KPIZ_TIMS

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ І СПОРТУ УКРАЇНИ
Тернопільський національний економічний університет
Україно-нідерландський факультет економіки і менеджменту





кафедра економіко-
математичних методів






Робочий зошит студента
для виконання
комплексного практичного індивідуального завдання
з теорії ймовірностей та математичної статистики









Виконав студент групи _____
_________________________
(П.І.Б.)
Перевірив ________________
_________________________









Тернопіль 2012

Структура залікового кредиту дисципліни «ТІМС»

Назва теми
Кількість годин


Лекції
Практ. занят.
Індив. робота
Самост. робота

Змістовий модуль 1. Теорія ймовірностей

Тема1. Основні поняття теорії ймовірностей.
2
2
0,3
2

Тема2. Теореми множення та додавання ймовірностей і їх наслідки.
6
6
0,4
3

Тема 3. Повторні незалежні випробування.
4
4
0,4
3

Тема 4. Дискретні випадкові величини та їх числові характеристики
6
6
0,4
4

Тема 5. Неперервні випадкові величини та їх числові характеристики
4
4
0,4
4

Тема 6. Основні закони неперервних випадкових величин
6
6
0,4
3

Тема 7. Системи випадкових величин
4
6
0,4
6

Тема 8. Функція випадкових величин
4
2
0,4
6

Тема 9. Закон великих чисел
2
2
0,4
7

Змістовий модуль 2. Математична статистика

Тема 10. Вибірковий метод
2
2
0,5
2

Тема 11. Статистичне оцінювання
4
4
0,5
7

Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез
4
4
0,5
7

Тема 13. Елементи кореляційного і регресійного аналізу
4
4
0,5
7

Тема 14. Елементи дисперсійного аналізу
2
2
0,5
7

Разом
54
54
6
66


Алгоритм формування варіантів завдань
для виконання комплексного практичного індивідуального завдання

Позначимо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 номери першого, другого, , п’ятнадцятого завдань, 13 EMBED Equation.3 1415  двозначне число, утворене двома останніми цифрами номера залікової книжки студента.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415; якщо 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
Для другого завдання 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо ж 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
Для третього завдання 13 EMBED Equation.3 1415. Коли 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
.
Для п’ятнадцятого завдання 13 EMBED Equation.3 1415. Коли 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
При виконанні КПІЗ студент разом із вибраним йому варіантом практичних задач повинен дати письмові відповіді на всі теоретичні питання.
Критерії оцінювання комплексного практичного індивідуального завдання

Комплексне практичне індивідуальне завдання оцінюється за стобальною шкалою і складає 15-20% підсумкового балу з дисципліни «ТІМС».
«відмінно» (90-100 балів) виставляється, якщо студент повністю виконав КПІЗ (дав відповіді на теоретичні питання і розв’язав усі задачі, може обґрунтувати їх розв’язування).
«добре» (75-89 балів) виставляється, якщо студент повністю виконав КПІЗ, але при висвітленні теоретичних питань або при розв’язуванні окремих завдань допустив помилки.
«задовільно» (60-74 бали) виставляється, якщо студент виконав КПІЗ, але не може без сторонньої допомоги зробити відповідні обґрунтування теоретичних та практичних завдань, не може зробити правильних висновків при розв’язуванні економічних задач.
«незадовільно» (менше 60 балів) виставляється у випадку, якщо студент виконав письмовий варіант КПІЗ на задовільному рівні, але не знає відповідей на теоретичні питання, не вміє пояснити розв’язування виконаних ним практичних завдань, не може зробити жодних висновків при розв’язуванні економічних задач.
У випадку отримання незадовільної оцінки студент допрацьовує КПІЗ і належно готується до повторного захисту.

Графік виконання та здачі комплексного практичного індивідуального завдання

Тема
Завдання для виконання
Термін здачі КПІЗ

Змістовий модуль 1. Теорія ймовірностей.
Теми 1-4
Теоретичні питання 1-36
Задачі 1-4



тиждень 6

Теми 5-9
Теоретичні питання 37-62
Задачі 5-8

тиждень14

Змістовий модуль 2. Математична статистика.
Теми 10-14
Теоретичні питання 1-52
Задачі 1-7
тиждень 18


Перелік теоретичних запитань до комплексних практичних індивідуальних завдань

Змістовий модуль 1 «Теорія ймовірностей»

Що вивчає теорія ймовірностей?
Як визначають та позначають суму, добуток випадкоиич подій, протилежну подію, повну групу подій?
Як класифікуються події?
Дайте означення випадкової, достовірної і неможливої події.
Сформулюйте класичне означення ймовірності події.
Чому дорівнюють ймовірності для достовірної, неможливої і випадкової подій?
Сформулюйте означення відносної частоти події. Яка основна властивість відносної частоти?
Чим різняться поняття ймовірності та відносної частоти події?
Сформулюйте статистичне означення ймовірності події.
Як визначають та в яких випадках використовують класичне та геометричне означення імовірності?
Як визначають та позначають частоту випадкової події А?
Що є предметом комбінаторики?
Які сполуки називають комбінаціями, розміщеннями, перестановками? Як позначають та обчислюють кількість цих сполук?
Як формулюють основні принципи комбінаторики?
Які події називаються несумісними і які сумісними, рівноможливими? Наведіть приклади.
Що називають сумою, добутком подій? Наведіть приклади.
Які події утворюють повну групу подій?
Сформулюйте теореми додавання ймовірностей у випадку несумісних і сумісних подій.
Які події називаються протилежними? Основна властивість протилежних подій.
Дайте визначення незалежних і залежних подій. Наведіть приклади таких подій.
Що таке умовна ймовірність?
Сформулюйте теореми множення ймовірностей.
За якою формулою можна обчислити імовірність появи хоча б однієї з п сумісних подій?
Яким умовам повинні задовольняти події 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415, щоб формула повної імовірності була правильною?
У якому випадку використовуються формула повної імовірності?
Коли можна використати формули Байєса?
Яку імовірність дають формули Байєса?
Яка послідовність випробувань утворює схему Бернуллі?
Що і в яких випадках визначають за формулою Бернулі? Випишіть цю формулу і поясніть зміст символів, які туди входять.
Що розуміють під найімовірнішим числом подій у повторних незалежних випробуваннях? З якого співвідношення визначається це число?
Для чого і в яких випадках використовують локальну формулу Лапласа? Запишіть цю формулу.
Який вигляд має функція Гауса? Сформулюйте основні властивості.
В яких випадках використовується інтегральна формула Лапласа? Запишіть цю формулу.
Сформулюйте основні властивості функції Лапласа.
Запишіть формулу для обчислення ймовірності відхилення відносної частоти від постійної імовірності у кожному випробуванні ймовірності події.
Для чого і в яких випадках використовується формула Пуассона?
Що називається випадковою величиною? Наведіть приклади.
Як класифікуються випадкові величини? Наведіть приклади дискретних і неперервних величин.
Що таке закон розподілу дискретної випадкової величини?
Якими способами можна задати закон розподілу дискретної випадкової величини?
Наведіть приклади аналітичного задання закону розподілу.
Вказати основні закони розподілу дискретної випадкової величини та умови їх використання.
Дайте визначення математичного сподівання дискретної випадкової величини. Який його ймовірнісний зміст?
Що характеризує дисперсія випадкової величини? Дайте визначення дисперсії.
Напишіть формули для обчислення дисперсії.
Що називається середнім квадратичним відхиленням? Для чого воно вводиться?
Числові характеристики дискретних випадкових величин є випадковими величинами чи детермінованими?
Дайте визначення функції розподілу ймовірностей випадкової величини.
Сформулюйте основні властивості функції розподілу.
Що називається густиною розподілу випадкової величини?
Як знаходиться імовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал? За допомогою: а) функції розподілу; б) густини розподілу.
Сформулюйте основні властивості густини розподілу.
Вказати основні закони розподілу неперервних випадкових величин та їх вигляд.
Чому дорівнюють числові характеристики основних законів розподілу дискретних та неперервних випадкових величин?
Який розподіл випадкової величини називають нормальним?
Який імовірнісний зміст параметрів нормального розподілу?
Який вигляд має крива нормального розподілу? Як впливає на форму кривої зміна параметрів?
Виведіть формули для розв’язування основних задач на нормальний розподіл: а) про ймовірність попадання в заданий інтервал; б) про ймовірність заданого відхилення від математичного сподівання.
За якими формулами обчислюють числові характеристики функції дискретного та неперервного випадкового аргументу?
Як вианачають початкові та центральні моменти, коефіцієнт кореляції та як пов'язані поняття кореляції, залежності та незалежності випадкових величин?
Правило 3 13 EMBED Equation.3 1415 та його використання.
Центральна гранична теорема Ляпунова.

Змістовий модуль 2 «Математична статистика»
Що є предметом математичної статистики?
Дайте означення генеральної та вибіркової сукупностей. Наведіть їх приклади, підрахуйте об’єм.
Статистичний закон розподілу, варіаційний ряд.
Які є геометричні методи зображення варіаційного ряду?
Які характеристики вводять для порівняння одно типових варіаційних рядів?
Вказати способи відбору статистичних даних.
Що називають статистичним розподілом вибірки?
Як визначають та позначають емпіричну функцію розподілу? Які основні властивості цієї функції?
Як визначають полігони частот та відносних частот?
Як визначають гістограми частот та відносних частот? Чому дорівнює площа кожної з цих гістограм?
Як одержують закон розподілу вибірки у випадку великої кількості варіант?
Як довжина відрізків розподілу варіант впливає на якість гістограми вибірки?
Вказати числові характеристики вибірки та формули, за якими їх обчислюють.
Які властивості має вибіркова середня?
Як визначають степеневу середню вибірки, середню квадратичну, середню гармонічну та середню геометричну вибірки?
Що називають вибірковим середнім квадратичним відхиленням (стандартом)?
Наведіть приклади точкових статистичних оцінок.
Властивості точкових статистичних оцінок.
Які статистичні оцінки називають точковими, інтервальними?
Різниця між точковою та інтервальною статистичною оцінкою.
В яких випадках використовують інтервальні оцінки та що вони дозволяють встановити?
Який порядок дій знаходження довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому та невідомому 13 EMBED Equation.3 1415?
Як знаходять обсяг вибірки, який із заданими точністю та надійністю дозволить знайти оцінку математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини?
В яких випадках використовують виправлену вибіркову дисперсію і як вона пов'язана із вибірковою дисперсією?
СКП для оцінювання середньої генеральної для повторної вибірки?
СКП для оцінювання середньої генеральної для безповторної вибірки?
Який ряд називається рядом з рівновіддаленими варіантами?
Перевага умовних варіант над звичайними.
В яких випадках обчислюють характеристики вибірки методом добутків? Який порядок дій при використанні цього методу?
Які гіпотези називають статистичними, основною та альтернативною, простою та складною?
Що таке помилки першого та другого роду перевірки статистичної гіпотези?
Який зміст рівня значущості 13 EMBED Equation.3 1415?
Що називають статистичним критерієм, критичною областю та критичною точкою перевірки гіпотези?
Як перевіряють гіпотезу про рівність дисперсій двох нормальних сукупностей?
Який зміст потужності критерію перевірки гіпотези?
Вказати порядок дій при перевірці гіпотез.
Як здійснюють перевірку гіпотези про рівність математичних сподівань?
За яким критерієм здійснюють перевірку гіпотези про рівність математичних сподівань N нормально розподілених сукупностей?
Коли застосовують критерій узгодження Пірсона (хі-квадрат)?
Як знаходять теоретичні частоти нормального розподілу для перевірки гіпотези за правилом Пірсона?
Наведіть види зв’язку в реальному світі.
Дайте означення стохастичної залежності та кореляційного зв’язку.
Які рівняння називаються рівняннями регресії?
Наведіть приклади кореляційного зв’язку між випадковими величинами.
Дайте означення статистичної залежності між випадковими величинами.
Яким чином обрати вид функції регресії?
Які оцінки рівняння регресії?
Як оцінити невідомий коефіцієнт лінійної кореляції на підставі статистичних даних?
Яким чином встановлюється сила кореляційного зв’язку у випадку не лінійності функції регресії?
Які властивості вибіркового коефіцієнта лінійної кореляції?
Які методи використовуються в кореляційному аналізі?
Дайте означення регресійного аналізу. Які задачі вивчає регресійний аналіз?
Яка основна мета регресійного аналізу?
Запишіть систему нормальних рівнянь для знаходження коефіцієнтів лінійної регресії методом найменших квадратів.
Які властивості вибіркового кореляційного відношення?
практичні завдання з дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика» для КПІЗ
ЧАСТИНА ПЕРША
ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТЕЙ
Завдання №1
(«ВИЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ»).
1. В семиповерховому готелі функціонує ліфт. На першому поверсі в ліфт зайшли 6 пасажирів, кожний із яких може вийти незалежно один від інших на довільному поверсі з другого по сьомий включно. Знайти імовірність того, що всі пасажири вийдуть: а) на різних поверхах; б) на сьомому поверсі; в) на одному поверсі.
2. В партії 200 виробів, з яких 4 браковані. Партія довільним чином розподілена на дві рівні частини, які відправлені двом споживачам. Знайти імовірність того, що: а) браковані вироби потраплять до споживачів в однаковій кількості; б) всі браковані вироби дістануться одному споживачу.
3. В контейнері знаходяться стандартні і браковані деталі. Імовірність того, що навмання взяті дві деталі виявляться стандартними, дорівнює 3/4. Знайти мінімальне число деталей в контейнері.
4. Монета кидається 6 разів. Яка ймовірність того, що герб випаде 5 разів?.
5. Цифри 2,3,4,5,6,7 написані на однакових картках. Випадковим чином ці картки розставляють у рядок. Обчислити імовірності випадкових подій: 1) А – цифра 3 стоятиме на першому місці, а 6 – на останньому; 2) B – цифри в числі утворюють спадну послідовність; 3) C – цифри утворюють парне число.
6. В кейсі містяться 20 акцій різних видів, 5 із яких високоприбуткові. Випадковим чином всі акції розподіляються на дві рівні частини.
а) Яка ймовірність попадання двох високоприбуткових акцій в одну частину і трьох в другу? б) Яка ймовірність того, що всі високоприбуткові акції потраплять в одну частину?
7. Для деякого міста телефонний номер складається із шести цифр, перша з яких може бути 2, 3, 4, 5, 7, 9. Знайти імовірність того, що навмання набраний номер телефону матиме: а) всі різні цифри; б) непарні цифри; в) всі однакові цифри.
8. В обласних змаганнях з футболу бере участь 16 команд, чотири з яких є найбільш сильними за підсумками минулорічних змагань. Ці команди випадковим чином розбиваються на дві підгрупи по вісім команд в кожній. Знайти імовірність того, що: а) чотири найсильніші команди потраплять в одну підгрупу; б) в кожній із підгруп буде по дві найсильніші команди.
9. В кейсі знаходяться 20 акцій чотирьох видів: 8 – першого виду і по 4 другого, третього і четвертого видів. Яка імовірність того, що серед семи навмання взятих акцій виявляться чотири – першого виду, дві – другого і одна – четвертого?
10. На пульті обленерго з’явилась інформація про пошкодження після буревію лінії електропередач між 30-м і 50-м кілометрами. Знайти імовірність того, що це сталося на ділянці між 40-м і 45-м кілометрами.
11. Знайти імовірність того, що навмання кинута в круг точка попаде у вписаний в нього квадрат.
За підсумком року акції десяти фірм мали прибуток, чотирьох фірм знецінились, а акції шести фірм зберегли свою номінальну вартість. Яка імовірність того, що випадково куплені шість акцій різних фірм матимуть прибуток?
Для молодіжної вечірки діджей заготував 17 компакт-дисків, 6 з яких з інструментальною музикою. Знайти імовірність того, що з чотирьох навмання відібраних компактів два будуть з інструментальною музикою.
На кожній із шести однакових карток надрукована одна із літер Е, Н, А, І, Т, Г. Картки витягують навмання послідовно і складають зліва направо. Яка імовірність того, що в результаті отримається слово «ТАНГ»?
У конверті 20 акцій, серед яких три фірми А. Навмання відібрано 4 акції. Яка імовірність того, що серед них буде одна акція фірми А?
Академічній групі, в якій 12 дівчат та 18 юнаків, запропоновано придбати 5 акцій банку «Надра». Знайти імовірність того, що власниками акцій стануть 2 юнаки та 3 дівчини, якщо розігрування здійснюється випадковим чином.
Знайти імовірність того, що власник однієї картки спортлото «5 з 36» закреслить чотири виграшні числа.
Навісний замок із «секретом» має чотири восьмикутні призми, кожна з яких повертається навколо своєї осі незалежно від інших. Бічні грані кожної призми пронумеровані цифрами від 1 до 8. Замок відкривається, якщо обертанням призм на чільній стороні замка буде набрано певне чотиризначне число. Знайти імовірність того, що особа, яка не знає «секрету», зможе відкрити за першою спробою замок, набравши на призмах довільне чотиризначне число.
В урні знаходяться червоні і зелені кулі. Імовірність того, що навмання витягнуті три кулі будуть червоними, дорівнює 1/2. Яка мінімальна кількість куль в урні?
Пасажир забув дві останні цифри коду ячейки автоматичної камери схову, де він залишив речі. Знайти імовірність того, що після першого набору коду із двома останніми навмання набраними цифрами ячейка відкриється, а також імовірність цієї ж події у випадку, коли пасажир пам’ятає, що ці цифри різні.
Кидають три гральні кубики. Знайти імовірність того, що сума очок на гранях, що випали, буде не менша 8 і не більша 12.
Куб, всі грані якого зафарбовані, розпиляли на 64 кубики однакового розміру, які потім змішали. Знайти імовірність того, що навмання взятий кубик матиме зафарбованих граней: а) одну; б) дві; в) три; г) чотири; д) не матиме жодної.
Серед 20 видів акцій будівельних організацій 9 стали прибутковими, 5 збитковими, а 6 залишилися без змін. Яка імовірність того, що серед п’яти навмання придбаних акцій різних видів прибутковими виявляться три?
Цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 написані на однакових картках, які ретельно перемішані. Тричі навмання беруть по одній картці і кладуть їх зліва направо. Знайти імовірність того, що утворене тризначне число виявиться: а) парним; б) кратним трьом; в) кратним 5.
У шухляді є вісім однотипних деталей, три з яких браковані (решта стандартні). Навмання із шухляди беруть три деталі. Знайти імовірність подій Аі, де і число бракованих деталей серед взятих (і = 0, 1, 2, 3).
До контролера поступила партія однотипних виробів кількістю 16 шт. Серед них є п’ять бракованих, але про це йому невідомо. Контролер навмання бере чотири вироби для перевірки. Якщо всі відібрані вироби виявляться доброякісними, то партія пропускається. Знайти імовірність того, що партія буде пропущена контролером.
В кіоску на початок зміни було 5 упаковок кави «Jacobs», 6 «Nescafe», 8 «Галка». Попит на кожний із цих видів кави був однаковий. За зміну було продано п’ять упаковок. Яка імовірність того, що вся кава «Jacobs» залишилася в кіоску?
У касовому апараті є 8 25-копійкових монет, 10 вартістю по 50 коп. і 12 по 5 коп. Знайти імовірність того, що серед п’яти навмання взятих монет не виявиться жодної вартістю 50 коп.
Першість області по баскетболу виборюють 18 команд, які жеребкуванням розподіляються на дві групи по 9 команд в кожній. 5 команд зазвичай займають перші місця. Яка імовірність попадання всіх лідируючих команд в одну групу? Яка імовірність попадання двох лідируючих команд в одну групу і трьох в іншу?
Ольга і Сергій домовилися зустрічати Новий рік в компанії чисельністю 8 чоловік. Вони обоє дуже хотіли сидіти за святковим столом поруч. Яка імовірність виконання їх бажання, якщо серед їх друзів є звичай розподіляти місця жеребкуванням.
Із шести літер розрізної абетки складено слово «книжка». Неграмотний хлопчик змішав літери, а потім навмання їх зібрав. Яка імовірність того, що він знову отримає те ж саме слово?
На п’яти картках написано по одній цифрі із набору 1, 2, 3, 4 і 5. Навмання вибираються одна за одною дві картки. Яка імовірність того, що цифра на другій картці виявиться більшою, ніж на першій?
В контейнері є 20 деталей, серед яких 6 нестандартних. Знайти імовірність того, що число нестандартних деталей серед п’яти навмання взятих деталей виявиться рівним: а) 0; б) 2; в) 5.
Замок містить на спільній осі 4 диски, кожний із яких розподілений на 6 секторів, відмічених цифрами. Замок відкривається тільки в тому випадку, якщо всі диски займають визначене положення відносно корпусу замка (їх цифри утворюють певне число, яке сладає «секрет» замка). Яка імовірність відкрити замок, набравши довільний набір цифр?
Студент підготував на залік 30 питань із 40. Знайти імовірність того, що він складе залік за першим разом, якщо для цього достатньо правильно відповісти на три навмання витягнуті питання (кожне із 40 питань надруковане на окремій картці).
В касовому апараті є 8 монет по 5 коп., 6 монет по 10 коп., 4 монети по 25 коп. і 3 монети по 50 коп. Навмання беруться 5 монет. Яка імовірність того, що в сумі виявиться не менше однієї гривні?
Знайти імовірність того, що власник однієї картки спортлото «6 із 40» закреслить числа виграшних номерів: а) три; б) п’ять; в) шість.
Серед 20 телевізорів, що продаються, 6 вимагають додаткового регулювання. Знайти імовірність того, що з п’яти куплених телевізорів три потребують додаткового регулювання.
З двадцяти пісень, трансльованих на радіо-FM, 12 є англомовними. Яка імовірність того, що слухач передачі з перших п’яти прослуханих пісень мав нагоду чути тільки англійську мову?
Банк протягом місяця мав видати в кредит позику дванадцяти клієнтам першого райому і восьми клієнтам другого району. Ця операція здійснюється поетапно. Знайти імовірність того, що за перший тиждень кредити отримають два клієнти першого району і три клієнти другого, якщо всі клієнти мають однакові можливості отримати позику.
Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі виробу у складі двох інженерів і трьох маркетологів. Яка імовірність того, що команда такого складу буде створена, якщо з групи 9 інженерів і шести маркетологів вибрати навмання 5 осіб?
При складанні заліку студент навмання витягнув 5 питань із 80, з яких він знає 60. Якщо він знатиме хоча б 4 із п’яти, то отримає залік. Знайти імовірність успішної здачі заліку.
Серед 20 телевізорів фірми «Електрон» 12 апаратів мають систему дистанційного керування. Яка імовірність того, що серед п’яти випадково відібраних апаратів три телевізори будуть мати цю систему.
Продавець радіодеталей має в коробці 18 транзисторів, серед яких 11 типу КТ315А і 7 типу КТ315В, які мало відрізняються за зовнішнім виглядом. Знайти імовірність того, що з п’яти навмання відібраних транзисторів число типу КТ315В виявилось рівним: а) 3; б) 5; в) 0.
На восьми сторінках газети поміщені рекламні оголошення, 7 сторінок присвячені соціально-політичним проблемам, 3 спортивним новинам. Використали 4 сторінки з цієї газети. Яка імовірність того, що серед них немає сторінок із спортивними новинами?
У ящику пива є 9 пляшок із зеленого скла, 7 коричневого і 4 прозорого. Продавець вибирає навмання 5 пляшок. Яка імовірність того, що серед них відсутнє пиво у прозорих пляшках?
У папці є 4 відомості, сформовані одним бухгалтером, і 5 відомостей другим. Навмання вибирається три відомості. Знайти імовірність того, що: 1) всі три відомості сформовані другим бухгалтером; 2) відомостей, сформованих другим бухгалтером, виявиться більше, ніж першим.
У продавця канцтоварів у шухляді є 8 ручок українського виробництва, 6 угорського і 4 китайського. Знайти імовірність того, що серед випадково вибраних п’яти ручок три ручки виявляться імпортного виробництва.
Гросмейстер демонструє сеанс одночасної гри на 14 дошках з аматорами, серед яких 8 надають перевагу захисту Альохіна, 3 «Каро-Кан» і троє індійській обороні. Яка імовірність того, що на перших п’яти шахівницях буде розіграно захист Альохіна?
На паркінгу автомобілів є десять марок «Жигулі», 5 закордонного виробництва і 9 «Таврій». Через снігопад 6 автомобілів не виїхали із паркінгу. Яка імовірність того, що серед них немає жодного автомобіля іноземного виробництва?

Завдання №2
(«ТЕОРЕМИ МНОЖЕННЯ І ДОДАВАННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ ТА ЇХ НАСЛІДКИ»)
Однотипні деталі, виготовлені трьома станками, скидаються на спільний конвейєр. Продукція І-го станка складає 40%, а ІІ-го і ІІІ-го – 50% і 10% відповідно. Із конвейєра навмання взято дві деталі. Яка імовірність того, що: а) одна із них виготовлена ІІ-м станком; б) обидві виготовлені одним станком?
В шухляді є 15 карток розрізної абетки: 6 карток з літерою “а”, 3 – з літерою “б”, 4 – з літерою “н” і 2 – “с”. Навмання витягуються шість карток і розкладаються зліва направо. Яка імовірність того, що в результаті отримається слово “ананас”?
Два гравці почергово кидають гральний кубик. Виграє той, в кого першим випаде грань із п’ятьма очками. Яка імовірність виграшу для гравця, котрий починає кидати другим?
Основний і додатковий час кубкового матчу з футболу завершився внічию. Статистичні імовірності вдало пробитих пенальті для гравців обох команд також рівні і дорівнюють 0,8. Знайти імовірність виграшу команди, яка першою пробиває пенальті, якщо перед цим обидві команди вдало виконали по чотири спроби.
Статистична імовірність попадання в мішень при кожному пострілі для І-го лучника дорівнює 0,6, а для ІІ-го – 0,8. Обидва вони, починаючи з І-го, почергово стріляють по мішені, але виконують не більше двох пострілів. Знайти імовірність того, що в мішені виявиться: а) дві стріли; б) три.
В магазині продаються 20 телевізорів одного класу, 4 з яких вимагають тривалого додаткового регулювання. Яка імовірність того, що покупець придбає телевізор, якщо для вибору апарату без дефектів він здійснить не більше трьох спроб?
Стандартна продукція підприємства складає 96%. Брак виробів внаслідок наявності дефекту D1 складає 7%, а внаслідок дефектів D2 та D3 - 12% та 20% відповідно. Знайти імовірність того, що: 1) серед продукції без дефекту D1 зустрінуться дефекти D2 та D3; 2) серед забракованих за ознакою D1 продукції буде встановлено наявність дефекту D2 і відсутність D3.
Серед 30 механічних годинників, які надійшли в ремонт, 6 вимагають загальної чистки механізму. Знайти імовірність того, що серед навмання взятих п’яти годинників принаймні два вимагатимуть загальної чистки механізму.
Вищу кваліфікацію мають 3 аудитори із дев’яти і 4 програмісти із шести. У відрядження потрібно відправити групу із трьох аудиторів і двох програмістів. Кожний із п’ятнадцяти працівників фірми має однакові можливості поїхати у відрядження. Яка імовірність того, що у складі групи виявиться хоча б один аудитор вищої кваліфікації і щонайменше один програміст вищої кваліфікації?
Імовірність безвідмовної роботи блока на протязі певного часу дорівнює 0,8. Цей блок входить у систему, решта елементів якої вважаються безвідмовними. Для збільшення надійності роботи системи встановлюються ще два блоки, які будуть знаходитися у резерві і вмикатимуться почергово у випадку виходу з ладу своїх “попередників”. Знайти імовірність безвідмовної роботи системи на протязі вказаного проміжку часу із врахуванням резервних блоків.
Кожна із трьох урн містить білі та чорні кульки: в І-й 7 білих і 3 чорних, в ІІ-й 4 білих і 6 чорних, в ІІІ-й 15 білих і 5 чорних. Кидається гральний кубик. Якщо на грані, що випала, число очок кратне двом, то навмання береться дві кулі з І-ої урни, якщо кратне п’яти, то з ІІ-ої урни, а в решті випадків – із ІІІ-ої урни. Знайти імовірність появи двох: а) білих кульок, б) чорних кульок.
Прилад складається із двох незалежно працюючих елементів, кожний з яких необхідний для роботи приладу в цілому. Імовірність безвідмовної роботи на протязі часу Т для першого елементу дорівнює 0,9, а для другого – 0,7. За вказаний проміжок часу прилад вийшов з ладу через поломку одного із елементів. Знайти імовірність того, що з ладу вийшов перший елемент.
На посаду менеджера претендує 60% жінок і 40% чоловіків. Серед жінок 35% мають класичну університетську освіту, а серед чоловіків – 55%. Знайти імовірність того, що навмання вибрана заява буде від: а) чоловіка без університетської освіти; б) жінки з університетською освітою.
В урні є 8 білих і 2 чорні кулі. Два гравці по черзі випадковим чином витягують кулі з урни, повертаючи кожного разу взяту кулю в урну і перемішуючи її вмістиме. Виграє той, хто першим дістане чорну кулю. Знайти імовірність виграшу для кожного гравця.
Магазин отримав товар від трьох постачальників: 40% від першого постачальника, 25% - від другого, 35% - від третього. Знайти імовірність того, що три навмання відібрані одиниці товару виготовлені: 1) одним і тим же постачальником; 2) різними постачальниками.
У папці 10 акцій І-го виду і 8 ІІ-го. Навмання беруть дві акції. Знайти імовірність того, що вони будуть одного виду.
До контролера поступила партія однотипних виробів в кількості 20 шт. Серед них є 5 бракованих, але про це йому невідомо. Контролер навмання бере три вироби для перевірки. Якщо хоча б один із них виявиться бракованим, тоді вся партія бракується. Знайти імовірність того, що партія забракується.
Імовірність покращення спортсменом особистого досягнення по стрибках у висоту дорівнює 0,1. Чому дорівнює імовірність того, що він покращить свій результат, якщо йому надана можливість зробити три спроби.
Імовірність одного попадання в ціль при одному залпі з двох рушниць дорівнює 0,38. Знайти імовірність попадання в ціль при одному пострілі з першої гвинтівки, якщо відомо, що для другої ця імовірність дорівнює 0,7.
В аудиторії серед 15 комп’ютерів 12 справних. Знайти імовірність того, що з двох навмання вибраних комп’ютерів хоча б один виявиться несправним.
Імовірність своєчасної сплати податків для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого 0,7, а для третього корінь рівняння 2р2 ( 3р + 1 = 0. Знайти імовірність вчасної сплати податків не більш ніж одним підприємством.
Знайти імовірність виграшу для картки спортлото «6 із 40», якщо для цього потрібно закреслити не менше трьох виграшних номерів.
У зв’язці є 7 різних ключів, з яких тільки одним можна відкрити замок. Навмання вибирається ключ і робиться спроба відкрити ним замок. Ключ, що не підійшов, більше не випробовується. Знайти імовірність того, що замок буде відкрито до четвертої спроби.
В урні знаходиться 15 білих і 25 чорних куль, однакових за розмірами і на дотик. Знайти імовірність того, що з трьох навмання витягнутих куль виявиться хоча б одна біла.
Три спортсмени одночасно вистрілили з далекої відстані по повітряній кулі. Імовірності влучання для кожного із них відповідно рівні 0,6; 0,7; 0,5. Знайти імовірність знищення кулі.
Гральний кубик кидається доти, поки двічі підряд на верхній грані не випаде 5 очок. Знайти імовірність того, що дослід закінчиться до шостого кидання.
Студент знає 50 із 60 питань програми. Знайти імовірність того, що із трьох навмання витягнутих питань він знатиме: а) хоча б одне; б) тільки одне; в) не більше одного.
Підприємство отримує сировину від трьох постачальників і не виконує контракт по виготовленню продукції, якщо хоча б один із постачальників зриває поставку сировини. Імовірності вчасної поставки сировини для постачальників відповідно рівні 0,97; 0,95; 0,99. Знайти імовірність виконання контракту підприємством-виробником.
В урні є 6 чорних і 8 білих куль. Знайти імовірність того, що три навмання витягнуті кулі виявляться білими, якщо: 1) першу і другу кулі повертають в урну і перемішують кулі; 2) повертають тільки першу кулю; 3) кулі не повертають.
У лотереї, присвяченій презентації нової продукції фірми, розігрується 1000 білетів, з яких виграшними є 4 речових вартістю 40, 60, 70 і 100 грн. і 5 грошових по 30 грн. кожний. Знайти імовірність того, що учасник лотереї, маючи три білети, виграє на суму, не меншу 40 грн.
Протипожежний пристрій складається із трьох незалежно працюючих сигналізаторів, які спрацьовують у випадку пожежі з імовірностями, що відповідно дорівнюють 0,95; 0,9; 0,98. Знайти імовірність того, що при пожежі спрацюють: а) тільки один сигналізатор; б) принаймні один; в) тільки два; г) хоча б два.
Знайти імовірність невиграшу для однієї картки спортлото «5 із 36», якщо вона виявляється такою, коли число вгаданих чисел буде меншим трьох.
Бібліотечка складається із десяти різних книжок, причому ціна п’яти з них по 4 грн., трьох по 5 грн., двох по 3 грн. Знайти імовірність того, що сумарна вартість двох навмання взятих книжок складає 8 грн.
Робітник при складанні механізму встановлює дві однакові деталі. Бере він їх випадковим чином із дванадцяти штук, серед яких три деталі меншого розміру. Механізм не буде працювати, якщо обидві встановлені деталі мають менший розмір. Знайти імовірність того, що механізм буде працювати.
В конверті знаходиться 5 акцій, останні цифри номерів яких відповідно 1, 2, 3, 4, 5. Навмання витягують дві акції. Знайти імовірність того, що сума останніх цифр номерів витягнутих акцій буде не менша трьох.
В пачці 20 фотокарток, серед яких три шукані. Навмання відібрано 5 карток. Яка імовірність того, що серед них виявиться хоча б дві шукані.
У контейнері є пряжа в мотках, серед якої 40% блакитної, решта білої. Знайти імовірність того, що два навмання взяті мотки матимуть однаковий колір.
Для вчасного збирання врожаю пшениці достатньо, щоб у полі працювало два комбайни. Знайти імовірність того, що пшениця буде вчасно зібрана, якщо господарство має три комбайни, імовірності справної роботи яких відповідно рівні 0,4; 0,9; 0,8.
Імовірність промаху при полюванні на лисицю дорівнює 0,6 і зростає з кожним пострілом на 0,1. Знайти імовірність того, що після трьох пострілів лисиця все-таки втече.
Три лучники випустили по одній стрілі у спільну мішень. Імовірності влучання для кожного із них відповідно рівні 0,8; 0,6; 0,7. Знайти імовірності того, що в мішені виявиться: а) дві стріли; б) хоча б дві стріли.
Імовірність банкрутства для першої фірми розв’язок рівняння 4р2 ( 3р = 0, а для другої фірми ця імовірність на 20% більша. Знайти імовірність того, що хоча б одна із цих фірм збанкрутує.
В трьох урах міститься відповідно: 10 куль (7 червоних і 3 білі), 8 (2 червоні і 6 білих), 6 (4 червоні і 2 білі). З кожної із них навмання береться по одній кулі. Знайти імовірність того, що вони матимуть однаковий колір.
Відомо, що випадкові події А та В незалежні, причому 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Знайти Р(А) + Р(В) і з’ясувати питання: події А та В сумісні чи ні.
Двері відкриваються одним із 4-х ключів, які знаходяться у зв’язці. В темряві господар навмання вибирає ключ і, якщо двері не відкриваються, бере наступний. Знайти імовірність того, що двері будуть відкриті за три спроби.
В пакеті є 30 акцій, серед яких 3 шукані. Навмання беруться 3 акції. Знайти імовірність того, що серед них виявиться хоча б дві шукані.
В урні є 4 червоних, 6 синіх і 5 зелених куль. Тричі підряд навмання витягується по одній кулі, не повертаючи в урну. Знайти імовірність того, що всі вони виявляться: а) різних кольорів; б) одного кольору.
Для виготовлення деталі робітнику потрібно виконати чотири незалежні технологічні операції. Імовірність допустити брак при виготовленні кожної з них відповідно дорівнює 0,004; 0,005; 0,008; 0,001. Знайти імовірність того, що виготовлена робітником деталь виявиться бракованою.
Імовірності вчасної сплати податків для кожного із трьох підприємств відповідно рівні 0,4; 0,8; 0,6. Знайти імовірність вчасної сплати податків не більш, ніж двома підприємствами.
Імовірність повного розрахунку за енергоносії для першого підприємства є коренем рівняння 6 ( р = 5р2, а для другого на 20% вища. Знайти імовірність того, що повністю розрахуються за енергоносії: а) тільки одне підприємство; б) не більше одного; в) хоча б одне.
Групі студентів для проходження виробничої практики виділено 30 місць: 15 у Хмельницькому, 8 у Львові, 7 у Луцьку. Ці місця розподіляються між студентами випадковим чином. Знайти імовірність того, що студент і студентка, які незабаром збираються одружитися, будуть направлені для проходження практики в одне і те ж місто.
Завдання №3
(«Формула повної імовірності»)
На гуртову базу надходять телевізори від трьох постачальників у співвідношенні a:b:c – 2:5:3. Статистичні дані показали, що телевізори від І-го постачальника не вимагають ремонту на протязі гарантійного терміну у 97%, а для ІІ-го та ІІІ-го – у 92% та 95% відповідно. 1) Знайти імовірність того, що навмання відібраний телевізор не вимагатиме ремонту на протязі гарантійного терміну. 2) Проданий телевізор зламався до завершення гарантійного терміну. Від якого постачальника імовірніше всього надійшов цей телевізор?
Статистично встановлено, що 90% продукції підприємства є стандартною. Використання спрощеної системи контролю якості показано, що вона визнає виріб стандартним з імовірністю 0,95, якщо цей виріб справді стандартний і з імовірністю 0,06, якщо він бракований. 1) Знайти імовірність того, що навмання відібраний виріб буде визнано стандартним згідно цієї спрощеної системи контролю. 2) Навмання взятий виріб пройшов за спрощеною системою. Яка імовірність того, що цей виріб стандартний?
Страхова компанія розподіляє застрахованих по чотирьом класам ризику: І клас – малий ризик, ІІ клас – середній, ІІІ клас – великий ризик, IV – дуже великий. Серед клієнтів компаній 40% - І-го класу, 30% - ІІ-го, 25% - ІІІ-го і 5% - IV-го. Імовірність необхідності виплати страхового відшкодування для кожного із цих класів ризику становить відповідно 0,009; 0,02; 0,04; 0,12. Знайти імовірність того, що: а) застрахований отримає страхове відшкодування за період страхування; б) клієнт, який отримав страхове відшкодування, належить до групи малого ризику.
Виготовлена продукція перевіряється двома автоматами-контролерами, які визначають, має прилад вищу категорію якості, чи ні. Статистично встановлено, що 25% продукції задовольняють вимогам вищої категорії якості, а контролери роблять помилкові висновки стосовно якості приладу відповідно у 1% і 4% випадків. Випадковим чином один і той самий прилад був перевірений обома автоматами, при цьому перший визначив вищу категорію якості, а другий – ні. Якому із цих висновків вірити?
Магазин отримує продукцію від двох виробників у співвідношенні 2:3. Імовірність продажу виробів першого постачальника дорівнює 0,95, а другого – 0,85. Знайти імовірність того, що навмання вибраний виріб не буде реалізовано.
Виробник комп’ютерів отримує комплектуючі деталі від чотирьох постачальників, частки яких складають відповідно 15%, 25%, 50%, 10%. Деталі першого постачальника мають 0,8% браку, другого – 1%, третього – 1,5%, четвертого – 0,9%. 1) Яка імовірність того, що навмання відібрана деталь виявилася бракованою? 2) Випадковим чином взята деталь виявилася стандартною. Імовірніше всього яким постачальником вона виготовлена?
Три заводи виготовляють однакові вироби, причому перший завод випускає 50%, другий 20%, третій 30% всієї продукції. Відсотки браку для кожного із них складають відповідно 1, 6, 3. Навмання відібраний виріб виявляється бракованим. Знайти імовірність того, що він був виготовлений на другому заводі.
Два мисливці одночасно стріляють однаковими кулями у дика. В результаті дик був убитий однією кулею. Яким чином мисливці повинні поділити м’ясо вбитого дика, якщо відомо, що імовірність влучання для першого мисливця дорівнює 0,3, для другого 0,6.
Імовірність того, що деякий товар знаходиться на складі, дорівнює р, причому він може знаходитися в довільній із восьми секцій складу з однаковою імовірністю. Перевірка семи секцій показала, що там він відсутній. Знайти імовірність того, що товар знаходиться у восьмій секції складу.
При збиранні телевізорів використовуються мікросхеми двох постачальників, відсотковий склад яких становить відповідно 70% та 30%. Бракована продукція складає для кожного постачальника відповідно 2% та 3%. Знайти імовірність того, що взята навмання мікросхема виявиться стандартною.
На підприємстві виготовляються однотипні вироби на трьох поточних лініях. На першій лінії виготовляється 20% виробів від усього обсягу їх виробництва, на другій 30%, на третій 50%. Кожна із ліній характеризується відповідно такими відсотками стандартних виробів: 97%, 98% і 95%. Знайти імовірність того, що навмання взятий виріб, виготовлений на підприємстві, виявиться бракованим, а також імовірності того, що цей бракований виріб виготовлений на: а) першій лінії; б) другій; в) третій.
Два станки виготовляють однотипні деталі, які потрапляють на спільний конвейєр. З кожних 100 деталей першого станка одна нестандартна, а з кожної тисячі другого 8 нестандартних. Продуктивність другого станка на 20% більша від першого. Знайти імовірність того, що навмання взята з конвейєра деталь виявиться стандартною.
У телевізійному ательє знаходиться чотири кінескопи. Імовірність того, що кожний з них витримає подвійний гарантійний термін, дорівнює відповідно 0,7; 0,9; 0,85; 0,8. Знайти імовірність того, що навмання взятий кінескоп витримає подвійний гарантійний термін.
В двох контейнерах є по 20 деталей, причому в першому 5 бракованих, а в другому 3 браковані деталі. З першого контейнера навмання береться одна деталь і перекладається в другий. Знайти імовірність того, що навмання взята після цього з другого контейнера деталь виявиться стандартною.
Два автомати штампують однорідні деталі, які потрапляють на спільний конвейєр. Продуктивність першого автомату втричі більша, ніж продуктивність другого. Відсоток браку для кожного із них відповідно дорівнює 0,4 та 0,5. Яка імовірність того, що навмання взята з конвейєра деталь буде стандартною?
На складі телеательє знаходяться три комплекти однотипних деталей: в першому 100 деталей, з яких дві браковані, в другому 200, відсоток браку складає 2; в третьому 1500, всі стандартні. Знайти імовірність того, що навмання взята деталь із випадково вибраного комплекту виявиться стандартною.
В першій шухляді є чотири стандартні і дві браковані деталі, в другій п’ять стандартних і три браковані, третя порожня. З першої шухляди навмання взято дві деталі, з другої одну, і все це перекладають у третю. Знайти імовірність того, що навмання взята з третьої шухляди деталь виявиться стандартною.
Деталь може надійти для обробки на перший автомат з імовірністю 0,3, на другий з імовірністю 0,2, а на третій з імовірністю 0,5. При обробці на першому верстаті імовірність браку складає 0,01, на другому 0,03, а на третьому 0,08. Вибрана навмання деталь виявилася бракованою. Яка імовірність того, що її виготовлено на другому автоматі?
Клапани, виготовлені цехом заводу, перевіряють три контролери. З кожної сотні клапанів, що поступають на перевірку, 20 потрапляють до першого контролера, 50 до другого і 30 до третього. Імовірність того, що бракована деталь не буде виявлена першим контролером, дорівнює 0,01, другим 0,09 і третім 0,02. Під час контрольної перевірки незабракованих контролерами клапанів один виявився бракованим. Яка імовірність того, що цей клапан перевіряв другий контролер?
Дві стріли залишилися в мішені після пострілу трьох лучників по ній. Імовірності влучання для кожного із лучників відповідно дорівнюють 0,5; 0,6; 0,4. Знайти імовірність того, що у мішені була стріла: а) третього лучника; б) першого і третього лучників.
У кінці потокової лінії по виготовленню приладів встановлено два автомати-контролери, які визначають, належить чи не належить прилад до вищої категорії якості. Статистично встановлено, що 30% приладів задовольняють вимогам вищої категорії якості, а контролери роблять помилкові висновки щодо якості приладу відповідно у 2% і 8% випадків. Випадково один і той самий прилад був перевірений обома автоматами: перший визначив вищу категорію якості, другий ні. Якому з висновків вірити?
В урні знаходиться 13 куль, з яких п’ять білі. Знайти імовірність того, що навмання витягнута з урни куля виявиться білою, якщо перед цим навмання було взято: а) дві кулі; б) три кулі.
Із 16 баскетболістів чотири влучають у кошик із штрафного кидка з імовірністю 0,9, сім з імовірністю 0,8, три з імовірністю 0,7 і два з імовірністю 0,6. 1). Яка імовірність того, що навмання відібраний спортсмен влучить у кошик із штрафного? 2). Довільно відібраний баскетболіст виконав один штрафний кидок і не влучив у кошик. До якої групи імовірніше всього він належить?
Для формування інститутської команди з І-го курсу виділено 5 студентів, з ІІ-го 7, з ІІІ-го 8, з ІV-го 6. Імовірність того, що будь-який студент кожного з курсів буде включений до складу збірної інституту, відповідно дорівнює 0,6; 0,4; 0,8; 0,45. Навмання відібраний учасник змагань потрапив до складу збірної. На якому курсі імовірніше всього він навчається?
При заповненні певного документу перший бухгалтер помиляється з імовірністю 0,05, а другий 0,1. За певний час перший бухгалтер заповнив 80 таких документів, а другий 120. Всі ці документи в порядку їх заповнення складалися в одну папку. Навмання витягнутий із цієї папки документ виявився з помилкою. Що більш імовірніше: помилку допустив перший чи другий бухгалтер?
У товарному поїзді 50 вагонів, завантажених вугіллям двох сортів: 25 вагонів містять 70% вугілля першого сорту, 15 вагонів 60% і 10 вагонів 85% вугілля другого сорту. Випадково взятий для аналізу шматок вугілля виявився другого сорту. Знайти імовірність того, що він взятий із вагону другої групи.
В першій урні є 4 білих і 6 чорних куль, у другій 7 білих і 3 чорні куль. Із першої урни навмання витягнута куля перекладається у другу, і вмістиме її перемішується. Знайти імовірність того, що взята після цього із другої урни куля виявиться білою.
У першому комплекті міститься 20 деталей, 6 з яких нестандартні; в другому 10, 3 з яких нестандартні. З кожного комплекту навмання виймають по одній деталі, а потім із цих двох деталей навмання вибирають одну. Знайти імовірність того, що ця деталь виявиться стандартною.
У першому контейнері є 30 деталей, з яких 4 браковані, у другому відповідно 20 і 3. Навмання взята деталь із випадковим чином вибраного контейнера виявилась стандартною. Яка імовірність того, що деталь була взята із першого контейнера?
В магазині є 30 телевізорів фірми ( і 20 фірми (. Статистичні дані свідчать, що телевізор фірми ( витримує подвійний гарантійний термін з імовірністю 0,7, а другої з імовірністю 0,9. Навмання вибраний апарат витримує подвійний гарантійний термін. Що більш імовірніше: він виготовлений фірмою ( чи (?
На конвейєр надходять деталі, які виготовляються двома автоматами. Імовірність одержання нестандартної деталі на першому автоматі дорівнює 0,05, на другому 0,07. Продуктивність другого автомата на 60% вища, ніж першого. Знайти імовірність того, що навмання взята з конвейєра деталь виявиться нестандартною.
У піраміді знаходиться 20 гвинтівок, 6 з яких обладнані оптичним прицілом. Імовірність влучення із гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,9, без оптичного прицілу 0,6 (для певного стрільця). Цей стрілець із навмання взятої гвинтівки виконав постріл і влучив у ціль. Що імовірніше: стрілець стріляв із гвинтівки з оптичним прицілом чи із гвинтівки без оптичного прицілу?
У першій урні є 80 куль, з яких 30 червоного кольору, в другій 120, 60% яких червоного кольору. Навмання взята куля із навмання вибраної урни виявилась червоною. Яка імовірність того, що вона була взята із другої урни?
Два студенти незалежно один від другого здійснили постріл по спільній мішені. Імовірність влучання в мішень для першого студента дорівнює 0,8, а для другого 0,6. Після залпу в мішені виявлена одна пробоїна. Знайти імовірність того, що у мішень влучив другий студент.
Відомо, що для деякої вікової групи k1 відсотків всіх чоловіків і k2 відсотків всіх жінок хворіють на серцево-судинні захворювання. Чисельність чоловіків для цієї групи менша на 5% від чисельності жінок. У навмання відібраної особи було виявлено ішемічну хворобу серця. Яка імовірність того, що це була жінка?
На ткацьку фабрику (ТЕКСТЕРНО( надходить пряжа, виготовлена двома цехами прядильної фабрики, причому 30% пряжі це продукція цеху № 1, а решта цеху № 2. Продукція цеху № 1 містить 80% пряжі вищої якості, а цеху № 2 60%. Знайти імовірність того, що навмання взята шпуля матиме пряжу вищої якості.
Імовірність того, що двокамерний холодильник «NORD» не зіпсується протягом гарантійного терміну, дорівнює 0,8, а для однокамерного ця імовірність на 10% більша. Знайти імовірність того, що навмання куплений холодильник із шести двокамерних і десяти однокамерних не зіпсується протягом гарантійного терміну.
На ринку продаються акції чотирьох фірм. Їх кількість відносно загальної кількості всіх чотирьох становить відповідно 25, 30, 15 і 30 відсотків. Але серед них є фальшиві і відсотковий склад таких відповідно рівний 10, 4, 1 і 3. Знайти імовірність того, що навмання придбана акція є фальшивою.
Виріб перевіряється на стандартність одним із товарознавців. Імовірність того, що виріб попаде до першого товарознавця, дорівнює 0,65, а до другого 0,35. Імовірність того, що стандартний виріб буде підтверджений стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,9, а другим 0,98. Стандартний виріб при перевірці було підтверджено стандартним. Знайти імовірність того, що цей виріб перевірив другий товарознавець.
Два із трьох незалежно працюючих елементів обчислювального пристрою вийшли з ладу. Знайти імовірність того, що з ладу вийшли перший і другий елементи, якщо імовірності виходу з ладу для кожного з них відповідно рівні 0,2; 0,4; 0,1.
Монітор до комп’ютера може належати одній із чотирьох партій з імовірностями 0,4; 0,1; 0,2 і 0,3 відповідно. Імовірність того, що монітор відпрацює подвійний гарантійний термін, дорівнює відповідно для кожної партії 0,7; 0,8; 0,6; 0,9. Знайти імовірність того, що навмання вибраний монітор буде працювати подвійний гарантійний термін.
В продаж поступили дискети трьох кольорів: чорного, синього і червоного. Чорних і червоних дискет порівну, а синіх у два рази менше, ніж чорних. Серед дискет чорного кольору 2% бракованих, червоного 1%, синього 0,5%. Знайти імовірність того, що навмання придбана дискета виявиться якісною.
- 50. Три верстати-автомати штампують однотипні деталі, що потрапляють на спільний конвейєр. Продуктивності автоматів визначаються відношенням а : b : с. Відсотки браку для кожного автомату дорівнюють відповідно d, e, f. 1). Яка імовірність того, що навмання взята з конвейєра деталь виявиться бракованою? 2). Навмання взята деталь виявилась бракованою. Знайти імовірність того, що вона була виготовлена на k-му верстаті.
Номер задачі
a
b
c
d
e
f
k

43.
2
1
3
2
0,5
4
1

44.
3
2
4
3
1,5
3,5
2

45.
5
4
6
2
1,5
2,5
3

46.
4
5
1
2
3
0,5
2

47.
3
2
1
4
2
0,5
1

48.
4
3
2
3,5
3
1,5
2

49.
6
5
4
2,5
2
3
3

50.
1
4
5
0,5
2
1,5
2


Завдання №4
(«ПОВТОРНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ»)
Статистично встановлено, що 70% продукції складають вироби вищої категорії якості. Підприємство отримало замовлення на термінову поставку на експорт 560 виробів вищої категорії якості. Вся продукція користується високим попитом на внутрішньому ринку, тому на момент отримання замовлення продукції на складі не було. Скільки потрібно виготовити всіх виробів, щоб з імовірністю, не меншою від 0,999, виконати термінове замовлення?
2. Три станки з програмним управлінням виготовляють однотипні деталі, які подаються на спільний конвейєр. Їх продуктивності відносяться як 2:5:3, причому перший виготовляє 83% деталей вищої якості, якими комплектуються вироби на експорт, другий – 84%, а третій – 88%. Знайти імовірність того, що з 800 навмання відібраних з конвейєра деталей вищої якості виявиться: а) 675; б) хоча б 675.
3. Цех отримав замовлення на термінове виготовлення 37 виробів. Кожні два вироби із десяти виготовлених вимагають тривалої доводки і тому не можуть бути включені у партію виробів термінового замовлення. 1) Скільки потрібно виготовити цеху виробів, щоб 37 було найімовірнішим числом? 2) Яка імовірність виконання замовлення в такій постановці задачі?
4. Оцінити імовірність p появи події А в кожному із 59 незалежних випробувань, якщо найімовірніше число появи події А в цих випробуваннях дорівнює 35.
5. Для нормальної роботи гуртової бази на лінії має бути не менше 4 вантажних бусів, а їх є 7. Імовірність для кожного з них не вийти на лінію дорівнює 0,05. Знайти імовірність того, що найближчого дня гуртова база буде працювати нормально.
6. Завод відправив на гуртову базу 30000 стандартних виробів. Відсоток пошкоджених при транспортуванні виробів за цим маршрутом складає 0,02%. Знайти імовірність того, що замовник отримає виробів: 1) хоча б 2 пошкоджених; 2) хоча б 29997 неушкоджених.
7. За результатами перевірок податковою інспекцією встановлено, що в середньому одне мале підприємство із чотирьох має порушення фінансової дисципліни. Знайти імовірність того, що з 520 зареєстрованих в регіоні малих підприємств мають порушення фінансової дисципліни: а) найімовірніше число підприємств; б) не менше 135.
8. Імовірність того, що мале підприємство за проміжок часу Т збанкрутує, дорівнює 0,3. Знайти імовірність того, що із десяти малих підприємств за час Т: а) збанкрутує більше двох; б) продовжать свою діяльність щонайменше три.
9. Страхова компанія виплачує страхову суму в середньому по 9% укладених угод. Знайти найімовірніше число настання страхового випадку із виплатою страхової суми, якщо укладено 450 угод. Яка імовірність цього числа виплат страхової суми?
10. Наклад виданого посібника складає 15000 екземплярів. Імовірність того, що навмання взятий посібник виявиться неправильно зброшурованим, дорівнює 0,0002. Знайти імовірність того, що: 1) хоча б 14997 книг будуть зброшуровані правильно; 2) наклад містить чотири браковані книжки.
11. Імовірність того, що пасажир запізниться до відправлення поїзда, дорівнює 0,01. Для 760 пасажирів поїзда знайти імовірність найбільш імовірного числа тих пасажирів, які запізняться.
12. Імовірність появи події в кожному із 300 незалежних випробувань дорівнює 0,9. Знайти таке додатнє число (, щоб з імовірністю 0,96 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від її імовірності 0,9 не перевищила (.
13. Відомо, що серед готівкової маси 0,5% купюр є непридатними до наступного використання. Знайти імовірність того, що серед 2400 купюр виручки магазину непридатними для наступного використання є хоча б дві купюри.
14. У середньому 30% акцій видавничих фірм протягом року стають збитковими. Яка імовірність того, що серед 120 акцій цих фірм збитковими будуть менше 40?
15. Проводиться порівняння зон покриття мобільного зв’язку двох основних операторів. Для цього було залучено 620 телефонів першого оператора і 650 – другого. Відомо, що зв’язок першого оператора підтримується у 90% зони, а другого – 85%. Знайти найімовірнішу кількість телефонів кожного оператора, які мали зв’язок, а також імовірність таких кількостей.
16. Обленерго обслуговує 1200 найпотужніших споживачів електроенергії. Перебої у подачі енергії на протязі доби виникають з імовірністю 0,0025. Знайти імовірність того, що протягом доби н

Приложенные файлы

  • doc 18083972
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий