


система лінійних алгебраїчних рівнянь
;


-

якобіан
;


-

транспонована матриця
;


-

скінченна різниця
;


-

факторіал

числа
;


-

визначений інтеграл
.


126

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ
ЛІТЕРАТУРИ


1.

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука,
1989.

2.

Самарский А.А. Введение в численные методы.
-

М.: Наука.
1987.
-

288 с.

3.

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной
математики. М.: Физматг
из, 1966.

4.

Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

5.

Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы
анализа. М.: Наука, 1967.

6.

Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987.

7.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,
1989.

8.

Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.

9.

Моисеев В.С., Горбунов Д.А. Метод малого параметра для
решения задач анализа и синтеза проектных решений на базе
неявно заданных функциональных зависимостей. //Изв.вузов,
Авиационная техника, 1998, №4, с.3
-
10.

10.

Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра,
обыкновенные дифференциальные уравнения.
-

М.: Наука. 1975.
-

631 с.

11.

Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы
решения задач оптимизации.
-

К.: Вища школа. 1983.
-

С. 19
-
37.

12.

Бублик Б.Н., Кирич
енко Н.Ф. Основы теории управления.
-

К.:
Наукова думка. 1975.
-

328 с.

13.

Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.
-

М.:
Наука. 1984.
-

320 с.

14.

Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Математические
модели и методы расчета задач с разрывными р
ешениями.
-

К.:
Наукова думка. 1995.
-

262 с.

15.

Згуровский М.З., Скопецкий В.В., Хрущ В.К., Беляев Н.М.
Численное моделирование распространения загрязнения в
окружающей среде.
-

К.: Наукова думка. 1977.
-

365 с.

16.

Кузьмичев Д.А., Радкевич М.А., Смирнов А.Д. Ав
томатизация
экспериментальных исследований: Учебное пособие для вузов.
-

М.: Наука. 1983.
-

391 с.


127

17.

Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробагатько А.А. Методы
вычислений Численный анализ. Методы решения задач
математической физики.
-

К.: Вища школа. 1977.
-

408
с.

18.

Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач.
Дифференциальные уравнения.
-

К.: Наукова думка. 1988.
-

343
с.

19.

Молчанов И.Н. Николенко Л.Д. Основы метода конечных
елементов.
-

К.: Наукова думка. 1989.
-

272 с.

20.

Представление и использование знан
ий/Х.Уэно, Т.Кояма, Т.
Окамото и др.
-

М.: Наука. 1982.
-

144 с.

21.

Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума.
-

М.: Наука.
1982.
-

144 с.

22.

Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое
моделирование и исследование процесов в неоднородных
сре
дах.
-

К.: Наукова думка. 1991.
-

432 с.

23.

Система управления базами данных и знаний /Наумов А.Н.,
Вандров А.М., Иванов В.К. и др.
-

М.: Финансы и статистика.
1991.
-

352 с.

24.

Тыугу Э.Х. Концептуальное программирование.
-

М.: Наука.
1984.
-

256 с.

25.

Уилкинсон Дж
.Х., Райшн К. Справочник алгоритмов на языке
АЛГОЛ.
-

М.: Машиностроение. 1976.
-

390 с.

26.

Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной
алгебры.
-

М., Л.: Физматгиз. 1963.
-

734 с.

27.

Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы.
-

К.: Наукова
думк
а. 1992.
-

383 с.

28.

Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и
наука.
-

М.: Мир. 1978.
-

С. 73
-
77.

29.

Шор Н.З., Стеценко С.И. Квадратично экстремальные задачи и
недифференцируемая оптимизация.
-

К.: Наукова думка. 1989.
-

208 с.

30.

Нелінійні задачі т
ипу фільтрація
-
конвекція
-
дифузія
-
масообмін за
умов неповних даних : моногр. / А. Я. Бомба, В. І. Гаврилюк, А.
П. Сафоник, О. А. Фурсачик.
-

Рівне : НУВГП, 2011.
-

275 с.



128

ДОДАТКИ


1. Розв'язати рівняння методом половинного ділення, хорд із
точністю
.


1


8


2


9


3


10


4


11


5


12


6


13


7


14



2. Розв'язати рівняння методом Ньютона
і

ітерації з точ
ністю
.


1


8


2


9


3


10


4


11


5


12


6


13


7


14



3. Розв'язати рівняння методом хорд і дотич
них і видозміненим

методом

Ньютона з точністю
.


1


8


2


9


3


10



129

4


11


5


12


6


13


7


14



4.
Розв'язати систему

методом простої ітерації з
точністю
.



С

d


С

d

1



2



3



4



5



6



7



8




130

9



10



11



12



13



14




5. Розв'язати систему

методом Зейделя з точніст
ю
.



А

b


A

b

1



2



3



4





131

5



6



7



8



9



10



11



12



13



14





6. Розв'язати систему методом простої ітерації з точністю
.

1


2



132

3


4


5


6


7


8


9


10


11


12


13


14



7. Розв'язати систему методом Ньютона з точністю
.


1


2


3


4


5


6


7


8


9


10


11


12


13


14



133

8. За заданими значенням

і

знайти пряму

і

параболу

методом найменших квадратів. Знайти
п
охибку
. Побудувати пряму й криву в тій же системі координат, де
нанесені дані
точк
и.



13
4


135


136


137

9.1 Задані значення функції

у вузлах

, що
отримуються

діленням відрізка

на 5 частин. Знайти значення функції

при

і


за допомогою інтерполяційних формул
Ньютона.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0,1

1,0

1,1

0,9

0,9

0,8

1,1

1,0

1,2

1,2

1,1

0,8

0,8

0,8

1,1

1,2

2,1

2,2

2,0

1,9

2,0

2,2

2,1

1,8

2,0

1,9

2,0

2,2

1,8

2,2

1,4

2,9

3,2

3,0

3,2

2,9

3,2

3,1

3,2

3,0

3,2

2,8

2,9

2,9

3,0

1,6

3,8

4,2

3,8

3,8

4,2

4,2

3,8

4,1

3,8

3,8

4,0

4,0

4,0

4,1

1,8

5,2

5,2

5,1

5,1

5,2

5,1

5,2

5,2

5,0

4,9

5,2

5,2

4,9

4,9

2,0

5,9

6,0

5,8

6,1

5,8

5,9

6,2

6,1

6,1

5,8

6,0

5,8

6,1

5,9


9.
2 Задані значення

функції

в
точк
ах
. Знайти
значення функції

при
. Задачу розв'язати за допомогою
інтерполяційного
много
члена Лагранжа.


1

2

3

4

5

6

7















0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

2

13

1

12

2

12

2

12

1

12

2

12

2

10

3

13

3

13

4

12

3

14

3

13

4

11

3

10

5

14

5

14

5

13

5

15

5

14

5

10

5

12








8

9

10

11

12

13

14















0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

1

12

2

12

2

13

2

13

1

12

2

12

2

12

3

13

4

13

3

14

3

13

3

13

5

12

3

14

5

11

5

14

5

12

5

14

6

14

7

13

5

15











138

10. Розв'язати крайову задачу методом прогону.




Диференціальне рівняння

Крайові умови



1




10

2




20

3




30

4




40

5




50

6




10

7




20

8




30

9




40

10




50

11




10

12




20

13




30

14




40


11. Розв'язати задачу Коші методом
Е
йлера
та

Рунге

Кутта.




Диференціальне
рівняння

Початкова умова



1




10

2




20


139

3




30

4




40

5




50

6




10

7




20

8




30

9




40

10




50

11




10

12




20

13




30

14




40


12. Розв'язати системи нелінійних рівнянь методом
найшвидшого

спуску
.






1



2



3




140

4



5



6



7



8



9



10



11



12




141

13



14




13. Розв'язати задачу Коші модифікованими методами
Е
йлера.




Диференціальне рівняння

Початкова

умова




1




10

2




30

3




40

4




50

5




20

6




30

7




40

8




40

9




50

10




20

11




30

12




40

13




50

14




20



142

1
4. Знайти власні значення матриці:
.

1


= 3;


= 7;

8


= 6;


= 7;

2


= 5;


= 3;

9


= 6;


=
-
7;

3


= 3;


= 8;

10


= 7;


=
-
5;

4


=
-
3;


= 5;

11


= 5;


= 9;

5


= 7;


= 6;

12


= 9;


= 3;

6


=
-
3;


=
-
5;

13


= 8;


= 5;

7


= 5;


=
-
8;

14


=
-
6;


=
-
8.


15. Обчислити
визначений

інтеграл з точністю

методом
С
і
мпсона.




інтеграл




інтеграл


1


0,001

8


0,0001

2


0,0001

9


0,01

3


0,01

10


0,001

4


0,001

11


0,01

5


0,0001

12


0,0001

6


0,01

13


0,01

7


0,001

14


0,0001



143

Навчальне видання


Сафоник Андрій Петрович



Числові методи



Навчальний посібник





Друкується в авторській редакції




Підписано до друку
ХХ.ХХ.ХХХХ р.

Формат 60 × 84
.

Папір друкарський № 1. Гарнітура Tim. Друк різографічний.

Ум.
-
друк. Арк.. 13,8. Обл.
-
вид.арк. 14,5.

Тираж 100 прим. Зам № 1810.




Видавець і виготовлювач

Редакційно
-
видавничий центр

Національного університету

Водного господа
рства та природокористування

33028, Рівне, вул. Соборна, 11.





Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до
державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів
виданої продукції РВ №31 від 26.04.2005 р.



Приложенные файлы

  • pdf 18100130
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий