kompl_chisla

Формы записи комплексных чисел.
Запись числа в виде 13 EMBED Equation.3 1415 называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать как полярные координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, изображающего комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда получаем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, комплексное число можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Такая запись называется тригонометрической формой.
Модуль 13 EMBED Equation.3 1415 однозначно определяется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Например, 13 EMBED Equation.3 1415. Аргумент 13 EMBED Equation.3 1415 определяется из формул
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415( аrg z (13 EMBED Equation.3 1415, то из формулы 13 EMBED Equation.3 1415 получаем, что
13 EMBED Equation.3 1415
Используя формулу Эйлера 13 EMBED Equation.3 1415, комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – модуль комплексного числа, а угол 13 EMBED Equation.3 1415.
В силу формулы Эйлера функция 13 EMBED Equation.3 1415– периодическая с основным периодом 2(. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1: Записать комплексные числа z1 = –1+i и z2 = –1
·в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для числа z1 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 , т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
Для z2 имеем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 – формула Муавра.
Пример 2: Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Запишем сначала число 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
По формуле Муавра имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющее равенству 13 EMBED Equation.3 1415.
Если положить 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, то по определению корня и формуле Муавра, получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда имеем 13 EMBED Equation.3 1415
Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 (арифметический корень).
Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Точки, соответствующие значениям 13 EMBED Equation.3 1415, являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 с центром в начале координат.
Пример 4: Найти все значения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Запишем комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415









13PAGE 15


13PAGE 14215




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 17961299
    Размер файла: 144 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий