klyuchevyh-zadach-po-geometrii ТЕОРИЯ

Примеры ключевых задач по геометрии при подготовке к ОГЭ

Свойства хорд и дуг окружности
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к  этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
У равных дуг равны и хорды. 
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Свойства касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.


Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если из точки, взятой вне окружности, проведены к окружности секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Если из точки, взятой вне окружности, проведены к окружности секущие, то произведение каждой секущей на её внешнюю часть есть число постоянное для всех этих секущих
Угол между хордой и касательной
Угол, образованный хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.


Свойства вписанного угла окружности.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр) – прямой.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от хорды.

Свойства биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Свойства биссектрисы параллелограмма

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны


Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
Если в треугольнике медиана равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности вычисляется по формуле13 EMBED Equation.3 1415, где a, b – катеты, c –гипотенуза прямоугольного треугольника АВС.

Свойства медианы треугольника
В треугольнике медианы пересекаются в одной точки и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а три медианы – на шесть равновеликих треугольников.
Если О – точка пересечения медиан треугольника АВС, то S(ABC)=3S(AOB)=3S(AOC)=3S(BOC).


Свойства элементов трапеции
Во всякой трапеции:
Середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований
Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой
Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в отношении OX:OY=BC:AD
Биссектриса угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник
Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны и точка их пересечения лежит на средней линии трапеции

В описанной около окружности трапеции:
Сумма оснований равна сумме боковых сторон
Полусумма боковых сторон равна средней линии
Если трапеция равнобедренная, то ее боковая сторона равна средней линии, высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований
Отрезки, соединяющие центр окружности, вписанной в трапецию, с вершинами трапеции, попарно перпендикулярны
Диаметр вписанной в трапецию окружности является высотой трапеции
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме, т.е. равен средней линии трапеции.
S(ABC)=S(DBC)
S(ABD)=S(ACD)
S(ABO)=S(COD)
Средняя линия и высота равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равны.
теорема о пересекающихся хордахРисунок 1теорема о пересекающихся хордах

Приложенные файлы

  • doc 17490645
    Размер файла: 46 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий