Matematika

Вопрос1. Пусть дано множество D действительных чисел х.
Если каждому элементу х из множества D поставлено в соответствие единственное действительное число, то говорят что на множестве D определена функция f.
Пусть у=f(х)-некоторая функция. Графиком называется множество точек плоскости ОХУ с координатами х и f(х).
Способы задания функции:1) формулой 2) таблицей 3)словесно 4) графически
Основные элементарные функции:1) целые алгебраические многочлены, т.е. функции вида 13 EMBED Equation.3 1415;2) дробные алгебраические(рациональные),т.е. функции вида13 EMBED Equation.3 1415;3)степенная 13 EMBED Equation.3 1415;4) показательная 13 EMBED Equation.3 1415;5) логарифмическая 13 EMBED Equation.3 1415;6)тригонометрические функции sinx,cosx,tgx,ctgx,secx,cosecx;7)обратные тригонометрические аrcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, arcsecx, arccosecx.
Вопрос 2. Число А называется пределом функции у= f(х) при 13 EMBED Equation.3 1415,если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 зависящая от 13 EMBED Equation.3 1415 такая, что для всех значений х 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть независимая переменная х функции у=f(х )неограниченно возрастает, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, если х неограниченно убывает,то13 EMBED Equation.3 1415. Аргумент функции, изменяющийся указанным образом, называют бесконечно большим аргументом.
Число А называется пределом функции у= f(n) целочисленного аргумента n или последовательности, если для всех достаточно больших значений n соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от числа А.
Вопрос 3. Функция у=f(х) называется бесконечно малой при13 EMBED Equation.3 1415 ,если её предел равен 0(13 EMBED Equation.3 1415). Свойства бесконечно малых:1)сумма двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Док-во: Пусть f(x)=
·(x)+
·(x), где 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415 . Зафиксируем произвольное число
·>0. Так как по условию теоремы 
·(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое
·1>0, что при 
|x – х13 EMBED Equation.3 1415|<
·1имеем |
·(x)|< 
·/2. Аналогично, так как 
·(x) – бесконечно малая, то найдется такое
·2>0, что при |x – х13 EMBED Equation.3 1415|<
·2 имеем |
·(x)|< 
·/2.
Возьмем 
·=min{ 
·1, 
·2}.Тогда в окрестности точки х13 EMBED Equation.3 1415 радиуса 
· будет выполняться каждое из неравенств |
·(x)|< 
·/2 и |
·(x)|< 
·/2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=|
·(x)+
·(x)|
· |
·(x)| + |
·(x)| < 
·/2 + 
·/2= 
·,т.е. |f(x)|<
·, что и требовалось доказать.
2) Произведение ограниченной функции при 13 EMBED Equation.3 1415 на бесконечно малую, есть бесконечно малое.Док-во:
Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки х13 EMBED Equation.3 1415 |f(x)|
·M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x х13 EMBED Equation.3 1415, то для произвольного
·>0 найдется окрестность точки х13 EMBED Equation.3 1415, в которой будет выполняться неравенство |
·(x)|< 
·/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем |
·f|< 
·/M=
·. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x
·доказательство проводится аналогично.
3)произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая; 4) произведение постоянной на бесконечно малую, есть бесконечно малая.
Функция у=f(х) называется бесконечно большой при13 EMBED Equation.3 1415 ,если для любого числа М>0 существует такое число
·>0,что для всех значений х удовлетворяющим условию 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства бесконечно больших:1) произведение двух бесконечно больших есть бесконечно большая.
Док-во:Пусть f (x) бесконечно большая функция при x x13 EMBED Equation.3 1415, a g (x) такая функция , что g(x) > h > 0 в некоторой
· - окрестности точки х13 EMBED Equation.3 1415. Тогда f (x)·g(x) – бесконечно большая функция:
Так как , то (13 EMBED Equation.3 1415K > 0) (13 EMBED Equation.3 1415
·1 =
·1(K) > 0)( 13 EMBED Equation.3 1415 0 < | x - x0 | <
·1 ) : | f (x)| >K/h , где h - то число, для которого g ( x) > h > 0 (при условии 13 EMBED Equation.3 14150 < | x–x0 | <
·1 ). В этом случае в этой окрестности имеем
| f (x)·g (x) | = | f (x) |·| g (x) | > h·K / h = K. Последнее неравенство означает
2) сумма бесконечно большой функции и ограниченной есть бесконечно большая. Док-во: Пусть f (x) бесконечно большая функция при x х13 EMBED Equation.3 1415, а g (x)- функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х13 EMBED Equation.3 1415. Тогда f (x) + g (x) бесконечно большая функция, то есть
Так как , то
( 13 EMBED Equation.3 1415N > 0) ( 13 EMBED Equation.3 1415
·1 =
·1(N) > 0)( 13 EMBED Equation.3 14150 < | x – x13 EMBED Equation.3 1415| <
·1 ) : | f (x)| > N + M .
Так как g (x) ограничена, то(13 EMBED Equation.3 1415M > 0) (13 EMBED Equation.3 1415
·2 =
·2(N) > 0)( 13 EMBED Equation.3 14150 < | x – x13 EMBED Equation.3 1415 | <
·2 ) : | g (x)| < M .
Если считать, что
· = min{
·1,
·2}, то справедливо неравенство
| f(x) + g(x) | > | f(x) |
· | g(x) | > N + M
· M = N, что и требовалось доказать.
3) сумма двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая;
4) произведение бесконечно большой функции на функцию имеющую предел отличный от нуля есть бесконечно большая. Связь бесконечно больших и бесконечно малых:а) если f(х)-б/б, то13 EMBED Equation.3 1415
Док-во: Для 13 EMBED Equation.3 1415
·>0 рассмотрим замену 13 EMBED Equation.3 1415,т.к. функция f(х) является б/б,то для любого числа М>0 существует
·>0такая,чтодля всех значений х удовлетворяющих условию13 EMBED Equation.3 1415,будет выполняться 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415б) если
·(х)-б/м, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 4. Свойства пределов:1) Предел алгебраической суммы двух или нескольких переменных равен алгебраической сумме пределов слагаемых .13 EMBED Equation.3 1415 Док-во: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415, тогда x=a+f13 EMBED Equation.3 1415, y=b+f13 EMBED Equation.3 1415, где f13 EMBED Equation.3 1415, f13 EMBED Equation.3 1415 бесконечно малые. Складывая эти два равенства получим х+у= a+f13 EMBED Equation.3 1415+ b+f13 EMBED Equation.3 1415=(а+ b)+ (f13 EMBED Equation.3 1415+ f13 EMBED Equation.3 1415 ) ,т.е 13 EMBED Equation.3 14152) Предел произведения двух или нескольких переменных равен произведению пределов отдельных множителей. 13 EMBED Equation.3 1415Док-во: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415, тогда x=a+f13 EMBED Equation.3 1415, y=b+f13 EMBED Equation.3 1415, где f13 EMBED Equation.3 1415, f13 EMBED Equation.3 1415 бесконечно малые. Умножая эти равенства получим х·у=( a+f13 EMBED Equation.3 1415)( b+f13 EMBED Equation.3 1415)=ab+f13 EMBED Equation.3 1415a+bf13 EMBED Equation.3 1415+ f13 EMBED Equation.3 1415 f13 EMBED Equation.3 1415.Так как f13 EMBED Equation.3 1415· f13 EMBED Equation.3 1415, f13 EMBED Equation.3 1415·a, b·f13 EMBED Equation.3 1415бесконечно малые, то 13 EMBED Equation.3 1415.3) Предел частного двух переменных равен частному пределов делимого и делителя, .если предел делителя не равен 0.13 EMBED Equation.3 1415. Док-во: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415, тогда x=a+f13 EMBED Equation.3 1415, y=b+f13 EMBED Equation.3 1415, где f13 EMBED Equation.3 1415, f13 EMBED Equation.3 1415 бесконечно малые .Делим эти два равенства и получаем13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 бесконечно малая, то 13 EMBED Equation.3 14154) Предел сохраняет знак неравенства .(если х<у, то limx·0.
Вопрос 5 Первым замечательным пределом называется предел 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла в радианах равен единице.
Док-во: Дробь 13 EMBED Equation.3 1415 не меняется от изменения знака
·. Поэтому можно допустить, что переменный угол
· положителен ,
·>0. Так как по условию теоремы
·0, то, начиная с некоторого значения, окажется 13 EMBED Equation.3 1415,но тогда, применяя лемму(если 13 EMBED Equation.3 1415, то справедливо неравенство tg
·>
·>sin
·), будем иметь, что tg
·>
·>sin
· или 13 EMBED Equation.3 1415. Разделив все члены неравенства на sin
· (эта величина положительная) получим 13 EMBED Equation.3 1415. Переходя к обратным величинам, будем иметь cos
·<13 EMBED Equation.3 1415<1. Так как равенство 13 EMBED Equation.3 1415, то мы можем применить теорему о сжатой переменной (если две переменные стремятся к одному и тому же пределу, а третья переменная заключена между ними, то и она стремится к этому же пределу) и получить, что 13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.
Вторым замечательным пределом называется предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 6 Бесконечно малая 13 EMBED Equation.3 1415 стремится к нулю быстрее ,чем 13 EMBED Equation.3 1415,если далёкие значения 13 EMBED Equation.3 1415 становятся весьма малыми , т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 стремится к нулю быстрее, чем 13 EMBED Equation.3 1415,если 13 EMBED Equation.3 1415, обычно говорят , что13 EMBED Equation.3 1415имеет высший порядок малости, чем 13 EMBED Equation.3 1415 . Напротив, если 13 EMBED Equation.3 1415, то далёкие значения дроби13 EMBED Equation.3 1415 очень велики, т.е 13 EMBED Equation.3 1415 гораздо больше, чем 13 EMBED Equation.3 1415.Это значит, что13 EMBED Equation.3 1415 ближе к нулю, чем 13 EMBED Equation.3 1415,так что 13 EMBED Equation.3 1415 стремится к нулю медленнее, чем 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае говорят, что 13 EMBED Equation.3 1415 низшего порядка малости, чем 13 EMBED Equation.3 1415. Если у дроби 13 EMBED Equation.3 1415 существует конечный и отличный от нуля предел 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415), то говорят, что 13 EMBED Equation.3 1415 одного порядка малости 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 7 Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Функция называется непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства непрерывной функции: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0. Доказательство: Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x0. Это значит, что Но тогда, по свойствам пределов



Последнее свойство верно, если
Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=g(t). Тогда комбинация y=f(g(t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функции g(t).
Вопрос 8 Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

Точка х13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х13 EMBED Equation.3 1415 или не является непрерывной в этой точке.
Точка х 13 EMBED Equation.3 1415называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. 13 EMBED Equation.3 1415

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х13 EMBED Equation.3 1415, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок.
Точка х13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Вопрос 9 Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х13 EMBED Equation.3 1415 и существует конечный предел отношения
при
·x 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке х13 EMBED Equation.3 1415


Геометрический смысл:

Возьмем кривую CAB, выберем на ней точку M и проведем секущую AM. Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому пределу – прямой AT. Другими словами Прямую AT, обладающую таким свойством, называют касательной к кривой CAB в точке A.
Угловой коэффициент секущей AM при AM 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT: Данное равенство справедливо, если в точке A существует невертикальная касательная к кривой CAB.
Если кривая CAB является графиком функции f (x), то для углового коэффициента k касательной можно записать:
(здесь и далее x0 и f (x0) – координаты точки касания). Функция f (x) дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда к графику функции в этой точке можно построить невертикальную касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен производной функции в этой точке:
Другими словами, производная функции в точке x13 EMBED Equation.3 1415 равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Уравнение прямой, проходящей через точку (a; b), задается формулой y = k (x – a) + b. Поэтому уравнение касательной в общем случае выглядит так:

Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x13 EMBED Equation.3 1415; y13 EMBED Equation.3 1415) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением
Производные основных элементарных функций:1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·Вопрос 10.Основные правила дифференцирования:1) Если функции u и v дифференцированы в некоторой точке х, то в этой точке дифференцируема и сумма этих функций, причём 13 EMBED Equation.3 1415
Док-во: Если х получит приращение 13 EMBED Equation.3 1415 , то u и v получат приращение 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415= v (х+13 EMBED Equation.3 1415)- v (х) 13 EMBED Equation.3 1415= u (х+13 EMBED Equation.3 1415)- u (х) .Пусть у=f(x)=u(x)-v(x),
13 EMBED Equation.3 1415=( u (х+13 EMBED Equation.3 1415)+ v (х+13 EMBED Equation.3 1415))-( u (х)- v (х) )= (u (х+13 EMBED Equation.3 1415)- u (х) )+ (v (х+13 EMBED Equation.3 1415)- v (х)) =13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Если функции u и v дифференцированы в некоторой точке х, то в этой точке дифференцируема и произведение этих функций, причём 13 EMBED Equation.3 1415
Док-во: Если х получит приращение 13 EMBED Equation.3 1415 , то u и v получат приращение 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать u(x+13 EMBED Equation.3 1415x)=u(x)+ 13 EMBED Equation.3 1415u , v(x+13 EMBED Equation.3 1415x)=v(x)+ 13 EMBED Equation.3 1415v, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415/
13 EMBED Equation.3 1415
Следствие: Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
3) Если функции u и v дифференцированы в некоторой точке х, то в этой точке дифференцируемо и частное этих функций. 13 EMBED Equation.3 1415 , v
·0. Док-во:
13 EMBED Equation.3 1415
Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция. Пусть у=f(u) u=g(х), тогда у=f(g(х))-сложная функция, u-промежуточный аргумент.
Теорема: Если функция u дифференцируема в точке х,а функция у дифференцируема в точке u, то функция у=f(g(х)) дифференцируема в точке х, причём 13 EMBED Equation.3 1415(производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента) Док-во: Если х получит приращение 13 EMBED Equation.3 1415 , то функции получат приращение 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.Рассмотрим тождество 13 EMBED Equation.3 1415.Перейдём к пределу при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Так как u является дифференцируемой в точке х, то в этой точке она непрерывна, поэтому при 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 11 Пусть дана возрастающая или убывающая функция у=f(х) определённая на интервале (а;b).Если значение у рассматривать как значение аргумента х, а значение аргумента х рассматривать как значение функции, то функцию х=
·(у) называют обратной функцией для функции у= f(х).
Теорема: Если функция у=f(х) имеет обратную функцию х=
·(у) дифференцируемую в точке у, причём производная отлична от нуля, то функция у=f(х) имеет производную в точке х равную 13 EMBED Equation.3 1415.
Док-во: Пусть аргумент у получит приращение
·у тогда функция х получает приращение
·х.Рассмотрим тождество13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,т.к. функция х дифференцируема, то она непрерывна, следовательно при
·у0,то и
·х0. Поэтому13 EMBED Equation.3 1415 , т.е.13 EMBED Equation.3 1415.
Производные обратных тригонометрических функций: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 12 :Система уравнений13 EMBED Equation.3 1415называется параметрически заданной функцией, где t-параметр и каждому значению t будет соответствовать своя пара чисел х и у.
13 EMBED Equation.3 1415
Вопрос 13: Правила Лопиталя: Если 13 EMBED Equation.3 1415 , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки х13 EMBED Equation.3 1415 , то 13 EMBED Equation.3 1415
Первое правило Лопиталя: Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x)
· 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение 13 EMBED Equation.3 1415при х а + 0 представляет собой неопределённость вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема. Если при указанных условиях ,то и
Доказательство. Предположим, что
· < A < +
·. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы в интервале (а, x13 EMBED Equation.3 1415) выполнялось неравенство .
.
Применим теорему Коши к отрезку [а, x13 EMBED Equation.3 1415], Если х Є [а, x13 EMBED Equation.3 1415], то существует такая точка с Є [а, x], что и, следовательно, для всех х Є [а, x13 EMBED Equation.3 1415] справедливо неравенство .Это означает, что .
Второе правило Лопиталя: Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале
(a, b) (может быть, бесконечном) и g' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что .Тогда говорят, что отношение 13 EMBED Equation.3 1415 при х а + 0 представляет собой неопределённость вида13 EMBED Equation.3 1415 .
Теорема. Если при указанных условиях ,то и
Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа
· > 0 выберем х13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы в интервале (а, x13 EMBED Equation.3 1415) выполнялось неравенство .Определим функцию D(x, x13 EMBED Equation.3 1415) из условия .Имеем

при x a + 0. Применяя к отрезку [x, x13 EMBED Equation.3 1415] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с Є [x, x13 EMBED Equation.3 1415]

Отсюда для всех х, для которых | D( x, x0) - 1 | <
·, находим
Так как
· произвольно мало, то , что и требовалось доказать.
Вопрос 14 Теорема Лагранжа: Если функция у= f(х) непрерывна на отрезке [а;b] , дифференцируема на интервале (а;b), то между а и b найдётся тока с такая, что 13 EMBED Equation.3 1415 .
Док-во: составим уравнение хорды АВ, стягивающей концы дуги АВ.


Используем уравнение прямой, проходящей через две точки : A(a,f(a), B(b, f(b));

Составим вспомогательную функцию, равную разности ординат точек графика функции и хорды:

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1. F (х) непрерывна на [ а, b] (как алгебраическая сумма непрерывных функций).

2. Существует производная .

3. F (а) = F (b ) = 0.
Следовательно, по теореме Ролля найдётся точка 13 EMBED Equation.3 1415, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415что и требовалось доказать.
Обратимся к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа: отношение есть угловой коэффициент хорды АВ, а 13 EMBED Equation.3 1415есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=с .То есть, если выполняются условия теоремы Лагранжа, то на дуге АВ обязательно найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде АВ (см. рис.15).
Вопрос 15 Теорема Ферма:
Если функция у=f(х) определена в интервале (а;b) и достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего(наименьшего) значения и производная функции в этой точке существует, то она будет равна 0.
Док-во: Пусть функция в точке с принимает наибольшее значение,
·х-приращение аргумента,
·у-приращение функции, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,если
·х<0,то 13 EMBED Equation.3 1415,если
·х>0,то 13 EMBED Equation.3 1415,а это возможно если 13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрический смысл: Касательная к графику в точке с параллельна оси Ох.
Вопрос 16 Теорема Роля

Если функция у=f(х) непрерывна на отрезке[а;b] ,дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c 13 EMBED Equation.3 1415(a, b), в которой
f ' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.
Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.
Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.
Геометрический смысл: если крайние ординаты кривой у=f (х) равны, то на кривой найдётся точка, где касательная параллельна оси ох (см. рис. 14).
Вопрос 17 Формула Тейлора:
13 EMBED Equation.3 1415,где 13 EMBED Equation.3 1415-остаточный член.
Формулы Тейлора основных элементарных функций:




Вопрос 18 Функция у=f(х) называется дифференцируемой в точке x13 EMBED Equation.3 1415,если в этой точке она имеет производную.
Дифференциалом функции у= f(х) называется произведение производной функции на приращение аргумента.(13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415)
Геометрический смысл:


Построим график функции y = f (x). В точке M(x, f (x)) проведем касательную MT. Как известно, tg
· = f ' (x), из
· ТМР имеем TP = MP· tg
·, MP =
· x = dx, поэтому
TP = f '(x)·dx = dy.
Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной.
Связь дифференциала функции с производной: Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х13 EMBED Equation.3 1415 [a; b] определяется равенством
Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на
·x, получим:
·y = f '(x)·
·x + a·
·x, где dу= f '(x)·
·x.
Теорема: Если функция y=f(x) имеет в точке х дифференциал, то в этой точке она имеет и производную.
Док-во: Если функция имеет в точке дифференциал, то
·y = f '(x)·
·x + a·
·x, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
·-б/м и её предел о.
Теорема: Если функция y=f(x) имеет в точке х производную, то в этой точке она имеет и дифференциал.
Дифференциал сложной функции: . Пусть у=f(х) х=g(t), тогда у=f(g(t))-сложная функция. Найдём дифференциал этой функции:13 EMBED Equation.3 1415
Вопрос 19: Функция f (х) называется возрастающей (убывающей) на ( а, b) , если для любых x1 f (x2)).
Теорема: Если производная функции f (х) всюду на интервале положительна, то на этом интервале функция возрастает. Если производная функции f (х) всюду на интервале отрицательна, то на этом интервале функция убывает. Если производная равна 0,то функция постоянна.
Точка x13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой максимума, если в некоторой её окрестности(x13 EMBED Equation.3 1415-
·; x13 EMBED Equation.3 1415+
·)выполняется неравенство f (x) < f (x13 EMBED Equation.3 1415), для всех х этой окрестности. Точка x13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой минимума, если в некоторой её окрестности(x13 EMBED Equation.3 1415-
·; x13 EMBED Equation.3 1415+
·)выполняется неравенство f (x) > f (x13 EMBED Equation.3 1415), для всех х этой окрестности.
Теорема (необходимое условие существования экстремума).Если f(х) определена в окрестности точки x13 EMBED Equation.3 1415,
дифференцируема в точке x13 EMBED Equation.3 1415,имеет в x13 EMBED Equation.3 1415 экстремум, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция f(х) непрерывна в точке x13 EMBED Equation.3 1415,дифференцируема в некоторой её окрестности(x13 EMBED Equation.3 1415-
·; x13 EMBED Equation.3 1415+
·); причём13 EMBED Equation.3 1415либо не существует;
при переходе через точку x13 EMBED Equation.3 1415 производная меняет знак, то x13 EMBED Equation.3 1415– точка экстремума, причём если производная меняет знак с «+»на «-»,то x13 EMBED Equation.3 1415– точка максимума ,а если «-» на «+»,то x13 EMBED Equation.3 1415– точка минимума.
Теорема (исследование на экстремум с помощью второй производной или второе достаточное условие экстремума). Если в точке x13 EMBED Equation.3 1415 функция f(х) дифференцируема и 13 EMBED Equation.3 1415; существует вторая производная в окрестности (x13 EMBED Equation.3 1415-
·; x13 EMBED Equation.3 1415+
·) 13 EMBED Equation.3 1415; то в точке x13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415функция имеет минимум, а при13 EMBED Equation.3 1415 – имеет максимум.
Вопрос 20 Функция у= f (х) называется выпуклой на( а, b) , если график функции расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. Функция у= f (х) называется вогнутой, если график функции расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Теорема(достаточный признак выпуклости(вогнутости):Если 13 EMBED Equation.3 1415 на (а, b) ,то график вогнутый. Если 13 EMBED Equation.3 1415 на (а, b), то график выпуклый.
Док-во: Пусть f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.



Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M13 EMBED Equation.3 1415 с абсциссой x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (a; b) и проведем через точку M13 EMBED Equation.3 1415 касательную. Ее уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной: у-У<0.
13 EMBED Equation.3 1415.Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа
,где c между x и x13 EMBED Equation.3 1415.Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415,
. 13 EMBED Equation.3 1415.К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: 13 EMBED Equation.3 1415,где c1 между c13 EMBED Equation.3 1415 и x13 EMBED Equation.3 1415.По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Предположим, что x>x13 EMBED Equation.3 1415. Тогда x13 EMBED Equation.3 1415 0 и (c – x13 EMBED Equation.3 1415) > 0. Поэтому у-У<0.
Пусть xТаким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 13 EMBED Equation.3 1415 (a; b), а это значит, что кривая выпукла.
Точка графика непрерывной функции у= f(x) отделяющая выпуклую часть от вогнутой называется точкой перегиба.
Теорема (достаточный признак точки перегиба): Если производная 2-го порядка непрерывной функции у= f(x) меняет свой знак при переходе через точку с абсциссой x13 EMBED Equation.3 1415,то данная точка является точкой перегиба.
Теорема (необходимый признак точки перегиба) Если точка (x0, f (x0)) является точкой перегиба графика функции y = f (x), то13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 21: Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.
Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода
В этом случае f( x13 EMBED Equation.3 1415 ± 0) = ±
·, или f ( x13 EMBED Equation.3 1415 ± 0) = +
· , или f (x 13 EMBED Equation.3 1415± 0) =
·
·.
Если ,то у = b горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).
Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями ,
Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.
Вопрос 22 Функция F(х) называется первообразной для данной функции f(x) на малом интервале, если на этом интервале 13 EMBED Equation.3 1415.


Множество всех первообразных, т.е. выражение F(х)+С называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Таблица основных интегралов: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Свойства неопределённого интеграла: 1) 13 EMBED Equation.3 1415
2)13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Утверждения:1) Если 13 EMBED Equation.3 1415,то 13 EMBED Equation.3 1415
2)Если13 EMBED Equation.3 1415,то13 EMBED Equation.3 1415
3) Если13 EMBED Equation.3 1415,то13 EMBED Equation.3 1415
Вопрос 23 1)Замена переменной - суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла. В том случае подынтегральную функцию следует представить в виде
f (x) = g (
· (x))·
·'(x),тогда


2) Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла специального вида в другой интеграл .
Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем d(u·v) = v·d u + u·d v.
Проинтегрируем обе части этого соотношения ,
откуда ,Учитывая связь дифференциала с производной, окончательно получим
.





Вопрос 24Дробь вида 13 EMBED Equation.3 1415, где Pn(x) и Qm(x) являются многочленами степени n и m, называется рациональной. Pm(x) = a0 +a1x + a2x2+...+amxm, Qn(x) = b0 + b1x + b2x2 + ...+ bnxn. Причём, если m < n, дробь называют правильной. Делением многочлена на многочлен из неправильной рациональной дроби можно выделить целую рациональную часть.
Теорема: Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей. 13 EMBED Equation.3 1415

Простейшими рациональными дробями будем называть дроби вида:1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Проинтегрируем каждую из простых дробей: 1)
2)13 EMBED Equation.3 1415
3) Преобразуем знаменатель: выделим полный квадрат
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 14154) Выделим в числителе производную знаменателя и воспользуемся линейным свойством неопределённого интеграла

Как видно из вышесказанного, интегрирование сводится к вычислению двух интегралов:
и .
Первый интеграл путём введения промежуточного аргумента интегрирования приводит к степени


Второй интеграл преобразуется к виду

где ,
знак выбирается в зависимости от знака дискриминанта. Если дискриминант отрицателен, то далее интегрирование сводится к применению рекуррентной формулы для интеграла
.
Если дискриминант положителен, то интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей второго типа.


Алгоритм метода неопределенных коэффициентов: 1)раскладываем знаменатель на множители.
(здесь все методы хороши – от вынесения за скобки, применения формул сокращенного умножения, до подбора корня и последующего деления столбиком) ;2) раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами ;3)приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х;4) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х;5) решаем полученную систему уравнений любым способом
Вопрос25 Интегрирование иррациональных функций:


Вычисление интеграла вида , где , и где a, b,c, d постоянные числа, a·d - b·c
· 0, ni, mi натуральные числа, i = 1, 2, , n

Вопрос 26 Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
Задача 1 о нахождении массы неоднородного стержня. Рассмотрим прямолинейный идеально тонкий стержень (толщиной пренебрегаем) c неравномерно распределённой массой m(x), где плотность p (x) – функция точки, непрерывная на [а,b],
Требуется найти массу m этого стержня.
Решение. Пусть длина стержня равна длине отрезка [ а, b ] . Разобьём [ а, b ] точками x1, x2, , xn-1 произвольным образом на n отрезков [ а, x1 ], [x1, x2 ], , [xn-1, xn], где xn = b. Обозначим их длины

Задачу о вычислении массы неоднородного тела сведём к известной задаче о вычислении массы однородного тела, считая плотность каждого элементарного участка постоянной. Для этого на каждом из участков произвольно выберем точку (см рис. 1), подсчитаем в ней плотность , i = 1, 2, , n . Пусть это число и есть плотность однородного участка [ xi-1, xi ], i = 1, 2, , n Тогда масса каждого участка легко вычисляется по известной формуле: , i = 1, 2, , n , то есть мы можем считать mi приближенным значением действительной массы данного участка.
Просуммировав массы всех участков, получим значение искомой массы стержня с какой-то степенью точностиОчевидно, таких сумм можно составить сколько угодно, меняя способы разбиения на участки и выбора точки на каждом из них.

За истинную массу неоднородного стержня примем предел:
Здесь при , то есть увеличиваем число делений, когда даже самый большой из участков “стягивается в точку” .
Задача 2 о нахождении площади криволинейной трапеции. Назовём криволинейной трапецией плоскую фигуру, ограниченную линиями у = f (х), у = 0, х = а, х = b (см. рис 2). При этом функция положительна и непрерывна на отрезке [а,b] .

Разобьём отрезок [ а, b ] произвольным образом точками x1, x2, , xn-1 на участки[ а, x1 ], [ x1, x2 ], , [ xn-1, xn ], где xn = b . Проведя вертикальные линии из каждой точки xi, получим n криволинейных трапеций с основаниями [ xi-1, xi ], i = 1, 2, , n .

На каждом из отрезков [ xi-1, xi ] произвольно выберем точку и вычислим в ней значение функции. Построим прямоугольники с основаниями и высотой . Площадь каждого из них , i = 1, 2, , n . Просуммировав результаты, получим приближенное значение искомой площади:
Очевидно, таких сумм можно составить сколько угодно, меняя способы разбиения и выбора точки на каждом участке [ xi-1, xi ], i = 1, 2, , n , получая при этом различные приближенные значения искомой площади.

Таким образом, мы опять решение сложной задачи свели к известной ранее элементарной задаче о нахождении площади прямоугольника.

За истинную площадь примем предел суммы (2) ,где при .
Обобщим предложенный алгоритм решения подобных задач.

Пусть на отрезке [ а, b ] задана непрерывная функция. Разобьём [ а, b ] точками x1, x2, , xn-1 произвольным образом на n отрезков [ а, x1 ], [x1,x2], , [ xn-1, xn ], a = x0, b = xn. Пусть d – длина наибольшего из этих отрезков. Внутри каждого из них произвольным образом выберем точку и вычислим значение функции , i = 1, 2, , n . Обозначим длину отрезка и составим произведения , i = 1, 2, , n . Просуммируем все эти произведения: .
Такие суммы называют интегральными . Очевидно, даже для одного разбиения можно составить бесконечное множество интегральных сумм в зависимости от выбора точек .
Определённым интегралом от функции f (х) на отрезке [ а, b ] называется предел последовательности интегральных сумм (3), если этот предел конечен и не зависит от способа разбиения и выбора точки:
f (х) – подинтегральная функция;

f (х) dх – подинтегральное выражение;

а – нижний предел интегрирования;

b – верхний предел интегрирования;

d – длина наибольшего из отрезков разбиения.
Основные свойства определённого интеграла




Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части.
Если на отрезке [a, b], где а < b, имеет место неравенство 0
· f (x)
· g (x), то
Вопрос 27 Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (x) произвольная непрерывная на отрезке [a, b] функция и пусть F (x) какая-нибудь её первообразная. Разобьём отрезок [a, b] на n частей и составим разность F ( b ) - F ( a ) значений первообразной на концах интервала [a, b]. Эта разность равна сумме разностей, составленных для каждого отрезка разбиения,
По теореме Лагранжа о "конечном приращении" имеем,поэтому
Это равенство является точным при любом разбиении отрезка [a, b], но оно справедливо лишь при определённом выборе на каждом отрезке разбиения точек c1 < c2 < < cn,
которые предписывается теоремой Лагранжа. Если размеры всех отрезков разбиения
[а = х0, x1], [х1, x2],, [х n - 1, b] будут становиться всё меньше и меньше, то сумма
будет являться суммой возрастающего числа стремящихся к нулю слагаемых.
Если равенствоверно всегда, то оно верно и в пределе:


Полученное равенство замечательно тем, что оно справедливо не только при каком-то частном выборе точек c1 < c2 < < cn по одной на отрезках деления [а = х0, x1], [х1, x2],, [х n - 1, b]
как это предписывается теоремой Лагранжа, но при всяком выборе точек
· 1 <
· 2, < <
· n по одной на отрезках деления [а = х0, x1], [х1, x2],,[хn - 1, b]:
Последнее соотношение является замечательным правилом суммирования бесконечно малых, открытых Лейбницем и Ньютоном: для отыскания предела суммы бесконечно малых
когда все отрезки, на которые разбит отрезок [a, b], безгранично уменьшаются, необходимо выполнить два действия:
1) постараться отыскать конечным образом какую-нибудь первообразную F(х) для функции f (x);
2) найдя первообразную F(х), составить разность F(b) - F(a) её значений на концах основного отрезка [a, b]. Эта разность и есть искомый предел.
Сопоставляя это правило с определением определённого интеграла, получим формулу НьютонаЛейбницаПри применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.
Вопрос 28Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x)
· g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой



Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами и некоторой линией , которая непрерывна на отрезке [
·;
·], где r-полярный радиус,
·-полярный угол

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле



Площадь криволинейного сектора ограниченной линией, заданной в параметрической форме.
Пусть линия задана в параметрической форме ,тогда площадь криволинейного
сектора вычисляется по формуле

Вопрос 29 Телом вращения называется тело, получающееся при вращении плоской фигуры вокруг фиксированной оси. Простейшие известные тела вращения – это круговой цилиндр и круговой конус:


Вычислим V тела, получающегося вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX.

Разобьём тело вращения на элементарные части плоскостями, перпендикулярно оси вращения. Это повлечёт разбиение отрезка х13 EMBED Equation.3 1415 на n частей точками 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислим объём каждой элементарной части (элементарный объём) приближённо как объём
кругового цилиндра:
где некоторая точка, принадлежащая отрезку .
Так как объем тела является величиной аддитивной, то объем всего тела получаем суммированием элементарных объемов и переходом к пределу при всех (чтобы убрать погрешность, допущенную при вычислении элементарного объема): ,где
Справа в этой формуле стоит определение определенно интеграла от функции по промежутку х13 EMBED Equation.3 1415. Используя это определение, получаем формулу для вычисления объема тела вращения, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=0,х=а , х=b:

Аналогичными рассуждениями получаем формулу для объёма тела вращения вокруг оси OY:








Вопрос 30

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у = f ( x), a
· x
· b, где f ( x) – непрерывная вместе со своей производной на отрезке [ а, b] функция. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками А = М0, М1, М2, , Mi - 1, Mi, , Mn = B в направлении от А к В. Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломанную линию, длину которой обозначим через Р. (смотри рисунок.)
Обозначим через l i длину одного звена Mi - 1 Mi ломаной линии, а через
· длину наибольшего из ее звеньев:
Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р при
· 0, если для любого как угодно малого
· > 0 существует
· > 0 такое, что для всякой ломаной, у которой
· <
·, выполняется неравенство | L
· P | <
·.
Если существует конечный предел L длин ломаных Р вписанных в кривую при
· 0, то этот предел называется длиной дуги АВ:

Если функция f ( x) непрерывна вместе с f ' (x) на отрезке [а, b], то длина дуги АВ выражается формулой

Доказательство. Обозначим через xi и f ( xi) координаты точек М i. Длина одного звена ломаной равна

По формуле Лагранжа конечных приращений имеем
Следовательно, ,
· xi = xi
· x13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, длина ломаной равна
.
Так как функция непрерывна на [а, b], то предел суммы Р n при существует. Так как
·
·
· и
· 0 при
· 0, то
Длина дуги плоской кривой, заданной параметрически.
В случае, когда кривая АВ задана параметрически x =
· (t), y =
· (t),
·
· t
·
·, где
· и
· значения параметра t, соответствующие значениям х = а и х = b, т.е. а =
· (
·), b =
·(
·), в формуле

надо сделать замену переменной, положив x =
· (t), dx =
· ' (t)·dt. Тогда получим
Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги
Вопрос 31 О п р е д е л е н и е. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью хОу, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Область D, высекаемая в плоскости хОу цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (рис. 5).
Диаметром области называют наибольшее расстояние между точками ее границы.

В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может отсутствовать. Например, если тело ограничено плоскостью хОу и полусферой
Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и искомый объем определить как сумму объемов цилиндрических тел, составляющих этот объем.

Пусть Z = f (x, y) есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать, что f(x, y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОу. Разобьем область D произвольным способом на n частичных областей с площадями и диаметрами d1, d2,,dn. Выберем в каждой элементарной (частичной) области произвольную точку Mk(xk, yk) и умножим значение функции в точке Mk на площадь этой области.

Интегральной суммой для функции Z = f (x, y) по области D называется сумма вида (n-я интегральная сумма)
О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом от функции f (x, y) по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей:

При f (x, y) > 0, (поверхность Z = f (x, y) целиком лежит в верхней полуплоскости) двойной интеграл равен объему цилиндрического тела ограниченного областью D и поверхностью Z = f (x, y).
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к вычислению повторных интегралов.
Если область D правильная в направлении оси OY, то ее можно записать системой неравенств в которой отражено, что переменная x



изменяется в постоянных пределах, а переменная y изменяется, вообще говоря, в переменных пределах, зависящих от x; при этом геометрически отрезок х 13 EMBED Equation.3 1415является проекцией области D на ось OX, линия 13 EMBED Equation.3 1415 ограничивает область D снизу и линия 13 EMBED Equation.3 1415 ограничивает область D сверху (Рис.3).
Тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле
Справа стоит повторный интеграл, в котором внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x является постоянной; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф(x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф(x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.
Если область D правильная в направлении оси OX, то она записывается системой неравенств
Тогда двойной интеграл сводится к повторному по формуле

Справа стоит повторный интеграл, в котором внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y является постоянной; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция13 EMBED Equation.3 1415 . Затем вычисляется внешний интеграл от 13 EMBED Equation.3 1415по переменной y в постоянных пределах, в результате получается число.
Вопрос 32 Пусть имеется пространственная область T. В этой области задана функция f(x, y, z). Разобьём эту область сетью произвольно выбранных поверхностей, и образуем суммы Римана

где 13 EMBED Equation.3 1415 - объём частичной области; - координаты точки, произвольно выбранной в каждой частичной области, где i = 1, 2, ..., n.
Предел сумм Римана, если он существует, не зависит от способа разбиения пространственного тела на частичные области, не зависит от выбора точки в частичной области (при единственном условии: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - наибольший из диаметров частичных областей) и называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области Т.
Обозначается одним из символовТаким образом, по определениюгде область Т подразумевается правильной.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Предположим, что область Т, ограниченная замкнутой поверхностью 13 EMBED Equation.3 1415- правильная, т. е.:
1)всякая прямая, параллельная оси oz, проведённая через внутреннюю точку области, пересекает поверхность s в двух точках;2)вся область Т проектируется на плоскость хоу в правильную область D, ограниченную кривыми .
Разобьём область интегрирования Т плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям хоу, xoz, yoz. Элемент объёма равен произведению дифференциалов переменных интегрирования: dv=dxdydz.
Следовательно,
Опишем около заданного тела цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной плоскости хоу (см. рис. 26). Она касается пространственной области вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую тело, на две части: нижнюю и верхнюю. Пусть - уравнение нижней поверхности, - уравнение верхней поверхности.


Построенная цилиндрическая поверхность ортогонально проектирует тело Т в область D на плоскость хоу, а линию L - в границу области D.

В области D функции , однозначные.
Будем производить интегрирование вначале по переменной z от до , где - аппликаты точек входа в область Т, а - аппликаты точек выхода из неё. Результат интегрирования представляет собой функцию Ф(x, y), зависящую от точки

где F(x, y, z) - первообразная функции f(x, y, z) по переменной z, т. е. Fz/ = f(x, y, z); при интегрировании переменные х и у рассматриваются как постоянные.

Затем вычисляем двойной интеграл по области D
Таким образом, окончательно
Вопрос 34 Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х ,искомой функции у и её производную.
Уравнение вида F (x, y , y ' , , y 13 EMBED Equation.3 1415) = 0, где x независимая действительная переменная, y искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.
Решением дифференциального уравнения или интегралом дифференциального уравнения называется функция y =
· (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.
Задача Коши Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y0 искомой функции при некотором значении x0 независимого переменного это значит задать начальное условие = y0
С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0 (x0, y0) на плоскости XOY.
Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?
Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
Теорема :Пусть дано уравнение y' = f (x, y) с начальным условием = y0, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:
1)В прямоугольнике R, определенном неравенствами

x0 – a
· x
· x0 + a,

y0 – b
· y
· y0 + b,

функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) 13 EMBED Equation.3 1415R | f (x, y)|
· M.
2)В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y1) – f (x, y2)|
· A|y1 – y2|.

Обозначим через h меньшее из двух чисел a,13 EMBED Equation.3 1415 .

При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x0 – h
· x
· x0 + h, удовлетворяющее начальному условию = y0.
Вопрос 35 Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.
Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство
Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.
Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство13 EMBED Equation.3 1415

Однородным дифференциальные уравнения первого порядка называется уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415, преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 36: Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее функцию и её производную в первой степени 13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциальное уравнение первого порядка вида 13 EMBED Equation.3 1415 называется уравнением Бернулли. Чтобы решить уравнение Бернулли необходимо сделать замену переменной 13 EMBED Equation.3 1415.
После замены будет получено линейное дифференциальное уравнение.
Вопрос 37: Рассмотрим дифференциальные уравнения порядка выше второго, в которых есть возможность понижения порядка с помощью замены. Среди таких уравнений наиболее часто встречаются ОДУ , которые не содержат искомой функции и производных до k – 1 порядка, и дифференциальные уравнения вида , которые не содержат независимого переменного.
Порядок дифференциального уравнения может быть снижен до n – k заменой переменных . При такой замене получим
После подстановки этих результатов в исходное уравнение получим дифференциальное уравнение порядка n – k с неизвестной функцией p(x). После нахождения p(x), функция y(x) может быть найдена из равенства интегрированием k раз подряд.
Переходим к дифференциальным уравнениям вида , которые не содержат независимого переменного.
Порядок таких дифференциальных уравнений можно снизить на единицу заменой . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем


Подставляя эти результаты в исходное уравнение, приходим к дифференциальному уравнению, порядок которого на единицу ниже.
Вопрос 38 Дифференциальное уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415(1)называется линейным, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если правая часть уравнения(1) отлична от нуля, то уравнение неоднородное, если правая часть равна 0, то уравнение однородное
Рассмотрим свойства однородных уравнений второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415
Свойство 1: Если 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415частные решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415,то сумма 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 также является решением этого уравнения
Док-во: Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 решения уравнения, то выполняются условия 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 подставим сумму в уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Свойство 2:Если 13 EMBED Equation.3 1415 является решением дифференциального уравнения13 EMBED Equation.3 1415, то
с13 EMBED Equation.3 1415 , где с=const, также является решением данного дифференциального уравнения.
Док-во:Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415-решение уравнения, то выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415, подставим с13 EMBED Equation.3 1415 в уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Свойство 3 : Два решения 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 уравнения13 EMBED Equation.3 1415 называются линейно независимыми на отрезке [а, b], 13 EMBED Equation.3 1415.В противном случае решение называется линейно зависимым , т.е. существует число
· для которого выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415
Свойство 4
Система из n линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с непрерывными коэффициентами называется фундаментальной системой решения этого уравнения.
Вронскианом, или определителем Вронского двух частных решений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 линейного дифференциального уравнения (3) называется такой функциональный определитель:


Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415линейно зависимые функции, то определитель Вронского равен 0.
Док-во :Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415линейно зависимые функции, тогда13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 39 Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка). Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 два линейно независимых решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415,то 13 EMBED Equation.3 1415 является общим решением данного дифференциального уравнения.
Док-во: На основании свойства однородного дифференциального уравнения (если 13 EMBED Equation.3 1415 является решением дифференциального уравнения13 EMBED Equation.3 1415, то с13 EMBED Equation.3 1415 , где с=const, также является решением данного дифференциального уравнения) следует, что 13 EMBED Equation.3 1415 также является решением дифференциального уравнения. Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия = y0, 13 EMBED Equation.3 1415 можно так подобрать значения произвольной 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,чтобы частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 -уравнение системы. Найдём производную 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415-уравнение системы
13 EMBED Equation.3 1415 Данная система имеет единственное решение. Найдём значение произвольных постоянных 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.Полученное частное решение удовлетворяет заданным условия. Теорема доказана.

Вопрос 40 Рассмотрим ДУ 13 EMBED Equation.3 1415неоднородное, линейное, с постоянными коэффициентами, где ai = const, i = 1,2,...,n, 13 EMBED Equation.3 1415 .
Теорема (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения: ,

где – частное решение ДУ13 EMBED Equation.3 1415, y0 – общее решение соответствующего однородного ДУ 13 EMBED Equation.3 1415.
Докажем теорему для уравнения второго порядка

y// +py/ + qy = f (x). (4)

где p, q – константы, f (x) 13 EMBED Equation.3 1415 0.

Рассмотрим соответствующее однородное ДУ:

y// +py/ + q = 0. (5)

Обозначим y1, y2 его линейно независимые частные решения и y0 = c1y1 + c2y2 – его общее решение.)

Пусть – какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные): .

Перегруппируем:

.

Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y0– общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как – частное решение ДУ (4). Теорема доказана.
Вопрос 41 Рассмотрим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.Чтобы найти общий интеграл этого дифференциального уравнения достаточно найти 2 линейно независимых частных решения. Будем искать частное решение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- характеристическое уравнение.
Если к -удовлетворяет характеристическому уравнению, то 13 EMBED Equation.3 1415 является решением данного дифференциального уравнения. Возможны 3 случая: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим 1 случай(13 EMBED Equation.3 1415 ): В этом случае частными решениями будут 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415. Тогда общее решение 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим 2 случай(13 EMBED Equation.3 1415):13 EMBED Equation.3 1415 -является линейно зависимым.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 является частным решением уравнения, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найдём u(х): 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 разделим на 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Т.к. к13 EMBED Equation.3 1415-корень характеристического уравнения, то выражение во вторых скобках равно нулю. Т.к. уравнение имеет два равных корня D=0 ,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 2к13 EMBED Equation.3 1415=-p 2к13 EMBED Equation.3 1415+р=0. Выражение в первых скобках равно 0, 13 EMBED Equation.3 1415. Чтобы найти u мы должны 2 раза проинтегрировать.
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.Пусть В=0, А=1.
Таким образом, частные решения имеют вид: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415. Данные решения являются линейно независимыми.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим 3 случай: уравнение имеет пару комплексных сопряжённых корней.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, к13 EMBED Equation.3 1415-корень характеристического уравнения кІ+pk+q=0, подставим к13 EMBED Equation.3 1415 в уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. Данное выражение равно 0, когда выражения в скобках равно 0,т.е.
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415. Частные решения дифференциального уравнения имеют вид:
,, 13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: 13 EMBED Equation.3 1415

Записываем характеристическое уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Находим корни характеристического уравнения k1 и k2.

В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде 1) 13 EMBED Equation.3 14152) 13 EMBED Equation.3 14153) 13 EMBED Equation.3 1415
Вопрос 42 Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема о структуре общего решения: Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415и частного решения 13 EMBED Equation.3 1415 неоднородного уравнения (1),т.е. у=13 EMBED Equation.3 1415(2)
Док-во: Докажем, что (2) является решением (1)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415-решение однородного уравнения, то выражение в первых скобках равно 0. Т.к 13 EMBED Equation.3 1415-решение уравнения (1),то во вторых скобках получается f(х), т.е. f(х)= f(х). Таким образом (2) является решением (1).
Докажем теперь, что входящие произведения постоянного, можно подобрать так, чтобы удовлетворялось начальное условие 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 общее решение однородного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, тогда функция у имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415-линейно независимые решения, то определитель системы отличен от нуля и имеет определённое решение. Находим значение этих произведений постоянных.
Вопрос 43 Пусть мы имеем числовую последовательность , где
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида
В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5:
Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. 13 EMBED Equation.3 1415 называют также n-ой частичной суммой числового ряда.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Примеры: геометрическая прогрессия со знаменателем - сходящийся ряд; геометрической прогрессии со знаменателем - расходящийся ряд
Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .
Сумма вида -называется гармоническим числовым рядом.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД ЯВЛЯЕТСЯ РАСХОДЯЩИМСЯ.
Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены положительны.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны.
Основные свойства сходящихся рядов:1) Если сходится ряд получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и данный ряд. Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием нескольких его членов.
Док-во: Рассмотрим ряд . ,13 EMBED Equation.3 1415-сумма первых n-членов, 13 EMBED Equation.3 1415-сумма отброшенных членов данного ряда, 13 EMBED Equation.3 1415-сумма оставшихся.
13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если существует 13 EMBED Equation.3 1415,то существует и 13 EMBED Equation.3 1415. Если существует 13 EMBED Equation.3 1415,то существует и13 EMBED Equation.3 1415.
2)Если ряд 13 EMBED Equation.3 1415(1) сходится и его сумма равна S,то ряд 13 EMBED Equation.3 1415(2) сходится , где 13 EMBED Equation.3 1415 и его сумма равна сS.
Док-во: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415-n сумма ряда (1) и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Если ряды 13 EMBED Equation.3 1415 (3) и 13 EMBED Equation.3 1415(4) сходятся и их суммы соответственно равны 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,то ряды 13 EMBED Equation.3 1415 (5) и 13 EMBED Equation.3 1415 (6) являются сходящимися и их суммы соответственно равны 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415.
Док-во:13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Т.к. оба ряда сходятся, то 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим ряд (5) и найдём n-частичную сумму13 EMBED Equation.3 1415. Переходя к пределу при n
· получаем13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
Необходимый признак сходимости: Если ряд сходится, то его n-член стремится к нулю при n
·.
Док-во: Пусть ряд 13 EMBED Equation.3 1415 является сходящимся, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.По 1 свойству 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.Теорема доказана
Если предел n-члена равен нулю, то это не значит , что ряд является сходящимся. Если предел n-члена не равен нулю при n
·, то ряд является расходящимся.
Вопрос 44: Рассмотрим признаки сравнение радов с положительными членами. Пусть имеем 2 ряда 13 EMBED Equation.3 1415 (1) 13 EMBED Equation.3 1415(2)
Теорема 1: Если члены рада (1) не больше соответствующих членов ряда(2),т.е. 13 EMBED Equation.3 1415(3) и ряд (2) является сходящимся, то является сходящимся и ряд (1).(если сходится ряд с большими членами, то сходится ряд и с меньшими членами)
Док-во: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- n-я частичная сумма ряда (1) , 13 EMBED Equation.3 1415- n-я частичная сумма ряда (2), т.к. ряд (2) сходится, то 13 EMBED Equation.3 1415.Далее сравним n-е частичные суммы рядов (1) и (2)13 EMBED Equation.3 1415.Последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 является ограниченной, возрастающей, следовательно, данная последовательность имеет предел13 EMBED Equation.3 1415, т.е. ряд (1) сходится.
Теорема2: Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2),т.е. 13 EMBED Equation.3 1415(4) и ряд (2) является расходящимся, то является расходящимся и ряд (1).(если расходится ряд с меньшими членами, то расходится ряд и с большими)
Док-во: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- n-я частичная сумма ряда (1) , 13 EMBED Equation.3 1415- n-я частичная сумма ряда (2), т.к. ряд (2) является расходящимся, то13 EMBED Equation.3 1415. Сравниваем 13 EMBED Equation.3 1415(5). С учётом (5) получаем 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. ряд (1) является расходящимся.
Следствие Если предел 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) конечен и отличен от нуля, то ряды сходятся или расходятся одновременно(ведут одинаково)
Признак Даламбера: Если в ряде с положительными членами 13 EMBED Equation.3 1415(1) 13 EMBED Equation.3 1415,то
А) ряд сходится, если d<1 Б) ряд расходится, если d>1.
Док-во а) Пусть d<1.Рассмотрим число q удовлетворяющее условию d·N будет выполняться условие 13 EMBED Equation.3 1415 .
Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415, на основании определения предела имеем13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим несколько членов 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим следующие ряды
13 EMBED Equation.3 1415 (3) 13 EMBED Equation.3 1415(4)
Т.к. q<1, то(4) убывающая геометрическая прогрессия, т.е. ряд (4) является сходящимся. Ряд(3) начиная с N+1 будет меньше (4), т.е. ряд (3) является сходящимся на основании теоремы 1.
б) d>1,тогда13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415-данная последовательность возрастающая. Отсюда следует, что n- й член ряда не стремится к нулю отсюда следует, что ряд является расходящимся.
Вопрос 44 Радикальный признак Коши: 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 ряд сходящийся 2) 13 EMBED Equation.3 1415 ряд расходящийся
Док-во: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 рассмотрим число q такое, что 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 для всех 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим следующие ряды 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Для всех значений13 EMBED Equation.3 1415 соответствующие члены первого ряда будут меньше второго.
Второй ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию, т.е. ряд сходящийся.
Члены первого ряда начиная с 13 EMBED Equation.3 1415 меньше членов второго (сходится с большими сходится с меньшими; на сходимость ряда не влияет отбрасываемость нескольких членов).
2) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 не стремится к нулю, значит, ряд расходящийся.
Радикальный признак Коши применяется когда показатель степени зависит от n. 13 EMBED Equation.3 1415
Интегральный признак Коши: Пусть все члены ряда 13 EMBED Equation.3 1415 положительны и не возрастают 13 EMBED Equation.3 1415 и функция f(x) непрерывна и не возрастает причём 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,, тогда справедливы следующие утверждения:1) если 13 EMBED Equation.3 1415 является сходящимся, то и ряд сходящийся;2) если 13 EMBED Equation.3 1415 является расходящимся, то и ряд расходящийся.
Док-во: Изобразим члены ряда геометрически, откладывая по оси абсцисс номера 1,2,3n+1,а по оси ординат соответствующие значения членов ряда 13 EMBED Equation.3 1415

Рассмотрим рис.1.Найдём площадь ступенчатой фигуры 13 EMBED Equation.3 1415 ,площадь последнего 13 EMBED Equation.3 1415.Находим S всей ступенчатой фигуры 13 EMBED Equation.3 1415.Найдём площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x),осью ОХ, отрезками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
у=f(ч) ,Ох , х=1, х=n+1
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим рис.2.Найдём площадь ступенчатой фигуры ,площадь первого прямоугольника 13 EMBED Equation.3 1415, второго13 EMBED Equation.3 1415;последнего 13 EMBED Equation.3 1415.Площадь ступенчатой фигуры 13 EMBED Equation.3 1415. Площадь криволинейной трапеции равна13 EMBED Equation.3 1415
Предположим, что 13 EMBED Equation.3 1415 является сходящимся, т.е. данный интеграл имеет конечное значение
13 EMBED Equation.3 1415, с учётом неравенства (2) 13 EMBED Equation.3 1415,но 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415-является ограниченной и возрастает, т.к. рассматривается положительные числа, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 имеет предел, т.е. ряд является сходящимся.
Пусть13 EMBED Equation.3 1415 является расходящимся(равен
·) с учётом неравенства(1) 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет предела(13 EMBED Equation.3 1415 неограниченно возрастает) следовательно ряд является расходящимся.
Вопрос 46: Знакочередующимся рядом называется ряд вида 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема Лейбница: Если в знакочередующемся ряде 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415то ряд (1) сходится, его сумма положительна, и не превосходит первого члена.
Док-во: Рассмотрим сумму n=2m
13 EMBED Equation.3 1415.Выражения в скобках больше нуля, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415-является положительной, ограниченной, возрастающей, чем больше m тем больше и сама сумма, следовательно она имеет предел, т.е 13 EMBED Equation.3 1415, однако сходимость ряда пока не доказана, т.к. мы доказали сходимость чётных частичных сумм.
13 EMBED Equation.3 1415, с учётом условия(3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Ряд является сходящимся.
Вопрос 47 Знакопеременные ряды-ряды вида 13 EMBED Equation.3 1415(1) среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные числа.
Теорема(достаточный признак сходимости)Если знакопеременный ряд таков, что ряд составленный из абсолютных величин 13 EMBED Equation.3 1415является сходящимся, то и знакопеременный ряд является сходящимся.
Док-во: Пусть Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- n-я частичная сумма ряда (1) , 13 EMBED Equation.3 1415- n-я частичная сумма ряда (2), 13 EMBED Equation.3 1415-сумма положительных членов ряда(1), 13 EMBED Equation.3 1415-сумма абсолютных величин отрицательных членов ряда (1), тогда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Т.к. ряд(2) является сходящимся, то 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к.предел левой части(4) существует, то существует и предел правой. И наоборот, ряд (1) является сходящимся.
Знакопеременный ряд (1) называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из абсолютных величин. Если знакопеременный ряд(1) является сходящимся, а ряд состоящий из абсолютных величин является расходящимся, то данный знакопеременный ряд называют неабсолютный сходящимся или условно сходящимся.
Вопрос 48 Функциональный ряд вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415-постоянные величины, называется степенным.
Областью сходимости степенного ряда является интервал, который в частности может выражаться в точку.
Теорема Абеля: Если степенной ряд (1) является сходящимся при некотором 13 EMBED Equation.3 1415,то он является абсолютно сходящимся при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству 13 EMBED Equation.3 1415. Если степенной ряд(1) является расходящимся при некотором значении13 EMBED Equation.3 1415,то он является расходящимся при всех значениях х удовлетворяющих неравенству 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема: Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.
Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от –RдоR,что для всех значений х лежащих внутри этого интервала ряд сходится и притом абсолютно; для всех значений х лежащих вне этого интервала ряд будет расходится.
Вопрос 49 Если функция f(х) в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням (х-а), то это разложение единственно и задается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415-остаточный член. (формула Тейлора)

На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда а=0:
(ряд Маклорена)
Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора и Маклорена:
найдём производную от f(х)
находим значения функции и её производной в точке 13 EMBED Equation.3 1415
подставляем найденные значения в ряд Тейлора или Маклорена
Находим интервал сходимости данного ряда.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 17428841
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий