Ч.1.Числа. Дії над числами

Міністерство освіти, науки, молоді і спорту України
Педагогічний коледж
Чернівецького національного університету ім. Ю.Федьковича


Схвалено методичною радою
Педагогічного коледжу
Чернівецького національного
університету ім. Ю.Федьковича
Протокол № 4 від 21.11.2012



Русакова О.Я.


Короткий курс лекцій з методики навчання математики
Частина 1. Числа. Дії над числами
Навчально-методичний посібник
Електронна версія
Для студентів педагогічних навчальних закладів І – ІІ рівня акредитації та вчителів початкових класів

Розглянуто на засіданні
предметно-циклової комісії
викладачів математики, фізики,
основ інформатики, ТЗН
Протокол № 3 від 18.10.2012



Чернівці
2012
Зміст
Лекція 1. Дочисловий період початкового курсу математики .....................3
Лекція 2. Нумерація чисел в межах 10 ............................................................7
Лекція 3. Нумерація чисел в концентрі «Сотня»............................................12
Лекція 4. Нумерація чисел в концентрі «Тисяча»..........................................17
Лекція 5. Методика вивчення нумерації багатоцифрових чисел..................21
Лекція 6. Методика ознайомлення з діями додавання і віднімання та їх властивостями. Таблиці додавання одноцифрових чисел і відповідні таблиці віднімання .........................................................................26
Лекція 7. Методика навчання додавання і віднімання двоцифрових, трицифрових і багатоцифрових чисел ............................................................32
Лекція 8. Методика ознайомлення з діями множення і ділення. Табличне множення і ділення .........................................................................40
Лекція 9. Методика вивчення позатабличного усного множення і ділення в межах мільйона ...............................................................................49
Лекція 10. Методика вивчення письмового множення і ділення в межах мільйона ...............................................................................54
Лекція 11. Формування початкових уявлень про дроби в початковому курсі математики .............................................................................................63













Лекція 1. Дочисловий період початкового курсу математики

На дочисловий період відводиться близько десяти уроків. У цей період здійснюється узагальнення і систематизація математичних уявлень, сформованих у перед дошкільний період. Зміст і завдання цього періоду сформульовані у програмі з математики. В цей час продовжується також підготовка до написання цифр.

Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Узагальнення і систематизація математичних уявлень, сформованих у перед дошкільний період

Ознаки предметів
Ознаки і властивості предметів.
Спільні та відмінні ознаки.
Об’єднання об’єктів у групу за спільною ознакою.
Розбиття групи об’єктів на підгрупи за спільною ознакою.








Учень (учениця):
розпізнає предмети за розміром, формою, призначенням, кольором тощо(
розуміє і вживає у мовленні узагальнюючі слова «кожний» , «всі», «крім», «один із», «хоча б один», «всі», «деякі»;
розуміє логічні сполучники «і» та «або»;
визначає спільні та відмінні ознаки об’єктів навколишнього світу;
порівнює предмети за вказаними ознаками;
об’єднує об’єкти в групу за спільною ознакою;
розбиває об’єкти на групи за спільною ознакою;
будує судження із використанням відповідних сполучників «і», «або», «якщо .., то »

Ознаки, пов’язані із поняттям величини
Відношення між предметами, пов’язані з їх довжиною, висотою, товщиною




встановлює відповідні відношення між предметами: більший, ніж; менший, ніж; найбільший; найменший; однакові; коротший ніж; довший за; найдовший; найкоротший; однакові за довжиною та ін.;
порівнює і впорядковує предмети за довжиною, висотою, товщиною

Просторові відношення
Розміщення об’єктів на площині та в просторі: вгорі, внизу, по центру; ліворуч, праворуч, між; під, над, на; попереду, позаду, поруч


Напрямки руху: справа наліво, зліва направо, зверху вниз, знизу вгору
Учень (учениця):
орієнтується на площині та у просторі (на аркуші паперу, на стільниці парти, робочому столі, у класній кімнаті, на подвір’ї тощо);
визначає розміщення об’єктів у просторі і на площині;
встановлює відношення між предметами, розміщеними на площині та в просторі (лівіше, правіше, вище, нижче тощо)(
розміщує предмети на площині аркуша паперу, парти тощо, переміщує їх у заданих напрямках;
вживає у мовленні відповідні словесні конструкції; визначає взаємне розміщення оточуючих об’єктів ,

Лічба
Сукупність предметів зі спільною ознакою (множина).
Кількість елементів сукупності (множини). Лічба. Правила лічби.
Назви чисел у межах 10.
Частина сукупності предметів (підмножина).
Порівняння предметних множин за кількістю елементів.
Практичні дії з предметними множинами – об’єднання, вилучення.
Порядкова лічба. Порядкові відношення

Учень (учениця):
розуміє множину як сукупність предметів, що мають спільну ознаку;
знає назви чисел у межах 10;
називає числа в прямому і зворотному порядку у межах 10;
позначає числа цифрами;
виконує практичні дії для об’єднання предметів (множин) і вилучення частини предметів (підмножини);
лічить за правилами лічби предмети в просторі (розташовані послідовно, хаотично, по колу);
виділяє з множини її частину (підмножину) за певною ознакою;
порівнює предметні множини за кількістю елементів способом складання пар;
розуміє сутність кількісної і порядкової лічби;
визначає кількість елементів сукупності (множини);
визначає розташування предметів, чисел відносно вказаного («стоїть перед», «стоїть після», «стоїть між»; «попереду», «позаду»);
встановлює порядковий номер об’єкта при заданому напрямку лічби;
вживає у мовленні відповідні кількісні й порядкові числівники



Деякі особливості формування окремих понять
Особливості методики роботи з ілюстративним матеріалом для формування базових понять
Враховуючи переважання наочно-образного мислення у дітей п’яти-шестирічного віку, всі поняття вивчаються і закріплюються з використанням відповідного ілюстративного матеріалу. Це може бути малюнок у підручнику, у зошиті з друкованою основою чи на таблиці, демонстраційний матеріал, що використовує вчитель, чи індивідуальний лічильний матеріал, яким користується кожний учень.
При роботі з малюнками, розміщеними у підручнику чи де інде, як основний метод роботи доцільно використовувати бесіду. По-перше, у дітей ще недостатньо сформоване зв’язне мовлення, по-друге, в процесі бесіди значно більше дітей залучається до активної роботи. В такій бесіді слід використовувати формулювання питань чітке, коротке, конкретне і таке, що передбачає однозначну відповідь.
Доцільно для закріплення тих чи інших понять пропонувати учням виконувати певні практичні дії з використанням індивідуального лічильного матеріалу. Приклад такого вправляння: викладіть перед собою кружечок; справа від кружечка покладіть трикутник; зліва від кружечка покладіть чотирикутник; під кружечком покладіть вишеньку; над трикутником покладіть ялиночку; над чотирикутником покладіть будиночок.
Учням пропонуються вправи на папері, що передбачають зафарбовування об’єктів чи виконання інших дій над об’єктами, що володіють певною властивістю. Наприклад: 1) Зафарбуй м’ячик найбільшого розміру; 2) Обведи портрет старшої людини; 3) Розфарбуй тваринку, що йде посередині; 4) Знайди і обведи олівцем зайвий предмет; 5) Намалюй вітрильник, що пливе вліво; 6) Намалюй довший шарфик.
Оскільки маленькі діти пізнають світ через гру, то в цей період потрібно використовувати якомога ширше дидактичні ігри чи ігрові завдання. Наприклад, для закріплення вмінь орієнтуватися в просторі, а також на сторінці в зошиті, учням можна запропонувати такий диктант ігрового змісту: В центрі листочка намалюйте хатку; справа від хатки намалюйте дерево; зліва від хатки намалюйте квіточку; в правому верхньому куточку намалюйте сонце; в лівому верхньому куточку намалюйте хмаринку; в лівому нижньому куточку намалюйте стежку; в правому нижньому кутку намалюйте річку; біля річки намалюйте кущі.

Особливості формування понять множина, елемент множини, підмножина
Множина є одних із первісних, неозначуваних понять. Це поняття сприймається на інтуїтивному рівні. Для цього його описують, використовуючи слова-синоніми. Коли говорять про множини, то мають на увазі сукупності істот, предметів чи якихось інших об’єктів (геометричних фігур, знаків тощо). Із сукупностями різних об’єктів, об’єднаних одною ознакою, учні знайомляться ще у дошкільному віці. Вони називають одним словом «іграшки» предмети, якими можна гратися. Вони розуміють слово «сім’я» як сукупність групи людей, об’єднаних родинними зв’язками (мама, тато, я, бабуся, дідусь). При ознайомленні з поняттям «множина» у першому класі учням варто навести якомога більше подібних прикладів. Ми можемо розглядати сукупність учнів конкретного першого класу, сукупність учнів конкретної школи, сукупність меблів у класі, сукупність бджіл в одному вулику (рій), сукупність коней, що пасуться у лузі (табун), сукупність пташок, що сидить на гілці (зграйка). Все це різні істоти чи предмети, але об’єднані певною ознакою. Цими ознаками можуть бути призначення предметів (письмове приладдя, меблі, іграшки, букет, посуд), колір, форма, розмір тощо. В математиці такі сукупності називають множинами. А істоти чи предмети, з яких складаються множини, називаються елементами множин.
Слід звернути увагу учнів ще на один момент. Слово «множина» у повсякденній мові асоціюється із чимось багаточисельним. В математиці це слово має дещо інший зміст. Є множини, що містять дуже багато елементів. Це множина піщинок у пісочниці, множина дерев у лісі чи парку. Є множини, що містять невелику кількість елементів. Це множина парт у класній кімнаті, множина членів сім’ї. Є множини, що містять 1 – 2 елементи: множина учнів, що сидять за першою партою складається з двох елементів; множина вчителів, що в даний момент ведуть урок у нашому першому класі, складається з одного елемента. Але можуть бути і множини, які не містять жодного елемента. Наприклад, множина учнів нашого класу, що хворіють, не містить жодного елемента, оскільки на даний момент всі учні здорові.

Порівняння кількості предметів у двох множинах без перелічування
Для порівняння кількості предметів без перелічування використовується прийом утворення відповідних пар. Пари можна утворювати по різному: з’єднувати лініями, викладати предмети один під одним тощо. Розглянемо принцип роботи на такій спрощеній схемі
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Кружечки викладали по порядку так, щоб кожний кружечок утворював пару з одним квадратиком. Один квадратик не має пари. Отже, квадратиків більше, ніж кружечків. А кружечків менше, ніж квадратиків. Щоб зробити фігур порівну, можна: а) забрати квадратик, що не має пари; б) докласти кружечок, щоб всі квадратики мали пару.

Особливості навчання лічби
Перший крок до вивчення нумерації чисел першого десятка - це навчання лічби. Учні вчаться рахувати різні об’єкти: предмети, звуки, рухи. При цьому вони запам’ятовують назви чисел і їх послідовність. Лічба елементів множин – це встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами множин та відрізком числового ряду. Це означає, що при лічбі ми не можемо жодний елемент порахувати більше, як один раз і при лічбі не можемо пропустити жодного елемента. Рахувати можна, починаючи з будь-якого предмета. Ці правила вчитель опрацьовує разом з учнями, лічачи по декілька разів одні і ті ж об’єкти, але не дотримуючись правил, тому щоразу кількість об’єктів інша.

5) Підготовка до написання цифр
Необхідність формування навичок каліграфічного письма, зокрема письма цифр, вимагає розвитку моторики дрібних м’язів пальців рук. Поряд із ліпленням, малюванням, вирізуванням цього можна досягти також вправами, що є підготовкою до написання цифр. Це вправи на прописування у зошиті в клітинку різних графічних об’єктів: окремих паличок різної довжини і орієнтації та різноманітного їх поєднання у вигляді стилістичного зображення тих чи інших предметів або узорів. Такі вправи сприяють також розвитку уваги, спостережливості, формують вміння правильно відтворювати побачене. Крім вправ, поданих у зошиті з друкованою основою, учням можна пропонувати і інші вправи, яких є достатньо у методичній літературі. Є навіть зошити з каліграфії у клітинку.
Лекція 2. Нумерація чисел в межах 10

Нумерація чисел першого десятка вивчається на початку першого класу. Учні повинні запам’ятати назви і послідовність чисел першого десятка, навчитися записувати їх за допомогою цифр.

Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Натуральні числа 1–10
Числа 1 – 10.
Числова послідовність від 1 до 10.
Попереднє і наступне число.
Позначення числа цифрою. Письмо цифр у зошитах в клітинку.
Числовий промінь.
Утворення числа способом прилічування і відлічування одиниці.
Відповідність числа кількості об’єктів сукупності та кількості об’єктів сукупності – числу.
Порівняння чисел.
Знаки порівняння.
Склад чисел 2 – 10

знає склад чисел від 2 до 10;
називає попереднє і наступне число до даного;
пише цифри у зошитах у клітинку;
розуміє, що цифри – це знаки для запису чисел;
розуміє сутність натурального числа як кількісної характеристики скінченої непорожньої множини;
розуміє відмінність між числом і цифрою;
утворює число додаванням одиниці до попереднього і відніманням одиниці від наступного до нього числа(
порівнює числа різними способами – за місцем чисел у числовому ряді, на основі складу чисел;
записує результат порівняння за допомогою відповідних знаків;
обґрунтовує вибір знаку при порівнянні чисел;



Система роботи при вивченні чисел в межах першого десятка
а) підготовчий період

· діти повинні навчитися добре рахувати різні об’єкти (предмети, звуки, рухи);

· вміти порівнювати дві групи предметів за кількістю (утворюючи пари, а потім і рахуючи кількість предметів);

· у дітей розвиваються просторові уявлення: діти повинні навчитися розрізняти на сторінці верхню і нижню картинки, ліву і праву сторони, великий малюнок і маленький, розуміти вирази «вище», «нижче», «направо», «справа наліво» і т.п.

· діти повинні розуміти вирази «слідувати за», «стояти (йти) перед», «знаходитись між»;

· діти вчаться працювати з лічильним матеріалом, з підручником, з зошитом.
б) наочні посібники і дидактичний матеріал
Демонстраційні:

· дошка, розлінована в клітинку;

· набірне полотно чи магнітна дошка;

· набори предметних картинок та геометричних фігур різного кольору та розміру;

· набір карток із друкованими цифрами та знаками та картки із зразками написання цифр;
Індивідуальні:

· каса цифр та лічильного матеріалу;

· палички;

· набори геометричних фігур (кружечки, квадратики, трикутники): по 10 штук кожного виду;

· цифрове віяло.
в) особливості уроків по вивченню нумерації чисел першого десятка
Вивчення чисел першого десятка проводиться послідовно одне за одним. На вивчення одного числа відводиться два – три уроки. Перший урок – це урок ознайомлення з новим числом, його утворення з попереднього та одиниці, позначення його відповідним знаком-цифрою та навчання написання цієї цифри. Починаючи з числа 3, другий урок
· це урок вивчення складу числа, що вивчалося на попередньому уроці. На третьому уроці закріплюється вивчене на двох попередніх уроках. Розглянемо основні риси цих трьох видів уроків по вивченню нумерації чисел першого десятка.
Ознайомлення з новим числом і цифрою будується за таким планом:

· лічба елементів множин, чисельність яких характеризується числом, що розглядається; таких множин варто брати не менше трьох; елементами цих множин повинні бути найрізноманітніші предмети: іграшки, овочі, фрукти, геометричні фігури, рослини, тварини тощо;

· знайомство з друкованою цифрою, що позначає дане число, асоціації дітей на що вона схожа;

· цікаві факти, пов’язані з даним числом (навколишній світ, життєві ситуації, назви казок, що містять це число, прислів’я, приказки);

· утворення числа з попереднього та одиниці (за підручником);

· співвідношення кількості предметів з числом і числа з відповідною кількістю предметів;

· порівняння числа, що вивчається з числами, що вивчалися раніше та визначення його місця в числовому ряду (за підручником); різні способи порівняння чисел;

· ознайомлення з письмовою цифрою та написання цієї цифри (зошит з друкованою основою).
Вивчення складу кожного числа базується на наочно-предметній основі (за підручником). Послідовність опрацювання кожного варіанту: Скільки всього предметів? Скільки предметів з першою ознакою? Скільки з другою? То з яких чисел складається дане число?
Цікаві завдання на опрацювання складу чисел:
Оля вирізала 4 трикутники. Серед них були червоні і жовті. Скільки червоних трикутників могла вирізати Оля і скільки – жовтих?
У люстрі 5 ламп. Деякі світять, а інші виключені. Скільки ламп можуть світити, а скільки ламп можуть бути виключеними?
Двоє зайченят поділили 7 морквин між собою так: одне взяло три морквини, а друге – чотири. Як ще зайченята могли поділити морквини?
Для закріплення складу числа можна давати учням прописувати у зошитах спеціальні форми, наприклад, таку:
5
1
2
3
4


4
3
2
1

Закріплення вивченого, контроль рівня засвоєння матеріалу
Обов’язкові домашні завдання у першому класі не передбачені. Весь матеріал повинен бути засвоєний на уроці. Тому за структурою урок у першому класі складається з трьох частин: повторення і закріплення вивченого раніше матеріалу, опрацювання нового матеріалу і підсумок уроку. Отже закріплення нумерації чисел відбувається на початку кожного уроку. Крім того, згідно підручника такому закріпленню присвячені окремі уроки.
г) Особливості вивчення числа 0
Число 0 відповідає порожній множині, а, отже, ми не можемо рахувати кількість елементів певних множин, ми не можемо розглядати утворення числа 0 з попереднього і одиниці, ми не можемо вивчати складу числа 0. Тому порядок вивчення числа 0 дещо відрізняється від порядку вивчення чисел першого десятка. Число 0 вивчається після ознайомлення з дією віднімання, яке здійснюється після вивчення нумерації всіх чисел першого десятка, тобто чисел від 1 до 10.
Наведемо зразок плану-конспекту уроку по вивченню числа 0.
Тема уроку: Число і цифра 0
Мета уроку: На основі практичних дій з предметами розкрити поняття про число 0, визначити місце числа 0 в числовому ряду, вчити писати цифру 0; розвивати мову, мислення, увагу; виховувати навички правильної поведінки на уроці
Тип уроку: комбінований
Обладнання: плакати із ребусами, таблиця-будиночок, лічильний матеріал, зразки друкованої і письмової цифри 0, схематичне зображення числового відрізка, каса цифр та лічильного матеріалу (в учнів)
Використана література:
1. Кочина Л.П. Навчання математики в першому класі.
2. Математичні ребуси в початковій школі.
Хід уроку
1. Повторення раніше вивченого матеріалу
1.1. Відгадування ребусів









1.2. Робота з числами 8 і 9
– Яким буде число 8 по відношенню до 9? Назвіть попереднє число до числа 8. Яким буде число 9 по відношенню до числа 8? Назвіть наступне число за числом 9. Порівняйте числа 8 і 9. Назвіть склад числа 8, склад числа 9.
– Гра „Засели будиночок”
У нашому будиночку квартири понумеровані так, що на одному поверсі розташовані квартири, сума номерів яких утворює число 9 і номери квартир на одному поверсі не повторюються. Проте деякі номери квартир витерлися чи загубилися. Наше завдання – відновити ці номери, тобто в порожні віконечка вписати потрібні цифри.

1

3

2
4



6
2


2. Робота над новим матеріалом
2.1. Фронтальна робота з лічильним матеріалом
На столі ваза, в якій 3 квітки. Учитель пропонує учням по одному підходити до вази, брати по одній квітці і дарувати квітку своєму другові. Після кожної такої дії вчитель на набірному полотні, а учні у своїй касі складають відповідний приклад на віднімання: 3–1=2; 2–1=1; 1–1=... Виникає проблемна ситуація: який потрібно записати у прикладі результат, коли нічого не залишилося, адже жодне з вивчених досі чисел не підходить. Тому вчитель повідомляє, що у цьому випадку, коли нічого не залишилося, у прикладі треба писати нове число, яке називається нуль. Вчитель показує друковану цифру нуль, разом з дітьми обговорює на що схожа цифра 0 (на бублик, на диню, на букву О і т.п.), пропонує учням у своїй касі знайти цю цифру і закінчити складання останнього приклада.
Проміжний підсумок: Яким способом забирали квіти із вази? (По одній). На віднімання якого числа записувались приклади? (На віднімання числа 1). Скільки було квітів спочатку? (3). Скільки разів віднімали число 1? (3) То як дістати число 0? (Треба від числа відняти всі його одиниці).
2.2. Ознайомлення з письмовою цифрою 0, написання цифри 0
Учитель демонструє письмову цифру 0, показує послідовність написання цифри 0; прописування в повітрі; сухе письмо; прописування рядка цифри 0.
2.3. Індивідуальна робота з лічильним матеріалом
Викладіть на стіл 5 квадратиків. Покладіть під ними відповідну цифру. Заберіть тепер всі квадратики. Скільки квадратиків забрали? Викладіть поряд з першим числом 5 друге число 5. Яку дію треба виконати з числами 5 і 5, якщо всі квадратики забирали? Покладіть відповідний знак дії між числами і знак „=” після другого числа. Скільки квадратиків залишилося? Яке число покладемо після знака „=”? Прочитаємо хором складений приклад.
2.4. Складання прикладів на віднімання за малюнками у зошиті з друкованою основою, впр. 3
Послідовність роботи:
Наше завдання за малюнками скласти приклади на віднімання, частини цих прикладів є під малюнками.
Дивимось на перший малюнок. Що знаходиться у першій тарілці? (Вишеньки). У другій? (Кісточки від вишеньок). Отже були вишеньки і їх з’їли. Скільки вишеньок було? (9). Скільки кісточок від вишеньок залишилося? (9). Яке число запишемо перед знаком «–»? (9). Який будемо мати результат, коли від 9 віднімемо 9? Яке число запишемо після знака «=»? (0). Прочитаємо хором записаний приклад.
Аналогічно працюємо над другим малюнком.
Проміжний підсумок: Ми з вами складали і читали приклади на віднімання. Результат в кожному із них - число нуль. Порівняйте число, яке віднімали, з числом, від якого віднімали. Коли при відніманні отримуємо число 0? ( Число нуль отримуємо тоді, коли від числа віднімемо таке ж саме число).
2.5. Порівняння числа 0 з іншими числами та визначення місця числа 0 в числовому ряду
Вправа 2 у підручнику
Висновок: число 0 менше за будь-яке інше число, тому в числовому ряду його треба покласти перед числом 1.
Хором читаємо послідовність чисел у числовому ряду.
Вправляння у відніманні чисел на числовому відрізку за впр. 3.
3. Підсумок уроку
3.1. Нагадування основних етапів уроку
– З яким новим числом ми познайомилися на сьогоднішньому уроці?
– Коли ми кажемо, що якихось предметів є 0?
– В яких прикладах в результаті ми одержуємо 0? То скільки буде 10 – 10?
7 – 7?
3.2. Словесне оцінювання роботи класу в цілому та окремих учнів


Методика навчання письма цифр (самостійне опрацювання)
а) Послідовність прописування кожної із 10 цифр;
б) Послідовність написання кожної цифри: демонстрація написання вчителем; письмо у повітрі, «сухе письмо», нестандартне написання; наведення кількох цифр, прописування цифр у клітинках, вироблення одного темпу письма.
























Лекція 3. Нумерація чисел в концентрі «Сотня»

За новою програмою нумерація чисел в концентрі «Сотня» вивчається у першому класі. Вивчення ділиться на два етапи: числа від 11 до 20 і числа від 21 до 100. Усна і письмова нумерація можуть вивчатися окремо або разом ( за різними підручниками – по різному).
Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Нумерація чисел у концентрі «Сотня»

Десяток
Лічильна одиниця – десяток, її утворення.
Лічба десятками.
Поняття розряду.
Розрядні числа.
Порівняння, додавання і віднімання розрядних чисел – десятків.




знає назви розрядних чисел;
розуміє десяток як лічильну одиницю;
лічить десятками в межах 100;
порівнює, додає і віднімає розрядні числа



Усна та письмова нумерація у межах 100
Усна і письмова нумерація чисел 11–20.
Усна і письмова нумерація чисел 21-100.
Назви та послідовність чисел від 1 до 100.
Читання й запис чисел від 1 до 100.
Розряд десятків. Розряд одиниць.
Одноцифрові та двоцифрові числа.
Порівняння чисел у межах 100



називає числа від 11 до 20, від 21 до 100 в прямому і зворотному порядку від будь-якого числа до вказаного(
називає попереднє і наступне число до будь-якого числа в межах 100;
читає і записує числа від 1 до 100(
розрізняє одноцифрові і двоцифрові числа(
розуміє різні способи утворення двоцифрових чисел;
має уявлення про розряд десятків і розряд одиниць;
розуміє позиційне значення цифри в записі двоцифрового числа(
визначає кількість десятків і кількість одиниць у двоцифровому числі;
записує двоцифрове число у вигляді суми розрядних доданків;
порівнює числа в межах 100 на основі порядку слідування чисел у натуральному ряді та на основі їх розрядного складу

Додавання й віднімання чисел на основі нумерації у межах 100
Додавання і віднімання числа 1 (45+1, 45 – 1).
Додавання і віднімання на основі десяткового складу числа (40 + 5, 45 – 5, 45 – 40, 40 + 20, 40 – 20).




застосовує прийоми обчислення у межах 100 на основі знання нумерації чисел: додає і віднімає число 1; замінює суму розрядних доданків двоцифровим числом; віднімає від двоцифрового числа його десятки або одиниці, додає і віднімає розрядні числа;
прогнозує результат додавання і віднімання розрядних чисел


1. Усна і письмова нумерація чисел в межах 11 – 20.
1.1.Причини виділення нумерації чисел другого десятка із вивчення нумерації двоцифрових чисел
· різний спосіб творення і написання чисел другого десятка і решту двоцифрових чисел: лише для чисел 11 – 19 порядок назви розрядних чисел, що їх складають, і порядок запису не збігаються, для решти двоцифрових чисел порядок написання і читання збігаються;
· великий об’єм матеріалу для одночасного засвоєння нумерації двоцифрових чисел у першому класі;
· засвоєння основних принципів нумерації двоцифрових чисел на невеликій кількості цих чисел є базою для успішного засвоєння нумерації решти чисел.

1.2. Особливості та послідовність вивчення нумерації чисел другого десятка а) Введення нової лічильної одиниці «десяток»
· Практична робота з паличками
Якщо 10 паличок зв’язати у пучок, то такий пучок паличок утворює нову лічильну одиницю – десяток.

· Лічба десятками
Десятками рахують предмети, яких досить багато: яєчка, ґудзики, яблука. Рахувати десятками можна так само, як і одиницями: 1 десяток, 2 десятки, 3 десятки і т.д.

· Виконання дій над десятками
Так само, як над числами першого десятка, можна виконувати і дії над десятками. 2 дес. + 3 дес. = 5 дес.; 7 дес. – 4 дес. = 3 дес. б) Усна нумерація чисел другого десятка
· Робота з лічильним матеріалом
До пучка-десятка докладають окремі палички-одиниці. Два на десять – число дванадцять. Таким способом на одному уроці вивчають утворення і назви всіх чисел другого десятка. На наступних уроках ці знання закріплюються.
· Утворення числа з десятка і окремих одиниць в) Письмова нумерація чисел другого десятка:
· нумераційна таблиця з лічильним матеріалом;
· читання чисел з нумераційної таблиці;
· записування чисел у нумераційну таблицю;
· записування чисел без нумераційної таблиці;
· утворення числа з попереднього додаванням одиниці; утворення числа з наступного відніманням одиниці;
· Порівняння чисел: 13 > 12, тому що 13 = 12 + 1, 17 < 18, тому що 17 = 18 – 1, 13 < 15, тому що число 13 ми називаємо раніше, ніж 15, 15 > 12: Число 15 – це 1 дес. і 5 од., число 12 – це 1 дес. і 2 од., 5 од. > 2 од., тому 15 > 12. г) Окремі випадки додавання і віднімання, пов’язані з десятковим складом числа 17 + 1 = 18, додати одиницю – означає назвати наступне число; 15 – 1 = 14, відняти одиницю – означає назвати попереднє число; 10 + 2 = 12, 1 дес. і 2 од. – це число 12; 12 – 2 = 10, у числі 12
· 1 дес. і 2 од., якщо відняти 2 од., то одержимо 1 дес., тобто число 10; 13 – 10 = 3, у числі 13 – 1 дес. і 3 од., якщо віднімемо 1 дес., то одержимо число 3. г) Вправи на засвоєння нумерації чисел другого десятка: Завдання для усної лічби:
· Порахувати від 10 до 20, від 20 до 10, від 15 до 19, від 16 до 11;
· Назвати число, що складається з 1 дес. і 5 од.;
· Прочитати числа: 11, 10, 15, 9, 19, 20, 1. Прочитати одноцифрові числа. Прочитати двоцифрові числа; назвати числа на одиницю менші від записаних. Назвати найменше число. Назвати найменше двоцифрове число. Назвати найбільше число. Як утворилося число 20?
· Записати на дошці число 17. Скільки десятків і скільки одиниць у цьому числі? Ще яким способом можна утворити це число? Назвати попереднє число до числа 17, назвати наступне число до числа 17;
Завдання для письмової роботи:
· Розв’язати приклади: 10 + 7 – 1 18 – 1 – 1 20 – 1 – 9 14 – 4 + 1 16 – 10 – 1 19 + 1
· 10

· Математичний диктант: Записати цифрами числа 12 і 20; записати число, що містить 1 дес. і 5 од., записати сусідів цього числа, записати попереднє число до числа 13, записати число, на 1 більше від числа 17, записати якому числу дорівнює сума чисел 10 і 9, записати якому дорівнює різниця чисел 16 і 10. д) Одиниця вимірювання довжини – дециметр
1 десяток сантиметрів утворює нову мірку для вимірювання довжини – 1 дециметр (1дм).
1.3. Цікаві та логічні вправи
Піднімаючись сходами, хлопчик ступив на першу сходинку, на другу, на третю, на четверту, на п’яту, на шосту. Далі крокував через одну. Назвіть (запишіть) номери сходинок, на які він ступав, до 18-ої включно;
Записати число 10 трьома одиницями та знаками дій; (11-1=10)
На вимогу подати число 20, використавши лише цифру 1 та дію додавання, Сашко записав число 1 доданком 20 разів, а Дмитрик знайшов спосіб обмежитися значно меншою кількістю одиниць. Що це за спосіб?

2. Усна і письмова нумерація чисел в межах 21 – 100.
2.1. Загальна характеристика методики вивчення нумерації чисел від 21 до 100:
а) різні підходи до вивчення нумерації чисел за різними підручниками - Богданович М.В., Лишенко Г.П.: вивчення спочатку усної, а потім письмової нумерації двоцифрових чисел;
- Скворцова С.О., Онопрієнко О.В. а також Рівкінд Ж.М., Оляницька Л.В. пропонують одночасне вивчення письмової і усної нумерації;
б) етапи вивчення нумерації за підручником Богдановича М.В., Лишенко Г.П.
1) усна нумерація: робота з лічильним матеріалом; утворення числа з десятків та одиниць, утворення числа з попереднього та одиниці: – числа від 21 до 39: утворення назви, лічба у вказаних межах; – числа від 40 до 89: утворення числа 40, утворення решти чисел, лічба у вказаних межах; – числа від 90 до 100: утворення числа 90, утворення інших чисел, утворення числа 100, лічба десятками; – одиниця вимірювання довжини 1 метр, співвідношення між різними одиницями вимірювання довжини; 2) письмова нумерація: – робота з нумераційною таблицею
Десятки
Одиниці




2
3

– нумераційна таблиця з лічильним матеріалом;
– читання чисел з нумераційної таблиці;
– записування чисел у нумераційну таблицю;
– записування чисел без нумераційної таблиці;
– таблиця чисел першої сотні, її роль та особливості роботи з нею
1-ий
дес.
2-ий
дес
3-ій
дес
4-ий
дес
5-ий
дес
6-ий
дес
7-ий
дес
8-ий
дес
9-ий
дес
10-ий
дес

1
11
21
31
41
51
61
71
81
91

2
12
22
32
42
52
62
72
82
92

3
13
23
33
43
53
63
73
83
93

4
14
24
34
44
54
64
74
84
94

5
15
25
35
45
55
65
75
85
95

6
16
26
36
46
56
66
76
86
96

7
17
27
37
47
57
67
77
87
97

8
18
28
38
48
58
68
78
88
98

9
19
29
39
49
59
69
79
89
99

10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

При роботі з таблицею вчитель має звернути увагу на те, що числа записані у стовпчиках – це числа одного десятка, акцентувати увагу на тому, яким числом починається і яким закінчується кожний стовпчик-десяток. За таблицею знаходять також перелік одноцифрових і двоцифрових чисел, найменше двоцифрове число і найбільше, особливості запису числа 100. Вводиться також поняття «кругле число». Це число, запис якого закінчується нулем. Всі круглі числа записані в найнижчому рядку таблиці.
– порівняння чисел (порівнюємо спочатку кількість десятків: число, що містить меншу кількість десятків, менше; якщо десятків однакова кількість, то порівнюємо кількість одиниць: число, в якому кількість одиниць менша, - менше);
– додавання і віднімання одиниці; додавання і віднімання круглих чисел;
– поняття розряду, розрядних доданків, запис числа у вигляді суми розрядних доданків
Богданович М.В., Лишенко Г.П. (с. 128): числа 50 і 3 називаються розрядними доданками числа 53. 53 = 50 + 3. Число 50 показує, скільки одиниць у розряді десятків. Число 3 показує скільки одиниць у розряді одиниць.
в) етапи вивчення нумерації за підручником Скворцової С.О., Онопрієнко О.В.
– поняття про десяток, лічба десятками 1 2 3 4 5 і т. д.
1 дес. 2 дес. 3 дес. 4 дес. 5 дес. і т. д.
– записування десятків
1дес. 2дес. 3дес. 4дес. 5дес. і т. д.
10 20 30 40 50 і т. д.
- порівняння круглих чисел
2 < 5 2 дес. < 5 дес. 20 < 50
– виконання дій над круглими числами
3 + 5 = 8 9 – 6 = 3
3 д. + 5 д. =8 д. 9 д. – 6 д. = 3 д.
30 + 50 = 80 90 – 60 = 30
– утворення і записування некруглих двоцифрових чисел
3
0

7

2.2. Розв’язування цікавих і логічних завдань:
· Записати усі двоцифрові числа, використовуючи цифри 0, 3, 5. Скільки таких чисел? Що зміниться, якщо замість цифри 0 запропонувати цифру 1?
· Яка може бути цифра десятків, позначена зірочкою «*2 < 31» ?
·У прикладі «** – * = 2» поставте такі цифри, щоб рівність була правильною.
·У запису числа 35 закреслили цифру 3. Як змінилося при цьому число? Яку дію треба виконати з числом 35, щоб одержати той же результат?
· У новому 100-квартирному будинку сім’я Сергійка одержала квартиру під номером 23. Скільки всього у цьому будинку квартир, номер кожної з яких містить у записі принаймі одну цифру 3?
Лекція 4. Нумерація чисел в концентрі «Тисяча»

Нумерація чисел в концентрі «Тисяча» вивчається у третьому класі. Усна і письмова нумерація вивчається одночасно.
Витяг із програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Нумерація чисел в концентрі «Тисяча»

Сотня
Лічильна одиниця – сотня.
Лічба сотнями.
Розряд сотень. Розрядні числа.
Порівняння сотень; додавання і віднімання сотнями (400 + 200,
400 – 200).




розуміє сотню як одиницю лічби;
лічить сотнями, десятками, одиницями;
визначає у числі розряди – сотень, десятків, одиниць;
порівнює, додає і віднімає розрядні числа;


Усна та письмова нумерація чисел у межах 1000
Трицифрове число.
Утворення трицифрового числа.
Розрядний склад числа.
Лічба в межах 1000.
Місце числа у натуральному ряді.
Читання і запис трицифрових чисел.
Порівняння чисел.



розрізняє одноцифрові, двоцифрові і трицифрові числа(
знає співвідношення між розрядними одиницями;
знає способи утворення трицифрового числа;
визначає розрядний склад числа;
називає числа від 1 до 1000 в прямому і зворотному порядку від будь-якого числа до вказаного;
називає попереднє і наступне число до будь-якого числа в межах 1000;
читає і записує трицифрові числа;
розуміє позиційне значення цифри в записі трицифрового числа,
записує трицифрове число у вигляді суми розрядних доданків;
визначає загальну кількість одиниць, десятків, сотень у трицифровому числі;
порівнює числа в межах тисячі на основі порядку слідування чисел у натуральному ряді та на основі десяткового складу чисел


Завдання вивчення нумерації в концентрі «Тисяча»
· Ознайомити з новою лічильною одиницею «сотня»;
· Засвоїти принцип побудови десяткової системи числення;
· Навчитися читати і записувати трицифрові числа;
· Закріпити принцип помісцевого значення цифр;
· Сформувати обчислювальні навички додавання і віднімання трицифрових чисел, пов’язаних з вивченням нумерації;
· Навчити виконувати перетворення та роздроблення іменованих чисел.


1. Послідовність та особливості вивчення нумерації чисел 101 – 1000

· Ознайомлення з новою лічильною одиницею «сотня» Робота з лічильним матеріалом: 10 одиниць утворюють десяток, 10 десятків утворюють 1 сотню. Так само як рахують десятками, можна рахувати сотнями: 1 сот., 2 сот., . Так само, як виконують дії з десятками, можна виконувати дії і з сотнями: 1 сот. + 3 сот. = 4 сот. Приклад: рахуємо гроші купюрами по 100 грн.

· Лічба в межах 199, різні способи утворення чисел другої сотні: М. 3, впр. 459 – 462, с. 68 – 69.
Робота з лічильним матеріалом:
Не забуваємо, що 1 сотня – це 100 окремих одиниць, взятих як одне ціле (пучок паличок, картонка з ґудзиками). Отже число 100 можна утворити ще і по іншому: до числа 99 додати 1. Щоб одержати наступне число, до попереднього додаємо один. До 1 сот. додаємо 1, отримуємо число 101, і т.д. Якщо маємо 1 сот. і 1 дес., то отримуємо число 110. Але число 110 можна отримати і по іншому: до числа 109 додати 1. Якщо взяти 1 сот. 2 дес. і 1 од., то отримаємо число 121. Але число 121 можна отримати, додавши 1 до числа 120.
Будь-яке число можна отримати по іншому: від наступного відняти 1. Отже, щоб одержати число 121, можна від числа 122 відняти 1.
Ознайомлення з письмовою нумерацією здійснюється на першому уроці з використанням нумераційної таблиці

Сотні
Десятки
Одиниці


9
9

1
0
1

1
2
1


· Утворення числа 200 і назви розрядів трицифрового числа, розрядні числа і розрядні одиниці: М. 3, впр. 473 – 474, с. 71.
199 = 100+ 99 + 1 = 100 + 100 = 200
Число 200 можна отримати двома способами: 1) як наступне за 199, тобто додавання числа 1 до числа 199; 2) взявши 2 сотні.
Поняття розряду і розрядних чисел можна ввести у вигляді такої бесіди, використовуючи запис № 474.
1 + 1 = 2 10 + 10 = 20 100 = 100 = 200
2 + 1 = 3 20 + 10 = 30 200 + 100 = 300
3 + 1 = 4 30 + 10 = 40 300 + 100 = 400
4 + 1 = 5 40 + 10 = 50 400 + 100 = 500
5 + 1 = 6 50 + 10 = 60 500 + 100 = 600
6 + 1 = 7 60 + 10 = 70 600 + 100 = 700
7 + 1 = 8 70 + 10 = 80 700 + 100 = 800
8 + 1 = 9 80 + 10 = 90 800 + 100 = 900
Числа від 1 до 9 утворюють перший розряд, розряд одиниць. Кожне наступне число першого розряду отримуємо додаванням числа 1 до попереднього. Тому лічильною одиницею у цьому розряді є число 1. При записі трицифрових чисел ці числа записуються за допомогою відповідних цифр на першому місці справа.
Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 - це числа другого розряду. Кожне наступне число отримуємо додаванням до попереднього числа 10. Тому лічильною одиницею у другому розряді є число 10 або 1 дес. При записуванні трицифрового числа ці числа другого розряду позначаємо також однією цифрою, що вказує на кількість десятків. Цю цифру записуємо на другому місці справа.
Числа 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 - це числа третього розряду. Кожне наступне число отримуємо додаванням до попереднього числа 100. Тому лічильною одиницею у третьому розряді є число 100 або 1 сот. При записуванні трицифрового числа ці числа третього розряду позначаємо також однією цифрою, але записаною на третьому місці справа. Ця цифра вказує на кількість сотень.
Таким чином, перший розряд – це одиниці, другий розряд - це десятки, третій розряд – це сотні.
· Утворення трицифрових чисел із сотень, десятків і одиниць: М. 3, впр. 480. с. 72.
· Читання чисел, які записані в нумераційній таблиці: М.3, впр. 490, с. 74.
· Запис чисел в нумераційну таблицю: М. 3, впр. 500, с. 75;
· Запис і читання трицифрових чисел без нумераційної таблиці: М. 3, впр.509, с. 76;
– Порівняння трицифрових чисел: М. 3, № 507, № 508 с. 76.
Порівняння трицифрових чисел проводимо, порівнюючи кількість одиниць відповідних розрядів, починаючи з найвищого. Пам’ятаємо також, що будь-яке трицифрове число більше від будь-якого двоцифрового.
· Визначення загального числа сотень, десятків і одиниць, що містить трицифрове число: М. 3, впр. 518, с. 77, впр. 520, с.71.
У числі 526:
Окремо ( в розряді, порозрядно) 5 сот. 2 дес. 6 од.; всього 6 сот., всього 52 дес., всього 526 од.
· Запис суми розрядних чисел як одне число: М.3, впр. 491, с. 74
500 + 30 + 7 = 537;
розклад трицифрового числа на розрядні доданки: М.3, впр. 508, с. 76
712 = 700 + 10 + 2. .
· Випадки додавання і віднімання трицифрових чисел, пов’язаних з нумерацією: М. 3, впр. 525, с. 79.
400 + 100 = 500 600 – 200 = 400 500 – 1 = 499 699 + 1 = 700 300 + 40 = 340 300 + 4 = 304 489 – 80 = 409 489 – 9 = 480. 583 – 500 = 83
· Перетворення і роздроблення іменованих чисел: М. 3, с. 79 – 84.

2. Розв’язування вправ з логічним навантаженням

· Відніміть від одиниці третього розряду одиницю другого розряду і запишіть результат в одиницях першого розряду;
– Запишіть у порядку зростання усі трицифрові числа , у яких в розряді одиниць цифра 6, а в розряді сотень – цифра 4. На скільки одиниць кожне наступне число більше від попереднього?

· Тетянка написала на аркуші паперу число 666 і запропонувала своїй подрузі Галинці збільшити це число на 333, не виконуючи арифметичних дій і нічого не записуючи. Галинка зразу ж зміркувала, як це зробити. Як міркувала Галинка?

· Записали трицифрове число, а потім перевернули аркуш паперу із записаним числом так, що верхня і нижня половинки аркуша помінялися місцями. При цьому виявилося, що число не змінилося. Яке число було записане?
– До даного двоцифрового числа ліворуч приписали цифру 5. На скільки при цьому збільшилось число?
– Скільки є різних трицифрових чисел, у кожного з яких сума цифр дорівнює 3?
– Яке число одержимо, коли додамо найбільше трицифрове і найменше одноцифрове?
– Назвіть 12 трицифрових чисел, користуючись словами , поданими у таблиці


Двісті
Сорок
П’ять

Сімсот
Двадцять




– Скільки різних простих слів треба знати, щоб назвати будь-яке число в межах 1000?
























Лекція 5. Методика вивчення нумерації багатоцифрових чисел

Нумерація багатоцифрових чисел вивчається у четвертому класі. Метою вивчення є засвоєння учнями усної та письмової нумерації чисел в межах до 1000000, тобто, в межах двох перших класів.

Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Нумерація багатоцифрових чисел

Тисяча
Лічильна одиниця – тисяча.
Лічба тисячами.
Розряди – одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч.
Клас одиниць, клас тисяч.
Лічба розрядними одиницями в межах тисячі, мільйона.





знає назви перших двох класів та розрядів, які входять до них;
знає назви розрядних чисел (круглих тисяч);
розуміє тисячу як одиницю лічби;
лічить тисячами;
називає розрядні (круглі) числа в прямому і зворотному порядку, від будь-якого числа до вказаного;
називає розрядні одиниці першого та другого класів;
встановлює співвідношення між розрядними одиницями кожного класу; визначає розрядний і класовий склад чисел

Усна та письмова нумерація багатоцифрових чисел
Лічба в межах мільйона.
Читання та запис багатоцифрових чисел.
Утворення багатоцифрових чисел.
Порівняння багатоцифрових чисел.
Заміна багатоцифрового числа сумою розрядних доданків. Заміна суми розрядних доданків багатоцифровим числом.
Визначення загальної кількості одиниць певного розряду в числі.




читає і записує багатоцифрові числа цифрами;
встановлює послідовність чисел в межах мільйона;
встановлює позиційне значення цифри в записі багатоцифрового числа(
утворює багатоцифрові числа шляхом прилічування (відлічування) по 1 до (від) попереднього (наступного) числа;
класифікує числа на чотирицифрові, п’ятицифрові, шестицифрові;
порівнює багатоцифрові числа різними способами (спосіб порозрядного або покласового порівняння, на основі слідування чисел у натуральному ряді);
визначає кількість одиниць кожного розряду та класу;
записує багатоцифрове число у вигляді суми розрядних доданків;
замінює суму розрядних доданків багатоцифровим числом;
визначає загальну кількість одиниць певного розряду та класу в числі

Усні обчислення на основі нумерації багатоцифрових чисел
Додавання і віднімання на основі нумерації багатоцифрових чисел: 56789 + 1, 56789 – 1,
50000 + 400 + 50 + 9,
6789 – 6000, 6789 – 700,
6789 – 80, 6789 – 9,
6789 – 789
Усне додавання і віднімання круглих чисел способом укрупнення розрядних одиниць (5600 + 3700,
80000 – 64000).
Множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число: 50000
· 5, 8000 : 4, 3600
· 3, 64000 : 4.
Ділення на двоцифрове число: 6400 : 16.
Ділення круглого числа на кругле: 8000 : 400, 8400 : 400.



застосовує знання нумерації багатоцифрових чисел для виконання арифметичних дій;
виконує усне додавання й віднімання круглих чисел способом укрупнення розрядних одиниць;
виконує множення круглих (розрядних) чисел на одноцифрове число на основі укрупнення розрядних одиниць або правила множення добутку на число;
виконує ділення круглих чисел на одноцифрове число на основі укрупнення розрядних одиниць або правила ділення добутку на число;
виконує ділення круглих чисел на круглі на основі укрупнення розрядних одиниць або правила ділення числа на добуток




У вивченні нумерації багатоцифрових чисел є два підходи. Перший підхід: окремо розглядаються чотирицифрові, п’ятицифрові і шестицифрові числа і потім вводиться поняття про клас. Такий принцип вивчення нумерації проводиться за підручником Богдановича М.В.
Другий підхід: вводиться спочатку поняття про клас, розглядаються числа першого класу, потім другого і нарешті – числа двох класів разом. За цим підходом вивчається нумерація багатоцифрових чисел за підручником Кочиної Л.П., Листопад Н.П.
Кожний з цих підходів має свої плюси і мінуси.

1. Послідовність та особливості вивчення нумерації багатоцифрових чисел згідно підручника Богдановича М.В. – Поділено на три етапи: нумерація чотирицифрових чисел, нумерація п’ятицифрових чисел, нумерація шестицифрових чисел; послідовність опрацювання для чисел кожного розряду одна і та ж; надалі ця послідовність розкривається на прикладі вивчення нумерації чотирицифрових чисел;
– Введення нової лічильної одиниці, утворення чисел послідовним додаванням одиниці, (Б. 4, впр. 108, с. 16): 10 одиниць утворюють 1 десяток; 10 десятків утворюють 1 сотню; 10 сотень утворюють 1 тисячу. – Утворення чисел порозрядно (використовується схематичний малюнок з різними пучками паличок).

· Читання чисел з нумераційної таблиці (Б. 4, впр. 110)


Тисячі
Сотні
Десятки
Одиниці

1
3
4
8

1
4
2
0

1
6
0
6

1
7
0
0

1
0
0
9


При роботі з цією таблицею слід акцентувати увагу учнів на особливостях запису і читання чисел, у яких відсутні одиниці певних розряді. На письмі відсутність одиниць розряду позначається цифрою 0, при читанні – назви одиниць розряду опускаються.
– Читання і записування чисел без нумераційної таблиці ( с. 16; впр. 118)
– Утворення числа 2000: 1999 + 1 = 1000 + (999+1) = 1000 + 1000 = 2000.
Число 2000 можна утворити, додавши число 1 до числа 1999. Число 2000 можна утворити також, взявши дві окремих тисячі.
–Ознайомлення з числами 4-го розряду (впр. 119, с. 18).
– Запис чисел із зазначенням десяткового складу числа (число, що містить 3 тис., 7 сот., 5 дес. і 8 од.) і без називання цього складу (чотири тисячі триста) (Б. 4, впр. 137, с. 20).
· Розклад чисел на розрядні доданки, записування суми як одне число (Б.4, впр. 129, впр. 130, с. 21): Розклади на розрядні доданки число 1587, 3650, 5005, 6800; Запиши як одне число суму 6000 + 500 + 40 + 1;
· Порівняння чисел (Б. 4, впр. 185, с. 28): При порівнянні чисел користуємось правилами:
Будь-яке число з більшою кількістю розрядів більше за будь-яке число з меншою кількістю розрядів;
При однаковій кількості розрядів порівнюємо кількість розрядних одиниць, починаючи з найвищого розряду.
· Виконання арифметичних дій над деякими багатоцифровими числами
(Б. 4, впр. 111, с. 17. Додавання і віднімання числа 1: додати 1 означає назвати наступне число, відняти 1 означає назвати попереднє число), ( впр.148, с.22. 3 + 4, 3 тис. + 4 тис. 3000 + 4000; 2 · 3, 2 тис. · 3, 2000 · 3)
· Визначення загальної кількості одиниць певного розряду (Б. 4, впр. 147, с.22. У числі 8456 одиниць кожного розряду є 8 тис. 4 сот. 5 дес. 6 од. У цьому числі всього 8 тис., всього 84 сот., всього 845 дес., всього 8456 од.).

2. Деякі особливості вивчення нумерації багатоцифрових чисел, що пропонуються у підручнику з математики Кочиної Л.П., Листопад Н.П.
· Вводиться поняття про четвертий, п’ятий, шостий розряди, розрядні числа кожного з цих розрядів (К. 4, впр. 16, с.11, впр. 25, с. 12, впр. 36, с. 13),
Числа четвертого розряду:
9000 – дев’ять тисяч; 8000 – вісім тисяч; 7000 – сім тисяч; 6000 – шість тисяч; 5000 – п’ять тисяч; 4000 – чотири тисячі; 3000 – три тисячі; 2000 тисячі – дві тисячі; 1000 – одна тисяча. Тисяча – це одиниця розряду тисяч.
Аналогічно вивчаються числа 5-го і 6-го розрядів. Десять тисяч – це одиниця п’ятого розряду – розряду десятків тисяч, сто тисяч – це одиниця шостого розряду – розряду сотень тисяч.
В процесі ознайомлення з розрядними числами учні знайомляться з правилами виконання дій над розрядними числами: дії додавання і
віднімання з розрядними числами виконують так само, як із одноцифровими (3 тис. + 4 тис. = 7 тис, 3000 + 4000 = 7000 і т.д.).

· Вивчаються правила множення і ділення на 10, 100, 1000 (К. 4, впр 46 – 48, с. 15). Ці правила встановлюються на спостереженні за зміною величини розрядних чисел.
10 = 1 дес. 1 · 10 =10 10 тис. = 1 дес. тис. 1000 · 10 = 10000
10 дес. = 1 сот. 10 · 10 = 100 10 дес.тис. = 100000 10000 · 10 = 100000
10 сот. = 1 тис. 100 · 10 = 1000
Висновок: Дописування справа до числа одного нуля збільшує розрядну одиницю у 10 разів.
Впр. 46. Порівняй числа у кожному стовпчику. У скільки разів збільшується кожне число, коли справа дописують один нуль? Два нулі? Три нулі?
1 5 20 40
10 50 200 400
100 500 2000 4000
– Учнів знайомлять з групуванням розрядів у класи, дається поняття про класи: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів (К. 4, впр. 16, с.11; впр. 57, с. 16);
Описово через вертикальну рахівницю, текст і таблицю дається поняття про класи. Щоб зручніше було читати і записувати числа, кожні три розряди об’єднують в клас. Одиниці, десятки і сотні становлять клас одиниць. Клас одиниць містить три розряди. Одиниці тисяч, десятки тисяч і сотні тисяч становлять клас тисяч. Клас тисяч містить теж три розряди. Тисяча тисяч це мільйон.
· Читання і записування багатоцифрових чисел (К. 4, впр.64, впр. 67, с.18) Так само як і в Богдановича М.В. спочатку використовується нумераційна таблиця. Але крім порозрядної таблиці використовуються таблиці із зазначенням класів
а) без зазначення розрядів:
Впр. 73, с. 20
Запиши числа

Клас тисяч
Клас одиниць

123
300

1
1

56
000

360
560








б) із зазначенням розрядів:









Клас тисяч
Клас одиниць

Сотні тисяч
Десятки тисяч
Одиниці тисяч
Сотні
Десятки

Одиниці




4
5
9




4
9
0



4
0
0
5


4
7
7
9
8

5
5
8
9
1
0

7
0
0
5
0
1




· Порівняння чисел (К. 4, впр. 90, с. 22, впр. 93, с. 22). Учням пропонується правило. Якщо два числа мають однакову кількість знаків (цифр), то більшим числом є число, в якому більше одиниць у найвищому розряді. Коли кількість одиниць в цьому розряді теж однакова, то порівнюють числа наступних нижчих розрядів. Якщо два натуральних числа мають різну кількість знаків (цифр), то більше з них те число, в якому більше знаків.
· Розклад чисел на розрядні доданки (К. 4, впр. 98, с. 23; впр. 107, с. 25);
· Визначення загальної кількості одиниць певного розряду (К. 4, впр. 113, с. 26).
Всього: 2854 одиниці; 2854 – 285 десятків; 2854 – 28 сотень; 2854 – 2 тисячі.
· Виконання дій над деякими числами (К. 4, впр 117 – 118, с. 26) 34500 – 4000 – 500.

3.Десяткова система числення
Опрацювати самостійно:
Богданович М.В. Математика 4 клас. № 221, с. 33, 3 251, с. 38.
Підібрати цікаві факти з історії виникнення лічби та різних систем числення, які можна використати на уроках математики у 4-ому класі. Тривалість повідомлення – 1,5-2 хв.













Лекція 6. Методика ознайомлення з діями додавання і віднімання та їх властивостями. Таблиці додавання одноцифрових чисел і відповідні таблиці віднімання
Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Арифметичні дії додавання й віднімання чисел у межах 10
Додавання як знаходження кількості елементів об’єднання множин, що не перетинаються.
Віднімання як знаходження кількості елементів множини, які залишилися після вилучення її частини.
Знаки дій додавання і віднімання.
Додавання й віднімання за числовим променем.
Назви компонентів та результату дій додавання та віднімання.
Число 0.
Віднімання рівних чисел. Додавання й віднімання нуля



знає знаки дій додавання і віднімання;
знає назви компонентів і результату дій додавання та віднімання;
розуміє зміст дій додавання та віднімання;
розуміє число нуль як кількісну характеристику порожньої множини, як результат віднімання рівних чисел;
ілюструє операцію додавання та віднімання за допомогою рисунків, схем;
утворює рівності на основі складу числа;
використовує властивості додавання й віднімання нуля, віднімання рівних чисел під час обчислень


Табличне додавання й віднімання в межах 10
Прийоми додавання й віднімання чисел 1- 10.
Переставний закон додавання.
Взаємозв’язок додавання і віднімання.
Таблиці додавання чисел в межах 10.
Залежність суми від зміни одного доданка при сталому другому.
Таблиці віднімання.
Залежність різниці від зміни зменшуваного при сталому від’ємнику.


знає табличні випадки додавання та віднімання у межах 10;
розуміє залежність суми від збільшення (зменшення) одного з доданків при сталому другому, різниці від збільшення (зменшення) зменшуваного при сталому від’ємнику;
застосовує прийоми додавання та віднімання числа на основі порядку слідування у натуральному ряді, частинами, на основі переставного закону додавання, на основі взаємозв’язку дій додавання і віднімання;
обирає прийом додавання залежно від випадку обчислення;
прогнозує результат додавання і віднімання з огляду на те, що при додаванні натуральних чисел дістанемо більше число, а при відніманні – менше

Відношення різницевого порівняння
Збільшення і зменшення числа на кілька одиниць. Різницеве порівняння чисел.

знає слова-ознаки відношень різницевого порівняння;
розуміє сутність відношення між числами „більше на...”, „менше на...”;
ілюструє відношення різницевого порівняння за допомогою рисунків, схем

Методика ознайомлення з діями додавання та віднімання, компонентами цих дій та деякими їх властивостями
Арифметичною називається дія, за допомогою якої за двома числами знаходять третє. Якщо знаходять суму, то дія називається дією додавання, якщо остачу – дія називається дією віднімання, якщо добуток – то маємо дію множення, якщо частку – то маємо дію ділення.
Дія додавання
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
3 2 5
До трьох кружечків приєднали два кружечки, разом стало п’ять кружечків. У цьому випадку кажуть, що над числами 3 і 2 виконали дію додавання. Знак дії додавання «+» – «плюс». Дію додавання двох чисел записують так: пишуть числа 3 і 2, які додаються, між ними ставлять знак дії додавання «+» , після другого числа записують знак «=» і записують результат дії додавання – число 5.
3 + 2 = 5.
Такий запис називається прикладом на додавання і читається так: «До трьох додати два, буде 5 (дорівнює п’ять)»; «три плюс два, буде п’ять».
Якщо предмети об’єднують (приєднують), то виконується дія додавання і отримують більше число.
Сума
3 + 2 = 5
доданок доданок сума
Числа, які додаємо, називаються доданками. Результат дії додавання називається сумою. Сумою називається також запис 3 + 2. Тому приклад на додавання можна прочитати ще так: «Сума чисел 3 і 2 дорівнює п’яти» або «Перший доданок 3, другий доданок 2, сума дорівнює п’яти».
Дія віднімання13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Закрийте рукою 2 кружечки. Було 5 кружечків. 2 кружечки забрали залишилося 3 кружечки. У цьому випадку кажуть, що над числами 5 і 2 виконали дію віднімання. Знак дії віднімання «–» – «мінус». Приклад на віднімання записують так:
5 – 2 = 3.
Читається приклад на віднімання так: «Від п’яти відняти два, буде три (дорівнює три)»;
«5 мінус 2, дорівнює 3».
Якщо частину предметів забирають (вилучають), то виконується дія віднімання і отримують менше число.
Різниця
5 – 2 = 3
Зменшуване Від’ємник Різниця
Число, від якого віднімають, називають зменшуваним, число, яке віднімають, називають від’ємником. Число, яке отримали, виконуючи дію віднімання, називають різницею. Різницею називають також і запис 5 – 2. Тому приклад на віднімання можна прочитати ще так: «Різниця чисел 5 і 2 дорівнює 3» або «Зменшуване 5, від’ємник 2, різниця дорівнює 3».
Взаємозв’язок додавання і віднімання

3 + 2 = 5 5 – 2 = 3 5 – 3 = 2.
Послідовність виконання вправи на встановлення взаємозв’язку
Викладіть 3 кружечки; докладіть ще 2 кружечки; порахуйте, скільки кружечків стало; складіть приклад на додавання; дайте назви числам 3, 2, 5 (3 – доданок, 2 – доданок, 5 – сума).
Маємо 5 кружечків, заберіть 2 кружечки; порахуйте скільки кружечків залишилося; складіть приклад на віднімання; тепер пригадайте назви чисел 5, 2, 3, як вони мали у прикладі на додавання, і поясніть як можна отримати приклад на віднімання з приклада на додавання (від суми 5 віднімаємо доданок 2 і отримуємо доданок 3).
За наведеною у попередньому пункті схемою складаємо другий приклад на віднімання.
Підсумок: Якщо від суми віднімемо один з доданків, одержимо інший доданок. З кожного прикладу на додавання можна скласти два приклади на віднімання.
Зв'язок між компонентами та результатом дії віднімання
Богданович М.В., Лишенко Г.П. Математика. 1 клас. 2012р.
№ 107, с. 126. Виконай завдання за таблицею
Зменшуване
10
10
10
9
9
8
8
7
7
7

Від’ємник
2
5
7
5
0
4
8
6
3
2

Різниця











Додай від’ємник до різниці в кожному стовпчику. Порівняй результат із зменшуваним. Зроби висновок. (Висновок: Якщо від’ємник додати до різниці, одержимо зменшуване)
Відніми від зменшуваного різницю в кожному стовпчику. Порівняй результат з від’ємником. Зроби висновок. (Висновок: Якщо від зменшуваного відняти різницю, одержимо від’ємник).
Додавання і віднімання числа частинами.

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Зразок міркувань
5 + 3. Число 3 складається з двох менших чисел 2 і 1. Отже число 3 ми можемо додавати частинками: спочатку до 5 додаємо 2, отримаємо 7, а потім до 7 додамо 1, отримаємо 8. Отже, 5 + 3 = 8.
7 – 3. У цьому випадку число 3 можемо також віднімати частинками. Спочатку від 7 віднімемо 2, отримаємо 5, потім від 5 віднімемо 1, отримаємо 4. Отже, 7 – 3 = 4.

1) Переставна властивість додавання 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2 + 3 = 5 3 + 2 = 5
2 + 3 = 3 + 2.
Послідовність опрацювання: Прочитайте перший приклад; прочитайте другий приклад. Що спільного? (Однакові числа, однакові дії, однакові результати) Що різного? (Числа записані в різному порядку) Висновок: При додаванні числа можна переставляти.
2) 2 + 3 + 4 = 9 4 + 3 + 2 = 9 3 + 4 + 2 = 9.
Послідовність опрацювання: Перевіримо, чи правильно виконані дії у цих всіх трьох прикладах; Що спільного у всіх трьох прикладах? Чим відрізняються приклади?
Висновок: Додавати числа можна в будь-якому порядку.

Ознайомлення з відношеннями «більше на », «менше на », різницевим порівнянням чисел
Богданович М.В., Лишенко Г.П. Математика. 1 клас. 2012р. с. 58.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Кружечків стільки ж, скільки трикутників, та ще 2. Кружечків на 2 більше, ніж трикутників.
П’ятикутників стільки ж як і чотирикутників, без двох. П’ятикутників на 2 менше, ніж чотирикутників.
4 + 2 = 6. Можна прочитати «4 збільшити на 2, буде 6»
7 – 2 = 5. Можна прочитати «7 зменшити на 2, буде 5».
Щоб дізнатись, на скільки одне число більше або менше від другого, треба від більшого числа відняти менше.

Методика складання та заучування таблиць додавання і віднімання в межах 10
Таблиці додавання і віднімання одного і того ж числа складаються на одному уроці одночасно. На складання і заучування таблиць додавання і віднімання кожного з чисел від 1 до 9 відводиться 2 – 3 уроки. Таблиці складаються з використанням лічильного матеріалу. Засвоюються напам’ять в процесі багаторазових повторень при розв’язуванні достатньої кількості вправ. Для більш ефективного засвоєння таблиць варто пропонувати учням різноманітні постановки завдань для виконання обчислень, зокрема, і ігрового характеру (див. п. 5).

Залежність результату арифметичної дії від зміни одного з компонентів
Богданович М.В., Лишенко Г.П. Математика. 1 клас. 2012р. с. 78.
Доданок
3
3
3

Доданок
2
3
6

Доданок
4
2
7

Доданок
4
4
4

Сума




Сума




Порівняй доданки і суми і зроби висновок про зміну суми залежно від зміни одного з доданків. Як зміниться сума, якщо один з доданків збільшити на 3? А якщо зменшити на 3?
Послідовність роботи:
Працюємо з першою таблицею, яка записана на дошці. Знаходимо суми і записуємо в нижньому рядку: 7 5 10. Порівнюємо перший і другий стовпчики. Перші доданки однакові.. Другий доданок зменшився на 2. Сума також зменшилась на 2. Порівнюємо другий і третій стовпчики. Перші доданки однакові. Другий доданок збільшився на 3. Сума також збільшилась на 3.
За такою ж схемою працюємо з другою таблицею. В цій таблиці однакові другі доданки. Порівнюємо другий стовпчик і перший, другий і третій.
Висновок: На скільки одиниць збільшили один з доданків, на стільки ж само одиниць збільшиться сума. На скільки одиниць зменшили один з доданків, на стільки ж само одиниць зменшиться сума. Якщо один з доданків збільшити на якесь число, то і сума збільшиться на таке ж саме число. Якщо один з доданків зменшити на якесь число, то і сума зменшиться на таке ж саме число
Богданович М.В., Лишенко Г.П. Математика. 1 клас. 2012р. с. 107
Як змінюється різниця в кожному випадку?
Зменшуване
5
8
10

Зменшуване
8
8
8

Від’ємник
4
4
4

Від’ємник
4
2
6

Різниця




Різниця




Послідовність роботи над цими таблицями така ж, як і над таблицями на дію додавання, описана вище.
Висновок 1. Якщо зменшуване збільшити на кілька одиниць, то на стільки ж само збільшується різниця. Якщо зменшуване зменшити на кілька одиниць, то на стільки ж само зменшується різниця.
Висновок 2. Якщо від’ємник збільшити на кілька одиниць, то різниця зменшиться на стільки ж само одиниць. Якщо від’ємник зменшити на кілька одиниць, то різниця збільшиться на стільки ж само одиниць.
*Не виконуючи дій скажи: на скільки різниця 15 – 8 більша за різницю 10 – 8; різниця 16 – 9 менша за різницю 16 – 7.
Зразок міркувань: 1) У різницях 15 – 8 і 10 – 8 від’ємники однакові. Порівнюємо зменшувані. 15 > 10 на 5, тому різниця 15 – 8 більша за різницю 10 – 8 на 5 одиниць; 2) У різницях 16 – 9 і 16 – 7 однакові зменшувані. Тому порівнюємо від’ємники. 9 > 7 на 2, тому різниця 16 – 9 менша за різницю 16 – 7 на 2.
Засвоїти виведені вище правила та навчити їх застосовувати при обчисленнях способом округлення допоможе в певній мірі виконання вправ виду:
1) Обчисли вирази. Порівняй приклади у стовпчиках, зроби висновки .
10 + 1 12 + 1 12 – 1 18 – 1
20 + 1 22 + 1 22 – 1 28
· 1.
2) Використай результат дії першого приклада стовпчика для знаходження
результату дії другого приклада
10 + 5 6 + 10 12 – 10 18 – 8
9 + 5 6 + 9 12 – 8 18 – 9.
3) Як можна змінити один чи обидва доданки у прикладі 5 + 4, щоб сума
збільшилась на 2? (Один з доданків збільшити на 2; один з доданків
збільшити на 3, а другий – зменшити на 1);
Як можна змінити числа у прикладі 12 – 2, щоб різниця зменшилась на 1? (зменшуване зменшити на 1; від’ємник збільшити на 1; зменшуване зменшити на 2, а від’ємник зменшити на 1).
4) Порівняй приклади у кожному стовпчику. На скільки сума більша від
різниці?
30 + 5 40 + 6 50 + 7
30 – 5 40 – 6 50 – 7.


Лекція 7. Методика навчання додавання і віднімання двоцифрових, трицифрових і багатоцифрових чисел

Витяг з програми
1 клас
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Додавання й віднімання чисел у межах 100 без переходу через розряд
Додавання розрядного числа до двоцифрового
(45 + 20).
Віднімання розрядного числа від двоцифрового (45 – 20).
Додавання одноцифрового числа до двоцифрового (45 + 2).
Віднімання одноцифрового числа від двоцифрового (45 – 2).
Порозрядне додавання і віднімання двоцифрових чисел (45 + 22, 45 – 22) (ознайомлення).



розуміє сутність порозрядного додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток;
застосовує прийоми обчислення у межах 100 без переходу через розряд;
прогнозує результат додавання і віднімання, зважаючи, що при додаванні дістанемо більше число, а при відніманні – менше


2 клас
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Додавання і віднімання чисел у межах 100 з переходом через розряд
Прийоми додавання і віднімання чисел з переходом через десяток у межах 20
Додавання і віднімання одноцифрових чисел частинами.
Додавання суми до числа.
Віднімання суми від числа. Додавання на основі переставного закону додавання.
Віднімання на основі взаємозв’язку між діями додавання і віднімання.
Віднімання числа від суми






розуміє сутність властивостей додавання суми до числа, віднімання суми від числа та числа від суми;
розуміє сутність прийомів додавання і віднімання одноцифрових чисел частинами;
застосовує взаємозв’язок між діями додавання і віднімання при відніманні з переходом через десяток;
застосовує переставний і сполучний закони додавання, правила віднімання суми від числа, віднімання числа від суми;
добирає доцільний спосіб обчислення для конкретного випадку

Таблиці додавання і віднімання
Таблиці додавання та віднімання одноцифрових чисел з переходом через десяток.
Залежність результатів арифметичних дій від зміни одного з компонентів при сталому іншому компоненті.
Прийом округлення.
Перевірка правильності виконання дій додавання і віднімання


розуміє залежність результатів дій додавання і віднімання від зміни одного з компонентів;
прогн
·озує результат додавання та віднімання;
перевіряє додавання відніманням, а віднімання – додаванням;
володіє навичками додавання і віднімання з переходом через десяток у межах 20;
обирає доцільний спосіб обчислення для конкретного випадку

Усне додавання і віднімання чисел у межах 100 з переходом через розряд
Додавання одноцифрового числа до двоцифрового
(45 + 7).
Віднімання одноцифрового числа від двоцифрового: (45 – 7).
Додавання і віднімання двоцифрових чисел (45 + 27, 45 – 27).
Прийоми додавання і віднімання: частинами, порозрядне, способом округлення тощо.
Перевірка правильності виконання дій додавання і віднімання




розуміє сутність прийомів усного додавання й віднімання чисел частинами, порозрядного, способом округлення;
застосовує правила додавання числа до суми, віднімання числа від суми в обчисленнях у межах 100 з переходом через десяток;
застосовує в обчисленнях переставний і сполучний закони додавання, правила віднімання суми від числа;
володіє обчислювальними навичками додавання і віднімання з переходом через десяток у межах 100;
обирає доцільний спосіб обчислення для конкретного випадку;
перевіряє правильність виконання додавання й віднімання відомими способами


3 клас
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Додавання і віднімання трицифрових чисел

Прийоми усного додавання і віднімання круглих трицифрових чисел
(450 + 270, 450 – 270)
Додавання на основі правила додавання суми до числа, числа до суми.
Віднімання на основі правила віднімання суми від числа, числа від суми.
Порозрядне додавання і віднімання.
Додавання і віднімання способом округлення







розуміє сутність прийомів усного додавання і віднімання трицифрових чисел, поданих круглими десятками;
застосовує усні прийоми додавання і віднімання для знаходження значення числового виразу;
обирає доцільний (зручний) спосіб обчислення для конкретного випадку


Письмові прийоми
Алгоритм виконання письмового додавання й віднімання трицифрових чисел.
Перевірка правильності виконання дій


застосовує алгоритм додавання і віднімання у стовпчик;
планує послідовність виконання дій;
коментує свої дії під час виконання обчислень;
перевіряє правильність виконання додавання і віднімання вивченими способами

4 клас



Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Арифметичні дії з багатоцифровими числами.
Письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел
Письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел. Письмове додавання у випадку трьох доданків.
Перевірка правильності виконанні дій додавання і віднімання.





виконує додавання у випадку трьох доданків;
прогнозує кількість цифр у сумі, різниці;
перевіряє правильність виконання арифметичних дій;
володіє навичками письмового додавання й віднімання багатоцифрових чисел



Методика ознайомлення учнів з прийомами усного додавання і віднімання двоцифрових чисел
Перший клас
Загальний прийом додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток
Підготовчі вправи:
а) засвоєння учнями порозрядного складу двоцифрових чисел в процесі вивчення нумерації;
б) засвоєння прийомів виконання дій додавання і віднімання, пов’язаних з нумерацією чисел;
в) засвоєння правила: числа можна додавати в довільному порядку.
Ознайомлення з прийомом виконання дій відбувається за такою схемою:
– монологічне пояснення вчителя або евристична бесіда, яку проводить вчитель, з використанням розгорнутого запису обчислення

34 + 52 =

30 4 50 2 30 + 50 = 80 4 + 2 = 6 80 + 6 = 86 34 + 52 = 86;
Зразок пояснення: Число 34 розкладаємо на розрядні доданки 30 і 4; число 52 розкладаємо на розрядні доданки 50 і 2; десятки додаємо до десятків: 30 + 50 = 80; одиниці додаємо до одиниць: 4 + 2 = 6; додаємо знайдені суми: 80 + 6 = 86; сума чисел 34 і 52 дорівнює 76;
– пояснення учнем/учнями за підтримки вчителя прийому обчислення за менш розгорнутим записом: 43 + 24 = 40 + 3 + 20 + 4 = 60 + 7 = 67;
– пояснення учнем/учнями способу виконання дії 25 + 71, допоміжних записів нема, вчителем можуть даватися навідні запитання;
– колективне виконання із записом на дошці і в зошитах з повним усним поясненням кількох прикладів 35 + 41 14 + 62;
– самостійне виконання із записом у зошитах кількох прикладів 33 + 33 72 + 16.
При виконанні обчислень учні опираються на правила: 1) при додаванні двоцифрових чисел десятки додають до десятків, одиниці – до одиниць; 2) при відніманні двоцифрових чисел десятки віднімають від десятків, одиниці – від одиниць.
Після засвоєння загального прийому розглядаються окремі випадки додавання і віднімання виду: 54 + 30, 54 + 3, 20 + 47, 79 – 40, 79 – 4. При вивченні прийомів додавання і віднімання вказаних видів звертаємо увагу на зручність виконання дії в кожному конкретному випадку. При виконанні дій 54 + 30 і 54 + 3 акцентуємо увагу на тому, що у першому випадку десятки зручніше додавати до десятків, а в другому випадку одиниці зручніше додавати до одиниць. Те ж саме стосується і виконання дії віднімання. В кінці вивчення теми розглядається також спрощений прийом додавання, коли на розрядні доданки розкладається тільки друге число: 53 + 45 = 53 + (40 + 5) = (53 + 40) + 5 = 93 + 5 = 98.
При завершенні першого класу на рівні ознайомлення можна розглянути (але не обов’язково) прийоми додавання і віднімання з переходом через десяток в межах 20.
Другий клас
1) Прийоми додавання і віднімання чисел з переходом через десяток у межах 20
а) 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15.
Зразок пояснення: Число 7 будемо додавати частинами. Для цього 7 розкладаємо на два зручних доданки: 2 (щоб доповнити 8 до 10) і 3. До числа 8 додаємо, маємо 10. До 10 додаємо 3, отримуємо 13. Отже сума чисел 8 і 5 дорівнює 13.
б) 5 + 8 = 8 + 5 = 8 + (2 + 3) = 8 + 2 + 3 = 10 + 3 = 13.
Зразок пояснення: Зручніше менше число додавати до більшого. Тому спочатку скористаємось переставним законом і будемо мати 5 + 8 = 8 + 5. А далі число 5 додаємо частинами.
в) 12 – 5 = 7.
Спосіб 1. 12 – 5 = 12 – (2 + 3) = 12 – 2 – 3 = 10 – 3 = 7.
Зразок пояснення: Використаємо правило віднімання числа частинами. Для цього від’ємник 5 розкладемо на два зручних доданки: 2 (бо у числі 12 – дві окремих одиниці) і 3. Від 12 віднімемо 2, отримаємо 10; від 10 віднімемо 3, маємо 7. Отже різниця чисел 12 і 5 дорівнює 7.
Спосіб 2. 12 – 5 = (10 +2) – 5 = 10 – 5 + 2 = 5 + 2 = 7.
Зразок пояснення. Розкладемо число 12 на десятки і одиниці. Число 5 віднімемо від 10 (ми вміємо це робити), отримаємо 5. До одержаного результату 5 додамо 2 одиниці зменшуваного. Отримаємо 7.
Спосіб 3. 12 – 5 = 7, тому що 7 + 5 = 12.
2) Таблиці додавання та віднімання одноцифрових чисел з переходом через десяток



1+6=7

7–6=1

2+6=8

8–6=2

3+6=9

9–6=3

4+6=10

10–6=4

5+6=11

11–6=5

6+6=12

12–6=6

6+7=13

13–6=7

6+8=14

14–6=8

6+9=15

15–6=9







Послідовність складання таблиць додавання віднімання:
– Приклади на додавання/віднімання в межах 10 просто зачитуються учнями вголос;
– Приклади на додавання/віднімання з переходом через розряд зачитуються, але при цьому дається пояснення способу виконання дії. Після пояснення деякі приклади записуються в зошитах. Після запису приступають до пояснення наступного прикладу. Можна записати два-три приклади через один як для таблиці додавання, так і для таблиці віднімання.
3) прийом округлення
а) 9 + 5 = 10 + 5 – 1= 15 – 1 = 14.
Зразок пояснення: Перший доданок збільшили на 1, то і сума збільшиться на 1. Щоб отримати реальний результат, треба від одержаної суми чисел 10 і 5, тобто числа 15, відняти 1.
Аналогічне пояснення дається і у випадку додавання виду 5 + 8 = 5 + 10 – – 2 = 15 – 2 = 13. Тут змінюється другий доданок.
б) 18 – 9 = 18 – 10 + 1 =8 + 1 = 9.
Зразок пояснення: При відніманні від’ємник збільшили на 1, різниця буде на 1 менша від реальної. Щоб одержати правильний результат, треба до різниці чисел 18 і 10 додати 1.
4) Усне додавання і віднімання чисел у межах 100 з переходом через розряд
Перший крок – додавання і віднімання одноцифрового числа до/від двоцифрового виду 45 + 7, 45 – 7.
Зразок пояснення
45 + 7:
а) Порозрядне додавання. Одиниці зручніше додавати до одиниць. До 5 + 7 = 12. Число 12 – це 10 і 2. До 40 + 10 = 50. 50 + 2 = 52. Отже, сума чисел 47 і 5 дорівнює 52.
б) Додавання числа частинами. Число 45 – це 40 і 5. Число 7 розкладемо на 5 (щоб доповнити одиниці числа 45 до 10) і 2. До 5 + 5, маємо 10. 40 + 10 = 50. 50 + 2 = 52.
45 – 7:
а) Віднімання числа від суми. Число 45 – це 30 і 15. 15 – 7 = 8. 30 + 8 = 38. Отже 45 – 7 = 38.
б) Віднімання числа частинами. 7 – це 5 і 2. 45 – 5 = 40. Щоб відняти ще 2, заберемо від 40 число 10. 10 – 2 = 8. 30 + 8 = 38. Отже 45 – 7 = 38.
Другий крок – вивчення прийомів додавання і віднімання двоцифрових чисел виду 45 + 27, 45 – 27.
Зразок пояснення
45 + 27:
а) Загальний прийом (порозрядне додавання). Число 45 – це 40 і 5. Число 27 – це 20 і 7. Десятки додаємо до десятків, одиниці – до одиниць. 40 + 20 = 60, 5 + 7 = 12. 60 + 12 = 72. Отже, сума чисел 45 і 27 дорівнює 72.
б) Спрощений прийом (за правилом додавання суми до числа). Розкладаємо на розрядні доданки 20 і 7 тільки число 27. 45 + 20 = 65. 65 + 7 = 72. Отже, сума чисел 45 і 27 дорівнює 72.
45 – 27:
а) Загальний прийом (за правилом віднімання суми від суми). Число 45 розкладаємо на зручні доданки 30 і 15, число 27 – на розрядні доданки 20 і 7. 30 – 20 = 10. 15 – 7 = 8. 10 + 8 = 18. Отже, різниця чисел 45 і 27 дорівнює 18.
б) Спрощений прийом (за правилом віднімання суми від числа). Розкладаємо на розрядні доданки 20 і 7 тільки число 27. 45 – 20 = 25. 25 – 7 = 18. Отже, різниця чисел 45 і 27 дорівнює 18.
5) прийом округлення: 45 + 49, 57 – 18.
Зразок пояснення
45 + 49:
Число 49 близьке до числа 50, яке легко додавати. 45 + 50 = 95. Але ми додали на 1 більше, ніж потрібно. Щоб одержати правильний результат, треба від 95 відняти 1. Отже сума чисел 45 і 49 дорівнює 94.
57 – 18:
Число 18 близьке до числа 20. 57 – 20 = 37. Але ми відняли на 2 одиниці більше, ніж було потрібно. Щоб одержати правильний результат, потрібно ці дві одиниці додати до 37. Отже різниця чисел 57 і 18 дорівнює 39.
Третій клас
Прийоми усного додавання і віднімання круглих трицифрових чисел виду 450 + 270, 450 – 270.
Зразок пояснення загального прийому і спрощеного подібний до пояснення додавання і віднімання двоцифрових чисел через розряд.

Ознайомлення з письмовим додаванням і відніманням. Письмове додавання і віднімання трицифрових чисел
Третій клас
Підготовча робота
а) засвоєння учнями порозрядного складу трицифрових чисел в процесі вивчення нумерації;
б) засвоєння прийомів виконання дій додавання і віднімання, пов’язаних з нумерацією чисел;
в) засвоєння табличних випадків додавання і віднімання одноцифрових чисел, зокрема з переходом через десяток.
Ознайомлення з прийомами письмового додавання і віднімання
Проводиться за схемою, подібною до схеми ознайомлення з усними прийомами додавання і віднімання, але пояснення дається вчителем у монологічній формі. Учням потрібно пояснити форму запису, послідовність виконання дії. Якщо при усному виконанні дії виконувати додавання чи віднімання починаємо з одиниць найвищого розряду, то при письмовому виконанні дій виконувати дію починаємо з найнижчого розряду – одиниць. На перших порах пояснення виконання дії потрібно давати повне, особливо у випадку переходу через розряд. Поступово із засвоєнням прийому переходять до стислого пояснення виконання дії. Повне пояснення потрібне в подальшому у четвертому класі при виконанні дій виду 7998 + 5, 3000–25. Стисле пояснення використовується при письмовому виконанні дій додавання і віднімання багатоцифрових чисел.
Послідовність вивчення письмового додавання і віднімання трицифрових чисел ілюструється такими прикладами: 325 + 413, 487 – 235, 376 + 414, 225 + 284, 580 – 327, 807 – 423, 368 + 225, 674 + 163, 945 – 217, 676 – 394, 358 + 274, 325 – 146.
Наведемо приклади деяких коментарів до письмового виконання дій.
Коментар 1. Повний. Дається при ознайомленні з письмовим додаванням.
+325 Другий доданок записуємо під першим так, щоб одиниці були під
413 одиницями, десятки під десятками, а сотні під сотнями. Знак «+»
738 кладемо між доданками, спереду. Знак «=» замінюємо рискою, проведеною під другим доданком. Суму будемо записувати під рискою. Дію починаємо виконувати з розряду одиниць. До п’яти одиниць додати три одиниці, буде вісім одиниць, на місці одиниць пишемо 8; до двох десятків додати один десяток, буде три десятки, на місці десятків пишемо 3; до трьох сотень додати 4 сотні, буде сім сотень, на місці сотень пишемо 7. Сума чисел 325 і 413 дорівнює числу 738.
Подібний повний коментар дається і при ознайомленні з письмовим відніманням.
Коментар 2. Повний. Дається при ознайомленні з прийомом віднімання з переходом через розряди.
_– 325 Від п’яти одиниць шість одиниць не можемо. В розряді десятків
146 «позичаємо» один десяток. Один десяток – це десять одиниць, та ще
179 п’ять одиниць, маємо п’ятнадцять одиниць. Від п’ятнадцяти одиниць відняти шість одиниць, маємо дев’ять одиниць, на місці одиниць пишемо 9. Від одного десятка, що залишився в розряді десятків, відняти 4 десятки не можемо. Тому в розряді сотень «позичаємо» одну сотню, що становить десять десятків. Десять десятків та ще один, маємо одинадцять десятків. Від одинадцяти десятків віднімаємо чотири десятки, отримуємо сім десятків; на місці десятків пишемо 7. І, нарешті, від двох сотень, що залишилися, віднімаємо одну сотню, отримуємо одну сотню; на місці сотень пишемо 1. Різниця чисел 325 і 146 дорівнює 179.
Коментар 3. Стислий. Ознайомлюють на прикладі додавання і віднімання трицифрових чисел, використовують в основному при письмовому виконанні дій додавання і віднімання з багатоцифровими числами.
+ 674 До чотирьох додати три, буде сім. До семи додати шість, буде
163 тринадцять, 3 записуємо, один десяток додамо до одиниць
837 наступного розряду. До шести додати один, буде сім, та ще той один, що запам’ятали, одержимо вісім. Сума чисел 674 і 163 дорівнює 837.

Додавання і віднімання багатоцифрових чисел
Четвертий клас
Письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел виконується так само, як письмове додавання і віднімання трицифрових чисел. Особливої уваги вимагає пояснення виконання дій виду 7998 + 5, 3000–25.
Коментар 4. Повний. Дається вчителем для повного розуміння процесу виконання дії віднімання в одному із найскладніших випадків.
– 3000
25
2975
У розряді одиниць у зменшуваному 0 одиниць, тому 5 одиниць відняти не можемо. Позичити можемо аж у розряді одиниць тисяч. Але одної тисячі для одиниць забагато. Тому 1 тисячу розбиваємо на 10 сотень. 9 сотень залишаємо у розряді сотень, а одну сотню розбиваємо на 10 десятків. 9 десятків лишаємо у розряді десятків, а один десяток розбиваємо на 10 одиниць. А тепер послідовно виконуємо дію віднімання, починаючи з розряду одиниць. Від 10 віднімаємо 5, отримуємо 5; від 9 віднімаємо 2, отримуємо 7; далі зносимо одиниці кожного розряду, що лишилися, тобто 9 і 2, у результат. Різниця чисел 3000 і 25 дорівнює 2975.


4. Перевірка правильності виконання дій додавання і віднімання
Опирається на зв'язок між компонентами та результатами арифметичних дій додавання і віднімання.
Правило 1. Щоб перевірити правильність дії додавання, можна від суми відняти один з доданків. Якщо отримаємо другий доданок, то дія додавання виконана правильно.
Для перевірки правильності письмового виконання дії додавання багатоцифрових чисел можна використати також переставний закон: якщо, переставивши доданки місцями, одержимо ту ж саму суму, то дія додавання виконана правильно.
Правило 2. Щоб перевірити правильність виконання дії віднімання, можна до різниці додати від’ємник (до від’ємника додати різницю) Якщо отримаємо зменшуване, то дія віднімання виконана правильно.
Правило 3. Щоб перевірити правильність виконання дії віднімання, можна від зменшуваного відняти різницю. Якщо отримаємо від’ємник, то дія віднімання виконана правильно.
Лекція 8. Методика ознайомлення з діями множення і ділення. Табличне множення і ділення

Ознайомлення з діями множення і ділення та вивчення всіх випадків табличного множення і ділення за новою програмою здійснюється у другому класі.
Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Табличне множення та ділення
Арифметичні дії множення і ділення
Сутність дії множення.
Сутність дії ділення.
Знаки арифметичних дій множення і ділення.
Назви компонентів та результатів дій множення і ділення.
Переставний закон множення.
Взаємозв’язок між множенням і діленням.
Властивості множення і ділення на 1, 10; множення на нуль, нуля на число; ділення нуля на число Неможливість ділення на нуль.
Ділення рівних чисел.





знає назви компонентів та результатів дій множення і ділення;
знає властивості дій множення і ділення на 1,10, множення на нуль, нуля на число, ділення нуля на число, ділення рівних чисел;
розуміє що ділення на 0 неможливе;
розуміє сутність дії множення як операцію об’єднання множин, які не перетинаються і містять однакову кількість елементів;
розуміє, що суму однакових доданків можна замінити множенням;
розуміє сутність дії ділення як операцію розбиття множини на кілька рівночисельних множин, що не перетинаються;
розрізняє ділення на вміщення і ділення на рівні частини;
застосовує взаємозв’язок між діями множення і ділення в обчисленнях;
застосовує в обчисленнях переставний закон множення

Таблиці множення і ділення
Таблиці множення та ділення одноцифрових чисел.
Залежність результату множення і ділення від зміни одного з компонентів при сталому іншому.
Перевірка правильності виконання дій множення і ділення


знає таблиці множення чисел 2–9;
знає таблиці ділення на числа 2–9;
розуміє способи складання таблиць множення і ділення;
розуміє залежність значення добутку від зміни одного з множників;
розуміє залежність значення частки від зміни діленого або дільника;
перевіряє правильність виконання дії множення діленням, а ділення – множенням

Відношення кратного порівняння
Збільшення та зменшення числа в кілька разів.
Кратне порівняння чисел.



знає слова-ознаки відношення кратного порівняння;
розуміє сутність відношення «більше в...», «менше в...»;
моделює відношення кратного порівняння чисел

Правила знаходження невідомих компонентів дій множення і ділення
Знаходження невідомих множника, діленого, дільника



застосовує в обчисленнях правила знаходження невідомих множника, діленого, дільника


Ознайомлення з діями множення і ділення
Ознайомлення з діями множення і ділення відбувається за одною схемою:
– розглядається задача, що розкриває зміст дії;
– записується приклад, що дає розв’язання цієї задачі з відповідним коментуванням вчителя щодо позначень, запису і читання;
–опрацьовуються вправ на закріплення з поняттям дії, що вводиться.
а) Дія множення
Проводиться через задачу на знаходження суми однакових доданків.
Потрібно обчислити кількість розташованих парами кружечків (вишеньок)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Знаходження суми однакових доданків називається множенням. 2 · 5 = 10. На першому місці записується число, що додається, на другому – число, яке показує, скільки таких доданків є. Між ними ставиться знак дії множення «·». Після знака «=» пишемо результат, тобто, значення суми.
б) Дія ділення
Задача 1.( Ділення на рівні частини) 6 груш розділили порівну на 3 тарілки. По скільки груш клали на кожну тарілку?
Розв’язування задачі супроводжується демонстрацією ситуації, описаної в задачі. Груші ділимо по одній по черзі у кожну тарілку. Після закінчення поділу рахуємо кількість груш у кожній тарілці. Груші ділили порівну. Над числами 6 і 3 виконується дія ділення, знак якої «:», запис має вид: 6 : 3 = 2.
Задача 2. (Ділення на вміщення) 6 груш розклали по 3 груші на тарілки. Скільки тарілок заповнили?
При демонстрації ситуації груші відраховуємо по 3 і кладемо на тарілки. Після закінчення операції рахуємо кількість тарілок. У цьому випадку груші також ділили. Тому ця задача також розв’язується дією ділення 6 : 3 = 2. Але у цій задачі число 2 уже означає кількість заповнених тарілок.

в) Зв'язок між компонентами та результатами арифметичних дій множення і ділення.
Зв'язок між множенням і діленням




























Складаємо приклад на множення, рахуючи прямокутники по стовпчиках: є 6 стовпчиків по 4 прямокутники в кожному.
Складаємо приклади на ділення, ділячи квадратики спочатку на 6 однакових стовпчиків, а потім – на 4 однакових рядки. Для запису результату дії ділення рахуємо кількість прямокутників у стовпчику/рядку.
Висновок: З кожного прикладу на множення можна скласти два приклади на ділення.
Пригадуємо назви чисел при множенні: 4 і 6 – множники, 24 – добуток. Аналізуємо записи прикладів на ділення і робимо.
Висновок: Якщо добуток поділити на один із множників, одержимо другий множник.
Перевірка правильності виконання дії множення: Щоб перевірити правильність виконання дії множення, можна добуток поділити на один з множників. Якщо отримаємо другий множник, то дія множення виконана правильно.

Зв'язок між компонентами і результатом дії ділення.
28 : 4 = 7
Прочитайте приклад на ділення. Як називається число 28? Число 4? Число 7?
Завдання: Дільник помножити на частку. Що одержимо? (При множенні дільника на частку (частки на дільник), отримаємо ділене).
Правило перевірки правильності виконання дії ділення за допомогою дії множення: Щоб перевірити правильність виконання дії ділення, можна дільник помножити на частку (частку помножити на дільник). Якщо одержимо ділене, дія ділення виконана правильно.
2) 32 : 4 = 8
Завдання: Поділити ділене на частку. Що одержимо? (При діленні діленого на частку одержимо дільник).
Правило перевірки правильності виконання дії ділення за допомогою дії ділення: Щоб перевірити правильність виконання дії ділення, можна ділене поділити на частку. Якщо одержимо дільник, то дія ділення виконана правильно

2. Різні підходи до складання та засвоєння таблиць множення і ділення
а) За підручником Богдановича М.В.
Методика формування та організація вивчення таблиці множення числа 5 і відповідної таблиці ділення на число 5
Формування та організація вивчення таблиці множення числа 5 Підготовча робота
Замінити приклади на додавання прикладами на множення
5 + 5 + 5 + 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7
Прочитати приклад 5 · 7 = 35. Що показує перший множник? Що показує другий множник? Як перевірити, що 5 · 7 = 35 ?
Опрацювання нового матеріалу
Формування таблиці множення числа 5
Проводиться всім класом у формі пошуково-дослідної роботи під керівництвом вчителя. Вчитель ставить проблему: потрібно скласти таблицю множення числа 5 на числа 2, 3, 4, , 9


Учні по одному біля дошки, а решта – в зошитах, записують послідовно відповідні приклади множення числа 5. Учень біля дошки поряд з цими прикладами записує відповідні приклади на додавання, обчислює суму і результат всі разом записують у таблицю множення. Треба звернути увагу учнів, що проводити обчислення суми від початку до кінця не дуже зручно, коли ми обчислюємо цю суму для великої кількості доданків. Потрібно для кожної наступної суми користуватися попереднім результатом: кожна наступна сума на 5 більша від попередньої (щоразу у сумі на один доданок 5 більше, ніж у попередній).
3-4 приклади опрацьовуються всім класом, 2-3 приклади можна записати з коментуванням, решту таблиці діти заповнюють самостійно, після закінчення роботи – звіряються одержані числа.
Щоб зекономити час, необов’язково записувати у зошитах усю таблицю. Можна записати самостійно тільки два останніх випадки. У цьому випадку можна зробити заготовки прикладів на додавання та макет таблиці множення, у який учні вписують відповідні числа: 5 · 2 = 10 5 · 3 = 15 5 · 4 = ... 5 · 5 = ... 5 · ... = ... 5 · ... = ... ... · ... = ... ... · ... = ... .
Первинне закріплення
Проводиться шляхом розв’язування вправ на дві дії, одна з яких – множення числа 5, а також розв’язування простих задач на множення.
Вирази: 5 · 3 + 12 5 · 7 – 23 5 · 9 + 50 5 · 8 – 14
Два колективно, два самостійно
Задача 1: Учні посадили дерева у 4 ряди по 5 дерев у кожному ряду. Скільки дерев посадили учні? (Колективне розв’язування із записом у зошитах)
Задача 2: На грядці 5 рядів помідорів по 6 кущів в кожному ряду. Скільки всього кущів? (Самостійне виконання)
Творче завдання. Скласти і розв’язати задачу про квіти, що розв’язується за схемою:






При роботі над задачею звертаємо увагу, що у перших чотирьох кошиках квітів по 5, а у п’ятому їх може бути 7.


Формування та організація вивчення таблиці ділення на число 5
Підготовча робота
За малюнком скласти одну задачу на множення, а другу на ділення. При розв’язуванні першої задачі число 5 є множником, а другої – дільником.






З прикладу 5 · 7 = 35 скласти приклад на ділення на 5.
Вивчення нового матеріалу
Таблиця ділення на складається на основі таблиці множення числа 5.
На дошці може бути готова таблиця множення числа 5. Поряд макет таблиці ділення на 5, в який учні вписують числа, опираючись на відповідний приклад на множення. Два останніх приклади учні можуть записати у зошит самостійно.
5 · 2 = 10 10 : 5 =2
5 · 3 = 15 15 : 5 = 3
5 · 4 = 20 20 : 5 = ...
5 · 5 = 25 25 : 5 = ...
5 · 6 = 30 30 : ... = ...
5 · 7 = 35 35 : ... = ...
5 · 8 = 40 ... : ... = ...
5 · 9 = 45 ... : ... = ...
Первинне закріплення
Усне опитування на знаходження добутку і частки з використанням обох таблиць.
Розв’язування вправ на обчислення значень виразів, що містять дію ділення та дії додавання і віднімання. (два приклади колективно, по 2 аналогічних на СР по варіантах)
Розв’язування задачі на множення 5 · 2 = 10.
Складання оберненої.
Розв’язування задачі на ділення (самостійно).
Розв’язування задачі на зменшення у кілька разів (колективно).
б) За підручником Кочиної Л.П., Листопад Н.П.
Крок перший: ознайомлення з дією множення як з дією знаходження суми однакових доданків, заміна прикладів на додавання прикладами на множення і навпаки, знаходження добутку через складання суми (21 · 3 = 21 + 21 + 21 = 63);
крок другий: ознайомлення з переставним законом множення; знаходження зручнішого прийому обчислення: порівняй значення добутків 2 · 6 і 6 · 2 (вони однакові), як можна знайти ці добутки? (за допомогою дії додавання), у якому випадку доданків буде менше? (у другому, їх буде 2), який добуток зручніше обчислювати? (другий);
крок третій: ознайомлення з дією ділення, встановлення зв’язку між діями множення і ділення;
крок четвертий: складання таблиць множення і ділення. Складання таблиць починається із складання таблиці множення числа 2, проте із прикладом на множення числа 2 складаються ще 3 інших приклади: один на множення і два на ділення. Наприклад: 2 · 3 = 6, 3 · 2 = 6, 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2. Для кожного наступного числа нових випадків множення і ділення стає все менше і менше, оскільки вони були вивчені раніше. Такий комплексний підхід дозволяє зекономити час для запам’ятовування таблиць. Зекономлений час може бути використаний для вивчення чи закріплення іншого матеріалу.

3. Прийоми закріплення таблиць множення і ділення
Всю сукупність вправ на засвоєння таблиць множення ділення можна поділити на 5 видів.
1) Читання таблиць і називання їх по пам’яті:
Один учень може розказати всю таблицю; кілька учнів по одному прикладу називають таблицю; можна називати/записати тільки результати таблиці множення певного числа (краще по порядку, щоб не загубити жодного числа); для закріплення таблиці ділення учні можуть називати/записувати тільки ділені таблиці ділення конкретного числа; можна організувати гру «Показуха», коли вчитель називає приклад на множення чи ділення, а учні показують результат (віялом, блокнотом чи на пальцях).
2) Безпосереднє використання таблиць для знаходження потрібних результатів:
Вправа. Використовуючи таблицю множення числа 8, знайдіть значення числових виразів: 5 · 9 – 27 (53 – 48 ) · 7.
3) Відтворення способів складання таблиць
Вправа: Доведіть, що 5 · 3 = 15; 48 : 8 = 6.
4) Оперативне використання табличних результатів
Обчислення «ланцюжком»
50 – 8 56 : 7 Один ланцюжок може обчислювати один учень. Проте
: 7 + 12 робота буде ефективнішою, якщо один учень буде
· 8 : 5 називати і обчислювати лише один приклад ланцюжка (більше учнів буде задіяно; концентруватиметься увага всіх учнів на запам’ятовуванні результатів попереднього приклада). Можна пропонувати для виконання дій кілька ланцюжків, коли учні сприймають інформацію на слух і вкінці тільки називають чи показують остаточний результат.
5) Застосування знань табличних результатів у різних видах навчальної математично діяльності
Вправа: Поставте дужки так, щоб рівності були правильні: 54 – 18 : 9 = 4 28 : 4 + 3 = 4.
До кожного з цих п’яти видів вправ можна підібрати з методичної літератури багато різноманітних постановок завдань для виконання, як на етапі усних обчислень, так і на інших етапах уроку, зокрема для самостійної роботи.

4. Методика ознайомлення з поняттями «більше у .», «менше у »; кратне порівняння чисел
1) Ознайомлення з поняттям «більше у », «менше у »
У підручнику Богданович М.В. Математика. 2 кл. введення понять «більше у » і «менше у» вводиться з використанням відрізків.
№864, с. 142.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Послідовність роботи над вправою:
Назвіть відрізки, зображені на рисунку (АВ і КМ).
Яка довжина відрізка АВ? ( 3см).
Який відрізок КМ по відношенню до відрізка АВ? (Більший).
З малюнка видно, що відрізок КМ містить у собі 4 таких частинки-відрізки, як відрізок АВ (складається з чотирьох таких відрізків, як відрізок АВ). У цьому випадку кажуть, що відрізок КМ у 4 рази більший за відрізок АВ. Довжина відрізка КМ невідома, її треба знайти. З малюнка видно, що для того, щоб знайти довжину відрізка КМ, треба довжину відрізка АВ 3см додати 4 рази, тобто, виконати дію 3см · 4. Отже довжина відрізка КМ = 12см. Маємо таке правило: Щоб збільшити число у 4 рази, треба це число помножити на 4.
А тепер повторимо це правил хором.
А яку дію треба виконати, щоб збільшити число у 7 разів? у 9 разів?
З подібною схемою вводиться поняття «менше у »
Оскільки учні часто плутають поняття «більше на » і «більше у», «менше на » і «менше у », варто пропонувати учням пари вправ, які містять ці зовні подібні пари відношень.
Вправа 1. Зафарбуйте у зошиті 2 клітинки червоним кольором. У наступному рядочку синім кольором зафарбуйте на 3 клітинки більше. У третьому рядочку зафарбуйте зеленим кольором у 3 рази більше клітинок, ніж у першому рядочку.
Вправа 2. Розв’яжіть і порівняйте задачі.
З однієї грядки зібрали 24 кг огірків, а з другої на 4 кг менше. Скільки кілограмів огірків зібрали з другої грядки?
З однієї грядки зібрали 24 кг огірків, а з другої у 4 рази менше. Скільки
кілограмів огірків зібрали з другої грядки?
При порівнянні задач звертаємо увагу на те, що однаковими є сюжет задач і числові дані. Різними є відношення. Зміна відношення «на 4 кг менше» на відношення «у 4 рази менше» змінює вибір дії, а, отже, змінює і результат дії.

Ознайомлення з кратним порівнянням чисел

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

АВ = 2 см КМ = 10 см.
10 см поділити по 2 см: 10 : 2 = 5 (раз).
Відрізок АВ вмістився у відрізку КМ 5 разів.
Відрізок АВ у 5 разів коротший за відрізок КМ.
Відрізок КМ у 5 разів довший за відрізок АВ.
Щоб дізнатися у скільки разів одне число менше за друге (одне число більше за друге), більше число ділимо на менше.

5. Залежність результату множення і ділення від зміни одного з компонентів при сталому іншому.
Залежність результату множення і ділення від зміни одного з компонентів при сталому іншому дещо інша, ніж для дій додавання і віднімання. Збільшення чи зменшення компонента виконується не на кілька одиниць, а у кілька разів. При цьому маємо прямо пропорційну чи обернено пропорційну залежність, яка встановлюється методом часткової індукції при спостереженні змін у таблицях.

Множник
5
5
5

Множник
4
2
8

Добуток
20
10
40

Правило 1. Якщо один із множників збільшити у кілька разів, то у стільки ж само разів збільшиться і добуток. Якщо один із множників зменшити у кілька разів, то у стільки ж само разів зменшиться і добуток.
Таким же самим способом встановлюються залежності результату дії ділення від зміни діленого чи дільника у кілька разів.
Правило 2. Якщо ділене збільшити (зменшити) у кілька разів, то і частка збільшиться (зменшиться) у стільки ж само разів.
Правило 3. Якщо дільник збільшити у кілька разів, то частка зменшиться у стільки ж само разів. Якщо дільник зменшити у кілька разів, то частка збільшиться у стільки ж само разів.
Ці залежності використовуються при розв’язуванні задач, в яких розглядаються три величини з пропорційною залежністю між цими величинами (швидкість, час, відстань) і які не можуть бути розв’язані способом зведення до одиниці. Це може бути, наприклад така задача: «За 3 години велосипедист проїхав 40км. Яку відстань проїде велосипедист за 6 годин, якщо їхатиме з тією ж самою швидкістю?"
3 год – 40 км
6 год - ? км
Знайти швидкість велосипедиста в даному випадку неможливо, тому розв’язати задачу методом зведення до одиниці не можемо. За правилом знаходження відстані маємо v · t = s. Відстань – це добуток швидкості, яка є незмінною, на час, що змінюється. У скільки разів збільшиться (зменшиться) час руху, у стільки ж само разів збільшиться (зменшиться) пройдена відстань. Якщо ми знайдемо у скільки разів більше часу був у дорозі велосипедист, то тим самим ми дізнаємося у скільки разів більшу відстань він проїхав. Звідси і випливає спосіб розв’язування наведеної вище задачі.
Розв’язання:
У скільки разів більше часу буде рухатись велосипедист?
6 : 3 = 2 (рази).
Скільки кілометрів проїде велосипедист за 6 годин?
40 · 2 = 80 (км).
Відповідь: за 6 годин велосипедист проїде 80 км.
























Лекція 9. Методика вивчення позатабличного усного множення і ділення в межах мільйона

Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Арифметичні дії з числами на основі нумерації
Множення і ділення круглого числа на одноцифрове число (40
· 2, 400
· 2, 40 : 2, 400 : 2, 120 : 2).
Ділення круглого числа на кругле (40 : 20, 400 : 200).
Множення одноцифрового числа на кругле, ділення на кругле число способом послідовного множення та ділення


виконує множення і ділення круглого числа на одноцифрове;
виконує множення одноцифрового числа на кругле та ділення на кругле число різними способами


Усні (позатабличні) прийоми множення і ділення
Ділення з остачею. Властивість остачі.
Перевірка ділення з остачею.



Розподільний закон множення відносно додавання.
Множення двоцифрового, трицифрового числа на одноцифрове (24
· 3, 240
· 3, 242
· 3).
Множення одноцифрового числа на двоцифрове і трицифрове (3
· 24, 3
· 240, 3
· 242).

Правило ділення суми на число.
Ділення двоцифрового, трицифрового числа на одноцифрове (39 : 3, 42 : 3, 112 : 7).
Ділення круглого числа на кругле
(420 : 20).
Ділення круглого числа на кругле способом добору (90 : 30, 800 : 200, 180 : 60).
Ділення на двоцифрове число способом добору (51 : 17). Ділення на двоцифрове число способом послідовного ділення (64 : 16).
Прийоми раціональних обчислень.


розуміє суть ділення з остачею, застосовує алгоритм ділення з остачею;
розуміє, що остача повинна бути меншою за дільник,
перевіряє правильність виконання ділення з остачею
застосовує правило множення суми на число у випадку множення двоцифрового або трицифрового числа на одноцифрове;
застосовує в обчисленнях правило множення числа на суму або переставний закон множення;
виконує множення двоцифрового або трицифрового числа на одноцифрове, одноцифрового числа на двоцифрове та трицифрове;

застосовує правило ділення суми на число у випадку ділення двоцифрового, трицифрового числа на одноцифрове;
застосовує способи ділення круглого числа на кругле;
застосовує в обчисленнях способи ділення на двоцифрове число;
знаходить значення числового виразу різними способами;
знаходить раціональні способи обчислень;
володіє обчислювальними навичками позатабличного множення і ділення;
застосовує різні способи перевірки правильності одержаного результату


Усне множення і ділення в межах ста і тисячі
а) Арифметичні дії з числами на основі нумерації
Множення і ділення круглого числа на одноцифрове число, зводиться до табличного: 40
· 2= 4дес. · 2 = 8 дес. = 80, 400
· 2 = 4сот.
· 2 = 8 сот. = 800, 40 : 2 = 4 дес. : 2 = 2 дес. = 20, 400 : 2 = 4 сот. : 2 = 2сот. = 200, 120 : 2 = 12 дес. : 2 = 6 дес. = 60.
Ділення круглого числа на кругле, зводиться до табличного: 40 : 20 = 4 дес. : : 2 дес. = 2; 400 : 200 = 4 сот. : 2 сот. = 2.
Множення одноцифрового числа на кругле, ділення на кругле число способом послідовного множення та ділення
Способи послідовного множення і ділення ґрунтуються на правилах множення числа на добуток та ділення числа на добуток та на правилах множення і ділення числа на 10, 100. Ще в процесі вивчення розрядних чисел встановлюється особливість: дописування одного нуля справа збільшує число в 10 разів, відкидання одного нуля справа зменшує число в 10 разів; дописування двох нулів справа збільшує число в 100 разів, відкидання двох нулів справа зменшує число в 100 разів. Звідси випливають і відповідні правила множення числа на 10, 100, 1000 та ділення числа, що закінчується нулями, на 10, 100 і 1000. П р а в и л о м н о ж е н н я ч и с л а н а д о б у т о к: Щоб помножити число на добуток, можна це число спочатку помножити на один з множників, одержаний результат помножити на другий з множників. 5
· (2
· 9) = (5
· 2)
· 9 = 10
· 9 = 90.
При множенні одноцифрового числа на кругле, кругле число представляють у вигляді добутку одноцифрового числа на 10 чи 10, а далі використовують наведене вище правило. 6 · 70 = 6 · (7 · 10) = (6 · 7) · 10 = 42 · 10 = 420. Множення одноцифрового числа на кругле фактично звелося до табличного множення і дописування відповідної кількості нулів.
П р а в и л о д і л е н н я ч и с л а н а д о б у т о к: Щоб поділити число на добуток, можна це число поділити на один з множників, одержаний результат поділити на другий множник.
36 : (2 · 9) = (36 : 9) : 2 = 4 : 2 = 2.
При ділені на кругле число працюємо за такою ж самою схемою, як і при множенні.
540 : 90 = 540 : (9 · 10) = (540 : 10) : 9 = 54 : 9 = 6. У цьому випадку позатабличне ділення також звелося до табличного: спочатку у числі 540 відкинули один нуль(стільки, як є у дільнику), а далі виконали табличне ділення.
б) Множення і ділення з числами 0, 1, 10, 100
Якщо виходити з означення дії множення, то добутки а · 0 і а · 1 не мають змісту, оскільки нема суми, в якій було б 0 чи 1 доданок. Правила множення числа на 1 і на 0, встановлюються так, щоб був справедливий переставний закон множення.
а · 0 = 0 · а = 0 + 0 + + 0 = 0 а · 1 = 1 · а = 1 + 1 + . + 1 = а.
Останнє правило та зв'язок між множенням і діленням дають встановити ще такі правила: а : 1 = а, а : а = 1, на нуль ділити не можна!
Правила множення і ділення на 10 і 100 у теперішніх діючих підручниках для третього класу виводяться так:
10 · 3 = 1 дес. · 3 = 3 дес. = 30. 3 · 10 = 10 · 3 = 30.
100 · 5 = 1 сот. · 5 = 5 сот. = 500 5 · 100 = 100 · 5 = 500
в) Усне позатабличне множення
Розподільний закон множення відносно додавання. Вивчається як правило множення суми на число або числа на суму. Вводиться таким способом. Спочатку різними способами розв’язується задача:
Дівчинка складала букети. Для кожного букета вона брала 3 білі і дві червоні квітки. Скільки всього квіток у 7 букетах?
Розв’язання
1-ий спосіб 2-ий спосіб
(3 + 2) · 7 = 35 (к.) 3 · 7 + 2 · 7 = 35 (к.)
Відповідь: 35 квіток Відповідь: 35 квіток
Крок перший: Встановлюється порядок виконання дій у виразі; дається пояснення до кожної дії;
Крок другий:
Бесіда
– Прочитайте вираз у першому способі розв’язання задачі (Суму чисел 3 і 2 помножити на 7);
– Як називається число 3? (Доданок), Число 2? (Доданок);
– А тепер дивимось на вираз, яким записане розв’язання задачі другим способом. Зачитайте першу дію (3 · 7). Отже перший доданок 3 помножили на число 7.
– Що зробили у другій дії? (другий доданок 2 помножили на 7);
– Що зробили з одержаними добутками (Додали);
– Який отримали результат (Такий же як і при множенні суми на число).
Після порівняння розв’язків задачі обома способами і опрацювання подібного завдання але уже з абстрактними числами виводиться правило:
Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і знайдені добутки додати.
Спочатку це правило використовується для прикладів виду (20 + 8) · 3 і (300 + 60) · 2.
На наступному уроці вивчається прийом множення двоцифрового числа на одноцифрове.
Множення двоцифрового, трицифрового числа на одноцифрове
24 · 3 = ?
24 = 20 + 4 20 · 3 = 60 4 · 3 = 12 60 + 12 = 72 24 · 3 = 72.
240 · 3 = ?
240 = 200 + 40 200 · 3 = 600 40 · 3 = 120 600 + 120 = 720 240 · 3 = 720.
242 · 3 = ?
242 = 200 + 40 + 2 200 · 3 = 600 40 · 3 = 120 2 · 3 = 6 600 + 120 + 6 = = 726 242 · 3 = 726.
Множення одноцифрового числа на двоцифрове і трицифрове
При множенні одноцифрового числа на двоцифрове (трицифрове) можна використати переставну властивість і далі виконувати дію множення двоцифрового (трицифрового) числа на одноцифрове за правилом множення суми на число. А можна скористатися правилом множення числа на суму. У підручнику з математики для третього класу це правило дещо переформульоване для прикладу множення одноцифрового числа на двоцифрове:
При множенні одноцифрового числа на двоцифрове можна спочатку двоцифрове розкласти на десятки і одиниці, а потім одноцифрове число помножити окремо на десятки та одиниці і результати додати.
3 · 24 = ?
24 = 20 + 4 3 · 20 = 60 3 · 4 = 12 60 + 12 = 72. 3 · 24 = 72
За такою ж схемою виконується множення виду 3
· 240, 3
· 242.
г) Усне позатабличне ділення
Правило ділення суми на число.
Ознайомлення з правилом здійснюється в результаті розв’язування двома способами задачі:
18 синіх і 12 жовтих слив батько розділив порівну між трьома синами. Скільки слив одержав кожний син?
На відміну від розподільного закону для розв’язання цієї задачі подано план розв’язування для кожного з двох способів. Запишемо розв’язання кожним із цих способів у вигляді виразу
Розв’язання
1-ий спосіб 2-ий спосіб
(18 + 12) :3 = 10(с.). 18 : 3 + 12 : 3 = 10 (с.).
Відповідь: 10 слив. Відповідь: 10 слив.
Подальший аналіз цих двох способів розв’язання задачі проводиться за схемою, подібною до виведення правила множення суми на число. В результаті такого аналізу виводиться правило:
Щоб поділити суму на число, можна поділити на це число кожний з доданків і одержані результати додати.
Ділення двоцифрового, трицифрового числа на одноцифрове (39 : 3, 42 : 3, 112 : 7).
39 : 3 = ? 39 = 30 + 9 30 : 3 = 10 9 : 3 = 3 10 + 3 = 13 39 : 3 = 13.
42 : 3 = ? 42 = 30 + 12 30 : 3 = 10 12 : 3 = 4 10 + 4 = 14 42 : 3 = 14.
112 : 7 = ? 112 = 70 + 42 70 : 7 = 10 42 : 7 = 6 10 + 6 = 16 112 : 7 = = 16.
Ділення круглого числа на кругле
Ґрунтується на правилі ділення числа на добуток.
420 : 20 = 420 : (2 · 10) = (420 : 10) : 2 = 42 : 2 = 21. Такий спосіб виконання дії ділення називається способом послідовного ділення. При способі ділення на кругле число спосіб послідовного ділення достатньо простий, оскільки ділення на 10 означає відкидання у діленому справа одного нуля. І фактично ділення виду 420 : 20 зводиться до ділення виду 42 : 2.
Ділення круглого числа на кругле способом добору
При вивченні цього прийому ділення пригадуємо як дію ділення можна перевірити за допомогою дії множення (частку множимо на дільник). При виконанні ділення виду 90 : 30 частку підбираємо, підібране число множимо на дільник. Якщо отримаємо ділене, то число частки підібране правильно, якщо ділене не отримаємо, то беремо інше число і процедуру перевірки повторюємо.
90 : 30 = 2 2 · 30 = 60, число 2 не підходить.
90 : 30 = 3 3 · 30 = 90. число 3 підходить.
Ділення на двоцифрове число способом добору виду 51 : 17 здійснюється за такою ж самою схемою.
Ділення на двоцифрове число способом послідовного ділення виду 64 : 16 проводиться так: число 16 представляємо у вигляді добутку двох множників. Один з цих множників повинен бути таким, щоб ділення числа 64 на нього було табличним. А далі застосовуємо правило ділення числа на добуток.
64 : 16 = 64 : (8 · 2) = (64 : 8) : 2 = 8 : 2 = 4.

Ділення з остачею
Ділення з остачею є підготовкою до письмового ділення. Вводиться в кінці третього класу, перед ознайомленням з письмовим множенням і діленням. Вводиться через дві відповідні сюжетні задачі.
Спочатку розглядається така задача: На підносі було 15 тістечок. Їх розклали на два блюда по 15 на кожне. Скільки тістечок залишилося на підносі?
Наступна задача дає поняття про дію ділення з остачею.
20 кольорових олівців дівчинка розклала в підставки, по 6 олівців у кожну. (Демонструємо відповідні дії з олівцями). Але 20 не поділилося без остачі на 6. Залишилося ще 2 олівці.
Маємо такий запис ділення з остачею: 20 : 6 = 3 (ост. 2).
20 – ділене, 6 – дільник, 3 – частка, 2 – остача.
Остача завжди менша за дільник. Отже при діленні на 6 можуть бути в остачі такі числа: 1, 2, 3, 4, 5.
Приклад на ділення з остачею може бути записаний через дію множення, але , крім того, потрібно ще використати і дію додавання: 6 · 3 + 2 = 20. Такий запис опрацьовується на початку 4-го класу при виконанні вправи 86 (с. 13).
Обчисли результат і поділи на підкреслене число.
Зразок: 8 · 5 + 3 = 43 43 : 8 = 5 (ост.3).





Лекція 10. Методика вивчення письмового множення і ділення в межах мільйона

Витяг з програми
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учня

Письмові прийоми множення та ділення

Письмове множення і ділення двоцифрових та трицифрових чисел на одноцифрове
Алгоритм письмового множення.
Алгоритм письмового ділення.
Прикидка результату множення і ділення.
Письмове ділення у випадку, коли частка містить нуль в середині запису.
Перевірка письмового множення й ділення.






Учень (учениця):
застосовує алгоритм письмового множення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове з розгорнутим поясненням;
застосовує алгоритм письмового ділення на одноцифрове число з розгорнутим поясненням;
прогнозує кількість цифр у добутку, частці до знаходження результату;
перевіряє правильність виконання множення і ділення

Письмове множення і ділення двоцифрових та трицифрових чисел на двоцифрові числа
Множення й ділення на розрядні одиниці 1, 10, 100.
Письмові прийоми множення і ділення на кругле число.
Алгоритм письмового множення на двоцифрове число.
Алгоритм письмового ділення трицифрового числа на двоцифрове число.
Письмове ділення з остачею



застосовує правила множення і ділення чисел на розрядні одиниці;
застосовує письмові прийоми множення і ділення на кругле число;
застосовує алгоритм письмового множення на двоцифрове число;
застосовує алгоритм письмового ділення трицифрового числа на двоцифрове;
прогнозує кількість цифр у добутку, частці;
перевіряє правильність виконання письмового множення і ділення

Письмове множення і ділення багатоцифрового числа на одноцифрове.
Письмове множення багатоцифрового числа на одноцифрове. Письмове ділення багатоцифрового числа на одноцифрове.
Множення чисел, які містять нуль в середині запису (5608
· 4, 56008
· 4).
Множення круглих чисел на одноцифрове (67000
· 7).
Ділення на одноцифрове число, коли в записі частки є нулі (3330 : 9, 5648 : 8).
Ділення з остачею.
Скорочена форма запису письмового ділення.




застосовує алгоритми письмового множення багатоцифрового числа на одноцифрове;
виконує і пояснює письмове множення у випадках, коли один множник містить у середині запису нуль (нулі);
виконує і пояснює письмове множення у випадку, коли один множник закінчується нулем (нулями);
застосовує алгоритми письмового ділення багатоцифрового числа на одноцифрове;
виконує і пояснює письмове ділення багатоцифрових чисел, коли в записі частки є нулі;
виконує письмове ділення з остачею на одноцифрове число, перевіряє правильність його виконання;
планує послідовність виконання дій у письмових обчисленнях;
прогнозує кількість цифр у добутку, частці до знаходження результату
володіє навичками письмового множення і ділення на одноцифрове число

Письмове множення і ділення на двоцифрові та трицифрові числа
Множення і ділення на круглі числа: 1290
· 700, 14560 : 70.
Письмове множення на двоцифрове число. Письмове ділення на двоцифрове число. Випадки ділення, коли в записі частки є нулі
(304500 : 75, 45066 : 74).
Письмове множення на трицифрове число. Письмове множення на трицифрове число у випадку, коли другий множник містить нуль в середині запису (483
·306). Ознайомлення з письмовим діленням на трицифрове число.



планує послідовність виконання дій під час письмового множення і ділення;
прогнозує кількість цифр у добутку, частці;
володіє обчислювальними навичками письмового множення на двоцифрове і трицифрове числа;
володіє обчислювальними навичками письмового ділення на двоцифрове число


1. Письмове множення і ділення в межах 1000

Ознайомлення з письмовим множенням трицифрового числа на одноцифрове
(М., 3кл., с. 151)
1) Множення розрядних чисел зводиться до табличного множення чи множення з числом 1: 2 дес. · 3 = 6 дес., 2 сот. · 4 = 8 сот.; 20 · 4 = 80; 300 · 3 = 900.
2) Правило множення суми на число дозволяє звести множення довільного трицифрового числа на число до множення розрядних чисел на це число. Зокрема, множення трицифрового числа на одноцифрове зводиться до множення розрядних чисел на одноцифрове число, а, отже зводиться до табличного множення або множення, пов’язаного з числами 1 чи 0. 213 · 3 = (200 + 10 + 3) · 3 = 200 · 3 + 10 · 3 + 3 · 3 = 600 + 30 + 9 = 639.
3) Для спрощення записів і обчислень множення такого виду записують не рядком, а «стовпчиком», при цьому одиниці другого множника пишуть під одиницями першого. У цьому випадку множення починають виконувати з найнижчого розряду і закінчують найвищим. Такий спосіб виконання дії множення називається письмовим множенням.


х 213
3
639
3 од. · 3 = 9 од., на місці одиниць пишемо 9. 1 дес. · 3 = 3 дес., на місці десятків пишемо 3. 2 сот. · 3 = 6 сот., на місці сотень пишемо 6. Добуток чисел 213 і 3 дорівнює 639.
На кількох наступних уроках розглядаються випадки письмового числа на одноцифрове коли множення розрядних чисел на одноцифрове виходить за межі розряду. Наприклад 127 · 3, 182 · 3. Для засвоєння цих прийомів множення варто на перших порах практикувати повне пояснення прийому письмового множення.

Ознайомлення з прийомом письмового ділення трицифрового числа на одноцифрове (М., 3 кл., с. 154)
Письмове ділення ґрунтується на правилі ділення суми на число та на діленні з остачею. Поняття про письмове ділення вводиться тим же способом, що і письмове множення.
Виконується ділення числа 966 на 3 усно. Маємо запис 966 : 3 = (900 + + 60 + 6) : 3 = 900 : 3 + 60 : 3 + 6 : 3 = 300 + 20 + 2 = 322. Ділення трицифрового числа на одноцифрове звелося до ділення розрядних чисел на одноцифрове число (в даному випадку – до табличного, в подальшому – і до ділення з остачею в межах сотні).
Щоб зробити записи менш громіздкими ділення записують «кутиком»: Записують ділене, потім висотою у дві клітинки проводять вертикальний відрізок, від середини цього відрізка по лінії клітинки проводять горизонтальний відрізок. Ці два відрізки замінюють і знак дії ділення « : », і знак « = ». Над горизонтальним відрізком записуємо дільник, під цим же відрізком записуємо частку.
_ 966 | 3
9 | 322
_ 6
6
_6
6
0
Перше неповне ділене 9 сотень, тому у частці буде 3 цифри (можна покласти три крапочки). 9 сот. : 3 = 3 сот., тому у частці на місці сотень пишемо цифру 3. Дією множення перевіряємо, що всі сотні поділилися. Утворюємо друге неповне ділене, зносячи 6 дес.: 6 дес. : 3 = 2 дес., на місці десятків у частці пишемо цифру 2. Дією множення перевіряємо, що всі десятки поділилися. Утворюємо третє неповне ділене, зносячи 6 од. 6 од. : 3 = 2 од., у частці на місці одиниць записуємо цифру 2. Дією множення перевіряємо, що всі одиниці поділилися. Частка чисел 966 і 3 дорівнює 322.
На кількох наступних уроках розглядаються випадки, коли неповними діленими не є розрядні числа і проміжні ділені не завжди діляться на число без остачі. Тому маємо справу з випадками, коли у частці цифр менше, ніж у діленому, і з підбором числа при діленні з остачею: 276 : 4; 822 : 6.
_276 | 4
24 | 69
_36
36
0
Перше неповне ділене – 27 дес. Тому у частці буде 2 цифри. 27 дес. : 4 = 6 дес., на місці десятків пишемо 6. Дією множення перевіряємо, що поділилося 24 дес. Дією віднімання знаходимо, що не поділилося 3 дес. 3 < 4, цифра десятків у частці підібрана правильно. Утворюємо друге неповне ділене, зносячи до трьох десятків шість одиниць. 36 од. : 4 = 9 од., у частці на місці одиниць пишемо цифру 9. Дією множення перевіряємо, що всі одиниці поділилися. Частка чисел 276 і 4 дорівнює 69.

2. Письмове множення і ділення багатоцифрових чисел
Множення багатоцифрового числа на одноцифрове (М., 4 кл., с. 68 – 70).
Множення багатоцифрових чисел на одноцифрове виконують так само, як множення трицифрових на одноцифрове. Тому спочатку на прикладі множення трицифрового числа на одноцифрове пригадують прийом письмового множення на одноцифрове число, а потім закріплюють цей прийом на різних видах вправ з багатоцифровими числами. Як особливий випадок розглядають множення багатоцифрових чисел, що закінчуються нулями.
х 2300
7
16100
Оскільки при множенні числа нуль на будь-яке число отримаємо число нуль, то, щоб не робити зайвих дій, другий множник записуємо під першим так, щоб всі нулі першого множника були правіше від другого множника. Далі виконуємо множення, не звертаючи уваги на нулі. Після завершення множення нулі зносимо у результат.

Множення чисел, що закінчуються нулями (М., 4 кл., с. 10 – 112)
Важливу роль у навчанні такого множення відіграють сполучний закон множення та правила множення чисел на 10, 100, 1000, а також представлення круглого числа у вигляді добутку не круглого числа на одне із чисел 10, 100 чи 1000, в залежності від кількості нулів у записі цього числа.
Прийом усного множення
24 · 300 = 24 · (3 · 100) = (24 · 3) · 100 = 72 · 100 = 7200.
Число 300 можна представити у вигляді добутку чисел 3 і 100. Зручніше спочатку 24 помножити на 3, а потім результат помножити на 100. 24 · 3 = = 72. Для того, щоб помножити число на 100, достатньо до цього числа справа приписати два нулі. 72 · 100 = 7200.

Прийом письмового множення
Отже, множення 24 · 300 звелося до множення 24 · 3 і приписування до результату стільки нулів, скільки їх є у другому множнику. Цей факт дозволяє при письмовому множенні зробити такий запис, коли множення здійснюється без залучення нулів. Нулі зносяться в результат на останньому кроці виконання дії множення. (Вчитель показує запис і коментує його).
х 24
300
7200
Подібне пояснення дається і у випадку, коли обидва множники у своєму записі справа містять один чи кілька нулів. Тоді у запис добутку зноситься стільки нулі, скільки їх є в обох множниках разом.
х 17800
40
712000.

Множення на двоцифрове число (М., 4 кл., с. 121 – 127)
Усний спосіб множення двоцифрового числа на двоцифрове
32 · 36 = 32 · (30 + 6) = 32 · 30 + 32 · 6 = 960 + 192 = 1152.
Із цього запису видно, що для знаходження результату множення на двоцифрове число, треба перший множник окремо помножити на десятки і одиниці другого множника і одержані добутки додати. Числа 960 і 192 називаються неповними добутками. На основі переставної властивості дії множення можна спочатку помножити число на одиниці, а потім на десятки. Так роблять при письмовому множенні.

Письмове множення двоцифрового числа на двоцифрове
х 32
36
+ 192
960
1152
Множники розміщують так, щоб одиниці були під одиницями. Множення розпочинають з одиниць. Перший неповний добуток 192 одиниці. При множенні на десятки цифри починають записувати під десятками. Другий неповний добуток 96 десятків, тобто число 960. В останній дії знаходять суму неповних добутків.
Множення багатоцифрового числа на двоцифрове виконується за такою ж самою схемою, як множення двоцифрового числа на двоцифрове.






Множення на трицифрове число
Множення на трицифрове число вводиться через порівняння двох випадків множення
х 4184 х 4184
37 237
+ 29288 29288
12552 + 12552
154808 8368
991608
Результати порівняння:
При множенні на двоцифрове число маємо два неповні добутки 29288 од. та 12552 дес. При множенні на трицифрове число додається третій неповний добуток , що є результатом множення числа 4184 на сотні другого множника. Третій неповний добуток 8368 сот. Третій неповний добуток починаємо підписувати під сотнями. Так само, як і при множенні на двоцифрове число, всі неповні добутки додаються.

Особливий випадок множення на трицифрове число – це випадок, коли у другому множнику в розряді десятків записана цифра 0.
х 1578 х 1578
43 403
+ 4734 + 4734
6312 6312
67854 635934
Результати порівняння:
При множенні на двоцифрове число маємо два неповних добутки: 4734 од. і 6312 дес. При множенні на трицифрове число маємо три неповних добутки: 4734 од., 0 дес. та 6312 сот. Оскільки другий неповний добуток в кожному розряді матиме цифру нуль, то його не записують.

Аналіз типових помилок, що допускаються учнями при виконанні письмового множення
1) Неправильно записують проміжні результати із-за незнання табличних випадків множення. Щоб уникнути таких помилок, слід добитися високого рівня засвоєння учнями табличного множення і ділення;
2) Неправильно починають підписувати неповні добутки після першого при множенні на двоцифрові і трицифрові числа, зокрема, коли у другому множнику (трицифровому числі) в розряді десятків записана цифра 0 (203). Унеможливлює виникнення таких помилок глибоке засвоєння учнями змісту неповних добутків.





Ділення багатоцифрового числа на одноцифрове (М., 4 кл., с. 85)
_ 20736 | 8
16 | 2592
_ 47
40
_73
72
_ 16
16
0
Перше неповне ділене 20 тис. Тому у частці буде 4 цифри. 20 тисяч поділити на 8, буде 2 тисячі і в остачі 4 тисячі. Друге неповне ділене 47 сотень. 47 сотень поділити на 8, буде 5 сотень і в остачі 7 сотень. 73 десятки – третє неповне ділене. 73 десятки поділити на 8, буде 9 десятків і в остачі 1 десяток. 16 одиниць – четверте неповне ділене. 16 поділити на 8, буде 2. Остачі нема. Частка 2592.

Ділення у випадку появи нуля у запису частки (М., 4 кл., с. 89).
_ 12282 | 6
12 | 2047
_ 28
24
_ 42
42
0
Перше неповне ділене 12 тисяч. У частці буде 4 цифри. 12 тисяч поділити на 6 буде 2 тисячі. Остачі немає. Друге неповне ділене 2 сотні. 2 сотні не діляться на 6 так, щоб у частці були сотні. У частці на місці сотень пишемо 0. Третє неповне ділене 28 десятків. 28 десятків поділити на 6, буде 4 десятки і в остачі 4 десятки. Четверте неповне ділене 42 одиниці. 42 поділити на 6, буде 7. Остачі нема. Частка 2047.

Ділення чисел, що закінчуються нулями (М., 4 кл., с. 118 – 119).
_ 45780 | 60
420 | 763
_ 378
360
_ 180
180
0
Перше неповне ділене 457 сотень. У частці буде 3 цифри. Поділимо 457 сот. на 60. Для цього поділимо 45 на 6, буде 7 (сотень). Множимо 60 на 7 буде 420 (сотень). В остачі буде 37 сотень. Друге неповне ділене 378 десятків. 378 десятків поділити на 60, буде 6 десятків. Множимо 60 на 6 буде 360 (десятків). В остачі 18 десятків. Третє неповне ділене 180 одиниць. 10 поділити на 60, буде 3. Остачі нема. Частка 763.

Ділення на двоцифрове число (М., 4 кл., с. 128 – 137)
При навчанні ділення на двоцифрове число найбільше труднощів виникає при відшуканні потрібної цифри у частці. Для полегшення цієї роботи можна вчити учнів знаходити цифри у частці не діленням відповідного неповного діленого на десятки дільника, а спочатку зробити заокруглення дільника до круглого двоцифрового числа. Якщо дільник, наприклад, 59, 58, 57, то для відшукання цифри частки відповідне неповне ділене ділимо на 60; якщо дільник 51, 52, 53, то для відшукання цифри частки відповідне неповне ділене ділимо на 50.

Аналіз типових помилок, що допускаються учнями при виконанні письмового ділення
а) _ 165680 | 8
16 | 2710
_ 56
56
_ 8
8
0
При виконанні ділення не було враховано, що друге неповне ділене 5 одиниць тисяч не ділиться на 8 так, щоб одержати одиниці тисяч. Тому на місці одиниць тисяч треба писати цифру 0. При виконанні ділення в частці отримали менше цифр, ніж мало бути.
б) _ 165680 | 8
8 | 110170
_ 8
8
_56
56
_ 8
8
0
При виконанні ділення в цьому випадку не враховано вимогу, що остача має бути менша за дільник. При діленні першого неповного діленого 16 (десятків тисяч) на 8 отримали остачу, що дорівнює дільнику. Цю остачу, не утворюючи наступного діленого, знову поділили на 8. Таким чином, у частці отримали більше цифр, ніж потрібно.
Щоб уникати таких помилок, варто привчати учнів дотримуватись таких правил:
Перед виконанням дії ділення визначати кількість цифр у частці. Це буде відсікати втрату цифр у частці або появу у частці лишньої цифри.
Завжди порівнювати остачу з дільником. Остача повинна бути меншою за дільник. Якщо це не так, то цифра у частці підібрана неправильно. Тому ділення не продовжуємо далі, а вибираємо іншу цифру у частці і перевіряємо, чи ця цифра підходить.









































Лекція 11. Формування початкових уявлень про дроби у початковому курсі математики
Витяг із програми
3 клас
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Частини
Дроби з чисельником 1 як частина цілого. Утворення і запис.
Поняття про дріб, чисельник і знаменник дробу.
Риска дробу як знак ділення.
Порівняння дробів із чисельником 1.
Знаходження частини від числа.
Знаходження числа за його частиною
Учень (учениця):
розуміє утворення частин способом ділення цілого на рівні частини й виділенням однієї з них;
визначає кількість певних частин у цілому;
визначає, у скільки разів певна частина менша за ціле та у скільки разів ціле більше за частину;
читає і записує частини у вигляді дробу з чисельником 1;
розуміє сутність чисельника і знаменника дробу, пояснює їх на прикладах;
порівнює дроби з чисельником 1 за допомогою засобів наочності;
застосовує в обчисленнях правило знаходження частини від числа та числа за його частиною


4 клас
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Дроби
Поняття «дріб».
Читання та запис дробів. Чисельник і знаменник дробу.
Дроби, які дорівнюють одиниці.
Порівняння дробів. Рівні дроби.
Знаходження дробу від числа. Знаходження числа за значенням його дробу.

розуміє спосіб одержання дробу;
розуміє значення чисельника і знаменника дробу;
читає і записує дроби;
розрізняє дроби, які дорівнюють 1;
порівнює дроби з однаковими знаменниками;
застосовує правила знаходження дробу від числа та числа за значенням його дробу під час розв’язування практично зорієнтованих завдань


Ознайомлення з частинами
Перше знайомство з поняттям частини цілого та частини числа відбувається ще при вивченні таблиць множення і ділення (ділення числа на 4). Перед цим на попередніх уроках розглядались вправи, через які вводилось поняття ділення на рівні частини.
Перед тим, як вводити поняття частини, вчитель повинен провести бесіду, щоб впорядкувати і систематизувати життєвий досвід дітей про частини цілого:
що означає «половинка хліба»? (Цілу хлібину розрізали на дві рівні частини і взяли одну з них).
Як перевірити, що половинки рівні? (Накладанням).
Що одержимо, коли дві половинки хлібини складемо разом? (Цілу хлібину).
Можна розглянути ще кілька подібних прикладів(яблуко, геометричні фігури)
Висновок: Половина – це одна з двох рівних частин цілого.
Практична робота
Кожен з учнів має перед собою смужку паперу, довжиною 8см, аркуш прямокутної форми, круг.
Завдання дітям:
Склади аркуш паперу навпіл; покажи половинку цього аркуша; що можна сказати про половинки?
Аналогічна робота з кругом;
Як поділити смужку навпіл? (скласти її).
Поміряйте довжину половини смужки (4см).
Як знайти довжину половини смужки, не згинаючи її? (довжину смужки поділити на 2).
Ознайомлення з поняттями «третя частина», «четверта частина» проводиться також з опорою на наочність, поданою у підручнику:






На скільки рівних частин поділена смужка? ( на 3);
Як називається одна така частинка? (Третя частина);
Ми можемо назвати її ще одним словом - третина;
Яка довжина всієї смужки? (12см);
Як знайти довжину третини смужки? (довжину всієї смужки ділимо на 3);
То яка довжина третини смужки? (12 см : 3 = 4 см);
За подібною схемою вводиться поняття «четверта частина» (чверть).
Для більш глибокого засвоєння понять «половина», «третина», «чверть» лабораторно-практичним методом можна провести ще і роботу з використанням кругів: розрізати круг на частини, показати накладанням, що всі вони рівні, показати половину, третину, чверть круга, порівняти їх (висновок: чим на більшу кількість частинок ділимо, тим менша величина кожної такої частинки); вияснити, що круг (ціле) складається з двох половинок, трьох третин, чотирьох четвертин.
Після дій з наочністю можна вже опрацювати завдання, подане словесно:
Знайдіть четверту частину числа 20 (Щоб знайти четверту частину числа, треба число поділити на 4. 20 : 4 = 5. Четверта частина числа 20 становить 5).
Знайдіть п’яту частину від 1дм (Щоб знайти п’яту частину цілого, потрібно його поділити на 5. 1дм на 5 не ділиться. Тому 1дм перетворюємо в сантиметри. 1дм = 10см. 10см : 5 = 2см. П’ята частина 1дм становить 2см).
Позначати частини за допомогою цифр навчають також з використанням відповідного наочного матеріалу:
Для позначення половини цілого використовуємо дві цифри 1 і 2, записані одна під одною і розділені рискою: 13 EMBED Equation.3 1415 (риска пишеться на лінії клітинки). Число 2 під рискою показує, що ціле розділили на дві рівні частини, число 1 над рискою показує, що взяли одну таку частинку. Читається «одна друга». Аналогічно вводяться записи 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 і т.п.
Порівняння частин з використанням наочності. М.4. , впр. 649, с. 99.



13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Використовуючи наочність, можна порівняти частини з чисельником 1: 13 EMBED Equation.3 1415 > 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415. Висновок порівняння: чим більше число під рискою (знаменник), тим менше значення частини.


Методика ознайомлення з дробами
2.1. Поняття дробу як кількох рівних частин цілого
Наведемо фрагмент уроку по ознайомленню з поняттям «дріб» через поділ цілого на рівні частини.
Підготовча робота
Вчитель послідовно показує кілька чисел і пропонує охарактеризувати їх одним-двома словами (1, 3, 5, 7, 9 –одноцифрові, непарні; 37, 49, 92, 99 – двоцифрові; 10, 20 30, 300, 600, 1200 – круглі числа, 357, 4900, 23506 – багатоцифрові числа).
- Всі ці числа можна назвати одним словом – натуральні. Вони використовуються при лічбі предметів, при вимірюванні величин. На сьогоднішньому уроці ми познайомимося з деякими іншими числами, які називаються дробовими або просто дробами. Ці числа використовуються при позначенні частин цілого (однієї чи кількох). Ціле може бути геометрична фігура, маса предмета, відстань, швидкість, тобто якась величина. Дробові числа виникли якраз при вимірюванні величин. Наприклад, у повсякденному житті ми часто кажемо півкілограма, півметра, три чверті години, третина поля. З деякими із дробових чисел ви уже знайомі. Це записи певної частини цілого.
Ознайомлення з поняттям «дріб»

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

На скільки рівних частин поділено прямокутник?
Скільки таких частин не зафарбовано?
Як це записати цифрами? (13 EMBED Equation.3 1415).
Як читається цей запис? (Одна третя)
Що означає число 3? (Що прямокутник поділено на 3 рівні части).
Що означає число 1? (Що взята одна така частина).
Скільки частинок зафарбовано? (дві).
За допомогою цифр зафарбовані частинки записуються так: 13 EMBED Equation.3 1415. Читається : дві третіх.
І так ще кілька подібних прикладів з використанням наочності.
Ми записали ряд чисел, що називаються дробовими. Число 13 EMBED Equation.3 1415 - дріб. Числа 5 і 6 розділені рискою, яка називається рискою дробу. Число під рискою дробу називається знаменник дробу. Знаменник дробу показує на скільки рівних частин поділено ціле. Число 5 над рискою дробу називається чисельник дробу. Воно показує скільки таких рівних частин взято.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Прочитайте дроби.
Назвіть знаменник третього дробу; останнього дробу. Що показує знаменник дробу?
Назвіть чисельник четвертого дробу; першого дробу. Що показує чисельник дробу?
Що показує знаменник другого дробу? Чисельник другого дробу?
- А що ми будемо мати, коли чисельник буде дорівнювати знаменнику? ( Ми будемо мати ціле).
- У цьому випадку кажуть, що дріб дорівнює 1.
2.2. Поняття дробу як частки двох чисел
1) Підготовча робота
- Що означає чверть кілограма? Як її знайти? Скільки це становить? ( 1000г : 4 = 250г).
- Що означає три чверті кілограма? Як знайти? Скільки це становить? (1000г : 4 · 3 = 750г).
2) Розв’язування задачі:
4 хлопчики впіймали 3кг риби і поділили її порівну. Скільки риби отримав кожний хлопчик?
1 кг
1кг
1кг

що потрібно зробити, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба кількість риби поділити на кількість хлопчиків, тобто, кожний з хлопчиків одержав по 3 : 4 (кг) риби).
Не перетворюючи кілограми в грами, число 3кг поділити на 4 ми не можемо. Ми бачимо, що риба розділена в мішечки по кілограму в кожному. Будемо ділити рибу з кожного мішечка окремо. Скільки кілограмів риби одержить кожний хлопчик з першого мішечка? (13 EMBED Equation.3 1415 кг). З другого також 13 EMBED Equation.3 1415 кг і з третього також 13 EMBED Equation.3 1415 кг. Кожний хлопчик одержить по 13 EMBED Equation.3 1415кг риби. Ми можемо розв’язання задачі записати так: 3 : 4 = 13 EMBED Equation.3 1415 (кг). Обчислимо, скільки це буде у грамах. 1кг = 1000г. 1000г : 4 · 3 = 750 г.
Отже частку чисел 3 і 4 можна записати у вигляді дробу. Число, яке ділимо, записуємо у чисельник. Число, на яке ділимо, записуємо у знаменник. Так можна записувати не тільки частку чисел, які не діляться одне на одного, але і частку будь-яких двох чисел. Запишіть у вигляді дробу частку чисел 7 і 9; 8 і 12.

2.3. Порівняння дробів з однаковими знаменниками
Два дроби з рівними знаменниками рівні тоді, коли чисельники рівні. Із двох дробів з однаковими знаменниками менший той, чисельник якого менший. Із двох дробів з однаковими чисельниками менший той, знаменник якого більший.
Ці правила встановлюються з використанням наочності та змісту дробу як кількох рівних частин цілого.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415.

Задачі на знаходження частини (дробу) від числа та числа за поданою частиною (дробом)
Задача на знаходження частини числа:
У шкільному саду 60 дерев. 13 EMBED Equation.3 1415 дерев – яблуні і 13 EMBED Equation.3 1415 - груші. Скільки в саду разом яблунь і груш?
Розв’язання
Скільки в саду яблунь?
60 : 3 = 20 (д.).
Скільки в саду груш?
60 : 4 = 15(д.).
Скільки в саду разом яблунь і груш?
20 + 15 = 35(д.)
60 : 3 + 60 : 4 = 35.
Відповідь: 35 дерев.

Задача на знаходження числа за його частиною:
Довжина 13 EMBED Equation.3 1415частини смужки становить 18мм. Яка довжина всієї смужки?





Зразок міркувань: Вся смужка складається з чотирьох четвертинок. Щоб знайти довжину всієї смужки, треба довжину її четвертої частини помножити на 4. 18мм · 4 = 72мм. Відповідь: довжина всієї смужки 72мм.

Задача на знаходження дробу від числа:
Довжина відрізка АВ становить 10см. Чому дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415цього відрізка?
Розв’язання
Скільки сантиметрів в 13 EMBED Equation.3 1415 відрізка АВ?
10 : 5 = 2 (см)
Чому дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 відрізка АВ?
2 · 3 = 6 (см).

10 : 5 · 3 = 6.
Відповідь: довжина 13 EMBED Equation.3 1415 відрізка АВ дорівнює 6см.
Запис розв’язання задачі виразом допомагає встановити правило знаходження дробу від числа: Щоб знайти дріб від числа, це число ділять на знаменник дробу і одержаний результат множать на чисельник дробу.
У підручнику подається форма запису виконання вправи на знаходження дробу від числа.
М. 4. №669, с. 103.
Знайди 13 EMBED Equation.3 1415 від 64260.
Розв’язання:
64260 : 9 ( 5 = 35 700
_ 64260 (9___ х 7140
63 (7140 5
_ 12 35700
9
_36
36
0
Список рекомендованої літератури

1. Богданович М.В. та ін. Методика викладання математики у початкових класах. – К.: 2000. – 352с.
2. Богданович М.В. та ін. Урок математики в початковій школі. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2004. – 280с.
3. Програми середньої загальноосвітньої школи, 1 – 4 класи. К.: 2012.
4. Система контролю та оцінювання навчальних досягнень учнів початкової школи. Методичні рекомендації. – К.: 2003. – 107с.
5. Король Я.А. Практикум з методики викладання математики в початкових класах. – Тернопіль: Мандрівець, 1998. – 136с.
6. Богданович М.В., Лишенко Г.П. Математика: підручник для 1 класу загальноосвітнього навчального закладу. – К.: Ґенеза, 2012. – 160с.
7. Рівкінд Ф.М., Оляницька Л.В. Математика: підручник для 1 класу загальноосвітнього навчального закладу. – К.: Видавничий дім «Освіта», 2012. – 144с.
8. Богданович М.В. Математика: підручники для 2 – 4 класів. – К.: Освіта, 2000 (2001, 2002, 2003).
9. Кочина Л.П., Листопад Н.П. Математика для 1(2,3,4) класу. Пробний підручник для шкіл України. – Львів: Світ, 2001 (2002, 2003, 2004).








13PAGE 15


13PAGE 146915



1


7


7

4 · 6 = 24
24 : 6 = 4
24 : 4 = 6

9

8

7

6

5

4

3

2

5 ·

+

·

3см

К

М

В

?

А

А

К

В

М



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 16431584
    Размер файла: 844 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий