matem_gotovye


1.Понятие вектора. Основные понятия и определения.
Вектор-это направленный отрезок, который имеет определенную длину и определенное направление. В-ор ВА наз.противоположным в-ру АВ. Длинна(модуль)в-ра АВ-Это длина отрезка изображающего в-ор(|АВ|).
В-ор,длина которого =0 наз. нулевым. Нулевой в-ор направлений не имеет. В-ры А и В наз. коллинеарными,если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых(A||B). Коллинеарные могут быть сонаправленны (одного направления) и противоположно направлены. Два в-ра наз.равными,если они сонаправлены и имеют одинаковые длины. В-ор можно перерносить параленно самому себе,а начало помещать в любую точку пространства, такие в-ры наз. свободными.Скользящие в-ры(можно переносить вдоль линии) и связнные(перемещать нельзя).3 в-ра в пространстве наз. компланармыми, если они лежат в одной плоскости или паралельны плоскостям. 8. Скалярное произведение 2 в-ов, свойства и приложения.
Скаляр-число,в результате скалярного произведения 2 в-ов должно получится число. Скалярным произведением 2 в-ов а,b наз. число равное произведению их длин на cos угла между ними. a*b= |a|*|b|cos(a,^b). В-ры должны приводится к общему началу.
cos(a,^b)=a*b/|a|*|b| для нахождения угла между 2 в-ми.
a*b=|a|*праb. праb= a*b/|a|нахождение проекции в-ра через скалярное произведение.a*a= a2- скалярный квадрат.|a|=√ а2- длина в-ра.
Сво-ва: 1.коммутативности a *b=b*a;2. дистрибутивности (a+b)c=ac+bc; 3. сочетательное свойство; λ(a*b)=( λa)*b=a (λ*b)
4. условие перпендикулярности 2 в-ов a*b=0⇔ a ⊥b или 1 нулевой.
ab=x1x2+y1y2+z1z2. Скалярное произведение 2 в-ов= сумме попарных произведений одноименных координат Св-ва: 1.Равноправность строк и столбцов. При транспонировании величина определителя не меняется. 2.Если в определителе поменять местами любые 2 строки, то значение определителя изменится на противоположное. 3.Если у определителя 2 равные строки,то значение =0. 4.Если все элементы какой-либо строки умножить на одно и то же число,то и значение определителя умножится на это число.Следствие:Если все элементы какой-либо строки содержат общий множитель,то его можно вынести за знак определителя. Если есть 0 строка(столбец),то этот определитель =0. 5.Определитель,у которого 2 строки(столбца) пропорциональный,то определитель=0. 6.Если все элементы некоторой строки опред. Представляют собой сумму 2 слагаемых,то этот определитель=сумме 2 определителей элементами соответ. Строки(столбца) 1 определителя будут первые слагаемые суммы,а элементами соответ. Строки(столбца) 2 определителя будут 2 слагаемые этой суммы. 7.Величина определителя не изменится,если к элементам другой строки(столбца) прибавить соответ. элементы другой строки(столбца) умноженное на любое число. 8.Определитель пр-ния 2 квадратных матриц одного и того же порядка= пр-нию определителей этих матриц.
Минором некоторого элемента аij определителя n-порядка наз. определитель (n-1)порядка полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца,на пересечении которых находится элемент аij. Алгебраическим дополнением элемента аij наз. его минор,взятый со знаком +,если i+j четное число,и - i+j не четное. 10. ф-ла Лапласа.
Определитель=сумме пр-ний элементов некоторой строки на соответств. Алгебраические дополнения. Определителем n-порядка наз. число вычисляемое по правилу.
2.Линейн. операции над в-ми.
Сложение.Правило параллелограмма: Суммой 2 в-ов а и в, приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма. Правило треульника:В-ор соединяющий начало первого в-ра с концом второго,наз. суммой этих векторов. Правило многоугольника: Суммой в-ов составляющих ломанную построенную так,что начало каждого из последующих в-ов суммы совмещается с концом предыдущего в-ра наз. замыкающий в-ор,соединяющий начало первого в-ра суммы и конец последнего в-ра.Если конец ломанной совпадает с началом сумма=0.Правило параллелепипеда(для сложения 3 некомпланарных в-ов). На 3 в-рах приведенных к общему началу, как на ребрах строят параллелепипед ,его диагональ проведенная из общего начала будет суммой этих 3 в-ов.
Вычитание. Разностью в-ов а и в наз. 3 в-ор с,такой,что с+в=а
Что бы вычесть 2 в-ра нужно:1.привести их к общему началу;2.соединить их концы;3.поставить стрелку на этом отрезке в сторону того в-ра,из которого вычитают.
Умножение в-ра на число. Произведением в-ра а на скаляр λ наз аλ,который: соноправлен с в-ом а,если λ>0 и противоположно направлен если λ<0;модуль этого в-ра равен произведению модуля λ и модуля в-ра а. (|λa_=|λ|*|a|)
В-ор,длина которого =1 наз. единичным в-ом или ортом. 9.В-ное произведений 2 в-ов, свойства и приложения.
-9525911860003 некомплонарных в-ра a,b,c взятые в указанном порядке образуют правую 3-у,если кротчайший поворот от 1-го в-ра а ко 2-у в-ру b видет из конца 3-го в-ра с против часовой стрелки,и левую-если по часовой.Векторным произведением в-ра а на b наз. в-ор с, который:1.с а, с b. В-ор с плоскости в которой расположены в-ры а и b;2.|c|=|a||b|sin(a,^b). В-ор с имеет длину равную произведению длиных в-ов а и b на sin угла между ними;3. a,b,c образуют правую 3-у в-ов.Сво-ва: 1.антикоммутативности a×b=-b×a;2.сочетательное свойство относительно скалярного множителя; λ(a×b)=( λa) ×b=a × (λb); 3. распределительное св-во(a+b) ×c=a×c+b×c .4.a × b=0 ⇔a||b или 1 в-ор нулевой.184155842000Выражение в-го пр-ния через координ. Определители 20го порядка-это число, которое находится по правилу
13195305080=ad-bc.Определитель 3-го порядка: Приложение в-го пр-ния к задачам геометр. и механ. 1.площадь параллелограмма. |a × b|=S
Геометрич. Смысл в-го пр-ния:модуль в-го пр-ния 2 в-ов= S постоенного на данных в-ах. 2.Площадь треуголька. S=1/2|a ×b|3.Вращательный момент силы. MAF=AB; 4.Линейная скорость вращения. V= ω ×r 13.Обратная матрица и ее св-ва.
Существует только для квадратных матриц. Если определитель не равен 0,то матрица наз. не особой или невырожденной. Матрица А-1 наз. обратной к матрице А, если А-1 А=А А-1 =Е. Е-единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Теорема: Квадратная матрица имеет себе об ратную ⇔, когда она невырожденная.
союзная матрица. А-1=1/detA *A*
Св-ва: 1.
2.
3. |A-1|=1/|a|
112522016510003.Проекция в-ра на ось.
Ось-направленная прямая. Проекцией точк М на ось l наз. основание М1 перпендикуля. ММ1 опущенного из точк на ось.
132715015367000Проекция в-ра АВ на ось l наз. длина отрезка А1В1 между проекциями начало и конца в-ра АВ, взятая со знаком + если направление А1В1 совпадает с направлением l и с – в противоположном случае.
Проекция в-ра на ось =произведению длины этого в-ра на constL между осью и в-ом.
Сво-ва: 1. Если в-ор умножить на число, то его проекция умножится на это же число; 2.проекция алгебраической суммы на ось=сумме проекций слагаемых в-ов на ту же ось; 3.рвные в-ры имеют равные проекции на одну и ту же ось.(а=в ⇒ пр а-прв). 10.Смешанное произведение 3 в-ов.св-ва и приложения.
Пр-ние в-ов(a ×b) ⋅c наз. векторно-скалярным(смешанным).
Св-ва:1.(a×b)c=a(b×c).Можно менять местами в-ное и скалярное пр-ние. 2.abc=bca=cab. Смешанное пр-ние не меняется при круговой перестановке его сомножителей.3.abc=-bca=-aсb=-cba. При перестановке 2 сомножителей его знак меняется на противоположный.
Некоторые приложения: 1.Определение взаимной ориентации в-ов в простанстве. abc>0, то abc-образуют правую 3-ку. abc<0, то abc-образуют левую 3-ку.2. Установление компланарности в-ов. abc=0⇔abc-компланарны, когда их смешанное пр-ние-0.
3. Vпарал.=| abc|
Геометрический смысл смешанного пр-ния: модуль смешанного пр-ния 3 в-ов= Vпарал построенного на данных в-ах.
Vприз=1/2| abc |
Vпир.= 1/6| abc | 14.Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
Рангом не нулевой матрицы наз. наивысший порядок ее миноров отличных от 0. 1 способ вычисления ранга(метод окаймляющих миноров).Если все миноры порядка к=0,то и все миноры (к+1) порядка так же=0.Если есть минор порядка к отличный от 0,то следует вычислить миноры (к+1) порядка только те,которые окаймляют данный минор. 2 способ основан на св-вах рангов:1.Ранг не меняется при транспонировании матриц,2.ранг не меняется при отбрасывании строк,состоящих из 0. 3. Ранг не меняется при элементарных преобразованиях (перестановка строк, умножение элементов строки на постоянный множитель не равный 0,при прибавлении к элементам строки соответств. элементов другой строки умноженных на один и тот же множитель). Матрицы полученные при элементарных преобразованиях наз. эквивалентными. С помощью элементарных преобразований исходную матрицу приводят к матрице,ранг которой очевиден. Ранг ступенчатой матрицы= числу ее не нулевых строк.
4.Линейная звисимость и независимость в-ов. Базис.
Линейной комбинацией системы N в-ов а1,а2…а наз. всякий в-ор вида α1а1+ α2а2+…. αnan, числа α1, α2, αn-коэфициенты этой линейной комбинации.В-ры а1,а1…а наз. линейно зависимыми,если существуют такие числа α1, α2, αn одновременно не равные 0,что их комбинация=нулевому в-ру,то α1а1+ α2а2+…. Αnan=0
Т1(необходимые и достаточные условия линейной зависимости в-ов). Система в-ов а1,а1…а линейно зависимы ⇔,когда по крайней мере 1 в-ор системы линейно выражается через остальные. Т2. (3 достаточных признака линейной зависимости) 1. Если в системе в-ов а1,а1…а есть хотя бы один 0 в-ор, то система линейно зависима; 2 .Если какая-то част одной системы в-ов линейно зависима,то и вся система линейно зависима;3.если все в-ры системы а1,а1…а линейно выражаются через в-ры е1,е2…ет\,то система а1,а1…а линейно зависима.Т3.Любые 2 коллинеарных в-ра линейно зависимы,2 неколлинеарных в-ра линейно независимы.Т4. 3 компланарных в-ра линейно зависимы.Т5.3 некомпланарных в-ра линейно независимы.Т6. На прямой все в-ры линейно зависимы.Т7.На плоскости любые 3 в-ра линейно зависимы. Обратная: Если 3 в-ра обратно зависимы, то они лежат в одной плоскости.Т8. В трехмерном пространстве любые 4 в-ра линейно зависимы. Базис n-мерного пространства-это любая упорядоченная совокупность n-линейно независимых в-ов. Т10. Любой в-ор в базисе= размерности этого пространства. Коэфициенты разложений в-ов по базису наз. координатами в-ра в данном базисе. Плоскость-двумерное пространство, геометрическое пространство-двумерное пространство. 11.Матрицы. Действия над матрицами.
Матрицей наз. прямоугольная таблица из mn элементов множества М,состоящая из m-строк и n-столбцов. Числа составляющие матрицу наз. элементами матрица. Матрица содержащаю 1 столбек и 1 строку наз. вектор-столбцом. Матрица,все элементы которой=0 наз. нулевой. Квадратная матрица,у которой все элементы кроме элементов главной диогонали=0 наз. диогональной. Для диогональной матрицы все элементы главной диогонали одинаковы матрица наз. скалярной. Диогональная матрица,у которой каждый каждый элемент=1 наз. единичной. Квадратная матрица наз. треугольной,если все элементы рассположены по одну сторону главной диогонали=0. Матрица полученная из данноц,заменой каждой ее строки,столбцов с тем же номером наз. матрицей,транспортированной к данной.(Ат )
Сложение: Складывать можно матрицы только одинаковой разметрности. Суммой 2 матриц наз. 3 матрица такой же размерности,все элементы которой=сумме соответ. Элементов слагаемых матриц. Разностью 2 матриц А,В одинакой размерности наз. такая матрица х такой же размерности,которая будучи сложена с матрицей В дает матрицу А.Умножение матрицы на число: Произведением матрицы на число наз. матрица той же размерности,каждый элемент которой умножен на это число.
Умножение матриц: Операция умножения матриц определена только для тех матриц,у которых число столбцов 1 матрицы=числу строке 2 матрицы. Произведением матрицы на матрицу наз. матрица такая,что элементы i-ой стоки и к-го столбца матрицы С= сумме про-ний элементов i-ой строки матрицы А на соответ. элементы к-го столбца матрицы В. Для операций транспонирования верны св-ва:1.(А+В)т=Ат+Вт
2.(АВ)т=ВтАт
3.(Ат)т=А
4. (αА)т= αАт 15.Системы линейных алгебраический ур-ний. Т-ма Кронекера-Капелли.
-4000520129500690245800100СЛАУ содержащий m-уравнений и n-неизвестных наз. система вида быть равно n) вида
8388351346200-9525449580 - неизвестные переменные, -коэффициенты . - свободные. Если система имеет хотя бы одно решение, то она-совместная, в противном случае-несовместная. Совместная система наз. определённой, если она имеет единственное решение, и не определенной,если она имеет >1 решения. В последнем случае каждое ее решение наз. частным решением. Решить систему-это значит выяснить совместна она или нет и если совместна,то найти ее общее решение. Матрица дополненная столбцом свободных членов наз. расширенной матрицей системы.
-6985176530 система в матричной форме.
Т.(Кронекера-Капелле). СЛАУ совместна ⇔,когда ранг расширенной матрицы системы=рангу основной матрицы системы.Т2.Если ранг совместной системы=числу неизвестных, то система имеет единственное решение.Т3.Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.
5.Декартова прямоугольная система координат.
Система координат- это способ задания одних объектов относительно других. совокупность точки и базиса образует декартову систему координат.Прямоугольная система координат— прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Ох-ось абсцисс, Оу-ось ординат, Оz-ось аппликат, i,j,k-орты координатных осей.
r=x’i+y’j+z’kразложение в-ра по ортам осей.|r|= √x2+y2+z2 длина в-ра. Cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1-св-во направляющих cos. Cosα=x/|r|,Cosβ=y/|r|,cosγ=z /|r|-направляющие cos в-ра. 12.Определители. Св-во
483235158750Для каждой крадратной матрицы можно найти ее определитель(det A). Определитель матрицы 1-го порядка=этому числу. Определитель 2-го порядка .
Определитель 3 порядка

17.Матричный метод решения невырожденных систем линейных ур-ний.
Система в матричном виде АХ=В,то умножив слева это ур-ние на выражение А-1 получим Х=А-1В.
Что бы решить систему нужно:1.Проверить,что система не выраждена(|A| ≠0); 2.Найти А-1; 3.Умножить А-1 на Х=А-1В.
16.Решение СЛУ по ф-лам Крамера.
Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если определитель системы n линейных ур-ний с n-неизвестными отличен от 0,то система имеет одно решение,которое определяется по в-ле Крамера: единственное решение, которое можно найти по формулам:
6.действия над в-ми, заданными координатами.
1.a=b ⇔{x1=x2,y1=y2,z1=z2
2 в-ра равны ⇔ когда их соответствующие координаты равны. 2. αа=( αх1, α y1, αz1). При умножении в-ра на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр.3.а+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).а-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2).При сложении(вычитании) в-ов и одноименные координаты складываются (вычитаются). 4. a||b ⇔ x1/ x2= y1/ y2= z1/ z2. Координаты коллинеарных в-ов пропорциональны.5. Что бы найти координаты в-ра нужно из кординат конца вычесть координаты начала.6. |AB|= √ (x2- x1)2+( y2- y1)2+( z2- z1)2-Расстояние между 2 точками впространстве. 18.Решение СЛУ методом Гаусса.
Можно решить любую СЛАУ. Процесс решения:
1.Система приводится к ступенчатому виду
2.Последовательно определяются неизвестные из этой ступенчатой системы системы. 39. Ур-ние касательной и нормали к кривой

ур-ние нормали к кривой.
ур-ние касательной к кривой.
7.Деление отрезка в данном отношении
X= x1+ λ x2/1+ λ, y= y1 + λ y2 /1+ λ, z= z1 + λ z2 /1+ λ – деление отрезков.
X= x1 +x2/2, y= y1 + y2 /2, z= z1 + z2 /2 – деление отрезков пополам.
При делении λ нужно двигаться от начала отрезка к делящей точке,замет от делящей к концу отрезка. При этом возможны случаи:1.Делящая точка лежит внутри отрезка(внутренне деление),2. Точка М лежит вне отрезка АВ-внешнее деление,3. Делящая точка совпадает с началом отрезка,4. Делящая точка не может совпадать с концом отрезка,т.к. λ не существует. 19.Однородная система СЛАУ
Если в системе все свободные члены=0, то такая система наз. однородной(всегда совместна).
Т1. Для того, чтобы однородная система имела не 0 решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных. Т2. Для того, чтобы однородная система n линейных ур-ний с n-неизвестными имела не 0 решение необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был =0 40. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-ций.
Т1. Если ф-ция дифферен. В некоторой точке,то она непрерывна в ней.Обратная т-ма не верна. Ф-ция может быть непрерывной в точке,но иметь производную в этой точке.
Если f’_(x0) ≠f’(x0),то ⇒ ∄f’(x0). В точках разрыва производная ∄. Производная непрерывной ф-ции сама не обязательно является непрерывной ф-ей. Если ф-ция y=f(x) имеет непрерывную производную y=f’(x) в некотором интервале(a;b),то ф-ция наз. гладкой.
20.КЧ.Основные определения
Комплексным числом z наз. выражение вида,где x,y-действительные числа,а i-мнимые единицы. Если х=0,то число x+iy=x наз. мнимым. Если y=0,то число x+iy=x наз действительным числом. 2 к.ч. равны ⇔,когда равы действительные и мнимые части. {z1=z2⇔{x1=x2,y1=y2.
К.ч. z=x+iy=0 ⇔,когда {x=0,y=0. 2 к.ч. отличающееся только знаком мнимой части наз. сопряженными. i-мнимая единица. iα= -1.
Аргумент(угол между в-ом и осью) z находится в интервале -π<argZ⩽ π
Z=x+iy-алгебраическая форма.
Z=r(cosφ+isin φ)-тригонометрическая форма
Здесь r=|z|=√x2+y2
tgφ =y/x
arctg y/x, 1,4ч
φ={ arctg y/x + π,2ч
arctg y/x- π,3ч
Z=reiφ экспоненциальная(показательная) форма 28.Бесконечно малые ф-ции.
Ф-ция y=f(x) наз.БМФ при x → а,если limf(x)=0.(x→a).
Т-мы: 1. Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ.
2. Произведение ограниченной ф-ции на БМФ есть БМФ ⇒ произведение 2 БМФ,есть БМФ; произведение БМФ на число, есть БМФ.3.Частное от деления на ф-цию имеющую отличный от 0 предел=БМФ.4.Если ф-ция α(х) БМ(≠0),то ф-ция является ББ и наоборот,если f(x) ББ,то 1/ f(x)-БМ. Теоремы справедливы и для x → ∞.
Связь между ф-ей ее пределом и БМФ Т1. Если ф-ция y=f(x) имеет предел= b,то ее можно представить как сумму числа b и БМФ α(х).Lim f(x)=b ⇒f(x1)=b+ α(х).Т2.Если ф-ция f(x) можно представить в виде суммы числа b и БМФ α(х),то b является пределом ф-ции f(x).
f(x1)=b+ α(х) ⇒ Lim f(x)=b 36.Свойства ф-ций непрерывных на отрезке.
Т1.Вейерштрасс. Если ф-ция непрерывна на отрезке,то она достинает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Следствие: Если ф-ция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.Т2.Больцана-Коши. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и принимает на его концах не равное значение f(a)=A,f(b)=B,то на этом отрезке принимает все промежуточные значения А и В. Следствие:Если y=f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и на его концах принимает значения разных знаков,то внутри отрезка [а;b] найдется хотя бы 1 точка в которой ф-ция=0,т.е.f(a)*f(b)<0 ⇒∃ c ∈ [а;b]*f(c)=0.Т3. Если непрерывная на отрезке [а;b] ф-ция положительна при некотором значении х0,то она положительна и при всех х достаточно близких к х0(в окресностях точки х0).Эту теорему можно применить и для -.
21.Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Суммой 2 к.ч. z1, z2 наз. к.ч. определяемое равенством. z1+ z2=( X1+ X2)+i(y1+ y2)
Разностью 2 к.ч. z1,z2наз.такое к.ч.z,которое будучи сложенное с z2 дает z1.Z1-Z2=x1-x1+i(y1-y2)
Умножение к.ч. X1x2-y1y2+i(x1y2+y1x2)
Частным 2 к.ч.z1,z2 не равных 0 наз. к.ч.z,которое будучи умноженное z2 дает число z1.
Деление к.ч. z1/z2=x1x2+y1y1/x12+y22+iy1x2-x1y2/x22+y22 29.Основные теоремы о пределах.
Т1. Предел суммы(разности) 2 ф-ций= сумме(разности) их пределов.Lim(f(x)+- φ(x))=limf(x)+ - lim φ(x)Т2.Предел произведения 2 ф-ций=произведению их предела. Lim(f(x)* φ(x))=limf(x)* lim φ(x) ⇒ постоянный множительно можно выносить за знак предела,предел степени снатур.показателем=степени lim.
Т3.Предел дроби=пределу числителю деленый на предел знаменателя(не равный0)
Lim 42.Производная сложной ф-ции. обратной ф-ции.
Т1. Если ф-ция u=φ(х) имеет производную Ux’ в точке а,а ф-ция y=f(u) имеет производную yu’в соответ. точке u=φ(х),то сложная ф-ция y=f(φ(x)) имеет производную yx’ в точке х,которая находится: yx’=yu’*Ux’.
Анологично вычисляется производная. Если y=y(u), u ≠u(v),V=V(x), то Yx’=yu’*Uv’*Vx’
Т2. Если ф-ция y=f(x) строга монотонна на интервале (а;b) и имеет ≠0 производную f’x в произвольнойточке этого интервала,то обратная ей ф-ция x= φ(y) так же имеет производную φx’ в соответст. точке определяемую равенством: φ’(y)=1/f’(x), Xy’=1/Y’x
22. Действия над к. ч. в тригонометрической форме
Умножение к.ч.: Модули перемножаются, а аргументы складываются.
Z1=r1(cos φ1+isin φ1); Z2=r2(cos φ2+isin φ2)
z1z2=r1r2(cos( φ1+ φ2)+isin(φ1+ φ2));
Деление к.ч.: Модули деляются, а аргументы вычитаются. z1/z1=x1x2+y1y2/x22+y22+i y1x2-x1y2/x22+y22 32.Сравнение БМФ.Эквивалентные БМФ
2 БМФ сравниваются между собой с помощью их отношения
Такие же правила сравнения БМФ будут и при х→+ -∞, х→х0+ -0.
Эквивалентные БМФ. Если предел при стремящемся lim α(x)/ β(x) ,то эквивалентные α и β при х→х0.
Т1.Предел относительно 1 БМФ не изменяется,если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей БМФ. Т2.Разностью 2 эквивалентных БМФ есть БМФ высшего порядка,чем α и β,то α и β-эквивалентные. Т3. Если разность БМФ α и β-БМФ высшего порядка,
чем α и β-эквивалентные.Т4.Сумма конечного числа БМФ разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. Слагаемое эквивалентное сумме БМФ наз. главной частью этой суммы. Замена суммы БМФ ее главной частью наз. отбрасыванием БМФ высшего порядка. 50.Правило Лопиталя
Т1.(Раскрытие неопределенности (0/0)). Пусть ф-ци f(x) и φ(х) непрерывны и дифференц. в окресности точки Х0 и обращаются в 0 в этой точке. f(Х0)=φ(Х0).Замечание: Т1 верна и в случае,когда ф-ции f(x) и φ(х) неопределены при x=х0, но lim f(x)=0 lim φ(х) =0
x →x0
2.Т1 справедлива и в случае x → ∞
3.Если производная f ‘(x) и φ ‘ удовлетворяет тем же условиям,что и ф-ции f(x) и φ(х),то Т1 можно применить еще раз.
Т2. (∞/ ∞). f(x) и φ(х) непрерывны и дифференцируемы в окресностях точки Х0 и предел lim f(x)=lim φ(х) =∞
x →x0
φ ‘(х) ≠0, ∃ lim f ‘(x)/φ’(х), lim f (x)/φ(х)= lim f ‘(x)/φ’(х)
23.Извлечение корней из к.ч.
Корнем n-степени из к.ч. Z наз. к.ч. w удовлетворяющее равенству wn=z.
n√z=w, wn=z.
Z=r(cos φ+isinφ)
W=g(cos ψ+isin ψ)
n√r(cosφ+isinφ)= 33.Непрерывность ф-ций.
Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной если:ф-ция f(x) определена в точке х0 и ее окресностях;ф-ция имеет предел lim f(x);предел ф-ции в точкех0=значению ф-ции в этой точке.
Lim f(x)= f(x)
Пусть ф-ция y=f(x)определена в некотором
интервале(а;в), возьмем произвольную точку х0 ∈(а;b) разностью х-х0 ∀ х ∈(а;b) наз. приращением аргумента х и точке х0. Δх=х-х0
Разность соответствующих значений ф-ции f(x)-f(x0) наз.приращение ф-ции в точке х0. Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке х0,если она определена в точке х0 и ее окресностях и выполняется равенство.
Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в интервале(а;b),если она непрерывна в каждой точке этого интервала.Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной на отрезке [а;b],если она непрерывна в интервале(а;b) и в точке а непрерывна справа,а в точке в непрерывна слева. 51. Возрастание и убывание ф-ций. Необходимые и достаточные условия возрастания и убываеия ф-ции.
Т1.(необходимые условия). Если дифферен. На интервале (а;b) ф-ция f (x) возрастает,то f ’(x) ⩾0 ∀x ∈(а;b); если убывает,то f ’(x) ⩽ 0 ∀x ∈(а;b)
Т2(достаточные условия). Если ф-ция дифференц. на интервале (а;b) и f ’(x) >0 ∀x ∈(а;b), то эта ф-ция возрастает на интервале (а;b). Если f ’(x) <0 ∀x ∈(а;b), то эта ф-ция убывает.
24. Действия над к.ч. в показательной форме
Z1=r1 e iφ1; Z1= r1 e iφ2
Умножение к.ч.:
Z1 Z1= r1 r1i (φ1 φ2)
Деление:Z1 /Z1= r1 /r1ei (φ1 φ2) 34.Точки разрыва ф-ций и их классификация
Точка,в которой ф-ция является непрерывной,наз. точкой разрыва этой ф-ции.
Точки разрыва: 1 рода(если в этой точке сущест.односторонние пределы),2 рода(если один из односторонних пределов существует. Или =∞). 25.Понятие ф-ция. Способы задания.Обратная,Сложная функции.
Пусть 2 непустых множества x,y в соответствииf ,которое каждому элементу x ∈ x сопостовляет один и только один элементу y ∈ y наз. функцией. Функция f отображает множество x на множестве n. X Наз. областью определения D(f)или множеством значений функцииE(f).
Способы задания ф-ции:1.Аналитеческий(в виде одной или нескольких формул или ур-ний);2.Графический(задается графиком);3.табличный; Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Пусть ф-ция y=f(x) определена на множесте D,а ф-ция u= φ(x) на множестве D1,при чем для любого x ∈ D1 соответствующ. u= φ(x) ∈ D. Тогда на множестве D1 определна ф-ция y=f(φ (x)) которая наз. сложной.Переменную u= φ(x) наз. промежуточным аргументом сложной ф-ции,а Х-окончательным аргументом. 35.Основные теоремы о непрерывных ф-ях.
Т1.Сумма произведения и частное 2 непрерывнх ф-ций, есть ф-ция непрерывная(для частного за исключение тез значений аргумента, которых делитель =0).
Т2. Пусть функция u= φ(x) непрерывна в точке х0,а ф-ция y=f(x) непрерывна в точке u0= φ(x0),тогда сложная ф-ция, состоящая из непрерывных ф-ций непрерывна в точке х0.Т3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна и строго монотонная на отрезке [а;b] оси Ох,то обратная ф-ция y= φ (x) непрерывна и монотонная на соответ.отрезке[c;d] оси Oy.
Все основные элементарные ф-ции непрерывны при всех значениях х,для которых они определены. Из теорем следует,что всякая элементарная ф-ция непрерывна в каждой точке,в которой она определена. 41.Основные правила дифференцирования.
Если ф-ция u=u(x),V=V(x) дифференцир. в точке х,то ф-ции
u ±V,u*V,u/Vдифференцируемы в этой точке.
(u ±v)’=u’ ±v’;
(u*v)’=u’v+uv’;
(u/v)’=u’v-uv’/v^2
(cu)’=cu’
(c/u)’=-cu’/u^2
27.Предел ф-ции.Односторонние пределы.Предел ф-ции на бесконечности.Бесконечно большие ф-ции.
Число в наз. пределом ф-ции в точке а.,если для любого положительно числа ε найдется такое положительно число δ,что для всех x отличных от а и удовлетворяющих неравенству |x-a|< ∃ δ |f(x)-b|< ε.
В определнии предела ф-ции считается, что х->а любым способом, оставаясь меньшим, чем а(слева от а),большим чем а(справа от а) или колеблясь возле а. Бывают случаи, что способ приближения аргумента существенно влияет на значение прела ф-ции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.Число b1 наз. пределом ф-ции y=f(x) слева в точке а, если ∀ ε>0 ∃ δ= δ(ε)>0,что x ∈(a- δ;a) выполняется неравенство |f(x)=b1|< ε. Число b1 наз. пределом ф-ции y=f(x) справа в точке а, если ∀ ε>0 ∃ δ= δ(ε)>0,что x ∈(a;a+ δ;) выполняется неравенство |f(x)-b|< ε.
Предел ф-ции слева и справа наз. односторонними пределами.
Предел ф-ции при x → ∞.Пусть ф-ция y=f(x) определена в промежутке(-∞;+∞).Число b наз. пределом ф-ции при x → ∞.,если ∀ ε>0 ∃ М=М(ε) >0, ∀x |x|>M⇒ |f(x)-b|< ε.
Ф-ция наз. бесконечно большой при x →а, если ∀М>0 ∃ δ= δ(М)>0,то для ∀х удовлетворяющих неравенству x<0|x-a|< δ ⇒ |f(x)|>M,т.е. значение ББФ нельзя зажать в определенный интервал.
Ф-ция y=f(x) заданная на всей числовой прямой наз. бесконечно большой, при x → ∞.,если ∀М>0 ∃ N>0, ∀x: |x|>N ⇒|f(x)>M.
Всякая ББФ в окрестностях точки а является не ограниченной в этой точке.Обратное утверждение не верно: не ограниченная ф-ция может и не быть ББФ. 38.Определение производной ф-ции. Геометрический,физический смысл.
Производной ф-ции y=f(x) наз. предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0.
Ф-ция y=f(x) в каждой точке интервала (а;в) наз. дифференцируемой, а операция дифференцирования.
Геометрический смысл: Производная f ‘(x0)= угловому коэф.касательной к графику ф-ции y=f(x) в точке с абциссой х0. Y-y0=f’(x0)(x-x0). y=f(x). Прямая перпендикульяр. В точке касания наз. нормалью к кривой.
y-yo=1/f’(x0)*(x-x0) уравнение нормали к графику ф-ции y=f(x) в точке(x0;y0).
Физический смысл: Если ф-ция y=f(x) описыает какой-нибудь физ. процесс,то производная y’ есть скорость протекания данного процесса. В задачах про V прямолинейного движ. было получено V=lim Δs/ Δt/
Т.е. V прямолинейного движ. в момент времени t, есть производная от пути по времени t(механический смысл). 49 Теоремы о дифференцируемых ф-ях.
Т1(Ролля).Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;b] дифференц. на отрезке (а;b) и на концах отрезка принимает одинаковое значение f(a)=f(b),то найдется хотя бы одна точка с ∈(а;b),в которой производная обращается в 0,т.е.f’(c)=0. Теорема означает,что на графике ф-ции y=f(x) найдется точка,в которой касательная || оси Ох.
Т2(Коши). Если ф-ция f(x) и φ(х) непрерывны на отрезке [а;b] дифференцируемы на интервале (а;b),при чем φ’(х) ≠0 ∀х ∈(а;b),то найдется хотя бы одна точка С∈(а;b),что выполняется равенство.
Т3(Логранж). Если ф-ция f(x) непрерывны на отрезке [а;b] дифференцируемы на интервале (а;b),то на этом интервале найдется хотя бы одна точка,то выполняется равенство: f(b)-f(a)=f’(c)(-b-a).(*) Приращение в дифферен. отрезке [а;b] = приращению аргемента умноженному на значение производной в некоторой внут. точке этого интервала. Если (*) переписать в виде f(b)-f(a)/b-a=b’(c),то геометрически теорема означает,что на графике ф-ции y=f(x) найдется такая точка С(с; f(с))в которой касательная к графику ф-ции || секущей АВ.
Следствие1. Если производная ф-ции =0 на некотором промежутке,то ф-ция постоянна на этом промежутке. f ’(x)=0 ⇒f(x)=const
Следствие 2. Если 2 ф-ции имеют равные производные,то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое f ’(x)= φ ‘(x) ⇒f(x)= φ(x)+c
52.Экстремумы ф-ции. Необходимые и достаточные условия экстремума ф-ции.
Точка Х0 наз. точкой максим. ф-ции y=f(x),если ∃ δ-окресность в точке,что ∀Х≠Х0 из этой окресности выполняется неравенство f(x)<f(x0)ю Аналогично определяется точка минимума.
Max и min наз. экстремумом.
Т1. (Необходимое условие экстремума). Если дифференц. ф-ция х=f(x) имеет экстремум в точке Х0 ,то ее производная=0. Геометрич. равенство f ’(x) =0,что точка экстремума касательная к ее графику || оси Ох. Замечание:Обратная теорема не верна,если f ’(x) =0,то это не значит,что Х0 точка экстремума. ∃ ф-ции,которые в точке экстремума производных не имеют. Непрерыв. ф-ции может иметь экстремум в точках,гдн производная=0 или ∄,такие точки наз. притяженными точками первой производной.
Т2(достаточное условие). Если непрерывная ф-ция y=f(x) дифференц. в некоторой δ-окресности критич. Точки Х0 и при переходе слева на права производная f ’(x) меняет знак с+ на -,то Х0 -точка максимума. Если с – на =,то точка минимума. 53. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке.
Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b],по т-ме Вейерштрасса эта ф-ция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений ф-ции на отрезке:1.найти производную ф-ции;2 найти критические точки производной пренадлежалей этому отрезку;3. Вычислить значения ф-ции в критических точках;4. Вычислить значения ф-ции на полных отрезках;5. Среди все вычеслить значения ф-ции,выбрать наибольшее инаименьшее. Замечание: если ф-ция y=f(x) на [a;b] имеет одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума),то в этой точке ф-ция принимает наибольшее(наименьшее) значение. 2. если ф-ция y=f(x) на [a;b] не имеет критических точек,то это означает,что на этом отрезке ф-ция монотонна вызрастает или убывает, ⇒свое наибольшее значение ф-ция принимает на одном концк,а наименьшее на другом. 54. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
График дифференц. ф-ции y=f(x) наз. выпуклым на интервале [a;b],если он расположен не выше любой ее касательной на этом интервале и вогнутой,если он расположен не ниже любой ее касательной точки на этом интервале. Точка графика непрерывной ф-ции y=f(x) определяющая участок выпуклости от участка вогнутости наз. точкой перегиба. Интервалы выпуклости и вогнуточти нах с помощю теорем. Т1. Если ф-ция y=f(x) во всех точках интервала [a;b] имеет отрицательную вторую производную, то график ф-ции в этом интервале выпуклый, если f ’’(x) >0 ∀x ∈(а;b), то график на этом интервале вогнутый. Т2.Достаточное условие существования перегиба.)Если 2 производная f ’’(x) при переходе через критическую точку второй производной меняет знак,то Х0 точк аперегиба. Т3. Если Х0 точка перегиба графика непрерывной ф-ции, то f ’’(x) = 0 или ∄.
55.Асимптоты графика ф-ции.
Асимптота кривой-это прямая,к которой неограниченной приближается ветвь графика ф-ции при неограниченном удалении от начала координат. Асимптота:вертикальные и наклонные. Прямая х=А является вертикальной асимптотой графика ф-ции y=f(x),если liml(x)=- ∞. Через каждую точку разрыва 2 рода будет проходить вертикальная асимптота. Кроме того вертикальной асимптотой может быть прямая х=а,где а- граничная точка области определения ф-ции. 56. Общая схема исследования ф-ции и постоения графика ф-ции.
1. найти област определения, интервалы непрерывной точки разрыва.
2. исследовать ф-цию на четность,не четность.
3. на переодичность
4 найти точки пересечения графика ф-ции с осями.
5. найти асимптоты графика
6. интервалы монотонности и точки экстремума
7. интервалы выпуклости,вогнутости и точки перегиба.
8.по результатам исследования построить график.
1.Понятие вектора. Основные понятия и определения.
2.Линейными операции над в-ми.
3.Проекция в-ра на ось
4.Линейная зависимость и линейная независимость в-ов. Базис.
5.Декартова прямоугольная система координат.
6.действия над в-ми, заданными координатами.
7.Деление отрезка в данном отношении
8. Скалярное произведение 2 в-ов, свойства и приложения.
9.В-ное произведений 2 в-ов, свойства и приложения.
10.Смешанное произведение 3 в-ов.св-ва и приложения.
11.Матрицы. Действия над матрицами.
12.Определители. Св-во определителей.
13.Обратная матрица и ее св-ва.
4.Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
15.Системы линейных алгебраический ур-ний. Т-ма Кронекера-Капелли.
16.Решение систем линейных ур-ний по ф-лам Крамера.
17.Матричный метод решения невырожденных систем линейных ур-ний.
18.Решение СЛУ методом Гаусса.
19.Однородная система СЛАУ
20.КЧ.Основные определения
21.Действия над комплексными числами в алгебраической форме
22. Действия над к. ч. в тригонометрической форме
23.Извлечение корней из к.ч.
24. Действия над к.ч. в показательной форме
25.Понятие функция. Способы задания. Обратная,Сложная функции
26.Основные элементарные ф-ции.
27.Предел ф-ции. Односторонние пределы. Предел ф-ции на бесконечности. Бесконечно большие ф-ции.
28.Бесконечно малые ф-ции.
29.Основные теоремы о пределах.
30.Первый замечательный предел
31.Число е. Второй замечательный предел
32.Сравнение БМФ. Эквивалентные БМФ
33.Непрерывность ф-ций.
34.Точки разрыва ф-ций и их классификация
35.Основные теоремы о непрерывных ф-ях.
36.Свойства ф-ций непрерывных на отрезке.
37.Задачи приводящие к понятию производной.
38.Определение производной ф-ции. Геометрический, физический смысл.
39. Ур-ние касательной и нормали к кривой
40. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-ций.
41.Основные правила дифференцирования.
42.Производная сложной ф-ции. Производная обратной ф-ции.
43.Производные некоторых основных элементарных ф-ций.
44.Гиперболические ф-ции.
45.Таблица производных
46.Дифференцирование неявно заданной ф-ции. Дифференцирование параметрически заданной ф-ции.Логорифмическое дифференцирование.
47.Производные высших порядков
48.Дифференциал ф-ции и его св-ва49. Теоремы о дифференцируемых ф-ях.
50.Правило Лопиталя51. Возрастание и убывание ф-ций. Необходимые и достаточные условия возрастания и убываеия ф-ции.
52.Экстремумы ф-ции. Необходимые и достаточные условия экстремума ф-ции.
53. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке.
54. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
55.Асимптоты графика ф-ции.
56. Общая схема исследования ф-ции и постоения графика ф-ции.
57.Ур-ние линии на плоскости, прямой на плоскости
58.Основные задачи для прямой на пл-ти59.Эллипс
60.Гипербола
61.Парабола
62.Преобразования системы координат.Параллельный перенос осей. Ур-ние эллипса при паралельном переносе начала коордн.
63.Ур-ние гиперболы при параллельном переносе начала координат
64.Ур-ние параболы при параллельном переносе начала координат
65.Полярные координаты на пл-ти и их связь с декартовыми
66.Ур-ние поверхности в пространстве. Различные ур-ния плоскости
67.Основные задачи для плоскости
68.Ур-ние линии в пространстве.Различные ур-ния прямой в пространстве.
69. Основные задачи для прямой в пространстве
70. Прямая и плоскость в пространстве.Основные задачи
71.Цилиндрические поверхности
72.Сфера.Эллипсоид.Метод параллельных сечений
73.Конус.Метод параллельных сечений
74.Однополостный и двуполостный гиперболоид.Методы параллельных переносов
75.Двуполостный гиперболоиб76.Эллиптический гиперболоид
77.Гиперболический парабалоид

Приложенные файлы

  • docx 18014416
    Размер файла: 198 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий