Trigonometricheskaja_i_pokazatelnaja_formy_zapi..


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.
Действия

с комплексными числами, записанными в тригонометрической
форме.

Представление комплексных чисел в виде
z
=
a
+
bi

называется алгебраи
ческой
формой записи комплексных чисел. Наряду с этой формой используются еще две

формы
записи
.

Определение.

Тригонометрической формой записи комплексных чисел называется
представление чисел в виде
, где введено обозначение
|
z
|
=
r
.


Определение.

Показательной формой записи комплексных чисел называется
представление чисел в виде
z
=|
z
|
e
i

=
r
e
i

.

Пример
.


С использованием этих форм записи произведение двух комплексных чисел
приобретает простой вид.

Пусть

z
1
=
r
1
(cos

1
+
i
sin

1
),
z
2
=
r
2
(cos

2
+
i
sin

2
).

Тогда
.


В последнем равенстве мы воспользовались теоремами сложения аргументов
тригонометрических функций.

Таким образом,
модуль произведения
двух комплексных
чисел
равен произведению их модулей,
аргумент произведения двух комплексных чисел
равен сумме их аргументов.


Произведение комплексных чисел, представленных в показательной форме, имеет
вид


Геометрическая интерпретация произведения ко
мплексных чисел показана на
Рис
.

3.


Рис. 3

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме


Следствием формулы
произведения чисел, записанных в тригонометрической
форме,
является формула

Муавра


В качестве следствия из

формулы Муавра получаем формулу возведения
комплексного числа в натуральную степень


При возведении числа в
n
-
ю степень его модуль возводится в эту степень, а
аргумент умножается на
n
.

Пример
.

В
ычислим
(1 +
i
)
2

двумя способами.


В алгебраической форме

(1 +
i
)
2
=1+2
i
+
i
2
=2
i
.


В тригонометрической форме

При необходимости в последнем равенстве можно выполнить переход от
тригонометрической формы записи к алгебраической,
подставив
значения
синуса и
косинуса




Приложенные файлы

  • pdf 18003090
    Размер файла: 197 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий