voprosy_k_ekzamenu_po_geometrii


Проективное пространство.
Непустое множество  называется проективным пространством n измерений (порожденным векторным пространством ), если задано отображение , удовлетворяющее следующим аксиомам проективного пространства:
1) отображение f сюръективное (любому элементу из  соответствует хотя бы один вектор из )
2) равенство  выполняется тогда и только тогда, когда , то есть всем коллинеарным векторам  соответствует одна точка пространства .
Проекти́вное простра́нство над телом K — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства L(K) над данным телом. Прямые пространства L(K) называются точками проективного пространства.
Если L имеет размерность n + 1, то размерностью проективного пространства называется число n а само проективное пространство обозначается KPn и называется ассоциированным с L (чтобы это указать, принято обозначение P(L)).
Переход от векторного пространства L(K) размерности n + 1 к соответствующему проективному пространству KPn называется проективизацией пространства L(K).
Точки KPn можно описывать с помощью однородных координат.
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.
Обратное тоже верно:
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.
Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы».
Проективная плоскость и ее модели.
Проективная пло́скость — двумерное проективное пространство. Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет т. н. аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.
Проективная плоскость над телом K это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства K3. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективная плоскость над телом K обычно обозначается KP2, например , , и т. д.. Расширенная плоскость и ее свойства.
Проективная прямая и ее модели.
-9207530226000Определение: Проективной прямой называется некоторое множество , для которой существует взаимнооднозначное отображение вида P1→S, где S — пучок прямых вида плоскости и элементы множества Р1 называется проективными точками.
Некоторые свойства проективной прямой:
1. Проективная прямая состоит из множества проективных точек.
2. Существует точка принадлежащая проективной прямой и точки не принадлежащие ей (т.к. существует другие -2863856413500пучки).
3. Порядок точки на Евклидовой прямой задается отношением лежать между.
На_проективной прямой такое отношение определять нельзя:
4. На проективной прямой порядок точки определяется отношением, который называется разделенность пар точек.
Расширенная прямая и ее свойства.
Координаты точки на проективной прямой.
Координаты точки на проективной плоскости.
Построение точки на проективной прямой по ее координатам.
Построение точки на проективной плоскости по ее координатам.
Принцип двойственности
В проективной геометрии на плоскости двойственными понятиями являются, «точка» и «прямая», «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку». Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Д. п. в проективной геометрии на плоскости)
Теорема Дезарга.
Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии. Она формулируется следующим образом:
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.
Обратное тоже верно:
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.
Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы».
Порядок точек на проективной прямой.
На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было характеризовать одним числом, одной координатой, отсчитываемой в некотором масштабе от точки, принятой за ноль. Так как в проективной геометрии бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой, то уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно удаленной точки.
Здесь уже, на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного расположения двух пар точек.
Пусть A и B, C и D две пары точек, расположенные на проективной прямой (рис.5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары, т.е. CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то момент с т. A или т. B. Аналогично, чтобы совместить B с A, при движении точки B она когда-нибудь совпадет с C или D. В таком случае говорят, что пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы порядка и введения координат на проективной прямой.
1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U, на этой прямой существует такая точка D, что пара A, B разделяет пару C, D.
2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B.
3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные пары.
Двойное отношение четырех точек прямой. Свойства двойного отношения.
Двойным (или сложным) отношением четверки точек A, B, C, D, лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число
где через a, b, c, d обозначены координаты точек A, B, C, D соответственно.
Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:
подразумевая, что через AC / BC (соответственно AD / BD) обозначено отношение направленных отрезков.
Двойное отношение четверки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.
Двойным отношением четверки прямых a, b, c, d, проходящих через одну точку, называют число

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми a и b, не пересекается ни с одной из прямых c или d (в этом случае говорят, что пара прямых a и b не разделяет пару прямых c и d), то (ab,cd) > 0; в противном случае (ab,cd) < 0.
Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.

Гармонические четверки точек. Свойства гармонических четрверокВведем обозначения: AB, CD (со стрелкой) – ненулевые коллинеарные векторы; AB, CD (с чертой)– их длины, взятые с одинаковыми знаками, если векторы сонаправлены, и с разными знаками, если они противоположно направлены. Тогда, в частности, выражения и будут представлять отношение и произведение, взятые со знаком «+», если векторы сонаправлены, и со знаком «–»,они противоположно направлены.
Воспользуемся принятыми обозначениями для определения гармонических четверок точек. Рассмотрим четыре точки А, В, С, D, лежащие на одной прямой. Будем говорить, что точки А, В, С, D (взятые в том же порядке, как указано) образуют гармоническую четверку, если (*) Из равенства следует, что среди данных векторов три вектора сонаправлены, а четвертый вектор направлен противоположно по отношению к ним.
Отметим, что данное равенство равносильно каждому из следующих равенств:

Можно написать еще несколько равенств, равносильных (*). Свойства гармонических четверок:
1. Через точки А, В, С, D, лежащие на одной прямой, проведем 4 параллельные прямые. Пусть А1, В1, С1, D1 – точки пересечения этих прямых с какой-нибудь другой прямой. Тогда, если А, В, С, D – гармоническая четверка, то А1, В1, С1, D1 также гармоническая четверка.

2. Аналогичным свойством обладают точки А1, В1, С1, D1 пересечения прямых МА, МВ, МС, MD с какой-нибудь прямой, параллельной прямой АD.

Построение четвертой гармонической.
Четвертка точек при этом образует т.н. гармоническую четверку – см.[1],[6],[11]. На рисунке ниже указан способ построения четвертой гармонической: из точки проводим произвольную прямую, отмечаем точки пересечения ее с прямыми (СА) и (ВА) – точки и , потом строим точку Р пересечения и , и, наконец – точку пересечения (АР) и (ВС).

Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник.
Полным четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек INCLUDEPICTURE "http://gm.chgpu.edu.ru/ebook/2_EG/Razdel_1/Glava_1/index_5.files/image010.gif" \* MERGEFORMATINET , никакие три из которых не лежат на одной прямой и шести прямых проходящих через эти точки (рис. 3). Точки  А, В, С, D называются вершинами, прямые  АВ, CD, АС, ВD, ВС, AD – сторонами полного четырехвершинника. Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными; точки пересечения противоположных сторон P, Q, R называются диагональными точками.

Фигура, двойственная четырехвершиннику, называется четырехсторонником – совокупность четырех прямых, лежащих в одной плоскости, из которых никакие три не принадлежат одной точке.
Применение свойств полного четырехвершинника к построению гармонических четверок точек
Проективные преобразования проективной прямой.
Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямыe.
Пусть l1 и l2 - две прямые на плоскости, O - точка, не лежащая ни на одной из этих прямых. Центральным проектированием прямой l1 на прямую l2 с центром O называют отображение, которое точке A1 прямой l1 ставит в соответствие точку пересечения прямой OA1 с прямой l2.
Пусть l1 и l2 - две прямые на плоскости, l - прямая, не параллельная ни одной из этих прямых. Параллельным проектированием прямой l1 на прямую l2 вдоль прямой l называют отображение, которое точке A1 прямой l1 ставит в соответствие точку пересечения прямой l2 с прямой, проходящей через точку A1 параллельно прямой l.
Отображение P прямой a на прямую b называют проективным, если оно является композицией центральных или параллельных проектирований, т. е. если существуют прямые a0 = a, a1, , an = b и отображения Pi прямых ai на ai + 1, каждое из которых является либо центральным, либо параллельным проектированием, причем P является композицией преобразований Pi. В случае, когда прямая b совпадает с прямой a, отображение P называют проективным преобразованием прямой a.
Проективные преобразования проективной плоскости.
Определение. Пусть 1 и 2 - две плоскости в пространстве, O - точка, не лежащая ни на одной из этих плоскостей. Центральным проектированием плоскости 1 на плоскость 2 с центром O называют отображение, которое точке A1 плоскости 1 ставит в соответствие точку пересечения прямой OA1 с плоскостью 2.
Прямую, на которой не определено центральное проектирование, называют исключительной прямой данной проекции.
Отображение P плоскости  на плоскость  называют проективным, если оно является композицией центральных проектирований и аффинных преобразований, т. е. если существуют плоскости 0 = , 1, , n =  и отображения Pi плоскостей i на i + 1, каждое из которых является либо центральным проектированием, либо аффинным преобразованием, причем P является композицией преобразований Pi. В случае, когда плоскость  совпадает с плоскостью , отображение P называют проективным преобразованием плоскости . Прообраз бесконечно удаленной прямой мы будем называть исключительной прямой данного проективного преобразования
Группа проективных преобразований. Предмет проективной геометрии.
Линии второго порядка на проективной прямой.
Кривой второго порядка на проективной плоскости называется множество точек, однородной координаты которой удовлетворяют уравнению вида:
Полюс и поляра. Свойства.
Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M1 и M2 пересечения кривой 2-го порядка секущими, проходящими через точку P.
Поляра является прямой линией. Точку P называют полюсом поляры. Всякая невырожденная линия 2-го порядка определяет биекцию точек проективной плоскости и множества её прямых — поляритет или полярное преобразование.
Свойства:
Если точка P лежит «вне» линии 2-го порядка (то есть через точку P можно провести две касательные к линии), то поляра проходит через точки касания данной линии с прямыми, проведёнными через точку P.
Если точка P лежит на кривой 2-го порядка, то поляра является прямой, касательной к данной кривой в этой точке.
Если поляра точки P проходит через точку Q, то поляра точки Q проходит через точку Р.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Классификация линий второго порядка на проективной плоскости.
Классификация линий второго порядка
№ Название Уравнение Ранг
1 Овальная линия 3
2 Нулевая линия 3
3 Пара прямых 2
4 Пара мнимых прямых 2
5 Пара совпавших прямых 1
Бесконечно-удаленные элементы квадрики
Рассмотрим в евклидовой плоскости a ее параллельные прямые а и а'(рис., 1)и прямую b, пересекающую их соответственно в точках М и М'. Будем поворачивать прямую b вокруг точки М' в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а'. Очевидно, по мере приближения прямой b к a' точка М пересечения прямых a и b будет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчетливо поясняет часто употребляемое выражение: "параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке".
Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости a. Для этой цели плоскость a пополняется бесконечно удалёнными точками и одной бесконечно удалённой прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда прямая а', параллельная прямой а (рис., 2), пересекается с ней в некоторой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект - бесконечно удалённую точку прямой а. Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а, имеют одну общую бесконечно удалённую точку А, а бесконечно удалённые точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек плоскости се называют бесконечно удалённой прямой.
Плоскость a, пополненная т. о. бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость. Её свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (например, на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).Евклидову плоскость можно пополнять Б. у. э. и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удалённой точкой, которая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.
Касательная к линии квадрики
Геометрия проективной плоскости с фиксированной прямой

Приложенные файлы

  • docx 17490433
    Размер файла: 131 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий