Individualni_zavdannya_Analitichna_geom_I_sem

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г. Короленка

Фізико-математичний факультет











АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Індивідуальні завдання
МОДУЛЬ А
(1 семестр)
для студентів І курсу
напряму підготовки 6.040201 „Математика”

























Полтава – 2012




ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ
МОДУЛЬ А
(рік навчання 1, семестр 1)


Завдання
(номер)

Варіант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 1
Вектори. Дії над векторами

У трикутнику АВС проведені медіани AD, BE i CF. Представити вектори 13 EMBED Equation.3 1415 як лінійну комбінацію векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.

У трикутнику АВС проведені медіани AD, BE i CF. Знайти суму векторів 13 EMBED Equation.3 1415.

Точки М і Р – середини сторін ВС і CD паралелограма ABCD. Виразити вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.

Нехай 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – трійка некомпланарних векторів. Чи будуть вектори 13 EMBED Equation.3 1415 компланарними?

Нехай ABCDEF – правильний шестикутник. Точка О – його центр. Виразити вектори 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415.

Нехай 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – трійка некомпланарних векторів. Чи будуть вектори 13 EMBED Equation.3 1415 компланарними?

Дано трапецію ABCD (13 EMBED Equation.3 1415, О – точка перетину діагоналей), основи якої відносяться як 1:3. Знайти розклад векторів 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415.

У трикутнику АВС проведена бісектриса AD. Знайти координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415, беручи за базис вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.

Нехай точки А, В, С лежать на одній прямій. Довести, що для будь-якої точки О існує таке (, що 13 EMBED Equation.3 1415.

Нехай для точок О, А, В, С виконується рівність 13 EMBED Equation.3 1415, де ( – довільне число. Довести, що точки А, В, С лежать на одній прямій.



ЗАВДАННЯ № 2
Скалярний добуток векторів

Точки A, B, C, D задані своїми координатами. Знайти кут між векторами 13EMBED Equation.31415 і 13EMBED Equation.31415 та проекцію вектора 13EMBED Equation.31415 на вектор 13EMBED Equation.31415, якщо:

А(2;–3;1), В(6;1;–1), С(4;8;–9), D(2;–2;1).

А(5;–1;–4), В(9;3;–6), С(7;10;–14), D(5;1;–3).

A(2;1;0), B(3;–1;2), C(13;3;10), D(0;1;4).

А(2;0;0), В(0;3;0), С(0;0;6), D(2;3;8).

А(–3;–6;–2), В(1;–2;0), С(–1;5;–8), D(–3;–4;3).

А(–1;1;–5), В(3;5;–7), С(1;12;–15), D(–1;3;–4).

А(0;4;3), В(4;8;1), С(2;15;–7), D(0;6;4).

А(3;3;–3), В(7;7;–5), С(5;14;–13), D(3;5;–2).

А(–3;4;–3), В(–2;2;–2), С(8;6;7), D(5;8;5).

А(–2;–3;2), В(–1;–5;4), С(9;–1;12), D(6;1;10).



ЗАВДАННЯ № 3
Векторний добуток векторів

Сила 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прикладена до точки А(2;-1;1). Визначити момент цієї сили відносно початку координат.

Дано координати вершин трикутника А(1;-1;2), В(5;-6;2) і С(1;3;-1). Обчислити довжину висоти, проведеної з вершини В на сторону АС.

Сила 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прикладена до точки А(4;-2;3). Визначити момент цієї сили відносно точки В(3; 2; -1).

Знайти площу паралелограма побудованого на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415.

Сила 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прикладена до точки А(2;-1;-2). Визначити момент цієї сили відносно початку координат.

Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415. Обчислити 13 EMBED Equation.3 1415.

Сила 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прикладена до точки А(4;2;-3). Визначити момент цієї сили відносно точки В(2; 4; 0).

Знайти синус кута, утвореного векторами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Дано точки А(1;2;0), В(3;0;-3), С(5;2;6). Обчислити площу трикутника АВС.

Знайти площу паралелограма побудованого на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415.





ЗАВДАННЯ № 4
Мішаний добуток векторів

У задачах 1 – 10 дані координати вершин тетраедра ABCD. Обчислити об’єм тетраедра та довжину висоти, опущеної з вершини D на площину грані АВС.

А(–5;–4;8), В(2;3;1), С(4;1;–2), D(6;3;7).
А(5;4;2), В(0;0;1), С(0;2;0), D(3;0;0).
А(2;0;0), В(0;3;0), С(0;0;6), D(2;3;8).
А(2;–3;1), В(6;1;–1), С(4;8;–9), D(2;–2;1).
А(5;–1;–4), В(9;3;–6), С(7;10;–14), D(5;1;–3).
А(–3;–6;–2), В(1;–2;0), С(–1;5;–8); D(–3;–4;3).
А(–1;1;–5); В(3;5;–7), С(1;12;–15); D(–1;3;–4).
А(0;4;3), В(4;8;1), С(2;15;–7), D(0;6;4).
А(3;3;–3), В(7;7;–5), С(5;14;–13), D(3;5;–2).
А(–3;4;–3), В(–2;2;–2), С(8;6;7), D(5;8;5).





ЗАВДАННЯ № 5
Застосування векторного методу до розв’язування задач

Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Довести властивості середньої лінії трикутника.

Довести властивості середньої лінії трапеції.

Довести, що медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

Довести, що в трикутнику сума квадратів медіан дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415сумі квадратів його сторін.

Довести теорему косинусів.

Довести теорему синусів.

Довести, що висоти трикутника перетинаються в одній точці.

Дано довільний трикутник. Довести, що існує трикутник, сторони якого паралельні і рівні медіанам даного трикутника.

Знайти кут при вершині рівнобедреного трикутника, якщо медіани, проведені до його бічних сторін, взаємно перпендикулярні.




ЗАВДАННЯ № 6
Афінна та прямокутна декартова системи координат на площині

Дано координати початку А(2;3) і середини М(1;-2) відрізка АВ. Знайти координати кінця відрізка.

Дано координати середин сторін трикутника: 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти координати його вершин.

Дано координати двох суміжних вершин паралелограма АВСD: А(-4;-7), В(2;6) та точка перетину його діагоналей М(3;1). Знайти координати двох інших вершин.

Нехай точка М – точка перетину медіан трикутника АВС. Знайти координати точки С в репері (М, А, В).

Точка С поділяє відрізок АВ у відношенні 2:3. Знайти координати точки А, якщо С(7;2), В(2;-8).

Точка О – центр правильного шестикутника ABCDEF. Знайти координати точок A, B, C, D, Е, F, O в репері (А, В, С).

Знайти вершини B і D ромба ABCD зі стороною 10, якщо відомі координати А(8;-3), С(10;11) у прямокутній декартовій системі координат.

Знайти центр кола, описаного навколо трикутника АВС, якщо відомі координати вершин трикутника у прямокутній декартовій системі координат: А(-2;2), В(2;6),  С(5;-3).

У трикутнику АВС зі сторонами АВ=6, АС=8, проведено бісектрису АМ. Знайти координати точки М в репері (А, В, С).

Дано прямокутний трикутник АВС (13 EMBED Equation.3 1415) з катетами СА=5, СВ=12. 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти довжину висоти СН і координати точки Н в ортонормованому репері 13 EMBED Equation.3 1415.




ЗАВДАННЯ № 7
Полярна система координат

У полярній системі координат задано координати двох вершин 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 паралелограма ABCD, точка перетину діагоналей якого співпадає з полюсом. Визначити координати двох інших вершин паралелограма.

У полярній системі координат дано точки 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти полярні координати середини відрізка АВ.

У полярній системі координат дано точки А(3;
·/2), B(2;-
·/4), C(1;
·), D(5;-3
·/4). Додатній напрям полярної вісі змінено на протилежний. Визначити полярні координати заданих точок у новій системі координат.

У полярній системі координат дано точки M1(3;
·/3), M2(1;2
·/3), M3(2; 0), M4(5;
·/4), M5(3;-2
·/3), M6(1;11
·/12). Полярну вісь повернули так, що вона проходить через точку M1. Визначити координати заданих точок у новій (полярній) системі координат.

У полярній системі координат дано точки А(12;4
·/9), В(12;-2
·/9). Знайти полярні координати середини відрізка АВ.

У полярній системі координат знайти відстань між точками М1(5;
·/4), М2(8;-
·/2).

У полярній системі координат дано дві суміжні вершини квадрата М1(12;-
·/10), М2(3;
·/15). Знайти його площу.

У полярній системі координат дано дві протилежні вершини квадрата P(6;-7
·/12), Q(4;
·/6). Знайти його площу.

У полярній системі координат дано дві вершини правильного трикутника А(4;-
·/12), B(8;7
·/12). Знайти його площу.

Одна з вершин трикутника ОАВ розміщена в полюсі полярної системи координат. Дві інші – задані координатами А(5;
·/4), B(4;
·/12). Знайти площу трикутника.



ЗАВДАННЯ № 8
Пряма на площині

Точки М(2;1), Р(5;3), К(3;-4) – середини сторін трикутника АВС. Скласти рівняння прямих, на яких лежать сторони трикутника.

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А(1;2) і точку перетину прямих 2х+3у-1=0 і х-у+3=0.

Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку А(1;-3), паралельно до прямої 5х+2у-11=0. Написати загальне рівняння цієї прямої.

Скласти рівняння прямих, що проходять через кожну з вершин А(3;6), В(-1;3), С(2;1) трикутника АВС, паралельно протилежним сторонам.

Скласти рівняння прямих, на яких лежать середні лінії трикутника з вершинами в точках А(5;-4), В(-1;3), С(-3;-2).

Дано рівняння сторін трикутника (АВ): 4х-3у-7=0, (ВС): х+3у-31=0, (АС): х+5у-7=0. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку В паралельно до протилежної сторони трикутника.

Написати рівняння прямих, на яких лежать серединні перпендикуляри до сторін трикутника з вершинами А(3;7), В(2;-3), С(-1;4).

Трапеція задана координатами своїх вершин: А(0;-2), В(1;2), С(4;5), D(10;8). Скласти параметричні рівняння прямої, на якій лежить середня лінія трапеції.

Написати рівняння висоти ВН трикутника з вершина в точках А(1;1), В(2;4), С(7;3).

Пряма проходить через точки А(5;2) і В(23;-6). Знайти точки перетину прямої з осями координат.





ЗАВДАННЯ № 9
Метричні задачі з теорії прямих

Задано сторони трикутника: (АВ): х+3у–7=0; (ВС): 4х–у–2=0; (АС): 6х+8у–35=0. Знайти довжину висоти ВD.

Обчислити відстань d між прямими: 4х–3у–1=0 та 8х–6у+15=0.

Знайти площу квадрата, дві сторони якого лежать на прямих 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти площу квадрата, дві сторони якого лежать на прямих 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти відстань і відхилення точки М(1;-3) від прямої l: 5х–12у+52=0.

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку С(3;5) і знаходиться на однаковій відстані від точок А(-7;3) та В(11;-15).

Знайти відстань і відхилення точки М(2;-4) від прямої l: 4х–3у+10=0.

Точка М(1;-1) є центром квадрата, одна зі сторін якого лежить на прямій х-2у+12=0. Скласти рівняння прямих, на яких лежать інші сторони квадрата.

Скласти рівняння прямих, які проходять через точку А (1;3) і утворюють з прямою у = 2х – 1 кут 45°.

Знайти кут між прямими 5х-у+7=0 і 3х+2у=0.







ЗАВДАННЯ № 10
Задачі з теорії прямих

Знайти координати точки, яка симетрична точці А (12; –8) відносно прямої, що проходить через точки В (–3; 2) і С (1; –5).

Скласти рівняння бісектрис кутів між прямими х – 2у – 2 = 0 і 4х + 3у – 12 = 0.

Вершинами 13 EMBED Equation.3 1415 є точки А (8; 5), В (9; –2), С (5; –4). Знайти координати центра описаного кола.

Знайти координати точки, яка симетрична точці М (2; 3) відносно прямої, що проходить через точки А (–2; –4), В (1; –3).

Скласти рівняння сторін трикутника, якщо відомі одна його вершина В (3; –4) та рівняння двох висот 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

Визначити координати центра кола, описаного навколо
· АВС, якщо А (–3; 2), В (4; –1), С (2; 4).

Знайти координати точки, яка симетрична точці А (2; 3) відносно прямої, що проходить через точки В (–3; 2), С (4; –1).

Скласти рівняння сторін
· АВС, якщо дано одну його вершину А (4; 5) та рівняння двох висот: 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.

Скласти рівняння бісектрис кутів між прямими 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти відстань між протилежними сторонами ромба, якщо довжини його діагоналей 24 см і 16 см.




ЗАВДАННЯ № 11
Коло і пряма

Через точку А (1;6) провести дотичні до кола х13EMBED Equation.31415+у13EMBED Equation.31415+2х – 19=0.

Скласти рівняння кола з центром у точці А (3;2), яке дотикається до прямої 3х+4у + 13= 0.

Скласти рівняння кола з центром у точці С(
·2;3), яке дотикається до прямої 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Скласти рівняння дотичних до кола з центром у точці С(1;-2) і радіусом r=5, які паралельні до прямої 3х+4у+1=0.

Дано рівняння двох кіл: 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Скласти рівняння лінії центрів і рівняння прямої, що з’єднує точки перетину даних кіл.

Через точку А (2;4) провести дотичну до кола з центром у точці С(2;-3) і радіусом r=4.

Дано рівняння двох кіл: 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Скласти рівняння лінії центрів і рівняння прямої, що з’єднує точки перетину даних кіл.

Скласти рівняння кола, яке проходить через точку А(1;1) і дотикається до прямих х-3у+5=0 і 2х+у-1=0.

Скласти рівняння кіл, які дотикаються до прямих х-2=0 і х-6=0 і проходять через точку М(3;-3).

Скласти рівняння спільної хорди двох кіл: 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.




ЗАВДАННЯ № 12
Застосування координатного методу до розв’язування задач

Довести, що медіани трикутника перетинаються і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

Довести, що сума квадратів медіан трикутника дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 суми квадратів його сторін.

Довести, що коли у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.

Довести координатним методом, що середня лінія трикутника дорівнює половині довжини основи.

Довести, що середина гіпотенузи трикутника рівновіддалена від усіх його вершин.

Довести, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам і дорівнює їх піврізниці.

Довести, що для трикутника АВС і точки D, яка лежить між точками В і С, виконується рівність: 13 EMBED Equation.3 1415.

Медіана, проведена до основи рівнобедреного трикутника рівна 160 см., а основа 80 см. Знайти довжини двох інших медіан трикутника.

Довести теорему Піфагора.

Довести властивості середньої лінії трапеції.




ЗАВДАННЯ № 13
Еліпс

Знайти площу чотирикутника, дві вершини якого знаходяться в фокусах еліпса 13 EMBED Equation.3 1415, а дві інші – співпадають з кінцями його малої вісі.

Знайти площу чотирикутника, дві вершини якого знаходяться в фокусах еліпса 13 EMBED Equation.3 1415, а дві інші – співпадають з кінцями його малої вісі.

Ексцентриситет еліпса (=2/3, фокальний радіус точки М еліпса дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти відстань від точки М до відповідної цьому фокусу директриси.

Ексцентриситет еліпса (=2/5, відстань від точки М еліпса до директриси дорівнює 20. Знайти відстань від точки М до фокуса, відповідного даній директрисі.
Точка М(2; -5/3) знаходиться на еліпсі 13 EMBED Equation.3 1415. Скласти рівняння прямих, на яких лежать фокальні радіуси точки М.

Ексцентриситет еліпса (=1/3, центр його співпадає з початком координат, один з фокусів має координати (-2;0). Обчислити відстань від точки М еліпса з абсцисою, рівною 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, до директриси, відповідної даному фокусу.

Ексцентриситет еліпса (=1/2, центр його співпадає з початком координат, одна з директрис має рівняння x=16. Обчислити відстань від точки М еліпса з абсцисою, рівною 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, до фокуса, відповідного даній директрисі.

Через фокус еліпса 13 EMBED Equation.3 1415 проведено перпендикуляр до його більшої вісі. Знайти відстані від точок перетину цього перпендикуляра з еліпсом до фокусів.

Знайти ексцентриситет еліпса, якщо його малу вісь видно з фокусів під кутом 600.

Знайти ексцентриситет еліпса, якщо відстань між директрисами у три рази більша відстані між його фокусами.



ЗАВДАННЯ № 14
Гіпербола

Довести, що площа паралелограма, обмеженого асимптотами гіперболи 13 EMBED Equation.3 1415 і прямими, проведеними через будь-яку її точку, паралельно асимптотам, є величина стала і рівна ab/2.

Скласти рівняння гіперболи, відомі її ексцентриситет (=13/12, фокус F(0;13) і рівняння відповідної директриси 13 EMBED Equation.3 1415.

Дана точка M(10;13 EMBED Equation.3 1415) на гіперболі 13 EMBED Equation.3 1415. Скласти рівняння прямих, на яких лежать фокальні радіуси точки М.

Ексцентриситет гіперболи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, фокальний радіус її точки М, проведений з одного з фокусів, рівний 16. Знайти відстань від точки М до відповідної директриси.

Ексцентриситет гіперболи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, відстань від точки М гіперболи до директриси дорівнює 4. Знайти відстань від точки М до відповідного фокуса.

Знайти довжину відрізка асимптоти гіперболи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, обмеженого точками перетину асимптоти з директрисами.

Фокуси гіперболи співпадають з фокусами еліпса 13 EMBED Equation.3 1415. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет (=2.

Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать у вершинах еліпса 13 EMBED Equation.3 1415, а директриси проходять через фокуси цього еліпса.

Довести, що добуток відстаней від будь-якої точки гіперболи 13 EMBED Equation.3 1415 до двох її асимптот є величина стала і рівна 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити площу трикутника, утвореного асимптотами гіперболи 13 EMBED Equation.3 1415 і прямою 13 EMBED Equation.3 1415.



ЗАВДАННЯ № 15
Парабола

Скласти рівняння параболи, якщо відомо координати її фокуса F(4;3) і рівняння директриси х-5=0.

Скласти рівняння параболи, якщо відомо координати її фокуса F(4;3) і рівняння директриси у+1=0.

Скласти рівняння параболи, якщо відомо координати її фокуса F(2;-1) і рівняння директриси х-у-1=0.

Дано координати вершини параболи А(6;-3) і рівняння її директриси 3х-5у+1=0. Знайти координати фокуса параболи.

Дано координати вершини параболи А(-2;-1) і рівняння її директриси х+2у-1=0. Скласти рівняння параболи.

Скласти рівняння прямої, яка дотикається до параболи 13 EMBED Equation.3 1415 і паралельна до прямої 2х+2у-3=0.

Скласти рівняння прямої, яка дотикається до параболи 13 EMBED Equation.3 1415 і перпендикулярна до прямої 2х+4у+7=0.

Скласти рівняння дотичної до параболи 13 EMBED Equation.3 1415, проведеної з точки А(2;9).

З точки Р(-3;12) проведені дотичні до параболи 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти відстань від точки Р до хорди параболи, що з’єднує точки дотику.

Скласти рівняння дотичної до параболи 13 EMBED Equation.3 1415, яка паралельна до прямої 3х-2у+30=0. Знайти відстань між цією дотичною і даною прямою.



ЗАВДАННЯ № 16
Загальне рівняння лінії другого порядку

Знайти рівняння спряжених діаметрів кривої 13 EMBED Equation.3 1415, якщо один з них паралельний прямій 3х – у + 6 = 0.

Знайти довжину діаметра кривої 13 EMBED Equation.3 1415, спряженою з її діаметром у = 2х.

Скласти рівняння двох спряжених діаметрів кривої 13 EMBED Equation.3 1415, якщо один з них утворює такий кут 13 EMBED Equation.3 1415 з додатнім напрямом вісі ох, що 13 EMBED Equation.3 1415.

Скласти рівняння діаметра параболи 13 EMBED Equation.3 1415, що проходить через середину хорди гіперболи, яку відтинає пряма 13 EMBED Equation.3 1415.

Скласти рівняння двох спряжених діаметрів гіперболи 13 EMBED Equation.3 1415, один з яких проходить через точку А(8;1).

Довести, що лінія 13 EMBED Equation.3 1415 є центральною. Знайти координати центра.

Скласти рівняння асимптот кривої 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти напрями хорд, спряжених діаметру 2х+у-3=0 відносно лінії 13 EMBED Equation.3 1415.

Скласти рівняння спряжених діаметрів лінії 13 EMBED Equation.3 1415, якщо один з них паралельний вісі ординат.

Знайти асимптотичні напрями лінії 13 EMBED Equation.3 1415.





ЗАВДАННЯ № 17
Зведення загального рівняння лінії другого порядку до канонічного виду

У задачах 1 – 10 звести рівняння лінії другого порядку до канонічного виду та визначити її тип. Виконати схематичний малюнок лінії.

13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.




ЗАВДАННЯ № 18
Афінні перетворення

Записати формули косого стиску в координатах у довільному афінному репері.

Записати формули перетворення косої симетрії з віссю 2х+у-2=0 і напрямком, що визначається вектором 13 EMBED Equation.3 1415.

В ортонормованому репері записати формули зсуву з коефіцієнтом k і віссю х=0.

Записати формули афінного перетворення, яке точки А(2;1), В(-1;3), С(1;-1) переводить відповідно в точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Довести, що будь-які два паралелограми є афінно-еквівалентними.

Довести, що для будь-якої трапеції знайдеться їй афінно-еквівалентна рівнобічна трапеція.

Записати рівняння прямих, які є інваріантними відносно афінного перетворення, заданого формулами: 13 EMBED Equation.3 1415

Показати, що композиція двох косих симетрій з вісями, що перетинаються, є центроафінне перетворення.

Афінне перетворення ( задано парою відповідних реперів 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415. Для заданої точки М побудувати її образ ((М).

Афінне перетворення ( задано парою відповідних реперів 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415. Для заданої прямої m побудувати її образ ((m).



ЗАВДАННЯ № 19
Рухи

Знайти координати образа точки А(2;-1) при сковзній симетрії, заданій віссю 13 EMBED Equation.3 1415 і вектором 13 EMBED Equation.3 1415.

Написати рівняння образа прямої 13 EMBED Equation.3 1415 при сковзній симетрії, заданій віссю 13 EMBED Equation.3 1415 і вектором 13 EMBED Equation.3 1415.

Написати рівняння образа прямої 13 EMBED Equation.3 1415 при повороті навколо точки М(2;-1) на кут 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти координати образа точки А(2;2) при сковзній симетрії, заданій віссю 13 EMBED Equation.3 1415 і вектором 13 EMBED Equation.3 1415.

Написати рівняння образа прямої 13 EMBED Equation.3 1415 при сковзній симетрії, заданій віссю 13 EMBED Equation.3 1415 і вектором 13 EMBED Equation.3 1415.

Написати рівняння образа прямої 13 EMBED Equation.3 1415 при сковзній симетрії, заданій віссю 13 EMBED Equation.3 1415 і вектором 13 EMBED Equation.3 1415.

Написати рівняння образа прямої 13 EMBED Equation.3 1415 при повороті навколо точки М(2;0) на кут 13 EMBED Equation.3 1415.

Написати рівняння образа прямої 13 EMBED Equation.3 1415 при повороті навколо точки М(1;1) на кут 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти образ точки М(1;2) при осьовій симетрії відносно прямої 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти образ точки М(3;1) при осьовій симетрії відносно прямої 13 EMBED Equation.3 1415.






ЗАВДАННЯ № 20
Перетворення подібності

Довести, що якщо для трикутників АВС і 13 EMBED Equation.3 1415 виконуються рівності 13 EMBED Equation.3 1415, то вони подібні.

Написати формули перетворення подібності другого роду, при якому 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Довести, що якщо для трикутників АВС і 13 EMBED Equation.3 1415 виконуються рівності 13 EMBED Equation.3 1415, то вони подібні.

Медіани АК, ВN, CF трикутника АВС перетинаються в точці М. Довести, що гомотетія з центром у точці М і коефіцієнтом 13 EMBED Equation.3 1415 вершини А, В, С трикутника переводить відповідно в точки K, N, F.

Використовуючи гомотетію, довести, що медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

Довести, що якщо для трикутників АВС і 13 EMBED Equation.3 1415 виконуються рівності 13 EMBED Equation.3 1415, то вони подібні.

Медіани АК, ВN, CF трикутника АВС перетинаються в точці М. Довести, що гомотетія з центром у точці М і коефіцієнтом 13 EMBED Equation.3 1415 переводить сторони АВ, ВС і АС трикутника АВС в середні лінії KN, NF, KF відповідно.

Використовуючи гомотетію, довести, що висоти трикутника перетинаються в одній точці.

Використовуючи гомотетію, довести, що точка перетину медіан трикутника лежить між центром описаного кола та точкою перетину висот і ділить цей відрізок у відношенні 1:2.

Написати формули перетворення подібності першого роду, при якому 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.










13PAGE 15


13PAGE 142315




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 17943464
    Размер файла: 472 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий