Geometricheskie_preobrazovania


Задание 1.
Постройте точки, симметричные точкам А(3;-2), B(4;0), C(0;-6) относительно:
а) оси ОХ;б) оси ОУ;в) биссектрисы II и IV координатных углов.
Укажите координаты построенных точек.
Решение.
Две точки M1 и M2 называются симметричными относительно прямой, если отрезок M1M2 перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой.
Для того, чтобы построить точку, симметричную точке А относительно прямой ОХ, проведём из точки А прямую АН, перпендикулярную прямой ОХ. Прямая ОХ делит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых находится точка А. В полуплоскости, не содержащей точку А на прямой АН отложим отрезок НА1=АН. А1 и будет искомая точка.
По аналогии строим точку А2, симметричную точке А относительно прямой ОУ, и точку А3, симметричную точке А относительно прямой (биссектрисы II и IV координатных углов).
Точка А1, симметричная точке A(3, -2) относительно оси OХ, имеет абсциссу такую же, как и точка A, а ординату, равную по абсолютной величине ординате точки A, но противоположную ей по знаку. Значит, точка А1 имеет координаты 3 и 2: А1(3, 2).
Точка А2, симметричная точке A(3, -2) относительно оси OУ, будет иметь ординату такую же, как и точка A, а абсцисса точки А2 будет по абсолютной величине равна абсциссе точки A, но противоположна ей по знаку. Значит, точка А2 имеет координаты -3 и -2: А2 (-3, -2).
Точка А3, симметричная точке A(3, -2) относительно оси , будет иметь ординату и абсциссу, равные по модулю соответственно абсциссе и ординате точки А и взятые с противоположными знаками. Значит, точка А3 имеет координаты 2 и -3: А3 (2, -3).
Результаты построения изображены на рисунке а).
Аналогичным образом строим точки, симметричные точкам B(4;0) и C(0;-6). Результаты изображены на рисунках б) и в) соответственно.
Координаты симметричных точек будут следующими:
B1(4, 0) – совпадает с точкой В; B2(-4, 0); B3(0, -4) ;
С1(0, 6); С2(0, -6) – совпадает с точкой С; С3(0, -4).

Рис. a)

Рис. б)Рис. в)
Ответ: А1(3, 2); А2(-3, -2); А3(2, -3); B1(4, 0); B2(-4, 0); B3(0, -4);
С1(0, 6); С2(0, -6); С3(0, -4).
Задание 2.
Дан АВС. Точка D – середина стороны ВС. Постройте точку А1, симметричную точке А относительно точки D. Рассмотреть случаи:
а) В – острый;б) В – тупой;в) В – прямой.
Решение.
Две точки M1 и M2 называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка M1M2.
Для того, чтобы построить точку А1, симметричную точке А относительно точки D, проведём прямую AD и отметим на ней точку А1 так, чтобы D была серединой отрезка AA1.
Результаты построения для случаев а), б) и в) изображены на рисунках:

Рис. а) В – острыйРис. б) В – тупой Рис в) В - прямой Задание 3.
Известно, что образом точки Х при параллельном переносе, который отображает точку О(0;0) в точку М(3;0), является точка Х1(-5;4). Определите координаты Х.
Решение.
Параллельный перенос ― преобразование пространства, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М1, что выполняется векторное равенство .
Определим координаты вектора параллельного переноса, который отображает точку О(0;0) в точку М(3;0):

290131535242500Путь точка X имеет координаты (x,y). По определению параллельного переноса на вектор получаем: , следовательно,
.
Получили координаты точки Х.
Ответ: Х(-8;4).
Задание 4.
Нарисуйте произвольный треугольник АВС, постройте его образ при повороте вокруг точки А на 180°.
а) Заштрихуйте объединение полученных фигур.
б) Будет ли заштрихованная фигура центрально симметричной?
в) Имеет ли заштрихованная фигура ось симметрии?
Решение.
Поворотом плоскости около данной точки O на заданный ориентированный угол величины α называется преобразование плоскости, которое точку O отображает на себя, а всякую другую точку M отображает на такую точку M1, что OM1 = OM и ориентированный угол MOM1 имеет величину α. Точка O называется центром поворота, а величина α — углом поворота.
Для построения образа треугольника АВС при повороте вокруг точки А на 180° продлим прямые АС и АВ и отложим на них соответственно отрезки АС1=АС и АВ1=АВ. Тогда точка С1 является образом точки С, точка В1 – образом точки В, ведь , так как СС1 и ВВ1 – прямые. Точка А1 совпадает с точкой А, так как А является центром поворота. В результате построения получим два равных треугольника. Результат построения изображен на рисунке.
Заштрихуем объединение полученных фигур.

б) Фигура называется симметричной относительно точки М, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки М также принадлежит этой фигуре. Точка М называется центром симметрии фигуры.
Заштрихованная фигура является центрально симметричной с центром симметрии в точке А.
в) в общем случае заштрихованная фигура не имеет оси симметрии. В случае если треугольник АВС является равнобедренным, осями симметрии фигуры, состоящей из объединения этого треугольника и его образа при повороте на 180°, будут являться следующие прямые: биссектриса угла и биссектриса угла .
Ответ: б) является центрально симметричной с центром симметрии в точке А;
в) в общем случае не имеет осевой симметрии.Задание 5.
Сколько осей симметрии имеют: квадрат, прямоугольник, окружность, угол, прямая, отрезок, луч?
Решение.
Квадрат имеет 4 оси симметрии – это диагонали и прямые, соединяющие середины параллельных сторон (серединные перпендикуляры к сторонам). См. рис. а).

Рис. а) Рис. б) Рис. в)Рис. г)
Прямоугольник имеет 2 оси симметрии – прямые, соединяющие середины параллельных сторон. См. рис б).
Окружность имеет бесконечно много осей симметрии, так как любая прямая, проходящая через цент окружности, является осью симметрии окружности. См. рис в).
Угол имеет одну ось симметрии – это биссектриса этого угла. См. рис г).
Прямая имеет бесконечно много осей симметрии. Осью симметрии является любая прямая, перпендикулярная заданной прямой. См. рис д).

Рис. д)Рис. е)Рис. ж)
Отрезок имеет одну ось симметрии – это серединный перпендикуляр, проведенный к этому отрезку. См. рис е).
Луч не имеет осей симметрии, так как с одной стороны он бесконечен, а с другой – конечен. См. рис ж).
Ответ: Квадрат – 4;прямоугольник – 2;окружность и прямая – бесконечно много; угол и отрезок – 1;луч - 0.
Задание 6.
Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте вокруг вершины С на угол 60°. Рассмотрите 3 случая:
a) A=B=C=60° ;б) С<60° ; в) С – тупой.
Решение.
Поворот на угол вокруг точки является разновидностью движения, значит, отрезок переводит в отрезок, сохраняет углы между отрезками, и соответственно переводит треугольник в треугольник.
При повороте на угол вокруг вершины С, вершина С переходит сама в себя, т.е. С1=С.
Для того, чтобы получить точку А1, в которую переходит точка А, построим прямую СА1 так, что и отложим на ней отрезок СА1=СА.
Для того, чтобы получить точку В1, в которую переходит точка В, построим прямую СВ1 так, что и отложим на ней отрезок СВ1=СВ. Соединив полученные точки А1, В1 и С1, получим треугольник, в который переходит треугольник АВС при повороте вокруг точки С на 60°.
Результаты построения для случаев а), б) и в) изображены на рисунках.

Рис. а) Рис. б) Рис. в)
Задание 7.
Даны две окружности. Поворотом на 45° одна окружность отображается на другую. Постройте центр поворота. Рассмотрите следующие случаи: а) окружности не имеют общих точек; б) окружности касаются; в) окружности пересекаются.
Решение.
Для того чтобы найти центр поворота, соединим центры заданных окружностей отрезком О1О2.
Построим к нему серединный перпендикуляр. Центр симметрии М принадлежит этому серединному перпендикуляру. Угол О1МО2 равен 45°, сумма углов треугольника О1МО2 равна 180°, треугольник О1МО2 является равнобедренным, поэтому углы при основании
() равны между собой, а значит каждый з них равен (180°-45°)/2=67,5°. От отрезка О1О2 из точки О1 отложим угол, равный 67,5°. Точка пересечения стороны угла с серединным перпендикуляром к О1О2 будет искомая точка М.
Результаты построения для случаев а), б) и в) изображены на рисунке.

Рис. а) Рис. б)Рис. в)
Задание 8.
Докажите, что гомотетия с коэффициентом k=-1 является центральной симметрией.
Решение.
Гомотетией c центром O и коэффициентом k () называют преобразование плоскости (или пространства), переводящее точку X в точку , обладающую тем свойством, что . Гомотетию с центром O и коэффициентом k обозначают через .
Покажем, что гомотетия с коэффициентом k=-1 является центральной симметрией.
Пусть точка М - центром гомотетии и пусть произвольная точка А переходит в точку А1.
Тогда по определению гомотетии , т.е. векторы и являются равными по модулю, параллельными и противоположно направленными. Так как точка М является началом как вектора , так и вектора , значит, эти два вектора лежат на одной прямой (иначе, точка М принадлежала бы сразу двум параллельным прямым, что невозможно, так как параллельные прямые не имеют точек пересечения). Следовательно, точка М является серединой отрезка АА1, а значит, точка А1 симметрична точке А относительно точки М. В силу того, что точка А бралась произвольно, доказательство верно для любой точки пространства, а следовательно, гомотетия с коэффициентом k=-1 является центральной симметрией.
Что и требовалось доказать.
Задание 8а.
Точка О совпадает с серединой стороны АВ треугольника АВС. Постройте треугольник , если:
а) k=-3; б) k=3;в) k=1/3;г) k=1;д) k=-1.
Решение.
а) Чтобы построить треугольник , который получается из треугольника АВС при гомотетии с коэффициентом k=-3 необходимо продолжить прямую АВ в обе стороны и отложить на луче ОВ отрезок ОА1=3*ОА, а на луче ОА - отрезок ОВ1=3*ОВ. Для того чтобы получить точку С1, продлим луч СО и отложим на нём отрезок ОС1=3*ОС так, чтобы точка О лежала между точками С и С1. Соединив построенные таким образом точки А1, В1 и С1, получим искомый треугольник А1В1С1.
б) Чтобы построить треугольник , который получается из треугольника АВС при гомотетии с коэффициентом k=3 необходимо продолжить прямую АВ в обе стороны и отложить на луче ОА отрезок ОА2=3*ОА, а на луче ОВ - отрезок ОВ2=3*ОВ. Для того чтобы получить точку С2, продлим луч ОС и отложим на нём отрезок ОС2=3*ОС так, чтобы точка С лежала между точками О и С2. Соединив построенные таким образом точки А2, В2 и С2, получим искомый треугольник А2В2С2.
в) Чтобы построить треугольник , который получается из треугольника АВС при гомотетии с коэффициентом k=1/3 необходимо продолжить прямую АВ в обе стороны и отложить на луче ОА отрезок ОА2=ОА/3, а на луче ОВ - отрезок ОВ2=ОВ/3. Для того чтобы получить точку С3, продлим луч ОС и отложим на нём отрезок ОС3=ОС/3. Точка С3 будет лежать между точками О и С. Соединив построенные таким образом точки А3, В3 и С3, получим искомый треугольник А3В3С3.
г) Гомотетия с коэффициентом k=1 – есть тождественное преобразование плоскости, поэтому треугольник АВС переходит сам в себя (на рисунке это ).
д) При гомотетии с коэффициентом k=-1 получаем треугольник, симметричный относительно точки O (на рисунке это ).

Задание 9.
Начертите квадрат и постройте его образ при гомотетии относительно точки пересечения диагоналей с коэффициентом:
а) k=-2;б) k=3.
Решение.
Построим квадрат АВСD и обозначим О – точку пересечения диагоналей.
При гомотетии относительно точки О мы получим опять же квадраты, диагонали которых также будут пересекаться в точке О.
a) Чтобы построить квадрат A2B2C2D2, который получается из квадрата ABCD в результате гомотетии с коэффициентом k=-2 относительно точки О, продлим прямые АС и BD в обе стороны.
На прямой АС отложим точки А2 и С2 так, что ОА2=2*ОА и точка О лежит между А и А2; ОС2=2*ОС и точка О лежит между С и С2.
На прямой BD отложим точки B2 и D2 так, что ОB2=2*ОB и точка О лежит между B и B2; ОD2=2*ОD и точка О лежит между D и D2.

б) Чтобы построить квадрат A3B3C3D3, который получается из квадрата ABCD в результате гомотетии с коэффициентом k=3 относительно точки О, продлим прямые АС и BD в обе стороны.
На прямой АС отложим точки А3 и С3 так, что ОА3=3*ОА и точка A лежит между O и А3; ОС3=3*ОС и точка C лежит между O и С3.
На прямой BD отложим точки B3 и D3 так, что ОB3=3*ОB и точка B лежит между P и B3; ОD3=3*ОD и точка D лежит между O и D2.
Результаты построения изображены на рисунке.
Задание 10.Дан ромб АBCD. Постройте его образ при следующей композиции преобразований:

Решение.
Для того, чтобы выполнить заданную композицию преобразований, необходимо сначала выполнить преобразование гомотетии с коэффициентом 1.5 относительно точки С, затем полученную фигуру симметрично отобразить относительно точки В, а затем повернуть полученную после второго преобразования фигуру на 30° вокруг точки А.
Продлим луч СВ и на нем отложим точку В1 так, чтобы СВ1=1.5*СВ, точка В лежит между точками В1 и С. Аналогично строим точки А1 и В1. Точка С1 совпадает с точкой С, так как С является центром гомотетии.
В результате гомотетии ромб переходит в ромб А1B1C1D1, стороны которого больше соответствующих сторон в 1.5 раза, углы полученного ромба равны соответствующим углам исходного ромба, точка С переходит сама в себя. (Рис. 1).

Рис. 1Рис. 2
Для того, чтобы построить ромб A2B2C2D2, симметричный ромбу А1B1C1D1 относительно точки В, проведём прямые ВА1, BC1, BD1 и BB1 и отложим на них соответственно точки А2, С2, D2 и В2 так чтобы B была серединой отрезков А1А2, С1С2, D1D2 и В1В2, т.е.
А1B=BA2, С1B=BC2, D1B=BD2 и В1В=BB2. (Рис. 2).
Для того, чтобы построить ромб A3B3C3D3, полученный поворотом ромба А2B2C2D2 вокруг точки А на 30°, проведём лучи АА2, АC2, АD2 и АB2 и отложим от каждого из полученных лучей угол 30° против часовой стрелки. Получим лучи АА3, АC3, АD3 и АB3, отметив соответствующие точки А3, C3, D3 и B3 так, чтобы АА2=АA3, АС2=АC3, АD2=АD3 и АВ2=АB3. (Рис. 3).

Рис.3
Задание 11.
Точки А(-4;-1), В(0;-3), С(3;4) – вершины треугольника.
а) Постройте ;
б) Постройте ;
в) Правда ли, что ?
Решение.
а) Выполним композицию преобразований .
Сначала построим треугольник А1В1С1, центрально симметричный треугольнику АВС относительно прямой ОХ.
При симметрии относительно прямой ОХ каждая точка М(х,у) переходит в точку М1(х,-у).
Значит вершины треугольника А1В1С1, полученного в результате преобразования , будут иметь координаты А1(-4;1), В1(0;3), С1(3;-4). (Рис.1)

Рис. 1Рис. 2
Теперь построим треугольник А2В2С2, центрально симметричный треугольнику А1В1С1 относительно прямой ОУ.
При симметрии относительно прямой ОУ каждая точка М(х,у) переходит в точку М1(-х,у).
Значит вершины треугольника А2В2С2, полученного в результате преобразования , будут иметь координаты А2(4;1), В2(0;3), С2(-3;-4). (Рис.2)
б) Выполним композицию преобразований .
Сначала построим треугольник А1В1С1, центрально симметричный треугольнику АВС относительно прямой ОУ.
Вершины треугольника А3В3С3, полученного в результате преобразования , будут иметь координаты А3(4;-1), В3(0;-3), С3(-3;4). (Рис.3)

Рис. 3Рис. 4
Теперь построим треугольник А4В4С4, центрально симметричный треугольнику А3В3С3 относительно прямой ОХ.
Вершины треугольника А4В4С4, полученного в результате преобразования , будут иметь координаты А4(4;1), В4(0;3), С4(-3;-4). (Рис.4)
в) Действительно, . Покажем это с помощью координатных формул:
При симметрии относительно прямой ОХ каждая точка М(х,у) переходит в точку М1(х,-у).
При симметрии относительно прямой ОУ каждая точка М(х,у) переходит в точку М2(-х,у).
Возьмем точку M(a, b).
Тогда

Следовательно, .
Ответ: в) правда.
Задание 12.
Точка А1 является образом точки А при гомотетии с центром О и коэффициентом k.
а) Каким будет взаимное расположение точек А, А1 и О, если k<0?
б) Каким будет взаимное расположение точек А, А1 и О, если k>0?
Решение.
а) При k<0 точка О будет лежать между точками А1 и А (так как векторы и будут противоположно направленными).
б) При k>0 возможны три случая.
1) При k=1 точки А1 и А совпадают.
2) При k<1 точка А1 находится между точками O и А.
3) При k>1 точка А находится между точками О и А1.
Задание 13.
Даны точки А и А1, про которые известно, что точка А – образ точки А1 при гомотетии с коэффициентом k относительно некоторого центра М.
Постройте центр гомотетии, если
а) k=3;б) k=-4;в) k=1;г) k=-1;д) k=2/3;е) k=-0,5.
Решение.
Центр гомотетии всегда лежит на прямой, которая проходит через точки А1 и А.
Проведём прямую АА1.
а) Чтобы найти центр гомотетии при k=3, найдём середину отрезка АА1, обозначим её В и на луче АА1 отложим точку М так, чтобы А1В=А1М и А1 лежала между В и М. Тогда векторы и будут одинаково направленными и ,т.е. . (Рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2Рис. 3
б) Чтобы найти центр гомотетии при k=-4, необходимо отметить точку М на отрезке АА1 так, чтобы МА=1/5*АА1. Тогда векторы и будут противоположно направленными и , т.е. . (Рис. 2).
в) В случае если точка А1 не совпадает с точкой А, не существует гомотетии с коэффициентом k=1, в результате которой одна точка отображается в другую. В случае, если эти две точки совпадают, центром гомотетии может являться любая точка, принадлежащая прямой АА1.
г) Если k=-1, то А симметрична А1 относительно точки М, значит, точка М – середина отрезка АА1. (Рис. 3).
д) Чтобы найти центр гомотетии при k=2/3, необходимо отметить точку М на луче А1А так, чтобы МА=2*АА1. Тогда векторы и будут одинаково направленными и , т.е. . (Рис. 4).

Рис. 4Рис. 5
е) Чтобы найти центр гомотетии при k=-0.5, необходимо отметить точку М на отрезке А1А так, чтобы МА=1/3*АА1. Тогда векторы и будут противоположно направленными и , т.е. . (Рис. 5).
Задание 14.
Нарисуйте отрезок АВ, отметьте точку О. Постройте отрезки А1В1 и А2В2, если:
а) А1В1=Н(АВ);
б) А2В2=Н(АВ);
в) А3В3=Н(АВ);
г) А4В4=Н(АВ).
Условие неточное или неполное.
Задание 15. Совпадает с заданием 7.
Задание 16.
Дан треугольник АВС. Постройте:
а) ;
б) ;
Решение.
а) Проведём лучи ОА, ОВ и ОС и отметим на них соответственно точки А1, В1 и С1 так, чтобы
ОА1=2*ОА; ОВ1=2*ОВ; ОС1=2*ОС. Получим искомый . (Рис. 1).

Рис. 1
б) Проведём лучи ОА, ОВ и ОС. Отложим от каждого из полученных лучей угол 45° против часовой стрелки. Получим лучи ОА2, ОВ2 и ОС2. Отметим на полученных лучах соответствующие точки А2, В2 и С2 так, чтобы ОА2=ОA, ОВ2=ОВ и ОС2=ОС. Получим искомый . (Рис. 2).

Рис. 2
Задание 17.
Докажите методом математической индукции, что справедливо равенство:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Решение.
Метод математической индукции состоит в следующем:
Утверждение P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:
Установлено, что P(1) является истинным утверждением (база индукции);
Для любого n доказано, что если верно P(n), то верно P(n + 1) (индукционный переход).
1)
Покажем, что при n=1 равенство справедливо:
- верно.
Предполагаем, что при n=k равенство справедливо, т.е.

Покажем, что тогда равенство справедливо и при n=k+1.

Упростим отдельно левую и правую стороны равенства, а затем сравним полученные выражения:

Т.е. равенство справедливо и для n=k+1.
Что и требовалось доказать.
2)
Покажем, что при n=1 равенство справедливо:
- верно.
Предполагаем, что при n=k равенство справедливо, т.е.

Покажем, что тогда равенство справедливо и при n=k+1.

Упростим левую сторону равенства, а затем сравним полученное выражение с правой стороной:

Т.е. равенство справедливо и для n=k+1.
Ч.т.д.
3)
Покажем, что при n=1 равенство справедливо:
- верно.
Предполагаем, что при n=k равенство справедливо, т.е.

Покажем, что тогда равенство справедливо и при n=k+1.

Упростим отдельно левую и правую стороны равенства, а затем сравним полученные выражения:

Т.е. равенство справедливо и для n=k+1. Ч.т.д.
4)
Покажем, что при n=1 равенство справедливо:
- верно.
Предполагаем, что при n=k равенство справедливо, т.е.

Покажем, что тогда равенство справедливо и при n=k+1.

Упростим отдельно левую и правую стороны равенства, а затем сравним полученные выражения:

Т.е. равенство справедливо и для n=k+1.
Ч.т.д.
5)
Покажем, что при n=1 равенство справедливо:
- верно.
Предполагаем, что при n=k равенство справедливо, т.е.

Покажем, что тогда равенство справедливо и при n=k+1.

Упростим отдельно левую и правую стороны равенства, а затем сравним полученные выражения:

Т.е. равенство справедливо и для n=k+1.
Ч.т.д.
6)
Покажем, что при n=1 равенство справедливо:
- верно.
Предполагаем, что при n=k равенство справедливо, т.е.

Покажем, что тогда равенство справедливо и при n=k+1.

Упростим отдельно левую и правую стороны равенства, а затем сравним полученные выражения:


Т.е. равенство справедливо и для n=k+1.
Ч.т.д.

Приложенные файлы

  • docx 17855001
    Размер файла: 575 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий