Ucheb_posobie_VYSShIE_FINANS_VYChISL_Ganieva_Kr..

...
5




Глава 1. Основные понятия финансовых вычислений..............
6

1.1. Время как фактор в финансовых расчетах..
6

1.2. Проценты, виды процентных ставок
7

Глава 2. Простая процентная ставка.
9

2.1. Формула наращения...
9

2.2. Погашение задолженности частями.
12

2.3. Дисконтирование и учет по простым процентам...
16

2.4. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
20

Глава 3. Сложные проценты...........
22

3.1. Формула наращения по сложным процентам.
22

3.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки...
24

3.3. Дисконтирование по сложной ставке...
26

3.4. Сложная учетная ставка
26

Контрольные вопросы к главам 1, 2, 3..
30

Глава 4. Эквивалентность процентных ставок...
32

Глава 5. Наращение процентов и инфляция
36

Глава 6. Финансовая эквивалентность обязательств
41

6.1. Уравнение эквивалентности..
41

6.2. Объединение потока платежей в один.
43

6.3. Замена одного потока платежей другим..
46

Контрольные вопросы к главам 4, 5, 6......
50

Глава 7. Постоянные финансовые ренты.
52

7.1. Виды потоков платежей и их основные параметры...
52

7.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо..
56

7.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо..
61

7.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо..
64

7.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент..
67

Глава 8. Переменные ренты. Конверсия рент.
73

8.1. Годовая рента постнумерандо с изменением выплат по закону арифметической прогрессии.
73


8.2. Годовая рента постнумерандо с изменением выплат по закону геометрической прогрессии..
75

8.3. Конверсии рент...
77

8.4. Изменение параметров рент..
82

Глава 9. Планирование погашения долгосрочной задол-женности..
85

9.1. Расходы по обслуживанию долга.
85

9.2. Создание погасительного фонда...
86

9.3. Погашение долга в рассрочку...
88

9.4. Льготные займы и кредиты...
96

Контрольные вопросы к главам 7, 8, 9......
100




Список литературы...
102

Приложения....
103

ВВЕДЕНИЕ

В рыночных торгово-денежных отношениях большое значение имеет умение проводить различные финансово-коммерческие расчеты. Знание основ этой дисциплины необходимо специалистам, занятым в сфере финансов, учета, аудита, управления, без них не сможет нормально работать ни один современный бизнесмен.
Финансовые расчеты являются основой инвестиционного анализа, без которого немыслимо развитие процесса инвестирования, занимающего важнейшее место во всей современной экономике. В переводе с латинского слово «инвестиция» означает «вложение». В современном понимании инвестиция означает вложение капитала с целью его увеличения в будущем. В настоящее время эффективность инвестиций определяется, как правило, на научной базе, в основу которой положена финансовая математика.
Финансовая математика входит составной частью в управленческий анализ, без которого невозможно управление любым современным предприятием независимо от его величины, организационно-правовой формой, сферы деятельности.
К задачам, решаемым с помощью расчетов финансовых и коммерческих операций, можно, в частности, отнести:
- определение конечных финансовых результатов операций для каждой из участвующих в ней сторон;
- определение взаимосвязи параметров операций или сделки и их влияние на конечный результат;
- разработку бизнес-планов;
- нахождение параметров эквивалентного изменения условий сделки.
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Финансовые вычисления, предметом которых является количественный анализ результатов деятельности инвестиционных, биржевых, кредитных, страховых, валютных и иных заимствующих организаций, осуществляемый на основе предварительного изучения их сути и назначения, представляют сегодня одну из наиболее распространенных и популярных отраслей экономических занятий.
Эти вычисления называют также эффективными, или высшими, финансовыми вычислениями, так как они выступают инструментом не только фиксирования, но и оценивания рыночных ожиданий различных финансовых исходов (учетных и кредитных ставок, курсов валют и биржевых курсов, страховых премий, аннуитетов и т.д.), выполняемых, как правило, в условиях неопределенности и риска с учетом будущих доходов (или убытков), и требуют обычно применения сложных схем и методов построения.
Различают простые и сложные виды финансовых вычислений, соответствующие простым и сложным схемам финансовых сделок и простым и сложным показателям, исчисляемым на их основе.
Выбор тех или иных методов финансовых вычислений определяется характером финансовых операций и сделок, их содержанием, форматом, условиями проведения, сроками и преследуемыми каждым участником контрактными целями и выгодами.

1.1. Время как фактор в финансовых расчетах

Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, в операциях с недвижимостью играет большую роль. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени.
Сумма денег, полученная через десять лет, не равноценна этой же сумме сегодня, даже если не принимать во внимание инфляцию и риск их неполучения, так как эта сумма теоретически могла быть инвестирована и могла принести доход. Полученный доход, в свою очередь, мог быть реинвестирован и т.  д. Таким образом, деньги имеют еще одну характеристику – временную ценность.
Поэтому в финансовых вычислениях фактор времени играет важнейшую роль. Каждый из методов анализа, которые будут рассмотрены ниже, учитывает время как одно из важнейших условий.

1.2. Проценты, виды процентных ставок

Процентные деньги или процент – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме, т.е. в виде займа, продажи товара в кредит, размещения средств на депозитный счет, учет векселей и т.д.
При заключении финансового договора стороны, т.е. кредитор и заемщик договариваются о размере процентной ставки.
Процентная ставка – это относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени (например, год), т.е. это отношение процентных денег к сумме долга за единицу времени. Процентная ставка измеряется в процентах или в виде десятичной дроби с точностью до тысячных или в натуральных дробях с точностью до 1/16.
Период начисления – это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка. В расчетах используются следующие временные интервалы: год, полугодие, квартал, месяц, день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.
Проценты согласно договоренности между сторонами либо выплачиваются по мере их начисления, либо присоединяются к основной сумме долга, т.е. капитализируются.
Процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением начисленных процентов называется наращением или ростом этой суммы.
В финансовых расчетах процентная ставка используется не только как инструмент наращения суммы долга, но и как измеритель доходности любой финансовой операции.
Достаточно часто используются дифференцированные процентные ставки, когда суммируются различные способы начисления процентов, которые зависят от условий контрактов.


Процентные ставки подразделяются на 3 класса:
1. По базе их начисления(: простые (когда используется неизменная база для начисления процентов), сложные (когда используется последовательно изменяющиеся базы для начисления, т.е. проценты начисляются на сумму, наращенную на предыдущем этапе).
2. В зависимости от выбора принципа расчета процентов: наращение на сумму долга (ставка называется ставкой наращения), скидка с конечной суммы долга (учетная ставка). Учетная ставка используется только при работе с финансовыми инструментами (векселя, облигации и т.д.)!
3. Фиксированные (в контракте четко указывается размер процентной ставки), плавающие (в контракте фиксируется изменяющаяся во времени базовая ставка2 или размер надбавки к ней – маржи).
ГЛАВА 2. ПРОСТАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

Простая процентная ставка – это ставка, при которой база начисления всегда остается неизменной. Главное правило – проценты начисляются только на основную сумму долга.
Рассмотрим ситуацию, когда исходная сумма денег помещается на сберегательный счет под фиксированный процент. При этом процент выплачивается непосредственно инвестору, а не прибавляется к исходной сумме вложения.
Это пример варианта размещения денежных средств под простой процент. Так, если мы вложим $200 под 5% годовых, то в конце каждого года будем получать процентный доход в размере 5% от первоначальной суммы вложения. Следовательно, ежегодно мы будем получать 5% от $200, при условии, что денежные средства не изымаются по окончании этого срока. Т.е. в конце каждого года мы будем получать по 200 ( 0,05 = $10.
Этот простой пример можно облечь в следующую формулу финансовой математики.

2.1. Формула наращения

Под наращенной суммой долга понимают первоначальную сумму плюс начисленные к концу срока долга проценты.

S = P + I, (2.1)

где S – наращенная сумма долга к концу срока задолженности, P – первоначальная сумма долга, I – начисленные к концу срока долга проценты. Единицей измерения процентов в России является рубль.
К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.
Проценты I за весь срок ссуды вычисляются по формуле:

I = Р(n(i, (2.2)

где n – срок ссуды, как правило, в годах, i – простая процентная ставка наращения, как правило, годовая (десятичная дробь).
Подставив выражение для процентов (2.2) в (2.1), получим формулу простых процентов:

S = P (1 + n(i). (2.3)

Множитель (1+n(i) называется множителем наращения простых процентов.

Пример 2.1. Ссуда 25000 руб. выдана на срок 0,7 года под простые проценты 18% годовых. Определить проценты и наращенную сумму.
Решение. I = Р(n(i = 25000 ( 0,7 ( 0,18 = 3150 руб.
S = P + I = 25000 + 3150 = 28150 руб. (

2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. Поскольку процентная ставка, как правило, устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору.
Срок ссуды рассчитывается по формуле:

13 EMBED Equation.3 1415, (2.4)

где t – число дней ссуды, K – временная база или число дней в году.
В зависимости от принятой на предприятии методики используют два типа временных баз:
K = 360 – обыкновенные проценты(,
K = 365 (366) – точные проценты(.
При расчете срока ссуды при начислении по простым процентам используются три метода:
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Обозначается 365/365. Количество дней ссуды рассчитывается точно по календарю. День выдачи ссуды и день ее погашения считаются за 2 дня. K = 365. Этот вариант дает самые точные результаты. Метод применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Обозначается 365/360. Количество дней ссуды рассчитывается точно по календарю. Первый и последний день ссуды принимаются за 2 дня. K = 360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Метод применяется в ссудных операциях коммерческих банков.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Обозначается 360/360. Количество дней в каждом месяце принимается равным 30. K = 360. Такой метод применяется, когда не требуется большой точности, например, при промежуточных расчетах.

Пример 2.2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить все 3 метода.
Решение. Предварительно определим число дней ссуды:
а) точное: t = 12+28+31+30+31+30+31+31+30+5 = 259;
б) приближенное: t = 11+8(30+4=255.
Теперь можем определить наращенную сумму тремя методами:
1. 365/365: S = 1 000 000 (1+ 13 EMBED Equation.3 1415(0,18) = 1 127 726 руб.
2. 365/360: S = 1 000 000 (1+13 EMBED Equation.3 1415(0,18) = 1 129 500 руб.
3. 360/360: S = 1 000 000 (1+13 EMBED Equation.3 1415(0,18) = 1 127 500 руб. (

2.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и есть необходимость в распределении суммы процентов между ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:

I = I1+ I2 = Р(n1(i + Р(n2(i, (2.5)

здесь n1 и n2 – части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год.

2.1.3. Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

S = P (1 + n1(i1 + n2(i2 + + nk(ik), (2.6)

где n1, n2, , nk – временные интервалы, следующие друг за другом, i1, i2, , ik – соответствующие этим интервалам ставки.

Пример 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года.
Решение.
(1+ n1(i1 + n2(i2 + + nk(ik ) =
= (1 + 1(0,16 + 0,5(0,17 + 0,5(0,18 + 0,5(0,19) = 1,43. (


2.2. Погашение задолженности частями

Контур финансовой операции. Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи.
Сбалансированность можно пояснить на графике (рис. 2.1).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2.1. Контур финансовой операции
Выдана ссуда на срок t в размере D. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два платежа R1 и R2, а в конце срока выплачивается остаток задолженности в сумме R3. Очевидно, что на интервале t1 задолженность возрастает (в силу начисления процентов) до величины D1. В конце этого периода выплачивается в счет погашения задолженности сумма R1. Долг уменьшается до K1 и т.д. Заканчивается операция получением кредитором в окончательный расчет суммы R3. В этот момент задолженность должна быть равна нулю. Такой график называется контуром операции.
Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. В этом случае совокупность платежей точно соответствует условиям сделки.
Частичные платежи. Краткосрочные обязательства часто погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом случае необходимо решить две задачи:
а) какую сумму необходимо брать за базу для начисления процентов;
б) каким путем определять остаток задолженности.
Существует два метода решения этих задач:
1) актуарный метод для операций со сроком более года;
2) правило торговца (используется коммерческими банками в сделках со сроком не более года).
Если иные условия не оговорены, то по умолчанию всегда используется способ начисления процентов 360/360, т.е. простые проценты.
Актуарный метод представляет собой последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж в первую очередь идет на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д.
Если частичный платеж меньше суммы начисленных процентов, то никаких зачислений в счет погашения начисленных процентов и основной суммы долга не производится. Частичный платеж и начисленные проценты присоединяются соответственно к следующему платежу и процентам, начисленным на следующем этапе.
Пример 2.4. Имеется обязательство в сумме 15 млн. руб., которое необходимо погасить за 1,5 года (с 12.03.2008 по 12.09.2009 г.). Кредитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляются по ставке 20% годовых. Частичные платежи характеризуются следующими данными:
12.06.2008 г. – 500 тыс. руб.;
12.06.2009 г. – 5 млн. руб.;
30.06.2009 г. – 8 млн. руб.
Определить сумму окончательного платежа на 12.09.2009 г.
Решение представим в виде табл. 2.1.
Таблица 2.1
Дата
Остаток долга (млн. руб.)
Сумма начисленных процентов
(млн. руб.)
Платеж (млн. руб.)
Погашение задолженности (млн. руб.)

12.03.2008
15
(
(
(


12.06.2008

15
I = Р
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
При применении правила торговца возможны два варианта:
1) Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного погашения. В свою очередь накапливаются частичные платежи с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм, т.е. он должен сбалансировать операцию.
2) В случае, когда срок превышает год, все указанные выше расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы долга вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.
Алгоритм можно записать следующим образом:

Q = S – K = P (1+ n(i) – (Rj (1+ tj i), (2.7)

где Q – остаток долга на конец срока или года, S – наращенная сумма долга, K – наращенная сумма платежей, Rj – сумма частичного платежа, n – общий срок ссуды, tj – интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Графическое изображение такой операции при выплате двух промежуточных платежей охватывает два параллельных контура (рис. 2.2). Первый характеризует наращение задолженности, второй – наращение на суммы поступлений. Для одних и тех же данных актуарный метод и правило торговца дают разные результаты. Остаток задолженности по первому методу немного выше, чем по второму.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2.2

Пример 2.5. Обязательство в размере 1,5 млн. руб. от 10.08.2006 г. должно быть погашено 10.07.2007 г. Ссуда выдана под ставку 20% годовых. В счет погашения долга 10.12.2006 г. поступило 800 тыс.руб. Определить остаток долга на конец срока.
Решение.
1) Находим наращенную сумму долга:
S = 1,5 (1 + 13 EMBED Equation.3 1415(0,2) = 1,774 999 млн. руб.
2) Накопленную сумму платежей:
K = 0,8 (1 + 13 EMBED Equation.3 1415(0,2) = 0,893 333 млн. руб.
3) Остаток долга: Q = 1,774 999 – 0,893 333 = 0,881666 млн.руб.(
2.3. Дисконтирование и учет по простым процентам

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (S) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (P).
Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):

D = S – P. (2.8)

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину, т.е. это процесс обратный наращению, движение осуществляется от будущего к настоящему (см. рис. 2.3).

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 2.3

Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину P называют приведенной (современной или текущей) величиной S. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.
Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.
В зависимости от вида процентной ставки применяют 2 метода дисконтирования:
1) математическое дисконтирование по ставке наращения;
2) банковский (коммерческий) учет по учетной ставке.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды: необходимо найти текущую «сегодняшнюю» стоимость Р будущей величины S, если на первоначальный долг начисляются проценты по ставке i.
Решив (2.3) относительно P, находим:

13 EMBED Equation.3 1415, (2.9)

где 13 EMBED Equation.3 1415 – множитель дисконтирования (дисконтный множитель) по простой процентной ставке. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.
Из формулы (2.1) следует, что проценты вычисляются по формуле:

I = S – P. (2.10)

Сравнив последнюю формулу с формулой (2.8), видим, что по форме проценты и дисконт совпадают. Не следует забывать об их различном финансовом содержании.

Пример 2.6. Через 159 дней после подписания договора должник уплачивает 8,5 тыс. руб. Кредит выдан под 19% годовых. Какова первоначальная сумма долга и дисконт при условии, что временная база равна 360 дней?
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415руб.;
D = S – P = 8500 – 7841,93 = 658,07 руб. (

Банковский учет (учет векселей) – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.
Суть операции банковского учета заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе или обязательстве, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, но раньше указанного в обязательстве срока. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом используется простая учетная ставка d.
В этом случае сумма, получаемая владельцем обязательства или векселя при его учете, равна:

P = S (1 – n(d), (2.11)

где S – сумма обязательства, подлежащая уплате в конце его срока,
n – срок от момента учета до даты погашения обязательства,
d – простая учетная ставка;
(1 – n(d) – множитель дисконтирования по простой учетной ставке.

Учет посредством учетной ставки осуществляется при временной базе K=360, используется схема 365/360.
Подставив формулу (2.11) в (2.8), получим формулу для расчета дисконта при учете по простой учетной ставке:

D =S – P= S(n(d. (2.12)
Пример 2.7. Вексель, имеющий номинальную стоимость 8000 руб., учтен в банке по учетной ставке 18,5% годовых за 132 дня до его погашения. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете и сумму, которую получит банк.
Решение.
P = S (1 – n(d) = 8000 (1 – 13 EMBED Equation.3 1415(0,185 ) = 7457,33 руб.
D =S – P = 8000 – 7457,33 = 542,67 руб. (

Иногда в банках используют следующую схему при расчете современной величины задолженности:
- определяют наращенную сумму долга;
- определяют сумму, получаемую при учете.
Оба последовательных действия можно представить в одной формуле:
P( = P(1 + ni)((1 – n(d), (2.13)

где P( – сумма, получаемая при учете, n – общий срок обязательства, n( – срок от момента учета до даты погашения.

Пример 2.8. Предприятие продало товар, получив вексель номинальной стоимостью 80 млн. руб. сроком 80 дней и процентной ставкой 35% годовых. Через 55 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть его в банке по учетной ставке 30% годовых. Рассчитайте сумму, получаемую векселедержателем.
Решение.
P( = 80((1+13 EMBED Equation.3 1415(0,35)((1 – 13 EMBED Equation.3 1415(0,3) = 84,426 млн. руб. (

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется при расчете наращенной суммы. В этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма задолженности. Наращенная сумма в этом случае
13 EMBED Equation.3 1415, (2.14)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – это множитель наращения по простой учетной ставке.
2.4. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам

Как было показано выше, оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении (табл. 2.2).
Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дисконтирования – по ставке наращения i и учетной ставки d – приводят к разным результатам даже тогда, когда i= d.

Таблица 2.2
Ставки
Прямая задача
Обратная задача

i
S = P (1 + n(i)
13 EMBED Equation.3 1415

d
P = S (1 – n(d)
13 EMBED Equation.3 1415


Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении величины ставки.
Выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции.

2.4.1. Определение срока ссуды и величины процентной ставки. В тех случаях, когда известны величина долга в начале и в конце срока ссуды, а также процентная ставка, можно определить срок этой ссуды. Для простой ставки наращения срок ссуды определяется решением (2.3) относительно n:

13 EMBED Equation.3 1415. (2.15)

Для простой учетной ставки срок ссуды определяется решением (2.11) относительно n:

13 EMBED Equation.3 1415. (2.16)
Если необходимо определить срок в днях, то используют формулу (2.4).

Пример 2.9. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 9000 руб., вырос до 10000 руб. при условии, что простая ставка наращения равна 18,5% годовых при K=365?
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415дней. (

В тех случаях, когда известны величина долга в начале и в конце срока ссуды, а также ее срок, можно определить процентную ставку этой ссуды. В этом случае процентную ставку называют доходностью ссудной операции. Для простой ставки наращения и простой учетной ставки срок ссуды определяется решением (2.3) и (2.11) относительно i и d соответственно:

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (2.17)

Пример 2.10. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 12000 руб. через 300 дней. Первоначальная сумма долга – 10000 руб. Определить доходность ссудной операции в виде простой годовой ставки наращения при K = 360.
Решение.

13 EMBED Equation.3 1415. (
ГЛАВА 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Таким образом, сложная процентная ставка наращения – это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты.

3.1. Формула наращения по сложным процентам

Формулу сложных процентов можно получить следующим образом. Предположим, что мы имеем P руб., которые можно инвестировать по процентной ставке наращения r. Через один период наращения (например, год) мы будем иметь P(1+r) руб. Если повторить этот процесс, инвестировав всю сумму P(1+r), то к концу второго периода будем иметь [P(1+r)]((1+r) = P(1+r)2. Продолжая процесс, видим, что показатель степени в формуле для наращенной суммы равен количеству периодов обращения. Приняв это число равным n, получим формулу сложных процентов.

S = P (1+ r)n, (3.1)

где S – наращенная сумма, P – первоначальный размер долга, r – сложная ставка наращения, n – срок задолженности (число периодов (лет) наращения), (1+r)n – множитель наращения по сложным процентам.

Пример 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?
Решение.
S = 1((1 + 0,155)5 = 2,055464 млн. руб. (

При наращении по сложным процентам наращенная сумма быстро растет при увеличении числа периодов (лет).
Формулу (3.1) используют и в том случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом.

3.1.1. Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. В случае, когда изменения размеров ставок фиксируется в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

S = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415(...( 13 EMBED Equation.3 1415, (3.2)

где r1, r2, , rk – последовательные значения ставок;
n1, n2, , nk – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки.

Пример 3.2. Срок ссуды – 5 лет, договорная процентная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся. Найти множитель наращения.
Решение.
мн = (1+0,125)2((1+12,75)3 = 1,814. (

3.1.2. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В некоторых коммерческих банках дробная часть долга отбрасывается и считается только целая часть. В большинстве случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода: 1) расчет по формуле (3.1); 2) смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

S = P (1 + a(i) (1+ r)b, (3.3)

где a – дробная часть срока задолженности, b – целая часть срока задолженности, n = a + b – срок ссуды, i = r – при целой части сложный процент, при дробной – простой.

Пример 3.3. Кредит в размере 3 млн. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% годовых. Определить сумму долга на конец срока двумя способами, если K = 365*.
Решение.
1) S = 13 EMBED Equation.3 1415 = 5,086593 млн. руб.
2) S = 13 EMBED Equation.3 1415= 5,071932 млн. руб.

* Если временная база не оговорена, то брать 360/360. (


3.2. Наращение процентов m раз в году.
Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются m раз в году. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а количество начислений равно mn. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:
S = P 13 EMBED Equation.3 1415. (3.4)

Пример 3.4. Какой величины достигнет долг, равный 25000 руб. через 5,7 года при росте по сложной ставке под 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно?
Решение.
1) S = 13 EMBED Equation.3 1415 = 59703,22 руб.
2) S = 25000(13 EMBED Equation.3 1415= 63622,59 руб.
Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения. (
Пример 3.5. Какова сумма долга через 25 мес. если первоначальная сумма 500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20%, начисление поквартальное. Определить 2-мя способами – общим и смешанным.
Решение. 25 мес. = 2 года и 1 мес.(30 дней).
1) S = 13 EMBED Equation.3 1415= 750,840 тыс. руб.
2) S = 13 EMBED Equation.3 1415 = 741,806 тыс. руб. (

Эффективная ставка (действительная). Эта ставка измеряет тот реальный доход вкладчика, который получают в целом за год от начисления процентов. Т.е. это годовая ставка сложных процентов, дающая тот же результат, что и m – разовое начисление процентов по ставке j/m. Поэтому множители наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу:

(1+rэ)n = 13 EMBED Equation.3 1415.

Решив это уравнение относительно rэ и j, получим:

rэ = 13 EMBED Equation.3 1415– 1; j = m 13 EMBED Equation.3 1415. (3.5)

Из формулы (3.5) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.
Замена в договоре номинальной ставки j при m – разовом начислении процентов на эффективную ставку rэ не изменит финансовых обязательств участников сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Пример 3.6. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка 25%, начисление процентов помесячно?
Решение.
rэ = 13 EMBED Equation.3 1415 – 1 = 0,28 (28%).
Т.е. данные обязательства будут эквивалентны (28% годовых или 25% помесячно). (

3.3. Дисконтирование по сложной ставке

Определение дисконтирования по сложной ставке то же, что и по простой. Используя (3.1) и (3.4), получим формулы дисконтирования сложных процентов:

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (3.6)
Множители 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются дисконтными множителями.
Разность D = S – P называется дисконтом с суммы S.

Пример 3.7. Сумма 24000 руб. выплачивается через 1,4 года. Номинальная ставка – 25% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов?
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (

3.4. Сложная учетная ставка

В практике учетных операций применяют сложную учетную ставку в тех случаях, когда процесс дисконтирования происходит с замедлением. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени, Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле:

P = S (1 – dсл)n, (3.7)

где dсл – сложная учетная ставка.

Пример 3.8. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?
Решение.
P = S (1 – dсл)n = 5 (1 – 0,15)5 = 2,2185 млн. руб.
D = S – P = 5 – 2,2185 = 2,7815 млн. руб. (

Номинальная и эффективная учетные ставки. Если дисконтирование производится не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m, то это номинальная годовая учетная ставка.
P = S 13 EMBED Equation.3 1415, (3.8)

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка dэ характеризует результат дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:
(1 – dэ)n = 13 EMBED Equation.3 1415,

откуда dэ = 1 – 13 EMBED Equation.3 1415 и f = m13 EMBED Equation.3 1415. (3.9)

Для одних и тех же условий финансовой операции dэ ( f.

Пример 3.9. Вексель на сумму 20000 тыс. руб., срок платежа по которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной учетной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, при ежемесячном дисконтировании.
Решение.
P = S 13 EMBED Equation.3 1415= 20000 13 EMBED Equation.3 1415= 14429,54 руб. (

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (3.7) и (3.8) следует:

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (3.10)



Непрерывные проценты.
Начисление процентов на первоначальный капитал, или дисконтирование наращенных сумм, может производиться так часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный. В этом случае используются непрерывные проценты. Суть непрерывных процентов заключается в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между периодами - к нулю.
Непрерывные проценты используются при обосновании и выборе инвестиционных проектов, при количественном финансово-экономическом анализе сложных хозяйственных процессов.
Непрерывное наращение процентов производится с помощью особого вида процентной ставки, именуемой силой роста. Сила роста есть относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Сила роста может быть постоянной или переменной

Постоянная сила роста.
Как было показано выше, при дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как
13 EMBED Equation.3 1415
Чем больше m, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов, в пределе при 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Если ставку непрерывных процентов (силу роста) обозначить через 13 EMBED Equation.3 1415, то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:
13 EMBED Equation.3 1415 (24)
Сила роста 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой номинальную ставку процентов при 13 EMBED Equation.3 1415. Дисконтирование (математическое) на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (25)
3.10. Связь дискретных и непрерывных процентов.
Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществить переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно
13 EMBED Equation.3 1415 (26)
13 EMBED Equation.3 1415 (27)
Пример 5. На первоначальный капитал в сумме 500 тыс. руб. начисляются сложные проценты - 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415





3.4.1. Срок ссуды и размер процентной ставки

Срок ссуды.

Процентные ставки
Формулы расчета n для различных условий наращения и дисконтирования


Сложная ставка r
n = 13 EMBED Equation.3 1415


(3.11)


Номинальная ставка j
n = 13 EMBED Equation.3 1415


(3.12)


Сложная годовая учетная ставка dсл
n = 13 EMBED Equation.3 1415



(3.13)


Номинальная годовая учетная ставка f





Сила роста
n = 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


(3.14)







Пример 3.10. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально?
Решение. По формулам (3.11) и (3.12) получим:
n = 13 EMBED Equation.3 1415лет; n = 13 EMBED Equation.3 1415 = 6,6 лет. (

Величина процентной ставки.

Процентные ставки
Формулы для расчета ставок r, j, dсл, f для различных условий наращения процентов и дисконтирования


Сложная ставка r
r = 13 EMBED Equation.3 1415


(3.15)


Номинальная ставка j
j = 13 EMBED Equation.3 1415


(3.16)


Сложная годовая учетная ставка dсл
dсл = 13 EMBED Equation.3 1415


(3.17)


Номинальная годовая учетная ставка f



Сила роста
f = 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415




(3.18)



Пример 3.11. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?
Решение. По данным задачи 13 EMBED Equation.3 1415=0,7. По формуле (3.17) находим:
dсл = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,1633 (16,33%). (



КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
к главам 1, 2, 3

Как изменяется стоимость денег во времени?
Что такое проценты, процентная ставка и наращённая сумма?
Какова разница между простой и сложной процентными ставками? Сравните простые и сложные процентные ставки.
Приведите формулы для наращённых сумм при наращении по простой и сложной ставкам наращения.
Опишите три метода расчёта срока ссуды при начислении по простым процентам.
Как определяется точный срок между датами?
Как определяется приближенный срок между датами?
Что такое дисконтирование по простым и сложным процентам?
В чём разница между дисконтированием и дисконтом?
Дайте определение учетной ставки по простым и сложным процентам.
Приведите формулы для вычисления выплачиваемых банком сумм при учёте векселя по простым и сложным процентам.
Как называется разность между полной стоимостью векселя и его выкупной ценой?
Когда владельцу векселя выплачивается номинальная стоимость векселя?
Поясните смысл замкнутого контура финансовых операций для сложных и простых процентов.
Объясните на контуре финансовых операций метод расчета остатка задолженности в конце срока, выплачиваемого частями.
Опишите актуарный метод расчета остатка задолженности.
Объясните различия актуарного метода и правила торговца при расчете остатка задолженности в конце срока, выплачиваемого частями.
Приведите формулы для срока ссуды и величины процентной ставки при начислении по простым и сложным процентам.
Дайте определение номинальной процентной ставки. В чем отличие номинальной от эффективной процентной ставки?
Приведите формулу для наращённой суммы при начислении по номинальной процентной ставке.
Опишите понятия математический и банковский учет.
Когда владелец векселя получит большую сумму: при банковском дисконтировании или при использовании математического дисконтирования?
Приведите формулу для наращенной суммы при дробном числе лет.
Что выгоднее вкладчику: наращение вклада за дробное число лет по правилу сложной ставки или смешанным методом?
Как определить продолжительность ссуды при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке?
Опишите правило торговца при погашении задолженности частями.
Опишите практику расчета процентов для краткосрочных ссуд.
Что такое переменные ставки?
Что подразумевает в себе начисление процентов в смежных календарных периодах?
Приведите формулу для нахождения суммы, полученной при учете векселя с использованием и простой процентной ставки и простой учетной процентной ставки.
ГЛАВА 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.
Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.
Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.
Эквивалентность ставок уже затрагивалась в п. 3.2 при определении эффективной ставки.
При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения(, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок (табл. 4.1.).

Таблица 4.1
1
Простая ставка наращения

Сложная ставка наращения
Эквивалентность


(1 + n(i)
=
(1 + r)n
13 EMBED Equation.3 1415





13 EMBED Equation.3 1415

2
Простая ставка наращения

Простая учетная ставка
Эквивалентность


(1 + n(i)
=
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415





13 EMBED Equation.3 1415

Окончание табл. 4.1
3
Простая ставка наращения

Номинальная ставка наращения
Эквивалентность


(1 + n(i)
=
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415






13 EMBED Equation.3 1415


4
Сложная ставка наращения

Простая учетная ставка
Эквивалентность


(1 + r)n
=
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415





13 EMBED Equation.3 1415

5
Простая учетная ставка

Номинальная ставка наращения
Эквивалентность


13 EMBED Equation.3 1415
=
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415





13 EMBED Equation.3 1415

6
Сложная ставка наращения

Сложная учетная ставка
Эквивалентность


(1 + r)n
=
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415





13 EMBED Equation.3 1415

7
Сложная ставка наращения

Номинальная ставка наращения
Эквивалентность


(1 + r)n
=
13 EMBED Equation.3 1415
rэ = 13 EMBED Equation.3 1415







j = m 13 EMBED Equation.3 1415



Эквивалентные зависимости между различными видами процентных ставок
Виды ставок
Простые проценты
Сложные проценты










Простые проценты

---










---


13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415



Сложные проценты



---










---










---










---










---


















Пример 4.1. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (K=365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.
Решение.

13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4.2. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?
Решение.
Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:
j = m 13 EMBED Equation.3 1415 = 2 [(1 + 0,25)1/2 – 1] = 0,2361 (23,61%).
Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:
j = m 13 EMBED Equation.3 1415 = 12 [(1 + 0,25)1/12 – 1] = 0,2252 (22,52%).
Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными. (

Средние процентные ставки. Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку по определению не изменяет результатов наращения или дисконтирования.
Для средней простой ставки формула будет выглядеть следующим образом:

iср = 13 EMBED Equation.3 1415, (4.1)

где (nj – общий срок наращения процентов.

Для средней сложной ставки следует:

rср = 13 EMBED Equation.3 1415. (4.2)

Пример 4.3. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка, равная 15%, для следующих трех лет она составляет 20%. Определить среднюю ставку за весь срок ссуды.
Решение.
Данную задачу решим по формуле (4.2):
rср = 13 EMBED Equation.3 1415. (


ГЛАВА 5. НАРАЩЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ И ИНФЛЯЦИЯ

Сущность инфляции и необходимость ее учета в количественном анализе. Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Это многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.
Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.
В рассмотренных выше методах все денежные величины измерялись по номиналу, т.е. не принималось во внимание снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый операцией. Однако в современных условиях инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без её учета конечные результаты часто представляют собой условную величину.
Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях:
1. при определении наращенной суммы;
2. при измерении реальной доходности финансовой операции с учетом инфляции.
Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.
Индекс потребительских цен (Ip) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.
Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.
Если h – темп инфляции за один период (при расчетах учитывать в относительной величине, т.е. h/100), то за n таких периодов получим:
Ip = (1+ h)n. (5.1)
Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в процентах и определяется как

h = (Ip – 1)(100. (5.2)

Пример 5.1. Постоянный темп инфляции 5% в месяц. К какому росту цен он приведет за год?
Решение.
Ip = (1+ 0,05)12 = 1,796 (79,6%).
Действительный годовой темп инфляции равен 79,6%, а не 60% как при суммировании (что является грубейшей ошибкой!). (

Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, если наращение производится по простой ставке, принимает следующий вид:

C =13 EMBED Equation.3 1415, (5.3)

где С – наращенная сумма с учетом ее обесценения,
13 EMBED Equation.3 1415 – индекс покупательной способности денег(.

Увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда (1+ni) > Ip.

Пример 5.2. На сумму 1,5 млн. руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты по ставке 28% годовых. Ежемесячная инфляция характеризуется темпами 2,5; 2,0 и 1,8%. Определить индекс цен и наращенную сумму с учетом инфляции.
Решение. Ip = (1+ 0,025)( (1+ 0,02)( (1+ 0,018) = 1,064 (6,4%);
C =13 EMBED Equation.3 1415= 1,508 млн. руб. (

Если наращение производится по сложным процентам, то наращенная сумма с учетом инфляционного обесценения находится как:
C =13 EMBED Equation.3 1415. (5.4)

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.
Поскольку ставка доходности (r) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции (h) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.
При начислении процентов m раз в году, формула (5.4.) примет вид:
C =13 EMBED Equation.3 1415. (5.5)

В выше рассмотренных формулах P умножается на множители наращения, учитывающие ожидаемый уровень инфляции. Влияние сложной ставки r и темпа инфляции h на значение этого множителя объясняется следующим:

· если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (h = r), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;

· если уровень инфляции выше процентной ставки (h > r), то происходит «проедание» капитала – его реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;

· если уровень инфляции ниже процентной ставки (h < r), то только в этой ситуации происходит реальный рост денежной суммы, реальное накопление.
При начислении простых процентов ставка, компенсирующая влияние инфляции (наращение равно потерям из-за инфляции, не будет ни убытка, ни доходов) определяется из равенства C = P и соответствует величине:
13 EMBED Equation.3 1415.

Ставку, превышающую критическое значение i( (при начислении сложных процентов i(= h), называют положительной (барьерной) ставкой процента.

Методы учета инфляции в финансовых расчетах. Владельцы денег не могут смириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.
Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, т.е. увеличение ставки на величину инфляционной премии. Итоговую величину называют брутто-ставкой, т.е. ставки с поправкой на инфляцию.
Выразим величину брутто-ставки rb через реальный показатель доходности операции r((. Для простых процентов эти величины связаны соотношением:

13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда находим:
rb = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (5.6)

Для сложных процентов брутто-ставка и доходность определяются соотношением:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.7)

Из (5.7) следует, что
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (5.8)

При постоянном темпе инфляции при подстановке (5.1) в (5.7) находим:

(1+ rb)n = [(1+ r(()((1+ h)]n. (5.9)

Взаимосвязь, выраженная в уравнении (5.9), в международных финансах называется Эффектом Фишера, который связывает процентные ставки с относительными ожидаемыми темпами инфляции.

Найдем брутто-ставку и доходность из уравнения (5.9):

rb = r(( + h + hr((, r(( = 13 EMBED Equation.3 1415. (5.10)

Пример 5.3. Найти реальную простую процентную ставку (доходность) при брутто-ставках 60% и 30% годовых и месячных темпах инфляции h1 = 5%, h2 = 2%, h3 = 4%.
Решение. Найдем индекс цен за три месяца:

Ip = (1+ 0,05)( (1+ 0,02)( (1+ 0,04) = 1,11384 (11,38%).

По формуле (5.6) при n = 3/12 = 0,25 определяем для двух случаев:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или –13,95%.
Во втором случае произошло «проедание» капитала на 13,95%. (
ГЛАВА 6. ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ

6.1. Уравнение эквивалентности

В практической деятельности довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим потоком или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контракта или, как говорят, финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведёнными к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа (если дата относится к будущему).
Суть принципа – две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные или наращенные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один и тот же момент, одинаковы. При этом используются простые проценты, если сроки платежей меньше года, и сложные проценты – если сроки больше года.

Пример 6.1. Имеются два обязательства с простой ставкой процента 20%. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго – 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их эквивалентными?
Решение.
1)13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.; 2)13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
При заданной процентной ставке данные платежи не являются эквивалентными и не могут заменять друг друга. (

Барьерная (критическая) ставка. Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, результат зависит от выбора её размера. Пусть сравниваются два платежа S1 и S2 со сроками n1 и n2, измеряемые от одного момента времени, причем S1 < S2 и n1 < n2. Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки (рис. 6.1).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Рис. 6.1

С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при i = i0 наблюдается равенство P1 = P2;
при i < i0 P1 < P2;
при i > i0 P1 > P2.

Таким образом, результат сравнения зависит от размера ставки, равного i0, которая называется критической, или барьерной ставкой.
Если дисконтирование производится по простой ставке, то барьерную ставку найдем из равенства:

13 EMBED Equation.3 1415;

находим 13 EMBED Equation.3 1415. (6.1)

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то барьерную ставку найдем из равенства:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415. (6.2)
Пример 6.2. Первый платеж, равный 9 тыс. руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 тыс. руб., выплачивается через 5 лет. Определить барьерную ставку.
Решение. Критический уровень сложной процентной ставки, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (6.2):
13 EMBED Equation.3 1415или 10,06%. (

6.2. Объединение потока платежей в один

Объединение потока платежей в один называется также консолидацией платежей. При этом определяют либо сумму консолидированного платежа при известном сроке, либо срок при известной сумме.
Дано:
S1, S2, , Sm – платежи
Заменить одним в сумме S0 и сроком n0.
n1, n2,, nm – сроки

Возможны две постановки задачи:
1. Известен срок n0. Найти сумму консолидированного платежа S0.
2. Известна сумма S0, найти срок консолидированного платежа n0.
Определение суммы консолидированного платежа S0
а) при применении простых процентных ставок:

13 EMBED Equation.3 1415 (6.3)

где Sj – размеры объединяемых платежей со сроком nj < n0,
Sk – размеры объединяемых платежей со сроком nk > n0,
tj = n0 – nj, tk = nk – n0.

Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей (n0 > nm), то формула (6.3) приобретает вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4)

Пример 6.3. Три платежа 5 тыс. руб. со сроком 130дней, 3 тыс. руб. со сроком 165 дней и 8 тыс. руб. со сроком 320 дней заменяются одним со сроком 250 дней. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 20% годовых. Определить сумму консолидированного платежа при базе K = 365.
Решение.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
При определении суммы консолидированного платежа используется формула (6.3):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415руб. (


б) при применении сложных процентных ставок:

13 EMBED Equation.3 1415. (6.5)

Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей (n0 > nm), то формула (6.5) приобретает вид:

13 EMBED Equation.3 1415.


Пример 6.4. Платежи в 1 и 2 млн. руб. и сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Определить сумму консолидированного платежа.
Решение.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 14152921,9 тыс. руб. (

Определение срока консолидированного платежа n0
а) при применении простых процентных ставок n0 определяется из соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.6)

Пример 6.5. Суммы в размере 10, 20 и 15 млн. руб. должны быть выплачены через 50, 80, 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом в размере 50 млн. руб. Определить срок консолидированного платежа, если процентная ставка 10% годовых, K=365.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

б) при применении сложных процентных ставок n0 определяется из соотношения:

13 EMBED Equation.3 1415.

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.7)

Пример 6.6. Платежи 1 и 2 млн. со сроками 2 и 3 года объединяются в один платеж суммой 3 млн. руб. Определить срок консолидированного платежа, если процентная ставка 20% годовых.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


6.3. Замена одного потока платежей другим

Рассмотрим общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. В таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий. Метод решения заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности.
При начислении простых процентов уравнение эквивалентности имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415 (6.8)

В данной формуле n0 называется базовой датой, на которую осуществляется расчет всех платежей. Выбор базовой даты влияет на искомую величину выплаты при использовании простых процентов и не влияет при использовании сложных процентов.
В левой части уравнения (6.8) в первую сумму входят все наращенные заменяемые платежи со сроками меньше базовой даты, а во вторую сумму входят все дисконтированные заменяемые платежи со сроками больше срока базовой даты. Эти же соображения относятся к замещающим платежам, представленным в правой части уравнения (6.8). Если базовая дата равна нулю, то в уравнении (6.8) остаются только дисконтированные составляющие:

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (6.9)

Из приведенных уравнений (6.8) и (6.9) определяют как недостающий платеж, так и недостающую дату.

Пример 6.7. Три платежа 8 тыс. руб., 10 тыс. руб. и 4 тыс. руб. с выплатами 1 апреля, 15 июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя, причем 1 июля выплачивается 20 тыс. руб., а остаток – 1 декабря этого же года. Стороны договорились об использовании простой ставки 25% (K = 360/360). Определить остаток долга при базовых датах 1 апреля, 1 июля и 1 декабря.
Решение.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
1) При базовой дате 1 апреля уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (6.9):
13 EMBED Equation.3 1415
S0 = 2688,07 руб.

2) При базовой дате 1 июля уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (6.8):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 S0 = 2698,77 руб.

3) При базовой дате 1 декабря получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 S0 = 2645,83 руб.
Как следует из полученных результатов, остаток долга зависит от базовой даты. (


При начислении сложных процентов при приведении к базовой дате n0 уравнение эквивалентности имеет вид:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (6.10)

Чаще всего за базовую дату в этом случае принимают начало процесса, т.е. точку n0 = 0. В этом случае уравнение (6.10) принимает вид:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (6.11)

Пример 6.8. Три платежа 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со сроками 2, 3 и 4 года соответственно заменяются двумя, причем через 1 год выплачивается 2 тыс. руб., а остаток – через 5 лет. Пересчет по сложной ставке 25% годовых. Определить остаток долга.
Решение.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415,

S0 = 9023,44 руб. (

Рассмотрим пример на определение срока заменяющих платежей.

Пример 6.9. Воспользуемся данными примера 6.8. Платежи заменяются двумя с выплатами 2 тыс. руб. через 1 год и 8,5 тыс. руб. Определить срок выплаты суммы 8,5 тыс. руб.
Решение.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, отсюда находим:

1,25n = 2,874729,

n = 13 EMBED Equation.3 1415года или 4 года и 267 дней. (
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
к главам 4, 5, 6

Какие процентные ставки называются эквивалентными?
Опишите эквивалентность между простой и сложной ставками наращения.
Опишите эквивалентность между сложной и номинальной процентными ставками наращения.
Опишите эквивалентность между простой и номинальной процентными ставками наращения.
Опишите смысловое значение индекса цен и темпа инфляции.
Напишите формулу, связывающую индекс цен и темп инфляции.
Напишите формулу для вычисления индекса цен за несколько периодов.
Как определяется обесцененная инфляцией сумма при начислении по простым и сложным процентам?
Что такое «проедание» капитала?
Опишите связь брутто-ставки с доходностью для простых и сложных процентов.
Что такое финансовая эквивалентность обязательств?
Дать определение уравнения эквивалентности.
Что такое барьерная (критическая) процентная ставка? Приведите пример.
Какие платежи называются консолидированными?
Описать принцип расчета суммы консолидированного платежа при использовании простой и сложной процентных ставок.
Описать принцип расчета срока консолидированного платежа при использовании простой и сложной процентных ставок.
Описать принцип замены одного потока платежей другим потоком при использовании простой и сложной процентных ставок.
Что подразумевается под «базовой датой» в расчетах консолидированных и заменяющих платежей?
Можно ли говорить об эквивалентности денежных сумм, относящихся к разным моментам времени по ставке: а) простых процентов; б) сложных процентов? Дайте соответствующие определения эквивалентности денежных сумм.
Какое Вы знаете свойство эквивалентности денежных сумм?
Приведите пример двух эквивалентных денежных сумм.
Как найти эквивалентное значение в некоторый заданный момент времени для потока платежей?
Приведите примеры двух эквивалентных и двух не эквивалентных денежных сумм, относящихся к разным моментам времени?
Как сравнить две денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени?
Приведите пример потока платежей. Вычислите эквивалентное значение в момент времени 1 для этого потока платежей. Ставка 10%.
ГЛАВА 7. ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

7.1. Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т. д. Такого рода последовательность, или ряд платежей, называют потоком платежей. Отдельный элемент такого ряда платежей назовем членом потока.

Классификация потоков. В практике встречаются разнообразные потоки платежей. Причем один и тот же вид потока может быть использован в анализе различных финансово-кредитных операций.
Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).
Поток платежей, все члены которого – положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой, или просто рентой. Например, рентой является последовательность получения процентов; по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Иногда подобного рода поток платежей называют аннуитетом, что, строго говоря, применимо только к ежегодным выплатам.
Рента описывается следующими параметрами:
1. член ренты – размер отдельного платежа;
2. период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами;
3. срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего;
4. процентная ставка. Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях финансовой операции.
При характеристике некоторых видов рент необходимо указать дополнительные условия и параметры:
1. число платежей в году;
2. способ начисления процентов;
3. частота начисления процентов.
В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим классификации рент:
По количеству выплат членов ренты на протяжении года:
годовые – 1 раз в год;
p-срочные (p – количество выплат в году).
По количеству начисления процентов на протяжении года:
ренты с ежегодным начислением;
с начислением m раз в году;
с непрерывным начислением.
По величине своих членов:
постоянные – с одинаковыми платежами;
переменные – члены ренты изменяются во времени либо в арифметической прогрессии, либо по геометрической прогрессии, или систематично (задаются таблицей).
По вероятности выплат:
верные – подлежат безусловной уплате, число членов заранее известно (например, при погашении кредита);
условные – выплаты ставятся в зависимости от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее неизвестно (страхование, пенсия).
По количеству членов:
ограниченные по срокам ренты – с конечным числом членов;
бесконечные (вечные) ренты – перпетуитет. Встречается в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.
По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента ренты, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения):
немедленные;
отсроченные или отложенные (например, погашение долга в рассрочку после льготного периода).
По моменту выплат платежей в пределах периода:
постнумерандо – если платежи осуществляются в конце периода;
пренумерандо – если платежи производятся в начале периода;
иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.
Приведем пример. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого полугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет. Данный поток платежей можно классифицировать как p-срочная, постоянная, полугодовая, верная, с ограниченным сроком, рента постнумерандо.

Обобщающие параметры потоков платежей. В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик, это:
Наращенная сумма (будущая стоимость) – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.
Современная стоимость потока платежей (настоящая, текущая стоимость) – сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.
Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п.
Прямой метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей. Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей Rt, выплачиваемых спустя время nt, после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставкe r, то, обозначив искомую величину через S, получим по определению

13 EMBED Equation.3 1415 (7.1)
Современную стоимость такого потока также находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей:

13 EMBED Equation.3 1415 (7.2)

где А – современная стоимость потока платежей, 13 EMBED Equation.3 1415– дисконтный множитель по ставке r.
Между величинами A и S существует функциональная зависимость. Дисконтируем сумму S с помощью дисконтного множителя 13 EMBED Equation.3 1415 получим

13 EMBED Equation.3 1415

Наращивая сумму А по той же ставке, получим

13 EMBED Equation.3 1415 (7.3)

Пример 7.1. График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во времени: 1 июля 2005 г. – 5 млн. руб., 1 января 2006 г. – 15 млн. руб., 1 января 2008 г. – 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2009 г. при условии, что проценты начисляются по ставке 20%.


Решение.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Наращенная сумма вычисляется по формуле (7.1):
13 EMBED Equation.3 1415 млн. руб.
Современная стоимость потока платежей определяется соотношением (7.2):
13 EMBED Equation.3 1415
Этот же результат можно получить, используя формулу (7.3):
13 EMBED Equation.3 1415 (

7.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

По моменту выплат в пределах периода между платежами ренты делятся на:
- постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;
- пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;
- ренты с платежами в середине периода;
Будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь рент с остальными типами будет установлена позже. Рассмотрим различные виды финансовых рент.

Годовая рента. Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисление процентов один раз в конце года. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей, на которые начисляются сложные проценты по ставке r % годовых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются (n – 1) год, на второй – (n – 2) года и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная сумма к концу срока будет равна:

13 EMBED Equation.3 1415
Если посмотреть на эту сумму справа налево, то можно увидеть, что это выражение является суммой геометрической прогрессии с знаменателем прогрессии q = 1+r. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле

13 EMBED Equation.3 1415,

где R – первый член прогрессии, n – количество членов прогрессии.

Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.4)
Часто эту формулу записывают в виде:

13 EMBED Equation.3 1415, (7.5)
где
13 EMBED Equation.3 1415 (7.6)
- коэффициент наращения ренты со сроком n и ставкой r.



Ренты с непрерывным начислением процентов.
Годовая рента. В этом случае сумма R выплачивается один раз в конце года и на выплаченную сумму начисляются непрерывные проценты по ставке (силе роста) 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем наращенную в момент n сумму этой ренты. Графическое изображение этой ренты такое же, как и на рис. 1.
Последний платеж входит в наращенную в момент n сумму без изменения. Сумма, наращенная в момент n на предпоследний платеж, равна 13 EMBED Equation.3 1415. Сумма, наращенная на второй от конца платеж равна 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
13 EMBED Equation.3 1415
p-срочная рента. В этой ренте p раз в год выплачивается сумма 13 EMBED Equation.3 1415 и в конце года на все платежи начисляются непрерывные проценты по ставке 13 EMBED Equation.3 1415. Наращенная сумма такой ренты будет равна:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


Пример 7.2. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Определить величину фонда на конец срока.
Решение. Используя формулу (7.4), определим наращенную сумму:
13 EMBED Equation.3 1415

Годовая рента с начислением процентов m раз в году. В рассматриваемом случае проценты начисляются m раз в году по ставке j/m, где j – номинальная ставка. Срок ренты равен n лет. Количество начислений на первую выплату равно (n – 1)m, на вторую – (n – 2)m,, на предпоследнюю – m, на последнюю – 0.
Отсюда следует выражение для наращенной суммы ренты:

13 EMBED Equation.3 1415

Таким образом, наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов m раз в году вычисляется по формуле:

13 EMBED Equation.3 1415 (7.7)
где
13 EMBED Equation.3 1415 . (7.8)
- множитель наращения ренты со сроком n, ставкой j/m и с начислением процентов m раз в год.

Пример 7.3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.
Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (7.8):
13 EMBED Equation.3 1415
Наращенная сумма:
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (
Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов p-срочной ренты постнумерандо при условии, что m= 1, m = р и m
· р.
Рента p – срочная (m = 1). Выплаты производятся p раз в году, поэтому рента называется p-срочной.
Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/р. Общее число членов ренты равно nр. Последовательность членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/р , знаменатель – (1+r)13 EMBED Equation.3 1415 Сумма членов этой прогрессии вычисляется по формуле

13 EMBED Equation.3 1415 , (7.9)
где
13 EMBED Equation.3 1415 . (7.10)

- множитель наращения ренты со сроком n, ставкой r и с выплатами р раз в год.

Пример 7.4. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 5000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально. Определить величину фонда на конец срока.
Решение. Величину фонда на конец срока найдем по формуле (7.9):
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (

Рента р – срочная (m = р). На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: m = р. Для получения необходимой формулы воспользуемся (7.4), в которой r заменено на j/m, а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты nр, член ренты равен R/р. Поскольку m = р, то в итоге получим:
13 EMBED Equation.3 1415. (7.11)

Пример 7.5. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем проценты начисляются и выплаты производятся ежемесячно. Определить величину фонда на конец срока.
Решение. Величину фонда на конец срока найдем по формуле (7.11):
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (

Рента p – срочная (m
· р). Также она называется, как рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. В любом году производится p выплат по R/р руб., где R – годовая выплата. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно m. Срок ренты – n лет. Наращенная сумма всей ренты определяется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.12)
где
13 EMBED Equation.3 1415 (7.13)

- множитель наращения ренты со сроком n, ставкой j/m, с начислением процентов m раз в год и выплатами р раз в год.

Пример 7.6. В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить величину фонда на конец срока.
Решение. Наращенную сумму найдем по формуле (7.12):
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (


Ренты с непрерывным начислением процентов.
Годовая рента. В этом случае сумма R выплачивается один раз в конце года и на выплаченную сумму начисляются непрерывные проценты по ставке (силе роста) 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем наращенную в момент n сумму этой ренты. Графическое изображение этой ренты такое же, как и на рис. 1.
Последний платеж входит в наращенную в момент n сумму без изменения. Сумма, наращенная в момент n на предпоследний платеж, равна 13 EMBED Equation.3 1415. Сумма, наращенная на второй от конца платеж равна 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
13 EMBED Equation.3 1415
p-срочная рента. В этой ренте p раз в год выплачивается сумма 13 EMBED Equation.3 1415 и в конце года на все платежи начисляются непрерывные проценты по ставке 13 EMBED Equation.3 1415. Наращенная сумма такой ренты будет равна:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


7.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

Годовая рента. Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина «современная стоимость» (современная величина) потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость, или приведенная величина.
Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтированная величина первого платежа равна Rv, второго – Rv2,, последнего – Rvn, где v = 1/(1+r). Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415

Часто эту формулу записывают в виде:

13 EMBED Equation.3 1415 (7.14)
где
13 EMBED Equation.3 1415 (7.15)

- коэффициент приведения ренты со сроком n и ставкой r.

Пример 7.7. Годовая рента постнумерандо характеризуется параметрами: R = 4 млн. руб., n = 5 лет. При дисконтировании по сложной ставке процента, равной 18,5% годовых, получим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение 5 лет. (

Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Не будем выводить формулу для этого случая, а просто заменим в формуле (7.14) дисконтный множитель (1+r)-n на эквивалентную величину (1+j/m)-mn (соответственно, r заменим на (1+j/m)m – 1, после чего имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.16)
Рента p – срочная (m = 1). Если платежи производятся не один, а р раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как это было сделано для годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R/p, а число членов составит nр. Сумма дисконтированных платежей в этом случае равна

13 EMBED Equation.3 1415 (7.17)

Пример 7.8. После аварии на химическом заводе в Бхопале (Индия), Корпорация «Юнион Карбайд» предложила в качестве компенсации пострадавшим 2 млн. долл., выплачиваемых в течение 35 лет. Предложение было отклонено («За рубежом», 1985, № 11). Предложенная компенсация эквивалентна 57,5 млн. долл., выплаченных единовременно. Покажем, как была рассчитана эта сумма.
Если выплаты производятся помесячно на протяжении 35 лет равными суммами, то данный ряд платежей представляет собой постоянную ренту (р = 12) с годовой суммой выплат 200/35 = 5,714 млн. долл. в год. Допустим, это рента постнумерандо. Тогда согласно (7.17), положив r = 10% , получим
13 EMBED Equation.3 1415
Иначе говоря, капитал в сумме всего 57,59 млн. долл. при начислении 10% годовых достаточен для выполнения обязательства.(


Рента р – срочная (m = р). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m. В итоге
13 EMBED Equation.3 1415 (7.18)

Рента p – срочная (m
· р). Сумма членов соответствующей прогрессии составит

13 EMBED Equation.3 1415 (7.19)


Рента пренумерандо.
Пусть R – ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в начале каждого года по сложной процентной ставке r, n – срок ренты.
Платеж, сделанный в момент n, даёт наращенную сумму 13 EMBED Equation.3 1415. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-1, равна 13 EMBED Equation.3 1415. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-2, равна 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 2, равна 13 EMBED Equation.3 1415, а в момент 1 - 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:
13 EMBED Equation.3 1415
Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой 13 EMBED Equation.3 1415, знаменатель 13 EMBED Equation.3 1415, число членов – n. По формуле (53) найдем сумму первых n членов этой геометрической прогрессии:
13 EMBED Equation.3 1415 (61)
Из сравнения рент постнумерандо (54) и пренумерандо (61) ясно, что все формулы для ренты пренумерандо получаются из формул для ренты постнумерандо подстановкой вместо R величины R(1+i).
Сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+r) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:
13 EMBED Equation.3 1415
где S – наращенная сумма ренты постнумерандо.
Для годовой ренты пренумерандо с m-разовым и непрерывным начислением процентов расчет наращенных сумм производится по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415
Для p-срочной ренты:
13 EMBED Equation.3 1415
Современные величины рент пренумерандо рассчитываются аналогично, т.е. рассчитывается современная величина обыкновенной ренты, которая умножается на соответствующий множитель наращения:
13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.

7.4. Определение параметров постоянных рент
постнумерандо

Как было показано выше, постоянная рента описывается набором основных параметров – R, n, r и дополнительными параметрами р, m. Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик – S или А, и необходимо рассчитать значение недостающего параметра.
Определение размера члена ренты. Исходные условия: задается S или А и набор параметров, кроме R. Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, постнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обратившись к (7.5), получим

13 EMBED Equation.3 1415. (7.20)

Пусть теперь условиями договора задана современная стоимость ренты. Если рента годовая (m = 1), то из (7.14) следует

13 EMBED Equation.3 1415. (7.21)

Таким образом, если ставится задача накопить за определенный срок некоторую сумму S, то прибегают к формуле (7.20), если же речь идет о погашении задолженности в сумме А, то следует воспользоваться (7.21).

Пример 7.9. Известно, что принц Чарльз при разводе с Дианой выплатил последней 17 млн. ф.ст. Как сообщалось, эта сумма была определена в расчете на то, что принцесса проживет еще 50 лет (увы, это не сбылось). Указанную сумму можно рассматривать как современную стоимость постоянной ренты. Определим размер члена этой ренты при условии, что процентная ставка равна 10%, а выплаты производятся помесячно.
По условиям задачи А = 17 млн. ф.ст., n = 50, р = 12, r = 10%. Для ренты постнумерандо с указанными параметрами можно записать
13 EMBED Equation.3 1415
Ежемесячная выплата составит R/12 = 135,6 тыс. ф.ст. (


Аналогичным образом можно определить R и для других условий ренты.

Расчет срока ренты. При разработке условий контракта иногда возникает необходимость в определении срока ренты и, соответственно, числа членов ренты. Решая полученные выше выражения, определяющие S или А, относительно n, получим искомые величины. Так, для годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогичным образом определим сроки и для других видов рент. Сводка формул, полученных для различных рент постнумерандо, приведена в табл. 7.1.

Таблица 7.1
Формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо

Кол-во плате-жей
Кол-во
начисле-ний
Исходные параметры



S
A

p = 1
m = 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415



Окончание табл. 7.1
Кол-во плате-жей
Кол-во
начисле-ний
Исходные параметры



S
A

p = 1
m ( 1
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

p ( 1
m = 1
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


m = p
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


m
· р
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:
1. Расчетные значения срока будут, как правило, дробные. В этих случаях для годовой ренты в качестве n удобно принять ближайшее целое число лет. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов np. Например, пусть для квартальной ренты получено n = 6,28 лет, откуда np =
= 6,28 ( 4 = 25,12 кварталов. Округляем до 25, в этом случае n = 6,25 лет.
2. Если округление расчетного срока производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты с таким сроком оказываются меньше заданных параметров. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если погашается задолженность путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующим платежом в начале или конце срока, или с помощью повышения суммы платежа.


Пример 7.10. Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых?
Решение. Имеем R = 12, r = 25%. Используя формулу нахождения срока из табл. 7.1 (для S, при p ( 1, m = 1), находим

13 EMBED Equation.3 1415

Если срок округляется до 5 лет, то необходимо несколько уменьшить размер члена ренты, т.е. найти член ренты для n = 5. В этом случае ежемесячный взнос должен составить 914,79 тыс. руб. (см. (7.20)). (

7.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент

Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов. Под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов.
Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо заключается в числе периодов начисления процентов (каждый член ренты пренумерандо «работает» на один период больше).
Поэтому и наращенная и современная стоимость, множитель наращения и множитель приведения ренты пренумерандо больше в (1+r) аналогичного показателя постнумерандо:

S1 = S (1+r). (7.22)

Здесь S1 и S – наращенная сумма годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно.
Можно показать, что аналогичная зависимость существует между современными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо, то есть:

A1 = A (1+r). (7.23)

Здесь A1 и A – современная стоимость годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно.

Пример 7.11. В фонд ежегодно в начале года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить величину фонда на конец срока и его современную стоимость.
Решение. Величина фонда на конец срока определяется по формуле (7.22):
13 EMBED Equation.3 1415 Современная стоимость фонда:
13 EMBED Equation.3 1415(
Сводка формул, полученных для различных рент пренумерандо приведена в табл. 7.2.

Таблица 7.2
Формулы для расчета постоянных рент пренумерандо

Кол-во плате-жей
Кол-во
начисле-ний
Исходные параметры



S
A

p = 1
m = 1
S1 = S (1+r)
A1 = A (1+r)


m ( 1
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

p ( 1
m = 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


m
· р
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415



Пример 7.12. Продолжим пример 7.11. Выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить величину фонда на конец срока.
Решение. Величину фонда на конец срока определим по формуле из табл. 7.2:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=
= 121087,6(13 EMBED Equation.3 1415= 125685,38 руб. (

Важной для практики является рента с платежами в середине периодов. Например, когда поступления от производственных инвестиций распределяются более или менее равномерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым смещениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступлений за период относить к середине периодов. Наращенные и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнумерандо на множитель наращения за половину периода. Так, формулы для определения рент с выплатами в середине периодов представлены в табл. 7.3.

Таблица 7.3
Формулы для расчета постоянных рент с выплатами в середине периода

Кол-во плате-жей
Кол-во
начисле-ний
Исходные параметры



S
A

p = 1
m = 1
S1/2 = S (1+r)1/2
A1/2 = A (1+r)1/2


m ( 1
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Окончание табл. 7.3
Кол-во плате-жей
Кол-во
начисле-ний
Исходные параметры



S
A

p ( 1
m = 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


m
· р
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Отсроченная (отложенная) рента. Отложенными называются ренты, у которых начало выплат сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется начать спустя обусловленный срок. Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело современная стоимость.
При расчете современной стоимости отсроченной ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат (немедленная рента), а затем дисконтируют полученный результат к началу отложенной ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость tA рассчитывается по формуле (7.24):

t A = A( t = Ran;r( t, (7.24)

где A – современная стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат, t – время задержки в выплате ренты, an;r – коэффициент приведения ренты к началу выплат, ( t – дисконтный множитель, ( t = (1+r)-t.

Пример 7.13. Фирма получила определенную сумму, которую спустя 1 год она будет возмещать, выплачивая по 100 тыс. рублей в конце каждого года в течение последующих 3 лет. Какую сумму получит фирма в день заключения сделки при ставке процента 18% годовых?
Решение. t = 1 год, R = 100 тыс. руб., n = 3 лет, r = 18%.
Используя формулу (7.17) и (7.24), найдем искомую величину:
1 A = 13 EMBED Equation.3 1415

Вечная (бесконечная, перпетуитет) рента. Под вечной рентой (перпетуитет) понимается ряд платежей, количество которых неограниченно – теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике вечная рента используется при больших сроках платежей или в тех случаях, когда срок конкретно не оговаривается, например, при начислении пенсии или примером могут служить некоторые виды облигаций.
Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна бесконечно большой величине, поэтому её нецелесообразно считать. Современная величина вечной ренты есть конечная величина, которая зависит от размера члена ренты и процентной ставки.
Формула для вычисления современной стоимости годовой ренты следует из соотношений (7.14) и (7.15) при n((:

13 EMBED Equation.3 1415, где n((, отсюда

13 EMBED Equation.3 1415, (7.25)
пределом для коэффициента приведения при n(( является 13 EMBED Equation.3 1415.
Из (7.25) следует

13 EMBED Equation.3 1415, (7.26)

т.е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализированной стоимости.

Пример 7.14. Определить цену годовой вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого года составляют 24 тыс. руб. при процентной ставке 12% годовых.
Решение. Подставим данные примера в формулу (7.25):
13 EMBED Equation.3 1415
Для других видов рент получим:
При p = 1, m ( 1: 13 EMBED Equation.3 1415 (7.26)
При p ( 1, m = 1: 13 EMBED Equation.3 1415 (7.27)
При p ( 1, m
· р: 13 EMBED Equation.3 1415 (7.28)

Пример 7.15. Пусть требуется выкупить вечную ренту, выплаты по которой в конце каждого месяца составляют 2 тыс. руб., при номинальной процентной ставке 12% годовых и начислении процентов один раз в году. Определить цену p-срочной вечной ренты.
Решение. Из условия задачи следует p = 12, m = 1, j = r = 0,12. Подставив результаты в формулу (7.28), получим:

13 EMBED Equation.3 1415

Так как R – годовая выплата, а 2 тыс. руб. выплачиваются в конце каждого месяца, то в числителе 2 тыс. руб. умножаем на 12. (
ГЛАВА 8. ПЕРЕМЕННЫЕ РЕНТЫ. КОНВЕРСИЯ РЕНТ

В практике встречаются случаи, когда размеры членов потока платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продукции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем такого потока является переменная рента. Переменной рентой называется поток платежей, у которого выплаты изменяются во времени по заданному закону (или условиям развития), а интервалы между выплатами постоянны.
Рассмотрим некоторые типы переменных рент.

8.1. Годовая рента постнумерандо с изменением выплат по закону арифметической прогрессии

Данный вид ренты еще называют рентой с постоянным абсолютным приростом платежей. Пусть выплаты изменяются по закону:
R, R+a; R+2a; R+3a; R+(n – 1)a,

где R – выплата в конце первого года, a – постоянное годовое приращение выплат (темп роста платежей), n – срок ренты.
Определим современную стоимость такой ренты из суммы:

13 EMBED Equation.3 1415 (8.1)

Умножим это равенство на (1 + r) и вычтем из обеих частей выражения соответствующие части равенства (8.1), после чего получим:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – дисконтный множитель по ставке r;
13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициент приведения постоянной годовой ренты.
В итоге формулу для современной стоимости годовой ренты с изменениями платежей по закону арифметической прогрессии можно записать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.2)

Если известна современная стоимость годовой ренты, то её наращенная сумма может быть определена по формуле:

S = A(1 + r)n.

Подставив в эту формулу выражение для современной стоимости (8.2), получим:

13 EMBED Equation.3 1415 (8.3)

Пример 8.1. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться каждый год на 2,5 тыс. руб. (или уменьшаться на 2,5 тыс. руб.) в течение 10 лет при поступлении денег в конце каждого года. Первая выплата равна 50 тыс. руб. Начисление процентов производится по ставке 12 % годовых. Определить современную стоимость и наращенную сумму переменного потока платежей.
Решение.
Современная стоимость исследуемого потока платежей определяется по формуле (8.2). Предварительно найдем коэффициент приведения постоянной ренты аn;r:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для а = 2,5 тыс. руб. современная стоимость потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб.
Для а = –2,5 тыс. руб. современная стоимость потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб.
Наращенная сумма исследуемого потока платежей определяется по формуле (8.3). Предварительно найдем коэффициент наращения постоянной ренты sn;r:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для а = 2,5 тыс. руб. наращенная сумма потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб.
Для а = –2,5 тыс. руб. наращенная сумма потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (


8.2. Годовая рента постнумерандо с изменением выплат
по закону геометрической прогрессии

Данный вид ренты еще называют рентой с постоянным относительным приростом платежей. Пусть выплаты изменяются по закону:
R, Rq; Rq2; , Rqn-1,

где R – выплата в конце первого года, q – темп роста ренты или знаменатель прогрессии, n – срок ренты.
Современная стоимость такой ренты определяется из суммы:

13 EMBED Equation.3 1415.

Если темп роста ренты представить в виде q = 1 + k, где k – темп прироста ренты, то формулу для современной стоимости годовой ренты с изменениями платежей по закону геометрической прогрессии можно записать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415. (8.4)

Заметим, что прирост может быть как положительным (k(0), так и отрицательным (k(0).
Наращенная сумма ренты находится как:

13 EMBED Equation.3 1415. (8.5)

Пример 8.2. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться каждый год на 5 % (или уменьшаться на 5 %) в течение 10 лет при поступлении денег в конце каждого года. Первая выплата равна 50 тыс. руб. Начисление процентов производится по ставке 12 % годовых. Определить современную стоимость и наращенную сумму переменного потока платежей.
Решение.
Современная стоимость исследуемого потока платежей определяется по формуле (8.4). Для k = 0,05 современная стоимость потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб.
Для k = –0,05 современная стоимость потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб.
Наращенная сумма исследуемого потока платежей определяется по формуле (8.5). Для k = 0,05 наращенная сумма потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб.
Для k = –0,05 наращенная сумма потока платежей равна:
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (


8.3. Конверсии рент

Виды конверсий. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки условий контракта или даже в ходе его выполнения необходимо в силу каких-либо причин изменить условия выплаты ренты. Иначе говоря, речь идет о конвертировании условий, предусматриваемых при выплате финансовой ренты. Основными видами конверсии являются:
замена ренты разовым платежом (выкуп ренты);
замена разового платежа рентой (рассрочка платежа);
объединение нескольких рент в одну (консолидация рент);
замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями.
Если предполагается, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий для каждой из участвующих сторон, то конверсия должна основываться на принципе финансовой эквивалентности (см. гл. 6).

Выкуп ренты. Данный вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом. Искомый размер выкупа должен быть равен современной стоимости выкупаемой ренты. Для решения задачи выбирается та или иная формула расчета современной стоимости потока платежей (в зависимости от условий погашения задолженности). Применяемая при расчете современной стоимости процентная ставка должна удовлетворять обе участвующие стороны.

Рассрочка платежей. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму и стороны согласны, что задолженность будет погашена частями, т.е. в рассрочку, то ее удобнее осуществить в виде выплаты постоянной ренты.
Для решения задачи приравниваем современную стоимость ренты, с помощью которой производится рассрочка, сумме долга. Задача обычно заключается в определении одного из параметров этой ренты – члена ренты (платежа) или ее срока – при условии, что остальные параметры заданы. Такого рода задачи рассматривались в п. 7.4 (стр. 63), поэтому здесь нет смысла останавливаться на них.

Объединение (консолидация) рент. Объединение рент заключается, как правило, в замене нескольких рент одной. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющей и заменяемых (консолидированных) рент, что соответствует равенству:

13 EMBED Equation.3 1415, (8.6)

где А – современная стоимость заменяющей ренты, Аq – современная стоимость q-й заменяемой ренты.

Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и p-срочными и т.д. Что касается заменяющей ренты, то следует определить ее вид и все параметры, кроме одного. Необходимо рассчитать размер неизвестного параметра исходя из равенства (8.6). Этим параметром является либо член ренты, либо ее срок.
Так, если задан срок заменяющей немедленной ренты постнумерандо n, то находится платеж заменяющей ренты из условия эквивалентности (8.6):
13 EMBED Equation.3 1415. (8.7)

В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то находится новый срок ренты. Обычно задача сводится к расчету n по заданному значению коэффициента приведения аn;r. Для немедленной ренты постнумерандо имеем:

13 EMBED Equation.3 1415. (8.8)

Если значение 13 EMBED Equation.3 1415 известно, то, определив на основе (8.8) величину n, получим:
13 EMBED Equation.3 1415. (8.9)

Пример 8.3. Три ренты постнумерандо – немедленные, годовые – заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:
Rq = 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Пересчет осуществляется по сложной ставке процентов 20% годовых. Определить заменяющий отложенный платеж.
Решение.
1) Определим сумму современных стоимостей заменяемых рент (табл. 8.1).
Таблица 8.1
Рента (q)
Rq,
тыс. руб.
nq,
лет
r,
%
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, тыс. руб.

1
100
6
20
3,32551
332,551

2
120
11
20
4,32706
519,247

3
300
8
20
3,83716
1151,148

Итого
520



2002,946


2) Зная сумму современных стоимостей заменяемых рент, определим размер заменяющего отложенного платежа:
13 EMBED Equation.3 1415
R = 960,189 тыс. руб.
3) Если бы заменяющая рента была немедленной, без отсрочки, то платеж был бы равен:
13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Продолжим пример. Пусть теперь заданным является не срок, а сумма годового платежа, например, 1500 тыс. руб., и необходимо найти срок заменяющей ренты. В данном случае в начале определяется современная стоимость немедленной ренты, затем рассчитывается ее срок.
A = 2002,46 ( 1,23 = 3461,091 тыс. руб.
По формуле (8.9) получим:
13 EMBED Equation.3 1415 года.
Округляем ответ до целого меньшего или целого большего (для кредитора – до меньшего n, заемщика – до большего n). В данном случае – 3 или 4 лет и компенсируем нехватку покрытия долга или излишки (см. пояснения в п. 7.4) при определении срока ренты. (

Пример 8.4. Три ренты заменяются одной р – срочной рентой с ежемесячными выплатами 3000 руб. в месяц. Параметры заменяемых рент:
годовая рента с ежегодными выплатами 10000 руб. в год в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых;
годовая рента с ежегодными выплатами 10000 руб. в год в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15 % годовых, причем проценты начисляются поквартально;
рента с ежегодными поступлениями 10000 руб. в год в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно.
Пересчет осуществляется по процентной ставке 18 % годовых. Определить срок заменяющей ренты.
Решение. При составлении уравнения эквивалентности находят современную стоимость каждой из заменяемых рент, суммируют их и приравнивают эту сумму современной стоимости заменяющей р – срочной ренты, то есть:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415. (*)
1) Современная стоимость первой заменяемой ренты равна:
13 EMBED Equation.3 1415
2) Современная стоимость второй заменяемой ренты равна:
13 EMBED Equation.3 1415
3) Современная стоимость третьей заменяемой ренты равна:
13 EMBED Equation.3 1415
4) Сумма современных стоимостей трех заменяемых рент равна:
13 EMBED Equation.3 1415=124800,73 руб.
5) Решая уравнение (*) относительно n, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставив сюда условия примера и сумму современных стоимостей трех заменяемых рент, найдем:
13 EMBED Equation.3 1415
Округлим срок ренты до 5 лет и уточним величину ежемесячной выплаты. Ежегодная выплата заменяющей ренты определяется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415.
Коэффициент приведения: 13 EMBED Equation.3 1415
Ежегодная выплата: 13 EMBED Equation.3 1415
Ежемесячная выплата:13 EMBED Equation.3 1415 (
8.4. Изменение параметров рент

Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает замену одной ренты другой. Такая замена также базируется на принципе финансовой эквивалентности. Следует учесть, что подразумевается равенство современных стоимостей этих рент при условии одинаковой процентной ставки. Рассмотрим несколько случаев такой замены.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами R1, n1 и процентной ставкой r. Для нее необходимо отсрочить выплаты на t лет, т.е. заменить на отсроченную ренту с параметрами R2, n2, t (t не входит в срок ренты). Если задан срок, то определяется R2, и наоборот. Рассмотрим первую задачу при условии, что n2 = n1 = n. Для этого случая справедливо равенство:

13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда
13 EMBED Equation.3 1415. (8.10)

Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за время t члену заменяемой ренты.
В общем случае, когда n2 ( n1, из равенства A1 = A2 следует:

13 EMBED Equation.3 1415, (8.11)

где t – продолжительность отсрочки.

Пример 8.5. По контракту есть договоренность осуществить платежи ежегодно по 2 млн. руб. в течение 8 лет. Изменились условия: рента откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты, процентная ставка для пролонгирования 20% годовых. Определить новый платеж с учетом отсрочки.
Решение. Согласно формуле (8.10) получим:
13 EMBED Equation.3 1415 млн. руб.
Таким образом, отказ от платежа в 2 млн. руб. увеличивает ежегодные выплаты на 0,88 млн. руб. Если же одновременно со сдвигом начала выплат срок ренты увеличивается, например, до 11 лет вместо 8 (n2 = 11), то по формуле (8.11) находим:
13 EMBED Equation.3 1415

Определим теперь срок новой ренты при условии, что размер члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты откладывается на t лет. Тогда из равенства

13 EMBED Equation.3 1415,
находим
13 EMBED Equation.3 1415. (8.12)

Пример 8.6. Рента c условиями R = 2 млн. руб., n = 5 лет, r = = 8% откладывается на 3 года без изменения сумм выплат. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат.
Решение. По формуле (8.12) получим:

13 EMBED Equation.3 1415 года.

Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обойдется в 1,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжительность новой ренты (без учета отсрочки) равна 6 годам. Определим современную стоимость такой ренты с учетом отсрочки:
13 EMBED Equation.3 1415 млн. руб.
Найдем современную стоимость заменяемой ренты:
13 EMBED Equation.3 1415
Разницу в сумме 645 тыс. руб. (7,985 – 7,340) следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент (включить в последующий платеж). (
Замена потока платежей рентой. Рассмотрим общий случай конверсии. Заменим, например, нерегулярный поток денег постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей Rt, выплачиваемых спустя nt лет после начала действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, n. В основу замены кладется равенство современных стоимостей заменяемого потока и заменяющей ренты, то есть:
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда
13 EMBED Equation.3 1415. (8.13)

Данное равенство дает возможность определить один из параметров ренты: R или n.

Пример 8.7. Три платежа 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со сроками 2, 3 и 4 года соответственно заменяются рентой с ежеквартальными выплатами в году со сроком 5 лет. Пересчет осуществляется по процентной ставке 18% годовых. Определить ежеквартальную выплату.
Решение. Уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (8.13) только в данном случае применительно к ренте с неоднократными выплатами в году:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415

Отсюда находим ежеквартальную выплату:
13 EMBED Equation.3 1415 руб. (
ГЛАВА 9. ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ
ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ

9.1. Расходы по обслуживанию долга

Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслуживанию долга или срочными уплатами, расходами по займу. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.
Методы определения размера срочных уплат зависят от условий погашения долга, которые предусматривают: срок займа, продолжительность льготного периода, уровень и вид процентной ставки, методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга.
В долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа. Основная сумма долга иногда погашается одним платежом, чаще она выплачивается частями – в рассрочку.
При определении срочных уплат используем следующие основные обозначения:
D – сумма задолженности;
Y – срочная уплата;
I – проценты по займу;
R – расходы по погашению основного долга;
n – общий срок займа;
g – процентная ставка по займу;
L – продолжительность льготного периода (период, в котором основной долг не погашается, обычно выплачиваются проценты, либо проценты присоединяются к сумме основного долга).

По определению срочная уплата – это расходы, состоящие из процентов по долгу и выплат по его погашению, то есть: Y = I + R. Если в льготном периоде выплачиваются проценты, то расходы по долгу в этом периоде сокращаются до Y = I.


9.2. Создание погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого в виде создания погасительного (накопительного) фонда. Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качестве гарантии его погашения.
Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника, (например, на специальный счет в банке), на которые начисляются проценты, то есть должник имеет возможность инвестировать средства для погашения долга.
Сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная в погасительном фонде к концу срока долга, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть постоянными или переменными во времени.

Постоянные взносы в фонд. Пусть накопление проводится путем регулярных ежегодных взносов R, на которые начисляются сложные проценты по ставке r. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит:

Y = D(g + R, (9.1)

где D(g – проценты по долгу по контракту, R – ежегодные взносы в фонд; D(g определяется суммой долга и процентной ставкой по займу.
Ежегодные взносы в погасительный фонд (R) должны быть накоплены за несколько лет, поэтому взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, n, r. Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо, тогда:

13 EMBED Equation.3 1415,

где sn;r – коэффициент наращения постоянной ренты со сроком n.

Отсюда срочная уплата находится как:

13 EMBED Equation.3 1415. (9.2)

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:

13 EMBED Equation.3 1415. (9.3)

Пример 9.1. Долг в сумме 100 млн. руб., выданный под 20% годовых, выплачивается равными частями в течение 5 лет в конце каждого года. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке 22%. Определить размеры срочных уплат.
Решение. При ежегодной выплате процентов срочные уплаты вычисляются по формуле (9.2):
g = 20%, r = 22%.
13 EMBED Equation.3 1415

При создании погасительного фонда используются две ставки – r и g. Ставка r определяет темп роста погасительного фонда, а g – сумму выплачиваемых за заем процентов. Создание фонда выгодно должнику, когда r ( g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность r – g , тем больше экономия средств должника, направляемая на покрытие долга. В случае, когда r = g, целесообразность создания погасительного фонда пропадает, так как финансовые результаты для должника остаются такими же, как и при погашении долга частями.
Накопленные за t лет средства фонда определяются по формулам наращенных сумм постоянных рент:

St+1 = St (1+r) + R. (9.4)
Пример 9.2. Продолжим пример 9.1 (срочные уплаты включают процентные платежи). Пусть средства в фонд вносятся только последние 4 года, остальные условия сохраняются. Тогда:
13 EMBED Equation.3 1415 млн. руб.
План формирования такого фонда (в тыс. руб.) представлен в табл. 9.1.
Таблица 9.1
Год
Проценты I
Взносы R
Расходы на обслуживание Y
Накопления на конец срока*

1
100(0,2 = 20
-
-
-

2
20
18,102
38,102
18,102(1,223 = 32,870

3
20
18,102
38,102
18,102(1,222 = 26,943

4
20
18,102
38,102
18,102(1,221 = 22,084

5
20
18,102
38,102
18,102(1,220 = 18,102





Итого = 100 000


*Сумма взноса с процентами на конец срока. (


9.3. Погашение долга в рассрочку

В финансовой деятельности при значительных размерах задолженности долг обычно погашается в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга.
Есть два способа погашения долга в рассрочку:
погашение основного долга равными суммами (долями);
погашение всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга (срочными уплатами).

Погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в размере D погашается в течение n лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит:
13 EMBED Equation.3 1415

Размер долга последовательно сокращается: D, D – d, D – 2d и т.д. Соответственно уменьшаются и выплачиваемые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Пусть проценты выплачиваются раз в конце года по ставке g. Тогда за первый и последующие годы они равны Dg, (D – d)g, (D – 2d)g и т.д.
Срочная уплата в конце первого года находится как:

Y1 = D(g + d.

Для конца года t находим:

Yt = Dt-1(g + d, t = 1,, n, (9.5)

где Dt – остаок долга на конец года t.

Остаток долга можно определять последовательно:

13 EMBED Equation.3 1415.

Если долг погашается p раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:

13 EMBED Equation.3 1415, t = 1,, pn. (9.6)

Остаток задолженности на конец года t в этом случае составит:

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 9.3. Разработать план погашения долга в сумме 1000 тыс.руб., который необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются 10% годовых, погашение и начисление процентов раз в год.
Решение. 1) Размер погашения основного долга:
13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб. в год.
2) Ежегодные процентные платежи составят:
I1 = 1000(0,1 = 100 тыс. руб.;
I2 = (1000 – 200)(0,1 = 80 тыс. руб. и т.д.

План погашения представим в виде табл. 9.2.
Таблица 9.2
Год
Остаток долга на начало года
Проценты
Погашение долга
Расходы по займу

1
1000
100
200
300

2
800
80
200
280

3
600
60
200
260

4
400
40
200
240

5
200
20
200
220


Как видно, последовательно уменьшаются как расходы по займу, так и соотношения процентов и суммы основного долга. (

Пример 9.4. Продолжим пример 9.3. Пусть проценты начисляются ежеквартально, а погашаются раз в год. Остальные условия сохраняются. В этом случае ежегодные процентные платежи составят:
I1 = (1000(0,1)/4 = 25 тыс. руб. в квартал.
I2 = [(1000 – 200)(0,1]/4 = 20 тыс. руб. и т.д.
План погашения представим в виде табл. 9.3.
Таблица 9.3
Год
Квартал
Остаток долга на начало года
Проценты
Погашение долга
Расходы по займу

1
1 кв.
1000
25
-
25


2 кв.
1000
25
-
25


3 кв.
1000
25
-
25


4 кв.
1000
25
200
225

2
1 кв.
800
20
-
20


2 кв.
800
20
-
20


3 кв.
800
20
-
20


4 кв.
800
20
200
220

3
1 кв.
600
15
-
15


2 кв.
600
15
-
15


3 кв.
600
15
-
15


4 кв.
600
15
200
215

4
1 кв.
400
10
-
10


2 кв.
400
10
-
10


3 кв.
400
10
-
10


4 кв.
400
10
200
210

Окончание табл. 9.3
Год
Квартал
Остаток долга на начало года
Проценты
Погашение долга
Расходы по займу

5
1 кв.
200
5
-
5


2 кв.
200
5
-
5


3 кв.
200
5
-
5


4 кв.
200
5
200
205


Рассмотренный метод амортизации отличается простотой расчетов, но часто является нежелательным для должника, так как в начале срока срочные уплаты погашения выше, чем в конце его.

Погашение долга равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока погашения. Из общей суммы расходов должника часть идет на уплату процентов, остаток – на погашение основного долга. По определению:

Y = Dt-1(g + Rt = const,

где Dt-1(g – проценты по долгу; Rt – сумма выплаты основного долга.

План погашения обычно разрабатывается для двух случаев:
а) если задан срок погашения долга;
б) заданы расходы по обслуживанию долга.
Рассмотрим оба случая.

А) Задан срок погашения. Первый этап разработки плана погашения – определение размера срочной уплаты. Далее полученная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего определяется остаток задолженности.
Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами, или:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (9.7)

где an;g – коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком n.
Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины Y и данных финансового контракта. Найдем сумму первого погасительного платежа:
d1 = Y – D(g,
.
dt = dt-1 (1+g). (9.8)

Платежи по погашению долга образуют ряд d1, d1 (1+g), ., d1 (1+g)n-1. По этим данным можно определить сумму погашенной задолженности на конец года t после очередной выплаты:

13 EMBED Equation.3 1415, (9.9)

где st;g – коэффициент наращения постоянной ренты постнумерандо.

Пример 9.5. Сумму долга в 1 млн. руб. необходимо погасить в течение 4 лет равными срочными уплатами. Срочные уплаты производятся в конце каждого года. Проценты на долг начисляются по ставке 12% годовых. Составить план погашения долга.
Решение. 1) Ежегодные срочные уплаты по погашению долга вычисляются по формуле (9.7):

13 EMBED Equation.3 1415 руб.

2) Значение выплаты в конце первого года определяется соотношением (9.8):
d1 = Y – D(g = 329234 – 1000000(0,12 = 209234,44 руб.

3) Проценты в конце первого года:
I1 = 1000000(0,12 = 120 000 руб.

4) Остаток долга после первого погашения:
D1 = 1000000 – 209234 = 790765,56 руб.

5) Отсюда I2 = 790765,56(0,12 = 94891,87 руб. и т.д.
План погашения представим в виде табл. 9.4.

Таблица 9.4
Год
Остаток долга на начало года
Расходы по займу
Проценты
Погашение долга

1
1 000 000
329 234,44
120 000
209 234,44

2
790 765,56
329 234,44
94 891,87
234 342,57

3
556 422,99
329 234,44
66 770,77
262 463,67

4
293 959,32
329 234,44
35 275,12
293 959,32


Процентные платежи уменьшаются во времени, а суммы погашения основного долга систематически увеличиваются. (

Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году:

13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415.

Б) Заданы расходы по обслуживанию долга. Решение данной задачи заключается в определении срока погашения долга и достижении полной сбалансированности платежей.
Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда применим формулу из табл. 7.1 (стр. 64), где символ R заменен на Y, а i – на g:

13 EMBED Equation.3 1415. (9.10)

Пример 9.6. Долг равен 1000 тыс. руб. и выдан под 10% годовых. Для его погашения предполагается выделять сумму порядка 200 тыс. руб. в год. Оценим величину срока, необходимого для погашения задолженности:


13 EMBED Equation.3 1415 года.
Округлим расчетный срок до 7 лет. Для того, чтобы полностью рассчитаться, необходимо несколько повысить срочные уплаты:
13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Альтернативой является адекватная компенсация недостающего покрытия долга при выплате ренты с членом 200 тыс. руб. и сроком 7 лет. (

Погашение задолженности с использованием переменных расходов по займу. В ситуациях, когда погашение долга связано с поступлением средств из каких либо источников, удобнее погашать долг переменными расходами (выгодно должнику).
Есть два варианта работы с переменными расходами:
срочные уплаты образуют ряд, члены которого задаются заранее (график погашения);
срочные уплаты образуют ряд, члены которого следуют какому либо формальному закону (прогрессии, заданной функции).

Пусть ряд срочных уплат представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q, тогда этот ряд можно записать в виде членов переменной ренты Y, Yq, Yq2, , Yqn-1. Приравняв современную стоимость этой ренты сумме первоначального долга, находим:
13 EMBED Equation.3 1415, (9.11)

где q = 1+k – годовой темп роста платежей, k – темп прироста, g – процентная ставка по займу.

Далее находятся срочные уплаты и разрабатывается детальный план погашения.

Пример 9.7. Пусть расходы по займу (сумма долга – 1000 тыс. руб.) уменьшаются каждый год на 10%; общий срок погашения 5 лет, ставка процента по долгу – 6% годовых. Определить срочную уплату и составить план погашения долга.
Решение. D = 1000 тыс. руб., n = 5 лет, g = 6%, q = 1 – k = 0,9. Согласно формуле (9.11) срочная уплата составит:
13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Отсюда определим остаток долга:
I1 = 1000(0,06 = 60 тыс. руб.
d1 = 286,353 – 60 = 226,353 тыс. руб.
D2 = 1000 – 226,353 = 773,647 тыс. руб.
Y = Yt ( 0,9t-1.
План погашения долга представлен в табл. 9.5.
Таблица 9.5
Год
Остаток долга на начало года
Расходы по займу
Проценты
Погашение долга

1
1000,000
286,353
60,000
226,353

2
773,667
257,717
46,419
211,298

3
562,349
231,946
33,741
198,205

4
364,144
208,751
21,849
186,902

5
177,241
187,875
10,634
177,241


В ряде случаев размеры срочной уплаты связываются с ожидаемыми поступлениями средств и задаются заранее в виде графика погашения. Размер последней срочной уплаты не задается. Она определяется как сумма остатка долга на начало последнего периода.

Пример 9.8. Долг в размере 100 000 руб. решено погасить по специальному графику за 4 года – суммы расходов по погашению долга по годам: 40, 20 и 30 тыс. руб. Остаток выплачивается в конце четвертого года. Ставка процента по долгу установлена в размере 10% годовых. Разработать план погашения.
Решение.
План погашения долга представлен в табл. 9.6.
Таблица 9.6
Год
Остаток долга на начало года
Расходы по займу
Проценты
Погашение долга

1
100 000
40 000
10 000
30 000

2
70 000
20 000
7000
13 000

3
57 000
30 000
5700
24 300

4
32 700
35 970
3270
32 700



9.4. Льготные займы и кредиты

В ряде случаев долгосрочные займы и кредиты выдаются по тем или иным причинам под льготные для заемщика условия. Низкая (относительно ставки на рынке кредитов) процентная ставка в сочетании с большим его сроком и льготным периодом дают должнику существенную выгоду, которую можно рассматривать как субсидию. Кредитор в этих условиях несет некоторые потери, так как он мог бы инвестировать деньги на более выгодных условиях.
Льготные займы главным образом используются при оказании международными организациями финансовой помощи ряду развивающихся стран.
Грант-элемент – это условная потеря кредитора, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем существующие ставки кредитного рынка.
Грант-элемент определяется в абсолютной и относительной величинах.
Абсолютный грант-элемент рассчитывается как разность номинальной суммы займа и современной величины платежей по погашению займов, рассчитанной по рыночной ставке. Обычно используют ставку, превалирующую на рынке долгосрочных кредитов.
Размер абсолютного грант-элемента находим следующим образом:

W = D – A, (9.12)

где W – абсолютный грант-элемент, D – сумма долга, A – современная стоимость платежей, поступающих в счет погашения займа, рассчитанная по реальной ставке кредитного рынка.
Относительный грант-элемент характеризует отношение абсолютного грант-элемента к сумме займа:

13 EMBED Equation.3 1415, (9.13)

где w – относительный грант-элемент.

Выведем рабочие формулы для расчета W и w при условии, что долг и проценты выплачиваются в виде постоянных срочных уплат.
Пусть займ выдан на n лет и предусматривает выплату процентов по ставке g. На денежном рынке аналогичные по сроку и величине займы выдаются по ставке r. В этом случае при отсутствии льготного периода срочная уплата составит:

13 EMBED Equation.3 1415, (9.14)
а современная величина всех выплат должника очевидно равна Yan;r. В итоге
13 EMBED Equation.3 1415, (9.15)
13 EMBED Equation.3 1415,
где an;r, an;g – коэффициенты приведения постоянных годовых рент постнумерандо, определенные для процентных ставок r и g, r ( g.

Пример 9.9. Льготный займ выдан на 10 лет под 3,8%. Предусматривается погашение долга равными срочными уплатами. Известно, что обычная рыночная ставка для такого займа равна 8%. В этом случае
13 EMBED Equation.3 1415.
Допустим, исходная сумма займа равна 10 млн. руб. Тогда абсолютный грант-элемент или условная сумма потерь для кредитора и, соответственно, выгода для должника, составят:
W = 10 ( 0,1809 = 1,809 млн. руб. (

Наличие льготного периода увеличивает грант-элемент. Если в льготном периоде должник выплачивает проценты, то современная стоимость поступлений по долгу определяется как сумма двух элементов: современных величин процентных платежей в льготном периоде и срочных уплат в оставшееся время. Таким образом,

13 EMBED Equation.3 1415, (9.16)

где n – L – продолжительность периода погашения задолженности;
L – продолжительность льготного периода.

После преобразований формулы (9.13) получим:

13 EMBED Equation.3 1415, (9.17)

где an-L;r, an-L;g – коэффициенты приведения постоянных рент со сроком n – L лет и ставками r и g;
( L – дисконтный множитель по ставке r.

Рассмотрим еще одни вариант. Пусть в льготном периоде проценты начисляются, но не выплачиваются. Они присоединяются к основному долгу, который погашается в течении n – L лет. Условия такого займа более льготны для должника, чем при последовательной выплате процентов.
Срочные уплаты и их современная величина в данном случае находятся как:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

На основе этих выражений относительный грант-элемент будет равен:

13 EMBED Equation.3 1415. (9.18)

Пример 9.10. Пусть заем в примере 9.9 предусматривает льготный период 3 года, в течение которого выплачиваются проценты. Для расчета относительного грант-элемента находим:
a7;8 = 5,20637, a7;3,8 = 6,04667, a3,8 = 2,5771, ( 3 = 1,08–3 = 0,79383.
Подставив в формулу (9.17) получим:

13 EMBED Equation.3 1415.

Если проценты в льготном периоде не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, то

13 EMBED Equation.3 1415

Как было показано выше, грант-элемент – условная обобщающая характеристика льготности займа (потерь кредитора и выигрыша должника). Сумма, которая равна грант-элементу, существенно зависит от принятой при ее определении процентной ставки.
Предельным случаем льготного займа является беспроцентный заем. Выдача такого займа связана с потерями, которые определим, полагая, что соответствующие средства можно было бы разместить под проценты по рыночной ставке r. Например, уже при 15-тилетнем сроке беспроцентного займа и рыночной ставке 10% кредитор теряет 50% от суммы долга.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
к главам 7, 8, 9

Какие потоки платежей называются регулярными и нерегулярными?
Какой поток платежей называют аннуитетом?
Какими параметрами описывается рента?
Какие виды рент вам известны?
Дайте определение наращенной суммы и современной стоимости потока платежей.
Какие ренты называются постоянными?
Какие ренты называются переменными?
В чем отличие постоянной ренты от переменной?
Дать определение годовой ренты, ренты с начислением процентов по номинальной ставке, p-срочной ренты.
Вывести формулу для наращенной суммы и современной стоимости годовой ренты.
Как изменяются наращенная сумма и современная стоимость ренты пренумерандо по сравнению с рентой постнумерандо?
В чем основное отличие отложенной ренты от обычной?
Написать формулу для современной стоимости вечной ренты.
Выплаты пенсии в конце каждого месяца задают ренту. Какая это рента?
Описать метод расчета величины годовой выплаты ренты.
Описать метод расчета срока ренты.
Что подразумевается под рентой с постоянным абсолютным приростом платежей?
Что подразумевается под рентой с постоянным относительным приростом платежей?
Что такое конверсия и консолидация рент? Какие виды конверсий вам известны?
Описать принцип замены нерегулярного потока платежей рентой.
Описать принцип замены нескольких рент одной рентой.
Что такое срочная уплата? Что она в себя включает?
Опишите принцип создания погасительного фонда?
Какие две процентные ставки используются при создании погасительного фонда?
Что подразумевается под амортизацией долга?
Поясните смысл погашения долга в рассрочку и смысл погасительного фонда для погашения долга.
Опишите способ погашения основного долга равными суммами.
Опишите способ погашения долга равными срочными уплатами.
Что такое грант-элемент?
Каким образом определяется грант-элемент? Назовите его виды.






































ГЛОССАРИЙ

Амортизация долга расходы, связанные с погашением долга и выплатой процентов по нему (обслуживание долга).
Английская практика (точные проценты с точным числом дней ссуды) метод процентных расчетов, при котором продолжительность года принимается равными 365 или 366 дней, а число дней между датами получения и погашения кредита рассчитывается точно по календарю.
Аннуитет (финансовая рента) ряд последовательных платежей, производимых через равные промежутки времени.
Антисипатнвный (предварительный) метод начисления процентов заключается в том, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100%) принимается сумма долга, подлежащая погашению.
Банковский кредит кредит, предоставляемый одним субъектом сделки (как правило, финансовым институтом) другому в виде денежной суммы.
Банковское дисконтирование основано на использование учетной ставка, т.е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.
Брутто-ставка – ставка процентов, скорректированная на инфляцию.
Вексель особый вид письменного долгового обязательства, дающий бесспорное право его владельцу требовать по истечении указанного в нем срока уплаты денег с должника.
Вечная рента финансовая рента с неограниченным числом членов и неограниченным временем действия.
Германская практика (обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды) метод процентных расчетов, при котором срок ссуды, не равный целому числу лет, определяется в неполном году количеством месяце» по 30 дней в каждом, начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения, и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года принимается равным 360 дням.
Годовая рента рента, по которой платежи производятся раз в году.
Грант-элемент добровольно упущенная выгода кредитора, вызванная применением более низкой процентной ставки, чем принятая в данный момент на рынке капиталов. Грант-элемент может быть подсчитан в виде абсолютной или относительной величины.
Декурсивный метод метод процентных расчетов, при котором начисление процентов производится в конце расчетного периода.. Депозитный сертификат денежный документ, выпускаемый первоклассными банками, с обязательством оплатить вклад (депозит) с начисленными на него процентами в конкретный срок; выписывается на конкретное лицо.
Дисконт а) учетный процент, взимаемый банком при учете векселей; б) скидка с курса валюты при срочных наличных операциях; в) разница между номиналом ценной бумаги и ее курсом на фондовой бирже в случае, когда последний ниже.
Дисконтирование термин, используемый в финансовой практике и имеющий несколько значений, в том числе: а) покупка ценной бумаги по цене ниже ее номинальной стоимости; б) определение современной (приведенной) величины, т.е. нахождение суммы, предоставленной в кредит, по наращенной сумме, обусловленной процентной ставкой и сроками кредита.
Дисконтный множитель показатель, характеризующий, во сколько раз первоначальная сумма ссуды меньше наращенной суммы.
Дискретные ренты ренты, по которым платежи производятся в определенные сроки (год, несколько раз в году или сроки, превышающие год). 4
Индекс покупательной способности денег величина обратная индексу цен.
Индекс рентабельности инвестиций отношение величины чистого приведенного дохода к величине стартовых инвестиций; характеризует эффективность инвестиционных вложений.
Ипотечная ссуда ссуда, выдаваемая под залог недвижимости.;
Конверсия займа изменение первоначальных условий займа (процента, срока погашения, срока купонных выплат).
Конверсия рент изменение условий выплаты ренты, т.е. частичное или полное изменение первоначальных параметров ренты, приводящее к образованию новой ренты и, следовательно, к изменению финансовых результатов сделки.
Консолидация платежей объединение нескольких платежей в один с установлением единого срока погашения.
Консолидация рент объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности.
Коэффициент наращения ренты показывает, во сколько раз наращенная сумма ренты больше первого члена ренты.
Коэффициент погашения задолженности показывает, какая доля оставшегося долга вместе с начисленными процентами должна быть уплачена в рассматриваемый период.
Коэффициент приведения ренты показывает, сколько рентных платежей содержится в современной величине.
Ломбардный кредит краткосрочный кредит под залог легко реализуемого движимого имущества.
Методы расчета «от ста» и «меньше ста» способы расчета процентных платежей, наиболее часто используемых при ведении банковских счетов.
Маржа - термин, характеризующий разность между двумя финансовыми показателями, например между курсами продажи и покупки валюты, ценных бумаг, процентных ставок по депозитам. Кроме того, под маржей понимается гарантийный взнос в срочной биржевой торговле.
Математическое дисконтирование действие обратное определению наращенной суммы, т.е. по величине наращенной суммы, процентной ставке и сроку кредита определяется приведенная {современная) величина ренты. .
Метод линейной интерполяции математический метод, позволяющий определить величину процентной ставки, обеспечивающей достижение заранее обусловленных финансовых результатов.
Множитель наращения процентов выражение, характеризующее будущую стоимость 1 -й денежной единицы через несколько процентных периодов исходя из ставки наращения за период. Он показывает, во сколько раз увеличивается величина, денежной суммы при ее наращивании.
Наращенная сумма величина, равная сумме выданного (полученного) кредита и начисленных процентов.
Наращенная сумма ренты сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока ренты, т.е. на дату последней выплаты.
Непрерывные проценты начисление процентов на сумму, выданную (полученную) в кредит, или дисконтирование наращенных сумм, производимых с частотой, при которой их можно рассматривать как непрерывные.
Номинальная процентная ставка предусмотренная кредитным соглашением годовая процентная ставка при начислении презентов несколько раз в году.
Обыкновенные проценты см. «Германская практика».
Отложенная рента рента, срок реализации которой откладывается на время, указанное в контракте.
Переводной вексель (тратта) письменный приказ кредитора (трассанта) заемшику (трассату) об уплате суммы, обозначенной в векселе, третьему лицу (ремитенту) или предъявителю, если вексель предъявительский.
Переменная рента поток последовательных платежей, члены которого не являются постоянными величинами.
Период ренты временной интервал между двумя рентными платежами.
Потребительский кредит кредит, предоставляемый населению для приобретения предметов личного потребления.
Приведенная (современная) величина ренты один из обобщающих показателей ренты: сумма всех членов ренты, уменьшенных (дисконтированных) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему; показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные, взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было бы обеспечить получение наращенной суммы.
Процентная ставка величина, характеризующая доходность кредитной сделки. Она показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода.
Процентное число числитель показателя, используемого и финансовой практике для вычисления процентного дохода; равен произведению суммы, предоставленной в кредит, на срок кредита в днях.
Процентные деньги величина процентного дохода, т.е. дохода, полученного в виде процентов на вложенный капитал.
Проценты простые начисление процентов в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставленного в кредит.
Проценты сложные начисление процентов, при котором начисленные проценты на первоначальную сумму складываются с этой суммой, а в последующих периодах проценты начисляются на уже наращенную сумму. При использовании данного метода база для начисления процентов постоянно меняется.
Рейта постнумерандо рента, в которой платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия, квартала и т.д.).
Рента пренумерандо рента, в которой платежи производятся в начале соответствующих периодов (года, полугодия, квартала ит.д.).
Сила роста, относительный прирост наращенной суммы к наращенной сумме в бесконечно малом промежутке времени.
Смешанные ренты метод начисления процентных платежей п финансовых рентах, совмещающий начисление процентов за целые годовые периоды по ставке сложных процентов, а на платежи, вносимые в течение года. по ставке простых процентов.
Срок ренты время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа.
Срочная уплата денежная сумма, предназначенная для погашения части основного долга и текущих процентов по нему за определенный период времени.
Тратта см. Переводной вексель.
Учетная ставка ставка, используемая при учете векселей, при антисипативном методе начисления процентов и нахождении современной величины, а также как процентная ставка Центрального банка.
Финансовая рента см. Аннуитет.
«Французская практика» (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды) метод процентных расчетов, при котором продолжительность года принимается равной 360 дням, а число дней между датами получения и погашения кредита рассчитывается как разность календарных дней.
Член ренты величина отдельного рентного платежа.
Эквивалентная процентная ставка ставка, обеспечивающая такой же финансовый результат, как и при использовании альтернативной процентной ставки.
Эффективная процентная ставка ставка, отражающая реальный доход от коммерческой сделки, т.е. ставка по которой фактически были начислены проценты на первоначальную сумму.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бронштейн, Е.М., Колесникова, Е.Р. Финансовая математика: учебное пособие / Е.М. Бронштейн, Е.Р. Колесникова. – Уфа: УГАТУ, 2008. – 109 с.
Деньги, кредит, банки : [учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям] / Фин. акад. при Правительстве Рос. Федерации; под ред. О.И. Лаврушина . 8-е изд., перераб., и доп. М. : КНОРУС, 2009 . 558, [1] с.
Капитоненко, В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007. –256 с.
Кочович, Е. Финансовая математика с задачами и решениями: учебно-методическое пособие / Е. Кочович. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 384 с.
Кузнецов, Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М: Издательство «Экзамен», 2005. – 128 с.
Печенежская, И.А. Финансовая математика: сборник задач / И.А. Печенежская. – Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 188,[1] c.
Самаров, К.Л. Финансовая математика: практический курс: учебное пособие / К.Л. Самаров . – М.: Альфа-М: ИНФРА-М, 2005. – 80 с.
Симчера, В.М. Введение в финансовые и актуарные вычисления. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 352 с.
Четыркин, Е.М. Финансовая математика: учебник. – 7-е изд., испр. – М.: Дело, 2007. – 400 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1
Основные формулы для решения задач
по простым и сложным процентным ставкам

13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Приложение 2

Коэффициенты финансовых рент

Виды рент
Коэффициент наращения
Коэффициент приведения

Годовая рента
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Годовая рента, начисление процентов
m раз в году
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Рента
p–срочная
(m = 1)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Рента
р–срочная
(m = р)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Рента
p–срочная
(m
· р)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Учебное издание



ГАНИЕВА Алия Энгелевна
КРИОНИ Ольга Валерьевна









ВЫСШИЕ ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ







Редактор О.А. Соколова







Подписано в печать 2010 г. Формат 60Ч84 1/16.
Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman.
Усл.печ.л. Усл.кр.-отт. Уч.- изд.л.
Тираж 100 экз. Заказ №
ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет
Редакционно-издательский комплекс УГАТУ
450000, РБ, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12

( За базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования.
2 Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate). В России применяются базовые ставки по рублевым кредитам МИБОР.
( Когда K берется приближенно, т.е. 360 из расчета, что в каждом месяце по 30 дней, то по такой базе начисления процентов любой процент называется обыкновенным.
( Если K берется фактической продолжительностью года (365 или 366 дней), то проценты по такой базе называются точными.

( При этом полагаем, что начальные и наращенные суммы при применении рассматриваемых ставок одинаковы.
( Подобно тому, как стоимость всех товаров измеряется через деньги, так и стоимость денег измеряется через другие товары. То количество товаров и услуг, которое можно купить на определенное количество денег, и называется их стоимостью, или покупательной способностью. Когда цены растут, покупательная способность денег падает, и наоборот, когда цены падают, покупательная способность денег растет.













13PAGE 15


13PAGE 141415



D

D0

t0 t1 t2 t3





D1


D2


D3

R1

R2


R3

t


K1

K2

K

S0

t

320 дн.

R2

R1

165 дн.

8000

Q

D

D0

130 дн.

3000

5000

P1 = P2







250 дн.

2,5

S0

n, дней

2 000 000

S, руб.

3

2

1 000 000

S, руб.

n, лет

n, дней

S, руб.

01.07

20000

4000

10000

01.09

15.06

01.04

8000

01.12

S0

S0

5

2000

n, лет

S, руб.

1

3000

4000

4

3

2

2000

0

0

8500

n

2000

n, лет

S, руб.

1

3000

4000

4

3

2

2000



S =?


01.01.
2009 г.

t


13 EMBED Equation.3 1415

i

18


15


01.01.
2008 г.

01.12.
2006 г.


01.07.
2005 г.


5



P1

P

P2

i0

0



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 158Рисунок 161Рисунок 163Рисунок 164Рисунок 166Рисунок 167Рисунок 168Рисунок 169Рисунок 170Рисунок 171Рисунок 172Рисунок 173Рисунок 174Рисунок 178Рисунок 181Рисунок 183Рисунок 184Equation NativeEquation NativeРисунок 185Рисунок 188Рисунок 189Рисунок 190Рисунок 192Рисунок 194Рисунок 196Рисунок 201Рисунок 202Рисунок 203Рисунок 204Рисунок 205Рисунок 208Рисунок 209Рисунок 211Рисунок 212Рисунок 213Рисунок 214Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 17558703
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий