2.Metod._ukaz._i_kontr._zadanija

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ЗАОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет механизации и технического сервиса

Кафедра высшей математики



МАТЕМАТИКА




МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ И ЗАДАНИЯ
ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ


Студентам 1 курса по направлениям подготовки бакалавров

110100 – «Агрохимия и агропочвоведение»
Профиль – «Агрохимия и агропочвоведение»
110400 – «Агрономия»
Профили – «Агрономия»;
«Защита растений»
110500 – «Садоводство»
Профили – «Плодоовощеводство и виноградорство»;
«Декоративное садоводство и ландшафтный дизайн»
111100 – «Зоотехния
020400 – «Биология»









Москва 2011
Составители: доценты Лычкин В.Н., Капитонова В.А.

УДК 517. (076)

Математика: Методические указания по изучению дисциплины/ Рос. гос. аграр. заоч. ун-т; Сост. Лычкин В.Н., Капитонова В.А. М., 2011. стр.

Предназначены для студентов 1, 1* курсов

Утверждены методической комиссией факультета механизации и технического сервиса

Рецензенты:































Раздел 1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина «Математика» относится к базовой (обязательной) части второго цикла ООП. Методические указания по данной дисциплине составлены в соответствии с требованиями Федерального Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) третьего поколения по направлению «Агрономия», утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 22 декабря 2009 г. № 811, примерной программой по дисциплине и рабочими учебными планами, утвержденными ученым советом ФГОУ ВПО РГАЗУ 26 января 2011 г.


1. Цели и задачи дисциплины

Целью математического образования является развитие навыков математического мышления; навыков использования математических методов и основ математического моделирования; математической культуры у обучающегося.
Ему необходимо в достаточной степени владеть как классическими , так и современными математическими методами анализа задач, возникающих в его практической деятельности, использовать возможности вычислительной техники, уметь выбирать наиболее подходящие комбинации известных методов, знать их сравнительные характеристики.
Для выработки у современных специалистов с высшим образованием необходимой математической культуры необходимо решение следующих задач:
1.Обеспечение высокого уровня фундаментальной математической подготовки студентов.
2. Выработки у студентов умения проводить логический и качественный анализ социально-экономических задач управления на основе построения математических моделей на базе различных средств информационного обеспечения.
3. Умение использовать методы современной математики, необходимые для работы по выбранной специальности.
4. Умение специалиста самостоятельно продолжить свое математическое образование.
В результате изучения дисциплины студент должен:
1) обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
- умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
2) обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
- способностью к использованию основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применением методов математического анализа и моделирования (ПК-1);
- способностью решать инженерные задачи с использованием основных законов механики, электротехники, гидравлики, термодинамики (ПК-3);
- способностью проводить и оценивать результаты измерений (ПК-5);
- готовностью к обработке результатов экспериментальных исследований.
В результате изучения дисциплины студент должен:
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные понятия и методы аналитической геометрии, математического анализа, , дискретной математики, теории вероятностей и теории математической статистики, статистических методов обработки экспериментальных данных.
Уметь: использовать математический аппарат для обработки технической и экономической информации и анализа данных, связанных с агрономией.
Владеть: методами построения математических моделей типовых профессиональных задач.

2. Библиографический список

Основной
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2002.
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, любое издание.
4. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, любое издание.

Дополнительный
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 1, 2. – М.: Высшая школа, 1996.
6. Лычкин В.Н. Высшая математика для агрономов и зооинженеров. Учебное пособие. М.: РГАЗУ, 2008.
7. Лычкин В.Н. Высшая математика в задачах. Учебное пособие.
М.: РГАЗУ, 2009.
8. Лычкин В.Н. Высшая математика. Учебное пособие. М.: РГАЗУ,
2011.





3. Распределение учебного времени по модулям (разделам)
и темам дисциплины
Таблица 1


п.п.
Наименование модулей и тем
дисциплины
Всего, ч
В том числе, ч
Рекомендуемая литература




Лекции
Практические занятия
Самостоятельная
работа


1
2
3
4
5
6
7

Модуль 1. Элементы аналитической геометрии
15(15)
-(-)
-(-)
15(15)
3,7,8

1.
Т е м а 1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве






Модуль 2. Введение в математический анализ
15(15)
-(-)
-(-)
15(15)
4,7,8

1.
Т е м а 1. Введение в математический анализ..






Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
17(17)
2(2)
2(-)
13(15)
4,7,8

1
Т е м а 1. Производная и дифференциал..






Модуль 4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
24(22)
2(-)
2(2)
20(20)
4,7,8

1
Т е м а 1. Приложения производной.






Модуль 5. Неопределенный интеграл.
24(24)
2(2)
2(2)
20(20)
4,7,8

1
Т е м а 1. Неопределенный интеграл.






Модуль 6. Определенный интеграл.
22(20)
-(-)
2(-)
20(20)
4,7,8

1
Т е м а 1. Определенный интеграл






Модуль 7. Функции многих независимых переменных.
20(22)
-(-)
-(-)
20(22)
4,7,8

1
Тема 1. Функции многих независимых переменных.






Модуль 8. Дифференциальные уравнения.
19(21)
2(2)
2(2)
15(17)
4,7,8

1
Тема 1. Дифференциальные уравнения.






Модуль 9. Теория вероятностей.
24(24)
2(-)
2(2)
20(22)
1,2,7,
8

1
Тема 1. Теория вероятностей.






Итого
180
10(16)
12(18)
158(166)



Примечание: в скобках указаны часы для студентов с сокращенным сроком обучения.





Раздел 2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНЫХ МОДУЛЕЙ ДИСЦИПЛИНЫ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ИЗУЧЕНИЮ

2. 1. Модуль 1. Элементы аналитической геометрии
2. 1. 1. Содержание модуля.
Те м а 1. 1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве.
Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Пространства R2 и R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения. Условие коллинеарности двух векторов.
Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

2. 1. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примера 1.
Пример 1. Даны вершины треугольника АВС: А(
·4; 8), В(5;
·4),
С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты CD и ее длину; 4) уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром.
Решение. 1). Расстояние d между точками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, получаем
АВ = 13 EMBED Equation.3 1415 .
2). Уравнение прямой, проходящей через точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 .

3). Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку 13 EMBED Equation.3 1415 в заданном угловым коэффициентом к направлении, имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Подставим в эту формулу координаты точки С и 13 EMBED Equation.3 1415 , получим уравнение высоты CD:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Расстояние d от точки М1(х1; у1) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415.
4). Уравнение окружности радиуса R c центром в точке Е(a; b) имеет следующий вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как CD является диаметром окружности, то ее центр точка Е есть середина отрезка CD.
Найдем координаты точки D как точки пересечения прямых АВ и CD, решив систему уравнений прямых АВ и CD:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Отсюда находим х = 2 ; у = 0, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
По формулам деления отрезка пополам получаем:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.

Следовательно, центр окружности есть точка Е (6; 3) и 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда искомое уравнение окружности ( рис. 1) имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.


Рис. 1


2. 1. 3. Вопросы для самоконтроля.
Что называется прямоугольной системой координат на плоскости?
Чему равны ординаты точек, лежащих на оси Ох ?
Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси Оу ?
Напишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости.
Напишите формулы для вычисления координат точки, делящей отрезок в данном отношении.
Напишите формулы для определения координат точки, делящей отрезок пополам.
Что называется уравнением линии на плоскости?
Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Что называется угловым коэффициентом прямой, каков его геометрический смысл?
Чему равен угловой коэффициент прямой, параллельной оси Ох ?
Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми.
Сформулируйте условие параллельности двух прямых.
Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых.
Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Напишите общее уравнение прямой.
Как найти угловой коэффициент прямой, если дано ее общее уравнение?
Как найти координаты точек пересечения двух прямых, если даны их уравнения?
Какие линии называются кривыми второго порядка?
Напишите уравнение окружности с центром в данной точке.
Напишите уравнение окружности с центром в начале координат.
Что называется эллипсом? Напишите каноническое уравнение эллипса.
Что называется эксцентриситетом эллипса?
Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.
Что называется эксцентриситетом гиперболы?
Что называется асимптотой гиперболы? Напишите уравнения асимптот гиперболы.
Что называется параболой? Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох; относительно оси Оу.
Какой вектор называется вектором нормали к плоскости?
Напишите уравнение плоскости, определяемой точкой, лежащей на ней, и вектором нормали.
Напишите общее уравнение плоскости.
Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.
Что называется направляющим вектором прямой в пространстве?
Напишите канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.

2. 1. 4. Задания для самостоятельной работы
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 3) и
составляющей с осью Ох угол 45
·.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(4; 3) и
В(16; -6).
3. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(-3; 0), В(2; 5), С(3; 2).
4.Дан вектор AB = 3i – 2j + k. Определить координаты точки В, если
А(–2; 1; 0).
5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
Мо (2; 3; -1) параллельно плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 2. Модуль 2. Введение в математический анализ.
2. 2. 1. Содержание модуля.
Т е м а 1. Введение в математический анализ.
Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции.
Числовая последовательность и ее предел.Предел функции в точке и в бесконечности. Первый и второй замечательные пределы. Свойства пределов функции. Бесконечно малые величины. Их свойства. Сравнение бесконечно малых.

2. 2. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примера 2.

Пример 2. Вычислить пределы: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415; д)13 EMBED Equation.3 1415;
е) 13 EMBED Equation.3 1415 ; ж) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: а) При вычислении пределов удобно пользоваться следующим их свойством: если функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна при 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим предельное значение х = 2:
13 EMBED Equation.3 1415.

б) Знаменатель дроби есть величина бесконечно большая при 13 EMBED Equation.3 1415, числитель – функция ограниченная, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415 = 0.
в) При х = –3 числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, обращаются в нуль, то есть имеем неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415. Для ее устранения разложим числитель и знаменатель дроби на произведение линейных множителей и сократим дробь:
13 EMBED Equation.3 1415.

г) При стремлении х к бесконечности получаем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415 .Для устранения подобной неопределенности дробной рациональной функции следует числитель и знаменатель дроби разделить на хn , где n – наивысшая степень многочленов числителя и знаменателя дроби.
Деля числитель и знаменатель данной дроби на х3 и применяя теоре-
мы о пределах и свойства бесконечно малых функций, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
д) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415и преобразуем полученную дробь:

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 =
= 13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415.
е) Умножим числитель и знаменатель дроби на 2 и применим формулу 13 EMBED Equation.3 1415 (следствие из формулы первого замечательного предела)
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 213 EMBED Equation.3 1415 = 2· 1 = 2.
ж) Доказано, что переменная величина 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 имеет конечный предел, равный иррациональному числу 2,718281, обозначаемому буквой е, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Эту формулу называют формулой второго замечательного предела.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, применим известные свойства степеней и формулу второго замечательного предела:
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 = =13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = е4·1 = е4.

2. 2. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Какая величина называется постоянной? переменной?
2. Что называется функцией одной независимой переменной?
3. Что называется областью существования (определения) функции?
4. Назовите способы задания функции.
5. Какая функция называется явной? неявной?
6. Какая функция называется возрастающей? убывающей?
7. Какая функция называется четной? нечетной?
8. Какая функция называется периодической?
9. Какая функция называется элементарной?
10. Какие функции называются основными элементарными функциями?
11. Какая функция называется сложной?
12. Что называется интервалом знакопостоянства функции?
13. Какие функции называются взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику данной функции в системе декартовых координат?
14. Что называется числовой последовательностью?
15. Что называется пределом числовой последовательности?
16. Сформулируйте определение предела функции.
17. Сформулируйте теоремы о пределах функций.
18. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой? Какова зависимость между ними?
19. Перечислите свойства бесконечно малых функций.
20. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.
21. Какие логарифмы называются натуральными?
22. Сформулируйте определения односторонних пределов функции в точке.
23. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?
24. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?
25. Перечислите свойства непрерывных на отрезке функций.

2. 2. 4. Задания для самостоятельной работы
В задачах 1 – 6 вычислить пределы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 . 2. 13 EMBED Equation.3 1415 . 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415.


2. 3. Модуль 3. Введение в математический анализ.
2. 3. 1. Содержание модуля.
Т е м а 1. Введение в математический анализ.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции. Производные высших порядков.
Дифференциал функции, его геометрический смысл. Дифференцирование
функций, заданных параметрически. Правило Лопиталя.

2. 3. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примеров 3 – 5.
Для справок приведем правила и формулы дифференцирования основных элементарных функций.
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415. С – const. 4. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Если 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15. 19. 13 EMBED Equation.3 1415.
Если u= х, то u = 1.

Пример 3. Найти производные данных функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415 ; д) 13 EMBED Equation.3 1415 .
Решение. а) Применяя табличные формулы (1), (7), (9), имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) По формуле (7) получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
г) Применяем табличные формулы, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415.
д) Дифференцируем функцию как частное:
13 EMBED Equation.3 1415
= 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4. На параболе у = х2 – х +4 найти точку, в которой касательная к кривой наклонена к оси Ох под углом 45
·.
Решение. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – абсцисса точки касания. Исходя из геометрического смысла производной имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 Значит, точка 13 EMBED Equation.3 1415 – искомая.
Пример 5. Найти значение дифференциала функции 13 EMBED Equation.3 1415 при
х = 9,
·х = – 0,01 .
Решение. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (приращение) аргумента, то есть
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда искомое значение дифференциала равно 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 3. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется производной функции?
2. Каков геометрический, физический смысл производной?
3. Какая функция называется дифференцируемой в точке? на интервале?
4. Как взаимосвязаны непрерывность и дифференцируемость функции в точке?
5. Напишите правила дифференцирования функций.
6. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.
7. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.
8. Сформулируйте определение дифференциала функции.
9. Перечислите свойства дифференциала функции.
10. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

2. 3. 4. Задания для самостоятельной работы
В задачах 1 – 3 найти производные указанных функций.
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Найти дифференциал функции 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Вычислить предел 13 EMBED Equation.3 1415, используя правило Лопиталя.


2. 4. Модуль 4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
2. 4. 1. Содержание модуля.
Т е м а 1. Приложения производной.
Условия монотонности функций. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Уравнение касательной к кривой в данной точке.
2. 4. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примеров 6, 7.

Пример 6. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Уравнение касательной к кривой 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Нормаль (прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной) определяется уравнением 13 EMBED Equation.3 1415. (2)
Определим ординату 13 EMBED Equation.3 1415 точки касания:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем значение производной функции в точке касания:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле (1) находим уравнение касательной:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя формулу (2), находим уравнение нормали:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7. Исследовать функцию у =
· 13 EMBED Equation.3 1415х3 + х2 + 3х – 2 и построить ее график.
Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функции на непрерывность.
3. Исследовать функцию на четность, нечетность.
4. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и
точки его перегиба.
6. Найти асимптоты графика функции.
7. Используя результаты пунктов 1 – 6, построить график функции.

1.Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна
на своей области определения, то есть на интервале (
·
·;
·).
3. Для установления четности или нечетности функции проверим
выполнимость равенств 13 EMBED Equation.3 1415 (тогда 13 EMBED Equation.3 1415
· четная функция) или
13 EMBED Equation.3 1415 (для нечетной функции) для любых х и
· х из области определения функции.
Находим 13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то данная функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
4. Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции воспользуемся следующими достаточными признаками: если функция
y=f (x) дифференцируема на интервале (а; b) и ее производная 13 EMBED Equation.3 1415 положительна (отрицательна) в каждой точке этого интервала, то функция
( (х) возрастает (убывает) на этом интервале.
Находим первую производную: у( =
· х2 + 2х + 3 . Ее корнями являются х1 =
· 1 ; х2 = 3 , то есть имеем две критические точки первого рода. Для определения интервалов знакопостоянства производной 13 EMBED Equation.3 1415 применим метод интервалов. Критические точки разбивают числовую ось на три интервала ( рис. 2 ) :


· min + max
·
( (
13 EMBED Equation.3 1415
·1 3 x

Рис. 2
(
· (;
· 1) , (
·1; 3 ) , ( 3; ( ). В первом и третьем интервалах производная 13 EMBED Equation.3 1415 отрицательна, следовательно, функция у здесь убывает; во втором интервале 13 EMBED Equation.3 1415 положительна и данная функция возрастает.
Для исследования найденных критических точек на экстремум воспользуемся первым достаточным признаком экстремума функции: если функция ( (х) дифференцируема в окрестности критической точки х0 и ее производная слева13 EMBED Equation.3 1415этой точки положительна (отрицательна), а справа отрицательна (положительна), то в точке хo функция ((x) имеет максимум (минимум).
При переходе через критическую точку х1 =
·1 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin = у(
·1) =
· 313 EMBED Equation.3 1415. Значит точка А(
·1;
· 313 EMBED Equation.3 1415) – точка минимума.
Так как при переходе через точку х2 = 3 производная меняет знак с плюса на минус, то функция имеет в этой точке максимум, то есть В(3; 7) – точка максимума.
На рис. 2 знаками + ,
· указаны интервалы знакопостоянства производной 13 EMBED Equation.3 1415, а стрелками – возрастание и убывание функции.
5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используем следующие достаточные признаки:
а) Если вторая производная 13 EMBED Equation.3 1415 дважды дифференцируемой функции ( (х) положительна (отрицательна) в каждой точке интервала (а; b) , то на этом интервале график функции ( (х) является вогнутым (выпуклым).
б) Если функция ((х) дважды дифференцируема в окрестности точки х0 , 13 EMBED Equation.3 1415(х0) = 0 либо13 EMBED Equation.3 1415(х0) не существует и при переходе через точку х0 вторая производная меняет свой знак, то точка М(х0 ; ((х0)) есть точка перегиба кривой у= ( (х).
Найдем вторую производную данной функции 13 EMBED Equation.3 1415=
·2х + 2 ; 13 EMBED Equation.3 1415= 0 при х = 1 (критическая точка второго рода). На интервале (
· ( ; 1) вторая производная положительна, значит график данной функции на этом интервале вогнут; на интервале (1; () вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла. Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет свой знак, то х = 1 есть абсцисса точки перегиба С(1; 113 EMBED Equation.3 1415).
6. График исследуемой функции асимптот не имеет.
Эскиз графика функции представлен на рис. 3.


Рис. 3

2. 4. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Сформулируйте теорему Ролля. Каков ее геометрический смысл?
2. Сформулируйте теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?
3. Сформулируйте достаточные признаки возрастания и убывания функции.
4. Какие точки называются стационарными точками функции?
5. Какие точки называются критическими точками функции?
6. Дайте определения максимума, минимума функции.
7. Что называется экстремумом функции?
8. Назовите необходимое условие экстремума функции.
9. Назовите достаточные признаки экстремума функции.
10. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?
11. Что называется точкой перегиба кривой?
12. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?
13. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.
14. Что называется асимптотой кривой?
15. Как найти вертикальные асимптоты кривой?
16. Как найти наклонные асимптоты кривой?
17. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.
18. В каких случаях применяется правило Лопиталя при вычислении
пределов?

2. 4. 4. Задания для самостоятельной работы
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Исследовать на экстремум функцию 13 EMBED Equation.3 1415
3. Исследовать на экстремум функцию 13 EMBED Equation.3 1415 .
4. Открытый сверху резервуар с квадратным дном должен вмещать
108 литров воды. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его
изготовление пошло наименьшее количество материала?
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Найти асимптоты кривой 13 EMBED Equation.3 1415 .

2. 5. Модуль 5. Неопределенный интеграл.
2. 5. 1. Содержание модуля.
Т е м а 1. Неопределенный интеграл.
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование заменой переменной и по частям.
Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
2. 5. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примеров 8.
Для справок приведем следующую таблицу основных неопределенных интегралов.
(I) 13 EMBED Equation.3 1415, где n
· - 1.
(II) 13 EMBED Equation.3 1415.
(III) 13 EMBED Equation.3 1415.
(IV) 13 EMBED E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415,
где F(x) – первообразная для f(x).

Пример 8. Вычислить неопределенные интегралы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415 ;

г) 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
а) Проинтегрируем каждое подынтегральное слагаемое и применим табличную формулу (I). 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415= 413 EMBED Equation.3 1415 =
= 13 EMBED Equation.3 1415.
б). Преобразуем подынтегральную дробь, применим формулы (I), (II).
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415 .
в). Для вычисления данного интеграла применяем метод подстановки. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415

г) Применяем формулу интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Пусть u=x2, dv=sinxdx, тогда du=2xdx, 13 EMBED Equation.3 1415.
По приведенной выше формуле имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Последний интеграл вычислим этим же способом, положив
u=x, dv=cosxdx, откуда du=dx, v=sinx.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415.

2. 5. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Сформулируйте определение первообразной функции.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
3. Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?
4. Перечислите свойства неопределенного интеграла.
5. Напишите формулы таблицы основных интегралов.
6. В чем сущность метода замены переменной при вычислении неопределенных интегралов?
7. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
8. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить при помощи метода интегрирования по частям.
9. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
10. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей.

2. 5. 4. Задания для самостоятельной работы
Вычислить неопределенные интегралы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·. 6. Модуль 6. Определенный интеграл.
2. 6. 1. Содержание модуля.
Т е м а 1. Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.Формула Ньютона- Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.
Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур;
вычисление объемов тел вращения.
2. 6. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примеров 9, 10.
Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Площадь S фигуры ограниченной сверху кривой 13 EMBED Equation.3 1415, снизу
· 13 EMBED Equation.3 1415, слева и справа соответственно прямыми






Найдем абсциссы точек пересечения данной параболы и прямой (рис. 4):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Рис. 4


Пример 10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны синусоиды y = sinx.
Решение. Если криволинейная трапеция ,ограниченная сверху кривой 13 EMBED Equation.3 1415, прямыми х = а, x = b и осью Ох, вращается вокруг оси Ох, то объем V тела вращения равен
13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.



2. 6. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Напишите интегральную сумму для функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Что называется определенным интегралом от функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415?
4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
5. Перечислите свойства определенного интеграла.
6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?
7. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.
8. Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
9. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
10. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат с помощью определенного интеграла?
11. Напишите формулы для вычисления объемов тел, образованных вращением плоской фигуры вокруг оси Ох ; оси Оу.

2. 6. 4. Задания для самостоятельной работы
Вычислить определенные интегралы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415.


2. 7. Модуль 7. Функции многих независимых переменных.
2. 7. 1. Содержание модуля.
Тема 1. Функции многих независимых переменных.
Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия. Метод наименьших квадратов.
2. 7. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примера 11.
Пример 11. Исследовать на экстремум функцию
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Применим достаточный признак экстремума функции двух независимых переменных, состоящий в следующем.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- критическая точка функции 13 EMBED Equation.3 1415, имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядков.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и составим определитель
13 EMBED Equation.3 1415.
Если
· > 0, то 13 EMBED Equation.3 1415 есть точка экстремума, причем при А > 0 – минимума, при А < 0 – максимума.
Если
· < 0, в точке 13 EMBED Equation.3 1415 экстремума нет.
При
· = 0 – требуется дополнительное исследование.
Находим частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, каждую из них приравняем к нулю и решаем полученную систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение системы уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 дает х1 =
· 12, у1 =
· 6,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, данная функция имеет две критические точки:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Для точки Р1 имеем А =
·4, В = 9, С =
·36,
· = 63. Так
· > 0 и А < 0,
то в точке Р1(
·12,
·6) данная функция имеет максимум: 13 EMBED Equation.3 1415.
Для точки Р2 имеем А =
·4, В = 9, С =
·4,5,
· =
· 63. Так как
· < 0, то
в этой точке экстремума нет.

2. 7. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Сформулируйте определение функции двух, трех и большего числа независимых переменных.
2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных?
3. Каково геометрическое изображение функции двух переменных?
4. Сформулируйте определение предела функции двух переменных.
5. Что называется частным и полным приращениями функции двух переменных?
6. Какая функция двух переменных называется непрерывной в точке? в области?
7. Сформулируйте определение частных производных первого порядка функции двух независимых переменных. Каков их геометрический смысл?
8. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?
9. Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?
10. Что называется экстремумом функции двух независимых переменных?
11. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума функции двух переменных.
12. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.

2. 7. 4. Задания для самостоятельной работы
В задачах 1 – 3 найти частные производные первого порядка указанных функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
В задачах 4 – 6 найти частные производные второго порядка указанных функций.
4. 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415 . 6. 13 EMBED Equation.3 1415.
В задачах 7 – 9 исследовать на экстремум следующие функции:
7. 13 EMBED Equation.3 1415.
8. 13 EMBED Equation.3 1415.
9. 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 8. Модуль 8. Дифференциальные уравнения.
2. 8. 1. Содержание модуля.
Тема 1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие об общем и частном решении. Интегральные кривые. Начальные условия
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков, Общее и частное решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства их решений. Линейно-независимые решения. Структура общего решения. Характеристическое уравнение. Запись общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Отыскание частных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае специальных правых частей уравнения (многочлен, Aekx, Acosnx+Bsinnx,).

2. 8. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примеров 12 – 15.
Пример 12. Найти частное решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющее начальному условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Заменим 13 EMBED Equation.3 1415 и умножим обе части уравнения на dx.
Имеем следующее уравнение с разделяющимися переменными: 13 EMBED Equation.3 1415.
Разделяя переменные и интегрируя, находим общий интеграл данно-
го уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя указанное начальное условие, подставляем в общий ин-
теграл х =1, у = 0, определяем значение произвольной постоянной:
13 EMBED Equation.3 1415, С = 0.
При этом значении С из общего интеграла получаем искомое частное решение:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 13. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Данное уравнение – линейное. Применяем подстановку
13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Для нахождения функций u и v решаем соответственно уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 - (1) и 13 EMBED Equation.3 1415 - (2).
Решаем уравнение (1) как уравнение с разделяющимися переменными:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
Решаем уравнение (2):
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 есть искомое решение.
Пример 14. Найти частное решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющее начальным условиям: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Для нахождения общего решения данного уравнения сос-
тавляем характеристическое уравнение к2
·4к +3 = 0, имеющее корнями
числа к1 = 1, к2 = 3. Общим решением данного уравнения является функция 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя начальные условия, определяем значения постоянных С1
и С2 . Подставляя в общее решение заданные значения х = 0, у = 6 (первое
начальное условие), получим 6 = С1 + С2 .
Дифференцируя общее решение уравнения, имеем 13 EMBED Equation.3 1415 и подставляя в полученное выражение х = 0, у = 10 (второе начальное условие), получаем второе уравнение с неизвестными С1 и С2 : 10 = С1 + 3С2 .
Решая полученную систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 , находим С1 = 4, С2 = 2 .
Подставляя значения С1 = 4 и С2 = 2 в общее решение уравнения,
получим искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее
заданным начальным условиям:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 15. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Находим общее решение однородного уравнения
13 EMBED Equation.3 1415. Его характеристическое уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет корни 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем частное решение 13 EMBED Equation.3 1415 данного неоднородного уравнения. Его
правая часть есть функция 13 EMBED Equation.3 1415. Так число 0 не является корнем
характеристического уравнения, 13 EMBED Equation.3 1415 есть многочлен второй степени, то
есть 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и, подставляя 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 в данное уравнение, получаем тождество
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих час-
тях последнего равенства (только при этом условии оно будет тождеством)
получаем систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 , из которой находим А =
· 3, В =
· 3, С =
· 4,5.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 и искомым общим решением дан
ного неоднородного уравнения является 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 8. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется дифференциальным уравнением?
2. Что называется порядком дифференциального уравнения?
3. Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?
4. Что называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка?
5. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?
6. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
7. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.
8. Какое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка?
9. Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка?
10. Какое уравнение называется характеристическим для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка?
11. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?
12. Как найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
13. Какой вид имеет частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция? комбинация этих функций?

2. 8. 4. Задания для самостоятельной работы
В задачах 1 – 3 найти общие интегралы следующих уравнений.
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
В задачах 4, 5 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
4. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
В задачах 6 – 8 найти общее решение данных уравнений:
6. 13 EMBED Equation.3 1415. 7. 13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415.
В задачах 9, 10 найти общее решение данных уравнений.
9. 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 9. Модуль 9. Теория вероятностей.
2. 9. 1. Содержание модуля.
Тема 1. Элементы теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот. Классическое и геометрическое определение вероятности. Определение условной вероятности. Независимость событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотности распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Законы распределения случайных величин. Нормальное распределение, его свойства. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

2. 9. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-
ние примеров 16 – 20.
Пример 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех семян.
Решение. Пусть событие А – из четырех семян взойдут не менее трех;
событие В – из четырех семян взойдут три семени; событие С – из четырех
семян взойдут четыре семени.
По теореме сложения вероятностей имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятности 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 вычислим по формуле Бернулли.
Пусть проводится серия n независимых испытаний, в каждом из ко-
торых событие А наступает с постоянной вероятностью р. Вероятность
13 EMBED Equation.3 1415 того, что событие А наступит ровно к раз, вычисляется по формуле Бернулли
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
· число сочетаний из n элементов по к;
13 EMBED Equation.3 1415
· вероятность наступления события 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 17. Вероятность прорастания семян некоторого сорта растений равна 0,75. Посеяно 300 семян. Найти наивероятнейшее число всходов.
Решение. Наивероятнейшее число ко наступления случайного события определяется с помощью двойного неравенства
13 EMBED Equation.3 1415,
где n – число всех испытаний
р – вероятность появления события в одном испытании;
q – вероятность непоявления события в одном испытании.
По условию задачи 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как ко – целое число, то ко = 225.
Пример 18. В хозяйстве имеется 150 свиноматок. Вероятность получения от любой из них не менее десяти поросят за одну лактацию равна 0,6. Найти вероятность того, что за одну лактацию из указанных 150 свиноматок не менее десяти поросят даст каждая из 102 свиноматок.
Решение. При большом числе испытаний формула Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает локальную теорему Лапласа: если вероятность наступления случайного события А в каждом из n независимых
испытаний постоянна и равна р 13 EMBED Equation.3 1415, а число n достаточно велико, то вероятность то вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 того, что при этом событие А наступит ровно к раз, в силу локальной теоремы Лапласа, вычисляется приближенно ( тем точнее, чем больше n) по следующей формуле:

13 EMBED Equation.3 1415,
где функция 13 EMBED Equation.3 1415
· функция вероятностей и 13 EMBED Equation.3 1415 .
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 имеют тот же смысл, что и в формуле Бернулли.
Имеются таблицы значений функции 13 EMBED Equation.3 1415 (см. табл. 1 Приложений). Для значений 13 EMBED Equation.3 1415 считают 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, так как эта функция четная.
В нашей задаче n = 150, р = 0,6, q = 0,4 , к = 102. По приведенной выше формуле вычислим значение х, определяемое данными задачи:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем из таблицы 1 Приложений значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 при
х = 2: 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда искомая вероятность равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 19. Вероятность того, что семя не взойдет, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 семян невсхожих окажется от 70 до 100 семян.
Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р 13 EMBED Equation.3 1415, а число n достаточно велико, то вероятность того, что событие А в этих испытаниях наступит не менее к1 раз и не более к2 раз вычисляется в силу интегральной теоремы Лапласа по приближенной формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
· функция Лапласа, 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Значения функции Лапласа приводятся в Приложениях, эта функция
нечетная, то есть Ф(
· х) =
· Ф(х), при х>5 принимается Ф(х)=0,5.
. По условию задачи n = 400; k1 = 70; k2 = 100; p = 0,2; q = 0,8.
Находим 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х
40
42
41
44

Р
0,1
0,3
0,2
0,4

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее
квадратическое отклонение
·(Х).
Решение. 1) М(Х) = 13 EMBED Equation.3 1415
= 40
·0,1 + 42
·0,3 + 41
·0,2 + 44
·0,4 = 42,4.13 EMBED Equation.3 1415
2) По формуле 13 EMBED Equation.3 1415
имеем:
D(Х) = (40 – 42,4)2
·0,1 + (42 – 42,4)2
·0,3 + (41 – 42,4)2
·0,2 + (44 – 42,4)2
·0,4 =
= 2,04.
Дисперсию D(X) можно вычислить другим способом, исходя из ее
следующего свойства: дисперсия D(X) равна разности между математичес-
ким ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математи-
ческого ожидания М(Х), то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415 составим закон распределения величины Х2:

Х 2
402
422
412
442

Р
0,1
0,3
0,2
0,4


Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 9. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется случайным событием? Приведите примеры случайных событий.
2. Какие события называются противоположными?несовместимыми?
3. Что называется относительной частотой появления случайного события?
4. Сформулируйте статистическое определение вероятности наступления случайного события.
5. Сформулируйте классическое определение вероятности наступления случайного события.
6. Перечислите свойства вероятностей.
7. Что называется условной вероятностью события?
8. Сформулируйте теоремы умножения и сложения вероятностей.
9. Напишите формулу полной вероятности.
10. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?
11. Напишите формулу Бернулли.
12. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.
13. Сформулируйте теорему Пуассона.
14. Какие случайные величины называются дискретными? Приведите примеры.
15. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?
16. Как задается закон распределения дискретной случайной величины?
17. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Как его вычислить?
18. Что называется дисперсией дискретной случайной величины? Как ее вычислить?
19. Что называется средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины? Как его вычислить?
20. Какие случайные величины называются непрерывными? Приведите примеры.
21. Дайте определения: интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.
22. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?
23. Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.
24. Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.
25.Сформулируйте правило «трех сигм».
26. Назовите сущность закона больших чисел.
27. Напишите неравенство Чебышева.
28. Сформулируйте теорему Чебышева.
29. Сформулируйте теорему Бернулли.

2. 9. 4. Задания для самостоятельной работы
1. В студенческой группе 5 отличников, 12 четверочников, 8 троечников. К доске произвольно вызывается студент. Какова вероятность того, что это четверочник ?
2. В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10 ?
3. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется от центра круга на расстоянии r ( r < R ).
4. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность одновременного поражения цели всеми стрелками.
5. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК равна 0,8.
Найти вероятность того, что среди пяти случайно отобранных деталей про-веренных окажется не менее четырех деталей.
6. Семья предполагает иметь 5 детей. Какова вероятность того, что будет три девочки и два мальчика,если рождение девочки и мальчика равновероятны?
7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.
8. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:
X - 4 6 10
P 0,2 0,3 0,5






































Раздел 3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
3. 1. Методические указания по выполнению контрольных работ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа, состоящая из изучения материала, чтения учебника, решения задач, выполнения контрольной работы. В период лабораторно-экзаменационной сессии для студентов проводятся лекции и практические занятия, носящие обзорный характер.
При изучении учебника следует воспроизводить на бумаге в форме конспекта основные моменты рассматриваемого вопроса программы, обращая особое внимание на определение основных понятий курса высшей математики, формулировки теорем, формулы.
Работа над учебником должна сопровождаться решением задач.
В соответствии с действующим учебным планом студенты изучают курс математического анализа в течение первого года обучения.
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими указаниями:
1.Контрольная работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть написаны фамилия и инициалы студента, его шифр, дата отсылки работы в институт, домашний адрес.
2.Задачи контрольной работы следует располагать в порядке возрастания их номеров. Перед решением каждой задачи нужно полностью переписать ее условие. На каждой странице тетради нужно оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.
3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых теорем и формул. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге).Объяснения к решению задачи должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.
4. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно, в противном случае студент лишается возможности проверить степень своей подготовленности по изучаемой дисциплине.
5. Получив из университета прорецензированную работу, студент должен исправить отмеченные преподавателем ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то в кратчайший срок следует выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом и первоначально выполненную работу.
6. В межсессионный период или во время лабораторно-экзаменационной сессии студент должен пройти на кафедре высшей математики собеседование по зачтенной контрольной работе.
7. Студент выполняет вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9) , то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1. Если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное (2, 4, 6, 8) или ноль, то номера задач даны в таблице 2.
Таблица 1

Номер
варианта
Номера задач


1
1
21
41
61
71
81
91
101
111

2
2
22
42
62
72
82
92
102
112

3
3
23
43
63
73
83
93
103
113

4
4
24
44
64
74
84
94
104
114

5
5
25
45
65
75
85
95
105
115

6
6
26
46
66
76
86
96
106
116

7
7
27
47
67
77
87
97
107
117

8
8
28
48
68
78
88
98
108
118

9
9
29
49
69
79
89
99
109
119

0
10
30
50
70
80
90
100
110
120


Таблица 2

Номер
варианта
Номера задач

1
11
31
51
62
73
84
95
106
117

2
12
32
52
63
74
85
96
107
118

3
13
33
53
64
75
86
97
108
119

4
14
34
54
65
76
87
98
109
120

5
15
35
55
66
77
88
99
110
111

6
16
36
56
67
78
89
100
101
112

7
17
37
57
68
79
90
91
102
113

8
18
38
58
69
80
81
92
103
114

9
19
39
59
70
71
82
93
104
115

0
20
40
60
61
72
83
94
105
116













3. 2. Задачи для контрольной работы
В задачах 1-20 даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ ; 3) уравнение высоты CD и ее длину; 4) уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром.
А (- 6;- 2), В (6; 7), С (4; -7).
А (- 8;- 4), В (4; 5), С (2; - 9).
А (0; -1), В (12; 8), С (10; - 6).
А (- 6; 1), В (6; 10), С (4; - 4).
А (- 2; - 4), В (10; 5), С (8; - 9).
А (-3 ;0), В (9; 9), С (7; - 5).
А (- 9; - 2), В (3; 7), С (1; - 7).
А (-5; 2), В (7; - 7), С (5; 7).
А (-7; 5), В (5; - 4), С (3; 10).
А (-7; 1), В (5; - 8), С (3; 6).
А (0; 3), В (12; - 6), С (10; 8).
А (- 8; 4), В (4; - 5), С (2; 9).
А (-2; 2), В (10; - 7), С (8; 7).
А (1; 2), В (13; - 7), С (11; 7).
А (- 4; 1), В (8; - 8), С (6; 6).
А (-7; - 1), В (5; - 10), С (3; 4).
А (-3; 3), В (9; - 6), С (7; 8).
А (-5; 0), В (7; 9), С (5; - 5).
А (-7; 2), В (5; 11), С (3; - 3).
20. А (- 5; - 3), В (7; 6), С (5; - 8).
В задачах 21 – 40 найти производные данных функций:
21. а) y = 2x5 – 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = 3xtgx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
г) y = (esinx + 4x)5 .

22. a) y = 5x4 – 13 EMBED Equation.3 1415 + tgx ; б) y = (1 – x3) sinx ; в) y =13 EMBED Equation.3 1415 ;
г) y = 13 EMBED Equation.3 1415.
23. а) y = 4x3 – 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = (x3 – 4) ex ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = 13 EMBED Equation.3 1415.
24. а) y = 3x4 – 13 EMBED Equation.3 1415; б) y = (x4 + 5)lnx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = (e sinx + 2x)4 .
25. a) y = 5x6 – 13 EMBED Equation.3 1415; б) y = (ex + 4)(x3 – 6x) ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = e x – arcsinx .
26. a) y = x3– 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = (x2 + 1) arctgx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = ln13 EMBED Equation.3 1415 .13 EMBED Equation.3 1415.
27. a) y = 3x2 – 13 EMBED Equation.3 1415+ 2x ; б) y = (4x3 + 3) lnx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415;
г) y = (3tg2x – 1)4 .
28. a) y = 4x5 + 13 EMBED Equation.3 1415 – tgx ; б) y = (x4 + 5) 2x ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = 3 13 EMBED Equation.3 1415 .
29. а) y = x6 –13 EMBED Equation.3 1415; б) y = (x5 – 1) sinx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
г) y = ln13 EMBED Equation.3 1415 .
30. a) y = 2x3 + 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = (x2 – 1) arcsinx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = e13 EMBED Equation.3 1415 .
31. а) y = 3x4 – 13 EMBED Equation.3 1415; б) y = (x3 + 1)ln(x + 1) ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415; г) y = e13 EMBED Equation.3 1415 .

32. а) y = 2x5 – 13 EMBED Equation.3 1415; б) y = (x2 – 2) sinx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = 13 EMBED Equation.3 1415 .
33. a) y = 4x2 – 13 EMBED Equation.3 1415; б) y = (1- x2) ctgx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = ln(x2 + 5) .
34. a) y = 3x5 – 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = 5x tgx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
г) y = 13 EMBED Equation.3 1415 .
35. a) y = 3x + 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = (x2 + 1) arctgx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = (lnx – cos3x)2 .
36. a) y=5x2 – 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = (x + 3) arcsinx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
г) y = (e3x – sin3x)2 .
37. a) y = 4x2 – 13 EMBED Equation.3 1415; б) y = e2x(x3 – 1) ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = (lnsinx – x)3 .
38. a) y = x5 + 13 EMBED Equation.3 1415 + 3 ; б) y = (4x2 + 1) tgx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = (x2 – lnx)3 .
39. a) y = 2x3 – 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y = (x + ex) arcsinx ;
в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) y = ln tg2x .
40. a) y = 5x6 – 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) y=x3 arctgx ; в) y = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
г) y = (3x2 + e2x)4 .

В задачах 41 – 60 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции нужно найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
41. у = 13 EMBED Equation.3 1415 x3 –х2 – 3х + 5 . 42. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 + 3х2 – 7 .
43. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 + х2 – 3х – 6 . 44. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 –13 EMBED Equation.3 1415х2 – 4х + 10 .
45. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 3х2 + 5х + 4 . 46. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 13 EMBED Equation.3 1415х2 + 2 .
47. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 4х + 1 . 48. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 13 EMBED Equation.3 1415х2 + 3х + 3.
49. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 2х2 + 5 . 50. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 13 EMBED Equation.3 1415х2 + 8 .
51. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 3х2 + 20 . 52. у = – 13 EMBED Equation.3 1415х3 + 6х – 1 .
53. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 2х2 + 3х – 1 . 54. у = – 13 EMBED Equation.3 1415х3 +х2 + 3х – 2 .
55. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 + х2 – 8х – 10 . 56. у = –13 EMBED Equation.3 1415х3 + 13 EMBED Equation.3 1415х2 + 3х – 6 .
57. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 + 3х2 + 5х + 6 . 58. у = – 13 EMBED Equation.3 1415х3 + 13 EMBED Equation.3 1415х2 – 4 .
59. у = 13 EMBED Equation.3 1415х3 – 3х2 + 8х + 2 . 60. у = – 13 EMBED Equation.3 1415х3 + 13 EMBED Equation.3 1415х + 2.

В задачах 61 – 70 вычислить указанные неопределенные интегралы :

61. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415 .
62. a) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
63. a) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
64. a) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
65. a) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415 .
66. a) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
67. a) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415 .
68. a) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415.


69. a) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415 ; в) 13 EMBED Equation.3 1415 .
70. a) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
В задачах 71 – 75 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
71. у = х2 – 4х + 5 , у = х + 1 .
72. у = х2 – 2х , у = х .
73. у = х2 + 2х – 1 , у = х + 1 .
74. у = х2 – 4х + 1 , у = х – 3 .
75. у = х2 + 6х + 7 , у = х + 3 .
В задачах 76 – 80 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями . Сделать чертеж.
76. у = х2 , х = 1 , х = 3 , у = 0 .
77. у = cosx , x = 13 EMBED Equation.3 1415, x = 13 EMBED Equation.3 1415, y = 0 .
78. y = sinx , x = 0 , x = 13 EMBED Equation.3 1415 , y = 0 .
79. y = 13 EMBED Equation.3 1415 , x = 1 , x = 4 , y = 0 .
80. y = x2 , y = x + 2 .
В задачах 81 – 90 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.
81. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
82. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
83. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
84. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
85. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
86. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
87. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 .
88. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
89. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
90. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .

В задачах 91 – 100 найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка.
91. 13 EMBED Equation.3 1415. 92. 13 EMBED Equation.3 1415.
93. 13 EMBED Equation.3 1415. 94. 13 EMBED Equation.3 1415.
95. 13 EMBED Equation.3 1415. 96. 13 EMBED Equation.3 1415.
97. 13 EMBED Equation.3 1415. 98. 13 EMBED Equation.3 1415.
99. 13 EMBED Equation.3 1415. 100. 13 EMBED Equation.3 1415.
101. В группе 25 студентов, из которых отлично учатся 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6, слабо – 2. Преподаватель вызывает студента. Какова вероятность того, что вызванный студент отличник или хорошист?
102. В колоде 36 карт. Наудачу из колоды вынимаются две карты. Какова вероятность того, что это будет два туза ?
103. В колоде 36 карт. Наудачу из колоды вынимаются две карты. Какова вероятность того,что вторым будет вынут туз,если первым тоже был вынут туз?
104. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна трем.
105. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Какова вероятность того, что вынутый будет белым, черным или синим? ?
106. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она выпадет гербом вверх ?
107. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна 0,3, на втором – 0,2, на третьем – 0,5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0,2, для второго – 0,1, для третьего – 0,3. Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется не бракованным.
108. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена : а) три раза; б) не более двух раз.
109. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК равна 0,8.
Найти вероятность того, что среди пяти случайно отобранных деталей про-веренных окажется не менее четырех деталей.
110. Птицеферма отправила на базу 10000 яиц. Вероятность того, что каждое яйцо повредится в пути, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базе в отправленной партии яиц окажется три поврежденных яйца.
В задачах 111 – 120 задан закон распределения случайной величины Х ( в первой строке даны возможные значения величины Х, во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений). Найти:
1) математическое ожидание М ( Х ); 2) дисперсию D (X );
3) среднее квадратическое отклонение
· ( Х ).

111. Х 10 15 18 24 29 35
Р 0,2 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2

112. Х 12 14 20 23 28 30
Р 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,1

113. Х 6 10 18 20 25 30
Р 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4

114. Х 8 10 12 22 24 30
Р 0,3 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1

115. Х 10 15 20 25 30 35
Р 0,4 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1

116. Х 16 21 25 32 40 50
Р 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2

117. Х 10 14 16 18 20 25
Р 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1

118. Х 6 10 16 20 26 30
Р 0,2 0,2 0,1 0,3 0,1 0,1

119. Х 8 12 16 21 25 30
Р 0,2 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1

120. Х 9 13 18 22 28 30
Р 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2






Приложения
Таблица 1
Значения функции 13 EMBED Equation.3 1415

х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0,0
0,1
0,2
0,3
0,4

0,5
0,6
0,7
0,8
0,9

1,0
1,1
1,2
1,3
1,4

1,5
1,6
1,7
1,8
1,9

2,0
2,1
2,2
2,3
2,4

2,5
2,6
2,7
2,8
2,9

3,0
3,1
3,2
3,3
3,4

3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,3989
3970
3910
3814
3683

3521
3332
3123
2897
2661

0,2420
2179
1942
1714
1497

1295
1109
0940
0790
0656

0,0540
0440
0355
0283
0224

0175
0136
0104
0079
0060

0,0044
0033
0024
0017
0012

0009
0006
0004
0003
0002
3989
3965
3902
3802
3668

3503
3312
3101
2874
2637

2396
2155
1919
1691
1476

1276
1092
0925
0775
0644

0529
0431
0347
0277
0219

0171
0132
0101
0077
0058

0043
0032
0023
0017
0012

0008
0006
0004
0003
0002
3989
3961
3894
3790
3653

3485
3292
3079
2850
2613

2371
2131
1895
1669
1456

1257
1074
0909
0761
0632

0519
0422
0339
0270
0213

0167
0129
0099
0075
0056

0042
0031
0022
0016
0012

0008
0006
0004
0003
0002
3988
3956
3885
3778
3637

3467
3271
3056
2827
2589

2347
2107
1872
1647
1435

1238
1057
0893
0748
0620

0508
0413
0332
0264
0208

0163
0126
0096
0073
0055

0040
0030
0022
0016
0011

0008
0005
0004
0003
0002
3986
3951
3876
3765
3621

3448
3251
3034
2803
2565

2323
2083
1849
1626
1415

1219
1040
0878
0734
0608

0498
0404
0325
0258
0203

0158
0122
0093
0071
0053

0039
0029
0021
0015
0011

0008
0005
0004
0003
0002
3984
3945
3867
3752
3605

3429
3230
3011
2780
2541

2299
2059
1826
1604
1394

1200
1023
0863
0721
0596

0488
0396
0317
0252
0198

0154
0119
0091
0069
0051

0038
0028
0020
0015
0010

0007
0005
0004
0002
0002
3982
3939
3857
3739
3589

3410
3209
2989
2756
2516

2275
2036
1804
1582
1374

1182
1006
0848
0707
0584

0478
0387
0310
0246
0194

0151
0116
0088
0067
0050

0037
0027
0020
0014
0010

0007
0005
0003
0002
0002
3980
3932
3847
3726
3572

3391
3187
2966
2732
2492

2251
2012
1781
1561
1354

1163
0989
0833
0694
0573

0468
0379
0303
0241
0189

0147
0113
0086
0065
0048

0036
0026
0019
0014
0010

0007
0005
0003
0002
0002
3977
3925
3836
3712
3555

3372
3166
2943
2709
2468

2227
1989
1758
1539
1334

1145
0973
0818
0681
0562

0459
0371
0297
0235
0184

0143
0110
0084
0063
0047

0035
0025
0018
0013
0009

0007
0005
0003
0002
0001
3973
3918
3825
3697
3538

3352
3144
2920
2685
2444

2203
1965
1736
1518
1315

1127
0957
0804
0669
0551

0449
0363
0290
0229
0180

0139
0107
0081
0061
0046

0034
0025
0018
0013
0009

0006
0004
0003
0002
0001




Таблица 2
Значения функции 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

х
Ф(х)

х
Ф(х)

х
Ф(х)

х
Ф(х)

0,00
0,01
0,02
0,03
0,04

0,05
0,06
0,07
0,08
0,09

0,10
0,11
0,12
0,13
0,14

0,15
0,16
0,17
0,18
0,19

0,20
0,21
0,22
0,23
0,24

0,25
0,26
0,27
0,28
0,29

0,30
0,31
0,32
0,33
0,34

0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160

0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359

0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557

0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753

0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948

0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141

0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331

0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517

0,40
0,41
0,42
0,43
0,44

0,45
0,46
0,47
0,48
0,49

0,50
0,51
0,52
0,53
0,54

0,55
0,56
0,57
0,58
0,59

0,60
0,61
0,62
0,63
0,64

0,65
0,66
0,67
0,68
0,69

0,70
0,71
0,72
0,73
0,74

0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700

0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879

0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054

0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224

0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389

0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549

0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703

0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852

0,80
0,81
0,82
0,83
0,84

0,85
0,86
0,87
0,88
0,89

0,90
0,91
0,92
0,93
0,94

0,95
0,96
0,97
0,98
0,99

1,00
1,01
1,02
1,03
1,04

1,05
1,06
1,07
1,08
1,09

1,10
1,11
1,12
1,13
1,14

1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995

0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133

0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264

0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389

0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508

0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621

0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729

0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830

1,20
1,21
1,22
1,23
1,24

1,25
1,26
1,27
1,28
1,29

1,30
1,31
1,32
1,33
1,34

1,35
1,36
1,37
1,38
1,39

1,40
1,41
1,42
1,43
1,44

1,45
1,46
1,47
1,48
1,49

1,50
1,51
1,52
1,53
1,54

1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925

0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015

0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099

0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177

0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251

0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319

0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382

0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441





Продолжение таблицы 2


x
Ф(х)

х
Ф(х)

х
Ф(х)

х
Ф(х)

1,60
1,61
1,62
1,63
1,64

1,65
1,66
1,67
1,68
1,69

1,70
1,71
1,72
1,73
1,74

1,75
1,76
1,77
1,78
1,79

1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495

0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545

0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591

0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633

0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671

1,85
1,86
1,87
1,88
1,89

1,90
1,91
1,92
1,93
1,94

1,95
1,96
1,97
1,98
1,99

2,00
2,02
2,04
2,06
2,08

2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706

0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738

0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767

0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812

0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854

2,20
2,22
2,24
2,26
2,28

2,30
2,32
2,34
2,36
2,38

2,40
2,42
2,44
2,46
2,48

2,50
2,52
2,54
2,56
2,58

2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887

0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913

0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934

0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951

0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963

2,70
2,72
2,74
2,76
2,78

2,80
2,82
2,84
2,86
2,88

2,90
2,92
2,94
2,96
2,98

3,00
3,20
3,40
3,60
3,80

4,00
4,50
5,00

·
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973

0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980

0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986

0,49865
0,49931
0,49966
0,49984
0,49993

0,49997
0,49999
0,499999
0,5


Таблица 3.
Таблица значений 13 EMBED Equation.3 1415
n

·
n

·


0,95
0,99
0,999

0,95
0,99
0,999

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
20
25
30
35
40
45
50
56
70
80
90
100
120

·
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
1,960
2,861
2,797
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
3,883
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291



Таблица 4.
Таблица значений q = q(
·,n)
n

·
n

·


0,95
0,99
0,999

0,95
0,99
0,999

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1.37
1.09
0.92
0.80
0.71
0.65
0.59
0.55
0.52
0.48
0.46
0.44
0.42
0.40
0.39
2.67
2.01
1.62
1.38
1.20
1.08
0.98
0.90
0.83
0.78
0.73
0.70
0.66
0.63
0.60
5.64
3.88
2.98
2.42
2.06
1.80
1.60
1.45
1.33
1.23
1.15
1.07
0.01
0.96
0.92
20
25
30
35
40
45
50
56
70
80
90
100
150
200
250
0.37
0.32
0.28
0.26
0.24
0.22
0.21
0.188
0.174
0.61
0.51
0.143
0.115
0.099
0.089
0.58
0.49
0.43
0.38
0.35
0.32
0.30
0.269
0.245
0.226
0.211
0.198
0.160
0.136
0.120
0.88
0.73
0.63
0.56
0.50
0.46
0.43
0.38
0.34
0.31
0.29
0.27
0.211
0.185
0.162





























Оглавление

Раздел 1. Общин методические указания по изучению дисциплины3
1. 1. Цели и задачи дисциплины . 3
1. 2. Библиографический список 4
1. 3. Распределение учебного времени по модулям (разделам)
и темам дисциплины 5
Раздел 2. Содержание учебных модулей дисциплины и методические
указания по их изучению. 6
Раздел 3. Задания для контрольных работ и методические указания
по их выполнению 35
3. 1. Методические указания по выполнению контрольных
работ . 35
3. 2. Задания для контрольных работ 37
Приложения.. 44













13PAGE 15


13PAGE 144815



х = а, x = b вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.


Имеем
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

.





Приложенные файлы

  • doc 17802141
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий