Бесконечно большая функция


Реферат по теме:
«Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций»
1902460444500Подготовил: Станиславчик АГруппа:101071-12
00Подготовил: Станиславчик АГруппа:101071-12

Бесконечно большая функция
Функция А(х) называется бесконечно большой в точке а справа [слева] функцией, если для любой сходящейся к а последовательности хn значений аргумента, все элементы которой больше а [меньше а], соответствующая последовательность значений функции Аxn является бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны.
Пример: y=x2+1 – б.б.ф. при x→∞Бесконечно малая функция
Функция a(x) называется бесконечно малой в точке а, если предел этой функции в точке а стремится к нулю.
Пример: y=x-2 при x→2Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть fx=αx+β(x), где limx→aαx=0 и limx→aβ(x)= =0. Нам нужно доказать, что при произвольном малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству  |x – a|<δ, выполняется |f(x)| < ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x - -a|<δ2 имеем |β(x)|< ε/2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и |β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=|α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a |f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем |αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если limx→aαx=0 и  limx→aβ(x)=0, то limx→ααβ=0.
Следствие 2. Если limx→aαx=0 и c=const, то  limx→acαx=0.
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Пусть limx→aαx=0 и limx→aβ(x)≠0. Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь α(x)f(x)=α(x)1f(x) есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
Теорема 4. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство 1f(x)<ε, а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется такое δ>0, что при |x – a|<δ будет выполняться неравенство|f(x)|>1/ ε. Следовательно при тех же значениях x будет выполняться неравенство 1f(x)<εСледствие. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Сравнение бесконечно малых функций
Функция α(x) является в точке а бесконечно малой более высокого порядка, чем функция β(x), если limx→aα(x)β(x)=0Функции α(x) и β(x) в точке а являются бесконечно малыми одного порядка, если limx→aα(x)β(x)=А≠0(АϵR)Функции α(x) и β(x) в точке а являются несравнимыми бесконечно малыми , если limx→aα(x)β(x) не существуетФункция α(x) является в точке а бесконечно малой более низкого порядка, чем функция β(x), если limx→aα(x)β(x)=∞Решение примеров:
Пример 1. Решить пример:
limx→221x-22-1x2-484~limx→22x+21x2-484~limx→22430=∞Ответ: ∞Пример 2. Решить пример: limx→∞-13x-13x-22x2257x57x+22x22~limx→∞-13x-22x2257x70x+22x22~limx→∞286x22-13x57x71+1254x92~~limx→∞286x70-13x7157x21+1254~limx→∞0-00+1254=0Ответ: 0
Пример 3. Решить пример:
limx→1x2-23x+22x2+21x-22~limx→1(x-22)(x-1)(x+22)(x-1)~limx→1x-22x+22~limx→1(-21)23==-2123Ответ: -2123Пример 4. Решить пример:
limx→∞22x+2222x-1322x~limx→∞22x+2222x-13+1--122x~limx→∞1+3522x-1322x~limx→∞1+3522x22x3535=e35Ответ: e35Пример 5. Исследовать на непрерывность.
F(x)=1x-22, -∞<x≤22x2-13, 22<x≤302x, x≥30Функция F(x) имеет точку разрыва x=22
limx→22+0Fx=471limx→22-0Fx=-∞ , следовательно x=22 – точка разрыва второго порядка
Ответ: x=22 точка второго порядка
Пример 6. Исследовать на непрерывность.
F(x)=e1x2-484Функция F(x) имеет точку разрыва x=±22
limx→22+0e1x2-484=∞limx→22-0e1x2-484=0limx→(-22)+0e1x2-484=0limx→(-22)-0e1x2-484=∞Следовательно точка x=±22 является точкой разрыва второго порядка
Ответ: x=±22 точка разрыва второго порядка
Пример 7. Решить пример:
limx→0cos-13x-cos⁡(57x)22-22-x2~limx→0022-22=0
Ответ: 0
Пример 8. Решить пример:
limx→01-22x122x~limx→01-22x1+22x1+22x122x=1eОтвет: 1e

Приложенные файлы

  • docx 15891704
    Размер файла: 36 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий