Билеты ТАУ


Билет 1.Вопрос1: Понятие о замкнутых автоматических системах.
Существует чрезвычайно большое разнообразие автоматических систем, выполняющих те или иные функции по управлению самыми различными физическими процессами во всех областях техники.
Примерами автоматических систем могут служить:
б) автомат, выбрасывающий какие-либо предметы (билеты, шоколад) при опускании в него определенной комбинации монет;
г) автопилот, поддерживающий определенный курс и высоту полета самолета без помощи летчика;
е) система самонаведения снаряда на цель и пр.
Все эти и им подобные автоматические системы можно разделить на два больших класса:
1) автоматы, выполняющие определенного рода одноразовые или многоразовые операции; сюда относятся, например, автомат включения освещения, билетный автомат и т. п.;
2) автоматические системы, которые в течение длительного времени нужным
образом изменяют (или поддерживают неизменными) какие-либо физические
величины (координаты движущегося объекта, скорость движения, электрическое напряжение, частоту, температуру, давление, громкость звука и пр.) в том или ином управляемом процессе. Сюда относятся автоматические регуляторы. следящие системы, автопилоты, системы самонаведения и т.п.
Общая схема незамкнутой системы в двух вариантах представлена на рис.1,1 а и б. Это — простейшие схемы управления: полуавтоматические, когда источником воздействия является человек, и автоматические, если источником воздействия является изменение каких-либо внешних условий, в которых работает данная система (температура или давление окружающей среды, электрический ток, освещенность, изменение частоты и т. п.).
Характерным для незамкнутой системы является то, что процесс работы системы не зависит непосредственно от результата ее воздействия на управляемый объект, т. е. в ней отсутствует обратная связь.

Естественным дальнейшим усовершенствованием автоматическом системы является замыкание ее выхода со входом таким образом, чтобы контрольные приборы, измерив некоторые величины, характеризующие определенный процесс в управляемом объекте, сами служили бы одновременно и источником воздействия на систему, причем величина этого воздействия зависела бы оттого, насколько отличаются измеренные величины на управляемом объекте от требуемых значений.

Таким образом, возникает замкнутая автоматическая система. Характерной особенностью этой системы является наличие обратной связи, благодаря которой информация о состоянии управляемого объекта передается в управляющее устройство.
Очевидно, что в замкнутой автоматической системе имеется полная взаимозависимость работы всех звеньев друг от друга. Протекание всех процессов в замкнутой системе коренным образом отличается от процессов в незамкнутой системе. Замкнутая система совершенно по другому реагирует на внешние возмущающие воздействия.
Различные ценные свойства замкнутых автоматических систем делают их незаменимыми во многих случаях, когда требуется точность и быстродействие управления.
Вопрос 2: Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
Устойчивость замкнутой системы автоматического регулирования можно оценить при помощи совместного анализа характера логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик разомкнутой системы.
Построение л. а. х. производится по выражению
Lω=20lgAω=20lgW(jω)где Aω — модуль частотой передаточной функции разомкнутой системы.
Для построения л. а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие lg w, а около отметок пишется само значение частоты w в рад/с.
По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля А(w) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.
Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка w = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg 0=-∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х.


3. Найти функцию веса w(t) по известной переходной функции h(t). h(t) = 5 t
W=h’(t)=5t=5
Билет 2.
Вопрос1:Классификация автоматических систем по характеру внутренних динамических процессов.
Основными признаками деления автоматических систем на большие классы по характеру внутренних динамических процессов являются следующие:
1) непрерывность или дискретность (прерывистость) динамических процессов во времени,
2) линейность или нелинейность уравнений, описывающих динамику процессов регулирования.
По первому признаку автоматические системы делятся:
А) системы непрерывного действия,
Б) системы дискретного действия (импульсные и цифровые),
В) системы релейного действия.
По второму признаку каждый из указанных классов (кроме релейного) делится:
А) системы линейные,
Б) нелинейные.
Системы же релейного действия относятся целиком к категории нелинейных систем.
А) Системой непрерывного действия называется такая система, в каждом из звеньев которой непрерывному изменению входной величины во времени соответствует непрерывное изменение выходной величины. При этом закон изменения выходной величины во времени может быть произвольным, в зависимости от формы изменения входной величины и от вида уравнения динамики (или характеристики) звена.
Чтобы автоматическая система в целом была непрерывной, необходимо, прежде всего, чтобы статические характеристики всех звеньев системы были непрерывными.

Б) Системой дискретного действия называется такая система, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной величины выходная величина изменяется не непрерывно, а имеет вид отдельных импульсов, появляющихся через некоторые промежутки времени.

Импульсное звено - преобразует непрерывный входной сигнал в последовательность импульсов. Если последующее звено системы тоже дискретное, то для него не только выходная, но и входная величина будет дискретной (импульсной). К дискретным автоматическим системам относятся системы импульсного регулирования (т. е. системы с импульсным звеном), а также системы с цифровыми вычислительными устройствами.
В) Системой релейного действия называется такая система, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной величины выходная величина в некоторых точках процесса, зависящих от значения входной величины, изменяется скачком. Статическая характеристика релейного звена имеет точки разрыва.

А) Линейной системой называется такая система, динамика всех звеньев которой описывается линейными уравнениями (алгебраическими и дифференциальными или разностными). Для этого необходимо, прежде всего, чтобы статические характеристики всех звеньев системы были линейными, т. е. имели вид прямой линии (картинка 1, а и б).
Если динамика всех звеньев системы описывается обыкновенными линейными дифференциальными (и линейными алгебраическими) уравнениями с постоянными коэффициентами, то систему называют обыкновенной линейной системой.
Если в уравнении динамики какого-либо звена линейной системы имеется хотя бы один или несколько переменных во времени коэффициентов, то получается линейная система с переменными параметрами. Если какое-либо звено описывается линейным уравнением в частных производных (например, имеют место волновые процессы в трубопроводе или в электрической линии), то система будет линейной системой с распределенными параметрами.
Если динамика какого-либо звена системы описывается линейным уравнением с запаздывающим аргументом (т. е. звено обладает чисто временным запаздыванием или временной задержкой τ передачи сигнала (рис. 1.13)), то система называется линейной системой с запаздыванием.

Б) Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается линейность статической характеристики или же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики звена (произведение переменных или их производных, корень, квадрат или более высокая степень переменной, любая другая нелинейная связь переменных и их производных).
Следовательно, к нелинейным системам относятся, в частности, все системы, в звеньях которых имеются статические характеристики любого из многих видов (показанных на картинке 1, в – и). К ним же относятся и все системы релейного действия (картинка 3).
Нелинейными могут быть также и системы с переменными параметрами, с распределенными параметрами, с запаздыванием, импульсные и цифровые системы, если в них где-либо нарушается линейность уравнений динамики (в цифровых системах это связано, в частности, с квантованием сигнала по уровню).
Вопрос2: Критерий устойчивости Найквиста
Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой (а. ф. х.) или логарифмических частотных характеристик (л. ч. х.) разомкнутой системы.
Помимо исследования устойчивости можно оценить и запас устойчивости. Более того, появляется возможность указать, как и за счет каких средств неустойчивая замкнутая система может быть сделана устойчивой и как можно повысить качество устойчивой замкнутой системы.
На комплексной плоскости начало вектора (1+Wраз(jω)) находится в точке с координатами: (-1; j0), а конец на АФЧХ разомкнутой системы, т. к. Wраз(jω) есть амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.
Рис. 4.14. Годограф АФЧХ устойчивой САУ
Из этого следуют формулировки критерия Найквиста.
Если разомкнутая система автоматического управления устойчивая, k = 0, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до +∞ не охватывала точку с координатами [-1; j0] (рис. 4.14).
На рис. 4.15 изображены примеры амплитудно-фазовых частотных характеристик разомкнутых систем.

Назовем переход Wраз(jω) через вещественную ось слева от точки [-1; j0], т. е. через отрезок (–∞; –1), положительным, если он идет сверху вниз, и отрицательным, если он идет снизу вверх. Если Wраз(jω) начинается на отрезке (-∞; –1) при ω = 0, или заканчивается на нем при ω = +∞, то в этих случаях считают, что она совершила полперехода.

Если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой САУ через отрезок вещественной оси (-∞; -1) при изменении частоты от 0 до +∞ была равна (k/2), где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САУ.
3. Найти функцию веса w(t) по известной переходной функции h(t). h(t) = 10t
W=h’(t)=10t=10

Билет №3.
Вопрос1: Программы управления
Одной из задач системы автоматического управления является поддержание требуемого значения управляемой величины у или изменение ее по определенной программе, которая либо заранее задается, либо поступает извне во время эксплуатации системы в зависимости от некоторых условий.
Программы могут быть временными (задаваемыми во времени):

или параметрическими (задаваемыми в текущих координатах):

— какие-либо физические величины, характеризующие текущее состояние объекта в процессе управления.
Примером временной программы может служить программа изменения управляемой величины, обеспечивающая правильный режим начального разгона объекта при пуске его в ход до наступления режима нормальной эксплуатации, в котором объект затем будет работать длительное время.
Примером таких программ могут служить: программа управления во времени при термической обработке металлов, система стабилизации угловой скорости мощного двигателя
Примером параметрической программы может служить задание требуемого переменного значения высоты полета у при снижении летательного аппарата, но не во времени, а в зависимости от текущего значения пройденного пути 5, чтобы снизиться в определенную точку независимо от времени протекания этого процесса.
Наконец, типичным примером параметрических программ являются так называемые заколы наведения в системах телеуправления и самонаведения снарядов. Законом наведения называется особая программа управления, которая задается через текущие значения координат и скоростей управляемого объекта независимо от того, в какой момент времени они имеют место в процессе движения объекта.
Итак, в САУ прежде всего задается тем или иным способом программа управления. Стабилизация неизменного значения управляемой величины будет простейшим частным случаем программы yпр=const.
Программа yпр(t) будет осуществляться системой управления неизбежно с некоторыми ошибками, как показано на рис. 2.5. Ошибка системы (рассогласование)
x(t) = yпр(t) - y(t)
обусловлена как погрешностями реальной аппаратуры, так и самим принципом построения системы. При этом меняющаяся в процессе управления так называемая динамическая ошибка x(t) может перейти в некоторое постоянное отклонение управляемой величины в установившемся режиме при yпр = const, называемое статической ошибкой хст.
Понятие «динамическая ошибка» является очень широким. В него включаются все виды ошибок систем автоматического управления, которые имеют место в динамических процессах, т. е. при меняющихся внешних воздействиях (возмущающих или управляющих) и во всех случаях переходных процессов. Различные виды этих ошибок и способы их уменьшения будут предметом изучения во всех дальнейших главах книги.
Величины динамических и статических ошибок управления в очень сильной степени зависят от структуры управляющего устройства, определяющей так называемый алгоритм управления.
Вопрос2: Построение областей устойчивости. D-разбиение
Построение области устойчивости - определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой. Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров.
Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.
Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство an=0. Для границы устойчивости третьего типа — равенство a0=0.
Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: ∆n-1=0.
Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса: Djω=0, т. е. прохождение кривой Михайлова через начало координат.
Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых D-разбиения, соответствующая границе устойчивости.
В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, которая имеет характеристическое уравнение.

Характеристический комплекс

Уравнения, определяющие границу устойчивости,

Решая их совместно относительно параметров К и Т, получим

По полученным данным строим кривую D – разбиения. Кривая имеет гиперболический вид с асимптотами K=1TM при ω=0 и Tу=0 при ω→∞
При изменении частоты в пределах от 0 до ∞ определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от 0 до ∞) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой.
3. Найти переходную функцию h(t) по известной функции веса w(t). w(t) = 7t

Билет№4
Вопрос1: Нелинейные алгоритмы управления
Использование нелинейных алгоритмов управления, определяемых разнообразными нелинейными уравнениями управляющего устройства значительно расширяет возможности целесообразного изменения качества процессов управления, так как область нелинейных уравнений значительно богаче и разнообразнее, чем линейных.
Введем следующую классификацию нелинейных алгоритмов:
1) функциональные нелинейные алгоритмы;
2) логические нелинейные алгоритмы;
3) оптимизирующие нелинейные алгоритмы;
4) параметрические нелинейные алгоритмы.
Важным отличием нелинейных алгоритмов от линейных является то, что они придают системе принципиально новые свойства. Если при линейном алгоритме всегда вырабатывается сигнал, пропорциональный входной переменной или ее производной и т. д., то при нелинейном алгоритме может существенно изменяться сам характер действия системы управления на объект в зависимости от величины входного воздействия. Другими словами, если для линейных систем изменение размера отклонения — это изменение только масштаба, но не формы процессов, то в нелинейной системе при этом может существенно изменяться и форма процессов, вплоть до принципиальных качественных изменений картины процессов. Эти особые свойства нелинейных алгоритмов можно выгодно использовать в технике автоматического управления.
Рассмотрим отдельно каждый из указанных четырех классов нелинейных алгоритмов.
Функциональные нелинейные алгоритмы управления. Функциональными будем называть такие нелинейные алгоритмы, при которых управляющее воздействие на объект выражается в виде нелинейной функции от отклонения его величины, представляющей собой входную информацию для системы. Функциональные нелинейные алгоритмы могут быть связаны не только с изменением параметров в зависимости от размеров входных воздействий, но и с изменением структуры.
Логические нелинейные алгоритмы управления. Нелинейные законы управления могут иметь иные формы, которые реализуются с помощью не функциональных, а более или менее сложных логических устройств. Будем называть их логическими нелинейными алгоритмами,
Оптимизирующие нелинейные алгоритмы управления. Оптимальной называется автоматическая система, наилучшая в некотором смысле с учетом ограничений, накладываемых на величину управляющего воздействия, координаты, скорости и т. п. Это может быть, например, система, имеющая максимальное быстродействие, или минимальный расход энергии на управление, или максимальный коэффициент полезного действия,
Как правило, при этом приходят к нелинейным алгоритмам управления, хотя, вообще говоря можно оптимизировать и коэффициенты линейного алгоритма, задав его форму. Часто оптимальный нелинейный алгоритм состоит в переключении управляющего воздействия (при определенных состояниях системы) с одного максимально возможного значения на другие. Моменты переключения в целом определяются сложными комбинациями значений нескольких переменных и их производных.
Параметрические нелинейные алгоритмы управления. В предыдущих типах алгоритмов вводились отклонения управляемой величины от некоторых заданных ее программных значений. При параметрической программе управления алгоритм может выражаться в виде нелинейных функций текущих координат, в которых задается параметрическая программа.
  Нелинейные алгоритмы управления обладают богатыми возможностями во всех случаях, когда требуемый эффект, может быть достигнут изменением свойств системы с изменением величин ошибок.
Вопрос2: критерий устойчивости Гурвица.
Чтобы все корни характеристического уравнения, а значит линейная САУ была устойчивой, необходимо и достаточно чтобы все определители Гурвица были одного знака с а0.
Определитель Гурвица составляют по коэффициенту характеристического уравнения замкнутой системы на основании заданного дифференциального уравнения либо передаточной функции замкнутой САУ.
Правило образования определителя Гурвица:
1 верхняя строка - коэффициент с нечетными индексами от 1 до n, оставшиеся заполняем нулями.
2 вторая строка - коэффициент с четными индексами меньше на единицу, ниже а0 ставятся нули.
Рассмотрим правило построения определителя Гурвица на примере системы 7го порядка.
а0λ7+а1λ6+а2λ5+а3λ4+а4λ3+а5λ2+а6λ+а7=0Порядок системы 7, поэтому составим симметричную матрицу 7х7.
∆7=а1а3а5а7000а0а2а4а60000а1а3а5а7000а0а2а4а60000а1а3а5а7000а0а2а4а60000а1а3а5а7=а7∆6Для устойчивости систем до 4-го порядка включительно необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы и определитель Δn-1 были положительными.
Уравнение 1го порядка.
Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.
Уравнение 2го порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует


Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
3. Найти переходную функцию h(t) по известной функции веса w(t). w(t) =3

Билет 5
Вопрос1: Линеаризация дифференциальных уравнений систем автоматического управления.
Уравнение звена, записанное в неявном виде, принимает вид:

Для того, чтобы система в целом была линейной, необходимо, чтобы все ее звенья были линейными.
Поэтому важной процедурой является процедура линеаризации исходного нелинейного уравнения, описывающего динамическое звено.
Линеаризация уравнения звена (2.1) основана на том, что в процессе регулирования все величины мало отклоняются от своих программных значений, иначе система не выполнила бы своей функции и не была бы системой регулирования (или управления).
Если функция F дифференцируема по всем своим аргументам, то она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранной точки.
Обозначим отклонения реальных значений x1, x2 через Δx1, Δx2. Тогда:

где Δ – отклонения координат в процессе регулирования.
Из (2.1) запишем уравнение звена в установившемся состоянии:

Разложив левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора, при этом производные от координат рассматривают при разложении как незави- симые координаты, получим:

Вычитая из уравнения (2.5) уравнение (2.4) и отбросив все после- дующие члены разложения, кроме линейных, как малые высшего по- рядка, придем к линейному уравнению динамики звена (опустив при этом знак отклонения Δ):

Уравнение (2.6) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях.
Это дифференциальное уравнение, так же как и (2.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы.
Вопрос2: Критерии устойчивости. Общие сведения об устойчивости.
Система называется устойчивой, если:
1) после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние;
2) после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние.
Определим условия устойчивости.
Выходная и входная величины в системе связаны с помощью дифференциального уравнения. Решение этого дифференциального уравнения при заданном значении входной величины представляет собой закон изменения выходной величины во времени. Но это решение состоит из двух составляющих:
x(t)=xв(t)+xсв(t),
где xв(t)- вынужденная составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины. Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью;
xсв(t)- свободная составляющая, изменяющаяся во времени в течение переходного процесса.
Именно свободная составляющая и определяет переходной процесс в системе. Определяется она общим решением однородного дифференциального уравнения

в виде суммы составляющих

где Ai- постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями;
Pi- корни характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение составляется на основании исходного дифференциального уравнения:
anpn+an-1pn-1+...+a1p+a0=0
В общем случае корни являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:

где αi может быть положительной или отрицательной величиной.
При этом, если αi<0, эта составляющая будет затухать. Наоборот, при αi>0 получатся расходящиеся колебания.
Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой.
Изображая корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, как показано на рис.3.1, условие устойчивости можно сформулировать еще так: условием устойчивости САУ является расположение всех корней характеристического уравнения в левой комплексной полуплоскости.

Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости. При этом можно выделить три случая выхода САУ на границу устойчивости, которые характеризуются соответственно:
1) нулевым корнем p1=0;
2) парой чисто мнимых корней p1,2=±jw3) бесконечно удаленным корнем p1=∞
Бесконечность на комплексной плоскости рассматривается как бесконечно удаленная точка, противоположная нулевой. Поэтому она тоже является границей между правой и левой полуплоскостями.
Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Но ведь для определения устойчивости не нужно знать абсолютное значение корней, необходимо знать лишь, в какой полуплоскости они находятся. Поэтому важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.
К основным критериям устойчивости относятся алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.
3. Найти переходную функцию h(t) по известной функции веса w(t). w(t) = kTe-tT

Билет 6-7
Вопрос 1: Формы записи линеаризованных уравнений звеньев.
Начало см билет 5.1

Это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, записанное в развернутой форме, то же дифференциальное уравнение звена, записанное в операторной форме:


Вопрос 2: Многомерные системы уравления.
К многомерным относятся системы управления, имеющие несколько управляемых величин. Это имеет место во многих современных сложных системах. К ним относятся, например, системы стабилизации напряжения и частоты синхронных генераторов, системы управления подвижных объектов, многие системы управления технологическими процессами и др.
Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управления (рис. 5.14), который характеризуется существованием нескольких входов (точек приложения управляющих и возмущающих воздействий) и нескольких выходов, определяемых управляемыми величинами.

Многомерный объект описывается системой уравнений, которую удобно представлять в матричной форме.

На рис. 5.15 изображена условная структурная схема замкнутой многомерной системы. На схеме все указанные символы соответствуют матрицам: g(t) — задающих воздействий, y(t) — управляемых величин, x(t) — ошибок для каждой управляемой величины, u(t) — управляющих воздействий, f(t) — возмущений, W0(p) — передаточных функций для управлений, Wf(p)— передаточных функций для возмущений. Кроме того, введена прямоугольная матрица передаточных функций управляющего устройства Wy(p), которая определяет используемые алгоритмы управления. Она дает связь между изображениями управляющих воздействий и ошибок:

Матрица передаточных функций разомкнутой по всем каналам системы
Wp=W0(p)Wg(p)
3. Найти передаточную функцию системы по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия – нулевые.
2x2t+4x2t=2x1t+5x1(t)
БИЛЕТ №7
Вопрос 1. Формы записи линеаризованных уравнений звеньев.
В ТАУ приняты следующие формы записи линеаризованных дифференциальных уравнений звеньев.
1. Операторный (символический) способ записи.
- Операцию дифференцирования по времени обозначают .
- Выходную величину и ее производные оставляют слева.
- Коэффициент при приращении выходной величины делают равным единице (делением всех членов уравнения на ).
- Вводят постоянные времени , .
- Вводят коэффициенты передачи , .
- Опускают в уравнении символ .
Уравнение (3.7) в этом случае будет иметь вид
 (3.8)
В установившемся состоянии, когда  и из уравнения (3.8) получаем уравнение статики данного звена

и соответствующую линейную статическую характеристикузвена.
Коэффициент  показывает отношение выходной величины к входной в установившемся режиме, его размерность определяется отношением размерности  к размерности .
2. Форма записи с помощью передаточной функции.
Введем обозначения:
,
.
Многочлен  называют собственным оператором звена, многочлен  - входным оператором.
Название “собственный оператор” обусловлено тем, что многочлен  характеризует собственное движение звена, т.е. его движение при отсутствии внешних возмущающих и управляющих воздействий.
Уравнение звена теперь можно представить в форме
, . (3.9)
Вводится формальное определение передаточной функции звена, описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
. (3.10)
Символическая запись уравнения (3.8) будет иметь вид:
, здесь .
Не следует путать символ дифференцирования  с комплексной переменной  (или ), имеющей место в преобразовании Лапласа ().
В отличие от преобразования Лапласа, операторный способ, сокращая запись дифференциальных уравнений, не дает способа для их решения.
Более строго определение передаточной функции вводится на базе преобразования Лапласа:
, .
Пусть даны начальные условия
, , .
Тогда
, ,
.
Применив это преобразование к дифференциальному уравнению звена (3.8), получим
.
Из этого алгебраического выражения найдем изображение выходной величины 
,
где через  обозначен многочлен, включающий в себя все члены с величинами начальных условий.
Передаточной функцией звена  называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействий на звено, т.е.
, (3.11)
Сравнивая полученное выражение (3.11) с дифференциальным уравнением звена (3.8), видим, что формально передаточную функцию звена можно составлять как отношение операторных многочленов правой  и левой  частей уравнения звена, сделав замену оператора  на оператор .
Это следует из того, что дифференцированию оригинала – символическому умножению оригинала на , при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения переменной на комплексное число .
Сходство между передаточными функциями в операторной форме и в форме изображения Лапласа чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (и систем).
В общем случае, степень многочлена , как правило, ниже степени многочлена . Характеристическое уравнение звена имеет вид , так что корни характеристического уравнения звена являются полюсами его передаточной функции.
Понятием передаточной функции удобно пользоваться при анализе структурных схем САУ.
Вопрос 2. Многомерные системы управления.
Многомерные или многосвязные системы - это системы, имеющие несколько управляемых величин, а также несколько задающих и возмущающих воздействий.
Многомерными системами называют системы управления, в которых имеются несколько, больше одной, управляемых переменных величин.
Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управления (рис.4.6), который характеризуется существованием нескольких входов (точек приложения управляющих и возмущающих воздействий) и нескольких выходов, определяемых управляемыми величинами.

Рис.4.6. Многомерный объект управления
Многомерный объект описывается системой уравнений, которую удобно представлять в матричной форме. В этом случае координатами системы управления являются вектор задающего воздействия G(t), вектор управляемой величины Y(t), вектор управления U(t) и вектор возмущения F(t). При этом
G(t) = [ g1(t), g2(t), ... , gm(t) ]T;
Y(t) = [ y1(t), y2(t), ... , yr(t) ]T;
U(t) = [ u1(t), u2(t), ... , uk(t) ]T;
F(t) = [ f1(t), f2(t), ... , fl(t) ]T.
Функциональная схема многомерной системы имеет вид, приведенный на рис.4.7.

Рис. 4.7. Функциональная схема многомерной системы
Структурная схема изображена на рис.4.8.

Рис. 4.8. Структурная схема многомерной системы
Здесь WR(s), W0(s), Wf(s) - матрицы передаточных функций регулятора и объекта управления системы.
Матричное дифференциальное уравнение линейной многомерной системы, разрешенное относительно управляемой величины имеет вид:
D(p)Y(t) = R(p)G(t) - N(p)F(t), (4.9)
где
-
квадратная матрица коэффициентов системы (размерность rr, где r - число управляемых величин), характеризующая свободное поведение системы;
-
прямоугольная матрица коэффициентов системы (размерность rm, где m - число задающих воздействий), связывающая задающее воздействие с управляемой величиной;
-
прямоугольная матрица коэффициентов системы (размерность rl, где l - число возмущающих воздействий), связывающая возмущающее воздействие с управляемой величиной.
Подвергнув уравнение (4.9) преобразованию по Лапласу, получим матричное операторное уравнение, решение которого определяет изображение управляемой величины
Y(s) = Ф(s)G(s) - Фf(s)F(s), (4.10)
где
-
матрица передаточных функций замкнутой системы;
-
матрица передаточных функций замкнутой системы по возмущающему воздействию.
Здесь Фij(s) - передаточная функция замкнутой системы, связывающая i-ый выход с j-тым входом системы.
Аналогичным образом составляется матричное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно ошибки, и определяется изображение рассогласования.
Одномерная система характеризуется тем, что контролируется (измеряется, регулируется) лишь одна переменная величина объекта управления. Рассмотрим структуру типичной одномерной системы управления на примере управления скоростью вращения электродвигателя.
-97155186055
В системе, показанной на рис. 1 объектом управления (ОУ) является электродвигатель (Д). На двигатель воздействует преобразователь энергии (ПЭ), приводящий двигатель в движение и изменяющий скорость посредством величины напряжения (), подводимого к двигателю. На двигатель так же воздействует рабочая нагрузка, создающая на валу двигателя момент (), приводящий к изменению скорости () в отличие от заданной скорости (). В процессе работы двигателя, при изменении нагрузки будет меняться и скорость, что является недопустимым с точки зрения требований к качеству выпускаемой продукции, на пример, скорость подачи металлорежущего станка. В функции отклонения скорости от задания регулятор (Р) воздействует на преобразователь энергии таким образом, чтобы снизить отклонение скорости.
В этом случае, как система управления в целом, так и объект управления, представляются в виде математической модели, имеющей скалярные вход, выход и возмущающее воздействие.
Структура системы управления скоростью двигателя принимает вид, показанный на рис. 2.
left11801
Рис. 2
Как мы видим здесь в качестве контролируемых переменных двигателя не только скорость, но и угол поворота вала , что часто требуется при точном останове вала. Также контролируют нагрузку двигателя по потребляемому току , экономичность по коэффициенту полезного действия , нагрев двигателя по температуре двигателя . На систему действует возмущение, имеющее так же несколько компонент: момент нагрузки, температура окружающей среды , что важно для установок, работающих на открытом воздухе, и отклонение параметров питающего преобразователь энергии источника энергии, что важно для автономных установок. В этом случае управляющее воздействие на двигатель так же является векторной величиной . И таким образом обстоит дело не только в системах электропривода, но и в целом, при разработке систем автоматизации промышленных установок.

3. Найти передаточную функцию системы по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия – нулевые.
8x2t+5x2t=4x1t+2x1(t)
Билет № 8
Вопрос 1. Динамические звенья и их характеристики.
Для расчета различных систем автоматического управления они обычно разбиваются на динамические звенья.
Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструкции, но описываемое определенным дифференциальным уравнением.
(Другое определение: Динамическое звено – это часть САУ, соответствующая какому-либо элементарному алгоритму).
В соответствии с этим определением классификация звеньев производится по виду дифференциального уравнения (или передаточной функции).
У каждого динамического звена может быть лишь одна входная и выходная величина. Выходная величина всякого динамического звена не оказывает на него какого-либо влияния, т.е. динамические звенья имеют свойство однонаправленности.
Статическая характеристика любого линеаризованного звена может быть изображена прямой линией.
В соответствии со статической характеристикой различают типы динамических звеньев.
В звеньях позиционного, или статического, типа линейной зависимостью  связаны выходная и входная величины в установившемся режиме. Коэффициент называют коэффициентом передачи звена.
В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью  связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме. В этом случае для установившегося режима будет справедливо равенство , откуда и произошло название этого типа звеньев.
При одинаковой размерности входной и выходной величин коэффициент передачи  будет иметь размерность [сек -1].
В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью  связаны выходная величина и производная входной величины в установившемся режиме, откуда и произошло название этого типа звеньев. При одинаковой размерности входной и выходной величин коэффициент передачи  будет иметь размерность [сек].
В дальнейшем изложении для характеристики звеньев используем в основном передаточные функции типовых динамических звеньев, которые имеют в числителе и знаменателе полиномы от S не выше второго порядка.
Передаточную функцию типового динамического звена в общем случае можно представить как произведение сомножителей следующего вида:
 (3.12)
где  – постоянные, причем >0, показатель степени  может быть положительным и отрицательным целым числом,  > 0, , , , .
В соответствии с видом сомножителей (3.12) в таблице 3.1 приведены типовые динамические звенья.
Таблица 3.1
Типовые динамические звенья
(k — передаточный коэффициент; T, τ — постоянные времени; — коэффициент демпфирования: р = d/dt оператор дифференцирования; S – комплексная  HYPERLINK "http://vse-studentu.ru/keywords/velichina.php" величинапреобразования Лапласа)
Тип звена Дифференциальное уравнение Передаточная функция
W=W(S)
Идеальное усилительное (безынерционное) y=kuW=k
Позиционные звенья Апериодическое (инерционное) (Tp+1)y= ku
Апериодическое (инерционное)
второго порядка
Колебательное
Консервативное
Интегрирующие Интегрирующее
идеальное py=ku
Интегрирующее
инерционное
Изодромное
Изодромноевторого порядка
Дифференцирующие звенья Дифференцирующее
идеальное y=kpuW=ksДифференцирующее
инерционное
Форсирующее
идеальное
Форсирующее
идеальное второго порядка


Вопрос 2. Управляемость и наблюдаемость.
Понятие управляемости связано, при подаче непрерывного управляющего воздействия , с переводом систем из некоторого начального состоянияв конечное состояниеза конечное время.
Понятие наблюдаемости связано с оценкой состояния системы в момент времени по известным входными выходнымвоздействиям, приложенным к системе ().
Это первые вопросы, которые следует рассмотреть при проектировании систем, и при их положительных решениях можно приступать к дальнейшим исследованиям. В данном изложении вопросы наблюдаемости и управляемости рассматриваются после исследования систем регулирования.
Отход от общепринятых методик изложения материала объясняется тем, что условия управляемости и наблюдаемости в традиционных учебных курсах вводятся без доказательства, а в данном изложении понятие управляемости и наблюдаемости получено как следствие применения формулы Аккермана.
Управлять системой – это иметь возможность получить заданный переходной процесс, т.е. синтезировать систему на основе требуемого размещения полюсов. Поэтому можно утверждать, что система управляема, когда удается разместить полюсы в заданных точках, т.е. выполнить преобразование матриц по формулам Аккермана
.
Матрица определена тогда, когда матрицаимеет себе обратную, что достигается при выполнении одного из условий:
- определитель этой матрицы не равен нулю;
- ранг этой матрицы должен быть равенn(n- степень характеристического уравнения системы).
MatLabимеет команды, которые определяют ранг матрицы и раскрывают определитель.
Наблюдать систему – это иметь возможность синтезировать наблюдатель на основе размещения полюсов. Поэтому можно утверждать, что система наблюдаема, когда удается разместить полюсы в заданных точках, т.е. выполнить преобразования Аккермана
.
Матрица будет определена только тогда, когда матрица

имеет обратную, т.е. её ранг равен или её определитель не равен нулю.
Если матрица не существует, то объект не управляем, и полюсы замкнутой системы не могут быть размещены в заданных точках. Если матрицане существует, то объект не наблюдаем, и нельзя синтезировать наблюдатель, который оценивал бы все переменные состояния объекта.
Рассмотрим понятия управляемости с позиций классической теории автоматического управления на примере структурной схемы, изображенной на рис.11.5.
Заметим, что полюс датчика совпадает с нулем объекта. Характеристическое уравнение системы имеет вид:
left10643200(11.24.)
или
.(11.25.)
Чтобы представить характеристическое уравнение в виде полинома, умножим (11.25.) на знаменатель дроби:
,
или
. (11.26.)
Однако, если в (11.25.) сократить члены перед умножением выражения на знаменатель, то характеристическое уравнение примет вид второго сомножителя в (11.26.)
. (11.27.)
Следовательно, мы получили два разных характеристических уравнения, (11.26.) и (11.27.), для одной и той же системы.
Для выражения (11.26.) переходной процесс, определяемый общим решением однородного линейного уравнения, имеет составляющую , а в выражении (11.27.) эта составляющая отсутствует. Поэтому на эту составляющую нельзя воздействовать входным сигналом и с помощью регулятора не удается сдвинуть данный корень характеристического уравнения в заданную точку. Это свидетельствует о том, что данная система по этой координате неуправляема.
Предположим, имеется система, заданная уравнениями пространства состояния
.
Сначала произведем анализ управляемости:

и
.
Таким образом, получим
.
Поскольку третий столбец этой матрицы равен второму столбцу с точностью до знака, то определитель матрицы равен нулю и, следовательно, обратной матрицы не существует. Следовательно, система является неуправляемой.
Теперь исследуем наблюдаемость относительно выходной переменной датчика, которая определяется уравнением:
.
Тогда

и
.
Окончательно имеем
.
Определитель этой матрицы равен 25, следовательно, обратная матрица существует, а значит, система является наблюдаемой.
3. Найти передаточную функцию системы по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия – нулевые.
6x2t+x2t+2x2t=8x1t+2f(t)
БИЛЕТ № 9
Вопрос 1. см билет 8.1 Динамические звенья и их характеристики.
Вопрос 2. Уравнения состояния.
При решении некоторых задач ТАУ удобнее представлять дифференциальное уравнение объекта или дифференциальные уравнения системы в виде совокупности дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением n-го порядка. (5.1)

Введем в рассмотрение n независимых переменных х1, х2,…,хn, называемых переменными состояния и представим уравнение (5.1) в виде системы дифференциальных уравнений (5.2)

Эти уравнения, как и уравнение (5.1), полностью характеризуют состояние объекта в любой момент времени и называются уравнениями состояния. Связь между переменными состояния и управляемой величиной y(t) устанавливается алгебраическим уравнением (5.3)

Обычно уравнения (5.2) и (5.3) записываются в векторно-матричной форме (5.4):
11620504953000
где А — матрица размером п*п , b , m, с — матрицы-столбцы. Матрицу-столбец – x называют вектором состояния, хотя в общем случае x не является вектором, так как его компоненты x1, х2,..., хn, могут иметь неодинаковые размерности.
В выборе переменных состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они были независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений (5.4), т. е. вид входящих в них матриц.
При нормальной форме уравнений состояния в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина и п-1 ее производные:
8121653365500
Достоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, а некоторые из них (например, х1, х2 и х3) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.
Для получения уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта (5.1) представляется в виде (5.5)

Основной недостаток канонической формы состоит в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла, в результате чего возникает проблема их непосредственного измерения.
3. Найти передаточную функцию W(p) системы по известной функции веса w(t). W(t) = 12

БИЛЕТ № 10
Вопрос 1 Временные характеристики.
Динамические свойства звена определяются по его переходной функции и функции веса. Переходная функция h(t) описывает переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается x1(t)=1(t) что соответствует х1 = 0 при t < 0 и х1 = 1 при t ≥ 0.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис 4.5).

Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции: δt=1'(t). Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = О, где она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта-функции заключается в том, что она имеет единичную площадь.
Функция веса может быть получена дифференцированием по времени переходной функции.
ωt=dh(t)dtИмпульсная функция также представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. п. В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае если их продолжительность весьма мала по сравнению со временем переходного процесса звена или автоматической системы, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.
Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно: передаточная функция есть изображение функции веса и связана с ней интегральным преобразованием
Wp=0∞ω(t)e-ptdtВ свою очередь переходная функция звена связана с его передаточной функцией преобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное преобразование
Wp=p0∞h(t)e-ptdtВопрос 2. Использование структурных схем. Параллельное соединение звеньев.
Параллельное соединение звеньев. Такое соединение звеньев изображено на рис. 5.3.
Так как сигналы на выходе всех звеньев складываются, то результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций:

11049056515000
3. Найти передаточную функцию W(p) системы по известной функции веса w(t). wt=kTe-tT

БИЛЕТ № 11
112077595186500Вопрос 1. Частотная передаточная функция и частотные характеристики.
Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Для получения ее рассмотрим динамическое звено в случае когда возмущение f(t)=0, а на входе имеется гармоническое воздействие x1=X1Mcoswt, где X1M – амплитуда, а w – угловая частота этого воздействия.
На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол ψ. Таким образом, для выходной величины можно записать x2=X2Mcos(wt+ ψ).
180911563500000Частотная передаточная функция W(jw) представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент — сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной:
215646071374000В более общей формулировке для входного сигнала любого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений (частотных изображений) выходной и входной величин
236982047688500Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т. е. имеет место интегральное преобразование
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

Где A(w) — модуль частотной передаточной функции, ψ(w) — аргумент, U(w) и V(w) — вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (а. ф. х.) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции Wjw=Uw+jVw при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 4.7). По оси абсцисс откладывается вещественная часть Uw=Re Wjw и по оси ординат — мнимая часть Vw=Im Wjw. Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются затем плавной кривой.
Длина вектора, проведенного из начала координат в точку а. ф. х., соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, а. ф. х. дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия звена отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними.
Построение а. ф. х. по вещественной и мнимой частям частотной передаточной функции, как правило, является трудоемкой работой, так как умножение частотной передаточной функции на комплексную величину, сопряженную ее знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Обычно гораздо проще строить а. ф. х., используя полярные координаты, т. е. вычисляя непосредственно модуль и фазу. Зная модуль и фазу, можно легко построить соответствующую точку на комплексной плоскости. В случае необходимости при известных модуле и фазе легко вычислить вещественную и мнимую части умножением модуля на направляющий косинус между вектором и соответствующей осью.
Вместо а. ф. х. можно построить отдельно амплитудно-частотную характеристику (а. ч. х.) и фазочастотную характеристику (ф. ч. х.).
-18351513335000Амплитудно-частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин.
Фазочастотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.
353631580073500Как следует из сказанного выше, модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты, а фаза — нечетную функцию частоты.
Вопрос 2. Использование структурных схем. Последовательное соединение звеньев.
Последовательное соединение звеньев
Нетрудно показать, что результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев

41084594043500или
Следует подчеркнуть, что это справедливо только в том случае, если соединение выхода предыдущего звена со входом последующего не меняет исходных уравнений каждого звена и, следовательно, его передаточной функции. В подобной последовательной цепи звеньев сигнал проходит только в одном направлении.
Если при соединении двух звеньев наблюдается влияние одного звена на другое, в результате чего меняются исходные уравнения какого-либо звена, то такое соединение двух звеньев должно рассматриваться как новое самостоятельное звено со своей передаточной функцией.
3. Найти передаточную функцию W(p) системы по известной функции веса w(t)
wt=4t2
БИЛЕТ № 12
Вопрос 1. Логарифмические частотные характеристики.
Логарифмические частотные характеристики ( л. ч. х.) включают в себя построенные отдельно на одной плоскости логарифмическую амплитудную характеристику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую характеристику (л. ф. х.). Для построения л. а. х. находится величина
Lw=20lgW(jw)=20lgA(w)Эта величина выражается в децибелах.
Для построения л. а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие lg w, а около отметок пишется само значение частоты w в рад/с.
По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля А(w) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.
Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка w = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg 0=-∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х.
Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л. а. х. может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. а. х., представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дБ/дек.
605155698817500Вопрос 2. Передаточные функции систем автоматического управления.
Передаточные функции вводятся для сокращения записи дифференциальных уравнений и также представляют собой символическую запись дифференциальных уравнений. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена замкнутая система автоматического управления.
C0pyt=B0put+N0pft       (5.1)Cyput=Bypxt                           (5.2)Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от управляемого объекта (УО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического управления.
Управляющее воздействие, которое прикладывается к управляемому объекту, определяется выражением
u(t) = Wy(p)x(t)                                                                                   (5.7)
где х — рассогласование на выходе чувствительного элемента, Wy(p) — передаточная функция управляющего устройства, которая определяется из дифференциального уравнения управляющего устройства (5.2):
Wyp=U(p)X(p)=BypCyp (5.8)
Управляемая величина может быть найдена из выражения
yt=W0put+Wfpf(t) (5.9)
где W0(p) — передаточная функция объекта по управляющему воздействию, Wf(p) — передаточная функция объекта по возмущающему воздействию f(t).
390334547244000Первая из них определяется из дифференциального уравнения объекта (5.1) при f(t)=0.
W0p=Y(p)U(p)=B0pC0pа вторая — из того же уравнения при u(t) = 0:
Wfp=Y(p)F(p)=N0pC0pПодставляя (5.7) в (5.9), получаем
yt=Wpxt+Wfpf(t)Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы
Wp=W0pWyp=B0pBypC0pCyp=BpCpПередаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений управляемой величины и ошибки при нулевых начальных значениях и возмущающих воздействиях, равных нулю:
Wp=Y(p)X(p)где р = с + jw — комплексная величина/
3. По передаточной функции системы найти ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие (переходную функцию).
Wp=4p+52p+1+2(4p+1)Билет №13
Вопрос 1. Позиционные звенья. Апериодическое звено второго порядка.
Звено имеет неколебательный (апериодический) характер переходного процесса и описывается дифференциальным уравнением первого порядка вида
, (3.6)
где k – коэффициент передачи, характеризующий свойства в статическом режиме; Т – постоянная времени, характеризующая инерционность звена.
Решение уравнения (3.6) при нулевых начальных условиях (;) имеет вид
. (3.7)
При однократном ступенчатом воздействии хвх(t) = const получим динамическую характеристику звена в виде кривой разгона (разгонной характеристики). Простейший анализ уравнения (3.7) показывает что при t = 0 имеем , а при t ® ¥ выходная величина хвых(¥) = kхвх(¥) , изменяясь по экспоненте, устанавливается на новом значении (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Кривая разгона апериодического звена первого порядка

Из анализа уравнения (3.7) следуют свойства экспоненты, широко используемые на практике:
1) проекция на ось времени отрезка касательной, заключенного между точкой касания и линией установившегося значения параметра хвых(¥), есть величина постоянная для данной экспоненты и равная постоянной времени Т (рис. 3.3);
2) касательная, проведенная к кривой разгона в начальной точке t = 0 (при t0 = 0), отсекает на горизонтальной прямой хвых(¥) = const отрезок АВ, численно равный постоянной времени Т. Значение выходного параметра в конце отсчета постоянной времени (по линии проекции точки В на ось времени) равно хвых(t) = 0,632хвых(¥) – рис.3.3;
3) если отложить последовательно друг за другом три постоянных времени Т (t = 3Т), то значение выходного параметра при t = 3Т составит хвых(t) = 0,95хвых(¥), т.е. можно считать, что переходный процесс практически закончился (рис. 3.3).
Передаточная функция звена получается из записи уравнения в операторной форме:
;
. (3.8)
Частотные характеристики звена получаются из представления частотной передаточной функции звена в виде комплексного числа при замене в (3.8) р значением jw:
. (3.9)
Умножая числитель и знаменатель функции (3.9) на выражение, сопряженное со знаменателем, можно избавиться от величины j в знаменателе и представить амплитудно-фазовую характеристику в виде суммы действительной и мнимой частей:
. (3.10)
Амплитудно-частотная характеристика звена равна
. (3.11)
При изменении частоты w от 0 до ¥ амплитудно-частотная характеристика изменяется от k (при w = 0) до 0 (при w = ¥), что показано на рис 3.4.
Рис. 3.4. Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена первого порядка

Из рис 3.4 следует: гармонические сигналы малой частоты пропускаются звеном хорошо (отношение амплитуд выходных и входных колебаний близко к передаточному коэффициенту k). Сигналы большой частоты плохо пропускаются звеном: отношение амплитуд существенно меньше коэффициента передачи k.
Таким образом, апериодическое (инерционное) звено первого порядка по своим частотным свойствам является фильтром низких частот. Чем больше постоянная времени Т, тем больше инерционность звена и тем уже полоса пропускания.
Фазочастотная характеристика звена равна:
, (3.12)
т.е. происходит отставание по фазе выходной величины по отношению к входной.
Рис. 3.5 Фазочастотная характеристика апериодического звена первого порядка

При изменении частоты от 0 до ¥ (рис. 3.5) отставание по фазе происходит от j(0) = arctg0 = 0 до j(¥) = – arctg¥ = –p/2.
Примерами апериодических звеньев первого порядка могут быть: бак с водой, входной величиной которого является приток жидкости хвх = Q1, а выходной – уровень жидкости хвых = Н (рис. 3.6,а); емкость для сглаживания давления воздуха, входной величиной которой является приток воздуха хвх = Q1, а выходной – изменение давления Р2 в емкости хвых = Р2 (рис. 3.6,б); электрическая цепь, содержащая сопротивление R и конденсатор с электрической емкостью С, входной величиной которой является напряжение, приложенное к точкам 1 – 2, а выходной – напряжение, снимаемое с точек 3 – 4 (рис. 3.6,в).

а б в
Рис. 3.6. Примеры апериодических звеньев первого порядка Инерционными звеньями первого порядка являются конструктивные элементы, которые могут накапливать и передавать энергию или вещество. В гидравлических элементах накопителем вещества является объем бака, в пневматических – емкость (объем) резервуара; в электрических – накопителем электрического тока служит емкость конденсатора.
Вопрос 2. Передаточные функции систем автоматического управления.
Передаточной функцией звена по какому-либо внешнему воздействию называется отношение преобразования Лапласа выходной величины звена к преобразованию Лапласа рассматриваемого внешнего воздействия. При этом все другие внешние воздействия полагаются равными нулю, а преобразования Лапласа выходной величины и внешнего воздействия вычисляются при нулевых начальных значениях самих функций и их производных.
Из приведенного определения следует, что для любого звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий.

В частности, для звена, изображенного на рис. 2.1, можно ввести передаточную функцию по входной величине

и передаточную функцию по возмущению

Эта функция называется передаточной функцией звена в стандартной форме записи:

Передаточная функция линейного звена по какому-либо внешнему воздействию не зависит от закона изменения этого воздействия и определяется только свойствами самого звена.
Многочлен (2.89 – первая формула из 3х), фигурирующий в знаменателе передаточных функций звена, называется характеристическим полиномом этого звена, а уравнение

— характеристическим уравнением звена.

Корни многочлена, стоящего в знаменателе передаточной функции, называются полюсами этой передаточной функции; корни многочлена, стоящего в числителе передаточной функции - нулями этой передаточной функции.
В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточной функции отрицательны, т. е.

звено называется устойчивым. В устойчивых звеньях переходная составляющая выходной величины с течением времени затухает.
3. По передаточной функции системы найти ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие (переходную функцию).
Wp=k1+k2p+k3p
Билет №14
Вопрос 1. Позиционные звенья. Апериодическое звено второго порядка.
Уравнение апериодического звена 2го порядка:
. (3.13)
Уравнение в операторной форме
. (3.14)
Характеристическое уравнение звена
. (3.15)
Имеем два корня
 (3.16)
Общее решение дифференциального уравнения, определяющее свободное движение (решения однородного дифференциального уравнения), имеет вид
. (3.17)
Характер переходного процесса звена зависит от вида корней, которые могут быть действительными или комплексными числами.
Если Т1>2Т2, то корни характеристического уравнения будут действительными числами, которые можно представит в виде:
, , (3.18)
где Т3 и Т4 – некоторые условные постоянные времени, причем Т3 > Т4.
Тогда динамическая характеристика звена имеет монотонный апериодический характер и звено называется апериодическим звеном второго порядка. Из уравнения (3.14) получается передаточная функция звена, знаменатель которой можно разложить на два множителя и представить передаточную функцию в следующем виде
, (3.19)
где ; .
Из (3.19) следует, что инерционное звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических (инерционных) звеньев первого порядка с постоянными времени Т3 и Т4:
, (3.20)
где ; .
Решение уравнения (3.13) с использованием условных постоянных времени Т3 и Т4 при нулевых начальных условиях и однократном ступенчатом воздействии хвх(t) = const имеет вид
. (3.21)
Временная характеристика (кривая разгона) представлена на рис. 3.7.
Частотные характеристики звена удобно получить из представления последовательного соединения двух апериодических звеньев первого порядка. Частотная передаточная функция, получаемая при замене оператора р величиной jw, также представляется произведением частотных передаточных функций составляющих звеньев
 (3.22)
Рис. 3.7. Кривая разгона апериодического звена второго порядка

Используя выражение W(jw) через амплитудно-частотную А(w) и фазо-частотную j(w) характеристики, имеем
 (3.23)
Следовательно, амплитудно-частотные характеристики последовательно соединенных звеньев перемножаются, а фазочастотные – складываются:
, . (3.24)
Частотные характеристики апериодических звеньев первого порядка известны. Тогда амплитудно-частотная характеристика апериодического звена второго порядка будет
; (3.25)
а фазочастотная. (3.26)
Из уравнений (3.25) и (3.26) следует, что при изменении частоты w от 0 до ¥ А(w) изменяется от k (w = 0) до 0 (w = ¥), а фазовый сдвиг изменяется от 0 (w = 0) до –p (w = ¥).
Апериодическое звено второго порядка так же, как и звено первого порядка, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты.
Инерционными звеньями второго порядка являются обычно такие конструктивные элементы автоматических систем, которые содержат два накопителя вещества или энергии: последовательное соединение двух гидравлических емкостей (рис. 3.8,а) или последовательное соединение двух цепей RС (рис. 3.8,б).

а б
Рис. 3.8. Примеры апериодических звеньев второго порядка Вопрос 2. Уравнения состояния.
При решении некоторых задач ТАУ удобнее представлять дифференциальное уравнение объекта или дифференциальные уравнения системы в виде совокупности дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением n-го порядка. (5.1)

Введем в рассмотрение n независимых переменных х1, х2,…,хn, называемых переменными состояния и представим уравнение (5.1) в виде системы дифференциальных уравнений (5.2)

Эти уравнения, как и уравнение (5.1), полностью характеризуют состояние объекта в любой момент времени и называются уравнениями состояния. Связь между переменными состояния и управляемой величиной y(t) устанавливается алгебраическим уравнением (5.3)

Обычно уравнения (5.2) и (5.3) записываются в векторно-матричной форме (5.4):
116205049530
где А — матрица размером п*п , b , m, с — матрицы-столбцы. Матрицу-столбец – x называют вектором состояния, хотя в общем случае x не является вектором, так как его компоненты x1, х2,..., хn, могут иметь неодинаковые размерности.
В выборе переменных состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они были независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений (5.4), т. е. вид входящих в них матриц.
При нормальной форме уравнений состояния в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина и п-1 ее производные:
81216533655
Достоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, а некоторые из них (например, х1, х2 и х3) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.
Для получения уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта (5.1) представляется в виде (5.5)

Основной недостаток канонической формы состоит в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла, в результате чего возникает проблема их непосредственного измерения.
3. По передаточной функции системы найти ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие (переходную функцию).
Wp=2p+45p+1+(8p+1)
Билет №15.
Вопрос 1.Позиционные звенья. Колебательное звено.
Позиционными звеньями называются такие звенья, для которых в установившемся режиме характерна линейная зависимость между входной и выходной величинами.
Колебательное звено - звено любой физической природы, описываемое дифференциальным уравнением вида:

корни характеристического уравнения T22p2+T1p+1=0 должны быть комплексными, что будет выполняться при условии Т1 < 2T2.


Примером такого звена служит трехстепенной гироскоп, который используется для измерения угловых отклонений подвижных элементов.
Вопрос 2.Классификация автоматических систем по характеру внутренних динамических процессов.
Основными признаками деления автоматических систем на большие классы по характеру внутренних динамических процессов являются следующие:
1) непрерывность или дискретность (прерывистость) динамических процессов во времени,
2) линейность или нелинейность уравнений, описывающих динамику процессов регулирования.
По первому признаку автоматические системы делятся:
А) системы непрерывного действия,
Б) системы дискретного действия (импульсные и цифровые),
В) системы релейного действия.
По второму признаку каждый из указанных классов (кроме релейного) делится:
А) системы линейные,
Б) нелинейные.
Системы же релейного действия относятся целиком к категории нелинейных систем.
А) Системой непрерывного действия называется такая система, в каждом из звеньев которой непрерывному изменению входной величины во времени соответствует непрерывное изменение выходной величины. При этом закон изменения выходной величины во времени может быть произвольным, в зависимости от формы изменения входной величины и от вида уравнения динамики (или характеристики) звена.
Чтобы автоматическая система в целом была непрерывной, необходимо, прежде всего, чтобы статические характеристики всех звеньев системы были непрерывными.

Б) Системой дискретного действия называется такая система, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной величины выходная величина изменяется не непрерывно, а имеет вид отдельных импульсов, появляющихся через некоторые промежутки времени.

Импульсное звено - преобразует непрерывный входной сигнал в последовательность импульсов. Если последующее звено системы тоже дискретное, то для него не только выходная, но и входная величина будет дискретной (импульсной). К дискретным автоматическим системам относятся системы импульсного регулирования (т. е. системы с импульсным звеном), а также системы с цифровыми вычислительными устройствами.
В) Системой релейного действия называется такая система, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной величины выходная величина в некоторых точках процесса, зависящих от значения входной величины, изменяется скачком. Статическая характеристика релейного звена имеет точки разрыва.

А) Линейной системой называется такая система, динамика всех звеньев которой описывается линейными уравнениями (алгебраическими и дифференциальными или разностными). Для этого необходимо, прежде всего, чтобы статические характеристики всех звеньев системы были линейными, т. е. имели вид прямой линии (картинка 1, а и б).
Если динамика всех звеньев системы описывается обыкновенными линейными дифференциальными (и линейными алгебраическими) уравнениями с постоянными коэффициентами, то систему называют обыкновенной линейной системой.
Если в уравнении динамики какого-либо звена линейной системы имеется хотя бы один или несколько переменных во времени коэффициентов, то получается линейная система с переменными параметрами. Если какое-либо звено описывается линейным уравнением в частных производных (например, имеют место волновые процессы в трубопроводе или в электрической линии), то система будет линейной системой с распределенными параметрами.
Если динамика какого-либо звена системы описывается линейным уравнением с запаздывающим аргументом (т. е. звено обладает чисто временным запаздыванием или временной задержкой τ передачи сигнала (рис. 1.13)), то система называется линейной системой с запаздыванием.

Б) Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается линейность статической характеристики или же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики звена (произведение переменных или их производных, корень, квадрат или более высокая степень переменной, любая другая нелинейная связь переменных и их производных).
Следовательно, к нелинейным системам относятся, в частности, все системы, в звеньях которых имеются статические характеристики любого из многих видов (показанных на картинке 1, в – и). К ним же относятся и все системы релейного действия (картинка 3).
Нелинейными могут быть также и системы с переменными параметрами, с распределенными параметрами, с запаздыванием, импульсные и цифровые системы, если в них где-либо нарушается линейность уравнений динамики (в цифровых системах это связано, в частности, с квантованием сигнала по уровню).
Билет №16.
Вопрос 1. Позиционные звенья. Консервативное звено.
Определение позиционного звена в билете №15.
Консервативное звено (см. табл. 2.1, п. 5). Звено любой физической природы, работа которого описывается уравнением

называется консервативным звеном.


Любое колебательное звено можно считать консервативным, если в нем отсутствует элемент, поглощающий энергию колебаний (ε=0). Примером консервативного звена может быть колебательный контур LC при отсутствии в нем активного сопротивления.
Вопрос 2. Уравнения состояния.
При решении некоторых задач ТАУ удобнее представлять дифференциальное уравнение объекта или дифференциальные уравнения системы в виде совокупности дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением n-го порядка. (5.1)

Введем в рассмотрение n независимых переменных х1, х2,…,хn, называемых переменными состояния и представим уравнение (5.1) в виде системы дифференциальных уравнений (5.2)

Эти уравнения, как и уравнение (5.1), полностью характеризуют состояние объекта в любой момент времени и называются уравнениями состояния. Связь между переменными состояния и управляемой величиной y(t) устанавливается алгебраическим уравнением (5.3)

Обычно уравнения (5.2) и (5.3) записываются в векторно-матричной форме (5.4):
116205049530
где А — матрица размером п*п , b , m, с — матрицы-столбцы. Матрицу-столбец – x называют вектором состояния, хотя в общем случае x не является вектором, так как его компоненты x1, х2,..., хn, могут иметь неодинаковые размерности.
В выборе переменных состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они были независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений (5.4), т. е. вид входящих в них матриц.
При нормальной форме уравнений состояния в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина и п-1 ее производные:
81216533655
Достоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, а некоторые из них (например, х1, х2 и х3) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.
Для получения уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта (5.1) представляется в виде (5.5)

Основной недостаток канонической формы состоит в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла, в результате чего возникает проблема их непосредственного измерения.
3. Найти АЧХ АФХ по известной передаточной функции системы
Wp=85p+1
Билет №17.
Вопрос 1.Интегрирующие звенья. Идеальное интегрирующее звено.
Интегрирующими называются звенья, работа которых описывается дифференциальным уравнением вида:


В интегрирующих звеньях в установившемся режиме имеет место линейная зависимость между входной величиной и производной выходной величины или, другими словами, выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины. В системах автоматического регулирования такие звенья используются для повышения порядка астатизма (свойство системы автоматического управления приводить ошибку регулирования к нулю при постоянном внешнем воздействии на данную систему).
Любое устройство, описываемое дифференциальным уравнением вида

называется идеальным интегрирующим звеном. Типичным интегрирующим звеном является операционный усилитель.
Передаточная функция идеального интегрирующего звена имеет

а временные характеристики определяются соотношениями:

Частотная передаточная функция

Амплитудная, фазовая и логарифмическая частотные характеристики запишутся соответственно так:

Вопрос 2. Передаточные функции систем автоматического управления.
Передаточной функцией звена по какому-либо внешнему воздействию называется отношение преобразования Лапласа выходной величины звена к преобразованию Лапласа рассматриваемого внешнего воздействия. При этом все другие внешние воздействия полагаются равными нулю, а преобразования Лапласа выходной величины и внешнего воздействия вычисляются при нулевых начальных значениях самих функций и их производных.
Из приведенного определения следует, что для любого звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий.

В частности, для звена, изображенного на рис. 2.1, можно ввести передаточную функцию по входной величине

и передаточную функцию по возмущению

Эта функция называется передаточной функцией звена в стандартной форме записи:

Передаточная функция линейного звена по какому-либо внешнему воздействию не зависит от закона изменения этого воздействия и определяется только свойствами самого звена.
Многочлен (2.89 – первая формула из 3х), фигурирующий в знаменателе передаточных функций звена, называется характеристическим полиномом этого звена, а уравнение

— характеристическим уравнением звена.

Корни многочлена, стоящего в знаменателе передаточной функции, называются полюсами этой передаточной функции; корни многочлена, стоящего в числителе передаточной функции - нулями этой передаточной функции.
В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточной функции отрицательны, т. е.

звено называется устойчивым. В устойчивых звеньях переходная составляющая выходной величины с течением времени затухает.
Билет №18.
Вопрос 1.Дифференцирующие звенья.
Идеальное дифференцирующее звено.
Звено описывается уравнением:

Передаточная функция звена:

Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на картинке 1 Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описывается уравнением (формула 1), является тахогенератор постоянного тока (картинка 1, а), если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора, а в качестве выходной — э. д. с. якоря. В тахогенераторе постоянного тока при неизменном потоке возбуждения э. д. с. в якоре пропорциональна скорости вращения

Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (картинка 1, б).

Дифференцирующее звено с замедлением.
Звено описывается уравнением:

Передаточная функция звена:


Поскольку идеальное дифференцирующее звено физически нереализуемо, при этом сама операция дифференцирования часто встречается при описании процессов разной природы, то на практике часто используют "нетиповое" реальное дифференцирующее звено. Реальное дифференцирующее звено является соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего и инерционного, которые вместе приближённо описывающих операцию дифференцирования.
Примерами дифференцирующего звена являются дифференцирующая цепочка, дифференцирующий трансформатор, операционный усилитель в режиме дифференцирования.



Вопрос 2.Построение областей устойчивости. D – разбиение.
Построение области устойчивости - определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой. Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров.
Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.
Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство an=0. Для границы устойчивости третьего типа — равенство a0=0.
Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: ∆n-1=0.
Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса: Djω=0, т. е. прохождение кривой Михайлова через начало координат.
Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых D-разбиения, соответствующая границе устойчивости.
Билет №19
Вопрос 1. Частотная передаточная функция и частотные характеристики.
При подаче на вход системы синусоидального сигнала определенной амплитуды и фазы на выходе, как правило, в установившемся режиме получается также синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и фазой.
Частотной характеристикой называются установившиеся вынужденные колебания на выходе звена y(t), вызванные гармоническим воздействием на его входе x(t).

где xmax, ymax – амплитуда на входе и выходе, w – частота, j – фаза сигнала.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – это зависимость отношения амплитуды сигнала на выходе звена к амплитуде на входе A = ymax/xmax от частоты входного сигнала w (рис. 2.10, а).
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) – зависимость угла сдвига по фазе j сигнала на выходе звена от частоты входного сигнала w (рис. 2.10, б).
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) – это годограф, построенный на комплексной плоскости [+1; j] или в полярной системе координат (рис. 2.10, в), причем каждой точке годографа соответствует определённое значение частоты w. Длина векто- ра годографа Ai берётся из АЧХ, угол поворота φi из ФЧХ.
АЧХ и ФЧХ в совокупности или АФЧХ дает исчерпывающее представление о динамических свойствах объекта.

Логарифмические частотные характеристики – АЧХ и ФЧХ, представленные в логарифмическом масштабе (рис. 2.11).

ЛАХ – L = f(lgω), ЛФХ – φ = f(lgω).
Параметры L и lgω определяются следующим образом:
lgw = b, где b w = 10 ; (2.55)
L = 20 ×lg A. (2.56)
Ордината ЛАХ L измеряется в децибелах [дБ].
Децибел – логарифмическая единица уровней, затуханий и усилений.
1 Б = 10 дБ – это увеличение мощности сигнала в 10 раз.
2 Б = 20 дБ – это увеличение мощности сигнала в 100 раз;
3 Б = 30 дБ – это увеличение мощности сигнала в 1000 раз и т.д.
Абсцисса ЛАХ и ЛФХ lgω измеряется в декадах [дек].
Декада – логарифмическая единица частот, соответствующая изменению частоты ω в 10 раз.
Для упрощения анализа логарифмических характеристик применяют асимптотическое упрощение графического представления ЛАХ.
Асимптотическая ЛАХ – это идеализированная ЛАХ, состоящая из асимптот (отрезки горизонтальных и наклонных прямых).
Асимптотическая ЛАХ характеризуется следующими параметрами:
L = 20lgK и lgω = 0 (ω = 1) – начальная точка построения, где K – общий коэффициент передачи системы;
ω0 – частота сопряжения, на которой наблюдается изменение наклона асимптотической ЛАХ;
ωср – частота среза – переход L в отрицательную область;
наклон ЛАХ измеряется в децибелах на декаду [дБ/дек].
Передаточная функция
Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью АСР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.
Передаточной функцией называется отношение изображения выходного сигнала Y(p) к изображению входного воздействия X(p) при нулевых начальных условиях:

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя n. Из (2.57) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как
Y(p) = W(p)∙X(p). (2.59)
Для линейных систем с входным X и возмущающим воздействием F (рис. 2.1) можно применить принцип наложения (суперпозиции) и выделить следующие два случая:
сигнал F(p) = 0, тогда A( p)×Y( p) = B( p)× X ( p);
сигнал X(p) = 0, тогда A( p)×Y( p) = Q( p)× F( p).
Тогда, для такой АСР, имеющей входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции

Уравнение (2.60) представляет передаточную функцию по управлению, а выражение (2.61) представляет передаточную функцию по возмущению. Общая передаточная функция такой системы является суммой (2.60) и (2.61).
Вопрос 2. Частотный критерий устойчивости Найквиста
Критерий Г. Найквиста позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы оценить устойчивость замкнутой системы с отрицательной обратной связью. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически.
АФЧХ можно построить на комплексной плоскости [+1; j] или в полярной системе координат, если откладывать угол фазы φ(w) и в этом направлении откладывать вектор длиной А(w). Соединив концы векторов получим амплитудно-фазовую характеристику.
Амплитуда передаточной функции разомкнутой системы АРАЗ(w) равна произведению амплитуд отдельных звеньев, а фаза φРАЗ(w) – сумме фаз звеньев:

Найти амплитуду А(w) и фазу φ(w) можно по вещественной U(ω) и мнимой V(ω) составляющим частотной передаточной функции W(jω) звена.
Например, для апериодического звена в передаточную функцию вместо оператора p подставляется выражение jω. Затем, чтобы выделить вещественную U(ω) и мнимую V(ω) части, нужно освободиться от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель функции на сопряженный комплекс:

Вещественную UРАЗ(ω) и мнимую VРАЗ(ω) составляющую час- тотной передаточной функции разомкнутой системы WРАЗ(jω) можно определить по амплитуде АРАЗ(w) и фазе φРАЗ(w):

Определить сигнал x2(t) на выходе системы по известному входному сигналу и передаточной функции системы
x1t=5sint. Wp=4p INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841637/v841637694/59396/7d3uQRnSMKY.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841637/v841637694/59396/7d3uQRnSMKY.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841637/v841637694/59396/7d3uQRnSMKY.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841637/v841637694/59396/7d3uQRnSMKY.jpg" \* MERGEFORMATINET
Билет №20
Вопрос 2. Интегрирующие звенья. Изодромное звено.
Интегрирующим звеном называется типовое звено, которое описывается уравнением
INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image163.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image163.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image163.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image163.gif" \* MERGEFORMATINET  (5.27)
или x(1) = kg , (5.28)
где  INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image165.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image165.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image165.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image165.gif" \* MERGEFORMATINET  - «постоянная времени» звена, имеющая размерность времени лишь при одинаковых размерностях величин x и g ;
INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image167.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image167.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image167.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image167.gif" \* MERGEFORMATINET  - передаточный коэффициент звена, характеризующий отношение скорости изменения выходной величины x(1) к входной величине g .
Иногда уравнение интегрирующего звена записывают в виде
INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image169.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image169.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image169.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image169.gif" \* MERGEFORMATINET  , (5.29)
т.е. выходная величина является интегралом от входной величины.
Передаточная функция интегрирующего звена имеет вид
INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image171.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image171.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image171.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image171.gif" \* MERGEFORMATINET  (5.30)
или
INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image173.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image173.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image173.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image173.gif" \* MERGEFORMATINET  . (5.31)
 
Полагая в выражениях (5.30) и (5.31) p=jw, получим выражение для частотной передаточной функции звена
 
INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image175.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image175.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image175.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image175.gif" \* MERGEFORMATINET  . (5.32)
 
Совершенно очевидно, что вещественная частотная характеристика U(w)=0, а мнимая частотная характеристика  INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image177.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image177.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image177.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image177.gif" \* MERGEFORMATINET  .
Пользуясь выражением (5.32) и изменяя частоту w от 0 до ¥, построим амплитудно-фазовую характеристику (АФХ). Очевидно, конец вектора W(jw) движется по отрицательной части мнимой оси от -¥ до 0 (рис.5.10,а).
 
  INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image178.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image178.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image178.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image178.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.5.10. Частотные характеристики интегрирующего звена:
а - амплитудно-фазовая; б - амплитудная, в - фазовая
 
Амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются соответственно выражениями:
INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image180.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image180.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image180.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image180.gif" \* MERGEFORMATINET  (5.33)
и
q(w) = arctg (-¥) = -90° . (5.34)
Из выражения (5.33) следует, что при w®0 A(w)®¥, при  INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image182.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image182.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image182.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://helpiks.org/helpiksorg/baza8/2186888901593.files/image182.gif" \* MERGEFORMATINET  A(w)=1, а при w®¥ A(w)®0, т.е. амплитуда выходного сигнала x(t) интегрирующего звена при неизменной по величине амплитуде входного сигнала g(t) будет тем меньше, чем больше частота входного сигнала. Из выражения (5.34) следует, что фаза выходного сигнала звена на всех частотах отстает на 90° от фазы входного сигнала. Интегрирующее звено, таким образом, создает отставание (запаздывание) по фазе выходного сигнала относительно входного сигнала независимо от частоты. Графики амплитудной и фазовой частотных характеристик приведены на рис.5.10,б,в.
Как следует из рис.5.10,б и выражения (5.33), характеристика A(w) является разносторонней гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.
Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена определяются выражениями:
L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg k – 20 lg w (5.35)
и
j(w) = arctg (-¥) = -90° . (5.36)
ИзодромнаяОсобенно широкое распространение получила реальная ГОС(гибкая обратная связь) вокруг интегрирующего звена, которая называется изодромной ОС, в данном случае передаточная функция охваченного звена WЗАМ(p) имеет вид

В начале переходного процесса, когда скорость изменения переменных велика, TОС·p >> 1. Поэтому в первой половине переходного процесса инерционная гибкая обратная связь ведет себя как ЖОС, превращая охваченное ею интегрирующее звено в апериодическое. В результате облегчаются условия стабилизации АСР в целом, и возни- 114 кает возможность увеличить коэффициент передачи системы и тем самым повысить быстродействие в начале переходного процесса. Во второй половине переходного процесса постепенно, по мере его замедления сигнал обратной связи ХОС спадает до нуля, в результате чего интегрирующее звено начинает вести себя, как звено без обратной связи, обеспечивая астатизм системы в целом, т. е. устраняя установившееся отклонение.
Рассмотрим интересный случай охвата отрицательной ОС с кор- ректирующим звеном, имеющим передаточную функцию WOС(p), идеального усилительного звена с большим коэффициентом передачи K0 >> 1.
В данном случае передаточная функция звена, замкнутого отрицательной ОС:

т. к. K0 >> 1, то 1/K0 → 0.
Следовательно, с помощью практически безынерционного усилителя с большим коэффициентом передачи можно получить звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена обратной связи.
В частности, если WOC(p) = KOC·p, то WЗАМ(p) = 1/ KOC·p , т. е. с помощью дифференцирующего звена в цепи ОС получается интегри- рующее звено. Аналогично с помощью обычного апериодического звена в цепи ОС, получается идеальное ПД звено.
Вопрос 1. Критерий А. Гурвица является достаточным условием для определения устойчивости системы с отрицательной обратной связью и работает с коэффициентами характеристического полинома системы.
Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид (см. п. 2.10)

Тогда передаточная функция системы, охваченной единичной отрицательной обратной связью, (см. п. 2.12) имеет вид

Отсюда следует, что характеристический полином такой замкнутой системы можно определить как сумму полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы WРАЗ(p):
A(p) + B(p) = d0 p n + d1 p n-1 + ….+ dn-1 p + dn. (3.13)
Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица Гурвица, состоящая из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы (3.13).
По главной диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, начиная с d1 и заканчивая dn.
Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вниз от диагонали номер индекса коэффициента d уменьшался, а вверх – увеличивался. Коэффициенты с индексами меньше 0 и больше, чем n заменяются нулями.

Формулировка критерия Гурвица
Для устойчивой замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все n главных диагональных миноров матрицы были положительны:

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости. Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива, не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.
Пример критерия Гурвица
Дана передаточная функция разомкнутой системы

Для определения устойчивости данной системы, охваченной единичной отрицательной обратной связью, по критерию Гурвица необходимо составить характеристический полином замкнутой системы:

Поскольку степень полинома уравнения n равна 4, то матрица Гурвица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты характеристического полинома системы имеют следующие значения: d0 = 2, d1 = 5, d2 = 10, d3 = 6, d4 = 1.
Матрица Гурвица имеет вид

Диагональные миноры матрицы Гурвица:

Поскольку все определители положительны, то система устойчива.
Определить сигнал x2(t) на выходе системы по известному входному сигналу и передаточной функции системы
x1t=8sin0,25t. Wp=104p+1 INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c834202/v834202694/8d905/QSMd31zQCXs.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c834202/v834202694/8d905/QSMd31zQCXs.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c834202/v834202694/8d905/QSMd31zQCXs.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c834202/v834202694/8d905/QSMd31zQCXs.jpg" \* MERGEFORMATINET
Билет №21
Вопрос 1. Критерии устойчивости. Общие сведения об устойчивости.
Основные понятия устойчивости системы
Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств АСР. Устойчивость АСР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия. Это поведение описывается свободной составляющей дифференциального уравнения, которое описывает систему. Для уравнения (2.137) свободная составляющая

Устойчивость системы – это свойство системы возвращаться в исходный стационарный режим или переходить в новый при изменении внешних воздействий на систему. В АСР это происходит за счет изменения внутренних переменных параметров системы.
Оценка устойчивости представляет собой решение однородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях

Если свободная составляющая выходного параметра системы после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами, устойчивость системы это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая системы имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной (находится на границе устойчивости).
В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.
С целью упрощения анализа устойчивости систем разработан ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости, позволяющих оценить влияние параметров системы на её устойчивость.
Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные.
Алгебраические критерии являются аналитическими (Корневой критерий, критерий Стодолы, критерий Гурвица, критерий Рауса). Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания.
Частотные критерии являются графоаналитическими (критерий Михайлова, критерий Найквиста). Частотные критерии определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.
Вопрос 2. Переходные характеристики
Как известно переходные и динамические процессы возможны только при каких-либо входных воздействиях. В данном случае происходит изменение внутренних параметров системы, которое характеризует динамические свойства системы, ее поведение во времени.
Переходные характеристики могут записываться аналитически или изображаться графически в виде кривой y(t) (рис. 2.7).

Переходные и динамические процессы будут зависеть от входных воздействий, приложенных к системе. Для простоты анализа систем входные воздействия приводят к одному из типовых видов (рис. 2.8).

Единичная ступенчатая функция (функция Хэвисайда, единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) – кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице – для положительных.
Единичная ступенчатая функция 1(t) в математической форме

Дельта-функция (d-функция Дирака, дельта-импульс) – символ, применяемый в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины (сосредоточенная нагрузка, сосредоточенный заряд и т.д.). Физически d-функцию можно представить как бесконечный всплеск единичной интенсивности.
Дельта-функция d(t) в математической форме

В зависимости от вида входного воздействия функция у(t) может иметь различные обозначения:
Переходной временной характеристикой h(t) называется зависимость выходной величины системы от времени при единичном ступенчатом воздействии или выражение у(t) при условии x(t) = 1(t) при нулевых начальных условиях, т. е. при х(0) = 0 и у(0) = 0 (рис. 2.9, а).
Переходной импульсной характеристикой w(t) называется зависимость выходной величины системы от времени при входном воздействии в виде d-функции при нулевых начальных условиях, т. е. при х(0) = 0 и у(0) = 0 (рис. 2.9, б).

Переходная и импульсная характеристика, так же как и дифференциальное уравнение системы дают исчерпывающее представление о динамических свойствах объекта.
3. Определить сигнал x2(t) на выходе системы по известному входному сигналу и передаточной функции системы
x1t=2sin10t. Wp=2p INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841325/v841325694/5688f/vxIHFjtwe6U.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841325/v841325694/5688f/vxIHFjtwe6U.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841325/v841325694/5688f/vxIHFjtwe6U.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://pp.userapi.com/c841325/v841325694/5688f/vxIHFjtwe6U.jpg" \* MERGEFORMATINET

Приложенные файлы

  • docx 18048303
    Размер файла: 6 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий