tipo_vse_otvety

Отвтеты на 3,5,6,12-14,16-45























16 Чотириполюсники
17 Основні рівняння чотириполюсників
Чотириполюсник – це частина схеми електричного кола із двома парами полюсів.
Як правило, чотириполюсник виконує обов`язок проміжної ланки між джерелом енергії і приймачем.
Прикладами є лінія електропередачі (рис. 1), електричний фільтр (рис. 2), трансформатор (рис. 3).



34


Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3
Полюси 1-1( чотириполюсника, до яких приєднується джерело живлення, називаються вхідними; полюси 2-2(, до яких приєднується навантаження – вихідними (рис. 4).

Рис. 4

Режим чотириполюсника повністю визначається, якщо відомі вхідні та вихідні напруги і струми: 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 (рис. 4).
Головна проблема теорії чотириполюсника полягає у тому, щоб знайти дві величини, які визначають режим чотириполюсника, якщо відомі другі дві. Чотириполюсники поділяються на активні та пасивні.
Чотириполюсник називається активним, якщо він має джерело живлення (ЕРС, ДС), якщо ж у його схемі відсутні джерела живлення (ЕРС, ДС), – пасивним.
Ми будемо розглядати тільки пасивні чотириполюсники.
Чотириполюсники за схемою внутрішніх з`єднань поділяються на Г-подібні (рис. 5), Т-подібні (рис. 6), П-подібні (рис. 7), мостові (рис. 8), Т-подібні мостові (рис. 9).


Рис. 5 Рис. 6


Рис. 7 Рис. 8

35

36


Рис. 9
Якщо у чотириполюснику вхід і вихід поміняти місцями, тобто живлення подати з боку виходу, а навантаження подати з боку входу, і при цьому напруги та струми не змінюються у тій частині схеми, з якою зв`язаний чотириполюсник, то він називається симетричним.
У теорії пасивних чотириполюсників існує шість форм рівнянь, які з`єднують між собою вхідні та вихідні струми та напруги.
Послідовно розглянемо їх.
1. Форма ||Y||

Рис. 10
13EMBED Equation.31415 (1)


2. Форма ||А||

Рис. 11
13EMBED Equation.31415 (2)
3. Форма ||B||

Рис. 12
13EMBED Equation.31415 (3)
4. Форма ||Z||

Рис. 13

37

38

13EMBED Equation.31415 (4)
5. Форма ||H||

Рис. 14
13EMBED Equation.31415 (5)
6. Форма ||G||

Рис. 15
13EMBED Equation.31415 (6)
Найбільш поширені форми ||Y|| та ||A||.
13EMBED Equation.31415 – вхідна провідність з боку полюсів 1-1( при закорочених 2-2(

13EMBED Equation.31415 – вхідна провідність з боку полюсів 2-2( при закорочених 1-1(
13EMBED Equation.31415 – взаємна провідність між віткою виходу та віткою входу при закорочених полюсах 2-2(
13EMBED Equation.31415 – взаємна провідність між віткою входу та віткою виходу при закорочених полюсах 1-1(.
Якщо відношення 13EMBED Equation.31415 не залежить від місця входу та виходу, то чотириполюсник називається оборотним.
У оборотного чотириполюсника
13EMBED Equation.31415
У симетричного чотириполюсника
13EMBED Equation.31415
Форма ||A|| звичайно використовується при передаванні електричної енергії від вхідних полюсів до вихідних. При запису рівнянь у формі ||A|| умовно додатні напрями струмів та напруг беруть, як позначено на рис. 16.

Рис. 16
За теоремою компенсації зробимо заміну вітки з пасивним елементом Zn на вітку з активним елементом (рис. 17).

39

40

За методом накладання струми 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 визначимо, як
13EMBED Equation.31415 (7)
13EMBED Equation.31415 (8)


Рис. 17
Перша схема для визначення складових струмів 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 зображена на рис. 18.

Рис. 18
За законом Ома
13EMBED Equation.31415 (9)
13EMBED Equation.31415 (10)
Складові струми 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 визначимо за допомогою схеми на рис. 19
13EMBED Equation.31415 (11)
13EMBED Equation.31415 (12)


Рис. 19
З урахуванням (9), (10), (11), (12) рівняння (7) та (8) запишемо у вигляді
13EMBED Equation.31415 (13)
13EMBED Equation.31415 (14)
Якщо припустити, що 13EMBED Equation.31415 і 13EMBED Equation.31415, то дістанемо
13EMBED Equation.31415 (15)
13EMBED Equation.31415 (16)
З рівняння (16) знаходимо
13EMBED Equation.31415 (17)
Розв`язавши (15) відносно 13EMBED Equation.31415 і підставивши сюди вираз 13EMBED Equation.31415, згідно з (17), дістанемо
13EMBED Equation.31415 (18)
Позначимо у рівняннях (17) та (18)
13EMBED Equation.31415 (19)
13EMBED Equation.31415 (20)
13EMBED Equation.31415 (21)

41

42

13EMBED Equation.31415 (22)
і отримаємо рівняння чотириполюсника у формі ||A|| (2).
Коефіцієнти А11, А12, А21, А22 у загальному випадку комплексні функції і залежать від частоти: А11 та А22 – безрозмірні функції, А12 – має розмірність опору, А21 – провідності.
Між коефіцієнтами чотириполюсника існує залежність
13EMBED Equation.31415
З цієї причини у будь-якій формі рівнянь чотириполюсника виступають три лінійно незалежні коефіцієнти.
У симетричному чотириполюснику
А11=А22
і тому
13EMBED Equation.31415,
тобто два коефіцієнта з трьох незалежні.
Часто А-параметри чотириполюсника – А11; А12; А21; А22 – позначають через А, В, С та D.
Будь-які коефіцієнти чотириполюсника називають первинними параметрами.

18 Визначення коефіцієнтів основних рівнянь пасивного чотириполюсника
Будь-які коефіцієнти чотириполюсника або його первинні параметри можна визначити через параметри неробочого режиму та короткого замикання. До них відносяться:
Z10 – вхідний опір з боку полюсів 1-1( при розімкнених – 2-2(;
Z1к – вхідний опір з боку полюсів 1-1( при замкнених – 2-2(;
Z20 – вхідний опір з боку полюсів 2-2( при розімкнених – 1-1(;
Z2к – вхідний опір з боку полюсів 2-2( при замкнених – 1-1(;
Трьох з чотирьох цих параметрів достатньо щоб скласти рівняння лінійного чотириполюсника.
Розглянемо, як приклад, визначення А-параметрів. Для цього здійснюємо такі експерименти: неробочий режим з боку полюсів

1-1( при розімкнених 2-2(; неробочий режим з боку полюсів 2-2( при розімкнених 1-1(; режим короткого замикання з боку полюсів 2-2( при замкнених накоротко – 1-1(.
1. Неробочий режим з боку полюсів 1-1( здійснюється за допомогою схеми на рис. 1.

Рис. 1
Під час експерименту неробочого режиму вимірюється напруга U10 неробочого режиму, струм І10 неробочого режиму та потужність Р10. Після чого вхідний опір Z10 можна визначити за формулою
13EMBED Equation.31415 (1)
Для такого режиму (13EMBED Equation.31415) А-форма рівнянь чотириполюсника набуває вигляду
13EMBED Equation.31415 (2)
звідки
13EMBED Equation.31415 (3)
2. Неробочий режим з боку полюсів 2-2( здійснюється за допомогою схеми на рис. 2.
Одразу зазначимо, що у схемі на рис. 2 джерело живлення підключається з боку виходу чотириполюсника (полюсів 2-2(), а навантаження – з боку входу.
Оскільки вхід і вихід чотириполюсників, що аналізуються, конвертовані, відповідно в основних рівняннях чотириполюсника конвертуються їх коефіцієнти. А та D у нашому випадку. Отже,

43

44


Рис. 2
А-форма рівнянь при заміні місцями джерела та навантаження набуває вигляду
13EMBED Equation.31415 (4)
За допомогою схеми на рис. 2 вимірюється напруга 13EMBED Equation.31415 неробочого режиму, струм 13EMBED Equation.31415 неробочого режиму та потужність Р10. Після чого вхідний опір Z20 можна визначити за формулою
13EMBED Equation.31415 (5)
Для неробочого режиму за схемою на рис.2 рівняння (4) набувають вигляду
13EMBED Equation.31415 (6)
З урахуванням (5) маємо
13EMBED Equation.31415 (7)
3. Режим короткого замикання з боку полюсів 2-2( здійснюється за допомогою схеми на рис. 3.
За допомогою приладів вимірюється напруга 13EMBED Equation.31415, струм 13EMBED Equation.31415 короткого замикання та потужність Р1K. За цими даними обчислюється вхідний опір Z2K, користуючись формулою
13EMBED Equation.31415 (8)


Рис. 3
Для цього режиму (13EMBED Equation.31415) рівняння (4) набувають вигляду
13EMBED Equation.31415, (9)
звідки
13EMBED Equation.31415 (10)
Підставивши у рівняння АD-ВС=1 значення D, В та С, визначених у формулах (3), (7) та (10) дістанемо
13EMBED Equation.31415
звідки
13EMBED Equation.31415 (11)
і далі
13EMBED Equation.31415.

19. Схеми заміщення (еквівалентні) пасивних чотириполюсників
У будь-якій формі рівнянь пасивного чотириполюсника з чотирьох параметрів лише три лінійно незалежні, а тому схема заміщення такого чотириполюсника повинна мати певну структуру з трьома лінійно незалежними параметрами. Можливі дві такі структури – з`єднання трьох елементів, з яких кожен характери-

45

46

зується своїм параметром, у вигляді зірки чи трикутника, так звані Т-схема чи П-схема.
Виявимо зв`язок між коефіцієнтами основних рівнянь чотириполюсника та параметрами Т-схеми (рис. 1).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 4
На підставі другого закону Кірхгофа записуємо рівняння
13EMBED Equation.31415 (11)
За першим законом Кірхгофа маємо
13EMBED Equation.31415 (12)
Після підстановки (12) у (11) дістаємо
13EMBED Equation.31415 (13)
Перепишемо рівняння (12)
13EMBED Equation.31415 (14)
Порівнюючи (13), (14) із основними рівняннями чотириполюсника у А-формі, бачимо, що
13EMBED Equation.31415 (15)
Очевидно, з (15) можна виразити параметри Т-схеми пасивного чотириполюсника через його коефіцієнти
13EMBED Equation.31415 (16)

Для симетричного пасивного чотириполюсника А=D; отже, Z1= Z2.
Виявимо зв`язок між коефіцієнтами А, В, С, D чотириполюсника та параметрами П-схеми (рис. 5).

Рис. 5
Записуємо рівняння за другим законом Кірхгофа
13EMBED Equation.31415 (17)
На підставі першого закону Кірхгофа знаходимо
13EMBED Equation.31415 (18)
Після цього підставимо (17) у (18)
13EMBED Equation.31415 (19)
Порівнюючи (17), (19) із основними рівняннями чотириполюсника у А-формі, бачимо, що
13EMBED Equation.31415, (20)
13EMBED Equation.31415, (21)
13EMBED Equation.31415, (22)
13EMBED Equation.31415. (23)

47

48

З рівнянь (20)-(23) можна виразити параметри П-схеми через коефіцієнти чотириполюсника, а саме:
13EMBED Equation.31415, (24)
13EMBED Equation.31415, (25)
13EMBED Equation.31415. (26)
Для симетричного чотириполюсника А=D; отже Z5=Z6.

20 Вхідний та вихідний опір чотириполюсника
Відношення вхідної напруги 13EMBED Equation.31415 до вхідного струму 13EMBED Equation.31415 пасивного чотириполюсника, коли він навантажений на певний опір Zн (рис. 1), називають вхідним опором Zвх.н. При цьому зауважимо, що джерело живлення подається з боку вхідних полюсів 1-1(, а з боку вихідних полюсів 2-2( ввімкнено навантаження Zн.

Рис. 1
Для чотириполюсника з А-параметрами
13EMBED Equation.31415 (1)
де
13EMBED Equation.31415

Значення Zвх.н. визначається параметрами чотириполюсника та значенням опору навантаження.
При Zн=0 полюси 2-2( замкнені накоротко і тому
13EMBED Equation.31415 (2)
При Zн=( полюси 2-2( розімкнені і тому дістанемо із (1)
13EMBED Equation.31415 (3)
Відношення вхідної напруги 13EMBED Equation.31415 до вхідного струму 13EMBED Equation.31415 пасивного чотириполюсника, коли вхід і вихід міняються місцями і до полюсів 1-1( підключається певне навантаження Zн (рис. 2), називають вихідним опором Zвих.н.

Рис. 2
Для чотириполюсника з А-параметрами при зміні місцями джерела та навантаження
13EMBED Equation.31415 (4)
В режимі короткого замикання (Zн=0)
13EMBED Equation.31415 (5)
У неробочому режимі
13EMBED Equation.31415 (6)

49

50

Для симетричного пасивного чотириполюсника А=D; отже,
Zвих.н.=Zвх.н.

21 Вторинні параметри пасивного чотириполюсника
До вторинних параметрів пасивного чотириполюсника відносяться характеристичні опори, коефіцієнт трансформації та коефіцієнт поширення.

6.5.1. Характеристичні опори.
Під характеристичними опорами Z01 та Z02 розуміють ті, що мають такі властивості:
1) при навантаженні виходу чотириполюсника на опір Z02 його вхідний опір дорівнює Z01 (рис. 3).

Рис. 3
2) при навантаженні входу чотириполюсника на опір Z01 його вихідний опір дорівнює Z02 (рис. 4).

Рис. 4

Підставивши у рівняння для Zвх.н.. Zвх.н.=Z01 та Zн.=Z02, а у рівняння для Zвих.н. Zвих.н.=Z02 та Zн.=Z01, знайдемо
13EMBED Equation.31415 (7)
13EMBED Equation.31415 (8)
З розв’язку системи (7), (8) випливає
13EMBED Equation.31415 (9)
13EMBED Equation.31415 (10)
Порівнюючи (9) з виразами для Zвх.к.з. та Zвх.0., маємо
13EMBED Equation.31415 (11)
Порівнюючи (10) з виразами для Zвих.к.з та Zвих.н., отримаємо
13EMBED Equation.31415 (12)
Аналізуючи рівняння (9) та (10), а також (11) та (12), можна зробити висновок, що значення характеристичних опорів залежать тільки від основних параметрів, а також можуть бути визначені неробочим режимом та режимом короткого замикання.
Режим чотириполюсника, в якому його навантаження Zн дорівнює характерисничному опору Z02, називають режимом узгодженого навантаження (рис. 5).

Рис. 5

51

52

Для симетричного чотириполюсника Z01=Z02=Z0 та оскільки А=D, у нього
13EMBED Equation.31415 (13)
Якщо у симетричного чотириполюсника Zн=Z0, то його вхідний опір теж дорівнює Z0 (рис. 6).
Очевидно, що
13EMBED Equation.31415 (14)

Рис. 6

6.5.2. Коефіцієнт трансформації та коефіцієнт передачі
При навантаженні чотириполюсника характеристичним опором 13EMBED Equation.31415 (з урахуванням того, що 13EMBED Equation.31415) рівняння
13EMBED Equation.31415
можна записати у вигляді
13EMBED Equation.31415 (15)
13EMBED Equation.31415 (16)

Введемо позначення
13EMBED Equation.31415 (17)
яке будемо називати коефіцієнтом трансформації чотириполюсника.
Для симетричного читириполюсника (А=D)
13EMBED Equation.31415 (18)
Ввівши поняття коефіцієнта трансформації mТ, рівняння (15) та (16) можна подати у вигляді
13EMBED Equation.31415, (19)
13EMBED Equation.31415 (20)
звідки випливає
13EMBED Equation.31415 (21)
Позначимо
13EMBED Equation.31415 (22)
Комплексну величину
13EMBED Equation.31415 (23)
називають коефіцієнтом поширення пасивного чотириполюсника.
Якщо у чотириполюсника g=0, то
13EMBED Equation.31415 (24)

53

54

13EMBED Equation.31415 (25)
У такому випадку коефіцієнт mT є коефіцієнтом трансформації напруги (24) або коефіцієнтом трансформації струму (25).
Чотириполюсник, у якого коефіцієнт поширення g дорівнює нулеві, називається ідеальним трансформатором.
При узгодженому навантаженні чотириполюсника
13EMBED Equation.31415 (26)
З урахуванням того, що
13EMBED Equation.31415 (27)
знайдемо
13EMBED Equation.31415 (28)
З рівняння (28) випливає, що у режимі узгодженого навантаження чотириполюсник є трансформатором опору, який трансформує опір навантаження у 13EMBED Equation.31415 разів.

22 Рівняння пасивного чотириполюсника у гіперболічній формі
Оскільки
13EMBED Equation.31415 (1)
зрозуміло, що
13EMBED Equation.31415 (2)
Визначимо вирази
13EMBED Equation.31415 (3)
13EMBED Equation.31415 (4)

З рівнянь
13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415 (6)
випливає
13EMBED Equation.31415 (7)
Система рівнянь (5), (6), (7) дає можливість визначити первинні параметри через вторинні параметри чотириполюсника, а саме:
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (8)
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (9)
Множенням (4) на (7) дістаємо
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (10)
Поділивши (4) на (7) знайдемо
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (11)

55

56

Враховуючи (8)-(11), основним рівнянням чотириполюсника можна надати вигляду
13EMBED Equation.31415 (12)
13EMBED Equation.31415 (13)

6.7. Логарифмічні одиниці згасання
Відомо, що у симетричному чотириполюснику A=D, Z01= =Z02=Z0, mT=1, а тому
13EMBED Equation.31415 (14)
13EMBED Equation.31415 (15)
13EMBED Equation.31415 (16)
13EMBED Equation.31415 (17)
Запишемо коефіцієнт поширення g, який є комплексною величиною, у показниковій формі
13EMBED Equation.31415 (18)
Якщо симетричний чотириполюсник знаходиться в узгодженому режимі, коефіцієнт поширення g можна визначити за формулою (m=1)
13EMBED Equation.31415 (19)
Відношення комплексних напруг 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 представимо у показниковій формі
13EMBED Equation.31415 (20)
Тепер значення коефіцієнта поширення g можна записати у вигляді
13EMBED Equation.31415 (21)

Порівнюючи рівняння (21) із (18), визначимо
13EMBED Equation.31415 (22)
13EMBED Equation.31415 (23)
Отже, дійсна складова а коефіцієнта поширення g пасивного чотириполюсника характеризує зміну діючого значення напруги U2 чи струму І2 на виході чотириполюсника щодо діючого значення напруги U1 чи струму І1 на його вході в режимі узгодження й тому називається коефіцієнтом згасання.
Уявна частина b дорівнює (в радіанах) зсуву фази (U2 напруги U2 чи фази (І2 струму 13EMBED Equation.31415 відносно фази (U1 напруги U1 чи фази (І1 струму 13EMBED Equation.31415 й називається коефіцієнтом фази.
Коефіцієнт згасання а вимірюється у неперах. Згасанню а=1 Нп відповідає відношення
13EMBED Equation.31415
Якщо відношення
13EMBED Equation.31415, згасання а=0.
Коефіцієнт згасання а можна визначити через потужності вхідну Р1 та вихідну Р2. Отже, якщо
13EMBED Equation.31415 (24)
то
13EMBED Equation.31415 (25)
звідки
13EMBED Equation.31415 (26)

57

58

У радіотехніці разом з непером використовують другу логарифмічну одиницю згасання, яка називається Белом. Ця одиниця згасання базується на використанні десяткових логарифмів
13EMBED Equation.31415, Б (27)
або, оскільки
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415, Б (28)
На практиці широко застосується одиниця згасання, яка дорівнює 0,1 Б і зветься децибелом.
У децибелах
13EMBED Equation.31415, дБ (29)
13EMBED Equation.31415, дБ (30)
Встановимо співвідношення між непером та децибелом
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
звідки
1 Нп=8,686 дБ
або
1 дБ=0,115 Нп

23 Матриці та параметри складних чотириполюсників
Cкладний чотириполюсник, як правило, є результатом з`єднання більш простих чотириполюсників. Щоб визначити параметри складного чотириполюсника при відомих параметрах складових чотириполюсників, треба застосувати основні рівнян-

ня у певній формі. У свою чергу форма рівнянь залежить від способу з`єднання складових чотириполюсників.
У розрахункових схемах складних чотириполюсників найчастіше трапляються такі з`єднання складових чотириполюсників.

6.8.1. Послідовне з`єднання
При послідовному з`єднанні входи та виходи чотириполюсників з`єднано між собою послідовно при рівності відповідних їх струмів (рис. 1)

Рис. 1
Штрихами позначені величини, які стосуються складових складного чотириполюсника.
Запишємо основні рівняння складових чотириполюсників з Z-параметрами у матричній формі
13EMBED Equation.31415 (1)
13EMBED Equation.31415 (2)

59

60

де 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 – Z-матриці складових чотириполюсників.
Схема на рис. 1 показує, що
13EMBED Equation.31415
а тому додавши рівняння (1) до рівняння (2), знайдемо
13EMBED Equation.31415 (3)
Таким чином, при послідовному з`єднанні
13EMBED Equation.31415,
тобто Z-матрица складного чотириполюсника дорівнює сумі Z-матриць складових чотириполюсників. Отже, при розрахунку послідовно з`єднаних чотириполюсників варто користуватися системою Z-параметрів.

6.8.2. Паралельне з`єднання
З`єднання, при якому входи та виходи чотириполюсників з`єднано між собою відповідно паралельно, називається паралельним (рис. 2)

Рис. 2

Складемо рівняння складових чотириполюсників у Y-формі
13EMBED Equation.31415 (4)
13EMBED Equation.31415 (5)
Схема на рис. 2 свідчить, що
13EMBED Equation.31415
а тому, якщо до рівняння (4) додати рівняння (5), то будемо мати
13EMBED Equation.31415 (6)

де
13EMBED Equation.31415
Для еквівалентного перетворення паралельно з`єднаних чотириполюсників варто користуватися Y-параметрами.

6.8.3. Послідовно-паралельне з`єднання
При послідовно-паралельному з`єднанні входи окремих чотириполюсників з`єднуються послідовно, а виходи – паралельно (рис. 3).
Еквівалентне перетворення необхідно здійснювати на основі Н-форми рівнянь чотириполюсника. Рівняння окремих чотириполюсників записуємо у вигляді
13EMBED Equation.31415 (7)
13EMBED Equation.31415 (8)
Із схеми на рис. 3 випливає, що
13EMBED Equation.31415

61

62

Якщо за цих умов до рівняння (7) додати рівняння (8), то дістанемо

Рис. 3
13EMBED Equation.31415 (9)
де
13EMBED Equation.31415
При розрахунках послідовно-паралельного з`єднання необхідно скористатися Н-формою рівнянь чотириполюсника.

6.8.4. Паралельно-послідовне з`єднання
З`єднання, при якому входи чотириполюсників з`єднано паралельно, а виходи – послідовно при рівності їх вихідних струмів, називається паралельно-послідовним (рис. 4).
Складаємо рівняння складових чотириполюсників у G-формі
13EMBED Equation.31415 (10)


Рис. 4
13EMBED Equation.31415 (11)
Як видно з схеми на рис. 4
13EMBED Equation.31415
а тому при складанні рівнянь (10) та (11) отримаємо
13EMBED Equation.31415 (12)
Для еквівалентного перетворення цього з`єднання доцільно скористатися G-формою рівнянь чотириполюсника тому, що
13EMBED Equation.31415

6.8.5. Каскадне з`єднання
При такому з`єднанні вихід попереднього чотириполюсника є входом наступного (рис. 5)

63

64


Рис. 5
Для цього з`єднання зі схеми маємо
13EMBED Equation.31415
Для еквівалентного перетворення каскадного з`єднання скористуємося А-формою рівнянь чотириполюсника. Рівняння першого чотириполюсника записуємо у вигляді
13EMBED Equation.31415 (13)
Рівняння другого
13EMBED Equation.31415 (14)
У рівнянні (13) зробимо заміну 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 на 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415; оскільки 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, замість 13EMBED Equation.31415 підставимо 13EMBED Equation.31415 і нарешті замінимо 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 на 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415. Після вказаних замін дістанемо
13EMBED Equation.31415 (15)
де
13EMBED Equation.31415
Таким чином, матриця А-параметрів складного чотириполюсника дорівнює добутку матриць його складових при їх каскадно-

ному з`єднанні.

24 Передатна функція та частотні характеристики чотириполюсників
У загальному випадку електричні кола можна зобразити у вигляді пасивного багатополюсника (рис. 1), до полюсів якого при`єднуються джерела збурення та пасивні елементи, де необхідно визначити реакції від збурень.

Рис. 1
Якщо потрібно визначити реакцію одного з виходів (k-k() на збурення джерела, увімкнутого на вході кола (р-р(), схема на рис. 1 може бути зображена у вигляді чотириполюсника (рис. 2)

Рис. 2

65

66

Передатною функцією або коефіцієнтом передачі чотириполюсника називається відношення комплексних амплітуд чи комплексних електричних величин на виході та вході чотириполюсника при заданому режимі передачі.
Можливі чотири типи передатних функцій.
1. Якщо необхідно визначити струм 13EMBED Equation.31415 коли відома напруга 13EMBED Equation.31415, то передатною функцією буде
13EMBED Equation.31415, (1)
яка називається передатною провідністю.
2. Якщо невідома напруга 13EMBED Equation.31415, а відомий струм 13EMBED Equation.31415, то передатною функцією буде
13EMBED Equation.31415, (2)
яка називається передатним опором.
3. Якщо треба розрахувати струм 13EMBED Equation.31415 при відомому струмі 13EMBED Equation.31415 на вході, то передатна функція носить назву коефіцієнта передачі за струмом
13EMBED Equation.31415 (3)
4. Якщо задача полягає у визначенні вихідної напруги 13EMBED Equation.31415 при відомій напрузі 13EMBED Equation.31415 на вході, то у цьому випадку передатна функція носить назву коефіцієнт передачі за напругою
13EMBED Equation.31415 (4)
Зауважимо, що передатні функції чотириполюсника, навантаженого будь-яким опором Zн, можна визначити через будь-яку систему параметрів та опір Zн. Отже, через А-параметри, наприклад, коефіцієнти передачі за струмом та за напругою визначаються так:

13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415 (6)
Можна визначити коефіцієнт поширення g узгодженого чотириполюсника через коефіцієнт передачі Кu(j():
13EMBED Equation.31415 (7)
звідки
13EMBED Equation.31415 (8)
Відомо, що g=a+jb, отже
13EMBED Equation.31415 (9)
де 13EMBED Equation.31415 – модуль передатної функції.
Коефіцієнт фази b дорівнює аргументу Кu(j(), взятому зі зворотним знаком.
Модулі передатних функцій називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ). Аргументи передатних функцій називають фазочастотною характеристикою (ФЧХ).
На практиці нарівні з розрахунковими дуже широко застосовують екпериментальні частотні характеристики. Саме з цього погляду частотні характеристики є особливо ефективним засобом розв`язування найрізноманітніших задач радіотехніки. Експериментальне визначення частотних характеристик зводиться до вимірювання амплітуди та фази вихідної величини при зміні частоти сталої за амплітудою вхідної напруги елемента чи системи.
Очевидно, частотні характеристики можна зобразити графічно: Кu(j()=Кu(()eхр(j((()) – у комплексній площині з використанням полярних координат; Кu((), ((() – у дійсній площині з використанням ортогональних координат.

67

68

25. Електричні фільтри
Основи теорії фільтруючих чотириполюсників
Умови існування зони пропускання.
Електричним фільтром називається пасивний симетричний узгоджений чотириполюсник, увімкнений між джерелом живлення та приймачем, який пропускає без згасання у навантаження струми одних частот і не пропускає струми інших частот.
Діапазон частот, у якому струми пропускаються у навантаження, називається зоною пропускання (прозорості).
Діапазон частот, у якому струми затримуються фільтром, називається зоною непропускання, або зоною згасання.
За частотами, що пропускаються у навантаження, фільтри класифікують на: низькочастотні (ФНЧ чи НЧ-фільтри); високочастотні (ФВЧ чи ВЧ-фільтри); смугові та загороджувальні.
За схемами ланок фільтри підрозділяють на Г-, Т- та П-подібні, мостові та інші. Фільтри формують за симетричною Т- чи П-схемою (рис. 1, 2).

Рис. 1
Поздовжній опір Т-схеми фільтра (рис. 1) будемо позначати через Z1/2; поперечний – через Z2.

Рис. 2

Поздовжній опір П-схеми фільтра (рис. 2) будемо позначати через Z1; поперечний – через 2Z2. Такі позначення дозволяють отримати співвідношення незалежно від схеми фільтра.
Електричні фільтри поділяють на два основні типи: фільтри типу k (k-фільтри) та фільтри типу m (m-фільтри). Електричні фільтри, в яких добуток поздовжнього опору на поперечний є деяким сталим числом k незалежно від частоти, називають k-фільтрами. Електричні фільтри, в яких цей добуток залежить від частоти, називають m-фільтрами.
За типами елементів фільтри розділяються на: реактивні (вони складаються з елементів L та С); п’єзоелектричні (вони складаються з кварцових пластин); безінерційні (з елементів R та С) та інші.
У теорії реактивних фільтрів полягають, що активні опори конденсаторів та котушок індуктивності досить малі у порівнянні з їх реактивними опорами. Тому, фільтри подібного типу формуються тільки із реактивних елементів.
Основними завданнями теорії реактивних фільтрів є:
1. Знаходження умов, при яких фільтр має певну зону пропускання;
2. Визначення ширини зони пропускання;
3. Встановлення рівнянь частотних характеристик фільтра.

26. Умови пропускання реактивного фільтра
З визначення фільтра, як пасивного симетричного чотириполюсника з узгодженим навантаженням, випливає
13EMBED Equation.31415 (1)
де коефіцієнт поширення g=a+jb, та
13EMBED Equation.31415 (2)
Еквівалентні Т- та П-схеми чотириполюсника вказують, що параметр А визначається відношенням поздовжного опору до поперечного. При прийнятих позначеннях елементів Т- та П-схеми фільтра параметр А буде визначатися однією і той самою формулою

69

70

13EMBED Equation.31415 (3)
Порівнюючи рівняння (2) та (3) запишемо
13EMBED Equation.31415 (4)
У зоні пропускання коефіцієнт згасання а=0. При цьому g=jb та
13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415 (6)
Граничними значеннями cos b є -1 та +1. Отже, зона пропускання фільтра визначається в межах
13EMBED Equation.31415 (7)
або
13EMBED Equation.31415 (8)
У реактивному фільтрі Z1=jX1 та Z2=jX2. Тому, зону пропускання можна визначити у такому вигляді
13EMBED Equation.31415 (9)
Нерівність (9) є необхідною та достатньою умовою існування зони пропускання. Як видно з (9), чотириполюсник стає фільтром, якщо реактивні опори Х1 та Х2 будуть мати протилежний характер та за абсолютним значенням
13EMBED Equation.31415 (10)

27. Визначення ширини зони пропускання
Граничні частоти, які розташовані на границях зони пропускання (так звані частоти зрізу), визначаються розв’язком системи рівнянь, які випливають із нерівності

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (11)
Частоти зрізу можна визначити іншим шляхом. Головну нерівність теорії реактивних фільтрів можна записати у вигляді
13EMBED Equation.31415 (12)
З виразу передатної функції
13EMBED Equation.31415 (13)
При неробочому режимі (13EMBED Equation.31415)
13EMBED Equation.31415 (14)
Отже, нерівність (12) можна переписати у вигляді
13EMBED Equation.31415 (15)
або модуль коефіцієнта передачі
13EMBED Equation.31415 (16)
Для частот зрізу нерівність (15) стає рівнянням
13EMBED Equation.31415 (17)
Тобто, граничними частотами фільтра є такі, що для них коефіцієнт передачі дорівнює одиниці. Таке визначення частот зрізу найбільш зручне при експериментальному дослідженні. Ті частоти, за якими Ко(()>1, складають зону пропускання, а частоти, за якими Ко(()=1, розташовані на її границях.

28 Рівняння частотних характеристик фільтра
Частотними характеристиками фільтра називаються залежності а(() – амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) та b(() – фазочастотна характеристика.

71

72

У зоні пропускання фільтра частотна характеристика а(() збігається з віссю частот, оскільки а(()=0.
Щоб знайти характер функції а(() у зоні непропускання розглянемо залежність
13EMBED Equation.31415 (18)
У реактивних фільтрів Z1=jX1; Z2=jX2 – суто уявні величини. Відношення двох суто уявних величин є дійсна величина. Отже, вираз 13EMBED Equation.31415 – цє дійсна величина. У такому випадку рівняння
13EMBED Equation.31415 (19)
буде існувати, якщо
13EMBED Equation.31415 (20)
У зоні згасання а(0, тому sha(0. Отже, у зоні згасання фільтра обов`язковою умовою є рівняння
13EMBED Equation.31415 (21)
яке переходить у тотожність при значенні фазового кута чи 0, чи 180(.
За цих умов рівняння (19) набуває вигляду
13EMBED Equation.31415 (22)
У зоні згасання 13EMBED Equation.31415, отже з рівняння (22) знаходимо
13EMBED Equation.31415 (23)
Згідно з нерівністю
13EMBED Equation.31415
вираз 1+Z1/2Z2 у зоні згасання або більший від +1, або менший від -1. Оскільки cha завжди більший від +1, то

13EMBED Equation.31415 і кут 13EMBED Equation.31415, якщо 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 і кут 13EMBED Equation.31415, якщо 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (24)
Рівняння (24) називається рівнянням амплітудно-частотної характеристики у зоні згасання. У зоні пропускання а=0. Рівнянням фазочастотної характеристики у зоні пропускання є рівняння
13EMBED Equation.31415 (25)
У зоні згасання коефіцієнт фази b має значення чи 0, чи 180(. Згідно з нерівністю
13EMBED Equation.31415
b=0, якщо13EMBED Equation.31415; b=180o, якщо 13EMBED Equation.31415.

29 Реактивні низькочастотні фільтри типу k
Низькочастотним фільтром називається фільтр, який пропускає без згасання струм із частотами від (1=0 до (2=(з.
З визначення випливає, що поздовжній опір такого фільтра повинен бути дуже малим за значенням для постійного струму та низьких частот. Поздовжній опір повинен збільшуватися із збільшенням частоти, щоб затримувати високі частоти. Таким умовам відповідає індуктивність L.
Поперечний опір низькочастотного фільтра, навпаки, повинен бути як найбільшим, щоб струми низьких частот не шунтувались. Для високих частот цей опір повинен бути якнайменшим. Таким умовам відповідає ємність С.

73

74

Таким чином, у низькочастотного фільтра типу k поздовжнє плече становить індуктивний опір, тобто
Z1=j(L,
а паралельне плече – ємнісний опір, тобто
Z2=1/j(С
Низькочастотні фільтри можуть бути зформовані чи за Г-схемою (рис. 1), чи за Т-схемою (рис. 2), чи за П-схемою (рис. 3).

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
На прикладі низькочастотного фільтра можна довести, що у фільтра типу k добуток
13EMBED Equation.31415 (26)
де 13EMBED Equation.31415 – хвильовий опір послідовного коливального контура, при будь-якій частоті дорівнює сталій додатній величині.
Щоб визначити частоти зрізу, розрахуємо систему рівнянь
13EMBED Equation.31415 (27-28)
Враховуючи, що 13EMBED Equation.31415 знайдемо
13EMBED Equation.31415 (29)
Відповідно рівнянню (27) запишемо
13EMBED Equation.31415,

звідки знаходимо першу частоту зрізу (нижню межу зони пропускання), а саме
(1=0.
Далі, відповідно до рівняння (28) дістанемо
13EMBED Equation.31415,
звідки знаходимо другу частоту зрізу (верхню межу зони пропускання), а саме:
13EMBED Equation.31415 (30)
Отже, зона пропускання низькочастотного фільтра розташована у смузі низьких частот від (1=0 до 13EMBED Equation.31415.
Перейдемо до рівнянь частотних характеристик.
Амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) у зоні пропускання a(()=0, а у зоні непропускання визначається рівнянням
13EMBED Equation.31415
У фільтра низьких частот
13EMBED Equation.31415
Отже,
13EMBED Equation.31415 (31)
Якщо ввести поняття відносної частоти
13EMBED Equation.31415 (32)
то рівняння АЧХ низькочастотного фільтра у зоні непропускання набуває вигляду
13EMBED Equation.31415 (33)

75

76

На рис. 4 зображено АЧХ низькочастотного фільтра

Рис. 4
Фазочастотна характеристика (ФЧХ) низькочастотного фільтра у зоні пропускання визначається рівнянням
13EMBED Equation.31415 (34)
Оскільки
13EMBED Equation.31415
коефіцієнт фази ФЧХ у зоні непропускання дорівнює 180( (рис. 5)

Рис. 5

Характеристичний опір низькочастотного фільтра залежить від його схеми.
Для Т-схеми з урахуванням того, що поздовжній опір дорівнює Z1/2, а поперечний – Z2, характеристичний опір
13EMBED Equation.31415 (35)
У зоні пропускання (<1, тому характеристичний опір буде суто активним. Відносна частота ( у зоні непропускання більша від одиниці ((>1), а значить характеристичний опір
13EMBED Equation.31415
має індуктивний характер. Залежність 13EMBED Equation.31415 зображена на рис. 6

Рис. 6
Для П-схеми з урахуванням того, що поздовжній опір дорівнює Z1, а поперечний – 2Z2 характеристичний опір
13EMBED Equation.31415 (36)

77

78

У зоні пропускання ((<1) цей опір суто активний, а у зоні непропускання ((>1), суто ємнісний
13EMBED Equation.31415
Залежність 13EMBED Equation.31415 зображена на рис. 7
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 7
Як випливає з виразів (35) і (36) та рис. 6, 7, при малих значеннях частот характеристичний опір змінюється мало й близький до значення 13EMBED Equation.31415. З наближенням частоти до (з(((1) значення 13EMBED Equation.31415, а 13EMBED Equation.31415. Тому, коли навантаження узгоджено з низькочастотним фільтром на частоті (=0, узгодження дійсне у досить широкому діапазоні частоти, оскільки значення Zoт та Zоп мало відрізняються від значення 13EMBED Equation.31415.
Для обчислення параметрів низькочастотного фільтра використовують систему рівнянь

13EMBED Equation.31415 (37)
13EMBED Equation.31415 (38)
Якщо, наприклад, задають зону пропускання від (1=0 до 13EMBED Equation.31415 та параметр Rн=(, то з наведених рівнянь знаходять параметри
13EMBED Equation.31415 (39)
13EMBED Equation.31415 (40)

30 Високочастотні фільтри типу k
Високочастотні фільтри – це такі, які пропускають у навантаження високі частоти, починаючи від (1 і до (2=(.
Поздовжній елемент такого фільтра повинен бути ємністю, щоб не пропускати у навантаження низькі частоти. Увімкнення у поперечне плече індуктивності приводить до зменшення провідності для високих частот і зростання її для низьких частот.
Високочастотні фільтри можуть бути складені за Г-, чи Т-, чи П-подібної ланки (рис. 1, 2, 3).

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Тут Z1=1/j(C; Z2=1/j(L. Високочастотний фільтр також становить фільтр типу k, оскільки
13EMBED Equation.31415

79

80

Для визначення ширини зони пропускання знайдемо значення
13EMBED Equation.31415 (1)
Прирівнюючи до нуля вираз (1), дістанемо частоту (2
13EMBED Equation.31415, (2)
звідки
(2=(.
Частоту зрізу визначимо за допомогою рівняння
13EMBED Equation.31415 (3)
звідки
13EMBED Equation.31415 (4)
Амплітудно-частотна характеристика у зоні пропускання визначається рівнянням a(()=0, а в зоні непропускання –
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415 (5)
На рис. 4 зображено амплітудно-частотну характеристику високочастотного фільтра
Фазочастотна характеристика у зоні пропускання змінюється від -180( до 0 за законом
13EMBED Equation.31415 (6)


Рис. 4
Рівняння (6) свідчить, що фазовий кут b від`ємний у зоні пропускання і тому напруга (чи струм) на виході випереджає напругу (чи струм) на вході.
На рис. 5 зображено ФЧХ високочастотного фільтра.

Рис. 5
Залежність характеристичного опору від частоти визначається схемою фільтра.
Для Т-подібної схеми
13EMBED Equation.31415 (7)
Для П-подібної схеми
13EMBED Equation.31415 (8)

81

82

При (>1, тобто у зоні пропускання опори Zoт та Zоn суто активні. У зоні непропускання Zoт буде ємнісним, оскільки (<1, 1/(2>1 і вираз 1-1/(2 буде від`ємним. Дійсно, якщо нерівність (<(з глибока, то під коренем у формулі (7) можна відкинути одиницю. Тоді формула для Zот набуде вигляду
13EMBED Equation.31415 (9)
Змінюючи у (8) ( на 13EMBED Equation.31415, ( на 13EMBED Equation.31415 та (з на 13EMBED Equation.31415, знайдемо
13EMBED Equation.31415 (10)
Як бачимо, при досить низьких частотах Zот наближується до опору поздовжнього плеча фільтра, ємністю 2С.
Залежність Zот від частоти зображено на рис. 6.

Рис. 6.
Для П-схеми високочастотного фільтра при (<(з можна знехтувати одиницею під коренем формули (8), що приводить до рівняння.

13EMBED Equation.31415 (11)
При тих же замінах, що й раніше, дістанемо
13EMBED Equation.31415 (12)
Характеристичний опір Zоп при низьких частотах наближається до опору поперчного плеча, індуктивністю 2L. Залежність Zоп від частоти зображено на рис. 7.

Рис. 7
При обчисленні параметрів високочастотних фільтрів звичайно задають зону пропускання (від (з до (), тобто частоту зрізу 13EMBED Equation.31415 та опір навантаження Rн, який у режимі узгодження дорівнює характеристичному опору 13EMBED Equation.31415 при (=(. Із наведених рівнянь випливає
13EMBED Equation.31415

83

84

31 Смугові фільтри типу k
Смуговим називається фільтр, сформований каскадним з`єднанням низькочастотного та високочастотного фільтрів, який пропускає у навантаження вузький діапазон частот від (1 до (2. Поздовжні опори ФНЧ та ФВЧ у смуговому фільтрі з`єднуються послідовно, а поперечні – паралельно.
На рис. 8, 9, 10 зображені Г-, Т-, П-схеми смугового фільтра.


Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10
Визначимо опори Z1 та Z2. Отже
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (13)
13EMBED Equation.31415

13 EMBED Equation.3 1415 (14)
де
13EMBED Equation.31415
У смугового фільтра резонансні частоти послідовного та паралельного коливальних контурів збігаються, а це означає, що
13EMBED Equation.31415 (15)
Ураховуючи, що зона пропускання фільтра визначається нерівністю
13EMBED Equation.31415
чи
13EMBED Equation.31415
знайдемо значення виразу Z1/2Z2 смугового фільтра
13EMBED Equation.31415 (16)
Отже, зона пропускання смугового фільтра визначається границями
13EMBED Equation.31415, (17)
звідки при верхній границі (+1) дістаємо
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;

85

86

13EMBED Equation.31415; (18)
тобто частота (о належить смузі пропускання фільтра.
При нижній границі (-1) маємо
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415 (19)
Корені квадратного рівняння (19) є граничними частотами смуги пропускання фільтра і визначаються як
13EMBED Equation.31415 (20)
13EMBED Equation.31415 (20)
де 13EMBED Equation.31415. У діапазоні частот від 0 до (1 смуговий фільтр поводиться як високочастотний, оскільки для низьких частот поздовжня ділянка з індуктивністю має практично нульовий опір, а опір ділянки – з ємністю нескінченно великий.
При частотах, більших від (2, смуговий фільтр поводиться як низькочастотний, оскільки у поздовжньому плечі головну роль відіграє індуктивний опір. Частотна характеристика a(() відображена на рис. 11.
Рівняння амплітудно-частотної характеристики a(() у зоні пропускання смугового фільтра має вигляд
13EMBED Equation.31415 (22)


Рис. 11
У зоні пропускання рівняння фазочастотної характеристики має вигляд
13EMBED Equation.31415 (23)
Як видно, при (=(0 b=0. Оскільки у діапазоні частот від 0 до (1 смуговий фільтр поводиться як високочастотний у зоні згасання , b=-180(. У діапазоні частот від (1 до (0 маємо зону пропускання, в якої коефіцієнт фази змінюється від -180( до 0( за рівнянням (11), залишаючись увесь час від`ємним. У смузі частот від 0 до (2 розташована зона пропускання низькочастотного фільтра. З частоти (2 починається зона непропускання, де b=180(. На рис. 11 побудована фазочастотна характеристика смугового фільтра.

Рис. 12

87

88

Визначимо характеристичні опори смугових фільтрів у випадку П-схеми та у випадку Т-схеми. Тоді матимемо:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (24)
для П-схеми
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (25)
Частотні залежності характеристичних опорів смугових фільтрів за цими виразами побудовано на рис. 13

Рис. 13

Як видно з рис. 13, при 0((((1 характеристичний опір Zoп – індуктивний, а Zот – ємнісний; при (2(((( – навпаки. У зоні пропускання характеристичний опір Zо смугових фільтрів, як і в усіх інших фільтрів, теж резистивний. Також поблизу резонансної частоти (о характеристичні опори Zот та Zоn змiнюються незначно, що практично забезпечує достатнiй рівень узгодження цих фiльтрiв з навантаженнями.
Параметри смугових фiльтрiв визначаються за вiдомими значеннями частот (1, (2 та параметра 13EMBED Equation.31415. Отже, маємо 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415. Звiдси знаходимо
13EMBED Equation.31415 (26)
13EMBED Equation.31415 (27)
13EMBED Equation.31415 (28)
13EMBED Equation.31415 (29)

32 Загороджувальні фільтри типу k
Загороджувальним фільтром називається фільтр, зона прозорості якого розрізана на дві частини зоною згасання.
Ці фільтри, як і смугові, формуються суміщенням низько- та високочастотного фільтра. Тут тільки поздовжні ланки з`єднуються паралельно, а поперечні – послідовно. На рис. 1, 2 та 3 зображено Г-, Т-, П-схеми загороджувальних фільтрів.
Власне всі теоретичні положення та метод аналізу й обчислення параметрів смугових фільтрів беззастережно застосовані щодо загороджувальних фільтрів. Отже, детальні перетворення

89

90

тут недоречні.

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Тут теж існує рівняння

13EMBED Equation.31415 (3)
Зона пропускання визначається нерівністю
13EMBED Equation.31415
де
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Отже, зона пропускання загороджувального фільтра визначається границями
13EMBED Equation.31415 (5)
звідки при верхній границі (+1) знаходимо
13EMBED Equation.31415
(1((; (4((; (6)
При нижній границі (-1) дістанемо
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (7)

91

92

Корені квадратного рівняння (7) є граничними частотами смуги пропускання фільтра і визначаються як
13EMBED Equation.31415 (8)
13EMBED Equation.31415 (9)
За рівняннями a((((( у зоні пропускання та
13EMBED Equation.31415 (10)
у зоні непропускання на рис. 4 побудована амплітудно-частотна характеристика загороджувального фільтра.

Рис. 4
У діапазоні частот від (((( до (0 загороджувальний фільтр поводить себе як низькочастотний, а від (0 до (((( – як високочастотний.
Фазочастотна характеристика (рис. 5) також складається з двох частин. Перша частина – цє характеристика низькочастотного фільтра у зоні пропускання від (1=0 до (2 та у зоні згасання від (2 до (о. Друга частина – характеристика високочастотного фільтра у зоні непропускання від (о до (3 та у зоні пропускання від (3 до (4=(.


Рис. 5
Визначимо характеристичні опори загороджувальних фільтрів для Т- та П-схем. Тоді матимемо:
для Т-схеми
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (11)
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (12)
де (((/(о.

93

94

За рівнянням (11) та (12) на рис. 6 побудовано частотні залежності характеристичних опорів.

Рис. 6
Параметри загороджувальних фільтрів визначаються за відомими значеннями частот (2 та (3, а також параметра 13EMBED Equation.31415. Отже, маємо
13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415.
Звідси знаходимо
L2= (/2 ((((((); С2(((((((()/((((((
L1=2((((((()/((((; С1=1/2((((((().

33 Фільтри типу m
Усі недоліки фільтрів типу k можна звести до двох.
1. Характеристичні опори Zon і Zот фільтрів типу k у зоні пропускання значно залежать від частоти. Умови проходження різних частот у цій зоні різні.
2. Зони пропускання та непропускання у фільтрів типу k розділяються недостатньо різко. Крутість a((( на границях цих зон досить мала.

Тому, щоб послабити вплив частоти на характеристичні опори, збільшити крутість частотної залежності коефіцієнта поширення g, або забезпечити його задане значення при певній частоті, застосовують фільтри типу m. Їх часто використовують спільно з k-фільтрами. Як правило, фільтри типу m формують за Г-схемою.
Зауважимо, що m-фільтри звичайно несиметричні, тому визначаються двома характеристичними опорами: Zот – з боку полюсів 1-1( Г-схеми та Zon – з боку полюсів 2-2( (рис. 7).

Рис. 7
Розглянемо перший варіант формування Г-схеми фільтра типу m. У цьому випадку припускають, що характеристичні опори Zот у нової Г-подібної ланки фільтра типу m та у його прототипу – Г-подібної ланки фільтра типу k – рівні (рис. 8).

Рис. 8
З умови рівності характеристичних опорів запишемо
13EMBED Equation.31415 (13)
Приймають, що
13EMBED Equation.31415 (14)
де 1(m((.

95

96

Якщо підставити (14) у (13) та розв`язати отримане рівняння відносно Z2m, будемо мати
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415,
звідки
13EMBED Equation.31415 (15)
З виразу (15) випливає, що поперечне плече отриманого нового Г-подібного m-фільтра складається з двох послідовно з`єднаних опорів Z2/m та (1-m2)Z1/4m (рис. 9)

Рис. 9
Ланка (рис. 9) типу m, що сформована у такий спосіб, називається послідовно-утвореною.
З`ясуємо тепер головне питання: яким буде характеристичний опір Znm cформованої ланки з боку П-входу (рис. 9).
13EMBED Equation.31415 (16)
З урахуванням (14) та (15) визначимо
13EMBED Equation.31415 (17)

Отже,
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (18)
На рис. 10 зображена родина залежності відносного характеристичного опору k/Znm чи Ztm/k від параметра 13EMBED Equation.31415, який дорівнює (з/( для високочастотних фільтрів.
Як видно з рис. 10, вдалий вибір параметра m забезпечує досить рівномірний хід кривої. Особливо незначні зміни Znm в залежності від частоти при m=0,59. Тільки при частотах, які безпосередньо торкаються частоти зрізу Znm, з великою крутістю прямує до нескінченності.
Ширина зони пропускання фільтра типу m визначається так само, як і k-фільтра. Дійсно, із (15) видно, якщо Z1/4Z2=0, то і Z1m/4Z2m, також дорівнює нулеві. Якщо Z1/4Z2=-1, то і Z1m/4Z2m=-1.
Згасання m-фільтра у зоні непропускання визначається параметром Z1m/4Z2m подібно до того, як згасання фільтра типу k визначається параметром Z1/4Z2. Якщо цей параметр не знаходиться у межах –1(Z1/4Z2(0, то фільтр працює в зоні непропускання.
Як видно з (17), на тій частоті, при якій 1+(1-m2)Z1/4Z2=0, параметр Z1m/4Z2m і з ним згасання стають нескінченно великими. Ця властивість належить тільки фільтру типу m, тому що у поперечному плечі послідовно увімкнені два паралельних опори різ-

97

98



Рис. 10
них знаків. При частоті, коли 1+(1-m2)Z1/4Z2=0 настає резонанс, поперечне плече стає шунтом і згасання а прямує до нескінченності (а(().

Рис. 11

На рис. 11 побудовано сім`ю амплітудно-частотних характеристик при різних значеннях m. Із зменшенням m частота, при якій а((, наближається до граничної частоти, а тому крутість кривої а((( на границі зон пропускання та згасання дуже велика, значно більша, ніж у k-фільтра (m=1). Але при частотах, які значно відрізняються від тої, при якій а((, крутість кривої а((( значно менша, ніж у фільтра типу k. З метою компенсації цього недоліка формують складні фільтри, які складені із послідовно з`єднаних ланок типу m та типу k.
Розглянемо тепер другий спосіб формування Г-ланки типу m. Припустимо, що однакові будуть характеристичні опори Zon (рис. 12).

Рис. 12
З умови рівності характеристичних опорів запишемо
13EMBED Equation.31415 (19)
Приймають
13EMBED Equation.31415 (20)
Якщо підставити (20) у (19) та розв`язати отримане рівняння відносно Z1m, то дістанемо
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (21)

99

100

Отже, поздовжне плече отриманої Г-ланки m-фільтра складається з двох паралельно з`єднаних опорів mZ1 та 4mZ2/1-m2 (рис. 13). Г-ланка типу m, отримана в такий спосіб, називається паралельно-утвореною.

Рис. 13
Характеристичний опір
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
13EMBED Equation.31415 (22)
Криві на рис. 10 визначають також характеристичний опір Znm. Частотні характеристики, які зображені на рис. 11, беззастережно застосовані до паралельно-утворених ланок.

7.7. Низькочастотний фільтр типу m
Принципи конструювання та функціювання фільтрів типу m розглянемо на прикладі низькочастотного фільтра, сформованого за допомогою послідовно-утвореної ланки (рис. 1).


а б
Рис. 1
Суміщенням двох Г-ланок утворюють Т- або П-схему фільтра (рис. 2)

а б
Рис. 2
Враховуючи, що
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415,
знайдемо
13EMBED Equation.31415

101

102

13EMBED Equation.31415 (1)
Частота нескінченно великого згасання (( визначається рівнянням
13 EMBED Equation.3 1415
звідки
13EMBED Equation.31415 (2)
Залежність а(f(() була зображена на рис. 11 у розділі 7.6. Відкладена на осі абсцис величина 13EMBED Equation.31415 для ФНЧ дорівнює (((/(з. Фазочастотна характеристика ФНЧ типу m зображено на рис. 3.

Рис. 3
У зоні непропускання на дільниці, де 1(((( величина
13EMBED Equation.31415
менша від нуля, тому b((. При (((( Z1m/4Z2m>0 і завдяки цьому b=0.

Щоб позбавитись недоліків у фільтрах типу k та типу m формують складні фільтри, як суміщення фільтрів двох типів. На рис. 4 зображена схема фільтра, складеного з двох послідовно-утворених Г-ланок типу m та одного Т-фільтра типу k.

Рис. 4
Відносно полюсів 3-3( та 4-4( забезпечено узгодження ланок: характеристичні опори з обох боків дорівнюють ZоT. Характеристичний опір складного фільтра, завдяки кінцевим ланкам типу m, дорівнює Zmп.
Згасання складного фільтра визначається за формулою:
а=ак+аm,
де ак – згасання Т-фільтра;
аm – згасання Г-ланки типу m.
На рис. 5 зображено криві ак, аm та а в залежності від (. Легко бачити, що згасання а(() складного фільтра різко зростає при переході через граничну частоту. Цю властивість складного фільтра забезпечує Г-ланка типу m. На високих частотах згасання складного фільтра також досить велике. Цю особливість утворює Т-фільтр типу К.
Головним завданням Г-ланок типу m створити умови, щоб характеристичний опір у зоні прозорості змінювався незначно. Це поліпшує узгодження даного опору з навантаженням.
За розглянутою методикою можна побудувати іншї фільтри: високочастотні, смугові та загорождувальні.

103

104


Рис. 5

Тема 8. Перехідні процеси лінійних кіл з зосередженими параметрами
8.1. Вихідні положення
Перехідним процесом електричного кола називають електромагнітний процес, який відбувається у колі під час переходу від одного усталеного режиму до іншого. Зміна режиму кола може настати тільки через зміну його структури (вмикання, вимикання, коротке замикання віток) або зміну фізичних величин (значень ЕРС, ДС, параметрів елементів), оскільки саме структурою та фізичними величинами однозначно визначається усталений режим. Такі зміни називають комутацією. У схемі комутація, позначається як зображено на рис. 1 та рис. 2. До цього часу усталеним режимом називали режим постійного струму, або режим періодичного (зокрема синусоїдального) струму. Режим відсутності струму у вітці тепер будемо називати теж усталеним.

Рис. 1 Рис. 2

Електромагнітні процеси лінійних електричних кіл зі сталими параметрами у загальному випадку описуються системами лінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Для визначення усталеного режиму треба знайти окремий розв`язок системи таких рівнянь. Здійснюється це, як правило, за допомогою комплексного методу.
Визначення перехідного процесу базується на загальному розв’язкові системи диференціальних рівнянь (або на загальному інтегралові), яке складається з окремого розв`язка неоднорідного диференціального рівняння електромагнитного процесу у колі з моменту комутації та загального розв’язку однорідного рівняння, отриманого з неоднорідного шляхом прирівняння до нуля правої частини. Окремий розв`язок надалі будемо називати вимушеною складовою. Загальний розв’язок – вільною складовою.
Далі з`ясуємо, як визначають початкові умови під час розв`язування системи диференціальних рівнянь, які описують перехідний процес у колі із зосередженими параметрами.
Комутація в електричному колі в реальних умовах відбувається протягом певного, хоч і короткого часового інтервалу (t. Для спрощення задачі припускають, що комутація здійснюється раптово, тобто (t(0. Початок відліку часу t=0 приймають у момент комутації. Час, що безпосередньо прилягає до моменту комутації зліва, позначають t=0(, а справа – t=0+ (рис. 3).

Рис. 3
В електричних колах миттєва потужність не може досягати нескінченного значення. У природі не існує такого джерела живлення, потужність якого була би нескінченно велика. Через це 13EMBED Equation.31415. Це означає, що в елементах електричного кола енергія електричного та магнітного полів не може змінювати-

105

106

ся стрибкоподібно. Отже, у момент комутації енергія полів кола дорівнює їх енергії у момент часу безпосередньо до комутації, тобто
W(0()=W(0() (1)
Оскільки енергія магнітного поля
13EMBED Equation.31415,
рівняння (1) можна записати через струм у індуктивності
іL(0()=iL(0() (2)
Рівняння (2) виражає перший закон комутації, який можна сформулювати так: струм у індуктивності безпосередньо після комутації має таке значення, як і безпосередньо до комутації.
Енергія електричного поля
13EMBED Equation.31415 (3)
Отже, рівняння (3) можна записати через напругу на ємності
uc(0()=uc(0() (4)
Рівняння (4) виражає другий закон комутації, який формулюється як: напруга на ємності безпосередньо після комутації має таке значення, як і безпосередньо до комутації. При прийнятій математичній імітації перехідних процесів допускаються стрибки напруг на індуктивностях, струмів у ємностях, а також напруг та струмів у резистивних елементах.
Закони комутації покладено в основу визначення початкових умов при розв`язуванні задачі аналізу перехідних процесів електричних кіл. Якщо до комутації струми в індуктивностях та напруги на ємностях не дорівнювали нулеві, тобто іL(0()((, uc(0()(0, то говорять, що наявні ненульові початкові умови. Коли іL(0()((, uc(0()=0, то наявні нульові початкові умови.
На завершення викладання вихідних положень зазначимо, що теорія кіл нараховує декілька методів аналізу перехідних процесів. Назва методу збігається з назвою математичного методу розв`язку неоднорідних диференціальних рівнянь.

Отже, у теорії кіл існують: класичний метод, операторний метод, метод інтеграла Дюамеля та спектральний метод. У курсі ОТК будемо вивчати три перших методи. Останній – залишимо для курсу “Сигнали та процеси у радіотехніці”.
Перехідні процеси дуже короткочасні. У радіотехніці час перехідного процесу в середньому складає соті й майже тисячні долі секунди. Але за цей короткий час у колі трапляються перенапруги і струми досягають великих значень. З другого боку, необхідність вивчення теорії перехідних процесів диктується тим, що, як правило, перехідний процес у радіотехніці є робочим.

8.2. Вимушений та вільний режими
Отже, задача аналізу перехідного процесу електричного кола із зосередженими параметрами зводиться до розв`язання неоднорідних диференціальних рівнянь зі звичайними похідними, які складаються за законами Кірхгофа.
Наприклад, перехідний режим у колі (рис. 1) описується рівнянням

Рис. 1
13EMBED Equation.31415 (1)
або
13EMBED Equation.31415 (2)
або
13EMBED Equation.31415 (3)

107

108

З курсу математики відомо, що загальний інтеграл такого рівняння складається з окремого розв’язку неоднорідного рівняння (3) та загального розв’язку однорідного рівняння.
Окремий розв’язок, становить вимушений режим, тобто відгук кола на збурення. Якщо збурення є періодичною функцією часу або стале в часі, то вимушений струм і( буде одночасно й усталеним, а саме:
і(=іуст (4)
Тому, для визначення вимушеної складової загального розв’язку, як усталеного значення можна застосувати всі відомі методи та правила усталеного режиму.
Загальний розв`язок однорідного рівняння, одержаного з (3) прирівнянням його правої частини до нуля, визначає поведінку кола у перехідному процесі при відсутності зовнішніх збурень. Ця поведінка зумовлена зміною початкового запасу енергії в полях кола. Розв`язок однорідного рівняння називають вільною складовою.
У нашому прикладі однорідне рівняння має вигляд:
13EMBED Equation.31415 (5)
Йому відповідає характеристичне рівняння
13EMBED Equation.31415 (6)
Розв’язок рівняння (5) записується у вигляді
13EMBED Equation.31415 (7)
де А1 та А2 – сталі інтегрування, які визначаються за початковими умовами; р1 та р2 – корені характеристичного рівняння.
Шуканий струм перехідного процесу у колі на рис. 1 дорівнює
і=і(+і(( (8)
За аналогією зі струмом можна визначити напругу, заряд, магнітний потік та інші функції на будь-якій ділянці кола у перехідному процесі.
Початкові значення струму в індуктивності іL(0) та напруги на ємності uс(0) визначаються за законами комутації.

При t=0 рівняння (8) запишеться у вигляді:
13EMBED Equation.31415 (9)
для струму у індуктивності
13EMBED Equation.31415 (10)
для напруги на ємності.
З рівнянь (9) та (10) знайдемо
13EMBED Equation.31415 (11)
13EMBED Equation.31415 (12)
В окремому випадку при нульових початкових умовах
13EMBED Equation.31415 (13)
13EMBED Equation.31415 (14)
У залежності від порядку диференціальних рівнянь, які описують перехідні процеси, розрізняють кола першого, другого та більш високого порядку.
Якщо накопичення енергії відбувається тільки в одному елементі кола: чи в L, чи в С, то таке коло відноситься до кіл першого порядку.
Одноконтурне коло, де накопичення енергії відбувається у електричному та магнітному полях, відноситься до кіл другого порядку.
Розглянемо кола з елементами R, L та R, C, оскільки такі кола з погляду теорії та методології перехідних процесів є опорними.

3 Перехідний процес під час вмикання кола R, L на сталу ЕРС
Перехідний процес у колі, що зображено на рис. 2., описує диференціальне рівняння першого порядку, складене за другим законом Кірхгофа.

Рис. 2

109

110

13EMBED Equation.31415 (15)
1. Рішення будемо шукати у вигляді
13EMBED Equation.31415 (16)
2. Вимушений струм визначимо як усталений струм методом аналізу усталеного режиму
13EMBED Equation.31415 (17)
3. Вільний струм як загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння шукаємо у вигляді
13EMBED Equation.31415 (18)
4. Для визначення коренів р складемо характеристичне рівняння за таким алгоритмом.
4.1. Запишемо вираз комплексного опору кола
Z(j()=R+j(L (19)
4.2. Зробимо замiну j( на р
Z(p)=R+pL (20)
4.3. Прирівняємо Z(p) до нуля й отримаємо характеристичне рівняння
R+pL=0, (21)
Звідки його корінь
p=-R/L, c-1 (22)
5. Для визначення сталої інтегрування А запишемо рівняння (2) в момент часу t=0
13EMBED Equation.31415 (23)
звідки
13EMBED Equation.31415 (24)
Шуканий струм і(0) знайдемо за першим законом комутації
13EMBED Equation.31415 (25)
Щоб знайти вимушений струм і( в момент часу t=0, необхідно у вираз для і( підставити t=0. Отже,
13EMBED Equation.31415 (26)

Тепер стала інтегрування
13EMBED Equation.31415 (27)
6. З урахуванням (3), (8) та (13) перехідний струм дорівнює
13EMBED Equation.31415 (28)
7. Визначимо напруги на елементах кола
13EMBED Equation.31415 (29)
13EMBED Equation.31415 (30)
На рис. 3 побудовано зміни в часі величин i, uL, ua за їх виразами (28)-(30). Як випливає з рисунка, струм і є неперервною функцією часу. Оскільки напруга на опорі ua=Ri, вона також неперервна. Напруга на індуктивності має розрив у момент комутації.

Рис. 3
Величину (=L/R називають сталою часу кола R, L. За час (, як видно з (28)-(30), струм і напруги зростають в е=2,73 раза. Чим більша стала часу, тим повільніше змінюються величини в перехідному процесі кола.
Формально у відповідності з (28)-(30) перехідний процес триває нескінченно довго. Насправді він практично припиняється протягом часу t=4(5(. За цей час величина перехідного струму або напруги досягає 0,98 значення усталеного струму або напруги. Стала часу ( дорівнює довжині піддотичної в будь-якій точці кривої перехідного струму або напруги (рис. 3).

111

112

8.4. Перехідний процес під час вмикання кола R, L на синусоїдну напругу
Коло, яке зображено на рис. 4, вмикається на синусоїдну напругу u=Umsin((t((u). Відповідно до наведеного (в п.8.3.) алгоритму задачу розв`язуємо в такій послідовності:
1. Перехідний струм визначаємо у вигляді
і=і(+i( (31)
2. Для скомутованого кола вимушений струм дорівнює усталеному. Його будемо визначати комплексним методом.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (32)

Рис. 4
3. Вільний струм визначаємо у вигляді:
і(=Аерt
4. Знаходимо характеристичне рівняння та його корені
Z(j()=R+j(L;
j(=р;
Z(p)=R+pL;
R+pL=0;
13EMBED Equation.31415 (34)
5. Визначимо сталу інтегрування
і(0)= і((0)+ і((0)= і((0)+А;
А= і(0)- і((0);
і((0)= іL(0-)= іL(0+)=0;

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
6. Знайдемо перехідний струм
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
На рис. 5 побудовано залежності і((t), і((t), і(t) за їх виразами.
В момент комутації і((0)=-і((0).

Рис. 5
Найбільшого значення струм і досягає при (u(((((/2. Максимальне значення перехідного струму не перевищує подвійної амплітуди усталеного режиму кола (і=іmax(2Іm). Перехідний процес взагалі не виникає при (u=(.

113

114

5 Перехідний процес під час вмикання кола R, C на сталу ЕРС
Рівняння електромагнітного процесу для кола, що зображено на рис. 1, має вигляд
Ri+uc=U (1)
Підставивши у (1) значення струму через ємність С
13EMBED Equation.31415 (2)
дістанемо
13EMBED Equation.31415 (3)

Рис. 1
За наведеним алгоритмом задачу розв`язуємо у такій послідовності:
1. Напругу перехідного процесу визначаємо у вигляді
13EMBED Equation.31415 (4)
2. Для скомутованого кола вимушена напруга дорівнює усталеній
13EMBED Equation.31415 (5)
3. Вільна напруга визначається у вигляді
13EMBED Equation.31415 (6)
4. Знайдемо характеристичне рівняння та його корені
13EMBED Equation.31415 (7)
j(=p;
13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (8)
5. Визначимо сталу інтегрування
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415;
Припустимо, що у нескомутованому колі напруга uc дорівнювала нулеві. Тоді за другим законом комутації будемо мати
uc(0)= uc(0+)=uc(0-)= 0;
Вимушена напруга при t=0 визначається з рівняння
13EMBED Equation.31415;
З таких умов стала інтегрування
А=0-U=-U (9)
6. Напруга на ємності у перехідному процесі визначається як
13EMBED Equation.31415 (10)
7. Перехідні струм кола й напруга на резисторі
13EMBED Equation.31415 (11)
13EMBED Equation.31415 (12)
На рис. 2 побудовано зміни в часі величин і, uc, ua.

Рис. 2

115

116

Стала часу кола R, C
(=R(C (13)
є довжиною піддотичної (рис. 2).

6 Перехідний процес під час вмикання кола R, C на синусоїдну напругу
Для кола, схему якого показано на рис. 1, відповідно до алгоритму, задачу розв`язуємо в такій послідовності:
1. Загальним розв`язком рівняння електромагнітного процесу кола є
13EMBED Equation.31415 (14)
2. У скомутованому колі вимушена напруга визначається як
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (15)
3. Визначаємо вільну напругу у вигляді
13EMBED Equation.31415 (16)
4. Визначаємо характеристичне рівняння та його корені у такій послідовності:
13EMBED Equation.31415
j(=p
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (17)
5. Для визначення сталої інтегрування А маємо рівняння
13EMBED Equation.31415;

13EMBED Equation.31415;
uc(0)= uc(0+)=uc(0-)= 0;
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (18)
6. Напруга на конденсаторі у перехідному процесі визначається як
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (19)
де стала часу (=R(C.
7. Перехідний струм кола
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (20)
На рис. 3 побудовано перехідні струм і напругу під час вмикан-

117

118

ня кола на синусоїдну напругу.

Рис. 3
Як випливає з (19) і (20) можливі такі характери перехідного процесу:
1. Якщо у момент комутації (u((((/(((, тобто при фазі вмикання напруги джерела (u=(+(/(, вільна складова 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 – режим кола усталюєтся без перехідного процесу.
2. Якщо вмикання кола з елементами R, C настає при (u=(, то вільна складова напруги буде найбільшою. Максимальна напруга uc на конденсаторі в перехідному процесі досягає подвійної амплітуди Um напруги джерела. Вільний струм при цьому набуває значення 13EMBED Equation.31415. При R((Хс має місце великий сплеск струму в момент вмикання кола, що набагато перевищує амплітуду струму 13EMBED Equation.31415.

8.7. Перехідні процеси кола при послідовному з`єднанні елементів R, L, C
Коло з послідовним з`єднанням елементів R, L, C, (рис. 1) що вмикається до джерела з ЕРС е(t), аналізується з допомогою рівняння
13EMBED Equation.31415 (21)

яке після диференцювання стає диференціальним рівнянням другого порядку відносно струму і
13EMBED Equation.31415 (22)
Відповідне йому характеристичне рівняння визначим за вiдомим методом
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (23)

Рис. 4
Характеристичне рівняння (23) має два корені
13EMBED Equation.31415 (24)
де ((R((L; 13EMBED Equation.31415 – резонансна частота послідовного коливального контура.
Отже, вільний струм дорівнює
13 EMBED Equation.3 1415 (25)
Перехідний струм і визначається у вигляді

119

120

13 EMBED Equation.3 1415 (26)
Вимушений струм і(=iуст. визначається, як видомо, діючій ЕРС е(t).
Припустимо, що ЕРС джерела стала
е(t)=E (27)
Конденсатор був попередньо заряджений
Uc(0)=U0 (28)
Завдяки індуктивності при послідовному з`єднанні R, L, C початкове значення струму
і(0)=0 (29)
Рівняння кола в момент комутації (t=0) записується у вигляді
13EMBED Equation.31415 (30)
звідки
13EMBED Equation.31415 (31)
Вимушений струм у випадку е(t)=E дорівнює нулеві, оскільки ємність становить нескінченно великий опір постійному струму. Диференцюємо (6) і дістанемо
13EMBED Equation.31415 (32)
При t=0 рівняння (26) набуває вигляду
А1+А2=0, (33)
а (32)
13EMBED Equation.31415 (34)
З розв`язку системи (33), (34) та з урахуванням (31) дістанемо
13EMBED Equation.31415 (35)
Отже,
13EMBED Equation.31415 (36)

Корені характеристичного рівняння можуть бути дійсними різними чи однаковими (кратними), або комплексно-спряженими. Від того, якими будуть корені залежить характер вільного процесу у колі. Розглянемо окремо три випадки.
1. Корені дійсні різні. Це має місце при умови (((0, тобто R/2L(13EMBED Equation.31415, чи 13EMBED Equation.31415, де (-характеристичний опір контура R, L, C.
Оскільки p1((, p2((, а також |p2| (|p1| при зміні t від 0 до ( значення ехр(р1t), ехр(р2t) зменшуються від 1 до 0, причому різниця ехр(р1t)-ехр(р2t) завжди додатна. Отже, струм не змінює свого напряму й при заданому умовно-додатному спрямуванні весь час від`ємний. Відповідно напруга uc весь час додатна. На рис. 5 побудовано зміну в часі і, uc, з яких випливає, що перехідний процес за наведеної умови ((((0) має аперіодичний характер.

Рис. 5
При t=tm струм досягає максимального значення. Надалі, аж до повного згасання процесу, його характер не змінюється.
2. Корені дійсні однакові (кратні). Це має місце з умови (((0, тобто 13EMBED Equation.31415, чи 13EMBED Equation.31415. Отже р1=р2=р=-(. У виразі (36) при цьому маємо невизначеність. Її розкриваємо за правилом Лопіталя, приймаючи, що величина р1 змінна й прямує до р2=-(. В результаті дістаємо
13EMBED Equation.31415 (37)

121

122

Як випливає з (37), характер перехідного процесу в цьому випадку не відрізняється від попереднього – він аперіодичний. Його звичайно називають граничним аперіодичним, оскільки далі (при (((0) процес стає коливальним.
3. Корені комплексно-спряжені. Це має місце при (((0, тобто при R(((. Позначимо 13EMBED Equation.31415. Тоді
р1,2=-((j((,
де (( називається кутовою частотою вільних коливань у колі R, L, C.
13EMBED Equation.31415 – період вільних коливань.
Підставляючи значення р1 та р2 у (36) дістанемо
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (38)

Рис. 6

Як випливає з рівняння (38), характер перехідного процесу – періодичний згасаючий. Огинаючими кривої струму є криві ((E-U0(/L((((exp(((t).
На рис. 6 побудована крива струму і. Чим менша (, тим частота (( наближається до частоти (0 – резонансної частоти контуру, а коливальний процес – до незгасаючих коливань.
Швидкість згасання коливального процесу оцінюють декрементом згасання ехр((Т(), або логарифмічним декрементом згасання
13EMBED Equation.31415 (39)

8.8. Аналіз перехідних процессів складних електричних кіл класичним методом
На прикладі опорних кіл (R, L та R, C) було викладено класичний метод аналізу перехідних процесів, сформований у вигляді шестикрокової логічної схеми розв`язування задачі.
Залишається лише обміркувати деякі окремі аспекти практичного застосування викладеного алгоритму, враховуючи набутий досвід його використання щодо розглянутих уже задач.
Як приклад, застосування класичного методу аналізу перехідного процесу складного лінійного кола зі сталими зосередженими параметрами розглянемо коло, схему якого зображено на рис. 1.

Рис. 1

123

124

Задачу будемо розв`язувати в такій послідовності:
1. Визначаємо вимушені струми та напруги до і після комутації. Будемо вважати, що ЕРС стала або є гармонічною функцією часу. Отже, вимушені складові треба визначати чи методами теорії кіл постійного струму, чи методами розрахунку усталеного режиму кіл гармонічного струму.
2. Визначення вільних струмів та напруг треба починати з утворення характеристичного рівняння. Для цього запишемо рівняння для вільних струмів за методом контурних струмів
13EMBED Equation.31415 (1)
Тепер систему диференціальних рівнянь треба алгебраїзувати за принципом, якщо і(=Aexp(pt), то 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
Отже
13EMBED Equation.31415 (2)
Система алгебричних рівнянь має розв’язок, якщо детермінант дорівнює нулеві, тобто
13EMBED Equation.31415 (3)
З (3) випливає, що р є корінь рівняння ((р(((. Само рівняння
((р(((. (4)

становить характеристичне рівняння третього порядку для кола, що розглядається.
Але, детермінант ((р) можна скласти не застосовуючи рівнянь для вільних струмів. Дійсно, у детермінанті (3) елементи є контурні та взаємні комплексні опори контурів після заміни у їх виразах j( на р. Отже, детермінант системи може бути складений подібно тому, як це робилось у розрахунках кіл змінного струму методом контурних струмів.
Розв’язок характеристичного рівняння (4) визначає три кореня р1, р2 ,р3.
Можливі декілька випадків щодо значень коренів.
1. Якщо корені р1, р2, р3 дійсні та різні, то
13EMBED Equation.31415.
2. Якщо корені р1, р2, р3 дійсні однакові (кратні), то
13EMBED Equation.31415
3. Якщо корінь р1 – дійсний, а р2 та р3 – комплексно-спряжені, то
13EMBED Equation.31415
Задачу будемо розв`язувати, вважаючи, що корені р1, р2, р3 – дійсні різні.
Для обчислення вільного струму, наприклад у вітці 1 необхідно визначити сталі інтегрування А1; А2; А3.
Запишемо вираз для перехідного струму і1:
13EMBED Equation.31415 (5)
Продиференціюємо (5) двічі і підставивши у них, як і в (5) t=0, дістанемо систему рівнянь:
13EMBED Equation.31415 (6)

125

126

У системі рівнянь (6) відомі 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, та 13EMBED Equation.31415, а також р1, р2, р3. Щоб визначити А1; А2; А3, треба знайти і1(0), di1/dt(0) та d2i1/dt2(0).
Запишемо рівняння для перехідних струмів за законами Кірхгофа
13EMBED Equation.31415(7)
Переписуємо систему (7) при t=0
13EMBED Equation.31415 (8)
У системі рівнянь (8) відомі і2(0)=і2(0-); uc1(0)=uc1(0-); uc2(0)=uc2(0-). Завдяки цьому з перших двох рівнянь знаходимо і1(0) та і3(0).
Перші два рівняння (7) диференціюємо, а третє залишаємо без зміни
13EMBED Equation.31415 (9)
При t=0 у рівняннях системи (9) відомі 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,. Тоді з третього знаходимо 13EMBED Equation.31415, а з перших двох

– 13EMBED Equation.31415, i 13EMBED Equation.31415. Продиференціюємо усі три рівняння системи (9), дістанемо
13EMBED Equation.31415 (10)
Якщо розглядати систему (10) у момент t=0 та врахувати, що відомими є початкові значення усіх струмів та їх перших похідних, то з третього знайдем 13EMBED Equation.31415, а з перших двох – 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415.
Тепер можна знайти сталі інтегрування А1, А2, А3 з розв’язку системи (6). Аналогічно визначаються перехідні струми і2 та і3. Та, якщо перехідні струми можна визначити за законами Кірхгофа безпосередньо, то цей шлях буде більш ефективним. У схемі на рис. 1 після визначення і1 можна знайти спочатку напругу u3, а потім струм і3. Струм і2 легко знайти за першим законом Кірхгофа.
Зрозуміло, якщо диференціальне рівнняння відносно шуканої величини має n-ий порядок, то для визначення сталих інтегрування треба знайти значення цієї величини та її n-1 похідних при t=0.
Формально розв`язування системи диференціальних рівнянь класичним методом не викликає жодних труднощів. Але при високих порядках диференціальних рівнянь (n>4) нема аналітичних методів визначення коренів їх характеристичного рівняння.

127

128

8.9. Аналіз перехідних процесів операторним методом
8.9.1. Основи операторного методу
Операторний метод грунтується на операторному зображенні функцій часу, похідних та інтегралів, що входять у диференціальні рівняння, які подалі будемо називати оригіналами. Зображення вибирають так, щоб операції диференцювання та інтегрування оригіналів замінялися алгебричними операціями над їх зображеннями. Цим інтегро-диференціальні рівняння для оригіналів перетворюються на алгебричні для їх операторних зображень.
Операторне перетворення функції часу f(t) в операторну функцію F(р) здійснюється в інтервалі часу 013EMBED Equation.31415 (11)
де р=((j( – комплексний оператор. Отже, F(p) – функція комплексного параметра.
Пряме перетворення Лапласа подають у загальному вигляді
13EMBED Equation.31415 (12)
Відповідність між операторним зображенням і його оригіналом записують як
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (13)
Для однозначної відповідності функція f(t) повинна задовольняти умовам Діріхле – в межах інтервалу перетворення мати скінченну кількість розривів першого роду та скінченну кількість максимумів і мінімумів. Крім того, необхідно щоб при t>0 витримувалася нерівність |f(t)|
Обернене перетворення операторного зображення до оригіналу здійснюється за допомогою оберненого перетворення Лапласа.
13EMBED Equation.31415 (14)
Обернене перетворення Лапласа подають у вигляді
13EMBED Equation.31415 (15)
В електротехніці застосовують також перетворення Карсона-Хевісайда
13EMBED Equation.31415 (16)
Але, перетворення Лапласа знаходиться у формальній відповідності з перетворенням Фур’є, на якому грунтується частотний метод аналізу, що широко застосовується в радіотехніці. Завдяки цій відповідності можна формально переходити від одного методу до іншого. Зважаючи на це, надалі використовуємо перетворення Лапласа.

8.9.2. Основні властивості перетворення Лапласа
а). Зображення сталої величини записується як
13EMBED Equation.31415 (1)
б). Зображення експоненти як
13EMBED Equation.31415 (2)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415
Якщо (=j(, то
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (3)

129

130

Важливим є зображення експоненти уявного аргументу як операторного зображення символічного (комплексного) зображення синусоїдної функції:
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (4)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (6)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (7)
в). Зображення синусоїдної функції часу як
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
г). Операторне зображення похідних функції часу.
Для першої похідної маємо
13EMBED Equation.31415 (9)
Інтегруючи частинами (за формулою 13EMBED Equation.31415) та познаючи 13EMBED Equation.31415, дістанемо 13EMBED Equation.31415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (10)
На підставі (10) зображенням другої похідної є

13EMBED Equation.31415 (11)
У загальному випадку, тобто для n-ї похідної, маємо
13EMBED Equation.31415 (12)
Під час аналізу перехідних процесів електричних кіл ми звичайно стикаємося з напругами у вітках індуктивностей і струмами у ємкостях. Застосовуючи (10) до виразу напруги на індуктивності 13EMBED Equation.31415, дістанемо
13EMBED Equation.31415 (13)
Відповідно для виразу струму у ємності 13EMBED Equation.31415 маємо
13EMBED Equation.31415 (14)
д). Операторне зображення інтегралів функції часу.
Для інтеграла функції 13EMBED Equation.31415 можна записати
13EMBED Equation.31415
Інтегруючи частинами та позначаючи 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415, знаходимо 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415 (15)
Інтегралом виражається напруга на ємності, тобто

131

132

13EMBED Equation.31415 (16)
Отже
13EMBED Equation.31415 (17)

12 Закон Ома в операторній формі
Розглянемо перехідний процес у вітці з ненульовими початковими умовами (рис. 1).

Рис. 1
За другим законом Кірхгофа для миттєвих значень напруг та струмів можна записати диференціальне рівняння перехідного процесу у вітці
13EMBED Equation.31415 (18)
Застосувавши перетворення Лапласа, дістанемо це рівняння в операторній формі, а саме:
13EMBED Equation.31415, (19)
звідки
13EMBED Equation.31415 (20)
де 13EMBED Equation.31415 – операторний опір вітки;
13EMBED Equation.31415 – внутрішня операторна ЕРС індуктивності;

13EMBED Equation.31415 – внутрішня операторна ЕРС ємності.
Рівняння (20) є законом Ома в операторній формі у загальному випадку. Згідно з (20) операторний струм І(р) у вітці електричного кола дорівнює відношенню алгебричної суми операторної напруги на кінцях вітки та зовнішніх і внутрішніх ЕРС до операторного опору вітки.
Для вітки з нульовими початковими умовами та при наявності зовнішньої ЕРС рівняння закону Ома записується у формі
13EMBED Equation.31415 (21)
При відсутності зовнішньої ЕРС –
13EMBED Equation.31415 (22)
Складання рівняння в операторній формі за законом Ома потребує побудови операторної схеми. Схему, що відповідає рівнянню (20), зображено на рис. 2.

Рис. 2
Напрям внутрішньої ЕРС індуктивності Li(0) завжди збігається з умовно-додатним спрямуванням операторного струму І(р). Напрям внутрішньої ЕРС ємності 13EMBED Equation.31415 завжди протилежний умовно-додатному спрямуванню операторного струму І(р).
Інші правила складання рівнянь за законом Ома цілком залишаються такими, як були викладені попередньо.

13 Закони Кірхгофа у операторній формі
Перший закон Кірхгофа
Розглянемо вузол А деякого кола (рис. 3). При вказаних спрямуваннях струмів рівняння за першим законом Кірхгофа для миттєвих значень буде виглядати як

133

134


Рис. 3
і1-і2-і3-і4=0. (23)
Застосувавши до рівняння (23) перетворення Лапласа, дістанемо це рівняння в операторній формі, а саме:
13EMBED Equation.31415 (24)
Рівняння (24) є рівнянням першого закону Кірхгофа у операторній формі для вузла А, згідно з яким алгебрична сума операторних струмів у вузлі електричного кола дорівнює нулеві.
Складання рівнянь за першим законом Кірхгофа в операторній формі здійснюється за тими правилами, як при складанні у символічній формі.

Другий закон Кірхгофа
Розглянемо контур деякого кола (рис. 4). З урахуванням поз-

Рис. 4

начених умовно-додатних спрямувань струмів у вітках контура, а також обходу контура, рівняння за другим законом Кірхгофа буде мати вигляд
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415 (25)
Застосувавши до рівняння (25) перетворення Лапласа, запишемо це рівняння в операторній формі
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (26)
чи
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (27)
Позначивши
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
13EMBED Equation.31415

135

136

рівняння кола запишемо у вигляді
13EMBED Equation.31415(28)
Рівняння (28) утворює другий закон Кірхгофа в операторній формі, згідно з яким алгебрична сума операторних напруг на пасивних елементах контура електричного кола дорівнює алгебричній сумі зовнішніх та внутрішніх ЕРС, що діють у цьому контурі.

8.12. Операторні рівняння основних методів аналізу електричних кіл
Основні рівняння електричного кола в операторній формі за своєю структурою формально аналогічні відповідним рівнянням у символічній формі. З цієї причини операторні рівняння методів аналізу перехідних процесів аналогічні символічним рівнянням методів аналізу усталених режимів електричних кіл.
Наведемо кілька прикладів операторних рівнянь основних методів аналізу електричних кіл.
Метод контурних струмів. Якщо кількість незалежних контурів, яка визначається виразом m+n-1, дорівнює q, тобто m+n-1=q, система рівнянь для операторних контурних струмів буде мати вигляд:
13EMBED Equation.31415
де Z11(p) – операторний контурний опір; Zq1(р) – операторний взаємний опір; Іqq(p) – операторний контурний струм у контурі q; 13EMBED Equation.31415 – операторна контурна ЕРС другого контура, яка дорівнює алгебричній сумі зовнішніх і внутрішніх ЕРС контура.
Метод вузлових потенціалів. Якщо кількість рівнянь для операторних потенціалів вузлів електричного кола, яка визначається виразом n-1, дорівнює k, то система рівнянь буде мати вигляд

13EMBED Equation.31415
де Y22(р) – операторна вузлова провідність; Y21(р) – операторна взаємна провідність між вузлами 2 та 1; (k(p) – операторний потенціал вузла k; J2(p) – операторний вузловий струм вузла 2.
Алгоритм операторного методу аналізу перехідних процесів електричних кіл зводиться ось до чого:
1. Визначення заданих параметрів режиму та кола у операторній формі. Зображення заданої схеми кола в операторному вигляді.
2. Формування операторних рівнянь за найбільш ефективним методом. Отримання результатів розрахунку в операторній формі.
3. Визначення оригіналів струмів чи напруг. Для цього використовують, як правило, формулу теореми розкладання.

14 Перехід від операторного зображення до оригіналу. Теорема розкладання
Отже, третій етап алгоритму операторного методу становить перехід від зображення до оригіналу. Щоб здійснити цей перехід за допомогою теореми розкладання, треба привести операторне зображення до раціонального дробу. Припустимо, що операторне зображення має вигляд
13EMBED Equation.31415 (1)
де N(p)=anpn+an-1pn-1+........+a1p+a0; M(p)=bmpm+bm-1pm-1+ ...b1p+b0 – поліноми оператора р.
У математиці відомо, що відношення N(p)/M(p), тобто відношення поліномів буде раціональний дріб, якщо виконуються дві умови:
1. Степінь n полінома чисельника менший від степеня m полінома знаменника, тобто n2. Рівняння M(p)=0 не має кратних коренів, а також спільних коренів з рівнянням N(p)=0.

137

138

Раціональний дріб можна розкласти на прості дроби, записавши
13EMBED Equation.31415 (2)
де рк – корені рівняння M(p)=0.
Для визначення коефіцієнтів Ак помножимо обидві частини рівняння (2) на (р-рк). Прийнявши при цьому р=рк, дістанемо
13EMBED Equation.31415 (3)
Вираз (3) невизначений, оскільки при р=рк у його чисельнику та знаменнику маємо нулі. Розкривши невизначеність за правилом Лопіталя, матимемо
13EMBED Equation.31415 (4)
Так, рівняння (2) набуває вигляду
13EMBED Equation.31415 (5)
Оскільки
13EMBED Equation.31415
оригіналом зображення (5) є
13EMBED Equation.31415 (6)
Формулу (6) називають формулою теореми розкладання.
Якщо один із коренів рк (припустимо, що це буде р1) рівняння M(p)=0 дорівнює нулеві, тобто р1=0, то ехр(р1t)=1. У такому разі формулу теореми розкладання можна записати як
13EMBED Equation.31415 (7)

8.14. Формули вмикання
Якщо електричне коло з нульовими початковими умовами вмикається на ЕРС, яка змінюється в часі за експоненціальним, синусоїдним законами чи є сталою, то задачу аналізу перехідного процесу операторним методом доцільно розв`язувати з використанням формул вмикання.
Припустимо, що ЕРС, до якої вмикається коло з операторним опором Z(p), змінюється в часі за експоненціальним законом
e(t)=Ee(t (8)
Операторне зображення такої функції має вигляд
13EMBED Equation.31415 (9)
Операторний струм за законом Ома визначається як
13EMBED Equation.31415 (10)
Застосуємо до (10) формулу теореми розкладання
13EMBED Equation.31415,
щоб знайти оригінал перехідного струму. Позначимо
N(p)=E;
M(p)=(p-()Z(p);
Визначимо
M((p)=Z(p)+( p-()Z((p).
Корені рівняння M(p)=0 дорівнюють р=( та кореням рівняння Z(p)=0. Отже, перехідний струм у цьому випадку
13EMBED Equation.31415 (11)
Формулу (11) одержано за припущення, що рівняння полінома Z(p)=0 не має кратних коренів. Як легко зміркувати, перший компонент (11) є вимушеною складовою, а другий – вільною складовою перехідного струму.
Найбільш поширеними на практиці випадками є:
1. E=const. Тоді (=0 і формула вмикання набуває вигляду

139

140

13EMBED Equation.31415 (12)
2. е(t)=Emsin((t+(e). Тоді (=j(; е(t)=13EMBED Equation.31415. Підставивши у формулу вмикання (11) замість параметра ( параметр j( і замість амплітуди ЕРС Е комплексну амплітуду 13EMBED Equation.31415 та взявши уявлену частину одержаного результату
13EMBED Equation.31415 (6)

8.15. Часовий метод аналізу перехідних процесів.
Інтеграл Дюамеля
Нарешті вивчимо третій метод аналізу перехідних процесів у лінійних електричних колах – з інтегралом Дюамеля.
Припустимо, що необхідно визначити перехідні струми чи напругу певної вітки пасивного електричного кола (рис. 1,а) під час його вмикання на неперервнозмінну напругу u(t) (рис. 1,б).

a) б)
Рис. 1
Визначимо спочатку перехідні струм чи напругу вибраної вітки під час вмикання кола на одиничну ЕРС е1(t)=1В. Тоді значення їх можна записати у вигляді
і1(t)=1(g(t) (1)
u1(t)=1(k(t) (2)
де g(t) називають перехідною провідністю. Вона числово дорівнює перехідному струмові вибраної вітки під час вмикання кола

на одиничну ЕРС; k(t) – перехідна функція напруги, яка числово дорівнює перехідній напрузі вітки кола з таких же умов.
Функції g(t) та k(t) називають часовими функціями, чи часовими характеристиками. На часові характеристики накладається обмеження: при t<0 функції g(t)=0 та k(t)=0. Часові функції q(t) та k(t) можна визначити розрахунковим, або експериментальним шляхом. Розрахункові визначення перехідної провідності g(t) чи перехідної функції її напруги k(t) здійснюють класичним або операторним методом. Експериментальне визначення часових характеристик пов’язано з осцилографуванням. Наприклад, перехідна провідність резистивно-індуктивного кола g(t)=1/R(1-exp(-R/Lt), перехідна функція напруги k(t)=Ldg/dt= =exp(-R/Lt), а для резистивно-ємнісного кола перехідна провідність g(t)=1/Rexp(-t/(RC)), перехідна функція напруги k(t)=1-exp(-t/(RC)).
Щоб розв`язати задачу, що розглядається (наприклад, стосовно струму і), замінимо неперервну криву u(t) ступінчастою кривою (рис. 1,б) зі сталим кроком дискретизації ((.
Наближене значення струму і(t) у момент часу t визначається сумою струмів, спричинених увімкненням при t=0 сталої напруги u(0) і наступних елементарних напруг (u, які вступають у дію із запізненням.
Напруга u(0) у момент часу t викличе у вітці кола компонент перехидного струму u(0)(g(t).
У момент часу (+(( вступає в дію елементарна напруга (u, яку наближено можна подати у вигляді
13EMBED Equation.31415
Ця напруга створює компонент струму, що визначається як
(і=u((()g(t-(-(()((.
Отже, наближений вираз перехідного струму певної вітки пасивного кола під час його вмикання на напругу u(t) джерела живлення можна записати у вигляді
13EMBED Equation.31415 (16)

141

142

Щоб дістати точне значення струму і(t), необхідно перейти від скінченної суми в (16) до суми нескінченної – інтеграла. Для цього будемо зменшувати часовий інтервал (( дискретизації функції u(t) до нескінченно малого значення, тобто (((d(. Отже, (16) набуває вигляду
13EMBED Equation.31415 (17)
Вираз (17) називають першою формою інтеграла Дюамеля.
Існує шість форм цього інтеграла. Застосування тої чи іншої форми інтеграла Дюамеля визначається винятково критерієм економічності відповідних обчислювальних процедур. Інші п’ять форм інтеграла Дюамеля наведемо без доведень.
13EMBED Equation.31415 (18)
13EMBED Equation.31415 (19)
13EMBED Equation.31415 (20)
13EMBED Equation.31415 (21)
13EMBED Equation.31415 (22)
Алгоритм викладеного методу інтеграла Дюамеля зводиться ось до чого:
1. Визначення u(o). Для цього у заданий вираз u(t) підставляють t=0.
2. Визначення перехідної провідності g(t). Для цього задане коло під’єднують до сталої напруги, класичним або операторним методом визначають перехідний струм вітки й у отриманий вираз підставляють U=1B.

3. Визначення g(t-(). Для цього у формулі для g(t) заміняють t на (t().
4. Визначення u(((). Знаходять похідну від заданої напруги u(t) за часом t і у отриманому виразі замінюють t на (.
5. Підставляють знайдені на етапах 1, 2, 3 функції у формулу (17) і визначають струм і(t).

34 Диференціальні рівняння однорідної лінії
У радіотехніці лінії передачі інформації працюють на високих частотах. Через чималу ємність і недосконалість ізоляції між проводами та землею, а також між самими проводами в лінії виникають значні струми зміщення. Тому струми, а також напруги тут залежать від часу й місця в лінії, тобто струми та напруги є функціями часу та відстані. Йдеться про кола з розподіленими параметрами. Зауважимо, що в певних умовах, наприклад у випадку швидкобіжних перехідних процесів, такі елементи електричних кіл як трансформатори, автотрансформатори, котушки індуктивності, конденсатори необхідно трактувати як елементи з розподіленими параметрами. Кола з розподіленими параметрами характеризуються погонними параметрами, тобто значеннями параметрів, які припадають на одиницю довжини лінії. До погонних параметрів відносяться:
R0 – поздовжний активний опір одиниці довжини лінії. Одиницею параметра R0 є Ом(км-1.
G0 – поперечна провідність одиниці довжини ліниї. Одиницею параметра G0 є Ом(км-1.
L0 – індуктивність одиниці довжини лінії. Одиницею параметра L0 є Гн(км-1.
C0 - ємність одиниці довжини лінії. Одиницею параметра C0 є Ф(км-1.
У випадку рівномірного розподілу параметрів кола називається однорідним. Саме такі кола ми будемо вивчати. . Поділимо лінію на ділянки довжиною dx (рис. 1), де х – відстань від початку лінії. На довжіні dx активний опір дорівнює R0(dx, індуктив-

143

144

ність – Lo(dx, провідність витікання Go(dx та ємність C0(dx. Позначимо струм на початку елемента dx через і та напругу між прямим та зворотним проводами через u.

Рис. 1
Як струм, так і напруга в колах з розподіленими параметрами є функціями двох аргументів – відстані х та часу t. Іх миттєві значення позначаються відповідно і(х,t), u(х,t). З цієї причини у рівняннях режиму кола виступають частинні похідні струмів та напруг.
Якщо в момент часу t струм на початку елемента dx дорівнює і, то завдяки витіканню через поперечне плече у кінці елемента dx в той самий момент часу t струм буде дорівнювати 13EMBED Equation.31415, де 13EMBED Equation.31415 – швидкість зміни струму у напрямку х.
Швидкість, помножена на відстань dx, є приріст струму на шляху dx.
Аналогічно, якщо напруга на початку ділянки u, то в кінці ділянки dx у той самий момент часу напруга дорівнює 13EMBED Equation.31415. За другим законом Кірхгофа складемо рівняння для контура, обхід якого позначений на рис. 1.

13EMBED Equation.31415
Після спрощення та скорочення рівняння на dx дістанемо
13EMBED Equation.31415 (1)
За першим законом Кірхгофа
13EMBED Equation.31415
Якщо нехтувати компонентами другого порядку мализни, то після спрощення та скорочення дістанемо диференціальне рівняння
13EMBED Equation.31415 (2)
Рівняння (1) та (2) є основні диференціальні рівняння однорідної лінії. Їх називають телеграфними рівняннями.
У загальному випадку диференціальні рівняння в частинних похідних мають безліч розв`язків. Щоб виділити з них деякі конкретні, однозначні розв`язки, необхідно задати певні початкові умови.

35 Розв`язання диференціальних рівнянь однорідної лінії для усталеного режиму
Задачу розв`яжемо для випадку синусоїдних змушуючих сил (ЕРС і ДС). Для аналізу усталеного режиму до рівнянь однорідної лінії застосуємо комплексне перетворення. Отже,
13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Частинні похідні напруги та струму відносно їх зображень набувають вигляду
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (6)

145

146

13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (7)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 (8)
Підставивши зображення напруги, струму та їх частинних похідних, а також після скорочення цих рівнянь на ехр(j(t), дістанемо диференціальні рівняння зі звичайними похідними:
13EMBED Equation.31415 (9)
13EMBED Equation.31415 (10)
Уводимо позначення: Z0=G0+j(C0 –погонний комплексний опір; Y0=G0+j(C0 – погонна комплексна провідність лінії. Тепер рівняння (11) та (12) набувають вигляду
13EMBED Equation.31415 (11)
13EMBED Equation.31415 (12)
Розрахуємо рівняння (11) та (12) відносно 13EMBED Equation.31415. Для цього продиференціюємо (11):
13EMBED Equation.31415 (13)
У (13) замість 13EMBED Equation.31415 підставимо праву частину рівняння (12), дістанемо
13EMBED Equation.31415 (14)
Рівняння (14) – лінійне диференціальне однорідне рівняння другого порядку. Його розв’язок має вигляд:
13EMBED Equation.31415 (15)
Комплексні числа 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 є сталі інтегрування, які надалі визначимо через напругу та струм на початку лінії або через нап-

ругу та струм у кінці лінії.
Комплексне число
13EMBED Equation.31415 (16)
називають коефіцієнтом поширення лінії; його можна записати у такому вигляді
13EMBED Equation.31415 (17)
Тут ( – коефіцієнт згасання, він характеризує згасання амплітуди прямої хвилі на одиниці відстані х лінії (на 1 км); ( – коефіцієнт фази, він характеризує зміну фази прямої хвилі на одиниці відстані х лінії (на 1 км):
13EMBED Equation.31415
Струм 13EMBED Equation.31415 знайдемо з рівняння (12)
13EMBED Equation.31415 (18)
Величину 13EMBED Equation.31415, яка вимірюється в одиницях опору, позначають Zx і називають хвильовим опором лінії:
13EMBED Equation.31415 (19)
Отже,
13EMBED Equation.31415 (20)

37 Формули для визначення комплексів напруги та струму у будь-якій точці лінії через комплекси напруги та струму на початку лінії
Нехай на початку лінії при х=0 напруга 13EMBED Equation.31415 та струм 13EMBED Equation.31415. Складемо рівняння для визначення сталих інтегрування 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 через 13EMBED Equation.31415 i 13EMBED Equation.31415. У рівняння

147

148

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
підставимо х=0. Матимемо
13EMBED Equation.31415 (21)
13EMBED Equation.31415 (22)
Звідки
13EMBED Equation.31415 (23)
13EMBED Equation.31415 (24)
Підставивши (23), (24) у вирази 13EMBED Equation.31415 і 13EMBED Equation.31415, дістанемо
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
13EMBED Equation.31415 (25)
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
13EMBED Equation.31415 (26)
37. Формули для визначення комплексів напруги та струму в будь-якій точці лінії через комплекси напруги та струму в кінці лінії
Позначимо відстань від точки на лінії до кінця її через у та довжину лінії – через l (рис. 2).


Рис. 2
Припустимо, що відомі напруга та струм в кінці лінії 13EMBED Equation.31415 i 13EMBED Equation.31415. Підставимо у рівняння
13EMBED Equation.31415
х=l, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 та складемо два рівняння для визначення сталих інтегрування:
13EMBED Equation.31415
Звідки
13EMBED Equation.31415 (27)
13EMBED Equation.31415 (28)
Якщо підставити (27) та (28) у рівняння для 13EMBED Equation.31415 i 13EMBED Equation.31415, то матимемо
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (29)
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (30)

149

150

38 Біжучі хвилі в лінії
Запишемо сталі інтегрування у показниковій формі
13EMBED Equation.31415 (1)
13EMBED Equation.31415 (2)
Щоб з`ясувати характер електромагнітного процесу в усталеному режимі однорідної лінії, перейдемо від комплексного зображення напруги та струму лінії до їх миттєвих значень, а саме:
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
тобто,
13EMBED Equation.31415(3)
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
тобто
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Як видно з виразів (3) та (4) напруги і струму, вони мають по дві складові – біжучі хвилі, що поширюють від початку до кінця лінії (перші складові виразів (3) та (4)) і, навпаки, (другі складові виразів (3) та (4)), згасаючі в напрямі руху. Такий характер хвиль визначається структурою аргументів гармонічних функцій, які входять у рівняння (3) та (4). Отже, кожна складова в певній фіксованій точці лінії х=const змінюється в часі за гармонічним законом, а в певний фіксований час t=const змінюється вздовж лінії за законом згасаючої синусоїди. Ті біжучі хвилі напруги та струму, що поширюються від початку до кінця лінії, називаються прямими хвилями і позначаються за допомогою індекса “n”, тобто

13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415 (6)
Біжучі хвилі, що згасають у напрямі руху називаються зворотними хвилями і позначаються за допомогою індекса “з”, тобто
13EMBED Equation.31415 (7)
13EMBED Equation.31415 (8)
На рис. 1 показано криву розподілу прямої хвилі напруги вздовж лінії для різних моментів часу (t2>t1).


Рис. 1
На рис. 2 зображено криву розподілу зворотної хвилі напруги вздовж лінії для різних моментів часу (t2>t1).

151

152


Рис. 2

39 Фазова швидкість та довжина хвилі
Фазовою швидкістю хвилі називається швидкість поширення хвилі, яка з часом та збільшенням відстані x залишається незмінною, тобто
13EMBED Equation.31415
Продиференціювавши це співвідношення, знаходимо
13EMBED Equation.31415,
звідки
13EMBED Equation.31415
Під довжиною хвилі ( розуміють відстань, на яку поширюється хвиля за період Т біжучої хвилі. За визначенням
13EMBED Equation.31415
чи
13EMBED Equation.31415

40 Неспотворювальна лінія
Залежно від частоти поширення електромагнітних хвиль уздовж лінії різне для різних гармонік. Якщо по лінії поширюється несинусоїдний сигнал, то умови поширення його окремих гармонік різіні. Справді, оскільки коефіцієнт згасання ( для різних частот різний, по різному згасають амплітуди окремих гармонік, через те що, для різних частот коефіцієнт фази різний, хвилі окремих гармонік поширюються вздовж лінії з різними швидкостями. Так, під час поширення несинусоїдних хвиль напруг і струмів відбувається зміна їх форми – деформація й вони спотворюються. Це особливо відчутно при передаванні електричними сигналами акустичної інформації. Оскільки тембр голосу визначається частотним спектром, такі лінії можуть його спотворити до невпізнання.
Усунення спотворення форми хвилі можливе тільки усуненням залежності хвильових характеристик лінії від частоти. Такі умови забезпечуються в лініях, в яких витримується співвідношення між параметрами у вигляді
13EMBED Equation.31415 (9)
Отже, зазначена умова є умовою неспотвореності сигналу, що діє на вході лінії.
Лінія, яка задовольняє умову неспотвореності (9), називається неспотворювальна.
Коефіцієнт поширення неспотворювальної лінії визначається як
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415 (10)
Отже, коефіцієнт згасання
13EMBED Equation.31415, (11)
коефіцієнт фази
13EMBED Equation.31415. (12)


153

154

Хвильовий опір
13EMBED Equation.31415 (13)
є дійсним числом і не залежить від частоти.

41 Однорідна лінія в режимі узгодженого навантаження
Якщо однорідну лінію навантажено опором, який дорівнює хвильовому, тобто Z2=Zx, то такий режим лінії називають режимом узгодженого навантаження. При цьому режимі в лінії наявна тільки пряма хвиля. Дійсно,
13EMBED Equation.31415У такій лінії
13EMBED Equation.31415 (13)
13EMBED Equation.31415 (14)
З рівнянь (13) та (14) випливає
13EMBED Equation.31415 (15)
тобто у довільній точці лінії відношення напруги до струму дорівнює хвильовому опору.
Коефіцієнт корисної дії лінії
13EMBED Equation.31415 (16)
де активна потужність Р2 у кінці лінії при узгодженому навантаженні визначається як
13EMBED Equation.31415; (17)
за такої умови активну потужність Р1 на початку лінії можна визначити як
13EMBED Equation.31415 (18)

Отже,
13EMBED Equation.31415 (19)
Величина (l характеризує згасання прямої хвилі на довжині лінії l. Із (7) маємо
13EMBED Equation.31415 (20)
Значення (l вимірюють у неперах (Нп). Згасання хвилі в лінії становить 1Нп, якщо 1/2ln(Р1/Р2)=1, тобто Р1/Р2=е2, де е – основа натурального логарифму; при цьому для прямої хвилі
U1/U2=I1/I2=e.
Згасання вимірюють також у белах (Б) і децибелах (дБ). Згасання дорівнює одному белові, якщо повна потужність прямої хвилі S1 на вході лінії в 10 разів більша від повної потужності S2 на її виході. За такої умови для прямої хвилі 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415, а згасання в неперах становить ln(U1/U2)=ln3,16= =1,15. Отже, 1 Б=1,15 Нп, чи 1 Нп=0,868 Б=8,68 дБ.

42 Ідеальна лінія або лінія без втрат
Якщо у реальній лінії R0(((L0, G0(((C0, то під час розв`язування задачі аналізу не буде значної похибки прийняти R0=0, G0=0, тобто припустити, що в лінії відсутні втрати електроенергії.
Для ідеальної лінії
13EMBED Equation.31415 (1)
тобто коефіцієнт згасання (((, коефіцієнт фази
13EMBED Equation.31415 (2)
Хвильовий опір
13EMBED Equation.31415 (3)
суто активний.
Фазова швидкість ідеальної лінії (R0=0, G0=0)
13EMBED Equation.31415 (4)

155

156

де с-швидкість світла в пустоті; (r, (r – відносні магнітна та діелектрична проникності діелектрика навколишнього середовища.
Для повітряних ліній з проводами з кольорових металів (r((, (r=1. Отже, у повітряних ідеальних лініях електромагнітні хвилі поширюються зі швидкістью світла.
Щоб дістати рівняння ідеальної лінії, врахуємо вираз коефіцієнта поширення ((j(. Тоді рівняння набувають вигляду
13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415 (6)
Знайдемо вирази гіперболічних функцій уявного аргументу j(у, а саме:
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Враховуючи вирази (7) та (8), приходимо до рівнянь ідеальної лінії у тригонометричній формі
13EMBED Equation.31415 (9)
13EMBED Equation.31415 (10)

43 Неробочий режим безвтратної лінії
Рівняння безвтратної (ідеальної) лінії в неробочому режимі в комплексній формі можна дістати з рівнянь нормального режиму з урахуванням, що при неробочому режимі 13EMBED Equation.31415. Тоді
13EMBED Equation.31415 (11)
13EMBED Equation.31415 (12)

Відповідні вирази миттєвих значень напруги та струму записуються як
13EMBED Equation.31415 (13)
13EMBED Equation.31415 (14)
Кут ((( в аргументі у синусі у формулі (14) відповідає множнику j у формулі (12).
Вирази (13) та (14) є рівняннями стоячих хвиль, оскільки в них наявні добутки тригонометричних функцій часу t та відстані у.
На рис. 1 (а, б) зображено розподіл уздовж лінії напруги та струму неробочого режиму для трьох суміжних моментів часу (t1=0, (t2=((( та 13EMBED Equation.31415. Криві побудовано на підставі виразів (13) та (14). Потовщеними лініями позначено хвилі при (t1=0, тонкими – при (t2=(((, пунктирними – при 13EMBED Equation.31415 для напруги та при (t3=( для струму.
Як видно з рисунка 1б, при (у=0, (, 2( ..., тобто при у=0, (((, ( ..., струм завжди дорівнює нулеві. Нульові мінімуми струму називають його вузлами. При таких відстанях у від кінця лінії напруги (рис.1а) в моменти часу, що відповідають умові (t=(((, 3/2(, ..., досягають амплітудного значення.

a) б)
Рис. 1

157

158

Максимуми напруги на стоячій хвилі називають її видугами. Очевидно, при у=(((( ((((, ... картина змінюється на протилежну – напруга має вузли, струм – видуги. Зрозуміло, що вузли та видуги напруг і струмів нерухомі, оскільки хвилі стоячі.
Якщо виникають стоячі хвилі, електромагнітна енергія не передається від початку до кінця лінії. Однак на кожному відрізку лінії, що дорівнює чверті довжини хвилі, накопичується деяка електромагнітна енергія.
Ця енергія періодично переходить з одного виду (з енергії електричного поля) в другий (у енергію магнітного поля).
У моменти часу, коли струм уздовж усієї лінії дорівнює нулеві, а напруга досягає максимального значення, вся енергія переходить у енергію електричного поля.
У момент часу, коли напруга вздовж усієї лінії дорівнює нулеві, а струм досягає максимального значення, вся енергія переходить у енергію магнітного поля.
Вхідний опір безвтратної лінії в неробочому режимі визначається за формулою
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415 (15)
На рис. 2 за формулою (15) побудовано залежність від довжини у вхідного опору у вигляді від`ємної котангенсоїди.
В межах 0((у((((( що відповідає межам 0(у(((4( ctg(у змінюється від ( до 0, тому Zвх0 має ємнісний характер (множник -j) та за модулем змінюється від ( до 0. В межах ((4(у(((2, що відповідає межам (((((у((, ctq(у від`ємний і змінюється від 0 до (. З цієї причини Zвх0 змінюється за модулем від 0 до ( й має індуктивний характер. При у=0, ((2, (,... вхідний опір лінії нескінченно великий – власне наявна умова резонансу струмів. Якщо довжина лінії має значення у=((4( 3/4(, ..., то вхідний опір дорівнює нулеві – наявна умова резонансу напруг.


Рис. 2
Отже, якщо змінювати довжину відрізка безвтратної лінії, то можна імітувати ємнісний або індуктивний опір будь-якої величини. У практиці цю властивість використовують при високій частоті у різних радіотехнічних пристроях.

44 Режим короткого замикання безвтратної лінії
Рівняння безвтратної лінії в режимі короткого замикання можна дістати на підставі рівнянь нормального режиму, підставляючі в них 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (16)
13EMBED Equation.31415 (17)
Вирази миттєвих значень напруги та струму при відліку відстані у від кінця лінії записуються як
13EMBED Equation.31415 (18)

159

160

13EMBED Equation.31415 (19)
Рівняння (18) та (19) є теж рівняннями стоячих хвиль, оскільки в них наявні добутки тригонометричних функцій часу t й відстані у.
У правої частині формули (18) – у рівнянні для напруги – є множник sin(у(sin((t((((), як у формулі для струму і0 неробочого режиму.
Отже, картина стоячої хвилі напруги uк при короткому замиканні у кінці лінії якісно повторює картину стоячої хвилі струму і0 при неробочому режимі лінії.
Аналогічно, картина стоячої хвилі струму ік при короткому замиканні у кінці лінії якісно повторює картину стоячої хвилі напруги u0 при неробочому режимі.
На рис. 3 (а, б) за рівняннями (18) та (19) побудовано криві розподілу напруги та струму вздовж лінії при її короткому замиканні для трьох суміжних моментів часу (t1=0, (t2=((( та (t3=3/2(. Потовщеними лініями позначено хвилі при (t1=0, тонкими – при (t2=(((, пунктирними – при (t3=3/2( для струму та при (t3=( для напруги.

a) б)
Рис. 3

Як видно з рис. 3, б, у кінці лінії при (t=(((, 3/2(,... модуль струму 13EMBED Equation.31415, а напруга uк =0, причому напруга завжди дорівнює нулеві. Вузли напруги відповідають у=0, (/(, (,..., а вузли струму – у=0, (/4, 3/4(,.... Вузли струму в часі збігаються з видугами напруги й навпаки.
Коливальний процес обміну енергією між електричним і магнітним полями лінії відбувається так само, як і у неробочому режимі.
Вхідний опір безвтратної лінії в режимі короткого замикання визначається за формулою
13EMBED Equation.31415 (20)
За формулою (20) на рис. 4 побудовано залежність вхідного опору в режимі короткого замикання від її довжини у.

Рис. 4

161



В межах 0(у((/(, (/2(у(3/((,... вхідний опір лінії має індуктивний характер, а в межах (/((у((/2, 3/4((у(( – ємнісний. При у=0, (/2, (,... вхідний опір Zвх.к лінії дорівнює нулеві – з боку її входу наявний резонанс напруг, а при у=(/(, 3/((,... – резонанс струмів.
Отже, якщо змінювати довжину відрізка безвтратної лінії, замкнутої накоротко на кінці, то можна імітувати ємнісний та індуктивний опір довільної величини.

45 Коефіцієнт видбиття хвилі
Оцінкою співвідношення між прямою та зворотною хвилями напруги та струму є коефіцієнт відбиття. Він дорівнює відношенню зворотної напруги (струму) до прямої напруги (струму) в будь-якій точці лінії. Коефіцієнт відбиття хвилі напруги згідно з формулою
13EMBED Equation.31415
визначається як
13EMBED Equation.31415
Коефіцієнт відбиття хвилі струму визначається як
13EMBED Equation.31415
де опір навантаження 13EMBED Equation.31415.
Отже, в режимі узгодженого навантаження Кu=0, при неробочому режимі Кu=1 та, нарешті, Кі=-Кu.













A

P10

A

P10


A

P1R

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

R1

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415




Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 18048094
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий