matem_1-13


1.Жиын ұғымы. Анықтама. Заттардың қандайда бiр белгiлерi бойынша бiрiгетiн жиынтығын жиын деп, ал оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементi деп аталады. Жиындарды латын алфавитiнiң бас әрiптерi A,B,C,…,X,Y,Z…арқылы, ал олардың элементтерiн кiшi әрiптермен a,b,c,…,x,y,z,… белгiлейдi. Егер x элементi A жиынында жататын болса, ол былай жазылады x∈A, ал мына жазу x∈Aнемесе x∉A, xэлементi A жиынында жатпайтындығын көрсетедi. Бiрде-бiр элементi жоқ жиынды бос жиын деп атайды да, символымен белгiлейдi.Егер B жиынының әрбiр элементi Aжиынының элементi болса, онда B жиынын A жиынының iшжиыны деп атайды да B⊂Aсимволымен белгiлейдi. Анықтама. Aжәне B жиындары тең дейді, егер A⊂Bжәне B⊂Aболса.Анықтама. A және B жиындардың қосындысы немесе бiрiгуi деп элементтерi ең кем дегенде A жиынында немесе B жиынында жататын C=A+B=A∪B жиынын айтады, яғни C=A+B=A∪B=x: x∈A немесе x∈B.Анықтама.A және B жиындардың көбейтiндiсi немесе қиылысуы деп элементтерi бiр мезгiлде A жиынында және B жиынында жататын C=A∙B=A∩B жиынын айтады, яғни C=A∙B=A∩B=x: x∈A және x∈B.Анықтама.Aжәне B жиындардың айырымы деп элементтерi A жиынның элементтерiнен тұратын ал бiрақ B жиынында жатпайтын C=A\B=A-Bжиынын айтады, яғни C=A\B=A-B=x: x∈A және x∉B. .Нақты сандар жиыны.
Элементтері сан болатын жиынды нақты сандар жиыны деп аталады. Сандық жиындарға мысалдар: N=1,2,3,… - натурал сандар жиыны; Z=0,±1,±2,±3,… - бүтін сандар жиыны; Q=mn, m,n∈Z, n≠0- рационал сандар жиыны; R - нақты сандар жиыны.
Рационал сандарды ақырлы немесе ақырсыз периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады. Мысалы:23=0,666..=0,6; 12=0,5; 29=0,222…=0,2.Ақырсыз периодты емес ондық бөлшектен тұратын, рационал емес сандарды иррационал сандар деп атайды.Мысалы:2, 5 және т.б.Рационал және иррационал сандар жиыны бiрiгiп нақты сандар жиынын құрайды.Комплекс сандардың анықтамасы
Анықтама. Кез келген x,y нақты сандар қосағын комплекс сандар деп атайды, егер олар үшін теңдік және қосу мен көбейту амалдар ұғымы былай анықталса:
Екі (x1,y1) және (x2,y2) комплекс сандарды бір бірімен тең дейміз, тек сонда ғана, егер x1=x2, y1=y2 болса;
Екі(x1,y1)және (x2,y2) комплекс сандардың қосындысы деп(x1+x2,y1+y2) комплекс санын айтады.
Екі (x1,y1) және (x2,y2) комплекс сандарының көбейтіндісі деп (x1x2-y1y2,x1y2+x2y1) комплекс санын айтады.
0,1комплекс санды жорымал бірлік деп атайды да iәрпімен белгілейді.i=0,1, i2=-1, i3=-i, i4=1, i5=i, i6=-1, i7=-i, i8=1. Сонымен әрбір комплекс сандыz=x+iy түрінде жазуға болады. Мұндағы x=Rez комплекс санының нақты бөлігі, y=Jmzкомплекс санның жорымал бөлігі деп аталады. z=x+iy түрдегі комплекс сандарды алгебралық формадағы комплекс сан деп атайды.
2.Екінші ретті анықтауыштар және оның қасиеттері.Анықтама. a11a22-a12a21 саны екінші ретті анықтауыш (немесе детерминант) деп аталады да, мына түрде жазылады:
a11a21a21a22=a11a22-a12a21.Мұндағы a11,a12,a21 және a22 сандары анықтауыштың элементтері деп аталады. Анықтауыштың бірінші жолы a11,a12 элементтерден, екінші жолы a21 және a22, бірінші бағана a11,a21, екінші бағана a12,a22 элементтерден тұрады.
Анықтауыштың қасиеттері:1-қасиет. Анықтауыштың жолдарын сәйкес бағандарменалмастырсақ, онда оның шамасы өзгермейді.2-қасиет. Егер анықтауыштың жолдарының(бағандарының) орнын ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгереді.3-қасиет. Егер анықтауыштың кейбір жолының немесе бағанының барлық элементтері нөл болса, онда анықтауыштың шамасы нөлге тең. 4-қасиет. Егер анықтауыштың кейбір жолының (бағанасының) элементтерін k санына көбейтсек, онда анықтауыштың шамасы да осы k санына көбейтіледі. Яғни, жолының немесе бағанының ортақ көбейткішін анықтауыштың таңбасының алдына шығаруға болады.5-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолдарының (екі бағандарының) элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең.6-қасиет.Анықтауыштың қайсібір жолының (бағанасының) элементтеріне басқа жолдың (бағанның) элементтерін бірдей k санына көбейтіп қосқаннан, анықтауыштың шамасы өзгермейді.7-қасиет. Егер анықтауыштың қайсібір жолы (бағаны) екі санның қосындысынан тұрса, онда бұл анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең.Үшінші және n-ші ретті анықтауыштар ұғымы.Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш (детерминант) деп, мына түрде жазылған ∆=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a13+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32--a12a21a33.және үшбұрыштар тәсілі арқылы есептелінетін санын айтады.Анықтама. n-шіретті анықтауыш деп мына түрде жазылған:
∆=a11…a1n………an1…ann,∆санын айтады.
Үшінші және n-ші ретті анықтауыштар жоғарыдағы екінші ретті анықтауыштың жеті қасиеттерін қанағаттандырады.
3. Матрица ұғымы.m жолдан n бағаннан тұратын, тік бұрышты сандар кестесі m×nөлшемді матрица деп аталады да, мына жазулардың бірімен белгіленеді:
Am×n=a11a12 …a1na21a22 …a2n…… ……am1am2 …amn=a11a12 …a1na21a22 …a2n…… ……am1am2 …amn=a11a12 …a1na21a22 …a2n…… ……am1am2 …amn=aij,i=1,m, j=1,n.aiji=1,m, j=1,nсандары матрицаның элементтері деп аталады. Егер матрицаның жолдарының саны бағандарының санына тең болса, яғни m=n, онда матрицаны n-ші ретті квадрат матрица деп атайды.Бір бағаннан тұратын матрицаны бағана-матрица немесе бағана векторы деп атайды.Бір жолдан тұратын матрицаны жол-матрица немесе жол-векторы деп атайды. Барлық элементтері нөлге тең матрицаны нөлдік матрица дейді де, O әрпімен белгілейді. Бас диагоналының элементтері бірге тең, ал қалған элементтері нөлге тең квадрат матрицаны бірлік матрица деп атайды да E әрпімен белгілейді. n-ші ретті A квадрат матрицаның анықтауышы деп
A=a11a12 …a1na21a22 …a2n…… ……an1an2 …annМатрицаға қолданылатын амалдар.1.Матрицаларды қосу. Бірдей өлшемді екі матрицаны қосуға (алуға) болады. Екі матрицаның қосындысы (айырымы) деп элементтері осы матрицалардың сәйкес элемент-терінің қосындысына (айырымына) тең болатын жаңа матрицаны айтады.2.Матрицаны санға көбейту. Матрицаны санға көбейту үшін оның әрбір элементін осы санға көбейту керек.3.Матрицаларды көбейту. Екі матрицаны A және B-ы келісілген дейді, егер A матри-цаның бағандарының саны B матрицаның жолдарының санына тең болса, яғни Am×n және Bn×k болса. Тек екі келісілген матрицаларды бір-бірімен көбейтуге болады. Am×n=aij және Bn×k=bij матрицалардың көбейтіндісі деп, элементтері мына формуламен есептелінетін
cij=s=1naisbsj, i=1,m, j=1,k,жаңаCm×k=A∙B матрицасын айтады. . Кері матрица
n-ші реттіA квадрат матрицасы өзгеше емес болсын.Анықтама.A-1 матрицаны A матрицаға кері дейді, егер мына теңдік орындалса
A∙A-1=A-1∙A=E.Теорема. КвадратA матрицаның кері матрицасы болу үшін, оның өзгеше емес болуы қажетті және жеткілікті.Кері матрица мына формуламен есептелінеді:
A-1=1AA11A21 …An1A12A22 …An2…… ……A1nA2n …Ann.4.Сызықты теңдеулер жүйесiн Гаусс әдiсiмен шешу.Гаусс әдiсi сызықты теңдеулер жүйесiн шешудегi универсалды әдiстердiң бiрi деп есептелiнедi. Бұл әдiс кейде айнымалыларды бiртiндеп жою әдiсi деп те аталынады. (2) теңдеулер жүйесiн қарастырайық. Осы теңдеулер жүйесiнiң кеңейтiлген матрицасының жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрица түрiне келтiруге болады. Мысалы, бiр айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе x1) және оны осы айнымалының алдындағы коэффициенттердi және сол айнымалы бар теңдеудi шешушi деп атаймыз. Егер шешушi коэффициент бiрден өзге болса, онда шешушi теңдеудегi барлық коэффициенттердi осы шешушi коэффициентке бөлiп, қалған барлық теңдеулерден шешушi айнымалыны жоямыз. Содан кейiн келесi шешушi айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе x2), шешушi теңдеудi шешушi коэффициентке бөлемiз және қалған теңдеулерден осы шешушi айнымалыны жоямыз. Осы процесстi әрi қарай жалғастырамыз. Осы процесс кезiнде барлығы нөлден тұратын жолды алып тастауға болады. Кеңейтiлген матрицада барлық элементтерi нөлден тұратын, бiрақ соңғы элементi нөл емес жол кездесуi мүмкiн. Онда берiлген теңдеулер жүйесiнiң шешiмi жоқ, яғни жүйе үйлесiмсiз.Сонымен кеңейтiлген матрицаның жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрицаға келтiремiз:
a11a12 … a1na21a22 … a2n…………………………am1am2 … amnb1b2…bm~a11a12 … a1n… a1n0 c22 … c2k… c2n…………………………………0 0 … ckk… cknd1d2…dm (9)
Бұл матрицаға мынадай теңдеулер жүйесi сәйкес келедi:
a11x1+a12x2+…+a1kxk…+a1nxn=b1c22x2+…+a2kxk+…+a2nxn=d2…………………………………………………ckkxk+…+cknxn=dk (10)
мұндағы k≤m, a11≠0, cii≠0, i=2,k . Осы (10) теңдеулер жүйесiнiң соңғы теңдеуiнен xk белгiсiздi басқа xk+1,…,xn арқылы өрнектеймiз. Содан кейiн xk-ы жүйенiң соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып xk-1 белгiсiздi xk+1,xk+2,…,xn арқылы өрнектеймiз, содан кейiн xk-2,…,x2,x1 белгiсiздердi осылай табамыз. Сонымен xk+1,xk+2,…,xn бос айнымалыларға кез келген мәндер берiп, жүйенiң шексiз көп шешiмдерiн аламыз.Е с к е р т у. Егер сатылы матрица үшбұрышты болса, яғни k=n, онда берiлген жүйенiң тек қана бiр шешiмi болады. Соңғы теңдеуден xn белгiсiздi тауып оны соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып xn-1, тағы солай жалғастырып xn-2,…,x1-лердi табамыз.
5. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар
Векторлардың қосындысы. (Үшбұрыштар ережесі). Кеңiстiкте a және bкез келген екi вектор берiлсiн. Кез келген O нүктесiн алып a=OAвекторын тұрғызамыз. A нүктесiнен b=AB векторын тұрғызамыз. a және bвекторлардың қосындысы деп aвектордың басы мен bвектордың соңғы нүктесiн қосатын OB=a+b векторын айтады.
Екia және b векторлардың айырымы депa және-bвекторлардың қосындысы болатын c=a-b векторын айтады.a вектордың нақты α санға көбейтiндiсi деп ұзындығы α∙a тең, a векторына коллинеарлы, егер α>0болса, онда aвекторына бағыттас, егер α<0 онда a векторына қарама-қарсы бағыттас b=αa векторын айтады. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдардың қасиеттері:
1)a+b=b+a2) a+b+c=a+b+c3) a+0=a4) a+-a=05) αβa=αβa 6) 1∙a=a7) α+βa=αa+βa8) αa+b=αa+αb ∀a,b, ∀α∈R.Векторлардың проекциялары.Анықтама. A нүктесінің Lтүзуіндегі проекциясы деп A1 нүктесінайтады. Бұл A1нүкте Aнүкте арқылы өтетін Lтүзуіне жүргізiлген перпендикуляр жазықтықтың Lтүзуімен қиылысқан нүктесі.Анықтама. a=AB вектордың бағытталғанLтүзуіндегі проекциясы деп A1B1 векторын айтады, мұндағы A1B1, нүктелерi A және B нүктелердiң Lбойындағы сәйкес проекциялары. Бұл проекцияны прLa деп белгiлейдi.Анықтама. Екі вектордың арасындағы бұрыш деп, бір вектордың бағытын екінші вектордың бағытына сәйкес келетіндей етіп бұратын ең кіші φ бұрышын айтады.Анықтама. a=AB вектордың Lтүзуіндегі сандық проекциясы деп, a=AB вектордың ұзындығының a векторы мен Lтүзудің арасындағы φ бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады, яғни прLa=acosa,L=acosφaжәнеbвекторлардыңLбойындағысандықпроекцияларыныңмынадайқасиеттерібар:
1. прLa±b=прLa±прLa 2. прLαa=αпрLa6. Векторлардыңскалярлықкөбейтіндісінің анықтамасы және қасиеттері
Анықтама.a және b екі векторлардың скалярлық көбейтіндісі деп, екі вектордың ұзындықтарының көбейтіндісін олардың арасындағы φбұрышының косинусына көбейткенге тең a,b санын айтады, яғни ab=a,b=abcosa,b=abcosφ.
Бұл скалярлық көбейтіндіге басқаша да анықтама беруге болады.Анықтама.a және b екі векторлардың скалярлық көбейтіндісі деп, a вектордың ұзындығын bвектордың a бағытындағы сандық проекциясына көбейтіндісін немесеbвектордың ұзындығын a вектордыңbбағытындағы сандық проекциясына көбейтіндісін айтады, яғни ab=a,b=aпрab=bпрba Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері:1.a,b=b,a 2. a,b+c=a,b+a,c 3. a,αb=αa,b7.Векторлардың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы және қасиеттері
Анықтама: Бас нүктелері бір нүктеге орналасқан ортонормалданған e1,e2 және e3 векторлар үштігін оң (сол) дейміз, егерде e3 вектордың соңғы нүктесінен қарағанда e1-ден e2 векторына бұратын ең кіші бұрылыс сағат тіліне қарсы (сағат тіліне бағыттас) бағытта көрінсе.Анықтама: Екi a мен bвекторларының векторлық көбейтiндiсi деп келесi үш шартты қанағаттандыратын векторын айтадыc=absinφ, φ=a,bc⊥a, c⊥ba,b,c үштiгi оң үштiк құрайды.Векторлық көбейтiндiнiң кейбiр қасиеттерi:
1-қасиет c=a,b вектордың ұзындығы, бас нүктелерi бiр нүктеге орналасқан a мен b векторларынан құрылған параллелограммның ауданына тең.
2-қасиет. Векторлық көбейтiндi нөлге тең, егер a мен bвекторлары коллинеарлы болса немесе екеуiнiң бiреуi нөлдiк вектор болса.
3-қасиет.a×b=-b×a4-қасиет.αa,b=αa,ba,βb=βa,bαa,βb=αβa,b 5-қасиет.αa+βb, c=αa,c+βb,cЕгер a=x1,y1,z1 және b=x2,y2,z2 векторлардың координаттары берілсе, онда олардың векторлық көбейтіндісін былай жазуға болады:a×b=ijkx1y1z1x2y2z2.Ондаa және b векторлардан құрылған параллелограммның ауданы S=a×b=modijkx1y1z1x2y2z2.a және b векторлардан құрылған үшбұрыштың ауданы.
S∆=12a×b.8.Векторлардың аралас көбейтіндісінің анықтамасы және қасиеттері
Анықтама. Кез келген a,b,c векторлары берілсін. Егер aвекторын bвекторына векторлық көбейтіп, содан кейін a×b векторын c векторына скаляр көбейтсек нәтижесінде a,b,c векторларының аралас көбейтіндісі деп аталатын a×b,c саны шығады.
Үш вектордың аралас көбейтіндісін a×b,c, a,b,c немесе a,b,c символдарымен белгілейміз.Аралас көбейтіндінің қасиеттері:1-қасиет.a,b,cаралас көбейтінді a,b және c векторларынан құрылған бағытталған параллелепипедтің көлеміне тең.
2-қасиет. Егер a,b,c векторлары компланарлы болса, онда аралас көбейтінді нөлге тең.
3-қасиет. Егер аралас көбейтіндінiң көбейткіштерiн циклдiк орын алмастырсақ оның мәнi өзгермейдіa×b∙c=a∙b×c=c×a∙b4- қасиет. Аралас көбейтіндінің сызықтық қасиетіαa+βb, c,d=αa,c,d+βb,c,da=x1,y1,z1, b=x2,y2,z2, c=x3,y3,z3векторлардыңкоординаталарыберілсе, ондаосыүшвекторларданқұрылғанпараллелепипедтіңкөлемі, араласкөбейтіндініңанықтамасыбойынша Vпар=a,b,c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3. осы үш векторлардан құрылған пирамиданың көлемі Vпар=16Vпир..
9.Кеңістіктегі жазықтықтың және түзулердің теңдеулері. Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері.Жазықтықтың вектор түріндегі теңдеуі r,n=p p≥0(1)
мұндағы p=a, a векторынығ ұзындығы, бас нүктесі кеңістіктің бас нүктесінде жататын a вектордың соңғы нүктесінен ⊥ жазықтық тұрғызылған, n векторы a вектордың бірлік векторы, n=cosα,cosβ,cosγα,β және γ бұрыштары n векторының x,y,zөстерімен жасайтын бұрыштары, r=x,y,z жазықтықтың кез келген радиус векторы.
Жазықтықтың нормаль түріндегі теңдеуі xcosα+ycosβ+zcosγ=p p≥0Жазықтықтың жалпы түрдегі теңдеуі Ax+By+Cz+D=0, A2+B2+C2≠0N=A,B,Cвекторы жазықтықтың нормалі деп аталады.
Жазықтықтың кесіндідегі теңдеуі xa+yb+zc=1
Бұл жазықтық OX өсiн a нүктеде, OY өсiн bнүктеде, OZ өсiн cнүктеде қиып өтедi. . Кеңістіктегі түзудің теңдеулерінің түрлері M0=x0,y0,z0нүктесi арқылы өтетін a=a1,a2,a3 векторына параллель болатын түзудің теңдеуінің түрі мынадай:
x-x0a1=y-y0a2=z-z0a3 теңдеулердi түзудiң канондық теңдеулерi деп атайды.
x=x0+ta1y=y0+ta2z=z0+ta3t∈-∞;+∞теңдеулері түзудің параметрлі түріндегі теңдеулері.
Екі M1=x1,y1,z1және M2=x2,y2,z2 нүктелерi арқылы өтетiн кеңістіктегі түзудің теңдеулері:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1 (11)
Бiзге П1және П2 екi жазықтықтың жалпы түрдегi теңдеулерi берiлсiн:
A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 (14)
Егер осы екі жазықтық қиылысса, онда (14) теңдеулерді түзудің кеңістіктегі жалпы түрдегi теңдеулерi деп атайды.
10. Жазықтықтағы түзудiң теңдеулерi.Жазықтықтағы түзудің теңдеулерін кеңістіктегі жазықтықтың теңдеулерінің дербес түрі деп қарастыру керек, яғниz=0. Сондықтан жазықтықтың теңдеулерінен жасалған барлық тұжырым жазықтықтағы түзулердің теңдеулеріне дұрыс.Жазықтықтағы түзудің векторлық түріндегі теңдеуі r,n=p p≥0Жазықтықтағы түзудiң нормаль түріндегі теңдеуi xcosα+ycosβ=p p≥0Жазықтықтағы түзудің жалпы түрдегі теңдеуі Ax+By+C=0
Жазықтықтағы түзудің кесіндідегі теңдеуі xa+yb=1
Жазықтықта жатқан екі L1 және L2түзулері берілсін
A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0.Екі түзудің арасындағы бұрыш cosφ=A1A2+B1B2A12+B12∙A22+B22 L1 және L2түзулердің перпендикуляр болу шарты A1A2+B1B2=0. (23) L1жәнеL2түзулердің параллель болу шарты
A1A2=B1B2.
Егер L1 және L2түзулері мектептен белгілі бұрыштық теңдеулер арқылы берiлсе, яғни
y=k1x+b1y=k2x+b2Онда екі түзудің перпендикуляр болу шарты k1∙k2=-1, ал олардың параллель болу шарты k1=k2. M0x0,y0 нүктесi арқылы өтетін N=A,B векторына перпендикуляр түзудің теңдеуіAx-x0+By-y0=0 немесе y-y0=kx-x0
болады. Екi M1x1,y1және M2x2,y2 нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi мына формула-мен есептелінеді: x-x1x2-x1Ax+By+C=0 түзуiмен M0x0,y0 нүктенiң ара қашықтығы
d=Ax0+By0+CA2+B2.11.Кеңiстiктегi беттердiң жалпы теңдеуi былай берiлген:
i=13j=13aijxixj+2i=13bixi+B=0мұндағы,aij,aji,bi,B берiлген тұрақты сандар, x1,x2,x3 - кеңiстiктегi айнымалылар.
x1=x, x2=y, x3=z деп белгiлеп беттердiң канондық теңдеулерін алуға болады.
1. Сфера x2+y2+z2=R2R>02. Эллипсоид x2a2+y2b2+z2c2=1 a,b,c>03. Бiр қуысты гиперболоид x2a2+y2b2-z2c2=1 a,b,c>04. Екi қуысты гиперболоид x2a2-y2b2-z2c2=1 a,b,c>05. Эллиптикалық параболоидx2a2+y2b2=2pz a,b,p>06. Гиперболалық параболоидx2a2-y2b2=2pz a,b,p>07. Екiншi реттi конус x2a2+y2b2-z2c2=1 a,b,c>08. Эллиптикалық цилиндр x2a2+y2b2=1 a,b>09. Гиперболалық цилиндр x2a2-y2b2=1 a,b>010. Параболалық цилиндр y2=2px p>012. Екінші ретті қисықтар ұғымы.
Екінші ретті қисықтардың жалпы теңдеуі Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0Бұл теңдеудiң коэффициенттерi нақты сандар және ең кем дегенде A,B,C-ның бiреуi нөлге тең емес.
Шеңбер.
x-x02+y-y02=R2шеңбердiң канондық теңдеуi.Анықтама. M0x0,y0 нүктеден бiрдей R қашықтықтағы нүктелердiң геометриялық орнын радиусы R-ге тең центрi M0 нүктеде жататын шеңбер деп атайды.Эллипс.Анықтама. Фокустар деп аталатын екi F1 және F2 нүктеден ара қашықтықтарының қосындысы
тұрақты, 2a болатын, жазықтықтағы нүктелердiң геометриялық орнын эллипс дейдi.
x2a2+y2b2=1 a>0, b>0, a≥bэллипстiң канондық теңдеуi.
c2=a2-b2деп белгiлейiк.ε=ca=1-b2a2эллипстiң эксцентриситетi деп аталады.0<ε<1. F1-c,0және F2c,0эллипстiң фокустерi деп аталады.
Гипербола.Анықтама. Фокустар деп аталатын екi F1 және F2 нүктеден ара қашықтықтарының айырымының абсолют шамасы тұрақты, 2aбола-тын, жазықтықтағы нүктелердiң геометриялық орнын гипербола деп атайды Гиперболаның канондық теңдеуi x2a2-y2b2=1 a>0, b>0y=±bax түзулерi гиперболаның көлбеу асимптоталары болатындығын дәлелдеуге болады.
c2=a2+b2 деп белгiлесек,ε=ca=1+b2a2. өрнектi гиперболаның эксцентриситетi деп атайды. F1-c,0және F2c,0 нүктелерi гиперболаның фокустерi, r1=F1M және r2=F2M гиперболаның M нүктесiнiң фокальдық радиустерi деп аталады.
Парабола.Анықтама. Fфокустен және директриса деп аталатын түзуден ара қашықтықтары бiрдей болатын нүктелердiң геометриялық орнын парабола деп атайды. Параболаның канондық теңдеуi y2=2px p>013.Сандық тізбектер. Тізбектің шегі.
Анықтама. Егер әрбiр натурал санға n=1,2,… қандайда бiр заңдылықпен xn нақты саны сәйкес қойылса, онда x1,x2,…,xn… сандар тiзбегi анықталған дейдi де былай белгi-ленедi xn=x1,x2,…,xn… мұндағы әрбiр xn саны тiзбектiң элементi немесе мүшесi деп аталады.
Тiзбекке мысалдар: 1. 1,12,13,…=1n2. 12,2,12,…=2-1n.Анықтама. aсанын xn тiзбектiң немесе xn айнымалының шегi деп атайды, егерде әрбiр ε>0 oң санына n0=n0ε натурал саны табылып, мына теңсiздiк xn-a<εбарлық n>n0 натурал саны үшiн орындалса. Бұлтеңсiздiктi былай да жазуға болады:limn→∞xn=a немесеxn→a, n→∞.Шегi бар тiзбекті жинақты, ал керiсiнше шегi жоқ тiзбек жинақсыз деп аталады.
Функция ұғымы. Функцияның берілу тәсілдері.Функция ұғымы. xэлементтерінен тұратын X жиыны және y элементтерінен тұра-тын Yжиыны берілсін. Xжиынның әрбір элементіне Yжиының бір немесе бірнеше элементін сәйкес қоятын ереже функция деп аталады да y=fxтүрінде жазылады. x функцияның аргументі немесе тәуелсіз айнымалы деп, ал y - тәуелді айнымалы деп аталады. X жиыны функцияның анықталу облысы, ал Y жиыны функцияның мәндерінің жиыны деп аталады.Функцияның берілу тәсілдері.І. Функцияның аналитикалық тәсілмен берілуі. Бұл жағдайда функция формула арқылы беріледі.ІІ. Функцияның графиктік тәсілмен берілуі. y=fxфункция a,b кесіндіде график түрде берілсе, онда a,b кесіндідегі кез келген x нүктеде функцияның мәні берілуі қажет.ІІІ. Функцияның кесте арқылы берілуі. Функция кестелік тәсілмен берілсе кестенің бірінші жолына аргумент, ал екінші жолына оған сәйкес функцияның мәндері жазылады. IV. Функцияның айқындалмаған тәсілмен берiлуі. xжәне yайнымалылары бір-бірімен мына теңдеумен байланысты болсын Fx,y=0.(1)a,b интервалында анықталған y=fx функцияны (1) теңдеуге қойған кезде ол осы теңдікті x бойынша тепе-теңдікке айналдырса, онда y=fx функциясы (1) теңдікпен анықталған айқындалмаған тәсілмен берілген функция деп аталады. . Функцияның шегі.Анықтама. Егер f функция x0 нүктесінің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы x0нүктеден басқа, және кез келген ε>0 санынаδx0,ε>0 саны табылып, 0<x-x0<δ шартын қанағаттандыратын барлық x үшін мына теңсіздік орындалса fx-A<ε,Онда Aсаныfфункцияныңx0нүктесіндегі шегі деп аталады.
Функцияныңшегінlimx→x0fx=Aнемесе fx→A x→x0 деп белгiлеймiз.Анықтама.A1санынfфункцияныңx0нүктесіндегi сол жақты шегі дейді, егер limx→x0-0fx=A1A2санынfфункцияның x0нүктесіндегi оң жақты шегі дейді, егер
limx→x0+0fx=A2.Сол жақты және оң жақты шектер біржақты шектер деп аталады. Егер сол жақты fx0-0және оң жақты fx0+0шектер бар болса және олар бiр-бiрiмен тең, онда функцияның x0нүктеде шегі бар, яғни fx0-0=fx0+0=A болса, онда
limx→x0fx=A. Егерfx0-0≠fx0+0 онда limx→x0fxшегі болмайды.


Приложенные файлы

  • docx 18013837
    Размер файла: 73 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий