Vavilov N. Konkretnaya teoriya grupp (draft, 20..


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
konkretnaqteoriqgrupp
firstdraught
nIKOLAJwAWILOW
zAPREDELAMIPASSIWNOGONASLAVDENIQMYOTKRYWAEMMUZYKU
,
[email protected]][email protected]
-
TIWNOU^ASTWOWATXWOPERACIQHUMA
,
KOTORYJ
UPORQDO^IWAET
,
OVIWLQETITWORIT
.
iSKUSSTWO
,
SOBSTWENNOGOWORQ
,{
\TOSPOSOBSOZDANIQPROIZWEDENIJSPOMO][email protected]
-
RYHMETODOW
,
LIBOPOLU^ENNYHWREZULXTATEOBU^ENIQ
,
LIBOWYDUMANNYH
.
|TIMETO
-
[email protected]
STROGIMIIOPREDELENNYMIPUTQMI
,
OBESPE^[email protected]]IMIPRAWILXNOSTX
NA[IHOPERACIJ
.
eSLIWZQTXW\TOJOBLASTIWKA^ESTWEGIDALI[XRAZUM
,
ONPRIWEDET
NASPRQMOKOLVI
,
TAKKAKRAZUMWDANNOMSLU^AENEOSWQ]ENINSTINKTOM
.
iNSTINKT
VENEPOGRE[IM
.
eSLIONNASOBMANYWAET
,
TO\TOUVENEINSTINKT
.
wOWSQKOMSLU^AE
,
WTAKIHWE][email protected]
,
^EMMERTWAQREALXNOSTX
.
iGORXsTRAWINSKIJ
1
pOMERERAZWITIQNAUKINAMHO^ETSQPOLU^ITXNE^TOBOLX[EE
,
^EMPROSTOFORMU
-
LU
.
sNA^[email protected]
,
ZATEMSPOMO][email protected]^AEM^ISLA
,
NAKONEC
,
NAHODIMZAKON
,
[email protected]]IJ\TI^ISLA
.
nOISTINNOE
WELI^IE
NAUKISO
-
STOITWTOM
,
^TO
MYMOVEMNAJTITAKOJSPOSOBRASSUVDENIQ
,
PRIKOTOROMZAKON
STANOWITSQ
O^EWIDNYM
.
rI^ARDfEJNMAN
2
tO
,
^[email protected]
,
KUDABYONNI[EL
,
PERENOSITSSOBOJCENTRPROHODIMOJIM
MESTNOSTI
,{
\TODOWOLXNOBANALXNOEI
,
MOVNOSKAZATX
,
NEZAWISIMOEOTNEGOQWLENIE
.
nO^[email protected]]IMSQ^ELOWEKOM
,
ESLIONSLU^AJNOPOPADAETWESTE
-
[email protected]^KU
(
PERESE^ENIEDOROGILIDOLIN
),
OTKUDANETOLXKOWZGLQDY
,
NO
ISAMIWE]IRASHODQTSQWRAZNYESTORONY
?
tOGDASUB_EKTIWNAQTO^KAZRENIQSOWPA
-
DAETSOB_EKTIWNYMRASPOLOVENIEMWE]EJ
,
[email protected]@POLNOTU
.
mESTNOSTXRAS[IFROWYWAETSQIOZARQETSQ
.
~ELOWEK
WIDIT
.
pXERtEJQRDE{ARDEN
3
oDNIWE]IHORO[IWKAKIH
-
TOOPREDELENNYHCELQH
,
DRUGIE
|
SAMIPOSEBE
,
ATRE
-
TXI
|
ISAMIPOSEBE
,
IDLQ^EGO
-
TOE]E
.
pRIRODAHITROUMNOUSTROILATAK
,
^TO
BOLX[INSTWOPOLEZNYHWE][email protected]_EKTIWNOE^UWSTWOPRIQTNOS
.
i
\TOKASAETSQNETOLXKOPITANIQIRAZMNOVENIQ
,
NOIPOZNANIQ
.
oTKRYTIEWOBLASTI
FUNDAMENTALXNYHISSLEDOWANIJ
,
NAPRIMER
,
DOSTAWLQETRADOSTXWNEZAWISIMOSTIOT
EGOWOZMOVNOGOPRAKTI^ESKOGOPRIMENENIQ
.
[email protected]
ZNANIERANOILIPOZDNOSTANOWITSQPOLEZNYMTEM
,
^TOUWELI^IWAETNA[UWLASTXNAD
pRIRODOJ
.
gANSsELXE
.
oTME^[email protected]
1
i
.
f
.
sTRAWINSKIJ
,O
MUZYKALXNOMFENOMENE
.{
wKN
.
sTATXIIMATERIALY
,
sOWETSKIJ
KOMPOZITOR
,
m
.,1973,
S
.1{527(
STR
.24).
2
r
.
fEJNMAN
,
r
.
lEJMAN
,
m
.
s\NDS
,
fEJNMANOWSKIELEKCIIPOFIZIKE
,
.3.
iZLU^ENIE
,
WOLNY
,
KWANTY
1967,
mIR
,
m
.,
S
.1{238(
STR
.9).
3
p
.
tEJQRDE{ARDEN
,
fENOMEN^ELOWEKA
:
PREDVIZNX
,
VIZNX
,
MYSLX
,
SWERHVIZNX
.1987,
nAUKA
,
m
.,
S
.1{240(
STR
.38)
Typesetby
A
M
S
-T
E
X
1
2
nikolajwawilow
oGLAWLENIE
wWEDENIE
WassindundwassollendieGruppen
aSTRALXNYJPLAN
pRIGOR[NQFILOSOFEM
nAPOMINANIQIZ~ASTI
I
tEORIQGRUPP
PUTEWODITELXPOLITERATURE
tEORIQGRUPP
:astudent'sguide
1.
gRUPPY
x
1.
oPREDELENIEGRUPPY
x
2.
pERWYEPRIMERYABELEWYHGRUPP
x
3.
pERWYEPRIMERYNEABELEWYHGRUPP
x
4.
pROSTEJ[IEKONSTRUKCIINADGRUPPAMI
x
5.
gRUPPYSIMMETRIJ
x
6.
kONE^NYEGRUPPYSIMMETRIJSFERY
x
7.Dedivinaproportione:
IKOSIANY
f
3
3
5
g
I
f
5
3
3
g
W
(
H
4
)
x
8.
gRUPPYAWTOMORFIZMOW
x
9.
gRUPPYMATRIC
x
10.
gRUPPYDWIVENIJ
x
11.
gRUPPYWALGEBRE
x
12.
gRUPPYWTOPOLOGII
x
13.
kWAZIGRUPPYILATINSKIEKWADRATY
2.
pODGRUPPYISMEVNYEKLASSY
x
1.
pODGRUPPY
x
2.
cENTRALIZATORYINORMALIZATORY
x
3.
pODGRUPPA
POROVDENNAQPODMNOVESTWOM
x
4.
rE[ETKAPODGRUPP
x
5.
cIKLI^ESKIEGRUPPYIIHPODGRUPPY
x
6.
[email protected]]IH
x
7.
sMEVNYEKLASSY
x
8.
iNDEKS
SISTEMYPREDSTAWITELEJ
x
9.
tEOREMAlAGRANVA
x
10.
tEOREMApUANKARE
x
11.
wIRTUALXNYEGRUPPY
x
12.
dWOJNYESMEVNYEKLASSY
3.
nORMALXNYEDELITELIIFAKTOR
-
GRUPPY
x
1.
nORMALXNYEPODGRUPPY
x
2.
nEKAVDAQPODGRUPPANORMALXNA
x
3.
kLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOW
x
4.
kLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOWWKONE^NYHGRUPPAH
x
5.
pOROVDENIENORMALXNYHPODGRUPP
x
6.
fAKTOR
-
GRUPPY
x
7.
pRIMERYNORMALXNYHPODGRUPPIFAKTOR
-
GRUPPWLINEJNYHGRUPPAH
x
7.
gRUPPYGOMOLOGIJDIFFERENCIALXNYHGRUPP
x
8.
rAS[IRENIQGRUPP
gruppy
:
firstdraught
3
x
9.
tO^E^NYEGRUPPY
,1stinstalment:
SINGONIIIKRISTALLOGRAFI^ESKIEKLAS
-
SY
x
10.
tO^E^NYEGRUPPY
,2ndinstalment:
TIPYbRAWEIARIFMETI^ESKIEKLASSY
x
11.
n
-
MERNAQKRISTALLOGRAFIQ
TEOREMYbIBERBAHA
x
12.
fEDOROWSKIEGRUPPY
,1stinstalment:
ODNOMERNAQKRISTALLOGRAFIQ
x
13.
fEDOROWSKIEGRUPPY
,2ndinstalment:
DWUMERNAQKRISTALLOGRAFIQ
x
14.
fEDOROWSKIEGRUPPY
,3rdinstalment:
TREHMERNAQKRISTALLOGRAFIQ
4.
gOMOMORFIZMYGRUPP
x
1.
gOMOMORIZMY
x
1.
pERWYEPRIMERYGOMOMORIZMOW
x
3.
gOMOMORFIZMY
SWQZANNYESOSTRUKTUROJGRUPPY
x
4.
hARAKTERISTI^ESKIEPODGRUPPY
x
5.
hARAKTERISTI^ESKIPROSTYEGRUPPY
x
6.
gRUPPYAWTOMORFIZMOW
x
7.
sTROENIEGRUPPAWTOMORFIZMOW
x
8.
mATRI^NYEGOMOMORFIZMY
x
9.
|NDOMORFIZMYADDITIWNOJGRUPPYPOLQ
x
10.
oBRAZIQDROGOMOMORFIZMA
x
11.
tEOREMAOGOMOMORFIZME
x
12.
tEOREMYOBIZOMORFIZME
5.
sIMMETRI^ESKAQGRUPPA
x
1.
pERESTANOWKI
SIMMETRI^ESKAQGRUPPA
x
2.
cIKLY
x
3.
rAZLOVENIEPERESTANOWKINANEZAWISIMYECIKLY
x
4.
kLASSYSOPRQVENNOSTISIMMETRI^ESKOJGRUPPY
x
5.
pOROVDENIE
S
n
FUNDAMENTALXNYMITRANSPOZICIQMI
x
6.
zNAKPERESTANOWKI
,1stinstalment:
DEKREMENT
x
7.
zNAKPERESTANOWKI
,2ndinstalment:
TRANSPOZICII
x
8.
zNAKPERESTANOWKI
,3rdinstalment:
INWERSII
x
9.
zNAKOPEREMENNAQGRUPPA
x
10.
tRANZITIWNOSTXIKRATNAQTRANZITIWNOSTX
x
11.
pROSTOTAZNAKOPEREMENNOJGRUPPY
x
12.Mathematica
PERESTANOWOK
6.
dEJSTWIQGRUPP
x
1.
dEJSTWIEGRUPPYNAMNOVESTWE
x
2.
dEJSTWIEGRUPPYTRANSLQCIQMIISOPRQVENIQMI
x
3.
tEOREMAk\LI
x
4.
oRBITYISTABILIZATORY
x
5.
gLAWNYEODNORODNYEPROSTRANSTWA
x
6.
dEJSTWIENASMEVNYHKLASSAH
x
7.
kLASSIFIKACIQODNORODNYHPROSTRANSTW
x
8.
oSNOWNYEKONSTRUKCIINAD
G
-
MNOVESTWAMI
x
9.
pROIZWEDENIE
KOPROIZWEDENIEIRASSLOENNOEPROIZWEDENIE
x
10.
dEJSTWIENAOTOBRAVENIQH
G
-
MNOVESTW
x
11.
kASKADYIPOTOKI
4
nikolajwawilow
7.
lINEJNYEGRUPPY
x
1.
pOLNAQLINEJNAQGRUPPA
x
2.
lINEJNYEGRUPPYNADKONE^NYMPOLEM
x
3.
nEKOTORYEWAVNEJ[IEPODGRUPPY
x
4.
bLO^NYEPODGRUPPY
x
5.
|LEMENTARNYETRANSWEKCII
x
6.
pSEWDOOTRAVENIQ
x
7.
mATRICYPERESTANOWKI
x
8.
tRANSWEKCII
x
9.
sOOTNO[ENIQMEVDU\LEMENTARNYMITRANSWEKCIQMI
x
10.
kORNEWYEPOLUPROSTYE\LEMENTY
x
11.
gOMOMORFIZMREDUKCII
x
6.
|LEMENTARNAQGRUPPA
x
8.
nORMALXNOSTX\LEMENTARNOJGRUPPY
x
9.
gRUPPAsTEJNBERGA
??
x
10.
kONGRU\NC
-
PODGRUPPY
x
11.
oTNOSITELXNAQ\LEMENTARNAQGRUPPA
x
12.
nORMALXNYEPODGRUPPY
GL(
n;R
)
x
13.
tEOREMAvORDANA
-
dIKSONA
x
14.
oPREDELITELXdXEDONNE
x
15.
aWTOMORFIZMY
GL(
n;R
)
x
16.
[email protected]
x
17.
rAZLOVENIEgAUSSA
x
18.
pARABOLI^ESKIEPODGRUPPY
x
19.
nEPRIWODIMYELINEJNYEGRUPPY
x
20.
pRIMITIWNYELINEJNYEGRUPPY
x
21.
kLASSI^ESKIEGRUPPY
???
x
22.
tEOREMAkLIFFORDA
x
23.
tEOREMAmAKLAFLINA
8.
aBELEWYGRUPPY
x
1.
sWOBODNYEABELEWYGRUPPY
x
2.
pODGRUPPAKRU^ENIQ
x
3.
pRIMARNOERAZLOVENIE
x
4.
rAZLOVENIENACIKLI^ESKIESLAGAEMYE
x
5.
pODGRUPPYSWOBODNOJGRUPPY
9.
kONE^NYEGRUPPY
x
1.
cENTR
p
-
GRUPPY
SU]ESTWOWANIE\LEMENTAPORQDKA
p
NORMALIZATORNOE
USLOWIE
x
2.
[email protected]
x
3.
kOLI^ESTWOPODGRUPP
p
-
GRUPPY
x
4.
rE[ENIQURAWNENIQ
x
n
=
e
TEOREMYkO[IIfROBENIUSA
x
5.
tEOREMYsILOWA
x
6.
dOKAZATELXSTWOwILANDTA
x
7.
nORMALIZATORSILOWSKOJPODGRUPPY
x
8.
sILOWSKIEPODGRUPPYW
S
n
x
9.
gRUPPYPORQDKA
pq
METACIKLI^ESKIEGRUPPY
x
10.
gRUPPYPORQDKA
p
3
\KSTRASPECIALXNYEGRUPPY
gruppy
:
firstdraught
5
x
11.
tEOREMAdIKSONA
x
12.
hOLLOWSKIEPODGRUPPY
10.
kOMMUTATORYIKOMMUTANT
x
1.
kOMMUTATORY
KOMMUTANT
ABELIANIZACIQ
x
2.
kOMMUTANT
S
n
I
GL(
n;K
)
x
3.
tEOREMAoRE
PROBLEMAoRE
x
4.
nEKAVDYJ\LEMENTKOMMUTANTAQWLQETSQKOMMUTATOROM
:1stinstalment
x
5.
nEKAVDYJ\LEMENTKOMMUTANTAQWLQETSQKOMMUTATOROM
:2ndinstalment
x
6.
[email protected]
METOD{RAJERA
x
7.
tOVDESTWASKOMMUTATORAMI
x
8.
wZAIMNYJKOMMUTANT
LEMMAOTREHPODGRUPPAH
x
9.
tEOREMA{URA
x
10.
nILXPOTENTNOSTXIRAZRE[IMOSTX
SINOPSIS
x
11.
nILXPOTENTNYEGRUPPY
x
12.
kONE^NYENILXPOTENTNYEGRUPPY
x
13.
pODGRUPPAfITTINGA
x
14.
rAZRE[IMYEGRUPPY
x
15.
tEOREMAkOL^INA
{
mALXCEWA
x
16.
sWERHRAZRE[IMYEGRUPPY
x
17.
lOKALXNONILXPOTENTNYEGRUPPY
x
18.
lOKALXNORAZRE[IMYEGRUPPY
x
19.
tEOREMAvORDANA
-
gELXDERA
11.
oSNOWNYEKONSTRUKCIINADGRUPPAMI
x
1.
wNUTRENNIEPRQMYEPROIZWEDENIQ
x
2.
pO^TIPRQMOEPROIZWEDENIE
x
3.
cENTRALXNOEPROIZWEDENIQ
x
4.
oGRANI^ENNYEPRQMYEPROIZWEDENIQ
x
5.
sLABYEPRQMYEPROIZWEDENIQ
/
PRQMYESUMMY
x
6.
pODPRQMYEPROIZWEDENIQ
x
7.
pOLUPRQMYEPROIZWEDENIQ
x
8.
aFFINNAQGRUPPA
x
9.
rAS[IRENIQGRUPP
RAS][email protected]]IESQINERAS][email protected]]IESQRAS[IRENIQ
x
10.
tEOREMA{URA
{
cASSENHAUZA
x
11.
[email protected]^ENNOEPROIZWEDENIE
x
12.
iNDUKTIWNYJPREDEL
x
13.
pROEKTIWNYJPREDEL
x
14.
sPLETENIE
x
15.
sPLETENIEI\KSPONENCIROWANIEGRUPPPERESTANOWOK
x
16.
sPLETENIEGRUPPPERESTANOWOKILINEJNYHGRUPP
x
17.
tENZORNOEPROIZWEDENIEABELEWYHGRUPP
x
18.
tENZORNOEPROIZWEDENIELINEJNYHGRUPP
12.
sWOBODNYEKONSTRUKCII
x
1.
oPREDELENIESWOBODNYHGRUPP
x
2.
kONSTRUKCIQSWOBODNOGOMONOIDA
x
3.
kONSTRUKCIQSWOBODNOJGRUPPY
x
4.
kLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOWSWOBODNOJGRUPPY
x
5.
tEOREMAnILXSENA
{
{RAJERA
6
nikolajwawilow
x
6.
kOMMUTANTSWOBODNOJGRUPPY
x
7.
tEOREMAnILXSENAOBAWTOMORFIZMAHSWOBODNOJGRUPPY
x
8.
sWOBODNOEPROIZWEDENIEGRUPP
x
9.
pRIMERYSWOBODNYHPROIZWEDENIJ
x
10.
gEOMETRI^ESKIEMODELISWOBODNYHPROIZWEDENIJ
x
11.
sWOBODNYEPODGRUPPYGRUPPYMONOTONNYHOTOBRAVENIJ
x
12.
aMALXGAMIROWANNOEPROIZWEDENIE
x
13.HNN-
RAS[IRENIE
x
14.
gRUPPYSODNIMSOOTNO[ENIEM
x
15.
tEOREMAOSWOBODE
12.
[email protected]]IEISOOTNO[ENIQ
x
1.
[email protected]]IMIISOOTNO[ENIQMI
x
2.
pROBLEMYd\NA
x
2.
aLGORITMkOKSETERA
{
tODDA
x
3.
zADANIESIMMETRI^ESKOJGRUPPY
x
4.
zADANIEOKTA\DRALXNOJGRUPPY
x
5.
gRUPPYkOKSETERA
x
6.
gRUPPYKOS
x
7.
gRUPPYTREUGOLXNIKA
x
8.
gURWICEWYGRUPPY
x
9.
oBOB]ENNYEGRUPPYTREUGOLXNIKA
x
10.
dICIKLI^ESKAQGRUPPA
x
11.
bINARNYEGRUPPYMNOGOGRANNIKOW
x
12.
gRUPPYTETRA\DRA
x
13.
oBOB]ENNYEGRUPPYTETRA\DRA
x
14.
gRUPPYcARANOWA
x
15.
gRUPPYFONdIKA
x
16.
fUKSOWYGRUPPY
x
17.
gRUPPAsTEJNBERGA
x
18.
tEOREMAsTEJNBERGA
x
19.
pROBLEMAbERNSAJDA
SINOPSIS
x
20.
oB]AQPROBLEMAbERNSAJDA
x
21.
oGRANI^ENNAQPROBLEMAbERNSAJDA
x
22.
oSLABLENNAQPROBLEMAbERNSAJDA
Indexrerum
Indexpersonae
gruppy
:
firstdraught
7
WassindundwassollendieGruppen
ThetheoryofgroupsisabranchofMathematicsinwhichonedoess
ome-
thingtosomethingandthencomparestheresultwiththeresulto
fdoing
thesamethingtosomethingelse,orsomethingelsetothesam
ething.
JamesNewman
LangebevormansichmitPermutationenbeschaftigte,wurdenm
athema-
tischeFigurenkonstruiert,dieaufdasengstemitGruppentheori
ezusam-
menhangenundnurmitgruppentheoretischenBegri enerfatwerd
enkon-
nen,namlichdieregularenMuster,welchedurchBewegungenun
dSpiegel-
ungenmitsichselbstzurDeckunggebrachtwerdenkonnen.Insb
esondere
bestanddievonGriechenvielbewunderteagyptischeMathema
tikzweifel-
losinderAundungsolcherFiguren.Inderarabischenundpersi
schen
KunsterlebtedieagyptischeOrnamentikeinenneuengewalti
genAuf-
schwungundschufGebildevonunerhorterVollendungundmath
ematischer
Tiefe.IndergotischenArchitekturtri tmansogarkompliziert
eRaum-
gruppen
4
.
AndreasSpeiser
5
,[Sp],S.1{2.
wNASTOQ]EJGLAWEMYNA^INAEMIZU^ENIEPERWOJIZFUNDAMENTALXNYHKLASSI^ESKIH
STRUKTURALGEBRY
{
GRUPP
.
wAVNOSTXPONQTIQGRUPPYDLQMATEMATIKIWCELOMSOPOSTAWIMA
[email protected]
,
MNOVESTWO
,
OTOBRAVENIE
,
KOLXCO
,
MODULX
,
TOPOLOGI^ESKOEPROSTRANSTWO
,
MNOGOOBRAZIE
,
MERA
,...
oFICIALXNOTEORIQGRUPPWOZNIKLAW
NA^ALE
XIX
WEKAIZTREHOSNOWNYHISTO^NIKOW
:
TEORIQ^ISEL
,
TEORIQALGEBRAI^ESKIH
URAWNENIJ
GEOMETRIQ
.
sAMTERMINGRUPPAWPERWYEWWELW
1830
GODU|WARISTgALUA
6
.
|TOTTERMINPROISHODITOT
`grouperlespermutations'{`
GRUPPIROWATXPERESTANOWKI
'.
wKA
-
^ESTWETIPI^NO{PENGLEROWSKOGOSOWPADENIQOTMETIM
,
^TOWTOMVESAMOM
1830
GODU
,
KOGDA
4
zADOLGODOTOGO
,
[email protected]^ALIZANIMATXSQPERESTANOWKAMI
,
ONIKONSTRUIROWALIMA
-
TEMATI^ESKIEFIGURY
,
KOTORYETESNEJ[IMOBRAZOMSWQZANYSTEORIEJGRUPPIKOTORYEMOV
-
NOWYRAZITX
TOLXKO
WTEORETIKO
-
GRUPPOWYHTERMINAH
,
AIMENNO
,
REGULQRNYEORNAMENTY
,
KOTORYEPEREWODQTSQWSEBQDWIVENIQMIIOTRAVENIQMI
.
w^ASTNOSTI
,
eGIPETSKAQmATEMA
-
TIKA
,
KOTOROJSTOLXWOSHI]ALISXgREKI
,
NESOMNENNOSOSTOQLAIMENNOWPOISKETAKIHFIGUR
.
eGIPETSKAQoRNAMENTIKAPEREVILANOWYJMO]NYJWZLETWaRABSKOMIpERSIDSKO
MISKUS
-
STWE
,
GDEONASOZDALAOBRAZCY
NESLYHANNOGO
SOWER[ENSTWAIMATEMATI^ESKOJGLUBINY
.
w
GOTI^ESKOJARHITEKTUREWSTRE^[email protected]
.
5
{PAJZERaNDREAS
(10.06.1885,
bAZELX
|1970)|
[WEJCARSKIJALGEBRAIST
,
OSNOWNYE
RABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIGRUPPIEEGEOMETRI^ESKIMPRILOVENIQMIISTORII
MATEMATIKI
.
6
|WARISTgALUA
(25.10.1811{31.05.1832){
ODINIZSAMYHUDIWITELXNYHMATEMATIKOWWO
WSEJISTORIINA[EJNAUKI
,
OKAZAW[IJGROMADNOEWLIQNIENAEEDALXNEJ[EERAZWITIE
,
TEM
BOLEEPORAZITELXNOE
,
^TOONBYLUBITNADU\LIWWOZRASTE
20
LET
.
eGOSAMOEZAME^ATELXNOE
DOSTIVENIESOSTOITWTOM
,
^TO
(
WWOZRASTE
16{18
LET
!)
ONPOLU^ILPOLNYJOTWETNAWOPROS
ORAZRE[IMOSTIURAWNENIJWRADIKALAH
.
oDNAKONIkO[I
,
NIfURXE
,
NIpUASSONNESMOG
-
LIPONQTXEGORABOTI
`
POTERQLI
'
RUKOPISISTATEJ
,
PREDSTAWLENNYHIMW
ComptesRendus
(
WPRO^EM
,
POTOMkO[IOPUBLIKOWALTU^ASTX\TIHRABOT
,
[email protected]
,
POD
SWOIMIMENEM
).
sREDIPRO^EGOgALUAWWELPONQTIQGRUPPY
,
POLQ
,
NORMALXNOJPODGRUPPY
,
PROSTOJIRAZRE[IMOJGRUPPY
,etc.
mNOGOWAVNEJ[IHPONQTIJALGEBRYNAZWANYWEGO^ESTX
:
TEORIQgALUA
,
GRUPPAgALUA
,
POLQgALUA
,
SOOTWETSTWIEgALUA
,
KOGOMOLOGIIgALUA
.
{IROKOJ
PUBLIKEgALUAIZWESTENGLAWNYMOBRAZOMPOROMANTI^ESKOJLEGENDEPOROVDENNO
JTEM
,
^TO
[email protected]
,
DWARAZANEBYLPRINQTW
l'EcolePolytechnique
[email protected]^EN
IZ
l'EcoleNormale,
[email protected]
,
IT
.
.
nENADEQSXBOLEENA^ESTNOSTX
[email protected]{EWALXE
gALUAPRO
-
SITSOOB]ITXSWOIREZULXTATYOBALGEBRAI^ESKIHFUNKCIQHgAUSSUIqKOBI
.
rABOTYgALUA
BYLIPEREOTKRYTYW
1846
GODUlIUWILLEM
,
A[IROKOEPRIZNANIEPOLU^ILITOLXKOW
1870-
H
GODAH
.
8
nikolajwawilow
gALUAWPERWYEUPOTREBILTERMIN
`
GRUPPA
',
gESSELXOSU]ESTWILWYWOD
32
KRISTALLOGRAFI
-
^ESKIHKLASSOW
.
oDNAKOQSKLONENWERITX
,
^TOWDEJSTWITELXNOSTIPONQTIEGRUPPYQWLQETSQ
DREWNEJ
-
[IM
MATEMATI^ESKIMPONQTIEM
,
BOLEEDREWNIM
,
^EMPONQTIE^ISLA
,
INEOTDELIMYMOT
SAMOJ^ELOWE^ESKOJCIWILIZACII
.
[email protected]
[email protected]
,
[email protected]
,
AWTOMORFIZMY
,
OBRATIMYEPREOBRAZOWANIQ
.
iNYMISLOWAMI
,
[email protected]
,
[email protected]]IE
-
SQISAMOWOSPROIZWODQ]IESQUZORY
(patterns).
a^ELOWE^ESKAQKULXTURA
,
PODOBNOPRIRODEI
VIZNI
,
SOSTOITWSOSTAWLENIIUZOROW
.
iMENNONA\TOMOSNOWANAWEZDESU]NOSTXIDEIGRUPPY
,
UNIWERSALXNOSTX\TOGOPONQTIQIOGROMNOERAZNOOBRAZIEEGOPRILOVENIJWSAMOJM
ATEMA
-
TIKE
,
ATAKVEWISKUSSTWE
,
FIZIKE
,
HIMII
,
KRISTALLOGRAFII
,
TEORIIPEREDA^IINFORMACII
,
KRIPTOGRAFII
,...
gruppy
:
firstdraught
9
aSTRALXNYJPLAN
Probabilityisamathematicaldisciplinewhoseaimsareakint
othose,
forexample,ofgeometryoranalyticalmechanics.Ineach eld
wemust
carefullydistinguishthreeaspectofthetheory:
(a)theformallogicalcontent,
(b)theintuitivebackground,
(c)theapplications.
Thecharacter,andthecharm,ofthewholestructurecannotbeappre
ciated
withoutconsideringallthreeaspectsintheirproperrelation.
WilliamFeller
7
wSQKIJPREDMET
(
NEODU[EWLENNYJISOZDANNYJ^ELOWEKOM
)
OBLADAET
^ETYRXMQRABO^IMIZNA^ENIQMIIPQTYMSU]IMZNA^ENIEM
.
pERWYE
^ETYRESUTX
:1)
NA^ERTATELXNOEZNA^ENIE
(
GEOMETRI^ESKOE
),2)
CELEWOE
ZNA^ENIE
(
UTILITARNOE
),3)
ZNA^ENIE\MOCIONALXNOGOWOZDEJSTWIQNA
^ELOWEKA
,4)
ZNA^ENIE\STETI^ESKOGOWOZDEJSTWIQNA^ELOWEKA
.
pQTOE
ZNA^ENIEOPREDELQETSQSAMIMFAKTOMSU]ESTWOWANIQPREDMETA
.
oNO
WNESWQZIPREDMETAS^ELOWEKOMISLUVITSAMOMUPREDMETU
.
pQTOE
ZNA^ENIE
{
ESTXSWOBODNAQWOLQPREDMETA
.
~ELOWEK
,
WSTUPAQWOB]ENIE
SPREDMETOM
,
ISSLEDUETEGO^ETYRERABO^IHZNA^ENIQ
.
pRIPOMO]I
IHPREDMETUKLADYWAETSQWSOZNANII^ELOWEKA
,
GDEIVIWET
.
eSLI
BY^ELOWEKNATOLKNULSQNASOWOKUPNOSTXPREDMETOWTOLXKOSTREMQ
IZ^ETYREHRABO^IHZNA^ENIJ
,
TOPERESTALBYBYTX^ELOWEKOM
.
dANIILhARMS
,`
pREDMETYIFIGURY
,
OTKRYTYEdANIILOMiWANOWI^EM
hARMSOM
'
pRIOBRETENIE^[email protected]^AETWSEBQTRINAUKI
.
pERWAQ
|
\TONAUKAOBY^NOGOZNANIQ
;
WTORAQ
|
NAUKANEOBY^NYHDUHOWNYH
SOSTOQNIJ
,
^ASTONAZYWAEMYH\KSTAZOM
,
,
NAKONEC
,
TRETXQINAIBO
-
LEEWAVNAQNAUKA
|
NAUKAISTINNOJREALXNOSTI
:
NAUKA
,
[email protected]]AQ
-
SQIZU^ENIEMTOGO
,
^TONEIZMERIMOWY[EPREDMETOWIZU^ENIQPERWYH
DWUHNAUK
.
tOLXKOREALXNOEWNUTRENNEEZNANIESOSTAWLQETZNANIENAUKIIS
-
TINNOJREALXNOSTI
.
pERWYEVEDWENAUKILI[[email protected]
,
KAVDAQ
PO
-
SWOEMU
,
[email protected]
.
oNIPO^TIBESPOLEZNYBEZNEE
.
pREDSTAWIMSEBEKU^ERA
.
oNSIDITNAKOZLAH\KIPAVAIUPRAWLQET
LO[[email protected]
,
KOTORAQTQNETZASOBOJ\KIPAV
.
|KIPAV
|
\TOINTELLEKT
,
WYS[AQFORMA
,
WPREDELAHKOTOROJMYNAHODIMSQ
,
KOGDASOZNAEMSWOE
SU]ESTWOWANIEIRE[AEM
,
^TONAMDELATX
.
|KIPAVDAETWOZMOVNOSTX
LO[ADIIEZDOKUDEJSTWOWATX
.
|TOTO
,
^TOMYNAZYWAEM
\
TA[KIL
",
WNE[NQQOBOLO^KAILIFORMULIROWKA
.
lO[ADX
,
[email protected]]AQSQDWIVU
-
]EJSILOJ
,
SIMWOLIZIRUET\[email protected]
,
[email protected]
\
\MOCIONALX
-
NYMSOSTOQNIEM
",
AINOGDAKAK
-
NIBUDXPO
-
DRUGOMU
.
oNANEOBHODIMA
,
^TOBYPRIWESTIWDWIVENIE\KIPAV
.
~ELOWEK
,
WNA[EJSHEME
,
ESTXTOT
,
KTOWOSPRINIMAETNAILU^[IMOBRAZOMCELXIWOZMOVNOSTISITUACII
INAPRAWLQET\KIPAVWZADANNOMNAPRAWLENII
.
kAVDYJIZ\TIHTREH\LEMENTOW
,
WZQTYJWOTDELXNOSTI
,
SPOSOBEN
WYPOLNQTXSWOIFUNKCII
,
PRI^EMDOSTATO^NOPRAWILXNO
.
nOOB]AQ
FUNKCIQ
,
[email protected]\KIPAVAKCELI
,
NEMOVET
OSU]ESTWLQTXSQDOTEHPOR
,
POKADEJSTWIQTREH\LEMENTOWNEBUDUT
SOGLASOWANY
PRAWILXNYMOBRAZOM
.
iDRIS{AH
,`
sKAZKIDERWI[EJ
'
8
7
w
.
fELLER
,
[email protected]
,
.1,1967,
mIR
,
m
.,
S
.1{498.
8
iDRIS{[email protected]]IJKOMMENTARIJ
:`
\TOTOTKRYWOKZAPISANWDERWI[SKOMMA
-
NUSKRIPTENAPERSIDSKOMQZYKE
.
rAZLI^NYEWARIANTYEGONAJDENYWTAKIHGEOGRAFI^ESKI
UDALENNYHDRUGOTDRUGA[KOLAH
,
KAKDAMASSKAQIDELIJSKAQ
'.
10
nikolajwawilow
iZLOVENIEW\TOJKNIGENESKOLXKONEOBY^NO
.
~TOBYBYTXMATEMATIKOM
,
NUVNOPONIMATX
,
ZNATX
,
UMETXIMO^X
.
iNYMISLOWAMI
,
MATEMATIKASU]ESTWUETODNOWREMENNONA^ETYREH
UROWNQH
:
MISTI^ESKOM
,
FAKTI^ESKOM
,
TEHNI^ESKOM
PRAKTI^ESKOM
{
,
KAKSKAZALI
BYDREWNIE
,
W^ETYREHSTIHIQH
(
NA^ALAH
alias
\LEMENTAH
):
PLANEOGNQ
,
PLANEZEMLI
,
PLANE
WODYIPLANEWOZDUHA
.
pROFESSIONALXNYJMATEMATIKZNAET
,
^TOTOLXKOGARMONIQWSEHPLANOW
PRIWODITKMATEMATIKEBOLX[OGOSTILQ
.
[email protected]]EEBOLX[INSTWOU^[email protected]@^I
-
TELXNONAFAKTI^ESKOMPLANE
,
SOOB][email protected]
,
[email protected]
,
PRITOMNETO^[email protected]
-
REW[[email protected]
!
qBYOHARAKTERIZOWAL\TOZANQTIEKAK
exerciseinfutility.
mATEMATIKA
,
KAKGOWORIT
EENAZWANIE
,
QWLQETSQDOKTRINOJIKORPUSOMZNANIJ
(bodyofknowledge){
NOWOWSENEWLADE
-
NIEDOKTRINOJIKORPUSOMZNANIJDELAET^ELOWEKAMATEMATIKOM
.
nELXZQZNATXMATEMATIKU
,
NOMOVNO
BYTX
MATEMATIKOM
.
bYTXMATEMATIKOMOZNA^AET
,
[email protected]^EREDX
,
WIDETX
,
OB
-
LADATXSWERHZRENIEM
,
[email protected]]IMSMOTRETXSKWOZXSTENYIPOWERHBARXEROW
.Echihagli
occhinellafronteenellamente.
[email protected]
,
ANALOGIQIMETAFORA
.
pRI
\[email protected]
,
TAKOJ
,
SKAVEM
,
KAKKWANTOWAQ
MEHANIKA
(
KWANTOWANIE
,
TUNNELXNYJ\FFEKT
,
PRINCIPNEOPREDELENNOSTI
,
PRINCIPDOPOLNI
-
TELXNOSTI
,
[email protected]_EKTIT
.
.)
MOGUTSLUVITXMETAFOROJPARAL
-
LELXNYHIMQWLENIJWPSIHOLOGIIILILINGWISTIKE
.
oB]EKULXTURNAQROLXMATEMATIKII
EEPRIKLADNOEZNA^ENIEOSNOWANYNATOM
,
^TOMATEMATIKAWSILUOB]NOSTI
,
GIBKOSTI
,
TO^
-
NOSTI
,
[IROTYI\KSPRESSIWNOSTISWOEGOQZYKA
,
MOVETSLUVITXMETAFOROJWSEMUNASWETE
.
nO\TOMOVNOPRO^ESTXIWOBRATNOMNAPRAWLENII
:
WSENASWETE
{
[email protected]
,
[email protected]
PREDMET
,
[email protected]
,
WSTRE^[email protected]]IESQWPRIRODE
,
BYTU
,
NAUKE
,
ISKUSSTWE
,
IGRE
{
MOVET
SLUVITXMATERIALOMDLQMOTIWACII
,
KRISTALLIZACIIILIOB_QSNENIQMATEMATI^ESKIHIDEJ
IKONSTRUKCIJ
.
nELXZQZASTAWITXPONQTX
,
KAKNELXZQNAU^ITXWIDETX
.
mOVNO
,
ODNAKO
,
PODWESTIU^ENIKA
KPEREKRESTKU
,
GDEPUTXNEBASHODITSQSPUTEMZEMLIIPUTEM^ELOWEKA
,
ISKAZATX
{
SMOTRI
!
kRASOTAWGLAZUSMOTRQ]EGO
.
pRIGOR[NQFILOSOFEM
Herearemyprinciples.Ifyoudon'tlikethem,Ihaveothers.
GrouchoMarx
dLQBOLEEKWALIFICIROWANNOGO^ITATELQOTMETIMNESKOLXKOPRINCIPIALXNYHIDEOLOGI
-
^ESKIHSOOBRAVENIJ
,
[email protected]]IHWYBORIOSWE]ENIEMATERIALA
.

wPRILOVENIQHTEORIIGRUPPWMATEMATIKEIZAEEPREDELAMI
,
KAKPRAWILO
,
[email protected]
NEGRUPPYSAMIPOSEBE
,
A
DEJSTWIQ
GRUPP
,
BUDXTOPERESTANOWO^NYEDEJSTWIQKONE^NYH
GRUPP
,
LINEJNYEDEJSTWIQGRUPPlI
9
IALGEBRAI^ESKIHGRUPPILINEPRERYWNYEDEJSTWIQ
TOPOLOGI^ESKIHILIDISKRETNYHGRUPPNAMNOGOOBRAZIQH
,
GRAFAHIDRUGIHGEOMETRI^ESKIH
OB_EKTAH
.
wMATEMATIKEGRUPPA^A]EWSEGO
(
NONEWSEGDA
!)
WOZNIKAETKAK
GRUPPAAWTO
-
MORFIZMOW
KAKOJ
-
TOSTRUKTURYTO^NOTAKVE
,
KAKALGEBRAlI^A]EWSEGOWOZNIKAETKAK
ALGEBRAlIDIFFERENCIROWANIJ
.
pO\[email protected]^ALXNOGO\TAPAIZU^ENIQTEORII
GRUPPDOLVNABYTXPODGOTOWKAKIZU^[email protected]
TEORIIPREDSTAWLENIJ
,
[email protected]^EREDXPE
-
RESTANOWO^NYHILINEJNYH
.
|TOZNA^IT
,
^TOIZU^ENIETEORIIGRUPPDOLVNONA^INATXSQS
DWUHPRIMEROW
:
SIMMETRI^ESKOJGRUPPY
S
n
POLNOJLINEJNOJGRUPPY
GL(
n;K
).
9
sOFUSlI
(17.12.1842,Nordfjordeid(
POSELOKNEDALEKOOTbERGENA
){18.02.1899,
kRI
-
STIANIQ
(
NYNEoSLO
)){
ZAME^ATELXNYJNORWEVSKIJMATEMATIK
,
OSNOWATELXTEORIIGRUPPI
ALGEBRlI
.
pOOB][email protected]
XX
WEKWMATEMATIKEBYLWEKOMTEORIIlI
,
WTOMVE
SMYSLE
,
WKOTOROM
XVIII
WEKBYLWEKOMWE]ESTWENNOGOANALIZA
,
A
XIX
WEK
{
WEKOMKOMPLEKS
-
NOGOANALIZA
.
w
1869{1870
GODAHPOLU^[email protected]
,
GDEBLIZKOPODRUVILSQSkLEJNOM
.
wOWREMQ\[email protected]]EEZNA
-
^ENIETEORIIGRUPPDLQMATEMATIKI
.
sTEHPOROSNOWNOJTEMOJEGOISSLEDOWANIJSTALI
NEPRERYWNYEGRUPPY
,
IIHPRILOVENIQWGEOMETRII
,
TEORIIDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
IMEHANIKE
.
w
1872{1886
1898{1899
GODAHBYLPROFESSOROMUNIWERSITETAWkRISTIANII
,
A
W
1886{1898
GODAH
{
WlEJPCIGE
.
wNA[[email protected]
,
SKOBKAlI
,
GRUPPY
lI
,
TEORIQlIINESKOLXKOTEOREMlI
.
gruppy
:
firstdraught
11

wDEJSTWITELXNOSTI
,
S
n
GL(
n;K
)
\TO
ODINITOTVEPRIMER
.
sODNOJSTORONY
,
WEKTORNYEPROSTRANSTWA\TOMNOVESTWASDOPOLNITELXNOJSTRUKTUROJ
.
sDRUGOJSTORONY
,
[email protected]
^ASTNYMSLU^AEM
WEKTORNYHPROSTRANSTW
.
aIMENNO
,
MNOVESTWO
{
\TOPROSTOWEKTORNOEPROSTRANSTWONADPOLEMIZODNOGO\LEMENTA
,
[email protected]]EESOSWOIM
BAZISOM
.
pODLINNYJSMYSL\TOGOUTWERVDENIQSTANOWITSQPONQTENTOLXKO
POSLE
IZU^ENIQ
TEORIIPREDSTAWLENIJITEORIIINWARIANTOW
,
NOOBOZNA^ENIQ
,
TERMINOLOGIQISAMAPOSTA
-
NOWKAWOPROSOWDOLVNYSSAMOGONA^ALAPRIU^ATXKANALOGIIMEVDUPERESTANOWKAMI
IMAT
-
RICAMI
.
nAPRIMER
,
MNOVESTWO
k
-
\LEMENTNYHPODMNOVESTWSLEDUETRASSMATRIWATXKAK
k
-
@
WNE[[email protected]@STEPENXMNOVESTWAIT
.
.
fORMALXNYMWOPLO]ENIEM\TOJIDEIQWLQETSQTEORIQ

-
KOLEC
[tD],[Hus].

cENTRALXNYMOB_EKTOM
WSEJ
MATEMATIKI
XX
WEKAQWLQETSQPONQTIEGRUPPY
SDO
-
POLNITELXNOJSTRUKTUROJ
:
TOPOLOGI^ESKIEGRUPPY
,
WE]ESTWENNYEIKOMPLEKSNYEGRUP
-
PYlI
,
ALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
10
,
p
-
ADI^ESKIEANALITI^ESKIEGRUPPY
,
PROKONE^NYEGRUPPY
,
ADELXNYEGRUPPY
,etc.A
topologicalgroup
isperhaps
the
mostimportantconceptinmodern
Mathematics([Mau],
STR
.125).
|TOPONQTIELEVITWOSNOWENETOLXKOALGEBRYITOPOLOGII
,
NO
IrIMANOWOJGEOMETRII
,
ALGEBRAI^ESKOJGEOMETRII
,
TEORIIKOMPLEKSNYHANALITI^ESKIHPRO
-
STRANSTW
,
TEORII^ISEL
,
TEORIIAWTOMORFNYHFUNKCIJ
,
FUNKCIONALXNOGOIGARMONI^ESKOGO
ANALIZA
,
TEORIISPECIALXNYHFUNKCIJ
,
TEORIIINTEGRIROWANIQ
,
TEORIIDIFFERENCIALXNYH
URAWNENIJ
,
\RGODI^ESKOJTEORII
(
NEGOWORQUVEOPRILOVENIQHWFIZIKE
!)

nAIBOLEEINTERESNYEGRUPPY
{
\TO
KONKRETNYE
GRUPPY
:
GRUPPYSIMMETRIIGEOMETRI
-
^ESKIHKONFIGURACIJ
,
PROSTYEKONE^NYEGRUPPY
,
PROSTYEALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
,
KLASSI
-
^ESKIEGRUPPY
,
GRUPPYDWIVENIJ
,
GRUPPYTIPAlI
,
GRUPPY{EWALLE
,
GRUPPYsTEJNBERGA
,
GRUPPYkOKSTERA
,
GRUPPYwEJLQ
,
GRUPPY
,
POROVDENNYESPECIALXNYMI\LEMENTAMI
(
OTRA
-
VENIQMI
,
PSEWDOOTRAVENIQMI
,
KORNEWYMI\LEMENTAMI
,
KWADRATI^NYMI\LEMENTAMI
,etc.),
KRISTALLOGRAFI^ESKIEGRUPPY
,
SPORADI^ESKIEGRUPPY
,etc.
iMENNOKIZU^[email protected]\TIHGRUPP
OTNOSITSQ
[email protected]]AQ
^ASTXNAIBOLEESODERVATELXNYH
,
GLUBOKIH
,
TRUDNYHIPOLEZNYH
REZULXTATOWTEORIIGRUPP
.

iZU^ENIE
ABSTRAKTNYHBESKONE^NYHGRUPP
ALGEBRAI^ESKIMIMETODAMI^REZWY^AJNO
SLOVNO
,
WBOLX[INSTWESLU^AEWNEO^ENXINTERESNO
,
AZA^[email protected][ENNOBESSODER
-
VATELXNO
.
tEORIQBESKONE^NYHGRUPPQWLQETSQRAZDELOM
GEOMETRII
,
ANEALGEBRY
.
dAVE
WTEHSLU^AQH
,
KOGDA^ISTOALGEBRAI^ESKOEIZU^ENIEABSTRAKTNYHGRUPPWOZMOVNOIPLO
-
DOTWORNO
(
SWOBODNYEGRUPPY
,
SWOBODNYEPROIZWEDENIQ
,
AMALXGAMY
,
GRUPPYbERNSAJDA
,etc.)
TOLXKO
GEOMETRI^ESKAQREALIZACIQMOVETDATXNASTOQ]EEPONIMANIE
.
nAPRIMER
,
SWOBODNAQ
GRUPPAQWLQETSQ
FUNDAMENTALXNOJGRUPPOJGRAFA
WSE
OTNOSQ]IESQKNEJREZULXTATY
ESTESTWENNEEWSEGODOKAZYWATXIMENNONA\TOMQZYKE
.

pONQTIE
KONE^NOJGRUPPY
SODERVATELXNOKAKSAMOPOSEBETAKI
,
WOSOBENNOSTI
,
W
[email protected]^NYHGRUPPWALGEBRAI^ESKOJTEORII^ISEL
,
KOMBINATORIKE
,
TEORIIKODI
-
ROWANIQ
,
TEORIIRE[ETOK
,
KLASSIFIKACIIMNOGOOBRAZIJ
,
IT
.
.
kONE^[email protected]
LINEJNYMIIALGEBRAI^ESKIMI
,
WKLASSEKONE^NYHGRUPPMOVNOPROWODITX^ISTOALGEBRAI^E
-
SKIEDOKAZATELXSTWA
INDUKCIEJPOPORQDKU
TO^NOTAKVE
,
KAKWKLASSESWQZNYHALGEBRAI
-
^ESKIHGRUPPMOVNOPROWODITX
[email protected]
11
.
kONE^NYEGRUPPYUSTROENY
GORAZDOSLOVNEE
,
^EMALGEBRAI^ESKIEGRUPPYNADALGEBRAI^ESKIZAMKNUTYMPOLEM
(
ESLI
,
KO
-
NE^NO
,
INTERESOWATXSQTOLXKOZAMKNUTYMIPODGRUPPAMI
,
RACIONALXNYMIPREDSTAWLENIQMI
IT
.
.!)
IGORAZDOPRO]E
,
^EMALGEBRAI^ESKIEGRUPPYNADPROIZWOLXNYMPOLEM
.
pERWYM
[AGOMKRE[[email protected]@BOGOWOPROSAOKONE^NYHGRUPPAHQWLQETSQRE[ENIESOOTWETSTWU
@]EGO
WOPROSAOBALGEBRAI^ESKIHGRUPPAHNADALGEBRAI^ESKIZAMKNUTYMPOLEM
.
kLASSIFIKACIQ
DAETWOZMOVNOSTXPOLU^ATX^ISTOALGEBRAI^ESKIEOTWETYNAMNOGIE
ESTESTWENNO
WOZNIKA
-
@]IEWOPROSY
,
OTNOSQ]IESQKKONE^NYMGRUPPAM
.
tEMNEMENEE
,
DAVEPRIANALIZEKONE^NYH
10
[email protected]
,
KOGDAPERWYJRAZUWIDELWYRAVENIE
`
ALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
'
{
PONAIWNOSTIQTOGDAS^ITAL
,
^TOALGEBRAI^ESKIEGRUPPY\TO
ABSTRAKTNYE
GRUPPY
.
w
DEJSTWITELXNOSTI
,
ALGEBRAI^ESKAQGRUPPA
,
\TOGRUPPA
,
KOTORAQODNOWREMENNOQWLQETSQALGEB
-
RAI^ESKIMMNOGOOBRAZIEM
,
PRI^EMOTOBRAVENIQ
,
[email protected]]IESTRUKTURUGRUPPY
,
[email protected]
MORFIZMAMIMNOGOOBRAZIJ
.
11
sTO^KIZRENIQ
TEORIIMODELEJ
PORQDOKIRAZMERNOSTX
{
\TOODNOITOVE
,
ITOIDRU
-
[email protected]^ASTNYMISLU^AQMI
RANGAmORLI
,
SM
.
sPRAWO^NAQKNIGAPOMATEMATI^ESKOJ
LOGIKE
,
~ASTX
I,
TEORIQMODELEJ
,
nAUKA
,
m
,1982,
S
.1{391.
12
nikolajwawilow
GRUPPZNA^ITELXNOPRODUKTIWNEEPOLXZOWATXSQGEOMETRI^ESKIMIREALIZACIQMISWQZANNYM
[email protected]]EJALGEBRAI^ESKOJGRUPPOJ
,
LIBO
,
ESLISGRUPPOJNESWQZANONIKAKIHKLAS
-
SI^ESKIHGEOMETRIJ
,
[email protected]@ISHODQIZSAMOJGRUPPY
(
BILDINGI
,
DIAGRAMMNYEGEOMETRIIIT
.
.).

sKAVDOJGRUPPOJSWQZANO
GRUPPOWOEKOLXCO
.
oPISANIELINEJNYHPREDSTAWLENIJ
GRUPPY\[email protected]
.
tEMSAMYM
,
TEORIQ
PREDSTAWLENIJGRUPPWKLADYWAETSQWBOLEEOB][email protected]
[email protected]
-
NYHKOLEC
.
tEMNEMENEE
,
OTDELXNOEIZLOVENIEKLASSI^ESKOJ
{
POLUPROSTOJ
{
TEORII
PREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPPWPOLNEOPRAWDANO
,
[email protected]]IMPRI^INAM
.
wO
-
PERWYH
,
\TO
SLU^AJ
,
[email protected]]IJNAIBOLX[[email protected]]EGOBOLX[INSTWAPRILOVENIJ
ZAPREDELAMIALGEBRY
.
wO
-
WTORYH
,
\TOMODELXGARMONI^ESKOGOANALIZA
{
KONE^NOMERNAQ
,
NO
NEKOMMUTATIWNAQ
!
wSILUKONE^NOMERNOSTIZDESXNEPROISHODITOTWLE^ENIQWNIMANIQNA
WTOROSTEPENNYEWOPROSYSHODIMOSTI
,
SDRUGOJSTORONY
,
WSILUNEKOMMUTATIWNOSTIWOZNI
-
KAETGORAZDOLU^[EEPONIMANIEDEJSTWITELXNOWAVNYHSTRUKTURNYHWOPROSOW
.
w
-
TRETXIH
,
PONIMANIESOWREMENNOJTEORIIPREDSTAWLENIJASSOCIATIWNYHKOLEC
{
IDAVEPONIMANIEGO
-
RAZDOBOLEEPROSTOJTEORIIMODULQRNYHPREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPP
{
NAPRINQTOMW
OB]EMKURSEUROWNEABSTRAKCIIWPRINCIPENEWOZMOVNO
.
dELOWTOM
,
^TOW\TIHTEORI
-
QHMYDOLVNYPEREOSMYSLITXQZYK
,
TEHNIKUISAMUPROBLEMATIKUTEORIIPREDSTAWLENIJ
,
[email protected]^ESKIMSLU^AEM
.
wNEPOLUPROSTOMSLU^[email protected]^I
-
TELXNOJSTEPENIUTRA^[email protected]^ENIETAKIEKLASSI^ESKIEPONQTIQ
,
KAKNEPRIWODIMOE
PREDSTAWLENIE
,
[email protected]@NAKLASSI^ESKOMQZYKEPRIWODIT
[email protected]^[email protected]
.
sDRUGOJSTORONY
,
[email protected]
POPYTKAWWESTINANA^ALXNOMUROWNESOWREMENNYEPONQTIQ
,
DLQKOTORYHSTUDENTNEOBLA
-
DAETNIOPYTOM
,
NIMOTIWACIEJ
,
NINABOROMMYSLENNYHOBRAZOW
,
MOVETPRIWESTITOLXKOK
[email protected]
.

pONQTIEGRUPPY
ANALOGI^NO
[email protected]
ALGEBRYlI
:
WGRUPPEUMNOVENIEIGRAETROLX
SLOVENIQ
,
AKOMMUTIROWANIE
{
ROLXSKOBKIlI
.
iSPOLXZOWANIEGRUPPAWTOMORFIZMOWPOLNO
-
[email protected]@ALGEBRlIDIFFERENCIROWANIJ
.
oDNAKOPONQTIEGRUPPY
ZNA^ITELXNO
SLOVNEEPONQTIQALGEBRYlI
,
TAKKAKUMNOVENIEWGRUPPENEKOMMUTATIW
-
NO
,
PO\TOMUPREVDE
,
^[email protected]
-
TOZADA^UOGRUPPAH
,
POLEZNOWNA^ALERE[ITX
[email protected]][email protected]^UDLQALGEBRlI
.
|TAANALOGIQ^REZWY^AJNOPLODOTWORNAIKAKRU
-
KOWODQ]AQIDEQ
,
IKAKTO^NOEMATEMATI^ESKOEUTWERVDENIE
(
WTEHSLU^AQH
,
KOGDAEE
UDAETSQ
PREWRATITXWTO^NOEUTWERVDENIE
,
KAK
,
NAPRIMER
,
WTEORIIlIILIWTEORIImAGNUSA
).
|TA
ANALOGIQPOLU^AETPOLNOERAZWITIEWTEORII
ALGEBRhOPFA
(
,
KAKTEPERXPRINQTOGO
-
WORITX
,
KWANTOWYHGRUPP
),
GDEWYQSNQETSQ
,
^[email protected]^ASTNYMI
SLU^AQMIODNOGOITOGOVEOB_EKTAIWSEOTNOSQ]IESQKNIMREZULXTATYDOPUSK
[email protected]@
FORMULIROWKU
.
[email protected]^ITYWATXPARALLELIZM
GRUPPIALGEBRlINAUROWNEQZYKA
,
TEHNIKIIPOSTANOWKIWOPROSOW
.

sAMYMWAVNYM
IZWSEGO
,
^TOPROIZO[LODOSIHPORWKONE^NOJMATEMATIKE
,
QWLQETSQ
KLASSIFIKACIQKONE^NYHPROSTYHGRUPP
.
oNAOTKRYWAETWOZMOVNOSTXKPOLU^[email protected]
DOKAZATELXSTWREZULXTATOWOKONE^NYHOB_EKTAH
,
OSNOWANNYHNAPEREBORESLU^AEW
(caseby
caseanalysis).
sLEDSTWIQKLASSIFIKACII
12
DLQTAKIHOBLASTEJMATEMATIKI
,
KAKTEORIQ^I
-
SEL
,
KOMBINATORIKA
,
TEORIQgALUA
,
TEORIQRE[ETOK
,
TEORIQRIMANOWYHPOWERHNOSTEJ
,
TEORIQ
OSOBENNOSTEJ
,
TEORIQKODIROWANIQ
,
IT
.
.
NEGOWORQUVEOSAMOJTEORIIKONE^NYHGRUPPI
TEORIIPREDSTAWLENIJ
,
NETOLXKONEPRODUMANY
,
NOINENA^INALIWSERXEZPRODUMYWATXSQ
.
[email protected]
25
WEKOW
.
mOVNO
DUMATX
,
^TOISIMMETRIQKONE^NYHPROSTYHGRUPPIIZWLE^ENIEEENEPOSREDSTWENNYHSLED
-
STWIJBUDETODNOJIZWAVNEJ[IHZADA^MATEMATIKINANESKOLXKOSTOLETIJ
.
pO\TOMUKURS
TEORIIGRUPP
,
WKOTOROMNEUPOMINAETSQFORMULIROWKATEOREMYKLASSIFIKACII
,
NEQWLQETSQ
KURSOMTEORIIGRUPP
.

tEORIQALGEBRlIESTXTEORIQ
PROSTYHALGEBRlI
.
nILXPOTENTNYEIRAZRE[IMYE
[email protected]
,
ALI[XPOSTOLXKU
,
POSKOLXKU\TONEOBHODIMO
DLQKLASSIFIKACIIILIIZU^ENIQPROSTYHALGEBR
.
tO^NOTAKVETEORIQGRUPPDOLVNABYTX
TEORIEJ
PROSTYHGRUPP
.
tO
,
^TO\TONETAKIW
XX
WEKEBYLONAPISANOGROMADNOE^IS
-
LORABOTPOGRUPPAM
,
BLIZKIMKRAZRE[IMYM
,
PREDSTAWLQETSQMNEABERRACIEJ
,
SWQZANNOJS
12
u
.
fEJT
,
nEKOTORYESLEDSTWIQKLASSIFIKACIIKONE^NYHPROSTYHGRUPP
,{
uSPEHImAT
.
nAUK
,1983,
.38,N.2,
S
.127{133.
gruppy
:
firstdraught
13
TEM
,
^TOPROSTYEGRUPPYBYLIKLASSIFICIROWANYISTORI^ESKIO^ENXPOZDNO
{
DAVEPREDPO
-
LOVENIEOWOZMOVNOSTIPOLNOJKLASSIFIKACIIKONE^NYHPROSTYHGRUPPNEWYSKAZY
WALOSX
WSERXEZDONA^ALA
1960-
HGODOW
.

tEORIQ
ABELEWYHGRUPP
POSWOEJIDEOLOGIIIISPOLXZUEMOJTEHNIKEWOOB]ENEQWLQET
-
SQ^[email protected]
,
AOTNOSITSQK
LINEJNOJALGEBRE
.
kONE^NO
,
MODULINADKOLXCOM
Z
MOVNOIZU^ATXISAMIPOSEBE
,
NODEJSTWITELXNOINTERESNYJWOPROSSOSTOITWTOM
,
KAKIEIZ
SWOJSTWKOLXCA
Z
PRI\[email protected]
.
tAKIMOBRAZOM
,
REZULXTATYOBABE
-
LEWYHGRUPPAH
,
[email protected]^ENIEMKLASSIFIKACII
KONE^NOPOROVDENNYHABELEWYHGRUPP
,
WOOB][email protected]^ATXWKURSTEORIIGRUPP
.
kLASSIFIKACIQVEKONE^NOPOROVDENNYH
ABELEWYHGRUPPNASTOLXKOWAVNADLQIZU^ENIQKONE^NYHGRUPPISTO^KIZRENIQPRILOVENIJ
WTEORII^ISELIKOMBINATORIKE
,
AEEDOKAZATELXSTWONASTOLXKOPROSTO
,
^[email protected]^ENIEEGO
WKURSTEORIIGRUPPOPRAWDANO
.

kLASSIFIKACIQ
STO^[email protected]
SKOLX
-
NIBUDX[IROKIHKLASSOWGRUPPW
TERMINAHQWNYHINWARIANTOW
(
ANALOGI^NAQKLASSIFIKACIIKONE^NOPOROVDENNYHABELEWYH
GRUPP
)
KAKPRAWILO
NEWOZMOVNA
.
nAPRIMER
,
NEWOZMOVNAUVENIKAKAQRAZUMNAQKLASSI
-
FIKACIQKONE^NYHMETABELEWYH
p
-
GRUPP
.
dELOWTOM
,
^[email protected]^ALA
BYWSEBQZADA^UOPAREMATRICI
,
TEMSAMYM
,
OTWE^ALABYWOOB]ENA
WSE
WOPROSYVIZNI
.
kROMETOGO
,
WBOLX[INSTWESLU^AEWTAKAQKLASSIFIKACIQNEQWLQETSQDAVEVELATELXNOJ
.
nAPRIMER
,
DAVEKOGDAWNEKOTOROMKLASSEGRUPPIZWESTNYPOLNYENABORYINWARIANTOWS
TO^[email protected]
(
SKAVEM
,
DLQNEKOTORYHKLASSOWBESKONE^NYHABELEWYHGRUPP
),
NABOLX[INSTWOKONKRETNYHWOPROSOWPRO]EOTWE^ATXNEPOSREDSTWENNO
,
^EMPOLXZUQSXTAKOJ
KLASSIFIKACIEJ
.

dOKAZATELXSTWOBOLX[INSTWAREZULXTATOWOGRUPPAH
(
WOSOBENNOSTIOKONE^NYHGRUP
-
PAH
!)
RAZBIWAETSQNARASSMOTRENIE
MASSOWOGOSLU^AQ
IANALIZ
[email protected]^E
-
NIJ
.
pRI\[email protected]^ENIJOBY^NOPREDSTAWLQETNAIBOLX[IE
TRUDNOSTI
,
ODNAKOIMENNO\[email protected]^ENIQ
,
ANEMASSOWYJSLU^AJ^A][email protected]
PRILOVENIQH
.
s\TOJTO^KIZRENIQMETODI^ESKINEPRAWILXNO
{
KAK\TO^ASTODELAETSQW\LE
-
MENTARNYHRUKOWODSTWAH
{
[email protected]^ITELXNYHSLU^AEW
.
pOSTROENIEWNE[NEGO
AWTOMORFIZMA
S
6
STOLXVEWAVNO
(
POKRAJNEJMERE
STOLXVEINTERESNO
!),
KAKDOKAZATELX
-
STWOTOGO
,
^TOWSEAWTOMORFIZMYOSTALXNYHSIMMETRI^ESKIHGRUPPWNUTRENNIE
.
wOSPITANIE
PRIWY^KIIWKUSAKPODOBNOGORODAT]ATELXNOSTIIMEET
,
SREDIPRO^EGO
,
GROMADNOEZNA^ENIE
DLQFORMIROWANIQZDOROWOGOPROFESSIONALXNOGOREFLEKSA
POLNOTYANALIZA
.

sAMYMWAVNYM\KSTRA
-
MATEMATI^ESKIMFENOMENOMPOSLEDNIHDESQTILETIJQWLQETSQ
RASPROSTRANENIE
[email protected]
.
zAPOSLEDNIE
10
LETNA[IWOZMOVNOSTIPROWEDENIQMATE
-
MATI^ESKOGO\KSPERIMENTAWYROSLINANESKOLXKOPORQDKOW
.
pREDSTAWLQETSQWWYS[EJSTE
-
PENIPRAWDOPODOBNYM
,
^[email protected][E
.
uVESEGODNQWO
MNOGIHOBLASTQHMATEMATIKI
,
WTOM^ISLE
(
,
MOVETBYTX
,
[email protected]^EREDX
!)
W
TEORII
KONE^NYHGRUPP
,
MATEMATIK
,
[email protected]
,
NEMOVETUSPE[NOKONKURI
-
ROWATXSMATEMATIKOM
,
KOTORYJKROMESWOEJOBLASTIWLADEETE]EITEHNIKOJSIMWOLXNYH
WY^ISLENIJ
.
wSWQZIS\TIMMNEPREDSTAWLQETSQ
,
^[email protected]
DOLVENU^ITYWATXWOZMOVNOSTXIMPLEMENTACIIIZLAGAEMYHWNEMMETODOW
.
kROMETOGO
,
[email protected]\KSPERIMENTPOZWOLQETOTWE^ATXNAKONKRETNYEWOPROSY
,
KOTORYEBYLIWNE
DOSQGAEMOSTIPRED[[email protected]]IHPOKOLENIJMATEMATIKOW
.

nAGRUPPUMOVNOSMOTRETXKAKNA
GRUPPOWOJOB_EKT
WKATEGORIIMNOVESTW
.
wDEJ
-
STWITELXNOSTI
,
[email protected]
,
[email protected]]EJFINALX
-
NYJOB_EKT
e
[email protected]]EJKONE^NYEPROIZWEDENIQ
.
nAIBOLEEIZWESTNYGRUPPOWYEOB_EK
-
TYWGOMOTOPI^ESKOJKATEGORII
,
NAZYWAEMYE
H
-
PROSTRANSTWAMI
,
IGRUPPOWYEOB_EKTYW
KATEGORIISHEM
,
NAZYWAEMYE
GRUPPOWYMISHEMAMI
(groupscheme,
UPOTREBLQETSQTAKVE
FRANCUZSKIJTERMIN
SHEMAWGRUPPAH
,schemaengroupes),
NO
,
WDEJSTWITELXNOSTI
,
MOVNO
RASSMATRIWATXIGRUPPOWYEOB_EKTYWDRUGIHKATEGORIQH
.
qSNO
,
ODNAKO
,
^TO\TOPREDSTAWLQ
-
[email protected]]IJUROWENXABSTRAKCII
,
[email protected]
,
SISTEMATI^ESKIJ
PEREHOD
NAKOTORYJNA\LEMENTARNOMUROWNENEWOZMOVEN
.
tEMNEMENEE
,
[email protected]
-
NIETEORIIGRUPPDOLVNOU^ITYWATX
WOZMOVNOSTX
TAKOGOPEREHODA
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
MNOGO^[email protected]
,
^[email protected]]AQNEOTWRATIMAQ
SMENAPARADIGMY
,
PRIKOTOROJUTRATQTSWOEZNA^ENIEISPOLXZUEMYESEGODNQTO^NYEPONQ
-
TIQTAKIE
,
KAK
,
SKAVEM
,
IZOMORFIZM
,
TO^NYETOVDESTWATIPAASSOCIATIWNOSTI
,etc.
wSE\TI
[email protected]]IEPONQTIQITOVDESTWA
,
PONIMAEMYESTO^[email protected]
14
nikolajwawilow
GOMOTOPII
.

oNTOGENEZQWLQETSQREKAPITULQCIEJ
13
FILOGENEZA
.
[email protected]
-
]EJNASTEME\TOZNA^IT
,
^[email protected]
(recapitulate)
RAZWITIEMATEMATIKI
.
s\TOJTO^KIZRENIQ
KRISTALLOGRAFI^ESKIEGRUPPY
[email protected]
IDEALXNYM
MATERIALOMDLQIZU^ENIQGRUPPNANA^ALXNOM\TAPE
.
wO
-
PERWYH
,
\TO
[email protected]
,
ISTORIQKOTOROGONAS^ITYWAET
DESQTKITYSQ^LET
,
[email protected]]IJ
K^ELOWE^[email protected]\STETI^ESKOMU^UWSTWU
.
wO
-
WTORYH
,
\TORAZDELTEORII
GRUPP
,
KOTORYJNIKOGDANETERQLSWOEJROLIWISTORII^ELOWE^ESKOJKULXTURYISEGODNQSO
-
HRANQETSWOEZNA^ENIESTO^KIZRENIQ
REALXNYH
PRILOVENIJWNAUKEIISKUSSTWE
.
nAKONEC
,
W
-
TRETXIH
,
UVEWSLU^AERAZMERNOSTEJ
2
3
[email protected]]IEPRI\TOMMATEMATI^ESKIEWOPRO
-
SYSOWER[ENNONEBANALXNYIBY[email protected][ENYTOLXKOWKONCE
XIX{
NA^ALE
XX
WEKA
.
|[email protected]
,
FAKTOR
-
GRUPPA
,
RAS[IRENIQ
,
SOPRQVENNOSTX
,
KOGOMOLOGIINANASTOQ]IH
,
ANEU^EBNYHPRIMERAH
.
13
sU]ESTWENNO
,
^TOIMENNO
REKAPITULQCIEJ
,
ANE
POWTORENIEM
,
KAKINOGDAPEREWODQT
.
gruppy
:
firstdraught
15
nAPOMINANIQIZGLAWY
I
aLGEBRAI^ESKAQOPERACIQ
(
ESLIBYTXSOWSEMTO^NYM
,
TO
WNUTRENNQQBINARNAQOPE
-
RACIQ
)
ZAKONKOMPOZICII
NAMNOVESTWE
X
\TOOTOBRAVENIE
f
:
X

X
!
X
.
oBY^NO
DLQALGEBRAI^ESKIHOPERACIJISPOLXZUETSQ
INFIKSNAQZAPISX
,
.
E
.
WMESTO
z
=
f
(
x;y
)=
z
PI[UT
z
=
xfy
.
pRI\TOM\LEMENTY
x;y
[email protected]
OPERANDAMI
(
FAKTORAMI
),
A
z
{
REZULXTATOM
OPERACII
.
dWENAIBOLEE^ASTOISPOLXZUEMYESISTEMYZAPISI
{
\TOMULXTIPLIKATIWNAQNOTACIQI
ADDITIWNAQNOTACIQ
.
pRI
MULXTIPLIKATIWNOJNOTACII
,
OPERACIQNAZYWAETSQ
UMNO
-
VENIEM
IOBOZNA^AETSQTO^KOJ

(
T
E
X
NI^ESKOENAZWANIE
n
cdot
),
KOTORAQ^ASTOOPUSKAETSQ
.
iNYMISLOWAMI
,
W\TOMSLU^AEPI[UT
z
=
x

y
ILIPROSTO
z
=
xy
.
|LEMENTY
x;y
NAZY
-
[email protected]
SOMNOVITELQMI
,
A
z
{
PROIZWEDENIEM
.
pRI
ADDITIWNOJNOTACII
,
OPERACIQ
NAZYWAETSQ
SLOVENIEM
IOBOZNA^[email protected]
+.
iNYMISLOWAMI
,
W\TOMSLU^AEPI[UT
z
=
x
+
y
,
PRI^EM\LEMENTY
x;y
[email protected]
SLAGAEMYMI
,
A
z
{
SUMMOJ
.
oPERACIQ
f
NAZYWAETSQ
ASSOCIATIWNOJ
,
ESLI
f
(
f
(
x;y
)
;z
)=
f
(
x;f
(
y;z
))
DLQWSEH
x;y;z
2
X
.
wMULXTIPLIKATIWNOJIADDITIWNOJZAPISI\TOTOVDESTWOPRINIMAETWID
(
xy
)
z
=
x
(
yz
)
(
x
+
y
)+
z
=
x
+(
y
+
z
),
SOOTWETSTWENNO
.
wDALXNEJ[EMDLQKRATKOSTIMYOBY^NOPOLXZUEMSQ
[email protected]
.
oBOB]ENNAQASSOCIATIWNOSTX
(allgemeineKlammerregel)
UTWERVDAET
,
^TODLQASSOCIATIWNOJOPERACIIPROIZWEDENIE
x
1
:::x
n
NEZAWISITOTRASSTA
-
NOWKISKOBOK
.
oPERACIQNAZYWAETSQ
KOMMUTATIWNOJ
,
ESLI
f
(
x;y
)=
f
(
y;x
)
DLQWSEH
x;y
2
X
.
wADDI
-
TIWNOJIMULXTIPLIKATIWNOJZAPISITOVDESTWOKOMMUTATIWNOSTIPRINIMAETWID
,
xy
=
yx
x
+
y
=
y
+
x
,
SOOTWETSTWENNO
.
sLEDUETIMETXWWIDU
,
^TOADDITIWNAQZAPISXISPOLXZUET
-
SQ
KAKPRAWILO
14
TOLXKODLQKOMMUTATIWNYHOPERACIJ
.
oBOB]ENNAQKOMMUTATIWNOSTX
UTWERVDAET
,
^TODLQKOMMUTATIWNOJASSOCIATIWNOJOPERACIIPROIZWEDENIE
x
1
:::x
n
NEZA
-
WISITNIOTRASSTANOWKISKOBOK
,
NIOTPORQDKASOMNOVITELEJ
.
|LEMENT
e
2
X
NAZYWAETSQ
LEWYMNEJTRALXNYM
,
ESLI
ex
=
x
DLQWSEH
x
2
X
PRAWYM
NEJTRALXNYM
,
ESLI
xe
=
x
DLQWSEH
x
2
X
.
|LEMENT
,
KOTORYJODNOWREMENNOQWLQETSQKAK
LEWYM
,
TAKIPRAWYMNEJTRALXNYM
,
NAZYWAETSQ
NEJTRALXNYM
\LEMENTOM
(
INOGDA
,
\MFA
-
TI^ESKI
DWUSTORONNIMNEJTRALXNYM
).
nEJTRALXNYJ\[email protected]
EDINICEJ
IOBY^NOOBOZNA^AETSQ
e
1,
ANEJTRALXNYJ\[email protected]
NULEM
IOBOZNA^AETSQ
0.
mNOVESTWOSASSOCIATIWNOJOPERACIEJNAZYWAETSQ
POLUGRUPPOJ
,
WZAWISIMOSTIOTTIPA
ZAPISIGOWORQTOMULXTIPLIKATIWNOJILIADDITIWNOJPOLUGRUPPE
.
mONOID
{
\TOPOLUGRUP
-
PASNEJTRALXNYM\LEMENTOM
.
eSLIOPERACIQ
,
KROMETOGO
,
KOMMUTATIWNA
,
POLUGRUPPAILI
[email protected]
.
pUSTX
X
{
MONOID
c
NEJTRALXNYM\LEMENTOM
e
.
|LEMENT
x
2
X
NAZYWAETSQ
OBRATI
-
MYMSLEWA
,
ESLISU]ESTWUET\LEMENT
y
2
X
TAKOJ
,
^TO
yx
=
e
.
w\TOMSLU^AE\LEMENT
y
NAZYWAETSQ
LEWYMOBRATNYM
K
x
.
aNALOGI^NO
,
x
NAZYWAETSQ
OBRATIMYMSPRAWA
,
ES
-
LISU]ESTWUET\LEMENT
z
2
X
TAKOJ
,
^TO
xz
=
e
,
w\TOMSLU^AE\LEMENT
z
NAZYWAETSQ
PRAWYMOBRATNYM
K
x
.
wOOB]EGOWORQ
,
\LEMENT
x
MOVETIMETXMNOGOLEWYHOBRATNYH
ILIMNOGOPRAWYHOBRATNYH
,
ODNAKOESLI\LEMENT
x
OBRATIMKAKSPRAWA
,
TAKISLEWA
,
TO
y
=
ye
=
y
(
xz
)=(
yx
)
z
=
ez
=
z
.
oBRATITEWNIMANIE
,
^TOW\TOMWY^ISLENIIISPOLXZOWANA
ASSOCIATIWNOSTXOPERACII
!
iNYMISLOWAMI
,
ESLIU\LEMENTA
x
SU][email protected]
y
IPRAWYJOBRATNYJ
z
,
[email protected]
.
|[email protected]]EEOPREDELENIE
.
|LEMENT
x
2
X
NAZYWAETSQ
OBRATIMYM
(
ILI\MFATI^ESKI
DWUSTORONNEOBRATIMYM
),
ESLISU
-
]ESTWUETTAKOE
y
2
X
,
^TO
xy
=
e
=
yx
.
w\TOMSLU^AE
y
NAZYWAETSQ
OBRATNYM
K
x
OBOZNA^AETSQ
x

1
.
pRIADDITIWNOJZAPISIOBRATNYJ\LEMENTOBOZNA^AETSQ

x
INAZYWAETSQ
PROTIWOPOLOVNYM
.
pUSTX
X
Y
{
DWAMNOVESTWASALGEBRAI^ESKIMIOPERACIQMI
.
oTOBRAVENIE
f
:
X
!
Y
NAZYWAETSQ
GOMOMORFIZMOM
,
ESLI
f
(
xy
)=
f
(
x
)
f
(
y
)
[email protected]
x;y
2
X
.
bIEKTIWNYJ
GOMOMORFIZMNAZYWAETSQ
IZOMORFIZMOM
.
14
iMEETSQ
,
WPRO^EM
,
[email protected]^ENIQ
:
SLOVENIEORDINALOWINEKOTORYE\KZOTI^ESKIEPRIMERY
.
16
nikolajwawilow
u^EBNIKIPOALGEBRE
[email protected]]EGOHARAKTERANARUSSKOMQZYKE
.
dOPOLNITELXNAQ
[email protected]]IHMESTAHKURSA
.
[Ba1]
`
.
a
.
bAHTURIN
,
oSNOWNYESTRUKTURYSOWREMENNOJALGEBRY
,
nAUKA
,
m
.,1990,pp.1{
318.
[BB]
g
.
bIRKGOF
,
t
.
bARTI
,
sOWREMENNAQPRIKLADNAQALGEBRA
,
mIR
,
m
.,1976.
[B1]
n
.
bURBAKI
,
aLGEBRA
,
gL
.
I{III
.
aLGEBRAI^ESKIESTRUKTURY
,
LINEJNAQIPOLILINEJ
-
NAQALGEBRA
,
nAUKA
,
m
.,1962,pp.1{516.
[B2]
n
.
bURBAKI
,
aLGEBRA
,
gL
.
IV{VI
.
mNOGO^LENYIPOLQ
,
UPORQDO^ENNYEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1965,pp.1{300.
[B3]
n
.
bURBAKI
,
aLGEBRA
,
gL
.
VII{IX
.
mODULI
,
KOLXCA
,
FORMY
,
nAUKA
,
m
.,1966,pp.1{555.
[Wae]
b
.
l
.
WANDERwARDEN
,
aLGEBRA
,
nAUKA
,
m
.,1976,pp.1{648.
[Vi1]
|
.
b
.
wINBERG
,
nA^ALAALGEBRY
,
urss
,
m
.,1998,pp.1{191.
[Vi2]
|
.
b
.
wINBERG
,
kURSALGEBRY
,
nAUKA
,
m
.,1999,pp.1{527.
[Ka1]
l
.
a
.
kALUVNIN
,
wWEDENIEWOB][email protected]
,
nAUKA
,
m
.,1973.
[K1]
a
.
i
.
kOSTRIKIN
,
wWEDENIEWALGEBRU
,
nAUKA
,
m
.,1977,pp.1{495.
[K2]
a
.
i
.
kOSTRIKIN
,
wWEDENIEWALGEBRU
,
I
.
oSNOWYALGEBRY
,
fIZMATLIT
,
m
.,2000.
[K3]
a
.
i
.
kOSTRIKIN
,
wWEDENIEWALGEBRU
,
III
.
oSNOWNYESTRUKTURYALGEBRY
,
fIZMATLIT
,
m
.,2000,pp.1{271.
[KM]
a
.
i
.
kOSTRIKIN
,
`
.
i
.
mANIN
,
lINEJNAQALGEBRAIGEOMETRIQ
,2
EIZD
.
,1986,pp.1{303.
[L1]
s
.
lENG
,
aLGEBRA
,
mIR
,
m
.,1968,pp.1{564.
[LP]
r
.
lIDL
,
g
.
pILXC
,
pRIKLADNAQABSTRAKTNAQALGEBRA
,
iZD
-
WOuRALXSKOGOuNIW
.,
eKA
-
TIRENBURG
,1996.
[LSh]
p
.
nODEN
,
k
.
kITTE
,
aLGEBRAI^ESKAQALGORITMIKA
,
mIR
,
m
.,1999.
[OA1]
oB]AQALGEBRA
:
GRUPPY
,
KOLXCAIMODULI
,
nAUKA
,
m
.,1990,pp.1{590.
[OA2]
oB]AQALGEBRA
:
POLUGRUPPY
,
RE[ETKI
,
UNIWERSALXNYEALGEBRY
,
KATEGORII
,
nAUKA
,
m
.,1991,pp.1{479.
[Sk1]
l
.
a
.
sKORNQKOW
,
|LEMENTYALGEBRY
,
nAUKA
,
m
.,1981,pp.1{243.
[Sk2]
l
.
a
.
sKORNQKOW
,
|LEMENTYOB]EJALGEBRY
,
nAUKA
,
m
.,1983,pp.1{272.
[F1]
d
.
k
.
fADDEEW
,
lEKCIIPOALGEBRE
,
nAUKA
,
m
.,1984,pp.1{416.
[Fai]
k
.
fEJS
,
aLGEBRA
:
KOLXCA
,
MODULI
,
KATEGORII
.
t
.1,1977,pp.1{676.
[Sh]
i
.
r
.
{AFAREWI^
,
oSNOWNYEPONQTIQALGEBRY
,R.&C.Dynamics,
iVEWSK
,1999,pp.1{
347.
gruppy
:
firstdraught
17
tEORIQGRUPP
:
PUTEWODITELXPOLITERATURE
1.
u^EBNIKIPOTEORIIGRUPP
.
sREDIOGROMNOGOKOLI^ESTWAKNIG
,
CELIKOMILI^ASTI^
-
NOPOSWQ]ENNYHTEORIIGRUPPILIEEPRILOVENIQM
,
TOLXKO^ETYRE
,
AIMENNO
[KaM],[Kur],
[Ha],[Sch]
[email protected]
,
^TOBYBYTXWWEDENIQMISOBSTWENNOWOB][email protected]@GRUPP
.
s
MOEJTO^KIZRENIQ
,
EDINSTWENNOJ
KNIGOJNARUSSKOMQZYKEPRIGODNOJDLQPERWONA^ALXNOGO
OZNAKOMLENIQSTEORIEJGRUPPI
,
WMESTESTEM
,
DOSTATO^NOPOLNOJ
,
QWLQETSQKNIGAmAR[AL
-
LAhOLLA
[Ha].
kONE^NO
,
KNIGAhOLLANESKOLXKOUSTARELA
,
W^ASTNOSTI
,
\TOKASAETSQTER
-
MINOLOGII
.
nAPISANNAQW
1916
GODUKNIGA
[Sch]
[email protected]]IMSQPAMQTNIKOMISTORII
NA[EJNAUKI
,
NONEDAETPREDSTAWLENIQOSOSTOQNIIPREDMETAW
1930-
EGODY
15
.
kNIGAkURO
-
[A
[Kur]
NESODERVITNI^EGO
16
,
^TOMOGLOBYBYTXPOLEZNYMSTUDENTAMILIMATEMATIKAM
NESPECIALISTAM
17
,
ISOWSEMNEMNOGOTOGO
,
^TOMOGLOBYBYTXPOLEZNYMPROFESSIONALXNO
-
MUALGEBRAISTU
18
.
kNIGAkARGAPOLOWA
{
mERZLQKOWA
[KaM]
NAPISANANESKOLXKOLU^[E
,
^EM
KNIGAkURO[A
,
NOTOVEWWYS[EJSTEPENINEURAWNOWE[ENAIWMESTOOB]EJTEORIIGRUPP
IZLAGAET
[email protected]
[email protected]
.
sMOEJTO^KIZRENIQ
,
LU^[EJWERSIEJ\TOJKNIGI
BYLOLITOGRAFIROWANNOEIZDANIEnOWOSIBIRSKOGOUNIWERSITETA
,
UKOTOROGOBYLO
TRI
AW
-
TORA
:
kARGAPOLOW
,
mERZLQKOWI
rEMESLENNIKOW
,
WDALXNEJ[[email protected]]IM
IZDANIEM\TAKNIGASTANOWILASXWSEHUVEIHUVE
.
e][email protected]\TOJKNIGIQWLQ
-
ETSQOBILIEDOMORO]ENNOJTERMINOLOGII
:
[email protected]^ESKIMI
KODAMI
,
RQDYPODGRUPP
{
MATRE[KAMI
(`
NORMALXNYEISUBNORMALXNYEMATRE[KI
'),etc.
kAK
O^ENXIZQ][email protected]^[email protected]
UoLE
-
GAbOGOPOLXSKOGO
[Bog].
nESMOTRQNANEBOLX[OJOB_EMONADAETO^ENXQSNOEIDOSTATO^NO
[email protected]^EWYHTEMKAKWTEORIIKONE^NYHGRUPP
,
TAKIW
KOMBINATORNOJIGEOMETRI^ESKOJTEORIIGRUPP
.
iZTEKSTOWOB]EGOHARAKTERAMOVNOUPOMQNUTXE]EPOPULQRNYEKNIGI
[Al],[Ale],[GM],
[KS]
ISBORNIKZADA^
[LAL].
wSECITIROWANNYEWOWWEDENIIU^EBNIKIALGEBRYSODERVATGLA
-
WUILIDWE
,
POSWQ]ENNYETEORIIGRUPPI
/
ILITEORIIPREDSTAWLENIJ
.
[email protected]
PRO^ITATX
xx
12{18
KNIGI
[Sh],
[email protected]
[email protected]
[email protected]^[email protected]]IHINESPECIALISTOW
.
dWAIZLOVENIQTEORIIGRUPPSTO^KIZRE
-
NIQPOTREBNOSTEJINVENEROWPRIWEDENYW
[Sm]
[Go].
iZLOVENIEWU^EBNIKEw
.
i
.
sMIRNOWA
[Sm]
[email protected]]IJMOMENT^ISTOISTORI^ESKIJINTERES
,
NOZASLUVIWAETWNIMANIQTOOBSTOQTELXSTWO
,
^TOUVEW
1940-
EGODYwLADIMIRiWANOWI^
[email protected]^ENIQTEORIIGRUPPWKURSWYS[EJMATEMATIKIDLQFIZ
IKOW
,
HIMIKOWIINVENEROW
.
iZLOVENIETEORIIGRUPPW
[Go]
DOSTATO^NOSTANDARTNO
,
NOISEGODNQ
SMOTRITSQNEPLOHO
.
2.
oTDELXNYEASPEKTYTEORIIGRUPP
.
kNIGAfUKSA
[Fu2]
SODERVITWESXMAPOLNOEIZLO
-
VENIETEORIIABELEWYHGRUPP
.
wPRO^EM
,
KAKUVEOTME^ALOSX
,
SNA[EJTO^KIZRENIQTEORIQ
ABELEWYHGRUPPNEIMEETPO^TINIKAKOGOOTNO[ENIQKTEORIIGRUPP
,
AQWLQETSQRAZDELOM
LINEJNOJALGEBRY
.
15
kROMETOGO
,
W
[Sch]
DLQOBOZNA^ENIQGRUPPIIHPODMNOVESTWISPOLXZUETSQFRAKTURA
,
TAK^TODLQSOWREMENNOGOSTUDENTAEE^TENIENI^UTXNELEG^E
,
^EM^[email protected]
KNIGINANEMECKOMQZYKE
!
16
[email protected]]AQGLUBOKOMYSLENNAQFRAZAWDUHEgEGELQHARAKTERIZUETUROWENXPO
NIMANIQ
aLEKSANDROMgENNADIEWI^EMPROBLEMATIKITEORIIGRUPP
:\
kONE^[email protected]
SLEDUETS^ITATX
ZADA^UPOLNOGOOPISANIQWSEHSU][email protected]]IHWPRIRODEGRUPP
",[Kur],
c.423{424.
pOPOWODUPODOBNOGOGLUBOKOMYSLIQdVONFONnEJMANZAMETIL
:`thereisnosense
inbeingpreciseifyoudon'tevenunderstandwhatyouaretalkin
gabout'.
17
s\TOJTO^KIZRENIQ^REZWY^AJNOPOU^ITELXNOSRAWNITXKNIGUkURO[ASNAPISANNOJ
PRIMERNOWTOVEWREMQSTATXEJa
.
i
.
mALXCEWA
,
gRUPPYIDRUGIEALGEBRAI^ESKIESISTEMY
.
{
wKN
.
mATEMATIKA
,
EESODERVANIE
,
METODYIZNA^ENIE
,
iZD
-
WOansssr
,
m
.,1956,
.3,
S
.248{331.
nEWOZMOVNONEOTMETITX
,
NASKOLXKOBOLEE[[email protected]@PANORAMUTEORII
GRUPPRISUETaNATOLIJiWANOWI^
,
W^ASTNOSTI
,
WSESODERVANIEKNIGI
[Kur]
IZLOVENOTAMNA
STRANICAH
301{302.
18
oBASODERVATELXNYHREZULXTATAKNIGIkURO[A
,
TEOREMYkURO[AIgRU[KO
,
ZNA^ITELX
-
NOLU^[EIZLOVENYWKNIGAHmASSI
[MS]
IsERRA
[S4].
iMEETSQ^ASTI^NYJRUSSKIJPEREWOD
:
v
.-
p
.
sERR
,
dEREWXQ
,
AMALXGAMYI
SL
2
.{
mATEMATIKA
,
sB
.
pEREW
.,1974,
.18,N.1,
S
.3{51;
N.2,
S
.3{27.
18
nikolajwawilow
iMEETSQNESKOLXKOWESXMASODERVATELXNYHIPOLEZNYHKNIG
,
POSWQ]ENNYHOTDELXNYM
ASPEKTAMTEORIIGRUPP
:

TEORIQKONE^NYHGRUPP
[Vy],[Go],[Kon],[L3],[Suz];

TEORIQPREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPP
[BF],[Vin],[Ja],[tD],[CR],[Mur],[Na1],[S3],[Fe],
[F],[Hen];

KOMBINATORNAQTEORIQGRUPP
[Adi],[B7],[Gro],[CF],[CM],[
k
4],[LSh],[MKS],[Neu],[Ol],
[ChM];

KOGOMOLOGIIGRUPP
[Alg],[Br],[CE],[Mac],[S1].
kAKMYUVEUPOMINALI
,
CENTRALXNYMOB_EKTOMMATEMATIKI
XX
WEKABYLIGRUPPYSDO
-
POLNITELXNYMISTRUKTURAMI
:
GRUPPYlI
,
TOPOLOGI^ESKIEGRUPPY
,
ALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
,
etc.
wOTNEKOTORYEKNIGI
,
POSWQ]ENNYEGRUPPAMSDOPOLNITELXNYMISTRUKTURAMIINAIBO
-
LEEWAVNYMKONKRETNYMGRUPPAM
:

GRUPPYlI
[Ada],[AGH],[B6],[B8],[VO],[Pos],[Rag],[S2],[Che],[
Ch];

PREDSTAWLENIQGRUPPlI
[BR],[Zh],[ZhSh],[Kir],[Na1];

TOPOLOGI^ESKIEGRUPPY
[B4],[B5],[We],[Gui],[Grn],[Kp2],[Kir],[Po];

PROKONE^NYEGRUPPY
[Alg],[Koch],[S1];

ALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
[Alg],[Bo],[VO],[Vo],[Kp1],[PR],[Hu1],[Ch];

ARIFMETI^ESKIEGRUPPY
[Alg],[Ari],[PR],[Hu2];

GRUPPY{EWALLE
,
GRUPPYsTEJNBERGA
[Sem],[St],[M];

TEORIQINWARIANTOW
[W1],[Gur],[DCM],[Kr],[Sp];

LINEJNYEGRUPPY
[Art],[Ba],[Bae],[Mer],[M],[Su1],[Su2];

KLASSI^ESKIEGRUPPY
[Aut],[Art],[D],[Iso],[OM];

UPORQDO^ENNYEGRUPPY
[KoKo],[Kop],[KoMe],[Fu1].
3.
pRILOVENIQTEORIIGRUPP
.
oSOBENNOOB[IRNALITERATURAPOSWQ]ENNAQNESOBSTWENNO
TEORIIGRUPP
,
AEEPRILOVENIQMWMATEMATIKE
,
FIZIKE
,
HIMII
,
KRISTALLOGRAFII
.
nEKOTORYE
[email protected]]IHKNIGAH
:

ALGEBRAI^ESKAQTOPOLOGIQ
[HW];

KLASSI^ESKIEGEOMETRII
[Apa],[Be],[Ber],[Bre],[W2],[Wo],[GME],[DNF],[Kob],[NS
h],
[Roz],[Ter],[He1],[Eis];

AWTOMORFNYEFORMY
[Ari],[Brs],[GGP],[JL],[L3],[Shi],[Har];

GARMONI^ESKIJANALIZ
[Lum],[We],[L3],[He2],[HR];

SPECIALXNYEFUNKCII
[Vil],[Ri];

TEORIQKODIROWANIQ
[Brl],[Bla],[CS],[MWS];

ALGEBRAI^ESKAQKOMBINATORIKA
[BI],[CS],[SUS];

PERE^ISLITELXNAQKOMBINATORIKA
[Aig],[BVSh],[Per],[Pri],[Sac],[Sov],[Hrr],[HP].
pRIMENENIQGRUPPZAPREDELAMIMATEMATIKI
.
rAZUMEETSQ
,
ZDESXPRIWEDENALI[XNEZNA^I
-
TELXNAQWYBORKATEKSTOW
,
SSODERVATELXNOJTO^KIZRENIQ
WSQ
KRISTALLOGRAFIQIZNA^ITELX
-
NAQ^ASTXTEORIITWERDOGOTELA
,
TEORIIPOLUPROWODNIKOWIT
.
.
[email protected]
PRIKLADNOJTEORIIGRUPP
,
MYNEMOVEM
,
KONE^NO
,
UPOMQNUTXWSERABOTYW\TIHOBLASTQH
.

tEKSTYOB]EGOHARAKTERA
[BVe],[BR],[Wae],[W3],[PT],[Ham],[ShK],[ED];

kRISTALLOGRAFIQITEORIQTWERDOGOTELA
[Ani],[Ans],[AM],[Wu],[DPA],[CG],[Mad],
[Har],[Pen],[Str],[F2],[Fe1],[Fe2],[Shu];

sIMMETRIQMOLEKUL
[Cot],[Fl],[Ho],[Zue];

sIMMETRIQATOMOWIQDER
[Wig],[Kap],[Mck],[Zue];

sIMMETRIQ\LEMENTARNYH^ASTIC
[LB],[RF1],[Th]

gRUPPYlORENCAIpUANKARE
[GMSh],[Na2],[Fed],[Wrl].
gruppy
:
firstdraught
19
kNIGIPOTEORIIGRUPPNARUSSKOMQZYKE
[Aut]
aWTOMORFIZMYKLASSI^ESKIHGRUPP
,
SB
.
PEREW
.
,
mIR
,
m
.,1976,pp.1{264.
[Ada]
dV
.
aDAMS
,
lEKCIIPOGRUPPAMlI
,
nAUKA
,
m
.,1979,pp.1{144.
[Adi]
s
.
i
.
aDQN
,
pROBLEMAbERNSAJDAITOVDESTWAWGRUPPAH
,
nAUKA
,
m
.,1975,pp.1{335.
[Aig]
m
.
aJGNER
,
kOMBINATORNAQTEORIQ
,
mIR
,
m
.,1982,pp.1{556.
[Alg]
aLGEBRAI^ESKAQTEORIQ^ISEL
,
mIR
,
m
.,1969,pp.1{483.
[Al]
p
.
s
.
aLEKSANDROW
,
[email protected]
,3-
EIZD
.
,
nAUKA
,
m
.,1980,pp.1{143.
[Ale]
w
.
b
.
aLEKSEEW
,
tEOREMAaBELQWZADA^AHIRE[ENIQH
,
nAUKA
,
m
.,1976,pp.1{207.
[Ami]
l
.
k
.
aMINOW
,
tEORIQSIMMETRII
,
iN
-
[email protected]
.,
m
.,2002,pp.1{191.
[Ani]
a
.
aNIMALU
,
kWANTOWAQTEORIQKRISTALLI^ESKIHTWERDYHTEL
,
mIR
,
m
.,1981,
pp.1{574.
[Ans]
a
.
i
.
aNSELXM
,
[email protected]
,2-
EIZD
.
,
nAUKA
,
m
.,1978.
[Apa]
b
.
n
.
aPANASOW
,
dISKRETNYEGRUPPYPREOBRAZOWANIJISTRUKTURYMNOGOOBRAZIJ
,
nAUKA
,
m
.,1983,pp.1{242.
[Ari]
aRIFMETI^ESKIEGRUPPYIAWTOMORFNYEFUNKCII
,
SB
.
PEREW
.
,
mIR
,
m
.,1969,pp.1{
224.
[Art]
|
.
aRTIN
,
gEOMETRI^ESKAQALGEBRA
,
nAUKA
,
m
.,1990,pp.1{318.
[AGH]
l
.
aUSLENDER
,
l
.
gRIN
,
f
.
hAN
,
pOTOKINAODNORODNYHPROSTRANSTWAH
,
mIR
,
m
.,
1966,pp.1{208.
[AM]
n
.
a[KROFT
,
n
.
mERMIN
,
fIZIKATWERDOGOTELA
,
T
.
I,II,
mIR
,
m
.,1979,pp.1{399;
pp.1{422.
[BaVe]
s
.
bAGAWANTAM
,
t
.
wENKATARAMANU
,
tEORIQGRUPPIEEPRIMENENIEKFIZI^ESKIMPRO
-
BLEMAM
,
il
,
m
.,1959,pp.1{301.
[BI]
|
.
bANNAI
,
t
.
iTO
,
aLGEBRI^ESKAQKOMBINATORIKA
.
sHEMYOTNO[ENIJ
,
mIR
,
m
.,
1987,pp.1{373.
[BR]
a
.
bARUT
,
r
.
rON^KA
,
tEORIQPREDSTAWLENIJGRUPPIEEPRILOVENIQ
,
T
.
I,II,
mIR
,
m
.,1980,pp.1{455;pp.1{395.
[Ba]
h
.
bASS
,
aLGEBRAI^ESKAQ
K
-
TEORIQ
,
mIR
,
m
.,1973,pp.1{591.
[Bam]
l
.
bAUMGARTNER
,
tEORIQGRUPP
,
gtti
,
m
.,1934.
[Bau]
r
.
bAU\R
,
[email protected]
,??,1937.
[Ba2]
`
.
a
.
bAHTURIN
,
tOVDESTWAWALGEBRAHlI
,
nAUKA
,
m
.,1985,pp.1{447.
[BVSh]
w
.
w
.
bELOW
,
e
.
m
.
wOROBXEW
,
w
.
e
.
{ATALOW
,
tEORIQGRAFOW
,
wYS[AQ[KOLA
,
m
.,1976,
pp.1{392.
[BF]
w
.
a
.
bELONOGOW
,
a
.
n
.
fOMIN
,
mATRI^NYEPREDSTAWLENIQWTEORIIKONE^NYHGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1976,pp.1{126.
[Be]
a
.
bERDON
,
gEOMETRIQDISKRETNYHGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1986,pp.1{300.
[Ber]
m
.
bERVE
,
gEOMETRIQ
,
T
.
I,
mIR
,
m
.,1984,pp.1{559.
[Brl]
|
.
bERLEK\MP
,
aLGEBRAI^ESKAQTEORIQKODIROWANIQ
,
mIR
,
m
.,1971,pp.1{477.
[Bla]
r
.
bLEJHUT
,
tEORIQIPRAKTIKAKODOW
,
[email protected]]IHO[IBKI
,
mIR
,
m
.,1986,
pp.1{576.
[Bog]
o
.
w
.
bOGOPOLXSKIJ
,
[email protected]
,
iN
-
[email protected]
.,
m
.,2002,
pp.1{148.
[Bo]
a
.
bORELX
,
lINEJNYEALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
,
mIR
,
m
.,1972,pp.1{269.
[Br]
k
.
bRAUN
,
kOGOMOLOGIIGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1987,pp.1{383.
[Bre]
g
.
bREDON
,
[email protected]
,
nAUKA
,
m
.,1980,
pp.1{440.
[B1]
n
.
bURBAKI
,
oB]AQTOPOLOGIQ
,
gL
.
III{VIII
.
tOPOLOGI^ESKIEGRUPPY
,
^ISLAISWQ
-
ZANNYESNIMIGRUPPYIPROSTRANSTWA
,
nAUKA
,
m
.,1969,pp.1{392.
[B2]
n
.
bURBAKI
,
iNTEGRIROWANIE
,
gL
.
VI{VIII
.
wEKTORNOEINTEGRIROWANIE
,
MERAhA
-
,
SWERTKAIPREDSTAWLENIQ
,
gifml
,
m
.,1970,pp.1{320.
[B3]
n
.
bURBAKI
,
gRUPPYIALGEBRYlI
,
gL
.
I{III
.
aLGEBRYlI
,
SWOBODNYEALGEBRYlI
IGRUPPYlI
,
mIR
,
m
.,1976,pp.1{496.
[B4]
n
.
bURBAKI
,
gRUPPYIALGEBRYlI
,
gL
.
IV{VI
.
gRUPPYkOKSTERAISISTEMYtITSA
,
GRUPPY
,
POROVDENNYEOTRAVENIQMI
,
SISTEMYKORNEJ
,
mIR
,
m
.,1972,pp.1{331.
[B5]
n
.
bURBAKI
,
gRUPPYIALGEBRYlI
,
gL
.
IX
.
kOMPAKTNYEWE]ESTWENNYEGRUPPYlI
,
mIR
,
m
.,1972,pp.1{173.
[BG]
w
.
m
.
bUSARKIN
,
`
.
m
.
gOR^AKOW
,
kONE^NYERAS]EPLQEMYEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1968,
pp.1{111.
20
nikolajwawilow
[Bae]
r
.
b\R
,
lINEJNAQALGEBRAIPROEKTIWNAQGEOMETRIQ
,
nil
,
m
.,1955,pp.1{399.
[Wae]
b
.
l
.
WANDERwARDEN
,
mETODYTEORIIGRUPPWKWANTOWOJMEHANIKE
,
onti
,
hARX
-
KOW
,1939.
[Wei]
a
.
wEJLX
,
iNTEGRIROWANIEWTOPOLOGI^ESKIHGRUPPAHIEGOPRIMENENIQ
,
il
,
m
.,
1950.
[W1]
g
.
wEJLX
,
kLASSI^ESKIEGRUPPY
,
IHINWARIANTYIPREDSTAWLENIQ
,
il
,
m
.,1947,
pp.1{408.
[W2]
g
.
wEJLX
,
sIMMETRIQ
,
nAUKA
,
m
.,1968,pp.1{191.
[W3]
g
.
wEJLX
,
tEORIQGRUPPIKWANTOWAQMEHANIKA
,
nAUKA
,
m
.,1986,pp.1{495.
[Wrl]
`
.
wERLE
,
rELQTIWISTSKAQTEORIQREAKCIJ
,
aTOMIZDAT
,
m
.,1969,pp.1{441.
[Wi]
e
.
wIGNER
,
tEORIQGRUPPIEEPRILOVENIEKKWANTOWOMEHANI^ESKOJTEORIIATOM
-
NYHSPEKTROW
,
il
,
m
.,1961.
[Vil]
n
.
q
.
wILENKIN
,
sPECIALXNYEFUNKCIIITEORIQPREDSTAWLENIJGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,
1965,pp.1{588.
[Vin]
|
.
b
.
wINBERG
,
lINEJNYEPREDSTAWLENIQGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1985.
[VO]
|
.
b
.
wINBERG
,
a
.
l
.
oNI]IK
,
sEMINARPOGRUPPAMlIIALGEBRAI^ESKIMGRUPPAM
,
nA
-
UKA
,
m
.,1988,pp.1{343.
[Wo]
dV
.
wOLXF
,
pROSTRANSTWAPOSTOQNNOJKRIWIZNY
,
nAUKA
,
m
.,1982,pp.1{480.
[Vo]
w
.
e
.
wOSKRESENSKIJ
,
aLGEBRAI^ESKIETORY
,
nAUKA
,
m
.,1977,pp.1{223.
[Wu]
u
.
a
.
wUSTER
,
pRIMENENIETENZOROWITEORIIGRUPPDLQOPISANIQFIZI^ESKIHSWO
-
JSTWKRISTALLOW
,
mIR
,
m
.,1977.
[Vy]
wY^ISLENIQWALGEBREITEORII^ISEL
,vol.2,
mIR
,
m
.,1976,pp.1{304.
[GGP]
i
.
m
.
gELXFAND
,
m
.
i
.
gRAEW
,
i
.
i
.
pQTECKIJ
-
{APIRO
,
tEORIQPREDSTAWLENIJIAWTO
-
MORFNYEFUNKCII
,
mIR
,
m
.,1987,pp.1{312.
[GMSh]
i
.
m
.
gELXFAND
,
r
.
a
.
mINLOS
,
z
.
q
.
{APIRO
,
pREDSTAWLENIQGRUPPYWRA]ENIJIGRUP
-
PYlORENCA
,
fIZMATGIZ
,
m
.,1958,pp.1{368.
[Hyp]
gIPERBOLI^ESKIEGRUPPYPOmIHAILUgROMOWU
,
mIR
,
m
.,1992.
[Gui]
a
.
gI[ARDE
,
kOGOMOLOGIITOPOLOGI^ESKIHGRUPPIALGEBRlI
,
mIR
,
m
.,1984,pp.1{
262.
[Gol]
l
.
i
.
gOLOWINA
,
lINEJNAQALGEBRAINEKOTORYEEEPRILOVENIQ
.4-e
IZD
.
,
nAUKA
,
m
.,
1985,pp.1{392.
[Gor]
d
.
gORENSTEJN
,
kONE^NYEPROSTYEGRUPPY
.
[email protected]
,
mIR
,
m
.,
1985,pp.1{350.
[Gov]
`
.
m
.
gOR^AKOW
,
gRUPPYSKONE^NYMIKLASSAMISOPRQVENNYH\LEMENTOW
,
nAUKA
,
m
.,
1978,pp.1{119.
[Grn]
f
.
gRINLIF
,
iNWARIANTNYESREDNIENATOPOLOGI^ESKIHGRUPPAH
,
mIR
,
m
.,1973,
pp.1{136.
[Gro]
m
.
gROMOW
,
gIPERBOLI^ESKIEGRUPPY
,
iN
-
[email protected]
.,
m
.,2002,pp.1{159.
[GM]
i
.
gROSSMAN
,
w
.
mAGNUS
,
gRUPPYIGRAFY
,
mIR
,
m
.,1971.
[GME]
i
.
gRUNEWALXD
,
j
.
mENNIKE
,
`
.
|LXSTRODT
,
gRUPPY
,
[email protected]]IENAGIPERBOLI^E
-
SKOMPROSTRANSTWE
,
mcnmo
,
m
.,2003,pp.1{615.
[Gur]
g
.
b
.
gUREWI^
,
oSNOWYTEORIIALGEBRAI^ESKIHINWARIANTOW
,
gOSTEHIZDAT
,
m
.,1948.
[DPA]
b
.
n
.
dELONE
,
n
.
pADUROW
,
a
.
d
.
aLEKSKANDROW
,
mATEMATI^ESKIEOSNOWYANALIZAKRI
-
STALLOWIOPREDELENIEOSNOWNOGOPARALLELEPIPEDAPOWTORQEMOSTIPRIPOMO]I
RENTGENOWSKIHLU^EJ
,
onti
,
l
.{
m
.,1934,pp.1{328.
[Ja]
g
.
dVEJMS
,
tEORIQPREDSTAWLENIJSIMMETRI^ESKIHGRUPP
,
mIR
,
m
.,1982.
[tD]
t
.
TOMdIK
,
gRUPPYPREOBRAZOWANIJITEORIQPREDSTAWLENIJ
,
mIR
,
m
.,1982,pp.1{
227.
[DNF]
b
.
a
.
dUBROWIN
,
s
.
p
.
nOWIKOW
,
a
.
t
.
fOMENKO
,
sOWREMENNAQGEOMETRIQ
.
T
.
I
.
mETODY
IPRILOVENIQ
,
nAUKA
,
m
.,1979,pp.1{759.
[D]
v
.
dXEDONNE
,
gEOMETRIQKLASSI^ESKIHGRUPP
,
mIR
,
m
.,1974,pp.1{204.
[DCM]
v
.
dXEDONNE
,
dV
.
k\RROL
,
d
.
mAMFORD
,
gEOMETRI^ESKAQTEORIQINWARIANTOW
,
mIR
,
m
.,1974,pp.1{280.
[JL]
|
.
vAKE
,
r
.
lENGLENDS
,
aWTOMORFNYEFORMYNA
GL
2
,
mIR
,
m
.,1973,pp.1{372.
[Zh]
d
.
p
.
vELOBENKO
,
kOMPAKTNYEGRUPPYlIIIHPREDSTAWLENIQ
,
nAUKA
,
m
.,1970,
pp.1{664.
[ZhSh]
d
.
p
.
vELOBENKO
,
a
.
i
.
{TERN
,
pREDSTAWLENIQGRUPPlI
,
nAUKA
,
m
.,1983,pp.1{360.
gruppy
:
firstdraught
21
[Iso]
iZOMORFIZMYKLASSI^ESKIHGRUPPNADCELOSTNYMIKOLXCAMI
,
SB
.
PEREW
.
,vol.20,
mIR
,
m
.,1980,pp.1{272.
[IMS]
w
.
w
.
i[HANOW
,
w
.
i
.
mYSOWSKIH
,
a
.
i
.
sKOPIN
,
tEORIQGRUPP
,
spBgu
,
spB
,1997,pp.1{
52.
[Kon]
kTEORIIKONE^NYHGRUPP
,
SB
.
PEREW
.
,vol.16,
mIR
,
m
.,1979,pp.1{200.
[Ka]
l
.
a
.
kALUVNIN
,
iZBRANNYEGLAWYTEORIIGRUPP
,
kgu
,
kIEW
,1979,pp.1{51.
[KS]
l
.
a
.
kALUVNIN
,
w
.
i
.
sU]ANSKIJ
,
pREOBRAZOWANIQIPERESTANOWKI
,
nAUKA
,
m
.,1979,
pp.1{112.
[Kap]
i
.
g
.
kAPLAN
,
sIMMETRIQMNOGO\LEKTRONNYHSISTEM
,
nAUKA
,
m
.,1969,pp.1{407.
[Ka1]
i
.
kAPLANSKIJ
,
[email protected]
,
il
,
m
.,1959.
[Ka2]
i
.
kAPLANSKIJ
,
aLGEBRYlIILOKALXNOKOMPAKTNYEGRUPPY
,
mIR
,
m
.,1974,pp.1{
148.
[KaM]
m
.
i
.
kARGAPOLOW
,
`
.
i
.
mERZLQKOW
,
oSNOWYTEORIIGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1-
EIZD
.1972;
2-
EIZD
.1977;3-
EIZD
.1982,pp.1{288.
[KE]
a
.
kARTAN
,
s
.
|JLENBERG
,
gOMOLOGI^ESKAQALGEBRA
,
il
,
m
.,1960,pp.1{510.
[Kir]
a
.
a
.
kIRILLOW
,
|LEMENTYTEORIIPREDSTAWLENIJ
,2{
EIZD
.
,
nAUKA
,
m
.,1978,pp.1{
343.
[Kob]
{
.
kOBAQSI
,
gRUPPYPREOBRAZOWANIJWDIFFERENCIALXNOJGEOMETRII
,
nAUKA
,
m
.,
1986,pp.1{224.
[KoKo]
a
.
i
.
kOKORIN
,
w
.
m
.
kOPYTOW
,
lINEJNOUPORQDO^ENNYEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1972,pp.1{
199.
[CG]
r
.
kOKS
,
a
.
gOLD
,
sIMMETRIQWTWERDOMTELE
,
nAUKA
,
m
.,1970,pp.1{424.
[C?]
g
.
s
.
m
.
kOKSETER
,
[email protected]
,
nAUKA
,
m
.,1966,pp.1{648.
[CM]
g
.
s
.
m
.
kOKSETER
,
u
.
o
.
mOZER
,
[email protected]]IE\[email protected]]IESOOTNO[E
-
NIQDISKRETNYHGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1980,pp.1{240.
[CS]
dV
.
kONWEJ
,
n
.
sLO\N
,
uPAKOWKI[AROW
,
RE[ETKIIGRUPPY
,
T
.
I,II,
mIR
,
m
.,1990,
pp.1{413;pp.421{791.
[Kop]
w
.
m
.
kOPYTOW
,
rE[ETO^NOUPORQDO^ENNYEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1984,pp.1{320.
[KoMe]
w
.
m
.
kOPYTOW
,
n
.
q
.
mEDWEDEW
,
pRAWOUPORQDO^ENNYEGRUPPY
,
nAU^NAQKNIGA
,
nOWOSI
-
BIRSK
,1996,pp.1{246.
[K4]
a
.
i
.
kOSTRIKIN
,
wOKRUGbERNSAJDA
,
nAUKA
,
m
.,1986,pp.1{232.
[Kot]
f
.
a
.
kOTTON
,
hIMI^ESKIEPRILOVENIQTEORIIGRUPP
,
mIR
,
m
.,1965.
[Koch]
h
.
kOH
,
tEORIQgALUA
p
-
RAS[IRENIJ
,
mIR
,
m
.,1973,pp.1{1991{375.
[Kr]
h
.
kRA
,
aWTOMORFNYEFORMYIKLEJNOWYGRUPPY
,
mIR
,
m
.,1975,pp.1{296.
[Kr]
h
.
kRAFT
,
gEOMETRI^ESKIEMETODYWTEORIIINWARIANTOW
,
mIR
,
m
.,1987,pp.1{
312.
[CF]
r
.
kROU\LL
,
r
.
fOKS
,
[email protected]
,
mIR
,
m
.,1967,pp.1{348.
[Kur]
a
.
g
.
kURO[
,
tEORIQGRUPP
,3{
EIZD
.
,
nAUKA
,
m
.,1967,pp.1{647.
[CR]
~
.
k\RTIS
,
i
.
rAJNER
,
tEORIQPREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPPIASSOCIATIWNYHAL
-
GEBR
,
nAUKA
,
m
.,1969,pp.1{668.
[LSh]
r
.
lINDON
,
p
.
{UPP
,
kOMBINATORNAQTEORIQGRUPP
,
mIR
,
m
.,1980,pp.1{447.
[L2]C.
lENG
,SL
2
(
R
),
mIR
,
m
.,1977,pp.1{430.
[L3]C.
lENG
,
[email protected]
,
mIR
,
m
.,1979,pp.1{254.
[Lub]
t
.
q
.
[email protected]
,
tEORIQGRUPPIEEPRIMENENIQWFIZIKE
,
fIZMATGIZ
,
m
.,1957.
[LAL]
e
.
s
.
lQPIN
,
a
.
q
.
aJZEN[TAT
,
m
.
m
.
lESOHIN
,
uPRAVNENIQPOTEORIIGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1967,pp.1{264.
[LB]
w
.
d
.
lQHOWSKIJ
,
b
.
a
.
bOLOHOW
,
gRUPPYSIMMETRIII\LEMENTARNYE^ASTICY
,
iZD
-
WO
lgu
,
m
.,1983,pp.1{336.
[MKS]
w
.
mAGNUS
,
a
.
kARRAS
,
d
.
sOLITER
,
kOMBINATORNAQTEORIQGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1974,
pp.1{455.
[Mad]
o
.
mADELUNG
,
tEORIQTWERDOGOTELA
,
nAUKA
,
m
.,1980,pp.1{416.
[MWS]
f
.
dV
.
mAK
-
wILXQMS
,
n
.
dV
.
a
.
sLO\N
,
tEORIQKODOW
,
[email protected]]IHO[IBKI
,
sWQZX
,
m
.,1979,pp.1{744.
[Mck]
dV
.
mAKKI
,
lEKCIIPOMATEMATI^ESKIMOSNOWAMKWANTOWOJMEHANIKI
,
mIR
,
m
.,
1965,pp.1{221.
[Mac]
s
.
mAKLEJN
,
gOMOLOGIQ
,
mIR
,
m
.,1966,pp.1{543.
[MS]
u
.
s
.
mASSI
,
dV
.
sTOLLINGS
,
aLGEBRAI^ESKAQTOPOLOGIQ
:
WWEDENIE
,
mIR
,
m
.,1977,
pp.1{338.
22
nikolajwawilow
[Mer]
`
.
i
.
mERZLQKOW
,
rACIONALXNYEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1980,pp.1{464.
[M]
dV
.
mILNOR
,
wWEDENIEWALGEBRAI^[email protected]
K
-
[email protected]
,
mIR
,Berlinetal.,1974,pp.1{
196.
[Mur]
f
.
mURNAGAN
,
tEORIQPREDSTAWLENIJGRUPP
,
il
,
m
.,1950.
[Na1]
m
.
a
.
nAJMARK
,
lINEJNYEPREDSTAWLENIQGRUPPYlORENCA
,
fIZMATGIZ
,
m
.,1958.
[Na2]
m
.
a
.
nAJMARK
,
tEORIQPREDSTAWLENIJGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1976,pp.1{559.
[NSh]
w
.
w
.
nIKULIN
,
i
.
r
.
{AFAREWI^
,
gEOMETRIIIGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1983,pp.1{239.
[Neu]
h
.
nEJMAN
,
mNOGOOBRAZIQGRUPP
,
mIR
,
m
.,1969,pp.1{264.
[Ol]
a
.
`
.
oLX[ANSKIJ
,
[email protected]]IHSOOTNO[ENIJWGRUPPAH
,
nAUKA
,
m
.,
1989.
[OM]
o
.
o
'
mIRA
,
lEKCIIOSIMPLEKTI^ESKIHGRUPPAH
,
mIR
,
m
.,1979,pp.1{166.
[Pen]
t
.
pENKALQ
,
o^ERKIKRISTALLOHIMII
,
hIMIQ
,
l
.,1974,pp.1{496.
[Per]
pERE^ISLITELXNYEZADA^IKOMBINATORNOGOANALIZA
,
mIR
,
m
.,1979,pp.1{363.
[PT]
m
.
i
.
pETRA[ENX
,
w
.
d
.
tRIFONOW
,
pRIMENENIETEORIIGRUPPWKWANTOWOJMEHANIKE
,
il
,
m
.,1967,pp.1{308.
[PR]
w
.
p
.
pLATONOW
,
a
.
s
.
rAPIN^UK
,
aLGEBRAI^ESKIEGRUPPYITEORIQ^ISEL
,
nAUKA
,
m
.,
1991,pp.1{654.
[Pl]
b
.
i
.
pLOTKIN
,
gRUPPYAWTOMORFIZMOWALGEBRAI^ESKIHSISTEM
,
nAUKA
,
m
.,1966,
pp.1{603.
[Po]
l
.
s
.
pONTRQGIN
,
nEPRERYWNYEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1984,pp.1{519.
[Pos]
m
.
m
.
pOSTNIKOW
,
gRUPPYIALGEBRYlI
,
nAUKA
,
m
.,1982,pp.1{447.
[Pri]
pRIKLADNAQKOMBINATORNAQMATEMATIKA
,
mIR
,
m
.,1968,pp.1{362.
[Rag]
m
.
s
.
rAGUNATAN
,
dISKRETNYEPODGRUPPYGRUPPlI
,
mIR
,
m
.,1977,pp.1{316.
[Raz]
rAZRE[IMYEIPROSTYEBESKONE^NYEGRUPPY
,vol.21,
mIR
,
m
.,1981,pp.1{208.
[Ri]
r
.
rIHTMAJER
,
pRINCIPYSOWREMENNOJMATEMATI^ESKOJFIZIKI
.
T
.
II
.
gRUPPYI
TEORIQPREDSTAWLENIJ
,
mIR
,
m
.,1984,pp.1{381.
[Roz]
b
.
a
.
rOZENFELXD
,
nEEWKLIDOWYPROSTRANSTWA
,
nAUKA
,
m
.,1969,pp.1{547.
[RF1]
`
.
b
.
rUMER
,
a
.
i
.
fET
,
tEORIQUNITARNOJSIMMETRII
,
nAUKA
,
m
.,1970,pp.1{400.
[RF2]
`
.
b
.
rUMER
,
a
.
i
.
fET
,
tEORIQGRUPPIKWANTOWANNYEPOLQ
,
nAUKA
,
m
.,1977,pp.1{
247.
[Sc1]
w
.
n
.
sA^KOW
,
kOMBINATORNYEMETODYDISKRETNOJMATEMATIKI
,
nAUKA
,
m
.,1977,
pp.1{319.
[Sc2]
w
.
n
.
sA^KOW
,
wWEDENIEWKOMBINATORNYEMETODYDISKRETNOJMATEMATIKI
,
nAUKA
,
m
.,1982,pp.1{384.
[Swi]
r
.
m
.
sWITCER
,
aLGEBRAI^ESKAQTOPOLOGIQ
GOMOTOPIIIGOMOLOGII
,
nAUKA
,
m
.,
1985,pp.1{606.
[Sem]
sEMINARPOALGEBRAI^ESKIMGRUPPAM
,
mIR
,
m
.,1973,pp.1{315.
[S1]
v
.-
p
.
sERR
,
kOGOMOLOGIIgALUA
,
mIR
,
m
.,1968,pp.1{2081{375.
[S2]
v
.-
p
.
sERR
,
aLGEBRYlIIGRUPPYlI
,
mIR
,
m
.,1969,pp.1{375.
[S3]
v
.-
p
.
sERR
,
lINEJNYEPREDSTAWLENIQKONE^NYHGRUPP
,
mIR
,
m
.,1970.
[Sp]
t
.
sPRINGER
,
tEORIQINWARIANTOW
,
mIR
,
m
.,1981,pp.1{191.
[St]
r
.
sTEJNBERG
,
lEKCIIOGRUPPAH{EWALLE
,
mIR
,
m
.,1975.
[Suz]
m
.
sUDZUKI
,
sTROENIEGRUPPYISTROENIESTRUKTURYEEPODGRUPP
,
il
,
m
.,1960,
pp.1{158.
[Su1]
d
.
a
.
sUPRUNENKO
,
rAZRE[IMYEINILXPOTENTNYELINEJNYEGRUPPY
,
mINSK
,1958.
[Su2]
d
.
a
.
sUPRUNENKO
,
gRUPPYMATRIC
,
nAUKA
,
m
.,1972,pp.1{351.
[Suc]
a
.
i
.
sU[KEWI^
,
tEORIQOBOB]ENNYHGRUPP
,
gntiuKRAINY
,
hARXKOW
{
kIEW
,1937,
pp.1{176.
[SuS]
w
.
i
.
sU]ANSKIJ
,
w
.
s
.
sIKORA
,
oPERAC
ii
NAGRUPPAHP
i
DSTANOWOK
:
TEOR
i
QTAZASTO
-
SUWANNQ
,
rUTA
,
~URNAWC
i,2003,pp.1{255.
[Hsi]
u
.
i
.
sQN
,
kOGOMOLOGI^ESKAQTEORIQTOPOLOGI^ESKIHGRUPPPREOBRAZOWANIJ
,
mIR
,
m
.,1979,pp.1{243.
[Th]
tEORIQGRUPPI\LEMENTARNYE^ASTICY
,
SB
.
STATEJ
,
mIR
,
m
.,1967,pp.1{375.
[Ter]
u
.
tERSTON
,
tREHMERNAQGEOMETRIQITOPOLOGIQ
,
T
.1.
,
mcnmo
,
m
.,2001,pp.1{312.
[F2]
d
.
k
.
fADDEEW
,
tABLICYOSNOWNYHUNITARNYHPREDSTAWLENIJFEDOROWSKIHGRUPP
,
nAUKA
,
m
.{
l
.,1961.
[Fe1]
e
.
s
.
fEDOROW
,
sIMMETRIQISTRUKTURAKRISTALLOW
,
iZD
-
WOansssr
,
m
.,1949,
pp.1{639.
gruppy
:
firstdraught
23
[Fe2]
e
.
s
.
fEDOROW
,
pRAWILXNOEDELENIEPLOSKOSTIIPROSTRANSTWA
,
nAUKA
,
l
.,1979,
pp.1{272.
[Fed]
f
.
i
.
fEDOROW
,
gRUPPAlORENCA
,
nAUKA
,
m
.,1979,pp.1{384.
[Fe]
u
.
fEJT
,
tEORIQPREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1990,pp.1{461.
[Fl]
r
.
fLARRI
,
gRUPPYSIMMETRII
.
tEORIQIHIMI^ESKIEPRILOVENIQ
,
mIR
,
m
.,1983,
pp.1{395.
[Fr]
|
.
fRID
,
|[email protected]
,
mIR
,
m
.,1979,pp.1{260.
[F]
g
.
fROBENIUS
,
tEORIQHARAKTEROWIPREDSTAWLENIJGRUPP
,
onti
,
hARXKOW
,1937.
[Fu1]
l
.
fUKS
,
~ASTI^NOUPORQDO^ENNYEALGEBRAI^ESKIESISTEMY
,
mIR
,
m
.,1965,pp.1{
342.
[Fu2]
l
.
fUKS
,
bESKONE^NYEABELEWYGRUPPY
,
T
.
I,II,
mIR
,
m
.,1974,pp.1{335;1977,pp.1{
416.
[Hu1]
dV
.
hAMFRI
,
lINEJNYEALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,1980,pp.1{399.
[Hu2]
dV
.
hAMFRI
,
aRIFMETI^ESKIEGRUPPY
,
mIR
,
m
.,1983,pp.1{207.
[Ham]
m
.
hAMERME[
,
tEORIQGRUPPIEEPRIMENENIEKFIZI^ESKIMPROBLEMAM
,
mIR
,
m
.,
1966,pp.1{587.
[Hrr]
f
.
hARARI
,
tEORIQGRAFOW
,
mIR
,
m
.,1973,pp.1{300.
[Hrr]
f
.
hARARI
,
|
.
pALMER
,
pERE^ISLENIEGRAFOW
,
mIR
,
m
.,1977,pp.1{324.
[Har]
hARI[
-
~ANDRA
,
aWTOMORFNYEFORMYNAPOLUPROSTYHGRUPPAHlI
,
mIR
,
m
.,1971,
pp.1{246.
[Han]
m
.
hARRISON
,
tEORIQTWERDOGOTELA
,
mIR
,
m
.,1972,pp.1{616.
[Hei]
w
.
hEJNE
,
tEORIQGRUPPWKWANTOWOJMEHANIKE
,
il
,
m
.,1963.
[He1]
s
.
hELGASON
,
dIFFERENCIALXNAQGEOMETRIQISIMMETRI^ESKIEPROSTRANSTWA
,
mIR
,
m
.,1965.
[He2]
s
.
hELGASON
,
gRUPPYIGEOMETRI^ESKIJANALIZ
,
mIR
,
m
.,1987,pp.1{735.
[Hen]
|
.
hENNAN
,
pREDSTAWLENIQGRUPPIPRIKLADNAQTEORIQWEROQTNOSTEJ
,
mIR
,
m
.,
1970,pp.1{118.
[HW]
p
.
hILTON
,
s
.
uAJLI
,
tEORIQGOMOLOGIJ
:
WWEDENIEWALGEBRAI^[email protected]@
,
mIR
,
m
.,1966,pp.1{452.
[Ha]
m
.
hOLL
,
tEORIQGRUPP
,
il
,
m
.,1962,pp.1{468.
[Ho]
r
.
hOH[TRASSER
,
mOLEKULQRNYEASPEKTYSIMMETRII
,
mIR
,
m
.,1968,pp.1{384.
[Hus]
|
.
[email protected]
,
rASSLOENNYEPROSTRANSTWA
,
mIR
,
m
.,1970,pp.1{442.
[HR]
|
.
[email protected]
,
k
.
rOSS
,
aBSTRAKTNYJGARMONI^ESKIJANALIZ
,
T
.
I,
nAUKA
,
m
.,1975,
pp.1{654.
[ZVC]
h
.
cI[ANG
,
|
.
fOGT
,
~
.-
d
.
hOLDEWAJ
,
pOWERHNOSTIIDISKRETNYEGRUPPY
,
nAUKA
,
m
.,
1988.
[Zue]
l
.
[email protected]
,
kWANTOWAQHIMIQ
,
T
.1
,
mIR
,
m
.,1976,pp.1{512.
[ChM]
b
.
~ANDLER
,
w
.
mAGNUS
,
rAZWITIEKOMBINATORNOJTEORIIGRUPP
,
mIR
,
m
.,1985,
pp.1{253.
[Cheb]
n
.
g
.
~EBOTAREW
,
tEORIQGRUPPlI
,
gOSTEHIZDAT
,
m
.,1940.
[Cher]
s
.
n
.
~ERNIKOW
,
gRUPPYSZADANNYMISWOJSTWAMISISTEMYPODGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,
1980,pp.1{383.
[Ch]
k
.
{EWALLE
,
tEORIQGRUPPlI
,
T
.
I{III,
il
,
m
.,1948,pp.1{315;1958.
[Shem]
l
.
a
.
{EMETKOW
,
fORMACIIKONE^NYHGRUPP
,
nAUKA
,
m
.,1978,pp.1{271.
[Shi]
g
.
{IMURA
,
wWEDENIEWARIFMETI^[email protected]@AWTOMORFNYHFUNKCIJ
,
mIR
,
m
.,
1973,pp.1{326.
[Sch]
o
.
`
.
{MIDT
,
aBSTRAKTNAQTEORIQGRUPP
,2-
EIZD
.
,
gtti
,
m
.,1933,
SM
.
TAKVE
iZBRANNYEtRUDY
,1959.
[Scht]
g
.
{TRAJTWOLXF
,
tEORIQGRUPPWFIZIKETWERDOGOTELA
,
mIR
,
m
.,1971,pp.1{262.
[Shu]
a
.
w
.
{UBNIKOW
,
aTLASKRISTALLOGRAFI^ESKIHGRUPPSIMMETRII
,
onti
,
l
.,1946.
[ShK]
a
.
w
.
{UBNIKOW
,
w
.
a
.
kOPCIG
,
sIMMETRIQWNAUKEIISKUSSTWE
,
nAUKA
,
m
.,1972,
pp.1{339.
[Eis]
l
.
p
.
|JZENHART
,
nEPRERYWNYEGRUPPYPREOBRAZOWANIJ
,
il
,
m
.,1947,pp.1{359.
[ED]
dV
.
|LLIOT
,
p
.
dOBER
,
sIMMETRIQWFIZIKE
,
T
.
I,II,
mIR
,
m
.,1983,pp.1{364;pp.1{
410.
24
nikolajwawilow
tEORIQGRUPP
:astudent'sguide
|
iwYWSE\TOPRO^ITALI
?
|
nET
.
q
,
KONE^NO
,
[email protected]
,
NONEOBQZANIH^ITATX
.
aRTUROpERES
-
rEWERTE
\
[email protected]
,
ILITENXrI[ELXE
".
lITERATURAPOTEORIIGRUPPNAANGLIJSKOMINEMECKOMQZYKAH
NEOBOZRIMA
,
TAK^TOQ
OGRANI^USXSSYLKAMINATENEMNOGIEKNIGI
,
KOTORYE^ITAL
,
SKOTORYMIRABOTAL
,
INEKOTO
-
RYEIZKNIG
,
KOTORYEPROSTODERVALWRUKAH
,
ESLIPOKAKOJ
-
TOPRI^INEONIPORAZILIMOE
WOOBRAVENIEILIPROIZWELINAMENQWPE^ATLENIEPOLEZNYH
,
POU^ITELXNYHI
/
ILIZABAWNYH
.
nEUKAZANYKNIGI
,
KOTORYEPOKAZALISXMNELIBOSLI[[email protected]]IMI
INTERESLI[XDLQ
3-4
SPECIALISTOW
,
LIBOSTANDARTNYMI
,
SKU^NYMI
,
^ISTOKOMPILQTIWNYMI
ILIGRAFOMANSKIMI
(
TEKSTYgRIGORIQkARPILOWSKOGOIBOLX[INSTWOWWODNYHFRANZUZSKIH
IAMERIKANSKIHU^EBNIKOWDLQ
undergraduates).
mOEOB]EEO]U]ENIETAKOWO
,
^TO
WSE
KNIGIPOTEORIIGRUPP
(
TOVEOTNOSITSQKOWSEJAL
-
GEBRE
,
AMOVETBYTXIKMATEMATIKEWCELOM
),
IZDANNYE
Springer
CambridgeUniversityPress
(C.U.P)
MOGUTBYTXREKOMENDOWANY
.
[email protected]
DLQWSEHMATEMATIKOW
,
NEZAWISIMOOTSPECIALXNOSTI
,
QWLQETSQKNIGAdVOZEFArOTMANA
[Ro].
kNIGAmAJKLAa[BAHERA
[A1]
PREDSTAWLQETSOBOJIZUMITELXNOEPOKRASOTEIQSNOSTIWWEDE
-
[email protected]^NYHGRUPP
,
WPLOTXDOKLASSIFIKACIIKONE^NYHPROSTYHGRUPP
.
oDNAKO
NA^[email protected]]IJDOLVENIMETXWWIDU
,
^TONEKOTORYEDOKAZATELXSTWATAMOFORMLENYNESKOLX
-
KOSVATOIIHPONIMANIEMOVETPREDSTAWLQTXTRUDNOSTI
.
e]EODNOZAME^ATELXNOEWWEDE
-
[email protected]^NYHGRUPP
{
KNIGAaLXPERINAIbELLA
[AB].
lU^[[email protected]
PREDSTAWLENIJDLQMATEMATIKOW
-
NESPECIALISTOW
{
fULTONIhARRIS
[FH].
rAZUMEETSQ
,
DLQ
PROFESSIONALOWNI^TONEMOVETZAMENITXZNAKOMSTWOSOWTORYMIZDANIEMMONUMENTALXN
OGO
TRUDAk\RTISAIrAJNERA
[CR].
iMEETSQNESKOLXKOMONUMENTALXNYHU^EBNIKOWIMONOGRAFIJ
POTEORIIKONE^NYHGRUPP
,
WTOM^ISLEMNOGOTOMNYETRUDYmI^IOsUDZUKI
[Suz]
IbERTRA
-
MAhUPPERTA
[Hu].
sOWER[ENNOOSOBOEMESTOWOWSEJMATEMATI^[email protected]
KNIGAgORENSTEJNA
[Go]
ICIKLKNIGgORENSTEJNA
,
lAJONSAIsOLOMONA
,
POSWQ]ENNYHKLAS
-
SIFIKACII
[GLS1]{[GLS5].
uKAVEME]ENESKOLXKO
SOWER[[email protected]]IHSQ
TEKSTOW
,
POSWQ]ENNYHOTDELXNYMNAIBOLEEINTERESNYMKLASSAMGRUPP
,
WPOLNEDOSTUPNYHDLQNA
-
^[email protected]]EGO
:
kARTER
[Ca],[Ca],
bENSON
{
gROUW
[BG],
hAMFRI
[Hu4],
sPRINGER
[Sp],
a[BAHER
[A2],[A3],
sERR
[S4],
bRAUNIrONAN
[Br],[Ron].
pOLNOEPOSTROENIEWSEH
230
PROSTRANSTWEN
-
NYHGRUPPIZLOVENOW
[Kim].
u^EBNIKIPOTEORIIGRUPP
[Mac]I.D.MacDonald,
Thetheoryofgroups
,ClaredonPress,Oxford,1968.
[Rob]D.J.S.Robinson,
Acourseinthetheoryofgroups
,Springer,Berlinetal.,1982.
[Ros]J.S.Rose,
Acourseongrouptheory
,C.U.P.,Cambridge,1978.
[Rot]J.J.Rotman,
Thetheoryofgroups,anintroduction,2nded.
,Allyn&Bacon,Boston,
1973.
[Sch]E.Schenkman,
Grouptheory
,N.Y.,1965.
[ST]G.Smith,O.Tabachnikova,
Topicsingrouptheory
,SpringerVerlag,Berlinetal.,2000,
pp.1{255.
[Za]H.Zassenhaus,
Thetheoryofgroups
,DoverPublications,N.Y.,1999,pp.1{265,(Reprint
ofthe1958Chelsea2ndedition).
pOPULQRNAQLITERATURA
[Bud]F.J.Budden,
Thefascinationofgroups
,C.U.P.,Cambridge,1972.
[Bus]B.P.Burns,
Geometry:apathtogroups
,C.U.P.,Cambridge,1987.
[Joy]D.Joyner,
Adventuresingrouptheory
,JohnHopkinsUniv.,Baltimore,2002,pp.1{262.
[Mr1]R.Mirman,
Grouptheory:anintuitiveapproach
,WorldScienti c,Londonetal.,1995.
kONE^NYEGRUPPY
[A1]M.Aschbacher,
Finitegrouptheory,2nded.
,C.U.P.,Cambridge,2000,pp.1{304.
gruppy
:
firstdraught
25
[Bur]W.Burnside,
Theoryofgroupsof niteorder,reprintofthe2nded.
,Dover,N.Y.,1955.
[Go1]D.Gorenstein,
Finitegroups
,Harper&Row,N.Y.,1sted.1968;Chelsea,N.Y.,2nded.
1980.
[Hu]B.Huppert,
EndlicheGruppen,
Bd.I,Springer,Berlinetal.,1967,pp.1{793.
[HB]B.Huppert,N.Blackburn,
Finitegroups,
vol.II,III,Springer,Berlinetal.,1982,pp.1{
531;pp.1{454.
[Spe]A.Speiser,
DieTheoriederGruppenvonendlicherOrdnung,
4teAu .,Birkhauser,Basel
etal.,1956,pp.1{271.
[Sz]M.Suzuki,
Grouptheory,
vol.I,II,SpringerVerlag,Berlinetal.,1982,pp.1{434.
[KSt]H.Kurzweil,B.Stellmacher,
TheoriederendlichenGruppen:eineEinfuhrung
,Springer
Verlag,Berlinetal.,1998,pp.1{341.
[Wh1]B.A.F.Wehrfritz,
Finitegroups:asecondcourseongrouptheory
,WorldScienti c,London
etal.,1999,pp.1{123.
kLASSIFIKACIQKONE^NYHPROSTYHGRUPP
[Go2]D.Gorenstein,
Theclassi cationof nitesimplegroups,vol.1,Groupsofnon-characteris-
tic2type
,PlenumPress,N.Y.,1983,pp.1{487.
[GLS1]D.Gorenstein,R.Lyons,R.Solomon,
Theclassi cationofthe nitesimplegroups,
,Amer.
Math.Society,Providence,R.I.,1994,pp.1{165.
[GLS2]D.Gorenstein,R.Lyons,R.Solomon,
Theclassi cationofthe nitesimplegroups,N.2,
I
,Ch.G.Generalgrouptheory
,Amer.Math.Society,Providence,R.I.,1996,pp.1{
218.
[GLS3]D.Gorenstein,R.Lyons,R.Solomon,
Theclassi cationofthe nitesimplegroups,N.3,
I
,Ch.A.Almostsimple
K
-groups
,Amer.Math.Society,Providence,R.I.,1998,
pp.1{419.
[GLS4]D.Gorenstein,R.Lyons,R.Solomon,
Theclassi cationofthe nitesimplegroups,N.2,
II
,Ch.1{4.Uniquenesstheorems
,Amer.Math.Society,Providence,R.I.,1999,
pp.1{341.
[GLS5]D.Gorenstein,R.Lyons,R.Solomon,
Theclassi cationofthe nitesimplegroups,N.5,
III
,Ch.1{6.Thegenericcase
,Amer.Math.Society,Providence,R.I.,2002,pp.1{
467.
sPORADI^ESKIEGRUPPY
[A2]M.Aschbacher,
Sporadicgroups
,C.U.P.,Cambridge,1994.
[A3]M.Aschbacher,
3-transpositiongroups
,C.U.P.,Cambridge,1997.
[Atlas]J.H.Conway,R.T.Curtis,S.P.Norton,R.A.Parker,R.A.
Wilson,
Anatlasof nitegroups
,
ClaredonPress,Oxford,1972,pp.1{284.
[FLM]I.Frenkel,J.Lepowsky,A.Meurman,
Vertexoperatoralgebrasandthemonster
,Academic
Press,Bostonetal.,1988,pp.1{502.
[Gr]R.L.Griess,
Twelvesporadicgroups
,SpringerVerlag,Berlinetal.,1998,pp.1{169.
pREDSTAWLENIQKONE^NYHGRUPP
[Col]M.J.Collins,
Representationsandcharactersof nitegroups
,C.U.P.,Cambridge,1990,
pp.1{242.
[Dor]L.Dornho ,
Grouprepresentationtheory.PartsA,B
,MarcelDekker,N.Y.etal.,1971;
1972.
[Hil]V.E.Hill,
Groupsandcharacters
,Chappman&Hall,BocaRaton,Fl.,2000,pp.1{239.
[Isa]I.M.Isaacs,
Charactertheoryof nitegroups
,AcademicPress,N.Y.etal.,1976.
[JL]D.James,M.Liebeck,
Representationsandcharactersofgroups,2nded.
,C.U.P.,Cambrid-
ge,2001,pp.1{458.
[PD]B.Puttaswamaiah,J.D.Dixon,
Modularrepresentationsof nitegroups
,AcademicPress,
N.Y.etal.,1977,pp.1{242.
26
nikolajwawilow
gRUPPYTIPAlI
[C1]R.W.Carter,
SimplegroupsofLietype
,Wiley,Londonetal.,1972,pp.1{331.
[C2]R.W.Carter,
FinitegroupsofLietype:conjugacyclassesandcomplexcharacters
,Wiley,
Londonetal.,1985,pp.1{544.
[Hu?]J.Humphreys,
IntroductiontoLiealgebrasandrepresentationtheory,3rdrevisedprinting
,
SpringerVerlag,Berlinetal.,1980.
[KL]P.B.Kleidman,M.W.Liebeck,
Thesubgroupstructureofthe niteclassicalgroups
,C.U.P.,
Cambridge,1990,pp.1{303.
[Lu]G.Lusztig,
Charactersofreductivegroupsovera nite eld.Ann.Math.Studies
,vol.107,
PrincetonUniv.Press,1984,pp.1{384.
[Tim]F.G.Timmesfeld,
AbstractrootsubgroupsandsimplegroupsofLietype
,BirkhauserVer-
lag,Basel,2001,pp.1{389.
aLGEBRAI^ESKIEGRUPPY
[Ch]C.Chevalley,
Classi cationdesgroupesdeLiealgebriques,vol.
I,II,ENS,Paris,1956-58.
[Ho]G.Hochschild,
BasictheoryofalgebraicgroupsandLiealgebras
,Springer,Berlinetal.,
1981.
[Sp]T.Springer,
Linearalgebraicgroups
,Birkhauser,Bostonetal.,1981,pp.1{304.
gRUPPYPERESTANOWOK
[BW]N.L.Biggs,A.T.White,
Permutationgroupsandcombinatorialstructures
,C.U.P.,Cam-
bridge,1979.
[Cam]P.J.Cameron,
Permutationgroups
,C.U.P.,Cambridge,1999,pp.1{220.
[Kr1]A.Kerber,
Algebraiccombinatoricsvia nitegroupactions
,BiblographischesInst.,Mann-
heim,1991.
[Kr2]A.Kerber,
Applied nitegroupactions
,SpringerVerlag,Berlinetal.,1999,pp.1{454.
[BW]M.Ch.Klin,R.Poschel,K.Rosenbaum,
AngewandteAlgebra.Einfuhrungingruppentheo-
retisch-kombinatorischeMethoden
,DVW,Berlin,1988,pp.1{208.
[Pas]D.Passman,
Permutationgroups
,AcademicPress,N.Y.etal.,1968.
[Sag]B.E.Sagan,
Thesymmetricgroups:representations,combinatorialalgorithms,andsym-
metricfunctions,2nded.
,SpringerVerlag,Berlinetal.,2001,pp.1{238.
[Wie]H.Wielandt,
Finitepermutationgroups
,AcademicPress,N.Y.etal.,1964.
lINEJNYEGRUPPY
[Bl]H.R.Blichfeldt,
Finitecollineationgroups
,Univ.ChicagoPress,1917,pp.1{193.
[Di]L.E.Dickson,
Lineargroups,reprint
,Dover,N.Y.,1958.
[Dix]J.Dixon,
Thestructureoflineargroups
,VanNostrand{Reinhold,Londonetal.,1971,
pp.1{183.
[Jo]CJordan,
Traitedessubstitutionsetdesequationsalgebriques
,Gauthier-Villars,Paris,
1870.
[vdW]B.vanderWaerden,
GruppenvonlinearenTransformationen
,Springer,Berlinetal.,1935.
[Wh2]B.A.F.Wehrfritz,
In nitelineargroups
,Springer,Berlinetal.,1973,pp.1{229.
[WSh]B.A.F.Wehrfritz,M.Shirvani,
Skewlineargroups
,C.U.P.,Cambridge,1986,pp.1{253.
kLASSI^ESKIEGRUPPY
[D?]J.Dieudonne,
Surlesgroupesclassiques
,Hermann,Paris,1948.
[HOM]A.Hahn,O.T.O'Meara,
Theclassicalgroupsand
K
-theory
,Springer,Berlinetal.,1989,
pp.1{576.
gRUPPYlI
[Ba]A.Baker,
Matrixgroups
,SpringerVerlag,Berlinetal.,2002,pp.1{330.
[DK]J.J.Duistermaat,J.A.C.Kolk,
Liegroups
,SpringerVerlag,Berlinetal.,2000,pp.1{344.
gruppy
:
firstdraught
27
[FdV]H.Freudenthal,H.deVries,
LinearLiegroups
,AcademicPress,N.Y.etal.,1969,pp.1{
547.
[Ho]G.Hochschild,
ThestructureofLiegroups
,HoldenDay,1965,pp.1{230.
[Hsi]W.-Y.Hsiang,
LecturesonLiegroups
,WorldScienti c,Londonetal.,2000,pp.1{108.
[Kna]A.W.Knapp,
Liegroupsbeyondanintroduction,2nded.
,Birkhauser,Bostonetal.,2002,
pp.1{812.
[Nom]K.Nomizu,
Liegroupsanddi erentialgeometry.vol.
I,II,N.Y.,1963;1969.
[SW]A.Sagle,R.Walde,
IntroductionstoLiegroupsandLiealgebras
,AcademicPress,N.Y.et
al.,1973.
[Var]V.S.Varadarajan,
Anintroductiontoharmonicanalysisonsemisimplegroups
,C.U.P.,
Cambridge,1999,pp.1{316.
pREDSTAWLENIQGRUPPlI
[A]M.Atiyahetal.??,
RepresentationtheoryofLiegroups
,C.U.P.,Cambridge,???,pp.1{
341.
[Var]V.S.Varadarajan,
Liegroups,Liealgebrasandtheirrepresentations
,PrenticeHall,1974.
[Wal]N.Wallach,
Harmonicanalysisonhomogeneousspaces
,N.Y.,1973.
[War]G.Warner,
Harmonicanalysisonsemi-simpleLiegroupsvol.
I,II,Berlin,1972.
[Waw]A.Wawrzynczyk,
Wspo lczesnateoriafunkcjispecjalnych
,PAN,Warszawa,1978,pp.1{
525.
gRUPPYkOKSETERA
[GB]L.C.Grove,C.T.Benson,
Finitere ectiongroups,2nded.
,Springer,Berlinetal.,1985.
[Hu4]J.Humphreys,
Re ectiongroupsandCoxetergroups
,C.U.P.,Cambridge,1992.
[Kan]R.Kane,
Re ectiongroupsandinvarianttheory
,SpringerVerlag,Berlinetal.,2001,
pp.1{379.
tOPOLOGI^ESKIEGRUPPY
[Mau]K.Maurin,
Generaleigenfuctionexpansionsandunitaryrepresentationsoftopological
groups
,PWN,Warszawa,1968,pp.1{367.
[Wil]L.Ribes,
Introductiontopro nitegroupsandGaloiscohomology
,Queen'sUniv.,Kingston,
Ontario,1999,pp.1{316,(reprintofthe1970original).
[Wil]J.S.Wilson,
Pro nitegroups
,ClaredonPress,Oxfordetal.,1998,pp.1{284.
gRUPPYIGEOMETRII
[Abr]P.Abramenko,
Twinbuildingsandapplicationsto
S
-arithmeticgroups
SpringerLecture
NotesMath.,vol.1641,Berlinetal.,1996.
[Han]F.Buekenhout(ed.),
Handbookofincidencegeometry:buildingsandfoundations
,Elsevier,
Amsterdametal.,1995.
[Pa]A.Pasini,
Diagramgeometries
,ClaredonPress,Oxford,1994.
[Ron]M.Ronan,
Lecturesonbuildings
,AcademicPress,N.Y.etal.,1989.
[Ti]J.Tits,
Buildingsofsphericaltypeand niteBN-pairs
SpringerLectureNotesMath.,
vol.386,Berlinetal.,1974.
bESKONE^NYEGRUPPY
[KW]O.Kegel,B.A.F.Wehrfritz,
Locally nitegroups
,Amsterdam,1973,pp.1{210.
[War]R.B.War eld,
Nilpotentgroups
SpringerLectureNotesMath.,vol.513,Berlinetal.,1976.
[Rob]D.J.S.Robinson,
Finitenessconditionsandgeneralisedsolublegroups,vol.
I,II,Springer,
Berlinetal.,1972.
[Seg]D.Segal,
Polycyclicgroups
,C.U.P.,Cambridge,1983.
28
nikolajwawilow
gRUPPYWGEOMETRIIITOPOLOGII
[B4]A.Borel,
Seminarontransformationgroups.Ann.Math.Studies
,vol.46,PrincetonUniv.
Press,1960.
[Mag]W.Magnus,
Non-Euclideantesselationsandtheirgroups
,AcademicPress,N.Y.,1976.
[Whi]A.T.White,
Graphs,groupsandsurfaces,2nded.
,NorthHolland,NAmsterdam,1984.
gEOMETRI^ESKAQTEORIQGRUPP
[dlH]P.delaHarpe,
Topicingeometricgrouptheory
,Univ.ChicagoPress,Chicago,Il.,2000,
pp.1{310.
kOMBINATORNAQTEORIQGRUPP
[Bau]G.Baumslag,
Topicsincombinatorialgrouptheory
,Birkhauser,Bostonetal.,1993.
[Co1]D.E.Cohen,
Combinatorialgrouptheory:atopologicalapproach
,QueenMaryCollege,
London,1978.
[FR]B.Fine,G.Rosenberger,
Algebraicgeneralizationsofdiscretegroups
,MarcelDekker,N.Y.
etal.,1999,pp.1{317.
[S3]J.-P.Serre,
Arbres,amalgames,
SL
2
,AsterisqueorSpringer,Berlinetal..
kOGOMOLOGIIGRUPP
[AM]A.Adem,R.J.Milgram,
Thecohomologyof nitegroups
,Springer,Berlinetal.,1994.
[AM]A.Babakhanian,
Cohomologyof nitegroups
,Queen'sUniv.,Kingston,Ontario,1999,
pp.1{216,(reprintofthe1969original).
[Ben]D.Benson,
Representationsandcohomology:cohomologyofgroupsandmodules
,C.U.P.,
Cambridge,1991.
[Co2]D.E.Cohen,
Groupsofcohomologicaldimensionone
,Springer,Berlinetal.,1972.
[Gr]C.Gruenberg,
Cohomologicaltopicsingrouptheory
SpringerLectureNotesMath.,Berlin
etal.,1970.
[Sta]U.Stammbach,
Homologyingrouptheory
SpringerLectureNotesMath.,vol.359,Berlin
etal.,1973.
pRIMENENIQGRUPPWFIZIKE
,
HIMIIIMINERALOGII
[Bar]V.Bargmann,
Grouprepresentationsinmathematicsandphysics
,Berlinetal.,1970.
[Dy]F.J.Dyson,
Symmetrygroupsinnuclearandparticlephysics
,Benjamin,N.Y.,1966.
[Kim]Sh.K.Kim,
Grouptheoreticalmethodsandapplicationstomoleculesandcrystals
,C.U.P.,
Cambridge,1999,pp.1{492.
[MSt]K.Mathiak,P.Stingl,
GruppentheoriefurChemiker,Physiko-ChemikerundMineralogen
,
Viehweg,Braunschweig,1968.
[Mr2]R.Mirman,
Pointgroups,spacegroups,crystals,molecules
,WorldScienti c,Londonet
al.,1999,pp.1{707.
[Wag]M.Wagner,
GruppentheoretischeMethodeninderPhysik
,Vieweg&Sohn,Braunschweig,
1998,pp.1{461.
iSTORIQTEORIIGRUPP
[Bor]A.Borel,
EssaysinthehistoryofLiegroupsandalgebraicgroups
,Amer.Math.Soc.,
Providence,R.I.,2001,pp.1{184.
[Gra]J.J.Gray,
Lineardi erentialequationsandgrouptheoryfromRiemanntoPoincare
,
Birkhauser,Baseletal.,2000,pp.1{338.
gruppy
:
firstdraught
29
tEMA
1.
gruppy
n
Groups,

Groups,
f
andmoreGroups
g

o
MichaelDoob,AgentleintroductiontoT
E
X.
nAWOPROS
\
~TOTAKOEVIWOTNOE
?"
LU^[EWSEGOOTWE^AETPROGULKAPO
ZOOPARKU
.
dVORDVgRETCER
19
w\TOJGLAWEMYWWODIMPONQTIEGRUPPYIPRIWODIMPERWYEPRIMERY
GRUPP
nEPREDPOLAGAETSQ
^TONA^[email protected]]IJPOJMET
(
ILIPROSTOPRO^TET
)
WSE\TIPRI
-
MERYPRIPERWOM^TENII
ONISLUVATTOLXKODLQTOGO
^TOBYPOKAZATX
^TO
[email protected]^NYHKONSTEKS
TOWIPOSA
-
MYMRAZNYMPOWODAM
x
1.
gRUPPY
zDESXMYWWEDEMODNOIZCENTRALXNYHPONQTIJWSEJMATEMATIKI
1.
gRUPPY
.
mONOID
WSE\LEMENTYKOTOROGOOBRATIMY
NAZYWAETSQGRUPPOJ
wWIDUKRAJNEJWAVNOSTI\TOGOPONQTIQPOWTORIM\TOOPREDELE
NIEWDETALQH
oPREDELENIE
.
nEPUSTOEMNOVESTWO
G
19
g
.
gRETCER
,
oB]AQTEORIQRE[ETOK
.{
mIR
.,
m
.,1982,
S
.1{452,
STR
.396.
20
w\TOMMESTEUNASSrOBERTOM{MIDTOMWOZNIKLADOLGAQMETOD
(
OLOG
)
I^ESKAQDISKUS
-
SIQNATEMU
`
MNOVESTWONAKOTOROM
'versus`
MNOVESTWOWMESTES
'.
sMOEJTO^KI\TONEIMEET
NIKAKOGOZNA^ENIQIQDAWNONEOBRA][email protected]
:`
TOGO
,
KTONEW
SOSTOQNIIPOODNOMUUGLYPREDMETASOSTAWITXPREDSTAWLENIQOBOSTALXNYHTREH
,
NESLEDUET
U^ITX
'.
kAKU^ATWELIKIEMUDRECYDREWNOSTI
,
PEREDA^A
(
MATEMATI^ESKIH
)
ZNANIJWOZMOVNA
TOLXKOOTSERDCAKSERDCU
(
SIN
-
SIN
-
MEJ
),
[email protected]^[email protected]
.
sTU
-
DENTDOLVENSLU[ATX
,
TO
,
^[email protected]
,
ANETO
,
^[email protected]
.
pRI\TOMONLIBOPONIMAET
TO
,
^TOQ
HO^U
SKAZATX
,
LIBONEPONIMAET
.
|TONEZAWISITNIOTTOGO
,
^TOGOWORITSQ
,
NIOT
TOGO
,
KAK\TOGOWORITSQ
,
A
TOLXKO
OTNALI^IQILIOTSUTSTWIQMENTALXNOGOKONTAKTA
,
SIN
-
HRONIZACIINA[IHSOZNANIJ
,
PODSOZNANIJIGIPERSOZNANIJ
.
nI^TONEWSOSTOQNIIIZMENITX
\TOTFUNDAMENTALXNYJFAKT
.
pO\TOMU
NIKAKIE
METODI^ESKIEUHI]RENIQIPROS^ETYNEW
SOSTOQNIIPOWLIQTXNAUROWENXNE
/
[email protected]
.
rOBERTUKAVETSQ
,
^TORITUALXNYEPLQSKIMOGUTIZMENITX\TOPOLOVENIE
,
NOQTAKNES^[email protected]
.
kROMETOGO
,
ESLIUVNAZYWATXGRUPPUPAROJ
,
TONELXZQOBOZNA^ATXGRUPPUIMNOVESTWO
,
NAKOTOROMONA
ZADANA
,
ODNOJITOJVEBUKWOJ
,
ANUVNOPISATX^TO
-
NIBUDXWDUHE
G
=(
G;

){
RAZUMEETSQ
,
NAIBOLEEBUJNYEOB][email protected]
!
zAPISX
G
=(
G;

)
QWNOPRO
-
TIWORE^ITAKSIOMEREGULQRNOSTI
.
kROMETOGO
,
DALX[EMYWSEWREMQGOWORIMOB
`
\LEMENTAH
GRUPPY
',
AKAKIEUVTAMUGRUPPY\LEMENTY
,
ESLIONAQWLQETSQUPORQDO^ENNOJPAROJ
!
nU
,
WKONCEKONCOW
,
ESLIUV
`
WMESTES
',
TOWMESTES
TREMQ
OPERACIQMI
,
O^[email protected]]IJ
PARAGRAF
.
pO\[email protected]@PERWONA^[email protected]@
.
30
nikolajwawilow
gRUPPA
G
SODERVA]AQKONE^NOE^ISLO\LEMENTOW
NAZYWAETSQ
KONE^NOJ
w
PROTIWNOMSLU^AEGRUPPA
G
NAZYWAETSQ
BESKONE^NOJ
oPREDELENIE
.
gOWORQT
,
^TO\LEMENTY
x
I
y
GRUPPY
G
[email protected]
21
,
ESLI
xy
=
yx
.
gRUPPA
,
[email protected]\[email protected]
,
NAZY
-
21
sPECIALISTYPOKOMBINATORNOJTEORIIGRUPPW\TOMSLU^[email protected]^ENIE
x

y
,
ODNAKONAMONONEKAVETSQNASTOLXKOBOLEEUDOBNYM
,
^EMOBY^NAQZAPISX
xy
=
yx
[
x;y
]=1,
^TOBYOPRAWDATXWWEDENIESPECIALXNOGOSIMWOLA
.
22
nILXShENDRIKaBELX
(05.08.1802,
fIND

E
{06.04.1829,
kRISTIANIQ
,
NYNEoSLO
){
ZAME^ATELXNYJNORWEVSKIJMATEMATIK
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIAL
-
GEBRAI^ESKIHURAWNENIJ
,
TEORIIRQDOW
,
TEORIIALGEBRAI^ESKIHFUNKCIJ
.
nARQDUSqKOBI
aBELXBYLODNIMIZOSNOWATELEJTEORII\LLIPTI^ESKIHFUNKCIJ
.
w
1824
GODUPOLU^ILPOL
-
NOEDOKAZATELXSTWOTEOREMYONERAZRE[IMOSTIOB]EGOURAWNENIQSTEPENI
5
WRADIKALAH
(
TEOREMArUFFINI
-
aBELQ
).
zA\TODOSTIVENIEONPOLU^[email protected]
,
KOTORAQPOZWOLILA
EMUSOWER[[email protected]
,
[email protected]@
.
[email protected]
INEIMEQPOSTOQNNOJDOLVNOSTI
,
aBELXZARABATYWALNAVIZNX^ASTNYMIUROKAMI
.
uMEROT
^AHOTKIWBEDNOSTIZANESKOLXKODNEJDOTOGO
,
KAKEMUPRI[LOPRIGLA[ENIENADOLVNOSTX
PROFESSORAWbERLINSKIJuNIWERSITET
.
kROMEABELEWYHGRUPPWNA[EMKURSEWSTRE^AETSQ
[email protected]
,
TEOREMAaBELQITEOREMArUFFINI
-
aBELQ
,
[email protected]
-
@TABELEWYFUNKCII
,
ABELEWYMNOGOOBRAZIQ
,...
nARUSSKIJPEREWEDENAPODROBNAQBIOGRAFIQ
aBELQNAPISANNAQODNIMIZLU^[IHNORWEVSKIHMATEMATIKOW
XX
WEKAoJSTENOMoRE
:
o
.
oRE
,
zAME^ATELXNYJMATEMATIKnILXSgENRIHaBELX
.{
gifml
,
m
.,1961,
S
.1{343.
gruppy
:
firstdraught
31
pO\TOMUWGRUPPAHOBY^[email protected]
h=g
DLQOBOZNA^ENIQ
DELENIQ
APREDPO^[email protected]
g

1
h
ILI
hg

1
iZODNOZNA^NOSTIDELENIQWYTEKAET
^TOWGRUPPEMOVNOSOKRA][email protected]
-
BOJ\LEMENTSPRAWAISLEWA
wOZMOVNOSTX
LEWOGOSOKRA]ENIQ
OZNA^AET
^TO
RAWENSTWO
gx
=
gy
WLE^ET
x
=
y
aNALOGI^NO
WOZMOVNOSTX
PRAWOGOSOKRA
-
]ENIQ
OZNA^AET
^TOESLI
xg
=
yg
TO
x
=
y
x
2.
sKOLXKOOPERACIJWGRUPPE
?
gRUPPUMOVNOWSEVERASSMATRIWATXKAKALGEBRUTIPA
h
2
i
,
.
E
.
SODNOJ
OSNOWNOJBINARNOJOPERACIEJ
,
TOLXKONESOPERACIEJUMNOVENIQ
,
AS
OPERACIEJDELENIQ
.
aNATOLIJiWANOWI^mALXCEW
23
1.
gRUPPAKAKMNOVESTWOSODNOJOPERACIEJ
.
pOSLOWAMw
.
i
.
aRNOLXDA
24
,`
PRESTUPNYE
ALGEBRAISTY
'
[email protected]
DWUMQ
OPERACIQMI
.
aLGEBRAISTY
NIKOGDA
[email protected]
.
gRUPPAOPREDELQETSQLIBOKAK
MNOVESTWOS
TREMQ
OPERACIQMI
,
O^EMNIVE
,
LIBOKAKMNOVESTWOS
ODNOJ
OPERACIEJ
.
pRI^EM
WPOSLEDNEMSLU^AE\TOOPERACIQPRAWOGODELENIQ
.
uPRAVNENIE
.
oBOZNA^IM^EREZ
g=h
=
gh

1
[email protected]
PRAWOGO
DELENIQ
.
uBEDITESX
,
^TO
WSETRIOPERACII
,
WHODQ][email protected]^[email protected]
=
[email protected]]IM
OBRAZOM
:
e
=
g=g
,
g

1
=(
g=g
)
=g
,
gh
=
g=
((
h=h
)
=h
).
pROWERXTE
,
^TO
,
KROMETOGO
,
g
=
g=
(
g=g
)
(
f=f
)
=
(
g=h
)=
h=g
.
aIMENNO
,
[email protected]
25
POKAZAL
26
,
^TOGRUPPAMOVETBYTXOPREDELENAKAKMNO
-
VESTWOSODNOJBINARNOJOPERACIEJ
G

G
!
G
,(
g;h
)
7!
g=h
,
[email protected]]EJDWUM
[email protected]]IMAKSIOMAM
:
1)
[email protected]
f;g;h
2
G
WYPOLNQETSQRAWENSTWO
(
f=h
)
=
(
g=h
)=
f=g
,
2)
[email protected]
g;h
2
G
URAWNENIE
g=x
=
h
RAZRE[IMO
.
23
a
.
i
.
mALXCEW
,
aLGEBRAI^ESKIESISTEMY
.{
nAUKA
,
m
.,1970,
S
.1{392;
STR
.98.
24
wLADIMIRiGOREWI^aRNOLXD
(
ROD
.
mOSKWA
){
WELIKIJRUSSKIJMATEMATIK
,
NEPRE
-
WZOJDENNYJMA\STROTEORIIWSQKOGORODAOSOBENNOSTEJIKATASTROF
.
u^ENIKkOLMOGOROWA
aRNOLXDSRAZUZAQWILOSEBEQRKIMIREZULXTATAMIPOTRINADCATOJPROBLEMEgILXBERTA
.
oN
OTKRYLSOWER[ENNOZAME^ATELXNYESWQZIMEVDUOSOBENNOSTQMIDIFFERENCIRUEMYH
OTOBRA
-
VENIJISISTEMAMIKORNEJ
.
w[IROKIHKRUGAHIZWESTENSWOIMIWYSKAZYWANIQMIOSU]NOSTI
MATEMATIKI
,
KAVDOEIZKOTORYHPROTIWORE^ITWSEMOSTALXNYMWYSKAZYWANIQM
.
eSLIIS
-
HODITXIZTOGO
,
^TO
`
[email protected]^ATDRUGIM
,
MUDRYEPROTIWORE^ATSEBE
'
(`
[email protected]
'),
TONET
,
NEBYLOINIKOGDANEBUDET^ELOWEKA
,
BOLEEWOS
-
PITANNOGOIMUDROGO
,
^EMwLADIMIRiGOREWI^
.
wOTDLQPRIMERA
,
NESKOLXKOOTKROWENIJ
:
`
MATEMATIKAESTXRAZDELTEORIIOSOBENNOSTEJ
',`
MATEMATIKA
{
\TOTAKOJRAZDELFIZIKI
,
\KS
-
PERIMENTYWKOTOROMDE[EWY
',`
WSQMATEMATIKADELITSQNATRIRAZDELA
:
NEBESNAQMEHANIKA
,
GIDRODINAMIKAITEORIQKODIROWANIQ
'.
aRNOLXDNAPISALNESKOLXKOBLISTATELXNYHKNIG
,
W
TOM^ISLEw
.
i
.
aRNOLXD
,
tEORIQKATASTROF
.2-
EIZD
.{
iZD
-
WOmOSK
.
UN
-
TA
,
m
.,1983,
S
.1{
80;
w
.
i
.
aRNOLXD
,
oBYKNOWENNYEDIFFERENCIALXNYEURAWNENIQ
.{
nAUKA
,
m
.,1971,
S
.1{239;
w
.
i
.
aRNOLXD
,
dOPOLNITELXNYEGLAWYTEORIIOBYKNOWENNYHDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
.
{
nAUKA
,
m
.,1978,
S
.1{304;
w
.
i
.
aRNOLXD
,
mATEMATI^ESKIEMETODYKLASSI^ESKOJMEHANIKI
.
2-
EIZD
.{
nAUKA
,
m
.,1979,
S
.1{431;
w
.
i
.
aRNOLXD
,
a
.
aWEC
,
|RGODI^ESKIEPROBLEMYKLASSI^E
-
SKOJMEHANIKI
.{
rhd
,
iVEWSK
,1999,
S
.1{281;
w
.
i
.
aRNOLXD
,
a
.
n
.
wAR^ENKO
,
s
.
m
.
gUSEJN
-
zADE
,
oSOBENNOSTIDIFFERENCIRUEMYHOTOBRAVENIJ
.
t
.I,II.{
nAUKA
,
m
.,
t
.I.
kLASSIFIKACIQ
KRITI^ESKIHTO^EK
,
KAUSTIKIWOLNOWYHFRONTOW
.{1982,
S
.1{304;
.II.
mONODROMIQIOSO
-
BENNOSTIINTEGRALOW
.{1984,
S
.1{335.
25
[email protected]
(){
KRUPNEJ[IJIZRAILXSKIJMATEMATIKAMERIKANSKOGOPRO
-
ISHOVDENIQ
.
eGOOSNOWNYERABOTYOTNOSQTSQKOBLASTI
...
w
??
GODUSOWER[[email protected]
.
26
H.Furstenberg,Theinverseoperationingroups.{Proc.Amer.Math.
Soc.,1955,vol.6,
p.991{997.
32
nikolajwawilow
pOPROBUJTEWYWESTIIZ\TIHAKSIOM
,
^TOUMNOVENIEW
G
,
OPREDELENNOERAWENSTWOM
gh
=
g=
((
h=h
)
=h
),
ASSOCIATIWNO
.
2.
gRUPPAKAKMNOVESTWOSDWUMQOPERACIQMI
.
wPORQDKEMELKOGOPODHALIMAVAZAME
-
TIM
,
^TOWOTKAKRAZNEKOTORYE
TOPOLOGI
[email protected]
S
DWUMQ
OPERACIQMI
,
SM
.,
NAPRIMER
,[Swi],
S
.23{25.
aIMENNO
,
GRUPPOJNAZYWAETSQMNOVESTWO
G
SOTME^ENNOJTO^KOJ
e
IOPREDELENNYMINANEMOPERACIQMI
UMNOVENIQ
m
:
G

G
!
G
,
OBRA]ENIQ
i
:
G
!
G
,
TAKIMI
,
^[email protected]]IETRIDIAGRAMMYKOMMUTATIWNY
:
G1.
aSSOCIATIWNOSTX
:
G

G

G
m

id
!
G

G
id

m
?
?
y
?
?
y
m
G

G
!
m
G
G2.
sU]ESTWOWANIENEJTRALXNOGO\LEMENTA
:
G
(
e;
id)
!
G

G
(id
;e
)

G
?
?
y
m
G
G3.
sU]ESTWOWANIEOBRATNOGO\LEMENTA
:
G
(
i;
id)
!
G

G
(id
;i
)

G
?
?
y
m
G
lEGKOWIDETX
,
^TOKOMMUTATIWNOSTX\TIHDIAGRAMMPREDSTAWLQETSOBOJPEREFORMULIROW
-
KUUSLOWIJ
G1{G3,
TAK^TO\TOOPREDELENIE\[email protected]
PUNKTE
1.
[email protected]

:
G

G
!
G

G
,
[email protected]][email protected]
:

(
x;y
)=(
y;x
).
[email protected]]IMOBRAZOM
.
G4.
kOMMUTATIWNOSTX
:
G

G

!
G

G
G
|TOOPREDELENIEHORO[OWSEM
,
NOWSOWREMENNYHALGEBRAI^ESKIHTEKSTAH
(
NAPRIMER
,
W
KNIGAHPOALGEBRAI^ESKIMGRUPPAM
[Bo],[Vo],[Hu1])
INEJTRALXNYJ\LEMENT
e
TOVE^ASTO
RASSMATRIWAETSQKAK
OTOBRAVENIE
.
3.
uVASYNA[EGO
(
AKADEM
)
GORODKA
.
kONE^NO
,
PROIZNESENNOEWPERWOMPUNKTEUTWER
-
VDENIE
,
^TOALGEBRAISTY
NIKOGDA
[email protected]
-
QMI
{
\TO^ISTOPROPAGANDISTSKOEZAQWLENIEWDUHESAMOGOaRNOLXDA
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
gruppy
:
firstdraught
33
aNATOLIJiWANOWI^mALXCEW
,
WELIKIJ
27
IUVASNYJ
28
,
OPREDELQETGRUPPU
29
KAKTRIPELX
G
=
h
G;

;

1
i
.
pRI\TOMONPREDPOLAGAET
,
^TOUMNOVENIEASSOCIATIWNOI
,
KROMETOGO
,
WY
-
[email protected]
y

1
(
yx
)=
x
(
xy
)
y

1
=
x
.
uPRAVNENIE
.
pOKAVITE
,
^TOOPREDELENIEmALXCEWA\KWIWALENTNOOBY^NOMU
.
nORAZUMEETSQ
,
FILOSOFSKIOPREDELENIEmALXCEWAQWLQETSQNEPRAWILXNYM
.
tO
,
^TOON
OPREDELQET
,
WDEJSTWITELXNOSTIESTXGRUPPA
,
RASSMATRIWAEMAQWSIGNATURE
INWERSNOJPO
-
LUGRUPPY
.
oNOB_QSNQET
,
^TOTAKMOVNOPOSTUPATXPOTOMU
,
^[email protected]
INWERSNAQ
PODPO
-
LUGRUPPAGRUPPYAWTOMATI^ESKIQWLQETSQPODGRUPPOJ
.
[email protected]
-
[email protected]^ESKIBUDETGOMOMORFIZMOMGRUPP
,
^TOVETOGDA
aNATOLIJiWANOWI^NEOPREDELQETGRUPPUKAKDUPELX
G
=
h
G;
i
?
oNOB_QSNQET\TOTEM
,
^TO
`
[email protected]]ENIQ
,
MOVNOOPREDELITX
(
NONEWYRAZITX
)
^[email protected]
'
{
WTOVEWREMQTRETXQOPERACIQWGRUPPE
,
WZQTIENEJTRALXNOGO\LEMENTA
,
WYRAVAETSQ
^EREZUMNOVENIEIWZQTIEOBRATNOGOI
PO\TOMU
[email protected]^ITXIZRASSMOTRENIQ
!
q
[email protected]
,
^TOPODOBNOEZAQWLENIETRUDNOKWALIFICIROWATXINA
-
^EKAKNASILIENADWSEMIZDOROWYMIMATEMATI^ESKIMIINSTINKTAMI
,
SOWER[AEMOEWOIMQ
LOGI^[email protected]
.
4.
gRUPPAKAKMNOVESTWOSTREMQOPERACIQMI
.
kAKMYZNAEMIZPREDYDU]EJGLAWY
,
NEJTRALXNYJ\LEMENT
e
I\LEMENT
,
OBRATNYJKDANNOMU\LEMENTU
x
2
G
,
OPREDELENYODNO
-
ZNA^NO
.
sTO^KIZRENIQOB]EJALGEBRYNEJTRALXNYJ\LEMENTIOBRATNYJ\LEMENTWHODQTW
SIGNATURU
GRUPPY
.
|TOZNA^IT
,
^TONASAMOMDELEGRUPPAPREDSTAWLQETSOBOJMNOVESTWOS
27
aNATOLIJiWANOWI^mALXCEW
(27.11.1909,
mOSKOWSKAQOBLASTX
{07.07.1967,
nOWO
-
SIBIRSK
){
WELIKIJRUSSKIJALGEBRAISTILOGIK
.
pOSLEOKON^ANIQW
1930
GODUmOSKOWSKOGO
UNIWERSITETAmALXCEWS
1932
PO
1960
GODPREPODAWALWiWANOWSKOMPEDAGOGI^ESKOMINSTI
-
TUTE
,
GDEONS
1943
GODAZAWEDOWALKAFEDROJALGEBRY
.
s
1939
PO
1941
GODmALXCEWPROHODIL
DOKTORANTURUWmian
,
AS
1942
PO
1960
GODPOSOWMESTITELXSTWUBYLTAMSTAR[IMNAU^
-
NYMSOTRUDNIKOM
.
w
1953
GODUONBYLIZBRAN^LENOM
-
KORRESPONDENTOM
,
AW
1958
GODU
(
E]EDO
PEREEZDAWnOWOSIBIRSK
!){
AKADEMIKOMansssr
.
w
1960
GODUmALXCEWPEREEZVAETWnOWO
-
SIBIRSK
,
[email protected]][email protected]]IMKAFEDROJ
ALGEBRYIMATEMATI^ESKOJLOGIKI
.
oSNOWNYERANNIERABOTYmALXCEWAOTNOSQTSQKTEORII
GRUPPlI
,
TOPOLOGI^ESKOJALGEBRE
,
TEORIILINEJNYHGRUPPITEORIIKOLEC
.
w\TOTPERI
-
ODIMPOLU^ENOMNOGOZAME^ATELXNYHREZULXTATOW
,
KOTORYESTALIKLASSI^ESKIMI
:
TEOREMA
lEWI
{
mALXCEWA
;
PRIMERYKOLECBEZDELITELEJ
0,
NEWLOVIMYHWTELO
;
SU]ESTWOWANIETO^NOGO
LINEJNOGOPREDSTAWLENIQ
;
METODFINITNOJAPPROKSIMIRUEMOSTI
,
IT
.
.
wPOSLEDNIJPERIOD
[email protected]@^ILSQNAO^ENXOB][email protected]
,
[email protected]^ESKIH
SISTEMIMATEMATI^[email protected]
.
kROMEUVECITIROWANNOGOMONSTRUOZNOGOSO^INENIQ
`
aL
-
GEBRAI^ESKIESISTEMY
',
mALXCEWNAPISALO^ENXTQVELOWESNYJIARHAI^NYJKURSLINEJNOJ
ALGEBRY
:
a
.
i
.
mALXCEW
,
oSNOWYLINEJNOJALGEBRY
.3-
EIZD
.{
nAUKA
,
m
.,1970,
S
.1{390;
WPOLNEUDA^NYJU^EBNIKa
.
i
.
mALXCEW
,
aLGORITMYIREKURSIWNYEFUNKCII
.{
nAUKA
,
m
.,
1965,
S
.1{391.
wSEOSNOWNYESTATXImALXCEWASOBRANYWIZDANIIa
.
i
.
mALXCEW
,
iZBRANNYE
TRUDY
.
.I,II.{
nAUKA
,
m
.,1976,
.I.
kLASSI^ESKAQALGEBRA
.{
S
.1{482;
.II.
mATEMATI^ESKAQ
LOGIKAI
(
O^ENX
)
OB]AQTEORIQALGEBRAI^ESKIHSISTEM
.{
S
.1{388.
28
wLIQNIEmALXCEWANARAZWITIEALGEBRYWNA[EJSTRANEOGROMNO
,
NONEODNOZNA^NO
.
iMENNOONWWELZLOWE]EESLOWOSO^ETANIE
`
ALGEBRAILOGIKA
',
KOTOROESTALODEWIZOMSIBIR
-
SKOJ[KOLY
(
PO^EMUTOGDANE
`
ALGEBRAITOPOLOGIQ
',`
ALGEBRAIGEOMETRIQ
',`
ALGEBRAIANALIZ
',
`
ALGEBRAIDIFFERENCIALXNYEURAWNENIQ
'
ILIDAVE
`
ALGEBRAITEORIQWEROQTNOSTI
',
KAKU
~EBY[EWAIlINNIKA
!!)
sAMmALXCEWBYL
,
NESOMNENNO
,
KRUPNYM
MATEMATIKOM
(
WSQKOE
TELOWKLADYWAETSQWTELOmALXCEWA
).
oDNAKOTEIDEI
,
KOTORYEONWDOHNOWLQL
,
ITEDEQ
-
TELI
,
KOTORYHONWYKARMLIWAL
,
^UTXNEPRIWELIALGEBRUWNA[EJSTRANEKGIBELI
.
~TOBY
UTO^[email protected]@
,
ZAME^U
,
^[email protected]^ENXOB]EJAL
-
GEBRY
,
QTOLXKORE[ITELXNOPROTIWTOGO
,
^TOBYNAZYWATX
`
OB][email protected]
'
ALGEBROJ
(
ANE
LOGIKOJ
,
KAKOWOJONAWDEJSTWITELXNOSTIQWLQETSQ
!){
IUV
[email protected]
PROTIWTOGO
,
^TOBY
OTOVDESTWLQTX
[email protected]
ALGEBRUSOB]EJALGEBROJ
,
KAK\TO
defacto
PROIZO[LONAOPREDELENNOM
\TAPEWnOWOSIBIRSKE
.
aPRI^INY
,
POKOTORYMSIBIRSKAQ[KOLAPYTALASXADMINISTRATIWNO
-
TERRORISTI^ESKIMIMETODAMINAWQZATXTAKOEPONIMANIEWSEJOSTALXNOJSTRANE
,
WOOB]ENE
[email protected]
.
29
ibid.,
STR
.97.
34
nikolajwawilow
TREMQ
OPERACIQMI
:
OBY^NOJBINARNOJOPERACIEJUMNOVENIQ
mult;
UNARNOJOPERACIEJWZQ
-
TIQOBRATNOGO\LEMENTA
inv:
G
!
G
,
x
7!
x

1
;
INULXARNOJOPERACIEJ
e
2
G
.
~TOBY
POD^ERKNUTX\TO
,
INOGDAOBOZNA^[email protected]
(
G;
mult
;
inv
;e
).
tAKOJPEDANTIZMOKAZYWA
-
ETSQ
WESXMA
POLEZENPRIIZU^ENIIGRUPPSZADANNYMINANIHDOPOLNITELXNYMISTRUKTURAMI
,
NOMY
,
RAZUMEETSQ
,
BUDEMOBY^NOGOWORITXOGRUPPEKAKOMNOVESTWESODNOJBINARNOJOPE
-
RACIEJ
,
[email protected]]EJSWOJSTWAM
,
PERE^ISLENNYMWY[E
.
pREIMU]ESTWODANNOGOWPREDYDU]EMPUNKTEFUNKTORIALXNOGOOPREDELENIQSOSTOITW
TOM
,
^TOONOSRAZUVEPERENOSITSQNAWSEKATEGORII
,
WKOTORYHSU][email protected]^NYEPRQ
-
MYEPROIZWEDENIQIFINALXNYJOB_EKT
30
.
nA\TOMPUTIMYPOLU^AEMOPREDELENIE
GRUPPYW
KATEGORII
.
pRI\TOMTO
,
^TOMYNAZYWAEMPROSTOGRUPPOJ
{
ESTX
GRUPPAWKATEGORIIMNO
-
VESTW
.
oDNAKOSU]ESTWUETIMNOGODRUGIHWAVNYHPRIMEROW
.
nAPRIMER
,
WMESTOMNOVESTW
[email protected]]IHKATEGORIJ
:

TOPOLOGI^ESKIEPROSTRANSTWAINEPRERYWNYEOTOBRAVENIQ
{
W\TOMSLU^AEPOLU^ATSQ
TOPOLOGI^ESKIEGRUPPY
;

ANALITI^ESKIEMNOGOOBRAZIQIANALITI^ESKIEOTOBRAVENIQ
{
W\TOMSLU^AEPOLU^ATSQ
ANALITI^ESKIEGRUPPY
BOLEEIZWESTNYE[IROKIMNARODNYMKRUGAMKAK
GRUPPYlI
;

ALGEBRAI^ESKIEMNOGOOBRAZIQIREGULQRNYEOTOBRAVENIQ
{
W\TOMSLU^AEPOLU^ATSQ
ALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
.
sDRUGOJSTORONY
,
MOVNORASSMATRIWATXITAKIEKATEGORII
,
WKOTORYHMORFIZMYNE
[email protected]
:

TOPOLOGI^ESKIEPROSTRANSTWAIGOMOTOPI^ESKIEKLASSYNEPRERYWNYHOTOBRAVENIJ
{
W
\TOMSLU^AEPOLU^ATSQ
H
-
GRUPPY
.
rAZUMEETSQ
,
DLQ
H
-
GRUPPIKOMMUTATIWNOSTXDIAGRAMM
TOVENUVNOPONIMATXSTO^[email protected]
;

SHEMYIMORFIZMYSHEM
{
W\TOMSLU^AEPOLU^ATSQ
GRUPPOWYESHEMY
.
x
3.
pERWYEPRIMERYABELEWYHGRUPP
mNOGOPRIMEROWGRUPPWSTRE^ALOSXUVEW[KOLXNOMKURSEMATEMA
TIKI

aDDITIWNYEGRUPPY^ISEL
.
~ISLOWYEMNOVESTWA
Z
Q
R
C
[email protected]
[email protected]
iNOGDA^TOBYPOD^ERKNUTX
^TORE^XIDETIMENNOOB
ADDITIWNYHSTRUKTURAHNA\TIHMNOVESTWAH
PI[UT
Z
+
Q
+
IT
D
|TIGRUPPY
[email protected]
ADDITIWNYMIGRUPPAMI
CELYH
RACIONALXNYH
WE]ESTWENNYH
IKOMPLEKSNYH^ISEL
SOOTWETSTWENNO

mULXTIPLIKATIWNYEGRUPPY^ISEL
.
mNOVESTWANENULEWYHRACIO
-
NALXNYH
WE]ESTWENNYHILIKOMPLEKSNYH^ISEL
Q

R

C

(
ZDESX
DLQPOLQ
K
^EREZ
K

OBOZNA^ENO
K

=
K
nf
0
g
)
[email protected]@
NAZY
-
WAEMYE
MULXTIPLIKATIWNYMIGRUPPAMI
RACIONALXNYH
WE]ESTWENNYHI
KOMPLEKSNYH^ISEL
SOOTWETSTWENNO

mULXTIPLIKATIWNYEGRUPPY^ISEL
,cont.
mNOVESTWA
Q
+
=
f
x
2
Q
x�
0
g
I
R
+
=
f
x
2
R
x�
0
g
POLOVITELXNYHRACIONALXNYHIWE]ESTWENNYH
^[email protected]@

gRUPPAUGLOW
(circlegroup).
mNOVESTWO
T
KOMPLEKSNYH^ISELMODULQ
1
[email protected]
zAMETIM
WPRO^EM
^TO
OPERACIQW\TOJGRUPPE
(
GRUPPEPOWOROTOW\WKLIDOWOJPLOSKOSTIILIGRUPPE
UGLOW
)
OBY^NOZAPISYWAETSQ
ADDITIWNO
^[email protected]]EJEEIN
-
TERPRETACIEJ
gRUPPA
T
ISTOLKOWYWAETSQKAKADDITIWNAQGRUPPAWE]ESTWEN
-
NYH^ISEL
R
+
[email protected]
2

Z
(
^ITAETSQ
CELYEKRATNYE
2

').
iNYMISLOWAMI
30
nARUSSKOMQZYKE\TOMOVNONAJTI
,
NAPRIMER
,
WKNIGEi
.
bUKUR
,
a
.
dELQNU
,
wWEDENIEW
[email protected]
,
mIR
,
m
.,1972,
S
.1{259.{
gLAWA
IV,
WOSOBENNOSTItEOREMA
4.1.
gruppy
:
firstdraught
35
T
PREDSTAWLQETSQKAKPOLUINTERWAL
[0
2

),
OPERACIQSLOVENIQ

NAKOTOROM
[email protected]]IMOBRAZOM
ESLI
x
+
y
2

TO
x

y
=
x
+
y
AESLI
x
+
y

2

TO
x

y
=
x
+
y

2

wDEJSTWITELXNOSTI
KONE^NO
OPERACIQW
T
ZAPISYWAETSQOBY^NYMZNAKOM
+(`
SLOVENIEUGLOW
'),
SM
gLAWU
5
POPOWODU
DETALEJ

gRUPPAKORNEJIZ
1.
mULXTIPLIKATIWNAQGRUPPA
f
1
g
SOSTOITIZODNOGO
\LEMENTA
A
f
1
g
{
IZDWUH
wOOB]E
KORNI
n
-
JSTEPENIIZ
1
WPOLE
C
KOMPLEKS
-
NYH^[email protected]@
OBOZNA^[email protected]^NO

n
|TI
GRUPPYKONE^NY
T
E
SODERVATKONE^NOE^ISLO\LEMENTOW
mYUVEUPOMINA
-
LI
^TODLQKONE^NOJGRUPPY
G
MO]NOSTX
G
OBY^NONAZYWAETSQEE
PORQDKOM
sTO^KIZRENIQSWOEJSTRUKTURYGRUPPA

n
QWLQETSQ
CIKLI^ESKOJGRUPPOJ
PORQDKA
n
(
SM
gLAWU
2).
nAPRIMER
STO^[email protected]

1
=
f
1
g
EDINSTWENNAQGRUPPAPORQDKA
1,

2
=
f
1
g
{
EDINSTWENNAQGRUPPAPORQDKA
2,
A

3
=
f
1
;!;!
2
g
{
EDINSTWENNAQGRUPPAPORQDKA
3.

kWAZICIKLI^ESKIEGRUPPY
.
mNOVESTWO

p
WSEHKORNEJIZ
1
STEPENEJ
p
n
n
2
N
WPOLE
C
KOMPLEKSNYH^ISELOBRAZUETGRUPPU
[email protected]
KWAZI
-
CIKLI^ESKOJGRUPPOJ
TIPA
p
(
ILIPROSTO
GRUPPOJTIPA
p
).

bULEWAGRUPPA
.
mNOVESTWO
2
X
PODMNOVESTWW
X
QWLQETSQGRUPPOJOTNO
-
SITELXNO
31
tRANSLQCIQ
{
PERENOS
,
PEREME]ENIE
,
SME]ENIE
,
PEREDWIVENIE
,
SDWIG
.
wDALXNEJ[EMW
NA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
,
TRANSWEKCIQ\TOPERENOS^EGO
-
TOOTNOSITELXNO^EGO
-
TODRUGOGO
,
WTOWREMQKAKTRANSLQCIQESTXDWIVENIEKAKCELOE
.
36
nikolajwawilow
ABELEWOJGRUPPE
Z
n
RANGA
n
ODNAKOWPONQTIERE[ETKIWHODITE]EISWOJ
-
STWAWLOVENIQ
^TOBYPODGRUPPA

=
Z
n
WWEKTORNOJGRUPPE
V
=
R
n
MOGLA
NAZYWATXSQRE[ETKOJ
ONADOLVNABYTXDISKRETNOJ
AFAKTOR
V=L
KOMPAKTEN
kOMMENTARIJ
.
oBOZNA^ENIE
L
STANDARTNOIPROISHODITOTPERWOJBUKWYANGLIJSKOGO
lattice.
zAMETIM
,
^TOPO
-
ANGLIJSKI
,
KAKIPO
-
RUSSKIIMEETSQKRAJNENEUDA^NAQOMONIMIQ
,
TAKKAK
,
KROMETOGO
,
SLOWO
lattice
UPOTREBLQETSQDLQOBOZNA^ENIQ^ASTI^NOUPORQDO^ENNYH
MNOVESTW
,
WKOTORYHSU]ESTWUETSUPREMUMIINFIMUM
.
pO\TOMUWSLU^AENEOBHODIMOSTI
PROFESSIONALYPEREWODQTSLOWO
`
RE[ETKA
'
OBRATNONANEMECKIJ
,
GDETERMINOLOGIQ
,
KAKWSE
-
GDA
,
ODNOZNA^NA
:
SWOBODNAQABELEWAGRUPPANAZYWAETSQ
Gitter,
WTOWREMQKAK^ASTI^NOUPO
-
RQDO^ENNOEMNOVESTWO
{Verband.
x
4.
pERWYEPRIMERYNEABELEWYHGRUPP
lEWtOLSTOJO^[email protected]
.
[email protected]
,
[AGUSTU
-
PITXNEGDE
,
AONWSEKRI^IT
:"
e]E
!
e]E
!"
dANIILhARMS
,`
wESELYEREBQTA
'
pRED[[email protected]][email protected][ENNOPREWRATNOEPREDST
AWLENIEO
TOM
^TOTAKOEGRUPPA
{
GRUPPY
[email protected]]IEWOWSEH\TIHPRIMERAH
ABE
-
LEWY
wDEJSTWITELXNOSTI
GRUPPAGORAZDOBOLX[EPOHOVANENAMNOVESTWO
^ISEL
ANAMNOVESTWOWZAIMNOODNOZNA^NYHPREOBRAZOWANIJ^EGO
-
TO
SOHRANQ
-
@]IH
BYTXMOVET
[email protected]
-
[email protected]
[email protected]]IJPRIMER
ARHETIPI^EN
KAKMYWSKOREUWIDIM
KAVDAQGRUPPA
ESTX
MNOVESTWOPREOBRA
-
ZOWANIJ

gruppy
:
firstdraught
37
`Quaternionengruppe'),
HOTQPRAWILXNEENAZYWATXEE
GRUPPOJKWATERNION
-
NYHEDINIC
|TAGRUPPABYLAISPOLXZOWANAgAMILXTONOMW
1842
GODUPRI
POSTROENIITELAKWATERNIONOW
H

pOLNAQLINEJNAQGRUPPA
.
pUSTX
K
{
POLE
NAPRIMER
K
=
Q
R
C
tOGDAMNOVESTWO
GL(
n;K
)=
f
g
2
M
(
n;K
)
det(
g
)
=0
g
WSEHNEWYROVDENNYHMATRICPORQDKA
n
QWLQETSQGRUPPOJOTNOSITELXNOUMNO
-
VENIQ
NAZYWAEMOJ
POLNOJLINEJNOJGRUPPOJ
STEPENI
n
NAD
K
oBOZNA
-
^ENIE
GL(
n;K
)
QWLQETSQSOKRA]ENIEMANGLIJSKOGO
GeneralLineargroup
w
x
9
MYRASSMOTRIM\TUGRUPPUINEKOTORYESWQZANNYESNEJGRUPPYW^A
STNOM
SLU^AE
n
=2.
mNOGODALXNEJ[IHPRIMEROWMATRI^NYHGRUPPWSTRETITSQNAM
WgLAWE
III,
ATAKVEWOWTOROMITRETXEMSEMESTRAH

gRUPPAmEBIUSA
.
rASSMOTRIMGRUPPU
DROBNO
-
LINEJNYHPREOBRAZO
-
WANIJ
SFERYrIMANA
C
=
C
[f1g
(`
RAS[IRENNOJKOMPLEKSNOJPLOSKOSTI
').
oNASOSTOITIZWSEHPREOBRAZOWANIJWIDA
z
7!
az
+
b
cz
+
d
GDE
a;b;c;d
2
C
I
ad

bc
=0.
qSNO
^TOKOMPOZICIQDWUHDROBNO
-
LINEJNYHPREOBRAZOWANIJ
SNOWAQWLQETSQDROBNO
-
LINEJNYMPREOBRAZOWANIEM
AOBRATNOEPREOBRAZOWANIE
IMEETWID
z
7!
dz

b

cz
+
a
(
PROWERXTE
!).
pOLU^[email protected]]AQSQTAKGRUPPANAZYWAETSQ
GRUPPOJmEBIUSA
32
(
ILI
GRUPPOJKONFORMNYHPREOBRAZOWANIJ
C
).
rAZ
-
LI^NYESWQZANNYESNEJGRUPPY
EEWARIANTYIOBOB][email protected]@
ROLXWOMNOGIHRAZDELAHANALIZA
TEORII^ISELIGEOMETRII
zADA^A
.
pREOBRAZOWANIE
z
7!
a
z
+
b
c
z
+
d
GDE
a;b;c;d
TAKIEVE
KAKWY[E
NA
-
ZYWAETSQ
ANTIKONFORMNYM
dOKAVITE
^TOKONFORMNYEIANTIKONFORMNYE
[email protected]
[email protected]
-
BIUSAIMENNO\TUGRUPPU

gRUPPA
ax
+
b
.
pUSTX
K
{
NEKOTOROEPOLE
NAPRIMER
K
=
Q
ILI
K
=
R
oPREDELIMNAMNOVESTWE
K


K
UMNOVENIE
POLAGAQ
(
a;b
)(
c;d
)=(
ac;ad
+
b
).
|TOUMNOVENIEPREWRA]AET
K


K
WGRUPPU
(
PROWERXTE
!),
[email protected]
(
ALGEB
-
RAI^ESKIE
)
[email protected]
GRUPPOJ
ax
+
b
w\TOJGRUPPE
(
a;b
)

1
=
(
a

1

a

1
b
).
wSLU^AE
K
=
R
\TOWTO^NOSTIGRUPPAAFFINNYHPREOBRAZOWA
-
NIJPRQMOJ

aFFINNAQGRUPPA
.
pREDYDU]IJPRIMERLEGKOOBOB]ITXNASLU^AJPRO
-
IZWOLXNOJRAZMERNOSTI
aIMENNO
PUSTX
KAKIWY[E
K
{
NEKOTOROEPOLE
rASSMOTRIMPARY
(
g;u
),
GDE
g
2
GL(
n;K
){
OBRATIMAQMATRICA
A
u
2
K
n
{
STOLBECWYSOTY
n
oPREDELIMNAMNOVESTWE
GL(
n;K
)

K
n
UMNOVENIE
POLA
-
GAQ
(
g;u
)(
h;v
)=(
gh;gv
+
u
).
pOLU^[email protected]]AQSQTAKGRUPPANAZYWAETSQ
AFFINNOJ
GRUPPOJ
STEPENI
n
NAD
K
IOBOZNA^AETSQ
A (
n;K
).
aFFINNOEPREOBRAZOWANIE
(
g;u
)
DEJSTWUETNAPROSTRANSTWE
V
=
K
n
[email protected]]EJFORMULE
(
g;u
)
v
=
gv
+
u
{
PROWERXTE
^TO\TONASAMOMDELEDEJSTWIE
INYMISLOWAMI
^TOWYPOLNQETSQ
32
aUGUSTfERDINANDmEBIUS
(1790{1868),
NEMECKIJGEOMETR
,
DIREKTOROBSERWATORII
IPROFESSORUNIWERSITETAWlEJPCIGE
,
RABOTYKOTOROGOPROLOVILIPUTXKTEORETIKO
-
GRUPPO
-
WOJTRAKTOWKEGEOMETRII
.
wNA[EMKURSEwAMWSTRETQTSQFUNKCIQmEBIUSA
,
FORMULAOBRA
-
]ENIQmEBIUSA
,
FORMULAmEBIUSA
-
dEDEKINDA
,
AWKURSETOPOLOGII
{
LISTmEBIUSA
.
38
nikolajwawilow
TOVDESTWOWNE[NEJASSOCIATIWNOSTI
((
g;u
)(
h;v
))
=(
g;u
)((
h;v
)
).
fIZIKI
HIMIKIIKRISTALLOGRAFYWMESTO
(
g;u
)
OBY^NOPI[UT
f
g
u
g
[email protected]
f
g
u
g
SIMWOLOMzEJTCA
33
pRI\TOMMATRICA
g
NAZYWAETSQ
LINEJNOJ^[email protected]
(Linearanteil)
PREOBRAZOWANIQ
f
g
u
g
AWEKTOR
u
{
EGO
TRANSLQCIONNOJ^A
-
[email protected]
(Translationsanteil).

gRUPPAgEJZENBERGA
.
pUSTXSNOWA
K
{
NEKOTOROEPOLE
n
K
MNOVESTWO
STROKDLINY
n
A
K
n
MNOVESTWOSTOLBCOWWYSOTY
n
oPREDELIMNAMNOVESTWE
n
K

K
n

K
UMNOVENIEFORMULOJ
(
u;v;a
)(
x;y;b
)=(
u
+
x;v
+
y;a
+
b
+
uy
).
|TOUMNOVENIEPREWRA]AET
n
K

K
n

K
WGRUPPU
(
PROWERXTE
!),
[email protected]
GRUPPOJgEJZENBERGA
34
KOTORAQESTESTWENNOWOZNIKAETPRIRASSMOTRENII
KOMMUTACIONNYHSOOTNO[ENIJWKWANTOWOJTEORII

gRUPPArUBIKA
.
pUSTXTEPERX
�{
GRUPPAWNUTRENNIHWRA]ENIJKUBI
-
KArUBIKA
wgLAWE
X
MYSMOVEMOPISATXSTROENIE\TOJGRUPPY
(
DLQ\TOGO
NEOBHODIMOZNANIEE]EODNOJWAVNEJ[EJTEORETIKO
-
GRUPPOWOJKONSTRUKCII
{
SPLETENIQ
).
iZ\TOGOOPISANIQ
W^ASTNOSTI
BUDETWYTEKATX
^TOPORQDOKGRUP
-
PYrUBIKARAWEN
1
2
2
11
12!3
7
8!=43252003274489856000
^TOQWLQETSQSOWSEMNEBOLX[IM^ISLOMPOSTANDARTAMSOWREME
NNOJTEORIIKO
-
NE^NYHGRUPP
m
|
lARSEN
35
;
36
WY^ISLILPORQDOKGRUPPYWNUTRENNIHWRA]E
-
NIJIGRU[KI
IZWESTNOJKAK
MESTXrUBIKA
(Rubik'srevenge),
[email protected]]EJ
SOBOJKUB
4

4

4.
|TOTPORQDOKRAWEN
3
7
8!24!
2
24
7
=7401196841564901869874093974498574336000000000
aWTOROSTAWLQET^[email protected]^ESTWENESLOVNOGOUPRAVNENIQ
POTEORIIGRUPP
PROWESTIANALOGI^NOEWY^ISLENIEDLQKUBA
5

5

5.
x
5.
pROSTEJ[IEKONSTRUKCIINADGRUPPAMI
w\TOMPARAGRAFEMYNA^[email protected]
WE
I
PONQ
-
TIJOB]EJALGEBRY
wDALXNEJ[EMMYDETALXNOIZU^IM\TIPONQTIQWgLAWAH
2,3
I
8.
1.
pODGRUPPA
.
pUSTX
H
NEPUSTOEPODMNOVESTWOGRUPPY
G
pREDPOLOVIM
^[email protected]\LEMENTAMI
g;h
2
H
MNOVESTWO
H
SO
-
DERVITTAKVEIHPROIZWEDENIE
gh
I\LEMENT
g

1
tOGDA
H
SAMOQWLQETSQ
GRUPPOJOTNOSITELXNOTOGOVEUMNOVENIQ
aSSOCIATIWNOSTXINALI^IENEJ
-
TRALXNOGO\LEMENTAPROWERQTXNENADO
TAKKAKONIAWTOMATI^[email protected]
33
wILXGELXMzEJTC
,
NEMECKIJFIZIK
,
NAIBOLEEIZWESTNYJSWOIMIRABOTAMIWOBLASTI
FIZIKITWERDOGOTELA
,
RE[ETKAwIGNERA
-
zEJTCA
,...
[email protected]]IMSQALGEB
-
RAISTOM
gARIzEJTCEM
34
wERNERgEJZENBERG
(05.12.1901,),{
ZAME^ATELXNYJNEMECKIJFIZIK
,
ODINIZSOZDATE
-
LEJKWANTOWOJMEHANIKI
.
w
1925
GODUgEJZENBERGPREDLOVILAPPARATMATRI^NOJMEHANIKI
,
KOTORYJPOZWOLILPROIZWESTIPERWYEKWANTOWO
-
MEHANI^ESKIEWY^ISLENIQ
,
AW
1927
GODUSFOR
-
MULIROWALPRINCIPNEOPREDELENNOSTI
.
35
M.E.Larsen,Gruppeteori,Kbenhavn,1981,p.37.
36
M.E.Larsen,Rubik'srevenge:thegrouptheoreticalsolution,{
Amer.Math.Monthly,1985,
June{July,p.381{390.
gruppy
:
firstdraught
39
[email protected]]IHSWOJSTWGRUPPY
G
INEPUSTOTY
H
tAKOEPODMNOVESTWO
H
NAZYWAETSQ
PODGRUPPOJ
W
G
IWgLAWE
2
MYPODROBNORASSMOTRIM\TOPONQTIE
2.
fAKTOR
-
GRUPPA
.
wgLAWE
3
MYUZNAEM
KAKWYGLQDQTKONGRU\NCIINA
GRUPPE
G
oKAZYWAETSQ
KAVDAQKONGRU\NCIQ

OPREDELQETSQSRAWNENIEMPO
[email protected]
H

G
pRI\TOMKONGRU\NCIIOTWE^[email protected]
-
[email protected]
ATOLXKO
NORMALXNYM
PODGRUPPAM
kAKOBY^NO
NAMNOVESTWEKLASSOW
G=

KOTOROEW\TOMSLU^AEOBOZNA^AETSQ
G=H
ESTE
-
STWENNOWWODITSQSTRUKTURAGRUPPY
PREWRA][email protected]]AQ
G=H
W
FAKTOR
-
GRUPPU
GRUPPY
G
3.
pRQMOEPROIZWEDENIE
/
PRQMAQSUMMA
.
pUSTX
H
I
G
DWEGRUPPY
rAS
-
SMOTRIMPOKOMPONENTNOEUMNOVENIENA
H

G
(
h
1
;g
1
)(
h
2
;g
2
)=(
h
1
h
2
;g
1
g
2
)
qSNO
^TO\TOUMNOVENIEPREWRA]AET
H

G
WGRUPPU
wSAMOMDELE
WPREDYDU
-
]EJGLAWEMYUVEWIDELI
^TO\TOUMNOVENIEASSOCIATIWNO
AEGONEJTRALXNYM
\LEMENTOMQWLQETSQ
e
=(
e;e
)(
PEDANTNAPISALBY
e

=(
e
;e
)).
oSTALOSX
ZAMETITX
^TO
(
h;g
)

1
=(
h

1
;g

1
).
tAKIMOBRAZOM
H

G
OBRAZUETGRUPPU
OTNOSITELXNOUMNOVENIQ
NAZ[email protected]
PRQMYMPROIZWEDENIEM
GRUPP
H
I
G
wSLU^AE
KOGDA
H
I
G
ABELEWYIOPERACIQWNIHZAPISYWAETSQADDITIWNO
\TAGRUPPAOBY^NOOBOZNA^AETSQ
H

G
INAZYWAETSQ
PRQMOJSUMMOJ
GRUPP
H
I
G
[email protected]
H

G
ZADAETSQTAK
(
h
1
;g
1
)+(
h
2
;g
2
)=(
h
1
+
h
2
;g
1
+
g
2
)
pRI\TOM
0=(0
0),
A

(
h;g
)=(

h;

g
).
|TIOPREDELENIQMOMENTALXNOOBOB][email protected]^AJPROIZWOL
XNOGOKONE^
-
NOGOSEMEJSTWAGRUPP
aIMENNO
PRQMOEPROIZWEDENIE
G
1

:::

G
n
GRUPP
G
1
;:::;G
n
\TODEKARTOWOPROIZWEDENIEMNOVESTW
G
1
;:::;G
n
SPOKOMPONENTNY
-
MIOPERACIQMI
pRQMOEPROIZWEDENIE
KONE^NOGO^ISLA
ABELEWYHGRUPPOBY^NO
OBOZNA^AETSQ
G
1

:::

G
n
INAZYWAETSQIH
PRQMOJSUMMOJ
kAKOBY^NO
MYPOLAGAEM
G
n
=
G

:::

G
GDEKOLI^ESTWOSOMNOVITELEJ
RAWNO
n
dWAPRIMERATAKIHGRUPPBUDUTWSTRE^ATXSQNAMOSOBENNO^ASTO

Z
n
SWOBODNAQABELEWAGRUPPA
RANGA
n

E
p
=
C
n
p
\LEMENTARNAQABELEWAGRUPPA
TIPA
(
p;:::;p
).
wgLAWE
10
MYDETALXNOIZU^[email protected]
EEWARIANTY
ANALOGIIOBOB]ENIQ
(
PO^TIPRQMOEPROIZWEDENIE
PODPRQMOE
PROIZWEDENIE
POLUPRQMOEPROIZWEDENIE
[email protected]^ENNOEPROIZWEDENIE
,...)
4.
pRQMOEPROIZWEDENIE
=
PRQMAQSUMMA
.
dLQSLU^AQ
KONE^NYHABELEWYH
GRUPPWO
MNOGIHKNIGAHTERMINY
`
PRQMOEPROIZWEDENIE
'
`
PRQMAQSUMMA
'
[email protected]
-
MY
.
dELOWTOM
,
^[email protected]
,
SOOTWETSTWENNO
,
PRO
-
IZWEDENIEMIKOPROIZWEDENIEMWKATEGORIIABELEWYHGRUPPIDLQKONE^NOGO^ISLAFA
KTOROW
(
SOMNOVITELEJILISLAGAEMYH
)
[email protected]
.
|TOSOZDAETUNA^[email protected]]IH
[email protected]
.
oDNAKO
,
WO
-
PERWYH
,
WKATEGORIIWSEHGRUPPKOPROIZWEDENIEUSTROENOGO
-
RAZDOSLOVNEE
{
\TOSWOBODNOEPROIZWEDENIE
,
KOTOROEMYPOSTROIMWgLAWE
X.
wO
-
WTORYH
,
WSLU^AEBESKONE^NOGO^ISLAFAKTOROWDAVEDLQABELEWYHGRUPPSLEDUETRAZLI^ATXPRQ
MOE
[email protected]
.
kAKPRAWILO
,
ONINETOLXKONEIZOMORFNY
,
[email protected]
[email protected]]NOSTX
!
40
nikolajwawilow
aIMENNO
,
PRQMOEPROIZWEDENIE
Q
G

,

2
,
SEMEJSTWAGRUPP
G

,

2
,
KAKMNOVESTWO
SOWPADAETSIHDEKARTOWYMPROIZWEDENIEM
,
.
E
.
SOSTOITIZWSEHSEMEJSTW
(
g

),

2
,
g

2
G

.
wTOVEWREMQPRQMOJSUMMOJ
(
KOPROIZWEDENIEM
)
ABELEWYHGRUPP
G

NAZYWAETSQPODGRUPPAW
L
G
a
,

2
,
SOSTOQ]AQNEIZWSEHSEMEJSTW
(
g

),
ATOLXKOIZTAKIHSEMEJSTW
,
^TO
g

=0
DLQ
PO^TIWSEH

.
nAPRIMER
,
ESLIMNOVESTWO

IWSEGRUPPY
G

S^ETNY
,
TO
L
G

TOVES^ETNA
,
WTOWREMQKAK
Q
G

IMEETMO]NOSTXKONTINUUMA
.
pRQMAQSUMMAABELEWYHGRUPPQWLQETSQ
^ASTNYMSLU^AEMKONSTRUKCIIOGRANI^ENNOGOPRQMOGOPROIZWEDENIQGRUPP
,
[email protected]
IZU^IMWgLAWE
X.
pRI\TOMNA^[email protected]]EMUSLEDUETIMETXWWIDU
,
^TOWTEORIIGRUPP
G

KAKPRAWILOOBOZNA^[email protected]
j

j
\KZEMPLQROWGRUPPY
G
,
AWOWSENEIHPRQMOE
PROIZWEDENIE
!
nAPRIMER
,
Z
N
Z
!
ISPOLXZUETSQDLQOBOZNA^ENIQ
SWOBODNOJABELEWOJ
GRUPPYS^ETNOGORANGA
.
kOMMENTARIJ
.
wSLU^AENEABELEWYHGRUPPANALOGPRQMOJSUMMY
,
.
E
.
PODGRUPPAWPRQ
-
MOMPROIZWEDENII
Q
G
a
,

2
,
SOSTOQ]AQIZWSEHSEMEJSTW
g
=
g
(

)
TAKIH
,
^TO
g

=1,
NAZYWAETSQ
SLABYMPROIZWEDENIEM
.
wKNIGAH
[Ha]
[KaM]
TO
,
^TOMYNAZYWAEMPRQMYM
PROIZWEDENIEM
,
NAZYWAETSQ
DEKARTOWYMPROIZWEDENIEM
,
APRQMYMPROIZWEDENIEMNAZYWA
-
ETSQSLABOEPROIZWEDENIE
.
[email protected]
,
^TOBYRAZLI^ATXTERMINYPRQMOEIDEKARTOWOPROIZWEDENIEWKATEGORIIGRUPP
{
WEDXDEKAR
-
TOWOPROIZWEDENIE\TONE^TOINOE
,
KAKPRQMOEPROIZWEDENIEWKATEGORIIMNOVESTW
(
GRUPP
,
KOLEC
,
MODULEJ
,etc.).
kROMETOGO
,
OPYTPOKAZYWAET
,
^TOPODOBNAQTERMINOLOGIQNEIZBEVNO
WEDETKPUTANICE
.
5.
fUNKCIISOZNA^ENIQMIWGRUPPE
.
pUSTX
G
{
GRUPPA
A
X
{
PROIZWOLX
-
NOEMNOVESTWO
tOGDAMNOVESTWO
G
X
WSEHOTOBRAVENIJIZ
X
W
G
QWLQETSQ
GRUPPOJOTNOSITELXNOUMNOVENIQFUNKCIJ
(
fg
)(
x
)=
f
(
x
)
g
(
x
).
wSAMOMDELE
EDINICEJW\TOJGRUPPESLUVITPOSTOQNNAQFUNKCIQ
f
(
x
)=
e
oBRATNAQK
FUNKCII
f

1
(
WSMYSLEUMNOVENIQ
ANEKOMPOZICII
!)
RAWNA
f

1
(
x
)=
f
(
x
)

1
x
6.
gRUPPYSIMMETRIJ
[email protected][email protected]^ASMYRASSMOT
RIMPRO
-
STEJ[IEPRIMERYGRUPPSIMMETRIJ
1.
gruppy
:
firstdraught
41
alias
DI\DRALXNOJGRUPPOJ
bUKWA
`D'
WOBOZNA^ENIIPROISHODITOTNAZWA
-
NIQ
`Diedergruppe'{`dihedralgroup'.
|TUGRUPPUMOVNORASSMATRIWATXIKAK
[email protected]
NAPRIMER
PRAWILXNOJ
n
-
UGOLXNOJPRIZMYILIPRAWILXNOJ
n
-
UGOLXNOJBIPIRAMIDY
zADA^A
.
oPI[ITEGRUPPUSIMMETRIJ
i)
SWASTIKIILISOWASTIKI
,ii)
PRQMO
-
UGOLXNIKA
[email protected]]EGOSQKWADRATOM
iZOMORFNYLI\TIGRUPPY
?
pUSTXTEPERX
�{
PRAWILXNYJMNOGOGRANNIKWTREHMERNOMPROSTRANSTWE
[email protected]\WKLIDOWODWIVENIE
[email protected]]EE
,
SOHRANQETIDWOJSTWEN
-
NYJMNOGOGRANNIK
MOVNOOGRANI^ITXSQSLU^AEM
KOGDA

TETRA\DR
KUBILI
DODEKA\DR
lEGKOUBEDITXSQ
^TOPORQDOKGRUPPYSIMMETRIJ

W\TIHSLU^AQH
BUDETPRINIMATXZNA^ENIQ
24,48,120,
SOOTWETSTWENNO
sOBSTWENNYHWRA]E
-
NIJ
[email protected]][email protected]
WKAVDOMSLU^AEROWNOW
2
RAZA
MENX[E

42
nikolajwawilow
zAME^ANIE
.
mYRAZLI^AEMDWATIPAWRA]ENIJWOKRUGOSEJ
[email protected]]IH
CENTRYPROTIWOPOLOVNYHGRANEJ
TAKKAKWRA]ENIQNAUGLY
=
2,3
=
2
[email protected]
PORQDOK
4,
AWRA]ENIENAUGOL

{
PORQDOK
2.
pO\[email protected]
DWARAZNYHKLASSASOPRQVENNOSTIWGRUPPESIMMETRIJKUBA
uBEDIMSQWTOM
^TO
O
+
IZOMORFNA
S
4
qSNO
^[email protected]
PEREWODITWSEBQMNOVESTWOEGODIAGONALEJ
lEGKOWIDETX
^TOUVEWRA]ENIQ
KUBAOSU][email protected]
24
PERESTANOWKI\TOGOMNOVESTWA
oTRAVENIQVEMO
-
GUT
KROMETOGO
PERESTAWLQTXKONCYDIAGONALEJ
tOVESAMOEMOVNOUWIDETX
INESKOLXKOINA^E
WTERMINAHOKTA\DRA
dLQ\TOGOOTSE^EMUTETRA\DRAUGLY
TAK
^TOBYSEKU]IEPLOSKOSTIDELILIEGOREBRAPOPOLAM
qSNO
^TOWSE
24
SIMMETRIIISHODNOGOTETRA\[email protected]^IW[IJSQOKT
A\DR
PRI^EMW
TERMINAHOKTA\DRAWSESIMMETRIIISHODNOGOTETRA\DRAREALI
[email protected]
-
]ENIQ
wSE
48
[email protected]
GRUPPUKUBA
O
(Oktaedergruppe,
NEKOTO
-
[email protected]
Wurfelgruppe
IOBOZNA^[email protected]
W
).
qSNO
^TO
O
POROV
-
DAETSQ
O
+
ISIMMETRIEJ
i
OTNOSITELXNOCENTRAKUBA
sIMMETRIQ
i
QWLQETSQ
CENTRALXNOJ
[email protected]
INYMISLOWAMI
i
2
=1
I
gi
=
ig
DLQWSEH
g
2
O
+
w
\TOMPRO]EWSEGOUBEDITXSQISPOLXZUQMATRI^[email protected]@
O
dLQ\TOGO
RASPOLOVIMKUBTAK
^TOBYEGOCENTRSOWPALSNA^ALOMKOORDINAT
AREBRABY
-
LIPARALLELXNYKOORDINATNYMOSQM
tOGDA\LEMENT
O
IZOBRAZITSQMATRICEJ
IZWE]ESTWENNOJORTOGONALXNOJGRUPPY
O
(3
R
),
PRI^EM
i
SOOTWETSTWUETMAT
-
RICA

e
KOTORAQ
O^EWIDNO
CENTRALXNAW
O
(3
R
)(
^ITATELX
UVEZNAKOMYJ
SMATRICEJLINEJNOGOPREOBRAZOWANIQ
MOVETPOPYTATXSQNAJTIIMATRICY
OSTALXNYH\LEMENTOWGRUPPY
O
).
tEMSAMYM
O
=
O
+
h
i
i

=
S
4

C
2
kOMMENTARIJ
.
iMEETMESTOZAME^[email protected]^ITELXNYJIZOMORFIZM
O

=
S
3
o
C
2
=
S
3
i
C
3
2
,
KOTORYJOTWE^AETZASU]ESTWOWANIEWNE[NEGOAWTOMORFIZMAUGRUPPY
S
6
.
gRUPPA
O
=
S
3
o
C
2
^ASTONAZYWAETSQ
OKTA\DRALXNOJGRUPPOJ
,
NOMYHOTIMZAREZERWIROWATX\TOT
TERMINDLQMNOGOMERNOGOOBOB]ENIQ
Oct
n
=
S
n
o
C
2
=
S
n
i
C
n
2
{
TOGO
,
^TO^ASTONAZYWAETSQ
`
GRUPPAGIPERKUBA
'
`
GIPEROKTA\DRALXNAQGRUPPA
'.

gRUPPYIKOSA\DRA
.
pERE^ISLIMWSE
60
\WKLIDOWYHWRA]ENIJ
SOHRA
-
[email protected]]IHIKOSA\DR
(
KAKIDODEKA\DR
).
|TIWRA][email protected]
[email protected]
GRUPPUIKOSA\DRA
I
+
(eigentlicheIkosaedergruppe),
[email protected]
A
5

TOVDESTWENNOEPREOBRAZOWANIE

24=12+12
WRA]ENIJ
NAUGLY
2
=
5,4
=
5,6
=
5,8
=
5
WOKRUGOSEJ
SOEDI
-
[email protected]]IHCENTRYPROTIWOPOLOVNYHGRANEJ

20
WRA]ENIJ
NAUGLY
2
=
3,4
=
3
WOKRUGOSEJ
[email protected]]IHPARYPROTI
-
WOPOLOVNYHWER[IN

15
WRA]ENIJ
NAUGOL

OTNOSITELXNOOSEJ
[email protected]]IHSEREDINYPRO
-
TIWOPOLOVNYHREBER
zAME^ANIE
.
wDEJSTWITELXNOSTI
24
WRA]ENIQWOKRUGOSEJ
[email protected]]IHCEN
-
[email protected]
2
KLASSASOPRQVENNOSTI
KAV
-
LYJIZKOTORYHSODERVITPO
12
\LEMENTOW
pRIIZOMORFIZMES
A
5
\TIKLASSY
OTWE^[email protected]
5-
CIKLOWSPREDSTAWITELQMI
(12345)
I
(12354),
SOOT
-
WETSTWENNO
iNTERESENOUWIDETX
GDETE
5
SIMWOLOW
[email protected]
IKOSA\DRA
?
wTERMINAHIKOSA\DRAIHMOVNOOPISATX
NAPRIMER
[email protected]]IM
OBRAZOM
:15
OSEJSIMMETRII
PROHODQ]IH^EREZSEREDINYPROTIWOPOLOVNYH
gruppy
:
firstdraught
43
REBER
[email protected]
5
TROEKPOPARNOORTOGONALXNYHOSEJ
qSNO
^[email protected]
SIMMETRIQIKOSA\DRAPEREWODITTROJKUORTOGONALXNYHOSEJW
TROJKUORTO
-
GONALXNYHOSEJ
pRI\TOMWRA]ENIQIKOSA\DRAOSU][email protected][X^ETNYE
PERESTANOWKITAKIETROEK
zAMETIM
^TOWTERMINAHSAMOJGRUPPYTROJKA
ORTOGONALXNYHOSEJ\TOWTO^NOSTIPODGRUPPAPORQDKA
4.
dADIMTEPERX^UTXINOEOPISANIETEHVE
5
\LEMENTOWWTERMINAHDODEKA\D
-
RA
uDODEKA\DRA
20
WER[IN
KOTORYEMOVNORAZBITXNA
5
GRUPPPO
4
WER[I
-
NYTAK
^TOBYKAVDAQ^ETWERKAZADAWALAPRAWILXNYJWPISANNYJTETRA
\DRI
\TI
5
PRAWILXNYHTETRA\DROWPEREWODILISXDRUGWDRUGAWRA]ENIQMI
wDEJ
-
STWITELXNOSTI
SU]ESTWUETE]EODNAKONFIGURACIQ
5
PRAWILXNYHWPISANNYH
TETRA\DROW
[email protected]@OTRAVENIEM
wSE
120
SIMMETRIJIKOSA\DRA
KAKSOBSTWENNYE
TAKINESOBSTWENNYE
OBRA
-
[email protected]
GRUPPUIKOSA\DRA
I
(Ikosaedergruppe).
pORQDOKGRUPPY
I
RAWENPORQDKU
GRUPPY
S
5
NO
I
IZOMORFNANE
S
5
A
A
5

C
2
~TOBYUBEDITXSQW\TOM
DOSTA
-
TO^NOZAMETITX
^TO
I
POROVDAETSQ
I
+
ISIMMETRIEJ
i
OTNOSITELXNOCENTRA
IKOSA\DRA
tAKIMOBRAZOM
CENTRGRUPPY
I
RAWEN
i
WTOWREMQKAK
S
5
{
GRUP
-
PABEZCENTRA
nEKOTORYEAWTORYOBOZNA^[email protected]
I
+
I
I
^EREZ
Y
+
I
Y
SOOTWETSTWENNO
2.
mNOGOMERNYEOBOB]ENIQ
.
oBOB]ENIE\TIHPRIMEROWNAMNOGOMERNYJSLU^AJPRED
-
STAWLQETSOBOJSODERVANIENESKOLXKIHBOLX[IHRAZDELOWMATEMATIKI
(
SM
.,
W^ASTNOSTI
,
[CS]),
INATOMUROWNEPONIMANIQTEORIIGRUPP
,
NAKOTOROMMYPOKANAHODIMSQ
,
MYNEMO
-
VEM
,
KONE^NO
,
UGLUBITXSQW\TUTEMU
.
oGRANI^IMSQPO\TOMUDWUMQPROSTEJ[IMIPRIMERAMI
,
PERWYJIZKOTORYHNAMUVEIZWESTEN
,
AWTOROJMOVETOKAZATXSQNOWYM
;
DWADALXNEJ[IH^E
-
[email protected]
x
7.
wKAVDOJRAZMERNOSTI
n

2
SU][email protected]]IHPRAWILXNYHMNOGOGRANNIKA
:
PRAWILXNYJSIMPLEKS
(
RAWNOSTORONNIJTREUGOLXNIK
,
PRAWILXNYJTETRA\DR
,...)
IGIPERKUB
(
KWADRAT
,
KUB
,...).
kROMETOGO
,
WRAZMERNOSTQH
n

3
GIPERKUBOTLI^AETSQOTSWOEGODWOJ
-
STWENNOGOMNOGOGRANNIKA
,
NAZYWAEMOGOGIPEROKTA\DROM
.
pUSTX
V
=
R
n
{
n
-
MERNOE\WKLIDOWO
PROSTRANSTWOSORTONORMIROWANNYMBAZISOM
e
1
;:::;e
n
.
oRTONORMIROWANNOSTXBAZISAOZNA
-
^AET
,
^TO
(
e
i
;e
j
)=

ij
,
INYMISLOWAMI
,
[email protected]
e
i
;e
j
,
i
=
j
,
ORTOGONALXNY
,
KAVDYJWEKTOR
e
i
IMEETDLINU
1.

sIMPLEKS
.
pRO]EWSEGOPOSTROITXPRAWILXNYJ
n
-
MERNYJSIMPLEKSNEW
n
-
MERNOM
,
A
W
(
n
+1)-
MERNOMPROSTRANSTWE
,
AIMENNO
,
e
1
;:::;e
n
+1
2
R
n
+1
[email protected][INY
TAKOGOSIMPLEKSA
(
[email protected]
p
2).
wDEJSTWITELXNOSTI
,
KONE^NO
,
\TI
n
+1
WER[INLEVATW
n
-
MERNOMLINEJNOMPODMNOGOOBRAZII
f
a
1
e
1
+
:::
+
a
n
+1
e
n
+1
j
a
1
+
:::
+
a
n
+1
=1
g
PRIVELANII
IHMOVNOZAPIHNUTXOBRATNOW
n
-
MERNOEPROSTRANSTWO
f
a
1
e
1
+
:::
+
a
n
+1
e
n
+1
j
a
1
+
:::
+
a
n
+1
=0
g
PRIPOMO]IPODHODQ]EGOPARALLELXNOGOPERENOSA
,
SKAVEM
,
NAWEKTOR

1
n
+1
(
e
1
+
:::
+
e
n
+1
)
:
pRAWDA
,
KOORDINATYPOLU^[email protected]]IHSQPRI\TOMWER[INOKAVUTSQ
SLEGKA
DROBNYMI
:
n
n
+1
e
1

1
n
+1
e
2

:::

1
n
+1
e
n
+1
;:::;

1
n
+1
e
1

:::

1
n
+1
e
n
+
n
n
+1
e
n
+1
;
PO\TOMUBOLX[INSTWOMATEMATIKOWPREDPO^ITAETRABOTATXSWEKTORAMIWPROSTRANSTW
ENA
1
BOLX[EJRAZMERNOSTI
,
NOZATOSCELYMIKOORDINATAMI
.
wOPISANNOJWY[EREALIZACIISTANOWITSQO^EWIDNO
,
^TOGRUPPASIMMETRIJPRAWILXNOGO
n
-
MERNOGOSIMPLEKSA\TOWTO^NOSTISIMMETRI^ESKAQGRUPPA
S
n
+1
PERESTANOWOKEGOWER[IN
44
nikolajwawilow
(=
GRUPPAPERESTANOWOKBAZISA
e
1
;:::;e
n
+1
).
pORQDOK\TOJGRUPPYRAWEN
(
n
+1)!,
TAK
,
^TO
,
NAPRIMER
,
PORQDOKGRUPPYSIMMETRIJ
4-
HMERNOGOSIMPLEKSARAWEN
120,
NO
,
KAKMYUVE
OTME^ALI
,
\TAGRUPPANEIZOMORFNA
I
.

gIPERKUB
.
wER[INAMIGIPERKUBAW
n
-
[email protected]
2
n
TO^EK

e
1

:::

e
n
.
oDNAKOSTO^KIZRENIQAWTOMORFIZMOWNESKOLXKOUDOBNEERASSMATRIWATXNEGIPE
RKUB
,
AGIPEROKTA\DR
.

gIPEROKTA\DR
.
wER[INAMIGIPEROKTA\DRAW
n
-
[email protected]
2
n
TO
-
^EK

e
1
;:::;

e
n
.
tAKIMOBRAZOM
,
GRUPPUSIMMETRIJGIPEROKTA\DRA
Oct
n
MOVNOPREDSTAW
-
LQTXSEBEKAKGRUPPU
OZNA^ENNYHPERESTANOWOK
(signedpermutations)
BAZISA
e
1
;:::;e
n
,
INYMISLOWAMI
,
OTOBRAVENIJ
,
[email protected]
e
i
LIBOWKAKOJ
-
TOWEKTORBAZISA
,
LIBOWWEKTORPROTIWOPOLOVNYJKBAZISNOMU
37
.
gRUPPA
Oct
n
NAZYWAETSQ
OKTA\DRALXNOJGRUPPOJ
,
SKAZANNOEWY[EOZNA^AET
,
^TOEEMOVNOMYSLITXKAKPODGRUPPU
W
S
2
n
.
sDRUGOJSTORONY
,
WgLAWE
X
MYOBSUVDAEMOKTA\[email protected]
Oct
n
=
S
n
o
C
2
.
w^ASTNOSTI
,
PORQDOKGRUPPY
Oct
n
RAWEN
n
!2
n
.
w
x
7
[email protected]^ITELXNYHPRIMERABOLX[IHGRUPPSIMMETRIJW^ETYREH
-
MERNOMPROSTRANSTWE
.
x
7.
kONE^NYEGRUPPYSIMMETRIJSFERY
wOPROSOPRIORITETEe
.
s
.
fEDOROWAILIp
.
[email protected]
-
NOSTEJ\LEMENTOWSIMMETRIIDLQKONE^NYHFIGURWSKOREOTPAL
,
TAK
KAKW
1892
GODUl
.
[email protected]
,
UVE
SODERVAW[[email protected]^NYJWYWOD
.
iLARION{AFRANOWSKIJ
38
qSNO
,
^TOEDINSTWENNYMIKONE^NYMIPODGRUPPAMI
SO(2
;
R
)
[email protected]^ESKIEGRUP
-
PYs
n
,
AW
O
(2
;
R
),
KROMETOGO
,
[email protected]\DRALXNYEGRUPPY
D
n
.
[email protected]]IE
REZULXTATYDLQGRUPP
SO(3
;
R
)
O
(3
;
R
)
UVENESTOLXO^EWIDNYIBYLIWPERWYEPOLU^ENYW
1830
GODUiOGANNOMgESSELEM
39
.
sEJ^ASMYPOKAVEM
,
^TOPOSTROENNYMIWPREDYDU]EMPARA
-
GRAFEGRUPPAMIIS^[email protected]^NYEGRUPPYWRA]ENIJTREHMERNOGOPROSTRANSTWA
,
KROMETOGO
,
KLASSIFICIRUEMWOOB]EWSEKONE^NYEGRUPPYDWIVENIJ
.
kRISTALLOGRAFYI
FIZIKIOBY^[email protected]\TIGRUPPY
TO^E^NYMIGRUPPAMI
(pointgroups).
dOKAZATELX
-
STWAOSNOWNYHREZULXTATOWNASTOQ][email protected]
ONQTIQMI
NORMALXNOJPODGRUPPY
,
SOPRQVENNOSTI
,
IZOMORFIZMAIDEJSTWIJGRUPP
,
ATAKVEOSNOWAMI
LINEJNOJALGEBRY
.
kLASSIFIKACIQSOPRQVENNYH\LEMENTOWW
SO(3
;
R
)
IZWESTNAKAKTEOREMA|JLERA
40
.
sLE
-
[email protected]]EERASSUVDENIEISPOLXZUETPONQTIESOBSTWENNOGO^ISLAIPROSTEJ[IESWOJSTWAS
OB
-
STWENNYH^ISEL
,
KOTORYEMYDOKAZYWAEMW
3-
MSEMESTRE
(
WSE\TISWOJSTWAMOVNONAJTIW
37
dETALXNOEOBSUVDENIEWSEHSIMMETRIJGIPERKUBA
/
GIPEROKTA\DRAWSWQZISRASPOLOVE
-
NIEMGIPERPLOSKOSTEJPRIWEDENOWSTATXE
G.Gordon,Theansweris2
n
n
!What'stheQuestion?
{Amer.Math.Monthly,1999,vol.109,August-September,p.63
6{645.
38
i
.
i
.
{AFRANOWSKIJ
,
iSTORIQKRISTALLOGRAFII
,XIX
WEK
,{
nAUKA
,
l
.,1980,
S
.1{324.{
STR
.232
39
iOGANNgESSELX
40
lEONARD|JLER
(15.04.1707,
bAZELX
{18.09.1783,
sANKT
-
pETERBURG
){
WELI^AJ[IJISA
-
MYJPLODOWITYJMATEMATIK
XVIII
WEKA
,
OSNOWATELXpETERBURGSKOJMATEMATI^ESKOJ[KOLY
.
u^ENIKiOGANNAbERNULLI
,
S
1730
GODABYLPROFESSOROMFIZIKI
,
AS
1733
GODA
{
PROFESSOROM
MATEMATIKIpETERBURGSKOJaKADEMIInAUK
.
w
1741
GODUPEREEHALWbERLIN
,
NOPRODOLVAL
POLU^ATXZARPLATUWpETERBURGSKOJaKADEMIIIPUBLIKOWATXSQWEETRUDAH
,
AW
1766
GO
-
DUOKON^ATELXNOWERNULSQWpETERBURG
.
vENA|JLERA
,
DO^XHUDOVNIKAgZELLQ
,
RODILAEMU
TRINADCATXDETEJ
,
IZKOTORYHTOLXKOTRISYNAPEREVILISAMOGO|JLERA
.
w
1735
GODUW
REZULXTATEPERENAPRQVENIQPRIWY^ISLENIQHONPOTERQLPRAWYJGLAZ
,
AKONCUVIZNIPOLNO
-
[email protected]
,
NOIMENNONA\TOWREMQPARADOKSALXNYMOBRAZOMPRIHODITSQNEWEROQTNYJWZLET
EGOTWOR^ESKOJAKTIWNOSTI
.
eGORABOTYOTNOSQTSQKOWSEMOBLASTQMMATEMATIKIIEEPRILO
-
VENIJ
:
TEORII^ISEL
,
ALGEBRE
,
GEOMETRII
,
KOMBINATORNOJTOPOLOGII
,
WE]ESTWENNOMUIKOM
-
PLEKSNOMUANALIZU
,
DIFFERENCIALXNYMURAWNENIQM
,
TEORIIWEROQTNOSTEJ
,
KOMBINATORIKE
,
ASTRONOMII
,
MEHANIKETWERDOGOTELAINEBESNOJMEHANIKE
,
GIDRODINAMIKE
,
[email protected]
,
NAWIGACII
,
ARTILLERII
,
KARTOGRAFII
,
OPTIKEITEORIIMUZYKI
.
oNNAPISALBOLEE
900
RABOT
,
gruppy
:
firstdraught
45
[email protected]^EBNIKELINEJNOJALGEBRY
,
NAPRIMER
,
W
[KM]).
kONE^NO
,
\TORASSUVDENIEPRIVELA
-
NIIBYLOBYLEGKOPEREWESTINAGEOMETRI^ESKIJQZYK
.
tEOREMA|JLERA
.
kAVDYJ\LEMENT
g
2
SO(3
;
R
)
QWLQETSQPOWOROTOMWOKRUGNEKOTOROJ
OSI
,
PROHODQ]EJ^EREZNA^ALOKOORDINAT
.
dOKAZATELXSTWO
.
dOSTATO^NODOKAZATX
,
^TOSREDISOBSTWENNYH^ISEL
g
WSEGDAPOKRAJNEJ
MEREODNORAWNO
1.
tOGDA
g
QWLQETSQPOWOROTOMWOKRUGOSIWNAPRAWLENIISOBSTWENNOGO
WEKTORA
u
,
OTWE^[email protected]]EGO\TOMUSOBSTWENNOMU^ISLU
.
wSAMOMDELE
,
PUSTX

1
;
2
;
3
{
SOB
-
STWENNYE^ISLAMATRICY
g
.
tAKKAKMATRICA
g
ORTOGONALXNA
,
WSEEESOBSTWENNYE^ISLAPO
[email protected]
1.
tAKKAKMATRICA
g
WE]ESTWENNAQ
,
TOPOKRAJNEJMEREODNOIZNIHWE]E
-
STWENNOE
,
SKAVEM
,

3
=

1.
lIBODWADRUGIHKORNQTOVEWE]ESTWENNYE
,
ITOGDA
,
TAKKAK

1

2

3
=det(
g
)=1,
TOSREDI

1
;
2
;
3
^ETNOE^ISLO

1,
TAK^TOPOKRAJNEJMEREODIN
IZNIHRAWEN
1.
lIBODWADRUGIHKORNQSOPRQVENNYEMNIMYE^ISLA
,

1
=

2
.
tEMSAMYM
,

1

2
=1
,
SNOWA

3
=1.
nAPOMNIM
,
^TO
ZERKALXNYMPOWOROTOM
(rotaryre ection)
NAZYWAETSQKOMPOZICIQPO
-
WOROTAWOKRUGNEKOTOROJOSISOTRAVENIEMOTNOSITELXNOPLOSKOSTIPERPENDIKU
LQRNOJ\TOJ
OSI
.
sLEDSTWIE
.
kAVDYJ\LEMENT
g
2
O
(3
;
R
)
QWLQETSQLIBOPOWOROTOM
,
LIBOZERKALXNYM
POWOROTOMWOKRUGNEKOTOROJOSIPROHODQ]EJ^EREZNA^ALOKOORDINAT
,
nA[EJBLIVAJ[[email protected]@]EGOREZULXTATA
.
tEOREMA
.
[email protected]]IMIGRUPPAMIIS^[email protected]^NYEPODGRUPPYW
SO(3
;
R
)
:
MNOGOGRANNIK
:
G
j
G
j
m
1
m
2
m
3
n
-
UGOLXNAQPIRAMIDA
C
n
n
11

n
-
UGOLXNAQPRIZMA
D
n
2
n
2
nn
PRAWILXNYJTETRA\DR
T
+
12446
KUB
O
+
246812
PRAWILXNYJIKOSA\DR
I
+
60122020
sMYSL^ISEL
m
1
;m
2
;m
3
BUDETOB_QSNENWPROCESSEDOKAZATELXSTWA
.
pRIWODIMOENAMIDO
-
KAZATELXSTWO\TOJTEOREMYWOSHODITKkLEJNU
41
;
42
[email protected]
WTOM^ISLE
?
KNIG
.
eGOKNIGI
,
WOSOBENNOSTI
,
wWEDENIEWANALIZBESKONE^NOMALYH
(1748),
iNTEGRALXNOEIS^ISLENIE
,
|LEMENTYALGEBRY
OKAZALITAKOEVEWLIQNIENAPOSTROENIEWSEH
[email protected]]IHU^EBNIKOWANALIZA
,
KAK
|LEMENTY
|WKLIDANAPOSTROENIEU^EBNIKOWGEOMET
-
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]|JLERA
,
FUNKCIQ|JLERA
,
TOVDESTWO|JLERA
,
UGLY
|JLERA
,
FORMULA|JLERA
,
FORMULY|JLERA
-
fURXE
,
NESKOLXKOTEOREM|JLERA
,
AWKURSETOPO
-
LOGII
{
\JLEROWAHARAKTERISTIKA
.
[email protected]
OSOBENNYJINTERESDLQMATEMATI^ESKOGOTURISTA
:
|JLERRABOTALWZDANIIaKADEMIInAUK
NAPROTIWgLAWNOGOzDANIQuNIWERSITETA
,
AVILWDOMEAKADEMIKOWNAPLO]ADItREZINI
.
oNBYLPOHORONENNAsMOLENSKOMKLADBI]EIPOZVEPEREZAHORONENWaLE
KSANDRO
-
nEWSKOJ
lAWRE
.
41
f
.
kLEJN
,
lEKCIIOBIKOSA\DREIRE[ENIIURAWNENIJPQTOJSTEPENI
,
nAUKA
,
m
.,1989.
42
hRISTIANfELIKSkLEJN
(25.04.1849,
[email protected]
{22.06.1925,
gETTINGEN
){
ZAME
-
^ATELXNYJNEMECKIJMATEMATIKIPEDAGOG
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORII
AWTOMORFNYHFUNKCIJ
,
TEORIIGRUPP
,
GEOMETRIIIPRIKLADNOJMATEMATIKE
.
w
1865{1870
GODAHkLEJNU^[email protected]
.
w
1870
GODUWOWREMQSTAVIROWKIWpARIVE
,
KO
-
[email protected]
,
ONUWLEKSQTEORIEJGRUPP
.
s
1872
GODAkLEJN
BYLPROFESSOROMW|RLANGENE
,
S
1875
GODA
{
[email protected]
,
S
1880
GODA
{
WlEJPCIGEI
,
NAKONEC
,
S
1886
GODA
{
WgETTINGENE
.
[email protected]
DOLVNOSTXW|RLANGENEIZWESTNAKAK
|RLANGENSKAQPROGRAMMA
.
wNEJkLEJNOPREDELQET
[email protected]@INWARIANTOWGRUPP
.
wTE^ENIE
50
LETkLEJNBYLGLAWNYMREDAK
-
TOROMVURNALA
MathematischeAnnalen,
WTOWREMQLU^[EGOMATEMATI^ESKOGOVURNALAW
MIRE
.
kROMEUVECITIROWANNYH
`
lEKCIJOBIKOSA\DRE
'
NARUSSKIJPEREWEDENYZAME^ATELX
-
NYEKLASSI^ESKIEKNIGIkLEJNA
:
f
.
kLEJN
,
iSTORIQMATEMATIKIW
XIX
STOLETII
.{
nAUKA
,
46
nikolajwawilow
MNOVESTWEIPONQTIEORBITY
,
KOTOROEMYOBSUVDAEMWgLAWE
6.
|TODOKAZATELXSTWOMNOGO
-
KRATNOIZLAGALOSXWKNIGAHNARUSSKOMQZYKE
,
SM
.,
NAPRIMER
,
43
,[W2],
pRILOVENIE
A,
[C],
S
.391{400.
oPI[EM
,
PREVDEWSEGO
,
W^EMSOSTOITOSNOWNAQIDEQ
.
pUSTX
G
{
KONE^NAQPOD
-
GRUPPAW
SO(3
;
R
),
PORQDKA
n
.
pOTEOREME|JLERAKAVDYJ\LEMENT
g
2
G
]
=
G
nf
e
g
QWLQETSQ
NETRIWIALXNYMPOWOROTOM
,
TAK^TOEMUSOOTWETSTWUETOSX
,
[email protected]]AQEDINI^[email protected]
WDWUHTO^KAH
P
Q
,
NAZYWAEMYH
[email protected]
\LEMENTA
g
.
kLEJNPODS^ITYWAET^ISLOPAR
(
g;P
)
DWUMQSPOSOBAMI
.
dOKAZATELXSTWOkLEJNA
.
pUSTX
n

2.
sODNOJSTORONY
,
TAKKAKDLQKAVDOGOIZ
n

1
NETRIWIALXNYHPOWOROTOWIMEETSQ
2
[email protected]
,
PO\TOMUOB]EEKOLI^[email protected]
2(
n

1).
sDRUGOJSTORONY
,
[email protected]@TSQNA
s
ORBITPODDEJSTWIEM
G
,
PRI^EM
PORQDOK
i
-
JORBITYRAWEN
m
i
,
APORQDOKSTABILIZATORATO^KIIZ
i
-
JORBITYRAWEN
i
.
~ISLO
i
NAZYWAETSQ
[email protected]
[email protected]
P
IZ
i
-
JORBITY
.
w
x
?
gLAWY
6
USTANOWLENO
,
^TO
i
m
i
=
n
DLQWSEH
i
=1
;:::;s
.
dLQ
i
-
JORBITYIMEETSQ
m
i
(
i

1)
PARWIDA
(
g;P
).
sRAWNIWAQDWA
REZULXTATA
,
MYPOLU^AEMOSNOWNOERAWENSTWO
2(
n

1)=
m
1
(
1

1)+
:::m
s
(
s

1)
:
rAZDELIW\TORAWENSTWONA
n
,
MYPOLU^AEM
2

2
n
=

1

1
1

+
:::
+

1

1
s

;
,
^TOTOVESAMOE
,
1
1
+
:::
+
1
s
=
s

2+
2
n
.
tAKKAK
i

2
DLQWSEH
i
,
TOLEWAQ^ASTXNE
PREWOSHODIT
s=
2,
WTOWREMQKAKPRAWAQNEMENX[E
s

2.
|TOZNA^IT
,
^TO
s
4.
sDRUGOJ
STORONY
,
ESLI
s
=1,
TOLEWAQ^ASTXPOLOVITELXNA
,
APRAWAQ
{
NEPOLOVITELXNA
.
|TOZNA^IT
,
^TO
s
MOVETPRINIMATXTOLXKODWAZNA^ENIQ
,
s
=2
;
3.
eSLI
s
=2,
TOURAWNENIEPRINIMAETWID
1
1
+
1
2
=
2
n
,
^TOTOVESAMOE
,
m
1
+
m
2
=
n
1
+
:::
+
1
n
s
=2.
dWANATURALXNYH^[email protected]
2.
pO\TOMU
1
=
2
=
n
,
TEM
SAMYM
,
m
1
=
m
2
=1.
|[email protected]
.
eSLI
s
=3,
TOURAWNENIEPRINIMAETWID
1
1
+
1
2
+
1
3
=1+
2
n
.
rASPOLOVIMPORQDKI
CENTRALIZATOROWWPORQDKEWOZRASTANIQ
:
1

2

3
.
wSETRI^ISLA
1
;l
2
;l
3
NEMOGUTBYTX

3,
TAKKAKW\TOMSLU^AELEWAQ^ASTX

1,
WTOWREMQKAKPRAWAQ^ASTX

1.
|TOZNA^IT
,
^TO
1
=2.
tEMSAMYM
,
URAWNENIEPRINIMAETWID
1
2
+
1
3
=
1
2
+
2
n
.
oBA^ISLA
2
;l
3
NEMOGUTBYTX

4,
TAKKAKW\TOMSLU^AELEWAQ^ASTX

1
2
,
WTOWREMQKAKPRAWAQ^ASTX

1
2
.
|TOZNA^IT
,
^TO
2
=2
3
rASSMOTRIMWNA^ALESLU^AJ
,
KOGDA
1
=
2
=2.
tOGDAURAWNENIEPRINIMAETWID
1
3
=
2
n
.
tEMSAMYM
,
n
=2
3
IMYPOLU^[email protected]
2,
KAVDYJIZKOTORYH
SOSTOITIZ
n
IODINKLASS
,
SOSTOQ][email protected]
n
.
tAKIMOBRAZOM
,
W\TOM
SLU^AEMYPOLU^AEMDI\[email protected]
D
n
.
wSLU^AE
1
=2,
2
=3,
LEGKOUBEDITXSQWTOM
,
^TOIMEETSQLI[XTRIWOZMOVNOSTI
,
3
=3,
n
=12,
LIBO
3
=4,
n
=24,
LIBO
3
=5,
n
=60,
KOTORYEOTWE^[email protected]
,
SOOTWETSTWENNO
,
SOBSTWENNOJGRUPPET\TRA\DRA
,
SOBSTWENNOJGRUPPEKUBAISOBSTWENNOJGRUPPEIKOSA\DRA
.
zNAQKONE^NYEPODGRUPPYW
SO(3
;
R
),
TEPERXSOWSEMPROSTOOPISATXKONE^NYEPODGRUPPY
W
O
(3
;
R
).
m
.,1989,
S
.1{454.
f
.
kLEJN
,
|LEMENTARNAQMATEMATIKASTO^KIZRENIQWYS[EJ
,
.I,
aRIFME
-
TIKA
,
ALGEBRA
,
ANALIZ
.
.II,
gEOMETRIQ
.{
nAUKA
,
m
.,1987,
S
.1{431.
S
.1{416.
zAMETIM
,
KSTA
-
,
^TONAZWANIE\TOJKNIGIPREDSTAWLQETSOBOJTIPI^NYJPRIMERPOLNOJUTRATYSMYSLA
PRIPEREWODESNEMECKOGO
.
sOBSTWENNO
,
PONEMECKIKNIGANAZYWAETSQ
`Elementarmathematik
vomhoherenStandpunkteaus',
^TOZNA^IT
,
PRIMERNO
,`
|LEMENTARNAQMATEMATIKAS
WYS[EJ
TO^KIZRENIQ
'.
wNA[[email protected]
lOBA^EWSKOGO
.
43
l
.
r
.
fORD
,
aWTOMORFNYEFUNKCII
,{
onti
,
m
.{
l
.,1936.
gruppy
:
firstdraught
47
tEOREMAgESSELQ
.
[email protected]]IMIGRUPPAMIIS^[email protected]^NYEPODGRUPPYW
O
(3
;
R
)
:
1)5
TIPOWKONE^NYHPODGRUPP
,
SODERVA]IHSQW
SO(3
;
R
)
,
AIMENNO
,
C
n
,
D
n
,
T
+
,
O
+
,
I
+
.
2)5
TIPOWPRQMYHPROIZWEDENIJKONE^NYHPODGRUPPW
SO(3
;
R
)
I
C
2
:
C
n

C
2
;D
n

C
2
;T
+

C
2
;O
=
O
+

C
2
;I
=
I
+

C
2
3)4
TIPAGRUPP
,
NESODERVA]IHSQW
SO(3
;
R
)
,
NOIZOMORFNYHKONE^NYMPODGRUPPAMW
SO(3
;
R
)
,
[email protected]]IMPODGRUPPUINDEKSA
2:
C
2
n

C
n
;D
n

C
n
;D
2
n

D
n
;T

=
S
4

A
4
:
~TOBYOTLI^ATXGRUPPY
,
[email protected]]IEWTRETXEJSTROKEOTWETAOTIZOMORFNYHIMGRUPP
WPERWOJSTROKEOTWETA
,
[email protected]^ENIQMIkOKSETERA
C
2
n
C
n
,
D
n
C
n
,
D
2
n
D
n
S
4
A
4
.
nAIBOLEE^[email protected]]EEDOKAZATELXSTWO\TOJTEOREMY
(
SM
.,
NAPRIMER
,
[W2],
pRILOVENIE
B,
[C],
S
.400{401,
ATAKVEDESQTKIU^EBNIKOWNAANGLIJSKOMQZYKE
[Bus],[GB],etc.).
|TODOKAZATELXSTWOOSNOWANONADWUHPROSTEJ[IHTEORETIKO
-
GRUPPOWYH
IDEQH
.
pUSTX
G

O
(3
;
R
){
PODGRUPPA
,
NESODERVA]AQSQW
SO(3
;
R
).
tOGDA
H
=
G
\
SO(3
;
R
)
IMEETINDEKS
2
W
G
,
ZNA^IT
,
G
=
H
t
gH
,
GDE
g
{
[email protected]\LEMENT
G
,
[email protected]]IJSQ
WRA]ENIEM
.
dOKAZATELXSTWOpOJA
44
-
mAJERA
.
pUSTX
f
OBOZNA^[email protected]@
.
tOGDALI
-
BO
f
2
G
,
LIBO
f=
2
G
.
wPERWOMSLU^AEWKA^ESTWE
g
MOVNOWZQTX
f
,
TAK^TO
G
=
H
h
f
i
,
^TO
[email protected]^KUOTWETA
.
eSLIVE
f=
2
G
,
TOSOPOSTAWLENIE
h
7!
h
gh
7!
fgh
,
OPREDELQETIZOMORFIZMGRUPPY
G
=
H
t
gH
NAGRUPPU
G
=
H
t
fgH
(
UBEDITESXW\TOM
!).
tAKIMOBRAZOM
,
NAMOSTAETSQLI[XNAJTIPOLNYJSPISOKPODGRUPPW
SO(3
;
R
),
WKOTORYH
ESTXPODGRUPPAINDEKSA
2.
wSETAKIESLU^AIKAKRAZIPERE^ISLENYWOWTOROJSTROKEOTWETA
.
sDELAEMWSWQZIS\[email protected]
.
zAME^ANIE
1.
gRUPPA
T
+

C
2
NESOWPADAETSGRUPPOJSIMMETRIJTETRA\DRA
!
|TOGRUPPA
SIMMETRIJKRISTALLAPIRITA
FeS
2
(
SULXFIDVELEZA
,
IZWESTNYJTAKVEKAKSERNYJKOL^EDAN
).
[email protected]@FORMU\TIHKRISTALLOW
PENTAGON
-
DODEKA\DRI^ESKOJ
,
MI
-
NERALOGIINOGDAGOWORQTO
PIRITO\DRE
(piritohedron),
SM
.
RIS
.134
WKNIGE
45
.
zAME^ANIE
2.
gRUPPYKLASSIFICIROWANYZDESXNESTO^[email protected]
,
ASTO^
-
[email protected]
O
(3
;
R
).
sKAVEM
,
GRUPPY
T
O
+
IZOMORFNYKAKABSTRAKTNYE
GRUPPY
,
NONESOPRQVENYW
O
(3
;
R
),
POTOMU^TOPERWAQIZNIHSODERVITZERKALXNYEWRA]E
-
NIQ
,
WTOWREMQKAKWTORAQSOSTOITCELIKOMIZSOBSTWENNYHWRA]ENIJ
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
WBOLX[INSTWEPRILOVENIJINTERESPREDSTAWLQETWOWSENEIZOMORFIZMDWUHGRUPP
,
KAKAB
-
STRAKTNYHGRUPP
,
AIHSOPRQVENNOSTXWKAKOJ
-
TOBOLX[EJGRUPPE
(
NAPRIMER
,
IHIZOMORFIZM
KAKGRUPPPERESTANOWOK
,
IZOMORFIZMKAKLINEJNYHGRUPPIT
.
.).
zAME^ANIE
3.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
\TATEOREMAKLASSIFICIRUETDAVEWSEKONE^NYEPOD
-
GRUPPYW
GL(3
;
R
).
wSAMOMDELE
,
ODNAIZPERWYHIDEJ
,
SKOTOROJZNAKOMITSQSTUDENTPRI
IZU^ENIITEORIIPREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPP
,
SOSTOITWTOM
,
^[email protected]
KONE^NAQ
POD
-
GRUPPA
G

GL(3
;
R
)
SOPRQVENASPODGRUPPOJW
O
(3
;
R
).
w\TOMPRO]EWSEGOUBEDITXSQ
44
dXERDXpOJA
(13.12.1887,
bUDAPE[T
{){
ZAME^ATELXNYJWENGERSKIJMATEMATIK
,
OSNOW
-
NYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIGRUPP
,
KOMBINATORIKE
,
TEORII^ISEL
,
TEORIIWERO
-
QTNOSTEJITEORIIFUNKCIJ
.
nAIBOLEEIZWESTNOEDOSTIVENIEpOJAWTEORIIGRUPP
{
\TO
ZNAMENITAQ
TEORIQPERE^ISLENIQpOJA
,
KOTORAQIZLAGAETSQWgLAWE
15
NASTOQ]EJKNIGI
.
s
1914
GODARABOTALW
ETH
[email protected]
,
AW
1946{1953
GODAHPREPODAWALWsT\NFORDE
.
nARUS
-
SKIJQZYKPEREWEDENYNESKOLXKOSOWER[ENNOZAME^ATELXNYHKNIGpOJA
,
W^ASTNOSTId
.
pOJA
,
g
.
sEGE
,
zADA^IITEOREMYIZANALIZA
,
.I,
.II,3-
EIZD
.{
nAUKA
,
m
.,1978,
S
.1{391;
S
.1{431.
d
.
pOJA
,
mATEMATIKAIPRAWDOPODOBNYERASSUVDENIQ
.{
il
,
m
.,1957,
S
.1{535.
d
.
pOJA
,
kAK
RE[ITXZADA^U
.{
45
g
.
sMIT
,
dRAGOCENNYEKAMNI
,
mIR
,
m
.,1980,1{586.
iNTERESNO
,
^TONARIS
.29
\TOJKNIGI
WSWQZISOPISANIEMKRISTALLOGRAFI^ESKIHKLASSOWTOTVESAMYJMNOGOGRANNIKFIGU
RIRUET
PODNAZWANIEM
PENTAGON
-
DODEKA\DRA
!
48
nikolajwawilow
POSREDSTWOM
USREDNENIQ
POGRUPPE
G
.
wSAMOMDELE
,
ESLI
B
(
u;v
){
POLOVITELXNOOPREDE
-
LENNOESKALQRNOEPROIZWEDENIENAPROSTRANSTWE
V
=
R
n
,
TOMYMOVEMOPREDELITXNA\TOM
PROSTRANSTWENOWOESKALQRNOEPROIZWEDENIE
A
(
u;v
)=
1
j
G
j
P
g
2
G
B
(
gu;gv
),
KOTOROEUVEINWA
-
RIANTNOOTNOSITELXNO
G
WTOMSMYSLE
,
^TO
A
(
gu;gv
)=
A
(
u;v
).
nO\TOKAKRAZIZNA^IT
,
^TO
G

O
(
n;
R
;A
).
oSTALOSXZAMETITX
,
^TOTAKKAK
A
POLOVITELXNOOPREDELENA
,
TOGRUPPA
O
(
n;
R
;A
)
SOPRQVENAS
O
(
n;
R
).
oDNAKOKONE^NYEPODGRUPPYW
O
(3
;
R
)
SOWSEMNESLOVNOOPISATXINAPUTIkLEJNA
46
.
pRI
\TOMMYTOVEPOLU^IMPOLNYJSPISOKKONE^NYHPODGRUPPW
O
(3
;
R
),
NONUVNONEKOTOROE
DOPOLNITELXNOEUSILIE
,
^TOBYPRIWESTI\TOTSPISOKKTOJFORME
,
WKOTOROJONSODERVITSQW
TEOREME
(
SM
.,
NAPRIMER
,
STR
.334
WCITIROWANNOJSTATXEsENE[ALX
,
GDEOBSUVDAETSQRAZLI^IE
rotaryre ection
e
n
rotaryinversion
n
ISWQZANNYES\[email protected]
,
ZAWISQ]IEOTWY^ETA
n
PO
[email protected]
4,
IQWNOEOTOVDESTWLENIEDWUHSPISKOWNASTR
.335).
dOKAZATELXSTWOsENE[ALX
.
tAKKAK
H
E
G
,
TODWIVENIE
g
[email protected]
H
.
[email protected]@]AQALXTERNATIWA
:
LIBO\TAORBITA
OSTAETSQNAMESTE
,
LIBOPODDEJSTWIEM
g
PROISHODIT
SLIQNIE
(fusion)
\TOJORBITYSKAKOJ
-
TOORBITOJTOGOVEPORQDKA
.
rAZUMEETSQ
,
DLQTOGO
,
^TOBYMOGLAREALIZOWYWATXSQWTORAQ
WOZMOVNOSTX
,
UGRUPPY
H
DEJSTWITELXNODOLVNOBYTXDWEORBITYODINAKOWOGOPORQDKA
!
tAKKAK
j
G
j
=2
j
H
j
,
[email protected]
.
pUSTXWNA^ALE
s
=2.
tOGDA
g
LIBOFIKSIRUET
,
[email protected]
.
eSLI
g
FIK
-
[email protected]
,
TOGRUPPA
G
DI\DRALXNA
.
eSLI
g
[email protected]
,
TO
g
QWLQETSQLIBO
OTRAVENIEMITOGDA
G
=
H
h
g
i
,
LIBOZERKALXNYMPOWOROTOMITOGDA
G
QWLQETSQCIKLI^E
-
SKOJGRUPPOJW
2
RAZABOLX[EGOPORQDKA
,
^EM
H
.
sDRUGOJSTORONY
,
ESLI
s
=3,
TOWSEGDAESTXORBITANEPODWIVNAQPODDEJSTWIEM
g
,
.
K
.
\TOEDINSTWENNAQORBITATAKOGOPORQDKA
.
dLQ
H
=
O
+
H
=
I
+
,
\TOUSLOWIEUVEODNOZNA^NO
OPREDELQETGRUPPU
G
,
[email protected]@TRAZNYERAZMERY
.
tEMSAMYM
,
g
[email protected]
.
dLQGRUPPVE
H
=
D
n
H
=
T
+
[email protected]
g
,
W
ZAWISIMOSTIOTTOGO
,
SOHRANQETLI
g
DWEOSTAW[IESQORBITYILIPERESTAWLQETIHMEVDU
SOBOJ
.
wPERWOMSLU^AEMYPOLU^AEMGRUPPYSIMMETRIJPRIZMYIPRAWILXNOGOTETRA\DRA
,
AWOWTOROMSLU^AE
{
GRUPPYSIMMETRIJANTIPRIZMYIPIRITO\DRA
.
x
8.Dedivinaproportione:
IKOSIANY
,
f
3
3
5
g
I
f
5
3
3
g
,
W
(
H
4
)
wY
,
OSOBENNOWPODROSTKOWOMWOZRASTE
,
DOLVNYPOLXZOWATXSQWSEMIDO
-
STIVENIQMIGEOMETRII
,
KOGDAPROWODITELINII
,
PRIZWANNYESLUVITX
ORIENTIRAMIPRIRAZRABOTKEKOMPOZICIIKARTINY
.
[email protected]
,
^TOHUDOV
-
NIKIBOLEEROMANTI^[email protected]
,
BUDTO\TISTROITELXNYE
[email protected]
,
ZASTAWLQQ
HUDOVNIKAPREDAWATXSQIZLI[NIMRAZMY[LENIQM
.
mOVETESMELOI
BEZKOLEBANIJWOZRAZISTXIM
,
^[email protected]
GOLOWU
,
TAKKAKZOLOTOESE^ENIE
,
KOTOROElUKApA^OLINAZYWAET
`
BOVE
-
STWENNOJPROPORCIEJ
',
POZWOLITWAMWOSPOLXZOWATXSQTEMIESTESTWEN
-
NYMIWOZMOVNOSTQMI
,
KOTORYE\TOTMETODOTKRYWAETPEREDWAMI
.
w
ZNAMENITOJKNIGEpA^OLI
,
[email protected]]EJSQNAIGLAWNEJ[IMIZWSEHIZWEST
-
NYHTRAKTATOWPO\STETIKE
,
FILOSOFSKOEU^ENIEpLATONAO^I]AETSQ
OTPRIMITIWNOGOIDEALIZMA
.
wAMNEOBHODIMOPOZNAKOMITXSQS\TIM
PROIZWEDENIEM
,
KOTOROEWSEGDADOLVNOBYTXPRIWAS
,
STAWWA[EJNA
-
STOLXNOJKNIGOJ
.
sALXWADORdALI
47
bOLX[[email protected]Y
T
46
M.Senechal,Findingthe nitegroupsofsymmetriesofthesphe
re.{Amer.Math.Monthly,
1990,April,p.329{335.
47
s
.
dALI
,50
MAGI^ESKIHSEKRETOWMASTERSTWA
.{
|ksmo
-
pRESS
,
m
.,2002,
S
.1{271,45-
SEKRETNASTR
.259{260.
gruppy
:
firstdraught
49
O
NEKAKGRUPPYSIMMETRIJPRAWILXNYHMNOGOGRANNIKOW
,
AKAK
GRUPPYwEJLQ
48
;
49
W
(
A
3
),
W
(
B
3
)
KRISTALLOGRAFI^ESKIHSISTEMKORNEJTIPOW
A
3
B
3
.
tO^NOTAKVEGRUPPA
I
PRED
-
STAWLQETSOBOJGRUPPUwEJLQ
W
(
H
3
)
NEKRISTALLOGRAFI^ESKOJSISTEMYKORNEJ
H
3
.
w\TOM
PARAGRAFEMYPOSTROIME]EDWESOWER[ENNOZAME^ATELXNYEGRUPPY
,
[email protected]
-
SQKAKGRUPPYSIMMETRIJW^ETYREHMERNOMPROSTRANSTWE
,
AIMENNO
,
GRUPPUwEJLQ
W
(
F
4
)
KRISTALLOGRAFI^ESKOJSISTEMY
F
4
,
PORQDKA
1152=2
7
:
3
2
IGRUPPUwEJLQ
W
(
H
4
)
NEKRISTAL
-
LOGRAFI^ESKOJSISTEMYKORNEJTIPA
H
4
,
PORQDKA
14400=2
6
:
3
2
:
5
2
.
oDNAKOMYPOSTROIM
\TIGRUPPYNEALGEBRAI^ESKI
,
AGEOMETRI^ESKI
,
[email protected]^ITELXNYH
MNOGOGRANNIKOW
.
pO
-
ANGLIJSKIOBY^NOPROWODITSQRAZLI^IEMEVDU
POLI\DRAMI
(polyhedra){
MNOGOGRAN
-
NIKAMIWRAZMERNOSTI
3
POLITOPAMI
(polytopes){
MNOGOGRANNIKAMIWPROIZWOLXNOJRAZ
-
MERNOSTI
.
mYPEREDAEMOBA\TISLOWATERMINOM
MNOGOGRANNIK
.
sDRUGOJSTORONY
,
PO
-
SKOLXKUNASWSEVEBOLX[[email protected]
4,
MYSOHRANQEM
SPECIALXNYEIMENADLQIHGRANEJRAZNYHRAZMERNOSTEJ
:
AIMENNO
,0-
MERNYEGRANINAZYWA
-
@TSQ
WER[INAMI
(vertices),1-
MERNYEGRANI
{
REBRAMI
(edges),2-
MERNYEGRANI
{
GRANQMI
(faces)
3-
MERNYEGRANI
{
Q^EJKAMI
(cells).
aIMENNO
,
W
(
F
4
)
[email protected]^ITELXNOGOPRAWILXNOGOMNOGOGRANNI
-
KA
f
3
;
4
;
3
g
S
24
WER[INAMI
,96
REBRAMI
,96
GRANQMII
24
TREHMERNYMIQ^EJKAMI
,
KAVDAQIZ
KOTORYHQWLQETSQPRAWILXNYMOKTA\DROM
,
sDRUGOJSTORONY
,
W
(
H
4
)
BUDETPOSTROENAKAK
[email protected]^ITELXNOGOPRAWILXNOGOMNOGOGRANNIKA
f
3
;
3
;
5
g
SO
120
WER[INAMI
,
720
REBRAMI
,1200
GRANQMII
600
Q^EJKAMI
,
KAVDAQIZKOTORYHQWLQETSQPRAWILXNYMTETRA
-
\DROM
,{
ILIDWOJSTWENNOGOKNEMUMNOGOGRANNIKA
f
5
;
3
;
3
g
S
600
WER[INAMI
,1200
REBRAMI
,
720
GRANQMII
120
Q^EJKAMI
,
KAVDAQIZKOTORYHQWLQETSQPRAWILXNYMDODEKA\DROM
.
tAKKAK\TIMNOGOGRANNIKISTROQTSQWTERMINAH
ZOLOTOGOSE^ENIQ
,
IMYNESOBIRAEMSQ
WOSPROIZWODITXWSEWY^ISLENIQ
,
NEOBHODIMYEDLQTOGO
,
^TOBYUBEDITXSQWTOM
,
^TOMYDEJ
-
STWITELXNOPOSTROILIPRAWILXNYEMNOGOGRANNIKI
,
^TOBYDATXPREDSTAWLENIEOTOM
,
KAKOGO
RODARASSUVDENIQPRI\[email protected]
,
MYSEJ^ASDLQRAZMINKIPOSTROIMPRAWILXNYE
DODEKA\DRIIKOSA\DR
.
wSEDETALIPRIWODQTSQWZAME^ATELXNOJKNIGEkOKSETERA
50
;
51
.
48
gERMANwEJLX
(09.11.1885,
|LXMSHORN
{09.12.1955,
[email protected]
){
ZAME^ATELXNYJNEMEC
-
KIJMATEMATIK
,
ODINIZKLASSIKOW
,
OPREDELIW[IHRAZWITIEMATEMATIKIW
XX
WEKE
.
w
1904
GODUPOSTUPILWgETTINGENSKIJuNIWERSITET
,
GDESTALNEPOSREDSTWENNYMU^ENIKOMgILX
-
BERTA
.
s
1913
[email protected]
,
GDEKAKOE
-
TOWREMQSOTRUDNI^ALS|JN[TEJNOM
.
w
1930
GODUPEREEHALWgETTINGEN
,
NOPOSLEPRIHODAKWLASTINACISTOW\MIGRIROWALWs{a
,
GDERABOTALW
InstituteforAdvancedStudies
WpRINSTONE
.
w
1951
[email protected]
.
wEJLXNAPISALPO^TI
200
STATEJI
16
KNIG
,
WTOM^ISLE
`DieideederRiemannschenFlache',
`Raum,Zeit,Materie',`DasKontinuum',`Meromorphicfunctionsa
ndanalyticcurves',
IDR
.
bU
-
DU^IODNIMIZPOSLEDNIHMATEMATIKOWUNIWERSALOW
,
[email protected]]IJWKLADWSTOLX
RAZNYERAZDELYMATEMATIKI
,
KAKTEORIQGRUPPlIIIHPREDSTAWLENIJ
,
GEOMETRIQ
,
TEORIQ
rIMANOWYHPOWERHNOSTEJ
,
TEORIQANALITI^ESKIHFUNKCIJ
,
RAWNOMERNOERASPREDELENIE
,
TEO
-
RIQDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJIT
.
.
kROMETOGO
,
EMUPRINADLEVATFUNDAMENTALXNYE
RABOTY
,
POSWQ]ENNYEPRILOVENIQMMATEMATIKIWKWANTOWOJTEORIIITEORIIOTNOSITELXNO
-
STI
,
OB]IMIFILOSOFSKIMWOPROSAMMATEMATIKIISISTEMATI^ESKIEIZLOVENIQNESKOLX
KIH
KRUPNYHRAZDELOWMATEMATIKI
,
WTOM^ISLETAKIH
,
KOTORYMIONSAMNEPOSREDSTWENNONE
ZANIMALSQ
,
SKAVEM
,
ALGEBRAI^ESKOJTEORII^ISEL
.
iMENNOg
.
[email protected]
.
FONnEJMANUPRI
-
NADLEVITPERWAQMATEMATI^ESKIKORREKTNAQFORMALIZACIQKWANTOWOJMEHANIKIWTE
RMINAH
OPERATOROWWGILXBERTOWYHPROSTRANSTWAH
.
kROMEGRUPPwEJLQWNA[EMKURSEWSTRE^A
-
@TSQALGEBRYwEJLQ
,
TEOREMAkARTANA
-
wEJLQ
,
AWTEORII^[email protected]
wEJLQ
.
pOSLEDNEEEGOPOQWLENIEW[IROKOJMATEMATI^ESKOJAUDITORIIPROIZO[LONAMEV
-
DUNARODNOMMATEMATI^ESKOMKONGRESSEWaMSTERDAMEW
1954
GODU
,
GDEONPREDSTAWILRABOTY
FILDSOWSKIHLAUREATOWkODAIRYIsERRA
.
nARUSSKIJQZYKPEREWEDENYEGOKNIGI
`
kLASSI^E
-
SKIEGRUPPY
,
IHINWARIANTYIPREDSTAWLENIQ
',`
aLGEBRAI^ESKAQTEORIQ^ISEL
',`
sIMMETRIQ
',
`
tEORIQGRUPPIKWANTOWAQMEHANIKA
',
IBOLX[OEKOLI^ESTWOSTATEJ
,
WTOM^ISLEWTOME
g
.
wEJLX
,
iZBRANNYETRUDY
,
nAUKA
,
m
.,1984,
S
.1{511.
49
m
.
g
.
a
.
[email protected]
,
gERMANwEJLX
.{
uSPEHImAT
.
nAUK
.,1976,
.31,N.4,
S
.239{250.
50
H.S.M.Coxeter,Regularpolytopes,Methuen,Londonetal.,1
963.
51
gAROLXDsKOTTmAKDONALXDkOKSETER
(1907?{2003){
ANGLIJSKIJMATEMATIK
,
S
1936
RABOTAW[IJWtORONTO
,
kANADA
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKGEOMETRII
50
nikolajwawilow
oBOZNA^IM^EREZ


KORNIURAWNENIQ
x

1
x
=1.
eSLINAwA[[email protected]
-
NOWLENAPROGRAMMA
Mathematica
,
TOPRIPOMO]IKOMANDY
Roots
wYMOVETEDAVEWY^ISLITX
\TIKORNI
:

=
1

p
5
2

=
1+
p
5
2
.
lEGKOWIDETX
,
^TO

{
\TOWTO^NOSTIDIAGONALX
PRAWILXNOGOPQTIUGOLXNIKASOSTORONOJ
1:

=
1+
p
5
2
=2cos


5

=1
:
6180339887498948482045868343656381177203091798058
:::;
^ISLENNOEZNA^ENIENAJDENOPRIPOMO]I
N[GoldenRatio,50]
.
wNAU^NOPOPULQRNOJLITERATURE^ISLO

^ASTOOBOZNA^AETSQ^EREZ

INAZYWAETSQ
OT
-
NO[ENIEMKRAJNEGOISREDNEGO
(extremeandmeanratio),
BOVESTWENNOJPROPORCIEJ
(divinaproportione),
ZOLOTYMSE^ENIEM
52
;
53
(goldenratio,goldensection)
^ISLOMfI
-
DIQ
54
,
POSLEDNEENAZWANIEIOB_QSNQETWYBORGRE^ESKOJBUKWY

.
w\TOMSLU^AE

OBOZNA^A
-
ETSQ^EREZ
b

.
mY
,
ODNAKO
,
POLXZUEMSQOBOZNA^ENIQMI


PRINQTYMIWGEOMETRIIITEORII
GRUPP
.
lITERATURA
,
POSWQ]ENNAQZOLOTOMUSE^[email protected]^NYHTO^EKZRENIQ
,
NEOBOZRIMA
.
zOLOTOESE^ENIE^ASTOISPOLXZOWALOSXGRE^ESKIMISKULXPTORAMIIARHITEKT
ORAMIIQWNO
OPISYWAETSQW
`
|LEMENTAH
'
|WKLIDA
,
[email protected]
y
z
=
y
+
z
y
.
qSNO
,
^TOWTERMINAH
x
=
y
z
\TAPROPORCIQPEREPISYWAETSQWWIDE
x
=1+
1
x
,
AKAKMYZNAEM
x
=

KAKRAZIQWLQETSQPOLOVITELXNYMKORNEM\TOGOURAWNENIQ
.
pOSMOTREWDLQMNEMO
-
NIKINAFALANGIUKAZATELXNOGOPALXCA
,
\TOURAWNENIEMOVNOPEREPISATXWWIDE
x
2
=1+
x
.
sAMOEZNAMENITOEKLASSI^ESKOEPROIZWEDENIE
{
\TOOPUBLIKOWANNAQW
1507(??)
GODUKNIGA
lUKIpA^OLI
55
`Dedivinaproportione',
[email protected]
59
TABLIC
,
IZGOTOWLENNYEEGOBLIZKIMDRUGOMlEONARDODAwIN^I
.
tRETXQ^ASTXKNIGIpA^OLI
PREDSTAWLQETSOBOJITALXQNSKIJPEREWODKNIGIpXERODELLAfRAN^ESKA
Dequinquecorporibus
regularibus,
[email protected]^INILKOGDAOSLEPINEMOGBOLX[[email protected]
.
sWQZX
ZOLOTOGOSE^ENIQS^ISLAMIfIBONA^^I
,
NEPRERYWNYMIDROBQMIIFILLOTAKSISOMOBSUVDA
-
ITEORIIGRUPP
.
eGOIDEIOKAZALIGLUBO^AJ[EEWLIQNIENAGEOMETRI^[email protected]
-
NE^NYH
,
DISKRETNYHIALGEBRAI^ESKIHGRUPPW
XX
WEKE
.
mNOGOTERMINOWWTEORIIGRUPP
SWQZANOSEGOIMENEM
:
GRUPPAkOKSETERA
,
SISTEMAkOKSETERA
,
\LEMENTkOKSETERA
,
KOKSETEROW
-
[email protected]]IE
,
^ISLOkOKSETERA
,
IT
.
.
52
tERMIN
dergoldeneSchnitt
WESXMAPOZDNEGOPROISHOVDENIQ
,
ONPOQWILSQWgERMANIIW
XIX
WEKE
.
53
uMESTNANEKOTORAQOSTOROVNOSTX
,
TAKKAKWPOLIGRAFII
,
VIWOPISIIARHITEKTUREWYRA
-
VENIE
`
ZOLOTOESE^ENIE
',lasectiond'or,
WZAWISIMOSTIOTKONTEKSTAMOVETOBOZNA^ATX
PO^TI
[email protected]
POLOVITELXNOEWE]ESTWENNOE^ISLO
!
nAPRIMER
,
FRANCUZSKIEKUBISTYISKRENNEWERI
-
,
^TO

=
p
2,
TOJVETO^KIZRENIQPRIDERVIWAETSQNEMECKIJINDUSTRIALXNYJSTANDART
DIN,
W^EMMOVNOUBEDITXSQ
,
RAZGLQDYWAQLISTBUMAGIFORMATA
A4,
[IRINAKOTOROGORAWNA
210
MILLIMETRAM
,
AWYSOTA
210
p
2
MILLIMETROW
.
sDRUGOJSTORONY
,
WTIPOGRAFSKOMDELE
PRINQTOS^ITATX^TO

=8
=
5,
SM
.,
NAPRIMER
,
g
.
gUSMAN
,
oKNIGE
,
m
.,
kNIGA
,1982,
S
.1{112.
54
d
.
|
.
kNUT
,
iSKUSSTWOPROGRAMMIROWANIQ
,
t
.1,
oSNOWNYEALGORITMY
,3-
EIZD
.{
wILXQMS
,
m
.{
sPB
{
kIEW
,2000,
S
.1{712,{
STR
.49,111.
55
lUKApA^OLI
(1445,
bORGOsANsEPOLXKRO
{1515){
KRUPNEJ[IJITALXQNSKIJMATE
-
MATIK
XV
WEKA
.
wMOLODOSTIONRABOTALDOMA[NIMU^ITELEMWrIMEIwENECII
,
AW
1475
GODUWSTUPILWORDENFRANCISKANCEW
.
mONAHIOBRA][email protected]
fra,
OTITALXQNSKOGO
fratello{
BRAT
,
PO\TOMUlUKUpA^OLI^[email protected]
fRA
lUKApA^OLI
.
|TONEME[ALO
EMUPREPODAWATXWUNIWERSITETAHbOLONXI
,
mILANA
,
fLORENCII
,
rIMAInEAPOLQ
.
kROME
`Dedivinaproportione'
W
1494
[email protected]^[email protected]
`Summa
dearithmetica,geometria,proportionietproportionalita',
FAKTI^ESKISWODMATEMATI^ESKIH
ZNANIJEWROPEJSKOGOsREDNEWEKOWXQIwOZROVDENIQ
.
lUKApA^OLINAZYWAETALGEBRU
arte
maggiore
{
wELIKOEiSKUSSTWO
,
^TOOB_QSNQETNAZWANIEKNIGIkARDANO
ArsMagna.
wTO
WREMQMATEMATIKAWiTALIIIgERMANIIBYLATESNEJ[[email protected]
,
PO\TOMUlUKApA^OLIRABOTALWBLIZKOMKONTAKTESWEDU]IMIVIWOPISCAMIISKULX
PTO
-
RAMITOGOWREMENI
.
sOHRANILOSXNESKOLXKOZAME^ATELXNYHPORTRETOWlUKIpA^OLI
,
SAMYJ
ZNAMENITYJIZKOTORYHWYPOLNENLU^[IMITALXQNSKIMHUDOVNIKOM
XV
WEKApXERODELLA
fRAN^ESKA
.
gruppy
:
firstdraught
51
ETSQ
,
NAPRIMER
,
WgLAWE
11
KNIGIkOKSETERA
[Co]
IEGOSTATXE
56
,
IKNIGEpIDO
57
.
iZTEKSTOW
,
NAPISANNYHNEMATEMATIKAMI
,
BOLX[OEWPE^[email protected]
58
.
nA^[email protected]]EGOOB][email protected]
(
SM
.,
NAPRIMER
,[C?],
S
.238{240,
[Ber],
.1,
S
.487{489).
eSLIRAZDELITXREBRAOKTA\DRASWER[INAMI
(


2
;
0
;
0),(0
;


2
;
0),
(0
;
0
;


2
),
WOTNO[ENII

:1,
TOPOLU^IW[IESQ
12
WER[[email protected][INAMIPRAWILXNOGO
IKOSA\DRA
.
tEOREMA
.
C
[email protected]]IE
TO^EK
(

1
;
0
;


)
,
(

;

1
;
0)
,
(0
;

;

1)
[email protected][INYPRA
-
WILXNOGOIKOSA\DRA
.
dOKAZATELXSTWO
.
lEGKOWIDETX
,
^TOPQTXWER[IN
(1
;
0
;
),(
;

1
;
0),(1
;
0
;


),(0
;;

1),
(0
;;
1)
LEVATWODNOJPLOSKOSTI
{
AIMENNO
,
WPLOSKOSTIZADAWAEMOJURAWNENIEM
x
+
y


=0.
[email protected]\TIHPQTIWER[IN
,
ATAKVEMEVDU
(
;
1
;
0)
[email protected]
2.
tAKKAKRASSTOQNIEMEVDUDWUMQTO^KAMIPRICENTRALXNOJINWERSII
NEMENQETSQ
,
TOPOWOROTNA
2

5
WOKRUGOSI
,
PROHODQ]EJ^EREZ
(
;
1
;
0)
(

;

1
;
0)
PEREWODIT
[email protected]
12
TO^EKWSEBQ
.
pOSKOLXKUGRUPPASIMMETRIJ\TIH
12
WER[IN
,
KROMETOGO
,
SODERVITWRA]ENIEWOKRUGOSI
,
[email protected]]EJCENTRYTREUGOLXNIKOW
(1
;;
0),(0
;
1
;
),(
;
0
;
1)
(

1
;

;
0),(0
;

1
;


),(

;
0
;

1)
3
OTRAVENIQOTNOSITELXNOKOORDINATNYHPLOSKOSTEJ
,
TOGRUPPASIMMETRIJ\TOGOMNOGOGRANNIKATRANZITIWNANA
FLAGAH
:
.
E
.
NABORAH
,
SOSTOQ
-
]IHIZWER[INY
,
SODERVA]EGO\TUWER[INUREBRAISODERVA]EJ\TOREBROGRANI
.
nO\TOI
ZNA^IT
,
^TOMNOGOGRANNIKPRAWILXNYJ
.
[email protected]]EGOREZULXTATA
.
|TOMOVNOSDELATX
TO^NOTAKVE
,
KAKWDOKAZATELXSTWEPREDYDU]EJTEOREMY
.
tEOREMA
.
C
[email protected]]IE
TO^EK
(

1
;

1
;

1)
,
(

;

;
0)
,
(0
;

;


)
,
(

;
0
;


)
[email protected]
WER[INYPRAWILXNOGODODEKA\DRA
.
zABAWNOIPOU^ITELXNO
,
^TO
8
IZWER[INDODEKA\DRA
,
AIMENNO
,(

1
;

1
;

1),
[email protected]
-
SQWER[INAMIKUBA
{
BUDETLI\TOSTOLXVEO^EWIDNYMGEOMETRI^ESKIBEZQWNOGOZADANIQ
KOORDINATWER[IN
?
tEPERXMYPROWEDEMANALOGI^NYE
(
NO
,
KONE^NO
,
BOLEESLOVNYE
!)
KONSTRUKCIIW^ETY
-
REHMERNOMPROSTRANSTWE
.
pOLNAQKLASSIFIKACIQPRAWILXNYHMNOGOGRANNIKOWW
n
-
MERNOM
PROSTRANSTWEBYLAPOLU^ENA{LEFLI
59
W
1850
GODU
.
kAKMYUVEZNAEM
,
WOWSEHRAZMERNO
-
STQH
n

3
SU]ESTWUETPOKRAJNEJMERE
3
PRAWILXNYHMNOGOGRANNIKA
:
SIMPLEKSSWER[INAMI
e
1
;:::;e
n
+1
,
GIPERKUBSWER[INAMI

e
1

:::

e
n
IGIPEROKTA\DRSWER[INAMI

e
i
.
kROME
TOGO
,
WRAZMERNOSTI
3
SU]ESTWUETE]EROWNODWA
[email protected]^ITELXNYH
PRAWILXNYHMNOGOGRAN
-
NIKA
:
DODEKA\DRIIKOSA\DR
.
oKAZYWAETSQ
,
WRAZMERNOSTI
4
[email protected]^ITELXNYHMNOGOGRANNI
-
KOWROWNO
3.
oPISYWATXPRAWILXNYJMNOGOGRANNIKPRO]EWSEGOEGO
SIMWOLOM{LEFLI
f
p;q;r;:::
g
.
sIMWOL{[email protected]]IMOBRAZOM
.
oPREDELIM
p
KAK^ISLOSTORON
2-
MERNOJGRANI
.
[email protected]
-
TOWER[INU
P
MNOGOGRANNIKA

IRASSMOTRIMWSEWER[INY
,
SOEDINENNYESNEJREBROM
.
wSE\TIWER[INYLEVATWODNOJ
GIPERPLOSKOSTI
H
(
ORTOGONALXNOJKOSI
,
[email protected]]EJCENTRMNOGOGRANNIKASWER[INOJ
P
)
ISE^ENIE

\
H
MNOGOGRANNIKA

[email protected]
H
PREDSTAWLQETSOBOJPRAWILXNYJMNO
-
GOGRANNIKNA
1
MENX[EJRAZMERNOSTI
.
tAKKAKWSEWER[INY

SOCIOLOGI^ESKIODINAKOWY
,
TO
TIP\TOGOMNOGOGRANNIKANEZAWISITOTWYBORAWER[INY
P
.
oPREDELIMTEPERX
q
KAK^ISLO
STORON
2-
MERNOJGRANIMNOGOGRANNIKA

\
H
.
pRODOLVAQDEJSTWOWATXTAKIMOBRAZOMDOTEH
POR
,
POKAPOLU^[email protected]]EESQSE^[email protected]
,
MYPOLU^IMSIMWOL{LEFLI
.
tAKIMOBRAZOM
,
SIMWOL{LEFLI
n
-
MERNOGOMNOGOGRANNIKASOSTOITIZ
n

1
CELOGO^ISLA

3.
tEOREMA{LEFLI
.
sTO^[email protected]
IS^[email protected]@]IMSPISKOM
:
pRI
n
=2
PRAWILXNYJ
m
-
UGOLXNIK
f
m
g
[email protected]
m

3
.
pRI
n
=3
TETRA\DR
f
3
;
3
g
,
OKTA\DR
f
3
;
4
g
,
KUB
f
4
;
3
g
,
IKOSA\DR
f
3
;
5
g
,
DODEKA\DR
f
5
;
3
g
.
56
H.M.S.Coxeter,Thegoldenratio,phyllotaxisandWytho 'sga
me.{ScriptaMath.,1953,
vol.19,p.135{143.
57
d
.
pIDO
,
gEOMETRIQIISKUSSTWO
,
m
.,
mIR
,1979,
S
.1{332.
58
[email protected]
,
mODULER
,
WKNIGEaRHITEKTURA
XX
WEKA
,
m
.,
pROGRESS
,1970,
S
.233{257.
59
{LEFLI
52
nikolajwawilow
pRI
n
=4
MNOGOGRANNIKI
f
3
;
3
;
3
g
,
f
3
;
3
;
4
g
,
f
4
;
3
;
3
g
,
f
3
;
4
;
3
g
,
f
3
;
3
;
5
g
,
f
5
;
3
;
3
g
.
pRI
n

5
SIMPLEKS
f
3
;:::;
3
g
,
GIPEROKTA\DR
f
3
;:::;
3
;
4
g
,
GIPERKUB
f
4
;
3
;:::;
3
g
.
oBRATNO
,
DLQKAVDOGOIZ\TIHSIMWOLOWSU]ESTWUETPRAWILXNYJMNOGOGRANNIKSTAKIM
SIMWOLOM
.
wDALXNEJ[EMMNOGOGRANNIKI
f
3
;
4
;
3
g
,
f
3
;
3
;
5
g
f
5
;
3
;
3
g
BUDUTNAZYWATXSQ
,
SOOTWETSTWEN
-
NO
,(
PRAWILXNYMI
)24-
KLETO^NIKOM
,600-
KLETO^NIKOMI
120-
KLETO^NIKOM
.
nA^NEMSPOSTROE
-
[email protected]^ITELXNYH^ETYREHMERNYHMNOGOGRANNIKOW
,
f
3
;
4
;
3
g
.
wKA^E
-
STWEEGOWER[INMOVNOWZQTX
24
WER[INYWIDA

e
i

e
j
,1

i
=
j

4.
gRUPPASIMMETRIJ
\TOGOMNOGOGRANNIKAOBOZNA^AETSQ
W
(
F
4
)
INAZYWAETSQ
GRUPPOJwEJLQTIPA
F
4
.
kAKUVE
BYLOUPOMQNUTO
,
PORQDOK\TOJGRUPPYRAWEN
1152
IONASODERVITOKTA\[email protected]
W
(
B
4
)=Oct
4
PORQDKA
384.
oDNAKONAMBUDETUDOBNEEIZMENITXMAS[[email protected]]IE
24
TO^KI
(

;

;
0
;
0),(

;
0
;

;
0),(

;
0
;
0
;


),(0
;

;

;
0),(0
;

;
0
;


),(0
;
0
;

;


).
rAZDELIMTEPERX
96
REBER\TOGOMNOGOGRANNIKAWOTNO[ENII

:1
IDOBAWIMKNIM
16
WER[IN
GIPERKUBAI
8
WER[INGIPEROKTA\DRA
.
pOLU^IW[IESQ
120
TO^EKBUDUTWER[INAMIPRAWILX
-
NOGOMNOGOGRANNIKATIPA
f
3
;
3
;
5
g
.
tEOREMA
.
C
[email protected]]IE
TO^EK
:

TO^EK
(

1
;

1
;

1
;

1)
,

TO^EK
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

2
;
0
;
0
;
0)
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,

TO^EK
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

1
;

;

;
0)
^ETNYMI
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,
[email protected][INYPRAWILXNOGOMNOGOGRANNIKA
f
3
;
3
;
5
g
.
gRUPPA
W
(
H
4
)
SIMMETRIJ\TOGOMNOGOGRANNIKANAZYWAETSQ
GRUPPOJwEJLQTIPA
H
4
.
pORQDOK\TOJGRUPPYRAWEN
14400.
eEMOVNOISTOLKOWATXIKAKGRUPPUSIMMETRIJPRAWILX
-
NOGO
120-
KLETO^NIKA
.
tEOREMA
.
C
[email protected]]IE
TO^EK
:

TO^KIPOLU^[email protected]]IHSQIZ
(

2
;

2
;
0
;
0)
,
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,

TO^KI
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

1
;

1
;

1
;

p
5)
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,

TO^KI
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

;

;

;


2
)
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,

TO^KI
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

;

;

;


2
)
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,

TO^EK
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

1
;


2
;


2
;
0)
^ETNYMI
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,

TO^KI
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

p
5
;

;

;
0)
^ETNYMI
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,

TO^KI
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
(

1
;

;

;

2)
^ETNYMI
PERESTANOWKAMIKOORDINAT
,
[email protected][INYPRAWILXNOGOMNOGOGRANNIKA
f
5
;
3
;
3
g
.
sPRAWILXNYM
600-
KLETO^NIKOMSWQZANAE[EODNASOWER[ENNOZAME^ATELXNAQGRUPPA
,
NA
-
ZYWAEMAQ
GRUPPOJIKOSIANOW
BINARNOJGRUPPOJIKOSA\DRA
.
tO^NEE
,120
EGOWER[IN
[email protected]^NOGOUMNOVENIQK
WATERNIONOW
.
aIMENNO
,
RAZDELIWWSEKOORDINATYWER[INNA
2,
MYPOLU^IM
120
KWATERNIONOWNORMY
1.
lEGKOPROWERITX
(
MYDELAEM\TOWgLAWE
V),
^TO\[email protected]
-
[email protected]
,
KOTORAQOBY^NOOBOZNA^AETSQ^EREZ
2
:A
5
.
hOTQPORQDOK\TOJGRUPPYRAWEN
120,
ONANEIZOMORFNANI
S
5
,
I
=
A
5

C
2
.
wSAMOMDELE
,
KAKWGRUPPE
S
5
,
TAKIWGRUPPE
I
ESTXPODGRUPPA
A
5
,
WTOWREMQKAKUGRUPPYIKOSIANOW
2
:A
5
ESTX
FAKTOR
-
GRUPPA
TIPA
A
5
,
NONETPODGRUPPYTAKOGOTIPA
!
sTO^KIZRENIQTEORIIGRUPP
2
:A
5
QWLQETSQ
NERAS]EP
-
[email protected]]IMSQRAS[IRENIEM
A
5
PRIPOMO]I
C
2
.
[email protected]
BINARNOJGRUPPOJ
IKOSA\DRA
.
x
9.
gRUPPYAWTOMORFIZMOW
Manyoftheexamplesgivenarenotstatedprecisely.The avora
nd
potentialofapplicationsseemmoreimportantinthepresentco
ntextthan
docomprehensivelists.
gruppy
:
firstdraught
53
WilliamM.Kantor
60
rOLXTEORIIGRUPPWMATEMATIKEOPREDELQETSQTEM
^TOWSEBIEKTIWNYEPRE
-
[email protected]
[email protected]][email protected]\TOMMNOVESTWE
STRUKTURU
[email protected]
sEJ^ASMYPERE^ISLIMNEKOTORYEIZNAIBOLEE
^ASTOWSTRE^[email protected]]IHSQTIPOWSTRUKTURWMESTESTRADICIONNYMI
NAZWANIQMI
[email protected]]IHIHPREOBRAZOWANIJ
nEKOTORYEIZTAKIHGRUPPAWTOMORFIZMOW
[email protected]]EMKURSE
IZU^[email protected]
ALGEBRAI^ESKAQGEOMETRIQ
GEOMETRIQ
TOPOLOGIQ
ANALIZ
TEORIQMERY
KOMBI
-
NATORIKAIT
D

gRUPPAAWTOMORFIZMOWGRUPPY
.
bIEKCIQ
GRUPPY
G
NASEBQNAZY
-
WAETSQ
AWTOMORFIZMOM
ESLI
(
gh
)=
(
g
)
(
h
)
[email protected]
g;h
2
G
lEGKO
PROWERITX
^TOMNOVESTWO
Aut(
G
)
WSEHAWTOMORFIZMOWGRUPPY
G
NASEBQQW
-
LQETSQGRUPPOJOTNOSITELXNOKOMPOZICII
wgLAWA
4
MYPRIWEDEMNEKOTORYE
REZULXTATY
[email protected]]IESTRUKTURU\TOJGRUPPY

gRUPPAAWTOMORFIZMOWKOLXCA
.
bIEKCIQ
KOLXCA
R
NASEBQNAZYWA
-
ETSQ
AWTOMORFIZMOM
ESLI
(
x
+
y
)=
(
x
)+
(
y
)
I
(
xy
)=
(
x
)
(
y
)
DLQ
[email protected]
x;y
2
R
sNOWAMNOVESTWO
Aut(
R
)
WSEHAWTOMORFIZMOWKOLXCA
R
NA
SEBQQWLQETSQGRUPPOJOTNOSITELXNOKOMPOZICII

gRUPPAgALUA
pUSTX
L=K
{
RAS[IRENIEPOLEJ
(
\TATRADICIONNAQZAPISX
NEIMEETNI^EGOOB]EGOSFAKTORIZACIEJ
APROSTOUKAZYWAET
^TO
K
RASSMAT
-
RIWAETSQKAKPODPOLEW
).
pODGRUPPA
Aut
K
(
)
WGRUPPE
Aut(
),
SOSTOQ]AQ
IZWSEHAWTOMORFIZMOW
OGRANI^ENIEKOTORYHNA
K
TOVDESTWENNO
NAZYWAET
-
SQ
GRUPPOJgALUA
RAS[IRENIQ
L=K
IOBOZNA^AETSQ
Gal(
L=K
).
pRI\TOM
DEJSTWIE\LEMENTOWGRUPPYgALUAOBY^NOZAPISYWAETSQ\KSPON
ENCIALXNO
T
E
WMESTO
g
(
x
)
PI[UT
x
g
tAKIMOBRAZOM
Gal(
L=K
)=
f
g
2
Aut(
)
j8
x
2
K;x
g
=
x
g
wDEJSTWITELXNOSTI
TERMIN
GRUPPAgALUA
OBY^NOREZERWIRUETSQDLQSLU^AQ
KOGDARAS[IRENIE
L=K
ALGEBRAI^ESKOE
ILIDAVETOLXKODLQSLU^AQ
KOGDA
L=K
QWLQETSQ
RAS[IRENIEMgALUA
INYMISLOWAMI
KOGDA
K
SOWPADAETS
POLEMINWARIANTOWGRUPPY
Gal(
L=K
):
K
=
f
x
2
j8
g
2
G;x
g
=
x
g
wPROTIWOPOLOVNOMSLU^AE
^ISTOTRANSCENDENTNOGO
RAS[IRENIQGRUPPAAW
-
TOMORFIZMOWNAZYWAETSQGRUPPOJkREMONA

gRUPPAkREMONA
61
pUSTX
K
(
x
1
;:::;x
n
){
POLERACIONALXNYHDROBEJ
OT
n
PEREMENNYHNADPOLEM
K
gRUPPAAWTOMORFIZMOW
Aut
K
K
(
x
1
;:::;x
n
)
NAZYWAETSQ
GRUPPOJkREMONA
|TAGRUPPAWOZNIKAETWALGEBRAI^ESKOJGEO
-
METRIIKAKGRUPPABIRACIONALXNYHAWTOMORFIZMOW
n
-
MERNOGOAFFINNOGO
(
ILI
PROEKTIWNOGO
)
PROSTRANSTWA
60
W.M.Kantor,Someconsequencesoftheclassi cationof nite
simplegroups.{Contemp.
Math.,1985,vol.45,p.159{173.
61
lUIDVIkREMONA
(1830,
pAWIQ
{1903){
OSNOWOPOLOVNIKITALXQNSKOJGEOMETRI^E
-
SKOJ[KOLY
.
bYLPROFESSOROMbOLONSKOGOUNIWERSITETAImILANSKOGOpOLITEHNI^ESKOGO
iNSTITUTA
.
oSNOWNYEISSLEDOWANIQkREMONAOTNOSQTSQKPROEKTIWNOJGEOMETRII
.
54
nikolajwawilow

gRUPPALINEJNYHAWTOMORFIZMOW
.
pUSTX
V
{
WEKTORNOEPROSTRAN
-
STWONADPOLEM
K
oTOBRAVENIE
V
!
V
NAZYWAETSQ
LINEJNYM
ESLI
(
u
+
v
)=
(
u
)+
(
v
)
I
(
u
)=
'
(
u
)
[email protected]
u;x
2
V
I

2
K
lI
-
NEJNYEOTOBRAVENIQ
V
[email protected]]E
LINEJNYMIOPERATORAMI
ABIEKTIWNYELINEJNYEOTOBRAVENIQ
{
OBRATIMYMI
LINEJNYMIOPERATORA
-
MI
mNOVESTWO
GL(
V
)=Aut(
V
)
WSEHOBRATIMYHLINEJNYHOPERATOROWNA
V
NAZYWAETSQ
POLNOJLINEJNOJGRUPPOJ
PROSTRANSTWA
V

gRUPPAAFFINNYHAWTOMORFIZMOW
.
pUSTXSNOWA
V
{
WEKTORNOEPRO
-
STRANSTWONADPOLEM
K
oTOBRAVENIE
V
!
V
NAZYWAETSQ
AFFINNYM
ESLIPREOBRAZOWANIE
v
7!
(
v
)

(0)
LINEJNO
tAKIMOBRAZOM
AFFINNOEOTOB
-
RAVENIEQWLQETSQKOMPOZICIEJLINEJNOGOOTOBRAVENIQITRAN
SLQCIINAWEKTOR
u
=
(0).
qSNO
^TODLQOBRATIMOSTIAFFINNOGOPREOBRAZOWANIQNEOBHODIMOI
DOSTATO^NO
^TOBYEGOLINEJNAQ^ASTXBYLAOBRATIMA
mNOVESTWO
A (
V
)
WSEH
OBRATIMYHAFFINNYHPREOBRAZOWANIJNA
V
NAZYWAETSQ
AFFINNOJGRUPPOJ
PROSTRANSTWA
V

gRUPPAKOLLINEACIJ
.
pUSTX
KAKIWY[E
V
{
WEKTORNOEPROSTRANSTWO
NADPOLEM
K
oTOBRAVENIE
NAZYWAETSQ
POLULINEJNYM
ESLIONOADDITIW
-
NO
T
E
(
u
+
v
)=
(
u
)+
(
v
)
I
KROMETOGO
SU]ESTWUETTAKOJAWTOMORFIZM

2
Aut(
K
),
^TO
(
u
)=

(

)
(
u
)
[email protected]
u
2
V
I

2
K
bIEKTIWNOE
POLULINEJNOEOTOBRAVENIE
V
NASEBQNAZYWAETSQ
KOLLINEACIEJ
mNOVESTWO
L(
V
)
WSEHKOLLINEACIJPROSTRANSTWA
V
OBRAZUETGRUPPU
[email protected]
GRUP
-
POJKOLLINEACIJPROSTRANSTWA
V

62
rUDOLXFlIP[IC
(14.05.1832,
kENIGSBERG
{07.10.1903,
bONN
){
ZNAMENITYJNEMECKIJ
MATEMATIK
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORII^ISEL
,
TEORIIDIFFERENCIALXNYH
URAWNENIJ
,
TEORIIPOTENCIALA
,
MATEMATI^ESKOJFIZIKEITEORIIRQDOWfURXE
.
pOSLEU^EBY
WkENIGSBERGEIbERLINEIKRATKOWREMENNOJRABOTYWbRESLAU
(
wROCLAW
)
W
1864
GODUlIP
-
[ICSTALPROFESSOROMWbONNE
.
rABOTYlIP[ICAWTEORII^ISELSWQZANYGLAWNYMOBRAZOM
STEORIEJKWADRATI^NYHFORM
.
wNA[EMKURSENESKOLXKORAZWSTRE^AETSQ
USLOWIElIP
-
[ICA
IOPREDELQEMYE\TIMUSLOWIEMLIP[ICEWYIBILIP[ICEWYOTOBRAVENIQMETRI^ESKIH
PROSTRANSTW
.
gruppy
:
firstdraught
55
;
2
R
+
TAKIE
^TO
d
(
x;y
)

d
(
(
x
)
;'
(
y
))

d
(
x;y
)
[email protected]
-
^EK
x;y
2
X
kAKOBY^NO
MNOVESTWOWSEHBILIP[ICEWYHBIEKCIJ
X
NASEBQ
OBRAZUETGRUPPUOTNOSITELXNOKOMPOZICII

gRUPPAIZOTONNYHPREOBRAZOWANIJ
.
pUSTXTEPERX
X
{
^ASTI^NOUPO
-
RQDO^ENNOEMNOVESTWOSOTNO[ENIEMPORQDKA

bIEKCIQ
MNOVESTWA
X
NASE
-
BQNAZYWAETSQ
IZOTONNOJ
ESLIONASOHRANQETPORQDOK
T
E
[email protected]
x;y
2
X
IZTOGO
^TO
x

y
WYTEKAET
^TO
(
x
)

(
y
).
wSEIZOTONNYEBIEKCIIMNO
-
VESTWA
X
[email protected]
[email protected]
GRUPPOJAWTOMORFIZMOW
^ASTI^NOUPORQDO^ENNNOGOMNOVESTWA
X
IOBOZNA^AEMOJ
Aut(
X;

).
zADA^A
.
bIEKCIQ
NAZYWAETSQ
ANTITONNOJ
ESLIONAOBRA]AETPORQDOK
T
E
IZ
x

y
WYTEKAET
^TO
(
x
)

(
y
).
[email protected]
ANTIAWTOMORFIZMAMI
^ASTI^NOUPORQDO^ENNOGOMNOVESTWA
X
bIEKCIQNA
-
ZYWAETSQ
MONOTONNOJ
ESLIONAIZOTONNAILIANTITONNA
uBEDITESX
^TOWSE
MONOTONNYEBIEKCII
X
[email protected]

gRUPPAGOMEOMORFIZMOW
.
pUSTX
X
{
TOPOLOGI^ESKOEPROSTRANSTWO
bI
-
EKCIQ
NASEBQNAZYWAETSQ
GOMEOMORFIZMOM
ESLI
ODNOWREMENNOQWLQETSQ
NEPRERYWNOJIOTKRYTOJ
(
T
E
KAKPROOBRAZ
TAKIOBRAZOTKRYTOGOMNOVESTWA
OTKRYTY
).
gRUPPA
Aut(
X
)
WSEHGOMEOMORFIZMOW
X
NASEBQNAZYWAETSQGRUPPOJ
AWTOMORFIZMOWTOPOLOGI^ESKOGOPROSTRANSTWA
X

56
nikolajwawilow
1.
gRUPPA
GL(2
;K
).
pUSTX
K
{
NEKOTOROEPOLE
NAPRIMER
K
=
Q
R
C
wWEDEMOPREDELITELXMATRICY
x
2
M
(2
;K
)
POSREDSTWOM
det

ab
cd

=
ad

bc:
kAKMYUZNAEMWgLAWE
IV,
OPREDELITELXQWLQETSQGOMOMORFIZMOM
T
E
DLQ
[email protected]
det(
xy
)=det(
x
)det(
y
).
uPRAVNENIE
.
uBEDITESXW\TOMNEPOSREDSTWENNODLQ
n
=2.
pROWERXTE
^TO

ab
cd


1
=
1
ad

bc

d

b

ca


tEMSAMYM
POLNAQLINEJNAQGRUPPA
STEPENI
2
NAD
K
MOVETBYTX
OPREDELENAKAK
GL(2
;K
)=

ab
cd





ad

bc
=0

|TOOPREDELENIEOBOB]AETSQNAMATRICYNADKOMMUTATIWNYMIK
OLXCAMI
ODNAKOW\TOMSLU^AEUSLOWIQ
det(
x
)
=0
NEDOSTATO^NO
NUVNOTREBOWATX
^TO
-
BY
det(
x
)
BYLOBRATIMYM\LEMENTOMKOLXCA
R
dLQPROIZWOLXNYHKOLEC
c1
GRUPPA
GL(
n;R
)
WOOB]ENEMOVETBYTXOHARAKTERIZOWANAWTERMINAHOPREDE
-
LITELQIOPREDELQETSQNEPOSREDSTWENNOKAKGRUPPAWSEHOBRAT
IMYH\LEMENTOW
MATRI^NOGOKOLXCA
M
(
n;R
).

sPECIALXNAQLINEJNAQGRUPPA
SOSTOITIZWSEHMATRICSOPREDELITELEM
1.
tAKIMOBRAZOM
SL(2
;K
)=

ab
cd





ad

bc
=1

wSLU^AE
K
=
R
GRUPPA
SL(
n;
R
)
SOSTOITIZLINEJNYHPREOBRAZOWANIJPRO
-
STRANSTWA
R
n
[email protected]]IH
ORIENTIROWANNYJ
OB_EM

~ASTOPRIHODITSQRASSMATRIWATXGRUPPUPREOBRAZOWANIJ
R
n
[email protected]
-
]IHOB_EM
NO
[email protected]][email protected]
SL

(2
;K
)=

ab
cd





ad

bc
=

1

2.
nEKOTORYEWAVNEJ[IEPODGRUPPY
.
aWOTE]ENESKOLXKOPRIMEROW
MATRI^NYHGRUPP
(
PROWERXTE
^TOWKAVDOMIZ\TIHPRIMEROWPROIZWEDENIE
DWUHMATRICUKAZANNOGOWIDA
[email protected]
VEWID
!)

gRUPPADIAGONALXNYHMATRIC
D
(2
;K
)=

a
0
0
d





a;d
2
K



aFFINNAQGRUPPA
A (1
;K
)=

ab
01





a
2
K

;b
2
K

gruppy
:
firstdraught
57
uBEDITESX
^TO\TAGRUPPAIZOMORFNAGRUPPE
ax
+
b
POSTROENNOJW
x
1.

gRUPPAWERHNIHTREUGOLXNYHMATRIC
B
(2
;K
)=

ab
0
d





a;d
2
K

;b
2
K


gRUPPANIVNIHTREUGOLXNYHMATRIC
B

(2
;K
)=

a
0
cd





a;d
2
K

;c
2
K

zAME^ANIE
.
bUKWA
`B'
WNAZWANII\TIHGRUPPQWLQETSQSOKRA]ENIEMOT
bORELEWSKAQ
63
PODGRUPPA
(
Borelsubgroup
).
gRUPPA
B
(2
;K
)
NAZYWAETSQSTANDARTNOJBORELEWSKOJPOD
-
GRUPPOJ
.
gRUPPANIVNIHTREUGOLXNYHMATRIC
B

(2
;K
)
SOWPADAETSGRUPPOJWERHNIHTRE
-
UGOLXNYHMATRIC
B
(2
;K
)
DLQTAKOGOPORQDKAINDEKSOW
1
;
2,
^TO
2

1.
pO\TOMUWOMNOGIH
KNIGAHIMENNOGRUPPA
B

(
n;K
)
NAZYWAETSQSTANDARTNOJBORELEWSKOJPODGRUPPOJ
.
w^AST
-
NOSTI
,
GRUPPY
B
(2
;K
)
B

(2
;K
)
SOPRQVENYW
GL(2
;K
).
tEMNEMENEE
,
NA
`
SAMOMDELE
'
.
E
.
WTEORETIKO
-
MNOVESTWENNOMSMYSLE
,
KAKPODGRUPPYW
GL(2
;K
),
\TIGRUPPYRAZLI^NY
.

gRUPPAWERHNIHUNITREUGOLXNYHMATRIC
(2
;K
)=

1
b
01





b
2
K


gRUPPANIVNIHUNITREUGOLXNYHMATRIC

(2
;K
)=

10
c
1





c
2
K


gRUPPAMONOMIALXNYHMATRIC
N
(2
;K
)=

a
0
0
d





a;d
2
K


[

0
a
d
0





a;d
2
K



gRUPPACIRKULQNTOW
A
(2
;K
)=

ab
ba





a;b
2
K;a
2

b
2
=0


gRUPPAANTICIRKULQNTOW
A

(2
;K
)=

ab

ba





a;b
2
K;a
2
+
b
2
=0

3.
kLASSI^ESKIEGRUPPY
.
pUSTX
A
{
[email protected]
a
7!
a
T
E
ANTIAWTOMORFIZMOMPORQDKA
2:
a
+
b
=
a
+
b
ab
=
b
a
a
=
a
oPREDELIM
SIMPLEKTI^[email protected]
KAK
Sp(2
;K
)=
(

ab
cd

2
GL(2
;A
)





ab
cd


1
=

d

b

c
a

)
63
aRMANbORELX
{
ZAME^ATELXNYJ[WEJCARSKIJMATEMATIK
,
^LENbURBAKIPOSLEDNIE
...
[email protected]]IJWpRINSTONE
.
oSNOWNYERABOTYbORELQOTNOSQTSQKALGEBREITOPOLOGII
,
[email protected]^EREDXKTEORIIGRUPPlIIALGEBRAI^ESKIHGRUPP
.
w^[email protected]
BORELEWSKIEPODGRUPPY
,
BORELEWSKIEPODALGEBRYIT
.
.
nARUSSKIJQZYKPEREWEDENONESKOLX
-
KOKNIGbORELQ
,
WTOM^ISLEa
.
bORELX
,
lINEJNYEALGEBRAI^ESKIEGRUPPY
.{
nEPUTATXS
FRANCUZSKIMANALISTOMNA^ALA
XX
WEKA|MILEMbORELEM
.
58
nikolajwawilow
I
[email protected]
KAK
O(2
;K
)=
(

ab
cd

2
GL(2
;A
)





ab
cd


1
=

d
b
c
a

)
pROWERXTE
^TO\[email protected]
GL(2
;A
).
wDALXNEJ[EMMYPRIMENQEM\[email protected]
LU^[email protected]
KOGDA
R
=
M
(
n;A
)
QWLQETSQKOLXCOMMATRICNADKOMMUTATIWNYMKOLXCOM
A
WKA^[email protected]
R
RASSMATRIWAETSQTRANSPONIROWANIE
x
7!
x
t
zAME
-
TIM
^TOKOMMUTATIWNOSTXNUVNAIMENNODLQTOGO
^TOBYGARANTIROWATX
^TO
[email protected]
w\TOMSLU^AEURAWNENIQ
OPREDELQ
-
@]IE
Sp(2
;R
)
I
O(2
;R
),
PREWRA][email protected]

ab
cd

0
e

e
0

ab
cd

t
=

0
e

e
0

ILI
SOOTWETSTWENNO
W

ab
cd

0
e
e
0

ab
cd

t
=

0
e
e
0

TAK^TO\[email protected]
(
STO^[email protected]
)
S
RAS]EPIMYMIKLASSI^ESKIMIGRUPPAMI
KOTORYEMYRASSMATRIWAEMW
GLAWAH
POSWQ]ENNYHLINEJNOJALGEBRE
4.
kONE^NYELINEJNYEGRUPPY
.
mNOGIEWAVNYEGRUPPY
(
NAPRIMER
SWO
-
BODNYEGRUPPYI
WSE
KONE^NYEGRUPPY
)
[email protected]
KAKGRUPPYMATRICNADKOMMUTATIWNYMIKOLXCAMI
W^ASTNOSTI
NADPOLQMI
wOTNESKOLXKOPRIMEROW

pUSTX
R
=
Z
=m
Z
gRUPPA


1
x
01

;x
2
Z
=m
Z

IZOMORFNAGRUPPEDI\DRA

[email protected]]AQGRUPPA
MATRIC
W
SL(2
C
)


10
01



01

10



0
i
i
0



i
0
0

i


fIZIKIOBY^[email protected]OLXNIKA
S
3

=
D
3
[email protected]][email protected]
GRUPPUMATRICW
GL(2
R
)


10
01

1
2

1

3

3

1

1
2


1

3

3

1

(
[email protected]
TAK^TOW\TOJGRUPPEDEJSTWITELXNO
6
\LE
-
MENTOW
).
sOPRQVENIEPOZWOLQETSDELATXWSEKO\FFICIENTYMATRICRACI
ONALX
-
NYMI
T
E
WLOVITX
S
3
W
GL(2
Q
):


10
01

1
2

1

1

3

1

1
2


1

1

3

1

gruppy
:
firstdraught
59
nEBOLX[OEDOPOLNITELXNOEUSILIEPOZWOLQETREALIZOWATX
S
3
UVEKAKPODGRUP
-
PU
GL(2
Z
):

10
01


01
10


10

1

1


01

1

1



1

1
10



1

1
01

pROWERXTE
^TO\TIGRUPPYDEJSTWITELXNOSOPRQVENYNAD
Q
IWDUMAJTESX
^TO
BY\TOMOGLOOZNA^ATXSTO^KIZRENIQPOLEJHARAKTERISTIKI
2.
x
11.
gRUPPYDWIVENIJ
pOZNAMENITOMUTEZISUfELIKSAkLEJNA
64
,
GEOMETRIQESTXTEORIQGRUPP
65
.
dWIVENIQ
,
PE
-
RENOSY
,
WRA]ENIQ
,
SOBSTWENNYEWRA]ENIQ
(
.
E
.
WRA]ENIQ
,
[email protected]][email protected]
)
OBY^
-
NOJ\[email protected]
(
KOMPOZICIQDWUHPERENOSOWQWLQETSQPERENOSOM
,
TOVDESTWENNOEPREOBRAZOWANIEQWLQETSQPERENOSOM
,etc.).
1.
oRTOGONALXNAQGRUPPA
.
pUSTXWNA^ALE
K
{
PROIZWOLXNOEPOLE
,
WDALXNEJ[EMMY
BUDEM
,
KAKPRAWILO
,
PREDPOLAGATX
,
^TO
K
=
R
.
zAFIKSIRUEM
SIMMETRI^[email protected]
MATRICU
f
2
M
(
n;R
),
INYMISLOWAMI
,
MYPREDPOLAGAEM
,
^TOMATRICA
f
SOWPADAETSOSWOEJTRANSPO
-
NIROWANNOJ
,
f
=
f
.
sMATRICEJ
f
MOVNOSWQZATXDWEGRUPPY
,
AIMENNO
,
[email protected]
GRUPPU
O
(
n;K;f
)=
f
g
2
GL(
n;K
)
j
gfg
=
f
g
;
PROWERXTE
,
^TO\TODEJSTWITELXNOGRUPPA
!
rE[ENIE
:(
hg
)
=
g
h
(
g

1
)
=(
g
)

1
.
kROME
TOGO
,
^ASTORASSMATRIWAETSQ
SPECIALXNAQORTOGONALXNAQGRUPPA
SO(
n;K;f
)=
f
g
2
SL(
n;K
)
j
gfg
=
f
g
=
O
(
n;K;f
)
\
SL(
n;K
)
:
pRI\TOMKAKPRAWILOPREDPOLAGAETSQ
,
^TOMATRICA
f
=(
f
ij
)
SAMANEWYROVDENA
,
INYMI
SLOWAMI
det(
f
)
=0.
[email protected]
-
STRANSTWA
V
=
K
n
SOSKALQRNYMPROIZWEDENIEM
,
KOTOROEZADAETSQNABAZISE
e
1
;:::;e
n
PRO
-
STRANSTWA
K
n
POSREDSTWOM
B
(
e
i
;e
j
)=
f
ij
.
kAKMYUZNAEMW
3-
MSEMESTRE
,
WSLU^AE
K
=
R
WSQKOE
n
-
MERNOEPROSTRANSTWOSNEWYROVDENNYMSKALQRNYMPROIZWEDENIEMIZOMETRI^NO
-
NOODNOMU
IZPROSTRANSTW
R
p;q
,
p
+
q
=
n
,
DLQKOTOROGO
f
=

e
p
0
0

e
q

(
\TOUTWERVDENIEWYTEKAETIZTEOREMYlAGRANVAIZAKONAINERCIIsILXWESTRA
).
iNYMI
SLOWAMI
,
W
R
p;q
SKALQRNOEPROIZWEDENIEDWUHWEKTOROW
x
=(
x
1
;:::;x
n
)
y
=(
y
1
;:::;y
n
)
OPREDELQETSQPOSREDSTWOM
B
(
x;y
)=
x
1
+
:::x
p
y
p

x
p
+1
y
p
+1

:::

x
n
y
n
:
oRTOGONALXNAQGRUPPAPROSTRANSTWA
R
p;q
OBOZNA^AETSQ^EREZ
O
(
p;q;
R
).
oNASOSTOITIZWSEH
MATRIC
,
DLQKOTORYH
O
(
p;q;
R
)=

g
2
GL(
n;K
)




g

e
p
0
0

e
q

g
=

e
p
0
0

e
q

wSLU^AE
q
=0
PROSTRANSTWO
,
R
n
NAZYWAETSQ
\WKLIDOWYM
.
w\TOMSLU^AEORTOGONALXNAQ
GRUPPAOBOZNA^AETSQPROSTO
O
(
n;
R
)
INAZYWAETSQ
KLASSI^ESKOJORTOGONALXNOJGRUP
-
POJ
,
[email protected]
g
2
GL(
n;
R
)
TAKIH
,
^TO
gg
=
e
.
kAKOBY^NO
,
SO(
p;q;
R
)=
O
(
p;q;
R
)
\
SL(
n;
R
)
SO(
n;
R
)=
O
(
n;
R
)
\
SL(
n;
R
)
64
[email protected]
:\
dANOMNOGOOBRAZIEIWNEMGRUPPAPREOBRAZOWANIJ
.
[email protected]\TOJGRUPPY
"{
SM
.
sRAWNITELXNOEOBOZRENIENO
-
WEJ[IHGEOMETRI^ESKIHISSLEDOWANIJ
(`
|RLANGENSKAQPROGRAMMA
'{`ErlangerProgramm'){
W
KN
.
oBOSNOWANIQHGEOMETRII
,
gOSTEHIZDAT
,
m
.,1956,
S
.399{434.
65
wPRO^EM
,
SEGODNQPRINQTOGOWORITX^UTXINA^E
:
TEORIQGRUPPESTXGEOMETRIQ
.
60
nikolajwawilow
2.
gRUPPYDWIVENIJPLOSKOSTI
.
sEJ^ASMYRASSMOTRIM
\WKLIDOWUPLOSKOSTX
R
2
GIPERBOLI^[email protected]
R
1
;
1
.
sTO^KIZRENIQDALXNEJ[IHMNOGOMERNYHOBOB]ENIJ
[email protected]
O
(2
;
R
)
O
(1
;
1
;
R
).
mEVDU\TIMIGRUPPAMIESTXSU]ESTWENNOE
RAZLI^IE
,
GRUPPA
SO(2
;
R
)
SOWPADAETSGRUPPOJ
\WKLIDOWYHWRA]ENIJ
SO(2
;
R
)=

cos(
'
)sin(
'
)

sin(
'
)cos(
'
)





'
2
R

:
gRUPPA
O
(2
;
R
)
POROVDAETSQ
SO(2
;
R
)
[email protected]
,
NAPRIMER
,

01
10

.
wTOVE
WREMQGRUPPA
LORENCEWYHWRA]ENIJ
SO
+
(1
;
1
;
R
)=

ch(
'
)sh(
'
)
sh(
'
)ch(
'
)





'
2
R

:
IMEETINDEKS
2
W
SO(1
;
1
;
R
)
TAKKAK

e
2
SO(1
;
1
;
R
)
n
SO
+
(1
;
1
;
R
)(
WSAMOMDELE
,ch(
'
)

1).
tEMSAMYM
SO
+
(1
;
1
;
R
)
IMEETINDEKS
4
W
O
(1
;
1
;
R
),
^TOBYPORODITX
O
(1
;
1
;
R
)
KROME
LORENCEWYHWRA]ENIJNUVNYE]EDWEMATRICY
,
SKAVEM

e
[email protected]
.
gRUPPASOBSTWENNYH\WKLIDOWYHDWIVENIJPLOSKOSTIPOROVDAETSQ
SO(2
;
R
)
IGRUPPOJ
TRANSLQCIJ
.
oNAIZOMORFNAGRUPPE
3

3
MATRIC
8

:
0
@
cos(
'
)sin(
'
)
a

sin(
'
)cos(
'
)
001
1
A




';a;b
2
R
9
=
;
:
pOLNAQGRUPPA\WKLIDOWYHDWIVENIJPLOSKOSTIPOROVDAETSQ
O
(2
;
R
)
IGRUPPOJTRANSLQCIJ
.
oNAIZOMORFNA
8

:
0
@
cos(
'
)

sin(
'
)
a

sin(
'
)

cos(
'
)
001
1
A




';a;b
2
R
9
=
;
(
[email protected]
).
3.
gRUPPA\WKLIDOWYHDWIVENIJ
.
pOLNAQGRUPPAIZOMETRIJ\WKLIDOWAPROSTRANSTWA
V
=
R
n
NAZYWAETSQ
GRUPPOJ\WKLIDOWYHDWIVENIJ
IOBOZNA^AETSQ
Isom(
R
n
).
|WKLIDOWO
DWIVENIEQWLQETSQKOMPOZICIEJWRA]ENIQ
(
SOBSTWENNOGOILIZERKALXNOGO
)
IPARALLELXNOGO
PERENOSAIZADAETSQSIMWOLOMzEJTCA
f
g
j
u
g
GDETEPERX
g
2
O
(
n;R
).
pODGRUPPA
Isom
+
(
R
n
),
SOSTOQ]AQIZDWIVENIJSOPREDELITELEM
1,
NAZYWAETSQGRUPPOJSOBSTWENNYHDWIVENIJ
.
4.
gRUPPAlORENCA
66
.
wSPECIALXNOJTEORIIOTNOSITELXNOSTIRASSMATRIWAETSQ
4-
MERNOE
PROSTRANSTWOmINKOWSKOGO
67
R
3
;
1
.
kAKMNOVESTWOONOSOWPADAETS
4-
MERNYMPROSTRAN
-
66
gENDRIKaNTONlORENC
(18.07.1853{04.02.1928){
ZAME^ATELXNYJGOLLANDSKIJFI
-
ZIK
,
ODINIZKLASSIKOW
XIX
WEKA
,
SOZDATELX\LEKTRODINAMIKIDWIVU]IHSQSREDI\LEKTRONNOJ
TEORII
,
ODINIZTWORCOWSPECIALXNOJTEORIIOTNOSITELXNOSTI
.
bOLX[AQ^ASTXEGOVIZNI
SWQZANASlEJDENSKIMUNIWERSITETOM
.
pOSLEOKON^ANIQ\TOGOUNIWERSITETAW
1875
GODUW
1878{1923
GODAHONBYLTAMPROFESSOROM
,
AS
1923
GODA
{
DIREKTOROMISSLEDOWATELXSKOGO
INSTITUTAWgARLEME
.
mNOGOPONQTIJWFIZIKENOSQTEGOIMQ
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
GRUPPAlORENCA
,
PREOBRAZOWANIQlORENCA
,
lORENCEWYWRA]ENIQ
,
LORENCEWYRE[ETKIIT
.
.
67
gERMANmINKOWSKIJ
(22.06.1864,
aLEKSOTAS
,
PRIkAUNASE
{12.01.1909,
gETTINGEN
)
{
GENIALXNYJROSSIJSKIJMATEMATIK
,
RABOTAW[IJWgERMANII
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGO
OTNOSQTSQKTEORII^ISEL
,
GEOMETRII
,
TEORIIKWADRATI^NYHFORMIMATEMATI^ESKOJFIZIKE
,
SOZDATELX
GEOMETRII^ISEL
.
pOSLEPOLU^ENIQW
15
LETATTESTATAGIMNAZIIWkENINGSBERGE
ONU^ILSQWkENIGSBERGEIbERLINE
.
w
1883
GODUmINKOWSKIJWYIGRAL
GrandPrix
pARIV
-
SKOJaKADEMIINAUKZA
(
STUDEN^[email protected]
!!)
RABOTUPOTEORIIKWADRATI^NYHFORM
.
uVEW
1885
GODUEMUBYLPRISUVDENDOKTORATWkENIGSBERGE
,
AW
1887
HABILITACIQWbONNE
.
pOSLE
\TOGOONRABOTALPROFESSOROMWbONNE
,
[email protected]
,
AS
1902
GODAWgETTINGENE
.
mINKOWSKIJBYLBLIVAJ[IMDRUGOMdAWIDAgILXBERTA
,
IbRAU\RPOSTOQNNOINSINUIROWAL
,
^TOMNOGIEIZRABOTgILXBERTA
,`
[email protected]
',
NAMEKAQNAZNAMENITYE
PROGULKIgILXBERTA
,
mINKOWSKOGOIgURWICA
,
WOWREMQKOTORYHONIBESEDOWALIOMATEMA
-
TIKE
.
rABOTAmINKOWSKOGOPOMATEMATI^ESKIMOSNOWANIQM\LEKTRODINAMIKIISPECIALXNO
[email protected]]EERAZWITIEFIZIKI
.
wNA
-
[[email protected]
,
PROSTRANSTWOmINKOWSKOGO
,
FUNKCIONALmINKOWSKOGO
,
TEOREMAmINKOWSKOGO
-
hASSEIDRUGIEWOSHODQ]IEKNEMUPONQTIQ
IREZULXTATY
.
gruppy
:
firstdraught
61
STWOM
R
4
,
NOKOORDINATYWEKTORA
x
WNEMOBY^[email protected]
(
x
0
;x
1
;x
2
;x
3
),
GDE
x
0
OBOZNA
-
^[email protected]
,
A
x
1
;x
2
;x
3
{
PROSTRANSTWENNYEKOORDINATY
.
oDNAKOWKA^ESTWEMETRIKI
WPROSTRANSTWERASSMATRIWAETSQNEOBY^NAQ\WKLIDOWAMETRIKA
,
A
PSEWDO\WKLIDOWAMET
-
RIKA
,
ZADAWAEMAQSKALQRNYMPROIZWEDENIEM
B
(
x;y
)=

x
0
y
0
+
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
x
3
y
3
.
iNYMI
SLOWAMI
,
KWADRATDLINYWEKTORA
x
RAWEN
x
2
=
B
(
x;x
)=

x
2
0
+
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
.
gRUPPAIZO
-
METRIJ
L
PROSTRANSTWA
R
3
;
1
NAZYWAETSQ
GRUPPOJlORENCA
(
,
INOGDA
POLNOJGRUPPOJ
lORENCA
).
iNYMISLOWAMI
,
POSLEPODHODQ]EGOWYBORABAZISAW
R
3
;
1
GRUPPAlORENCA
L
MO
-
VETBYTXOTOVDESTWLENASMNOVESTWOMWSEHMATRIC
g
2
M
(4
;
R
)
TAKIH
,
^TO
gfg
=
f
,
GDE
f
=diag(

1
;
1
;
1
;
1).
|TOZNA^IT
,
^TOSTO^KIZRENIQTEORIIPROSTRANSTWSOSKALQRNYMPRO
-
IZWEDENIEM
,
[email protected]^AEMW
3-
MSEMESTRE
,
GRUPPAlORENCAPREDSTAWLQETSOBOJGRUPPU
O
(3
;
1
;
R
).
uKAVEM[ESTXTIPI^NYH\LEMENTOWGRUPPYlORENCA
,
PERWYETRIIZKOTORYHQWLQ
-
@TSQOBY^NYMI\WKLIDOWYMIWRA]ENIQMIPROSTRANSTWA
,
AOSTALXNYETRI
{
LORENCEWYMI
WRA]ENIQMI
:
0
B
B
@
1000
0cos(
'
)sin(
'
)0
0

sin(
'
)cos(
'
)0
0001
1
C
C
A
;
0
B
B
@
1000
0cos(
'
)0sin(
'
)
0010
0

sin(
'
)0cos(
'
)
1
C
C
A
;
0
B
B
@
1000
0100
00cos(
'
)sin(
'
)
00

sin(
'
)cos(
'
)
1
C
C
A
:
0
B
B
@
ch(
'
)sh(
'
)00
sh(
'
)ch(
'
)00
0010
0001
1
C
C
A
;
0
B
B
@
ch(
'
)0sh(
'
)0
0100
sh(
'
)0ch(
'
)0
0001
1
C
C
A
;
0
B
B
@
ch(
'
)00sh(
'
)
0100
0010
sh(
'
)00ch(
'
)
1
C
C
A
:
eSLIWARXIROWATXZDESX
'
,
TO\TI
6
[email protected]
4
WGRUPPElORENCA
,
[email protected]
SOBSTWENNOJGRUPPOJlORENCA
IOBOZNA^AEMOJ
L
+
"
.
[email protected]]IE^[email protected]
L
[email protected]
L
+
"
:

10
0
e

;


10
0
e

;

10
0

e

;


10
0

e

;
GDE
e
OBOZNA^AETEDINI^[email protected]
3.
pODGRUPPAW
L
,
POROVDENNAQSOBSTWENNOJ
GRUPPOJlORENCA
L
+
"
diag(1
;

e
),
OBOZNA^AETSQ
L
"
INAZYWAETSQ
ORTOHRONNOJGRUPPOJ
lORENCA
,
APODGRUPPA
,
POROVDENNAQ
L
+
"
diag(

1
;

e
),
OBOZNA^AETSQ
L
+
INAZYWAETSQ
SPE
-
CIALXNOJGRUPPOJlORENCA
.
tAKIMOBRAZOM
,
L
"
{
\TOWTO^NOSTIPODGRUPPAW
O
(3
;
1
;
R
),
SOSTOQ]AQIZMATRIC
g
=(
g
ij
)
SPOLOVITELXNYMKO\FFICIENTOM
g
00
,
SFIZI^ESKOJTO^KI
ZRENIQ
,
\TOWTO^NOSTI
,
PREOBRAZOWANIQ
,
[email protected]]IENAPRAWLENIEWREMENI
(
NO
,
WOZMOVNO
,
[email protected]][email protected]
).
sDRUGOJSTORONY
L
+
=SO(3
;
1
;
R
){
\TOWTO^NOSTI
PODGRUPPAW
O
(3
;
1
;
R
),
SOSTOQ]AQIZMATRICSOPREDELITELEM
1,
[email protected]
KAKNAPRAWLENIEWREMENI
,
[email protected]
,
[email protected]
IDRUGOE
.
lEGKOWIDETX
,
^TO
L
+
"
=
L
"
\L
+
.
qSNO
,
^TOWGRUPPElORENCAESTXE]EODNA
PODGRUPPAINDEKSA
2,
POROVDENNAQ
L
+
"
IMATRICEJ
diag(

1
;e
),
[email protected]][email protected]
PROSTRANSTWA
(
NO
,
WOZMOVNO
,
[email protected]]AQNAPRAWLENIEWREMENI
),
NOFIZIKOW
,
POHOVE
,
ONANE
O^ENXINTERESUET
,
POTOMU^TOUSTOJ^IWOGOOB]EPRINQTOGONAZWANIQUNEENET
.
kOMMENTARIJ
.
gRUPPUlORENCAOPREDELILaNRIpUANKARE
68
W
1905
GODU
.
mNOGIEFIZIKI
[email protected]STRANSTWO
R
3
;
1
,
APROSTRANSTWO
R
1
;
3
.
|TOZNA
-
,
^TOSKALQRNOEPROIZWEDENIEZADAETSQPOSREDSTWOM
B
(
x;y
)=
x
0
y
0

x
1
y
1

x
2
y
2

x
3
y
3
.
68
aNRIpUANKARE
(29.04.1854,
nANSI
{17.07.1912,
pARIV
){
SAMYJZNAMENITYJIPRO
-
DUKTIWNYJSREDIMATEMATIKOWKONCA
XIX
WEKA
,
AWTORBOLEE
500
RABOT
,
WTOM^ISLE
?
KNIG
.
[email protected]^[email protected]
:
TEORIQAWTOMORFNYHFUNK
-
,
GEOMETRIQ
,
TOPOLOGIQ
,
TEORIQDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJIURAWNENIJS^ASTNYMI
PROIZWODNYMIIMNOGIERAZDELYASTRONOMII
,
MATEMATI^ESKOJITEORETI^ESKOJFIZIKI
.
nEZA
-
WISIMOOT|JN[[email protected]@OTNOSITELXNOSTI
,
POKRAJNEJMEREWEE
MATEMATI^ESKIHASPEKTAH
.
s
1881
GODABYLLEKTOROM
,
AS
1886
GODA
{
PROFESSOROMpARIV
-
SKOGOUNIWERSITETA
(
POKAFEDREMATEMATI^ESKOJASTRONOMIIINEBESNOJMEHANIKI
,
[email protected]
ZANIMALDOSAMOJSMERTI
).
mNOGOWWEDENNYHIMPONQTIJWSTRE^[email protected]
-
,
TOPOLOGIIITEORIIOBYKNOWENNYHDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
:
GIPOTEZApUANKARE
,
MODELXpUANKARE
,
FUNDAMENTALXNAQGRUPPA
,
KOMPLEKSpUANKARE
,
DWOJSTWENNOSTXpUANKARE
,
62
nikolajwawilow
qSNO
,
ODNAKO
,
^TO\TONEWLIQETNAGRUPPUlORENCA
:
O
(1
;
3
;
R
)=
O
(3
;
1
;
R
).
wOOB]E
,
TERMI
-
[email protected]@USTANOWIW[EJSQ
.
nAPRIMER
,
INOGDAGRUPPOJlORENCA
[email protected]
O
(3
;
1
;
R
),
[email protected]
-
TOIZUKAZANNYHWY[EPODGRUPPINDEKSA
2
4.
[email protected]
L
+
,
ANE
L
+
"
,etc.
nA[A
TERMINOLOGIQSLEDUETKNIGEmESSIA
69
.
oTSTUPLENIE
.
C
TOPOLOGI^ESKOJTO^KIZRENIQSOBSTWENNAQGRUPPAlORENCA
L
+
"
SWQZNA
{
W
DEJSTWITELXNOSTI\TO
WTO^NOSTI
SWQZNAQKOMPONENTA
1
WGRUPPElORENCA
L
.
wTOVEWRE
-
MQ
,
ONANEQWLQETSQODNOSWQZNOJ
,
AIZOMORFNAFAKTOR
-
GRUPPEODNOSWQZNOJGRUPPY
SL(2
;
C
)
POPODGRUPPE
f
e
g
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
WRELQTIWISTSKOJKWANTOWOJMEHANIKE
(l.c.)
\LEK
-
TRONS^ITAET
,
^TOGRUPPOJDWIVENIJPROSTRANSTWA
-
WREMENIQWLQETSQIMENNOUNIWERSALXNAQ
[email protected]]AQGRUPPYlORENCA
SL(2
;
C
),
AWOWSENESAMAGRUPPAlORENCA
L
.
5.
gRUPPApUANKARE
.
kAKIWY[E
,
RASMOTRIMPROSTRANSTWOmINKOWSKOGO
R
3
;
1
IGRUPPU
DWIVENIJ\TOGOPROSTRANSTWA
,
KOTORAQPOROVDAETSQGRUPPOJlORENCAIWSEMITRANSLQCIQMI
PROSTRANSTWA
-
WREMENI
.
|TAGRUPPANAZYWAETSQ
GRUPPOJpUANKARE
P
(alias,
NEODNOROD
-
NOJGRUPPOJlORENCA
).
sTO^KIZRENIQSWOEGOSTROENIQGRUPPApUANKAREQWLQETSQ
POLU
-
PRQMYMPROIZWEDENIEM
P
=
L
i
T
GRUPPYTRANSLQCIJ
T
IGRUPPYlORENCA
L
.
iNYMI
SLOWAMI
,
P
=
LT
,
PRI^EM
T
E
P
L\T
=1.
kOMMENTARIJ
.
w
STARINNYH
U^EBNIKAH
,
NAPRIMERW
[Ch],
GRUPPOJpUANKARENAZYWAETSQ
PERWAQGOMOTOPI^ESKAQGRUPPA
,
.
E
.
TO
,
^TOSEGODNQPRINQTONAZYWATX
FUNDAMENTALXNOJ
GRUPPOJ
MNOGOOBRAZIQ
.
oDNAKOW\TOMSMYSLEWYRAVENIE
`
GRUPPApUANKARE
'
NIRAZUNE
UPOTREBLQLOSXUVELET
40.
x
12.
gRUPPYWALGEBRE
w
x
8
PRIWEDENYPRIMERYGRUPP
[email protected]]IHKAKGRUPPYAWTOMORFIZMOW
RAZLI^NYHSTRUKTUR
[email protected]]IHSQWALGEBRE
GEOMETRII
TOPOLOGIII
ANALIZE
[email protected][IM
NODALEKONEEDIN
-
STWENNYMISTO^NIKOMPRIMEROWGRUPP
wNASTOQ][email protected]]EMPARAGRA
-
FAHMYOBSUDIMNESKOLXKOWAVNEJ[IHPRIMEROWGRUPP
KOTORYESTROQTSQNE
KAKGRUPPYAWTOMORFIZMOW
pONIMANIEIZLOVENNYHWNASTOQ]EMPARAGRAFE
PRIMEROWTREBUETZNANIQRUDIMENTOWLINEJNOJALGEBRY
WPLOTXDOPONQTIQ
TENZORNOGOPROIZWEDENIQMODULEJ
1.
gRUPPAbRAU\RA
70
.
pUSTX
K
{
POLE
.
eSLI
A
B
{
KONE^NOMERNYE
ALGEBRYNAD
K
,
TOIHTENZORNOEPROIZWEDENIE
A

B
KAKWEKTORNYHPROSTRANSTWPREWRA]AETSQWALGEBRU
,
KLASSIFIKACIQOSOBYHTO^EK
,
TEOREMApUANKAREOWOZWRA]ENII
etc.
kAMILXvORDANTAK
OTOZWALSQORABOTEpUANKAREOBOSOBYHTO^KAHDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
:`
oNAWY[Q
WSQKIHPOHWAL
,
KNEJWPOLNOJMEREMOVNOOTNESTISLOWA
,
NEKOGDANAPISANNYEqKOBIOBaBELE
:
`
eEAWTORUUDALOSXRE[ITXZADA^U
,
OKOTOROJDONEGONIKTONESMELIME^TATX
".
nARUSSKIJ
PEREWEDENOBOLX[OEKOLI^ESTWOKNIGpUANKARE
,
KAKNAU^NYH
,
TAKIFILOSOFSKIHINAU^NO
-
POPULQRNYH
,
WTOM^ISLE
:
a
.
pUANKARE
,
cENNOSTXNAUKI
.{
spB
,1906;
a
.
pUANKARE
,
nAUKAI
GIPOTEZA
.{
spB
,1906;
a
.
pUANKARE
,
nAUKAIMETOD
.{
spB
,1910;
a
.
pUANKARE
,
pOSLEDNIE
MYSLI
.{
pG
,1923;(
|TIKNIGI
WOSNOWNOM
WO[LIWTOMa
.
pUANKARE
,
oNAUKE
.{
nAUKA
,
m
.,1983,
S
.1{559);
a
.
pUANKARE
,
oKRIWYH
,
OPREDELQEMYHDIFFERENCIALXNYMIURAWNENIQ
-
MI
.{
m
.-
l
.,1947;
a
.
pUANKARE
,
lEKCIIPONEBESNOJMEHANIKE
.{
nAUKA
,
m
.,1965,
S
.1{571;
a
.
pUANKARE
,
iZBRANNYETRUDY
.
.I{III.{
nAUKA
,
m
.,
.I:
nOWYEMETODYNEBESNOJMEHANIKI
.
{1971,
S
.1{771;
.II:
tOPOLOGIQ
,
tEORIQ^ISEL
.{1972,
S
.1{999;
.III:
mATEMATIKA
,
TEORETI
-
^ESKAQFIZIKA
.{1974,
S
.1{771.
tRETIJTOMIZBRANNYHTRUDOWSODERVITTAKVE^REZWY^AJNO
[email protected]
,
vAKAaDAMARA
,
aNDREwEJLQ
,
gANSAfREJDENTALQ
,
lO
-
RANA{WARCAIlUIDEbROJLQ
,
POSWQ]ENNYEVIZNIpUANKAREIEGOWKLADUWMATEMATIKU
IFIZIKU
.
[email protected]
,
rAJMONpUANKAREBYLZNAMENI
-
TYMPOLITIKOM
,
PREZIDENTOMIPREDSEDATELEMSOWETAMINISTROWfRANCII
,
ADRUGOJ
,
[email protected]
pUANKARE
{
IZWESTNYMFIZIKOM
,
REKTOROMpARIVSKOGOUNIWERSITETA
.
69
a
.
mESSIA
,
kWANTOWAQMEHANIKA
,
.2,
nAUKA
,
m
.,1979,
S
.1{583,
SM
.
S
.366{368.
70
rIHARDbRAU\R
{
ZAME^ATELXNYJNEMECKIJALGEBRAIST
,
SOZDATELXTEORIIMODULQRNYH
PREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPP
gruppy
:
firstdraught
63
ESLIPOLOVITX
(
a
1

1
)(
a
2

2
)=
a
1
a
2

1
2
.
pOLU^[email protected]]AQSQTAKALGEBRANAZYWAETSQ
TENZORNYMPROIZWEDENIEM
ALGEBR
A
B
.
aLGEBRA
A
NAZYWAETSQ
CENTRALXNOJ
,
ESLIEE
CENTRSOWPADAETS
K
,
PROSTOJ
,
ESLIW
A
ROWNO
2
DWUSTORONNIHIDEALA
,
AIMENNO
0
ISAMA
ALGEBRA
A
.
pO
TEOREMEwEDDERBARNA
71
KAVDAQKONE^NOMERNAQCENTRALXNAQPROSTAQAL
-
GEBRA
A
NAD
K
IZOMORFNAPOLNOJMATRI^NOJALGEBRE
M
(
m;D
)
NADNEKOTORYMCENTRALXNYM
TELOM
D
KONE^NOGORANGANAD
K
,
PRI^EMTELO
D
OPREDELENOODNOZNA^NOSTO^[email protected]
-
MORFIZMA
.
lEGKOPROWERITX
,
^TOTENZORNOEPROIZWEDENIECENTRALXNYHPROSTYHALGEBRSAMO
QWLQETSQCENTRALXNOJPROSTOJALGEBROJ
.
w^ASTNOSTI
,
ESLI
D
1
,
D
2
{
DWACENTRALXNYHTELA
KONE^NOGORANGANAD
K
,
TOIHTENZORNOEPROIZWEDENIE
D
1

D
2
IMEETWID
M
(
m;D
)
DLQNEKO
-
TOROGOCENTRALXNOGOTELA
D
KONE^NOGORANGA
.
tELO
D
OPREDELENOODNOZNA^NOSTO^[email protected]
IZOMORFIZMAINAZYWAETSQ
PROIZWEDENIEMbRAU\RA
TEL
D
1
D
2
.
lEGKOWIDETX
,
^TO\TO
PROIZWEDENIEPREWRA]AETMNOVESTWOKLASSOWIZOMORFIZMACENTRALXNYHTELKONE^NO
GORANGA
NAD
K
WGRUPPU
,
[email protected]
GRUPPOJbRAU\RA
POLQ
K
IOBOZNA^[email protected]
Br(
K
).
wSAMOM
DELE
,
KORREKTNOSTXOPREDELENIQWYTEKAETIZTEOREMYwEDDERBARNA
,
TENZORNOEPROIZWEDENIE
ASSOCIATIWNOSTO^[email protected]
,
EDINICEJGRUPPYbRAU\RAQWLQETSQKLASSSAMOGO
POLQ
K
,
AKLASSOMOBRATNYMKKLASSUTELA
D
QWLQETSQKLASSPROTIWOPOLOVNOGOTELA
D
o
.
gRUPPAbRAU\RAQWLQETSQWAVNEJ[IMARIFMETI^ESKIMINWARIANTOMPOLQ
K
.
nAPRIMER
,
TAKKAKPOLE
C
ALGEBRAI^ESKIZAMKNUTO
,
TO
Br(
C
)=1.
tEOREMAfROBENIUSA
72
OGIPERKOM
-
[email protected]]IMOBRAZOM
:Br(
R
)=
C
2
,
PRI^EM
NETRIWIALXNYJ\LEMENT\TOJGRUPPYZADAETSQTELOMKWATERNIONOW
H
.
mALAQTEOREMA
wEDDERBARNA
OKOMMUTATIWNOSTIKONE^NYHTELUTWERVDAETWTO^NOSTI
,
^TO
Br(
F
q
)=1.
uTWERVDENIE
,
^TOESLIPOLE
K
ALGEBRAI^ESKIZAMKNUTO
,
TO
Br(
K
(
t
))=1
IZWESTNOKAK
TEO
-
REMAtZENA
73
;
74
.
dOKAZATELXSTWOTOGO
,
^TODLQPOLQ
p
-
ADI^ESKIH^ISEL
Q
p
IMEETMESTO
IZOMORFIZM
Br(
Q
p
)

=
Q
=
Z
,
QWLQETSQODNIMIZCENTRALXNYHREZULXTATOW
LOKALXNOJTEO
-
RIIPOLEJKLASSOW
75
.
wY^ISLENIE
Br(
Q
)
QWLQETSQUVEDOSTATO^NONETRIWIALXNOJZADA^EJ
[email protected]^[email protected][IRENIJP
OLQ
Q
IZWESTNOGOKAK
GLOBALXNAQTEORIQPOLEJKLASSOW
76
.
|TOWY^ISLENIETESNEJ[IMOBRAZOM
[email protected]][email protected]^EWYMIREZULXTATAMI
,
KAVDYJIZKOTORYHWESXMANEBANA
-
LEN
,
AIMENNO
TEOREMOJaLBERTA
77
{
bRAU\RA
{
hASSE
78
{
nETER
79
ZAKONOMWZAIMNOSTI
71
wEDDERBARN
72
fERDINANDgEORGfROBENIUS
(26.09.1849{03.08.1917,
bERLIN
){
ZAME^ATELXNYJNE
-
MECKIJALGEBRAIST
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIGIPERKOMPLEKSNYHSISTEM
,
TEORIIMATRIC
,
TEORIIPREDSTAWLENIJKONE^NYHGRUPP
.
pOSLEU^EBYWbERLINEIgETTINGENE
IKRATKOWREMENNOJRABOTYW[KOLE
,
W
1875
[email protected]
,
A
W
1902
GODU
{
WbERLINE
.
fROBENIUSNA^[email protected]^[email protected]
OKOLOTRETIEGOOPUBLIKOWNNYHRABOTPOSWQ]ENOANALIZU
.
oDNAKOPOTOMONPO^TIPOLNO
-
[email protected]@^[email protected]@PREDSTAWLENIJ
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
TEOREMAfROBENIUSAOGIPERKOMPLEKSNYHSISTEMAH
,
NESKOLXKOTEOREMfROBENIUSAOGRUPPAH
,
\NDOMORFIZMfROBENIUSAIT
.
.
73
tZEN
(){
74
r
.
pIRS
,
aSSOCIATIWNYEALGEBRY
.{
m
.
mIR
,1986,
S
.1{541,
STR
.462{463.
75
v
.-
p
.
sERR
,
lOKALXNAQTEORIQPOLEJKLASSOW
,{
WKNIGE
[Alg],
S
.201{249,
WOSOBENNOSTI
SM
.
STR
.201{215.
76
dV
.
t\JT
,
gLOBALXNAQTEORIQPOLEJKLASSOW
,{
WKNIGE
[Alg],
S
.250{309,
WOSOBENNOSTI
SM
.
STR
.287{294.
77
aLBERT
(){
78
hELXMUThASSE
(25.08.1898,
kASSELX
{){
ZAME^ATELXNYJNEMECKIJALGEBRAISTI
TEORETIKO
-
^ISLOWIK
.
pOSLEOBU^ENIQWkILE
,
gETTINGENEImARBURGEW
1925
GODUONSTAL
PROFESSOROMWhALLE
,
OTKUDASNOWAWERNULSQWmARBURG
,
AW
1934
GODUWOZGLAWILMATEMA
-
TI^ESKIJINSTITUTWgETTINGENE
.
oNDOKAZALNESKOLXKOCENTRALXNYHREZULXTATOW
,
OTNOSQ
-
]IHSQKTEORIIKWADRATI^NYHFORM
,
TAKIHKAKTEOREMYmINKOWSKOGO
-
hASSE
,
hASSE
-
wITTA
,
hASSE
-
aRTINAIT
.
.
w
1950
GODUNA^ALPREPODAWATXWgAMBURGE
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
DIAGRAMMYhASSE
.
nARUSSKIJPEREWEDENEGOKLASSI^ESKIJU^EBNIKPOTEORII^ISEL
.
79
|MMInETER
(23.03.1882,
|RLANGEN
{14.04.1935,
bRINmOR
){
GENIALXNYJNEMECKIJ
MATEMATIK
,
ODINIZOSNOWATELEJ
(
OSNOWATELXNIC
?)
SOWREMENNOJALGEBRY
,
OKAZAW[AQOGROM
-
NOEWLIQNIENARAZWITIEMATEMATIKIW
XX
WEKE
.
wEROQTNO
,
SAMAQZAME^ATELXNAQVEN]INA
WOWSEJISTORIIMATEMATIKI
.
dO^XmAKSAnETERA
,
U^ENICAgILXBERTA
.
sREDIEEU^ENIKOW
{
64
nikolajwawilow
aRTINA
80
.
2.
gRUPPApIKARA
81
.
pUSTX
R
{
KOMMUTATIWNOEKOLXCO
.
w\[email protected]]EMPRIMERAH
MYRASSMATRIWAEMKONE^NO
-
POROVDENNYEMODULINAD
R
.
nAPOMNIM
,
^TOMODULXIZOMORF
-
[email protected]
R
n
NAZYWAETSQ
SWOBODNYM
.
pRQMYESLAGAEMYESWOBODNYHMODULEJ
[email protected]
.
iNYMISLOWAMI
,
MODULX
P
WTOMITOLXKOTOMSLU^AE
PROEKTIWEN
,
KOGDASU]ESTWUETTAKOJMODULX
Q
,
^TO
P

Q

=
R
n
.
pROEKTIWNYJMODULX
P
NAZYWAETSQ
OBRATIMYM
,
ESLINAJDETSQTAKOJPROEKTIWNYJMODULX
Q
,
^TO
P

Q

=
R
.
lEGKOPROWERITX
,
^TOPROEKTIWNYJMODULXWTOMITOLXKOTOMSLU^AEOBRATIM
,
KOGDAEGO
RANGRAWEN
1
,
.
E
.
[email protected]
R
WPOLE
K
,
MODULX
P
PEREHODITWODNOMER
-
NOEWEKTORNOEPROSTRANSTWONAD
K
,
INYMISLOWAMI
,
P

K

=
K
.
w\TOMSLU^AEMOVNO
POLOVITX
Q
=
P

=Hom(
P;R
).
mNOVESTWOKLASSOWIZOMORFIZMAOBRATIMYH
R
-
MODULEJ
OTNOSITELXNOTENZORNOGOPROIZWEDENIQOBOZNA^AETSQ
Pic(
R
)
INAZYWAETSQ
GRUPPOJpIKARA
KOLXCA
R
.
iNYMISLOWAMI
,
PROIZWEDENIE
P
Q
WGRUPPEpIKARARAWNO
P

Q
,
EDINICEJ
QWLQETSQKLASSMODULQ
R
,
A
P

1
=
P

.
3.
gRUPPAgROTENDIKA
.
pUSTX
,
PO
-
PREVNEMU
,
R
{
KOMMUTATIWNOEKOLXCO
.
oSNOWOJLINEJ
-
[email protected]@]IEDWAUTWERVDENIQ
:1)
KAVDYJMODULXSWOBODEN
,
MALX^IKOW
,
KAKIHNAZYWALIWgETTINGENE
{
|MILXaRTIN
,
bARTELXSWANDERwARDEN
,...
w
NA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
,
TEOREMAnETEROBIZOMORFIZME
.
oTEC
|MMInETER
{
ZAME^ATELXNYJALGEBRAI^ESKIJGEOMETR
mAKSAnETERA
(24.09.1844,
mANN
-
HEJM
{13.12.1921,
|RLANGEN
).
mAKSnETERU^ILSQWgEJDELXBERGE
,
gISSENEIgETTINGENE
,
S
1871
GODARABOTALWgETTINGENE
,
AS
1875
GODA
{
W|RLANGENE
,
GDES
1888
GODAONSTALPROFES
-
SOROM
.
[email protected]^ESKIHFUNKCIJ
,
[email protected]@^ENIQ
,
TEORIIFORMIT
.
.
pRIWEDEMNEBOLX[OJ[TRIH
,
[email protected]]IJ
,
NASKOLXKOWELIKPRESTIV
|MMInETERWMATEMATI^ESKOMBESSOZNATELXNOM
:
MNOGIEREZULXTATYmAKSAnETERA
(
TAKIE
,
KAKLEMMAnETERAONORMALIZACII
)
[email protected]^ERI
.
80
|MILXaRTIN
(03.03.1898,
wENA
{20.12.1962,
gAMBURG
){
GENIALXNYJAWSTRIJSKIJ
MATEMATIK
,
WNES[IJFUNDAMENTALXNYJWKLADWRAZWITIEALGEBRY
,
TOPOLOGIIITEORII^I
-
SEL
.
w
1921
GODUaRTINZA][email protected]^ESKOJTEORII^ISELPOD
RUKOWODSTWOMgUSTAWAgERGLOTCA
.
w
1925
GODUaRTINSTALPROFESSOROMWgAMBURGE
.
aN
-
DREwEJLXWSPOMINAET
,
^TOWTEGODYWKAVDOMNOMERETRUDOWMATEMATI^ESKOGOSEMINARA
GAMBURGSKOGOMATEMATI^ESKOGOINSTITUTAPOQWLQLISXBLESTQ]IERABOTYaRTINA
,
NASAMYE
RAZNOOBRAZNYETEMY
.
wNA[[email protected]
,
GRUPPAKOS
,
TEOREMAaRTINAOBALXTERNATIWNYHKOLXCAHIMNOGIEDRUGIEPRINADLEVA]IEEMUREZULXTA
-
TY
.
sAMYEGLUBOKIEREZULXTATYaRTINAOTNOSQTSQKTEORIIALGEBRIALGEBRAI^ESKOJT
EORII
^ISEL
,
[email protected]^EREDXKTEORIIPOLEJKLASSOW
:
ZAKONWZAIMNOSTIaRTINA
,

-
FUNKCIIaRTI
-
NAIT
.
.
nESKOLXKOSOWER[ENNOZAME^ATELXNYHRABOTNAPISANYaRTINOMSOWMESTNOSoTT
O
{RAJEROM
:
RAS[IRENIQaRTINA
-
{RAJERA
,
TEORIQaRTINA
-
{RAJERAFORMALXNOWE]ESTWEN
-
NYHPOLEJIT
.
.
sAMaRTINBYLARIJCEM
,
NOEGOVENAnATA[APODPADALAPODDEJSTWIE
RASOWYHZAKONOW
.
hELXMUThASSE
(
KOTORYJSAMIMELEWREJSKIHPREDKOW
,
NOBYLLOQLENRE
-
VIMU
),
PREDLAGALaRTINUPEREEHATXWgETTINGEN
,
OBE]AQ
,
^TOEGODETIBUDUTOFICIALXNO
PROWOZGLA[ENYARIJCAMI
.
tEMNEMENEEW
1937
GODUaRTIN\MIGRIROWALWs{a
,
GDERABO
-
TALWUNIWERSITETE[TATAiNDIANAIWpRINSTONE
.
nAPISANNYEIMKNIGIPOTEORIIgALUAI
(
SOWMESTNOSEGOAMERIKANSKIMU^ENIKOMdVONOMtEJTOM
)
TEORIIPOLEJKLASSOWSTALIKANO
-
NI^ESKIMIISTO^NIKAMI
,
[email protected]]IEIZLOVENIQ
.
tRUDNOOPISATX
WPE^ATLENIE
,
KOTOROEPROIZWODQTRABOTYaRTINA
,
TO^NEE
,
^EM\TOSDELALaNRIkARTAN
:`Emil
Artinfutunmathematiciengenial.C'etaitaussiunartiste
et,pourtoutdire,unhommecomplet'.
sYN|MILQaRTINA
mAJKLaRTIN
TOVESTALZAME^ATELXNYMALGEBRAISTOMIALGEBRAI^E
-
SKIMGEOMETROM
.
nARUSSKIQQZYKPEREWEDENABLISTATELXNAQKNIGAaRTINAgEOMETRI^ESKAQ
ALGEBRA
.
81
{ARLX|MILXpIKAR
(24.07.1856,
pARIV
{11.12.1941,
pARIV
){
ZNAMENITYJFRAN
-
CUZSKIJMATEMATIK
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIFUNKCIJKOMPLEKSNOGO
PEREMENNOGOITEORIIDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
.
pOSLEOKON^ANIQ
EcoleNormale
WpA
-
RIVEKOROTKOEWREMQPREPODAWALWtULUZE
,
APOTOMWERNULSQWpARIV
,
GDEBYLPROFESSO
-
ROMANALIZA
.
tEOREMYpIKARAORASPREDELENIIZNA^ENIJANALITI^ESKIHFUNKCIJ
,
TEORIQ
pIKARA
-
wESSIODIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
WDWUHRAZLI^NYHSMYSLAH
.
pIKARBYLZQTEM|RMITA
???{
OTNEGOPO[LAPOGOWORKAOTOM
,
^TO
`
MATEMATI^[email protected]@
'.
gruppy
:
firstdraught
65
2)
RANGSWOBODNOGOMODULQ
(
NAZYWAEMYJW\TOMSLU^[email protected]
)
OPREDELENODNOZNA^
-
NO
.
wOB]EMSLU^AEOBOB]ENIEPERWOGOIZ\TIHUTWERVDENIJNAWSE
R
-
[email protected]
BESPERSPEKTIWNO
,
TAKKAKTEPERXUVESOWER[ENNONEO^EWIDNO
,
^TOPODMODULI
(
IDAVEPRQ
-
MYESLAGAEMYE
)
SWOBODNYHMODULEJSWOBODNY
.
sDRUGOJSTORONY
,
DLQMODULEJ
BESKONE^NOGO
RANGAWTOROEUTWERVDENIESPRAWEDLIWOWSILUO^EWIDNYHTEORETIKO
-
MNOVESTWENNYHSOOB
-
RAVENIJ
{`thein nitewe'lldorightaway,the nitemaytakealittleb
itlonger'.
sEJ^AS
MYWWEDEMGRUPPU
,
KOTORAQIZMERQETOTKLONENIEOTSTANDARTNYHOTWETOWWSLU^AEKONE^NO
POROVDENNYH
PROEKTIWNYH
MODULEJ
.
dLQ\TOGORASSMOTRIMMNOVESTWO
X
KLASSOWIZOMORFIZMA
KONE^NOPOROVDENNYHPROEK
-
TIWNYHPROEKTIWNYHMODULEJNAD
R
.
pOOTNO[[email protected]
(
P;Q
)
7!
P

Q
\TOMNOVESTWOOBRAZUETMONOID
,
NEJTRALXNYM\LEMENTOMKOTOROGOQWLQETSQKLASS
0.
wGLAWE
1
[email protected]
,
NAZY
-
[email protected]
.
gRUPPAgROTENDIKAMONOIDA
X
OBOZNA^AETSQ
K
0
(
R
)
NAZYWAETSQ
GRUPPOJgROTENDIKA
KOLXCA
R
.
oPI[EMGRUPPU
K
0
(
R
)
PODROBNEE
.
kAVDO
-
MUKLASSU
P
IZOMORFIZMAKONE^NOPOROVDENNYHPROEKTIWNYH
R
-
MODULEJOTWE^AET\LEMENT
[
P
]
GRUPPY
K
0
(
R
),
PRI^EM
X
!
K
0
(
R
),
P
7!
[
X
],
QWLQETSQGOMOMORFIZMOMMONOIDOW
,
.
E
.
[
P
]+[
Q
]=[
P

Q
].
pRI\TOMKAVDYJ\LEMENT
K
0
(
R
)
PREDSTAWLQETSQWWIDE
[
P
]

[
Q
].
nAPOMNIM
,
^TOPROEKTIWNYEMODULI
P
Q
[email protected]
STABILXNOIZOMORFNYMI
,
ESLI
SU]ESTWUETTAKOJSWOBODNYJMODULX
R
n
,
^TO
P

R
n

=
Q

R
n
.
mOVNODOKAZATX
,
^TO\LE
-
MENTY
[
M
]

[
N
]
[
P
]

[
Q
]
WTOMITOLXKOTOMSLU^[email protected]
K
0
(
R
),
KOGDA
MODULI
M

Q
N

P
STABILXNOIZOMORFNY
(
SM
.,
NAPRIMER
,[M],
LEMMA
1.1).
gRUPPA
K
0
(
R
)
OTRAVAET
,
NASKOLXKOLINEJNAQALGEBRAWKLASSEPROEKTIWNYHMODULEJNAD
KOLXCOM
R
BLIZKALINEJNOJALGEBRENADPOLEM
.
nAPRIMER
,
ESLI
R
POLE
,
KOLXCOGLAWNYH
IDEALOWILILOKALXNOEKOLXCO
,
TO
K
0
(
R
)

=
Z
.
4.
gRUPPAKLASSOWIDEALOW
.
nAPOMNIM
,
^TOESLI
A;B
E
R
{
DWAIDEALAKOLXCA
R
,
TO
IH
PROIZWEDENIEM
NAZYWAETSQIDEAL
AB
,
POROVDENNYJKAKADDITIWNAQPODGRUPPAWSEWOZ
-
MOVNYMIPROIZWEDENIQMIWIDA
ab
,
a
2
A
,
2
B
.
oBLASTXCELOSTNOSTI
R
NAZYWAETSQ
DEDE
-
KINDOWYMKOLXCOM
,
[email protected]
B

A
SU]ESTWUETEDINSTWENNYJ
IDEAL
C
TAKOJ
,
^TO
A
=
BC
(
SM
.[M],
S
.19).
sEJ^ASMYWOSPROIZWEDEMBOLEEPRIWY^NOE
OPREDELENIEDEDEKINDOWYHKOLEC
,
NODLQ\TOGONAMPRIDETSQNAPOMNITXE]ENESKOLXKOOPRE
-
DELENIJ
.
pUSTX
R
{
NETEROWAOBLASTXCELOSTNOSTI
,
K
{
EEPOLE^ASTNYH
.
nENULEWOJKONE^NO
POROVDENNYJ
R
-
PODMODULX
I
W
K
NAZYWAETSQ
DROBNYMIDEALOM
KOLXCA
R
,
WDALXNEJ[EM
MY^ASTONAZYWAEMDROBNYEIDEALYKOLXCA
R
PROSTOIDEALAMI
.
lEGKOWIDETX
,
^TOW\TOM
SLU^AE
I

1
=
f
x
2
K
j
xI

R
g
TOVEQWLQETSQDROBNYMIDEALOM
.
dROBNYJIDEALNAZYWAETSQ
OBRATIMYM
,
ESLI
II

1
=
R
.
tAKWOT
,
DEDEKINDOWOKOLXCO\TOWTO^NOSTINETEROWAOBLASTX
CELOSTNOSTI
,
WSEDROBNYEIDEALYKOTOROJOBRATIMY
([Alg],
S
.19{21).
wSEDROBNYEIDEALY
DEDEKINDOWAKOLXCA
R
[email protected]
.
gOWORQT
,
^TODROBNYE
IDEALY
A
B
KOLXCA
R
PRINADLEVATODNOMUITOMUVE
KLASSUIDEALOW
,
ESLI
A
=
Bz
DLQNEKOTOROGO
z
2
K

.
wYRAZIW
z
=
y=x
,
\TOUSLOWIEMOVNOPEREPISATXWWIDE
xA
=
yB
DLQNEKOTORYH
x;y
2
R

.
lEGKOWIDETX
,
^TOKLASSPROIZWEDENIQ
AB
DWUHDROBNYHIDEALOW
A;B
ZAWISITNEOTSAMIHIDEALOW
,
ATOLXKOOTIHKLASSOW
.
tAKIMOBRAZOM
,
KLASSYIDEALOW
DEDEKINDOWAKOLXCA
R
[email protected]
,
[email protected]
GRUPPOJKLASSOWIDEALOW
IOBO
-
ZNA^[email protected]
Cl(
R
).
eDINICEJ\TOJGRUPPYSLUVITKLASSIDEALA
R
,
SOSTOQ]IJIZ
GLAWNYH
IDEALOW
,
AKLASS
,
OBRATNYJKKLASSUIDEALA
I
{
\TOKLASSIDEALA
I

1
.
gRUPPA
Cl(
R
)
QWLQET
-
SQWAVNEJ[IMARIFMETI^ESKIMINWARIANTOMKOLXCA
R
,
[email protected]]IM
,
NASKOLXKO
R
BLIZKO
KKOLXCUGLAWNYHIDEALOW
.
w^ASTNOSTI
,
DEDEKINDOWOKOLXCO
R
WTOMITOLXKOTOMSLU^AE
QWLQETSQKOLXCOMGLAWNYHIDEALOW
,
KOGDAONO
ODNOKLASSNOE
,
.
E
.
KOGDA
Cl(
R
)=1.
x
13.
gRUPPYWTOPOLOGII
wNASTOQ]EMPUNKTEMYRASSKAVEMOTOM
,
[email protected]
.
1.
fUNDAMENTALXNAQGRUPPA
.
pUSTX
I
=[0
;
1]
OTREZOK
,
A
X
{
TOPOLOGI^ESKOEPROSTRAN
-
STWO
.
nEPRERYWNOEOTOBRAVENIE
f
:
I
!
X
NAZYWAETSQ
PUTEM
W
X
.
pRI\TOM
x
=
f
(0)
NAZYWAETSQ
NA^ALOM
PUTI
,
A
y
=
f
(1){
EGO
KONCOM
.
pUTX
,
DLQKOTOROGO
x
=
f
(1)=
f
(0),
NAZYWAETSQ
ZAMKNUTYM
PUTEMILI
PETLEJ
WTO^KE
x
.
rASSMOTRIMDWAPUTI
f;g
:
I
!
X
,
NA^[email protected]
,
.
E
.
f
(0)=
g
(0)
f
(1)=
g
(1).
|[email protected]
-
SQ
GOMOTOPNYMI
,
ESLISU]ESTWUETNEPRERYWNOEOTOBRAVENIE
h
:
I

I
!
X
,
TAKOE
,
^TO
66
nikolajwawilow
h
(
s;
0)=
f
(
s
)
h
(
s;
1)=
g
(
s
)
DLQWSEH
s
2
I
.
[email protected]
h
NAZYWAETSQ
GOMOTO
-
PIEJ
MEVDUPUTQMI
f
g
.
mYBUDEMRASSMATRIWATX
TOLXKO
GOMOTOPII
SZAKREPLENNYMI
KONCAMI
,
DLQKOTORYH
,
KROMETOGO
,
h
(0
;s
)=
f
(0)=
g
(0)
h
(1
;s
)=
f
(1)=
g
(1)
DLQWSEH
t
2
I
.
iNYMISLOWAMI
,
DWAPUTIGOMOTOPNY
,
ESLIODINIZNIHMOVNONEPRERYWNOPRODEFORMIROWATX
WDRUGOJWPROSTRANSTWE
X
TAK
,
^TOBYIHNA^ALAIKONCYWSEWREMQOSTAWALISXNEPODWIV
-
NYMI
,
W\TOMSLU^AEMYBUDEMPISATX
f

g
.
qSNO
,
^TOGOMOTOPIQQWLQETSQOTNO[ENIEM
\KWIWALENTNOSTINAMNOVESTWEPUTEJSNA^ALOM
x
IKONCOM
y
.
kLASSY\TOJ\KWIWALENTNOSTI
[email protected]
GOMOTOPI^ESKIMIKLASSAMI
PUTEJSNA^ALOM
x
IKONCOM
y
.
mYOBOZNA^IM
GOMOTOPI^ESKIJKLASSOTOBRAVENIQ
f
^EREZ
[
f
].
pUSTXTEPERX
f;g
:
I
!
X
{
DWAPUTITAKIE
,
^TONA^ALOWTOROGOIZNIHSOWPADAETSKONCOMPERWOGO
,
g
(0)=
f
(1).
pROIZWEDENIE
PUTEJ
f;g
OPREDELQETSQKAK
(
f

g
)(
t
)=
(
f
(2
t
)
;
0

t

1
=
2
;
g
(2
t

1)
;
1
=
2

t

1
:
lEGKOWIDETX
,
^TOPROIZWEDENIEPUTEJNEASSOCIATIWNO
,
.
E
.,
WOOB]EGOWORQ
,(
f

g
)

h
=
f

(
g

h
).
oDNAKO\TOLEGKOISPRAWITX
.
dELOWTOM
,
^TOGOMOTOPIQQWLQETSQKONGRU\NCIEJPOOTNO[E
-
[email protected]@PUTEJ
,
ESLI
f

f
0
g

g
0
,
TO
f

f
0

g

g
0
.
tAKIMOBRAZOM
,
PROIZWEDENIE
PUTEJ
KORREKTNO
OPREDELQETPROIZWEDENIEGOMOTOPI^ESKIHKLASSOWPUTEJ
,[
f
][
g
].
tAKWOT
,
S
TO^[email protected]
PROIZWEDENIEPUTEJUVEASSOCIATIWNO
:(
f

g
)

h

f

(
g

h
),
USLOWII
,
^TOHOTQBYODNOIZ\TIHPROIZWEDENIJOPREDELENO
.
tAKIMOBRAZOM
,
PROIZWEDENIE
GOMOTOPI^ESKIHKLASSOWPUTEJUVEASSOCIATIWNO
,([
f
][
g
])[
h
]=[
f
]([
g
][
h
]).
pOSTOQNNYEPUTI
e
x
:
I
7!
X
,
f
(
t
)=
x
DLQWSEH
t
,
[email protected]
/
PRAWYMINEJTRALXNYMI\LEMENTAMIPOOT
-
NO[[email protected]@PUTEJ
STO^[email protected]
.
tO^NEE
,
ESLI
f
{
PUTXSNA^ALOM
x
IKONCOM
y
,
TO
e
y

f

f

f

e
x
,
INYMISLOWAMI
,[
e
y
][
f
]=[
f
]=[
f
][
e
x
].
dLQPUTI
f
S
NA^ALOM
x
IKONCOM
y
OPREDELQETSQ
OBRATNYJ
PUTX
f

1
SNA^ALOM
y
IKONCOM
x
.
aIMENNO
,
f

1
(
t
)=
f
(1

t
).
pUTX
f

1
DEJSTWITELXNOOBRATENPUTI
f
STO^[email protected]
,
A
IMENNO
,
f

f

1

e
x
f

1

f

e
y
,
^TOTOVESAMOE
,[
f
][
f

1
]=[
e
x
]
[
f

1
][
f
]=[
e
y
].
zAFIKSIRUEMTO^KU
x
2
X
.
[email protected][E
,
MYWIDIM
,
^TOGOMOTOPI^ESKIE
KLASSYPETELXWTO^KE
x
[email protected]
.
|TAGRUPPANAZY
-
WAETSQ
FUNDAMENTALXNOJGRUPPOJ
PROSTRANSTWA
X
WTO^KE
x
IOBOZNA^AETSQ

1
(
X;x
).
fUNDAMENTALXNAQGRUPPAWEDETSEBQ
FUNKTORIALXNO
,
.
E
.
[email protected]
-
RAVENIQ
f
:
X
!
Y
OPREDELQETGOMOMORFIZMGRUPP

1
(
f
):

1
(
X;x
)
!

1
(
Y;f
(
x
)).
eSLI
PROSTRANSTWO
X
LINEJNOSWQZNO
(
.
E
.
[email protected]^KIMOVNOSOEDINITXPUTEM
),
TO
S
TO^[email protected]
FUNDAMENTALXNAQGRUPPA

1
(
X;x
)
NEZAWISITOTWYBORATO^KI
x
INAZYWAETSQPROSTOFUNDAMENTALXNOJGRUPPOJPROSTRANSTWA
X
.
|TAGRUPPAQWLQETSQOD
-
NIMIZWAVNEJ[IHINWARIANTOWPROSTRANSTWA
X
.
sODNOJSTORONY
,
ISTORI^ESKI\TOPERWOE
REALXNOEPRILOVENIETEORIIGRUPPWTOPOLOGII
,
OTKRYTOEaNRIpUANKARE
.
sDRUGOJSTORO
-
NY
,
\TAKONSTRUKCIQIMEETZAME^ATELXNYEPRILOVENIQWSAMOJTEORIIGRUPP
.
dELOWTOM
,
^TOFUNDAMENTALXNAQGRUPPA
,
WOOB]EGOWORQ
,
WESXMANEABELEWA
.
nAPRIMER
,
ZNAMENITAQ
TEO
-
REMAWANkAMPENA
82
UTWERVDAET
,
^TOFUNDAMENTALXNAQGRUPPABUKETNOGOPROIZWEDENIQ
PROSTRANSTWQWLQETSQSWOBODNYMPROIZWEDENIEMFUNDAMENTALXNYHGRUPPSOMNOVITELE
.
w
^ASTNOSTI
,
FUNDAMENTALXNAQGRUPPABUKETA
n
OKRUVNOSTEJ
{
\TOSWOBODNAQGRUPPARANGA
n
.
bOLX[INSTWOREZULXTATOW
,
OTNOSQ]IHSQKSWOBODNYMGRUPPAM
,
ESTESTWENNEEWSEGODOKAZYWA
-
@TSQIMENNONA\TOMQZYKE
.
2.
gOMOTOPI^ESKIEGRUPPY
.
w
1930-
HGODAHw
.
gUREWI^
83
[email protected]]EEMNOGOMER
-
NOEOBOB]ENIEPONQTIQFUNDAMENTALXNOJGRUPPY
.
tAKKAKPOLU^[email protected]]IESQPRI\TOMGRUPPY

n
(
X
),
n

2,
ABELEWY
,
TOPERWONA^ALXNOMNOGIETOPOLOGIS^ITALI
,
^TO\TONEPRAWILXNOE
OBOB]ENIE
,
KOTOROENESODERVITNI^[email protected]
,
NO
,
KAKMYTEPERXZNAEM
,
ONIZABLUVDALISX
.
pUSTX
,
PO
-
PREVNEMU
,
X
{
TOPOLOGI^ESKOEPRO
-
STRANSTWO
,
A
x
2
X
{
TO^KA
.
[email protected]
n

2
OPREDELENIEGOMOTOPI^ESKOJGRUPPY

n
(
X;x
)
SOWER[ENNOANALOGI^[email protected]

1
(
X;x
).
eDINSTWENNAQRAZ
-
NICASOSTOITWTOM
,
^TOEDINI^NYJOTREZOK
I
=
I
1
ZAMENQETSQ
n
-
MERNYMEDINI^NYMKUBOM
I
n
.
oBOZNA^IM^EREZ
I
n
GRANICUKUBA
,
SOSTOQ][email protected]^EK
t
=(
t
1
;:::;t
n
)
2
I
n
,
DLQ
KOTORYHKAKAQ
-
TOIZKOORDINAT
t
i
RAWNA
0
1.
rASSMOTRIMWSEWOZMOVNYENEPRERYWNYE
82
WANkAMPEN
()
83
gUREWI^
()
gruppy
:
firstdraught
67
OTOBRAVENIQ
f
:
I
n
!
X
TAKIE
,
^TO
f
(
I
n
)=
x
.
kAKIWY[E
,
MYMOVEMOPREDELITXPROIZ
-
WEDENIETAKIHOTOBRAVENIJ
,
POLAGAQ
(
f

g
)(
t
1
;:::;t
n
)=
(
f
(2
t
1
;t
2
;:::;t
n
)
;
0

t
1

1
=
2
;
g
(2
t
1

1
;t
2
;:::;t
n
)
;
1
=
2

t
1

1
:
kAKIWY[E
,
MYMOVEMRASSMOTRETXGOMOTOPIITAKIHOTOBRAVENIJSZAKREPLENNOJGRANI
-
CEJ
,
PUSTX

n
(
X;x
){
MNOVESTWOPOLU^[email protected]]IHSQGOMOTOPI^ESKIHKLASSOW
.
lEGKOPROWERITX
,
^TOGOMOTOPIQQWLQETSQKONGRU\NCIEJOTNOSITELXNOTAKOPREDELENNOGOPROIZWEDE
NIQOTOB
-
RAVENIJ
,
^TOPOZWOLQETKORREKTNOOPREDELITXPROIZWEDENIEW

n
(
X;x
).
kAKIWY[E
,
MOMEN
-
TALXNOPROWERQETSQ
,
^TO\TOPROIZWEDENIEASSOCIATIWNOSTO^[email protected]
,
TAK^TO
([
f
][
g
])[
h
]=[
f
]([
g
][
h
]);
IMEETNEJTRALXNYJ\LEMENT
,
AIMENNO
,
KLASSPOSTOQNNOGOOTOBRAVENIQ
e
=
e
x
:
I
n
!
X
,
f
(
t
)=
x
DLQWSEH
t
2
I
n
,
NAKONEC
,
[email protected]
[
f
]
2

n
(
X;x
)
SU]ESTWUET
OBRATNYJ\LEMENT
,
AIMENNO
,
KLASSOTOBRAVENIQ
f

1
:
I
n
:
!
X
,
t
7!
f
(1

t
1
;t
2
;:::;t
n
).
tA
-
KIMOBRAZOM
,

n
(
X;x
)
OBRAZUETGRUPPU
,
KOTORAQNAZYWAETSQ
n
-
JGOMOTOPI^ESKOJGRUPPOJ
PROSTRANSTWA
X
WTO^KE
x
.
zAME^ATELXNOEOTLI^IESLU^AQ
n

2
OTSLU^AQ
n
=1
SOSTOITW
TOM
,
^TOWSEGRUPPY

n
(
X;x
),
n

2,
ABELEWY
.
gOMOTOPI^ESKIEGRUPPYTOPOLOGI^ESKIHPRO
-
[email protected]_EKTOWWMATEMATIKEIIM
[email protected]
SOWER[ENNOZAME^ATELXNYEPRILOVENIQWSAMOJALGEBRE
.
nEBUDETBOLX[IMPREUWELI^ES
-
NIEMSKAZATX
,
^TOBOLX[AQ^[email protected]^EWYHIDEJWOZNIK[IHWALGEBREZAPOSLEDNIE
50
LET
PRI[LAIMENNOIZGOMOTOPI^ESKOJTOPOLOGII
.
3.
gRUPPYGOMOLOGIJIKOGOMOLOGIJ
.
mYNEBUDEMPYTATXSQOBSUVDATXKAKOPRE
-
[email protected]^ESKOJTOPOLOGII
.
[email protected]
RAZLI^NYHTEORIJGOMOLOGIJIKOGOMOLOGIJ
,
[email protected]
-
SI^ESKIHOB_EKTOW
(
TAKIHKAKPOLI\DRYILIKOMPAKTNYEMNOGOOBRAZIQ
),
NO
,
WOOB]EGOWORQ
,
[email protected][IROKIHKLASSAHPROSTRANSTW
.
[email protected]\TIHKONSTRUK
-
CIJPOSWQ]ENYCELYEKNIGI
.
pO\TOMUOPI[EM
,
W^EMSOSTOITOSNOWNAQZADUMKATOGO
,
^TO
DELAETSQW\TIHKNIGAH
,
ANEKAKKONKRETNO\TODELAETSQ
.
wPROSTEJ[EMWARIANTESKAVDYM
TOPOLOGI^ESKIMPROSTRANSTWOM
X
IABELEWOJGRUPPOJ
A
[email protected]
GRUPPYGOMOLOGIJ
H
n
(
X;A
)
IDWOJSTWENNYEKNIM
GRUPPYKOGOMOLOGIJ
H
n
(
X;A
)
PROSTRANSTWA
X
SKO\FFI
-
CIENTAMIWGRUPPE
A
.
pRI\TOMGRUPPYGOMOLOGIJWEDUTSEBQKOWARIANTNOPOOTNO[[email protected]
NEPRERYWNYMOTOBRAVENIQMTOPOLOGI^ESKIHPROSTRANSTW
,
AGRUPPYKOGOMOLOGIJ
{
KONTRAWA
-
RIANTNO
.
iNYMISLOWAMI
,
[email protected]@
f
:
X
!
Y
TOPOLOGI^ESKIH
[email protected]
H
n
(
f
):
H
n
(
X;A
)
!
H
n
(
Y;A
)
;H
n
(
f
):
H
n
(
Y;A
)
!
H
n
(
X;A
)
ABELEWYHGRUPP
.
kLASSI^ESKIRASSMATRIWALISXGRUPPYGOMOLOGIJIKOGOMOLOGIJSCELYMIKO\FFICIE
-
TAMI
,
KOTORYEOBOZNA^[email protected]^EREZ
H
n
(
X
)
H
n
(
X
).
wSAMOMPERWOMPRIBLIVENII
\TIGRUPPYPRI
n

1
[email protected]^IE
n
-
MERNYHDYROKWPROSTRANSTWE
X
.
nAPRIMER
,
W
n
-
MERNOM[ARE
B
n
NEZAMETNOWOOB]ENIKAKIHDYROK
,
TAK^TO
H
i
(
B
n
)=0
DLQWSEH
i

1.
sDRUGOJSTORONY
,
DLQ
n
-
MERNOJSFERY
X
=
S
n
IMEEM
H
0
(
S
n
)

=
H
n
(
S
n
)

=
Z
,
WTOWRE
-
MQKAK
H
i
(
S
n
)=0
DLQWSEH
i
=0
;n
.
wOT\FFEKTNOEPRILOVENIEFUNKTORIALXNOSTIGRUPP
GOMOLOGIJ
,
SKOTOROGONA^INAETSQKAVDYJKURSALGEBRAI^ESKOJTOPOLOGII
.
kLASSI^ESKAQ
TEOREMAbRAU\RA
84
ONEPODWIVNOJTO^KEUTWERVDAET
,
^TOKAVDOENEPRERYWNOEOTOBRA
-
VENIE
f
:
B
n
!
B
n
[[email protected]^KU
.
wSAMOMDELE
,
84
[email protected]|GBERTUSqNbRAU\R
(Brouwer)
(27.02.1881,Overschie{02.12.1966,
aM
-
STERDAM
){
GOLLANDSKIJMATEMATIK
,
LOGIKIFILOSOF
,
W
1912{1951
GODAHPROFESSORaMSTER
-
DAMSKOGOUNIWERSITETA
.
w
1911{1913
GODAHbRAU\RWYPOLNILNESKOLXKOO^ENXWAVNYHRABOT
POTOPOLOGII
,
WKOTORYHONWWELPONQTIQSTEPENINEPRERYWNOGOOTOBRAVENIQ
,
GOMOTOPI^E
-
SKOJKLASSIFIKACII
,
SIMPLICIALXNOJAPPROKSIMACII
,
DOKAZALTEOREMUONEPODWIVNOJTO^KE
,
TEOREMYORAZMERNOSTIIRQDDRUGIHWAVNYHREZULXTATOW
,
KOTORYEOKAZALIBOLX[OEWLIQNIE
NARAZWITIEOB]EJIALGEBRAI^ESKOJTOPOLOGII
.
pOSLE\TOGObRAU\RZANIMALSQWOSNOWNOM
MATEMATI^ESKOJLOGIKOJIOSNOWANIQMIMATEMATIKI
,
GDEONBYLZA^IN]IKOM
INTUICIO
-
NIZMA
,
SOSTOQ]EGOW
OTBRASYWANII
(rejection)
KLASSI^ESKOJMATEMATIKI
.
qDROMEGOFI
-
LOSOFIIBYLAKRITIKA
`
NEKONSTRUKTIWNYH
'
RASSUVDENIJ
,
[email protected]^ENNOGOTRETXEGO
IT
.
.
wDALXNEJ[EMBOLEEOBRAZOWANNAQIINTELLEKTUALXNORAZWITAQ^ASTXINTUICIONI
-
68
nikolajwawilow
PREDPOLOVIM
,
^TO\TONETAKI^TODLQKAVDOGO
x
2
B
n
IMEEM
f
(
x
)
=
x
.
tOGDAPROWODQLU^
IZ
f
(
x
)
^EREZ
x
DOEGOTO^KIPERESE^ENIQ
g
(
x
)
S
(
n

1)-
MERNOJSFEROJ
S
n

1
(
[email protected]]EJSQ
GRANICEJ[ARA
B
n
),
MYPOLU^ILIBYNEPRERYWNOEOTOBRAVENIE
B
n
!
S
n

1
POSTOQNNOENA
S
n

1
.
nO\TONEWOZMOVNO
,
POTOMU^TOTOGDAKOMPOZICIQ
g

,
!
:
S
n

1
,
!
B
n
!
S
n

1
BYLA
BYTOVDESTWENNYMOTOBRAVENIEM
.
pEREHODQKGOMOLOGIQMPOLU^AEM
id:
H
n

1
(
S
n

1
)
!
H
n

1
(
B
n
)
!
H
n

1
(
S
n

1
).
iNYMISLOWAMI
,
TOGDATOVDESTWENNOEOTOBRAVENIE
Z
NASEBQ
PROPUSKAETSQ^EREZ
0,
^TOABSURDNO
.
sDRUGOJSTORONY
,
STO^KIZRENIQALGEBRYGORAZDOINTERESNEERASSMATRIWATXNEKOGO
-
MOLOGIISPOSTOQNNYMIKO\FFICIENTAMI
,
AIHOBOB]ENIQSKO\FFICIENTAMIWLOKALXNYH
SISTEMAHABELEWYHGRUPP
,
[email protected]^KI
(
KOGOMOLOGII~EHA
,
KOGOMOLOGIIgROTENDIKA
,etc.).
wOOB]E
,
POKRAJNEJMERENAPOWERHNOSTNYJWZGLQDPREDSTAW
-
LQETSQ
,
^[email protected]]NYMIUDOBNYMINSTRUMENTOM
,
^EMGOMOLOGII
.
wO
-
PERWYH
,
ONITESNEESWQZANYSKLASSI^ESKIMANALIZOM
,
{
WSLU^AEMNOGOOBRAZIJ
{
DOPUS
-
[email protected]^[email protected]@WTERMINAHDIFFERENCIALXNYHFORM
.
wO
-
WTORYH
,
ONIW
MENX[EJSTEPENIPODWERVENYSLU^AJNOSTQMSWOEGOPROISHOVDENIQ
.
nAKONEC
,
W
-
TRETXIH
,
W
KOGOMOLOGIQHESTESTWENNOOPREDELQETSQPROIZWEDENIE
,
KOTOROEPREWRA]AET
H

(
X;A
)=
M
n

0
H
n
(
X;A
)
WKOLXCO
,
NAZYWAEMOEKOLXCOMKOGOMOLOGIJ
.
|TOKOLXCOPREDSTAWLQETSOBOJBOLEETONKIJ
INWARIANTPROSTRANSTWA
X
,
^EMGRUPPYGOMOLOGIJILIKOGOMOLOGIJ
.
x
14.
kWAZIGRUPPYILATINSKIEKWADRATY
nETSOMNENIQ
,
^TOWREMQTAKVEOTNOSITSQKWESU
,
KAKBREMQKBESU
.
wELIMIRhLEBNIKOW
,`
kA
'.
kAKMYZNAEM
,
ASSOCIATIWNOSTXPROIZWOLXNOJOPERACIITRUDNOUSMOTRETXIZTABLICY
k\LI
85
.
oDNAKODWADRUGIEUSLOWIQ
,
WHODQ]IEWOPREDELENIEGRUPPY
,
MOMENTALXNOUSMAT
-
[email protected]\LI
.
w\TOMPARAGRAFEPROIZOJDETNE^TOSOWER[ENNOUDIWITELX
-
NOE
.
oKAZYWAETSQ
,
PRINALI^IISOKRA]ENIQSU]ESTWUETPROSTOJKRITERIJ
,
[email protected]]IJ
PROWERITXASSOCIATIWNOSTXUMNOVENIQ
.
1.
lATINSKIEKWADRATY
.
aIMENNO
,
KAKMYZNAEM
,
WGRUPPEWOZMOVNOSOKRA][email protected]
-
BOJ\LEMENTKAKSLEWA
,
TAKISPRAWA
.
wOZMOVNOSTXSOKRA]ENIQSLEWAOZNA^AETWTO^NOSTI
,
^TOSTROKITABLICYk\LISOSTOQTIZPOPARNORAZLI^NYH\LEMENTOW
,
AWOZMOVNOSTXSOKRA
-
]ENIQSPRAWA\KWIWALENTNAANALOGI^[email protected]
.
nAPRIMER
,
WPOLUGRUPPE
STOWWERNULASXWLONONASTOQ]EJMATEMATIKI
,
ADRUGAQ^ASTXOKON^ATELXNOPREWRATILASXW
KLOUNOW
,
STRO^A]IHBEZGRAMOTNYEPASKWILINATEMU
`
mATEMATIKA
,
UTRATAOPREDELENNOSTI
'
IPR
.
rAZNUZDANNAQPROPAGANDAbRAU\ROMINTUICIONIZMA
,
DESTRUKTIWNAQPOOTNO[[email protected]
MATEMATIKEPOZICIQIFILO
-
NACIZMNEMINUEMOPRIWELIEGOKKONFLIKTUSO[KOLOJgILXBER
-
TA
,
IZWESTNOMUWMATEMATI^ESKOJLITERATUREKAK
BATRAHOMIOMAHIQ
Froschmausekrieg
(
wOJNAMY[EJILQGU[EK
.{
m
.-
l
.,1936).
|TAWOJNAZAKON^ILASXORGWYWODAMIWOTNO[ENII
bRAU\RA
,
IZGNANIEMEGOIZREDAKCII
MathematischeAnnalen
IPR
.
85
aRTURk\LI
(16.08.1821,
rI^MOND
{26.01.1895,
kEMBRIDV
){
ZAME^ATELXNYJANGLIJ
-
SKIJALGEBRAIST
,
ODINIZSAMYHPRODUKTIWNYHMATEMATIKOW
XIX
WEKA
,
NARQDUSgALUAI
gAMILXTONOMODINIZOSNOWATELEJSOWREMENNOJALGEBRY
,
WOSOBENNOSTILINEJNOJALGEBRYI
ALGEBRAI^ESKOJGEOMETRII
.
`RISTPOPROFESSII
,
W
1860-
[email protected]@^ILSQ
NAMATEMATIKUIBYLPROFESSOROMWkEMBRIDVE
.
eGOSAMYEZNAMENITYERABOTYOTNOSQT
-
SQKTEORIIMATRIC
,
TEORIIGRUPP
,
TEORIIINWARIANTOW
,
PROEKTIWNOJGEOMETRII
,
TEORII
FUNKCIJIKOMBINATORIKE
.
w
1842
GODUOPREDELILUMNOVENIEMATRIC
,
W
1843
GODUOBOB]AQ
[email protected]@
8-
[email protected]
-
RUSDELENIEMNADPOLEMWE]ESTWENNYH^ISEL
,
[email protected]
`
ALGEBRAk\LI
-
gREJWSA
'(alias
`
OKTONIONY
',`
OKTAWYk\LI
'
`
^ISLAk\LI
').
kROMEOKTAWWNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
ALGEBRYk\LI
-
dIKSONA
,
TABLICAk\LI
,
TEOREMAk\LI
,
TEOREMAk\LI
-
gAMILXTONA
,
MODELX
k\LI
-
kLEJNAGEOMETRIIlOBA^EWSKOGOIT
.
.
gruppy
:
firstdraught
69
LEWYHNULEJWOZMOVNOSOKRA]ENIESPRAWA
,
NONESLEWA
;
AWPOLUGRUPPEPRAWYHNULEJ
,
SO
-
OTWETSTWENNO
,
SLEWA
,
NONESPRAWA
.
|TOZNA^IT
,
^TODLQGRUPPYWSESTROKIIWSESTOLBCY
EETABLICYk\LISOSTOQTIZPOPARNORAZLI^NYH\LEMENTOW
.
tAKIETABLICYWSTRE^[email protected]
NASTOLXKO^ASTO
,
^[email protected]
.
rASSMOTRIM
n
-
\LEMENTNOEMNOVESTWO
X
.
rASPOLOVENIE\LEMENTOWMNOVESTWA
X
WKWAD
-
[email protected]
n

n
TAKIMOBRAZOM
,
^TOBYKAVDYJ\LEMENTMNOVESTWA
X
WSTRE
-
^ALSQROWNOPOODNOMURAZUWKAVDOJSTROKEIKAVDOMSTOLBCE
,
NAZYWAETSQ
LATINSKIM
KWADRATOM
.
tAKIMOBRAZOM
,
WTERMINOLOGIIgLAWY
5
KAVDAQSTROKAIKAVDYJSTOLBEC
[email protected]
X
.
~ISLO
n
NAZYWAETSQPORQDKOM
LATINSKOGOKWADRATA
.
[email protected]
,
DLQ\TOGODOSTATO^NORASPOLOVITX
\LEMENTY
X
WPERWOJSTROKEPROIZWOLXNYMOBRAZOM
,
[email protected]@][email protected]
IZPREDYDU]EJPRIMENENIEM
RotateRight
.
pOLU^[email protected]]AQSQTABLICAQWLQETSQTABLICEJk\LI
CIKLI^ESKOJGRUPPYPORQDKA
n
=
j
X
j
.
kOMMENTARIJ
.
lATINSKIEKWADRATYBYLIWWEDENY|JLEROMImAK
-
[email protected]
[email protected]
,
NOIWSTATISTIKEIPLANIROWA
-
NII\KSPERIMENTOW
.
iH^ASTOISPOLXZOWALIWAGROTEHNI^ESKIH\KSPERIMENTAH
,
S^EMSWQZAN
SELXSKOHOZQJSTWENNYJHARAKTERSLOVIW[EJSQTERMINOLOGII
86
.
dLQIHPOSTROENIQ[IROKO
[email protected]
,
SWQZANNYESKONE^NYMIPOLQMIIGEOMETRIQMI
,
K^EMUMYWERNEMSQ
WDALXNEJ[EM
.
2.
kWAZIGRUPPY
.
tABLICAUMNOVENIQGRUPPYOBQZANABYTXLATINSKIMKWADRATOM
.
oDNA
-
KO
,
BUDU^INEOBHODIMYM
,
\TOUSLOWIEDALEKONEDOSTATO^NO
.
nAPRIMER
,
TABLICA
87

abcd
a
abdc
b
bcad
c
cdba
d
dacb
QWLQETSQLATINSKIMKWADRATOM
,
NONEZADAETGRUPPU
,
PODWUMPRI^INAM
.
wO
-
PERWYH
,
WTABLI
-
CESTAKIMUMNOVENIEMNETNEJTRALXNOGO\LEMENTA
(
DLQNEJTRALXNOGO\LEMENTASOOTWETSTWU
-
@]AQSTROKAISTOLBECDOLVNYSOWPADATXSISHODNYMRASPOLOVENIEM\LEMENTOWMN
OVESTWA
X
).
wO
-
WTORYH
,
ZADAWAEMOE\TOJTABLICEJUMNOVENIENEASSOCIATIWNO
:(
ab
)
=
=
,
WTO
WREMQKAK
a
(
)=
ad
=
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
LATINSKIEKWADRATY\TO
WTO^NOSTI
TABLICYk\LIKWAZIGRUPP
.
mNOVESTWO
G
S
(
NEOBQZATELXNOASSOCIATIWNOJ
!)
BINARNOJOPERACIEJNAZYWAETSQ
KWAZIG
-
RUPPOJ
,
ESLIWNEMWOZMOVNOSOKRA][email protected]\LEMENTSLEWAISPRAWA
,
.
E
.
ESLIDLQ
[email protected]
x;y;z
2
G
KAVDOEIZRAWENSTW
zx
=
zy
xz
=
yz
WLE^ETRAWENSTWO
x
=
y
.
kWAZIGRUPPA
SNEJTRALXNYM\LEMENTOMNAZYWAETSQ
LUPOJ
.
zADA^A
.
wWEDEMWGRUPPE
G
[email protected]@

,
POLAGAQ
x

y
=
xy

1
.
pOKAVITE
,
^TO
(
G;

)
KWAZIGRUPPA
.
pRIKAKOMUSLOWII\TAKWAZIGRUPPAQWLQETSQLUPOJ
?
pRIKAKOMUSLOWII
OPERACIQ

ASSOCIATIWNA
?
kOMMUTATIWNA
?
3.
kRITERIJKWADRATA
.
kAKUVEOTME^ALOSX
,
WOB]EMSLU^AEDLQPROWERKIASSOCIA
-
TIWNOSTIRAZUMNEEISPOLXZOWATXNETABLICUk\LI
,
ADRUGIESREDSTWA
.
sDRUGOJSTORONY
,
IZTABLICYk\LIMOMENTALXNOUSMATRIWAETSQ
,
^TOZADAWAEMAQEJALGEBRAI^ESKAQSISTEMA
QWLQETSQLUPOJ
.
oKAZYWAETSQ
,
W\TOMSLU^AESRAWNITELXNONESLOVNOUSTANOWITXINALI^IE
ILIOTSTUTSTWIEASSOCIATIWNOSTI
.
zADA^A
.
dLQTOGO
,
^TOBYPROWERITX
,
^TOLUPAQWLQETSQGRUPPOJ
,
DOSTATO^NOUBEDITXSQW
[email protected]]EGOUSLOWIQ
:
ESLI\LEMENTY
,
STOQ]IEWTREHPARAHWER[INDWUHKWAD
-
RATOW
,
[email protected]
,
[email protected]\LEMENTY
,
STOQ]IEWIH^ETWERTYHWER[INAH
.
[email protected]\TOUSLOWIESOBY^NOGOALGEBRAI^ESK
OGOQZYKA
NAQZYKFORMUL
.
dLQTOGO
,
^TOBYLUPA
G
BYLAGRUPPOJ
,
NEOBHODIMOIDOSTATO^NO
,
^TOBY
[email protected]
8
\LEMENTOW
x
i
;y
i
;u
i
;v
i
2
G
,
GDE
i
=1
;
2,
[email protected]]EEUSLOWIE
:
ESLI
x
1
u
1
=
x
2
u
2
,
x
1
v
1
=
x
2
u
2
,
y
1
u
1
=
y
2
u
2
,
TOI
y
1
v
1
=
y
2
v
2
.
86
d
.
[email protected]
,
tEORETI^ESKAQIPRIKLADNAQSTATISTIKA
,1972,
~
.II,
gL
.IV.
87
f
.
kERTESI
,
wWEDENIEWKONE^NYEGEOMETRII
,1976,
x
1.14.
70
nikolajwawilow
pRIWEDEM
,
[email protected]^ENIE
,
DWETAKIETABLICY
,
PERWAQIZKOTORYHIZOBRAVAET
CIKLI
-
^[email protected]
GRUPPUPORQDKA
4,
AWTORAQ
{
NAIMENX[[email protected]
NECIKLI^[email protected]
GRUPPU
,
TAKNAZYWAE
-
[email protected]
^[email protected]
kLEJNA
,
OBY^NOOBOZNA^[email protected]
V
(
^ITAETSQ
`
FAU
',
OTNEMECKOGO
`Vierergruppe')
E
4
:

abcd
a
abcd
b
bcda
c
cdab
d
dabc

abcd
a
abbd
b
badc
c
cdab
d
dcba
rAZUMEETSQ
,
IWTOJIWDRUGOJTABLICE
a
IGRAETROLXNEJTRALXNOGO\LEMENTA
.
dAVENEWO
-
ORUVENNYMGLAZOMWIDNO
,
NASKOLXKO\TITABLICYSIMMETRI^NEE
,
^EMPRIWEDENNAQWY[E
,
[email protected]]AQKWAZIGRUPPU
.
4.
dISTRIBUTIWNYEKWAZIGRUPPY
.
kWAZIGRUPPANAZYWAETSQ
DISTRIBUTIWNOJ
,
ESLI
OPERACIQWNEJ
AWTODISTRIBUTIWNA
,
.
E
.
DISTRIBUTIWNASLEWAISPRAWAOTNOSITELXNOSAMOJ
SEBQ
:
x
(
yz
)=(
xy
)(
xz
)
(
xy
)
z
=(
xz
)(
yz
).
zADA^A
.
pOKAVITE
,
^TOOPERACIQWZQTIQ
SREDNEGOARIFMETI^ESKOGO
(
x;y
)
7!
S
1
(
x;y
)=
x
+
y
2
OPREDELQETNA
Q
STRUKTURUKOMMUTATIWNOJDISTRIBUTIWNOJKWAZIGRUPPY
.
zADA^A
.
uBEDITESX
,
^TOKAVDYJ\LEMENTDISTRIBUTIWNOJKWAZIGRUPPYIDEMPOTENTEN
.
w^ASTNOSTI
,
DISTRIBUTIWNAQKWAZIGRUPPA
,
SODERVA]AQBOLX[EODNOGO\LEMENTA
,
NEMOVET
BYTXGRUPPOJ
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOWKONE^NOJKOMMUTATIWNOJKWAZIGRUPPENE^ETNOE^ISLO\LEMENTOW
.
zADA^A
.
wWEDEMWGRUPPE
G
[email protected]

,
POLAGAQ
x

y
=
x
y
=
xyx

1
.
pOKAZATX
,
^TODLQ

WYPOLNENOLEWOESOKRA]ENIE
:
IZ
x

y
=
x

z
WYTEKAET
y
=
z
.
kROMETOGO
,
\TAOPERACIQ
AWTODISTRIBUTIWNASLEWA
:
x

(
y

z
)=(
x

y
)

(
x

z
).
bUDETLIGRUPPA
G
KWAZIGRUPPOJ
OTNOSITELXNO\TOJOPERACII
?
wYPOLNQETSQLIDLQNEEPRAWAQAWTODISTRIBUTIWNOSTX
?
gruppy
:
firstdraught
71
tEMA
2.
podgruppyismevnyeklassy
tEPERXMYNA^INAEMSISTEMATI^ESKIKONKRETIZIROWATXDLQGRU
PPOSNOWNYE
KONSTRUKCIIOB]EJALGEBRY
w\[email protected]]IHGLAWAHMYOPREDELIM
F
PODOB_EKTY
F
FAKTOR
-
OB_EKTY
F
MORFIZMYWKATEGORIIGRUPP
wNASTOQ]EJGLAWEMYOPREDELIMPODGRUPPYISWQVEMSKAVDOJPODGR
UPPOJ
DWAOTNO[ENIQ\KWIWALENTNOSTI
x
1.
pODGRUPPY
pODOB_EKTGRUPPYNAZYWAETSQPODGRUPPOJ
oPREDELENIEPODGRUPPYPOZWO
-
LITNAME]ERAZZADUMATXSQNADTEM
SKOLXKO
WSE
-
TAKI
OPERACIJWGRUPPE
1.
pODGRUPPY
.
nAPOMNIM
^TOSTRUKTURAGRUPPYNA
G
OPREDELQETSQ
TRE
-
MQ
OPERACIQMI
BINARNOJOPERACIEJUMNOVENIQ
UNARNOJOPERACIEJWZQTIQ
OBRATNOGOINULXARNOJOPERACIEJ
e
oPREDELENIE
.
p
o
DMNOVESTWO
H

G
88
zAMETIM
,
^TOPRAWILXNYJANGLIJSKIJPEREWOD
`overgroup',
UPOTREBLENIEW\TOMKONTEK
-
STETERMINA
`supergroup'
[email protected]]EGO^ELOWEKASOWER[ENNOANEKDOTI^ESKOE
WPE^ATLENIE
.
72
nikolajwawilow
wTOVEWREMQ
DLQ
NEPUSTYH
PODMNOVESTWUSLOWIE
iii)
AWTOMATI^ESKIWY
-
TEKAETIZUSLOWIJ
i)
I
ii).
wSAMOMDELE
ESLI
H
=
?
TONAJDETSQ
h
2
H
TAK
^TO
h

1
2
H
PO
ii)
I
ZNA^IT
e
=
hh

1
2
H
PO
i).
pO\TOMU^ASTOWOPREDELENII
PODGRUPPYUSLOWIE
iii)
ZAMENQETSQBOLEESLABYMUSLOWIEM
H
=
?
mYZNAEMIZgLAWY
1,
^TOKAKPROIZWEDENIE
TAKIWZQTIEOBRATNOGOWY
-
[email protected]^[email protected]
pO\TOMUUSLOWIQ
i)
I
ii)
MOVNO
OB_EDINITXWODNOUSLOWIE
PODGRUPPAZAMKNUTAOTNOSITELXNOLEWOGODELENIQ
T
E
iv)
h;g
2
H
=
)
h

1
g
2
H
rAZUMEETSQ
\TO\KWIWALENTNOZAMKNUTOSTI
H
OTNOSITELXNOPRAWOGODELENIQ
v)
h;g
2
H
=
)
hg

1
2
H
2.
pROIZWEDENIEPODMNOVESTWGRUPPY
.
pUSTX
X;Y

G
{
DWAPODMNO
-
VESTWAGRUPPY
tOGDA
PROIZWEDENIEM
XY
NAZYWAETSQIHPROIZWEDENIEPO
mINKOWSKOMU
XY
=
f
xy
x
2
X;y
2
Y
g
aNALOGI^NO
X

1
=
f
x

1
x
2
X
g
{
OBRATNOEPOmINKOWSKOMU
KMNOVESTWU
X
wTERMINAH\TIHOPERACIJOPREDELENIEPODGRUPPYWYGLQDITSLED
[email protected]]IM
OBRAZOM
uSLOWIE
i)
OZNA^AET
^TO
HH

H
AUSLOWIE
ii){
^TO
H

1

H
rAZUMEETSQ
ESLIDLQNEPUSTOGOMNOVESTWA
H
WYPOLNENY
OBA\TIUSLOWIQ
[email protected]^ENIQZDESXMOVNOZAMENITXNARAWENSTWA
TAKKAKTOGDA
1
2
H
nA
SAMOMDELE
KAKMYZNAEM
DOSTATO^[email protected]^ENIQ
HH

1

H
3.
pERWYEPRIMERYPODGRUPP
.
pRIWEDEMNESKOLXKOPROSTEJ[IHPRIME
-
ROWPODGRUPP
wDALXNEJ[EMMYWSTRETIMMNOGOGORAZDOBOLEEINTERESNYH
PRIMEROWWGRUPPAHPERESTANOWOK
GRUPPAHMATRICIT
D

tRIWIALXNAQINESOBSTWENNAQPODGRUPPY
.
wKAVDOJGRUPPE
G
ESTX
POKRAJNEJMEREDWEPODGRUPPY
aIMENNO
O^EWIDNO
^TO
f
e
g
G
\TAPODGRUP
-
PANAZYWAETSQ
TRIWIALXNOJ
I^ASTOOBOZNA^AETSQPROSTO
e
ILI
1,
OBY^NO\TO
NEWEDETKNEDORAZUMENIQM
sTOLXVEO^EWIDNO
^TO
G

G
|TAPODGRUPPANA
-
ZYWAETSQ
NESOBSTWENNOJ
wSEPODGRUPPY
HG
OTLI^NYEOT
G
[email protected]
-
SQ
SOBSTWENNYMI
pODGRUPPY
1
I
G
[email protected]
O^EWIDNYMI
PODGRUPPAMI
GRUPPY
G
zAMETIM
^TOWSLU^AE
G
=1
\[email protected]

[email protected]
Z
+
IMEETWID
m
Z
DLQNEKOTOROGO
n
2
Z

[email protected]
Q
+
IMEETWID
A
=
f
x
2
Q
j8
p
2
P
;v
p
(
x
)

m
p
g
DLQNEKOTOROGOSEMEJSTWA
M
=(
m
p
)
p
2
P
\LEMENTOWMNOVESTWA
f1gt
Z
tf1g
INDEKSIROWANNOENATURALXNYMIPROSTYMI
A
v
p
{
p
-
ADI^ESKIJPOKAZATELX
KO
-
TORYJOPREDELENWgLAWE
4.

zNAKOPEREMENNAQGRUPPAQWLQETSQPODGRUPPOJSIMMETRI^ESKOJ
GRUPPY
A
n

S
n

mNOGOPRIMEROWPODGRUPP
GL(
n;K
)
PRIWEDENOWgLAWE
7(
DLQ
n
=2
NEKO
-
TORYEIZ\TIHPRIMEROWUVEWSTRE^ALISXNAMWgLAWE
1).
gruppy
:
firstdraught
73

tRANZITIWNOSTX
.
pUSTX
F

H

G
tOGDA
F

G
w^ASTNOSTI
Z
+

Q
+

R
+

C
+
[email protected]
C
+

pOLOVITELXNYE^ISLA
.
pROIZWEDENIEDWUHPOLOVITELXNYH^ISELPO
-
LOVITELXNO
OBRATNOEKPOLOVITELXNOMU^ISLUPOLOVITELXNO
PO\TOMU
R
+
=
f

2
R
�
0
g
{
PODGRUPPAW
R


pODGRUPPY
Q
.
wSEGOWGRUPPEKWATERNIONOW
Q
IMEETSQ
6
PODGRUPP
IZ
[email protected]]IE
4
NEO^EWIDNYE
f
1
g
f
1

i
g
f
1

g
f
1

k
g

pODGRUPPY
S
4
.
wSEGOWGRUPPE
S
4
IMEETSQ
24
PODGRUPPY
IZKOTORYH
22
NEO^EWIDNYH
pERE^ISLIM\TIPODGRUPPYSTO^[email protected]
(
i;j;h;k
ZDESXOBOZNA^[email protected]^NYEINDEKSY
):

6
CIKLI^ESKIHPODGRUPPPORQDKA
2,
WIDA
f
e;
(
ij
)
g

3
CIKLI^ESKIHPODGRUPPYPORQDKA
2,
WIDA
f
e;
(
ij
)(
hk
)
g

4
CIKLI^ESKIHPODGRUPPYPORQDKA
3,
WIDA
f
e;
(
ijh
)
(
hji
)
g

3
CIKLI^ESKIHPODGRUPPYPORQDKA
4,
WIDA
f
e;
(
ijhk
)
(
ih
)(
jk
)
(
ikhj
)
g

1
NECIKLI^ESKAQPODGRUPPAPORQDKA
4,
AIMENNO
^ETWERNAQGRUPPA
V
=
f
e;
(12)(34)
(13)(24)
(14)(23)
g

4
PODGRUPPYPORQDKA
6,
IZOMORFNYH
S
3
AIMENNO
f
e;
(
ij
)
(
ih
)
(
jh
)
(
ijh
)
(
hji
)
g

1
PODGRUPPAPORQDKA
12,
AIMENNOZNAKOPEREMENNAQGRUPPA
A
4
=
f
e;
(123)
(132)
(124)
(142)
(134)
(143)
(234)
(243)
(12)(34)
(13)(24)
(14)(23)
g
x
2.
cENTRALIZATORYMNORMALIZATORY
sEJ^ASMYWWEDEMDWEKONSTRUKCII
KOTORYEPOZWOLQTSTROITXMNOGOINTE
-
RESNYHPRIMEROWPODGRUPPWNEABELEWYHGRUPPAH
1.
cENTR
.
mNOVESTWO\LEMENTOW
[email protected]]IHSOWSEMI\LEMENTAMI
G
NAZYWAETSQ
CENTROM
GRUPPY
G
IOBOZNA^AETSQ
C
(
G
)(
OTANGLIJSKOGO
centre
ILIAMERIKANSKOGO
center
):
C
(
G
)=
f
g
2
G
j8
x
2
G;gx
=
xg
g
wSTARINNYHKNIGAHCENTROBY^NOOBOZNA^AETSQ^EREZ
Z
(
G
)(
OTNEMECKOGO
Zentrum
).
|LEMENTY
C
(
G
)
[email protected]
CENTRALXNYMI
lEGKOWIDETX
^TO
C
(
G
)

G
wDEJSTWITELXNOSTIWgLAWE
3
MYDOKAVEMGORAZDOBOLEEOB]IJRE
-
ZULXTAT
gRUPPA
G
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEABELEWA
KOGDA
G
=
C
(
G
).
gRUPPA
G
DLQKOTOROJ
C
(
G
)=1,
NAZYWAETSQGRUPPOJ
STRIWIALXNYMCENTROM
ILI
BEZZATEJ
GRUPPOJBEZCENTRA
nAPRIMER
CENTRNEABELEWOJPROSTOJGRUPPY
TRIWIALEN

C
(
S
n
)=1
DLQ
n

3

C
(
A
n
)=1
DLQ
n

4

C
(GL(
n;R
))=
R

e
{
SKALQRNYEMATRICY
2.
cENTRALIZATOR\LEMENTA
.
pUSTX
x
2
G
oPREDELIM
CENTRALIZATOR
\LEMENTA
x
WGRUPPE
G
[email protected]]IMOBRAZOM
C
(
x
)=
f
g
2
G
gx
=
xg
g
lEGKOPROWERITX
^TO
C
(
x
)

G
74
nikolajwawilow
lEMMA
.
[email protected]
x
2
G
IMEEM
C
(
x
)

G
.
dOKAZATELXSTWO
.
wSAMOMDELE
x
1=
x
=1
x
PO\TOMU
C
(
x
)
=
?
eSLI
h;g
2
C
(
G
),
TO
(
hg
)
x
=
h
(
gx
)=
h
(
xg
)=(
hx
)
g
=(
xh
)
g
=
x
(
hg
),
TAK^TO
hg
2
C
(
G
).
sDRUGOJSTORONY
ESLI
h
2
C
(
G
),
TOUMNOVAQRAWENSTWO
hx
=
xh
NA
h

1
SPRAWAISLEWA
POLU^AEM
xh

1
=
h

1
x
TAK^TO
h

1
2
C
(
G
).
[email protected]
KONE^NO
SRAZUSLEDUET
^TO
C
(
G
)

G
wSAMOMDELE
C
(
G
)=
C
(
x
),
GDEPERESE^ENIEBERETSQPOWSEM
x
2
G
kAKMYUZNAEMW
x
5,
[email protected]
PERESE^ENIEPODGRUPPQWLQETSQPODGRUPPOJ
zADA^A
.
uBEDITESX
^TOESLI
H

G
x
2
H
I
g
2
G
TO
i)
C
(
x
g
)=
C
(
x
)
g
,ii)
C
(
x
)=
G
(
x
)
\
H
sPRAWEDLIWYLIANALOGI^NYEUTWERVDENIQDLQNORMALI
-
ZATOROW
?
3.
pRIMERYCENTRALIZATOROW
.
wY^ISLIMCENTRALIZATORYNEKOTORYHMAT
-
RIC

cENTRALIZATORREGULQRNOJPOLUPROSTOJMATRICY
dIAGONALXNAQ
MATRICA
d
=diag(
"
1
;:::;"
n
)
NAZYWAETSQ
REGULQRNOJ
ESLIWSE\LEMENTY
"
i
POPARNORAZLI^NY
dLQREGULQRNOJDIAGONALXNOJMATRICYIMEETMESTORA
-
WENSTWO
C
GL(
n;K
)
(diag(
"
1
;:::;"
n
))=
D
(
n;K
)
(
[email protected]
TO
D
(
n;K
)
SODERVITSQWCEN
-
[email protected]
pROWERXTE
^TOESLIDIAGONALXNAQ
MATRICA
d
REGULQRNA
TOONANEMOVETKOMMUTIROWATXSMATRICEJ
x
=(
x
ij
)
U
KOTOROJ
x
ij
=0
DLQKAKIH
-
TO
i
=
.)

cENTRALIZATORREGULQRNOJUNIPOTENTNOJMATRICY
pROWERXTE
^TO
C
GL(
n;K
)
0
B
B
B
@
11
:::
0
01
0
00
1
00
:::
1
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
ab:::c
0
a
00
b
00
:::a
1
C
C
C
A
kOMMENTARIJ
.
zAMETXTE
,
^TO
,
KAKIWPREDYDU]EMPRIMERE
,
RAZMERNOSTXCENTRALIZATORA
RAWNA
n
.
pRI\TOMSLOWO
`
RAZMERNOSTX
'
ZDESXMOVNOPONIMATX
[email protected]
:
KAKRAZMERNOSTX
LINEJNOJOBOLO^KI
;
KAKWE][email protected]
/
[email protected]
,
ESLI
K
=
R
C
;
KAK
RAZMERNOSTXWTOPOLOGIIzARISKOGODLQBESKONE^NOGOPOLQ
K
,
[email protected]
-
NYMOBRAZOM
.
oKAZYWAETSQ
,
CENTRALIZATORMATRICYNEMOVETIMETXRAZMERNOSTXMENX[E
n
(
MATRICA
,
CENTRALIZATORKOTOROJIMEETRAZMERNOSTX
n
,
NAZYWAETSQ
REGULQRNOJ
).
oDNAKO
LEGKOPOSTROITXPRIMERYMATRIC
,
DLQKOTORYHCENTRALIZATORIMEETBOLX[[email protected]
.

cENTRALIZATORMATRICYSDWUMQSOBSTWENNYMI^ISLAMI
pUSTX
p
+
=
n
A
";
2
K

"
=

pROWERXTE
^TO
C
GL(
n;K
)

"e
p
0
0
e
q

=

GL(
p;K
)0
0GL(
q;K
)

4.
cENTRALIZATORPODMNOVESTWA
.
pUSTXTEPERX
X

G
{
[email protected]
-
MNOVESTWOW
G
oPREDELIM
CENTRALIZATOR
X
KAK
C
(
X
)=
C
(
x
),
GDE
PERESE^ENIEBERETSQPOWSEM
x
2
X
iNYMISLOWAMI
C
(
X
)
SOSTOITIZWSEH
\LEMENTOW
PO\LEMENTNO
[email protected]]IHS
X
C
(
X
)=
f
g
2
G
j8
x
2
X;gx
=
xg
g
gruppy
:
firstdraught
75
tAKKAKPERESE^[email protected]
PODGRUPPOJ
TO
C
(
X
)
PODGRUPPAW
G
5.
nORMALIZATORPODMNOVESTWA
.
pUSTXSNOWA
X

G
{
[email protected]
-
STWOW
G
oPREDELIM
NORMALIZATOR
X
KAKMNOVESTWO\LEMENTOW
KOTORYE
[email protected]
X
WCELOM
N
(
X
)=
f
g
2
G
gX
=
Xg
g
tO^NOTAKVE
KAKWPUNKTE
2
LEGKOUBEDITXSQ
^TO
N
(
X
)
PODGRUPPAW
G
sOWER[ENNOQSNO
^TODLQODNO\LEMENTNYHPODMNOVESTWNORMALIZATORSOWPA
-
DAETSCENTRALIZATOROM
ESLI
X
=
f
x
g
TO
N
(
f
x
g
)=
C
(
x
).
wOB]EMSLU^AE
C
(
X
)

N
(
X
).
[email protected]]EJGLAWE
WDEJSTWITELXNOSTI
DAVE
C
(
X
)
E
N
(
X
).
mNOGOSODERVATELXNYHPRIMEROWWY^ISLENIQNORMALIZATORAO
BSUVDAETSQW
gLAWAH
5
I
7.
wOTTRITIPI^NYHSITUACII

nORMALIZATORGRUPPYWERHNIHUNITREUGOLXNYHMATRICSOWPADA
ETSGRUP
-
POJWERHNIHTREUGOLXNYHMATRIC
N
GL(
n;K
)
(
(
n;K
))=
B
(
n;K
).
zAME^ATELX
-
NO
^TO\TOWERNOWOOB][email protected]
K

nORMALIZATORGRUPPYDIAGONALXNYHMATRICSOWPADAETSGRUPPOJ
MONO
-
MIALXNYHMATRIC
N
GL(
n;K
)
(
D
(
n;K
))=
N
(
n;K
).
|TORAWENSTWOIMEETMESTO
[email protected]
K
SODERVA]EGOPOKRAJNEJMERE
3
\LEMENTA

gRUPPAMONOMIALXNYHMATRICQWLQETSQ
SAMONORMALIZUEMOJ
INYMI
SLOWAMIEENORMALIZATORSNOWASOWPADAETSGRUPPOJMONOMIALX
NYHMATRIC
N
GL(
n;K
)
(
N
(
n;K
))=
N
(
n;K
).
|[email protected]
K
SO
-
DERVA]EGOPOKRAJNEJMERE
4
\LEMENTA
zADA^A
.
pUSTX
F;H

G
tOGDA
N
(
F
)
\
N
(
H
)

N
(
F
\
H
).
wSEGDALI
ZDESXIMEETMESTORAWENSTWO
?
6.
sOIZMERITELXPODGRUPPY
.
w
x
10
MYWWEDEMPONQTIESOIZMERIMOSTIPODGRUPP
.
w
[email protected]]IJWARIANTPONQTIQNORMALIZATORA
.
a
IMENNO
,
PUSTX
H

G
{
PODGRUPPAW
G
.
oPREDELIM
SOIZMERITELX
Comm
G
(
H
)
PODGRUPPY
H
KAKMNOVESTWO\LEMENTOW
g
2
G
,
TAKIH
,
^TO
gHg

1
SOIZMERIMAS
H
.
[email protected]
[email protected][ETOKWGRUPPAHlI
89
;
90
.
zADA^A
.
pROWERXTE
,
^TO
Comm
G
(
H
){
GRUPPA
,
SODERVA]AQ
N
G
(
H
).
x
3.
pORQDOK\LEMENTAI\KSPONENTAGRUPPY
1.
sTEPENI\LEMENTA
,
CIKLI^ESKIEPODGRUPPY
.
eSLI
G
{
[email protected]
[email protected]\LEMENTA
g
2
G
[email protected]
POKAZATELEM
wSAMOMDELE
g
0
=
e
I
g
n
n
2
N
UVEBYLIOPREDELENYRANEE
[email protected]
[email protected]
n
2
N
MYMOVEMDOPOLNITELXNO
POLOVITX
g

n
=(
g

1
)
n
=(
g
n
)

1
qSNO
^[email protected]
m;n
2
Z
IMEETMESTORAWENSTWO
g
m
+
n
=
g
m
g
n
tAKIM
OBRAZOM
MNOVESTWO
f
g
n
n
2
Z
g
WSEHSTEPENEJ\LEMENTA
g
WDEJSTWITELXNOSTI
OBRAZUETPODGRUPPUGRUPPY
G
[email protected]
SODERVA]AQ
g
OBQZA
-
NASODERVATXTAKVEWSESTEPENI
g
TO\TO
NAIMENX[AQ
PODGRUPPA
SODERVA]AQ
89
G.A.Margulis,DiscretesubgroupsofsemisimpleLiegroups.Sprin
ger,Berlinetal.,1991.
90
N.A'Campo,M.Burger,Reseauxarithmetiquesetcommensurate
urd'apresG.A.Margulis.
{Invent.Math.,1994,vol.116,N.1{3,p.1{25.
76
nikolajwawilow
g
|TAPODGRUPPAOBOZNA^AETSQ
h
g
i
INAZYWAETSQ
CIKLI^ESKOJPODGRUPPOJ
W
G
POROVDENNOJ\LEMENTOM
g
pORQDOK
jh
g
ij
CIKLI^ESKOJPODGRUPPY
h
g
i
OBOZNA^AETSQ
o
(
g
)
ILI
ord(
g
)(
OT
ANGLIJSKOGO
`order')
INAZYWAETSQ
PORQDKOM
\LEMENTA
g
iNYMISLOWAMI
o
(
g
)
\TOLIBO
NAIMENX[EE
NATURALXNOE^ISLO
n
TAKOE
^TO
g
n
=1,
LIBO
1
eSLI
POROVDENNAQ
g
PODGRUPPABESKONE^NA
TOGOWORQT
^TO
g
{
\LEMENT
BESKONE^
-
NOGOPORQDKA
IPI[UT
o
(
g
)=
1
WPROTIWNOMSLU^AE
g
NAZYWAETSQ\LEMENTOM
KONE^NOGOPORQDKA
gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
PERIODI^ESKOJ
ILI
GRUPPOJ
KRU^ENIQ
ESLIWSEEE\[email protected]^NYJPORQDOK
gRUPPA
G
NAZYWA
-
ETSQ
GRUPPOJBEZKRU^ENIQ
ESLIWSEEE
=1
\[email protected]^NYJ
PORQDOK
2.
|LEMENTYKONE^NOGOPORQDKA
.
[email protected]]IHZADA^AHSWOJ
-
[email protected][EMBEZWSQKI
HSPECIALXNYH
SSYLOK
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOESLI
g
m
=1,
TO
o
(
g
)
m
rE[ENIE
.
dELENIESOSTATKOMW
Z
eSLI
o
(
g
)
6j
m
TOPODELIW
m
SOSTATKOM
NA
o
(
g
),
MYWIDIM
^TO
m
=
o
(
g
)+
r
GDE
0
ro
(
g
).
tOGDA
1=
g
m
=
(
g
o
(
g
)
)
q
g
r
=
g
r
^TOPROTIWORE^ITMINIMALXNOSTI
o
(
g
).
zADA^A
.
pUSTX
f
H
!
G
{
GOMOMORFIZMGRUPP
pOKAVITE
^TOESLI
h
2
H
{
\LEMENTKONE^NOGOPORQDKA
TO
f
(
h
){
TOVE\LEMENTKONE^NOGOPORQDKAI
o
(
f
(
h
))
DELIT
o
(
h
).
tEOREMA
.
pUSTX
G
{
PROIZWOLXNAQGRUPPA
,
g
2
G
,
o
(
g
)=
n
.
tOGDAPORQDOK
\LEMENTA
g
m
RAWEN
n=
gcd(
m;n
)
.
dOKAZATELXSTWO
.
kAKMYTOLXKO^TOWYQSNILI
PORQDOK\LEMENTA
g
m
{
\TO
NAIMENX[EENATURALXNOE^ISLO
k
TAKOE
^TO
(
g
m
)
k
=
g
mk
=
e
tAKKAK
o
(
g
)=
n
\TOOZNA^AET
^TO
n
mk
ILI
^TOTOVESAMOE
nq
=
mk
DLQNEKOTOROGO
2
Z
pOSLEDNEERAWENSTWOMOVNOSOKRATITXNA
d
=gcd(
m;n
)
[email protected]^ITX
^TO
(
n=d
)
=(
m=d
)
k
T
E
.(
n=d
)
(
m=d
)
k
tAKKAK
gcd(
m=d;n=d
)=1,
[email protected]
SLEDUET
^TO
k
DELITSQNA
n=d
nONAIMENX[EENATURALXNOE^ISLOSTAKIM
SWOJSTWOMIESTX
n=d
TAKIMOBRAZOM
DEJSTWITELXNO
o
(
g
m
)=
n=
gcd(
m;n
).
3.
[email protected]
.
oSOBENNOBOLX[OEZNA^ENIEWTEORIIKONE^[email protected]
\LEMENTYPORQDKA
2,
KOTORYEOBY^[email protected]
[email protected]
zADA^A
.
pUSTX
A
=
f
g
1
;:::;g
n
g
{
KONE^NAQABELEWAGRUPPA
pOKAVITE
^TO
TOGDA
o
(
g
1
:::g
n
)

2.
tEOREMAwILXSONA
91
.
eSLI
p
2
P
PROSTOE
,
TO
(
p

1)!

1(mod
p
)
.
dOKAZATELXSTWO
.
pRIMENITEREZULXTATPREDYDU]EJZADA^IKGRUPPE
A
=
(
Z
=p
Z
)

91
S\RdVONuILSON
(sirJohnWilson)
(1741,
wESTMORLEND
{1793){
[email protected]
,
WRA^IMATEMATIK
-
[email protected]
.
wMATEMATIKEuILSONZANIMALSQGLAWNYMOBRAZOMTEORIEJ^I
-
SEL
.
oBY^NOEGOFAMILIQ
O[IBO^NO
PEREDAETSQPORUSSKIKAKwILXSON
(Watson
PEREWODITSQ
KAKwATSONIPR
.)
mYSOZNATELXNOSOHRANQEM\TOTRADICIONNOENAPISANIE
,
^TOBYOTLI^ATX
S\RAdVONAwILXSONAOTODNOGOIZWEDU]IHSOWREMENNYHSPECAILISTOWPOTEORIIBESK
ONE^
-
NYHGRUPPdVONAuILSONA
(J.S.Wilson),
[email protected]
7.
gruppy
:
firstdraught
77
[email protected]]IJNEZAMYSLOWATYJFAKTQWLQETSQOTPRAWNOJTO^KOJK
LASSIFIKA
-
CIIKONE^NYHPROSTYHGRUPP
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOWKAVDOJGRUPPE^ETNOGOPORQDKANE^ETNOE^ISLO
[email protected]
w^ASTNOSTI
W\[email protected]
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOGRUPPA
WKOTOROJWSE
=1
\[email protected]
-
[email protected]
ABELEWA
rE[ENIE
.
wSAMOMDELE
xy
=(
xy
)

1
=
y

1
x

1
=
yx
4.
|KSPONENTA
.
nAIMENX[EE
m

1
TAKOE
^TO
g
m
=1
DLQWSEH
g
2
G
NA
-
ZYWAETSQ
\KSPONENTOJ
GRUPPY
G
tAKOGO
m
MOVETNESU]ESTWOWATX
NOESLI
ONOSU]ESTWUET
TOGOWORQT
^TOGRUPPA
G
IMEET
KONE^[email protected]\KSPONENTU
dLQ
\TOGONEOBHODIMO
^TOBYPORQDKIWSEH\LEMENTOWBYLIOGRANI^ENYWSOWOKUP
-
NOSTI
w\TOMSLU^AE\KSPONENTUMOVNOOPREDELITXTAKVEKAKNAIMENX
[EE
OB]EEKRATNOEPORQDKOW\LEMENTOWGRUPPY
G
nAPRIMER
WPOSLEDNEJZADA^EPREDYDU]EGOPUNKTAUTWERVDAETSQ
^TOGRUP
-
PA\KSPONENTY
2
ABELEWA
kONE^NAQABELEWAGRUPPA\KSPONENTY
p
QWLQETSQ
PRQMOJSUMMOJCIKLI^ESKIHGRUPPPORQDKA
p
T
E
\LEMENTARNOJABELEWOJ
p
-
GRUPPOJ
wSQKAQGRUPPAKONE^NOJ\KSPONENTYQWLQETSQGRUPPOJKRU^ENIQ
NO
OBRATNOENEWERNO
GRUPPA

p
PERIODI^ESKAQ
NOPRI\TOMPORQDKIEE\LEMEN
-
TOWNEOGRANI^ENYWSOWOKUPNOSTI
x
4.
pODGRUPPA
,
POROVDENNAQPODMNOVESTWOM
w\TOMPARAGRAFEMYIZLOVIMWAVNYJOB]IJMETODPOSTROENIQPOD
GRUPP
1.
pODGRUPPA
,
POROVDENNAQPODMNOVESTWOM
.
sEJ^ASMYOBOB]IMKON
-
[email protected]]EGOPUNKTANAPROIZWOLXNYEPODMNOVEST
WAW
G
oPREDELENIE
.
pUSTX
X

G
.
nAIMENX[AQPODGRUPPAW
G
,
SODERVA]AQ
X
,
78
nikolajwawilow
dOKAZATELXSTWO
.
dOKAVEMWNA^ALE
^TO
h
X
i
SODERVITSQW
H
=
M
(
X
[
X

1
).
dLQ\TOGOZAMETIM
^TO
H
{
PODGRUPPA
SODERVA]AQ
X
wSAMOMDELE
PO
[email protected]
e
QWLQETSQPUSTYMPROIZWEDENIEMI
SLEDOWATELXNO
PRINADLEVIT
H
sDRUGOJSTORONY
ESLI
u
=
x
1
:::x
m
I
v
=
y
1
:::y
n
{
DWAKAKIH
-
TO\LEMENTA
H
TO
uv
=
x
1
:::x
m
y
1
:::y
n
TAKVEPRINADLEVIT
H
tEMSAMYM
HH

H
dALEE
DLQ
u
=
x
1
:::x
m
IMEEM
u

1
=
x
m

1
:::x
1

1
tEMSAMYM
H

1
=
H
|TOI
ZNA^IT
^TO
H
ESTXPODGRUPPA
[email protected]
h
X
i
{
NAIMENX[AQ
SREDIWSEHPODGRUPP
SODERVA]IH
X
TO
h
X
i
H
oBRATNO
PUSTX
F
{
[email protected]
SODERVA]AQ
X
tOGDA
X

1

F

1
=
F
tEMSAMYM
F
SODERVITWSESLOWADLINY

1
[email protected]]IH
X
[
X

1
dALEE
RASSUVDAEMINDUKCIEJPODLINESLOWA
[email protected]
2
(
X
[
X

1
)
n
DLINY
n

2
[email protected]]IH
X
[
X

1
IMEETWID
=
ux
GDE
u
2
(
X
[
X

1
)
n

1
{
SLOWODLINY
n

1
[email protected]]IH
A
x
2
X
[
X

1
pOINDUKCIONNOMU
[email protected]
u
2
F
APOBAZEINDUKCII
x
2
F
tEMSAMYM
=
ux
2
FF

F
nO\TOZNA^IT
^TO
F

H
pOSKOLXKU\[email protected]
SODERVA]EJ
X
TO
h
X
i
H
wSLU^AE
KOGDAGRUPPA
G
KONE^NA
|
ILI
BOLEEOB]O
PERIODI^ESKAQ
|
WMESTOGRUPPOWYHSLOWZDESXDOSTATO^NOOGRANI^ITXSQPOLUGRUP
POWYMI
zADA^A
.
pUSTX
X
SOSTOITIZ\LEMENTOWKONE^NOGOPORQDKA
dOKAVITE
^TO
TOGDA
h
X
i
=
M
(
X
)=
f
x
1
:::x
n
x
i
2
X;n
2
N
0
g
zADA^A
.
pUSTX
HG
pOKAVITE
^TO
h
G
n
H
i
=
G
2.
fORMULAPROIZWEDENIQ
.
~EMURAWENPORQDOKPROIZWEDENIQDWUHPOD
-
MNOVESTWWGRUPPE
?
dLQPODGRUPPOTWETITXNA\TOTWOPROSDOWOLXNOLEGKO
ISEJ^[email protected]]EERASSUVDENIE
TAKKAKONOHORO[OIL
-
[email protected]
KAKIMENNOISPOLXZUETSQTOTFAKT
^TOKAKOE
-
TOPODMNOVESTWO
QWLQETSQPODGRUPPOJ
tEOREMA
(Produktformel).
eSLI
F;H

G
{
PODGRUPPYKONE^NOJGRUPPY
G
,
TO
FH
=
F
jj
H
F
\
H
pOQSNENIE
.
zDESX
NE
PREDPOLAGAETSQ
^TO
FH
{
PODGRUPPAW
G
dOKAZATELXSTWO
.
rASSMOTRIMOTOBRAVENIE

F

H
!
FH
,(
f;h
)
7!
fh
tAKKAK

{
[email protected]_EKCIQ
TODOSTATO^NOPOKAZATX
^[email protected]
x
2
FH
SLOJ


1
(
X
)
SOSTOITIZ
F
\
H
\LEMENTOW
wSAMOMDELE
PUSTX
x
=
fh
GDE
f
2
F
h
2
H
pOKAVEM
^TOTOGDA


1
(
x
)=
f
(
fg;g

1
h
)
g
2
F
\
H
g
qSNO
^TOPRAWAQ^ASTXSODERVITSQWLEWOJ
oBRATNO
PUSTX
x
=
f
0
h
0
GDE
f
2
F
h
2
H
tOGDA
fh
=
f
0
h
0
I
ZNA^IT
POSWOJSTWAM
iv)
I
v)
IZ
x
1
IMEEM
g
=
f

1
f
0
=
h
(
h
0
)

1
2
F
\
H
tAKIMOBRAZOM
f
0
=
fg
h
0
=
g

1
h
KAKI
UTWERVDALOSX
zADA^A
(H.B.Mann).
pUSTX
G
KONE^NAQGRUPPA
,
X;Y

G
,{
DWAPROIZWOLXNYH
(
NEOBQZA
-
TELXNORAZLI^NYH
!)
PODMNOVESTWA
.
dOKAVITE
,
^TOLIBO
G
=
XY
,
LIBO
j
G
jj
X
j
+
j
Y
j
.
gruppy
:
firstdraught
79
rE[ENIE
.
pREDPOLOVIM
,
^TO
j
X
j
+
j
Y
j

j
G
j
.
[email protected]
g
2
G
POFORMULE
[email protected]^ENIQ
-
[email protected]^ENIQIMEEM
j
X

1
g
\
Y
j
+
j
G
jj
X

1
g
\
Y
j
+
j
X

1
g
[
Y
j
=
j
X
j
+
j
Y
j

j
G
j
:
tAKIMOBRAZOM
,
X

1
g
\
Y
=
?
,
TEMSAMYM
,
NAJDUTSQ
x
2
X
,
y
2
Y
TAKIE
,
^TO
x

1
g
=
y
,
^TOTOVESAMOE
,
g
=
xy
.
nO\TO
,
KAKRAZ
,
IZNA^IT
,
^TO
G
=
XY
.
sLEDSTWIE
.
kAVDYJ\LEMENTKONE^NOGOPOLQQWLQETSQSUMMOJDWUHKWADRATOW
.
dOKAZATELXSTWO
.
pUSTX
G
=
F
+
q
.
eSLI
q
=2
m
,
TODOKAZYWATXNE^EGO
.
eSLI
q
=
p
m
,
GDE
p
NE^ETNO
,
TOPOLAGAQWPREDYDU]EJZADA^E
X
=
Y
=
F
2
q
,
MYWIDIM
,
^TO
j
X
j
+
j
Y
j
=
q
+1

q
=
j
G
j
.
x
5.
pERESE^ENIEIPOROVDENIEPODGRUPP
sEJ^ASMYOBSUDIMDWEOPERACIINADPODGRUPPAMI
KOTORYEPREWRA][email protected]
MNOVESTWOWSEHPODGRUPPGRUPPY
G
WRE[ETKU
(
G
),
[email protected][ETKOJ
PODGRUPP
1.
pERESE^ENIEPODGRUPP
.
pUSTX
F;H

G
tOGDAIHPERESE^ENIE
F
\
H
TOVEQWLQETSQPODGRUPPOJW
G
KOTORAQNAZYWAETSQ
PERESE^ENIEMPODGRUPP
F
I
H
[email protected]
nAPROTIW
OB_EDINENIE
DWUH
PODGRUPPKRAJNEREDKOQWLQETSQPODGRUPPOJ
kONE^NO
ESLI
F

H
ILI
H

F
TO
F
[
H
=
H

G
ILI
F
[
H
=
F

G
SOOTWETSTWENNO
oDNAKO
ESLIPODGRUPPY
F
I
H
NESRAWNIMY
TO
F
[
H
NIKOGDA
NEQWLQETSQPODGRUPPOJ
wSAMOMDELE
PUSTX
x
2
F
n
H
I
y
2
H
n
F
~TO
OZNA^AETUSLOWIE
xy
2
F
[
H
?
2.
pODGRUPPA
,
POROVDENNAQPODGRUPPAMI
.
eSLI
X;Y

G
{
DWAPODMNO
-
VESTWAW
G
TOWMESTO
H
=
h
X
[
Y
i
OBY^NOPI[UTPROSTO
H
=
h
X;Y
i
PRI
\TOM
H
[email protected]
POROVDENNOJ
X;Y
ILI
KOROTKO
POROVDENI
-
EM
X
I
Y
|TOTTERMINNESKOLXKODWUSMYSLENEN
NODOSTATO^NOUDOBEN
ESLI
KONE^NO
POMNITX
^TOEGOOBRATNYJPEREWODNAANGLIJSKIJ\TO
`span',
AWOWSE
NE
`generation'.
tOVEOBOZNA^[email protected]^NOGOSE
-
MEJSTWA
X
1
;:::;X
n
PODMNOVESTWW
G
pOROVDENIE
h
F;H
i
OSOBENNOINTERESNO
WSLU^AEKOGDA
F;H

G
[email protected]
h
F;H
i
\TONAIMENX[AQPODGRUPPA
SODERVA]AQKAK
F
TAKI
H
qSNO
^TO
FH;HF
h
F;H
i
pODGRUPPA
h
F;H
i
INOGDAOBOZNA^AETSQE]E
F
_
H
INAZYWAETSQ
DVOJNOM
(join)
PODGRUPP
F
I
H
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOESLI
FH

HF
ILI
HF

FH
TO
WDEJSTWITELXNO
-
STI
FH
=
HF
=
h
F;H
i
3.
pERESTANOWO^NYEPODGRUPPY
.
iNYMISLOWAMI
\TAZADA^AOZNA^AET
^TOESLIDWEPODGRUPPY
PERESTANOWO^NY
(permute,commuteasawhole),
FH
=
HF
TOIHPROIZWEDENIE
FH
QWLQETSQPODGRUPPOJ
wERNOIOBRATNOE
w^ASTNOSTI
KAKMYUWIDIMWgLAWE
3,
\TOUSLOWIEZAWEDOMOWYPOLNENO
ESLI
HOTQBYODNAIZPODGRUPP
H
ILI
F
NORMALXNAW
G
kONE^NO
\TOTEMBOLEEWER
-
NO
ESLI\TIPODGRUPPY
[email protected]
(commute,commuteelement-wise),
T
E
fh
=
hf
DLQWSEH
f
2
F
h
2
H
[email protected]]IEDWEZADA^[email protected]
INDEKSA
KOTOROEWWODITSQNIVEW
x
8.
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOPODGRUPPY
F;H

G
KONE^NOJGRUPPY
G
TOGDAI
TOLXKOTOGDAPERESTANOWO^NY
KOGDA
F
F
\
H
=
jh
F;H
i
H
80
nikolajwawilow
zADA^A
92
(
oRE
93
).
pUSTX
G
{
KONE^NAQGRUPPA
F;H

G
pREDPOLOVIM
^TO
INDEKSY
G
F
I
G
H
WZAIMNOPROSTY
tOGDA
FH
=
HF
=
G
4.
kWAZINORMALXNYEPODGRUPPY
.
w
1939
GODUo
.
oRE
(ibid.),
NA^ALIZU^ENIEPODGRUPP
H

G
TAKIH
,
^TO
H
PERESTANOWO^[email protected]
F

G
.
sAMoRENAZYWALTAKIE
PODGRUPPY
KWAZINORMALXNYMI
94
.
wPREDYDU]EMPUNKTEZAME^ENO
,
^[email protected]
PODGRUPPAKWAZINORMALXNA
.
oBRATNOE
,
WOOB]EGOWORQ
,
NEWERNO
,
TEMNEMENEEKWAZINORMALX
-
[email protected]@
,
KOTOROEMYOBSUVDAEMW
gLAWE
4.
tEOREMAoRE
.
kWAZINORMALXNAQPODGRUPPASUBNORMALXNA
.
kWAZINORMALXNOSTXSOGLASOWANASPEREHODOMKPODGRUPPAMIFAKTOR
-
GRUPPAM
95
.
zADA^A
.
eSLI
H

G
{
KWAZINORMALXNAQPODGRUPPAI
F

G
,
TO
H
\
F
KWAZINORMALXNAW
F
.
zADA^A
.
pUSTX
F

H

G
,
PRI^EM
F
E
G
.
tOGDA
H
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEKWAZINOR
-
MALXNAW
G
,
KOGDA
H=F
KWAZINORMALXNAW
G=F
.
x
6.
rE[ETKAPODGRUPP
1.
92
O.Ore,Contributionstothetheoryofgroups.{DukeMath.J.,1939
,vol.5,p.431{460.
STR
.436
93
oRE
()
94
wNASTOQ]EEWREMQTAKIEGRUPPYOBY^[email protected]
permutable,
NOPEREWOD\TOGO
TERMINANARUSSKIJNEO^EWIDEN
,
PO\TOMUMYSOHRANQEMORIGINALXNYJTERMINoRE
.
95
R.Schmidt,Subgrouplatticesofgroups.{deGruyter,Berlin,199
4,
STR
.202.
gruppy
:
firstdraught
81
sLEDSTWIE
2.
eSLIWUSLOWIQHTEOREMY
F
I
H
PERESTANOWO^NY
,
TO
h
F;H
i\
K
=
h
F
\
K;H
i
3.
mAKSIMALXNYEPODGRUPPY
.
sOBSTWENNAQPODGRUPPA
H
GRUPPY
G
NA
-
ZYWAETSQ
MAKSIMALXNOJ
ESLIONANESODERVITSQNIWKAKOJSTROGOBOLX[EJ
PODGRUPPE
iNYMISLOWAMI
HG
IIZTOGO
^TO
H

F

G
WYTEKAET
^TO
LIBO
F
=
G
LIBO
F
=
H
oDINIZOSNOWNYHWOPROSOW
82
nikolajwawilow
TOLXKO^TODOKAZANNOMU
H
=
n
Z
DLQODNOZNA^NOOPREDELENNOGO
n
2
N
0
pRI
n
=0
GOMOMORFIZM

QWLQETSQIZOMORFIZMOM
TAK^TO
G

=
Z
WSESTEPENIOB
-
[email protected]]EJ
g
POPARNORAZLI^NY
wSLU^AEVE
n�
0
IZTEOREMYOGOMOMORFIZME
(
SM
x
11
gLAWY
4)
SRAZUSLEDUET
^TO
G

=
Z
=
Ker(

)=
Z
=n
Z
eSLIPORQDOK
G
=
h
g
i
RAWEN
n
TO
g
n
=
e
wOOB]E
PUSTX
g
k
=
g
l
DLQ
NEKOTORYH
k;l
2
Z
tOGDA
e
=
g
k
(
g
l
)

1
=
g
k

l
TAK^TO
k

l
DELITSQNA
n
ILI
^TOTOVESAMOE
k

l
(mod
n
).
|TOZNA^IT
^TOW\TOMSLU^AE
G
=
f
e
=
g
0
;g;g
2
;:::;g
n

1
g
|TOZNA^IT
^TOPORQDOK
o
(
g
)
\LEMENTA
g
2
G
MOVETBYTX
OPREDELENKAKNAIMENX[EENATURALXNOE^ISLOTAKOE
^TO
g
n
=
e
ILI
o
(
g
)=
1
ESLITAKOGONATURALXNOGO^ISLANESU]ESTWUET
rASSMOTRIMTEPERX\LEMENT
g
m
CIKLI^ESKOJGRUPPY
G
=
h
g
i
IWYQSNIM
KA
-
[email protected]
tAKKAK
g
0
=
e
MOVNOS^ITATX
^TO
m
=0.
eSLI
G

=
Z
BESKONE^NA
TO
O^EWIDNO
g
m
IMEETBESKONE^NYJPORQDOKIPOROVDAET
PODGRUPPUINDEKSA
m
tAKIMOBRAZOM
WDALXNEJ[EMMYOGRANI^IMSQSLU
-
^AEMKONE^NOJCIKLI^ESKOJGRUPPY
G
PORQDKA
n
|TOTWOPROSUVEBYLNAMI
FAKTI^ESKIRASSMOTRENW
x
3
ISEJ^ASMYSFORMULIRUEMNESKOLXKOWAVNYHRE
-
[email protected]]IHIZDOKAZANNOJTAMTE
OREMYOPORQDKE
\LEMENTA
g
m
ITOLXKO^TODOKAZANNYHtEOREM
1
I
2.
w^ASTNOSTI
TAKKAK
[email protected]]IMICIKLI^ESKOJGRUPPY
G
PORQDKA
n
[email protected]\LE
-
MENTY
PORQDOKKOTORYHRAWEN
n
MYSRAZUPOLU^[email protected]@
FUNKCII|JLERA

sLEDSTWIE
1.
kONE^NAQCIKLI^ESKAQGRUPPA
G
=
h
g
i
PORQDKA
n
SODERVIT

(
n
)
[email protected]]IH
.
[email protected]]IMI
G
[email protected]
g
m
\LE
-
MENTA
g
,
DLQKOTORYH
gcd(
m;n
)=1
.
sLEDSTWIE
2.
pUSTX
G
=
h
g
i
ESTXKONE^NAQCIKLI^ESKAQGRUPPAPORQDKA
n
.
tOGDADLQKAVDOGODELITELQ
d
PORQDKA
n
W
G
gruppy
:
firstdraught
83
zAMETIM
^TO\TOSLEDSTWIEDAETE]EODNODOKAZATELXSTWO
SUMMATORNOJ
FORMULY
DLQFUNKCII|JLERA
P
j
n

(
d
)=
n
wSAMOMDELE
KAVDYJ\LEMENT
h
2
G
KONE^NOJCIKLI^ESKOJGRUPPYPORQDKA
n
IMEETPORQDOK
d
n
PRI^EM^ISLO
\LEMENTOWPORQDKA
d
RAWNO

(
d
).
iSPOLXZUQ\[email protected]
^TOWDEJSTWITELXNOSTIsLEDSTWIE
2
HARAKTERIZUETCIKLI^ESKIEGRUPPY
ESLI
G
KONE^NAQGRUPPAPORQDKA
n
WKOTOROJDLQKAVDOGODELITELQ
d
EEPORQDKA
SU]ESTWUETNEBOLEEODNOJPODGRUPPYPORQDKA
d
TO
G
CIKLI^ESKAQ
sLEDSTWIE
2
MOVNOSFORMULIROWATXI^UTXINA^E
sLEDSTWIE
4.
pUSTX
G
=
h
g
i
ESTXKONE^NAQCIKLI^ESKAQGRUPPAPORQDKA
n
.
tOGDADLQKAVDOGODELITELQ
d
PORQDKA
n
W
G
96
P.Diaconis,R.L.Graham,W.M.Kantor,Themathematicsofperfect
shues.{Adv.Appl.
Math.,1983,vol.4,p.175{196.
97
gASPARmONV
(10.05.1746,Beaune{28.07.1818,
pARIV
){
FRANCUZSKIJGEOMETR
,
OSNOW
-
NYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKDIFFERENCIALXNOJINA^ERTATELXNOJGEOMETRII
.
iNTE
-
RESNO
,
^TOOSNOWNAQIDEQNA^ERTATELXNOJGEOMETRIIWOZNIKLAUNEGOPRIRAZRABOTKEFORTI
-
FIKACIONNYHPLANOWE]EWOWREMQOBU^ENIQWWOENNOJAKADEMII
.
|TOTMETODBYLTUTVE
OB_QWLENWOENNOJTAJNOJ
.
pRINIMALAKTIWNOEU^[email protected]
,
W
1892{
1893
GODAHBYLMORSKIMMINISTROM
.
kAKDRUGnAPOLEONASTALDIREKTOROMEGIPETSKOGOMUZEQ
IODNOJIZSAMYHPRESTIVNYH[KOLWOfRANCII
,EcolePolytechnique.
iZWESTIEOPORAVENII
nAPOLEONAWrOSSIIWYZWALOUNEGOINSULXT
,
W
1815
GODUPOSLERESTAWRACIImONVPOTERQL
WSESWOIDOLVNOSTI
,
AW
1816
[email protected]^ENIZpARIVSKOJaKADEMII
!
84
nikolajwawilow
RAWEN
1,2,6,12
I
120,
SOOTWETSTWENNO
oTOVDESTWITE
98
STO^[email protected]
-
FIZMAPERWYE^ETYREIZ\TIHGRUPP
98
zDESXIDALEEPREDLOVENIE^[email protected]
OTOVDESTWITX^TO
-
TO
QWLQETSQPEREWODOMSMOEGO
WNUTRENNEGOMATEMATI^ESKOGOQZYKAKOMANDY
identifysmth.
tAKIMOBRAZOM
,
POVELANIE
OTOVDESTWITX^TO
-
TO
,
OZNA^AETSOWER[ENNONETOVESAMOE
,
^TOPRIKAZ
OTOVDESTWITX^TO
-
TO
S^EM
-
TO
,
[email protected]^EREDX
,
[email protected]]IJSQPEREWODOM
identifysmth.withsmth.else
!!
dRUGIE
WOZMOVNYERUSSKIEPEREWODY
:
OPOZNAJTE
,
RASPOZNAJTE
,
KAKSKAZALIBYFIZIKI
,
PROGRAM
-
MISTYIKRIMINALISTY
,
IDENTIFICIRUJTE
.
gruppy
:
firstdraught
85

gRUPPA
SL(
n;
Z
)
POROVDENATRANSWEKCIQMI
t
ij
(1)=
e
+
e
ij
,1

i
=

n
(
\TOBUDETDOKAZANOWgLAWE
7
KAKSLEDSTWIE\WKLIDOWOSTI
Z
).

pUSTX
G
=
h
x;y
i
PODGRUPPAW
GL(
n;
Z
),
[email protected]
x
=


10
01

;y
=


11
01

tAKKAK
yx
=
t
12
(1){
\LEMENTBESKONE^NOGOPORQDKA
TOGRUPPA
G
BESKONE^
-
NA
|TAGRUPPAOBOZNA^AETSQ
D
INAZYWAETSQ
BESKONE^NOJDI\DRALXNOJ
GRUPPOJ
[email protected]]IEGRUPPYNEMOGUTBYTXKONE^NOPOROVDENNYMI

sWOBODNAQABELEWAGRUPPA
Z
@
S^ETNOGORANGA

aDDITIWNAQGRUPPA
Q
+
POROVDENA
f
1
=n;n
2
N
g

mULXTIPLIKATIWNAQGRUPPA

p
POROVDAETSQPERWOOBRAZNYMIKORNQMI

p
STEPENEJ
p
n
n
2
N

mULXTIPLIKATIWNAQGRUPPA
Q

POROVDENA

1
I
p
2
P
(
\TOPROSTOE]E
ODNAFORMULIROWKAOSNOWNOJTEOREMYARIFMETIKI
!)
dLQKAVDOJIZ\TIHGRUPPO^EWIDNO
^TOONANEPOROVDAETSQ
NIKAKIM
KONE^
-
NYM^ISLOM\LEMENTOW
wDEJSTWITELXNOSTILEGKOWIDETX
^TOGRUPPY
Q
+
I

p
p
2
P
[email protected]@]IMZAME^ATELXNYMSWOJSTWOM
[email protected]^NO
POROVDENNAQPODGRUPPACIKLI^ESKAQ
{
[email protected]
LOKALXNOCIKLI^ESKIMI
dLQGRUPPY
Q
+
\TOTFAKTNAZYWAETSQ
PRIWEDE
-
NIEMDROBEJKOB][email protected]
ADLQ

p
PODGRUPPA
POROVDENNAQ\LE
-
MENTAMI

1
;:::;
n
POROVDAETSQUVETEMIZNIH
KOTORYJIMEETNAIBOLX[IJ
PORQDOK
~TOKASAETSQGRUPPY
Q

[email protected]
GRUPPY
f
1
g
ISWOBODNOJABELEWOJGRUPPYS^ETNOGORANGA
tEMSAMYM
[email protected]
EEKONE^NOPOROVDENNAQPODGRUPPASODERVITSQWNEKOTOROJPOD
GRUPPE
POROV
-
DENNOJ

1
IKONE^NYMMNOVESTWOMPROSTYH
p
1
;:::;p
n
6.
|KONOMI^NOEPOROVDENIE
.
wDEJSTWITELXNOSTI
PRIWEDENNYEWPREDY
-
DU][email protected]]IHWESXMADALEKIOTMINIMALX
NYH
nASA
-
MOMDELE
OBY^NODOSTATO^NOGORAZDOMENX[EGO^ISLA\LEMENTOW
\LEMENTOW
MENX[IHPORQDKOW
IT
D
[email protected]
-
^ISLENIQMIWGRUPPAHPOLU^ILGROMADNOERAZWITIEPOISKBOLEE\
FFEKTIWNYH
[email protected]]IHMNOVESTW
{
IZWESTNYJKAK
economicgeneration.
nAPRIMER
USTA
-
NOWLENO
^TOMNOGIEDOSTATO^NONEABELEWYGRUPPY
[email protected]^AQWSEKONE^NYEPRO
-
STYEGRUPPY
[email protected]\LEMENTAMI
pRIWEDEMDWAPRIMERA\KONO
-
MI^NOGOPOROVDENIQ

sIMMETRI^ESKAQGRUPPA
S
n
POROVDENATRANSPOZICIEJ
(12)
IDLINNYMCIK
-
LOM
(123
:::n
).

gRUPPA
SL(
n;
Z
)
POROVDENATRANSWEKCIEJ
t
12
(1)
I\LEMENTOMkOKSETERA
e
12
+
e
23
+
:::
+
e
n

1
;n
+(

1)
n
e
n
1
x
7.
sMEVNYEKLASSY
wNASTOQ]EMPARAGRAFEMYSWQVEMSKAVDOJPODGRUPPOJ
H

G
DWAOTNO
-
[ENIQ\KWIWALENTNOSTINA
G
1.
sMEVNYEKLASSY
.
sEJ^[email protected]^EWYHPONQTIJTEORII
GRUPP
KOTOROEWPERWYERASSMATRIWAL|WARISTgALUA
86
nikolajwawilow
oPREDELENIE
.
lEWYMSMEVNYMKLASSOM
G
PO
H
99
`Whichisthemaster,that'sthequestion'{HumptyDumpty.
100
dMITRIJkONSTANTINOWI^fADDEEW
(){
[email protected]]IJSQRUSSKIJALGEBRAIST
,
OSNO
-
WATELXpETERBURGSKOJALGEBRAI^ESKOJ[KOLY
(
SUPERBREND
d
.
k
.
).
oSNOWNYERABOTYfAD
-
DEEWAOTNOSQTSQKALGEBRAI^ESKOJTEORII^ISEL
,
ALGEBRAI^ESKOJGEOMETRII
,
GOMOLOGI^ESKOJ
ALGEBRE
,
LINEJNOJALGEBRE
,
TEORIIKOLECITEORIIPREDSTAWLENIJ
.
rANNIERABOTYfADDEE
-
WAOTNOSQTSQKGEOMETRIITEORIIgALUA
(
BREND
dELONE
{
fADDEEW
).
gOMOOLOGIIWGRUPPAH
(
BREND
bOREWI^
{
fADDEEW
)
sMOEJTO^KIZRENIQRABOTYd
.
k
.,
EGOWKLADWALGEBRUIEGO
ROLXWRAZWITIEALGEBRYWNA[EJSTRANE
DRAMATI^ESKIM
OBRAZOMNEDOOCENENY
.
mNEKO
-
NE^NO
,
TRUDNOOCENIWATXfADDEEWAOB_EKTIWNO
:
USOBAKIESTXHOZQIN
,
UWOLKAESTXBOG
,
AU
^ELOWEKAESTXU^ITELX
.
tAKWOT
,
fADDEEWBYLOB]IMU^ITELEMWSEHpETERBURGSKIHALGEB
-
RAISTOWMOEGOPOKOLENIQ
.
|TAKNIGAPREDSTAWLQETSOBOJSKROMNYJOMAV
(
,
KAKTEPERX
PRINQTOGOWORITX
,tribute)
PAMQTId
.
k
.
wSEW\TOJKNIGE
(
KROMESTILQ
!)
QWLQETSQPLODOM
TOGOPONIMANIQMATEMATIKI
,
KOTOROMUQOBQZAN[KOLEd
.
k
.
d
.
k
.
BYLOBRAZCOMRUSSKOGO
INTELLEKTUALAIPROFESSIONALAWYSO^AJ[EGOKLASSA
.
wFILARMONIIQKAVDYJRAZWSTRE
-
^ALdMITRIQkONSTANTINOWI^A
,
WOWREMQISPOLNENIQONT]ATELXNOSWERQLPROISHODQ]EES
PARTITUROJ
.
oNPISALROMANSY
{
ISLOWAKNIM
,
NANEMECKOMQZYKE
.
kROMECITIROWANNO
-
GOWOWWEDENIIU^EBNIKA
[F]
ISBORNIKAZADA^
(
BREND
fADDEEW
{
sOMINSKIJ
)
d
.
k
.
NAPISAL
E]ENESKOLXKOKNIGd
.
k
.
fADDEEW
,
w
.
n
.
fADDEEWA
,
wY^ISLITELXNYEMETODYLINEJNOJALGEB
-
RY
.{
fIZMATGIZ
,
m
.-
l
.,1963.(
BREND
fADDEEW
{
fADDEEWA
)
mNOGIERABOTYfADDEEWAPO
LINEJNOJALGEBRENAPISANYIMSOWMESTNOSSUPRUGOJ
wEROJnIKOLAEWNOJfADDEEWOJ
.
iH
SYN
[email protected]^fADDEEW
TOVESTALSOWER[ENNOZAME^ATELXNYMMATEMATIKOM
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKRAZLI^NYMASPEKTAMMATEMATI^ESKOJF
IZIKEISWQ
-
ZANNYMSNEJANALIZUIALGEBRE
:
TEORIQRASSEQNIQ
,
KWANTOWYEGRUPPYIT
.
.
w
...
GODAH
l
.
d
.
fADDEEWBYLpREZIDENTOMmEVDUNARODNOGOmATEMATI^[email protected]
.
101
iGORXrOSTISLAWOWI^{AFAREWI^
(){
[email protected]]IJSQRUSSKIJALGEBRAIST
,
OSNOWA
-
TELXmOSKOWSKOJALGEBRAI^ESKOJ[KOLY
.
oSNOWNYERABOTY{AFAREWI^AOTNOSQTSQKAL
-
GEBRAI^ESKOJTEORII^ISEL
,
ALGEBRAI^ESKOJGEOMETRII
.(
BREND
{AFAREWI^
{
pQTECKIJ
-
{APIRO
)(
BREND
kOSTRIKIN
{
{AFAREWI^
)(
BREND
rUDAKOW
{
{AFAREWI^
)
kROMECITI
-
ROWANNOGOWOWWEDENIIOBZORA
`
oSNOWNYEPONQTIQALGEBRY
'
{AFAREWI^NAPISALDWAZAME^A
-
gruppy
:
firstdraught
87
RO[A
102
[Kur]
KAFEDRAALGEBRYmOSKOWSKOGOuNIWERSITETANAZYWAET
Hx
PRAWYM
SMEVNYM
KLASSOM
,
SM
.,
NAPRIMER
,
kOSTRIKIN
103
[K1],[K2]
IwINBERG
104
[Vi2].
2.
rAZBIENIENASMEVNYEKLASSY
.
sEJ^ASMYPOKAVEM
^TOSMEVNYE
KLASSYPOPODGRUPPE
H
[email protected]
G
tEOREMA
.
gRUPPA
G
TELXNYHU^EBNIKA
:
z
.
i
.
bOREWI^
,
i
.
r
.
{AFAREWI^
,
tEORIQ^ISEL
.3-
EIZD
.{
nAUKA
,
m
.,1985,
S
.1{503(
SUPERBREND
bOREWI^
{
{AFAREWI^
);
i
.
r
.
{AFAREWI^
.{
oSNOWYALGEBRAI^ESKAQ
GEOMETRII
.2-
EIZD
.,
t
.1
2.{
nAUKA
,
m
.,1988,
S
.1{351,1989,c.1{304.
oSNOWNYEMATEMATI^E
-
SKIERABOTY{AFAREWI^ASOBRANYWTRETXEMTOMEEGOTRUDOW
:
i
.
r
.
{AFAREWI^
.
sO^INENIQ
WTREHTOMAH
,
.3.{
ao
`
pRIMA
B',
m
.,
~ASTX
1:
tEORIQ^ISELIRAZNOE
,1996,
S
.1{415;
~ASTX
2:
aLGEBRAIALGEBRAI^ESKAQGEOMETRIQ
,1996,
S
.1{637.
kROMEMATEMATI^ESKIHRABOT
{AFAREWI^NAPISALGROMADNOEKOLI^ESTWOFILOSOFSKIH
,
ISTORI^ESKIH
,
SOCIOLOGI^ESKIHI
FILOSOFSKIHPROIZWEDENIJ
:`
rUSOFOBIQ
',`
dWAPUTIKODNOMUOBRYWU
',...
|TISO^INENIQ
WYZWALINEODNOZNA^[email protected]@KOLLEG
,
KAKWrOSSII
,
TAKINAzAPADE
.
102
aLEKSANDRgENNADXEWI^kURO[
({18.05.1971,
mOSKWA
){
IZWESTNYJRUSSKIJAL
-
GEBRAIST
,
PROFESSORmOSKOWSKOGOUNIWERSITETA
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOPOSWQ]ENYAB
-
STRAKTNOJTEORIIGRUPP
,
ABSTRAKTNOJTEORIIKOLECIO^ENXOB]EJALGEBRE
.
wPREDWOENNYE
GODYIMIEGOU^ENIKAMIPOLU^ENYWESXMAZAME^ATELXNYETEOREMYOPODGRUPPAHSWO
BODNYH
IAMALXGAMIROWANNYHPROIZWEDENIJ
,
TEOREMYkURO[AIgRU[KO
,
KOTORYEMYUPOMINAEM
WgLAWE
10.
iZDRUGIHRABOTkURO[ANAIBOLX[[email protected]@TSQEGOSTATXIPO
TEORIIRADIKALOW
,
RADIKALaMICURA
-
kURO[A
,
OBOB]ENNYMRAZRE[IMYMGRUPPAM
(
BREND
kURO[
-
~ERNIKOW
)
INAPISANNAQIMSOWMESTNOSa
.
h
.
lIF[ICEMIe
.
g
.
{ULXGEJFEROMOB
-
ZORNAQSTATXQPOTEORIIKATEGORIJ
(
uSPEHImAT
.
nAUK
,1960,
.15,
S
.3{52).
wLIQNIEkURO[A
NARAZWITIEALGEBRYWsssrNAOPREDELENNOM\TAPEBYLO^REZWY^AJNOWELIKO
,
NOSSEGODNQ[
-
NIHPOZICIJWYGLQDITWESXMANEODNOZNA^NO
.
nESOMNENNO
,
kURO[BYLODNIMIZGLAWAREJI
IDEJNYHWDOHNOWITELEJ[AJKI
`
PRESTUPNYHALGEBRAISTOW
'.
kROMEKRAJNENEUDA^NOJKNIV
-
KIPOTEORIIGRUPPkURO[ZAPISALE]ELEKCIIPOOB]EMUKURSUALGEBRYDLQ
1-
GOKURSA
:
a
.
g
.
kURO[
,
kURSWYS[EJALGEBRY
.{
nAUKA
,
m
.,1975.
wPERWOMIZDANII\TILEKCIIWYGLQ
-
DELIWPOLNEPRILI^NO
,
NODALX[ESKAVDYMIZDANIEMSTANOWILISXWSEHUVEIHUVE
.
kROME
TOGO
,
kURO[SFABRIKOWALDWAUVESOWER[ENNOODIOZNYHPROGRAMMNYHSO^INENIQWDUHETO
-
WARI]ESTWAPEREDWIVNYHWYSTAWOK
:
a
.
g
.
kURO[
,
lEKCIIPOOB]EJALGEBRE
.2-
EIZD
.{
m
.,
1973,
S
.1{396;
a
.
g
.
kURO[
,
oB]AQALGEBRA
.{
m
.,1973.
wPRO^EM
,
DAVEUaLEKSANDRAgEN
-
NADIEWI^AMOVNONAJTIWESXMAPRONIKNOWENNYESUVDENIQ
,
OSNOWANNYENABOLX[OMLI^NOM
OPYTE
:`
WTAKOJNAUKE
,
KAKOB]AQALGEBRA
,
NENUVNOBOLX[OGOUMA
,
^TOBYSOZDAWATXNOWYE
OB_EKTYIZU^ENIQ
'(`
oB]AQaLGEBRA
',
STR
.9).
103
aLEKSEJiWANOWI^kOSTRIKIN
(){
[email protected]]IJSQRUSSKIJALGEBRAIST
,
ODINIZSA
-
MYHBLESTQ]IHPREDSTAWITELEJmOSKOWSKOJALGEBRAI^ESKOJ[KOLY
.
oSNOWNYERABOTYkO
-
STRIKINAOTNOSQTSQKTEORIIALGEBRlI
,
TEORIIGRUPP
,
ITEORIIPREDSTAWLENIJ
.
u^ENIK
~UDAKOWAI{AFAREWI^A
.
rABOTYkOSTRIKINAPOOSLABLENNOJPROBLEMEbERNSAJDA
.
|TI
RABOTABYLABLESTQ]EPRODOLVENAeFIMOMiSAAKOWI^EMzELXMANOWYM
.
kOSTRIKINWNES
SOWER[[email protected]][email protected]
.
iMENNOEGORABOTYPRE
-
WRATILI\TUOBLASTXIZNABORARAZROZNENNYHPRIMEROWWsFORMULIROWANNAQIMSOWMESTNO
S{AFAREWI^EM
GIPOTEZAkOSTRIKINA
-
{AFAREWI^A
STALAPROGRAMMOJRABOTYWSEHSPE
-
CIALISTOWW\TOJOBLASTINAMNOGODESQTILETIJIWDALXNEJ[EMBLESTQ]EPODTWERDILASX
.
rABOTY
kOSTRIKINA
{
kOSTRIKINA
{
uFNAROWSKOGO
(
SUPERBREND
`
OTEC
,
SYNISWQTOJDUH
')
POSWQ]ENNYERE[[email protected]
PROBLEMYwINNI
-
pUHA
OBORTOGONALXNYHRAZLOVENIQH
(`
zA^EMGO
-
WORIMMYSLOWO
A
5
;:::
')
[email protected]^NOJSERIIZAME^ATELXNYHRE[ETOKW
RAZMERNOSTQH
p
2

1,
PERWYEDWEIZKOTORYH
{
\TO
E
8
IRE[ETKAlI^A
.
kNIGI
:
aLGEBRA
,
kOSTRIKIN
{
mANIN
,
wOKRUGbERNSAJDA
.{
nAUKA
,
m
.,1986,
S
.1{232.
104
|RNESTbORISOWI^wINBERG
(){
[email protected]]IJSQRUSSKIJALGEBRAIST
,
ODINIZSAMYH
BLESTQ]IHPREDSTAWITELEJmOSKOWSKOJALGEBRAI^ESKOJ[KOLY
.
oSNOWNYERABOTYwINBERGA
OTNOSQTSQKTEORIIGRUPPIALGEBRlI
,
TEORIIALGEBRAI^ESKIHGRUPP
,
NE\WKLIDOWOJGEOMET
-
RIIITEORIIDISKRETNYHGRUPP
.
kROMECITIROWANNYHWOWWEDENIIU^EBNIKOWALGEBRY
[Vi1],
[Vi2]
|RNESTbORISOWI^NAPISALE]ENESKOLXKOZAME^ATELXNYHKNIG
,
WTOM^ISLE
[Vin]
[VO].
88
nikolajwawilow
dOKAZATELXSTWO
.
tAKKAK
x
2
Hx
TO
G
=
Hx
GDEOB_EDINENIEBERETSQPO
WSEM
Hx
2
H
n
G
tAKIMOBRAZOM
NUVNOLI[XPOKAZATX
^TO\TOOB_EDINENIE
[email protected]
wSAMOMDELE
PUSTX
Hx
I
Hy
{
DWASMEVNYHKLASSA
G
PO
H
pREDPOLOVIM
^TO
Hx
\
Hy
=
?
|TOZNA^IT
^TONAJDETSQ
z
2
Hx
\
Hy
T
E
NAJDUTSQTAKIE
h;g
2
H
^TO
z
=
hx
=
gy
tEMSAMYM
y
=
g

1
(
hx
)=(
g

1
h
)
x
TAK^TO
y
2
Hx
pO\TOMU
Hy

H
(
Hx
)=(
HH
)
x
=
Hx
tO^NOTAKVEPROWE
-
[email protected]^ENIE
Hx

Hy
tAKIMOBRAZOM
OKON^ATELXNO
Hx
=
Hy
tEM
SAMYM
NIKAKIEDWARAZLI^[email protected]
^TOI
UTWERVDALOSX
dOKAZATELXSTWODLQPRAWYHKLASSOWSOWER[ENNOANALOGI^NO
|TATEOREMAOZNA^AET
^TO
G
=
G
Hx;Hx
2
H
n
G:
rAZBIENIENALEWYESMEVNYEKLASSY
G
PO
H
NAZYWAETSQ
RAZLOVENIEMGRUP
-
PY
G
POPODGRUPPE
H
oDNIMIZSMEVNYHKLASSOWQWLQETSQSAMAPODGRUPPA
H
=
H
1=1
H
iZNALI^IQSOKRA]ENIQWGRUPPESRAZUSLEDUET
^TODLQKAV
-
DOGO
x
2
G
OTOBRAVENIE
H
!
Hx
h
7!
hx
[email protected]
H
NASMEVNYJ
KLASS
Hx
TAK^TO
W^ASTNOSTI
Hx
=
H
iZTOLXKO^TODOKAZANNOJTEOREMY
WYTEKAET
^[email protected]
x=
2
H
KLASS
Hx
NEPERESEKAETSQS
H
I
ZNA^IT
NE
QWLQETSQPODGRUPPOJ
zADA^A
.
pUSTX
H

G
dOKAVITE
^TOESLI
G
n
H
KONE^NO
TOLIBO
G
KONE^NA
LIBO
H
=
G
rE[ENIE
.
pUSTX
G
BESKONE^NA
H
=
G
eSLI
H
KONE^NA
TOSRAWNENIEMO]NO
-
STEJPOKAZYWAET
^TO
G
n
H
BESKONE^NO
sDRUGOJSTORONY
ESLI
H
BESKONE^NA
I
g=
2
H
TO
G
n
H
SODERVITBESKONE^NYJSMEVNYJKLASS
gH
I
ZNA^IT
SNOWA
BESKONE^NO
zADA^A
.
i)
pUSTX
F;H

G
pOKAVITE
^TOPERESE^ENIEDWUHSMEVNYHKLASSOW
Fx
\
Hy
LIBOPUSTO
LIBOIMEETWID
(
F
\
H
)
g
DLQPODHODQ]EGO
g
2
G
ii)
oBOB]ITE\TOTREZULXTATNA
PROIZWOLXNOE
SEMEJSTWOPODGRUPP
3.
[email protected]
.
wPREDYDU]EMPUNKTEMYPOSTRO
-
ILIRAZBIENIQ
G
NALEWYE
/
PRAWYEKLASSYSMEVNOSTIPO
H
mYZNAEM
^TOS
KAVDYMRAZBIENIEMSWQZANONEKOTOROEOTNO[ENIE\KWIWALENT
NOSTI
oPI[EM
POLU^[email protected]]IESQOTNO[ENIQ\KWIWALENTNOSTIQWNO
bUDEMGOWORITX
^TO
x
I
y
[email protected]
H
SLEWA
IPISATX
x

y
ESLI
Hx
=
Hy
|TOOZNA^AET
^TONAJDUTSQTAKIE
h;g
2
H
^TO
hx
=
gy
tEMSAMYM
xy

1
=
h

1
g
2
H

1
H
=
H
sPODGRUPPOJ
H
SWQZANOIWTOROE
OTNO[ENIE\KWIWALENTNOSTI
[email protected]
H
SPRAWA
x

y
ESLI
xH
=
yH
lEGKOWIDETX
^TO
xH
=
yH
\[email protected]^[email protected]
x

1
y
2
H
tAKIMOBRAZOM
MYMOVEMWWESTIOTNO[[email protected]
H
I
NEUPOMINAQSMEVNYEKLASSY
oPREDELENIE
.
gOWORQT
,
^TO\LEMENTY
x;y
2
G
[email protected]
H
SLEWA
(
gruppy
:
firstdraught
89
|TOOTNO[ENIE
REFLEKSIWNO
TAKKAK
xx

1
=
e
2
H
90
nikolajwawilow
X
=
f
x
1
;:::;x
n
g
{
SISTEMAPREDSTAWITELEJLEWYHSMEVNYHKLASSOW
TOGRUPPA
G
[email protected]_EDINENIQ
G
=
Hx
1
t
:::
t
Hx
n
3.
sISTEMYOB]IHPREDSTAWITELEJ
.
w
1935
GODUfILIPPhOLL
105
ZAINTERESOWALSQ
WOPROSOM
,
WERNOLI
,
^TOMOVNONAJTI
SISTEMUOB]IHPREDSTAWITELEJ
X
DLQLEWYHI
PRAWYHSMEVNYHKLASSOW
,
.
E
.
TAKOEMNOVESTWO
X
,
KOTOROEODNOWREMENNOQWLQETSQSISTEMOJ
PREDSTAWITELEJKAKLEWYH
,
TAKIPRAWYHSMEVNYHKLASSOW
G
PO
H
.
sFORMULIRUEMBEZDO
-
[email protected]]IJKLASSI^ESKIJREZULXTAT
,
[email protected]
KNIVKEPOKOMBINATORIKE
,
NAPRIMER
,
WKNIGE
106
mAR[ALLAhOLLA
107
.
tEOREMAf
.
hOLLA
.
pREDPOLOVIM
,
^TOPODGRUPPA
H

G
KONE^NA
.
tOGDASU]ESTWUET
SISTEMAOB]IHPREDSTAWITELEJLEWYHIPRAWYHSMEVNYHKLASSOW
G
PO
H
.
w^ASTNOSTI
,
\TOWSEGDATAK
,
ESLISAMAGRUPPA
G
KONE^NA
.
sISTEMAOB]IHPREDSTAWITELEJ
SU]ESTWUETIPRINEKOTORYHDRUGIHPREDPOLOVENIQHOTNOSITELXNOPODGRUPPY
H
,
NAPRIMER
,
ESLIEE
INDEKS
KONE^EN
.
tO^NEE
,
[email protected]]IJREZULXTAT
108
.
tEOREMAoRE
.
pREDPOLOVIM
,
^TO
F;H

G
,
PRI^EM
j
G
:
F
j
=
j
G
:
H
j

1
.
tOGDA
SU]ESTWUETSISTEMAOB]IHPREDSTAWITELEJLEWYHSMEVNYHKLASSOW
G
PO
F
IPRAWYH
SMEVNYHKLASSOW
G
PO
H
.
x
9.
tEOREMAlAGRANVA
w\TOMPARAGRAFEMYDOKAVEMWAVNEJ[IERAWENSTWA
[email protected]]IEINDEKSY
PODGRUPP
[email protected]]EMPARAGRAFEIZWLE^EMIZNIHINTERESNYENERAWENST
WA
1.
tEOREMAlAGRANVA
109
.
[email protected]]IJREZULXTAT
[email protected]
-
TU
[email protected]^ITELXNOWAVEN
tEOREMAlAGRANVA
.
eSLI
H

G
,
TO
G
=
H
G
H
.
dOKAZATELXSTWO
.
kAKWSEGDA
PRAWILXNYJSPOSOBDOKAZATELXSTWARAWENSTWA
DWUH^ISELSOSTOITWUSTANOWLENIIBIEKCIIMEVDUNEKOTORYMI
MNOVESTWAMI
105
fILIPPhOLL
(){
106
m
.
hOLL
,
kOMBINATORIKA
,
m
.1970,
gL
.V.
107
mAR[ALLhOLL
(){
108
O.Ore,Oncosetrepresentativesingroups.{Proc.Amer.Math.Soc.
,1958,vol.9,p.665{
670.
109
dVUZEPPElODOWIKOlAGRANV
(25.01.1736,
tURIN
{10.04.1813,
pARIV
){
NARQDUS
|JLEROMSAMYJWELIKIJMATEMATIK
XVIII
WEKA
.
[email protected]
MANER
`
vOZEFlUI
',
NOWDEJSTWITELXNOSTIONBYLITALXQNCEM
,
KOTORYJRABOTALWgERMANII
IfRANCII
.
uVEW
1755
GODUONSTALPROFESSOROMARTILLERIJSKOJ[KOLYWtURINE
.
pERWYE
RABOTYlAGRANVAOTNOSQTSQKWARIACIONNOMUIS^[email protected]
(
URAWNENIE|JLERA
-
lAGRANVA
).
w
1766
GODUPEREEHALWbERLIN
,
GDEPOREKOMENDACII|JLERABYLIZBRANPREZIDENTOMbERLIN
-
SKOJaKADEMIInAUK
.
[email protected]@
.
eGORABOTYOHWATYWALI
[email protected]@EMUMATEMATIKU
,
IMPOLU^[email protected]^EWYEREZULXTATYWANALIZE
,
ALGEBRE
,
TEORII^ISEL
,
TEORIIDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJW^ASTNYHPROIZWODNYH
.
eGORABOTA
[email protected]^[email protected][EMRAZWITIIFIZIKIIPO
-
SLUVILAOTPRAWNOJTO^KOJRABOTgAMILXTONAIqKOBI
.
w
1787
GODUPEREHALWpARIV
,
GDE
W
1788
GODUOPUBLIKOWALSWOJKLASSI^E
c
KIJTRUD
`
aNALITI^ESKAQMEHANIKA
'.
oDNAKOPOSLE
[email protected]IM^LENAMI
ONWYNUVDENBYLPREPODAWATXWRAZLI^NYHU^EBNYHZAWEDENIQH
.
kAKWSPOMINALpUASSON
,
STUDENTYSTRUDOMPONIMALILEKCIIlAGRANVA
,
IZ
-
ZAEGOSILXNOGOITALXQNSKOGOAKCENTA
.
bOLEETOGO
,
ON^[email protected]]ESTWAKAK
`
PODOZRITELXNYJINOSTRA
-
NEC
',
ITOLXKOWME[ATELXSTWOWLIQTELXNYHDRUZEJRESPUBLIKANCEWZA]ITILOEGO
.
wNA[EM
KURSEWSTRE^[email protected]
,
TOVDESTWOlAGRANVA
,
REZOLXWENTAlAGRAN
-
VA
,
METODwANDERMONDA
-
lAGRANVA
,
INTERPOLQCIONNAQFORMULAlAGRANVA
,
IT
.
.
wKURSE
MATEMATI^ESKOGOANALIZAWSTRE^AETSQOSTATO^NYJ^LENRQDAtEJLORAWFORMElAGRANV
A
,
LAGRANVIANIT
.
.
gruppy
:
firstdraught
91
wSAMOMDELE
PUSTX
X
{
[email protected]
-
SOW
tOGDA
G
H
=
X
mYUTWERVDAEM
^TOOTOBRAVENIE
H

X
!
G
(
h;x
)
7!
hx
[email protected]
wSAMOMDELE
G
=
[
Hx
x
2
X
TAK^TO\[email protected]_EKTIWNO
sDRUGOJSTORONY
ESLIDLQNEKOTORYH
h;g
2
H
x;y
2
X
IMEETMESTORAWENSTWO
hx
=
gy
TO
Hx
=
Hy
I
ZNA^IT
PO
[email protected]
x
=
y
sOKRA]AQRAWENSTWO
hx
=
gx
NA
x
SPRAWA
POLU^AEM
h
=
g
nO\TOIZNA^IT
^TO
G
=
H

X
=
H
X
=
H
G
H
|TOTREZULXTATOSOBENNOWAVENDLQKONE^NYHGRUPP
GDEIZNEGOWYTEKAET
WAVNEJ[EEARIFMETI^ESKOEOGRANI^ENIENAPODGRUPPY
sLEDSTWIE
1.
pUSTX
G
{
KONE^NAQGRUPPA
,
H

G
.
tOGDAPORQDOK
G
DELITSQ
NAPORQDOK
H
.
kOMMENTARIJ
.
[email protected]\TO
SLEDSTWIE
TOVEUTWERVDENIE
KOTOROEMYNAZYWAEMTEOREMOJlAGRANVA
W
\TOMSLU^AENAZYWAETSQTEOREMOJOBINDEKSE
(`Indexsatz').
tAKAQTO^KAZRENIQ
IMEETOSNOWANIE
TAKKAKSAMlAGRANV
KONE^NO
QWNOFORMULIROWALIMENNO
\TOSLEDSTWIE
110
PRI^EMTOLXKODLQ
G
=
S
n
dLQPROIZWOLXNYHKONE^NYH
GRUPPTEOREMUlAGRANVADOKAZALgALUA
w^ASTNOSTI
PRIMENQQ\TOSLEDSTWIEKCIKLI^ESKIMPODGRUPPAM
MYWIDIM
^TOPORQDOK
o
(
g
)
[email protected]\LEMENTAKONE^NOJGRUPPYDELITPORQDOK
G
\TOJ
GRUPPY
sLEDSTWIE
2(
TEOREMAfERMA
111
).
pUSTX
G
{
KONE^NAQGRUPPA
,
g
2
G
.
tOGDA
g
j
j
=
e
.
mYBUDEMISPOLXZOWATXKLASSI^ESKIJ^ASTNYJSLU^AJ\TOJTEO
REMY
sLEDSTWIE
3.
eSLI
x
I
p
WZAIMNOPROSTY
,
TO
p
x
p

1

1
.
2.
kONTR
-
PRIMERrUFFINI
.
pUSTX
m
DELITELXPORQDKAGRUPPY
G
iMEET
LIMESTO
\
OBRA]ENIETEOREMYlAGRANVA
",
T
E
INYMISLOWAMI
WERNOLI
^TO
W
G
SU]ESTWUETPODGRUPPA
H
PORQDKA
m
?
w
1799
GODUpAOLOrUFFINI
112
OPRE
-
DELILWSEPODGRUPPYSIMMETRI^ESKOJGRUPPY
S
5
w^ASTNOSTI
ONPOKAZAL
^TO
110
J.L.Lagrange,Re exionssurlaresolutionalgebriquesde
sequations.1771.{Oeuvres,t.3,
p.205{421.
111
pXERDEfERMA
(17.08.1601,BeaumontdeLomage{12.01.1665,Castres){
WELI^AJ[IJ
MATEMATIK
XVII
WEKA
,
OSNOWATELXTEORII^ISEL
,
ALGEBRAI^ESKOJGEOMETRIIIDIFFERENCI
-
ALXNOGOIS^ISLENIQ
.
fERMAIZU^[email protected]@IW
1630
GODUKUPILSEBEDOLVNOSTX
SOWETNIKAPARLAMENTAtULUZY
.
pRIVIZNIfERMAPO^TINI^EGONEOPUBLIKOWAL
,
WSEEGO
REZULXTATYIZWESTNYIZPISEM
,
PRIME^ANIJNAPOLQHKNIGIRUKOPISEJ
,
KOTORYEBYLIT]A
-
TELXNOSOBRANYIOPUBLIKOWANYEGOSYNOM
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]]IH
KNEMUPONQTIJ
:
DEKARTOWYKOORDINATY
,
DIFFERENCIROWANIE
,
PROSTYE^ISLAfERMA
,
TEOREMA
fERMA
,
KOLXCODWOJNYH^ISEL
,
IT
.
.
dOLGOEWREMQSAMAQZNAMENITAQPROBLEMAMATEMATIKI
,
SUPERBRENDNADSUPERBRENDAMI
,shirhashshirim,
BOLX[AQ
alias
POSLEDNQQ
alias
WELIKAQ
TEOREMAfERMA
.
112
pAOLOrUFFINI
(23.09.1765,
wALENTANO
{10.05.1822,
mODENA
)
ITALXQNSKIJWRA^I
MATEMATIK
-
[email protected]
.
pERWYMDOKAZALNERAZRE[IMOSTXOB]EGOURAWNENIQSTEPENI

5
WRA
-
DIKALAH
.
s^ITAETSQ
,
^TOEGODOKAZATELXSTWO\TOGOFAKTASODERVALOPROBEL
,
KOTORYJBYL
^EREZ
27
LETZAPOLNENaBELEM
,
PO\TOMUUTWERVDENIEONERAZRE[IMOSTIWRADIKALAHNAZYWA
-
ETSQTEOREMOJrUFFINI
-
aBELQ
.
oDNAKOKAKRAZW^ASTI
,
POSWQ]ENNOJGRUPPAMPERESTANOWOK
,
DOKAZATELXSTWOrUFFINISOWER[ENNOBEZUPRE^NO
.
dRUGIEEGOMATEMATI^ESKIERABOTYOTNO
-
SQTSQKTEORIIALGEBRAI^ESKIHKRIWYHIMETODAMWY^ISLENIJ
.
92
nikolajwawilow
WNEJNETPODGRUPPPORQDKOW
15,30
I
40.
rAZUMEETSQ
rUFFINIFORMULIROWAL
\TOTREZULXTATWTERMINAH
INDEKSOW
PODGRUPP
ANEIHPORQDKOW
NESU]E
-
STWUETFUNKCIJ
5
PEREMENNYH
KOTORYEPRIWSEWOZMOVNYHPERESTANOWKAH\TIH
PEREMENNYHPRINIMALIBYROWNO
8,4
ILI
3
ZNA^ENIQ
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOUGRUPPY
A
4
NETPODGRUPPYPORQDKA
6.
rE[ENIE
(T.-L.Shen,[Ro],
STR
.48).
eSLI
H

A
4
{
PODGRUPPAPORQDKA
6,
TO
ONAIMEETINDEKS
2
W
A
4
I
SLEDOWATELXNO
g
2
2
H
DLQWSEH
g
2
A
4
oDNAKO
ESLI
g
{3-
CIKL
TO
g
=
g
4
=(
g
2
)
2
tAKIMOBRAZOM
H
DOLVNASODERVATXPO
KRAJNEJMERE
8
\LEMENTOW
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
A
4
{
EDINSTWENNAQPODGRUPPAPORQDKA
12
W
S
4
uKAZANIE
.
mY\TOUVEGDE
-
TOWIDELI
pUSTX
H

S
4
H
=12.
tOGDA
[email protected]\LEMENTAIZ
S
4
LEVITW
H
3.
mULXTIPLIKATIWNOSTXINDEKSA
.
tEOREMAlAGRANVADOPUSKAETSLEDU
-
@]EEESTESTWENNOEOBOB]ENIE
NAZYWAEMOEOB]EJTEOREMOJOBINDEKSE
(`Allge-
meinerIndexsatz').
tEOREMA
.
eSLI
F

H

G
,
TO
G
F
=
G
H
H
F
.
dOKAZATELXSTWO
.
pLANDOKAZATELXSTWA\TOJTEOREMYTO^NOTAKOJVE
KAKW
TEOREMElAGRANVA
aIMENNO
PUSTX
X
{
SISTEMAPREDSTAWITELEJLEWYHSMEV
-
NYHKLASSOW
H
PO
F
A
Y
{
SISTEMAPREDSTAWITELEJLEWYHSMEVNYHKLASSOW
G
PO
H
mYUTWERVDAEM
^TO
XY
QWLQETSQSISTEMOJPREDSTAWITELEJLEWYH
SMEVNYHKLASSOW
GF
AOTOBRAVENIE
X

Y
!
XY
,(
x;y
)
7!
xy
USTANAWLI
-
[email protected]
X
I
Y
SIHPROIZWEDENIEMPO
mINKOWSKOMU
tEMSAMYM
G
F
=
XY
=
X

Y
=
X
Y
=
H
F
G
H
^TOIDOKAZYWAETTEOREMU
pROWERIMTEPERXWYSKAZANNYEWPREDYDU]EMABZACEUTWERVDEN
IQ
pOUSLO
-
[email protected]
G
=
Hy
y
2
Y
I
H
=
Fx
x
2
X
pODSTAWLQQWYRAVENIEDLQ
H
[email protected]@
POLU^AEM
^TO
G
=
F
(
xy
),(
x;y
)
2
X

Y
pO\TOMUNAMOSTALOSXLI[XDOKAZATX
^TOESLI
Fx
1
y
1
=
Fx
2
y
2
DLQNEKOTORYH
x
1
;x
2
2
X
I
y
1
;y
2
2
Y
TO
x
1
=
x
2
I
y
1
=
y
2
w
SAMOMDELE
PUSTX
Fx
1
y
1
=
Fx
2
y
2
tAKKAK
x
1
;x
2
2
X

H
\TOOZNA^AET
^TO
Hy
1
\
Hy
2
=
?
pOTEOREMEPUNKTA
2
TOGDA
Hy
1
=
Hy
2
I
ZNA^IT
y
1
=
y
2
=
y
[email protected]
sOKRA]AQRAWENSTWO
Fx
1
y
1
=
Fx
2
y
2
NA
y
SPRA
-
WA
POLU^AEM
Fx
1
=
Fx
2
TAK^TO
[email protected]
x
1
=
x
2
^TOITREBOWALOSXDOKAZATX
tEOREMAlAGRANVAPOLU^AETSQKAK^ASTNYJSLU^AJ\TOJTEOREMY
WSLU^AE
F
=1.
x
10.
tEOREMApUANKARE
1.
iNDEKSPERESE^ENIQ
.
sEJ^ASMYWYWEDEMIZMULXTIPLIKATIWNOSTIIN
-
DEKSAWAVNOESLEDSTWIE
tEOREMA
.
eSLI
F;H

G
,
TO
G
:(
F
\
H
)
jj
G
F
G
H
.
|TOUTWERVDENIEMOMENTALXNOWYTEKAETIZTEOREMYOBINDEKSE
[email protected]]EJ
LEMMY
gruppy
:
firstdraught
93
lEMMA
.
eSLI
F;H

G
,
TO
F
:(
F
\
H
)
jj
G
H
.
wSAMOMDELE
G
:(
F
\
H
)
=
G
F
F
:(
F
\
H
)
jj
G
F
G
H
tAKIM
OBRAZOM
NAMOSTAETSQLI[XDOKAZATXLEMMU
dOKAZATELXSTWOLEMMY
.
pUSTX
X
{
SISTEMAPREDSTAWITELEJLEWYHSMEVNYH
KLASSOW
F
PO
F
\
H
nAMDOSTATO^NOPOKAZATX
^[email protected]
x;y
2
X
IZ
RAWENSTWA
Hx
=
Hy
WYTEKAET
x
=
y
wSAMOMDELE
PUSTX
Hx
=
Hy
|TO
OZNA^AET
^TONAJDUTSQTAKIE
h;g
2
H
^TO
hx
=
gy
TAK^TO
xy

1
=
h

1
g
2
H
[email protected]
x;y
2
X

F
TAK^TOWDEJSTWITELXNOSTI
xy

1
2
F
\
H
I
OKON^ATELXNO
x
=
y
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOESLI
F;H

G
TAKOWY
^TO
G
F
G
H

1
I
gcd(
G
F
G
H
)=1,
TO
i)
G
F
\
H
=
G
F
jj
G
H
ii)
FH
=
G
2.
tEOREMApUANKARE
.
sFORMULIRUEMWAVNEJ[EESLEDSTWIEDOKAZANNOGOW
PREDYDU]EMPUNKTENERAWENSTWA
WPERWYEOTME^ENNOEW
1887
GODUaNRIpUAN
-
KAREWSWQZISTEORIEJAWTOMORFNYHFUNKCIJ
tEOREMApUANKARE
.
eSLI
H
1
;:::;H
n
{
PODGRUPPYGRUPPY
G
,
[email protected]]IEWNEJ
KONE^NYJINDEKS
,
TOIHPERESE^ENIE
H
1
\
:::
\
H
n
TOVEPODGRUPPAKONE^NOGO
INDEKSAW
G
.
sAMpUANKAREFORMULIROWAL\[email protected]]IMOBRAZOM
dWEPODGRUP
-
PY
F;H
GRUPPY
G
[email protected]
SOIZMERIMYMI
ESLIIHPERESE^ENIEIMEETW
KAVDOJIZNIHKONE^NYJINDEKS
F
F
\
H
H
F
\
H

1
tEPERXMYMOVEM
[email protected]]IMOBRAZOM
sLEDSTWIE
1.
[email protected]
,
[email protected]]IEKONE^NYJINDEKSWGRUPPE
G
,
SOIZMERIMY
.
oTMETIME]EDWAPOLEZNYHSLEDSTWIQTEOREMYpUANKARE
sLEDSTWIE
2.
oTNO[ENIESOIZMERIMOSTITRANZITIWNO
.
dOKAZATELXSTWO
.
pUSTX
A;B;C
{
TRIPODGRUPPYWGRUPPE
G
PRI^EM
A
SOIZ
-
MERIMAS
B
A
B
SOIZMERIMAS
C
w^ASTNOSTI
B
A
\
B
B
B
\
C

1
iZ
TEOREMYpUANKAREWYTEKAET
^TO
B
A
\
B
\
C
=
B
:(
A
\
B
)
\
(
B
\
C
)

1
tOGDATEMBOLEE
A
\
B
A
\
B
\
C
B
\
C
A
\
B
\
C

1
tEPERXPOTEOREMEOBINDEKSEPOLU^AEM
^TO
A
A
\
B
\
C
=
A
A
\
B
A
\
B
A
\
B
\
C

1
C
A
\
B
\
C
=
A
A
\
B
A
\
B
A
\
B
\
C

1
TAK^TOUVEPODGRUPPA
A
\
B
\
C
IMEETKONE^NYJINDEKSKAKW
A
TAKIW
C
tEMBOLEETOVEWERNODLQ
A
\
C
tAKKAKREFLEKSIWNOSTXISIMMETRI^NOSTX
SOIZMERIMOSTIO^EWIDNY
TOOTNO[ENIESOIZMERIMOSTIQWLQETSQOTNO[ENIEM
\KWIWALENTNOSTI
94
nikolajwawilow
sLEDSTWIE
3.
[email protected]
H

G
KONE^NOGOINDEKSASODERVITNOR
-
MALXNYJDELITELX
F
E
G
,
F

H
,
KONE^NOGOINDEKSA
.
dOKAZATELXSTWO
.
pUSTX
G
H
=
n
I
g
1
;:::;g
n
{
TRANSWERSALXK
H
W
G
tO
-
GDAWSEPODGRUPPY
H
g
i
[email protected]
n
W
G
tEMSAMYM
POTEOREMEpUANKARE
PODGRUPPA
F
=
H
g
\
:::
\
H
g
E
G
IMEETTAMKONE^NYJINDEKS
x
11.
wIRTUALXNYEGRUPPY
wOMNOGIHWOPROSAHTEORIIWEROQTNOSTEJ
,
TEORIIDINAMI^ESKIHSISTEM
,
TEORIIKOGOMOLO
-
GIJ
,
TEORIIARIFMETI^ESKIHGRUPPIT
.
.
NETRAZLI^IQMEVDUSAMOJGRUPPOJIEEPODGRUPPOJ
KONE^NOGOINDEKSA
.
tO^KAZRENIQ
,
NEOTLI^[email protected]]AQGRUPPUOTEEPODGRUPPKONE^NOGOINDEKSA
,
NAZYWAETSQ
WIRTUALXNOJ
113
.
1.
wIRTUALXNYEGOMOMORFIZMY
.
pUSTX
H
G
{
DWEGRUPPY
.
gOMOMORFIZM

:
H
0
!
G
,
GDE
H
0

H
{
PODGRUPPAKONE^NOGOINDEKSA
,
NAZYWAETSQ
WIRTUALXNYMGOMOMORFIZMOM
H
W
G
IOBOZNA^AETSQ

:
H
99K
G
.
pRI\TOMPODGRUPPA
H
0
NAZYWAETSQ
[email protected]
-
LENIQ
WIRTUALXNOGOGOMOMORFIZMA

IOBOZNA^AETSQ^EREZ
D
(

),
AEEINDEKS
j
H
:
H
0
j
OBO
-
ZNA^AETSQ^EREZ
ind(

)
INAZYWAETSQ
INDEKSOM
WIRTUALXNOGOGOMOMORFIZMA

.
eSLI
H
=
G
,
WIRTUALXNYJGOMOMORFIZM
G
99K
G
NAZYWAETSQ
WIRTUALXNYM\NDOMORFIZMOM
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
WIRTUALXNYEGOMOMORFIZMYOBY^[email protected]^NO
-
[email protected]
,
ASTO^[email protected]
.
pUSTX

:
H
99K
G
{
WIRTUALXNYJGOMOMORFIZM
,
A
F

H
{
PODGRUPPAKONE^NOGOINDEKSA
.
tOGDA
OGRANI^ENI
-
EM

NA
F
NAZYWAETSQWIRTUALXNYJGOMOMORFIZM

j
F
:
H
99K
G
[email protected]
D
(

)
\
F
.
tO
,
^TO\TODEJSTWITELXNOWIRTUALXNYJGOMOMORFIZM
,
WYTEKAETIZTEOREMYpU
-
ANKARE
!
dWAWIRTUALXNYHGOMOMORFIZMA

:
H
99K
G
:
H
99K
G
[email protected]
SOIZMERI
-
MYMI
(commensurable)


,
ESLISU]ESTWUETTAKAQPODGRUPPA
F

H
KONE^NOGOINDEKSA
,
^TO

j
F
=
j
F
.
[email protected]
H

G
KONE^NOGOINDEKSAOPREDELENTOVDESTWENNYJWIRTUALXNYJ
\NDOMORFIZM
id
H
:
G
99K
G
,
[email protected]
H
.
pUSTXTEPERX

:
F
99K
H
:
H
99K
G
{
DWAWIRTUALXNYHGOMOMORFIZMA
.
iH
KOMPOZICIEJ
NAZYWAETSQ^ASTI^NOEOTOBRAVENIE


:
F
99K
G
,
[email protected]
D
(


)=
f
x
2
D
(

)
j

(
x
)
2
D
(
)
g
.
[email protected]
x
2
D
(


)
ZNA^ENIE


NA
x
MOVNOOPREDELITXOBY^NYMOBRAZOM
,(


)(
x
)=
(

(
x
)).
zADA^A
.
pROWERXTE
,
^TOKOMPOZICIQDWUHWIRTUALXNYHGOMOMORFIZMOWQWLQETSQWIRTUALX
-
NYMGOMOMORFIZMOM
.
~TOMOVNOSKAZATXOBINDEKSE
ind(


)?
zADA^A
.
pROWERXTE
,
^TOOTNO[ENIESOIZMERIMOSTI

QWLQETSQOTNO[ENIEM\KWIWALENTNO
-
STI
.
zADA^A
.
pROWERXTE
,
^TOOTNO[ENIESOIZMERIMOSTIQWLQETSQKONGRU\NCIEJPOOTNO[[email protected]
KOMPOZICII
.
iNYMISLOWAMI
,
ESLI

1
;
2
:
F
99K
H
1
;
2
:
H
99K
G
,
PRI^EM

1


2
1

2
,
TO
1


1

2


2
.
tAKKAKKOMPOZICIQ^ASTI^NYHOTOBRAVENIJASSOCIATIWNA
,
TOIZ\TIHTREHZADA^WYTEKA
-
ET
,
W^ASTNOSTI
,
^TOKAKWIRTUALXNYE\NDOMORFIZMY
VEnd(
G
),
TAKIKLASSYSOIZMERIMOSTI
WIRTUALXNYH\NDOMORFIZMOW
RVEnd(
G
)
GRUPPY
G
[email protected]
-
ZICII
,
[email protected]
id
G
IKLASSSOIZMERIMOSTI
id
G
,
SOOTWETSTWENNO
.
2.
wIRTUALXNYEGRUPPY
.
kATEGORIQ
WIRTUALXNYHGRUPP
{
\TOKATEGORIQ
,
OB_EKTAMI
[email protected]
,
AMORFIZMAMI
{
KLASSYSOIZMERIMOSTI
WIRTUALXNYHGOMOMOR
-
FIZMOW
.
wSETERMINY
,
WKOTORYEWHODIT\PITET
`
WIRTUALXNO
',
[email protected][[email protected]
K\TOJKATEGORII
.
nAPRIMER
,
DWEGRUPPY
,
IZOMORFNYEWKATEGORIIWIRTUALXNYHGRUPP
,
[email protected]
WIRTUALXNOIZOMORFNYMI
,
^TOOBOZNA^AETSQ
H

G
.
nEKOTORYEAWTORYNA
-
[email protected]
H
G
ABSTRAKTNOSOIZMERIMYMI
,
WIRTUALXNYJ
IZOMORFIZMNAZYWAETSQW\TOMSLU^AE
(
ABSTRAKTNOJ
)
[email protected]
(commensuration).
113
wOIZBEVANIENEDORAZUMENIJSTOITUTO^NITX
,
^TOSLOWO
WIRTUALXNYJ
ZDESXISPOLXZUET
-
SQWSWOEM
ISKONNOM
ZNA^ENII
,
WIRTUALXNO
PROTIWOPOLOVNOMTOMU
,
KOTOROEONOWPOSLEDNIE
GODYPRIOBRELOWRUSSKOMQZYKE
.
wIRTUALXNYJ
OZNA^AETZDESX
DEJSTWITELXNYJ
,
[email protected]]IJ
,
\FFEKTIWNYJ
,
FAKTI^ESKIJ
.
gruppy
:
firstdraught
95
zADA^A
.
pROWERXTE
,
^TODWEGRUPPY
H
G
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEWIRTUALXNOIZO
-
MORFNY
,
H

G
,
KOGDAWNIHSU][email protected]^NOGOINDEKSA
H
0

H
,
G
0

G
IZOMORFNYEWOBY^NOMSMYSLE
,
H
0

=
G
0
.
3.
wIRTUALXNYE\NDOMORFIZMY
Z
n
.
[email protected]^EWOJPRIMER
,
[email protected]@]IJ
WWEDENNYEWPREDYDU]IHPUNKTAHPONQTIQ
.
aIMENNO
,
WY^ISLIMMONOIDKLASSOWWIRTUALX
-
NYH\NDOMORFIZMOWIGRUPPUKLASSOWWIRTUALXNYHAWTOMORFIZMOWGRUPPY
G
=
Z
n
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOKAVDYJWIRTUALXNYJ\NDOMORFIZM

:
Z
n
99K
Z
n
PRODOLVAETSQDO
LINEJNOGOOTOBRAVENIQ


Q
:
Q
n
!
Q
n
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOPOSTROENNOEWPREDYDU]EJZADA^EPRODOLVENIE


Q
EDINSTWENNO
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TODWA\NDOMORFIZMA
;
:
Z
n
99K
Z
n
TOGDAITOLXKOTOGDASOIZMERI
-
MY
,


,
KOGDA


Q
=

Q
.
w^ASTNOSTI
,
\TOOZNA^AET
,
^TO
RVEnd(
Z
n
)

=
End(
Q
n
)

=
M
(
n;
Q
),
KAKMULXTIPLIKA
-
TIWNYEMONOIDY
,
,
TEMSAMYM
,
GRUPPA
(
KLASSOW
)
WIRTUALXNYHAWTOMORFIZMOWGRUPPY
Z
n
IZOMORFNA
GL(
n;
Q
).
x
12.
wIRTUALXNYESWOJSTWA
wSOOTWETSTWIISPRIWEDENNYMIWPREDYDU]EMPARAGRAFEOPREDELENIQMI
,
GOWORQ
,
^TO
GRUPPA
G
WIRTUALXNO
OBLADAETKAKIM
-
TOSWOJSTWOM
C
,
MYWSEGDAIMEEMWWIDU
,
^TOONA
OBLADAET\TIMSWOJSTWOMWKATEGORIIWIRTUALXNYHGRUPP
.
dLQBOLX[INSTWAREALXNORAS
-
SMATRIWAEMYHSWOJSTW\TOOZNA^AETPROSTO
,
^TOGRUPPA
G
IMEETPODGRUPPU
H
KONE^NOGO
INDEKSA
,
[email protected]][email protected]\TIMSWOJSTWOM
C
.
eSLISWOJSTWO
C
NASLEDUETSQPODGRUPPAMIGRUPPY
H
,
TOPOTEOREMEpUANKARE\TOUSLOWIE\KWIWALENTNOFORMALXNOBOLEESILXNO
[email protected]
,
^TO
G
SODERVIT
[email protected]
PODGRUPPUKONE^NOGOINDEKSA
H
,
[email protected]][email protected]
C
.
w
POSLEDNEMSLU^AEGOWORQTTAKVE
,
^TOGRUPPA
G
PO^TI
OBLADAETSWOJSTWOM
C
.
pERE^ISLIMNEKOTORYENAIBOLEE^ASTOISPOLXZUEMYEWIRTUALXNYESWOJSTWA
:

gRUPPA
G
WIRTUALXNOBEZKRU^ENIQ
=
PO^TIBEZKRU^ENIQ
,
ESLIWNEJESTX
(
NOR
-
MALXNAQ
)
PODGRUPPAKONE^NOGOINDEKSA
H
[email protected]]AQKRU^ENIQ
.

gRUPPA
G
WIRTUALXNOSWOBODNAQ
=
PO^TISWOBODNAQ
,
ESLIWNEJESTXSWOBODNAQ
(
NORMALXNAQ
)
PODGRUPPA
H
KONE^NOGOINDEKSA
.

gRUPPA
G
WIRTUALXNOABELEWA
=
PO^TIABELEWA
,
ESLIWNEJESTXABELEWA
(
NORMALX
-
NAQ
)
PODGRUPPA
H
KONE^NOGOINDEKSA
.
aNALOGI^NYJSMYSLWKLADYWAETSQWWYRAVENIQ
WIRTUALXNONILXPOTENTNAQ
,
WIRTU
-
ALXNOPOLICIKLI^ESKAQ
,
WIRTUALXNORAZRE[IMAQ
,etc.
zADA^A
.
kAKwYDUMAETE
,
PO^[email protected]^NYEI
WIRTUALXNOPERIODI^ESKIEGRUPPY
?
x
12.
lOKALXNYESWOJSTWA
wTEORIIGRUPPTERMIN
LOKALXNYESWOJSTWA
[email protected]^
-
NYHSMYSLAH
.
wTEORII
BESKONE^NYH
GRUPPGOWORQT
,
^TOGRUPPA
G
LOKALXNO
OBLADAET
SWOJSTWOM
C
,
[email protected]
KONE^NOPOROVDENNAQ
PODGRUPPAOBLADAET\TIMSWOJSTWOM
.
w
NASTOQ]EMPARAGRAFEMYOBSUVDAEMLOKALXNYESWOJSTWATOLXKOW\TOMSMYS
LE
.
eSLISWOJ
-
STWO
C
NASLEDUETSQPODGRUPPAMIGRUPPY
H
,
TOGRUPPAIZKLASSA
C
AWTOMATI^ESKIQWLQETSQ
GRUPPOJ
LOKALXNO
IZKLASSA
C
.
qSNO
,
^TOKONE^NAQGRUPPA
,
[email protected]]AQKAKIM
-
TOSWOJSTWOM
,
NASAMOMDELEOBLADAET\TIMSWOJSTWOM
.
pO\TOMUDLQKONE^NYHGRUPP\TO
OPREDELENIEBESSMYSLENNO
114
.

gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
LOKALXNOKONE^NOJ
,
[email protected]^NOPOROVDENNAQPOD
-
GRUPPA
H
KONE^NAQ
.
[email protected]^NAQGRUPPAQWLQETSQPERIODI^ESKOJ
.
oBRATNOE
,
WOOB]EGOWORQ
,
NEWERNO
(
OB]AQPROBLEMAbERNSAJDA
).

gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
LOKALXNOCIKLI^ESKOJ
,
[email protected]^NOPOROVDENNAQ
PODGRUPPA
H
CIKLI^ESKAQ
.
pRIMERAMI
(
NECIKLI^ESKIH
)
LOKALXNOCIKLI^ESKIHGRUPPQWLQ
-
@TSQKWAZICIKLI^ESKIEGRUPPY

p
IGRUPPA
Q
.
114
wTEORII
KONE^NYH
GRUPPLOKALXNYMIPRINQTONAZYWATXSWOJSTWA
,
WYRAVAEMYEWTER
-
MINAHNORMALIZATOROW
p
-
PODGRUPP
.
96
nikolajwawilow

gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
LOKALXNOSWOBODNOJ
,
[email protected]^NOPOROVDENNAQPOD
-
GRUPPA
H
SWOBODNA
.
[email protected]
(
TEOREMAnILXSENA
{
{RAJERA
!)
IGRUPPA
Q
,
[email protected]
!
kLASSLOKALXNOSWOBODNYHGRUPPZAMKNUTOTNOSITELXNOSWOBODNOGOPROIZWED
ENIQ
,
TAK^TO
WMESTESGRUPPOJ
Q
ONSODERVITISWOBODNOEPROIZWEDENIE
Q

Q
.

gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
LOKALXNONILXPOTENTNOJ
,
[email protected]^NOPOROVDENNAQ
PODGRUPPA
H
NILXPOTENTNAQ
.

gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
LOKALXNORAZRE[IMOJ
,
[email protected]^NOPOROVDENNAQ
PODGRUPPA
H
RAZRE[IMAQ
.
wANALOGI^NOMSMYSLEISPOLXZUETSQTERMIN
LOKALXNOSWERHRAZRE[IMAQ
,etc.
zADA^A
.
kAKwYDUMAETE
,
PO^[email protected]
,
LOKALXNO
NEABELEWY
,
LOKALXNOPERIODI^ESKIEGRUPPY
,
GRUPPYLOKALXNOBEZKRU^ENIQ
?
x
12.
rEZIDUALXNYESWOJSTWA
gOWORQT
,
^TOGRUPPA
G
REZIDUALXNO
OBLADAETKAKIM
-
TOSWOJSTWOM
C
,
ESLIPERESE^ENIE
QDERGOMOMORFIZMOW

:
G
!
H
WGRUPPY
,
[email protected]]IESWOJSTWOM
C
,
RAWNO
1.
iNYMI
SLOWAMI
,
UTWERVDAETSQ
,
^[email protected]
g
2
G
,
g
=1,
SU]ESTWUETNORMALXNYJDELITELX
F
E
G
TAKOJ
,
^TOFAKTOR
-
GRUPPA
G=F
OBLADAETSWOJSTWOM
C
IPRI\TOM
g=
2
F
.
w\TOMSLU^AE
nEKOTORYEAWTORYPREDPO^[email protected]
,
^TOGRUPPA
G
APPROKSIMIRUETSQ
GRUPPAMIIZ
KLASSA
C
.
pREDOSTEREVENIE
.
sTROGOGOWORQ
,
SLEDOWALOBYUTO^NITX
,
^TORE^XZDESXIDETOBAP
-
PROKSIMIRUEMOSTI
OTNOSITELXNORAWENSTWA
!
kROMETOGO
,
WSUGUBOJTEORIIBESKONE^NYH
GRUPPRASSMATRIWAETSQAPPROKSIMACIQOTNOSITELXNODRUGIHOTNO[ENIJNA
G
,
SKAVEM
,
SO
-
PRQVENNOSTI
.
aIMENNO
,
GRUPPA
G
APPROKSIMIRUETSQ
GRUPPAMIIZKLASSA
C
OTNOSITELX
-
NOSOPRQVENNOSTI
,
[email protected]\LEMENTOW
x;y
2
G
SU]ESTWUET
GOMOMORFIZM

:
G
!
H
WGRUPPU
,
[email protected]][email protected]
C
,
TAKOJ
,
^TO

(
x
)

(
y
)
NE
SOPRQVENYW
H
.
wTERMINAHGLAWY
?
\TOZNA^IT
,
^TOGRUPPA
G
QWLQETSQ
PODPRQMYMPROIZWEDENIEM
GRUPP
IZKLASSA
C
.

gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
REZIDUALXNOKONE^NOJ
=
FINITNOAPPROKSIMIRUEMOJ
,
ESLI
PERESE^ENIEEENORMALXNYHPODGRUPPKONE^NOGOINDEKSARAWNO
1.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^[email protected]^NOJGRUPPYSAMAREZIDUALXNO
KONE^NA
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOGRUPPA
GL(
n;
Z
)
REZIDUALXNOKONE^NA
.
rE[ENIE
.
wSAMOMDELE
,
PERESE^ENIEGLAWNYHKONGRU\NC
-
PODGRUPP
GL(
n;
Z
;m
Z
),
m
2
N
,
RAWNO
1.
oSTALOSXZAMETITX
,
^TOFAKTOR
-
GRUPPA
GL(
n;
Z
)
=
GL(
n;
Z
;m
Z
)=SL

(
n;
Z
=m
Z
)
KONE^NA
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOSWOBODNAQGRUPPAREZIDUALXNOKONE^NA
.
rE[ENIE
.
o^EWIDNO
,
DOSTATO^[email protected]^NOSTXSWOBODNYHGRUPPKO
-
NE^NOGORANGA
.
pOTEOREMEsANOWASWOBODNAQGRUPPAKONE^NOGORANGAWKLADYWAETSQW
GL(2
;
Z
)
,
ZNA^IT
,
QWLQETSQREZIDUALXNOKONE^NOJKAKPODGRUPPAREZIDUALXNOKONE^NOJGRUPPY
.
x
12.
dWOJNYESMEVNYEKLASSY
sEJ^ASMYRASSMOTRIMWAVNOEOBOB]ENIEPONQTIESMEVNOGOKLA
SSAWWEDEN
-
NOEW
1894
GODUfROBENIUSOMIdEDEKINDOM
1.
dWOJNYESMEVNYEKLASSY
.
pUSTX
F;H

G
pROIZWEDENIEWIDA
FgH
=
f
fgh
f
2
F;h
2
H
g
NAZYWAETSQ
DWOJNYMSMEVNYMKLASSOM
(Doppelnebenklasse)
GRUPPY
G
PO
PAREPODGRUPP
(
F;H
).
mNOVESTWOWSEHDWOJNYHSMEVNYHKLASSOWOBOZNA^AETSQ
^EREZ
F
n
G=H
=
f
FgH
g
2
G
g
gruppy
:
firstdraught
97
wSQTEORIQALGEBRAI^ESKIHGRUPPIWESXGARMONI^ESKIJANALIZO
SNOWANYNA
IZU^ENII\TIHMNOVESTW
pERENESEMNANIHOSNOWNYEFAKTY
OTNOSQ]IESQK
OBY^NYMSMEVNYMKLASSAM
lEMMA
.
dWADWOJNYHSMEVNYHKLASSA
FxH
I
FyH
[email protected]
,
[email protected]
.
dOKAZATELXSTWO
.
pUSTX
z
2
FxH
\
FyH
|TOZNA^IT
^TO
z
MOVNOPREDSTA
-
WITXWWIDE
z
=
f
1
xh
1
=
f
2
yh
2
GDE
f
i
2
F
h
i
2
H
tOGDA
x
=
f

1
1
f
2
yh
2
h

1
1
2
FyH
TEMSAMYM
FxH

FyH
[email protected]^ENIQSOWER
-
[ENNOANALOGI^NO
tAKIMOBRAZOM
OTNO[ENIE

NA
G
OPREDELENNOEPOSREDSTWOM
x

y
ESLI
ITOLXKOESLI
FxH
=
FyH
QWLQETSQOTNO[ENIEM\KWIWALENTNOSTI
NAZYWA
-
EMYM
[email protected]@
(
F;H
).
tRANSWERSALXK\TOMU
OTNO[[email protected]\KWIWLENTNOSTINAZYWAETSQ
SISTEMOJPREDSTAWITELEJ
DWOJNYH
[email protected]
(
F;H
).
nAPRIMER
ESLI
X
=
f
x
1
;:::;x
n
g
{
SISTE
-
MAPREDSTAWITELEJSMEVNYHKLASSOW
TO
G
=
Fx
1
H
t
:::
t
Fx
n
H:
zADA^A
.
uBEDITESX
^TOWKA^ESTWESISTEMYPREDSTAWITELEJDWOJNYHSMEVNYH
[email protected]
(
H;F
)
MOVNOWZQTX
X

1
=
f
x

1
1
;:::;x

1
n
g
INYMISLOWAMI
G
=
Hx

1
1
F
t
:::
t
Hx

1
n
F:
zADA^A
.
uBEDITESX
^TO
G
H
=
F
F
\
x
1
Hx

1
1
+
:::
+
F
F
\
x
n
Hx

1
n
tEOREMAlAGRANVAQWLQETSQ^ASTNYMSLU^AEM\TOGOUTWERVDENI
Q
POLU^A
-
@]IMSQPRI
H
=1.
2.
pERESE^ENIQLEWYHIPRAWYHSMEVNYHKLASSOW
.
pUSTX
F;H

G
,
^TOMOVNO
SKAZATXOPERESE^ENIQH
LEWYH
SMEVNYHKLASSOW
Fx
PRAWYH
SMEVNYHKLASSOW
yH
?
sEJ
-
^ASMYDADIMPOLNYJOTWETNA\TOTWOPROS
.
lEMMAPREDYDU]EGOPUNKTAUTWERVDAET
,
^TO
DWADWOJNYHSMEVNYHKLASSAPO
(
F;H
)
[email protected]
,
[email protected]
.
|TOMOVNO
SFORMULIROWATX^UTXINA^E
,
AIMENNO
,
ESLI
Fx
Fy
{
DWALEWYHSMEVNYHKLASSAPO
F
,
TO
MNOVESTWAPRAWYHSMEVNYHKLASSOW
zH
TAKIH
,
^TO
Fx
\
zH
=
?
Fy
\
zH
=
?
LIBONE
[email protected]
,
[email protected]
.
tAKIMOBRAZOM
,
ESLIMNOVESTWODWOJNYHSMEVNYHKLASSOW
F
n
G=H
KONE^NO
,
TOLEWYESMEVNYEKLASSY
F
n
G
IPRAWYESMEVNYEKLASSY
G=H
MOVNORAZ
-
BITXNAODINAKOWOEKOLI^ESTWO
n
=
j
F
n
G=H
j
[email protected]
F
n
G
=
X
1
t
:::
t
X
n
G=H
=
Y
1
t
:::
t
Y
n
TAK^TOESLI
Fx
2
X
i
,
yH
2
Y
j
Fx
\
yH
=
?
,
TO
i
=
j
.
oKAZYWA
-
ETSQ
,
\TOTREZULXTATMOVNOUTO^NITX
,
AIMENNO
,
ESLI
Fx
2
X
i
yH
2
Y
i
,
TOPORQDOKIH
PERESE^ENIQ
Fx
\
yH
ZAWISITNEOTSAMIHKLASSOW
Fx
yH
,
ATOLXKOOT
i
.
pREDLOVENIE
.
eSLI
Fx
\
yH;Fx
\
zH
=
?
,
TO
j
Fx
\
yH
j
=
j
Fx
\
zH
j
.
dOKAZATELXSTWO
.
pUSTX
u
2
Fx
\
yH
,
v
2
Fx
\
zH
.
tOGDA
Fu
=
Fx
=
Fv
,
uH
=
yH
vH
=
zH
,
TAKIMOBRAZOM
,
Fx
\
yH
=
Fu
\
uH
=
u
(
u

1
Fu
\
H
)
;Fx
\
zH
=
Fv
\
vH
=
v
(
v

1
Fv
\
H
)
:
sDRUGOJSTORONY
,
TAKKAK
Fu
=
Fv
,
TO
u

1
Fu
=
v

1
Fv
(
PROWERXTE
!).
|TOZNA^IT
,
^TOOBA
PERESE^ENIQ
Fx
\
yH
Fx
\
zH
[email protected]
u

1
Fu
\
H
,
,
TEMSAMYM
,
j
Fx
\
yH
j
=
j
u

1
Fu
\
H
j
=
j
Fx
\
zH
j
;
KAKIUTWERVDALOSX
.
sLEDSTWIE
.
j
F
jj
H
j
=
j
FgH
jj
F
\
gHg

1
j
.
98
nikolajwawilow
tEMA
3.
normalxnyepodgruppyifaktor
-
gruppy
[email protected]^ELOWEKAWLE^EBNICE
.
tEM
BOLEE^TOUMENQIMESTNEHWATAET
.
[email protected]]U
,
ESLITOLXKOWYMNESKAVETE
,
^TOWYNORMALXNY
.
nEDOKAVETE
,
POJMITE
,
ATOLXKOSKAVETE
.
iTAK
,
WY
|
NORMALXNY
?
mIHAILbULGAKOW
,`
wELIKIJkANCLER
'
[email protected]^EWYHPONQTIQTEORIIGRUPP
NORMALXNYEDE
-
LITELI
SOPRQVENNOSTXIFAKTOR
-
GRUPPY
pEREHODOTUROWNQABSTRAKCII
KOTO
-
RYJASSOCIIRUETSQSO[KOLXNOJALGEBROJ
[email protected]
KOTORYJ
ASSOCIIRUETSQSALGEBROJUNIWERSITETSKOJ
SWQZANROWNOSODNOJKONSTRUKCI
-
EJ
{
RASSMOTRENIEMFAKTOR
-
OB_EKTOW
tOT
KTOWSOSTOQNIIPONQTX
^TOTAKOE
FAKTOR
-
GRUPPA
[email protected]]EG
O
KURSA
[email protected]
KOTORYJNELX
-
ZQNAZWATX^ISTOU^EBNYM
MYOBSUVDAEMPERWOEREALXNOEPRILOVENIETEORII
GRUPP
AIMENNO
[email protected]^ESKIHGRUPP
wNA^ALEKAK
SLEDSTWIEDOKAZANNOJWGLAWE
I
TEOREMYgESSELQMYKLASSIFICIRUEM
32
KRI
-
STALLOGRAFI^ESKIHKLASSA
(
KLASSYKONE^NYHPODGRUPPW
GL(
n;
Z
)
STO^[email protected]
DOSOPRQVENNOSTIW
GL(
n;
R
)),
APOTOMFORMULIRUEMOPISANIEODNOMERNYH
DWUMERNYHITREHMERNYHKRISTALLOGRAFI^ESKIHGRUPP
x
1.
nORMALXNYEPODGRUPPY
w\TOMPUNKTEMYRASSMOTRIMTAKIEPODGRUPPY
H

G
DLQKOTORYHOTNO
-
[[email protected]
H
[email protected]
1.
nORMALXNYEPODGRUPPY
.
sEJ^ASMYWWEDEM
WAVNEJ[IJ
KLASSPODGRUPP
AIMENNO
NORMALXNYEPODGRUPPY
WPERWYEOPREDELENNYEW
1830
GODU|WARI
-
STOMgALUA
(
SAMgALUANAZYWALIHINWARIANTNYMI
).
sOBSTWENNOGOWORQ
S
\TOGOMOMENTAPREDSU]ESTWOWANIETEORIIGRUPPIPEREHODITWS
U]ESTWOWANIE
kAKWYQSNITSQWDALXNEJ[EM
\TO
WTO^NOSTI
TAKIEPODGRUPPYW
G
OTNO[E
-
[email protected]\NCIEJNA
G
oPREDELENIE
.
pODGRUPPA
H
GRUPPY
G
gruppy
:
firstdraught
99
NORMOJ
PO\TOMUWNASTOQ]EEWREMQWYRAVENIE
NORMALXNAQPODGRUPPA
(normal
subgroup)
PREWRATILOSXW
[email protected]
[email protected]
2.
pERWYEPRIMERYNORMALXNYHPODGRUPP
.
uKAVEMNESKOLXKOO^EWID
-
NYHPRIMEROWNORMALXNYHDELITELEJ
115
wDALXNEJ[EM
KOGDAMYNAU^IMSQ
STROITXNORMALXNYEDELITELIIZGOMOMORFIZMOWISOPRQVENNY
HKLASSOW
WOZ
-
NIKNETMNOGODRUGIH
BOLEEINTERESNYHPRIMEROW

o^EWIDNYENORMALXNYEDELITELI
.
wOWSQKOJGRUPPEESTXDWA
O^E
-
WIDNYH
NORMALXNYHDELITELQ
aIMENNO
TRIWIALXNYJ
NORMALXNYJDE
-
LITELX
1
E
G
I
NESOBSTWENNYJ
NORMALXNYJDELITELX
G
E
G
bUDEMPI
-
SATX
H/G
^TOBYPOD^ERKNUTX
^TO
H
SOBSTWENNAQ
NORMALXNAQPODGRUPPA
[email protected]
WKOTORYHNETNIKA
-
KIHNEO^EWIDNYHNORMALXNYHDELITELEJ
gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
PROSTOJ
ESLI
G
=1
IIZTOGO
^TO
H
E
G
WYTEKAET
^TO
H
=1
ILI
H
=
G
pROSTYEGRUP
-
[email protected]
IZKOTORYHSOBRANYWSEOSTALXNYEGRUPPYISAMINE
MOGUTBYTXRAZOBRANYNAMENX[IESOSTAWNYE^ASTI
pRI\TOM
WOTLI^IEOT
(
BESSMYSLENNOJ
!)
ZADA^IKLASSIFIKACIIWSEHGRUPP
KLASSIFIKACIQPROSTYH
GRUPPRAZLI^NYHKLASSOW
HOTQIO^ENXSLOVNA
NOWOZMOVNA
w^ASTNOSTI
CEN
-
TRALXNYMIDOSTIVENIQMIMATEMATIKI
XX
WEKABYLIKLASSIFIKACIQPROSTYH
ALGEBRAI^ESKIHGRUPPIKLASSIFIKACIQPROSTYHKONE^NYHGRUPP
wDEJSTWI
-
TELXNOSTI
WSOOTWETSTWIISNA[IMSEGODNQ[NIMUROWNEMPONIMANIQ
IMENNO
KLASSIFIKACIQPROSTYHGRUPPIIZU^ENIEIHSTROENIQQWLQETSQ
OSNOWNOJZA
-
DA^EJTEORIIGRUPP

pODGRUPPYINDEKSA
2.
kAVDAQPODGRUPPAINDEKSA
2
QWLQETSQNORMALX
-
NYMDELITELEM
wSAMOMDELE
W\TOMSLU^AE
G
=
H
t
(
G
n
H
)
QWLQETSQRAZ
-
BIENIEM
G
KAKNALEWYE
TAKINAPRAWYESMEVNYEKLASSYPO
H
eSLI
x
2
H
TO
Hx
=
H
=
xH
eSLIVE
x
=
H
TO
Hx
=
H
I
xH
=
H
I
ZNA^IT
Hx
=
G
n
H
=
xH
wAVNEJ[IMPRIMEROM\TOJSITUACIIQWLQETSQ
ZNAKO
-
PEREMENNAQGRUPPA
A
n
SOSTOQ]AQIHWSEH^ETNYHPERESTANOWOKSTEPENI
n
|TAPODGRUPPAIMEETINDEKS
2
WSIMMETRI^ESKOJGRUPPE
S
n
I
SLEDOWATELXNO
SOGLASNOTOLXKO^[email protected]@
A
n
E
S
n
uPRAVNENIE
.
eSLI
G
H
=2,
[email protected]
g
2
G
IMEEM
g
2
2
H
|TOTPRIMERLEGKOOBOB]ITX
zADA^A
.
pUSTX
p
{
NAIMENX[EEPROSTOE
DELQ]EEPORQDOKGRUPPY
G
tOGDA
[email protected]
H

G
INDEKSA
p
NORMALXNAW
G
rE[ENIE
.
eSLI
x
2
G
n
H
TO
xH
\
H
=
?
NO
xH
\
Hx
=
?
tAKIMOBRAZOM
^ISLO
m
PRAWYHSMEVNYHKLASSOW
Hy
y
2
G
[email protected]
xH
UDOWLETWORQETNERAWENSTWAM
1

m

p

1.
pODOKAZANNOJW
x
12
gLAWY
2
TEOREME
PORQDKIWSEHNEPUSTYHPERESE^ENIJ
xH
\
Hy
ODINAKOWY
TAK^TO
m
DELIT
H
I
TEMSAMYM
POTEOREMElAGRANVA
m
DELIT
G
tAKKAK
mp

1,
TO
m
=1,
NO\TOIZNA^IT
^TO
xH
=
Hx
115
aLEKSEJsTEPANOWOTMETILQWNOEPROTIWORE^IE\TOJFRAZYSDEKLARACIEJ
,
^TOTER
-
MIN
NORMALXNAQPODGRUPPA
PREWRATILSQW
[email protected]
[email protected]
.
tUTI
KOMMENTIROWATXNE^EGO
,
WSEQSNO
:`Thewell-bredcontradictotherpeople.Thewisecontradict
themselves'|`
[email protected]^ATDRUGIM
.
mUDRYEPROTIWORE^ATSEBE
.'
mOJ
SOBSTWENNYJSLOG
(
S
)
FORMIROWALSQWTOWREMQ
,
KOGDAWSQRUSSKOQZY^NAQMATEMATI^ESKAQLEK
-
SIKABYLAOSNOWANANANEMECKIHOBRAZCAH
.
pO\TOMUSUBSTANCIALXNOPROPAGANDIRUQTERMIN
NORMALXNAQPODGRUPPA
,
[email protected]
NORMALXNOEDELIMOE
,
NORMALX
-
NYJDELITELX
,
NORMALXNOE^ASTNOE
.
100
nikolajwawilow

pODGRUPPYABELEWOJGRUPPY
.
wABELEWOJGRUPPE
Hx
=
xH
[email protected]
PODGRUPPY
H
[email protected]\LEMENTA
x
2
G
tEMSAMYM
WABELEWOJGRUPPE
WSE
PODGRUPPYNORMALXNY

cENTRALXNYEPODGRUPPY
.
pREDYDU][email protected]]EE
O^EWIDNOEOBOB]ENIE
ESLI
H

C
(
G
),
TO
H
E
G

gAMILXTONOWYGRUPPY
.
gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
GAMILXTONOWOJ
ESLI
WSEEEPODGRUPPYNORMALXNY
(
INOGDAPRI\TOME]ETREBUETSQ
^TOBY
G
NEBY
-
LAABELEWOJ
).
wAVNEJ[IMPRIMEROMGAMILXTONOWOJGRUPPYQWLQETSQGRUPPA
Q
KWATERNIONNYHEDINIC
mYZNAEM
^TOW
Q
IMEETSQROWNO
6
PODGRUPP
,1,
f
1
g
G
ITRIPODGRUPPYWIDA
f
1

i
g
f
1

g
f
1

k
g
pODGRUPPY
1
I
G
[email protected]^EWIDNYMINORMALXNYMIDELITELQMI
PODGRUPPA
f
1
g
SOWPADAET
SCENTROM
Q
I
ZNA^IT
NORMALXNA
[email protected]
2
W
Q
I
TEMSAMYM
TOVENORMALXNY
3.
cENTRALIZATORINORMALIZATOR
.
rASSMOTRIMPODMNOVESTWO
X

G
w
GLAWE
2
MYOPREDELILICENTRALIZATOR
C
(
X
)
INORMALIZATOR
N
(
X
)
MNOVE
-
STWA
X
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
C
(
X
)
E
N
(
X
)
wSLU^AE
KOGDA
H

G
ESTXPODGRUPPAW
G
FAKTOR
-
GRUPPA
N
(
H
)
=C
(
H
)
NAZYWAETSQ
GRUPPOJwEJLQ
GRUPPY
H
tIPI^NYJPRIMERGRUPPYwEJLQ
KOTORYJ
SOBSTWENNO
IDALNAZWANIEOB]EJSITUACII
{
\TOGRUPPAwEJLQDIA
-
GONALXNOJGRUPPY
D
=
D
(
n;K
)
WPOLNOJLINEJNOJGRUPPE
G
=GL(
n;K
).
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
N
(
D
)
=C
(
D
)

=
S
n
x
2.
nEKAVDAQPODGRUPPANORMALXNA
sEJ^ASMYPRIWEDEMDWAPRIMERAPODGRUPP
WESXMADALEKIHOTNORMALXNYH
1.
mINIMALXNYJKONTRPRIMER
.
wSEPODGRUPPYABELEWOJGRUPPYNORMALX
-
NY
sAMAQMALENXKAQNEABELEWAGRUPPA
{
\TOGRUPPA
G
=
D
3

=
S
3
SIMMETRIJ
PRAWILXNOGOTREUGOLXNIKA
wOBOZNA^ENIQHgLAWY
5
\TAGRUPPASOSTOITIZ
[email protected]]IH
6
PREOBRAZOWANIJ

123
123


123
132


123
213


123
231


123
312


123
321

[email protected]][email protected]
G
H
=

123
123


123
213

tOGDA
KAKLEGKOWIDETX
H

123
132

=

123
132

H
TAKKAKLEWYJKLASS
SODERVIT

123
231

APRAWYJ
{
NESODERVIT
2.
sTABILIZATORTO^KIW
S
n
.
[email protected]]EEOBOB]ENIE\TOGOPRIMERA
KOTOROEOB_QSNQET
^TOZDESXWDEJSTWITELXNOSTIPROISHODIT
pUSTX
G
=
S
n
gruppy
:
firstdraught
101
{
SIMMETRI^ESKAQGRUPPASTEPENI
n
A
H
{
PODGRUPPAW
G
SOSTOQ]AQIZPRE
-
OBRAZOWANIJ
[email protected]]IH
n
qSNO
^TO
H

=
S
n

1
I
ZNA^IT
G
H
=
n
rASSMOTRENNYJWY[EPRIMER
{
\TOWTO^NOSTI^ASTNYJSLU^AJ\TOJSITUACII
PRI
n
=3.
dWEPERESTANOWKI
;
WTOMITOLXKOTOMSLU^AELEVATWODNOM
LEWOM
SMEVNOMKLASSEPO
H
KOGDA


1
2
H
T
E
KOGDA


1
(
n
)=
n
ILI
^TO
TOVESAMOE


1
(
n
)=

1
(
n
).
tAKIMOBRAZOM
LEWYESMEVNYEKLASSY
G
PO
H
[email protected]
f

2
S
n

(
i
)=
n
g
;i
=1
;:::;n:
wTOVEWREMQ
;
WTOMITOLXKOTOMSLU^AELEVATWODNOM
PRAWOM
SMEVNOM
KLASSEPO
H
KOGDA


1
2
H
T
E
KOGDA


1
(
n
)=
n
ILI
^TOTOVESAMOE

(
n
)=
(
n
).
tEMSAMYM
[email protected]
f

2
S
n

(
n
)=
i
g
;i
=1
;:::;n:
qSNO
^TO
[email protected]^ENIEMSLU^AQ
n
=2,
KOGDAKAVDYJ\LEMENTIMEETPERIOD
2,
I
PO\TOMU
RAWENSTWO

(
i
)=2
RAWNOSILXNORAWENSTWU

(2)=
i
\TOSOWSEM
NEODNOITOVE
3.
sTABILIZATORTO^KIW
GL(
n;K
)
.
rASSMOTRIMPODGRUPPU
Q

GL(
n;K
),
SOSTOQ][email protected]
PERWYJSTOLBECKOTORYHSOWPADAETSPERWYMSTOLB
-
COMEDINI^NOJMATRICY
sGEOMETRI^ESKOJTO^KIZRENIQ
Q
\TOWTO^NOSTI
STABILIZATORSTOLBCA
e
1
2
K
n
dWEMATRICY
h;g
2
GL
(
n;K
)
WTOMITOLXKO
TOMSLU^AELEVATWODNOMLEWOMSMEVNOMKLASSEPO
Q
KOGDA
hg

1
2
Q
T
E
KOGDAPERWYESTOLBCYMATRIC
h

1
I
g

1
[email protected]
sDRUGOJSTORONY
h;g
W
TOMITOLXKOTOMSLU^AELEVATWODNOMPRAWOMSMEVNOMKLASSEPO
Q
KOGDA
h

1
g
2
Q
T
E
KOGDAPERWYESTOLBCYMATRIC
h
I
g
[email protected]
iTAK
LEWYE
SMEVNYEKLASSY
G
PO
Q
[email protected]
f
g
2
GL(
n;K
)
g
0

1
=
v
g
;v
2
K
n
nf
0
g
APRAWYE
{
WID
f
g
2
GL(
n;K
)
g

1
=
v
g
;v
2
K
n
nf
0
g
qSNO
^TOWOB]EMSLU^AE\TOSOWSEMNEODNOITOVE
DLQ\TOGODOSTATO^NO
WZGLQNUTXNAMATRICY
h
=

10
11

;g
=

11
12

[email protected]
APERWYESTOLBCYOBRATNYHKNIMMATRIC
RAZLI^[email protected]
x
3.
kLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOW
sEJ^ASMYWWEDEMODNOIZ
WAVNEJ[IH
PONQTIJWSEJTEORIIGRUPP
1.
kLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOW
.
pOSMOTRIM
^TOOZNA^AETUSLOWIE
xH
=
Hx
dOMNOVAQ\TORAWENSTWONA
x

1
SPRAWAIPOLXZUQSXASSOCIATIWNO
-
[email protected]
MYWIDIM
^TOONO\KWIWALENTNORAWENSTWU
xHx

1
=
H
zDESX
xHx

1
PONIMAETSQOBY^NYMOBRAZOM
KAK
f
xhx

1
h
2
H
g
|[email protected]
-
]EEOPREDELENIE
102
nikolajwawilow
oPREDELENIE
.
pUSTX
x;g
2
G
.
|LEMENT
x
g
=
xgx

1
116
rOBERT{MIDTZAMETIL
,
^TOPO
-
RUSSKILU^[EGOWORITX
SOPRQVENNYJS
.
sMOEJTO^KI
ZRENIQWOZMOVNYOBAWARIANTA
,
ODNAKODAVEPO
-
ANGLIJSKIQPREDPO^[email protected]
conjugate
to
,
ANE
conjugatewith
.
oBRATITEWNIMANIE
,
^[email protected]^AE
conjugate
,
ANE
conjugated
,
KAK
O[IBO^NO
PI[UTPO^TIWSERUSSKIEMATEMATIKI
.
117
kONE^NO
,
RASSMATRIWAQLEWOESOPRQVENIEBYLOBYLOGI^NEEPISATX
G
g
.
oDNAKO
,
^EREZ
SEKUNDUMYUWIDIM
,
^TO
G
g
=
g
G
,
TAK^TONETNIKAKOGOSMYSLAWWODITXNESTANDARTNOE
OBOZNA^ENIE
.
gruppy
:
firstdraught
103
3.
o^EWIDNYEPRIMERYOPISANIQSOPRQVENNYHKLASSOW
.
oPISANIE
KLASSOWSOPRQVENNYH\LEMENTOWQWLQETSQODNIMIZOSNOWNYHW
OPROSOW
NAKO
-
TORYEMYDOLVNYOTWETITX
^TOBYPONQTXSTROENIEGRUPPY
G
wOTNESKOLXKO
O^EWIDNYHPRIMEROW

kLASS\LEMENTA
x
2
G
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEODNO\LEMENTEN
KOGDA
x
CENTRALEN
w^ASTNOSTI
GRUPPA
G
TOGDAITOLXKOTOGDAABELEWA
KOGDAWSEEE
SOPRQVENNYEKLASSYODNO\LEMENTNY

wGRUPPEKWATERNIONOW
Q
DWACENTRALXNYH\LEMENTA

1,
ATRIDRUGIH
[email protected]
f
i
g
f
g
f
k
g

pUSTX
G
=
D
n
{
DI\DRALXNAQGRUPPA
w\TOMSLU^AEKLASSYSOPRQVENNYH
\[email protected]
WZAWISIMOSTIOT^ETNOSTI
n
pRO]EWSEGO
UBEDITXSQW\TOMPREDSTAWLQQSEBE
G
KAKGRUPPUSIMMETRIJPRAWILXNOGO
n
-
UGOLXNIKA
gRUPPA
D
n
SODERVIT
n
WRA]ENIJNAUGLY
2
m=n
m
=0
;:::;n

1,
I
n
OTRAVENIJ
eSLI
n
NE^ETNO
TOWSEOTRAVENIQSOPRQVENYW
G
\TOOTRA
-
VENIQOTNOSITELXNOPRQMYH
[email protected]][email protected]
n
WER[INSOSEREDINOJ
PROTIWOPOLOVNOJSTORONY
sDRUGOJSTORONY
ESLI
n
^ETNO
TOOTRAVENIQRAZ
-
[email protected]
n=
2
OTRAVENIJOTNOSITELXNODIAGONALEJ
n
-
UGOLXNIKA
I
n=
2
OTRAVENIJOTNOSITELXNOPRQMYH
[email protected]]IHSEREDINYPROTIWOPOLOV
-
NYHSTORON
wRA]ENIQNAUGLY
2
m=
I
2

(
n

m
)
=n
ITOLXKOONISOPRQVENY
tAKIMOBRAZOM
PRINE^ETNOM
n
WRA][email protected]
(
n
+1)
=
2
SOPRQVEN
-
NYHKLASSA
APRI^ETNOM
n
{
NA
n=
2+1
KLASSA
aIMENNO
WSLU^AE^ETNOGO
n
KROMETOVDESTWENNOGOWRA]ENIQE]EIWRA]ENIENAUGOL

CENTRALXNO
IEGO
SOPRQVENNYJKLASSSOSTOITIZODNOGO\LEMENTA
4.
dALXNEJ[IEPRIMERY
.
aWOTNESKOLXKOKLASSI^ESKIHPRIMEROW
KOTORYE
[email protected][EMKURSE

kAKMYUWIDIMW
x
4
gLAWY
5,
KLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOWWSIMMET
-
RI^ESKOJGRUPPE
S
n
[email protected]
CIKLENNYMTIPOM

kLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOWW
GL(
n;K
)
[email protected]
III.
w
SLU^AEALGEBRAI^ESKIZAMKNUTOGOPOLQ
K
\[email protected]
VORDANO
-
WOJFORMOJ
w
c
LU^AEPROIZWOLXNOGOPOLQ
{
FROBENIUSOWOJFORMOJ

wTOMVETRETXEMSEMESTREOPISANYKLASSYSOPRQVENNOSTIW
(
n;
R
)
I
O
(
n;
R
).
?.
kLASSYSOPRQVENNOSTIGRUPPY
Isom(
R
3
)
.
x
4.
kLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOWWKONE^NYHGRUPPAH
wNASTOQ]EMPARAGRAFE
ESLIPROTIWNOENEOGOWORENOQWNO
MYPREDPOLAGA
-
EM
^TOGRUPPA
G
KONE^NA
1.
pORQDOKKLASSASOPRQVENNYH\LEMENTOW
.
kLASS
x
NAHODITSQWESTE
-
STWENNOMBIEKTIWNOMSOOTWETSTWIIS
G=C
(
x
).
wSAMOMDELE
yC
(
x
)
7!
yxy

1
[email protected]@
sLEDSTWIE
.
x
=
G
C
(
x
)
.
w^ASTNOSTI
PORQDOKKLASSA
C
SOPRQVENNYH\LEMENTOWKONE^NOJGRUPPY
G
DELITPORQDOK\TOJGRUPPY
zADA^A
.
dOKAZATX
^TOESLI
G
{
KONE^NAQ
GRUPPA
SODERVA]AQ

3
\LEMENTOW
TOWNEJ

3
SOPRQVENNYHKLASSOW
104
nikolajwawilow
rE[ENIE
.
cELOE^ISLO
n

3
REDKODELITSQNA
n

1.
pREDOSTEREVENIE
.
sTOITPREDUPREDITX^ITATELQ
^TOSU][email protected]
BESKO
-
NE^NYE
GRUPPY
WKOTORYHROWNO
DWA
KLASSASOPRQVENNYH\LEMENTOW
SM
.[Sch],
Ch.V,
x
6.
oDNAKOWTAKIHGRUPPAHPORQDOKWSEHNENULEWYH\LEMENTOWBESK
ONE
-
^EN
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOESLI
G
BESKONE^NAQGRUPPASDWUMQKLASSAMISOPRQVENNYH\LEMEN
-
TOW
,
[email protected]
=1
\LEMENTAGRUPPY
G
BESKONE^EN
.
rE[ENIE
.
pREDPOLOVIM
,
^TOW
G
SU]ESTWUET\LEMENT
g
=1
KONE^NOGOPORQDKA
o
(
g
)
p
{
KAKOJ
-
TOPROSTOJDELITELX
o
(
g
).
tOGDA
o
(
g
o
(
g
)
=p
)=
p
.
tAKKAKWSE
=1
\LEMENTYGRUPPY
G
SOPRQVENY
,
[email protected]
p
.
eSLI
p
=2,
TOGRUPPA
G
ABELEWA
,
PROTIWORE^IE
.
pUSTXPO\TOMU
p�
2.
tOGDA
g
2
=1
,
TEMSAMYM
,
g
2
=
xgx

1
DLQKAKOGO
-
TO
x
=1.
|TO
ZNA^IT
,
^[email protected]
m
2
N
IMEEM
g
2
m
=
x
m
gx

m
,
W^ASTNOSTI
,
g
2
p
=
g
.
nOTOGDA
g
2
p

1
=1
p
j
2
p

1.
oDNAKO\TOUTWERVDENIEPREDSTAWLQETSQDOWOLXNOSOMNITELXNYM
,
TAK
KAKPOTEOREMEfERMA
p
j
2
p

1

1,
TAK^TO
,
OKON^ATELXNO
,
p
j
2
p

1
,
PROTIWORE^IE
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
NAPORQDOK
j
C
j
KLASSASOPRQVENNYH\LEMENTOWKONE^NOJGRUPPYIME
-
@TSQIDRUGIENETRIWIALXNYEARIFMETI^ESKIEOGRANI^ENIQ
.
sFORMULIRUEMODINIZNAIBO
-
LEEIZWESTNYHKLASSI^ESKIHREZULXTATOWW\TOMNAPRAWLENII
.
tEOREMAbERNSAJDA
.
pORQDOK
j
C
j
KLASSASOPRQVENNYH\LEMENTOWKONE^NOJGRUPPYNE
MOVETBYTXPRIMARNYM^ISLOM
.
oBY^NOEDOKAZATELXSTWO\[email protected]
.
iZ\TOGO
REZULXTATA
,
W^ASTNOSTI
,
SRAZUWYTEKAETTAKOEZNAMENITOESLEDSTWIE
,
[email protected]]EE
,
^TO
KONE^NAQGRUPPA
,
PORQDOKKOTOROJDELITSQLI[XNADWARAZLI^NYHPROSTYH^ISLA
,
RAZRE[I
-
MA
.
pq
-
tEOREMAbERNSAJDA
.
pUSTX
p;q
2
P
.
tOGDAGRUPPAPORQDKA
p
m
q
n
RAZRE[IMA
.
2.
kLASSOWOEURAWNENIE
.
pUSTXTEPERX
Z
=
f
x
1
;:::;x
m
g
{
SISTEMAPRED
-
STAWITELEJKLASSOWSOPRQVENNYH\LEMENTOWGRUPPY
G
C
i
=
x
i
{
KLASSSPRED
-
STAWITELEM
x
i
tOGDA
G
=
C
1
t
:::
t
C
m
tAKIMOBRAZOM
ESLIOBOZNA^ITX^EREZ
n
i
=
C
i
PORQDOKKLASSA
C
i
A^EREZ
n
=
G
PORQDOKGRUPPY
G
TO
n
=
n
1
+
:::
+
n
m
~ISLO
m
NAZYWAETSQ
^ISLOM
KLASSOW
(classnumber)
GRUPPY
G
ARAWENSTWO
n
=
n
1
+
:::
+
n
m
{
KLAS
-
SOWYMURAWNENIEM
(classequation).
nABOR
(
n
1
;:::;n
m
)
PORQDKOWKLASSOW
SOPRQVENNYH\LEMENTOWQWLQETSQWAVNEJ[IMARIFMETI^ESKIM
INWARIANTOM
GRUPPY
G
eSLI
KROMETOGO
l
i
=
C
(
x
i
)
{
PORQDOKCENTRALIZATORA\LEMENTA
x
i
TO
n
=
n
i
l
i
AKLASSOWOEURAWNENIEMOVNOPEREPISATXWWIDE
1=
1
l
1
+
:::
+
1
l
m
oBY^[email protected]
QIHPORQDKOW
TAK^TO
n
1

:::

n
m
I
TEMSAMYM
l
1

:::

l
m
kROMETOGO
OBY^NO
[email protected]
x
1
=1,
TAK^TO
n
1
=1,
l
1
=
n
zADA^A
.
pUSTX
G
{
KONE^NAQGRUPPA
wYBEREMPOODNOMU\LEMENTU
g
1
;:::;g
m
IZKAVDOGOKLASSA
C
1
;:::;C
m
SOPRQVENNYH\LEMENTOW
dOKAVITE
^TOTOGDA
G
=
h
g
1
;:::;g
m
i
3.
tEOREMAlANDAU
.
sEJ^ASMYSDRUGOJSTORONYWZGLQNEMNAWOPROSOKOLI^ESTWEKLASSOW
SOPRQVENNYH\LEMENTOW
.
[email protected]]IJREZULXTATDOKAZANNYJ|DMUNDOMlANDAU
118
W
1903
[email protected]
.
118
|DMUNDlANDAU
(1877{1938)|
ZNAMENITYJNEMECKIJMATEMATIK
.
[email protected]]EE
gruppy
:
firstdraught
105
tEOREMAlANDAU
.
sU]ESTWUETLI[XKONE^NOE^ISLONEIZOMORFNYHKONE^NYHGRUPPS
m
KLASSAMISOPRQVENNYH\LEMENTOW
.
dOKAZATELXSTWO
.
dOSTATO^NOPOKAZATX
,
^TODLQKAVDOGO
m
SU]ESTWUETTAKOENAIBOLX[EE
n
0
,
^TOPORQDOK
n
KAVDOJKONE^NOJGRUPPYS
m
KLASSAMISOPRQVENNYH\LEMENTOWNEPREWOS
-
HODIT
n
0
.
eSLI
m
=1,
TOGRUPPA
G
SOSTOITLI[XIZ\LEMENTA
1
,
KAKBYLOPOKAZANOWPUNKTE
1,
ESLI
m
=2,
TOGRUPPA
G
SOSTOITIZDWUH\LEMENTOW
.
pO\TOMUWDALXNEJ[EMMYMOVEM
S^ITATX
,
^TO
m

3.
qSNO
,
^TO
1=
1
1
+
:::
+
1
m

m
m
,
INYMISLOWAMI
,
m

m
.
aNALOGI^NO
,
1

1
m
=
1
1
+
:::
+
1
m

m

1
m

1
:
tAKKAK
m

2,
\TONERAWENSTWOMOVNOPEREPISATXWWIDE
m

1

2(
m

1).
qSNO
,
^TO
PRODOLVAQ\TOTPROCESS
,
MYPOLU^IMOCENKUDLQ
1
=
n
WTERMINAH
m
.
wSAMOMDELE
,
PREDPOLOVIM
,
^TODLQNEKOTOROGO
km

1
MYUVEPOLU^ILIOCENKI
m

k

h
m
;:::;l
k

h
k
.
tOGDASU]ESTWUETLI[XKONE^NOE^ISLOWOZMOVNYHNABOROW
k
;:::;l
m
,
TAK^TOWMNOVESTWE
WSEHWYRAVENIJWIDA
1

1
m

k

:::

1
m

0
SU]ESTWUETNAIMENX[EE
,
,
ZNA^IT
,
NAJDETSQ
q
2
N
TAKOE
,
^TO
1
q

m

k

1
m

k

1
,
^TOTOVESAMOE
,
m

k

1

q
(
m

k

1).
tAKIMOBRAZOM
,
DOKAZATELXSTWOTEOREMYZAWER[AETSQPOINDUKCII
.
[email protected]]EODIN[AG
:
1

1
m

1

1
m
=
1
1
+
:::
+
1
m

2

m

2
m

2
:
tAKKAK
m

3,
TO
m

1

3(
WSAMOMDELE
,
ESLI
m
=2,
\TOTAKPOTOMU
,
^TO
1

1
m

1
m

1

0,
AESLI
m

3,
TOPROSTOPOTOMU
,
^TO
m

1

m
).
|TOZNA^IT
,
^TOLEWAQ^ASTXPOSLEDNEGO
RAWENSTWA

1
6
,
ZNA^IT
,
EGOMOVNOPEREPISATXWWIDE
m

2

6(
m

2).
pOLAGAQWPOSLEDNEM
NERAWENSTWE
m
=3,
MYWIDIM
,
^TO
n
=
1

6,
TAK^TOPORQDOKGRUPPYSTREMQKLASSAMI
SOPRQVENNYH\LEMENTOWNEPREWOSHODIT
6.
|TAOCENKAQWLQETSQTO^NOJ
,
TAKKAKSU]ESTWUET
GRUPPAPORQDKA
6,
AIMENNO
,
S
3

=
D
3
,
UKOTOROJROWNO
3
KLASSASOPRQVENNYH\LEMENTOW
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOPORQDOKGRUPPYS
4
KLASSAMISOPRQVENNYH\LEMENTOWNEPREWOSHO
-
24.
sU]ESTWUETLIGRUPPAPORQDKA
24
S
4
KLASSAMISOPRQVENNYH\LEMENTOW
?
BOLX[INSTWOIZEGO
254
STATEJOTNOSQTSQKRAZLI^NYMASPEKTAMTEORII^ISEL
:
RASPREDE
-
LENIEPROSTYH
,
GIPOTEZArIMANA
,
ARIFMETI^ESKIEFUNKCII
,
PROBLEMAwARINGAIDRUGIE
ADDITIWNYEPROBLEMYTEORII^ISEL
,
TEORIQALGEBRAI^ESKIH^ISEL
,
GEOMETRIQ^ISEL
.
kROME
TOGOONOPUBLIKOWALNESKOLXKOSTATEJPOKOMBINATORIKEIANALIZU
.
{IROKOIZWESTNYEGO
MNOGOTOMNYEKLASSI^ESKIESO^INENIQ
`HandbuchderLehrederVerteilungderPrimzahlen','
EinfuhrungindieelementareundanalytischeTheoriederalge
braischenZahlen',`Vorlesungen
uberZahlentheorie'
IZAME^ATELXNYEU^EBNIKIANALIZADLQNA^[email protected]]IH
:`
oSNOWYANALIZA
',
`
wWEDENIEWDIFFERENCIALXNOEIINTEGRALXNOEIS^ISLENIE
'.
lANDAUPROISHODILIZBANKIR
-
SKOJSEMXIIWMATEMATI^ESKOMFOLXKLOREIZWESTNYDESQTKI[UTOK
,
[email protected]]IHEGOWY
-
SOKOMERIEISWOEOBRAZNOE^[email protected]
.
nAPRIMER
,
KOGDAEMUPREDSTAWILIlITTLWUDA
,
ON
ZAMETIL
:`
tAKZNA^ITwYDEJSTWITELXNOSU]ESTWUETE
!
aQDUMAL
,
^TO\TOPROSTOPSEWDONIM
,
KOTORYMhARDIPODPISYWAETSWOINEUDA^NYERABOTY
'.
nAWOPROS
,
KAKNAJTIEGODOM
,
ON
IMELOBUKNOWENIEOTWE^ATX
:`
o
,
\TOO^ENXPROSTO
,
\TOSAMYJKRASIWYJDOMWgETTINGENE
'.
nAPREDLOVENIQNA^[email protected]][email protected]@RABOTYONOTWE^AL
,
^TONEZNAET
,
^TOTAKOE
`
OSNOWNAQIDEQ
'
IZASTAWLQLRASSKAZYWATXPOLNYEDOKAZATELXSTWASO
WSEMILEMMAMI
.
106
nikolajwawilow
4.
sOPRQVENNOSTXIKOMMUTIROWANIE
.
qSNO
^TODWAKLASSASOPRQVENNYH
\LEMENTOW
C
I
D
WOOB]EGOWORQ
NEMOGUTKOMMUTIROWATXPO\LEMENTNO
TEMNE
MENEE
[email protected]
uPRAVNENIE
.
dOKAZATX
^TO
CD
=
DC
rE[ENIE
.
qSNO
^TO
xy
=(
xyx

1
)
x
wDEJSTWITELXNOSTI
IZ\TOJFORMULYMOVNOSDELATXBOLEEGLUBOKOMYS
-
LENNYJWYWOD
xC
=
Cx
[email protected]
x
2
G
[email protected]
\LEMENTOW
C
[email protected]\[email protected]^ITATELXSMOVETKOGDAMY
[email protected]
{
KLASSYSOPRQVENNYH\[email protected]
CENTRGRUPPOWOJALGEBRY
zADA^A
.
dOKAZATX
,
^TOPORQDOKKOMMUTANTAGRUPPY
G
NEMENX[[email protected]
SOPRQVENNYHKLASSOW
.
5.
aLGEBRAKLASSOW
.
nA^[email protected]][email protected]
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOPROIZWEDENIE
CD
DWUHKLASSOWSOPRQVENNYH\LEMEN
-
TOW
C;D

G
QWLQETSQOB_EDINENIEMKLASSOWSOPRQVENNYH\LEMENTOW
wDEJSTWITELXNOSTIDLQ
KONE^NOJ
GRUPPY
G
PROIZWEDENIE
CD
ESTESTWENNO
PREDSTAWLQTXSEBEKAK
MULXTIMNOVESTWO
T
E
S^ITATX
^TO
g
2
G
WHODITW
CD
STOLXKORAZ
SKOLXKIMIRAZLI^NYMISPOSOBAMIEGOMOVNOPREDSTAWITXW
WIDE
g
=
xy
x
2
C
y
2
D
iNYMISLOWAMI
KRATNOSTXWHOVDENIQ
g
W
CD
[email protected]]EJFORMULOJ
m
CD
(
g
)=
jf
(
x;y
)
x
2
C;y
2
D;xy
=
g
gj
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOESLI
h

g
TO
m
CD
(
h
)=
m
CD
(
g
).
pUSTX
E
E]EODINKLASSSOPRQVENNYH\LEMENTOW
oBOZNA^IMOB]EEZNA^ENIE
WSEH
m
CD
(
g
)
^EREZ
m
CD
(
E
).
tOGDA
CD
=
X
m
CD
(
E
)
E;
GDESUMMABERETSQPOWSEMSOPRQVENNYMKLASSAM
E
GRUPPY
G
x
5.
pOROVDENIENORMALXNYHPODGRUPP
\
dA
,
SOPRQGATXNADO
,
SOPRQGATXNADO
!
"|
SWNUTRENNIMWOSTORGOM
POWTORILSEBEpXER
,
^UWSTWUQ
,
^TO\TIMIIMENNO
,
ITOLXKO\TIMISLO
-
WAMIWYRAVAETSQTO
,
^TOONHO^ETWYRAZITX
,
IRAZRE[AETSQWESXMU
-
^A]IJEGOWOPROS
.
|
dA
,
SOPRQGATXNADO
,
PORASOPRQGATX
.
lEWtOLSTOJ
,
wOJNAIm
i
,
.III,
^ASTX
III,IX.
tEPERXUNASWSEGOTOWODLQTOGO
^TOBYOPISATXNORMALXNYEPODGRUPPYW
TERMINAHSOPRQVENNYH
ANESMEVNYHKLASSOW
1.
sOPRQVENNYEPODGRUPPY
.
kAKMYUVEZAMETILIWNA^ALEPREDYDU]EGO
PUNKTA
USLOWIE
H
E
G
[email protected]]IMOBRAZOM
DLQ
[email protected]
x
2
G
IMEETMESTORAWENSTWO
xHx

1
=
H
rASSMOTRIM\TUHARAKTERI
-
[email protected]^UTXPODROBNEE
pUSTXWNA^ALE
A;B

G
{
DWAPODMNOVESTWAW
G
[email protected]
SOPRQ
-
VENNYMIW
G
ESLINAJDETSQTAKOE
x
2
G
^TO
B
=
xAx

1
=
f
xax

1
a
2
A
g
gruppy
:
firstdraught
107
tAKKAKOTOBRAVENIE
g
7!
xgx

1
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM
G
(
SM
gLAWU
4),
TO
PODMNOVESTWO
SOPRQVENNOEKPODGRUPPE
SAMOQWLQETSQPODGRUPPOJ
wSAMOM
DELE
ESLI
H

G
I
xhx

1
;xgx

1
2
xHx

1
TO
(
xhx

1
)(
xgx

1
)=
x
(
hg
)
x

1
2
xHx

1
I
(
xhx

1
)

1
=
xh

1
x

1
2
xHx

1
~ISLOPODGRUPPW
G
SOPRQVENNYHS
H
RAWNO
G
N
(
H
)
zADA^A
.
pUSTX
H

G
|
PODGRUPPA
KONE^NOJ
GRUPPY
G
dOKAVITE
^TO
OB_EDINENIEWSEHPODGRUPPW
G
SOPRQVENNYHS
H
NEMOVETRAWNQTXSQ
G
pREDOSTEREVENIE
.
kAKUVEUPOMINALOSX
MOVNOPOSTROITXBESKONE^[email protected]
GRUPPU
G
WSENEEDINI^NYE\LEMENTYKOTOROJSOPRQVENY
tAKAQGRUPPA
G
QWLQETSQOB_EDINENIEMNETRIWIALXNYHCIKLI^ESKIHPODGRUPP
KOTORYEWSESO
-
PRQVENY
2.
sOPRQVENNOSTXINORMALXNYEPODGRUPPY
.
tAKIMOBRAZOM
MYMOVEM
SLEGKAPEREFORMULIROWATXOPREDELENIENORMALXNOJPODGRUPPY
oPREDELENIE
.
pODGRUPPA
H
GRUPPY
G
108
nikolajwawilow
oPREDELENIE
.
pUSTX
X

G
.
nAIMENX[AQNORMALXNAQPODGRUPPAW
G
,
SO
-
DERVA]AQ
X
119
a
.
p
.
dICMAN
,
o
p
-
GRUPPAH
.{
dOKL
.
ansssr
,1937,
.15,
S
.71{76.
gruppy
:
firstdraught
109
oPREDELENIE
.
kOMMUTATOROM
\LEMENTOW
x;y
2
G
110
nikolajwawilow
uTWERVDENIELEMMYMOVNOSFORMULIROWATXI^UTXINA^E
aIMENNO
MY
[email protected]]IHUTWERVDENIQ
ESLI
H
E
G
TO

REZULXTATPROIZWEDENIQPOmINKOWSKOMUDWUHSMEVNYHKLASSO
WSNOWAQW
-
LQETSQSMEVNYMKLASSOM

OBRATNYJPOmINKOWSKOMUKSMEVNOMUKLASSUQWLQETSQSMEVNYM
KLASSOM
pERWOEIZ\TIHUTWERVDENIJNEIMEETMESTA
ESLI
H
NEQWLQETSQNORMALXNOJ
PODGRUPPOJ
~TOKASAETSQWTOROGO
TO
KAKMYUVEZNAEM
,(
xH
)

1
=
Hx

1
NO
DLQNORMALXNOJPODGRUPPY
Hx

1
=
x

1
H
2.
fAKTOR
-
GRUPPA
.
kAKMYTOLXKO^TOPOKAZALI
ESLI
H
E
G
TONAMNOVE
-
STWESMEVNYHKLASSOW
G=H
MOVNOKORREKTNOOPREDELITXUMNOVENIE
wPERWYE
\[email protected]^ALISISTEMATI^ESKIRASSMATRIWATXvORD
AN
120
IgELX
-
DER
121
oPREDELENIE
.
pUSTX
H
E
G
.
tOGDAMNOVESTWOSMEVNYHKLASSOW
G
PO
H
SUMNOVENIEM
xH
yH
=
xyH
120
kAMILXvORDAN
(05.01.1838,
lION
{20.01.1922,
mILAN
){
ODINIZWELI^AJ[IHMA
-
TEMATIKOW
XIX
WEKA
,
WNES[IJFUNDAMENTALXNYJWKLADWRAZWITIEALGEBRY
,
ANALIZA
,
TOPO
-
LOGII
,
TEORIIDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
,
ARIFMETI^ESKOJTEORIIKWADRATI^NYHFORM
.
pOSLEU^EBYWpARIVEvORDANNEKOTOROEWREMQRABOTALGORNYMINVENEROM
,
NOPOZVEPOL
-
[email protected]^ILSQNAMATEMATIKEIW
1876
GODUSTALPROFESSOROM
EcolePolytechnique.
wEROQTNO
,
SAMYEGLUBOKIEREZULXTATYvORDANAOTNOSQTSQKTEORIIGRUPPIMNOGOMERNOJ
GEOMETRII
.
oPUBLIKOWANNAQW
1870
GODUSOWER[ENNOIZUMITELXNAQPOGLUBINEINASY]EN
-
NOSTIKONKRETNYMIREZULXTATAMIKNIGAvORDANA
`Traitedessubstitutionsetdesequations
algebriques'
STALAODNIMIZPOWOROTNYHPUNKTOWWISTORIINA[EJNAUKI
.
oT\TOJKNIGIBERUT
NA^ALOSOWREMENNAQTEORIQGRUPPPERESTANOWOK
,
TEORIQLINEJNYHGRUPPITEORIQABSTRAKT
-
NYHGRUPP
.
sREDIPRO^EGO\[email protected]
.
w
NA[[email protected]
,
OTNOSQ]IHSQKTEORIIGRUPP
,
TEOREMA
vORDANA
-
gELXDERAIT
.
.
kROMETOGO
,
vORDANNAPISALZAME^ATELXNYJKLASSI^ESKIJ
`Cours
d'analyse'.
wU^EBNIKAHANALIZAITOPOLOGIIWSTRE^[email protected]
,
RAZLOVENIEvOR
-
DANAFUNKCIIOGRANI^ENNOJWARIACII
,
KRIWAQvORDANA
,
TEOREMAvORDANAOKRIWOJ
,
LEMMA
vORDANAWTEORIIFUNKCIJKOMPLEKSNOGOPEREMENNOGO
,
PRIZNAKvORDANASHODIMOSTIRQDOW
fURXE
,
IT
.
.
wPODTWERVDENIEPRINCIPAaRNOLXDASTOITUPOMQNUTX
,
^TOIZU^AEMYEWKURSE
LINEJNOJALGEBRY
`
VORDANOWAFORMA
',`
VORDANOWYKLETKI
',`
VORDANOWAMATRICA
',`
VORDANOW
BAZIS
',`
MULXTIPLIKATIWNOERAZLOVENIEvORDANA
',`
ADDITIWNOERAZLOVENIEvORDANA
'
IT
.
.
BYLIOTKRYTYwEJER[TRASSOM
.
121
[email protected]
(Holder)(22.12.1859,
{TUTTGART
{29.08.1937,
lEJPCIG
),
NA
-
ZYWAEMYJWDALXNEJ[EMgELXDERST
.,{
ZAME^ATELXNYJNEMECKIJMATEMATIK
,
ODINIZKLAS
-
SIKOWALGEBRY
XIX
WEKA
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIGRUPP
,
TEORII^ISEL
,
TEORIIFUNKCIJIGARMONI^ESKOMUANALIZU
.
zA][email protected]@BINGENEW
1882
GODU
,
[email protected]
-
rEMONA
.
s
1899
GODABYLPROFESSOROMWlEJPCIGE
.
wNA[EMKUR
-
SEWSTRE^AETSQDESQTOKTEOREMgELXDERA
(
OPISANIEAWTOMORFIZMOW
S
n
,
KLASSIFIKACIQGRUPP
PORQDKOW
pq
p
3
IT
.
.),
TEOREMAvORDANA
-
gELXDERA
,
NERAWENSTWOgELXDERAIT
.
.
kRUP
-
NYESPECIALISTYPOISTORIIMATEMATIKI^[email protected]
.
SEGOSYNOM
|RNSTOM
oTTOgELXDEROM
(02.04.1901,
lEJPCIG
{),
TOVEDOSTATO^NOZAME^ATELXNYMMATEMATIKOM
.
oDNAKOgELXDERML
.
NEPRODOLVALALGEBRAI^ESKIEISSLEDOWANIQSWOEGOOTCA
,
AWOSPRINQL
^ISTOANALITI^ESKOENAPRAWLENIESWOEGOU^ITELQlEONAlIHTEN[TEJNA
,
KOTORYJTOVEWTO
WREMQBYLPROFESSOROMWlEJPCIGE
.
oSNOWNYERABOTYgELXDERAML
.
OTNOSQTSQKOBLASTIMA
-
TEMATI^ESKOJFIZIKI
,
WARIACIONNOGOIS^ISLENIQIINTEGRALXNYHURAWNENIJ
.
nOZNAMENITOE
NERAWENSTWOgELXDERADOKAZALW
1889
GODUgELXDERST
.
gruppy
:
firstdraught
111
STWESTARYHU^EBNIKOWISPOLXZUETSQ
BESKOMPROMISSNOE
NEMECKOENAPISANIE
FAKTORGRUPPA
NOTOGDABYLOBYLOGI^NOPISATX
FAKTORALGEBRA
',`
FAKTOR
-
PROSTRANSTWO
',`
FAKTORMNOGOOBRAZIE
',etc.
pOTOLXKO^TODOKAZANNOJLEMMEUMNOVENIE
KOTOROEMYOPREDELILINA
G=H
DEJSTWITELXNO
KORREKTNO
iNYMISLOWAMI
REZULXTAT
NEZAWISIT
OT
WYBORAPREDSTAWITELEJ
u
2
xH
I
v
2
yH
kORREKTNOSTXWYTEKAETTAKVEIZ
TOGO
^TOOPREDELENNOEWY[EUMNOVENIEKLASSOWSOWPADAETSUMNOVE
NIEMPO
mINKOWSKOMU
(
xH
)(
yH
)=
x
(
Hy
)
H
=
x
(
yH
)
H
=(
xy
)(
HH
)=
xyH
=
xH
yH:
uBEDIMSQWTOM
^TOONODEJSTWITELXNOOPREDELQETNA
G=H
STRUKTURUGRUPPY
tEOREMA
.
pUSTX
H
E
G
.
tOGDAMNOVESTWO
G=H
OTNOSITELXNOOPERACII
112
nikolajwawilow
4.
fAKTOR
-
GRUPPAPOCENTRU
.
pUSTX
G
{
PROIZWOLXNAQGRUPPA
C
(
G
){
EE
CENTR
tOGDAFAKTOR
-
GRUPPA
G=C
(
G
)

=
Inn(
G
)
IZOMORFNAGRUPPEWNUTRENNIH
AWTOMORFIZMOW
G
sEJ^ASMYPOKAVEM
^TOESLIGRUPPA
Inn(
G
)
CIKLI^ESKAQ
TOONATRIWIALXNA
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOFAKTOR
-
GRUPPANEABELEWOJGRUPPYPOCENTRUNEMOVET
BYTXCIKLI^ESKOJ
rE[ENIE
.
pREDPOLOVIM
^TO
G=C
(
G
)
CIKLI^ESKAQ
|TOZNA^IT
^TONAJDETSQ
KLASS
xC
(
G
),
x
2
G
KOTORYJPOROVDAET
G=C
(
G
).
tEMSAMYM
[email protected]
G
PO
C
(
G
)
IMEETWID
x
n
C
(
G
).
iNYMISLOWAMI
[email protected]\LEMENT
g
2
G
WWIDE
x
m
a
DLQNEKOTORYH
m
2
Z
a
2
C
(
G
).
qSNO
^[email protected]\LEMENTATAKOGOWIDA
[email protected]
:(
x
m
a
)(
x
n
b
)=
x
m
+
n
ab
=(
x
n
b
)(
x
m
a
).
5.
gruppy
:
firstdraught
113
STEPENI
n
A
H
=SL(
n;R
){
PODGRUPPAMATRICSOPREDELITELEM
1.
tOGDA
G=H

=
R

|TOTPRIMER
(
OPREDELITELX
)
PODROBNORASSMOTRENWgLAWE
?.

[email protected]
.
gRUPPA
=
(
n;K
)
WERHNIHUNITREUGOLXNYHMATRICQWLQETSQNORMALXNYMDELITE
LEMW
GRUPPE
B
=
w
(
n;K
)
WERHNIHTREUGOLXNYHMATRIC
PRI^EMFAKTOR
-
GRUPPA
B=U
IZOMORFNAGRUPPE
D
=
D
(
n;K
)
DIAGONALXNYHMATRIC

[email protected]
.
gRUPPA
D
=
D
(
n;K
)
DIAGONALXNYHMATRICQWLQETSQNORMALXNYMDELITELEMWGRUPPE
N
=
N
(
n;K
),
PRI^EMFAKTOR
-
GRUPPA
N=D
IZOMORFNA
S
n

[email protected]
.
wEKTORNAQ
GRUPPA
K
n
QWLQETSQNORMALXNYMDELITELEMAFFINNOJGRUPPY
A (
n;K
),
PRI
-
^EMFAKTOR
-
GRUPPA
A (
n;K
)
=K
n
IZOMORFNAPOLNOJLINEJNOJGRUPPE
GL(
n;K
).
2.
gLAWNAQKONGRU\NC
-
PODGRUPPA
.
[email protected]]IJKLASSI^ESKIJPRIMERIGRA
-
[email protected]^ESKOJTEORII^ISELITEORIIMODULQ
RNYHFUNKCIJ
IMODULQRNYHFORM
(
WKLASSI^ESKOMSLU^AE
n
=2).
pUSTX
m
2
Z
OBOZNA^IM
^EREZ

m
=SL(
n;
Z
;m
Z
)
PODGRUPPUWSPECIALXNOJLINEJNOJGRUPPE
SL(
n;
Z
),
SOSTOQ][email protected]
SRAWNIMYHS
e
[email protected]
m
iNYMISLOWAMI
x
=(
x
ij
)
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEPRINADLEVIT

m
KOGDA
x
ij


ij
gRUPPA

m
NAZYWAETSQ
GLAWNOJKONGRU\NC
-
PODGRUPPOJ
UROWNQ
m
pROWERXTE
^TO

m
=SL(
n;
Z
;m
Z
)
QWLQETSQNORMALXNOJPODGRUPPOJW
SL(
n;
Z
),
PRI^EM
SL(
n;
Z
)
=
SL(
n;
Z
;m
Z
)

=
SL(
n;
Z
=m
Z
)
3.
pROEKTIWNYELINEJNYEGRUPPY
.
sEJ^ASMYPOSTROIME]EDWAWAVNEJ
-
[IHPRIMERAFAKTOR
-
GRUPP
pUSTX
G
=GL(
n;R
){
POLNAQLINEJNAQGRUPPA
STEPENI
n
NADPOLEM
K
nAZOWEM
PROEKTIWNOJPOLNOJLINEJNOJGRUPPOJ
PGL(
n;K
)
FAKTOR
-
GRUPPU
GL(
n;K
)
POEECENTRU
SOSTOQ]EMUIZSKALQRNYH
MATRIC
e

2
K

tAKIMOBRAZOM
\LEMENTY
PGL(
n;K
)
[email protected]
MATRICAMINAD
K
PRI^EMKLASSMATRICY
x
2
GL(
n;K
)
WPROEKTIWNOJGRUP
-
PE
PGL(
n;K
)
OBY^NOOBOZNA^AETSQ
x
w^ASTNOSTI
WGRUPPE
PGL(2
;K
)
DLQ
[email protected]

2
K

IMEEM

ab
cd

=

ab
cd

wKA^ESTWEPRIMERAOTMETIM
^TOPREOBRAZOWANIEmEBIUSA
z
7!
az
+
b
cz
+
d
ZAWISIT
NEOTSAMOJMATRICY

ab
cd

ALI[XOTEEKLASSA

ab
cd

tAKIMOBRAZOM
GRUPPAmEBIUSAIZOMORFNA
PGL(2
Co).
e]EODINPRIMER
KOTORYJBUDUTIG
-
RATXDLQNASSOWER[[email protected]
\TOGRUPPY
PGL(
n;
F
q
)
NADKONE^NYM
POLEM
F
q
oBY^NOOBOZNA^ENIE
PGL(
n;
F
q
)
SOKRA]AETSQDO
PGL(
n;q
).
oTSTUPLENIE
.
sTROGOGOWORQ
STO^KIZRENIQTEORIIALGEBRAI^ESKIHGRUPP
PRIWEDENNOEWY[EOPREDELENIEQWLQETSQ
NEPRAWILXNYM
NODLQSLU^AQPOLQ
ONO
114
nikolajwawilow
aNALOGI^NO
PROEKTIWNAQSPECIALXNAQLINEJNAQGRUPPA
PSL(
n;K
)
\TOFAKTOR
-
GRUPPASPECIALXNOJLINEJNOJGRUPPY
SL(
n;K
)
POEECENTRU
SO
-
STOQ]EMUIZTEHSKALQRNYHMATRIC
e

2

n
(
K
),
DLQKOTORYH

QWLQETSQ
KORNEM
n
-
JSTEPENIIZ
1
WPOLE
K
bOLX[INSTWOALGEBRAISTOWSOKRA][email protected]
PSL(
n;
F
q
)
DO
PSL(
n;q
),
ASPECIALISTYPOKONE^[email protected]
-
NOGRAFI^[email protected]
A
n
(
)
ILI
n
(
).
gRUPPY
PSL(
n;q
)
ZAME^ATELXNYTEM
[email protected]@KONE^NYHPROSTYHGRUPP
oDNAIZSAMYHZNAMENITYH
KLASSI^ESKIHTEOREMALGEBRY
TEOREMAvORDANA
-
dIKSONA
UTWERVDAET
^TO
WSEGRUPPY
PSL(
n;q
)
PROSTY
[email protected]^ENIJ
PSL(2
2)

=
S
3
I
PSL(2
3)

=
A
4
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
PGL(2
Co)

=
PSL(2
Co).
wERNOLI
^TO
PGL(2
R
)

=
PSL(2
R
)?
4.
kLEJNOWYIFUKSOWYGRUPPY
.
dISKRETNAQPODGRUPPAW
PSL(2
R
)
NA
-
ZYWAETSQ
FUKSOWOJGRUPPOJ
ADISKRETNAQPODGRUPPAW
PSL(2
Co)
NAZYWAET
-
SQ
KLEJNOWOJGRUPPOJ
kLASSI^ESKIMPRIMEROMFUKSOWOJGRUPPYQWLQETSQ
KLASSI^ESKAQ
MODULQRNAQGRUPPA
PSL(2
Z
).
aNALOGI^NO
PRIMEROMKLEJNO
-
WOJGRUPPYQWLQETSQ
GRUPPApIKARA
PSL(2
Z
i
]).
wOOB]E
GRUPPA
PSL(2
O
),
GDE
O
)|
KOLXCOCELYHMNIMOGOKWADRATI^NOGOPOLQ
Q

d
NAZYWAETSQ
GRUPPOJbXQNKI
pREDOSTEREVENIE
.
uPOTREBLENIETERMINAGRUPPApIKARAWSOWER[ENNODRU
-
GOMSMYSLEUVEBYLOOPISANOW
x
?.
x
8.
bINARNYEGRUPPYMNOGOGRANNIKOW
,
1stinstalment:
GRUPPA
T
?
w\[email protected]]IHPARAGRAFAHMYPOSTROIMIOTOVDESTWIMNEKOTORYEZAM
E^A
-
TELXNYEPODGRUPPYWMULXTIPLIKATIWNOJGRUPPEKLASSI^ESKIHKWATERNIONOW
122
,
KOTORYE
WSKOLXZXUPOMINALISXWgLAWE
I.
pREVDEWSEGO
,
NAPOMNIM
,
^TO
Z
-
LINEJNAQOBOLO^KAGRUPPY
Q
=
f
1
;

i;

;j;

;k
g
KWATERNIONNYHEDINICNAZYWAETSQKOLXCOM
CELYHLIP[ICEWYH
KWATERNIONOW
123
Lip=
f
a
+
bi
+
cj
+
dk
j
a;b;c;d
2
Z
g
:
[email protected]]IENASGRUPPYBUDUTGRUPPAMIEDINIC^UTXBOLX
-
[IHKOLEC
124
,
SAMYMIZWESTNYMIZKOTORYHQWLQETSQKOLXCO
Hurw
CELYHGURWICEWYH
KWATERNIONOW
125
:
Hurw=Lip
`
1
2
(1+
i
+
j
+
k
)+Lip
;
SOSTOQ]EEIZKWATERNIONOW
,
WSEKOORDINATYKOTORYHLIBOODNOWREMENNOCELYE
,
LIBOODNO
-
WREMENNOPOLUCELYE
.
dLQRE[[email protected]]IHZADA^POLEZNOWWESTI\LEMENT
!
=
1
2
(

1+
i
+
j
+
k
).
wMESTES
1
;i;j;k
\TOT\LEMENTPOROVDAET
Hurw
NAD
Z
.
nEPONQTNO
,
SKAKOJSTATIONOBOZNA^AETSQTEM
VESIMWOLOM
!
,
KOTORYMMYWSEGDAOBOZNA^ALI
1
2
+
i
3
2
!
iLI
?
zADA^A
.
nAJDITEPORQDOK
!
.
oTWET
.
lEGKOWIDETX
,
^TO
!
2
=
!
,
ZNA^IT
,
!
3
=
e
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^[email protected]]IE
24
KWATERNIONA
T
?
=
f
1
;

i;

j;

k;
1
2
(

1

i

j

k
)
g
122
P.DuVal,Homographies,quaternionsandrotations.{Oxford,1964
,p.1{116;
x
20.
123
R.Lipschitz,UntersuchungenuberdieSummenvonQuadraten.
{Bonn,1886,S.1{147.
124
M.-F.Vigneras,Arithmetiquedesalgebresdesquaternions.{Le
ct.NotesMath.,1980,
vol.800.
125
A.Hurwitz,

UberdieZahlentheoriederQuaternionen.{NachrichtenGes.Wis
s.Gottingen.,
Math.{Phys.Kl.,1896,N.4,S.313{340;Math.Werke,Bd.2,Ba
sel,1933,S.303{330.
gruppy
:
firstdraught
115
[email protected]
.
|TAGRUPPANAZYWAETSQ
BINARNOJGRUPPOJTETRA\DRA
.
rE[ENIE
.
pOLEZNOZAMETITX
,
^TOWSEPERE^ISLENNYE\[email protected]

1,

i
,

j
,

k
,

!
,

!
i
,

!
j
,

!
k
,

!
,

!
i
,

!
j
,

!
k
.
!
i
=
i

1
!i
=
j!
=
!k
=
!
+
i
=
1
2
(

1+
i

j

k
)
;
!
j
=
j

1
!j
=
k!
=
!i
=
!
+
j
=
1
2
(

1

i
+
j

k
)
;
!
k
=
k

1
!k
=
i!
=
!j
=
!
+
k
=
1
2
(

1

i

j
+
k
)
;
!
i
=
i

1
!i
=

k
!
=

!j
=
!

i
=
1
2
(

1

i
+
j
+
k
)
;
!
j
=
j

1
!j
=

i
!
=

!k
=
!

j
=
1
2
(

1+
i

j
+
k
)
;
!
k
=
k

1
!k
=

j
!
=

!i
=
!

k
=
1
2
(

1+
i
+
j

k
)
;
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TO
T
?
=
h
i;!
i
.
pREDOSTEREVENIE
.
[email protected]]EJZADA^E
,
[email protected]]IHMESTAHDWUHBLIVAJ[IH
PARAGRAFOW
,
^TOBYOBLEG^ITXUSTANOWLENIESOOTWETSTWIQSDRUGIMIRABOTAMI
,
GDERASSMAT
-
[email protected]
,
MYS^ITAEM
,
^[email protected]
SLEWANAPRAWO
.
oBY^NOWNASTOQ]EJKNIGE
|
NAPRIMER
,
WgLAWE
V|
ISPOLXZUETSQPROTI
-
WOPOLOVNOESOGLA[ENIE
.
aIMENNO
,
OBY^NOMYUMNOVAEMPERESTANOWKI
KAKOTOBRAVENIQ
,
.
E
.
SPRAWANALEWO
.
pEREJTIOTIZOMORFIZMAWISPOLXZUEMOJZDESXZAPISIKIZOMORFIZMUW
OBY^NOJZAPISISOWSEMPROSTO
.
mOVNO
,
NAPRIMER
,
ZAMENITXWSEPERESTANOWKINAOBRATNYE
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOFAKTOR
-
GRUPPA
T
?
PO

1
IZOMORFNA
A
4
.
oTWET
.
pRIWEDEMQWNYJWID\TOGOIZOMORFIZMA
.
pREVDEWSEGOQSNO
,
^TO
Q=
f
1
g

=
V
:
e
7!
id
;i
7!
(12)(34)
;j
7!
(13)(24)
;k
7!
(14)(23)
:
oSTALXNYE
8
KLASSOWPEREHODQTW
3-
CIKLY
.
zADANIEOBRAZAODNOGOIZNIH
,
SKAVEM
!
,
SRAZU
FIKSIRUETOBRAZYWSEHOSTALXNYH
,
ESLIWSPOMNITX
,
^TO
!
2
=
!
,
AWSEOSTALXNYESOPRQVENY
SOBRAZOM
!
!
PODDEJSTWIEM
V
:
!
7!
(234)
;!
i
7!
(143)
;!
j
7!
(124)
;!
k
7!
(132)
;
!
7!
(243)
;
!
i
7!
(134)
;
!
j
7!
(142)
;
!
k
7!
(123)
:
x
8.
bINARNYEGRUPPYMNOGOGRANNIKOW
,
2ndinstalment:
GRUPPA
O
?
pRODOLVIMIZDEWATXSQNADKWATERNIONAMI
.
dLQ\TOGOWWEDEM\LEMENT

=(1+
i
)
=
p
2.
|TOT\LEMENTZAME^ATELENTEM
,
^TOWMESTES
Hurw
POROVDAETE]EODNO\WKLIDOWOPODKOLX
-
CO
126
WTELE
H
.
zADA^A
.
nAJDITEPORQDOK

IPORQDOKPODGRUPPY
h
i;
i
.
rE[ENIE
.
qSNO
,
^TO
i
=

2
TAK^TO
h
i;
i
=
h

i

=
C
8
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^[email protected]]IE
48
KWATERNIONOW
O
?
=
f
1
;

i;

j;

k;
1
2
(

1

i

j

k
)
;
1
p
2
(

1

i
)
;
1
p
2
(

1

j
)
;
1
p
2
(

1

k
)
;
1
p
2
(

i

j
)
;
1
p
2
(

i

k
)
;
1
p
2
(

j

k
)
g
126
s
.
w
.
sTAHOW
,
eWKLIDOWYPODKOLXCAWTELEKWATERNIONOW
,
SWQZANNYESPRAWILXNYMIMNO
-
GOGRANNIKAMI
.{
kAND
.
dISS
.,
lENINGR
.
uN
-
,1985,
S
.1{141.
116
nikolajwawilow
[email protected]
.
|TAGRUPPANAZYWAETSQ
BINARNOJGRUPPOJOKTA\DRA
.
uKAZANIE
.
mOVNO
,
NAPRIMER
,
ZAMETITX
,
^TO

=
1
p
2
(1+
i
)
;

=
1
p
2
(1

i
)
;!
2
!
=
1
p
2
(1+
j
)
;
!
2
!
=
1
p
2
(1

j
)
;!!
2
=
1
p
2
(1+
k
)
;!
!
2
=
1
p
2
(1

k
)
:
,bythesametoken,

!
2

=
1
p
2
(
i
+
j
)
;k!
2

=
1
p
2
(
i

j
)
;

!
2
=
1
p
2
(
i
+
k
)
;

j!
2
=
1
p
2
(
i

k
)
;

!!
=
1
p
2
(
j
+
k
)
;i!!
=
1
p
2
(
j

k
)
:
pOSLE\TOGOLEGKO
c
[email protected]
,
KAKWPREDYDU]EMPARAGRAFE
.
oDNAKOGORAZDOPRO]EWSPOMNITX
,
^TO

2
2
T
?
[email protected]]EJZADA^EJ
.
zADA^A
.
uBEDITESX
,
^TO
O
?
=
T
?
`
T
?

=
T
?
`
T
?
.
zADA^A
.
nAJDITEPORQDKIPODGRUPP
h
j;
i
,
h
k;
i
.
rE[ENIE
.
qSNO
,
^TO
j

1
j
=
k

1
k
=


1
k
=
j

1
,
TAK^TO
h
j;
i
=
h
k;
i

=
D
8
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TO
O
?
=
h
!;
i
.
rE[ENIE
.
tAKKAK
i
=

2
,
TOGRUPPA
h
!;
i
SODERVIT
h
i;!
i
,
AKAKMYZNAEMIZPREDYDU]EGO
PARAGRAFA
,
\TAGRUPPASOWPADAETS
T
?
.
nOWEDX
,
=
2
T
?
,
ANIKAKIHSOBSTWENNYHPODGRUPPW
O
?
,
SODERVA]IH
T
?
,
NET
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOFAKTOR
-
GRUPPA
O
?
PO

1
IZOMORFNA
S
4
.
oTWET
.
pOSTROIMIZOMORFIZM
,
[email protected]]IJPOSTROENNYJWPREDYDU]EMPARAGRAFEIZO
-
MORFIZM
T
?
=
f
1
g

=
A
4
.
~EGOUVTAM
,
OBRAZY\LEMENTOW
1
p
2
(

1

i
),
1
p
2
(

1

j
),
1
p
2
(

1

k
),
WFAKTOR
-
GRUPPEPO
f
1
g
DOLVNYIMETXPORQDOK
4,
AOBRAZY\LEMENTOW
1
p
2
(

i

j
),
1
p
2
(

i

k
),
1
p
2
(

j

k
)|
PORQDOK
2.
tAKIMOBRAZOM
,
PERWYE
12
\LEMENTOWDOLVNYPEREHODITXW
4-
CIKLY
,
AOSTALXNYE
12|
WTRANSPOZICII
.
tAKKAK
1
p
2
(
i
+
j
)
1
p
2
(
i

j
)=

k;
1
p
2
(
i
+
k
)
1
p
2
(
i

k
)=

j;
1
p
2
(
j
+
k
)
1
p
2
(
j

k
)=

i;
TOMOVNOWZQTX
,
NAPRIMER
,
1
p
2
(
i
+
j
)
7!
(14)
;
1
p
2
(
i
+
k
)
7!
(13)
;
1
p
2
(
j
+
k
)
7!
(12)
;
1
p
2
(
i

j
)
7!
(23)
;
1
p
2
(
i

k
)
7!
(24)
;
1
p
2
(
j

k
)
7!
(34)
:
uMNOVAQ\TIRAWENSTWANA
i;j;k
,
POLU^AEM
1
p
2
(1+
i
)
7!
(1423)
;
1
p
2
(1+
j
)
7!
(1234)
;
1
p
2
(1+
k
)
7!
(1342)
;
1
p
2
(1

i
)
7!
(1324)
;
1
p
2
(1

j
)
7!
(1432)
;
1
p
2
(1

k
)
7!
(1243)
:
x
8.
bINARNYEGRUPPYMNOGOGRANNIKOW
,
3rdinstalment:
GRUPPA
I
?
tEPERXNAMOSTALOSXTOLXKOSHWATITXGLAWARQ
.
[email protected]
SE^ENIQ
Q
(
p
5),
KOTOROEUVEWSTRE^ALOSXNAMW
x
?
gLAWY
I.
wSPOMNIM
,
^TO
Q
(
p
5)=
Q
(

)=
Q
(

),
GDE

=
1
2
(1

p
5),
A

=
1
2
(1+
p
5),
PRI^EM

=


1
.
gruppy
:
firstdraught
117
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^[email protected]]IE
120
KWATERNIONOW
:

UVEWSTRE^AW[IESQNAM
24
KWATERNIONA

1
;

i;

j;

k;
1
2
(

1

i

j

k
),
[email protected]]IE
GRUPPU
T
?
,

96
KWATERNIONOW
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
1
2
(

i

j

k
)
^ETNYMI
PERESTANOWKAMI
1
;i;j;k
,
[email protected]
.
|TAGRUPPANAZYWAETSQ
BINARNOJGRUPPOJIKOSA\DRA
IOBOZNA^AETSQ
I
?
.
iNOGLA
,
SLEDUQgAMILXTONU
,
\[email protected]]E
GRUPPOJIKOSIANOW
.
[email protected]
ROLXWPOSTROENIISPORADI^ESKIHGRUPPIGRAET
KOLXCOIKOSIANOW
Icos=
Z
I
?
,
SOSTOQ]EE
IZWSEWOZMOVNYHCELO^ISLENNYHLINEJNYHKOMBINACIJ\LEMENTOWGRUPPY
I
?
.
uKAZANIE
.
mOVETEPOUPRAVNQTXSQWUMNOVENIIKWATERNIONOWILIWOSPOLXZOWATEXSQPRI
-
[email protected]]EMPARAGRAFEKOMANDAMIPAKETA
Mathematica
.
oDNAKOGORAZDOPRO]E
WWESTIWRASSMOTRENIE\LEMENT

=
1
2
(

+
i
+
j
),
ZAMETITX
,
^TO

5
2
T
?
,
IWOSPOLXZOWATXSQ
[email protected]]EJZADA^EJ
.
zADA^A
.
uBEDITESX
,
^TO
I
?
=
T
?
`
T
?

`
T
?

2
`
T
?

3
`
T
?

4
=
T
?
`
T
?
`

2
T
?
`

3
T
?
`

4
T
?
:
eSLIwYOWLADELIIDEEJ
,
wAMNI^EGONESTOITRE[[email protected]][email protected]^U
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^[email protected]]IE
120
KWATERNIONOW
:

UVEWSTRE^AW[IESQNAM
24
KWATERNIONA

1
;

i;

j;

k;
1
2
(

1

i

j

k
),
[email protected]]IE
GRUPPU
T
?
,

96
KWATERNIONOW
,
POLU^[email protected]]IHSQIZ
1
2
(

i

j

k
)
NE^ETNYMI
PERESTANOWKAMI
1
;i;j;k
,
[email protected]
.
rE[ENIE
.
dOSTATO^NOPOWTORITXTOVERASSUVDENIESZAMENOJ

NA

=
1
2
(

+
i
+
j
).
rAZUMEETSQ
,
POLU^[email protected]]AQSQGRUPPABUDETSNOWAIZOMORFNA
I
?
.
[email protected]]IJZAME^ATELXNYJFAKTBYLOBNARUVENW
1856
GODUSAMIMgAMILXTONOM
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOFAKTOR
-
GRUPPA
I
?
PO

1
IZOMORFNA
A
5
.
oTWET
.
sEJ^ASMYQWNYMOBRAZOMPOSTROIMIZOMORFIZM
,
[email protected]]IJPOSTROENNYJW
x
?
IZOMORFIZM
T
?
=
f
1
g

=
A
4
.
eDINSTWENNOEOTLI^IEPRIWODIMYHNAMIFORMULOTFORMUL
IZSTATXIrOBERTAuILSONA
127
SOSTOITWTOM
,
^TODLQNAGLQDNOSTIMYPERESTAWILI
1
5.
qSNO
,
^TODOSTATO^NOZADATXOBRAZODNOGOIZ\LEMENTOW
x

x
.
sREDI\LEMENTOW
I
?
n
T
?
IMEETSQ
|
STO^[email protected]
|
PO
12
TAKIHUKOTORYHKO\FFICIENTPRI
1
RAWEN
0,
1
2

2

2
.
tE
,
UKOTORYHKO\FFICIENTPRI
1
RAWEN
0,
[email protected]
2
,
SLEDOWATELXNO
,
PEREHODQT
WPROIZWEDENIEDWUHTRANSPOZICIJ
.
tAKKAKPROIZWEDENIQ
,
[email protected]]IE
5,
UVEZANQTY
,
UNASOSTAETSQROWNO
12
TAKIHPROIZWEDENIJ
,
KAKIOVIDALOSX
:
1
2
(
i
+
j
+
k
)
7!
(14)(35)
;
1
2
(
i
+
j
+
k
)
7!
(13)(45)
;
1
2
(
i
+
j
+
k
)
7!
(15)(34)
;
1
2
(
i

j

k
)
7!
(14)(25)
;
1
2
(

i
+
j
+
k
)
7!
(15)(24)
;
1
2
(

i
+
j
+
k
)
7!
(12)(45)
;
1
2
(
i

j
+
k
)
7!
(15)(23)
;
1
2
(

i
+
j

k
)
7!
(13)(25)
;
1
2
(
i

j
+
k
)
7!
(12)(45)
;
1
2
(
i
+
j

k
)
7!
(23)(45)
;
1
2
(
i
+
j

k
)
7!
(24)(35)
;
1
2
(

i

j
+
k
)
7!
(25)(34)
:
oB]EEKOLI^ESTWO
3-
CIKLOWWGRUPPE
A
5
RAWNO
2
C
3
5
=20.
iZNIHWOSEMX
3-
CIKLOW
,
NEZA
-
[email protected]]IH
5,
UVEZADEJSTWOWANY
,
TAK^TOUNASSNOWAOSTAETSQROWNO
12
[TUK
3-
CIKLOW
,
127
R.A.Wilson,ThegeometryofHall{Jankogroupasaquaternionic
re ectiongroup.{Geom.
Dedic.,1986,vol.20,p.157{173.
118
nikolajwawilow
KOTORYEIBUDUTOBRAZAMITEH
12
\LEMENTOW
I
?
n
T
?
,
UKOTORYHKO\FFICIENTPRI
1
RAWEN
1
2
,
wY^ISLENIEOBRAZOWOBLEG^AETSQTEM
,
^TOSOPRQVENNYEKWATERNIONYPEREHODQTWOWZAIMNO
OBRATNYECIKLY
.
oKON^ATELXNO
,
1
2
(

1+
j
+
k
)
7!
(154)
;
1
2
(

1+
i
+
k
)
7!
(135)
;
1
2
(

1+
i
+
j
)
7!
(345)
;
1
2
(

1

j

k
)
7!
(145)
;
1
2
(

1

i

k
)
7!
(153)
;
1
2
(

1

i

j
)
7!
(354)
;
1
2
(

1+
j

k
)
7!
(235)
;
1
2
(

1

i
+
k
)
7!
(245)
;
1
2
(

1+
i

j
)
7!
(152)
;
1
2
(

1

j
+
k
)
7!
(253)
;
1
2
(

1+
i

k
)
7!
(254)
;
1
2
(

1

i
+
j
)
7!
(125)
;
tEPERXWNA[[email protected]
,
STO^[email protected]
,12
IKOSIANOWUKOTORYH
KO\FFICIENTPRI
1
RAWEN

2
12
IKOSIANOW
,
UKOTORYH\TOTKO\FFICIENTRAWEN

2
.
|TI
IKOSIANYMOGUTPEREHODITXTOLXKOW
5-
CIKLYIUNASNASAMOMDELEIMEETSQ
4!=24
[TUK
5-
CIKLOWW
A
5
.
sNOWAWY^ISLENIEOBLEG^AETSQTEM
,
^TOSOPRQVENNYEKWATERNIONYPEREHODQT
WOWZAIMNOOBRATNYECIKLY
.
[email protected]
:
1
2
(


+
j
+
k
)
7!
(13524)
;
1
2
(


+
i
+
k
)
7!
(13452)
;
1
2
(


+
i
+
j
)
7!
(15234)
;
1
2
(



j

k
)
7!
(14253)
;
1
2
(



i

k
)
7!
(12543)
;
1
2
(



i

j
)
7!
(14325)
;
1
2
(


+
j

k
)
7!
(15423)
;
1
2
(



i
+
k
)
7!
(12435)
;
1
2
(


+
i

j
)
7!
(14532)
;
1
2
(



j
+
k
)
7!
(13245)
;
1
2
(


+
i

k
)
7!
(15342)
;
1
2
(



i
+
j
)
7!
(12354)
:
aWOTIPOSLEDNQQBUKWAIMENI
:
1
2
(


+
j
+
k
)
7!
(12534)
;
1
2
(


+
i
+
k
)
7!
(13254)
;
1
2
(


+
i
+
j
)
7!
(13425)
;
1
2
(



j

k
)
7!
(14352)
;
1
2
(



i

k
)
7!
(14523)
;
1
2
(



i

j
)
7!
(15243)
;
1
2
(


+
j

k
)
7!
(12345)
;
1
2
(



i
+
k
)
7!
(15324)
;
1
2
(


+
i

j
)
7!
(13542)
;
1
2
(



j
+
k
)
7!
(15432)
;
1
2
(


+
i

k
)
7!
(14235)
;
1
2
(



i
+
j
)
7!
(12453)
:
x
8.
rE[ETKAlI^AIGRUPPAhOLLA
{
qNKO
rASSMOTRIMKWATERNION
h
=
!
+

=
1
2
(

p
5+
i
+
j
+
k
).
qSNO
,
^TO
h
h
=1.
L
=
f
(
x;y;z
)
j
x;y;z
2
Icos
;x

y

z
mod
h;x
+
y
+
z

0mod
h
g
[email protected]][email protected]@PODGRUPPU
G
0
W
GL(3
;
H
):
G
0
=
f
diag(
f;g;h
)
j
f;g;h
2
Q;fgh
=

1
g
POSLE^EGOPORODIMPODGRUPPU
G
=
h
G
0
;!e
i
,
GRUPPOJ
G
0
IMATRICEJ
!e
=diag(
!;!;!
),
qSNO
,
^TO
j
G
0
j
=2
7
=128,
A
j
G
j
=2
7
:
3=384.
gruppy
:
firstdraught
119
x
8.
wY^ISLENIQSKWATERNIONAMI
dLQDOMA[NIHUMELXCEWUKAVEM
,
KAK
NASAMOMDELE
PROWODILISXWY^ISLENIQ
,
REZULXTA
-
TYKOTORYHBYLIPREDLOVENYWKA^ESTWEZADA^WTREHPREDYDU]IHPARAGRAFAH
.
oSNOWNYM
ATRIBUTOMALGEBRAISTAQWLQETSQSKLONNOSTX
|
QBYDAVESKAZAL
,
PREDISPOZICIQ
|
[email protected]
CENOJIZBEGATXWY^ISLENIJ
.
pO\TOMUWMESTOTOGO
,
^TOBY
10
SEKUNDISKATXPORQDOK
!
MANU
-
ALXNO
,
QUPOLNOMO^IL
sREDNEGObRATA
SDELATX\TOZAMENQ
.
tAKKAKIMPLEMENTACIQFUNKCII
NonCommutativeMultiply
W
Mathematica
KRAJNENEUDA^NA
,
WY^ISLENIQSKWATERNIONAMIPRO]E
PROWODITXNEPRIPOMO]IPAKETA
Quaternions
,
ANEPOSREDSTWENNOWMATRI^NOMPREDSTAWLE
-
.
nIVEMYOPISYWAEM\TIWY^ISLENIQW^ETYREHMERNOMWE]ESTWENNOMPREDSTAWLENII
.
pRIVELANIIMOVNOPOLXZOWATXSQIDWUMERNYMKOMPLEKSNYMPREDSTAWLENIEM
,
NOPOSKOLXKU
DLQTOGO
,
^TOBYRASPOZNATXRAWENSTWODWUHKOMPLEKSNYHMATRICPRI\TOMNUVNOPRIMENQTX
ComplexExpand
,
NIKAKOJREALXNOJ\KONOMIIWREMENI\TONEDAET
.
[email protected]]IE^ETYREMATRI
-
[email protected]_EKTOW
Mathematica
:
e=
ff
1,0,0,0
g
,
f
0,1,0,0
g
,
f
0,0,1,0
g
,
f
0,0,0,1
gg
;
i=
ff
0,1,0,0
g
,
f
-1,0,0,0
g
,
f
0,0,0,-1
g
,
f
0,0,1,0
gg
;
j=
ff
0,0,1,0
g
,
f
0,0,0,1
g
,
f
-1,0,0,0
g
,
f
0,-1,0,0
gg
;
k=
ff
0,0,0,1
g
,
f
0,0,-1,0
g
,
f
0,1,0,0
g
,
f
-1,0,0,0
gg
;
aWOTOBY^NAQZAPISX
e;i;j;k
KAKWE]ESTWENNYHMATRIC
:
0
B
B
@
1000
0100
0010
0001
1
C
C
A
;
0
B
B
@
0100

1000
000

1
0010
1
C
C
A
;
0
B
B
@
0010
0001

1000
0

100
1
C
C
A
;
0
B
B
@
0001
00

10
0100

1000
1
C
C
A
[email protected]][email protected]^NYJOBRAZECDUBOLOMNOG
O
PROGRAMMIROWANIQ
,
SWOJSTWENNOGOPROFESSIONALXNYMMATEMATIKAM
.
oDNAKO
,
POSKOLXKUDLQ
BOLX[INSTWAREKREATIWNYHZADA^WREMQNEOBHODIMOEDLQNAPISANIQ
NASTOQ]EJ
PROGRAMMY
IISPRAWLENIEO[IBOKWNEJWSOTNIRAZBOLX[E
,
^EMWREMQWY^ISLENIQ
,
PODOBNAQPRQMOLI
-
NEJNOSTXWPOLNEOPRAWDANA
.
dELOWTOM
,
^TONAPISANIEPROGRAMMYWTAKOMSTILEZANIMAET
2{3
MINUTY
,
AWOZMOVNOSTXSOWER[ITXO[IBKUPRI\TOMMINIMALXNA
.
aPOSKOLXKUDLQMAT
-
RICSTEPENI

10
IDLQGRUPPPORQDKANESKOLXKIHSOTEN\LEMENTOWWY^ISLENIEPRIPOMO]I
\TIHFUNKCIJZANIMAETNESKOLXKOSEKUND
,
BORXBAZASNIVENIEWREMENIS
O
(
n
3
)
DO
O
(
n
e
)isnot
worththecandle.
eSLIVEwAMDEJSTWITELXNONUVNOS^ITATXWGRUPPAHPORQDKANESKOLXKIH
MILLIONOWILIMILLIARDOW
,
TO\TONUVNODELATXNADRUGIHMA[INAHIUV
,
KONE^NO
,
SOWSEM
DRUGIMIPROGRAMMNYMISREDSTWAMI
.
aDLQTOGO
,
^TOBYS^ITATXWGRUPPAHPORQDKA
10
54
,
NEDOSTATO^NOPROSTOUMETXPROGRAMMIROWATX
.
dLQ\TOGONEPLOHO
,
KROMETOGO
,
REALXNO
PO
-
NIMATX
,
^TOwYDELAETE
,
.
E
.
IMETXNEPOSREDSTWENNYJKONTAKTSMIROMIDEJ
.
[email protected]]AQ
FUNKCIQOPREDELQETPROIZWEDENIEPOmINKOWSKOMUDWUHPODMNOVESTW
x
y
W
M
(
n;K
):
mink[x
,y
]:=Union[Flatten[Table[Simplify[x[[i]].y[[j]]],
f
i,1,Length[x]
g
,
f
j,1,Length[y]
g
],1]]
[email protected]]EE
:
POO^EREDNOBERETSQKAVDYJ\LEMENT
x[[i]]
MNOVESTWA
x
IPOO^EREDNOUMNOVAETSQNAKAVDYJ\LEMENT
y[[j]]
MNOVESTWA
y
.
sMYSL
[email protected]]IJ
:
Simplify
NUVNO
,
^TOBYPROIZWESTISOKRA]ENIQWPROIZWEDE
-
NIQH
x
i
y
j
,
BEZKOTORYH
Mathematica
MOVETNENAROKOMNEOBRATITXWNIMANIQNARAWENSTWO
DWUHMATRICIPRINQTXIHZARAZLI^NYE
128
;
Flatten[blabla,1]
DELAETIZPOLU^[email protected]]EGO
-
SQDWUMERNOGOSPISKAMATRIC
x
i
y
j
ODNOMERNYJI
,
NAKONEC
,
Union
USTRANQETPOWTORENIQW
[email protected]]EMSPISKE
.
tEPERX^TOBYOPREDELITXPODGRUPPU
(
WDEJSTWITELXNOSTI
,
PODPOLU
-
GRUPPU
,
NODLQ
KONE^NYH
PODGRUPPW
GL(
n;K
)
\TOODNOITOVE
!)
W
GL(
n;K
),
[email protected]
MNOVESTWOM
x
,
MYORGANIZUEMNEZATEJLIWYJCIKL
:
128
bOLEETOGO
,
WKOMPLEKSNOJFORME\TO
SISTEMATI^ESKI
PROISHODIT
POSLE
PRIMENENIQ
Simplify
IDAVE
|
^TOUVSOWSEMODIOZNO
|
FullSimplify
!!!
wREZULXTATE\TOGOQSNEKOTO
-
RYMUDIWLENIEMOBNARUVILPODGRUPPYPORQDKOW
31
32
WGRUPPEPORQDKA
120.
iZ
-
ZAPLOHOJ
RABOTYKOMANDY
Simplify
DLQKOMPLEKSNYHMATRICNUVNYBOLEEDRASTI^NYESREDSTWATIPA
PRINUDITELXNOGORASKRYTIQWSEHSKOBOK
,
OWE]ESTWLENIQIT
.
.
nA^[email protected]]EMU
,
KOTORYJNE
GOTOWKTAKOGORODABRUTALXNOSTQM
,
PRO]ESSAMOGONA^ALARABOTATXTOLXKOSWE]ESTWENNY
-
MIMATRICAMI
.
120
nikolajwawilow
span[x
]:=Block[
f
y,z
g
,y=Union[
f
e
g
,x];z=Union[y,mink[y,x]];
While[z!=y,y=z;z=Union[y,mink[y,x]]];Return[y]]
pOSLE\TOGOSOWSEMLEGKOOPREDELITX
,
[email protected]@TKAKOE
-
TOMNOVESTWOKWA
-
TERNIONOW
.
dLQ\TOGOPOLOVIM
sigma=(1-Sqrt[5])/2;tau=(1+Sqrt[5])/2;
[email protected]]IEKWATERNIONY
129
:
omega=(-e+i+j+k)/2;theta=(e+i)/Sqrt[2];
xi=(sigma*e+i+tau*j)/2;zeta=(sigma*e+tau*i+j)/2;
tEPERX
,
SPRA[IWAQ
Length[span[k,zeta]]
,
MYUZNAEM
,
^TOPORQDOKGRUPPY
h
k;
i
RAWEN
20,
A
SPRA[IWAQ
Length[span[omega,theta]]
,|
^TOPORQDOKGRUPPY
h
!;
i
RAWEN
48.
wOTFRAGMENT
IZFAKTI^ESKOJBESEDYSO
sREDNIMbRATOM
WPROCESSEPROWERKIREZULXTATOWPREDYDU]EGO
PARAGRAFA
:
Timing[Length[span[j,zeta]]]
f
0.481Second,120
g
Timing[Length[span[omega,zeta]]]
f
0.671Second,120
g
Timing[Length[span[omega,xi]]]
f
0.681Second,120
g
tAKIMOBRAZOM
,
DAVEPRIPOMO]IPRIWEDENNYHWY[EKRAJNEPRIMITIWNYHKOMANDPOROV
-
DENIEWSEH
120
\LEMENTOWGRUPP
h
j;
i
,
h
!;
i
h
!;
i
|
WMESTESSOBSTWENNOPROWERKOJTOGO
,
^TO\TODEJSTWITELXNOGRUPPY
|
ZANIMAETMENEE
0,7
SEKUNDYRABOTY
CPU
.
x
8.
kLASSIFIKACIQKONE^NYHPROSTYHGRUPP
oDNOIZSAMYHZAME^[email protected]
[email protected]
|
kLASSIFIKACIQKONE^NYHPROSTYHGRUPP

cIKLI^ESKIEGRUPPYPROSTOGOPORQDKA

zNAKOPEREMENNYEGRUPPY
A
n
n

5;

kONE^NYEPROSTYEGRUPPYTIPAlI

26
SPORADI^ESKIHGRUPP
wY^ISLENIQW\TIHGRUPPAHLEGKOOSU][email protected]
Mathematica.
tAKKAK
x
8.
pORQDKIPROSTYHGRUPP
,
MENX[IH
1000000
iMEETSQROWNO
56(
NEABELEWYH
)
PROSTYHGRUPP
,
PORQDKIKOTORYHMENX[E
1000000.
|TO
SRAZUWYTEKAETIZTEOREMYKLASSIFIKACII
,
NOMOVETBYTXUSTANOWLENOI\LEMENTARNYMI
METODAMI
130
;
131
,
[email protected]]IMILI[XRANNIEKLASSIFIKACIONNYEREZULXTATY
.
bOLX[AQ
^ASTX\[email protected]
PSL(2
;q
)
STEPENI
2.
pQTXIZNIH
|
ZNAKOPEREMENNYEGRUPPY
A
5
,
A
6
,
A
7
,
A
8
,
A
9
,
TRIIZKOTORYHIZOMORFNY
GRUPPAM
PSL(
n;q
).
pQTXGRUPP
|
SPORADI^ESKIE
:

tRIMALENXKIE
GRUPPYmATXE
M
11
,
M
12
,
M
22
.
gRUPPA
M
21

=
PSL(3
;
4)
NEQWLQETSQ
SPORADI^ESKOJ
,
AGRUPPA
M
10
NEQWLQETSQPROSTOJ
,
ONASODERVIT
PSL(2
;
9)
WKA^ESTWEPOD
-
GRUPPYINDEKSA
2.
pORQDKIDWUHSTAR[IHGRUPPmATXE
M
23
M
24
NESKOLXKOBOLX[EODNOGO
MILLIONA
,
ONIRAWNY
10200960
244823040,
SOOTWETSTWENNO
.

dWEMLAD[IE
GRUPPYqNKO
J
1
J
2
.
wTORAQGRUPPAqNKO
^ASTONAZYWAETSQTAKVE
GRUPPOJhOLLA
{
qNKO
IOBOZNA^AETSQ
HJ.
~TOKASAETSQPERWOJGRUPPYqNKO
J
1
,
TOONA
BLIZKODRUVITS
G
2
(11)
AEEPORQDOKRAWEN
175560=11(11+1)(11
3

1)=19

20

21

22=55

56

57
:
129
wOZMOVNOwYZAHOTITEWYBRATXDRUGOEIMQDLQKWATERNIONA
zeta
,
INA^EPRIPER
-
WOJ\[email protected]]ENIE
:
General::"spell1":Possiblespelling
error:newsymbolname"zeta"issimilartoexistingsymbol"
Zeta".
130
M.Hall,Asearchforsimplegroupsoforderlessthanonemillion.
{In:Computational
ProblemsinAbstractAlgebra,PergamonPress,Oxfordetal.,1970,p
.137{168.
131
m
.
hOLL
,
pOSTROENIEKONE^NYHPROSTYHGRUPP
.{
wKN
.:
wY^ISLENIQWaLGEBREI
tEORII~ISEL
,
m
.,
mIR
,1976,
S
.95{128.
gruppy
:
firstdraught
121
pORQDKIWSEHOSTALXNYHSPORADI^ESKIHGRUPPGORAZDOBOLX[E
,
EDINSTWENNYMISPORADI^E
-
SKIMIGRUPPAMI
,
KROMEPERE^ISLENNYH
,
PORQDOKKOTORYHMENX[EODNOGO
MILLIARDA
,
QWLQ
-
@TSQ
GRUPPAhIGMENA
{
sIMSA
,
PORQDKA
44352000,
TRETXQGRUPPAqNKO
J
3
,
PORQDKA
50232960,
GRUPPAmAKLAFLINA
Mc,
PORQDKA
898128000.
wSEOSTALXNYEGRUPPY
,
S
EDINSTWENNYM
[email protected]^ENIEM
,
[email protected]
,
KLAS
-
SI^ESKIHSERIJ
PSL
2
,PSL
3
,PSL
4
,PSp
4
,PSU
3
PSU
4
.
[email protected]^ENIEMQWLQ
-
ETSQGRUPPAsUDZUKI
Sz(2
3
).
tABLICA
?.
kONE^NYEPROSTYEGRUPPYPORQDKA

1000000
60=2
2

3

5,
A
5

=
PSL(2
;
4)

=
PSL(2
;
5),
168=2
3

3

7,PSL(2
;
7),
360=2
3

3
2

5,
A
6

=
PSL(2
;
9),
504=2
3

3
2

7,PSL(2
;
8),
660=2
2

3

5

11,PSL(2
;
11),
1092=2
2

3

7

13,PSL(2
;
13),
2448=2
4

3
2

17,PSL(2
;
17),
2520=2
3

3
2

5

7,
A
7
,
3420=2
2

3
2

5

19,PSL(2
;
19),
4080=2
4

3

5

17,PSL(2
;
16),
5616=2
4

3
3

13,PSL(3
;
3),
6048=2
5

3
3

7,PSU(3
;
3
2
),
6072=2
3

3

11

23,PSL(2
;
23),
7800=2
3

3

5
2

13,PSL(2
;
25),
7920=2
4

3
2

5

11,
GRUPPAmATXE
M
11
,
9828=2
2

3
3

7

13,PSL(2
;
27),
12180=2
2

3

5

7

29,PSL(2
;
29),
14880=2
5

3

5

31,PSL(2
;
31),
20160=2
6

3
2

5

7,
A
8

=
PSL(4
;
2),
20160=2
6

3
2

5

7,
M
21

=
PSL(3
;
4),
25308=2
2

3
2

19

37,PSL(2
;
37),
25920=2
6

3
4

5,PSp(4
;
3)

=
PSU(4
;
2
2
),
29120=2
6

5

7

13,
GRUPPAsUDZUKI
Sz(2
3
),
32736=2
5

3

11

31,PSL(2
;
32),
34440=2
3

3

5

7

41,PSL(2
;
41),
39732=2
2

3

7

11

43,PSL(2
;
43),
51888=2
4

3

23

47,PSL(2
;
47),
58800=2
4

3

5
2

7
2
,PSL(2
;
49),
62400=2
6

3

5
2

13,PSU(3
;
4
2
),
74412=2
2

3
3

13

53,PSL(2
;
53),
95040=2
6

3
3

5

11,
GRUPPAmATXE
M
12
,
102660=2
2

3

5

29

59,PSL(2
;
59),
113460=2
2

3

5

31

61,PSL(2
;
61),
126000=2
4

3
2

5
3

7,PSU(3
;
5
2
),
150348=2
2

3

11

17

67,PSL(2
;
67),
175560=2
3

3

5

7

11

19,
GRUPPAqNKO
J
1
,
178920=2
3

3
2

5

7

71,PSL(2
;
71),
122
nikolajwawilow
181440=2
6

3
4

5

7,
A
9
,
194472=2
3

3
2

37

73,PSL(2
;
73),
246480=2
4

3

5

13

79,PSL(2
;
79),
262080=2
6

3
2

5

7

13,PSL(2
;
64),
265680=2
4

3
4

5

41,PSL(2
;
81),
285852=2
2

3

7

41

83,PSL(2
;
83),
352440=2
3

3
2

5

11

89,PSL(2
;
89),
372000=2
5

3

5
3

31,PSL(3
;
5),
443520=2
7

3
2

5

7

11,
GRUPPAmATXE
M
22
,
456288=2
5

3

7
2

97,PSL(2
;
97),
515100=2
2

3

5
2

17

101,PSL(2
;
101),
546312=2
3

3

13

17

103,PSL(2
;
103),
604800=2
7

3
3

5
2

7,
GRUPPAhOLLA
{
qNKO
J
2
=HJ,
612468=2
2

3
3

53

107,PSL(2
;
107),
647460=2
2

3
3

5

11

109,PSL(2
;
109),
721392=2
4

3

7

19

113,PSL(2
;
113),
885720=2
3

3

5

11
2

61,PSL(2
;
121),
976500=2
2

3
2

5
3

7

31,PSL(2
;
125),
979200=2
8

3
2

5
2

17,PSp(4
;
4),
[email protected]]EJGRUPPY
PSL(2
;
127)
^UTXBOLX[EMILLIONA
,
ONRAWEN
1024128=2
7

3
2

7

127.
lEGKOSDELATXNESKOLXKO^[email protected]
.
wO
-
PERWYH
,
PORQDKIWSEHGRUPP
DELQTSQNA
4.
gRUPPAsUDZUKIQWLQETSQ
EDINSTWENNOJ
GRUPPOJW\TOMSPISKE
,
PORQDOKKOTO
-
ROJNEDELITSQNA
3.
oBE\TIZAKONOMERNOSTINOSQTOB]IJHARAKTER
,
W^ASTNOSTI
,
PORQDOK
WSEHPROSTYHGRUPP
,
KROMEGRUPPsUDZUKI
,
DELITSQNA
12.
w\TOMSPISKEPORQDOK
20160
FIGURIRUET
DWAVDY
,
WSAMOMDELE
,
LEGKOPROWERITX
,
^TOGRUPPY
PSL(4
;
2)
PSL(3
;
4)
NE
IZOMORFNY
.
wSEOSTALXNYEGRUPPYODNOZNA^[email protected]
.
x
8.
gRUPPYTIPAlI
[email protected]^[email protected]
.
gRUPPYTIPA
lIDELQTSQNAKLASSI^ESKIEGRUPPY
,
KOTORYEBYLIIZWESTNYW
XIX
WEKE
,
[email protected]^ITELXNYE
GRUPPY
,
KOTORYEBYLIOTKRYTYTOLXKOW
XX
WEKE
.
tABLICA
?.
kONE^NYEKLASSI^ESKIEGRUPPY
GRUPPAKLASSI^ESKOEPORQDOK
TIPAlIOBOZNA^ENIE
A
l
(
q
)PSL(
+1
;q
)
1
gcd(
+1
;q

1)
q
l
(
l
+1)
=
2
l
Y
i
=1
(
q
i
+1

1),
B
l
(
q
)P (2
+1
;q
)
1
gcd(2
;q

1)
q
l
l
Y
i
=1
(
q
2
i

1),
C
l
(
q
)PSp(2
l;q
)
1
gcd(2
;q

1)
q
l
l
Y
i
=1
(
q
2
i

1),
D
l
(
q
)P
+
(2
l;q
)
1
gcd(4
;q
l

1)
q
l
(
l

1)
(
q
l

1)
l

1
Y
i
=1
(
q
2
i

1),
2
A
l
(
q
2
)PSU(
+1
;q
)
1
gcd(
+1
;q
+1)
q
l
(
l
+1)
=
2
l
Y
i
=1
(
q
i
+1

(

1)
i
+1
),
gruppy
:
firstdraught
123
2
D
l
(
q
2
)P

(2
l;q
)
1
gcd(4
;q
l
+1)
q
l
(
l

1)
(
q
l
+1)
l

1
Y
i
=1
(
q
2
i

1),
tABLICA
?.
kONE^[email protected]^ITELXNYEGRUPPYTIPAlI
GRUPPAPORQDOK
TIPAlI
E
6
(
q
)
1
gcd(3
;q

1)
q
36
(
q
12

1)(
q
9

1)(
q
8

1)(
q
6

1)(
q
5

1)(
q
2

1),
E
7
(
q
)
1
gcd(2
;q

1)
q
63
(
q
18

1)(
q
14

1)(
q
12

1)(
q
10

1)(
q
8

1)(
q
6

1)(
q
2

1),
E
8
(
q
)
q
120
(
q
30

1)(
q
24

1)(
q
20

1)(
q
18

1)(
q
14

1)(
q
12

1)(
q
8

1)(
q
2

1),
F
4
(
q
)
q
24
(
q
12

1)(
q
8

1)(
q
6

1)(
q
2

1),
G
2
(
q
)
q
6
(
q
6

1)(
q
2

1),
2
E
6
(
q
2
)
1
gcd(3
;q
+1)
q
36
(
q
12

1)(
q
9
+1)(
q
8

1)(
q
6

1)(
q
5
+1)(
q
2

1),
3
D
4
(
q
3
)
q
12
(
q
8
+
q
4
+1)(
q
6

1)(
q
2

1),
2
B
2
(
q
),
q
=2
2
m
+1
,
q
2
(
q
2
+1)(
q

1),
2
G
2
(
q
),
q
=3
2
m
+1
,
q
3
(
q
3
+1)(
q

1),
2
F
4
(
q
),
q
=2
2
m
+1
,
q
12
(
q
6
+1)(
q
4

1)(
q
3
+1)(
q

1),
x
8.
sPORADI^ESKIEGRUPPY
wNASTOQ]EMPARAGRAFEMYPERE^ISLIM
26
SPORADI^ESKIHGRUPP
,
KOTORYENEWHODQTNIW
ODNUIZBESKONE^NYHSERIJ
.
tABLICA
?.
sPORADI^ESKIEGRUPPY
GRUPPAOBOZNA^ENIEPORQDOK
mATXE
M
11
2
4

3
2

5

11,
mATXE
M
12
2
6

3
3

5

11,
mATXE
M
22
2
7

3
2

5

7

11,
mATXE
M
23
2
7

3
2

5

7

11

23,
mATXE
M
24
2
10

3
3

5

7

11

23,
qNKO
J
1
2
3

3

5

7

11

19,
hOLLA
{
qNKO
J
2
=HJ2
7

3
3

5

7,
qNKO
J
3
2
4

3
5

5

17

19,
qNKO
J
4
2
21

3
3

5

7

11
3

23

29

31

37

43,
hIGMANA
{
sIMSA
HS2
9

3
2

5
3

7

11,
mAKLAFLINA
Mc2
7

3
6

5
3

7

11,
sUDZUKI
Suz2
13

3
7

5
2

7

11

13,
rUDWALISA
Ru2
14

3
3

5
3

7

13

29,
hELXDA
He2
10

3
3

5
2

7
3

17,
lAJONSA
Ly2
8

3
7

5
6

7

11

31

37

67,
124
nikolajwawilow
o
'
nANA
{
sIMSA
ON2
9

3
4

5

7
3

11

19

31,
kONWEQ
Co
1
2
21

3
9

5
4

7
2

11

13

23,
kONWEQ
Co
2
2
18

3
6

5
3

7

11

23,
kONWEQ
Co
3
2
10

3
7

5
3

7

11

23,
fI[ERA
Fi
22
2
17

3
9

5
2

7

11

13,
fI[ERA
Fi
23
2
18

3
13

5
2

7

11

13

17

23,
fI[ERA
Fi
0
24
2
21

3
16

5
2

7
3

11

13

17

23

29,
hARADA
{
nORTONA
F
5
=HN2
14

3
6

5
6

7

11

19,
tOMPSONA
F
3
=Th2
15

3
10

5
3

7
2

13

19

31,
BabyMonster
F
2
=BM2
41

3
13

5
6

7
2

11

13

17

19

23

31

47,
BigMonster=FriendlyGiant=
fI[ER
{
gRAJSS
F
1
=FG
2
46

3
20

5
9

7
6

11
2

13
3

17

19

23

29

31

41

47

59

71
x
8.
tAKLIWELIKbOLX[OJmONSTR
?
sTO^KIZRENIQOBYWATELQbOLX[OJmONSTRQWLQETSQ^UDOWI]NOBOLX[OJGRUPPO
.
w
SAMOMDELE
,
EGOPORQDOKIMEET
54
CIFRYIRAWEN
j
FG
j
=80801742479451287588645990496171075700575436800000
0000
nAIMENX[EELINEJNOEPREDSTAWLENIE
FG
NADPOLEMKOMPLEKSNYH^ISELIMEETSTEPENX
196883.
dLQUMNOVENIQDWUHMATRICTAKOGOPORQDKASOWSEMNEDAWNONUVNOBYLOOKOLOG
ODA
.
oDNAKOPOSTANDARTAMTEORIIGRUPPTIPAlIbOLX[OJmONSTRBOLEE
,
^EMSKROMNAQGRUP
-
PA
.
wOT
,
DLQSRAWNENIQ
,
PORQDKIPERWYHPQTIGRUPPSAMOJMALENXKOJIZSTAR[[email protected]^I
-
TELXNYHGRUPP
|
GRUPPY{EWALLETIPA
E
6
:
j
E
6
(2)
j
=214841575522005575270400
j
E
6
(3)
j
=14515406695082926420056516790429286400
j
E
6
(4)
j
=85528710781342640103833619055142765466746880000
j
E
6
(5)
j
=31751441227377322842764053344726562500000000000000
00000
j
E
6
(7)
j
=81033138516048312887650621528562637025709874523005
3452725616640000
wIDNO
,
^TOUVE
E
6
(5)
PO^TIW
4
RAZABOLX[E
,
^EM
FG
,
A
E
6
(7)
BOLX[E
,
^EM
FG
UVENA
12
PORQDKOW
.
e]EBYSTREE
FG
PROIGRYWAETSOREWNOWANIESGRUPPAMI{EWALLETIPA
E
7
:
j
E
7
(2)
j
=7997476042075799759100487262680802918400
j
E
7
(3)
j
=25427504736362734844809595022780432891087584075415
32509234790400
tAKIMOBRAZOM
,
UVEWTORAQGRUPPA
E
7
(3)
BOLX[E
FG
NA
10
PORQDKOW
.
pORQDOKSAMOJMALENX
-
KOJGRUPPY{EWALLETIPA
E
8
IMEETUVE
75
CIFR
:
j
E
8
(2)
j
=337804753143634806261388190614085595079
991692242467651576160959909068800000
tEMSAMYM
,
UVESAMAQMALENXKAQIZGRUPP\TOGOTIPA
,
E
8
(2),
BOLX[E
FG
NA
21
PORQDOK
!
tEMNEMENEE
,
STO^KIZRENIQPROFESSIONALA
,
E
8
(2)
NEO^ENXBOLX[AQGRUPPA
.
nETNIODNOGO
ESTESTWENNOGO
WOPROSAPRO\TUGRUPPU
,
NAKOTORYJMYNEZNALIBYOTWETA
.
mYZNAEM
EEKLASSYSOPRQVENNYH\LEMENTOW
,
AWTOMORFIZMY
,
MAKSIMALXNYEPODGRUPPY
,
KOMPLEKSNYE
PREDSTAWLENIQ
,
IMNOGOEDRUGOE
.
nOWDEJSTWITELXNOSTI
E
8
(2)
PROSTOKROHOTNAQGRUPPA
,
[email protected]
GL(248
;
2),
PORQ
-
DOKKOTOROJSODERVIT
18515
CIFR
.
aWEDXNIKOMUNEPRIDETWGOLOWUNAZYWATX
GL(248
;
2)
BOLX[OJGRUPPOJ
!
gruppy
:
firstdraught
125
x
8.
gRUPPYGOMOLOGIJDIFFERENCIALXNYHGRUPP
dIFFERENCIALXNOJGRUPPOJ
NAZYWAETSQPARA
(
A;@
),
GDE
A
{
ABELEWA
GRUPPA
A
@
2
End(
A
){
\NDOMORFIZMGRUPPY
A
TAKOJ
^TO
@
2
=0.
|NDO
-
MORFIZM
@
OBY^NONAZYWAETSQ
DIFFERENCIALOM
pODGRUPPA
Z
(
A
)=Ker(
@
)
NAZYWAETSQ
GRUPPOJCIKLOW
DIFFERENCIALXNOJGRUPPY
A
AEE\LEMENTY
{
CIKLAMI
(
[email protected]^ENIE
`Z'{Zyklus).
pODGRUPPA
B
(
A
)=Im(
@
)
NAZYWA
-
ETSQ
GRUPPOJGRANIC
DIFFERENCIALXNOJGRUPPY
A
AEE\LEMENTY
{
GRANI
-
CAMI
(
[email protected]^ENIE
`B'{boundary).
tAKKAK
@
2
=0,
TO
B
(
A
)

Z
(
A
).
fAKTOR
-
GRUPPA
H
(
A
)=
Z
(
A
)
=B
(
A
)
NAZYWAETSQ
GRUPPOJGOMOLOGIJ
DIF
-
FERENCIALXNOJGRUPPY
A
|LEMENTY
H
(
A
)
[email protected]
KLASSAMIGOMOLO
-
GIJ
cIKLY
x;y
2
Z
(
A
)
[email protected]
GOMOLOGI^NYMI
ESLI
x

y
2
B
(
A
).
eSLI
(
A;@
A
)
I
(
B;@
B
){
DWEDIFFERENCIALXNYEGRUPPY
TO
GOMOMORFIZ
-
MOMDIFFERENCIALXNYHGRUPP
NAZYWAETSQTAKOJGOMOMORFIZMGRUPP
A
!
B
KOTORYJKOMMUTIRUETSDIFFERENCIALOMWTOMSMYSLE
^TOKWADRAT
A
'
!
B
@
A
?
?
y
?
?
y
@
B
A
!
'
B
KOMMUTATIWEN
T
E
INYMISLOWAMI

@
A
=
@
B

oBY^NODIFFERENCIAL
WOWSEHDIFFERENCIALXNYHGRUPPAHOBOZNA^AETSQPROSTO^EREZ
@
TAK^TO\TO
RAWENSTWOZAPISYWAETSQKAK

@
=
@

qSNO
^TOGOMOMORFIZM
A
!
B
DIFFERENCIALXNYHGRUPPPEREWODIT
CIKLYWCIKLYIGRANICYWGRANICY
(
Z
(
A
))

Z
(
B
),
(
B
(
A
))

B
(
B
)
(
PROWERXTE
!).
tEMSAMYM
INDUKCIRUETGOMOMORFIZMGRUPPGOMOLOGIJ

H
(
A
)
!
H
(
B
)
;x
+
B
(
A
)
7!
(
x
)+
B
(
B
)
x
9.
rAS[IRENIQGRUPP
w\TOMPARAGRAFEMYOBSUDIM
WKAKOJSTEPENIGRUPPA
G
OPREDELQETSQSWOEJ
NORMALXNOJPODGRUPPOJIFAKTOR
-
GRUPPOJPO\TOJNORMALXNOJPODGRUPPEI
[email protected]^EWYHKONSTRUKCIJWSEJTEORIIGRUPP
mYWERNEMSQK
DETALXNOMUIZU^[email protected]\TOJKONSTRUKCIIWgL
.X,
WSWQZISPROIZWEDENIQMI
NO
PONQTIERAS[IRENIQNASTOLXKOWAVNO
^TONAMUDOBNONA^ATXPOLXZOWATXSQIM
UVESEJ^AS
oPREDELENIE
.
gRUPPA
G
132
O.Schreier,

UberdieErweiterungenvonGruppen.I.{Monatschriftf.Math.u.Ph
ys.,
1926,Bd.34,S.165{180;II.{Abh.Math.Sem.Hamburg,1926,B
d.4,S.321{346.
126
nikolajwawilow
KRAJNEJMEREODNATAKAQGRUPPA
WSEGDA
SU]ESTWUET
\TOPRQMOEPROIZWEDENIE
H

F
oDNAKO
KAKMYSEJ^ASUBEDIMSQ
WOB]EMSLU^AEMOVETSU]ESTWOWATX
MNOGO
NEIZOMORFNYHRAS[IRENIJ
F
PRIPOMO]I
H
kAVDYJPRIMER
KOGDA
MYMOGLIWY^ISLITXFAKTOR
-
GRUPPU
QWLQETSQPRIMEROMRAS[IRENIQ

kAK^ETWERNAQGRUPPA
V
TAKICIKLI^ESKAQGRUPPA
C
4
[email protected]
C
2
:C
2

kAKGRUPPATREUGOLXNIKA
S
3
TAKICIKLI^ESKAQGRUPPA
C
6
[email protected]
C
3
:C
2
wDEJSTWITELXNOSTISPECIALISTYPOTEORIIGRUPPPI[UTPROSTO
n
WMESTO
C
n
TAK^TOZDESXMOVNOBYLOBYNAPISATX
2
2
ILI
3
2,
SOOTWETSTWENNO
pO
-
SLEDNIJPRIMERDOPUSKAET[IROKIEOBOB]ENIQ

[email protected]
n
IMEEM
D
n
=
n:
2.

[email protected]
n

2
IMEEM
S
n
=
A
n
2.

[email protected]
K
HARAKTERISTIKI
=2
IMEEM
SL(2
;K
)=2
PSL(2
;K
)
sU^ETOMIZOMORFIZMA
A
5

=
PSL(2
5)
WESXMAPOU^ITELXNOSRAWNITX\TIDWA
PRIMERAWSLU^AE
n
=5,
K
=
F
5
pERWYJIZNIHPREWRA]AETSQW
S
5
=
A
5
2,
AWTOROJ
{
W
SL(2
5)=2
:A
5
iNYMISLOWAMI
WGRUPPE
S
5
ESTXPODGRUPPA
A
5
FAKTOR
-
GRUPPAPOKOTOROJIZOMORFNA
C
2
AW
SL(2
5)
ESTXPODGRUPPA
C
2
FAKTOR
-
GRUPPAPOKOTOROJIZOMORFNA
A
5
nEWOORUVENNYMGLAZOMWIDNO
^TO
STROENIE
S
5
I
SL(2
5)
SOWER[ENNORAZLI^NO
nAPRIMER
S
5
{
GRUPPABEZCENTRA
WTOWREMQKAK
SL(2
5)
IMEETCENTRPORQDKA
2.
wTOVEWREMQ
GRUPPA
SL(2
5)
SOWER[ENNA
WTOWREMQKAKKOMMUTANT
S
5
RAWEN
A
5
IIMEETTAMINDEKS
2.
a
WOTPRIMER
KOTORYJMYWIDELIW
x
?.

S
4
=
V:S
3
SPECIALISTYPOTEORIIKONE^NYHGRUPPOBY^NOPI[UT
S
4
=
2
2
:S
3
kSTATI
PO^EMUNE
4
:S
3
?

kAVDAQPODGRUPPAGRUPPYKWATERNIONOW
Q
NORMALXNA
pO\TOMU
Q
PRED
-
STAWLQETSQWWIDE
Q
=4
2
ILI
Q
=2
2
2

dLQKONE^NOGOPOLQ
K
=
F
p
IMEEM
A (
n;p
)=
p
n
GL(
n;p
).
pUSTX
i
H
!
G
{
IZOMORFIZM
H
W
G
A

G=i
(
H
)
!
F
{
IZOMORFIZM
G=i
(
H
)
NA
F
pROFESSIONALYOBY^[email protected]
i
I

WODNU
[email protected][IRENIQPOSREDSTWOM
KOROTKOJTO^NOJPOSLE
-
DOWATELXNOSTI
1
!
H
i
!
G

!
F
!
1
tO^NOSTX
\TOJDIAGRAMMYOZNA^AET
^[email protected]]EGOGOMOMOR
-
FIZMASOWPADAETSOBRAZOMPREDYDU]EGO
tEMSAMYM
TO^NOSTXW^LENE
H
OZNA^AET
^TO
Ker(
i
)=1,
TO^NOSTXW^LENE
G
{
^TO
Ker(

)=Im(
i
)
I
NAKONEC
TO^NOSTXW^LENE
F
{
^TO
Im(

)=
F
gRUPPA
H
NAZYWAETSQ
QDROM
RAS[IRE
-
NIQ
pREDOSTEREVENIE
.
wNEKOTORYHKNIGAH
WTOM^ISLE
[Kur],[KM]
TO
^TOMY
NAZYWAEMRAS[IRENIEM
F
PRIPOMO]I
H
O[IBO^NO
NAZYWAETSQRAS[IRENIEM
H
PRIPOMO]I
F
rAS[IRENIEGRUPPY
F
\TONETAKAQNADGRUPPA
F
WKOTOROJ
F
NORMALXNA
AEE
[email protected]]AQGRUPPA
T
E
TAKAQGRUPPA
G
UKOTOROJ
ESTXFAKTOR
-
GRUPPA
IZOMORFNAQ
F
sPRINCIPIALXNOJTO^[email protected]^ENSLU^AJRAS[
IRENIJ
W
KOTORYHGRUPPA
H
ABELEWA
TAKIERAS[[email protected]
RAS[IRENIQMIS
gruppy
:
firstdraught
127
ABELEWYMQDROM
w\TOMSLU^AEOTWETDAETSQKLASSI^ESKOJ
(
ABELEWOJ
)
GOMO
-
LOGI^ESKOJALGEBROJ
e]EPRO]EUSTROENY
CENTRALXNYERAS[IRENIQ
QDRO
KOTORYHSODERVITSQWCENTRE
H

C
(
G
).
wPRILOVENIQHTEORIIRAS[IRENIJW
KRISTALLOGRAFIIITEORIIKONE^NYHGRUPPAOSOBENNO^ASTOWOZN
IKAETSLU^AJ
RAS[IRENIJSCIKLI^ESKIMQDROM
DLQKOTORYH
H
CIKLI^ESKAQ
oBRATITEWNIMANIE
^TOGRUPPY
H
I
F
WHODQTW
G
=
H:F
[email protected]
-
NOPRAWNO
wGRUPPE
G
ESTXPODGRUPPA
IZOMORFNAQ
H
NO
WOOB]EGOWORQ
n
WERTIKALXNOEZERKALO

v

d
m
GORIZONTALXNOEZERKALO

h
1
=m
TO^KAINWERSII
i
1
dLQTOGO
,
^TOBYOBLEG^ITXZADA^UNA^[email protected]]EMU
,
WOMNOGIHSTARYHRABOTAHPOGEOMETRIII
KOMBINATORNOJTEORIIGRUPPISPOLXZUETSQSISTEMA
,
[email protected]
C&M(
POTOMU
128
nikolajwawilow
^TONAIBOLEEIZWESTNAQKNIGA
,
GDEONAWSTRE^AETSQ
,
\TO
[CM]).
TO^E^NAQGRUPPA
:
sISTEMA{ENFLISA
:IUCr:
SISTEMAs
&M
C
n
C
n
n
[
n
]
+
D
n
D
n
n
22[2
;n
]
+
T
+
T
23[3
;
3]
+
O
+
O
W
432[3
;
4]
+
I
+
Y

[3
;
5]
+
C
n

C
2
C
nh
n=m
[2
;n
+
]
D
n

C
2
D
nh
n=mmm
[2
;n
]
T
+

C
2
T
h
n
[3
+
;
4]
OO
h
W
h
m
3
m
2
=m
[3
;
4]
IY
h

[3
;
5]
C
2
n
C
n
S
2
n
2
n

D
n
C
n
C
nv
nmm
[
n
]
D
2
n
D
n
D
nd
2
nm
2[2
+
;
2
n
]
TT
d
43
m
[3
;
3]
tEPERXMYBUDEMINTERESOWATXSQNEWSEMIKONE^NYMIPODGRUPPAMIW
GL(3
;
R
),
ATOLXKO
TEMIIZNIH
,
[email protected]@RE[ETKU
L
=
Z
e
1
+
:::
+
Z
e
n
W
V
.
iNYMI
SLOWAMI
,
\TOZNA^IT
,
^[email protected]^NYEPODGRUPPY
,
SOPRQVENNYESNEKOTOROJ
PODGRUPPOJW
GL(3
;
Z
).
[email protected]]IJREZULXTAT
:
lEMMA
.
gRUPPA
,
[email protected]][email protected][ETKU
,
MOVETSODERVATXTOLXKOPO
-
WOROTYPORQDKOW
1,2,3,4
I
6.
nAZOWEMKONE^[email protected]
GL(
n;
R
)
KRISTALLOGRAFI^ESKOJTO^E^NOJGRUPPOJ
,
ESLIONASOPRQVENASNEKOTOROJPODGRUPPOJW
GL(
n;
Z
),
,
^TOTOVESAMOE
,
ESLIONA
SODERVITTOLXKOPOWOROTNYEOSIPORQDKOW
1,2,3,4
6.
kLASSYSOPRQVENNOSTIKRISTALLO
-
GRAFI^ESKIHTO^E^NYHGRUPPW
GL(
n;
R
)
[email protected]
KRISTALLOGRAFI^ESKIMIKLASSAMI
(Kristallklasse).
qSNO
,
^TODLQ
n
=2
IMEETSQROWNO
10
KRISTALLOGRAFI^ESKIHKLASSOW
133
,
A
IMENNO
,
C
1
;C
2
;C
3
;C
4
;C
6
;D
1
;D
2
;D
3
;D
4
;D
6
.
sEJ^ASMYPERE^ISLIMWSE
32
KRISTALLOGRA
-
FI^ESKIHKLASSADLQ
n
=3.
kAKMYUVEUPOMINALI
,
WPERWYE\TOBYLOSDELANOgESSELEMW
1830
GODU
,
NOEGORABOTAWTOWREMQOSTALASXNEZAME^ENNOJ
,
TAK^TO\TOTREZULXTATPEREDO
-
KAZYWALIaKSELXwILXGELXMOWI^gADOLIN
134
(
W
1869
GODU
)
IlEONARDzONKE
135
(
W
1879
GODU
),
APOTOMfEDOROW
,
[email protected]
,
mINNIGERODE
,
{ENFLIS
,
wULXF
,...
gRUPPA
G

GL(
n;
R
),
[email protected]]AQSQPOLNOJGRUPPOJSIMMETRIINEKOTOROJRE[ETKI
,
NA
-
ZYWAETSQ
PODGRUPPOJbRAWE
.
wSQKAQMAKSIMALXNAQKONE^NAQPODGRUPPAGRUPPY
GL(
n;
Z
)
QWLQETSQPODGRUPPOJbRAWE
,
NOOBRATNOE
,
WOOB]EGOWORQ
,
NEIMEETMESTA
.
nAIMENX[AQPOD
-
GRUPPAbRAWE
,
SODERVA]AQKRISTALLOGRAFI^[email protected]^E^[email protected]
G
,
RASSMATRIWAEMAQS
TO^[email protected]
GL(
n;
R
),
NAZYWAETSQ
GOLO\DRIEJ
(
,
ESLIBYTXSOWSEM
TO^NYM
,
GEOMETRI^ESKOJGOLO\DRIEJ
)
GRUPPY
G
.
gOWORQT
,
^TODWEGRUPPY
H
G
OTNO
-
SQTSQKODNOJITOJVE
SINGONII
(alias,
KRISTALLOGRAFI^ESKOJSISTEME
,Kristallsystem),
ESLIIHGOLO\[email protected]
.
kRISTALLOGRAFI^ESKIJKLASS
,
[email protected]]IJMAKSIMALXNOJ
WOZMOVNOJSIMMETRIEJ
(
.
E
.
KLASS
,
[email protected]]IJSOSWOEJSOBSTWENNOJGOLO\DRIEJ
)
NAZYWA
-
ETSQ
GOLO\DRI^ESKIMKLASSOM
.
133
gERMANwEJLXWKNIGE
[W2]
[email protected]@FORMULIROWKU\TOGOREZULX
-
TATAlEONARDODAwIN^I
:\
bUDU^IWYRAVENNYMWSOWREMENNYHABSTRAKTNYHTERMINAHEGO
REZULXTAT
,
WSU]NOSTI
,
SOWPADAETSPRIWEDENNOJNAMIWY[ETABLICEJWOZMOVNYHGRUPP
WRA]ENIJ
(
SOBSTWENNYHINESOBSTWENNYH
)
DLQSLU^AQDWUHIZMERENIJ
"{
STR
.92.
134
gADOLIN
(1828{1892)
BYLNEPROFESSIONALXNYMKRISTALLOGRAFOM
,
AOFICEROM
-
ARTIL
-
LERISTOM
,
[email protected]
32
KRISTALLOGRAFI^ESKIHKLASSOWONPRI[ELPRIPODGOTOWKEKLEK
-
CIQMPOFIZIKEWaRTILLERIJSKOJaKADEMII
!
135
oTECzONKE
(1842{1897)
BYLPROFESSOROMMATEMATIKI
,
TAK^TOSWOEIMQONPOLU^ILW
^ESTXlEONARDA|JLERA
.
gruppy
:
firstdraught
129
pRI
n
=3
SU]ESTWUET
7
SINGONIJ
,
[email protected]^ESKIE
NAZWANIQ
136
:
TRIKLINNAQ
(
KRISTALLY
,
[email protected]]IENIOSEJ
,
NIPLOSKOSTEJSIMMETRII
),
MONOKLINNAQ
(
KRISTALLY
,
[email protected]][email protected]
,
ILIODNUPLOSKOSTXSIMMETRII
),
ROMBI^ESKAQ
(
KRISTALLY
,
[email protected]]IETRIWZAIMNOPERPENDIKULQRNYEDWOJNYEOSI
,
INOG
-
DAROMBI^ESKAQSINGONIQNAZYWAETSQE]E
ORTOROMBI^ESKOJ
),
TRIGONALXNAQ
(
KRISTALLY
,
[email protected]][email protected]
),
TETRAGONALXNAQ
(
KRISTALLY
,
[email protected]]IEODNU^[email protected]
{
.
E
.
OSX
4-
GOPORQDKA
),
GEKSAGONALXNAQ
(
KRISTALLY
,
[email protected]]IEODNUOSX
6-
GOPORQDKA
)
KUBI^ESKAQ
(
KRISTALLY
,
[email protected]]IE
4
TROJNYEI
3
^ETWERNYEOSI
).
tEOREMA
.
pRI
n
=3
IMEETSQROWNO
KRISTALLOGRAFI^ESKIHKLASSA
,
[email protected]
-
][email protected]
:
SINGONIQ
:
GOLO\DRIQ
:
KRISTALLOGRAFI^ESKIJKLASS
:
TRIKLINNAQ
C
i
C
1

C
2
;C
1
MONOKLINNAQ
C
2
h
C
2

C
2
;C
2
;C
2
C
1
ROMBI^ESKAQ
D
2
h
D
2

C
2
;D
2
;D
2
C
2
TRIGONALXNAQ
D
3
d
D
3

C
2
;D
3
;D
3
C
3
;C
3

C
2
;C
3
TETRAGONALXNAQ
D
4
h
D
4

C
2
;D
4
;D
4
C
4
;D
4
D
2
;C
4

C
2
;C
4
;C
4
C
2
GEKSAGONALXNAQ
D
6
h
D
6

C
2
;D
6
;D
6
C
6
;D
6
D
3
;C
6

C
2
;C
6
;C
6
C
3
KUBI^ESKAQ
O
h
O;O
+
;T;T
+

C
2
;T
kAVDYJIZ
32-
HKRISTALLOGRAFI^ESKIHKLASSOWTOVEIMEETTRADICIONNOEKRISTALLO
-
GRAFI^ESKOENAZWANIE
137
.
sKAVEM
,
KLASS
C
1
NAZYWAETSQMONO\DRI^ESKIM
,
KLASS
C
1

C
2
{
PINAKOIDALXNYM
,
KLASS
C
2
{
SFENOIDALXNYM
,
KLASS
C
2
C
2
{
DOMATI^ESKIM
,
KLASS
C
2

C
2
{
PRIZMATI^ESKIMIT
.
.
WPLOTXDOTRITETRA\DRI^ESKOGOKLASSA
T
+
,
DIDOKA\DRI^ESKOGOKLAS
-
SA
T
+

C
2
,
TRIOKTA\DRI^ESKOGOKLASSA
O
+
,
GEKSATETRA\DRI^ESKOGOKLASSA
T
,
NAKONEC
,
GEKSAOKTA\DRI^ESKOGOKLASSA
O
.
x
11.
tO^E^NYEGRUPPY
,2ndinstalment:
TIPYbRAWEIARIFMETI^ESKIEKLASSY
mYPRODOLVAEMINTERESOWATXSQKRISTALLOGRAFI^ESKIMITO^E^NYMIGRUPPAMI
,
.
E
.
KO
-
NE^NYMIPODGRUPPAMIW
GL(3
;
Z
).
[email protected]
KRISTALLOGRAFI^ESKIHTO^E^NYHGRUPPNEW
GL(
n;
R
),
AWSAMOJGRUPPE
GL(
n;
Z
).
|TIKLAS
-
[email protected]
ARIFMETI^ESKIMIKLASSAMI
.
iMEETSQROWNO
13
KLASSAPRI
n
=2
72
KLASSAPRI
n
=3
710
KLASSOWPRI
n
=4.
aNALOGOMSINGONIIDLQARIFMETI^ESKIHKLASSOWQWLQETSQPONQTIETIPAbRAWE
.
nAIMENX
-
[AQPODGRUPPAbRAWE
,
SODERVA]AQKRISTALLOGRAFI^[email protected]^E^[email protected]
G
,
RASSMATRIWA
-
EMAQSTO^[email protected]
GL(
n;
Z
),
NAZYWAETSQ
ARIFMETI^ESKOJGOLO\DRIEJ
GRUPPY
G
.
gOWORQT
,
^TODWEGRUPPY
H
G
OTNOSQTSQKODNOMUITOMUVE
TIPUbRAWE
,
ESLI
IH
ARIFMETI^ESKIE
GOLO\[email protected]
.
pRI
n
=2
IMEETSQ
5
TIPOWbRAWE
,
n
=3{
14,
APRI
n
=4{
UVE
64.
x
12.
n
-
MERNAQKRISTALLOGRAFIQ
pODGRUPPA
G

Isom(
R
n
)
GRUPPYDWIVENIJ\WKLIDOWAPROSTRANSTWA
V
=
R
n
NAZYWAETSQ
KRISTALLOGRAFI^ESKOJ
,
ESLIONADISKRETNA
,
AFAKTORPONEJ
V=G
KOMPAKTEN
.
pODGRUP
-
PA
G

Isom(
R
n
)
GRUPPYDWIVENIJ\WKLIDOWAPROSTRANSTWAQWLQETSQ
FEDOROWSKOJ
,
ESLI
,
KROMETOGO
,
W
G
SU]ESTWUET
n
-
MERNAQPODGRUPPATRANSLQCIJ
.
[email protected]~EBY[EWU
,
TOTDAVENESTALEESMOTRETXISKAZAL
[email protected]]EE
:`
\TONEMOVET
SEGODNQ
INTERESOWATXMATEMATIKOW
'.
iRONIQISTORII
SOSTOITWTOM
,
^TOPOSLETOGO
,
KAKBYLAOBNARUVENASWQZXTEORIIRE[ETOKSALGEBRAI^ESKOJ
136
sM
.,
NAPRIMER
,
|
.
uITTEKER
,
kRISTALLOGRAFIQ
,
mIR
,
m
.,1983,
TABLICA
3.1
NASTR
.34.
ILIg
.
sMIT
,
dRAGOCENNYEKAMNI
,
mIR
,
m
.,1980,
S
.1{586,
OPISANIESINGONIJNAS
.29{34.
137
sM
.,
NAPRIMER
,
t
.
pENKALQ
,
o^ERKIKRISTALLOHIMII
.{
hIMIQ
,
l
.,1974,
S
.1{496,
tAB
-
LICA
3.3`
NAZWANIQIOBOZNA^ENIQ
32
KLASSOWSIMMETRII
'
NAST
.49{51.
130
nikolajwawilow
TEORIEJ^ISELITEORIEJKWADRATI^NYHFORMIZU^ENIEFEDOROWSKIHGRUPPIHANALOGIOWI
OBOB]ENIJSTALOODNIMIZOSNOWNYHNAPRAWLENIJDLQDETEJ
,
WNUKOW
,
PRAWNUKOWIPRAPRA
-
WNUKOW~EBY[EWA
:
kORKINA
,
zOLOTAREWA
,
mARKOWA
,
dELONE
,
fADDEEWA
,
wENKOWA
,...
pERWAQTEOREMAbIBERBAHA
138
.
wSEKRISTALLOGRAFI^[email protected]
-
SKIMI
.
tO^NEE
,
WSEPARALLELXNYEPERENOSY
,
SODERVA]IESQWKRISTALLOGRAFI^ESKOJGRUPPE
G
[email protected]@PODGRUPPU
H
E
G
KONE^NOGOINDEKSAW
G
.
wTORAQTEOREMAbIBERBAHA
.
dWEKRISTALLOGRAFI^ESKIEGRUPPYWTOMITOLXKOTOM
SLU^AEIZOMORFNYKAKABSTRAKTNYEGRUPPY
,
KOGDAONILIBOSOPRQVENYW
Isom
+
(
R
n
)
,
LIBO
\NANTIOMORFNY
.
wOPROSOKONE^NOSTI^ISLAKLASSOWKRISTALLOGRAFI^ESKIHGRUPPW
n
-
MERNOM\WKLIDOWOM
[email protected]
18-
JPROBLEMYgILXBERTA
139
IPREDSTAWLQLSQSAMO
-
MUgILXBERTUWESXMATRUDNYM
.
oDNAKObIBERBAHPOLOVITELXNORE[ILEGOUVEW
1910{1912
GODAH
.
tRETXQTEOREMAbIBERBAHA
.
dLQKAVDOGO
n
SU]ESTWUETKONE^NOE^ISLOKLASSOWIZO
-
MORFIZMAKRISTALLOGRAFI^ESKIHPODGRUPPWGRUPPE
Isom(
R
n
)
.
nARUSSKOMQZYKEDOKAZATELXSTWOTEOREMbIBERBAHAIvORDANAMOVNONAJTI
,
NAPRIMER
,
WKNIGE
[Wo],c.122{128.
w
1948
GODUgANScASSENHAUZPOKAZAL
,
KAKKLASSIFICIROWATX
n
-
MERNYEFEDOROWSKIEGRUP
-
PY
,
ZNAQKONE^NYEPODGRUPPYW
GL(
n;
Z
).
wSEFEDOROWSKIEGRUPPYWRAZMERNOSTI
4
BYLI
FAKTI^ESKIKLASSIFICIROWANYW
1971
GODUWRABOTAHwONDRA^EKA
,
[email protected]@LOWA
.
x
13.
oDNOMERNAQKRISTALLOGRAFIQ
w^ISTOODNOMERNOMMIRESU][email protected]^NYEKRISTALLOGRAFI^ESKIE
GRUPPY
,
AIMENNO
,
GRUPPA
Z
,
POROVDENNAQODNOJTRANSLQCIEJIGRUPPA
D
1
,
POROVDENNAQ
DWUMQCENTRALXNYMISIMMETRII
.
oDNAKOMOVNORASSMOTRETXGRUPPYSIMMETRIJWPRO
-
STRANSTWE
n
IZMERENIJ
,
[email protected]]IETRANSLQCIILI[XWODNOMNAPRAWLENII
.
1.
[email protected]
.
dWUMERNYJOB_EKT
,
[email protected]][email protected][X
WODNOMNAPRAWLENII
,
NAZYWAETSQ
[email protected]
.
pOANGLIJSKIW\TOMKONTEKSTEPRINQTOGOWO
-
RITXOSIMMETRII
FRIZOW
,frieze
140
.
kROMEARHITEKTURY\TIGRUPPY^ASTOWSTRE^[email protected]
PRIKLADNOMISKUSSTWE
:
KNIVNAQMINI[email protected]
,
KERAMIKA
,
WY[IWKI
,
INKRUSTACII
,
REZXBA
,
TA
-
TUIROWKI
.
iMEETSQWSEGO
7
[email protected]
(
SM
.,
NAPRIMER
,[C?],
TABLICANASTRANICE
83
[Spe],
S
.81{82).
tEOREMA
.
sTO^[email protected]
Isom(
R
2
)
IMEETSQROWNO
GRUPPSIMMETRII
[email protected]
,
PERE^[email protected]]EJTABLICE
[email protected]
:
GRUPPA
:
[email protected]]IE
:IUCr:

Z
ODNATRANSLQCIQ
?
LLLL
Z
ODNASKOLXZQ]AQSIMMETRIQ
?
Z

C
2
TRANSLQCIQIGORIZONTALXNOEOTRAVENIE
?
NNNNNNNN
D
1
DWAPOLUPOWOROTA
?
VVVVVVVV
D
1
DWAWERTIKALXNYHOTRAVENIQ
?
VVVV
D
1
OTRAVENIEIPOLUPOWOROT
?
HHHHHHHH
D
1

C
2
TRIOTRAVENIQ
?
gRUPPA
?,
POROVDENNAQDWUMQPOLUPOWOROTAMI
,
IZWESTNAKAK
GRUPPASIMMETRIJMEANDRA
.
138
[email protected]
(1886{){
139
pROBLEMYgILXBERTA
,{
nAUKA
,
m
.,1969,
S
.1{239
S
.{
SM
.
STR
.50{51
140
wKLASSI^ESKOJARHITEKTUREFRIZOMNAZYWAETSQSREDNEE^LENENIEANTABLEMENTA
,
OGRA
-
NI^ENNOESNIZUARHITRAWOM
,
ASWERHUKARNIZOM
.
fRIZY^ASTOPOKRYWALISXPERIODI^ESKI
[email protected]]IMISQRISUNKAMIILIRELXEFAMI
.
wPRO^EM
,
STAKIMVEOSNOWANIEMMOVNOGOWO
-
RITXOSIMMETRIIKARNIZOW
.
gruppy
:
firstdraught
131
2.
gRUPPYSIMMETRIISTERVNEJ
.
tREHMERNYJOB_EKT
,
[email protected]][email protected][X
WODNOMNAPRAWLENII
,
NAZYWAETSQ
STERVNEM
.
[email protected]
OB_EKTOWWFIZIKE
,
HIMII
,
BIOLOGII
,
[IRINAITOL][email protected]
DLINOJ
,
TAKIHKAKMOLEKULQRNYECEPI
(
SKAVEM
,
dnk
),
STEBLIRASTENIJ
,
PU^KISWETA
.
w
BYTUMYWSTRE^AEMSQS\TOJSIMMETRIEJRASSMATRIWAQNITI
,
[NURY
,
KANATY
,
NITKIBUS
,
TRUBY
,(
KOLEN^ATYE
)
WALY
,(
QKORNYE
)
CEPIIT
.
.
pOLNAQKLASSIFIKACIQWSEH
75
GRUPP
SIMMETRIISTERVNEJBYLAOSU]ESTWLENAW
1929-
MGODUe
.
aLEKSANDEROM
141
.
nARUSSKOMQZYKE
WSEGRUPPYSIMMETRIISTERVNEJPERE^ISLENY
,
NAPRIMER
,
W
[ShK],
TABLICA
6.
sTERVNIS
OSQMISIMMETRIINEWY[[email protected]
LENTAMI
,
OTLI^[email protected]
SOSTOITWTOM
,
^TOLENTUMOVNOPEREWERNUTX
.
iNYMISLOWAMI
,
ULENTY
DWE
STORONY
,
KOTORYE
MOGUTPREOBRAZOWYWATXSQDRUGWDRUGA
.
sIMMETRIQLENTPODROBNOOPISANAWKNIGE{PEJZERA
[Spe].
x
14.
dWUMERNAQKRISTALLOGRAFIQ
1.
gRUPPYSIMMETRIIORNAMENTOW
.
pLOSKIEKRISTALLOGRAFI^ESKIEGRUPPYBYLIWPER
-
[email protected]
1891
GODUe
.
s
.
fEDOROWYMWRABOTE
`
sIMMETRIQNAPLOS
-
KOSTI
',
IHOKAZALOSXROWNO
17.
iNTERESNOOTMETITX
,
^TOE]EW
1869
GODUkAMILXvORDAN
PERE^ISLIL
16
IZ\TIHGRUPP
,
A
17-
QGRUPPABYLAOTKRYTAW
1874
GODUzONKE
,
NOONPROPU
-
STILTRIDRUGIH
.
nEZAWISIMO
,
NOMNOGOPOZVE\TIGRUPPYKLASSIFICIROWALIpOJAInIGG
-
142
;
143
.
~ASTOUTWERVDAETSQ
,
^TOWSE
17
KRISTALLOGRAFI^ESKIHGRUPPBYLIISPOLXZOWANY
WORNAMENTAHaLXGAMBRY
144
;
145
,
NOWDEJSTWITELXNOSTITAMISPOLXZOWANYLI[X
13
GRUPP
146
.
iNTERESNO
,
^TOWKNIGE
147
WOSPROIZWODQTSQ
14
IZ
17
PLOSKIHKRISTALLOGRAFI^ESKIHGRUPP
(
WSE
,
KROME
pm,p3
pg).
dORIS{ATT[NEJDER
148
OTME^AET
,
^TOmORIS|[ER
149
SKOPIROWALPOLNYJTEKSTRABOTY
pOJIWSWOEJRABO^EJTETRADI
.
dIAGRAMMYIZSTATXIpOJA
,
NARQDUSORNAMENTAMI
,
KOTORYE
ONSKOPIROWALWaLXGAMBRE
,
STALIOSNOWNYMISTO^NIKOM
,
NAOSNOWEKOTOROGOONSMOGRAZWITX
141
E.Alexander,SystematikdereindimensionalenRaumgruppen.
{Z.Kristallographie,1929,
Bd.70,S.367{382.
142
G.Polya,

UberdieAnalogederKristallsymmetrieinderEbene{Z.Kristall
ographie,1924,
Bd.60,S.278{282.
143
P.Niggli,DieFlachensymmetrienhomogenerDiskontinuen.{Z.
Kristallographie,1924,
Bd.60,S.283{298.
144
aLXGAMBRA
,(
OTARABSKOGOALX
-
hAMRA
{
KRASNAQ
){
POSTROENNYJW
XIII{XIV
WEKAHDWOR
-
COWYJKOMPLEKSMAWRITANSKIHPRAWITELEJgRANADSKOGO\MIRATA
,
RASPOLOVENNYJNAWOSTO^
-
NOJOKRAINESOWREMENNOJgRANADY
,
ODINIZSAMYHUDIWITELXNYHPAMQTNIKOWPOZDNEJMAW
-
RITANSKOJARHITEKTURY
.
145
w
[CM],
S
.54
[email protected]]EE
:`
wSE
17
TAKIHGRUPPBYLIOTKRYTY
\MPIRI^ESKImURSOMW
EGO
UKRA[ENIQHaLXGAMBRYWgRENADE
'(
PEREWODw
.
a
.
~URKINAPOD
REDAKCIEJ`
.
i
.
mERZLQKOWA
).
kROMETOGO
,
^TO\TOUTWERVDENIENEWERNOPOSU]ESTWU
,
ZDESX
SODERVITSQDWEKURXEZNYHO[IBKI
.
pREVDEWSEGO
,
gRENADOJRANX[ENAZYWALSQODINIZaN
-
TILXSKIHOSTROWOW
,
AaLXGAMBRARASPOLOVENAWSE
-
TAKIWgRANADE
.
~UTXSLOVNEEUSTANOWITX
LI^NOSTXWELIKOGOHUDOVNIKAmURSA
.
dLQ\TOGODOSTATO^NOPREDSTAWITX
,
^TOWANGLIJSKOM
ORIGINALENAPISANO
`byMoors'.
146
tAM
NE
[email protected]
p2,p3m1,pg
pgg.
iNTERESNOOTMETITX
,
^TOORNAMENTY
SGRUPPOJ
p2
O^ENX^ASTOWSTRE^[email protected]
,
IPOZVE
,
UVEPOSLEARABSKOGOZAWOEWANIQ
,
WOSPROIZWODILISXWMOZAIKAH
,
AORNAMENTYSGRUPPOJ
p3m1
TIPI^NYDLQOFORMLENIQPERSIDSKIHMANUSKRIPTOW
.
wTOVEWREMQSPECIALISTYS^[email protected]
,
^TOGRUPPY
pg
pgg
WOOB]ENIKOGDANEISPOLXZOWALISXWISLAMSKOMISKUSSTWE
.
147
D.S.Dye,AgrammarofChineselattice.{HarvardUniv.Press,Cambri
dge,Mass.,1937
(reprintedbyDoverunderthetitle`Chineselatticedesign',1
974.)
148
D.Schattschneider,Theplanesymmetrygroups:theirrecognitio
nandnotation.{Amer.
Math.Monthly,1978,June{July,p.439{450.
149
mORIS|[ER
(1898{1972){
ZAME^ATELXNYJGOLLANDSKIJGRAFIK
,
[IROKOISPOLXZO
-
WAW[IJWSWOIHRABOTAHGEOMETRI^ESKIEITOPOLOGI^ESKIEMOTIWY
,
W^ASTNOSTI
,
PO^TIWSE
PLOSKIEKRISTALLOGRAFI^ESKIEGRUPPY
,
PRAWILXNYEMNOGOGRANNIKI
,
MODELXpUANKAREGEO
-
METRIIlOBA^EWSKOGO
,
IT
.
.
132
nikolajwawilow
SWOJGEOMETRI^ESKIJSTILX
.
mYWIDIM\[email protected]]EMSQRISUNKE
OBOEW
(
PO
-
ANGLIJSKIPLOSKIEKRISTALLOGRAFI^ESKIEGRUPPYOBY^[email protected]
wallpapergroups),
PARKETNYHIKAFELXNYHPOLOWIT
.
.
2.
aLGORITMRASPOZNAWANIQOBOJNYHGRUPP
.
[email protected]]IJALGORITMHORO[OIZWESTEN
.
oNOPISAN
,
W^ASTNOSTI
,
W
150
.
dLQTOGO
,
^TOBYOPREDELITXGRUPPUTREBUETSQOTWETITXSAMOE
BOLX[EENA
5
WOPROSOW
.
sTART
:
dOPUSKAETLIKARTINKAHOTQBYODNOOTRAVENIE
?

dA
:
DOPUSKAETLIKARTINKAWRA]ENIQ
?
?
dA
:
KAKOWNAIMENX[IJUGOLPOWOROTA
?


:
DOPUSKAETLIKARTINKAOTRAVENIQWDWUHNAPRAWLENIQH
?

dA
:
lEVATLIWSECENTRYWRA]ENIJNAZERKALAH
?

dA
:pmm

nET
:cmm

nET
:pmg

2
=
3
:
lEVATLIWSECENTRYWRA]ENIJNAZERKALAH
?

dA
:p3m1

nET
:p31m

=
2
:
sU][email protected]
=
4?

dA
:p4m

nET
:p4g

=
3
:p6m
?
nET
:
IMEETSQLISKOLXZQ]EEOTRAVENIENELEVA]EENAZERKALE
?

dA
:cm

nET
:pm

nET
:
DOPUSKAETLIKARTINKAWRA]ENIQ
?
?
dA
:
KAKOWNAIMENX[IJUGOLPOWOROTA
?


:
IMEETSQLISKOLXZQ]EEOTRAVENIE
?

dA
:pgg

nET
:p2

2
=
3
:p3

=
2
:p4

=
3
:p6
?
nET
:
IMEETSQLISKOLXZQ]EEOTRAVENIE
?

dA
:pg

nET
:p1
fINI[
pRIMENQJTE\TOTALGORITMKRISUNKAM|[ERA
,
OBOQM
,
KAFELXNYMPOLAM
,
POKANEDOSTIG
-
NITEPOLNOGOAWTOMATIZMAINEBUDETEWSOSTOQNIIRASPOZNAWATXOBOJNYEGRUPPY
SPERWOGO
WZGLQDA
.
3.
gRUPPYSIMMETRIISLOEW
.
tREHMERNYJOB_EKT
,
[email protected]][email protected]
NAPRAWLENIQH
,
NAZYWAETSQ
SLOEM
.
[email protected]_EKTOWWFIZI
-
KE
,
HIMIIIBIOLOGII
,
TOL][email protected]
,
TAKIHKAK\PITAKSIALXNYEPLENKI
,
MEMBRANY
,
POWERHNOSTIRAZDELA
,
OBOLO^KI
,
VIDKIEKRI
-
STALLY
,
IT
.
.
wBYTUMYWSTRE^AEMSQS\TOJSIMMETRIEJRASSMATRIWAQ\KRANY
,
[IRMY
,
150
Washburn,Crowe,Symmetriesofculture,Table5.1.
gruppy
:
firstdraught
133
RE[ETKI
151
,
OGRADY
,(
DWUSTORONNIE
)
WYWESKI
,
KRUVEWAIT
.
.
pOLNAQKLASSIFIKACIQWSEH
80
GRUPPSIMMETRIISLOEWBYLAOSU]ESTWLENAW
1929-
MGODUe
.
aLEKSANDEROMIk
.
gERMANNOM
152
.
nARUSSKOMQZYKEWSEGRUPPYSIMMETRIISLOEWPERE^ISLENY
,
NAPRIMER
,
W
[ShK],
TABLICA
11.
x
15.
tREHMERNAQKRISTALLOGRAFIQ
151
nEWSTROGOMMATEMATI^ESKOMSMYSLE
,
KOTORYJOBSUVDALSQWY[E
,
ATAKIE
,
KAKRE[ETKA
lETNEGOsADA
.
152
E.Alexander,K.Hermann,Die80zweidimensionalenRaumgruppen
.{Z.Kristallographie,
1929,Bd.69,S.285{299;Bd.70,S.328{345.
134
nikolajwawilow
tEMA
4.
gomomorfizmygrupp
wMESTESKAVDYMKLASSOMOB_EKTOWESTESTWENNORASSMATRIWAT
XDOPUSTIMYJ
KLASSPREOBRAZOWANIJ\TIHOB_EKTOW
SOGLASOWANNYJSIHSTRUKTUROJ
wSLU
-
^AEGRUPPIDRUGIHALGEBRAI^ESKIHSISTEMTAKIEPREOBRAZOWANI
QOBY^NONA
-
[email protected]
sOZNATELXNOISPOLXZOWANIEGOMOMORFIZMOWGRUPP
NA^ALnEPER
NONAZWANIEPOQWILOSXGORAZDOPOZVE
x
1.
gOMOMORFIZMY
1.
gOMOMORFIZMY
.
oTOBRAVENIQ
[email protected]]IESTRUKTURUGRUPPY
NAZYWA
-
@TSQMORFIZMAMIWKATEGORIIGRUPPILIGOMOMORFIZMAMI
oPREDELENIE
.
pUSTX
G
I
H
{
DWEGRUPPY
.
oTOBRAVENIE
f
G
!
H
NA
-
gruppy
:
firstdraught
135
kOMMENTARIJ
.
tEH
,
KTOHO^ETOZNAKOMITXSQSRABOTAMIKLASSIKOW
,
STOITPREDOSTERE^X
,
^TO
SLEDUQvORDANUW
XIX
WEKEIZOMORFIZMAMINAZYWALI
\PIMORFIZMY
153
.
tO
,
^TOMYNAZY
-
WAEMIZOMORFIZMOM
,
PRI\TOMNAZYWALOSX
GOLO\DRI^ESKIMIZOMORFIZMOM
(isomorphisme
holoedrique,einstu gerIsomorphismus,holohedralisomorph
ism),
A\PIMORFIZMY
,
[email protected]
-
]IESQIZOMORFIZMAMI
,
NAZYWALISX
MER
o
\DRI^ESKIMI
154
IZOMORFIZMAMI
(isomorphisme
meriedrique,mehrstu gerIsomorphismus,merohedralisomorphis
m).
oDNAKOUVEW
1904
GODUDE
sEGXEPOLXZOWALSQSOWREMENNOJTERMINOLOGIEJ
155
.
mYPOTREBOWALI
^TOBY
f
SOHRANQLPROIZWEDENIE
NONASAMOMDELETOGDA
[email protected]
[email protected]]EJLEMMEMYOBOZNA^AEMEDI
-
NI^NYE\LEMENTYWOBEIHGRUPPAH^EREZ
e
WMESTOPEDANTI^NYH
e
I
e
lEMMA
.
pUSTX
f
G
!
H
{
GOMOMORFIZMGRUPP
.
tOGDA
f
(
e
)=
e
IDLQ
[email protected]
x
2
G
IMEEM
f
(
x

1
)=
f
(
x
)

1
.
dOKAZATELXSTWO
.
wSAMOMDELE
f
(
e
)
2
=
f
(
e
2
)=
f
(
e
)=
f
(
e
)
e
sOKRA]AQ\TO
RAWENSTWONA
f
(
e
),
POLU^AEMPERWOEUTWERVDENIELEMMY
pUSTXTEPERX
x
2
G
[email protected]
f
(
x

1
)
f
(
x
)=
f
(
x

1
x
)=
f
(
e
)=
e
^TOIZAWER[AETDOKAZATELXSTWO
wDEJSTWITELXNOSTIGOMOMORFIZMMOVNOOPREDELQTXIKAKOTOB
RAVENIE
SO
-
[email protected]][email protected]
T
E
POSREDSTWOMTOVDESTWA
f
(
xy

1
)=
f
(
x
)
f
(
y
)

1
2.
iZOMORFNOSTX
.
gRUPPY
H
I
G
[email protected]
IZOMORFNYMI
ESLIMEVDU
NIMIMOVNOUSTANOWITXIZOMORFIZM
W\TOMSLU^AEPI[UT
H

=
G
sTO^KIZRE
-
NIQALGEBRYIZOMORFNYEOB_EKTYUSTROENYODINAKOWOI
NAOPREDELENNOM\TA
-
PESWOEGORAZWITIQALGEBRAKAKRAZIPONIMALASXKAKIZU^ENIE
ALGEBRAI^ESKIH
SISTEM
STO^[email protected]
wOTNESKOLXKOO^EWIDNYHIZOMOR
-
FIZMOW
[email protected]@]EMPARAGRAFE
R
+

=
R
+
C
+

=
(
R
+
)
2
C


=
T

R
+
Z
=m
Z

=

n
oDNAKOWDEJSTWITELXNOSTIPONQTIE
IZOMORFNOSTIQWLQETSQ
^REZWY^AJNO
TONKIM
tAK
NAPRIMER
MOVNOPOKAZATX
(
\TOBUDETSDELANOWgLAWE
IV),
^TO
C


=
T
HOTQ\[email protected]
O^EWIDEN
zADA^A
.
dANY
6
RACIONALXNYHDROBEJ
x;
1
x
1

x;
x
x

1
x

1
x
1
1

x
uBEDITESX
^TOOTNOSITELXNOKOMPOZICII\TI
6
[email protected]
pRO
-
WERXTE
^TO\TAGRUPPAIZOMORFNA
S
3
zADA^A
(
OSNOWNAQTEOREMAARIFMETIKI
).
dOKAVITE
^TO
Q


0

=
Z
x
+
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
Q


0

=
Q
+
rE[ENIE
.
B
Q
+
ESTXKWADRATNYEKORNI
AW
Q


0
NET
2.
[email protected]]IJPRIMERPODROBNOIZU^AETSQW[KOLXNOJTRIGONOMET
RII
rAS
-
SMOTRIMGRUPPU
[email protected]
nAS
INTERESUETDEJSTWIE\TOJGRUPPYNAPROSTRANSTWEFUNKCIJSPE
RIODOM
2

qS
-
NO
^TOTRANSLQCIQ
x
7!
x
+2

ZADAETNA\TOMPROSTRANSTWE
TOVDESTWENNYJ
153
sM
.,
NAPRIMER
,
a
.
pUANKARE
,
iZBRANNYETRUDY
,
.III,
m
.,
nAUKA
,1974,
S
.1{771,
STRANI
-
CY
9{10(
ORIGINALOPUBLIKOWANW
1882
GODU
).
154
wARIANT
:
MERI\DRI^ESKIMI
.
155
J.-A.deSeguier,Theoriedesgroupes nis.Elementsdelath
eoriedesgroupesabstraits.{
Gauthier-Villars,Paris,1904.
136
nikolajwawilow
SDWIG
sEJ^ASMYRASSMOTRIMPODGRUPPU
[email protected]][email protected]

cos,

zADA^A
.
uBEDITESX
^TOOTNOSITELXNOKOMPOZICIIPREOBRAZOWANIQFUNKCIJS
PERIODOM
2

ZADAWAEMYENAARGUMENTAHPOSREDSTWOM
x
7!
=
2

x
x
7!


x
x
7!
3
=
2

x
x
7!
2


x
[email protected]
~TO\TOZAGRUPPA
?
3.
kLASSYSOPRQVENNYHGOMOMORFIZMOW
.
wNEKOTORYHRAZDELAHALGEBRAI^ESKOJTOPO
-
LOGIIIKOMBINATORIKIWKA^[email protected]
ESAMI
GOMOMORFIZMY
,
A
KLASSY
SOPRQVENNYHGOMORFIZMOW
.
aIMENNO
,
ESLI
'
:
H
!
G
{
GOMOMOR
-
FIZM
,
TOGOMOMORFIZMOM
,
SOPRQVENNYMK
'
PRIPOMO]I
g
2
G
NAZYWAETSQGOMOMORFIZM
g
'
=
g'g

1
OPREDELQEMYJKAK
g
'
(
x
)=
g'
(
x
)
g

1
.
mYGOWORIM
,
^TODWAGOMOMORFIZMA
';
:
H
!
G
SOPRQVENY
IPI[EM
'

,
ESLINAJDETSQTAKOE
g
2
G
,
^TO
=
g
.
uPRAVNENIE
.
kAKWYDUMAETE
,
PO^EMUW\TOMOPREDELENIIFIGURIRUETTOLXKOSOPRQVENIE
W
G
,
NONESOPRQVENIEW
H
?
uPRAVNENIE
.
uBEDITESX
,
^TOESLI
'
1

'
2
,
1

2
,
TO
'
1

1

'
2

2
.
x
2.
pERWYEPRIMERYGOMOMORFIZMOW
pRIWEDEMNESKOLXKOO^EWIDNYHPRIMEROWGOMOMORFIZMOW

|KSPONENTAILOGARIFM
.
sOWER[ENNOUDIWITELXNOESWOJSTWOWE]E
-
STWENNYH^ISELSOSTOITWTOM
^TOOTNOSITELXNOSLOVENIQIUMNOVENIQONI
USTROENYPO^TISOWER[ENNOODINAKOWO
tO^NEE
\KSPONENTAILOGARIFMZADA
-
@TWZAIMNOOBRATNYEIZOMORFIZMYMEVDUADDITIWNOJGRUPPOJ
R
+
IMULXTI
-
PLIKATIWNOJGRUPPOJ
R

POLOVITELXNYHWE]ESTWENNYH^ISEL
wSAMOMDELE
PUSTX
exp
I
log
OBOZNA^[email protected]\KSPONENTUILOGARIFMSNATURALXNYMOSNOWANIEM
e
exp:
R
+
!
R
+
;x
7!
e
x
log:
R
+
!
R
+
;x
7!
log
(
x
)
tOGDA
KAKHORO[OIZWESTNO
,exp(
x
+
y
)=exp(
x
)exp(
y
),
TAK^TO\KSPONEN
-
TAQWLQETSQGOMOMORFIZMOMADDITIWNOJSTRUKTURYWMULXTIPL
[email protected]
I
log(
xy
)=log(
x
)+log(
y
),
TAK^TOI
log
QWLQETSQGOMOMORFIZMOM
NASEJRAZ
[email protected]
pRI\TOM
exp(log(
x
))=
x
I
log(exp(
x
))=
x
TAK^TO
exp
I
log
WZAIMNOOBRATNY
tAKKAKSKLADYWATX^IS
-
LAOBY^NOGORAZDOLEG^E
^EMUMNOVATX
[email protected]@\RU\TIIZOMOR
-
FIZMY[IROKOISPOLXZOWALISXDLQPRAKTI^ESKIHPRIBLIVENNY
HWY^ISLENIJ
FIZIKAMIIINVENERAMI
(`
TABLICYLOGARIFMOW
',`
LOGARIFMI^ESKIELINEJKI
').
zAMETIM
^TOWOOB]E
[email protected]
a�
0
IMEETMESTORAWENSTWO
a
x
+
y
=
a
x
a
y
AESLI
KROMETOGO
a
=1,
TO
log
a
(
x
+
y
)=log
a
(
x
)+log
a
(
y
).
tAKIMOBRAZOM
R
+
!
R

x
7!
a
x
I
R
+
!
R
+
x
7!
log
a
(
x
),
[email protected]
-
DUADDITIWNOJIMULXTIPLIKATIWNOJSTRUKTURAMI
R
kAKMYWSKOREUWIDIM
NIKAKIHDRUGIHTAKIH
NEPRERYWNYH
GOMOMORFIZMOWNET

[email protected]^INA
.
oTOBRAVENIE
jj
R

!
R
+
x
7!
x
[email protected]]EEWE]ESTWENNOMU^[email protected]@WELI^I
NU
QWLQETSQ
\PIMORFIZMOMMULXTIPLIKATIWNOJGRUPPYNENULEWYHWE]ESTWE
NNYH^ISELNA
GRUPPUPOLOVITELXNYHWE]ESTWENNYH^ISEL
oTOBRAVENIE
sign:
R

!f
1
g
[email protected]]EEWE]ESTWENNOMU^ISLUEGOZNAK
,sign(
x
)
QWLQETSQ\PIMORFIZMOM
R

NAGRUPPU
f
1
g
wSAMOMDELE
\[email protected]
xy
=
x
y
I
sign(
xy
)=sign(
x
)sign(
y
).
gruppy
:
firstdraught
137

mODULXIARGUMENT
.
tOVESAMOEMOVNOSKAZATXWOOB]EPROMODULXI
ARGUMENTKOMPLEKSNOGO^ISLA
jj
C

!
R
+
I
arg:
C

!
T
pRI\TOMSNOWA
zw
=
z
I
arg(
zw
)=arg(
z
)+arg(
).

zNAKPERESTANOWKI
.
[email protected]]IJPRIMERPODROBNORASSMATRIWAETSQW
x
?.
kAVDOJPERESTANOWKE

SOPOSTAWLQETSQZNAK
sgn(

),
[email protected]]IJGOMOMOR
-
FIZM
sgn:
S
n
!f
1
g
[email protected]
ZNAKOW
:sgn(

)=sgn(
)sgn(

).

oPREDELITELX
.
wgLAWE
5
POSTROENGOMOMORFIZM
det:GL(
n;R
)
!
R

IZ
GRUPPYKWADRATNYHOBRATIMYHMATRIC
GL(
n;R
)
STEPENI
n
NAD
KOMMUTATIW
-
NYM
KOLXCOM
R
WGRUPPU
R

OBRATIMYH\LEMENTOWKOLXCA
R
[email protected]]IJ
MATRICE
x
EEOPREDELITELX
det(
x
).
[email protected]^EWOESWOJSTWO
KOTOROE
SOBSTWENNO
I
OPRAWDYWAETWWEDENIE\TOGOPONQTIQ
SOSTOITWTOM
^TOOPREDELITELXPROIZ
-
[email protected]
:det(
xy
)=det(
x
)det(
y
).

p
-
ADI^ESKIJPOKAZATELX
.
pUSTX
G
=
Q

{
MULXTIPLIKATIWNAQGRUPPA
RACIONALXNYH^ISEL
zAFIKSIRUEMPROSTOE^ISLO
p
2
P
IZADADIMOTOBRAVENIE
v
p
GRUPPY
Q

[email protected]
Z
+
CELYH^ISEL
(
WDALXNEJ[EMOBOZNA^AE
-
[email protected]^EREZ
Z
)
[email protected]]IMOBRAZOM
zAMETIM
^TOKAVDOERACIONALXNOE
^ISLO
x
2
Q

EDINSTWENNYMOBRAZOMPREDSTAWLQETSQWWIDE
x
=
p
a
m=n
GDE
a
2
Z
A
m
I
n
WZAIMNOPROSTYS
p
IPOLOVIM
v
p
(
x
)=
a
tAKPOSTROENNOE
OTOBRAVENIE
v
p
Q

!
Z
NAZYWAETSQ
p
-
ADI^ESKIMPOKAZATELEM
lEG
-
KOWIDETX
^TO
v
p
OBLADAETSWOJSTWOMLOGARIFMA
T
E
QWLQETSQGOMOMORFIZ
-
MOMMULXTIPLIKATIWNOJSTRUKTURY
Q

[email protected]
Z
AIMENNO
v
p
(
xy
)=
v
p
(
x
)+
v
p
(
y
).

p
-
ADI^ESKOENORMIROWANIE
.
sKOMPONOWAW
p
-
ADI^ESKIJPOKAZATELXS
GOMOMORFIZMOM
PEREWODQ][email protected]@
NAPRIMER
SOBY^NOJ\KSPONENTOJSRACIONALXNYMOSNOWANIEMIZ
Q
+
MYPO
-
LU^IMGOMOMORFIZMMULXTIPLIKATIWNYHGRUPP
oBY^NOWKA^ESTWEOSNOWA
-
[email protected]
1
=p
TAK^TO
x
p
=
p

v
p
(
x
)
tAKPOSTROENNOEOTOBRAVE
-
NIE
jj
p
Q

!
Q

+
NAZYWAETSQ
p
-
ADI^ESKIMNORMIROWANIEM
qSNO
^TO
xy
p
=
x
p
y
p
oTSTUPLENIE
.
lEGKOPROWERITX
^TO
p
-
ADI^ESKOENORMIROWANIEOBLADAET
WSEMIOBY^[email protected]^INY
(
NAPRIMER
ONOUDOWLE
-
TWORQET
NERAWENSTWUTREUGOLXNIKA
x
+
y
p
j
x
p
+
y
p
{
A
WDEJSTWI
-
TELXNOSTI
GORAZDOBOLEEZAME^ATELXNOMU
138
nikolajwawilow
1.
gOMOMORFIZMY
,
[email protected]]IEWABELEWOJGRUPPE
.
[email protected]]IHPRI
-
MERAHSU]ESTWENNO
^TOGRUPPA
G
ABELEWA

oBRA]ENIEWABELEWOJGRUPPE
.
pUSTXTEPERX
G
ADDITIWNOZAPISANNAQ
ABELEWAGRUPPA
w\TOMSLU^AEOTOBRAVENIE
inv:
G
!
G
PEREWODQ]EE\LE
-
MENT
g
WPROTIWOPOLOVNYJ
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM\TOJGRUPPY
wOB]EM
SLU^AE\TOBUDETIZOMORFIZMGRUPPY
G
NA
[email protected]
G
o

wOZWEDENIEWSTEPENXWABELEWOJGRUPPE
.
zAFIKSIRUEM
n
2
Z
I
RASSMOTRIMOTOBRAVENIE
pow
n
G
!
G
g
7!
g
n
wSLU^AE
KOGDAGRUPPA
G
ABELEWA
\TOOTOBRAVENIEQWLQETSQGOMOMORFIZMOM
T
E
.(
hg
)
n
=
h
n
g
n
w
OB]EMSLU^AE\TO
KONE^NO
NEOBQZATELXNOTAK
zAMETIM
^TOESLIABELEWA
GRUPPA
G
KONE^NA
A
n
WZAIMNOPROSTOS
G
TOGOMOMORFIZM
g
7!
g
n
QWLQETSQ
DAVEAWTOMORFIZMOM
(
PO^EMU
?).
zADA^A
.
oBRATNO
POKAVITE
^TOESLI
pow
2
GOMOMORFIZM
TOGRUPPA
G
ABELE
-
WA
wERNOLITOVESAMOEDLQ
pow
n
n

3?
zADA^A
156
.
dOKAVITE
^TOKOLI^ESTWOGOMOMORFIZMOW
C
m
W
C
n
RAWNO
gcd(
m;n
).
[email protected]]EJZADA^IAWTOMATI^ESKIWYPOLNENOD
LQWSEH
n
2
Z
WSLU^AE
KOGDA
G
ABELEWAGRUPPA
zADA^A
(
cASSENHAUZ
).
pREDPOLOVIM
^TO
G
{
TAKAQGRUPPA
^TODLQNEKOTOROGO
n
2
N
IWSEH
x;y
2
G
IMEETMESTORAWENSTWO
(
xy
)
n
=
x
n
y
n
oBOZNA^IM^EREZ
G
n
=
f
x
n
x
2
G
g
PODMNOVESTWOWSEH
n
-
HSTEPENEJW
G
A^EREZ
G
n
=
f
x
2
G
x
n
=1
g
{
MNOVESTWOWSEH\LEMENTOWIZ
G
PORQDOKKOTORYHDELIT
n
pOKAZATX
^TO
G
n
;G
n
E
G
I
G
n
=
G
G
n
rE[ENIE
.
wPREDPOLOVENIQHTEOREMY
pow
n
\NDOMORFIZMGRUPPY
G
G
n
=
Im(pow
n
),
G
n
=Ker(pow
n
),
TAK^TO
G
n
;G
n

G
PRI^EM
G
n
NORMALXNA
tAK
KAK
pow
n
KOMMUTIRUETSWNUTRENNIMIAWTOMORFIZMAMI
I
g
g
2
G
gx
n
g

1
=
(
gxg

1
)
n
TO
G
n
TOVENORMALXNA
uTWERVDENIEOBINDEKSE
{
\TO^ASTNYJSLU
-
^AJTEOREMYOGOMOMORFIZME
G
n

=
G=G
n
2.
gOMOMORFIZMYWABELEWUGRUPPU
.
rASSMOTRIM
';
2
Hom(
G;H
),
GDE
GRUPPA
H
ABELEWA
oPREDELIM
'
2
Hom(
G;H
)
OBY^NOJFORMULOJ
(
'
)(
x
)=
(
x
)

(
x
).
uBEDITESX
^TO\TAOPERACIQPREWRA]AET
Hom(
G;H
)
WABELEWUGRUP
-
PU
wSLU^AE
KOGDA
H
ZAPISYWAETSQADDITIWNO
OPERACIQW
Hom(
G;H
)
TOVE
ZAPISYWAETSQADDITIWNO
T
K
.(
+

)(
x
)=
(
x
)+

(
x
).
3.
aNTIGOMOMORFIZMY
.
pUSTX
G
{
GRUPPA
A
inv:
G
!
G
{
OTOBRAVENIE
PEREWODQ]EEKAVDYJ\LEMENT
g
2
G
WEGOOBRATNYJ
g

1
T
E
.inv(
g
)=
g

1
tOGDA
inv
QWLQETSQ
ANTIAWTOMORFIZMOM
GRUPPY
G
T
E
IZOMORFIZMOM
G
NA
[email protected]
G
o
NAZYWAEMYM
OBRA]ENIEM
tAKKAKDLQABELE
-
WOJGRUPPY
G
o
=
G
TO
WABELEWOMSLU^AE
inv=pow

1
QWLQETSQAWTOMORFIZ
-
MOM
wOOB]E
OTOBRAVENIE
f
G
!
H
[email protected]
AN
-
TIGOMOMORFIZMOM
[email protected]
x;y
2
G
WYPOLNQETSQ
f
(
xy
)=
f
(
y
)
f
(
x
).
iNYMISLOWAMI
f
{
GOMOMORFIZM
G
WGRUPPU
[email protected]
H
kOMPO
-
ZICIQDWUHANTIGOMOMORFIZMOWQWLQETSQANTIGOMOMORFIZMOM
w^ASTNOSTI
KOMPOZICIQDWUHANTIAWTOMORFIZMOWQWLQETSQANTIAWTOMORF
IZMOM
pUSTX
NAPRIMER
G
=GL(
n;R
){
POLNAQLINEJNAQGRUPPANADKOMMUTA
-
TIWNYMKOLXCOM
R
tOGDA
KAKHORO[OIZWESTNO
TRANSPONIROWANIE
x
7!
x
t
156
J.A.Gallian,J.VanBuskirk,Thenumberofhomomorphismsfrom
Z
m
into
Z
n
.{Amer.
Math.Monthly,1984,vol.91,p.196{197.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
W\TOJRABOTEWY^ISLQETSQ
KOLI^ESTWO
KOLXCEWYH
GOMOMORFIZMOW
Z
=m
Z
W
Z
=n
Z
,
GDEOTWETUVENESTOLXO^EWIDEN
.
gruppy
:
firstdraught
139
[email protected]]EEKAVDOJMATRICE
x
2
G
[email protected]
-
TIAWTOMORFZMOMGRUPPY
G
T
E
.(
xy
)
t
=
y
t
x
t
(
TO
^TOKOLXCO
R
KOMMUTATIWNO
ZDESXSU]ESTWENNO
!).
tAKIMOBRAZOM
KOMPOZICIQOBRA]ENIQITRANSPONIROWA
-
NIQQWLQETSQAWTOMORFIZMOMGRUPPY
G
=GL(
n;R
),
NAZYWAEMYM
KONTRAGRA
-
DIENTOM
x
7!
x

=(
x
t
)

1
wSAMOMDELE
LEGKOWIDETX
^TO
(
xy
)

=
x

y

4.
gOMOMORFIZMY
,
[email protected]]IEWPROIZWOLXNOJGRUPPE
.
[email protected]]IE
[email protected]
NOWTOROJIZNIHINTERESEN
TOLXKOTOLXKODLQNEABELEWYHGRUPP

pUSTX
H;G
{
[email protected]
tOGDAOTOBRAVENIE
1:
H
!
G
PEREWO
-
DQ]EEWSE\LEMENTYGRUPPY
H
WEDINICUGRUPPY
G
QWLQETSQGOMOMORFIZMOM
KOTORYJNAZYWAETSQ
TRIWIALXNYM
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOESLI
H
I
G
KONE^NYEGRUPPYWZAIMNOPROSTYHPO
-
RQDKOW
TO
Hom(
H;G
)=
f
1
g

pUSTX
G
{
[email protected]
tOGDA
id:
G
!
G
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM
GRUPPY
G
NAZYWAETSQ
TOVDESTWENNYM

sTEPENI\LEMENTA
.
lEGKOWIDETX
^TOPRIFIKSIROWANNOM
g
OTOBRAVENIE
Z
!
G
n
7!
g
n
ZADAETGOMOMORFIZMADDITIWNOJGRUPPY
Z
W
G
INYMISLOWA
-
MI
g
m
+
n
=
g
m
g
n
|TOZNA^IT
^[email protected]
g
2
G
SU]ESTWUETEDINSTWENNYJ
GOMOMORFIZM
Z
!
G
TAKOJ
^TO
(1)=
g
iNYMISLOWAMI
G
!
Hom(
Z
;G
).

wNUTRENNIEAWTOMORFIZMY
.
pUSTX
G
{
[email protected]
g
2
G
zADADIM
DLQWSEH
x
2
G
IHOBRAZPODDEJSTWIEMOTOBRAVENIQ
I
g
G
!
G
RAWENSTWOM
I
g
(
x
)=
gxg

1
(
\LEMENT
gxg

1
^ASTOOBOZNA^AETSQTAKVE
g
x
INAZYWAETSQSO
-
PRQVENNYMK
x
PODDEJSTWIEM
g
).
iZASSOCIATIWNOSTIUMNOVENIQISWOJSTW
OBRATNOGO\LEMENTASRAZUWYTEKAET
^TO
I
g
{
GOMOMORFIZM
wSAMOMDELE
DLQ
[email protected]
x;y
2
G
IMEEM
I
g
(
xy
)=
g
(
xy
)
g

1
=(
gxg

1
)(
gyg

1
)=
I
g
(
x
)
I
g
(
y
).
tE
-
PERXIZWOZMOVNOSTISOKRA]ENIQWGRUPPEWYTEKAET
^TOWDEJSTWITELXNOSTI
I
g
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM
aWTOMORFIZMYWIDA
I
g
[email protected]
WNUTRENNI
-
MIAWTOMORFIZMAMI
GRUPPY
G
oBOZNA^ENIE
I
g
KAKRAZISWQZANOSOSLOWOM
`inner'{`
WNUTRENNIJ

aWTOMORFIZMYINDUCIROWANNYENANORMALXNOJPODGRUPPE
.
pUSTX
G
{
[email protected]
A
H

G
{
EENORMALXNAQPODGRUPPA
tOGDASOPRQVENIEPRI
POMO][email protected]
g
2
N
(
H
)
OSTAWLQET
H
NAMESTEI
SLEDOWATELXNO
INDUCIRUET
AWTOMORFIZM
I
g
GRUPPY
H
wAVNOOBRATITXWNIMANIE
^TOSTO^KIZRENIQ
SAMOJGRUPPY
H
\TOTAWTOMORFIZMUVESOWSEMNEOBQZANBYTXWNUTRENNIM
oSOBENNOWAVENSLU^AJ
KOGDA
H
E
G
TAK^TOWOOB][email protected]\LEMENTGRUPPY
G
INDUCIRUETNEKOTORYJAWTOMORFIZMGRUPPY
H
wDEJSTWITELXNOSTI
W
x
?
MYUBEDIMSQ
^[email protected]@GRUPPU
H
MOVNOWLO
-
VITXWGRUPPU
Hol(
H
),
[email protected]
GOLOMORFOM
GRUPPY
H
TAKIMOBRAZOM
^TO
H
E
Hol(
H
)
I
WSE
AWTOMORFIZMYGRUPPY
H
STANOWQTSQW
Hol(
H
)
WNUTREN
-
NIMI
zADA^A
.
[email protected]
I
g
g
2
N
(
H
),
QWLQETSQ
WNUTRENNIMAWTOMORFIZMOMGRUPPY
H
?
140
nikolajwawilow
TRIIDEI
[email protected]
oDNAKO
SOBRANNYEWMESTEIWYRWANNYEIZKONTEKSTAONIMOGLIBYSTATXP
O^TINEPRE
-
ODOLIMYMPREPQTSTWIEMDLQNA^[email protected]]EGO
zADA^A
.
dOKAZATX
^[email protected]
SODERVA]AQPOKRAJNEJMERE
3
\LEMENTA
IMEETNETRIWIALXNYEAWTOMORFIZMY
rE[ENIE
.
eSLI
G
NEABELEWA
TOUNEEESTXNETRIWIALXNYJWNUTRENNIJAWTO
-
MORFIZM
eSLI
G
ABELEWA
TO
inv
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM
KOTORYJNETRIWI
-
ALENWTOMITOLXKOTOMSLU^AE
KOGDANAJDETSQ\LEMENT
g
TAKOJ
^TO
2
g
=0.
tAKIMOBRAZOM
MYMOVEMS^ITATX
^TOGRUPPA
G
OBLADAETSWOJSTWOM
2
g
=0
DLQWSEH
g
2
G
I
ZNA^IT
QWLQETSQWEKTORNYMPROSTRANSTWOMNADPOLEM
F
2
IZ
DWUH\LEMENTOW
wWEKTORNOMPROSTRANSTWEMOVNOWYBRATXBAZIS
X
(
AKSIOMA
WYBORA
!),
ATAKKAK
G
j
3,
TO
X
j
2
I
ZNA^IT
X
DOPUSKAETNETRIWIALXNYE
BIEKCIINASEBQ
[email protected]^NOPRODOLVAETSQPOLINEJNO
-
STIDOAWTOMORFIZMA
G
zADA^A
.
dOKAZATX
^TOEDINSTWENNYMIGRUPPAMI
UKOTORYHROWNODWAAWTO
-
MORFIZMA
[email protected]^ESKIEGRUPPYPORQDKOW
3,4
I
6.
x
4.
hARAKTERISTI^ESKIEPODGRUPPY
nORMALXNAQPODGRUPPA
{
\TOPODGRUPPA
,
USTOJ^IWAQPODDEJSTWIEM
WNUTRENNIH
AWTO
-
MORFIZMOW
.
sEJ^ASMYUSILIM\TOPONQTIE
.
oDNAKO
,
KAKZAME^AETPO\TOMUPOWODUlAO
-
CZY
,
`
PREVDE
,
^[email protected][[email protected]
,
WNA^[email protected]@QMU
'.
1.
sUBNORMALXNYEPODGRUPPY
.
wERNOLI
,
^TOOTNO[ENIENORMALXNOSTITRANZITIWNO
?
iNYMISLOWAMI
,
WERNOLI
,
^TONORMALXNAQPODGRUPPANORMALXNOJPODGRUPPYSAMANORMALX
-
NA
?
lEGKOWIDETX
,
^TO\TONETAK
.
pUSTX
,
NAPRIMER
G
=
A
4
{
ZNAKOPEREMENNAQGRUPPA
STEPENI
4,
H
=
V
{
^ETWERNAQGRUPPA
,
A
F
{
[email protected]
2
W
V
,
SKAVEM
,
F
=
h
(12)(34)
i
.
mYUVEZNAEM
,
^TO
V
E
A
4
,
ATAKKAK
V
ABELEWA
,
TOI
F
E
V
.
wTOVE
WREMQO^EWIDNO
,
^TO
F
NEMOVETBYTXNORMALXNYMDELITELEMW
A
4
,
WSAMOMDELE
,
NAPRI
-
MER
,[(12)(34)
;
(123)]=(13)(24).
tAKIMOBRAZOM
,
F
E
H
E
G
,
NO
F
E
G
.
|TOOPRAWDYWAET
[email protected]]EGOKLASSAPODGRUPP
.
oPREDELENIE
.
gOWORQT
,
^TOPODGRUPPA
F
E
G
SUBNORMALXNA
G
IPI[UT
F
EE
G
,
ESLISU]ESTWUETRQDPODGRUPP
F
=
G
0
E
G
1
E
G
2
E
:::
E
G
d
=
G
[email protected]]EJ
.
nAIMENX[EETAKOE
NAZYWAETSQ
GLUBINOJ
SUBNORMALXNOJPODGRUPPY
.
tAKIMOBRAZOM
,
SUBNORMALXNAQPODGRUPPAGLUBINY
1{
\TOWTO^NOSTINORMALXNAQPOD
-
GRUPPA
;
SUBNORMALXNAQPODGRUPPAGLUBINY
2{
\TOPODGRUPPA
,
DLQKOTOROJSU]ESTWUET
H
,
F
E
H
E
G
;
IT
.
.
zADA^A
(
wILANDT
157
)
dOKAVITE
,
^TOPERESE^ENIEDWUHSUBNORMALXNYHPODGRUPP
F;H
EE
G
QWLQETSQSUBNORMALXNOJPODGRUPPOJ
.
pRI\TOMGLUBINAPODGRUPPY
F
\
H
NEPREWOSHODIT
SUMMUGLUBINY
F
IGLUBINY
H
.
rE[ENIE
.
pUSTXGLUBINA
F
RAWNA
r
,
F
=
F
0
E
F
1
E
F
2
E
:::
E
F
r
=
G;
AGLUBINA
H
RAWNA
s
,
H
=
H
0
E
H
1
E
H
2
E
:::
E
H
s
=
G:
157
H.Wielandt,EineVerallgemeinerungderinvariantenUntergrupp
en.{Math.Zeitschrift,
1939,Bd.45,S.209{244.
gruppy
:
firstdraught
141
tOGDA
F
\
H
=
F
\
H
0
E
F
\
H
1
E
F
\
H
2
E
:::
E
F
\
H
r
=
F
POKAZYWAET
,
^TO
F
\
H
QWLQETSQSUBNORMALXNOJPODGRUPPOJW
F
,
GLUBINAKOTOROJNEPREWOS
-
HODIT
s
.
2.
hARAKTERISTI^ESKIEPODGRUPPY
.
sUBNORMALXNOSTXQWLQETSQ
OSLABLENIEM
PONQTIQ
NORMALXNOSTI
.
oDNAKOWNASTOQ]EEWREMQNASINTERESUETWOPROS
,
MOVNOLITAKIMOBRAZOM
USILITX
PONQTIENORMALXNOSTI
,
^[email protected]^ITX
,
^TO
F
NORMALXNA
W
G
?
oPREDELENIE
.
pODGRUPPA
H

G
NAZYWAETSQ
HARAKTERISTI^ESKOJ
,
ESLI
'
(
H
)

H
[email protected]
AWTOMORFIZMA
'
2
Aut(
G
)
I
WPOLNEHARAKTERISTI^ESKOJ
,
ESLI
'
(
H
)

H
[email protected]
\NDOMORFIZMA
'
2
End(
G
)
wSTARYHKNIGAHHARAKTERISTI^[email protected]
AWTOMORFNODOPUSTIMY
-
MI
,
AWPOLNEHARAKTERISTI^ESKIE
{
\NDOMORFNODOPUSTIMYMI
.
[email protected]@BAQ
WPOLNEHARAKTERISTI^ESKAQPODGRUPPAQWLQETSQHARAKTERISTI^ESKOJ
,
[email protected]
-
^ESKAQPODGRUPPA
{
NORMALXNOJ
:
WPOLNEHARAKTERISTI^ESKAQ
=
)
HARAKTERISTI^ESKAQ
=
)
=
)
NORMALXNAQ
=
)
SUBNORMALXNAQ
.
lEGKOUBEDITXSQWTOM
,
^[email protected]^[email protected]]IHKLASSOWPODGRUPPSTROGIE
,
DLQ
POSLEDNEGOIZNIH\TOUVEBYLOPOKAZANOWY[E
,
WOTDWADRUGIHPRIMERA
:

cENTR
C
(
G
)
GRUPPY
G
QWLQETSQHARAKTERISTI^ESKOJ
,
NO
,
WOOB]EGOWORQ
,
NEWPOLNEHA
-
RAKTERISTI^ESKOJPODGRUPPOJ
;

pODGRUPPYWTOROGOPORQDKAGRUPPY
V
=
E
4
[email protected]
,
NONEHARAKTERI
-
STI^ESKIMI
.
pONQTIEHARAKTERISTI^ESKOJPODGRUPPY
(charakteristischeUntergruppe)
BYLOWWEDENOW
1895
GODUfROBENIUSOM
.
[email protected]
F
E
H
HARAKTERISTI^ESKOJ
,
[email protected]
G
TAKOJ
,
^TO
H
E
G
.
sEJ^AS
MYUBEDIMSQ
,
^TONA[EOPREDELENIE\KWIWALENTNO\TOMU
.
pONQTIEWPOLNEHARAKTERISTI^E
-
SKOJPODGRUPPY
(vollinvarianteUntergruppe)
WWELW
1933
GODUf
.
lEWIPRIIZU^ENIIPODGRUPP
SWOBODNYHGRUPP
.
pREDLOVENIE
.
1)
hARAKTERISTI^ESKAQPODGRUPPANORMALXNOJPODGRUPPYQWLQETSQNOR
-
MALXNOJPODGRUPPOJ
.
2)
hARAKTERISTI^ESKAQPODGRUPPAHARAKTERISTI^ESKOJPODGRUPPYQWLQETSQHARAKTE
-
RISTI^ESKOJPODGRUPPOJ
.
3)
wPOLNEHARAKTERISTI^ESKAQPODGRUPPAWPOLNEHARAKTERISTI^ESKOJPODGRUPPYQW
-
LQETSQWPOLNEHARAKTERISTI^ESKOJPODGRUPPOJ
.
dOKAZATELXSTWO
.
[email protected]
1),
DOKAZATELXSTWODWUHDRUGIHPUNKTOWSO
-
WER[ENNOANALOGI^NO
.
iTAK
,
PUSTX
H
E
G
,
A
F
{
HARAKTERISTI^ESKAQPODGRUPPAW
H
.
tOGDA
[email protected]
g
2
G
OGRANI^ENIE
I
g
NA
H
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM
H
,
SLEDOWATELXNO
,
TAKKAK
F
HARAKTERISTI^ESKAQ
,
TO
I
g
(
F
)

F
.
nO\TOIZNA^IT
,
^TO
F
E
G
.
3.
pRIMERYHARAKTERISTI^ESKIHPODGRUPP
.
pRIWEDEMNESKOLXKOO^EWIDNYHPRIMEROW
HARAKTERISTI^ESKIHPODGRUPP
.

kOMMUTANT
[
G;G
]
GRUPPY
G
QWLQETSQWPOLNEHARAKTERISTI^ESKOJPODGRUPPOJ
;

pODGRUPPA
G
n
,
POROVDENNAQ
n
-
MISTEPENQMI\LEMENTOWGRUPPY
G
,
QWLQETSQWPOLNE
HARAKTERISTI^ESKOJ
;
|TOPRIMERYTAKNAZYWAEMYH
WERBALXNYH
PODGRUPP
,
POROVDENNYHZNA^ENIQMINEKOTO
-
RYHSLOWWGRUPPE
G
:
WPERWOMSLU^AESLOWA
[
x;y
],
AWOWTOROM
{
SLOWA
x
n
.
aWOTNESKOLXKO
PRIMEROWHARAKTERISTI^ESKIH
,
NO
,
WOOB]EGOWORQ
,
NEWPOLNEHARAKTERISTI^ESKIHPODGRUPP
:

pERESE^ENIEWSEHPODGRUPPINDEKSA
n
;

pERESE^ENIEWSEHPODGRUPPINDEKSA

n
;
142
nikolajwawilow

pERESE^ENIEWSEHNORMALXNYHPODGRUPPINDEKSA
n
;

pERESE^ENIEWSEHNORMALXNYHPODGRUPPINDEKSA

n
.
4.
oTME^ENNYEPODGRUPPY
.
pODGRUPPA
H

G
NAZYWAETSQ
OTME^ENNOJ
,
ESLI
'
(
H
)

H
WPOLNEOTME^ENNOJ
,
ESLI
H
=
'

1
(
H
)
[email protected]
[email protected]_EKTIWNOGO\NDOMORFIZMA
'
2
End(
G
).
lEGKOWIDETX
,
^TOWPOLNEOTME^ENNAQPODGRUPPAQWLQETSQOTME^ENNOJ
.
kROME
TOGO
,
O^[email protected]]IEIMPLIKACII
:
WPOLNEHARAKTERISTI^ESKAQ
=
)
OTME^ENNAQ
=
)
HARAKTERISTI^ESKAQ
zADA^A
.
uBEDITESX
,
^TOCENTRGRUPPYQWLQETSQOTME^ENNOJPODGRUPPOJ
.
zADA^A
.
pRIWEDITEPRIMEROTME^ENNOJPODGRUPPY
,
[email protected]]EJSQWPOLNEHARAKTERISTI
-
^ESKOJ
.
uKAZANIE
.
dOSTATO^NOPOSTROITXGRUPPU
,
CENTRKOTOROJNEQWLQETSQWPOLNEHARAKTERISTI
-
^ESKOJPODGRUPPOJ
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOPERESE^ENIE
(
WPOLNE
)
OTME^ENNYHPODGRUPPESTX
(
WPOLNE
)
OTME^EN
-
NAQPODGRUPPA
.
5.
hOPFOWYGRUPPY
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
BOLX[INSTWOALGEBRAISTOWNIKOGDANESLY[ALO
OBOTME^ENNYHIWPOLNEOTME^ENNYHPODGRUPPAH
.
pO^EMU
?
dELOWTOM
,
^TO\TIPONQTIQ
NA^[email protected]@TOLXKODLQNEHOPFOWYHGRUPP
,
WTOWREMQKAK
BOLX[INSTWOWSTRE^[email protected]]IHSQWPRIRODEGRUPP
,
W^ASTNOSTI
,
WSEKONE^NYEGRUPPY
,
HOPFOWY
.
nAPOMNIM
,
^TOGRUPPA
G
NAZYWAETSQ
NEHOPFOWOJ
,
ESLIWNEJSU]ESTWUETNETRIWIALXNAQ
NORMALXNAQPODGRUPPA
H
E
G
TAKAQ
,
^TO
G=H

=
G
.
eSLITAKOJPODGRUPPY
H
=1
NE
SU]ESTWUET
,
TOGRUPPA
G
NAZYWAETSQ
HOPFOWOJ
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
DONA^ALA
1950-
H
GODOW
158
;
159
BYLONEIZWESTNODAVE
,
SU][email protected]]EKONE^NOPOROVDENNYE
(
IKONE^NO
PREDSTAWIMYE
)
NEHOPFOWYGRUPPY
,
\TOTWOPROSIZWESTENKAK
PROBLEMAhOPFA
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TOGRUPPA
G
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEHOPFOWA
,
KOGDAKAVDYJEE
[email protected]_EKTIWNYJ\NDOMORFIZMQWLQETSQAWTOMORFIZMOM
.
rE[ENIE
.
wSAMOMDELE
,
[email protected]@R_EKTIWNOGO\NDOMORFIZMOMA
'
2
End(
G
)
IMEEM
G

=
G=
Ker(
'
),
TAK^TOESLI
Ker(
'
)
=1,
TOGRUPPA
G
NEHOPFOWA
.
oBRATNO
,
ESLI
H
E
G
,
H
=1
TAKOWO
,
^TO
G=H

=
G
,
TOKOMPOZICIQ
G
!
G=H

=
G
[email protected]_EKTIWNYM
\NDOMORFIZMOM
G
SNETRIWIALXNYMQDROM
.
zADA^A
.
uBEDITESX
,
^TOWHOPFOWOJGRUPPEKAVDAQHARAKTERISTI^ESKAQPODGRUPPAQWLQETSQ
OTME^ENNOJ
.
iNTERESNO
,
^TODWOJSTWENNOEPONQTIEKOHOPFOWOJGRUPPYNEIMEETBOLX[OGOZNA^ENIQ
.
gRUPPANAZYWAETSQ
KOHOPFOWOJ
,
ESLIONANEIZOMORFNANIKAKOJSWOEJSOBSTWENNOJPODGRUP
-
PE
,
AIMENNO
,
[email protected]_EKTIWNYJ\NDOMORFIZM
'
:
G
!
G
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM
.
qSNO
,
^TOUVEGRUPPA
Z
NEQWLQETSQKOHOPFOWOJ
.
x
5.
hARAKTERISTI^ESKIPROSTYEGRUPPY
kAKOBOB]ENIEPOSLEDNEGOPRIMERAIZPREDYDU]EGOPARAGRAFAZAMETIM
,
^TOWOOB]EW
[email protected]\LEMENTARNOJABELEWOJGRUPPE
G
=
E
p
m
NETNIKAKIHHARAKTERISTI^ESKIHPODGRUPP
,
OTLI^NYHOT
1
G
.
fROBENIUSPREDLOVILNAZYWATXGRUPPU
G
,
[email protected]][email protected]\TIMSWOJ
-
STWOM
,
\LEMENTARNOJ
.
sEGODNQW\TOMSMYSLE^A]EWSEGOGOWORQTO
HARAKTERISTI^ESKI
PROSTYH
GRUPPAH
(characteristicallysimple)
160
.
158
B.H.Neumann,Atwo-generatorgroupisomorphictoaproperfactor
group.{J.London
Math.Soc.,1950,vol.25,p.247{248.
159
G.Higman,A nitelyrelatedgroupwithanisomorphicproperfacto
rgroup.{J.London
Math.Soc.,1951,vol.26,p.59{61.
160
wTEORIIALGEBRlIALGEBRYBEZHARAKTERISTI^[email protected]
DIFFE
-
RENCIALXNOPROSTYMI
,
PO\TOMUNEKOTORYESPECIALISTYPREDPO^[email protected]
AW
-
TOMORFNOPROSTYH
GRUPPAH
.
gruppy
:
firstdraught
143
tEOREMA
.
kONE^NAQGRUPPA
G
TOGDAITOLXKOTOGDAQWLQETSQHARAKTERISTI^ESKIPRO
-
STOJ
,
[email protected]P
.
dOKAZATELXSTWO
.
pOKAVEMWNA^ALEDOSTATO^NOSTX
.
pUSTX
G
=
H
1

:::

H
s
,
GDEWSE
H
i
IZOMORFNYPROSTOJGRUPPE
H
.
eSLI
H

=
C
p
ABELEWA
,
TO
G
=
F
s
p
IZOMORFNAWEKTORNOMU
PROSTRANSTWUNADPOLEM
F
p
,
GDEUGRUPPY
Aut(
G
)=GL(
s;
F
p
)
NETNETRIWIALXNYHSOBSTWEN
-
NYHINWARIANTNYHPODPROSTRANSTW
.
eSLIVE
H
NEABELEWA
,
TOWOZXMEMHARAKTERISTI^[email protected]
PODGRUPPU
F
=1
GRUPPY
G
IRASSMOTRIM\LEMENT
f
=1.
pREDSTAWIM\TOT\LEMENTWWIDE
f
=
h
1

:::

h
s
=1,
PUSTX
,
NAPRIMER
,
h
j
=1.
tAKKAK
H
i

=
H
NEABELEWA
,
TONAJDETSQ
g
j
2
H
j
TAKOE
,
^TO
[
f;g
j
]=[
h
j
;g
j
]
=1.
tAKIMOBRAZOM
,
F
\
H
j
=1
,
TAKKAKGRUPPA
H
j
PROSTA
,
TO
F
\
H
j
=
H
j
.
|TOZNA^IT
,
^TO
H
j

F
,
TAKKAKGRUPPA
Aut(
G
)
TRANZITIWNO
DEJSTWUETNAFAKTORAH
H
1
;:::;H
s
,
TO
H
i

F
DLQWSEH
i
,
ZNA^IT
,
F
=
G
.
dOKAZATXNEOBHODIMOSTX^UTXSLOVNEE
.
qSNO
,
^[email protected]
-
TERISTI^ESKIPROSTOJ
.
pO\TOMUWDALXNEJ[EMMOVNOS^ITATX
,
^TO
G
NEQWLQETSQPROSTOJ
.
pUSTX
H
{
MINIMALXNYJNORMALXNYJDELITELX
G
.
|TOZNA^IT
,
^TO
H
E
G
,
H
=1,
IESLI
1

F

H
QWLQETSQNORMALXNYMDELITELEM
G
,
TO
F
=1
F
=
H
.
[email protected]
PODGRUPPA
H
NEMOVETBYTXHARAKTERISTI^ESKOJ
,
TOSU]ESTWUETGOMOMORFIZM
'
2
Aut(
G
)
TAKOJ
,
^TO
'
(
H
)
=
H
.
pUSTX
H
1
=
H;H
2
:::;H
s
,
GDE
s

2,{
MNOVESTWOWSEHRAZLI^NYH
PODGRUPP
,
WKOTORYE
H
PEREHODITPODDEJSTWIEM
Aut(
G
).
qSNO
,
^TOPODGRUPPA
H
1
:::H
s
QWLQETSQHARAKTERISTI^ESKOJW
G
,
ZNA^IT
,
OBQZANASOWPADATXS
G
.
qSNO
,
^TOWSE
H
i
QWLQ
-
@TSQMINIMALXNYMINORMALXNYMIDELITELQMI
G
,
TAKIMOBRAZOM
,
H
i
\
H
j
=1,
[email protected]
i
=
j
(
WSAMOMDELE
,
H
i
\
H
j
E
G
STROGOSODERVITSQW
H
i
,
ZNA^IT
,
OBQZANORAWNQTXSQ
1).
w^ASTNOSTI
,
H
PO\LEMENTNOKOMMUTIRUETSOWSEMIPODGRUPPAMI
H
2
;:::;H
s
.
tEMSAMYM
,
[email protected]
H
AWTOMATI^ESKIQWLQETSQNORMALXNYMDELITELEMW
G
.
wSILUMINIMALXNOSTI
H
\TOZNA^IT
,
^TO
H
OBQZANABYTXPROSTOJGRUPPOJ
.
pERESE^ENIE
H
\
H
2
:::H
s
SODERVITSQWCENTRE
H
,
ZNA^IT
,
[email protected]][email protected]
,
LIBO
H

H
2
:::H
s
,
LIBO
H
\
H
2
:::H
s
=1.
wPERWOMSLU^AE
H
ABELEWA
,
H

C
(
G
)
,
TAKKAK
C
(
G
)
QWLQETSQHARAKTERISTI^ESKOJPODGRUPPOJ
,
TO
C
(
G
)=
G
.
tEMSAMYM
,
W\TOMSLU^AE
G
ABELEWAINA[EUTWERVDENIEWYTEKAETIZTEOREMYOSTROENIIKONE^NYHABELEWY
HGRUPP
.
wO
WTOROMSLU^AEPRIMENQQAWTOMORFIZMGRUPPY
G
,
PEREWODQ]IJ
H
W
H
i
,
[email protected]^ITX
,
^TO
H
i
\
H
1
:::
b
H
i
:::H
s
=1.
nO\TOIOZNA^AET
,
^TO
G
=
H
1

:::

H
s
.
zAME^ANIE
.
wDEJSTWITELXNOSTIW\TOJTEOREMEKONE^NOSTXGRUPPYISPOLXZOWALASXLI[X
DLQTOGO
,
^TOBYGARANTIROWATXSU]ESTWOWANIE
e
G
MINIMALXNOGONORMALXNOGODELITELQ
.
iMENNOWTAKOJFORMEISFORMULIROWAN\TOTREZULXTATW
[Sch],
STR
.62,
NOPRIWEDENNYETAM
DOKAZATELXSTWASODERVATPROBELY
.
x
6.
gRUPPAAWTOMORFIZMOW
w\TOMPARAGRAFEMYPRIWODIMNESKOLXKOPROSTEJ[IHPRIMEROWW
Y^ISLE
-
NIQGRUPPYAWTOMORFIZMOW
1.
mONOID
/
KOLXCO\NDOMORFIZMOW
.
oBOZNA^IM^EREZ
End(
G
)
MNOVESTWO
WSEH\NDOMORFIZMOWGRUPPY
G
SOPERACIEJKOMPOZICII
qSNO
^TO
End(
G
)
OBRAZUETMONOID
NEJTRALXNYM\LEMENTOMKOTOROGOQWLQETSQTOVDESTWENNYJ
AWTOMORFIZMGRUPPY
G
eSLIGRUPPA
G
ABELEWA
TO
KAKMYZNAEMIZ
x
3,
NAMNOVESTWE
End(
G
)
MOVNO
KROMETOGO
OPREDELITX
POTO^E^NOESLOVENIE
OPREDELQQSUMMU\NDOMORFIZMOW
I

POSREDSTWOM
(
+

)(
x
)=
(
x
)+

(
x
),
DLQ
WSEH
x
2
G
lEGKOPROWERITX
(
MY\TODELAEMWgLAWE
III),
^TOOTNOSITELXNOOPE
-
RACIJPOTO^E^NOGOSLOVENIQIKOMPOZICIIMNOVESTWO
End(
G
)
\NDOMORFIZMOW
ABELEWOJGRUPPYOBRAZUETASSOCIATIWNOE
(
NONEOBQZATELXNOKOMMUTATIWNOE
)
KOLXCOS
1.
pRIWEDEMNESKOLXKOO^EWIDNYHPRIMEROWKOLEC\NDOMORFIZMO
W

End(
Z
+
)

=
Z

End(
C
n
)

=
Z
=n
Z

End(

p
)

=
Z
p
{
ESTXKOLXCO
CELYH
p
-
ADI^ESKIH^ISEL
(
\TOO^EWIDNO
ESLIPOLXZOWATXSQOPREDELENIEM
Z
p
=lim

Z
=p
n
Z
SM
NAPRIMER
,[KM],c.57{58
144
nikolajwawilow
POPOWODUDOKAZATELXSTWA
);

End(
Z
+
p
)

=
Z
p

End(
Z
n
)

=
M
(
n;
Z
);

End(
E
p
)

=
M
(
n;
F
p
).
pERWYEPO^TIWSEH\TIHUTWERVDENIJO^EWIDNY
DLQ\TOGODOSTATO^NOZA
-
METITX
^TO\NDOMORFIZMCIKLI^[email protected]
SWOIM
ZNA^[email protected]]EJ
KOTOROEMO\[email protected]
dLQDOKAZATELXSTWA
POSLEDNEGOUTWERVDENIQZAMETIM
^TO\NDOMORFIZMY\LEMENTARNOJABELEWOJ
GRUPPY
E
p
\TOWTO^NOSTI\NDOMORFIZMYWEKTORNOGOPROSTRANSTWA
F
n
p
2.
gRUPPAAWTOMORFIZMOW
.
nAPOMNIM
^TO^EREZ
Aut(
G
)
OBOZNA^AETSQ
GRUPPAWSEHAWTOMORFIZMOWGRUPPY
G
OTNOSITELXNOKOMPOZICII
qSNO
^TO
Aut(
G
)=End(
R
)

SOSTOITWTO^NOSTIIZWSEHOBRATIMYH\LEMENTOWMONOI
-
DA
/
KOLXCA
End(
G
).
qWNOEOPISANIEGRUPPY
Aut(
G
)
QWLQETSQODNOJIZWAVNEJ[IHZADA^TEORII
GRUPP
wOTNESKOLXKOPRIMEROWWY^ISLENIQGRUPPYAWTOMORFIZMOW
[email protected]
-
]IE[[email protected]
@]IHPRIMEROW
PREDYDU]EGOPUNKTA

Aut(
Z
+
)

=
C
2

Aut(
C
n
)

=
(
Z
=n
Z
)


Aut(

p
)

=
Z

p

Aut(
Z
+
p
)

=
Z

p

Aut(
Z
n
)

=
GL(
n;
Z
);

Aut(
E
p
)

=
GL(
n;p
).
kONKRETIZIRUEM
DLQPRIMERA
OPISANIEAWTOMORFIZMOWCIKLI^ESKOJGRUP
-
PY
KKOTOROMUO^ENX^ASTOPRIHODITSQOBRA]ATXSQPRIRE[ENIIZA
DA^PO
TEORIIKONE^NYHGRUPP
dLQ\TOGOSO[LEMSQNAWY^ISLENIE
(
Z
=n
Z
)

KOTOROE
PROWODITSQWgLAWE
VI.
pREVDEWSEGO
ESLI
n
=
p
m
1
:::p
m
s
s
GDE
p
i
{
POPARNOWZA
-
IMNOPROSTYEPROSTYE^ISLA
TOKITAJSKAQTEOREMAOBOSTATKAHUTWERVDAET
^TO
(
Z
=n
Z
)


=
(
Z
=p
m
1
Z
)


:::

(
Z
=p
m
s
s
Z
)

tAKIMOBRAZOM
NAMNUVNOTOLXKOWY^ISLITX
Aut(
C
p
m
),
GDE
p
PROSTOE^ISLO
zDESXPROQWLQETSQDRAMATI^ESKOEOTLI^IESLU^AQ
p
=2
OTWSEHOSTALXNYH
a
IMENNO
DLQ
p
=2
IMEEM
Aut(
C
2
)=1,Aut(
C
4
)

=
C
2
I
Aut(
C
2
m
)

=
C
2

=
C
2
m

WTOWREMQKAKDLQNE^ETNOGO
p
WSEGDA
Aut(
C
p
m
)

=
C
(
p

1)
p
m

oBRATITEWNIMANIE
^TO
Aut(
C
3
)

=
Aut(
C
4
)

=
C
2
mOVNODOKAZATX
161
^TO
DLQDANNOJKONE^NOJGRUPPY
H
SU]ESTWUETNEBOLEEKONE^NOGO^ISLANEIZO
-
MORFNYHKONE^NYHGRUPP
G
TAKIH
^TO
Aut(
G
)

=
H
pRI\TOMDALEKONEWSQKAQ
GRUPPAMOVETBYTXPREDSTAWLENAKAKGRUPPAAWTOMORFIZMOW
tAK
NAPRIMER
LEGKODOKAZATX
(
\TOODNAIZZADA^[email protected]]EGOPARAGRAFA
!),
^TONESU]ESTWUET
GRUPPY
G
|
KONE^NOJILIBESKONE^NOJ
|
DLQKOTOROJ
Aut(
G
)

=
C
2
l
+1
ESTX
CIKLI^ESKAQGRUPPANE^ETNOGOPORQDKA
[email protected]
-
FIZMOWTAKVEISIMMETRI^ESKAQGRUPPA
S
6
(
\[email protected]^ENIE
KOTOROE
WOZNIKAETWTEOREMEgELXDERA
!),
NIODNAIZNETRIWIALXNYHZNAKOPEREMENNYH
161
H.K.Iyer,RockyMountainJ.Math.,1979,vol.9,N.4,p.653{6
70.
gruppy
:
firstdraught
145
GRUPP
A
n
KROME
A
8

=
PSL(4
2),
IMNOGIEDRUGIEGRUPPY
NAPRIMER
BESKONE^
-
NAQCIKLI^ESKAQGRUPPA
Z
zADA^A
.
uBEDITESX
^TOESLI
G
{
KONE^NAQGRUPPAPORQDKA
n
TOPORQDOK
Aut(
G
)
NEPREWOSHODIT
(
n

1)!.
kOGDADOSTIGAETSQ\TAGRANICA
?

w
x
?
MYPROWERIM
^TO
Aut(
S
n
)=
S
n
PRI
n
=2
6(
TEOREMAgELXDERA
).

wTRETXEMSEMESTREMYWY^ISLIMGRUPPU
Aut(GL(
n;K
))
IPOKAVEM
^TO
KAVDYJAWTOMORFIZM
GL(
n;R
)
QWLQETSQPROIZWEDENIEMWNUTRENNEGOIPOLEWOGO
AWTOMORFIZMOWI
WOZMOVNO
KONTRAGRADIENTA
(
TEOREMA{RAJERA
{
WANDER
wARDENA
).
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
Aut(
D
3
)

=
D
3
I
Aut(
D
4
)

=
D
4
kAKAQGIPOTEZAUwAS
WOZNIKLA
?
aTEPERXWY^ISLITE
Aut(
D
n
).
rE[ENIE
.
|TAGIPOTEZANEWERNAUVEDLQ
D
2
=
V
TAKKAK
Aut(
D
2
)

=
GL(2
2)

=
S
3

=
D
3
pUSTXTEPERX
n

3.
w\TOMSLU^AEGRUPPA
D
n
POROVDAETSQ\LEMENTOM
x
PO
-
RQDKA
n

3
[email protected]
y
TAKOJ
^TO
xy
[email protected]
pRI
\TOM
D
n
=
f
x
j
;x
j
y;j
=0
;:::;n

1
g
PRI^EMWSE\LEMENTY
x
j
y
[email protected]
-
[email protected]
pUSTX
2
Aut(
D
n
).
[email protected]
-
DOK
TO
(
x
)=
x
i
DLQKAKOGO
-
TO
i
WZAIMNOPROSTOGOS
n
I
SLEDOWATELXNO
TAK
KAK
(
x
)
I
(
y
)
DOLVNYPOROVDATXGRUPPU
D
n
TO
(
y
)=
x
j
y
DLQKAKOGO
-
TO
=0
;:::;n

1.
sDRUGOJSTORONY
O^EWIDNO
^[email protected]
i
I
PRIWODITKAWTOMORFIZMU
D
n
tAKIMOBRAZOM
Aut(
D
n
)
=
(
n
)
n
nEBOLX[OE
DOPOLNITELXNOEUSILIE
162
POZWOLQETPROWERITX
^TO
Aut(
D
n
)

=
C
'
(
n
)
i
C
n
GDE
C
'
(
n
)
DEJSTWUETNA
C
n
KAKGRUPPAAWTOMORFIZMOW
T
E
INYMISLOWAMI
Aut(
D
n
)

=
Hol(
C
n
).
sLU^AI
n
=3
I
n
=4,
KOGDA
(
n
)=2,
[email protected]
EDIN
-
STWENNYMI
SLU^AQMI
DLQKOTORYH
Aut(
D
n
)

=
D
n
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
Aut(
C
2

C
4
)=
D
4
w^ASTNOSTI
,Aut(
C
2

C
4
)

=
Aut(
D
4
).
wY^ISLITE
Aut(
C
2

C
n
)
DLQPROIZWOLXNOGO
n
[email protected]][email protected]^EWYHSOOBRAVE
NIJWPRI
-
MENENIILINEJNYHGRUPPKIZU^[email protected]^NYHGRUPP
zADA^A
.
pUSTX
H
E
G
dOKAVITE
^TO
G=C
(
H
)
IZOMORFNOWKLADYWAETSQW
Aut(
H
).
sLEDSTWIE
.
eSLI
H
E
G
{
\LEMENTARNAQABELEWA
p
-
GRUPPAPORQDKA
p
n
,
TO
G=C
(
H
)
162
G.L.Walls,Automorphismgroups.{Amer.Math.Monthly,1986,J
une{July,p.459{462.
tEOREMA
A.
146
nikolajwawilow
tEOREMA
.
pODGRUPPA
Inn(
G
)

=
G=C
(
G
)
NORMALXNAW
Aut(
G
)
.
dOKAZATELXSTWO
.
pERWOEUTWERVDENIETEOREMYSLEDUETIZTEOREMYOGOMO
-
MORFIZME
ESLIZAMETITX
^TOGOMOMORFIZM
I
g
WTOMITOLXKOTOMSLU^AETRI
-
WIALEN
KOGDA
g
2
C
(
G
),
TAK^TOQDROGOMOMORFIZMA
G
!
Aut(
G
),
g
7!
I
g
SOWPADAETS
C
(
G
).
dLQDOKAZATELXSTWAWTOROGOUTWERVDENIQZAMETIM
^TOSLE
-
[email protected]]EEWY^ISLENIE
'I
g

1
(
x
)=
(
g'

1
(
x
)
g

1
)=
(
g
)
x'
(
x
)

1
POKAZYWAET
^TO
'I
g

1
=
I
'
(
g
)
TAK^[email protected]
SOPRQVENNYJS
WNUTRENNIM
SAMQWLQETSQWNUTRENNIM
sLEDSTWIE
.
gRUPPABEZCENTRA
G
gruppy
:
firstdraught
147
zADA^A
.
pUSTX
PO
-
PREVNEMU
H
E
G
wSEGDALIMOVNOUTWERVDATX
^TO
Aut(
G;H
)
E
Aut(
G
)?
pRIKAKOMPREDPOLOVENIINA
H
\TOZAWEDOMOWERNO
?
pOLOVIM
IAut(
G
)=Aut(
G;
G;G
])
dOKAVITE
^TO
IAut(
G
)
E
Aut(
G
).
2.
gRUPPAAWTOMORFIZMOWNEABELEWOJPROSTOJGRUPPY
.
[email protected]]IJCIKLZADA^WZQT
SOSTRANICY
131
bURBAKI
,
aLGEBRA
,
.I.
zADA^A
.
pUSTX
G
{
NEABELEWAPROSTAQGRUPPA
.
pOKAZATX
,
^TO
Inn(
G
)
HARAKTERISTI^ESKAQ
PODGRUPPAW
Aut(
G
).
rE[ENIE
.
pUSTX
'
2
Aut(Aut(
G
)).
tOGDA
Inn(
G
)
\
'
(Inn(
G
))
E
Aut(
G
).
tAKKAK
Inn(
G
)

=
G
PROSTAQ
,
TOLIBO
Inn(
G
)
\
'
(Inn(
G
))=Inn(
G
),
W\TOMSLU^AEDOKAZATELXSTWOZAKON^ENO
,
LIBO
Inn(
G
)
\
'
(Inn(
G
))=1.
wOWTOROMSLU^AE
Aut(
G
)
SODERVITPRQMOEPROIZWEDENIE
Inn(
G
)

'
(Inn(
G
)).
nOWEDX
G
GRUPPABEZCENTRAI
,
ZNA^IT
,
POPREDYDU]EJZADA^E
C
Aut(
G
)
(Inn(
G
))=
1.
zADA^A
.
pUSTX
G
{
GRUPPABEZCENTRAI
'
2
Aut(Aut(
G
)).
pOKAZATX
,
^TOESLI
'
(
I
g
)=
I
g
DLQWSEH
I
g
2
Inn(
G
),
TO
'
=id.
rE[ENIE
.
[email protected]@BOGO
g
2
G
IMEEM
'
(
I
g
)=
I
g
,
TEMSAMYM
,
'
(

)
I
g
'
(

)

1
=
'
(
I
g


1
)=
'
(
I

(
g
)
)=
I

(
g
)
=
I
g


1
[email protected]

2
Aut(
G
).
|TORAWENSTWOMOVNOPEREPISATXWWIDE


1
'
(

)
I
g
=
I
g


1
'
(

).
pOPERWOJZADA^EAWTOMORFIZM


1
'
(

),
CENTRALXNYJ
,
NOTAKKAK
G
GRUPPABEZCENTRA
,
TO


1
'
(

)(
g
)=
g
DLQWSEH
g
2
G
.
nO\TOIZNA^IT
,
^TO
'
(

)(
g
)=

(
g
)
TAK^TODEJSTWITELXNO
'
(

)=

,
KAKIUTWERVDALOSX
.
zADA^A
.
pUSTX
G
{
NEABELEWAPROSTAQGRUPPA
.
pOKAZATX
,
^TOKAVDYJAWTOMORFIZMGRUPPY
Aut(
G
)
WNUTRENNIJ
.
rE[ENIE
.
sOPOSTAWIMAWTOMORFIZMU
'
2
Aut(Aut(
G
))
AWTOMORFIZM

GRUPPY
G
[email protected]
-
]IMOBRAZOM
:
I

(
g
)
=
'
(
I
g
).
pOPERWOJZADA^E\TOGOPUNKTA
Inn(
G
)

=
G
HARAKTERISTI^ESKAQ
PODGRUPPAW
Aut(
G
).
uTWERVDAETSQ
,
^TOTOGDA
'
(
)=
 

1
[email protected]
2
Aut(
G
).
|TO
RAWNOSILXNOTOMU
,
^TOAWTOMORFIZM
7!


1
'
(
)

GRUPPY
Aut(
G
)
TOVDESTWENNYJ
.
wSILU
WTOROJZADA^IDLQ\TOGODOSTATO^NOPOKAZATX
,
^TOONOSTAWLQETNAMESTEWSEWNUTRENNIE
AWTOMORFIZMY
.
wSAMOMDELE
,


1
'
(
I
g
)

(
x
)=


1
I

(
g
)

(
x
)=


1
(

(
g
)

(
x
)

(
g
)

1
)=
gxg

1
=
I
g
(
x
)
;
^TOITREBOWALOSX
.
tAKIMOBRAZOM
,
[email protected]\TIHZADA^
,
[email protected]]IJREZULXTAT
.
tEOREMA
.
eSLI
G
NEABELEWAPROSTAQGRUPPA
,
TO
Aut(
G
)

=
Aut(Aut(
G
))
.
3.
tEOREMAwILANDTA
.
wDEJSTWITELXNOSTIW
1939
[email protected]]IJ
REZULXTAT
.
pOLOVIM
Aut
0
(
G
)=
G
,Aut
1
(
G
)=Aut(
G
),Aut
2
(
G
)=Aut(Aut(
G
)),
IDA
-
LEE
Aut
n
(
G
)=Aut(Aut
n

1
(
G
)).
[email protected]
AWTOMORFIZMOWIMYOTOVDESTWIM
G
SPODGRUPPOJW
Aut(
G
).
[email protected]^EREDX
,
GRUPPAAW
-
TOMORFIZMOWGRUPPYBEZCENTRA
{
TOVEGRUPPABEZCENTRA
,
TAK^TOMYPOLU^AEMBA[[email protected]
G

Aut(
G
)

Aut
2
(
G
)

:::
.
kAKMYTOLXKO^TOPOKAZALI
,
DLQNEABELEWYHPROSTYHGRUPP
\TABA[NQSTABILIZIRUETSQUVENAPERWOM[AGE
.
|TOUTWERVDENIEDOPUSKAETO^ENX[IROKOE
OBOB]ENIE
.
tEOREMAwILANDTA
.
eSLI
G
KONE^NAQGRUPPABEZCENTRA
,
TOSU]ESTWUET
n
TAKOE
,
^TO
Aut
n
(
G
)=Aut
n
+1
(
G
)=
:::
.
dLQBESKONE^NYHGRUPPANALOGI^NAQSTABILIZACIQTOVEPROISHODIT
,
NONABESKONE^NOM
ORDINALE
(S.Thomas,1985).
148
nikolajwawilow
x
8.
mATRI^NYEGOMOMORFIZMY
[email protected]][email protected]
RIC

2

x
+
x

1
x

x

1
x

x

1
x
+
x

1

QWLQETSQGOMOMORFIZMOMGRUPP
(
PROWERXTE
!!)
sEJ^ASDLQPOLQ
K
=
R
WE]ESTWENNYH^ISELMYPOSTROIME]EDWAPRIME
-
RAGOMOMORFIZMOWIZADDITIWNOJGRUPPYPOLQWMULXTIPLIKATIW
[email protected]
MATRIC
|TOWYTEKAETIZTEOREMSLOVENIQDLQTRIGONOMETRI^ESKIHIGIP
ER
-
BOLI^ESKIHFUNKCIJSOOTWETSTWENNO
SM
gLAWU
IV.

gruppy
:
firstdraught
149
zADA^A
(
PIFAGOROWYTROJKI
).
pUSTX
K
{
POLEHARAKTERISTIKI
=2,
W
KOTOROM

1
NEQWLQETSQKWADRATOM
(
NAPRIMER
K
=
R
).
oPREDELIMNAMNO
-
VESTWE
K
2
UMNOVENIEPOPRAWILUUMNOVENIQKOMPLEKSNYH^ISEL
(
a;b
)(
c;d
)=
(
ac

bd;ad
+
bc
).
uBEDITESX
^TOOTOBRAVENIE
K
2
nf
(0
0)
g!
SL(2
;K
)
;x
7!
1
a
2
+
b
2

a
2

b
2
2
ab

2
aba
2

b
2

QWLQETSQGOMOMORFIZMOMGRUPP
zADA^A
(
pRISOEDINENNOEPREDSTAWLENIE
SL
2
).
pUSTX
R
{
KOMMUTATIWNOE
KOLXCOS
1.
dOKAZATX
^TOOTOBRAVENIE

ab
cd

7!
0
@
a
2
2
abb
2
acad
+
bcbd
c
2
2
cdd
2
1
A
PREDSTAWLQETSOBOJGOMOMORFIZMGRUPP
GL(2
;R
)
!
GL(3
;R
).

mINORY
.
sOPOSTAWIMMATRICE
x
2
GL(
n;R
)
MATRICU
m
(
x
),
SOSTAW
-
[email protected]
m
-
GOPORQDKA
UPORQDO^ENNYHLEKSIKOGRAFI^ESKI
mATRICA
m
(
x
)
NAZYWAETSQ
m
-
JWNE[[email protected]
MATRICY
x
oDNAIZ
OSNOWNYHTEOREMTEORIIOPREDELITELEJ
TEOREMAbINE
-
kO[I
UTWERVDA
-
ET
^TOOTOBRAVENIE
m
QWLQETSQGOMOMORFIZMOMGRUPPY
GL(
n;R
)
WGRUPPU
GL(
C
m
n
;R
),
AIMENNO
m
(
xy
)=
m
(
x
)
m
(
y
).
pRIMENQQ\TUTEOREMUKPERWO
-
MUNETRIWIALXNOMUSLU^[email protected]
n
=4,
m
=2,
POLU^IMZNAMENITYJGOMOMORFIZM
SL(4
;R
)
!
SO(6
;R
),
[email protected]]IJMATRICE
x
STEPENI
4
SOPREDELITELEM
1
x
=
0
B
@
x
11
x
12
x
13
x
14
x
21
x
22
x
23
x
24
x
31
x
32
x
33
x
34
x
41
x
42
x
43
x
44
1
C
A
[email protected]
MATRICU
2
(
x
)
STEPENI
6
0
B
B
B
B
B
B
@
x
11
x
22

x
12
x
21
x
11
x
23

x
13
x
21
x
11
x
24

x
14
x
21
x
12
x
23

x
13
x
22
x
12
x
24

x
14
x
22
x
13
x
24

x
14
x
23
x
11
x
32

x
12
x
31
x
11
x
33

x
13
x
31
x
11
x
34

x
14
x
31
x
12
x
33

x
13
x
32
x
12
x
34

x
14
x
32
x
13
x
34

x
14
x
33
x
11
x
42

x
12
x
41
x
11
x
43

x
13
x
41
x
11
x
44

x
14
x
41
x
12
x
43

x
13
x
42
x
12
x
44

x
14
x
42
x
13
x
44

x
14
x
43
x
21
x
32

x
22
x
31
x
21
x
33

x
23
x
31
x
21
x
34

x
24
x
31
x
22
x
33

x
23
x
32
x
22
x
34

x
24
x
32
x
23
x
34

x
24
x
33
x
21
x
42

x
22
x
41
x
21
x
43

x
23
x
41
x
21
x
44

x
24
x
41
x
22
x
43

x
23
x
42
x
22
x
44

x
24
x
42
x
23
x
44

x
24
x
43
x
31
x
42

x
32
x
41
x
31
x
43

x
33
x
41
x
31
x
44

x
34
x
41
x
32
x
43

x
33
x
42
x
32
x
44

x
34
x
42
x
33
x
44

x
34
x
43
1
C
C
C
C
C
C
A
|TAMATRICAGENERIROWANAKOMANDOJ
Minors
WPROGRAMME
Mathematica
uPRAVNENIE
.
wY^ISLITEQDRO\TOGOGOMOMORFIZMA

pODPERMANENTY
.
|[email protected]]EMU
SZAMENOJOPREDELITELEJNAPERMANENTY
sOPOSTAWIMMATRICE
x
2
GL(
n;R
)
MATRICU
S
m
(
x
),
[email protected]
m
-
GOPORQDKA
UPORQDO
-
^ENNYHLEKSIKOGRAFI^ESKI
mATRICA
S
m
(
x
)
NAZYWAETSQ
m
-
163
h
.
mINK
,
pERMANENTY
,
mIR
,
m
.,1982,
S
.1{213,
TEOREMA
1.3
NAS
.30
150
nikolajwawilow
x
9.
|NDOMORFIZMYADDITIWNOJGRUPPYPOLQ
[email protected]
R
GOMOTETIQ

c
R
!
R
x
7!
cx
SKO\FFICIENTOM
c
2
R
QWLQETSQ\NDOMORFIZMOMADDITIWNOJGRUPPY
R
+
wSAMOMDELE

c
(
x
+
y
)=
c
(
x
+
y
)=
cx
+
cy
=

c
(
x
)+

c
(
y
){
\TOPROSTOZAKONDISTRIBUTIWNOSTI
sU][email protected]\NDOMORFIZMY
R
+
?
1.
aWTOMORFIZMY
Q
+
.
lEGKOWIDETX
^TO
End(
Z
+
)

=
Z
zADA^A
.
uBEDITESX
^TO
End(
Q
+
)

=
Q
rE[ENIE
.
pUSTX
{
\NDOMORFIZM
Q
+
(1)=
c
2
Q
pOKAVEM
^TOTOGDA
(
x
)=
cx
DLQWSEH
x
2
Q
wSAMOMDELE
[email protected]
m
2
Z
IMEEM
(
m
)=
m'
(1)=
cm
kROMETOGO
[email protected]
n
2
Z
WYPOLNQETSQ
n'
(
m=n
)=
(
n
m=n
)=
(
m
)=
cm
TAK^TODEJSTWITELXNO
(
m=n
)=
c
(
m=n
).
sLEDSTWIE
1.
Aut(
Q
+
)=
Q

.
sLEDSTWIE
2.
dWEPODGRUPPY
A;B

Q
+
TOGDAITOLXKOTOGDAIZOMORFNY
,
164
G.Hamel,EineBasisallerZahlenunddieunstetigeLosungen
derFunktionalgleichung
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)+
f
(
y
).{Math.Ann.,1905,Bd.60,S.459{462.
gruppy
:
firstdraught
151
sLEDSTWIE
3.
oTOBRAVENIQ
R
+
!
R
+
,
x
7!
log
c
(
x
)
,
GDE
c
2
R
+
,
c
=1
,
[email protected]
NEPRERYWNYMI
GOMOMORFIZMAMI
R
+
W
R
+
.
wKNIVKEfIHTENGOLXCAWSE\TI^[email protected]
QKAKNEZA
-
WISIMYETEOREMY
S^ETYRXMQRAZNYMI
(
NESLI[KOMKOROTKIMI
)
DOKAZATELX
-
STWAMI
3.
pOLINOMIALXNYEAWTOMORFIZMY
K
+
.
nADPROIZWOLXNYMPOLEMNELXZQ
GOWORITXONEPRERYWNOSTI
NOMOVNOSPROSITXSEBQ
KAKOWY
POLINOMIALX
-
NYE
GOMOMORFIZMY
K
+
!
K
+
I
K

!
K

?
iNYMISLOWAMI
PREDLAGAETSQ
NAJTIWSE
MNOGO^LENY
f
2
K
x
TAKIE
^TO
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)+
f
(
y
)
ILI
SO
-
OTWETSTWENNO
f
(
xy
)=
f
(
x
)
f
(
y
).
w\TOMUTWERVDENIISODERVITSQNEKOTORAQ
DWUSMYSLENNOSTX
KAKSLEDUETPONIMATXRAWENSTWO
f
(
xy
)=
f
(
x
)
f
(
y
){
FUNK
-
CIONALXNO
T
E
KAKSOWPADENIEZNA^ENIJ
f
(
ab
)=
f
(
a
)
f
(
b
)
[email protected]
a;b
2
K
ILI
FORMALXNO
KAKRAWENSTWOMNOGO^LENOWW
K
x;y
]?
wPRO^EM
KAKMYUZNA
-
EMWgLAWAH
?
I
?
ESLIPOLE
K
BESKONE^NO
\TOGOWOPROSANEWOZNIKAET
sLEDU
-
@]IJREZULXTATMOMENTALXNOWYTEKAETTAKVEIZLEMMYdEDEKIN
DA
-
aRTINA
TAK^TORE^XZDESXIDETOLINEJNOJZAWISIMOSTI
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOESLI
K
BESKONE^NOEPOLE
A
f
2
K
x
]{
MNOGO^LEN
TAKOJ
^TO
f
(
ab
)=
f
(
a
)
f
(
b
)
[email protected]
a;b
2
K
TO
f
=
x
n
rE[ENIE
.
pOPRINCIPUNESU]ESTWENNOSTIALGEBRAI^ESKIHNERAWENSTW
f
(
xy
)
I
f
(
x
)
f
(
y
)
[email protected]\LEMENTY
K
x;y
pUSTX
f
=
a
n
x
n
+
:::
+
a
1
x
+
a
0
sRAWNIWAQKO\FFICIENTYPRI
x
n
y
n
MYWIDIM
^TO
a
n
=1,
ASRAWNIWAQ
KO\FFICIENTYPRI
x
n
y
i
i
=0
;:::;n

1,
POLU^AEM
a
n
a
i
=0.
kAKPOKAZYWAETPRIMER
x
3
+
x
2
+
x
2
F
2
x
DLQKONE^NOGOPOLQ\TOUTWER
-
VDENIENEIMEETMESTA
x
10.
oBRAZIQDROGOMOMORFIZMA
wNASTOQ]EMPARAGRAFEMYPOSTROIMDWEWAVNEJ[IEPODGRUPPY
SWQZANNYE
SGOMOMORFIZMOM
1.
oBRAZGOMOMORFIZMA
.
pUSTX
H
!
G
{
GOMOMORFIZMGRUPP
tOGDA
OBRAZ
{
\TOOBY^NYJOBRAZ
KAKOTOBRAVENIQ
tEMSAMYM
Im(
)=
f
y
2
G
j9
x
2
H;'
(
x
)=
y
g
lEGKOWIDETX
^TO
(
H
){
PODGRUPPAW
G
wSAMOMDELE
,1=
(1)
2
Im(
).
eSLI
y;z
2
Im(
),
TOSU][email protected]
x;u
2
H
TAKIE
^TO
(
x
)=
y
(
u
)=
z
tOGDA
(
xu
)=
(
x
)
(
u
)=
yz
TAK^TO
yz
2
Im(
).
aNALOGI^NO
(
x

1
)=
(
x
)

1
=
y

1
TAK^TO
y

1
2
Im(
).
qSNOODNAKO
^TOQDRONEOBQZANOBYTXNORMALXNOJ
PODGRUPPOJ
wSAMOMDELE
RASSMOTRIM
[email protected]
PODGRUPPU
H
GRUPPY
G
tOGDA
H
QWLQETSQOBRAZOMKANONI^ESKOGOWLOVENIQ
H,
!
G
2.
qDROGOMOMORFIZMA
.
sWQVEMTEPERXSGOMOMORFIZMOM
[email protected]
PODGRUPPUW
H
oPREDELENIE
.
qDROM
GOMOMORFIZMA
152
nikolajwawilow
pREDLOVENIE
.
[email protected]
H
!
G
IMEEM
Ker(
)
E
H
.
dOKAZATELXSTWO
.
dOKAVEMWNA^ALE
^TO
G
QWLQETSQPODGRUPPOJ
wSAMOMDE
-
LE
(1)=1,
TAK^TO
1
2
Ker(
).
eSLI
x;y
2
Ker(
),
TO
(
xy
)=
(
x
)
(
y
)=
1
1=1,
TAK^TO
xy
2
Ker(
).
nAKONEC
ESLI
x
2
Ker(
),
TO
(
x

1
)=
(
x
)

1
=
1

1
=1,
TAK^TO
x

1
2
Ker(
).
|TOIZNA^IT
^TO
Ker(
)

H
sDRUGOJSTORONY
ESLI
x
2
Ker(
),
A
y
2
H
TO
(
yxy

1
)=
(
y
)
(
x
)
(
y

1
)=
(
y
)
(
y
)

1
=1
|TOIZNA^IT
^TO
Ker(
)
E
H
lEGKOWIDETX
^TOWERNOIOBRATNOE
AIMENNO
[email protected]
QWLQETSQQDROMNEKOTOROGOGOMOMORFIZMA
aIMENNO
SKAVDYMNORMALXNYM
DELITELEM
H
E
G
SWQZANAKANONI^ESKAQPROEKCIQ

G
!
G=H
g
7!
gH
qSNO
^TO
H
=Ker(

).
tAKIMOBRAZOM
KLASSQDERGOMOMORFIZMOWSOWPADAET
SKLASSOMNORMALXNYHPODGRUPP
nAPOMNIM
^TO
URAWNITELEM
(
\KWALAJZEROM
)
DWUHOTOBRAVENIJ
f;g
X
!
Y
NAZYWAETSQMNOVESTWO
Eq(
f;g
)=
f
x
2
X
f
(
x
)=
g
(
x
)
g
[email protected]
Ker(
f
)=Eq(
f;
1).
zADA^A
.
wERNOLI
^TOURAWNITELX
Eq(
f;g
)
[email protected]
f;g
H
!
G
WSEGDAQWLQETSQPODGRUPPOJW
G
?
3.
pRIMERYQDER
.
uKAVEMQDRANESKOLXKIHWAVNEJ[IHGOMOMORFIZMOW

pUSTX
pow
n
G
!
G
x
7!
x
n
,{
WOZWEDENIEW
n
-
@STEPENX
tOGDA
Ker(pow
n
)=
G
n
{
MNOVESTWO\LEMENTOWW
G
PERIODA
n

pUSTX
I
G
!
Aut(
G
),
g
7!
I
g
GOMOMORFIZM
[email protected]]IJKAVDOMU
\LEMENTU
g
2
G
[email protected]]IJWNUTRENNIJAWTOMORFIZM
I
g
tOGDA
Ker(
I
)=
C
(
G
).

pUSTX
sgn:
S
n
!
S
n
{
ZNAKPERESTANOWKI
TOGDA
Ker(sgn)=
A
n

pUSTX
det:GL(
n;K
)
!
K

{
OPREDELITELX
TOGDA
Ker(det)=SL(
n;K
).
x
11.
tEOREMAOGOMOMORFIZME
sEJ^ASMYPOKAVEM
^TOFAKTORIZACIQOTOBRAVENIJSOGLASOWANASOSTRUK
-
TUROJGRUPPY
[email protected]]AQTEOREMAQWLQETSQODNIMIZNAIBOLEETIPI^NYHI
HARAKTERNYHREZULXTATOWOB]EJALGEBRY
tEOREMAOGOMOMORFIZME
.
pUSTX
H
!
G
{
GOMOMORFIZMGRUPP
.
tOGDA
Im(
)

=
H=
Ker(
)
nAPOMINANIE
.
wSPOMNIM
^TOS
KAVDYM
OTOBRAVENIEM
H
!
G
SWQZANO
QDRO
N
(
)
OTOBRAVENIQ
T
E
RAZBIENIE
H
NASLOIOTOBRAVENIQ
|TISLOI
[email protected]\KWIWALENTNOSTI

=

'
OPREDELQEMOJUSLOWIEM
x

y
()
(
x
)=
(
y
).
pOKAVEM
PREVDEWSEGO
^TOWSLU^AE
KOGDA
QWLQETSQGOMOMORFIZMOM
[email protected]^NOSTISMEVNYMIKLASSAMIPO
Ker(
).
kSTATI
\TOOB_QS
-
NQET
PO^EMUMYNAZYWAEMQDROMGOMOMORFIZMASLOJSODERVA]IJ
1:
WOTLI^IE
OTPROIZWOLXNYHOTOBRAVENIJDLQGOMOMORFIZMOWZADANIEODN
OGOSLOQODNO
-
ZNA^NOOPREDELQET
WSE
OSTALXNYEKLASSY
wSAMOMDELE
ESLI
(
x
)=
(
y
),
gruppy
:
firstdraught
153
TO
(
xy

1
)=
(
x
)
(
y
)

1
=1
TAK^TO
xy

1
2
Ker(
).
nO\TOIZNA^IT
^TO
x
Ker(
)=
y
Ker(
)(
WSPOMNIM
^TOQDROQWLQETSQNORMALXNYMDELITELEM
TAK
^TOBEZRAZLI^NO
GOWORITXOLEWYHSMEVNYHKLASSAHILIOPRAWYH
).
oBRAT
-
NO
ESLI
x
Ker(
)=
y
Ker(
),
TO
y
=
xh
DLQNEKOTOROGO
h
2
Ker(
),
TAK^TO
(
y
)=
(
xh
)=
(
x
)
(
h
)=
(
x
).
dOKAZATELXSTWO
.
mYMOVEMPRIMENITXK\TOJSITUACIITEOREMUOPISANNOE
WY[[email protected]^ITX
^TOSOPOSTAWLENIE
x
=
x
+Ker(
)
7!
(
x
)
KOR
-
REKTNOOPREDELQETIN_EKTIWNOEOTOBRAVENIE
H=
Ker(
)
!
G
OBRAZKOTO
-
ROGOSOWPADAETS
Im(
).
dLQZAWER[ENIQDOKAZATELXSTWATEOREMYNAMOSTAETSQ
LI[XPROWERITX
^TO
GOMOMORFIZM
wSAMOMDELE
POLXZUQSXOPREDELENIEM
PROIZWEDENIQKLASSOW
OPREDELENIEM
ITEM
^TO
{
GOMOMORFIZM
POLU^AEM
(
x
y
)=
(
xy
)=
(
xy
)=
(
x
)
(
y
)=
(
x
)
(
y
)
^TOIZAWER[AETDOKAZATELXSTWO
sLEDSTWIE
.
eSLI
H
!
G
\PIMORFIZM
,
TO
G

=
H=
Ker(
)
.
tEOREMA
.
pUSTX
f
G
!
G
0
{
GOMOMORFIZMGRUPP
,
ANORMALXNYEPODGRUPPY
H
E
G
,
H
0
E
G
0
TAKOWY
,
^TO
f
(
H
)

H
0
.
tOGDA
f
f
G=H
!
G
0
=H
0
,
f
(
xH
)=
f
(
x
)
H
0
.
dOKAZATELXSTWO
.
pREVDEWSEGO
NEOBHODIMOPROWERITXKORREKTNOSTX\TOGOOP
-
REDELENIQ
dLQ\TOGOZAMETIM
^TOESLI
xH
=
yH
[email protected]
f
IMEEM
f
(
x
)

1
f
(
y
)=
f
(
x

1
y
)
2
H
0
TAK^TO
f
(
x
)
H
0
=
f
(
y
)
H
0
oSTALOSXUBEDITXSQW
TOM
^TO
f
GOMOMORFIZM
wSAMOMDELE
f
(
xH
yH
)=
f
(
xyH
)=
f
(
xy
)
H
0
=
f
(
x
)
f
(
y
)
H
0
=
(
f
(
x
)
H
0
)(
f
(
y
)
H
0
)=
f
(
xH
)
f
(
yH
)
sLEDSTWIE
.
eSLIWUSLOWIQHTEOREMY
H
=
f

1
(
H
0
)
,
TOGOMOMORFIZM
f
G=H
!
G
0
=H
0
IN_EKTIWEN
.
eSLI
,
KROMETOGO
,
f
[email protected]_EKTIWEN
,
TO
f
IZO
-
MORFIZM
.
fAKTI^ESKINEKOTORYEPRIMERYPRIMENENIQ\TOJTEOREMYSODE
RVALISXW
x
3,
KOGDAMYOBSUVDALIPRIMERYFAKTOR
-
GRUPP
wOTE]EODINTIPI^NYJ
PRIMER
:Inn(
G
)=
G=C
(
G
).
x
12.
tEOREMYOBIZOMORFIZME
mIT^ERLIHW
1819
GODUUSTANOWIL
,
^TOKRISTALLY^ETYREHRAZNYHWE
-
]ESTW
:KH
2
PO
4
,KH
2
AsO
4
,(NH
4
)H
2
PO
4
(NH
4
)H
2
AsO
4
[email protected]
ITUVEWNE[[email protected]@FORMUIPO^TIODINAKOWYEUGLYMEVDUANALOGI^
-
NYMIGRANQMI
.
qWLENIENALI^IQURAZLI^NYHSOEDINENIJODINAKOWOGO
WNE[NEGOOGRANENIQ
(
GABITUSA
)
BYLONAZYWANOIM
IZOMORFIZMOM
.
gEO
-
METRI^ESKINELXZQOTLI^ITXIZOMORFNYEKRISTALLYRAZNYHWE]ESTW
,
[email protected]]IEIZOGONIZMOMIOTLI^A@]IESQLI[XFIZI^ESKIMISWOJSTW
-
MI
.
iZOMORFIZM[IROKORASPROSTRANEN
,
KAKSREDIMINERALOW
,
TAKI
SREDIISKUSSTWENNOPOLU^ENNYHHIMI^ESKIHSOEDINENIJ
.
tADEU[pENKALQ
,[Pen],
S
.248{249.
w\TOMPARAGRAFEMYDOKAVEMNESKOLXKOWAVNEJ[IHSLEDSTWIJTE
OREMYO
GOMOMORFIZME
[email protected]@]IHEEISPOLXZOWANIE
154
nikolajwawilow
1.NoetherscherIsomorphiesatz.
sEJ^ASMYDOKAVEMWAVNEJ[IJREZULX
-
TAT
OBY^NONAZYWAEMYJWU^EBNOJLITERATURE
PERWOJTEOREMOJOBIZOMOR
-
FIZME
WPRO^EM
PROFESSIONALY^A][email protected]
165
|MMInETER
(23.03.1882,
|RLANGEN
{14.04.1935,
bRINmOR
){
ODINIZOSNOWATELEJ
SOWREMENNOJALGEBRY
,
OKAZAW[AQOGROMNOEWLIQNIENARAZWITIEMATEMATIKIW
XX
WEKE
.
wE
-
ROQTNO
,
SAMAQZAME^ATELXNAQVEN]INAWOWSEJISTORIIMATEMATIKI
.
dO^XZAME^ATELXNOGO
ALGEBRAI^ESKOGOGEOMETRAmAKSAnETERA
,
U^ENICAgILXBERTA
.
sREDIEEU^ENIKOW|MILXaR
-
,
bARTELXSWANDERwARDEN
,...
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
,
TEOREMA
nETEROBIZOMORFIZME
.
gruppy
:
firstdraught
155
qSNO
^TO\TOTKLASSWTOMITOLXKOTOMSLU^AEPOPADAETW
H=F
KOGDA
g

1
hg
2
H
[email protected][AQTEOREMAINOGDANAZYWAETSQ
TEOREMOJFONdIKA
166
tEOREMA
.
pUSTX
F;H
E
G
{
NORMALXNYEPODGRUPPYW
G
,
PRI^EM
F

H
.
166
wALXTERFONdIK
(1856{1934){
156
nikolajwawilow
tEMA
5.
simmetri~eskaqgruppa
[email protected]^ISLEKOLOKOLOWROWNOPOLOWINAWSEHWARIACIJIMEETODNU
PRIRODUIROWNOPOLOWINA
{
[email protected]
.
w^[email protected]^AETSQ\TA
PRIRODA
,
MNENEDANOSUDITX
,
NO
,
KAKSTANETMALO
-
POMALUQSNO
,
WNEJ
NEPREMENNOSLEDUETRAZOBRATXSQ
,
PREVDE^EMMYSMOVEMPOSTI^XNAUKU
KOMPOZICIIZWONOWIIHISPOLNENIQ
.
C.A.W.Troyte,ChangeRinging.
sEJ^ASMYRAZBEREM
[email protected]^EWOJ
PRIMERGRUPPY
167
[email protected][I
(21.08.1789,
pARIV
{23.05.1857,
sE
){
ODINIZKRUPNEJ[IH
FRANCUZSKIHMATEMATIKOW
XIX
WEKA
.
eGOOSNOWNYEDOSTIVENIQ
,
SRAZUPOLU^IW[IE[IRO
-
^AJ[EEPRIZNANIE
,
OTNOSQTSQKKOMPLEKSNOMUANALIZU
,
[email protected]]ESTWENNOGOANALIZA
ITEORIIDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
.
nAIBOLEEZNA^[email protected]
KOMPLEKSNOJPEREMENNOJ
.
wOBLASTIWE]ESTWENNOGOANALIZAWSWOEM
`Coursd'analyse'(1821)
[email protected]]IHKNIGAHONDALIZLOVENIE
,
KOTOROEISEGODNQ
,
[email protected]^ENIEMNEZNA^ITELXNYH
DETALEJ
,
QWLQETSQOB]EPRINQTYMW\LEMENTARNYHU^EBNIKAH
.
oDNAKOZDESXZASLUGAkO[I
MENEEBESSPORNA
,
TAKKAKONSWOROTILANALIZWBOLOTOWTOROSTEPENNYHWOPROSOWSHODIMOSTI
,
KOTORYEPODWLIQNIEMEGOAWTORITETABYLIGIPERTROFIROWANYWU]ERBPRINCIPIALXNYM
STRUKTURNYMWOPROSAM
,
WOLNOWAW[IMEGOPRED[ESTWENNIKOW
.
oDNAKOSREDI
600
700
NA
-
PISANNYHIMRABOTESTXNESKOLXKODESQTKOWALGEBRAI^ESKIH
,
GLAWNYMOBRAZOMOTNOSQ]IHSQK
OPREDELITELQMIGRUPPAMPERESTANOWOK
,
ATAKVEMNOGO^ISLENNYESTATXIPOOPTIKE
,
MEHANIKE
,
TEORIIUPRUGOSTI
,...
[email protected]@CII
1830
GODAIZ
-
ZASWOIHKRAJNIHKLERIKALXNO
-
MONARHI^[email protected]
8
LETVILZAGRANICEJ
,
GLAWNYM
OBRAZOMWtURINEIpRAGE
.
pOSLEWOZWRA][email protected]
1838
ONPREPODAWALW[KOLE
IEZUITOW
.
tOLXKOW
1848
GODUEMUBYLORAZRE[ENOPREPODAWATXNEPRINOSQPRISQGINOWO
-
MUPRAWITELXSTWU
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected][I
,
TEOREMAkO[I
OSU]ESTWOWANII\LEMENTOWPORQDKA
p
,
TEOREMAbINE
-
kO[I
,
NERAWENSTWOkO[I
(
KONE^NYJ
SLU^AJOBSUVDAEMOGOWANALIZENERAWENSTWAkO[I
-
bUNQKOWSKOGO
-
{WARCA
).
wDRUGIHKURSAH
WAMPRIDETSQSTOLKNUTXSQSBOLX[IMKOLI^ESTWOWTEOREMkO[I
,
WTOM^ISLESOZNAMENITOJ
INTEGRALXNOJTEOREMOJkO[I
,
ZADA^EJkO[I
,
URAWNENIQMIkO[I
-
rIMANA
(
ONIVEURAWNENIQ
|JLERA
-
'
aLAMBERA
),
MNOGO^ISLENNYMIPRIZNAKAMIkO[I
,
GLAWNYMZNA^ENIEMINTEGRALAW
SMYSLEkO[I
,
RASPREDELENIEMkO[I
,
OSTATO^NYM^LENOMWFORMEkO[IIT
.
.
168
dVORDVaBRAMmILLER
(1863{1951){
IZWESTNYJSPECIALISTWOBLASTITEORII
GRUPP
.
wSE
359
STATEJ
,
[email protected]^ENNYHWEGOSOBRANI
t
SO^INENIJ
,
POSWQ]ENYPO^[email protected]^I
-
TELXNOTEORIIKONE^NYHGRUPP
:`
kMOMENTUOKON^ANIQSWOEGOOBZORAPOOB]EJTEORIIGRUPP
W
1939
GODUmAGNUSOCENIWALOB]IJOB_EMLITERATURYPOTEORIIGRUPPW
8000
STATEJ
.
oKOLO
4%
IZNIHPRINADLEVALOODNOMUAWTORU
{
dV
.
mILLERU
'([ChM],
STR
.212).
gruppy
:
firstdraught
157
WEKOWmOLIN
169
fROBENIUS
bERNSAJD
170
dIKSON
171
{UR
172
IbLIHFELXD
173
[email protected]@MATRI^NYHGRUPP

WY^ISLENIQ
WSIMMETRI^ESKIHGRUPPAHSRAWNITELXNOLEGKOPROWODITX
QWNYEWY^ISLENIQI
PO\TOMU
IZU^ENIEPERMUTACIONNYHPREDSTAWLENIJ
(
T
E
GOMOMORFIZMOW
G
!
S
n
)
ISEGODNQOSTAETSQODNIMIZOSNOWNYHINSTRUMENTOW
TEORIIGRUPP
WOSOBENNOSTIKONE^NYH
[email protected]
ALGEBRY
WSE
WY^ISLENIQWGRUPPAH
(
DAVEWY^ISLENIQSMATRICAMI
!)
REALIZO
-
WANYIMENNOKAKWY^ISLENIQWGRUPPAHPERESTANOWOK

PRILOVENIQ
ZNA^ITELXNAQ^ASTXPRILOVENIJTEORIIGRUPPKAKWSAMOJ
MATEMATIKE
(
TEORIQKOLEC
ALGEBRYlI
KOMMUTATIWNAQALGEBRA
POLILINEJNAQ
ALGEBRA
KOMBINATORIKA
GEOMETRIQ
TEORIQWEROQTNOSTEJ
),
TAKIZAEEPREDE
-
LAMI
(
TEORIQTWERDOGOTELA
KWANTOWAQHIMIQ
TEORIQATOMAIQDRAIT
D
.)
\TO
IMENNOPRILOVENIQSIMMETRI^ESKOJGRUPPYILITESNOSWQZANNY
HSNEJGRUPP
(
OKTA\DRALXNAQGRUPPA
GRUPPYwEJLQ
GRUPPYkOKSETERAIT
D
.)

OBRAZECDLQOBOB]ENIJ
S
n
\TOO^ENXINTERESNYJPRIMERGRUPPY
dELO
WTOM
^TOGRUPPA
S
n
O^ENXBLIZKAKPROSTYMGRUPPAM
ISODNOJSTORONY
OTWETYNAOSNOWNYEWOPROSYDLQ\TOJGRUPPYUVEDOSTATO^NONEB
ANALXNY
A
SDRUGOJSTORONY
WSEE]EWPOLNEOBOZRIMYIIHDOKAZATELXSTWAGORAZDOKORO^E
IPRO]E
^EMDLQGRUPPTIPAlI
x
1.
pERESTANOWKI
,
SIMMETRI^ESKAQGRUPPA
dWADCATXDWEOSNOWNYEBUKWY
:
bOGIHNARISOWAL
,
WYSEKWKAMNE
,
SO
-
EDINIL
,
WZWESIL
,
PERESTAWIL
ISOZDALIZNIHWSE
,
^TOESTX
,|
IWSE
,
^TOBUDET
.
sEFERjECIRA
wNASTOQ][email protected]^ISLIMPORQDO
K
SIMMETRI^ESKOJGRUPPY
.
1.
pERESTANOWKI
,
SIMMETRI^ESKAQGRUPPA
.
pUSTXWNA^ALE
X
{
PROIZWOLXNOEMNOVE
-
STWO
,
S
X
=Bij(
X;X
){
SIMMETRI^ESKAQGRUPPAMNOVESTWA
X
.
zADA^A
.
uBEDITESX
,
^TOESLI
j
X
j
=
j
Y
j
'
:
X
!
Y
PROIZWOLXNAQBIEKCIQIZ
X
W
Y
,
TO

7!
'



'

1
PREDSTAWLQETSOBOJIZOMORFIZM
S
X
NA
S
Y
.
[email protected]^NYHMNOVESTW
,
WDALXNEJ
-
[EMMYMOVEMS^ITATX
,
^TO
X
=
n
=
f
1
;:::;n
g
{
MNOVESTWOPERWYH
n
NATURALXNYH^ISEL
.
169
mOLIN
(1861{1941){
170
bERNSAJD
(1852{1927){
ZAME^ATELXNYJANGLIJSKIJALGEBRAIST
.
bERNSAJDBYLPRO
-
FESSOROMkOROLEWSKOGOmORSKOGOKOLLEDVAWgRINWI^EISOMNITELXNO
,
^TOBYTAMEMUDOWE
-
LOSXKOGDA
-
NIBUDX^ITATXKURSPOTEORIIGRUPP
.
nEBYLOUbERNSAJDAIPRQMYHU^ENIKOW
.
wLIQNIEbERNSAJDAOBQZANO
,
GLAWNYMOBRAZOMEGOZAME^ATELXNOJKNIGE
W.Burnside,Theory
ofgroupsof niteorder.{DoverRepreintofthe1911edition,N.Y.
,1955.
171
lEONARD`DVINdIKSON
(1874{1954){
172
iSAJA{UR
(10.01.1875,
mOGILEW
{10.01.1941,
tELXaWIW
){
WELIKIJBELORUSSKIJ
ALGEBRAIST
,
RABOTAW[IJWgERMANIIIiZRAILE
.
oSNOWNYERABOTY{URAOTNOSQTSQKTEORII
GRUPP
,
[email protected]^EREDXTEORIIPREDSTAWLENIJITEORIILINEJNYHGRUPP
,
TEORIIMATRIC
,
ALGEBRAIT^ESKOJTEORII^ISELITEORIISTEPENNYHRQDOW
.
{URU^ILSQWbERLINEIW
1901
ZA][email protected]
.
oDNAKOTOLXKOW
1921
GODUONSTAL
PROFESSOROM
,
AW
1935
GODUWYNUVDENBYL\MIGRIROWATX
.
wNA[EMKURSEWSTRE^[email protected]
{URA
,
MULXTIPLIKATOR{URA
,
TEOREMY{URAOLINEJNYHGRUPPAHIBOLX[OEKOLI^ESTWO
TEOREM{URAWTEORIIMATRIC
.
173
bLIHFELXD
(){
158
nikolajwawilow
pERESTANOWKOJ
STEPENI
n
NAZYWAETSQBIEKTIWNOEOTOBRAVENIEMNOVESTWA
n
NASEBQ
.
mNO
-
VESTWOWSEHPERESTANOWOKSTEPENI
n
SPROIZWEDENIEM
,
ZADANNYMKOMPOZICIEJOTOBRAVENIJ
,
NAZYWAETSQ
SIMMETRI^ESKOJGRUPPOJ
STEPENI
n
alias
GRUPPOJPERESTANOWOK
n
SIMWO
-
LOW
IOBOZNA^AETSQ
S
n
.
kOMMENTARIJ
.
wRUSSKOJU^EBNOJLITERATURE^ASTOPROWODITSQRAZLI^IEMEVDU
`
PERESTA
-
NOWKAMI
'
`
PODSTANOWKAMI
'.
pRI\TOM
`
PERESTANOWKAMI
'
[email protected]
I
,
ABIEKTIWNYEOTOBRAVENIQ
I
[email protected]
`
PODSTANOWKAMI
'.
[email protected]
SaLEKSEEMiWANOWI^EMkOSTRIKINYM
(\
wWEDENIEWALGEBRU
"),
^TO\TATERMINOLOGIQPRED
-
STAWLQETSOBOJ
ZLOSTNYJ
ANAHRONIZM
.
dELOWTOM
,
^TO
`
PERESTANOWKA
'
PREDSTAWLQETSOBOJ
PEREWODTERMINA
`permutation',
A
`
PODSTANOWKA
'{
TERMINA
`substitution'.
rANNIEAWTORY
(
lA
-
GRANV
,
rUFFINI
)
ISPOLXZOWALITERMIN
`permutation'(`permutazione')
DLQOTOBRAVENIQ
,
A
TERMIN
`substitution'(`sostituzione')
DLQKOMPOZICIIDWUHFUNKCIJ
.
rAZLI^IEVEMEVDU
`
PE
-
RESTANOWKAMI
'
KAKPORQDKOMBUKWI
`
PODSTANOWKAMI
'
KAKPEREHODOMOTODNOJ
`
PERESTANOWKI
'
K
DRUGOJ
,
BYLOWWEDENOkO[IW
1815
GODU
174
.
ugALUAWSTRE^[email protected]
:`Donc,sidans
unpareilgroupeonalessubstitutions
S
et
T
,onests^urd'avoirlasubstitution
ST
',
NO
,
SDRU
-
GOJSTORONY
,`Lepluspetitnombredepermutationsquepuisseavoirungroup
eindecomposable,
quandcenombren'estpaspremier,est3

4

5'.
w
XIX
WEKETERMIN
`
GRUPPAPODSTANOWOK
'
[I
-
ROKOISPOLXZOWALSQ
.
kNIGAvORDANATAKINAZYWALASX
`Traitedessubstitutions'(`
tRAKTATO
i
DSTANOWKAH
'),
E]ElIGOWORILO
`Substitutionsgruppe'.
oDNAKOZAPOSLEDNIJWEKWZAPADNYH
QZYKAHTERMIN
`substitution'
W\TOMZNA^ENIIPOWSEMESTNOWYTESNENSLOWOM
`permutation'.
eSTESTWENNO
,
\TAFORMAPOBEDILAIWRUSSKOJNAU^NOJLITERATURE
,
INA[LAOTRAVENIEWNO
-
WYHZAIMSTWOWANIQH
(`
PERMUTACIONNOEPREDSTAWLENIE
',`
PERMUTACIONNYEIGRY
'
IT
.
.).
tEM
NEMENEE
,
WU^EBNOJLITERATURENARUSSKOMQZYKEARHAIZM
`
PODSTANOWKA
'
OKAZALSQUDIWITELX
-
NOVIWU^IM
.
2.
pOLNAQZAPISXPERESTANOWKI
.
oBY^[email protected]
-
[email protected]]IMOBRAZOM
[email protected]\LEMENTYMNOVESTWA
n
W
ESTESTWENNOMPORQDKE
AWOWTOROJSTROKE
{
IHOBRAZYPODDEJSTWIEMPERESTA
-
NOWKI
pUSTX
NAPRIMER

{
PERESTANOWKA
PEREWODQ]AQ
W

(
)=
i
j
tOGDA
PI[UT

=

1
:::n
i
1
:::i
n

{
\TOTAKNAZYWAEMAQ
POLNAQ
ILI
RAZWERNUTAQZA
-
PISXPERESTANOWKI

nAPRIMER
TOVDESTWENNAQPERESTANOWKAZAPISYWAETSQ
KAK
id=

1
:::n
1
:::n

qSNO
^TOPRI\TOM

WPOLNEOPREDELQETSQSWOEJWTOROJSTROKOJIINOGDA
PI[UTPROSTO

=(
i
1
;:::;i
n
),
\TOTAKNAZYWAEMAQ
SOKRA]ENNAQZAPISXPE
-
RESTANOWKI
NOMYBUDEMIZBEGATX\TOSOKRA]ENIE
TAKKAKONOPONADOBITSQ
NAMDLQOBOZNA^ENIQCIKLOW
SM
NIVE
pREIMU]ESTWORAZWERNUTOJZAPISISO
-
STOITE]EIWTOM
^TOPRI\TOMNENUVNOTREBOWATX
^TOBY\LEMENTYPERWOJ
STROKISTOQLIWESTESTWENNOMPORQDKE
^TOOSOBENNOUDOBNOPRIOBRAZOWANII
OBRATNOJPERESTANOWKI
iNYMISLOWAMI
ESLI
1
;:::;j
n
{
[email protected]
^ISEL
1
;:::;n
I

(
h
)=
k
h
TOPERESTANOWKA

MOVETBYTXZAPISANAIKAK

=

1
:::j
n
k
1
:::k
n

nAPRIMER

1234
3142

=

4213
2134

3.
dEJSTWIQNADPERESTANOWKAMI
.
nAPOMNIM
^TO
PROIZWEDENIEPE
-
RESTANOWOK
OPREDELQETSQKAKKOMPOZICIQOTOBRAVENIJ
wPRIWEDENNYHOBO
-
ZNA^ENIQHUMNOVENIEDWUHPERESTANOWOK
I

OSU]ESTWLQETSQTAK
NUVNO
174
L.Novy,Originsofmodernalgebra,Academia,Praha,1973,p.1{2
52,
SM
.pages206{208.
gruppy
:
firstdraught
159
[email protected]
[email protected]

TOGDA

{
\TOPERESTANOW
-
KA
PERWAQSTROKAKOTOROJSOWPADAETSPERWOJSTROKOJ

AWTORAQSTROKA
{
SO
WTOROJSTROKOJ
W\TOJNOWOJZAPISI
pUSTX
NAPRIMER
=

12345
42153

;
=

12345
51243

PEREPISYWAQ
WWIDE
=

51243
34215

POLU^IM

=

12345
34215

oBRATITEWNIMANIE
^[email protected]
AIMEN
-
NO
SPRAWANALEWO
PERWOJDEJSTWUETPRAWAQPERESTANOWKA
APOTOMLEWAQ
oSOBENNONAGLQDNOW\TIHOBOZNA^ENIQHWYGLQDITWY^ISLENIE
OBRATNOJ
PERESTANOWKI
~TOBYNAJTI


1
DOSTATO^[email protected]
[email protected]
[email protected]]EJPERESTANOWKU

nAPRI
-
MER
DLQTAKOGOVE

KAKWY[E
IMEEM


1
=

51243
12345

=

12345
23541

4.
=
f
1
;:::;n
g
OTNO[ENIE

POLAGAQ
i

ESLI
=

k
(
i
)
DLQ
k
2
Z
175
A.T.White,Ringingthecosets.{Amer.Math.Monthly,1987,O
ctober,p.721{746.
160
nikolajwawilow
lEMMA
.
oTNO[ENIE

NA
KLASSY\KWIWALENTNOSTI

|[email protected]
ORBITAMI

tEMSAMYM
n
=
X
1
t
:::
t
X
m
GDE
X
1
;:::;X
m
SUTXORBITYPERESTANOWKI

iNOGDAMNOVE
-
STWOORBITPERESTANOWKI
OBOZNA^AETSQ^EREZ
n
=
=
f
X
1
;:::;X
m
g
oRBITY
SODERVA]IEBOLEEODNOGO\LEMENTA
BUDUTNAZYWATXSQ
AIMENNO
MNOVESTWA
Fix(

)=
f
i
2
n

(
i
)=
i
g
Mob(

)=
f
i
2
n

(
i
)
=
i
g
STABILXNYH
alias
NEPODWIVNYH
TO^EKI
MOBILXNYH
alias
PODWIVNYH
TO
-
^EK
(Wirkungsbereich).
iNYMISLOWAMI
,Fix(

)
QWLQETSQOB_EDINENIEMWSEH
ODNO\LEMENTNYHORBIT
WTOWREMQKAK
Mob(

)
QWLQETSQOB_EDINENIEMWSEH
NETRIWIALXNYHORBIT
qSNO
^TO
Fix(

)
I
Mob(

)
USTOJ^IWYPODDEJSTWIEM

PRI^EM
n
=Fix(

)
t
Mob(

).
pERESTANOWKI

I
[email protected]
NEZAWISIMYMI
ESLI
Mob(

)
\
Mob(
)=
?
[email protected]]EEUTWERVDENIEO^EWIDNO
lEMMA
.
[email protected]
.
3.
cIKLY
.
pERESTANOWKA
2
S
n
NAZYWAETSQ
CIKLOM
ESLIMNOVESTWOEE
MOBILXNYH\LEMENTOWPREDSTAWLQETSOBOJODNUORBITUPODDEJ
STWIEM
w
\TOMSLU^AE
Mob(
)
^ASTONAZYWAETSQTAKVE
NOSITELEM
CIKLA
APORQDOK
Mob(
)
{
EGO
DLINOJ
cIKLYDLINY
1
[email protected]
CIKLDLI
-
NY

2
NAZYWAETSQ
ISTINNYMCIKLOM
(echterZyklus).
wDALXNEJ[EM
GOWORQ
OCIKLAH
MYWSEGDAIMEEMWWIDUISTINNYECIKLY
cIKLYNASTOLXKO^ASTOIS
-
[email protected]^ISLENIQH
^TONAMBUDETUDOBNOWWESTIDLQNIHSPECIALXNYE
OBOZNA^ENIQ
pUSTX
i
1
;:::;i
l
2
n
{
NABORPOPARNORAZLI^NYHSIMWOLOW
tOGDA^EREZ
(
i
1
:::i
l
),
OBOZNA^AETSQCIKLDLINY
l
SNOSITELEM
f
i
1
;:::;i
l
g
PODDEJSTWIEM
KOTOROGO
i
1
7!
i
2
7!
i
3
7!
:::
7!
i
l
7!
i
1
AWSEOSTALXNYE\LEMENTYMNOVESTWA
n
[email protected]
oDINITOTVE
CIKLMOVETBYTXZAPISANPORAZNOMU
(
i
1
i
2
:::i
l
)=(
i
2
:::i
l
i
1
)=
:::
=(
i
l
i
1
:::i
l

1
)
oBRATNYJKCIKLU
(
i
1
:::i
l
)
RAWEN
(
i
l
:::i
1
).
gruppy
:
firstdraught
161
4.
dLINNYECIKLY
.
pERESTANOWKA
NAZYWAETSQ
DLINNYMCIKLOM
ESLI
WSEMNOVESTWO
n
OBRAZUETODNUORBITUPODDEJSTWIEM
dLINNYECIKLY
NAZY
-
WAEMYETAKVE
162
nikolajwawilow

3
{
CIKL
SODERVA]IJNAIMENX[IJ\LEMENTIZ
Mob(

),
KOTORYJNEPOPALW
Mob(

1
)
[
Mob(

2
),
IT
D
pOLU^ENNOEWREZULXTATERAZLOVENIENAZYWAETSQ
KANONI^ESKIMRAZLOVENIEM

NACIKLY
(kanonischeZyklendarstellung).
pRIWEDEMPRIMERKANONI^ESKOGORAZLOVENIQ

123456789
453897216

=(148)(25967)
pREDYDU]AQSTROKAPOROVDENAKOMANDAMI
RandomPermutation[9]
I
ToCycles
wIDNO
NASKOLXKOCIKLENNAQZAPISXKOMPAKTNEEPOLNOJ
3.
uMNOVENIECIKLOW
.
cIKLENNAQZAPISXNETOLXKOKOMPAKTNEEPOLNOJ
NO
{
PRINEKOTOROMNAWYKE
{
UDOBNEEDLQWY^ISLENIJ
aIMENNO
PUSTX
=
1
:::
s
{
PROIZWOLXNOE
PROIZWEDENIECIKLOW
pERESTANOWKU
MOVNOWY^ISLITXSLEDU
-
@]IMOBRAZOM
~TOBYOPREDELITXOBRAZ
i
PODDEJSTWIEM
NA^NEMSTOGO
^TO
NAJDEMSAMYJPRAWYJCIKL
SKAVEM
p
WZAPISXKOTOROGOWHODITFRAGMENT
WIDA
(
:::ij:::
)
LIBO
(
j:::i
),
\TOTCIKLPEREWODIT
i
W
eSLI
i
NEWHODITW
ZAPISXNIODNOGOIZCIKLOW
p
TO
(
i
)=
i
nAJDEMTEPERXSAMYJPRAWYJCIKL
q
LEWEE
p
WZAPISXKOTOROGOWHODITFRAGMENTWIDA
(
:::jh:::
)
LIBO
(
h:::j
),
\TOTCIKLPEREWODIT
W
h
eSLI
NEWHODITWZAPISXNIODNOGOIZCIKLOW

q
qp
TO
(
i
)=
pRODOLVAQDEJSTWOWATXTAKIMOBRAZOM
MYNAJDEM
(
i
).
[email protected]\TOGOALGORITMARASSMOTRIMPERESTANOWKU
=(1753)(162)(46)(3574)
wY^ISLIM
DLQPRIMERA
(7).
cIKL
(3574)
PEREWODIT
7
W
4,
CIKL
(46)
PEREWODIT
4
W
6,
CIKL
(162)
PEREWODIT
6
W
2,
NAKONEC
CIKL
(1753)
OSTAWLQET
2
NAMESTE
pO\TOMU
(7)=2.
wDEJSTWITELXNOSTI
WY^ISLQQTEPERXOBRAZ
(2),
MYWIDIM
^TO
(2)=7,
TAK^TOWRAZLOVENIE
NANEZAWISIMYECIKLYWHODITCIKL
(27).
uPRAVNENIE
.
zAKON^ITEWY^ISLENIE
IZAPI[ITEKANONI^ESKOERAZLOVENIE
NANEZAWISIMYECIKLY
pROWEDITEANALOGI^NOEWY^ISLENIEDLQPERESTANOW
-
KI
(184)(253)(67)(142635)(78).
x
4.
kOLI^ESTWOPERESTANOWOKSTEPENI
n
S
m
CIKLAMI
w\TOMPARAGRAFEMYHOTIMSFORMULIROWATXKLASSI^ESKIJKOMBINATORNYJREZULXTAT
,
OTWE^[email protected]]IJNAWOPROSOKOLI^ESTWEPERESTANOWOK
n
SIMWOLOWS
m
CIKLAMI
.
oTWETDAETSQW
TERMINAH
^ISELsTIRLINGA
176
ISEJ^ASMYSOWSEMKOROTKONAPOMNIMIHOPREDELENIE
.
1.
~ISLAsTIRLINGAPERWOGORODA
.
dLQ\TOGORASSMOTRIM
[email protected]]IJFAKTORIAL
[
x
]
n
=
x
(
x

1)
:::
(
x

n
+1)
2
Z
[
x
]
[email protected]]IJFAKTORIAL
[
x
]
n
=
x
(
x
+1)
:::
(
x
+
n

1)
2
Z
[
x
].
mYINTERESUEMSQRAZLOVENIQMI
[
x
]
n
[
x
]
n
POSTANDARTNOMUBAZISU
1
;x;x
2
;:::
KOLXCA
Z
[
x
].
kO\FFICIENTPRI
x
m
WRAZLOVENII
[
x
]
n
NAZYWAETSQ
^ISLOMsTIRLINGAPERWOGO
RODA
IOBOZNA^AETSQ
h
n
m
i
,
m;n
2
N
0
.
tAKIMOBRAZOM
,
[email protected]
[
x
]
n
=
n
X
m
=0
h
n
m
i
x
m
:
176
dVEJMSsTIRLING
(1692,St.Ninians{05.12.1770,Leadhills){
[OTLANDSKIJMATEMA
-
TIK
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIRQDOW
,
INTERPOLQCIIITEORIIALGEBRAI
-
^ESKIHKRIWYH
.
[email protected]\MIGRIROWATXIW
1714
{1725
GODAHVILWwENECII
.
pOZVEONWERNULSQW{[email protected]
,
GDEZANIMALSQGORNYMDELOM
.
gruppy
:
firstdraught
163
zAMENQQZDESX
x
NA

x
MYWIDIM
,
^TO
[

x
]
n
=(

1)
n
[
x
]
n
,
TAK^TO
[
x
]
n
=
n
X
m
=0
(

1)
n

m
h
n
m
i
x
m
:
pREDOSTEREVENIE
.
pRIWEDENNOEWY[EOPREDELENIESOWPADAETSOPREDELENIEMW
`
iSKUSSTWE
PROGRAMMIROWANIQ
'
`
kONKRETNOJMATEMATIKE
'
OTLI^AETSQ
OTOBY^NOGOOPREDELENIQ
ZNA
-
KOM
!
wBOLX[INSTWEKLASSI^ESKIHRUKOWODSTWPOKOMBINATORIKE^ISLAMIsTIRLINGAPERWOGO
RODAPRINQTONAZYWATXKO\FFICIENTPRI
x
m
WRAZLOVENII
[
x
]
n
,
RAWNYJ
(

1)
n

m
h
n
m
i
,
KO
-
TORYJPRI\TOMOBOZNA^AETSQ^EREZ
s
nm
s
(
n;m
).
kLASSI^ESKOEOPREDELENIEUDOBNEEW
TOMSMYSLE
,
^TOPRI\TOMSTANOWITSQBOLEENAGLQDNOJSWQZX^ISELsTIRLINGAPERWOGORODA
SBOLEEIZWESTNYMI^ISLAMIsTIRLINGAWTOROGORODA
.
oDNAKOTAKKAKNASINTERESUETTOLX
-
KOKOMBINATORNYJSMYSL^ISELsTIRLINGA
,
MYPOLXZUEMSQOPREDELENIEMkNUTA
177
.
kROME
TOGO
,
MYPOLXZUEMSQPROPAGANDIRUEMYMkNUTOMOBOZNA^ENIEMjOWANAkARAMATA
178
;
179
,
DO
-
STOINSTWOKOTOROGOSOSTOITWTOM
,
^TOONOPOD^[email protected]\F
-
FICIENTAMI
.
~ISLAsTIRLINGAPERWOGORODAMOVNOOPREDELITXGRANI^NYMIUSLOWIQMI
h
n
0
i
=

n
0
,
h
n
m
i
=0
m�n
TREUGOLXNYMREKURRENTNYMSOOTNO[ENIEM
ANALOGI^NYMTOMU
,
PRIPOMO][email protected]\FFICIENTY
:
h
n
m
i
=(
n

1)

n

1
m

+

n

1
m

1

:
pOLXZUQSX\TIMSOOTNO[ENIEMNESLOVNOWY^ISLITXNESKOLXKOPERWYHSTROK
TREUGOLXNIKA
sTIRLINGAPERWOGORODA
:
10000000000
01000000000
01100000000
02310000000
061161000000
024503510100000
0120274225851510000
072017641624735175211000
0504013068131326769196032228100
040320109584118124672842244945365463610
036288010265761172700723680269325632739450870451
177
dONALXDkNUT
{
[email protected]]IJSQMATEMATIK
,
PROGRAMMISTITIPOGRAF
.
pOSLEOKON
-
^ANIQkALIFORNIJSKOGOtEHNOLOGI^ESKOGOiNSTITUTAkNUTNRABOTAETWsTENFORDSKOM
UNI
-
WERSITETE
,
WNASTOQ][email protected]]IMSQPROFESSOROM
(distinguishedprofessor).
eGOPERWYE
RABOTYOTNOSQTSQKALGEBREITEORII^ISEL
,
DOSIHPORONWREMQOTWREMENIPUBLIKUETSTA
-
TXI
,
POSWQ]ENNYETEORII^ISEL
,
KOMBINATORIKEIMATEMATI^ESKIMOBOZNA^ENIQM
.
wNA^ALE
1960-
HGODOWkNUTUWLEKSQPROGRAMMIROWANIEM
.
kAKIZWESTNO
,
IMENNOALGEBRAISTYSTANO
-
WQTSQLU^[IMIPROGRAMMISTAMI
,
IMENNORABOTYW\[email protected]
IZWESTNOSTX
.
uNIKALXNYMQWLENIEMWMIROWOJLITERATURESTALASERIQKNIGPODOB]IMNA
-
ZWANIEM
`
iSKUSSTWOPROGRAMMIROWANIQ
'.
tRIPERWYHTOMA\[email protected]
PEREWODE
:
d
.
kNUT
,
iSKUSSTWOPROGRAMMIROWANIQ
,
.I{III.{
wILXQMS
,
m
.{
spB
.{
kIEW
,2000,
.I.
oSNOWNYEALGORITMY
.{
S
.1{712;
.II.
pOLU^ISLENNYEALGORITMY
.{
S
.1{828;
.III.
sORTI
-
ROWKAIPOISK
.{
S
.1{822.
e]EODNIMZAME^ATELXNYMDOSTIVENIEMkNUTAQWLQETSQSOZDANIE
IZDATELXSKIHSISTEM
T
E
X
METAFONT
,
KOTORYEPOZWOLILI
KAVDOMU
SOZDAWATXTEKSTYNAPO
-
LIGRAFI^ESKOMUROWNE
,
RANEEDOSTUPNOMTOLXKONEMNOGIMPROFESSIONALAM
.
d
.
e
.
kNUT
,
wSE
PRO
T
E
X.{AORDT
E
X,
pROTWINO
,1993,
S
.1{575.
wSEGOkNUTQWLQETSQAWTOROM
19
KNIG
,
IZKOTORYHE]ENEKOTORYEPEREWEDENYNARUSSKIJQZYK
,
WTOM^ISLEr
.
gREHEM
,
d
.
kNUT
,
o
.
pATA[NIK
,
kONKRETNAQMATEMATIKA
.{
mIR
,
m
.,1998,
S
.1{703.
iZKNIG
,
POKANEPEREWEDEN
-
NYHNARUSSKIJQZYK
,
NA^[email protected]]EMUMOVNOPOREKOMENDOWATX
Surrealnumbers,
SODERVA][email protected]
IZLOVENIETEORIISWERHWE]ESTWENNYH
(`
[email protected]^ESKIH
')
^ISELkONWEQ
.
178
D.E.Knuth,Twonotesonnotation.{Amer.Math.Monthly,1992,
vol.99,p.403{422.
179
A.E.Fekete,
Apropos
twonotesonnotation.{Amer.Math.Monthly,1994,October,
p.771{778.
164
nikolajwawilow
~ISLOsTIRLINGA
h
n
m
i
RASPOLOVENOZDESXNAPERESE^ENII
n
-
JSTROKII
m
-
GOSTOLBCA
,
PRI^EM
KAKNUMERACIQSTROK
,
TAKINUMERACIQSTOLBCOWNA^INAETSQS
0.
kONE^NO
,
WDEJSTWITELXNOSTI
Q
(
KAKWSEGDA
!)
NI^EGONES^ITALRUKAMI
,
WY^ISLENIE\TOJTABLICYPROIZWEDENOPOSREDSTWOM
Table[Abs[StirlingS1[n,m]],
f
n,0,10
g
,
f
m,0,10
g
]
:
tAKKAK
Mathematica
POLXZUETSQKLASSI^ESKIMOPREDELENIEM^ISELsTIRLINGA
,
PRIMENE
-
NIEFUNKCII
Abs
NEOBHODIMO
,
^TOBYUBRATXLI[NIJZNAK
.
iZTREUGOLXNOGOREKURRENTNO
-
GOSOOTNO[ENIQ
(
LIBONEPOSREDSTWENNOIZOPREDELENIQ
)
LEGKOWYTEKAET
,
^TO
h
n
n
i
=1,
A
h
n
1
i
=(
n

1)!.
2.
~ISLAsTIRLINGAWTOROGORODA
.
wDEJSTWITELXNOSTI
,
ZNA^ITELXNO^A][email protected]
-
SQ^ISLAsTIRLINGAWTOROGORODA
,
KOTORYEOTWE^[email protected]
x
n
[email protected]]IMILI
[email protected]]IMFAKTORIALAM
[
x
]
m
[
x
]
m
.
aIMENNO
,
KO\FFICIENTPRI
[
x
]
m
WRAZLOVENII
x
n
NAZYWAETSQ
^ISLOMsTIRLINGAWTOROGORODA
IOBOZNA^AETSQ
n
n
m
o
,
m;n
2
N
0
.
wBOLX
-
[INSTWEKLASSI^ESKIHKNIGPOKOMBINATORIKEISPOLXZUETSQOBOZNA^ENIE
S
nm
S
(
n;m
).
tAKIMOBRAZOM
,
[email protected]
x
n
=
n
X
m
=0
n
n
m
o
[
x
]
m
:
kAKIWY[E
,
POLXZUQSXTEM
,
^TO
[

x
]
n
=(

1)
n
[
x
]
n
,
MYWIDIM
,
^TO
x
n
=
n
X
m
=0
(

1)
n

m
n
n
m
o
[
x
]
m
:
[email protected]
,
[email protected]
X
i
(

1)
n

i
h
n
i
i

i
m

=

mn
=
X
i
(

1)
n

i
n
n
i
o

i
m

;
NAZYWAEMYE
FORMULAMIOBRA]ENIQsTIRLINGA
.
wKLASSI^ESKIHOBOZNA^ENIQH
,
KOGDA
[email protected]^ENWOPREDELENIE^ISLAsTIRLINGAPERWOGORODA
,
\[email protected]
PROSTOJWID
P
s
(
n;i
)
S
(
i;m
)=
P
S
(
n;i
)
s
(
i;m
)=

mn
.
[email protected]^NYMUSLOWIQM
n
n
0
o
=

n
0
,
n
n
m
o
=0
m�n
,
^TOI^ISLAsTIRLINGAPERWOGORODA
,
A
TREUGOLXNOEREKURRENTNOE
SOOTNO[ENIE
DLQNIHPRINIMAETWID
:
n
n
m
o
=
m

n

1
m

+

n

1
m

1

:
kAKIWY[E
,
PRIPOMO]I
Table[StirlingS2[n,m],
f
n,0,10
g
,
f
m,0,10
g
]
MOVNOWY^IS
-
LITXNESKOLXKOPERWYHSTROK
TREUGOLXNIKAsTIRLINGAWTOROGORODA
:
10000000000
01000000000
01100000000
01310000000
01761000000
01152510100000
013190651510000
0163301350140211000
011279661701105026628100
0125530257770695126464623610
0151193303410542525228275880750451
fORMULYOBRA][email protected]^NOSTI
,
^TORASSMATRIWAEMYEKAKMAT
-
RICYSTEPENI
n
+1
WERHNIELEWYEUGLYTREUGOLXNIKOWsTIRLINGAWZAIMNOOBRATNY
,
ESLI
,
gruppy
:
firstdraught
165
KONE^NO
,
SMENITXZNAKUSTOQ]IHWNE^ETNYHPOZICIQH\LEMENTOWTREUGOLXNIKAsTIRLINGA
PERWOGORODA
.
dLQPRIMERAZAPI[[email protected]]ENIQ
4-
GOPORQDKA
:
0
B
B
B
B
@
10000
01000
01100
01310
01761
1
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
@
10000
01000
0

1100
02

310
0

611

61
1
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
@
10000
01000
00100
00010
00001
1
C
C
C
C
A
[email protected]^REZWY^[email protected]@INTERPRE
-
[email protected]
.
aIMENNO
,
n
n
m
o
PREDSTAWLQETSOBOJKOLI^ESTWOOTNO[ENIJ\KWIWALENTNOSTINA
n
\LEMENTNOMMNOVESTWE
X
S
m
KLASSAMI
,
,
KAKPRINQTOGOWORITXWKOMBINATORIKE
,
KOLI^E
-
STWORAZBIENIJ
X
NA
m
BLOKOW
.
nAPRIMER
,

4
2

=7,
TAK^TOSU][email protected]
7
RAZBIENIJ
MNOVESTWA
X
=
f
1
;
2
;
3
;
4
g
NADWABLOKA
,
AIMENNO
,
X
=
f
1
gtf
2
;
3
;
4
g
,
X
=
f
2
gtf
1
;
3
;
4
g
,
X
=
f
3
gtf
1
;
2
;
4
g
,
X
=
f
4
gtf
1
;
2
;
3
g
,
X
=
f
1
;
2
gtf
3
;
4
g
,
X
=
f
1
;
3
gtf
2
;
4
g
,
X
=
f
1
;
4
gtf
2
;
3
g
.
3.
kOLI^ESTWOPERESTANOWOKS
m
CIKLAMI
.
tEPERXUNASWSEGOTOWODLQTOGO
,
^TOBY
WERNUTXSQKPERESTANOWKAM
.
wPREDYDU]EMPARAGRAFEMYUBEDILISX
,
^TOKOLI^ESTWODLIN
-
NYHCIKLOW
,
KOTORYEMOVNOOBRAZOWATXIZ
n
SIMWOLOW
,
RAWNO
(
n

1)!=
h
n
1
i
.
|TOPROSTEJ[IJ
^ASTNYJSLU^[email protected]]EGOREZULXTATA
.
tEOREMA
.
kOLI^ESTWOPERESTANOWOK
n
SIMWOLOW
,
WRAZLOVENIEKOTORYHWHODITROWNO
m
CIKLOW
,
RAWNO
h
n
m
i
.
dOKAZATELXSTWO
.
oBOZNA^IMKOLI^ESTWOPERESTANOWOK
n
SIMWOLOW
,
WRAZLOVENIEKOTORYH
WHODITROWNO
m
CIKLOW
,
^EREZ
x
(
n;m
).
qSNO
,
^TO
x
(0
;
0)=1,
x
(
n;
0)=0
DLQWSEH
m

1
x
(
n;m
)=0
DLQWSEH
m�n
.
pO\TOMUDLQTOGO
,
^TOBYUBEDITXSQWTOM
,
^TO
x
(
n;m
)=
h
n
m
i
,
DOSTATO^NODOKAZATX
,
^TO
x
(
n;m
)
UDOWLETWORQETTOMUVEREKURRENTNOMUSOOTNO[[email protected]
,
^TOI^ISLAsTIRLINGAPERWOGORODA
.
wSAMOMDELE
,
RASSMOTRIMPERESTANOWKU

2
S
n
SFOKUSIRUEMSQNASIMWOLE
n
.
[email protected]]AQALXTERNATIWA
:
lIBO
n
OBRAZUETDLQ
n
[email protected]
.
uBIRAQ\TUORBITUMYPOLU^AEMPERESTANOWKU

2
S
n
S
m

1
ORBITOJ
,
TAK^TOKOLI^ESTWOTAKIHPERESTANOWOKRAWNO
x
(
n

1
;m

1).
lIBO
n
WHODITWKAKOJ
-
TOCIKLDLINY

2.
w\TOMSLU^AEWY^ERKIWAQWCIKLENNOJZAPISI
PERESTANOWKI

SIMWOL
n
MYPOLU^IMPERESTANOWKU

2
S
n

1
,
UKOTOROJPOPREVNEMU
m
ORBIT
,
PRI^EMKAVDAQTAKAQPERESTANOWKAPOLU^ITSQIZNEKOTOROJPERESTANOWKI

2
S
n
S
m
ORBITAMI
.
oBRATNO
,
[email protected]

2
S
n

1
S
m
CIKLAMI
1
;:::;l
m
.
~TOBYWOSSTANOWITXIZNEEPERESTANOWKU

,
MYDOLVNYWRISOWATXSIMWOL
n
WKAKOJ
-
TOCIKL
.
iMEETSQROWNO
+1
SPOSOBOWWRISOWATX
n
WCIKL
(
i
1
:::i
l
)
DLINY
,
NO
(
ni
1
:::i
l
)=(
i
1
:::i
l
n
)
[email protected]
.
tAKIM
OBRAZOM
,
SREDI\TIH
+1
SPOSOBOWROWNO
RAZLI^NYH
.
tAKKAKMYMOVEMWRISOWATX
n
W
KAVDYJIZ
m
CIKLOWPERESTANOWKI

,
\TOZNA^IT
,
^TOOB]EEKOLI^ESTWOPERESTANOWOK

,
PREWRA][email protected]]IHSQW

POSLEWY^ERKIWANIQ
n
,
RAWNO
1
+
:::
+
m
=
n

1,
INEZAWISITOT

.
tAKIMOBRAZOM
,
OB]IJWKLAD\TOGOSLU^AQRAWEN
(
n

1)
x
(
n

1
;m
)
sUMMIRUQPOLU^ENNYEREZULXTATY
,
POLU^AEM
x
(
n;m
)=(
n

1)
x
(
n

1
;m
)+
x
(
n

1
;m

1),
KAKIUTWERVDALOSX
.
nAPRIMER
,

4
2

=11,
TAK^TOSU]ESTWUET
11
PERESTANOWOK
4
SIMWOLOW
,
PREDSTAWIMYHWWI
-
DEPROIZWEDENIQDWUHCIKLOW
,
AIMENNO
(1)(234),(1)(243),(2)(134),(2)(143),(3)(124),(3)(14
2),
(4)(123),(4)(132),(12)(34),(13)(24),(14)(23).
zAMETIM
,
^TOTAKKAK^ISLOsTIRLINGAWTORO
-
GORODA
n
n
m
o
SOWPADAETSKOLI^ESTWOMWSEWOZMOVNYHRAZBIENIJ
X
=
n
NA
m
ORBIT
,
IDLQ
KAVDOGOTAKOGORAZBIENIQIMEETSQPOKRAJNEJMEREODNAPERESTANOWKA
c
DANNYMRAZBIENIEM
NAORBITY
,
TO
n
n
m
o

h
n
m
i
.
pRI\TOMWSLU^AE
,
KOGDAIMEETSQHOTQBYODNATREH\LEMENTNAQ
ORBITAIMEETSQBOLEETAKOJODNOJPERESTANOWKI
.
tEMSAMYM
,
KAKPRAWILO
,
n
n
m
o

h
n
m
i
.
x
5.
kLASSYSOPRQVENNOSTISIMMETRI^ESKOJGRUPPY
w\TOMPARAGRAFEMYOPI[EMKLASSYSOPRQVENNOSTIGRUPPY
S
n
166
nikolajwawilow
1.
cIKLENNYJTIPPERESTANOWKI
.
pUSTX

2
S
n
I
n
=
=
f
X
1
;:::;X
t
g
oBOZNA^IM^EREZ
n
i
=
X
i
PORQDOKORBITY
X
i
oPREDELENIE
.
cIKLENNYMTIPOM
PERESTANOWKI

2
S
n
[email protected]
n
1
;:::;n
t
PORQDKOWEEORBIT
.
oBY^NO\[email protected]
(
n
1
;:::;n
t
),
S^ITAQ
^TO
n
i
RAS
-
POLOVENYWPORQDKEUBYWANIQ
oBRATITEWNIMANIE
^TOGOWORQTO
CIKLENNOM
ILI
IZREDKA
CIKLOWOM
,(
NO
NE
CIKLI^ESKOM
!)
TIPE
wPRO^EM
^ASTO\PI
-
TET
CIKLENNOM
[email protected]
TIPE
PERESTANOWKI
qSNO
^TO
n
1
+
:::
+
n
t
=
n
TAK^TOSTO^KIZRENIQKOMBINATORIKI
(
n
1
;:::;n
t
)
OPREDELQ
-
ET
RAZBIENIE
^ISLA
n
pORQDOKDLINZDESXBEZRAZLI^EN
PO\TOMU
n
i
PRINQTO
RASPOLAGATXNEWTOMPORQDKE
WKOTOROMONIIDUTWKANONI^ESKOMRAZLOVENII
NACIKLY
AWPORQDKEUBYWANIQ
wGRUPPE
S
2
\LEMENTOPREDELQETSQSWOIM
CIKLENNYMTIPOM
AIMENNO
TOVDESTWENNAQPERESTANOWKAIMEETTIP
(1
1),
A
NETOVDESTWENNAQ
{
TIP
(2).
w
S
3
IMEETSQTRIWOZMOVNYHTIPA
TOVDESTWENNAQ
PERESTANOWKA
(1
1
1),
TRANSPOZICII
(2
1)
I
3-
CIKLY
(3).
w
S
4
WOZMOVNYHTIPOW
UVE
5:
TOVDESTWENNAQPERESTANOWKA
(1
1
1
1),
TRANSPOZICIQ
(2
1
1),
PROIZWE
-
DENIEDWUHNEZAWISIMYHTRANSPOZICIJ
(2
2),3-
CIKL
(3
1)
I
4-
CIKL
(4).
zADA^A
.
pERE^ISLITEWSEWOZMOVNYETIPYPERESTANOWOKNA
5,6,7,8
I
9
SIMWO
-
LAH
wPRO^EM
^ASTOPERE^[email protected]
PODRA
-
ZUMEWAQ
^TOPOTOMIHSUMMADOPOLNQETSQDO
n
NUVNYMKOLI^ESTWOMEDINIC
uDOBSTWOTAKOGOSOGLA[ENIQSOSTOITWTOM
^TOW\TOMSLU^AEMYMOVEM
{
NEZA
-
WISIMOOT
n
{
GOWORITXOTRANSPOZICIIKAKOB\LEMENTECIKLENNOGOTIPA
(2);
OPROIZWEDENIIDWUHNEZAWISIMYHTRANSPOZICIJ
{
KAKOB\LEMENTECIKLENNOGO
TIPA
(2
2);
O
3-
CIKLE
{
KAKOB\LEMENTECIKLENNOGOTIPA
(3);
IT
D
tEOREMA
.
dWEPERESTANOWKIW
S
n
TOGDAITOLXKOTOGDASOPRQVENY
,
KOGDA
[email protected]
.
dOKAZATELXSTWO
.
pUSTXWNA^ALE
;
2
S
n
{
DWESOPRQVENNYEPERESTANOWKI
SKAVEM

=


1
DLQNEKOTOROGO

2
S
n
qSNO
^TOESLI
(
i
)=
TO

(
i
)=

(
).
tEMSAMYM
ESLI
X
1
;:::;X
t
{
ORBITY
TO

(
X
1
)
;:::;
(
X
t
){
ORBITY

ATAKKAK

2
S
n
TO

(
X
h
)
=
X
h
TAK^TOCIKLENNYETIPYSOPRQVENNYH
[email protected]
oBRATNO
PREDPOLOVIM
^TO

=(
i
11
:::i
1
l
)
:::
(
i
t
1
:::i
tm
)
=(
11
:::j
1
l
)
:::
(
t
1
:::j
tm
)
DWEPERESTANOWKIODINAKOWOGOCIKLENNOGOTIPA
mYUTWERVDAEM
^TO

=


1
GDE

=

i
11
:::i
1
l
:::i
t
1
:::i
tm
11
:::j
1
l
:::j
t
1
:::j
tm

wSAMOMDELE
POSMOTRIM
WO^TO
h
-
J\LEMENT
r
-
GOCIKLAPEREHODITPODDEJ
-
STWIEMPERESTANOWKI


1
i
rh
7!
rh
7!
r;h
+1
7!
i
r;h
+1
pOSKOLXKU\TOWERNO
DLQWSEH\LEMENTOW
PERESTANOWKA


1
SOWPADAETS

nO\TOIOZNA^AET
^TO
DWEPERESTANOWKIODINAKOWOGOCIKLENNOGOTIPASOPRQVENY
gruppy
:
firstdraught
167
sLEDSTWIE
.
S
n
KAVDYJ\LEMENTSOPRQVENSOSWOIMOBRATNYM
.
pOPRI^INAM
KOTORYESTANOWQTSQPONQTNYMITOLXKOPRIIZU^ENIITEORII
PREDSTAWLENIJ
GRUPPA
G
WKOTOROJ
g

g

1
DLQWSEH
g
2
G
NAZYWAETSQ
WE
-
]ESTWENNOJ
x
6.
pOROVDENIESIMMETRI^ESKOJGRUPPYTRANSPOZICIQMI
wNASTOQ]EMPARAGRAFEMYPOKAVEM
^TOSIMMETRI^ESKAQGRUPPAPOROVDA
-
ETSQSAMYMIPROSTYMIMYSLIMYMIPERESTANOWKAMI
1.
tRANSPOZICII
.
cIKLYDLINY
2
[email protected]
TRANSPOZICIQMI
tAKIM
OBRAZOM
KAVDAQTRANSPOZICIQIMEETWID
ij
=(
ij
),1

i
=

n
ONAPE
-
RESTAWLQET\LEMENTY
i
=
IOSTAWLQETWSEOSTALXNYE\LEMENTYMNOVESTWA
n
NAMESTE
qSNO
^TO
ij
=
ji
TAK^TOWDEJSTWITELXNOSTIRAZLI^NYHTRANS
-
POZICIJWDWOEMENX[E
^EMPAR
(
i;j
),
i
=
ONIOTWE^[email protected]
(
i;j
),
W
KOTORYH
ij
[email protected]@CIEJ
T
E
\LEMENTOMPORQDKA
2.
iNYMISLOWAMI

1
ij
=
ij
tEOREMA
.
gRUPPA
S
n
168
nikolajwawilow
PRI^[email protected]
ih
I
hj
[email protected]
-
NIQMIFUNDAMENTALXNYHTRANSPOZICIJ
wOTQWNAQFORMULADLQ
ij
KOTORAQ
POLU^AETSQNA\TOMPUTI
ij
=
s
i
:::s
j

2
s
j

1
s
j

2
:::s
i
[email protected]
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOGRUPPA
S
n
POROVDAETSQ
n

1
TRANSPOZICIEJ
(12),(13),
:::
,(1
n
).
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOGRUPPU
S
n
NEWOZMOVNOPORODITXMENEE
^EM
n

1
TRANSPOZICIEJ
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOGRUPPA
S
n
POROVDAETSQTRANSPOZICIEJ
(12)
IDLINNYM
CIKLOM
(123
:::n
).
zADA^A
.
wERNOLI
^TOGRUPPA
S
n
POROVDAETSQDLINNYMCIKLOM
(123
:::n
)
I
[email protected]
TRANSPOZICIEJ
?
nAJDITENEOBHODIMOEIDOSTATO^NOEUSLOWIEDLQTOGO
^TOBY
S
n
POROVDALOSXDLINNYMCIKLOM
(123
:::n
)
ITRANSPOZICIEJ
(1
m
).
rE[ENIE
.
tAKKAKGRUPPA
H
=
h
(123
:::n
)
(1
m
)
i
SODERVITWSETRANSPOZICII
(
i;i
+
m

1),
TOONASODERVITIWSETRANSPOZICIIWIDA
(
i;i
+
(
m

1)),
GDE
[email protected]
n
wSLU^AE
KOGDA
d
=gcd(
n;m

1)=1
MOVNOWYBRATX
TAKOE
^TO
(
m

1)

1(mod
n
).
tEMSAMYM
W\TOMSLU^AE
H
SODERVIT
(12)
IMYOKAZYWAEMSQWUSLOWIQHPREDYDU]EJZADA^I
eSLIVE
d

2,
TORAZOBXEM
n
NA
d
BLOKOW
f
1
1+
d;:::;n

d
+1
g
f
2
2+
d;:::;n

d
+2
g
:::
f
d;
2
d;:::;n
g
qSNO
^TOKAK
(123
:::n
),
TAKI
(1
m
)
PERESTAWLQETBLOKI
TAK
^TONIKAKOEIHPROIZWEDENIENEMOVETOTOBRAZITX
1
W
2,
OSTAWIWPRI\TOM
1+
d
NAMESTE
tEMSAMYM
H
SOBSTWENNAQPODGRUPPAW
S
n
wDEJSTWITELXNOSTI
MOVNODOKAZATX
180
^TOPORQDOK
H
RAWEN
d
((
n=d
)!)
mINIMALXNYJPRIMER
KOGDA
d

2{
\TOGRUPPA
h
(1234)
(13)
i
S
4
PORQDOKKOTOROJRAWEN
8.
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOGRUPPA
S
n
POROVDAETSQTRANSPOZICIEJ
(12)
ICIKLOM
(23
:::n
).
x
7.
zNAKPERESTANOWKI
1stinstalment:
DEKREMENT
w\TOMPARAGRAFEMYPOSTROIMGOMOMORFIZM
sgn:
S
n
!f
1
g
1.
zNAKPERESTANOWKI
.
oBOZNA^IM^EREZ
m
=
n
=
^ISLOORBITPERESTANOW
-
KI
2
S
n
[email protected]
m
=
r
+
s
GDE
r
{
KOLI^ESTWOISTINNYHCIKLOW
PERESTANOWKI
A
s
=
Fix(
)
rAZNOSTX
decr(
)=
n

m
NAZYWAETSQ
DEKRE
-
MENTOM
181
PERESTANOWKI
180
W.Johnson,M.Silver,Amodelforpermutations,Amer.Math.Mont
hly,1974,May,p.503{
506.
181
dEKREMENT
{
UMENX[ENIE
,
UBYWANIEILIPONIVENIE
;
INKREMENT
{
UWELI^ENIE
,
WOZRASTA
-
NIE
,
PRIRA]ENIE
.
|TIPONQTIQ[[email protected]
.
nAPRI
-
MER
,
IW
C++
IW
Mathematica
^EREZ
x++
x--
OBOZNA^[email protected]
-
KREMENT
(
UWELI^ENIE
/
UMENX[ENIETEKU]EGOZNA^ENIQ
x
NA
1
POSLE
WYPOLNENIQWY^ISLENIQ
),
A^EREZ
++x
--x
{
PREFIKSNYEINKREMENTIDEKREMENT
(
UWELI^ENIE
/
UMENX[ENIETEKU]EGO
ZNA^ENIQ
x
NA
1
PERED
WYPOLNENIEMWY^ISLENIQ
).
gruppy
:
firstdraught
169
oPREDELENIE
.
zNAKOMPERESTANOWKI
2
S
n
170
nikolajwawilow
x
8.
zNAKPERESTANOWKI
2ndinstalment:
TRANSPOZICII
mNE
,
KONE^NO
,
LEG^ESOJTISUMA
,
^EMIM
.
q
,
NAPRIMER
,
UWIVUNA
KARTEpAKISTANA
:
TAM
,
GDEDOLVENBYTXiSLAMABAD
|
TAMOKAZALOSX
rAWALPINDI
,
ATAM
,
GDEPREVDEBYLOrAWALPINDI
,
UWIVUiSLAMABAD
|
IWSE
,
QSBRENDIL
.
aONIWSEDAVENEZAMETQT
.
wENEDIKTeROFEEW
,
iZZAPISNYHKNIVEK
zABUDEMPROOPREDELENIEIZPREDYDU]EGOPARAGRAFAIDADIMDRU
GOEOPRE
-
DELENIEZNAKA
oPREDELENIE
.
pOLOVIM
sgn(
)=(

1)
l
,
ESLI
MOVNOPREDSTAWITXKAK
PROIZWEDENIE
l
TRANSPOZICIJ
=

1
:::
l
.
kAKMYZNAEM
IZPREDYDU]EGOPARAGRAFA
\TOOPREDELENIE\KWIWALENTNO
NA[[email protected]^EREZDEKREMENT
1.
kORREKTNOSTXOPREDELENIQZNAKA
.
oDNAKOIZNA[EGONOWOGOOPRE
-
DELENIQSOWER[ENNONEQSNO
PO^EMUZNAKOPREDELEN
KORREKTNO
T
E
PO^EMU
PERESTANOWKU
NELXZQPREDSTAWITXWWIDE
=

1
:::
l
=

1
:::
m
GDE
l
I
m
[email protected]@^ETNOSTX
?
[email protected]
-
NOJINDUKCII
SEJ^ASMYPROWEDEM
E]EODNO
DOKAZATELXSTWOKORREKTNOSTI
NE
ZAWISQ]EEOTREZULXTATOWPREDYDU]EGOPARAGRAFA
tEOREMA
.
zNAKPERESTANOWKI

2
S
n
OPREDELENKORREKTNO
.
iNYMISLOWAMI
,
ESLI

MOV
-
NOPREDSTAWITXWWIDEPROIZWEDENIQ
TRANSPOZICIJI
m
TRANSPOZICIJ
,
TO

m
(mod2)
.
dOKAZATELXSTWO
.
wSAMOMDELE
,
PUSTX

=

1
:::
l
=

1
:::
m
.
[email protected]
PORQDOK
2,
TO


1
=

[email protected]
,
SLEDOWATELXNO
,


1
=

m
:::
1
.
tAKIM
OBRAZOM
,
e
=


1
=

1
:::
l

m
:::
1
;
ESTXPROIZWEDENIE
+
m


m
(mod2)
TRANSPOZICIJ
.
pO\TOMUDOSTATO^NOPOKAZATX
,
^TO
ESLITOVDESTWENNAQPERESTANOWKA
e
ESTXPROIZWEDENIE
m
TRANSPOZICIJ
e
=

1
:::
m
,
TO
m
^ETNO
.
dLQDOKAZATELXSTWA\[email protected]@PO
n
,
m
IE]EODNOMUPA
-
RAMETRU
,
KOTORYJPOQWITSQPOZDNEE
.
bAZAINDUKCIIPO
n
:
WSLU^AQH
n
=1
;
2
UTWERVDENIE
O^EWIDNO
.
dLQ
n
=1
TRANSPOZICIJNETWOOB]E
,
TAK^TODLINAKAVDOGOPREDSTAWLENIQTOV
-
DESTWENNOJPERESTANOWKIWWIDEPROIZWEDENIQTRANSPOZICIJRAWNA
0.
dLQ
n
=2
IMEETSQODNA
TRANSPOZICIQ
,

=(12),
^[email protected]
e
,
ANE^ETNYE
{
S

.
{AGINDUKCIIPO
n
:
PREDPOLOVIM
,
^TODLQGRUPPY
S
n

1
TEOREMAUVEDOKAZANA
.
eSLI
SIMWOL
n
NEWHODITNIWODNUIZTRANSPOZICIJ

1
;:::;
n
,
TOWSE\TITRANSPOZICIIVIWUTW
PODGRUPPE
S
n

1

S
n
,
[email protected]]EJSIMWOL
n
IMOVNOPRIMENITXINDUKCIONNOEPRED
-
POLOVENIE
.
tAKIMOBRAZOM
,
KAKAQ
-
TOTRANSPOZICIQ

l
IMEETWID
(
pn
)
DLQNEKOTOROGO
p
=
n
.
[email protected]@SREDITAKIHTRANSPOZICIJ
,
.
E
.
[email protected]
NAIBOLX[IM
NOMEROM
.
sEJ^ASMYPOKAVEM
,
^TOLIBO
m
,
LIBO
MOVNOUMENX[ITX
{
\TOWARIANTSOW
-
MESTNOJINDUKCII
,
NAZYWAEMYJ
METODOMBESKONE^NOGOSPUSKA
.
sPUSKPO
l;m
:
PUSTXTEPERX
m

2
IPUSTX

l
=(
pn
),

l

1
=(
rs
)=(
sr
).
rASSMOTRIMTRI
SLU^AQ
,
WZAWISIMOSTIOTPORQDKAPERESE^ENIQ
t
=
jf
p;n
g\f
r;s
gj
,
KOTORYJMOVETPRINIMATX
ZNA^ENIQ
0,1,2.
sLU^AJ
t
=0
.
tRANSPOZICII

l

l

1
NEZAWISIMY
.
tEMSAMYM
,

l

1

l
=

l

l

1
,
ZNA^IT
,
WPROIZWEDENII

1
:::
m
MOVNOPERESTAWITXMNOVITELI

l

1

l
,
PRI\TOMSAMYJ
PRAWYJMNOVITELX
,
PEREME][email protected]]IJ
n
,
BUDETIMETXNOMER

1.
gruppy
:
firstdraught
171
sLU^AJ
t
=1
.
sTO^[email protected]
r
s
MOVNOS^ITATX
,
^TO

l

1
=(
ns
)

l

1
=(
ps
)
DLQNEKOTOROGO
s
=
p;n
.
oDNAKOW\TIHSLU^AQHPROIZWEDENIE

l

1

l
MOVNOPE
-
REPISATXWWIDE
(
ns
)(
np
)=(
np
)(
ps
)
(
ps
)(
np
)=(
ns
)(
ps
)(
\[email protected]
WGRUPPE
S
3
PERESTANOWOKSIMWOLOW
s;p;n
).
tAKIMOBRAZOM
,
WKAVDOMIZ\TIHSLU^AEWSNOWA
MOVNOPEREPISATXPROIZWEDENIE

1
:::
n
TAK
,
^TOBYSAMYJPRAWYJMNOVITELX
,
PEREME][email protected]
-
]IJ
n
,
IMELNOMER

1.
sLU^AJ
t
=2
.
pRI\TOM

l
=

l

1
TAK^TO

l

1

l
WPROIZWEDENII

1
:::
m
MOVNOSOKRA
-
TITX
,
WYRAZIWPRI\TOM
e
WWIDEPROIZWEDENIQ
m

2
TRANSPOZICIJ
.
iTAK
,
[email protected]
e
KAKPROIZWEDENIQ
m

2
TRANSPOZICIJOSU]ESTWIMAODNA
IZ\TIHREDUKCIJ
.
qSNO
,
^TOSLU^AJ
=1
NEWOZMOVEN
.
wSAMOMDELE
,
TOGDA

1
QWLQETSQ
EDINSTWENNOJSREDITRANSPOZICIJ

i
,
PEREME][email protected]]EJ
n
,
TAK^TO

1
:::
m
(
n
)=
p
,
ZNA^IT
,
\TOPROIZWEDENIENEMOVETRAWNQTXSQ
e
.
pO\TOMUNAKAKOM
-
TO[AGENAMUDASTSQUMENX[ITX
m
NA
2.
|TOZNA^IT
,
^TOPRODELAWWSEREDUKCIIWISHODNOMPROIZWEDENII
,
MYPOLU^IM
WYRAVENIEDLQ
e
KAKPROIZWEDENIE
0
LIBO
1
TRANSPOZICIJ
.
oDNAKOSLU^AJ
m
=1
NEWOZMOVEN
TAKKAK
e
NEQWLQETSQTRANSPOZICIEJ
.
tEMSAMYM
,
POSLEDOWATELXNOUMENX[AQ
m
NA
2
MY
DOLVNYDOJTIDO
0.
nO\TOIZNA^IT
,
^TO
m
^ETNO
.
[email protected]
.
2.
eDINSTWENNOSTXZNAKA
.
sEJ^ASMYPOKAVEM
^TOZNAKWPOLNEHARAKTE
-
RIZUETSQTEM
^TO\TOGOMOMORFIZM
PEREWODQ]IJTRANSPOZICIIW

1.
tEOREMA
.
[email protected]
n

2
ZNAK
sgn
182
d
.
|
.
kNUT
,
iSKUSSTWOPROGRAMMIROWANIQ
.
tOM
3.
sORTIROWKAIPOISK
,2
EIZD
.,
wI
-
LXQMS
,
m
.{
spB
{
kIEW
,2000,1{822.
183
gABRI\LXkRAMER
(31.07.1704,
vENEWA
{04.01.1752,Bagnols
Nismes){
IZWESTNYJ
[WEJCARSKIJMATEMATIK
.
pOSLEOBU^ENIQWUNIWERSITETEvENEWYONSTALTAMPROFESSOROM
FILOSOFIIIMATEMATIKIIZANIMALWYSOKIEMUNICIPALXNYEDOLVNOSTI
.
wEGOGLAWNOM
TRUDE
Introductional'analysedeslignescourbesalgebriques,
IZLAGAETSQ
,
W^ASTNOSTI
,
RE[E
-
NIESISTEMURAWNENIJITEORIQOPREDELITELEJ
.
wNA[EMKURSENESKOLXKORAZUPOMINAETSQ
FORMULAkRAMERADLQOBRATNOJMATRICYNADKOMMUTATIWNYMKOLXCOM
.
172
nikolajwawilow
KOMYWSOSTOQNIISUDITX
NEZAWISIMO
)
WWELIPONQTIEOPREDELITELQ
oDNAKO
W[PENGLEROWSKOMSMYSLEPONQTIEINWERSIIGORAZDOSTAR[EIUV
[email protected]
OT^ETLIWOWYSTUPAETWKITAJSKIHTEKSTAH
III
WEKADONA[EJ\RY
tEOREMA
.
[email protected]
sgn(
)=(

1)
inv(

)
pERWOEDOKAZATELXSTWOTEOREMY
.
kAVDAQTRANSPOZICIQESTXPROIZWEDENIE
NE^ETNOGO^ISLAFUNDAMENTALXNYHTRANSPOZICIJ
uMNOVENIENAFUNDAMEN
-
[email protected]@SOZDAETILIUBIWAETROWNOODNUINWERS
[email protected]
wDEJSTWITELXNOSTI
IW\TOMSLU^AEMOVNOWYSKAZATXGORAZDOBOLEETO^NOE
UTWERVDENIE
zADA^A
.
pUSTX
d
=inv(
).
dOKAVITE
^TO
MOVNOPREDSTAWITXKAKPROIZWE
-
DENIE
d
FUNDAMENTALXNYHTRANSPOZICIJ
PRI^EM
d
NAIMENX[EE^ISLO
OBLADA
-
@]EE\TIMSWOJSTWOM
tEPERXMYWSOSTOQNIIDATXE]EODNOOPREDELENIEZNAKAPEREST
ANOWKI
{
MOVNODUMATX
^TO\TOOPREDELENIEQWLQETSQPARODIEJ
NOWDEJSTWITELXNOSTI
ONOWZQTOIZU^EBNIKA
WYS[EJALGEBRY
kURO[A
sgn(
)=
Y
1

ij

n
(
i
)

(
)
i

pRIWSEJSWOEJNEESTESTWENNOSTI
184
\TOOPREDELENIEOBLADAETODNIMTEHNI^E
-
SKIMPREIMU]ESTWOM
AIMENNO
DLQ\TOGOOPREDELENIQO^EWIDNO
^TO
sgn
QWLQ
-
ETSQGOMOMORFIZMOM
dLQ\TOGONUVNOLI[XZAMETITX
^TOWDEJSTWITELXNOSTI
PROIZWEDENIEW\TOJFORMULEBERETSQPO
f
i;j
g2
2
(
n
).
w^ASTNOSTI
[email protected]
PERESTANOWKI

IMEEM
Y
1

ij

n
(
i
)

(
)
i

=
Y
1


(
i
)

(
j
)

n
(
i
)

(
)
i

|TOZNA^IT
^[email protected]]EESWOJSTWOPOLU^AETSQDAROM
lEMMA
.
oTOBRAVENIE
(

1)
inv
S
n
!f
1
g
,

7!
(

1)
inv(

)
,
i

=
Y
1

ij

n

(
i
)


(
)
(
i
)

(
)
Y
1

ij

n
(
i
)

(
)
i

=(

1)
inv(

)
(

1)
inv(

)
184
|PITET
NEESTESTWENNOSTX
[email protected]
(

1)
inv(

)
KAKTAKOWOMU
,
NAOBO
-
ROT
,
STO^KIZRENIQTEORIIGRUPPwEJLQ
inv(

)
SOWPADAETS
n
(

),
^ISLOMPOLOVITELXNYH
KORNEJ
,
KOTORYESTANOWQTSQOTRICATELXNYMIPODDEJSTWIEM

,
TEMSAMYM
,
S
(

){
DLINOJ

[email protected]]IH
.
nETNI^EGOESTESTWENNEE
\TOGO
OPREDELENIQ
!
oDNAKOWYRA
-
VATX
(

1)
inv(

)
KAKDURACKOEPROIZWEDENIE
!!!
tAKOEOPREDELENIEBYLOBYUMESTNOWU^EBNIKE
MATEMATI^ESKOGOANALIZA
,
KAK^ASTXOB]EJPERWERSIWNO
-
DEKADENTSKOJPARADIGMY
.
nOCELX
KURSAALGEBRYPRQMOPROTIWOPOLOVNA
{
KULXTIWIROWATXRADOSTX
,
SILU
,
WKUSIPRIWY^KUK
ESTESTWENNOSTI
!
gruppy
:
firstdraught
173
wTOROEDOKAZATELXSTWOTEOREMY
.
kAKMYTOLXKO^TOPOKAZALI
OTOBRAVENIE
(

1)
inv
QWLQETSQGOMOMORFIZMOM
S
n
!f
1
g
|TOTGOMOMORFIZMNETRIWIALEN
TAKKAK
NAPRIMER
UTRANSPOZICII

=(1
2)
WSEGOODNAINWERSIQ
I
SLEDOWA
-
TELXNO
,(

1)
inv(

)
=

1.
wSILUEDINSTWENNOSTIZNAKAGOMOMORFIZM
(

1)
inv
OBQZAN
SOWPADATXS
sgn.
x
10.
zNAKOPEREMENNAQGRUPPA
zNAKPOZWOLQETNAMOPREDELITXWAVNEJ[[email protected]
S
n
1.
zNAKOPEREMENNAQGRUPPA
.
tEPERXMYWSOSTOQNIIWYSKAZATXSAMOESO
-
KROWENNOE
^TOMOVNOWYSKAZATXOBOTOBRAVENIIGRUPP
tEOREMA
.
oTOBRAVENIE
sgn:
S
n
!f
1
g
174
nikolajwawilow
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOGRUPPA
A
n
POROVDAETSQ
3-
CIKLOM
(123),
ILIBODLIN
-
NYMCIKLOM
(12
:::n
)
PRINE^ETNOM
n
LIBOCIKLOM
(23
:::n
)
PRI^ETNOM
n
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOPRI
n

4
CENTRGRUPPY
A
n
TRIWIALEN
rE[ENIE
.
[email protected]

=id
NAJDETSQ
i
TAKOE
^TO

(
i
)
=
i
tAKKAK
n

4,
TONAJDUTSQ
j;h
TAKIE
^TOWSE^ETYREINDEKSA
i;
(
i
)
;j;h
RAZLI^NY
tOGDA

(
ijh
)


1
=(

(
i
)
;
(
)
;
(
h
))
=(
i;j;h
).
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOPRI
n

5
WSE
3-
CIKLYW
A
n
SOPRQVENY
wERNOLI\TO
DLQ
n
=4?
rE[ENIE
.
mYUVEZNAEM
^TO
3-
CIKLYSOPRQVENYW
S
n
pUSTX
(
ijh
)
I
(
klm
)
{
[email protected]
3-
CIKLA
A

2
S
n
{
PERESTANOWKATAKAQ
^TO

(
ijh
)


1
=(
klm
).
eSLIPERESTANOWKA

^ETNA
MYDOSTIGLISWOEJCELI
eSLIPERESTANOWKA

NE^ETNA
NO
n

5,
TONAJDUTSQTAKIE
r;s
^TOWSE
5
INDEKSOW
i;j;h;r;s
RAZLI^NY
tOGDA
(
rs
)
KOMMUTIRUETS
(
ijh
)
I
TEMSAMYM

(
rs
)(
ijh
)(

(
rs
))

1
=(
klm
),
PRI^EM

(
rs
)
^ETNA
sDRUGOJSTORONY
CENTRALIZATOR
3-
CIKLASODERVITPO
KRAJNEJMERE
3
\LEMENTA
PO\TOMUW
A
4
IMEETSQNEBOLEE
12
=
3=4
CIKLOW
SOPRQVENNYHSDANNYM
|TOZNA^IT
^TO
3-
CIKLYW
A
4
[email protected]
KLASSASOPRQVENNOSTI
x
11.
tRANZITIWNOSTX
wNASTOQ]EMPARAGRAFEMYSOWSEMKOROTKOOBSUDIMSWOJSTWATRA
NZITIWNO
-
STIGRUPPPERESTANOWOK
nARUSSKOMQZYKEDALXNEJ[IEDETALIISSYLKIMOVNO
NAJTI
NAPRIMER
WSTATXE
185
1.
tRANZITIWNOSTX
.
pUSTX
G

S
n
{
GRUPPAPERESTANOWOKMNOVESTWA
X
=
n
gOWORQT
^TOGRUPPA
G
TRANZITIWNA
[email protected]
x;y
2
X
SU]ESTWUET
PERESTANOWKA

2
G
TAKAQ
^TO

(
x
)=
y
wPROTIWNOMSLU^AEGRUPPA
G
NAZY
-
WAETSQ
INTRANZITIWNOJ
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOSTEPENXTRANZITIWNOJGRUPPYPERESTANOWOK
G

S
n
DELITEEPORQDOK
rE[ENIE
.
pUSTX
H
=
G
n
{
STABILIZATORTO^KI
n
2
n
tOGDA
G
H
=
n
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOTRANZITIWNAQGRUPPAWSEGDASODERVITPERESTANOWKU
BEZNEPODWIVNYHTO^EK
rE[ENIE
.
pUSTX
KAKIWPREDYDU]EJZADA^E
G
i
{
STABILIZATORTO^KI
i
2
n
tAKKAKWSEGRUPPY
G
i
SOPRQVENY
TOIHPORQDKIRAWNY
OBOZNA^IMIHOB]IJ
PORQDOK^EREZ
m
kAKMYUBEDILISXWPREDYDU]EJZADA^E
G
=
mn
nO
TAK
KAK
1
PRINADLEVITWSEMGRUPPAM
G
i
TO
G
1
[
:::
[
G
n
j
n
(
m

1)+1

G
|TO
ZNA^IT
^TONAJDETSQPERESTANOWKA

2
G
KOTORAQNEPRINADLEVITNIODNOJ
GRUPPE
G
i
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOESLI
G

S
n
{
TRANZITIWNAQGRUPPAPERESTANOWOK
A
H
E
G
[email protected]
H
SODERVATODNOITOVEKOLI^ESTWO
\LEMENTOW
zADA^A
.
wUSLOWIQHPREDYDU]EJZADA^IPOKAVITE
^TOESLI
n
=
p
{
PROSTOE
^ISLO
A
H
=
e
TOGRUPPA
H
TOVETRANZITIWNA
185
p
.
dV
.
kAMERON
,
kONE^NYEGRUPPYPODSTANOWOKIKONE^NYEPROSTYEGRUPPY
.{
uSPEHI
mAT
.
NAUK
,1983,
.38,N.3,c.135{157
gruppy
:
firstdraught
175
2.
pODGRUPPYINDEKSA
n
W
S
n
.
gRUPPA
S
5
WKLADYWAETSQW
S
6
KAKSTABILI
-
ZATORTO^KI
6,
ODNAKO\TODEJSTWIENEQWLQETSQTRANZITIWNYM
oKAZYWAETSQ
UGRUPPY
S
5
ESTXE]EODNOWLOVENIEW
S
6
NESOPRQVENNOES\TIMWLOVENIEM
zADA^A
.
pOSTROITXTRANZITIWNOEDEJSTWIE
S
5
NA
6
SIMWOLAH
rE[ENIE
.
[email protected]
5
W
S
5
SOSTOITIZTOVDESTWENNOJPERE
-
STANOWKII^ETYREH
5-
CIKLOW
tAKKAKDWERAZLI^NYEPODGRUPPYPORQDKA
5
[email protected]
AOB]EEKOLI^ESTWO
5-
CIKLOWW
S
5
RAWNO
4!=24,
TOWSEGOW
S
5
IMEETSQ
6
TAKIHPODGRUPP
mYUVEZNAEM
^TO
DEJSTWIE
S
5
SOPRQVENIQMINAMNOVESTWETAKIHPODGRUPP
(
IDAVENAMNOVESTWE
[email protected]]IH
!)
TRANZITIWNO
zAMETIM
^TOPRI
n

5
\TO
EDINSTWENNOE
[email protected]^ENIE
kAKMYUVEZNA
-
EM
A
n
QWLQETSQEDINSTWENNOJPODGRUPPOJW
S
n
INDEKSA
2.
oKAZYWAETSQ
KAK
PRAWILO
W
S
n
ROWNO
2
PODGRUPPYINDEKSA

n
STO^[email protected]
tEOREMAbERTRANA
186
.
pRI
n

5
GRUPPA
S
n
NESODERVITNIKAKIHPODGRUPP
H
TAKIH
,
^TO
2

G
H
n
.
eDINSTWENNAQSTO^[email protected]
-
STIPODGRUPPAINDEKSA
n
W
G
=
S
n
ESTX
G
n
=
S
n

1
,
[email protected]^ENIEMSLU^AQ
n
=6
.
dOKAZATELXSTWOSAMOGObERTRANA
187
[email protected]]EMPREDPOLO
-
VENII
KOTOROEONPROWERILDLQWSEH
n
1500000,
NODOKAZATELXSTWOMKOTOROGO
WOB]EMSLU^AEONNEWLADEL
pOSTULATbERTRANA
.
pRI
n�
7
MEVDU
n=
2
I
n

2
WSEGDASODERVITSQHOTQ
BYODNOPROSTOE^ISLO
.
dOKAZATELXSTWOPOSTULATAbERTRANABYLOPOLU^ENOW
1852
GODUp
l
~EBY
-
[EWYM
188
;
189
oDNAKOTEMWREMENEMsERRENA[ELDOKAZATELXSTWOTEOREMYbER
-
TRANA
[email protected]]EESQNAPOSTULATbERTRANA
190
x
12.
kRATNAQTRANZITIWNOSTX
1.
kRATNAQTRANZITIWNOSTX
.
bOLEEOB]O
PUSTX
1

m

n
gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
m
-
TRANZITIWNOJ
ESLIEEDEJSTWIENAMNOVESTWESPISKOWIZ
m
POPARNORAZLI^NYHTO^EKTRANZITIWNO
iNYMISLOWAMI
[email protected]
RAZLI^NYH
x
1
;:::;x
m
2
X
[email protected]^NYH
y
1
;:::;y
m
2
X
SU]E
-
STWUET

2
G
TAKOE
^TO

(
x
i
)=
y
i
DLQWSEH
i
=1
;:::;m
gRUPPA
G

S
n
NAZYWAETSQ
KRATNOTRANZITIWNOJ
ESLIONA
m
-
TRANZITIWNADLQKAKOGO
-
TO
m

2.
186
vOZEFbERTRAN
(11.03.1822{03.04.1900,
pARIV
){
IZWESTNYJFRANCUZSKIJMATE
-
MATIK
,
OSNOWNYERABOTYKOTOROGOOTNOSQTSQKTEORIIWEROQTNOSTEJIDIFFERENCIALXN
OJ
GEOMETRII
.
187
J.Bertrand,Memoiresurlenombredevaleursquepeutprendreunfonc
tionquandony
permuteleslettresqu'ellerenferme.{J.EcolePolytechnique,1
845,vol.30,p.123{140.
188
P.L.Tschebyche ,Memoiresurlesnombrespremiers.{J.Math.p
uresappl.,1852,vol.17,
p.366{390.
189
sEGODNQPOSTULATbERTRANAOBY^NOFORMULIRUETSQW^UTXBOLEESLABOJFORME
,
KAK
SU]ESTWOWANIEPROSTOGO
p
MEVDU
n
2
n
,
PRI^EMOBY^NOWOSPROIZWODITSQDOKAZATELXSTWO
|RDE[A
:P.Erdos,BeweiseinesSatzesvonTschebysche .{ActaReg.
Univ.Hungar.,1932,
Bd.5,S.194{198.
190
J.A.Serret,Memoiresurlenombredevaleursquepeutprendreunfonc
tionquandony
permuteleslettresqu'ellerenferme.{J.Math.puresappl.,1850,
vol.15,p.1{44.
176
nikolajwawilow
lEMMA
.
gRUPPA
A
n
)
WSEH
m
-
\LEMENTNYHPODMNOVESTWW
n
.
qSNO
,
^TO
m
-
TRANZITIWNAQGRUPPAAWTOMATI^ESKIQWLQETSQ
m

1-
TRANZITIWNOJ
.
dLQ
m
-
ODNORODNYHGRUPP
\[email protected]^EWIDNO
,
[email protected]]AQTEOREMAQWLQETSQODNIMIZOSNOWNYHREZULX
-
TATOWSTATXI
192
.
tEOREMAlIWINGSTONA
-
wAGNERA
.
eSLIPODGRUPPA
G

S
n
QWLQETSQ
m
-
ODNORODNOJDLQ
NEKOTOROGO
m

n=
2
,
TOONAQWLQETSQI
m

1
-
ODNORODNOJ
.
x
13.
pRIMITIWNOSTX
1.
pRIMITIWNYEGRUPPY
.
gRUPPA
G

S
n
NAZYWAETSQ
IMPRIMITIW
-
NOJ
ESLIMNOVESTWO
X
=
n
MOVNOPREDSTAWITXWWIDE
X
=
X
1
t
:::
t
X
t
GDE
1
tn
PRITOMTAK
^TOKAVDYJ\LEMENT
g
2
G
PERESTAWLQETKLASSY
X
1
;:::;X
t
MEVDUSOBOJ
iNYMISLOWAMI
DLQKAVDOGO
g
2
G
IKAVDOGO
X
i
1

i

t
SU]ESTWUETTAKOE
,1


t
^TO
gX
i

X
j
uSLOWIE
1
tn
UTWERVDAET
^TOKAVDYJKLASS
X
i
SODERVITPOKRAJNEJMERE
2
\LEMENTA
I
KROMETOGO
IMEETSQNEMENEE
^EM
2
KLASSA
nABORKLASSOW
f
X
1
;:::;X
t
g
NA
-
ZYWAETSQ
SISTEMOJIMPRIMITIWNOSTI
GRUPPY
G
ASAMIKLASSY
X
1
;:::;X
t
{
BLOKAMIIMPRIMITIWNOSTI
wPROTIWNOMSLU^AE
KOGDATAKOERAZBIENIE
191
|MILXmATXE
()
192
D.Livingston,A.Wagner,Transitivityof nitepermutationgrou
psonunorderedsets.{
Math.Z.,1965,Bd.90,S.393{403.
gruppy
:
firstdraught
177
NEWOZMOVNO
GRUPPA
G
NAZYWAETSQ
PRIMITIWNOJ
tAKIMOBRAZOM
PRIMITIW
-
NAQGRUPPAPERESTANOWOKMNOVESTWA
X
=
n
STABILIZIRUETLI[XDWAOTNO[ENIQ
\KWIWALENTNOSTINAMNOVESTWE
X
[email protected]\KWIWA
-
LENTNOSTX
qSNO
^TOPRIMITIWNAQGRUPPATRANZITIWNA
ADWAVDYTRANZITIWNAQGRUPPA
PRIMITIWNA
tAKIMOBRAZOM
USLOWIEPRIMITIWNOSTIQWLQETSQ
PROMEVUTO^
-
NYM
[email protected]@
2-
TRANZITIWNOSTX
=
)
PRIMITIWNOSTX
=
)
TRANZITIWNOSTX
gRUPPA
G
NAZYWAETSQ
UNIPRIMITIWNOJ
ESLIONAPRIMITIWNA
NONE
2-
TRAN
-
ZITIWNA
~ISLO
2-
ORBITGRUPPY
G
NAZYWAETSQ
(
PERESTANOWO^NYM
)
RANGOM
GRUPPY
G
gRUPPA
G
WTOMITOLXKOTOMSLU^AE
2-
TRANZITIWNA
KOGDAEERANG

2.
tEMSAMYM
RANGUNIPRIMITIWNOJGRUPPY

3.
|TOZNA^IT
^TONAIBOLEE
[email protected]
WNYEGRUPPY
RANGA
3.
tAKIEGRUPPYBYLIDETALXNOIZU^ENYhIGMANOM
,bla-bla-bla.
[email protected]]AQZADA^AUSTANAWLIWAETTESNEJ[[email protected]
[email protected]
IOPISANIEMMAKSIMALXNYHPODGRUPP
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOTRANZITIWNAQGRUPPA
G

S
n
WTOMITOLXKOTOM
SLU^AEPRIMITIWNA
KOGDASTABILIZATOR
G
n
TO^KI
n
MAKSIMALENW
G
rE[ENIE
.
pREDPOLOVIM
^TO
G
n
NEMAKSIMALXNAW
G
I
H
G
n
HG
{
SOBSTWENNAQPROMEVUTO^NAQPODGRUPPA
tOGDA
H
n
=
G
n
PRI^EMTAKKAK
H
=
G
TOINDEKS
H
G
n
NEDELITSQNA
n
pO\TOMUGRUPPA
H
NEMOVETBYTX
TRANZITIWNOJ
wTOVEWREMQ
TAKKAK
H
=
G
n
TOEEORBITYSODERVATBOLX[E
ODNOGO\LEMENTA
tEMSAMYM
ORBITYGRUPPY
H
MOVNOWZQTXWKA^ESTWEBLOKOW
IMPRIMITIWNOSTIGRUPPY
G
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOESLI
G
{
PRIMITIWNAQGRUPPAPERESTANOWOK
H
E
G
H
=1,
TO
H
TRANZITIWNA
x
14.
pROSTOTAZNAKOPEREMENNOJGRUPPY
In veminutesyouwillsaythatitisallsoabsurdlysimple.
SirArthurConanDoyle,Theadventureofdancingmen.
wNASTOQ][email protected]][email protected]
[email protected]
gALUA
zAMETIM
^TOIMENNOOCENKA
n

5
W\TOJTEOREMEOB_QSNQET
PO^EMU
ALGEBRAI^ESKIEURAWNENIQSTEPENI
n

4
RAZRE[IMYWRADIKALAH
AURAWNENIEQ
STEPENI
n

5{
NET
tEOREMAgALUA
.
zNAKOPEREMENNAQGRUPPA
A
n
,
n

5
,
PROSTA
.
mYRAZOBXEMDOKAZATELXSTWONAPOSLEDOWATELXNOSTXLEMM
lEMMA
1.
eSLINORMALXNAQPODGRUPPA
H
W
A
n
,
n

4
,
SODERVIT
3-
CIKL
,
TO
178
nikolajwawilow
WIDE
(
ijh
)=(
jhi
)=(
hij
)
ISOPRQGAQPRIPOMO]I
(
jhk
)
I
(
hik
),
SOOTWETSTWENNO
TO^NOTAKVEUBEVDAEMSQ
^TO
(
jik
)
(
hjk
)
2
H
NO\TOIZNA^IT
^TO
H
SNOWA
SODERVITWSE
3-
CIKLY
[email protected]]AQLEMMAPREDSTAWLQETSOBOJOSNOWNOJ[AGDOKAZATEL
XSTWA
lEMMA
2.
[email protected]
H
=
e
W
A
n
,
n

4
,
gruppy
:
firstdraught
179
[email protected]^ENIE
ZNAKOPEREMENNAQGRUPPA
A
4
NEQWLQ
-
ETSQPROSTOJ
dELOWTOM
^TOWGRUPPE
A
4
PROIZWEDENIQDWUHNEZAWISIMYH
[email protected]^NOJPERESTANOWKOJ^ET
[email protected]
V
=
f
e;
(12)(34)
(13)(24)
(14)(23)
g
KOTORAQNORMALXNANETOLXKOW
A
4
NODAVEW
S
4
sLEDSTWIE
.
pRI
n

5
PODGRUPPA
A
n
2

n
2

n

2
2

RAZLI^NYHPROIZWEDENIJDWUHNEZAWISIMYHTRANSPOZICIJ
{
[email protected]@
n
SIMWOLOW
,
[email protected]
[email protected][IHSQ
n

2
SIMWOLOW
,
NOPRI\TOMKAVDOEPROIZWEDENIEOKAZALOSXPOS^I
-
TANNYM
DWAVDY
,
TAKKAKMYMOGLISTARTOWATXSOWTOROJTRANSPOZICII
.
pOTEMVEPRI^INAM
IMEETSQ
1
6

n
2

n

2
2

n

4
2

PROIZWEDENIJTREHNEZAWISIMYHTRANSPOZICIJIWOOB]E
j
C
d
j
=
1
!

n

2
2

n

2
2

:::

n

2
+2
2

=1

3

:::

(2

1)

n
2

RAZLI^NYHPROIZWEDENIJ
NEZAWISIMYHTRANSPOZICIJ
.
zADA^A
.
pOKAVITE
,
^TOPRI
n
=6
IMEEM
j
C
d
j6
=
j
C
1
j
[email protected]

2.
dLQ
n
=6
\TOUTWERVDENIENEIMEETMESTA
!
wSAMOMDELE
,
NEPOSREDSTWENNOEWY^IS
-
LENIEPOKAZYWAET
,
^TOW\TOMSLU^AE
j
C
1
j
=
j
C
3
j
=15,
WTOWREMQKAK
j
C
2
j
=45,
^TOW
193
O.Holder,BildungzusammengesetzterGruppen.{Math.Ann.,
1895,Bd.46,p.321{422.
180
nikolajwawilow
SUMMEDAETNAMWSE
75
[email protected]
S
6
(
[email protected]]EMPARAGRAFEMYSKAVEM
,
^TOW
\TOJGRUPPE
76
[email protected]
,
\TORASHOVDENIESWQZANOSTEM
,
^TO
Mathematica
PODOBNOBOLX
-
[INSTWUMATEMATIKOW
-
NESPECIALISTOWS^[email protected]@CIEJ
).
iDEJSTWITELXNO
,
[email protected]]EMPUNKTEMYPOSTROIMWNE[NIJAWTOMORFIZMGRUPPY
S
6
,
PE
-
REWODQ]IJ
C
1
W
C
3
.
dOKAZATELXSTWOTEOREMYgELXDERA
.
pUSTX
'
2
Aut(
S
n
).
tAKKAK
S
n
POROVDAETSQFUN
-
DAMENTALXNYMITRANSPOZICIQMI
s
1
;:::;s
n

1
,
TONAMDOSTATO^NODOKAZATXSU]ESTWOWANIE
TAKOJPERESTANOWKI

2
S
n
,
^TO
'
(
s
1
)=
s
1


1
;:::;'
(
s
n

1
)=
s
n

1


1
:
wDEJSTWITELXNOSTI
,
TEHNI^ESKINESKOLXKOUDOBNEEDOKAZYWATXSU]ESTWOWANIETAKOGO

2
S
n
,
^TO
I

'
(
s
h
)=
s
h
DLQWSEH
h
=1
;:::;n

1.
iZPRED[[email protected]]EJZADA^IMYZNAEM
,
^TOPRI
n
=6
IMEEM
j
C
d
j6
=
j
C
1
j
PRIWSEH

2.
pO\TOMUWSE
'
(
s
h
)
OBQZANYBYTXTRANSPOZICIQMI
.
bUDEMWESTIDOKAZATELXSTWOINDUKCIEJPOKOLI^ESTWU
r
FUNDAMENTALXNYHTRANSPOZICIJ
,
OBRAZYKOTORYHUDAETSQWERNUTXNAMESTOSOPRQVENIEM
.
bAZAINDUKCII
.
pUSTX
,
SKAVEM
,
'
(
s
1
)=(
ij
).
tOGDAPOLAGAQ

=(1
i
)(2
j
)
MYMOVEM
S^ITATX
,
^TO
I

'
(
s
1
)=
s
1
.
{AGINDUKCII
.
wOOB]EPREDPOLOVIM
,
^TONAMUVEUDALOSXPOSTROITXTAKOE

2
S
n
,
^TO
I

'
(
s
1
)=
s
1
;:::;I

'
(
s
r
)=
s
r
DLQNEKOTOROGO
1

r

n

2,
IBUDEMWESTIDOKAZATELXSTWO
INDUKCIEJPO
r
.
pOSMOTRIMNAOBRAZ
s
r
+1
PODDEJSTWIEM
I

'
.
pUSTX
,
SKAVEM
,
I

'
(
s
r
+1
)=
(
ij
).
pUSTXWNA^ALE
r
=1,
TAKKAKPORQDOK
(12)(
ij
)
RAWENPORQDKU
(12)(23)
RAWEN
3,
TO
f
1
;
2
g
f
i;j
g
[email protected]\LEMENTU
,
ATAKKAK
(
ij
)=(
ji
),
TOMOVNODAVES^ITATX
,
^TO
i
=1
i
=2.
zAMENQQ

NA
(3
j
)

,
ESLI
i
=2,
INA
(12)(3
j
)

,
ESLI
i
=1,
MOVNOS^ITATX
,
^TO
I

'
(
s
1
)=
s
1
;I

'
(
s
2
)=
s
2
.
wSLU^AE
r

2
DOKAZATELXSTWOANALOGI^NOIDAVENESKOLXKOPRO]E
.
tAKKAK
I

'
(
s
r
+1
)=
(
ij
)
KOMMUTIRUETSOWSEMI
(12)
;:::;
(
r

1
;r
),
APORQDOKPROIZWEDENIQ
(
r;r
+1)(
ij
)
RAWEN
3,
TO
f
i;j
g
NEPERESEKAETSQS
f
1
;
2
;:::;r
g
,
NO
r
+1
2f
i;j
g
.
pEREIMENOWYWAQ
i
j
MOVNODAVES^I
-
TATX
,
^TO
i
=
r
+1
ITOGDAZAMENQQ

NA
(
r
+2
;j
)

MYPOLU^AEM
I

'
(
s
1
)=
s
1
;:::;I

'
(
s
r
+1
)=
s
r
+1
.
2.
[email protected]^ITELXNYJAWTOMORFIZM
S
6
.
nA^INAQS
1895
GODABYLODANONESKOLXKORAZ
-
LI^NYHKONSTRUKCIJ
194
;
195
;
196
;
197
;
198
WNE[NEGOAWTOMORFIZMAPORQDKA
2
GRUPPY
S
6
.
bENDER
ZADAET
S
6
[email protected]]IMIISOOTNO[ENIQMIIPRED_QWLQETDWENESOPRQVENNYHSISTEMYOBRA
-
[email protected]]IH
,
[email protected]]IH\TIMSOOTNO[ENIQM
.
o^ENX\FFEKTNOEDOKAZATELXSTWOwITTA
[email protected]]EMSOOBRAVENII
.
oNREALIZUET
S
6
KAKPODGRUPPUWGRUPPEmATXE
M
12
IQWNOUKAZYWAET\LEMENT
g
2
M
12
,
[email protected]]IJ
S
6
ITAKOJ
,
^TOSOPRQVENIEPRIPOMO
-
]INEGOZADAETWNE[NIJAWTOMORFIZM
S
6
.
[email protected]]IMOBRAZOMOPREDELQETOBRAZY
WNE[NEGOAWTOMORFIZMAGRUPPY
S
6
[email protected]]IH
:
(12)
7!
(12)(35)(46)
;
(13)
7!
(13)(24)(56)
;
(14)
7!
(14)(25)(36)
;
(15)
7!
(15)(26)(34)
;
(16)
7!
(16)(23)(45)
IPOKAZYWAET
,
^TODEJSTWITELXNOSU]ESTWUETAWTOMORFIZM
S
6
(
[email protected]
196
MYDLQBOLX[EJSIMMETRIIPERESTAWILI
5
6).
194
H.A.Bender,Anewmethodforthedeterminationofthegroupofiso
morphismsofthe
symmetricgroupofdegree
n
.{Amer.Math.Monthly,1924,vol.31,p.287{289.
195
E.Witt,Die5-transitivenGruppenvonMathieu.{Abh.Math.Sem
.Univ.Hamburg,
1938,Db.12,S.256{264.
196
D.W.Miller,OnatheoremofHolder.{Amer.Math.Monthly,1958,v
ol.65,p.252{254.
197
G.Janusz,J.J.Rotman,Outerautomorphismsof
S
6
.{Amer.Math.Monthly,1982,vol.89,
p.407{410.
198
T.A.Fournelle,Symmetriesofthecubeandouterautomorphisms
of
S
6
.{Amer.Math.
Monthly,1993,April,p.377{380.
gruppy
:
firstdraught
181
uPRAVNENIE
.
wY^ISLITE
,
WO^TOPEREHODQTPRI\TOMAWTOMORFIZMEFUNDAMENTALXNYE
TRANSPOZICII
.
kAKIZWESTNO
,
S
5
DOPUSKAETDWANE\KWIWALENTNYHPREDSTAWLENIQNA
6
BUKWAH
,
INTRANZI
-
TIWNOEITRANZITIWNOE
.
qNU[IrOTMANZAME^[email protected]
,
^TOTAKKAK
j
S
6
:
S
5
j
=6,
TODEJSTWIE
S
6
NASMEVNYHKLASSAHPOTRANZITIWNOJPODGRUPPE
S
5
OPREDELQETGOMOMORFIZM
S
6
!
S
6
,
KOTORYJKAKRAZIQWLQETSQWNE[NIMAWTOMORFIZMOM
S
6
.
kROMETOGO
,
[email protected]
,
^TO
dV
.
uOLTERZAMETIL
,
^TOUVEGRUPPAKOLLINEACIJ
PL(2
;
9)
SODERVIT
S
6
[email protected]]IJ
S
6
\LEMENT
g
,
SOPRQVENIEPRIPOMO]IKOTOROGOREALIZUETWNE[NIJAWTOMORFIZM
S
6
.
nA
-
KONEC
,
fURNELXPRIWODITE]EODNOPOSTROENIEWNE[NEGOAWTOMORFIZMA
S
6
OSNOWANNOENA
[email protected]^ITELXNOMIZOMORFIZME
O
=
S
3
o
C
2

=
S
4

C
2
.
tAKIMOBRAZOM
,
GRUPPA
O
DOPUSKAET
DWAPREDSTAWLENIQW
S
6
{
TRANZITIWNOE
(
\TODEJSTWIE
O
NA
6
GRANQHKUBA
)
IINTRANZITIWNOE
(
\TOPRQMAQSUMMADEJSTWIQ
O
NA
4
DIAGONALQHKUBAIDEJSTWIQNA
2
TO^KAH
,
PRIKOTOROM
SOBSTWENNYEWRA][email protected]
).
wNE[NIJ
AWTOMORFIZM
S
6
KAKRAZIQWLQETSQPRODOLVENIEMIZOMORFIZMAMEVDU
S
3
o
C
2
S
4

C
2
NA
[email protected]
S
6
.
wRABOTE
199
IZU^AETSQSTROENIEGRUPPY
Aut(
S
6
).
w^ASTNOSTI
,
TAMPOKAZANO
,
^[email protected]\LEMENTA
Aut(
S
6
)
n
Inn(
S
6
)
RAWEN
2,4,8
10.
3

.
iZOMORFIZM
S
6

=
Sp(4
;
2)
.
dLQBOLEEPRODWINUTOGO^ITATELQPRIWEDEME]EODNODOKA
-
ZATELXSTWOSU]ESTWOWANIQU
S
6
WNE[NEGOAWTOMORFIZMA
.
dLQ\TOGOZAMETIM
,
^TOSU]ESTWOWA
-
[email protected]^ITELXNOGOAWTOMORFIZMAU
S
6
SOWER[ENNOO^EWIDNO
,
ESLI
[email protected]^ITELXNYJ
IZOMORFIZM
S
6

=
Sp(4
;
2)
GRUPPY
S
6
SSIMPLEKTI^ESKOJGRUPPOJSTEPENI
4
NADPOLEMIZ
2-
H
\LEMENTOW
,
KKOTOROMUMYWERNEMSQWTRETXEMSEMESTRE
.
dELOWTOM
,
^TOSIMPLEKTI^ESKIE
GRUPPYNADPOLEM
K
HARAKTERISTIKI
2
[email protected]@^ITELXNYJAWTOMORFIZM
,
[email protected]]IJ
DLINUKORNQ
.
|TOTAWTOMORFIZMPEREWODITSIMPLEKTI^[email protected]
0
B
B
@
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
a
41
a
42
a
43
a
44
1
C
C
A
2
Sp(4
;K
)
WSIMPLEKTI^[email protected]
0
B
B
@
a
12
a
21
+
a
11
a
22
a
14
a
21
+
a
11
a
24
a
13
a
22
+
a
12
a
23
a
14
a
23
+
a
13
a
24
a
12
a
41
+
a
11
a
42
a
14
a
41
+
a
11
a
44
a
13
a
42
+
a
12
a
43
a
14
a
43
+
a
13
a
44
a
22
a
31
+
a
21
a
32
a
24
a
31
+
a
21
a
34
a
23
a
32
+
a
22
a
33
a
24
a
33
+
a
23
a
34
a
32
a
41
+
a
31
a
42
a
34
a
41
+
a
31
a
44
a
33
a
42
+
a
32
a
43
a
34
a
43
+
a
33
a
44
1
C
C
A
:
eSLIWZQTXZDESX
K
=
F
2
IWERNUTXSQK
S
6
,
MYKAKRAZIPOLU^IMWNE[NIJAWTOMORFIZM
S
6
,
OKOTOROM[LARE^XWY[E
.
kOMMENTARIJ
.
nAQZYKEKORNEJ\TOTAWTOMORFIZM
Sp(4
;K
)
POSTROENrIMHAKOMrIDLQ
OB_QSNENIQKONSTRUKCIIGRUPPsUDZUKI
.
mATRI^NAQFORMULAZAPISANAuORENOMuONGOM
IOPUBLIKOWANAWSTATXE
200
.
nA[AFORMULASLEGKAOTLI^AETSQOTFORMULY
,
PRIWEDENNOJW
KNIGAH
[O'Meara]
[Isom],
TAKKAKMYRASSMATRIWAEMSIMPLEKTI^[email protected][[email protected]
KBAZISUwITTA
,
WKOTOROM
(
e
1
;e
4
)=(
e
2
;e
3
)=1,
WTOWREMQKAKWCITIROWANNYHKNIGAH
(
e
1
;e
3
)=(
e
2
;e
4
)=1.
x
16.Mathematica
PERESTANOWOK
wSISTEME
Mathematica
IMPLEMENTIROWANONESKOLXKOSTANDARTNYHFUNKCIJ
,
SWQZANNYHS
PERESTANOWKAMI
.
kROMETOGO
,
[email protected]
DiscreteMath`Permutations`
DiscreteMath`Combinatorica`
pERE^ISLIMNEKOTORYENAIBOLEEPOLEZNYEFUNKCII
.
Permutations[
]
GENERIRUETWSEPE
-
RESTANOWKISPISKA
.
nAPRIMER
,
199
T.Y.Lam,D.B.Leep,Combinatorialstructureoftheautomorphism
sof
S
6
.{Expositio
Math.,1993.
200
R.E.Solazzi,Four-dimensionalsymplecticgroups.{J.Algeb
ra,1977,vol.49,N.1,p.225{
237.
182
nikolajwawilow
Permutations[Range[n]]
GENERIRUETWSE\LEMENTYSIMMETRI^ESKOJGRUPPY
S
n
STEPENI
n
WLEKSIKOGRAFI^ESKOMPO
-
RQDKE
,
WSOKRA]ENNOJZAPISI
.
Reverse
{
PERESTANOWKA

12
:::n

1
n
nn

1
:::
21

.
RotateLeft
,
RotateRight
{
DLINNYECIKLY
.
tO^NEE
,
RotateRight[
]
CIKLI^ESKISDWIGAET
\LEMENTYSPISKA
[email protected]
,
A
RotateLeft[
]
{
[email protected]
.
aNA
-
LOGI^NO
,
RotateRight[
l;n
]
CIKLI^ESKISDWIGAET\LEMENTYSPISKA
NA
n
POZICIJWPRAWO
,
A
RotateLeft[
l;n
]
{
NA
n
POZICIJWLEWO
.
Permute[
x
,
y
]
PERESTAWLQETSPISOK
x
WSOOTWETSTWIISPERESTANOWKOJ
y
.
pRI\TOMPOLU^A
-
ETSQSOKRA]ENNAQZAPISXPROIZWEDENIQ
xy
,
TAK^TOFAKTI^ESKI\TOIESTXSPOSOBWY^ISLENIQ
PROIZWEDENIQPERESTANOWOK
.
sOWER[ENNOUDIWITELXNO
,
^TO\TAFUNKCIQNEIMPLEMENTIRO
-
WANAWQDRE
.
oDNAKOPOSKOLXKUWQDREESTXUMNOVENIEMATRIC
,
TONETRUDNOOPREDELITXI
UMNOVENIEPERESTANOWOK
,
DLQ\TOGODOSTATO^NOPOSTROITXGOMOMORFIZM
S
n
!
GL(
n;K
)
pi[x
]:=Table[If[i==x[[j]],1,0],
f
i,Length[x]
g
,
f
j,Length[x]
g
]
|[email protected]
S
n
IMNOVESTWOMWSEHMATRICPERESTA
-
NOWKI
,
PRI^EMOBRATNOEOTOBRAVENIEOPREDELQETSQPOSREDSTWOM
ip[x
]:=Flatten[Table[Position[Transpose[x][[i]],1],
f
i,Length[x]
g
]]
tEPERXMYMOVEMWY^ISLITXPROIZWEDENIE
xy
PERESTANOWOK
x
y
PRIPOMO]IPERENOSA
STRUKTURY
ip[pi[
x
].pi[
y
]]
.
InversePermutation[
x
]
{
PERESTANOWKAOBRATNAQK
x
.
TEST
PermutationGroupQ[
g
]
WOZWRA]AET
True
,
ESLISPISOKPERESTANOWOK
g
OBRAZUETGRUPPU
.
RandomPermutation[n]
POROVDAET
(
PSEWDO
)
SLU^[email protected]
n
.
TEST
PermutationQ[x]
WOZWRA]AET
True
,
ESLI
x
QWLQETSQPERESTANOWKOJ
,
False
WPROTIW
-
NOMSLU^AE
.
MinimumChangePermutations[
x
]
POROVDAETWSEPERESTANOWKISPISKA
x
TAKIMOBRAZOM
,
^TO
[email protected]\LEMENTAOTLI^[email protected]@
.
RankPermutation[
x
]
[email protected]
x
2
S
n
WLEKSIKOGRAFI^ESKOMSPIS
-
KEWSEHPERESTANOWOK
n
SIMWOLOW
(
ZAMETIM
,
^TONUMERACIQNA^INAETSQS
1,
TAK^TO
,
NAPRIMER
,
RankPermutation[
f
4,3,2,1
g
]=23
.
NextPermutation[
x
]
POROVDAETPERESTANOWKU
,
[email protected]][email protected]
x
WLEKSIKOGRAFI^ESKOMPO
-
RQDKE
.
TEST
DerangementQ[
x
]
WOZWRA]AET
True
,
ESLIPERESTANOWKAQWLQETSQBESPORQDKOM
.
nAPOM
-
NIM
,
^TOPERESTANOWKA

2
S
n
NAZYWAETSQ
BESPORQDKOM
,
ESLIUNEENETNEPODWIVNYHTO^EK
,
.
E
.
ESLI

(
i
)
=
i
DLQWSEH
i
2
n
.
NumberOfDerangements[
n
]
WY^ISLQETKOLI^ESTWO
D
n
BESPORQDKOWNA
n
SIMWOLAH
.
pRIWE
-
DEMDLQPRIMERANESKOLXKOPERWYHZNA^ENIJ
D
n
:
D
2
=1,
D
3
=2,
D
4
=9,
D
5
=44,
D
6
=265,
D
7
=1854,
D
8
=14833,
D
9
=133496,
D
10
=1334961.
NumberOfInvolutions[
n
]
WY^ISLQETKOLI^ESTWO
I
n
[email protected]
n
SIMWOLAH
(
[email protected]^AQ
[email protected]
!).
pRIWEDEMDLQPRIMERANESKOLXKOPERWYHZNA^ENIJ
I
n
:
I
1
=
1,
I
2
=2,
I
3
=4,
I
4
=10,
I
5
=26,
I
6
=76,
I
7
=232,
I
8
=764,
I
9
=2620,
I
10
=9496.
NumberOfPermutationsByCycles[
n
,
s
]
WY^ISLQETKOLI^ESTWOPERESTANOWOKNA
n
SIMWOLAH
,
UKOTORYHWTO^NOSTI
s
CIKLOW
.
wPAKETE
DiscreteMath`Permutations`
ESTXKOMANDY
,
[email protected]
POLNOJZAPISIKCIKLENNOJIOTCIKLENNOJKPOLNOJ
:
ToCycles[
x
]
DAETRAZLOVENIEPERESTANOWKI
x
WPROIZWEDENIENEZAWISIMYHCIKLOW
;
FromCycles[
f
x
1
;:::;x
n
g
]
GENERIRUETPERESTANOWKUSDANNYMRAZLOVENIEMNACIKLY
.
Inversions[
x
]
WOZWRA]AET^ISLOINWERSIJPERESTANOWKI
x
.
Signature[
x
]
WOZWRA]AETZNAKPERESTANOWKI
x
.
gruppy
:
firstdraught
183
tEMA
6.
dejstwiqgrupp
kAKUVENEODNOKRATNOOTME^ALOSX
[email protected]]EMBOLX[INSTWEPRILOVE
-
NIJGRUPPAWOZNIKAETNEKAKABSTRAKTNAQGRUPPA
AKAKGRUPPAPREOBRAZOWANIJ
T
E
[email protected]]AQNAMNOVESTWE
wNASTOQ]EJGLAWEMYDETALXNO
PROANALIZIRUEMPONQTIEDEJSTWIQ
IZU^IMOSNOWNYEKONSTRUKCIINADDEJSTWI
-
QMIGRUPP
OSNOWNYESWQZANNYESDEJSTWIQMIPONQTIQ
{
ORBITY
STABILIZA
-
TORY
TRANZITIWNOSTX
,...{
IPOZNAKOMIMSQSNESKOLXKIMIZAME^ATELXNYMI
DEJSTWIQMI
x
1.
dEJSTWIEGRUPPYNAMNOVESTWE
wNASTOQ]EMPARAGRAFEMYPRIMENIMOPREDELENIQIZ
x
?
KSLU^[email protected]
KOGDA
M
=
G
QWLQETSQGRUPPOJ
sPECIFIKAGRUPPOWYHDEJSTWIQSOSTOITWTOM
^TO
\LEMENTYGRUPPYOSU][email protected]
OBRATIMYE
PREOBRAZOWANIQMNOVESTWA
X
1.
dEJSTWIEGRUPPYNAMNOVESTWE
.
[email protected]
-
NOIDOM
WSEOPREDELENIQPREDYDU][email protected]
U^AQ
KOGDA
M
=
G
QWLQETSQGRUPPOJ
zAMETIM
^TODLQKAVDOGO\LEMENTAGRUPPY
OTOBRAVENIE

g
X
!
X
x
7!
gx
OSU]ESTWLQET
[email protected]
MNOVESTWA
X
NA
SEBQ
iZAKSIOM
1)
I
2)
SRAZUWYTEKAET
^TO
3)(

g
)

1
=

g

[email protected]
g
2
G
wSAMOMDELE

g

g

=

gg

=

1
=id
X
2.
sWQZXPRAWYHILEWYHDEJSTWIJ
.
oBRATIMOSTXWSEH\LEMENTOWPOZ
-
[email protected]
IJWSLU^AE
GRUPP
^EM\TOIMELOMESTOWSLU^AEMONOIDOW
dELOWTOM
^TOOTOBRAVENIE
inv:
G
!
G
g
7!
g

1
QWLQETSQ
ANTIAWTOMORFIZMOM
GRUPPY
G
NASEBQ
T
E
[email protected]\LEMENTOW
f;g
2
G
WYPOLNQETSQRAWENSTWO
(
fg
)

1
=
g

1
f

1
[email protected]
PRAWOE
G
-
MNOVESTWO
X
ESTESTWENNOPREWRA]AETSQW
LE
-
WOE
G
-
MNOVESTWOPOSREDSTWOMFORMULY
gx
=
xg

1
aNALOGI^NO
KAVDOELE
-
WOE
G
-
MNOVESTWOPREWRA]AETSQWPRAWOE
G
-
MNOVESTWOPOSREDSTWOMFORMULY
xg
=
g

1
x
tAKIMOBRAZOM
WDALXNEJ[EMMYMOVEMNETERQQOB]NOSTIGOWO
-
RITXLI[XOLEWYH
G
-
MNOVESTWAH
3.
184
nikolajwawilow
5.
gRUPPYPERESTANOWOK
.
pUSTX
X
ESTX
G
-
MNOVESTWO
qDROOTOBRAVENIQ

G
!
S
X
NAZYWAETSQTAKVE
QDROM
DEJSTWIQ
G
NA
X
dEJSTWIENAZYWAETSQ
TO^NYM
ESLIEGOQDROSOWPADAETS
1.
iNYMISLOWAMI
TO^NOSTXDEJSTWIQ
OZNA^AET
^[email protected]
g
2
G
g
=1,
NAJDETSQ
x
2
X
TAKOE
^TO
gx
=
x
eSLIGRUPPA
G
DEJSTWUETNA
X
TO^NO
TOONANAZYWAETSQE]E
GRUPPOJ
PERESTANOWOK
MNOVESTWA
X
oTOBRAVENIE

POZWOLQETOTOVDESTWITXGRUPPU
PERESTANOWOKMNOVESTWA
X
SPODGRUPPOJSIMMETRI^ESKOJGRUPPY
S
X
x
2.
tEOREMAk\LI
w\TOMPARAGRAFEMYPOKAVEM
^TO
KAVDAQ
GRUPPAMOVETRASSMATRIWATXSQ
KAKPODGRUPPAGRUPPYPERESTANOWOK
1.
tEOREMAk\LI
.
w
x
?
MYRASSMATRIWALITABLICUk\LIKONE^NOJKWAZI
-
GRUPPY
G
pRI\TOMMYZAMETILI
^TOWSESTROKI\TOJTABLICYPOLU^[email protected]
PERESTANOWKOJ
G
I
TAKIMOBRAZOM
G
OTOBRAVAETSQWNEKOTOROEPODMNOVESTWO
GRUPPY
S
wDEJSTWITELXNOSTI
DLQKWAZIGRUPPYWSESTROKITABLICYk\LI
RAZLI^NY
TAK^TO
G
gruppy
:
firstdraught
185
sLEDSTWIE
.
[email protected]^NAQGRUPPA
G
PORQDKA
n
186
nikolajwawilow
ASOCIATIWNOSTXPROIZWEDENIQW
G
\KWIWALENTNATOMU
^TOWSELEWYETRANSLQ
-
[email protected]
g
R
h
=
R
h
g
DLQWSEH
h;g
2
G
wSAMOMDELE
,(
g
R
h
)(
x
)=
g
(
xh
)=(
gx
)
h
=(
R
h
g
)(
x
).
tAKIMOBRAZOM
WDEJSTWITELXNOSTI
KOMBINIRUQLEWOEIPRAWOEREGULQRNOE
PREDSTAWLENIQ
G
MYPOLU^AEMPREDSTAWLENIE
G

G
PRQMOGOPROIZWEDENIQ
DWUHKOPIJ
GRUPPY
G
W
S
AIMENNO
G

G
!
S
,(
h;g
)
7!
h
R
g

kONE^NO
WOB]EMSLU^AE\TOPREDSTAWLENIENEQWLQETSQTO^NYM
TAKKAK
ESLI
h
=
g
2
C
(
G
){
CENTRALXNYJ\LEMENT
TO
g
R
g

=id
2.
dEJSTWIELEWYMISOPRQVENIQMI
.
oSOBYJINTERESPREDSTAWLQETKOM
-
POZICIQDIAGONALXNOGOWLOVENIQ
:
G
!
G

G;g
7!
(
g;g
)
S\TIMPREDSTAWLENIEM
[email protected]\TOM
g
2
G
PEREHODITW
I
g
=
g
R
g

kOMPOZICIQDWUHGOMOMORFIZMOW
{
GOMOMORFIZM
pROWEDEME]ERAZ
WY^ISLENIEW\TOMSLU^AE
^TOBYPOSMOTRETX
KAKWNEMISPOLXZUETSQTOTFAKT
^TO
g
I
R
h
[email protected]
I
hg
=
hg
R
(
hg
)

=
h
g
R
g

h

=
h
g
R
h

R
g

=
h
R
h

g
R
g

=
I
h
I
g
tAKIMOBRAZOM
OTOBRAVENIE
I
G
!
S
g
7!
I
g
QWLQETSQPERMUTACIONNYM
PREDSTAWLENIEMGRUPPY
G
pRI\TOMPREDSTAWLENII
g
2
G
SOPOSTAWLQETSQPE
-
RESTANOWKA
I
g
G
!
G
x
7!
gxg

1
T
E
WNUTRENNIJAWTOMORFIZM
GRUPPY
G
OTWE^[email protected]]IJ
G
2
G
|TOPREDSTAWLENIEOBY^NONAZYWAETSQ
PREDSTAWLE
-
NIEM
G
SOPRQVENIQMI
NASEBE
zNA^ITELXNAQ^ASTXTEORIIGRUPPSWQZANAS
IZU^ENIEM\TOGOPREDSTAWLENIQ
{
NAPRIMER
WSEU^ENIEOKANONI^ESKOJFORME
OPERATOROW
(`
SPEKTRALXNAQTEORIQ
')
ESTX
POSU]ESTWU
IZU^ENIE\TOGOPRED
-
STAWLENIQWSPECIALXNOMSLU^AE
KOGDA
G
QWLQETSQGRUPPOJAWTOMORFIZMOW
WEKTORNOGOPROSTRANSTWA
3.
dEJSTWIEPRAWYMISOPRQVENIQMI
.
oBRAZ\LEMENTA
x
PODDEJSTWIEM
I
g
^ASTOOBOZNA^AETSQTAKVE
g
x
INYMISLOWAMI
g
x
=
I
g
(
x
)=
gxg

1
pRI\TOM
gh
x
=
g
(
h
x
).
oDNAKONEWSEPRIWYKLIZAPISYWATXPOKAZATELXSTEPENISLEWA
tEMNEMENEE
MYNEMOVEMPROSTOOBOZNA^ITX
g
x
^EREZ
x
g
POTOMU^TOPRI\TOM
POLU^ILASXBYWESXMASTRANNOWYGLQDQ]AQFORMULA
x
gh
=(
x
h
)
g
wPREDYDU
-
]EMPUNKTEMYUVERAZOBRALISX
KAKBOROTXSQS\TOJPROBLEMOJ
NUVNOPE
-
REJTIKOBRATNYM
pO\TOMUDLQ
x;g
2
G
OBY^[email protected]
x
g
=
g

x
=
g

1
xg
pRI\TOMWYPOLNQETSQOBY^NAQFORMULA
x
gh
=(
x
g
)
h
oDNAKOSLEDUETIMETXW
WIDU
^TOOTOBRAVENIE
g
7!
I
g

=(
x
7!
x
g
)
gruppy
:
firstdraught
187
SIMMETRI^ESKOJGRUPPY
S
POROVDENNAQMNOVESTWOM
(
G
)=
f
g
g
2
G
g
LEWYHSDWIGOWIWSEMIAWTOMORFIZMAMIGRUPPY
G
NAZYWAETSQ
GOLOMORFOM
GRUPPY
G
iZU^IMSTROENIEGOLOMORFA
zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
Hol(
G
)=
h
R
(
G
)
Aut(
G
)
i
GDE
R
(
G
)=
f
R
g
g
2
G
g
{
MNOVESTWOPRAWYHSDWIGOW
zADA^A
.
pOKAVITE
^TO
(
G
)
E
Hol(
G
)
I
(
G
)
\
Aut(
G
)=1.
tAKIMOBRAZOM
Hol(
G
)=Aut(
G
)
i
(
G
),
GDE
Aut(
G
)
DEJSTWUETNA
(
G
)
POFORMULE
g

1
=
'
(
g
)
[email protected]
2
Aut(
G
),
g
2
G
zADA^A
.
pOKAVITE
^TO
Hol(
G
)=Aut(
G
)
i
R
(
G
).
kAKIMOBRAZOM
Aut(
G
)
DEJSTWUETNA
R
(
G
)?
zADA^A
.
pOKAVITE
^TOWGOLOMORFEWYPOLNQETSQDWOJNOECENTRALIZATORNOE
USLOWIE
C
Hol(
)
(
(
G
))=
R
(
G
)
;C
Hol(
)
(
R
(
G
))=
(
G
)
x
5.
oSNOWNYEKONSTRUKCIINAD
G
-
MNOVESTWAMI
1.
oGRANI^ENIEDEJSTWIQ
.
pUSTX
X
ESTX
G
-
MNOVESTWO
pODMNOVESTWO
Y

X
NAZYWAETSQ
USTOJ^IWYM
OTNOSITELXNODEJSTWIQ
G
ESLI
GY

Y
T
E
INYMISLOWAMI
gy
2
Y
[email protected]
g
2
G
y
2
Y
[email protected]^IWOE
PODMNOVESTWO
Y

X
MOVNORASSMATRIWATXKAK
G
-
MNOVESTWOPOSREDSTWOM
G

Y
!
Y
,(
g;y
)
7!
gy
|TODEJSTWIENAZYWAETSQ
OGRANI^ENIEM
DEJSTWIQ
G
NA
X
2.
mNOVESTWONEPODWIVNYHTO^EK
.
oTMETIMTRIWIALXNYJ
NOWAVNYJ
SLU^AJOGRANI^ENIQDEJSTWIQ
oBOZNA^IM^EREZ
X
MNOVESTWO
NEPODWIVNYH
TO^EK
DEJSTWIQ
G
NA
X
T
E
MNOVESTWOTAKIH
x
2
X
^TO
gx
=
x
DLQWSEH
g
2
G
[email protected]
X
=
\
Fix
g
(
X
),
GDEPERESE^ENIEBERETSQPOWSEM
g
2
G
tOGDA
X
QWLQETSQNAIBOLX[IMPODMNOVESTWOMW
X
NAKOTOROM
G
DEJSTWUETTRIWIALXNO
3.
iNDUCIROWANNYEDEJSTWIQ
.
pUSTX
X
ESTX
G
-
MNOVESTWO
oTNO[ENIE
\KWIWALENTNOSTI

NA
X
NAZYWAETSQ
SOGLASOWANNYM
SDEJSTWIEM
G
ILI
KON
-
GRU\NCIEJ
ESLIIZTOGO
^TO
x

y
[email protected]
g
2
G
WYTEKAET
^TO
gx

gy
oBOZNA^IM^EREZ
x
KLASS\LEMENTA
x
OTNOSITELXNO

dLQKONGRU\NCII

NA
X
FAKTOR
-
MNOVESTWO
X=

MOVNOPREWRATITXW
G
-
MNOVESTWO
POLAGAQ
g
x
=
gx
DLQWSEH
g
2
G
x
2
X
kORREKTNOSTX
\TOGOOPREDELENIQ
T
E
NEZAWISIMOSTX
g
x
OTWYBORAPREDSTAWITELQ
x
2
x
SRAZUWYTEKAETIZTOGO
^TO

KONGRU\NCIQ
4.
mNOVESTWOORBIT
.
sNOWAOTMETIMTRIWIALXNYJ
NOWAVNYJSLU^AJ
INDUCIROWANNOGODEJSTWIQ
aIMENNO
PUSTX

=

PREDSTAWLQETSOBOJOTNO
-
[ENIE
G
-
SOPRQVENNOSTI
tOGDA
O^EWIDNO

PREDSTAWLQETSOBOJKONGRU\[email protected]
(
WSAMOMDELE
ESLI
x

y
TO
gx

x

y

gy
).
fAKTOR
-
MNOVESTWO
X=

OBO
-
ZNA^AETSQOBY^NO^EREZ
X=G
INAZYWAETSQMNOVESTWOMORBITDLQDEJSTWIQ
G
NA
X
mNOVESTWO
X=G
QWLQETSQNAIBOLX[IMFAKTOR
-
MNOVESTWOMMNOVESTWA
X
NAKOTOROM
G
DEJSTWUETTRIWIALXNO
5.
dEJSTWIEPODGRUPPY
.
pUSTX
X
ESTX
G
-
MNOVESTWO
A
H

G
{
PODGRUPPA
W
G
tOGDAO^EWIDNO
X
MOVNORASSMATRIWATXKAK
H
-
MNOVESTWO
pRI\TOM
188
nikolajwawilow
ESLI
act:
G

X
!
X
ESTXDEJSTWIE
G
NA
X
TODEJSTWIE
H
NA
X
QWLQ
-
ETSQOGRANI^ENIEM
act
NA
H

X
wDALXNEJ[EMMYBUDEMISPOLXZOWATX\TU
[email protected]
6.
sWQZXMEVDUORBITAMIGRUPPYIPODGRUPPY
.
pUSTX
KAKIWY[E
X
ESTX
G
-
MNOVESTWO
A
H

G
{
PODGRUPPAW
G
tOGDADLQKAVDOGO
x
2
X
[email protected]^ENIE
Hx

Gx
tAKIMOBRAZOM
KAVDAQORBITAGRUPPY
G
NA
X
QWLQETSQOB_EDINENIEMORBITGRUPPY
H
INYMISLOWAMI
x

y
WLE^ET
x

y
oBRATNOE
WOOB]EGOWORQ
NEWERNO
T
E
\LEMENTY
x;y
2
X
MOGUTBYTX
SOPRQVENYOTNOSITELXNO
G
NONEOTNOSITELXNO
H
eSLIORBITA
Gx
TO^KI
x
2
X
QWLQETSQOB_EDINENIEMBOLEE
^EMODNOJORBITYGRUPPY
G
TOGOWORQT
^TOONA
gruppy
:
firstdraught
189
2
Map(
X;Y
)
OBRAZ
PODDEJSTWIEM
g
POSREDSTWOM
(
g'
)(
x
)=
(
gx
).
dEJ
-
STWITELXNOLI\TAFORMULAOPREDELITLEWOEDEJSTWIE
G
NA
Map(
X;Y
)?
uNI
-
TALXNOSTXO^EWIDNYMOBRAZOMWYPOLNENA
NOWOTKAKOBSTOITDELOSWNE[NEJ
[email protected]
?
wOZXMEMDWA\LEMENTA
g;h
2
G
IWY^ISLIM
(
gh
)
dLQ
[email protected]
x
2
X
IMEEM
((
gh
)
)(
x
)=
((
gh
)
x
)=
(
g
(
hx
))=(
g'
)(
hx
)=(
h
(
g'
))(
x
)
|TOZNA^IT
^TOWDEJSTWITELXNOSTIFORMULA
(
g'
)(
x
)=
(
gx
)
OPREDELQETNE
LEWOE
APRAWOEDEJSTWIE
G
NA
Map(
X;Y
),
TAK^TOBYLOBYPRAWILXNEEPISATX
(
'g
)(
x
)=
(
gx
).
tAKIMOBRAZOM
MYPRI[[email protected]^[email protected]
^TOLEWOEDEJSTWIE
G
NA
X
[email protected]
G
NA
Map(
X;Y
).
|TOPODSKAZY
-
WAET
^TODLQTOGO
^TOBYOPREDELITXLEWOEDEJSTWIENA
Map(
X;Y
),
GRUPPA
G
DOLVNADEJSTWOWATXNA
X
SPRAWA
iTAK
PREDPOLOVIM
^TO
X
ESTXPRAWOE
G
-
MNOVESTWOIZADADIMDLQ
g
2
G
I
2
Map(
X;Y
)
OTOBRAVENIE
g'
FORMULOJ
(
g'
)(
x
)=
(
xg
).
wOTTEPERXMYDEJSTWITELXNOPOLU^IMLEWOEDEJSTWIE
KAK
[email protected]]AQWYKLADKA
((
gh
)
)(
x
)=
(
x
(
gh
))=
((
xg
)
h
)=(
h'
)(
xg
)=(
g
(
h'
))(
x
)
wYWOD
KKOTOROMUMYPRI[LINEDOLVENUDIWLQTX
hORO[OIZWESTNO
^TO
MNOVESTWOOTOBRAVENIJ
Map(
X;Y
)
WEDETSEBQKONTRAWARIANTNOPOOTNO[[email protected]
KPERWOMUARGUMENTU
A\TOKAKRAZIZNA^IT
^TONAPRAWLENIEWSEHOTOBRA
-
VENIJMENQETSQNAPROTIWOPOLOVNOE
TAK^TO
W^ASTNOSTI
LEWYEIPRAWYE
MNOVESTWADOLVNYMENQTXSQMESTAMI
3.
dEJSTWIENAARGUMENTAH
:
WARIACIQ
.
pREDPOLOVIM
^TO
G
DEJSTWUET
NA
X
SLEWA
AMYWSEVEHOTIMZADATXNA
Map(
X;Y
)
LEWOEDEJSTWIE
dLQ\TOGO
WSOOTWETSTWIISPREDYDU]IMPUNKTOMMYDOLVNYPREVDEWSEGOP
REWRATITX
X
WPRAWOE
G
-
MNOVESTWO
kAKMYZNAEMIZ
x
2,
IMEETSQKANONI^ESKIJSPOSOB
SDELATX\TO
aIMENNO
PUSTX
g
2
G
2
Map(
X;Y
).
oPREDELIMOTOBRAVENIE
g'
[email protected]]IMOBRAZOM
POLOVIM
(
g'
)(
x
)=
(
g

1
x
).
tOGDA
KAKMYZNAEMIZ
PREDYDU]EGOPUNKTA
\TIMZADAETSQLEWOEDEJSTWIE
G
NA
Map(
X;Y
).
pROWEDEM
E][email protected]]EEWY^ISLENIE
((
gh
)
)(
x
)=
((
gh
)

1
x
)=
((
h

1
g

1
)
x
)=
=
(
h

1
(
g

1
x
))=(
h'
)(
g

1
x
)=(
g
(
h'
))(
x
)
sOWER[ENNOQSNO
^TOTO^NOTAKVEMOVNOPREWRATITX
Map(
X;Y
)
WPRAWOE
G
-
MNOVESTWOOTPRAWLQQSXOTPRAWOGODEJSTWIQ
G
NA
X
PRIPOMO]IFORMULY
(
'g
)(
x
)=
(
xg

1
).
4.
dEJSTWIENAOTOBRAVENIQH
.
pREDPOLOVIM
^TO
5.
mNOVESTWO\KWIWARIANTNYHOTOBRAVENIJ
.
Map(
X;Y
)
=Map
(
X;Y
).
x
8.
kLASSIFIKACIQTRANZITIWNYH
G
-
MNOVESTW
zADA^A
(
ARGUMENTfRATTINI
).
pUSTX
X
{
KONE^NOE
G
-
MNOVESTWO
H

G
TRANZITIWNODEJSTWUETNA
X
tOGDA
G
=
HG
x
[email protected]
x
2
X
zADA^A
.
pUSTX
X
{
TRANZITIWNOE
G
-
MNOVESTWO
x
2
X
H
=
G
x
{
STABILIZA
-
TORTO^KI
x
pOKAVITE
^TO
H
-
ORBITYNA
X
NAHODQTSQWBIEKTIWNOMSOOTWET
-
STWIIS
H
n
G=H
190
nikolajwawilow
x
9.
gLAWNYEODNORODNYEPROSTRANSTWA
1.
gLAWNYEODNORODNYEPROSTRANSTWA
.
dEJSTWIEGRUPPY
G
NAMNOVESTWE
X
NAZYWAETSQ
SWOBODNYM
ESLI
Stab
(
x
)=1
[email protected]
x
2
X
dEJSTWIE
GRUPPY
G
NAMNOVESTWE
X
NAZYWAETSQ
PROSTOTRANSZITIWNYM
ESLIDLQ
[email protected]
x;y
2
X
SU]ESTWET
EDINSTWENNOE
g
2
G
TAKOE
^TO
gx
=
y
zADA^A
.
dOKAVITE
^TODEJSTWIE
G
NA
X
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEPROSTO
TRANZITIWNO
KOGDAONOTRANZITIWNOEISWOBODNOE
zADA^A
.
eSLI
G
ABELEWA
TOEEDEJSTWIENA
X
WTOMITOLXKOTOMSLU^AE
PROSTOTRANZITIWNO
KOGDAONOTRANZITIWNOEITO^NOE
uSLOWIE
^TO
G
ABELEWA
UBRATXNELXZQ
sIMMETRI^ESKAQGRUPPA
S
X
DEJ
-
STWUETNA
X
TO^NOITRANZITIWNO
NOPRI
n

3
\TODEJSTWIENEQWLQETSQ
PROSTOTRANZITIWNYM
zADA^A
.
dEJSTWIEGRUPPY
G
NASEBELEWYMI
/
PRAWYMITRANSLQCIQMIPROSTO
TRANZITIWNO
mNOVESTWO
X
NAKOTOROMGRUPPA
G
DEJSTWUETPROSTOTRANZITIWNO
NAZY
-
WAETSQ
GLAWNYMODNORODNYMPROSTRANSTWOM
DLQGRUPPY
G
kAK
G
-
MNO
-
VESTWOONOIZOMORFNOSAMOJGRUPPE
G
OTNOSITELXNODEJSTWIQ
G
NASEBETRANS
-
LQCIQMI
NOIZOMORFIZM\TOT
WOOB]EGOWORQ
NEQWLQETSQKANONI^ESKIM
dLQ
USTANOWLENIQIZOMORFIZMANUVNOZAFIKSIROWATXTO^KU
x
2
X
tOGDA
G
!
X
g
7!
gx
IBUDETISKOMYMIZOMORFIZMOM
2.
aFFINNYEPROSTRANSTWA
.
aFFINNOEPROSTRANSTWOSTANOWITSQIZOMORF
-
NYMWEKTORNOMUPROSTRANSTWU
POSLETOGO
KAKWNEMWYBRANONA^ALOKOORDI
-
NAT
{
prorabotatx
x
10.
dEJSTWIENASMEVNYHKLASSAH
gRUPPA
G
DEJSTWUETSLEWANAMNOVESTWE
G=H
SMEVNYHKLASSOW
G
PO
H

G
sEJ^ASMYOBOB]IMTEOREMUk\LINA\TOTSLU^AJ
nAPOMNIM
^TO
SERDCE
-
WINOJ
GRUPPY
H
NAZYWAETSQGRUPPA
H
=
\
gHg

1
g
2
G
gRUPPA
H
\TOW
TO^NOSTINAIBOLX[IJNORMALXNYJDELITELXGRUPPY
G
SODERVA]IJSQW
H
tEOREMA
.
qDRODEJSTWIQ
G
NA
G=H
RAWNO
H
.
pRI\TOM
G=H
IZOMORFNA
gruppy
:
firstdraught
191
sLEDSTWIE
3.
eSLI
G
KONE^NAI
G
H
=
p
,
GDE
p
{
NAIMENX[EEPROSTOE
,
DELQ]EE
G
,
TO
H
E
G
.
dOKAZATELXSTWO
.
wSAMOMDELE
POTEOREME
G
H
DELIT
p
tAKKAKNIKAKOE
PROSTOEMENX[EE
^EM
p
NEDELIT
G
TO
G
H
=1
ILI
G
H
=
p
NOWEDX
H

H
TAK^[email protected]^ENA
nO\TOZNA^IT
^TO
H
=
H
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOESLI
G
PROSTAQ
GRUPPASPODGRUPPOJINDEKSA
n
TO
ONAIZOMORFNAPODGRUPPEW
S
n
sLEDSTWIE
.
C
=
C
[f1g
POSREDSTWOM

ab
cd

:
z
7!
az
+
cz
+
:
[email protected]][email protected]@^EWOEZNA^ENIEWGEOMETRII
,
TEORII^ISELIKOMPLEKSNOM
ANALIZE
.
1.
dEJSTWIE
PSL(2
;
R
)
NAPLOSKOSTIlOBA^EWSKOGO
.
oBOZNA^IM^EREZ
H
[email protected]@POLU
-
PLOSKOSTX
f
z
2
C
j
im(
z
)

0
g
.
hORO[OIZWESTNO
201
,
^TO
H
MOVNOMYSLITXSEBEKAKMODELX
PLOSKOSTIlOBA^EWSKOGO
202
.
pRI\[email protected]
,
ORTOGONALX
-
NYHWE]ESTWENNOJOSI
(
WTOM^ISLE
,
KONE^NO
,
IDUGIOKRUVNOSTEJBESKONE^NOGORADIUSA
,
.
E
.
[email protected]@POLUPLOSKOSTXLU^IORTOGONALXNYEKWE]ESTWENNOJOSI
).
|TAIN
-
TERPRETACIQGEOMETRIIlOBA^EWSKOGONAZYWAETSQ
[email protected]
203
.
lEGKOPROWERITX
(
PRODELAJTE\TO
!),
^TOGRUPPA
PSL(2
;
R
)
DEJSTWUETNA
H
,
INYMISLOWAMI
,
ESLI
im(
z
)

0,
A
a;b;c;d
2
R
,
TO
im

az
+
cz
+


0.
2.
dEJSTWIE
PSL(2
;
C
)
NATREHMERNOMPROSTRANSTWElOBA^EWSKOGO
.
pOSTROITXDEJ
-
STWIEW\TOMSLU^AE^UTXSLOVNEE
.
aIMENNO
,
[email protected]][email protected]
201
nAPRIMER
,
IZRISUNKOWmORISA|[ERA
.
202
bUKWA
H
QWLQETSQPERWOJBUKWOJSLOWA
`hyperbolic'{
GIPERBOLI^ESKIJ
,
WANGLOQZY^NOJ
[email protected]^EWSKOGOPRINQTONAZYWATXGIPERBOLI^ESKOJGEOMETRIEJ
.
203
[email protected]@TKONFORMNO\[email protected]
,
PRIKOTOROJ
PLOSKOSTXlOBA^[email protected]^NOGOKRUGA
,
APRQMYMIQWLQ
-
@TSQDUGIOKRUVNOSTEJORTOGONALXNYHKGRANICE\TOGOKRUGA
.
|TIMODELIPEREWODQTSQ
DRUGWDRUGAPREOBRAZOWANIEMk\LI
.
192
nikolajwawilow
PROSTRANSTWAlOBA^EWSKOGO
.
wLOVIMPOLEKOMPLEKSNYH^ISEL
C
=
R
1

R
i
WTELOKWATER
-
NIONOW
H
=
R
1

R
i

R
j

R
k
IOBOZNA^IM^EREZ
H
[email protected]]EEMNOVESTWOKWATERNIONOW
H
=
f
u
+
vi
+
wj
j
u;v;w
2
R
;w�
0
g
.
[email protected]][email protected]]EJFORMULOJ
:

ab
cd

:
u
+
vi
+
wj
7!
(
a
(
u
+
vi
)+
)
(
(
u
+
vi
)+
)+
a
cw
2
+
wj
j
(
u
+
vi
)+
j
2
+
j
j
2
t
2
:
zADA^A
.
pROWERXTE
,
^TO\TAFORMULADEJSTWITELXNOOPREDELQETDEJSTWIE
PSL(2
;
C
)
NA
H
.
x
12.
dWAZAME^ATELXNYHDEJSTWIQ
S
3
I
S
6
pUSTX
K
]
=
K
nf
0
;
1
g
.
[email protected]]EEDEJSTWIE
S
3
REALXNO
WOZNIKAETPRIPRIWEDENIIURAW
-
NENIQ
\LLIPTI^ESKOJKRIWOJ
KKANONI^ESKOMUWIDU
y
2
=
x
(
x

1)(
x


)(
SM
.,
NAPRIMER
,
[Ha],
S
.403{406).
1.
dEJSTWIE
S
3
.
zASTAWIMGRUPPU
S
3
DEJSTWOWATXNA
K
]
[email protected]]IMOBRAZOM
.
dLQZADAN
-
NOGO

=0
;
1
\LEMENT

2
S
3
OBY^NYMOBRAZOMPERESTAWLQET
0
;
1
;
,
POSLE^EGOKPOLU^ENNYM
\LEMENTAMPRIMENQETSQAFFINNOEPREOBRAZOWANIE
,
PEREWODQ]EEIHW
0
;
1
;
.
|LEMENT

PROWOZGLA[AETSQ
f

(

).
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TO\TODEJSTWIE
.
nAJDITEORBITYGRUPPY
S
3
W\TOMDEJSTWII
.
uKAZANIE
.
pOSMOTRITEWNA^ALENAMASSOWYJSLU^AJ
char(
K
)
=2
;
3,
POTOMWYQSNITE
,
^TO
[email protected]^ITELXNYHHARAKTERISTIKAH
.
rE[ENIE
.
aFFINNOEPREOBRAZOWANIE
f
,
PEREWODQ]EE
a;b
,
a
=
,
W
0
;
1
IMEETWID
x
7!
(
x

a
)
=
(

a
).
tAKIMOBRAZOM
,
ESLI
f
id
(

)=

)=id,
f
(12)
(

)=1


,
f
(13)
(

)=
=
(1


),
f
(23)
(

)=1
=
,
f
(123)
(

)=1
=
(1


)
,
NAKONEC
,
f
(132)
(

)=(1


)
=
.
wZADA^E
?
UVEPREDLAGA
-
LOSXPROWERITX
,
^TO\[email protected]
.
tAKIM
OBRAZOM
,
WSE
ORBITY[ESTI\LEMENTNYE
,
WIDA
f
;
1

;=
(1


)
;
1
=;
1
=
(1


)
;
(1


)
=;
[email protected]^ENIEMTREH\LEMENTNOJORBITY
f
1
;
2
;
1
=
2
g
,
WOZMOVNO
,
DWUH\LEMENTOJORBITY
f
1+
!;
1+
!
g
,
GDE
!
=
p
1,
KOTORAQWOZNIKAET
,
ESLI
!
2
K
.
tAKIMOBRAZOM
,
DWUH\LEMENTNAQ
ORBITASOSTOITIZPERWOOBRAZNYHKORNEJ
6-
JSTEPENIIZ
1,
ESLIONILEVATWPOLE
K
.
tREH
-
\LEMENTNAQORBITAPOQWLQETSQ
,
KOGDA

STABILIZIRUETSQTRANSPOZICIEJ
,
SKAVEM
,

=1
=
,
ADWUH\LEMENTNAQORBITA
{
KOGDA

STABILIZIRUETSQ
3-
CIKLOM
,
SKAVEM
,

=1
=
(1


).
|TO
[email protected]

6
(

)=

2


+1=0.
[email protected]^[email protected]]IEOTKLONENIQOT\TOJSTROJNOJ
KARTINY
:

eSLI
char(
K
)=2,
TOORBITY
f
1
;
2
;
1
=
2
g
NET
.

eSLI
char(
K
)=2,
TOURAWNENIE

2


+1=0
PRINIMAETWID

2
+

+1=0,
TAK^TO
DWUH\LEMENTNAQORBITASOSTOITIZPERWOOBRAZNYHKORNEJSTEPENI
3,
ESLIONIOEVATWPOLE
K
.

eSLI
char(
K
)=3,
TO

1=2=1
=
2,
TAK^TOTREH\LEMENTNAQORBITASTANOWITSQODNO
-
\LEMENTNOJ
!

eSLI
char(
K
)=3,
TO

2


+1=0
PRINIMAETWID

2
+

+1=0,
TAK^TODWUH\LEMENTNAQ
ORBITANEWOZNIKAET
.
nA^[email protected]]EMUPOLEZNOOSOZNATX
,
^TOWSE\TOKONKRETNOOZNA^AETDLQNEBOLX[IHKONE^NYH
POLEJTAKIHKAK
F
25
,
F
27
,
F
32
F
49
.
2.
dEJSTWIE
S
6
.
wKLASSIFIKACIIKRIWYHRODA
2
[email protected]]EEOBOB]ENIE\TO
-
GOPRIMERA
(
SM
.[Ha],
UPRAVNENIE
2.2
NASTR
.385{386).
kAKMYUZNAEMWgLAWE
IV,
ESLI
x;y;z
TRIPOPARNORAZLI^NYETO^KIIZ
K
=
K
[f1g
,
TOSU]ESTWUETEDINSTWENNOE
DROBNO
-
LINEJNOEPREOBRAZOWANIE
'
:
t
7!
(
at
+
)
=
(
ct
+
)
TAKOE
,
^TO
'
(
x
)=0,
'
(
y
)=1,
'
(
z
)=
1
.
oPREDELIMDEJSTWIE
S
6
NA
TROJKAHPOPARNORAZLI^NYHTO^EK
IZ
K
]
[email protected]]IMOBRAZOM
.
dLQZADANNOGO
x;y;z
=0
;
1
;
1
\LEMENT

2
S
6
OBY^NYMOBRAZOMPERESTAWLQET
0
;
1
;
1
;x;y;z
,
POSLE^EGOKPOLU^ENNYM\LEMENTAMPRIMENQETSQDROBNO
-
LINEJNOEPREOBRAZOWANIE
'
,
PERE
-
WODQ]EEPERWYETRIIZNIHW
0
;
1
;
1
.
tROJKA
(
'
(

(
x
))
;'
(

(
x
))
;'
(

(
x
)))
INAZYWAETSQOBRAZOM
(
x;y;z
)
PODDEJSTWIEM

.
gruppy
:
firstdraught
193
oBOB]ENIENA\TODEJSTWIEPREDYDU]EJZADA^IWPOLNOMOB_EMEPREDSTAWLQETSOBOJ
DO
-
STATO^NOSUROWOEZANQTIE
(
ISPOLXZUJTE
Mathematica
Maple!).
oGRANI^IMSQPO\TOMU
ODNIMOSOBENNOINTERESNYMSLU^AEM
.
zADA^A
.
nAJTIORBITYTROEK
(
x;y;z
)
PODDEJSTWIEM
5-
CIKLA
(12345)
2
S
6
.
oTWET
.
nESLOVNOEWY^ISLENIEPOKAZYWAET
,
^TO\TOTCIKLDEJSTWUETPOSREDSTWOM
(
x;y;z
)
7!

y

1
y

x
;
1
x
;
z

1
z

x

:
oDNO\[email protected]^ENIIIKORNQH
5-
JSTEPENIIZ
1.
x
13.
kASKADYIPOTOKI
dEJSTWIEADDITIWNOJGRUPPY
Z
NAMNOVESTWE
X
NAZYWAETSQ
KASKADOM
NA
X
.
dEJSTWIEADDITIWNOJGRUPPY
R
NAMNOVESTWE
X
NAZYWAETSQ
POTOKOM
NA
X
.
pUSTX
I

R
{
OTKRYTYJINTERWAL
,
SODERVA]IJ
0.
dEJSTWIE
I
NA
X
,
ZADAWYAEMOEOTOBRAVENIEM
I

X
!
X
NAZYWAETSQ
LOKALXNYMPOTOKOM
,
ESLI
LF1.(
a
+
)
x
=
a
(
bx
)
KAVDYJRAZ
,
KOGDA
a;b
2
I
TAKOWY
,
^TO
a
+
2
I
LF2.0
x
=
x
[email protected]
x
2
X
.
~ASTOUDOBNEES^ITATX
,
^TOZADANOOTOBRAVENIE

:
I
!
S
X
,
a
7!

a
,
[email protected]]EE
KAVDOMU
a
2
I
PREOBRAZOWANIE

a
MNOVESTWA
X
.
tOGDALOKALXNYJPOTOKZADAETSQPOSRED
-
STWOM
ax
=

a
(
x
),
AUSLOWIQNADEJSTWIEZAPI[UTSQWWIDE

a
+
b
=

a

b

0
=id
X
.
pOKAZATX
,
^[email protected]
X
EDINSTWENNYMOBRAZOMPRODOLVAETSQDOPO
-
TOKANA
X
.{
prorabotatx
!!
sOOBRAVENIETAKOE
:
PUSTX
I

R
.
oTOBRAVENIE
'
:
I
!
G
NAZYWAETSQ
LOKALXNYM
GOMOMORFIZMOM
,
ESLI
'
(
a
+
)=
'
(
a
)
'
(
)
DLQWSEH
a;b
2
I
TAKIH
,
^TO
a
+
2
I
.
pOKAZATX
,
^[email protected][LXNYJGOMOMORFIZMEDINSTWENNYMOBRAZOMPRODOLVAETSQDOGOMO
MORFIZMA
R
!
G
.
uKAZANIE
:
[email protected]
x
2
R
SU]ESTWUET
n
2
N
TAKOE
,
^TO
x=n
2
I
.
kOAN
.
kAK\[email protected][ENIJDIFFERENCIALXNYHURAWNENIJ
?
oTWET
:
OSOBYETO^KI
,
TAMWREMQZAKAN^IWAETSQINA^INAETSQSNOWA
.
194
nikolajwawilow
tEMA
7.
linejnyegruppy
IbelieveinaheliocentricviewoftheUniverse,withlineargro
upsplaying
theroleoftheSun
JohnThompson
~TENIE\TOJGLAWYPREDPOLAGAETZNAKOMSTWOSOSNOWNYMIPONQTI
QMI
OBSUV
-
DAEMYMIWKNIGAH
III
I
IV
NASTOQ]EGOU^EBNIKA
[email protected]^EREDX
SKOLXCAMI
I
(
SWOBODNYMI
)
MODULQMI
INEKOTORYMIIHPROSTEJ[IMISWOJSTWAMI
ATAKVE
TAKIMIPONQTIQMI
KAK
SKAVEM
GOMOMORFIZM
IDEALIFAKTOR
-
KOLXCO
kROME
TOGO
PREDPOLAGAETSQ
^TO^ITATELXLEGKOUMNOVAET
(
BLO^NYE
)
MATRICY
1.
lINEJNYEGRUPPY
x
1.
pOLNAQLINEJNAQGRUPPA
x
2.
lINEJNYEGRUPPYNADKONE^NYMPOLEM
x
3.
nEKOTORYEWAVNEJ[IEPODGRUPPY
x
4.
bLO^NYEPODGRUPPY
x
5.
|LEMENTARNYETRANSWEKCII
x
6.
pSEWDOOTRAVENIQ
x
7.
mATRICYPERESTANOWKI
x
8.
tRANSWEKCII
x
9.
sOOTNO[ENIQMEVDU\LEMENTARNYMITRANSWEKCIQMI
x
10.
kORNEWYEPOLUPROSTYE\LEMENTY
x
11.
gOMOMORFIZMREDUKCII
x
6.
|LEMENTARNAQGRUPPA
x
8.
nORMALXNOSTX\LEMENTARNOJGRUPPY
x
9.
gRUPPAsTEJNBERGA
??
x
10.
kONGRU\NC
-
PODGRUPPY
x
11.
oTNOSITELXNAQ\LEMENTARNAQGRUPPA
x
12.
nORMALXNYEPODGRUPPY
GL(
n;R
)
x
13.
tEOREMAvORDANA
-
dIKSONA
x
14.
oPREDELITELXdXEDONNE
x
15.
aWTOMORFIZMY
GL(
n;R
)
x
16.
[email protected]
x
17.
rAZLOVENIEgAUSSA
x
18.
pARABOLI^ESKIEPODGRUPPY
x
19.
nEPRIWODIMYELINEJNYEGRUPPY
x
20.
pRIMITIWNYELINEJNYEGRUPPY
x
21.
kLASSI^ESKIEGRUPPY
???
x
22.
tEOREMAkLIFFORDA
x
23.
tEOREMAmAKLAFLINA
x
1.
lINEJNYEGRUPPY
1.
pOLNAQLINEJNAQGRUPPA
.
pUSTX
R
{
ASSOCIATIWNOE
NO
WOOB]EGO
-
WORQ
NEOBQZATELXNOKOMMUTATIWNOEKOLXCOS
1.
mULXTIPLIKATIWNAQGRUPPA
POLNOGOMATRI^NOGOKOLXCA
M
(
n;R
)

OBOZNA^AETSQ^EREZ
G
=GL(
n;R
)
INA
-
ZYWAETSQ
POLNOJLINEJNOJGRUPPOJ
STEPENI
n
NAD
R
oBOZNA^ENIE
GL
KAK
gruppy
:
firstdraught
195
RAZIQWLQETSQSOKRA]ENIEMOTANGLIJSKOGO
GeneralLienarGroup
tAKIM
OBRAZOM
[email protected]
GL(
n;R
)
SOSTOITIZWSEH
DWUSTORONNE
OBRA
-
TIMYHKWADRATNYHMATRICSTEPENI
n
SKO\FFICIENTAMIIZ
R
kAKIWGLAWAH
POSWQ]ENNYHLINEJNOJALGEBRE
MYOBOZNA^AEMMATRICU
[email protected]
g
=(
g
ij
)
2
G
^EREZ
g

1
=(
g
0
ij
).
wNAIBOLEEWAVNOM^ASTNOMSLU^AE
KOGDAKOLXCO
R
KOMMUTATIWNO
OPREDE
-
LENMULXTIPLIKATIWNYJGOMOMORFIZM
det:
M
(
n;R
)
!
R
pRI\TOMMATRICA
g
2
M
(
n;R
)
WTOMITOLXKOTOMSLU^AEOBRATIMA
KOGDAEEOPREDELITELX
det(
x
)
OBRATIMWKOLXCE
R
w\TOMSLU^[email protected]@GRUPPUMOVNOOPREDE
-
[email protected]]IMOBRAZOM
GL(
n;R
)=
f
x
2
M
(
n;R
)
det(
x
)
2
R

g
w^ASTNOSTI
NADKOMMUTATIWNYMKOLXCOMODNOSTORONNQQOBRATIMOSTXMATR
IC
[email protected]
2.
pOLNAQLINEJNAQGRUPPAMODULQ
.
wOOB]E
PUSTX
V
{
[email protected]
R
-
MODULX
gRUPPA
GL(
V
)=End(
V
)

(
DWUSTORONNE
)
OBRATIMYHLINEJNYHOPERATOROWNA
V
NAZYWAETSQPOLNOJLINEJNOJGRUPPOJMODULQ
V
s\TOJTO^KIZRENIQGRUP
-
PU
GL(
n;R
)
STANOWITSQIZOMORFNOJGRUPPEAWTOMORFIZMOWSWOBODNOGOMOD
ULQ
RANGA
n
POSLETOGO
KAKMYWYBEREMW\TOMMODULEBAZIS
aIMENNO
,GL(
n;R
)
MOVNOOTOVDESTWITXSGRUPPOJ
GL(
R
n
)
AWTOMORFIZMOW
SWOBODNOGO
PRAWOGO
R
-
MODULQ
R
n
aIMENNO
g
2
GL(
n;R
)
DEJSTWUETNA
R
n
UMNOVENIEM
SLEWA
u
7!
gu
pRI\TOMOBRATIMOSTX
g
GARANTIRUET
^TOUMNO
-
VENIENA
g
QWLQETSQAWTOMORFIZMOM
ANEPROSTO\NDOMORFIZMOMMODULQ
R
n
tO^NOTAKVEGRUPPA
GL(
n;R
)
DEJSTWUET
SPRAWA
NASWOBODNOM
LEWOM
R
-
MODULE
n
R
KAKGRUPPAAWTOMORFIZMOW
GL(
n
R
)
POSREDSTWOM
v
7!
vg
DLQ
g
2
GL(
n;R
)
I
v
2
n
R
3.
pROEKTIWNAQLINEJNAQGRUPPA
.
pUSTX
A
=Cent(
R
)
CENTRKOLXCA
R
tOGDAMATRICA
e

2
A

NAZYWAETSQ
SKALQRNOJ
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOCENTR
C
(
n;R
)
POLNOJLINEJNOJGRUPPY
GL(
n;R
)
SOW
-
PADAETSMNOVESTWOMWSEHSKALQRNYHPREOBRAZOWANIJ
uKAZANIE
.
dLQ\TOGOPOLEZNOZNATXDOSTATO^NYJZAPASOBRATIMYHMATRIC
wERNITESXK\TOJZADA^EPOSLE^TENIQ
x
?.
kLASSMATRICY
g
2
GL(
n;R
)
WFAKTOR
-
GRUPPE
GL(
n;R
)
=C
(
n;R
)
GRUPPY
GL(
n;R
)
POCENTRUOBY^NOOBOZNA^AETSQ^EREZ
g
pRI\TOMWSLU^AE
KOGDAW
OBOZNA^ENII
g
ISPOLXZOWANYKRUGLYESKOBKI
WOBOZNA^ENIIDLQ
g
ONIOPUSKA
-
@TSQ
TAK^TOWMESTO
[(
g
ij
)]
PI[UTPROSTO
g
ij
[email protected]
,[
hg
]=[
h
g
g

1
]=[
g

1
I
g
]=[
g
[email protected]

2
Cent(
R
).
wSLU^AE
KOGDA
R
=
K
POLE
FAKTOR
-
GRUPPA
GL(
n;K
)
=C
(
n;K
)
OBOZNA^AETSQ
PGL(
n;K
)
INAZYWAETSQ
PROEKTIWNOJSPECIALXNOJLINEJNOJGRUPPOJ
STEPENI
n
NAD
K
oBOZNA^ENIE
PGL
QWLQETSQSOKRA]ENIEMOT
Projective
GeneralLinearGroup
pREDOSTEREVENIE
.
nEKOTORYENAIWNYEPISATELI
NEZNAKOMYESPERWYMI
GRUPPAMIKOGOMOLOGIJ
BEZZASTEN^[email protected]
GL(
n;R
)
=C
(
n;R
)
PROEKTIW
-
NOJLINEJNOJGRUPPOJIWSLU^AEKOLEC
NO\TOBEZNADEVNONEWERNO
wDEJ
-
STWITELXNOSTI
DAVEDLQKOMMUTATIWNYHKOLECGRUPPA
PGL(
n;R
),
[email protected]
ESTESTWENNOPONIMATX
KAKGRUPPUAWTOMORFIZMOWPROEKTIWNOGOPROSTRANSTWA
PO^TIWSEGDAZAMETNOBOLX[E
^EMPROSTOFAKTOR
-
GRUPPA
GL(
n;R
)
POCENTRU
196
nikolajwawilow
dELOWTOM
^TO\PIMORFIZMYALGEBRAI^[email protected]_EK
-
TIWNYNATO^KAH
4.
sPECIALXNAQLINEJNAQGRUPPA
.
pUSTXSNOWA
R
KOMMUTATIWNO
w\TOM
SLU^AEWGRUPPE
GL(
n;R
)
[email protected]^I
-
[email protected]
SL(
n;R
)=
f
x
2
M
(
n;R
)
det(
x
)=1
g
SOSTOQ][email protected]
1.
gRUPPA
SL(
n;R
)
NAZYWAETSQ
SPECIALXNOJLINEJNOJGRUPPOJ
STEPENI
n
NAD
R
oBOZNA^ENIE
SL
QWLQ
-
ETSQSOKRA]ENIEMOT
SpecialLinearGroup
wSLU^AE
KOGDA
R
=
R
{
POLE
WE]ESTWENNYH^ISEL
GRUPPA
SL(
n;
R
)
ESTESTWENNOISTOLKOWYWAETSQGEOMETRI
-
^ESKIKAKPODGRUPPAW
GL(
n;
R
),
SOSTOQ]AQIZPREOBRAZOWANIJ
[email protected]]IH
ORIENTIROWANNYJ
OB_EM
kROME
SL(
n;R
)
WSTRE^AETSQ
HOTQIZAMETNOREVE
DRUGIEGRUPPY
OPREDE
-
LENNYEWTERMINAHZNA^ENIJOPREDELITELQ
SKAVEM
SL

(
n;R
)=
f
x
2
M
(
n;R
)
det(
x
)=

1
g
wSLU^AE
R
=
R
GRUPPAGRUPPA
SL

(
n;
R
)
ISTOLKOWYWAETSQKAKPODGRUPPAW
GL(
n;
R
),
SOSTOQ]AQIZPREOBRAZOWANIJ
[email protected]]IHOB_EM
(
NONEORIENTA
-
[email protected]
!).
w\TOMSLU^AE^ASTORASSMATRIWAETSQIGRUPPA
GL
+
(
n;
R
)=
f
x
2
M
(
n;
R
)
det(
x
)

0
g
LINEJNYHPREOBRAZOWANIJ
[email protected]][email protected]
(
NONEOB_EM
!)
5.
pROEKTIWNAQSPECIALXNAQLINEJNAQGRUPPA
.
cENTR
SC(
n;R
)
SPECI
-
ALXNOJLINEJNOJGRUPPY
SL(
n;R
)
SOWPADAETSPERESE^ENIEM
C
(
n;R
)
\
SL(
n;R
).
oNSOSTOITIZWSEHSKALQRNYHMATRIC
e
GDE

2
R
TAKOWO
^TO

n
=1.
wSLU^AE
KOGDA
R
=
K
{
POLE
FAKTOR
-
GRUPPA
SL(
n;K
)
=
SC(
n;K
)
^ASTO
OBOZNA^AETSQ^EREZ
PSL(
n;K
)
INAZYWAETSQ
PROEKTIWNOJSPECIALXNOJLI
-
NEJNOJGRUPPOJ
oBOZNA^ENIE
PSL
QWLQETSQSOKRA]ENIEMOT
Projective
SpecialLinearGroup
pREDOSTEREVENIE
.
wSE
^TOSKAZANOWY[EOPROEKTIWNOEPOLNOJLINEJNOJ
GRUPPESE]EBOLX[IMDRAMATIZMOMPRIMENIMOKPROEKTIWNOJSPE
CIALXNOJ
LINEJNOJGRUPPE
wDEJSTWITELXNOSTI
GRUPPA
SL(
n;K
)
=
SC(
n;K
)
KAKPRAWILO
NESOWPADAETSNASTOQ]EJ
PSL(
n;K
)
UVEDLQSLU^AQPOLQ
x
2.
lINEJNYEGRUPPYNADKONE^NYMPOLEM
1.
lINEJNYEGRUPPYNADKONE^NYMIPOLQMI
.
eSLI
=
p
m
p
2
P
PRIMARNOE^ISLO
TOSU]ESTWUETEDINSTWENNOEKONE^NOEPOLE
K
=
F
q
IZ
\LE
-
MENTOW
mYISPOLXZUEMOBY^NYESOKRA]ENIQ
GL(
n;K
)=GL(
n;q
),
C
(
n;K
)=
C
(
n;q
),PGL(
n;K
)=PGL(
n;q
),SL(
n;K
)=SL(
n;q
),etc.
tEOREMA
.
pORQDOKPOLNOJLINEJNOJGRUPPY
GL(
n;q
)
STEPENI
n
NADPOLEM
F
q
RAWEN
GL(
n;q
)
=(
n

1)(
n

)
:::
(
n

n

1
)
gruppy
:
firstdraught
197
dOKAZATELXSTWO
.
wKNIGE
V
MYOBSUVDAEMOSNOWNOJPRINCIPLINEJNOJAL
-
GEBRYNADPOLEM
SOSTOQ]IJWTOM
^TO
[email protected]
PODMODULXSWOBODNOGOMODULQ
DOPOLNQEM
TAK^TO
W^ASTNOSTI
[email protected]
MOVETBYTXDOPOLNENDOBAZISA
F
w^ASTNOSTI
[email protected]
STOLBCOMOBRATIMOJMATRICY
nADKONE^NYMPOLEM
F
1
IMEETSQ
n

1
WOZMOV
-
NOSTEJWYBRATXNENULEWOJSTOLBECWYSOTY
n
F
aNALOGI^NO
WTORYMSTOLBCOMOBRATIMOJMATRICYNADPOLEMMOVETBYTX
[email protected]
LINEJNONEZAWISIMYJOTPERWOGO
T
E
[email protected]
-
]IJNAFIKSIROWANNOJPRQMOJ
tAKIMOBRAZOM
NEZAWISIMOOTWYBORAPERWOGO
STOLBCA
NAD
F
q
IMEETSQ
n

WOZMOVNOSTEJWYBRATXWTOROJSTOLBEC
F
tO^NOTAKVE
TRETXIMSTOLBCOMOBRATIMOJMATRICYNADPOLEMMOVET
[email protected]
LINEJNONEZAWISIMYJOTPERWOGOIWTOROGO
T
E
[email protected]
STOLBECNELEVA]IJNAFIKSIROWANNOJPLOSKOSTI
tAKIMOBRAZOM
NEZAWISIMO
OTWYBORAPERWOGOIWTOROGOSTOLBCOW
NAD
F
q
IMEETSQ
n

2
WOZMOVNOSTEJ
WYBRATXTRETIJSTOLBEC
pRODOLVAQDEJSTWOWATXTAKIMOBRAZOM
MYWKONCEKONCOWUBEDIMSQ
^TO
NEZAWISIMOOTWYBORAPERWYH
n

1
STOLBCOW
NAD
F
q
IMEETSQ
n

n

1
WOZMOV
-
NOSTEJWYBRATXPOSLEDNIJSTOLBECOBRATIMOJMATRICY
|[email protected]
FORMULU
~ASTO\TUFORMULUUDOBNEEZAPISYWATXWWIDE
GL(
n;q
)
=
n
(
n

1)
=
2
(
n

1)(
n

1

1)
:::
(

1)
dELOWTOM
^TOESLI
=
p
m
ESTXSTEPENXPROSTOGO^ISLA
p
TO
n
(
n

1)
=
2
QWLQ
-
ETSQW\TOMSLU^[email protected]
p
DELQ]EJ
GL(
n;q
)
WTOWREMQKAKOSTALXNYE
MNOVITELIWZAIMNOPROSTYS
p
sLEDSTWIE
1.
pORQDOKPOLNOJLINEJNOJGRUPPY
SL(
n;q
)
STEPENI
n
NADPOLEM
F
q
RAWEN
SL(
n;q
)
=
n
(
n

1)
=
2
(
n

1)(
n

1

1)
:::
(
2

1)
sLEDSTWIE
2.
pORQDOKPROEKTIWNOJLINEJNOJGRUPPY
PGL(
n;q
)
STEPENI
n
NADPOLEM
F
q
RAWEN
PGL(
n;q
)
=
n
(
n

1)
=
2
(
n

1)(
n

1

1)
:::
(
2

1)
sLEDSTWIE
3.
pORQDOKPROEKTIWNOJSPECIALXNOJLINEJNOJGRUPPY
PSL(
n;q
)
STEPENI
n
NADPOLEM
F
q
RAWEN
PSL(
n;q
)
=
n
(
n

1)
=
2
(
n

1)(
n

1

1)
:::
(
2

1)
gcd(
n;q

1)
zADA^A
.
198
nikolajwawilow
x
2.
[email protected]^ITELXNYEIZOMORFIZMY
pERE^[email protected]^ITELXNYEIZ
OMORFIZ
-
MYMEDVUGRUPPAMI
PSL(
n;q
),
S
m
I
A
m

PSL(2
2)

=
S
3
{
NEABELEWAGRUPPAPORQDKA
6(
NAPOMNIM
^TO
PSL(
n;
2)=
SL(
n;
2)=GL(
n;
2));

PSL(2
3)

=
A
4
{
NEABELEWAGRUPPAPORQDKA
12;

PSL(2
4)

=
PSL(2
5)

=
A
5
PROSTAQGRUPPAPORQDKA
60;

PSL(2
7)=PSL(3
2){
PROSTAQGRUPPAPORQDKA
168(
GRUPPAwALENTINE
-
RA
);

PSL(2
9)

=
A
6
{
PROSTAQGRUPPAPORQDKA
360;

PSL(4
2)

=
A
8
{
PROSTAQGRUPPAPORQDKA
20160.
[email protected]^ITELXNYEGRUPPY
PSL(2
2),PSL(2
3),PSL(2
3),
PSL(2
5),PSL(2
7),PSL(2
7),PSL(3
2)PSL(4
2),
eSTESTWENNOWOZNIKAETWO
-
PROS
SU][email protected]@^ITELXNYEIZOMORFIZMY
?
tEOREMA
.
nIKAKIHDRUGIHIZOMORFZMOWMEVDUGRUPPAMI
PSL(
n;q
)
,
ILI\TI
-
MIGRUPPAMIIGRUPPAMI
S
m
,
A
m
gruppy
:
firstdraught
199

mONOMIALXNAQPODGRUPPA
.
pUSTX
N
=
N
(
n;R
)
MONOMIALXNAQPOD
-
GRUPPA
SOSTOQ]AQIZWSEH
MONOMIALXNYHMATRIC
T
E
MATRIC
x
=(
x
ij
)
2
G
WKAVDOJSTROKEIKAVDOMSTOLBCEKOTORYHROWNOODINNENULEWO
J\LEMENT
(
KOTORYJW\TOMSLU^AEOBQZANBYTXOBRATIMYM
).
iNYMISLOWAMI
[email protected]
i
SU]ESTWUETEDINSTWENNOE
TAKOE
^TO
x
ij
=0
INAOBOROT
sTANDARTNYEOBOZNA^ENIQPODGRUPP
.
mNEMONI^ESKI
B
OBOZNA^AET
Borelsubgroup
,`
D
OBOZNA^AET
Diagonal
,`
N
OBOZNA^AET
torusNormalizer
I
W
OBOZNA^AET
Weylgroup
sTO^KIZRENIQTEORIIALGEBRAI^ESKIHGRUPP
D
PREDSTAWLQETSOBOJ
RAS]EPIMYJMAKSIMALXNYJTOR
W
G
pUSTXWREMENNO
R
OBOAZNA^[email protected]
1
I
G
=
GL(
n;R
){
POLNAQLINEJAQGRUPPASTEPENI
n
NAD
R
qSNO
^TO
D
NORMALX
-
NAW
N
IFAKTOR
-
GRUPPA
W
=
N=D
IZOMORFNA
x
n
SIMMETRI^ESKOJGRUPPENA
n
SIMWOLAH
gRUPPA
B
QWLQETSQPOLUPRQMYMPROIZWEDENIEMNORMALXNOJPODGRUPPY
I
DOPOLNITELXNOJPODGRUPPY
D
[email protected]]IEPODGRUPPYW
SL(
n;R
).
x
4.
bLO^NYEPODGRUPPY
1.
rAZBIENIE
.
pUSTX

=(
n
1
;:::;n
t
)
RAZBIENIE
n
T
E
n
=
n
1
+
:::
+
n
t
|TO
RAZBITENIEOPREDELQETOTNO[ENIE\KWIWALENTNOSTI
i


(
ILIPROSTO
i

)
NAMNOVESTWEINDEKSOW
I
=
f
1
;:::;n
g
AIMENNO
i


ESLIITOLXKOESLI
n
1
+
:::
+
n
h

1
+1

i;j

n
1
+
:::
+
n
h
DLQNEKOTOROGO
h
,1

h

t
pUSTX
I
1
;:::;I
t
{
KLASSY\KWIWALENTNOSTI

MO]NOSTEJ
n
1
;:::;n
t
SOOTWETSTWENNO
tOGDA
I
=
I
1
t
:::
t
I
t
C

MOVNOSWQZATXNESKOLXKOPODGRUPPWPOLNOJLINEJNOJGRUPPE
GL(
n;R
)
NADPROIZWOLXNYMKOLXCOM
R

gRUPPA\LEMENTARNYHBLO^NO
-
DIAGONALXNYHMATRIC
.
eDWALINE
SAMAQWAVNAQGRUPPA
SWQZANNAQSRAZBIENIEM

\TOGRUPPA
E
(
;R
)
\LEMEN
-
TARNYHBLO^NO
-
DIAGONALXNYHMATRIC
TIPA

oNAPOROVDENAWSEMI\LE
-
MENTARNYMITRANSWEKCIQMI
t
ij
(

)
DLQ
i

E
(
;R
)=
h
t
ij
(

)
1

i
=

n;i

j;
2
R
i
qSNO
^TO
E
(
;R
)=
E
(
n
1
;R
)

:::

E
(
n
t
;R
)

gRUPPABLO^NO
-
DIAGONALXNYHMATRIC
.
dALEE
D
(
;R
)
OBOAZNA^AET
GRUPPUBLO^NO
-
DIAGONALXNYHMATRIC
TIPA

oNASOSTOITIZWSEHMATRIC
x
=(
x
ij
)
TAKIH
^TO
x
ij
=0
ESLI
i
NE\KWIWALENTNO
D
(
;R
)=
f
x
=(
x
ij
)
2
GL(
n;R
)
x
ij
=0for
i
6
g
qSNO
^TO
D
(
;R
)=GL(
n
1
;R
)

:::

GL(
n
t
;R
)
200
nikolajwawilow

gRUPPAWERHNIHBLO^NO
-
TREUGOLXNYHMATRIC
.
mOVNORASSMOTRETX
TAKVEGRUPPU
B
(
;R
)
gruppy
:
firstdraught
201
x
6.
pSEWDOOTRAVENIQ
1.
|LEMENTARNYEPSEWDOOTRAVENIQ
.
dLQOBRATIMOGO
"
2
R

MOVNOOPRE
-
DELITX
\LEMENTARNOEPSEWDOOTRAVENIE
d
i
(
"
)=
e
+(
"

1)
e
ii
,1

i

n
(
ZDESX
d
QWLQETSQSOKRA]ENIEMOT
diagonal
{
ILI
dilation
TO^NOTAKVE
KAK
WPREDYDU]EMPARAGRAFE
t
BYLOSOKRA]ENIEMOT
transvection
).
uMNOVENIE
MATRICY
x
NA
d
i
(
"
)
SLEWAUMNOVAET
i
-
@STROKUMATRICY
x
NA
"
SLEWA
WTOWREMQ
KAKUMNOVENIENA
d
i
(
"
)
SPRAWAUMNOVAET
i
-
JSTOLBECMATRICY
x
NA
"
SPRAWA
|TOZNA^IT
^TO\LEMENTARNYEPSEWDOOTRAVENIQ
{
\TOWTO^NOSTI
\LEMENTAR
-
NYEPREOBRAZOWANIQWTOROGOTIPA
[email protected]
POSWQ]ENNOJ
LINEJNOJALGEBRE
2.
pOLNAQ\LEMENTARNAQGRUPPA
.
sEJ^ASMYPODPRAWIMOPREDELENIE
\LEMENTARNOJGRUPPY
STEM
^TOBYPOLU^ITXGRUPPU
KOTORAQE]EBLIVEK
GL(
n;R
).
~TOME[ALO
E
(
n;R
)
SOWPADATXS
GL(
n;R
)?
dELOWTOM
^TOWSE\LE
-
MENTARNYETRANSWEKCIIIMELIOPREDELITELX
1,
TAK^TOMYZAWEDOMOPOLU^ALI
PODGRUPPU
SODERVA][email protected]
SL(
n;R
).
tAKIMOBRAZOM
NAMNUVNODOBAWITX
E]EMATRICYSOWSEWOZMOVNYMIOPREDELITELQMI
rASSMOTRIMGRUPPU
GE(
n;R
)
[email protected]\LEMENTARNYMITRANSWEK
-
CIQMI
I
\LEMENTARNYMIPSEWDOOTRAVENIQMI
GE(
n;R
)=
h
t
ij
(

)
;d
i
(
"
)
;
2
R;"
2
R

1

i
=

n
i
pOLU^[email protected]]AQSQTAKIMOBRAZOMGRUPPA
GE(
n;R
)
NAZYWAETSQ
POLNOJ\LEMEN
-
TARNOJGRUPPOJ
eESMYSLSOSTOITWTOM
^TO
SODNOJSTORONY
ONAZADANA
O^[email protected]]IMI
WY^ISLQTXWKOTORYHO^ENXLEGKO
A
SDRUGOJ
STORONY
ONA
KAKPRAWILO
ONAO^ENXBLIZKAK
GL(
n;R
).
wKA^ESTWEPODTWER
-
VDENIQ\[email protected]]IJREZULXTAT
tEOREMA
.
eSLI
R
=
K
POLE
,
TO
GE(
n;K
)=GL(
n;K
)
.
x
7.
mATRICYPERESTANOWKI
[email protected]
\LEMENTARNYEPREOBRAZOWANIQTRE
-
TXEGOTIPA
[email protected]
x
[email protected]
DA
ij
=
e

e
ii

e
jj
+
e
ij
+
e
ji
GDE
1

i
=

n
kONE^NO
\[email protected]
\LEMENTARNYHTRANSWEKCIJI
\LEMENTARNYHOTRAVENIJ
d
i
(

1),1

i

n
pODGRUPPAW
G
POROVDENNAQWSEMI
ij
OBOZNA^AETSQ^EREZ
W
=
W
n
INA
-
ZYWAETSQGRUPPOJ
MATRICPERESTANOWKI
oNASOSTOITIZWSEHMATRIC
U
KOTORYHWTO^NOSTIODINNENULEWOJKO\FFICIENTWKAVDOJSTRO
KEIKAVDOM
STOLBCE
PRI^EM\TOTNENULEWOJKO\FFICIENTRAWEN
1.
|TAGRUPPAESTESTWEN
-
NOIZOMORFNASIMMETRI^ESKOJGRUPPE
n
aIMENNO
DLQPERESTANOWKI

2
n
OBOZNA^IM^EREZ
(

)
MATRICUPERESTANOWKI
\LEMENTKOTOROJWPOZICII
(
i;j
)
RAWEN

i;
(
j
)
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOOTOBRAVENIE
n
!
W
n

7!
(

)
QWLQETSQIZOMORFIZ
-
MOM
[email protected]
^TODLQMATRICYPERESTANOWKIOBRATNAQSOWPADAETS
TRANSPONIROWANNOJ
202
nikolajwawilow
x
8.
oDNOMERNYEPREOBRAZOWANIQ
|LEMENTARNYEPREOBRAZOWANIQZAWISQTOTWYBORABAZISAWSWO
BODNOMPRAWOM
R
-
MODULE
R
n
bOLEEGEOMETRI^ESKINASTROENNYEINDIWIDUUMYOBY^NOPRED
-
PO^[email protected]
NEZAWISQ]IMIOTWYBORA
BAZISA
zDESXMYWWODIMBOLEE[IROKIJKLASSPREOBRAZOWANIJ
KOTORYJUVE
NEZAWISITOTWYBORABAZISAIDEJSTWITELXNOIGRAETCENTRALXN
[email protected]
GEO
-
gruppy
:
firstdraught
203
aNALOGI^NOERAWENSTWOSZAMENOJSTROKNASTOLBCYPROWERQETS
QSOWER[ENNO
ANALOGI^NO
2.
|LEMENTARNYETRANSWEKCII
versus
TRANSWEKCIJ
.
kAKSWQZANYTRANS
-
WEKCIII\LEMENTARNYETRANSWEKCII
?
wOBOZNA^ENIQHNASTOQ]EGOPARAGRA
-
FA\[email protected]@
t
ij
(

)
NOWYHOBOZNA^ENIQHPEREPISATXWWIDE
x
i
;f
j
(

).
tAKIMOBRAZOM
\LEMENTARNAQTRANSWEKCIQ
{
I
ZNA^IT
WSESOPRQVEN
-
NYESNEJMATRICY
{
[email protected][EGONOWOGOOPREDE
-
LENIQ
eSTESTWENNOWOZNIKAETWOPROS
WERNOLIOBRATNOE
T
E
WSQKAQLITRANSWEK
-
CIQSOPRQVENAS\LEMENTARNOJTRANSWEKCIEJ
?
zADA^A
.
dOKAVITE
^TOESLI
R
=
T
QWLQETSQTELOM
TOKAVDAQTRANSWEKCIQ
x
=
x
ca
(

)
SOPRQVENAS\LEMENTARNOJTRANSWEKCIEJ
rE[ENIE
.
eSLI
a
=0
ILI
c
=0,
TODOKAZYWATXNE^EGO
PUSTXPO\TOMU
a
=0
I
c
=0,
TOGDAQDRO
a
RASSMATRIWAEMOGOKAKLINEJNYJFUNKCIONALNA
T
n
RAWNO
=
f
b
2
T
n
ab
=0
g
PRI^EM
c
2
wYBEREM
c
WKA^ESTWEPERWOGOWEKTORA
u
1
BAZISAPROSTRANSTWA
PUSTX
u
2
;:::;u
n

1
{
DOPOLNENIE
u
1
DOBAZISA
A
u
n
2
T
n
{
[email protected]
^TO
au
n
=1.
tOGDA
x
SOPRQVENAS
t
1
n
(

).
[email protected]]EEO^EWIDNOESOOBRAVENIEPOKAZYWAET
^TOWOB]EMSLU^AE
\TOSOWER[ENNONETAK
aIMENNO
IZPOSLEDNEJZADA^IPREDYDU]EGOPUNKTA
SRAZUSLEDUET
^[email protected]^NYHINDEKSOW
i;j;k
MATRICA
x
=
t
ij
(

)
t
ik
(

)
QWLQETSQTRANSWEKCIEJ
oDNAKO\TAMATRICAKRAJNEREDKOSO
-
PRQVENAS\LEMENTARNOJTRANSWEKCIEJ
wSAMOMDELE
DLQTOGO
^TOBY
x
BYLA
SOPRQVENAS
t
12
(

),

2
R
POKRAJNEJMERE
NEOBHODIMO
^TOBY

I

POROVDA
-
LIGLAWNYJPRAWYJIDEAL
(
TAKKAK

DOLVENPOROVDATXTOTVESAMYJIDEAL
[email protected]

I

).
oBOZNA^IM^EREZ
T
(
n;R
)
PODGRUPPUW
GL(
n;R
),
PO
-
[email protected]
x
uv
(

),
u
2
R
n
v
2
n
R

2
R
vu
=0.
gRUPPA
T
(
n;R
)
NAZYWAETSQ
GRUPPOJTRANSWEKCIJ
W
GL(
n;R
).
wDEJSTWITELXNOSTIW
NEKOTORYHSLU^AQHGRUPPA
T
(
n;R
)
MOVETBYTX
STROGOBOLX[E
^EM
E
(
n;R
).
x
9.
sOOTNO[ENIQMEVDU\LEMENTARNYMITRANSWEKCIQMI
kAKUPOMQNUTOW
xx
3
I
4,
DLQSLU^AQPOLQGRUPPA
SL(
n;K
)
POROVDENAWSEMI
\LEMENTARNYMITRANSWEKCIQMI
WTOWREMQKAKGRUPPA
GL(
n;K
)
POROVDENA
\LEMENTARNYMITRANSWEKCIQMIIPSEWDOOTRAVENIQMI
|TIFAKTYIZWESTNY
BOLEEDWUHTYSQ^LETILEVATWOSNOWEKITAJSKOGOMETODARE[EN
IQSISTEMLI
-
NEJNYHURAWNENIJNADPOLEM
IZWESTNOGOWeWROPEKAK
204
nikolajwawilow
NIEMEVDUTRANSWEKCIQMI
{
\[email protected]]EEKOMMUTACIONNOESOOTNO[ENIE
(R2)[
t
ij
(

)
;t
hl
(

)]=
8





:
e;
if
=
h;i
=
l
t
il
(

)
if
=
h;i
=
l
t
hj
(


)
if
=
h;i
=
l
[email protected]]EESQSPECIALXNYMSLU^AEM
KOMMUTACIONNOJFORMULY{EWALLE
DLQKORNEWYHUNIPOTENTOWWGRUPPE{EWALLE
(
SM
.[Ca],[Sb2]).
oBRATITEWNI
-
MANIE
^TOSLU^AJ
=
h
i
=
l
[email protected]^EN
dELOWTOM
^TONIKAKOGOBOLEE
PROSTOGOWYRAVENIQDLQKOMMUTATORA
t
ij
(

)
;t
ji
(

)]
WTERMINAH\LEMENTARNYH
TRANSWEKCIJNET
x
10.
kORNEWYEPOLUPROSTYE\LEMENTY
?.
|LEMENTY
ij
(
"
)
I
d
ij
(
"
)
.
~TOBYFAKTI^ESKIZADATXGRUPPU
SL(
n;K
)
[email protected]]IMIISOOTNO[ENIQMI
NEOBHODIMYNEKOTORYEDOPOLNITELXNYESOOT
-
NO[ENIQ
[email protected]\LEMENTO
W
ij
(
"
)
I
d
ij
(
"
),
GDE
"
2
R

I
1

i
=

aIMENNO
POLOVIM
(R3)
ij
(
"
)=
t
ij
(
"
)
t
ji
(

"

1
)
t
ij
(
"
)
I
(R4)
d
ij
(
"
)=
ij
(
"
)
ij
(

1)
nAPRIMER
WSLU^AE
n
=2
IMEEM
12
(
"
)=

0
"

"

1
0

;d
12
(
"
)=

"
0
0
"

1

oBRATITEWNIMANIE
^TO
d
ij
(
"
)=
d
i
(
"
)
d
j
(
"

1
)
I^TO
ij
(1)
OTLI^AETSQOT\LE
-
MENTA
ij
OPREDELENNOGOW
x
1
ZNAKOMODNOGOKO\FFICIENTA
|TOSDELANODLQ
TOGO
^TOBYOPREDELITELX
ij
(1)
RAWNQLSQ
1,
T
E
^TOBY\TOTLEMENTPOPALW
SL(
n;R
).
?.
sOOTNO[ENIEW
GL
2
.
wSLU^AE
n
=2
KOMMUTACIONNAQFORMULA{EWALLE
NENAKLADYWAETNIKAKIHSOOTNO[ENIJNA\LEMENTARNYETRANSW
EKCII
oDNAKO
W\TOMSLU^[email protected]]EGOSOOTNO[
ENIQ
(R5)
ij
(
"
)
t
ij
(

)
ij
(

"
)=
t
ji
(

"

1
"

1
)
KOTOROEIMEETSMYSLTAKVEIDLQ
n
=2
pERE^ISLENNYEWY[ESOOTNO[ENIQMEVDU
t
ij
(

)
[email protected]
\LEMENTARNY
-
MISOOTNO[ENIQMI
ILI
SOOTNO[ENIQMIsTEJNBERGA
wOOB]EGOWORQ
ONI
[email protected]@]EJSISTEMYSOOTNO[ENIJDLQGRUPPY
E
(
n;R
),
ODNAKO
[email protected]^NOEPRIBLIVENIEKTAKOJSISTEMESOOTNO[
ENIJ
wDEJ
-
STWITELXNOSTI
^TOBYZADATXGRUPPU
E
(
n;K
)=SL(
n;K
)
WSLU^AEPOLQ
K\TOJ
SISTEMESOOTNO[ENIJDOSTATO^NODOBAWITXEDINSTWENNYJDOP
OLNITELXNYJTIP
SOOTNO[ENIJ
{
MULXTIPLIKATIWNOSTX
d
ij
(
"
)in
"
(R6)
d
ij
(
"
)
d
ij
(

)=
d
ij
(
"
)
gruppy
:
firstdraught
205
x
11.
gOMOMORFIZMREDUKCII
,
KONGRU\NC
-
PODGRUPPY
w\TOMPARAGRAFEMYSWQZYWAEMSKAVDYMIDEALOM
R
NORMALXNYEPODGRUP
-
PYWPOLNOJLINEJNOJGRUPPE
GL(
n;R
).
1.
gLAWNAQKONGRU\NC
-
PODGRUPPA
.
pUSTX
I
{
IDEALKOLXCA
R
rASSMOTRIM
KANONI^[email protected]@

I
R
!
R=I
[email protected]][email protected]\LEMENT

2
R
W\LEMENT

=

(mod
I
)=

+
I
|TAPROEKCIQOPREDELQET
GOMOMORFIZMREDUKCII

I
:GL(
n;R
)
!
GL(
n;R=I
)
(
[email protected]
I
)
TAKOJ
^TOOBRAZMATRICY
x
=(
x
ij
)
RAWEN
x
=(
x
ij
).
sTOITUPOMQNUTX
^TO

I
[email protected]_EKTIWEN
(
SKAVEM

I
R

!
(
R=I
)

WOOB]EGOWORQ
NE
[email protected]_EKTIWEN
).
qDROGOMOMORFIZMAREDUKCII

I
NA
-
ZYWAETSQ
GLAWNOJKONGRU\NC
-
PODGRUPPOJ
W
GL(
n;R
)
UROWNQ
I
IOBOZNA^A
-
ETSQ
GL(
n;R;I
).
[email protected]
1
!
GL(
n;R;I
)
!
GL(
n;R
)
!
GL(
n;R=I
)
dWEMATRICY
x
=(
x
ij
)
I
y
=(
y
ij
)
[email protected]
[email protected]
I
ESLI
x
ij

y
ij
(mod
I
)
DLQWSEH
1

i;j

n
kAKIDLQSKALQROW
SRAWNIMOSTX
[email protected]
I
OBOZNA^AETSQ^EREZ
x

y
(mod
I
).
gLAWNAQKONGRU\NC
-
PODGRUPPA
GL(
n;R;I
)
SOSTOITIZWSEHMATRIC
x
2
GL
(
n;R
)
SRAWNIMYHS
e
[email protected]
I
GL(
n;R;I
)=
f
x
2
GL(
n;R
)
x

e
(mod
I
)
g
tAKKAKQDRO
[email protected]
GOMOMORFIZMAQWLQETSQNORMALXNOJPODGRUPPOJ
\TO
POKAZYWAET
^TOWGRUPPE
GL(
n;R
)
MOVETBYTXDOWOLXNOMNOGONORMALXNYH
PODGRUPP
POKRAJNEJMERE
ESLIWKOLXCE
R
MNOGOIDEALOW
2.
pOLNAQKONGRU\NC
-
PODGRUPPA
.
sKAVDYMIDEALOMSWQZANAE]EODNA
ESTESTWENNAQNORMALXNAQPODGRUPPAW
GL(
n;R
).
aIMENNO
RASSMOTRIMCENTR
C
(
n;R=I
)
GRUPPY
GL(
n;R=I
).
tOGDAPOLNYJPROOBRAZGRUPPY
C
(
n;R=I
)
OTNO
-
SITELXNOGOMOMORFIZMAREDUKCII

I
OBOZNA^AETSQ^EREZ
C
(
n;R;I
)
INAZYWAETSQ
POLNOJKONGRU\NC
-
PODGRUPPOJ
UROWNQ
I
C
(
n;R;I
)=


1
I
(
C
(
n;R=I
))
tAKKAK
C
(
n;R
)
QWLQETSQQDROMKANONI^ESKOJPROEKCII

R
:GL(
n;R
)
!
PGL(
n;R
),
\TOZNA^IT
^TO
C
(
n;R;I
)
QWLQETSQQDROM

R=I


I
1
!
C
(
n;R;I
)
!
GL(
n;R
)
!
PGL(
n;R=I
)
tEMSAMYM
C
(
n;R;I
)
TOVEQWLQETSQNORMALXNOJPODGRUPPOJW
GL(
n;R
).
kOMMENTARIJ
.
oBRATITEWNIMANIE
^TOWODNOMWAVNOMASPEKTEISPOLX
-
ZOWANIEOBOZNA^ENIQ
C
(
n;R;I
)
OTLI^AETSQOT
GL(
n;R;I
)!
aIMENNO
GRUPPA
C
(
n;R
)
SOWPADAETS
C
(
n;R;
0),
ANES
C
(
n;R;R
),
KAKMOVNOBYLOBYOVIDATX
ZNAQ
^TO
GL(
n;R;R
)
SOWPADAETS
GL(
n;R
).
mYNADEEMSQ
^TO\TONEWYZOWET
NIKAKIHSERXEZNYHNEDORAZUMENIJ
hAJMANbASSOBOZNA^ALGRUPPU
C
(
n;R;I
)
^EREZ
GL
0
(
n;R;I
),
WTOWREMQKAKWKNIGEhANAIo
mIRYISPOLXZUETSQOBO
-
ZNA^ENIE
GL
(
n;R;I
).
oDNAKOOBOZNA^ENIE
C
(
n;R;I
)
QWLQETSQOB]EPRINQTYM
WRUSSKOJLITERATUREIKAVETSQNAMBOLEESUGGESTIWNYM
206
nikolajwawilow
[email protected]
C
(
n;R;I
)=
f
x
2
GL(
n;R
)
x

e
(mod
I
)

2
Cent(
R=I
)
g
TAK^TO
[GL(
n;R
)
;C
(
n;R;I
)]

GL(
n;R;I
)
3.
kONGRU\NC
-
PODGRUPPYWSPECIALXNYHLINEJNYHGRUPPAH
.
eSLI
KOLXCO
R
KOMMUTATIWNO
TOMOVNOWWESTIANALOGIGLAWNOJIPOLNOJKONGRU\NC
-
PODGRUPPWSPECIALXNOJLINEJNOJGRUPPE
SL(
n;R
).
aIMENNO
GLAWNAQKONG
-
RU\NC
-
PODGRUPPA
SL(
n;R;I
)
\TOQDROGOMOMORFIZMAREZUKCII

I
:SL(
n;R
)
!
SL(
n;R=I
)
pOLNAQKONGRU\NC
-
PODGRUPPA
SC(
n;R;I
)
\TOPROOBRAZCENTRA
SC(
n;R=I
)
GRUPPY
SL(
n;R=I
)
POOTNO[[email protected]

I
tAKIMOBRAZOM
1
!
SL(
n;R;I
)
!
SL(
n;R
)
!
SL(
n;R=I
)
1
!
SC(
n;R;I
)
!
SL(
n;R
)
!
PSL(
n;R=I
)
zAME^ANIE
.
sTOITZAMETITX
^TOGLAWNYEKONGRU\NC
-
PODGRUPPYNEZAWISQTOT
WYBORAASSOCIATIWNOGO
(
KOMMUTATIWNOGOWSLU^AESPECIALXNOJLINEJNOJGRUP
-
PY
)
KOLXCAS
1,
SODERVA]EGO
I
WKA^ESTWEIDEALA
tAKIMOBRAZOM
WPRINCIPE
MYMOGLIBYISPOLXZOWATXOBOZNA^ENIQ
GL(
n;I
)
I
SL(
n;I
)
WMESTO
GL(
n;R;I
)
I
SL(
n;R;I
),
IRASSMATRIWATX\[email protected]@LINEJNYE
GRUPPYNADKOLXCOM
I
BEZ
1,
SOOTWETSTWENNO
wTOVEWREMQPOLNYEKONGRU\NC
-
PODGRUPPY
C
(
n;R;I
)
I
SC(
n;R;I
),
WOOB]EGOWORQ
ZAWISQTOTWYBORAKOLXCA
R
x
2.
oTNOSITELXNYE\LEMENTARNYEGRUPPY
sEJ^ASMYHOTIMPOSTROITXANALOGI\LEMENTARNOJGRUPPY
ZAWISQZIEOT
IDEALA
1.
pODGRUPPA
,
POROVDENNAQ\LEMENTARNYMITRANSWEKCIQMIUROWNQ
I
.
pUSTX
I
{
IDEALKOLXCA
R
I
x
=
t
ij
(

){
\LEMENTARNAQTRANSWEKCIQ
gOWORQT
^TO\TOTRANSWEKCIQ
UROWNQ
I
ESLI

2
I
(
KLASSI^ESKIW\TOMSLU^AEGOWORILI
^TOUROWENX
x
SODERVITSQW
I
).
rASSMOTRIMPODGRUPPU
F
(
n;R;I
),
[email protected]\LEMENTARNYMITRANS
-
WEKCIQMIUROWNQ
I
F
(
n;R;I
)=
h
t
ij
(

)
;
2
I;
1

i
=

n
i
sNOWA\[email protected]]EGOKOLXCA
R
S
1,
ALI[X
OTSAMOGO
I
RASSMATRIWAEMOGOKAKKOLXCOBEZ
1,
I^ASTOOBOZNA^AETSQPROSTO
E
(
n;I
).
oDNAKOSTO^KIZRENIQGRUPPY
GL(
n;R
)
GRUPPA
E
(
n;I
)
NEMOVETBYTX
PRAWILXNYMANALOGOM\LEMENTARNOJGRUPPY
E
(
n;R
).
dELOWTOM
^TO
WOOB]E
GOWORQ
GRUPPA
E
(
n;I
)
NEMOVETBYTXNORMALXNOJW
GL(
n;R
).
pO^EMU
?
wOZX
-
MEMMATRICU
x
=(
x
ij
)
2
E
(
n;I
).
tOGDA
x
ij

0(mod
I
)
DLQ
i
=
NO
x
ii

1
(mod
I
2
)).
tAKIMOBRAZOM
MATRICY
z
12
(
;
)=
t
21
(

)
t
12
(

)
t
21
(


)=

1




1+


gruppy
:
firstdraught
207
GDE

2
I

2
R
NEMOGUTPRINADLEVATX
E
(
n;I
)
2.
oTNOSITELXNYE\LEMENTARNYEGRUPPY
.
~TOBYPODGRUPPA
H
BYLANOR
-
MALXNOJW
GL(
n;R
),
POKRAJNEJMERE
NEOBHODIMO
^TOBY
H
NORMALIZOWALASX
\LEMENTARNOJGRUPPOJ
E
(
n;R
).
pO\[email protected]]EEOPREDELENIE
WWEDENNOEhAJMANOMbASSOM
nORMALXNAQPODGRUPPAW\LEMENTARNOJGRUPPE
E
(
n;R
),
POROVDENNAQWSEMI\LEMENTARNYMITRANSWEKCIQMIUROWNQ
I
NAZYWA
-
ETSQ
\LEMENTARNOJPODGRUPPOJ
UROWNQ
I
IOBOZNA^AETSQ^EREZ
E
(
n;R;I
).
iNYMISLOWAMI
E
(
n;R;I
)
\TONORMALXNOEZAMYKANIE
F
(
n;R;I
)
W
E
(
n;R
):
E
(
n;R;I
)=
h
t
ij
(

)
;
2
I;
1

i
=

n
i
E
(
n;R
)
eSLI
I
=
R
TOGRUPPA
E
(
n;R;I
)
NAZYWAETSQ
OTNOSITELXNOJ
\LEMENTARNOJ
PODGRUPPOJ
WPROTIWOPOLOVNOSTX
[email protected]
\LEMENTARNOJGRUPPE
E
(
n;R
).
u\TOJGRUPPYUVEBOLX[E[ANSOWBYTXNORMALXNOJW
GL(
n;R
).
wDEJSTWI
-
TELXNOSTIWSKOREMYPOKAVEM
^TOPRI
n

3
\TAGRUPPADEJSTWITELXNONOR
-
MALXNAW
GL(
n;R
),
POKRAJNEJMEREDLQSLU^AQ
KOGDAKOLXCO
R
KLMMUTATIWNO
x
2.
pOROVDENIEOTNOSITELXNYH\LEMENTARNYHGRUPP
oTNOSITELXNAQ\LEMENTARNAQGRUPPA
E
(
n;R;I
)
OPREDELQLASXNAMIKAK
NORMALXNAQ
POD
-
GRUPPAW
E
(
n;R
).
dA
,
NO^EMONAPOROVDAETSQKAKPODGRUPPA
?
nASTOQ]IJPARAGRAFNE
TOLXKODAETNAMWOZMOVNOSTXPRO^UWSTWOWATXRAZNICUMEVDU
h
X
i
G
h
X
i
,
[email protected]
-
RUET
,
[email protected]
.
pREDPOLAGAETSQ
,
^TO^ITATELX
AKTIWNO
OBALDELOSNOWNYMTEKSTOMGLAWY
8{
WPROTIWNOMSLU^AEONNESMOVETSLEDITXZA
PROWODIMYMINIVEWY^ISLENIQMISLISTA
!!
1.
[email protected]]IEOTNOSITELXNYH\LEMENTARNYHGRUPP
.
wOOB]EGOWORQ
,
SOWER[ENNO
NEWERNO
,
^TOGRUPPA
E
(
n;R;I
)
POROVDAETSQ
\LEMENTARNYMI
TRANSWEKCIQMI
,
[email protected]]IJ
REZULXTATPOKAZYWAET
,
^TOPRIWEDENNYJWPREDYDU]EMPARAGRAFEPRIMERQWLQETSQPOSU
-
]ESTWUEDINSTWENNYM
.
|TOTREZULXTATDOKAZANWSTATXEl
.
n
.
wASER[TEJNAIa
.
a
.
sUSLINA
,
,
WBOLEEOB]EMKONTEKSTE
,
WSTATXQHtITSA
[Ti]
IaBE
[Abe]
IbAKA
{
wAWILOWA
.
tEOREMA
.
dLQ
n

3
OTNOSITELXNAQ\LEMENTARNAQGRUPPA
E
(
n;R;I
)
POROVDENAMATRI
-
CAMI
z
ij
(
;
)=
t
ji
(

)
t
ij
(

)
t
ji
(


)
;
GDE

2
I
,

2
R
,
1

i
=
j

n
.
dOKAZATELXSTWO
.
tAKKAK
z
ij
(
;
0)=
t
ij
(

)
QWLQETSQOBY^NOJ\LEMENTARNOJTRANSWEKCIEJ
,
TOPODGGRUPPA
,
POROVDENNAQWSEMI
z
ij
(
;
),
SODERVIT
F
(
n;R;I
).
[email protected]
E
(
n;R;I
)
POROVDENAMATRICAMIWIDA
x
t
ij
(

)=
xt
ij
(

)
x

1
,
GDE
x
2
E
(
n;R
),

2
I
1

i
=
j

n
.
mYHOTIMPOKAZATX
,
^[email protected]
,
POROVDENNOJ
\LEMENTAMI
z
ij
(
;
).
bUDEMRASSUVDATXINDUKCIEJPODLINE
t
SAMOGOUOROTKOGOWYRAVENIQ
x
KAKPROIZWEDENIQ\LEMENTARNYHTRANSWEKCIJ
.
eSLI
t

1
DOKAZYWATXNE^EGO
.
dLQ
t

2
ZAPI[EM
x
WWIDE
t
hk
(

)
y
,
GDE
y
2
E
(
n;R
),

2
R
1

h
=
k

n
.
pRIMENQQFORMULU
ab
=
a
[
b;c
]
a
KOTORAQ
,
KAKMYZNAEM
,
[email protected]\LEMENTOW
a;b;c
2
G
,
MY
POLU^AEM
hk
(

)
y
t
ij
(

)=
hk
(

)
[
y;t
ij
(

)]
hk
(

)
t
ij
(

)
:
eSLI
(
h;k
)
=(
j;i
),
MYMOVEMPRIMENITX
(R2),
^[email protected]^ITX
,
^TO
z
=
hk
(

)
t
ij
(

)
PRINAD
-
LEVIT
F
(
n;R;I
),
AESLI
(
h;k
)=(
j;i
),
TO
z
=
z
ij
(
;
).
sDRUGOJSTORONY
,
TAKKAK
y
KORO^E
,
^EM
x
,
TOKOMMUTATOR
[
y;t
ij
(

)]
UVEPREDSTAWIMKAKPROIZWEDENIEMNOVITELEJWIDA
z
lm
(
!;#
),
!
2
I
,
#
2
R
,1

=
m

n
.
tEPERXDLQ
w
=
hk
(

)
z
lm
(
!;#
)
[email protected]]IH
TREHWOZMOVNOSTEJ
:
lIBO
(
h;k
)
=(
l;m
)
;
(
m;l
),
ITOGDA
w
2
z
lm
(
!;#
)
F
(
n;R;I
)by(R2).
lIBO
(
h;k
)=(
m;l
),
ITOGDA
w
=
w
1
m
(
!;#
+

).
208
nikolajwawilow
lIBO
,
NAKONEC
,(
h;k
)=(
l;m
)
ITOGDA
,
WZQWINDEKS
p
=
h;k
IWYRAVAQ
t
lm
(
!
)
KAK
t
lm
(
!
)=
[
t
lp
(1)
;t
pm
(
!
)],
MYPOLU^AEM
lm
(

)
z
lm
(
!;
)=
lm
(

)
ml
(

)
t
lm
(
!
)=
=
lm
(

)
ml
(

)
[
t
lp
(1)
;t
mp
(
!
)]=
=[
lm
(

)
ml
(

)
t
lp
(1)
;
lm
(

)
ml
(

)
t
pm
(
!
)]=
=[
t
mp
(

)
t
lp
(1+

)
;t
pl
(

!
)
t
pm
(
!
(1+

))]
w\TOMMESTElEONIDwASER[TEJNIaNDREJsUSLINZAKAN^[email protected]
SLEDU
-
@]EJSAKRAMENTALXNOJFRAZOJ
:\
O^EWIDNO
^TO\TOTPOSLEDNIJKOMMUTATORQWLQETSQPRO
-
IZWEDENIEMMNOVITELEJTREBUEMOGOWIDA
".
aNATOLXfRANSKOMMENTIRUET
:\Cequel'unvoit,
l'autrenelevoitpas".
dLQPE[EHODOWWOSTANOWIM
,
^TOSKRYWAETSQZASLOWOM
`
O^EWIDNO
',
WY
-
DELIW\TUO^[email protected]^[email protected]
,
KOTORAQBUDETISPOLXZOWATXSQIPODRUGIM
POWODAM
.
lEMMA
.
pUSTX
;
2
R
,
;!
2
I
I
l;m;p
TRIPOPARNORAZLI^NYHINDEKSA
.
tOGDAKOM
-
MUTATOR
[
t
mp
(

)
t
lp
(

)
;t
pl
(

)
t
pm
(
!
)]
MOVNOWYRAZITXKAKPROIZWEDENIETRANSWEKCIJIZ
F
(
n;R;I
)
IMNOVITELEJWIDA
z
pl
(
;
)
I
z
pm
(
;
)
DLQPODHODQ]IH

2
I
I

2
R
.
dOKAZATELXSTWO
.
dEJSTWITELXNO
,
PUSTX
a;b;c;d
2
G
{
[email protected]^ETYRE\LEMENTAGRUPPY
G
.
tOGDA
[
ab;cd
]=
a
[
b;c
]

ac
[
b;d
]

[
a;c
]

c
[
a;d
]=
a
[
b;c
]

[
a;c
]

ca
[
b;d
]

c
[
a;d
]
:
[email protected]\TIHFORMULKRASSMATRIWAEMOMUKOMMUTATORU
,
MYWYRAZIMEGOKAK
[email protected]]IH^ETYREHMNOVITELEJ
:
mp
(

)
[
t
lp
(

)
;t
pl
(

)]=
mp
(

)
z
pl
(
;
)
mp
(

)
t
pl
(
!
)
;
mp
(

)
pl
(

)
t
lm
(
!
)=
mp
(

)

t
lm
(
!
)
t
pm
(
!
)

=
mp
(

)
t
lm
(
!
)
z
pm
(
!;!
)
[
t
mp
(

)
;t
pl
(

)]=
t
ml
(


)
;
pl
(

)
[
t
mp
(

)
;t
pm
(
!
)]=
pl
(

)
z
pm
(
!;
)
t
pm
(

!
)
:
tAKKAK

!
PRINADLEVAT
I
,
TOWSE\[email protected]
IH
F
(
n;R;I
)
IMNOVITELEJTREBUEMOGOWIDA
.
zAME^ANIE
.
rAZUMEETSQ
,
MOVNOBYLOBYSFORMULIROWATXDWOJSTWENNOEUTWERVDENIEDLQ
SLU^AQ
,
KOGDA
;
2
I
,
A
;!
2
R
.
w\TOMSLU^AEKOMMUTATORWFORMULIROWKELEMMYWYRA
-
ZILSQBYKAKPROIZWEDENIETRASNWEKCIJIZ
F
(
n;R;I
)
IMNOVITELEJWIDA
z
lp
(
;
)
z
mp
(
;
).
sLEDSTWIE
.
pUSTX
n

3
.
[email protected]
I
R
[email protected]^ENIE
F
(
n;R;I
)

E
(
n;R;I
2
)
:
dOKAZATELXSTWO
.
tAKKAK
z
ij
(
;
)
ADDITIWNOPOOTNO[[email protected]

,
TOGRUPPA
E
(
n;R;I
2
)
PO
-
ROVDENAMATRICAMIWIDA
z
ij
(

1

2
;
),
GDE

1
;
2
2
I
,

2
R
,1

i
=
j

n
.
wOZXMEMINDEKS
h
=
i;j
.
tOGDA
z
ij
(

1

2
;
)=
ji
(

)
[
t
ih
(

1
)
;t
hj
(

2
)]=[
t
ih
(

1
)
t
jh
(

1
)
;t
hj
(

2
)
t
hi
(

2

)]
IPOSLEDNQQMATRICAPRINADLEVIT
F
(
n;R;I
)
[email protected]
.
x
2.
lEMMYTIPAuAJTHEDA
w\TOMPARAGRAFEMYUWIDIM
^TOUMNOVENIEMATRICIOBRAZOWANIEPRQ
-
MOJSUMMY
[email protected]@\LEMENTARNYHMATRIC
|TOUDIWITELXNOE
[email protected]
KOTOROEOBY^NONAZYWAETSQ
LEMMOJuAJTHEDA
BYLOODNOJIZ
OTPRAWNYHTO^EKALGEBRAI^ESKOJ
K
-
TEORII
wDEJSTWITELXNOSTI
MYOBSUDIM
gruppy
:
firstdraught
209
^UTXBOLEEOB]IEFAKTY
SWQZANNYESREDUKCIEJKMENX[EMURANGU
KOTORYE
OBY^[email protected]
LEMMYTIPAuAJTHEDA
1.
lEMMAuAJTHEDA
-
wASER[TEJNA
.
pUSTX
x;y
2
R
TAKOWY
^TO
1+
xy
2
R

wKNIGE
III
NAMPREDSTAWITSQSLU^AJZAINTERESOWATXSQWOPROSOM
SLEDUETLI
[email protected]
^TO
1+
yx
2
R

?
[email protected]]IJREZULXTATOZNA^AET
W^ASTNOSTI
^TO
\TODEJSTWITELXNOTAK
PRI^EMWGORAZDOBOLEEOB]EMKONTEKSTE
lEMMAuAJTHEDA
.
pUSTXMATRICY
x
2
M
(
r;s;I
)
I
y
2
M
(
s;r;R
)
TAKOWY
,
^TO
e
+
xy
2
GL(
r;R
)
.
tOGDA
e
+
yx
2
GL(
s;R
)
I

e
+
xy
0
0(
e
+
yx
)

1

2
E
(
r
+
s;R;I
)
dOKAZATELXSTWO
.
pERWOEUTWERVDENIESLEDUETIZRAWENSTWA

e
0
0
e
+
yx

=

e
0

ye

e

x
0
e

e
+
xy
0
0
e

e
0
ye

ex
0
e

WSEMNOVITELIWPRAWOJ^ASTIKOTOROGOOBRATIMY
uMNOVAQ\TORAWENSTWO
SPRAWANA
(
e
+
xy
)

1

e
MYPOLU^IM

(
e
+
xy
)

1
0
0
e
+
yx

=

e
0

ye

e

x
0
e

e
0
ye


e
0
y
(
e
+
xy
)

1

ye

e
(
e
+
xy
)
x
0
e

pROIZWEDENIEPERWYHTREHMNOVITELEJIPOSLEDNIJMNOVITELX
PRINADLEVAT
E
(
r
+
s;R;I
)
[email protected]\TOJGRUPPY
nOTAKKAK
(
e
+
xy
)

1
=
e
+
z
GDE
z
2
M
(
r;I
),
TOI^ETWERTYJMNOVITELXTOVEPRINADLEVIT
E
(
r
+
s;R;I
).
2.
lEMMAuAJTHEDA
.
iZPREDYDU]EJLEMMYSRAZUWYTEKAETTAKOJFAKT
lEMMA
.
pUSTX
a
2
GL(
n;R;I
)
I
b
2
GL(
n;R
)
.
tOGDA

a
0
0
a

1


ba

1
b

1
0
0
a


aba

1
b

1
0
0
e

2
E
(2
n;R;I
)
dOKAZATELXSTWO
.
pRIMENQQPRED[[email protected]][email protected]^ALEK
x
=
a

e;y
=
e
APOTOMK
x
=(
a

1

1)
b

1
;y
=
b
MYWIDIM
^TOPERWYEDWEMATRICYPRINAD
-
LEVAT
GL(2
n;R;I
).
tRETXQMATRICAQWLQETSQIHPROIZWEDENIEM
tEPERXKAKSLEDSTWIEMYPOLU^AEMPERWONA^[email protected]
YuAJTHEDA
lEMMAuAJTHEDA
.
pUSTX
a
2
GL(
n;R;I
)
I
b
2
GL(
n;R
)
.
tOGDALEWYE
(
I
PRAWYE
)
SMEVNYEKLASSYMATRIC

a
0
0
b


ab
0
0
e


ba
0
0
e

OTNOSITELXNOPODGRUPPY
E
(2
n;R;I
)
[email protected]
.
sFORMULIRUEME]EODNUFORMULEMMYuAJTHEDA
210
nikolajwawilow
lEMMA
.
pUSTXMATRICY
x
2
M
(
n;I
)
I
y
2
M
(
n;R
)
TAKOWY
,
^TO
e
+
xy
2
GL(
n;R
)
.
tOGDA

(
e
+
xy
)(
e
+
yx
)

1
0
0
e

2
E
(2
n;R;I
)
dOKAZATELXSTWO
.
wSAMOMDELE
W\TOMSLU^AE

e
+
xy
0
0(
e
+
yx
)

1


(
e
+
yx
)

1
0
0
e
+
yx

2
E
(2
n;R;I
)
x
3.
tRANSWEKCIISTABILXNO\LEMENTARNY
1.
tRANSWEKCIISNULEWYMKO\FFICIENTOM
.
iZLEMMYuAJTHEDA
-
wASER
-
[[email protected]]IJWAVNYJFAKT
(
SM
NAPRIMER
,[VS],[Su?]).
|TOTFAKTMOVNORASSMATRIWATXKAKPERWYJ[AGWNAPRAWLENIID
OKAZATELX
-
STWANORMALXNOSTI\LEMENTARNOJPODGRUPPY
lEMMA
.
[email protected]
x
=
t
uv
(

)
,
u
2
R
n
,
v
2
n
R
,

2
I
,
vu
=0
.
ESLIODNAIZKOMPONENTSTROKI
v
(
ILISTOLBCA
u
)
RAWNA
0,
TO
x
2
E
(
n;R;I
)
.
pERWOEDOKAZATELXSTWO
.
pUSTXODNAIZKOMPONENT
v
[email protected]
tAKKAKWSE
KOMPONENTYSOCIOLOGI^ESKIRAWNY
MYMOVEMNETERQQOB]NOSTIS^ITATX
^TO
u
n
=0.
wYRAZIM
u
I
v
KAK
u
=(
u;u
n
)
T
I
v
=(
v;
0),
GDE
u
2
R
n

1
QWLQETSQ
STOLBCOMWYSOTY
n

1,
A
v
2
n

1
R
{
STROKOJDLINY
n

1.
tOGDA
v
u
=0
I
x
=

e
+
u
v
0
u
n

v
1

=

e
+
u
v
0
01

e
0
u
n

v
1

oBAMNOVITELQWPRAWOJ^[email protected]
E
(
n;R;I
):
^TO
KASAETSQWTOROGOMNOVITELQ
\TOO^EWIDNO
ADLQPERWOGOSLEDUETIZLEMMY
uAJTHEDA
-
wASER[TEJNAS
x
=
u
I
y
=

v
wDEJSTWITELXNOSTI
\TALEMMASRAZUWYTEKAETIZKOMMUTACIONNOJFORMU
-
LY{EWALLE
{
WNA[EMSLU^AEIZSOOTNO[ENIQ
(R2).
sEJ^ASMYDADIMTAKOE
EEDOKAZATELXSTWO
KOTOROENEISPOLXZUETLEMMUuAJTHEDA
-
wASER[TEJNA
iDEQ
\TOGODOKAZATELXSTWAWZQTAIZ
[BMS](
SM
TAKVE
[V?]).
wOZXMEM

2
R
IPO
-
[email protected]
x
=
gt
ij
(

)
g

1
GDE
1

i;j

n

1,
I
g
2
GL(
n

1
;R
).
pO^EMUONADOLVNAPRINADLEVATX\LEMENTARNOJGRUPPE
E
(
n;R;I
)
PRIOBY^
-
NOMWLOVENII
g
7!

g
0
01

?
tAKKAKWSETRANSWEKCIISOCIOLOGI^ESKI\KWIWALENTNY
WOZXMEM
(
i;j
)=(1
2).
wYRAVAQ
t
12
(

)
WFORME
t
12
(

)=[
t
1
n
(1)
;t
n
2
(

)],
MYPOLU^AEM
gt
12
(

)
g

1
=[
gt
1
n
(1)
g

1
;gt
n
2
(

)
g

1
pRI\TOM
gt
1
n
(1)
g

1
=

ege
1
01

;gt
n
2
(

)
g

1
=

e
0
f
2
g

1
1

gruppy
:
firstdraught
211
GDE
ge
1
=
g

1
QWLQETSQPERWYMSTOLBCOMMATRICY
g
WTOWREMQKAK
f
2
g

1
=
g
2

QWLQETSQWTOROJSTROKOJMATRICY
g

1
UMNOVENNYMNA

wTOROEDOKAZATELXSTWO
.
tOLXKO^[email protected]
^[email protected]
u
2
R
n

1
I
v
2
n

1
R
TAKIH
^TO
vu
=0
ESTESTWENNOVDATX
^TO

e
+
uv
0
01

=

e
0

v
1


eu
01

rAZUMEETSQ
POSLETOGO
KAKTAKAQFORMULANAPISANA
ONASRAZUPROWERQETSQ
NEPOSREDSTWENNYMWY^ISLENIEM
|TALEMMUMOVNOISTOLKOWATXWTOMSMYSLE
^TO
WSE
TRANSWEKCIISTABILXNO
\LEMENTARNY
[email protected]
e
+
uv
GDE
u
2
R
n
v
2
n
R

2
I
vu
=0.
rASSMATRIWAEMAQKAK\LEMENTGRUPPY
GL(
n
+1
;R
)
POSREDSTWOM
WLOVENIQ
n
+1
n
\TATRANSWEKCIQIMEETWID
e
+
u
v
GDE
u
I
v
POLU^[email protected]
u
I
v
SOOTWETSTWENNO
DOBAWLENIEMNULEJ
tAKIMOBRAZOM
RASSMATRIWAEMAQKAK
\LEMENT
GL(
n
+1
;R
)
\TATRANSWEKCIQUDOWLETWORQETUSLOWIQMPREDYDU]EJ
LEMMY
sLEDSTWIE
.
[email protected]
R
212
nikolajwawilow
KAKMATRICA
g
OBRATIMA
TO
g

1
=0.
pUSTX
h
=
i
1
MAKSIMALXNYJINDEKSTAKOJ
^TO
g
h;
1
=0.
[email protected]]IEWERHNIEUNITREUGOLXNYEMATRICY
u
=
t
1
h
(

a
11
a

1
h
1
)
:::t
h

1
;h
(

a
h

1
;
1
a

1
h
1
)
v
=
t
12
(

a

1
h
1
a
h
2
)
:::t
1
n
(

a

1
h
1
a
hn
)
tEPERX
x
h
1
QWLQETSQEDINSTWENNYMNENULEWYM\LEMENTOMW
1-
MSTOLBCE
x

1
I
h
-
JSTROKE
x
h

MATRICY
x
=
ugv
wY^ERKIWAQIZ
x
\TOTSTOLBECI\TU
STROKU
MYPOLU^AEMMATRICU
y
2
GL(
n

1
;T
).
pRIMENQQK
y
INDUKCIONNOE
PREDPOLOVENIE
MYPOLU^AEM
^TO
y
2
B
(
n

1
;T
)
N
(
n

1
;T
)
B
(
n

1
;T
).
eDINSTWENNOSTX
.
pUSTXTEPERX
Bw
1
B
=
Bw
2
B
DLQNEKOTORYH
1
;w
2
2
W
|TOZNA^IT
^TO
2
2
Bw
1
B
ILI
DRUGIMISLOWAMI
^TO
2
=
b
1
1
b

1
2
DLQ
NEKOTORYH
b
1
;b
2
2
B
|TORAWENSTWOMOVNOPEREPISATXWWIDE
2
b
2
=
b
1
1
pERWYJSTOLBECMATRICY
2
b
2
OTLI^AETSQOTPERWOGOSTOLBCAMATRICY
2
SAMOEBOLX[EENANENULEWOJMNOVITELXIZ
T
rASSMOTRIMPERWYJSTOLBEC
MATRICY
b
1
1
.If
1
???
2.
kANONI^ESKAQFORMA
.
[email protected]
UTO^NITXTAK
^TOBYPOLU^ITXKANONI^[email protected]\LEMENTOW
G
NAZYWAE
-
MOJ
[email protected]
dLQ\LEMENTA
2
W
POLOVIM

w
=
f
u
2
wuw

1
2
V
g
qSNO
^TO

w
QWLQETSQPODGRUPPOJW
tOGDA
[email protected]
^[email protected]\LEMENT
g
2
G
MODNO
EDINSTWENNYMOBRAZOM
WYRAZITXWWIDE
g
=
duwv
GDE
d
2
D
u
2
2
W
v
2

w
x
11.
pARABOLI^ESKIEPODGRUPPY
1.
pARABOLI^ESKIEPODGRUPPY
.
nAPOMNIM
^TO
STANDARTNOJPARABO
-
LI^ESKOJPODGRUPPOJ
W
G
NAZYWAETSQPODGRUPPA
SODVERVA]AQ
B
zNA
-
MENITAQTEOREMAvAKAtITSAUTWERVDAET
^TOIZTOGO
^TO
B
I
N
OBRAZU
-
@T
BN
-
PARUWYTEKAET
STANDARTNOEOPISANIE
STANDARTNYHPARABOLI^ESKIH
PODGRUPP
dLQNA[EGOSLU^AQSTANDARTNOEOPISANIEUTWERVDAETWTO^NOS
TI
^TOKAVDAQPODGRUPPA
SODERVA]AQ
B
(
n;T
),
SOWPADAETSODNOJIZGRUPP
B
(
;T
)
DLQKAKOGO
-
TORAZBIENIQ

STEPENI
n
e]EODNAZNAMENITAQTEOREMAtITSAUTWERVDAET
^TO
B
ABNORMALXNAW
G
ILI
DRUGIMISLOWAMI
^TOWSEGRUPPY
B
(
;T
)
[email protected]
-
ZATORAMII^TONIKAKIEDWERAZLI^NYEPODGRUPPY
B
(
;T
)
I
B
(
;T
)
NESOPRQ
-
VENYW
G
x
12.
nEPRIWODIMOSTX
dLQTELIMEETSQO^ENXMO]NYJINSTRUMENT
KOTORYJWOMNOGIHSLU^AQH
POZWOLQETSWODITXWOPROSYOWSEHGRUPPAHIZDANNOGOKLASSAKI
ZU^[email protected]
PRI
-
MITIWNYHNEPRIWODIMYH
PODGRUPP
pUSTXTEPERX
R
=
T
{
TELO
pODGRUPPA
G
POLNOJLINEJNOJGRUPPY
GL(
n;T
)
NAZYWAETSQ
NEPRIWODIMOJ
ESLIONANASODERVITSQ
STO^[email protected]
-
VENNOSTI
NIWODNOJSOBSTWENNOJPODGRUPPEWERHNIHBLO^NO
-
TREUGOLXNYHMAT
-
RIC
B
(
;T
).
iNYMISLOWAMI
\TOOZNA^AET
^TONIODNASOPRQVENNAQ
xGx

1
x
2
GL(
n;T
),
GRUPPY
G
NESODERVITSQWGRUPPE
B
(
;T
)
DLQRAZBIENIQ

STE
-
PENI
n
SBOLEE
^EMODNIMSLAGAEMYM
gruppy
:
firstdraught
213
kONE^NO
\TOOPREDELENIE\KWIWALENTNOOBY^NOMU
~TOBYUBEDITXSQW\TOM
[email protected][RUPPU
G

GL(
n;T
).
nAPOMNIM
^TOPODPROSTRAN
-
STWO
PRAWOGO
WEKTORNOGOPROSTRANSTWA
V
=
T
n
NAZYWAETSQ
G
-
INWARIANT
-
NYM
ESLI
gU

DLQWSEH
g
2
G
dLQKAVDOJPODGRUPPY
G

GL(
n;T
)
IMEET
-
SQDWA
O^EWIDNYH
INWARIANTNYHPODPROSTRANSTWA
AIMENNO
V
I
0.
pODGRUPPA
G
NAZYWAETSQ
NEPRIWODIMOJ
ESLIDRUGIH
G
-
INWARIANTNYHPODPROSTRANSTW
W
V
NET
dEJSTWITELXNO
PUSTXU
G
ESTXNEO^EWIDNOEINWARIANTNOEPODPROSTRANSTWO
tOGDA
G
SODERVITSQWSTABILIZATORE\TOGOPODPROSTRANSTWA
eSLI
=
m
TOEGOSTABILIZATORSOPRQVENSGRUPPOJWERHNIHBLO^NO
-
TREUGOLXNYHMAT
-
RICTIPA
(
m;n

m
).
x
13.
pRIMITIWNOSTX
pUSTX
V
=
1

:::

t
{
RAZLOVENIEPROSTRANSTWA
V
[email protected]
-
PROSTRANSTWRAZMERNOSTEJ
n
1
;:::;n
t
SOOTWETSTWENNO
tOGDA
PO\LEMENTNYJ
STABILIZATOR
C
(
U
)
RAZLOVENIQ
U
=
f
1
;:::;U
t
g
SOSTOITIZWSEH
g
2
GL(
n;T
)
TAKIH
^TO
g
(
i
)

i
DLQWSEH
i
qSNO
^TOPO\LEMENTNYJSTABILIZATOR
f
1
;:::;U
t
g
SOPRQVENS
D
(
;T
),
GDE

=(
n
1
;:::;n
t
).
nAPOMNIM
^TO
FLAG
F
=
f
V
1
;:::;V
s
g
\TOPOSLEDOWATELXNOSTX
V
1

:::

V
s
WLOVENNYH
(nested)
PODPROSTRANSTWW
V
sTABILIZATORFLAGA
( agstabilizer)
C
(
F
)
SOSTOITIZWSEH
g
2
GL(
n;T
)
TAKIH
^TO
g
(
V
i
)

V
i
DLQWSEH
i
rAZLOVENIE
U
=
f
1
;:::;U
t
g
;V
=
1

:::

t
OPREDELQETFLAG
F
=
F
(
U
):
1

1

2

:::

1

:::

t

1
gRUPPA
B
(
;T
)
SOPRQVENASOSTABILIZATOROMFLAGA
C
(
F
).
[email protected]^EREDXBLO^NO
-
MONOMIALXNAQPODGRUPPA
N
(
;T
)
SOPRQVENASOSTABI
-
LIZATOROMRAZLOVENIQ
U
=
f
1
;:::;U
t
g
WCELOM
oNASOSTOITIHWSEHMATRIC
g
2
GL(
n;T
)
TAKIH
^[email protected]
i
SU]ESTWUETTAKOE
^TO
g
(
i
)

j
pODGRUPPA
G

GL(
n;T
)
NAZYWAETSQ
PRIMITIWNOJ
ESLIONANESODERVITSQ
STO^[email protected]
NIWODNOJIZSOBSTWENNYHPODGRUPPWIDA
N
(
;T
).
kAKMYTOLXKO^TOOTMETILI
\TOOPREDELENIE\KWIWALENTNOOBY^
-
[email protected]
^TONESU]ESTWUET
214
nikolajwawilow
gLAWA
X.
gruppy
,revisited
[email protected]@TWSREDNEJ[KOLE
;
PO\TOMULICA
,
OKON
-
^IW[IE[KOLUNEDAWNO
,
MOGUTPROPUSTITX\TOTPARAGRAF
.
oDNAKOBO
-
LEEPOVILYMFIZIKAMEGONEOBHODIMOPRORABOTATX
,
^TOBYIMETXWOZ
-
MOVNOSTXBESEDOWATXSOSWOIMIDETXMIIU^ITXSTUDENTOW
.
q
.
b
.
zELXDOWI^
,
i
.
m
.
qGLOM
,
wYS[AQMATEMATIKADLQNA^[email protected]]IHFI
-
ZIKOWITEHNIKOW
w\TOJGLAWEMYNA^INAEMZNAKOMSTWOSNASTOQ]EJTEORIEJGRUPP
bOLX[AQ
^ASTXIZTOGO
O^EM[LARE^XWgLAWE
1,
OTNOSITSQKOB]EJALGEBRE
tO
^TO
MYOBSUVDAEMZDESX
SPECIFI^NOIMENNODLQGRUPP
tEMA
1.
kOMMUTATORYIKOMMUTANT
oDNIMIZSAMYHPOLEZNYHI^ASTOISPOLXZUEMYHINSTRUMENTOWT
EORIIGRUPP
[email protected]^ISLENIQSKOMMUTATORAMI
x
1.
kOMMUTATORY
,
KOMMUTANT
,
ABELIANIZACIQ
1.
kOMMUTATORY
,
KOMMUTANT
.
nAPOMNIM
^TOWgLAWE
II
MYUVEIME
-
LIDELOSKOMMUTATORAMI\LEMENTOWWGRUPPE
oBY^NOMYPONIMAEMPOD
KOMMUTATOROM
\LEMENTOW
x;y
2
G
IH
LEWONORMIROWANNYJKOMMUTATOR
x;y
]=[
x;y
l
=
xyx

1
y

1
zAMETIM
WPRO^EM
^TOWOMNOGIHKNIGAHPOKOM
-
BINATORNOJTEORIIGRUPPKOMMUTATOROMNAZYWAETSQ
PRAWONORMIROWANNYJ
KOMMUTATOR
x;y
r
=
x

1
y

1
xy
qSNO
^TO
x;y
r
=[
x

1
;y

1
l
tAKIMOBRA
-
ZOM
[email protected]
WODITSQ
NAQZYKLEWONORMIROWANNYHKOMMUTATOROWINAOBOROT
nAPOMNIM
(ibid.),
^TO
KOMMUTANTOM
GRUPPYNAZYWAETSQPODGRUPPA
PO
-
ROVDENNAQ
MNOVESTWOMWSEHKOMMUTATOROW
G;G
]=
h
x;y
x;y
2
G
i
tAKKAK
x;y

1
=[
y;x
[email protected]\LEMENTKOMMUTANTAPREDSTAWLQETSQWWIDE
PROIZWEDENIQKONE^NOGO^ISLAKOMMUTATOROW
kLASSIKI
XIX
WEKA
W^ASTNO
-
STI
sOFUSlI
OBY^NONAZYWALI
G;G
PROIZWODNOJGRUPPOJ
GRUPPY
G
(abgeleiteteGruppe,ersteabgeleiteteGruppe,ersteAbleitung,
OTKUDA
derived
group,sous-groupederive).
pREDOSTEREVENIE
.
tIPI^NAQO[IBKANA^[email protected]]IHSOSTOITWTOM
^TOONI
S^[email protected]
^TOKOMMUTANT
SOSTOIT
IZKOMMUTATOROW
|TONETAK
E]ERAZPOD
-
^ERKNEM
^TOKOMMUTANT
gruppy
:
firstdraught
215
2.
oSNOWNYESWOJSTWAKOMMUTANTA
.
kOMMUTANT
KAKICENTR
IZMERQET
OTKLONENIEGRUPPYOTABELEWOSTI
~EM
BOLX[E
CENTRI^EM
MENX[E
KOMMU
-
TANT
TEMBLIVEGRUPPAKABELEWOJ
sEJ^ASMYPRIDADIM\[email protected]
TO^NYJTEHNI^ESKIJSMYSL
wgLAWE
I
MYUVEUBEDILISXWTOM
^TO
G;G
E
G
sEJ^ASMYUSILIM\TOTREZULXTATIPOKAVEM
^TOKOMMUTANT
{
\TO
NAIMENX[AQ
NORMALXNAQPODGRUPPAW
G
FAKTOR
-
GRUPPAPOKOTOROJABELEWA
nAPOMNIM
^TOPODGRUPPA
H

G
NORMALXNA
ESLI
(
H
)

H
[email protected]
WNUTRENNEGOAWTOMORFIZMA
2
Inn(
G
).
pODGRUPPA
H
NAZYWAETSQ
HARAKTE
-
RISTI^ESKOJ
ESLI
(
H
)

H
[email protected]
AWTOMORFIZMA
2
Aut(
G
).
pOD
-
GRUPPA
H
NAZYWAETSQ
WPOLNEHARAKTERISTI^ESKOJ
ESLI
(
H
)

H
DLQ
[email protected]
\NDOMORFIZMA
2
End(
G
).
tAKKAK
Inn(
G
)

Aut(
G
)

End(
G
),
TO
[email protected]]AQCEPO^KAIMPLIKACIJ
H
WPOLNEHARAKTERISTI^ESKAQ
=
)
H
HARAKTERISTI^ESKAQ
=
)
H
NORMALXNAQ
tEOREMA
.
1)
kOMMUTANT
G;G
h
=
h
G;G
I
g
=
g
G;G
]{
DWASMEVNYHKLASSAPOKOMMUTANTU
tAKKAK
G;G
]{
NORMALXNAQPODGRUPPA
TO
h;
g
]=[
h;g
G;G
]=[
G;G
nO\TO
IZNA^IT
^TO
G=
G;G
ABELEWA
3)
oBOZNA^IM^EREZ

KANONI^[email protected]@
G
!
G=H
tOGDATAK
KAKGRUPPA
G=H
ABELEWA
[email protected]
x;y
IMEEM

([
x;y
])=

(
x
)
;
(
y
)]=1.
nO\TOIZNA^IT
^TO
x;y
2
Ker(

)=
H
tAKKAK
G;G
POROVDAETSQKOMMUTATORAMI
TO
G;G

H
3.
aBELIANIZACIQ
.
tOLXKO^TODOKAZANNAQNAMITEOREMAUTWERVDAET
,
^TOFAKTOR
-
GRUPPA
G=
[
G;G
]
QWLQETSQ
NAIBOLX[EJ
ABELEWOJFAKTOR
-
GRUPPOJ
.
oBY^NOONAOBOZNA^AETSQ
G
ab
INA
-
ZYWAETSQ
ABELIANIZACIEJGRUPPY
G
.
zAMETIM
,
WPRO^EM
,
^[email protected]
ABELIANIZACIEJKANONI^[email protected]@

ab
=

ab
G
:
G
!
G
ab
.
aBELIANIZACIIWAVNAIPOLEZNA
POTOMU
,
^TOONA
FUNKTORIALXNA
,
.
E
.
KAVDYJGOMO
-
MORFIZMGRUPP
'
:
H
!
G
INDUCIRUETGOMOMORFIZMABELIANIZACIJ
'
ab
:
H
ab
!
G
ab
.
tAKKAK

ab
G
'
:
H
!
G
!
G
ab
ESTXGOMOMORFIZMGRUPPY
H
NAABELEWUGRUPPU
G
ab
,
TO
POTOLXKO^TODOKAZANNOJTEOREME
Ker(

ab
'
)[
H;H
]
,
SLEDOWATELXNO
,
POTEOREMEOGOMOMOR
-
FIZME
,
ONPROPUSKAETSQ^EREZ

ab
H
:
H
!
H
ab
.
iNYMISLOWAMI
,
SU]ESTWUETEDINSTWENNYJ
GOMOMORFIZM
'
ab
:
H
ab
!
G
ab
TAKOJ
,
^TO

ab
G
'
=
'
ab

ab
H
,
NAZYWAEMYJ
ABELIANIZACIEJ
GOMOMORFIZMA
'
.
zADA^A
.
dOKAVITE
,
^TODLQESLI
';
{
DWAGOMOMORFIZMA
,
TO
(
'
)
ab
=
'
ab
ab
.
tAKIMOBRAZOM
,
SOPOSTAWLENIEKAVDOJGRUPPEIGOMOMORFIZMUIHABELIANIZACIJDEJSTWI
-
[email protected]
.
x
2.
kOMMUTANT
S
n
I
GL(
n;K
)
w\TOMPARAGRAFEMYWY^ISLIMKOMMUTANTDWUHWAVNEJ[IHGRUPP
1.
kOMMUTANT
S
n
.
w\TOMSLU^AEWY^ISLITXKOMMUTANTSOWSEMPROSTO
216
nikolajwawilow
tEOREMA
.
1)
[email protected]
n
gruppy
:
firstdraught
217
CIQMI
t
ij
(

)=
e
+
e
ij

2
R
,1

i
=

n
[email protected]][email protected]^EWOESOOBRAVENIE
DOKAZYWAETSQNEPOSREDSTWENNYMWY^ISLENIEM
lEMMA
.
[email protected]
;
2
R
218
nikolajwawilow
(
PROWERXTE\TO
!).
oDNAKOWOTLI^IEOTGRUPP
SL(2
;q
),

4,
GRUPPA
SL(2
3)
NEQWLQETSQSOWER[ENNOJ
~TOBYUBEDITXSQW\TOM
[email protected]][email protected]
PODGRUPPU
H

SL(2
3):
H
=



10
01




11
11



11
1

1



01

10

zADA^A
.
dOKAVITE
^TO
[SL(2
3)
SL(2
3)]=
H
rE[ENIE
.
nESLOVNOPROWERITX
^TO
H
E
SL(2
3),
DLQ\TOGODOSTATO^NOUBE
-
DITXSQWTOM
^TO
H
NORMALIZUETSQ\LEMENTARNYMIMATRICAMI
nOTOGDA
FAKTOR
-
GRUPPA
SL(2
3)
=H
IMEETPORQDOK
3
I
SLEDOWATELXNOABELEWA
|TOZNA
-
^IT
^TOKOMMUTANT
SL(2
3)
SODERVITSQW
H
dLQDOKAZATELXSTWAOBRATNOGO
[email protected]^ENIQDOSTATO^NOWY^ISLITXKOMMUTATOR
t
12
(

)
;t
21
(

)].
tEOREMA
.
pREDPOLOVIM
,
^TO
K
,
K
j
2
,{
POLE
.
tOGDA
B
(
n;K
)
;B
(
n;K
)]=
(
n;K
)
x
3.
tEOREMAoRE
,
PROBLEMAoRE
wPREDYDU]EMPARAGRAFEMYDOKAZALI
,
^TOGRUPPA
A
n
,
n

5,
SOWER[ENNA
,
INYMISLOWA
-
MI
,
^TOKAVDYJ\LEMENT
A
n
QWLQETSQPROIZWEDENIEMKOMMUTATOROW
.
oDNAKOWDEJSTWITELX
-
NOSTIIMEETMESTOGORAZDOBOLEETO^NOEUTWERVDENIE
.
tEOREMAoRE
.
pRI
n

5
KAVDYJ\LEMENTGRUPPY
A
n
QWLQETSQKOMMUTATOROM
.
dOKAZATELXSTWO
.
pROBLEMAoRE
.
wERNOLI
,
^TOKAVDYJ\LEMENTNEABELEWOJKONE^NOJPROSTOJGRUPPY
QWLQETSQKOMMUTATOROM
.
pO^TIDLQWSEHKONE^NYHPROSTYHGRUPPIZWESTNO
,
^TOOTWETNA\TOTWOPROSPOLOVITELEN
.
x
4.
nEKAVDYJ\LEMENTKOMMUTANTAQWLQETSQKOMMUTATOROM
1stinstalment
zDESXMYWOSPROIZWODIM
ZAME^ATELXNYJ
PRIMERfILLISkASSIDI
204
POKA
-
[email protected]]IJ
^TO
WOOB]EGOWORQ
KOMMUTANTNETOLXKONESOWPADAETSMNOVE
-
STWOMKOMMUTATOROW
NOINEIMEETOTNOSITELXNO\TOGOMNOVESTWA
KONE^NOJ
[IRINY
iNYMISLOWAMI
SU]ESTWUETGRUPPA
G
TAKAQ
^TO
[email protected]
n
2
N
NAJDETSQ\LEMENT
x
2
G;G
KOTORYJNIKAKIMISILAMINELXZQZAPISATXKAK
PROIZWEDENIEMENEE
^EM
n
KOMMUTATOROW
1.
pRIMERkASSIDI
.
pUSTX
K
{
PROIZWOLXNOEPOLE
x
I
y
NEZAWISIMYE
PEREMENNYENAD
K
[email protected]][email protected]
G
W
GL(3
;K
x;y
]):
0
@
1
K
x
K
x;y
01
K
y
001
1
A
[email protected]]EEUTWERVDENIEPO^TIO^EWIDNO
204
P.J.Cassidy,Productsofcommutatorsarenotalwayscommutato
rs:anexample.{Amer.
Math.Monthly,1979,vol.86,p.772.
gruppy
:
firstdraught
219
lEMMA
1.
kOMMUTANTGRUPPY
G
2
c
KOMMUTATOROW
2.
wARIACIQrOTMANA
.
[email protected]]IMOBRAZOM
.
wOZXMEM\TOMPRIMERE
K
=
F
p
IZAMENIM
K
[
x;y
]
NA
K
[
x;y
]
=I
,
GDE
I
=(
x
3
;x
2
y;xy
2
;y
3
){
IDE
-
AL
,
POROVDENNYJTRETXIMISTEPENQMI
.
|TOPRIWODITKPRIMERUGRUPPYPORQDKA
p
12
,
DLQ
KOTOROJKOMMUTANTNESOWPADAETSMNOVESTWOMKOMMUTATOROW
.
wSAMOMDELE
,
WMATRICAHIZ
\TOGOPRIMERAWPOZICII
(1
;
2)
STOQTLINEJNYEKOMBINACII
1
;x;x
2
,
WPOZICII
(2
;
3){
LINEJ
-
NYEKOMBINACII
1
;y;y
2
,
,
NAKONEC
,
WPOZICII
(1
;
3){
LINEJNYEKOMBINACII
1
;x;y;x
2
;xy;y
2
.
uBEDITESXWTOM
,
^TO\TOGOHWATAET
,
^TOBYPROWESTIRASSUVDENIEIZDOKAZATELXSTWATEOREMY
kASSIDI
.
3.
dLINNYEKOMMUTATORY
.
oDNAKO
,
[email protected]]AQUMNOGIHNA^[email protected]][email protected]
,
^TO
KAVDYJ\LEMENTKOMMUTANTAESTXKOMMUTATOR
,
IMEETPODSOBOJMATERIALXNYJSUBSTRAT
.
220
nikolajwawilow
zADA^A
.
pOKAZATX
,
^TOKOMMUTANT
[
G;G
]
SOWPADAETSMNOVESTWOM
f
g
1
:::g
n
g

1
1
:::g

1
n
j
n
2
N
;g
i
2
G
g
DLINNYHKOMMUTATOROW
.
rE[ENIE
.
pREVDEWSEGO
,
PROWERIM
,
^TOWSEDLINNYEKOMMUTATORYDEJSTWITELXNOLEVATW
KOMMUTANTE
,
.
E
.
PREDSTAWIMYWWIDEPROIZWEDENIQOBY^NYHKOMMUTATOROW
.
|TODELAETSQ
PRIPOMO]ISTANDARTNOGO
[email protected]
alias
[email protected]
:
g
1
g
2
:::g
n
g

1
1
g

1
2
:::g

1
n
=[
g
1
;g
2
:::g
n
][
g
2
;g
3
:::g
n
]
:::
[
g
n

1
;g
n
]
:
kONE^NO
,
WKURSEANALIZAPRISUMMIROWANIIRQDOWWYWIDELI\[email protected]
NAPRAWO
,
ANESPRAWANALEWO
,
KAKUNAS
,
NO\TOPOTOMU
,
^TONA[EUMNOVENIENEKOMMUTATIWNO
!
[email protected]]EMPARAGRAFEMYNAPOMNIM
,
W^EMSOSTOITOBY^[email protected]
IPRIWEDEME]EODNOWAVNOEPRILOVENIE
.
pROWERKATOGO
,
^[email protected]\LEMENTKOMMUTANTAQWLQETSQDLINNYMKOMMUTATOROM
,
POSUTI
E]EPRO]E
.
dLQ\TOGOZAPI[EMOBY^NYJKOMMUTATORKAKDLINNYJKOMMUTATOR
:
[
h;g

1
]=
h
(
g

1
h

1
)
g
=
h
(
g

1
h

1
)
gh

1
(
g

1
h

1
)

1
g

1
:
oBRATITEWNIMANIE
,
^TO
[email protected][KA
(pendant{
WARIANTYPEREWODANAWYBOR
:
POBRQ
-
KU[KA
,
PODWESKA
,
[email protected]
)
h

1
(
g

1
h

1
)

1
g

1
,
[email protected]
,
^TOBYPRIDATXKOM
-
[email protected]
,
PROSTORAWNA
1
SAMAPOSEBE
.
tEPERXUVESOWER[ENNOQSNO
,
KAK
POSTUPATXWOB]EMSLU^AE
:
[email protected]@BOJ\LEMENTKOMMUTANTAIMEETWID
[
h
1
;g

1
1
]
:::
[
h
n
;g

1
n
]=
h
1
(
g

1
1
h

1
1
)
g
1
:::h
n
(
g

1
n
h

1
n
)
g
n
DLQNEKOTOROGO
n
2
N
INEKOTORYH
h
i
;g
i
2
G
.
oSTALOSXPROSTODOPISATXPOSLE
g
n
FANFRE
-
[email protected][KIKOWSEMWHODQ][email protected]
.
[email protected][KIRAWNY
1,
NOIHDOPISYWA
-
NIEPRIDASTNA[[email protected]
.
x
5.
nEKAVDYJ\LEMENTKOMMUTANTAQWLQETSQKOMMUTATOROM
2ndinstalment
sEJ^ASMYPOSTROIMCELYJKLASSPRIMEROW
KONE^NYH
GRUPP
,
DLQKOTORYHKOMMUTANTNE
SOWPADAETSMNOVESTWOMKOMMUTATOROW
205
;
206
.
1.
nIZKIJSTART
.
[email protected]]AQLEMMAPO^TIO^EWIDNA
.
lEMMA
.
eSLI
G
GRUPPATAKAQ
,
^TO
j
G
:
C
(
G
)
j
2

j
[
G;G
]
j
,
TOW
[
G;G
]
ESTX\LEMENTY
,