Voprosy_k_ekzamenu_matan

Модуль 1. Интегралы
Вывести формулу объёма тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов I рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода. Признак сравнения.
Доказать аддитивность определённого интеграла.
Определённый интеграл Римана. Доказать интегрируемость кусочно-непрерывной функции на отрезке.
Вывести формулу объёма тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейного сектора, заданного в полярных координатах.
Верхняя и нижняя суммы Дарбу и их свойства. Верхние и нижние интегралы Дарбу.
Первообразная. Доказать теорему о множестве первообразных для непрерывной функции. Неберущиеся интегралы.
Вывести формулу площади фигуры, ограниченной графиками и вертикальными прямыми.
Длинна плоской кривой. Вывести формулу длинны гладкой кривой, заданной в декартовой и полярной системах координат.
Доказать теорему о замене переменной в неопределённом интеграле.
Вывести формулу интегрирования по частям для неопределённого и определённого интегралов.
Вывести формулы площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовой системе координат.
Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной от интеграла по его верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
Абсолютная и условная сходимости несобственных интегралов II рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов II рода. Признаки сравнения.
Основные свойства определённого интеграла. Доказать линейность и аддитивность определённого интеграла.
Вывести формулу площади петли, самопересекающейся гладкой кривой на плоскости.
Несобственный интеграл II рода от неограниченной функции на конечном промежутке. Сходимость и расходимость. Рассмотреть интеграл степенной функции на отрезке [0;1].
Основные свойства определённого интеграла. Доказать теорему об оценке модуля определённого интеграла.
Вывести формулу объёма тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной графиком и вертикальными прямыми.
Свойство определённого интеграла. Доказать свойство монотонности определённого интеграла. Оценка сверху и снизу и теорема “О среднем”.
Верхний и нижний интегралы Дарбу. Критерий Дарбу интегрируемости функции.
Вывести формулу площади поверхности, образованной вращением плоской кривой, заданной в полярной системе координат.
Вывести формулу площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат.
Несобственный интеграл I рода от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Сходимость и расходимость. Рассмотреть интеграл степенной функции на промежутке [1;13 EMBED Equation.3 1415].
Модуль 2. Функции Нескольких переменных
Дифференцируемость скалярной функции векторного аргумента. Доказать достаточное условие дифференцируемости.
Теорема о дифференцируемости сложной и скалярной функциях нескольких переменных.
Полный дифференциал скалярной функции нескольких переменных. Свойства инвариантности.
Экстремум скалярной функции векторного аргумента. Доказать теорему о достаточном условии экстремума для дважды дифференцируемой функции.
Формула Тейлора для скалярной функции векторного аргумента с остаточным членом в форме Пеано.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=С.
Условный экстремум скалярной функции векторного аргумента. Доказать теорему о достаточном условии условного экстремума для дважды дифференцируемой функции.
Доказать теорему о непрерывности сложной функции нескольких переменных.
Производная по направлению скалярной функции векторного аргумента (как же он уёбищно говорит слово “функции”, не могу больше это держать в себе). Доказать достаточное условие существования производной по всем направлениям.
Окрестности. Внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества. Сходимость последовательностей в n-мерном пространстве.
Свойство непрерывной функции на компактном множестве.
Частные производные высших порядков от скалярной функции. Доказать теорему о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
Экстремум скалярной функции векторного аргумента. Доказать теорему о необходимом условии существования экстремума.
Теорема о существовании неявно заданной скалярной функции. Формулы для производных от неявно заданной скалярной функции.
Условный экстремум скалярной функции векторного аргумента. Доказать теорему о необходимом существовании условного экстремума.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0.
Теорема о дифференцируемости сложной векторной функции многих переменных.
Предел векторной функции векторного аргумента. Доказать теорему о связи пределов векторной функции векторного аргумента и её координатных функций.
Дифференцируемость векторных функций векторного аргумента. Связь с дифференцируемостью координатных функций.
Доказать, что для дважды дифференцируемой функции вторые частные производные, которые непрерывны в точке А выполнено: 13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциал k-го порядка скалярной функции многих переменных. Получить матричную форму записи дифференциала второго порядка (матрица Гессе).
Связные множества в n-мерном пространстве. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
Дифференцируемость скалярной функции нескольких переменных. Доказать, что из дифференцируемости следует непрерывность.
Формула Тейлора для скалярной функции векторного аргумента с остаточным членом в форме Лагранжа.
Лекции по Интегралам: http://baumo.narod.ru/MA2.pdf
Лекции по ФНП: http://baumo.narod.ru/Fxyz.pdf

Приложенные файлы

  • doc 17422766
    Размер файла: 34 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий