Konspekt_lektsy_po_matematike_Ch_3

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)
___________________________________________

Кафедра «Прикладная математика-1»

Е.Б.Арутюнян


МАТЕМАТИКА

Часть 3

Рекомендовано редакционно-издательским
советом университета в качестве
учебного пособия


для студентов специальности
«УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА
В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ»




Москва – 2010

УДК 509
А 79

Арутюнян Е.Б. Математика. Часть 3. Учебное пособие.
– М.: МИИТ, 2010. – 88 с.



Учебное пособие по курсу «Математика» для студентов специальности «Управление и информатика в технических системах». Содержит три раздела курса: «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Кратные и криволинейные интегралы».



Рецензенты: зав.кафедрой «Вычислительная математика» профессор В.Н.Деснянский; зам. зав.кафедрой прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина профессор С.Ю.Жолков.












© Московский государственный
университет путей сообщения
(МИИТ), 2010
Раздел V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Основные понятия
Пусть D(Rn. Отображение f : D(R будем называть функцией n переменных. Если (х1, х2, ..., хn) – элемент множества D, то его образ f(х1, х2, ..., хn) – действительное число. Множество D – область определения функции f. Переменные х1, х2, ..., хn называют аргументами этой функции.
Примеры. 1) Формула равномерного движения S=vt задает пройденный путь как функцию двух переменных – скорости и времени: S=f(v,t).
2) Закон Ома V=IR задает напряжение как функцию двух переменных – силы тока и сопротивления: V=f(I,R). 3) Формула объема прямоугольного параллелепипеда V=abc задает объем как функцию трех переменных – длины, ширины и высоты: V=f(a,b,c). (
Если f(x,y) – функция двух переменных, то область определения D(f) – часть плоскости.
Примеры. 1) Пусть f(x,y)=13 EMBED Equation.3 1415. Тогда D(f) состоит из всех точек (x,y), для которых 4–х2–у2(0. Эти точки составляют круг с центром в начале координат и радиусом 2. Таким образом, D(f) – круг.
2) Пусть f(x,y)=13 EMBED Equation.3 1415. Тогда D(f) состоит из всех точек (x,y), для которых х–у ( 0. Эти точки составляют всю плоскость, кроме прямой х=у. Таким образом, D(f) – вся плоскость без этой прямой.
3) Пусть f(x,y)=ln(x2+y2–1). Тогда D(f) состоит из всех точек (x,y), для которых х2+у2–1>0. Эти точки составляют всю плоскость, кроме круга с центром в начале координат и радиусом 1. Таким образом, D(f) – вся плоскость без этого круга. (
Если f(x,y) – функция двух переменных, то поверхность z = f(x,y) называют графиком этой функции, а линии на плоскости, заданные уравнениями вида f(x,y)=С, называют линиями уровня.
Примеры. 1) Пусть f(x,y)=13 EMBED Equation.3 1415. Область определения этой функции, как показано выше, – круг с центром в начале координат и радиусом 2. График функции – поверхность z =13 EMBED Equation.3 1415, то есть полусфера: х2+у2+z2=4, z(0. Линии уровня 13 EMBED Equation.3 1415= С, если 0(C<2, – это окружности с центром в начале координат и радиусом 13 EMBED Equation.3 1415. Если С=2, то линия уровня состоит из одной точки – начала координат. При С<0 или С>2 линии уровня не существуют.
2) Пусть f(x,y)=х2+у2–1. Область определения этой функции – вся плоскость. График функции – поверхность z=х2+у2–1, то есть параболоид вращения с вершиной в точке (0;0;–1) и осью вращения Oz. Линии уровня х2+у2–1=С, если C>–1, – это окружности с центром в начале координат и радиусом 13 EMBED Equation.3 1415. Если С=–1, то линия уровня состоит из одной точки – начала координат. При С<–1линии уровня не существуют.(

2. Предел и непрерывность
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415(Rn: 13 EMBED Equation.3 1415=(a1, a2, ..., an). Пусть (>0. Множество всех таких точек 13 EMBED Equation.3 1415(Rn, для которых (13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415( <(, будем называть (-окрестностью точки 13 EMBED Equation.3 1415; (-окрестность точки 13 EMBED Equation.3 1415 без самой этой точки будем называть проколотой (-окрестностью точки 13 EMBED Equation.3 1415. Например, если n=2, то (-окрестность точки 13 EMBED Equation.3 1415– это открытый круг с центром 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом (, а проколотая (-окрестность точки 13 EMBED Equation.3 1415– этот же круг без центра. Теперь понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных можно определить так же, как для функции одной переменной.
Определение 1. Функция f нескольких переменных, определенная в некоторой проколотой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415, называется бесконечно малой при 13 EMBED Equation.3 1415, стремящемся к 13 EMBED Equation.3 1415 (пишут: 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415), если для любого положительного числа ( существует такая проколотая окрестность точки 13 EMBED Equation.3 1415, что при всех 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащих этой окрестности, (f(13 EMBED Equation.3 1415)(<(.
Свойства бесконечно малых функций нескольких переменных аналогичны свойствам бесконечно малых функций одной переменной. Попробуйте сформулировать их самостоятельно.
Определение 2. Число b называется пределом функции f(13 EMBED Equation.3 1415) при 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415, если функция f(13 EMBED Equation.3 1415)–b является бесконечно малой при 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415. Обозначение: b =13 EMBED Equation.3 1415.
В частности, если функция f(13 EMBED Equation.3 1415) – бесконечно малая при 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415=0.
Примеры. 1) Пусть f(13 EMBED Equation.3 1415)=С – постоянная функция. Тогда для любой точки 13 EMBED Equation.3 1415 функция f(13 EMBED Equation.3 1415)–С является бесконечно малой при 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415=С.
2) Пусть f(13 EMBED Equation.3 1415)=х1 – первая координата точки 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда для любой точки 13 EMBED Equation.3 1415=(a1, a2, ..., an) функция f(13 EMBED Equation.3 1415)–а1 является бесконечно малой при 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415.Значит, 13 EMBED Equation.3 1415= a1. (
Свойства предела функции нескольких переменных аналогичны свойствам предела функции одной переменной. Сформулируем их в виде теорем, которые примем без доказательства.
Теорема 1 (о единственности предела). Если
13 EMBED Equation.3 1415=b и 13 EMBED Equation.3 1415=c, то c = b.
Теорема 2 (об ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел при 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 3 (о переходе к пределу в неравенстве). Если 13 EMBED Equation.3 1415=b и 13 EMBED Equation.3 1415=с, причем f(13 EMBED Equation.3 1415)(g(13 EMBED Equation.3 1415) в некоторой проколотой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415, то b(с.
Следствие. Если 13 EMBED Equation.3 1415=b, причем f(13 EMBED Equation.3 1415)(0 в некоторой проколотой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415, то b(0. Если 13 EMBED Equation.3 1415=b, причем f(13 EMBED Equation.3 1415)(0 в некоторой проколотой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415, то b(0.
Теорема 4 (о промежуточной функции). Если 13 EMBED Equation.3 1415=b и 13 EMBED Equation.3 1415=b, причем f(13 EMBED Equation.3 1415)(h(13 EMBED Equation.3 1415)(g(13 EMBED Equation.3 1415) в некоторой проколотой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415=b.
Теорема 5 (об арифметических операциях).
1) Если 13 EMBED Equation.3 1415=b и 13 EMBED Equation.3 1415=с, то 13 EMBED Equation.3 1415= b+c.
2) Если 13 EMBED Equation.3 1415=b и 13 EMBED Equation.3 1415=с, то 13 EMBED Equation.3 1415=bc.
Следствие. Если 13 EMBED Equation.3 1415=b, то 13 EMBED Equation.3 1415=Cb.
3) Если 13 EMBED Equation.3 1415=b, причем b(0, то 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Следствие. Если 13 EMBED Equation.3 1415=b и 13 EMBED Equation.3 1415=с, причем c(0, то 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 через13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 5.
2) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Мы воспользовались здесь эквивалентностями: ln(1+()(( и sin((( при ((0.
3) Покажем, что 13 EMBED Equation.3 1415 не существует. Предположим сначала, что точка (x,y) приближается к точке (0;0) по прямой y=x. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Если же прямую y=x заменить прямой y = –x, то получим 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415не может иметь двух различных значений, то он не существует.
4) Для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415 воспользуемся полярными координатами: пусть х=(cos(, y=(sin(. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415(2cos2(sin2(; 0((2cos2(sin2(((2 при любом (; 13 EMBED Equation.3 1415(2=0; значит, 13 EMBED Equation.3 1415= 0.(
Определение 3. Функция f(13 EMBED Equation.3 1415), определенная в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415, называется непрерывной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415= f(13 EMBED Equation.3 1415).
Перечислим свойства непрерывных функций нескольких переменных.
Теорема 6 (о локальной ограниченности). Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 7 (о сохранении знака). Если функция f(13 EMBED Equation.3 1415) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и f(13 EMBED Equation.3 1415)>0 (или f(13 EMBED Equation.3 1415)<0), то f(13 EMBED Equation.3 1415)>0 (соответственно f(13 EMBED Equation.3 1415)<0) в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 8 (об арифметических операциях). Если функции f(13 EMBED Equation.3 1415) и g(13 EMBED Equation.3 1415) непрерывны в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то функции f(13 EMBED Equation.3 1415)+g(13 EMBED Equation.3 1415) и f(13 EMBED Equation.3 1415)g(13 EMBED Equation.3 1415) непрерывны в точке 13 EMBED Equation.3 1415. Если, кроме того, g(13 EMBED Equation.3 1415)(0, то и функция 13 EMBED Equation.3 1415непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 9 (о непрерывности сложной функции двух переменных). Пусть функции u(x,y) и v(x,y) непрерывны в точке (хо,уо), а функция f(u,v) непрерывна в точке (uo,vo), где uo=u(xо,yо), vo=v(xо,yо). Тогда функция f(u(x,y),v(x,y)) непрерывна в точке (хо,уо).
Замечание 1. Рассмотрим функцию двух переменных f(x,y). Рассмотрим точки (x0,y0) и (x0+(x,y0+(y). Разность f(x0+(x,y0+(y)– f(x0,y0) обозначим (f и будем называть приращением функции в точке (x0,y0). При фиксированной точке (x0,y0) приращение будет функцией от (x и (y (то есть от приращений аргументов). Из определения непрерывности следует, что функция f(x,y) непрерывна в точке (x0,y0) тогда и только тогда, когда в этой точке 13 EMBED Equation.3 1415=0 (то есть приращение функции в этой точке является бесконечно малой при (x(0 и (y(0).
Пример. Пусть f(x,y)= 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда приращение функции в точке (0;0) имеет вид: (f=13 EMBED Equation.3 1415. Как показано в примере выше, при (x(0 и (y(0 эта функция не имеет предела. Значит, функция f(x,y) не является непрерывной в точке (0;0).(
Замечание 2. Кроме приращения (f, для функции двух переменных рассматривают так называемые частные приращения по х и по у: (хf = f(x0+(x,y0)–f(x0,y0) и (уf = f(x0,y0+(y)– f(x0,y0). Первое из них является функцией только от (x, а второе – только от (y. Аналогично можно определить частные приращения и для функции любого числа переменных.
3. Дифференциальное исчисление
функций двух переменных
3.1. Дифференцируемость функции в точке
Определение 1. Функция двух переменных f(x,у), определенная в некоторой окрестности точки (х0,у0), называется дифференцируемой в этой точке, если приращение функции в этой точке можно представить в виде:
(f = A(x+В(у+(((x,(у)(x+(((x,(у)(у, где А и В – числа, а (((x,(у) и (((x,(у) – бесконечно малые при (x(0 и (у(0. Главную линейную часть этого выражения – сумму A(x+В(у – называют дифференциалом функции f(x,у) в точке (х0,у0) и обозначают df.
Из этого определения следует, что если функция f(x,у) дифференцируема в точке (х0,у0), то в этой точке
13 EMBED Equation.3 1415 =А+(((x,0) и 13 EMBED Equation.3 1415=В+((0,(у). Тогда существуют пределы: 13 EMBED Equation.3 1415= А и 13 EMBED Equation.3 1415= В.
Определение 2. Пусть функция f(x,у) определена в некоторой окрестности точки (х0,у0). Если в этой точке существует13 EMBED Equation.3 1415, то он называется частной производной по х данной функции в данной точке и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 – частная производная по у. Таким же образом определяются частные производные для функции любого числа переменных.
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция f(x,у) дифференцируема в точке (х0,у0), то в этой точке существуют частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Значит, df = 13 EMBED Equation.3 1415(x+13 EMBED Equation.3 1415(у. Так же, как для функций одной переменной, можно показать, что dx=(x и dy=(у, то есть df = 13 EMBED Equation.3 1415dx +13 EMBED Equation.3 1415dy.
Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f(x,у) дифференцируема в точке (х0,у0), то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Поскольку для дифференцируемой функции (f =A(x+В(у+(((x,(у)(x+(((x,(у)(у, где А и В – числа, а (((x,(у) и (((x,(у) – бесконечно малые при (x(0 и (у(0, то (f является бесконечно малой при (x(0 и (у(0. А значит, согласно замечанию 1 из предыдущего пункта, функция f(x,у) непрерывна в точке (х0,у0), ч.т.д.
Примеры. 1)Пусть f(x,у) = 13 EMBED Equation.3 1415. Эта функция непрерывна на всей плоскости и, в частности, в точке (0;0). Приращение (хf в этой точке равно 13 EMBED Equation.3 1415, то есть ((x(. Поэтому отношение (хf к (x равно 1 или –1 в зависимости от знака (x, и предел этого отношения при (x(0 не существует. Отсутствие частной производной по х означает, что функция не дифференцируема в точке (0;0). Таким образом, непрерывность является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости.
2)Пусть f(x,у) = х3у+sin(x2+13 EMBED Equation.3 1415)+tgx+lny. Найдем частные производные этой функции. Поскольку при вычислении частной производной по одному из аргументов другой аргумент не меняется, то достаточно найти обычную производную, считая второй аргумент константой. Тогда получим: 13 EMBED Equation.3 1415= 3x2у+cos(x2+13 EMBED Equation.3 1415).(2x+0)+13 EMBED Equation.3 1415+0 =3x2у+
2x cos(x2+13 EMBED Equation.3 1415)+13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415= х3+cos(x2+13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
3)Пусть f(x,у)=13 EMBED Equation.3 1415. Найдем дифференциал этой функции в точке (2;1), если dx=0,1, dy= –0,2. Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415. Значит, в данной точке 13 EMBED Equation.3 1415=1, 13 EMBED Equation.3 1415= –2. Поэтому df=1.0,1+(–2)(–0,2)=0,5.
4)Пусть 13 EMBED Equation.3 1415=6х5у2+13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=2х6у+cosy. Тогда функцию f(x,у) можно найти как первообразную функции 6х5у2+13 EMBED Equation.3 1415, считая сначала у постоянным. Получим, что f(x,у)=х6у2 +ln(x(+С; только С здесь – не константа, а некоторая функция, не зависящая от х, то есть С=С(у). Если f(x,у)= х6у2 +ln(x(+С(у), то13 EMBED Equation.3 1415=2х6у+13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 2х6у+13 EMBED Equation.3 1415 =2х6у+cosy, 13 EMBED Equation.3 1415=cosy, С(у)=siny+C, где С – уже обыкновенная константа. Итак, f(x,у)= х6у2+ln(x(+siny+C. Мы нашли функцию по ее частным производным. В разделе VII будет показано, что эта задача разрешима не всегда: частные производные нельзя задавать произвольно.
5)Уравнение F(x,y)=0 неявно задает у как функцию х. Пусть функция F дифференцируема; будем для краткости обозначать 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно Fx и Fy. Можно показать, что если Fy(0, то функция у(х) дифференцируема и 13 EMBED Equation.3 1415. Например, для функции у(х), неявно заданной уравнением cos(x+y)+y=0, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Точно так же уравнение F(x,y,z)=0 неявно задает z как функцию х и у. Можно показать, что если функция F дифференцируема, причем Fz(0, то функция z(х,y) дифференцируема, zx= 13 EMBED Equation.3 1415 и zу= 13 EMBED Equation.3 1415. Например, для функции z(х,y), неявно заданной уравнением x+y+z–xyz=0, zx= 13 EMBED Equation.3 1415 и zу= 13 EMBED Equation.3 1415. (
3.2. Достаточное условие дифференцируемости
Пример. Пусть f(x,y)= 13 EMBED Equation.3 1415. Как было показано выше, эта функция не является непрерывной в точке (0;0), а следовательно, не дифференцируема в этой точке. С другой стороны, частные приращения функции в точке (0;0) равны нулю, а значит, обе частные производные равны нулю. Таким образом, существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости. (
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Если функция f(x,у) имеет в точке (х0,у0) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.
Доказательство. (f=f(x0+(x,y0+(y)–f(x0,y0)=
(f(x0+(x,y0+(y)–f(x0+(x,y0))+(f(x0+(x,y0)–f(x0,y0)). Пусть u(y) =f(x0+(x,y), v(x)=f(x,y0). Тогда u((y)=fy(x0+(x,y),v((x)=fx(x,y0). Применив к этим функциям теорему Лагранжа, получим: (f=fy(x0+(x,с1)(y+fx(с2,y0)(х, с1 лежит между y0 и y0+(y, а с2 – между х0 и х0+(х. Поскольку fy и fх непрерывны в точке (х0,у0), то fy(x0+(x,с1)=fy(x0,у0)+(((x,(y) и fx(с2,y0)= fх(x0,у0)+ (((x,(y), где (((x,(y) и (((x,(y) – бесконечно малые при (x(0 и (y(0. Значит, (f=(fy(x0,у0)+(((x,(y))(y+ (fх(x0,у0)+
(((x,(y))(х=fх(x0,у0)(х+fy(x0,у0)(y+(((x,(y)(х+(((x,(y)(y, то есть f(x,у) дифференцируема в точке (х0,у0), ч.т.д.
3.3. Применение дифференциала
1о. Так же, как для функции одной переменной, дифференциал функции двух переменных можно использовать для приближенных вычислений:
f(х0+(x,у0+(у) ( f(х0,у0) +13 EMBED Equation.3 1415(x+13 EMBED Equation.3 1415(у. (*)
Пример. Найдем приближенно 13 EMBED Equation.3 1415. Это число является значением функции f(x,у) =13 EMBED Equation.3 1415 при х=1,03, у=1,98. Поскольку 1,03=1+0,03, 1,98=2–0,02, то 13 EMBED Equation.3 1415=f(х0+(x, у0+(у), где x0=1, у0=2, (x=0,03,
(у = –0,02, f(x0,у0) =13 EMBED Equation.3 1415 =3. Так как fх((х,у)=13 EMBED Equation.3 1415 и fу((х,у)=13 EMBED Equation.3 1415, то fх((х0,у0)=13 EMBED Equation.3 1415 и fу((х0,у0)=2. Подставляя найденные значения в формулу (*), получим: 13 EMBED Equation.3 1415(3+13 EMBED Equation.3 1415.0,03+2.(–0,02) = 2,97.(
2о. Рассмотрим поверхность z = f(x,y), где функция f(x,y) дифференцируема в некоторой окрестности точки (х0,у0). Можно доказать (мы этого делать не будем), что уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (х0,у0,z0), где z0= f(х0,у0), имеет вид:
z–z0= fх((х0,у0)(x–x0)+fу((х0,у0)(у–у0).
Таким образом, нормальный вектор касательной плоскости имеет координаты (fх((х0,у0); fу((х0,у0);–1). Отсюда получаем уравнение нормали к поверхности в точке (х0,у0,z0), где z0= f(х0,у0):
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0, причем функция F(x,y,z) дифференцируема в некоторой окрестности точки (х0,у0,z0), то уравнения касательной плоскости и нормали в этой точке приобретают вид: Fх((х0,у0,z0)(x–x0)+Fу((х0,у0,z0)(у–у0)+Fz((х0,у0,z0)(z–z0)=0;
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Составим уравнение касательной плоскости и нормали к сфере x2+y2+z2–16=0 в точке (2,2,213 EMBED Equation.3 1415). Здесь F(x,y,z)=x2+y2+z2–16, Fх((х,у,z)=2х, Fу((х,у,z)=2у, Fz((х,у,z)=2z, х0=2, у0=2, z0=213 EMBED Equation.3 1415. Поэтому Fх((х0,у0,z0)=4, Fу((х0,у0,z0)=4, Fz((х0,у0,z0)=413 EMBED Equation.3 1415. Уравнение касательной плоскости:
4(x–2)+4(y–2)+413 EMBED Equation.3 1415(z–213 EMBED Equation.3 1415)=0, или x+y+13 EMBED Equation.3 1415z–8=0.
Уравнение нормали: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.(

3.4. Дифференцирование сложной функции
Следующую теорему примем без доказательства.
Теорема 4 (о дифференцировании сложной функции). Пусть функции u=u(x,y) и v=v(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки (х0,у0), а функция z=f(u,v) – в некоторой окрестности точки (u0,v0), где uo=u(xо,yо), vo=v(xо,yо). Тогда сложная функция z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) дифференцируема в точке (х0,у0), причем 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. 1) Пусть z=u2+v3, u=13 EMBED Equation.3 1415, v=13 EMBED Equation.3 1415. Тогда по формулам теоремы 4 получаем: 13 EMBED Equation.3 1415=2u.13 EMBED Equation.3 1415+3v2.13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=2u.13 EMBED Equation.3 1415–3v2.13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя выражения для u и v, получим: 13 EMBED Equation.3 1415=213 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equat
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Пусть z=lnt, t=sinx+cosy. Тогда по формулам теоремы 4 получаем: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.cosx =
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415.siny =13 EMBED Equation.3 1415.(
3.5. Производная по направлению. Градиент
Определение 3. Пусть функция z=f(x,y) определена в
некоторой окрестности точки Р0(х0,у0), l – луч с началом в
точке Р0, точка Р(х,у) принадлежит l. Длину отрезка Р0Р обозначим (l, разность f(x,y)–f(х0,у0) обозначим (f. Если существует 13 EMBED Equation.3 1415, то он называется производной функции f(x,y) по направлению l в точке Р0 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Частные производные 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 можно тогда рассматривать как производные по направлениям Ох и Оу соответственно.
Теорема 5. Если функция z=f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки (х0,у0) непрерывные частные производные, то в этой точке функция имеет производную по любому направлению, причем 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415cos(+13 EMBED Equation.3 1415cos( (где ( и ( – углы направления l с осями Ох и Оу соответственно).
Доказательство. Запишем (f в виде f(x0+(х,у0+(у)– f(x0,у0+(у)+f(x0,у0+(у)–f(х0,у0)=(хf(x0,у0+(у)+(уf(x0,у0). Тогда 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что (l =13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку (l(0 тогда и только тогда, когда (х(0 и (у(0, то 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415. Так как функция дифференцируема в окрестности точки (х0,у0), то это равенство можно переписать так: 13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415. Используя непре-

рывность частной производной 13 EMBED Equation.3 1415, окончательно получаем: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, ч.т.д.
Определение 4. Если функция z=f(x,y) имеет в точке (х0,у0) частные производные, то градиентом функции в этой точке называется вектор gradf=(13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415).
Замечание. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415=(cos(,cos() – орт направления l. Тогда из теоремы 5 получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415= gradf.13 EMBED Equation.3 1415. Из неравенства Коши-Буняковского следует, что производная по направлению будет максимальной (равной модулю градиента), если векторы gradf и 13 EMBED Equation.3 1415 – сонаправленные. Таким образом, направление градиента – это направление наибольшей скорости изменения функции.

3.6. Частные производные высших порядков
Определение 5. Пусть функция z=f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки (х0,у0) частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда частные производные этих функций называются вторыми частными производными функции f(x,y).
Частных производных второго порядка существует, вообще говоря, четыре:
13 EMBED Equation.3 1415=fx((13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415=fу((13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415=fx((13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415=fу((13 EMBED Equation.3 1415).
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и других порядков.
Пример. 1) Для функции f(x,y)=x2y3 найдем 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415=2ху3, 13 EMBED Equation.3 1415=6ху2, 13 EMBED Equation.3 1415=12ху.
2) Для функции f(x,y)=sin(x2+y3) найдем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415=cos(x2+y3).2x, 13 EMBED Equation.3 1415= –2xsin(x2+y3).3y2= –6xy2sin(x2+y3);
13 EMBED Equation.3 1415=cos(x2+y3).3y2,13 EMBED Equation.3 1415= –3y2sin(x2+y3).2x =–6xy2sin(x2+y3).(
В рассмотренном примере смешанные частные производные второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 совпали. Следующая теорема, которую мы примем без доказательства, указывает достаточное условие такого совпадения.
Теорема 6. Если функция f(x,y) имеет в некоторой точке непрерывные частные производные второго порядка, то в этой точке 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.

4. Исследование функций двух переменных
на экстремум
4.1. Максимум и минимум функции двух переменных
Определение 1. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (х0,у0) и непрерывна в этой точке. Если существует окрестность точки (х0,у0), в которой f(x,y)f(х0,у0), то эта точка называется точкой минимума данной функции. Если (х0,у0) – точка максимума или точка минимума, то она называется точкой экстремума.
Примеры.1)Пусть f(x,y)=(х–2)2+(у+1)2. Тогда f(2,–1)=0, а во всех других точках f(x,y)>0. Значит, (2,–1) – точка минимума данной функции.
2)Пусть f(x,y)=0,5–sin(х2+у2). Тогда f(0,0)=0,5. Если же 0<х2+у2<13 EMBED Equation.3 1415, то f(x,y)<0,5. Мы нашли окрестность точки (0;0), в которой f(x,y) Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если (х0,у0) – точка экстремума функции f(x,y), дифференцируемой в (х0,у0), то в этой точке 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=0.
Доказательство. Рассмотрим функцию u(x)=f(x,y0). Тогда х0 – точка экстремума этой функции, значит, u((x0)=0. Это означает, что fx((х0,у0)=0. Аналогично получим, что fу((х0,у0)=0. Теорема доказана.
Примеры.1)Пусть f(x,y)=(х–2)2+(у+1)2. В предыдущем примере мы видели, что (2,–1) – точка минимума этой функции. В этой точке 13 EMBED Equation.3 1415=2х–4=0 и 13 EMBED Equation.3 1415=2у+2=0. 2)Пусть f(x,y)=0,5–sin(х2+у2). В предыдущем примере мы видели, что (0,0) – точка максимума этой функции. В этой точке 13 EMBED Equation.3 1415=–2хcos(х2+у2)=0 и 13 EMBED Equation.3 1415= –2уcos(х2+у2)=0.
3) Пусть f(x,y)=х2–у2. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415=2х и 13 EMBED Equation.3 1415= –2у. Обе производные равны нулю в точке (0;0). Но эта точка не является точкой экстремума. Действительно, f(0,0)=0. Возьмем произвольную (-окрестность точки (0,0). Тогда в этой окрестности находятся точки (0,5(;0) и (0;0,5(); f(0,5(;0)=0,25(2>0, f(0;0,5()= –0,25(2<0. Значит, в любой окрестности точки (0,0) есть точки, в которых f(x,y)>f(х0,у0) (поэтому (0,0) – не точка максимума), и точки, в которых f(x,y) Достаточное условие экстремума примем без доказательства.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки (х0,у0) непрерывные частные производные второго порядка. Пусть fх((х0,у0)=fу((х0,у0)=0. Обозначим А=fxх(((х0,у0), В= fxу(((х0,у0), С=fуу(((х0,у0), (=АС–В2. Тогда, если (>0 и А<0, то (х0,у0) – точка максимума; если (>0 и А>0, то (х0,у0) – точка минимума; если (<0, то (х0,у0) не является точкой экстремума.
Замечание. Если (=0, то сделать вывод о наличии экстремума нельзя; требуется дополнительное исследование.
Рассмотрим примеры исследования функции двух переменных на экстремум.
Примеры. 1)Пусть f(x,y)=х3+у3–3ху. Тогда fx((x,y)=3х2–3у, fу((x,y)=3у2–3х. Система 3х2–3у=0, 3у2–3х=0 имеет два решения: (0,0) и (1,1). fxх(((х,у)=6х, fxу(((х,у)= –3, fуу(((х,у)=6у.
В точке (0,0) имеем: А=0, В = –3, С=0, (= –9<0. По теореме 2 точка (0,0) не является точкой экстремума.
В точке (1,1) имеем: А=6>0, В = –3, С=6, (=27>0. По теореме 2 точка (1,1) является точкой минимума.
Итак, данная функция имеет одну точку экстремума.
2)Пусть f(x,y)=х2–у2. Тогда fx((x,y)=2х, fу((x,y)= –2у. Система 2х=0, –2у=0 имеет одно решение: (0,0). fxх(((х,у)=2, fxу(((х,у)= 0, fуу(((х,у)= –2.
В точке (0,0) имеем: А=2, В=0, С= –2, (= –4<0. По теореме 2 точка (0,0) не является точкой экстремума.
Итак, данная функция не имеет точек экстремума.(

4.2. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции двух переменных
на замкнутом ограниченном множестве
Как известно, если функция одной переменной непрерывна на отрезке, то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. То же относится и к функции двух переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном подмножестве плоскости. Если функция дифференцируема, то ее наибольшее и наименьшее значения можно найти следующим образом.
1)Находим внутренние точки данного множества, в которых частные производные функции равны нулю, и значения функции в этих точках.
2)Находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе данного множества.
3)Сравниваем значения, найденные в первом и втором пунктах, и выбираем из них наибольшее и наименьшее.
Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y)=х3+у3–3ху на трапеции, ограниченной прямыми: х= –1, х=2, у= –1, у=3–х.
В предыдущем пункте мы нашли точки, в которых частные производные данной функции равны нулю: (0,0) и (1,1). Обе эти точки лежат внутри трапеции. Значения функции в этих точках равны 0 и –1.
Граница трапеции состоит из четырех отрезков: АВ, ВС, СD и DА, – где А(–1,4), В(2,1), С(2,–1), D(–1,–1).
На отрезке АВ имеем: f(x,y)=х3+(3–х)3–3х(3–х)=12х2–36х+27, –1(х(2. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;2] равны соответственно 75 (при х= –1) и 0 (при х=1,5).
На отрезке ВС имеем: f(x,y)=8+у3–6у, –1(у(1. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;1] равны соответственно 13 (при у= –1) и 3 (при у=1).
На отрезке СD имеем: f(x,y)=х3–1+3х, –1(х(2. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;2] равны соответственно 13 (при х=2) и –5 (при х= –1).
На отрезке DA имеем: f(x,y)= –1+у3+3у, –1(у(4. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;4] равны соответственно 75 (при у=4) и –5 (при у= –1).
Сравнивая найденные значения, видим, что наибольшее значение функции на данном множестве равно 75 (при х= –1, у=4), а наименьшее значение равно –5 (при х= –1, у= –1).(
4.3. Условный экстремум функции двух переменных
Определение 2. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (х0,у0) и непрерывна в этой точке. Пусть точка (х0,у0) удовлетворяет некоторому уравнению связи ((х,у)=0. Если существует окрестность точки (х0,у0), в которой для всех (х,у), удовлетворяющих уравнению связи, f(x,y) Примем без доказательства следующие теоремы об условном экстремуме.
Теорема 3 (необходимое условие условного экстремума). Пусть (х0,у0) – точка условного экстремума функции f(x,y), дифференцируемой в (х0,у0), при уравнении связи ((х,у)=0. Тогда существует такое число (, что Fх((х0,у0,()= Fу((х0,у0,()=0, где F(х,у,()=f(x,y)–(((х,у) – так называемая функция Лагранжа.
Теорема 4 (достаточное условие условного экстремума). Пусть для функции f(x,y), дифференцируемой в (х0,у0), ((х0,у0)=0 и существует такое число (, что Fх((х0,у0,()= Fу((х0,у0,()=0, где F(х,у,() – функция Лагранжа. Пусть (=Fхх(((х0,у0,()((у((х0,у0))2–2Fху(((х0,у0,()(х((х0,у0)(у((х0,у0)+ Fуу(((х0,у0,()((х((х0,у0))2. Тогда, если (>0 (соответственно (<0), то (х0,у0) – точка условного минимума (соответственно максимума) функции f(x,y) при уравнении связи ((х,у)=0.
Пример. Найдем стороны х и у прямоугольника наибольшей площади, вписанного в окружность радиуса R. Для этого надо найти точку условного максимума функции f(х,у)=ху, если ((х,у)=0, ((х,у)=х2+у2–4R2. Функция Лагранжа: F(х,у,()=ху–((х2+у2–4R2), Fх((х,у,()=у–2(х, Fу((х,у,()=х–2(у. Из теоремы 3 следует, что для нахождения точек условного экстремума надо прежде всего найти решения системы: у–2(х=0, х–2(у=0, х2+у2–4R2=0. Решая ее, находим: х2=у2=2R2. Отсюда получаем стороны прямоугольника: х=у=R13 EMBED Equation.3 1415 – и (=0,5. Проверим, выполняется ли для точки (R13 EMBED Equation.3 1415;R13 EMBED Equation.3 1415) условие теоремы 4. Имеем: Fхх(((х,у,()=–2(, Fху(((х,у,()=1, Fуу(((х,у,()=–2(, (х((х,у)=2х, (у((х,у)=2у. Значит, при х=у=R13 EMBED Equation.3 1415, (=0,5 имеем (= –2((2у)2–2.1.2х.2у–2((2х)2 = –8R2–16R2–8R2<0. По теореме 4 получаем, что (R13 EMBED Equation.3 1415;R13 EMBED Equation.3 1415) – точка условного максимума. Значит, прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность, – квадрат.(







Раздел VI. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Неопределенный интеграл
1.1.Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке [a;b], если на этом отрезке f (x)= F((x).
Примеры. 1)Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415=х3 при любом х, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 – первообразная функции х3 на всей числовой прямой.
2)Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415=sin3х при любом х, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 – первообразная функции sin3х на всей числовой прямой.
3)Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 при х>0, то функция lnx – первообразная функции 13 EMBED Equation.3 1415 при х>0. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 при х<0, то функция ln(–x) – первообразная функции 13 EMBED Equation.3 1415 при х<0. Отсюда получаем, что при всех х(0 функция ln(x(– первообразная функции 13 EMBED Equation.3 1415.(
Теорема 1. Если функция f(x) имеет на отрезке [a;b] первообразную F(x), то она имеет на этом отрезке бесконечно много первообразных, причем любую из них можно записать в виде F(x)+С, где С – произвольная константа.
Доказательство. Поскольку (F(x)+С)(=F((x)=f(x), то любая функция вида F(x)+С – первообразная функции f(x). С другой стороны, если какая-нибудь функция G(x) – первообразная функции f(x), то F((x)=G((x) на отрезке [a;b]. А тогда эти функции отличаются на константу: G(x)=F(x)+С. Теорема доказана.
Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) на данном отрезке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается (f(x)dx.
Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то пишут (f(x)dx = F(x)+С.
Из определения сразу получаются два свойства неопределенного интеграла.
Теорема 2. d((f(x)dx)= f(x)dx.
Доказательство. Пусть (f(x)dx = F(x)+С. Тогда d((f(x)dx)= d(F(x)+С)= F((x)dx= f(x)dx, ч.т.д.
Теорема 3. (dF(x) = F(x)+С.
Доказательство. (dF(x)=(F((x)dx. Поскольку(F(x)+С)(= F((x), то (dF(x)= F(x)+С, ч.т.д.

1.2. Таблица неопределенных интегралов.
Свойство линейности
Используя таблицу производных, составим следующую таблицу неопределенных интегралов.

1.13 EMBED Equation.3 1415=х+С
2.13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+С,
k( –1

3.13 EMBED Equation.3 1415= ln(x(+С
4.13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C

5. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C
6. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C

7. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C
8.13 EMBED Equation.3 1415= –cosх+С

9.13 EMBED Equation.3 1415= sinх+С
10.13 EMBED Equation.3 1415=tgx+C

11.13 EMBED Equation.3 1415= –ctgx+C
12. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C

13.13 EMBED Equation.3 1415=chx+C
14.13 EMBED Equation.3 1415=shx+C

15.13 EMBED Equation.3 1415=thx+C
16.13 EMBED Equation.3 1415= –cthx+C


Примеры. 1) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Используем формулу (2) для k= –13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+С=13 EMBED Equation.3 1415+С.
2) Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415. Используем формулу (4) для а=4: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C.
3) Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415. Используем формулу (5) для а=4: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C =13 EMBED Equation.3 1415+С.
4) Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415. Используем формулу (6) для а=13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C.
5) Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415. Используем формулу (7) для а=13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+C. (
Следующее свойство неопределенного интеграла позволяет вычислять интегралы от линейных комбинаций табличных функций.
Свойство линейности. Если (, ( – числа, f(x) и g(x) – функции, имеющие первообразные, то (((f(x)+(g(x))dx= ((f(x)dx+((g(x)dx. Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, достаточно продифференцировать правую часть.
Примеры. 1)Свойство линейности позволяет записать 13 EMBED Equation.3 1415 в виде 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415–513 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415–513 EMBED Equation.3 1415= ln(x(+13 EMBED Equation.3 1415–513 EMBED Equation.3 1415+С= ln(x( +213 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+С.
2) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=tgx–ctgx+C.(

2. Методы интегрирования

2.1. Замена переменной
Теорема 1. Пусть F(x) – первообразная функции f(x) на отрезке [a;b], а x=((t) – непрерывная на отрезке [(;(] и дифференцируемая на интервале ((;() функция, принимающая значения на отрезке [a;b]. Тогда функция F(((t)) является первообразной функции f(((t))(((t) на отрезке [(;(].
Доказательство. По теореме о производной сложной функции (F(((t)))(= F((((t))(((t). Поскольку F((х)=f(x), получаем (F(((t)))(=f(((t))(((t), ч.т.д.
Другими словами, если (f(x)dx=F(x)+C, то
(f(((х))(((х)dx =F(((х))+C.
Примеры. 1)13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415=ех +C, получаем: 13 EMBED Equation.3 1415=еarctgх+C.
2)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415, получаем: 13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415+C.(
Из теоремы 1 вытекает так называемая теорема о линейной замене.
Теорема 2. Пусть F(x) – первообразная функции f(x) и а(0. Тогда функция 13 EMBED Equation.3 1415F(ax+b) является первообразной функции f(ax+b).
Примеры. 1)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415ln(5x–3(, так как 13 EMBED Equation.3 1415= ln(x( +C.
2)13 EMBED Equation.3 1415=ln(x–а(+С.(
2.2. Интегрирование по частям
Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], то (u(х)dv(х) = u(x)v(x)– (v(х)du(х). Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Доказательство. По формуле дифференциала произведения получаем: d(uv)=vdu+udv, откуда (d(uv)= (vdu+(udv,
то есть uv= (vdu+(udv, (udv = uv–(vdu, ч.т.д.
Примеры. 1)Рассмотрим (xsinxdx. Пусть x=u, тогда sinxdx=dv, значит, v=–cosx, du=dx. По формуле интегрирования по частям получаем: (xsinxdx = x(–cosx)– ((–cosx)dx. Значит, (xsinxdx = –xcosx+ (cosxdx = –xcosx+sinx+C.
2)Рассмотрим (lnxdx. Пусть lnx=u, тогда dx=dv, значит, v=x, du =13 EMBED Equation.3 1415dx. По формуле интегрирования по частям: (lnxdx=lnx.x–(x13 EMBED Equation.3 1415dx. Значит, (lnxdx=xlnx–(dx=xlnx–x +C.(

3. Интегрирование некоторых классов функций

3.1.Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией будем называть дробь вида 13 EMBED Equation.3 1415, где P(x) и Q(x) – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной; в противном случае – неправильной. Всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей; так называют дроби четырех типов: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, где n – натуральное число, не равное единице; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, где n – натуральное число, не равное единице. Здесь А, В, а, p, q – числа; квадратные трехчлены x2+px+q не имеют действительных корней. Для того, чтобы представить правильную дробь 13 EMBED Equation.3 1415 в виде суммы простейших дробей, надо, прежде всего, разложить знаменатель на линейные и квадратичные множители. Каждому простому линейному множителю соответствует в сумме простейших дробей дробь первого типа. Каждому линейному множителю кратности k соответствует дробь первого типа и (k–1) дробь второго типа: с показателями от 2 до k. Аналогично обстоит дело и с квадратичными множителями. Коэффициенты простейших дробей находятся методом неопределенных коэффициентов.
Разложение рациональной дроби в сумму простейших дробей используется для интегрирования. А именно, если дробь неправильная, то сначала ее представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби, а затем правильную дробь представляют в виде суммы простейших дробей. Тогда для интегрирования рациональной дроби достаточно уметь интегрировать простейшие дроби. Дроби первого и второго типов интегрируются в общем виде:
(13 EMBED Equation.3 1415dx=Аln(x–а(+С; (13 EMBED Equation.3 1415dx=13 EMBED Equation.3 1415 +С. Способы интегрирования дробей третьего и четвертого типа будут показаны на примерах.
Примеры. 1) Проинтегрируем правильную дробь 13 EMBED Equation.3 1415. Разложим знаменатель на множители: х4–4х3+4х2=х2(х2–4х+4)= х2(х–2)2. Значит, разложение дроби в сумму простейших содержит две дроби первого и две дроби второго типа: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю и приравняем числители правой и левой части: х3–2х2–3х+4=Ах(х–2)2+В(х–2)2+Сх2(х–2)+Dх2. Это равенство должно выполняться при всех значениях х. Подставив четыре различных значения х, получим уравнения, связывающие коэффициенты. При х=0: 4=4В; при х=2: –2=4D; при х=1: 0=А+В–С+D; при х= –1: 4= –9А+9В–3С+D. Отсюда В=1, D= –0,5, А=0,25, С=0,75. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415. А тогда (13 EMBED Equation.3 1415=0,25ln(x(–13 EMBED Equation.3 1415+0,75ln(x–2(+13 EMBED Equation.3 1415+C.
2) Проинтегрируем неправильную дробь 13 EMBED Equation.3 1415. Представим ее в виде (2х–1)+ 13 EMBED Equation.3 1415. Полученная правильная дробь – простейшая дробь третьего типа. Найдем производную ее знаменателя: (х2–6х+11)(=2х–6. Теперь запишем числитель дроби в виде А(2х–6)+В, получим: х–9=0,5(2х–6)–6, т.е. (13 EMBED Equation.3 1415dx =
(13 EMBED Equation.3 1415dx =0,5(13 EMBED Equation.3 1415–6(13 EMBED Equation.3 1415
=0,5(13 EMBED Equation.3 1415–6(13 EMBED Equation.3 1415=
0,5ln(x2–6x+11)–313 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415+C.
Окончательно (13 EMBED Equation.3 1415dx= ((2х–1)dx+
(13 EMBED Equation.3 1415dx =x2–x+0,5ln(x2–6x+11)–313 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415 +C.( 13 EMBED Equation.3 1415
3.2.Интегрирование тригонометрических функций
Покажем на примерах некоторые способы интегрирования тригонометрических функций.
1. Замена t=sinx (t=cosx). Эта замена используется в случае, когда подынтегральная функция – произведение нечетной степени косинуса (синуса) и функции, зависящей только от синуса (косинуса).
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415+213 EMBED Equation.3 1415= –t+2arctgt+C = –sinx+2arctg(sinx)+C.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415
= –13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+С=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+C.
2. Использование формул понижения степени: 2сos2x=1+cos2x, 2sin2x=1–cos2x. Эти формулы полезны, например, в тех случаях, когда подынтегральная функция – произведение четных степеней синуса и косинуса.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415.
3. Замена t=tgx(t=ctgt). Эта замена также может использоваться в тех случаях, когда подынтегральная функция – произведение (или частное) четных степеней синуса и косинуса.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415+ С = –13 EMBED Equation.3 1415+С.
Эта же замена удобна для интегрирования степеней тангенса или котангенса.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415–
–13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·on.3 1415+
+13 EMBED Equation.3 1415–ctgx–x+C.
4. Универсальная тригонометрическая замена. Так называют подстановку t=tg13 EMBED Equation.3 1415. При этом sinx=13 EMBED Equation.3 1415, cosx=13 EMBED Equation.3 1415, dx=13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415+C=13 EMBED Equation.3 1415+C.

3.3. Интегрирование иррациональных функций
Покажем на примерах некоторые способы интегрирования иррациональных функций.
1. Чтобы проинтегрировать рациональную функцию, зависящую от х и от нескольких дробных степеней двучлена: 13 EMBED Equation.3 1415, ..., 13 EMBED Equation.3 1415, – используют замену t=13 EMBED Equation.3 1415 (n – наименьшее общее кратное чисел n1, , nk).
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=313 EMBED Equation.3 1415+313 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+3t+3ln(t–1(+C=13 EMBED Equation.3 1415+313 EMBED Equation.3 1415+3ln(13 EMBED Equation.3 1415–1(+C.
2. Интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415сводится к одному из табличных интегралов: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+С.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415arcsin13 EMBED Equation.3 1415+C=
=13 EMBED Equation.3 1415arcsin13 EMBED Equation.3 1415+C.
3. Интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415сводится к интегралу из предыдущего пункта следующим образом. Сначала числитель дроби записывается в виде ((d(ax2+bx+c))+(dx; тогда 13 EMBED Equation.3 1415=(13 EMBED Equation.3 1415+(13 EMBED Equation.3 1415=
=2(13 EMBED Equation.3 1415+(13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·С.
13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+1313 EMBED Equation.3 1415=
= –313 EMBED Equation.3 1415+1313 EMBED Equation.3 1415= –313 EMBED Equation.3 1415+
+13arcsin(x–3)+C.
4. Интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415 берется с помощью замены t=13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
= –13 EMBED Equation.3 1415+С=.–13 EMBED Equation.3 1415+C.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
= –0,513 EMBED Equation.3 1415+С=.–0,513 EMBED Equation.3 1415+C.

4. Определенный интеграл

4.1.Площадь криволинейной трапеции.
Масса неоднородного стержня
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями: x=a, x=b, y=f(x), y=0, где a Пример. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями: x=0, x=1, y=x2. Разделим отрезок [0;1] на n равных частей. На каждом отрезке [13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415], где 1(k(n, построим прямоугольник, высота которого равна 13 EMBED Equation.3 1415(значению функции в правом конце отрезка). Тогда площадь полученной ступенчатой фигуры равна 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел, получим выражение 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. При n(( предел этого выражения равен 13 EMBED Equation.3 1415. Это число считают площадью криволинейной данной трапеции.(
Аналогично можно определить массу тонкого стержня переменной линейной плотности: стержень делится на отрезки, в каждом из которых выбирается некоторая точка. Тогда масса стержня приближенно равна сумме произведений вида ((xk)(xk, где ((xk) – значение плотности в выбранной точке, а (xk – длина соответствующего отрезка. Если при неограниченном увеличении числа отрезков эта сумма стремится к некоторому числу М, то М считают массой стержня.
4.2.Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a;b]. Рассмотрим разбиение отрезка: a=x0 Определение. Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a;b], если при d(0 существует предел интегральных сумм, не зависящий от разбиения. Значение этого предела называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать и в том случае, когда a Приведенные в пункте 4.1 примеры характеризуют геометрический и физический смысл определенного интеграла: если f(x)(0 на отрезке [a;b], то 13 EMBED Equation.3 1415 – площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=0; если ((x) – переменная линейная плотность стержня, расположенного на отрезке [a;b], то 13 EMBED Equation.3 1415 –масса этого стержня.

4.3.Основные теоремы об определенном интеграле

Следующие две теоремы примем без доказательства.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и на отрезке [c;b], где a Равенство 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 называют свойством аддитивности определенного интеграла.
Теорема 3 (о среднем значении). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке существует такое число с, что 13 EMBED Equation.3 1415= f(с)(b–a).
Доказательство. Пусть m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке. Тогда для всякой интегральной суммы S=13 EMBED Equation.3 1415справедливо неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415(S(13 EMBED Equation.3 1415, – то есть m(b–a)(S(M(b–a). А значит, m(b–a)(13 EMBED Equation.3 1415(M(b–a). Поэтому число 13 EMBED Equation.3 1415 заключено между наименьшим значением m и наибольшим значением M функции f(x). По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции существует c([a;b]: f(с)= 13 EMBED Equation.3 1415, – ч.т.д.
Значение f(с) называется в этом случае средним значением функции f(х) на отрезке [a;b]. Геометрически теорема 3 означает, что если f(x)(0 на отрезке [a;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=0, равна площади прямоугольника, построенного на этом отрезке и имеющего высоту, равную значению функции в некоторой точке отрезка.
5. Вычисление определенного интеграла

5.1.Существование первообразной
для непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a;х], если х([a;b]. Поэтому на отрезке [a;b] можно определить функцию Ф(x)=13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция Ф(x)=13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема на интервале (a;b), причем Ф((x)=f(x) при х((a;b).
Доказательство. Рассмотрим приращение функции Ф(x): (Ф=13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415. Тогда по свойству аддитивности определенного интеграла (Ф=13 EMBED Equation.3 1415. А по теореме о среднем значении существует такое с([х;х+(х], что 13 EMBED Equation.3 1415= f(с)(х. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415= f(с), с([х;х+(х]. Тогда в силу непрерывности функции f(x) 13 EMBED Equation.3 1415= f(x), ч.т.д.
Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, имеет на этом отрезке первообразную.
5.2.Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – ее первообразная, то 13 EMBED Equation.3 1415=F(b)–F(a).
Доказательство. Поскольку F(x) и Ф(x)=13 EMBED Equation.3 1415 – первообразные функции f(x), то F(x)=13 EMBED Equation.3 1415+С. При х=а и х=b получаем: F(а)=13 EMBED Equation.3 1415+С, F(b)=13 EMBED Equation.3 1415+С. Отсюда С=F(а), F(b)=13 EMBED Equation.3 1415+F(а), 13 EMBED Equation.3 1415=F(b)–F(a), ч.т.д.
Разность F(b)–F(a) обозначают F(х)13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Так как 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+С, то 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.(

5.3.Свойства определенного интеграла

1. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a;b], ( и ( – числа, то 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415. Это свойство называют свойством линейности.
Действительно, если F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x), то по свойству линейности неопределенного интеграла (F(x)+(G(x) – первообразная функции (f(x)+(g(x). По формуле Ньютона-Лейбница 13 EMBED Equation.3 1415=((F(x)+(G(x))13 EMBED Equation.3 1415=(F(x)13 EMBED Equation.3 1415 +(G(x)13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, ч.т.д.
2. Если функция f(x) непрерывна и положительна на отрезке [a;b], то 13 EMBED Equation.3 1415>0.
Действительно, по теореме о среднем значении 13 EMBED Equation.3 1415=f(с)(b–a), где с([a;b]. Значит, f(с)>0, а поэтому 13 EMBED Equation.3 1415>0, ч.т.д.
3. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], причем f(x)(g(x), то13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415.
Действительно, по свойству линейности 13 EMBED Equation.3 1415–
–13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, а по свойству 2 этот интеграл неотрицателен, ч.т.д.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415=(2.13 EMBED Equation.3 1415+3.13 EMBED Equation.3 1415–4х)13 EMBED Equation.3 1415=
=(13 EMBED Equation.3 1415+3.13 EMBED Equation.3 1415–4.1)–(13 EMBED Equation.3 1415+3.13 EMBED Equation.3 1415–4.(–2))= –2–22= –24.(

5.4.Замена переменной в определенном интеграле

Правило замены переменной в неопределенном интеграле и формула Ньютона-Лейбница позволяют обосновать следующее утверждение. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b], а x=((t) – непрерывная на отрезке [(;(] и дифференцируемая на интервале ((;() функция, принимающая значения на отрезке [a;b], причем ((()=a; ((()=b. Тогда13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры.1)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Последнее равенство верно потому, что на данном отрезке cost(0, то есть (cost(=cost. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415 – это площадь четверти круга с центром в начале координат и радиусом а.
2) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=0,25arctg13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=0,25(arctg1–arctg0)=13 EMBED Equation.3 1415.(

5.5.Интегрирование по частям в определенном интеграле
Правило интегрирования по частям в неопределенном интеграле и формула Ньютона-Лейбница позволяют обосновать следующее утверждение. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], то 13 EMBED Equation.3 1415=uv13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415.
Пример.=13 EMBED Equation.3 1415=0,5xe2x13 EMBED Equation.3 1415–
–13 EMBED Equation.3 1415=0,5(2e4–e2)–0,25e2x13 EMBED Equation.3 1415= e4–0,5e2–0,25e4+0,25e2=
=0,75e4–0,25e2.(

6. Геометрические и механические приложения
определенного интеграла

6.1.Площадь плоской фигуры
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], причем f(x)(g(x). Тогда площадь фигуры, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x), можно найти по формуле: S=13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. 1) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями x=1, x=2, y=5–x, y=x. На отрезке [1;2] имеем 5–x>x. Значит, S=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=(5х–х2)13 EMBED Equation.3 1415=6–4=2.
2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y=x–2 и y=x2–4х+2. Эти линии пересекаются при x=1 и x=4. На отрезке [1;4] имеем x–2( x2–4х+2. Значит,
S=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415=4,5.
3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y=(x–2( и y=13 EMBED Equation.3 1415. Эти линии пересекаются при x=1 и x=4. На отрезке [1;4] имеем 13 EMBED Equation.3 1415((x–2(. Значит,
S=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415–
–13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.(
Если фигура ограничена линией, заданной в полярных координатах: (=(((), – и лучами (=( и (=( ((<(), то ее площадь можно найти по формуле: S=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найдем площадь фигуры, ограниченной линией (2=2cos2( и лучами (=0 и (=13 EMBED Equation.3 1415: S=13 EMBED Equation.3 1415=
=0,5sin2(13 EMBED Equation.3 1415=0,5.(
6.2.Длина гладкой дуги
Пусть дуга представляет собой часть графика функции у=f(x), имеющей на отрезке [a;b] непрерывную производную. Такая дуга называется гладкой. Ее длину можно найти по формуле: L=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найдем длину части цепной линии y=chx при 0(x(1.L=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=shx13 EMBED Equation.3 1415=sh1 =0,5(e–e–1).(
Пусть дуга задана параметрически: х=х(t), у=y(t), где t([a;b], – причем функции х(t) и y(t) имеют на отрезке [a;b] непрерывные производные. Тогда длину дуги можно найти по формуле: L=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найдем длину части астроиды x=cos3t, y=sin3t при 0(t(13 EMBED Equation.3 1415. L=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=1,5.(
Пусть дуга задана в полярных координатах: (=(((), (([(;(], – причем функция ((() имеет на отрезке [(;(] непрерывную производную. Тогда длину дуги можно найти по формуле: L=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найдем длину части окружности (=2cos( при 0(((13 EMBED Equation.3 1415. L=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.(
6.3.Объем тела
Рассмотрим тело, заключенное между плоскостями х=а и х=b (a В частности, для тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=0 (a Примеры. 1) Рассмотрим пирамиду, высота которой представляет собой отрезок оси абсцисс от 0 до H, а основание лежит в плоскости yOz и имеет площадь S. Тогда площадь S(x) сечения, проходящего через точку х оси абсцисс перпендикулярно этой оси, равна S13 EMBED Equation.3 1415. Находим объем пирамиды: V= 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
2) Рассмотрим шар с центром в начале координат и радиусом R. Он представляет собой тело, полученное вращением полукруга, ограниченного линиями x=–R, x=R, y=0, y=13 EMBED Equation.3 1415, около оси абсцисс. По формуле объема тела вращения V=(13 EMBED Equation.3 1415=(13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
3) Рассмотрим конус, высота которого представляет собой отрезок оси абсцисс от 0 до H, а основание лежит в плоскости yOz и имеет радиус R. Он представляет собой тело, полученное вращением треугольника, ограниченного линиями x=0, x=H, y=0, y=13 EMBED Equation.3 1415(H–x), около оси абсцисс. По формуле объема тела вращения V=(13 EMBED Equation.3 1415=
=(13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.(

6.4.Центр масс и моменты инерции
1. Координаты центра масс гладкой однородной дуги, заданной уравнением y=f(x), a(x(b, можно найти по формулам: хо=13 EMBED Equation.3 1415, уо=13 EMBED Equation.3 1415.
Координаты центра масс однородной пластины, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=0 (a Примеры. 1) Найдем координаты центра масс однородной дуги цепной линии: y=chx, –1(x(1.
хо=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=xshx13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415=sh1–sh1–ch1 +ch1=0. уо=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=1+0,5sh2.
2) Найдем координаты центра масс однородной пластины, представляющей собой часть эллипса x=4cost, y=3sint, лежащую в первой четверти.
хо=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
уо=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.(
2. Величину моментов инерции относительно осей Ох и Оу для гладкой однородной дуги, заданной уравнением y=f(x), a(x(b, можно найти соответственно по формулам:
Iх =13 EMBED Equation.3 1415, Iу =13 EMBED Equation.3 1415.
Величину моментов инерции относительно осей Ох и Оу для однородной пластины, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=0 (a Примеры. 1) Найдем момент инерции Iх для однородной полуокружности: y=13 EMBED Equation.3 1415, –1(x(1.
Iх=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
2) Найдем момент инерции Iу для однородной пластины, ограниченной эллипсом x=4cost, y=3sint.
Iу =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=48(.(
7. Несобственные интегралы

7.1.Несобственный интеграл первого рода

Определение 1. Пусть для любого с>a функция f(x) интегрируема на отрезке [a;с]. Если существует 13 EMBED Equation.3 1415, то он называется несобственным интегралом первого рода функции f(x) и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае также говорят, что интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится. Если указанный предел не существует, то интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл первого рода13 EMBED Equation.3 1415. Если оба интеграла13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 сходятся, то говорят, что сходится интеграл 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. 1)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. А это означает, что13 EMBED Equation.3 1415 тоже сходится и равен (.
2)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Этот предел не существует, поэтому интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 расходится.
3)13 EMBED Equation.3 1415== 13 EMBED Equation.3 1415, если k(1. Этот предел существует и равен 13 EMBED Equation.3 1415, если k>1. Если же k<1, то предел равен бесконечности – интеграл расходится. Интеграл 13 EMBED Equation.3 1415тоже расходится:13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=(. Итак, интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится тогда и только тогда, когда k>1.(

7.2.Несобственный интеграл второго рода

Определение 2. Пусть функция f(x) не ограничена на отрезке [a;b], но для любого (>0 f(x) интегрируема на отрезке [a; b–(]. Если существует 13 EMBED Equation.3 1415, то он называется несобственным интегралом второго рода функции f(x) и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае также говорят, что интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится. Если указанный предел не существует, то интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл второго рода, если функция f(x) не ограничена на отрезке [a;b], но интегрируема на отрезке [a+(; b] для любого (>0.
Примеры. 1)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415=(.
2)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415. Каждое слагаемое – несобственный интеграл второго рода. Рассмотрим первый из них: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415==13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Значит,13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
3)13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, если k(1. Этот предел существует и равен 13 EMBED Equation.3 1415, если k<1. Если же k>1, то предел равен бесконечности – интеграл расходится. Интеграл 13 EMBED Equation.3 1415тоже расходится: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=(. Итак, интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится тогда и только тогда, когда k<1.(

7.3.Признаки сходимости несобственных интегралов

Примем без доказательства следующие признаки сходимости несобственных интегралов – так называемые признаки сравнения.
1. Пусть для любого с>a функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a;с], причем 0(f(x)(g(x) при х(a. Тогда, если интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится, то и интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится, а если интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 расходится, то и интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 расходится.
2. Пусть для любого с>a функции f(x) и g(x) положительны и интегрируемы на отрезке [a;с]. Если существует 13 EMBED Equation.3 1415(0, то интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 сходятся или расходятся одновременно.
Следствие 1. Если существует13 EMBED Equation.3 1415(0, то интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится тогда и только тогда, когда k>1.
3. Пусть для любого (>0 функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a; b–(], причем 0(f(x)(g(x) при a(х 4. Пусть для любого (>0 функции f(x) и g(x) положительны и интегрируемы на отрезке [a; b–(]. Если существует 13 EMBED Equation.3 1415(0, то интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 сходятся или расходятся одновременно.
Следствие 2. Если существует 13 EMBED Equation.3 1415(0, то интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится тогда и только тогда, когда k<1.
Примеры. 1) Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку
0<13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415при x(1, а интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится (так как
показатель 10 больше 1), то по первому признаку сравнения исходный интеграл сходится.
2) Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку при x(0 подынтегральная функция эквивалентна дроби 13 EMBED Equation.3 1415, то есть эквивалентна дроби 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, а интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится (так как показатель 13 EMBED Equation.3 1415 меньше 1), то по четвертому признаку сравнения исходный интеграл сходится.
3) Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415. Если 0(х<1, то 0(13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415. Интеграл13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415 сходится (так как показатель 13 EMBED Equation.3 1415 меньше 1). Значит, по третьему признаку сравнения исходный интеграл сходится.
4) Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку при x(( подынтегральная функция эквивалентна дроби 13 EMBED Equation.3 1415, а интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 расходится, то по второму признаку сравнения исходный интеграл расходится.(




Раздел VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ

1.Двойные интегралы
1.1.Определение двойного интеграла
Пусть D(R2 – замкнутая область, ограниченная непрерывной кривой. Пусть f(x,y) – функция, заданная и ограниченная на D. Пусть D = D1(D2( ( Dn, где D1, D2, Dn – области, не имеющие общих внутренних точек. Обозначим через Sk площадь области Dk, а через dk – ее диаметр (наибольшее расстояние между точками данного множества). Набор D1, D2, Dn назовем разбиением области D. Пусть d = 13 EMBED Equation.3 1415– диаметр разбиения. В каждой области Dk выберем точку (13 EMBED Equation.3 1415) и составим интегральную сумму, соответствующую данному разбиению:
S =13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Если существует предел интегральных сумм при d(0, не зависящий от разбиения, то функция f(x,y) называется интегрируемой в области D, а предел интегральных сумм называется двойным интегралом функции f(x,y) по области D и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Примем без доказательства следующие утверждения.
1о. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то она интегрируема в этой области.
2о. Пусть в плоскости R2 область D занята неоднородной пластиной, точечная плотность которой в точке (x,y) равна ((x,y). Тогда масса этой пластины равна 13 EMBED Equation.3 1415 (физический смысл двойного интеграла).
3о. Пусть D(R2 и D(D(f), где f(x,y) – неотрицательная функция. Тогда объем цилиндрического бруса, ограниченного снизу областью D, а сверху – поверхностью z = f(x,y), равен 13 EMBED Equation.3 1415 (геометрический смысл двойного интеграла).
1.2.Свойства двойного интеграла
1о. 13 EMBED Equation.3 1415 равен площади области D.
Доказательство. Составим интегральную сумму для функции f(x,y)=1. Тогда эта сумма равна сумме площадей областей Dk, то есть равна площади области D. Значит, все интегральные суммы одинаковы, поэтому их предел тоже равен площади области D, ч.т.д.
2о. 13 EMBED Equation.3 1415 = (13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. Каждая интегральная сумма для функции (f(x,y) получается из интегральной суммы для функции f(x,y) умножением на (. Значит, и предел интегральных сумм для первой функции равен пределу интегральных сумм для второй функции, умноженному на (, то есть 13 EMBED Equation.3 1415=(13 EMBED Equation.3 1415), ч.т.д.
3о.13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. Каждая интегральная сумма для функции f1(x,y)+f2(x,y) является суммой интегральных сумм для функций f1(x,y) и f2(x,y). Значит, и предел интегральных сумм для первой функции равен сумме пределов интегральных сумм для функций f1(x,y) и f2(x,y), то есть 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, ч.т.д.
Свойства 2о и 3о – это свойства линейности двойного интеграла.
4о. Если функция f(x,y) интегрируема и неотрицательна в области D, то ее интеграл по этой области – неотрицательное число.
Доказательство. В любой интегральной сумме каждое слагаемое неотрицательно (неотрицательное значение функции умножается на положительное число – площадь области Dk). Значит, и предел интегральных сумм – число неотрицательное, ч.т.д.
5о. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D, причем f(x,y)(g(x,y), то 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415.
(Следствие предыдущего утверждения).
6о. Аддитивность двойного интеграла. Если область D разбита на две области D1 и D2, не имеющие общих внутренних точек, и функция f(x,y) интегрируема в каждой из этих двух областей, то эта функция интегрируема и в области D, причем 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415.
(Без доказательства).
7о. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то существует точка ((,()(D такая, что 13 EMBED Equation.3 1415 = f((,().S, где S – площадь области D. При этом число f((,() называется средним значением данной функции в данной области.
(Без доказательства).

1.3.Вычисление двойного интеграла
Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная линиями x=a, x=b, y=g(x), y=h(x), где g(x)(h(x) при x([a;b] (так называемая криволинейная трапеция I типа). Пусть f(x,y) – неотрицательная непрерывная на D функция. Рассмотрим цилиндрический брус с основанием D, ограниченный сверху поверхностью z= f(x,y). Пересечем этот брус плоскостью x = t и обозначим через S(t) площадь сечения. Тогда объем бруса равен 13 EMBED Equation.3 1415. Спроецируем сечение на плоскость yOz. Получим криволинейную трапецию, ограниченную линиями: y=g(t), y=h(t), z=0, z=f(t,y). Значит,
S(t)=13 EMBED Equation.3 1415. Итак, объем бруса равен 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. Но объем бруса равен двойному интегралу функции f(x,y) по области D. Итак, для криволинейной трапеции I типа и для неотрицательной функции f(x,y) мы получили формулу:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Эта формула справедлива для любой функции, непрерывной на криволинейной трапеции I типа.
Замечания. 1) Для криволинейной трапеции II типа (ограниченной линиями y=c, y=d, x=g(y), x=h(y), где g(y)(h(y) при y([c;d]) формула (1) видоизменяется так:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415. (2)
2) При вычислении «внутреннего» интеграла та переменная, по которой интегрирование не ведется, считается константой.
Примеры. 1) Вычислим двойной интеграл 13 EMBED Equation.3 1415, где область D ограничена линиями y=2, y=x, xy=1. Изобразим область D на координатной плоскости. Линии y=x и xy=1 пересекаются в точке (1;1), линии y=x и y=2 – в точке (2;2), а линии y=2 и xy=1 – в точке (0,5; 2). Поэтому область D – объединение двух криволинейных трапеций I типа: D1 (ограничена линиями x=0,5, x=1, y=13 EMBED Equation.3 1415 и y=2) и D2 (ограничена линиями x=1, x=2, y=x и y=2). Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415(2 при x([0,5;1], то для первой криволинейной трапеции получаем: 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично, поскольку x(2 при x([1;2], то для второй криволинейной трапеции получаем:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415==13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Заметим, что область D можно рассматривать как криволинейную трапецию второго типа, ограниченную линиями y=1, y=2, x=13 EMBED Equation.3 1415и x=y. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415(y при y([1;2], то 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
2) Найдем объем тела, ограниченного координатными плоскостями, круговым цилиндром x2+y2=R2 и гиперболическим параболоидом z=xy, где x(0, y(0, z(0. Это тело представляет собой цилиндрический брус, основанием которого является область D – четверть круга в плоскости x0y (x2+y2=R2, где x(0, y(0), а сверху его ограничивает поверхность z=xy. Значит, объем этого цилиндрического бруса равен 13 EMBED Equation.3 1415. Область D представляет собой криволинейную трапецию I типа, ограниченную линиями x=0, x=R, y=0, y=13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.(

1.4.Вычисление двойного интеграла
в полярных координатах
В некоторых случаях бывает удобно пользоваться следующей формулой, которую мы примем без доказательства:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Если область D ограничена лучами (=(, (=( ((<() и линиями (=(1(() и (=(2((), где (1(()((2(() при (((((, то это равенство переписывается в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415, где D – сектор круга x2+y2(4, лежащий в III четверти между прямыми y=x и у=х13 EMBED Equation.3 1415. Для этого заметим, что в третьей четверти на луче прямой y=x угол (= –(+arctg1= –13 EMBED Equation.3 1415, а на луче прямой y=x13 EMBED Equation.3 1415 угол (= –(+arctg13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415. Область D ограничена этими лучами и линиями (=0 и (=2. Значит,
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=(2( –13 EMBED Equation.3 1415sin(+13 EMBED Equation.3 1415cos()13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 1415.(

2.Тройные интегралы

Пусть V(R3 – замкнутая область, ограниченная непрерывной поверхностью. Пусть f(x,y,z) – функция, заданная и ограниченная на V. Пусть V = V1(V2( (Vn, где V1, V2, Vn – области, не имеющие общих внутренних точек. Обозначим через vk объем области Vk, а через dk – ее диаметр. Пусть d = 13 EMBED Equation.3 1415– диаметр разбиения V1, V2, Vn. В каждой области Vk выберем точку (13 EMBED Equation.3 1415,(k) и составим интегральную сумму, соответствующую данному разбиению: S = 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Если существует предел интегральных сумм при d(0, не зависящий от разбиения, то функция f(x,y,z) называется интегрируемой в области V, а предел интегральных сумм называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по области V и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
1о. Если функция f(x,y,z) непрерывна в области V, то она интегрируема в этой области.
2о. Пусть область V заполняет неоднородное тело, точечная плотность которого в точке (x,y,z) равна ((x,y,z). Тогда масса этого тела равна 13 EMBED Equation.3 1415 (физический смысл тройного интеграла).
Все свойства тройного интеграла повторяют свойства двойного: аддитивность, линейность, неравенства, теорема о среднем. При этом 13 EMBED Equation.3 1415 равен объему области V (геометрический смысл тройного интеграла).
Пусть область V ограничена гладкими поверхностями z=((x,y) и z=((x,y), где (x,y)(D (проекция области V на плоскость x0y), причем ((x,y)(((x,y) при (x,y)(D. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, то есть вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного и одинарного.
Пример. 1) Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415, где область V ограничена параболоидом z=x2+y2 и плоскостью z=1. Проекция D этой области на плоскость х0у – круг x2+y2(1. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = =13 EMBED Equation.3 1415. Перейдем к полярным координатам:13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415, где V – тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью 2х+2у+z–6 = 0. Проекция D этого тетраэдра на плоскость х0у – треугольник ОАВ, где О – начало координат; уравнение прямой АВ: х+у–3=0, А(3;0;0), В(0;3;0). Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415 = =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.(

3.Криволинейные интегралы

3.1.Криволинейный интеграл I рода

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна во всех точках гладкой дуги L=AB, заданной уравнением y=((x), где a(x(b. Рассмотрим разбиение этой дуги точками А0, А1, , Аn, где А0 = А, Аn = В. Пусть (sk – длина дуги Ak-1Ak, d=13 EMBED Equation.3 1415– диаметр разбиения. Выберем на каждой дуге Ak-1Ak точку ((k,(k). Сумма 13 EMBED Equation.3 1415(sk называется интегральной суммой I рода.
Определение. Если существует предел интегральных сумм I рода при d(0, не зависящий от разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом I рода функции f(x,y) по дуге L и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Можно доказать, что криволинейный интеграл I рода равен определенному интегралу 13 EMBED Equation.3 1415. Если же кривая L задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), ((t((, то криволинейный интеграл I рода равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Если дуга L имеет линейную плотность f(x,y)>0, то масса этой дуги равна 13 EMBED Equation.3 1415 (физический смысл криволинейного интеграла I рода).
Примем без доказательства свойства аддитивности и линейности криволинейного интеграла I рода.
1о. Если дуга L является объединением дуг L1 и L2, имеющих не более одной общей точки, и существуют13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415, то существует и 13 EMBED Equation.3 1415, равный их сумме.
2о. 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
3о. 13 EMBED Equation.3 1415= (13 EMBED Equation.3 1415.
Важным свойством криволинейного интеграла I рода является его независимость от направления интегрирования:
4о. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.


3.2.Определение и свойства
криволинейного интеграла II рода

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны во всех точках гладкой дуги AB, заданной уравнением y=((x), где a(x(b. Рассмотрим разбиение этой дуги точками А0, А1, , Аn, где А0=А, Аn=В. Обозначим через (xk и (yk проекции дуги Ak-1Ak на ось абсцисс и ось ординат соответственно и выберем на каждой дуге Ak-1Ak точку ((k,(k). Сумма 13 EMBED Equation.3 1415 называется интегральной суммой II рода.
Определение. Если существует предел интегральных сумм II рода при max((xk)(0 и max((yk)(0, не зависящий от разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается13 EMBED Equation.3 1415.
Если плоская гладкая дуга АВ находится в поле действия переменной силы 13 EMBED Equation.3 1415, то работа этой силы при перемещении материальной точки по дуге АВ равна 13 EMBED Equation.3 1415 (физический смысл криволинейного интеграла II рода).
Примем без доказательства свойства криволинейного интеграла II рода.
1о.13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
2о. Если дуга L является объединением дуг L1 и L2, имеющих не более одной общей точки, и существуют 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415, то существует и13 EMBED Equation.3 1415, равный их сумме (свойство аддитивности).
3о. Если АВ – отрезок, параллельный оси абсцисс, то на этом отрезке y=const, поэтому dy=0, а значит, 13 EMBED Equation.3 1415=0 и 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
4о. Если АВ – отрезок, параллельный оси ординат, то на этом отрезке х=const, поэтому dх=0, а значит, 13 EMBED Equation.3 1415=0 и 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
5о. Важным свойством криволинейного интеграла II рода является его зависимость от направления интегрирования:13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Последнее свойство проще всего понять, используя физический смысл криволинейного интеграла II рода: при движении по дуге в противоположных направлениях одна и та же сила совершает противоположную по знаку работу.

3.3.Вычисление криволинейного интеграла II рода

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны во всех точках гладкой дуги AB, заданной уравнением y=((x), где a(x(b. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 (мы заменили y на 13 EMBED Equation.3 1415), и значит,
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично, если дуга АВ задана уравнением х = ((у), где c(y(d, получаем формулу:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Наконец, если дуга АВ задана параметрически: x=x(t), y=y(t), ((t((, – то
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. 1) Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 в двух случаях:
а) дуга АВ – часть параболы y=x2, 0(x(2; б) дуга АВ – часть параболы x=13 EMBED Equation.3 1415y2, 0(y(4.
а)13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415=16.
б) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415=16.
2) Найдем 13 EMBED Equation.3 1415, где дуга АВ – единичная окружность с центром в начале координат. Для этого зададим окружность параметрически: x=cost, y=sint, 0(t(2(. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 –2(.
3) Пусть в плоскости x0y действует сила 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем работу этой силы при перемещении из точки А(1;0) в точку В(2;3), если путь представляет собой: а) отрезок АВ; б) ломаную АСВ, где С(2;0).
а) Работа равна 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем уравнение отрезка АВ: 13 EMBED Equation.3 1415, 1(x(2, то есть у=3х–3, 1(x(2. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=(8–18+18)–(1–4,5+9) =2,5.
б) Работа равна 13 EMBED Equation.3 1415. Воспользуемся аддитивностью криволинейного интеграла II рода:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, где L1 – отрезок АС, L2 – отрезок СВ. Уравнение отрезка АС: у=0, 1(х(2; уравнение отрезка СВ: х=2, 0(у(3. Так как отрезок АС параллелен оси абсцисс, то 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415. Значит, работа на отрезке АС равна 13 EMBED Equation.3 1415=0.
Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, то есть работа
на участке СВ равна 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 1,5.(
Замечание. В приведенном примере работа силового поля зависит не только от начального и конечного положения перемещаемой материальной точки, но и от пути перемещения.



3.4.Формула Грина

Рассмотрим область D, ограниченную гладкой замкнутой кривой L. Будем считать положительным такое направление обхода контура L, при котором область D остается слева.
Лемма 1. Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x=a, x=b (a·h(x) при x([a;b] (криволинейная трапеция I вида), L – ее граница. Пусть функции P(x,y) и 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) непрерывны в области D. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 = –13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Так как интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 по вертикальным отрезкам контура равны нулю, то полученная разность противоположна интегралу по всему контуру, то есть равна –13 EMBED Equation.3 1415, ч.т.д.
Аналогично доказывается и следующая лемма.
Лемма 2. Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y=c, y=d (c·h(y) при y([c;d] (криволинейная трапеция II вида), L – ее граница. Пусть функции Q(x,y) и 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) непрерывны в области D. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Следствие. Формулы из лемм 1 и 2 верны, если область D – объединение конечного числа криволинейных трапеций I и II вида, не имеющих общих внутренних точек.
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть область D – объединение конечного числа криволинейных трапеций I и II вида, не имеющих общих внутренних точек, L – ее граница; функции P(x,y), Q(x,y), 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) и 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) непрерывны в области D. Тогда справедлива формула Грина:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Вычислим с помощью формулы Грина 13 EMBED Equation.3 1415, где L – граница области, ограниченной линиями y=x2–3x–2, y=x+3. Здесь P(x,y)=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415= х+у–1, Q(x,y)=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=у+х. Значит, данный интеграл равен 13 EMBED Equation.3 1415, где D – область, ограниченная линиями y=x2–3x–2, y=x+3. 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=36.(



3.5.Условие независимости
криволинейного интеграла II рода
от пути интегрирования

Будем называть область D односвязной, если любая замкнутая линия, содержащаяся в D, ограничивает область, полностью лежащую в D.
Теорема 2. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) и 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) непрерывны в односвязной области Е. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415=0 для любой гладкой замкнутой кривой L(Е тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. ( Пусть, например, 13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415 в некоторой точке (xo,yo)(E. Тогда это неравенство выполняется в некотором круге D с центром в точке (xo,yo). Если L – граница этого круга, то13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415>0, что противоречит условию. К такому же противоречию приводит и предположение, что 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415 в некоторой точке (xo,yo)(E. Значит, в любой внутренней точке области 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
( Если 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 в любой внутренней точке области Е, то по формуле Грина 13 EMBED Equation.3 1415=0 для любой гладкой замкнутой кривой L(Е. Теорема полностью доказана.
Теорема 3. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) и 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) непрерывны в односвязной области Е, А и В – фиксированные точки этой области. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, где L – гладкая замкнутая кривая, соединяющая точки А и В, не зависит от L тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. ( Пусть данные точки соединены двумя гладкими кривыми L1 и L2. Тогда они образуют гладкий контур L, целиком лежащий в Е. 13 EMBED Equation.3 1415=0, так как интегралы по L1 и по L2 берутся с противоположными знаками. Значит, по теореме 2 в любой внутренней точке области 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
( Пусть данные точки соединены двумя гладкими кривыми L1 и L2. Тогда они образуют гладкий контур L, целиком лежащий в Е. Так как в любой внутренней точке области 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415=0 по теореме 2. Значит, интегралы по L1 и по L2 равны. Теорема полностью доказана.
Пример. Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415, где кривая L задана формулами x=tcos2t, y=t(cost+1), 0
·t
·(. Здесь P(x,y)=2ху, 13 EMBED Equation.3 1415=2х, Q(x,y)=х2, 13 EMBED Equation.3 1415=2х, то есть 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 при всех (х,у). Значит, интеграл не зависит от пути интегрирования. Кривая L соединяет точки (0,0) и (0,(). Заменим ее отрезком оси абсцисс от 0 до (: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=0.(

3.6.Восстановление функции по полному дифференциалу

Выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy будем называть полным дифференциалом, если существует функция z(x,y) (называемая первообразной полного дифференциала) такая, что dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
Теорема 4. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) и 13 EMBED Equation.3 1415(x,y) непрерывны в односвязной области Е. Тогда выражение Pdx+Qdy является полным дифференциалом тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. ( Пусть dz=Pdx+Qdy. Тогда в любой внутренней точке области 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415. Так как P, Q, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны в области Е, то смешанные вторые частные производные равны: 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
( Фиксируем А(xo,yo)(E. Пусть М(x,y)(E – произвольная. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, где кривая L соединяет точки А и М, не зависит от пути, то есть является функцией х и у. Обозначим ее v(x,y) и найдем частные производные этой функции.
1о. v(x,y) = 13 EMBED Equation.3 1415.
2о. v(x+(x,y) =13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, где L1 соединяет точки М(x,y) и N(x+(x,y).
3о. (xv =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=P(c,y)(x (по теореме о среднем).
4о. 13 EMBED Equation.3 1415 = P(с,y).
5o. 13 EMBED Equation.3 1415 = P(x,y) (так как функция P(x,y) непрерывна), значит, 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415Значит, Pdx+Qdy=dv – полный дифференциал. Теорема доказана полностью.

Пример. Докажем, что выражение (2xcosy–y2sinx)dx+ (2ycosx–x2siny)dy является полным дифференциалом. Здесь P(x,y)=2xcosy–y2sinx,13 EMBED Equation.3 1415= –2хsiny–2ysinx, Q(x,y)=2ycosx–x2siny, 13 EMBED Equation.3 1415= –2ysinx–2xsiny, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Значит, данное выражение является полным дифференциалом. Найдем его первообразную z(x,y):
z(x,y)=13 EMBED Equation.3 1415 = x2cosy+y2cosx+C(y). Тогда 13 EMBED Equation.3 1415= –х2siny+2ycosx+C((y). Но 13 EMBED Equation.3 1415=Q(x,y)=2ycosx–x2siny, значит, C((y)=0, C(y)=С. Значит, z(x,y) = x2cosy+y2cosx+C.(

4.Поверхностные интегралы

4.1.Поверхностный интеграл I рода

Пусть поверхность S задана в пространстве уравнением z = z(x,y), где функция z(x,y) имеет непрерывные частные производные в некоторой области D(R2. В этом случае будем называть поверхность гладкой.
Пусть теперь поверхность S содержится в области определения непрерывной функции f(x,y,z). Разобьем поверхность на n частей S1, S2, , Sn; обозначим через (Sk площадь части Sk, а через dk – ее диаметр. Пусть d=13 EMBED Equation.3 1415– диаметр разбиения. Пусть (13 EMBED Equation.3 1415)(Sk. Составим интегральную сумму: S=13 EMBED Equation.3 1415. (*)
Определение. Если существует предел интегральных сумм (*) при d(0, не зависящий от разбиения, то он называется поверхностным интегралом I рода функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Примем без доказательства следующие свойства поверхностного интеграла I рода.
1о.13 EMBED Equation.3 1415 равен площади поверхности S.
2о.13 EMBED Equation.3 1415 = (13 EMBED Equation.3 1415.
3о.13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+
+13 EMBED Equation.3 1415.
Напомним, что свойства 2о и 3о – это свойства линейности.
4о. Если на поверхности S выполняется неравенство f(x,y,z)( g(x,y,z), то 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415.
5о. Если поверхность S разбита на части S1 и S2, не имеющие общих внутренних точек, то 13 EMBED Equation.3 1415 = =13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 (свойство аддитивности).
6о. 13 EMBED Equation.3 1415.
7о. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и ( – площадь поверхности, то существует такая точка ((,(,()(S, что13 EMBED Equation.3 1415=f((,(,().( (теорема о среднем).
Можно доказать, что если поверхность S задана уравнением z=z(x,y), (x,y)(D, то вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла:13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.

4.2.Поверхностный интеграл II рода

Пусть опять поверхность S задана уравнением z=z(x,y), где функция z(x,y) имеет непрерывные частные производные в некоторой области D(R2. Пусть S содержится в области определения непрерывной функции f(x,y,z). Зафиксируем одну из сторон поверхности и разобьем ее на n частей S1, S2, , Sn. Обозначим через ((k площадь проекции Sk на плоскость xOy, взятую со знаком «+», если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол, и со знаком «–» – в противном случае. В каждой части Sk выберем точку (13 EMBED Equation.3 1415) и составим интегральную сумму: S = 13 EMBED Equation.3 1415. (*)
Определение. Если существует предел интегральных сумм (*) при d(0 (d – диаметр разбиения), не зависящий от разбиения, то он называется поверхностным интегралом II рода функции f(x,y,z) по переменным х и у по выбранной стороне поверхности S и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным у и z или х и z.
В общем виде поверхностный интеграл II рода имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415. Если выбранная сторона поверхности имеет вектор нормали 13 EMBED Equation.3 1415, то поверхностный интеграл второго рода связан с интегралом первого рода формулой: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Поверхностный интеграл II рода обладает свойствами линейности и аддитивности. Он меняет знак при перемене стороны поверхности.
Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла следующим образом. Рассмотрим интеграл по х и у. Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x,y) и пусть Dxy – проекция S на плоскость хОу. Выберем сторону поверхности так, чтобы нормаль к ней образовывала с осью Оz острый угол. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Если же выбрать другую сторону поверхности, то интеграл берется с минусом. Аналогично вычисляется интеграл и по другим парам координат.
4.3.Формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь V – область, ограниченная гладкой поверхностью S; функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) непрерывны в этой области вместе со своими частными производными; интегрирование ведется по внешней стороне.
Пример. Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415, где S – внешняя сторона поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями 2х–3у+z=6, x=0, y=0, z=0.
По формуле Остроградского-Гаусса
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415. Этот тройной интеграл равен объему пирамиды с вершинами A(3;0;0), B(0;–2;0), C(0;0;6), O(0;0;0). V=13 EMBED Equation.3 1415= 6. Значит,
13 EMBED Equation.3 1415 = –6.(
4.4.Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами II рода:
13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415. Здесь S – область, ограниченная гладкой кривой L; функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) непрерывны на этой поверхности вместе со своими частными производными; интегрирование ведется в положительном направлении (то есть S остается слева).
Пример. Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415, где L – окружность х2+у2=R2 в плоскости z=0, сначала непосредственно, а затем по формуле Стокса.
Перепишем уравнение окружности в параметрической форме: x=Rcost, y=Rsint, z=0, t([0;2
·].
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 =
= –13 EMBED Equation.3 1415+0 = –13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле Стокса 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415, где D – круг (поверхность S совпадает со своей проекцией на плоскость хОу). Вычислим двойной интеграл с помощью полярной замены: 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Значит, исходный интеграл равен –13 EMBED Equation.3 1415.(

5.Векторное поле

5.1.Поток векторного поля

Пусть каждой точке М(x,y,z) некоторой области пространства соответствует вектор а(М). В этом случае говорят, что в этой области пространства задано векторное поле (или вектор-функция точки).
Поверхностный интеграл I рода по поверхности S от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности называют потоком поля через поверхность.
Таким образом, поток К векторного поля а через поверхность S вычисляется по формуле: К = 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что подынтегральная функция равна проекции вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности. Используя связь поверхностных интегралов I и II рода, поток можно записать в виде: К = 13 EMBED Equation.3 1415, где P, Q, R – проекции вектора поля на координатные оси.
Пример. Найдем поток векторного поля a=zi–xj+yk через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости 3х+6у–2z–6=0 с координатными плоскостями.
К = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Для данной плоскости орт нормали n = ((13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415; –13 EMBED Equation.3 1415). Так как на верхней стороне плоскости он образует с осью Oz острый угол, то выбираем n = (–13 EMBED Equation.3 1415;–13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415). Тогда два первые слагаемые нужно брать с минусом, а последнее – с плюсом. Окончательно получаем:
К = 13 EMBED Equation.3 1415, где области интегрирования – проекции треугольника на соответствующие координатные плоскости.13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, К = 13 EMBED Equation.3 1415+ 2 +13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 .(

5.2. Дивергенция векторного поля

Пусть каждой точке М(x,y,z) некоторой области пространства соответствует вектор а(М)={P(x,y,z);Q(x,y,z); R(x,y,z)}. Дивергенцией такого векторного поля в точке М называется число diva(M) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя понятие дивергенции, можно переписать формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, – поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении «изнутри» равен интегралу дивергенции этого поля по объему, ограниченному данной поверхностью.

5.3. Циркуляция векторного поля

Пусть каждой точке М(x,y,z) некоторой области пространства соответствует вектор а(М)={P(x,y,z);Q(x,y,z); R(x,y,z)}. Выберем в этой области гладкую замкнутую кривую L. Циркуляцией векторного поля вдоль контура L называется число C=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля a=(x–2z)i+(x+3y+z)j+(5x+y)k вдоль контура треугольника с вершинами А(1;0;1), В(0;1;0) и С(0;0;1).
C=13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
На отрезке АВ х+у=1, z=0, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415= –13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415= –3. Отсюда С = –3.(

5.4. Ротор векторного поля

Пусть каждой точке М(x,y,z) некоторой области пространства соответствует вектор а(М)={P(x,y,z);Q(x,y,z); R(x,y,z)}. Ротором векторного поля в точке М называется вектор rota(M) = 13 EMBED Equation.3 1415. Удобно записывать ротор в виде определителя:
rota(M) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя понятия циркуляции и ротора, можно переписать формулу Стокса в векторной форме: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, – поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции этого поля вдоль контура, ограничивающего данную поверхность. Контур обходится при этом в положительном направлении.















СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука. 1969 г.
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М. Наука. 1973 г.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Части 1, 2. М. Высшая школа. 1981 г.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М. Высшая школа. 1983 г.



























Св. план г., поз.

Арутюнян Елена Бабкеновна

Математика
Часть 3

Учебное пособие

___________________________________________

Подписано в печать Тираж – 100 экз.
Усл.-печ. л. – Формат
Заказ
_____________________________________________________________

127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр.9.
Типография МИИТа








13PAGE 15


13PAGE 14215







Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeoEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 17994155
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий