Razdel_2

2 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК

2.1 Основные понятия, исходные соотношения и гипотезы

Рассмотрим многослойную тонкую оболочку постоянной общей толщины 13 EMBED Equation.3 1415, собранную из произвольного числа однородных анизотропных слоев постоянной толщины 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.2.1).
Предполагается, что в каждой точке каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой сим-метрии, параллельная координатной поверхности оболочки; координатная поверхность параллельна внешним поверхностям оболочки и проходит внутри какого-либо слоя.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются криволинейными ортогональными ко-ординатами, совпадающими с лини-ями главной кривизны координатной поверхности оболочки, и 13 EMBED Equation.3 1415, будучи нормальной к координатным линиям 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. является прямолинейной и представляет расстояние по нормали от точки 13 EMBED Equation.3 1415 коорди-натной поверхности до точки 13 EMBED Equation.3 1415 оболочки (рис.2.2). Допустим, что все слои оболочки при деформации остаются упругими, т.е. подчиняются обобщенному закону Гука и работают совместно, без скольжения.
В выбранной триортогональной системе координат для коэффициентов Ляме имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (2.1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются коэффициентами первой квадратичной формы координатной поверхности, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415– главные кривизны координатной поверхности оболочки на линиях соответственно 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Для компонентов деформаций 13 EMBED Equation.3 1415-го слоя оболочки имеем

13 EMBED Equation.3 1415; (2.2)
13 EMBED Equation.3 1415; (2.3)
13 EMBED Equation.3 1415;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Основной предпосылкой для построения теории тонких анизотропных слоистых оболочек является гипотеза недеформированных нормалей. Она формулируется так: нормальный к координатной поверхности прямолинейный элемент оболочки после деформации остается прямолинейным, нормальным к деформированной координатной поверхности оболочки и сохраняет свою длину, а также нормальными напряжениями 13 EMBED Equation.3 1415 на площадках, параллельных координатной поверхности тонкой оболочки, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями.
Принимая гипотезу недеформированных нормалей, в теории оболочек вносится погрешность, которая будет порядка 13 EMBED Equation.3 1415, однако есть случаи, когда эта погрешность значительно больше.
Допуская обычную для инженерного расчета относительную погрешность 5 %, тонкими считаются такие оболочки, у которых 13 EMBED Equation.3 1415 и одновременно 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – минимальный линейный размер оболочки в координатной поверхности, 13 EMBED Equation.3 1415 – малая величина (например, для изотропной оболочки ~ 0,1). Второе условие заимствовано из теории пластин, является обязательным. Так как если тонкую оболочку определять только с точки зрения отношения толщины оболочки к минимальному радиусу кривизны координатной поверхности (первое условие), то она с точки зрения теории пластин (второе условие) может оказаться толстой, и принятое основное предположение станет неприемлемым.
Данное выше определение тонкой оболочки носит несколько условный характер, так как если толщину оболочки рассмотреть с точки зрения возможности применения гипотезы недеформируемых нормалей, то приведенное геометрическое определение тонкой оболочки в случае анизотропных слоистых оболочек будет нуждаться в существенных коррективах, о чем будет сказано ниже.

2.2 Перемещения, деформации и напряжения в слоях

Геометрическая гипотеза о деформированных нормалях, данная для всего пакета оболочки в целом, освобождает нас от необходимости рассмотрения перемещений и деформаций каждого слоя в отдельности.
Имея деформации удлинения и сдвига, а также параметры, характеризующие изменение кривизны и кручения координатной поверхности оболочки, можно определить деформации и перемещения любого слоя оболочки.
Пользуясь основной гипотезой, можно записать следующие равенства:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (2.8)
или для отдельного слоя оболочки
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (2.9)
которые равномерны допущению о том, что деформация оболочки в целом происходит без деформаций сдвига 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 в плоскости нормальных сечений и без деформаций удлинения 13 EMBED Equation.3 1415 по толщине оболочки.
В связи с этим, имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (2.10)
т.е. нормальное перемещение 13 EMBED Equation.3 1415 точки какого-либо слоя оболочки не зависит от координаты 13 EMBED Equation.3 1415. Нормальные перемещения всех точек нормального элемента имеют постоянное значение и равняются нормальному перемещению 13 EMBED Equation.3 1415 той точки координатной поверхности, которая образуется при перемещении данной нормали с координатной поверхностью оболочки.
Для тангенциальных перемещений 13 EMBED Equation.3 1415-го слоя оболочки имеем
13 EMBED Equation.3 1415; (2.11)
13 EMBED Equation.3 1415, (2.12)
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 тангенциальные перемещения соответствующей точки координатной поверхности оболочки.
Таким образом, формулами (2.10 – 2.12) устанавливается геометрическая модель деформированного состояния оболочки, а деформации имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415; (2.13)
13 EMBED Equation.3 1415; (2.14)
13 EMBED Equation.3 1415, (2.15)

где 13 EMBED Equation.3 1415 – относительные деформации удлинений и сдвига координатной поверхностью оболочки;
13 EMBED Equation.3 1415 – изменения кривизны координатной поверхностью оболочки,
13 EMBED Equation.3 1415 – деформации сдвига, 13 EMBED Equation.3 1415– относительная деформация кручения).
Пользуясь основной гипотезой, пренебрегая напряжениями 13 EMBED Equation.3 1415 из обобщенного закона Гука, получим
13 EMBED Equation.3 1415; (2.16)
13 EMBED Equation.3 1415; (2.17)
13 EMBED Equation.3 1415, (2.18)
где для коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; (2.19)
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415. (2.20)


2.3 Уравнения неразрывности деформаций координатной поверхности

Между шестью параметрами
·1,
·2,
·, х1, х2,
·, которые характеризуют деформацию координатной поверхности оболочки, существует три дифференциальных соотношения, справедливых при любых значениях перемещений u, v и w.
В общем виде имеем три дифференциальных соотношения относительно шести компонентов деформаций координатной поверхности оболочки

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.21)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.22)

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (2.23)


Функции
·1,
·2,
·, х1, х2,
·, удовлетворяющие этим уравнениям, характеризуют такое деформированное состояние оболочки, при котором координатная поверхность остается сплошной, не претерпевая разрывов. В силу этого (2.21)–(2.23) называют условиями неразрывности координатной поверхности.
Эти условия для оболочки произвольной формы впервые были получены А.Л. Гольденвейзером.

2.4 Условия контакта смежных слоев
При формулировке основных понятий было сказано, что слои оболочки работают совместно без скольжения. В силу этого напряжения и перемещения отдельных слоев на поверхностях слоев должны удовлетворять следующим условиям контакта (рис. 2.1 и 2.3):
при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.24)
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; (2.25)
Кроме этого, напряжения крайних слоев должны удовлетворять условиям на внешних поверхностях оболочки
при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415– соответствующие компоненты векторов интенсивности поверхностных нагрузок;
13 EMBED Equation.3 1415 – номера крайних слоев.

2.5 Внутренние силы, моменты и уравнения равновесия

В дальнейшем нам нужно, кроме напряжений, использовать статически эквивалентные им внутренние силы и моменты, которые действуют на площадках главных нормальных сечений оболочки.
Из условий статической эквивалентности для внутренних тангенциальных (13 EMBED Equation.3 1415) и поперечных (13 EMBED Equation.3 1415) сил, а также для изгибающих (13 EMBED Equation.3 1415) и крутящих (13 EMBED Equation.3 1415) моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, имеем (рис. 2.1, 2.4, 2.5)



















На рис. 2.4 13 EMBED Equation.3 1415) число всех слоев оболочки; 13 EMBED Equation.3 1415 – число слоев ниже координатной поверхности оболочки, 13 EMBED Equation.3 1415 – число остальных слоев. Если координатная поверхность оболочки расположена внутри какого-либо слоя, то под 13 EMBED Equation.3 1415 подразумевается число слоев выше координатной поверхности плюс один, а если же координатная поверхность совпадает с какой-либо поверхностью контакта, то под 13 EMBED Equation.3 1415 подразумевается число слоев выше координатной поверхности.
Тангенциальные силы и моменты согласно рис. 2.5 являются положительными и определяются из уравнений
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Пределы интегрирования: нижние 13 EMBED Equation.3 1415, верхние 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнения равновесия анизотропной слоистой оболочки имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
где 13 EMBED Equation.3 1415 – радиусы кривизны координатной поверхности.

2.6 Потенциальная энергия деформации

Уравнение для потенциальной энергии деформации многослойной оболочки имеют вид

13 EMBED Equation.3 1415(2.28)

где коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; (2.29)
13 EMBED Equation.3 1415.
В частном случае, когда координатная поверхность оболочки совпадает с нижней поверхностью оболочки, 13 EMBED Equation.3 1415превращается в нуль (рис.2.4), в связи с чем существенным образом упрощаются выражения (2.29), т.е.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; (2.30)
13 EMBED Equation.3 1415.
В уравнении (2.28) первая составляющая представляет потенциальную энергию удлинений и сдвигов, третье – изгибов и кручений, а второе – взаимное влияние изгибов, кручений. удлинений и сдвигов.
Коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 называются жесткостями:
13 EMBED Equation.3 1415– жесткости растяжения – сжатия по координатным линиям 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415– жесткость сдвига в плоскости, касательной к координатной поверхности;
13 EMBED Equation.3 1415– побочные жесткости растяжения – сжатия и сдвига, характеризующие влияние удлинений по координатным линиям 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 на сдвиг в касательной плоскости;
13 EMBED Equation.3 1415– жесткости изгиба вокруг осей, касательных к координатным линиям 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415– жесткость кручения;
13 EMBED Equation.3 1415– побочные жесткости изгиба и кручения, характеризующие влияние изгибов осей, касательных к координатным линиям 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 на кручение;
13 EMBED Equation.3 1415 –жесткости взаимного влияния растяжения и изгиба, характеризующие взаимное влияние растяжения и изгиба по линиям 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415– жесткость взаимного влияния кручения и сдвига;
13 EMBED Equation.3 1415– побочные жесткости взаимного влияния изгибов на сдвиг и удлинений на кручение, соответственно.

2.7 Соотношения упругости

Уравнения, которые устанавливают связь между внутренними усилиями и деформациями координатной поверхности оболочки, называются соотношениями упругости. Для общего случая многослойной анизотропной оболочки они имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнения для 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415не будем приводить, так как при наличии известных соотношений упругости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 эти поперечные силы могут быть получены из четвертого и пятого уравнений равновесия (2.27).

2.8 Граничные условия

В реальных шахтных объектах можно встретиться с самыми разнообразными типами опор оболочек и это многообразие решений опор невозможно представить в виде каких-либо математических моделей – граничных условий. В связи с этим приведем лишь некоторые возможные варианты граничных условий.
Ради краткости записи граничных условий приводим лишь для края, который определяется координатной линией 13 EMBED Equation.3 1415.
1. Однородные граничные условия:
а) свободный край
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ; (2.32)
б) шарнирно-закрепленный край
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.33)
в) шарнирный, свободный в тангенциальном направлении край
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.34)



или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.35)
г) шарнирный, свободный в нормальном направлении край
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.36)
д) абсолютно заделанный край
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.37)
В последнем соотношении 13 EMBED Equation.3 1415 – угол поворота нормали координатной поверхности оболочки вокруг касательной к линии 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Неоднородные граничные условия:
а) загруженный край
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415– усилия, приложенные к краю (в частном случае некоторые из них могут быть равны нулю).
б) шарнирный, неподвижно опертый край загружен моментом
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.39)
в) шарнирный, свободный в тангенциальном направлении край загружен моментом и тангенциальной силой
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.40)
или 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.41)
г) шарнирный, свободный в нормальном направлении край загружен моментом и поперечной силой


13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; (2.42)
д) смещенный край
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (2.43)
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, – заданные перемещения и угол поворота края оболочки.
Неоднородные граничные условия могут быть и смешанными. В этом случае необходимо следить, чтобы заданные усилия и перемещения не противоречили друг другу.
Аналогичным образом могут быть записаны и граничные условия для края, который определяется координатной линией 13 EMBED Equation.3 1415.
В случае, когда оболочка вовсе не имеет граничного контура (полностью замкнутая оболочка) или граничный контур определяется лишь по линии одной координаты (частично замкнутая оболочка), то граничные условия по направлению замкнутых координат теряют свои обычные формулировки и заменяются условиями периодичности с периодом, обеспечивающим однозначность перемещений в любой точке рассматриваемой замкнутой линии координат.
Приведенные результаты могут быть обобщены на случай сопряжения края рассматриваемой оболочки с каким-либо упругим бортовым элементом (балка, пластина, оболочка и т.д.).

2.9 Частные случаи анизотропии материала слоев оболочки

Рассмотрим изменения основных соотношений теории слоистых анизтропных оболочек в частных случаях анизотропии материала их слоев.
1 Оболочки, составленные из ортотропных слоев.
В этом случае главные направления упругости в каждой точке каждого слоя совпадают с направлениями координат 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. в каждой точке слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна координатной поверхности оболочки, а остальные две перпендикулярны координатным линиям 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда для упругих постоянных 13 EMBED Equation.3 1415-го слоя оболочки имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 .
Для коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415 из (2.19, 2.20) имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
ля основных напряжений из (2.16 – 2.18) получим
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, (2.46)
13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы для определения жесткостей (2.29) остаются без изменений, при этом значения 13 EMBED Equation.3 1415 надо принимать из условий, что
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда получим следующие соотношения упругости
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; (2.47)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415,
и выражения для потенциальной энергии
13 EMBED Equation.3 1415(2.48)
Выражения деформаций и изменений кривизны, кручения, уравнения равновесия и неразрывности деформаций остаются без изменений.
2. Оболочки, составленные из изотропных слоев.
Пусть оболочка составлена из различных изотропных слоев. В этом случае для упругих постоянных 13 EMBED Equation.3 1415-го слоя оболочки имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Для коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Основные напряжения в слоях оболочки определяются из выражений
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

При этом
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.52)
Формулы внутренних усилий и выражений потенциальной энергии остаются без изменений, причем надо учитывать лишь новые значения жесткостей.
Здесь неизменными также остаются выражения для деформаций и изменений кривизны, кручения, уравнения равновесия и неразрывности деформаций.
3 Оболочки, составленные из трансверсально изотропных слоев
Рассмотрим три случая
а) Пусть главные направления упругости в каждой точке каждого слоя совпадают с направлениями координатных линий 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае надо пользоваться соотношениями, данными для оболочки, составленной из ортотропных слоев, при этом надо полагать для каждого слоя
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.53)
б) Пусть главные направления упругости в каждой точке слоев совпадают с направлениями координатных линий 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае также надо пользоваться соотношениями для ортотропной оболочки, причем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 . (2.54)
в) Главные направления упругости в каждой точке слоев нормальны к координатной поверхности оболочки. В этом случае надо пользоваться соотношениями для оболочки, составленной из различных изотропных слоев, при этом надо полагать
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.55)

2.10 Оболочки, составленные из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно координатной поверхности

Рассмотрим оболочки, составленные из нечетного числа 13 EMBED Equation.3 1415 однородных анизотропных слоев. Слои оболочки имеют одинаковые толщины и физико-механические свойства. Координатная поверхность является срединной поверхностью как для среднего слоя, так и всей оболочки в целом.
В силу симметрии имеем (см. рис. 2.4)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
При этом из (2.29) для жесткостей оболочки получим
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Для соотношений упругости и потенциальной энергии соответственно получим
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (2.59)
В каждом конкретном случае в эти выражения необходимо подставлять те или иные выражения для жесткостей оболочки.

2.11. О соотношениях упругости

Исходя из гипотезы недеформируемых нормалей, следует, что независимо от расположения координатной поверхности оболочки все внутренние силы и моменты в общем случае зависят от деформаций удлинений и сдвига, так и от параметров изменений кривизны ее координатной поверхности.
В связи с этим, безразлично, какое расположение имеет исходная координатная поверхность оболочки. Поэтому интересно выяснить то расположение координатной поверхности оболочки, для которого все жесткости взаимного влияния 13 EMBED Equation.3 1415 превращаются в нуль, и для многослойной оболочки получаются наиболее простые соотношения упругости.
Полагая 13 EMBED Equation.3 1415=0, из (2.29) получим
при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=0 (2.60)
при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=0 (2.61)
при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=0 и т.д. (2.62)
Рассматривая эти выражения, замечаем, что в общем случае анизотропии слоев оболочки все значения 13 EMBED Equation.3 1415 отличны друг от друга. Отсюда следует, что в общем случае анизотропной слоистой оболочки, когда не ставятся какие-либо ограничения на упругие характеристики материалов слоев оболочки, нет единого расположения координатной ее поверхности, для которого все жесткости взаимного влияния 13 EMBED Equation.3 1415 превращаются в нуль.
При единой координатной поверхности оболочки все жесткости взаимного влияния 13 EMBED Equation.3 1415 превратятся в нуль, если поставить условие
13 EMBED Equation.3 1415, (2.63)
но это условие ставит существенные ограничения на другие характеристики материалов слоев оболочки.
Для примера рассмотрим двухслойную оболочку (рис. 2.6)



Рис.2.6






Полагая 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 из (2.63) получим
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415. (2.64)
Отсюда следует, что равенства (2.64) будут иметь место, если
13 EMBED Equation.3 1415, (2.65)
что является существенным ограничением для поставленной задачи.
В частном случае изотропной оболочки из (2.45) для упругих характеристик слоев имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415– модули упругости соответственно первого и второго слоев;
13 EMBED Equation.3 1415– коэффициенты Пуассона первого и второго слоев.
Подставляя 13 EMBED Equation.3 1415из (2.66) в (2.65), получим
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 (2.67)
Отсюда следует, что эти равенства имеют место лишь при условии равенства коэффициентов Пуассона слоев оболочки, т.е. когда 13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае легко получить значения 13 EMBED Equation.3 1415, определяющее положение координатной поверхности оболочки, для которого жесткости 13 EMBED Equation.3 1415 превращаются в нули, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 (2.68)
Таким образом, приходим к заключению, что в общем случае многослойной оболочки при отсутствии ограничения (2.63) не существует такого расположения координатной ее поверхности, когда и для многослойной оболочки получаются соотношения упругости типа (2.47) при 13 EMBED Equation.3 1415=0.

2.12 Вычисления жесткостей для произвольных направлений

Упругие постоянные 13 EMBED Equation.3 1415, а следовательно коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415, анизотропного тела при переходе от одной системы координат к другой изменяются.
Рассмотрим плоское напряженное состояние анизотропной пластины, материал которой в каждой точке имеет одну плоскость упругой симметрии, параллельную к срединной ее плоскости, которая совпадает с совмещенными координатными плоскостями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть координатные системы (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415) получаются друг от друга путем поворота на некоторый угол 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда получим следующие формулы преобразования:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, имея значения 13 EMBED Equation.3 1415 для каждого слоя с помощью формул (2.69) можно найти значения 13 EMBED Equation.3 1415 в новой системе координат для каждого рассматриваемого слоя. Подставляя значения 13 EMBED Equation.3 1415 в формулы (2.69), найдем значения жесткостей 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в системе координат (13 EMBED Equation.3 1415).

2.13 Приближенная теория анизотропной пластинки, учитывающая явления поперечного сдвига

Вышеприведенная теория справедлива для решения плоских задач о напряженно-деформированном состоянии тонких слоистых анизотропных (изотропных) оболочек (пластин), т.е. без учета явления поперечного сдвига. Такие подземные объекты как непосредственная кровля, охранные сооружения, стволы и т.д. могут быть рассмотрены в виде трехмерных систем, как наиболее адекватным к реальным. Поэтому приведем основное уравнение для определения напряженно-деформированного состояния, в частности анизотропных пластины, учитывающее явление поперечного сдвига.
Для ортотропной пластинки:
а) расстояния по нормали (13 EMBED Equation.3 1415) между двумя точками пластинки до и после деформации остаются неизменными;
б) нормальные напряжения 13 EMBED Equation.3 1415 на площадках, параллельных срединной плоскости, могут быть пренебреженны по сравнению с прочими напряжениями;
в) при определении деформаций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 считаем, что касательные напряжений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 не отличаются от соответствующих напряжений (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415), найденных при наличии гипотезы недеформируемых нормалей, т.е. от соответствующих напряжений классической теории изгиба анизотропных пластинок.
В силу принятых предположений для напряжений имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (2.70)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , (2.71)
где
13 EMBED Equation.3 1415, (2.72)
13 EMBED Equation.3 1415 , (2.73)
13 EMBED Equation.3 1415 – нормальное перемещение соответствующей ортотропной пластины, найденное при наличии гипотезы недеформируемых нормалей. Здесь предполагается 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Для перемещений, деформаций и напряжений имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , (2.74)
для нормального перемещения имеем
13 EMBED Equation.3 1415 (2.75)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.76)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.77)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.78)
где 13 EMBED Equation.3 1415
Для внутренних сил и моментов получим
13 EMBED Equation.3 1415 (2.79)

13 EMBED Equation.3 1415 (2.80)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.81)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.82)
Разрешающее дифференциальное уравнение относительно одной искомой функции 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.83)
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем его в несколько преобразованном виде
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.84)
Таким образом, в этом варианте теории задача поперечного изгиба ортотропной пластинки свелась к определению лишь функции 13 EMBED Equation.3 1415(функция 13 EMBED Equation.3 1415 и тем самым функция 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 известны из классической теории изгиба анизотропной пластинки). Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению четвертого порядка (2.84) или (2.83), которые своими левыми частями ничем не отличаются от левой части известного уравнения классической теории изгиба анизотропной пластинки, и граничным условиям, которые тоже ничем не отличаются от граничных условий классической теории. Для примера приведем однородные граничные условия для четырех случаев (см. 2.8):
а) свободный край
13 EMBED Equation.3 1415;
б) шарнирно закрепленный край
13 EMBED Equation.3 1415;
в) заделанный край (закреплен элемент срединной поверхности)
13 EMBED Equation.3 1415;
г) заделанный край (закреплен вертикальный элемент края)
13 EMBED Equation.3 1415
В случае, когда пластинка цилиндрически анизотропна, по предлагаемой здесь теории имеем следующие расчетные формулы и уравнения:
основные расчетные напряжения
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.85)

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.86)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.87)
внутренние изгибающие и крутящие моменты
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.88)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.89)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.90)
и наконец, разрешающее уравнение задачи

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.91)
Во всех этих формулах и уравнениях для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, (2.92)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.93)
Предлагаемую здесь теорию можно несколько улучшить. Дело в том, что, не вводя никаких существенных осложнений, можно освободиться от предположения о пренебрежительности 13 EMBED Equation.3 1415 по сравнению с прочими напряжениями; тогда для расчетных напряжений получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, (2.94)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , (2.95)

13 EMBED Equation.3 1415 (2.96)
где 13 EMBED Equation.3 1415
Для моментов и поперечных сил имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.97)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.98)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.99)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.100)
и, наконец, разрешающее дифференциальное уравнение задачи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2.101)

Рассматривая формулы для расчетных величин (5.27)-(5.33) и разрешающее уравнение (5.34)уточненного варианта теории, замечаем, что они от соответствующих формул (5.8)-(5.14) и разрешающего уравнения (5.16) неуточненной теории отличаются лишь членами, которые содержат множители 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, которая имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415 (2.102)
В вышеприведенных уравнениях приведены механические характеристики: модули упругости Е и коэффициенты Пуассона 13 EMBED Equation.3 1415 для сплошных сред. Однако горные породы обладают трещиноватостью, поэтому ее учет представляет теоретический и практический интерес, что изложено в следующем разделе.









13PAGE 15


13PAGE 144615


13PAGE 15





Рис.2.2. Координатная поверхность

0

Рис. 2.1. Схема многослойной оболочки

Рис.2.3. Схема оболочки с контактом смежных слоев

(2.44)

Рис. 2.5. Усилия и моменты, возникающие в оболочке

(2.26)

(2.27)

(2.38)

(2.45)

Рис. 2.6. Двухслойная оболочка

(2.49)

(2.50)

(2.51)

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.66)

(2.69)

Рис.2.2

(2.31)

Рис. 2.4. Параметры слоистой оболочки



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 17997701
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий