ikg_Vosstanovlen


1.Проекция әдісі, орталық, параллель және тікбұрышты жобалаудың негізгі анықтамалары мен ұғымдарын жаз. Монж эпюріне сипаттама бер. Негізгі геометриялық түсініктердің бірі жиынды бейнелеу болып табылады. Сызба геометрияда үш өлшемді кеңістіктің әрбір нүктесіне екі өлшемді кеңістіктің жазықтықтағы анықталған нүкте сәйкестендіріледі. Геометриялық бейнелеу элементтеріне: нүктелер, сызықтар, кеңістік беттері жатады. Геометриялық объект нүктелік жиын ретінде бейнеленіп проекциялау заңдылығы бойынша жазықтыққа проекцияланады. Осындай бейнелеудің нәтижесі ретінде объектінің көрінісі алынады.
Кез-келген көріністің негізіне келесі түсінікті қамтитын проекциялау операцияларын жатқызуға болады. Кеңістікте проекциялау центрі болатын (1.1 сурет) және проекциялар жазықтығы ретінде S нүктесі арқылы П жазықтығына А нүктесін проекциялау үшін А нүктесінде П жазықтығыменқиылысатын проекциялау центрі бойынша А сәулесін жүргіземіз. А.нүктесін А нүктесінің центрлік проекциясы, ал А сәулесін проекциялаушы сәуле деп
Түсіндірілген сызба кеңістік нүктелерінің жазықтыққа орталық проекциялауы деп аталады.
Орталық проекциялау геометриялық объектілерді жазықтыққа проекциялаудың жалпы жағдайы болып табылады. Оның негізгі және өзгермейтін қасиеттеріне мыналар жатады:
1) нүктенің проекциясы – нүкте;
2) түзудің проекциясы – түзу;
3) егер нүкте түзудің бойында жататын болса, онда нүктенің проекциясы түзудің проекциясында жатады.
Параллель проекциялау орталық проекциялаудың жеке жағдайы болып табылады. Проекциялау центрі шексіз қашықтықта орналасқан, бұл жағдайда проекциялаушы сәулелерді параллель проекциялаушы сәулелер ретінде қарастыруға болады. Жазықтыққа қарағанда проекциялаушы түзудің жағдайы S проекциялаушы бағыттарымен анықталады 1.4.–Сурет.Параллель проекциялау Параллельді проекциялауда орталық проекциялаудың қасиеттері сақталады және келесілер қосылады:
параллель түзулердің проекциялары өзара параллель болады;
түзу кесіндінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең;
екі параллель түзу кесіндісінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең.
Өз кезегінде параллель проекциялар түзу бұрышты, проекциялаушы түзулер проекциялар жазықтығына перпендикуляр болған жағдайда және қисық бұрышты проекциялау бағыты проекциялар жазықтығымен бірге 900 қа тең емес бұрыш құраған жағдайда. Сол себепті ортогональды (тікбұрышты) проекциялау параллель проекциялаудың жеке жағдайы болып табылады және осы әдіспен алынған объектінің проекциясы ортогональды деп аталады. Монж әдісі
Егер нүкте мен проекция жазықтығының арақашықтығы туралы ақпаратты сандық белгілеу көмегімен емес екінші проекциялар жазықтығында тұрғызылған нүктенің проекциясы арқылы берсе, онда сызба екі көріністі немесе кешенді деп аталады. Осындай сызбаның негізгі принциптерін француз ғалымы Гаспар Монж (1746-1818) келтірген. Ортогональды проекцияларға байланысты, проекция жазықтықтарынан бақылаушы шексіз үлкен қашықтықта бірінші ширекте тұр деп есептейміз. Проекция жазытықтарының қиылысу түзуі координатлар өсі деп аталады 2 немесе болып белгіленеді. Көрсетілген проекциялардан тұратын жазық сызба алу үшін П1 жазықтығын x12 өсімен айналдыру арқылы П2 жазықтығымен беттестіреміз. Нәтижесінде алынған сызба Монж Эпюрі деп аталады. Геометриялық объектілер сызықты (нүкте, түзу, жазықтық), сызықты емес (қисық сызық, бет) және құраушы (көпжақтар) болып бөлінеді.
2.Нүкте проекциясы.Нүктенің кешенді сызбасын сал.
Нүкте – геометрияның негізгі түсініктерінің бірі. Математикада нүкте деп табиғаттың әртүрлі кеңістіктерінен тұратын элементтерін айтады (мысалы, n - өлшемді евклид кеңістігінде нүкте деп n - саннан тұратын жиынды айтады).Проекцияларды тұрғызған кезде төмендегі мәселелерді есте сақтау қажет, жазықтыққа түсірілген нүктенің ортогональды проекциясы берілген нүктеден осы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны деп аталады. HYPERLINK "http://dvoika.net/education/Graphbook/book/lekcii/L-002_1.htm" \l "2.1#2.1" 2.1. - Суретте А нүктесі және оның екі А1 және А2 ортогональды проекциялары көрсетілген.
А1 нүктесін А нүктесінің горизонтальды проекциясы, А2 нүктесін фронтальды проекциясы деп атайды. Нүкте проекциялары 2 осіне перпендикуляр түзуде орналасқан және осы өсті А нүктесінде қиып өтеді.

2.1. - Сурет. Нүкте екі проекция жазықтықтарының ортогональды жүйесінде
Монж эпюрінде А1 және А2 проекциялары 2 өсіне перпендикуляр түзуінде орналасқан. Нүктелердің горизонтальды проекцияларынан оске дейінгі А1Аx – арақашықтығы А нүктесімен П2 жазықтығына дейінгі қашықтыққа тең.
Эпюрде нүкте проекцияларын қосатын түзу сызықтар проекциялар байланысының сызығы деп аталады.
 
2.3. - Сурет. Нүкте үш проекция жазықтықтарындағы жүйеде
2.3. - суретінде көрсетілген. П1 және П2 ге перпендикуляр орналасқан үшінші жазықтық П3 әрпімен белгіленеді және профильді деп аталады. Үш проекция жазықтықтарын сегіз үш жақты октант деп аталатын бұрыштарға бөлеміз. Үш проекциялар жазықтығында нүктенің эпюрін салу үшін П1 және П3 проекциялар жазықтықтарын
Егер нүкте жазықтықтардың біреуінде жататын болса, проекциялар жазықтығына қарағанда нүкте жеке жағдайдағы нүкте деп аталады. Егер нүкте ешқандай жазықтықта жатпайтын болса, онда нүкте жалпы жағдайдағы нүкте деп аталады.
3.Түзу сызықтың проекциясы туралы айтыңыз. Түзудің кешенді сызбасын сал. Түзудің іздері жайлы түсінік және анықтама бер. Түзу сызық геометрияның негізгі түсініктерінің бірі болып табылады. Егер геометрияны тұрғызу негізінде кеңістіктегі екі нүктенің арақашықтық түсінігі қарастырылатын болса, онда түзуді екі нүктенің ең кіші арақашықтығы ретінде қарастыруға болады.
Түзу сызық сызықты алгебрада бірінші ретті сызық болып табылады. Түзудің жалпы теңдеуі:
Ах+Ву+С=0,
А, В және С – кез-келген тұрақтылар.Проекция жазықтықтарына қатысты түзудің орналасуына байланысты жеке немесе жалпы жағдайларын қарастыруға болады.
1. Проекция жазықтықтарының ешбіріне параллель емес түзу жалпы жағдайдағы түзу деп аталады (3.4. - сурет).
2. Проекция жазықтықтарына параллель түзулерді жеке жағдайдағы түзулер ретінде қарастыруға болады және оларды деңгейлік түзулер деп атайды. Берілген түзуді қай жазықтыққа параллель екеніне байланысты ажыратады:
2.1. Горизонтальды проекция жазықтығына параллель түзу горизонталь түзу немесе горизонталь деп аталады (3.5. - сурет). Кез-келген горизонталь нүктелер жұбына мына теңдеу сәйкес келеді: 2.2. Фронталь проекциялар жазықтығына параллель түзулер фронталь деп аталады
3. Проекция жазықтықтарына перпендикуляр түзулер проекциялаушы түзулер деп аталады. Бір проекциялар жазықтығына перпендикуляр түзу, қалған екеуіне параллель болады. Түзуді қай проекциялар жазықтығына перпендикуляр екеніне байланысты ажыратамыз:


4.Айқас түзулер, бәсекелес нүктелер әдісін сипатта.Айқас түзулерБір жазықтықта жатпайтын екі түзу айқас түзулер деп аталады.Егер түзулер қилыспаса және параллель болмаса, онда олардың аттас проекцияларының қилысу нүктесі бір байланыс сызығында жатпайды.
Түзулердің фронталь проекцияларының қиылысу нүктесіне (3.24. - сурет) а мен в түзулеріне тиісті А мен В нүктелері сәйкес келеді. Кеңістікте А мен В нүктелерінің фронталь проекциялары фронталь проекциялар жазықтығына перпендикулярдың бойында жатқандықтан, олардың фронталь проекциялары сәйкес келеді. Бағыттауышпен белгіленген осы перпендикулярдың горизонталь проекциясы екі нүктенің қайсысының бақылаушыға жақын орналасқандығын анықтауға мүмкіндік береді. Келтірілген мысалда в түзуінде жатқан В нүктесінің фронталь проекциясы А нүктесінің проекциясын жауып қалады. (С және Д нүктелерінде дәл осыған ұқсас).
Бәсекелес нүктелер әдісі арқылы осындай нүктелердің кеңістікте қалай орналасқанын анықтауға болады. Бұл жағдайда А мен В- нүктелері фронталь бәсекелес, ал С мен Д –нүктелері горизонталь бәсекелес.
. Егер нүктелердің екі бір аттас координаталары тең болса, онда олар бәсекелес деп аталады. Бәсекелес нүктелер бір проекциялаушы түзудің бойында орналасқан. 2.6 - суретте осындай нүктелердің үш жұбы берілген: Бәсеклес нүктелердің сәйкес проекциялары бір-біріне тең.
Оларды ажыратады: горизонтальды бәсекелес нүктелер А және D, АD горизонтальды проекциялаушы түзуінде орналасқан; фронтальды бәсекелес нүктелер A,C фронтальды проекциялаушы түзу AС- да орналасқан; профильді бәсекелес нүктелер A, B, профильді проекциялаушы түзу AB - да орналасқан.
Проекция жазықтықтарына проекциялау кезінде бір нүкте келесі өзімен бәсекелес нүктені жауып қалғанда, бірінші нүктенің проекциясы көрінбей қалады.

5.Жазықтық. Беттердің көрінісі және олардың сызбада берілуі. Проекция жазықтықтарын алмастыру.
Жазықтық – геометрияның негізгі түсініктерінің бірі болып табылады. Жазықтық алгебрада бірінші ретті бет, декартты координаттар жүйесінде жазықтық 1-дәрежелі теңдеумен берілуі мүмкін. Жазықтықтың жалпы теңдеуі:
Ax+By+Cz+D=0, мұндағыА, В, С, және D - түрақтылар, А, В және С бір уақытта нөлге тең емес.
 Беттер көрінісі
"Бет, негізгі геометриялық түсініктердің бірі. Геометрияның әртүрлі бөлімінде бұл түсінікті логикалық нақтылауда оған әртүрлі мағына беріледі.
1) Геометрияның мектеп курсында жазықтықтар, көпжақтар, сонымен қатар кейбір қисық беттер қарастырылады. Қисық беттердің әрқайсы арнайы жолмен анықталады, көбінесе кейбір шарттарды қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде. Мысалы , шар беті – берілген нүктеден берілген қашықтықта жатқан нүктелер жинын. Бет түсінігі анықталмайды тек түсіндіріледі. Мысалы, бет дене шекарасы немесе қозғалушы сызықтың ізі деп атайды.
2) Беттің математикалық анықтамсы топологияның түсініктеріне негізделегн. Қарапайым бет түсінігі ретінде үзіліссіз деформацияға ұшыраған жазықтық бөлігі ретінде қарастыруға болады (созылған, сығылғанжәне изгиб)."
БЕТТЕРДІ СЫЗБАДА ҚҰРУ ЖӘНЕ БЕРУ
Бетті l1,l2… l сызығының белгілі бір заң бойынша кеңістікте орналасқан тізбектелген орналасу жағдайының жиынтығы ретінде қарастыруға болады (8.1. - сурет). Бетті құру процесінде l сызығы өзгермеуі мүмкін немесе формасын өзгертуі мүмкін – иіледі немесе деформацияланады. Қозғалмалы сызықты құраушы, қозғалмайтын – бағыттаушы деп аталады. Беттің бұндай құралу жолы кинематикалық деп аталады. Сызықты беттер өз кезегінде жазылатын деп ажыратады жазылатын, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и жазылмайтын.
Бұл циклдік беттер болып табылады Айналу беттері;
Винттік беттер;
Беттер параллелизм жазықтығымен;
Ауысу беттері.Айналу беттері – m құраушысының i өсі бойымен айналуымен құралған беттер: Сфера – шеңбердің диаметрі төңірегінде айналуы бойынша құралады Тор – шеңбердің центрі арқылы өтпейтін өс төңірегінде шеңберді айналдыруда тордың беті қалыптасады (8.9. сурет).Айналу параболоиды – параболланың өз өсі төңірегінде айналуы арқылы құылады Винттік беттер кейбір құраушы сызықтардың винттік қозғалысымен құылады.Коноид. Коноид деп біреуі қисық сызық, екіншісі түзу болатын, сонымен бірге құраушы барлық орналасу жағдайлары параллелизм жазықтығына параллель болатын екі бағыттауыш бойынша түзу сызықты құраушының қозғалысымен құрылған бетті айтамыз
Проекциялар жазықтығын ауыстыру әдісі
Проекцияланушы фигура мен проекциялар жазықтығының өзара орналасуын проекциялар жазықтығын ауыстыру әдісімен өзгерту үшін, П1 және П2 жазықтықтарын жаңа П4 жазықтығына ауыстыру арқылы аламыз (4.6. - сурет). Жаңа жазықтықтар ескі жазықтықтарға перпендикуляр болып таңдалады. Кейбір проекцияларды түрлендіру жазықтықтарды 2 рет ауыстыруды талап етеді.
(4.7. - сурет). Бір проекциялар жазықтығы жүйесінен басқаға ауысу үшін келесі ережені орындау керек: нүктенің жаңа проекцияларынан жаңа өске дейінгі арақашықтық ауысатырылатын проекциядан ауыстырылатын өске дейінгі арақашықтыққа тең болуы қажет.
.
4.6. - Сурет. Проекциялар жазықтығын ауыстыру арқылы кесіндінің шынайы өлшемін анықтау
6.Нүктелердің, түзу сызықтың және екі жазықтықтың өзара орналасуы. Жазықтыққа перпендикуляр түзу сызық.
нүктелердің өзара орналасуы
3. Егер нүктелердің екі бір аттас координаталары тең болса, онда олар бәсекелес деп аталады. Бәсекелес нүктелер бір проекциялаушы түзудің бойында орналасқан. 2.6 - суретте осындай нүктелердің үш жұбы берілген: Бәсеклес нүктелердің сәйкес проекциялары бір-біріне тең.
Оларды ажыратады: горизонтальды бәсекелес нүктелер горизонтальды проекциялаушы түзуінде орналасқан; фронтальды бәсекелес; профильді бәсекелес
Екі жазықтықтың өзара орналасуы.
Екі жазықтық кеңістікте бірі-біріне параллель болуы мүмкін немесе қиылысуы мүмкін.
1. Параллель жазықтықтар. Егер бір жазықтықтың қиылысушы екі түзуі, сәйкесінше басқа жазықтықтағы түзулерге параллель болса, онда жазықтықтар параллель. 
2. Қиылысушы жазықтықтар, жеке жағдайы – өзара перпендикуляр жазықтықтар. Екі жазықтықтың қиылысу сызығы түзу болады, оны тұрғызу үшін екі жазықтықтың ортақ екі нүктесін, немесе бір нүктесін және жазықтықтар қиылысу сызығының бағытын тапса жеткілікті.
Түзу сызықтың өзара орналасуы.
Түзу сызықтар кеңістікте параллель, қиылысатын және айқас болуы мүмкін.
1. Параллель түзулер .
Бір жазықтықта жататын және ортақ нүктелері жоқ екі түзу параллель түзулер деп аталады.
Параллель түзулердің кез-келген жазықтықтағы проекциялары параллель болады.

2. Қиылысатын түзулер.Бір жазықтықта жататын ортақ нүктелері бар екі түзу қилысушы түзулер деп аталады. Егер түзулер қиылысатын болса, онда олардың аттас проекцияларының қиылысу нүктелері бір байланыс сызығының бойында жатады. (3.21. - сурет).
Жазықтыққа перпендикуляр түзу сызық.
Жазықтыққа препендикуляр туралы келесі теореманы дәлелдейміз: Егер түзу жазықтыққа перпендикуляр болса, онда бұл түзудің горизонталь проекциясы горизонталь проекциялар жазықтығында горизонтальға препендикуляр болады, ал фронталь проекциялар жазықтығында жазықтықтың фронтальна перпендикуляр болады.
7. Қиылысатын, параллель жазықтықтар.
Екі жазықтық кеңістікте бірі-біріне параллель болуы мүмкін немесе қиылысуы мүмкін. Өзара перпендикуляр жазықтықтар қиылысушы жазықтықтардың жеке жағдайы болып табылады.
1Параллель. жазықтықтар. Егер бір жазықтықтың қиылысушы екі түзуі, сәйкесінше басқа жазықтықтағы түзулерге параллель болса, онда жазықтықтар параллель. Анықтамаға сәйкес егер бір жазықтықтың екі қиылысушы түзуі басқа жазықтықтағы екі қиылысушы түзуге параллель болса, онда бұл жазықтықтар өзара параллель болады.
2. Қиылысушы жазықтықтар, жеке жағдайы – өзара перпендикуляр жазықтықтар. Екі жазықтықтың қиылысу сызығы түзу болады, оны тұрғызу үшін екі жазықтықтың ортақ екі нүктесін, немесе бір нүктесін және жазықтықтар қиылысу сызығының бағытын тапса жеткілікті.

5.24. – Сурет. Параллель жазықтықтар
5.25. - Сурет. Жалпы жағдайдағы жазықтық пен горизонтальды проекциялаушы жазықтықтың қиылысуы
8. Екі жазықтықтың қиылысу түзуін түрғызу. Нүктелердің, түзу сызықтың және екі жазықтықтың өзара орналасуы.
Екі жазықтықтың қиылысу сызығын тұрғызу керек, егер олардың біреуі проекциялаушы болса
5.25. - Сурет. Жалпы жағдайдағы жазықтық пен горизонтальды проекциялаушы жазықтықтың қиылысуы
нүктелердің өзара орналасуы
3. Егер нүктелердің екі бір аттас координаталары тең болса, онда олар бәсекелес деп аталады. Бәсекелес нүктелер бір проекциялаушы түзудің бойында орналасқан. Бәсеклес нүктелердің сәйкес проекциялары бір-біріне тең.
Оларды ажыратады: горизонтальды бәсекелес нүктелер А және D, АD горизонтальды проекциялаушы түзуінде орналасқан; фронтальды бәсекелес нүктелер ; профильді бәсекелес нүктелер A, B, профильді проекциялаушы .
2.6. - Сурет. Бәсекелес нүктелер
Екі жазықтықтың өзара орналасуы.
Екі жазықтық кеңістікте бірі-біріне параллель болуы мүмкін немесе қиылысуы мүмкін.
1. Параллель жазықтықтар. Егер бір жазықтықтың қиылысушы екі түзуі, сәйкесінше басқа жазықтықтағы түзулерге параллель болса, онда
Анықтамаға сәйкес егер бір жазықтықтың екі қиылысушы түзуі басқа жазықтықтағы екі қиылысушы түзуге параллель болса, онда бұл жазықтықтар өзара параллель болады. 2. Қиылысушы жазықтықтар, жеке жағдайы – өзара перпендикуляр жазықтықтар. Екі жазықтықтың қиылысу сызығы түзу болады, оны тұрғызу үшін екі жазықтықтың ортақ екі нүктесін, немесе бір нүктесін және жазықтықтар қиылысу сызығының бағытын тапса жеткілікті

пар,жа
5.25. - Сурет. Жалпы жағдайдағы жазықтық пен горизонтальды проекциялаушы жазықтықтың қиылысуы
Түзу сызықтың өзара орналасуы.
Түзу сызықтар кеңістікте параллель, қиылысатын және айқас болуы мүмкін.
Бір жазықтықта жататын және ортақ нүктелері жоқ екі түзу параллель түзулер деп аталады.
Параллель түзулердің кез-келген жазықтықтағы проекциялары параллель болады.
Бір жазықтықта жататын ортақ нүктелері бар екі түзу қилысушы түзулер деп аталады. Егер түзулер қиылысатын болса, онда олардың аттас проекцияларының қиылысу нүктелері бір байланыс сызығының бойында жатады. (3.21. - сурет).
9.Жазықтық пен түзудің қиылысу нүктелері қалай анықталады? Оны сипатта.
Түзу сызық пен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу, сызба геометриясының негізгі есептерінің бірі.
Есеп. AВС жазықтығы мен а түзуі берілсін.
Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін және түзудің жазықтыққа қарағанда көрінетін және көрінбейтін бөліктерін табу қажет болсын.Осылайша есепті шешу келесі әрекеттер тізбегінен тұрады(5.21. - сурет):1. а а; түзуі арқылы өтетін көмекші қиюшы жазықтығын тұрғызу ( горизонталь – проекциялаушы жазықтық);2. Берілген п жазықтығымен көмекші жазықтығының қиылысу түзуін тұрғызу;3. К бастапқы нүктесін анықтау, берілген а және п Ка п жазықтықтарының қиылысуы нәтижесінде алынған, екі түзудің қиылысуы – көмекші жазықтығы ретінде проекциялаушы жазықтықтарды бірін алуға болады;4. а түзуінің жазықтығына қарағандағы көрінісін анықтау
5.21. - Сурет. Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу
10. Көпжақтардың көрінісі. Көп жақ бетіндегі нүкте мен түзу сызық.
Жазық көпбұрыштардың жиынтығы көпжақтар деп аталады, олардың әрқайсының әр жағы бір уақытта басқасының жағы болады (тек қана біреуінің).
Түзу сызық пен көпжақтың қиылысу нүктесін анықтау үшін, түзу мен жақ жазықтықтарынң қиылысу нүктесіне алып келеді (6.12. - сурет).
Есепті шешу алгоритмі:
1. : m жазықтығын жүргізу;
2. жазықтығымен көпжақтың қиылысуын тұрғызу.
m түзуімен қиылысу кезінде алынған К, М –қиылысу нүктелерін анықтау 6.12. - Сурет. Түзу сызық пен пирамиданың қиылысуы
11. Көпжақ бетімен жазықтық қиылысуы түзу сызығын салыңыз және салу әдісіне сипаттама бер.
Көпжақтардың қимасын тұрғызу үшін түзу мен жазықтықтардың қиылсу нүктесін табу есебін бірнеше рет шешуді талап етеді. Берілген жазықтық пен көпжақ қабырғаларының қиылысу нүктесі қиманың төбелері болады.
Осы нәтижені жазықтық пен дене жақтарының қиылысу түзуін тұрғызу арқылы да алуға болады.
Призма мен екі а мен b қиылысушы түзулері арқылы жалпы жағдайдағы жазықтық берілген (6.11. - сурет). Призма мен берілген жазықтықтың қимасын табу қажет.
6.11. - Сурет. Призма мен жалпы жағдайдағы жазықтықтың қиылысуы
Қойылған есепті жазықтық пен призма қабырғаларының қиылысу нүктесін табу арқылы шығарамыз. Ол үшін гоизонталь проекциялары арқылы көмекші α, β және γ қиюшы жазықтықтарын жүргіземіз. Көмекші жазықтықтармен берілген жазықтық қиылысу сызықтарын тұрғызып, фронталь проекциялар жазықтығында олардың призманың сәйкес қабырғаларындағы К2, М2 және N2 қиылысу нүктелерін табамыз. Байланыс сызықтары арқылы осы нүктелердің горизонтальды проекцияларын табамыз. Алынған нүктелерді түзу сызықтармен қосамыз.
12. Қосалқы проекциялау көмегімен сызбаны түрлендіру тәсілдерін сипатта.
13.Айналдыру әдісін сипатта.
проекциялар жазықтығына препендикуляр өс бойынша айналдыру әдісіНүктелерді орын ауыстыру траекториясы проекциялар жазықтығына параллель. Траектория – шеңбердің доғасы, центрі проекциялар жазықтығына перпендикуляр өсте орналасқан. АВ (4.4. - сурет) жалпы жағдайдағы түзу кесіндісінің шынайы өлшемін анықтау үшін, В1 нүктесі арқылы өтетін горизонталь жазықтығына перпендикуляр айналдыру өсін аламыз. Кесіндіні фронталь проекциялар жазықтығына параллель болатындай етіп бұрамыз (кесіндінің гоизонталь проекциясы x өсіне параллель). Осыған байланысты А1 нүктесі А1*, m2 нүктесіне орналасады, ал В нүктесі өз күйін өзгертпейді. А2* нүктесі А нүктесі траекториясының фронталь проекцияларының қиылысында орналасқан (түзу сызық x өсіне параллель). В2 А2* алынған проекциясы кесіндінің өлшемін анықтайды. проекциялар жазықтығына параллель өс бойынша
айналдыру әдісі
Бұл әдісті өзара қиылысушы түзулердің бұрышын анықтайтын мысалда қарастырайық (4.5. - сурет). К нүктесінде қиылысатын а мен в қиылысушы түзулерінің екі проекциясын қарастырамыз. Осы түзулердің арасындағы бұрыштың шынайы өлшемін анықтау үшін, түзулерді проекциялар жазықтығына параллель болатындай етіп түрлендіру қажет. Горизонталь деңгейлік түзу бойымен айналдыру әдісін қолданамыз. Кез-келген a және b түзулерін қиып өтетін Ох өсіне параллель 2 горизонталін фронталь проекциясына жүргіземіз. К1 нүктесінің қозғалыс траекториясы К1О1 түзуімен анықталған, О нүктесі шеңбердің центрі. Шеңбердің радиусын анықтау үшін КО кесіндісінің шынайы өлшемін үшбұрыш әдісімен табамыз. К1О1 түзуін КОО1К1* болғанша созамыз. Егер түзулері П1 жазықтығына параллель жазықтықта жататын болса және горизонталь айналу өсі бойынша жүргізілген, онда К1* нүктесі К нүктесіне сәйкес келеді. П1 – ге параллель жазықтықта орналасқан К1* нүктесі мен А1, В1 нүктелері арқылы түзулер жүргіземіз. Осы екі түзудің арасындағы бұрыш а мен в арасындағы бұрышының φ бұрышының шынайы мәні болады.
4.4. - Сурет. Горизонталь проекциялар жазықтығына препендикуляр өс бойынша айналдыру әдісімен кесіндінің шынайы өлшемін анықтау

4.5. – Сурет. Горизонталь проекциялар жазықтығына параллель өс бойынша айналу арқылы қилысушы түзулердің арасындағы бұрыштарды анықтау
14. Сызбаны түрлендіру тәсілін сипаттаңыз.
Көлбеу бұрышты проекциялау жайлы айтыңыз.
15. Қисық сызықтар туралы негізгі мағлұматтар мен сызбаларды жазыңыз. Қисық сызықтың ерекше нүктелерін сипаттаңыз.
Кординаттары бір айнымалының функциясы болатын кеңістіктегі нүктелер жиыны қисық сызық деп аталады. Сызба геометриясында қисықты қозғалып баражатқан нүктенің траеторисы ретінде, басқа қисықтың проекциясы ретінде, екі беттің қиылысу сызығы ретінде, басқа қисықтың прекциясы ретінде, екі беттің қиылысу сызығы ретінде, нүктелер жиыны ретінде, қарастыруға болады.
Сызықтың берілу жолдары әртүрлі:
Аналитикалық – математикалық теңдеумен берілген қисық;
Графикалық – графикалық ақпараттпен берілген қисық;
Кестелік – тізбектелген нүкте қатарлары координаталарымен берілген қисық.
Қисыққа тиісті нүкте координаттарын қанағаттандыратын айнымаллылар арсындағы қатынас қисық сызық теңдеуі деп аталады.
Жазық қисық сызық алгебралық деп аталады егер оның теңдеуі f (xy)=0 х және у айнымалыларына қарағанда f (xy) функциясы дәрежелік множитель болады, ал қалған жағдайда қисық трансцендентті деп аталады.
Декарттық координатта п дәрежелі теңдеумен берілген қисық сызық п ретті алгебралық қисық деп талады.
Кез-келген түзу сызық п ретті қисық сызықты п нүктеден көп емес қиюы мүмкін. 
Алгебралық қисық сызықтың бірнеше мысалын қарастырайық:
1. Парабола – екінші ретті қисық, түзу оны екі нүктеде қияды (7.2.сурет).

7.2. – Сурет. Парабола параболла теңдеуі келесі канондық түрге ие болады 
y2=2px,
2. Гипербола :- М жазықтығының нүктелер жиыны (7.3. сурет) F1M және F2M арқашықтығының айырмасы (абсолютті шамасы бойынша) екі анықталған нүктеге дейін F1 және F2 осы жазықтықта тұрақты (гиперболла фокусы) :F1M - F2M=2а<2с
гиперболла теңдеу келесі каонодық деп аталатын түрге ие болады.
х2/а2 - у2/в2=1, в2=с2 - а2,а және в гиперболла жарты өстерінің ұзындығы.
3. Эллипс :- М жазықтығының нүктелер жиыны (7.4. сурет), МF1 және МF2 арақашықтығының суммасы F1 және F2 екі анықталған нүктеге дейін тұрақтык (эллипс фокусы).
МF1+МF2=2а.
эллипс теңдеуі келесі түрде болады
х2/а2+у2/в2=1, 
.
.
Синусоида – функция графигі у=sin x, Т=2п периодымен үзліссіз қисық сызық.
Қисық сызық қозғалып бара жатқан нүктенің траекториясы сияқты үзіліссіз болуы қажет.
16. Айқас түзулер туралы негізгі мағлұматтарды бер. Бәсекелес нүктелеріне әдісіне сипаттама бер.
Айқас түзулер
Бір жазықтықта жатпайтын екі түзу айқас түзулер деп аталады.Егер түзулер қилыспаса және параллель болмаса, онда олардың аттас проекцияларының қилысу нүктесі бір байланыс сызығында жатпайды.
Түзулердің фронталь проекцияларының қиылысу нүктесіне (3.24. - сурет) а мен в түзулеріне тиісті А мен В нүктелері сәйкес келеді. Кеңістікте А мен В нүктелерінің фронталь проекциялары фронталь проекциялар жазықтығына перпендикулярдың бойында жатқандықтан, олардың фронталь проекциялары сәйкес келеді. Бағыттауышпен белгіленген осы перпендикулярдың горизонталь проекциясы екі нүктенің қайсысының бақылаушыға жақын орналасқандығын анықтауға мүмкіндік береді. Келтірілген мысалда в түзуінде жатқан В нүктесінің фронталь проекциясы А нүктесінің проекциясын жауып қалады. (С және Д нүктелерінде дәл осыған ұқсас).
Бәсекелес нүктелер әдісі арқылы осындай нүктелердің кеңістікте қалай орналасқанын анықтауға болады. Бұл жағдайда А мен В- нүктелері фронталь бәсекелес, ал С мен Д –нүктелері горизонталь бәсекелес.
. Егер нүктелердің екі бір аттас координаталары тең болса, онда олар бәсекелес деп аталады. Бәсекелес нүктелер бір проекциялаушы түзудің бойында орналасқан. 2.6 - суретте осындай нүктелердің үш жұбы берілген: Бәсеклес нүктелердің сәйкес проекциялары бір-біріне тең.
Оларды ажыратады: горизонтальды бәсекелес нүктелер А және D, АD горизонтальды проекциялаушы түзуінде орналасқан; фронтальды бәсекелес нүктелер A,C фронтальды проекциялаушы түзу AС- да орналасқан; профильді бәсекелес нүктелер A, B, профильді проекциялаушы түзу AB - да орналасқан.
Проекция жазықтықтарына проекциялау кезінде бір нүкте келесі өзімен бәсекелес нүктені жауып қалғанда, бірінші нүктенің проекциясы көрінбей қалады.

17. Екі жазықтықтың қиылысу түзуінің тұрғызу әдісін сипатта.
Екі жазықтықтың қиылысу сызығын тұрғызу керек, егер олардың біреуі проекциялаушы болса (5.25. - сурет).
Есеп. Берілген: АВС үшбұрышы мен жалпы жазықтық берілген, ал екінші жазықтығы горизонталь проекциялаушы. Жазықтықтың қиылысу сызығын тұрғызу қажет болсын.
Есепті шешу үшін осы жазықтықтарға түзу сызық жүргізуге болатын, ортақ екі нүктені табу қажет. АВС үшбұрышымен берілген жазықтықты АВ, АС, ВС түзулері ретінде қарастыруға болады.АВ түзуімен жазықтығының қиылысу нүктесі – D нүктесі, (AС) түзуінің қиылысу нүктесі -F. DF кесіндісі - жазықтықтың қиылысу сызығын анықтайды. горизонталь проекциялаушы жазықтық болғандықтан, D1F1 проекциялары П1 жазықтығының ізімен сәйкес келеді, сондықтан DF - тің П2 және П3 -те жетіспей тұрған проекцияларын тұрғызу қажет.
5.25. - Суре
18. Көпжақ беті мен жазықтық қиылысу кезінде түзу сызықты салыңыз.
Көпжақтардың қимасын тұрғызу үшін түзу мен жазықтықтардың қиылсу нүктесін табу есебін бірнеше рет шешуді талап етеді. Берілген жазықтық пен көпжақ қабырғаларының қиылысу нүктесі қиманың төбелері болады.
Осы нәтижені жазықтық пен дене жақтарының қиылысу түзуін тұрғызу арқылы да алуға болады.
Призма мен екі а мен b қиылысушы түзулері арқылы жалпы жағдайдағы жазықтық берілген (6.11. - сурет). Призма мен берілген жазықтықтың қимасын табу қажет. Қойылған есепті жазықтық пен призма қабырғаларының қиылысу нүктесін табу арқылы шығарамыз. Ол үшін гоизонталь проекциялары арқылы көмекші α, β және γ қиюшы жазықтықтарын жүргіземіз. Көмекші жазықтықтармен берілген жазықтық қиылысу сызықтарын тұрғызып, фронталь проекциялар жазықтығында олардың призманың сәйкес қабырғаларындағы К2, М2 және N2 қиылысу нүктелерін табамыз. Байланыс сызықтары арқылы осы нүктелердің горизонтальды проекцияларын табамыз. Алынған нүктелерді түзу сызықтармен қосамыз.


6.11. - Сурет. Призма мен жалпы жағдайдағы жазықтықтың қиылысуы
19. Көпжақтар қимасы, жеке жағдайлардағы жазықтықтардағы айналу беттері және сызықты беттер.
Көпжақтардың қимасын тұрғызу үшін түзу мен жазықтықтардың қиылсу нүктесін табу есебін бірнеше рет шешуді талап етеді. Берілген жазықтық пен көпжақ қабырғаларының қиылысу нүктесі қиманың төбелері болады.
Осы нәтижені жазықтық пен дене жақтарының қиылысу түзуін тұрғызу арқылы да алуға болады.
Призма мен екі а мен b қиылысушы түзулері арқылы жалпы жағдайдағы жазықтық берілген (6.11. - сурет). Призма мен берілген жазықтықтың қимасын табу қажет.


6.11. - Сурет. Призма мен жалпы жағдайдағы жазықтықтың қиылысуы
Қойылған есепті жазықтық пен призма қабырғаларының қиылысу нүктесін табу арқылы шығарамыз. Ол үшін гоизонталь проекциялары арқылы көмекші α, β және γ қиюшы жазықтықтарын жүргіземіз. Көмекші жазықтықтармен берілген жазықтық қиылысу сызықтарын тұрғызып, фронталь проекциялар жазықтығында олардың призманың сәйкес қабырғаларындағы К2, М2 және N2 қиылысу нүктелерін табамыз. Байланыс сызықтары арқылы осы нүктелердің горизонтальды проекцияларын табамыз. Алынған нүктелерді түзу сызықтармен қосамыз.
Айналу беті
Айналу беттері – m құраушысының i өсі бойымен айналуымен құралған беттер (8.4. сурет).
Анықтаушының геометриялық бөлімі екі сызықтан тұрады: m құраушысы және i өсі (8.4.а. сурет).
Алгоритмдік бөлімі екі операциядан тұрады:
1. m құраушысында A, B, C, …F нүктелерін көрсетеді
2. Әр нүктені i өсі бойымен айналдырады. Сфера – шеңбердің диаметрі төңірегінде айналуы бойынша құралады Тор – шеңбердің центрі арқылы өтпейтін өс төңірегінде шеңберді айналдыруда тордың беті қалыптасады (8.9. сурет).Айналу параболоиды – параболланың өз өсі төңірегінде айналуы арқылы құылады
Сызықты беттерБет параллелизм жазықтығымен кейбір α жазықтығына параллель (параллелизм жазықтығы) және берілген екі m, n бағыттауышын қиып өтетін l түзу сызығының жиынынан (құраушылар)тұрады
Цилиндроид. Екі бағыттауыш қисық сызығы бойынша түзу сызықты құраушы қозғалысы негізінде құылған бет цилиндроид деп аталады.
Коноид. Коноид деп біреуі қисық сызық, екіншісі түзу болатын, сонымен бірге құраушы барлық орналасу жағдайлары параллелизм жазықтығына параллель болатын екі бағыттауыш бойынша түзу сызықты құраушының қозғалысымен құрылған бетті айтамыз.
Гиперболлалық параболоид. Екі бағыттауыш сызық бойынша түзумен айқасатын, түзу сызықты құраушының қозғалысымен құралған бет гиперболлалық параболоид немесе қисық жазықтық деп аталадыцилиндроид, каноид,гиперболалык параболоид
20. Проекция жазықтықтарын алмастыруды сипаттап бер.
Проекцияланушы фигура мен проекциялар жазықтығының өзара орналасуын проекциялар жазықтығын ауыстыру әдісімен өзгерту үшін, П1 және П2 жазықтықтарын жаңа П4 жазықтығына ауыстыру арқылы аламыз (4.6. - сурет). Жаңа жазықтықтар ескі жазықтықтарға перпендикуляр болып таңдалады. Кейбір проекцияларды түрлендіру жазықтықтарды 2 рет ауыстыруды талап етеді.
(4.7. - сурет). Бір проекциялар жазықтығы жүйесінен басқаға ауысу үшін келесі ережені орындау керек: нүктенің жаңа проекцияларынан жаңа өске дейінгі арақашықтық ауысатырылатын проекциядан ауыстырылатын өске дейінгі арақашықтыққа тең болуы қажет.
1- есеп: Жалпы жағдайдағы АВ түзу кесіндінің шынайы өлшемін анықтау керек (4.6. - сурет). Параллель проекциялау қасиетінен белгілі болғандай, кесінді осы жазықтыққа параллель болса, онда жазықтыққа шынайы өлшеммен проекцияланады.
АВ кесіндісіне параллель және П1 жазықтығына перпендикуляр болатын П4, жаңа жазықтығын таңдаймыз. Жаңа жазықтықты енгізу арқылы П1П2 жазықтықтар жүйесінен П1П4 - жүйесіне өтеміз, жаңа жазықтықтар жүйесінде А4 В4 кесінді проекциясы АВ кесіндісінің шынайы өлшемі болады.
4.6. - Сурет. Проекциялар жазықтығын ауыстыру арқылы кесіндінің шынайы өлшемін анықтау
21.Қисық беттер жайлы мағлұматтар бер.Беттердің классификациясын сипатта.Түзу сызықты және түзу сызықты емес қисық беттер жайлы айтыңыз.  Беттер көрінісі
"Бет, негізгі геометриялық түсініктердің бірі. Геометрияның әртүрлі бөлімінде бұл түсінікті логикалық нақтылауда оған әртүрлі мағына беріледі.
1) Геометрияның мектеп курсында жазықтықтар, көпжақтар, сонымен қатар кейбір қисық беттер қарастырылады. Қисық беттердің әрқайсы арнайы жолмен анықталады, көбінесе кейбір шарттарды қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде. Мысалы , шар беті – берілген нүктеден берілген қашықтықта жатқан нүктелер жинын. Бет түсінігі анықталмайды тек түсіндіріледі. Мысалы, бет дене шекарасы немесе қозғалушы сызықтың ізі деп атайды.
2) Беттің математикалық анықтамсы топологияның түсініктеріне негізделегн. Қарапайым бет түсінігі ретінде үзіліссіз деформацияға ұшыраған жазықтық бөлігі ретінде қарастыруға болады (созылған, сығылғанжәне изгиб)."
БЕТТЕРДІ СЫЗБАДА ҚҰРУ ЖӘНЕ БЕРУ
Бетті l1,l2… l сызығының белгілі бір заң бойынша кеңістікте орналасқан тізбектелген орналасу жағдайының жиынтығы ретінде қарастыруға болады (8.1. - сурет). Бетті құру процесінде l сызығы өзгермеуі мүмкін немесе формасын өзгертуі мүмкін – иіледі немесе деформацияланады. Қозғалмалы сызықты құраушы, қозғалмайтын – бағыттаушы деп аталады. Беттің бұндай құралу жолы кинематикалық деп аталады. Сызықты беттер өз кезегінде жазылатын деп ажыратады жазылатын, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и жазылмайтын.
Бұл циклдік беттер болып табылады Айналу беттері;
Винттік беттер;
Беттер параллелизм жазықтығымен;
Ауысу беттері.Айналу беттері – m құраушысының i өсі бойымен айналуымен құралған беттер:
Қисықсызықты құраушысы айналуымен кеңірек таралған беттерді қарастырамыз: Сфера – шеңбердің диаметрі төңірегінде айналуы бойынша құралады (8.6. сурет).
Сфераны қсықанда немесе созған кезде ол элипсоидқа айналады, өстерінің бірінің төңірегінде айналуы арқылы алынуы мүмкін: егер үлкен өсі төңірегінде айналса онда эллипсоид созылған (8.8. сурет),
8.8. Сурет. Созылған эллипсоидтың құылуы егер кіші өс төңірегінде айналаса – қысылған немесе сфероид деп аталады (8.7. сурет).

8.8. Сурет. Тор 8.10. Сурет Айналу Параболоиды

а) біржолақты б) екіжолақты
8.11. Сурет. Айналу гиперболоиды
Тор – шеңбердің центрі арқылы өтпейтін өс төңірегінде шеңберді айналдыруда тордың беті қалыптасады (8.9. сурет).Айналу параболоиды – параболланың өз өсі төңірегінде айналуы арқылы құылады (8.10. сурет).Айналу гиперболоиды – біреуін (8.11а. сурет) және екеуін (8.11б. сурет) жолақты айналу гиперболоиды. Бріншісі мнимдік өс төңірегінде айналдыру арқылы, ал екіншісін өс төңірегінде гиперболланы айналдыру арқылы.
Сызықты беттерБет параллелизм жазықтығымен кейбір α жазықтығына параллель (параллелизм жазықтығы) және берілген екі m, n бағыттауышын қиып өтетін l түзу сызығының жиынынан (құраушылар)тұрадыЦилиндроид. Екі бағыттауыш қисық сызығы бойынша түзу сызықты құраушы қозғалысы негізінде құылған бет цилиндроид деп аталады.Коноид. Коноид деп біреуі қисық сызық, екіншісі түзу болатын, сонымен бірге құраушы барлық орналасу жағдайлары параллелизм жазықтығына параллель болатын екі бағыттауыш бойынша түзу сызықты құраушының қозғалысымен құрылған бетті айтамыз.
Гиперболлалық параболоид. Екі бағыттауыш сызық бойынша түзумен айқасатын, түзу сызықты құраушының қозғалысымен құралған бет гиперболлалық параболоид немесе қисық жазықтық деп аталады
22.Қисық сызықтарды проекциялауды сипатта
ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫҢ ОРТОГОНАЛЬДЫ ПРОЕКЦИЯЛАРЫНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
1. Қисық сызықтың проекциясы қисық сызық;
2. Қисық сызыққа жанама оның проекцияларына жанамаға проекцияланады;
3. Қисықтың меншікті емес нүктесі оның проекцияларының меншікті емес проекцияларына проекцияланады;
4. Сызықтың тәрібі – алгебралық қисықтың проекциясы осы қисықтың өзіне тең немесе кіші болады;
5. Узловой нүктелерінің саны (қисық өзін-өзі қиған жағдайда) қисықтың узловой нүктелерінің проекциялар санына тең.
Жазық қисық түзуге проекцияланған жағдайда (1,4,5 қасиеттері), ал жанама нүктеге (2- қасиет) қарастырылмайды.
КЕҢІСТІКТІК ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТАР
Сызба геометриясында кеңістіктік қисық сызықтары бетердің қиылысуының нәтижесі ретінде немесе нүкте қозғалысының траекториясы ретінде қарастырылады.
Кеңістіктік қисық сызығын жазық қисық сызық сияқты сызбада тізбектелген нүкте қатарларымен береді.
Кеңістіктік қисық сызықтарының классикалық мысалы болып цилиндрлік және конондық винттік сызықтар болып табылады.
ЦИЛИНДРЛІК ВИНТТІК СЫЗЫҚ
7.9. – Сурет. Цилиндрлік винттік сызық (оң )
Бұндай сызықты кеңістікте нүктелердің құрауышы бойынша өтетін жолы цилиндрдің бұрылу бұрышына пропорционал болатындай өзінің өсімен айналатын, түзу дөңгелек цилмндрді құраушы бойымен қозғалушы нүкте сипаттайды.(7.9. - сурет).
Құраушы бойымен смещениесі бір айналымда цилиндірлік винттік сызықтың қадамы деп аталады.
Винттік сызықтарды оң және сол деп ажыратады
КОНУСТЫҚ ВИНТТІК СЫЗЫҚ
Бұндай сызықты құрауышы бойынша нүктенің өткен жолы әр уақытта конустың бұрылу бұрышына тең болатындай өзінің өсімен айналатын, қандай да бір кругтік конусты құраушы түзудің бойымен қозғалушы нүкте сипаттайды (7.10. - сурет).
Құрауышы бойымен бір рет айналғаннан кейін нүктенің қосылуы конустық винттік сызықтың қадамы деп атайды. Конустық винттік сызықтың горизонталь проекциясы болып Архимед спиральі табылады – тамаша жазық қисық сызықтардың бірі.

23. Жазық қимаға сипаттама бер.Көпжақтар қимасы,жеке жағдайлардағы айналу беттері және сызықты емес қисық беттер.Көпжақтардың қимасын тұрғызу үшін түзу мен жазықтықтардың қиылсу нүктесін табу есебін бірнеше рет шешуді талап етеді. Берілген жазықтық пен көпжақ қабырғаларының қиылысу нүктесі қиманың төбелері болады.
Осы нәтижені жазықтық пен дене жақтарының қиылысу түзуін тұрғызу арқылы да алуға болады.
Призма мен екі а мен b қиылысушы түзулері арқылы жалпы жағдайдағы жазықтық берілген (6.11. - сурет). Призма мен берілген жазықтықтың қимасын табу қажет. Қойылған есепті жазықтық пен призма қабырғаларының қиылысу нүктесін табу арқылы шығарамыз. Ол үшін гоизонталь проекциялары арқылы көмекші α, β және γ қиюшы жазықтықтарын жүргіземіз. Көмекші жазықтықтармен берілген жазықтық қиылысу сызықтарын тұрғызып, фронталь проекциялар жазықтығында олардың призманың сәйкес қабырғаларындағы К2, М2 және N2 қиылысу нүктелерін табамыз. Байланыс сызықтары арқылы осы нүктелердің горизонтальды проекцияларын табамыз. Алынған нүктелерді түзу сызықтармен қосамыз.


6.11. - Сурет. Призма мен жалпы жағдайдағы жазықтықтың қиылы
Айналу беттері – m құраушысының i өсі бойымен айналуымен құралған беттер Анықтаушының геометриялық бөлімі екі сызықтан тұрады: m құраушысы және i өсі
Қисықсызықты құраушысы айналуымен кеңірек таралған беттерді қарастырамыз: Сфера – шеңбердің диаметрі төңірегінде айналуы бойынша құралады (8.6. сурет).
Сфераны қсықанда немесе созған кезде ол элипсоидқа айналады, өстерінің бірінің төңірегінде айналуы арқылы алынуы мүмкін: егер үлкен өсі төңірегінде айналса онда эллипсоид созылған (8.8. сурет),
8.8. Сурет. Созылған эллипсоидтың құылуы егер кіші өс төңірегінде айналаса – қысылған немесе сфероид деп аталады (8.7. сурет).

8.8. Сурет. Тор 8.10. Сурет Айналу Параболоиды

а) біржолақты б) екіжолақты
8.11. Сурет. Айналу гиперболоиды
Тор – шеңбердің центрі арқылы өтпейтін өс төңірегінде шеңберді айналдыруда тордың беті қалыптасады (8.9. сурет).
Айналу параболоиды – параболланың өз өсі төңірегінде айналуы арқылы құылады (8.10. сурет).
Айналу гиперболоиды – біреуін (8.11а. сурет) және екеуін (8.11б. сурет) жолақты айналу гиперболоиды. Бріншісі мнимдік өс төңірегінде айналдыру арқылы, ал екіншісін өс төңірегінде гиперболланы айналдыру арқылы.
24.Түзулердің, жазықтықтардың және қисық беттердің өзара орналасуы. Параллель түзулер .
Бір жазықтықта жататын және ортақ нүктелері жоқ екі түзу параллель түзулер деп аталады.
3.19. - Сурет. Параллель түзулер
Параллель түзулердің кез-келген жазықтықтағы проекциялары параллель болады.
2. Қиылысатын түзулер.
Бір жазықтықта жататын ортақ нүктелері бар екі түзу қилысушы түзулер деп аталады. Егер түзулер қиылысатын болса, онда олардың аттас проекцияларының қиылысу нүктелері бір байланыс сызығының бойында жатады. (3.21. - сурет).
3.21. - Сурет. Қиылысатын түзулер
3.23. - Сурет. Қиылысушы түзулер фронталь проекциялар жазықтығында орналасқан
Айқас түзулер
Бір жазықтықта жатпайтын екі түзу айқас түзулер деп аталады.
Егер түзулер қилыспаса және параллель болмаса, онда олардың аттас проекцияларының қилысу нүктесі бір байланыс сызығында жатпайды.
3.24. - Сурет. Айқас түзулер
Екі жазықтық кеңістікте бірі-біріне параллель болуы мүмкін немесе қиылысуы мүмкін. Өзара перпендикуляр жазықтықтар қиылысушы жазықтықтардың жеке жағдайы болып табылады.
1. Параллель жазықтықтар. Егер бір жазықтықтың қиылысушы екі түзуі, сәйкесінше басқа жазықтықтағы түзулерге параллель болса, онда жазықтықтар параллель. 2. Қиылысушы жазықтықтар, жеке жағдайы – өзара перпендикуляр жазықтықтар. Екі жазықтықтың қиылысу сызығы түзу болады, оны тұрғызу үшін екі жазықтықтың ортақ екі нүктесін, немесе бір нүктесін және жазықтықтар қиылысу сызығының бағытын тапса жеткілікті.
5.24. – Сурет. Параллель жазықтықтар
5.25. - Сурет. Жалпы жағдайдағы жазықтық пен горизонтальды проекциялаушы жазықтықтың қиылысуы
26. Қисық беттердің түзу сызықпен қиылысу нүктесін сызыңыз және қисық беттің түзу сызық және жазықтықпен қиылысу сызықтарын сызыңыз.Жалпы жағдайда сызық пен беттің қиылысу нүктесінің графикалық анықтау үшін (8.28.сурет) келесі алгоритммен келтірілген бірқатар геометриялық тұрғызулар орындау қажет:
1. l түзуін бір Δ көмекші бетіне орналастырамыз;
2. Берілген Ф бетімен көмекші Δ бетінің m қиылысу сызығын тұрғызамыз;
3. l және m сызығының К қиылысу нүктесін анықтаймыз (нүкте жалғыз болмауы мүмкін).
Көмекші бет ретінде мақсатты түрде проекциялаушы циклдік бетті қолданамыз, бағыттауышы берілген сызық, ал түзу сызықты құраушыпроекциялаушы түзулер болады.
8.28. Сурет.Сызық пен беттің қиылысуы Мысалы: Түзу сызықпен конустың айналу бетінің қиылысу нүктелерін түзудің көрінуін конусқа қарағанда анықтау.
Егер көмекші қиюшы жазықтық ретінде горизонталь проекциялаушы немесе фронталь проекциялаушы алатын болсақ, онда қиылысуында гипербола (8.29а.сурет) немесе эллипс (8.29б.сурет)болады. Қисық сызықтарды тұрғызу есепті едәуір қиындатады.
а) горизонталь проекциялаушы жазықтық
б) фронталь проекциялаушы жазықтық
8.29. Сурет. Түзу сызқпен конустың қиылысуы (көмекші қиюшы жазықтық – проекциялауш жазыкт
ЖАЗЫҚТЫҚПЕН БЕТТІҢ ҚИЫЛЫСУЫ 8.19. Сурет. Сферның фронтальды проекциялаушы жазықтықпен қиылысуы
8.21. Сурет. Айналу параболойдымен жалпы жағдайдағы жазықтықтың қиылысуы
1. Проекциялар жазықтығы ауыстыруды келсі түрде жүзеге асырамыз, α жазықтығы проекциялаушы болу үшін, яғи жалпы жағдайдағы жазықтықты жеке жағдайға ауыстырамыз.  h – горизонталь, f- фронталь, α жазықтығын проекциялаушы жазықтық жағдайына ауыстыру үшін жаңа проекциялар жазықтығын таңдауымыз қажет, болмаса h1 горизонтальінің горизонталь проекциясына перпендикуля, немесе f2 фротальінің фронталь проекциясына перпендикуляр (8.20.сурет).
27.Қисық беттің көпжақтардың бетімен қиылысуын сипатта
1 Мысал: Конуспен үшбұрышты призманың қиылысу сызығын тұрғызуды қарастырамыз (8.31.сурет) Конустың айналу өсі . П1 жазықтығына перпендикуляр, ал призма жақтары П2 жазықтығына перпендикуляр.
Бұл жағдайда Призманы оның жақтары арқылы өтетін α, β, γ үш жазықтық ретінде қарастыруға болады, ал есеп жазықтықпен конустық қиылысу сызықтарын табуға әкеледі.
Сонымен α жазықтығы конусты П1 ге параллель шеңбер бойынша қияды, β П3 –ке параллель гипербола бойынша, ал γ – эллипс бойынша.
Барлық жазықтықтың қиылысу сызығы П2 жазықтығына α, β, және γ жазықтығының ізімен сәйкес келетін түзуге проекцияланады.Бұл сызықтың П1 және П3 жазықтықтарында проекцияларын тұрғызу үшін қиылысу сызықтарының фронталь проекцияларында сипаттаушы гүктелерін белгілейміз:
12 және 62 – П2 жазықтығындағы конус очеркісінің проекциясымен γ жазықтығының қиылысу нүктелері, бұл нүктелер эллипстің үлкен өсінің орналасу жағдайын анықтайды, 12 нүктесінің проекциясы гипербола төбесі және біруақытта конусқа, призма қабырғасына тиісті ал 62- нүктесі біруақытта конусқа және призма қабырғаларына тиісті нүкте проекциясы 2, 3, 7 және 8 нүктелерінің профильді проекциялары конус проекцияларының очеркісінде жатыр; 42, 52- нүктелері 1262 кесіндісінің ортасында жатыр (эллипстің үлкен өсінде жатыр) және эллипстің кіші өсінің орналасу жағдайын анықтайды; 9,10 – нүктелері біруақытта конусқа және призмаға тиісті (α және β жазықтықтарының қиылысуымен құралған).4 және 5 нүктелерінің проекцияларын табуды қарастырайық. Бұл нүктелердің фронтальды проекциялары арқылы φ көмекші қиюшы жазықтығын жүргіземіз. Бұл жазықтық конусты p паралелі бойынша қияды, ал призма жағын қабырғаға параллель m түзу сызығы бойынша. p 1 және m 1. қиылысуының горизонталь проекциялар жазықтығында 41 және 51 нүктелерінің орналасу жағдайын анықтайды.

8.31. Сурет. Конуспен призманың қиылысуы
28. Тор және шардың проекцияларын салыңыз.Көмекші қиюшы шарлар әдісін сипатта.Тор – шеңбердің центрі арқылы өтпейтін өс төңірегінде шеңберді айналдыруда тордың беті қалыптасады.
КӨМЕКШІ ҚИЮШЫ СФЕРАЛАР ӘДІС
Екі айналу беттерінің сызығын анықтауда, олардың ерекше орналасу жағдайларында, үнемі көмекші қиюшы сфералар әдісін қолдана алмаймыз. Кейбір жағдайларда көмекші қиюшы сфералар әдісін қолданамыз – концентрикалық және эксцентрикалық. Концентрикалық сферилық делдалдар екі айналу беті мен қиюшы өстердің қиылысу сызығын анықтауда қолданады. 
Бұл беттердің әрқайсы концентрикалық сфераның қиылысу сызығы болатын шеңберлер жиынтығынан тұрады. Концентрикалық сфера әдісін қолдану сызбаны түрлендіру нәтижесінде екі беттің де өстері бір проекциялар жазықтығына параллель орналасуға алып келуі қажет.(8.33.сурет) немесе өстердің біреу проекциялаушы түзу, ал екіншісі деңгейлік түзу болады (8.34.сурет). 8.33. Сурет. Өстері фронталь проекциялар жазықтығына параллель айналу бетінің қиылысуы.
Екінші мысал ретінде концентрикалық сфераның көмекші делдал беттері ретінде суретте көрсетілген беттердің қиылысу сызығын анықтауды қарастырамыз.
G және Q айналу беттерінің өстері А нүктесінде қиылысады, Q бетінің өсі фронталь проекциялаушы түзу, G – бетінің өсі горизонталь. А нүктесі барлық көмекші концентрикалық сфералардың ценрті ретінде қабылданады.
1 және 2 нүктелері қиылысу сызықтары R сфера радиусының көмегімен тұрғызылған. Бұл сфера Q  бетін а шеңбері бойынша қияды, тек қана горизонталь проекцияда көрсетілген G бетін в шеңберімен қияды. а1 және в1 шеңберінің горизонталь проекцияларының қиылысуын қилысу сызығының нүктелерінің 11 және 21 проекциялары анықтайды. Олардың 12 және 22 фронтальды проекциялары байланыс сызығымен қиылысуында а2 тұрғызылған.
Эксцентрикалық сфералық делдалдарды айналу беттерімен өзімен бірге үзіліссіз шеңберлер жиынтығын алып жүретін беттің қиылысу сызығының нүктелерін анықтауда қолданылады. Екі бетте де симметриялық жалпы жазықтығы болуы қажет. Көмекші эксцентрикалық сфералар берілген бетпен шеңбер бойымен қиылысады. 8.35. Сурет. Конуспен сфераның қиылысуы
Конус пен Сфераның қиылысуын анықтауда эксцентрикалық сфераларды делдал беттер ретінде қолдану. Сфера центрі конус өсінде орналасқан нүктлер. Екі нүктеде қиылысатын, қиылысудың бастапқы сызығына тиісті сфера конус және сфераны шеңбер бойымен қияды (8.35а.сурет). 
Фронталь проекциялар жазықтығында беттердің очеркісі болатын, конус пен сфераны үшбұрыш бойынша қиятын, бас фронталь меридиан жазықтықтары көмекші қиюшы жазықтық көмегімен қиылысу сызығының төменгі және жоғарғы нүктелері табылды. 
Горизонталь проекциялар жазықтығында қиылысу сызығының көріну аймағының шекарасын анықтайтын нүктелер, көмекші қиюшы жазықтықтар көмегімен табылады.
Көмекші беттің делдалдары көмегімен анықталатын нүктелер конус пен шардың қиылысу сызығын анықтайды.
29. Қисық беттерді бұру
БЕТТЕРДІ СЫЗБАДА ҚҰРУ ЖӘНЕ БЕРУ
Бетті l1,l2… l сызығының белгілі бір заң бойынша кеңістікте орналасқан тізбектелген орналасу жағдайының жиынтығы ретінде қарастыруға болады (8.1. - сурет). Бетті құру процесінде l сызығы өзгермеуі мүмкін немесе формасын өзгертуі мүмкін – иіледі немесе деформацияланады. Қозғалмалы сызықты құраушы, қозғалмайтын – бағыттаушы деп аталады. Беттің бұндай құралу жолы кинематикалық деп аталады.
30. Беттің қимасының жазықтықпен проекциясын құрыңыз.
КонУСТЫҚ ҚИМАЛАР
Бұл жағдайда қиюшы жазықтық конус беттерін құраушыларының ешқайсысына параллель емес.
Жеке жағдайда (φ=900) бұндай жазықтық конус бетін шеңбер бойынша қияды (8.24.сурет); және қию нүктеде тындайтын болса, егер конус төбелерімен өтетін болса. Шеңбер Қиюшы жазықтықтардың орналасу жағдайларының тәуелділігіне байланысты конустық беттердің қилысу сызығы болуы мүмкін (8.22.сурет): эллипс, парабола, гипербола, ал жеке жағдайларда: шеңбер, түзу, екі қиылысушы түзу және нүкте.Егер Ф жазықтығы айналу конусы беттерін құрауышын қиса, яғни егер φ>α, онда эллипс қиылысу сызығы болады (8.23.сурет). Егер Ф жазықтығы конус бетінің екі құраушысына паралель болса (жеке жағдайда конус өсіне параллель), яғни φ<α, онда қилысу сызығы гипербола болады (8.26.сурет). Жазықтық конустық беттің төбелерімен өткен жағдайда қию фигурасы болып құрашылардың өзі табылады, яғни гиперболадан екі қиылысушы түзулер туындайды (8.27.сурет). Егер Ф жазықтығы конус бетінің құраушыларының біріне параллель болса, яғни φ=α, онда қиылысу сызығы парабола болады (

8.23. Сурет. Эллипс
31. Берілген өлшемдері бойынша аксонометриялық проекциялары арқылы дененің үш проекциясын тұрғызыңыз.
«Аксонометрия» сөзі грек тілінен аударғанда өстер бойынша өлшеу дегенді білдіреді. ксонометриялық өдіс затты координат жүйесімен бірге проекцияланадыдеген шартта параллель параллель және центрлік проекциялаумен сәйкес келуі мүмкін. Денені қандайда бір координат жүйесіне жатқызып және одан кейін сол координат жүйесімен бірге жазықтыққа параллель сәулелер түрінде проекциялау – параллельді аксонометриялық проекциялау әдісінің түп негізі болып табылады.
Өзгеру коэффициентінің қатынастарына байланысты аксонометриялық проекциялар мынадай бола алады:
Изометриялық, егер өзгеру коэффициенттері барлық үш өстер бойынша өзара тең болса, бұл жағдайда u=υ=ω.
Диметриялық, егер өзгеру коэффициенттері кез-келген екі өстері бойынша өзара тең болса, ал үшінші өсі бойынша алғашқы екеуінен өзгеше болса;
Триметриялық, егер барлық үш өзгеру коэффициенттері өстер бойынша әртүрлі болса.
Сонымен қатар, аксонометриялық проекциялар проекциялаушы жазықтықпен проекциялаушы сәуле арасында пайда болатын, φ бұрышымен де ерекшеленеді. Егер φ≠ 90o, онда аксонометриялық проекция сүйір бұрышты, ал егер φ= 90o болса – тік бұрышты болады. ГОСТ 2.317 – 69 – ға сай, тік бұрышты аксонометриялық проекциялардан тек қана тік бұрышты изометрия мен диметрияны қолдану ұсынылады. Проекциялау бағыты мен сурет жазықтығы арасында пайда болатын φ бұрышы мен өзгеру коэффициентінің арасында, мынадай тәуелділік бар:

31758064500
u2+υ2+ω2=2+ctq2φ,
егер φ=90o, онда u2+υ2+ω2=2,
Изометрияда u=υ=ω және, сәйкесінше, 3u2=2, бұдан u=2/3≈0,82. Осылайша, тік бұрышты изометрияда барлық үш өлшемі бойынша зат өлшемі 18 % - ке қысқарады.
ГОСТ изометриялық проекцияны ешқандай қысқартусыз координат өстері бойынша тұрғызуды ұсынады, ол түпнұсқасымен салыстырғанда кескінді 1,22 есе өсіреді (9.2 сурет).
Тік бұрышты диметриялық проекцияларды тұрғызғанда y' өсі бойынша ұзындықтардың қысқаруын (9.3 сурет) еке есе көп деп қабылдайды. Яғни, басқа екеуімен салыстырғанда u=ω, ал υ=0,5u. Сонда , 2u2+(0,5u)2=2 бұдан u2=8/9 және u≈0,94, ал υ=0,47.
Практикалық сызбаларда мұндай бөлшек коэффициенттерден бас тартып, 1/0,94=1,06 қатынаспен анықталатын, өсіру масштабын енгізеді, және сол кезде x' және z' өстері бойынша өзгеру коэффициенттері бірге тең болады да, ал y' өсі бойынша υ=0,5 екі есе аз болады.
-29185926481700
9.3. – сурет. Диметрияда өстердің орналасуы. қолданылуы алдын ала
Сүйір бұрышты аксонометриялық проекциялардың ішінен фронтальді және горизонтальді изометрия мен фронтальді диметрияның қолданылуы МСТ(ГОСТ) – пен алдын-ала қарастырылған (фронталь диметрияны, сонымен қатар, бөлмелік проекция деп те атайды).
32. МЕТРИКАЛЫҚ ТАПСЫРМАЛАР. ТІК БҰРЫШТЫҢ ПРОЕКЦИЯСЫНЫҢ ОРТОГОНАЛЬДАҒЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ САЛДАРЛАРЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАНЫ СИПАТТА.
.Метрикалық есептер – бұл топтағы есептерді шешуде келесі сұраққа жауап беру мүмкіндігі туады, берілген геометриялық объектінің ішкі метрикасына қатысты осы объектіге тиісті түзулермен беттердің арасындағы бұрыш мөлшерін анықтау және әртүрлі объектілерде жататын нүктелердің арақашықтығын және түзулермен беттердің объектіге тиісті нүктелер арасындағы қашықтықты анықтау.
Сызба геометриясында есептер графикалық түрде шешіледі. Геометриялық тұрғызулардың көлемі мен мінездемесіндегі есептің күрделілігімен ғана емес, сонымен қатар белгілі бір дәрежеде қандай проекциялармен істейтініне байланысты. Бұл жағдайда геометриялық объектілердің белгілі бір дәрежеде жеке жағдайын қолайлы деп тануға болады:
Проекциялар жазықтығына перпендикуляр жағдайы (позициялық есептерді шығаруда, ал кейбір жағдайларда метрикалық есептерді шығаруда қолданылады);
Проекциялар жазықтығына қарағанда параллель жағдайы (метрикалық есептерді шешуде).
Метрикалық есептерді шешуде егер берілген проекцияларға арнайы түрлендіруді қолданбасақ, фигуралардың эпюрде көрсетілген көріністерінің шынайы өлшемдерін анықтау барысында бірнеше қиындықтар кездесуі мүмкін,. А нүктесінен m түзуіне дейінгі арақашықтықты анықтауға мысал қарастырайық. Нүктеден түзуге дейінгі арқашықтық – нүктеден түзуге дейінгі тұрғызылған перпендикулярдың шынайы өлшемі. Осындай есептердің қарапайым шарты - түзу проекциялаушы болған жағдайдағы түрі болып табылады.
4.1. – Сурет. Нүктеден горизонталь проекциялаушы түзуге дейінгі арақашықтық
ортогональды проекцияларды түрлендірулердің әдістеріЕгер түзу проекция жазықтықтарының біріне параллель болса, онда ортогональды проекцияларды түрлендірмей-ақ, тек қана перпендикулярдың проекциясын тапқан жеткілікті. Егер f түзуі фронталь, яғни f \\ П2 онда А нүктесінің А2  фронталь проекциясынан m түзуінің m2 фронталь проекциясына перпендикуляр жүргізуге болады. АК-  кесіндісі жалпы жағдайдағы түзу болғандықтан, АК – кесіндісінің алынған проекциялары кесіндінің шынайы өлшемін бермейді.
4.2. - Сурет. Нүктеден фронталь түзуге дейінігі арақашықтық
Келтірілген сызбалардың қойылуы, есепті шешу қиындығы гоометриялық объектілердің проекциялар жазықтығына қарағанда оналасуынан тәуелді болатындығын көрсетеді.
Осыған байланысты қолайсыз ортогональды проекциялар арқылы қойылған есептің шешімін табу үшін қолайлы проекцияларды қандай жолмен алуға болады деген сұрақ туындайды.
Жалпы жағдайдағы геометриялық фигураны жеке жағдайға ауыстыру проекциялаушы фигура мен проекциялар жазықтықтарының өзара орналасуын өзгерту арқылы жүзеге асыруға болады.Ортогональды проекциялау 2 жолмен жүзеге асады:
1. Кеңістікте проекцияланушы фигураның орналасуы, проекциялар жазықтығына қарағанда жеке жағдайда болуы керек, сонымен қатар кеңістікте өз орналасу жағдайын өзгертпейді – жазық параллельді орналасу әдісі.
2. Проекциялар жазықтығын жаңа жағдайға ауыстыру, проекцияланушы фигура жеке жағдайда болады – проекциялар жазықтығын ауыстыру әдісі.
33. қИСЫҚ БЕТ ПЕН ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫҢ ҚИЫЛЫСУЫ ( ЦИЛИНДР) САЛЫҢЫЗ.
34. ҚИСЫҚ БЕТ ПЕН ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫҢ ҚИЫЛЫСУЫН (КОНУС) САЛЫҢЫЗ
35. ЕКІБЕТТІҢ ӨЗАРА ҚИЫЛЫСУ СЫЗЫҒЫН ҚҰРУ ТӘСІЛДЕРІН СИПАТТА.
Екі беттің қиылысу сызығы болып берілген беттерге ортақ нүктелер жиыны болып табылады. Бұл жиыннан осы сызықты тұрғызатын сипаттамалық нүктелерді бөліп алады (опорные, немесе басты). Олар басқа нүктелерді анықтау үшін көмекші қиюшы беттерді қай шекарада жағдайын өзгерту керек екендігін көрсетеді.Бұл нүктелерге жатады: экстремальды нүктелер – жоғарғы және төменгі нүктелері проекциялар жазықтығына қатысты, кейбір беттердің очеркелік құраушысыда, орналасқан нүктелер, көру аймағының шекарасында орналасқан нүктелер және т.б.Екі беттің қиылысу сызығы проекцияда екі қиылысушы беттердің проекцияларының контур шегінде орналасады.Жеке жағдайда қиылысатын беттерді (немесе олардың біреуін) елестету үшін кейде сызбаны түрлендіруді қолдану қажет. Бұл беттерді анықтау үшін көмекші қиюшы беттерді жиі қолданады. Делдал беттер берілген беттерді сызық бойынша қияды, өз кезегінде берілген беттердің қиылысу сызығының нүктелерінде қиылысады.Қиюшы делдал беттер таңдалынады олар берілген беттермен қиылысу кезінде түзуді тұрғызу үшін қарапайым болуы қажет, мысалы түзулер және шеңберлер.Беттердің қиылысу сызығын тұрғызу жалпы схемасынан екі негізгі әдісті ерекшелейді, қиюшы жазықтықтар әдісі және қиюшы сфералар әдісі.Екі беттің қиылысу сызығын тұрғызу есебініңғ жалпы жағдайында анықтама бойынша ертерек қарастырылған есептерге алып келуі мүмкін:
1. Сызық пен беттердің қиылысу нүктелері;
2. Жазықтықпен беттердің қиылысу сызықтары;
3. Бірінші және екінші есептің комбинациялары.
36. ҚОСЫМША ПРОЕКЦИЯ ЖАЗЫҚТЫҚТАРЫН СИПАТТА. МЕНШІКТІ ЕМЕС НҮКТЕЛЕРГЕ АНЫҚТАМА ЖӘНЕ СИПАТТАМА БЕР.
Проекциялар жазықтығына қарағанда жазықтықтар жалпы және жеке жағдайда болуы мүмкін.
1. Ешбір проекциялар жазықтықтарына перпендикуляр емес жазықтық жалпы жағдайдағы жазықтық деп аталады.  Осы жазықтық барлық проекциялар жазықтықтарын қиып өтеді (үш ізі болады: - горизонталь П1; фронталь П2; - профиль П3).
Жалпы жағдайдағы жазықтықтың іздері өсте x, y, z. Нүктелерінде жұп - жұбымен қиылысады. Бұл нүктелер тоғысушы нүктелер деп аталады, оларды үшжақты бұрыштардың төбелері деп қарастыруға болады. Жазықтықтың әрбір ізі өзінің аттас проекцияларымен сәйкес келеді, ал қалған екі әртүрлі атты проекциялары өсте жатады (5.5. - сурет).
2. Проекциялар жазықтығына перпендикуляр жазықтықтар кеңістікте жеке жағдайға ие болады және проекциялаушы деп атлады. Берілген жазықтық қай проекциялар жазықтығына перпендикуляр екендігіне байланысты ажыратып:
2.1. Горизонталь проекциялар жазықтығына перпендикуляр жазықтық , горизонталь проекциялаушы жазықтық деп аталады. Осы жазықтықтың горизонталь проекциясы түзу сызық болады, сонымен қатар бір уақытта оның горизонталь ізі болып табылады. Кез-келген фигураның барлық нүктелерінің осы жазықтықтағы горизонталь проекция горизонталь ізімен сәйкес келеді .
2.2. Фронталь проекциялар жазықтығына перпендикуляр жазықтық (П2) - фронталь проекциялаушы жазықтық деп аталады. жазықтығының фронталь проекциясы П2 ізімен сәйкес келетін түзу сызық болады (5.7. - сурет).
2.3. Профиль проекциялар жазықтығына перпендикуляр жазықтық (П3) – профиль проекциялаушы жазықтық деп аталады. Бұл жазықтықтың жеке жағдайы биссекторлы жазықтық болып табылады (5.8. - сурет).
3. Проекциялар жазықтығына параллель жазықтықтар кеңістікте жеке жағдайға ие болады және де деңгейлік жазықтықтар деп аталады. Біз зерттеп отырған жазықтық қай жазықтыққа параллель екендігіне байланысты ажыратылады:
3.1. Горизонталь жазықтық – горизонталь проекциялар жазықтығына параллель жазықтық (П1) -  (П2, П3). Осы жазықтықтағы кез-келген фигура П1 жазықтығына өзгеріссіз проекцияланады, ал П2 және П3 жазықтықтарында - П2 және П3 түзуі жазықтықтың іздері (5.9. - сурет).
3.2. Фронталь жазықтық – фронталь проекциялар жазықтығына параллель жазықтық (П2), (П1, П3). Осы жазықтықтағы кез-келген фигура П2 жазықтығына өзгеріссіз проекцияланады, ал П1 және П3 жазықтықтарында - П1 және П3 түзуі жазықтықтың іздері (5.10. - сурет).
3.3. Профиль жазықтық – профиль проекциялар жазықтығына параллель жазықтық (//П3), (П1, П2). Осы жазықтықтағы кез-келген фигура П3 жазықтығына өзгеріссіз проекцияланады, ал П1 және П2 жазықтықтарына П1 және П2 түзулері жазықтық іздеріне проекцияланады .
37. Қисық беттерге сипаттама бер. Беттердің классификациясын жазыңыз. "Бет, негізгі геометриялық түсініктердің бірі. Геометрияның әртүрлі бөлімінде бұл түсінікті логикалық нақтылауда оған әртүрлі мағына беріледі.
1) Геометрияның мектеп курсында жазықтықтар, көпжақтар, сонымен қатар кейбір қисық беттер қарастырылады. Қисық беттердің әрқайсы арнайы жолмен анықталады, көбінесе кейбір шарттарды қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде. Мысалы , шар беті – берілген нүктеден берілген қашықтықта жатқан нүктелер жинын. Бет түсінігі анықталмайды тек түсіндіріледі. Мысалы, бет дене шекарасы немесе қозғалушы сызықтың ізі деп атайды.
2) Беттің математикалық анықтамсы топологияның түсініктеріне негізделегн. Қарапайым бет түсінігі ретінде үзіліссіз деформацияға ұшыраған жазықтық бөлігі ретінде қарастыруға болады (созылған, сығылғанжәне изгиб)."
БЕТТЕРДІ СЫЗБАДА ҚҰРУ ЖӘНЕ БЕРУ
Бетті l1,l2… l сызығының белгілі бір заң бойынша кеңістікте орналасқан тізбектелген орналасу жағдайының жиынтығы ретінде қарастыруға болады (8.1. - сурет). Бетті құру процесінде l сызығы өзгермеуі мүмкін немесе формасын өзгертуі мүмкін – иіледі немесе деформацияланады. Қозғалмалы сызықты құраушы, қозғалмайтын – бағыттаушы деп аталады. Беттің бұндай құралу жолы кинематикалық деп аталады. Сызықты беттер өз кезегінде жазылатын деп ажыратады жазылатын, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и жазылмайтын.
Бұл циклдік беттер болып табылады
Айналу беттері – m құраушысының i өсі бойымен айналуымен құралған беттер:
Қисықсызықты құраушысы айналуымен кеңірек таралған беттерді қарастырамыз: Сфера – шеңбердің диаметрі төңірегінде айналуы бойынша құралады (8.6. сурет).Сфераны қсықанда немесе созған кезде ол элипсоидқа айналады, өстерінің бірінің төңірегінде айналуы арқылы алынуы мүмкін: егер үлкен өсі төңірегінде айналса онда эллипсоид созылған (8.8. сурет),
8.8. Сурет. Созылған эллипсоидтың құылуы егер кіші өс төңірегінде айналаса – қысылған немесе сфероид деп аталады (8.7. сурет).

8.8. Сурет. Тор 8.10. Сурет Айналу Параболоиды

а) біржолақты б) екіжолақты
8.11. Сурет. Айналу гиперболоиды
Тор – шеңбердің центрі арқылы өтпейтін өс төңірегінде шеңберді айналдыруда тордың беті қалыптасады (8.9. сурет).Айналу параболоиды – параболланың өз өсі төңірегінде айналуы арқылы құылады (8.10. сурет).Айналу гиперболоиды – біреуін (8.11а. сурет) және екеуін (8.11б. сурет) жолақты айналу гиперболоиды. Бріншісі мнимдік өс төңірегінде айналдыру арқылы, ал екіншісін өс төңірегінде гиперболланы айналдыру арқылы.
Сызықты беттерБет параллелизм жазықтығымен кейбір α жазықтығына параллель (параллелизм жазықтығы) және берілген екі m, n бағыттауышын қиып өтетін l түзу сызығының жиынынан (құраушылар)тұрадыЦилиндроид. Екі бағыттауыш қисық сызығы бойынша түзу сызықты құраушы қозғалысы негізінде құылған бет цилиндроид деп аталады.Коноид. Коноид деп біреуі қисық сызық, екіншісі түзу болатын, сонымен бірге құраушы барлық орналасу жағдайлары параллелизм жазықтығына параллель болатын екі бағыттауыш бойынша түзу сызықты құраушының қозғалысымен құрылған бетті айтамыз.Гиперболлалық параболоид. Екі бағыттауыш сызық бойынша түзумен айқасатын, түзу сызықты құраушының қозғалысымен құралған бет гиперболлалық параболоид немесе қисық жазықтық деп аталады
38. Көмекші қиюшы шарлар әдісіне сипаттама бер.
КӨМЕКШІ ҚИЮШЫ СФЕРАЛАР ӘДІС
Екі айналу беттерінің сызығын анықтауда, олардың ерекше орналасу жағдайларында, үнемі көмекші қиюшы сфералар әдісін қолдана алмаймыз. Кейбір жағдайларда көмекші қиюшы сфералар әдісін қолданамыз – концентрикалық және эксцентрикалық. Концентрикалық сферилық делдалдар екі айналу беті мен қиюшы өстердің қиылысу сызығын анықтауда қолданады. 
Бұл беттердің әрқайсы концентрикалық сфераның қиылысу сызығы болатын шеңберлер жиынтығынан тұрады. Концентрикалық сфера әдісін қолдану сызбаны түрлендіру нәтижесінде екі беттің де өстері бір проекциялар жазықтығына параллель орналасуға алып келуі қажет.(8.33.сурет) немесе өстердің біреу проекциялаушы түзу, ал екіншісі деңгейлік түзу болады (8.34.сурет). 8.33. Сурет. Өстері фронталь проекциялар жазықтығына параллель айналу бетінің қиылысуы.
Екінші мысал ретінде концентрикалық сфераның көмекші делдал беттері ретінде суретте көрсетілген беттердің қиылысу сызығын анықтауды қарастырамыз.
G және Q айналу беттерінің өстері А нүктесінде қиылысады, Q бетінің өсі фронталь проекциялаушы түзу, G – бетінің өсі горизонталь. А нүктесі барлық көмекші концентрикалық сфералардың ценрті ретінде қабылданады.
1 және 2 нүктелері қиылысу сызықтары R сфера радиусының көмегімен тұрғызылған. Бұл сфера Q  бетін а шеңбері бойынша қияды, тек қана горизонталь проекцияда көрсетілген G бетін в шеңберімен қияды. а1 және в1 шеңберінің горизонталь проекцияларының қиылысуын қилысу сызығының нүктелерінің 11 және 21 проекциялары анықтайды. Олардың 12 және 22 фронтальды проекциялары байланыс сызығымен қиылысуында а2 тұрғызылған.
8.35. Сурет. Конуспен сфераның қиылысуы
Эксцентрикалық сфералық делдалдарды айналу беттерімен өзімен бірге үзіліссіз шеңберлер жиынтығын алып жүретін беттің қиылысу сызығының нүктелерін анықтауда қолданылады. Екі бетте де симметриялық жалпы жазықтығы болуы қажет. Көмекші эксцентрикалық сфералар берілген бетпен шеңбер бойымен қиылысады
Конус пен Сфераның қиылысуын анықтауда эксцентрикалық сфераларды делдал беттер ретінде қолдану. Сфера центрі конус өсінде орналасқан нүктлер. Екі нүктеде қиылысатын, қиылысудың бастапқы сызығына тиісті сфера конус және сфераны шеңбер бойымен қияды (8.35а.сурет). 
Фронталь проекциялар жазықтығында беттердің очеркісі болатын, конус пен сфераны үшбұрыш бойынша қиятын, бас фронталь меридиан жазықтықтары көмекші қиюшы жазықтық көмегімен қиылысу сызығының төменгі және жоғарғы нүктелері табылды. 
Горизонталь проекциялар жазықтығында қиылысу сызығының көріну аймағының шекарасын анықтайтын нүктелер, көмекші қиюшы жазықтықтар көмегімен табылады. Көмекші беттің делдалдары көмегімен анықталатын нүктелер конус пен шардың қиылысу сызығын анықтайды.
39.Қисық беттерді бұруға сипаттама бер.
Винттік беттер кейбір құраушы сызықтардың винттік қозғалысымен құылады.
Винттік қозғалыс түсінігінде екі қозғалыстың жиынтығы кейбір өстерге параллель түсуші және осы өс төңірегінде айналушы.
Бұл жағдайда және бұрыштық араласу белгілі бір тәуелділікте болады.
∆h=k∆v, ∆h – ∆t уақыттағы сызықты араласу, ∆v – осы уақыттағы бұрыштық араласу,
k – пропорциональ коэфициенті. Егер k=Const, онда бет қадамы тұрақты.
Винттік беттің анықтауышының геометриялық бөлімі айналу бетінен ешқандай ерекшелігі жоқ және екі сызықтан тұрады: m құрауышынан және i өсінен (8.12. сурет).
Алгоритмдік бөлімі:
1. m құраушысында А, В, С, …нүкте қатарларын бөліктейді
2. Берілген нүктелер орналасқан қадам мен бағыттаушы арқылы винттік сызықтар тұрғызады.  
Рисунок 8.12. Винттік бет 40. Көмекші қиюшы жазықтықтар әдісіне сипаттама бер.
КӨМЕКШІ ҚИЮШЫ ЖАЗЫҚТЫҚТАР ӘДІСІ
Көмекші қиюшы жазықтықтар көбінесе жазықтық деңгейлерінің проекциялар жазықтығының біріне паралель және проекцияланушы болып таңдалады.
Егер берілген беттің қиылысуы бір жазықтықпен түзу сызық немесе шеңбер болса осы әдісті қолдануды ұсынады. Бұндай мүмкіндік үш жағдайда кездеседі:
1. Егер құраушылар (шеңбердің) деңгейлік жалпы жазықтығында орналасса;
2. Егер деңгейлік жалпы жазықтығында сызықты беттердің және циклдық шеңбердің тік сызықты құраушылары болса;
3. Берілген беттердің сызықты каркасы деңгейлік жазықтығында немесе жалпы жағдайдағы жазықтықтың шоғырында жатады.
1 Мысал: Конуспен үшбұрышты призманың қиылысу сызығын тұрғызуды қарастырамыз (8.31.сурет) Конустың айналу өсі . П1 жазықтығына перпендикуляр, ал призма жақтары П2 жазықтығына перпендикуляр.
Бұл жағдайда Призманы оның жақтары арқылы өтетін α, β, γ үш жазықтық ретінде қарастыруға болады, ал есеп жазықтықпен конустық қиылысу сызықтарын табуға әкеледі. Сонымен α жазықтығы конусты П1 ге параллель шеңбер бойынша қияды, β П3 –ке параллель гипербола бойынша, ал γ – эллипс бойынша Барлық жазықтықтың қиылысу сызығы П2 жазықтығына α, β, және γ жазықтығының ізімен сәйкес келетін түзуге проекцияланады.
Бұл сызықтың П1 және П3 жазықтықтарында проекцияларын тұрғызу үшін қиылысу сызықтарының фронталь проекцияларында сипаттаушы гүктелерін белгілейміз:
12 және 62 – П2 жазықтығындағы конус очеркісінің проекциясымен γ жазықтығының қиылысу нүктелері, бұл нүктелер эллипстің үлкен өсінің орналасу жағдайын анықтайды, 12 нүктесінің проекциясы гипербола төбесі және біруақытта конусқа, призма қабырғасына тиісті ал 62- нүктесі біруақытта конусқа және призма қабырғаларына тиісті нүкте проекциясы 2, 3, 7 және 8 нүктелерінің профильді проекциялары конус проекцияларының очеркісінде жатыр; 42, 52- нүктелері 1262 кесіндісінің ортасында жатыр (эллипстің үлкен өсінде жатыр) және эллипстің кіші өсінің орналасу жағдайын анықтайды; 9,10 – нүктелері біруақытта конусқа және призмаға тиісті (α және β жазықтықтарының қиылысуымен құралған).
4 және 5 нүктелерінің проекцияларын табуды қарастырайық. Бұл нүктелердің фронтальды проекциялары арқылы φ көмекші қиюшы жазықтығын жүргіземіз. Бұл жазықтық конусты p паралелі бойынша қияды, ал призма жағын қабырғаға параллель m түзу сызығы бойынша. p 1 және m 1. қиылысуының горизонталь проекциялар жазықтығында 41 және 51 нүктелерінің орналасу жағдайын анықтайды.
8.31. Сурет. Конуспен призманың қиылысуы

Приложенные файлы

  • docx 18059690
    Размер файла: 6 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий