Itogovye_otvety_linal


1. Линейные пространства
Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.
Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Указанные операции должны удовлетворять следующим условиям:
1) a + b = b + a2) (a + b)+c = a+(b + c)3) a + 0 = a4) a + (-a) = 05) k (a + b) = ka + kb6) (k + m) a = ka + ma7) k(ma) = (km)a8) 1*a = a
Где a, b, c – произвольные векторы;k, m – произвольные действительные числа
Примеры линейных пространств:
1) пространство Rn;
2) множество решений однородной системы линейных уравнений;
3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;
4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;
5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;
6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.
Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.
Система векторов а1, а2 и аm называется линейно зависимой, если существуют такие числа с1, с2, сm (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:
с1ā1+с2ā2+...+сmām =0.
Пример:
а1 = (2, 2, 3)а2 = (0, -4, 5) а3 = (3, 13, -8) – система векторов.
Пусть с1 = 3, с2 = -5, с3 = -2, тогда 3а1 - 5а2 - 2а3 = (6, 6, 9) – (0, -20, 25) – (6, 26, -16) = (0, 0, 0)
Вывод: система векторов линейно зависимая.
Утверждение: Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.Следствие: Система, включающая нулевой вектор, линейно зависима.
Док-во: Пусть дана система из трех векторов а1, а2, а3 , причем часть системы, состоящая из векторов а2, а3 – линейно зависима, т. е. справедливо равенство:с2 а2 + с3 а3 = 0; с2, с3 ≠ 0.Добавим к обеим частям нулевой вектор а1, получим:0а1 + с2 а2 + с3 а3 = 0, что означает линейную зависимость такой системы.
Система из одного вектора а линейно зависима тогда когда а=0
Система содержащая более одного вектора линейно зависима в том и только в том случае когда среди данных векторов имеется такой который линейно выражается через все остальные
Если часть системы линейно зависима то и вся система линейно зависима, система включающая нулевой ветор линейно зависима
Если система линейно независима но при добавлении к ней а становится зависимой то а линейно выражается через другие векторы
Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.
Система векторов ā1,ā2,…,ām такова, что равенство с1ā1+с2ā2+...+сmām =0 возможно только при с1=c2=,..,=с3=0, то эта система называется линейно независимой.
Пример:
а = (а1, а2, …, аn)b = (0, b2,…, bn)c = (0, 0, c3, …, cn) – лестничная система векторов.
Любая лестничная система векторов линейно независима.
Док-во: От противного. Предположим, что лестничная система векторов линейно зависима. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть а выражается через b и c. Тогда:а = kb + mcНо такое равенство невозможно, так как первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора kb + mc равна нулю. Данное противоречие доказывает, что система векторов а, b, c – линейно независима.
Примеры:
Система векторов ·i, j линейного пространства R2 геометрических радиусов векторов плоскости линейно независима.Действительно.
i = (1, 0), j = (0, 1), С1·i + С2· j = (С1, С2), а из (С1, С2) = 0 следует, что С1 = 0 и С1 = 0, т.е. система векторов i, j из R2 линейно независима.
В линейном арифметическом пространстве Rn рассмот-
рим n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0, 0), ..., e n = (0, 0,.., 0, 1). До-кажем, что система этих векторов линейно независима.
Так как для любых коэффициентов α1, α2, ..., αn линейная комбина-
ция α1 e 1 + α2 e 2 + ... + αn e n = (α1, α2, ..., αn), то ясно, что она может быть
равна нулевому вектору (0, 0, ..., 0) только при условии равенства нулю
всех коэффициентов. По определению, это означает, что система векторов
линейно независима.Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Система векторов а1, а2, …, аn называется базисом линейного пространства V, если выполнены следующие условия:1) эти векторы линейно независимы;2) любой вектор а из V является линейной комбинацией векторов данной системы, т. е.а = k1 а1 + k2 а2 + … + kn аn
Предложение: координаты вектора в данном базисе определены однозначно.Док-во: пусть существует два разложения данного вектора а по базису а1, а2, …, аnа = k1 а1 + k2 а2 + … + kn аnа = l1 а1 + l2 а2 + … + ln аn
Так как левые части равны, то правые также равны:k1 а1 + k2 а2 + … + kn аn = l1 а1 + l2 а2 + … + ln аn(k1 - l1) а1 + (k2 - l2) а2 + …+ (kn - ln) аn = 0
Так как векторы базиса линейно независимы, то k1 - l1 = 0 → k1 = l1
ч. т. д.
Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
Размерностью пространства V называется число векторов его базиса. Размерность пространства V обозначается через dimV. Линейное пространство, имеющее размерность n, называют n-мерным.
В n-мерном пространстве V любая система из s векторов, где s>n, линейно зависима. А из определения базиса линейного пространства следует, что система векторов должна быть линейно независима. Следовательно, система из s векторов, где s>n, не может являться базисом n-мерного пространства V.
Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
Нет, нельзя. Так как размерность Rn+1 равна n + 1, то любой базис пространства Rn+1 должен содержать n + 1 линейно независимых векторов. Пусть a1, ...an - линейно независимы и входят в некоторый базис {a1, ...an, an+1} пространства. Но тогда вектор an+1 нельзя получить с помощью линейной комбинации векторов a1, ...an, так как в этом случае система векторов a1, ...an, an+1 будет линейно зависимой, что противоречит определению базиса.
Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
Подпространством линейного пространства R над полем K называется любое непустое подмножество M этого пространства, на котором корректны операции сложения элементов и умножения элемента на число, которые введены в исходном линейном пространстве R.
Примеры подпространств:
) Прямая (подпространство) на плоскости (пространство)) Плоскость (подпространство) в пространстве R3 (пространство)) Все матрицы вида ab, a = -d, подпространство пространства всех c-a матриц 2х2Одно из свойств подпространств говорит о том, что размерность подпространства не превосходит размерности самого пространства (так как подпространство является подмножеством пространства).
Теор. Подпр-во является линейным пр-вом
Для любых двух векторов а, в, из S их сумма также принадлежит лин пространству
Произведение а на действительное число тоже принадлежит данному пространству
Размерность родпростарнства S (неравно 0) меньше пр-ва V. Если бы их размерность была равна, то базис подпространства S являлся бы базисом V, Следовательно S и V совпали бы.
Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
а) задает подпространство M, так как это уравнение определяет прямую (одномерное подпространство) на плоскости, проходящее через (0,0) и для него выполнены условия подпросранства.
б) не задает подпространства, так как нарушается 2ое условие: Пример: x = (1, 0) 2 M.
При этом 2 · x = (2, 0) не принадлежит M.
в) не задает подпространства, так как нарушается первое условие
2. Системы линейных уравнений
Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной (появление противоречивой строки)
Например:
2*х1 + 3*х2 + х3 - 2*х4 =9
7*х1 + 8*х2 – х3 - 2*х4 =5
3*х1 + 2*х2 - 3*х3 + 2*х4 =10
Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.
Например:

Если система совместна, то она может иметь единственное решение, и в этом случае ее называют определенной.
Например: (имеет единственное решение)
х1+2*х2+3*х3=7
2*х1-х2+х3=4
3*х1-2*х2-х3=3
Систему называют неопределенной, когда она имеет бесконечно много решений (если число переменных больше, чем количества уравнений)
!!Любая однородная система совместна!!
Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
Решим систему относительно х1,х2,х3. .
Каждый раз меняя значения, мы будем получать разные решения.
Докажите, что множество решений однородной системы из уравнений с неизвестными является подпространством пространства . Какова размерность этого подпространства? Ответ обоснуйте.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0
Решение системы х = (x1, x2, …, xn). Пусть b = (b1, b2, …, bn), c = (c1, c2, …, cn) – являются решениями системы. Тогда b+с =(b1+c1, b2+c2, …, bn+cn) является решением системы (подставить в систему, раскрыть скобки). Для любого k ϵ R и b = (b1, b2, …, bn) kb = (kb1, kb2, …, kbn) также является решением системы. Значит, множество решений СОЛУ является подпространством Rn, т. к. замкнуто относительно операций сложения и умножения вектора на число. Размерность равна m-r(рангу системы векторов).
Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
Теорема (Кронекера и Капелли): Неоднородная система уравнений Ax = b совместна тогда и только тогда, когда rangA = rangB (где B - расширенная матрица системы (B = [A|b]), получающаяся из A дописыванием свободного столбца b).
Теорема: Общее решение неоднородной системы линейных уравнений Ax = b имеет
вид x = x0 +c1x1 +...+crxr, где x0 - некоторое (частное) решение неоднородной системы,
а c1x1 + ... + crxr - общее решение однородной системы Ax = 0. Пример:
A =1 1 1
1 1 −1
b=3
1 , x∈ R3.
Здесь x0 = (1, 1, 1) - частное решение неоднородной системы. x1 = (1,−1, 0) - общее
уравнение однородной системы. Тогда решение x = (a, b, c) неоднородной системы:x = (a, b, c) = x0 + αx1 = (1, 1, 1) + α(1,−1, 0) = (1 + α, 1 − α, 1)
Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Называется базисное пр-во решений линейной однородной системы ур-й. Для того, чтобы построить фундаментальный набор решений однородной СЛАУ при помощи метода Гаусса, необходимо решить систему по этому методу и выразить базисные неизвестные через свободные. Далее, присваивая одной свободной неизвестной значение 1, а остальным 0, получим фундаментальное решение. Повторяя эту операцию со всеми свободными неизвестными, получим фундаментальный набор решений.
Найдите фундаментальный набор решений системы:
Преобразуем систему, вычтем из 2ого уравнения 2 первых строчки, получим:
2x1 − x2 + x3 + x4 = 0
3x2 + x3 − x4 = 0
Обозначим x1, x3 - главные неизвестные, а x2, x4 - свободные. Тогда выразим главные неизвестные через свободные:x1 = 2x2 − x4, x3 = x4 − 3x2
Подставив вместо свободных неизвестных (x2, x4) базисные вестора (1, 0) и (0, 1) получим фундаментальный набор решений:
(2, 1,−3, 0), (−1, 0, 1, 0)
Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
Определение Базис линейного пространства решений однородной системы уравнений называется фундаментальной совокупностью решений (сокращенно ФСР).
Так как X1,X2 - суть базис линейного пространства решений некой однородной системы уравнений, то есть X1,X2 - система линейно независимых векторов, образующих базис. Это означает, что система Y1, Y2, где Y1 = X1, Y2 = X1 − X2 - тоже линейно независима и образует базис того же линейного пространства, а значит является другим
фундаментальным набором решений той же однородной системы уравнений. Получили
другой фундаментальный набор решений исходной системы:Y1 = X1 = (2, 1, 2)
Y2 = X1 − X2 = (0, 4, 1)
3. Евклидовы пространства
Дайте определение скалярного произведения в пространстве . Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.
Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. Rn: x=(x1,…,xn), y=(y1,…yn) называется число (х,у)=
Для любых двух векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:І(а, b)І ≤ ІaІ ІbІ
Пример: x = (−1, 0), y = (4, 3) ∈ R2:
(x, y)=(−1)·4+0·3 = −4, |x|=1, |y|=√16 + 9 = 5
|(x, y)| = 4 ≤ 5 = |x|·|y|
Докажите, что для любых векторов верно неравенство треугольника .
Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:
Доказательство:

В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,
2+2+2=(+)2
Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.
Получим:
Дайте определение ортонормированной системы векторов в . Приведите пример ортонормированной системы в .
Система векторов v1, ...vn называется ортонормированной, если ∀i, j = 1..n выполняется:(vi, vj) = δij , где δij =1 0, i = j;, i не равно j. − символ Кронекера.
Пример ортонормированной системы в R3:
x = (1, 0, 0), y= (0, 1, 0), z= (0, 0, 1)
(x, y) = (y, z) = (x, z) = 0, (x, x) = (y, y) = (z, z) = 1
Докажите, что ортонормированная система в , состоящая из 3 векторов, является базисом пространства .Пусть x, y, z ∈ R3 - система ортонормированных векторов: (x, y) = (y, z) = (x, z) = 0, (x, x) = (y, y) = (z, z) = 1
Предположим, что система векторов линейно зависима, то есть z = αx + βy. Тогда 0 = (z, x) = (αx + βy, x) = α(x, x) + β(x, y) = α
Мы получили, что α = 0, то есть z = βy. Аналогично 0 = (z, y) = (βy, y) = β(y, y) = β
Мы получили, что α = β = 0, a значит, z = 0, что противоречит с тем условием, что (z, z) = 1. Противоречие означает, что система ортонормированных векторов x, y, z ∈ R3 -линейно независима, что означает, что система трех линейно независимых векторов x, y, z
является базисом в пространстве размерности 3.
Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты. Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Этот базис линейно независим. Пример ортогонального базиса в R3: v1=(3;0;0), v2=(0;-2;0), v3=(0;0;3). Так как (v1, v2) = (v2, v3) = (v1, v3) = 0.
4. Матрицы и определители
Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц порядка рангов 1, 2 и 3.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
rg1 0 0
0 0 0 = 1
0 0 0
rg1 0 0
0 1 0 = 2
0 0 0
rg1 0 0
0 1 0 = 3
0 0 1
Дайте определение произведения матриц и . Приведите пример, когда определено, а - нет. Существуют ли ненулевые квадратные матрицы и такие, что ? Ответ обоснуйте.

Укажите, какие из равенств не выполняются для любых матриц порядка : а) ; б) ; в) ; г) .Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

Укажите, какие из равенств не выполняются для любых обратимых матриц порядка и ненулевого числа : а) ; б) ; в) ; г) ? Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка . Приведите примеры таких матриц.
Квадратная матрица A ∈ Rn×n называется вырожденной, если detA = 0. В противномслучае матрица A называется невырожденной.
вырожденная: det0 1 0 0= 0 невырожденная: det0 1 −1 0= 1
Сформулируйте основные свойства определителей, связанные с элементарными преобразованиями строк.
1) Если какая либо строка определителя состоит из 0, то и сам определитель равен нулю.
2)При перестановке любых 2-х строк определ.умножается на -1.
3) Определ. с 2 равными строками равен 0.
4) Общий множитель эл-тов любой строки можно вынести за знак определ.
5) Если эл-ты некоторых строк определ. представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то и сам определ. равен сумме 2-х определ. 1и2. В определ. 1 указанная строка состоит из первых слагаемых в 2 из вторых.Остальные строки определ. 1и2 те же,что и в начальном.
6) Величина определ. не изменяется, если к одной из строк пребавить другую строку, умноженную на какое угодно число.
7)Сумма произведений эл-тов любой строки на алгебраич. дополнения к соответств. эл-там другой строки равен0.
8) Определю матрицы A равен определителю транспонир. матрицы |A|=|At|.
9)Определитель произведения 2-х матриц равен произведению определ. этих матриц, |A*B|=|A|*|B|.
Напишите разложение определителя по второй строке.
Ответ: -5a+5b+5c
Проверьте справедливость свойства для матриц , .

Докажите, что , где .
Докажем, что A×A-1=E∆=ad-bcA=abcdA-1=1∆d-b-caA×A-1=abcd1∆d-b-ca=1∆ad-bc-ab+abcd-cd-cb+ad=1∆ad-bc00-cb+ad=1ad-bcad-bc00ad-bc=1001=EСуществуют ли матрицы и такие, что , а . Ответ обоснуйте.
Предположим, что ∃A,B : AB = 0, BA = E. Тогда по свойству определителей
0 = |0| = |AB| = |A| · |B| = |B| · |A| = |BA| = |E| = 1. Пришли к противоречию, которое опровергает возможность существования таких матриц A и B.
Приведите формулу для вычисления обратной матрицы для матрицы порядка 3. С помощью этой формулы найдите .
Верно ли, что матричные равенства и равносильны? Ответ обоснуйте.

Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений . Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.

Проиллюстрируйте применение правила Крамера для решения системы уравнений
Ответ: x=1, y=1, z=1
5. Комплексные числа
Дайте определение и приведите пример комплексно-сопряженных чисел. Докажите, что для комплексных чисел , справедливы равенства: а) , б) .
Комплексное число Z обозначается символом a+ib, где а и в – действительные числа, называемые соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемы условием i*i=-1, называется мнимой единицей. Комплексное число а-ib называется сопряжённым с числом z=a+ib и обозначается z’


Изобразите на плоскости комплексные числа , , и .
Z=a+bi, по оси х откладываете а, по оси у откладываете в.
Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа и укажите способ их нахождения.


Запишите в тригонометрической форме числа , .

Найдите модуль комплексного числа

Найдите аргумент числа .

Используя формулу Муавра, вычислите .

Докажите, что корень пятой степени из единицы имеет пять комплексных значений. Как эти значения располагаются на плоскости?


Сформулируйте основную теорему алгебры комплексных чисел.
Многочлен n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).
Или: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.
Может ли квадратное уравнение в области комплексных чисел: а) не иметь корней; б) иметь более двух корней? Ответ обоснуйте.
а)б) - не верно.
Опираясь на основную теорему алгебры комплексных числел, любое квадратное уравнение(уравнение второй степени) в области комплексных чисел имеет ровно 2 комплексных корня (в некоторых случаях комплексные корни могут быть действительными, если они лежат на действительной оси).
Решите уравнение в области комплексных чисел: а) ; б) ; в)

Многочлен степени 4 с действительными коэффициентами имеет корень . Докажите, что корнем этого многочлена является число .

6. Линейные операторы в пространстве
Дайте определение линейного оператора. Проверьте линейность оператора, переводящего вектор в вектор .


Дайте определение матрицы линейного оператора в данном базисе. Приведите пример.
Рассмотрим базис (e1, ..., en) в пространстве Rn.
Линейный оператор A : Rn → Rn : Ax = y. Разложим по базису x = x1e1+...+xnen, где
(x1, ..., xn) - координаты вектора x в указанном базисе. Тогда в силу линейности оператора
A получим: Ax = x1Ae1 + ... + xnAenРазложим элементы Aei, i = 1..n по указанному базису:Ae1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en,
...
Aen = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen,
Матрицей линейного оператора A в указанном базисе (e1, ..., en) называется матрица, составленная из коэффициентов разложения
A =a11 ... a1n
... ... ...
an1 ... annПример: Линйный оператор отражения от плоскости Oxy: A(x, y, z) = (x, y,−z) имеет
Матрицу A =1 0 0
0 1 0
0 0 −1
Как изменяется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому? Ответ проиллюстрируйте на примере.
Теорема (о переходе к другому базису) Пусть Ae - матрица линейного оператора A в базисе E = (e1, ..., en). Пусть Af - матрица линейного оператора A в базисе F = (f1, ..., fn).
Тогда матрицы связаны соотношением:
Af = P−1e→fAePe→f
где Pe→f - матрица перехода от базиса E к базису F: F = EPe→f .
Найдите матрицу преобразования пространства в стандартном базисе: а) - поворот на угол ; б) - симметричное отражение векторов относительно прямой .
a) A =cos α −sin α
sin α cos α
b) A =0 1
1 0
Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите пример.
Число λ называется собственным значением (собственным числом) линейного оператора A , если ∃x не= 0 : Ax = λxx не= 0 называется собственным вектором линейного оператора A, отвечающим собственному числу λ.
Пример: f(x, y) = (2x, 2y) имеет собственное значение λ = 2, так как для любого вектора v(a, b) : f(v) = 2v.
Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.
Пусть λ - собственный вектор f так, что f(x) = λx. Тогда f2x = f(f(x)) = f(λx) = λf(x) = λ2x
Это означает, что если λ - собственное значение f, то λ2 - собственное значение f2.
Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.
Пусть λ - собственный вектор f так, что f(x) = λx. Тогда x = f−1(f(x)) = f−1(λx) = λf−1(x)
Получили: x = λf−1(x) ⇒1/λ*x = f−1(x)
Это означает, что если λ - собственное значение f, то 1/λ - собственное значение f−1.
Могут ли все собственные значения ненулевой матрицы быть равными 0? Ответ обоснуйте для квадратных матриц порядка .
Рассмотрим матрицу A =a b c d
. Запишем характкристический многочлен и приравняем его к 0, чтобы найти собственные значения матрицы:
(a − λ)(d − λ) − bc = 0
Предположим, что λ = 0 - корень характеристического уравнения, то есть λ = 0 -
собственное значение матрицы A. Тогдa, подставив λ = 0 в уравнение получим условие:
ad = bc.
Как только ad = bc, то λ = 0 - корень уравнения. Если же ad = bc, то λ = 0 не будет являться корнем уравнения. Поэтому подставим это уравнение в хар. уравение и упростим
его: (a − λ)(d − λ) − bc = 0
ad − bc − (a + d)λ + λ2 = 0
λ2 − (a + d)λ = 0
(λ − (a + d))λ = 0
Мы видим, что, как только λ = 0 - собственное значение ad = bc тогда λ = a+d – тоже собственное значение. Предположим, что a = −d. Тогда оба собственных значения будут равны 0.
Получены условия нулевых собственных значений матрицы 2 × 2:1. ad = bc, 2. a = −d
Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Докажем утверждение по индукции по k, где k - число различных собственных значений матрицы.
Для k = 1 очевидно, что собственный вектор v1, отвечающий собственному значению λ1 образует линейно независимую систему, так как собственный вектор по определению не нулевой.
Пусть теперь матрицы 2 различных собственных значения λ1, λ2. Докажем, что система собственных векторов v1, v2, отвечающих указанным собственным значениям - линейно
независима. Предположим, что это не так, тогда ∃α1, α2 : α21 + α22 не= 0:
α1v1 + α2v2 = 0
Применим оператор A к обеим частям уравнения, получим:α1λ1v1 + α2λ2v2 = A(0) = 0
Домножим первое уравнение на λ2 и вычтем из второго, получим: α1v1(λ1 − λ2) + α2v2(λ2 − λ2) = α1v1(λ1 − λ2) = 0
В силу того, что λ1 = λ2 и того, что v1 = 0 по определению, то получаем, что α1 = 0.
Отсюда сразу же вытекает α2 = 0, что по предположениию неверно, а значит для k = 2
мы доказали линейную независимость системы собственных векторов v1, v2 матрицы A.
Аналогично покажем для k = 2.
Пусть теперь матрицы 3 различных собственных значения λ1, λ2, λ3. Докажем что система собственных векторов v1, v2, v3, отвечающих указанным собственным значениям -линейно независима. Предположим, что это не так, тогда ∃α1, α2, α3 : α21 + α22 + α23 не= 0:
α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0
Применим оператор A к обеим частям уравнения, получим: α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = A(0) = 0
Домножим первое уравнение на λ3 и вычтем из второго, получим: α1v1(λ1 − λ3) + α2v2(λ2 − λ3) = 0
В силу того, что система v1, v2 - линейно независима приходим к противоречию.
Итоговое противоречие доказывает утверждение.
Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
Пусть v - собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению лямбда. ТогдаЭто означает, что (AT v, v) = лямбда(v, v), а значит AT v = лямбда v. То есть собственные значения исобственные вектора матриц A и AT совпадают.
Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
Пусть v - собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению λ. И
пусть v = Cw. Тогда C(λw) = λCw = λv = Av = ACwПолучили: C(λw) = ACw Домножим слева на C−1, получим:λw = C−1ACw
Это означает, что как только v - собственный вектор матрицы A, отвечающий ее собственному значению λ, то λ - собственное значение матрицы C−1AC, которому отвечаетсобственный вектор w = C−1v.
Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
Собственные значения матрицы A удовлетворяют характеристическому уравнению этой матрицы, то есть det (A - E) = 0.
Пример: матрица A=1023Тогда det (A -λE) = det1023-λ00λ=det1-λ023-λ=1-λ3-λ=0Получаем, что λ = 1, λ = 3 - собственные значения указанной матрицы.
Докажите, что действительный корень характеристического многочлена матрицы является ее собственным значением.
Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
Рассмотрим подобные матрицы A и B = C−1AC, где C - невырожденная матрица. Тогда
fB = |B −λE| = |C−1AC −λE| = |C−1AC −C−1(λE)C| = |C−1(A−λE)C| = |A−λE| = fAЧто и требовалось показать.
Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.
Числом Фробениуса матрицы A ≥ 0 называется максимальное собственное значение
этой матрицы.
Теорема: Если сумма элементов строки (столбца) матрицы A > 0 одинакова и
равна a, то число Фробениуса матрицы A равно a.
матрица A =1423>0 Сумма элементов всех строк равна 5. Следовательно, опираясь на теорему, число Фробениуса этой матрицы равно 5.
b) Найдем собственные значения матрицы A =1023 (1-λ)(3-λ) = 0
λ = 1, λ = 3
Числом Фробениуса называется максимальное собственное значение, то есть = 3
Дайте определение продуктивной матрицы. Докажите продуктивность матрицы А=(0.2 0.6 0.9 0.3)
Теорема: Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.
Найдем собственные значения матрицы A :(0.2 − λ)(0.3 − λ) − 0.54 = 0
−0.48 − 0.5λ + λ2 = 0
D = 0.25 + 4 · 0.48 = 0.25 + 1.92 = 2.17
λmax = 0.5+√2.17 /2
√2.17 < 1.5 = √2.25 ⇒ λmax < 0.5+1.5/2 = 1
Число Фробениуса меньше 1, а значит матрица A по определению является продуктивной.
Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3
Теорема: Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.
Теорема: Если сумма элементов ∀ строки ( ∀ столбца) матрицы A > 0 одинакова и равна a, то число Фробениуса матрицы A равно a.
Пример: Рассмотрим матрицу A =
0.2 0.7
0.5 0.4
По теореме (сумма элементов всех строк равна 0.9) число Фробениуса равно λA = 0.9 < 1, а значит (по критерию) рассматриваемая матрица продуктивна.
7. Квадратичные формы
Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы:
а) ;
б) .
Квадратичной формой Ф от переменных x1,x2,…xn называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Каждая квадратичная форма допускает однозначную запись в следующем симметричном виде:
Ф=i,j=1naijxixjГде aij=aji (матрица симметрическая)
Симметрическая матрица А, элементами которой являются числа aij, называется матрицей квадратичной формы Ф. Если ввести в рассмотрение столбец X=(x1;x2;…;xn)T, то квадратичную форму Ф можно записать в матричном виде Ф=XTAX.
А)
-110102023Б)
120211011Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь матрица порядка 3*3
Так как матрица 3 × 3, то характеристический многочлен имеет 3ий порядок, а это значит, что корней (собственных значений матрицы) не более 3, тем более различных действительных корней у многочлена 3ьей степени не более 3.
Теорема (о линейной независимости собственных векторов): Собственные векторы квадратной матрицы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Следовательно, опираясь на теорему можно утверждать, что действительная симметрическая матрица порядка 3 × 3 имеет не более 3 линейно независимых собственных векторов.
Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.
Пусть матрица A - симметричная матрица (A = AT), имеющая собственные значения λ1, ..., λn. И пусть v1, ..., vn - собственные вектора, отвечающие указанным собственным значениям: Avi = λivi, ∀i = 1..n. Рассмотрим скалярное произведение ∀i, j:
λj(vi, vj) = (vi, λjvj) = (vi, Avj) = (AT vi, vj) = (Avi, vj) = (λivi, vj) = λi(vi, vj)
Мы получили λj(vi, vj) = λi(vi, vj), значит:
(λj − λi) · (vi, vj) = 0
Так как λj = λi, получаем исходное утверждение: (vi, vj) = 0, ∀i, j = 1..n, i = j, что подтверждает ортогональность собственных векторов.
Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
Канонический вид квадратичной формы в ортонормированном базисе называют каноническим видом в главных осях.
Теорема: Ортонормированный базис пространства Rn, состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , является каноническим базисом квадратичной формы
F = xTAx.
Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.
x12-22x1x2+3x22+x32=x12-22x1x2+3x22+x32=x12-2x1×11x2+121x22-121x22+3x22+x32=(x1-11x2)2-118x22+x32=y12-118y22+y32где y1=x1-11x2; y2=x2; y3=x3Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.Закон инерции квадратичных форм: Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к аноническому виду.
Приведем кв. ф. f(x1, x2, x3) к канон. виду:
f = 2x1x2 + 4x2x3 = (x21+ x22+ 4x23+ 2x1x2 + 4x2x3 + 4x1x3) − (x21+ 4x1x3 + 4x23) − x22= (x1 + x2 + 2x3)2 − (x1 + x3)2 − x22
В каноническом виде мы получили 2 ’-’ (c отрицательным знаком) и 1 - ’+’ (с положительным знаком). По закону инерции кв. ф. нельзя привести кв. ф. f(x1, x2, x3) к каноническому вид y21 − 2y22 + y23 с 2мя положительными слагаемыми и одним отрицательным слагаемым.Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.
Теорема
Квадратичная форма Ф тогда и только тогда является положительно определенной, когда все угловые миноры ее матрицы строго положительны.
Доказательство
Положительность миноров ∆1,…∆n будем доказывать индукцией по n.
При n=1 единственным угловым минором формы Ф=a11x2 является ∆1=a11; положительная определенность формы Ф равнозначна положительности a11.
Допустим теперь, что утверждение теоремы справедливо для квадратичных форм от n – 1 переменных, и в этом предположении докажем его для квадратичной формы от n переменных.
Так, пусть дана квадратичная форма
Ф=i,j=1naijxixjПредставим ее в виде
Ф=Ф1+2i=1n-1ainxixn+annxn2где Ф1=i,j=1n-1aijxixj есть квадратичная форма от переменных x1,x2,…,xn-1. При xn=0 будем иметь Ф=Ф1, поэтому из положительной определенности формы Ф следует положительная определенность Ф1. Угловые миноры формы Ф1 совпадают с угловыми минорами ∆1,…∆n-1 формы Ф, поэтому из предположения индукции следует ∆1>0,…,∆n-1>0. [1]
Положительность минора ∆n=A вытекает из простого рассуждения. Мы знаем, что при замене координат матрица А квадратичной формы преобразуется в матрицу A'=PTAP, где P – матрица перехода от новых координат к старым. Применяя теорему об определителе произведения матриц, получим A'=PTAP=P2A, т.е. A и A' имеют один и тот же знак. Но для формы Ф'=a1y12+…+an1меют один и тот же знак. Но для формы триц, получим ной формы преобразуется в матрицу олоые миноры ее матрицы строго положителyn2, к которой Ф приводится преобразованием координат, минор ∆'n=A', равный произведению a1…an, больше нуля; значит, он положителен и для исходного вида формы Ф. Добавляя сюда уже доказанные ранее неравенства [1], получаем требуемое. Теорема доказана.
Из данной теоремы, принимая во внимание F = - Ф, нетрудно получить
Следствие
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем ∆1<0:∆1<0, ∆2>0, ∆3<0,…Пример
2x12+5x22+5x32+4x1x2+2x2x3+4x2x3Матрицей квадратичной формы является матрица 221252125.Для нее ∆1=det2=2>0, ∆2=2225=6>0, ∆3=221252125=25>0.
Поэтому данная квадратичная форма – положительно определенная.
8. Прямые и плоскости в точечном пространстве
Выведите канонические уравнения прямой в , проходящей через данные точки и .Все точки M(x, y, z) ∈ L определяются из условия, что вектор A−−M→(x−a1, y−a2, z−a3)
должен быть коллинеарен вектору A−→B(b1−a1, b2−a2, b3−a3), что можно задать следующей
системой (условие коллинеарности векторов - пропорциональность координат):
L :x − a1/b1 − a1=y − a2/b2 − a2=z − a3/b3 − a3
Выведите уравнение прямой в , проходящей через данную точку в данном направлении .
Если точка M=(x,y,z) принадлежит l, то вектор AM коллинеарен v. Это записывается с помощью равенств
x-ap=y-bq=z-cr [1]
Уравнения [1] называются каноническими уравнениями прямой l. В действительности уравнения [1] представляют собой систему из двух уравнений
x-ap=y-bqx-ap=z-crКаждое из которых определяет плоскость (первая из плоскостей параллельна оси z, вторая – оси y).
Выведите уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ..
Поскольку речь идет о плоскости, проходящей через точку A и параллельной векторам AB и AC, то искомое уравнение будет
x-a1y-a2z-a3b1-a1b2-a2b3-a3c1-a1c2-a2c3-a3=0Выведите уравнение плоскости в , проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору . Приведите пример уравнения плоскости в , проходящей параллельно какой-либо координатной оси.
Пусть M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, тогда необходимо, чтобы вектор AM = (x-a, y-b, z-c) был ортогонален вектору n, то есть их скалярное произведение должно быть равно нулю:
p(x - a) + q(y - b) + c(z - c) = 0
получили уравнение искомой плоскости.
Пример уравнения, проходящего параллельно какой-либо координатной оси:
x=-1. Такая плоскость будет параллельна осям Oy и Oz
Две прямые заданы каноническими уравнениями и . Найдите угол между ними. Ответ обоснуйте.
Угол между плоскостями сводится к углу между нормалями
n1=1;2;3n1=3;2;1cosφ=(n1;n2)n12n22=3+4+31+4+99+4+1=1014=57φ=arccos57Как найти угол между плоскостями в по их общим уравнениям , ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
n1=A1;B1;C1n1=A2;B2;C2cosφ=(n1;n2)n12n22=A1×A2+B1×B2+C1×C2A12+B12+C12×A22+B22+C22Например: Π1 : x + 2 = 0 ,Π2 : x −5 = 0. В этом случае v1(1, 0, 0) и v2(1, 0, 0). Тогда cos(Π1Π2) =
1/√1√1=1, что означает, что плоскости параллельны (что было очевидно).
Как найти угол между прямой и плоскостью в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
Направляющий вектор прямой: nl=(p;q;r)Вектор-нормаль плоскости: nπ=(A;B;C)cosφ=pa+qb+rcp2+q2+r2×a2+b2+c2Например: прямая l : x/2 = y/2, z = 0 и плоскость π : y = 2. Очевидно, что угол между прямой и плоскостью равен π/4 . Проверим это, использовав полученную формулу. Здесь v(2, 2, 0), w(0, 1, 0)
sin α =2/(√4 + 4√1)=2/2√2=1/√2
Что свидетельствует о том, что угол между прямой и плоскостью равен π/4 .
Как найти расстояние от точки до прямой ? Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми в ?

Как найти расстояние от точки до плоскости ? Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями в ?

Расстояние между двумя параллельными плоскостями можно найти как расстояние между одной из них и точкой, принадлежащей другой плоскости.
Запишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые и . Ответ обоснуйте.Назовем прямые L: ( х-а)/1=(у-b)/2=(z-c)/3 и М :(x-a)/3=(y-b)/2=(z-c)/1
Полагаем, что точка А (а;b;c) начальная точка, а направляющий вектор для L вектор p(1;2;3) – один из направляющих векторов плоскости π. Направляющий вектор для М вектор q(3;2;1) – второй направляющий вектор плоскости π. Уравнение плоскости π запишем в виде
x-a y-b z-c123321=0Откуда, раскрывая определитель, получаем общее уравнение плоскости
Π: -4х+8у-4z +4(a-2b+c)
Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
Пересечение любых плоскостей в R3 представляет собой прямую их пересечения. Это
прямая.9. Кривые второго порядка
Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
a11х2+ 2a12ху+ а22у2+ 2a10х+2a20у+ a00=0Где коэффициенты aij(i,j=0,1,2) – действительные числа, причем a11;a12;a22 не равны нулю одновременно и имеет место симметричность aij= ajiДайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
Окружность с центром в точке A(x0, y0) радиуса R > 0 - геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки A(x0, y0) на равное заданное расстояние R.
Окружность состоит из точек M(x, y): ρ(M,A) = R, то есть:ρ(M,A) =корень (x − x0)2 + (y − y0)2 = R
Введя замену x' = x − x0, y’ = y − y0 Получим:
Корень x'2 + y’2 = R. Поменяв обозначения и
возведя в квадрат получим каноническое уравнение окружности:x2 + y2 = R2
Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2+ y2+2x-4y+p=0x2+ 2x+1- 1+y2- 4y+4- 4+p=0(x+1)2+ (y-2)2=5-pПри p > 5 уравнение не задает окружности, так как справа получаем отрицательное
значение, хотя ∀x, y ∈ R слева стоит неотрицательное выражение (сумма квадратов).
При p <= 5 уравнение задает окружность с центром в точке C(−1, 2) радиуса r = √5 − p.
Дайте определение эллипса. Запишите его каноническое уравнение. Каков смысл параметров, входящих в каноническое уравнение эллипса? Постройте линию, заданную уравнением
Эллипс – геометрическое место точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой из которых до 2 заданных точек F1 и F2, называемых фокусами постоянна и равна 2a.
x2/a2 + y2/b2=1 = 1 –каноническое уравнение эллипса. 0>E<1.
Факальный параметр p=b2/a, r=p/(1+Ecosφ) – полярное ур-ие.
r1+r2=2a – большая ось.
2b – малая ось.
2с – расстояние между фокусами. b2 =a2-c2.
Е=с/а – эксцентриситет.
x2 + 2y2 = 4
x2/22 + y2/√22 = 1
Главная полуось a = 2. Побочная полуось b = √2. Точки A1(2, 0), A2(0,√2), A3(−2, 0), A4(0,−√2)
- принадлежат эллипсу.
Необходимо нарисовать эллипс, проходящий через указанные точки A1,A2,A3,A4.
Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
Рассмотрим каноническое уравнение эллипса:x2/a2 +y2/b2 = 1
Если a = b, то данное уравнение описывает окружность (эллипс становится окружностью).
С точке зрения уравнения, можно домножить на a2, тогда мы получим каноническое уравнение окружности радиуса a: x2 + y2 = a2
С точки зрения геометрии при a = b полуоси эллипса равны, что говорит о его симметрии, то есть эллипс становится окружностью.
При a не= b полуоси у эллипса различные и эллипс не является окружностью.
Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
Гипербола - геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний, от которых до двух заданных точек (фокусы гиперболы) одинаково. Гипербола состоит из точек M(x, y): |ρ(M,F1) − ρ(M,F2)| = 2a = const, где F1, F2 -фокусы гиперболы, a - длина главной полуоси.
Каноническое уравнение гиперболы:
x2/a2 − y2/b2 = 1 основная гипербола
x2/a2 − y2/b2 = −1 сопряженная гипербола
Параметры a, b - определяют длины главной (расположенной на оси Ox) и побочной полуоси (расположенной на оси Oy) соответственно.
1) x2 = y2 - НЕ гипербола. Это уравнение задает пару пересекающихся прямых.
2) x2 − 2y2 = 4 - гипербола: x2/2в2 − y2/√2 = 1, a = 2, b= √2.
3) x2 + 2y2 = 1 - НЕ гипербола: Это уравнение задает эллипс.
Напишите каноническое уравнение гиперболы. Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс. Нарисуйте ее.
1) x2a2- y2b2=12) 2y2- x2=4Рассмотрим уравнение гиперболы: x2 − y2 = −1. Ассимптоты данной гиперболы (на-рисуем их): y = x, y = −x
Построим точку A(0, 1). Нарисуем ветвь вверх, стремящюся на y = ∞ к ассимптотам.
Построим точку B(0,−1). Нарисуем ветвь вниз, стремящюся на y = −∞ к ассимптотам.
Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: , ? Ответ обоснуйте.
Каноническое уравнение параболы:
y2 = 2px, p > 0
1) y2+2x = 0 - Не является параболой, так как его можно переписать в виде y2 = −2x,где p = −1 < 0, что не удовлетворяет условию p > 0.
В принципе, можно ввести замену координат x’ = −x, тогда в координатах (x’, y) данное уравнение y2 = 2x’ будет задавать параболу.
2) y−2x2 +1 = 0 - Не является параболой, так как y входит в уравнение линейно, что не удовлетворяет условию того, что в каноническом виде параболы переменная y входитс кваратом.
В принципе, можно ввести замену координат y’ = x, x’ = y+1, тогда в координатах (x’, y’)
данное уравнение 2y’2 = x’ будет задавать параболу, если переписать это уравнение в виде:
y’2 = x’/2 .
Дайте определение кривой второго порядка. Какие кривые второго порядка задают уравнения , ? Изобразите их.
Кривой второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-ой степени.
1) Эллипс. Точки эллипса:
A1(2, 0) A2(0, 3) A3(−2, 0) A4(0,−3)
2)Гипербола.Ее ассимптоты (нарисуем их)
y =x/2, y= −x/2
Построим точку A(2, 0). Нарисуем ветвь вправо, стремящюся на x = ∞ к ассимптотам.
Построим точку B(−2, 0). Нарисуем ветвь влево, стремящюся на x = −∞ к ассимпто-
там.
Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
Асимптотами обладает только гипербола. Параметры a, b - определяют длины главной (расположенной на оси Ox) и побочной полуоси (расположенной на оси Oy) соответственно. , .
10. Выпуклые множества в точечном пространстве
Как задать луч, отрезок в точечном пространстве ? Приведите примеры.
Луч (то есть каждую его точку M(x, y, z)) можно задать с помощью начальной точки
M0(x0, y0, z0), из которой выходит луч и направляющего вектора v(vx, vy, vz) данного луча в виде M = M0 +tv, где t принадлежит R, t больше или равно 0 - параметр уравнения. Расписав полученное уравнение покоординатно, получим систему, задающую все точки луча в параметрическом виде:
Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
Множество X называется выпуклым, если для любых двух его точек A,B ∈ X все точки отрезка [AB] также принадлежат множеству X, то есть если для любых двух его точек A,B ∈ X и для любого значения α in[0; 1] точка M = αA + (1 − α)B также принадлежит множеству X: M ∈ X.
Пусть дано X1, ...Xn - выпуклые множества. Обозначим Y =Xi - пересечение выпуклых множеств. Покажем, что Y - выпуклое множество. Для этого покажем, что длялюбых точек A,B ∈ Y и для любого значения α in[0; 1] точка M = αA + (1 − α)B также принадлежит множеству Y : M ∈ Y . Так как Y - суть пересечение выпуклых множеств X1, ...Xn, то выбранные произвольным образом точки A,B принадлежат каждому из этих множеств Xi, i = 1..n. В силу выпуклости каждого из множеств Xi по определению следует, что для произвольно выбранного значения α ∈ [0; 1] точка M = αA+(1−α)B принадлежит каждому из множеств (все они выпуклы и содержат A,B). Так как все множества Xi содержат точку M, то и
пересечение этих множеств также содержит точку M: M ∈ Y . Из последнего включения в силу произвольности A,B ∈ Y и произвольности параметра α ∈ [0; 1] следует выпуклость множества Y , что и требовалось показать.
Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
Да, очевидно, что это равенство задаёт линейную полуплоскость в R4.
Обоснуем это по оределению:
Рассмотрим любые две точки этого пространства
A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X,
удовлетворяющие вышеуказанному неравенству.
Рассмотрим произвольную точку M = αA + (1 − α)B, где α ∈ [0; 1] – произвольное значение параметра. ТогдаM(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B
m1 = αa1 + (1 − αb1)
m2 = αa2 + (1 − αb2)
m3 = αa3 + (1 − αb3)
m4 = αa4 + (1 − αb4)
Проверим для точки M(m1,m2,m3,m4) принадлежность к множеству X с помощью
выполнимости заданного неравенства:
5 + 2m1 + 3m2 − m3 + 5m4 ≥ 0
5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0
Представим 5 = α5+(1−α)5, раскроем и сгруппируем слагаемые для ai и bi. Получим:
α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0
Так как точки A,B лежат в множестве X, то их координаты удовлетворяют неравенству,
задающему множество. Значит, оба слагаемых неотрицательны в силу неотрицательностиα и 1 − α. Поэтому последнее неравенство выполнено для любых A,B и любого значения
параметра α ∈ [0; 1]. По определению мы показали, что данное множество X является
выпуклым.Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
Да, очевидно, что это равенство задаёт линейную гиперплоскость в R4.
Обоснуемэто по оределению:
Рассмотрим любые две точки этого пространства
A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X
удовлетворяющие вышеуказанному равенству.
Рассмотрим произвольную точку M = αA + (1 − α)B, где α ∈ [0; 1] – произвольное значение параметра. Тогда M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B
m1 = αa1 + (1 − αb1)
m2 = αa2 + (1 − αb2)
m3 = αa3 + (1 − αb3)
m4 = αa4 + (1 − αb4)
Проверим для точки M(m1,m2,m3,m4) принадлежность к множеству X с помощью
выполнимости заданного равенства:
m1 + 2m2 − 3m3 + 4m4 = 55
(αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для ai и bi. Получим:
α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55
Так как точки A,B лежат в множестве X, то их координаты удовлетворяют равенству,
задающему множество, то есть (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 и (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55.
Подставив эти равенства в последнее выражение получим:
α55 + (1 − α)55 = 55
Последнее равенство выполнено для любых A,B и любого значения параметра α ∈ [0; 1]. По определению мы показали, что данное множество X является выпуклым.
Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
а) квадрат имеет 4 угловые точки
б) окружность не имеет угловых точек
в) неограниченное множество может иметь угловые точки: имеет одну угловую точку (0;0)
Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.
то есть выполнено условие того, что это выпуклая линейная комбинация, а значит X входит в состав выпуклой оболочки. Предположим, что Y входит также в выпуклую комбинацию, тогда все точки отрезка [XY ] должны входить в линейную комбинацию, но по исходным точкам видно (все они находятся правей прямой x = -1), что вся выпуклая комбинация расположена справа от прямой x =-1, а точка Y - слева, что подтверждает, что ни весь отрезок [XY ] ни точка Y - не принадлежат выпуклой оболочке.
11. Задачи линейного программирования
Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.
Можно нарисовать бесконечную трапецию с угловыми точками A(2, 0), B(4, 2) и бесконечным лучом вправо x2 = 2: (4, 2), (5, 2)...(10, 2)....
Нарисовав вектор vz(-2, 1) целевой функции и обозначив линии уровня целевой функции (перпендикулярные вектору линии), то сразу видно, что оптимальное решение в точке (2, 0) и z(2, 0) = -4.
Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок. Ответ обоснуйте.
Можно нарисовать бесконечную трапецию с угловыми точками A(2, 0), B(4, 2) и бесконечным лучом вправо x2 = 2: (4, 2), (5, 2)...(10, 2)....
Нарисовав вектор vz(-1, 1) целевой функции и обозначив линии уровня целевой функци (перпендикулярные вектору линии), то сразу видно, что оптимальное решение будетдостигаться на отрезке [A,B] A(2, 0), B(4, 2), так как первая (максимальная) линия уровня проходит через этот отрезок.
Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч. Ответ обоснуйте.
z = 3x2 → max−x1 + x2 + 2 ≤ 0
x2 ≤ 2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Можно нарисовать бесконечную трапецию с угловыми точками A(2, 0), B(4, 2) и бесконечным лучом вправо x2 = 2: (4, 2), (5, 2)...(10, 2)....
Нарисовав вектор vz(0, 3) целевой функции и обозначив линии уровня целевой функци (перпендикулярные вектору линии), то сразу видно, что оптимальное решение будет достигаться на луче из точки B направо параллельно оси Ox1, где B(4, 2), так как первая
(максимальная) линия уровня проходит через этот луч.
Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:

Из последнего уравнения получаем x1 = −4x2 − 3x3 + 1 ≥ 0 и подставляем вместоx1 выражения правой части в первые два неравенства и в целевую функцию, получим
задачу:
z = x3 + 3(−4x2 − 3x3 + 1) + 5x2 → max(−4x2 − 3x3 + 1) + 5x2 + x3 ≥ 3
(−4x2 − 3x3 + 1) + x2 + 8x3 ≥ 7
−4x2 − 3x3 + 1 ≥ 0
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Приведя слагаемые и упростив выражения, получим:
z = −8x3 − 7x2 + 3 → maxx2 − 2x3 ≥ 2
−3x2 + 5x3 ≥ 6
−4x2 − 3x3 + 1 ≥ 0
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:

z = x3 + 2x1 + 3x2 → max
x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 8
x1 + 5x2 + x3 ≥ 4
x1 + 2x2 + 7x3 = 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
Введем новые переменные
x4 = x1 + 2x2 + 3x3 − 8 ≥ 0
x5 = x1 + 5x2 + x3 − 4 ≥ 0
и используем их в первых двух неравентсвах, приведя задачу к канонической форме:
z = x3 + 2x1 + 3x2 → max
x1 + 2x2 + 3x3 = 8+x4
x1 + 5x2 + x3 = 4+x5
x1 + 2x2 + 7x3 = 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x5 ≥ 0
Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.
Задача:
Двойственная задача:
Тут надо составить следующие элементы:
А=в=с=.Сформулируйте основные теоремы двойственности.
Теорема1: если исходная задача имеет оптимально решение , то и двойственная ей также имеет оптимальтное решение при этом оптимальные значения целевых ф-й обеих здачач раны т. е. zmax=TminТеорема2: достаточный признак оптимизации: если х0 и у0 –допустимые решения пары двойственных задач и при этом z(x0)=T(y0), то х0 и у0 –оптимальные решения той и другой задачи. T(y0)≥Z(x0).
Теорема3:оснятии решения двойственной задачи с последней симплексной таблицы исходной задачи: у0=а0Е+сЕ ; а-вектор индексной строки, координаты которого соотв базисным перемененным исходной таблицы, с-вектор с теми же коорд целевой ф-ии соответственно.
Как по графическому решению задачи линейного программирования найти решение двойственной задачи. Приведите пример.

Приложенные файлы

  • docx 18008220
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий