analit_geom


1.Векторлар . векторларды қосу амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен)
Егер кесіндінің ұзындығымен қоса бағытыда берілген болса,онда оны вектор деп атайды.Егер 2 век-дың ұзындығымен қоса бағыттас болса,олар тең.
Егер О (·)-сі А және В (·) арасында орналасса ,онда а және в қарама –қарсы бағытталған д/а.(а↑↓в)
Егер О (·) А және В (·)арасыда орналасса ,онда а және в бағыттас.(а↑↑в)
.Екі вектордың қосындысы a + b
векторы деп, b векторының басы a векторының ұшымен түйістірілген
жағдайда, басы a векторының басымен, ұшы b векторыныңұшымен сəйкес келетін векторды айтамыз. Анықтамаға сəйкес a жəне b
қосылғыштары мен олардың
қосындысы a + b үшбұрыш құрады. Сондықтан еківекторды қосу ережесі“үшбұрыш ережесі ” депаталады.Векторларды қосу амалы келесі қасиеттерге ие:
А) a + b = b + a (коммутативтілік);
б) (паралелограм)
а+в=АВ+BC=АСв+а = АD+DС = АС
2) (a + b ) + c = a + (b + c ) (ассоциативтілік);
а+в=ОА +АВ=ОВ
ОВ+с=ОВ+ВС=ОС
в+с=АВ+ВС=АС
а+АС=ОА+АС=ОС
3) Кез келген a векторы үшін
a + θ=θ+а= a(нөлдік векторқасиеті);
бас нүктесімен ұшы беттесетін бектор нөлдік.бағыты анықталмаған,ұзындығы -0
а= АВ; ВВ=θ ; АВ+ВВ =АВ, а+θ=а;
АА=θ; АА+АВ=АВ; θ+а=а
4) а+в=в+а=θ
АВ+ВА=АА=θ
ВА+АВ=ВВ=θ в=-а
Кез келген a векторына a+ a1= 0 болатындай, қарама -қарсы вектор a1 табылады ( a1 векторын алу ұшын a
векторыының басы мен ауыстыру жеткілікті)a векторына қарама - қарсы векторды (−a) арқылыбелгілейміз.
2.Векторларды санға көбейту амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен)
а векторының λнақты санына көбейтіндісі λ>0 жағдайда ↑↑ aλ бағыттас, λ<0 жағдайда aλ↑↓бағытталған және ұзындыығы | λ |*|а| тең веторды айтамыз.
Векторды санға көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:
1) λ(μa) = (λμ)a (көбейткіштердің ассоциативтілік қасиеті);
2) λ(a+b)=a λ+ bλ
(λ+μ) a = aλ+aμ
( дистрибутивтілік қасиет).
3)1*а=а
4) (α*β)*a= α*(β*a)3. Сызықтық тәуелді векторлар жүйесі. Сызықтық тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттері. (дәлелдеумен)
Егер Ө-ны а1,а2,…an векторлары арқылы ең болмағанда коэффициеттерінің біреуі нөлден өзгеше болатындай етіп сызықтық өрнектеледі :Ө=α 1a+ α 2a2+… αnan, онда а1,а2….аn векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады:Қасиеттері:1 егер а1,а2….an векторлар-ң ең болмағанда біреуі нөлдік вектор болса,онда жүйе сызықтық тәуелді болады,Дәлелдеу:Анықтық үшін аn=Ө болсын,онда 0*а1+0*а2+….+0*an-1+1*an=Ө, демек а1,а2,….аn сызықтық тәуелді жүйе,2қасиет жалғыз вектордан тұратын жүйе сызықтық тәуелді болуы, үшін бұл вектордың нөлдік вектор болуы қажетті және жеткілікті дәлелдеу:егер жалғыз а1 векторы нөлдік вектор болса ,онда бұл жүйе қасиет 1 бойынша сызықтық тәуелді ;3)егер сызықтық тәуелді жүйеге бірнеше вектор қоссақ,онда жаңа жүйе де сызықтық тәуелді болады, дәлелдеу а1,а2,….ak векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болсын,а-а бойынша α1, α2…. Αk нақты сандарды табылып:α1a1+ α1a1+….. αk ak=Ө,ал α 1, α2,,,,,αк сандары арасында ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше,берілген жүйеге қосымша кез келген ак+1,ак+2,……,an векторларын қарастырайық,онда α1a1+….. α k ak+0ak+1+…..0an=Ө,демек а1,а2,….an векторлар жүйесі де сызықтық тәуелді;4)a1,a2,….an(2≤n)векторлар жүйесінің ,сызықтық тәуелді болуы үшін осы векторлардың кем дегенде біреуінің қалған векторлар арқылы сызықтық өрнектелуі қажетті және жеткілікті ;дәлелдеу:қажеттілік а1,а2….an жүйесі сызықтық тәуелді болсын,яғни α1, α2 ,…….αn нақты сандары табылып α 1a1+ α2a2+… αnan=Ө,ал α1 α2…. Αn сандардың арасында ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше,анықтық үшін αn ≠0 болсын.
Онда аn=(-α 1/ α n ) a1+(- α2/ α n)a2+…. (-α n-1/α n) an-1
Жеткіліктілік: Анықтық үшін аn=β1а1+…+ βn-1аn-1болсын, ондаβ1а1+…+ βn-1аn-1+
(-1) аn= Ө. Соңғы өрнектегі аn векторының коэффиценті нөлден өзгеше, демек а1, а2...аn жүйесі сызықтық тәуелді.
4.Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері. (дәлелдеумен)Егер α1а1+ α2а2+…. αnan=Ө болуы үшін α1= α 2= …. αn=0 шарты қажетті болса,онда а1,а2,…an векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.қасиеттері:1)a1≠Ө болғанда ,α*а1=Ө тендеуінің α=0 шешімінен өзге шешімі жоқ екендігі анық,ендеше нөлден өзгеше жалғыз вектор сызықтық тәуелсіз жүйені құрайды. 2)сызықтық тәуелсіз жүйеден бірнеше векторлардан алсақ,қалған векторларда сызықтық тәуелсіз жүйені құрайды.
5. Матрицаларды санға көбейту амалы және оның қасиеттері. (дәлелдеумен)
Матрицаны санға көбейту үшін оның барлық элементтерін сол санға көбейтеміз.
Кез келген γ Є IR, A берілсін. A= { aij }
γА= { γaij }
Қасиеттері:
1·A=A
(γ·μ)·A= γ·(μ·A)=μ·(γ·A)
γ·(A+B)=γ·A+γ·B
(γ+μ)·A=γ·A+μ·B
6. Матрицаларды қосу амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен). Матрица дегеніміз сандардан тұратын таблица. Матрицалар квадрат, үшбұрышты т.с.с. болады. Матрицаларды қосу оның элементтері (сәйкес) бойынша жүргізіледі. Транспонирленген матрица. А= ∝11∝12…..a1n∝21∝22…..a2n………………..∝m1∝m2…..amnαίJ– сандары матрицаның элементтері. i –жол, j –баған. Қысқаша А=(αίJ). ЕгербарлықαίJ = 0 болса, онда матрица нөлдік матрица. Егерекі Ажәне В матр-ныңсәйкесорындардатұратынэлементтерітеңболса, онда А=В. Егержол мен бағанныңгержол мен бағанныңорындарынауыстырсақ, ондатранспонирленген матрица аламыз. Реттерібірдейматрицалардықосуғаболады. Айталық, А=( αίJ), В=( bίJ) болсын, сонда А+В = (αίJ + bίJ). Матрицалардықосудыңқасиеттері:
1. А+В = В+А;2. А+0 = А;3. А+(В+С) = (А+В)+С. Егер А матрицасыныңбарлықэлементтерінµсанынакөбейтсек, ондаµ А = (µαίJ). Матр-нысанғакөбейтудіңқасиеттері: 1)1*А=А*1=А ;2) µ (ℓ А) = (µ ℓ )А ; 3) µ (А+В) = µА+ µВ; 4) (µ+ℓ)А = µ А + ℓ А;
Дәләлдеуі: А =3 4 10 2-1В =1-1 23-2 1А+В = 4 3 33 0 0 .
7. Матрицаны аудару амалы және оның қасиеттері. Матрицаның жолдарымен бағандарының орындарын ауыстыруды оны транспонирлеу деп аталады. А матрицасына осы амалды қолданғанда шыққан матрицаны А' арқылыбелгілейміз. А= ∝11∝12…..a1n∝21∝22…..a2n………………..∝m1∝m2…..amnА'= ∝11∝21…..am1∝12∝22…..am2………………..∝1n∝2n…..amnA/ - n*m; A – m*n;
Аудару амалының қасиеттері:1)(A/)/ =A ;               2) (λA)/ = λ* A/ ;  
 3) (A+B)/ = A/+B/; 4) (A*B)/ = B/*A/. Дәлелдеуі: А =3 9 50 3-17 8 9 А'=3 0 79 3 85 -1 98. Матрицаларды көбейтуA-m*k  ретті,   B-k*n  ретті.
Cij=αi1+b1j+ αi2+b2j+….+ (i=1,2……..m) (j=1,2……...n)
формулаларымен анықталатын C=A·B матрицасы А мен В матрицасының көбейтіндісі деп аталады.С матрицасы ретті m* n болады.
Матрицаға қолданылатын амалдар қасиеттері:
1)A+B=A+B;
 2) (A+B)+C=A+(B+C);    3)λ*(A+B)= λ*A+ λ*B ;    4) A*(B+C)=A*B+A*C;
5) (A+B)*C=AC+BC ;          
6) λ(A*B)=(λ*A)*B=А*( λ*B); 7) A*(B*C)=(A*B)*C. Дәләлдеуі: A =1 3 4 1 0-22 х 3 ретті,  B = -1 0 42 3 45-1 0 3 х 3 ретті
A*B =25 5 16 -11 2 4 .
9. Матрицаны сатылы түрге келтіру Гаусс алгоритмі.
А=(αij)⋲Mk×n(P) қандай да бір мат/а бол/н.
А мат/ң жол/на элементар түрлендірулер жасап сатылыSмат/н алу керек д.е.Егер А мат/сы нөл/к мат/а болса,онда S=А=0. Егер А≠0 болса,она келесі процедура/ды біртіндеп жасаймыз.
1.A мат\ң кем дегенде бір нөлдік емес бағаны бар. Нөлдік емес баған/ң ең кіші нөмірін j1 деп белгілейік. j1ші бағанындағы нөлден өзге элементінің біреуін ,айталық αi1j1элементін ерекше белгілеп алып оны бастаушы элемент деп атаймыз.
2.(a)түрлендірудің көмегімен астаушы элементі орналасқан i1 ші жолын 1-ші жолмен алмастырып В мат/н аламыз.
B=0…0β1j1…0…0β2j1…0…0βkj1…β1nβ2nβknБұл жерде β1j1αi1j1.
3.B мат/ң 2-ші жолынан β2j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, 3-ші жолынан
β3j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, т.с.сk- ші жолынан βkj1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолды алып тастасақ,
C=0…0ᵞ1j10…000…00ᵞ1j1+1…ᵞ1nᵞ2j1+1…ᵞ2nᵞkj1+1…ᵞknмат/н аламыз. Бұл жерде ᵞ1j=β1j, егер j=j1 ,n болса : ᵞij=βij-β1j∙βij1β1j1, егер i=2,k, j=j1+1,n болса.ᵞij, i=2,k, j=j1+1,n элементтерінен құралған мат/ны арқылы белгілейік. Егер D=0 болса онда S=C, керісінше D мат/на жоғарыда келтірілген процедураларын қайталаймыз, яғни С мат/ң 1-ші жолымен 1-j1+1- ші бағандары алгоритмімізде одан әрі өзгермейді.
Гаусс алгоритмін бағандарға да жургізуге болады.
10. Векторлар жүйесінің базасы және рангі.ai1, ai2,…ainвекторлар жүйесі
a1, a2,…anвекторлар жүйесінің ішкі жүйесі болсын. Егер осы ішкі жүйе үшін келесі екі шарт орындалса, онда ол ішкі жүйені бастапқы жүйенің базасы деп атаймыз.
1.ai1,ai2,…,air сызықтық тәуелсіз
2.ai1,ai2,…,air ∼a1,a2,…,ak (эквивалентті).
a1, a2,…anвекторлар жүйесінің кез келген базасының қуатын осы векторлар жүйесінің рангы деп атайды. А⋲Mk×nk жолы мен n бағаны бар берілгенa1, a2,…an жолдар, векторлар жүйесінің А матрицасының жолдар рангі деп a1, a2,…anвекторлар жүйесінің рангін айтады. А матрицасының бағандарының рангі деп {а -1⋲ Rn, а -n⋲ Rn} вектор жүйесінің рангі деп аталады.
11. Векторлар жүйесінің рангін табу әдісі.Анықтама:a1,a2,…,akвекторлар жүйесінің кез келген базасындағы векторлар санын r(a1,a2,…,ak) арқылы белгілейміз де, оны a1,a2,…,akжүйесінің рангі деп атаймыз.
a1,a2,…,akжүйенің r(a1,a2,…,ak) рангі жүйедегі тәуелсіз векторлардың максимал санына тең.
Век-ға қолданылатын сыз-тық амалдардың қасиеттері ж/е матрицаға қолданылатын сыз-тық амалдар бірдей. Гаусс алгоритмі векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігін зерттеу және оның рангі мен базасын табуға өте қолайлы тәсіл болып табылады.
12.Матрицаның рангі. Матрицаның рангін табу әдісі.Ан\ма: A=(αij), i=1,k; j=1,n мат/сы берілсін.
А=α11α12α1kα21α22α2kαn1αn2αnk⃪a1a2akқатар -a1…ak⋲Rn ;баған-a1…an⋲Rn А мат/ң жолдар рангі депr(a1…ak) век/р жүйесінің рангін айтамыз
А мат/ң бағандар рангі деп r(a1…an) век/р жүйесінің рангін айтамыз
Мат/ң рангі туралы теорема: кез келген мат/ң жолдар ж/е бағандар рангі тең болады.
Матрицаның рангін табу әдісі.А мат/ң рангін табу үшін Гаусс алгоритмін қолданып, оны сатылы түрге келтіреміз S деп белгілейміз . Осы мат/ғы нөлдік емес жолдар саны А мат/ң рангі болады.
Век-ға қолданылатын сыз-тық амалдардың қасиеттері ж/е матрицаға қолданылатын сыз-тық амалдар бірдей.Сатылы мат-ның жолдар рангі бағандар рангіне тең ж/е ол бастауыш элементтер санына тең болады.А мат-ның рангін табу үшін оны сатылы түрге келтіреміз.
13. Матрицаның рангі туралы теорема және оның салдары.
Теорема. Кез келген мат-н ың жолдар рангі бағандар рангіне тең.
Салдар. Кез келген Аматрицасы үшін r (A)=r(A').
Теорема. Екі матрицаның көбейтіндінің рангі көбейткіштердің рангтерінен аспайды.Матрицаны керіленетін матрицаға көбейткенде оның рангі өзгермейді.
Салдар1. Элементар түрлендірулер матрицаның рангтерін өзгертпейді.
Салдар2. А⋲Mk×n(P) матрицасы керіленетін матрица болуы үшін r (A)= п болуы қажетті және жеткілікті.
А мат-ның рангін табу үшін оны сатылы түрге келтіреміз(сатылы түріне жол н/е баған бойынша келтіреміз).Оны S деп белгілейміз.S сатылы түрдегі мат-ғы нөлдік емес жолдардың саны А мат-ның рангі болады.
(a1,a2,…,an) век-лар жүйесі бер/сін.Осы вектор жүйесінен матрица аламыз.Егер А мат-ның сатылы түрінде соңғы жолы нөлдік болса, онда (a1,a2,…,an) век-лар жүйесі сыз-тық тәуелді.Егер А мат-ның сатылы түрінде соңғы жолы нөлдік емес болса, онда (a1,a2,…,an) век-лар жүйесі сыз-тық тәуелсіз.
14. Ауыстыру туралы лемма.
Тұжырым:с1,с2,…,сn, n≥2, векторлар жүйесінің бірінші векторы нөлден өзгеше болсын, яғни с1≠θ. онда с1,с2,…,сn,жүйесі сызықтық тәуелді болуы үшін кем дегенде бір сί векторы оның алдындағы с1,с2,…,сi-1векторлары арқылы сызықтық өрнектелуі қажетті және жеткілікті.
Салдар:с1,с2,…,сi-1векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз, ал с1,с2,…,сi-1, сiсызықтық тәуелді болса, онда сί векторы с1,с2,…,сi-1векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі.
Теорема: егер a1,a2,…,aK мен b1,b2,…,bm векторлар жүйелері үшін келесі екі шарт орындалса: 1) a1,a2,…,aK жүйесі сызықтық тәуелсіз; 2) a1,a2,…,aKвекторлары b1,b2,…,bm векторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі, онда k≤m теңсіздігі орындалады. Дәләлдеу: қосымшаaK ,b1,b2,…,bm векторлар жүйесін қарастырсақ. aKвекторы осы жүйенің қалған b1,b2,…,bm векторлары арқылы теореманың 2-шарты бойынша сызықтық өонектеледі. Демек, бұл жүйе сыз-қ тәуелді болады. Тұжырым бой-ша ,осы жүйенің бір bί векторы оның алдынғы aK,b1,b2,….bi-1 векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі. Ендіa1,a2,…..ak-1ж/е,b1,b2,….bi-1,bi+1, …,bmвекторлар жүйелерітеореманың 2 шартынқанағаттандырады..
Шарт 1) a1,a2,…..ak-1 жүйесі үшін орындалуы сыз-қ тәуелділіктің 4-ші қасиеті (сыз-қ тәуелсізжүйеденбірнешевекторлардыалсақ, қалғанвекторлар да сыз-қ тәуелсіз жүйені құрайды.) 2-шарттың орындалуынa1 векторы үшін тексеретін болсам, теореманыңбастапқы 2-шарты бой-шаa1 векторын b1,b2,…,bm векторлары арқылы жіктепалып , солжіктеуіндеbίвекторын оның aK,b1,b2,….bi-1векторларыарқылыжасалғансыз-қ өрнегіменауыстырсақ, ондаak,b1,b2,….bi-1,bi+1, …,bm векторлары ар-ы өрнектелуін табамыз.a2,a3,…..ak-1векторларының
ak,b1,b2,….bi-1,bi+1, …,bm векторлары арқылы сыз-қ өрнектелуі дәл осылай дәләлденді.
Салдар.Егер тәуелсіз a1,a2,…,aK мен b1,b2,…,bm жүйелерінің барлық векторлары басқа жүйе арқылы жіктелетін болса, онда k =m.Дәлелдеу: теорема бой-ша k≤m.ендіb1,b2,…,bmжүйесін бірінші, ал a1,a2,…,aK жүйесін екінші деп қарастырсақ, онда теоремадан k≥mтеңсіздігішығады.Демекk =m.15.Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі және оның түрлері.
α 1 x1+ α 2x2 +…+α nxn=β (1) теңдіктіx1, x2 ... xnбелгісіздіктері бар сызықтық алгебралық теңдеу деп атайды.
Бұл жерде α1,α2,αn- сызықтық теңдеудің коэффициенттері деп аталады және олар нақты немесе комплекс сандар. Β саны-сызықтық теңдеудің бос мүшесі деп аталады және ол да нақты немесе комплекс сан. (1)теңдеуде коэффициенттердің жоқ дегенде біреуі 0≠αі болсын.
αіхі=β-α1x1-α2x2-…- αi-1xi-1-αi+1xi+1-…αnxn
хі=βαi- α1αix1-…-αi-1αixi-1 - …-αnαixn(2)
Екінші өрнекті бірінші теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Бұл жерде хі –базистік белгісіз, ал қалған белгісіздер-еркін белгісіздер.
Анықтама1.САТЖ анықталған деп аталады,егер де оның жалғыз шешімі бар болса.
Анықтама2.САТЖ үйлесімді деп аталады, егер оның жоқ дегенде бір шешімі бар болса.
Анықтама3.САТЖ анықталмаған деп аталады, егер де оның ақырсыз көп шешімі болса.
Анықтама4.САТЖ үйлесімсіз деп аталады, егер оның бір де бір шешімі жоқ болса.
САТЖ-ның шешімдер жиыны осы САТЖ-дағы барлық теңдеулердің шешімдер жиындарының қиылысуы болады.
16. Матрицаны сатылы түрге келтіру Гаусс алгоритмі.
А=(αij)⋲Mk×n(P) қандай да бір мат/а бол/н.
А мат/ң жол/на элементар түрлендірулер жасап сатылыSмат/н алу керек д.е.Егер А мат/сы нөл/к мат/а болса,онда S=А=0. Егер А≠0 болса,она келесі процедура/ды біртіндеп жасаймыз.
1.A мат\ң кем дегенде бір нөлдік емес бағаны бар. Нөлдік емес баған/ң ең кіші нөмірін j1 деп белгілейік. j1ші бағанындағы нөлден өзге элементінің біреуін ,айталық αi1j1элементін ерекше белгілеп алып оны бастаушы элемент деп атаймыз.
2.(a)түрлендірудің көмегімен астаушы элементі орналасқан i1 ші жолын 1-ші жолмен алмастырып В мат/н аламыз.
B=0…0β1j1…0…0β2j1…0…0βkj1…β1nβ2nβknБұл жерде β1j1αi1j1.
3.B мат/ң 2-ші жолынан β2j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, 3-ші жолынан β3j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, т.с.сk- ші жолынан βkj1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолды алып тастасақ,
C=0…0ᵞ1j10…000…00ᵞ1j1+1…ᵞ1nᵞ2j1+1…ᵞ2nᵞkj1+1…ᵞknмат/н аламыз. Бұл жерде ᵞ1j=β1j, егер j=j1 ,n болса : ᵞij=βij-β1j∙βij1β1j1, егер i=2,k, j=j1+1,n болса.ᵞij, i=2,k, j=j1+1,n элементтерінен құралған мат/ны арқылы белгілейік. Егер D=0 болса онда S=C, керісінше D мат/на жоғарыда келтірілген процедураларын қайталаймыз, яғни С мат/ң 1-ші жолымен 1-j1+1- ші бағандары алгоритмімізде одан әрі өзгермейді.
Гаусс алгоритмін бағандарға да жургізуге болады.
17. Крамерлі жүйелер. САТЖ-ны шешудің Крамер әдісі.
Егер 1-ші сатыдағы белгісіздер санымен теңдеулер саны тең болса ,онда бұл Сатж-ны крамерлік тендеулер жүйесі деп атаймыз.
a11x1 +a12x2+…+a22x1+a22x2+…+an1x1+an2x2+…+a1n*xn=b1a2n*xn =b2amn*xn =bn∆=a11a12⋯⋯a1na21a22….a2nan1an2….amn, ∀j1≤j≤nүшін ∆j=a11…b1…a1na21…b2…a2nan1…bn…amnТеорема: (крамер формуласы)Егер үшінші Крамерләі жүйе үйлесімді болса ,оның 1 ғана шешімі болады және ол шешімдер келесі крамер формуласымен табылады.
x1=∆1∆, x2=∆2∆,……………….xn=∆n∆18. Кері матрицаның анықтамасы. Кері матрицаны табудың Гаусс-Жордан алгоритмі.
Ан-ма: А шаршылы матрицасы берілсін Аn*n . Вn*n матрицасы Аn*n матрицасының кері матрицасы деп атаймыз егер келесі теңдік орындалса А*В=E. Мұнда Е n-ретті бірлік матрица.
В=A-1кері матрицаның белгіленуі.
Кері матрицаны табудың Гаусс-Жордан әдісі: Рет-ретпен келесі процедураларды орындаймыз:
А және Е блокты матрицаларды құрамыз (A|E). А-ның жоғарғы сол бұрышынан бастап сатылы түрге келтіреміз. А-ға қандай түрлендіру жасасақ, Е-ға да сондай нәрсе істейміз. Нәтижесі (В1|В2) блокты матрица матрица шығады.
Егер В1 матрицаның соңғы жолы 0-дік болса, онда алгоритмді нәтижесіз тоқтатамыз.
Егер В1 матрицаның соңғы жолы 0-дік емес болса, келесі амалды орындаймыз: В1 матрицаның төменгі оң бұрышынан бастап жоғары қарай сатылы түрге келтіреміз.
Нәтижеде (В1|В2) (C1|C2) блокты матрица шығады. Бұл жерде С1 матрицасы диагональды болады.
С1 матрицасына екнші элементар түрлендіру жүргізіп, келесі түрге келеміз (В1|В2) (Е|D). D матрицасы А матрицасына кері болады.
А*А-1=E
А-1*A=E
19. Алмастырулар. Алмастырулардың қасиеттері.M={1, 2, …, n} жиынының өзінің өзіне өзара кез келген бір мәнді сәйкестігін М жиынының алмастыруы д.а. (i1, i2, …, in)
M {1, 2, 3}
M {1, 3, 2} M {2, 1, 3} – M-нің алмастырулары.Транспозиция –алмастырудағы кез-келген екі элемент-ң орнын алмастыру д.a.
Алмастырудың қасиеттері: 1)М-ның кез-келген алмастыруынан басқа алмастыруына бірнеше транспозиция жасап көшуге б-ды; 2)n-элемент-ң жиының барлық алмастырулар саны n! болады. Егер алмастыруларда инверсиялар саны жұп болса ,алмастырулар жұп болады, егер тақ болса тақ болады. 3)n –элемент-ң жиының жұп ж/е тақ алмастырулар саны тең болады ж/е ½ n! тең болады.
20. Қойылымдар. Екі қойылымның көбейтіндісі.
Ан-ма: М={1,2,…,n} жиынының өзіне бірмәнді сәйкестігін n дәрежелі қойылым деп аталады.
А=(1 2 … n
α 1α2 … αn)
Егер қойылымның астындағы және үстіндегі алмастырулар жұп болса, онда жұп алмастыру, қалған жағдайда тақ алмастыру болады.
А=(1 2 … n В=(1 2 … n)
α1α2 …αn) β1β2 …βn)
A*B=C=(1 2 … n
γ1γ2 …γn)
R αk βk= γj.
Мысал: Екі қойылымның көбейтіндісі.
Анықтама.Егер n-реттті алмастыруды бірінің астына бірін жазсақ, n-ретті қойылым шығады.
1 23 44 13 21 23 43 24 1=1 23 41 34 221. Анықтауыштың негізгі қасиеттері. (дәлелдеумен)
1)Егер анықтауышта екі жолдың(бағанның) орындарын ауыстырсақ онда анықтауыштың таңбасы қарама-қарсыға ауысады.
Дәлелдеу.α11⋯α1nα21⋱α2nαm1⋯αmn =α21⋯α2nα11⋱α1nαk1⋯αkn2)Егер матрицаны аударсақ онда оның анықтауышы өзгермейді:|А'|=|A|
3)Егер анықтауыштың бір жолының(бағанының) ортақ көбейткіші бар болса,онда оны анықтауыштың таңбасының сыртына шығаруға болады.
Дәлелдеу.
аα11аα12…аα1nα21α22…α2nαm1αm2…αmn=aα11(-1)1+1A11+aα12(-)1+2A12+…aα1n(-1)1+nA1n=a|A|
4)Егер матрицаның қандай да бір жолына(бағанына) басқа жолды (бағанды) санға көбейтіп алып қоссақ, онда анықтауыш өзгермейді
5)Егер анықтауыштың екі жолы(бағаны ) бірдей болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.
6)Блокты үшбұрышты матрицалардың анықтауышы диагональдік блоктарының анықтауыштарының көбейтіндісіне тең болады.
7)Егер А матрицасының жолдары немесе бағандары сызықтық тәуелді болса, онда анықтауыш 0-ге тең.
22.Сызықтық қабықшалар. Ішкі кеңістіктердің қосындысының өлшемі туралы теорема.сызықтық кеңістігінде кез келген a1,a2,..,ak векторларының жүйесі берілсін.Осы векторлардан құрылған барлық сызықтық өрнектерден тұратын L(a1,a2,..,ak)⇌{⍺1a1+⍺2a2+…+⍺kak⃓⍺1,⍺2…,⍺k⋴P} жиынын a1a2,..,ak векторларының сызықтық қабықшасы,ал а1,a2,..,ak векторлардын L(a1,a2,...,ak)сызықтық қабықшасының жасаушылары д.а.Ішкі кеңістіктерінің L=L1+L2+…+Lk қосындысы Ɵ вектор үшін a=a+Ɵ жіктелуінің жалғыз болған жағыдайында және тек сол жағдайында ғана тура қосынды б/ы. Дәләлдеу. Қ.Қандайда бір А⋴L векторы үшін a=a+Ɵ жіктеуі бар болсын:a=a1+a2+…+ak және a=a’1+a’2+…+a’k. Бір жіктеуден екіншісін шегеріп,нөлдік вектор үшін Ɵ=(a1-a’1)+(a2-a’2)+..+(ak-a’k) жіктеуін аламыз.Ɵ вектор үшінa=a+Ɵ жіктеуі жалғыз және Ɵ=Ɵ+Ɵ+..+Ɵ болғандықтан, (a1-a’1)=(a2-a’2)=..=(ak-a’k)= Ɵ демек a1= a’1, a2=a’2,…, ak=a’k болады.
23 Евклид кеңістігі
Егер Х нақты саны сызықты кеңістік ал (,) сол сызықтық кеңістіктегі скаляр көбейтіндісі болса, ˂Х,(,)˃ жұбы Евклид кеңістігі деп аталады.
Х кез келген нақты сызықтық кеңістік, ал f:Х*Х->R қандай да бір бейнелеу болсын. Бейнелеуін Х сызықтық кеңістігінің әрбір (a, b) веторлар жұбына f нақты саны сәйкес қоятын ереже деп түсінуге болады.Егер бұл ереже үшін үш аксиома:
Е1-комутативтік аксиома;
Е2-бірінші айнымалы бойынша сызықты аксиома.
Е3және болуы үшін θ болуы қажетті және жеткілікті- оң анықталғандық аксиома;
Орындалса,онда ол скаляр көбейтінді деп аталады.
Скаляр көбейтіндінің алгебралық қасиеттері.
Е3 аксиомасының мынадай геометриялық мағынасы бар:вектордың ұзындығының квадраты теріс емес сан болады жіне ол сан нөлге тең болуы үшін вектордың өзі нөлдік болуы қажетті және жеткілікті.
Е2 аксиомасының келесі екі аксиомаға пара-пар болатыдығы айқын:
Е2а -скаляр көбейтінді бірінші айнымалы бойынша аддитив;
Е2б -скаляр көбейтінді бірінші айнымалы бойынша біртекті .
Е1-Е3 аксиомалпрынан скаляр көбейтіндінің төмендегі қасиеттері шығады
(θ,α)=(α,θ)=0-кез келген векторды нөлдік векторға скаляр көбейткенде нөлдік сан шығады;
(ɑ,βb+γс)=β(ɑ,b)+γ(ɑ,с)-скаляр көбейтінді екінші айнымалы бойынша да сызықтық болады;
Кез келген нақты сандар мен кез келген векторлары үшін

яғни, екі сызықты өрнекті көбейту үшін оларды мүшелеп көбейтуге болады.
Егер кез келген b векторы үшін (ɑ,b)=0 болса θ
Сонымен, Евклид кеңістігі дегеніміз,өзінде қосымша анықталған қандай да бір скаляр көбейтіндімен бірге қарастырылатын нақты сызықтық кеңістік болады.Бір нақты сызықтық кеңістікте неше түрлі скаляр көбейтінді енгізуге болады.Ендеше,бір нақты кеңістікте әртүрлі Евклид кеңістіктерінің тұғыры болуы мүмкін.
Мысал:Егер (Мысал: және қандай да бір ɑ,b бағытталған кесінділерінің Декарт Базисіндегі координаталары болса,онда
(ɑ,b)=
Егер арифметикалық кеңістігінің кез келген векторлары болса,онда
формуласы R кеңістігінде скаляр көбейтіндіні анықтайды. Өйткені, R кеңістігінің
Стандарт базисінде кез келген вектордың координаталық бағанын табу үшін сол векторды жай ғана аудару керек.

Приложенные файлы

  • docx 17943500
    Размер файла: 91 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий