2_Lek_2sem_ma


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
НАУКИ
АЦІОНАЛЬНИЙ
ЬВІВСЬКА
ПОЛІТЕХНІКА
МАТЕМАТИКИ
ОНСПЕКТ
ЛЕКЦІЙ
ДИСЦИПЛІНИ
МАТЕМАТИКА


ФІЗИКО
ДОЦЕНТ
ЬВІВ
додатніми
Означення
Сума
задана
послідовність
, , ... ,...
uuu
+ ... + ...
uuuu
=
Числа
, , ... ,...
uuu
членами
Сума
+ ... +
Suuu
членів
частинною
сумою
212
Suu
3123
Suuu
=
...,
Suuu

Якщо
lim
називають
Якщо
lim
......
aaqaqaq

a
. (2)
членом
1
n
S
q
-
n


,
aaq
1)
<⇒o
limlim
111
aaqa
qqq
o∞o∞
==−=


.

2)
>⇒o∞
розбіжний
1, lim
qSnaS
=⇒==∞
1 ...
qaaaa
=−⇒−−
2-12
0
0
.................
0
SaS
SaS
SaS
2-1
Якщо
(1),
декількох
членів
декількох
членів
сума
членів
nknk
lim
існуɽ
lim
CaCa
дорівнюɽ
Saaa
=
nnn
CaCaCaCS
==
limlim
CSCS
o∞o∞

3.
... -
збіжний
ряд
збіжні
... -
збіжний
ряд
abSS
aSbS
±=±
необхідна
lim0
......
aaa

lim, lim;
nnnnn
SSSSaSS
o∞o∞
==−⇒
lim0
lim0
lim0
123
21257
=
limlim0
212
o∞o∞
==≠⇒
розбіжний
Числові
членами
ряди
членами
1, 2, ...
збіжний
ряд
збіжний
ряд
uvn
≤∀=
Нехай
nini
Suv
lim

членами
limlim
o∞o∞
Причому

.

111
1...
=
2233
111111
; ,...,
22322
≤≤≤
111
Отже
113
1...
232
=
2
i
1, 2, ...
розбіжний
ряд
розбіжний
uvn
≥∀=
,
nininn
SuvS
==⇒≥
limlim
o∞o∞
≥=∞
Отже



.

( – )
.
111111
1...... ,
nnn
=≥
порівняння
ряд
додатніми
членами
1) 1 -
ряд
-
збіжний
lim,
2)1 -
-
розбіжний
випадку
Даламбера
відповіді
Нехай
деяке


lq
5



:
0:
nnnlll
εεε
∀>∃∀≥−<⇒−<<

n
q
u





:

nnnq
∀≥<
uqu
000
nnn
uququ
000
nnn
uququ

121
......
uuuu

(3)
000
nnn
uququ
(4)
членами
,...
uqu

(4) –




q
Отже
збіжний
збіжний
nnn
>⇒>
члени
Отже
lim0
розбіжний
збіжності
Якщо
lim
eee
=
enn
uen
=⋅=⋅
6
limlimlim1
nnn
eee
o∞o∞o∞
===>
Якщо
lim
Даламбера
Якщо
lim1
lim1
необхідна
1) 1 -
-
збіжний
ряд
додатніми
членами
lim
2)1 -
-
розбіжний
Нехай

nnnulql
∀≥−<−⇒
n
uqnn
<∀≥
номера
вихідного
прогресіɽю
: 11lim0
nnn
nnnuuu
∀≥>⇒>⇒≠⇒
ряд
розбіжний
123
21357
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
limlimlim1
21212
nnn
o∞o∞o∞
==<
додаткового
)3)
3)3)
121
1 -
додатними
членами
ряд
-
збіжний
збіжний
2......
3 -
неперервна
незростаюча
функція
невластивий
інтеграл
така
1,..., ,...
uuuu
xdx
fufnu
≥≥≥≥≥
члени
7



. 1


східчасту
прямокутників
основи
)3)
1,... ,
ufnu
площ
Sfxdx
. 2.)
східчасту
фігуру
2,... , 1
ufnu
==
площ
рис
Sufxdx
−<⇒
Sfxdxu
xdx
fxdx
того
3)3)
xdxfxdx
∞
SSfxdxu
<<∞
lim


i
i
3)3)
послідовність
xdxfxdx
∞
=∞⇒
3)^}
SfxdxS
також
o∞⇒
8

111
1......
ppp
=





.

, 1;
lim1
, 1.
=−=
,

ln
==∞
Отже
i






.


узагальненим
Якщо


1111
1......
=
Знакозмінні
умовна
+ ... + ...
uuuu
=
(1)
знакозмінним
серед
збіжним
збігаɽться

+ ... + ...
uuuu
=
(2)
Якщо
розбіжний
1 -
абсолютно
збіжний
ряд
1 -
збіжний
всіх
членів
nnn
SSS
nnn
lim

n
n

lim
⇒∃=
lim
lim
SSSS
==−
збіжний
1
n


1
n
1

Теорема
порівняння
sin

1
n


.



10
1 (
Якщо
збіжний
залишаɽться
перестановці
членів
залежить
сумування
Якщо
умовно
члени
ряду
завжди
переставити
перестановки
111
1...
234
−−
Нехай
11111111
1......
2436821424
kkk
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−−−−−−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2

n




11111111111111
1......
24368214242468424
kkkkk
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−−−−−−=−−−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
1111111111111
1...1...
223421222342122
kkkk
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−−−=−−−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
limlim
SSS
o∞o∞
Далі
313
limlim
212
SSS
o∞o∞
==
323
111
limlim
21422
SSS
o∞o∞
=−=
'''
lim
SSSS
===
Ряди
1234
...1
uuuuu
−−−
1, 2, ...
(3)
11
(
121
1) 1-
ряд
Лейбніца
збіжний
0,
2) �...� ...,
його
сума
3) lim0,
uuuu
>>>
21234212
000
...0
mmm
Suuuuuu
>>>
=−−−>
212345222121
000
mmmm
SuuuuuuuuU
>>>
=−−−−−−−−<
Отже
lim

Su
lim
2122121221
limlimlim
mmmmmm
mmm
SSuSSuS

o∞o∞o∞
=⇒==
Отже
нерівність
Легко
випадку
заміни
частинною
сумою
абсолютною
величиною
n





.

.
111
11...
−=−−
члени
абсолютною
lim0
Отже
1
1
i



.


:
умовно
12
3.




.

.



)3)
......
UxUxUx

(1)
,

числовий
. (1
значень
числовий
ряд
збіжний
збіжності
функція
3)3)
SxSxrx
3)3)
SxUx
3)3)
rxUx
називаɽться
залишком




(1):
lim0


області
lim
SxSx
3)3)
limlim0
rxSxSx
o∞o∞
=−=
зміни

знакододатній
числовий

.
1


Твердження
абсолютно
13
3)3)
(1) -
мажорований
ряд
; :
сума
ряду
(1)0 :
сума
xab
SxNnN
SxSx
∀>∃∀≥
самостійно
функціонального
показати
2121
Sxxx
lim1, 0
lim0, 0
lim1, 0
xxxx
Sxx
xxxx
−=−>
−=−−<
3)3)
(1) -
мажорований
ряд
Сума
ряду
-
; 1, 2, ...
;
функція
abSxUx
UxCabn
∀=
Нехай
3)3)3)
......
UxUxUx

3)3)3)
SxSxrx
3)3)
nnnnnn
SSxxSxSrSxxSxrxxrx
Δ=Δ−=ΔΔ=Δ−Δ−
nnn
SSrxxrx
Δ≤ΔΔ
Оскільки
теорему
NnN
∀>∃∀≥

;
xxabrxx
ď⇒Δ<
того
сума
скінченого
0 ;
∃>∀
Δ<⇒Δ<
Отже
S
Δ<=

SxCab
Δ<⇒
3)3)
3)3)3)
......
мажорований
ряд
, ; :
; , 1, 2, ...
......
xxx
UxUxUx
xab
UxCabi
StdtUtdtUtdt
SxUxCab
ααα


³³³
)3)
nnnn
SxSrxUxUxrx
==
3)3)3)3)
xxxx
StdtUtdtUtdtrtdt
αααα
=
³³³³


Оскільки
3)3)
xxx
nnnnn
rtdtrtdtdtxba
ααα
εεαε
≤<=−≤−
³³³
lim0
rtdt
3)3)3)3)
частинна
сума
ряду

інтегралів
limlim...lim
xxxx
nnn
StdtUtdtUtdtStdt
αααα
o∞o∞o∞
==⇒
³³³³
3)3)3)
......
xxx
StdtUtdtUtdt
ααα
=
³³³
3)3)3)
3)3)
3)3)
3)3)3)
1) ......
неперервно
диф
функція
2) , ; , 1, 2, ...,......
3) ......
мажорований
;
ряд
UxxSx
UxUxCabiSxUxUx
UxUx
=−
′′′
=⇒=
−
3)3)
......
FxUxUx
=
)3)
FxSx
Оскільки
основі
axb
≤<≤
3)3)3)3)3)3)3)
11122
...... ...
xxx
FxdtUtdtUtdtUxUUxU
ααα
==−−
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
³³³
3)3)
UxU
−

......
SxUxUx
=
)3)
......
SUU
ααα

3)3)3)
FtdtSxS
Продиференціювавши
частини
маɽмо
3)3)
FxSx
умови
для
можливості
Диференціюɽмо
222424
coscos2cos2...cos...
nnxxxnnx
=
222
123......
=∞
мажорованості
Диференціювання
012
......
aaxaxaxax
=
, (1)
0, 1, 2 , ...
Степеневий
ряд
(1)
збіжний
для
деякого
абсолютно
збіжний
xxx
⎧∀<⇒
010200
......
aaxaxax

числовий
0, 0:
axnMnaxM
⇒oo∞⇒∃>∀<
010200
000
......
xxx
aaxaxax
xxx
⎛⎞⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
абсолютних
0100
0000
............
xxxx
aaxaxMMM
xxxx
⋅⋅<
Якщо
Отже
Можна
також
довести



0
степеневого
координат
теореми
абсолютно



степеневого


.
17
1.



(







.
2.

,

R

степеневий
012012
............
aaxaxaxaaxaxax
<
Даламбера
111
limlimlim
nnn
nnn
nnn
Uaxa
Uaxa

o∞o∞o∞
==⋅
Lxx
<⇒<
Отже
x
L
(1)

,


розбіжний
Тому
Отже
lim
самостійно
lim
ряду
;
інтервал
Степеневий
ряд
(1)
збіжності
(1),
мажоров
1.
степеневого
неперервною
інтервалу
диференціювання
RStdtatdt
Sxax
−<≤<⇒=
диференціювання
3)3)
маɽ
інтервал
збіжності
; ,
(; )
інтервал
збіжності
причому
xnax
Sxax
xRxSx
∀<=
степеневий
почленно
кількість
разів
Степеневий
axa
степенями
Очевидно
заміна
Ряди
було
3)3)
fxCaa
−
3)3)
3)3)
'''
1!2!!
xaxa
xfafafafaRx
=
1
n
n
xfaxa
=−
залишковий
3)3)
0 x-a
формі
Пеано
Оскільки
3)3)3)
xPxRx
Тому
замість
Тейлора
n
n
xxa
Якщо
19
!
n
n
3)3)
fxRx
ряд
n
n
xxa
збігатися
функції
, 0
0, 0





функцій
352121
sin...1...1
3!5!21!21!
xxxx
=−−=−


2422
cos1...1...1
2!4!2!2!
xxx
=−−=−
1......
2!!!
==
221!
xxn
eex

22!
eex
розвинень
показати
1121...1
11......
2!3!!
mmmmmmmmn
xmxxxx
−−−−−
=
довільне
ln11...
xtttdt
==−−⇒
ln1...1
=−−=−

.
,
.
,
. XVI,
§
20, 19.

20






1.


Використаɽмо
arcsin
2arcsin1
22424246
11113113135
11...1...1...
22!224224246
tttttttt
⎛⎞⎛⎞
−⋅−
⎜⎟⎜⎟
⋅⋅⋅⋅
⎝⎠⎝⎠
=−===
⋅⋅⋅⋅
357
1113135
arcsin1......
2232452467
dtxxx
xtdtx
⋅⋅⋅
===⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
1113135
2arcsin121...
232452467
⋅⋅⋅
==⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
edx
242
1...1...
1!2!!
xxx
=−−−⇒
221357
11...
!!(21)32!53!7
xxaaa
edxdxa
nnn
=−=−=−−
dxI
246
242424
1...
2!4!6!
ln...lnln...
22!44!22!44!22!44!
|||
aaa
xxx
xxaa
Idxxa
εεε
−−
==−=−−−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
sin10
18
357
sin...
3!5!7!
=−−⇒
sin...
181861812018
ππππ
⎛⎞⎛⎞
−⋅−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Відкидаючи
12018
оцінимо
0.241010
<⋅<⋅<
точністю
sin10
18618

18
вірні
sin0.173647

Фур


.




cossin...cossin...cossin
nnnn
axbxanxbnxanxbnx
=
, , ,
aab
1, 2, ...
коефіціɽнтами
ряду
Якщо
сума
fx
функція
3)3)
fxfx

періодична
сумою

(cossin)
xanxbnx
=
. (2)
крім
1
n
ab
.
(2)


:
cossin
xdxdxanxdxbnxdx
ππππ
ππππ
−−−−
=
³³³³
. (3)
Обчислимо
dxa
cos0
anxdxa
,
sin0
bnxdxb
=−=
,
afxdx
. (4)
частини
coscoscoscossincos
xkxkxanxkxbnxkx
=
Отриманий
coscoscoscossincos
xkxdxkxdxanxkxdxbnxkxdx
ππππ
ππππ
−−−−
=
³³³³
coscos0
nxkxdx
cossin0
nxkxdx
sincos0
nxkxdx
безпосереднім
3)3)
coscoscoscos0
nxkxdxnkxnkxdx
=−=
Якщо
cos
sincos0
nxnxdx
Тепер
coscos
fxnxdxanxdxa
cos
afxnxdx
(5)
частини


:
bfxnxdx
.
Коефіціɽнти
, , b
тригонометричний
називаɽться
рядом
:














точках
кусково
монотонною
числом
,...,
кожному
монотонна
обмежена
ab




розриву

)3)
3)3)
lim0
lim0
fxfC
fxfC
23


(







).
3)3)
1)
кусково
монотонна
-,
функція
cossin,
2)
обмежена
-,
функція
коефіціɽнти
Фур
функції
3) 2
періодична
функція
fxfx
anxbnx
∀−
−
=
3)3)3)
аюься
формулами
4, 5, 6.
випливаɽ
усіх
функції
неперервності
точках
арифметичного
значення
правої
Нехай
функція
−<≤
кусково
Обчислимо
axdx
===
1111sin11
cossinsincos0
xnx
axnxdxxdnxnxdxnx
nnn
πππ
πππ
πππ
−−−
==⋅=−==
³³³
111cos111
lnsincoscossin
xnx
xnxdxxdnxnxdxnx
nnnnn
πππ
πππ
ππππ
−−−
===−=⋅=
³³³
����������
3)3)
112
coscoscoscos111
nnn
nnnn
nnnn
ππππππ
=⋅−−=−=−−=−⋅
sinsin2sin3sin
2...1...
123
xxxnx
=−−−
Нехай
періодична
x
111
axdxxdxxdx
πππ
==−=−=
³³³
11sin1sin1
coscossinsin
xnxdxxnx
axnxdxxnxdxnxdxnxdx
nnnn
=−=−−=
³³³³
1coscos12
cos1cos1cos1
nxnx
nnn
nnnnn
πππ
πππ
=−=−−=−=
0, 2
парне
,21
непарне
−=−
sinsin0
bxnxdxxnxdx
−=
222
cos21
4coscos3
......
=−
222
4118
=⇒=
3)3)
xdxfxdx
πλπ
довести
самостійно
обчислювати
afxdx
afxnxdx
sin
bfxnxdx
25
.
;
0; 2


axdxxdx
===
11sin1
coscos0
xnx
axnxdxnx
=−=
11cos1sin22
xnxnx
bxnxdx
nnnnn
πππ
==−==
Отже
22sin
2sinsin2sin3...2
fxxxx
=−−−−=−
Ряди
функцій
Якщо

3)3)
xdxfxdx
3)3)3)3)3)3)3)
000
xdxfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx
ππππ
πππ
==−−−=
³³³³³³

fxdx
Фур

a
парна
непарана
непарна
sinsin
afxnxdxfxnxdx
��������
����
���
синуси
функція
afxdx
afxnxdx
Фур
,
періодична
0;
Обчислимо
222
axdx
===
0000
22sin244
cossincoscoscos
xnx
axnxdxxnxdxxdnxxnxnxdx
ππππ
==−==−=
³³³³
222
414cos4
cossin1
nnx
nnn
=−==−
4cos
xnx
функції
періодична
заміну
x

f
функція
lltlt
ftflf
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
==
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
f
можна
розвинути
cossin
antbnt
=
afdt
cos
afntdt
bfntdt
Оскільки
ltx
=⇒=
dtdxtxl
=⇒=−⇒=−
txl

afxdx
cos
afxdx
sin
bfxdx
періодичної
cossin
nxnx
fxab
=
коефіціɽнти
залиша
рядів
функція
l
l
l

,

axdxl
=⋅=
000
2222
cossinsinsincos
lll
nxlnxnxnxlnx
axdxxdxdx
lllnnnllnnl
πππππ
ππππ
==⋅=−=⋅=
³³³
27
0,
парне
cos
,
непарне
lnx
2222
coscoscos
......
lll
=−
ряд
кусково
монотонна
неперіодична
функцію


ba
співпадаɽ

ab

,
:
1)


2)
розвинути
3)











ab

.
1)


.
задана
ab
28
задана
ll
.

xfx
Непарне

задана
ab
задана
ll
.

xfx
−=−

0;
задану
чином

a
1111
sincoscoscoscoscos
bxnxdxxdnxxnxnxdxn
nnnn
πππ
πππ
πππ
πππππ
−−−
==−=−=−⋅−−=
³³³
=−⋅
Отже
sinsin2sin3sin
2...1...
123
xxxnx
=−−−
середньому
заданої
функції
вигляду
cossin
nkk
Sxakxbkx
=
задана
ab





3)3)
max
функції

середнɽ
квадратичне
.

3)3)
xxdx
задана
періодична
тригонометрич
такий
квадра
cossin
nkk
xkxkxdx
δαβ
=−−
зна
чення
011
, ,..., ,,...,
ααββ
екстремум
Пискунов
всіх
квадратичне
коефіціɽнти
Важливими
періодичної
співвідношення
222
xdxab
≥
, (10)
aab
коефіціɽнти
Нерівність
Бесселя
Якщо

,
,

,

30
222
xdxab
=
Парсеваля
для
кусково
періодичної
квадратичним
limlim0,
кусковонеперервна
;
функція
,
коефіціɽнтиФур
функції
abfx
o∞o∞
cossin
xanxbnx
=

cossin
cossin
iyiy
iyiy
eyiy
eyiy
inxinx
inxinxinxinx
eeee
nxi
−−
0
a
aib
aib
inxinx
xCceCe
=
показати
коефіціɽнти
Cfxedx
0, 1, 2,...
=±±
Подвійний
Означення
властивості
Oxy
якщо
fxy
,... ,
Δ∩Δ=
i
i
Називатимемо
елементарною
площа
кожній
площадок
виберемо
членом
Позначимо


вигляду
1122
nnnii
VfPSfPSfPSfPS
=⋅Δ⋅Δ⋅Δ=⋅Δ
(1)
zfxy
Діаметром

PPS
dPP
Діаметром
max,...,
ddd
,..., ,...
Якщо




,




,










способів
всередині
Вказана
теоремі
3)3)3)
, lim
xydxdyfPdSfPS
³³³³
Якщо
fxy
xydxdy
чисельно
дорівнюɽ
zfxy
інтеграла
3)3)3)
, , , ,
DDD
yxydxdyxydxdyxy
M\M\
=
³³³³³³
3)3)
afxydxdyafxydxdy
³³³³
aconst
3.
1212
,O,, , , ,
DDD
DDDDDfxyCDfxydxdyfxydxdyfxydxdy
=∪∩=⇒=
³³³³³³
довести
самостійно
інтеграла
декартових
координатних
внутрішню
область
)3)
, ;
xCab
c
. 2
0
область
3)3)
xyCD
fxydydx
двократним
повторним
функції


.
3657
111
2224
0000
1126
33521521105
yxxx
xydydxxydxxdx
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=====
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
³³³³
Можливий
варіант
34







Використавши
наведену
вище
записати
cxbx
axcx
fxydydxfxydydx
³³³³
bxbx
axax
xydydxdxfxydyI
³³³³
Деякі
Якщо
розбити
області
володіɽ
.
.).
3)3)3)
min, ,max, ,
площа
mfxyMfxySDmSdxfxydxdyMS
==−⇒≤≤
3)3)3)3)
:,
CDDSPDdx
=⇒∃=⋅
Фубіні
подвійного
3)3)
3)3)
3)3)
, , (
див
рис
1) , ,
або
2)
правильна
вздовж
осі
або
область
площини
, , (
див
рис
.2, c. 29).
fxydxdydxfxydx
zfxyCD
OyOxOxy
fxydxdydyfxydx
³³³³
³³³³
Приклади
ydxdy
: 0, 1, 0,
Dxxyy
====
3/2
3)3)
111
222222
0000
444 6
328
ydxdydxxydyyxydxxdx
−−=−−=−−=−−=
³³³³³³
191935
28288
xxx
=−−=−−=
ydxdy
: , , 2
Dyxxyy
=−==
3)3)
3)3)
02222
200
1111
xxy
ydxdydxxydydxxydydyxydx
===
³³³³³³³³
222
000
22222
xyy
xydyyyyyydyyyyydy
⎛⎞⎛⎞
==−==
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
³³³
23122481344
22322
3465335315
yyyy
===
Якщо
можливості
скінчене
звести
обчислення
edS
1,2,1,2.
xxyy
=±=±=±=±
0
2
-1
-1
1
1
1234
121211
221112
............
xyxyxyxy
DDDDD
edSdxeedydxeedydxeedy
−−−−−
==⋅
³³³³³³³³³³³³³³³³
)3)
12121122
22121121
22111212
||||||||
xyxyxyxyxy
dxeedyeeeeeeeeeeeeeeee
−−−−
−−−−−−
==−−−−
3)3)3)3)
1112222
eeeeeeee
−−−−
−−−−
властивості
оцінка
залишаються
випадок
Oxy
Припустимо




.



(2)
неперервно
визначена
Pxy
криволінійними
точки
Pxy
Якщо
замкнуту
замкнуту
лінію
Формули
відображають
const
площадки
прямими
const
Δ=
const
const
Δ=
Oxy
Suv
Δ=Δ⋅Δ
zfxy
значення
області
3)3)3)
, , , ,
Fuvfuvuv
3)3)
, ,
xySFuvS
через
шинами
111
, : , , ,
Pxyxuvyuv
3)3)
22222
, : , , ,
Pxyxuuvyuuv
=Δ=Δ
3)3)
33333
, : , , ,
Pxyxuuvvyuuvv
=ΔΔ=ΔΔ
3)3)
44444
, : , , ,
Pxyxuvvyuvv
=Δ=Δ
3)3)
, , ,
uvyuv
, , ,
uvuyuvu
=Δ=Δ
, , ,
uvuvyuuv
uvuv
M\M
M\υ
∂∂∂∂
=ΔΔ=ΔΔ
∂∂∂∂
, , ,
uvvyuvv
=Δ=Δ
3)3)3)3)
123
313131323231
3232
22|0|
PPP
ijk
SSxxyyxxyyxxyy
xxyy
Δ|⋅=⋅−−=−−−−−=
rrr
uvvvuvuvuv
uvvvuvvvvu
MM\M\\M\M\
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎛⎞⎛⎞
=ΔΔ⋅Δ−ΔΔΔ=Δ⋅Δ−Δ⋅Δ=
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
39
||||
uvuv
uvuvS
uvvu
uvuv
MMMM
M\M\
\\\\
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
=−⋅Δ⋅Δ=Δ⋅Δ=⋅Δ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
Визначник
J
uv
заміни
SJS
Δ|⋅Δ
, ,
xySFuJS
=⋅Δ

, , ,,
xydxdyFuvuvJdudv
³³³³
. (3)
перетворення
ydxdy
33
5
3
uyx
vyx
yxu
=⇒=
yxu
=−⇒=−
177
333
yxv
−⇒=
yxv
=−⇒=
Таким
переходить
заміни
прямими
u
3
v

40
-3
0
93123
1616164
===−−=−=−
3
uvx
⇒−=−
=−
3313
4444
uuvuv
=−=
Отже
33383
198
44838
yxdxdyududvududvuv
−=⋅==⋅=⋅⋅−=−
³³³³³³
Перехід
системи
Врахувавши
полярної
системи
cos


sincos
sincos
cossin
ρMρM
MMρ
===−=−
41
)
MρM
заміни
3)3)
, cos, sin
xydxdydfd
ρMρMρρ
³³³³
(5)
заміни
системи
координат
обчислювати
змінною
зовнішній
Якщо
координат
всередині
вектор
3)3)
, cos, sin
xydxdydfd
πρM
ρMρMρρ
³³³³
Обчислити
21cos
квадрантах
2

222
21cos
21cos
222
441cos
dxdydddd
πππ
πππ
ρρρMMM
−−−
===−−=
³³³³³³
222
2222
211cos22coscos4sin1cos2
ddd
πππ
ππππ
MMMMMMM
−−−−
=−−=−=−=
³³³
8sin28
=−−=−
дорівнюɽ
Sdxdy
(

).
циліндричного
поверхнями
zfxy
zfxy
Oxy
, ,
Vfxyfxydxdy
zfxy
zfxy
Якщо
zfxy
площа
поверхні
Sdxdy
=
заданої
площину
fxy
вона
задаɽться
zfxy
займаɽ




xdxdy
yxydxdy
D
xxydxdy
(,)
Cxy
C
Моменти
відносно
Jyxydxdy
Jxxydxdy
Момент
відносно
Jxyxydxdy
Обчислити
параболоїда
zxy
всередині
45
3)3)
''22
xyxy
Szzdxdyxydxdy
==
³³³³


xy
площині
Oxy
211
2222
000
122
1211121
233
Sddd
Mρρρπρρπρρ
=⋅=⋅=⋅⋅=⋅−=
³³³
221
Означення
потрійного
Oxyz
визначена
, y,
областей
кожній
виберемо
чення


,


Діаметром
max, ...,
ddd
,
max,
iii
iii
PPV
dPP
ii
i
збільшувати
, , ,
скінченна
lim,
така
залежить
способу
розбиття
області

елементарні
області
від
способу
вибору
точок
кожній
елементарних
областей
fxyzCVVVS
fPV
=⇒
Потрійним
)3)
xyzfP
3)3)
lim, ,
PVfPdVfxyzdxdydz
Δ==
³³³³³³
припускаɽться
потрійного
замкнутою
правильною
паралельна
площину
правильну
область
частина
координатних
OxyOxzOyz
властивостями
zxy

. 1 (


. 2

(








xyz
xyz
bxxy
axxy
fxyzdzdydx
³³³
властивості
записати
, ,
, , , ,
bxxyxy
axxyxy
Jdxdyfxyzdzfxyzdzdy
M\\
Mχχ
³³³³³³
xyzxyz
: 0, 0, 0, x+y+z=1
Vxyz
48
1
1
кришки
zxy
=−−
площину

111111
000000
xyxxyx
zxy
xyzdzdxdydxdyxyzdzdxxydy
−−−−−−
=−−
====
³³³³³³³³
3)3)
1111
0000
1121
dxxyxydydxxyxxyydy
=−−=−−−=
³³³³
3)3)
111
000
121121
22234
yyy
dxxxyxxyxydyxxxxxdx
=−−−=−−−=
³³³
4444
11211
1111
223424
dxxxxxxxdxxxdx
=−⋅−−−=−=
³³³
3)3)
111
454
000
1111
11111
242424720
xxdxxdxxdx
=−−=−−−=
³³³
Деякі
VVV
VVV
⇒=
min, , ,
max, ,

області
mfxyz
mVIMV
Mfxyz
, , :

PxyzV
fxyzCV
fPVVV
=⋅−
Фубіні
3)3)
правильна
область
, , , , .
axxy
bxxy
Vfxyzdxdydzdxdyfxyzdxdydz
−⇒=
³³³³³³
Якщо
область
для
потрійного
засто
теорему
сформульовану
, , 0
fxyz
xyzdVm
речовини
Якщо
, , 1
fxyz
Vdxdydz
обчислення
потрійному
, , ,
, , ,
utw
yutw
zutw
(1)
відображаɽ
координатах
координатах
utw
Нехай








lim.
.

(

) (1)


utw
utw
zzz
utw
показати
було
3)3)
, , , , , , , , , ,
xyzdxdydzfutwutwutwJdudtdw
M\χ
³³³³³³
. (2)
заміни
Потрійний
інтеграл
циліндричних
координатах
координати
апліката
точки
Систему
випадку
<∞
∞<<∞
cos
sin
циліндричних
Обчислимо
cossin0
cossin
sincos0
sincos
001
xxx
yyy
zzz
MρM
MρM
ρMρ
MρM
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
====
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
Таким
координат
, , cos, sin,
xyzdxdydzfzdddz
MρMρMρ
³³³³³³
кордина
зовнішні

.
.
dxdydz
zxy
y

cos, ,
sin 2.
xzxyz
==⇒=
222222
223232
0000
coscos
xdxdydzdzxdxdydddzdzd
ρρMMρMρ
===⋅=
³³³³³³³³³³³
52
222222
3223434
000000
1cos2
2coscos22
dddddd
πππ
ρρMρMMρρρMρρρ
=−=−=−=
³³³³³³
1111328
sin28.
242555
Mρρππ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=⋅−=⋅−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
Потрійний
інтеграл
сферичних
P
Систему
координат
загальному
<∞
sincos
sinsin
координат
Обчислимо
sincossinsincoscos
cossin
sinsinsincoscos
sincos
cos0sin
xxx
yyy
Jsi
ρMθ
θMρθMρθM
θMρθMρθM
ρMθ
θρθ
ρMθ
∂∂∂
∂∂∂
====
∂∂∂
∂∂∂
sinsincoscossincossinsin
cossin
sinsincossinsinsinsincos
θMρθMθMρθM
θρθ
ρθMρθMθMρθM
=⋅−=
22222222
cossincossinsincoscossinsincossinsin
θρθθMρθθMρθρθMρθM
=⋅−⋅−−⋅=
22232222
sincossinsincossinsin
ρθθρθρθθθρθ
=−⋅−=−=−⇒
J
,
53
, , sincos, sinsin, cossin
xyzdxdydzfddd
θMρθMρθρθMθρ
³³³³³³
yzdxdydz
частина
2222
yzR
лежить
площинами
z
частиною
222
zRxy
=−−
2
2
cossinsinsincossin
xyzdxdydzddd
MθρMθρθρθθMρ
=⋅⋅⋅=
³³³³³³
5335
2222
000000
cossinsincossincoscossin
dddddd
ππππ
MρMMθθρθθθMMMρρ
=⋅⋅=⋅=
³³³³³³
666
000
1111
sinsin
42642648
|||
=⋅⋅=⋅⋅=
потрійного






xyz
mxyzdxdydz

Vdxdydz
відносно
виражаються
Jyzxyzdxdydz
Jxzxyzdxdydz
Jxyxyzdxdydz
222
Jxyzxyzdxdydz
=
CCC
Cxyz
виражаɽться
C
m
C
m
C
m

V
xxyzdxdydz
V
yxyzdxdydz
V
zxyzdxdydz
відносно
Oxz
стороною
момент
відносно
55

)
22222
0000
, ,
aaaa
aza
Jyzxyzdxdydzdxdyyzdzxyzdy
===⋅=
³³³³³³³
3233445
111112
333333
aaaydyaayayaaaa
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=⋅=⋅⋅=⋅=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
222222
000
aaa
Jyyzdxdydzdxdyxyzdxdydz
===
³³³³³³
333
222222
000000
333
aaaaaa
zaa
dxxzyzdydxaxydydxaxaydy
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
====
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
³³³³³³
33443
222425
000
333333
|||
yaaa
yaaax
axyaydxaxdxaxaa
⎛⎞⎛⎞
===⋅=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
224
000
000
222
|||
aaa
aaa
Mxdxdydzdxdydzyzaa
===⋅⋅=⋅⋅=
³³³³³³
інтеграли
кожній
якої
визначена
неперервна
i
, , ...,
AMMB
Позначимо
, ...,


iii
обчислимо
значення
точці
iii
Діаметром
частин
max, ...,
=ΔΔ
кусково
якщо
змінюɽться
границя
послідовностічастинних
сум
1)
кусково
гладка
крива
залежить
способу
2) ,
неперервна
розбиття
дуги
частини
від
способу
функція
дузі
вибор
iii
fxy
точок
iii
називаɽться
3)3)
lim, ,
iii
lfxydl







криволінійного
Лінійність
)3)
, , , ,
LLL
xyxydlfxydlxydl
αβMαβM
=
³³³
3)3)
ABBA
xydlfxydl
ACCB
LLL

, , ,
ABACCB
LLL
xydlfxydlfxydl
³³³
ldl
3)3)
0, ,
xygxy
ABAB
xydlgxydl
min,
mfxy
max,
fxy
ABAB
mlfxydlMl
≤≤⋅
криволінійного
інтеграла
zfxy
i
iii
дорівнюɽ
заштрихованої
xydl
дорівнюɽ
AABB
zfxy
Якщо
заряду
дорівнюɽ
заряду
qfxydl
Якщо
виражаɽ
xydl
криволінійного
інтеграла
задано
tTT
123

3)3)
2''
dldxdyxtytdt
⎡⎤⎡⎤
==
⎣⎦⎣⎦
3)3)3)
3)3)
''
T
L
xydlfxtytxtytdt
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
Якщо
задано
рівнянням

Aaa
3)3)
, , 1
xydlfxxxdx
Якщо
задано
полярній
системі
cos
sin
3)3)3)
cossin,
cossin.
ρMMρMM
ρMMρMM
3)3)3)3)
MMρMρM
⎡⎤⎡⎤
=
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
3)3)3)3)
, cos, sin
xydlfd
MρMρMρMM
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
xydl
0; 0
4; 3
x-003
4-0304
Byx
=⇒=
dldxdx
==
53555
4416322
Ixxdxxdxx
=−===
Обчислити
cos,
sin, 0; 2.
xat
yatt
3)3)3)
'2'2
3cossin, 3sincos
tattytat
=⋅−=⋅
242242
9cossin9sincos 3cossin
dlattattdtattdt
==⋅
43cossin12sinsin6sin6
lattdtatdtata
==⋅=⋅=
xydl
yax

⎛⎞⎛⎞
−=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
2
a
C
a
R
61




:
cossin
ρMρM
−=
cos0
ρρM
cos
sin
dldad
ρMM
==
22222
222
coscossin2
xydlaadadaa
πππ
MMMMM
−−−
==⋅==⋅=
³³³
роду
кривій
, , ,
FxyPxyiQxyj
urrr
сила
матеріальна
переміщуɽться


i
частин
, ...,
iii
rrr
Δ=−
i
точок
iii
rxiyj
Δ=ΔΔ
rrr
iii
Δ=−
iii
Δ=−
Виберемо
iii
Позначимо
rur
скалярний
добуток
робота
елементарній

-


iiiii
FrPxQy
Δ=ΔΔ
Криволінійним
інтегралом
3)3)
limlim, ,
ABAB
iiiiii
FrPxQyPxydxQxydyFdr
⋅Δ=⋅Δ⋅Δ==
rurr
залежить
розбиття
3)3)3)3)
3)3)
3)3)
1.
контур
інтегрування
, ; ;
криволінійний
інтегралІІ
, , .
2. , , , ,
,
неперервні
xxt
ttT
yyt
PxydxQxydy
xtytPxtyt
Qxtyt
ttT
криволінійного
ABBA
PdxQdyPdxQdy
=−
зміні
знаки

3)3)
12121122
ABAB
LLL
PPdxQQdyPdxQdyPdxQdy
αβαβαβ
=
³³³
ABACCB
LLL
PdxQdyPdxQdyPdxQdy
=
³³³



криволінійного
інтеграла
роду
, ;
xxt
ttT
yyt
3)3)
3)3)3)
PdxQdyPxtytxtQxtytytdt
=
Якщо
криву
PdxQdyPxxQxxxdx
MMM
=⋅
Якщо
)3)
, , , , , ,
FPxyziQxyzjRxyzk
=
rrrr
: ,
, t; T
xxt
Lyyt
zztt
3)3)3)
ABAB
FdrPdxQdyRdzPxtQytRztdt
′′′
==
³³³
.
ydxxdy
=−
годинникової
від
Aa


0;
a
b
sinsincoscos
Ibtatatbtdtabt
=−⋅−⋅=⋅=
610
ydxxydy
параболи


1; 1
2; 8
Обчислимо
3)3)
22236259610
61061036303
xydxxydyxxxxxdxxxdxxx
=⋅⋅===
³³³
Обчислення
yyx
yyx
змістом
3)3)
Syxdxyxdx
MPN
xdxydx
MQN
xdxydx
MPNNPM
dxydx
NPMMQN
Sydxydxydx
=−−=−
³³³
самостійно
Sxdy
Отже
Sxdyydx
Обчислимо
еліпса
coscossinsin
Satbtbtatdttab
=⋅−⋅−==
Обчислення
силою
FXiYjZk
=
rrrr

, , , , , ,
XxyzdxYxyzdyZxyzdz
=
65

.

область
LMQNNPM
Pxy
Qxy
, , ,
ayxab
byxba
Pxy
dxdydxdyPxydxPxyxPxyxdx
===−
³³³³³³
(1)
MPN
PxyxdxPxydx
. (2)
MQN
PxyxdxPxydx
(3)
Підставимо
Отримаɽмо
3)3)3)3)
, , , ,
MPNMQNMPNNQM
dxdyPxydxPxydxPxydxPxydxPdx
∪∪∪∪
=−==
³³³³³³³
береться
годинниковою
стрілкою
dxdyPdx
³³³
. (4)
складаɽ
відрізок
66
самостійно
dxdyQxydy
³³³
. (5)
Таким
PdxQdydxdy
dxy
=−
³³³
Незалежність
3)3)
однозв
область
функції
, , , ,
,
довільний
замкнутий
контур
всередині
PdxQdy
PxyQxy
yx
D
yx
L
L

67
Таким
...0......0
MPNNQM
=⇒=
³³³
.........
MPNNQMMQN
∪∪∪
=−=
криволінійного
інтеграла
! , ,

uxy
duPdxQdy
MPNMPN
PdxQdyduxyuNuM
==−
Ньютона
для
інтеграла
Основні
факти
поверхневих

,





можна
задана
Mfxyz
, ...,
, ...,
, ...,
елементарній
1,...,
інтегральну
nii
. (1)
назвемо
max
існуɽ
способу
вибору
точок








3)3)
lim
MfMd
, (2)


(

).


Якщо
щільність
поверхні
масу
поверхні
електричного
електричний
властивості
самостійно
специфічних
властивостях
кожної
поле
оріɽнтацій
відповідно
позначають

3)3)
MdfMd
³³³³
якою
зазначимо
MSd
≡⇒=
70




.


задана
zfxy















,





. 2)
cos
dxdyd
Якщо
, , 0
Fxyz
000
xyyzz
FFF





000
явно
zxy
000
xyyzz
Якщо
одинична
cos, cos, cos

2
1
x
2
1
y
2
cos
1
,
ddxdy
=
3)3)
, , , , , 1
xyzdfxyxydxdy
=
³³³³
(3)
Обчислення
поверхневого
обчислення
Oxy
Якщо
Oxy
yxz
Oxz
xyd
222
zxy
площинами
zxy
=±
x
y
2222
12
ddxdydxdy
xyxy
==
222
2 2 22
Ixydxdydd
Mρρρπ
==⋅=⋅⋅=
³³³³
Обчислити
поверхні




.
72
1
1
1
111
000
11113331
xyxy
SDD
Sdzxydxdydxdydxdyxdx
===−−====⋅−=
³³³³³³³³³
=⋅−=
задана
розбиття
, ...,
через
1,
iiii
Δ=Δ
rur
Обчислимо



73
ii
i
=⋅Δ
ruu
(4)
інтегральних
залежить
век
чином
lim
aMadand
Δ==⋅
³³³³
ruu
rrurrr
, (5)
dnd
urr
площі
Якщо
рідини
проходить
властивості
властивос
adad
³³³³
urruuu
інтеграл
поверхні
3)3)3)
, , , , , ,
aMPxyziQxyzjRxyzk
=
rrrr
coscoscos
nMijk
=⋅⋅⋅
rrr
подвійний
інтеграл
роду
coscoscos
andPQRd
αβJσ
=
³³³³
, , 0
xyz
ціɽї
визначаються
y
D
z
D

22
∂u∂u∂u
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
знак
узгоджуɽться
можемо
74
)3)
coscoscos, , , , , ,
PQRdPxyzdydzQxyzdxdzRxyzdxdy
αβJσ
=
³³³³
Якщо
задана
zxy
cos
zxy
anddxdy
³³³³
. (6)
Якщо
задана
yxz
cos
yxz
anddxdz
³³³³
rur
Якщо
задана

xyz
anddydz
³³³³
також
, , , , , , , , ,
yzxzxy
SDDD
andPyzyzdydzQxxzzdxdzRxyxydxdy
σK\M
=
³³³³³³³³
кожному
and
axijxzk
=
rrrr
222
xyz
=
язування
zxy
anddxdy
³³³³
zxy
=−−
zx
x
zy
y
75
, , 1
xiyj
∂∂
=−−=
n
N
1
N
nxiyjxyk
=−−
rrrr
Таким
cos1


22222
2222
SSD
xyxxyxy
andxyxzxyddxdy
−−−−
==−−=
³³³³³³
чверть
квадранті
Oxy
2222
cossincos11
Jdddd
ρMρMρMρρ
ρρMMρ
−−
==
³³³³
0000
sincos
1215
ddd
ρρπ
MMMMρρρ
−=
³³³³
самостійно
).
22222
yzxzxy
SSDDD
andxdydzdxdzxzdxdyxzdydzdxdzxxydxdy
===−−−−=
³³³³³³³³³³
123
JJJ
=
Легко
отримати
222
Iyzdydzdd
Mρρρ
−−=−=
³³³³
2222
1cos1
Ixxydxdydd
Mρρρ
=−−=−=
³³³³
252
64151215
=
Стокса
інтеграла
76
3)3)
, , , ,
, , ;
, , , , , ,
, ,
неперевні
функції
замкнутий
контур
щообмежуɽ
aPxyziQxyzj
Rxyzk
PdxQdyRdz
xyzxyz
xyz
=
=−
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂
³³³
rrr
coscos,

косинуси
визначаɽться
так
контуру
годинникової
coscoscos
PdxQdyRdzd
xyz
αβJ
∂∂∂
=
∂∂∂
³³³
Нехайфункції
їхчастинні
похідні
coscoscos
порядку
неперервніфункціїв
замкнутій
просторовій
області
обмежена
замкнутою
гладкою
поверхнею
PQR
PQRd
dxdydz
xyz
βJJ
=
∂∂∂
=
∂∂∂
77
Обчислимо
xdydzydxdzzdxdy
=
222
zxy
площинами

SSSS
andandand
==−
³³³³³³
rrrrrr
обчислення
3)3)3)
2111
000
11221214
IzdxdydzzdVddzdzzd
ρρπρρ
====⋅=
³³³³³³³³³³
111
000
33131118837
4444
222238438246
|||
ρρπ
πρρρπρππ
⎛⎞⎡⎤
=⋅−−=⋅−−=−−=⋅=
⎝⎠⎣⎦
coscos0,
cos1, 1
JdxdyddxdyS
=====
Отже
66
I
теорії
Якщо
обмеженої
визначене
значення
функції
стан
кажуть
задане
Якщо
задана
скалярна
числовими
значеннями
поле
називаɽться
температура
тощо
Якщо
задана
векторна
називаɽться
векторним
сили
Якщо
задаɽ
поле
Якщо
цього
задаɽ
поле
перпендикуляра
змінюються
часі
стаціонарними
Скалярне
задано
uMuxyz
області
uuu
∂∂∂
скалярного
скалярного
поля
uxyz
uxyzC
Cconst
(1)
79
Якщо
поле
uxyC



.
zux
Прикладами
горизонталі
рівних
картах
диференціального
вектор
uuu
ugraduijk
∇==
urrrrr
, (2)
похідні
визначаються
заданому
cos, cos, cos



80
.


lim
uMuM
uuuuur
l


uxyz
точці
xyz
напрямку
обчислюɽться
coscoscos
uuuu
xyz
∂∂∂∂
=
∂∂∂
cos,
ulu
=∇⋅=∇
rurur
ul
rur
значення
cos1
тобто
gradu
максимальну
величиною
швидкість
gradu
поверхні
3)3)3)
, , , , , , , ,
aMPxyzQxyzRxyz
поле
векторного
називаються
xyz
81
dxdydz
PQR
система
векторні
силових
тощо
через
лежить
полі
інтегральні
векторних
замкнена
aand
rrr
вектора
Якщо
джерела
інтегральна

82
limlim
and
diva
:o:o
(3)
Дивергенція
характеристика
divaM


divaM
джерелами
кожній
divaM
Основні
властивості
дивергенції
divabdivadivb
±=±
divauudivaagradu
⋅=⋅
xxyyzz
divgraduuuuu
==Δ
Якщо
aPQR
, , , , ,
PQR
PQR

,

(3)
,

PQR
divaM
∂∂∂
=
∂∂∂
так
anddVadivadV
xyz
∂∂∂
=≡=
∂∂∂
³³³³³³³³
rrur
Циркуляціɽю
lll
aadlPdxQdyRdzandl
===⋅
³³³
rrrrr
���
чим
площу
Середньою
густиною
циркуляції
S






.
.


Границя
limlim
lMS
andl
dSS
питомою
xyz
Ротором
поля


ijk
RQPRQP
rotaMijk
yzyzzxxy
PQR
⎛⎞⎛⎞
∂∂∂∂∂∂∂∂∂
==−−−
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
rrr
rrrr
термінах
формулу
lSS
ijk
andlnd
arotaMd
xyz
PQR
∂∂∂
=≡=
∂∂∂
³³³³³
rrr
rrur

,






точці
Основні
властивості
rotabrotarotb
=
uuu
rrr
rotuauaurota
⋅=∇⋅⋅
uuu
rurrr
84
.



кожній
rotaM
.









3)3)
aMM
ijk
xyz
xyz
∂∂∂
∂∂∂
uuu
rur
називаɽться
потенціалом
векторного
поля
.



потенціальним
rota
diva
Оскільки
тобто
aMM

222
222
divaMdiv
xxyyzzxyz
MMMMMM
∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎛⎞⎛⎞
=∇===
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
визначаɽ



Львів
Львів
думка
поля
студентів
задач
Львів
задач
Львів
курс
математического
анализа
интегральное
математического
анализа
математического
анализа
математики
математического
анализа
анализу
втузов
Демидовича
задач
математического

Приложенные файлы

  • pdf 17457183
    Размер файла: 861 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий