4.1 Задачи I.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
§4.1 Задачи
I
.

№1
. Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость
v
, падает на горизонтальную
плиту с высоты
h
. При каждом ударе об плитку теряется часть скорости (отношение
вертикальной скорости после удара к ее отношению до удара постоянно и равна
α
).

Определить, на каком расстоянии
x

от места бросания отскоки шарика прекратятся.
Считать, что трение отсутствует, так что горизонтальная составляющая скорости шарика
v

не меняется.


Решение:

Найдем время, за которое шарик падает в первый раз
:


=
;




=
2
2

2

=
2
;



2
=
2

;



=

2


Скорость шарика перед ударом
:

0
=

2


Скорость шарика после
n
-
ого удара
:

=
0
=

2



Тело поднимется на высоту после
n
-
ого удара
:


=

2


Время подъема/спуска на эту высоту
:

=

2

=

2



Просуммируем все промежутки времени
:

=

2

+
2



=
1

2

=

2

(
1
+

)

=
1


Так как
|
|

1

то имеем геометрическую прогрессию
:


=

=
1
1


В итоге получаем
:

=

2

1
+
1


Пройденное расстояние равно
:

=

2

1
+
1



Ответ:
=

2

1
+
1


№2
. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные
координаты

определяются

уравнениями
:

=

=

г
де

A
,
B
,
ω



постоянные. По какой траектории движется точка? Вычислить ее
ускорение.


Решение
:

Исключая время из данных ура
внений
, находим

=
;



=

2
=
2
2
;



2
=
2
2

2
+
2
=
1
;





2
2
+
2
2
=
1

Получаем уравнение
эллипса,

следовательно,

точка движется по эллипсу.

Ее радиус
-
вектор

=
+


Следовательно,

ускорение будет равно
:

=
2
2
+
2
2


Продифференцируем данные нам в условии функции
:

=
;



=


=

;



=

2
=

2


=
;



=

2
=

2
;

Следовательно

=

2

+

=

2


Ускорение направлено к
центру эллипса и пропорционально
r
. В частном случае при
=

эллипс
выражается

в
круг, а
полученная формула в ходе задачи превращается в
обычную формулу для центрост
ремите
льного ускорения при равномерном

вращении по
кругу.


№3
.

У
становить связь между звездными и средними солнечными сутками. Звездный год,
то есть
промежуток времени, в течение которого Солнце совершает
свой видимый путь
по небесной сф
ере

относит
ельно звезд, составляет 325,2564 средних солнечных суток.
(
Звездный

год

следует отличать от тропического года, который составляет 365,2422
средних солнечных суток).


Решение
:

Пусть в положении 1 плоскость земного меридиана
AB

проходит через центр
Солнца
C

и
какую
-
либо

(бесконечно удаленную) звезду

D
. Когда земля в своем орбитальном
движении перейдет в положение 2, плоскость того же меридиана повернется
относительно направления на звезду
на угол
α
, а относительно направления на центр
Солнца


на
угол
β
.


Углы
α

и

β

могут превышать
2
π
, но они
связаны

отношением
+
=
, где
γ



угол
между направлениями на центр Солнца в положениях 1 и 2. Спустя звездный год, когда
Земля вернется в исходную
плоскость

1
CD
, угол
γ

примет значение 2
π
, а
потому в этом
положении
=
+
2
. За это время пройдет
зв
=
2

звездных и
сол
=
2

с
редних
солнечных суток. Поэтому
зв
=
сол
+
1
.

Если
зв


продолжительность звездных, а
сол


средних солнечных суток
, то очевидно, что
зв

зв
=
сол
сол
, так как оба эти
выражения представляют собой звездный год. Используя выражение
зв
=
сол
+
1

найдем
:

зв
=
сол
сол
+
1
сол

сол

зв
=
1
сол
+
1
сол

Подставив числовые данные, получим
:

сол
=
24

60

60
=
86400

с

сол
=
365
,
2564

сол

зв
=
235
,
9003

с

236

с

зв
=
86

164

с


№4
. Определить с какой скоростью будет двигаться тень Луны по земной поверхности
во время полного солнечного затмения.


Решение
:

Для п
ростоты примем, что за
тмение наблюдается на экваторе и что земная ось
перпендикулярна к плоскостям солнечной и лунной орбит. Скорость света будем считать
бесконечно большой по сравнени
ю со всем остальными скоростями, входящими в
эту
задачу. Пусть в рассматриваемый момент времени прямая Солнце


Луна
перпендикулярна к земной поверхности в точке наблюдения
A
. Поверхность З
емли в
той
же точке можно считать плоской. При решении
выберем

ту
си
стему

отсчета,

в которой
Земля покоится. Пусть
с

и

л



угловые скорость
вращения

Со
лнца и Луны вокруг
цента Земли,
с

и

л



расстояния их от того же центра,
r



радиус
Земли. За секунду
Солнце и Луна переместятся с востока на запад на расстояния
СС

=
с
с

и
Л
Л

=
л
л
.
Соединив эти положе
ния Солнца и Луны прямой линией, найдем, что за секунду граница
лунной тени переместится по земной поверхности с запада на восток на расстояние
=

.
Это расстояние и есть скорость

движения Луны.


Из рисунка видно
,

что
:

с
с
=
С

с


Т
ак
как расстояние до Луны
пренебрежимо

мало

по сравнению с расстоянием до Солнца,
то можно принять
С
=
с
.
Таким образом

=
с
.
Для нахождения
x

составим
проп
орцию
:

с
с
л
л
=
СС

ЛЛ

=
С
Л


Пологая в ней
С
=
с
,



ОЛ
=
л


,
получим уравнение для нахождения
x
.

=
с

л
с
л



Следовательно,

скорость движения

лунной тени с запада на восток будет

=
с
=

с

л

л

с


Здесь

с
=
2
сут
,
с

л
=
2
мес
, где
сут
=
86400

с



продолжительность
солнечных суток,
а
мес
=
29
,
6
сут



продолжительность месяца. Используя эти
соотношения,

подставляя
числовые данные
л
=
3
,
8

10
5

км
,
=
6400

км
,

получим

=
2
л
мес

2
сут

0
,
47

км
/
с

Ответ
:


0
,
47

км
/
с


Приложенные файлы

  • pdf 18049068
    Размер файла: 417 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий