Diskretnaya_sluchaynaya_velichina_Reshenie_tipo..


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Случайная величина
.

Основные определения
.


Случайной величиной

называется
п
еременная величина
, принимающая в результате
опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами
,
а их возможные значения


соответствующими малыми буквами
.


Дискретная с
лучайная величина

ДСВ
.

Случайная величина называется
дискретной
, если она принимает отдельные,
изолированные возм

М
ножество
значений

ДСВ

можно
пронумеровать

натуральными числами
.


Например
:

o

число попаданий

по мишени из 5 выстрелов

можно промумеровать числами от 1 до5

o

число яблок на яблоне

; 3; 

o

количество рыбы в улове


можно промумеровать числами 1; ; 3; 

o

число дождливых дней в
октябре можно промумеровать числами от 1 до 31

o

число
звезд на небе

можно промумеровать числами 1; ; 3; 


являются

.



Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возм
ожные значения и
вероятности, с которыми принимаются эти значения.
Соответствие между ними называется
законом
распределения
случайной величины. Он может
задаваться в

вид
е

таблицы, формулы или графика.

ретной случайной величины и
соответствующие им вероятности, называется
рядом распределения
:





Графическое изображение

распределения случайной
величины Х и

соответствующих вероятностей р
называется



распределения
.









i
p








...
,
,
,
Z
Y
X


...
,
,
i
i
i
z
y
x
i
x
1
x
2
x
n
x
1
p
2
p
n
p
Числовые хара
ктеристики случайной величины

Числовыми характеристиками
случайной величины называются такие

характеристики, которые в сжатой форме выражают
основные
особенности
распределенияслучайной величины.

Числовые характеристики делятся на



характеристики
положения
с
лучайной величины,



характеристики
рассеяния
случайной величины.

Характеристики положения
:

К характеристикам положения относятся
математическое ожидание,
мода,
медиана,

начальные моменты случайной величины.



Пусть
случайная величина принимает значения






с вероятностями


.

Математическим ожиданием
случайно
й величины называется сумма

произведений всех
возможных

значений случайной величины
на
вероятност
и

этих значений
:


Иногда математическое ожидание

называют
средним значением

случайной величины
.

Можно дать математическому ожиданию
меха
ническую интерпретацию
.

Пусть в

точках



числовой прямой
сосредоточены массы


,

Тогда


-


это

абсцисса центра тяжести данной системы
материальных точек.


Ч
исловы
е

характеристик
и рассеяния
.


Рассмотрим пример
:

по мишени стреляют два стрелка
.




Ч
ем больше

отклонение точек от
центра 
математического ожидания
)
, тем больше
рассеяние.


К
числовым характеристикам рассеяния

относятся дисперсия, средне
е

квадратичное

о
тклонение.

Отклонением
случай
ной величины
Х
называется
разность

между значениями

случайной
величины и еѐ математическим ожиданием

.

Пусть дан ряд распределения ДСВ:



n
p
p
p
...,
,
,
2
1


i
n
i
i
p
x
X
M



1
n
p
p
p
...,
,
,
2
1


x
m
X
M







x
n
x
x
m
x
m
x
m
x



...,
,
,
2
1
Можно составить таблицу отклонений от
математического ожидания:

Если составить сумму
, то она всегда будет
равна нулю
, так
как
, поэтому иногда берут сумму от
модуля

о
тклонений

. Эта сумма называется
средним отклонением
случайной величины.


Эта величина почти не используется, так как
она имеет неудачные
математические свойства.


В качестве меры

рассеяния берут математическое ожидание от


квадрата

отклонений

случайной величины.

Дисперсией
называется математическое ожидание квадрата отклонения

случайной
величины от еѐ математического ож
идания.


Рабочая формула для вычисления дисперсии
:

Для того, чтобы размерность была одинаковой,
используют

квадратный корень из
дисперсии
, который

называется
средним квадратическим отклонением

случа
йной
величины

.

С
редн
ее

квадратическ
ое

отклонение
является
средней ошибкой
измерений.


Для дискретной
случайной
величины

можно ввести понятие
ф
ункци
и

распределения

. Она

равна вероятности
случайного события
,

состоящего в том,

что случайная

величина примет
одно из возможных
значени
й
, меньши
х

некоторого
значения
х
, то есть

.

,


где суммирование ведѐтся для все
x

, для кот
орых
.


Если дискретные значения случайной
величины расположены
в порядке
возрастания

, то

можно задавать в виде:




i
n
i
x
i
p
m
x



1


0
1
1
1












x
x
n
i
i
x
n
i
i
i
i
n
i
x
i
m
m
p
m
p
x
p
m
x
i
n
i
x
i
p
m
x



1








i
n
i
x
i
x
x
p
m
x
m
x
M
X
D







1
2
2
2





2
1
2
2
x
n
i
i
i
x
m
p
x
X
D







x
x
D


X


X
F





x
x
i
i
p
x
F
i
x
x
x
i





























n
n
n
n
x
x
если
x
x
x
если
p
p
p
x
x
x
если
p
p
x
x
x
если
p
x
x
если
X
F
,
1
,
...
..
..........
..........
..........
..........
..........
..........
,
,
,
0
1
1
2
1
3
2
2
1
2
1
1
1
У дискретной случайной величины функция распределения являетс
я ступенчатой.
Она меняет скачком свое значение в точках
, возрастая на величину
.



Рассмотрим пример
ы
:


Пример 1.


Вероятность попадания

в мишень при одном выстреле
равна 0,8.

Случайная величина



-

число попаданий по мишени.
Составить

ряд распределения ДСВ
,

в
ычисли
ть

числовые
характеристики
, и
зобразить закон распределения графически и показать на чертеже
вычисленное математическое ожидание
.

Решение
:

Вероятность

попадания равна
, следовательно вероятность промаха равна

Случайная величина может принимать два значения: 0 и 1.


0


промах


1
-

поп
адание


Ряд распределения

в данном случае имеет вид:


Вычислим
числовые характеристики

дискретной случайной величины  ДСВ .


Математическ
ое

ожидание
дискретной

случайной величины

вычисляется по формуле:


Дисперси
я

дискретной случай
ной величины вычисл
яется

по формуле
:


,

где



0

1



0,2

0,8

i
х
i
p
X
8
,
0
.
2
,
0
8
,
0
1




8
,
0
8
,
0
0
8
,
0
1
2
,
0
0
2
2
1
1
1














n
n
n
i
i
i
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M















n
i
n
n
i
i
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
1
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
...
'
Для этого вначале в
ычислим

и

дополни
м

таблицу:






Среднее квадратическое отклонение

-

это

квадратный корень из дисперсии
:

.


Для графического изображения закона распределения в
виде

многоугольника распр
еделения

на оси абсцисс
откладываем возможные значения случайной величины,
по оси ординат


вероятности этих значений
.

П
олученные
точки соединяем отрезками прямых
.

Вычисленное
значение математического ожидания откладываем от
начала

координат по оси абсцисс.


Пример

2
.

Опыт состоит в бросании трѐх
монет
.

Х





число
монет
, на которых

выпал герб.

Построить ряд распределения

ДСВ
-

числ
а

монет, на которых выпал герб
,
вычислить
числовые характеристики
, изобразить закон распределени
я графически и показать на
чертеже вычисленное математическое ожидание.


Решение.


Пусть Г




выпал герб






Ц




выпала цифра

Возможно в
сего 8
исходов
:





Вероятность

появле
ния


каждого события равна

.



Ряд распределения имеет вид:






0

1


0,2

0,8





Г

Г

Г

Г

Г

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц


0

1

2

3
























16
,
0
64
,
0
8
,
0
8
,
0
8
,
0
1
2
,
0
0
2
2
2
2
2














X
M
p
x
X
M
X
M
X
D
i
i




4
,
0
16
,
0



X
D
X

8
1
2
i
x
0
0
2

1
1
2

8
3
Вычислим
числовые хара
ктеристики

ДСВ.


Математическое ожидание

ДСВ


вычисляется по формуле:



Дисперси
ю

дискретной случайной
величины вычисл
им

по формуле

,


где


В
ычислим


и дополним таблицу:



Среднее



квадратическое

отклонение







Многоугольник распределения





Пример

3.


Задан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины:





Дополним таблицу, вычислив квадраты значений случайной величины:


-
1

0

2

4

7



0,1

0,2

0,3

?

0,1



(
-
1)
2
=1

0
2
=0

2
2
=4

42=16

7
2
=49




0

1

2

3












-
1

0

2

4

7



0,1

0,2

0,3

?

0,1




2
1
1
2
3
8
12
8
3
8
6
8
3
0
8
1
3
8
3
2
8
3
1
8
1
0
2
2
1
1
1






















n
n
n
i
i
i
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M






n
i
i
i
p
x
X
M
1
2
2








4
3
4
9
8
24
4
9
8
9
8
12
8
3
0
2
3
8
1
9
8
3
4
8
3
1
8
1
0
2
2
2

























X
M
X
M
X
D




2
3
4
3



X
D
X

i
x
i
p
1


i
p
2
i
x
8
3
2
i
x
0
0
2

1
1
2

4
2
2

9
3
2

1)

Найти значения

2)

Вычислить:

a.

математическое ожидание

b.

дисперсию

c.

среднее квадратическое отклонение

d.

Изобразить закон распределения графически и показать на чертеже
вычисленное математическое ожидание
.


e.

Составить функцию распределения и построить ее

график
.


Решение.

1)

Найти
.

Смотрим по таблице
:

.


Найти
.


Смотрим по таблице
:

.


Найти


. Сумма всех
, (0,1+0,2+0,3+
+0,1)=1
.


Найти
.

Случайная величина может принимать только значения:
. З
начение


случайная величина прин
я
ть не может.

Следовательно
.


Найти
. Случайная величина может принимать

только значения:
. Значение

случайная величина принять не может.
Следовательно
.


Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Из этих значений только одно уд
о
влетворяет условию:
.

Это
.


Смотрим по таблице.


Случайная величина
принимает это значение с вероятностью
.

Следовательно,
.

Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Значения

случайная величина принимать не может.
Следовательно
.

Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Значения

случайная величина принимать не может.
Следовательно
.

Найти
.

Случайная величина может приним
ать только значения:
. Из этих значений только одно уд
о
влетворяет условию:


X
P


2

X
P


3
,
0
2
3



p
X
P


0

X
P


2
,
0
0
2



p
X
P


4
4
p
X
P


1

i
p
4
p


3
,
0
4


X
P


1

X
P


1

X


0
1


X
P


5


X
P


5


X


0
5



X
P


5
,
0


X
P


1
,
0
5
,
0



X
P


3


X
P


3


X


0
3



X
P


9

X
P


9

X


0
9


X
P


5
,
0


X
P
.


Это
.


Смотрим по таблице.


Случайная величина
принимает это значение с вероятностью
.

Следовательно,
.

Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Из этих значений только два значения уд
о
влетворяет условию:
. Это

и
.
Смотрим по таблице.
Случайная величина
принимает эти значение с вероятностью

и
.
Найдем вероятность события

как сумму
вероятностей событий

и
.
События

и

-

несовместные.Следовательно,
.

Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Из этих значений три значения уд
о
влетворяет условию:
. Это
;

и
.
Смотрим по таблице.
Случайная
величина принимает эти значение с вероятностями:
;

и
. Найдем вероятность события

как сумму вероятностей событий
;

и
. События
;

и

-

несовместные. Следовательно,

.

Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Из этих значений ни одно значение н
е удовлетворяет
условию:
.

Следовательно,
.

Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Из этих значений только одно значение удовлетворяет
у
словию:
. Это
.
Смотрим по таблице
:
.

Найти
. Случайная величина может принимать только значения:
. Случайная величина может принимать любо
е из этих
значений. Найдем вероятность события

как сумму вероятностей
событий
;
;
;

и
. События

;


1
,
0
5
,
0



X
P


5
1


X
P


5
1


X
P


2

X


4

X


3
,
0
2
3



p
X
P


3
,
0
4
4



p
X
P


2

X


4

X






6
,
0
3
,
0
3
,
0
4
2
5
1









X
P
X
P
X
P


4

X
P


4

X


1


X


1
,
0
1
1




p
X
P


2
,
0
0
2



p
X
P


4

X








6
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
2
0
1
4












X
P
X
P
X
P
X
P


4
2


X
P


4
2


X
P


0
4
2



X
P


7
2


X
P


7
2


X
P


3
,
0
7
2
4




p
X
P


9
2



X
P


2

X


4

X


7

X
;
;

и

-

несовместные.

Следовательно

.

2)

Вычисли
м числовые характеристики ДСВ
:

a)

Математическое ожидание
ДСВ

вычисляется по формул
е:



Подставляя данные из таблицы в формулу, получаем:


b
)
Дисперси
ю ДСВ

вычисл
им

по формуле
:




c
 Среднее квадратическое отклонение

d
)

Построим многоугольник распределения:









e
)


Состави
м

функцию распределения и построи
м

ее график.


Ф
ункци
я

распределения

равна вероятности
того,

что случайная

величина примет
одно
из
значени
й
, меньши
х

некоторого
значения
х
, то есть

.

Случайная величина может принимать

значения:
.

Отметим эти значения
на числовой прямой.




Получим
6

интервалов
:
;

;


;

;


;
.

Вычислим значение функции распределения для каждого из них.

Рассмотрим первый интервал



т. е.
.


Для
не
го
.


Нет

ни одного значения ДСВ меньших
. Значит


при

.




2

X


4

X


7

X












1
1
,
0
3
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
7
4
2
0
1
9
2



















P
P
X
P
X
P
X
P
X
P




n
n
n
i
i
i
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M









2
2
1
1
1




.
4
,
2
1
,
0
7
3
,
0
4
3
,
0
2
2
,
0
0
1
,
0
1












X
M








.
2
2
X
M
X
M
X
D












24
,
5
76
,
5
0
,
11
76
,
5
9
,
4
8
,
4
2
,
1
1
,
0
4
,
2
1
,
0
7
3
,
0
4
3
,
0
2
2
,
0
0
1
,
0
1
2
2
2
2
2
2





















X
D




.
29
,
2
24
,
5



X
D
X



1
;





0
;
1



4
;
2


7
;
4



;
7

1


x




1



X
p
x
F


1

1


x


0

x
F
Рассмотрим второй интервал


т. е.
.

Для него
.


Есть только одно зн
ачение ДСВ, меньшее чем
. Это
. Вероятность этого
события равна 0,1.

Значит для

.


Рассмотрим
третий

интервал


т. е.

.

Для него
.



Есть
два
значени
я

ДСВ, меньш
и
е чем
. Это

и
.
Найдем вероятность
события

как сумму вероятностей событи
й

и

.

Ве
роятность того
, что

равна 0,1
, вероятность того, что

равна 0,
.

Это события несовместные.

Значит для

.


Рассмотрим четвертый интервал

т. е.
. Для него
.



Есть три значения ДСВ, меньшие чем
. Это
,

и
.
Найдем
вероятность события

как сумму вероятностей событий
;

и
.

;
;
. Это события несовместные. Значит для

.


Рассмотрим пятый интервал

т. е.
. Для него
.



Есть четыре значения ДСВ, м
еньшие чем
. Это
,


и
.
Найдем
вероятность события

как сумму вероятностей событий
;
;

и
.

;
;
;
. Это события
несовместные. Значит для



.


Рассмотрим шестой интервал

т. е.
. Для него
.





0
;
1


0
1



x




0


X
p
x
F
0

x
1


x
0
1



x


1
,
0

X
F

2
0


x




2


X
p
x
F
2
0

X
2

X
1


X
0

X
2
0


x


3
,
0
2
,
0
1
,
0



X
F


4
;
2

4
2


x




4


X
p
x
F
4
2

X
4

X
4
2


x


6
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0




X
F


7
;
4

7
4


x




7


X
p
x
F
7
7

X


3
,
0
4


X
P
7
4


x


9
,
0
3
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0





X
F



;
7

7

x




7


X
p
x
F
Все значения, которые принимает ДСВ,
принадлежат данному интервалу
. Это
,

;


и
.
Найдем вероятность события

как сумму
вероятностей событий
;
;
;

и
.

;
;
;

и
. Это события
несовместные.
Следователтно

для

.

Мы могли
найти эту вероятность и проще. Все возможные значения ДСВ принадлежат данному
интервалу. Значит событие

-

достоверное и его вероятность равна 1.


Итак, получим функцию распределения:




Пост
роим график функции распределения.




7

X
7

X
7

X


3
,
0
4


X
P


1
,
0
7


X
P
7

x


1
1
,
0
3
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0






X
F
7

X








































7
;
1
1
,
0
3
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
7
4
;
9
,
0
3
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
4
2
;
6
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
2
0
;
3
,
0
2
,
0
1
,
0
0
1
;
1
,
0
1
;
0
x
при
x
при
x
при
x
при
x
при
x
при
X
F
n
x
x
x
...,
,
,
2
1




x
X
p
x
F


i
p








2
2
X
M
X
M
X
D


i
x
2
i
x
i
x
8
1
8
3
8
1
7
;
4
;
2
;
0
;
1



5
,
0


X


1


X


1
,
0
1
1




p
X
P


0

X


2
;
0
1


X
0

X
2

X


1
,
0
1



X
P


2
,
0
0


X
P


3
,
0
2


X
P
2

X
4

X
4

X

Приложенные файлы

  • pdf 18048113
    Размер файла: 568 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий