3.13-4.1


3.13 ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИФормула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.ФормулировкаТеорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где .
ДоказательствоТак как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно, противоположное ему событие с вероятностью .Обозначим  — наступление события в испытании с номером . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле:
.
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:
, где .
Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,7. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,7. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q =1 – p = 1 – 0,7 = 0,3.
Из условия задачи следует, что n = 6; k=4.
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:
.
3.14
НЕ НАШЕЛ
3.15 ТЕОРЕМА ПУАССОНА
Теорема ПуассонаПусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с постоянной вероятностью p, причемp→0 
илиp→1 
(близка к 0 или близка к 1)
Теорема. Если вероятностьpn→0 
, приn→∞ 
, то вероятность pn(k) (в n испытаниях событие наступает ровно k раз):
pn(k)≈k!λke−λ, 
гдеλ=n·p 
Доказательство.
pn(k)=Cnk·pk·(1−p)n−k, 
т.к. p=nλ, тоpn(k)=n!k!(n−k)!·(nλ)k·(1−nλ)n−k=k!λknkn(n−1)...(n−k+1)(1−nλ)n(1−nλ)−k 
Взяв предел от последнего выражения получим искомую формулу:
limn→∞pn(k)=k!λke−λ 
Задача.
Если в среднем количество левшей составляют 1{\%}, каковы шансы на то, что среди 200 человек окажется ровно 4 левши.Решение.
n=200;    k=4;    p=0.01;
p200(4)≈4!(200·0.01)4e−(200·0.01)=32e−2 
3.16 Локальная Теорема Муавра — Лапласа Локальная Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то
где , c > 0, c — постоянная.Приближённую формулу
рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.ДоказательствоДля доказательства Теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:
(1)
где . При больших величина очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде,
(2)
даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю, когда .Нас будут интересовать значения , не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном условие будет так же означать, что, (3)
Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем (4)
Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения (5)
Переписываем полученное ранее биномиальное распределение с факториалами, заменёнными по приближённой формуле Стирлинга:
(6)
Предположим, что (7)
Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

(8)
Располагаем члены этого разложения по степеням :
(9)
Предположим, что при
(10)
Это условие, как уже было указанно выше, означает, что рассматриваются значения , не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен (11)
Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем:
(12)
Обозначив (13)
Переписываем (12) в виде:
(14)
Где  — нормальная функция.Поскольку в интервале имеется только одно целое число , то можно сказать, что есть вероятность попадания в интервал . Из (5) следует, что изменению на 1 соответствует изменение на (15)
Поэтому вероятность попадания в интервал равна вероятности попадания в промежуток
(16)
Когда , и равенство (16) показывает, что нормальная функция является плотностью случайной переменной
Таким образом, если то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой  — нормальная функция с и .Таким образом теорема доказана.3.17 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА
Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие . Интегральная теорема Муавра-Лапласа содержит приближенную формулу для вероятности того, что событие появится не менее раз и не более раз. С ростом количества испытаний числа и растут, а вероятность постоянна.Теорема. Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:
,
где , .
Доказательство. На основании теоремы сложения вероятности для несовместных событий:
.
Отсюда, используя локальную теорему Лапласа:
,
где        (); .Поскольку ,
следовательно .
Причем, эта сумма является интегральной для функции на отрезке , так как при , т.е. при , ее предел равен соответствующему определенному интегралу:
,
где , а ,
что и требовалось доказать.Введем стандартный интеграл Лапласа (функцию Лапласа):
,
который, очевидно, является первообразной функции Гаусса:
.
Тогда на основании формулы Ньютона – Лейбница можно записать.
Значения функций и обычно находятся из таблиц, причем таблицы обычно даны лишь для неотрицательных значений , поскольку – четная функция, а – нечетная. Из таблиц видно, что при значения практически не отличаются от 0.5, поэтому далее табуляция, как правило, не ведется.Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. .
Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.В нашем случае: – неизвестно, , , . Тогда:


Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.Точность формул Муавра–Лапласа сильно зависит от соотношения величин и : она существенно увеличивается с ростом произведения . Обычно этими формулами пользуются, когда . Однако, в случае близости одной из величин или к нулю (другая в это время мало отличается от единицы) возникает необходимость в значительном увеличении числа испытаний .4.1 Cведение описания статистик к описанию случайных величин – НЕ НАШЕЛ

Приложенные файлы

  • docx 16673582
    Размер файла: 324 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий